Producto Punto by Gerson Villa Gonzalez

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Vectores Un vector en el plano es un segmento de recta dirigido. El segmento de recta dirigido AB tiene un punto inicial A y un punto final B ; su longitud o magnitud se denota como AB . Dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y dirección. Definición Expresión cartesiana o en componentes Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con un punto inicial en el origen y punto final  v1 , v2  , entonces la expresión de

v en componentes es v  v1, v2

Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el origen y punto final

 v1, v2 , v3 

, entonces la expresión de v

componentes es v  v1, v2 , v3

La magnitud o longitud del vector v  PQ es el número no negativo v  v12  v22  v32 

 x2  x1 

  y 2  y1    z2  z1  2

El único vector con longitud 0 es el vector cero 0  0,0 ó 0  0,0,0 . Este vector también es el único vector que no tiene una dirección específica. Operaciones Algebraicas con vectores Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Un escalar es simplemente u numero real, y los llamamos de esta manera cuando Vectores

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queremos resaltar su diferencia con los vectores. Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero. Definiciones Suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar Sean u  u1, u2 , u3

y v  v1, v2 , v3

vectores y k un escalar.

Suma : u  v  u1  v1 , u2  v 2 , u3  v3 Multiplicación escalar : ku  ku1 , ku2 , ku3

Propiedades de las operaciones con vectores Sean u, v, w vectores y a, b escalares 1. u  v  v  u 2.  u  v   w  u   v  w 3. u  0  u 4. u   u   0 5. 0u  0 6. 1u  u 7. a  bu    ab  u 8. a  u  v   au  av 9.  a  b  u  au  bu Vectores unitarios Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores unitarios estándar (ó básicos) son i  1,0,0 , j  0,1,0 , k  0,0,1

Cualquier vector v  v1, v2 , v3 se puede escribir como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar como sigue: Vectores

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v  v1 , v2 , v3  v1 ,0,0  0, v2 ,0  0,0, v3  v1 1,0,0  v2 0,1,0  v3 0,0,1  v1i  v2 j  v3k

Llamamos al escalar (ó numero) v1 el componente en i del vector v , a v2 al componente en j y a v3 al componente en k . La expresión en componentes del vector de P1  x1, y2 , z2  a P2  x2 , y2 , z2  es:

PP 1 2   x2  x1  i   y2  y1  j   z2  z1  k En resumen podemos expresar cualquier vector no nulo v en términos del producto de sus dos características fundamentales, v longitud y dirección, escribiendo v  v v Si v  0 , entonces 1.

v es un vector unitario en la dirección de v ; v

2. La ecuación v  v

v v

expresa a v en términos de su longitud y

dirección Punto medio de un segmento de recta Con frecuencia, los vectores son útiles en geometría. Por ejemplo, las coordenadas del punto medio de un segmento de recta se determinan con un promedio El punto medio M del segmento de recta que une a los puntos P1  x1, y1 , z1  y P2 ( x2 , y2 , z2 ) es el punto  x1  x2 y1  y2 z1  z2  , ,   2 2   2 Vectores

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Teoría y Aplicaciones Problemas Propuestos Medianas de un triangulo. Suponga que A, B y C son las esquinas de una delgada placa triangular de densidad constante como muestra la siguiente figura

a. Determine el vector que va desde C hasta el punto medio M del lado AB . El punto medio de AB es M  x1  x2 y1  y2 z1  z2   4  1 2  3 0  0   5 5  , , , ,      , ,0  2 2   2 2 2  2 2   2 3 3 5  5  Y el CM    1 i    1 j   0  3 k  i  j  3k 2 2 2  2 

Vectores

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b. Determine el vector que va desde C hasta el punto que esta sobre la mediana CM , a dos tercios de la distancia de C a M . 2 3 3 2  El vector deseado es   CM   i  j  3k   i  j  2k 3 2 2 3  c. Determine las coordenadas del punto donde se cortan las medianas del triangulo ABC . Este punto es el centro de masa de la placa. El vector cuya suma es el vector desde el origen a C y el resultado de la parte (b) terminara en el centro de masa  el

punto terminal de  i  j  3k    i  j  2k   2i  2 j  k es el punto

 2,2,1

que es la ubicación del centro de masa.

Problema 2 Suponga que A, B y C son los vértices de un triangulo y que a, b y

son respectivamente los puntos medios de los lados opuestos.

Muestre que Aa  Bb  Cc  0 . Solución

Vectores

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Sin perder de generalidad nosotros podemos asignar los vértices del triangulo de tal manera que A(0,0), B(b,0) y C ( xc , yc )  a esta  b  xc yc  x y  b  localizada en  ,  , b esta en  c , c  y c esta en  ,0  . 2  2 2 2 2 

Entonces, El vector en posición canonica v que representa a Aa es b x   y  Aa    c  i   c  j 2 2   2  El vector en posición canonica v que representa a Bb es x  Bb   c  b  i 2  El vector en posición canonica v que representa a Cc es b  Cc    xc  i    yc  j  Aa  Bb  Cc  0 2 

El producto punto El producto punto también se conoce como producto interno o escalar debido a que el producto da como resultado un escalar, no un vector. Angulo entre dos vectores El ángulo  entre dos vectores no nulos u  u1, u2 , u3

y v  v1, v2 , v3

esta dado por  u1v1  u2v2  u3v3   u v  

  cos 1 

Vectores

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Definición de producto punto El producto punto u  v v  v1, v2 , v3

 "u

punto v  "de los vectores u  u1, u2 , u3

es u  v  u1v1  u2v2  u3v3

Vectores perpendiculares (ortogonales) Dos vectores no nulos u y v son perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es  / 2 . Para tales vectores tenemos que u  v  0 pues cos  / 2   0 . El reciproco también es cierto. Si u vectores no nulos con u  v  u v cos

y v

, entonces cos  0

son y

  cos1 0   / 2 . Definición de vectores ortogonales Los vectores u y v son ortogonales ( o perpendiculares) si y solo si uv  0 . Propiedades del producto punto y proyecciones de vectores El producto punto cumple varias leyes validas para productos ordinarios de números reales (escalares) Propiedades del producto punto Si u, w y w son tres vectores cualesquiera y c es un escalar, entonces 1. u  v  v  u 2.  cu   v  u   cv   c  u  v  3. u   v  w  u  v  u  w 4. u  u  u

5. 0  u  0

Vectores

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El número u cos se conoce como la componente escalar de u en la dirección de v . En resumen, el vector proyección de u sobre v : uv  proyvu   2  v  v   

Componente escalar de u en la dirección de v : u cos 

uv v u v v

Observe que tanto el vector proyección de u sobre v como la componente escalar de u sobre v dependen solo de la dirección del vector v y no de su longitud (pues hacemos el producto punto de u con v / v , que es la dirección de v . Trabajo realizado por una fuerza constante El trabajo realizado por una fuerza constante F que actúa a través de un desplazamiento D  PQ es W  F  D  F D cos ,

Donde  es el ángulo entre F y D Como escribir u ortogonal a v

como la suma de un vector paralelo a v

y otro

u  proyvu   u  proyvu  uv   u v     2   u   2 v   v    v         Pararlelo a v

Vectores

Ortogonal a v

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Ejercicios Problema 1 Triangulo. Calcule la medida de los ángulos del triangulo cuyos vértices son A 1,0 , B  2,1 y C 1, 2  y  (x,y) = (-1,0) (x,y) = (2,1) (x,y) = (1,-2)





C  x 























Vectores

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Solución Calculamos AB  3,1 , BC  1, 3 y AC  2, 2 BA  3, 1 , CB  1,3 y CA  2,2 AB  BA  10, BC  CB  10, AC  CA  2 2     AB  AC   1  1  3  2   1 2   A  cos   cos 1    cos   63.435º  AB AC   10 2 2  5       1

 



   BC  BA  3 1   1 3   3 1  B  cos   cos 1    53.130º   cos  BC BA    5 10 10     1

  

   CB  CA   1  1  1 2   3  2   C  cos   cos 1    cos   63.435º  CB CA   10 2 2  5       1

 



Problema 2 Teoría y ejemplos. Vectores unitarios ortogonales. Si u1 y u2

son vectores unitarios

ortogonales y v  au1  bu2 , calcule v  u1 . Solución Los vectores unitarios ortogonales son los siguientes: u1  i  j, u2  i  j

Entonces tenemos: v  u1   au1  bu2   u1  au1  u1  bu2  u1  a u1  b  u2  u1   a 1  b  0   a 2

Vectores

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Problema 3 Si u es un vector unitario, encuentre u  v y u  w

Solución Los vectores u, v y w son vectores unitarios, por lo tanto la figura anterior es un triangulo equilátero. Hacemos la consideración que ángulo entre los vectores u y v es de 60º y tenemos lo siguiente:

1 1 u  v  u v cos60º  11    2 2

Vectores

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Si w lo movemos al punto inicial donde se encuentra el vector u , nosotros tenemos que el ángulo entre ellos es de 120º y tenemos lo siguiente:

1  1 u  v  u v cos120º  11      2  2

Problema 4 Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus aristas. Solución

Vectores

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I z

Por conveniencia consideramos cada lado del cubo como la unidad de modo que su esquina posterior izquierda está en el origen, y sus bordes se encuentran a lo largo de los ejes de coordenadas. La diagonal del cubo que comienza en el origen con coordenadas  0,0,0  y termina en la esquina superior derecha con coordenadas 1,1,1 el resultado será el vector 1,1,1 . El ángulo entre este vector y el vector del borde izquierdo inferior que también comienza en el origen y corre a lo largo del eje x será 1,0,0 , lo cual implicara lo siguiente:

Vectores

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

cos 

1,1,1  1,0,0 1  1      cos1    55º 1,1,1 1,0,0 3 3  

Producto Cruz El producto cruz a  b de dos vectores a y b, a diferencia del producto punto, es un vector. Por esta razón, también recibe el nombre de producto vectorial. Note que a  b esta definido solo cuando a y b son vectores tridimensionales. Definición Si a  a1, a2 , a3 y b  b1, b2 , b3 , entonces el producto cruz de a y b es el vector i

a  b  a1 a2 b1

k a3  a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 b3

Una de las propiedades más importantes del producto cruz esta dada por el siguiente teorema. Teorema 1 El vector a  b es ortogonal a y b Ahora que conocemos la dirección del vector a  b , lo que resta para completar su descripción geométrica es su longitud a  b . Esta dada por el siguiente teorema. Teorema 2 Si  es el ángulo entre a y b (de modo que 0     ), entonces a  b  a b  sen

Vectores

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Como un vector esta determinado completamente por su magnitud y dirección, ahora podemos decir que a  b es el vector que es perpendicular a a y b, cuya orientación esta determinada por la regla de la mano derecha, y cuya longitud es a b sen . De hecho, es exactamente la forma en que los físicos definen a  b Teorema 3 Dos vectores no nulos a y b son paralelos si y solo si

ab  0 Así tenemos la siguiente forma de interpretar la magnitud de un producto cruz. La longitud del producto cruz a  b es igual al área del paralelogramo determinado por a y b. Sin embargo, algunas de las leyes usuales de algebra se cumplen para productos cruz. El siguiente teorema resume las propiedades del producto vectorial. Teorema 4 Si a, b y c son vectores y c es un escalar, entonces: 1. a  b  b  a 2.  ca   b  c  a  b   a   cb  3. a   b  c   a  b  a  c 4.  a  b   c  a  c  b  c 5. a   b  c    a  b   c 6. a   b  c    a  c  b   a  b  c Estas propiedades se pueden demostrar si escribimos los vectores en términos de sus componentes y usamos la definición del producto cruz. Vectores

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El producto a   b  c 

que aparece en la propiedad 5 se llama

producto escalar triple de los vectores a, b y c. En consecuencia tenemos la siguiente formula El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b,c es la magnitud de su producto escalar triple: V  a  b  c 

Si empleamos la ecuación anterior y descubrimos que el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c es 0, entonces los vectores deben hallarse en el mismo plano, es decir son coplanares. Ejercicios Problema 5 Utilice el producto escalar triple para verificar que los vectores a  2i  3 j  k , b  i  j y c  7i  3 j  2k

son coplanares. Solución 2

a   b  c   1 1 0  2 7

1 0 3

3

1 0 7 2

1

1 1 7

 4  6  10  0

Por lo tanto el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c es 0, por lo tanto los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir son coplanares.

Vectores

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Problema 6 Del siguiente conjunto de puntos P 1,0,0  , Q  0,2,0  , R  0,0,3

(a) Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q y R (b) (b) encuentre el área del triangulo PQR . Solución Inciso a Debido a que el plano formado por P, Q y R contiene los vectores PQ y PR y un vector ortogonal entre estos vectores (por ejemplo, su producto vectorial) es también ortogonal al plano. Por lo tanto: PQ  PR   2  3   0  0  ,  0  1   1 3 ,  1 0    2  1  6,3,2

Entonces el vector 6,3,2 (o cualquier múltiplo escalar) es ortogonal al plano formado por P, Q y R . Inciso b El área del triangulo esta determinado por los puntos P, Q y R que es igual a la mitad del área del paralelogramo determinado por estos tres puntos. Del inciso (a) tenemos que el área del paralelogramo es: PQ  PR  6,3,2  36  9  4  7u 2

Por lo tanto el área del triangulo es 1 7 7  u2 2 2

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