Transformada Inversa de Laplace

[TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE] Unidad 3

Transformada Inversa de Laplace Si F ( s) representa la transformada de Laplace de una función f (t ) .

Esto es L f (t )  F (s) , decimos que f (t ) es la transformada inversa de Laplace F ( s) y escribimos f (t )  L1 F (s) .

Teorema 1 Algunas Transformadas inversas  n!  a) t n  L1  n1  , n  1,2,3........ s   k  b) senkt  L1  2 2 s  k   k  c) senhkt  L1  2 2 s  k   1  d) eat  L1   s  a  s  e) cos kt  L1  2 2 s  k   s  f) cosh kt  L1  2 2 s  k 

Cuando evaluamos transformadas inversas, con frecuencia sucede que una función de s bajo consideración no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace F ( s) como aparece en las tablas. Quizá sea necesario “reparar” (“arreglar”) la función s multiplicando y dividiendo por una constante apropiada.

Problemas Problema 1 Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.

  s   a) L1   s  2 s  3 s  6         Ecuaciones Diferenciales

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Solución Existen constantes reales únicas A, B y C , tales que:

s A B C     s  2  s  3 s  6  s  1 s  3 s  6 

A  s  3 s  6   B  s  2  s  6   C  s  2  s  3  s  2  s  3 s  6 

Como los denominadores son idénticos, los numeradores también deben serlo

s  A s  3 s  6   B  s  2  s  6   C  s  2  s  3

(1.1)

Al comparar los coeficientes de las potencias de s , en ambos lados de la igualdad, se ve que la ecuación (1.1), equivale a un sistema de tres ecuaciones con las incógnitas A, B y C . Sin embargo, recordemos que hay una manera fácil de determinar esas incógnitas. Si igualamos s  2, s  3 y s  6 en la ecuación (1.1) obtendremos respectivamente1.

2  A  2  3 2  6   2  A(1)(4)  2  4 A  A  1 / 2 3  B  3  2  3  6   3  B(1)(3)  3  3B  B  1 6  C  6  2  6  3  6  C (4)(3)  6  12C  C  1 / 2

Así que A = 1/2, B=1 y C= 1/2. Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales es

s 1 1 1     s  2  s  3 s  6  2(s  2) s  3 2(s  6) Por lo que de acuerdo con la linealidad de L1 y la parte (d) del teorema 1 tenemos 1

Los números 2,3 y 6 son los ceros del común denominador

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(s  2)(s  3)(s  6) Página 2

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  s   1 1  1  1  1  1 1  1  L1   L  L   L   s  2 s  3 s  6 2 ( s  2) s  3 2 ( s  6)                 s   1 2 t 3t 1 6 t L1   e e  e s  2 s  3 s  6 2       2   Problema 2 Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.

 2s  6  b) L1  2  s 9 Solución Primero rescribimos la función de s como de dos expresiones, mediante división término a término, a continuación usamos: L1 es una transformada lineal. La transformada inversa de Laplace también es lineal; esto es, para constantes  y  ,

L1  F (s)   G(s)   L1 F (s)   L1 G(s)

(1.2)

Donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g . Esta ecuación se aplica a cualquier transformadas de Laplace.

combinación

lineal

finita

de

Por lo tanto: Aplique el teorema 1, para determinar la transformada inversa de Laplace.

Utilizamos las identidades b y d de la tabla del Teorema 1, por lo cual tendremos

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6  s  3   2s  6  1  2s 1  1  L1  2  2 L  2   2L  2   2L  2  s 9 s  9 s  9 s  9 s  9  2cos3t  2sen3t

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