CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Calcular los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones así como donde es creciente y decreciente a. x 5x 5
4
Solución Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la primera derivada
y'(x) 5x 4 20x 3 y'(x) 5x 3 x 4 Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:
x1 0;x 2 4 Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local. Conjuntos
Valor de
x
y'(x) 5x 3 x 4
Creciente/Decrecient
f' 0 o f' 0
e
,0
x 1
y'(x) 5 1 1 4
Creciente
f' 0
0,4
x2
y'(x) 5 2 2 4
Decreciente
f' 0
4,
x5
y'(x) 5 5 5 4
Creciente
f' 0
3
3
3
Por lo tanto en x1 0 tenemos un Máximo Local en 0,0
y(x) x 5 5x 4 y 0 0 5 0 0 5
4
Por lo tanto en x 2 4 tenemos un Máximo Local en 4, 256
Página 1|4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
y(x) x5 5x 4 y 4 4 5 4 256 5
4
Su grafica seria:
b. x 2
a4 x2
c. Solución Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la primera derivada
y'(x) 2x2 2a4 x 3 y'(x) 2x 3 x 4 a4
Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:
x1 0;x 2 a
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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local. Conjuntos
Valor de
,0 0,a
y'(x) 2x 3 x 4 a4
x x a
y'(x) 2 a
a x 2
a y'(x) 2 2
3
3
a
4
a4 0
a 4 a4 2
Creciente/Decrecien
f' 0 o f' 0
te ------------------
f' 0
Decreciente
f' 0
Creciente
f' 0
2 a4 16 a4 16a4 4 a 3 16 a3 16 a 8 y'(x) 15a y'(x)
a,
x 2a
2a y'(x) 2 2 y'(x) 2 a
3
3
2a
16a
4
4
a4
a4
y'(x) 30a
Por lo tanto en x1 0 tenemos no tenemos ni un Máximo Local ni Mínimo Local
a4 x 2 x a4 2 0 2 indefinido 0 2
Por lo tanto en x 2 a tenemos un Mínimo Local en a,2a
2
a4 y(x) x 2 x a4 y a a2 2 2a2 a a4 2 y a a 2a2 2 a 2
Página 3|4
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Su grafica seria:
Pรกgina 4|4
x^5-5x^4
Input:
x5 - 5 x4 Plots: y 400 200 x 2
-2
4
-200
Hx from -2 to 4L
-400 -600 y 1 ´ 107 5 ´ 106
x -30
-20
-10
10
20
30
Hx from -30 to 30L
-5 ´ 106 -1 ´ 107
Alternate forms:
x Hx - 5L
Step-by-step solution
4
Hx - 4L5 + 15 Hx - 4L4 + 80 Hx - 4L3 + 160 Hx - 4L2 - 256
Roots:
Step-by-step solution
x 0 x 5
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1
x^5-5x^4
Properties as a real function: Domain:
R Hall real numbersL
Range:
R Hall real numbersL
Surjectivity:
surjective onto R
R is the set of real numbers »
Derivative:
â âx
Step-by-step solution
Ix 5 - 5 x 4 M 5 Hx - 4L x 3
Indefinite integral: 4 5 à I-5 x + x M â x
Approximate form
x
Step-by-step solution
6
- x 5 + constant
6
Local maximum:
max9x 5 - 5 x 4 = 0 at x 0
Local minimum:
min9x 5 - 5 x 4 = -256 at x 4
Definite integral:
More digits 4 5 à I-5 x + x M â x 5
0
3125 » -520.833 6
Definite integral area below the axis between the smallest and largest real roots: More digits 4 5 4 5 à I-5 x + x M ΘI5 x - x M â x 5
0
3125 » -520.833 6
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ΘHxL is the Heaviside step function »
2
x^2+Ha^4 x^2L
Input:
a4
x2 +
x2
3D plot:
Show contour lines
0.6 0.4 0.2 0.0
0.2 0.0x
-0.2 0.0 a
-0.2 0.2
Contour plot: 0.3
0.2
0.1
0.0
x
-0.1
-0.2
-0.3 -0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
a
Alternate forms: 4
a +x
Step-by-step solution
4
x2 a + x4 4
x2
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1
x^2+(a^4/x^2)
Roots:
Approximate forms
x 4
x
4
-1 a ,
-1 a , 3 4
x -H-1L x H-1L
3 4
a¹0 a¹0
a,
a,
a¹0 a¹0
Properties as a real function: Domain:
8x Î R : x ¹ 0<
Parity:
even
R is the set of real numbers »
Derivative:
¶
Step-by-step solution
x2 +
¶x
a
4
x
2
2x -
2a
4
x3
Indefinite integral:
à
a
4
x
2
Approximate form 4
+ x2 â x
x -3a
Step-by-step solution
4
+ constant 3x
Global minima:
min:x 2 +
a4 2
min:x 2 +
x a4 x
2
> 2 a2 for a x
> 2 a2 for x -a
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2
x^2+(a^4/x^2)
Series representations:
a4 x
2
n=-1 ¥
a4 x
¥
+ x2 â
2
¥
+ x2 â
n=-1 ¥
a4 x2
¥
+ x2 â
n=-1 ¥
1 a
n 2 4
1 x2 2
x
x
2
¥
+x â 2
n=-1 ¥
an
n 0
1
n 4 Hn 1 or n 3L
x2 6
x2
a4
n 4
x2 4
x2 1
xn
n -2
n 2
+ x2 n 0
H-1Ln a4 H1 + nL
H-1 + aLn
n>2
1 + H-1L a H1 + nL Hn 0 or n 2L n
4
2 - 2 a4
n 1
H-1 + xLn
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3