EXAMEN DEPARTAMENTAL TIPO A ECUACIONES DIFERENCIALES
Segundo Departamental
1GM6 2 Departamental Autor: Gerson Villa González
[EXAMEN DEPARTAMENTAL TIPO A ECUACIONES DIFERENCIALES] 2 Departamental
Coeficientes Indeterminados, Método se Superposición Problema 1 Resuelva las indeterminados.
ecuaciones
diferenciales
por
coeficientes
y '' 5 y ' 2 x3 4 x 2 x 6 Solución Tenemos que
m2 5m 0 m m 5 0 m1 5, m2 0 Entonces la solución complementaria seria:
yc c1e5 x c2 Asumimos que la solución particular es la siguiente dado que
g ( x) 2 x3 4 x 2 x 6 y p Ax 4 Bx3 Cx 2 Dx Encontramos la primera y segunda derivada de la solución particular y la sustituimos dentro de la ecuación diferencial y tenemos
y ' p 4 Ax3 3Bx 2 2Cx D y '' p 12 Ax 2 6 Bx 2C
Geología
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y '' 5 y ' 2 x3 4 x 2 x 6
12 Ax 2 6 Bx 2C 5 4 Ax3 3Bx 2 2Cx D 2 x3 4 x 2 x 6 12 Ax 2 6 Bx 2C 20 Ax3 15Bx 2 10Cx 5D 2 x3 4 x 2 x 6 20 Ax3 12 A 15B x 2 6 B 10C x 5D 2 x3 4 x 2 x 6 20 A 2 A 1 / 10 12 A 15B 4 12 1 / 10 15B 4 15B 14 / 5 B 14 / 75 6 B 10C 1 6 14 / 75 10C 1 28 / 25 10C 1 10C 53 / 25 C 53 / 250 2C 5D 6 2 53 / 250 5D 6 53 / 125 5D 6 5 D 697 / 125 D 697 / 625 Por lo tanto la solución particular es
yp
1 4 14 3 53 2 697 x x x x y 10 75 250 625
Por lo tanto la solución general es
y c1e5 x c2
1 4 14 3 53 2 697 x x x x 10 75 250 625
Coeficientes indeterminados. Método Anulador Problema 2 Resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método anulador
y '' y 8cos 2 x 4senx y 1, y ' 0 2 2
Geología
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Solución Tenemos que
y '' m 2 y '' y 0 y ' m m2 1 0 m1,2 i m1 i, m2 i Por lo tanto la solución complementaria es:
yc c1 cos x c2 senx Obteniendo el operador diferencial que anula la función
g ( x) 8cos 2 x 4senx Tenemos que el siguiente
D2 1 D2 4 Lo aplicamos a la ecuación diferencial para obtener una en términos del operador
2 2 m2 1 m2 4 0
D2 1 D2 4 D2 1 y D2 1
2
D2 4
2
y 0
m1 i, m2 i, m3 2i, m4 2i Por lo tanto la solución es
y c1 cos x c2 senx c3 x cos x c4 xsenx c5 cos 2 x c6 sen2 x Solución Particular
Geología
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Y la solución particular sería
y p Ax cos x Bxsenx C cos 2 x Dsen2 x Sustituyendo la primera y segunda en la ecuación diferencial tenemos y ' p Axsenx A cos x Bx cos x Bsenx 2Csen 2 x 2 Dsen 2 x y '' p Ax cos x Asenx Asenx Bxsenx B cos x B cos x 4C cos 2 x 4 D cos x y '' p Ax cos x 2 Asenx Bxsenx 2 B cos x 4C cos 2 x 4 D cos x
y '' y 8cos 2 x 4 senx Ax cos x 2Asenx Bxsenx 2 B cos x 4C cos 2 x 4 D cos x Ax cos x Bxsenx C cos 2 x Dsen 2 x 8cos 2 x 4 senx 2 Asenx 2 B cos x 4 D cos x 3C cos 2 x Dsen 2 x 8cos 2 x 4 senx 2 A 4 A 2 2B 4D 0 2B 0 B 0 3C 8 C 8 / 3 D0
Por lo tanto la solución general es:
8 y c1 cos x c2 senx 2 x cos x cos 2 x 3 Utilizando las condiciones iniciales
y 1 2
Geología
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8 1 c1 cos c2 sen 2 cos cos 2 2 2 2 2 3 2 8 1 c2 3 y ' 0 2
16 sen 2 x 3 16 0 c1sen c2 cos 2 sen 2cos sen 2 2 2 2 2 2 3 2 0 c1 y ' c1senx c2 cos x 2 xsenx 2cos x
Por lo tanto los valores de los constantes son los siguientes c1 y c2 11 / 3
En conclusión la solución dada las condiciones es
y cos x
11 8 senx 2 x cos x cos 2 x 3 3
Variación de Parámetros Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.
2 y '' y ' y x 1 y (0) 1 y '(0) 0
Solución
Geología
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m 2 y '' 2 y '' y ' y 0 m y ' 2m 2 m 1 0
2m 1 m 1 0 m1 1 / 2, m2 1
Por lo tanto la solución complementaria seria
yc c1e x /2 c2e x Y por lo tanto el Wroskiano es
e x /2 W e
x /2
2
e x x x /2
e x
e e
Identificando a f ( x)
e x /2 e x /2 3 x /2 e e e x /2 2 2 2 x
x 1 2
nosotros obtenemos
x 1 e x x y2 f ( x ) 2 2e x 1 1 x /2 e x 1 u '1 x /2 3 x /2 6 3 W e e 2 x 1 e x /2 2e x /2 x 1 1 x y1 f ( x) 2 u '2 e x 1 x /2 3 x /2 6 3 W e e 2
Entonces integramos ambas funciones y tenemos
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1 x /2 ' u 1 3 e x 1 dx 1 1 u1 xe x /2 dx e x /2 dx 3 3 Integración por Partes
Integración directa
2 2 2 u1 e x /2 e x /2 x 2 u1 e x /2 x 3 3 3 3 1 u ' 3 e x 1 dx x
2
1 1 x u2 xe x dx e dx 3 3 Integración por Partes
Integración directa
1 1 1 u2 e x e x x 1 xe x 3 3 3
Y por lo tanto la solución particular es
y p u1 y1 u2 y2 2 1 y p e x /2 e x /2 x 3 e x xe x 3 3 2 1 y p x 3 x y p x 6 3 3 Por lo tanto la solución general es
y yc y p y c1e x /2 c2e x x 6 Dada las condiciones iniciales
y (0) 1 y '(0) 0 Tenemos Geología
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y (0) 1
1 c1e0/2 c2e 0 0 6 1 c1 c2 6 c1 c2 7
y '(0) 0 1 y ' c1e x /2 c2e x 1 2 1 0 c1e0/2 c2e0 1 2 1 1 0 c1 c2 1 c1 c2 1 2 2 Por lo tanto los valores de las constantes son
c1
16 5 , c2 3 3
Por lo tanto la solución dada las condiciones es
y
16 x /2 5 x e e x6 3 3
Use la sustitución x et para transformar la ecuación respectiva de Cauchy – Euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación con las condiciones de valor inicial, en el intervalo ,0
x 2 y '' 9 xy ' 25 y 0 Solución Utilizamos la sustitución
x et ó t ln x Utilizamos la regla de la cadena Geología
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dy dy dt dt dt dx Por lo tanto la primera y segunda derivada es
dy dy 1 dx dt x d 2 y 1 d 2 y dy dt 2 x 2 dt 2 dt Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos
x 2 y '' 9 xy ' 25 y 0 1 d 2 y dy dy 1 x 2 2 9x 25 y 0 x dt dt dt x 2
d2y
dy dy 9 25 y 0 dt dt 2 dt
d2y dt 2
10
dy 25 y 0 dt
Encontrando la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial tenemos
m2 10m 25 0
m 5 m 5 0 Por lo tanto sus raíces son: m1 m2 5
Por lo tanto la solución complementaria es en términos de t
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y c1e5t c2te5t t ln x y c1e5ln x c2 ln xe5ln x 5
5
y c1eln x c2 ln xeln x y c1 x 5 c2 x5 ln x
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