Respuestas de los elementos R, L y C Básicos a la corriente y a la Tensión Senoidales Mediante la ley de ohm y las ecuaciones básicas para el capacitor y el inductor, podemos aplicar las corrientes o las tensiones Senoidales a los elementos R, L y C básicos. Resistores Para las frecuencias de líneas de potencia y frecuencias de unos cuantos KHz, el resistor para todos los fines prácticos, no se ve afectado por la frecuencia de la corriente o la tensión senoidal que se aplique.
Figura 1. R : vR e iR están en fase Para esta región de frecuencias, el resistor R de la figura 1 se puede tratar como una constante y una aplicación de la Ley de Ohm, lo cual dará como resultado:
i
v Vm sen wt Vm sen wt I m sen wt R R R
Donde
Im
Vm R
Además, para una i dada:
v iR I m sen wt R I m Rsen wt Vm sen wt Donde
Vm I m R
Figura 2. R vR e iR están en fase Una gráfica de v e i , en la figura 2, revela que para un elemento puramente resistivo, la tensión y la corriente que pasan por el elemento están en fase. Inductores
Figura 3. Inductor alimentada por una tensión senoidal Para la configuración en serie de la figura 3, la tensión que aparece en el elemento encuadrado se opone a la fuente de tensión y en esa forma se reduce la magnitud de la corriente i . La magnitud de la tensión en este elemento tiene relación directa con la oposición del elemento al flujo de la carga o la corriente i .
Figura 4. Configuración en serie
Para los inductores se observa, que la tensión que existe en un inductor es directamente proporcional al índice de cambio de la corriente que pasa por la bobina. En consecuencia, cuanta más alta sea la frecuencia, tanto mayor será el índice de cambio de la corriente a través de la bobina y tanto mayor será la magnitud del voltaje. Por ende, la tensión se relaciona directamente con la frecuencia (o más específicamente, la velocidad angular de la corriente senoidal en la bobina) y la inductancia de la bobina. En la figura 4, la tensión senoidal se representa por medio de vL y la corriente a través de la bobina por iL . Para una w y una L incrementadas habrá un valor mayor de vL y por lo tanto iL será menor.
Figura 5. Oposición de la bobina a la fuente de tensión senoidal A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que se emplearan mas adelante: De la figura 3 del inductor se sabe que:
VL L
diL dt
Aplicando diferenciación (el calculo)
diL d I m senwt wI m cos wt dt dt di VL L L L wI m cos wt wLI m cos wt dt
O bien
VL Vm sen wt 90 donde
Vm wLI m Obsérvese que el valor pico de vL es directamente proporcional a w y L . Una gráfica de vL e iL en la figura 6 revela que vL se adelanta a iL en 90° o que
iL se retrasa sobre vL en 90°
L : vL se adelanta a iL por 90° Por lo tanto para:
iL I m sen wt vL wLI m sen wt 90 La oposición a la corriente desarrollada por un inductor en una red senoidal ca se puede obtener aplicando la siguiente ecuación:
Efecto
causa oposición
Que, para nuestros fines, se puede escribir como
Oposición
causa efecto
Al sustituir los valores, se tiene:
Oposición
Vm LI m L Im Im
La cantidad L , llamada reactancia (de la palabra reacción) de un inductor, se representa simbólicamente mediante X L y se mide en ohms o sea:
X L L La reactancia inductiva es la oposición al flujo de la corriente, que da como resultado el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo magnético del inductor. En otras palabras, la reactancia, a diferencia de la resistencia (que disipa energía en la forma de calor), no disipa energía eléctrica. Capacitores La ecuación fundamental que relaciona la tensión en un capacitor con la corriente que pasa por él es:
i C
dv dt
E indica que para una capacitancia dada, cuanto mayor sea el índice de cambio de la tensión en el capacitor, tanto mayor será la corriente capacitiva. Desde luego, un aumento de la frecuencia corresponde a un incremento del índice de cambio en el capacitor y un aumento de la corriente del capacitor. Por ende, la corriente en un capacitor es directamente proporcional a la frecuencia (o, de modo más específico, a la velocidad angular) y a la capacitancia del elemento.
Figura 6. Inductor alimentada por una tensión senoidal Sin embargo para la configuración de la figura 8, nos interesa determinar la oposición del capacitor, tal como se relaciona con la resistencia para un resistor y L para el inductor. Puesto que un aumento de la corriente corresponde a un disminución de la oposición e iC es proporcional a y C , la oposición de un capacitor tiene relación directa con la reciproca de
C ó
1 , como se muestra C
en la figura 8. Con palabras cuanto mayor sea la velocidad angular (o la frecuencia) y la capacitancia, tanto menor será la oposición de corriente iC .
Figura 7. Configuración del capacitor A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que se emplearan mas adelante: De la figura 7 del inductor se sabe que:
IC C
dvC dt
Aplicando diferenciación (el calculo)
dvL d Vm senwt wVm cos wt dt dt dv iC C C C wVm cos wt wCVm cos wt dt O bien
iC I m sen wt 90 donde
I m wCVm Obsérvese que el valor pico de iC es directamente proporcional a w y C . Una gráfica de vC e iC en la figura 6 revela que iC se adelanta a vC en 90° o que
vC se retrasa sobre iC en 90°
Figura 8. C : iC se adelanta a vC , por 90° Por lo tanto para:
vC V m sen wt iC wCVm sen wt 90 Al aplicar:
Oposición
causa efecto
Al sustituir los valores, se tiene:
Oposición
Vm V 1 m I m CVm C
1 , llamada reactancia (de la palabra reacción) de un capacitor, se C representa simbólicamente mediante X C y se mide en ohms o sea: La cantidad
XL
1 C
La reactancia capacitiva es la oposición al flujo de la carga, que da como resultado el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo eléctrico de un capacitor. Como el inductor, el capacitor no disipa energía en forma alguna (pasando por alto los efectos de la resistencia de fuga). En los circuitos que acabamos de ver, se dio la corriente en el circuito inductivo y la tensión en el capacitivo. Esto se dice con el fin de evitar el empleo de la integración para determinar las cantidades incógnitas. En el circuito inductivo:
diL dt 1 iL vL dt L vL L
Y en el circuito capacitivo
iC C
dvC dt
Sin embargo
vC
1 iC dt C
En resumen debemos considerar un método para el análisis de circuitos de ca que nos permita resolver para determinar una cantidad desconocida con entrada senoidal, sin tener que utilizar la derivación o la integración directa.
Es fácil determinar si un circuito con uno o mas elementos es predominante capacitivo o inductivo tomando nota de las relaciones de fase entre la corriente y la tensión de entrada. Si la corriente se adelanta a la tensión, el circuito será primordialmente capacitivo y si la tensión se adelanta a la corriente será inductivo. Puesto que ya tenemos una ecuación para la reactancia de un inductor o un capacitor, no necesitaremos utilizar derivadas o integrales en los ejemplos que se van a considerar. Para completar los ejemplos, bastara una simple aplicación de la ley de Ohm, I m
Em , teniendo en cuenta la relación de fase entre la X L ó X C
tensión y corriente para cada elemento. Problema 1 Se da la tensión en un resistor. Encuéntrese la expresión senoidal para la corriente si el resistor es de 10 . Bosquéjese las curvas v e i con el ángulo (t ) como abscisa. a. v 100sen 377 t b. v 25sen 377t 60 Solución
Figura 10.
Gráfica de Voltaje e corriente
Inciso a
i
v 100 sen 377 t R 10
y i 10sen 377 t Las curvas se muestran en la figura 10 Inciso b
i
v 25 sen 377t 60 R 10
y i 2.5sen 377t 60 Las curvas se presentan en la figura 11
Figura 11.
Curvas de voltaje e corriente
Problema 2 Se da la corriente que pasa por una bobina de 0.1H. Encuéntrese la expresión senoidal para la tensión que existe en la bobina. Bosquéjese las curvas v e i . a. i 10sen 377 t b. i 7 sen 377t 70
Soluciones Inciso a
X L L 37.7
Vm I m X L 10 37.7 377V Y sabemos que para una bobina, v se adelanta a i en 90°:
v 377sen 377t 90 Las curvas se muestran en la figura 12
Figura 12.
Curva de corriente e voltaje
Inciso b
X L 37.7
Vm I m X L 7 37.7 263.9V Y se sabe que, para una bobina, v se adelanta a i en 90°:
v 263.9sen 377t 70 90 y v 263.9sen 377t 20 Las curvas se indican en la figura 13
Figura 13.
Curvas de corriente e voltaje
Problema 3 Se da la tensión que existe en un capacitor de 1uF . ¿Cuál es la expresión senoidal para la corriente? Trácese las curvas v e i .
v 30sen 400 t Solución
XC
1 1 106 2500 C 400 1 106 400
Im
Im 30 0.0120 A 12.0mA X C 2500
Y sabemos que para un capacitor, i se adelanta a v en 90°:
i 12 103 sen 400t 90 Las curvas se dan en la figura 14
Figura 14.
Curva de voltaje e corriente