EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES Separación de Variables Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por separación de variables
(a 2 y 2 )dx 2 x ax x 2 dy 0, y(a) 0 Solución Separando variables de la ecuación diferencial tenemos que
(a 2 y 2 )dx 2 x ax x 2 dy 0 (a 2 y 2 )dx 2 x ax x 2 dy dx dy 2 (a y 2 ) 2 x ax x 2 dx 2 x ax x 2
dy 0 a y2 2
Integrando tenemos
2x
dx ax x 2
2
dy y2
0 ...................(1)
2 Sustitución Trigonometrica
1 Cambio de Variable
1
a
1 dt Sea x dx 2 t t 2 x ax x dx
2
Reemplazando en la integral tenemos
2x
dx
dx
a 2 x x 1 x dt 2 dx t 2 a 1 2 a 2x 1 2 1 x t 1 t ax x
2
2
t2 dt 2 dt 2t ta 1 2 ta 1
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Resolviendo la integral
dt 1 1/2 at 1 dt 2 2 ta 1
1 at 1 2a 1 2
1/2
at 1
1/2
a
1/2
1 a 1 x t 1/ x a
2
..............(2)
dy a y2 2
1 y tan 1 ...........(3) a a Sustituimos (3), (2) en (1) y tenemos que 1/2
1 a 1 x a
1 y tan 1 C , con y( a) 0; x a, y 0 a a
1 0 tan 1 C C 0 0 C 0 a a
1/2
1 a 1 a a
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Por lo tanto tenemos que 1/2
1 a 1 x a
1 y tan 1 0 a a 1/2
1 a 1 1 x 1 y tan a a a
1 1/2 a 1 y x a tan a a a 1/2
1 y a tan a 1 x
Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a Ellas Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por el método de ecuaciones homogéneas.
y'
2 xy 3x 2 y 2
Solución
2 xydx 3x 2 y 2 dy 0 , es homogénea entonces: Utilizamos y ux dy udx xdu , reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
2 x 2udx 3x 2 x 2u 2 udx xdu 0 2 x 2udx 3x 2udx 3x3du x 2u 3dx x 3u 2 du 0 Agrupando términos
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2 x 2udx 3x 2udx 3 x3du x 2u 3dx x3u 2 du 0 x 2 dx 2u 3u u 3 x 3du 3 u 2 0 x 2 dx u 3 u x 3du u 2 3 0 x 2 dx u 3 u x3 du u 2 3
u 3 du x 2 dx 3 x u3 u 2
Integramos ambos lados y tenemos
u 2 3 du x 2 dx x3 u 3 u u 2 3 du dx x u u 2 1 ln x
u2 3 du u u 1 u 1 Fracciones Parciales
Resolvemos la integral de fracciones parciales y tenemos
u2 3 A B C u u 1 u 1 du u u 1 u 1 u2 3 A B C u u 1 u 1 u u 1 u 1 u 2 3 A(u 2 1) Bu u 1 Cu u 1 u 2 3 Au 2 A Bu 2 Bu Cu 2 Cu u2 3 u2 A B C u B C A Esto produce las siguientes ecuaciones
u2 3 u2 A B C u B C A A B C 1 B C 2 B C 0 A3 Si sumamos las primeras dos ecuaciones tenemos que B 1 y C 1 por lo tanto
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u2 3 3 1 1 u u 1 u 1 du u du u 1du u 1du du du du u u 1 u 1 3ln u ln u 1 ln u 1 3
La resolución dela ecuación diferencial seria
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ln x 3ln u ln u 1 ln u 1 C ln x 3ln u ln u 2 1 C
y x y 2 y ln x 3ln ln 1 C x x 2 2 y x y ln x 3ln ln C 2 x x
y ux u
y3 y 2 x2 ln x ln 3 ln C 2 x x y3 x 3 ln 2 x 2 C y x x2 y3 x2 C ln 2 2 x y x2 y3 ln 2 C 2 y x Aplicamos una exponencial de ambos lados
e
y3 ln 2 2 y x
eC
y3 C y3 C y 2 x2 y 2 x2
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