Calcolo combinatorio Gianluigi Filippelli
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Introduzione
Il calcolo combinatorio `e la branca della matematica che studia i modi in cui `e possibile combinare e raggruppare un insieme di oggetti. Uno dei primi esempi di calcolo combinatorio `e lo Stomachion, che per decenni `e stato ritenuto un semplice gioco ideato dal grande Archimede. In effetti, nell’omonimo trattato, il matematico siracusano, partendo da una particolare suddivisione di un quadrato, cercava di determinare in quanti modi differenti `e possibile disporre i pezzi del quadrato di partenza, per ottenere ancora lo stesso quadrato. Prima di poter effettivamente calcolare le combinazioni di un insieme di oggetti bisogna, per`o, introdurre alcuni concetti preliminari fondamentali.
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Fattoriale
Dato n intero positivo, il fattoriale di n, che si indica con n!, `e il prodotto di tutti gli interi positivi inferiori ad n (fino a 1): n! =
n Y
k = 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1)n
k=1
E’ possibile inglobare anche lo 0 nella definizione di fattoriale ponendo 0! = 1. Quindi: 1 se n = 0; n! := n(n − 1)! se n ≥ 1 dove il fattoriale viene in questo caso definito in maniera ricorsiva. E’ interessante osservare, poi, per noi di quinta, che il fattoriale, una funzione a valori interi che restituisce valori interi, pu`o essere associata a una 1
particolare funzione analitica, dove per funzione analitica si intende una serie convergente di potenze a valori reali o complessi. Nel caso del fattoriale, questo pu`o essere associato alla funzione gamma, Γ, o funzione gamma di Eulero, una funzione a valori complessi definita dal seguente integrale: Z ∞ Γ(z) = tz−1 e−t dt, Re(z) > 0 0
Si dimostra che
Z z! = Γ(z + 1) =
∞
tz e−t dt
0
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Permutazioni
Una permutazione `e un modo di ordinare in successione una serie di n oggetti. Equivale un po’ ad anagrammare una parola e non `e un caso che lo scrittore di Alice nel Paese delle Meraviglie, Lewis Carroll, grande matematico, amasse anche questo genere di giochi enigmistici. Se nel caso di un anagramma, per`o, si pu`o aggiungere una regola aggiuntiva legata al vocabolario e alla grammatica della lingua utilizzata, nel caso delle permutazioni semplici non abbiamo bisogno di alcuna regola. Se abbiamo un insieme di n elementi distinti, il numero di possibili permutazioni sar`a dato da Pn = n!. Quindi, per esempio, l’insieme costituito dagli elementi A, B, C, D, le possibili permutazioni saranno P4 = 4! = 24 e saranno: ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Supponiamo, per`o, che all’interno del nostro insieme ci siano degli elementi ripetuti, ad esempio che l’insieme di quattro elementi di prima sia costituito da 2 lettere A e due lettere B. Quali e quante saranno le possibili permutazioni? In questo caso `e facile controllare:
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AABB ABAB ABBA BBAA BABA BAAB In generale, se all’interno di un insieme di n numeri, gli elementi distinti sono r ≤ n, allora, detta ki la frequenza dell’i-simo numero all’interno dell’insieme, le permutazioni distinte degli n numeri saranno date dalla formula: Pnk1 ,k2 ,...kr =
n! k1 ! · k2 ! · ... · kr !
e applicando la formula al caso ABAB otteniamo P4A,B = 6. Un particolare caso di permutazioni sono le permutazioni parziali o sequenze senza ripetizioni (anche dette disposizioni senza ripetizioni): dato un insieme di n oggetti, una sequenza, o disposizione (o k-permutazione) `e un insieme opportunamente ordinato di k oggetti distinti presti dagli n iniziali, con k ≤ n. Si possono avere1 n! P (n, k) = (n − k)! Se invece ci interessano le sequenze o disposizioni con ripetizioni, allora P (n, k) = nk
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Combinazioni
Ultimo concetto del calcolo combinatorio `e quello che da il nome alla disciplina stessa, le combinazioni. Si definisce combinazione di n oggetti presi k alla volta un qualunque sottoinsieme di k elementi estratti dall’insieme di n elementi di partenza. Si distinguono tra combinazioni semplici e combinazioni con ripetizioni; entrambe, data la cardinalit`a dell’insieme, sono contabili. In particolare le combinazioni semplici, ovvero i modi di combinare n elementi in gruppi di k, sono dati dal seguente coefficiente binomiale2 n n! n Ck = = k!(n − k)! k 1
in Italia si utilizza il simbolo D(n, k) o Dn,k In effetti si possono definire le combinazioni come il rapporto tra le disposizioni di k oggetti presi da un insieme di n oggetti e le permutazioni di questi k oggetti 2
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Il coefficiente binomiale
n k
presenta poi le seguenti propriet`a: n n = =1 0 n n n = =n 1 n−1 n n = k n−k n n−1 n−1 = + k k k−1 n X n n 2 = k k=0
Infine il coefficiente binomiale viene utilizzato all’interno del teorema binomiale per calcolare i coefficienti dell’elevamento a potenza di un dato polinomio: n X n n−k k n (a + b) = a b k k=0 I coefficienti binomiali possono essere calcolati anche utilizzando il triangolo di Pascal, noto anche come triangolo di Tartaglia. Quando nelle combinazioni che si costruiscono alcuni degli insiemi presentano gli stessi elementi ma ordinati in posizioni differenti, allora si utilizzano le combinazioni con ripetizione, che si calcolano utilizzando la seguente formula: n n+k−1 (n + k − 1)! = = k!(n − 1)! k k Un esempio semplice di combinazioni con ripetizioni sono i possibili insiemi di tre elementi che si possono costruire utilizzando 1 e 2: 1, 1, 1, 2,
1, 1, 2, 2,
1 2 2 2
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In questo caso tutte le combinazioni con due 1 e un 2 sono considerate uguali, cos`覺 come tutte le combinazioni con due 2 e un 1. Applicando quindi la formula delle combinazioni con ripetizioni di 2 elementi in gruppi di 3 si ottengono 4 combinazioni, tante quante ne abbiamo determinate utilizzando il listato qui sopra.
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