Como resolver derivadas e integrais mais de 150 exercícios res

Christiane Mรกzur Lauricella

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidos CopyrightŠ Editora Ciência Moderna Ltda., 2011.

Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA. De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderå ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prÊvia autorização, por escrito, da Editora.

Editor: Paulo AndrÊ P. Marques Supervisão Editorial: Aline Vieira Marques Copidesque: Paula Regina Pilastri Capa: Cristina Satchko Hodge Diagramação: Tatiana Neves Assistente Editorial: Vanessa Motta Vårias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara

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LAURICELLA, Christiane MĂĄzur Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercĂ­cios resolvidos Rio de Janeiro: Editora CiĂŞncia Moderna Ltda., 2011 1. MatemĂĄtica.

I — Título ISBN: 978-85-399-0113-5

Editora CiĂŞncia Moderna Ltda.

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CDD 510

08/11

Sumário Introdução ....................................................................................................... VII Capítulo 1 Derivadas de Funções Simples de uma Variável ................................................. 1 Exercícios Propostos – Capítulo 1. ....................................................................................... 25 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1. ................................................................ 26

Capítulo 2 Derivadas de Funções Compostas de uma Variável .......................................... 29 Exercícios Propostos – Capítulo 2. ....................................................................................... 56 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2. ................................................................ 57

Capítulo 3 Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis ............................................ 59 Exercícios Propostos – Capítulo 3. ....................................................................................... 73 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3. ................................................................ 74

Capítulo 4 Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela ....................................................... 77 Exercícios Propostos – Capítulo 4. ....................................................................................... 93 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4. ................................................................ 94

IV

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Capítulo 5 Integrais Simples - Diretas da TTabela abela ............................................................... 97 Exercícios Propostos – Capítulo 5. ..................................................................................... 108 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5. .............................................................. 109

Capítulo 6 Integrais Simples - Método da Substituição .................................................. 111 Exercícios Propostos – Capítulo 6. ..................................................................................... 129 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6. .............................................................. 130

Capítulo 7 Integrais Simples – Integração por Partes ..................................................... 131 Exercícios Propostos – Capítulo 7. ..................................................................................... 148 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7. .............................................................. 149

Capítulo 8 Integrais Simples – Integrais Definidas ......................................................... 151 Exercícios Propostos – Capítulo 8. ..................................................................................... 159 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8. .............................................................. 160

Capítulo 9 Integrais Duplas e Regiões de Integração ....................................................... 161 Exercícios Propostos – Capítulo 9 ...................................................................................... 196 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 ............................................................... 197

Sumário

V

Capítulo 10 Integrais Duplas – Mudança de Variável ........................................................ 199 Exercícios Propostos – Capítulo 10 .................................................................................... 234 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 ............................................................ 235

Introdução Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Sua intenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolver derivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, em linguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvidas na resolução de derivadas e integrais.

A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o das derivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado no quadro abaixo.

Derivadas de funções simples de uma variável DERIVADAS

Derivadas de funções compostas de uma variável Derivadas parciais de funções de duas variáveis Integrais diretíssimas da tabela Integrais diretas da tabela

INTEGRAIS SIMPLES

Método da integração por substituição Método da integração por partes Integrais definidas

INTEGRAIS DUPLAS

Integrais duplas e regiões de integração Mudança de variável nas integrais duplas

Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funções simples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas à soma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constante por uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções compostas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolvendo funções de duas variáveis.

As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão em tabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas propriedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire-

VIII

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

tas da tabela” são as que, por desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam a um caso previsto em tabelas básicas de integração. Os métodos de integração por substituição e por partes são utilizados em diversos exemplos. O bloco das integrais simples é concluído com as integrais definidas.

Finalmente, são realizadas integrais duplas em vários tipos de domínios de integração e, também, integrais duplas resolvidas por meio de mudanças de variáveis.

Capítulo 1

Derivadas de Funções Simples ariável de uma VVariável A derivada da função y = f (x), em relação à sua única variável independente x, pode ser indicada por:

y , = f , ( x) = Dx =

dy df ( x) = . dx x

Sendo f (x) e g (x) duas funções da variável x e k uma constante, temos as seguintes propriedades das derivadas: , , D1. ( f ( x) ± g ( x) ) = f ( x) ± g ( x) ou ,

, D2. ( k.f ( x) ) = k.f ( x) ou ,

d ( k.f ( x) ) dx

d ( f ( x) ± g ( x) )

= k.

dx

df ( x) dg ( x) ± . dx dx

df ( x) . dx

, , D3. ( f ( x).g ( x) ) = f ( x).g ( x) + f ( x).g ( x) ou ,

=

d ( f ( x).g ( x) ) dx

d ( f ( x).g ( x) ) ⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) = ou D4. ⎜ ⎟ = 2 g ( x ) dx ⎝ ⎠ ( g ( x) ) ,

=

df ( x) dg ( x) .g ( x) + f ( x). . dx dx

df ( x) dg ( x) .g ( x) − f ( x). dx dx 2 ( g ( x) )

Essas propriedades são enunciadas como descrito abaixo.

D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duas funções.

2

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D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode ser qualquer número real.

D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma da derivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtração entre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominador elevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser diferente de zero.

Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma variável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada da função constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual a zero”).

Tabela de derivadas (funções simples)

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

3

Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5.

Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas: n

( x )' = dxdx n

= n.x n −1 .

4

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por x elevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue. f , ( x) = ( x5 ) = ,

dx 5 = 5 x 5 −1 = 5 x 4 dx

Exemplo 1.2. Derive y = x−7 Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicado por x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue. y , = ( x −7 ) = ,

dx −7 1 −7 = −7 x −7 −1 = −7 x −8 = −7 8 = 8 dx x x

Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6. −7 Na “transformação” de −7x −8 em 8 não usamos qualquer regra de x 1 1 derivação: apenas aplicamos a equivalência x − a = a → x −8 = 8 . x x Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6.

Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”.

Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

5

5 5 5 . Ou seja, a derivada de “x elevado a ” é “a fração multiplicada por 6 6 6 5 −1 x elevado à subtração − 1”, resultando em 5 “ vezes x elevado a ”, conforme segue.

6 6 6

No caso, n vale

( )

f ( x) = x ,

5

6

,

5

5 5 dx 6 ⎛ 5 ⎞ 5 6 −1 5 −16 5 1 = =⎜ ⎟x = x = = 1 = 6 1 6 6 x 6 6x 6 6 x dx ⎝6⎠

Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:

5 5 − 1.6 5 − 6 −1 −1 = = = .

6 6 6 6 5 5 5 −1 Na “transformação” de x 6 em não usamos = 6 1 6 6 6 x 6x qualquer regra de derivação, apenas aplicamos as equivalências: x − a =

Exemplo 1.4. Derive f ( x) =

−1 b 1 1 1 → x 6 = 1 e x a = a x b → x 6 = 6 x1 = 6 x . a x x 6

1 . x5

1 , antes devemos x5 “prepará-la”, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração da

Para podermos usar a tabela na derivação da função f ( x) = função original.

Sabemos que: 1 1 = x − n → 5 = x −5 xn x

1 Escrevendo f ( x) = 5 como f (x) = x−5, podemos utilizar a seguinte regra da tabela de x derivadas:

( xn ) = ,

dx n = n.x n −1 . dx

6

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja, ,

, 1 −5 dx −5 ⎛ 1 ⎞ f , ( x) = ⎜ 5 ⎟ = ( x −5 ) = = ( −5 ) x −5−1 = −5 x −6 = −5 6 = 6 dx x x ⎝x ⎠

Observe que n, indicado na regra de derivadas, é −5 e não 5!

Lembre-se que, subtraindo 1 de −5, temos −6 e não −4. Ou seja, a derivada de x −5 em relação à variável x é −5x −6 e não −5x −4!

Exemplo 1.5. Derive f ( x) = x .

Para podermos usar a tabela na derivação da função raiz quadrada de x, antes devemos escrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.

Sabemos que: a

xb = x

b

a

→

x = 2 x1 = x

1

2

Escrevendo a raiz quadrada de x como “x elevado ao expoente ½”, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 dx

Ou seja,

f , ( x) =

( x) = (x ,

1

) = dxdx ,

2

1

2

⎛ 1 ⎞ 1 −1 ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟x 2 =⎜ ⎟x ⎝2⎠ ⎝2⎠

1− 2 2

=

1 −1 2 1 1 1 1 1 x = = 1 = = 1 2 1 2 2 x 2 2x 2 2 x 2 x

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

7

( x ) = 2 1 x na deriva,

De agora em diante, podemos aplicar ção da função f ( x) = x .

Exemplo 1.6. Derive f ( x) = 3 x 2 .

Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos a tabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada ao expoente 2/3”.

Vejamos: a

xb = x

b

a

→

3

x2 = x

2

3

Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 dx

Ou seja,

f ( x) = ,

( x ) = (x ) 3

2

,

2

3

,

2

2 2 dx 3 ⎛ 2 ⎞ 2 3 −1 ⎛ 2 ⎞ 2 −3 3 2 −13 = =⎜ ⎟x =⎜ ⎟x = x = 1 = 3 3 dx ⎝3⎠ ⎝3⎠ 3x 3 3 x

Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirma que a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções:

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x) ou

d ( f ( x) ± g ( x) ) dx

=

df ( x) dg ( x) ± dx dx

8

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja, f , ( x) = ( x −3 + x 3 ) = ,

, , dx −3 dx 3 + = ( x −3 ) + ( x 3 ) dx dx

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. (x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, pois ( x n ) = ,

(x3)’ = 3x3-1 = 3x2, pois ( x n ) = ,

dx n = n.x n −1 e, no caso, n = -3. dx

dx n = n.x n −1 e, no caso, n = 3. dx

Logo, f ’(x) = (x −3 + x3)’ = (x −3)’ + (x3)’ = −3x −4 + 3x 2 A derivada já foi finalizada, mas ainda podemos escrever −3x −4 como f ’(x) = (x −3 + x3)’ = −3x −4 + 3x 2 =

−3 . Sendo assim, x4

−3 + 3x 2 x4

Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3 Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado ao cubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função:

( k.f ( x) )

,

= k.f , ( x) ou

d ( k.f ( x) ) dx

=k

df ( x) dx

Ou seja,

f , ( x) =

, , d (4 x3 ) = ( 4 x3 ) = 4 ( x3 ) dx

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

9

Agora, usando a regra

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 , dx

para n = 3, temos que: f , ( x) = ( 4 x 3 ) = 4 ( x 3 ) = 4 ( 3 x 3−1 ) = 12 x 2 ,

,

5 Exemplo 1.9. Derive f ( x) = 7 + . x Antes de derivarmos a função

f ( x) = 7 +

5 1 = 7+5 , x x

vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se

1 1 1 = x − a então = 1 = x −1 . x x xa

Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectivamente, por:

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x) e ( k.f ( x) ) = k.f , ( x) . ,

Ou seja, f , ( x) = ( 7 + 5 x −1 ) = ,

d ( 7 + 5 x −1 ) dx

= ( 7 ) + ( 5 x −1 ) = ( 7 ) + 5 ( x −1 ) ,

,

,

,

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Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. , (7)’ = 0, pois (k ) =

(x )

−1 ,

dk = 0 (a derivada da constante é zero) e, no caso, k = 7. dx

= −1x −1−1 = −1x −2 =

−1 dx n n , x = = n.x n −1 e, no caso, n = −1. ( ) , pois x2 dx

Logo, , , , ⎛ −1 ⎞ −5 f , ( x) = ( 7 + 5 x −1 ) = ( 7 ) + 5 ( x −1 ) = ( 0 ) + 5 ⎜ 2 ⎟ = 2 ⎝x ⎠ x

Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x)

Ou seja, f , ( x) = ( 8 + cos x ) = ,

d ( 8 + cos x ) dx

= ( 8 ) + ( cos x ) ,

,

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por: ( k ), =

d cos x , dk = −senx . = 0 (a derivada da constante é zero) e ( cos x ) = dx dx

Vejamos: f , ( x) = ( 8 + cos x ) = ( 8 ) + ( cos x ) = ( 0 ) + ( −senx ) = −senx ,

,

,

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

11

Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, é uma função trigonométrica, ou seja, não é a multiplicação de “alguma coisa” por x!

Exemplo 1.11. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do quíntuplo da tangente de x com o triplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 com o seno de x multiplicado pela constante 3.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2, dadas, respectivamente, por:

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x) e ( k.f ( x) ) = k.f , ( x) ,

Ou seja,

f , ( x) = (5tgx + 3senx), = ( 5tgx ) + ( 3senx ) = 5 ( tgx ) + 3 ( senx ) ,

,

,

,

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por

(tgx ), = dtgx = sec 2 x dx

, e ( senx) =

dsenx = cos x dx

Logo, f , ( x) = (5tgx + 3senx), = ( 5tgx ) + ( 3senx ) = 5 ( tgx ) + 3 ( senx ) = 5 sec 2 x + 3 cos x ,

,

,

,

Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x, indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e a secante ao quadrado de x, indicada por sec2x, são funções trigonométricas, ou seja, não são multiplicações de “alguma coisa” por x!

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1 x.

7

Exemplo 1.12. Derive y = e x +

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do “número e elevado a x” com “x multiplicado pela constante 1/7”.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2 abaixo:

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x) e ( k.f ( x) ) = k.f , ( x) ,

Ou seja, ,

,

, 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛1 ⎞ y , = ⎜ e x + x ⎟ = ( e x ) + ⎜ x ⎟ = e x + ( x ), 7 ⎠ 7 ⎝ ⎝7 ⎠

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:

(e )

x ,

=

de x dx , = ex e ( x ) = =1 dx dx

Logo, ,

,

, 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ ⎛1 ⎞ y , = ⎜ e x + x ⎟ = ( e x ) + ⎜ x ⎟ = e x + ( x), = e x + .1 = e x + 7 ⎠ 7 7 7 ⎝ ⎝7 ⎠

Observe que o número neperiano e é um número irracional, muitas vezes aproximado por 2,72.

Exemplo 1.13. Derive t ( x) =

3 − 2 ln x + 5 arccos x. x

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2,

( f ( x) ± g ( x) )

,

= f , ( x) ± g , ( x) , expandida para o caso da soma/subtração de três funções da variável x: 3 , 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja, x

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

,

13

,

, , ⎛3 ⎞ ⎛3⎞ t , ( x) = ⎜ − 2 ln x + 5 arccos x ⎟ = ⎜ ⎟ − ( 2 ln x ) + ( 5 arccos x ) ⎝x ⎠ ⎝x⎠

Agora, para as três derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x))’ = k.f ’ (x): ,

,

, , , , ⎛3⎞ ⎛1⎞ t , ( x) = ⎜ ⎟ − ( 2 ln x ) + ( 5 arccos x ) = 3 ⎜ ⎟ − 2 ( ln x ) + 5 ( arccos x ) x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela, conforme segue. , dx n −1 n , ⎛1⎞ −1 , −1−1 = n.x n −1 e, no caso, n = −1. = −1.x −2 = 2 , pois ( x ) = ⎜ ⎟ = ( x ) = (−1) x dx x ⎝x⎠

( ln x )

( arccos x )

,

,

=

=

1 x

−1 1 − x2

Finalizando a derivada: , ⎛ −1 , , ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ t , ( x) == 3 ⎜ ⎟ − 2 ( ln x ) + 5 ( arccos x ) = 3 ⎜ 2 ⎟ − 2 ⎜ ⎟ + 5. ⎜⎜ 2 ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎝x⎠ ⎝ 1− x

⎞ −3 2 5 ⎟⎟ = 2 − − x x − 1 x2 ⎠

Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx Este exemplo trata da derivada da soma de duas funções da variável x: as funções 3x (exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro, priedade D1, relativa à derivada da soma de funções: ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) .

Ou seja, h, ( x) = ( 3x + arctgx ) = ( 3x ) + (arctgx), ,

,

Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela, conforme segue.

14

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

(3x)’ = 3x 1n 3, pois ( a x ) = ,

( arctgx )

,

=

d (a x ) = a x ln a e, no caso, a = 3 dx

d ( arctgx ) dx

=

1 1 + x2

Finalizando a derivada:

h, ( x) = ( 3x ) + (arctgx), = 3x ln 3 + ,

1 1 + x2

Observe que 3x não é a multiplicação de 3 por x. Trata-se da função de “base 3 elevada ao expoente x”.

Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x.

Queremos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função do segundo grau x2 multiplicada pela função trigonométrica cosx. Então, vamos começar a resolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x) Ou seja, a derivada do produto (multiplicação) da função x elevado ao quadrado (x2) pela função cosseno de x (cosx) é igual à soma da derivada de x elevado ao quadrado, multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivada de cosseno de x, conforme segue. h’ (x) = (x2 cos x)’ = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. dx n = n.x n −1 e, no caso, n = 2. dx (cos x)’ = − senx

n (x2)’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois ( x ) = ,

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

15

Finalizando a derivada: h’(x) = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ = 2x cos x + x2 (−senx) = 2x cos x − x2 senx Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência na subtração acima. Logo, h’(x) = 2x cos x − x2 senx = x (2cos x − xsenx) Exemplo 1.16. Derive h(x) = cos x.senx.

Precisamos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: as funções trigonométricas cos x e senx. Vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).

Vejamos: h’(x) = (cos x.senx)’ = (cos x)’.senx + cos x.(senx)’ Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. (cos x)’ = − senx (senx)’ = cos x Finalizando a derivada: h’(x) = (cos x.senx)’= (cos x)’.senx + cos x.(senx)’= − senx.senx +cos x.cos x = cos2 x − sen2x Exemplo 1.17. Derive h(x) = x5 ex.

Temos de derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função x5 multiplicada pela função exponencial de base e (ex). Vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x) Vejamos: h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’

16

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. (x5)’ = 5x5-1 = 5x4, pois ( x n ) = ,

dx n = n.x n −1 e, no caso, n = 5. dx

(ex)’ = ex Finalizando a derivada: h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’ = 5x4 ex + x5 ex A derivada já foi terminada, mas podemos “melhorar” a resposta final colocando x4.ex em evidência: h’(x) = 5x4 ex + x5 ex = x4 ex (5 + x) Exemplo 1.18. Derive y = 3 arccosx + x2 ex.

Inicialmente, temos de derivar a soma de duas funções da variável x: a função 3arccos x somada com a função x2 ex. Vamos começar aplicando a propriedade D1, referente à , derivada da soma de duas funções: ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) Vejamos: y, =

, dy , , = ( 3 arccos x + x 2 e x ) = ( 3 arccos x ) + ( x 2 e x ) dx

Como a função é formada pelo produto da constante k = 3 pela função arcocosseno de x, podemos aplicar a propriedade D2, que trata da derivada do produto de uma constante por uma função: (k.f (x))’ = k.f ’ (x) Ou seja, y, =

, , dy , , , = ( 3 arccos x + x 2 e x ) = ( 3 arccos x ) + ( x 2 e x ) = 3 ( arccos x ) + ( x 2 e x ) dx

Há duas parcelas presentes na derivada acima.

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

17

A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da função arcocosseno de x, é obtida diretamente da tabela, na qual consta que

( arccos x )

,

=

d ( arccos x ) dx

=

−1 1 − x2

.

Logo, ⎛ −1 , 3 ( arccos x ) = 3 ⎜⎜ 2 ⎝ 1− x

⎞ −3 ⎟⎟ = 1 − x2 ⎠

A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pela exponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelo uso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).

Vejamos: ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ A derivada de x2, em relação à variável x, é ( x2 )’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois, de acordo com a tabela,

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

A derivada de ex, em relação à variável x, é ex, pois, de acordo com a tabela,

(e )

x ,

=

de x = ex . dx

Ou seja, ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex A derivada do produto x2 ex já foi terminada na linha anterior, mas ainda podemos colocar xex em evidência na soma 2xex + x2 ex: ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex = xex (2 + x)

18

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex:

y, =

, dy −3 , = 3 ( arccos x ) + ( x 2 e x ) = + xe x ( 2 + x ) 2 dx 1− x

Exemplo 1.19. Derive h( x) =

x2 . x +1

Precisamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x2, no numerador, e a função x + 1, no denominador. Então, vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D4, referente à derivada do quociente de duas funções: ,

⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) ⎜ ⎟ = 2 ⎝ g ( x) ⎠ ( g ( x) )

No caso, a derivada da divisão de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 é igual à subtração entre a derivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada de g(x) = x + 1, sendo essa subtração dividida pela função g(x) = x + 1 elevada ao quadrado.

Vejamos: ⎛ x2 ⎞ ( x h ( x) = ⎜ ⎟ = ⎝ x +1⎠ ,

) ( x + 1) − ( x ) .( x + 1)

2 ,

,

2

,

( x + 1) 2

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pela propriedade D1, referente à derivada da soma de duas funções, conforme segue. (x2)’ = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois ( x n ) = ,

dx n = n.x n −1 dx

(x + 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 + 0 = 1 Finalizando a derivada: ⎛ x2 ⎞ ( x h ( x) = ⎜ ⎟ = ⎝ x +1⎠ ,

,

) ( x + 1) − ( x ) .( x + 1) = ( 2 x ) ( x + 1) − ( x ) .(1) = 2 x

2 ,

2

( x + 1)

2

,

2

( x + 1)

2

+ 2x − x2 x2 + 2x = ( x + 1) 2 ( x + 1) 2

2

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

19

A derivada já foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência no numerador do quociente:

h, ( x) =

x2 + 2x x ( x + 2) = ( x + 1) 2 ( x + 1) 2

x3 − 6 x . senx

Exemplo 1.20. Derive t ( x) =

Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x3 − 6x, no numerador, e a função senx, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4, referente à derivada do quociente de duas funções: ,

⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) ⎜ ⎟ = 2 ⎝ g ( x) ⎠ ( g ( x) )

Vejamos: , 3 3 ⎛ x 3 − 6 x ⎞ ( x − 6 x ) senx − ( x − 6 x ) ( senx ) t ( x) = ⎜ ⎟ = 2 ( senx ) ⎝ senx ⎠ ,

,

,

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedades D1 (relativa à derivada da soma de duas funções) e D2 (referente à derivada do produto de uma constante por uma função), conforme segue. (x3 − 6x)’ = (x3)’ − (6x)’ = (x3)’ − 6 (x)’ = 3x2 − 6.1 = 3x2 − 6 (senx)’ = cos x Finalizando a derivada: , 3 3 2 3 ⎛ x 3 − 6 x ⎞ ( x − 6 x ) senx − ( x − 6 x ) ( senx ) ( 3 x − 6 ) senx − ( x − 6 x ) ( cos x ) = t , ( x) = ⎜ = ⎟ 2 sen 2 x ( senx ) ⎝ senx ⎠ ,

,

20

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Observe que a função seno ao quadrado de x pode ser escrita como (senx)2 ou como sen2x. Nesse caso, é o seno que está ao quadrado, e não o argumento x.

x7 . ex − 3 Queremos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x7, no numerador, e a função ex − 3, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4, referente à derivada do quociente de duas funções:

Exemplo 1.21. Derive t ( x) =

,

⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) = ⎜ ⎟ 2 ⎝ g ( x) ⎠ ( g ( x) )

Vejamos: ⎛ x7 ⎞ ( x t ( x) = ⎜ x ⎟ = ⎝ e −3⎠ ,

,

) .( e

7 ,

x

− 3) − x 7 . ( e x − 3)

(e

x

− 3)

,

2

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pela propriedade D1 (relativa à derivada da soma de duas funções), conforme segue. (x7)’ = 7x7-1 = 7x6 (ex − 3)’ = (ex)’ − (3)’ = ex − 0 = ex Finalizando a derivada: ⎛ x7 ⎞ ( x t ( x) = ⎜ x ⎟ = ⎝ e −3⎠ ,

,

) .( e

7 ,

x

− 3) − x 7 ( e x − 3)

(e

x

− 3)

2

,

=

7 x 6 ( e x − 3) − x 7 ( e x )

(e

x

− 3)

2

=

7 x 6 ( e x − 3) − x 7 e x

(e

x

− 3)

2

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Exemplo 1.22. Derive y =

21

sec x . x

Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função sec x, no numerador, e a função x, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4, referente à derivada do quociente de duas funções: ,

⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) ⎜ ⎟ = 2 ⎝ g ( x) ⎠ ( g ( x) ) Vejamos: , dy ⎛ sec x ⎞ ( sec x ) .x − ( sec x ) . ( x ) =⎜ ⎟ = dx ⎝ x ⎠ x2 ,

y, =

,

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.

( sec x )

,

=

d sec x = sec x.tgx dx

x, =

dx =1 dx

Finalizando a derivada: , dy ⎛ sec x ⎞ ( sec x ) x − ( sec x )( x ) ( sec x.tgx ) x − ( sec x )(1) x.sec x.tgx − sec x = = =⎜ ⎟ = dx ⎝ x ⎠ x2 x2 x2 ,

y, =

,

A derivada já foi terminada, mas ainda podemos colocar a secante de x em evidência na subtração presente no numerador. Vejamos: ,

y, =

dy ⎛ sec x ⎞ x.sec x.tgx − sec x sec x( xtgx − 1) =⎜ = ⎟ = dx ⎝ x ⎠ x2 x2

22

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Observe que a função secante de x, indicada por sec x, não se refere ao produto de “alguma coisa” por x. Sendo assim, não há qualquer sentido em “cancelar” x do numerador com x do desec x nominador no quociente . x

§ · 2 Exemplo 1.23. Derive y = x cos ¨ ¸ ©3¹ Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, não precisamos aplicar a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções. § · Isso porque cos ¨ ¸ , lido como cosseno de PI sobre 3, é uma constante, sen©3¹ § · cos = cos 60o = 0,5. do ¨ ¸ 3 © ¹ § · Vale lembrar, também, que não há qualquer sentido em pensar em cos ¨ ¸ como a

©3¹ multiplicação de “cos” por 3 .

Voltando à derivada de § § ·· 2 § · y = x 2 cos ¨ ¸ , ou y = ¨ cos ¨ ¸ ¸ x , © 3 ¹¹ ©3¹ ©

§ · temos a situação de uma constante, cos ¨ ¸ , multiplicada por uma função da variável ©3¹ x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k § · é cos ¨ ¸ . ©3¹ Vejamos: ,

, §§ § ·· · § § ·· y = ¨ ¨ cos ¨ ¸ ¸ x 2 ¸ = ¨ cos ¨ ¸ ¸ ( x 2 ) © 3 ¹¹ ¹ © © 3 ¹¹ ©© ,

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

23

Vimos que n (x2)’ = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois ( x ) = ,

dx n = n.x n −1 . dx

Logo, ,

, §§ § § ·· · § § ·· § ·· § · y , = ¨ ¨ cos ¨ ¸ ¸ x 2 ¸ = ¨ cos ¨ ¸ ¸ ( x 2 ) = ¨ cos ¨ ¸ ¸ ( 2 x ) = 2 x cos ¨ ¸ 3 3 3 © ¹ © ¹ © ¹ ©3¹ ¹ ¹ © ¹ © ¹ ©©

Exemplo 1.24. Derive y =

x3 e5

Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, não precisamos aplicar a propriedade D4, referente à divisão de duas funções.

Isso porque e5, lido como “e elevado a 5”, é uma constante, visto que e é um número irracional, aproximado por 2,72.

1 também é uma constante. e5 1 x3 1 Reescrevendo y = 5 como y = 5 x3, temos de derivar uma constante, 5 , multiplie e e cada por uma função da variável x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto

Se e5 é uma constante, então

(multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k 1 pela derivada da função. No caso, k é 5 . e Vejamos: ,

, ⎛ x3 ⎞ 1 y = ⎜ 5 ⎟ = 5 ( x3 ) ⎝e ⎠ e ,

n Vimos que (x3)’ = 3x 3-1 = 3x2, pois ( x ) = ,

dx n = n.x n −1 . dx

Logo, ,

, ⎛ x3 ⎞ 1 1 3x 2 y = ⎜ 5 ⎟ = 5 ( x3 ) = 5 ( 3x 2 ) = 5 e e ⎝e ⎠ e ,

24

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3).

O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicação de duas funções da variável x: a função (3x5 − 6x3) multiplicada pela função (5x10 − 4x3). Logo, vamos começar a derivada usando a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x) Ou seja, y’ = ((3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3))’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’ Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 − 6x3)(5x10 − 4x3), devemos derivar, em relação à variável x, as funções (3x5 − 6x3) e (5x10 − 4x3). Para derivá-las, vamos usar as propri, , edades D1 e D2 (respectivamente ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) e ( k.f ( x) ) = k.f , ( x) ) e a regra

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

Vejamos: (3x5 − 6x3)’ = (3x5 )’ − (6x3)’ = 3(x5 )’ − 6(x3)’ = 3.5x4 − 6.3x2 = 15x4 − 18x2 (5x10 − 4x3)’ = (5x10 )’ − (4x3)’ = 5(x10 )’ − 4(x3)’ = 5.10x9 − 4.3x2 = 50x9 − 12x2 Finalizando a derivada original: y’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’ y’ = (15x4 − 18x2).(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(50x9 − 12x2) A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintes “distributivas”: y’ = 15x4.5x10 +15x4 (−4x3) −18x2.5x10−18x2 (−4x3)+3x5.50x9+3x5 (−12x2) −6x3.50x9−6x3 (−12x2) Agora, utilizamos a regra de multiplicação de potências de mesma base, escrita como xa.xb = xa+b e enunciada como “mantém-se a base e somam-se os expoentes”.

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Logo, y’ = 75x14 − 60x7 − 90x12 + 72x5 + 150x14 − 36x7 − 300x12 + 72x5 y’ = 225x14 − 390x12 − 96x7 + 144x5

Exercícios Propostos – Capítulo 1.

Exercício 1.1. Derive f (x) = x8 Exercício 1.2. Derive y = x − 6 Exercício 1.3. Derive f (x) = x Exercício 1.4. Derive f ( x) =

3/5

1 x7

Exercício 1.5. Derive f ( x) = x + 2 Exercício 1.6. Derive f ( x) = 5 x 4 1 4 Exercício 1.7. Derive f ( x) = 5 + x x Exercício 1.8. Derive f (x) = 7x6 Exercício 1.9. Derive f (x) = 12 + 5x4 Exercício 1.10. Derive y = 3 + senx Exercício 1.11. Derive f (x) = 5 cos x + 3 cot gx Exercício 1.12. Derive y = ln x + Exercício 1.13. Derive t ( x) =

2 x 5

6 − 5e x + 7 arcsenx x

Exercício 1.14. Derive h(x) = 9x + tgx Exercício 1.15. Derive h(x) = x3 senx

25

26

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 1.16. Derive h(x) = (ex − 5) cos x Exercício 1.17. Derive h(x) = 2x3 ex Exercício 1.18. Derive h( x) =

x5 x +3

Exercício 1.19. Derive t ( x) =

x2 − 7 x cos x

Exercício 1.20. Derive t ( x) =

x4 4 − ex

Exercício 1.21. Derive y =

2

x sec x

Exercício 1.22. Derive y = 7 arcsenx + x3 senx Exercício 1.23. Derive y =

cos x e3

§π · Exercício 1.24. Derive y = x .sen¨ ¸ ©5¹ Exercício 1.25. Derive y = (4x2 − 7x5).(x9 − 3x4)

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.

Exercício 1.1. f ’(x) = 8x7 , Exercício 1.2. y =

−6 x7

, Exercício 1.3. f ( x) =

, Exercício 1.4. f ( x) =

3 5

5 x2 −7 x8

Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

1

, Exercício 1.5. f ( x) =

, Exercício 1.6. f ( x) =

, Exercício 1.7. f ( x) =

2 x

4 55 x −5 + 4 x3 x6

Exercício 1.8. f ’(x) = 42x5 Exercício 1.9. f ’(x) = 20x3 Exercício 1.10. y’ = cos x Exercício 1.11. f ’(x) = −5 senx − 3cos sec2 x , Exercício 1.12. y =

1 2 + x 5

7 −6 , x Exercício 1.13. t ( x) = x 2 − 5e + 1 − x2

Exercício 1.14. h’(x) = 9x 1n 9 + sec2 x Exercício 1.15. h’(x) = x2 (3senx + x cos x) Exercício 1.16. h’(x) = ex cos x − (ex − 5)senx Exercício 1.17. h’(x) = 2x2 ex (3 + x) , Exercício 1.18. h ( x) =

, Exercício 1.19. t ( x) =

3x 4 ( x 2 + 5) ( x 2 + 3) 2

(2 x − 7) cos x + ( x 2 − 7 x) senx cos 2 x

27

28

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

, Exercício 1.20. t ( x) =

, Exercício 1.21. y =

, Exercício 1.22. y =

(

)

4 x 3 4 − e x + x 4e x

(4 − e )

x 2

1 − xtgx sec x

7 1− x

2

+ x 2 (3senx + x cos x)

, Exercício 1.23. y =

− senx e3

, Exercício 1.24. y =

1 §π · sen¨ ¸ 2 x ©5¹

Exercício 1.25. y’ = − 98x13 + 44x10 + 189x8 − 72x5

Capítulo 2 Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

Vamos “escolher” duas funções simples quaisquer de uma única variável x, por exemplo, as funções f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funções, podemos “criar” várias outras funções por meio de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e produto de constante por função. Vejamos alguns exemplos:

• h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3 • h2 (x) = 5 f (x) − 2u(x) = 5cos x − 2x3 • h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x f ( x)

cos x

3 • h4 ( x) = u ( x) = x3 , x ≠ 0

Se quiséssemos derivar as funções acima, usaríamos as propriedades D1, D2, D3 e D4 e a tabela de derivadas, vistas no capítulo 1.

Também é possível “associarmos” as funções f (x) = cos x e u(x) = x3 não apenas por meio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, ou seja, de modo diferente do que feito acima. Poderíamos fazer uma composição entre elas, gerando, por exemplo, a função composta f (u(x)), lida como “f de u de x” e escrita como f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3.

30

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Para derivarmos a função f (u(x)) = cos x3, precisamos usar a chamada “regra do encadeamento”, também conhecida como “regra da cadeia”, conforme segue abaixo.

( f (u ( x)) )

,

=

df (u ( x)) du df = = u , ( x). f , (u ) . dx dx du

No caso da função f (u(x)) = cos x3, temos que: u(x) = x3 → u’(x) = 3x2 f (u) = cosu → f ’(u) = − senu (f (u(x)))’ = (cos x3)’ = u’(x).f ’(u) = 3x2 (− senu) = 3x2 (− senx3) = − 3x2 senx3 Há uma maneira mais “rápida” de fazermos essa derivada, usando a seguinte regra de derivação para a função composta (cosu)’ = − u’(x).senu . Ou seja, (cos x3)’ = − (x3)’. senx3 = − 3x2 senx3 A tabela das derivadas das funções compostas é apresentada a seguir.

Tabela de derivadas (funções compostas)

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

Exemplo 2.1. Derive f (x) = (x2 + 1)50.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x2 + 1 e f (u) = u50.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.un-1.

31

32

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da função f (x) = (x2 + 1)50 em relação à variável x é: f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedade D1 vista no capítulo 1, enunciada como “a derivada da soma é a soma das derivadas”, temos que: f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 Vimos que a derivada de x2 em relação à variável x é (x2)’ = 2x2-1 = 2x, pois, de acordo com a tabela de derivadas,

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 , com n = 2. dx

Também vimos que a derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com a tabela de derivadas,

(k )

,

=

dk = 0. dx

Logo, f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1) f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49 Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)−50.

Queremos derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u−50 .

Da tabela de derivadas de funções compostas, vamos usar a seguinte regra: (un)’ = n.u’.u n−1.

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

33

Sendo, no caso, n = − 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)−50 em relação à variável x é: f ’(x) = ((x3 + 1)−50)’ = − 50(x3 + 1)’(x2 + 1)−50 −1 = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x3 + 1. Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que: f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 A derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2, pois, de acordo com a tabela de derivadas,

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 , com n = 3. dx

A derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com a tabela de derivadas,

(k )

,

=

dk = 0. dx

Logo, f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 = − 50(3x2 + 0)(x3 + 1)−51 f ’(x) = − 150 x2 (x3 + 1)−51 Acabamos a derivada. Mas, como m− a =

−51 1 1 → ( x 3 + 1) = a 51 3 m ( x + 1) ,

podemos escrever a resposta final assim: f , ( x) = −150 x 2 ( x 3 + 1)

−51

= −150 x 2

(x

1

3

+ 1)

51

=

−150 x 2

(x

3

+ 1)

51

34

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 − x4)5.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 − x4 e f (u) = u5.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.

Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 − x4, a derivada da função f (x) = (x3 − x4)5 é: f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)5−1 = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 Ainda temos de derivar, em relação à variável x, a diferença (subtração) x3 − x4. Já vimos, no capítulo 1, que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas dessas funções. Sendo assim, temos que: f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2 e a derivada de x4 em relação à variável x é (x4)’ = 4x4−1 = 4x3, pois

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

Logo, f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 em evidência: f ’(x) = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 = 5x2 (3 − 4x)(x3 − x4)4 Exemplo 2.4. Derive f ( x) = ( x 6 − x5 ) 4 .

3

3

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x6 − x5 e f (u ) = u 4 .

Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funções compostas: (un)’ = n.u’.u n−1.

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

Como, no caso, n =

(

3 e u = x6 − x5 , a derivada da função f ( x) = x 6 − x 5 4

)

3

35

4

é:

3 3− 4 3 −1 , −1 , , 3 3 3 f , ( x)=⎛⎜ ( x 6 − x 5 ) 4 ⎞⎟ = ( x 6 − x 5 ) ( x 6 − x5 ) 4 = ( x 6 − x5 ) ( x 6 − x 5 ) 4 = ( x 6 − x 5 ) ( x 6 − x 5 ) 4 4 4 ⎝ ⎠ 4 ,

Sabemos que a derivada da subtração de duas funções é igual à subtração das derivadas dessas funções e que a derivada de funções do tipo f (x) = xn é

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 . dx

Logo, a derivada, em relação à variável x, da diferença x6 − x5 é 6x5 − 5x4, pois (x6 − x5)’ = (x6)’− (x5)’ = 6x6−1 − 5x5−1 = 6x5 − 5x4.

Sendo assim, prosseguindo com a derivada do exemplo 2.4 temos que: ,

3 −1 −1 , 3 3 f , ( x) = ⎛⎜ ( x 6 − x 5 ) 4 ⎞⎟ = ( x 6 − x5 ) ( x 6 − x5 ) 4 = ( 6 x5 − 5 x 4 ) ( x 6 − x 5 ) 4 4 ⎝ ⎠ 4

Já terminamos as derivadas. Mas podemos “melhorar” a expressão acima. Vejamos: 5 4 5 4 , 3 −1 3 3 ( 6 x − 5x ) 3 ( 6 x − 5x ) f , ( x) = ⎛⎜ ( x 6 − x 5 ) 4 ⎞⎟ = ( 6 x5 − 5 x 4 ) ( x 6 − x5 ) 4 = = 4 x 6 − x5 14 4 4 x 6 − x5 ⎝ ⎠ 4 ( )

Fizemos o seguinte: m− a =

−1 1 1 e → ( x 6 − x5 ) 4 = a 1 m ( x 6 − x5 ) 4

m a = a mb → ( x 6 − x 5 ) 4 = b

1

4

(x

6

− x5 ) = 4 x 6 − x5 .

1

36

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar x4 em evidência: 5 4 4 3 ( 6 x − 5 x ) 3x ( 6 x − 5) f ( x) = = 4 4 x 6 − x5 4 4 x 6 − x5 ,

Exemplo 2.5. Derive y = 1n(3x3 − 7x) Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x3 − 7x e f (u) = 1n u.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( ln u ) = ,

u, . u

Ou seja,

(

y = ln ( 3 x − 7 x ) ,

3

)

,

( 3x =

3

− 7x)

,

3x3 − 7 x

Vimos que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas dessas funções, a derivada de f (x) = xn é

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 dx

e a derivada de f (x) = x é

( x)

,

=

dx =1. dx

Por isso, a derivada de 3x3 − 7x, em relação à variável x, é 9x2 − 7, pois (3x3 − 7x)’ = (3x3)’ − (7x)’ = 3(x3)’ − 7(x)’ = 3(3x2) − 7(1) = 9x2 − 7.

Logo,

(

y = ln ( 3 x − 7 x ) ,

3

)

,

( 3x −7 x ) = ( 3x ) −( 7 x ) = 3 ( x ) −7 ( x ) = 3 ( 3x )−7 (1) = 9 x = 3

3x −7 x 3

,

3 ,

3x −7 x 3

,

3 ,

3x −7 x 3

,

2

3x −7 x 3

−7 3x −7 x 2

3

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

37

Observe que a função 1n(3x3 − 7x), lida como o logaritmo neperiano de 3x3 − 7x, não é a multiplicação de “alguma coisa” por 3x3 − 7x!

Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x).

Precisamos derivar uma função composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lida como o logaritmo neperiano do cosseno de x.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( ln u ) = ,

u, . u

Ou seja, y , = ( ln ( cos x ) ) = ,

( cos x )

,

cos x

Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relação à variável x, é

( cos x )

,

=

d (cos x) = − senx . dx

Logo, y , = ( ln ( cos x ) ) = ,

( cos x ) cos x

,

=

− senx cos x

A derivada já foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre “o seno e o cosseno é a tangente”, escrevemos: y , = ( ln ( cos x ) ) = ,

− senx = −tgx cos x

38

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x).

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( ln u ) = ,

u, . u

Ou seja, y , = ( ln ( x + ln x ) ) = ,

( x + ln x )

,

x + ln x

A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, a derivada de f (x) = x é

( x)

,

=

dx =1 dx

e a derivada de f (x) = 1n x é

( ln x )

,

=

d ( ln x ) dx

=

1 . x

Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relação à variável x, é

( x + ln x ) = ( x ) + ( ln x ) ,

,

,

= 1+

1 . x

Logo,

y = ( ln ( x + ln x ) ) ,

,

1 x = = x + ln x x + ln x

( x + ln x )

,

1+

A derivada já foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos “fazer a conta” do numerador da fração:

y , = ( ln ( x + ln x ) )

,

x +1 1 x +1 x +1 1 x x = = . = = x x + ln x x ( x + ln x ) x + ln x x + ln x 1+

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

39

Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x − 2) Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x − 2 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu) = u’ cos u.

Ou seja, f ’(x) = (sen (3x − 2))’ = (3x − 2)’ cos (3x − 2) Agora, para derivarmos 3x − 2 em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2 vistas no capítulo 1: , , D1. ( f ( x) ± g ( x) ) = f ( x) ± g ( x) ou ,

, D2. ( k.f ( x) ) = k.f ( x) ou ,

d ( k.f ( x) ) dx

d ( f ( x) ± g ( x) )

= k.

dx

=

df ( x) dg ( x) ± ; dx dx

df ( x) . dx

Ou seja, (3x − 2)’ = (3x)’ − (2)’ = 3(x)’ − (2)’ A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante 2 é zero. Logo, (3x − 2)’ = 3(x)’ − (2)’ = 3.1 − 0 = 3 Finalizando a derivada: f ’(x) = (3x − 2)’ cos (3x − 2) = 3 cos (3x − 2)

Observe que a função trigonométrica sen (3x − 2), lida como o seno de 3x − 2, não é a multiplicação de “alguma coisa” por 3x − 2!

40

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 2.9. Derive f (x) = senx2.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u .

Ou seja, f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2 Ainda precisamos derivar x2 em relação à variável x. Como

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 , dx

então (x2)’ = 2x 2 − 1 = 2x.

Logo, f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2 = 2x cos x2 Exemplo 2.10. Derive f (x) = sen2x.

Podemos escrever a função f (x) = sen2x como f (x) = (senx)2. Assim, fica claro que temos a função seno de x elevada ao quadrado, lida também como seno ao quadrado de x, e não o seno do argumento x elevado ao quadrado.

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = u2.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n −1.

Sendo, no caso, n = 2 e u = senx, a derivada da função f (x) = sen2x = (senx)2 é: f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’(senx)2 − 1 = 2(senx)’(senx)1 = 2(senx)’ senx A derivada do seno de x, em relação à variável x, é

( senx )

,

=

d ( senx) = cos x . dx

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

41

Logo, f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’ senx = 2 cos x senx Exemplo 2.11. Derive f (x) = sen (senx).

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = senu, lida como o seno do seno de x. Não se trata da multiplicação do seno de x pelo seno de x.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u.

Ou seja, f ’(x) = (sen (senx))’ = (senx)’cos (senx) Para terminarmos, precisamos fazer a derivada do seno de x, em relação à variável x, que é

( senx )

,

=

d ( senx) = cos x . dx

Logo, f ’(x) = (sen (senx))’ = cosx cos(senx) 5

Exemplo 2.12. Derive f (x) = e x − 7 Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x5 − 7 e f (u) = eu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.

Logo, 5

5

f ’(x) =(e x − 7)’ = (x5 − 7)’e x − 7x Agora, para derivarmos x5 − 7 em relação à variável x, usamos a propriedade D1 vista no capítulo 1 (“a derivada da soma é a soma das derivadas”): (x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’

42

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A derivada de x5 em relação à variável x é 5x5 − 1 = 5x4, pois

(x )

n ,

=

dx n = n.x n −1 dx

e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 é zero. Logo, (x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’ = 5x4 − 0 = 5x4 Finalizando: 5

5

5

f ’(x) =(e x − 7)’ = (x5 − 7)’e x − 7x = 5x4 e x − 7x Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e

x

Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, a “exponencial da exponencial”.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.

Logo, x

f ’(x) = (e e )’ = (e x )’e e

x

A derivada de e x em relação à variável x é e x.

Logo, x

x

f ’(x) = (e e )’ = (e x )’e e = e x e e

x

Já terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que “o produto de potências de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”, ou seja, x

x

ma.mb = ma+b → e x e e = e x+e .

Sendo assim, x

x

f ’(x) = (e e )’ = e x e e = e x+e

x

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

43

Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x) Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (secu)’ = u’sec utgu.

Logo, y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x).

Agora, para derivarmos x2 + 4x em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2 vistas no capítulo 1: (x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ A derivada de x2 em relação à variável x é 2x e a derivada de x em relação à variável x é 1.

Logo, (x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ = 2x + 4.1 = 2x + 4 A derivada fica assim: y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidência: y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) Exemplo 2.15. Derive y = 5senx Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a Logo, y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 A derivada de senx em relação à variável x é cosx.

44

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Logo, y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5

Exemplo 2.16. Derive y = 7e

x

Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a.

Logo, x

x

y’ = ( 7e )’ = (ex)’7e 1n 7 A derivada de ex em relação à variável x é ex.

Logo, x

x

x

y’ = ( 7e )’ = (ex)’7e 1n 7 = ex 7e 1n 7 Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funções (a função x5 multiplicada pela função esenx), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:

D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou

d ( f ( x).g ( x) ) dx

=

df ( x) dg ( x) . .g ( x) + f ( x). dx dx

No caso, temos que: h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções x5 e e senx.

A função x 5 é uma função simples de x, cuja derivada é (x 5)’ = 5x 5−1 = 5x 4.

Já a função esenx é uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

45

Logo, (esenx)’ = (senx)’esenx = cos x esenx Finalizando a derivada: h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ = 5x4 esenx + x5 cos x esenx A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando “x4 vezes e elevado ao seno de x” em evidência: h’(x) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx = x4 esenx (5 + x cos x) Exemplo 2.18. Derive y = tgx5.1n (3x2 + 8) Vamos começar este exemplo aplicando a regra da derivada do produto de duas funções (a função tangente de x5 multiplicada pela função logaritmo neperiano de 3x2 + 8), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:

D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou

d ( f ( x).g ( x) ) dx

=

df ( x) dg ( x) . .g ( x) + f ( x). dx dx

No caso, temos que: y’ = (tgx5.1n (3x2 + 8))’ = (tgx5)’.1n (3x2 + 8) + tgx5.(1n (3x2 + 8))’ Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções tgx5 e 1n (3x2 + 8).

A função tgx5 é uma função composta dada por u = u(x) = x5 e f (u) = tgu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (tgu)’ = u’sec2 u.

Logo, (tgx5)’ = (x5)’sec2 x5 = 5x4 sec2 x5 A função (3x2 + 8) é uma função composta dada por u = u(x) = 3x2 + 8 e f (u) = 1n u.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( ln u ) = ,

u, . u

46

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Logo,

( ln (3x

2

+ 8)

)

( 3x =

,

2

+ 8)

,

3x + 8 2

( 3x ) + (8) = 2 ,

3x + 8 2

3( x2 ) + ( 0) ,

,

=

3x + 8 2

=

3.2 x 6x = 2 2 3x + 8 3x + 8

Finalizando a derivada:

(

)

y , = ( tgx 5 ) .ln ( 3 x 2 + 8 ) + tgx 5 . ln ( 3 x 2 + 8 ) = ( 5 x 4 sec 2 x 5 ) ln ( 3 x 2 + 8 ) + tgx 5 ,

,

6x 3x 2 + 8

7

e x −8 x .

Exemplo 2.19. Derive y = senx 4 Iniciamos a resolução deste exemplo aplicando a regra da derivada do quociente de duas funções (a função “base e elevada ao expoente x7 − 8x” dividida pela função “seno de x4”), ou seja, a regra D4 vista no capítulo 1:

d ( f ( x).g ( x) ) ⎛ f ( x) ⎞ f , ( x).g ( x) − f ( x).g , ( x) = ou D4. ⎜ ⎟= 2 g ( x ) dx g ( x ) ⎝ ⎠ ( ) ,

df ( x) dg ( x) .g ( x) − f ( x). dx dx 2 g ( x ) ( )

No caso, temos que:

⎛ e x −8 x y =⎜ ⎜ senx 4 ⎝ 7

,

(

, ex ⎞ ⎟⎟ = ⎠

7

−8 x

) senx ,

4

− ex

7

−8 x

( senx )

4 ,

( senx )

4 2

Para concluirmos a derivada, precisamos derivar, em relação à variável x, as funções 7 ex −8x e senx4.

7

A função ex −8x é uma função composta dada por u = u(x) = x7 − 8x e f (u) = eu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

47

Logo, 7

7

7

7

(ex − 8x)’ = (x7 − 8x)’ex − 8x = ((x7)’ − (8x)’)ex − 8x = (7x6 − 8)ex − 8x A função senx4 é uma função composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’cos u.

Logo, (senx4)’ = (x4)’ cos x4 = 4x 3 cos x4 Finalizando a derivada: ⎛ e x −8 x y =⎜ ⎜ senx 4 ⎝ 7

,

(

, ex ⎞ = ⎟⎟ ⎠

7

−8 x

) senx − e ( senx ) = ( 7 x − 8) ( e ) senx − e ( 4 x cos x ) ,

4

4 ,

x7 −8 x

x7 −8 x

6

( senx )

4 2

x7 −8 x

4

3

4

sen 2 x 4

A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando “e elevado a x7 − 8x” em evidência: ⎛ e x −8 x y , =⎜ ⎜ senx 4 ⎝ 7

(

, 6 x ⎞ ( 7 x − 8) e = ⎟⎟ ⎠

7

−8 x

) senx − e ( 4 x cos x ) = ( e ) ⎡⎣( 7 x − 8) senx − 4 x cos x ⎤⎦ 4

x7 −8 x

3

4

x7 −8 x

6

sen 2 x 4

4

3

4

sen 2 x 4

Observe que podemos escrever a função seno ao quadrado de x elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4.

Exemplo 2.20. Derive y = 5 3 x 4 + x 2 + arctg ( x 3 − 4 x ) .

Começamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funções (a função “5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2” mais a função “arcotangente de x3 − 4x”), ou seja, a regra D1 vista no capítulo 1: D1. ( f ( x) ± g ( x) ), = f , ( x) ± g , ( x) ou

d ( f ( x) ± g ( x) ) dx

=

df ( x) dg ( x) . ± dx dx

48

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

No caso, temos que:

) (

(

y , = 5 3 x 4 + x 2 + arctg ( x 3 − 4 x ) = 5 3 x 4 + x 2 ,

) + ( arctg ( x − 4 x )) ,

3

,

Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função para a parcela que contém a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no capítulo 1: , D2. ( k.f ( x) ) = k.f ( x) ou ,

d ( k.f ( x) ) dx

= k.

df ( x) . dx

No caso, temos que:

(

y , = 5 3x 4 + x 2

) + ( arctg ( x − 4x )) = 5 ( ,

,

3

3x 4 + x 2

) + ( arctg ( x − 4 x )) ,

3

,

A função 3 x 4 + x 2 é uma função composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u .

( u ) = 2u u . ,

,

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que Logo,

(

)

,

3x 4 + x 2 =

( 3x

4

+ x2 )

,

2 3x 4 + x 2

( 3x ) +( x ) 4 ,

=

2 ,

2 3x 4 + x 2

=

3 ( 4 x3 )+( 2 x )

=

2 3x 4 + x 2

12 x 3 + 2 x 2 3x 4 + x 2

=

2 x ( 6 x 2 + 1) 2 3x 4 + x 2

=

x ( 6 x 2 + 1) 3x 4 + x 2

A função arctg(x3 − 4x) é uma função composta dada por u = u(x) = x3 − 4x e f (u) = arctgu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( arctgu ) = ,

u, .

1+ u2

Logo,

(arctg (x − 4 x )) = (x − 4 x ) 1 + (x − 4 x ) 3

,

,

3

3

2

(x ) − (4 x ) = 1 + (x − 4 x ) 3 ,

,

3

2

(x ) − 4(x ) = 1 + (x − 4 x ) 3 ,

,

3

2

=

3x 2 − 4

(

1 + x3 − 4 x

)

2

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

49

Finalizando a derivada:

)

(

(

,

(

y , = 5 3 x 4 + x 2 + arctg x 3 − 4 x

Exemplo 2.21. Derive y =

)) = 5§¨¨ x(6 x

)

+1 · 3x 2 − 4 ¸+ 3 2 ¸ © 3x + x ¹ 1 + x − 4 x

,

2

(

4

=

)

2

(

)+

5x 6x2 + 1 3x + x 4

2

3x 2 − 4

(

1 + x3 − 4 x

)

2

ex + e x .

Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: a função e x , lida como raiz quadrada de e x , e a função e x , lida como e elevado à raiz quadrada de x.

Vamos, então, aplicar a propriedade D1, ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) . No caso, ,

y, =

(e

x

+e

x

) = ( e ) + (e ) ,

,

x

x

,

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de x: e x e e x .

A derivada de

e x , em relação à variável x, é:

( e ) = 2(e e) x

,

( u ) = 2u u , sendo, no caso, u = e .

x , x

,

,

, pois

x

Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de ex é ex.

Ou seja,

( e ) = 2(e e) x

x ,

,

x

A derivada de e

x

=

ex 2 ex

, em relação à variável x, é:

(e ) = ( x ) e x

pois (eu)’ = u’eu, sendo, no caso, u =

,

,

x.

x

,

50

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de

x é

1 .

2 x

Ou seja,

(e ) = ( x ) e x

,

,

=

x

1 2 x

Finalizando a derivada da função y = e x + e

y, =

(e

x

+e

x

e

x

=

e x 2 x

:

) = ( e ) + (e ) = 2 e e ,

x

x

,

x

x

,

x

+

e x 2 x

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar a constante ½ em evidência:

y, =

(e

x

+e

x

) = 2ee x

,

x

+

e x e x ·¸ 1 § ex = ¨¨ + x ¸¹ 2 x 2 © ex 7

x3 · 3 § Exemplo 2.22. Derive y = ¨ senx + 5 + e ¸ .

©

¹

3

Temos de derivar uma função composta dada por u = u ( x ) = senx 3 + 5 + e x e f (u) = u7.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.

3

Sendo, no caso, n = 7 e u = u ( x ) = senx 3 + 5 + e x , a derivada da função 7

3 y = §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ é: © ¹

,

7 , 7 −1 3 3 3 § · y , = ¨¨ §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¸¸ = 7§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ .§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¹ ¹ © ¹ © ¹ ©©

,

, 6 7 3 3 3 § · y = ¨¨ §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¸¸ = 7§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ .§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¹ ¹ ¹ © ¹ © ©© ,

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

51

Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função

§¨ senx 3 + 5 + e x3 ©

·¸ . ¹

Vamos aplicar, inicialmente, a propriedade D1, ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) , visto que a função a ser derivada é formada pela soma de duas funções de x, as funções 3 senx3 e 5 + e x . ,

Vejamos: ,

(

)

§¨ senx 3 + 5 + e x3 ·¸ = senx 3 , + §¨ 5 + e x3 ·¸ © ¹ © ¹

,

Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de 3 x, as funções senx3 e 5 + e x .

A derivada de senx3, em relação à variável x, é: (senx3)’ = (x3)’ cos x3 = 3x2 cos x3, pois (senu)’ = (u)’cos u, sendo, no caso, u = x3.

3

5 + e x , em relação à variável x, é:

A derivada de

(

3

)

,

, x §¨ 5 + e x3 ·¸ = 5 + e © ¹ 2 5 + e x3 ,

pois

( u ) = 2u u , sendo, no caso, u = 5 + e ,

,

x3

.

3

Ainda temos de derivar 5 + ex em relação à variável x. Vamos aplicar, novamente, a , propriedade D1, ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) : A derivada da constante 5, em relação à variável x, é zero, ou seja, (5)’ = 0 3

3

3

3

A derivada da função ex , em relação à variável x, é (ex )’ = (x3)’ex = 3x2ex , pois (eu)’ = (u)’eu.

52

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Concluindo a derivada de

3 5 + ex :

(

)

( )

, x (5) + e x = 0 + 3x 2e x = 3x 2e x §¨ 5 + e x3 ·¸ = 5 + e = 3 3 3 © ¹ 2 5 + e x3 2 5 + ex 2 5 + ex 2 5 + ex 3

,

,

3

,

3

3

7

x3 · 3 § Finalizando derivada da função y = ¨ senx + 5 + e ¸ : © ¹

,

7 , 6 3 3 3 § · y = ¨¨ §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¸¸ = 7§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ .§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¹ ¹ ¹ © ¹ © ©© ,

,

7 , 6 3 3 3 · § · § , y , = ¨¨ §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¸¸ = 7¨¨ senx 3 + §¨ 5 + e x ·¸ ¸¸.§¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ © ¹ ¹© ¹ ¹ ¹ © ©©

(

)

3 7 § 2 §§ 3x 2e x x3 · · 3 3 ¨ y = ¨¨ ¨ senx + 5 + e ¸ ¸¸ = 7 3 x cos x + 3 ¨ ¹ ¹ ©© 2 5 + ex ©

,

,

6 ·§ ¸.¨ senx 3 + 5 + e x3 ·¸ ¸© ¹ ¹

A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 em evidência: 3 7 , § §§ ex x3 · · 3 2¨ 3 y = ¨¨ ¨ senx + 5 + e ¸ ¸¸ = 7.3 x cos x + 3 ¨ ¹ ¹ ©© 2 5 + ex ©

,

3 7 , § 3 § · ex y , = ¨¨ §¨ senx 3 + 5 + e x ·¸ ¸¸ = 21x 2 ¨ cos x 3 + 3 ¨ ¹ ¹ ©© 2 5 + ex ©

6 ·§ ¸¨ senx 3 + 5 + e x3 ·¸ ¸© ¹ ¹ 6 ·§ ¸¨ senx 3 + 5 + e x3 ·¸ ¸© ¹ ¹

Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex) Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: as funções trigonométricas cossec(x5 − 7x) e cot g(ex).

Vamos, então, aplicar a propriedade D1, relativa à derivada da soma de duas funções: , ( f ( x) ± g ( x) ) = f , ( x) ± g , ( x) . Ou seja,

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

53

y’ = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’ Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de x, (x5 − 7x) e cot g(ex).

A derivada de cossec (x5 − 7x), em relação à variável x, é: (cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x), pois (cossec u) = u’ cossec u.cot gu.

Visto que (x5 − 7x)’ = (x5)’− (7x)’ = (x5)’− 7(x)’ = 5x4 − 7.1 = 5x4 − 7, a derivada original fica: (cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) (cossec(x5 − 7x))’ = − (5x4 − 7) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) Podemos escrever − (5x4 − 7) como + (− 5x4 + 7) = (7 − 5x4). Sendo assim: (cossec(x5 − 7x))’ = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) A derivada de cot g(ex), em relação à variável x, é: (cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex), pois (cot gu)’ = − (u)’ cossec2(u).

Visto que (ex)’ = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica: (cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex) = − ex cossec2(ex) Finalizando derivada da função y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex): y = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’ y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) + (− ex cossec2(ex)) y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) − ex cossec2(ex)

54

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx).

A primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = arccos(senx), lida como o arcocosseno do seno de x.

Se enxergarmos a função u = u(x) como u = senx, temos de derivar uma função composta dada por f (u) = arccosu.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (arccos u ), =

− u, 1 − u2

.

Ou seja,

− (senx )

,

y , = (arccos(senx )) = ,

1 − (senx )

2

Visto que (senx)’ = cos x e que (senx)2 = sen2x, a derivada do exemplo 2.24 fica:

y , = (arccos (senx )), =

− ( senx ), 1 − (senx )

2

=

− cos x

=

1 − sen x 2

− cos x

=

2

cos x

− cos x = −1 cos x

Exemplo 2.25. Derive y = cos5 (1n (x4 + x2)).

Assim como no exemplo anterior, a primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = cos5 (1n (x4 + x2)), que também pode ser escrita como y = (cos (1n (x4 + x2)))5. Essa função é lida como o cosseno a quinta do logaritmo neperiano da soma x4 + x2.

Se enxergarmos a função u = u(x) como u = cos(1n (x4 + x2)), temos de derivar uma função composta dada por f (u) = u5.

Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.

Sendo, no caso, n = 5 e u = cos(1n (x4 + x2)), a derivada da função y = (cos(1n(x4 + x2)))5 é:

(( ( ( y = ((cos(ln (x

y , = cos ln x 4 + x 2 ,

4

))) ) = 5(cos(ln (x

+ x2

5 ,

4

))) ) = 5(cos(ln(x 5 ,

4

+ x2

))) (cos(ln (x

+ x2

,

4

))) (cos(ln(x ,

4

+ x2

)))

+ x2

)))

5−1

4

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

55

Visto que

(cos(ln(x

((

( (

y , = cos ln x 4 + x 2

4

+ x2

)))

4

( (

))

= cos4 ln x 4 + x 2 :

))) ) = 5(cos(ln(x 5 ,

+ x2

4

))) cos (ln(x ,

4

+ x2

4

))

Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função cos(1n (x4 + x2)).

Vamos aplicar a seguinte regra de derivação da função composta: (cosu)’ = − u’ senu.

Ou seja,

(cos(ln(x

4

+ x2

))) = −(ln(x ,

4

)) ( ( ,

+ x 2 sen ln x 4 + x 2

))

Agora, precisamos derivar, em relação à variável x, a função 1n (x4 + x2). Vamos aplicar , seguinte regra de derivação da função composta: (ln u ), = u . u Vejamos:

(ln(x

4

+x

2

)) = (xx

) ( ) ( ) ,

,

,

+ x2 x4 + x2 4 x3 + 2 x = = 4 + x2 x4 + x2 x4 + x2

4

,

A derivada de 1n (x4 + x2) já foi concluída, mas, ainda, podemos fazer as seguintes simplificações, colocando 2x em evidência no numerador e x2 em evidência no denominador:

(ln (x

4

+ x2

)) = 4xx ++ x2 x = 2xx((2xx ++11)) = 2x((2xx ++11)) 3

,

4

2

2

2

2

2

2

Finalizando derivada da função y = cos5 (1n (x4 + x2)):

( (

y , =5 cos ln ( x 4 + x 2 )

)) cos ( ln ( x + x ))=5 ( − ( ln( x + x )) sen( ln( x + x ))) cos ( ln ( x + x )) ,

4

4

2

4

§ § 4x3 + 2 x · ¸ sen ln x 4 + x 2 y , = 5¨¨ − ¨¨ 4 2 ¸ © © x +x ¹

( (

,

2

4

))·¸¸ cos (ln (x 4

¹

2

4

+ x2

4

))

4

2

56

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

§ 4 x3 + 2 x · ¸ sen ln x 4 + x 2 cos 4 ln x 4 + x 2 y , = −5¨¨ 4 2 ¸ © x +x ¹

( (

( (

) ·¸ ) ¸¹sen(ln (x

§ 2 x 2x2 + 1 y , = −5¨¨ 2 2 © x x +1 y, =

4

))

( (

))

))

( (

))

+ x 2 cos 4 ln x 4 + x 2

− 10 § 2 x 2 + 1 · ¨ ¸ sen ln x 4 + x 2 cos 4 ln x 4 + x 2 x ¨© x 2 + 1 ¸¹

( (

Exercícios Propostos – Capítulo 2.

Exercício 2.1. Derive f (x) = (x5 − 7)60.

Exercício 2.2. Derive f (x) = (x5 + x6)3.

Exercício 2.3. Derive f (x) = (x8 + 3)− 63.

(

Exercício 2.4. Derive f ( x) = 4 x 5 + 7

)

4

5

5

2 Exercício 2.5. Derive y = §¨ + 3x 2 ·¸ . ©x ¹

Exercício 2.6. Derive y = 1n(2x + 3x2).

Exercício 2.7. Derive y = ln

(

)

x +2.

Exercício 2.8. Derive y = 1n(ex + x2).

Exercício 2.9. Derive f (x) = cos(3x − 2).

Exercício 2.10. Derive f (x) = cos x3.

Exercício 2.11. Derive f (x) = cos3 x.

.

))

( (

))

Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável

Exercício 2.12. Derive f (x) = cos(ex).

Exercício 2.13. Derive f (x) = ecosx.

3

Exercício 2.14. Derive f (x) = e4x − 5x .

Exercício 2.15. Derive f ( x) = e

x 2 +3

.

Exercício 2.16. Derive h (x) = senx esenx.

Exercício 2.17. Derive y = cotgx3 1n(cosx + 5).

2

Exercício 2.18. Derive y =

e6 x−5 x . senx2

(

) + 8 x + arcsen(2 x − 5 x ).

Exercício 2.19. Derive y = 7 4 x 2 + 7 + arccos 3x 3 − x .

Exercício 2.20. Derive y = 3 x 2

3

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.

Exercício 2.1. f , ( x) = 300 x 4 (x 5 − 7 )59 Exercício 2.2. f , ( x) = 3x 4 (5 + 6 x )(x 5 + x 6 )2 Exercício 2.3. f , ( x) =

− 504 x 7

(x

Exercício 2.4. f , ( x) = 5

8

)

+3

64

16 x 4 4x5 + 7

§ −1 ·§ 2 · Exercício 2.5. y , = 10¨ 2 + 3x ¸¨ + 3x 2 ¸ ©x ¹© x ¹

Exercício 2.6. y , = , Exercício 2.7. y =

2(1 + 3x) x( 2 + 3 x ) 2 x

(

1 x +2

)

4

57

58

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 2.8. y , =

ex + 2x ex + x2

Exercício 2.9. f , ( x) = −3sen(3x − 2) Exercício 2.10. f , ( x) = −3 x 2 senx 3 Exercício 2.11. f , ( x) = −3senx cos 2 x Exercício 2.12. f , ( x) = −e x sene x Exercício 2.13. f , ( x) = −ecos x senx Exercício 2.14. f , ( x) = (4 − 15x)e 4 x−5 x Exercício 2.15. y , =

xe

3

x 2 +3

x2 + 3

Exercício 2.16. h’ (x) = esenx cosx(1 + senx). , 2 2 3 Exercício 2.17. y = −3x cos sec x . ln(cos x + 5) −

, Exercício 2.19. y =

Exercício 2.20. y , =

(

)

2e 6 x − 5 x (3 − 5 x) senx 2 − x cos x 2 . sen 2 x 2 2

Exercício 2.18. y , =

senx. cot gx3 . cos x + 5

28 x 4x2 + 7

−

2( x + 4) 33 ( x 2 + 8 x ) 2

9x2 − 1 1 − (3 x 3 − x ) 2

+

.

6x2 − 5 1 − (2 x 3 − 5 x) 2

.

Capítulo 3 Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

Vamos pensar em uma função que tenha “duas entradas”, ou seja, uma função de duas variáveis, as variáveis x e y, indicada por z = f (x, y).

Podemos calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável x, indicada por

∂z ∂f ( x, y ) ou , ∂x ∂x lida como “deo z deo x”. Nesse caso, imaginamos que a variável y “atua como uma constante”.

Podemos, também, calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável y, indicada por ∂z ∂f ( x , y ) ou , ∂y ∂y

lida como “deo z deo y”. Nesse caso, imaginamos que a variável x “atua como uma constante”.

Exemplo 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 + y5.

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a

60

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que:

(

) ( ) ( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 + y 5 ∂ x5 ∂ y5 = = = + ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4.

A derivada de y5 em relação à variável x é equivalente à derivada de uma constante em relação à variável x, ou seja, é zero.

Sendo assim,

(

) ( ) ( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 + y 5 ∂ x5 ∂ y 5 = = = + = 5x 4 + 0 = 5x 4 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, temos que:

(

) ( ) ( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 + y 5 ∂ x 5 ∂ y 5 = = = + ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

A derivada de x5 em relação à variável y é equivalente à derivada de uma constante em relação à variável y, ou seja, é zero.

A derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4.

Sendo assim,

(

) ( ) ( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 + y 5 ∂ x5 ∂ y5 = = = + = 0 + 5y4 = 5y4 ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

Exemplo 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 y5.

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a pro-

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

61

priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, temos que:

(

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 . y 5 ∂ x5 = = = y5 ∂x ∂x ∂x ∂x

Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4. Sendo assim,

(

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 . y 5 ∂ x5 = = = y5 = y 5 5x 4 = 5x 4 y 5 . ∂x ∂x ∂x ∂x

( )

Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:

(

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 . y 5 ∂ y5 = = = x5 ∂y ∂y ∂y ∂y

Já vimos que a derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4. Sendo assim,

(

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 5 . y 5 ∂ y5 = = = x5 = x5 5 y 4 = 5x5 y 4 . ∂y ∂y ∂y ∂y

( )

Exemplo 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x.

Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então 7y e 5y3 também “funcionam” como constantes. Vamos aplicar as propriedades D1 e D2 do capítulo 1: D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duas funções.

D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode ser qualquer número real.

62

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

No caso, temos que:

(

) (

) (

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ 7 x 2 y + 5 y 3 ln x ∂ 7 x 2 y ∂ 5 y 3 ln x ∂ x2 ∂ (ln x ) = = = + = 7y + 5 y3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x A derivada de x2 em relação à variável x é 2x2−1 = 2x.

A derivada de 1n x em relação à variável x é

1 . x

Sendo assim,

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x2 ∂ (ln x ) 1 5 y3 = = 7y + 5 y3 = 7 y (2 x ) + 5 y 3 = 14 xy + ∂x ∂x ∂x ∂x x x

Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x = 7x2y + 5 (1n x)y3 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 7x2 e 5 1n x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que:

(

) (

) (

)

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ 7 x 2 y + 5 y 3 ln x ∂ 7 x 2 y ∂ 5 y 3 ln x ∂( y ) ∂ y3 = = = + = 7x2 + 5 ln x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

A derivada de y em relação à variável y é 1.

A derivada de y3 em relação à variável y é 3y3−1 = 3y2.

Sendo assim,

( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂( y ) ∂ y3 = = 7x2 + 5 ln x = 7 x 2 (1) + 5 ln x 3 y 2 = 7 x 2 + 15 y 2 ln x ∂y ∂y ∂y ∂y

( )

Exemplo 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny.

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então 3y e 2seny também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que:

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

63

∂z ∂f ( x, y ) ∂ (3 y cos x + 2 xseny ) ∂ (3 y cos x ) ∂ (2 xseny ) ∂ (cos x ) ∂ (x ) = = = + = 3y + 2 seny ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

A derivada de cos x em relação à variável x é − senx.

A derivada de x em relação à variável x é 1.

Sendo assim, ∂(x ) ∂ (cos x ) ∂z ∂f ( x, y ) = 3 y (− senx ) + 2seny (1) = −3 ysenx + 2 seny + 2seny = 3y = ∂x ∂x ∂x ∂x

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 3cosx e 2x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: ∂ ( seny ) ∂ ( y) ∂z ∂f ( x,y ) ∂ ( 3 y cos x + 2 xseny ) ∂ ( 3 y cos x ) ∂ ( 2 xseny ) = = + =3 cos x +2x = ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

A derivada de y em relação à variável y é 1.

A derivada de seny em relação à variável y é cos y.

Sendo assim, ∂ ( seny ) ∂ ( y) ∂z ∂f ( x,y ) = + 2x = 3 cos x (1) + 2 x ( cos y ) = 3ccos x + 2 x cos y = 3 cos x ∂y ∂y ∂y ∂y

Exemplo 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3.

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então 3y4 e 8seny3 também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: 4 2 3 4 2 3 ∂z ∂f ( x,y ) ∂ ( 3 y cos x − 8 xseny ) ∂ ( 3 y cos x ) ∂ ( 8 xseny ) = − = = ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

64

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

(

)

∂z ∂f ( x, y ) ∂ cos x 2 ∂(x ) = = 3y4 − 8seny 3 ∂x ∂x ∂x ∂x A derivada de cos x2 em relação à variável x é − (x2)’ senx2 = − 2xsenx2. Trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (cos u)’ = − u’senu. No caso, u = x2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja, u’ = 2x.

A derivada de x em relação à variável x é 1.

Sendo assim,

(

)

∂z ∂f ( x, y ) ∂ cos x 2 ∂(x ) = = 3y4 − 8seny 3 = 3 y 4 − 2 xsenx 2 − 8seny 3 (1) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂z ∂f ( x, y ) = = −6 xy 4 senx 2 − 8seny 3 ∂x ∂x

(

)

Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 3cosx2 e 8x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: 4 2 3 4 2 3 ∂ ( y4 ) ∂ ( seny 3 ) ∂z ∂f ( x,y ) ∂ ( 3 y cos x − 8 xseny ) ∂ ( 3 y cos x ) ∂ ( 8 xseny ) = − = 3 cos x 2 − 8x = = ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y

A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.

A derivada de seny3 em relação à variável y é (y3)’cosy3 = 3y2 cosy3. Trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (senu)’ = u’ cos u. No caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = 3y2.

Sendo assim, ∂ ( seny 3 ) ∂ ( y4 ) ∂z ∂f ( x,y ) 2 = − 8x = 3 cos x 2 ( 4 y 3 ) − 8 x ( 3 y 2 cos y 3 ) = 3 cos x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂z ∂f ( x,y ) = = 12 y 3 cos x 2 − 24 xy 2 cos y 3 ∂y ∂y

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

3

65

5

Exemplo 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e8x +y .

3

5

A derivada de z = f (x, y) = e8x +y em relação à variável x é indicada por:

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ e8 x + y = = ∂x ∂x ∂x 3

3

5

)

5

Para derivarmos e8x +y em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante e, consequentemente, y5 também “funciona” como constante. Sendo assim, a derivada de y5 em relação à variável x é zero.

Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 3 5 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x +y em relação à variável x é (8 x 3 + y 5 ), e8 x

3

+ y5

((

) ( )) ,

,

= 8 x 3 + y 5 e8 x

3

+ y5

((

) ( )) ,

,

= 8 x 3 + y 5 e8 x

3

+ y5

(

)

= 8.3x 2 + 0 .e8 x

3

+ y5

= 24 x 2e8 x

3

+ y5

Logo,

(

)

8 x3 + y 5 ∂z ∂f ( x , y ) ∂ e 8 x + y = 24 x 2 e = = ∂x ∂x ∂x

3

3

5

5

A derivada de z = f (x, y) = e8x +y em relação à variável y é indicada por:

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ e8 x + y = = ∂y ∂y ∂y 3

3

5

)

5

Para derivarmos e8x +y em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante e, consequentemente, 8x3 também “funciona” como constante. Sendo assim, a derivada de 8x3 em relação à variável y é zero.

Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, 3 5 é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x +y em relação à variável y é

((

) ( ))

(

)

, , (8 x 3 + y 5 ), e8 x + y = 8 x 3 + y 5 e8 x + y = 0 + 5 y 4 e8 x + y = 5 y 4e8 x + y .

3

5

3

5

Logo,

(

)

8 x3 + y5 ∂z ∂f ( x, y ) ∂ e8 x + y = = = 5 y 4e ∂y ∂y ∂y 3

5

3

5

3

5

66

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

3

Exemplo 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ey 1n(5x2 + 6x).

3

Para derivarmos z = f (x, y) = ey 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x, imaginamos que a 3 variável y “funciona” como constante. Logo, ey também “funciona” como constante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:

(

3

))

(

( (

2 3 ∂ ln 5 x ∂z ∂f ( x, y ) ∂ e y . ln 5 x 2 + 6 x + 6x = = = ey ∂x ∂x ∂x ∂x

))

A derivada de 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x é

(5 x

)

,

10 x + 6 + 6x = 2 , 5x2 + 6 x 5x + 6 x 2

pois 1n(5x2 + 6x) é uma função composta de x que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por

(ln u ), = u

,

u

.

No caso, u = 5x2 + 6x e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja, u’ = (5x2 + 6x)’ = (5x2)’ + (6x)’ = 5(x2)’ + 6(x)’ = 5(2x) + 6(1) = 10x +6.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:

( (

))

2 3 ∂ ln 5 x 3 § 10 x + 6 · ∂z ∂f ( x, y ) + 6x = = ey = ey ¨ 2 ¸ ∂x ∂x ∂x © 5x + 6 x ¹

Podemos colocar a constante 2 em evidência no numerador e x em evidência no denominador: 3

3 § 10 x + 6 · ∂z ∂f ( x, y ) 2e y § 5 x + 3 · y 3 § 2(5 x + 3) · ¸¸ = = = ey ¨ 2 ¸ = e ¨¨ ¨ ¸ ∂x ∂x x © 5x + 6 ¹ © 5x + 6 x ¹ © x(5 x + 6) ¹

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

67

3

Para derivarmos z = f (x, y) = ey 1n(5x2 + 6x) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, 1n(5x2 + 6x) também “funciona” como constante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:

(

))

(

3

)( )

∂z ∂f ( x, y ) ∂ e y . ln 5 x 2 + 6 x ∂ ey = = = ln 5 x 2 + 6 x ∂y ∂y ∂y ∂y 3

(

3

3

3

3

A derivada de ey em relação à variável y é (y3)’ey = 3y2 ey , pois ey é uma função composta de y que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. No caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (y3)’ = 3y2.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:

)( ) ( (

))(

3

)

3 3 ∂ z ∂f ( x , y ) ∂ ey = = ln 5 x 2 + 6 x = ln 5 x 2 + 6 x 3 y 2 e y = 3 y 2 e y ln 5 x 2 + 6 x ∂y ∂y ∂y

(

(

)

Exemplo 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4).

Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Logo, 3y4 também “funciona” como constante.

Essa derivada parcial é indicada por:

(

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ arctg 10 x 3 + 3 y 4 = = ∂x ∂x ∂x

))

A derivada de arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x é

(10 x

)

,

+ 3y4 30 x 2 = , 1 + (10 x 3 + 3 y 4 ) 2 1 + (10 x 3 + 3 y 4 ) 2 3

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é u, , derivada por (arctgu ) = . No caso, u = 10x3 + 3y4 e u’ é a derivada de u em relação 1+ u2 à variável x, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + (3y4)’ = 10(x3)’ + (3y4)’ = 10(3x2) + (0) = 30x2.

Lembre-se que a derivada de 3y4 em relação à variável x é zero.

68

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:

(

(

))

30 x 2 ∂z ∂f ( x, y ) ∂ arctg 10 x 3 + 3 y 4 = = = ∂x 1 + (10 x 3 + 3 y 4 ) 2 ∂x ∂x

Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, 10x3 também “funciona” como constante.

Essa derivada parcial é indicada por:

(

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ arctg 10 x 3 + 3 y 4 = = ∂y ∂y ∂y

))

A derivada de arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y é

(10 x

)

,

+ 3y4 12 y 3 = , 4 2 1 + (10 x + 3 y ) 1 + (10 x 3 + 3 y 4 ) 2 3

3

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é u, , derivada por (arctgu ) = . No caso, u = 10x3 +3y4 e u’ é a derivada de u em relação 1 + u2 à variável y, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + 3(y4)’ = (0) + 3(4y3) = 12y3. Lembre-se que a derivada de 10x3 em relação à variável y é zero.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:

(

(

))

∂z ∂f ( x, y ) ∂ arctg 10 x 3 + 3 y 4 12 y 3 = = = ∂y ∂y ∂y 1 + (10 x 3 + 3 y 4 ) 2 Exemplo 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f ( x, y ) = A derivada parcial de z = f ( x, y ) =

2 x + seny . x3 + y 3

2 x + seny em relação à variável x é indicada por: x3 + y3

§ 2 x + seny · ¸ ∂¨¨ 3 x + y 3 ¸¹ ∂z ∂f ( x, y ) © = = ∂x ∂x ∂x

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

69

Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:

(

§ 2 x + seny · ∂ (2 x + seny ) 3 ∂ x3 + y 3 3 ¸ ∂ ¨¨ 3 ( ) . x + y − 2 x + seny .

3 ¸ x +y ¹ ∂ z ∂f ( x , y ) ∂x ∂x = = = © 2 ∂x ∂x ∂x x3 + y 3

(

)

(

)

)

Sabemos a que derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções (propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 do capítulo 1). Sendo assim:

∂ (2 x + seny ) ∂ (2 x ) ∂ (seny ) ∂ ( x ) ∂ (seny ) = + =2 + ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

(

)

( ) ( )

∂ x3 + y 3 ∂ x3 ∂ y 3 = + ∂x ∂x ∂x A derivada de x em relação à variável x é 1.

A derivada de seny em relação à variável x é 0.

A derivada de x3 em relação à variável x é 3x2.

A derivada de y3 em relação à variável x é 0.

Logo,

∂ (2 x + seny ) ∂ (2 x ) ∂ (seny ) ∂ ( x ) ∂ (seny ) = + =2 + = 2(1) + 0 = 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

(

) ( ) ( )

∂ x3 + y3 ∂ x3 ∂ y 3 = + = 3x 2 + 0 = 3x 2 ∂x ∂x ∂x Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:

(

)

∂ x3 + y 3 ∂ (2 x + seny ) 3 . x + y 3 − (2 x + seny ).

2 x 3 + y 3 − (2 x + seny ) 3 x 2 ∂z ∂x ∂x = = 2 2 ∂x x3 + y3 x3 + y3

(

)

(

)

(

) (

(

∂z 2 x 3 + y 3 − 3 x 2 (2 x + seny ) = 2 ∂x x3 + y 3

)

) (

)

( )

70

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A derivada parcial de z = f ( x, y ) =

2 x + seny em relação à variável y é indicada por: x3 + y 3

§ 2 x + seny · ¸ ∂¨¨ 3 x + y 3 ¸¹ ∂z ∂f ( x, y ) © = = ∂y ∂y ∂y Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:

(

§ 2 x + seny · ∂ (2 x + seny ) 3 ∂ x3 + y 3 3 ¸ ∂¨¨ 3 ( ) + − + x y x seny .

2 . x + y 3 ¸¹ ∂z ∂f ( x, y ) ∂y ∂y = = © = 3 3 2 ∂y ∂y ∂y x +y

(

)

(

)

)

Sabemos que a derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções (propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 do capítulo 1). Sendo assim: ∂ (2 x + seny ) ∂ (2 x ) ∂ (seny ) + = ∂y ∂y ∂y

(

) ( ) ( )

∂ x3 + y 3 ∂ x3 ∂ y 3 + = ∂y ∂y ∂y

A derivada de 2x em relação à variável y é 0.

A derivada de seny em relação à variável y é cosy.

A derivada de x3 em relação à variável y é 0.

A derivada de y3 em relação à variável y é 3y2.

Logo, ∂ (2 x + seny ) ∂ (2 x ) ∂ (seny ) = + = 0 + cos y = cos y ∂y ∂y ∂y

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

71

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:

∂z = ∂y

(

∂ (2 x + seny ) 3 ∂ x3 + y 3 . x + y 3 − (2 x + seny ). ∂y ∂y

(

)

(x

3

+y

)

)

3 2

(

)

=

(cos y )(x 3 + y 3 ) − (2 x + seny )(3 y 2 )

(x

3

+ y3

)

2

∂z x 3 + y 3 cos y − 3 y 2 (2 x + seny ) = 2 ∂y x3 + y 3

(

)

Exemplo 3.10. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2).

Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Logo, y4 “funciona” como uma constante que multiplica x31n(x2 + y2).

Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produto da constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”, temos que:

(

(

))

(

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 3 y 4 ln x 2 + y 2 ∂ x 3 ln x 2 + y 2 = = = y4 ∂x ∂x ∂x ∂x

))

Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável x, temos de usar a propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funções é igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função com o produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:

(

(

))

( (

))

ª ∂( x3 ) ∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 3 ln x 2 + y 2 ∂ ln x 2 + y 2 º ln x 2 + y 2 + x 3 = = y4 = y4 « » ∂x ∂x ∂x ∂x ¼ ¬ ∂x

(

A derivada de x3 em relação à variável x é 3x3−1 = 3x2.

A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável x é

(x

)

,

+ y2 2x = 2 , 2 x + y2 x + y2 2

)

72

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é u, , derivada por (ln u ) = . No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável u x, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 2x +0 = 2x. Lembre-se que a derivada de y2 em relação à variável x é zero.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:

( (

))

ª ∂( x3 ) ∂z ∂f ( x, y ) ∂ ln x 2 + y 2 º 2 x ·º 4ª 2 2 2 3§ = = y4 « ln x 2 + y 2 + x 3 » = y « 3 x ln x + y + x ¨¨ x 2 + y 2 ¸¸» ∂x ∂x ∂x © ¹¼ ¬ ∂x ¼ ¬

(

)

( ) (

)

ª ∂z ∂f ( x, y ) 2x4 º = = y 4 «3 x 2 ln x 2 + y 2 + 2 ∂x ∂x x + y 2 »¼ ¬

(

)

A derivada parcial em relação à variável x já foi terminada, mas, para darmos a resposta final, ainda podemos “colocar x2 em evidência”:

ª ∂z ∂f ( x, y ) 2x2 º 2 x2 º 2 4ª 2 2 = = y 4 x 2 «3 ln x 2 + y 2 + 2 = + + x y 3 ln x y » « » ∂x ∂x x + y2 ¼ x2 + y 2 ¼ ¬

(

)

(

)

Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, x3 “funciona” como uma constante que multiplica y4 1n(x2 + y2).

Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produto da constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”, temos que:

(

(

))

(

(

∂z ∂f ( x, y ) ∂ x 3 y 4 . ln x 2 + y 2 ∂ y 4 . ln x 2 + y 2 = = = x3 ∂y ∂y ∂y ∂y

))

Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável y, temos de usar a propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funções é igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função com o produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:

(

(

))

( ) (

( (

))

ª∂ y4 ∂ z ∂f ( x , y ) ∂ y 4 ln x 2 + y 2 ∂ ln x 2 + y 2 º = = x3 = x3 « ln x 2 + y 2 + y 4 » ∂y ∂y ∂y ∂y ¬ ∂y ¼

)

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

73

A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.

A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável y é

(x

)

,

+ y2 2y = 2 , 2 2 x +y x + y2 2

pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é u, , derivada por (ln u ) = . No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável u y, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 0 + 2y = 2y. Lembre-se que a derivada de x2 em relação à variável y é zero.

Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:

( ) (

( (

))

ª∂ y4 ∂z ∂f ( x, y ) ∂ ln x 2 + y 2 º 2 y ·º 3ª 3 2 2 4§ = = x3 « ln x 2 + y 2 + y 4 » = x « 4 y ln x + y + y ¨¨ x 2 + y 2 ¸¸» ∂y ∂y ∂ ∂ y y © ¹¼ ¼ ¬

)

( ) (

)

ª ∂ z ∂f ( x , y ) 2 y5 º = = x 3 «4 y 3 ln x 2 + y 2 + 2 ∂y ∂y x + y 2 »¼ ¬

(

)

A derivada parcial em relação à variável y já foi terminada, mas, para darmos a resposta final, ainda podemos “colocar 2y3 em evidência”: ª ª ∂z ∂f ( x, y ) y2 º y2 º = = x 3 2 y 3 «2 ln x 2 + y 2 + 2 = 2 x 3 y 3 «2 ln x 2 + y 2 + 2 2» ∂y ∂y x +y ¼ x + y 2 »¼ ¬

(

)

(

)

Exercícios Propostos – Capítulo 3.

Exercício 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x7 + y8.

Exercício 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y11.

Exercício 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 4x3y + 5x5 1n y.

74

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2 cos y + 3 ysenx.

Exercício 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7y5 cos x3 − 4x2 seny4.

3

5

Exercício 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y + e3x .

3

5

Exercício 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y + 3x .

Exercício 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 .

3

Exercício 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ex + 5x 1n (3y2 + 8). § y4 · Exercício 3.10. Calcule as derivadas parciais de z = f ( x, y ) = arcsen¨¨ 6 x 5 + ¸¸.

3 ¹ ©

Exercício 3.11. Calcule as derivadas parciais de z = f ( x, y ) =

2 cos y + 5senx . x4 + 4 y2

Exercício 3.12. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2y5 1n(3x2 + y4).

Exercício 3.13. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = xy7 + cot g(x2 + x4). § y3 · Exercício 3.14. Calcule as derivadas parciais de z = f ( x, y ) = sec¨¨ 2 ¸¸. © x +1¹

Exercício 3.15. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5cos x + seny.

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.

Exercício 3.1.

∂f ∂f = 7 x6 e = 8 y7 ∂x ∂y

∂f ∂f 2 11 3 10 Exercício 3.2. ∂x = 3 x y e ∂y = 11x y

Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis

Exercício 3.3.

⎛ ∂f ∂f 5x2 ⎞ = x 2 (12 y + 25 x 2 ln y ) e = x3 ⎜ 4 + ⎟ ∂x ∂y y ⎠ ⎝

Exercício 3.4.

∂f ∂f = 10x cos y + 3y cosx e = − 5x2 seny + 3 senx ∂x ∂y

Exercício 3.5.

∂f ∂f = − 21x2 y5 senx3 − 8 xseny 3 e = 35y4 cos x3 − 16x2 y3 cos y4 ∂x ∂y

Exercício 3.6.

∂f 5 3 ∂f = 15x4 e3x e = 27y2 e9y ∂x ∂y

Exercício 3.7.

∂f 3 5 3 5 ∂f = 15x4 e9y + 3x e = 27y2 e9y + 3x ∂x ∂y

∂f Exercício 3.8. ∂x =

x x +y 2

2

e

∂f = ∂y

75

y x + y2 2

3

3 ∂f ∂f 6 ye x + 5 x = (3 x 2 + 5)e x + 5 x .ln(3 y 2 + 8) e = Exercício 3.9. ∂x ∂y 3 y 2 + 8

∂f

Exercício 3.10. ∂x =

30 x 4 § y4 · 1 − ¨¨ 6 x 5 + ¸¸ 3 ¹ ©

2

e

∂f = ∂y

4 y3 § y4 · 3 1 − ¨¨ 6 x 5 + ¸¸ 3 ¹ ©

2

Exercício 3.11.

4 2 3 2 4 ∂f 5 cos x ( x + 4 y ) − 4 x ( 2 cos y + 5senx ) ∂f −2 seny ( x + 4 y ) − 8 y ( 2 cos y + 5senx ) = = e 2 2 ∂x ∂y ( x4 + 4 y 2 ) ( x4 + 4 y 2 )

Exercício 3.12. § 3x 2 ∂f = 10 xy 5 ¨ ln 3x 2 + y 4 + ¨ ∂x 3x 2 + y 4 ©

(

)

(

)

2

§ · ∂f 4 y4 ¸e = 5 x 2 y 4 ¨ 5 ln 3x 2 + y 4 + ¨ ¸ ∂y 3x 2 + y 4 © ¹

(

)

(

)

2

· ¸ ¸ ¹

76

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

∂f ∂f 7 3 2 2 4 6 Exercício 3.13. ∂x = y − (2 x + 4 x )cos sec (x + x ) e ∂y = 7 xy

Exercício 3.14. ⎛ y 3 ⎞ ⎛ y 3 ⎞ ∂f ⎛ y3 ⎞ ⎛ y3 ⎞ ∂f −2 xy 3 3y2 sec sec e = tg = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ tg ⎜ 2 ⎟ 2 ∂x ( x 2 + 1)2 ⎝ x + 1 ⎠ ⎝ x + 1 ⎠ ∂y ( x + 1) ⎝ x +1⎠ ⎝ x +1⎠

Exercício 3.15.

∂f ∂f = (− senx)5cos x + seny.1n 5 e = (cos y)5cos x + seny.1n 5 ∂x ∂y

Capítulo 4 Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

Podemos pensar na integração como o processo contrário da derivação, também conhecido como antiderivação.

Vejamos um exemplo: dada a função f (x) = x2, queremos determinar outra função, chamada de F(x), cuja derivada seja f (x) = x2, ou F’(x) = f (x). Em outras palavras, queremos achar a função F(x) que é a primitiva (integral) de f (x) = x2.

Será que F(x) poderia ser a função “x elevado ao cubo”, ou seja, F(x) = x3 ?

A derivada de F(x) = x3 é a função 3x3, pois F , ( x) =

dF = 3 x 3−1 = 3 x 2 . dx

Ou seja, a derivada de F(x) = x3 não é exatamente x2, mas é “quase isso”.

Vamos tentar a função F ( x ) =

x3 ?

3

A derivada de F ( x) =

x3 1 3 = x 3 3

é a função x2, pois ,

F , ( x) =

dF § x 3 · 1 3 , 1 3−1 1 2 = ¨ ¸ = x = 3x = 3x = x 2 . dx ¨© 3 ¸¹ 3 3 3

( )

78

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja, a derivada de F ( x) =

x3 é exatamente x2.

3

x3 , cuja derivada seja f (x) = x2?

3 3 x3 Vamos tentar F ( x ) = x + 5 . A derivada de F ( x ) = + 5 também é a função x2, pois 3 3

Será que existe outra função F(x), além de F ( x ) =

,

F , ( x) =

,

· § x3 · dF § x 3 1 1 , = ¨¨ + 5 ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + (5 ) = 3 x 3−1 + 0 = 3 x 2 = x 2 , dx © 3 3 3 3 ¹ © ¹

lembrando que a derivada da constante 5 é zero.

3 Poderíamos ter testado, por exemplo, F ( x ) = x − 3 e, novamente, obteríamos como 3 4 derivada f (x) = x2.

x3

+ C , sendo C Pensando em termos mais gerais, qualquer função do tipo F ( x ) = 3 uma constante, tem como derivada f (x) = x2. A constante C pode ser qualquer número real (positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional ou irracional).

O processo descrito anteriormente é chamado de integração indefinida, ou apenas integração. A integral indefinida da função f (x) = x2 é indicada por

³ f ( x)dx = ³ x dx = 2

x3 +C. 3

Lemos que a integral de “x elevado ao quadrado” é “x elevado ao cubo, sobre 3”, mais a constante de integração C. A integral indefinida de uma função f (x) é indicada por F(x) é dita primitiva de f (x).

³ f ( x)dx = F ( x) + C . A função

Vejamos...

• ³ dx = ³ 1dx = x + C , pois a derivada de x + C, em relação à variável x, é 1.

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

•

1

³ x dx = ³ x

−1

dx = ln x + C ,

pois a derivada de 1n|x|+ C , em relação à variável x, é n • ³ x dx =

79

1 . x

x n +1 x n +1 + C , pois a derivada de + C , em relação à variável x, é n +1 n +1

( n + 1) x n+1−1 = xn . n +1

• ³ e x dx = e x + C , pois a derivada de ex, em relação à variável x, é ex.

• ³ senxdx = − cos x + C , pois a derivada de − cos x, em relação à variável x, é − (− senx) = senx.

• ³ cos xdx = senx + C , pois a derivada de senx, em relação à variável x, é cos x.

• ³ sec 2 xdx = tgx + C , pois a derivada de tgx, em relação à variável x, é sec2 x.

• ³ cos sec 2 xdx = − cot gx + C , pois a derivada de − cot gx, em relação à variável x, é cos sec2 x.

• ³ sec x.tgxdx = sec x + C , pois a derivada de sec x, em relação à variável x, é sec x.tgx.

• ³ cos sec x. cot gxdx = − cos sec x + C , pois a derivada de − cos sec x, em relação à variável x, é − (− cos sec x) = − (− cos sec . cot gx) = cos sec x . cot gx.

Seguindo o raciocínio anterior, podemos elaborar a tabela de integrais imediatas que segue.

80

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Tabela de integrais imediatas

Há duas propriedades designadas como P1 e P2 que podem ser usadas para resolver integrais:

• P1. ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx , • P2. k. f ( x)dx = k. f ( x)dx , sendo k uma constante.

A propriedade P1 afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais de cada uma das funções. Essa propriedade também é válida para mais de duas funções.

A propriedade P2 afirma que a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral da função.

Nos exemplos que seguem, chamaremos de “integrais diretíssimas da tabela” as que estão na tabela de integrais imediatas ou que, para serem resolvidas, dependem das propriedades P1 e P2.

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

81

Exemplo 4.1. Calcule ³ x 5 dx.

Esse é um dos casos mais simples de uso diretíssimo da tabela de integrais. Temos de integrar uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “x elevado a 5”.

Da tabela, temos que

³x

n

dx =

x n +1 +C. n +1

No caso, n = 5. Ou seja, a integral de “x elevado a 5” é “x elevado a 5 + 1, dividido por 5 + 1”, resultando em “x elevado a 6, dividido por 6”, além da constante de integração, conforme segue. x 5+1

³ x dx = 5 + 1 + C = 5

x6 +C 6

−7 Exemplo 4.2. Calcule ³ x dx.

Esse também é um caso de uso diretíssimo da tabela. Temos de integrar “x elevado a − 7”.

Da tabela, temos que

³x

n

dx =

x n +1 +C. n +1

No caso, n = − 7. Ou seja, a integral de “x elevado a − 7” é “x elevado a − 7 + 1, dividido pela soma − 7 + 1”, resultando em “x elevado a − 6, dividido por − 6”, além da constante de integração, conforme segue. −7 ³ x dx =

x −7 +1 x −6 −1 +C = +C = 6 +C − 7 +1 −6 6x

82

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Lembre-se que, somando 1 a − 7, temos − 6 e não − 8! Ou seja, a integral de x −7 é

−6 −1 x −6 . Na “transformação” de x em 6 x 6 −6 −6

não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a 1 1 equivalência x − a = a → x −6 = 6 . x x

5

Exemplo 4.3. Calcule ³ x 6 dx.

Temos de integrar “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela: n ³ x dx =

x n+1 + C. n +1

5 . Ou seja, a integral de “x elevado a 5 ” é “x elevado a 5 + 1 , dividido 6 6 6 11 pela soma 5 + 1 ”, resultando em “x elevado a , dividido por 11 ”, além da constante

No caso, n =

6

6

6

de integração, conforme segue.

5 +1

5+6

11

11

6x 6 x 6 x 6 x 6 ³ x 6 dx = 5 + 1 + C = 5 + 6 + C = 11 + C = 11 + C 6 6 6 5

Lembre-se que, para somar 5/6 com 1, devemos fazer: 5 + 1.6 5 + 6 11 5 +1 = = = .

6 6 6 6

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

83

Exemplo 4.4. Calcule ³ ( x −3 + x 3 )dx.

Temos de integrar a soma de “x elevado a − 3” com “x elevado a 3”.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade P1, que afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais das funções:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx.

Ou seja,

³ (x

−3

+ x 3 )dx = ³ x −3 dx + ³ x 3 dx

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por n ³ x dx =

x n+1 + C. n +1

Logo,

³ (x

−3

+ x 3 )dx = ³ x −3 dx + ³ x 3 dx =

x −3+1 x 3+1 x −2 x 4 − 1 x4 + +C = + +C = 2 + +C − 3 +1 3 +1 −2 4 2x 4

Observe que se integrarmos duas funções, cada uma delas “gera” sua constante de integração. Quando somamos as integrais dessas duas funções, temos a soma das constantes de integração. Como a soma de duas constantes resulta, sempre, em uma constante, podemos expressar essa soma como uma “única” constante C. 4 Exemplo 4.5. Calcule ³ (7 + 3x )dx.

Temos de integrar a soma de 7 com o triplo de “x elevado a 4”. Ou seja, a soma de 7 com x4 multiplicado pela constante 3.

84

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as propriedades P1 e P2, as quais, respectivamente, afirmam que:

• a integral da soma (ou da subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais das funções (P1);

• a integral do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é igual à constante k multiplicada pela integral da função (P2).

Ou seja,

³ (7 + 3 x

4

) dx = ³ 7 dx + ³ 3 x 4 dx = 7 ³ dx + 3³ x 4 dx

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por n ³ x dx =

x n +1 + C e ³ dx = x + C . n +1

Vejamos:

x 4+1

x5

³ (7 + 3x )dx = 7³ dx + 3³ x dx = 7 x + 3 4 + 1 + C = 7 x + 3 5 + C = 7 x + 4

4

3x 5 +C 5

Exemplo 4.6. Calcule ³ (8 + cos x)dx.

Temos de integrar a soma de 8 com o cosseno de x.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx.

Ou seja,

³ (8 + cos x)dx = ³ 8dx + ³ cos xdx = 8³ dx + ³ cos xdx

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

85

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:

³ dx = x + C e ³ cos xdx = senx + C. Logo,

³ (8 + cos x)dx = 8³ dx + ³ cos xdx = 8x + senx + C 2 Exemplo 4.7. Calcule ³ (5 sec x + 3senx)dx.

Temos de integrar a soma do quíntuplo da secante ao quadrado de x com o triplo do seno de x. Ou seja, a soma da secante ao quadrado de x multiplicada pela constante 5 com o seno de x multiplicado pela constante 3.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx.

Ou seja,

³ (5 sec

2

x + 3senx)dx = ³ 5 sec2 xdx + ³ 3senxdx = 5³ sec2 xdx + 3³ senxdx

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:

³ sec

2

xdx = tgx + C e ³ senxdx = − cos x + C

Vejamos:

³ (5 sec

2

x + 3senx)dx = 5³ sec 2 xdx + 3³ senxdx = 5tgx + 3(− cos x) + C = 5tgx − 3 cos x + C

§

³©

x Exemplo 4.8. Calcule ¨ e +

1 · x ¸dx.

7 ¹

Temos de integrar a soma do “número neperiano e elevado a x” com “x multiplicado pela constante 1/7”.

86

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

§

³ ¨© e

x

+

1 · 1 1 x ¸dx = ³ e x dx + ³ xdx = ³ e x dx + ³ xdx 7 ¹ 7 7

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: x x ³ e dx = e + C e

n ³ x dx =

x n+1 +C n +1

Vejamos:

§

³ ¨© e

x

+

1 · 1 1 x1+1 1 x2 x2 x ¸dx = ³ e x dx + ³ xdx =e x + . + C = e x + . + C =e x + +C 7 ¹ 7 7 1+1 7 2 14

§1 2 · Exemplo 4.9. Calcule ³ ¨ − x + cos sec x ¸dx. ©x ¹ Temos de integrar

1 “menos” x “mais” a cossecante ao quadrado de x. x

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx , expandida para o caso de três funções.

Ou seja,

§1

³ ¨© x − x + cos sec

2

1 · x ¸dx = ³ dx − ³ x1dx + ³ cos sec2 xdx x ¹

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

87

Desse modo, chegamos a três integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: 1

³ x dx = ³ x

−1

dx = ln x + C ,

³x

n

dx =

x n +1 + C e ³ cos sec 2 xdx = − cot gx + C n +1

Vejamos:

1 x2 §1 2 · 1 2 = − + = − − cot gx + C − x + cos sec x dx dx x dx cos sec xdx ln x ¸ ¨ ³© x ³x ³ ³ 2 ¹ Exemplo 4.10. Calcule ³

5 9 − x2

dx.

1

Temos de integrar a função

1

=

multiplicada pela constante 5. Veja 9−x 3 − x2 que escrevemos a constante 9 como 32 a fim de nos “adequarmos” a um caso presente 2

2

na tabela de integrais.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a seguinte propriedade:

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx .

Ou seja,

³

5 9− x

2

dx = 5³

1 3 − x2 2

dx

Desse modo, temos uma integral diretíssima da tabela, resolvida por:

³

§x· dx = arcsen¨ ¸ + C. ©a¹ a −x 1

2

2

Vejamos:

³

5 9− x

2

dx = 5³

§ x· dx = 5arcsen¨ ¸ + C ©3¹ 3 −x 1

2

2

88

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

x Exemplo 4.11. Calcule ³ (−3 + 2 )dx.

Temos de integrar a soma da constante − 3 com a função exponencial de base 2 (“2 elevado a x” ou 2x).

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

³ (−3 + 2 )dx = ³ − 3dx + ³ 2 dx = −3³ dx + ³ 2 dx x

x

x

Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: 1

³ dx = x + C e ³ a dx = ln a a x

x

+C

Vejamos:

³ (−3 + 2

x

)dx = ³ − 3dx + ³ 2 x dx = −3³ dx + ³ 2 x dx = − 3x +

1 x .2 + C ln 2

Observe que, na parcela dada por 2 elevado a x, ou 2x, o número 2 não é uma constante que multiplica uma função: o número 2 é a própria base da função exponencial.

§4 · Exemplo 4.12. Calcule ³ ¨ + cos sec x. cot gx ¸dx. ©x ¹ Podemos escrever §4

·

³ ¨© x + cos sec x. cot gx ¸¹dx

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

89

como

§ 1

·

³ ¨© 4 x + cos sec x. cot gx ¸¹dx .

1 Vamos integrar a soma de , multiplicado pela constante 4, com o produto da cossecante x de x pela cotangente de x.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k . f ( x )dx = k .³ f ( x)dx Ou seja, §4

·

4

1

³ ¨© x + cos sec x. cot gx ¸¹dx = ³ x dx + ³ cos sec x. cot gxdx = 4³ x dx + ³ cos sec x. cot gxdx Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:

1

³ x dx = ³ x

−1

dx = ln x + C e ³ cos sec x. cot gxdx = − cos sec x + C

Vejamos: ·

§4

4

1

³ ¨© x + cos sec x. cot gx ¸¹dx = ³ x dx + ³ cos sec x. cot gxdx = 4³ x dx + ³ cos sec x. cot gxdx §4

·

³ ¨© x + cos sec x. cot gx ¸¹dx = 4 ln x − cos sec x + C Embora o produto da cossecante pela cotangente possa parecer complicado, a integral desse produto está na tabela de integração. Ou seja, a integral de cosecx.cotgx é diretíssima da tabela!

90

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

7

³

Exemplo 4.13. Calcule

dx.

x − 16 2

Podemos escrever 7

³

dx = ³

x 2 − 16

7 x 2 − 42

dx = ³ 7

1

dx.

x 2 − 42

1 Ou seja, temos de integrar a constante 7 multiplicada pela função

. Pela x − 42 propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função 2

é o produto da constante pela integral da função, a constante 7 pode ser “colocada fora da integral”.

Ou seja, 7

³

1

dx = ³ 7

x 2 − 16

x 2 − 42

dx = 7 ³

1 x 2 − 42

dx.

Da tabela de integrais, temos que: 1

³

x −a 2

2

dx = ln x +

x2 − a2 + C

No caso, a = 4. Logo,

³

7 x − 16 2

1

dx = 7 ³

Exemplo 4.14. Calcule

x − 42 2

8

³ 5− x

2

dx = 7 ln x + x 2 − 4 2 + C =7 ln x + x 2 − 16 + C

dx.

Podemos escrever 8

³ 5− x

2

dx = ³

8

( 5) − x 2

2

dx = ³ 8

1

( 5) − x

dx.

2

2

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

91

Veja que escrevemos a constante 5 como “a raiz quadrada de 5 elevada ao quadrado 2 5 = 5 ”. Como veremos a seguir, fizemos isso para nos “adequarmos” a um caso presente na tabela de integrais imediatas.

( )

1

Ou seja, temos de integrar a constante 8 multiplicada pela função

( 5) − x

. Pela propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral da função, a constante 8 pode ser “colocada fora da integral”.

2

Ou seja, 8

³ 5− x

2

dx = ³ 8

1

( 5) − x 2

2

dx = 8³

1

( 5) − x

dx.

2

2

Da tabela de integrais, temos que:

³a

2

1 1 x+a dx = ln +C − x2 2a x − a

No caso, a = 5 . Logo, 8

³5− x

2

dx = 8³

Exemplo 4.15. Calcule

³

1

( 5) − x

dx = 8

2

2

1 2 5

ln

x+ 5 4 x+ 5 = ln x− 5 5 x− 5

senx + cos x dx.

2

Podemos escrever:

³

senx + cos x 1 dx = ³ (senx + cos x )dx.

2 2

Ou seja, temos de integrar a constante

1 multiplicada pela soma senx + cos x.

2

Vamos aplicar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx.

2

92

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja,

³

senx + cos x 1 1 1 dx = ³ (senx + cos x )dx = ³ (senx + cos x )dx = 2 2 2 2

(³ senxdx + ³ cos xdx)

Da tabela de integrais, temos que:

³ senxdx = − cos x + C e ³ cos xdx = senx + C Logo,

³

senx + cos x 1 dx = 2 2

(³ senxdx + ³ cos xdx ) = 12 (− cos x + senx ) + C

Há como sabermos se o resultado da integral indefinida está certo?

Sim! Como a integração é o processo inverso da derivação, se derivarmos o resultado da integral devemos chegar à função que tínhamos de integrar!

Vejamos o caso do exemplo 4.15: integramos a função f ( x) =

senx + cos x 2

e obtivemos a função F ( x) =

1 (− cos x + senx ) + C .

2

Vamos conferir se a derivada de F(x) resulta em f (x).

Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções, podemos escrever: ,

,

§1 · §1 · , F ( x) = ¨ (− cos x + senx ) + C ¸ = ¨ (− cos x + senx )¸ + (C ) 2 2 ¹ © ¹ © ,

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

93

Lembrando que a derivada da constante é zero e usando novamente que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções, temos o seguinte:

F , ( x) =

(

1 (− cos x + senx ), + 0 = 1 − (cos x ), + (senx ), 2 2

)

As derivadas das funções cosseno e seno são obtidas diretamente da tabela de derivadas: F , ( x) =

1 (− (− senx ) + (cos x )) = 1 (senx + cos x ) = senx + cos x = f ( x) 2 2 2

Conclusão: a integral realmente está correta!

Ou seja, verificamos que a derivada de F(x) é exatamente a f (x).

Exercícios Propostos – Capítulo 4.

11 Exercício 4.1. Calcule ³ x dx. −4 Exercício 4.2. Calcule ³ x dx.

3

Exercício 4.3. Calcule ³ x 4 dx. −2 5 Exercício 4.4. Calcule ³ (5 x + 4 x )dx. −3 Exercício 4.5. Calcule ³ (5 x − 1)dx.

Exercício 4.6. Calcule ³ (12 + senx)dx.

Exercício 4.7. Calcule ³ (3 cos sec2 x + 5 cos x)dx.

§ x 1 2· Exercício 4.8. Calcule ³ ¨ 2e + x ¸dx.

3 ¹ ©

94

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

1 § 2 · Exercício 4.9. Calcule ³ ¨ 8x − + sec x ¸dx. x © ¹ 6

Exercício 4.10. Calcule ³

4 − x2

dx.

x 7 Exercício 4.11. Calcule ³ (7 + x )dx.

§2 · Exercício 4.12. Calcule ³ ¨ + sec x.tgx ¸dx. x © ¹ 3 dx.

Exercício 4.13. Calcule ³ x 16 − x 2 Exercício 4.14. Calcule ³

5 dx.

2 + x2

(

)

x x Exercício 4.15. Calcule ³ e + 7 dx.

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4. x12 +C 12 −1 Exercício 4.2. 3 + C 3x

Exercício 4.1.

7

Exercício 4.3.

4x 4 +C 7

− 5 2x6 + +C x 3 5 Exercício 4.5. − 2 − x + C 2x

Exercício 4.4.

Exercício 4.6. 12x − cos x + C Exercício 4.7. − 3 cot gx + 5 senx + C x Exercício 4.8. 2e +

x3 +C 9

Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TTabela abela

Exercício 4.9. 4x2 − 1n|x| + tgx + C §x· Exercício 4.10. 6 arcsen ¨ ¸ + C ©2¹ 1 x x8 7 + +C Exercício 4.11. ln 7 8

Exercício 4.12. 2 1n|x| + sec x + C Exercício 4.13.

Exercício 4.14.

3 § x· arc sec¨ ¸ + C. 4 ©4¹ § 2x · 5 5 2 § x · ¸ +C arctg ¨ arctg ¨¨ ¸+C = ¸ 2 2 © 2¹ © 2 ¹

x Exercício 4.15. e +

1 x 7 + C. ln 7

95

Capítulo 5 Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

Neste capítulo, são feitos exemplos de integrais que, após desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam a uma situação prevista na tabela de integrais imediatas.

Neste trabalho, essas integrais são chamadas de “integrais diretas da tabela”.

Exemplo 5.1. Calcule ³

1 dx. x5

1 , antes devemos “prepará-la”, x5 de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração na função original.

Para podermos usar a tabela na integração da função

Sabemos que: 1 1 = x − n → 5 = x −5 n x x

Ou seja, 1

³x

5

dx = ³ x −5 dx

1 Escrevendo 5 como x−5, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de x integrais: n ³ x dx =

x n +1 +C n +1

98

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja,

³

−1 1 −1 1 x −5+1 x −4 −5 = = + = +C = . 4 +C = 4 +C dx x dx C 5 ³ x − 5 +1 −4 4 x 4x

Observe que, no caso, n, indicado na regra de integração, é − 5 e não 5!

Exemplo 5.2. Calcule ³ x dx.

Para podermos usar a tabela para integrar a função raiz quadrada de x, antes devemos escrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.

Sabemos que: a

xb = x

b

a

→

x = 2 x1 = x

1

2

Ou seja,

³

1

x dx = ³ x 2 dx

Escrevendo a raiz quadrada de x como x elevado a 1/2, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela: n ³ x dx =

x n +1 +C n +1

Logo,

³

1 +1

1+ 2

3

x 2 x2 x 2 2x3 2 x dx = ³ x 2 dx = +C = +C = +C = +C 1 +1 1+ 2 3 3 2 2 2 1

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

99

Observe que n, indicado na regra de integração, é a constante ½.

Exemplo 5.3. Calcule ³ 3 x 2 dx.

Este exemplo é muito parecido com o exemplo 5.2. Sendo assim, antes de usarmos a tabela, devemos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada ao expoente 2/3”.

Vejamos: a

xb = x

b

a

→

3

x2 = x

2

3

Ou seja,

³

3

2

x 2 dx = ³ x 3 dx

Podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 2/3: n ³ x dx =

x n+1 +C n +1

Logo,

³

3

2 +1

2+3

5

5

3x 3 x 3 x 3 x 3 x dx = ³ x dx = +C = +C = +C = +C 2 +1 2+3 5 5 3 3 3 2

2

3

2 Exemplo 5.4. Calcule ³ (3 + x) dx.

Não há regra na tabela que mostre como integrar uma função cuja base seja composta por uma soma (no caso, a soma 3 + x) elevada a um expoente numérico.

100

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Inicialmente, podemos desenvolver essa soma ao quadrado como “o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” e, depois, separarmos essas três parcelas em três integrais independentes.

Vejamos:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 → (3 + x) 2 = 32 + 2.3.x + x 2 = 9 + 6 x + x 2 Ou seja,

³ (3 + x)

2

dx = ³ (9 + 6 x + x 2 ) dx

Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três funções) e P2 abaixo:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx .

Ou seja,

³ (3 + x )

2

dx = ³ (9 + 6 x + x 2 ) dx = ³ 9dx + ³ 6 xdx + ³ x 2 dx = 9 ³ dx + 6 ³ x1dx + ³ x 2 dx

Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvidas pelas seguintes regras: n ³ x dx =

x n +1 + C e dx = x + C n +1

³

Logo,

³ (3 + x )

2

dx = 9 ³ dx + 6 ³ x1dx + ³ x 2 dx = 9 x + 6

x 2 x3 x3 + + C = 9 x + 3x 2 + +C 2 3 3

3 2 Exemplo 5.5. Calcule ³ x (3 + x) dx.

Este exemplo parte do que já foi feito no exemplo 5.4, ou seja, do desenvolvimento de (3 + x)2 para obtermos três parcelas que se somam. Inclui-se, após o desenvolvimento,

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

101

a multiplicação de cada uma das três parcelas por x3. Depois disso, chegaremos a três integrais independentes, que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2→ (3 + x) 2 = 32 + 2.3.x + x 2 = 9 + 6 x + x 2 Multiplicando-se x3 por (3 + x)2 = 9 + 6x + x2:

x3(3 + x)2 = x3 (9 + 6 x + x2 ) = 9 x3 + 6 x1x3 + x2 x3 = 9 x3 + 6 x1+3 + x 2+3 = 9 x3 + 6 x4 + x5 Ou seja,

³x

3

(3 + x) 2 dx = ³ (9 x 3 + 6 x 4 + x 5 )dx

Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três funções) e P2 abaixo:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx .

Logo,

³ x (3 + x ) 3

2

dx = ³ (9 x 3 + 6 x 4 + x 5 ) dx = ³ 9 x 3 dx + ³ 6 x 4 dx + ³ x 5 dx

³ x (3 + x ) 3

2

dx = 9 ³ x 3dx + 6 ³ x 4 dx + ³ x 5 dx

Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvidas pelas seguintes regras: n ³ x dx =

x n+1 + C e ³ dx = x + C n +1

Logo, 3 2 3 4 5 ³ x (3 + x) dx = 9³ x dx + 6³ x dx + ³ x dx = 9

9 x4 6x5 x6 x4 x5 x6 +6 + +C = + + +C 4 5 6 4 5 6

102

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplo multiplicando a integral de x3 pela integral de (3 + x)2, pois não há propriedade que permita que a integral do produto de duas funções seja escrita como o produto das integrais de cada função.

Exemplo 5.6. Calcule

5x − 9 x5 dx. x2

Antes de resolvermos a integral deste exemplo, precisamos escrever a função a ser integrada (ou seja, 5x − 9x5, dividido por x2) em uma subtração de duas parcelas. Depois disso, chegaremos a duas integrais independentes, que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

5x − 9 x5 5x 9 x5 = 2 − 2 = 5 x1 x −2 − 9 x 5 x −2 = 5 x1−2 − 9 x 5−2 = 5 x −1 − 9 x 3 x2 x x No desenvolvimento acima, lembramos que o produto (multiplicação) de potências de mesma base é a base elevada à soma das potências. Por exemplo, x1 e x-2 possuem a mesma base x. Logo, o produto de x1 e x −2 é igual à base x elevada à soma de 1 com − 2, ou seja, x elevado a − 1.

Ou seja, 5x − 9x5 −1 3 x 2 dx = (5 x − 9 x )dx

Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:

( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx e k . f ( x )dx = k . f ( x )dx Ou seja,

5 x − 9 x5 dx = (5 x −1 − 9 x 3 ) dx = 5 x −1dx − 9 x 3dx = 5 x −1dx − 9 x 3dx x2

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

103

Agora, podemos resolver as duas integrais acima utilizando as seguintes regras da tabela: x n+1

1

x dx = n + 1 + C e x dx = x n

−1

dx = ln x + C

Logo,

5 x − 9 x5 x4 3 −1 dx = 5 x dx − 9 x dx = 5 ln x − 9 +C x2

4

Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplo dividindo a integral de 5x - 9x5 pela integral de x2, pois não há propriedade que permita que a integral do quociente (divisão) de duas funções seja escrita como o quociente das integrais de cada função.

( x − 5) 2 x Exemplo 5.7. Calcule x 2 + e dx.

Antes de resolvermos a integral desse exemplo, precisamos desenvolver o quadrado da diferença (x − 5) e escrever o resultado desse desenvolvimento, dividido por x2, como uma subtração de três parcelas. Depois disso, chegaremos a quatro integrais independentes, incluindo a integral da exponencial de base e (“e elevado a x”), que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 →( x − 5) 2 = x 2 − 2.x.5 + 5 2 = x 2 − 10 x + 25 Dividindo-se (x − 5)2 = x2 − 10x + 25 por x2:

( x − 5) 2 x 2 − 10 x + 25 x 2 10 x 25 = = 2 − 2 + 2 = 1 − 10 x1 x − 2 + 25 x − 2 = 1 − 10 x1− 2 + 25 x − 2 x2 x2 x x x

( x − 5) 2 = 1 − 10 x −1 + 25 x −2 x2

104

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja,

( x − 5) 2 + e x dx = (1 − 10 x −1 + 25 x −2 + e x ) dx x2

Feito isso, vamos usar as seguintes propriedades:

( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx e k . f ( x )dx = k . f ( x)dx Ou seja, ( x − 5) 2

+ e x dx = (1 − 10 x −1 + 25 x −2 + e x )dx = 1dx − 10 x −1dx + 25 x −2 dx + e x dx 2 x

( x − 5) 2 + e x dx = dx − 10 x −1dx + 25 x −2 dx + e x dx x2

Agora, utilizamos as seguintes regras para resolvermos as integrais anteriores: n x dx =

x n +1 +C, n +1

1

x dx = x

−1

dx = ln x + C e e x dx = e x + C

Logo, ( x − 5) 2

x −1 + e x dx = dx − 10 x −1dx + 25 x −2 dx + e x dx = x − 10 ln x + 25 + ex + C 2 x − 1

( x − 5) 2 25 x x x 2 + e dx = x − 10 ln x − x + e + C

5 + cos x dx.

2 x

Exemplo 5.8. Calcule 3

Antes de resolvermos este exemplo, precisamos reescrever a função a ser integrada.

Vejamos:

3

5 + cos x = x2

3 3

5 x

2

+ cos x =

3

x

5 2

3

+ cos x = 3 5 x

−2

3

+ cos x

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

105

No desenvolvimento anterior, foram feitas as seguintes equivalências:

m = n

a

a

m 5 →3 2 = a x n

3 3

b

5 x2 2

mb = m a → 3 x 2 = x 3 1 1 −2 = m−c → 2 = x 3 c m x 3

a

Ou seja,

3

−2

5 + cos x dx = (3 5 x 3 + cos x)dx x2

Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:

( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx e k. f ( x)dx = k. f ( x)dx Ou seja,

3

−2 −2 −2

5 + cos x dx = (3 5 x 3 + cos x)dx = 3 5 x 3 dx + cos xdx = 3 5 x 3 dx + cos xdx x2

As integrais acima são resolvidas pelas seguintes regras da tabela: n x dx =

x n+1 + C e cos xdx = senx + C n +1

Logo, −2+3

−2

+1

5 x 3 x 3 x 3 3 x 2 + cos x dx = 3 5 − 2 + 1 + senx + C = 3 5 − 2 + 3 + senx + C = 3 5 1 + senx + C 3 3 3

1

1

5

3x 3 3 3

cos x dx = 5 + senx + C = 33 5 3 x + senx + C + x 2

1

106

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

No desenvolvimento anterior, foi feita a seguinte equivalência:

m

b

a

= a mb → x

1

3

= 3 x1 = 3 x

5

Exemplo 5.9. Calcule x x − dx. x

Precisamos “preparar” a função a ser integrada a fim de chegarmos a uma situação prevista na tabela de integrais.

Inicialmente, vamos escrever a raiz quadrada de x como x elevado a

1 , pois 2

1

x = 2 x1 = x 2 .

Também vamos fazer o seguinte: 5 1 = 5 1 = 5 x −1. x x

Vejamos:

(

)

1 5

x x − = x 2 x1 − 5x −1 . x

Podemos aplicar a propriedade distributiva e usar que o produto de potências de mesma base é igual à base elevada à soma dos expoentes. Ou seja,

(

)

1 1 1 +1 1 1 −1 5

x x − = x 2 x1 − 5x −1 = x 2 x1 − 5x 2 x −1 = x 2 − 5x 2 = x x

Logo,

3 −1 5

x x − dx = x 2 − 5x 2 dx

x

1+2 2

− 5x

1−2 2

3

= x 2 − 5x

−1

2

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

107

Agora, podemos usar as seguintes propriedades:

( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx e k . f ( x)dx = k. f ( x)dx Ou seja,

3 3 3 −1 −1 −1 5

x x − dx = x 2 − 5 x 2 dx = x 2 dx − 5 x 2 dx = x 2 dx − 5 x 2 dx

x

As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração: n x dx =

x n +1 +C n +1

Finalmente:

3+2

−1 +1

3 +1

−1+ 2

3 −1 x 2 x 2 x2 x 2 5

x x − dx = x 2 dx − 5 x 2 dx = +C = −5 +C −5 −1 + 2 3 + 1 −1 + 1 3+ 2 x

2 2 2 2 1

5

1

5

2

2

5

1 5 x 2 x 2x 2 2x 2x 2 2

x x − dx = −5 +C = −5 +C = − 10 x + C 5 1 x 5 1 5

2 2

x−4 dx.

Exemplo 5.10. Calcule π Vamos analisar a função a ser integrada: trata-se da diferença ou subtração x − 4, dividida pela constante π (um número irracional muitas vezes aproximado por 3,14).

Podemos fazer o seguinte: x−4

π

=

x

π

−

4

π

=

1

π

x−

4

π

Ou seja, temos a seguinte igualdade:

4 x−4 1 dx = x − dx π π π

108

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Aplicando a propriedade P1, enunciada como “a integral da soma (ou subtração) de duas funções é a soma (ou subtração) das integrais das funções”, temos que:

4 1 4 x−4 1 dx = x − dx = xdx − dx π π π π π

1

4

Como 1, 4 e π são constantes, então os quocientes e também são constantes. π π Sendo assim, podemos utilizar a propriedade P2, enunciada como “a integral do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral da função”. Vejamos:

4 1 4 1 4 1 1 4 x−4 1 dx = x − dx = xdx − dx = xdx − dx = x dx − dx π π π π π π π π π

As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração: n x dx =

x n +1 + C e dx = x + C n +1

Finalmente:

x2 4x 1 1 4 1 x1+1 4 1 x2 4 x−4 dx = x dx − dx = − x + C = − x + C = − +C

π π 2π π π π 1+1 π π 2 π

Exercícios Propostos – Capítulo 5.

1 dx. x7 3 dx.

Exercício 5.2. Calcule x

Exercício 5.1. Calcule

Exercício 5.3. Calcule 5 x 3 dx.

2 2 Exercício 5.4. Calcule ( x + 5) dx.

Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TTabela abela

Exercício 5.5. Calcule x 4 (5 − x) 2 dx.

Exercício 5.6. Calcule

6x 2 + 4x5 dx. x3

Exercício 5.7. Calcule

3 ( x + 4) 2 dx. x3

( x − 5) 2 dx.

Exercício 5.8. Calcule senx − x

4

Exercício 5.9. Calcule 5 3 + senx dx. x

7

− cos x + e x dx.

Exercício 5.10. Calcule x

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.

Exercício 5.1.

−1 +C 6x6

Exercício 5.2. 6 x + C 8

5x 5 Exercício 5.3. +C 8

Exercício 5.4.

x 5 10 x 3 + + 25 x + C 5 3

5 Exercício 5.5. 5 x −

5x6 x7 + +C 3 7

Exercício 5.6. 6 ln x +

4x3 +C 3

8 8

Exercício 5.7. 3 ln x − − 2 + C x x

Exercício 5.8. − cos x −

x2 + 10 x − 25 ln x + C 2

109

110

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 5.9. 10 x 2 5 − cos x + C Exercício 5.10. 14 x − senx + e x + C

Capítulo 6 Integrais Simples - Método da Substituição

O método da substituição trata da mudança de variável na integral.

Suponha que seja possível, pela utilização das propriedades P1 e P2 e da tabela de integração dadas no capítulo 4, resolver a seguinte integral: ³ f (u )du.

Imagine que u seja uma função de x, ou seja, u = u(x). Temos que a derivada de u = u(x), em relação à variável x, é du = u , ( x) → du = u , ( x)dx dx

Assim, por substituição, temos de resolver integrais do tipo

³ f (u ( x)).u ( x)dx = ³ f (u )du ,

2 5 Exemplo 6.1. Calcule ³ ( x + 3) 2 xdx.

Seria possível “enxergarmos” uma função e sua derivada no exemplo 6.1?

Se chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que: u = u ( x) = x 2 + 3 →

(

) ( )

, , du du , = x 2 + 3 = x 2 + (3) = 2 x + 0 → = 2 x → du = 2 xdx dx dx

112

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Concluímos que o exemplo 6.1 trata de uma integral formada por u elevado ao expoente 5 e pela derivada da função u, possibilitando o uso do método da substituição. A função x2+3 é substituída por u e 2xdx é substituído por du, conforme segue.

³ (x

2

+ 3) 5 2 xdx = ³ u 5 du

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 5: n ³ u du =

u n+1 +C n +1

Ou seja,

³ (x

2

+ 3) 5 2 xdx = ³ u 5 du =

u 5+1 u6 +C = +C 5 +1 6

Agora, retornamos com a variável x:

³ (x

2

+ 3) 5 2 xdx = ³ u 5 du =

u6 ( x 2 + 3) 6 +C = +C 6 6

Observe que, se tivéssemos chamado (x2 + 3)5 de u, não haveria sucesso na substituição. A derivada de (x2 + 3)5, segundo a tabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, é 5.(2x).(x2 + 3)4 =10x.(x2 + 3)4 e não apenas 2x.

2 5 Exemplo 6.2. Calcule ³ ( x + 3) xdx.

Este exemplo é muito parecido com o 6.1. Se fizermos da mesma maneira do exemplo anterior, e chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que: u = u ( x) = x 2 + 3 →

(

) ( )

, , du du , = x 2 + 3 = x 2 + (3) = 2 x + 0 → = 2 x → du = 2 xdx dx dx

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

113

A “falta” da constante 2, ou seja, o fato de termos apenas xdx e não 2xdx na integral original, não compromete o sucesso da substituição, pois xdx equivale a du/2, conforme segue.

³ (x

2

+ 3) 5 xdx = ³ u 5

1 5 du = u du 2 ³2

Como a constante ½ multiplica a função, continuamos a integração usando a propriedade:

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

³ (x

2

+ 3)5 xdx = ³ u 5

1 1 du = ³ u 5 du = ³ u 5 du 2 2 2

Agora, usamos a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 5: n ³ u du =

u n+1 +C n +1

Logo, 2 5 5 ³ ( x + 3) xdx = ³ u

du u6 1 1 1 u6 = ³ u 5 du = ³ u 5 du = . + C = +C 2 2 2 2 6 12

Retornamos com a variável x: 2 5 5 ³ ( x + 3) xdx = ³ u

1 1 1 u6 ( x 2 + 3) 6 du u6 = ³ u 5 du = ³ u 5 du = . + C = +C = +C 2 2 2 2 6 12 12

Exemplo 6.3. Calcule ³

5x3 dx.

(2 x 4 − 1) 7

Inicialmente, vamos usar a propriedade ³ k. f ( x)dx = k .³ f ( x)dx para reescrever a integral a ser resolvida: 5x3 x 3dx x3 = 5 = 5 dx dx ³ (2 x 4 − 1)7 ³ (2 x 4 − 1)7 ³ (2 x 4 − 1)7

114

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Se chamarmos a subtração 2x4 − 1 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que: u = u(x) = 2x4 − 1

(

) ( )

, , du du , = 2 x 4 − 1 = 2 x 4 − (1 ) = 2.4 x 3 − 0 = 8 x 3 → du = 8 x3dx → = x 3dx 8 dx

A função 2x4 − 1 é substituída por u e x3dx é substituído por du/8, conforme segue. du 5x 3 x 3 dx 1 du dx = 5³ = 5³ 78 = 5³ . 7 4 7 4 7 8 u − 1) (2 x − 1) u

³ (2 x

Usando novamente a propriedade ³ k. f ( x)dx = k .³ f ( x)dx e utilizando a equivalência 1 = u −7 , u7

temos que:

5x 3 1 du 1 −7 5 −7 ³ (2x 4 −1)7 dx = 5³ 8 . u 7 = 5 8 ³ u du = 8 ³ u du Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −7: n ³ u du =

u n +1 +C n +1

Logo,

−5 5 x3 5 5 u −7 +1 5 u −6 dx = ³ u − 7 du = +C = +C = +C 4 7 − 1) 8 8 − 7 +1 8 −6 48u 6

³ (2 x

Agora, retornamos com a variável x: 5x 3 −5 −5 dx = +C = +C 4 48u 6 48(2 x 4 − 1) 6 − 1) 7

³ (2 x

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

8x

Exemplo 6.4. Calcule ³

3x 2 + 5

dx

Inicialmente, vamos usar a propriedade integral a ser resolvida: 8x

³

3x + 5 2

115

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx para reescrever a xdx

dx = ³ 8

3x + 5 2

xdx

= 8³

3x 2 + 5

1

3x 2 + 5 = 2 (3x 2 + 5)1 como (3 x 2 + 5) 2 :

Escrevendo

8x

³

3x + 5 2

xdx

dx = 8³

3x + 5 2

= 8³

(3x

xdx 2

)

+5

1

2

Se chamarmos a soma 3x2 +5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que: u = u(x) = 3x2 +5

(

) ( )

, , du du , = 3 x 2 + 5 = 3 x 2 + (5) = 3.2 x + 0 = 6 x → du = 6 xdx → = xdx dx 6

A função 3x2 +5 é substituída por u e xdx é substituído por du/6, conforme segue.

³

8x 3x + 5 2

dx = 8³

Usamos novamente a propriedade

³

8x 3x + 5 2

(3x

xdx 2

+5

)

1

2

= 8³

du

6 = 8 1 du ³ 6 u 12 u 1

2

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx e escrevemos

dx = 8³

1 −1 4 −1 1 du = 8. ³ u 2 du = ³ u 2 du 1 6 3 6u 2

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −1/2:

³u

n

du =

u n +1 +C n +1

1 u

1

=u 2

−1

2

:

116

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Logo,

³

−1+ 2

−1 +1

1

1

4 −1 4 u 2 4 u 2 4 u 2 4 2u 2 8 dx = ³ u 2 du = . +C = . +C = . = . = u +C 3 3 −1 +1 3 −1+ 2 3 1 3 1 3 3x 2 + 5 2 2 2 8x

Agora, retornamos com a variável x: 8x

³

3x + 5 2

³

5 x Exemplo 6.5. Calcule x e

6

−5

8 8 u +C = 3x 2 + 5 + C 3 3

dx =

dx.

Podemos escrever a integral deste exemplo como

³x e

5 x 6 −5

dx = ³ (e x

6

−5

) x 5 dx.

Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.5?

Se chamarmos a subtração x6 − 5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u ( x) = x 6 − 5 →

(

) ( )

, , du du , = x 6 − 5 = x 6 − (5) = 6 x 5 → du = 6 x 5 dx → = x 5 dx dx 6

Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pela exponencial de base e, elevada à função u = x6 − 5, e pela derivada de u, com exceção da constante 6, possibilitando o uso do método da substituição. A função x6 − 5 é substituída por u e x5dx é substituído por du/6, conforme segue.

³x e

5 x 6 −5

Usamos a propriedade

dx = ³ (e x

6

−5

) x5dx = ³ eu

du 1 = ³ eu du 6 6

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx :

³x e

5 x 6 −5

dx = ³ (e x

6

−5

1 1 ) x5dx = ³ eu du = ³ eu du 6 6

Continuamos a integração usando a seguinte regra:

³ e du = e u

u

+C

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

117

Logo,

³x e

5 x 6 −5

dx = ³ (e x

6

) x 5 dx = ³ e u

−5

1 du 1 u = e du = e u + C 6 6³ 6

Agora, retornamos com a variável x:

³x e

5 x 6 −5

1 1 6 dx = e u + C = e x −5 + C 6 6 6

Observe que, se tivéssemos chamado ex −5 de u, não haveria 6 sucesso na substituição. A derivada de ex −5, segundo a tabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, é 6 6x5ex −5 e não apenas 6x5.

2 Exemplo 6.6. Calcule ³ x cos x dx.

2 2 Podemos escrever a integral deste exemplo como ³ x cos x dx = ³ (cos x ) xdx.

Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.6?

Se chamarmos x2 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que: u = u ( x) = x 2→

( )

, du du = x 2 = 2 x → du = 2 xdx → = xdx dx 2

Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pelo cosseno de x2, indicado por u, e pela derivada de u, com exceção da constante 2, possibilitando o uso do método da substituição. A função x2 é substituída por u e xdx é substituído por du/2, conforme segue.

³ x cos x dx = ³ (cos x 2

2

) xdx = ³ (cos u )

du 2

118

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Usamos a propriedade

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx :

³ x cos x dx = ³ (cos x 2

2

) xdx = ³ (cos u )

du 1 = ³ cos udu 2 2

Continuamos a integração utilizando a seguinte regra:

³ cos udu = senu + C Logo,

³ x cos x dx = ³ (cos x 2

2

) xdx = ³ (cos u )

du 1 1 = ³ cos udu = senu + C 2 2 2

Agora, retornamos com a variável x: 1

1

³ x cos x dx = 2 senu + C = 2 senx 2

2

dx

Observe que, se tivéssemos chamado cosx2 de u, não haveria sucesso na substituição. A derivada de cosx2, conforme dado pela tabela de derivadas de funções compostas do capítulo2, é (2x).(−1)senx2 = −2x.senx2 e não apenas 2x.

Exemplo 6.7. Calcule ³ sen(7 x + π )dx Se chamarmos 7x + π de u, sendo u uma função de x e π um número irracional (constante) que vale, aproximadamente, 3,14, temos que: u = u ( x) = 7 x + π →

du = (7 x + π dx

), = (7 x ), + (π ), = 7 + 0 = 7 → du = 7dx →

du = dx 7

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de u = 7x + π e pela derivada de u, com exceção da constante 7, possibilitando o uso do método da substituição. A função 7x + π é substituída por u e dx é substituído por du/7, conforme segue.

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

³ sen (7 x + π )dx = ³ senu

119

du 1 = senudu 7 ³7

Usamos a propriedade ³ k . f ( x ) dx = k .³ f ( x ) dx para colocarmos a constante k=1/7 que multiplica a função “fora” da integral: 1

1

³ sen (7 x + π )dx = ³ 7 senudu = 7 ³ senudu Continuamos a integração usando a seguinte regra:

³ senudu = − cos u + C Logo,

³ sen(7 x + π )dx = ³ senu

du 1 1 −1 = senudu = (− cos u ) + C = cos u + C 7 7³ 7 7

Agora, retornamos com a variável x:

³ sen(7 x + π )dx =

−1 −1 cos(7 x + π ) + C cos u + C = 7 7

Observe que, se tivéssemos chamado sen(7x + π) de u, não haveria sucesso na substituição. Pela tabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, a derivada de sen(7x + π) é 7.cos(7x + π) e não apenas 7.

³

Exemplo 6.8. Calcule senx. cos xdx.

Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.8?

Se chamarmos senx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u ( x ) = senx →

du , = (senx ) = cos x → du = cos xdx dx

120

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de x, indicado por u, e pela derivada de u, possibilitando o uso do método da substituição. A função senx é substituída por u e cosxdx é substituído por du, conforme segue.

³ senx. cos xdx = ³ udu = ³ u du 1

Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 1: n ³ u du =

u n+1 +C n +1

Logo,

u 1+ 1

³ senx. cos xdx = ³ udu = ³ u du = 1 + 1 + C = 1

u2 +C 2

Agora, retornamos com a variável x:

³ senx.cos xdx =

( senx) 2 u2 sen 2 x +C = +C = +C 2 2 2

Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.8.

senx Exemplo 6.9. Calcule ³ (3 + cos x ) 5 dx.

Se chamarmos 3 + cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que: u = u(x) = 3 + cos x du , , , = (3 + cos x ) = (3 ) + (cos x ) = 0 + ( − senx ) → du = − senxdx → − du = senxdx dx

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

121

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pela soma 3 + cos x, indicada por u, e pela derivada de u, a menos da constante −1, possibilitando o uso do método da substituição. A soma 3 + cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du, conforme segue.

senx

³ (3 + cos x) Usamos a propriedade

5

− du du = ³ (−1) 5 5 u u

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx : senx

³ (3 + cos x) Escrevemos

dx = ³

dx = ³ (−1)

5

1 du = − ³ 5 du u5 u

1 como u−5: u5 senx

³ (3 + cos x)

5

dx = − ³

du = − ³ u −5 du u5

Continuaremos a integração usando a seguinte regra, com n igual a − 5:

³u

n

du =

u n+1 +C n +1

Logo,

senx

³ (3 + cos x)

5

dx = − ³ u − 5 du = −

1 u −5 +1 u −4 +C = − +C = 4 +C 4u − 5 +1 −4

Agora, retornamos com a variável x:

senx

³ (3 + cos x)

5

dx =

1 1 +C = +C 4u 4 4(3 + cos x) 4

Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.9.

Além disso, se tivéssemos chamado (3 + cos x)5 de u, e não apenas 3 + cos x, não haveria sucesso na resolução da integral por substituição.

122

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 6.10. Calcule ³ tgxdx.

Visto que a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno, podemos escrever a integral deste exemplo como

senx

³ tgxdx = ³ cos x dx Se chamarmos cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

u = u ( x ) = cos x →

du , = (cos x ) = − senx → du = − senxdx → − du = senxdx dx

Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo cos x, indicado por u, e pela derivada de u, a menos da constante − 1, possibilitando o uso do método da substituição.

A função cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du, conforme segue. senx

³ tgxdx = ³ cos x dx = ³ Usamos a propriedade

− du u

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx : senx

³ tgxdx = ³ cos x dx = ³

− du du = −³ u u

Continuamos a integração usando a seguinte regra:

1

³ u du = ³ u

−1

du = ln u + C

Logo, senx

³ tgxdx = ³ cos x dx = ³

− du 1 = − ³ du = − ln u + C u u

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

123

Agora, retornamos com a variável x:

³ tgxdx = − ln u + C = − ln cos x + C Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.10.

2 Exemplo 6.11. Calcule ³ cos xdx.

Antes de resolvermos a integral, vamos usar a seguinte equivalência trigonométrica:

cos 2 x =

1 + cos 2 x 1 cos 2 x = + 2 2 2

Ou seja,

³ cos

2

§ 1 cos 2 x · xdx = ³ ¨ + ¸dx 2 ¹ ©2

Podemos, então, usar as seguintes propriedades:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

³ cos

2

1 cos 2 x 1 1 § 1 cos 2 x · xdx = ³ ¨ + dx = ³ dx + ³ cos 2 xdx ¸dx = ³ dx + ³ 2 ¹ 2 2 2 2 ©2

Assim, temos duas integrais a serem resolvidas. A primeira é diretíssima da tabela e a segunda é resolvida por substituição, conforme segue.

124

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Primeira integral:

³ dx = x + C (diretíssim a da tabela ) Segunda integral:

³ cos 2 xdx = ³ cos u

du 1 1 1 = ³ cos udu = senu + C = sen2 x + C 2 2 2 2

A segunda integral foi resolvida chamando-se 2x de u, por meio da seguinte substituição:

u = u ( x) = 2 x →

du du , = (2 x ) = 2 → du = 2dx → = dx dx 2

Logo,

³ cos

2

1 cos 2 x 1 1 § 1 cos 2 x · xdx = ³ ¨ + dx = ³ dx + ³ cos 2 xdx ¸dx = ³ dx + ³ 2 2 2 2 2 2 © ¹

³ cos

2

xdx =

³ cos

2

1 1§1 · x + ¨ sen2 x ¸ + C 2 2©2 ¹

xdx =

1 1 x + sen 2 x + C 2 4

3 Exemplo 6.12. Calcule ³ sen xdx.

Antes de resolvermos a integral, podemos escrever o seno ao cubo de x como o produto do seno de x pelo seno ao quadrado de x:

³ sen xdx = ³ senx.sen xdx 3

2

Agora, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:

sen 2 x + cos 2 x = 1 → sen 2 x = 1 − cos 2 x

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

125

Substituindo o seno ao quadrado de x por 1 menos o cosseno ao quadrado de x, temos:

³ sen xdx = ³ senx.sen xdx = ³ senx(1 − cos 3

2

x)dx = ³ (1 − cos2 x).senxdx

2

Assim, temos de resolver a integral:

³ (1 − cos

2

x).senxdx

Esta integral pode ser resolvida pela seguinte substituição:

u = u ( x ) = cos x →

du , = (cos x ) = − senx → du = − senxdx → − du = senxdx dx

Ou seja,

³ sen dx = ³ (1 − cos 3

2

x) senxdx = ³ (1 − u 2 )(−du )

Pelas propriedades abaixo, temos que:

³ ( f ( x) ± g ( x))dx = ³ f ( x)dx ± ³ g ( x)dx e ³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx

³ sen dx = ³ (1 − cos x).senxdx = ³ (1 − u )(−du) = −³ (1 − u ³ sen dx = −³1du + ³ u du = −³ du + ³ u du 3

2

2

3

2

2

)du

2

Sabemos que:

³u

n

du =

u n +1 + C e ³ du = u + C u +1

Sendo assim, as duas integrais finais são resolvidas pelo uso diretíssimo da tabela: u 2+1

³ sen dx = −³ du + ³ u du = −u + 2 + 1 + C = −u + 3

2

u3 +C 3

126

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Voltando com a variável x, visto que u = cos x, concluímos a integração do seno ao cubo de x: 3 ³ sen dx = −u +

u3 cos 3 x cos 3 x + C = − cos x + +C = − cos x + C 3 3 3

Exemplo 6.13. Calcule ³ 5e e x dx. x

Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:

( )

, du = e x = e x → du = e x dx dx

u = u ( x) = e x →

Fazendo a mudança de variáveis:

³5

ex

e x dx = ³ 5u du

Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue: 1

³ a dx = ln a a u

u

+C

No caso, a = 5. Logo,

³5

u

du =

1 u 5 +C ln 5

Agora, retornamos com a variável x:

³5

ex

Exemplo 6.14. Calcule ³

e x dx = ³ 5u du =

1 u 1 ex 5 +C = 5 +C ln 5 ln 5

cos x dx.

4 − sen 2 x

Antes de aplicarmos o método da substituição, vamos escrever a seguinte igualdade: cos x

³ 4 − sen

2

x

dx = ³

1 cos xdx.

2 2 − (senx ) 2

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

127

Agora, vamos chamar seno de x de u e calcular a derivada de u em relação à variável x: u = u ( x ) = senx →

du , = (senx ) = cos x → du = cos xdx dx

Fazendo a mudança de variáveis: cos x

1

³ 4 − sen x dx = ³ 2 − (senx ) 2

2

2

cos xdx = ³

1 du 2 − u2 2

Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:

³a

2

1 1 x+u dx = ln +C 2 −u 2a x − u

No caso, a = 2. Logo, cos x

1

³ 4 − sen x dx = ³ 2 − (senx) 2

2

2

cos xdx = ³

u+2 1 1 1 u+2 du = + C = ln +C ln 22 − u 2 2.2 u − 2 4 u−2

Agora, retornamos com a variável x: cos x

³ 4 − sen

³

2

x

x

+x

Exemplo 6.15. Calcule e e

dx =

1 u+2 1 senx + 2 + C = ln +C ln 4 u−2 4 senx − 2

dx. x

x

A função a ser integrada pode ser desenvolvida em um produto. Vejamos: ee +x = ee ex, pois ma+b = ma mb. Ou seja, “voltamos” a regra que afirma que “o produto de potências de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”.

³

e Assim, as integrais e

x

+x

dx e ³ e e e x dx são equivalentes. Logo ³ e e x

x

+x

dx = ³ e e e x dx x

Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que: u = u ( x) = e x →

( )

, du = e x = e x → du = e x dx dx

128

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Fazendo a mudança de variáveis:

e

ex + x

dx = e e e x dx = e u du x

Da tabela de integrais sabemos que

e du = e u

u

+C.

Logo

e

ex + x

dx = e e e x dx = eu du = eu + C x

Agora, retornamos com a variável x:

e

ex + x

dx = e e e x dx = e u du = e u + C = e e + C x

x

Pela aplicação do método da substituição, podemos expandir a tabela de integrais imediatas, dada no capítulo 4, obtendo a tabela de integrais ampliada abaixo.

Tabela ampliada de integrais

Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição

Exercícios Propostos – Capítulo 6.

Exercício 6.1. Calcule ( x 2 + 1) 6 xdx.

Exercício 6.2. Calcule (3x 2 + 2) 6 xdx.

7x4 dx. ( x − 2) 9 3x dx.

Exercício 6.4. Calcule 4x2 + 4

Exercício 6.3. Calcule

5

Exercício 6.5. Calcule x 3e 3 x −1dx.

4

2 Exercício 6.6. Calcule xsenx dx.

Exercício 6.7. Calcule cos( x − π )dx.

Exercício 6.8. Calcule sen 3 x. cos xdx. cos x

Exercício 6.9. Calcule ( senx − 1) 4 dx.

Exercício 6.10. Calcule cot gxdx.

2 Exercício 6.11. Calcule sen xdx.

3 Exercício 6.12. Calcule cos xdx.

Exercício 6.13. Calcule 7 x x 2 dx.

3

Exercício 6.14. Calcule e

2−cos x

senxdx.

129

130

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 6.15. Calcule

senx dx.

9 + cos 2 x

Respostas dos EExercícios xercícios Propostos – Capítulo 6. ( x 2 + 1) 7 +C 14 (3 x 2 + 2) 7 +C Exercício 6.2.

42 −7 Exercício 6.3. 40( x 5 − 2)8 + C

Exercício 6.1.

Exercício 6.4.

3 x2 + 2 +C 2

1 3 x 4 −1 e +C 12 −1 cos x 2 + C Exercício 6.6.

2

Exercício 6.5.

Exercício 6.7. sen ( x − π ) + C 4 Exercício 6.8. sen x + C

4

−1

Exercício 6.9. 3( senx − 1)3 + C Exercício 6.10. ln senx + C Exercício 6.11.

1 1 x − sen2 x + C 2 4

Exercício 6.12. senx −

sen 3 x +C 3

3

Exercício 6.13.

7x +C 3 ln 7

Exercício 6.14. e 2−cos x + C 1 3

cos x +C 3

Exercício 6.15. arctg

Capítulo 7 Integrais Simples – Integração por Partes

O método da integração por partes consiste em “desenvolver” a integral de udv como a subtração entre o produto u.v e a integral de vdu, conforme segue.

³ udv = u.v − ³ vdu Se tivermos a função u = u(x), podemos determinar du = u’(x)dx, visto que

du = u , ( x) . dx Se tivermos dv, podemos determinar v = v(x), visto que v = ³ dv .

Em geral, esse método é adequado para as situações em que a integral de vdu é mais fácil do que a integral de udv.

Observação: quando substituímos v = ³ dv em ³ vdu , não usamos, nesse momento, a constante de integração vinda da integral de dv.

Exemplo 7.1. Calcule xe x dx. ³ Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = x →

du , = (x ) = 1 → du = 1dx → du = dx dx

132

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

dv = e x dx → v = ³ dv = ³ e x dx = e x + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu

³ xe dx = xe − ³ e dx x

x

x

x x Prosseguimos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais imediatas ³ e dx = e + C :

³ xe dx = xe − ³ e dx = xe x

x

x

x

− ex + C

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a resposta final:

³ xe dx = xe x

x

− e x + C = e x ( x − 1) + C

2x Exemplo 7.2. Calcule ³ (3 x − 7)e dx.

Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = 3 x − 7 →

du , , , = (3 x − 7 ) = (3 x ) − (7 ) = 3.1 − 0 = 3 → du = 3dx dx

dv = e 2 x dx Logo, v = ³ dv = ³ e 2 x dx =

1 2x e +C , 2

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,

³e com α igual a 2.

αx

dx =

1

α

eα x + C ,

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

133

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu ³ (3x − 7).e

2x

1 1 dx = (3 x − 7) e 2 x − ³ e 2 x 3dx 2 2

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k . f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

³ (3x − 7).e

2x

1 1 1 3 dx = (3 x − 7) e 2 x − ³ e 2 x 3dx = (3 x − 7)e 2 x − ³ e 2 x dx 2 2 2 2

Utilizamos, novamente, a seguinte regra da tabela ampliada de integrais imediatas

³e

αx

dx =

1

α

eα x + C ,

com α igual a 2:

³ (3x − 7).e

2x

dx =

3 1 3 1 1 (3 x − 7).e 2 x − ³ e 2 x dx = (3 x − 7)e 2 x − . e 2 x + C 2 2 2 2 2

³ (3x − 7).e

2x

dx =

1 3 (3 x − 7 ) e 2 x − e 2 x + C 2 4

A integral já foi acabada, mas podemos colocar

³ (3x − 7).e

2x

dx =

1 2x e em evidência: 2

17 · 1 2x § 1 2x § 3· 1 § § 14 + 3 · · e ¨ (3 x − 7) − ¸ + C = e 2 x ¨¨ 3 x − ¨ ¸ ¸¸ + C = e ¨ 3 x − ¸ + C 2¹ 2 © 2 © 2¹ 2 © © 2 ¹¹

134

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 7.3. Calcule ³ xe − x dx.

Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = x →

du , = (x ) = 1 → du = 1dx → du = dx dx

dv = e − x dx Logo, v = ³ dv = ³ e − x dx = ³ e −1x dx =

1 −1x e + C = −e − x + C , −1

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais, dada no capítulo 6,

³e

αx

dx =

1

α

eα x + C ,

com α igual a −1.

Aplicando o método da integração por partes:

³ xe

−x

(

³ udv = u.v − ³ vdu

)

dx = x − e − x − ³ − e − x dx = − e − x x + ³ e − x dx

³e

Usamos, novamente, que

³ xe

−x

−x

dx = −e − x + C :

dx = − e − x x + ³ e − x dx = −e − x x − e − x + C

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar −e−x em evidência para dar a resposta final:

³ xe

−x

dx = −e − x x − e − x + C = −e − x ( x + 1) + C

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

135

Exemplo 7.4. Calcule ³ (5 x − 3) cos xdx.

Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = 5 x − 3 →

du = 5 → du = 5dx dx

dv = cos xdx → v = ³ dv = ³ cos xdx = senx + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu

³ (5x − 3). cos xdx = (5x − 3).senx − ³ (senx)5dx Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k . f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

³ (5x − 3) cos xdx = (5x − 3)senx − ³ (senx)5dx = (5x − 3)senx − 5³ senxdx Finalizamos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais

³ senxdx = − cos x + C :

³ (5x − 3) cos xdx = (5x − 3)senx − 5(− cos x) + C = (5x − 3)senx + 5 cos x + C Exemplo 7.5. Calcule ³ ( 2 x + 1) sen7 xdx.

Façamos as seguintes equivalências:

u = u ( x) = 2 x + 1 →

du = 2 → du = 2 dx dx

dv = sen7xdx

136

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Logo, v = ³ dv = ³ sen 7 xdx =

−1 cos 7 x + C , 7

visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6, −1

³ senαxdx = α

senαx + C ,

com α igual a 7.

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu −1 § −1· (cos 7 x ) 2dx ¸ cos 7 x − ³ 7 ¹ 7

³ (2 x + 1).sen7 xdx = (2 x + 1)¨©

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Ou seja,

−1 § −1· ¸ cos 7 x − ³ (cos 7 x) 2dx 7 ¹ 7

³ (2 x + 1).sen7 xdx = (2 x + 1)¨©

³ (2 x + 1).sen 7 xdx =

−1 2 ( 2 x + 1) cos 7 x + ³ cos 7 xdx 7 7

Utilizamos a seguinte regra da tabela ampliada de integrais 1

³ cos αxdx = α senαx + C , com α igual a 7.

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

³ (2 x + 1).sen7 xdx = ³ (2 x + 1).sen7 xdx =

137

−1 2 1 ( 2 x + 1) cos 7 x + . .sen 7 x + C 7 7 7 −1 2 ( 2 x + 1) cos 7 x + sen 7 x + C 7 49

Exemplo 7.6. Calcule ³ ln xdx Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x ) = ln x →

du 1 1 = → du = dx dx x x

dv = dx → v = ³ dv = ³ dx = x + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu 1

³ ln xdx = (ln x) x − ³ x x dx = x ln x − ³ dx = x ln x − x + C A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x em evidência para dar a resposta final:

³ ln xdx = x ln x − x = x(ln x − 1) 2 Exemplo 7.7. Calcule ³ x ln xdx.

Façamos as seguintes equivalências:

u = u ( x ) = ln x →

du 1 1 = → du = dx dx x x

dv = x 2 dx → v = ³ dv = ³ x 2 dx =

x 2 +1 x3 +C = +C 2 +1 3

138

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu

³x

2

ln xdx = ³ (ln x) x 2 dx =(ln x)

x3 x3 1 x3 x2 −³ dx =(ln x ) − ³ dx 3 3 3 3 x

2 ³ x ln xdx =(ln x)

x3 1 − ³ x 2 dx 3 3

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx Ou seja,

³x

2

ln xdx = ³ (ln x ) x 2 dx =(ln x )

1 1 x3 x3 − ³ x 2 dx = ln x − ³ x 2 dx 3 3 3 3

Continuamos a integração usando a seguinte regra: n ³ x dx =

x n+1 +C n +1

Logo, 2 ³ x ln xdx =

x3 1 x3 1 x3 ln x − ³ x 2 dx = ln x − +C 3 3 3 3 3

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x3/3 em evidência para dar a resposta final:

³x

2

ln xdx =

x3 x3 § 1 x3 1· ln x − . + C = ¨ ln x − ¸ + C 3 3 3 3© 3¹

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

Exemplo 7.8. Calcule

³

139

x ln xdx.

Como a raiz quadrada de x pode ser expressa como x elevado ao expoente meio, vamos escrever:

³

1

x ln xdx = ³ x 2 ln xdx.

Agora, vamos fazer as seguintes equivalências: u = u ( x ) = ln x →

du 1 1 = → du = dx dx x x 1+2

1 +1

3

2 3 x 2 x2 x 2 dv = x 2 dx → v = ³ dv = ³ x 2 dx = +C = +C = +C = x 2 +C 1 +1 1+ 2 3 3 2 2 2 Aplicando o método da integração por partes: 1

1

³ udv = u.v − ³ vdu 3

³

2x 2 2 3 2 3 1 2 3 dx x ln xdx = ³ x ln xdx = (ln x ) x 2 − ³ x 2 dx = x 2 ln x − ³ 3 x 3 3 3 x 1

2

3

A divisão de x /2 por x = x1 “contida” na integral a ser resolvida pode ser desenvolvida como: 3

3

3 3 +( −1) x 2 x 2 = 1 = x 2 x −1 = x 2 =x x x

3−2 2

1

= x 2.

Ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades: 1 1 = m −a → 1 = x −1 e m a mb = m a+b → x 3 2 x −1 = x 3 2 +( −1) = x 12 . a m x

Ou seja, 3

³

2 1 2x 2 2 3 2 3 dx = x 2 ln x − ³ x 2 dx x ln xdx = ³ x ln xdx = x 2 ln x − ³ 3 3 x 3 3 1

2

140

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx Logo,

³

x ln xdx =

2 32 2 1 2 3 2 1 x ln x − ³ x 2 dx = x 2 ln x − ³ x 2 dx 3 3 3 3

Prosseguimos a integração utilizando a regra

³

n ³ x dx =

1 x n+1 + C para n = : 2 n +1

1 +1

1+ 2

2x2 2x 2 2 3 2 1 2 3 2 3 x ln xdx = x 2 ln x − ³ x 2 dx = x 2 ln x − 1 +1 + C = x 2 ln x − 1+2 + C 3 2 3 2 3 3 3 3 3

2 3 2 2 3 2 3 2x 2 ³ x ln xdx = 3 x 2 ln x − 3 3 + C = 3 x 2 ln x − 3 . 3 x 2 + C 2 2 3 Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar x 2 em evidên3 cia para expressarmos a resposta final:

³

x ln xdx =

Exemplo 7.9. Calcule ³

2 32 2 2 3 2 3 § 2· x ln x − . x 2 + C = x 2 ¨ ln x − ¸ + C 3 3 3 3 © 3¹

ln x dx.

5x3

Antes de começarmos a integral precisamos preparar a função a ser integrada da seguinte maneira:

ln x

³ 5x

3

dx = ³

1 ln x 1 dx = ³ (ln x )x −3 dx.

5 x3 5

1

Podemos colocar o fator que multiplica a função “para fora da integral”, pois 5 ³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx . Vejamos: ln x

³ 5x

3

dx = ³

1 (ln x )x −3dx = 1 ³ (ln x )x −3dx 5 5

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

141

Agora, vamos fazer as seguintes equivalências: u = u ( x) = ln x →

du 1 1 = → du = dx dx x x

dv = x −3dx → v = ³ dv = ³ x −3dx =

x −3+1 x −2 −1 +C = +C = 2 +C − 3 +1 −2 2x

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu ln x

³ 5x

3

dx =

1 (ln x )x −3dx = 1 §¨ (ln x ) (−12) − ³ − 12 1 dx ·¸ = 1 §¨ (−12) ln x + ³ 1 12 dx ·¸ 5³ 5© 2x 2x x ¹ 5 © 2x 2x x ¹

Podemos desenvolver a função a ser integrada:

1 1 1 1 = = = = x −3 . x 2 x x 2 x1 x 2+1 x 3 Note que ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:

ma mb = ma+b → x 2 x1 = x 2+1 = x3 e

1 1 = m −a → 3 = x −3 . a m x

Ou seja, ln x

³ 5x

3

1 § (−1) 1 1 1 · 1 § (−1) · dx = ¨ 2 ln x + ³ dx ¸ = ¨ ln x + ³ x −3dx ¸ 5 © 2x 2 x2 x ¹ 5 © 2x2 2 ¹

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k . f ( x)dx = k .³ f ( x)dx Logo,

ln x

³ 5x

3

1 § (−1) 1 · dx = ¨ 2 ln x + ³ x − 3dx ¸ 5 © 2x 2 ¹

142

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

n Continuamos a integração utilizando a regra ³ x dx =

x n+1 + C para n = − 3: n +1

ln x 1 § (−1) 1 −3 · 1 § (−1) 1 x −3+1 · 1 § (−1) 1 x −2 · ¨ ¸ ¨ ¸+C = + = + ln + = + ln ln dx x x dx x C x ¨ ¸ ³ 5x3 5 © 2 x 2 ¨ 2 2³ 2 − 3 + 1 ¸¹ 5 ¨© 2 x 2 2 − 2 ¸¹ ¹ 5 © 2x

ln x

³ 5x

3

1 § (−1) 1 −1 · 1 § (−1) 1 1 · dx = ¨ 2 ln x + ¸ + C = ¨ 2 ln x − ¸+C 5 © 2x 2 2x2 ¹ 5 © 2x 2 2x2 ¹

Deixamos a constante C “fora” dos parênteses porque uma constante multiplicada por 1/5 continua sendo uma constante.

1 Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar − 2 em evidên2x cia para expressarmos a resposta final:

ln x

³ 5x

3

dx =

1 (−1) § 1· 1 § 1· ln x + ¸ + C = − ln x + ¸ + C 2 ¨ 2 ¨ 5 2x © 2¹ 10 x © 2¹

2 x Exemplo 7.10. Calcule ³ x e dx

Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = x 2 →

du = 2 x → du = 2 xdx dx

dv = e x dx → v = ³ dv = ³ e x dx = e x + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu

³ x .e dx = x e − ³ e 2xdx 2

x

2 x

x

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

143

Ou seja,

³ x e dx = x e − ³ e 2xdx = x e 2 x

2 x

x

2 x

− 2³ xex dx

Caímos em uma integral que deve ser resolvida novamente por partes. Esta integral já foi feita no exemplo 7.1:

³ xe dx = xe − ³ e dx = xe x

x

x

x

− ex + C

Logo,

³ x e dx = x e 2 x

2 x

− 2³ xex dx = x 2e x − 2( xex − e x ) = x 2e x − 2 xex + 2e x

A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a resposta final:

³ x e dx = x e 2 x

2 x

(

− 2 xe x + 2e x = e x x 2 − 2 x + 2

)

³

2 Exemplo 7.11. Calcule x cos xdx.

Façamos as seguintes equivalências: u = u ( x) = x 2 →

( )

, du = x 2 = 2 x → du = 2 xdx dx

dv = cos xdx → v = ³ dv = ³ cos xdx = senx + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu ³ x cos xdx = x senx − ³ senx 2 xdx 2

2

Podemos, então, usar a seguinte propriedade:

³ k. f ( x)dx = k.³ f ( x)dx

144

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja,

x

2

cos xdx = x 2 senx − senx 2 xdx = x 2 senx − 2 xsenxdx

Caímos em uma integral que deve ser feita novamente por partes: a integral do produto de x pelo seno de x. Vamos resolvê-la: t=x→

dt = 1 → dt = 1dx → dt = dx dx

dz = senxdx → z = dz = senxdx = − cos x + C

tdz = t.z − zdt

x.senxdx = x(− cos x) − (− cos x)dx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + senx + C Logo,

x

2

cos xdx = x 2 senx − 2(− x cos x + senx ) = x 2 senx + 2 x cos x − 2 senx + C

Exemplo 7.12. Calcule

x sec

2

xdx

2 Como a integral da secante ao quadrado de x é diretíssima da tabela, sec xdx = tgx + C , no uso do método da integração por partes vamos chamar essa função de dv. A função u = u(x) é, então, u = u(x) = x. Vejamos:

u = u ( x) = x →

du , = (x ) = 1 → du = 1dx → du = dx dx

dv = sec 2 xdx → v = dv = sec 2 xdx = tgx + C Aplicando o método da integração por partes:

udv = u.v − vdu x sec xdx = xtgx − tgxdx 2

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

145

A integral da tangente de x foi feita no exemplo 6.10 e consta da tabela ampliada de integrais:

tgxdx = − ln cos x .

Logo,

x sec

2

xdx = xtgx − (− ln cos x ) + C = xtgx + ln cos x + C

3 Exemplo 7.13. Calcule sec xdx

Vamos começar escrevendo a secante ao cubo de x como o produto da secante de x pela secante ao quadrado de x: sec3 x = sec x sec2 x. Logo,

sec

3

xdx = sec x sec 2 xdx

Agora, chamamos a secante ao quadrado de x de dv. A função u = u(x) é, então, u = u(x) = sec x. Vejamos: u = u ( x ) = sec x →

du , = (sec x ) = sec xtgx → du = sec xtgxdx dx

dv = sec 2 xdx → v = dv = sec 2 xdx = tgx + C Aplicando o método da integração por partes:

udv = u.v − vdu

sec

3

xdx = sec x sec 2 xdx = sec xtgx − tgx sec xtgxdx = sec xtgx − sec xtg 2 xdx

Agora, vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

sec 2 x = 1 + tg 2 x → tg 2 x = sec 2 x − 1 Substituindo a equivalência acima na integral:

sec

3

(

)

(

)

xdx = sec xtgx − sec x sec 2 x − 1 xdx = sec xtgx − sec 3 x − sec x xdx

146

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Podemos “separar” a integral da subtração das funções sec3 x e sec x na subtração das integrais de sec3 x e sec x, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:

³ sec

3

(

(

)

xdx = sec xtgx − ³ sec3 x − sec x xdx = sec xtgx − ³ sec3 xdx − ³ sec xdx

)

Usando a propriedade distributiva para “retirarmos” os parênteses:

³ sec

3

xdx = sec xtgx − ³ sec3 xdx + ³ sec xdx

Como a integral da secante de x está na tabela ampliada de integrais:

³ sec xdx = ln sec x + tgx + C .

Também podemos “passar” a integral da secante ao quadrado de x do lado direito para o lado esquerdo da igualdade como soma.

Ou seja,

³ sec

3

xdx + ³ sec3 xdx = sec xtgx + ln sec x + tgx + C

2³ sec3 xdx = sec xtgx + ln sec x + tgx + C “Passando” a constante 2 “dividindo” para o lado direito da equação, finalizamos a integral:

³ sec

3

xdx =

1 (sec xtgx + ln sec x + tgx ) + C 2

Exemplo 7.14. Calcule ³ cos x ln (senx )dx Temos que: ³ cos x ln (senx )dx = ³ (ln (senx )) cos xdx .

Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:

(senx ) = cos x → du = cos x dx du , = (ln( senx) ) = dx senx senx senx ,

u = u ( x) = ln( senx) →

dv = cos xdx → v = ³ dv = ³ cos xdx = senx + C

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

147

Veja que, para derivarmos o logaritmo neperiano do seno de x, utilizamos a regra da cadeia, pois tínhamos uma função composta.

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu cos x

³ cos x ln(senx )dx = ³ (ln(senx) ) cos xdx = (ln(senx) )senx − ³ senx senx dx Simplificando a função a ser integrada, ficamos apenas com a integral do cosseno de x, que é diretíssima da tabela:

³ cos x ln (senx )dx = senx ln( senx ) − ³ cos xdx =senx ln( senx ) − senx + C A integral já foi acabada, mas, ainda, podemos colocar o seno de x em evidência:

³ cos x ln (senx )dx = senx (ln( senx ) − 1) + C

³ (ln x) dx Temos que: ³ (ln x ) dx = ³ ln x. ln xdx .

Exemplo 7.15. Calcule

2

2

Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes: u = u ( x) = ln x →

du 1 1 , = (ln x ) = → du = dx dx x x

dv = ln xdx → v = ³ dv = ³ ln xdx = x(ln x − 1) + C Para integrarmos a função 1n x, utilizamos o resultado do exemplo 7.6:

³ ln xdx = x ln x − x = x(ln x − 1) .

148

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu 1 x

∫ ( ln x ) dx = ∫ ln x.ln xdx =( ln x ) x ( ln x −1)− ∫ x ( ln x −1) dx = x ln x ( ln x −1)− ∫ ( ln x −1)dx 2

Podemos “separar” a integral da subtração das funções 1n x e 1n a subtração das integrais de 1n x e 1, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:

³ (ln x ) dx = x ln x(ln x − 1) − (³ ln xdx − ³ 1dx ) = x ln x(ln x − 1) − ³ ln xdx + ³ dx 2

Da tabela de integrais temos que ³ dx = x + C e do exemplo 7.6 sabemos que

³ ln xdx = x ln x − x = x(ln x − 1) .

Logo,

³ (ln x ) dx = x ln x(ln x − 1) − ³ ln xdx + ³ dx = x ln x(ln x − 1) − x(ln x − 1) + x + C 2

Já terminamos a integral, mas podemos colocar x em evidência:

³ (ln x ) dx = x ln x(ln x − 1) − x(ln x − 1) + x + C = x(ln x(ln x − 1) − (ln x − 1) + 1) + C ³ (ln x ) dx = x(ln x(ln x − 1) − ln x + 1 + 1) + C = x(ln x(ln x − 1) − ln x + 2) + C 2

2

Exercícios Propostos – Capítulo 7.

Exercício 7.1. Calcule ³ xe5 x dx Exercício 7.2. Calcule ³ xe

2 x −1

dx

4x Exercício 7.3. Calcule ³ ( x − 2)e dx

Exercício 7.4. Calcule ³ (5 x − 1)e x+3 dx

Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes

Exercício 7.5. Calcule ³ ( x + 8) cos xdx Exercício 7.6. Calcule ³ (7 − 4 x) cos 3 xdx Exercício 7.7. Calcule ³ (5 x − 1) sen2 xdx ln x dx Exercício 7.8. Calcule ³ 3 Exercício 7.9. Calcule ³ ( 2 x + 1) ln xdx

³

3 Exercício 7.10. Calcule x ln xdx

³

2 Exemplo 7.11. Calcule x senxdx

³

2 2x Exercício 7.12. Calcule x e dx

Exercício 7.13. Calcule ³ x sec xtgxdx 4x Exercício 7.14. Calcule ³ e sen5 xdx

Exercício 7.15. Calcule ³ senx ln(cos x )dx

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.

Exercício 7.1.

1 5x § 1· e ¨x− ¸+C 5 © 5¹

Exercício 7.2.

1 2 x−1 § 1· e ¨x − ¸+C 2 2¹ ©

Exercício 7.3.

1 4x § 9· e ¨x − ¸+C 4 © 4¹

Exercício 7.4. e x +3 (5 x − 6 ) + C Exercício 7.5. ( x + 8) senx + cos x + C 4 § 7 − 4x · ¸ sen3x − cos 3x + C 9 © 3 ¹

Exercício 7.6. ¨

149

150

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

5 § 5x − 1 · ¸ cos 2 x + sen2 x + C 4 © 2 ¹

Exercício 7.7. − ¨ Exercício 7.8.

x (ln x − 1) + C 3

(

)

2 Exercício 7.9. x + x ln x −

Exercício 7.10.

x2 − x+C 2

x4 § 1· ¨ ln x − ¸ + C 4 © 4¹

Exemplo 7.11. − x2 cos x + 2xsenx + 2 cos x + C Exercício 7.12.

1 2x § 2 1· e ¨x − x+ ¸+C 2 © 2¹

Exercício 7.13. x sec x − 1n|sec x + tgx| + C Exercício 7.14.

1 4x e (4sen5 x − 5 cos 5 x ) + C 41

Exercício 7.15. cos x(1 − 1n(cos x)) + C

Capítulo 8 Integrais Simples – Integrais Definidas

A integral definida de uma função contínua f (x) em um intervalo que contenha a e b, desde x = a até x = b, é dada por: b

³

f ( x)dx =

a

x =b

³ f ( x)dx = F ( x)

b a

= F (b) − F (a)

x=a

Na expressão acima, F(x) é uma primitiva de f (x), x = a é o extremo inferior da integral e x = b é o extremo superior da integral.

Vale o seguinte: b

a

a

b

³ f ( x)dx = −³ f ( x)dx 2

³

2 Exemplo 8.1. Calcule x dx.

1

A integral indefinida relativa ao exemplo 8.1 pode ser feita pelo uso diretíssimo da tabela, ou seja, 2 ³ x dx =

x 2+1 x3 +C = +C 2 +1 3

152

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x=1 e extremo superior x=2: 2

ª x3 º (2) 3 (1) 2 8 1 7 2 ³1 x dx = «¬ 3 »¼ = 3 − 3 = 3 − 3 = 3 1 2

1

³

2 Exemplo 8.2. Calcule x dx.

2

Pelo exemplo 8.1, já resolvemos a integral indefinida referente à função x ao quadrado. A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 2 e extremo superior x = 1: 1

ª x3 º (1) 3 (2) 2 1 8 − 7 2 ³2 x dx = «¬ 3 »¼ = 3 − 3 = 3 − 3 = 3 2 1

Poderíamos, também, ter aproveitado o resultado do exemplo 8.1 da seguinte maneira: §7· −7 2 2 ³2 x dx = − ³1 x dx = −¨© 3 ¸¹ = 3 1

4

§3

2

·

³ © x + 2 ¸¹dx.

Exemplo 8.3. Calcule ¨ 1

Façamos a seguinte integral indefinida:

§3

·

3

1

³ ¨© x + 2 ¸¹dx = ³ x dx + ³ 2dx = 3³ x dx + 2³ dx = 3 ln x + 2 x + C Sendo assim: 4

§3 · ³ ¨© x + 2 ¸¹dx = [3 ln x + 2 x] = (3 ln 4 + 2.4) − (3 ln 1 + 2.1) = 3 ln 4 + 8 − 3.0 − 2 = 3 ln 4 + 6 4

1

1

Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas

153

1

Exemplo 8.4. Calcule ³ ( x + 2 x)dx 0

Façamos a seguinte integral indefinida: 1

³ ( x + 2 x)dx = ³ x dx + ³ 2 xdx = ³ x 2 dx + 2³ xdx =

1 +1

3

x 2 x2 x 2 +2 +C = + x2 + C 3 1 +1 2 2 2

3

2x 2 2 ³ ( x + 2 x)dx = 3 + x + C Sendo assim, desde x = 0 até x = 1: 1

ª 2x3 2 § 2(1) 3 2 § 2( 0) 3 2 2 2+3 5 2º 2· 2· ³0 ( x + 2 x)dx = «¬ 3 + x »¼ = ¨¨© 3 + (1) ¸¸¹ − ¨¨© 3 + (0) ¸¸¹ = 3 + 1 = 3 = 3 0 1

π

2

Exemplo 8.5. Calcule ³ cos xdx 0

A integral indefinida relativa a este exemplo pode ser feita pelo uso diretíssimo da tabela, ou seja,

³ cos xdx = senx + C Aplicando-se os extremos indicados, temos que: π

2

³ cos xdx = [senx]

π 2 0

= sen

0

π 2

− sen0 = 1 − 0 = 1

π

Exemplo 8.6. Calcule ³ (6 + cos x)dx.

0

A integral indefinida relativa a esse exemplo é

³ (6 + cos x)dx =³ 6dx + ³ cos xdx = 6³ dx + ³ cos xdx = 6 x + senx + C

154

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A integral indefinida é π

³ (6 + cos x)dx = [6 x + senx]

π 0

= (6π + senπ ) − (6.0 + sen0) = (6π + 0) − (0 + 0) = 6π

0

1

³

Exemplo 8.7.Calcule x 3 (3 + x) 2 dx −1

No exemplo 5.5, vimos que

³ x (3 + x) 3

2

dx =

9x 4 6x5 x6 + + +C 4 5 6

Agora, podemos fazer facilmente a integral definida, desde x = −1 até x = 1: 1

§ 9.(1) 4 6.(1)5 (1) 6 · § 9.(−1) 4 6.(−1)5 (−1) 6 · ª 9 x 4 6 x5 x6 º 3 2 ³−1 x (3 + x) dx = «¬ 4 + 5 + 6 »¼ = ¨¨© 4 + 5 + 6 ¸¸¹ − ¨¨© 4 + 5 + 6 ¸¸¹ −1 1

1

³ x (3 + x) 3

−1

2

§ 9 6 1 · § 9 6 1 · 9 6 1 9 6 1 12 dx == ¨ + + ¸ − ¨ − + ¸ = + + − + − = ©4 5 6¹ ©4 5 6¹ 4 5 6 4 5 6 5 2

5x 3 dx Exemplo 8.8. Calcule ³ (2 x 4 − 1)7 1

No exemplo 6.3, vimos que −5 5x3 ³ (2 x 4 − 1) 7 dx = 48(2 x 4 − 1) 6 + C

A partir desse resultado, temos que: 2

2

ª º º · 5x3 1 1 1 −5 −5ª −5§ ³1 (2 x 4 − 1)7 dx = «¬ 48(2 x 4 − 1) 6 »¼ = 48 «¬ (2 x 4 − 1) 6 »¼ = 48 ¨¨© (2.2 4 − 1)6 − (2.14 − 1)6 ¸¸¹ 1 1 2

2

−5§ 1 5x3 1 · − 5 § 1 − 316 · 5 § 316 − 1 · ¨ ¸= ¨ ¸ ¨¨ − 6 ¸¸ = dx = 4 7 6 − 1) 48 © (31) (1) ¹ 48 ¨© 316 ¸¹ 48 ¨© 316 ¸¹

³ (2 x 1

Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas

155

1

³

5 x Exemplo 8.9. Calcule x e

6

−5

dx

−1

No exemplo 6.5, vimos que

³x e

x 6 −5

5

1 6 dx = e x −5 + C 6

Assim, a integral definida referente ao exemplo 8.9 é calculada da seguinte maneira: 5 x ³x e

−1

[ ]

1

1

6

−5

1 6 ª1 6 º dx = « e x −5 » = e x −5 ¬6 ¼ −1 6

1 −1

=

(

) (

)

6 1 16 −5 1 e − e ( −1) −5 = e − 4 − e − 4 = 0 6 6

π

Exemplo 8.10. Calcule ³ cos 2 xdx π

2

No exemplo 6.11, vimos que

³ cos

2

xdx =

1 1 x + sen 2 x + C 2 4

Agora, podemos fazer facilmente a integral definida:

³ cos π 2

( )

π

π

2

1 1 · π sen 2π π sen π · §1 π 1 §1 º ª1 xdx = « x + sen 2 x » = ¨ π + sen 2π ¸ − ¨ . + .sen 2 π ¸ = + − − 2¹ 2 4 4 4 4 4 ¹ ©2 2 4 ¼π 2 © 2 ¬2 π

³ cos π

2

2π − π π = 4 4

xdx =

2

2

x Exemplo 8.11. Calcule ³ 6 dx 0

Da tabela ampliada de integrais, vimos que 1

³ a dx = ln a a x

x

+C .

156

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Fazendo a igual a 6, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.11: 1

³ 6 dx = ln 6 6 x

x

+C

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = 2: x=2

2

(

)

1 2 1 35 ª 1 xº x 0 ³0 6 dx = «¬ ln 6 6 »¼ x =0 = ln 6 6 − 6 = ln 6 (36 − 1) = ln 6

Se aproximarmos o logaritmo neperiano de 6 por 1,79, temos que 2

³6

x

dx =

0

35 ≅ 1,95 . ln 6

Esses cálculos foram feitos com o auxílio da calculadora. π

2 Exemplo 8.12. Calcule ³ sec 3 xdx 0

Da tabela ampliada de integrais, vimos que

³ sec

2

axdx =

1 tgax + C . a

Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.12:

³ sec

2

1 3 xdx = tg 3 x + C 3

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π: π

x =π

1 1 ª1 º 2 ³0 sec 3xdx = «¬ 3 tg 3x »¼ x = 0 = 3 (tg 3π − tg 0) = 3 (0 − 0) = 0

Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas

π

157

8

Exemplo 8.13. Calcule ³ tg 2 xdx 0

Da tabela ampliada de integrais, vimos que

1

³ tgaxdx = − a ln cos ax + C .

Fazendo a igual a 2, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.13: 1

³ tg 2 xdx = − 2 ln cos 2 x + C A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π/8: π

x =π

· · −1§ π π ª−1 º 8 −1§ ³0 tg 2 xdx = «¬ 2 ln cos 2 x »¼ x = 0 = 2 ¨¨© ln cos 2. 8 − ln cos 2.0 ¸¸¹ = 2 ¨¨© ln cos 4 − ln cos 0 ¸¸¹ 8

π

8

³ tg 2 xdx = 0

· −1§ · −1 2 2 2 − 1 §¨ ¨ ln ln ln − 0 ¸¸ = − ln 1 ¸ = ¨ ¸ 2 2 ¨© 2 2 2 2 © ¹ ¹

2

³

Exemplo 8.14. Calcule e3 x − 5 dx 1

Da tabela ampliada de integrais, vimos que

³e

ax + b

dx =

1 ax + b e +C . a

Fazendo a igual a 3 e b igual a − 5, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.14:

³e

3 x −5

1 dx = e3 x − 5 + C 3

158

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 1 e extremo superior x = 2: x=2

2

(

)

(

)

1 3 .2 − 5 3 .1 − 5 1 1 − 2 1 § 1· ª 1 3x −5 º 3 x −5 ³1 e dx = «¬ 3 e »¼ x =1 = 3 e − e = 3 e − e = 3 ¨© e − e2 ¸¹ 5

1

Exemplo 8.15. Calcule ³

dx

x − 32 2

4

Da tabela ampliada de integrais, vimos que 1

³

x −a 2

2

dx =

1 ln x + x 2 − a 2 + C . a

Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.15: 1

1 dx = ln x + x 2 − 32 + C 3 x −3

³

2

2

A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo, com extremo inferior x = 4 e extremo superior x = 5: 5

x =5

1 ª1 º dx = « ln x + x 2 − 32 » = §¨ ln 5 + 52 − 32 − ln 4 + 42 − 32 ·¸ 2 2 ¹ 3 ¼ x=4 3 © x −3 1

³ 4

5

³ 4

1 x −3 2

2

dx =

(

) (

1 1 ln 5 + 25 − 9 − ln 4 + 16 − 9 = ln 5 + 4 − ln 4 + 7 3 3 5

1

³

x −3 2

4

2

dx =

(

1 ln 9 − ln 4 + 7 3

)

Como 9 e 4 + 7 são positivos, podemos “tirar” os módulos: 5

³ 4

1 x −3 2

2

dx =

(

(

))

1 1 9 ln 9 − ln 4 + 7 = ln 3 3 4+ 7

)

Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas

Lembre que

ln a − ln b = ln

(

Exercícios Propostos – Capítulo 8.

3

Exercício 8.1. Calcule

³ x dx 3

2

3

Exercício 8.2. Calcule

1

³ x dx 2

5

§2 · Exercício 8.3. Calcule ³ ¨ − 3 ¸dx x ¹ 1© 1

Exercício 8.4. Calcule ³ (3 x − x )dx 0

π

Exercício 8.5. Calcule

2

³ senxdx

0 π

³

Exercício 8.6. Calcule (4 + 3senx)dx 0

1

Exercício 8.7. Calcule

³x

2

(5 + 4 x) 2 dx

−1

3

6x2 dx Exercício 8.8. Calcule ³ 3 ( x − 1)3 2 1

Exercício 8.9. Calcule

³x e 4

x5 −2

dx

−1

3π

Exercício 8.10. Calcule

2

³ sen xdx π 2

)

a 9 → ln 9 − ln 4 + 7 = ln . b 4+ 7

159

160

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.

Exercício 8.1.

65 4

Exercício 8.2. ln 3 − ln 2 = ln Exercício 8.3. 21n 5 − 12 Exercício 8.4.

3 2

Exercício 8.5. 1 Exercício 8.6. 4π + 6 Exercício 8.7.

346 15

Exercício 8.8.

627 33124

Exercício 8.9.

1§1 1 · ¨ − ¸ 5 © e e3 ¹

Exercício 8.10.

π

4

3 2

Capítulo 9 Integrais Duplas e Regiões de Integração

A integral dupla da função de duas variáveis z = f (x, y), sobre determinada região R do plano xOy, é indicada por ³³ f ( x, y )dxdy .

R

Há duas propriedades, designadas por I1 e I2, similares às propriedades P1 e P2 vistas no capítulo 4 e referentes às integrais de funções de uma variável, que podem ser usadas para resolver integrais duplas:

• I1.

³³ ( f ( x, y) ± g ( x, y))dxdy =³³ f ( x, y)dxdy ± ³³ g ( x, y)dxdy ; R

• I2.

R

R

³³ k. f ( x, y)dxdy =k ³³ f ( x, y)dxdy, sendo k uma cons tan te .

R

R

Conforme será visto nos exemplos a seguir, o cálculo da integral dupla está relacionado com as integrais definidas.

{

}

Exemplo 9.1. Calcule ³³ 5dxdy , sendo R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 .

R

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.1.

162

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

{

}

Figura 9.1. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 .

Vamos usar a propriedade I2 e escrever a constante 5 como um fator de multiplicação da integral dupla, ou seja, “colocamos a constante 5 que multiplica a função para fora da integral”:

³³ 5dxdy = 5³³ dxdy = 5³³1dxdy R

R

R

Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração: y =2 x =2

³³ 5dxdy = 5³³1dxdy =5 ³ R

³ 1dxdy

y =0 x =0

R

Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. A integral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável x, é diretíssima da tabela e resulta em x, além da constante de integração: ³ 1dx = x + C . Para os extremos dados pela região R, temos o que segue abaixo. y =2 x=2 y =2 y =2 y =2 y =2 § · x =2 ¨ ¸ [ ] 5 dxdy = 5 1 dxdy = 5 1 dx dy = 5 x dy = 5 ( 2 − 0 ) dy = 5 2 dy = 5 .

2 x = 0 ³³R ³³R ³ ¨ ³ ¸¹ ³ ³ ³ ³ dy y =0 © x =0 y =0 y =0 y =0 y =0

y =2

y =2

y =0

y =0

³³ 5dxdy = 10 ³ dy = 10 ³1dy R

Agora, precisamos fazer a integral simples da função 1 em relação à variável y.

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

163

A integral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável y, é diretíssima da tabela e resulta em y, além da constante de integração: ³ 1dy = y + C . Para os extremos dados pela região R, temos o que segue. y =2

³³ 5dxdy = 10 ³ 1dy = 10[y]y=0 = 10(2 − 0) = 20 y =2

y =0

R

Logo, o resultado da integral dupla do exemplo 9.1 é 20.

Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Chegaríamos ao mesmo resultado, ou seja, 20. Vejamos: x=2

⎛ y=2

⎞

x =0

⎝ y =0

⎠

x=2

x=2

x=2

x=2

x=2

x =0

x =0

x =0

x =0

∫∫ 5dxdy =5∫∫ 1dxdy =5 ∫ ⎜ ∫ 1dy ⎟ dx =5 ∫ [ y ]y = 0 dx =5 ∫ (2 − 0)dx =5 ∫ 2dx =5.2 ∫ dx =10 ∫ dx R

R

y=2

x =0

x=2

∫∫ 5dxdy = 10 ∫ 1dx =10 [ x ]x = 0 = 10(2 − 0) = 20 x=2

x =0

R

{

}

Exemplo 9.2. Calcule ³³ (3 x + 5 y )dxdy , sendo R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1 .

R

A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.2.

{

}

Figura 9.2. Região R = ( x, y) ∈ ℜ2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

y =1 x = 2

³ ³ (3x + 5 y)dxdy

y =0 x =0

164

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. Para integrarmos a função 3x + 5y em relação à variável x, pensamos que y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 5y também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 5y, em relação à variável x, é 5yx e a integral indefinida de 3x = 3x1, em relação à variável x, é 3

x1 +1 x2 3 + C = 3 + C = x2 + C , 1+1 2 2

além das constantes de integração.

Como “a integral da soma é a soma das integrais” (propriedade I1):

3

³ (3x + 5 y)dx = ³ 3xdx + ³ 5 ydx =3³ xdx + 5 y ³ dx = 2 x

2

+ 5 yx + C .

Para os extremos dados pela região R, temos que

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

y =1

· § x=2 ³y =0 ¨¨© x³=0(3x + 5 y)dx ¸¸¹dy =

x=2

y =1

ª3 2 º ³y =0 «¬ 2 x + 5 yx»¼ dy x =0

y =1

y =1 ª§ 3(2) 2 ·º · § 3(0) 2 ¸ ¨ ¸ ¨ 5 y ( 2 ) 5 y ( 0 ) dy = − + + ³ «¨ 2 ³ (6 + 10 y )dy ¸» ¸ ¨ 2 ¹¼ ¹ © y =0 ¬© y =0

Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 6 + 10y, em relação à variável y. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 6, em relação à variável y, é 6y e a integral indefinida de 10y = 10y1, em relação à variável y, é

10

y 1+1 y2 + C = 10 + C = 5 y2 + C , 1+1 2

além das constantes de integração.

Como “a integral da soma é a soma das integrais”:

³ (6 + 10 y )dy = ³ 6dy + ³ 10 ydy =6 y + 5 y

2

+C .

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

165

Para os extremos dados, temos que

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

y =1

³ (6 + 10 y )dy =[6 y + 5 y ]

2 y =1 y =0

(

) (

)

= 6.(1) + 5(1) 2 − 6(0) + 5(0) 2 = 11

y =0

Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Para integrarmos a função 3x + 5y, em relação à variável y, pensamos que x representa uma constante. Se a variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 3x também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 3x, em relação à variável y, é 3xy e a integral indefinida de 5y = 5y1, em relação à variável y, é

5

y 1+1 y2 5 +C =5 + C = y2 + C , 1+1 2 2

além das constantes de integração.

Como “a integral da soma é a soma das integrais”:

5

³ (3x + 5 y)dy = ³ 3xdy + ³ 5 ydy = 3x y + 2 y

2

+C .

Para os extremos dados pela região R, temos que

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

³³ (3x + 5 y)dxdy = R

y =1 x =2 § y=1 · ¨ (3x + 5 y)dy ¸dx = ª3xy + 5 y 2 º dx ³¨³ ³« ¸ 2 »¼ x=0 x =0 © y =0 x =0 ¹

x =2

x =2 ª§ 5(1) 2 · § 5(0) 2 ·º 5· § ¨ ¸ ¨ ¸ + − + 3 ( 1 ) 3 ( 0 ) x x dx = » ³x=0 «¬¨© ³x=0 ¨© 3x + 2 ¸¹dx 2 ¸¹ ¨© 2 ¸¹¼

x =2

5 Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 3 x + , em relação à 2 variável x. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 3x, em relação à variável x, é

3

x1+ 1 x2 3 + C = 3 + C = x2 + C 1+1 2 2

166

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

5 5 e a integral indefinida de , em relação à variável x, é x , além das constantes de 2 2 integração.

Como “a integral da soma é a soma das integrais”:

§

5·

5

3

³ ¨© 3x + 2 ¸¹dx = ³ 3xdx + ³ 2 dx = 2 x

2

+

5 x+C. 2

Para os extremos dados pela região R, temos que

³³ (3x + 5 y)dxdy == R

x =2

x =2

§ 3(2) 2 5( 2) · § 3(0) 2 5(0) · 5· § ª3 2 5 º ¸ ¸−¨ ¨¨ x dx x x 3 + + = + == + ¨ ¸ ³ «¬ 2 2¹ 2 »¼ x=0 2 ¸¹ ¨© 2 2 ¸¹ © 2 x =0 ©

³³ (3x + 5 y)dxdy = (6 + 5) − 0 = 11 R

Exemplo 9.3. Calcule ³³ (2 y 2 − xy 3 )dxdy , sendo R = {( x, y) ∈ ℜ 2 : 2 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 2}.

R

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.3.

{

}

Figura 9.3. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 2 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 2 .

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

³³ (2 y R

2

− xy 3 )dxdy =

y = 2 x =3

³ ³ (2 y

y =1 x = 2

2

− xy 3 )dxdy

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

167

Para integrarmos a função 2y2 − xy3 em relação à variável x, inicialmente pensamos que y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 2y2 também representa uma constante e o produto xy3 representa x multiplicado pela, neste momento, “constante” y3. A integral de 2y2, em relação à variável x, é 2y2 x + C. A integral de xy3 = y3 x1, em relação à variável x, é

y3

x1+1 y3 x2 +C = +C. 1+1 2

Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções: 2 3 2 3 2 ³ (2 y − xy )dx = ³ 2 y dx − ³ xy dx = 2 y x −

y3 x2 +C. 2

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que 2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

x =3

y =2

y =2 § x =3 2 · ª 2 y3 x2 º 3 ¨ ¸ − = − ( 2 ) 2 y xy dx dy y x dy ³¨³ ³« ¸ 2 »¼ x=2 y =1 © x = 2 y =1 ¹

y =2

ª§ 2 y 3 (3) 2 · § 2 y 3 (2) 2 ·º ¨ ¸ ¨ ¸»dy − − − 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) y y « ³ ¨ 2 ¸¹ ¨© 2 ¸¹¼ y =1 ¬©

y =2

y =2 § 2 9 y3 § 2 5 y3 · 2 3· ¨ ¸ − − + = 6 4 2 y y y dy ³¨ ³ ¨¨ 2 y − 2 ¸¸¹dy ¸ 2 ¹ y =1 © y =1 ©

Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função

2 y2 −

5 y3 5 = 2 y2 − y3 2 2

em relação à variável y. Ou seja,

§ 2 5 y3 · § 2 5 y3 · 5 y3 5 3 2 2 ¨ ¸ ¨ ¸ y − dy = y − dy = y dy − 2 2 2 ³ ¨© ³ ¨© ³ ³ 2 dy =2³ y dy − 2 ³ y dy 2 ¸¹ 2 ¸¹ § 2 5 y3 · y3 5 y4 ¨ ¸ 2 2 y − dy = − +C ³ ¨© 2 ¸¹ 3 2 4

§ 2 5 y3 · 2 y3 5 y4 ¸ ¨ y dy = − +C 2 − ³ ¨© 2 ¸¹ 3 8

168

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Continuando com a integral

³³ (2 y

2

− xy 3 )dxdy :

R

2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

y =2

y =2

§ 2 5 y3 · ª 2 y3 5 y 4 º ¨ ¸ y dy − = 2 « 3 − 8 » ³¨ 2 ¸¹ ¼ y=1 y =1 ©

§ 2(2) 3 5(2) 4 · § 2(1) 3 5(1) 4 · 16 2 5 − 113 2 3 ¸¸ = − 10 − + = ¸¸ − ¨¨ ¨¨ ( 2 ) y xy dxdy − − = − ³³R 3 8 3 8 3 3 8 24 ¹ ¹ © ©

Também poderíamos ter iniciado a integração pela variável y. Para integrarmos a função 2y2 − xy3 em relação à variável y, pensamos que x representa uma constante. Se a variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto xy3 representa y3 multiplicado por uma constante. A integral de 2y2, em relação à variável y, é 2

2 y3 y 2+1 +C = + C. 2 +1 3

A integral de xy3, em relação à variável y, é

x

y 3+1 xy 4 = +C. 3 +1 4

Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções: 2 3 2 3 2 3 ³ (2 y − xy )dy =³ 2 y dy − ³ xy dy = 2³ y dy − x ³ y dy =

2 y 3 xy 4 − +C. 3 4

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que 2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

³³ (2 y

2

x =3 3 4 y =2 · § y =2 2 ¨ (2 y − xy 3 )dy ¸dx = ª 2 y − xy º dx ³¨³ ³ « 3 4 »¼ ¸ x = 2 © y =1 x=2 y =1 ¹ x =3

− xy3 )dxdy =

R

2 3 ³³ (2 y − xy )dxdy = R

x =3

§ § 2(2)3

³ ¨¨© ¨¨©

x =2 x =3

3

−

x(2) 4 · § 2(1)3 x(1) 4 · · ¸−¨ ¸ ¸dx − 4 ¸¹ ¨© 3 4 ¸¹ ¸¹ x =3

2 x· § 16 § 14 15 x · ³x=2 ¨© 3 − 4 x − 3 + 4 ¸¹dx = x³=2 ¨© 3 − 4 ¸¹dx

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

169

14 15 x − Agora, precisamos fazer uma integral simples: a integral da função , em rela3 4 ção à variável x. Vejamos: 14 15 14 15 1 14 15 x 14 x 15 x ⎛ 14 15 x ⎞ − − +C ⎟ dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ dx − ∫ x dx = x − . + C = 4 ⎠ 3 4 3 4 3 4 2 3 8 ⎝ 3 2

2

∫⎜

Continuando com a integral

³³ (2 y

2

− xy 3 )dxdy :

R

x =3

x =3

ª14 x 15 x 2 º § 14 15 x · − = − == y xy dxdy dx ( 2 ) ¨ ¸ « 3 − 8 » ³³R ³ 3 4 ¹ ¼ x=2 x=2 © 2

³³ (2 y R

2

3

§ 14(3) 15(3) 2 · § 14(2) 15(2) 2 · 135 28 15 − 113 ¸¸ = 14 − ¸¸ − ¨¨ − + = − − xy 3 )dxdy = ¨¨ − 3 8 3 8 8 3 2 24 ¹ ¹ © ©

π½ ­ 2 Exemplo 9.4. Calcule ³³ xsenydxdy , sendo R = ®( x, y) ∈ ℜ : 1 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ ¾ .

3¿ ¯ R A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.4.

π½ ­ Figura 9.4. Região R = ®( x, y ) ∈ ℜ 2 : 1 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ ¾ .

3¿ ¯ Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração: y =π

³³ xsenydxdy = R

3 x=5

³ ³ (seny) xdxdy

y =0 x=1

170

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Para integrarmos a função xseny = (seny) x em relação à variável x, inicialmente pensamos que y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, então seny também representa uma constante. A integral indefinida de xseny = (seny) x, em relação à variável x, é 1+1

(seny ) x

1+ 2

+ C = (seny )

1 x2 + C = (seny ) x 2 + C .

2 2

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que y =π

³³ x.senydxdy = ³

§ x=5 · ¨ ³ ( seny ) xdx ¸dy = ¨ ¸ © x=1 ¹

3

y =0

R

y =π

³³ x.senydxdy = R

³

y =π

3

y =0

³

x =5

3

y =0

[ ]

1 ( seny ) x 2 2

y =π

dy =

3

( seny )

y =0

x =1

1 ( seny) 24dy = 12 2

³

y =π

[

]

1 (5) 2 − (1) 2 dy 2

3

³ senydy

y =0

Agora, vamos fazer uma integral simples: a integral da função seny em relação à variável y. Essa integral está na tabela e é − cos y + C. Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que y =π

³³ x.senydxdy = 12 R

3

³ senydy = 12[− cos y]

y =0

§1

·

y =π y =0

3

π y =π § · = −12[cos y ]y =0 3 = −12¨ cos − cos 0 ¸ 3 © ¹ §1− 2 · § −1· ¸ = −12¨ ¸ = 6 2 ¹ © 2 ¹

³³ x.senydxdy = −12¨© 2 − 1¸¹ = −12¨© R

Exemplo 9.5. Calcule ³³ R

5 dxdy , sendo R o quadrado [0,2]x[1,3]. x+ y

A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.5. Essa região também pode ser escrita como R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3

{

}

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

{

171

}

Figura 9.5. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 .

Podemos aplicar a propriedade I2, que permite que a integral de uma constante multiplicada por uma função seja expressa como a constante multiplicada pela integral da função e escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração: y =3 x = 2

5 1 1 ³³R x + y dxdy = 5³³R x + y dxdy = 5 y³=1 x³=0 x + y dxdy Precisamos resolver, inicialmente, a seguinte integral:

1

³ x + y dx .

Como estamos integrando em relação à variável x, pensamos que y representa, momentaneamente, uma constante. Sendo assim, temos que

1

³ x + y dx = ln(x + y ) + C Fazendo a integral definida: x=2

³

x =0

1 x=2 = [ln ( x + y )]x =0 = ln (2 + y ) − ln (0 + y ) = ln (2 + y ) − ln y x+ y

172

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Prosseguindo com a integral dupla: y =3 x = 2 y =3 § · 5 1 ¨ ¸ ³³R x + y dxdy = 5 y³=1 ¨© x³=0 x + y dx ¸¹dy = 5 y³=1(ln(2 + y ) − ln y )dy y =3 § y=3 · 5 ¨ ln(2 + y )dy − ln ydy ¸ dxdy 5 = ³³R x + y ³ ³ ¨ ¸ y =1 © y =1 ¹

Conforme visto no capítulo 7, as integrais ³ ln ydy e pelo método da integração por partes. Vejamos:

³ ln( 2 + y)dy

são resolvidas

³ ln ydy = ? u = ln y →

du 1 1 = → du = dy dy y y

dv = dy → v = ³ dv = ³ dy = y + C Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu 1

³ ln ydy = (ln y). y − ³ y. y dy = y. ln y − ³ dy = y ln y − y + C Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3: y =3

³ ln ydy = [ y ln y − y ]

y =3 y =1

= (3 ln 3 − 3) − (1ln 1 − 1) = 3 ln 3 − 3 + 1 = 3 ln 3 − 2

y =1

³ ln(2 + y )dy = ? u = ln (2 + y ) →

1 1 du = → du = dy 2+ y dy 2 + y

dv = dy → v = ³ dv = ³ dy = y + C

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

173

Aplicando o método da integração por partes:

³ udv = u.v − ³ vdu y

1

³ ln(2 + y)dy = (ln(2 + y)).y − ³ y. 2 + y dy = y.ln(2 + y) − ³ 2 + y dy + C y

³ 2 + y dy = ?

Façamos a seguinte substituição:

z =2+ y e y = z−2 → y

³ 2 + y dy = ³

dz = 1 → dz = dy dy

z−2 2· 1· 1 § z 2· § § dz = ³ ¨ − ¸ dz = ³ ¨1 − ¸ dz = ³ ¨1 − 2 ¸ dz = ³ 1dz − ³ 2 dz z¹ z¹ z z ©z z¹ © ©

y

1

³ 2 + y dy = ³ 1dz − 2³ z dz = z − 2 ln z + c = 2 + y − 2 ln(2 + y ) + C Logo,

y

³ ln(2 + y)dy = y ln(2 + y) − ³ 2 + y dy = y ln(2 + y) − (2 + y − 2 ln(2 + y)) + C ³ ln(2 + y )dy = y ln(2 + y ) − 2 − y + 2 ln(2 + y ) + C

³ ln(2 + y)dy = ( y + 2) ln(2 + y) − 2 − y + C Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3: y =3

³ ln(2 + y)dy = ((3 + 2) ln(2 + 3) − 2 − 3) − ((1 + 2) ln(2 + 1) − 2 − 1)

y =1

y =3

³ ln(2 + y)dy = 5 ln 5 − 5 − 3 ln 3 + 3 = 5 ln 5 − 3 ln 3 − 2

y =1

174

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Finalizando a integral dupla original: y =3 § y =3 · 5 ¨ ln(2 + y )dy − ln ydy ¸ = 5((5 ln 5 − 3 ln 3 − 2) − (3 ln 3 − 2) ) = dxdy 5 ³³R x + y ³ ³ ¨ ¸ y =1 © y =1 ¹

5

³³ x + y dxdy = 5(5 ln 5 − 3 ln 3 − 2 − 3 ln 3 + 2) R

§ 55 · 5 55 5 6 ¨ ¸ ( ) = 5 5 ln 5 − 6 ln 3 = 5 ln 5 − ln 3 = 5 ln = 5 ln dxdy ³³R x + y ¨ 36 ¸ 36 © ¹

(

)

Observe que, nas etapas finais, já depois de termos acabado de resolver a integral, usamos as propriedades de logaritmos citadas abaixo.

a. ln b = ln b a → 5 ln 5 = ln 55 e 6 ln 3 = ln 36 ln c − ln d = ln

Exemplo 9.6. Calcule

³³ xe

x2 + y

c 55 → ln 55 − ln 36 = ln 6 d 3

dxdy , sendo R o retângulo [0,1]x[−1,1].

R

A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.6. Essa região também pode ser escrita como R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1

{

}

{

}

Figura 9.6. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1 .

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

175

2

2

Antes de começarmos a resolver a integral, vamos usar que ab+c = ab .ac → ex +y = ex .ey para “preparar” a função. Sendo assim,

³³ xe

x2 + y

R

dxdy = ³³ xe x e y dxdy 2

R

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração: x ³³ xe

2

+y

R

dxdy = ³³ xe x e y dxdy = 2

R

x =1 y =1

³ ³ xe

x2

e y dydx

x =0 y = −1 2

Vamos resolver, inicialmente, a integral da função xex e y em relação à variável y. Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea2 mente, uma constante e, consequentemente, xex também representa uma constante.

Ou seja,

³ xe

x2

e y dy =xe x

2

³ e dy =xe y

x2

ey + C .

Sendo assim, temos que

x +y x y ³³ xe dxdy = ³³ xe e dxdy = 2

2

R

R

x =1 y =1

³

x y ³ xe e dydx = 2

x =0 y =−1

§ y=1 y · x2 ¨ xe ³x=0 ¨ y=³−e1 dy ¸¸dx © ¹ x =1

y y A integral de e y, em relação à variável y, é obtida diretamente da tabela: ³ e dy =e + C .

Para os extremos da integral em questão:

³³ xe R

x2 + y

dxdy =

y =1 x =1 · 2§ 2 xe x ¨ ³ e y dy ¸dx = ³ xe x e y ¨ ¸ x =0 x =0 © y =−1 ¹ x =1

[ ]

³

y =1 y =−1

x =1

(

)

(

dx = ³ xe x e1 − e −1 dx = e1 − e −1 x =0

2

2

x =1

) ³ xe

x2

dx

x =0

Agora, temos de fazer a integral da função xex em relação à variável x. Essa integral é resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = x2 →

du du = 2 x → du = 2 xdx → = xdx dx 2

176

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Ou seja,

³ xe

x2

dx =³ e x xdx = ³ eu 2

1 1 2 du 1 u = ³ e du = eu + C = e x + C 2 2 2 2

A integral definida fica: x=1

³ xe

x2

dx =

x=0

[ ]

1 x2 e 2

x=1 x=0

=

(

) (

)

1 12 02 1 1 0 1 e − e = e − e = (e − 1) 2 2 2

Finalizando a integral dupla original: x ³³ xe R

2

+y

(

dxdy = e1 − e−1

x =1

) ³ xe

x2

x =0

(

dx = e − e −1

) 12 (e − 1) = 12 (e − e )(e − 1) = 12 §¨ e − 1e ·¸(e − 1) −1

©

¹

Exemplo 9.7. Calcule ³³ ( x − y)dxdy , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, com x ≥ 0.

R

A região R corresponde ao semicírculo esboçado na figura 9.7. Essa região também pode ser escrita como R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 − x 2 ≤ y ≤ + 1 − x 2

{

}

{

}

Figura 9.7. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e − 1 − x 2 ≤ y ≤ + 1 − x 2 .

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

177

Devemos lembrar o que segue.

• A equação x2 + y2 = 12 corresponde à circunferência de raio 1 com centro na origem (0,0).

• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde à semicircunferência de raio 1 com centro na origem (0,0), que ocupa o 1º e o 4º quadrantes do plano xOy.

• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde a duas funções: 2 y = + 1 − x 2 , para 0 ≤ y ≤ 1, e y = − 1 − x , para −1 ≤ y ≤ 0, conforme indicado na figura 9.7.

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

§ y=+ 1− x2 · ¨ ¸dx ( x y ) dxdy ( x y ) dy − = − ³³R ³x=0 ¨ ³ 2 ¸ © y=− 1− x ¹ x =1

Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função (x − y) em relação à variável y.

Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função (x − y) representa a função “constante menos y”. A integral de x, em relação à variável y, é xy e a integral de y = y1, em relação à variável y, é y1+1 y2 +C = +C. 1+1 2

Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais das funções, temos que

³ ( x − y )dy = ³ xdy − ³ ydy = xy −

y2 +C. 2

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que x=1 2 y =+ § y=+ 1− x2 · ¨ ¸dx = ª xy − y º ( ) ( ) − = − x y dxdy x y dy ³³R ³¨ ³ ³ « 2 »¼ ¸ x =0 © y =− 1− x 2 x =0 y =− ¹ x=1

1− x 2

dx 1− x 2

178

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

³³ ( x − y)dxdy = R

( 1 − x ) ·¸ − §¨ x(−

ª§ ¨ 2 ³x=0 ««¨ x 1 − x − ¬© x =1

x=1

§

³³ ( x − y)dxdy = ³ ¨¨© x

2

1 − x2 −

(1 − x ) + x 2

2

x =0

R

³³ ( x − y)dxdy = R

x =1

x =1

x=0

x =0

2 º 1 − x 2 ·¸» dx ¸» 2 ¹¼

1 − x2 −

¸ ¨ ¹ ©

2

)

) (−

2

1 − x2 +

(1 − x ) ·¸dx 2

2

¸ ¹

2 2 ³ 2 x 1 − x dx = ³ 1 − x 2xdx

Agora, temos de fazer a integral da função 1 − x 2 2 x em relação à variável x. Essa integral é resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = 1 − x2 →

du = −2 x → du = −2 xdx → − du = 2 xdx dx

Ou seja,

³

1 − x 2 xdx = ³ u (−du) = − ³

³

1 − x 2 2 xdx =

1+ 2

1 +1

3

u 2 u2 u 2 u du = −³ u du = − +C = − +C = − +C 1 +1 1+ 2 3 2 2 2 1

2

− 2 32 −2 u +C = 1 − x2 3 3

(

)

3

2

2

+C

A integral definida fica: x =1

³

x =0

1 − x 2 2 xdx =

−2ª 1 − x2 3 «¬

(

)

3

2

x =1 º = − 2 ª 1 − (1) 2 »¼ x=0 3 «¬

(

) − (1 − (0) ) 3

2

2

3

Finalizando a integral dupla original:

§ y =+ 1+ x2 · ¨ ¸dx = 2 − = − ( ) ( ) x y dxdy x y dy ³³R ³x=0 ¨ ³ 2 ¸ 3 © y =− 1− x ¹ x =1

2

º = − 2 (0 − 1) = 2 »¼ 3 3

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

179

xy Exemplo 9.8. Calcule ³³ dxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada pela 2 R circunferência com centro na origem (0,0) e raio igual a 3.

xy 1 = xy , aplicando a propriedade I2, podemos escrever a integral “colocando 2 2 o fator de multiplicação ½ fora da integral”:

Como

xy

1

1

³³ 2 dxdy = ³³ 2 xydxdy = 2 ³³ xydxdy R

R

R

A circunferência de centro na origem (0,0) e raio igual a 3 tem equação x2 + y2 = 32. No primeiro quadrante, temos x ≥ 0 e y ≥ 0, e a função correspondente ao arco de circunferência é y = 9 − x 2 , conforme ilustrado na figura 9.8.

Figura 9.8. Região do 1º quadrante do plano xOy limitada pela circunferência de centro na origem e raio 3.

{

}

A região R também pode ser escrita como R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 9 − x 2 .

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

xy 1 1 1 §¨ = = = dxdy xydxdy xydxdy ³³R 2 ³³R 2 2 ³³ 2 x³=0 ¨ R © x=3

· xydy ³y=0 ¸¸dx ¹

y = 9− x 2

180

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função xy em relação à variável y. Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função xy representa o produto de y por uma constante.

A integral de xy = xy1, em relação à variável y, é

x

1 y1+1 y2 + C = x + C = xy 2 + C .

1+1 2 2

Sendo assim, para os extremos dados, temos que

xy 1 §¨ ³³R 2 dxdy = 2 x³=0 ¨ © x=3

y = 9− x2 x=3 x=3 · 1 ª1 2 º 1 1 2 ¸ ³y=0xydy¸dx = 2 x³=0 «¬ 2 xy »¼ y=0 dx = 2 x³=0 2 x y ¹

y = 9− x 2

x=3

[ ]

)

(

x=3

(

)

x=3

(

y = 9− x 2

y =0

dx

)

2 xy 1 1 1 1 ª 3 2 2 2º ³³R 2 dxdy = 2 . 2 x³=0 x«¬ 9 − x − (0) »¼dx = 4 x³=0 x 9 − x dx = 4 x³=0 9x − x dx

Agora, temos de fazer a integral da função (9x − x3) em relação à variável x. Essa integral é resolvida diretamente pela tabela, usando-se as propriedades I1 e I2 dadas no capítulo 4. Vejamos: x=3

(

)

xy 1 3 ³³R 2 dxdy = 4 x³=0 9 x − x dx =

x =3 x =3 · 1§ ¨ ³ 9 xdx − ³ x 3dx ¸ ¸ ¨ 4 © x=0 x =0 ¹

x =3

1 ª x2 x4 º 1 § § (3) 2 (3) 4 · § (0) 2 (0) 4 · · 1 § 9.9 81 · xy ³³R 2 dxdy = 4 «¬9 2 − 4 »¼ = 4 ¨¨© ¨¨© 9 2 − 4 ¸¸¹ − ¨¨© 9 2 − 4 ¸¸¹ ¸¸¹ = 4 ¨© 2 − 4 ¸¹ x =0

xy

1 § 162 − 81 · 81 ¸= 4 ¹ 16

³³ 2 dxdy = 4 ¨© R

Exemplo 9.9. Calcule ³³ e

− y2

dxdy , sendo R o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,1).

R

A região R corresponde ao triângulo esboçado na figura 9.9. Essa região também pode 2 ser escrita como R = {(x, y) ∈ ℜ : 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1}

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

{

181

}

Figura 9.9. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 .

Devemos lembrar o que segue abaixo.

• A reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,1) corresponde à função y = x.

• Na região triangular ilustrada na figura 9.9, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, enquanto a variável y varia desde y = x até y = 1 (reta vertical de altura y = 1).

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

−y ³³ e dxdy = 2

R

§ y =1 − y 2 · ³ ¨¨ ³ e dy ¸¸dx x =0 © y = x ¹ x =1

2

Precisaríamos resolver, inicialmente, a integral da função e−y em relação à variável y.

No entanto, essa integral não é direta da tabela e não pode ser resolvida pelos métodos da substituição ou da integração por partes.

Há alguma alternativa para chegarmos a uma integral mais fácil de ser resolvida?

Sim, podemos reescrever a região de integração. Se fizermos uma rotação da figura 9.9, obteremos a região B mostrada na figura 9.10.

{

}

Nesse caso, a região B pode ser escrita como B = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ y ≤ 1 .

182

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

{

}

Figura 9.10. Região B = ( x, y) ∈ ℜ2 : 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ y ≤ 1 .

Se começarmos a integral pela variável x: y =1 x= y § − y2 · − y2 − y2 = = e dxdy e dxdy ³³R ³ ³B ³y=0 ¨¨ x³=0e dx ¸¸dy © ¹

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que y 2 representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função e−y também representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”.

Sendo − y2 − y2 assim, segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que ³ e dx =e ³ dx , sendo que tivemos a “vantagem” de ficar com uma integral diretíssima da tabela. Ou seja, y =1 x= y y =1 x= y y =1 x = y § − y2 · · · 2§ 2§ − y2 − y2 ¨ e dx ¸dy = e − y ¨ dx ¸dy = e − y ¨ 1dx ¸dy e dxdy e = = ³³R ³ ³B ³y=0 ¨ x³=0 ³y=0 ¨ x³=0 ¸ y³=0 ¨ x³=0 ¸ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

Temos de fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável x. Essa integral é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variável x é x”.

Vejamos:

−y ³³ e dxdy = 2

R

y =1 y =1 y =1 § x= y · 2 2 2 − y2 ¨ ¸dy = e− y [x]xx == 0y dy = e− y ( y − 0)dy = e− y ydy e 1 dx ³y =0 ¨ x³=0 ¸ y³=0 ³y =0 ³y =0 © ¹ y =1

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

183

Agora, a integral a ser resolvida é a integral de y em relação à variável y, que é feita pelo método da substituição. Ou seja,

−y ³³ e ydxdy = 2

R

y =1

³e

− y2

ydy = −

y =0

[ ]

1 − y2 e 2

y =1 y =0

=−

(

)

1 −1 0 1 § 1 · e − e = ¨1 − ¸ 2 2© e¹

Em resumo:

³³ e R

− y2

2 1§ 1· dxdy = ³ ³ e − y = ¨1 − ¸ 2© e¹ B

{

}

Exemplo 9.10. Calcule ³³ senx3dxdy , sendo R = ( x, y) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 .

R

A região R corresponde à área colorida em cinza na figura 9.11.

{

}

Figura 9.11. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 .

Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:

§ y=x · 3 senx dxdy = ³³R ³x=0 ¨¨ y³=0senx dy ¸¸dx © ¹ x =1

3

2

184

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senx3 também representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendo assim, 3 3 segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que ³ senx dy = senx ³ dy . Ou seja, 3 ³³ senx dxdy = R

x =1 x =1 § y= x · § y= x · § y=x · ¨ senx3dy ¸dx = senx3 ¨ dy ¸dx = senx3 ¨ 1dy ¸dx ³¨ ³ ³ ³ ¨ y³=0 ¸ ¨ y³=0 ¸ ¸ x =0 © y =0 x =0 x =0 © ¹ © ¹ ¹ 2

x =1

2

2

Precisamos fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável y. Essa integral é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variável y é y”. Vejamos:

3 ³³ senx dxdy = R

x =1 x =1 x =1 § y=x · y = x2 3 2 3 3 3 2 2 ³x=0senx ¨¨ y³=01dy ¸¸dx = x³=0senx [y]y=0 dx = x³=0 senx x − 0 dx =x³=0 senx x dx © ¹ 2

x =1

(

)(

)

(

)

A integral a ser resolvida agora pode ser feita pelo método da substituição, conforme visto no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = x3 →

du du = 3 x 2 → du = 3 x 2 dx → = x 2 dx 3 dx

Ou seja, 1 −1 −1 § du · 1 senudu = (− cos u ) + C = cos u + C = cos x 3 + C ¸= 3 ¹ 3³ 3 3 3

³ (senx ) x dx = ³ senu¨© 3

2

A integral definida fica: x =1

−1 ³ (senx ) x dx = 3 [cos x ] 3

2

3 x =1 x =0

x =0

=

−1 (cos1 − cos 0) = − 1 (cos1 − 1) = 1 (1 − cos1) 3 3 3

Finalizando a integral original:

1

³³ senx dxdy = 3 (1 − cos1) 3

R

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

{

185

}

Exemplo 9.11. Calcule ³³ (x 2 + xy )dxdy , sendo R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x 3 ≤ y ≤ x 2 .

R

A região R é a área colorida em cinza na figura 9.12.

{

}

Figura 9.12. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x 3 ≤ y ≤ x 2 .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontos de intersecção entre as funções y1 = x3 e y2 = x2 (fazendo x3 = x2, obtemos que x = 0 ou x = 1). A variável y varia desde y1 = x3 até y2 = x2. Sendo assim, podemos escrever: 2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

§ y= x 2 · ³x=0 ¨¨ ³ 3 x + xy dy ¸¸dx © y= x ¹ x =1

2

(

)

186

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x2 também representa uma constante. A função x.y é primeiramente interpretada como o produto da variável y por uma constante.

A integral de x2, em relação à variável y, é

³ x dy =x ³ dy = x 2

2

2

y+C.

A integral de xy, em relação à variável y, é

³ xydy =x ³ y dy = x 1

y2 + C. 2

Visto que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções, temos que

³ (x

2

+ xy ) dy = ³ x 2 dy + ³ xydy = x 2 y + x

y2 + C. 2

Para os extremos dados pela região R: y= x x =1 · § y=x 2 ª 2 y2 º ¸ ¨ ³³R ( x + xy)dxdy = x³=0 ¨ ³ 3 x + xy dy ¸dx = x³=0 «¬ x y + x 2 »¼ 3 dx y= x ¹ © y=x

2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

(

( )

2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

x=1

( )

2 2 · § 3 2 ·º ª§ ¨ x 2 x 2 + x x ¸ − ¨ x 2 x3 + x x ¸» dx « ³ ¨ 2 ¸¹ ¨© 2 ¸¹» x=0 « ¬© ¼ x =1

§

³ ¨¨© x

x =0

2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

)

x=1

2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

2

2

x =1

2

2+ 2

+x

x 2.2 x 3.2 · ¸dx − x 2+3 − x 2 2 ¸¹

x=1

§ 4 x4 x6 · 5 ¨ ¸dx + − − x x x x ³¨ 2 2 ¸¹ x=0 ©

x=1 § 4 x5 § 4 x5 x 7 · x7 · 5 ¨ ¸ + − − = x x dx ³¨ 2 ³ ¨¨ x − 2 − 2 ¸¸¹dx 2 ¸¹ x=0 © x=0 ©

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

187

Do capítulo 4, sabemos que:

§ 4 x5 x7 · x5 x7 1 1 4 ¨ ¸ x − − dx = x dx − dx − dx =³ x 4 dx − ³ x 5 dx − ³ x 7 dx ³ ¨© ³ ³ ³ ¸ 2 2¹ 2 2 2 2 § 4 x5 x7 · x 4+1 1 x 5+1 1 x 7+1 x5 1 x 6 1 x8 ¨ ¸ x − − dx = − − + C = − − +C ³ ¨© 2 2 ¸¹ 4 +1 2 5 +1 2 7 +1 5 2 6 2 8 Prosseguindo com a integral definida:

2 ³³ ( x + xy)dxdy = R

x =1

x =1

ª x 5 1 x 6 1 x8 º § 4 x5 x7 · ¨ ¸ x dx = − − ³ ¨ 2 2 ¸¹ «¬ 5 − 2 6 − 2 8 »¼ x =0 © x =0

ª§ (1)5 1 (1) 6 1 (1)8 · § (0)5 1 (0) 6 1 (0)8 ·º 1 1 1 ¸» = − − ¸−¨ − . − . + xy)dxdy = «¨¨ − . − .

2 6 2 8 ¸¹ ¨© 5 2 6 2 8 ¸¹¼ 5 12 16 R ¬© 5 48 − 20 − 15 13 2 ³³R ( x + xy)dxdy = 240 = 240

³³ ( x

2

{

Exemplo 9.12. Calcule ³³ 2 xydxdy , sendo R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x 2 ≤ y ≤ R

Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:

³³ 2 xydxdy = 2³³ xydxdy R

R

A região R é a área colorida em cinza na figura 9.13.

}

x .

188

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

{

}

Figura 9.13. Região R = ( x, y) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x 2 ≤ y ≤ x .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontos de intersecção entre as funções y1 = x2 e y2 = x (fazendo x 2 = x , obtemos x = 0 ou x = 1). A variável y varia desde y1 = x2 até y2 = x . Sendo assim, podemos escrever: x =1 § y = x · = = 2 xydxdy 2 xydxdy 2 ³³R ³³R ³x=0 ¨¨ ³ 2xydy ¸¸dx © y=x ¹

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.y é interpretada como o produto da variável y por uma constante. Sendo assim, y 1+1

³ xydy =x ³ y dy =x 1 + 1 + C = x 1

y2 1 + C = xy 2 + C .

2 2

Ou seja, y= x · x=1 § y = x x=1 § x=1 · §1 2 ¨ xydy¸dx = 2 ¨ ª 1 xy 2 º 2 2 2 xydxdy xydxdy = = ³³R ³³R ³x=0 ¨ ³ 2 ¸ ³x=0 ¨ «¬ 2 »¼ y=x2 ¸¸dx = 2x³=0 ¨© 2 x y ¹ © y=x © ¹

[ ]

³³ 2xydxdy = 2.

R

x=1

1 § § ¨ x¨ 2 x³=0 © ©

( x ) − (x ) ·¸¹ ·¸¹dx = ³ (x(x − x ))dx = ³ (x x − x x )dx = ³ (x 2

2 2

x=1

x=1

4

x=0

x=1

1 1

x=0

y= x

y = x2

1 4

x=0

2

· ¸dx ¹

)

− x 5 dx

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

189

Agora, temos de resolver, em relação à variável x, a integral da diferença x2 − x5. Essa integral equivale, em relação à variável x, à subtração entre a integral de x2 e a integral de x5, que são resolvidas diretamente pela tabela.

Vejamos:

³ (x

2

)

− x 5 dx = ³ x 2 dx − ³ x 5 dx =

x 2+1 x 5+1 x3 x6 − +C = − +C 2 +1 5 +1 3 6

Finalizando a integral original:

³³ 2 xydxdy = R

x =1

³ (x

x =0

2

x =1

§ (1)3 (1) 6 · § (0) 3 (0) 6 · 1 1 2 − 1 1 ª x3 x6 º ¸−¨ ¸= − = − − x 5 dx = « − » = ¨¨ − = 6 ¼ x =0 © 3 6 ¸¹ ¨© 3 6 ¸¹ 3 6 6 6 ¬3

)

(

)

{

}

Exemplo 9.13. Calcule ³³ x 2 − 3xy dxdy , sendo R = ( x,y )∈ ℜ2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 2 − x R .

A região R é a área colorida em cinza na figura 9.14.

{

}

Figura 9.14. Região R = ( x, y) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 2 − x .

190

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde y1 = x até y2 = 2 − x. Sendo assim, podemos escrever:

³³ (x

)

− 3xy dxdy =

2

x =1

x =0

R

§ y = 2− x

³ ¨¨ ³ (x ©

2

y= x

· − 3xy dy ¸dx ¸ ¹

)

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, x2 representa uma constante e 3xy representa o produto da variável y por uma constante.

A integral de x2 em relação à variável y é

³ x dy =x ³ dy = x 2

2

2

y+C.

A integral de 3xy em relação à variável y é 1 ³ 3xydy =3x ³ y dy = 3x

y2 +C. 2

Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais das funções, temos que

³ (x

2

− 3 xy ) dy = ³ x 2 dy − ³ 3 xydy = x 2 y − 3 x

y2 + C. 2

Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que y = 2− x x =1 § · § y = 2− x 2 · ª 2 y2 º ¸dx ¨ ¨ ¸ x − 3xy dxdy = ³ ³ x − 3xy dy dx = ³ « x y − 3x » ¨ ¸ ¨ 2 ¼ y= x ¸¹ x =0 © x =0 © y = x ¹

³³ ( R

³³ (x

2

x =1

)

2

)

− 3xy dxdy =

R

³³ (x R

2

)

(

)

2 2 · §§ 2 § · ¨ ¨ x (2 − x) − 3x (2 − x) ·¸ − ¨ x 2 ( x ) − 3x ( x ) ¸ ¸dx ³x=0 ¨ ¨© ¸ ¨ 2 ¸¹ ¸¹ 2 ¹ © © x =1

− 3xy dxdy =

(

§§ 2 3 4 − 4x + x2 ¨ ¨ 2 3 x x x − − ³ ¨¨ 2 x=0 © © x=1

) ·¸ − §¨ x x ¸ ¹ ©

2

1

2

x ·· − 3x ¸ ¸¸dx 2 ¹¹

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

³³ (x

2

)

− 3xy dxdy =

R

³³ (x

2

(

§ § 2 3 12 x − 12 x 2 + 3x 3 ³ ¨¨ ¨¨ 2 x − x − 2 x=0 © © x=1

)

− 3xy dxdy =

R

³³ (x

2

2

2

−3

x 2

2

·· ¸ ¸dx ¸¸ ¹¹

5 § 2 3 3x 3 3x 2 · 2 2 ¨ ¸dx − − + − − + 2 6 6 x x x x x ³¨ 2 2 ¸¹ x=0 ©

)

− 3xy dxdy =

)

− 3xy dxdy =

R

³³ (x

¸ ¨ ¹ ©

4+1 2

x=1

R

³³ (x

) ·¸ − §¨ x

191

x=1

5 § 2 3 3x 3 3x 2 · 2 ¨ ¸dx − − − − + 8 6 x x x x ³¨ 2 2 ¸¹ x=0 ©

x=1

5 · § 16x 2 + 3x 2 − 2 x3 − 3x3 ³x=0 ¨¨© 2 + 2 − 6x − x 2 ¸¸¹dx

x=1

x=1 5 · 5 · § 19x 2 5 x3 § 19 2 5 3 2¸ ¨ − − − = 6 x x dx ¨ x − x − 6 x − x 2 ¸dx ³x=0 ¨© 2 2 ³ ¸ 2 2 ¹ ¹ x=0 ©

)

− 3xy dxdy =

R

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x. Essa integral é diretíssima da tabela. Vejamos: x=1

³³ ( R

)

R

2

R

)

2

§ 19(1)3 5(1) 4 2 7 · § 19(0)3 5(0) 4 2 7 · − − 3(0) 2 − (0) 2 ¸¸ − 3xy dxdy = ¨¨ − − 3(1) 2 − (1) 2 ¸¸ − ¨¨ 8 7 8 7 ¹ © 6 ¹ © 6

)

³³ (x

2

)

− 3xy dxdy =

R

Exemplo 9.14. Calcule 2

x =1

ª19 x3 5 x 4 2 7 º x − 3xy dxdy = « − − 3x 2 − x 2 » 8 7 ¬ 6 ¼ x =0

³³ ( ³³ (x

x=1

5 +1 7 ª19 x3 5 x 4 ª19x3 5x 4 x2 x 2 º x 2º 2 » =« » x − 3xy dxdy = « − −6 − − − 3x − 7 » 2 5 + 1» 8 «2 3 2 4 « 6 2 ¼ x=0 2 ¼ x=0 2

19 5 2 1064 − 210 − 1008 − 96 250 125 − −3− = =− =− 6 8 7 336 336 168

³³ 4 x cos ydxdy sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola

y = x e por x = 1 e y = 0.

R

Se aplicarmos a propriedade I2 vista no capítulo 4, podemos escrever:

³³ 4x cos ydxdy = 4³³ x cos ydxdy R

R

192

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

{

}

A região R, que pode ser escrita como R = ( x, y) ∈ ℜ2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 , é a área colorida em cinza indicada na figura 9.15.

{

}

Figura 9.15. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 .

Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde y = 0 até y = x2. Sendo assim, podemos escrever:

§ y= x · ³³R 4 x cos ydxdy = 4³³R x cos ydxdy = 4x³=0 ¨¨ y³=0x cos ydy ¸¸dx © ¹ x =1

2

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.cos y é interpretada como o produto de uma constante pela função cosseno de y.

A integral de x.cos y, em relação à variável y, é

³ x. cos ydy =x ³ cos ydy = xseny + C .

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

193

Sendo assim, para o caso em estudo, temos que

)

(

x =1 § y = x x =1 · y= x2 ³³R 4 x cos ydxdy = 4³³R x cos ydxdy = 4x³=0 ¨¨ y³=0x cos ydy ¸¸dx = 4x³=0 x[seny]y=0 dx © ¹ 2

x =1

³³ 4 x cos ydxdy = 4 ³ x(senx

2

x =0

R

)

x =1

(

)

x =1

x =1

x =0

x =0

− sen0 dx =4 ³ x senx 2 − 0 dx =4 ³ xsenx2 dx = 4 ³ ( senx 2 ) xdx x =0

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x, feita pelo método da substituição, conforme visto no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = x2 →

du du = 2 x → du = 2 xdx → = xdx dx 2

Ou seja, § du ·

1

1

³ (senx ) xdx = ³ senu¨© 2 ¸¹ = 2 ³ senudu = 2 (− cos u ) + C = 2

−1 −1 cos u + C = cos x 2 + C 2 2

A integral definida fica: x =1

−1 ³ (senx ) xdx = 2 [cos x ] 2

2 x =1 x =0

x =0

=

−1 (cos1 − cos 0) = − 1 (cos1 − 1) = 1 (1 − cos1) 2 2 2

Finalizando: x =1

2 ³³ 4 x cos ydxdy = 4 ³ (senx ) xdx = 4.

R

x =0

1 (1 − cos1) = 2(1 − cos1) 2

194

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 9.15. Calcule

R

y3 dxdy sendo R a região limitada por y = x − 6 e x = y2.

3

y3 1 3 Sabendo que = y e que a integral do produto de uma constante por uma função 3 3 é igual ao produto da constante pela integral da função (propriedade I2), podemos

escrever:

y3 1 3 1 3 R 3 dxdy = R 3 y dxdy = 3 R y dxdy Vamos calcular os pontos I1 e I2 que são as intersecções entre y = x − 6 e x = y2. Vejamos: y = x − 6 e x = y2 → y = y2 − 6 → y2 − y − 6 = 0 Vamos utilizar a fórmula de Báskaras para resolver a equação do segundo grau acima. Δ = b2 − 4.a.c = (− 1)2 − 4.(1).(− 6) = 1 + 24 = 25

Logo, os pontos I1 e I2 têm, respectivamente, ordenadas iguais a y1 = − 2 e y2 = 3.

A abscissa correspondente a y1 = − 2 é x1 = (− 2)2 = 4. Logo, I1 = (4,− 2).

A abscissa correspondente a y2 = 3 é x2 = (3)2 = 9. Logo, I2 = (9,3).

Na região R, a variável y varia desde y = − 2 até y = 3. A variável x varia desde a função x1 = y2 até a função x2 = 6 + y. ,é Essa região R, que pode ser escrita como a área colorida em cinza na figura 9.16. No gráfico a seguir, utilizamos o eixo x como o eixo vertical e o eixo y como o eixo horizontal.

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

{

195

}

Figura 9.16. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : − 2 ≤ y ≤ 3 e y 2 ≤ x ≤ y + 6 .

Sendo assim, podemos escrever: y =3 x =6+ y

y3 1 1 3 y 3 dx dy dxdy y dxdy = = R 3

3 R 3 y=−2 x= y 2

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que y representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função y3 é interpretada como uma constante. A integral de y3 em relação à variável x é

y

3

dx = y 3 dx = y 3 1dx = y 3 x + C .

Ou seja, y =3 x =6+ y y =3 y =3

y3 1 1 3 y 3 dx dy = 1 y 3 [x]x=6+2 y dy = 1 y 3 (6 + y ) − y 2 dy dxdy = y dxdy = R 3 x= y

3 3 y = −2 x= y 2 3 y = −2 3 y = −2 R

(

y =3

y =3

y 1 1 3 dxdy = 3 y (6 + y − y )dy = 3 (6 y 3

3

R

y =−2

2

y =−2

3

)

+ y 4 − y 5 dy

( ))

196

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável y, feita pela aplicação das propriedades P1 e P2, dadas no capítulo 4, e da tabela de integrais imediatas. Ou seja, y =3

y =3

y =3 y3 1 1 ª y 4 y5 y6 º 1 ª3y 4 y5 y6 º = − » = « + − » dxdy 6 y 3 + y 4 − y 5 dy = «6 + ³³R 3 ³ 3 y=−2 3¬ 4 5 6 ¼ y=−2 3 ¬ 2 5 6 ¼ y=−2

(

)

1 § § 3(3) 4 (3)5 (3) 6 · § 3(−2) 4 (−2)5 (−2) 6 · · ¸−¨ ¸¸ + − + − 2 5 6 ¸¹ ¨© 2 5 6 ¸¹ ¸¹

y3

³³ 3 dxdy = 3 ¨¨© ¨¨© R

1 § 243 243 729 48 32 64 · 1 § 243 − 48 243 + 32 − 729 + 64 · + + + − − + + ¸= ¨ ¸ 2 5 6 2 5 6 ¹ 3© 2 5 6 ¹

y3

³³ 3 dxdy = 3 ¨© R

³³ R

y3 dxdy = 3

1 § 195 275 665 · + − ¸= ¨ 3© 2 5 6 ¹

1 § 2925 + 1650 − 3325 · 125 ¨ ¸= 3© 30 9 ¹

Exercícios Propostos – Capítulo 9

{

}

Exercício 9.1. Calcule ³³ 4dxdy , sendo R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : − 1 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ y ≤ 5 .

R

{

}

Exercício 9.2. Calcule ³³ (2 x + 3 y )dxdy , sendo R = ( x, y) ∈ ℜ2 : 1 ≤ x ≤ 3 e − 1 ≤ y ≤ 1 .

R

2 4 Exercício 9.3. Calcule ³³ (5 x − xy )dxdy , sendo R = {( x, y ) ∈ ℜ 2 : − 1 ≤ x ≤ 1 e 2 ≤ y ≤ 5} R

π½ ­ Exercício 9.4. Calcule ³³ 2 x.senydxdy , sendo R = ®( x, y) ∈ ℜ2 : 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ ¾ .

R

Exercício 9.5. Calcule ³³ R

¯

6¿

2 dxdy , sendo R o quadrado [1,2]x[0,1]. x+ y

Exercício 9.6. Calcule ³³ 3 ye xy dxdy , sendo R o retângulo [1,3]x[0,1].

R

y ªπ º Exercício 9.7. Calcule ³³ senxydxdy, sendo R o retângulo [0,1]x « , π » .

3 ¬2 ¼ R §x+ y· Exercício 9.8. Calcule ³³ ¨ ¸dxdy , sendo R = {( x, y ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ x ≤ 2 e x 2 ≤ y ≤ 2 x}.

2 © ¹ R

Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração

197

Exercício 9.9. Calcule ³³ 8e− y dxdy , sendo R a região limitada por y = 4x, y = 4 e x = 0.

2

R

Exercício 9.10. Calcule ³³ R

3 (8 − x − y )dxdy , sendo R a região limitada por y = 4 e y = x2.

2

( )

π Exercício 9.11. Calcule ³³ 2 y sen x y dxdy , sendo R a região limitada por x = 0, y = 2 R e y = x2.

Exercício 9.12. Calcule ³³

3y ln xdxdy , sendo R o retângulo [1,2]x[−1,1]. x

Exercício 9.13. Calcule ³³

5y dxdy , sendo R a região limitada por y = 3x − 2 e y = x2.

2

R

R

Exercício 9.14. Calcule y = x2 e por x = 1 e y = 0.

³³ xsenydxdy sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola R

2

Exercício 9.15. Calcule

1 § 2x · ³³R ¨¨© y ¸¸¹ dxdy sendo R a região limitada por y = x, y = x e x = 2

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 Exercício 9.1.16.

Exercício 9.2. 16.

Exercício 9.3. 10.

(

)

Exercício 9.4. 15 2 − 3 .

2 27 Exercício 9.5. 2 ln .

16 Exercício 9.6. e3 − 3e + 2.

1§ π · Exercício 9.7. ¨1 + ¸ .

3© 2 ¹

198

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercício 9.8.

38 .

15

Exercício 9.9. 1 − e−16.

Exercício 9.10.

448 .

5

Exercício 9.11. π − 2.

Exercício 9.12. 0.

Exercício 9.13. 1.

Exercício 9.14.

1 (1 − sen1) .

2

Exercício 9.15. 9.

Capítulo 10 Integrais Duplas – Mudança de VVariável ariável

Suponha que tenhamos dificuldades para resolver a seguinte integral:

³³ f ( x, y)dxdy.

R

Se for possível resolvê-la por meio de uma mudança de variáveis, teremos o seguinte:

³³ f ( x, y)dxdy = ³³ f (ϕ (u, v) ). J (ϕ ) dudv R

B

Na igualdade acima,

• ϕ(u, v) = (x, y) é a transformação que leva as variáveis (x, y) até as variáveis (u, v); • J(ϕ) é o jacobiano da transformação ϕ(u, v) = (x, y); • a região B, nas variáveis (u, v), é a região relacionada com a região R nas variáveis originais (x, y).

Na mudança de variáveis na integral dupla, temos de fazer o que segue abaixo.

• Trocar (x, y) por (u, v), sendo x uma função das variáveis u e v (x = x(u, v)) e y uma função das variáveis u e v (y = y(u, v)).

• Chamar de (x, y) = ϕ(u, v) a transformação que leva (x, y) a (u, v).

• Calcular o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v).

• Substituir dxdy em ³³ f ( x, y )dxdy por J(ϕ)dudv, ou seja, dxdy = |J(ϕ)|dudv.

R

200

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Para calcularmos o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v), precisamos das derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v, pois

∂x ∂ J (ϕ ) = u ∂y ∂u

∂x ∂v = §¨ ∂x . ∂y ·¸ − §¨ ∂x . ∂y ·¸ ∂y © ∂u ∂v ¹ © ∂v ∂u ¹ ∂v

Muitas vezes, a mudança de coordenadas na integral dupla é feita com coordenadas polares, conforme veremos em vários exemplos. Essa mudança de variáveis é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ), ou seja, x = ρ.cosθ e y = ρ.senθ .

As derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ são: ∂x ∂x = 1. cos θ = cos θ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cos θ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cos θ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x ∂θ cos θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ

ρ . cos θ

= ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ )

J (ϕ ) = ρ cos 2 θ + ρsen 2θ = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis utilizando coordenadas polares, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ Seguem algumas revisões úteis para uso em casos de mudanças de variáveis utilizando coordenadas polares.

A equação da circunferência de raio r com centro na origem (0,0), ilustrada na figura 10.1, é x2 + y2 = r2.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

201

Figura 10.1. Circunferência de raio r com centro na origem (0,0).

A circunferência de raio r com centro na origem (0,0) limita o círculo de mesmo raio r com centro na origem, conforme ilustrado na figura 10.2. A inequação referente ao círculo de raio r que passa pela origem (0,0) é x2 + y2 ≤ r2.

Figura 10.2. Círculo de raio r com centro na origem (0,0).

A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), para y ≥ 0, ilustrada na figura 10.3, é y = + r 2 − y 2 ou simplesmente y = r 2 − y 2 .

202

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Figura 10.3. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≥ 0.

A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), para y ≤ 0, ilustrada na figura 10.4, é y = − r 2 − y 2 .

Figura 10.4. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≤ 0.

A equação da circunferência de raio r com centro no ponto (a,b), ilustrada na figura 10.5, é (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

Figura 10.5. Circunferência de raio r com centro no ponto (a,b).

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

Exemplo 10.1. Calcule

203

³³ xdxdy , sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 5.

R

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.6. Nessa figura, também estão indicadas as coordenadas polares que identificam um ponto qualquer pertencente à região em estudo.

Figura 10.6. Disco de centro na origem e raio 5, incluindo indicação de coordenadores polares.

Observando a figura 10.6, verificamos que, em um disco (círculo) de centro na origem (0,0) e de raio 5, a variável θ varia desde θ = 0 até θ = 2π (ou seja, 360º). A variável ρ varia desde ρ = 0 até ρ = 5.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ ρ ≤ 5 e 0 ≤ θ ≤ 2π .

{

}

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cos θ = cos θ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cos θ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cos θ →

204

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é: ∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x ∂θ cos θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ . cos 2 θ + ρsen 2θ = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

Sendo assim,

2 ³³ xdxdy = ³³ ρ. cosθ .ρdρdθ = ³³ ρ cosθdρdθ = R

B

B

θ = 2π

³

θ =0

§ ρ =5 · ¨ cos θ .ρ 2 dρ ¸dθ ³ ¨ ¸ © ρ =0 ¹

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos que θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função cosθ também é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a função cosθ.ρ2 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado ao quadrado.

Logo, em relação à variável ρ, a integral indefinida de cosθ.ρ2 é

³ (cos θ ) ρ

2

d ρ = cos θ ³ ρ 2 d ρ = cos θ .

ρ 2 +1 2 +1

+ C = cos θ .

ρ3 3

+C =

1 (cos θ )ρ 3 + C .

3

Aplicando os extremos da região de integração e a propriedade I1, que afirma que a integral do produto da constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, temos o seguinte:

³³ xdxdy = ³³ ρ . cos θ .ρdρdθ = R

B

θ = 2π

ρ 1 ³³ xdxdy = 3 θ³ cos θ [ρ ]ρ 3

R

=0

=5 =0

θ = 2π

³ θ

=0

θ = 2π § ρ =5 · ¨ cos θ .ρ 2 dρ ¸dθ = 1 cos θ ρ 3 ¨ ³ ¸ 3 θ³=0 © ρ =0 ¹

dθ =

[ ]

1 3

θ = 2π

³ cos θ (5 θ =0

3

− 0 3 ) dθ =

2π

ρ =5 ρ =0

125 cos θdθ 3 ³0

dθ

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

205

Agora, precisamos resolver uma integral simples, em relação à variável θ, feita diretamente pela tabela. Ou seja,

xdxdy = R

2π

2π

125 125 [senθ ] = 125 ( sen 2π − sen0) = 125 .(0 − 0) = 0 cos θdθ = 3 0 3 3 3 0

Exemplo 10.2. Calcule 2

xydxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada R

pelas circunferências x + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.7. Trata-se da área, no primeiro quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2, ou seja, de equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 3, ou seja, de equação x2 + y2 = 32.

Figura 10.7. Região do 1o quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.

Observando a figura 10.7, verificamos que, na região colorida em cinza, a variável θ π varia desde θ = 0 até θ = /2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ 2 : 2 ≤ ρ ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π .

2

{

}

206

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cosθ = cosθ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cosθ ) = ρ . cosθ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cosθ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − ( − ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função a ser integrada é xy = (ρ.cosθ ).(ρ.senθ ) = ρ2.cosθ.senθ .

Sendo assim,

³³ xydxdy = ³³ ρ R

B

2

. cosθ .senθ .ρdρdθ = ³³ ρ 3 . cosθ .senθdρdθ B

θ =π 2

³³ xydxdy = θ ³ R

=0

§ ρ =3 · ¨ cosθ .senθ .ρ 3dρ ¸dθ ¨ ³ ¸ © ρ =2 ¹

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos que θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função cosθ.senθ é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a função cosθ.senθ.ρ3 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado ao cubo. Ou seja,

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

θ =π 2

³³ xydxdy = θ³

=0

R

1 ³³R xydxdy = 4

θ =π 2

207

π

ρ =3 θ= 2 § ρ =3 · ªρ4 º ¨ cos θ .senθ .ρ 3 dρ ¸dθ = ³ cos θ .senθ «¬ 4 »¼ dθ ¨ ³ ¸ θ =0 ρ =2 © ρ =2 ¹

[

]

1 ³θ =0cosθ .senθ (3) − (2) dθ = 4 4

4

θ =π 2

65 ³θ =0cosθ .senθ (81 − 16)dθ = 4

θ =π 2

³ cosθ .senθdθ

θ =0

Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável θ, feita pelo método da substituição, conforme descrito no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = senθ →

du = cos θ → du = cos θdθ dθ

Ou seja,

³ cos θ .senθdθ = ³ senθ . cos θdθ = ³ udu =

( senθ ) 2 u2 sen 2θ +C = +C = +C 2 2 2

A integral definida fica: θ =π

θ =π 2

ª sen 2θ º 2 1 2 ³θ =0cos θ .senθdθ = «¬ 2 »¼ = 2 sen θ θ =0

[

]

θ =π 2 θ =0

=

1§ 1 · 1 2 π − sen 2 0 ¸ = (1 − 0) = ¨ sen 2© 2 2 2 ¹

Finalizando:

65 ³³R xydxdy = 4 Exemplo 10.3. Calcule

θ =π 2

³ cosθ .senθdθ = θ =0

65 1 65 . = 4 2 8

³³ (6 − y)dxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada R

pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.

A região R é a mesma área colorida em cinza na figura 10.7. Ou seja, trata-se da área, no primeiro quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2, ou seja, de equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro

208

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

(0,0) e raio 3, ou seja, de equação x2 + y2 = 33. Nessa região colorida em cinza, a variável π q varia desde θ = 0 até θ = /2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ 2 : 2 ≤ ρ ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π .

2

{

}

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cosθ = cosθ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y = 1.senθ = senθ e = ρ (cosθ ) = ρ . cosθ y = ρ .senθ → ∂ρ ∂θ

x = ρ . cosθ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − ( − ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função a ser integrada é (6 − y) = (6 − ρsenθ ).

Sendo assim,

³³ (6 − y)dxdy = ³³ (6 − ρsenθ ).ρdρdθ = ³³ (6 ρ − ρ R

B

³³ (6 − y)dxdy = R

2

senθ )dρdθ

B

θ =π 2

³

θ =0

§ ρ =3 · ¨ (6 ρ − ρ 2 senθ )dρ ¸dθ ³ ¨ ¸ © ρ =2 ¹

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

209

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, logo pensamos que θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senθ é interpretada como uma constante.

Como a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas das funções, temos a seguinte derivada indefinida relacionada à situação em estudo:

³ (6 ρ − ρ

2

senθ )dρ = ³ 6 ρdρ − ³ ρ 2 senθdρ = ³ 6 ρdρ − ³ senθρ 2 dρ

Na primeira integral, temos de integrar o produto da constante 6 por ρ, em relação à variável ρ. Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante pela integral da função:

³ 6ρdρ = 6³ ρdρ = 6³ ρ dρ 1

A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela: 1 ³ 6ρdρ =6³ ρ dρ = 6

ρ 1+1 1+1

+ C =6

ρ2 2

+ C = 3ρ 2 + C

Na segunda integral, temos de integrar o produto de senθ por ρ2, em relação à variável ρ. Ou seja, consideramos que senq representa, momentaneamente, uma constante.

Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante pela integral da função:

³ senθρ dρ =senθ ³ ρ dρ 2

2

A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:

ρ 2 +1

³ senθρ dρ =senθ ³ ρ dρ = senθ 2 + 1 + C = senθ 2

2

ρ3 3

1 + C = ( senθ ) ρ 3 + C 3

Logo,

³ (6 ρ − ρ

2

1 senθ ) dρ = ³ 6 ρdρ − ³ senθρ 2 dρ = 3ρ 2 − ( senθ ) ρ 3 + C 3

210

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Voltando à integral dupla:

³³ (6 − y)dxdy =

θ =π 2

R

³

θ =0

§ ρ =3 · ¨ (6 ρ − ρ 2 senθ )dρ ¸dθ = ¨ ³ ¸ © ρ =2 ¹ θ =π 2

³³ (6 − y)dxdy = θ ³

=0

R

θ =π 2

³³ (6 − y)dxdy = θ³

=0

R

θ =π 2

³

θ =0

§§ 2 1 1 · § ·· ¨¨ ¨ 3.3 − ( senθ )33 ¸ − ¨ 3.22 − ( senθ )23 ¸ ¸¸dθ 3 3 ¹ © ¹¹ ©©

§ 8 § ·· ¨¨ (27 − 9 senθ ) − ¨12 − senθ ¸ ¸¸dθ = 3 © ¹¹ © θ =π 2

³³ (6 − y)dxdy = θ³

=0

R

ρ =3 §ª 2 1 · ¨ 3ρ − ( senθ ) ρ 3 º ¸dθ » ¨ «3 ¼ ρ = 2 ¸¹ ©

θ =π 2

³ θ

=0

§ · § − 27 + 8 · ¨¨15 + ¨ ¸ senθ ¸¸dθ = © 3 ¹ © ¹

8 § · ¨ 27 − 9senθ − 12 + senθ ¸dθ 3 © ¹

θ =π 2

³ θ

=0

19 § · ¨15 − senθ ¸dθ 3 © ¹

Agora, temos de fazer uma integral simples da variável θ. Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral definida acima. Começamos aplicando a propriedade que afirma que “a integral da soma é a soma das integrais”:

§

³ ¨©15 −

19 19 · senθ ¸dθ = ³ 15dθ − ³ senθdθ 3 3 ¹

Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante pela integral da função: §

³ ¨©15 −

19 19 19 · senθ ¸dθ = ³ 15dθ − ³ senθdθ = 15³ dθ − ³ senθdθ 3 3 3 ¹

As integrais a serem resolvidas podem ser feitas pelo uso da tabela direto da tabela: §

³ ¨©15 −

19 19 19 19 · senθ ¸dθ =15³ dθ − ³ senθdθ = 15θ − (− cosθ ) + C = 15θ + cosθ + C 3 3 3 3 ¹

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

211

Voltando à integral definida: θ =π 2

³³ (6 − y)dxdy = θ³

=0

R

§

π

³³ (6 − y )dxdy = ¨©15 2 + R

θ =π

19 19 § · ª º 2 ¨15 − senθ ¸dθ = «15θ + cos θ » 3 3 © ¹ ¼ θ =0

19 π· § 19 19 · § 19 · · § 15 cos ¸ − ¨15.0 + cos 0 ¸ = ¨ π + .0 ¸ − ¨ 0 + .1¸ 3 2¹ © 3 3 ¹ © 3 ¹ ¹ ©2

³³ (6 − y )dxdy = R

Exemplo 10.4. Calcule

³³ sen( x

2

15 19 π− 2 3

+ y 2 )dxdy , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0.

R

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.8. Nessa figura, também estão indicadas as coordenadas polares que identificam um ponto pertencente à região em estudo.

Figura 10.8. Semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ ρ ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π ) .

{

}

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cosθ = cosθ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cosθ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cosθ →

212

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ

ρ . cos θ

= ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ )

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função seno da soma de x ao quadrado com y ao quadrado pode ser escrita da seguinte maneira, em coordenadas polares:

(

)

(

sen( x 2 + y 2 ) = sen (ρ . cosθ ) + (ρ .senθ ) = sen ρ 2 . cos 2 θ + ρ 2 .sen 2θ 2

2

( (

))

(

)

)

sen( x 2 + y 2 ) = sen ρ 2 cos 2 θ + sen 2θ = sen ρ 2 .1 = senρ 2 Sendo assim,

2 2 2 2 ³³ sen( x + y )dxdy = ³³ (senρ ) ρdρdθ = ³³ ρsenρ dρdθ = R

B

B

ρ =1 θ =π

§

³ ¨¨ ³ ρsenρ ρ ©θ =0

=0

2

· dθ ¸¸dρ ¹

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função ρsenρ2 é interpretada como uma constante. Ou seja,

2 2 2 ³³ sen( x + y )dxdy = ³³ (senρ ) ρdρdθ = R

2 2 ³³ sen( x + y )dxdy = R

B

ρ =1

ρ =1 θ =π

ρ =1 § · 2 ¨ ¸ ρ sen ρ d θ d ρ = ρsenρ 2 [θ ]π0 .dρ ³ρ =0 ¨© θ³=0 ³ ¸ ρ =0 ¹

2 ³ ρsenρ (π − 0).dρ = π

ρ =0

ρ =1

³ ρsenρ ρ

2

dρ

=0

Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo método da substituição, conforme discutido no capítulo 6.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

213

Façamos a seguinte substituição:

u = ρ2 →

du du = 2 ρ → du = 2 ρdρ → = ρdρ dρ 2

Ou seja,

³ (senρ

2

−1 −1 1 § du · 1 cos ρ 2 + C cos u + C = ) ρdρ = ³ senu¨ ¸ = ³ senudu = (− cos u ) + C = 2 2 2 2 2 © ¹

A integral definida fica: ρ =1

³ (senρ ρ

2

) ρdρ =

=0

[

−1 cos ρ 2 2

]

ρ =1 ρ =0

=

−1 −1 (cos1 − 1) = 1 (1 − cos1) cos12 − cos 0 2 = 2 2 2

(

)

Finalizando: 2 2 ³³ sen( x + y )dxdy = π R

Exemplo 10.5. Calcule

{

³³ e R

x2 + y2

ρ =1

³ ρsenρ ρ

2

dρ =

=0

dxdy , sendo

}

R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 e − x ≤ y ≤ x .

A região R é a área colorida em cinza na figura 10.9.

π 2

(1 − cos 1)

214

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

{

}

Figura 10.9. Região R = ( x, y ) ∈ ℜ 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 e − x ≤ y ≤ x .

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ 2 : 1 ≤ ρ ≤ 4 e − π ≤ θ ≤ π .

4 4

{

}

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cosθ = cosθ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cosθ ) = ρ . cosθ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cosθ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − ( − ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

215

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função a ser integrada é

ex

2

= eρ

+ y2

2

. cos 2 θ + ρ 2 . sen 2θ

= eρ

2

(cos 2 θ + sen 2θ )

= eρ

2

.1

2 = eρ .

Sendo assim,

³³ e

x2 + y2

R

§ θ =π 4 2 · dxdy = ³³ e ρdρdθ = ³ ¨¨ ³ e ρ ρdθ ¸¸dρ ¸ ρ =1 ¨ θ = −π B 4 © ¹ ρ =4

ρ2

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρ 2 representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função eρ ρ também é interpretada como uma constante. Ou seja,

x ³³ e R

2

+ y2

dxdy = ³³ e ρ ρdρdθ = 2

B

x ³³ e

2

+ y2

ρ =4 ρ =4 § θ =π 4 2 · θ =π § −π ¨ ¸ ρ ρ2 ρ 2 ª§ π · ³ρ =1 ¨¨ ³−πe ρdθ ¸¸dρ = ρ³=1 e ρ [θ ]θ =−π4 4 dρ = ρ³=1 e ρ «¬¨© 4 ¸¹ − ¨© 4 ©θ = 4 ¹

ρ =4

ρ =4

dxdy =

R

π· ρ2 § π ³ρ =1 e ρ ¨© 4 + 4 ¸¹dρ =

ρ =4

π ρ2 § π · ³ρ =1 e ρ ¨© 2 ¸¹dρ = 2

ρ =4

³e ρ

ρ2

·º ¸»dρ ¹¼

ρ dρ

=1

Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo método da substituição, conforme discutido no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição: u = ρ2 →

du du = 2 ρ → du = 2 ρdρ → = ρd ρ dρ 2

Ou seja,

³e

ρ2

1 u 1 ρ2 § du · 1 u ¸ = ³ e du = e + C = e + C 2 2 © 2¹ 2

ρdρ = ³ eu ¨

A integral definida fica: ρ =4

³e ρ =1

ρ2

ρdρ =

[ ]

1 ρ2 e 2

ρ =4 ρ =1

=

(

) (

2 1 42 1 e − e1 = e16 − e 2 2

)

216

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Finalizando:

x ³³ e

2

+ y2

dxdy =

R

π

ρ =4

e 2 ρ³

ρ2

ρ dρ =

=1

π 1 2

.

(e 2

16

)

−e =

π 4

(e

16

−e

)

x2 + y2 ³³R 4 dxdy , sendo 2 2 R = ( x, y) ∈ ℜ : ( x − 1) + y 2 ≤ 1 e y ≥ 0 .

Exemplo 10.6. Calcule

{

}

Se aplicarmos a propriedade I2 (“a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante pela integral da função”), podemos escrever:

³³ R

x2 + y2 1 1 dxdy = ³³ x 2 + y 2 dxdy = ³³ x 2 + y 2 dxdy 4 4 4 R R

A inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 corresponde ao círculo de raio 1 e centro em (1,0). Se adicionarmos a condição y ≥ 0, estamos pensando na parte superior do círculo, ou seja, no semicírculo de inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 que ocupa o primeiro quadrante, conforme ilustrado na região colorida em cinza na figura 10.10. Nessa figura, também estão indicadas as variáveis ρ e θ que serão usadas na mudança de variáveis.

{

}

Figura 10.10. Região R = ( x, y) ∈ ℜ 2 : ( x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 e y ≥ 0 .

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

217

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Se aplicarmos a mudança de variável acima para uma circunferência de centro (1,0) e raio igual 1, ou seja, de equação (x − 1)2 + y2 = 1, temos os desenvolvimentos abaixo.

( x − 1) 2 + y 2 = 1 → x 2 − 2 x + 1 + y 2 = 1 → x 2 − 2 x + y 2 = 1 − 1 → x 2 − 2 x + y 2 = 0 Se x2 − 2x + y2 = 0, então

( ρ . cos θ ) 2 − 2( ρ . cos θ ) + ( ρ .senθ ) 2 = 0 .

Ou seja,

ρ 2 . cos 2 θ − 2 ρ . cos θ + ρ 2 .sen 2θ = 0 → ρ 2 .(cos 2 θ + sen 2θ ) − 2 ρ . cos θ = 0 Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,

ρ 2 .(cos 2 θ + sen 2θ ) − 2 ρ . cos θ = 0 → ρ 2 .1 − 2 ρ . cos θ = 0 → ρ 2 = 2 ρ . cos θ Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.

π Ou seja, a variável θ varia desde 0 até /2 e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por B = ( ρ ,θ ) ∈ ℜ2 : 0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ e 0 ≤ θ ≤ π .

2

{

}

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cos θ = cos θ e = ρ ( − senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cos θ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cos θ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

218

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função a ser integrada é x2 + y2 =

(ρ . cos θ )2 + (ρ .sen θ )2

=

ρ 2 . cos 2 θ + ρ 2 .sen 2θ = ρ 2 (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ 2 .1

x2 + y2 = ρ

Sendo assim,

³³ R

x2 + y2 1 1 1 1 dxdy = ³³ x 2 + y 2 dxdy = ³³ x 2 + y 2 dxdy = ³³ ρ .ρdρdθ = ³³ ρ 2 dρdθ 4 4 4 4 4 B R R B

³³ R

x2 + y2 1 1 dxdy = ³³ ρ 2 dρdθ = 4 4 B 4

θ =π 2

³

θ =0

§ ρ =2 cosθ 2 · ¨ ρ dρ ¸dθ ¨ ³ ¸ © ρ =0 ¹

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja, θ =π 2

³³

x2 + y2 1 dxdy = 4 4

³³

x2 + y2 1 1 dxdy = .

4 4 3

R

R

³ θ

=0

θ =π 2

³ [ρ ]

θ =0

3 ρ = 2 cos θ ρ =0

1 dθ = 12 θ =π

³³ R

π

π

ρ = 2 cosθ θ= θ= 2 § ρ =2 cosθ 2 · ªρ3 º 1 21 3 ¨ ¸dθ = 1 ρ d ρ d θ = ρ ¨ ³ ¸ 4 θ³=0 «¬ 3 »¼ ρ =0 4 θ³=0 3 © ρ =0 ¹ θ =π 2

³ [(2 cos θ )

3

θ =0

2 x2 + y2 1 2 dxdy = .8 ³ cos 3 θdθ = 4 12 θ =0 3

]

1 − (0 ) dθ = 12 3

θ =π 2

³ cos θ

3

[ ]

ρ = 2 cosθ ρ =0

θ =π 2

³ 8 cos

3

dθ

θd θ

θ =0

θdθ

=0

Agora, temos de resolver uma integral simples, da função cosseno ao cubo de θ em relação à variável θ. Para resolvê-la, vamos lembrar que, se cos2θ + sen2θ = 1, então cos2θ = 1− sen2θ.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

219

Escrevendo cosseno ao cubo de θ como o produto (multiplicação) de cosseno de θ pelo cosseno ao quadrado de θ e usando a relação trigonométrica acima, temos que

(

)

cos 3 θ = cos θ . cos 2 θ = cos θ 1 − sen 2θ = cos θ − cos θ .sen 2θ Prosseguindo com a integração:

x2 + y2 2 dxdy = 4 3

³³ R

θ =π 2

3 ³ cos θdθ =

θ =0

2 3

θ =π 2

³ (cos θ − cos θ .sen θ )dθ θ 2

=0

Vamos aplicar a propriedade P1 vista no capítulo 1 para “separarmos” a integral da subtração de duas funções na subtração das integrais das duas funções:

³³ R

x2 + y2 2 dxdy = 4 3

θ =π 2

2 §¨ − = cos θ cos θ . sen θ d θ ³ 3 ¨¨ θ =0 ©

(

2

)

θ =π 2

³ cos θdθ −

θ =0

θ =π 2

· ¸ 2 cos θ . sen θ d θ ³θ =0 ¸¸ ¹

A integral de cosseno de θ em relação à variável θ é direta da tabela. Vejamos: θ =π 2

θ =π 2

³ cos θdθ = [senθ ]θ θ =0

=0

π § · = ¨ sen − sen 0 ¸ = 1 − 0 = 1 2 © ¹

A integral do produto (multiplicação) do cosseno de θ pelo seno ao quadrado de θ, em relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = senθ →

du = cos θ → du = cos θdθ dθ

Ou seja,

³ cosθ .sen θdθ = ³ (senθ ) 2

2

cosθdθ = ³ u 2 du =

(senθ ) + C = sen3θ + C u3 +C = 3 3 3 3

220

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Aplicando os extremos da integral: θ =π

θ =π 2

ª sen3θ º 2 1 3 ³θ =0cosθ .sen θdθ = «¬ 3 »¼ = 3 sen θ θ =0 2

[

]

θ =π 2 θ =0

π 1 1§ · 1 = ¨ sen3 − sen3 0 ¸ = (1) 3 − (0) 3 = 3 3 3© 2 ¹

(

)

Finalizando:

³³ R

x2 + y2 2§ dxdy = ¨¨ 4 3¨ ©

Exemplo 10.7. Calcule

θ =π 2

³ cos θdθ −

θ =0

θ =π 2

· ¸

2§

1·

2 § 3 −1· 4 ¸= 3 ¹ 9

³ cos θ .sen θdθ ¸¸ = 3 ¨©1 − 3 ¸¹ = 3 ¨© θ 2

=0

¹

³³ ydxdy , sendo R a região limitada por x

2

+ y2 − 2x = 0.

R

A equação x2 + y2 − 2x = 0 corresponde à circunferência de raio 1 e centro em (1,0).

Vejamos:

x 2 + y 2 − 2 x = 0 → x 2 + y 2 − 2 x + 1 − 1 = 0 → x 2 − 2 x + 1 + y 2 = 1 → ( x − 1) + y 2 = 12 2

A região limitada pela circunferência de equação é o círculo de raio 1 e centro em (1,0) indicado na figura 10.11. Nessa figura, também estão indicadas as variáveis ρ e θ que serão usadas na mudança de variáveis.

Figura 10.11. Região R limitada por x2 + y2 − 2x = 0.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

221

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Se x2 + y2 − 2x = 0, então ( ρ . cos θ ) 2 − 2( ρ . cos θ ) + ( ρ .senθ ) 2 = 0 .

Ou seja,

ρ 2 . cos 2 θ − 2 ρ . cos θ + ρ 2 .sen 2θ = 0 → ρ 2 .(cos 2 θ + sen 2θ ) − 2 ρ . cos θ = 0 Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,

ρ 2 .(cos2 θ + sen 2θ ) − 2 ρ . cos θ = 0 → ρ 2 .1 − 2 ρ . cos θ = 0 → ρ 2 = 2 ρ . cos θ Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.

A variável θ varia desde −

π 2

até

π 2

e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.

Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por

π π½ ­ B = ®( ρ ,θ ) ∈ ℜ2 : 0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ e − ≤ θ ≤ ¾ .

2 2¿ ¯ Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cos θ = cos θ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cos θ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cos θ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ

ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ

= ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ )

222

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

A função a ser integrada é y = ρsen θ.

Sendo assim,

³³ ydxdy = ³³ ( ρsenθ ).ρdρdθ = ³³ (senθ ) ρ dρdθ = 2

R

B

B

θ =π 2

§ ρ =2 cos θ · 2 ³π ¨¨ ρ³=0(senθ ) ρ dρ ¸¸dθ θ =− 2 © ¹

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja, senθ é interpretado, momentaneamente, como uma constante que multiplica a função ρ2, podendo ser “colocado para fora da integral”, conforme indicado a seguir, na integral indefinida relacionada com a integral anterior:

³ ( senθ ) ρ

2

dρ = senθ ³ ρ 2 dρ = senθ

ρ 2+1 2 +1

+ C = senθ

ρ3 3

1 + C = ( senθ ) ρ 3 + C 3

Retomando a integral dupla:

³³ ydxdy = R

π

θ =π 2

π

θ= 2 θ= ρ = 2 cos θ § ρ =2 cos θ · 1 2 ª1 2 3 3º ¨ ¸ dθ = ( ) ( ) sen θ ρ d ρ sen θ ρ d θ = ³π ¨ ρ³=0 ³π «¬ 3 ³π senθ ρ »¼ ¸ 3 = ρ 0 θ =− 2 θ =− 2 θ =− 2 © ¹

θ =π

(

)

θ =π

(

)

[ ]

ρ = 2 cos θ ρ =0

dθ

θ =π

1 2 1 2 8 2 3 3 3 ( ) ( ) (cosθ )3 senθ dθ ydxdy = sen θ 2 cos θ − 0 d θ = sen θ 8 cos θ d θ = ³³R 3 θ =−³π 3 θ =−³π 3 θ =−³π 2

2

2

A integral do produto (multiplicação) do cosseno ao cubo de θ pelo seno de θ, em relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto no capítulo 6.

Façamos a seguinte substituição:

u = cosθ → Ou seja,

du = − senθ → du = − senθdθ → −du = senθdθ dθ

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

3 3 3 ³ (cosθ ) senθdθ = ³ u (− du) = −³ u du = −

³ (cosθ ) senθdθ = − 3

223

(cosθ ) + C u 3+1 u4 +C = − +C = − 3 +1 4 4 4

cos4 θ 1 + C = − cos4 θ + C 4 4

Aplicando os extremos da integral: θ =π 2

θ =π

ª cos 4 θ º 2 1 ( ) = = − cos 4 θ sen d cos θ θ θ «− 4 » ³π 4 ¼θ =−π 2 θ =− 2

[

3

θ =π 2

]

θ =π 2

θ =−π 2

1 §§ π· § π ·· = − ¨¨ ¨ cos 4 ¸ − ¨ cos 4 − ¸ ¸¸ 4 ©© 2¹ © 2 ¹¹

1 ³π(cosθ ) senθ dθ = − 4 ((0) − (0) ) = 0 3

4

4

θ =− 2

Finalizando a integral dupla: θ =π

8 2 (cosθ )3 senθ dθ = 8 .0 = 0 ydxdy = ³³R 3 θ =−³π 3 2

³³

2

dxdy , sendo R a região exterior à circunferência de x + y2 centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ.

Exemplo 10.8. Calcule

2

R

Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:

³³ R

2 x +y 2

2

dxdy = ³³ 2.

R

1 x +y 2

2

dxdy = 2 ³³ R

1 x + y2 2

dxdy

A região exterior à circunferência de centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ está indicada, na cor cinza, na figura 10.12.

224

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Figura 10.12. Região exterior à circunferência de centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ.

A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).

Observando a figura 10.12, verificamos que a variável θ varia desde θ = 0 até θ = π e a variável ρ varia desde ρ = 1 até ρ = 1 + sen θ. Desse modo, a região em estudo, usando-se mudança de variável para coordenadas polares, é B = ( ρ , θ ) ∈ ℜ 2 : 0 ≤ θ ≤ π e 1 ≤ ρ ≤ 1 + senθ .

{

}

Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ, conforme segue abaixo.

∂x ∂x = 1. cos θ = cos θ e = ρ (− senθ ) = − ρ .senθ ∂ρ ∂θ ∂y ∂y y = ρ .senθ → = 1.senθ = senθ e = ρ (cos θ ) = ρ . cos θ ∂ρ ∂θ

x = ρ . cos θ →

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:

∂x ∂ρ J (ϕ ) = ∂y ∂ρ

∂x cos θ ∂θ = ∂y senθ ∂θ

− ρ .senθ = ρ . cos θ . cos θ − (− ρ .senθ ).( senθ ) ρ . cos θ

J (ϕ ) = ρ (cos 2 θ + sen 2θ ) = ρ .1 = ρ Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

225

A função a ser integrada é 1 x2 + y2

1

=

(ρ . cos θ )2 + (ρ .sen θ )2

1

=

ρ 2 . cos 2 θ + ρ 2 .sen 2θ

1 x +y 2

2

=

1

ρ .1 2

=

1

=

ρ 2 (cos 2 θ + sen 2θ )

1

ρ

Sendo assim, 2

³³

x2 + y2

R

1

dxdy = ³³ 2.

x2 + y2

R

dxdy = 2 ³³ B

1

ρ

.ρdρdθ = 2 ³³ dρdθ B

§ ρ =1+ senθ · ³ ¨¨ ³ dρ ¸¸dθ θ =0 © ρ =1 ¹

θ =π

x2 + y2

R

x2 + y2

R

2

³³

1

dxdy = 2 ³³

dxdy = 2

Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,

³³ R

θ =π θ =π § ρ =1+ senθ · ¨ ¸dθ = 2 [ρ ]ρρ ==11+ senθ dθ = 2 [(1 + senθ ) − (1)]dθ d ρ ³¨ ³ ¸ ³ ³ θ =0 © ρ =1 θ =0 θ =0 ¹

θ =π

2 x2 + y2

dxdy = 2

³³ R

θ =π

2 x2 + y2

dxdy = 2 ³ senθ dθ θ =0

Agora, temos de resolver um integral simples e diretíssima da tabela, da função seno de θ em relação à variável θ. Ou seja,

³³ R

θ =π

2 x +y 2

2

dxdy = 2 ³ senθ dθ = 2[− cos θ ]θ =0 = −2[cosθ ]θ =0 = −2(cos π − cos 0) θ =π

θ =0

³³ R

2 x + y2 2

dxdy = −2(− 1 − 1) = 4

θ =π

226

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exemplo 10.9. Calcule

³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy , sendo R o paralelogramo de vértices 2

R

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

Façamos a seguinte mudança de variáveis: (x, y) = ϕ(u, v) u=x−y v = x+ y Ou seja, ­u = x − y ® ¯v = x + y u + v = 2x → x =

u+v 2

u v u 2v − 2 u v −u +v §u +v· v = x+ y → y = v− x = v−¨ =− + → y= ¸=v− − =− + 2 2 2 2 2 2 2 © 2 ¹

A mudança de variáveis a ser feita é tal que

§u +v −u +v· ( x , y ) = ϕ (u , v ) = ¨ , ¸.

2 ¹ © 2 Observe que a mudança de variáveis acima não envolve coordenadas polares.

Podemos determinar as derivadas parciais de x em relação às variáveis u e v, conforme segue abaixo.

u+v 1 1 = u+ v 2 2 2 ∂x ∂ §1 1 · ∂ § 1 · ∂ § 1 · 1 ∂u 1 ∂v 1 1 1 = + = .1 + .0 = ¨ u + v¸ = ¨ u¸ + ¨ v¸ = ∂u ∂u © 2 2 ¹ ∂u © 2 ¹ ∂u © 2 ¹ 2 ∂u 2 ∂u 2 2 2 ∂x ∂ § 1 1 · ∂ § 1 · ∂ § 1 · 1 ∂u 1 ∂v 1 1 1 = ¨ u + v¸ = ¨ u¸ + ¨ v¸ = + = .0 + .1 = ∂v ∂v © 2 2 ¹ ∂ v © 2 ¹ ∂v © 2 ¹ 2 ∂ v 2 ∂ v 2 2 2

x=

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

227

Podemos determinar as derivadas parciais de y em relação às variáveis u e v, conforme segue abaixo.

y= ∂y ∂u ∂y ∂v

−u +v 1 1 =− u+ v 2 2 2 ∂ § 1 1 · ∂ § 1 · ∂ §1 · 1 ∂u 1 ∂v 1 1 1 = + = − .1 + .0 = − ¨− u + v¸ = ¨− u¸ + ¨ v¸ = − ∂u © 2 2 ¹ ∂u © 2 ¹ ∂u © 2 ¹ 2 ∂u 2 ∂u 2 2 2 1 · ∂ § 1 · ∂ §1 · 1 ∂u 1 ∂v 1 1 1 ∂ § 1 + = − .0 + .1 = = ¨− u + v¸ = ¨− u¸ + ¨ v¸ = − 2 ¹ ∂v © 2 ¹ ∂v © 2 ¹ 2 ∂v 2 ∂v 2 2 2 ∂v © 2

O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação

§u +v −u +v· ( x , y ) = ϕ (u , v ) = ¨ , ¸ é: 2 ¹ © 2 ∂x J (ϕ ) = ∂u ∂y ∂u

∂x 1 ∂y = 2 1 ∂y − 2 ∂v

1 2 = 1 . 1 − §¨ − 1 . 1 ·¸ = 1 + 1 = 2 = 1 1 2 2 © 2 2¹ 4 4 4 2 2

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = J (ϕ ) .dudv =

1 dudv .

2

A função a ser integrada fica assim:

(x − y )2 sen(x + y ) = §¨ u + v − − u + v ·¸ © 2

2

2

2

§u +v −u +v · §u +v +u −v · §u +v−u +v · + sen¨ ¸=¨ ¸ sen¨ ¸ 2 2 2 2 ¹ © ¹ © ¹ © ¹

(x − y )2 sen(x + y ) = §¨ 2u ·¸ © 2 ¹

2

§ 2v · sen¨ ¸ = u 2 senv © 2¹

Em termos das variáveis originais (x,y), a região R de integração é o paralelogramo de vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π) esboçado na figura 10.13.

228

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Figura 10.13. Região de integração em termos das variáveis originais (x,y).

A semirreta indicada por (I) na figura 10.13 tem equação y = x + π. Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (x + π) = x − x − π = −π (ou seja, u é constante e igual a −π ). Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x + π) = 2x + π (ou seja, visto que x varia desde x = 0 até x = π, então v varia desde v = π até v = 3π).

A semirreta indicada por (II) na figura 10.13 tem equação y = − x + 3π. Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (−x + 3 π) = x − x + 3 π = 3 π (ou seja, v é constante e igual a 3π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) = x + x − 3π = 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde u = −π até u = π).

A semirreta indicada por (III) na figura 10.13 tem equação y = x − π. Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (x − π) = x − x + π = π (ou seja, u é constante e igual a π).

Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x − π) = 2x − π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então v varia desde v = π até v = 3π).

A semirreta indicada por (IV) na figura 10.13 tem equação y = − x + π. Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (− x + π) = x − x + π = π (ou seja, v é constante e igual a π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) = x + x − 3π = 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde u = −π até u = π).

Em termos das variáveis (u,v), a região R de integração é “transformada” no quadrado esboçado na figura 10.14.

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

229

Figura 10.14. Região de integração em termos das variáveis (u,v).

A região indicada na figura 10.14 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como B = (u, v) ∈ ℜ2 : − π ≤ u ≤ π e π ≤ v ≤ 3π .

{

}

Sendo assim,

1

³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = ³³ u senvJ (ϕ )dudv =³³ u senv 2 dudv 2

2

R

2

B

B

A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:

1

³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 ³³ u senvdudv 2

R

2

B

Escrevendo os extremos da região de integração B: v =3π

§ u =π

·

v =π

© u =−π

¹

1 1 2 2 2 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 ³³ u senvdudv = 2 ³ ¨¨ ³ u senvdu ¸¸dv R

B

v =3π

§ u =π

·

v =π

© u =−π

¹

1 2 2 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 ³ ¨¨ ³ (senv )u du ¸¸dv R

230

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável u, pensamos que v representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senv também é interpretada como uma constante. Ou seja, v =3π

§ u =π

·

v =π

© u = −π

¹

v =3π

§ u =π · senv¨¨ ³ u 2 du ¸¸dv v =π © u =−π ¹

1 1 2 2 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 ³ ¨¨ ³ (senv)u du ¸¸dv = 2 ³ R

Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral definida, na variável u, indicada acima: 2 ³ u du =

1 u 2+1 u3 + C = + C = u3 + C 2 +1 3 3

Ou seja, u =π v =3π § u =π · 1 ª1 º senv¨¨ ³ u 2 du ¸¸dv = ³ senv « u 3 » dv 2 v=π ¬ 3 ¼ u =−π v =π © u =−π ¹

v =3π

1 2 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 ³ R

v =3π

v =3π

v =π

v =π

1 1 1 2 3 3 3 u =π ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 2 . 3 ³ senv[u ]u=−π dv = 6 ³ senv((π ) − (− π ) )dv R

v =3π

³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 6 ³πsenv(π 1

2

v=

R

3

)

+ π 3 dv =

1 6

v =3π

v =3π

1 ³πsenv(2π )dv = 6 2π ³πsenvdv 3

v=

3

v=

v =3π

1 3 2 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 3 π ³ senvdv v =π

R

Agora, temos de resolver uma integral simples da variável v, que pode ser resolvida com o auxílio direto da tabela de integrais: v =3π

1 1 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = 3 π ³πsenvdv = 3 π [− cos v] 2

3

v =3π v =π

3

v=

R

1 v =3π = − π 3 [cos v ]v=π 3

1 1 1 ³³ (x − y ) sen(x + y )dxdy = − 3 π (cos 3π − cos π ) = − 3 π (− 1 − (−1)) = − 3 π (0) = 0 2

R

3

3

3

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

Exemplo 10.10. Calcule

231

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy , sendo R o paralelogramo de vértices 3

R

(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

A mudança de variáveis a ser feita no exemplo 10.10 é a mesma realizada no exemplo 10.9, ou seja, u=x−y v = x+ y Vimos que, nesse caso,

§u +v −u +v· ( x , y ) = ϕ (u , v ) = ¨ , ¸.

2 ¹ © 2 Também já calculamos as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v, conforme segue abaixo.

∂x 1 ∂x 1 ∂y 1 ∂y 1 = , = , =− e = ∂u 2 ∂v 2 ∂u 2 ∂v 2 O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação §u +v −u +v· ( x , y ) = ϕ (u , v ) = ¨ , ¸ é: 2 ¹ © 2 ∂x J (ϕ ) = ∂u ∂y ∂u

∂x 1 ∂y = 2 1 ∂y − 2 ∂v

1 2 = 1 .1 −§− 1 .1 · = 1 + 1 = 2 = 1 1 2 2 ¨© 2 2 ¸¹ 4 4 4 2 2

Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = J (ϕ ) .dudv =

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy 3

R

1 dudv .

2

232

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

A função a ser integrada fica assim:

(x + y )3 sen(x − y ) = §¨ u + v + − u + v ·¸ © 2

2

3

3

§u +v −u +v · §u +v −u +v · §u +v+u −v· − sen¨ ¸=¨ ¸ sen¨ ¸ 2 ¹ © 2 2 ¹ © 2 ¹ © ¹

(x + y )3 sen(x − y ) = §¨ 2v ·¸

3

© 2¹

§ 2u · sen¨ ¸ = v 3 senu © 2 ¹

Em termos das variáveis (u,v), o paralelogramo de vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π), ou seja a região R de integração, é “transformado” no quadrado esboçado na figura 10.15, ou seja, região B de integração.

Figura 10.15. Região B de integração em termos das variáveis (u,v).

A região indicada na figura 10.15 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como B = (u, v) ∈ ℜ2 : − π ≤ u ≤ π e π ≤ v ≤ 3π .

{

}

Sendo assim, 1

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = ³³ v senuJ (ϕ )dudv = ³³ v senu 2 dudv 3

3

R

3

B

B

A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:

1

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 2 ³³ v senududv 3

R

3

B

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

233

Escrevendo os extremos da região de integração B: u =π

§ v=3π · ¨ ³ ( senu )v 3dv ¸du ¨ ¸ u =−π © v =π ¹

1 1 3 3 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 2 ³³ v senududv = 2 ³ R

B

Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável v, pensamos que u representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senu também é interpretada como uma constante. Ou seja, u =π

u =π § v=3π · § v=3π 3 · 1 ¨ ³ ( senu )v 3dv ¸du = ¨ ³ v dv ¸du senu ¨ ¸ ¨ ¸ 2 u =³−π u =−π © v =π ¹ © v=π ¹

1 3 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 2 ³ R

Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral definida, na variável v, indicada acima: 3 ³ v dv =

1 v 3+1 v4 + C = + C = v4 + C 3 +1 4 4

Ou seja, v =3π u =π § v=3π · 1 ª1 4 º senu¨¨ ³ v 3dv ¸¸du = senu v «¬ 4 »¼ du 2 u =³−π v =π u = −π © v=π ¹ u =π

1 3 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 2 ³ R

u =π

1 1 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 2 . 4 ³ πsenu[v ] 3

4 v =3π v =π

du =

u =−

R

u =π

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 8 ³ πsenu (81π 1

3

u =−

R

4

)

− π 4 du =

u =π

(

)

1 4 4 senu (3π ) − (π ) du 8 u =³−π

u =π

u =π

1 80π 4 senu 80π 4 du = senudu ³ 8 u =−π 8 u =³−π

(

)

u =π

3 4 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 10π ³ senudu u =−π

R

Agora, temos de resolver uma integral simples da variável u, que pode ser resolvida com o auxílio direto da tabela de integrais: u =π

3 u =π 4 4 ³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = 10π ³ senudu = 10π [− cos u ]u=−π

= −10π 4 [cos u ]u =−π u =π

u =−π

R

³³ (x + y ) sen(x − y )dxdy = −10π (cos π − cos(− π )) = −10π (− 1 − (−1)) = 0 3

R

4

4

234

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Exercícios Propostos – Capítulo 10 x

2 dxdy , sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 4.

Exercício 10.1.Calcule

R

xy

3 dxdy , sendo R a região do segundo quadrante limitada

Exercício 10.2.Calcule

R

pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.

(5 − y)dxdy , sendo R a região do primeiro quadrante e do

Exercício 10.3. Calcule

R

segundo quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

cos(x

Exercício 10.4. Calcule

2

+ y 2 )dxdy , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.

R

2

+ y2

Exercício 10.5. Calcule

ex

Exercício 10.6. Calcule

2e

2

R

dxdy , sendo R ={( x,y ) ∈ℜ2 : 9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 e − x ≤ y ≤ x} .

(

2 x2 + y 2

)dxdy , sendo R = {( x, y ) ∈ ℜ2 : x 2 + y 2 ≤ 4}.

R

3xdxdy , sendo R a região limitada por x

Exercício 10.7. Calcule

2

+ y2 − 4x = 0.

R

π

1

dxdy , sendo R a região do primeiro quadrante x + y2 + 1 limitada pelareta y = x, pela circunferência x2 + y2 = 4 e pelo eixo x.

Exercício 10.8. Calcule

2

R

Exercício 10.9. Calcule (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

Exercício 10.10. Calcule (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).

(x − y )

4

cos(x + y )dxdy , sendo R o paralelogramo de vértices

R

R

x + y cos( x − y )dxdy , sendo R o paralelogramo de vértices

Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável

Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 Exercício 10.1. 0.

Exercício 10.2. − 10/3.

Exercício 10.3.

15π 14 − 2 3

Exercício 10.4.

π

Exercício 10.5.

π

2 8

sen4 .

(e

25

Exercício 10.6. π (e8 − 1).

Exercício 10.7. 24π .

Exercício 10.8. 5 − 1 .

4 Exercício 10.9. 0.

Exercício 10.10. 0.

)

− e9 .

235

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