[ECUACIONES HOMOGENEAS] Unidad I
Soluciones por Sustitución Para resolver una ecuación diferencial, primero identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable, por ejemplo), y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de la ecuación que produzca una función suficientemente diferenciable la cual satisfaga la ecuación. A menudo comenzamos transformando una ecuación diferencial dada a en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Ecuaciones Homogéneas. Cuando una función f f tx, ty t f x, y , para un número real
tiene la propiedad
se dice que f
es una
función homogénea de grado . Por ejemplo: f x, y x3 y3 Es homogénea de grado 3 porque:
f tx, ty tx ty t 3 x3 y3 t 3 f x, y 3
3
Mientras que f ( x, y) x3 y3 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
(1.1)
Es homogénea si los coeficientes M y N a la vez son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras la ecuación (1) es homogénea si: M tx, ty t M x, y N tx, ty t N ( x, y )
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Además si M y N son funciones homogéneas de grado , también es posible escribir: M ( x, y ) x M (1, u ) y u x N ( x, y ) x N (1, u )
Ó M ( x, y ) y M (v,1) x v y N ( x, y ) y N (v,1)
Las propiedades anteriores parecen indicar las sustituciones que se pueden hacer para resolver una ecuación diferencial homogénea. En forma especifica, algunas de las sustituciones y u / x ó x vy donde y v son nuevas variables dependientes, esto reducirá una u ecuación homogénea a una ecuación diferencial de variables separables de primer orden. Por lo tanto las sustituciones sugeridas serán las siguientes: y ux dy udx xdu x vy dx vdy ydv
Ejemplos Problema 1 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. x
dy y x2 y 2 dx
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Solución Haciendo y ux tenemos dy y x2 y 2 dx con y ux dy udx xdu x
dy x2 y 2 y dx xdy x 2 y 2 y dx x
x 2 y 2 y dx xdy 0 x 2 u 2 x 2 y dx x udx xdu 0 x 2 u 2 x 2 dx uxdx xudx x 2du 0 x 2 1 u 2 dx x 2du 0 x 1 u 2 dx x 2du 0 x 1 u 2 dx x 2du dx du x 1 u2
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Integramos ambos lados dx x
du 1 u2
u tan , du sec2 d 2 2 1 tan 2 sec
sec2 d 1 u2 u sec sec d ln sec tan ln 1 1 ln x ln 1 u 2 u c1 ln 1 u 2 u ln x c1 1 u2 u ln c1 x ln
e
1 u 2 u x
ec1
Aplicamos una exponencial de ambos lados para eliminar el logaritmo natural ec c1 1 u2 u c 1 u 2 u xc x u
y2 y 1 2 cx x x
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Por lo tanto haciendo las reducciones pertinentes a la función tenemos lo siguiente y y2 1 2 cx x x y x
x2 y 2
y x
x2 y 2
y x
x2 y 2 y x2 y 2 cx cx y x 2 y 2 c x x
x
x
2
2
cx cx
Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea, con alguna sustitución adecuada de valores iniciales
x ye y / x dx xe y / xdy 0, y(1) 0 Solución Tenemos xdx ye y / x xe y / x dy 0
Haciendo y ux dy udx xdu
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xdx uxeu dx xeu udx xdu 0 xdx uxeu dx xeu udx x 2eu du 0 xdx x 2eu du dx eu du x Integrando ambos lados tenemos dx u u x e du ln x e c u y / x ln x e y / x c
Usando las condiciones iniciales x 1 y (1) 0 y 0 ln 1 e0/1 c 0 1 c c 1 Por lo tanto la solución particular será ln x e y / x 1
Problema 3 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. dy y x dx y x
Solución Tenemos u y / x y ux dy udx xdu
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udx xdu ux x du x u 1 u x dx ux x dx x u 1 ux x
du u 1 du u 1 x u dx u 1 dx u 1
du u 1 u u 1 du u 1 u 2 u x dx u 1 dx u 1
2 du 1 u 2 du 1 1 u x x dx u 1 dx u 1
u 1 u2 1
du
dx x
Integramos ambos lados u 1
dx x 2
u 2 1du
1 1 Tenemos dos integrales u tan du sec2 d caso u 2 1 a 2 du 2 u 1 u 1 sec2 tan 1 u 1
sec2 d 1 sec d tan u
b
u u2 1
du
u dw 1 dw 1 1 ln w ln u 2 1 w 2u 2 w 2 2
wu 2 1 dw 2udu dw du 2u
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Por lo tanto 1 ln x ln u 2 1 tan 1 u c 2 u y / x 1 y2 y ln x ln 2 1 tan 1 c1 2 x x Multiplicamos por 2 toda la ecuación y tenemos: 2ln x ln ln x ln 2
y2
1 y 1 2 tan 2c1 2 x x
y2
1 y 1 2 tan 2c1 x x2
2c1 c y cuando tenemos la suma de dos logaritmos, tambien lo podemos representar como un producto y2 y ln 2 1 x 2 2 tan 1 c x x y 2 x2 2 y ln x 2 tan 1 c x2 x y ln x 2 y 2 2 tan 1 c x
Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva sea homogénea, si lo es resuélvala, resuélvala. 1. ax2 2bxy cy 2 y ' bx 2 2cxy fy 2 ; sol. fy3 3cxy 2 3bx 2 y ax3 c 2.
y
3.
y - xy '
4
3x 2 dy xydx sol. x 2 y 4 cy 6 2
x 2 y 2 ; sol. y x 2 y 2 k
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