2013
Profesor: Gerson Villa González
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales
Calificación
Fecha: 14‐02‐2013
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 5 puntos
Problemas Problema 1 Verificar en el siguiente problema si la EDO es exacta si lo es resuélvala.
3x
2
6 xy 2 dx 6 x 2 y 4 y 3 dy 0
Solución
M 12 xy M 3x 6 xy y 2 3 N N 6 x y 4 y 12 xy x 2
Luego
2
M N a ecuación es exacta, entonces: y x
f (x, y)
tal que
f ( x , y ) f ( x, y ) M y N de donde x y
f ( x, y) 3x2 6 xy 2 x
integrando respecto a
x
se tiene:
f ( x, y ) 3 x 2 6 xy 2 dx g ( y ) x 3 3 x 2 y 2 g ( y ) , derivando respecto a y f ( x, y ) 6 x2 y g ' y N y 6 x2 y g ' y 6 x2 y 4 y3
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Entonces
g '( y) 4y3 g( y) y4 c , remplazando:
f ( x, y ) x 3 3 x 2 y 2 y 4 c x 3 3 x 2 y 2 y 4 k Problema 2 Verificar en el siguiente problema si la EDO es exacta si lo es resuélvala.
x 1 1 y 1 x dx 2 dy 0 x2 y 2 x y x2 y 2 y y Solución
xy 1 M x 1 1 M 3/2 2 y x2 y2 y x2 y 2 x y y 1 x xy 1 N N 2 2 3/2 2 2 x x2 y 2 x y x y y Como
M N la ecuación no es exacta y x
f (x, y)
tal que
f ( x , y ) f ( x, y ) M y N de donde x y
f ( x, y ) x 1 1 integrando respecto a x se tiene: 2 2 x x y x y 1 1 x f ( x, y ) dx g ( y ) x2 y 2 x y x f ( x, y ) x 2 y 2 ln x g ( y ) y Derivando
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( x, y ) y y x2 y2
y x2 y2
x g '( y ) N y2
x g '( y ) y2
y x2 y2
1 x 2 y y
Por lo tanto tenemos que
g '( y )
1 g ( y ) ln y c y
Entonces
g( y) ln y c remplazando en la función
f ( x, y ) x 2 y 2 ln x
x 2 y 2 ln xy
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x ln y c y
x k y
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