[GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] Tercer Departamental
Modelado de Ecuaciones Lineales Diferenciales de Primer Orden Crecimiento y decaimiento 1. Cuando pasa un haz de luz vertical de luz por una sustancia transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I (t ) , donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial I o del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz a 15 pies bajo la superficie? Fechado de Carbono 2. Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal, encontrados en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres, en las paredes y los techos de una caverna de Lascaux, Francia. Con la información proporcionada determine la edad aproximada de un trozo de madera, si se encontró que había desaparecido el 85.5% del carbono 14. Mezclas 3. Un tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal disuelta. Le entra salmuera con ½ lb de sal por galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque esta bien mezclado y de el sale a razón de 4 gal/min de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. Ley de Enfriamiento y Calentamiento de Newton 4. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20ºC, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿Cuánto tiempo tardara en alcanzar 90ºC si se sabe que su temperatura aumento 2ºC en un segundo? ¿Cuanto tiempo tardará en llegar a 98ºC? Circuitos en Serie 5. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es 5 106 farads . Determine la carga q(t ) Geólogos
del
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capacitor si i(0) 0.4amp . Encuentre la carga y la corriente en t 0.005s . Halle la carga cuando t Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado 6. Una masa de 400N estira 2m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento 7. Otro resorte, cuya constante es de 20 N/m, esta colgado del mismo soporte rígido, pero en posición paralela a la del sistema masa-resorte del problema 6. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posición de equilibrio con una velocidad de 10 m/s hacia arriba. a. ¿Cuál masa tiene la mayor amplitud de movimiento? b. ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t / 4s ? ¿Y cuando t / 2s ? c. ¿En que momento están las dos masas en la misma posición? ¿Donde están en ese momento? ¿En que direcciones se mueve? Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado 8. Una masa de 1 kg esta unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un liquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento, sí a. El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m debajo de la posición de equilibrio. b. El contrapeso se suelta 1 m debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba. Transformada de Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace para determinar L f (t ) 9. f (t ) et senht
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Utilice las tablas para obtener la transformada de Laplace 10.
f (t ) cosh kt
Determine la transformada inversa de Laplace 11.
1 L 2 2 s 1 s 1 1
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial 12.
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2
dy y 0, y (0) 3 dt
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