Medición e Instrumentación Tipos de Error Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir cual es la exactitud real y como se generan los diferentes errores en las mediciones. Un estudio de los errores es el primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer la exactitud de los resultados finales. Lo errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo general se clasifican en tres categorías principales: Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como la mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, así como equivocaciones en los cálculos. Errores Sistemáticos: se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario. Errores Aleatorios: ocurren por causas que no se pueden establecer directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en los sistemas de medición. Cada uno de estos tipos de errores se analizan brevemente y se sugieren algunos métodos para su reducción o eliminación. Errores Graves Se deben principalmente a fallas humanas en la lectura o en la utilización de los instrumentos, así como en el registro y cálculo de los resultados de las mediciones. Cuando el hombre participa en las mediciones, se comete inevitablemente algunos errores graves. Aunque probablemente es imposible la eliminación total de éstos se debe anticiparlos y corregirlos. Algunos de estos errores se detectan con facilidad pero otros son muy evasivos. Un error común y frecuente entre principiantes es el uso inapropiado de un instrumento. En Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación general las condiciones de funcionamiento de los instrumentos indicadores cambian cuando se conectan a un circuito de tal modo que la cantidad medida se altera según el método empleado. Por ejemplo un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura errónea cuando se conecta a través de dos puntos en un circuito de alta resistencia (ejemplo 1). El mismo dispositivo conectado en un circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable (ejemplo 2). Estos casos indican que el voltímetro adquiere un “efecto de carga” en el circuito, lo cual altera el estado original en el proceso de medición. Ejemplo 1 En un voltímetro con sensibilidad de 1000 / V se lee 100V, en su escala de 150 V conectado a través de una resistencia desconocida en serie con un miliamperímetro. Cuando el miliamperímetro indica 5mA, calcúlese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b) el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto de carga del voltímetro.
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Medición e Instrumentación Solución Planteamiento del Problema
Inciso a La resistencia total del circuito equivale a RT
VT 100V 20k IT 5mA
Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la resistencia desconocida es Rx 20k Inciso b La resistencia del voltímetro equivale a RV 1000
150V 150k V
Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia desconocida, cabe escribir.
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Medición e Instrumentación Rx
RT RV 20 150 23.07k RV RT 130
Inciso c
real aparente 23.07k 20k 100% 100% real 23.07k % Error 13.23% % Error
Ejemplo 2 Repítase el ejemplo 1 pero ahora el miliamperímetro indica 800mA y en el voltímetro se lee 40 V en su escala 150 V. Solución Planteamiento del Problema
Inciso a La resistencia total del circuito equivale a RT
VT 40V 50 IT 0.8 A
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Medición e Instrumentación Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la resistencia desconocida es Rx 50 Inciso b La resistencia del voltímetro equivale a RV 1000
150V 150k V
Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia desconocida, cabe escribir. Rx
RT RV 50 150k 50.1 RV RT 149.95k
Inciso c
real aparente 50.1 50 100% 100% real 50.1 % Error 0.2% % Error
Los errores debidos al efecto de carga del voltímetro se evitan utilizándolo inteligentemente. Un gran número de errores graves son atribuidos a descuidos o malos hábitos como lecturas inapropiadas de un instrumento, registro de los resultados en forma diferente a las lecturas obtenidas o ajuste incorrecto de los instrumentos. Considérese el caso de un voltímetro de escalas múltiples que usa un solo conjunto de marcas de escalas con diferentes números de designación para varias escalas de voltaje. Es fácil emplear una escala que no corresponde a la establecida en el selector de escala del instrumento. Otro grave error puede ocurrir cuando el instrumento no esta ajustado a cero antes de tomar la medición; entonces todas las lecturas están mal. Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación Errores como estos no se pueden tratar a nivel matemático; se evitan teniendo cuidado en la lectura y registro de los datos de medición. Una buen practica es efectuar mas de una lectura de la misma cantidad, de preferencia por diferentes observadores. Nunca dependa solo de una lectura, tómese un mínimo de tres lecturas separadas, preferentemente en condiciones en que los instrumentos se enciendan para hacer la medición. Errores sistemáticos Por lo general se dividen en dos categorías: 1) Errores instrumentales, referentes a los defectos de los instrumentos, y 2) Errores ambientales, debidos a las condiciones externas que afectan las mediciones. Los errores instrumentales son inherentes a los instrumentos de medición a causa de su estructura mecánica. Por ejemplo, en el galvanómetro D’Arsonval, la fricción de los cojinetes de varios componentes móviles puede causar lecturas incorrectas. La tensión irregular de los resortes o estiramiento del mismo; así como una reducción de la tensión debido al manejo inapropiado o sobrecarga del instrumento causa errores. En esta clasificación también se incluyen los de calibración, lo que hace que el instrumento de lecturas altas o bajas a lo largo de toda la escala. (El descuido al no ajustar el dispositivo a cero antes de efectuar una medición tiene un efecto semejante). Hay muchas clases de errores instrumentales, según el tipo de instrumento empleado. El experimentador siempre debe tomar precauciones para asegurarse de que el aparato se use y se opere correctamente y no contribuya con errores excesivos para sus propósitos. Las fallas en los instrumentos se pueden detectar Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación verificando si hay comportamiento errático, así como la estabilidad y la reproducibilidad de los resultados. Una forma rápida y fácil de verificar un instrumento es compararlo con otro de las mismas características o con uno más exacto. Los errores instrumentales se pueden evitar: 1. Al seleccionar el instrumento adecuado para la medición particular. 2. Al aplicar los factores de corrección después de definir la cantidad del error instrumental, y 3. Al calibrar el instrumento con un patrón. Los errores ambientales se deben a las condiciones externas que afectan la operación del dispositivo de medición incluyendo las condiciones del área circundante del instrumento, como los efectos de cambio de temperatura, humedad, presión barométrica o de campos magnéticos y electrostáticos; por ejemplo, un cambio de la temperatura ambiente a la cual se usa el instrumento altera las propiedades elásticas del resorte en el mecanismo de bobina móvil y afecta la lectura del instrumento. Las medidas correctivas para reducir estos efectos incluyen aire acondicionado sellado y hermético en ciertos componentes del instrumento, asilar el equipo de campos magnéticos, etcétera. Los errores sistemáticos también se pueden subdividir en estáticos o dinámicos. Los primeros se originan por las limitaciones de los dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. Un error estático se introduce en un micrómetro cuando se aplica presión excesiva al eje al girarlo. Los errores dinámicos se producen cuando el instrumento no responde con suficiente rapidez a los cambios de la variable medida.
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Errores aleatorios Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemáticos se han considerado. En experimentos bien diseñados por lo general se presentan pocos errores aleatorios pero llegan a ser importantes en trabajos de gran exactitud. Supóngase que se monitorea un voltaje con un voltímetro, el cual lee cada media hora. Aunque el instrumento es operado en condiciones ambientales ideales y se calibro antes de la medición, las lecturas varían ligeramente durante el periodo de observación. Esta variación no se puede corregir por ningún método de calibración u otro método de control conocido y no se puede explicar sin una investigación minuciosa. La única forma de compensar estos errores es incrementar el número de lecturas y usar medios estadísticos para obtener la mejor aproximación del valor real de la cantidad medida. Análisis Estadístico El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común ya que permite obtener una determinación analítica de la incertidumbre del resultado final. El resultado de un método de medición se puede predecir con base al muestreo de datos sin tener información detallada de todos los factores de perturbación. Para realizar métodos estadísticos e interpretaciones claras, generalmente se necesita un gran número de mediciones. También los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación con los errores residuales o errores aleatorios, ya que el tratamiento estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones. Teoría de Errores
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Media Aritmética El valor más probable de una variable medida es la media aritmética del numero de lecturas tomadas. Cuando el número de lecturas de la misma cantidad es muy grande, se obtiene la mejor aproximación. En teoría, un número infinito de lecturas daría el mejor resultado, aunque en la practica solo se puede ejecutar un número finito de mediciones. La media aritmética esta dada por la siguiente expresión:
x
x1 x2 x3 x4 .... xn x n n
(1)
Donde x media aritmética x1 , x2 , x3 lecturas tomadas n número de lecturas
El siguiente ejemplo presenta el uso de la media aritmética. Ejemplo 3 Cuatro observadores efectuaron un conjunto independientes de voltaje, que se registraron como:
de
mediciones
117.02V 117.11V 117.08V 117.03V Calcúlese: a. Voltaje Promedio Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación b. Rango del error
Solución Planteamiento del Problema Inciso a E1 E2 E3 E4 N 117.02 117.11 117.08 117.03 117.06V 4
E promedio
Inciso b Rango Emax E promedio 117.11 117.06 0.05V
Pero también Rango E promedio Emin 117.06 117.02 0.04V
El rango promedio de error equivale a
0.05 0.04 0.045V 0.05V 2 Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos exacta. Desviación de la medida Desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética. Si la desviación de la primera lectura, x1 , se llama d1 , y de Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación la segunda lectura, x2 , es d 2 y así sucesivamente, entonces, las desviaciones de la media se expresan como: d1 x1 x
d2 x2 x
d n xn x
(2)
Nótese que la desviación de la media puede tener un valor positivo o negativo y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero. El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de las desviaciones. Ejemplo 4 Seis observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes de corriente y los registraron como 12.8 mA, 12,2 mA, 12.5 mA, 13.1 mA, 12,9 mA y 12.4 mA. Hay que calcular a) media aritmética; b) desviaciones de la media. Solución Planteamiento del Problema Inciso a Con la ecuación (1), la media aritmética es igual a x
12.8 12.2 12.5 13.1 12.9 12.4 12.65mA 6
Inciso b Con la ecuación (2) las desviaciones son:
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Medición e Instrumentación d1 x1 x d1 12.8mA 12.65mA 0.15mA d 2 x2 x d 2 12.2mA 12.65mA 0.45mA d3 x3 x d3 12.5mA 12.65mA 0.15mA d 4 x4 x d 4 13.1mA 12.65mA 0.45mA d5 x5 x d5 12.9mA 12.65mA 0.25mA d 6 x6 x d 6 12.4mA 12.65mA 0.25mA
Nótese que la suma algebraica de todas las desviaciones equivale a cero. Desviación Promedio La desviación promedio es una indicación de la precisión de los instrumentos usados en las mediciones. Los instrumentos altamente precisos producen una desviación promedio baja entre lecturas. Por definición, la desviación promedio es la suma de los valores absolutos de las desviaciones, entre lecturas. El valor absoluto de la desviación es el valor sin respetar el signo. La desviación promedio se puede expresar como: D
d1 d 2 d3 ....... d n d n n
(3)
Ejemplo 5 Calcúlese la desviación promedio para los datos del ejemplo 4. Solución Planteamiento del Problema D
0.15 0.45 0.15 0.45 0.25 0.25 0.283mA 6
Desviación estándar Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática de las desviaciones o desviación estándar es una ayuda muy valiosa. Por definición, la desviación estándar de un número infinito de datos es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas individuales, divididas entre el número de lecturas. Expresada en términos matemáticos: d 2 d 2 2 d32 ......... d n 2 1 n
d
2 n
(4)
n
En la práctica, el número posible de observaciones es finito. La desviación estándar de un numero finito de datos esta dada por d12 d 2 2 d32 ......... d n 2 n 1
d
2 n
n 1
(5)
La ecuación (5) se utiliza en el ejemplo 6. Otra expresión esencialmente para la misma cantidad es la varianza o desviación cuadrática media, la cual es semejante a la desviación estándar excepto que no se le extrae la raíz cuadrada. Por lo tanto varianza(V ) desviación cuadratica media 2
La varianza es una cantidad de gran utilidad en la realización de muchos cálculos, ya que las varianzas son aditivas. La desviación estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable, lo que facilita la comparación de magnitudes. La mayoría de los resultados científicos se expresan en términos de desviación estándar. Probabilidad de Errores Distribución normal de errores
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Medición e Instrumentación En la tabla 1 se presentan 50 lecturas de voltaje tomadas durante pequeños intervalos de tiempo en que se registraron los más cercanos a 0.1 V. El valor nominal de las mediciones de voltaje fue de 100V. Tabla 1. Registro de lecturas de voltaje Voltaje leído (voltios) 99.7 99.8 99.9 100.0 100.1 100.2 100.3 Total de lecturas
Número de lecturas 1 4 12 19 10 3 1 50
Numero de Lecturas 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Numero de Lecturas
99.7
99.8
99.9
100
100.1
100.2
100.3
1
4
12
19
10
3
1
Figura 1. El histograma presenta la frecuencia de ocurrencia de las 50 lecturas de voltaje de la tabla 1. La curva punteada
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Medición e Instrumentación representa el límite de casos del histograma cuando se toma un gran número de lecturas en pequeños incrementos. El resultado de la serie de mediciones puede ser presentado gráficamente como diagrama de bloques o histograma, en el cual el numero de lecturas observadas se grafica cada lectura de voltaje. El histograma de la figura 1, representa los datos de la tabla 1. La figura 1 muestra que al mayor numero de lecturas (19) coincide con el valor central de 100V, mientras las otras lecturas se localizan mas o menos en forma simétrica en uno u otro lado del valor central. Si se toman más lecturas con menores incrementos, digamos 200 lecturas a intervalos de 0.05V, la distribución de observaciones quedaría aproximadamente simétrica alrededor del valor central y el histograma sería caso igual al anterior. Con más datos, tomados en incrementos más y más pequeños, el contorno del histograma sería una curva continua, como la indicada por la línea punteada en la figura 1. Esta curva con forma de campana se conoce como curva de Gauss. En lo más pronunciado y estrecho de la curva, un observador puede establecer que el valor mas probable de lectura real es el valor central o lectura media. La ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio analítico de los efectos aleatorios. Aunque el tratamiento matemático de estos temas va más allá del alcance de estas notas, las siguientes proposiciones se basan en la ley de distribución normal: a. Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de distorsión, llamados errores aleatorios. b. Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos. c. Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos.
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Medición e Instrumentación Por lo tanto cabe esperar que las observaciones de mediciones incluyan más o menos errores en más o menos cantidades iguales, de forma que el error total seria pequeño y el valor medio seria el valor real de la variable medida. Las posibilidades, así como la forma de la curva de distribución de error se pueden establecer de la siguiente manera: a. Son más probables los pequeños errores que los grandes b. Los errores grandes son muy improbables. c. Hay igual probabilidad que ocurran errores positivos y negativos, de manera que la probabilidad de un error dado será simétrica alrededor del valor cero. La curva de distribución de error de la figura 2 se basa en la ley de distribución normal y presenta una distribución simétrica de errores. Esta curva normal se considera como la forma que limita el histograma de la figura 1, en la cual el valor más probable del voltaje real es el valor medio igual a 100V.
Figura 2. Curva para la ley de distribución normal. Las regiones sombreadas indican la región de error probable, donde r 0.6745 Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación Error Probable El área bajo la curva de probabilidad de Gauss de la figura 2, entre los límites y , representa los casos en que difiere de la media por no mas que la desviación estándar. La integración del área bajo la curva dentro de los límites da el número total de casos dentro de estos límites. Para datos distribuidos normalmente, y según la distribución de Gauss, alrededor del 68% de todos los casos queda entre los límites de y de la medida. La tabla 2 expone los valores correspondientes para otras desviaciones, expresados en términos de . Por ejemplo, si se mide un gran numero de resistencias con un valor nominal de 100 y el valor medio encontrado es 100.00 , con una desviación estándar (DE) de 0.20 , el 68% (o dos tercios aproximadamente) del total de las resistencias tiene valores entre los limites de 0.20 a partir de la media. Entonces, hay aproximadamente una probabilidad de dos a una que cualquier resistencia, seleccionada al azar, este dentro de estos limites. Si se requiere tener mayor numero de resistencias de cierta desviación se puede ampliar a un limite de 2 , en este caso 0.40 . De acuerdo con la tabla 2, se incluye el 95% de todos los casos. Y esto da una probabilidad de diez a uno de que alguna resistencia seleccionada al azar quede dentro de 0.40 del valor medio de 100.0 Tabla 2. Área bajo la curva de probabilidad Desviación ,
Fracción del área total incluida
0.6745 1.0 2.0 3.0
0.5000 0.6828 0.9546 0.9972
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Medición e Instrumentación La tabla 2 también indica que la mitad de los casos se incluyen en los limites de desviación de 0.6745 . La cantidad r se llama error probable y se define como error probable r = 06745
(6)
El valor es probable en cuanto que hay igual probabilidad de que alguna observación tenga un error aleatorio no mayor que r . El error probable fue utilizado en trabajos experimentales, sin embargo, actualmente se prefiere la desviación estándar en trabajos estadísticos. Ejemplo 6 Diez mediciones de una resistencia dan: 101.2,101.7,101.3,101.0,101.5,101.3,101.2,101.4,101.3 y 101.1 Supóngase que únicamente están presentes errores aleatorios; calcúlese a) media aritmética, b) desviación estándar de las lecturas; c) error probable.
Solución Planteamiento del Problema Con un numero grande de lecturas una simple tabulación de los datos es muy conveniente y evítese confusiones y equivocaciones. Lectura x
Desviación
d 101.2 101.7 101.3 101.0 101.5 101.3 Teoría de Errores
-0.1 0.4 0.0 -0.3 0.2 0.0
d2 0.01 0.16 0.00 0.09 0.04 0.00 Página 18
Medición e Instrumentación 101.2 101.4 101.3 101.1
-0.1 0.1 0.0 -0.2
x 1013.0 d
1.4
0.01 0.01 0.00 0.04
d
2
0.36
Inciso a x 1013.0 Media aritmética, x 101.3 n 10
Inciso b d2 0.36 Desviación estándar, 0.2 n 1 9
Inciso c Error probable = 0.6745 = 0.6745 0.2 0.1349 En la mayoría de los instrumentos de indicación, la exactitud esta garantizada por un cierto porcentaje de la lectura en plena escala. Los componentes de un circuito (como capacitores, resistores, etc.) están garantizados dentro de cierto porcentaje de su valor nominal. Los límites de las desviaciones de valores especificados se conocen como errores límite o errores de garantía. Por ejemplo, si una resistencia esta dada como 500 10% , el fabricante garantiza que la resistencia queda dentro de los limites de 450 y 550 ; no se especifica una desviación estándar ni un error probable, peor promete que el error no será mayor que los limites establecidos. Ejemplo 7 Teoría de Errores
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Medición e Instrumentación Un voltímetro de 0 150V tiene una exactitud garantizada de 1% de lectura a plena escala. El voltaje medido por este instrumento es 83V. Calcúlese el error límite en porcentaje. Solución Planteamiento del Problema La magnitud del error límite es 0.01150V 1.5V
El porcentaje de error en la indicación del medidor de 83 V es 1.5 100% 1.81% 83
Es importante observar que un medidor esta garantizado para tener una exactitud mucho mayor que el 1% de la lectura a plena escala; pero cuando el medido lee 83 V el error limite se incrementa al 1.81% . Así pues cuando se mide un voltaje más pequeño, el error limite aumenta. Si el medidor indica 60V , el porcentaje de error límite es 1.5 / 60 100 2.5% ; si el medidor lee 30 V, el error límite es 1.5 / 30 100 5% . El incremento en porcentaje del error límite se fija en una cantidad basada en la lectura de deflexión a plena escala del medidor. El ejemplo 7 representa la importancia de hacer mediciones tan cercanas a la deflexión total como sea posible. Las mediciones o cálculos, combinando errores de garantía, se realizan con frecuencia. El ejemplo 8 ilustra dicho caso. Ejemplo 8 El voltaje generado por un circuito es igualmente dependiente del valor de tres resistencias y esta dado por la siguiente ecuación:
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Medición e Instrumentación Vsalida
R1R2 I R3
Si la tolerancia de cada resistencia es 0.1% , ¿Cuál es el error máximo del voltaje generado? Solución Planteamiento del Problema El voltaje obtenido mas alto se tiene cuando R1 y R2 están en el máximo valor permitido por la tolerancia, mientras R3 tiene el valor más pequeño permitido por esta. No hay necesidad de conocer el valor real, basta el relativo. Para una variación de 0.1% el valor más alto de un resistor es 1.001 veces el valor nominal, mientras que el más bajo es 0.999 veces el valor nominal. Con el máximo valor de R1 y R2 el mínimo para R3 se obtiene el valor más grande para Vresultante a partir de: Vresultante
1.001R1 1.00 R2 1.003 0.999 R3
El voltaje resultante mas bajo se presenta cuando el valor de R3 es el mas alto y R1 y R2 tienen el mas bajo. El voltaje resultante es Vresultante
0.999R1 0.999 R2 0.997 1.003R3
La variación total del voltaje resultante es 0.3% , la cual es la suma algebraica de las tres tolerancias. Esto es verdadero en la primera aproximación. El máximo error es ligeramente distinto de la suma de las tolerancias individuales. Por otra parte es poco probable que los tres componentes de este ejemplo tengan el máximo error y en tal
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Medición e Instrumentación caso produzcan el máximo o mínimo voltaje. Por tanto, se deben utilizar los métodos estadísticos mencionados anteriormente. Ejemplo 9 La corriente que circula por una resistencia de 100 0.2 es
2.00 0.01A . Con la relación P I 2 R , calcúlese el error límite del valor de disipación de potencia. Solución Planteamiento del Problema Al expresar los límites garantizados tanto de corriente como de resistencia en porcentajes en lugar de unidades se tiene: I 2.00 0.01A 2.00 0.5%
I 100 0.2% 100 0.2%
Si se emplea la peor combinación posible de errores para el calculo de potencia, es decir, el valor de la resistencia mas alto y el mayor valor de la corriente, la disipación de potencia es P I 2 1 0.005 R 1.002 1.012 I 2 R 2
Para la disipación mas baja P I 2 1 0.005 R 1 1.002 0.988I 2 R 2
El error es 1.2% , el cual es dos veces el 0.5% de error de la corriente mas el 0.2% de error de la resistencia. Esto se debe a que el termino I de la ecuación aparece esencialmente dos veces en ella. Esto se puede observar rescribiendo la ecuación
P I I R I 2R
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Medici贸n e Instrumentaci贸n
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