CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Aplique la Regla de L’Hopital donde resulte apropiado a. lim x
senx
x 0
Solución Primero evaluamos el límite para determinar el caso y si es posible aplicar L’Hopital
lim x senx 0
sen 0
x 0
00
Además para poder aplicar L’Hopital debemos reescribir el límite a la siguiente forma
y lim x senx ln y ln lim x senx x 0
ln y lim ln x x 0
senx
x 0
~
Trabajamos con el lado derecho del límite
lim ln x senx lim senx ln x x 0 x 0 ln x lim x 0 1 senx En este último término podemos aplicar L’Hopital
1 d dx ln x x lim lim x 0 d x 0 csc x cot x csc x dx 1 lim x 0 x sen2 x lim x 0 1 cos x x cos x lim x 0 senx senx Página 1|7
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Evaluamos en este último término 2 lim sen2 x sen 0 sen2 x 0 lim x0 x 0 lim x cos x 0 cos 0 0 x cos x x 0
Aplicamos L’Hopital una segunda ocasión
d sen2 x 2senx cos x lim dx lim x 0 d x 0 xsenx cos x x cos x dx Evaluamos este último término
lim 2senx cos x
x 0
lim xsenx cos x
x 0
lim sen2x
x 0
0 sen 0 cos 0
lim sen2x
x 0
lim xsenx cos x
x 0
lim sen2x x0 1
lim sen2x x 0
Evaluamos nuevamente
lim sen2x lim sen2x x 0
sen2 0 0
x 0
Por lo tanto tenemos que
ln y 0 eln y e0 y 1
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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
b. lim x0
x ln x
Solución Primero evaluamos el límite para determinar el caso y si es posible aplicar L’Hopital
lim x ln x 0 ln 0 0
x0
Además para poder aplicar L’Hopital debemos reescribir el límite a la siguiente forma
lim x ln x lim
x 0
x 0
ln x 1 x
Por lo tanto aplicamos L’Hopital
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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
d ln x ln x dx lim lim x 0 1 x 0 d 1 x dx x 1 2x 3/2 x lim lim lim 2x1/2 x 0 1 x 0 x 0 x 3
2 x 2
Evaluamos en este último término
lim 2x1/2 2 0
1/2
x 0
0
Encuentre los valores máximos y mínimos absolutos de la función sobre el intervalo dado
f(x) 2x 3 3x 2 4; 2,1 Solución Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la primera derivada Página 4|7
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
y'(x) 6x 2 6x y'(x) 6x x 1 Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:
x1 2,x 2 1,x3 0;x 4 1 Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local. Conjuntos
Valor de
x
, 1
x 2
1,0
x 0.5
0,
x 1
y'(x) 6x x 1
Creciente/Decrecient
y'(x) 6x x 1
Creciente
f' 0
Decreciente
f' 0
Creciente
f' 0
f' 0 o f' 0
e
6 2 2 1
y'(x) 6x x 1 6 0.5 0.5 1 y'(x) 6x x 1 6 11 1
Por lo tanto en x1 2 tenemos un Mínimo absoluto en 2,0
f(x) 2x 3 3x 2 4 f( 2) 2 2 3 2 4 0 3
2
Por lo tanto en x 2 1 tenemos un Máximo absoluto en 1,9
f(x) 2x 3 3x 2 4 f(1) 2 1 3 1 4 9 3
2
Página 5|7
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Por lo tanto en x 3 0 tenemos un Mínimo Local en 0,4
f(x) 2x 3 3x 2 4 f(0) 2 0 3 0 4 4 3
2
Por lo tanto en x 4 1 tenemos un Máximo Local en 1,5
f(x) 2x 3 3x 2 4 f( 1) 2 1 3 1 4 5 3
2
Su grafica seria:
Página 6|7
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Pรกgina 7|7
Take the limit: lim xsinHxL x®0
lim logHxL sinHxL
Indeterminate form of type 00 . Transform using lim xsinHxL ã x®0
:
x®0
lim logHxL sinHxL
ã x®0
logHxL Indeterminate form of type 0×¥, write lim logHxL sinHxL as lim x®0
x®0
1 sinHxL
and apply
L'Hospital's rule: sinHxL2 lim -
ã x®0
x cosHxL
Factor out constants: sinHxL2 - lim
ã
x®0
x cosHxL
sinHxL2 Indeterminate form of type 0 0. Applying L'Hospital's rule we have, lim x®0 âsinHxL2 âx
lim
x®0 âHx cosHxLL âx
exp - lim x®0
: sinH2 xL
cosHxL - x sinHxL
The limit of a quotient is the quotient of the limits: lim sinH2 xL x®0 exp lim HcosHxL - x sinHxLL x®0
The limit of a difference is the difference of the limits: lim sinH2 xL x®0 exp lim cosHxL - lim x sinHxL x®0
x®0
The limit of cosHxL as x approaches 0 is 1: lim sinH2 xL x®0 exp 1 - lim x sinHxL x®0
The limit of a product is the product of the limits: lim sinH2 xL exp -
x®0
1 - Klim xO Klim sinHxLO x®0
x®0
The limit of x as x approaches 0 is 0: - lim sinH2 xL
ã
x®0
Using the continuity of sinHxL at x 0 write lim sinH2 xL as sinKlim 2 xO: x®0
-sin lim 2 x
ã
x®0
Factor out constants: -sin 2 lim x
ã
x®0
The limit of x as x approaches 0 is 0: Answer:
1
x®0
x cosHxL
Take the limit: x logHxL
lim x®0
Indeterminate form of type 0×¥. Let t
1 x
x logHxL lim
, then lim
t®¥
x®0
1 t
log
1 t
: 1
lim
t
t®¥
1 log
t
1 Indeterminate form of type 0×¥, write lim t®¥
log
t
t
logI t M 1
1 as lim t®¥
1
1 t
L'Hospital's rule: 1
lim -2
t
t®¥
Factor out constants: 1
-2 lim
t
t®¥
1 Using the power law, write lim t®¥
-2
t
1 as
lim t®¥
t
:
1 lim t®¥
t
The limit of a quotient is the quotient of the limits: The limit of a constant is the constant: -2
1 lim t t®¥
The limit of t as t approaches ¥ is ¥: Answer:
0
and apply
2x^3+3x^2+4
Input:
2 x3 + 3 x2 + 4 Plots: y 6 5 Hx from -2 to 0.5L
4 3 2 1 x -2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
y 1500 1000 500 x -5
5
Hx from -7.5 to 7.5L
-500 -1000
Alternate forms:
Step-by-step solution
Hx + 2L I2 x - x + 2M 2
H2 x + 3L x 2 + 4
Real root:
Step-by-step solution
x -2 Complex roots:
x x
1 4 1 4
K1 - ä K1 + ä
Approximate forms
Step-by-step solution
15 O 15 O
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1
2x^3+3x^2+4
Roots in the complex plane: ImHxL 1.0
0.5
ReHxL
0.0
-0.5
-1.0 -2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
Properties as a real function: Domain:
R Hall real numbersL
Range:
R Hall real numbersL
Surjectivity:
surjective onto R
R is the set of real numbers »
Derivative:
â âx
Step-by-step solution
I2 x 3 + 3 x 2 + 4M 6 x Hx + 1L
Indefinite integral: 2 3 à I4 + 3 x + 2 x M â x
Approximate form
x
Step-by-step solution
4
+ x 3 + 4 x + constant
2
Local maximum:
max92 x 3 + 3 x 2 + 4= 5 at x -1 Local minimum:
min92 x 3 + 3 x 2 + 4= 4 at x 0
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2