Déployabilité : des structures planes aux structures sphériques rétractables

Déployabilité : des structures planes aux structures sphériques rétractables

Julien Glath

Master Matières à Penser Glath Julien Marc Mimram Margaux Gillet Jean-Aimé Shu

Déployabilité : des structures planes aux structures sphériques rétractables

École d’architecture de la ville & des territoires à Marne-la-Vallée

REMERCIEMENTS Je remercie particulièrement M. Mimram, Mme. Gillet et M. Shu d’avoir été à l’initiative de ce Projet de Fin d’Étude mention Recherche. Ils m’ont accompagné depuis trois semestres à travers l’encadrement du séminaire et ont su me transmettre leur intérêt pour différents sujets et notamment pour les systèmes déployables, objet de mon étude. Merci à eux d’avoir pris sur leur temps personnel pour me suivre, me conseiller et pour répondre à mes interrogations.

Je tiens aussi à témoigner toute ma reconnaissance à l’EAVT ainsi qu’à sa directrice Mme. Sellali, qui nous ont fait confiance et nous ont soutenu financièrement pour cette nouvelle formule du PFE. Je suis également reconnaissant envers M. Mesnil qui a également contribué à la progression de cette recherche, en m’accordant de son temps pour échanger sur le sujet des structures plates rétractables. Son analyse en tant que chercheur m’a servi à construire une démarche claire et un fil conducteur.

Je remercie particulièrement Benjamin Giraudon, responsable de l’atelier maquette de l’EAVT, pour le partage de ses connaissances pour la réalisation de maquettes. Cet atelier est devenu un véritable fablab où on trouve les différents outils numériques qui m’ont permis de réaliser toutes les maquettes nécessaires pour mes différents essais.

De plus, je remercie Camille Boutemy, ma partenaire de recherche. Même si nous avions deux sujets de recherche distincts, nous avons pu échanger sur nos sujets, nos ambitions, nos attentes. Une recherche s’effectue en quasi-autonomie, mais il est nécessaire de la partager avec des personnes intéressées afin d’avancer, dans un esprit d’émulation et d’entraide.

Enfin, je tiens à remercier Thomas, qui a m’a apporté son aide sur Grasshopper , m’a soutenu et montré un intérêt à mon sujet, Alexis, qui m’a conseillé sur la trigonométrie, Charlotte, Héléna, Valentin et Alexiane qui m’ont aidé à assembler les différentes maquettes ainsi que mes parents qui ont eu la patience de relire ce mémoire.

SOMMAIRE

REMERCIEMENTS

3

INTRODUCTION

7

ÉTAT DE L’ART

9

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

13

ADAPTATION DES STRUCTURES PLANES AUX POLYGONES

25

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

39

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

47

DÉFORMATION DES SYSTÈMES RÉGULIERS

55

Ciseaux simples Ciseaux droits, pivot décentré Assemblage de ciseaux simples et des ciseaux aux pivots décentrés Ciseaux courbes, pivot centré Ciseaux courbes, pivot décentré Ciseaux brisés

Définition des polygones Cas particuliers Couvrir le plan

Sélection des pavages Analyse des pavages Du modèle théorique à la maquette Couvrir le plan

Les solides de Platon et d’Archimède Du modèle théorique à la maquette

Ajout de barres droites Déformation de l’hexagone Déformation des structures sphériques rétractables

13 15 17 18 19 22

25 31 32

39 42 43 45

47 50

55 57 58

CONCLUSION 61

INTRODUCTION Les structures pliables ont toujours suscité un intérêt pour les mathématiciens et les ingénieurs. En effet, ces systèmes complexes possèdent l’avantage d’être léger par rapport à leur emprise dans l’espace. De plus, ces mécanismes possèdent un unique degré de liberté qui permet leur déploiement, mais celui-ci peut être bloqué afin de verrouiller le mécanisme en structure. C’est au cours du XXème siècle que les structures déployables connaissent leur essor.

«Les structures déployables sont des structures capables d’adopter de nombreux changement de configurations de manière autonome» Tibet, 2002.

Aujourd’hui, ces systèmes suscitent de nouveaux intérêts grâce à l’usage d’outils paramétriques qui permettent d’expérimenter des modes d’utilisation inédits des ces structures. Ainsi, les recherches qui étaient orientées sur les mathématiques et l’ingénierie deviennent des thèmes pluridisciplinaires où l’architecte, au croisement de ces univers, entre design et technologie, peut jouer un rôle important dans l’évolution de ces mécanismes.

Lors du séminaire dispensé à l’EAVT, j’ai étudié les systèmes déployables et plus particulièrement les Structures Planes Rétractables. Ces mécanismes ont suscité mon intérêt car contrairement à beaucoup de systèmes déployables, ils ne possèdent pas uniquement un état initial et un état final, mais une multitude de positions intermédiaires. Cette particularité confère un véritable intérêt aux RPS1 pour une utilisation architecturale par sa capacité à modifier l’espace abrité, par des jeux de lumières.

Les structures planes rétractables fonctionnent comme des ciseaux, par paire, qui peuvent tourner l’une par rapport à l’autre grâce à des pivots. C. Hoberman est l’un des premiers à utiliser des ciseaux comme des éléments structuraux. Très rapidement, il sera suivi par d’autres chercheurs tels que Jensen et Pellegrino qui effectueront des recherches sur les Structures Planes Rétractables. En 2007, Luo, Mao et You ont rédigé un article sur les RPS, développant une approche analytique pour dessiner ces structures de manière optimale.

Enfin, Gazi Gezgin et Korkmaz, dans leur article «A new approach to the generation of retractable plate structures based on one-uniform tessellations» essayent d’étendre l’utilisation de ces structures pour couvrir le plan, grâce à différentes plaques polygonales.

INTRODUCTION

Ce mémoire a pour objectif d’étendre les connaissances et les applications des Structures Plane Rétractables dans l’architecture. Après un rapide état de l’art, j’essayerai de définir les règles géométriques de ces structures, afin de les comprendre et de les appliquer à différents polygones. Il me semble nécessaire de créer un déploiement de ces structures radiales dans le plan, ainsi je m’aiderai des pavages du plan pour créer des réseaux de RPS. Enfin pour compléter ce sujet, il est important d’essayer d’utiliser ces systèmes bidimensionnels afin d’obtenir un déploiement tridimensionnel. Dans cet optique, j’utiliserai les polyèdres de Platon et d’Archimède, pour finalement essayer d’adapter ce système déployable à une sphère.

L’introduction d’une troisième dimension marquera le passage des structures planes rétractables aux structures sphériques rétractables.

1

Radially Retractable Plate Structure

7

ÉTAT DE L’ART Depuis des siècles, les structures légères démontables, transformables existent. Dans un premier temps, celles-ci étaient faite de manière empirique. Ces structures, par leur facilité de mise en œuvre, leur légèreté, étaient utilisées pour des constructions nomades. La tente indienne en est l’illustration, elle est composée d’un nœud et de barres. Ces barres sont liées entre-elles par ce nœud, mais également par du tissu, qui rigidifie l’ensemble afin d’obtenir une tente légère qui résiste aux conditions météorologiques par sa forme et sa structure.

Il faut attendre la révolution industrielle et plus précisément le XXème siècle pour que les structures déployables connaissent un essor. Ces structures ont trouvé leur application dans de grands évènements sportifs tels que les Jeux Olympiques. La Civic Arena de Pittsburg est le premier stade qui utilise un système déployable en toiture. En effet, en 1961 les architectes Mitchell and Ritchey ont conçu un stade circulaire où la toiture est une portion de sphère divisée en six panneaux liés en un point haut. Lors d’une représentation où l’aréna doit être ouverte, cinq panneaux coulissent le long du cercle de la calotte sphérique afin de s’aligner avec le panneau fixe. Ainsi, l’aréna est ouverte sur cinq-sixième de sa toiture et peut se transformer en stade à ciel ouvert.

Figure 1 Civic Arena fermée (crédit : https://www.flickr.com/photos/hogophotony/17221528722)

Figure 2 Civic Arena ouverte (crédit : http://wyep.org/node/10534)

Cette couverture possède un mouvement dans l’espace, un état initial et un état final, mais elle n’effectue qu’une rotation autour d’un axe et les six panneaux de toitures ne sont pas réellement reliés entre eux.

Ce n’est après la Seconde Guerre Mondiale que l’intérêt pour les structures déployables et légères se développe. C’est à cette époque que Buck Minster Fuller crée ses dômes géodésiques (1949), que Kenneth Snelson effectue ses recherches sur la tenségrité (dans les années 60).

Si les recherches sur les systèmes légers déployables se multiplient, c’est dans le but de diminuer la quantité de matière utilisée pour un projet et ainsi le poids de la structure. De plus, ces systèmes vont réduire les différentes phases de réalisation et de montage. En effet, pour un bâtiment, le temps de mise en œuvre d’échafaudages, d’étais, de banches ainsi que les temps de séchage font qu’un projet demande beaucoup de temps à être réalisé. Les structures déployables nécessitent que très peu de temps pour être mises en œuvre.

Dans un autre domaine, à cette époque, la conquête spatiale est à son apogée. Les différents satellites mis en orbite sur la Lune ont quelques contraintes, ils doivent être les plus légers et compacts possible, prendre le moins de place, et une fois dans l’espace, avoir une envergure maximale pour capter les rayons du soleil par exemple. Pour répondre à ces enjeux, les structures déployables sont les plus adaptées.

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Ces différentes recherches sur les structures légères et déployables créent de nombreuses architectures, comme le stade Olympique de Munich, par Frei Otto. Cette structure n’est pas déployable, mais l’architecte allemand crée une nappe de câbles légère qui met à profit l’utilisation de la notion de surface minimale.

9

État de l’art Parmi les différentes structures déployables, les structures réticulées représentent une typologie de structure dont le mécanisme se compose d’éléments rigides, et de nœuds d’articulation. Ces structures possèdent un unique degré de liberté. En 1903, Geoffrey Thomas Bennett imagine un mécanisme composé de quatre barres connectées en une boucle à l’aide de quatre liaisons rotoïdes.

Figure 3 Schéma des Liasons Bennett Figure 4 Maquette d’une «threefold-symetric Bricard Linkage» (crédit : http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/464/2093/1275)

Raoul Bricard, mathématicien et ingénieur français, étudiera également les liaisons rotoïdes. Dans ses recherches, il va définir une boucle fermée composée de six barres reliées par six liaisons rotoïdes. Ces mécanismes sont paradoxaux ou surcontraints.

La deuxième typologie de structure déployable est celle des barres articulées. Chuck Hoberman est l’un des premiers à théoriser l’utilisation de barres rigides et des liaisons articulées, dans le but de créer des ciseaux qui se déploient dans l’espace, et qu’il est possible de rendre structure en bloquant les conditions d’appuis.

En 1988, il réalise une étude sur les sphères et les demi-sphères déployables.

Figure 5 Arche d’Hoberman, à l’Olympic Cauldron Park aux Jeux olympiques de Salt Lake City, 2002 (crédit : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020768306004057#fig1)

État de l’art

Hoberman a mené une recherche très complète sur les ciseaux, en utilisant des barres droites articulées entre elles, mais également en introduisant une cassure au niveau de ces barres. L’utilisation des paires de ciseaux coudées sera réutilisé par You et Pellegrino, dans leur recherche «Fordable bar structures».

Dans cette étude, les deux chercheurs vont étendre les recherches sur les barres coudés, ce qui aboutira à la création de la famille déployable des Fordable Bar Structures1. Par la suite, Jensen et Pellegrino2 vont étendre ces recherches afin de créer la famille des Radially Retractable Plate Structure3 . Dans leur recherche, ils vont démontrer que pour chaque FBS, il existe une RPS correspondante.

10

1 Structure de barres pliables 2 Jensen, F; Pellegrino, S; 2002. «Expandable Structures formed by Hinged Plates» In : Proceedings of the Fifth International Conference on Space Structures, Thomas Telford Limited, Guildford Surrey, 19-21 Angust 2002 3 Structure Plane Retractable de manière Radiale

État de l’art En 2007, Luo, Mao et You1 ont effectué une recherche sur les FBS et sur les RPS qui a pour objectif d’optimiser la forme des celles-ci. Ils développent une approche analytique, afin de définir les règles pour couvrir au mieux le plan. Parmi leurs approches, ils introduisent le fait qu’en dessinant les structures planes avec différentes formes, il est possible d’obtenir différentes formes d’ouverture au centre de la structure plane rétractable. De plus, ces trois ingénieurs analysent les différences entre les structures avec un coude et trois pivots, et les structures qui ont plus d’un coude. D’après cette recherche, il est impossible de couvrir l’espace pour des barres qui ont deux coudes ou plus.

Figure 6 FBS et RPS (crédit : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020768306004057#fig1)

Figure 7 Application d’un RPS à un édifice (crédit : http://mechanismsrobotics.asmedigitalcollection.asme.org/article/aspx?articleid=2624421)

1 On a type of radially retractable plate structures, International Journal of Solids and Structures, Volume 44, issue 10, 15 May 2007. Pages 3452-3467

ÉTAT DE L’ART

Les dernières recherches sur les structures planes date de mai 2017, Gazi Gezgin et Korkmaz, ont écrit un article nommé «A new approach to the generation of retractable plate structures based on one-uniform tessellations». Dans celui-ci, les deux ingénieurs introduisent une nouvelle approche des RPS en utilisant les pavages de l’espace pour couvrir le plan. Pour eux, les structures plates n’ont plus nécessairement de correspondance avec les ciseaux brisés, mais ce sont des polygones liés en leurs sommets par des articulations. Tout au long de cette article, ils essayent d’utiliser les différents pavages, régulier et semirégulier, afin d’obtenir un déploiement fluide, sans aucun conflit entre les plaques et nécessitant que peu d’énergie. Sur la figure 7, nous pouvons voir le déploiement d’un réseau carré de structures planes rétractables. Ce mouvement, ainsi que leur recherche sur la déployabilité peut être rapproché des études sur les matériaux auxétiques.

11

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Ciseaux simples

Les structures ciseaux, caractĂŠrisĂŠes par C. Hoberman, peuvent avoir diffĂŠrentes gĂŠomĂŠtries dĂŠfinies par la longueur des barres, leur nombre de pivots, leur nombre de coudes, ainsi que par leur rayon de courbure.

Dans un premier temps, nous allons Êtudier le dÊploiement des ciseaux simples afin d’apprÊhender leur dÊplacement dans le plan et leur taux d’allongement. Ces ciseaux sont composÊs de deux barres droites liÊes entre elles par une articulation en leur milieu. Cette articulation est un pivot, parallèle à l’axe normal des deux barres, et qui divise le ciseau en deux parties de même longueur. Pour lier plusieurs paires de ciseaux simples, des pivots sont ajoutÊs à chaque extrÊmitÊ des barres.

A M

Figure 8  Ciseaux E simples

B

Figure 9  Ciseaux simples

E

Posons alors :

L - Longueur de la barre E E - Épaisseur de la barre n - Nombre de barres sur une couche

E

(n+1)E

E

(n+1)E

h 2 (n+1)E

nE L Pour connaitre l’emprise de la structure rÊtractÊe, nous cherchons h qui correspond à la longueur AB sur la h L figure 10. h h h L 2 2 2 en conclure que M est le Sur une même barre, nous savons 2que M est situÊ à L/2 de A, B et C. Nous pouvons centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Ce triangle est donc nE rectangle en nE B et son hypotÊnuse est AC, de L longueur L. h L h L E ! ! !

E (n+1)E đ??żđ??ż = â„Ž nous + đ??¸đ??¸avons donc : Selon Pythagore, h h L L !

2 2 â„Ž!= !đ??żđ??ż! − 2đ??¸đ??¸ 2đ??żđ??ż = â„Ž + đ??¸đ??¸ !

L

â„Ž=

đ??żđ??ż! − đ??¸đ??¸ !

E E E dÊfinie par la formule (n+1)E: L’aire occupÊe par la structureErepliÊe est donc

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— đ?‘›đ?‘› + 1 đ??¸đ??¸

E EE= (â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— đ?‘›đ?‘› + 1 đ??¸đ??¸ đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ E

E EE

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (đ?‘›đ?‘›â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— 2đ??¸đ??¸

h hh 2 22

2E

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (đ?‘›đ?‘›â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— 2đ??¸đ??¸

L LL

đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż! đ??żđ??ż đ??żđ??ż! L−!LLđ??żđ??ż! đ??´đ??´% = 100 Ă— 2 22 đ??żđ??ż!

E

(n+1)E

(n+1)E (n+1)E (n+1)E

nE nEnE h hh L LL

2E

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

E

C

Figure 10  Cercle circonscrit au triangle rectangle

đ??´đ??´% = 100 Ă—

đ?‘›đ?‘› Ă— đ??żđ??ż! − đ??¸đ??¸ ! − (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ E EE (đ?‘›đ?‘› +! 1)Ă—đ??¸đ??¸ !

Figure 11  DĂŠfinition desđ?‘›đ?‘› termes Application du thĂŠorème de Pythagore Ă— đ??żđ??ż − đ??¸đ??¸Figure−12 (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ đ??´đ??´% = 100 Ă— (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ đ??´đ??´% = 100 Ă—

h hh 2 22

E EE

(n+1)E (n+1)E (n+1)E

Figure 13  Emprise du système repliÊ

13

L

h

đ??żđ??ż! = â„Ž! + đ??¸đ??¸ ! â„Ž = đ??żđ??żL! − đ??¸đ??¸ !

E

L L

2

2E

2E

E

đ??żđ??ż! = â„Ž! + đ??¸đ??¸ ! â„Ž =dĂŠployĂŠs đ??żđ??ż! − đ??¸đ??¸ !

E Figure 14  Ciseaux đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— đ?‘›đ?‘› + 1 đ??¸đ??¸

nE (n+1)E

h 2

Ciseaux simples

E E

(n+1)E

Comme vu prĂŠcĂŠdemment, le triangle ABC de la figure 10 est en tout temps du dĂŠploiement rectangle en2EB. L E ! đ??żđ??ż! = đ??¸đ??¸ ! est donc rectiligne, il effectue donc une translation selon un unique axe. Nous Le mouvement deâ„Žce + système pouvons de â„Ž la = mĂŞme đ??żđ??ż!façon, − đ??¸đ??¸ !dĂŠfinir l’aire de la structure lorsqu’elle est dĂŠployĂŠe : E đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— đ?‘›đ?‘› + 1 đ??¸đ??¸

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (đ?‘›đ?‘›â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— 2đ??¸đ??¸ E

2E

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— đ?‘›đ?‘› + 1 đ??¸đ??¸ đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (đ?‘›đ?‘›â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— 2đ??¸đ??¸ Figure 15  Emprise des ciseaux dĂŠployĂŠs đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż! đ??´đ??´% = 100 Ă— đ??żđ??ż!

De cette façon, nous pouvons calculer les Êtats rÊtractÊs et dÊployÊs du système en connaissant la longueur, l’Êpaisseur et le nombre de barres. De plus, nous pouvons calculer le taux d’allongement de celui-ci :

Avec :

đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´đ??´ = (đ?‘›đ?‘›â„Ž + 2đ??¸đ??¸) Ă— 2đ??¸đ??¸ đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż! đ??´đ??´% = 100 Ă— đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› Ă—! đ??żđ??ż! − đ??¸đ??¸ ! − (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ đ??´đ??´% = 100 Ă— (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸

Lu - Longueur du système đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż!dĂŠployĂŠ = 100du Ă— système L0 -đ??´đ??´% Longueur ! − đ??¸đ??¸ ! − (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ đ?‘›đ?‘› đ??żđ??żĂ—! đ??żđ??żrĂŠtractĂŠ

đ??´đ??´% = 100 Ă—

En remplaçant, nous obtenons :

đ??´đ??´% = 100 Ă—

(đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸

đ?‘›đ?‘› Ă— đ??żđ??ż! − đ??¸đ??¸ ! − (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸ (đ?‘›đ?‘› + 1)Ă—đ??¸đ??¸

Ciseaux Simples

Nous pouvons observer qu’à son Êtat initial, le mÊcanisme possède une emprise relativement faible : les paires de ciseaux sont collÊes les unes aux autres, sans lacune. L’Êtat final est obtenu lorsque les extrÊmitÊs des barres se rencontrent. Ce système possède un taux d’allongement très grand, qui dÊpend de la longueur des barres, de leur Êpaisseur et de leur nombre.

14

Figure 16  Photos du dÊploiement des ciseaux simples

Ciseaux droits, pivot dĂŠcentrĂŠ Dans le cas prĂŠcĂŠdent, le pivot intermĂŠdiaire ĂŠtait situĂŠ Ă L/2 et les ciseaux avaient un mouvement rectiligne. Nous allons nous intĂŠresser au cas oĂš le pivot central est situĂŠ Ă L/3.

2L 3 Figure 17  Ciseaux dÊcrivant une courbe

C1

Figure 18  DÊploiement des ciseaux

Lorsque le pivot intermÊdiaire n’est pas à Êquidistance des Ldeux autres pivots, le système se dÊploie de façon radiale, avec un centre du cercle qui Êvolue en fonction du dÊploiement. Il atteint son ÊtatCfinal 3 1 lorsque les sommets des barres pÊriphÊriques se rejoignent. Nous pouvons remarquer que les sommets des ciseaux dÊployÊs crÊent un polygone à n côtÊs, correspondant au nombre de paires de ciseaux.

2L 3

2L 3

A

H

2L 3

B

M C

L 3

L 3

Îą

L 3

Figure 19  Ciseaux rÊtractÊs

D

O

A

A 20 HApplication des thÊorèmes H deBThalès et Pythagore Figure

B

Pour dÊfinir la taille du polygone final, de cotÊs ainsi que le rayon du cercle A il faut connaitre H le nombre M le centreB de M celui-ci et deux sommets circonscrit à celui-ci. Dans un polygone, l’angle formÊ entre consÊcutifs est dÊfini par la formule :

CM

C

D

âˆ?= 1 ! đ??śđ??śđ??śđ??ś = 1 đ??´đ??´đ??´đ??´ C D đ??śđ??śđ??śđ??śle= Îą 12 đ??´đ??´đ??´đ??´ de Thalès Ă AMDCB, nous obtenons : Appliquons thĂŠorème Îą đ??śđ??śđ??śđ??ś = 2 đ??´đ??´đ??´đ??´ !

2 đ??´đ??´đ??´đ??´ = =1 2đ?‘…đ?‘…đ??´đ??´đ??´đ??´ sin đ??śđ??śđ??śđ??ś !

O Îą O 2 (đ??śđ??śđ??śđ??ś)//(đ??´đ??´đ??´đ??´) (đ??śđ??śđ??śđ??ś)//(đ??´đ??´đ??´đ??´) O (đ??śđ??śđ??śđ??ś)//(đ??´đ??´đ??´đ??´) (đ??śđ??śđ??śđ??ś)//(đ??´đ??´đ??´đ??´) 1 De mĂŞme,đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ nous le thĂŠorème de Thalès Ă OCABD : = appliquons đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ 1 2 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = 1 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = 2 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ 2 1 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ 21 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = 1 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = 12 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ Nous pouvons que (AD) et (CB) sont les mĂŠdianes du triangle isocèle OAB. đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ =en2conclure đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ 1 rectangle en H, nous avons : 2 Dans le triangle OMB, đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ = đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ đ??´đ??´đ??´đ??´ đ?›źđ?›ź 2 đ??ťđ??ťđ??ľđ??ľ = đ??´đ??´đ??´đ??´ = đ?‘…đ?‘… sin đ?›źđ?›ź 2 = đ?‘…đ?‘… sin đ?›źđ?›ź đ?œ‹đ?œ‹ đ??ťđ??ťđ??ľđ??ľ = đ??´đ??´đ??´đ??´ đ??´đ??´! + đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚!

2 đ?œ‹đ?œ‹ đ??ťđ??ťđ??ľđ??ľ = = đ?‘…đ?‘… sin đ??´đ??´đ??´đ??´ đ?›źđ?›ź 2 đ?œ‹đ?œ‹ đ??ťđ??ťđ??ľđ??ľ = = đ?‘…đ?‘… sin 1 2 đ?œ‹đ?œ‹ đ??´đ??´đ??´đ??´ = đ??śđ??śđ??śđ??ś = 1 2đ??´đ??´đ??´đ??´! + đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚!

2 ! !

1

D

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

!!

15

1 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 1 !! 𝑂𝑂𝑂𝑂= = 2 1 𝑂𝑂𝑂𝑂 ∝ 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 =! 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 2 𝛼𝛼 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑅𝑅 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ! sin 𝛼𝛼 2 𝜋𝜋 = 𝑅𝑅 sin 𝐻𝐻𝐵𝐵 = Donc : 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑅𝑅 sin 𝛼𝛼 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛼𝛼 2 = 𝜋𝜋 ! sin 𝐻𝐻𝐵𝐵 = = 𝑅𝑅 sin 2 𝜋𝜋 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 2 = 𝑅𝑅 sin 𝜋𝜋 𝜋𝜋 médianes des côtés, nous calculons : Avec la formule de la2longueur des 1 1 2𝐴𝐴𝐴𝐴!!! + 𝑂𝑂𝑂𝑂!!! 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1 + 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂! 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1 ! !

1 2𝐴𝐴𝐴𝐴 2 ! !

2 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2𝐴𝐴𝐴𝐴 + ! 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 2 2𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂!

1 2 1 2𝐴𝐴𝐴𝐴!!! + 𝑅𝑅!!! 𝐿𝐿 = 1 Soit : =2 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + + 𝑅𝑅!

1 2𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐿𝐿𝐿𝐿 = ! + 𝑅𝑅 !

1 2 ! ! 𝐿𝐿 = 2𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑅𝑅! 𝐿𝐿 = 22 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + 𝑅𝑅 C 2

𝐴𝐴)

𝑂𝑂

𝑂𝑂

= 𝑅𝑅 sin

𝛼𝛼 𝜋𝜋

1

2𝐴𝐴𝐴𝐴!!! + 𝑅𝑅!!!

2𝐴𝐴𝐴𝐴! + + 𝑅𝑅!

2𝐴𝐴𝐴𝐴 ! + 𝑅𝑅 ! ! !

2𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + 𝑅𝑅 𝑅𝑅!

2𝐿𝐿 = 2𝐿𝐿 = = 2𝐿𝐿 2𝐿𝐿 2𝐿𝐿 = = Donc : ! ! ! !

1 4𝐿𝐿! = 2𝐴𝐴𝐴𝐴!! + 𝑅𝑅!!

4𝐿𝐿 ! = 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + 𝑅𝑅! = 2𝐴𝐴𝐴𝐴!2L+ 𝑂𝑂𝑂𝑂!

4𝐿𝐿!! = 2𝐴𝐴𝐴𝐴 !! + 𝑅𝑅 !!

2 3 4𝐿𝐿 4𝐿𝐿! = = 2𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝐴𝐴𝐴𝐴! + + 𝑅𝑅 𝑅𝑅! 𝜋𝜋 !!!trouver En remplaçant !!AB, nous pouvons 𝜋𝜋)! + 𝑅𝑅 !!! R : 4𝐿𝐿! = 2(2𝑅𝑅 sin 𝜋𝜋 𝐴𝐴! + 𝑅𝑅! 𝑛𝑛 4𝐿𝐿 = 2(2𝑅𝑅 sin + 𝑅𝑅 𝑅𝑅! 𝜋𝜋 4𝐿𝐿!!! L= 2(2𝑅𝑅 sin 𝑛𝑛 ))!!! + ! 𝜋𝜋 ! = 2(2𝑅𝑅 sin ) + 4𝐿𝐿 ) + 𝑅𝑅 𝑅𝑅 !

4𝐿𝐿!3= 2(2𝑅𝑅 sin 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ! ! ! !! ! ! ! ! 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑅𝑅 4𝐿𝐿! = 𝑅𝑅 !(1 + 8 sin!! !!)

4𝐿𝐿 ! = 𝑅𝑅! (1 + 8 sin! ) 4𝐿𝐿!! = 𝑅𝑅 !!(1 + 8 sin !! !)

A ! = 𝑅𝑅 ! (1 + H 8 sin! ! ) B 4𝐿𝐿 4𝐿𝐿 = 𝑅𝑅 (1 + !) ! !8 sin ! !

4𝐿𝐿 ! !

4𝐿𝐿 𝑅𝑅!! = 𝐴𝐴! + 𝑅𝑅!

M ! 𝜋𝜋 4𝐿𝐿 ! ! ! ! 𝑅𝑅! = = 1+8 ! ! 𝜋𝜋 4𝐿𝐿 𝑅𝑅 !

4𝐿𝐿sin 𝑛𝑛 D ! 𝜋𝜋 1 + 8 sin 𝑅𝑅 ! ! =C 1 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = + 8 sin !! 𝑛𝑛 𝑛𝑛 1 + 8 sin ! 𝜋𝜋 1 + 8 sin 𝑛𝑛 2𝐿𝐿α 𝑛𝑛 𝜋𝜋 ! !

2𝐿𝐿 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 sin ) + 𝑅𝑅 2𝐿𝐿 𝑅𝑅 = = 𝜋𝜋 𝑛𝑛 2𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝜋𝜋 1 + 2𝐿𝐿 8O sin!!! 𝑛𝑛 𝑅𝑅 = 1+ +8 8 sin sin! 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 1 𝜋𝜋 𝑛𝑛 ! 𝑛𝑛 !

1 + 8 sin ! 𝜋𝜋 1 + 8 sin 𝑛𝑛 ! 𝑛𝑛 1 + 8 sin! ) !

4𝐿𝐿!

𝜋𝜋 8 sin! 𝑛𝑛

8 sin!

16

C2

Figure 21 Application des théorèmes de Thalès et Pythagore

Le système forme donc un polygone à n-côtés, circonscrit dans le cercle C1, de rayon R. A l’état initial, ce mécanisme occupe une faible emprise malgré le fait qu’il existe une lacune dans l’agencement des barres entre elles, alors qu’à l’état final, le mécanisme occupe une place importante, en fonction de la longueur de ces barres.

𝜋𝜋 𝑛𝑛 Ciseaux droits, pivot décentré

2𝐿𝐿

Ciseaux droits, pivot décentré

Figure 22 Photos du déploiement des ciseaux, pivot central à L/3

Assemblage de ciseaux simples et des ciseaux aux pivots décentrés Grâce aux ciseaux composés de barres droites avec le pivot situé au milieu de la barre ( à équidistance des deux extrémités), il est donc possible d’obtenir un mouvement rectiligne. Pour obtenir un mouvement courbe, le pivot doit être plus proche d’une des deux extrémités de la barre. Afin d’avoir différentes formes de structure, l’addition de ces deux systèmes peut être envisagée, comme sur la figure 25.

Dans le cas du pivot décentré, nous avons conclu que l’état final était atteint lorsque les sommets des ciseaux périphériques se rencontraient. Or, dans le cas présent, cet état ne peut pas être atteint car la courbe entre en collision avec le système rectiligne. Ce phénomène peut être expliqué car la partie radiale ne possède qu’un bord libre, le second étant rattaché à la partie rectiligne.

Il est néanmoins possible d’utiliser différents ciseaux afin d’obtenir une courbe, puis une inversion de courbure. C’est le cas pour la passerelle «Jet d’Eau», situé à Genève et réalisée par INGENI SA. Nous pouvons voir sur la figure 23 et la figure 24 le déploiement de cette passerelle. A l’état initial, la passerelle est plate pour faciliter le passage des PMR (Personne à Mobilité Réduite). Lorsqu’un bateau doit passer, la structure se soulève grâce à des ciseaux dissymétriques. Nous pouvons voir qu’il y a trois parties différentes. Les deux parties en lien avec la jetée ont un rayon de courbure, dont le centre de celui-ci est orienté vers le ciel, alors que la partie centrale a un rayon de courbure, dont le centre de celui-ci est orienté vers l’eau. Cette inversion de courbure permet de faire se soulever la passerelle en ayant toujours un contact avec la jetée, et ainsi créer l’état final du déploiement.

Figure 25 Assemblage de ciseaux simples et des ciseaux aux pivots décentrés

Figure 24 Photo de la passerelle «Jet d’eau» à l’état final Photo : Adrien Barakat

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Figure 23 Photo de la passerelle «Jet d’eau» à l’état initial Photo : Adrien Barakat

17

Ciseaux courbes, pivot centré Les ciseaux les plus fréquemment utilisés sont les ciseaux avec des barres planes. En effet ces mécanismes peuvent être facilement assimilés à une poutre avec une inertie dans sa hauteur, lorsque le système est bloqué. Mais il est possible de donner un rayon de courbure aux paires de barres. Sur les figures 26 et 27, nous pouvons voir des ciseaux courbes, avec un pivot centré, mis en relation les uns avec les autres. Il est important que les pivots restent disposés de façon normale à la courbe des barres, pour avoir un système fluide, limitant l’énergie nécessaire au mouvement ainsi que les conflits géométriques lors du déploiement.

A l’état initial, le système occupe une place réduite : les barres sont toutes alignées entre elles sans aucun vide. Lors du déploiement, nous pouvons observer que le mécanisme se déploie en décrivant un arc de cercle, dont le rayon de courbure reste inchangé en fonction du temps. L’état final est atteint lorsque les barres courbes rentrent en contact entre elles, au niveau de leurs extrémités.

Ciseaux courbes, pivot centré

Figure 26 Photos du déploiement des ciseaux courbes, pivot centré - vue du dessus

18

Figure 27 Photos du déploiement des ciseaux courbes, pivot centré - vue latérale

Ciseaux courbes, pivot décentré Tout comme les ciseaux plans, les ciseaux courbes peuvent admettre une asymétrie et ainsi posséder un pivot intermédiaire plus proche d’une extrémité que de l’autre. Dans ce cas, les extrémités des barres décrivent un arc de cercle, dont le rayon de courbure change en fonction du déploiement.

Notons A et C les pivots situés aux extrémités d’une barre, et B le pivot intermédiaire. L’ensemble des pivots A du mécanisme décrit une courbe dont le rayon de courbure est supérieur à la courbe décrite par l’ensemble des points B, ou l’ensemble des points C. Chacune de ces courbes possède un rayon de courbure différent. En connaissant la position du point B sur sa barre, il est possible de connaitre les rayons de courbures du système.

Figure 28 Photos du déploiement des ciseaux courbes, avec pivot décentré

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

Comme pour les ciseaux plans, l’état final est obtenu lorsque les extrémités des ciseaux se rencontrent, ainsi leurs pivots forment un polygone à n-côtés. De plus, comme ces paires de ciseaux sont courbes, chaque cercle décrit à l’état final par les points A, B ou C sont coplanaires. Ces cercles appartiennent tous à une portion de sphère et chaque pivot est concentrique par rapport au milieu de celle-ci.

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Ciseaux brisÊs Les diffÊrentes gÊomÊtries de ciseaux vu prÊcÊdemment permettent des translations, des rotations dont le centre de rotation change en chaque instant. Seul le système de barre courbe admet un dÊploiement autour d’un point fixe. Dans le but d’obtenir un dÊploiement radial, il est possible de crÊer une paire de ciseaux avec des barres brisÊes. Le premier à utiliser ces ciseaux brisÊs est C. Hoberman dans le dÊbut des annÊes 19901. Il propose un assemblage plan de ciseaux, chacun d’entre eux est fait d’une paire de barres brisÊes. Ce concept sera repris par You et Pellegrino2 qui l’Êtendront pour donner naissance à une famille plus gÊnÊrale de structure dÊployable appelÊe Fordable Bar Structure ( FBS)3.

Ici, la barre simple prÊsente dans les cas prÊcÊdents a ÊtÊ remplacÊe par une barre possÊdant de un à plusieurs coudes, et chacune d’entre elles peut contenir trois pivots ou plus.

Figure 29  DÊploiment d’une FBS

Sur la figure 29 nous pouvons observer le mouvement d’une paire de ciseaux possÊdant un unique coude, et trois pivots. Les deux ciseaux sont identiques et assemblÊs de façon symÊtrique par rapport au pivot intermÊdiaire. Pour que la FBS, à n barres, se dÊploie de façon optimale, elle doit respecter quelques règles gÊomÊtriques :

- Le pivot intermÊdiaire doit être situÊ à Êquidistance des deux autres pivots - L’angle ι est caractÊrisÊ par :

�� =

đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?‘›đ?‘›

- Les barres d’un même ciseau doivent être identiques

2đ?œ‹đ?œ‹

Si ces règles sont respectÊes, �� = le mÊcanisme de barres coudÊes se dÊploie de façon radiale, d’un Êtat initial �� de la structure se touchent, à un Êtat final oÚ le pivot intÊrieur d’une barre oÚ les pivots situÊs au centre rencontre le pivot extÊrieur d’une autre.

1 2 3

đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ đ?›žđ?›ž = expandable doubly-curved truss structuresÂť US Patent 4, 942, 700, 1990 Hoberman, C. ÂŤReversibly 2 You, Z.; Pellegrino, S., 1997 ÂŤFordable bar structuresÂť International Journal of Solids and Structure 34 (15), 1825-1847 Structure de barres pliables sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘?

Ciseaux brisĂŠs

sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘…

22

2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ − đ?‘›đ?‘› 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… = sin Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 sin đ?‘›đ?‘›

đ?‘…đ?‘… = sin(

đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż − )Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 2đ?‘›đ?‘› sin đ?‘›đ?‘›

Figure 30  Photos du dĂŠploiement d’une FBSđ?œ‹đ?œ‹Ă un coude,2đ??żđ??ż 3 pivots par barre

đ?‘…đ?‘… = cos

��

Ă—

2đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘›

Ciseaux brisés Les ciseaux brisés peuvent être utilisés comme structure pour couvrir le plan. Contrairement aux ciseaux simples qui se déploient sans conserver une emprise fixe, les FBS se déploient radialement et conservent donc un centre donné. Dans le but d’obtenir une couverture, il est nécessaire d’incorporer un élément de couverture en relation avec les barres structurelles. Kassabian, You et Pellegrino1 ont d’abord utilisé des panneaux plats en forme d’hélice, placés sur des barres possédant un ou plusieurs coudes. Par la suite, Jensen et Pellegrino2 vont étendre ces recherches afin de créer la famille des Radially Retractable Plate Structure 3 . Dans leur recherche, ils vont démontrer que pour chaque FBS, il existe une RPS correspondante.

Figure 31 FBS à 9 branches

Figure 32 RPS correspondante

Pour créer une Structure Plane Rétractable, il est important que tous les pivots des barres brisées restent dans la limite correspondant au RPS, à cause de la taille non négligeable des joints d’articulation. De plus, si nous souhaitons que la structure recouvre totalement le plan lorsqu’elle est fermée, il faut s’assurer qu’il n’existe aucun chevauchement ni blocage dans toutes les configurations possibles. Il est possible de créer différentes formes de RPS, avec des bords droits ou courbes. Dans leurs recherches, Jensen et Pellegrino choisissent des bords de surface courbe, pour obtenir un mouvement périodique au niveau de ces bords.

Ainsi, les pièces voisines s’épousent parfaitement, sans créer de trou ni de superposition dans l’état initial et dans l’état final. La structure finale a une forme circulaire lorsqu’elle est rétractée et crée un vide central circulaire, autour duquel se trouve les structures plates, lorsqu’elle est déployée. (Figure 33)

Figure 33 Photos du déploiement d’une RPS à un coude, 3 pivots par plaque

DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE

1 Kassabian, P; You, Z; Pellegrino, S.; «Retractable roof structures» Proceedings Institution of Civil Engineers Structures and Buildings 1999 2 Jensen, F; Pellegrino, S; 2002. «Expandable Structures formed by Hinged Plates» In : Proceedings of the Fifth International Conference on Space Structures, Thomas Telford Limited, Guildford Surrey, 19-21 Angust 2002 3 Structure Plane Retractable de manière Radiale

23

ADAPTATION DES STRUCTURES PLANES AUX POLYGONES

DĂŠfinitions des polygones

Nous l’avons vu prÊcÊdemment, les structures planes rÊtractables peuvent avoir une multitude de formes diffÊrentes pour couvrir le plan. Ces formes sont dÊfinies par l’occupation du plan, la gÊomÊtrie que nous souhaitons donner à la structure pour les diffÊrents Êtats, et aux paires de ciseaux brisÊs correspondants.

Pour adapter les RPS à une forme polygonale, nous allons dans un premier temps Êtudier le dÊploiement d’une structure de barres brisÊes, puis nous adapterons une structure plane à ces ciseaux.

Figure 34  DÊploiement d’une FBS avec 6 paires de barres brisÊes

Sur la figure 34, nous pouvons observer le mouvement plan effectuÊ par les barres brisÊes au cours de leur dÊploiement. Les barres en noir constituent la première couche de la structure et celles en gris constituent la deuxième couche, au second plan. Les pivots sont situÊs aux extrÊmitÊs de chaque barre, ainsi qu’au niveau de la cassure que nous appellerons pivot intermÊdiaire. Les paires de ciseaux sont toutes identiques.

D’après cette modÊlisation filaire, nous pouvons voir qu’au cours de son dÊploiement la structure passe par cinq Êtats diffÊrents : - L’Êtat initial: la structure est rÊtractÊe, le cercle circonscrit à ses sommets est le plus petit possible.

Sur le modèle filaire, les pivots intÊrieurs sont confondus avec le centre du cercle circonscrit.

- Le premier ĂŠtat intermĂŠdiaire: la structure se dĂŠploie dans le plan, le cercle circonscrit Ă ses sommets grandit au cours du mouvement.

- Le deuxième Êtat intermÊdiaire: la structure continue de se dÊployer mais le cercle circonscrit aux extrÊmitÊs des barres commence à diminuer.

- L’Êtat final: la structure est dÊployÊe au maximum. Les extrÊmitÊs des barres sont côte à côte.

Dans le modèle filaire, comme les pivots sont modÊlisÊs par un point, les barres viennent se recouvrir. Les sommets du polygone formÊ ne sont plus les extrÊmitÊs des barres, mais les pivots intermÊdiaires. Ce polygone possède Êgalement n côtÊs et une aire identique à celui de l’Êtat intermÊdiaire.

Sur ce système à 6 barres, nous pouvons voir qu’en tout temps, les points entre les extrÊmitÊs des barres forment un hexagone. Celui-ci à une aire croissante, jusqu’à l’Êtat maximal, puis son aire dÊcroit. Nous allons dÊterminer la taille du polygone à l’Êtat initial, maximal et final pour obtenir un taux d’allongement pour caractÊriser le dÊploiement de la structure.

L

Il est important de rappeler que les ciseaux brisĂŠs, figure 35 sont dĂŠfinis par :

L - La distance entre le pivot intermÊdiaire et un pivot extÊrieur ι - L’angle de la cassure dÊfini par :

�� = �� =

đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?‘›đ?‘›

2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘›

Îą L

Figure 35  DÊfinition du ciseau brisÊ

ADAPTATION DES STRUCTURES PLATES AUX POLYGONES

- L’Êtat maximal: le pivot intermÊdiaire s’aligne aux pivots extÊrieurs d’une paire de ciseaux.

Ainsi, les ciseaux brisÊs crÊent un polygone à n côtÊs. C’est dans cette position que le cercle circonscrit aux sommets est le plus grand.

25

Définition des polygones Pour définir le diamètre du cercle circonscrit à la structure rétractée, il nous faut connaitre le nombre de côtés du polygone ainsi que la longueur L. D’après le théorème d’Al-Kashi, nous avons :

𝐶𝐶 ! = 𝐴𝐴! + 𝐵𝐵! − 2𝐴𝐴𝐴𝐴 cos 𝑐𝑐 !

!

!

𝐶𝐶 ! = 𝐴𝐴avec + 𝐵𝐵! données − 2𝐴𝐴𝐴𝐴 cos 𝑐𝑐la figure de la figure 36 : Si nous remplaçons 𝑅𝑅 = 𝐿𝐿! + 𝐿𝐿les − 2𝐿𝐿! cosde 𝛼𝛼

Définition des polygones

𝑅𝑅!! = 𝐿𝐿!! + 𝐿𝐿!!− 2𝐿𝐿! cos 𝛼𝛼 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 − 2𝐴𝐴𝐴𝐴 cos 𝑐𝑐 2𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿! − 2𝐿𝐿! cos(𝜋𝜋 − ) 𝑛𝑛 𝑅𝑅! = 𝐿𝐿! + 𝐿𝐿! − 2𝐿𝐿! cos 𝛼𝛼 2𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿! − 2𝐿𝐿! cos(𝜋𝜋 − ) 𝑛𝑛 2𝜋𝜋2𝜋𝜋 ! cos(𝜋𝜋 − −− 2𝐿𝐿cos(𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿!!(1 − ))) 𝑛𝑛 𝑛𝑛 L 2𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿! (1 − cos(𝜋𝜋 − )) α 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝜋𝜋 R 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿!!(2 sin( − )!2𝜋𝜋 ) L 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 (1 − cos(𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 𝑛𝑛− )) 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿! (2 sin( − )! ) 2 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( − 𝜋𝜋)! 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 𝑛𝑛 − )! ) 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿! (2 sin( 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( − 2 )! 𝑛𝑛 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( − ) 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝜋𝜋 ! 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( − ) 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( − 2 )𝑛𝑛 𝜋𝜋2 𝑛𝑛 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 cos 𝑛𝑛𝜋𝜋 𝜋𝜋 Figure 36 Application du théorème d’Al-Kashi sur la structure rétractée 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 sin( 𝑅𝑅 = 2𝐿𝐿 cos 2 − 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝐷𝐷 = 4𝐿𝐿 cos 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝑅𝑅 = = 4𝐿𝐿 2𝐿𝐿 cos Donc le diamètre du cos cercle 𝐷𝐷 𝑛𝑛 circonscrit à la structure rétractée est : 𝑛𝑛

26

𝜋𝜋 𝐷𝐷 = 4𝐿𝐿 cos 𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 ! ! 𝐴𝐴% = 100 ×𝑛𝑛 𝐿𝐿! 𝐿𝐿−! 𝐿𝐿! 𝐴𝐴% = 100 × 𝐿𝐿!

2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝜋𝜋 𝐿𝐿! − ! − 4𝐿𝐿 cos 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝐴𝐴% = 100 × 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋 𝐿𝐿2𝐿𝐿 𝑛𝑛 ! 𝐴𝐴% = 100 × ( 𝜋𝜋 − 4𝐿𝐿 cos 𝑛𝑛) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛4𝐿𝐿 cos 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝐴𝐴% = 100 × ( 2𝐿𝐿 𝜋𝜋 𝜋𝜋) 4𝐿𝐿 cos cos 𝜋𝜋 − 4𝐿𝐿 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝐿𝐿𝑛𝑛 ×( ) 𝐴𝐴% = 100 ×( 𝜋𝜋 𝜋𝜋 − 1) 𝜋𝜋 4𝐿𝐿 cos 𝑛𝑛 4𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 cos𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝐴𝐴% = 100 ×( 𝜋𝜋 − 1) 4𝐿𝐿 2𝐿𝐿 cos𝜋𝜋𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1 𝐴𝐴% − 1) 𝐴𝐴% = = 100 100 × ×((2 sin 𝜋𝜋𝑛𝑛cos 𝜋𝜋 −𝜋𝜋1) 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝐴𝐴% = 100 × ( 4𝐿𝐿 cos 𝜋𝜋 𝑛𝑛 𝜋𝜋 − 1) 2 sin 𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛 1 𝐴𝐴% = 100 × ( 1 − 1) 𝐴𝐴% = 100 × ( 2 sin 𝜋𝜋− 1)𝜋𝜋 cos 2𝜋𝜋 𝑛𝑛 sin1 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 1) 𝐴𝐴% = 100 × ( 2𝜋𝜋 sin 𝑛𝑛 1 𝐴𝐴% = 100 × ( − 1) 2𝜋𝜋 sin 𝑛𝑛

final, le côtÊ du polygone mesure 2L comme à l’Êtat maximal. Dans un cas, les sommets du polygone sont les extrÊmitÊs des barres alors que dans l’autre cas, ce sont les pivots intermÊdiaires.

ADAPTATION DES STRUCTURES PLATES AUX POLYGONES

đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?›źđ?›ź = đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?›źđ?›ź = đ?‘›đ?‘›DĂŠfinitions des polygones đ?›źđ?›ź = đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘›âˆ’ 2) Pour dĂŠfinir le diamètre du cercle circonscrit Ă la structure dĂŠployĂŠe, il faut ĂŠgalement connaitre le nombre đ?›źđ?›ź = đ?‘›đ?‘› ainsi que la longueur đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2)L. Pour obtenir l’angle β, il faut2đ?œ‹đ?œ‹ de cĂ´tĂŠs du polygone diviser le polygone en autant de 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?›˝đ?›˝ = đ?›źđ?›ź = Chaque triangle isocèle est composĂŠ 2đ?œ‹đ?œ‹ triangles isocèles qu’il y a de cĂ´tĂŠs. d’un đ?›˝đ?›˝ = đ?‘›đ?‘› cĂ´tĂŠ qui mesure 2L, et les deux đ?‘›đ?‘› đ?›˝đ?›˝ = đ?‘›đ?‘› cĂ´tĂŠs ĂŠgaux correspondent Ă R, le rayon du cercle circonscrit Ă celui-ci. đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?›˝đ?›˝ = đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ đ?›žđ?›ž = đ?›˝đ?›˝ = đ?›žđ?›ž = đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ 2 đ?‘›đ?‘› đ?›žđ?›ž = 2 2 − đ?›˝đ?›˝nous avons : Selon la loi des đ?œ‹đ?œ‹ Sinus, đ?›žđ?›ž = 2 sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = đ?›žđ?›ž = sin đ?›˝đ?›˝ = sin đ?›žđ?›ž đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘?

2 đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘? đ?›˝đ?›˝ sin đ?‘?đ?‘? đ?›žđ?›ž sin sin đ?›˝đ?›˝ sin2L đ?›žđ?›ž = sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = Si nous remplaçons avec les donnĂŠes de la figure 37 : đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘? Îł sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž sin đ?›˝đ?›˝ = sin đ?›žđ?›ž 2đ??żđ??ż Îł đ?‘…đ?‘… = 2đ??żđ??ż = đ?‘…đ?‘… L 2đ??żđ??żđ?›˝đ?›˝ đ?‘…đ?‘… đ?›žđ?›ž đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘? sin sin = Îą đ?‘…đ?‘… 2đ??żđ??ż sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž R R = R 2đ?œ‹đ?œ‹ L 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… đ?œ‹đ?œ‹ âˆ’Î˛đ?‘›đ?‘› 2đ??żđ??ż đ?œ‹đ?œ‹ − 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… = sin Ă— đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ − 2đ??żđ??ż 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = sin 2 đ?‘›đ?‘› Ă— sin đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = sin 2 2đ?œ‹đ?œ‹ Ă— sin 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ −2 đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› sin2đ??żđ??żđ?‘›đ?‘› L đ?‘…đ?‘… = sin Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ − 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 2đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ sin 2đ??żđ??ż )Ă— Îą đ?‘…đ?‘… = sin( − 2đ??żđ??ż 2 Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = sin( đ?œ‹đ?œ‹ − 2đ?œ‹đ?œ‹ )đ?‘…đ?‘…Ă—= đ?‘›đ?‘›sin 2 2đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = sin( 2 − 2đ?‘›đ?‘›) Ă— sin 2đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› 2 2đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??żđ?‘›đ?‘› sin đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = sin( − )Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż 2 2đ?‘›đ?‘› L 2đ??żđ??ż 2đ??żđ??żđ?‘…đ?‘… =sin đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = cos Ă— sin( − ) Ă— đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘…đ?‘… = cos đ?œ‹đ?œ‹ Ă— 2đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 2đ?‘›đ?‘› sin đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = cos đ?‘›đ?‘› Ă— sin 2đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› Figure 37  Application de la loi des sinus sur la structure dĂŠployĂŠe 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ sin 2đ??żđ??żđ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = cos Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż sin đ?‘…đ?‘… đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… = cos Ă— = cos Ă— đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… = cos đ?œ‹đ?œ‹ Ă— đ?‘›đ?‘› 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 sin cos đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = cos đ?‘›đ?‘› Ă— 2 sin đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› cos đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ 2 sin 2đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = cos Ă— đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ đ??żđ??ż 2đ??żđ??ż 2 sin đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = đ?œ‹đ?œ‹ đ??żđ??ż đ?‘…đ?‘… = cos Ă— đ?‘…đ?‘… = đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = sin đ?œ‹đ?œ‹ 2 sin đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘› sinđ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = đ?œ‹đ?œ‹ đ??ˇđ??ˇ = 2đ?‘…đ?‘… đ??żđ??ż đ??ˇđ??ˇ = sin 2đ?‘…đ?‘… đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = đ??ˇđ??ˇ = 2đ?‘…đ?‘… Donc le diamètre du cercle circonscrit Ă đ?œ‹đ?œ‹la structure dĂŠployĂŠe est : sin đ?‘›đ?‘› 2đ??żđ??ż 2đ??żđ??ż đ??ˇđ??ˇ = đ??ˇđ??ˇ = 2đ?‘…đ?‘… đ?œ‹đ?œ‹ đ??ˇđ??ˇ = 2đ??żđ??żđ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› đ??ˇđ??ˇ = sin đ?œ‹đ?œ‹ đ??ˇđ??ˇ = 2đ?‘…đ?‘… đ?‘›đ?‘› sin 2đ??żđ??żđ?‘›đ?‘› đ??ˇđ??ˇ = đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż sin đ?‘›đ?‘› đ??ˇđ??ˇ voir = que đ?œ‹đ?œ‹ le cercle circonscrit passant par les extrĂŠmitĂŠs des barres de l’Êtat Sur la figure 37, nous pouvons sin đ?‘›đ?‘› maximal, est ĂŠgale au cercle circonscrit passant par les pivots intermĂŠdiaires de l’Êtat final. En effet, Ă l’Êtat

27

đ?‘…đ?‘… = 2đ??żđ??ż sin( − )! đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ 2 đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?‘…đ?‘… = 2đ??żđ??ż sin( cos − ) đ?‘›đ?‘›2 đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ DĂŠfinition des polygones đ?‘…đ?‘… = 2đ??żđ??ż sin(đ?œ‹đ?œ‹ − ) 2 đ?‘›đ?‘› đ??ˇđ??ˇ = 2đ??żđ??ż 4đ??żđ??ż cos đ?‘…đ?‘… đ?‘›đ?‘› pour obtenir le diamètre du cercle circonscrit Ă la structure Ă son ĂŠtat initial, Nous connaissons la formule đ?œ‹đ?œ‹ ainsi qu’à sonđ?‘…đ?‘…ĂŠtat maximal, = 2đ??żđ??ż cos đ?œ‹đ?œ‹ en fonction de la longueur des barres et du nombres de paires de ciseaux. đ?‘›đ?‘› Il est donc possible calculer le taux d’allongement entre ces deux ĂŠtats : đ??ˇđ??ˇ = 4đ??żđ??żdecos đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ đ??ˇđ??ˇ = 4đ??żđ??ż cos đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż! đ??´đ??´% = 100 Ă— đ?‘›đ?‘› đ??żđ??ż! đ??żđ??ż! đ??żđ??ż! −circonscrit Avec : L0 - Diamètre du cercle Ă l’Êtat initial đ??´đ??´% = 100 Ă— 2đ??żđ??ż đ?œ‹đ?œ‹ Lu - Diamètre du cercle l’Êtat final đ??żđ??ż!circonscrit đ?œ‹đ?œ‹ − 4đ??żđ??ż Ă cos

đ??żđ??ż! − đ??żđ??ż! đ?‘›đ?‘› đ??´đ??´% = 100 Ă— đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘›đ?‘› ) đ??´đ??´% = 100 Ă— ( đ??żđ??ż! đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż 4đ??żđ??ż cos đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ − 4đ??żđ??ż đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ 2đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘›đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ đ??´đ??´% = 100 Ă— ( 2đ??żđ??żđ?œ‹đ?œ‹ − 4đ??żđ??ż đ?œ‹đ?œ‹ cos đ?‘›đ?‘›) đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘›đ?‘›4đ??żđ??ż đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘› đ??´đ??´% = 100 Ă—( đ?œ‹đ?œ‹ − 1) đ??´đ??´% = 100 Ă— ( 4đ??żđ??ż 2đ??żđ??ż ) cos4đ??żđ??żđ?‘›đ?‘›cos đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘›đ?‘› 2đ??żđ??ż đ??´đ??´% = 100 Ă—( 1 đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ − 1) cos đ??´đ??´% = 100 Ă— ( 4đ??żđ??żđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› đ?œ‹đ?œ‹ − 1) đ??´đ??´% = 100 Ă—( 2 sin đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘› cos đ?œ‹đ?œ‹ −đ?‘›đ?‘›1) 4đ??żđ??ż cos1 đ?‘›đ?‘› đ??´đ??´% = 100 Ă— ( đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ − 1) 2 sin cos 1 đ?‘›đ?‘›1 đ?‘›đ?‘› đ??´đ??´% = 100 Ă— ( − 1)đ?œ‹đ?œ‹ − 1) đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ cos 2 sin Le taux d’allongement d’unesin structure n paires de ciseaux est donc : đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘› Ă đ?‘›đ?‘› 1 đ??´đ??´% = 100 Ă— ( − 1) 2đ?œ‹đ?œ‹ sin1 đ?‘›đ?‘› đ??´đ??´% = 100 Ă— ( − 1) 2đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘› Polygone

Nbr de cotĂŠs

Triangle CarrĂŠ Pentagone Hexagone Heptagone Octogone EnnĂŠagone DĂŠcagone HendĂŠcagone DodĂŠcagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Diamètre du cercle circonscrit Etat rÊtractÊ Etat dÊployÊ 79,99 92,38 113,14 113,14 129,45 136,10 138,57 160,00 144,17 184,38 147,84 209,05 150,37 233,90 152,19 258,89 153,54 283,96 154,57 309,10 158,98 511,39

Allongement % 15,48 0,00 5,14 15,46 27,89 41,41 55,56 70,11 84,95 99,98 221,67

Hauteur du polygone Etat rĂŠtractĂŠ Etat dĂŠployĂŠ 59,65 34,65 80,01 80,02 117,09 123,13 120,01 138,60 137,03 175,34 136,58 193,14 145,83 226,93 144,74 246,17 150,43 278,24 149,30 298,56 157,02 505,36

Allongement % -41,91 0,01 5,16 15,49 27,96 41,41 55,61 70,08 84,97 99,98 221,84

DĂŠfinition des polygones

Figure 38  Etude du % d’allongement des polygones, mesures effectuÊes sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’Êtat initial à l’Êtat final

28

Polygone

Nbr de cotĂŠs

Triangle CarrĂŠ Pentagone Hexagone Heptagone Octogone EnnĂŠagone DĂŠcagone HendĂŠcagone DodĂŠcagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Diamètre du cercle circonscrit Etat initial Etat maximal

129,45 138,57 144,17 147,84 150,37 152,19 153,54 154,57 158,98

136,10 160,00 184,38 209,05 233,90 258,89 283,96 309,10 511,39

Allongement %

5,14 15,46 27,89 41,41 55,56 70,11 84,95 99,98 221,67

Hauteur du polygone Etat initial Etat maximal

117,09 120,01 137,03 136,58 145,83 144,74 150,43 149,30 157,02

123,11 138,56 175,25 193,13 226,85 246,21 278,21 298,56 505,36

Allongement %

5,14 15,46 27,89 41,40 55,56 70,11 84,94 99,98 221,84

Figure 39  Etude du % d’allongement des polygones, mesures effectuÊes sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’Êtat initial à l’Êtat maximal

Définition des polygones % d’allongement de la structure 250,00

200,00

150,00

100,00

50,00

0,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés 25 du polygone

-50,00

Figure 40 Graphique correspondant à la figure 38 , % d’allongement de la structure en fonction du nombre de côtés du polygone % d’allongement de la structure 250,00

200,00

150,00

100,00

50,00

0,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés 25 du polygone

Figure 41 Graphique correspondant à la figure 39, % d’allongement de la structure en fonction du nombre de côtés du polygone 29

Définition des polygones La figure 38 est un tableau regroupant les mesures numériques effectuées sur le modèle Grasshopper pour chaque polygone. Chacun d’eux a été mesuré de deux façons différentes. Dans un premier temps, nous avons mesuré le diamètre du cercle circonscrit au polygone à l’état initial et l’état final pour une longeur de L de 40 millimètres. Puis nous avons mesuré la hauteur du polygone, afin de vérifier les valeurs précédentes.

La figure 39 représente le même tableau, mais seulement de l’état initial à l’état maximal.

En comparant ces deux tableaux, nous pouvons voir que l’allongement des polygones de cinq côtés ou plus est le même entre l’état maximal et l’état final. Précédemment, nous avons dit que le cercle circonscrit à la structure est le plus grand à l’état maximal et qu’il décroit jusqu’à l’état final. Malgré des résultats qui contredisent ce constat, il reste vrai pour autant. En effet, le cercle circonscrit à la structure maximale passe par les extrémités des barres brisées, alors que le cercle circonscrit à la structure finale passe par les pivots intermédiaires. Nous pouvons donc dire que lorsque le polygone dépasse son état maximal, il change de géométrie en créant un nouveau polygone possédant des sommets différents.

Définition des polygones

L’allongement permet également de vérifier les formules mathématiques précédentes, qui fonctionnent pour une structure formant un polygone de n côtés. Nous pouvons remarquer que les courbes des figures 40 et 41 sont linéaires.

30

Cas particuliers La figure 42 nous permet d’identifier un cas particulier, la forme triangulaire. En effet, alors que le diamètre de son cercle circonscrit augmente de 15,48% entre l’état initial et l’état final, la hauteur du polygone diminue de 41,91% durant le déploiement de la structure. Cet écart s’explique par la différence de géométrie entre les deux états. Sur la figure 43, nous pouvons voir que l’état initial correspond à un hexagone, alors que l’état final correspond à une forme triangulaire. Lorsque la structure est rétractée, les pivots externes et les pivots intermédiaires constituent ainsi un hexagone et le cercle circonscrit à ce polygone passe donc par ces six points. En ce déployant, les pivots externes et internes se rapprochent jusqu’à rentrer en contact, à ce moment, le triangle est formé par les trois pivots intermédiaires.

La figure 43 nous permet d’identifier un deuxième cas particulier, le carré. L’état maximal est atteint lorsque le pivot intermédiaire est aligné avec deux sommets du polygone. Or, à l’état initial, la géométrie de ce polygone fait que le pivot intermédiaire est déjà aligné aux extrémités de la barre. L’état initial est donc l’état maximal. Comme le mouvement de déploiement n’existe pas, nous ne mesurons pas le diamètre du cercle circonscrit ou la hauteur de polygone. De la même façon, le triangle n’a aucune valeur dans la figure 39 car à aucun moment le pivot intermédiaire ne forme une droite avec deux extrémités du polygone.

Figure 43 Photos du déploiement d’une FBS carrée

ADAPTATION DES STRUCTURES PLATES AUX POLYGONES

Figure 42 Photos du déploiement d’une FBS triangulaire

31

Couvrir le plan Jusqu’ici nous avons étudié des polygones formés de barres brisées. Pour couvrir le plan, il faut passer de ces ciseaux linéaires à des surfaces planes, des FBS aux RPS. Nous allons nous intéresser au déploiement de la structure de l’état initial à l’état maximal, afin d’éviter le changement de nature du polygone. Les formes triangulaires et carrées seront donc mises à l’écart du fait de leur aspect singulier et que l’état maximal n’existe pas pour ces deux polygones.

Comme nous l’avons évoqué précédemment, pour créer une Structure Plane Rétractable, il faut que les pivots des barres brisées restent dans la limite de la surface plane, et il faut s’assurer qu’il n’y ait aucun blocage durant la cinématique de déploiement. Dans leurs recherches, Jensen et Pellegrino imaginent des formes courbes sur leurs surface planes, ainsi lorsque la structure est déployée, une ouverture circulaire se situe en son milieu. Pour correspondre à la forme polygonale, nous avons décidé de créer des bordures de surfaces droites, afin d’obtenir une ouverture polygonale à l’état maximal.

De façon intuitive, la RPS la plus simple correspondante à une FBS est une structure composée de surfaces planes qui relient entre-eux les trois sommets d’une même barre brisée.

Figure 45 Etat maximal, surface plane entre les 3 pivots

Figure 44 Etat initial, surface plane entre les 3 pivots

Sur les figures précédentes, nous pouvons voir que la surface plane est un triangle isocèle, d’angle α et de côté L. Lorsque la structure est rétractée, la RPS présente n lacunes qui sont également des triangles isocèles égaux aux surfaces planes. Chaque lacune se situe entre deux sommets du polygone et un pivot intermédiaire.

Afin de définir le pourcentage de surface couverte, nous avons mesuré l’aire couverte à l’état initial puis à l’état maximal sur les polygones de 3 à 12 côtés, regroupés dans le tableau de la figure 46. Nous pouvons en resortir trois pourcentages différents :

Couvrir le plan

32

- % de surface couverte à l’état rétracté : l’aire couverte sur l’aire totale à l’état rétracté - % total de surface couverte : l’aire couverte à l’état rétracté sur l’aire totale à l’état déployé - % de surface couverte à l’état déployé : l’aire couverte sur l’aire totale à l’état déployé Polygone

Nbr de cotés

Triangle Carré Pentagone Hexagone Heptagone Octogone Ennéagone Décagone Hendécagone Dodécagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Etat Rétracté Aire Totale Aire Couverte 4156,92 4156,92 6400,00 6400,00 9960,54 7610,35 12472,57 8316,24 14218,57 8759,24 15453,92 9053,92 16350,09 9259,26 17016,63 9407,80 17523,88 9518,60 17917,86 9603,39 19316,34 9906,71

% de surface couverte 100,00 100,00 76,41 66,68 61,60 58,59 56,63 55,29 54,32 53,60 51,29

% total de surface couverte 150,00 100,00 69,12 50,01 37,66 29,30 23,40 19,10 15,88 13,40 4,90

Figure 46 Mesures effectuées sur Grasshopper pour L=40mm, de l’état initial à l’état maximal

Etat Déployé Aire Totale Aire Couverte 2771,28 2078,56 6400,00 3200,00 11011,05 6498,70 16627,69 6928,20 23257,04 7260,63 30901,93 7498,48 39563,68 7670,56 49242,94 7798,89 59940,10 7895,00 71655,37 7969,57 202040,06 8217,41

% de surface couverte 75,00 50,00 59,02 41,67 31,22 24,27 19,39 15,84 13,17 11,12 4,07

mbre de côtés polygone

% total de surface couverte

% de surface couverte à l’état rétracté

160,00

120,00

140,00

100,00

120,00 80,00

100,00 80,00

60,00

60,00

40,00 20,00 0,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

Figure 47 Surface 40,00 couverte à l’état rétracté en fonction 20,00 du nombre de côtés du polygone 0,00 0

% total de surface couverte 80,00

140,00

70,00

120,00

60,00

100,00

50,00

80,00

40,00

60,00 40,00 20,00 0

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

30,00 Figure 48 Surface 20,00sur la surface couverte totale à l’état rétracté, en10,00 fonction du nombre de côtés du polygone 0,00 0

% de surface couverte à l’état déployé 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00

0

5

10

% de surface couverte à l’état déployé

160,00

0,00

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

Figure 49 Surface couverte à l’état déployé en fonction du nombre de côtés du polygone

5

ADAPTATION DES STRUCTURES PLATES AUX POLYGONES

mbre de côtés polygone

Couvrir le plan

33

10

Couvrir le plan La Structure Plane Rétractable formée avec des surfaces triangulaires entre les trois pivots d’un ciseau brisé couvre le plan, cependant à l’état rétracté et à l’état déployé, elle présente des lacunes. Pour que le plan soit totalement couvert à l’état initial, nous avons conservé les trois pivots comme sommets de la surface mais nous avons ajouté un nouveau sommet qui est le milieu du côté du polygone. Ainsi la surface plane n’est plus un triangle mais un trapèze droit.

Figure 51 Etat maximal, surface plane entre les 3 pivots

Figure 50 Etat initial, surface plane entre les 3 pivots

Sur les figures précédentes, nous pouvons voir que la structure plane est un trapèze droit. Les barres brisées sont représentées en noir, d’angle α et de côté L. Lorsque la structure est rétractée, la RPS ne présente aucune lacune. A son état déployé, la structure présente une ouverture polygonale de n côtés, correspondant au polygone de la RPS, en son milieu. Cette ouverture est intéressante car en relation avec la forme de la structure et son ouverture. Il est tout de même possible, comme Jensen et Pellegrino, d’obtenir une ouverture circulaire au centre de la structure.

Comme pour la structure plane triangulaire, nous avons mesuré l’aire couverte à l’état initial puis à l’état maximal sur les polygones de 3 à 12 côtés regroupés dans le tableau de la figure 52. Nous pouvons en ressortir trois pourcentages différents: - % de surface couverte à l’état rétracté : l’aire couverte sur l’aire totale à l’état rétracté

- % total de surface couverte : l’aire couverte à l’état rétracté sur l’aire totale à l’état déployé

- % de surface couverte à l’état déployé : l’aire couverte sur l’aire totale à l’état déployé

Couvrir le plan

Nous pouvons remarquer que la surface couverte à l’état initial est toujours de 100%, grâce au fait que la structure plane va jusqu’au bord du polygone. De plus, sur la figure 50, le trait en pointillé représente l’emprise de la structure à son état maximal. Le pourcentage total de la surface couverte est donc la surface couverte à l’état initial, par rapport à cette emprise. Pour l’hexagone, nous pouvons voir que l’aire occupée par la structure représente 75% de l’aire en pointillée.

34

Polygone

Nbr de cotés

Triangle Carré Pentagone Hexagone Heptagone Octogone Ennéagone Décagone Hendécagone Dodécagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Etat Rétracté Aire Totale Aire Couverte 4156,92 4156,92 6400,00 6400,00 9960,54 9960,54 12472,57 12472,57 14218,57 14218,57 15453,92 15453,92 16350,09 16350,09 17016,63 17016,63 17523,88 17523,88 17917,86 17917,86 19316,34 19316,34

% de surface couverte 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

% total de surface couverte 150,00 100,00 90,46 75,01 61,14 50,01 41,33 34,56 29,24 25,01 9,56

Figure 52 Mesures effectuées sur Grasshopper pour L=40mm, de l’état initial à l’état maximal

Etat Déployé Aire Totale Aire Couverte 2771,27 2771,27 6400,00 6400,00 11011,05 9959,61 16627,69 12470,77 23257,04 14216,23 30901,93 15451,54 39563,68 16347,06 49242,94 17020,01 59940,10 17522,18 71655,38 17914,33 202040,06 19293,68

% de surface couverte 100,00 100,00 90,45 75,00 61,13 50,00 41,32 34,56 29,23 25,00 9,55

ombre de côtés u polygone

120,00

% de surface couverte à l’état rétracté

% total de surface couverte 160,00 140,00

100,00

120,00 80,00

100,00

60,00

80,00

40,00 20,00 0,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

% total de surface couverte

60,00 Figure 53 Surface 40,00 à l’état couverte rétracté en fonction 20,00 du nombre de côtés du polygone 0,00 0

120,00

160,00 140,00

5

10

% de surface couverte à l’état déployé

100,00

120,00 80,00

100,00

60,00

80,00 60,00 40,00 20,00 0,00

120,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

40,00 Figure 54 Surface couverte sur la surface totale 20,00à l’état rétracté, en fonction du nombre de côtés du polygone 0,00 0 5

% de surface couverte à l’état déployé

100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00

0

5

10

15

20

Nombre de côtés du polygone

Figure 55 Surface couverte à l’état déployé en fonction du nombre de côtés du polygone

ADAPTATION DES STRUCTURES PLATES AUX POLYGONES

Nombre de côtés u polygone

Couvrir le plan

35

10

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

Sélection des pavages

Une fois que nous avons obtenu différents polygones déployables, il nous a semblé important d’essayer de les mettre relation, pour arriver à un réseau plan déployable. Pour générer ce réseau de polygones, nous avons choisis d’utiliser les pavages réguliers et semi-réguliers du plan euclidien. Un pavage est dit régulier s’il est constitué d’un seul type de polygone régulier. Dans le cas du plan euclidien, il existe trois pavages réguliers :

- Le pavage triangulaire - Le pavage carré - Le pavage hexagonal

Figure 56 Pavage triangulaire

Figure 57 Pavage carré

Figure 58 Pavage hexagonal

Nous l’avons vu précédemment, les Structures Planes Rétractables de formes triangulaires ou carrées sont des cas particuliers, car elles ne peuvent pas être définies par un état initial et un état maximal. Il est donc impossible pour nous de choisir les pavages composés uniquement de ces deux polygones. Pour cette raison, le seul pavage régulier utilisable pour créer un réseau déployable est le pavage hexagonal.

Voyons maintenant si nos structures polygonales peuvent s’appliquer aux pavages semi-réguliers.

- Le pavage triangulaire allongé - Le pavage carré adouci - Le pavage carré tronqué - Le pavage hexagonal adouci - Le pavage hexagonal tronqué - Le pavage trihexagonal - Le pavage petit rhombitrihexagonal - Le pavage grand rhombitrihexagonal

Tous les pavages semi-réguliers sont obtenus grâce à des triangles et/ou des carrés. Il est donc impossible de les choisir pour créer un réseau complet, qui recouvre totalement le plan. Si nous faisons le choix de laisser des lacunes, pour les triangles et pour les carrés, il est possible d’appliquer les RPS à quelques pavages réguliers. Pour ce faire, il faut que les polygones de 5 côtés ou plus, qui composent le pavage, soient reliés les uns aux autres par leurs sommets. Parmi les huits pavages semi-réguliers du plan, seuls quatre peuvent être utilisés pour obtenir un réseau de RPS déployables.

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

Un pavage est dit semi-régulier s’il est constitué de deux polygones réguliers convexes ou plus, de telle façon qu’un sommet soit toujours entouré des mêmes polygones, dans le même ordre. Dans le cas du plan euclidien, il existe huit pavages semi-réguliers :

39

Sélection des pavages

Sélection des pavages

40

Figure 59 Pavage triangulaire allongé

Figure 60 Pavage carré adouci

Figure 61 Pavage carré tronqué

Figure 62 Pavage hexagonal adouci

Figure 63 Pavage hexagonal tronqué

Figure 64 Pavage trihéxagonal

Figure 65 Pavage petit rhombitrihexagonal

Figure 66 Pavage grand rhombitrihexagonal

Sélection des pavages La page de gauche nous permet d’identifier les pavages semi-réguliers possibles à appliquer aux RPS. Chaque forme polygonale possède une couleur associée sauf le triangle et le carré qui sont laissés en blanc afin de faire ressortir les lacunes du plan.

Le pavage triangulaire allongé et le pavage carré adouci sont tous deux composés uniquement de triangles et de carrés. Ces pavages sont donc impossible à réaliser avec une Structure Plate Déployable.

De plus, le pavage hexagonal adouci et le petit rhombitrihexagonal sont composés respectivement de triangles et d’hexagones, et de triangles, de carrés et d’hexagones. Malgré la présence d’hexagones dans ces deux pavages, ceux-ci n’ont aucun sommet qui se touche, donc il n’est pas possible de les utiliser pour nos RPS. Pour les quatre derniers pavages semi-réguliers, la présence de triangle ou de carré ne gêne pas la réalisation d’une structure déployable, grâce à la création d’un réseau lacunaire.

Le pavage carré tronqué est composé de carrés et d’octogones. Chaque octogone est lié à quatre de ses voisins par ses côtés. Ainsi quatre côtés du polygone sont en contact avec d’autres, alors que les quatre autres côtés sont des bords libres, répondant à la lacune laissée par les carrés.

Le pavage hexagonal tronqué est composé de triangles et de dodécagones. Chaque dodécagone est lié à six autres par ses côtés. Il reste ainsi six bords libres laissés par l’absence des triangles.

Le pavage trihéxagonal est composé de triangles et d’hexagones. Chaque hexagone est lié à six autres par ses sommets, pour cette raison, l’hexagone ne possède que des bords libres dans ce pavage.

Le plus grand polygone des deux, à savoir le dodécagone, possède donc plusieurs choix de longueur L pour être dessiné. Il est donc important de se questionner sur l’effet recherché : savoir si nous voulons un dodécagone qui recouvre le plan lorsqu’il est fermé, sachant qu’il ne se déploiera que très peu à l’état maximal car limité par l’allongement de l’hexagone. Ou dans le cas contraire, choisir un dodécagone qui laisse un grand vide polygonal lorsque le pavage grand rhombitrihexagonal est à son état maximal, en ayant conscience que lorsque ce pavage sera à l’état initial, le dodécagone sera déjà très déployé par rapport à l’hexagone.

Figure 67 Pavage grand rhombitrihexagonal

Figure 68 Pavage grand rhombitrihexagonal

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

Enfin, le pavage grand rhombitrihexagonal est composé de carrés, d’hexagones et de dodécagone. Dans ce pavage, le dodécagone est entouré de six hexagones et de six triangles. De cette manière, il possède six bords libres laissés par l’absence du polygone à trois côtés. Ce pavage semi-régulier possède la particularité d’être composé par deux RPS différentes. Dans ce cas, le déploiement est dicté par le plus petit polygone qui est ici l’hexagone. En effet, l’hexagone atteint son état maximal plus rapidement que le dodécagone.

Le dodécagone peut donc être construit de différentes façons. Sur la figure 67, nous pouvons voir le pavage grand rhombitrihexagonal lorsqu’il atteint son état maximal. Le dodécagone est créé de façon à ne laisser aucune ouverture lorsque le pavage est à l’état initial. En revanche, sur la figure 68, nous pouvons voir que pour le même pavage, le dodécagone est plus ouvert à l’état maximal de la structure. Ce polygone a été construit afin d’atteindre son état maximal en même temps que l’état maximal du pavage, et ainsi, laisser le plus grand espace libre au centre de la structure.

41

Analyse des pavages A présent, nous allons nous intéresser à l’allongement de ces pavages. La figure 70, le tableau regroupe les valeurs numériques trouvées sur Grasshopper, pour L = 40mm et pour chaque pavage réalisable grâce à des structures planes rétractables. Pour exploiter les données de ce dernier, nous allons le comparer au tableau d’allongement des polygones, pour voir s’il existe une relation entre les polygones qui composent le pavage et son allongement.

Polygone

Nbr de cotés

Triangle Carré Pentagone Hexagone Heptagone Octogone Ennéagone Décagone Hendécagone Dodécagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Diamètre du cercle circonscrit Etat initial Etat maximal

129,45 138,57 144,17 147,84 150,37 152,19 153,54 154,57 158,98

136,10 160,00 184,38 209,05 233,90 258,89 283,96 309,10 511,39

Allongement %

5,14 15,46 27,89 41,41 55,56 70,11 84,95 99,98 221,67

Hauteur du polygone Etat initial Etat maximal

117,09 120,01 137,03 136,58 145,83 144,74 150,43 149,30 157,02

123,11 138,56 175,25 193,13 226,85 246,21 278,21 298,56 505,36

Allongement %

5,14 15,46 27,89 41,40 55,56 70,11 84,94 99,98 221,84

Figure 69 Etude du % d’allongement des polygones, mesures effectuées sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’état initial à l’état maximal

Pavage

Nbr de polygones

Hexagonal Hexagonal Tronqué Trihexagonal Carré Tronqué Grand Rhombihexagonal

7 7 7 9 7

Diamètre du cercle circonscrit Etat rétracté Etat déployé 366,87 423,32 450,133 899,258 415,992 480 526,397 743,726 641,346 740,029

Allongement % 15,39 99,78 15,39 41,29 15,39

Hauteur du polygone Etat rétracté Etat déployé 346,66 400,00 448,348 895,7 360,26 415,692 410,097 579,411 568,255 655,692

Allongement % 15,39 99,78 15,39 41,29 15,39

Figure 70 Etude du % d’allongement des pavages, mesures effectuées sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’état initial à l’état maximal

Nous pouvons observer que l’allongement du pavage hexagonal est de 15,39%. Nous savons que l’hexagone s’allonge de 15,46% lorsqu’il est seul. De plus, le pavage trihexagonal, qui n’est composé que d’hexagones, s’allonge également de 15,39%. Le pavage carré tronqué est composé d’octogones et s’allonge de 41,29%, alors que l’octogone s’allonge de 41,41%. De plus, le pavage hexagonal tronqué se déploie de 99,78% en étant composé de dodécagones. Ce polygone s’allonge de 99,98% entre son état initial et son état maximal. Il est donc possible d’en conclure que les pavages possèdent le même pourcentage d’allongement que les polygones qui le composent.

Analyse des pavages

Le grand rhombitrihexagonal est le seul pavage semi-régulier qui est caractérisé par deux RPS polygonales différentes. Il est composé d’hexagones, dont le taux d’allongement est de 15,46%, et de dodécagones, qui se déploie de 99,98%. Ce pavage semi-régulier s’allonge de 15,39% entre son état rétracté et son état déployé, comme les pavages hexagonal et trihexagonal. Nous pouvons donc en conclure que l’allongement du réseau formé par le pavage correspond à l’allongement du polygone qui le compose, dont le nombre de côtés est le plus petit.

42

Du modèle théorique à la maquette Il existe une différence entre les modèles théoriques et les modèles réels. Changement d’échelle, d’épaisseur, de rigidité, beaucoup de paramètres font que les maquettes virtuelles, considérées comme parfaites, ne correspondent pas aux maquettes réelles. Nous allons évoquer ces différents changements et ce qu’ils impliquent dans la réalisation de modèles réels.

Le modèle virtuel est modélisé sur Grasshopper. Nous l’appellerons modèle théorique car il correspond aux règles énoncées dans les parties précédentes, sans imperfection, tolérance ou épaisseur qui viennent modifier légèrement les calculs. Sur la maquette numérique, les barres coudées sont représentées par des polylignes, les pivots par des points. Ce modèle est supposé infiniment rigide.

Pour les pavages du plan, nous avons vu que les polygones ne sont reliés que par leurs sommets. Prenons l’exemple du pavage hexagonal, lorsqu’un hexagone se déploie, la longueur de ses côtés s’agrandit. Ainsi sur le modèle théorique, chaque hexagone du pavage se déploie en même temps que son voisin car la longueur de leurs côtés est identique en tout instant du déploiement, de l’état initial à l’état final.

Le modèle réel est fabriqué en carton bois. Pour réaliser ce modèle, nous avons choisi du carton bois 3mm d’épaisseur pour le découper à la laser. Les barres font 10mm de large, et les pivots sont des vis de 3mm autour desquels le carton effectue sa rotation. Ce modèle est donc assez souple, dû à la nature du matériau, l’imprécision de la découpe (0.5mm) et le jeu entre la vis qui sert de pivot et le carton.

Comme pour le modèle théorique, lorsque nous appliquons ces structures aux pavages du plan, les polygones ne sont reliés que par leurs sommets. Pour le pavage hexagonal, théoriquement, lorsqu’un hexagone se déploie, ses côtés s’allongent et de cette façon tous les hexagones se déploient simultanément.

Mais, du fait des nombreuses imperfections et tolérances nécessaires pour réaliser la maquette en carton, un hexagone n’entraîne que partiellement ses voisins. Sur la figure 71, les trois photos du haut nous montrent le mouvement des ciseaux lorsque le pavage hexagonal se déploie. Nous pouvons voir que l’état maximal est atteint lorsque les pivots intermédiaires se rencontrent, le polygone n’est pas totalement formé contrairement au modèle théorique. Cette différence est liée à l’épaisseur des barres et des pivots.

Sur les trois photos suivantes, nous pouvons voir qu’il est possible d’ouvrir un hexagone (celui situé à droite) sans pour autant entrainer les autres. Ces voisins se déploient grâce à la longueur de côtés du polygone qui évolue, mais ce modèle n’est pas satisfaisant car il nécessite un contrôle sur chaque hexagone à tout instant du déploiement pour que celui-ci soit parfait.

Figure 71 Photos du déploiement de ciseaux brisés appliqués au pavage hexagonal

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

Il nous faut donc trouver un moyen de limiter l’énergie nécessaire au déploiement du réseau. Si chaque hexagone doit être déployé individuellement, le principe du pavage et de la mise en réseau des structures n’aura aucune utilité, et ce système restera une addition de systèmes individuels.

43

Du modèle théorique à la maquette Comme sur le modèle réel, chaque barre brisé est indépendante et possède une épaisseur, les ciseaux ne peuvent pas se situer sur un même plan. Ainsi, en supposant que l’hexagone central d’un groupe de sept hexagones est situé à une altitude z=0, alors trois hexagone sur six qui l’entourent seront situés à une altitude z=-1 pour éviter les collisions, et les trois derniers seront à une altitude de z=-2, pour ne pas rentrer en conflits avec la deuxième couche d’hexagones. Cette disposition crée une épaisseur de structure déployable 3 fois plus grosse, et peut laisser des jours entre chaque couche d’altitude différente.

En observant les maquettes virtuelles et réelles, nous avons constaté que certaines barres conservaient le même angle les unes par rapport aux autres. Sur la figure 71, nous pouvons voir au centre de la photo, un pivot dit «extérieur». Celui-ci est le point de jonction de trois hexagones. En analysant le mouvement de ces trois polygones, il s’avère que ce pivot peut être considéré comme le centre de rotation des ciseaux qui l’entoure, en admettant que ce point reste immobile.

L α

L α

L L

α

L

α

L α

L

α

α

Figure 72 Barre coudé simple, double ou triple

Il est possible de fusionner les barres brisées autour de ce centre de rotation. Ainsi, nous passons d’un pivot autour duquel viennent trois barres brisées simples, à une barre brisée double avec une barre coudée simple. Sur les trois photos du haut de la figure 73, nous retrouvons l’utilisation de cette barre double.

Du modèle théorique à la maquette

De la même manière, il est possible d’utiliser une barre triple. Lors du déploiement de l’hexagone central, les barres continues qui vont d’un hexagone à l’autre transmettent le mouvement. Ainsi nous obtenons un mouvement fluide et régulier, chaque hexagone se déploie à la même vitesse comme sur le modèle théorique. Cette barre triple limite les erreurs de maquette, de tolérance et les imprécisions qui se multiplient avec les nombres de barre. De cette manière, l’énergie nécessaire au déploiement de la structure est réduite. De plus, l’utilisation de cette barre triple permet d’avoir une unique épaisseur structurelle (deux couches de ciseaux qui fonctionnent ensemble).

44

Figure 73 Photos du déploiement d’un réseau de FBS hexagonal

Couvrir le plan L’analyse en barre des différents pavages nous a montré que ceux-ci se comportaient comme les polygones qui les composent. De la même façon que dans la partie précédente, nous pouvons couvrir le plan en passant de ciseaux linéaires à des surfaces planes, des FBS aux RPS. Pour obtenir ces RPS, nous allons former une surface plane entre les trois pivots qui la composent, et une autre surface plane entre ces trois pivots et le milieu du côté du polygone formé. Comme précédemment, nous obtenons une surface plane triangle isocèle, et une surface plane trapèze rectangle.

Il est important de noter que le passage du modèle théorique au modèle réel crée des lacunes dues aux différentes épaisseurs des matériaux. Donc la surface trapézoïdale qui recouvrait totalement l’hexagone dans la figure 74, laisse des jours lorsque la RPS est à l’état initial. Ces jours peuvent se retrouver sur les pavages, qui sont la combinaison de plusieurs polygones.

Figure 74 Photos du déploiement d’une RPS hexagonale

Figure 75 Photos du déploiement de RPS appliquées au pavage hexagonal

DES POLYGONES AU PAVAGE DU PLAN

En utilisant des ciseaux doubles ou triples, le mouvement de la structure est plus fluide, mais la structure plane peut également couvrir d’avantage l’espace. En effet, des lacunes sont créés sur les bordures du polygone, afin qu’il conserve sa forme polygonale de l’état initial à l’état maximal. Mais comme nous utilisons des ciseaux triples, nous pouvons considérer qu’il y a une continuité de matière et de couverture entre les différents polygones. Ainsi, le réseau de structures planes rétractables permet de couvrir de façon plus homogène le plan, en réduisant ou même supprimant les lacunes présentes. Le mouvement d’ouverture est alors plus compréhensible, nous passons d’un ensemble de surfaces continues et opaques à l’état initial, à un réseau qui ne présente que des ouvertures polygonales à l’état maximal.

45

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Les solides de Platon et d’Archimède

Il est possible d’utiliser les Structures Planes Rétractables en leurs donnant une forme de polygone. De plus, nous avons vu qu’en utilisant les différents pavages du plan, il était possible d’obtenir des réseaux de RPS qui se déploient de façon fluide, en limitant l’énergie nécessaire pour la mise en action du mouvement.

Après ce travail en deux dimensions, nous nous sommes interrogé sur la possibilité d’étendre ce système à un déploiement tridimensionnel.

Pour obtenir un mouvement tridimensionnel avec des Structures Plates qui sont par nature, bidimensionnelle, nous avons décidé de les appliquer aux solides de Platon et d’Archimède. Les solides de Platon sont des polyèdres réguliers et convexes, ils sont au nombre de cinq :

- Le tétraèdre - L’héxaèdre (cube) - L’octaèdre - Le dodécaèdre - L’icosaèdre

Figure 76 Solides de Platons

Comme pour les pavages du plan, il est impossible d’appliquer une structure de ciseaux brisés aux faces triangulaires et carrées. Nous devons donc écarter les polyèdres réguliers composés uniquement de ces deux polygones. Il ne reste que l’octaèdre, composé uniquement de pentagone, sur lequel nous pouvons essayer d’appliquer une FBS, puis une RPS.

- Le tétraèdre tronqué - Le cube tronqué - L’octaèdre tronqué - Le dodécaèdre tronqué - L’icosaèdre tronqué - Le cuboctaèdre - Le cube adouci - L’icosidodécaèdre - Le dodécaèdre adouci - Le petit rhombicuboctaèdre - Le cuboctaèdre tronqué - Le petit rhombicosidodécaèdre - L’icosidodécaèdre tronqué

Si nous enlevons tous les polyèdres où les Structures Planes Rétractables ne pouvant pas être liées entre elles par leurs sommets, seuls huit polyèdres sont utilisables pour notre recherche.

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Les solides d’Archimède sont des polyèdres convexes semi-réguliers, ils sont au nombre de treize :

47

Les solides de Platon et d’Archimède

Figure 77 Solides d’Archimède

Nous avons modélisé les neuf polyèdres réalisables avec des FBS ou des RPS sur Grasshopper afin de comprendre leur comportement. Le modèle virtuel est de nouveau considéré comme parfait, avec des polylignes et des points, ainsi que des éléments supposés comme infiniment rigides.

A l’état initial, le polyèdre est formé par les sommets des barres brisées, si l’on trace des droites entre les sommets, on obtient le véritable polyèdre. A l’état maximal, le polyèdre est également formé par les sommets des barres brisées, mais vu que le pivot intermédiaire est compris entre deux pivots, le côté des polygones est formé par deux barres de longueur L.

Les solides de Platon et d’Archimède

Entre la position rétractée et la position déployée, les polyèdres de Platon et d’Archimède effectuent une homothétie. Ceux-ci ont une sphère circonscrite et une hauteur du polyèdre plus grandes.

48

Polygone

Nbr de cotés

Triangle Carré Pentagone Hexagone Heptagone Octogone Ennéagone Décagone Hendécagone Dodécagone Icosagone

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20

Diamètre du cercle circonscrit Etat initial Etat maximal

129,45 138,57 144,17 147,84 150,37 152,19 153,54 154,57 158,98

Allongement %

136,10 160,00 184,38 209,05 233,90 258,89 283,96 309,10 511,39

5,14 15,46 27,89 41,41 55,56 70,11 84,95 99,98 221,67

Hauteur du polygone Etat initial Etat maximal

117,09 120,01 137,03 136,58 145,83 144,74 150,43 149,30 157,02

123,11 138,56 175,25 193,13 226,85 246,21 278,21 298,56 505,36

Allongement %

5,14 15,46 27,89 41,40 55,56 70,11 84,94 99,98 221,84

Figure 78 Etude du % d’allongement des polygones, mesures effectuées sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’état initial à l’état maximal Polyèdre

Nbr de faces

Dodécaèdre Tétraèdre Tronqué Cube Tronqué Cuboctaèdre tronqué Octaèdre Tronqué Dodécaèdre Tronqué Icosidodécaèdre tronqué Icosidodécaèdre Icosaèdre Tronqué

12P 4T, 4H 8T, 6O 12C, 8H, 6O 6C, 8H 20T, 12D 30C, 20H, 12D 20T, 12P 12P, 20H

Polygone de base

Base Triangulaire Base Cube Base Cube Base Octaèdre Base Dodécaèdre Base Dodécaèdre Base Icosaèdre Base Icosaèdre

Diamètre de la sphère circonscrite Etat rétracté Etat déployé 213,33 224,20 254,742 293,938 201,444 284,612 321,37 370,818 219,246 252,982 300,614 510,892 527,256 608,382 246,332 258,886 377,258 396,482

Allongement % 5,10 15,39 41,29 15,39 15,39 69,95 15,39 5,10 5,10

Figure 79 Mesures effectuées sur le modèle Grasshopper pour L = 40 mm, de l’état initial à l’état maximal

Hauteur du polyèdre Etat rétracté Etat déployé 169,52 178,16 113,219 130,639 136,699 193,137 289,915 334,523 169,831 195,959 259,161 440,442 508,694 586,967 209,542 220,236 354,333 372,377

Allongement % 5,10 15,39 41,29 15,39 15,38 69,95 15,39 5,10 5,09

Les solides de Platon et d’Archimède La figure 78 regroupe les différentes valeurs relevées sur le modèle théorique du diamètre de la sphère circonscrite, et de la hauteur du polyèdre, à l’état rétracté et l’état déployé pour chaque polyèdre. Ce tableau nous permet de regrouper les pourcentages d’allongement en quatre familles différentes :

- Le dodécaèdre, l’icosidodécaèdre et l’icosaèdre tronqué ont tous trois un allongement de 5,10% lors de leur déploiement.

Figure 80 Dodécaèdre

- Le tétraèdre tronqué, le cuboctaèdre tronqué, l’octaèdre tronqué et l’icosidodécaèdre tronqué peuvent être regroupés ensemble car ils ont tous un allongement de 15,39% entre l’état initial et l’état maximal.

Figure 81 Octaèdre Tronqué

- Le cube tronqué est le seul polyèdre à posséder un allongement de 41,29% lorsque sa structure se déploie.

Figure 82 Cube Tronqué

- Le dodécaèdre tronqué est le polyèdre qui se déploie le plus dans l’espace, avec un allongement de 69,95%.

Nous pouvons donc en conclure qu’il y a une relation entre le plus petit polygone qui compose le polyèdre et le déploiement de celui-ci. Il est également possible de constater que le pourcentage d’écart entre l’allongement du polygone et l’allongement du polyèdre diminue. Il passe de 0,78% pour le pentagone à 0,22% pour le décagone. S’il existe un écart entre les valeurs d’allongement, nous pouvons supposer que c’est grâce aux différents angles dièdres, car chaque polygone reste dans son plan lors du déploiement.

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Figure 83 Dodécaèdre Tronqué

Pour comprendre cette différence d’allongement, nous allons nous intéresser à la composition des polyèdres . Nous pouvons remarquer qu’au sein du premier groupe précédemment cité, tous les polyèdres possèdent des pentagones au nombre de douze. En nous référant au tableau de la figure 78, nous pouvons voir que le pentagone possède un allongement de 5,14%. Il y a un écart relatif entre l’allongement du polygone et l’allongement du polyèdre de 0,78%. Nous pouvons donc penser, comme pour les pavages du plan, que le taux d’allongement des polyèdres dépend du plus petit polygone qui le compose. Pour vérifier cette hypothèse, nous allons analyser les trois autres familles de polyèdres.

La deuxième famille regroupe quatre polyèdres tronqués, le plus petit polygone qui les compose, mis à part le triangle et le carré, est l’hexagone. Celui-ci possède un allongement de 15,46%, qui se rapproche des 15,39% des polyèdres obtenus. Il existe un écart relatif de 0,45% entre la valeur du polygone, dite théorique, et la valeur obtenue pour le polyèdre. Le cube tronqué, qui possède un allongement de 41,29%, est composé de huit triangles et six octogones. Nous pouvons remarquer sur la figure 79 que l’octogone possède un allongement de 41,41% entre son état initial et son état final. Leur écart relatif est de 0,22%.

Enfin le dodécaèdre tronqué est composé de 20 triangles et de 12 décagones. Nous savons que le décagone se déploie de 70,11% et le polyèdre se déploie de 69,95%. Entre ces deux valeurs, il y a un écart relatif de 0,22%.

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Du modèle théorique à la maquette Le modèle virtuel nous a montré qu’il était possible d’utiliser des structures planes rétractables pour construire des polyèdres. Les RPS se déploient sur les faces du polyèdres et celui-ci opère une homothétie entre son état initial et son état final.

Mais lorsque nous sortons du modèle parfait, plusieurs problèmes se posent, pour réaliser une maquette physique. La modélisation sur Grasshopper est faite avec des polylignes à la place des barres, et des points pour remplacer les pivots. Lorsque nous donnons une épaisseur aux barres, celle-ci dépasse des pivots.

Pour cette raison, les sommets du polyèdre deviennent des endroits de conflit, entre les barres de deux polygones différents. Pour cette réalisation en maquette, il faudrait que l’épaisseur des barres ne déborde pas du sommet, et ce pour n’importe quel moment.

De plus, dans la réalité, les pivots ont une épaisseur qui pose un problème dans sa relation avec le sommet du polyèdre. Rappelons que le pivot doit être parallèle à la normal de la barre brisée. Or, un sommet est généralement l’intersection de trois faces différentes. Donc le pivot qui caractérise ce sommet doit être normal à trois plans différents. Il peut être modélisé comme une rotule parfaite, sur le modèle théorique, une sphère autour de laquelle chaque barre peut se mouvoir.

Sur la maquette, il est donc impossible pour nous de représenter cette articulation. Pour cette raison, il est nécessaire de trouver une alternative pour obtenir un déploiement de FBS en trois dimensions.

Figure 84 Photos du déploiement d’une FBS, projeter sur une portion sphérique

Du modèle théorique à la maquette

Dans les définitions géométriques, nous avons vu que nous pouvions donner un rayon de courbure à une barre. Pour la barre simple, au pivot décentré, si nous appliquons un rayon de courbure, les pivots sont tous concentriques vers le centre d’une sphère.

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Appliquons le même principe pour des ciseaux brisés, en les projetant sur une sphère. Nous obtenons une FBS qui est une portion sphérique comme sur la figure 84. La structure se déploie de l’état initial à l’état final, sans problème. Le fait de projeter les FBS sur une sphère, ou une portion de sphère, fait que le pivot est orienté vers le centre de celle-ci. Ainsi, le problème des pivots des polyèdres peuvent être réglé de cette façon.

Du modèle théorique à la maquette La figure 85 nous montre deux types de portion sphérique. Ici, nous pouvons dire que ce sont des structures sphériques rétractables, car elles ne sont plus inscrite dans un plan. Sur les trois photos supérieures, la surface a été dessinée entre les trois pivots d’une FBS sphérique. Le résultat est une surface sphérique triangulaire. Nous pouvons voir que cette structure a un état initial, maximal et final.

Figure 85 Photos du déploiement d’une structure sphérique rétractable

Nous avons donc pris un polyèdre afin de le projeter sur une sphère. Notre choix s’est porté sur un octaèdre tronqué, qui n’est composé que de carré et d’hexagone. Comme dit précédemment, en le projetant sur la sphère, les problèmes liés aux axes des pivots est supprimé. Pour des raisons d’utilisation machine et de durée d’impression 3D, nous n’avons pas pu imprimer une sphère entière en structures sphériques rétractables. Nous avons donc fait le choix de la modéliser en barres coudées, car nous savons que pour chaque FBS corresponds une RPS, et dans notre cas, nous supposons qu’une structure sphérique rétractable peut être appliquée.

Figure 86 Photos du déploiement d’un octaèdre tronqué projeté sur une sphère

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Sur la figure 86, nous pouvons voir la sphère formée. Elle se déploie d’un état initial à un état final, et effectue une homothétie. Sur la maquette, le déploiement n’est pas fluide, car les barres se déforment à cause de la souplesse du matériau. De plus, nous aurions pu appliquer des barres multiples, pour créer un réseau comme pour les pavages du plan, afin de mieux transmettre le déploiement d’une «face» à une autre.

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DÉFORMATION DES SYSTĂˆMES RÉGULIERS

Ajout de barres droites

Jusqu’ici, nous avons vu des modèles de FBS et de RPS qui se dÊploient de manière radiale. Nous avons rÊussi à faire des rÊseaux de barres brisÊes grâce aux pavages du plan, et des dÊploiements dans l’espace grâce à l’utilisation des polyèdres et de la sphère. MalgrÊ les diffÊrentes dispositions dans lesquelles nous avons appliquÊ les structures plates rÊtractables, ces systèmes restent des systèmes fermÊs car ils sont inscrit dans un cercle ou dans une sphère.

Nous allons effectuer diffÊrents essais afin de sortir de ces systèmes rÊguliers. Dans un premier temps, nous allons rajouter des barres droites dans la structure. Nous respectons toutes les règles nÊcessaires à la crÊation d’une FBS, à savoir :

- Le pivot intermÊdiaire doit être situÊ à Êquidistance des deux autres pivots - L’angle ι est caractÊrisÊ par :

�� =

đ?œ‹đ?œ‹(đ?‘›đ?‘› − 2) đ?‘›đ?‘›

- Les barres d’un même ciseau doivent être identiques

2đ?œ‹đ?œ‹

Il est donc nÊcessaire des paires de ciseaux simples, en relation avec les ciseaux brisÊs. De plus, �� d’introduire = pour les ciseaux simples, ι��sera Êgale à Pi.

�� =

đ?œ‹đ?œ‹ − đ?›˝đ?›˝ 2

sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘?

Sur la figure , nous avons pris une 2đ?œ‹đ?œ‹structure de barres brisĂŠes correspondant Ă un hexagone. Nous avons đ?œ‹đ?œ‹ de − đ?‘›đ?‘› 2đ??żđ??ż de ciseaux. Entre ces deux groupes, nous y insĂŠrons quatre divisĂŠ celle-ci en deux parties trois paires đ?‘…đ?‘… = sin Ă— paires de ciseaux simples. Le système possède 2đ?œ‹đ?œ‹ ĂŠgalement un ĂŠtat initial, un ĂŠtat maximal, et un ĂŠtat final. A 2 sin son ĂŠtat maximal, nous pouvons voir que la structure forme deux hexagones cĂ´te Ă cĂ´te, ou trois hexagones đ?‘›đ?‘› imbriquĂŠs les uns dans les autres.

đ?‘…đ?‘… = sin(

đ?‘…đ?‘… = cos đ?‘…đ?‘… = cos

đ?œ‹đ?œ‹ 2đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż − )Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ 2 2đ?‘›đ?‘› sin đ?‘›đ?‘›

đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż Ă— 2đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› sin đ?‘›đ?‘›

đ?œ‹đ?œ‹ 2đ??żđ??ż Ă— đ?œ‹đ?œ‹ đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘›đ?‘› 2 sin đ?‘›đ?‘› cos đ?‘›đ?‘›

Figure 88  Photos du dÊploiement d’une FBS hexagonale, avec ajout de ciseaux simples

đ?‘…đ?‘… =

đ??żđ??ż

đ?œ‹đ?œ‹ sin đ?‘›đ?‘›

đ??ˇđ??ˇ = 2đ?‘…đ?‘…

2đ??żđ??ż đ??ˇđ??ˇ = đ?œ‹đ?œ‹ sin

DÉFORMATION DES SYSTĂˆMES RÉGULIERS

sin đ?›˝đ?›˝ sin đ?›žđ?›ž = 2đ??żđ??ż d’une FBSđ?‘…đ?‘…hexagonale Figure 87  Photos du dĂŠploiement

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Ajout de barres droites Ce système de barres droites insérées dans les paires de ciseaux brisés crée un mouvement fluide de déploiement. Il est possible d’appliquer des structures planes rétractables sur ces barres pour couvrir l’espace. Cette forme de demi hexagone, d’un rectangle, puis encore un demi hexagone pourrait correspondre à la forme d’un stade d’athlétisme. Sur la figure , nous avons utiliser des surfaces de forme trapèze, comme dans les parties précédentes. Nous pouvons remarquer qu’il existe des lacunes, une au centre de la structure et quelques unes sur la périphérie dû à l’épaisseur des pivots. Il est possible de combler ces lacunes en prenant des surfaces aux bords courbes comme Jensen et Pellegrino.

Figure 89 Photos du déploiement d’une RPS, avec ajout de ciseaux simples

Il est également possible de rajouter des ciseaux droits sur un octogone. Nous avons séparé l’octogone en quatre parties égales, et nous avons rajouté deux paires de ciseaux droits entre elles. Le déploiement est possible et fluide. Mais à l’état initial, ce système possède déjà une lacune au centre, les pivots les plus proches du centre sont déjà écartés les uns des autres.

Figure 90 Photos du déploiement d’une FBS, avec ajout de ciseaux simples

Ajout de barres droites

Ces deux essais pour sortir des systèmes réguliers fonctionnent dans une certaine mesure. En effet, l’ajout de ciseaux simples crée une particularité dans le système des FBS ou des RPS, mais le système reste toujours un modèle fermé possédant au minimum deux axes de symétries. Cette nouvelle forme de RPS peut donc être utilisée pour des stades ou couvrir l’espace, mais dans des géométries simples.

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Déformation de l’hexagone L’ajout de barres droites n’étant pas concluant pour déformer le modèle d’une RPS dans son plan, nous avons décidé de prendre un hexagone pour le déformer. Pour discrétiser une surface quelconque, il est possible d’utiliser un maillage triangulaire, qui est le plus optimal, un maillage carré et un maillage hexagonal. Or, nous avons vu précédemment que les structures plates rétractables pouvaient être utilisées pour des triangles ou des carrés, mais que ceux-ci ne pouvaient pas être mis en relation entre eux dû à leur géométrie particulière.

Ainsi, nous avons choisi de déformer un hexagone, dans le but de discrétiser une surface quelconque. Pour ce faire, nous avons déformé les sommets d’un hexagone, et nous avons fait trois essais pour comprendre si les règles relatives à la création d’une FBS ou d’une RPS peuvent être dérogées.

Figure 91 Photos d’une FBS hexagonale déformée

Figure 92 Photos d’une FBS hexagonale déformée

Pour les deux autres essais, nous avons construit les FBS de deux manières différentes. Comme l’hexagone est déformé, nous avons adapté les pivots intermédiaires pour être situés entre les sommets du polygone.

Sur la figure 93, la structure ne se déploie pas, mais nous avons l’impression qu’elle bouge légèrement. Cela peut s’expliquer par le fait que l’un de ses pivots intermédiaires soit, à l’état initial, aligné avec les sommets du polygone. La figure 94 est surcontrainte, elle ne se déploie pas et ne donne pas les moindres signes de faiblesse, ou d’un mouvement.

Figure 93 Photos d’une FBS hexagonale déformée

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Pour ce premier essai, nous avons choisi de construire une couche de barre brisée respectant les règles des barres brisées : le pivot intermédiaire est à équidistance des deux autres pivots de la barre. La couche inférieure, elle a été faite en reliant les pivots entre eux, et ne respecte aucune règle. Les paires de ciseaux brisés ne sont donc pas identiques entre elles et au sein d’une paire de ciseaux, les deux barres ne sont également pas identiques. Nous pouvons voir sur la figure 94 que l’hexagone déformé se déploie légèrement. Il semblerait que l’état final soit atteint lorsque l’un des pivots intermédiaires est aligné avec deux sommets du polygone.

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Déformation des structures sphériques rétractables Nous avons vu précédemment que nous pouvions appliquer une RPS à une portion de sphère, pour obtenir une structure sphérique rétractable qui se déploie dans l’espace concentriquement. Les maquettes en impression 3D nous permettent de valider la théorie selon laquelle celle-ci fonctionne pour couvrir l’espace et se déploie sans conflit entre ces plaques.

Figure 94 Photos du déploiement d’une structure sphérique rétractable

Déformation des structures sphériques rétractables

Après avoir effectué ces essais en maquette de structure sphérique rétractable, nous nous sommes interrogés sur la mise en relation entre-elles et sur leur rayon de courbure. Nous avons vu qu’il était possible d’obtenir une sphère déployable, mais la souplesse du matériau utilisé ne permet pas de valider totalement notre théorie. Nous avons choisi de lier des portions de sphères entre elles. Chaque portion de sphère a un rayon de courbure différent.

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Pour ce faire, nous avons projeter des structures planes rétractables trapézoïdales, inscrites dans un hexagone, sur une sphère. Ainsi, les structures projetées sont identiques et seul le rayon de la sphère sur laquelle nous projetons ceux-ci est différent. La sphère la plus petite possède un rayon de 170 millimètres, sachant que la distance L entre les pivots est de 40 millimètres. La seconde sphère est caractérisée par un rayon de 210 millimètres. De la même façon chaque sphère possède un rayon plus grand de 40 millimètres que la précédente.

De plus, nous savons que les axes de pivots d’une structure sphérique rétractable sont concentriques. Il est donc théoriquement impossible de lier les portions sphériques entre elles, car l’axe de leurs pivots ne peut pas être concentrique étant donné que les surfaces possèdent des rayons de courbure et donc, des centres de sphères différents. Nous avons décidé d’utiliser la tolérance d’exécution pour lier ces portions de sphères.

En effet, nous avons essayer d’assembler un module de rayon de courbure de 300mm avec un module qui possède un rayon de courbure de 100mm. Il y avait une trop grosse différence de géométrie entre les deux, et des conflits géométriques et surfaciques se produisaient.

La maquette réalisée est constituée de cinq modules possédant respectivement des rayons de courbures de : 170mm, 210mm, 250mm, 290mm et 330mm. Nous avons assemblé les portions sphériques en essayant d’avoir une portion tangente à une autre, avec des axes de pivots les plus rapprochés possible.

Déformation des structures sphériques rétractables Sur la figure 96, nous pouvons voir cet assemblage de portions sphériques. La structure se déploie facilement car chaque portion de sphère est reliée à sa voisine par deux paires de ciseaux. Nous pouvons également observer que le mécanisme n’atteint pas son état initial et son état final. Lorsque que la portion de sphère qui possède le plus grand rayon de courbure est totalement déployée, la portion avec le plus petit rayon de courbure n’a pas atteint son état maximal. Le contraire se produit lors de la fermeture, les structures sphériques rétractables qui possèdent le plus petit rayon de courbure se ferment en premier.

Néanmoins, cette expérimentation nous a montré que la mise en relation de différentes portions de sphères pouvaient fonctionner et garder son aspect déployable. Nous pouvons supposé qu’en dessinant chaque portion de sphère légèrement différente de la précédente, il est possible que celles-ci atteignent toutes leur état initial et maximal simultanément.

Figure 95 Photos du déploiement de l’assemblage de portions sphériques

INTRODUCTION DE LA TRIDIMENSIONNALITÉ

Ces résultats ne sont qu’expérimentaux. En effet, nous avons utilisé un matériau ductile, avec des tolérances d’exécutions. De plus, même si ce réseau courbe peut fonctionner sur une portion unique, le fait d’utiliser des portions sphériques les unes avec les autres ne fonctionnent que sur une unique rangée de structures plates rétractables.

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CONCLUSION Cette recherche nous a permis d’appliquer les Structures Planes Rétractables à de nouveaux systèmes.

En effet, ces structures étaient souvent dessinées de forme circulaire, comme un élément de couverture unitaire. Grâce à l’adaptation de ces structures à une forme polygonale, il est possible de créer un réseau qui couvre entièrement le plan à son état initial, et qui crée des jeux d’ombres et de lumières dans ses états intermédiaires ou dans son état final. La notion d’énergie étant très importante dans les systèmes pliables, il est appréciable d’avoir identifié des barres continues sur tout le réseau de RPS, afin d’avoir un déploiement fluide et peu énergivore.

De plus, ces quelques mois de recherche nous ont permis d’introduire une réflexion sur le déploiement tridimensionnel de ces structures. Nous avons identifié des déploiements possibles, notamment sur des sphères ou des portions de sphère. Malgré leurs aspects tridimensionnels, les structures sphériques rétractables ne peuvent pas être appliquées à des formes plus libre, car elles répondent à des règles géométriques strictes.

Néanmois, d’un point de vue architectural, il est envisageable d’utiliser les Structures Planes Rétractables ou les Structures Sphériques Rétractables comme couverture de stade, brise soleil ou faux plafond. Il est également possible de les utiliser comme abri léger, fermé lorsqu’on en a besoin et qui peut se déployer selon les occasions.

Les différents essais de déformation d’une Structure Plane Rétractable, permettent d’entrevoir une possible évolution de ces structures. En effet, en déformant un hexagone ou même en assemblant des portions de sphères différentes entre elle, il est possible de conserver un mouvement de déploiement. Certes, celuici n’est pas optimal, mais il est possible de caractériser et comprendre à partir de quel pourcentage de déformation de la forme de base, la structure ne se déploie plus.

Je pense que ce sujet est très complet et qu’il possède encore un grand potentiel. Si j’ai l’occasion de poursuivre ce sujet, je m’intéresserai à la déformation de la géométrie d’une RPS, afin de quantifier le moment critique où celle-ci ne se déploie plus. De plus, durant ma recherche, les modèles théoriques étaient supposés comme infiniment rigides, et les maquettes réelles étaient souples car fabriquées de carton ou d’ABS. Pour moi, il est essentiel d’allier la recherche des systèmes déployables à une recherche sur le matériau. En effet, cela permettrait de quantifier les efforts subis par la structure, ainsi que de mesurer l’énergie nécessaire à son déploiement.

CONCLUSION

Enfin, l’utilisation d’un matériau dans sa phase élastique pourrait permettre de trouver un blocage à celleci. Durant cette recherche sur déployabilité, nous avons abordé le déploiement des structures sans jamais aborder le blocage de celle-ci. Il est important rappeler que ces systèmes ne sont que des mécanismes lorsqu’ils ne sont pas bloqués. Le sujet du blocage de ces mécanismes est donc important et nécessiterait une recherche plus approfondie.

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École d’architecture de la ville & des territoires à Marne-la-Vallée

Master Matières à Penser - 2018