Solución 2 examen departamental ago sep 2013

SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CÁLCULO VECTORIAL

Nombre Grupo: 1GM4 Calculo Vectorial Fecha: 16-10-2013 Instrucciones  

El examen esta ponderado al 60% Debes de contestar todos los problemas

Curvas Espaciales Determine T, N,



para las curvas espaciales del ejercicio siguiente:

1. r (t )  (cosht)i (senht) j tk Solución

r   cosh t  i   senht  j  tk  v   senht  i   cosh t  j  k  v  senh 2t    cosh t   1  2 cosh t  2

T

v  1 1   1   tanh t  i  j sec ht  k  v  2 2   2 

dT  1   1   sec h 2t  i   sec ht tanh t  k  dt  2   2  dT 1 1 1  sec h 2t  sech 2 t tanh 2 t  sec ht  dt 2 2 2  dT    dt   N   sec ht  i   tanh t  k ;  dT dt



1 dT 1 1 1    sec ht  sec h 2t v dt 2 2cosht 2

Límites con dos variables Encuentre los límites de los siguientes ejercicios: 1.

lim

 x , y  0,ln 2 

e x y 1

SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CÁLCULO VECTORIAL

Solución

lim

 x , y  0,ln 2 

e

x y

e

0ln 2

e

1 ln   2



1 2

Derivadas parciales cruzadas Verifique que wxy  wyx 1. w  e  x ln y  y ln x x

Solución

w y w x 2w 1 1 2w 1 1 x  e  ln y  ,   ln x,   ,   x x y y yx y x xy y x Calculo de derivadas parciales de segundo orden Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de los siguientes ejercicios 1. h( x, y)  xe  y  1 y

Solución

h h  2h  2h  2h  2h  e y ,  xe y  1, 2  0, 2  xe y ,   ey x y x y yx xy Derivación implícita 1. Determine el valor de z / x

en el punto (1,1,1) , si la ecuación

xy  z 3 x  2 yz  0 define a z como función de las dos variables independientes x y y , y la derivada parcial existe.

Solución

z  z z  y   3z 2  x  z 3  2 y  0   3xz 2  2 y    y  z 3  x  x x  z z con 1,1,1 nosotros tenemos  3  2   1  1 ó  2 x x

2

SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CÁLCULO VECTORIAL

Evaluación de integrales polares Cambie la integral por una integral polar equivalente. Luego evalué la integral polar.

1

1.

1 x 2

2

 

1  1 x

1  x2  y 2 

2

2

dydx

Solución 1 x 2

1

 

1  1 x 2

 /2 1

4 0



2

1  x2  y 2 

dydx   /2

2r

2 0 1  r 

2

2

drd  4  0

 /2

1

1     1  r 2  d  2  d   0 0

3