2012
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Fundamentos Matemรกticos
Fundamentos Matemรกticos
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx
Fundamentos Matemáticos Nombre: Grupo: Calculo Vectorial
Calificación Fecha: 31-08-2012
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada reactivo tiene un valor de 2 puntos
Problemas Propuestos Problema 1 En los siguientes ejercicios, efectué las operaciones indicadas para factorizar
4a 2 b3 8a3 b 2 4a 2 b 2 a. 2a b 2a b 2ax bx 4ay 2by 8 b. 4x 8 y 4 x 2 16 y 2 a 5 a 2 a 2 a 2 2a 8 2 2 c. 2 a a a 25 a a 20 d.
x
2k
y
2k
x k 1 xy k
yk 1 xk y
2 x 2 3xy y 2 e.
2 x 2 3xy 2 y 2
x2 y 2 2 x 2 5 xy 2 y 2
Problema 2 Efectué las siguientes operaciones y reducir a su mínima expresión
1
a.
1
1
a b a c b c a b a c c b 2x
b.
8x
x 1 1 x3 1 a 1 c. 3 2 1 a a 1 1 a 3
Fundamentos Matemáticos
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Fundamentos Matemáticos Problema 3 Simplificar cada una de las fracciones complejas siguientes
1 a.
1 1 x 1 1 x ax b y cz a b c b. x y z 3 a b c x
Fundamentos Matemáticos
Página 3
Solucion En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas y simpli…car. 4a2 +b3 8a3 b2 2a b
1:
4a2 b2 2a+b
4a2 +b3 8a3 b2 2a b
)
(2a b)(2a+b) 2a+b
Se cancelan los terminos semejantes arriba y abajo de las fracciones, resultando lo siguiente: 2 2 )= 4a2 + b3 8a3 b2 )4a (1 2a) + b (b 1) 2ax bx+4ay 2by 4x2 16y 2
2:
8 4x 8y
Factorizando tenemos b(x 2y) 8 ) 2a(x+2y) (2x 4y)(2x+4y) 2(2x 4y) Realizando la división tenemos y eliminando terminos semejantes ) ) 3:
2a(x+2y) b(x 2y) (2x 4y)(2x+4y) 8 2(2x 4y)
(x+2y)[2a b] 8(x+2y)
h
2a(x+2y) b(x (2x+4y)
)
)
)
2a(x+2y) b(x 2y) (4)(2)(x+2y)
2a b 8
a2 +a 2 a2 25
a 5 a2 a
2y)
4
a2 2a 8 a2 +a 20
i
Realizamos las factorizaciones correspondientes (a+2)(a 1) (a 4)(a+2) a 5 ) a(a 1) (a 5)(a+5) (a+5)(a 4) Realizamos la división para realizar las reducciones correspondientes 1) 1 ( a 5 (a+2)(a (a 5)(a+2)(a 1)(a+5)(a 4) (a 5)(a+5) ) ) a(a (a1) 4)(a+2) ) a(a 1)(a 5)(a+5)(a 4)(a+2) ) a ( (a+5)(a 4) ) k+1
k
x xy 4: x2k y 2k y k+1 +xk y Realizamos las factorizaciones correspondientes 2k 2k 2k (x2k y2k ) (xk yk )(xk +yk )y(yk +xk ) y 2k ) xxk x xy ) xx(xk yyk ) ) k xk+1 xy k x(xk y k ) y k+1 +xk y k
)
y k y+xk y
k
k
k
y (x +y )(y +x x(xk y k ) 2
2
)
y (y k +xk ) 2 y (xk +y k ) k yk ) x(x ) 2
2
2x +3xy+y x y 5: 2x2 +3xy 2y 2 2x2 5xy+2y 2 Realizamos las factorizaciones correspondientes (2x+y)(x+y) (2x y)(x+2y)
)
(x y)(x+y) (2x y)(x 2y)
(2x+y)(x+y)(2x y)(x 2y) (x+2y)(x+y)(2x y)(x y)
)
)
(2x+y)(x+y) (2x y)(x+2y) (x y)(x+y) (2x y)(x 2y)
(2x+y)(x 2y) (x+2y)(x y)
1
=0
Efectué las siguientes operaciones y reducir a su mínima expresión. 1 1 1 1: (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(c b) Simpli…cando tenemos 2 2 (a c)(c b) (a b)(b c) ac+ab+c2 cb ab+ca+b2 ) bc b c +cb ) (b c)(c(ab) b)(a c)(b c)(c b) (a b)(a c)(b c)(c b)
bc
2: x32x 1 1 8xx3 Simpli…cando tenemos )
2x x3 1
8x ( 1)(x3 1)
)
2x x3 1
+
8x x3 1
10x 1
) x3
1 1 a 1 3: a31 1 + 1 aa2 1 a ) a3 1 a2 1 + a 1 Simpli…cando tenemos (a 1)(a+1)(a 1) a(a3 1)(a 1)+(a3 (a2 1)(a 1) a(a3 1)(a 1)+(a3 1)(a2 1) ) ) (a3 1)(a2 1)(a 1) (a3 1)(a2 1)(a 1) 2 (a+1)(a 1) a(a3 1)+(a3 1)(a+1) a2 1 a4 +a+a4 +a3 a+1 +a3 ) ) ) (a3 a1)(a 2 1) (a3 1)(a2 1) (a3 1)(a2 1)
) 4:
a2 (1+a) (a3 1)(a2 1)
)
a2 (1+a) 1)(a 1)(a+1)
(a3
) (a3
a2 1)(a 1)
1 x+
1 1+ 1+x 1 x
Simpli…cando tenemos )
1 x+
1 x+1+x 1 x
1
a
x
+b
y
) +c
1 x+ 1
1 2
x
)
1 x+ 1 2 x
)
2
1 2x+1 2
x
) x+1
z
a b c 5: : 1 y z x 3 a+b+c Simpli…cando tenemos bc(a
) )
x)+ac(b y)+ab(c (a)(b)(c) xbc+yac+zab 3abc (a)(b)(c)
3abc bcx acy abz xbc+yac+zab 3abc
z)
)
)
bc(a x)+ac(b y)+ab(c z) xbc+yac+zab 3abc
( 1)( 3abc+bcx+acy+abz) xbc+yac+zab 3abc
2
)
) 1
bca bcx+acb acy+abc abz xbc+yac+zab 3abc
1)(a 1)(a+1)