Separacion de variables y homogeneas tipo 2

EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES Separación de Variables Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por separación de variables

 x  y

2

y '  a2

Solución Realizando un cambio de variable tenemos que

z  x y y' 

dz  1 y '  dx

dz 1 dx

Reemplazando el cambio de variable en  x  y  y '  a 2 tenemos entonces 2

 dz  z 2   1  a 2 Separando las variables  dx 

dz a2 1  2  dx z 2 dz a  z 2   dx z2 z 2 dz   a 2  z 2  dx  z2 dz  dx   a2  z 2  Integramos ambos lados y tenemos

z2   a 2  z 2 dz



 dx Integracióndirecta

Integración por sustitucion trigonometrica

z2  a 2  z 2 dz   dx  z z  a tan 1    x  k a

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES Haciendo la regresión por el cambio de variable a la variable original

 x y x  y  a tan 1   xk   a   x y y  k  a tan 1    a  yk k  x y  tan 1    C   a a  a  y  x  y  a tan   C  a  Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a Ellas Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por el método de ecuaciones homogéneas.

y

4

 3x 2  dy   xydx

Solución Realizamos un cambio de variable

y  z 

dy   z  1 , dz

Reemplazando en la ecuación diferencial de primer orden

y z

4

 3x 2  dy   xydx 

4

 3x 2   z 1dz   xz dx   z 5 1  3x 2 z 1   dz   xz dx

De este último término realizamos lo siguiente con la potencias en z

5  1    1  4  2   

1 2

Sustituyendo el valor de  tenemos que 1  1  5 12 1 1  1  x 5 1 2  1 x 2 2   2 z  3 x z  dz   xz dx  z  3 x z dz   xz dx         2    1 1 x  32 2 2  1  2  z  3x z    dz   xz dx  Es homogenea   2 

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

z

4

z

2

 3 x 2   z 1dz   xz  dx ;  

1 2

1   3 x 2    z 2 dz   xz 2 dx  2 1

1

1

z

2

 3 x 2  dz  

2 xz 2 z

z

2



1 2

dx 

 3 x 2  dz  2 xzdx

Por lo tanto esta última ecuación es homogénea Tenemos que

x  uz  dx  udz  zdu Entonces

z

2

 3u 2 z 2  dz  2 z 2u  udz  zdu  

z 2 dz  3u 2 z 2 dz  2 z 2u 2 dz  2 z 3udu  z 2 dz  3u 2 z 2 dz  2 z 2u 2 dz  2 z 3udu  0  z 2 dz 1  3u 2  2u 2   2 z 3udu  0  z 2 dz 1  u 2   2 z 3udu  z 2 dz udu   2z3 1  u2 dz 2udu  z 1 u2 Integrando este último término tenemos



dz 2udu dz 2udu  C      C  ln z  ln  u 2  1  2 2 z 1 u z  1  u  1

ln z  ln  u 2  1 Pero con u 

x , z  y 2 tenemos que: z

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

  x 2  ln  y   ln   2   1  C   y     2

 x2  y 4  2 2 4 4 ln  y 2   ln    C  ln  y   ln  x  y   ln  y   C  4 y   ln  y 2   ln  y 4   ln  x 2  y 4   ln C  ln  y 2 y 4   ln  x 2  y 4   ln C  e



ln y 2 y 4



e





ln x 2  y 4 C



y 2 y 4   x2  y 4  C  y6   x2  y 4  C  y 6C 1  x 2  y 4   C  C 1  ln C Cy 6  y 4  x 2

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