2012
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales
Calificación Fecha:24-10-2012
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas de Coeficientes Indeterminados Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.
y '' 4 y x 2 3 sen2 x Solución La ecuación auxiliar es:
m2 4 0 Por lo tanto sus raices serían m1 2i m2 2i Entonces la solucion complementaria seria yc c1 cos 2 x c2 sen 2 x
Ahora, puesto que la función de entrada g ( x) x 3 sen2 x es una función 2
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
y p1 A cos2 x Bsen2 x y y p 2 Cx 2 Dx E suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar y p1 por x :
y p Ax3 Bx 2 Cx cos2 x Dx3 Ex 2 Fx sen2 x Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:
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Ecuaciones Diferenciales 2B 4F 0 6 A 8E 0 4C 2 E 3 8 B 6 D 0 12 A 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:
1 25 1 , B 0, C , D 0, E , F 0, 12 32 16 25 1 1 y p x3 x cos 2 x x 2 sen 2 x 32 16 12
A
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
25 1 1 y c1 cos 2 x c2 sen2 x x3 x cos 2 x x 2 sen2 x 32 16 12 Forma Gráfica
y '' 4 y x 2 3 sen2 x Solución General
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Ecuaciones Diferenciales Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros
y '' 2 y ' y
ex 1 x2
Solución La ecuación auxiliar es :
m 2 2m 1 0
m 1
2
0
Por lo tanto la solución complementaria seria: yc c1e x c2 xe x y ex W x e
xe x e2 x x x xe e
Identificando la función
ex f ( x) 1 x2 Por lo tanto obtenemos
xe x e x x u '1 2 x e (1 x 2 ) 1 x2 e xe x 1 u '2 2 x e 1 x 2 1 x 2 1 u1 ln 1 x 2 , u2 tan 1 x y 2 Por lo tanto la solución general es 1 y c1e x c2 xe x e x ln 1 x 2 xe x tan 1 x 2 Método Gráfico
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Ecuaciones Diferenciales y ''' 8 y 2 x 5 8e2 x ,
y(0) 5, y(0) 3, y ''(0) 4
Ecuaciones de Cauchy-Euler Resuelva la ecuación diferencial respectiva
x3 y ''' xy ' y 0 Solución Asumiendo que y x
m
y sustituyendo en la ecuación diferencial, nosotros
obtenemos la ecuación auxiliar siguiente:
m(m 1)(m 2) m 1 m3 3m2 3m 1 m 1 0 3
Por lo tanto la solución general es:
y c1x c2 x ln x c3 x ln x Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales Use la sustitución x e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación. t
x2 y '' 4 xy ' 6 y ln x 2 Solución Usando la sustitución y sustituyendo dentro de la ecuación diferencial obtenemos lo siguiente:
d2y dy 5 6 y 2t dt 2 dt Por lo tanto la ecuación auxiliar que obtenemos:
m2 5m 6 m 2 m 3 0 . La solución complementaria será:
yc c1e2t c2e3t Usando los coeficientes indeterminados obtenemos una solución particular
y p At B Derivando esta solución particular para obtener la primera y segunda derivada obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
(5 A 6B) 6 At 2t , A 1/ 3, B 5 / 18 Por lo tanto la solución general será:
1 5 1 5 y c1e2t c2e3t t c1x 2 c2 x3 ln x 3 18 3 18 Método Gráfico
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