CALCULO VECTORIAL
r(t) Es la posición de una partícula en el plano xy en el instante t . Encuentre una ecuación en " x " cuya gráfica sea la trayectoria de la partícula. Luego determine los vectores velocidad y aceleración de la partícula en el valor dado de t
r(t) cos 2t i 3sen2t j,t 0 Solución Tenemos que las ecuaciones paramétricas del radio vector son:
x cos 2t
y 3sen2t
y sen2t 3
(1.1) (1.2)
Consideramos la ecuación de una circunferencia debido a las ecuaciones paramétricas que tenemos
x2 y2 r 2
(1.3)
Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la ecuación de la circunferencia y tenemos
cos 2t
2
sen2t
2
2
y 1 x 1 3 2
2
y2 x 1 9 2
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CALCULO VECTORIAL
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CALCULO VECTORIAL
Por lo tanto el vector velocidad es:
v
dr 2sen2t i 6cos2t j dt
Además el vector aceleración es:
a
dv 4cos2t i 12sen2t j dt
Evaluando el vector velocidad y la aceleración en t 0 tenemos:
v(t) 2sen2t i 6 cos 2t j v(0) 2sen2(0) i 6 cos 2(0) j v(0) 6 j a(t) 4 cos 2 t i 12sen2t j a(0) 4 cos 2 0 i 12sen2 0 j a(0) 4i Calcule la distancia del punto P( 1,4,3) a la recta
: x 10 4t,y 3,z 4t
Solución Tenemos que la fórmula de la distancia de un punto a una recta es:
d
PS v v
Consideramos que S 1,4,3 ,P(10,3,0) y v 4i 4k Esto implica que
i
j
k
PS v 11 7 3 i 4
0 4
7 3 0 4
j
11 3 4
4
k
11 7 4
0
PS v i 21 0 j 44 12 k 28 PS v 21i 56j 28k Página 3|5
CALCULO VECTORIAL
Sustituyendo en la formula
d
PS v v
21i 56j 28k 4i 4k
212 562 282 42 42
2793 9.34 32
d
Calcule la distancia del plano x 2y 6z 1 al plano x 2y 6z 10 Solución Hacemos en el primer plano y z 0 y tenemos que
x 2y 6z 1 x 1 P(1,0,0) Y el vector normal en el segundo plano es
n 1,2,6 Sustituyendo en la formula tenemos
d
ax 0 by 0 cz0 d
a b c 9 9 d 1 4 36 41 2
2
2
d
11 2 0 6 0 10 1 2 6 2
2
2
Calcule la distancia de la recta x 2 t,y 1 t,z
1 1 t 2 2
al plano
x 2y 6z 10 Solución Primero verificamos que sea paralela la recta al plano con la propiedad del producto punto
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CALCULO VECTORIAL
1 v n i j k i 2j 6k 1 2 3 0 2 Por lo tanto en la línea recta hallamos un punto haciendo t 1 y tenemos que
x(0) 2 ( 1) 1 x 1 t 0 y(0) 1 ( 1) 0 y 0 1 1 z(0) ( 1) 0 z 0 2 2 Y tenemos el punto S(1,0,0) En su contraparte en el plano hallamos un punto haciendo y z 0
x 2y 6z 10 x 2(0) 6(0) 10 x 10 Y tenemos el punto P(10,0,0) Encontramos el vector PS 1 10,0 0,0 0 9i La distancia del punto S al plano es
d PS
n n
9 9 1 4 36 41
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