მათემატიკა by Goga

t/!Upgvsjb-!w/!ypXpmbwb-! o/!nbXbsbTwjmj-!h/!bcftb[f-!{/!nfusfwfmj

maTematika pirveli nawili (Teoria da amocanaTa krebuli)

rekomendebulia stu-s saredaqcio-sagamomcemlo sabWos mier damxmare saxelmZRvanelod umaRles saswavleblebSi SemsvlelTaTvis

profesor

t/!Upgvsjbt

redaqciiT

mexuTe gadamuSavebuli gamocema

Tbilisi 2009

wigni gankuTvnilia umaRles saswavleblebSi SemsvlelTaTvis, xolo rogorc damxmare saxelmZRvanelo, didad sasargeblo iqneba saSualo skolebisaTvis. wignSi mocemuli masalis safuZvliani Seswavla uzrunvelyofs moswavle axalgazrdobis maTematikur momzadebas im doneze, romelic moeTxoveba umaRles saswavleblebSi Semsvlels. wigni gamoadgeba agreTve yvelas, vinc maTematikis saskolo kursiTaa dainteresebuli.

recenzentebi:

1. saqarTvelos mecnierebaTa akademiis akademikosi, prof. j/!ljSvsb[f

2. profesori

kompiuteruli uzrunvelyofa:

! !

w/!qbbubTwjmj

d/!dbobwb! f/!{bsj[f

winamdebare gamocemaze yvela ufleba ekuTvnis avtorebs. avtorebis werilobiTi Tanxmobis gareSe akrZalulia wignis gadabeWdva, qseroaslis damzadeba da misi realizacia.

©sagamomcemlo saxli “teqnikuri universiteti”, 2008 ISBN 978-9941-14-170-6 (orive nawili) ISBN 978-9941-14-171-3 (pirveli nawili)

meoTxe gamocemis winasityvaoba wignis â&#x20AC;&#x153;algebra da analizis sawyisebisâ&#x20AC;? wina sami gamocema saqarTvelos ganaTlebis saministros mier damtkicebuli iyo saxelmZRvanelod umaRlesi saswavleblebis mosamzadebeli ganyofilebis msmenelebisa da abiturientebisaTvis. igi mTlianad moicavs umaRles saswavleblebSi misaRebi gamocdebis programiT gaTvaliswinebul masalas. Sedgeba is ori ganyofilebisagan. pirvel ganyofilebaSi gadmocemulia Teoriuli masala, romlis agebis dros SeZlebisdagvarad gaTvaliswinebulia sakiTxebis gadmocemis logikuri Tanmimdevroba. amasTan, saSualo skolis saxelmZRvaneloebisagan gansxvavebiT, yoveli konkretuli sakiTxis Sesabamisi masala Tavmoyrilia erTad. Teoriuli masalis ganmtkicebis mizniT, iq, sadac saWirod miviCnieT, garCeulia magaliTebi. meore ganyofileba amocanaTa krebulia, romelic Seicavs Teoriuli masalis Sesabamis mraval amocanasa da savarjiSos. isini dalagebulia Temebis mixedviT, maTi tipebisa da sirTulis gaTvaliswinebiT. yoveli Temis bolos mocemulia savarjiSoTa saerTo ganyofileba. magaliTebisa da amocanebis aseTi dalageba moswavles gauadvilebs skolaSi Seswavlili masalis gameorebas da SeZenili codnis gaRrmavebas. meoTxe gamocema mTlianad gadamuSavebulia da arsebiTad Sevsebulia, gasworebulia SemCneuli uzustobani. avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc mogvawoda SeniSvnebi SemCneul xarvezebze. avtorebi siamovnebiT miiReben mkiTxvelTa yvela saqmian SeniSvnas, romlebic gaTvaliswinebuli iqneba wignis Semdgom gamocemaSi. wigni rom sasargeblo iyos yvelasaTvis, vinc maTematikis saskolo kursiTaa dainteresebuli, masSi Setanili zogierTi amocana da magaliTi saSualoze ufro maRali sirTulisaa.

mexuTe gamocemis winasityvaoba mexuTe gamocemaSi amoRebulia is sakiTxebi, romlebic ar aris saSualo skolisa da misaRebi gamocdebis amJamad moqmed programebSi. damatebulia albaTobis Teoriisa da maTematikuri statistikis elementebi (Teoria da amocanebi). gasworebulia SemCneuli uzustobani. avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc mogvawoda SeniSvnebi SemCneul xarvezebze.

Sesav ali

qjswfmbej! dofcfcj/! brtjpnb! eb! Ufpsfnb/ ganvsazRvroT raime cneba niSnavs_gadmovceT misi Sinaarsi sxva, ufro martivi, adre SemoRebuli cnebebis saSualebiT. Aaqedan gamomdinare, Tu raime cneba SemoRebulia adre gansazRvruli cnebebis saSualebiT, maSin ismis kiTxva: rogor ganisazRvros pirveli maTgani. amrigad, unda gamoiyos iseTi cnebebi, romlebsac miviRebT ZiriTad, pirvelad cnebebad da maTze dayrdnobiT ganisazRvros yvela sxva cneba. aseTebia simravlis, wertilis, manZilis da a.S. cnebebi. davamtkicoT raime winadadeba (debuleba) niSnavs vaCvenoT rom misi WeSmariteba gamomdinareobs adre cnobili winadadebebidan (debulebebidan). aqedan gamomdinare, Tu raime winadadeba damtkicebulia adre cnobili winadadebebis saSualebiT, maSin ismis kiTxva: rogor davamtkicoT pirveli maTgani. Aamrigad, unda gamoiyos iseTi winadadebebi, romlebsac miviRebT daumtkiceblad da maTze dayrdnobiT damtkicdes yvela sxva winadadeba. winadadebas, romelic daumtkiceblad miiReba, aq si om a ewodeba. winadadebas, romlis WeSmarireba mtkicdeba, Teorema ewodeba. Teoremebis damtkicebis dros gamoiyeneba cnebebi, aqsiomebi da adre damtkicebuli Teoremebi. nbUfnbujlvsj! joevrdjjt! qsjodjqj/ maTematikis erT-erT ZiriTad aqsiomas warmoadgens e.w. maTematikuri induqciis principi, romelic gamoiyeneba naturalur ricxvebze damokidebul debulebaTa dasamtkiceblad. es principi SemdegSi mdgomareobs: Tu naturalur n ricxvze damokidebuli winadadeba marTebulia raime n = n1 , sawyisi mniSvnelobisaTvis, da im daSvebidan, rom igi marTebulia n=k-saTvis (sadac k â&#x2030;Ľ n1 nebismieri naturaluri ricxvia) gamomdinareobs, rom winadadeba marTebulia agreTve n=k+1-saTvis, maSin n â&#x2030;Ľ n1 naturaluri winadadeba marTebulia nebismieri ricxvisaTvis.

nbhbmjUj/!maTematikuri

induqciis principis gamoyenebiT

davamtkicoT, rom 4 − 1 iyofa 3-ze, nebismieri naturaluri n-isaTvis. n

bnpytob/

roca n=1, maSin cxadia 41 − 1 = 3 iyofa 3-ze.

davuSvaT, rom

4k − 1

iyofa 3-ze, sadac k nebismieri

naturaluri ricxvia, da davamtkicoT, rom 4 k +1 − 1 agreTve iyofa 3-ze. marTlac 4 k +1 − 1 = 4 ⋅ 4 k − 1 = 4 ⋅ 4 k − 4 + 3 = 4(4 k − 1) + 3 ,

saidanac daSvebis Tanaxmad cxadia, rom 4 k +1 − 1 iyofa 3-ze. amrigad, maTematikuri induqciis principis Tanaxmad winadadeba damtkicebulia. bvdjmfcfmj! eb! tblnbsjtj! qjspcfcj/ maTematikuri msjeloba warmoadgens erTimeoridan gamomdinare gamonaTqvamebis erTobliobas. Tu gvaqvs ori A da B gamonaTqvami da A-dan gamomdinareobs B, am faqts simbolurad ase Caweren: A ⇒ B . TviT ⇒ simbolos logikuri gamomdinareobis simbolos uwodeben. Tu A ⇒ B , maSin A-s ewodeba B-s sakmarisi piroba, B-s ki_A-s aucilebeli piroba. magaliTad, piroba “n ricxvi iyofa 10-ze” aris sakmarisi piroba imisa, rom n ricxvi gaiyos 5-ze, magram ar aris aucilebeli. amave dros piroba “n ricxvi iyofa 5-ze” aris aucilebeli piroba imisa, rom n ricxvi gaiyos 10-ze, magram ar aris sakmarisi. Tu A ⇒ B da B ⇒ A , maSin amboben, rom B aris A-s aucilebeli da sakmarisi piroba (agreTve, A aris B-s aucilebeli da sakmarisi piroba) da am faqts simbolurad A ⇔ B . TviT ⇔ simbolos logikuri ase Caweren: tolfasobis simbolos uwodeben. magaliTad, imisaTvis, rom ricxvi unaSTod gaiyos 10ze, aucilebeli da sakmarisia, rom es ricxvi bolovdebodes nuliT.

tjnsbwmf-!tjnsbwmjt!fmfnfouj/!rwftjnsbwmf-!tjnsbwmfUb!hbfsUjbofcb! eb! UboblwfUb/ simravlis cneba pirveladi cnebaa da amitom igi ar ganisazRvreba. simravleze warmodgenas gvaZlevs raime niSnis mixedviT gaerTianebul obieqtTa erToblioba. magaliTad, SeiZleba vilaparakoT saqarTvelos umaRles saswavlebelTa simravleze, mzis sistemis planetaTa simravleze, qarTuli anbanis asoebis simravleze da a. S. 6

obieqtebs, romelTaganac Sedgeba simravle, am simravlis elementebi ewodeba. simravleebs aRniSnaven laTinuri anbanis asoebiT: A, B, C, D, K , xolo mis elementebs patara asoebiT: a, b, c, d, K . im faqts, rom a warmoadgens A simravlis elements, simbolurad ase Caweren: a ∈ A (ikiTxeba “a ekuTvnis A-s”), xolo Tu a ar warmoadgens A-s elements, maSin weren: a ∉ A (ikiTxeba “a ar ekuTvnis A-s”). simravle mocemulia, Tu nebismier obieqtze SeiZleba iTqvas warmoadgens Tu ara igi am simravlis elements. simravle, romlis elementebia a, b, c, K aRiniSneba ase: {a, b, c, K }, xolo simravlis yvela im x elementTa simravle, romlebic akmayofileben raime P pirobas ase: {x P} . magaliTad, yvela im naturalur ricxvTa simravle, romlebic naklebia 1000-ze ase aRiniSneba: {x x ∈ N , x < 1000}. simravles, romelic arcerT elements ar Seicavs carieli simravle ewodeba da Ø simboloTi aRiniSneba.

magaliTad, mzeze mcxovreb adamianTa simravle da x 2 + 1 = 0 gantolebis namdvil amonaxsnTa simravle carieli simravleebia. A simravles ewodeba B simravlis qvesimravle, Tu A simravlis yoveli elementi ekuTvnis B simravles da qvesimravlea B –si”). Tu A weren A ⊂ B (ikiTxeba: ”A simravle ar aris B simravlis qvesimravle, maSin weren A⊄ B. magaliTad, Tu A warmoadgens paralelogramTa simravles, xolo B-oTxkuTxedebis simravles, maSin A ⊂ B . miRebulia, rom carieli simravle nebismieri A simravlis qvesimravlea, e. i. Ø ⊂ A . cxadia, rom nebismieri A simravle Tavisi Tavis qvesimravles warmoadgens, e. i. A ⊂ A . Tu A simravle B simravlis qvesimravlea, xolo B-Si arsebobs erTi elementi mainc, romelic A-s ar ekuTvnis, maSin A-s ewodeba B-s sakuTrivi qvesimravle. magaliTad, Tu A = {1,2,3} , xolo B = {1,2,3,5} , maSin A aris B-s sakuTrivi qvesimravle. Tu A ⊂ B da B ⊂ A , maSin A da B simravleebs toli ewodeba da weren A=B. 7

ori A da B simravlis yvela im elementTa simravles, romlebic mocemuli simravleebidan erT-erTs mainc ekuTvnis, A da B simravleebis gaerTianeba ewodeba da A U B simboloTi aRiniSneba. ori A da B simravlis yvela im elementTa simravles, romlebic erTdroulad orive mocemul simravles ekuTvnian, A da B simravleebis TanakveTa ewodeba da A I B simboloTi aRiniSneba. or A da B simravles urTierTaragadamkveTi (TanaukveTi) ewodeba, Tu maTi TanakveTa carieli simravlea. A da B simravleTa sxvaoba ewodeba A simravlis yvela im elementis simravles, romlebic B simravles ar ekuTvnian da A \ B simboloTi aRiniSneba. magaliTad, Tu A = {1,2,3,4,5} , xolo B = {1,3,5,7} , maSin A U B = {1,2,3,4,5,7} , A I B = {1,3,5} , A \ B = {2,4} da B \ A = {7} . advilia Cveneba, rom moqmedebebs simravleebze gaaCniaT Semdegi Tvisebebi: 1. A U B = B U A , A I B = B I A (gadanacvlebadoba), 2. A U (B U C ) = ( A U B ) U C , A I (B I C ) = ( A I B ) I C (jufdebadoba), 3. A I (B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ) (distribuciuloba). A simravleSi elementebis raodenoba n(A) simboloTi aRiniSneba. magaliTad A={1;3;5;7} simravlisaTvis n(A)=4. simravleebs Soris damokidebulebis TvalsaCinod warmodgenis mizniT gamoiyeneba e. w. venis diagramebi _ simravleebs raime wris saSualebiT gamovsaxavT. vTqvaT A da B aracarieli simravleebia. A∩B Tu A ⊄ B , B ⊄ A da A I B ≠ Ø , maSin wreebiT B gamosaxuli A da B simravleebis TanakveTa am A wreebis saerTo nawilia, romelic naxazze daStrixulia. AUB am simravleTa gaerTianebaa daStrixuli simravle. B A

advilia Semowmeba (venis diagramebidan es naTlad Cans), Tu A da B nebismieri ori sasruli simravlea, maSin n( A U B ) = n ( A) + n( B ) − n ( A I B ) . 8

aseve, Tu A, B da C sasruli simravleebia, maSin n( A U B U C ) = n( A) + n(B ) + n(C ) − n( A I B ) − n( A I C ) − n(B I C ) +

+ n( A I B I C ) . nbhbmjUj/! klasSi 20 moswavle fexburTiTaa gatacebuli,

15 _ CogburTiT da 8 erTdroulad oriveTi. ramdeni moswavlea klasSi, Tu yoveli moswavle sportis am saxeobebidan erTiT mainc aris gatacebuli? bnpytob/! vTqvaT A aris simravle im moswavleebisa, romlebic fexburTiT arian gatacebuli, xolo B _ romlebic CogburTiT arian gatacebuli. pirobiT n( A I B ) = 8. zemoTmoyvanili formulis ZaliT n( A U B ) = 20+15-8=27. amrigad, klasSi aris 27 moswavle. Tftbcbnjtpcb/!flwjwbmfouvsj!tjnsbwmffcj/ vTqvaT, mocemulia A da B simravleebi da wesi, romlis saSualebiTac A simravlis yovel a elements Seesabameba B simravlis erTaderTi b elementi. am SemTxvevaSi amboben, rom mocemulia Sesabamisoba A simravlisa B simravleSi. b -s uwodeben a elementis Sesabamiss. A da B simravleebs Soris Sesabamisobas ewodeba urTierTcalsaxa, Tu A simravlis yovel elements Seesabameba erTaderTi elementi B simravlidan da B simravlis yoveli elementi Seesabameba A simravlis erTaderT elements. e. i. aseTi Sesabamisoba Seqcevadia. A da B simravleebs ewodeba ekvivalenturi, Tu maT Soris SeiZleba damyardes urTierTcalsaxa Sesabamisoba da weren: A~B. magaliTad, naturalur ricxvTa {1,2,3, K} da luw naturalur ricxvTa {2,4,6, K} simravleebi ekvivalenturia, radgan maT Soris SeiZleba damyardes urTierTcalsaxa Sesabamisoba Semdegnairad: yovel n naturalur ricxvs SevusabamoT 2n luwi ricxvi. A simravles ewodeba sasruli, Tu igi aris carieli an arsebobs iseTi naturaluri ricxvi n, rom A~ {1,2,3, K , n}. am SemTxvevaSi vityviT, rom A simravlis elementTa ricxvi aris n. cariel simravleSi elementTa ricxvi miRebulia nulis tolad.

cxadia, rom ori sasruli simravle erTmaneTis ekvivalenturia maSin da mxolod maSin, roca maTi elementebis ricxvi erTmaneTis tolia. simravles ewodeba usasrulo, Tu igi sasruli ar aris. magaliTad, naturalur ricxvTa simravle usasruloa. rogorc zemoT vnaxeT, is Tavisi sakuTrivi luw ricxvTa qvesimravlis ekvivalenturia. SevniSnoT, rom am TvisebiT xasiaTdeba nebismieri usasrulo simravle, xolo sasrul simravleebs es Tviseba ar gaaCniaT.

§1. obuvsbmvsj!sjdywfcj!eb!Uwmjt!tjtufnfcj!

J/! obuvsbmvsj! sjdywfcj/ naturaluri ricxvis cneba aris maTematikis umartivesi, pirveladi cneba da ar ganisazRvreba sxva, ufro martivi cnebebis saSualebiT. naturaluri ricxvebi Tvlis Sedegad miRebuli ricxvebia. naturalur ricxvTa simravle N asoTi aRiniSneba, e.i. N = {1,2,3,K} yoveli naturaluri ricxvi SeiZleba ganvixiloT rogorc garkveuli, aracarieli, sasruli simravlis raodenobrivi maxasiaTebeli. magaliTad, sityva “ia”-Si asoebis simravlis raodenobrivi maxasiaTebelia ricxvi “2”. iseve rogorc yoveli aracarieli sasruli simravle xasiaTdeba garkveuli naturaluri ricxviT, carieli simravlec xasiaTdeba ricxviT “0”. naturalur ricxvTa N simravlisa da {0}-is gaerTianebas arauaryofiT mTel ricxvTa simravle ewodeba da Z 0 -iT aRiniSneba: Z 0 = {0,1,2,3,K} . cxadia, N ⊂ Z 0 . rogorc naturalur, aseve arauaryofiT mTel ricxvTa simravles gaaCnia umciresi elementi, xolo udidesi_ar gaaCnia. N simravlis umciresi elementia 1, Z 0 simravlisa ki_0. zrdis mixedviT dalagebuli naturaluri ricxvebi qmnian e. w. naturalur ricxvTa rigs. gavecnoT xuT ZiriTad moqmedebas arauaryofiT mTel ricxvebze: Sekrebas, gamoklebas, gamravlebas, gayofas da axarisxebas. 10

1.! Tflsfcb/ m da n naturaluri ricxvebis jami ewodeba ricxvs, romelic naturalur ricxvTa rigSi m-dan n erTeuliT marjvniv mdebareobs da m+n simboloTi aRiniSneba. jamis povnis operacias Sekreba ewodeba. SevniSnoT, rom m+n=n+m. magaliTad, 2+3 aris ricxvi, romelic naturalur ricxvTa 1,2,3,4,5,6,7, K rigSi 2-dan 3 erTeuliT marjvniv mdebareobs, aseTi ki aris ricxvi 5, e. i. 2+3=5. amave dros vigulisxmoT, rom nebismieri m ∈ Z 0 ricxvisaTvis m+0=0+m=m. cxadia, rom Tu m, n ∈ Z 0 , maSin m + n ∈ Z 0 . imisaTvis, rom SevkriboT ramdenime naturaluri ricxvi, saWiroa jer SevkriboT pirveli ori ricxvi, miRebul jams davumatoT Semdegi ricxvi da a. S. 2. hbnplmfcb/ m da n ( m ≥ n ) arauaryofiT mTel ricxvTa sxvaoba ewodeba iseT x ricxvs, romelic akmayofilebs pirobas n + x = m da m − n simboloTi aRiniSneba. m-s ewodeba saklebi, n-s ki maklebi. sxvaobis povnis operacias gamokleba ewodeba. 3. hbnsbwmfcb/ m da n naturalur ricxvTa namravli ewodeba iseT n SesakrebTa jams, romelTagan TiToeuli m-is tolia da m × n , m ⋅ n , mn simboloTi aRiniSneba. e. i. m⋅n = m m2 +L m. 1+44 4+ 4 3 n −jer

SevniSnoT, rom mn=nm. m ∈ Z0 SevTanxmdeT, rom nebismieri ricxvisaTvis m⋅0 = 0⋅m = 0 . cxadia, rom Tu m, n ∈ Z 0 , maSin m ⋅ n ∈ Z 0 . amave dros m ⋅ n = 0 tolobidan gamomdinareobs, rom m=0 an n=0. imisaTvis, rom gadavamravloT ramdenime naturaluri ricxvi, saWiroa jer gadavamravloT pirveli ori ricxvi, miRebuli namravli gavamravloT Semdeg ricxvze da a. S. 4. hbzpgb/ m ∈ Z 0 da n ∈ N ricxvebis ganayofi ewodeba iseT x ricxvs, romelic akmayofilebs pirobas nx = m da m:n simboloTi aRiniSneba. 0-ze gayofa ar ganisazRvreba. cxadia, rom naturalur ricxvTa simravleSi nebismieri m da n ricxvebis ganayofi yovelTvis ar arsebobs.

SeiZleba vaCvenoT, rom nebismieri m ∈ Z 0 da n ∈ N ricxvebisaTvis moiZebneba p, k ∈ Z 0 ricxvebi, romelTaTvisac m=np+k, sadac 0 ≤ k < n . Tu k=0, amboben, rom m iyofa n-ze unaSTod, xolo Tu k ≠ 0 , maSin m iyofa n-ze naSTiT k. 5. bybsjtyfcb/ m ricxvis n-uri xarisxi, sadac m ∈ Z 0 , n ∈ N , n ≠ 1 ewodeba n TanamamravlTa namravls, romelTagan TiToeuli m-is tolia da m n simboloTi aRiniSneba, e. i. mn = m ⋅m m, n ≥ 2 . 14 2K 4 3 n −jer

m-s xarisxis fuZe ewodeba, n-s ki_xarisxis maCvenebeli. miRebulia, rom m1 = m da Tu m ≠ 0 , m0 = 1 . 00 ar ganisazRvreba. Sekrebas da gamoklebas I safexuris moqmedebebi ewodeba, gamravlebas da gayofas II safexurisa, xolo axarisxebas III safexuris moqmedeba. Tu Sesasrulebelia ramdenime moqmedeba, pirvel rigSi sruldeba ufro maRali safexuris moqmedeba. erTi da imave safexuris moqmedebebi sruldeba mimdevrobiT marcxnidan marjvniv. magaliTad, 7 − 6 : 3 + 5 ⋅ 42 = 7 − 6 : 3 + 5 ⋅ 16 = = 7 − 2 + 80 = 85 . imis aRsaniSnavad, rom moqmedebaTa Sesrulebis rigi darRveulia, gamoiyeneba frCxilebi. am SemTxvevaSi pirvel rigSi sruldeba frCxilebSi moTavsebuli moqmedebani. magaliTad: (3 + 5) : 2 = 8 : 2 = 4 . JJ/! Uwmjt! tjtufnfcj/! radgan naturalur ricxvTa simravle usasruloa, amitom SeuZlebelia yoveli maTganisaTvis gansxvavebuli simbolos SerCeva. praqtikulad ufro mosaxerxebelia naturalur ricxvTa Caweris egreT wodebuli poziciuri sistemebi. es sistemebi gulisxmoben sasruli raodenobis simboloTa meSveobiT Caiweros nebismieri naturaluri ricxvi, simboloTa urTierTmdebareobis (poziciis) gaTvaliswinebiT. imisda mixedviT, Tu ramden ZiriTad simbolos avirCevT, gveqneba ricxvis Caweris `orobiTi~; `rvaobiTi~; `aTobiTi~ da a.S. sistemebi yvelaze ufro gavrcelebulia aTobiTi sistema, sadac gamoiyeneba Z0 simravlis aTi elementi: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, romelTac cifrebi ewodeba. magaliTad, ricxvi 7256 Sedgeba oTxi cifrisagan,

romlebic Tavisi mdebareobis (poziciis) mixedviT miuTiTeben, rom ricxvi Sedgeba 6 erTeulis, 5 aTeulis, 2 aseulis da 7 aTaseulisagan, e.i. ricxvi 7256 gaSlili formiT ase warmoidgineba 7256 = 7⋅103 + 2⋅102 + 5⋅10 + 6 aTobiTi sistemis garda ZiriTadad xmarebaSia agreTve `orobiTi~ da `rvaobiTi~ sistemebi. orobiTi sistemis SemoReba dakavSirebulia eleqtronul-gamomTvleli manqanis elementebis or mdgrad mdgomareobasTan – sadeni an atarebs dens, an ar atarebs, rac mxolod ori ZiriTadi simbolos gamoyenebis saSualebas iZleva. am sistemaSi simravlis nebismieri ricxvis Casawerad gamoiyeneba Z0 ori elementi: 0 da 1. magaliTad, sistemis fuZe `ori~ gamoisaxeba rogorc `10~. am ricxvisaTvis erTis mimatebiT miiReba 11. e.i. ricxvi 3-is orobiTi Canaweri; kidev erTi erTeulis damatebiT miviRebT ricxvs, romlis orobiT sistemaSi Casawerad saWiroa axali Tanrigis damateba, ris Sedegadac miviRebT 100-s, ricxvi 4-is orobiT Canawers da a.S. naturalur ricxvTa pirveli 15 elementis orobiTi Canawe-ri moyvanilia Semdeg cxrilSi*: 110 = 12

510 = 1012

910 = 10012

1310 = 11012

210 = 102

610 = 1102

1010 = 10102

1410 = 11102

310 = 112

710 = 1112

1110 = 10112

1510 = 11112

410 = 1002

810 = 10002

1210 = 11002

ricxvis aTobiTi sistemidan orobiTSi gadayvanis algoriTmi sruldeba fuZeze – 2-ze, mimdevrobiT gayofis gziT. magaliTad 962-sTvis gvaqvs:

indeqsi miuTiTebs sistemis fuZes. 13

962

481

480

240 2 2 2 240 120 0 120 60 0 60

2 30 2 30 15 2 0 14 7 2 1 6 3

1 2

0 0 1

gayofis Sedegad miRebuli 0,1,0,0,0,0,1,1,1,1 naSTebis mimedvroba, aRebuli Sebrunebuli rigiT, gvaZlevs orobiT sistemaSi ricxv 962-is gamosaxulebas, e.i. 96210 = 11110000102. aRniSnuli ricxvi gaSlili formiT Semdegnairad Caiwereba: 1·29+1·28+1·27+1·26+0·25+0·24+0·23+0·22+1·21+0·20. rogorc aqedan Cans ricxvis orobiTi Canaweri Seicavs cifrTa gacilebiT met raodenobas, vidre aTobiTi, rac ricxvis zrdasTan erTad ufro SesamCnevi xdeba. magaliTad, advilia Semowmeba, rom 385110 = 1111000010112. savsebiT analogiurad, ricxvis aTobiT sistemidan rvaobiTSi gadasayvanad, sadac gamoiyeneba Z0 simravlis 8 elementi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, mivmarTavT axal fuZeze – 8-ze mimdevrobiT gayofas: 962

960

120

15 8

8 12

e. i. 96210 = 17028. rogorc ukve aRiniSna, eleqtronul-gamomTvlel manqanaSi ricxvebi Caiwereba orobiTi sistemiT, Tumca manqanaSi CasaSvebad gamzadebuli sawyisi monacemebi yovelTvis aTobiT sistemaSia mocemuli. maTi orobiT sistemaSi gadasayvanad ufro mosaxerxebelia isini jer rvaobiT sistemaSi CavweroT, Semdeg ki TiToeuli cifri SevcvaloT zemoT moyvanili cxrilis meSveobiT orobiTi CanaweriT, amasTan unda vigulisxmoT, rom TiToeul cifrs sami Tanrigi (triada) Seesabameba, garda SesaZlebelia ukiduresi marcxena cifrisa, Tu igi oTxze naklebia. magaliTad: radgan 210=0102; 010=0002; 710=1112; 110=12, amitom 96210 =17028=1.111.000.0102. Zveli fuZidan axal fuZeze gadasvlis operacias `kodireba~ ewodeba, xolo Sebrunebul operacias _ `dekodireba~. dekodirebis operacia sruldeba Semdegnairad: 1111000 0102 = 1⋅29 + 1⋅28 + 1⋅27 + 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 0⋅23 + 0⋅22 + +1⋅21 + 0⋅20 = 512+256+128+64+0+0+0+0+2+0=96210. an rvaobiTi sistemis gamoyenebiT SeiZleba misi Sesruleba ufro swrafad: 1⋅111⋅000⋅0102 = 17028 = 1⋅83 + 7⋅82 + 0⋅81 + 2⋅80 = 512+448+2=96210 SemdgomSi visargeblebT mxolod aTobiT sistemaSi Cawerili ricxvebiT.

§2. hbzpgbepcjt!ojTofcj! 0, 2, 4, 6 da 8 cifrebs luwi ewodeba, xolo cifrebs 1, 3, 5 , 7 da 9_kenti. 3.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 2-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT bolovdeba. m ∈ Z 0 ricxvs, romelic 2-ze iyofa, luwi ricxvi ewodeba. yoveli luwi ricxvi SeiZleba Caiweros m=2k saxiT, sadac k ∈ Z 0 . n ∈ Z 0 ricxvs, romelic 2-ze ar iyofa, kenti ricxvi ewodeba. yoveli kenti n ricxvi SeiZleba Caiweros n=2k+1 saxiT, sadac k ∈ Z 0 . 4.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 3-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 3-ze.

magaliTad, 1956 iyofa 3-ze, radgan 1+9+5+6=21 iyofa 3ze.

5.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ imisaTvis, rom ricxvi, romelic Seicavs aranakleb sam cifrs, gaiyos 4-ze, saWiroa, rom bolo ori cifriT Sedgenili orniSna ricxvi iyofodes 4ze. magaliTad, 25436 iyofa 4-ze, radgan 36 iyofa 4-ze, agreTve 1700 iyofa 4-ze, radgan igi ori nuliT bolovdeba. 6.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ xuTze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic bolovdeba 0-iT an 5-iT. 7.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 6-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwia da iyofa 3-ze. magaliTad, 216 iyofa 6-ze, radgan igi luwia da 2+1+6=9 iyofa 3-ze. :.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 9-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 9-ze. magaliTad, 1791 iyofa 9-ze, radgan 1+7+9+1=18 iyofa 9ze. 21.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 10-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic 0-iT bolovdeba. 22.{f! hbzpgbepcjt! ojTboj/ 11-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis kent adgilebze mdgom cifrTa jami udris luw adgilebze mdgom cifrTa jams, an gansxvavdeba ricxviT, romelic iyofa 11-ze. magaliTad, 1562 iyofa 11-ze, radgan 1+6=5+2. agreTve 19272506 iyofa 11-ze, radgan 1+2+2+0=5, 9+7+5+6=27 da 27-5=22 iyofa 11-ze. ยง3. nbsujwj!eb!Tfehfojmj!sjdywfcj/!vejeftj!!

tbfsUp!hbnzpgj/!vndjsftj!tbfsUp!kfsbej!

hbotb{Swsfcb/ n naturaluri ricxvis gamyofi ewodeba iseT m naturalur ricxvs, romelzedac n iyofa unaSTod. cxadia, rom nebismieri naturaluri ricxvis gamyofTa simravle sasrulia. magaliTad, 12-is gamyofTa simravlea {1, 2, 3, 4, 6, 12}. SevniSnoT, rom nebismieri naturaluri ricxvi unaSTod iyofa 1-ze da Tavis Tavze. amrigad, 1-isagan gansxvavebul yovel naturalur ricxvs ori gamyofi mainc aqvs. 16

hbotb{Swsfcb/ naturalur ricxvs ewodeba martivi, Tu mas mxolod ori gamyofi aqvs, xolo_Sedgenili, Tu misi gamyofTa ricxvi orze metia. magaliTad, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19_martivi ricxvebia, xolo 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15_Sedgenili. ricxvi 1 arc martivia da arc Sedgenili. mtkicdeba, rom rogorc martiv ricxvTa simravle, ise Sedgenil ricxvTa simravle usasruloa. vityviT, rom ricxvi daSlilia martiv mamravlebad, Tu igi warmodgenilia martiv ricxvTa namravlis saxiT. SeiZleba vaCvenoT, rom nebismieri Sedgenili ricxvi iSleba martiv mamravlebad da es daSla erTaderTia. Sedgenili ricxvis martiv mamravlebad dasaSlelad saWiroa gavyoT es ricxvi umcires martiv gamyofze, miRebul ganayofs moveqceT analogiurad da a. S., vidre ganayofSi ar miviRebT 1-s. magaliTad, 420:2=210, 210:2=105, 105:3=35, 35:5=7, 7:7=1. martiv mamravlebad daSlis algoriTmi mosaxerxebelia Caiweros Semdegnairad: 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 sadac vertikaluri xazis marjvniv gvaqvs saZiebeli martivi mamravlebi. amrigad, daSlas eqneba saxe: 420=2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 hbotb{Swsfcb/ ramdenime naturaluri ricxvis saerTo gamyofi ewodeba ricxvs, romelic TiToeuli maTganis gamyofs warmoadgens. magaliTad, 18-is, 24-isa da 36-is saerTo gamyofebia: 1, 2, 3 da 6. hbotb{Swsfcb/ m, n,K, k naturaluri ricxvebis udidesi saerTo gamyofi ewodeba maT saerTo gamyofebs Soris udidess da D( m, n,K, k ) simboloTi aRiniSneba. gansaxilveli ricxvebis saerTo gamyofTa simravle warmoadgens maT gamyofTa simravleebis TanakveTas; es simravle sasrulia da misi udidesi elementi aris am ricxvebis udidesi saerTo gamyofi. magaliTad, D(18, 24, 36)=6. 17

udidesi saerTo gamyofis mosaZebnad saWiroa es ricxvebi davSaloT martiv mamravlebad, amovweroT maTi saerTo mamravlebi da gadavamravloT. magaliTad, 24 2 36 2 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 e. i. 24=2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 da 36=2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3, amitom D(24,36)=2 ⋅ 2 ⋅ 3=12. radgan 24-isa da 36-is gaSlaSi ricxvi 2 saerTo mamravlad Sedis 2-jer, xolo 3 erTxel. hbotb{Swsfcb/ or naturalur ricxvs ewodeba urTierTmartivi, Tu maTi udidesi saerTo gamyofi 1-is tolia. ase magaliTad, radgan D(18,25)=1, amitom 18 da 25 urTierTmartivi ricxvebia. hbotb{Swsfcb/ n naturaluri ricxvis jeradi ewodeba iseT m naturalur ricxvs, romelic n-ze iyofa unaSTod. nebismieri naturaluri ricxvis jeradTa simravle usasruloa, mis umcires elements warmoadgens TviT es ricxvi, xolo udidesi elementi ar gaaCnia. magaliTad, 12-is jeradTa simravlea {12,24,36,48,K} . hbotb{Swsfcb/ ramdenime naturaluri ricxvis saerTo jeradi ewodeba ricxvs, romelic TiToeuli maTganis jerads warmoadgens. magaliTad, 18-is, 24-isa da 36-is saerTo jeradebia: 72, 144, 216, K hbotb{Swsfcb/ m, n, K , k naturaluri ricxvebis umciresi saerTo jeradi ewodeba maT saerTo jeradTa Soris umciress da K( m, n,K, k ) simboloTi aRiniSneba. gansaxilveli ricxvebis saerTo jeradTa simravle warmoadgens maT jeradTa simravleebis TanakveTas. es simravle usasruloa, magram arsebobs misi umciresi elementi da igi am ricxvebis umciresi saerTo jeradis tolia. magaliTad, K(18, 24, 36)=72. ramdenime ricxvis umciresi saerTo jeradis mosaZebnad saWiroa es ricxvebi davSaloT martiv mamravlebad, amovweroT erT-erTi maTganis yvela mamravli da mivuweroT maT meore ricxvis is mamravlebi, romlebic aklia amoweril mamravlebs, Semdeg mivuweroT mesame 18

ricxvis is mamravlebi, romlebic aklia ukve amoweril mamravlebs da a. S. mocemuli ricxvebis umciresi saerTo jeradi udris yvela amoweril mamravlTa namravls. 36=2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3, amitom K(24, magaliTad, 24=2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3, 36)=2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3=72, radgan 24-is 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 gaSlas aklia erTi 3iani 36-is gaSlidan. SevniSnoT, rom, Tu m, n ∈ N , maSin D(m, n) ⋅ K (m, n) = mn §4. nUfmj!sjdywfcj naturalur ricxvTa N simravleSi yovelTvis SesaZlebelia Sekrebis operaciis Sesruleba, e. i. nebismieri ori naturaluri ricxvis jami kvlav naturaluri ricxvia. rac Seexeba gamoklebas, es operacia naturalur ricxvTa simravleSi yovelTvis ar sruldeba. magaliTad, ar arsebobs naturaluri ricxvi, romelic 2 − 5 operaciis Sedegia. gamoklebis operacia rom yovelTvis SesaZlebeli iyos, SemoviRoT e. w. mTeli uaryofiTi ricxvebi_naturaluri ricxvebi aRebuli “_” niSniT. amrigad, -1, -2, -3, K mTeli uaryofiTi ricxvebia. n da – n ricxvebs mopirdapire ricxvebi ewodeba. e. i. 1 da –1, 2 da –2, 3 da –3 da a. S. mopirdapire ricxvebia. miRebulia, rom Tu m ∈ N , maSin − (− m ) = m . hbotb{Swsfcb/ naturalur ricxvebs, maT mopirdapire ricxvebs da nuls mTeli ricxvebi ewodeba. mTel ricxvTa simravle Z asoTi aRiniSneba. cxadia, rom N ⊂ Z . CavTvaloT, rom nebismieri arauaryofiTi mTeli ricxvi metia nebismier mTel uaryofiT ricxvze, xolo -m>-n ( m, n ∈ N ), Tu m<n. magaliTad, 3>-5, 0>-2, -3>-7. SemoviRoT ZiriTadi moqmedebebi mTel ricxvebze. 1. Tflsfcb/ Tu orive Sesakrebi arauaryofiTi mTeli ricxvia, maTi jami gansazRvrulia §1-Si. Tu Sesakrebi ricxvebidan erTi mainc uaryofiTia, maSin Sekrebis operacia ganisazRvreba Semdegnairad: a) (−m) + (−n) = −(m + n) ; b) (−m) + 0 = 0 + (−m) = −m ;

⎧m − n, roca m > n; ⎪ g) m + (−n) = −n + m = ⎨− (n − m), roca m < n; ⎪0, roca m = n, ⎩ sadac m, n ∈ N . magaliTad, (-7)+(-3)=-(7+3)=-10; 4+(-9)=-(9-4)=-5. imisaTvis, rom SevkriboT ramdenime mTeli ricxvi, saWiroa jer SevkriboT pirveli ori ricxvi, miRebul jams davumatoT Semdegi ricxvi da a. S. 2. hbnplmfcb/ a da b mTeli ricxvebis sxvaoba ewodeba iseT x ricxvs, romelic akmayofilebs pirobas b + x = a da a−b simboloTi aRiniSneba. SeiZleba vaCvenoT, rom a − b = a + (−b) ; saidanac cxadia, rom mTel ricxvTa simravleSi gamoklebis operacia yovelTvis sruldeba. magaliTad, 2-5=2+(-5)=-(5-2)=-3. 3. hbnsbwmfcb/ arauaryofiT mTel ricxvTa gamravleba gansazRvrulia §1-Si. Tu gadasamravlebeli ricxvebidan erTi mainc uaryofiTia, maSin gamravlebis operacia gansazRvrulia Semdegnairad: a) (−m)n = m(−n) = −(mn) ; b) (−m)(− n) = mn ; g) (−m) ⋅ 0 = 0 ⋅ (−m) = 0, sadac m, n ∈ N . magaliTad, (−3) ⋅ 2 = −(3 ⋅ 2) = −6; (−4)(−5) = 4 ⋅ 5 = 20 . imisaTvis, rom gadavamravloT ramdenime mTeli ricxvi, saWiroa jer gadavamravloT pirveli ori ricxvi, miRebuli namravli gavamravloT Semdeg ricxvze da a. S. 4. hbzpgb/ a da b ≠ 0 mTeli ricxvebis ganayofi (fardoba) ewodeba iseT x ricxvs, romelic akmayofilebs pirobas b ⋅ x = a da a:b simboloTi aRiniSneba. 0-ze gayofa ar ganisazRvreba. SeiZleba vaCvenoT, rom Tu m, n ∈ N , maSin: a) (−m) : n = m : (−n) = −(m : n) ; b) (−m) : (−n) = m : n ; g) 0 : (−m) = 0 . magaliTad, (−12) : 3 = −(12 : 3) = −4 ; 10 : ( −2) = −(10 : 2) = −5 ; (−21) : (−7) = 21 : 7 = 3 .

§5. Dwfvmfcsjwj!xjmbefcj/!sbdjpobmvsj!sjdywfcj naturalur ricxvTa N simarvleSi yovelTvis SesaZlebelia gamravlebis operaciis Sesruleba. e. i. nebismieri ori naturaluri ricxvis namravli kvlav naturaluri ricxvia. rac Seexeba gayofas_es operacia naturalur ricxvTa simravleSi yovelTvios ar sruldeba. magaliTad, ar arsebobs naturaluri ricxvi, romelic 3:7 operaciis Sedegia. gayofis operacia rom yovelTvis SesaZlebeli iyos, SemoviRoT e. w. wiladi ricxvebi. ricxvi, romelic n-ur nawils ( n ∈ N, n ≠ 1) warmoadgens ricxvi 1-is 1 aRiniSneba simboloTi. Tu aseTi nawili aRebulia mn m jer, maSin miRebuli ricxvi aRiniSneba simboloTi. n miRebulia, rom nebismieri m ∈ N ricxvi SeiZleba Caiweros m m saxiTac. saxis ricxvs, sadac m, n ∈ N , wiladi n 1 ricxvi ewodeba. m-s wiladis mricxveli ewodeba, xolo n-s mniSvneli. Tu m < n , wilads wesieri ewodeba, xolo Tu m ≥ n _arawesieri. 6 17 15 2 wesieri wiladia, xolo , da magaliTad, 5 3 5 6 arawesieri. Tu arawesieri wiladis mricxveli unaSTod iyofa mniSvnelze, maSin wiladi naturalur ricxvs warmoadgens. 6 15 =3, =1. magaliTad, 5 6 Tu arawesieri wiladis mricxveli unaSTod ar iyofa mniSvnelze, maSin igi SeiZleba warmovadginoT e. w. Sereuli wiladis saxiT, romelic Sedgeba mTeli da wiladi nawilisagan. mTeli nawili warmoadgens mricxvelis mniSvnelze gayofis Sedegad miRebul ganayofs, wiladi nawilis mricxvelia naSTi, xolo mniSvneli ucvlelia. 3 13 =2 . magaliTad, 5 5 imisaTvis, rom Sereuli wiladi gadavaqcioT arawesier wiladad, saWiroa mTeli gavamravloT mniSvnelze,

davumatoT mricxveli da davweroT mricxvelad, xolo mniSvneli ucvlelad davtovoT. magaliTad, 4 3 ⋅ 7 + 4 25 . 3 = = 7 7 7 m n da wiladebs ewodeba urTierTSebrunebuli. n m m p amboben, rom da wiladebi tolia, Tu mq = pn . n q 4 6 = , radgan 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ 6 . aqedan gamomdinareobs 6 9 wiladis ZiriTadi Tviseba: Tu wiladis mricxvelsa da mniSvnels gavamravlebT an gavyofT nulisagan gansxvavebul erTsa da imave ricxvze, amiT wiladis sidide ar Seicvleba. magaliTad, 9 9:3 3 9 9 ⋅ 2 18 = = ; = = . 12 12 : 3 4 12 12 ⋅ 2 24 xjmbefcjt!Tfebsfcb/ tolmniSvnelian wiladebs Soris is aris meti, romlis mricxvelic metia, xolo tolmricxvelian wiladebs Soris is, romlis mniSvnelic naklebia. magaliTad, 4 7 10 10 < ; < . 9 9 17 13 sazogadod, wiladebi rom SevadaroT, saWiroa wiladis ZiriTad Tvisebaze dayrdnobiT isini jer gavaerTmniSvnelianoT. gaerTmniSvnelianebisaTvis saWiroa movZebnoT mniSvnelebis umciresi saerTo jeradi, romelic miviRoT saerTo mniSvnelad; TiToeuli wiladisaTvis vipovoT e. w. damatebiTi mamravli, romelic miiReba saerTo mniSvnelis gayofiT am wiladis mniSvnelze da mricxvelebi gavamravloT Sesabamis damatebiT 4 5 da ; K(15, 18)=90. mamravlebze. magaliTad, SevadaroT 15 18 pirveli wiladis damatebiTi mamravlia 90:15=6, xolo 5 5 ⋅ 5 25 4 4 ⋅ 6 24 = = da = = . radgan meoris_90:18=5, amitom 18 90 90 15 90 90 4 5 24 25 , amitom . < < 90 90 15 18 nprnfefcboj! xjmbefc{f/ tolmniSvneliani wiladebi rom SevkriboT, saWiroa SevkriboT maTi mricxvelebi da

magaliTad,

davweroT mricxvelad, xolo mniSvneli ucvlelad davtovoT. sxvadasxvamniSvneliani wiladebi rom SevkriboT, saWiroa isini jer gavaerTmniSvnelianoT da Semdeg SevkriboT. magaliTad, 4 7 4 + 7 11 + = = ; 13 13 13 13 3 5 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 19 + = = . 8 12 24 24 Sereuli wiladebi rom SevkriboT, saWiroa cal-calke SevkriboT maTi mTeli da wiladi nawilebi. magaliTad, 3 1 3+ 2 5 =7 ; 2 +5 = 7 8 4 8 8 7 5 7 + 10 17 5 =4 =5 . 3 +1 = 4 12 6 12 12 12 tolmniSvneliani wiladebi rom gamovakloT, saWiroa gamovakloT maTi mricxvelebi da davweroT mricxvelad, xolo mniSvneli ucvlelad davtovoT. sxvadasxvamniSvneliani wiladebi rom gamovakloT, saWiroa isini jer gavaerTmniSvnelianoT da Semdeg gamovakloT. magaliTad, 8 3 8−3 5 − = = ; 11 11 11 11 7 2 7 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 13 − = = . 12 9 36 36 SevniSnoT, rom wilad ricxvTa simravleSi gamoklebis operacia yovelTvis ar sruldeba. imisaTvis, rom gamokleba yovelTvis SesaZlebeli iyos, SemoviRoT e. w. uaryofiTi wiladi ricxvebi. uaryofiTi wiladi warmoadgens “_” niSniT aRebul Cveulebriv wilads, e. i. m saxis ricxvs, sadac m, n ∈ N . miRebulia, rom _ n m m −m = =− . n n −n 1 5 magaliTad, − warmoadgens uaryofiT wilads. 4 6 marTlac: 1 5 1 ⋅ 3 − 5 ⋅ 2 3 − 10 −7 7 − = = = =− . 4 6 12 12 12 12

Sereuli wiladebi rom gamovakloT, saWiroa calcalke gamovakloT maTi mTeli da wiladi nawilebi. Tu maklebis wiladi nawili metia saklebis wilad nawilze, maSin saklebis erTi erTeuli unda vaqcioT arawesier wiladad. magaliTad, 1 3 7−6 1 =1 ; 3 −2 =1 2 7 14 14 2 7 4 7 14 − 7 7 5 −2 =3 − =2 =2 . 5 10 10 10 10 10 wiladebi rom gadavamravloT, saWiroa maTi mricxvelebis namravli davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelebis namravli mniSvnelad. magaliTad, 3 4 3 ⋅ 4 12 ⋅ = = . 7 5 7 ⋅ 5 35 Sereuli wiladebi rom gadavamravloT, saWiroa isini jer gadavaqcioT arawesier wiladebad da Semdeg gadavamravloT. magaliTad, 5 2 26 28 26 ⋅ 28 3 ⋅2 = ⋅ = =8. 7 13 7 13 7 ⋅ 13 wiladi rom wiladze gavyoT, saWiroa pirveli wiladi gavamravloT meoris Sebrunebulze. magaliTad, 4 5 4 6 24 . : = ⋅ = 11 6 11 5 55 Sereuli wiladebi rom gavyoT, saWiroa isini jer gadavaqcioT arawesier wiladebad da Semdeg gavyoT. magaliTad, 3 1 11 11 11 5 5 1 :2 = : = ⋅ = . 8 5 8 5 8 11 8 SevniSnoT, rom wiladebze moqmedebani im SemTxvevaSi, rodesac erTi wiladi mainc uaryofiTia, SeiZleba Seicvalos moqmedebebiT dadebiT wiladebze, iseve, rogorc mTel ricxvebze moqmedebani SeiZleba Seicvalos moqmedebebiT naturalur ricxvebze. magaliTad, 4 2 6 2 ⎛4 2⎞ − − = −⎜ + ⎟ = − = − ; 9 9 9 9 9 3 ⎝ ⎠

3 ⎛ 1⎞ 3 1 4 −⎜− ⎟ = + = ; 7 ⎝ 7⎠ 7 7 7

⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ 3 5 3 ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = ⋅ = ; ⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠ 5 7 7

5 5 ⎛ 2⎞ ⎛5 2⎞ : ⎜ − ⎟ = −⎜ : ⎟ = − . 3 6 9 9 ⎝ 3⎠ ⎠ ⎝ m hbotb{Swsfcb/ saxis ricxvebs, sadac m ∈ Z da n ∈ N , n racionaluri ricxvebi ewodeba. racionalur ricxvTa simravle Q asoTi aRiniSneba. cxadia, rom Z ⊂ Q .

§6. bUxjmbefcj! wilads, romlis mniSvnelia 10 n , sadac n ∈ N , aTwiladi ewodeba. 361 105 7 , , − aTwiladebia, radgan magaliTad, 1000 10 100

hbotb{Swsfcb/

100 = 102 , 1000 = 103 da 10 = 101 . aTwilads Cveulebriv mniSvnelis gareSe gamosaxaven. weren mxolod mricxvels da marjvnidan mZimiT gamoyofen imden cifrs, ramdeni nulicaa mniSvnelSi; amasTan, zogjer saWiro xdeba win nulebis Cawera. magaliTad, 361 7 105 = 3,61; = 0,007 ; − = −10,5 . 100 1000 10 aTwiladSi mZimis marjvniv mdgom cifrebs aTwiladi niSnebi ewodeba. wiladis ZiriTadi Tvisebidan gamomdinareobs, rom aTwiladis sidide ar Seicvleba, Tu mas marjvniv mivuwerT erT an ramdenime nuls. magaliTad, 12,7=12,70=12,7000. Tu aTwiladSi mZimes gadavitanT erTi aTwiladi niSniT marjvniv, aTwiladi gaizrdeba 10-jer, xolo mZimis erTi aTwiladi niSniT marcxniv gadataniT aTwiladi 10jer Semcirdeba. nprnfefcboj! bUxjmbefc{f/ aTwiladebis Sekreba-gamokleba sruldeba mTel ricxvebze moqmedebebis msgavsad, e. i. sruldeba Sesabamisi Tanrigebis Sekreba-gamokleba. magaliTad,

162,17 − 93,308 19,25 540,319 68,862 aTwiladi rom aTwiladze gavamravloT, saWiroa gadavamravloT isini, rogorc mTeli ricxvebi, ise rom mZimes yuradReba ar mivaqcioT da miRebul namravlSi marjvnidan mZimiT gamovyoT imdeni cifri, ramdeni aTwiladi niSanicaa orive TanamamravlSi erTad. magaliTad, +

521,069

15,42 3,6 9252

4626 55,512

aTwiladi rom gavyoT mTelze, saWiroa jer aTwiladis mTeli nawili gavyoT mTelze rac mogvcems ganayofis mTel nawils (igi SeiZleba nulic aRmoCndes), Semdeg vwerT mZimes, naSTs mivuwerT pirvel aTwilad niSans, miRebul ricxvs vyofT gamyofze, rac mogvcems ganayofis pirvel aTwilad niSans da yoveli Semdegi aTwiladi niSnis misaRebad viqceviT analogiurad. magaliTad,

_ 64,08 : 9 = 7,12 63 _ 10 9 _ 18 18 0

_ 1,08:8=0,135 8 _ 28 24 _ 40 40 0

aTwiladi rom gavyoT aTwiladze, saWiroa gamyofSi mZime ukuvagdoT, xolo gasayofSi igi gadavitanoT marjvniv imdeni aTwiladi niSniT, ramdeni aTwiladi niSanic iyo gamyofSi (SesaZlebelia gasayofSi marjvniv dagvWirdes nulebis miwera) da Semdeg SevasruloT gayofa. magaliTad,

47,36 : 3,2 = _ 473,6 : 32 = 14,8 32 153 _ 128 _ 256 256 0

20,8 : 3,25 =_ 2080 : 325 = 6,4 1950 _ 1300 1300 0

! ! ! ! bUxjmbejt! hbebrdfwb! Dwfvmfcsjw! xjmbebe/ aTwiladi rom gadavaqcioT Cveulebriv wiladad, saWiroa mZime ukuvagdoT da miRebuli ricxvi davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelad aviRoT ricxvi gamosaxuli 1-iT da marjvniv miwerili imdeni nuliT, ramdeni aTwiladi niSanic iyo aTwiladSi. magaliTad, 125 25 1 19 1,25 = =1 = 1 ; 0,019 = . 100 100 4 1000

Dwfvmfcsjwj! xjmbejt! hbebrdfwb! bUxjmbebe/ imisaTvis, rom Cveulebrivi wiladi gadavaqcioT aTwiladad, saWiroa mricxveli gavyoT mniSvnelze. SevniSnoT, rom gayofis procesi zogjer SeiZleba 7 = 0,777 K , usasrulod gagrZeldes. magaliTad, 9 6 5 3 = 3,545454 K , 4 = 4,4166 K . 11 12 amrigad, gayofis Sedegad SeiZleba miviRoT aTwiladi, romlis aTwilad niSanTa raodenoba ragind didia. aseT aTwilads usasrulo aTwiladi ewodeba. rogorc zemoT moyvanili magaliTebidan Cans, usasrulo aTwiladSi SeiZleba meordebodes erTi an ramdenime aTwiladi niSani. hbotb{Swsfcb/ usasrulo aTwilads, romlis erTi an ramdenime cifri dawyebuli garkveuli adgilidan, ucvlelad meordeba erTi da imave mimdevrobiT, perioduli aTwiladi ewodeba, xolo cifrs an cifrTa erTobliobas, romelic meordeba_periodi. usasrulo perioduli aTwiladis Cawerisas, xSirad periods frCxilebSi svamen. magaliTad, 0,777... =0,(7); 3,545454...=3,(54); 4,41666...=4,41(6). Tu periodul aTwiladSi periodi iwyeba uSualod mZimis Semdeg, maSin aTwilads 27

wminda perioduli ewodeba, SemTxvevaSi_Sereuli perioduli.

xolo

winaaRmdeg

vtbtsvmp! qfsjpevmj! bUxjmbejt! hbebrdfwb! Dwfvmfcsjw! xjmbebe/ yoveli usasrulo perioduli aTwiladi SeiZleba gadavaqcioT Cveulebriv wiladad. wminda perioduli aTwiladi Cveulebriv wiladad rom gadavaqcioT, saWiroa periodi davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelad aviRoT imdeni cxrianiT gamosaxuli ricxvi, ramdeni cifricaa periodSi. magaliTad, 45 5 3, (45) = 3 =3 . 99 11 Sereuli perioduli aTwiladi rom gadavaqcioT Cveulebriv wiladad, saWiroa ricxvs mZimidan periodis bolomde, gamovakloT ricxvi mZimidan periodamde da miRebuli sxvaoba davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelad aviRoT ricxvi, romelic gamosaxulia imdeni cxrianiT, ramdeni cifricaa periodSi da marjvniv miwerili imdeni nuliT, ramdeni cifricaa mZimidan periodamde. magaliTad, 254 â&#x2C6;&#x2019; 2 252 14 6,2(54) = 6 =6 =6 . 990 990 55 amrigad, yoveli usasrulo perioduli aTwiladi SeiZleba gadavaqcioT Cveulebriv wiladad. SeiZleba vaCvenoT, rom yoveli Cveulebrivi wiladi gadaiqceva an sasrul aTwiladad an usasrulo periodul aTwiladad. kerZod: a) Tu ukveci wiladis mniSvnels ar gaaCnia 2-isa da 5isagan gansxvavebuli martivi mamravli, maSin wiladi gadaiqceva sasrul aTwiladad; b) Tu ukveci wiladis mniSvnelis martiv mamravlebad daSla ar Seicavs 2-sa da 5-s, maSin wiladi gadaiqceva wminda periodul aTwiladad; g) Tu ukveci wiladis mniSvnelis daSla sxva mamravlebTan erTad Seicavs Tanamamravlad 2-s an 5-s, maSin wiladi gadaiqceva Sereul periodul aTwiladad. Tu gaviTvaliswinebT, rom yoveli sasruli aTwiladi SeiZleba warmovadginoT, rogorc usasrulo perioduli, periodiT nuli an periodiT 9, SeiZleba davaskvnaT, rom nebismieri wiladi gamoisaxeba usasrulo perioduli aTwiladis saSualebiT.

amrigad, racionaluri ricxvi Semdegnairadac SeiZleba ganisazRvros: usasrulo periodul aTwilads racionaluri ricxvi ewodeba.

§7. jsbdjpobmvsj!sjdywfcj/!obnewjmj!sjdywfcj! zogierTi sidideebis gasazomad sakmarisi ar aris racionaluri ricxvebi. kerZod, arseboben monakveTebi, romelTa sigrZe racionaluri ricxviT ar gamoisaxeba. aseTia magaliTad, im kvadratis diagonali, romlis gverdis sigrZe erTeulis tolia. marTlac, Tu davuSvebT, rom am kvadratis diagonalis sigrZe racionaluri p ukveci ricxviT gamoisaxeba, maSin igi warmoidgineba q 2

⎛ p⎞ wiladis saxiT da marTebulia toloba: ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 . ⎝q⎠ 2 2 2 aqedan, p = 2q , amitom p luwi ricxvia da maSasadame, luwi iqneba p-c (radgan kenti ricxvis kvadrati

yovelTvis kentia). e. i. p=2k, sadac tolobidan miviRebT

k∈N

p 2 = 2q 2

4 k 2 = 2 q 2 ⇒ q 2 = 2k 2 ,

e. i. q 2 luwi ricxvia da luwi iqneba q-c. miviReT, rom p da q luwi ricxvebia, es ki p ukveci wiladia. ewinaaRmdegeba daSvebas, rom q amrigad, zemoTaRniSnuli kvadratis diagonalis sigrZis gamosaxva racionaluri ricxviT SeuZlebelia. rogorc vnaxeT racionalur ricxvTa simravleSi ar arsebobs iseTi ricxvi, romlis kvadrati 2-is tolia. analogiurad SegviZlia vaCvenoT, rom ar arsebobs racionaluri ricxvebi, romelTa kvadratebia 3, 5, 6, 7 da a. S. aseTi ricxvebi ekuTvnian e. w. iracionalur ricxvTa simravles. radgan aseTi ricxvebi ar arian racionaluri, amitom maTi warmodgena usasrulo perioduli aTwiladis saxiT SeuZlebelia. hbotb{Swsfcb/ usasrulo araperiodul aTwilads iracionaluri ricxvi ewodeba. iracionalur ricxvTa simravle I asoTi aRiniSneba.

magaliTad, iracionaluria usasrulo aTwiladi 0,101001000100001..., romlis CanawerSi pirveli 1-ianis Semdeg aris erTi nuli, meore 1-ianis Semdeg_ori nuli da a. S. hbotb{Swsfcb/ racionalur da iracionalur ricxvTa simravleebis gaerTianebas namdvil ricxvTa simravle ewodeba da R asoTi aRiniSneba. cxadia, rom zemoT ganxilul N, Z 0 , Z, Q da R ricxvTa simravleebs Soris arsebobs Semdegi damokidebuleba: N ⊂ Z 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R . obnewjm! sjdywUb! Tfebsfcb/ namdvil ricxvTa simravlis gansazRvrebidan gamomdinareobs, rom yoveli namdvili ricxvi an racionaluria an iracionaluri. radgan yoveli racionaluri ricxvi SeiZleba warmovadginoT usasrulo perioduli aTwiladis saxiT, xolo iracionaluri_ usasrulo araperioduli aTwiladis saxiT, amitom SeiZleba davaskvnaT, rom yoveli namdvili ricxvi SeiZleba warmovadginoT usasrulo aTwiladis saxiT Semdegnairad: a = a0 , a1a2 a3 K , sadac a0 ∈ Z , xolo yoveli ak (k = 1,2,3, L) warmoadgens erTerTs Semdegi cifrebidan 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 da 9. or a = a0 , a1a2 a3 K da b = b0 , b1b2b3 K namdvil ricxvs toli ewodeba, Tu ak = bk nebismieri k ∈ Z 0 -isaTvis. vTqvaT, a da b arauaryofiTi namdvili ricxvebia. amboben, rom a<b, Tu yoveli 0 ≤ i < k -saTvis ai = bi da ak < bk . Tu a ≥ 0 , xolo b<0, maSin a>b. Tu a<0 da b<0, maSin a>b, roca −a < −b . nprnfefcboj! obnewjm! sjdywfc{f/ arauaryofiTi x = a0 , a1a2 K an K 1 ricxvis aTwiladi miaxloeba naklebobiT, sizustiT ewodeba 10 n a0 , a1a2 K an 1 ricxvs, xolo aTwiladi miaxloeba metobiT sizustiT 10 n 1 a0 , a1a2 K an + n 10 ricxvs.

uaryofiTi miaxloeba

x = a0 , a1a2 K an K

naklebobiT

(metobiT)

ricxvis

aTwiladi 1 sizustiT -mde, 10 n

1 sizustiT metobiT 10 n (naklebobiT) miaxloebis mopirdapire ricxvs. namdvili x ricxvis aTwiladi miaxloeba naklebobiT 1 -mde aRvniSnoT xn -iT, xolo metobiT x′n -iT. sizustiT 10 n magaliTad, x = 3,24174 K ricxvis aTwiladi miaxloeba 1 naklebobiT aris x4 = 3,2417 , xolo sizustiT 10 4 metobiT_ x4′ = 3,2418 ; x = −5,7138K ricxvis aTwiladi 1 miaxloeba sizustiT naklebobiT aris x3 = −5,714 , 103 xolo metobiT_ x3′ = −5,713 . namdvil ricxvTa Sedarebis wesidan gamomdinareobs, rom yoveli namdvili x ricxvisaTvis xn ≤ x ≤ xn′ . x da y namdvili mtkicdeba, rom nebismieri ricxvebisaTvis arsebobs erTaderTi z namdvili ricxvi, n ∈ Z0 ricxvisaTvis sruldeba iseTi, rom yoveli utoloba: xn + yn ≤ z ≤ xn′ + y′n . aseT z ricxvs ewodeba x da y ricxvebis jami da x + y simboloTi aRiniSneba. mtkicdeba, rom nebismieri x da y arauaryofiTi namdvili ricxvebisaTvis arsebobs erTaderTi z namdvili ricxvi, iseTi, rom yoveli n ∈ N ricxvisaTvis sruldeba utoloba: xn yn ≤ z ≤ xn′ yn′ . aseT z ricxvs ewodeba x da y ricxvebis namravli da xy simboloTi aRiniSneba. Tu ori namdvili ricxvidan erTi mainc uaryofiTia, maSin maTi namravli ganimarteba Semdegnairad: (− x) y = −( xy ) , (− x)(− y ) = xy ,

ewodeba

−a0 , a1a2 K an

ricxvis

sadac x > 0 , y > 0 . ramdenime namdvili ricxvis jami da namravli ganisazRvreba Sesabamisad ori namdvili ricxvis jamisa da namravlis saSualebiT, iseve rogorc mTeli ricxvebisaTvis. namdvili ricxvebis gamokleba da gayofa ganisazRvreba, rogorc Sesabamisad Sekrebisa da gamravlebis Sebrunebuli moqmedebebi. CamovayaliboT namdvil ricxvTa ZiriTadi Tvisebebi: I. ebmbhfcjt!Uwjtfcfcj 1. nebismieri ori a da b namdvili ricxvisaTvis sruldeba erTi da mxolod erTi Semdegi Tanafardobebidan: a=b, a>b, a<b. 2. Tu a<b, moiZebneba iseTi c ricxvi, rom a<c<b. II. Tflsfcjt!Uwjtfcfcj! 1. a+b=b+a (Sekrebis komutaciuroba) ; 2. ( a+b ) + c=a+ ( b +c ) ( Sekrebis asociaciuroba); 3. a+0=a; 4. a+(-a)=0 (a da –a mopirdapire ricxvebia); 5. Tu a=b, maSin a+c=b+c, sadac c nebismieria. III. hbnsbwmfcjt!Uwjtfcfcj/! 1. ab=ba (gamravlebis komutaciuroba) ; 2. ( ab ) c=a ( b c ) (gamravlebis asociaciuroba); 3. a ⋅1 = a ; 4. a ⋅ 0 = 0 ; 5. Tu a=b, maSin ac=bc; 1 (a ≠ 0) , ( a da 1 urTierTSebrunebuli 6. a ⋅ = 1 , a a ricxvebia); (Sekrebis distribuciuloba gamravle7. (a+b)c=ac+bc bis mimarT).

§8. sjdywjUj!xsgf/!sjdywjUj!Tvbmfefcj/!

nbsUlvUyb!lppsejobuUb!tjtufnb! wrfes, romelzedac fiqsirebulia raime O wertili (saTave), arCeulia dadebiTi mimarTuleba da sigrZis erTeuli (masStabi), ricxviTi RerZi anu ricxviTi wrfe ewodeba (nax. 1).

1 0

M ( x)

nax. 1 ricxviTi RerZis yovel M wertils SeiZleba SevusabamoT erTaderTi namdvili x ricxvi da piriqiT. es urTierTcalsaxa Sesabamisoba SeiZleba damyardes Semdegi wesiT: x = OM (OM monakveTis sigrZes), Tu O-dan M-saken mimarTuleba emTxveva RerZis mimarTulebas da x = − OM _winaaRmdeg SemTxvevaSi. am x ricxvs M wertilis koordinati ewodeba. is faqti, rom x ricxvi M wertilis koordinatia, ase Caiwereba: M (x) . cxadia, rom O saTavis koordinatia nuli. mocemulia wertili RerZze niSnavs, rom mocemulia wertilis koordinati. SemdgomSi namdvil ricxvsa da mis Sesabamis wertils RerZze gavaigivebT. ganvixiloT namdvil ricxvTa simravlis zogierTi qvesimravle, romelTac ricxviTi Sualedebi ewodebaT. vTqvaT, a da b ori namdvili ricxvia da a<b. hbotb{Swsfcb/ yvela im namdvil x ricxvTa simravles, romlebic akmayofileben utolobas a ≤ x ≤ b , Caketili Sualedi (segmenti) ewodeba da [a;b] simboloTi aRiniSneba, e. i. [a; b] = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b} . analogiurad ]a; b[ = {x : x ∈ R, a < x < b} simravles Ria Sualedi (intervali) ewodeba, xolo [a; b[ = {x : x ∈ R, a ≤ x < b} , ]a; b] = {x : x ∈ R, a < x ≤ b} simravleebs naxevrad Ria Sualedebi ewodeba. a da b ricxvebs ganxiluli Sualedebis sazRvrebi an boloebi ewodeba, xolo b-a ricxvs_Sualedis sigrZe. hbotb{Swsfcb/ yvela im namdvil x ricxvTa simravles, romlebic akmayofileben utolobas x ≥ a , usasrulo Sualedi ewodeba da [a,+∞[ simboloTi aRiniSneba, e. i. [a;+∞[ = {x : x ∈ R, x ≥ a}.

usasrulo simravleebi:

Sualedebs

warmoadgenen

agreTve

Semdegi

]a;+∞[ = {x : x ∈ R, x > a}, ]− ∞; b] = {x : x ∈ R, x ≤ b} , ]− ∞; b[ = {x : x ∈ R, x < b} .

namdvil ricxvTa R simravlec usasrulo Sualeds warmoadgens da igi ase aRiniSneba: R = ]− ∞;+∞[ . saerTo saTavisa da erTnairi masStabis mqone ori urTierTperpendikularuli RerZi qmnis dekartis marTkuTxa koordinatTa sistemas sibrtyeze. saerTo O koordinatTa saTave ewodeba, xolo saTaves RerZebs_sakoordinato RerZebi. maT uwodeben agreTve abscisTa Ox da ordinatTa Oy RerZebs. ganvixiloT sibrtyis nebismieri M wertili. misi gegmilebi Ox da Oy RerZebze (nax. 2) Sesabamisad aRvniSnoT M x -iT da M y -iT. wertilis dekartis marTkuTxa x da y koordinatebi ewodeba Sesabamisad M x da M y wertilis koordinatebs saTanado RerZebze. x koordinats wertilis abscisa ewodeba, xolo y-s ordinati. is faqti, rom M wertilis koordinatebia x da y ase Caiwereba: M(x;y). zemoTqmulidan Cans, rom sibrtyis yovel wertils Seesabameba namdvil ricxvTa erTaderTi dalagebuli wyvili da piriqiT, namdvil ricxvTa dalagebul wyvils Seesabameba sibrtyis erTaderTi wertili. amrigad, sibrtyis wertilTa simravlesa da namdvil ricxvTa dalagebuli wyvilebis simravles Soris arsebobs urTierTcalsaxa Sesabamisoba. sakoordinato RerZebi y sibrtyes oTx nawilad yofs, am nawilebs meoTxedebs anu kvadratebs uwodeben. M My II I namdvil ricxvTa yvela wyvilebis simravles ricxviTi Mx 0 x R 2 -iT sibrtye ewodeba da aRiniSneba. sibrtyes, romelzeIV III dac arCeulia koordinatTa sistema, sakoordinato sibrnax. 2 tye ewodeba.

§9. obnewjmj!sjdywjt!npevmj!)bctpmvuvsj!

nojTwofmpcb*!eb!njtj!Uwjtfcfcj

hbotb{Swsfcb/ namdvili a ricxvis moduli (absoluturi mniSvneloba) ewodeba TviT am ricxvs, Tu igi arauaryofiTia, mis mopirdapire ricxvs, Tu igi uaryofiTia da a simboloTi aRiniSneba, e. i. ⎧a, Tu a ≥ 0; a =⎨ ⎩− a, Tu a < 0. magaliTad, 12 =12; − 3 =3; 0 =0. geometriulad namdvili ricxvis moduli warmoadgens manZils ricxviTi wrfis saTavidan am ricxvis Sesabamis wertilamde. namdvili ricxvis modulis gansazRvrebidan uSualod gamomdinareobs, rom − a = a ; − a ≤ a ≤ a . moviyvanoT modulis zogierTi Tviseba: Ufpsfnb!2/ ori ricxvis jamis moduli ar aRemateba am ricxvebis modulebis jams, e. i. a+b ≤ a + b . ebnuljdfcb/ ganvixiloT ori SemTxveva: a) vTqvaT, a + b ≥ 0 , maSin a + b = a + b ≤ a + b .

b) vTqvaT, a + b < 0 , maSin a + b = −(a + b ) = = (−a ) + (−b) ≤ − a + − b = a + b . SevniSnoT, rom es Teorema marTebulia SesakrebTa nebismieri sasruli raodenobisaTvis. Ufpsfnb!3/ Tu a da b namdvili ricxvebia, maSin:

a − b ≤ a −b .

ebnuljdfcb;

gvaqvs

a = ( a − b) + b .

aqedan a ≤ a −b + b ,

anu a − b ≤ a −b .

Tu a -sa da b -s utolobidan miviRebT:

adgilebs b − a ≤ b−a ,

SevucvliT,

maSin

(1) (1) (2)

xolo, radgan a − b = b − a , (1) da (2)-dan gveqneba

a − b ≤ a −b .

Ufpsfnb! 4/ ori ricxvis namravlis moduli udris am ricxvebis modulebis namravls, e. i. a ⋅b = a ⋅ b . ebnuljdfcb/!! a) Tu a ≥ 0 da b ≥ 0 , maSin a ⋅ b = a ⋅ b = a ⋅ b . b) Tu a ≥ 0 da b < 0 , maSin a ⋅ b = −(a ⋅ b) = a ⋅ (−b) = a ⋅ b . g) Tu a < 0 da b ≥ 0 , maSin a ⋅ b = −(a ⋅ b) = (−a) ⋅ b = a ⋅ b . d) Tu a < 0 da b < 0 , maSin ab = ab = (− a )(−b) = a ⋅ b . SevniSnoT, rom es Teorema marTebulia TanamamravlTa nebismieri sasruli raodenobisaTvis. analogiurad mtkicdeba Semdegi Teorema: Ufpsfnb!5/ a da b ricxvebis ( b ≠ 0 ) fardobis moduli a a am ricxvebis modulebis fardobis tolia, e. i. = , b b sadac b ≠ 0 .

§10. qspqpsdjfcj/!qspdfoufcj a c = b d ( b ≠ 0 , d ≠ 0 ), proporcia ewodeba. a -sa da d -s proporciis kidura wevrebi, xolo b -sa da c -s Sua wevrebi ewodeba. a c = proporciis orive mxares gavamravlebT bd – Tu b d ze, miviRebT ad = bc . es toloba gamosaxavs proporciis ZiriTad Tvisebas: proporciis kidura wevrebis namravli udris Sua wevrebis namravls. proporciis ZiriTadi Tvisebidan gamomdinareobs, rom proporciis Sua wevri udris kidura wevrebis namravls gayofils meore Sua wevrze, xolo kidura wevri ki_Sua wevrebis namravls gayofils meore kidura wevrze. igive Tvisebidan gamomdinareobs, rom proporciaSi SesaZlebelia gadavanacvloT misi Sua an kidura wevrebi. magalia c = , miiReba Semdegi proporciebi: Tad, proporciidan b d

hbotb{Swsfcb/

ori

fardobis

tolobas

d c a b d b = ; = ; = . b a c d c a yoveli proporciidan, garkveuli gardaqmnebiT, SeiZleba miviRoT e. w. warmoebuli proporciebi. magaliTad, Tu a c = proporciis orive mxares davumatebT 1-s, miviRebT: b d a c a+b c+d +1 = +1 ⇒ = ; (1) b d b d analogiurad, 1-is gamoklebiT miiReba Semdegi proporcia: a −b c−d = ; (2) b d Tu (1) tolobas wevr-wevrad gavyofT (2)-ze, gveqneba a+b c+d = . a −b c−d analogiurad miiReba Semdegi warmoebuli proporciebi: a c a c a−b c−d = ; = ; = . a +b c+ d a −b c −d a +b c + d upm!gbsepcbUb!Uwjtfcb/ vTqvaT, mocemulia ramdenime toli fardoba: a1 a2 a = =L= n , b1 b2 bn maSin a a + a + L + an a1 a2 = =L= n = 1 2 . b1 b2 bn b1 + b2 + L + bn

ebnuljdfcb/

SemoviRoT aRniSvna

a1 = k , miviRebT b1

a2 a = k , K, n = k , b2 bn

aqedan gvaqvs: a1 = b1k , a2 = b2 k ,K, an = bn k . am tolobebis wevr-wevrad SekrebiT miiReba a1 + a2 + L + an = (b1 + b2 + L + bn )k . aqedan a + a + L + an . k= 1 2 b1 + b2 + L + bn e. i.

a a + a + L + an a1 a2 = =L= n = 1 2 . b1 b2 bn b1 + b2 + L + bn

qspqpsdjvmj!ebzpgb/ davyoT raime a ricxvi m1 , m2 ,K, mk dadebiTi ricxvebis proporciul nawilebad, niSnavs, vipovoT iseTi a1, a2 ,K, ak ricxvebi, romelTa jami a –s tolia da Sesrulebulia piroba: a1 a2 a = =L= k . m1 m2 mk raime ricxvi rom davyoT mocemuli ricxvebis proporciul nawilebad, saWiroa igi gavyoT mocemuli ricxvebis jamze da ganayofi gavamravloT TiToeulze am ricxvebidan. nbhbmjUj/ ricxvi 72 davyoT 2-is, 3-isa da 7-is proporciul nawilebad. bnpytob/ vTqvaT, saZiebeli ricxvebia a1, a2 da a3 , maSin 72 ⋅ 2 72 ⋅ 3 72 ⋅ 7 = 12; a2 = = 18; a3 = = 42 . 2+3+ 7 12 12 qspdfoufcj/ ricxvis meased nawils misi procenti ewodeba. ricxvis erTi procenti 1% simboloTi aRiniSneba, xolo k procenti_ k % simboloTi. procentebze ganixileba Semdegi sami tipis amocana: 1. sjdywjt! sbjnf! qspdfoujt! qpwob/ imisaTvis, rom vipovoT k –ze. ricxvis k %, saWiroa es ricxvi gavamravloT 100 12 = 18 . magaliTad, 150-is 12% udris 18-s, radganac 150 ⋅ 100 2. sjdywjt! qpwob! qspdfoujt! tbTvbmfcjU/ imisaTvis, rom vipovoT romeli ricxvis k %-s warmoadgens mocemuli ric100 –ze. magaliTad, ricxvi, xvi, saWiroa igi gavamravloT k 100 = 150 . romlis 12% aris 18, udris 150-s, radgan 18 ⋅ 12 3. psj!sjdywjt!qspdfouvmj!gbsepcjt!qpwob/ imisaTvis, rom davadginoT erTi ricxvi meoris ramden procents Seadgens, saWiroa maTi fardoba gavamravloT 100-ze. magaliTad 18 18 ⋅100 = 12 . warmoadgens 150-is 12%-s, radgan 150

a1 =

§11. ybsjtyj!nUfmj!nbDwfofcmjU! ybsjtyj!obuvsbmvsj!nbDwfofcmjU/ Cven gansazRvruli gvaqvs naturalurmaCvenebliani xarisxi, rodesac fuZe naturaluri ricxvia. ganvazogadoT es cneba. hbotb{Swsfcb/ a ricxvis n –uri xarisxi, sadac a ∈ R , n ∈ N , n ≠ 1 ewodeba n TanamamravlTa namravls, romelTagan TiToeuli a –s tolia da a n simboloTi aRiniSneba, e.i. a n = a1 ⋅ a2 K 4 4 3a; n ≥ 2 . n −jer

a -s xarisxis fuZe ewodeba, n -s ki_xarisxis maCvenebeli. miRebulia, rom a1 = a . SevniSnoT, rom dadebiTi ricxvis nebismieri naturalurmaCvenebliani xarisxi dadebiTia; uaryofiTi ricxvis luwmaCvenebliani xarisxi dadebiTia, xolo kentmaCvenebliani xarisxi_uaryofiTi. davamtkicoT naturalurmaCvenebliani xarisxis zogierTi Tviseba. Ufpsfnb! 2/ namravlis xarisxi udris TanamamravlTa xarisxebis namravls, e. i. (ab) n = a n ⋅ b n . ebnuljdfcb/! xarisxis gansazRvrebisa da namravlis Tvisebebis safuZvelze gvaqvs n n (a ⋅ b) n = (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b) K (a ⋅ b) = a1 ⋅ a K3a ⋅ b1 ⋅ b2 K 4 4 3b = a b 144424443 424 n −jer

n −jer

am Teoremidan gamomdinareobs, rom a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n . e. i. tolmaCvenebliani xarisxebi rom gadavamravloT, sakmarisia gadavamravloT am xarisxebis fuZeebi, xolo maCvenebeli ucvlelad davtovoT. Ufpsfnb! 3/ wiladis xarisxi mricxvelisa da mniSvnelis xarisxebis fardobis tolia, e. i. n

ebnuljdfcb/

a ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0. b b ⎝ ⎠ xarisxis gansazRvrebis Tanaxmad: n

n −jer

6 474 8 a a a a ⋅ aKa an ⎛a⎞ = n . ⎜ ⎟ = ⋅ L = ⋅ b2 b4b24 b b1 K ⎝b⎠ 1 3 4 4 3b b n

n −jer

am Teoremidan gamomdinareobs, rom: n

⎛a⎞ =⎜ ⎟ . n b ⎝b⎠ e. i. tolmaCvenebliani xarisxebi rom gavyoT, sakmarisia gasayofis fuZe gavyoT gamyofis fuZeze, xolo maCvenebeli ucvlelad davtovoT. Ufpsfnb! 4/ tolfuZiani xarisxebis namravli udris imave fuZian xarisxs, romlis maCvenebelic am xarisxebis maCvenebelTa jamis tolia, e. i.

am ⋅ an = am+n . ebnuljdfcb/! xarisxis gansazRvrebis Tanaxmad: a m ⋅ a n = (a ⋅ a K a) ⋅ (a ⋅ a K a) = a1 ⋅ a K3a = a m + n . 1424 3 1424 3 424 m −jer

m + n −jer

n −jer

Ufpsfnb! 5/ xarisxi rom avaxarisxoT, saWiroa xarisxis maCveneblebi gadavamravloT, xolo fuZe ucvlelad davtovoT, e. i. (a m ) n = a mn . ebnuljdfcb/! xarisxis gansazRvrebisa da me-3 Teoremis Tanaxmad: (a ) = a14 ⋅4 a2K a3 = a 44 m n

n −jer 64 4744 8 m + m +L+ m

= a mn .

n −jer

Ufpsfnb!6/ gansxvavdeba gamyofisaze, maCvenebelic maCvenebelTa

tolfuZiani xarisxebis ganayofi, roca fuZe nulisagan da gasayofis maCvenebeli metia udris imave fuZian xarisxs, romlis gasayofisa da gamyofis xarisxis sxvaobis tolia, e. i. am n

= a m − n , (a ≠ 0, m > n) .

a radgan m > n , amitom arsebobs naturaluri k ricxvi, rom m = n + k . maSasadame,

ebnuljdfcb/

am an

an+k an

an ⋅ ak an

= a k = am−n .

iseTi

ybsjtyj! ovmpwboj! eb! vbszpgjUj! nUfmj! nbDwfofcmjU/ rogorc me-5 Teoremidan Cans, toloba: am

= am−n (1) an marTebulia maSin, roca m > n . im SemTxvevaSi, roca m = n an m < n , (1) tolobis marjvena mxare gansazRvruli ar aris, marcxena mxares ki azri aqvs. es garemoeba gvkarnaxobs ganvsazRvroT xarisxi nulovani da uaryofiTi mTeli maCvenebliT Semdegnairad: hbotb{Swsfcb/! nebismieri nulisagan gansxvavebuli namdvili ricxvis nulovani xarisxi 1-is tolia, e. i. a 0 = 1, (a ≠ 0) . 1 . an am gansazRvrebis Tanaxmad (1) toloba marTebulia maSinac, roca m ≤ n . marTlac, Tu m ≤ n , maSin moiZebneba iseTi k ∈ Z 0 ricxvi, rom n = m + k da

hbotb{Swsfcb/! Tu

n ∈ N da a ≠ 0 , maSin a −n =

am m+k

= a−k = am−n .

a a a ⋅a a advili Sesamowmebelia, rom naturalurmaCvenebliani xarisxebisaTvis zemoT damtkicebuli Teoremebi marTebulia nebismieri mTeli maCveneblisaTvis. magaliTad, Tu n ∈ N da a ≠ 0, b ≠ 0 , maSin 1 1 1 1 (ab) − n = = n n = n ⋅ n = a−n ⋅ b−n ; n (ab) a b a b n

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

−n

1 ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

1 an bn

bn an

a −n b−n

da a. S.

§12. sjdywjUj!hbnptbyvmfcboj/!dwmbejt!Tfndwfmj!

hbnptbyvmfcboj! bunebaSi vxvdebiT sxvadasxva tipis sidideebs, zogi maTgani mocemul pirobebSi inarCunebs erTidaigive ricxviT mniSvnelobas, zogi ki icvleba. sidides ewodeba mudmivi, Tu igi mocemul pirobebSi mxolod erT mniSvnelobas Rebulobs. magaliTad,

Tanamedrove kalendariT kviraSi dReebis ricxvi mudmivia da udris 7-s, mudmivia agreTve samkuTxedis Siga kuTxeebis jami da a. S. sidides ewodeba cvladi, Tu igi mocemul pirobebSi sxvadasxva ricxviT mniSvnelobebs Rebulobs. magaliTad haeris temperatura, uhaero sivrceSi Tavisufali vardnis siCqare, da a. S. cvladi sidideebia. hbotb{Swsfcb/ ricxvTa da im niSanTa erTobliobas, romlebic gviCveneben, Tu ra moqmedebebi da ra mimdevrobiT unda iqnas Sesrulebuli am ricxvebze, ricxviTi gamosaxuleba ewodeba. magaliTad, ricxviTi gamosaxulebebia: 0,17 + 42 da a. S. 3 ⋅ 4 − 12 miTiTebuli moqmedebebis SesrulebiT miviRebT ricxvs, romelsac ricxviTi gamosaxulebis mniSvneloba ewodeba. moyvanili ricxviTi gamosaxulebebidan meores azri ara aqvs, radgan moqmedebaTa Sesrulebis procesSi gvxvdeba nulze gayofa. sazogadod, yovel ricxviT gamosaxulebas aqvs erTaderTi ricxviTi mniSvneloba an ara aqvs azri. hbotb{Swsfcb/ gamosaxulebas, romelic cvlads Seicavs, cvladis Semcveli gamosaxuleba ewodeba. cvladis Semcveli gamosaxulebis mniSvneloba damokidebulia masSi Semavali cvladebis ricxviT mniSvnelobebze. x + 3y gamosaxulebis mniSvneloba, roca magaliTad, x − 2y x = 3 da y = 1 , aris 6, xolo roca x = 4 da y = 2 , gamosaxulebas azri ara aqvs. imisda mixedviT, Tu ramden cvlads Seicavs gamosaxuleba, mas SeiZleba azri hqondes (gansazRvruli iyos) ricxvTa raime simravleze, ricxvTa wyvilebis, sameulebis da a. S. simravleze. zemoT ganxiluli gamosaxuleba gansazRvrulia yvela im ( x, y ) wyvilTa simravleze, sadac x ≠ 2 y . erTidaimave cvladebis Semcveli gamosaxulebebis mniSvnelobebs, gamoTvlils am cvladebis erTidaigive ricxviTi mniSvnelobebisaTvis, Sesabamisi mniSvnelobebi xy da x− y gamosaxulebaTa ewodeba. magaliTad, Sesabamisi mniSvnelobebi roca x = 3 y = 2 aris 6 da 1. (125 − 11,5) ⋅ 2;

hbotb{Swsfcb/ or gamosaxulebas igivurad toli ewodeba raime simravleze, Tu am simravleze orives azri aqvs da maTi Sesabamisi mniSvnelobebi tolia.

da (a − b )(a + b ) igivurad toli magaliTad, a 2 − b 2 gamosaxulebebia, radgan maTi Sesabamisi mniSvnelobebi tolia. or igivurad tol gamosaxulebas, SeerTebuls tolobis niSniT, igiveoba ewodeba. amrigad,

a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) igiveobas warmoadgens. igiveobas warmoadgens agreTve yoveli WeSmariti ricxviTi toloba. gamosaxulebis Secvlas misi igivurad toli gamosaxulebiT igivuri gardaqmna ewodeba.

§13. fsUxfwsj!eb!nsbwbmxfwsj

hbotb{Swsfcb/ ramdenime Tanamamravlis namravls, romelTagan TiToeuli aris ricxvi, an cvladis xarisxi naturaluri maCvenebliT, erTwevri ewodeba. 3 magaliTad, erTwevrebia: 6b 2c, 5 x3 7 y, − aa 2c 4 . 8 hbotb{Swsfcb/! erTwevrs, romlis pirveli mamravli warmoadgens ricxvs, xolo yvela sxva Tanamamravli gansxvavebuli cvladebis xarisxebia, standartuli saxis erTwevri ewodeba. zemoT moyvanili erTwevrebidan pirveli Cawerilia standartuli saxiT, xolo meorisa da mesamis 3 standartuli saxe iqneba Sesabamisad 35 x 3 y da − a 3c 4 . 8 standartuli saxis erTwevris ricxviT mamravls erTwevris koeficienti ewodeba. erTwevrebs ewodeba msgavsi, Tu isini erTidaigivea an mxolod koeficientebiT gansxvavdebian. magaliTad, x 2 y , 0,8 x 2 y da − 5 x 2 y msgavsi erTwevrebia. msgavsi erTwevrebis jami aris mocemul erTwevrTa msgavsi erTwevri, romlis koeficienti udris Sesakreb erTwevrTa koeficientebis jams. erTwevris xarisxi ewodeba masSi Semavali cvladebis xarisxis maCvenebelTa jams. magaliTad, 9ab 2 x 3 erTwevris xarisxi aris 1+2+3=6. hbotb{Swsfcb/ ramdenime erTwevris jams mravalwevri ewodeba.

magaliTad, wevrebia.

7 xy 3 + 0,1ab

5a 2b − 3ac + a 2b − 2aab

mraval-

hbotb{Swsfcb/ mravalwevrs, romlis TiToeuli wevri Cawerilia standartuli saxiT da msgavsi wevrebi Sekrebilia, standartuli saxis mravalwevri ewodeba. zemoT moyvanili mravalwevrebidan pirveli standartuli saxiT aris Cawerili, xolo meoris standartuli saxea 4a 2b − 3ac . mravalwevris xarisxi, anu rigi ewodeba masSi Semavali erTwevrebis xarisxebs Soris udidess. magaliTad, 2 xyz − x 2 + xy 3 + 12 mravalwevris rigia 4. ramdenime mravalwevri rom SevkriboT, saWiroa SevkriboT maTSi Semavali yvela erTwevri. mravalwevrs rom mravalwevri gamovakloT, saWiroa saklebis wevrebs mivumatoT maklebis yvela wevri, aRebuli mopirdapire niSniT. mravalwevri rom erTwevrze gavamravloT, saWiroa mravalwevris yoveli wevri gavamravloT erTwevrze da miRebuli Sedegebi SevkriboT. mravalwevri rom mravalwevrze gavamravloT, saWiroa erT-erTi mravalwevri gavamravloT meoris yvela wevrze da miRebuli Sedegebi SevkriboT. mravalwevris mravalwevrze gayofa niSnavs iseTi mesame mravalwevris (erTwevris) moZebnas, romelic gamravlebuli gamyofze mogvcems gasayofs. SevniSnoT, rom es yovelTvis ar aris SesaZlebeli. imisaTvis, rom mravalwevri gavyoT mravalwevrze, saWiroa moviqceT Semdegnairad: davalagoT orive mravalwevri erTidaimave cvladis klebad xarisxebad; ganayofis pirveli wevris misaRebad gasayofis pirveli wevri gavyoT gamyofis pirvel wevrze; gasayofs gamovakloT gamyofis da ganayofis pirveli wevris namravli, rac mogvcems naSTs; miRebuli naSTi davalagoT igive cvladis klebad xarisxebad; ganayofis meore wevris misaRebad naSTis pirveli wevri gavyoT gamyofis pirvel wevrze, pirvel naSTs gamovakloT gamyofisa da ganayofis meore wevris namravli, rac mogvcems meore naSTs da a. S. gayofis procesi SevwyvitoT, rogorc ki naSTis xarisxi arCeuli cvladis mimarT naklebi gaxdeba gamyofis xarisxze. kerZod, Tu naSTSi miviRebT nuls, maSin gayofa sruldeba unaSTod.

4 x 3 y − 8 xy 2 + 12 x 5 y − 2 y 3 + 3 x 4 y 2 + x 2 y 2 mravalwevri gavyoT 4 x + y mravalwevrze. bnpytob/ zemoT Camoyalibebuli wesis Tanaxmad miviRebT:

nbhbmjUj/

−

12 x 5 y + 3x 4 y 2 + 4 x 3 y + x 2 y 2 − 8 xy 2 − 2 y 3 4 x + y 12 x 5 y + 3x 4 y 2 3x 4 y + x 2 y − 2 y 2

−

4 x 3 y + x 2 y 2 − 8 xy 2 − 2 y 3 4 x3 y + x 2 y 2 − 8 xy 2 − 2 y 3 − − 8 xy 2 − 2 y 3 0

amrigad,

(4 x y − 8xy

)

+ 12 x5 y − 2 y 3 + 3x 4 y 2 + x 2 y 2 : (4 x + y ) = 3x 4 y + x 2 y − 2 y 2 . hbotb{Swsfcb/ mravalwevrs, romelic mxolod erT cvlads Seicavs, erTi cvladis Semcveli mravalwevri ewodeba. erTi cvladis Semcveli n –uri rigis mravalwevris zogadi saxea: 3

sadac

Pn ( x) = a0 x n + a1x n −1 + L + an −1 x + an , a0 , a1,K, an −1 , an koeficientebi nebismieri

ricxvebia ( a0 ≠ 0 ).

namdvili

a0 x –s mravalwevris ufr o si

wev ri,

an –s Tavisuf ali wevri ewodeba. Tu xolo mravalwevris ufrosi wevris koeficienti 1-is tolia, maSin mas dayv anili saxi s mravalwevri ewodeba. hbotb{Swsfcb/! erTi cvladis Semcveli mravalwevris fesvi ewodeba cvladis im mniSvnelobas, romlisTvisac mravalwevris mniSvneloba nulis tolia. amgvarad, x0 aris Pn (x) mravalwevris fesvi, Tu Pn ( x0 ) = 0 . SeiZleba Cveneba, rom nebismieri p(x) da t (x) mravalwevrebisaTvis moiZebneba iseTi q(x) da r (x) mravalwevrebi, rom p( x) = q( x) ⋅ t ( x) + r ( x) , (1) sadac r (x) mravalwevris xarisxi naklebia t (x) –is xarisxze, an r ( x) = 0 . am SemTxvevaSi amboben, rom p(x)

mravalwevri iyofa t (x) –ze naSTiT r (x) da ganayofi aris q(x) . Tu r ( x) = 0 , maSin gayofa xdeba unaSTod. Ufpsfnb! )cf{v*/ p(x) mravalwevris (x − a ) orwevrze gayofiT miRebuli r naSTi tolia p(x) mravalwevris mniSvnelobisa, roca x = a , e. i. r = p (a) . ebnuljdfcb/ radgan (x − a ) warmoadgens pirveli xarisxis mravalwevrs, amitom gayofis Sedegad miRebuli naSTi iqneba nulovani xarisxis mravalwevri, anu ricxvi da (1) tolobis Tanaxmad gveqneba: p ( x) = q ( x) ⋅ (x − a ) + r . Tu am tolobaSi x –is nacvlad aviRebT a –s, miviRebT: p (a ) = q (a )(a − a ) + r ⇒ r = p (a ) . Tfefhj/! imisaTvis, rom p(x) mravalwevri unaSTod gaiyos ( x − a) -ze aucilebeli da sakmarisia, rom a ricxvi iyos p(x) –is fesvi. ebnuljdfcb/ aucilebloba. vTqvaT, p(x) mravalwevri unaSTod iyofa (x − a ) orwevrze. es imas niSnavs, rom miRebuli naSTi r = 0 . bezus Teoremis Tanaxmad ki r = p (a) . e. i. p (a ) = 0 . sakmarisoba. vTqvaT p(a) = 0 . bezus Teoremis Tanaxmad r = p(a) , amitom r = 0 , e. i. p(x) unaSTod iyofa ( x − a) –ze. nbhbmjUj/ gayofis Seusruleblad vipovoT p( x) = 5 x 6 + 4 x 4 − x3 + 2 x + 1 mravalwevris gayofis Sedegad miRebuli naSTi. bnpytob/! bezus Teoremis Tanaxmad

( x +1 )

orwevrze

r = p (−1) = 5(−1)6 + 4(−1) 4 − (−1)3 + 2(−1) + 1 = 9 .

§14. Tfnplmfcvmj!hbnsbwmfcjt!gpsnvmfcj/!

nsbwbmxfwsjt!ebTmb!nbnsbwmfcbe SemdgomSi dagvWirdeba ramdenime tipiuri igiveoba. davamtkicoT zogierTi maTgani, romelTac Semoklebuli gamravlebis formulebi ewodeba. 1. (a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 . e. i.

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 . 46

amrigad, ori gamosaxulebis jamis kvadrati udris pirvelis kvadrats, plius gaorkecebuli namravli pirvelisa meoreze, plius meore gamosaxulebis kvadrati. 2. (a − b )2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 , e. i.

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 .

amrigad, ori gamosaxulebis sxvaobis kvadrati udris pirvelis kvadrats, minus gaorkecebuli namravli pirvelisa meoreze, plius meore gamosaxulebis kvadrati. 3. (a + b )3 = (a + b )2 (a + b ) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = = a 3 + a 2b + 2a 2b + 2ab 2 + ab 2 + b3 = = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 ,

e. i.

(a + b )3 = a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3.

amrigad, ori gamosaxulebis jamis kubi udris pirvelis kubs, plius gasamkecebuli namravli pirvelis kvadratisa meoreze, plius gasamkecebuli namravli pirvelisa meoris kvadratze, plius meore gamosaxulebis kubi. 4. (a − b )3 = (a − b )2 (a − b ) = (a 2 − 2ab + b 2 )(a − b) =

= a 3 − a 2b − 2a 2b + 2ab 2 + ab 2 − b3 = = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 ,

e. i.

(a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3.

amrigad, ori gamosaxulebis sxvaobis kubi udris pirvelis kubs, minus gasamkecebuli namravli pirvelis kvadratisa meoreze, plius gasamkecebuli namravli pirvelisa meoris kvadratze, minus meore gamosaxulebis kubi.

5. (a + b )(a − b ) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2 , e. i.

a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) . amrigad, ori gamosaxulebis kvadratebis sxvaoba udris amave gamosaxulebebis jamis namravls maTsave sxvaobaze.

(

)

6. (a + b ) a 2 − ab + b 2 = a 3 − a 2b + ab 2 + a 2b − ab 2 + b3 = = a 3 + b3 ,

e. i.

a 3 + b3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) . amrigad, ori gamosaxulebis kubebis jami udris maT jams, gamravlebuls maTi sxvaobis arasrul kvadratze.

(

)

7. (a − b ) a 2 + ab + b 2 = a 3 + a 2b + ab 2 − a 2b − ab 2 − b3 = = a 3 − b3 ,

e. i.

(

)

a 3 − b3 = (a − b) a 2 + ab + b 2 . amrigad, ori gamosaxulebis kubebis sxvaoba udris maT sxvaobas, gamravlebuls maTi jamis arasrul kvadratze. mravalwevrze moqmedebebis Catarebisas xSirad mosaxerxebelia maTi warmodgena ara standartuli saxiT, aramed namravlis saxiT. mravalwevris mamravlebad daSla niSnavs, am mravalwevris warmodgenas misi igivurad toli namravliT. Semoklebuli gamravlebis formulebi faqtiurad warmoadgenen mravalwevris daSlas mamravlebad. Semoklebuli gamravlebis formulebis garda arseboben mravalwevris mamravlebad daSlis sxva xerxebic. moviyvanoT zogierTi maTgani: 1. Tu mravalwevris yvela wevri Seicavs saerTo mamravls, igi SeiZleba frCxilebs gareT gavitanoT. magaliTad, 15 x 3 y + 3xy 2 − 6 x 2 y 2 = 3xy(5 x 2 + y − 2 xy) . am xerxs frCxilebs gareT gatanis xerxi ewodeba. 2. SeiZleba aRmoCndes, rom mravalwevris yvela wevrs ar hqondes saerTo mamravli, magram isini gaaCndes mravalwevris wevrTa calkeul jgufebs. Tu am mamravlebis frCxilebs gareT gatanis Semdeg frCxilebSi darCeba erTnairi gamosaxuleba da mas frCxilebs gareT gavitanT, mravalwevri daiSleba mamravlebad. magaliTad, 10a 2 − 2abc + 15ab − 3b 2c = 2a(5a − bc) + + 3b(5a − bc) = (5a − bc)(2a + 3b). am xerxs dajgufebis xerxi ewodeba. 3. zogjer mizanSewonilia mravalwevris zogierTi wevris ramdenime Sesakrebis jamis saxiT warmodgena, an mravalwevrisadmi axali wevris mimateba da gamokleba. magaliTad,

x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 3x − 4 x + 12 = x( x − 3) − 4( x − 3) = = ( x − 3)( x − 4), x4 + 4 y 4 = x4 + 4x2 y 2 + 4 y 4 − 4x2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − (2 xy) 2 = ( x 2 + 2 y 2 + 2 xy )( x 2 + 2 y 2 − 2 xy). 4. erTi cvladis Semcveli mravalwevris mamravlebad daSlisas, zogjer mosaxerxebelia gamoviyenoT Semdegi Teorema: Tu erTi cvladis Semcvel mTelkoeficientebian dayvanili saxis mravalwevrs gaaCnia mTeli fesvi, maSin igi Tavisufali wevris gamyofs warmoadgens. gavarCioT magaliTze mravalwevris mamravlebad daSlis xerxi, romelic am Teoremas eyrdnoba.

nbhbmjUj/!

davSaloT mamravlebad

p( x) = x5 − 2 x 3 + 6 x 2 − 5

mravalwevri. pirvel rigSi SevamowmoT Tavisufali wevris –5, -1, 1, 5 gamyofebidan romeli warmoadgens p(x) mravalwevris fesvs. e. i. mravalwevris erTaderTi mTeli fesvia x = 1 . bezus Teoremis Tanaxmad p(x) mravalwevri unaSTod gaiyofa (x − 1) –ze. SevasruloT aRniSnuli gayofa −

2 x5 − 2 x3 + 6 x − 5 x − 1 x 4 + x3 − x 2 + 5 x + 5 x5 − x 4

−

2 x 4 − 2 x3 + 6 x − 5

x 4 − x3 − x 3 + 6 x 2 −5 − x3 + x 2 −

5x2 − 5 5x 2 − 5x

−

5x − 5 5x − 5 0

e. i. x 5 − 2 x 3 + 6 x 2 − 5 = ( x − 1)( x 4 + x 3 − x 2 + 5 x + 5) .

§15. n –vsj!ybsjtyjt!gftwj/! n .vsj!ybsjtyjt!

bsjUnfujlvmj!gftwj

hbotb{Swsfcb/

n –uri xarisxis fesvi a namdvili ricxvidan, n ∈ N , n > 1 , ewodeba iseT x ricxvs, romlis n – uri xarisxi a –s tolia, e. i. xn = a . (1) imis mixedviT, Tu rogori ricxvia n , gvaqvs Semdegi SemTxvevebi. kenti ricxvia, maSin (1) tolobas 1. vTqvaT, n akmayofilebs x –is erTaderTi namdvili mniSvneloba. amrigad, kenti xarisxis fesvi arsebobs nebismieri a namdvili ricxvidan da igi erTaderTia. mis aRsaniSnavad gvaqvs n a _simbolo. n –s ewodeba xolo a –s_fesvqveSa gamosaxuleba. 3

magaliTad,

8=2

− 32 = −2 ,

fesvis radgan

maCvenebeli, 23 = 8

(− 2)

= −32 . 2. vTqvaT, n luwi ricxvia. Tu a > 0 , maSin (1) tolobas akmayofilebs x –is mxolod ori namdvili mniSvneloba da isini urTierTmopirdapire ricxvebs warmoadgenen. maT Soris

dadebiTi

simboloTi aRiniSneba, xolo misi mopirda-

pire ricxvi Caiwereba - n a saxiT. Tu a = 0 , arsebobs erTaderTi n –uri xarisxis fesvi

a –dan, romelic

simboloTi aRiniSneba. cxadia, rom

0 = 0 , radgan 0 = 0 . Tu a < 0 , maSin ar arsebobs iseTi namdvili x ricxvi, romelic (1) tolobas daakmayofilebs, e. i. luwi xarisxis fesvi uaryofiTi ricxvidan namdvil ricxvTa simravleSi n

ar arsebobs. sxvanairad rom vTqvaT, gamosaxulebas roca n luwia da a < 0 , azri ara aqvs. n

a gamosaxulebaSi n –s fesvis maCvenebeli, xolo a –s fesvqveSa gamosaxuleba ewodeba. mesame xarisxis fesvs kubur fesvs uwodeben, xolo meore xarisxisas_ kvadratuls. kvadratuli fesvis aRmniSvnel simboloSi

fesvis maCvenebeli ar iwereba. magaliTad, 2 5 = 5 . xSirad “fesvis” nacvlad xmaroben termins “radikali”. fesvis gansazRvrebidan gamomdinareobs, rom 2 k +1

a 2 k +1 = a, k ∈ N ,

xolo 2k

e. i. cxadia,

⎧a, roca a ≥ 0, a 2k = ⎨ ⎩− a, roca a < 0, k ∈ N .

a 2 k = a , kerZod

rom

marTebulia toloba

gamosaxulebas

( a) n

a2 = a .

azri

aqvs,

=a.

amrigad, rodesac a ≥ 0 gamosaxulebas n a yovelTvis aqvs azri da misi mniSvneloba arauaryofiTia. hbotb{Swsfcb/ n –uri xarisxis ariTmetikuli fesvi arauaryofiTi a ricxvidan (n ∈ N , n ≠ 1) , ewodeba iseT arauaryofiT ricxvs, romlis n –uri xarisxi a –s tolia. SevniSnoT, rom kenti xarisxis fesvi uaryofiTi ricxvidan ariTmetikuli fesvis saSualebiT Semdegnairad Caiwereba:

2 k +1

− a = − 2 k +1 a , a > 0, k ∈ N .

lwbesbuvmj!

gftwjt!

bnpSfcb!

obuvsbmvsj!

sjdywjebo/

CamovayaliboT naturaluri ricxvidan kvadratuli fesvis amoRebis wesi: 1. davyoT mocemuli ricxvi marjvnidan marcxniv ise, rom TiToeul danayofSi aRmoCndes or-ori cifri, garda SesaZlebelia marcxnidan pirvelisa (masSi SeiZleba aRmoCndes erTi cifric). 2. vipovoT udidesi cifri, romlis kvadrati ar aRemateba marcxnidan pirvel danayofSi mdgom ricxvs. napovni cifri warmoadgens fesvis pirvel cifrs. 3. vipovoT ricxvi, romelic miiReba Tu sxvaobas pirvel danayofSi mdgom ricxvsa da fesvis pirveli cifris kvadrats Soris mivuwerT meore danayofs. 4. fesvis meore cifrs warmoadgens is udidesi cifri, romelic akmayofilebs pirobas: am cifris namravli ricxvze, romelic miiReba gaorkecebuli pirveli cifrisadmi saZiebeli cifris miweriT, ar unda aRematebodes wina etapze napovn ricxvs. vipovoT sxvaoba

aRniSnul ricxvebs Soris, mivuweroT mas Semdegi danayofi da procesi gavagrZeloT analogiurad. Tu ukanasknel etapze napovni sxvaoba aRmoCnda nuli, maSin napovni cifrebisagan Sedgenili ricxvi warmoadgens kvadratul fesvs mocemuli ricxvidan. winaaRmdeg SemTxvevaSi kvadratuli fesvi mocemuli ricxvidan ar aris naturaluri ricxvi. praqtikulad kvadratuli fesvis amoRebis procesi mosaxerxebelia Caiweros ise, rogorc naCvenebia Semdeg magaliTze: 7,31,70, 25, = 2705 −4

47 3 31 7 3 29 5405 270 25 5 270 25 0

§16. bsjUnfujlvmj!gftwjt!Uwjtfcfcj!

Ufpsfnb!2/

Tu a ≥ 0 da b ≥ 0 , maSin n

ebnuljdfcb/

radgan

(

ab = n a ⋅ n b .

) ( ) ( ) n

a n b = n a ⋅ n b = ab , amitom ariTmetikuli fesvis gansazRvrebis Tanaxmad n

ab = n a ⋅ n b . Tu a ≥ 0 da b > 0 , maSin n

Ufpsfnb!3/

a = b

ebnuljdfcb/

radgan n

( ) ( )

n ⎛n a ⎞ ⎟ = a =a, ⎜ n ⎜nb⎟ n b b ⎠ ⎝ amitom ariTmetikuli fesvis gansazRvrebis Tanaxmad n

a = b

Ufpsfnb!4/

Tu a ≥ 0 da k ∈ N , maSin

( a)

ebnuljdfcb/ xarisxis Teoremidan gvaqvs:

( a)

= ak . gansazRvrebidan n

1-li

n n = n1a4 ⋅4 aK a = n14 a ⋅2 aK a = ak . 2 44 3 4 3 n

k −jer

Ufpsfnb!5/

k −jer

Tu a ≥ 0 , maSin a = nk a .

n k

ebnuljdfcb/

radgan

( )

n⎞ ⎛ k = ⎜ ⎛⎜ n k a ⎞⎟ ⎟ = k a = a , ⎜⎝ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ amitom ariTmetikuli fesvis gansazRvrebis Tanaxmad

⎛n ⎜ ⎝

a ⎞⎟ ⎠

a = nk a . Tu a ≥ 0 da m, k ∈ N , maSin n k

Ufpsfnb!6/

a mk = a m . Teorema 4-dan gvaqvs: nk

ebnuljdfcb/

a mk =

n k

a mk =

n k

(a )

m k

= am . n

ariTmetikuli fesvis Tvisebebidan gamomdinareobs, rom Tu a ≥ 0 da b ≥ 0 , maSin n

a nb = a n n b = a n b , n

e. i. n n

a nb

saxis

toli a n b ewodeba.

a nb = a n b .

gamosaxulebis

Secvlas

48 = 4 16 ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 = 24 3 . 18 x 3 yz 4 = 3xz 2 2 xy , ( x ≥ 0, y ≥ 0) .

2. 3

igivurad

gamosaxulebiT fesvidan mamravlis gamotana

nbhbmjUfcj! 1.

misi

(2 − 5 ) = (2 − 5 ) 2 − 4

⎧⎪(a − b ) 5 , Tu a ≥ b; 5(a − b) 2 = a − b 5 = ⎨ ⎪⎩(b − a ) 5 , Tu a < b.

a n b saxis gamosaxulebis Secvlas misi igivurad toli n

a n ⋅ b gamosaxulebiT mamravlis fesvSi Setana ewodeba.

nbhbmjUfcj! 3

1. 33 2 = 33 ⋅ 2 = 3 54 .

(3 − 7 )a

(3 − 7 ) ⋅ a , 4

a≥0.

3 . (x − y )5 3 = 5 3(x − y )5 . erTnairmaCvenebliani radikalebis gamravleba da gayofa xdeba pirveli da meore Teoremebis safuZvelze, xolo sxvadasxvamaCvenebliani radikalebi saWiroa winaswar daviyvanoT erTnair maCvenebelze mexuTe Teoremis gamoyenebiT.

nbhbmjUfcj! 1. 2.

48a 2b3 ⋅ 4a 4b = 192a 6b 4 = 2a 6ab 4 .

4 a 2b

2ab

= 3 2a , ab ≠ 0.

3. xy ⋅ 3 2 x 2 y = 6 x 3 y 3 ⋅ 6 4 x 4 y 2 = 6 4 x 7 y 5 = x 6 4 xy 5 , x ≥ 0, y ≥ 0 . 3

3x 2 y 2 4

81x8 y 8

3 6

= 12 81x 5 y 2 , x > 0, y ≠ 0 .

xy x y radikalebze moqmedebis Catarebisas zogjer mosaxerxebelia e. w. rTuli radikalebis formulebis gamoyeneba, romelTac Semdegi saxe aqvT:

sadac

a+ b =

a + a2 − b a − a2 − b , + 2 2

a− b =

a + a2 − b a − a2 − b , − 2 2

a > 0, b > 0 da a 2 ≥ b . 54

§17. sbdjpobmvsnbDwfofcmjboj!ybsjtyj! ariTmetikuli fesvis gansazRvrebidan da Tvisebebidan gamomdinareobs, rom

a m , rodesac m unaSTod iyofa n –

m = k , SeiZleba n naturalurmaCvenebliani xarisxis

( m, n ∈ N )

warmovadginoT

saxiT,

m an

= a m . ganvazogadoT xarisxis cneba SemTxvevaSi nebismieri racionaluri maCveneblisaTvis. m hbotb{Swsfcb/ Tu a > 0 da r = racionaluri ricxvia n ( m ∈ Z , n ∈ N , n ≠ 1 ), maSin n

ar = a n = am . a = 0 da r dadebiTi racionaluri n

hbotb{Swsfcb/

Tu ricxvia, maSin a = 0 . cxadia, rom Tu m, n ∈ N , maSin r

−

m n

m an

marTlac, roca n = 1 , es toloba gamomdinareobs mTelmaCvenebliani xarisxis gansazRvrebidan, xolo roca n ≠ 1 , maSin −

m n

= a−m = n n

1 am

1 n

1 m an

racionalurmaCveneblian xarisxs gaaCnia mTelmaCvenebliani xarisxis analogiuri Tvisebebi r

1. (a ⋅ b )r = a r ⋅ b r

ar ⎛a⎞ 2. ⎜ ⎟ = r ; b ⎝b⎠

3. a r1 ⋅ a r2 = a r1 + r2 ;

4. a r1

( )

a r1

= a r1 − r2 ; a r2 sadac a > 0 , b > 0 da r1 , r2 , r ∈ Q .

= a r1 ⋅r2 ,

davamtkicoT pirveli Tviseba. vTqvaT, r = n =1

m , maSin Tu n

(a ⋅ b)r = (a ⋅ b)m = a m ⋅ b m = a r br , xolo, rodesac n ≠ 1 m

(ab )r = (ab ) n

= n (ab )m = n a mb m = n a m n b m = a n b n = a r b r . analogiuri msjelobiT mtkicdeba danarCeni Tvisebebic.

§18. xjmbevs!hbnptbyvmfcbUb!hbsebrnob! cvladebis Semcvel gamosaxulebebs, romlebSic cvladebis mimarT gamoyenebulia Sekrebis, gamoklebis, gamravlebisa da naturalur xarisxSi axarisxebis operaciebi mTeli gamosaxulebebi ewodeba. magaliTad, x + 2 y2 2 3a 3 c − b, 3 5 mTeli gamosaxulebebia. cvladebis Semcvel gamosaxulebebs, romlebSic cvladebis mimarT gamoyenebulia Sekrebis, gamoklebis, gamravlebis, gayofisa da mTel xarisxSi axarisxebis operaciebi, racionaluri gamosaxulebebi ewodeba. Tu gamosaxulebaSi garda aRniSnuli moqmedebebisa cvladebis mimarT gamoyenebulia amofesvis an wilad xarisxSi axarisxebis operaciebi, maSin gamosaxulebas iracionalurs ewodeben. magaliTad, 2 4 x −2 − y −2 xy − 3 x+ y gamosaxulebebi racionaluria, xolo

a 2 b + c −1 ,

(a + b )

− 1,

x x−y y x

−y

gamosaxulebebi_iracionaluri. A saxis gamosaxulebas, sadac A da B aRniSnulia ricxviTi an cvladis gamosaxulebebi, algebrul wilads uwodeben.

asoebiT Semcveli

A gamosaxulebas wiladis mricxveli ewodeba, xolo B gamosaxulebas_mniSvneli. algebrul wiladebze vrceldeba yvela is Tviseba da moqmedebaTa Sesrulebis wesi, rac Cveulebriv wiladebs gaaCniaT.

nbhbmjUfcj! 1.

SekveceT wiladebi: ax + 2a a ( x + 2) a a) = ; = 2 x − 4 (x + 2)(x − 2 ) x − 2 b)

a 2 − ab + ac − bc 2

a − 2ab + b a+c ; = a−b

a(a − b ) + c(a − b )

(a − b )

( a) −2 = ( b( a − 2 )

− 2b

a a −8

(a − b )(a + c ) = (a − b )2

)( b( a − 2 )

a −2 a+2 a +4

a+2 a +4 . b 2. mospeT iracionaloba wiladis mniSvnelSi: =

1 5

a+ b 1 3

a +3 b

b) g)

a −3 b

a2 ; a

a− b

(

a+ b

)(

a− b

)

a− b ; a−b

(

a 2 − 3 ab + 3 b 2 = 3 2 3 2 ⎞ ⎛ 3 3 a + b ⎜ a − ab + b ⎟ ⎝ ⎠

)

(

a 2 + 3 ab + 3 b 2 = a − 3 b ⎛⎜ 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

)

a 2 + 3 ab + 3 b 2 . a −b 3. SeasruleT moqmedebani: 57 =

a3 5 a 2

a 2 − 3 ab + 3 b 2 ; a+b 1

a − ab 2

a ab − b

−

a+b b a a+b = + − = ab a(a − b ) b(a − b ) ab

2b b + a − a + b2 ; = ab(a − b ) a(a − b ) 2 (2 − a )2 ⋅ (3 − b )(3 + b ) = ⎛ a − 2 ⎞ 2a − a = ⎜ ⎟ : 9 − b2 ⎝ 3−b ⎠ (3 − b )2 a(2 − a ) (2 − a )(3 + b ) ; = a(3 − b ) 2

⎛ 2 1 3y g) ⎜⎜ − − 2 x y x y 2 + 2 − y − 4x 2 ⎝

⎞ ⎛ y2 1 ⎞ ⎟ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ 8x 2 − 2 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ y 2 − 4x 2 1 3y ⎟⎟ ⋅ = ⎜⎜ − + = 8x 2 ⎝ 2 x + y 2 x − y (2 x + y )(2 x − y ) ⎠ 4 x − 2 y − 2 x − y + 3 y ( y − 2 x )( y + 2 x ) 1 = ⋅ =− ; 2 (2 x + y )(2 x − y ) 4x 8x ⎛ x +3 y x −3 y d) ⎜⎜ + 1 1 x− y ⎜ x − 2x 2 y 2 + y ⎝ ⎛ x +3 y x −3 y ⎜ =⎜ + 2 ⎜ x− y x− y x+ ⎝ = = =

e) + +

(

x +3

1 ⎞ 12 ⎟ x −y 2 = ⎟⎟ ⋅ 2 ⎠ ⎞ x− y ⎟ ⋅ = 2 y ⎟⎟ ⎠

)( ) ) ( y )( x + y ) + ( x − 3 y )( x − y ) ⋅ ( x − y) ( x + y)

x− y

x + xy + 3 xy + 3 y + x − xy − 3 xy + 3 y

(

2 x− y

)(

x+ y

)

2x + 6 y = 2(x − y )

x + 3y ; x− y 1 5− 3

7− 5

( 7 + 5 )( 7 − (

5+ 3

( 5 − 3 )( 5 + 3 ) + 2( 7 − 3 ) 5+ 3 − = + 2 5 ) ( 7 + 3 )( 7 − 3 )

7+ 5

)

−

7− 5 2 7− 3 − = 2 4

7+ 3

5+ 3+ 7− 5− 7+ 3 = 3. 2

§19. gvordjb/!hbotb{Swsjt!bsf/!nojTwofmpcbUb! tjnsbwmf/!Tfrdfvmj!gvordjb vTqvaT mocemulia ori simravle X da Y . maT elementebs Soris SeiZleba damyardes sxvadasxva saxis Sesabamisoba, romlebsac aRniSnaven f , g , h,K asoebiT. hbotb{Swsfcb/ X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas, roca X simravlis yovel elements Y simravlis erTaderTi elementi Seesabameba, funqcia ewodeba. funqciis Casawerad, romelic amyarebs Sesabamisobas X da Y simravleebs Soris raime f wesiT, miRebulia aRniSvnebi: f X ⎯⎯→ Y , an f : X → Y , an y = f (x) , sadac x ∈ X , y ∈ Y . x -s uwodeben damoukidebel cvlads anu arguments, xolo f (x) –s funqciis mniSvnelobas, romelic Seesabameba mniSvnelobas. SemdgomSi xSirad argumentis x visargeblebT agreTve gamoTqmebiT: “ f funqcia”, “ f (x) funqcia”, an “ y funqcia”.

X simravles f

funqciis gansazRvris are ewodeba da D( f ) simboloTi AaRiniSneba. Y simravlis yvela im elementTa qvesimravles, romlebic X simravlis erT elements mainc Seesabamebian, f funqciis mniSvnelobaTa simravle an cvlilebis are ewodeba da E ( f ) simboloTi aRiniSneba. f funqcias, romlisTvisac D( f ) = X , xolo E ( f ) ⊂ y uwodeben agreTve X simravlis asaxvas Y simravleSi. aris X kerZod Tu E ( f ) = Y , maSin vityviT, rom f simravlis asaxva Y –ze. vTqvaT, mocemulia f funqcia, romelic X simravles asaxavs Y simravleze. Tu am funqciis Seqceuli g Sesabamisoba warmoadgens funqcias, maSin f –s ewodeba Seqcevadi, xolo g –s misi Seqceuli funqcia da igi simboloTi aRiniSneba. f

−1

funqciis

mniSvnelobaTa

gansazRvris

simravle

D( f ) ,

area e.

E( f ) , D( f

−1

xolo

) = E( f )

E ( f −1 ) = D ( f ) . f –s da f −1 –s urTierTSeqceul funqciebs uwodeben. SevniSnoT, rom Seqcevadia mxolod is funqcia, romelic Tavis yovel mniSvnelobas Rebulobs mxolod erTxel.

§20. sjdywjUj!gvordjb!eb!njtj!hsbgjlj/!

Tfrdfvmj!gvordjjt!hsbgjlj vTqvaT mocemulia funqciebi f : X → Y da g : Y → Z . am funqciaTa kompozicia (rTuli funqcia) ewodeba iseT F : X → Z funqcias, romelic gansazRvrulia tolobiT: F ( x) = g ( f (x )), x ∈ X . analogiurad SeiZleba y ganvixiloT rTuli funqcia, M0 romelic miiReba ramodenime y0 y0 = f ( x0 ) funqciis kompoziciiT y = f1 ( f 2 (K f n (x ))K) . x0 0 x funqcias, romlis gansazRvris are da mniSvnelobaTa simravle nax. 3 ricxviTi simravleebia, ricxviTi funqcia ewodeba. e. i. ricxviTi funqcia aris R simravlis raime D qvesimravlis asaxva R simravlis meore E qvesimravleze, sadac D warmoadgens funqciis gansazRvris ares, xolo E mniSvnelobaTa simravles. SemdgomSi Cven mxolod ricxviT funqciebs ganvixilavT, Tu ar iqna specialuri miTiTeba. hbotb{Swsfcb/! f funqciis grafiki ewodeba xOy (x; y ) wertilTa A simravles, sibrtyis yvela im romelTaTvisac y = f (x), sadac x ∈ D( f ) , e. i. A = {(x; y ) : x ∈ D( f ), y = f ( x)} . im kerZo SemTxvevaSi, rodesac y = f (x) funqciis gansazRvris area Ox RerZis raime Sualedi, funqciis grafiki sazogadod warmoadgens raRac wirs. (nax. 3) Tu y = f (x) funqcia Seqcevadia, maSin x = f −1 ( y ) . miRebulia, rom f da f −1 funqciebis argumentad erTi da igive cvladi vigulisxmoT da amitom y = f (x) funqciis Seqceuli funqcia Caiwereba

y= f

−1

( x)

saxiT. magaliTad,

x −1 funqcia. cxadia, rom 2 f f −1 ( x) = x da f −1[ f ( x)] = x . amasTan, imisaTvis, rom f funqcia iyos TavisTavis Seqceuli, aucilebelia, rom D( f ) = E ( f ) . daumtkiceblad moviyvanoT Teorema urTierTSeqceuli funqciebis grafikebis urTierTmdebareobis Sesaxeb. Ufpsfnb/ urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi simetriulia im wrfis mimarT, romelsac pirveli da mesame sakoordinato kuTxis biseqtrisebi Seadgenen. y = 2 x + 1 funqciis Seqceulia y =

[

]

§21. gvordjjt!npdfnjt!yfsyfcj gansazRvris Tanaxmad funqcia iTvleba mocemulad, Tu cnobilia funqciis gansazRvris are da Sesabamisobis wesi. amasTan, am wesis mocemis xerxi SezRuduli ar aris. ganvixiloT funqciis mocemis sami yvelaze ufro gavrcelebuli xerxi: cxriluri, grafikuli da analizuri. dysjmvsj! yfsyj/ bunebis movlenaTa Seswavlis dros xSirad saqme gvaqvs iseT cvladebTan, romelTa Soris arsebul damokidebulebas adgenen cdis safuZvelze. aseT SemTxvevaSi cdaTa Sedegebis mixedviT adgenen cxrils, romelSic mocemulia argumentis sxvadasxva mniSvnelobebis Sesabamisi funqciis mniSvnelobebi. funqciis mocemis aseT xerxs cxriluri xerxi ewodeba. hsbgjlvmj! yfsyj/ vTqvaT sibrtyeze aRebulia marTkuTxa koordinatTa sistema da am sistemaSi mocemulia iseTi M ( x; y ) wertilTa simravle, romelTagan arc erTi ori wertili ar Zevs Oy RerZis paralelur erTsadaimave wrfeze. wertilTa aseTi simravle gansazRvravs funqcias, romlis gansazRvris are da mniSvnelobaTa simravlea Sesabamisad mocemul wertilTa y simravlis abscisTa da ordinatTa y = f (x) M ( x; y ) simravleebi. marTlac, nebismier x y ricxvs gansazRvris aredan Seesabameba erTaderTi y ricxvi, iseTi, 0 x x rom M ( x; y ) wertili mocemul simravles ekuTvnis (nax. 4). funqciis mocemis aseT xerxs nax. 4.

grafikuli xerxi ewodeba. bobmj{vsj! yfsyj/ umetes SemTxvevaSi funqcia mocemulia furmulis saSualebiT, romelic gviCvenebs, Tu ra moqmedebebi unda CavataroT argumentze, rom miviRoT funqciis Sesabamisi mniSvneloba. aseT formulas funqciis analizuri gamosaxuleba ewodeba, xolo xerxs_funqciis mocemis analizuri xerxi. magaliTad, 2 2x − 9 ⎪⎧ x , roca x ≤ 0, y = 3x 2 − 1 ; ; f ( x) = ⎨ y= x+7 ⎪⎩ x + 1, roca x > 0 funqciebi mocemulia analizurad. Tu funqcia mocemulia formuliT da ar aris miTiTebuli gansazRvris are, maSin igulisxmeba, rom am funqciis gansazRvris area argumentis yvela im mniSvnelobaTa simravle, romlisTvisac formulas azri aqvs. ganvixiloT ramodenime magaliTi. 1. y = x 2 + 1 formuliT mocemulia funqcia, romlis gansazRvris area namdvil ricxvTa simravle, xolo mniSvnelobaTa simravlea [1;+∞[ Sualedi. 2. y = 16 − x 2 formula gansazRvravs funqcias, romlis gansazRvris area [− 4;4] , xolo mniSvnelobaTa simravle ki [0;4] Sualedi.

§22. {sebej!eb!lmfcbej-!Tfnptb{Swsvmj!eb!! Tfnpvtb{Swsfmj!gvordjfcj!

hbotb{Swsfcb/

funqcias ewodeba zrdadi raime simravleze, Tu am simravlis nebismieri x1 < x2 ricxvebisaTvis marTebulia utoloba f (x1 ) < f (x2 ) . hbotb{Swsfcb/! f funqcias ewodeba klebadi raime simravleze, Tu am simravlis nebismieri x1 < x2 ricxvebisaTvis marTebulia utoloba f (x1 ) > f (x2 ) . f

magaliTad, y = x 2 funqcia klebadia ]− ∞;0] SualedSi da zrdadia [0;+∞[ SualedSi. hbotb{Swsfcb/! f funqcias ewodeba araklebadi raime simravleze, Tu am simravlis nebismieri x1 < x2 ricxvebi-

sTvis marTebulia utoloba f (x1 ) ≤ f (x2 ) , xolo arazrdadi, Tu f (x1 ) ≥ f (x2 ) . me-5 naxazze gamosaxuli grafikiT mocemuli funqcia y [a; d ] araklebadia SualedSi, zrdadia [b; c] –Si, arazrdadia [a; b] da [c; e] Sualea c e b 0 d debSi da klebadia x [d; e] –Si. nax. 5 funqcias ewodeba monotonuri raime simravleze, Tu is am simravleze aris arazrdadi an araklebadi. Tu funqcia zrdadia an klebadi, maSin igi Tavis yovel mniSvnelobas mxolod erTxel Rebulobs, amitom igi Seqcevadia da misi Seqceuli funqcia Sesabamisad zrdadia an klebadia. hbotb{Swsfcb/ f funqcias ewodeba zemodan SemosazRvruli raime simravleze, Tu arsebobs iseTi M ricxvi, rom am simravlis nebismieri x ricxvisaTvis f ( x) ≤ M . hbotb{Swsfcb/ f funqcias ewodeba qvemodan SemosazRvruli raime simravleze, Tu arsebobs iseTi m ricxvi, rom am simravlis nebismieri x ricxvisaTvis f ( x) ≥ m . hbotb{Swsfcb/ funqcias ewodeba SemosazRvruli raime simravleze, Tu am simravleze igi SemosazRvrulia rogorc zemodan, aseve qvemodan. Tu funqcia ar aris SemosazRvruli raime simravleze, maSin mas SemousazRvreli funqcia ewodeba am simravleze. 1 SemosazRvrulia mTel RerZze, magaliTad, y = 1 + x2 1 1 radgan 0 < ≤ 1 , xolo y = funqcia SemousazRvrelia 2 x 1+ x gansazRvris areSi, Tumca igi zemodan SemosazRvrulia ]− ∞;0[ SualedSi da qvemodan SemosazRvrulia ]0;+∞[ SualedSi.

%23.!mvxj-!lfouj!eb!qfsjpevmj!gvordjfcj! vTqvaT, A ricxvTa raime simravlea. am simravles ewodeba simetriuli nulis mimarT, Tu x ∈ A pirobidan, gamomdinareobs, rom − x ∈ A . magaliTad, [− a; a ] , R, Z , Q nulis mimarT simetriuli simravleebia. hbotb{Swsfcb/ f funqcias ewodeba luwi, Tu misi gansazRvris are simetriulia nulis mimarT da nebismieri x ∈ D( f ) –saTvis f (− x) = f ( x) . magaliTad, y = x 2 da y = x luwi funqciebia.

hbotb{Swsfcb/ f funqcias ewodeba kenti, Tu misi gansazRvris are simetriulia nulis mimarT da nebismieri x ∈ D( f ) –isaTvis f (− x) = − f ( x) . magaliTad, y = x da y = x 3 kenti funqciebia. advili saCvenebelia, rom luwi funqciis grafiki simetriulia Oy RerZis mimarT, xolo kenti funqciis grafiki simetriulia koordinatTa saTavis mimarT. SevniSnoT, rom funqcia SeiZleba arc luwi iyos da arc kenti. magaliTad, kenti.

y = x2 + x

funqcia arc luwia da arc

hbotb{Swsfcb/! f funqcias ewodeba perioduli, periodiT l ≠ 0 , Tu nebismieri x ∈ D –saTvis ricxvebi x − l da x + l agreTve ekuTvnian D( f ) –s da marTebulia toloba: f ( x + l ) = f ( x) . gansazRvrebidan gamomdinareobs, rom Tu f funqciis periodi aris l da x ∈ D( f ) , maSin f ( x) = f (( x − l ) + l ) = f ( x − l ) . aseve SeiZleba vaCvenoT, rom f ( x + kl ) = f ( x) , sadac k ∈ Z . amrigad, yovel periodul funqcias gaaCnia periodTa usasrulo simravle. SemdgomSi funqciis periodis qveS 64

vigulisxmebT umcires dadebiT periods, Tu igi arsebobs da mas ZiriTad periods vuwodebT.

nbhbmjUfcj! 1. funqcia y = x − [x ] , sadac mTel ricxvs, romelic ar periodulia periodiT 1 (nax. 6).

[x]

warmoadgens udides x ricxvs, aRemateba

0 1 nax. 6

2. dirixles funqcia ⎧0, roca x racionaluria, f ( x) = ⎨ ⎩1, roca x iracionaluria periodulia da misi periodia nebismieri racionaluri r ricxvi. marTlac, Tu x racionaluria, maSin x + r agreTve racionaluria, xolo, Tu x iracionaluria, maSin x + r ricxvic iracionaluria, amitom dirixles funqciis gansazRvridan gamomdinareobs, rom f ( x + r ) = f ( x) , e.i. f ( x) periodulia periodiT r . amrigad, dirixles funqcia aris magaliTi iseTi funqciisa, romelsac umciresi dadebiTi periodi ar gaaCnia.

$24. gvordjjt!hsbgjljt!{phjfsUj!hbsebrnob! am paragrafSi CamovayalibebT wesebs, romelTa saSualebiT SeiZleba aigos y = f ( x + a) , y = f ( x) + a , (a ∈ R ) ,

y = f (− x) , y = − f ( x) , y = f ( x) da y = f ( x ) funqciaTa grafikebi,

Tu mocemulia y = f ( x) funqciis grafiki. 1. y = f ( x + a) funqciis grafiki miiReba

y = f ( x)

funqciis grafikisagan paraleluri gadataniT a manZilze, Ox RerZis mimarTulebiT, Tu a < 0 da sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu a > 0 (nax.7).

y y = f (x)

y = f ( x + a), a>0

−a

y = f ( x + a ), a<0

nax. 7 y y = f ( x ) + a, a>0

y = f (x)

y = f ( x) + a, a<0

nax. 8 2. y = f ( x) + a funqciis grafiki miiReba y = f ( x) funqci-

y=f(x)

y=f(-x)

is grafikisagan paraleluri gadataniT a manZilze Oy RerZis mimarTulebiT, Tu a > 0 da sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu a < 0 (nax. 8). 3. y = f (− x) funqciis grafiki simetriulia y = f ( x) y funqciis grafikisa Oy RerZis mimarT (nax. 9).

nax. 9

4. y = − f ( x) funqciis grafiki simetriulia funqciis grafikisa Ox RerZis mimarT (nax.10).

y = f ( x)

y=f(x)

0 y=-f(x)

nax. 10 5. y = f ( x) funqciis grafikis asagebad saWiroa y = f ( x) funqciis grafikis is nawili, romelic Ox RerZis qvemoT mdebareobs, simetriulad aisaxos Ox RerZis mimarT, xolo danarCeni nawili ucvlelad davtovoT (nax.11).

y=f(x)

y=‫׀‬f(x)‫׀‬

nax. 11 6. y = f ( x ) funqciis grafiki argumentis arauaryofiTi mniSvnelobebisaTvis emTxveva

y = f ( x)

funqciis grafiks.

radgan y = f ( x ) funqcia luwia, amitom simetriulia Oy RerZis mimarT (nax.12).

misi

grafiki

y=f(|x|)

y=f(x)

nax. 12

$25. xsgjwj!gvordjb! y = kx + b saxis funqcias, sadac k da b nebismieri namdvili ricxvebia, wrfivi funqcia ewodeba. am funqciis gansazRvris area namdvil ricxvTa R simravle. Tu k = 0 , maSin wrfivi funqcia miiRebs saxes y = b , e. i. am SemTxvevaSi is mudmivi funqciaa. roca k > 0 , maSin y = kx + b funqcia zrdadia. marTlac,

Tu x1 da x2 argumentis ori nebismieri mniSvnelobaa, amasTan, x1 < x2 , maSin funqciis Sesabamisi mniSvnelobebisaTvis gvaqvs: y1 − y2 = (kx1 + b ) − (kx2 + b ) = k (x1 − x2 ) < 0 , e.i. y1 < y2 . analogiurad mtkicdeba, rom rodesac k < 0 , y = kx + b funqcia klebadia. amrigad, y = kx + b funqcia monotonuria. vaCvenoT, rom y = kx + b funqciis grafiki warmoadgens wrfes. Tu k = 0 , maSin argumentis nebismieri mniSvnelobisaTvis funqcia Rebulobs erTi da igive b mniSvnelobas. cxadia, am SemTxvevaSi funqciis grafiki warmoadgens Ox RerZis RerZs (0; b ) paralelur wrfes, romelic hkveTs Oy wertilSi (nax.13). kerZod, roca b = 0 , maSin grafiki emTxveva Ox RerZs, amitom amboben, rom y = 0 warmoadgens Ox RerZis gantolebas.

b 0

nax. 13 roca b = 0 da k ≠ 0 , maSin y = kx . am funqciis grafiki gadis koordinatTa saTaveze, radgan (0;0) wertilis koordinatebi akmayofileben y = kx gantolebas. ganvixiloT saTavisagan gansxvavebuli M 0 (x0 ; y0 ) wertili, romelic saZebn grafikze Zevs. O(0;0) da M 0 (x0 ; y0 ) wertilebze gavataroT wrfe da vaCvenoT, rom igi warmoadgens mocemuli funqciis grafiks. radgan M 0 wertili grafikze Zevs, amitom

y0 = kx0 , anu

y0 = k = tgα , x0

sadac α aris OM 0 wrfis mier Ox RerZis dadebiT mimarTulebasTan Sedgenili kuTxe (nax. 14). grafikis nebismieri sxva M ( x; y ) y wertilisaTvis y = k = tgα . x

amitom M wertili Zevs OM 0 wrfeze. piriqiT, OM 0 wrfis nebismieri M ( x; y ) wertilisaTvis

M 0 ( x0 , y0 ) b

y = kx + b

y = tgα = k , anu y = kx . x amrigad, y = kx nax. 14 funqciis grafiki warmoadgens koordinatTa saTaveze gamaval wrfes, romlis daxris kuTxes gansazRvravs k koeficienti, romelsac wrfis kuTxuri koeficienti ewodeba. Tu k = 1 , funqcia miiRebs saxes y = x . am funqciis grafiki aris wrfe, romelic I da III sakoordinato y = kx

kuTxeebis biseqtrisaTa gaerTianebas warmoadgens da mas xSirad I da III sakoordinato kuTxeebis biseqtrisas uwodeben. roca b ≠ 0 da k ≠ 0 , maSin y = kx + b funqciis grafiki miiReba

y = kx

funqciis

grafikisagan

manZilze

paraleluri gadataniT Oy RerZis mimarTulebiT, Tu b > 0 da sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu b < 0 (nax.14). y = kx + b funqciis grafikis asagebad sakmarisia avagoT am grafikis ori wertili (magaliTad, RerZebTan gadakveTis wertilebi) da maTze gavavloT wrfe. SevniSnoT, rom Oy RerZis araparaleluri nebismieri wrfis gantoleba SeiZleba Caiweros y = kx + b saxiT, xolo Oy RerZis paraleluri nebismieri wrfis gantolebas aqvs saxe x = a , sadac a mocemuli wrfis Ox RerZTan x=0 gadakveTis wertilis abscisaa (nax.15). kerZod, warmoadgens Oy RerZis gantolebas.

x=a

nax. 15

$26. y =

k gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj! x

k x D( y ) = ]− ∞;0[ U ]0;+∞[ .

ganvixiloT y =

(k ≠ 0) es

funqcia. am funqciis gansazRvris area funqcia

kentia,

radgan

k k = − = − f ( x) , amitom misi grafiki simetriulia x −x koordinatTa saTavis mimarT. f (− x) =

] 0;+∞[

k > 0 , funqcia klebadia rogorc ]− ∞;0[ aseve SualedSi. marTlac, Tu x1 , x2 ∈ ]− ∞;0[ da x1 < x2 ,

k k k (x2 − x1 ) − = > 0 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . amasTan, x1 x2 x1 x2 am SualedSi funqciis cvlilebis area ]− ∞;0[ . aseve, Tu x1 , x2 ∈ ] 0;+∞[ da x1 < x2 , maSin f ( x1 ) > f ( x2 ) da ] 0;+∞[ . am SualedSi funqciis cvlilebis area analogiurad mtkicdeba, rom Tu k < 0 , maSin aRniSnul SualedebSi funqcia zrdadia, amasTan ]− ∞;0[ SualedSi funqciis cvlilebis area ]0;+∞[ , xolo ]0;+∞[ SualedSi ki_ ]− ∞;0[ . k mTel gansazRvris areSi SevniSnoT, rom funqcia y = x monotonuri ar aris. zemoT moyvanili Tvisebebidan y k funqciis grafiki gamomdinare y = x k >0 Sedgeba ori Stosagan, romlebic moTavsebulia I da III sakoordinato meoTxedebSi, roca k > 0 0 x (nax.16), xolo II da IV meoTxedebSi, roca k < 0 (nax.17).

maSin f ( x1 ) − f ( x2 ) =

k x

funqciis grafiks hi-

perbola ewodeba. nax. 16 imisaTvis, rom k –s konkretuli mniSvnelobisaTvis hiperbola aigos ufro zustad, mizanSewonilia winaswar avagoT grafikis zogierTi wertili.

y k <0

nax. 17

$27. xjmbe.xsgjwj!gvordjb! ax + b funqcias, sadac a, b, c da d mocemuli cx + d ricxvebia, amasTan c ≠ 0 da ad ≠ bc , wilad-wrfivi funqcia ewodeba. am funqciis gansazRvris area yvela namdvil d x = − . martivi ricxvTa simravle, garda ricxvisa c gardaqmnebiT wilad-wrfiv funqcias SeiZleba mieces saxe ad b− a c . y= + c cx + d aqedan gamomdinareobs, rom wilad-wrfivi funqciis grafiki aris hiperbola. 2x + 7 nbhbmjUj/! avagoT y = funqciis grafiki. x+3 bnpytob/ am funqciis gansazRvris area D( y ) = ]− ∞;−3[ U ]− 3;+∞[ . CavweroT mocemuli funqcia aseTi saxiT 1 y = 2+ x+3 Tu gaviTvaliswinebT $24-is pirvel da meore punqtebs, 1 funqciis cxadia, rom am funqciis grafiki miiReba y = x y=

grafikisagan paraleluri gadataniT Ox sawinaaRmdego mimarTulebiT 3 erTeuliT da Oy mimarTulebiT 2 erTeuliT (nax. 18).

RerZis RerZis

2 -3

nax. 18

$28. lwbesbuvmj!gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj! y = ax 2 + bx + c funqcias, sadac a≠0 kvadratuli funqcia ewodeba. am funqciis gansazRvris area namdvil ricxvTa simravle.

roca b = c = 0 , maSin y = ax 2 . es funqcia luwia, radgan f (− x) = a(− x) 2 = ax 2 = f ( x) . amitom misi grafiki simetriulia Oy RerZis mimarT. Tu a > 0 , maSin E ( y ) = [0;+∞[ . es funqcia klebadia ]− ∞;0] SualedSi, xolo [0;+∞[ SualedSi zrdadia. marTlac, Tu x1 , x2 ∈ ]− ∞;0] da x1 < x2 , maSin

(

)

f ( x1 ) − f ( x2 ) = ax12 − ax22 = a x12 − x22 = a(x1 − x2 )(x1 + x2 ) > 0 ⇒ f ( x1 ) >

lebas gvaZlevs

avagoT

y = ax 2

y=ax2 (a<0)

aseve, Tu x1 , x2 ∈ [0;+∞[ da x1 < x2 , maSin f ( x1 ) < f ( x2 ) . Tu a < 0 , maSin E ( y ) = ]− ∞;0] . am SemTxvevaSi funqcia zrdadia ]− ∞;0] SualedSi, xolo [0;+∞[ SualedSi klebadia. zemoT moyvanili Tvisebebi saSua-

y=ax2 (a>0)

> f ( x2 ).

nax. 19

funqciis grafiki, romelsac parabola ewodeba (nax. 19). zogad SemTxvevaSi y = ax 2 + bx + c funqciis grafikis asagebad misi marjvena mxare Semdegnairad gardavqmnaT: ⎛ b c⎞ b b2 b2 c ⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a⎜ x 2 + x + ⎟ = a⎜ x 2 + 2 x+ 2 − 2 + ⎟ = ⎜ 2a a a⎠ a ⎟⎠ 4a 4a ⎝ ⎝ 2 2 ⎡⎛ b ⎞ b ⎞ 4ac − b 2 ⎤ 4ac − b 2 ⎛ = a ⎢⎜ x + ⎥ = a x + + . ⎟ + ⎜ ⎟ 2a ⎠ 2a ⎠ 4a 4a 2 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣⎝ Catarebul gardaqmnebs kvadratuli samwevridan sruli kvadratis gamoyofa ewodeba. amrigad 2

b ⎞ 4ac − b 2 ⎛ . y = a⎜ x + ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝ Tu gaviTvaliswinebT $24-is 1-el da me-2 punqtebs, cxadia, rom kvadratuli funqciis grafiki warmoadgens

parabolas, romelic miiReba paraleluri gadataniT

b 2a

y = ax 2

funqciis grafikis

manZiliT Ox RerZis mimarTulebiT,

b b < 0 , xolo sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu >0 2a 2a

4ac − b 2 4a

manZiliT

Oy RerZis mimarTulebiT, Tu

xolo sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu

4ac − b 2 > 0, 4a

4ac − b 2 <0. 4a

⎛ b 4ac − b 2 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 2a ; 4a ⎟ wertils parabolas wvero ewodeba, ⎝ ⎠ b xolo x = − wrfes, romelic parabolis simetriis RerZs 2a warmoadgens parabolis RerZi ewodeba. b 2 − 4ac gamosaxulebas kvadratuli samwevris diskriminanti ewodeba da D asoTi aRiniSneba. abscisTa RerZis mimarT kvadratuli funqciis grafikis mdebareobis eqvsi SesaZlo SemTxveva gamosaxulia me-20 naxazze. rogorc naxazidan Cans, roca a > 0 , parabolis Stoebi mimarTulia zeviT, xolo, roca a < 0 _qveviT.

a>0

a<0

D>0

D=0

D<0

nax. 20

$29. ybsjtypwboj!gvordjb!obuvsbmvsj!nbDwfofcmjU! y = ax n saxis funqcias, sadac a ≠ 0 , n ∈ N , ewodeba xarisxovani funqcia naturaluri maCvenebliT. am funqciis gansazRvris area namdvil ricxvTa R simravle. a -sa da n –is nebismieri mniSvnelobebisaTvis xarisxovani funqciis grafiki gadis koordinatTa saTaveze da (1; a ) wertilze, radgan am wertilebis

koordinatebi akmayofileben y = ax n gantolebas. Tu n = 2k , k ∈ N , xarisxovani funqcia luwia, radgan f (− x) = a (− x) 2 k = ax 2 k = f ( x) ,

xolo, roca n = 2k − 1 , k ∈ N , _kentia, radgan f (− x) = a (− x) 2 k −1 = − ax 2 k −1 = − f ( x) . n = 1 da n = 2 mniSvnelobebisaTvis xarisxovani funqcia warmoadgens Sesabamisad wrfiv da kvadratul funqciebs.

roca n = 3 , maSin y = ax 3 . Tu a > 0 es funqcia zrdadia, xolo Tu a < 0 _klebadi; misi grafiki warmoadgens e. w. kubur parabolas (nax. 21). roca n > 3 , maSin y = ax n funqciis grafiks n –uri rigis parabola ewodeba. formiT igi waagavs parabolas an kubur parabolas Sesabamisad luwi da kenti maCveneblebisaTvis.

y y = ax 3 (a > 0)

y = ax3 (a < 0)

0 1

nax. 21

$30. y = n x gvordjb! vTqvaT, mocemulia y = n x (n ∈ N , n ≠ 1) funqcia. ganvixiloT Semdegi ori SemTxveva. 1. n erTisagan gansxvavebuli kenti ricxvia, e. i. n = 2k + 1 , k ∈ N , maSin y = 2 k +1 x D( y ) = R .

funqcia

zrdadia

funqciis gansazRvris are R –ze, rogorc zrdadi

y = x 2 k +1 funqciis Seqceuli funqcia. radgan urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi simetriulia y = x

wrfis mimarT, amitom Semdegi saxe (nax. 22).

y = 2 k +1 x

funqciis grafiks eqneba

y y=x y = x 2 k +1

2k +1

nax. 22

y=x y=x

nax. 23 2. n luwi ricxvia, e. i. n = 2k , k ∈ N , maSin y = 2 k x funqciis gansazRvris are D( y ) = [0;+∞[ . es funqcia

[0;+∞[ Sualedze zrdadi y = x 2k zrdadia, rogorc funqciis Seqceuli funqcia. radgan urTierTSeqceuli funqciebis grafikebi simetriulia y = x wrfis mimarT, amitom (nax.23).

y = 2k x

funqciis

grafiks

eqneba

Semdegi

saxe

$31. hboupmfcb!

hbotb{Swsfcb/ tolobas, romelic cvlads Seicavs gantoleba ewodeba. imis mixedviT, Tu ramden cvlads Seicavs gantoleba, igi SeiZleba iyos erTcvladiani, orcvladiani da a.S. erTcvladiani gantolebis amonaxsni (fesvi) ewodeba cvladis mniSvnelobas, romelic gantolebas WeSmarit tolobad aqcevs. Tu gantoleba Seicavs erTze met cvlads, maSin misi amonaxsni iqneba Sesabamisad, cvladebis mniSvnelobaTa dalagebuli wyvili, sameuli da a. S., romelic gantolebas WeSmarit tolobad aqcevs. magaliTad, 3x − 1 = 2 x + 5 gantolebis amonaxsnia ricxvi 6, radgan 3 ⋅ 6 − 1 = 2 ⋅ 6 + 5 , xolo 3x − y = 5 gantolebis erTerTi amonaxsnia (2;1) wyvili, radgan 3 ⋅ 2 − 1 = 5 . TfojTwob/ ukanasknel magaliTSi x cvlads vTvliT pirvel cvladad, y cvlads ki_meored, amitom (2;1) wyvilisagan gansxvavebiT (1;2) wyvili ar warmoadgens 77

ganxiluli gantolebis amonaxsns arCeuli dalagebis mimarT. gantolebis yvela amonaxsnTa erTobliobas gantolebis amonaxsnTa simravle ewodeba. gantolebis amonaxsnTa simravle SeiZleba iyos, rogorc sasruli (kerZod, carieli), aseve usasrulo. magaliTad, 5 x + 3 = 5 x gantolebis amonaxsnTa simravle carielia; (x + 2 )(x − 3) = 0 gantolebis

amonaxsnTa

{− 2;3} , [0;+∞[ .

simravlea

xolo

x =x

gantolebis amonaxsnTa simravlea gantolebis amoxsna niSnavs, misi amonaxsnTa simravlis povnas. erTi da imave cvladebis Semcvel gantolebebs ewodeba tolfasi, Tu maTi amonaxsnTa simravleebi erTmaneTis tolia, roca TiToeuli amonaxsni dalagebulia erTi da imave mimdevrobiT. gantolebis amoxsnis procesSi mizanSewonilia SevcvaloT igi misi tolfasi, ufro martivi gantolebiT, risTvisac sargebloben gantolebaTa Semdegi TvisebebiT: 1. Tu gantolebis orive mxares davumatebT erTsa da imave ricxvs, miviRebT mocemuli gantolebis tolfas gantolebas. 2. Tu gantolebis erTi mxaridan meoreSi gadavitanT romelime Sesakrebs mopirdapire niSniT, miviRebT mocemuli gantolebis tolfas gantolebas. 3. Tu gantolebis orive mxares gavamravlebT nulisagan gansxvavebul erTsa da imave ricxvze, miviRebT mocemuli gantolebis tolfas gantolebas. TfojTwob! 2/ gantolebis amoxsnis procesSi zogjer saWiroa iseTi gardaqmnis Catareba, romlis Sedegadac sazogadod ar miiReba mocemuli gantolebis tolfasi gantoleba. kerZod, gantolebis orive mxaris axarisxebiT an cvladis Semcvel mTel gamosaxulebaze gamravlebiT SeiZleba gaCndes gareSe amonaxsnebi, amitom unda Semowmdes, akmayofileben Tu ara miRebuli amonaxsnebi mocemul gantolebas. magaliTad,

2+ x = x

gantolebis

orive

mxares

avaxarisxebT kvadratSi, miviRebT gantolebas 2 + x = x 2 , romlis amonaxsnebia –1 da 2, magram –1 ar warmoadgens mocemuli gantolebis amonaxsns.

TfojTwob! 3/! Tu gantolebis orive mxares gavyofT cvladis Semcvel mTel gamosaxulebaze, SeiZleba zogierTi amonaxsni daikargos. magaliTad, x 2 = x gantolebis amonaxsnebia 0 da 1. am gantolebis orive mxaris x –ze gayofiT x = 0 amonaxsni ikargeba. Tu gantoleba mocemulia g ( x) ⋅ ϕ ( x) = 0 (1) saxiT, maSin misi amonaxsnTa simravle warmoadgens g ( x) = 0 (2) da ϕ ( x) = 0 (3) gantolebebis yvela im amonaxsnebis gaerTianebas, romlebic erTdroulad ekuTvnian g (x) da ϕ (x) funqciebis gansazRvris areebs. nbhbmjUj/!amovxsnaT gantoleba

(x − 2 )

1− x = 0 .

(4)

1 − x = 0 gantolebis amonaxsnia x = 1 , xolo gantolebisa ki x = 2 . ricxvi 1 erTdroulad

bnpytob/

x−2=0

ekuTvnis

1− x

x−2

funqciaTa gansazRvris areebs,

xolo 2 ar ekuTvnis 1 − x funqciis gansazRvris ares, amitom (4) gantolebis amonaxsnia x = 1 . g (x) da ϕ (x) im kerZo SemTxvevaSi, roca mravalwevrebia, maSin (1) gantolebis amonaxsnTa simravle warmoadgens (2) da (3) gantolebebis amonaxsnTa simravleebis gaerTianebas.

(

)

(x − 3) x 2 − 4 = 0 gantolebis amonaxsnTa magaliTad, simravlea {− 2, 2, 3} , radgan x − 3 = 0 gantolebis amonaxsnia 3, xolo x 2 − 4 = 0 gantolebisa ki –2 da 2. me-2 Tvisebis gamoyenebiT nebismier erTcvladian gantolebas SeiZleba mivceT saxe f ( x) = 0 . (5) (5) gantolebis amonaxsnTa simravle warmoadgens y = f (x) funqciis grafikis Ox RerZTan gadakveTis wertilebis abscisTa simravles (nax. 24).

Tu y = f (x) ganvixilavT, rogorc orcvladian gantolebas, maSin mas daakmayofileben 24-e naxazze agebuli grafikis nebismieri wertilis koordinatebi. y

nax. 24

! hbotb{Swsfcb/! orcvladiani

gantolebis grafiki ewodeba sibrtyis yvela im wertilTa simravles, romelTa koordinatebi akmayofileben mocemul gantolebas. SevniSnoT, rom orcvladiani gany tolebis grafiki sazogadod ar warmoadgens raime funqciis grafiks. magax0

nax. 25

liTad, x 2 + y 2 = 1 gantolebis grafikia wrewiri (nax. 25), romelic ar warmoadgens funqciis grafiks, radgan abscisis yovel mniSvnelobas ]− 1;1[ Sualedidan Seesabameba ordinatis ori mniSvneloba.

$32. fsUdwmbejboj!xsgjwj!eb!lwbesbuvmj!

!hboupmfcfcj! ax + b = 0 saxis gantolebas, sadac x cvladia, xolo a da b nebismieri namdvili ricxvebia, wrfivi erTcvladiani gantoleba ewodeba, Tu a ≠ 0 . mas aqvs erTaderTi amonaxsni b x=− . a wrfivi gantoleba SeiZleba grafikuladac amoixsnas. ax + b = 0 gantolebis amonaxsni warmoadgens y = ax + b wrfis Ox RerZTan gadakveTis wertilis abscisas. ax 2 + bx + c = 0 saxis gantolebas, sadac x cvladia, xolo a , b da c nebismieri namdvili ricxvebia, a ≠ 0 ,

kvadratuli gantoleba ewodeba. a –s ewodeba kvadratuli gantolebis pirveli koeficienti, b -s meore koeficienti, xolo c –s Tavisufali wevri. Tu a = 1 , gantolebas dayvanili saxis kvadratuli gantoleba ewodeba. gamoviyvanoT kvadratuli gantolebis amonaxsnTa formula. amisaTvis gantolebis orive mxare gavamravloT 4a –ze da SevasruloT martivi igivuri gardaqmnebi. miviRebT: ax 2 + bx + c = 0 ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 ⇔ ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 + 4ac = b 2 ⇔ (2ax + b )2 = b 2 − 4ac .

Tu diskriminanti D = b 2 − 4ac < 0 , maSin (2 x + b )2 = b 2 − 4ac toloba ar aris WeSmariti x –is arcerTi namdvili mniSvnelobisaTvis, amitom kvadratul gantolebas namdvil ricxvTa simravleSi amonaxsni ar gaaCnia. Tu D = 0 , maSin gantolebas aqvs saxe: (2ax + b )2 = 0 ⇔ 2ax + b = 0 ⇔ x = − b , 2a e. i. am SemTxvevaSi gantolebas aqvs erTaderTi amonaxsni, b –s tolia. romelic − 2a Tu D > 0 , gveqneba:

(2ax + b )2 = b 2 − 4ac ⇔ 2ax + b = ±

b 2 − 4ac .

aqedan − b ± b 2 − 4ac , 2a e. i. am SemTxvevaSi gantolebas aqvs ori amonaxsni: x=

(1)

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac , x2 = . 2a 2a amgvarad, kvadratuli gantolebis amonaxsnTa arseboba da maTi raodenoba damokidebulia diskriminantze. Tu davuSvebT, rom b = 2k , maSin (1) formulas SeiZleba mivceT saxe: x1 =

− k ± k 2 − ac . a sargebloba mosaxerxebelia, x=

am formuliT luwi ricxvia.

rodesac

rodesac b da c ricxvebidan erTi mainc nulia, maSin gantolebas ewodeba arasruli saxis kvadratuli gantoleba. arasruli kvadratuli gantolebis amoxsna mizanSewonilia (1) formulis gamoyenebis gareSe. ganvixiloT Semdegi SemTxvevebi: 1. Tu b ≠ 0 da c = 0 , gveqneba

ax 2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b ) = 0 , b saidanac x1 = 0 , x2 = − . a 2. Tu b = 0 da c ≠ 0 , gveqneba c ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 = − . a aqedan Cans, rom gantolebas amonaxsni ar gaaCnia, rodesac a –sa da c –s aqvT erTnairi niSani, xolo rodesac maT mopirdapire niSnebi aqvT, maSin gantolebis amonaxsnebia: x1 = −

c c da x2 = − − . a a

3. Tu b = c = 0 , maSin ax 2 = 0 da misi amonaxsnia 0. $33. wjfujt!Ufpsfnb!

! 2

Ufpsfnb/! Tu ax + bx + c = 0 kvadratuli gantolebis diskriminanti D > 0 , maSin gantolebis amonaxsnTa jami b c –s. udris − –s, xolo namravli a a ebnuljdfcb/ roca D > 0 , maSin kvadratul gantolebas aqvs ori amonaxsni x1 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac , x2 = . 2a 2a

aqedan x1 + x2 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac b + =− ; 2a 2a a

x1 ⋅ x2 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ⋅ = 2a 2a 82

(− b )2 − ⎛⎜

b 2 − 4ac ⎞⎟ 2 2 ⎝ ⎠ = b − b − 4ac = c . a 4a 2 4a 2

(

)

e. i. b c da x1 ⋅ x2 = . a a am Teoremas ewodeba vietis Teorema. igi amyarebs kavSirs kvadratuli gantolebis amonaxsnebsa da koeficientebs Soris. TfojTwob/! vietis Teorema marTebulia im SemTxvevaSic, b . rodesac D = 0 , Tu CavTvliT, rom x1 = x2 = − 2a Tfefhj/ Tu x 2 + px + q = 0 dayvanili kvadratuli gantox1 + x2 = −

lebis amonaxsnebia x1 da x2 , maSin x1 + x2 = − p , x1 ⋅ x2 = q . e. i. dayvanili kvadratuli gantolebis amonaxsnTa jami udris meore koeficients mopirdapire niSniT, xolo namravli_Tavisufal wevrs. im SemTxvevaSi, rodesac saWiroa kvadratuli gantolebis Sedgena misi amonaxsnebis mixedviT, gamoiyeneba vietis Teoremis Sebrunebuli Teorema. Ufpsfnb/ Tu m da n ricxvebis jami tolia (− p ) –si, xolo namravli q –si, maSin m da n x 2 + px + q = 0 (1) gantolebis amonaxsnebia. ebnuljdfcb/ pirobis Tanaxmad m + n = − p , xolo m ⋅ n = q , amitom (1) gantoleba SeiZleba Semdegnairad CavweroT: x 2 − (m + n )x + mn = 0 . gardavqmnaT am gantolebis marcxena mxare

(2)

x 2 − (m + n )x + mn = x 2 − mx − nx + mn = x(x − m ) − n(x − m ) =

= (x − m )(x − n ) . cxadia, rom (x − m )(x − n ) gantoleba (2) gantolebis tolfasia da mas, m -isa da n –is garda sxva amonaxsni ara aqvs.

amrigad, m da n ricxvebi amonaxsnebia.

x 2 + px + q = 0

gantolebis

$34. lwbesbuvmj!tbnxfwsjt!ebTmb!nbnsbwmfcbe

! vTqvaT, mocemulia kvadratuli samwevri ax 2 + bx + c , sadac a , b da c namdvili ricxvebia, a ≠ 0 , xolo x cvladia. Tu x1 da x2 kvadratuli samwevris fesvebia, maSin isini warmoadgenen ax 2 + bx + c = 0 gantolebis amonaxsnebs da vietis Teoremis Tanaxmad b c (1) x1 + x2 = − , x1 x2 = . a a (1) tolobebis safuZvelze kvadratuli samwevri Semdegnairad gardavqmnaT b c⎞ ⎛ ax 2 + bx + c = a⎜ x 2 + x + ⎟ = a x 2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = a a⎠ ⎝ = a x 2 − x1 x − x2 x + x1 x2 = a(x ( x − x1 ) − x2 ( x − x1 ) ) = a(x − x1 )(x − x2 ) . amrigad

(

)

ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ,

sadac x1 da x2 mocemuli kvadratuli samwevris fesvebia. miRebul tolobas kvadratuli samwevris mamravlebad daSlis formula ewodeba.

SevniSnoT, rom Tu D = 0 , maSin ax 2 + bx + c = a(x − x0 )2 , sadac x0 kvadratuli samwevris fesvia, xolo, Tu D < 0 kvadratuli samwevri wrfiv mamravlebad ar daiSleba.

$35. cjlwbesbuvmj!hboupmfcb!

! 4

ax + bx + c = 0 saxis gantolebas, sadac x cvladia, xolo a , b da c nebismieri namdvili ricxvebia, a ≠ 0 , bikvadratuli gantoleba ewodeba.

Tu SemoviRebT aRniSvnas x 2 = y , miviRebT kvadratul gantolebas y cvladis mimarT ay 2 + by + c = 0 . ganvixiloT Semdegi SemTxvevebi:

(1)

1. Tu D = b 2 − 4ac < 0 , maSin bikvadratul gantolebas namdvil ricxvTa simravleSi amonaxsni ar gaaCnia.

b , 2a gantolebis

2. Tu D = 0 , maSin (1) gantolebis amonaxsnia y = − amitom

aRniSvnis

Tanaxmad, bikvadratuli b gantolebis amoxsnaze. amoxsna daiyvaneba x = − 2a 3. Tu D > 0 , maSin (1) gantolebis amonaxsnebia 2

−b+ D −b− D , y2 = 2a 2a amoxsna daiyvaneba y1 =

da bikvadratuli gantolebis

−b+ D −b− D , x2 = 2a 2a gantolebebis amoxsnaze. TfojTwob/! bikvadratuli gantolebis amoxsnis procesSi gamoyenebuli axali cvladis Semotanis xerxi gamoiyeneba zogierTi sxva tipis gantolebebis amoxsnis drosac. nbhbmjUj/ amovxsnaT gantoleba x2 =

6x 2x2 + 1 + = 2,5 . 6x 2x2 + 1

bnpytob/

Tu SemoviRebT aRniSvnas

(2)

6x = y , miviRebT 2x2 + 1

gantolebas y+

1 = 2,5 . y

(3)

aqedan y 2 − 2,5 y + 1 = 0 ⇔ 2 y 2 − 5 y + 2 = 0 , saidanac y=

5 ± 25 − 16 5 ± 3 = , 4 4

1 . Tu gaviTvaliswinebT aRniSvnas, mivi2 RebT Semdeg gantolebebs 6x 1 6x = 2 da = . 2 2 2x + 1 2 2x + 1 amovxsnaT TiToeuli maTgani:

e. i.

y1 = 2 ,

y2 =

6x = 2 ⇔ 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ∗ 2x2 + 1

aqedan x=

3 ± 9 − 8 3 ±1 1 = ⇒ x1 = 1, x2 = . 4 4 2 6x 1 = ⇔ 2 x 2 − 12 x + 1 = 0 . 2x2 + 1 2

aqedan 6 ± 36 − 2 6 + 34 6 − 34 , x4 = ⇒ x3 = . 2 2 2 amrigad (2) gantolebis amonaxsnTa simravlea ⎧⎪ 1 6 + 34 6 − 34 ⎫⎪ , ⎨1, , ⎬. 2 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 x=

$36.!jsbdjpobmvsj!hboupmfcfcj

gantolebas, romelic cvlads Seicavs radikalis niSnis qveS, iracionaluri gantoleba ewodeba. iracionaluri gantolebis amosaxsnelad mosaxerxebelia is Seicvalos sxva gantolebiT, romelSic cvladi radikalis niSnis qveS aRar imyofeba. es xSirad miiRweva gantolebis orive mxaris garkveul xarisxSi axarisxebiT. zogjer saWiroa am operaciis ramdenimejer Catareba. axarisxebis Sedegad miRebuli gantoleba sazogadod ar iqneba mocemuli gantolebis tolfasi (SeiZleba gaCndes e. w. gareSe fesvi). amitom miRebuli gantolebis TiToeuli fesvi unda Semowmdes mocemul gantolebaSi CasmiT. amovxsnaT gantoleba x + 3 + 2x − 1 = 5x + 4 . gantolebis orive mxaris kvadratSi axarisxebiT gveqneba: x + 3 + 2 x + 3 2 x − 1 + 2 x − 1 = 5x + 4 .

aqedan 2

∗ es

(x + 3)(2 x − 1) = 2 x + 2 ⇔

2 x 2 + 5x − 3 = x + 1 .

ori gantoleba tolfasia, radgan x -is nebismieri mniSvnelobisaTvis

2x 2 + 1 ≠ 0 .

miRebuli gantolebis kvadratSi axarisxeba gvaZlevs: 2 x 2 + 5 x − 3 = x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 .

aqedan x1 = 1 , x2 = −4 . SemowmebiT advilad davrwmundebiT, rom 1 warmoadgens mocemuli gantolebis fesvs, xolo _4 gareSe fesvia.

$37. hboupmfcbUb!tjtufnfcj!

! hbotb{Swsfcb/!

erTidaimave sasrul simravles

cvladebis Semcvel gantolebaTa gantolebaTa sistema ewodeba. vityviT, rom mocemulia n cvladiani m gantolebis sistema, Tu igi Seicavs n cvlads da m gantolebas.

{

}

magaliTad, x 2 + y 2 − 3 z = 6, 2 x − 5 y = 0 gantolebaTa simravle warmoadgens 3-cvladian 2 gantolebis sistemas da mas Semdegi saxiT CavwerT ⎧⎪ x 2 + y 2 − 3 z = 6 ⎨ ⎪⎩2 x − 5 y = 0. gantolebaTa sistemis amonaxsni ewodeba am sistemaSi Semavali yvela gantolebis saerTo amonaxsns. sistemis yvela amonaxsnTa erTobliobas gantolebaTa sistemis amonaxsnTa simravle ewodeba. gantolebaTa sistemis amonaxsnTa simravle SeiZleba iyos, rogorc sasruli (kerZod carieli), aseve usasrulo. magaliTad, ⎧3 x + y = 5 ⎨ ⎩3 x + y = 6 sistemis amonaxsnTa simravle carielia, ⎧⎪ x − y = 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x + y = 0 sistemis amonaxsnTa simravlea {(0;0), (−1;−1)} , xolo

sistemis amonaxsnTa usasruloa.

⎧⎪ x 2 − y 2 = 0 ⎨ ⎪⎩ x − y = 0 simravlea

{(a; a) : a ∈ R} ,

romelic

Tu gantolebaTa sistemis amonaxsnTa simravle carielia, maSin sistemas araTavsebadi ewodeba, winaaRmdeg SemTxvevaSi ki_Tavsebadi. gantolebaTa sistemis amoxsna niSnavs, misi amonaxsnTa simravlis povnas. erTidaimave cvladebis Semcvel gantolebaTa sistemebs ewodeba tolfasi, Tu maTi amonaxsnTa simravleebi erTmaneTis tolia, roca TiToeuli amonaxsni dalagebulia erTidaimave mimdevrobiT. sistemis amoxsnis procesSi mizanSewonilia, SevcvaloT igi misi tolfasi ufro martivi sistemiT, risTvisac sargebloben gantolebaTa sistemis Semdegi TvisebebiT: 1. Tu sistemis erT-erT gantolebas SevcvliT misi tolfasi gantolebiT, miviRebT mocemuli sistemis tolfas sistemas. 2. Tu sistemis erT-erT gantolebas mivcemT x = F saxes ( F sazogadod cvladis Semcveli gamosaxulebaa), xolo danarCen gantolebebSi x cvlads SevcvliT F gamosaxulebiT, miviRebT mocemuli sistemis tolfas sistemas. 3. Tu sistemis nebismier gantolebas SevcvliT gantolebiT, romelic miiReba misi mimatebiT nebismier sxva gantolebasTan, miviRebT mocemuli sistemis tolfas sistemas. zogjer mosaxerxebelia orcvladian gantolebaTa sistemis amonaxsni movZebnoT grafikuli xerxiT. imisaTvis, rom amovxsnaT orcvladiani ori gantolebis sistema grafikuli xerxiT, saWiroa avagoT TiToeuli gantolebis grafiki. am grafikebis gadakveTis yoveli wertilis koordinatTa wyvili warmoadgens mocemuli sistemis amonaxsns, magaliTad, ⎧⎪ x 2 − 4 y = 8 ⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 0

{(−2;−1), (4;2)} , radgan sistemis amonaxsnTa simravlea sistemis gantolebaTa grafikebi (-2;-1) da (4;2) wertilebSi ikveTeba (nax.26).

x2 − 4 y = 8 x − 2y = 0

−2

−1

nax. 26

$38. xsgjw!hboupmfcbUb!tjtufnb! a1 x1 + a2 x2 + L + an xn = b

! saxis

gantolebas,

sadac

x1 , x2 , K , xn cvladebia, xolo a1 , a2 , K , an , b nebismieri namdvili ricxvebia, n cvladiani wrfivi gantoleba ewodeba. a1 , a2 , K , an ricxvebs cvladebis koeficientebi ewodeba, xolo b –s Tavisufali wevri. n cvladian m wrfiv gantolebaTa sistemas aqvs saxe ⎧a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 ⎨ ⎪LLLLLLLLLL ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm . SemdgomSi vigulisxmebT, rom wrfiv gantolebaTa sistemaSi cvladTa da gantolebaTa raodenoba erTmaneTis tolia, e. i. m = n . gavecnoT orcvladian wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsnis zogierT xerxs. vTqvaT, mocemulia sistema: ⎧3x − 2 y = 4 (1) ⎨ ⎩2 x + 5 y = 9. sistemis pirveli gantolebidan gvaqvs 3x − 4 y= . (2) 2

CavsvaT sistemis meore gantolebaSi y –is es gamosaxuleba da amovxsnaT miRebuli gantoleba 3x − 4 2x + 5 ⋅ = 9 ⇔ 4 x + 15 x − 20 = 18 ⇔ 19 x = 38 ⇔ x = 2 , 2 x -is am mniSvnelobis (2) tolobaSi SetaniT miviRebT 3⋅ 2 − 4 y= =1. 2 amrigad (2;1) wyvili warmoadgens (1) sistemis amonaxsns. gantolebaTa sistemis amoxsnis am xerxs Casmis xerxi ewodeba. (1) sistema SeiZleba Semdegnairadac amovxsnaT: gavamravloT sistemis pirveli gantolebis orive mxare 5-ze, meorisa ki 2-ze, miviRebT ⎧15 x − 10 y = 20 ⎨ ⎩4 x + 10 y = 18. am sistemis gantolebaTa Sekreba mogvcems erTcvladian gantolebas 19 x = 38 , romlis amonaxsnia x = 2 . analogiurad SeiZleba moiZebnos y cvladis mniSvnelobac.∗ gantolebaTa sistemis amoxsnis aseT xerxs Sekrebis xerxi ewodeba. vTqvaT, mocemulia orcvladian gantolebaTa sistema ⎧a1 x + b1 y = c1 (3) ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 . am sistemis pirveli da meore gantolebebis orive b2 –ze da −b1 –ze. mxareebi gavamravloT Sesabamisad miviRebT ⎧a1b2 x + b1b2 y = c1b2 ⎨ ⎩− a2b1 x − b1b2 y = −c2b1. am sistemis gantolebaTa SekrebiT gveqneba (a1b2 − a2b1 )x = c1b2 − c2b1 . (4) analogiurad miviRebT

∗ praqtikulad Sekrebis xerxiT gansazRvruli erT-erTi cvladis mniSvneloba SeaqvT sistemis romelime gantolebaSi da pouloben meore cvlads. 90

(a1b2 − a2b1 )y = a1c2 − a2c1 . Tu a1b2 − a2b1 ≠ 0 , (4) da (5) gantolebidan gvaqvs: c b −c b a c − a2 c1 x= 1 2 2 1 , y= 1 2 . a1b2 − a2b1 a1b2 − a2b1

(5)

(6)

vaCvenoT, rom (6) formulebiT mocemul ricxvTa (x; y ) wyvili warmoadgens (3) sistemis amonaxsns. marTlac, Tu x –isa da y –is mniSvnelobebs SevitanT (3) sistemis pirveli gantolebis marcxena mxareSi, miviRebT: a c − a2 c1 a1c1b2 − a1c2b1 + b1a1c2 − b1a2 c1 c b −c b = = a1 1 2 2 1 + b1 1 2 a1b2 − a2b1 a1b2 − a2b1 a1b2 − a2b1 c (a b − a2b1 ) = 1 1 2 = c1 . a1b2 − a2b1

e. i. ganxiluli (x; y ) wyvili akmayofilebs (3) sistemis pirvel gantolebas. analogiurad Semowmdeba, rom igive wyvili akmayofilebs (3) sistemis meore gantolebasac. radgan (4) da (5) gantolebebi (3) sistemidan miRebulia iseTi gardaqmnebiT, romlis Sedegadac ar SeiZleba daikargos romelime amonaxsni, SegviZlia davaskvnaT: 1. Tu a1b2 − a2b1 ≠ 0 , maSin (3) sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni, romelic moicema (6) formulebiT. 2. Tu a1b2 − a2b1 = 0 , xolo c1b2 − c2b1 da a1c2 − a2 c1 sxvaobebidan erTi mainc gansxvavdeba nulisagan, maSin (3) sistema araTavsebadia, vinaidan (4) da (5) gantolebebidan erT-erTs mainc ara aqvs amonaxsni. 3. Tu a1b2 − a2b1 = 0 , c1b2 − c2b1 = 0 , a1c2 − a2 c1 = 0 da cvladebis koeficientebidan erTi mainc gansxvavdeba nulisagan, magaliTad a1 ≠ 0 , maSin pirveli da mesame tolobebidan gvaqvs: a a (7) b2 = b1 ⋅ 2 , c2 = c1 ⋅ 2 . a1 a1 SemoviRoT aRniSvna: a2 (8) =k, a1 maSin (7) da (8) tolobebidan gveqneba: a2 = ka1 , b2 = kb1 , c2 = kc1 , da (3) sistema miiRebs saxes: 91

⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ka1 x + kb1 y = kc1 ,

romelic a1 x + b1 y = c1 gantolebis tolfasia. e. i. am SemTxvevaSi sistemis amonaxsnTa simravle usasruloa. (x0 ; y0 ) amonaxsni rogorc viciT, (4) sistemis warmoadgens masSi Semaval gantolebaTa grafikebis, e. i. wrfeebis gadakveTis wertilis koordinatTa wyvils. Tu sistemas gaaCnia erTaderTi amonaxsni, maSin aRniSnuli wrfeebi ikveTebian erT wertilSi; Tu sistema araTavsebadia, maSin wrfeebi ar gadaikveTebian, xolo, Tu sistemas aqvs uamravi amonaxsni, maSin wrfeebi erTmaneTs emTxvevian. SevniSnoT, rom Casmisa da Sekrebis xerxebi agreTve gamoiyeneba sami da metcvladian wrfiv gantolebaTa sistemis amosaxsnelad.

$39. vupmpcfcj!

hbotb{Swsfcb/ or gamosaxulebas, romlebic SeiZleba cvladebsac Seicavdnen, SeerTebuls niSniT “>” an “<” utoloba ewodeba. utolobebs ewodeba erTnairi azris, Tu yvela maTganSi gamoyenebulia utolobis erTi da igive niSani. or utolobas ewodeba mopirdapire azris, Tu erT-erT maTganSi gamoyenebulia niSani “>”, meoreSi ki misi mopirdapire — ”<”. magaliTad, 5>2 da 1>-3 erTnairi azris utolobebia, xolo 3<6 da 4>0 utolobebi ki_mopirdapire azris. sjdywjUj! vupmpcjt! Uwjtfcfcj/ rogorc viciT, nebismieri ori a da b namdvili ricxvisaTvis marTebulia erTi da mxolod erTi Semdegi Tanafardobebidan: a =b, a >b, a <b. es Tanafardobebi marTebulia, Tu Sesabamisad a −b = 0 , a −b > 0 , a −b < 0. sawinaaRmdegos daSvebiT SeiZleba vaCvenoT, rom marTebulia agreTve Sebrunebuli debulebebi: Tu a = b , maSin a − b = 0 ; 92

Tu a > b , maSin a − b > 0 ; Tu a b geometriulad niSnavs, rom a ricxvis Sesabamisi wertili ricxviT wrfeze mdebareobs b –s Sesabamisi wertilis marjvniv. davamtkicoT ricxviTi utolobis zogierTi Tviseba: 1. Tu a > b , maSin b < a . marTlac a > b ⇒ a − b > 0 ⇒ b − a < 0 ⇒ b < a . 2. Tu a > b da b > c , maSin a > c . pirobis Tanaxmad a − b da b − c ricxvebi dadebiTia, amitom dadebiTi iqneba maTi jamic, e. i. (a − b ) + (b − c ) > 0 ⇒ a − c > 0 ⇒ a > c . am Tvisebas tranzitulobis Tviseba ewodeba. 3. Tu a > b da c nebismieri namdvili ricxvia, maSin (a + c ) − (b + c ) = a − b , xolo pirobis a + c > b + c . radgan Tanaxmad a − b dadebiTia, amitom (a + c ) − (b + c ) > 0 , e. i. a+c >b+c. Tfefhj/ Tu a + b > c , maSin a > c − b . 4. Tu a > b da c > d , maSin a + c > b + d . (a + c ) − (b + d ) = (a − b ) + (c − d ) , xolo pirobis radgan Tanaxmad a − b da c − d dadebiTi ricxvebia, amitom dadebiTi iqneba maTi jamic da (a + c ) − (b + d ) > 0 , e. i. a+c >b+d . amrigad, erTnairi azris WeSmariti utolobebis SekrebiT miiReba imave azris WeSmariti utoloba. 5. Tu a > b da c < d , maSin a − c > b − d . (a − c ) − (b − d ) = (a − b ) + (d − c ) , xolo pirobis radgan Tanaxmad a − b da d − c dadebiTebia, amitom dadebiTi iqneba maTi jamic da (a − c ) − (b − d ) > 0 , e. i. a − c > b − d . amrigad, Tu erT WeSmarit utolobas gamovaklebT misi sawinaaRmdego azris meore WeSmarit utolobas da SevinarCunebT pirveli utolobis niSans, miviRebT WeSmarit utolobas. 6. Tu a > b da c ≠ 0 , maSin ac > bc , roca c > 0 da ac < bc , roca c < 0 .

radgan ac − bc = c(a − b ) da pirobis Tanaxmad a − b > 0 , amitom c(a − b ) namravls aqvs c –s niSani, e. i. roca c > 0 , maSin ac − bc > 0 ⇒ ac > bc , xolo roca c < 0, maSin ac − bc < 0 ⇒ ac < bc . amrigad, Tu WeSmariti utolobis orive mxares gavamravlebT mocemul dadebiT ricxvze da utolobis niSans ar SevcvliT, miviRebT WeSmarit utolobas. WeSmarit utolobas miviRebT agreTve, Tu WeSmariti utolobis orive mxares gavamravlebT mocemul uaryofiT ricxvze da utolobis niSans SevcvliT misi mopirdapireTi. 7. Tu a > b da a da b ricxvebs erTnairi niSani aqvT, maSin 1 1 < . a b 1 1 a−b radgan − = , xolo pirobis Tanaxmad a − b da b a ab ab dadebiTebia, amitom dadebiTi iqneba maTi fardobac da 1 1 1 1 1 1 − >0⇒ > ⇒ < . b a b a a b 8. Tu a > b , c > d da a , b , c , d dadebiTi ricxvebia, maSin ac > bd . radgan a > b da c > 0 , amitom ac > bc . radgan c > d da b > 0 , amitom bc > bd . tranzitulobis Tvisebis Tanaxmad, ac > bc da bc > bd utolobebidan gamomdinareobs ac > bd utoloba. amrigad, erTidaimave azris dadebiTwevrebian WeSmarit utolobaTa gadamravlebiT miiReba imave azris WeSmariti utoloba. Tfefhj/ Tu a da b dadebiTi ricxvebia da n ∈ N , maSin a > b utolobidan gamomdinareobs a n > b n . 9. Tu a da b dadebiTi ricxvebia da n ∈ N , n ≠ 1 maSin a > b utolobidan gamomdinareobs

a >nb.

davuSvaT sawinaaRmdego. vTqvaT, Tvisebis Sedegis Tanaxmad gveqneba:

( a) ≤ ( b) n

a ≤ n b , maSin me-8

a >nb.

⇒a≤b,

rac pirobas ewinaaRmdegeba. maSasadame

dwmbejt! Tfndwfmj! vupmpcb/ imis mixedviT, Tu ramden cvlads Seicavs utoloba, igi SeiZleba iyos erTcvladiani, orcvladiani da a. S. erTcvladiani utolobis amonaxsni ewodeba cvladis im mniSvnelobas, romelic utolobas WeSmarit ricxviT utolobad aqcevs. Tu utoloba Seicavs erTze met cvlads, maSin misi amonaxsni iqneba Sesabamisad, cvladebis mniSvnelobaTa wyvili, sameuli da a. S., romelic utolobas WeSmarit ricxviT utolobad aqcevs. utolobis yvela amonaxsnTa erTobliobas utolobis amonaxsnTa simravle ewodeba. utolobis amoxsna niSnavs misi amonaxsnTa simravlis povnas. erTidaimave cvladebis Semcvel utolobebs ewodeba tolfasi, Tu maTi amonaxsnTa simravleebi erTmaneTis tolia, roca TiToeuli amonaxsni dalagebulia erTi da imave mimdevrobiT. utolobis amoxsnis procesSi mizanSewonilia SevcvaloT igi misi tolfasi ufro martivi utolobiT, risTvisac sargebloben utolobaTa Semdegi TvisebebiT: 1. Tu utolobis orive mxares davumatebT erTsa da imave ricxvs, miviRebT mocemuli utolobis tolfas utolobas. 2. Tu utolobis erTi mxaridan meoreSi gadavitanT romelime Sesakrebs mopirdapire niSniT, miviRebT mocemuli utolobis tolfas utolobas. 3. Tu utolobis orive mxares gavamravlebT erTsa da imave dadebiT ricxvze an utolobaSi Semavali cvladebis Semcvel erTi da imave gamosaxulebaze, romelic yovelTvis dadebiTia, miviRebT mocemuli utolobis tolfas utolobas. 4. Tu utolobis orive mxares gavamravlebT erTsa da imave uaryofiT ricxvze an utolobaSi Semavali cvladebis Semcvel erTsa da imave gamosaxulebaze, romelic yovelTvis uaryofiTia da utolobis niSans SevcvliT mopirdapireTi, miviRebT mocemuli utolobis tolfas utolobas. am Tvisebebis gamoyenebiT nebismier erTcvladian utolobas SeiZleba mivceT f ( x) > 0 (1) an f ( x) < 0 (2) 95

saxe. (1) utolobis amonaxsnTa simravle warmoadgens Ox RerZis yvela im wertilebis abscisTa simravles, romelTaTvisac y = f ( x) funqciis grafikis wertilebi Ox RerZis zemoT mdebareoben (nax. 27), (2) utolobisaTvis ki amonaxsnTa simravles warmoadgens yvela im wertilebis y = f ( x) funqciis abscisTa simravle, romelTaTvisac grafikis wertilebi Ox RerZis qvemoT mdebareoben (nax. 28). y

nax. 27 y

nax. 28

TfojTwob/! utolobisa

da gantolebis ⎡ f ( x) > 0 ⎡ f ( x) < 0 ⎢ f ( x) = 0 da ⎢ f ( x) = 0 ⎣ ⎣ gaerTianebebi Sesabamisad f ( x) ≥ 0 da f ( x) ≤ 0 saxiT Caiwereba da maT aramkacri utolobebi ewodeba. cxadia, aramkacri utolobis amonaxsnia mkacri utolobis da Sesabamisi gantolebis amonaxsnTa gaerTianeba.

$40. xsgjwj!fsUdwmbejboj!vupmpcb! ! ax + b > 0 da ax + b < 0 saxis utolobebs, sadac x cvladia, xolo a da b nebismieri namdvili ricxvebia, wrfivi erTcvladiani utolobebi ewodeba, Tu a ≠ 0 . ax + b > 0 utoloba Semdegnairad amoixsneba: a) roca a > 0 , maSin

b , a ⎤ b ⎡ e. i. utolobis amonaxsnTa simravlea ⎥ − ;+∞ ⎢ . geometri⎦ a ⎣ ulad es simravle warmoadgens ricxviTi wrfis yvela im b wertilis marjvniv wertilTa simravles, romlebic − a mdebareoben (nax. 29). ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x > −

−

b a

nax. 29 b) roca a < 0 , maSin b , a b⎡ ⎤ e. i. utolobis amonaxsnTa simravlea ⎥ − ∞;− ⎢ . geometria⎣ ⎦ ulad es simravle warmoadgens ricxviTi wrfis yvela im b wertilis marcxniv wertilTa simravles, romlebic − a mdebareoben (nax. 30). analogiurad amoixsneba ax + b < 0 wrfivi utoloba. ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x < −

−

b a

nax. 30

$41. lwbesbuvmj!vupmpcb! ! ! ax 2 + bx + c > 0 da ax 2 + bx + c < 0 saxis utolobebs, sadac x cvladia, xolo a , b da c nebismieri namdvili ricxvebia, a ≠ 0 , kvadratuli utolobebi ewodeba. amovxsnaT es utolobebi grafikuli xerxiT.

vTqvaT, a > 0 , maSin y = ax 2 + bx + c parabolis Stoebi mimarTulia zemoT da diskriminantis niSnis mixedviT gveqneba Semdegi SemTxvevebi: D = b 2 − 4ac < 0 , maSin parabola mTlianad 1. Tu moTavsebulia Ox RerZis zemoT da amitom ax 2 + bx + c > 0 utolobis amonaxsnTa simravlea R (nax. 31), xolo 2 ax + bx + c < 0 utolobis amonaxsnTa simravle ki_carielia. y ax 2 + bx + c > 0 a > 0, D < 0

nax. 31 2. Tu D = b 2 − 4ac > 0 , maSin y = ax 2 + bx + c parabola Ox RerZs hkveTs or x1 da x2 wertilSi ( x1 < x2 ) , romlebic ax 2 + bx + c kvadratuli samwevris fesvebs warmoadgenen. ax 2 + bx + c > 0 utolobis amonaxsnTa simravle amitom Sedgeba Ox RerZis yvela im wertilebisagan, romlebic mdebareoben x1 –is marcxniv an x2 –is marjvniv e. i. “fesvebs

gareT” (nax. 32), xolo ax 2 + bx + c < 0 utolobis amonaxsnTa simravle Sedgeba Ox RerZis yvela im wertilebisagan, romlebic mdebareoben x1 da x2 wertilebs Soris (e. i. “fesvebs Soris”) (nax. 33). y

y ax 2 + bx + c > 0 a > 0, D > 0

ax 2 + bx + c < 0 a > 0, D > 0

nax. 32

nax. 33

a>0 da D > 0 , maSin ax 2 + bx + c > 0 amrigad, Tu utolobis amonaxsnTa simravlea ]− ∞; x1 [ U ]x2 ;+∞[ , xolo ax 2 + bx + c < 0 utolobis amonaxsnTa simravle ki_ ]x1; x2 [ .

3. Tu D = b 2 − 4ac = 0 , maSin y = ax 2 + bx + c parabola Ox b RerZs exeba wertilSi. amitom ax 2 + bx + c > 0 x=− 2a utolobis amonaxsns warmoadgens Ox RerZis nebismieri b wertilisa (nax. 34), e. i. amonaxsnwertili garda x = − 2a Ta simravlea ⎤⎥ − ∞;− ⎡⎢ U ⎤⎥ − ;+∞ ⎡⎢ , xolo ax 2 + bx + c < 0 2a ⎣ ⎦ 2a ⎦ ⎣ lobis amonaxsnTa simravle ki carielia. b

uto-

y ax 2 + bx + c > 0 a > 0, D = 0

−

b 2a

nax. 34 im SemTxvevaSi, roca a < 0 , utolobis orive mxaris –1ze gamravlebiT da utolobis niSnis mopirdapireTi SecvliT kvadratuli utolobis amoxsna daiyvaneba ganxilul SemTxvevebze.

$42. vupmpcbUb!tjtufnfcj!

hbotb{Swsfcb/

erTi da imave cvladebis Semcvel utolobaTa sasrul simravles utolobaTa sistema ewodeba. utolobaTa sistemis amonaxsni ewodeba am sistemaSi Semavali yvela utolobis saerTo amonaxsns. sistemis yvela amonaxsnTa erTobliobas utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle ewodeba. utolobaTa sistemis amoxsna niSnavs misi amonaxsnTa simravlis povnas. erTi da imave cvladebis Semcvel utolobaTa sistemebs ewodebaT tolfasi, Tu maTi amonaxsnTa simravleebi 99

erTmaneTis tolia, roca TiToeuli amonaxsni dalagebulia erTi da imave mimdevrobiT. imisaTvis, rom amovxsnaT utolobaTa sistema, saWiroa amovxsnaT am sistemaSi Semavali TiToeuli utoloba da vipovoT maTi amonaxsnTa simravleebis TanakveTa. magaliTad, ⎧ x 2 − 5x ⎪⎪ 2 < 3 − 2 x ⎧x 2 − 5x < 6 − 4 x ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎪ x − 1 − x − 4 > 2 x − 1 ⎩3x − 3 − 2 x + 8 > 12 x − 6 ⎪⎩ 2 3

⎧⎪ x 2 − x − 6 < 0 ⎧− 2 < x < 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩11x < 11 ⎩ x < 1. amrigad, sistemis amonaxsnTa simravlea ]− 2;3[ Sualedis da ]− ∞;1[ Sualedis TanakveTa, e. i. ]− 2;1[ Sualedi (nax. 35).

-2

-1 3 nax. 35 rogorc cnobilia, namdvil ricxvTa yovel (x; y ) wyvils sakoordinato sibrtyeze Seesabameba erTaderTi wertili. es saSualebas gvaZlevs orcvladiani utolobisa da orcvladian utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle gamovsaxoT sakoordinato sibrtyis wertilTa simravliT. ganvixiloT magaliTebi: ⎧2 x − y < 1 ⎧ y > 2 x − 1 ⇔⎨ 1. ⎨ ⎩x + y > 2 ⎩ y > − x + 2. sistemis pirveli utolobis amonaxsnTa simravle warmoadgens sibrtyis yvela im wertilTa simravles, romlebic mdebareoben y = 2 x − 1 wrfis zemoT, xolo meore utolobis amonaxsnTa simravle ki_sibrtyis yvela im wertilTa simravles, romlebic mdebareoben y = − x + 2 wrfis zemoT. cxadia, sistemis amonaxsnTa simravle iqneba aRniSnuli simravleebis TanakveTa (nax. 36). ⎧x 2 + y 2 < 4 2. ⎨ 2 ⎩y > x

100

y = 2x − 1

-1 2

y = −x + 2

nax. 36 sistemis pirveli utolobis amonaxsnTa simravle warmoadgens sibrtyis yvela im wertilTa simravles, romlebic mdebareoben x 2 + y 2 = 4 wrewiris SigniT, xolo meore utolobis amonaxsnTa simravle ki_sibrtyis yvela im wertilTa simravles, romlebic mdebareoben y = x 2 parabolis zemoT. amrigad, sistemis amonaxsnTa simravles aqvs saxe (nax.37).

x2+y2=4

y=x2

nax. 37

$43. vupmpcbUb!bnpytob!joufswbmUb!nfUpejU!

! vTqvaT, mocemulia erTcvladiani utoloba f ( x) < 0 ,

sadac

α1 , α 2 , K , α n ∈ R ,

(i, j = 1,2, K , n ) .

f ( x) > 0 an

f ( x ) = ( x − α1 ) (x − α 2 ) L ( x − α n ) , k1

k1 , k 2 , K , k n ∈ Z

αi ≠ α j ,

amasTan roca i≠ j

magaliTebze ganvixiloT aseTi saxis utolobebis amoxsnis e. w. intervalTa meTodi jer im SemTxvevisaTvis, 101

rodesac utolobaSi Semavali TiToeuli mamravlis xarisxis maCvenebeli tolia 1-is da –1-is, Semdeg ki im SemTxvevisaTvis, rodesac xarisxis maCveneblebi nebismieri mTeli ricxvebia. nbhbmjUj!2/!amovxsnaT utoloba (x − 1)(x + 2)⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ 2⎠ ⎝ >0. (1) 7 ⎞ ⎛ x⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ bnpytob/ davalagoT ricxviT wrfeze utolobaSi Semavali wiladis mricxvelisa da mniSvnelis fesvebi: -2; 1 7 − ; 0; 1 da , romlebic ricxviT wrfes yofen 6 2 3 Sualedad (nax. 38). +

_ -2

−

1 2

_ 0

_ 1

7 3

nax. 38 ⎡ ⎤7 cxadia, rom ukiduresi marjvena ⎥ ;+∞ ⎢ Sualedis nebi3 ⎣ ⎦ smieri ricxvisaTvis (1) utolobis marcxena mxareSi myofi gamosaxulebis mricxvelisa da mniSvnelis TiToeuli Tanamamravli dadebiTia da amitom dadebiTi iqneba mocemuli gamosaxulebac, rac ricxviTi wrfis Sesabamis Sualedze ⎤ 7⎡ “+” niSniT aRiniSneba. am Sualedis momdevno ⎥1; ⎢ Suale⎦ 3⎣ 7⎞ ⎛ dis nebismieri ricxvisaTvis mniSvnelSi Semavali ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ Tanamamravli uaryofiTia, xolo danarCeni Tanamamravlebi dadebiTi, amitom utolobis marcxena mxare iqneba uaryofiTi, rac ricxviTi wrfis Sesabamis Sualedze “_” niSniT aRiniSneba. analogiuri msjelobiT yovel Semdeg Sualeds rigrigobiT miekuTvneba niSani “+” an “_”, romlebic gansazRvraven (1) utolobis marcxena mxaris niSans Sesabamis SualedSi. amitom (1) utolobis amonaxsnTa simravle yvela im Sualedis gaerTianebaa, romlebsac aqvT niSani “+”, e. i.

102

1 ⎡ ⎤7 ⎡ ⎤ ⎥ − 2; − 2 ⎢ U ] 0; 1 [ U ⎥ 3 ; + ∞ ⎢ . ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ (i = 1,2, K , n ) SemTxvevaSi TfojTwob/ ganxilul ki = 1 sasurvelia visargebloT Semdegi wesiT: ukidures marjvena Sualeds (romelSic f ( x) yovelTvis dadebiTia) davusvaT niSani “+”, xolo yovel momdevno Sualeds ki wina Sualedis mopirdapire niSani. nbhbmjUj!3/ amovxsnaT utoloba

(x − 2)(x + 3) (x + 1) ( x − 5) ( x − 8) 5

<0.

(2)

bnpytob/ pirveli magaliTis msgavsad, aqac, ricxviT wrfeze davalagoT utolobaSi Semavali mamravlebis fesvebi: -3, -1, 2, 5, 8 da miRebul Sualedebs davusvaT “+” an “_” niSnebi marjvnidan marcxniv dawyebuli “+” niSniT, mxolod im gansxvavebiT, rom luw maCvenebliani mamravlis fesvze gadasvlis dros SevinarCunoT wina Sualedis niSani (nax. 39). +

_ -3

+_ -1

_ 2

_ 5

nax. 39 cxadia, rom (2) utolobis amonaxsnTa simravle iqneba yvela im Sualedis gaerTianeba, romlebsac aqvT niSani “_”, e. i. ]− ∞; − 3 [ U ] 2; 5 [ U ] 5; 8 [ . imisaTvis, rom erTcvladiani utolobebi ϕ( x) > 0 an ϕ( x) < 0 daviyvanoTYiseT saxemde, rom SesaZlebeli iyos intervalTa meTodis gamoyeneba, saWiroa: utolobis marcxena mxare daiSalos mamravlebad; utolobaTa Tvisebebis gaTvaliswinebiT is mamravlebi, romlebic mTel RerZze inarCuneben erTi da imave niSans ukuvagdoT, xolo danarCeni Tanamamravlebi CavweroT ise, rom cvladis yoveli koeficienti iyos erTis toli; Tanamamravlebi, romlebic erTnairfuZian xarisxebs warmoadgenen, CavweroT erTi xarisxis saxiT.

nbhbmjUj!4/! 103

)(

)

− x x 3 + 1 (2 x − 1) ≤0⇔ (x + 2 ) − x 2 + 2 x − 8 4 − x 2

⇔

(

)(

)

x(x − 1)(x + 1)(x + 1) x − x + 1 (2 x − 1) ≤0⇔ (x + 2) − x 2 + 2 x − 8 (2 − x )(2 + x )

(

)

1⎞ 2⎛ x(x − 1)(x + 1) ⎜ x − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ ≤0. 2 (x + 2 ) (x − 2 )

+ -2

+_ -1

_ 1 2

_ 2

nax. 40 me-40

naxazidan ⎡ 1⎤ {− 1} U ⎢0; ⎥ U [1; 2[ . ⎣ 2⎦

Cans,

rom

amonaxsnTa

simravlea

$44. npevmjt!Tfndwfmj!vupmpcfcj!

! modulis gansazRvrebidan gamomdinareobs, rom f ( x) < r utoloba, sadac r > 0 , utolobaTa Semdegi sistemis tolfasia: ⎧ f ( x) < r ⎨ ⎩ f ( x) > − r , romelic SeiZleba −r < f ( x) < r ormagi

utolobis

saxiT

Caiweros.

amrigad

f ( x) < r

utolobis amonaxsnTa simravle warmoadgens f ( x) < r da f ( x) > −r utolobebis amonaxsnTa simravleebis TanakveTas. analogiurad, f ( x ) > r utoloba, sadac utolobaTa gaerTianebis tolfasia ⎡ f ( x) > r ⎢ f ( x) < − r. ⎣

104

r > 0 , Semdeg

amrigad,

f ( x) > r utolobis amonaxsnTa simravle war-

moadgens f ( x) > r da f ( x) < − r utolobebis amonaxsnTa simravleebis gaerTianebas. kerZod x − a < r ⇔ −r < x − a < r ⇔ a − r < x < a + r ,

e. i. x − a < r utolobis amonaxsnTa simravlea ]a − r ; a + r [ . analogiurad ⎡x > a + r ⎡x − a > r ⇔⎢ x−a >r ⇔ ⎢ ⎣ x < a − r, ⎣ x − a < −r e. i. x − a > r utolobis amonaxsnTa simravlea

]− ∞; a − r [ U ]a + r;+∞[ . ganvixiloT magaliTebi: 1. amovxsnaT utoloba x 2 − 5 x + 3 ≤ 3 .

bnpytob/! ⎧x 2 − 5x + 3 ≤ 3 x 2 − 5x + 3 ≤ 3 ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎩ x − 5 x + 3 ≥ −3 ⎧⎪ x 2 − 5 x ≤ 0 ⎧0 ≤ x ≤ 5 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎪⎩ x − 5 x + 6 ≥ 0 ⎩ x ≤ 2, x ≥ 3. amrigad, miviReT utolobis amonaxsnTa simravle [0; 2] U [3; 5] . x+3 2. amovxsnaT utoloba: ≥2. x−5

bnpytob/! ⎡x+3 ⎡ x + 3 − 2 x + 10 ≥0 ⎢x−5 ≥ 2 ⎢ x+3 x −5 ≥2⇔⎢ ⇔⎢ ⇔ x−5 ⎢ x + 3 ≤ −2 ⎢ x + 3 + 2 x − 10 ≤ 0 ⎢⎣ x − 5 ⎢⎣ x −5 ⎡ x − 13 ⎡5 < x ≤ 13 ⎢ x−5 ≤ 0 ⇔⎢ ⇔ ⎢7 ⎢ ≤ x < 5. ⎢ 3x − 7 ≤ 0 ⎣⎢ 3 ⎢⎣ x − 5 amrigad, mocemuli utolobis amonaxsnTa simravlea ⎡7 ⎡ ⎢ 3 ; 5 ⎢ U ] 5; 13] . ⎣ ⎣

105

3. davamtkicoT, rom Tu a ≥ 0 , b ≥ 0 , maSin a+b ≥ ab . 2 ganvixiloT WeSmariti utoloba gveqneba

(

)

a − b ≥ 0 , saidanac

)

a − b ≥ 0 ⇒ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab ⇒ a+b ⇒ ≥ ab . 2 SeiZleba vaCvenoT, rom Tu a1 ≥ 0 , a2 ≥ 0 , K , an ≥ 0 , maSin a1 + a2 + L + an n ≥ a1a2 K an ∗ n a1 + a 2 + L + an ricxvs ewodeba a1 , a2 ,K, an ricxvebis n

saSualo ariTmetikuli, xolo ricxvs n a1a2 Kan amave ricxvebis saSualo geometriuli. amrigad, ramdenime arauaryofiTi ricxvis saSualo ariTmetikuli metia an toli amave ricxvebis saSualo geometriulze.

$45. sjdywjUj!njnefwspcb Tu raime wesiT yovel naturalur n ricxvs Seesabameba xn namdvili ricxvi, maSin vityviT, rom mocemulia ricxviTi mimdevroba x1 , x2 , K , xn , K . x1 -s ewodeba mimdevrobis pirveli wevri, x2 -s_ mimdevrobis meore wevri da a. S. xn –s mimdevrobis n –uri an zogadi wevri ewodeba. Mmimdevrobas, romlis zogadi wevria xn , mokled {xn } simboloTi aRniSnaven.∗ SevniSnoT, rom im SemTxvevaSic ki, rodesac xn = xm , n ≠ m es ricxvebi iTvlebian mimdevrobis gansxvavebul wevrebad.

∗ toloba marTebulia maSin da mxolod maSin, roca a1 = a 2 = L = a n

∗ zogjer gamoviyenebT gamoTqmas “ x n mimdevroba”.

106

Mmimdevrobis mocemis bunebrivi wesia analizuri wesi, romelic gviCvenebs Tu ra moqmedebebi unda CavataroT n – ze, rom miviRoT mimdevrobis xn wevri. Mmimdevroba agreTve SeiZleba mocemuli iyos rekurentuli damokidebulebiT. Ees wesi imaSi mdgomareobs, rom mimdevrobis yoveli wevri, ramodenime sawyisi wevris garda, romlebic Tavidanvea mocemuli, miiReba mis win mdgom wevrebze garkveuli moqmedebebis CatarebiT. GganvixiloT mimdevrobis ramodenime magaliTi. 1 1. mimdevroba, romlis zogadi wevria xn = , aris n Semdegi mimdevroba 1 1 1 1, , , K , , K . 2 3 n n 2. mimdevroba, romlis zogadi wevria xn = , aris n +1 Semdegi mimdevroba 1 2 3 , , ,K . 2 3 4 (− 1)n toloba gansazRvravs Semdeg mimdevrobas: 3. xn = n (− 1)n , K . 1 1 1 − 1, , − , , K , n 2 3 4 4. davweroT mimdevroba, Tu misi zogadi wevria n 1 2 3 xn = . cxadia, rom x1 = , x2 = , x3 = , K n +1 2 3 4 5. Tu mimdevrobis zogadi wevri mocemulia formuliT xn = aq n −1 (a ≠ 0, q ≠ 0 ) , maSin x1 = a, x2 = aq, x3 = aq 2 , K .

6. Tu xn = (− 1)n , maSin gveqneba mimdevroba − 1, 1, − 1, K , (− 1)n , K .

7. vTqvaT a1 = 3 da an+1 = an + 2 ; cxadia, rom a2 = 5, a3 = 7, a4 = 9, K . es mimdevroba mocemulia rekurentuli wesiT. Tu xn = a, nebismieri n ∈ N , maSin mimdevrobas ewodeba mudmivi mimdevroba. geometriulad mimdevroba ricxviT wrfeze gamoisaxeba wertilTa mimdevrobis saxiT, romelTa koordinatebi 107

tolia mimdevrobis Sesabamisi elementebis. 41-e, 42-e da 43-e (− 1)n da 1 naxazebze gamosaxulia Sesabamisad xn = , xn = n n n mimdevrobebi. xn = n +1 1 4

1 3

1 2

-1

x 4 x3

1 3

1 4

1 2

nax. 42

nax. 41

−

1 2

2 3

3 4

• •1

nax. 43

hbotb{Swsfcb/! ricxvTa

xn mimdevrobas ewodeba zemodan SemosazRvruli, Tu arsebobs iseTi M ricxvi, romelic mimdevrobis yvela wevrze metia, xolo qvemodan SemosazRvruli_Tu moiZebneba iseTi L ricxvi, romelic naklebia mocemuli mimdevrobis yovel wevrze. Tu mimdevroba SemosazRvrulia rogorc zemodan, ise qvemodan, mas SemosazRvruli mimdevroba ewodeba. Aadvili SesamCnevia, rom zemoT moyvanil magaliTebSi 1, 2, 3, 6 mimdevrobebi SemosazRvrulia. Mme-7 mimdevroba SemosazRvrulia qvemodan. Mme-5 mimdevroba SemosazRvrulia, Tu q ≤ 1 . Mme-5 mimdevroba qvemodan (zemodan) Semosaz-

Rvrulia, Tu a > 0 (a < 0) da q > 1 . Tu q < −1 , maSin mimdevroba ar aris SemosazRvruli. hbotb{Swsfcb/! xn mimdevrobas ewodeba araklebadi, Tu x1 ≤ x2 ≤ L ≤ xn ≤ L da arazrdadi, Tu x1 ≥ x2 ≥ L ≥ xn ≥ L . hbotb{Swsfcb/ xn mimdevrobas ewodeba zrdadi, Tu x1 < x2 < L < xn < L da klebadi, Tu x1 > x2 > L > xn > L . cxadia zrdadi (klebadi) mimdevroba araklebadia (arazrdadia). Tu mimdevroba arazrdadia an araklebadi mas monotonuri ewodeba.

108

cxadia, rom zemoT moyvanil magaliTebSi 1, 2, 4, 5 da 7 monotonuri mimdevrobebia, xolo 3, 5 (q < 0) da 6 mimdevrobebi ar arian monotonuri.

(q > 0)

$46. bsjUnfujlvmj!qsphsftjb!

! !

hbotb{Swsfcb/ ricxviT mimdevrobas, romlis yoveli wevri, dawyebuli meoredan, miiReba wina wevrisaTvis erTi da imave ricxvis mimatebiT, ariTmetikuli progresia ewodeba. rogorc gansazRvrebidan Cans, ariTmetikuli progresiis nebismieri wevrisa da misi wina wevris sxvaoba erTi da imave ricxvis tolia. e. i. Tu a1 , a2 , K , an , K ariTmetikuli progresiaa, maSin a2 − a1 = a3 − a2 = L = an − an−1 = L . am ricxvs ariTmetikuli progresiis sxvaoba ewodeba da d asoTi aRiniSneba. cxadia, rom Tu d > 0 , maSin ariTmetikuli progresia zrdadia, Tu d < 0 _klebadi, xolo, Tu d = 0 , maSin progresia mudmiv mimdevrobas warmoadgens. Tu an ariTmetikuli progresiis sxvaoba aris d , maSin a2 = a1 + d , a3 = a 2 + d , KKKK an−1 = an−2 + d , an = an−1 + d . miRebuli (n − 1) tolobis SekrebiT gveqneba a2 + a3 + L + an−1 + an = a1 + a2 + L + an −2 + an−1 + (n − 1)d , saidanac miviRebT an = a1 + (n − 1)d . am formulas ariTmetikuli progresiis n –uri anu zogadi wevris formula ewodeba. ariTmetikuli progresiis nebismieri wevri, dawyebuli meoredan, misi wina da momdevno wevrebis saSualo ariTmetikulis tolia. 109

marTlac, vTqvaT, an−1 , an da an+1 aris ariTmetikuli progresiis nebismierad aRebuli sami momdevno wevri, maSin ariTmetikuli progresiis gansazRvrebis Tanaxmad an − an−1 = an+1 − an e. i. a + an+1 . 2an = an−1 + an+1 ⇔ an = n−1 2 marTebulia Sebrunebuli debulebac: Tu ricxviTi mimdevrobis yoveli wevri, dawyebuli meoredan, misi wina da momdevno wevrebis saSualo ariTmetikulis tolia, maSin es mimdevroba ariTmetikul progresias warmoadgens. marTlac, Tu an mimdevrobis nebismieri sami momdevno an−1 , an da an+1 wevrebisaTvis WeSmaritia an =

an −1 + an+1 2

toloba, maSin 2a n = a n −1 + a n +1 ⇔ a n − a n −1 = a n +1 − a n .

amrigad an mimdevrobis nebismieri wevrisa da misi wina wevris sxvaoba erTi da igive ricxvia, rac imas niSnavs, rom an ariTmetikuli progresiaa. Tu ganvixilavT ariTmetikuli progresiis a1 , a2 , K , an pirvel n wevrs, maSin boloebidan Tanabrad daSorebul wevrTa jami mudmivi sididea da udris pirveli da bolo wevrebis jams. (1 ≤ k ≤ n ) warmoadgenen ak da an −k +1 marTlac, boloebidan Tanabrad daSorebul wevrebs da ak + an −k +1 = a1 + (k − 1)d + a1 + (n − k )d = a1 + a1 + (n − 1)d = a1 + an . am Tvisebis gamoyenebiT gamoviyvanoT ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis formula. aRvniSnoT an ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jami S n –iT da davweroT es jami orjer, amasTan meoreSi SesakrebTa mimdevroba SevcvaloT: S n = a1 + a2 + a3 + L + an−2 + an−1 + an , S n = an + an −1 + an−2 + L + a3 + a2 + a1 . am tolobebis SekrebiT gveqneba 2S n = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + (a3 + an−2 ) + L + (an−2 + a3 ) + + (an −1 + a2 ) + (an + a1 ) . 110

miRebuli tolobis marjvena mxareSi ricxvTa TiToeuli (a1 + an ) –is tolia da aseT wyvilTa wyvilis jami raodenoba udris n –s, amitom 2S n = (a1 + an )n saidanac a + an Sn = 1 n. 2 ariTmetikuli progresiis n –uri wevris formulis gaTvaliswinebiT, pirveli n wevris jamis formula miiRebs saxes 2a + (n − 1) d Sn = 1 n. 2

$47. hfpnfusjvmj!qsphsftjb!

hbotb{Swsfcb/

ricxviT mimdevrobas, romlis pirveli wevri gansxvavebulia nulisagan, xolo yoveli wevri, dawyebuli meoredan, miiReba wina wevris erTsa da imave nulisagan gansxvavebul ricxvze gamravlebiT, geometriuli progresia ewodeba. rogorc gansazRvrebidan Cans, geometriuli progresiis nebismieri wevris Sefardeba mis wina wevrTan erTi da imave ricxvis tolia, e. i. Tu b1 , b2 , K , bn , K geometriuli progresiaa, maSin b b2 b3 = =L= n =L. b1 b2 bn−1 am ricxvs geometriuli progresiis mniSvneli ewodeba da q asoTi aRiniSneba. Tu q > 0 , maSin geometriuli progresia monotonuria, xolo Tu q < 0 _progresia arc zrdadia da arc klebadi. Tu bn geometriuli progresiis mniSvnelia q , maSin b2 = b1q , b3 = b2 q , KKKK bn−1 = bn−2 q , bn = bn−1q . miRebuli (n − 1) tolobis gadamravlebiT gveqneba 111

b2 ⋅ b3 K bn−1 ⋅ bn = b1 ⋅ b2 K bn −2 ⋅ bn−1 ⋅ q n−1 , saidanac miviRebT bn = b1q n−1 . am formulas geometriuli progresiis n –uri anu zogadi wevris formula ewodeba. dadebiTwevrebiani geometriuli progresiis nebismieri wevri dawyebuli meoredan, misi wina da momdevno wevrebis saSualo geometriulis tolia. marTlac, vTqvaT bn −1 , bn da bn+1 aris dadebiTwevrebiani geometriuli progresiis nebismierad aRebuli sami momdevno wevri, maSin gansazRvrebis Tanaxmad: bn b = n+1 . bn−1 bn e. i. bn = bn −1bn +1 ⇔ bn = bn−1bn+1 . marTebulia Sebrunebuli debulebac: Tu dadebiTwevrebiani ricxviTi mimdevrobis yoveli wevri dawyebuli meoredan, misi wina da momdevno wevrebis saSualo geometriulis tolia, maSin es mimdevroba geometriul progresias warmoadgens. bn mimdevrobis marTlac, Tu dadebiTwevrebiani nebismieri sami momdevno bn−1 , bn da bn+1 wevrebisaTvis WeSmaritia 2

bn = bn−1bn+1 toloba, maSin bn = bn −1bn +1 ⇔ 2

bn b = n+1 . bn−1 bn

amrigad bn mimdevrobis nebismieri wevris Sefardeba mis wina wevrTan, erTi da igive ricxvia, rac imas niSnavs, rom bn geometriuli progresiaa.

$48. hfpnfusjvmj!qsphsftjjt!qjswfmj!n xfwsjt!!

kbnjt!gpsnvmb! aRvniSnoT bn geometriuli progresiis wevris jami S n –iT, e. i. S n = b1 + b2 + L + bn−1 + bn . 112

pirveli

n (1)

cxadia, Tu q = 1 , maSin b1 = b2 = L = bn da S n = b1 ⋅ n . Tu q ≠ 1 , maSin (1) tolobis orive mxare gavamravloT q –ze. gveqneba S n ⋅ q = b1q + b2 q + L + bn−1q + bn q ,

anu

S n q = b2 + b3 + L + bn + bn q . (2) Tu (2) tolobas gamovaklebT (1)-s, miviRebT S n q − S n = bn q − b1 , aqedan b q − b1 Sn = n . (3) q −1 geometriuli progresiis n –uri wevris formulis gaTvaliswinebiT, pirveli n –wevris jamis formula miiRebs saxes b (q n − 1) . (4) Sn = 1 q −1 roca q < 1 , geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis gamosaTvlelad mizanSewonilia (3) da (4) formulebi ase gadavweroT b −b q b (1 − q n ) . Sn = 1 n , Sn = 1 1− q 1− q

$49. hfpnfusjvmj!qsphsftjjt!kbnj-!!

spdb! q < 1 ! ! vTqvaT q aris bn geometriuli progresiis mniSvneli da q < 1 (q≠0), aseT SemTxvevaSi geometriul progresias usasrulod klebadi geometriuli progresia ewodeba. rogorc vnaxeT am progresiis pirveli n wevris jami Sn gamoiTvleba formuliT b (1 − q n ) Sn = 1 . 1− q aqedan b b Sn = 1 − 1 q n . (1) 1− q 1− q am gamosaxulebis pirveli Sesakrebi mudmivia, meore Sesakrebi Seicavs mamravlad qn-s. qn, roca q < 1 xarisxis n maCveneblis zrdasTan erTad miiswrafvis nulisaken. ami113

tom, Tu usasrulod klebadi geometriuli progresiis jams aRvniSnavT S-iT, (1) tolobidan miiReba b S= 1 . 1− q

$50. lvUyvsj!tjejeffcjt!sbejbovmj!{pnb!

! kuTxeebis gazomvis dros gamoiyeneba zomis sxvadasxva erTeuli: 1o , 1′, 1′′ da a. S. SemoviRoT kuTxis zomis kidev erTi erTeuli. hbotb{Swsfcb/ im centraluri kuTxis sidides, romlis Sesabamisi rkalis sigrZe radiusis tolia, radiani ewodeba. radgan naxevarwrewiris sigrZe πr –is tolia, xolo misi Sesabamisi centraluri kuTxis sidide 180 o -ia, amitom radiani π –jer naklebia 180 o -ze, e. i. 180 o 1 rad = ≈ 57 o17′45′′ π da piriqiT π rad ≈ 0,017 rad. 1o= 180 SemdgomSi aRniSvnas “radiani” gamovtovebT da davwerT π π π π o 360 = 2π , 90o = , 60o = , 45o = , 30o = da a. S. 2 3 4 6

$51. usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj!

! rogorc cnobilia, sibrtyis iseT gadaadgilebas, roca nebismier OA sxivsa da mis Sesabamis OA1 sxivs Soris kuTxis sidide α aris mudmivi, ewodeba mobruneba O wertilis garSemo α kuTxiT da R0α simboloTi aRiniSneba. Tu mobruneba xdeba saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego α > 0, xolo mimarTulebiT, maSin miRebulia, rom Tu_saaTis isris moZraobis mimarTulebiT, maSin α < 0 ; α=0 Seesabameba sibrtyis igivur asaxvas. aqedan gamomdinare, −π ≤ α ≤ π , magram, Tu mobrunebas ganvixilavT, rogorc brunvis Sedegs, maSin mobrunebis kuTxe SeiZleba iyos nebismieri; amasTan cxadia, rom R0α + 2 πk = R0α , k ∈ Z . 114

ganvixiloT wrewiri, romlis centri koordinatTa saTaveSia, xolo radiusi 1-is tolia. aseT wrewirs erTeulovani wrewiri ewodeba. vTqvaT P0 aris wertili koordinatebiT (1;0). Pt –Ti aRvniSnoT wertili, romelSic y aisaxeba P0 koordinatTa saTavis 1 Pt garSemo t radianiT mobrunebisas yt (nax. 44). Pt wertilis yt ordinats P0 t t ricxvis ( t radiani kuTxis) xt 1 x sinusi ewodeba da sin t simboloTi aRiniSneba, xolo xt abscisas t radiani kuTxis) ricxvis (t nax. 44 kosinusi ewodeba da cos t simboloTi aRiniSneba, e. i. yt = sin t , xt = cos t . sin t da cos t warmoadgenen t argumentis funqciebs, romlebic gansazRvrulia nebismieri t –saTvis, radgan nebismieri t radianiT mobrunebas Seesabameba erTaderTi savsebiT gansazRvruli Pt wertili. sin t da cos t funqciebis mniSvnelobaTa simravlea [-1;1], radgan erTeulovani wrewiris wertilebis TiToeuli koordinati Rebulobs mxolod [-1;1] segmentis yvela mniSvnelobas. t ricxvis (radianis) sinusis Sefardebas kosinusTan t ricxvis (radianis) tangensi ewodeba da tgt simboloTi aRiniSneba. e. i. sin t . tgt = cos t cxadia, rom tgt funqcia gansazRvrulia, roca cos t ≠ 0 , magram cos t = 0 mxolod maSin, rodesac Pt wertili Oy π RerZze mdebareobs, e. i. roca t = + πk , k ∈ Z . 2 amrigad, tgt funqcia gansazRvrulia yvelgan, garda π t = + πk , k ∈ Z ricxvebisa. 2 ganvixiloT x = 1 wrfe, romelsac tangensebis RerZi π t ≠ + πk , k∈Z ricxvs SeiZleba ewodeba. nebismier 2

115

SevusabamoT tangensebis RerZis erTaderTi At wertili, romelic warmoadgens OPt wrfis tangensebis RerZTan gadakveTis wertils (nax. 45). t ricxvis tangensi udris tangensebis RerZze misi Sesabamisi At wertilis ordinats. y

y Pt t

At Pt

t P0

nax. 45 nax. 46 sin t da cos t funqciebisagan gansxvavebiT, tgt funqciis mniSvnelobaTa simravlea R , radgan tangensebis RerZis nebismieri At wertilis ordinati warmoadgens P0OAt kuTxis tangenss (nax. 45). t ricxvis (radianis) kosinusis Sefardebas sinusTan t ricxvis (radianis) kotangensi ewodeba da ctgt simboloTi aRiniSneba, e. i. cos t . ctgt = sin t cxadia, rom ctgt funqcia gansazRvrulia, roca sin t ≠ 0 , magram sin t = 0 mxolod maSin, rodesac Pt wertili Ox RerZze mdebareobs, e. i. roca t = πk , k ∈ Z . amrigad, ctgt funqcia gansazRvrulia yvelgan, garda t = πk , k ∈ Z , ricxvebisa. ganvixiloT y = 1 wrfe, romelsac kotangensebis RerZi ewodeba. nebismier t ≠ πk , k ∈Z , ricxvs SeiZleba SevusabamoT kotangensebis RerZis erTaderTi At wertili, romelic warmoadgens OPt wrfis kotangensebis RerZTan gadakveTis wertils (nax. 46). t ricxvis kotangensi udris At wertilis kotangensebis RerZze misi Sesabamisi abscisas. ctgt funqciis mniSvnelobaTa simravlea R , radgan kotangensebis RerZis nebismieri At wertilis abscisa warmoadgens P0OAt kuTxis kotangenss (nax. 46).

116

_0 _

_0 +

sinusis niSnebi

kosinusis niSnebi

nax. 48

nax. 47 sin t , cos t , tgt da funqciebi ewodeba.

ctgt

funqciebs trigonometriuli

trigonometriul funqciaTa gansazRvrebis safuZvelze SeiZleba davadginoT maTi niSnebi im _ meoTxedebSi, romlebadac iyofa + sibrtye sakoordinato RerZebiT. 0 _ x sin t funqcia I da II meoTxedSi + dadebiTia, xolo III da IV meoTxedSi_uaryofiTi, radgan I da II meoTxedSi moTavsebuli tangensis da kotangensis niSnebi nebismieri wertilis ordinati dadebiTia, xolo III da IV nax. 49 meoTxedSi moTavsebuli nebismieri wertilis ordinati_uaryofiTi (nax. 47). analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom cos t funqcia I da IV meoTxedSi dadebiTia, xolo II da III meoTxedSi _ uaryofiTi (nax. 48). radgan sin t da cos t funqciebs I da III meoTxedSi erTnairi niSani aqvT, xolo II da IV meoTxedSi _ mopirdapire, amitom tgt da ctgt funqciebi I da III meoTxedSi dadebiTia, xolo II da IV meoTxedSi _ uaryofiTi (nax. 49). y

117

$52. usjhpopnfusjvmj!gvordjfcjt!nojTwofmpcbUb! hbnpUwmb!bshvnfoujt!{phjfsUj!nojTwofmpcjtbUwjt!! ! ! gamovTvaloT trigonometriul funqciaTa mniSvnelo3 π π π π π argumentebisaTvis. bebi, 0, , , , , π da 6 4 3 2 2 ganvixiloT erTeulovani wrewiris P0 (1;0) , Pπ (0;1) , 2

Pπ (−1;0) da P3π (0;−1) wertilebi (nax. 50). trigonometriul 2

gansazRvrebidan gamomdinare gvaqvs: sin 0 = 0 , π sin 0 0 cos 0 = 1 , tg 0 = = = 0, ctg 0 ar arsebobs; sin = 1 , cos 0 1 2 π cos π π π 2 = 0 = 0 ; sin π = 0 , cos = 0 , tg ar arsebobs, ctg = 2 sin π 1 2 2 2

funqciaTa

Pπ 2

Pπ

π 6

P3π 2

nax. 51

nax. 50 cos π = −1 , tgπ = 0 ,

ctgπ

ar arsebobs; sin

3π = −1 , 2

cos

3π =0, 2

3π 3π = 0. ar arsebobs, ctg 2 2 trigonometriul funqciaTa gansazRvrebidan gvaqvs: 1 1 π sin = AB = OB = 6 2 2 o marTkuTxa samkuTxedSi 30 -iani kuTxis mopirdapire kaTetis Tvisebis Tanaxmad (nax. 51); π cos = AO = OB 2 − AB 2 = 6 tg

118

1 3 = 4 2 (piTagoras Teoremis Tanaxmad); = 1−

π π 3 1 cos sin π π 1 3 6 6 2 2 = = 3. ; ctg = tg = = = = 1 6 sin π 6 cos π 3 3 3 2 6 6 2 π π sin = AB = OA = cos , radgan OAB samkuTxedi tolferdaa 4 4 (nax. 52). piTagoras Teoremis Tanaxmad

2 AO 2 = OB 2 = 1 ⇒ OA =

1 2

2 . 2

e. i. sin

π π 2 = cos = ; 4 4 2

y B B π 4

π 3

P0 A

nax. 52

nax. 53

π π sin cos π π 4 = 1 ; ctg = 4 = 1. tg = 4 cos π 4 sin π 4 4 π 1 1 cos = AO = OB = 3 2 2 (marTkuTxa samkuTxedSi 30 o -iani kuTxis kaTetis Tvisebis Tanaxmad (nax. 53)); 1 3 π = AB = OB 2 − OA 2 = 1 − = 3 4 2 (piTagoras Teoremis Tanaxmad); sin

119

mopirdapire

π π 3 1 sin cos π π 3 = 2 = 3 ; ctg = 3 = 2 = 1 = 3 . tg = 1 π 3 cos π 3 3 sin 3 3 2 3 3 2 trigonometriul funqciaTa gamoTvlili mniSvnelobebis safuZvelze SevadginoT Semdegi cxrili: α sin α

cos α tgα ctgα

0 = 0o

π = 30o 6

π = 45 o 4

π = 60 o 3

π = 90 o 2

π = 180 o

3π = 270 o 2

1 2

2 2

3 2

−1

3 2

2 2

1 2

−1

3 3

$53. y = sin x gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

! 1. y = sin x funqciis gansazRvris area D( y ) = R , xolo mniSvnelobaTa simravle_ E ( y ) = [− 1;1] . 2. y = sin x funqcia kentia, radgan nebismieri x –isaTvis y sin( − x) = − sin x , vinaidan abscisTa RerZis mimarT simetriuli Px da P− x Px wertilebis ordinatebi gansxvavdebian mxolod niSniT (nax. 54). 0 x 3. y = sin x funqcia periodulia da misi umciresi dadebiTi periodia P− x 2π . marTlac, radgan, nebismieri x – isaTvis R0x+ 2 π = R0x , amitom 2π warmoanax. 54 dgens erT-erT periods. vaCvenoT, rom igi umciresi dadebiTi periodia. Tu davuSvebT, rom aris periodi, maSin nebismieri x –isaTvis l ∈ ]0;2π [ sin( x + l ) = sin x . kerZod, roca x = 0 , miviRebT tolobas sin l = 0 ,

120

romelic marTebulia ]0;2π [ Sualedis mxolod erTi l = π mniSvnelobisaTvis, radgan es ricxvi aris erTaderTi aRniSnuli Sualedidan, romlis Sesabamisi wertili erTeulovan wrewirze, abscisTa RerZze Zevs. magram π ar π warmoadgens sin x –is periods, radgan sin = 1 , xolo 2 3π ⎛π ⎞ sin ⎜ + π ⎟ = sin = −1 . 2 ⎝2 ⎠ ⎡ π π⎤ 4. y = sin x funqcia zrdadia ⎢− ; ⎥ SualedSi, radgan ⎣ 2 2⎦ π π rodesac x izrdeba − –dan –mde, Px -is ordinati 2 2 izrdeba –1-dan 1-mde. analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom ⎡ π 3π ⎤ sin x funqcia ⎢ ; ⎥ SualedSi klebulobs 1-dan –1-mde. ⎣2 2 ⎦ radgan sin x periodulia periodiT 2π , amitom cxadia, rom π ⎡ π ⎤ igi zrdadia nebismier ⎢− + 2πk ; + 2πk ⎥ , k ∈ Z , saxis 2 ⎣ 2 ⎦ 3π ⎡π ⎤ + 2πk ⎥ , SualedSi, xolo klebadia nebismier ⎢ + 2πk ; 2 ⎣2 ⎦ k ∈ Z , saxis SualedSi. y = sin x ganxiluli Tvisebebis safuZvelze avagoT funqciis grafiki. ⎡ π⎤ y vinaidan ⎢0; ⎥ SualedSi sin x ⎣ 2⎦ funqcia izrdeba 0-dan 1-mde, xolo π π π , da –ze misi mniSvnelobebi 6 4 3 1 2 3 π π π π 0 Sesabamisad aris , da , x 2 6 4 3 2 2 2 amitom, am SualedSi y = sin x funqcinax. 55 is grafiks aqvs saxe (nax. 55). π sin x funqciis grafiki simetriulia x = wrfis 2 mimarT, radgan nebismieri x –isaTvis ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ = sin ⎜ + x ⎟ ; ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 121

marTlac, Pπ

π 2

Pπ

da Pπ

−x

wertilebi

simetriulia Oy RerZis mimarT (nax. 56), amitom maTi ordinatebi tolia. aqedan gamomdinare, y = sin x funqciis grafiks 0 x [0; π ] SualedSi aqvs saxe (nax. 57). sin x funqciis grafiki simetriulia koordinatTa saTavis mimarT, radgan nax. 56 igi kenti funqciaa. amitom [− π ; π ] SualedSi am funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 58). sin x funqcia periodulia periodiT 2π , amitom sabolood mis grafiks eqneba saxe (nax. 59). y = sin x funqciis grafiks sinusoida ewodeba. Pπ 2

−x

π 2

−

π 2

nax. 57 nax. 58 y −5π

3π 2

−π 2

2 − 2π

−3π 2

−π

π 2

3π 2π

5π 2

nax. 59 rogorc sin x funqciis grafikis agebis sqemidan Cans, sinusoidis asagebad sakmarisia vicodeT y = sin x funqciis ⎡ π⎤ grafiki ⎢0; ⎥ SualedSi. ⎣ 2⎦

122

$54. y = arcsin x gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

! ⎡ π π⎤ ⎢− 2 ; 2 ⎥ SualedSi, amitom ⎣ ⎦ arsebobs misi Seqceuli funqcia am SualedSi, romelsac arksinusi ewodeba da arcsin x simboloTi aRiniSneba. ⎡ π π⎤ radgan sin x funqcia ⎢− ; ⎥ SualedSi Rebulobs yvela ⎣ 2 2⎦ mniSvnelobas [-1;1] Sualedidan, amitom y = arcsin x funqciis

y = sin x

gansazRvris

funqcia zrdadia

are

D(arcsin x) = [− 1;1] ,

xolo

mniSvnelobaTa

⎡ π π⎤ simravle_ E (arcsin x) = ⎢− ; ⎥ . ⎣ 2 2⎦ cxadia, Tu −1 ≤ a ≤ 1 , maSin arcsin a warmoadgens im ⎡ π π⎤ kuTxis sidides ⎢− ; ⎥ Sualedidan, romlis sinusi ⎣ 2 2⎦ udris a –s, e. i. sin(arcsin a ) = a . SeiZleba vaCvenoT, rom arcsin(− x) = − arcsin x , amitom y = arcsin x funqcia kentia. y = arcsin x funqcia zrdadia, rogorc zrdadi funqciis Seqceuli funqcia da radgan urTierTSeqceul funqciaTa grafikebi simetriulia y = x wrfis mimarT, amitom am funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 60).

y π 2

-1

1 x −

π 2

nax. 60

123

$55. y = cos x gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj! 1.

y = cos x

! funqciis

gansazRvris

area D( y ) = R , xolo mniSvnelobaTa simravle_ E ( y ) = [−1;1] . 2. y = cos x funqcia luwia, radgan

y Px

0 x –isaTvis cos(− x) = cos x , nebismieri x vinaidan abscisTa RerZis mimarT P− x simetriuli Px da P− x wertilebis abscisebi tolia (nax. 61). nax. 61 3. y = cos x funqcia periodulia da misi umciresi dadebiTi periodia 2π . marTlac, radgan nebismieri x –isaTvis R0x+ 2 π = R0x , amitom 2π warmoadgens erT-erT periods. vaCvenoT, rom igi umciresi dadebiTi periodia. Tu davuSvebT, rom l ∈ ]0;2π [ aris periodi, maSin nebismieri x –isaTvis cos( x + l ) = cos x . kerZod, roca x = 0 , miviRebT tolobas cos l = 1 , l –is arcerTi romelic ar aris marTebuli mniSvnelobisaTvis ]0;2π [ Sualedidan. 4. y = cos x funqcia zrdadia [− π ;0] SualedSi, radgan rodesac x izrdeba −π –dan 0-mde, Px -is abscisa izrdeba -1-dan 1-mde. analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom cos x funqcia [0; π ] SualedSi klebulobs 1-dan –1-mde. radgan cos x periodulia periodiT 2π , amitom cxadia, rom igi zrdadia nebismier [− π + 2πk ;2πk ] , k ∈ Z , saxis SualedSi, xolo klebadia nebismier [2πk ; π + 2πk ] , k ∈ Z , saxis SualedSi. ganxiluli Tvisebebis safuZvelze avagoT y = cos x funqciis grafiki. y ⎡ π⎤ vinaidan ⎢0; ⎥ SualedSi y = cos x ⎣ 2⎦ funqcia klebulobs 1-dan 0-mde, π π , da xolo misi mniSvnelobebi 6 4 π π π π 0 x π 3 2 2 6 4 3 –ze Sesabamisad aris , da 3 2 2 nax. 62 124

1 , amitom am SualedSi 2 saxe (nax. 62).

y = cos x funqciis grafiks aqvs x=

cos x funqciis grafiki simetriulia

wertilis

mimarT, radgan nebismieri x –isaTvis ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos⎜ − x ⎟ = − cos⎜ + x ⎟ ; ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ marTlac Pπ da Pπ wertilebi simetriulia Oy RerZis 2

−x

mimarT (nax. 56) da amitom maTi abscisebi gansxvavdebian mxolod niSniT. aqedan gamomdinare, y = cos x funqciis grafiks [0; π ] SualedSi aqvs saxe (nax. 63). cos x funqciis grafiki simetriulia Oy RerZis mimarT, radgan igi luwi funqciaa. amitom [− π ; π ] SualedSi am funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 64). y

π π 2

−π

π −

π 2

nax. 63 nax. 64

cos x funqcia periodulia periodiT 2π , amitom sabolood mis grafiks eqneba saxe (nax. 65). y −3π −5π −2π 2

−3π 2

3π

−π −π 2

π 2

3π 2

2π

5π 2

7π 2

nax. 65 y = cos x funqciis grafiks kosinusoida ewodeba. rogorc funqciis grafikis agebis sqemidan Cans,

125

kosinusoidis

asagebad

sakmarisia

vicodeT

y = cos x

⎡ π⎤ funqciis grafiki ⎢0; ⎥ SualedSi. ⎣ 2⎦

$56. y = arccos x gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

y = cos x funqcia klebadia [0; π ] SualedSi, amitom arsebobs misi Seqceuli funqcia am SualedSi, romelsac arkkosinusi ewodeba da arccos x simboloTi aRiniSneba. radgan cos x funqcia [0; π ] SualedSi Rebulobs yvela mniSvnelobas [-1;1] Sualedidan, amitom y = arccos x funqciis

gansazRvris are D(arccos x) = [−1;1] , xolo mniSvnelobaTa simravle_ E (arccos x) = [0;π ] . cxadia, Tu −1 ≤ a ≤ 1 , maSin arccos a warmoadgens im kuTxis sidides [0; π ] Sualedidan, romlis kosinusi udris a –s, e. i. y cos(arccos a) = a . π SeiZleba vaCvenoT, rom arccos(− x) = π − arccos x . π 2 y = arccos x funqcia klebadia, rogorc klebadi funqciis Seqceuli funqcia da radgan urTierTSeqceul funqciaTa grafikebi simetriulia 1 x -1 0 y = x wrfis mimarT, amitom am funnax. 66 qciis grafiks aqvs saxe (nax. 66).

§57. y = tgx gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

y = tgx funqciis gansazRvris area yvela namdvil π ricxvTa simravle, garda + πk , k ∈ Z , saxis ricxvebisa, 2 xolo mniSvnelobaTa simravlea R . 2. y = tgx funqcia kentia, radgan nebismieri x –isaTvis gansazRvris aridan sin( − x) − sin x tg (− x) = = = −tgx . cos(− x) cos x

126

3. y = tgx funqcia periodulia da misi umciresi π. marTlac, x -is nebismieri dadebiTi periodia x da x±π mniSvnelobisaTvis gansazRvris aredan ricxvebi gamoisaxebian erTeulovani wrewiris Px da Px± π wertilebiT, romlebic simetriulia koordinatTa O saTavis mimarT (nax. 67), amitom am y ricxvebis Sesabamisi wertilebi tangensebis RerZze erTi da igivea. e. i. Px tg ( x ± π) = tgx . amrigad π warmoadgens erT-erT peri0 x ods. vaCvenoT, rom igi umciresi dadebiTi periodia. Tu davuSvebT, rom Px ± π l ∈ ]0; π [ aris periodi, maSin nebismieri x –isaTvis nax. 67 tg ( x + l ) = tgx . kerZod, roca x = 0 , miviRebT tgl = 0 tolobas, romelic ar aris marTebuli l –is arcerTi mniSvnelobisaTvis ]0; π [ Sualedidan. ⎤ π π⎡ 4. y = tgx funqcia zrdadia ⎥ − ; ⎢ SualedSi, radgan, ⎦ 2 2⎣ π π rodesac x izrdeba − –dan –mde tangensebis RerZze 2 2 misi Sesabamisi wertilis ordinati izrdeba −∞ –dan +∞ – mde. radgan tgx periodulia periodiT π , amitom, cxadia,

π ⎤ π ⎡ rom igi zrdadia nebismier ⎥ − + πk ; + πk ⎢ , k ∈ Z , saxis 2 ⎦ 2 ⎣ SualedSi. y = tgx ganxiluli Tvisebebis safuZvelze avagoT funqciis grafiki. ⎡ π⎡ vinaidan ⎢0; ⎢ SualedSi tgx funqcia izrdeba 0-dan ⎣ 2⎣ π π π +∞ –mde, xolo misi mniSvnelobebi , da –ze 6 4 3 3 Sesabamisad aris , 1 da 3 , amitom am SualedSi 3 funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 68). 127

tgx

funqciis

grafiki

simetriulia

koordinatTa

⎤ π π⎡ saTavis mimarT, radgan igi kenti funqciaa. amitom ⎥ − ; ⎢ ⎦ 2 2⎣ SualedSi am funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 69). y

− 3 3

π π π π 6 4 3 2

π 2

nax. 68

nax. 69

tgx funqcia periodulia periodiT π , amitom mis grafiks aqvs saxe (nax. 70). y = tgx funqciis grafiks tangensoida ewodeba. y

−

5π 2

−2π

−

3π 2

−π

−

π 2

3π 2

2π

5π 2

nax. 70

§58. y = arctgx gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

! ⎤ π π⎡ ⎥ − 2 ; 2 ⎢ SualedSi, amitom ⎣ ⎦ arsebobs misi Seqceuli funqcia am SualedSi, romelsac arktangensi ewodeba da arctgx simboloTi aRiniSneba. y = tgx

funqcia zrdadia

128

⎤ π π⎡ funqcia ⎥ − ; ⎢ SualedSi Rebulobs yvela ⎦ 2 2⎣ R –dan, amitom y = arctgx funqciis mniSvnelobas gansazRvris are D (arctgx ) = R , xolo mniSvnelobaTa

radgan tgx

⎤ π π⎡ simravle_ E (arctgx) = ⎥ − ; ⎢ . cxadia, rom nebismieri a ⎦ 2 2⎣ warmoadgens im kuTxis sidides ricxvisaTvis arctga ⎤ π π⎡ ⎥ − 2 ; 2 ⎢ Sualedidan, romlis tangensi udris a –s, e. i. ⎣ ⎦ tg (arctga) = a . SeiZleba vaCvenoT, rom arctg (− x) = −arctgx , amitom y = arctgx funqcia kentia. y = arctgx funqcia zrdadia, rogorc zrdadi funqciis Seqceuli funqcia da radgan urTierTSeqceul funqciaTa grafikebi simetriulia y = x wrfis mimarT, amitom am funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 71). y π 2

−

π 2

nax. 71

§59. y = ctgx gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

1. y = ctgx funqciis gansazRvris area yvela namdvili ricxvis simravle, garda πk , k ∈ Z , saxis ricxvebisa, xolo mniSvnelobaTa simravlea R . 129

2. y = ctgx funqcia kentia, radgan nebismieri x –isaTvis gansazRvris aridan cos(− x) cos x ctg (− x) = = = −ctgx . sin(− x) − sin x 3. y = ctgx funqcia periodulia da misi umciresi π. marTlac x –is nebismieri dadebiTi periodia x da x±π mniSvnelobisaTvis gansazRvris aridan ricxvebi gamoisaxebian erTeulovani wrewiris Px da Px± π wertilebiT, romlebic simetriulia koordinatTa O saTavis mimarT (nax. 72), amitom am ricxvebis Sesabamisi wertilebi kotangensebis RerZze erTidaigivea. e. i. ctg ( x ± π) = ctgx . amrigad, π warmoadgens erT-erT periods. vaCvenoT, rom igi umciresi dadebiTi periodia. Tu y davuSvebT, rom l ∈ ] 0; π [ aris periodi, maSin nebismieri x –isaTvis Px ctg ( x + l ) = ctgx . π 0 x kerZod, roca x = , miviRebT tolo2 Px ± π bas: ⎛π ⎞ ctg ⎜ + l ⎟ = 0 , nax. 72 ⎝2 ⎠ romelic ar aris marTebuli l –is arcerTi mniSvnelobisaTvis ] 0; π [ Sualedidan. 4. y = ctgx funqcia klebadia ] 0; π [ SualedSi, radgan, rodesac x izrdeba 0-dan π –mde, kotangensebis RerZze misi Sesabamisi wertilis abscisa klebulobs +∞ –dan −∞ – mde. radgan ctgx periodulia periodiT π , amitom cxadia, rom igi klebadia nebismier ] πk ; π + πk [ , k ∈ Z , saxis SualedSi. ganxiluli Tvisebebis safuZvelze avagoT y = ctgx funqciis grafiki. ⎤ π⎤ vinaidan ⎥ 0; ⎥ SualedSi ctgx funqcia klebulobs ⎦ 2⎦ π π π +∞ –dan 0-mde, xolo misi mniSvnelobebi , da –ze 6 4 3

130

3 , 3 funqciis grafiks aqvs saxe (nax. 73).

Sesabamisad

aris

amitom

SualedSi

3 π 6

3 3

1 π 4

π 3

π 2

nax. 73

ctgx

funqciis grafiki simetriulia

π 2

wertilis

π + πk , k ∈ Z , ricxvisaTvis 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos⎜ − x ⎟ − cos⎜ + x ⎟ 2 2 ⎛π ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −ctg ⎛ π + x ⎞ . = ctg ⎜ − x ⎟ = ⎜ ⎟ π π 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ sin − x ⎝2 ⎠ sin ⎜ + x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ aqedan gamomdinare, y = ctgx funqciis grafiks ]0; π [ SualedSi aqvs saxe (nax. 74). ctgx funqcia periodulia periodiT π , amitom mis grafiks aqvs saxe (nax. 75).

mimarT, radgan nebismieri x ≠

π 2

nax. 74

131

−3π

−

5π 2

−2π

−

3π 2

−π

−

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

nax. 75 y = ctgx funqciis grafiks kotangensoida ewodeba.

§60. y = arcctgx gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

y = ctgx funqcia klebadia ] 0; π [ SualedSi, amitom arsebobs misi Seqceuli funqcia am SualedSi, romelsac arkkotangensi ewodeba da arcctgx simboloTi aRiniSneba. radgan ctgx funqcia ] 0; π [ SualedSi Rebulobs yvela R –dan, mniSvnelobas amitom y = arcctgx funqciis D(arcctg ) = R , xolo mniSvnelobaTa gansazRvris are simravle_ E (arcctg ) = ] 0;π [ . cxadia, nebismieri a ricxvisaTvis arcctga warmoadgens im kuTxis sidides ] 0; π [ Sualedidan, romlis kotangensi udris a –s, e. i. ctg (arcctga) = a . SeiZleba vaCvenoT, rom arcctg (− x ) = π − arcctgx . y = arcctgx funqcia y klebadia, rogorc klebadi funqciis Seqceuli funqcia da radgan urTierTSeqceul funqciaTa π grafikebi simetriulia ●2 y = x wrfis mimarT, amitom am funqciis grafiks aqvs x 0 saxe (nax. 76).

nax. 76 132

§61. ebnpljefcvmfcb!fsUj!eb!jhjwf!bshvnfoujt!

usjhpopnfusjpvm!gvordjfct!Tpsjt!! !

1. vinaidan erTeulovani wrewiris nebismieri Pα (xα , yα ) wertilis koordinatebi akmayofileben pirobas xα2 + yα2 = 1 , xolo xα = cos α , yα = sin α , amitom gvaqvs: cos 2 α + sin 2 α = 1 .

(1) π 2. Tu α ≠ k , k ∈ Z , maSin 2 tgα ⋅ ctgα = 1 . (2) marTlac, sin α cos α ⋅ = 1. tgα ⋅ ctgα = cos α sin α π 3. Tu α ≠ + πk , k ∈ Z , maSin gvaqvs igiveoba 2 1 1 + tg 2 α = . (3) cos 2 α marTlac sin 2 α cos 2 α + sin 2 α 1 . 1 + tg 2 α = 1 + = = cos 2 α cos 2 α cos 2 α 4. Tu α ≠ πk , k ∈ Z , maSin gvaqvs igiveoba 1 1 + ctg 2 α = . (4) sin 2 α marTlac cos 2 α sin 2 α + cos 2 α 1 . 1 + ctg 2 α = 1 + = = 2 2 sin α sin α sin 2 α (1)_(4) formulebi saSualebas gvaZlevs erT-erTi trigonometriuli funqciis mniSvnelobis mixedviT vipovoT amave argumentis danarCeni trigonometriuli funqciebi, Tu cnobilia romel meoTxedSia argumenti. nbhbmjUj/ vipovoT sin α , cos α da ctgα , Tu tgα = − 3 , 4 ⎤π ⎡ α ∈ ⎥ ; π ⎢ . (2) formulis Tanaxmad ⎦2 ⎣ 1 4 ctgα = =− . tgα 3

133

Tu gaviTvaliswinebT, rom α moTavsebulia meore meoTxedSi, sadac kosinusi uaryofiTia, (3) formulidan gveqneba 1 1 4 cos α = − =− =− . 2 5 9 1 + tg α 1+ 16 sin α gamoiTvleba Semdegnairad ⎛ 3⎞⎛ 4⎞ 3 sin α = tgα ⋅ cos α = ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ = . ⎝ 4⎠⎝ 5⎠ 5

§62. psj!bshvnfoujt!kbnjtb!eb!tywbpcjt!!

usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj! !

mtkicdeba, rom nebismieri α da β –saTvis adgili aqvs tolobebs: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β , sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β , cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β . π π π vaCvenoT, rom Tu α ≠ + πk , β ≠ + πn da α + β ≠ + πm , 2 2 2 (k , n, m ∈ Z ) , maSin tgα + tgβ tg (α + β) = . 1 − tgα ⋅ tgβ marTlac sin α sin β + tgα + tgβ sin α cos β + cos α sin β cos α cos β = = = sin α sin β 1 − tgα ⋅ tgβ 1 − cos α cos β − sin α sin β ⋅ cos α cos β sin (α + β ) = = tg (α + β) . cos(α + β ) analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom: tgα − tgβ π π π tg (α − β) = , α ≠ + πk , β ≠ + πn , α − β ≠ + πm , 1 + tgα ⋅ tgβ 2 2 2 (k , n, m ∈ Z ) .

134

jamisa da sxvaobis trigonometriul funqciaTa gamosaTvlel formulebs Sekrebis formulebi ewodeba.

§63. ebzwbojt!gpsnvmfcj!

rogorc cnobilia, nebismieri x ricxvi SeiZleba Caiweros x = 2πk + α saxiT, sadac 0 ≤ α < 2π , k ∈ Z . aqedan gamomdinare, radgan sinus da kosinus funqciebis periodia 2π , am funqciebis mniSvnelobaTa gamoTvla nebismieri x argumentisaTvis daiyvaneba sin α da cos α funqciebis mniSvnelobebis gamoTvlamde, sadac α ∈ [0;2π [ . ufro metic sin x da cos x funqciebis mniSvnelobaTa gamoTvla SeiZleba daviyvanoT sin α –s da cos α –s moZebnamde, sadac ⎡ π⎤ α ∈ ⎢0; ⎥ . amis saSualebas gvaZlevs e. w. dayvanis ⎣ 2⎦ formulebi, romelTac aqvT Semdegi saxe: ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α , cos⎜ + α ⎟ = − sin α , 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π sin ⎜ − α ⎟ = cos α , cos⎜ − α ⎟ = sin α , 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sin (π + α ) = − sin α , cos(π + α ) = − cos α , sin (π − α ) = sin α , cos(π − α ) = − cos α , ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞ sin ⎜ π + α ⎟ = − cos α , cos⎜ π + α ⎟ = sin α , 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞ sin ⎜ π − α ⎟ = − cos α , cos⎜ π − α ⎟ = − sin α . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ es formulebi marTebulia nebismieri α –saTvis da maTi damtkiceba SeiZleba Sekrebis formulebis saSualebiT. magaliTad, π π ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = sin cos α + cos sin α = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α . 2 2 ⎝2 ⎠ analogiurad, radgan tangensisa da kotangensis periodia π , xolo nebismieri x ricxvi SeiZleba Caiweros saxiT, sadac 0≤α<π, amitom am x = πk + α k ∈Z , funqciebis mniSvnelobaTa gamoTvla nebismieri x tgα ctgα da funqciebis argumentisaTvis daiyvaneba mniSvnelobebis moZebnamde, sadac α ∈ [0; π [ . iseve rogorc

135

sinusisa da kosinusis SemTxvevaSi tgx da ctgx funqciebis mniSvnelobaTa gamoTvla SeiZleba daviyvanoT tgα –s da ⎡ π⎤ ctgα –s moZebnamde, sadac α ∈ ⎢0; ⎥ , dayvanis formulebis ⎣ 2⎦ saSualebiT, romelTac aqvT saxe: ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π tg ⎜ + α ⎟ = −ctgα , ctg ⎜ + α ⎟ = −tgα , 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π tg ⎜ − α ⎟ = ctgα , ctg ⎜ − α ⎟ = tgα . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ davamtkicoT erT-erTi maTgani ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ ⎛π ⎞ ⎝2 ⎠ = cos α = −ctgα . tg ⎜ + α ⎟ = π 2 ⎛ ⎝ ⎠ cos + α ⎞ − sin α ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ dayvanis formulebis damaxsovreba advilad SeiZleba Semdegi wesis mixedviT: π aRebulia kent ricxvjer Tu dayvanis formulaSi 2 da mas akldeba, an emateba α , maSin dasayvani funqcia π aRebulia luw ricxvjer, icvleba “kofunqciiT”∗, Tu 2 maSin dasayvani funqciis saxelwodeba ucvleli rCeba. dayvanili funqciis win iwereba is niSani, ra niSanic aqvs ⎤ π⎡ dasayvan funqcias, Tu CavTvliT, rom α ∈ ⎥ 0; ⎢ . ⎦ 2⎣ ganvixiloT magaliTebi 1. sin 1935o = sin (360 o ⋅ 5 + 135o ) = sin 135o = sin (90o + 45o ) =

2 . 2 29 2 ⎞ 2 ⎛ ⎛π π⎞ 2. ctg π = ctg ⎜ 9π + π ⎟ = ctg π = ctg ⎜ + ⎟ = 3 3 ⎠ 3 ⎝ ⎝2 6⎠ = cos 45o =

= −tg

3 π =− . 6 3

∗ sinusis, kosinusis, tangensis da kotangensis kofunqciebi ewodeba Sesabamisad kosinuss, sinuss, kotangenss da tangenss. 136

§64. psnbhj!eb!obyfwbsj!bshvnfoujt!!

!!usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj! Tu sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β formulaSi CavsvamT β = α , miviRebT sin 2α = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ cos α . amrigad, sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α . analogiurad cos 2α = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sin α = cos 2 α − sin 2 α , 2tgα tgα + tgα = , tg 2α = 1 − tgαtgα 1 − tg 2 α e. i. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α , (1) 2tgα π π π tg 2α = , α ≠ + πk , α ≠ + n (k , n ∈ Z ) . 1 − tg 2 α 2 4 2 Tu (1) formulis marjvena mxares gamovsaxavT mxolod sinusiT an mxolod kosinusiT, miviRebT cos 2α = 1 − 2 sin 2 α , cos 2α = 2 cos 2 α − 1 . aqedan 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin 2 α = , cos 2 α = . 2 2 α Tu miRebul formulebSi α –s SevcvliT –iT, 2 gveqneba α 1 − cos α , sin 2 = 2 2 α 1 + cos α , cos 2 = 2 2 saidanac sin

1 − cos α α , =± 2 2

1 + cos α α . (3) =± 2 2 (k ∈ Z ) , (2) tolobis (3)-ze gayofiT cos

Tu α ≠ π(2k + 1) , miviRebT

(2)

137

1 − cos α α . (4) =± 2 1 + cos α (2)_(4) formulebSi niSani “+” an “_” unda aviRoT imis α . mixedviT, Tu romel meoTxedSia 2 naxevari argumentis tangensi mTeli argumentis sinusiTa da kosinusiT SeiZleba gamoisaxos formuliT sin α α tg = , α ≠ π(2k + 1) , (k ∈ Z ) 2 1 + cos α marTlac, α α α 2 sin cos sin sin α 2 2 2 = tg α , = = α 2 1 + cos α 2 α 2 cos cos 2 2 analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom α 1 − cos α tg = , α ≠ πk , (k ∈ Z ) . 2 sin α tg

§65. usjhpopnfusjvm!gvordjbUb!hbnptbywb!

obyfwbsj!bshvnfoujt!ubohfotjU! ! xSirad mosaxerxebelia trigonometriul funqciaTa gamosaxva naxevari argumentis tangensiT Semdegi formulebis saSualebiT: α 2tg 2 , α ≠ π(2k + 1) , (k ∈ Z ) sin α = (1) 2 α 1 + tg 2 α 1 − tg 2 2 , α ≠ π(2k + 1) , (k ∈ Z ) cos α = (2) 2 α 1 + tg 2 α 2tg 2 , α ≠ π + πk , α ≠ π(2n + 1) , (k , n ∈ Z ) (3) tgα = 2 2 α 1 − tg 2 davamtkicoT es formulebi:

138

α α sin 2 =2 2 : 1 = 2 sin α ⋅ cos α = sin α ; α α 2 2 2 α 1 + tg cos cos 2 2 2 2 α α α 1 − tg 2 cos 2 − sin 2 2 = 2 2 : 1 = α α α 1 + tg 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 α 2 α = cos − sin = cos α . 2 2 (3) formula miiReba (1) tolobis gayofiT (2)_ze.

2tg

§66. usjhpopnfusjvm!gvordjbUb!obnsbwmjt!!

hbsebrnob!kbnbe! ! gamoviyvanoT sin α ⋅ cos β , sin α ⋅ sin β da cos α ⋅ cos β namravlebis trigonometriul funqciaTa jamad gardaqmnis formulebi. Tu SevkrebT sin (α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β da sin (α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β tolobebs, miviRebT: sin (α + β ) + sin (α − β ) = 2 sin α ⋅ cos β , saidanac 1 sin α ⋅ cos β = [sin (α + β ) + sin (α − β )] . 2 analogiurad cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β (1) da cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β (2) tolobebis SekrebiT miviRebT: cos(α − β ) + cos(α + β ) = 2 cos α ⋅ cos β , saidanac 1 cos α ⋅ cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)] . 2 aseve, Tu (1) tolobas gamovaklebT (2)-s, miviRebT cos(α − β ) − cos(α + β) = 2 sin α ⋅ sin β ,

139

saidanac sin α sin β =

1 [cos(α − β) − cos(α + β)] . 2

§67. usjhpopnfusjvm!gvordjbUb!kbnjt!

hbsebrnob!obnsbwmbe! ! rogorc wina paragrafSi vnaxeT, marTebulia Semdegi formulebi: sin (x + y ) + sin (x − y ) = 2 sin x ⋅ cos y , (1) cos(x + y ) + cos(x − y ) = 2 cos x ⋅ cos y , (2) cos(x − y ) − cos(x + y ) = 2 sin x ⋅ sin y , (3) advili saCvenebelia agreTve, rom sin (x + y ) − sin (x − y ) = 2 cos x ⋅ sin y , (4) SemoviRoT aRniSvnebi x+ y =α, x− y =β, (5) saidanac α+β α −β x= , y= , (6) 2 2 (5) da (6) tolobebis gaTvaliswinebiT (1)_(4) formulebidan miviRebT: α+β α −β , sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α −β α+β , sin α − sin β = 2 sin cos 2 2 α+β α −β , cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α −β . cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 ganvixiloT axla tangensebis jami tgα + tgβ . sin α sin β sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin (α + β) tgα + tgβ = + = = . cos α cos β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β amrigad sin (α + β) π π tgα + tgβ = , α ≠ + πk , β ≠ + nπ , (k , n ∈ Z ) . cos α ⋅ cos β 2 2 analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom sin (α − β ) π π tgα − tgβ = , α ≠ + πk , β ≠ + nπ , (k , n ∈ Z ) ; cos α ⋅ cos β 2 2 140

sin (α + β) , α ≠ πk , β ≠ πn , (k , n ∈ Z ) ; sin α ⋅ sin β sin (β − α ) ctgα − ctgβ = , α ≠ πk , β ≠ πn , (k , n ∈ Z ) . sin α ⋅ sin β

ctgα + ctgβ =

§68. usjhpopnfusjvmj!hboupmfcfcj!

1. hbowjyjmpU! sin x = a ! hboupmfcb/ radgan nebismieri x –saTvis −1 ≤ sin x ≤ 1 , amitom, roca a > 1 , am gantolebas amonaxsni ara aqvs. roca a ≤ 1 , maSin sin x = a gantolebis amosaxsnelad sakmarisia vipovoT misi yvela amonaxsni nebismier 2π sigrZis SualedSi da gamoviyenoT sinusis perioduloba. ⎡ π 3π ⎤ aseT Sualedad mosaxerxebelia aviRoT ⎢− ; ⎥ . ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ π π⎤ ⎡ π 3π ⎤ da SualedebSi sin x funqcia ⎢− 2 ; 2 ⎥ ⎢2; 2 ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ monotonuria da TiToeul maTganze Rebulobs yvela mniSvnelobas –1-dan 1-mde (nax. 77). amitom am Sualedebidan TiToeulSi gantolebas eqneba erTaderTi amonaxsni. ⎡ π π⎤ SualedSi arksinusis gansazRvris Tanaxmad ⎢− 2 ; 2 ⎥ ⎣ ⎦ moTavsebuli amonaxsni iqneba arcsin a . ⎡ π 3π ⎤ π − arcsin a ekuTvnis Sualeds da radgan ⎢2; 2 ⎥ ⎣ ⎦ sin (π − arcsin a ) = sin (arcsin a ) = a , amitom π − arcsin a warmoadgens am SualedSi moTavsebul amonaxsns (nax. 77). y y=a

1 a −

arcsin a

-1

nax. 77 141

π π − arcsin a

imisaTvis, rom CavweroT sin x = a gantolebis yvela amonaxsni, visargebloT periodulobiT, e. i. miRebuli ori amonaxsnidan TiToeuls davumatoT 2πn , (n ∈ Z ) , saxis ricxvi. miviRebT, rom amonaxsnTa simravle Sedgeba ori usasrulo qvesimravlisagan, romlebic ganisazRvrebian formulebiT: x = arcsin a + 2πn , n ∈ Z , x = π − arcsin a + 2πn = − arcsin a + π(2n + 1) , n ∈ Z . am simravleTa gaerTianeba mogvcems sin x = a gantolebis amonaxsnTa simravles, romelic ganisazRvreba formuliT: x = (− 1) arcsin a + πk , k ∈ Z . k

im SemTxvevaSi, roca a udris 0-s, 1-s an –1-s, sin x = a gantolebis amonaxsnTa simravle SeiZleba ufro martivi formuliT ganisazRvros, kerZod: sin x = 0 gantolebis amonaxsnTa simravlea {x = πk , k ∈ Z } ; sin x = 1 gantolebis amonaxsnTa simravlea π ⎧ ⎫ ⎨ x = + 2πk , k ∈ Z ⎬ ; 2 ⎩ ⎭ sin x = −1 gantolebis amonaxsnTa simravlea π ⎧ ⎫ ⎨ x = − + 2πk , k ∈ Z ⎬ . 2 ⎩ ⎭ 2. hbowjyjmpU! cos x = a ! hboupmfcb/! radgan nebismieri x –isaTvis −1 ≤ cos x ≤ 1 , amitom, roca a > 1 am gantolebas amonaxsni ara aqvs. roca a ≤ 1 , maSin cos x = a gantolebis amosaxsnelad sakmarisia vipovoT misi yvela amonaxsni nebismieri 2π sigrZis SualedSi da gamoviyenoT kosinusis perioduloba. aseT Sualedad mosaxerxebelia aviRoT [− π ; π ] . [− π ;0] da [0; π ] SualedebSi cos x funqcia monotonuria da TiToeul maTganze Rebulobs yvela mniSvnelobas –1dan 1-mde (nax. 78). amitom am Sualedebidan TiToeulSi gantolebas eqneba erTaderTi amonaxsni. arkkosinusis [0; π ] SualedSi moTavsebuli gansazRvrebis Tanaxmad amonaxsni iqneba arccos a . radgan kosinusi luwi funqciaa, amitom [− π ;0] SualedSi moTavsebuli amonaxsni iqneba − arccos a .

142

y 1

y=a a −π

− arccos a

arccos a

nax. 78 imisaTvis, rom CavweroT cos x = a gantolebis yvela amonaxsni, visargebloT kosinusis periodulobiT, e. i. miRebuli ori amonaxsnidan TiToeuls davumatoT 2πk , (k ∈ Z ) , saxis ricxvi. miviRebT, rom amonaxsnTa simravle Sedgeba Semdegi ori usasrulo qvesimravlisagan: {x = arccos a + 2πk , k ∈ Z }, {x = − arccos a + 2πk , k ∈ Z }. miRebuli simravleebis gaerTianeba mogvcems cos x = a gantolebis amonaxsnTa simravles {x = ± arccos a + 2πk , k ∈ Z }. im SemTxvevaSi, roca a udris 0-s, 1-s an –1-s cos x = a gantolebis amonaxsnTa simravle SeiZleba ufro martivi formuliT ganisazRvros, kerZod: cos x = 0 gantolebis amonaxsnTa simravlea π ⎧ ⎫ ⎨ x = + πk , k ∈ Z ⎬ ; 2 ⎩ ⎭ cos x = 1 gantolebis amonaxsTa simravlea {x = 2πk , k ∈ Z } ; cos x = −1 gantolebis amonaxsTa simravlea {x = π + 2πk , k ∈ Z } . 3. hbowjyjmpU! tgx = a ! hboupmfcb/ am gantolebis amosaxnelad sakmarisia vipovoT misi yvela amonaxsni nebismieri π sigrZis SualedSi da gamoviyenoT tangensis perioduloba. aseT Sualedad mosaxerxebelia aviRoT ⎤ π π⎡ ⎥ − 2 ; 2 ⎢ . am SualedSi tgx funqcia zrdadia da Rebulobs ⎦ ⎣ yvela mniSvnelobas −∞ –dan +∞ –mde (nax. 79), amitom

143

⎤ π π⎡ SualedSi gantolebas eqneba erTaderTi ⎥− 2 ; 2 ⎢ ⎦ ⎣ amonaxsni. arktangensis gansazRvrebis Tanaxmad es amonaxsni iqneba arctga . y y=a a −

π 2

arctga π 2

nax. 79 imisaTvis, rom CavweroT tgx = a gantolebis yvela amonaxsni, visrgebloT tangensis periodulobiT, e. i. miRebul amonaxsns davumatoT πk , (k ∈ Z ) , saxis ricxvi. miviRebT, rom tgx = a gantolebis amonaxsnTa simravlea

{x = arctga + πk , k ∈ Z } . 4. tgx = a gantolebis amoxsnis dros Catarebuli msjelobis analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom ctgx = a gantolebis amonaxsnTa simravlea {x = arcctga + πk , k ∈ Z } . zemoT ganxiluli gantolebebi warmoadgenen umartives trigonometriul gantolebebs. sazogadod, trigonometriuli gantolebis amosaxsnelad saWiroa igivuri gardaqmnebis saSualebiT igi Seicvalos misi tolfasi umartivesi trigonometriuli gantolebiT an aseT gantolebaTa gaerTianebiT. §69. ybsjtyj!jsbdjpobmvsj!nbDwfofcmjU!

! CvenTvis cnobilia, Tu rogor ganisazRvreba xarisxi racionaluri maCvenebliT. racionalurmaCvenebliani xarisxebis gamoyenebiT ki ganisazRvreba iracionalur maCvenebliani xarisxi. Tu α raime iracionaluri ricxvia, maSin yovelTvis arsebobs β1 da β2 racionaluri ricxvebi iseTi, rom

144

β1< α< β2 (1) da amasTan β2 - β1 ragind mcirea. mtkicdeba, rom nebismieri namdvili a (a>0, a≠1) ricxvisaTvis arsebobs erTaderTi γ ricxvi,

romlisTvisac

utoloba

a β1 < γ < a β 2

sruldeba

nebismieri β1 da β2-saTvis, romlebic akmayofileben (1) piorobas. aseT γ ricxvs ewodeba a ricxvis α xarisxi, e. i. γ=aα. hbotb{Swsfcb/ nebismieri dadebiTi α iracionaluri ricxvisaTvis 0α = 0 . iracionalur maCveneblian xarisxs gaaCnia racionalur maCvenebliani xarisxis analogiuri Tvisebebi. amrigad, nebismieri namdvili maCveneblisaTvis:

1. (ab )α = a α b α ,

( )

aα ⎛a⎞ 2. ⎜ ⎟ = α , b ⎝b⎠

3. a α ⋅ a β = a α + β ,

aα = aα − β , aβ sadac a > 0 , b > 0 da α, β ∈ R .

4. a α

= a αβ ,

§70. nbDwfofcmjboj!gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

! x

y = a saxis funqcias, sadac a > 0 , a ≠ 1 , maCvenebliani funqcia ewodeba. am funqciis gansazRvris area namdvil ricxvTa R simravle, xolo mniSvnelobaTa simravle

ki_ ]0;+∞[ .

y = ax

funqciis grafiki

wertilSi, radgan a 0 = 1 . Tu 0 < a < 1 , maSin maCvenebliani marTlac, roca x1 < x2 , gvaqvs

(

RerZs kveTs (0;1) funqcia

klebadia.

)

a x1 − a x2 = a x1 1 − a x2 −x1 > 0 , x1

x 2 − x1

vinaidan a > 0 , xolo a < 1 , radgan x2 − x1 > 0 . analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom Tu a > 1 , maSin maCvenebliani funqcia zrdadia. zemoT moyvanili Tvisebebi saSualebas gvaZlevs avagoT y = a x funqciis grafiki (nax. 80).

145

y = ax, a >1

y = ax, 0 < a <1

nax. 80

§71. mphbsjUnjt!dofcb!

! ganvixiloT ax = b gantoleba, sadac x cvladia, xolo a da b namdvili ricxvebia, amasTan a > 0 da a ≠ 1 . Tu b ≤ 0 , maSin mocemul gantolebas amonaxsni ar

gaaCnia, radgan nebismieri x –isaTvis a x > 0 . Tu b > 0 , maSin gantolebas aqvs erTaderTi amonaxsni, radgan maCvenebliani funqcia monotonuria da misi mniSvnelobaTa simravlea ]0;+∞[ . a x = b gantolebis amonaxsns, sadac a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , uwodeben b ricxvis logariTms a fuZiT. hbotb{Swsfcb/! b ricxvis logariTmi a fuZiT ( a > 0 , a ≠ 1 ) ewodeba xarisxis maCvenebels, romelSic unda avaxarisxoT a , rom miviRoT b da log a b simboloTi aRiniSneba.

magaliTad,

log 5 25 = 2 ,

radgan

52 = 25 ;

log 1 9 = −2 , 3

−2

⎛1⎞ radgan ⎜ ⎟ = 9 . ⎝3⎠ logariTmis gansazRvrebidan gamomdinareobs

igiveoba, ewodeba.

romelsac

a log a b = b ZiriTadi logariTmuli

146

igiveoba

im SemTxvevaSi, rodesac logariTmis fuZe a = 10 an a = e , b ricxvis logariTmi Sesabamisad lg b da ln b simboloTi aRiniSneba. lg b –s ricxvis aTobiTi logariTmi, xolo ln b –s naturaluri logariTmi ewodeba. praqtikaSi ufro xSirad gamoiyeneba swored aseTi saxis logariTmebi, romelTa mniSvnelobebis gamosaTvlelad arsebobs specialuri cxrilebi. moviyvanoT logariTmis ZiriTadi Tvisebebi: 1. log a b gamosaxulebas azri aqvs mxolod maSin, roca b>0. 2. erTis logariTmi nebismieri fuZiT nulis tolia. marTlac, radgan a 0 = 1 , amitom log a 1 = 0 . 3. Tu logariTmis fuZe erTze naklebi dadebiTi ricxvia, maSin erTze naklebi dadebiTi ricxvis logariTmi dadebiTia, xolo erTze meti ricxvis logariTmi ki_uaryofiTi. 4. Tu logariTmis fuZe erTze meti ricxvia, maSin erTze naklebi dadebiTi ricxvis logariTmi uaryofiTia, xolo erTze meti ricxvis logariTmi ki_dadebiTi. 5. fuZis logariTmi erTis tolia. marTlac, radgan a1 = a , amitom log a a = 1 .

§72. obnsbwmjt-!gbsepcjtb!eb!ybsjtyjt!

!mphbsjUnj! !

Ufpsfnb! 2/ dadebiT ricxvTa namravlis logariTmi TanamamravlTa logariTmebis jamis tolia, e. i. log a (x1 x2 K xn ) = log a x1 + log a x2 + L + log a xn , sadac x1 > 0 , x2 > 0 , K , xn > 0 . ebnuljdfcb/ vTqvaT log a x1 = y1 , log a x2 = y 2 , K , log a xn = yn , maSin logariTmis gansazRvrebis Tanaxmad x1 = a y1 , x2 = a y 2 , K , xn = a y n . am tolobaTa gadamravlebiT miviRebT x1 x2 K xn = a y1 + y 2 +L+ y n ,

saidanac

log a (x1 x2 K xn ) = y1 + y 2 + L + y n ,

147

e. i.

log a (x1 x2 K xn ) = log a x1 + log a x2 + L + log a xn . Ufpsfnb!3/!ori dadebiTi ricxvis fardobis logariTmi udris gasayofisa da gamyofis logariTmebis sxvaobas, e. i. x log a 1 = log a x1 − log a x2 , sadac x1 > 0 , x2 > 0 . x2 ebnuljdfcb/ vTqvaT log a x1 = y1 , log a x2 = y 2 . logariTmis gansazRvrebis Tanaxmad x1 = a y1 , x2 = a y 2 . am tolobaTa gayofiT miviRebT x1 = a y1 − y 2 , x2 saidanac x log a 1 = y1 − y 2 , x2 e. i. x log a 1 = log a x1 − log a x2 . x2 Ufpsfnb!4/ dadebiTfuZiani xarisxis logariTmi xarisxis maCveneblisa da xarisxis fuZis logariTmis namravlis tolia, e. i.

log a x k = k log a x , sadac x > 0 . ebnuljdfcb/ vTqvaT log a x = y , maSin logariTmis gansazRvrebis Tanaxmad x = ay . am tolobis orive mxaris k miviRebT:

xarisxSi axarisxebiT

x k = a ky ,

saidanac log a x k = ky ,

e. i. log a x k = k log a x . Tu raime gamosaxuleba Sedgenilia dadebiTi ricxvebisagan gamravlebis, gayofisa da axarisxebis

148

operaciebiT, maSin zemoT damtkicebuli Tvisebebis Tanaxmad SeiZleba am gamosaxulebis logariTmis gamosaxva masSi Semavali ricxvebis logariTmebis saSualebiT. aseT gardaqmnas galogariTmeba ewodeba.

nbhbmjUj/

gavalogariTmoT a fuZiT

7a 2 x 3b 3

gamosaxu-

leba, sadac a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , x > 0 . log a

(

)

( )

7a 2 x = log a 7 a 2 x − log a 3b 3 = log a 7 + log a a 2 + 3b 3 + log a x

− log a 3 − log a b 3 = log a 7 + 2 +

1 log a x − log a 3 − 3 log a b . 2 xSirad saWiroa galogariTmebis Sebrunebuli gardaqmnis Sesruleba, e. i. gamosaxulebis logariTmis saSualebiT TviT gamosaxulebis povna. aseT gardaqmnas potencireba ewodeba. nbhbmjUj/ vipovoT x , Tu log a x = 2 log a b − 1 log a c + 1 . 3 +

log a x = log a b 2 − log a c

+ log a a = log a

ab 2 3

e. i. log a x = log a

ab 2 3

aqedan x=

ab 2 3

§73. mphbsjUnjt!fsUj!gv[jebo!nfpsf{f!hbebtwmb!

! gamosaxulebebis gardaqmnis dros xSirad saWiroa logariTmis erTi fuZidan meoreze gadasvla, rac SesaZlebelia Semdegi formulis saSualebiT log c b , (b > 0) . (1) log a b = log c a davamtkicoT es formula.

149

gavalogariTmoT igiveoba

fuZiT

ZiriTadi

logariTmuli

a log a b = b .

gveqneba

(

)

log c a log a b = log c b .

aqedan

log a b ⋅ log c a = log c b ,

saidanac log c b . log c a Tu (1) formulaSi c –s SevcvliT b –Ti, miviRebT 1 . log a b = log b a log a b =

Tu miRebul gveqneba:

formulaSi

log a k b =

a –s

SevcvliT

a k –Ti,

1 1 1 = = log a b . log b a k k log b a k

amrigad log a k b =

1 log a b , (b > 0, k ≠ 0 ) . k

§74. mphbsjUnvmj!gvordjjt!Uwjtfcfcj!eb!hsbgjlj!

! vinaidan

y=a

funqcia

(a > 0,

a ≠ 1)

amitom mas gaaCnia Seqceuli funqcia.

y=a

monotonuria, x

tolobidan

x = log a y . Tu am tolobaSi cvladebs gansazRvrebiT gadavanacvlebT, miviRebT y = log a x , romelic warmoadgens y = a x funqciis Seqceul funqcias. (a > 0, a ≠ 1) , logariTmuli y = log a x saxis funqcias funqcia ewodeba. radgan logariTmuli funqcia warmoadgens maCvenebliani funqciis Seqceul funqcias,

amitom y = log a x funqciis grafiki simetriulia y = a x funqciis grafikisa y = x wrfis mimarT (nax. 81, 82). maCvenebliani funqciis Tvisebebidan gamomdinareobs misi Seqceuli logariTmuli funqciis Tvisebebi: 150

y y=x y = ax, 0 < a <1

y = log a x, 0 < a < 1

nax. 81 y y=x

y = ax, a >1

1 0

y = log a x, a > 1

nax. 82 1. logariTmuli funqciis gansazRvris area ]0;+∞[ , xolo mniSvnelobaTa simravle ki_ R . 2. logariTmuli funqciis grafiki Ox RerZs kveTs (1;0) wertilSi. 3. Tu 0 < a < 1 , maSin y = log a x funqcia klebadia, xolo Tu a > 1 _zrdadi.

§75. nbDwfofcmjboj!eb!mphbsjUnvmj!hboupmfcfcj!

! 1. gantolebas, romelic cvlads Seicavs maCvenebelSi, maCvenebliani gantoleba ewodeba.

xarisxis

a x = b (a > 0, a ≠ 1) warmoadgens umartives maCveneblian gantolebas. roca b>0, am gantolebis amonaxsns

151

warmoadgens x = log a b , amonaxsni ar aqvs.

xolo,

roca

b≤0

gantolebas

xSirad maCvenebliani gantoleba daiyvaneba a f ( x ) = a ϕ( x ) (a > 0, a ≠ 1) saxis gantolebaze, romelic f ( x) = ϕ( x) gantolebis tolfasia. nbhbmjUj/ amovxsnaT gantoleba 7 x2 −

5 2

=7 7 ⇔7

x2 −

5 2

x2 −

5 2

=7 7.

= 7 2 ⇔ x2 −

5 3 = ⇔ x2 = 4 . 2 2

aqedan x1 = −2 , x2 = 2 . 2. gantolebas, romelic cvlads Seicavs logariTmis niSnis qveS, logariTmuli gantoleba ewodeba. log a x = b (a > 0, a ≠ 1) warmoadgens umartives logariT-

mul gantolebas, romlis amonaxsnia x = a b . xSirad logariTmuli gantoleba daiyvaneba (a > 0, a ≠ 1) saxis gantolebaze. aseT log a f ( x) = log a ϕ( x) SemTxvevaSi sakmarisia amoixsnas f ( x) = ϕ( x) gantoleba da TiToeuli amonaxsni Semowmdes sawyis gantolebaSi CasmiT. nbhbmjUj/! amovxsnaT gantoleba lg( x − 2) + lg( x + 3) = lg(5 x − 6) . namravlis logariTmis Tvisebis gamoyenebiT gveqneba lg( x − 2)( x + 3) = lg(5 x − 6) , aqedan ( x − 2)( x + 3) = 5 x − 6 ⇔ x 2 + x − 6 = 5 x − 6 ⇔ x 2 − 4 x = 0 ,

e. i. x1 = 0 , x2 = 4 . sawyis gantolebaSi CasmiT advilad davrwmundebiT, rom mocemul gantolebas aqvs mxolod erTi amonaxsni x = 4.

§76. nbDwfofcmjboj!eb!mphbsjUnvmj!vupmpcfcj!

! 1. utolobas, romelic cvlads Seicavs xarisxis maCvenebelSi, maCvenebliani utoloba ewodeba.

152

a x > b da a x 0, a ≠ 1) warmoadgenen umartives maCveneblian utolobebs. ganvixiloT TiToeuli maTgani:

a) a x > b . Tu b ≤ 0 , maSin am utolobis amonaxsnTa simravlea R . Tu b > 0 , maSin a x funqciis monotonurobis gamo x < log a b , rodesac 0 < a < 1 da x > log a b , rodesac a > 1 . b) a x 0 , maSin a x funqciis monotonurobis gamo x > log a b , rodesac 0 < a < 1 da x < log a b , rodesac a > 1 .

a f ( x ) < a ϕ( x ) saxis utolobis amoxsna (a > 0, a ≠ 1) agreTve damyarebulia maCvenebliani funqciis monotonurobaze. kerZod, Tu 0 < a < 1 , maSin maCvenebliani funqcia klebadia da a f ( x ) < a ϕ( x ) ⇔ f ( x ) > ϕ( x) , xolo, Tu a > 1 , maSin maCvenebliani funqcia zrdadia da

nbhbmjUj!2/

a f ( x ) < a ϕ( x ) ⇔ f ( x) < ϕ( x) . amovxsnaT utoloba

2x 2x aqedan

−2x+4

> 23 x − 2 .

> 23 x − 2 ⇔ x 2 − 2 x + 4 > 3 x − 2 ⇔ x 2 − 5 x + 6 > 0 .

nbhbmjUj!3/

x ∈ ]− ∞;2[ U ]3;+∞[ . amovxsnaT utoloba

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ aqedan

x2 − x+4

⎛3⎞ >⎜ ⎟ ⎝7⎠

x2 − x+4

⎛3⎞ >⎜ ⎟ ⎝7⎠

5x−4

5x −4

⇔ x 2 − x + 4 < 5x − 4 ⇔ x 2 − 6 x + 8 < 0 .

x ∈ ]2;4[ . 2. utolobas, romelic cvlads Seicavs logariTmis niSnis qveS, logariTmuli utoloba ewodeba. (a > 0, a ≠ 1) warmoadgenen log a x > b da log a x < b umartives logariTmul utolobebs. ganvixiloT TiToeuli maTgani: 153

a) log a x > b . Tu 0 < a < 1 ,

maSin

log a x

funqcia

gansazRvris area ]0;+∞[ , amitom 0 < x < a .

klebadia,

misi

Tu a > 1 , maSin log a x funqcia zrdadia, amitom x > a b . b) log a x ab . Tu

a >1,

maSin

log a x

funqcia

zrdadia,

misi

gansazRvris area ]0;+∞[ , amitom 0 < x < a . log a f ( x) > log a ϕ( x) saxis utolobis amoxsna (a > 0, a ≠ 1) agreTve damyarebulia logariTmuli funqciis monotonurobaze. kerZod, Tu 0 < a < 1 , maSin logariTmuli funqcia klebadia da ⎧ f ( x ) > ϕ( x) ⎧ f ( x) > ϕ( x) ⎪ log a f ( x) < log a ϕ( x ) ⇔ ⎨ f ( x ) > 0 ⇔⎨ ⎩ϕ( x ) > 0, ⎪ϕ( x) > 0 ⎩ xolo, Tu a > 1 , logariTmuli funqcia zrdadia da ⎧ f ( x) < ϕ( x) ⎧ f ( x) < ϕ( x) ⎪ log a f ( x ) < log a ϕ( x) ⇔ ⎨ f ( x) > 0 ⇔⎨ ⎩ f ( x ) > 0. ⎪ϕ( x) > 0 ⎩ nbhbmjUj!4/ amovxsnaT utoloba log 5 ( x + 6)( x − 2) < log 5 3x . b

⎧( x + 6)( x − 2) < 3 x ⎪⎧ x 2 + x − 12 < 0 log 5 ( x + 6)( x − 2) < log 5 3 x ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎪⎩(x + 6 )(x − 2) > 0 ⎩( x + 6)( x − 2) > 0

⎧(x + 4)(x − 3) < 0 ⎧− 4 < x < 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ x ∈ ]2;3[ . ⎩(x + 6)(x − 2) > 0 ⎩ x < −6 an x > 2

§77. lpncjobupsjljt!fmfnfoufcj!

! xSirad saWiroa sasruli simravlis elementebisagan sxvadasxva kombinaciis Sedgena da raime wesiT Sedgenili yvela SesaZlo kombinaciis raodenobis gamoangariSeba. aseT amocanebs kombinatoruls uwodeben, xolo maTemati-

154

kis nawils, romelic dasaxelebuli amocanebis amoxsnas Seiswavlis_kombinatorikas. hbebobdwmfcb/! erTidaigive sasruli simravlis elementebi SeiZleba davalagoT rigiT imis mixedviT, Tu simravlis romel elements avirCevT pirvel elementad, romels_meored da a. S. dalagebuli simravlis aRsaniSnavad mis elementebs movaTavsebT mrgval frCxilebSi mocemuli rigis mixedviT. hbotb{Swsfcb/ sasrul simravleSi dadgenil rigs misi elementebis gadanacvleba ewodeba. n elementiani simravlis yvela SesaZlo gadanacvlebaTa ricxvi Pn –iT aRiniSneba. cxadia igi damokidebulia mxolod simravlis elementTa raodenobaze. Tu simravle Sedgeba erTi elementisagan, maSin SesaZlebelia erTaderTi gadanacvleba, e. i. P1 = 1 . Tu simravle Sedgeba ori elementisagan_ {a, b} , maSin SesaZlebelia mxolod ori gadanacvleba: (a, b ) da (b, a ) , e. i. P2 = 2 . Tu simravle Sedgeba sami elementisagan_ {a, b, c} , maSin SesaZlebelia mxolod eqvsi gadanacvleba: (a, b, c ) , (a, c, b) , (c, a, b) , (c, b, a ) , (b, a, c ) da (b, c, a ) , e. i. P3 = 6 . advili SesamCnevia, rom P1 = 1 , P2 = 1 ⋅ 2 , P3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 . maTematikuri induqciis principis gamoyenebiT davamtkicoT, rom Pn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3K n . (1) rogorc zemoT vnaxeT, rodesac n = 1 es formula marTebulia. davuSvaT, rom igi marTebulia n = k –saTvis, e. i. Pk = 1 ⋅ 2 ⋅ 3K k , axla vaCvenoT, rom formula marTebulia n = k + 1 –saTvis, e. i. Pk +1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3K k (k + 1) . marTlac, imisaTvis, rom miviRoT k + 1 elementisagan Sedgenili yvela SesaZlo gadanacvleba, saWiroa TiToeul k elementian adrindel gadanacvlebas mivuerToT axali ( k + 1 )-e elementi, romelic SeiZleba davayenoT 1-el, me-2, me-3, K , k -ur da ( k + 1 )–e adgilze. amrigad, yoveli k axal elementiani gadanacvleba warmoqmnis k +1 gadanacvlebas, amitom k + 1 elementiani simravlis yovel SesaZlo gadanacvlebaTa ricxvi iqneba Pk ⋅ (k + 1) , e. i.

155

Pk +1 = Pk (k + 1) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3K k (k + 1) . amrigad, maTematikuri induqciis principis Tanaxmad (1) formula marTebulia nebismieri n –isaTvis. 1 ⋅ 2 ⋅ 3K n namravli n ! simboloTi aRiniSneba (ikiTxeba “ n -faqtoriali”), miRebulia agreTve, rom 0!=1 da 1!=1. amitom n elementiani simravlis gadanacvlebaTa ricxvis gamosaTvleli formula SeiZleba Semdegnairad Caiweros Pn = n !. xzpcb/ hbotb{Swsfcb/! n elementiani simravlis nebismier m elementian dalagebul qvesimravles (m ≤ n ) ewodeba wyoba n elementisagan m –ad. elementiani simravlis yvela SesaZlo n m

elementian wyobaTa ricxvi Anm simboloTi aRiniSneba. An0 = 1 , cxadia, rom carieli qvesimravle.

radgan

arsebobs

erTaderTi

advili misaxvedria, rom An1 = n . marTlac, n -dan erTi elementi n xerxiT SeiZleba avirCioT, xolo am erTi elementisagan miiReba erTaderTi dalagebuli simravle. davamtkicoT axla, rom, roca 1 ≤ m < n

Anm +1 = (n − m )Anm . imisaTvis, rom n elementisagan SevadginoT yvela SesaZlo m + 1 elementiani wyoba, SeiZleba moviqceT Semdegnairad: jer avarCioT raime m raodenobis elementi da movaTavsoT isini pirvel m adgilze, amis Sesruleba

(m + 1) -e adgilze SeiZleba Anm xerxiT. SeiZleba n−m movaTavsoT nebismieri elementi darCenili m elementiani wyoba elementidan. amrigad, yoveli n−m raodenobis m + 1 elementian wyobas. warmoqmnis maSasadame, sul gveqneba (n − m )Anm xerxi. Tu gaviTvaliswinebT, rom An1 = n damtkicebuli formuliT, gveqneba:

visargeblebT

An1 = n ,

An2 = (n − 1)An1 = n(n − 1) ,

An3 = (n − 2 )An2 = n(n − 1)(n − 2 ) ...............................................

Anm = (n − m + 1)Anm −1 = n(n − 1)(n − 2 )K (n − m + 1) .

156

vinaidan n(n − 1)(n − 2)K (n − m + 1) =

n! . (n − m )!

miviRebT Anm =

n! . (n − m )!

SevniSnoT, rom Ann = Pn = n ! . kvgUfcb/ hbotb{Swsfcb/! n elementiani simravlis nebismier m elementian qvesimravles (m ≤ n ) ewodeba jufTeba n elementidan m –ad. cxadia, rom mocemuli simravlis ori m elementiani jufTeba sxvadasxvaa maSin da mxolod maSin, rodesac isini ganxvavdebian erTi elementiT mainc, xolo m elementiani wyobebi rom gansxvavdebodnen, sakmarisia isini gansxvavdebodnen dalagebiT. n elementiani simravlis yvela SesaZlo m elemen-

tian jufTebaTa ricxvi Cnm simboloTi aRiniSneba. davamtkicoT, rom Anm . Pm imisaTvis, rom mocemuli n elementisagan SevadginoT yvela SesaZlo m elementiani wyoba, SeiZleba moviqceT Semdegnairad: jer n elementidan gamovyoT raime m Cnm =

elementi, gamoyofili

rac

Cnm

xerxiT

elementi

SeiZleba

davalagoT,

SeiZleba Sesruldes. amgvarad miviRebT simravles, e. i. Anm = Cnm Pm ,

saidanac Cnm =

Anm . Pm

Tu gaviTvaliswinebT, rom n! da Pm = m ! Anm = (n − m )! miviRebT

157

Sesruldes,

rac

Cnm Pm

dalagebul

xerxiT

n! . m !(n − m )! moviyvanoT jufTebaTa Cnm =

daumtkiceblad Tvisebebi:

ricxvis

Semdegi

1. C nm = C nn−m ; 2. Cnm + Cnm +1 = Cnm++11 ; 3. Cn0 + Cn1 + C n2 + L + Cnn = 2 n .

§78. ojvupojt!cjopnjbmvsj!gpsnvmb!

! maTematikuri induqciis principis gamoyenebiT davamtkicoT, rom nebismieri naturaluri n –isaTvis marTebulia niutonis Semdegi formula:

(a + b )n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n − 2b 2 + L + Cnm a n − mb m + L + Cnnb n .

roca n = 1 , n = 2 da n = 3 formula marTebulia, radgan:

(a + b )1 = a + b = C10 a + C11b ; (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 = C20 a 2 + C21 ab + C22b 2 ; (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = C30 a 3 + C31a 2b + C32 ab 2 + C33b 3 .

davuSvaT axla, rom niutonis formula marTebulia n = k – saTvis, e. i.

(a + b )k

= Ck0 a k + Ck1 a k −1b + Ck2 a k − 2b 2 + L + Ckk −1ab k −1 + Ckk b k da vaCvenoT, rom igi marTebulia n = k + 1 –saTvisac, marTlac

(a + b )k +1 = (a + b )k (a + b ) = (Ck0 a k + Ck1 a k −1b + Ck2 a k − 2b 2 + L + Ckk −1ab k −1 + + Ckk b k )(a + b) = Ck0 a k +1 + Ck1 a k b + Ck2 a k −1b 2 + L + Ckk −1a 2b k −1 + + Ckk ab k + Ck0 a k b + Ck1 a k −1b 2 + Ck2 a k − 2b 3 + L + Ckk −1ab k +

(

)

(

)

+ Ckk b k +1 = Ck0 a k +1 + C k0 + Ck1 a k b + Ck1 + Ck2 a k −1b 2 + L +

(

Ckk −1

+ Ckk

)ab

+ Ckk b k +1 .

Tu gaviTvaliswinebT, gamoviyenebT formulas

rom

Ck0 = Ck0+1 ,

Ckk = Ckk ++11

Ckm + Ckm +1 = Ckm++11

miviRebT:

(a + b )k +1 = Ck0+1a k +1 + Ck1 +1a k b + Ck2+1a k −1b 2 + L + Ckk+1ab k + Ckk++11b k +1 158

amrigad, maTematikuri induqciis principis Tanaxmad niutonis formula marTebulia nebismieri naturaluri n – isaTvis. niutonis formulis Cnm koeficientebs binomur koeficientebs uwodeben. ganvixiloT niutonis formulidan gamomdinare ZiriTadi Sedegebi:

1. niutonis formulis mixedviT (a + b )n –is daSlaSi Sedis n + 1 Sesakrebi. 2. niutonis formulaSi a –s xarisxis maCvenebeli klebulobs n –dan 0-mde, xolo b –s xarisxis maCvenebeli izrdeba 0-dan n –mde. daSlis nebismier SesakrebSi a –sa da b –s xarisxis maCvenebelTa jami n –is, e. i. binomis xarisxis maCveneblis tolia. 3. daSlis boloebidan Tanabrad daSorebuli binomuri

koeficientebi Tanatolia (radgan Cnm = Cnn − m ). 4. niutonis formulaSi Sesakrebebis zogadi saxiT CawerisaTvis mosaxerxebeli iqneba, Tu (k + 1) –e Sesakrebs aRvniSnavT Tk –Ti, maSin: Tk = Cnk a n − k b k , k = 0, 1, K , n .

%8:/!tubujtujljt!fmfnfoufcj!

! sxvadasxva saxis dakvirvebebis Sedegad miRebul monacemebs, romlebic ricxvebiT aris warmodgenili, statistikuri monacemebi ewodeba. es monacemebi SeiZleba exebodes TiTqmis yvelafers, rac dakvirvebis sagani SeiZleba iyos. magaliTad sports, xelovnebas, bizness, klimats qveynisa da xalxis cxovrebas, moswavlis swavlas skolaSi, ... e.i. monacemebi aris cnobebi, an maxasiaTebeli Tvisebebi, romlebic aucilebelia raime daskvnis gamosatanad. swored, aseTi monacemebis Segrovebas, damuSavebas (ganxilvas), xelsayreli formiT warmodgenas da gamoyenebas Seiswavlis statistika, e.i. statistikis sagania raime movlenis (procesis) Sesaxeb informaciis Segroveba, damuSaveba da gamoyeneba. magaliTad samedicino daskvna: `moweva saSiSia janmrTelobisaTvis~ - Tambaqos mweveli adamianebis janmrTe-

159

lobis Sesaxeb saTanado monacemebis Segrovebisa da damuSavebis Sedegia, e.i. statistikuri gamokvlevebis Catarebis Sedegia. statistikis gamoyenebis TvalsaCino magaliTia sasuqebis gamoyenebis sakiTxis Seswavla soflis meurneobaSi. am SemTxvevaSi grovdeba monacemebi gamoyenebuli sasuqis odenobisa da mosavlianobis zrdas Soris damokidebulebis Sesaxeb. aq Seiswavleba agreTve sakiTxi, Tu rogor aisaxeba mosavlianobis am gziT gazrda produqciis xarisxze. am monacemebis analizi xels uwyobs sasuqis optimaluri odenobis dadgenas. informaciis Segroveba xSirad SerCevis wesiT SeiZleba moxdes. magaliTad, arCevnebis Sedegebis prognozireba xSirad amomrCevelTa nawilis gamokiTxviT xdeba. es wesi gamoiyeneba agreTve gamoSvebul produqciaze moTxovnis gansazRvris mizniT. SerCeviTi gamokiTxviT monacemebis Segroveba garkveul wesebs unda eqvemdebarebodes. ricxviT monacemTa raime erTobliobis dasaxasiaTeblad, monacemTa erTobliobis Sesadareblad, gamoiyeneba Semdegi ricxviTi maxasiaTeblebi: 1) sixSire _ cdaTa mocemul serialSi raRac movlenis moxdenaTa raodenoba. 2) fardobiTi sixSire – movlenis sixSiris Sefardeba cdaTa raodenobasTan. 3) diapazoni (gabnevis diapazoni, gani) – ricxviT monacemTa erTobliobaSi udides da umcires ricxvebs Soris sxvaoba. e. i. monacemTa gabnevis diapazoni monacemTa gafantulobis sazomia. 4) monacemTa saSualo – yvela dasaxelebuli ricxvis jamisa da maTi raodenobis Sefardeba. 5) moda – ricxvi (ricxvebi), romelic am monacemebSi yvelaze xSirad gvxvdeba. Tu yvela monacemi gansxvavebulia, maSin am erTobliobas moda ara aqvs. 6) mediana – ricxviT monacemTa mediana aris zrdis mixedviT dalagebuli (romelsac variaciuli mwkrivi ewodeba) am monacemebis Sua ricxvi, Tu erTobliobaSi ricxvebis raodenoba kentia; xolo Tu erTobliobaSi ricxvebis raodenoba luwia, maSin mediana ori Sua ricxvis ariTmetikuli saSualoa. 7) ricxviT monacemTa standartuli gadaxra, anu saSualo kvadratuli gadaxra – monacemTa TiToeuli

160

ricxvisa da am monacemTa saSualos sxvaobis kvadratebis saSualodan kvadratuli fesvi. standartuli gadaxra saSualos mimarT monacemTa gafantulobis sazomia da saSualosTan monacemebis `Tavmoyras~ axasiaTebs (e.i. monacemTa saSualodan am monacemebis gadaxras `zomavs~). vTqvaT raime ori eqsperimentis ricxviTi monacemebia (romelic dalagebulia zrdis mixedviT): I. 5; 5; 5; 6; 8; 8; 12; II. 6; 8; 8; 10; 11; 11. am monacemTa sixSireTa da fardobiTi sixSireTa cxrilia: I.

II.

sixSire fardobiTi sixSire

5 3

6 1

8 2

12 1

3 7

1 7

2 7

1 7

6 1

8 2

10 1

11 2

1 6

1 3

1 6

1 3

pirvelis diapazonia 7; meoris – 5. advilia Semowmeba, rom am monacemTa saSualoebia: I _ 7; II _ 9. modaa: I – 5; II – 8 da 11. mediana: I – 6; II – 9. axla vipovoT am monacemTa standartuli gadaxra. monacemTa TiToeuli ricxvisa da saSualos sxvaobebis sixSireTa cxrilia I.

sxvaobebi sixSireebi

_2 3

_1 1

1 2

5 1

II.

sxvaobebi sixSireebi

_3 1

_1 2

1 1

2 2

sxvaobebis kvadratebis sixSireTa cxrilia I. sxvaobebis kvadrati sixSireebi

161

II.

sxvaobebis kvadrati sixSireebi

10 40 , II _ . 7 3

kvadratebis saSualoa I _

40 ≈ 2,4 , II _ 7

amdenad standartuli gadaxrebia: I _

10 ≈ 1,8 . 3 statistikuri monacemebis TvalsaCinod (xelsayreli formiT) warmodgenisaTvis gamoiyeneba sxvadasxva xerxi – cxriluri, wertilovani, xazovani (poligoni), svetovani (horizontaluri an vertikaluri) da wriuli diagramebi. nbhbmjUj/ q. TbilisSi SemTxveviT Semowmebul 12 ojaxSi bavSvTa raodenobebis Sesabamisi monacemebia: 2, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 4. monacemebi warmovadginoT wertilovani, svetovani, xazovani da wriuli diagramebiT. bnpytob/ am monacemTa variaciuli mwkrivia 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 xolo sixSireTa cxrilia bavSvTa raodenoba ojaxSi sixSire

1 5

2 3

3 2

4 2

am monacemTa diagramebia: 1) wertilovani (nax. 83) sixSire

5 4 3 2 1

• • • • •

• • • • • • 1

• • • • 2

• • • 3

nax. 83

162

• • • 4

bavSvTa raodenoba

2) svetovani (nax. 84) sixSire

5 4 3 2 1

• • • • • 1

•

• 4 bavSvTa raodenoba

nax. 84 3) xazovani (nax. 85) sixSire

5 4 3 2 1

• • • • •

•

• 1

• 2

•

• 3

• 4

bavSvTa raodenoba

nax. 85 4) wriuli (nax. 86) (1) _ erT bavSviani ojaxebis seqtori 5 ⋅ 360° = 150° 12

(2) _ or bavSviani ojaxebis seqtori

5 (1) 12 3 (2) 12

2 (4) 12

3 ⋅ 3600 = 90° 12

(3) _ sam bavSviani ojaxebis seqtori

2 (3) 12

2 ⋅ 360° = 60° 12

(4) – oTx bavSviani ojaxebis seqtori nax. 86

2 ⋅ 360° = 60° 12

163

%91/!yepnjmpcjt!bmcbUpcb/!gbsepcjUj!tjyTjsf! albaTobis Teoria aris mecniereba, romelic Seiswavlis masobriv SemTxveviT movlenaTa raodenobrivi xasiaTis kanonzomierebebs. albaTobis Teoriis pirvelad cnebas xdomiloba warmoadgens. magaliTad, monetis agdebisas SesaZlo Sedegi oria: gerbi da safasuri. safasuri SeiZleba movides an SeiZleba arc movides. aseT SemTxvevaSi amboben safasuris mosvla SemTxveviTi xdomilobaa. aseve, erTi kamaTlis gagorebisas SesaZlo Sedegebis raodenoba eqvsia. magram beSi (5) SeiZleba movides, SeiZleba arc movides, e.i. beSis mosvla SemTxveviTi xdomilobaa. SemTxveviTi xdomilobaa agreTve kamaTelze kenti ricxvis mosvla. misi xelSemwyobia mxolod sami SesaZlo Sedegi: 1-is, 3-isa da 5-is mosvla. amrigad, xdomiloba SemTxveviTia Tu mas erTsa da imave pirobebSi SeiZleba hqondes an ar hqondes adgili. zogi xdomiloba iseTia, rom mas aucileblad eqneba adgili, Tu cdas CavatarebT. aseT xdomilobas aucilebel xdomilobas uwodeben. magaliTad, Tu yuTSi moTavsebulia mxolod wiTeli feris birTvebi, maSin cxadia, xdomiloba â&#x20AC;&#x201C; `yuTidan amoRebuli birTvi wiTeli ferisaa~ - iqneba aucilebeli xdomiloba. xdomilobas, romelsac ar SeiZleba hqondes adgili raime cdis Catarebis dros, SeuZlebeli xdomiloba ewodeba. yuTidan lurji feris birTvis amoReba SeuZlebeli xdomilobaa, Tu yuTSi mxolod Savi feris birTvebia. erTi kamaTlis gagorebisas winaswar SeuZlebelia Tqma, ra ricxvi mova, magram SeiZleba vivaraudoT, rom TiToeuli ricxvis mosvla Tanabradaa mosalodneli (savaraudo). aseT SesaZlo Sedegebs Tanabrad mosalodneli (tolSesaZlebeli, tolalbaTuri) ewodeba. monetis agdebisas gerbis mosvla, safasuris mosvlatolalbaTuri SesaZlo Sedegebia. vTqvaT yuTSi 30 wiTeli da 3 lurji burTia. Tu yuTidan SemTxveviT amoviRebT erT burTs, maSin ufro savaraudoa, ufro mosalodnelia, rom amoRebuli burTi wiTeli iqneba. amitom aseT SemTxvevaSi amboben, rom

164

wiTeli burTis amoReba metalbaTuri xdomilobaa, lurji burTis amoReba ki â&#x20AC;&#x201C; naklebalbaTuria. rogorc zemoT aRvniSneT, monetis agdebisas SesaZlo Sedegi oria: gerbi an safasuri. erT-erTi aucileblad mova, magram erTdroulad orives mosvla SeuZlebelia. aseve, erTi kamaTlis gagorebisas SesaZlo Sedegebis raodenoba eqvsia. yoveli gagorebisas am ricxvebidan mova mxolod erTi da misi mosvla gamoricxavs danarCenis mosvlas. aseT SemTxvevaSi amboben, rom es SesaZlo Sedegebi wyvil-wyvilad araTavsebadia (urTierTgamomricxavia). Cven ganvixilavT mxolod iseT cdebs, romelTa SesaZlo Sedegebi tolSesaZlebeli (tolalbaTuri) da wyvil-wyvilad araTavsebadia. rogorc aRvniSneT xdomiloba cdis raime savaraudo Sedegia. erTi kamaTlis gagorebisas eqvsi SesaZlo Sedegia, magram am eqvsi SesaZlo Sedegis mixedviT sxvadasxva xdomilobis dasaxeleba SeiZleba. magaliTad: `erTisa da oTxis ar mosvla~ xdomilobaa, romlis xelSemwyobia oTxi SesaZlo Sedegi. saxeldobr: 2-is, 3-is, 5-isa da 6-is mosvla. amrigad, raime xdomilobis xelSemwyobi SesaZlo Sedegia iseTi Sedegi, romliTac mocemuli xdomiloba xorcieldeba. raime xdomilobis ganxorcielebis SesaZlebloba ricxviT gamoisaxeba. am ricxvs xdomilobis albaToba ewodeba. vTqvaT, raime eqsperimentis (cdis) SesaZlo Sedegebis raodenobaa n, xolo raime A xdomilobis xelSemwyobi SesaZlo Sedegebis raodenobaa m, maSin A xdomilobis albaToba, romelic aRiniSneba p( A) simboloTi, gamoiTvleba formuliT m P( A) = . n m=0, maSin A aqedan gamomdinareobs, rom Tu SeuZlebeli xdomilobaa da P ( A) = 0 ; xolo Tu m = n , maSin A aucilebeli xdomilobaa da P( A) = 1 . (P aris pirveli aso sityvisa Probabilite, romelic frangulad albaTobas niSnavs).

165

monetis

agdebisas

gerbis

mosvlis

albaTobaa

1 2

(SesaZlo Sedegia ori, maTgan xelSemwyobia erTi). kamaTlis gagorebisas samisa da xuTis ar mosvlis 2 (SesaZlo Sedegia eqvsi, maTgan xelSemwyobia albaTobaa 3 oTxi). cxadia, nebismieri A xdomilobisaTvis 0 ≤ m ≤ n , amitom 0 ≤ P ( A) ≤ 1 . amrigad, Tu raime cdis SesaZlo Sedegebis simravle sasrulia da isini tolSesaZlebelia (tolalbaTuria), maSin cdis Cautarebladac SeiZleba vipovoT, am Sedegebis mixedviT, dasaxelebuli raime xdomilobis albaToba. e.i. albaToba aris ricxvi, romliTac cdis raime Sedegis ganxorcielebis Sansi warmoidgineba. cdaTa mocemul serialSi A xdomilobis moxdenaTa raodenobas A xdomilobis sixSire ewodeba. A xdomilobis sixSiris Sefardebas cdaTa raodenobasTan A xdomilobis fardobiTi sixSire ewodeba. Tu cdaTa raodenobaa n, xolo moxdenaTa sixSirea m, maSin fardobiTi sixSire Pn ( A) simboloTi aRiniSna, e.i.

m . n xdomilobis albaTobis ganmsazRvreli formula ar moiTxovs cdebis realur Catarebas. Tumca, cdebis CatarebiT SeiZleba SevamowmoT Teoriulad miRebuli ricxvebis kanonzomiereba. fardobiTi sixSiriT SeiZleba Sefasdes xdomilobis albaToba. mas statistikur albaTobas uwodeben. es meTodi gamoiyeneba maSin, roca SeuZlebelia mocemuli xdomilobis sasurveli (xelSemwyobi) Sedegebis raodenobis miTiTeba. Pn ( A) =

%92/!fmfnfoubsvm!yepnjmpcbUb!tsvmj!tjtufnb! !!!!!!!!!)yepnjmpcbUb!tjwsdf*/!yepnjmpcbUb!Tfebsfcb! raime cdis yvela im SesaZlo Sedegs, romlebic wyvilwyvilad araTavdebadia, am cdis elementaruli xdomilobebi ewodeba. elementeruli xdomilobebis simravles ki

166

elementarul xdomilobaTa sruli sistema (xdomilobaTa sivrce). SevniSnoT, rom am gansazRvrebaSi ar moiTxoveba xdomilobaTa tolSesaZlebloba. moviyvanoT magaliTebi. nbhbmjUj! 2/ monetis agdebis cdis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa sruli sistemaa simravle {g; s}, sadac `g~ aRniSnavs gerbs, xolo `s~- safasurs. nbhbmjUj! 3/ kamaTlis gagorebisas cdis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa sruli sistemaa simravle {1, 2, 3, 4, 5, 6}. nbhbmjUj!4/ ori monetis agdebisas elementarul xdomilobaTa sruli sistemaa: {gg, gs, sg, ss}, aq yovel wyvilSi pirveli aso erT-erTi monetis agdebis SesaZlo Sedegia, meore aso ki meore monetisa. nbhbmjUj!5/ vTqvaT, eqsperimentia ori sxvadasxva (wiTeli da TeTri) kamaTlis gagoreba da mosul ricxvebze dakvirveba. amovweroT am cdasTan dakavSirebuli elementarul xdomilobaTa sruli sistema (sivrce). T 1 2 3 4 5 6 w 1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) 2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) 3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) aq, magaliTad, (5;3) wyvili Seesabameba elementarul xdomilobas: wiTel kamaTelze 5 movida, TeTrze ki 3. am eqsperimentis xdomilobaTa sruli sistema SeiZleba CavweroT ase S = {( x; y ); 1 ≤ x ≤ 6, 1 ≤ y ≤ 6} . aqedan Cans, rom Sedegebis raodenobaa 6⋅6=36. amitom 1 . yoveli elementaruli xdomilobis albaTobaa 36 am eqsperimentTan dakavSirebiT ganvixiloT Semdegi amocanebi: 1) ras udris `wyvilis~ (kamaTelze erTnairi ricxvebis) mosvlis albaToba? 167

am xdomilobis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa simravlea: A = {(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6)} . A aris S-is qvesimravle ( A ⊂ S ) . cxadia, A xdomilobis

6 1 = . 36 6 A iyos xdomiloba 2) ganvixiloT xdomilobebi: `mosul ( x; y ) wyvilSi x + y = 9 ~, B – `mosul ( x; y ) albaTobaa

wyvilSi x + y < 13 ~; C – `mosul ( x; y ) wyvilSi x + y ≥ 15 ~. maSin A = {(3;6), (4;5), (5;4), (6;3)} , B = S , C= Ø. 4 1 = , P( B) = 1 , P (C ) = 0 . 36 9 3) ras udris albaToba imisa, rom `wiTel~ kamaTelze mosuli ricxvi 3-iT metia `TeTr~ kamaTelze mosul ricxvze? am xdomilobis Sesabamisi elementarul xdomilobaTa simravlea A = {(4;1); (5;2); (6;3)} P ( A) =

3 1 . = 36 12 4) A iyos xdomiloba `mosul ( x; y ) wyvilSi x ⋅ y ≥ 24 ~. am xdomilobis Sesamabisi elementarul xdomilobaTa simravlea A = {(4;6); (5;5); (5;6); (6;4); (6;5); (6;6)} , am xdomilobis albaTobaa P( A) =

6 1 = . 36 6 nbhbmjUj! 6/ moswavlem programiT gaTvaliswinebuli 25 sakiTxidan moamzada 15. ras udris albaToba imisa, rom moswavles Sexvdeba bileTi, romlis samive sakiTxi momzadebuli aqvs? 25 sakiTxidan 3-sakiTxiani bileTebis Sedgena SeiZleba

amitom P ( A) =

3 C25 − nairad. e.i. xdomilobaTa sruli sistemis elementarul 3 . momzadebuli 15 sakiTxidan xdomilobaTa raodenobaa C25 3 Sedgenili bileTebis raodenobaa C15 , moswavlisaTvis sasurveli (xelSemwyobi)

168

es aris bileTebis

raodenoba. amitom albaTobis gansazRvrebidan gamomdinare, albaToba imisa, rom moswavles Sexvdeba bileTi, romlis samive sakiTxi momzadebuli aqvs iqneba 15 ⋅14 ⋅13 25 ⋅ 24 ⋅ 23 91 : = . 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 460 nbhbmjUj!7/ vTqvaT, raime avadmyofobis mosarCenad eqvsi tipis wamali gamoiyeneba – I, II,...,VI. eqimma gadawyvita gamoikvlios am eqvsidan romelime oTxi wamlis moqmedeba. igi 6-dan alalbedze irCevs 4 wamals. ras udris albaToba imisa, rom arCevani I wamalze SeCerdeba? xdomilobaTa sruli sistema dasaxelebuli eqvsi wamlidan Sedgenili yvela SesaZlo oTxeulis simravlea. 6⋅5 = 15 e.i. xdomilobaTa sruli sistema Sedgeba C64 = C62 = 1⋅ 2 elementaruli xdomilobisgan. pirobis Tanaxmad, TiToeuli oTxeulis SerCeva, mocemuli 15-dan, tolSesaZlebelia, amitom TiToeuli elementaruli xdomilobis albaTo1 baaA . 15 ramdeni oTxeuli Seicavs I wamals? anu ramdeni elementaruli xdomilobaa `xelSemwyobi~ saZebni A xdomilobisaTvis? I wamlis garda unda SeirCes kidev 3 wamali darCe5⋅ 4 = 10 . maSasadame nili 5-dan, maTi raodenobaa C53 = C52 = 1⋅ 2 C 3 10 2 P ( A) = 54 = = . C6 15 3 3 C15

3 C25

amrigad, Tu S aris mocemuli eqsperimentTan dakavSirebuli xdomilobaTa sruli sistema (sivrce), maSin yoveli A xdomiloba, romelic am eqsperimentis raime Sedegs warmoadgens, am S simravlis qvesimravlea da Sedgeba mocemuli xdomilobis xelSemwyobi elementaruli xdomilobebisagan. Tu S-is TiToeuli elementaruli xdomilobis albaTobebia P1 , P2 ,L, Pn , maSin P1 + P2 + L + Pn = 1 . gamomdinare aqedan, Tu xdomilobaTa sivrce n tolSesaZlebeli Sedegis1 gan Sedgeba, maSin P1 = P2 = L = Pn = . n

169

S simravlis yoveli A xdomilobis (romelic S-is qvesimravlea) albaToba A-Si Semaval elementarul xdomilobaTa albaTobebis jamis tolia. Tu S sistemis A xdomilobis moxdenisas xdeba amave sistemis raime B xdomilobac, maSin vityviT, rom A iwvevs B-s da amas ase CavwerT: A ⊂ B an B ⊃ A . amasTan, Tu A ⊂ B da B ⊂ A , maSin vityviT, rom es ori xdomiloba tolia (tolZalovania) da davwerT A = B . e.i. ori xdomiloba tolia niSnavs imas, rom isini erTi da imave elementaruli xdomilobebisagan Sedgeba. magaliTad, Tu kamaTlis gagorebisas A aris 3-is an 5is mosvla, xolo B – kenti ricxvis mosvla, maSin cxadia 2 1 3 1 A⊂ B, am SemTxvevaSi P( A) = = , P( B) = = , e.i. 6 3 6 2 P ( A) < P ( B) . sazogadod, roca A ⊂ B, maSin P ( A) ≤ P ( B) ; tolobas mxolod maSin aqvs adgili, roca A = B .

%93/!pqfsbdjfcj!yepnjmpcfc{f! vTqvaT, S aris mocemuli eqsperimentis Sesabamisi xdomilobaTa sruli sistema (sivrce). misi elementebi am eqsperimentis Sesabamisi elementaruli xdomilobebia – TiToeuli maTgani mocemuli eqsperimentis garkveul Sedegs Seesabameba. es Sedegebi ar SeiZleba erTdroulad moxdes – isini araTavsebadia. S-is yoveli qvesimravle mocemuli eqsperimentis Sesabamisi xdomilobaa. erT-erTi qvesimravle carieli simravlea Ø; igi arcerT elementarul xdomilobas ar Seicavs, misi albaToba nulia, p(Ø)=0; qvesimravlea agreTve TviT S simravlec – igi aucilebeli xdomilobaa; P ( S ) = 1 . operaciebi xdomilobebze ise ganisazRvreba, rogorc simravleze operaciebi. ori A da B xdomilobis jami (gaerTianeba) ewodeba iseT xdomilobas, romelic xdeba maSin da mxolod maSin, rodesac xdeba erTi mainc A da B xdomilobebidan. aRiniSneba ase A + B an A U B . nbhbmjUj! 2/ vTqvaT eqsperimentia kamaTlis gagoreba. A iyos xdomiloba: `4-ze meti ricxvis mosvla~, e.i. A aris simravle {5;6} . B iyos xdomiloba – `3-ze meti da 6-ze naklebi ricxvis mosvla~, e.i. B = {4;5} . amitom A + B = {4;5;6} ,

170

es ki aris xdomiloba: `3-ze meti ricxvis mosvla~. cxadia, 2 1 2 1 3 1 P( A) = = ; P( B) = = , P( A + B) = = . rogorc aqedan 6 3 6 3 6 2 Cans P ( A + B ) < P ( A) + P ( B) . am magaliTSi A da B xdomilobebs saerTo elementaruli xdomiloba aqvs – `5-is mosvla~; isini Tavsebadi xdomilobebia. Tu A da B raime araTavsebadi xdomilobebia, maSin P ( A + B ) = P( A) + P ( B ) . nbhbmjUj!3/ yuTidan, romelSic aris 6 TeTri, 10 Savi da 4 wiTeli birTvi, SemTxveviT iReben erT-erTs. A iyos xdomiloba amoRebuli birTvi TeTria, B-amoRebuli birTvi wiTelia. vipovoT A da B xdomilobebis jamis albaToba. A da B araTavsebadi xdomilobebia, amitom 6 4 P( A) = P( B) = P ( A + B ) = P( A) + P ( B ) ; , . e.i. 20 20 6 4 1 P( A + B) = + = . 20 20 2 ori A da B xdomilobis namravli (TanakveTa) ewodeba iseT xdomilobas, romelic xdeba maSin da mxolod maSin, rodesac xdeba rogorc A, ise B xdomiloba. aRiniSneba ase AB an A I B . nbhbmjUj! 4/ vTqvaT, eqsperimenti ori sxvadasxva kamaTlis gagorebaa (ix. $83-is magaliTi 4); rogorc viciT Sesabamisi xdomilobaTa sruli sistemaa S = {( x; y ), 1 ≤ x ≤ 6, 1 ≤ y ≤ 6} . ganvixiloT S sruli sistemis sxvadasxva xdomilobebi. 1) vTqvaT A aris im elementarul xdomilobaTa simravle (S-is qvesimravle), romlebic akmayofileben pirobas x ≥ 5 ; e.i. A Sedgeba 12 elementaruli xdomilobisgan, 12 1 amitom P( A) = = . 36 3 B iyos elementarul xdomilobaTa simravle, romlebic akmayofileben pirobas y ≤ 3 . B Sedgeba 18 elementarul xdomilobisgan, P ( B ) =

18 1 = . 36 2

171

A ⋅ B aris elementarul xdomilobaTa simravle, romlisTvisac erTdroulad sruldeba pirobebi x ≥ 5 da y ≤ 3 . e.i.

A ⋅ B = {(5;1); (5;2); (5;3); (6;1); (6;2); (6;3)} .

amdenad 6 1 = . 36 6 maSasadame, am SemTxvevaSi P ( A ⋅ B ) = P( A) ⋅ P ( B ) . 2) axla ganvixiloT zemoT ganxilul cdasTan dakavSirebuli kidev ori xdomiloba: A iyos im elementarul xdomilobaTa simravle, romlisTvisac x ≠ 3 . e.i. A Sedgeba 30 elementaruli xdomi30 5 lobisgan, amitom P( A) = = . 36 6 B iyos im elementarul xdomilobaTa simravle, romlisTvisac x + y = 9 . cxadia B = {(3;6), (4;5), (5;4), (6;3)} . P( A ⋅ B) =

4 1 = . 36 9 A ⋅ B aris im elementarul xdomilobaTa simravle, romlisTvisac erTdroulad sruldeba ori piroba: x ≠ 3 , x + y = 9 . es xdomiloba sami elementaruli xdomilobisgan Sedgeba: {(4;5), (5;4), (6;3)} 3 1 1 5 P( A ⋅ B) = = ≠ ⋅ . 36 12 9 6 maSasadame am SemTxvevaSi P ( A ⋅ B ) ≠ P ( A) ⋅ P ( B ) . Tu adgili aqvs tolobas P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ P( B ) , maSin A da B xdomilobebs damoukidebeli xdomilobebi ewodeba. winaaRmdeg SemTxvevaSi am xdomilobebs damokidebuli xdomilobebi ewodeba. zemoT ganxiluli magaliTi 1-dan da magaliTi 2-dan gamomdinareobs, rom P ( A + B ) ≤ P ( A) + P ( B) . tolobas adgili aqvs mxolod maSin, roca A da B araTavsebadi xdomilebebia. mtkicdeba, rom Tu A da B nebismieri xdomilobebia, maSin P ( A + B ) = P ( A) + P( B ) − P ( A ⋅ B) . P( B) =

172

am tolobis marTebuloba SeiZleba SevamowmoT zemoTmoyvanil magaliT 1-ze. ori A da B xdomilobis sxvaoba ewodeba iseT xdomilobas, romelic xdeba maSin da mxolod maSin, rodesac xdeba A da ar xdeba B. aRiniSneba ase A − B an A\ B. vTqvaT, S xdomilobaTa raime sruli sistemaa da A ⊂ S . A-s sawinaaRmdego xdomiloba, romelic aRiniSneba A simboloTi, ewodeba S\A xdomilobas. e.i. A xdomiloba xorcieldeba maSin, roca ar xorcieldeba A da A ar xorcieldeba maSin, roca xorcieldeba A. cxadia

A da A araTavdebadi xdomilobebia, e.i. A + A = S ; gamomdinare aqedan P ( A + A ) = P( A) + P( A ) = 1 , saidanac P ( A) = 1 − P ( A ) . magaliTad, Tu A aris kamaTelze 2-ze meti ricxvis mosvla, e.i. A = {3,4,5,6} ; maSin A aris 2-ze meti ricxvis ar

mosvla, an 2-ze araumetesi ricxvis mosvla, e.i. A = {1,2} . am 4 2 2 1 magaliTSi P ( A) = = ; P ( A) = = . 6 3 6 3 ramodenime xdomilobis jami da namravli ganisazRvreba oris analogiurad. A1 , A2 ,L, An xdomilobebis jami ewodeba iseT xdomilobas, romelic xdeba maSin da mxolod maSin, rodesac xdeba erTi mainc AK ( K = 1,2,L, n) xdomilobebidan da aRiniSneba ase: n

A1 + A2 + L + An an

K =1

Tu A1 , A2 ,L, An xdomilobebidan yoveli ori araTavsebadia, maSin P( A1 + A2 + L + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + L + P( An ) .

A1, A2 ,L, An xdomilobebis namravli ewodeba iseT xdomilobas, romelic xdeba maSin da mxolod maSin, rodesac xdeba yoveli AK ( K = 1,2,L, n) da aRiniSneba ase: A1 ⋅ A2 ⋅ L ⋅ An an

K =1

173

%94/!hfpnfusjvmj!bmcbUpcb! albaTobis klasikuri gansazRvreba moiTxovs, rom elementarul xdomilobaTa sruli sistema Sedgebodes sasruli raodenobis tolSesaZlebeli xdomilobebisagan. praqtikaSi ki xSirad vxvdebiT cdebs, romelTa tolSesaZlebel SedegTa simravle usasruloa. aseT SemTxvevaSi sargebloben albaTobis geometriuli gansazRvrebiT. vTqvaT mocemuli gvaqvs AB monakveTi, romlis sigrZe (nax. 87) udris d-s ( AB = d ) da am • • • • C monakveTze mdebare CD monakveTi D B A CD = δ . albaToba imisa, rom AB nax. 87 monakveTze SemTxveviT SerCeuli wertili moxvdes am monakveTze mdebare CD monakveTze gamoiTvleba formuliT

(1)

aq AB monakveTi xdomilobaTa sruli sistemis (sivrcis) rolSia, dasaxelebul xdomilobas AB monakveTis qvesimravles _ CD monakveTs vuTanabrebT. analogiurad, vTqvaT moceS muli gvaqvs S farTobis mqone raime brtyeli figura (nax. 88) da am figuris raime nawili, romlis farTobia s. albaToba s imisa, rom mocemul figuraze SemTxveviT SerCeuli wertili moxvdeba am figuris aRebul nawilSi gamoiTvleba formuliT nax. 88)

s . S

(2)

(1) da (2) geometriuli albaTobis formulebia. ganvixiloT magaliTebi, romelTa amoxsna moxerxebulia albaTobis geometriuli gansazRvrebis gamoyenebiT. nbhbmjUj! 2/ monakveTi sam tol nawiladaa dayofili. vipovoT albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT SerCeuli wertili Sua nawilSi ar moxvdeba.

174

e.i. unda gamovTvaloT albaToba imisa, rom SemTxveviT SerCeuli wertili moxvdeba pirvel an mesame nawilSi. 2 Tanaxmad (1) formulisa es albaToba P = . 3 nbhbmjUj! 3/ vTqvaT MN aris ABC samkuTxedis Suaxazi ( MN || AC ) . vipovoT albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT SerCeuli wertili BMN samkuTxedSi moxvdeba. (2) formulis gamoyenebiT S 1 P = BMN = . AABC 4 nbhbmjUj! 4! )Tfywfesjt! bnpdbob*/ ori megobari SeTanxmda, rom isini Sexvdebodnen erTmaneTs 10-dan 11 saaTamde, amasTan, Sexvedris adgilze TiToeuli mosuli elodeba meores 20 wuTs da midis. ras udris maTi Sexvedris albaToba, Tu TiToeuli modis alalbedze daTqmuli drois (10 saaTidan 11 saaTamde drois SualedSi) ganmavlobaSi da maTi mosvlis momentebi ar aris damokidebuli erTmaneTze? drois mTeli Sualedi wuTebis gamoyenebiT ase gamovsaxoT [0;60]. pirvelis mosvlis dro aRvniSnoT x-iT, meoresi ki y-iT. imisaTvis, rom isini Sexvdnen erTmaneTs, aucilebelia da sakmarisi, rom x − y ≤ 20 ; amasTan 0 ≤ x ≤ 60 da 0 ≤ y ≤ 60 . y ( x; y ) wyvils SevusabamoT wertili sakoordinato sibrtyeze. yve60 la SesaZlo SemTxvevaTa erToblioba mogvcems kvadrats (nax. 89), romlis gverdis sigrZea 60, xolo im 20 ( x; y ) wertilebis simravle, romlebic gamoiwveven Sexvedras warmod0 60 x 20 genilia kvadratis daStrixuli nawiliT; misi farTobia S = 60 2 − 402 . nax. 89 saZiebeli albaToba `geometriul enaze~ SeiZleba ase CamovayaliboT: ra aris albaToba imisa, rom kvadratSi SerCeuli ( x; y ) wertili moxvdeba daStrixul nawilSi? (2) formulis ZaliT P=

602 − 402 60

175

5 . 9

b n p d b o b U b ! l s f c v m j ! ยง1. bsjUnfujlvmj!hbnpUwmfcj daSaleT martiv mamravlebad: 88; 96; 124; 144; 460; 588. 1.2. ipoveT mamravlebad daSlis xerxiT Semdegi ricxvebis udidesi saerTo gamyofi: 34 da 48; 120 da 150; 14, 20 da 48; 36, 54 da 72. 1.3. ipoveT mamravlebad daSlis xerxiT Semdegi ricxvebis umciresi saerTo jeradi: 8 da 28; 64 da 96; 240 da 360; 48, 72 da 80. 1.4. 1) mocemuli naturaluri ricxvis 7-ze gayofis dros naSTi udris 3-s. ras udris naSTi 7-ze gayofis dros, Tu mocemul ricxvs gavadidebT 2-iT? 2) raime naturaluri ricxvis 11-ze gayofis dros naSTi udris 5-s. ras miviRebT naSTSi 11-ze gayofis dros, Tu mocemul ricxvs gavadidebT 4-iT? 3) raime naturaluri ricxvis 4-ze gayofis dros naSTi udris 3-s. ras miviRebT naSTSi 4-ze gayofis dros, Tu mocemul ricxvs gavadidebT 2-iT? 4) raime naturaluri ricxvis 3-ze gayofis dros naSTi udris 1-s. ras miviRebT naSTSi 3-ze gayofis dros, Tu mocemul ricxvs gavadidebT 7-iT? 1.5. 1) mocemuli naturaluri ricxvis 3-ze gayofis dros miiReba ganayofi 31 da naSTi 2. ras udris naSTi igive ricxvis 7-ze gayofis dros? 2) ricxvis 6-ze gayofis dros naSTia 5. ras udris naSTi amave ricxvis 12-ze gayofis dros? 3) ricxvis 3-ze gayofis dros naSTia 2, xolo 5-ze gayofis dros ki _ 3. ras udris naSTi amave ricxvis 15-ze gayofis dros? 4) ricxvis 2-ze gayofis dros naSTia 1, xolo 7-ze gayofis dros ki 6. ras udris naSTi amave ricxvis 14ze gayofis dros? 1.6. 1) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT 4766-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 3-ze? 2) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT 47831-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 9-ze? 3) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT 1.1.

176

87898-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 3-ze? 4) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT 35987-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 9-ze? 1.7. 1) 6 erTnair fanqarSi gadaixades 73 TeTrze meti da 81 TeTrze naklebi. ramdeni TeTri Rirda erTi fanqari? 2) 37 erTnair saSlelSi gadaixades 12 larze meti da 12,5 larze naklebi. ramdeni TeTri Rirda erTi saSleli? 3) moswavleebma eqskursiisaTvis Seagroves Tanxa, romelic metia 350 larze da naklebia 370 larze. TiToeulma moswavlem gadaixada 17 lari. ramdeni moswavle wasula eqskursiaze? 4) redaqciis TanamSromlebma Seagroves garkveuli Tanxa, romelic metia 335 larze da naklebia 355 larze. TiToeulma gadaixada 15 lari. ramdeni TanamSromelia redaqciaSi?

TfbtsvmfU!nprnfefcfcj!)$$2/9.2/29*;! 1.8.

1.9.

1.10. 1 ) 3) 1.11. 1 ) 3) 1.12. 1 ) 2)

5 7 2 5 1 3 17 4 5 3 ; 2) ; 3) 3 + 4 ; 4) 2 + 1 + 4 . + + + 8 12 5 8 12 4 24 15 12 5 2 5 3 7 5 4 13 4) 8 − . 7 − 3 ; 2) 8 − 5 ; 3) − ; 3 12 4 16 6 9 20 3 4 8 7 1 1 2) 4 − 6 : 3 ; 3 + : ; 4 5 15 8 4 8 5⎞ 1 7 3 11 ⎛ 1 4 ) ⎜ 3 − 2 ⎟ :1 . 3 :1 −1 ; 6⎠ 8 5 25 8 ⎝ 4 5 2⎞ 1 1 2⎞ 2 ⎛ 1 ⎛ 3 ⎜13 − 10 : ⎟ ⋅ 1 ; 2) ⎜1 + 3 : 2 ⎟ ⋅ 2 ; 4 7 6 3 9 ⎠ 41 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ 3⎞ 3 1⎞ 1 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎛ 2 4 ⎜ 5 ⋅1 − 8 ⎟ : 1 ; 4 ) ⎜ 2 + 3 ⎟ : ⎜ − 4 + 3 ⎟ . 5 ⎠ 10 7⎠ 6 2⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎝ 3 5 3 3 1 7 6 6 : + 8 ⋅ − 1 ⋅ 6 + ⋅ 20 − 12 : ; 5 4 2 10 7 2 ⎞ 12 5 4 ⎞ 15 3 ⎛ 1 ⎛ 1 ; − 4 ⎟⎟ ⋅ + ⎜⎜ 4 + 3 − 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 5 + 3 3 ⎠ 13 6 15 ⎠ 127 ⎝ 4 10 ⎝ 5

7 11 ⎞ 2 ⎛ 5 7 13 ⎞ 43 ⎛ 5 3 ) ⎜ 5 + 3 − 1 ⎟ : 1 − ⎜ 4 + 2 − 5 ⎟ ⋅1 ; 36 18 ⎠ 5 ⎝ 6 24 18 ⎠ 101 ⎝ 12

177

1 5 1 9⎞ 7 1 3 ⎛ 7 4 ) ⎜ 25 + 14 : 9 − 6 ⋅ ⎟ : 5 + 2 ⋅ 2 . 8 3 9 4 10 16 5 11 ⎝ ⎠ 59 1.13. 1) (2,4 : 0,03 − 3,5 ⋅ 6 ) : ; 2) (2,4 − (0,4 − 3,2) : 0,7 ) ⋅ 5 ; 60 1⎞ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 3 ) 3,1 : ⎜ 5 − 4,2 : 3 ⎟ ; 4 ) ⎜ 0,5 : 1,5 − 3 ⋅ 0,6 ⎟ : ⎜1 − 3 ⎟ . 2⎠ 3 2⎠ ⎝ 3 ⎝ ⎠ ⎝ 1 2 6 7 4 3 1 ⋅ 4 − 3 : 2,4 3 : 2,8 + 5 ⋅ 2 3 17 ; 8 5 5 1.14. 1) − 1 1 12 − 8,75 3 +2 2 4 ⎡⎛ 4 3⎤ 1 2⎞ 1 ⎢⎜ 3 + 1 ⎟ : 8,2 − ⎥ : 1 6 1,75 + 3 5 8 3 5 ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ + 2) ; 2 5 4⎞ 4 ⎛ 3 4 ⋅ ⋅ ⎜ 2 −1 ⎟ 5 8 5⎠ 19 ⎝ 4 5⎞ 2 3⎞ 5 ⎛ 7 ⎛ 3 ⎜ 85 − 83 ⎟ : 2 ⎜6 − 3 ⎟⋅5 30 5 18 ⎠ 3 14 ⎠ 6 3) ⎝ ; 4) ⎝ . 0,04 (21 − 1,25) : 2,5 7 ⎞ 18 2 ⎛ 1 1.15. 1) ⎜16 − 13 ⎟ ⋅ + 2,2[0, (24) − 0, (09 )] + ; 2 9 33 11 ⎝ ⎠

⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 5 17 ⎞ 18 ⎤ 0,1(6) + 0, (3) 2) ⎢2 : 3 + ⎜ 3 : 13 ⎟ : + ⎜ 2 − ⎟ ⋅ ⎥ ⋅ ; 5 ⎝ 4 ⎠ 3 ⎝ 18 36 ⎠ 65 ⎦ 0, (3) + 1,1(6) ⎣ 3 1,125 + 1 − 0,41(6) 0,8(3) − 0,4(6) 4 ⋅ ; 3) 5 0,59 1 6 3 8 ⎛ 38 1 ⎞ ⎜ 2 − ⎟ : 13 + 3 ⋅ 0, (26) 65 9 45 15 ⎠ 4) ⎝ ⋅ 0,5 . ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜18 − 13, (7) ⎟ ⋅ ⎝ 2 ⎠ 85 −1

−2

−1

−2

⎛5⎞ ⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛ 2⎞ + ⎜ ⎟ ; 2) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ ; 6 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ −1 −3 −2 −1 ⎞ ⎛ −1 3 ⎛ 1⎞ 3 ⎛1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎛1⎞ ⎟ ⎜ 3) ⎜ ⎟ : + ⎜− ⎟ ⋅ ; 4) 5 − 3⋅⎜ ⎟ : 5⋅3 − ⎜ ⎟ . ⎜ 5 ⎝ 2⎠ 4 ⎝6⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝

⎛5⎞ 1.16. 1) ⎜ ⎟ ⎝2⎠

1.17. 1)

−1

⎛ 1⎞ : ⎜ −1 ⎟ ⎝ 2⎠

)(

)

⋅ 2 −2 − 2 −3 ⋅ 2 −4 : 2 −2 ⋅ 2 0 − 2 −5 ⋅ 2 −1 ;

178

(5 ⋅ 3

−4

)(

)

− 3 −2 ⋅ 3 −3 : 4 ⋅ 3 −3 + 3 −2 ⋅ 3 −4 ; −1

⎛3⎞ 2 −3 + ⎜ ⎟ ⎝4⎠ 4)

−1

⎛ 1⎞ ⋅⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ . ; 0 ⎛1⎞ 10 −1 + ⎜ ⎟ ⎝8⎠ 1 1 1 1 1 1 + +L+ + +L+ 1.18. 1) ; 2) ; 1⋅ 2 2 ⋅ 3 100 ⋅ 101 1⋅ 3 3 ⋅ 5 99 ⋅ 101 1 1 1 1 1 1 1 1 3) ; 4) . + + +L+ + + +L+ 1⋅ 3 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 18 ⋅ 20 1⋅ 4 2 ⋅ 5 3 ⋅ 6 17 ⋅ 20 1.19. gansazRvreT proporciis ucnobi wevri: 2,7 x 2 3 ; 4 ) x : 2 = 6 : 1,8 . = 1) x : 12 = 10 : 5 ; 2 ) 15 : 8 = 45 : x ; 3) 3 4 1,8 0,4 ⎛2⎞ 4 −1 − 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 3) −1 ⎛1⎞ 5−⎜ ⎟ ⎝2⎠

!!hbnpUwbmfU!)$$2/31<!2/32*;! 1.20. 1) 9000-is 3) 89,2-is

5 nawili; 6

2) 169-is

11 nawili; 13

3 1 nawili; 4) 33 -is 0,01 nawili. 223 3

1 1.21. 1) 140-is 35%; 2) 215-is 16%; 3) 280-is 0,5%; 4) 280-is 8 %. 3

jqpwfU!sjdywj-!spnmjt!)$$2/33<!2/34*;! 1.22. 1)

2 nawili aris 50; 3

4 1 nawili aris 85 ; 15 3

3) 0,04 nawili aris 88,4. 4) 0,2 nawili aris 24,45. 1.23. 1) 22% aris 33; 2) 30% aris 6; 1 1 3) 3 % aris 33 ; 4) 12,3% aris 135,3. 3 3 1.24. 1) 2000-is ra nawils Seadgens 225? 1 2) 33 -is ra nawils Seadgens 2? 3 1 5 3) 99 -is ra nawils Seadgens 16 ? 3 9 4) 510,3-is ra nawils Seadgens 17,01? 1.25. 1) 500-is ramdeni procentia 352? 2) 340-is ramdeni procentia 68?

179

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

3) 885,6-is ramdeni procentia 239,112? 1 4) 231 -is ramdeni procentia 97,09? 6 1) 450 dayaviT 7-isa da 8-is proporciul nawilebad; 2) 960 dayaviT 11-isa da 13-is proporciul nawilebad; 2 3 3) 130 dayaviT -isa da -is proporciul nawilebad; 3 2 5 7 4) 261 dayaviT -isa da -is proporciul nawilebad. 6 9 1) 720 dayaviT Semdegi sami ricxvis proporciul nawilebad: 5; 4 da 3; 2) 3630 dayaviT Semdegi sami ricxvis proporciul nawilebad: 0,6; 1 da 0,4; 3) 880 dayaviT Semdegi sami ricxvis proporciul 5 11 13 da ; nawilebad: ; 3 6 12 4) 432 dayaviT Semdegi oTxi ricxvis proporciul nawilebad: 0,6; 1; 0,8 da 3. 1) mudmivi siCqariT moZravma matarebelma 5 saaTSi 5 nawili. ramden saaTSi gaivlis gaiara mTeli gzis 6 is mTel gzas? 3 nawili waikiTxa 6 dReSi. 2) moswavlem wignis 4 ramden dReSi waikiTxavs is wignis darCenil nawils? 8 nawili moxna 16 saaTSi. 3) fermerma nakveTis 9 ramden saaTSi moxnavs is mTel farTobs? 6 nawilis gavlis dros 4) avtomobilma mTeli gzis 7 daxarja 18 litri benzini. ramdeni litri benzini daixarjeba darCenili gzis gavlisas? 1) avtomobilma mTeli gzis 60% gaiara 9 saaTSi. ramden saaTSi gaivlis is gzis darCenil nawils? 2) avzis 75% wyliT gaivso 12 saaTSi. ramden saaTSi gaivseba avzi mTlianad? 3) fermerma nakveTis 40%-ze mosavali aiRo 8 saaTSi. ramden saaTSi aiRebs is mosavals nakveTis darCenil nawilze? 4) kalaTSi moTavsebuli vaSlebis raodenobis 45%

180

Seadgens 27 vaSls. ramdeni vaSlia kalaTaSi? 4 nawili moxna traqtoriT, 1.30. 1) fermerma nakveTis 5 xolo darCenili nawili ki daamuSava xeliT, razedac man daxarja 6-jer meti dro, vidre imuSava traqtoriT. ramdenjer metia Sromis nayofiereba traqtoriT muSaobis SemTxvevaSi xeliT muSaobasTan SedarebiT? 2) gza qalaqidan soflamde Sedgeboda aRmarTisa da daRmarTisagan. aRmarTis gavlas, romlis sigrZe 1 nawils, velosipedistma Seadgenda mTeli gzis 7 moandoma 2-jer meti dro, vidre daRmarTis gavlas. ramdenjer meti iyo velosipedistis siCqare daRmarTze aRmarTze siCqaresTan SedarebiT? 1 nawili gaiara fexiT, 3) turistma mTeli gzis 9 xolo darCenili gza ki imgzavra avtobusiT. fexiT siarulis dros man daxarja 3-jer meti dro, vidre avtobusiT. ramdenjer metia avtobusis siCqare fexiT moZraobis siCqaresTan SedarebiT? 2 4) mgzavrma mTeli gzis 66 % ifrina TviTmfrinaviT, 3 xolo darCenili gza imgzavra avtomobiliT. avtomobiliT mgzavrobis dros man daxarja 4-jer meti dro, vidre frenis dros. ramdenjer metia TviTmfrinavis siCqare avtomobilis siCqaresTan SedarebiT? 1.31. 1) moswavlis mier wignis wakiTxuli gverdebis raodenoba 3-jer metia wignis waukiTxavi gverdebis raodenobaze. wignis ramdeni procenti waukiTxavs moswavles? 2) fermeris mier moxnuli nakveTis farTobi 4-jer metia darCenil mouxnav farTobze. mTeli nakveTis ramdeni procenti mouxnavs fermers? 3) avtomobilma daxarja 9-jer meti benzini, vidre darCa benzinis avzSi. benzinis mTeli raodenobis ramdeni procenti darCa avzSi? 4) mgzavrma gaiara 8-jer meti manZili, vidre darCa gasavleli. mTeli gzis ra nawili gaiara mgzavrma? 1.32. 1) miwis nakveTi naxazze 1:10000 masStabiTaa mocemuli. cnobilia, rom naxazze or wertils Soris manZilia

181

3,7 sm. ipoveT Sesabamisi manZili nakveTze. 2) rukaze qalaqebs Soris manZili 12 sm-ia. ra manZilia sinamdvileSi am qalaqebs Soris, Tu rukis masStabia 1:800000? 3) naxazze 125 metrs Seesabameba 5 sm. ra manZilia or wertils Soris sinamdvileSi, Tu naxazze igi 7 sm-ia? 4) naxazze stadionis zomebia 5 sm da 8 sm. sinamdvileSi stadionis mcire ganzomilebaa 20 m. ipoveT stadionis meore ganzomileba. 1.33. 1) suraTis sigrZea 50 sm, sigane 40 sm. suraTis farTobi gaadides 5-jer. ramdeni kvadratuli metri gaxda suraTis farTobi? 2) mikroskopi yoveli sagnis farTobs adidebs 10 6 -jer. ramdeni kvadratuli santimetri farTobiT gamoCndeba mikroskopSi 0,00001 mm 2 farTobis mqone sxeuli? 3) evraziis rukis masStabia 1:7000000, xolo amierkavkasiis rukisa ki 1:3500000. ramdenjer metia amierkavkasiis rukaze saqarTvelos farTobi evraziis rukaze mocemul saqarTvelos farTobze? 4) saqarTvelos farTobia 70000 kvadratuli kilometri, xolo saqarTvelos rukis masStabia 1:500000. ramdeni kvadratuli santimetri ukavia saqarTvelos rukaze? 1.34. 1) erTi ricxvi Seadgens meoris 30%-s. meore ricxvis ra nawils Seadgens pirveli ricxvi? 2) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 85%-s. meore ricxvis ra nawils Seadgens pirveli ricxvi? 3) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 80%-s. pirveli ricxvis ramden procents Seadgens meore ricxvi? 2 4) erTi ricxvi Seadgens meoris nawils, pirveli 7 ricxvis ramden procents Seadgens meore ricxvi? 1 -iT. axali 1.35. 1) qsovilis fasma moimata Tavisi fasis 3 fasis ra nawils Seadgens Zveli fasi? 2) produqciis fasma moimata Tavisi fasis 25%-iT. axali fasis ramden procents Seadgens Zveli fasi? 2 -iT. Zveli 3) qsovilis fasma moiklo Tavisi fasis 5 fasis ra nawils Seadgens axali fasi?

182

1.36.

1.37.

1.38.

1.39.

4) produqciis fasma moiklo Tavisi fasis 20%-iT. axali fasis ramden procents Seadgens Zveli fasi? 1) xuTi kombaini dReSi iRebs 300 ha mosavals. ramden heqtarze aiRebs mosavals erT dReSi Svidi iseTive kombaini? 2) sami traqtori yanas 8 saaTSi xnavs. ramdeni traqtori moxnavs igive yanas 6 saaTSi? 3) xuT kalatozs kedeli amohyavs 6 sT-Si. ramdeni kalatozi aaSenebs igive kedels 10 sT-Si? 4) avtomobili 6 sT-Si gadis 300 km manZils. ramden saaTSi gaivlis is 750 km-s, Tu igive siCqariT imoZravebs? 5) sami traqtori 5 dReSi 150 ha miwas xnavs. ramden heqtar miwas moxnavs 4 traqtori 7 dReSi? 6) xuTi ostati 3 saaTSi 150 detals amzadebs. ramden detals daamzadebs 7 ostati 4 saaTSi? 1) oTxi kombaini 5 saaTSi xorbals iRebs 60 ha farTobze. ramden saaTSi aiRebs 9 kombaini mosavals 216 ha farTobis mqone nakveTze? 2) Svidi traqtori 3 dReSi 210 ha miwas xnavs. ramdeni traqtori moxnavs 150 ha miwas 5 dReSi? 3) orma satvirTo manqanam 3 sT-Si 30 km manZilze 450 t tvirTi gadazida. ramden tona tvirTs gadazidavs 7 aseTive manqana 2 sT-Si 25 km manZilze? 4) xuTma satvirTo manqanam 4 sT-Si 20 km manZilze 100 t tvirTi gadazida. ramdeni aseTi manqanaa saWiro 1000 t tvirTis gadasazidad 50 km manZilze 5 sT-is ganmavlobaSi? 1) kalaTidan, romelSic ido 15 wiTeli da 20 yviTeli vaSli, amoiRes 17 vaSli. darCa Tu ara kalaTSi erTidaigive feris ori vaSli? 2) kalaTidan, romelSic ido 6 wiTeli da 7 yviTeli vaSli, amoiRes 5 vaSli. darCa Tu ara kalaTSi sxvadasxva feris ori vaSli? 3) yuTidan, romelSic 4 TeTri da 3 Savi birTvia, amoiRes 3. aris Tu ara amoRebul birTvebSi erTidaigive feris ori birTvi mainc? 4) kalaTidan, romelSic iyo 7 TeTri da 5 yviTeli vaSli, amoiRes 8 vaSli. aris Tu ara amoRebul vaSlebSi sxvadasxva feris TiTo vaSli mainc? 1) yuTSi 6 TeTri da 4 wiTeli burTulaa. burTulebis ra udidesi raodenoba SegviZlia

183

amoviRoT yuTidan, rom yuTSi aucileblad darCes: a) TiToeuli feris TiTo burTula mainc; b) erTi feris ori burTula da meore feris erTi burTula mainc; g) TiToeuli feris or-ori burTula mainc; d) romelime erTi feris ori burTula mainc. 2) yuTSi 20 burTulaa: 8-wiTeli, 7-TeTri da 5-Savi. burTulebis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT yuTidan, rom yuTSi darCes: a) oTxi cali erTi feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan TiToeuli feris TiTo burTula mainc; b) oTxi cali erTi feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan TiToeuli feris or-ori burTula mainc; g) oTxi cali erTi feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan TiToeuli feris sam-sami burTula mainc; d) oTxi cali erTi feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan TiToeuli feris oTx-oTxi burTula mainc. 3) yuTSi aris 3 lurji, 4 wiTeli da 5 Savi burTi. ra umciresi raodenobis burTi unda amoviRoT yuTidan, rom amoRebul burTebSi aucileblad iyos: a) 3 mainc erTi feris burTi; b) samive feris burTebi; g) ori sxvadasxva feris TiTo burTi mainc; d) TiToeuli feris sam-sami burTi mainc. 4) kalaTSi 120 burTulaa. aqedan 32 lurji, 26 wiTeli, 14 mwvane, 28 TeTri. danarCeni burTulebi aris yavisferi, yviTeli da Wreli. ra umciresi raodenobis burTulebi unda amoviRoT kalaTidan, rom maT Soris erTi feris 20 burTula mainc iyos? 1.40. 1) saaTi, romelic dRe-RameSi win midis 6 wuTiT, gaaswores. drois ra umciresi monakveTis Semdeg aCvenebs saaTi isev swor dros? 2) saaTi, romelic yovel 3 saaTSi 2 wuTiT CamorCeba, gaaswores. drois ra umciresi monakveTis Semdeg uCvenebs saaTi isev swor dros? 3) gansazRvreT umciresi kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen saaTis isrebi: a) 2 sT 40 wT-ze; b) 4 sT 48 wT-ze. 4) gansazRvreT umciresi kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen saaTis isrebi, Tu saaTis Cvenebaa: a) 3 sT 40 wT; b) 5 sT 48 wT. 1.41. 1) WiqaSi myofi yoveli baqteria erT wamSi iyofa or

184

baqteriad. Tu WiqaSi Tavidan movaTavsebT erT baqterias, Wiqa gaivseba erT wuTSi. ramden wamSi gaivseba Wiqa, Tu Tavidan WiqaSi movaTavsebT or baqterias? 2) WiqaSi myofi yoveli baqteria erT wamSi iyofa or baqteriad. Tu WiqaSi Tavidan movaTavsebT erT baqterias, Wiqa gaivseba erT wuTSi. ramden wamSi gaivseba Wiqis naxevari, Tu Tavidan WiqaSi movaTavsebT oTx baqterias? 3) WiqaSi myofi yoveli baqteria erT wamSi iyofa sam baqteriad. Tu WiqaSi Tavidan movaTavsebT erT baqterias, Wiqa aivseba erT wuTSi. ramden wamSi aivseba Wiqis mesamedi, Tu Tavidan WiqaSi erTi baqteriaa? 4) raketam, yovel saaTSi (dawyebuli meoredan) gadioda ra orjer met manZils imaze, rac mas hqonda gavlili am dromde, mTeli gza gaiara 10 sT-Si. moZraobis dawyebidan ramden saaTSi hqonda mas gavlili mTeli gzis mecxredi? 1.42. CawereT gaSlili formiT mocemuli ricxvi 1) 327; 2) 4029; 3) 5203; 4) 71002 1.43. CawereT gaSlili formiT orobiT sistemaSi mocemuli ricxvi 2) 111112 1) 11012 4) 1100102 3) 101012 1.44. CawereT orobiT sistemaSi 1) 7; 2) 9; 3) 16; 5) 110; 6) 129; 7) 502;

4) 60; 8) 813.

1.45. CawereT aTobiT sistemaSi ricxvi 1) 10112 2) 110102 4) 110001102 3) 1001112 1.46. romelia meti 1) 100012 Tu 19 3) 10010102 Tu 75 5) 100000002 Tu 100

2) 1101012 Tu 51 4) 1111112 Tu 111 6) 1010102 Tu 43

1.47. ramden cifrs Seicavs mocemuli ricxvis Canaweri orobiT sistemaSi? 1) 18; 2) 82;

185

3) 128; 4) 1.48. ramden cifrs Seicavs aTobiT sistemaSi 1) 10102 2) 4) 3) 11100002 1.49. gamoTvaleT 1) 11102 + 1012 3) 110112 + 111012 5) 1011002 _ 110012

1023. mocemuli ricxvis Canaweri 10000002 11111101012

2) 101112 + 110012 4) 11102 _ 10112 6) 11010012 _ 10111112

1.50. CawereT aTobiT sistemaSi udidesi ricxvi, romelic orobiT sistemaSi SeiZleba Caiweros: 1) oTxi cifriT; 2) eqvsi cifriT. 1.51. CawereT aTobiT sistemaSi umciresi ricxvi, romelic orobiT sistemaSi SeiZleba Caiweros: 1) xuTi cifriT; 2) Svidi cifriT. 1.52. ipoveT umciresi samniSna ricxvi, romlis Canaweri orobiT sistemaSi Seicavs: 1) mxolod erT erTians; 2) mxolod erTianebs. 1.53. ipoveT udidesi samniSna ricxvi, romlis Canaweri orobiT sistemaSi Seicavs: 1) mxolod erT erTians; 2) mxolod erTianebs.

§2.

nprnfefcfcj!fsUxfwsfc{f!eb!nsbwbmxfwsfc{f! nsbwbmxfwsjt!nbnsbwmfcbe!ebTmb!

! TfbtsvmfU!nprnfefcboj!)$$3/2.3/44*;! 2.1.

1) 5a − 2a ;

2.2.

1) 15ab + 4ab − 10ab ;

2.4.

3) −8m − 5m ;

4) −2q + 2q .

2) −6 xy − xy + 8 xy ;

3) − 4m + 10m − 8m ; 1 1 1) 2d 2 − 1 d 2 − 3 d 2 ; 2 2 3 5 1 5 5 5 3) a − a − a ; 4 2 8 2 2 1) 0,8c − 1,2c − 0,1c 2 ;

4) − 25k 4 − 32k 4 + 48k 4 . 1 1 2) 5q 4 − 1 q 4 + 6 q 4 ; 2 2 2 3 5 3 1 3 4) x + x + x . 3 6 2 6 6 2) 1,5n − 0,9n + 2n 6 ;

3) 3a 3b 2 − 2a 3b 2 + 4a 3b 2 ;

4) 4 x 2 y − 7 x 2 y + 5 x 2 y .

2.3.

2) 8 x − 10 x ;

186

2.5.

1) 11x 2 + 4 x − x 2 − 4 x ;

2.6.

2.7.

2) −a − 5 − 2a + 3 ;

3) 2 y − 3 y + 2 y − y ; 4) − m 2 − n 2 + 2m 2 − n 2 . 1 2 1 2 1 1) x − y + x2 + y ; 3 3 3 3 2 3 1 1 3 2) − 1 ab + 2a b − 4 a 2 b − ab 3 − a 2 b − a 3b ; 3 2 2 3) 0,3c 3 − 0,1c 2 − 0,5c 3 ; 4) −9,387m − 3,89n + 8,197m − 1,11n − 0,002m . 2) (4 x + 2) + (− x − 1) ; 1) 8a + (3b + 5a ) ; 2

(

3) (15a + 2b ) + (4a − 3b ) ; 2.8.

(

) (

)

1) x + 2 xy + y + 2 xy − x − y ; 2

) (

)

4) 4a 2 b − 3ab 2 + − a 2 b + 2ab 2 . 2

)

(

) (

)

2) 5m − 5m + 3 + − 4m − 5m − 3 ; 3) 2 y 2 − 4 y − 1 + − 1 + 4 y − 2 y 2 ; 4) (10a − 6b + 5c − 4d ) + (9a − 2b − 4c + 2d ) . 2.9. 1) 5a − (+2a) ; 2) −10 x + (+2 x) ; 2

4) 4ab − (+4ab) .

3) 5 x 2 y − (−2 x 2 y ) ; 2.10. 1) (12c + 16d ) − (6c − 7d ) ;

(

) (

3) 3a b − 13b − 3a b + 6b 3

( (4 x

) ( ) y + 8 xy ) − (3x y − 5 xy ) .

2) 11x 3 − 2 x 2 − x 3 − x 2 ;

);

⎛ 2 ⎞ 2) (− 6 p ) ⋅ ⎜ − q ⎟ ; ⎝ 3 ⎠

2.11. 1) (+ 2b ) ⋅ (− 3c ) ;

⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 3) ⎜ + a ⎟ ⋅ ⎜ + b ⎟ ; 4) (− 0,3x ) ⋅ (− 5 y ) . ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2.12. 1) + a 2 ⋅ (+ a ) ; 2) − x 2 ⋅ − x 3 ; 3) + p 2 ⋅ − p 4 ; 4) + y n ⋅ y 2 .

( )

2.13. 1) 2 x ⋅ 3x 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ; 2) (− 6 p )⋅ (− 2 p ) ; 3) (− 8d ) ⋅ (− 2d ) ; 4) (− 5b )⋅ (+ 4b ).

2.14. 1) a n+1 ⋅ a 2 ;

(

2) c n+1 ⋅ c n−1 ;

)(

)

3) x 2 n+1 ⋅ x n+ 2 ; 4) a 3k − 2 ⋅ a 2 k +3 .

( )( ) (− 2,5m n p )⋅ (− 3,4m n

2.15. 1) − 0,6 x 2 y 3 ⋅ + 0,5 x 2 y 3 ;

2) + 2,4k 2 b 4 ⋅ − 0,5k 3 ;

)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 2 2 3 3) ⎜ − 1 x 2 y 3 z ⎟ ⋅ ⎜ − 1 xy 2 z 3 ⎟ ; 4) pq 2 . 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2.16. 1) (a + b ) ⋅ m ; 2) (− 5 x + 4 y ) ⋅ 2 z ; 3) 3b ⋅ (− 2a − 4b ) ; 4) − 6 x(5 y − 2 x ) .

( (a

)

2.17. 1) 2 x 2 − 5 xy + y 2 ⋅ 2 xy ;

)

m − 2a 2 ⋅ a n ; 3) 2.18. 1) 2(a − 3b ) + 3(a − 2b ) ;

3 ⎛ 1 ⎞ 2) ⎜ − 1 p 2 − pq + q 2 ⎟ ⋅ (− 2 pq ) ; 2 4 ⎝ ⎠ 4) 3 x n+1 − 2 x n ⋅ 5 x .

(

)

2) a(a + b ) − b(a − b ) ;

187

3) 4) 2.19. 1) 3)

6 ⋅ (3 p + 4q ) − 8 ⋅ (5 p − q ) + ( p − q ) ; − 3 ⋅ (a − b ) − 2 ⋅ (a + b ) − (3a − 2b ) + 5 ⋅ (a − 2b ) . (2 x + 1) ⋅ (x + 4) ; 2) (5 p − 3q ) ⋅ (4 p − q ) ; (5 p − 3q ) ⋅ (4 p − q ) ; 4) (2a + 3b ) ⋅ (2a − 5b ) .

( )( ) (8a − 3ab)⋅ (3a − ab) ; (7 x y − xy )⋅ (− 2 x y + 5xy ) ; (a − 5ab + 3b )⋅ (a − 2ab) ;

2.20. 1) − 7 x 2 − 8 y 2 ⋅ − x 2 + 3 y 2 ; 3) 2.21. 1) 3)

3 2

(

)(

)

2) 4 z 2 − 1 ⋅ z 2 + 5 ;

(

)(

)

4) 5ab + 4b ⋅ 3ab 3 − 4a 2 . 3

( (a

)(

)

2) x + 2 xy − 5 y ⋅ 2 x − 3 y ; 4)

)

+ ab + b ⋅ (a − b ) . 2

2.22. 1) 8ab : 4b ; 2) 15mn : (− 5n ) ; 3) (− 6 xy ) : (− 4 x ) ; 4) (− 10 pq ) : 6q . 2.23. 1) 6abc : (− 3c ) ; 2) (− 24 xyz ) : (− 8 y ) ; 3) 15ab : (−5ab) ; 4) (− 4 xyz ) : (− 4 xz ) . 2.24. 1) a 5 : a 3 ;

( )

2) − z 7 : z 5 ;

2.25. 1) a 4 : − a 4 ; 2) − b 2 n : b n ;

3) y 3 : (− y ) ;

4) d 10 : (−d 8 ) .

3) a m+1 : a m ;

4) x n+1 : x n−1 .

2.26. 1) 16 x 3 y 2 : 4 x 2 y ;

2) 20m 4 n 3 : 5m 2 n 3 ;

3) 4a 2 b 2 c : (− 5abc ) ; 2.27. 1) (3ab + 4ac ) : a ;

4) − 6a 3b 2 c : − 2a 2 bc . 2) (15 xy − 10 xz ) : 5 x ;

(

( ) 1) (4c d − 12c d ): (− 4c d ) ; 3) (10m n + 20m n ): 5m n ; 1) (m ) ; 2) (− 2x ) ; ⎛1 ⎞ 1) (− 3y ) ; 2) ⎜ b ⎟ ; ⎝2 ⎠ 1) (ab c ) ; 2) 5(x y ) ; 1) 5 (− a b c ) ; 2) − 3(2a b ) ; 1) (a ) ; 2) (x ) ; 3) 8a 2 − 4a : 4a ;

2.28.

3 5

2.29. 2.30. 2.31. 2.32.

2 3

2 4

3 2

4 2

2 3 2 3 2

k 2.33. 2.34. tolia Tu ara:

2 3 2

n +1 2

(− x )2 ? − (2a )4 d a (− 2a )4 ?

(

)

4) 16m 3 n + 24m 2 n 2 : 8m 2 n .

( )( ) 4) (18 p q − 27 p q ) : 9 p q. 3) (− 4a ) 4) (− 3a ) . 3) (− 0,3x ) ; 4) (− 0,7 x ) . 3) (− 2a bc ) ; 4) (− 2a bc ) . 1 3) 2(− 3x y ) ; 4) − (− 5a b c ) . 2 3) (− x ) ; 4) (− x ) . 2) 9 xy − 15 x y : − 3 xy 2 ; 2

3 4

4 3

2 3

5 2

4 3 3

n 2

(− x )3 ? − (2a )5 d a (− 2a )5 ?

1) − x2 da

2) − x 3 d a

188

5 2

3 3

3 2

2 4

3 4 2 2

n 3

TfbtsvmfU! nprnfefcfcj! Tfnplmfcvmj! gpsnvmfcjt!hbnpzfofcjU!)$$3/46/.3/64*;! 2.35. 1) (x + 1)(x − 1) ; 3) (a + 3b )(a − 3b ) ; 2.36. 1) (2a + 3)(2a − 3) ;

2) (1 + a )(1 − a ) ; 4) (2m − 3n )(3n + 2m ) . 2) (3 p + 1)(3 p − 1) ; 1⎞ 1 ⎞⎛ ⎛ 4) ⎜ 2d − ⎟⎜ 2d + ⎟ . 2⎠ 2 ⎠⎝ ⎝ 2 2 2) 5a − 3b 5a + 3b ;

3) (5 x + 3 y )(5 x − 3 y ) ; 2.37. 1) (2 xy − 1)(2 xy + 1) ;

(

3) a + b n

)(a

−b

);

2.38. 1) (0,2t − 0,5u )(0,2t + 0,5u ) ;

(

2.40. 1) m 3 + n 2

⎛x y⎞ 2) ⎜ − ⎟ ; ⎝2 3⎠

3 ⎛5 ⎞ 2.43. 1) ⎜ m 2 n 3 − mn ⎟ ; 5 ⎝6 ⎠

)

3) 1,2 x 2 y − 0,5 x 3 y 2 ;

);

1 ⎞ ⎛a b⎞ ⎛ 1 3) ⎜ + ⎟ ; 4) ⎜ 2 m + 1 n ⎟ . 2 ⎠ ⎝ 4 3⎠ ⎝ 3

)

(

)

4) a n+1 + a n . 2

2 ⎛ 3 ⎞ 2) ⎜1 p 4 q 2 + 1 p 3 q 3 ⎟ ; 3 ⎝ 4 ⎠

(

)

4) − 2,5m 2 n 3 − 0,2m 3 n 2 . 2

1 ⎞ ⎛ 2) ⎜ a n+1 + b 2 ⎟ ; 2 ⎠ ⎝

⎛1 ⎞ 3) ⎜ a n−1b 2 + a n+1 ⎟ ; ⎝2 ⎠

)

1⎞ ⎛ 4) ⎜ b + ⎟ . 3⎠ ⎝

⎠

(

2.45. 1) (2a + 3b + c )2 ;

)

4) z 3 − u 3 .

2) 4a 2 b + 5a 2 b 2 ;

2 ⎛3 ⎞ 3) ⎜ a 3b − a 3b 4 ⎟ ; 3 ⎝5 ⎠

− 3y n

(

2 2 2

⎝

(

⎛3 ⎞ 2.42. 1) ⎜ a 2 − 0,5b 3 ⎟ ; ⎝4 ⎠

1⎞ ⎛ 2.41. 1) ⎜ x − ⎟ ; 5⎠ ⎝

2.44. 1)

( ) 3) (x + y ) ; ) ; 2) (2m + 3n) ; 3) ⎛⎜ a − 12 ⎞⎟ ; 2) a 2 + 1 ;

( (2 x

( )( ) (x − y )(x + y ) . (0,1m − 0,3n)(0,1m + 0,3n);

1 ⎞ 1 ⎞⎛ ⎛ 4) ⎜ 0,3m + n ⎟⎜ 0,3m − n ⎟ . 3 ⎠ 3 ⎠⎝ ⎝

3) (1,2cd + 2,3x )(1,2cd − 2,3x ) ; 2.39. 1) (c + 1)2 ;

hbnsbwmfcjt!

3) 2a 2 − 3b 3 − 2c ;

3 ⎛2 ⎞ 4) ⎜ x m−2 − x 2 m−1 ⎟ . 4 ⎝3 ⎠

2) (3x − 2 y + t )2 ;

4) (a − 2b − 3c + d )2 .

189

2.46. 1) 3) 2.47. 1) 2) 3)

(x + y )2 − (x − y )2 ; 2) (x + 4 )2 + 4(x + 1)2 ; 3(2 − y )2 + 4( y − 5)2 ; 4) 5(3 − 5a )2 − 5(3a − 7 )(3a + 7 ) . (m + 1)2 + 3(m − 1)2 − 5(m + 1)(m − 1) ; − (3 + x )2 + 5(1 − x )2 − 3(1 − x )(1 + x ) ;

[(3x + y )

]

(

)

2.48. 1) (2 + a )(2 − a ) 4 − a 2 ;

2.51. 1)

(x − 2)3 ;

)

(x + y )(x − y )(x 2 + y 2 ); 4) (a + 2 )2 (a − 2 )2 . 2) (x − y + z )(x − y − z ) ; 4) (a + b + c + d )(a + b − c − d ) . (2 + a )3 ; 4) (3 − b )3 . 2)

3) (x + 3)(x − 3)(x − 3)(x + 3) ; 2.49. 1) (a + b + c )(a + b − c ) ; 3) (x + 2 y + 3z )(x − 2 y + 3z ) ; 2.50. 1) (m + n )3 ;

) (

2 2 4) ⎡ m 2 + 2m + 2m 2 − m ⎤ ⋅ 45m 2 . ⎢⎣ ⎥⎦

− (x + 3 y )2 ⋅ 2 xy ;

2) (c − d )3 ;

2) (a + 2b )3 ;

1 ⎞ ⎛ 3) (2a − 3b )3 ; 4) ⎜ 4m + n ⎟ . 3 ⎠ ⎝

(

) ( ) ( ) (1 + m )(1 − m + m ).

3 3 1 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎛1 2.52. 1) ⎜ x − 3 y ⎟ ; 2) ⎜ a + b ⎟ ; 3) a 2 + b 2 ; 4) 2a 3 − 3b 2 . 3 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2.53. 1) (a + 1) a − a + 1 ; 2) (x − 2 ) x 2 + 2 x + 4 ;

(

)

3) (2a + 3b ) 4a − 6ab + 9b 2 ; 2

ebbnuljdfU!Tfnefh!upmpcbUb!nbsUfcvmpcb!)$$3/65<!3/66*;!

(

)

2.54. 1) (1 + a )(1 − a ) 1 + a 2 = 1 − a 4 ;

(

2) 5a 2 − 3(a + 1)(a − 1) = 2a 2 + 3 ;

)

3) 7 n 2 − 2 − 4(n + 3)(n − 3) = 3n 2 + 22 ; 4) (a − b )2 + 4ab = (a + b )2 . 2.55. 1) (a − b ) = (b − a )2 ;

2) (− a − b )2 = (a + b )2 ;

3) a 3 + 3ab(a + b ) + b 3 = (a + b )3 ; 4) a 3 − 3ab(a − b ) − b 3 = (a − b )3 .

ebTbmfU! nsbwbmxfwsfcj! nbnsbwmfcbe! tbfsUp! nbnsbwmjt! gsDyjmfct!hbsfU!hbubojt!yfsyjU!)$$3/67.3/82*;! 2.56. 1) 2 x + 2 y ;

2) 5m − 5n ;

3) 10 p − 5q ;

4) 12c + 8d .

2.57. 1) ax − ay ; 2.58. 1) −2a − 5ab ;

2) mn + n ; 2) 10 + 5b ;

3) ab + b ; 3) 7 ab + 7ac ;

4) mx − m . 4) 5mn − 5m .

2.59. 1) a 2 − ab ;

2) x 2 + x 3 ;

3) x 4 − x 2 ;

4) 3x 2 − 6 x 3 .

190

2.60. 1) a 3b 2 + a 2 b 3 ;

2) a 2 x 2 − ax 3 ; 3) 6a 2 x + 12ax 3 ; 4) 9a 3 − 6a 2 b .

2.61. 1) 4 x 3 y 3 − 8 x 2 y 2 ; 2) 8m 2 n 3 + 10mn 2 ; 3) a m + a m+1 ; 4) x m+1 − x m . 2.62. 1) 5 x m+ 2 + 10 x 2 ;

2) a n b 2 n − a n b n ;

3) 15 x 2 n +3 − 25 x n+1 ;

4) 3a 2 n−1 + 27 a n+3 .

2.63. 1) a − 2a − a ; 3) 5 x − 15 xy + 10ax ;

2) m 4 + 3m 3 − m 2 ; 4) 3ab + 9ac − 12ad .

2.64. 1) 15 x 3 y 2 + 10 x 3 y − 20 x 2 y 3 ;

2) 3ab 3 + 6ab 2 − 18ab ;

2.65. 2.66. 2.67. 2.68.

3) 1) 3) 1) 3) 1) 3) 1)

− 4 x 2 y + 6 x 2 y 2 − 8x 4 y 3 ; a ( x + y ) + b( x + y ) ; a (x − 4 ) + b(x − 4 ) ; x(a − b ) + y (b − a ) ; p (x − y ) − q ( y − x ) ; 2a (x − y ) − ( y − x ) ; 3 x(x − 1) − (1 − x ) ; 3a(x − 1) − 2b(x − 1) + c(x − 1) ;

(

) (

)

4) 2) 4) 2) 4) 2) 4) 2)

− 3m 4 n 2 − 6m 3 n 3 + 9m 2 n 4 . x(a + 3) − y (a + 3) ; m(a + 1) − n(a + 1) . a(m − n ) − b(n − m ) ; 2m(x − 3) − 5n(3 − x ) . ( p − q ) + 2a(q − p ) ; 2k (a − b ) − (b − a ) . x( p − a ) − y ( p − a ) − z ( p − a ) ;

(

) (

)

3) p a 2 + b 2 + q a 2 + b 2 − r a 2 + b 2 ; 4) a m 2 + 1 − b m 2 + 1 − c m 2 + 1 . 2.69. 1) x( p − a ) + y (a − p ) − z ( p − a ) ; 2) m(n − 2 ) + p(n − 2 ) + (2 − n ) ; 3) x(a + b + c ) − y (a + b + c ) + z (a + b + c ) ; 4) 2a(x + y − z ) − 3b(x + y − z ) − 5c(x + y − z ) . 2.70. 1) 3(x + y ) + (x + y )2 ;

2) 5(a − b ) + 2(a − b )2 ;

3) 4(x + y )(x − y ) + (x + y )2 ;

4) 2(a − b )2 − (a + b )(a − b ) .

(

2.71. 1) (a + b )3 − a(a + b )2 ;

2) a 2 + b 2

3) (a − b ) + b(a − b ) ; 3

)

(

)

− a2 a2 + b2 ;

(x + y ) − (x + y )

ebTbmfU! nsbwbmxfwsfcj! nbnsbwmfcbe! ebkhvgfcjt! yfsyjU! )$$3/83.3/87*;! 2.72. 1) a(x − y ) + bx − by ; 3) a(x − c ) + bc − bx ; 2.73. 1) ax + ay + bx + by ;

2) ac + bc + a(a + b ) ; 4) m( p + q ) − pn − qn . 2) ax − ay + bx − by ;

3) a 2 + ab + ac + bc ;

4) x 2 + xy + ax + ay .

2.74. 1) x 3 + 3 x 2 + 3x + 9 ;

2) x 2 − xy − 2 x + 2 y ;

191

3) m 2 + mn − 5m − 5n ; 2.75. 1) 10ay − 5by + 2ax − bx ; 3) 5ax − 6bx − 5ay + 6by ;

4) a 2 − ab − 3a + 3b . 2) 4 x 2 − 4 xz − 3x + 3z ; 4) 10a 2 + 21xy − 14ax − 15ay .

2.76. 1) ax 2 − bx 2 − bx + ax − a + b ;

2) ax 2 + bx 2 − bx − ax + a + b ;

3) ax 2 + bx 2 + ax − cx 2 + bx − cx ; 4) ax 2 + bx 2 − bx − ax + cx 2 − cx .

ebTbmfU! nsbwbmxfwsfcj! nbnsbwmfcbe! Tfnplmfcvmj! hbnsbw. mfcjt!gpsnvmfcjt!hbnpzfofcjU!)$$3/88.3/:4*;! 2.77. 1) 25 − x 2 ;

2) c 2 − 36 ;

3) 1 − m 2 ; 4) 4 x 2 − 9 . 1 1 2 1 2 4) x − y . 2.78. 1) 36q 2 − 25 ; 2) 1 − 81x 2 ; 3) a 2 − b 2 ; 4 9 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2.79. 1) a b − 4 ; 2) 49 − p q ; 3) a x − b ; 4) 1 − 0,01a 2 . 4 4 2 2 6 4 4 2.80. 1) x y − z ; 2) a − 4 ; 3) a − b ; 4) 1 − 16a 4 . 2.81. 1) (3a − 4b )2 − 9 p 2 ;

2) (a − 3b )2 − 16c 2 ;

3) (2m − 1)2 − 100n 2 ; 1 2.82. 1) (x + 1)2 − x 2 ; 4

4 2) (c − 2)2 − c 2 ; 9

3) (a + 3)2 − 0,25 ;

4) (b − c )2 − 0,04b 2 .

2.83. 1) p 2 − (q − r )2 ;

2) a 2 − (2b + c )2 ;

3) 16a 2 − (x − y )2 ;

(

(x − y )2 − x 2 y 2 .

4) 49c 2 − (a − b )2 .

)

2.84. 1) a 4 b 2 − c 2 − d ; 1 2 3) x − (a − b )2 ; 4

2) 9a 2 b 4 − (c − d )2 ; 4 2 4) y − (x − y )2 . 25

2.85. 1) (1 + x )2 − ( y + z )2 ;

2) m 2 + n 2

(

3) (4 + 7a )2 − (8b − 9c )2 ;

) − (p 2

)

+1 ;

4) (m + n )2 − (4 − 5b )2 .

2.86. 1) 9(m + n )2 − (m − n )2 ;

2) 4(a − b )2 − (a + b )2 ;

3) 16(a + b )2 − 9(x + y )2 ;

4) 9(a − b )2 − 4(x − y )2 .

2.87. 1) a 2 + 6a + 9 ;

2) a 2 − 6a + 9 ;

3) 4a 2 + 4a + 1 ;

4) 9m 2 − 6m + 1 .

2.88. 1) a 4 + 2a 2 b + b 2 ;

2) x 4 − 2bx 2 + b 2 ;

192

3) 25m 4 − 10m 2 n + n 2 ;

4) 9 p 4 + 6 p 2 q + q 2 .

2.89. 1) − x 4 − 2nx 2 − n 2 ;

2) − 9c 2 + 12cd 2 − 4d 4 ;

3) 4a 4 − 4a 2 b 2 + b 4 ;

4) 36 p 4 + 12 p 2 q 2 + q 4 .

2.90. 1) m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 ;

2) a 3 − 6a 2 b + 12ab 2 − 8b 3 ;

3) 125m 3 + 75m 2 + 15m + 1 ; 2.91. 1) p 3 + q 3 ;

4) 64 − 96a + 48a 2 − 8a 3 .

2) p 3 − q 3 ;

3) a 3 + 8 ;

4) a 3 + 27 .

4) 27 x 3 − 8 y 3 . 2.92. 1) 27 a 6 − 1 ; 2) 64a 6 b 3 − d 3 ; 3) x 3 − 8 x 6 ; 1 1 1 27 3 12 1 6 8 6 3 2.93. 1) a 6 − b 3 ; 2) a 6 b 9 − c 6 ; 3) a b − 1 ; 4) a b − c . 64 8 27 125 8 27

ebTbmfU!nsbwbmxfwsfcj!nbnsbwmfcbe!)$$3/:5.3/211*;! 2.94. 1) 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 ;

2) 6 p 2 − 12 p + 6 ;

3) 3 xy 2 + 6 xy + 3 x ;

(

4) 12 x 5 y + 24 x 4 y + 12 x 3 y .

)

(

2.95. 1) a 2 + 1 − 4a 2 ;

)

2) 81 − x 2 + 6 x ;

3) 9(5n − 4 p )2 − 64n 2 ;

4) 100 x 2 − 4(7 x − 2 y )2 .

2.96. 1) x 2 + 2 xy + y 2 − 1 ;

2) 9 − x 2 + 2 xy − y 2 ;

3) 4a 2 − 20ab + 25b 2 − 36 ;

4) 25 x 2 − 4a 2 + 12ab − 9b 2 .

2.97. 1) a 2 − b 2 − a + b ;

2) x 2 − y 2 + x + y ;

3) m 3 − m 2 n − mn 2 + n 3 ;

4) x 3 + x 2 y − xy 2 − y 3 .

2.98. 1) a 2 + 2ab + b 2 − ac − bc ;

2) xz − yz − x 2 + 2 xy − y 2 ;

3) m 2 + 2mn + n 2 − p 2 + 2 pq − q 2 ; 4) a 2 + 2ab + b 2 − c 2 − 2cd − d 2 . 2.99. 1) x 5 − x 3 + x 2 − 1 ;

2) m 5 + m 3 − m 2 − 1 ;

3) a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3 ;

4) x 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 .

2.100. 1) x 2 − 5 x + 6 ; 2) a 2 − 7ab + 12b 2 ; 3) x 2 − x − 12 ; 4) a 2 + 2ab − 15b 2 . 2.101. SeasruleT gayofa:

( )( ) (6 x + 5x − 11x + 9 x − 5): (3x + 4 x − 5) ; (5x + 6 x − x + 78): (x + 3) ; (x − 2 x − 4 x + 3x − 3x + 11x − 6): (x + x − 2) .

1) 2 x 3 − 5 x 2 + 8 x − 3 : x 2 − 2 x + 3 ; 2) 3)

5 4 3 4) 6 2.102. daSaleT mamravlebad:

1) x 3 − 5 x 2 + 2 x + 8 ;

2) x 3 − 2 x 2 − x − 6 ;

193

3) x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 8 x − 6 ; 4) x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5 x − 2 . 2.103. gayofis Seusruleblad ipoveT naSTi:

( (3x

)

(

1) 5 x 4 − 3 x 3 + 7 x 2 + 1 : (x − 2 ) ;

)

2) 7 x 6 + 2 x 4 − x 3 + 2 x + 1 : (x + 1) ;

)

(

)

+ 3x − 5 x + 6 x + 7 : (x − 1) ; 4) x + 5 x − 3x − 4 : (2 x + 1) . 3

2.104. p -s ra mniSvnelobisaTvis gaiyofa unaSTod 3 x − 16 x 2 + 9 x + p 3

mravalwevri

(x + 3) -ze?

2.105. p -s ra mniSvnelobisaTvis mogvcems 3x 4 − 4 x 3 + 2 x + p mravalwevris (x − 1) -ze gayofa naSTs R = 5 ? 2.106. p da q ricxvebis ra mniSvnelobisaTvis iyofa

(

)

2 x 4 − 3 x 3 + px 2 + qx + p mravalwevri x 2 − 1 -ze unaSTod? 2.107. p da q ricxvebis ra mniSvnelobisaTvis iyofa

(

)

px 3 + qx 2 − 37 x + 14 mravalwevri x 2 + x − 2 -ze unaSTod?

§3. nprnfefcfcj!sbdjpobmvs!hbnptbyvmfcfc{f TflwfdfU!xjmbefcj!)$$4/2.4/21*;! 3.1.

5a − 5b ; 10a

3.2.

ac − bc ; ac + bc

3.3.

3.4.

3.5.

1) 3)

x− y x −y 2

;

3 x 2 + 4 xy 9 x y − 16 y 2

3 x 2 − 3 xy 3(x − y )

; 2)

;

3a 2 − 6ab + 3b 2 6a 2 − 6b 2

3x + 3 y 4m − 4 n 6 p + 6q ; 3) ; 4) . 6x 8a + 8b 12 x + 12 y

;

a 2 − b2 ; ax − bx

a + ab 2

x 2 − 2 xy 2 y − xy 2

; 3) 2)

;

194

k2 + k ; kx − ky a 3 − 2a 2 a −4 2

4) ; 4)

x2 − 4x + 4 x −4 2

; 4)

20a 2 − 45b 2

(2a + 3b )2

a 2 + 3ab a 2b + 3ab 2

(a − b )2 . a 2 − b2

1 − x3 3 + 3x + 3x 2

;

5m 2 + 10mn + 5n 2 15m 2 − 15n 2

3.6.

3.7.

3.8.

1) 3)

3.9.

1) 3)

3.10. 1)

a 3 + b3 a 2 − b2 x4 − y4 x2 + y 2

;

p3 − q3 p2 − q2 a4 − x4 a2 − x2

;

ax + ay − bx − by ; ax − ay − bx + by

(a + b )2 − c 2 a+b+c

;

1 − 3y + 3y2 − y3 ; z − zy + x − xy

3 x 2 y − xy 2 3 x − 3 xy − x y + y 3

x 2 − 7 x + 12 x − 6x + 9 2

; 2)

;

x2 + 5x + 6 x + 4x + 4 2

; 3)

2 x3 − 2 y 3 5x2 − 5 y 2

a 3 − b3 a 4 − b4

; 4)

;

3m 2 − 3n 2 6m3 + 6n 3

x4 − y 4 x3 + y 3

ab + ac + b 2 + bc ; ax + ay + bx + by a 2 + b 2 − c 2 + 2ab

. a 2 − b 2 + c 2 + 2ac 5a 3 + a 2b + 5ab 2 + b3 5ab + b 2

a 2b + ab 2 a + b3 + 3ab(a + b) 3

a 2 + 3a + 2 a + 6a + 5 2

; 4)

;

x2 + 2x + 1 x2 + 8x + 7

TfbtsvmfU!nprnfefcfcj!xjmbefc{f!)$$4/22.4/42*;! a+b a m−n m+n 5x + 1 x x −1 x + 2 x − 3 + − + + ; 2) ; 3) − ; 4) . 3 3 a a 2 2 4 4 4 x+4 x+3 a +1 a − 2 1 − m 1 − 3m x + y y + 2x 3.12. 1) − − + + ; 2) ; 3) ;4) . a−2 a−2 a −1 1 − a p−q p−q x− y y−x

3.11. 1)

4a − 5b 3a − 2b x y x 3x 4 x 2b 2 − 3a 2 5a 2 − b 2 − − − ;2) + + ;3) ;4) . 5 8 3 10 15 12 18 5 4 3 5 7 4 2 p 3q m n 3.14. 1) + ; 2) − ; 3) − ; 4) + . a b x a ax bx xy xz

3.13. 1)

3.15. 1)

5x 3 y − ; mn mp

2a − 3b 4a 2 − 5b 2 + ; a ab

2b 2 + 3ax 2ab + 5bx 3c 2 + 5ab b 2 − 3ac − + ; 4) . bx ax ac bc a b 3a 3 5n 2m 1 2 3.16. 1) 2 − ; 2) 2 − 3 ; 3) + 3 4 ; 4) − 2. 4 3 x 2 x x a a 3x m n m n 2a − 3b 4a − 5b 5a 2 − 3b 6a − 2b 2 3.17. 1) − + ; 2) ; a 2b ab 2 a 2b a 2b 2

195

3) 3.18. 1) 3)

2a 2 + 3a − 5

4a − 1 ; ab

5 x 2 − 2 x − 1 3x − 2 − . xy x2 y

5 3 + ; 2x − 2 4x − 4

3x x − ; 4 x + 4 y 8x + 8 y

7x 2x − ; 3x + 3 y 3x − 3 y

3m 2n + . an + am bn + bm

a 2b

x+2 4 3 + − ; x + 2 x − 2 x2 − 4 1 1 4 + − 4) . a + 2 a − 2 a2 − 4

7a 5a a + + ; x2 − 9 x − 3 x + 3 m m m − + 3) ; 1− a 1+ a 1− a2

3.19. 1)

3.20. 1) 3) 3.21. 1) 3) 3.22. 1) 3)

7a − 1

5 − 3a

;

a −b a2 + b2 − 2 2 ; 5a + 5b a − b

2a 2 + 6a a 2 − 9 a+b a b2 7 3 12 − + 2 − − ; 4) . 2x − 4 x + 2 x2 − 4 a a − b a − ab 5 x−2 3 x −1 a +1 a −1 − + − + ; 2) ; x − 3 x2 − 9 2x + 6 a + 2 a 2 − 9 (a + 3)(a + 2 ) x −1 1 4 3m − n − 2 + ; 4) . 2 2 x + 2 3x + 6 x + 3 3m − 3n 2m − 4mn + 2n 2 (x − 1)x − x − 3 + x − 2 ; 1 + a 1 − 2a a(1 − a ) − − ; 2) 2 2 a −3 3+ a 9− a x − 25 x + 5 5 − x m−n 7 4 p 1 3 − − 2 − − 2 ; 4) . m m − 2n 4n − m 2 p − 3 2 p + 6 2 p − 12 p + 18 4a 2 − 3a + 5

1 − 2a

6 ; a −1 a + a +1 1− a 3 4 5 − 2 + 2 2) 2 ; 2 2 a + 2ab + b a − 2ab + b a − b2 a 4a 2b − ab 2 b2 1 3ab b−a ; 4) . 3) + + − 3 3− 2 a −b a −b a −b b3 − a 3 a 2 + ab + b 2 a + ab + b 2 2ax 3bx 9b 2 z 9 xy 3ab 4bz 3.24. 1) ⋅ ⋅ ; 2) ; : : yz ay 8a 2 xy 5ab 4 yz 3axy

3.23. 1)

−

⎛ 8b 2cd 7cd ⎞ 28a 4 ⎟⋅ 3) ⎜ ; : ⎜ 9a 5 12a 3 ⎟ 3b 2 ⎝ ⎠

196

3 p 2 mq 3abc 9a 2b 2c 3 . ⋅ : 2a 2b 2 8 x 2 y 2 28 pxy

3.25. 1) 3) 3.26. 1) 3) 3.27. 1) 3)

x2 − y2 x + y ; : 6 x 2 y 2 3xy

x 2 + xy xy + y 2 : ; x y

4 p 2 − 9q 2 2ap + 3aq ; : 2 pq p 2q 2

x 2 − xy x 2 y + xy 2 . ⋅ xy x 2 + xy

;

a 2 − 25 a 2 + 5a ; : a 2 − 3a a 2 − 9

a 2 − b 2 3a + 3b ; ⋅ (a + b )2 4a − 4b

5 − 5a 10 − 10a 2 . : (1 + a )2 3 + 3a

a 2 − b2 a2

⋅

(a + b )2

ax + ay x − 2 xy + y 2

⋅

2x + 2 y ax + 2axy + ay 2

; 2)

x 2 + xy 5x − 5 y 2

5 x 2 − 10 xy

x 2 − xy 3x3 + 3 y 3

x 4 − 16 y 4

;

a4 − x4 a2 + x2 : ; a3 − x3 a 2 − x 2

(

a ⎞ x 2 + 2ax + a 2 ⎛ a 2) ⎜ ; − ⎟⋅ 2a 2 ⎝ x−a x+a⎠

)

1 ⎛ 1 ⎞ 3.28. 1) x 2 − 1 ⎜ − − 1⎟ ; x x − 1 + 1 ⎝ ⎠

x + 4y 2

⋅

15(x − 2 y )2

1 ⎞ ⎛⎜ m 2 ⎞⎟ a ⎞ ⎛ x+a x−a⎞ ⎛ ⎛ x − − 3) ⎜ . ⎟:⎜m − ⎟:⎜ ⎟ ; 4) ⎜ m + 1 − 1− m ⎠ ⎝ m − 1 ⎟⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x−a x+a⎠ ⎝ a 2a ⎞ 6a 2 + 10a ⎛ 3a 3.29. 1) ⎜ + ; ⎟: 2 ⎝ 1 − 3a 3a + 1 ⎠ 1 − 6a + 9a

⎛ x2 y ⎞ ⎛ x 1 1 ⎞ 2) ⎜ 2 + ⎟ : ⎜⎜ 2 − + ⎟⎟ ; ⎜y x ⎟⎠ ⎝ y y x⎠ ⎝

⎛ a a2 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ y⎞ x3 3) ⎜1 + + 2 ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 3 ; 4) ⎜⎜ − ⎟⎟ : ⎜⎜ + − 2 ⎟⎟ : ⎜1 + ⎟ . ⎟ ⎝ x ⎠ a − x3 ⎜ y x y x x x x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a ⎞ a 2b + ab 2 2a 8a ⎞ a − 4 ⎛ b ⎛ 2a + 2 3.30. 1) ⎜ 2 ;2) ⎜ ; + + 2 ⎟⋅ 2 ⎟: 2 ⎝ a − ab b − ab ⎠ a − b ⎝ a + 2 6 − 3a a − 4 ⎠ a − 2 ⎞ ⎛ a ⎛ a2 a3 a 2 ⎞⎟ ⎟:⎜ 3) ⎜ ; − − 2 ⎜ a + n a + n 2 + 2an ⎟ ⎜ a + n a 2 − n 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ b ⎞ ⎛ 2a − 3b ⎞ ⎛ 2ab + 4) ⎜ 2 ⎟ : ⎜1 − ⎟. 2 − b 3 2a ⎠ ⎝ 2a + 3b ⎠ − a b 4 9 ⎝ ⎛ p 10 − p 2 ⎞⎟ 2 1 ⎞ ⎛⎜ ⎟: p −2+ 3.31. 1) ⎜⎜ 2 ; + + ⎟ ⎜ p + 2 ⎟⎠ ⎝ p −4 2− p p+2⎠ ⎝ ⎞ ⎛ 1 6q 2 ⎞ ⎛⎜ p 2 + 4q 2 ⎟: 2) ⎜⎜ + 2 − + 1⎟ ; 2 2 2 ⎟ ⎟ p + 2q ⎠ ⎜⎝ p − 4q ⎝ p − 2q 4q − p ⎠

197

⎞ ⎛ 2a ⎛ 2a 4a 2 1 ⎞ ⎟: + 3) ⎜ ; − 2 ⎜ 2a + b 4a + 4ab + b 2 ⎟ ⎜⎝ 4a 2 − b 2 b − 2a ⎟⎠ ⎠ ⎝ 1 1 1 4) . + + a(a − b )(a − c ) b(b − c )(b − a ) c(c − a )(c − b )

hbbnbsujwfU!eb!hbnpUwbmfU!)$$4/43.4/46*;! a 3b − ab3

6 1 , Tu a = 3 , b = 2 ; 7 7 a b − ab ⎛ x y ⎞ xy 3 2) ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ , Tu x = 17 , y = 2,1 ; y x x + y 5 ⎝ ⎠

3.32. 1)

⎛ x 1⎞ x− y 3) ⎜⎜ 2 − ⎟⎟ : , x ⎠ xy 2 ⎝y

x2 −1

x +1

x + x + 1 x3 − 1 2

2 3 Tu a = 17 , b = ; 5 5

Tu x = 81 . 2

⎞ ⎛ x3 − y 3 3.33. 1) ⎜ 2 − ( y − x )⎟ , 2 ⎟ ⎜ x + xy + y ⎠ ⎝

a 4b + ab 4

ab , (a + b ) − 3ab a + b

2 1 Tu a = 7 , b = ; 3 2

⋅

3 1 Tu x = 2 , y = − ; 4 4

−1

5 x 3 y + 5 xy 3 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ , Tu x = 7,2, y = . ⋅ ⎜⎜ 2 3) 4 4 2⎟ 4 x −y ⎝x −y ⎠ 2x ⎞ 3 ⎛ 4) ⎜ 2 − ⎟ ⋅ x + 2 x 2 , Tu x = 2,5 . x+2⎠ ⎝

(

3.34. 1)

)

1 2y 3 x 2 + xy + y 2 1 , Tu x = 3 , y = −5 ; − 3 ⋅ 3 x− y x − y x+ y 4 4

⎛ xy − y 2 x ⎞⎟ 2) ⎜ 2 ⋅ xy , + ⎜ x − y2 x + y ⎟ ⎠ ⎝

x3 − y3 x3 + y3 , − x− y x+ y

2 7 Tu x = 9 , y = ; 7 13

Tu x = 3

6 10 , y =1 ; 7 13

1 3 1 ⎞ a 2 − b2 1 ⎛ 1 4) ⎜ 2 + 2 ⎟ ⋅ 2 + 2 , Tu a = 19 , b = . 2 7 17 b ⎠ a +b a ⎝a 2 b a 1 1 3.35. 1) 2 , Tu a = , b = − ; + + 2 5 17 a + ab a + b b + ab 198

2x2 + x

−

x +1

Tu x = 1

1 ; 21

x −1 x + x +1 (5 x + 2 y )2 − 40 xy , Tu x = 9 1 , y = 7 1 ; 3) 5x − 2 y 5 2

(2 x + 3 y )3 − 36 x 2 y − 54 xy 2 4 x 2 − 6 xy + 9 y 2

1 1 , Tu x = 27 , y = −16 . 3 2

TfbtsvmfU!nprnfefcfcj!xjmbefc{f!)$$4/47.4/53*;! ⎛ a −1 1 − 3a + a 2 1 ⎞⎟ a 2 + 1 3.36. 1) ⎜ ; − − : ⎜ 3a + (a − 1)2 a − 1 ⎟⎠ 1 − a a3 − 1 ⎝ ⎞ ⎛ b −1 b ⎞ ⎛ a 2 − ab 2a 2 ⎟ ⋅ ⎜1 − 2) ⎜ 2 − 2 ⎟; − 3 3 2 2 3 ⎜a b+b a b − ab + a b − a ⎟⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ ⎛ 1 1 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞⎟ x 3 + y 3 ⋅⎜ + ⎟ : 3) ⎜⎜ 2 + 2 + ; x + y ⎜⎝ x y ⎟⎠ ⎟⎠ x 2 y 2 y ⎝x ⎞ 3b 2 ⎞ ⎛⎜ 4a 2 + b 2 ⎛ 1 4) ⎜ + 2 − + 1⎟ . ⎟:⎜ 2 2 2 ⎟ 2a + b ⎠ ⎝ 4a − b ⎝ 2a − b b − 4a ⎠ ⎛ a2 a 2b ⎛ a b ⎞ ⎞⎟ b 3.37. 1) ⎜ 2 ; − ⋅ + : ⎜ a − b 2 a 2 + b 2 ⎜⎝ ab + b 2 a 2 + ab ⎟⎠ ⎟ a − b ⎠ ⎝

⎛ p2 − q2 1 ⎛⎜ p 2 q 2 ⎞⎟ ⎞⎟ p − q 2) ⎜ ; − ⋅ − : ⎜ pq p + q ⎜⎝ q p ⎟⎠ ⎟⎠ p ⎝ ⎛ b2 + c2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ a 2 + c2 ⎞ a 2 + b2 3) ⎜ 2 2 ⋅ ⎜ 2 − 2 ⎟ − ⎜ 2 − 2 ⎟ ⋅ 2 2 ⎟ : 2 2 ; ⎜ b c c ⎠ ⎝a c ⎠ a c ⎟⎠ a b ⎝b ⎝ ⎛ 2 2 ⎛ x+ y ⎞⎞ x − y ⋅⎜ − x − y ⎟ ⎟⎟ : . 4) ⎜⎜ − ⎠⎠ x ⎝ 3x x + y ⎝ 3x ⎛ 2 1 1 ⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ 3.38. 1) ⎜ ⋅ + + ⋅ + ⎜ (m + n )3 ⎜⎝ m n ⎟⎠ m 2 + 2mn + n 2 ⎜⎝ m 2 n 2 ⎝ 1 2a ⎛ 1 ⎞ + 2 2) ⎜ 2 ; ⎟: 2 2 2 a + 2ab + b ⎠ a − b 2 ⎝ a −b

199

⎞ ⎞⎟ m − n ⎟⎟ : 3 3 ; ⎠⎠ m n

1 1 1 ⎛ ⎞ d 2 + 4cd − c 2 3) ⎜ 2 ; + − ⎟: c2 − d 2 ⎝ c + 2cd + d 2 c 2 − d 2 c 2 − 2cd + d 2 ⎠ ⎛ 2 x 2 + 3x 3x + 2 4 x − 1 ⎞⎟ 2 x + 3 + 4) ⎜⎜ 2 . − ⎟⋅ ⎝ 4 x + 12 x + 9 2 x + 3 2 x + 3 ⎠ 2 x − 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ a − a − a−3 0 , 5 1 , 5 2 6 ⎟: 3.39. 1) ⎜ ; − 2 3 1 ⎜ 0,5a − 1,5a + 4,5 ⎟ a 3 + 9 ⎟ 0,8a + 21,6 ⎜ 3 ⎝ ⎠ 8ab 2a − b 2 a + b ⎞ 4a − 2b ⎛ 2) − :⎜ + ⎟; 3ab ⎝ 12a 2 − 3b 2 2a + b 6a − 3b ⎠ ⎞ xy ⎛⎜ x2 y2 2 xy 2 ⎟; − + : 3) 2 2 4 2 2 4 2 ⎜ x + y ⎝ x − y (x + y ) x − 2 x y + y (x − y ) (x + y ) ⎟⎠

(

)

⎛ 6a + b 6a 3 + b 3 + a 2 b + 6ab 2 a+b ⋅ ⎜⎜ 2 + 2 : 2 2 2 2ab − 2a b a + b2 ⎝ a −b 5 1 20 − 10a ⎞ 25 ⎛ 3.40. 1) ⎜ 2 − ⋅ ⎟: 2 x − 2 ⎠ x3 − 8 ⎝ a − 2a − ax + 2 x 8 − 8a + 2a

a2 + b2 ab

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

;

3a 1 x − a ⎞ x 3 − 27 ⎛ 2) ⎜ ; : 2 − 2 ⎟⋅ 3a ⎝ 9 − 3x − 3a + ax a − 9 3a + 9a ⎠ 2 ⎛⎜ a 2 a2 − b2 b 2 ⎞⎟ a+b 3) ; −⎜ 2 − − ⋅ 2 2 ⎟ a ⎝ a + ab ab ab + b ⎠ a + ab + b 2 6a ⎛ 3− a ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ 4) ⎜ − 3 ⎟ ⋅ ⎜1 − − ⎟. 2 2 a − 3a + 9a − 27 ⎠ ⎝ a a 2 ⎠ ⎝9+a ⎛ 1 2y 3.41. 1) ⎜⎜ − 2 2 ⎝ 0,5 x + y 0,25 x + xy + y

⎞ ⎛ 0,5 x 1 ⎞⎟ ⎟:⎜ ⎟ ⎜ 0,25 x 2 − y 2 + 2 y − x ⎟ ; ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2m m+n ⎛ 2 ⎞ m − 2mn + n 2) ⎜ ; : ⋅ + 3 ⎟ 8m − 4n ⎝ m + n m − n 3 m 2 + mn + n 2 ⎠ ⎛ a2 + b2 ⎞⎛ b 2 ⎞⎟ a 3 − b 3 3) ⎜⎜ ; + b ⎟⎟⎜⎜ b − : a + b ⎟⎠ a 2 − b 2 ⎝ a ⎠⎝

⎞ 1 ⎞⎛⎜ n 2 − 3mn ⎛ 1 4) ⎜ + + 1⎟⎟ . ⎟ 3 3 ⎜ 2 2 n ⎠⎝ 3mn − n − 9m ⎝ 27m ⎠

200

⎛ 1 + ax −1 a −1 − x −1 ⎞ ax −1 ⎟: 3.42. 1) ⎜⎜ −1 −1 ⋅ −1 ; a x − ax −1 ⎟⎠ x − a ⎝ a x

(

) ( ( ) ( ⎛a −x 1 ( xa − ax )⎜⎜ 4 a +x

⎡ y 2 xy −1 − 1 2 y 2 x −2 − y −2 2) ⎢ ⋅ ⎢ x 1 + x −1 y 2 x xy −1 − x −1 y ⎣

−1

⎝

−1

⎛ a −n − b −n 4) ⎜⎜ −2 n − a −n b −n + b −2 n ⎝a

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

−1

)⎤⎥ : 1 − x y ; )⎥⎦ xy + 1 −1

−1

a −1 + x −1 ⎞⎟ ; a −1 − x −1 ⎟⎠

⎛ a −n + b −n + ⎜⎜ −2 n + a −n b −n + b −2 n ⎝a

−1

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

hbbnbsujwfU!eb!hbnpUwbmfU!)$$4/54.4/59*;! ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ 3.43. 1) ⎜⎜ 3 − 3 ⎟⎟ : ⎜⎜ 2 + + 2 ⎟⎟ , 2 xy y ⎠ y ⎠ ⎝ 4x ⎝ 8x ⎛ a 3 ⎞⎟ a 3 − b 3 2) ⎜⎜ ab + : , a + b ⎟⎠ a 2 b − b 3 ⎝

2 x 2 y + 2 xy 2 9 x + x y + 9 xy + y 3

(4 x − 3 y )

+ 48 xy , 4x + 3y 2

4) 3.44. 1)

1 Tu a = 17 , b = 9 ; 3 x+ y x +y 2

1 Tu x = − , y = 3 ; 9

1 1 Tu x = 5 , y = −3 . 4 3

(5a − b )3 + 75a 2b − 15ab 2

1 Tu a = 9 , b = 2 ; 5

25a + 5ab + b 64 x 3 + 27 y 3 16 x 2 − 12 xy + 9 y 2 2) , : 16 x 2 − 9 y 2 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 2

1 Tu x = 2 , y = 2 ; 2

1 1 Tu x = 3 , y = 2 ; 4 3

3 1 a ⎞ 2a a−x ⎛ a 3) ⎜ ⋅ 2 , Tu x = 5 , a = −11 ; − ⎟: 2 2 5 5 ⎝ x − a x + a ⎠ x + 2ax + a x + ax

m 3 + n 3 + 3m 2 n + 3mn 2

2m n + mn + m n 1 + ax −1 a −1 − x −1 3.45. 1) , ⋅ a −1 x −1 a −1 x − ax −1

2 2

1 1 Tu n = , m = − . 9 7

1 Tu a = 191, x = −19 ; 3

y −1 − x −1 ⎛⎜ x 2 + xy + y 2 : xy y −3 − x −3 ⎜⎝

−1

⎞ ⎟ , Tu x = 8, y = 11 1 ; ⎟ 4 ⎠ 201

(x y ) (x y ) (x y ) (x y ) (x y ) x y (x y ) (x y ) y −1 − 2 2

−1 −3

−2

−3 −1 −1

−3

−5 −3 2

−4

−7

−3 3 − 2

1 Tu x = −16, y = 9 ; 8

1 Tu x = 7 , y = 18 . 9

⎞ ⎛ x 4 − 2x 2 + 1 − 2 ⎟⎟ , 3.46. 1) ⎜⎜ 3 2 ⎠ ⎝ x − x − x +1 ⎛ x4 − y4 ⎞ ⎟ 2) ⎜⎜ 3 3 ⎟ ⎝ 5 x y + 5 xy ⎠

−1

Tu x = 6 ;

⎛ 1 ⋅ ⎜⎜ 2 2 ⎝x −y

−1

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

1 1 Tu x = 9 , y = ; 5 23

⎛ x6 − y3 ⎞2 − 3x 2 y ⎟⎟ , 3) ⎜⎜ 2 ⎝ x −y ⎠

a −1 − b −1 a

−2

−1 −1

− 2a b

−2

Tu x = 9, y = −7 ; ,

1 1 Tu a = 11 , b = . 4 4

+b ⎛ a a2 + b2 b ⎞⎟ ,Tu a = 71, b = 25 ; ⋅ ⎜⎜ − + 2 2 3 2 a − ab a − ab ⎟⎠ ⎝ ab + b

a 2 b + 2ab 2 + b 3 3.47. 1) a −b

(

)

⎛ 2 x 2 y + 2 xy 2 9x + y x − y ⎞⎟ 2) ⎜⎜ 3 ⋅ 2 + 2 ⋅14 x 2 − y 2 , 2 2 3 2 2 ⎟ x +y ⎠ ⎝ 9 x + x y + 9 xy + y x − y 1 1 Tu x = , y = ; 7 14 ⎛ 1 1 2c ⎞ ⎜ + − ⎟(a + b + 2c ) 5 a b ab ⎠ 3) ⎝ , c =2; + c 2 , Tu a = 7,4, b = 2 37 1 1 2 4c + + − a 2 b 2 ab a 2 b 2 −3 36a 3 − 144a − 36a 2 + 144 ⎛⎜ ⎛ a ⎞ ⎞⎟ 1 ⋅ + ,Tu a = 0,3 . 1 ⎜ ⎟ ⋅ 3 −2 ⎜ ⎟ 3 a + 27 16 a − 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎞ a+4⎞ ⎛ ⎛ 2 3.48. 1) ⎜ 6a + 5a − 1 + ⎟ : ⎜ 3a − 2 + ⎟ , Tu a = 1,3 ; a +1 ⎠ ⎝ a +1⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 5 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 x 3 + 3x 2 + x + 2 − 2 x ⎟⎟, Tu x = 0,3 ; 2) ⎜⎜ x + :⎜ 2 2 ⎟ x +1 x +1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

202

⎛ x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 8 x + 7 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 − 6 x + 1 ⎞⎟ 3) ⎜⎜ 2 + ,Tu x = 0,2 ; x − : 2 ⎟ ⎜ x−2 x − 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 2 x 2 + x + 2 ⎞⎟ 11x − 2 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 4) ⎜ x 2 + 2 x − , Tu x = 7 . ⎟ : ⎜ x +1− ⎟ 3 3x + 1 ⎠ ⎝ 3x + 1 ⎠ ⎝

hbbnbsujwfU!)$$4/5:.4/63*;! 3.49. 1)

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x − 1 , : 2x x x 2 − 2x + 1

(

)

x 2 + 1 + 2x + 1

x x−2 x2 −1 − x2

x −1

−

3) 3.51. 1)

)

−m−6 m

x2 −1 + x2

3.52. 1)

2x 2 −1

−

Tu 0 < x < 2)

(

)

Tu x > 2 ;

1 . 2

x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 3

x x2 +1

)

− 4 x 2 + 3x ⋅ x − 2

;

25 a . 4) 2 3a + 10a − 25 x −1 + x + x 2) ; 3x 2 − 4 x + 1 2a +5 −a +

x x − 3 + x2 − 9 2 x 3 − 3x 2 − 9 x mm−3

x3 −1 + x + 1

Tu x < −1 ;

2x − 2 2x −1 2 a −4− a−2 3.50. 1) 3 ; a + 2 a 2 − 5a − 6 2

Tu 0 < x < 1 ;

; ;

x −1 x −1

;

2x − x x −1 + x x + 3 x + x2

3) x 2 − 1 + x x + 1 ;

x2 −1+ x +1 x (x − 2 )

x3 −1 + x + 1 ;

x3 + x

;

⎛ x −1 2 ⎞ x +1 4) ⎜ ⋅ x − 2x + 2x − 4⎟ : x − 2 . ⎜ x −1 ⎟ x +1 ⎝ ⎠

203

$4. nprnfefcfcj!sbejlbmfc{f/!bmhfcsvm!

hbnptbyvmfcbUb!hbsebrnob! bnpjSfU!lwbesbuvmj!gftwj!sjdywfcjebo!)$$5/2.5/6*;! 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

1) 841; 1) 57600; 1) 700569; 121 1) ; 324 1) 0,9801;

2) 784; 2) 54756; 2) 632025; 361 2) ; 1849 2) 0,003969;

3) 7921; 3) 17424; 3) 3426201; 1 3) 5 ; 16 3) 2,7889;

4) 5329. 4) 56169. 4) 2934369. 1 4) 552 . 4 4) 19,9809.

jqpwfU!gftwjt!nojTwofmpcb!)$$5/7<!5/8*;!! 6

4.6.

4.7.

64 ;

− 125 ;

64 ;

(− 3)2 ; 4 (− 3)4 ; (− 5)4

1 2 4 x y ; 4

1 3 9 a b ; 27

− 64 x 3 y 6 z 9 ; m −10 ;

8a −1 27b −9

−

a −2 b 4

;

25 x −6

9a 4 ; 3

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ; ⎝3⎠ 3

y12 ;

38 ; n

x 6m ;

a 3n .

;

25c 2 d 6

; 3xy3 − 4

26 ;

4a 2 b 4

a 8b 4 c12 ;

27 x12

;

x4 ;

. 4)

8a 6 b 3c 9

− a −6 ;

2) 2 6 ;

34 ;

64a 3b 9

;

27 x 3 y 6

16 x −8 y 4 ;

64a −12 b15 125c −6 d −3

hbnpjubofU!nbnsbwmj!gftwjebo!)$$5/9<!5/:*;! 4.8.

98 ;

3) a 3 ; 4.9.

54 ;

168 ;

280 ; 2) 3 16 ;

9a ;

2a 2 ;

5a 4 ; 4) 3 8m 2 ;

1) 2 9a 2 bc 3 ; 3)

a 2b ; 9

23 27 x 4 y 2 z 5 ; 3

x6 y 3 9

a b

204

72 ; 3

5n 3 ;

243 ; 3

96 ;

2x 6 ;

16 y 5 .

3a 4 2c 4 16a 5 bc 8 ; 81c 6 d 5 ; 4 3

4) m 2

;

25n 3 36m

;

a 3 27 x 6 y 5 . x 125a 9 b 3

TfjubofU!nbnsbwmfcj!sbejlbmjt!rwfT!)$$5/21<!5/22*;! 2) 23 2 ; 33 2 ; 23 3 ; 53 2 ; 1 1 2 3 4) 6; 3; a; 3x. 2 2 3 5

4.10. 1) 2 2 ; 5 3 ; 4 5 ; 2 7 ; 3) 2 a ; a3 5 ; x3 10 ; a5 7 ;

4.11. 1) a a ; b3 b 2 ; a 2 x ; a 2 3 b 2 c 2 x ; 2) 2m mn ; c 2 5bc ; x 2 3 2ax ; 2b3 x ; 3) ab

b 3x ; 2 xy ; a 2y

a3 b x ; 2 b a y

y . x

TflwfdfU! gftwjtb! eb! gftwrwfTb! hbnptbyvmfcjt! nbDwfofcmfcj! )$$5/23<!5/24*;! 6

4.12. 1)

a2 ;

25 x 2 y 2 ;

4.13. 1)

; 3)

m3 ;

(1 − 3 )

27m 3 n 3 ; 4

; 2)

(1 − 2 )

b4 ; 4m 6 9n 2

x15 ;

;

(2 − 5 )

8a 6 b12 27c 3 d 9

; 4)

(

. 2− 6

)

TfbtsvmfU!nprnfefcboj!)$$5/25<!5/26*;!

( ) ( ) (2 20 − 45 + 3 18 )+ ( 72 − 80 ) ; (0,5 24 − 3 40 )− ( 150 + 54 − 1000 ); ( 32 + 18 − 2 12 )− ( 8 − 48 ) . (5 a − 3 25a )+ (2 36a + 2 9a ) ; ( 125x − 8x )− ( 27 x − 64 x ) ; ( a + 16a )+ ( 81a − 625a ) ; ( 9 x − 8 y )− ( 27 y − 16 x ) .

4.14. 1) 2 18 + 3 8 + 3 32 − 50 ; 2) 3) 4) 4.15. 1) 2) 3) 4)

TfbtsvmfU!hbnsbwmfcb!)$$5/27.5/31*;! 2⋅ 6 ;

4.16. 1) 3)

10 ⋅ 20 ;

4 ⋅ 3 ; 53 48 ⋅ 23 4 ;

2) 3 7 ⋅ 2 14 ; 4) 205

3 2 24 ⋅ 6; 4 3

2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ; 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 34 2 .

( (2

) 24 )⋅ 5

4.17. 1) 2 18 + 3 50 ⋅ 2 2 ; 3) 4.18. 1)

81 + 53

a 2 ⋅ a3 ;

x ; a

a 2 ⋅ a3 ⋅ a5 ; 4

( 54 − 16 )⋅ 32 ; (3 16 + 2 128 )⋅ 5 4 .

2) 5 8a 3 ⋅ 2 2a ;

3) 33 a ⋅ 24 4.19. 1)

0,4 3 1 ⋅ 2 a. a 4 2

2) m 3m ⋅ 4 3m ⋅ m 2 3m8 ; 8

a x b 5 y2 3 ⋅ ; b y a x

a 3 6 a 2 10 b . b b5 a

⎛ b a 1 ⎞⎟ 4.20. 1) ⎜ ab + 2 ⋅ ab ; − + ⎜ a b ab ⎟⎠ ⎝ 3 2) ⎛⎜ 4 x x 2 − 5 y 3 xy + xy 3 y 2 ⎞⎟ ⋅ 2 xy 3 xy ; ⎝ ⎠ 3 3) ⎛⎜ ab 2 − 3b ab ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 2 ab + 3b a 2b ⎞⎟ ; ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

(

)

4) a a + 6 a ⎛⎜ 3 a 2 − a 4 a 3 ⎞⎟ . ⎝ ⎠

TfbtsvmfU!hbnsbwmfcb!Tfnplmfcvmj!hbnsbwmfcjt!gpsnvmf. cjt!nfTwfpcjU!)$$5/32<!5/33*;!

( )( ) 2) ( a + x )( a − x ) ; ( 5 + 3 )( 5 − 3 ); 4) (5 2 + 4 3 )(5 2 − 4 3 ) . ( a + b + b )( a + b − b ) ; ( a + b − a − b )( a + b + a − b ); ( m + m − 1)( m − m − 1) ; 4) ( 1 − x − x )( 1 − x + x ).

4.21. 1) a + 3 a − 3 ; 3) 4.22. 1) 2)

3) 4.23. SeasruleT moqmedebani da gaamartiveT: 1) 3) 4)

1+ 3 2 − 3 ; + 2 3

5+3 2 2 −1 ; − 4 6

2+ 3− 5 5 − 3 + 2 2 2 −3 3 −5 5 ; + − 3 5 15 3 6 − 2 5 +1 6 − 3 5 − 2 4 6 + 5 5 −1 . − − 8 6 12

206

TfbtsvmfU!hbzpgb!)$$5/35`5/37*;! 4.24. 1)

10 : 0,5 2,5 ;

( (8

)

3) 103 9 + 5 3 : 3 3 ; 4.25. 1)

4.26. 1)

35 − 14 3

)

( (3

4 13 2 : ; 25 3 125

)

4) 2 12 + 43 4 − 64 32 : 24 2 .

27 − 6 12 : 75 ; 15 − 6

3 ; 28

35 − 10

6a 4 : 3 2a ;

70 − 20

8 − 50 . 6

a : a2 ;

3) ⎛⎜ x 3 y + xy 3 ⎞⎟ : xy ; ⎝ ⎠

)

250 − 23 54 : 33 2 ;

4) ⎛⎜ a 5b3 − a 3b5 ⎞⎟ : a 3b3 . ⎝ ⎠

ebTbmfU!nbnsbwmfcbe!)$$5/38.5/42*;! 3)

21 + 14 ;

ab − ac ;

a y −3 b y ;

a 2b − ab 2 ;

4.27. 1)

6+ 3;

4.28. 1) 3)

15 − 10 ;

2) 2 − 2 ;

4.29. 1) 5 + 5 ;

4.31. 1)

20 − 30 .

a + b − a 2 − b2 .

3) a + a ;

4) ab − a .

2) a + b − a 2 − b 2 ;

4.30. 1) a + b + a + b ; 3)

a 3 − b3 + a − b ;

a 3 + b3 + a 2 − b 2 .

ax − by + bx − ay ;

x 3 − y 3 + x 2 y − xy 2 ;

3) x + 4 x + 3 ;

4) a + 5 a + 4 .

TflwfdfU!xjmbefcj!)$$5/43<!5/44*;! 15 − 6

4.32. 1)

35 − 14 3

4.33. 1)

4m 2 − 9n 2

10 + 15 8 + 12

; 3)

3 3

; 2)

2m + 3 3n

;

x 2 y − 3 16 xy 2 + 3 4 y 3 3

x − 3 2y

2) ;

207

a + ab b + ab

x 2 y − 3 xy 2

; 4)

25a 2 − 16b 2

ax − 3 ay

5a − 3 4b

;

8x 2 y − 2 y x − x x 2y − x

4.34. aaxarisxeT fesvebi: 4

3 3 5 7 1 ) ⎛⎜ m 2 ⎞⎟ ; ⎛⎜ − m 2 ⎞⎟ ; ⎛⎜ a 3 ⎞⎟ ; ⎛⎜ − n3 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

3 6 4 2) ⎛⎜ x 3 ⎞⎟ ; ⎛⎜ − 5 y 2 ⎞⎟ ; ⎛⎜ − a 2 ⎞⎟ ; ⎛⎜ − n5 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(− 2 a ) ;

3 2 ⎛ − 34 a 3 ⎞ ; 1 ⎛ 3 m 2 ⎞ ; ⎛⎜ − 2 5 x 2 ⎞⎟ ; ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 2⎝ ⎝ 3 ⎠

5 ⎛ x y⎞ ⎟ ; ⎛⎜ − x 4 x 3 y 2 ⎞⎟ . 4) ⎜− ⎜ 2y x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.35. romelia meti: 3

3 Tu

5 Tu

11 ?

5 Tu

4 Tu

TfbtsvmfU!nprnfefcboj!)$$5/47.5/52*;!

(

)

1 ⎞ ⎛ 2) ⎜ 2 a − b⎟ ; 2 ⎠ ⎝

4.36. 1) a − b ;

(

)

⎞ ⎛1 4) ⎜ 2 +4 3⎟ . ⎠ ⎝2

1 ⎞ ⎛ 1 2) ⎜ x 3 − y 3 ⎟ ; ⎝ ⎠

3) 2 5 − 3 2 ;

1 ⎞ ⎛ 1 4.37. 1) ⎜ a 2 + b 2 ⎟ ; ⎝ ⎠ 2

2 ⎞ ⎛ −1 3) ⎜ m 3 − n 3 ⎟ ; ⎝ ⎠

4.38. 1)

(

2 ⎞ ⎛ 2 4) ⎜ a 3 + b 3 ⎟ . ⎝ ⎠

)

(

2+ 6 ; 2

a ;

x2 ;

2 3;

2 5;

x y

4.40. 1)

y ; x

2 5 ⋅6

16 ; 5

3) ⎛⎜ 7 + 13 + 7 − 13 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠ 4.39. 1)

)

2) 3 15 − 5 10 ;

3 4

4) ⎛⎜ 4 + 2 3 − 4 − 2 3 ⎞⎟ . ⎝ ⎠

m3 ;

4 5

33 2 ;

m3 n ; n m

y4 ;

5 2;

a2 b

5 2 ⋅6 1

208

b2 ; a

7 ; 25

a+b a −b

a −b . a+b

3) 4.41. 1) 3)

2 2 2 ⋅8 2 ;

3 3 3 ⋅ 3 3 ⋅ 12 3 .

a a a ;

m3 m m ;

m n

n m

m ; n

a b2 b a

nptqfU!jsbdjpobmpcb!xjmbejt!nojTwofmTj!)$$5/53.5/5:*;! 4.42. 1) 4.43. 1) 4.44. 1) 4.45. 1) 4.46. 1) 4.47. 1)

8 2 a

;

2 2+ 2 1

;

3+ 2

m m +1

4 a

x4 12

1 3+ 5+ 7

; ;

x− y x+ y

;

2 25 b 3) 6 ; b a

7− 3

3− 3 4

; 2)

;

3) ; 3)

7 −1 6

;

4) ;

3 2 +4

; 3) 2)

x− y x+ y

4) ;

x n −1 8

. .

3 5 −2 7

x+ y

; 4)

8 a

5 +1 17

2+ 3− 5

x− y

;

2− 6 1 ; 4) . 10 − 15 + 14 − 21 2 2 +2 3 − 6 −2 6 2 n n 4.48. 1) 3 ; 2) 3 ; 3) 3 ; 4) 3 . 3 3 3 a+ b a− b 7− 4 4 +1 n n 4.49. 1) ; 2) ; 3 2 3 2 3 2 3 3 3 a − ab + b a + ab + b 2 1 1 3) 3 ; 4) 3 . 9 −3 6 +3 4 49 + 3 35 + 3 25

hbbnbsujwfU!eb!hbnpUwbmfU!)$$5/61.5/7:*;! 4.50. 1)

4−2 x + x−4

x x −2

Tu x = 8 ;

209

(

⎛ 2) ⎜⎜ ⎜ ⎝

a+ b

)

2 ab

(

⎛ 3) ⎜⎜ ⎜ ⎝

)

a +1

2 a

⎞ − 1⎟⎟ ⋅ a , ⎟ ⎠

⎛ 1− a 4) ⎜ 4 a + 4 ⎜ a ⎝

x − 2x

⎞ ⎟ a, ⎟ ⎠

(x + 2)2 − 8 x

4.51. 1)

2) 4

⎞ − 1⎟⎟ ⋅ ab , ⎟ ⎠

8 x +2

−

1 2

Tu a = 7 ; Tu a = 4 .

Tu x = 5 ;

x − 84 x

Tu a = 2 + 2 , b = 4 − 2 ;

, Tu x = 9 ;

x −4

1⎞ ⎛ 1 − ⎜a2 + 22 ⎟ , ⎟ a − 2 ⎜⎝ ⎠

−2

Tu a = 2 ;

⎞ ⎛4 2 a −2 4) ⎜⎜ + , + 1⎟⎟ ⋅ a ⎠ a a −8 ⎝a

a a −b b

4.52. 1) 2)

a− b x −1

x + x +1 1− x x

⎛ 4 x3 − 4 x 1 + x ⎞ ⎟ + 3) ⎜ 4 ⎜ 1− x ⎟ x ⎝ ⎠ 3

4) 4.53. 1)

a− b

− ab ,

)

−2

Tu x = 4 ;

Tu a = 2 + 2 , b = 3 − 2 .

a −1 + 3 a a

Tu x = 3 + 1 ;

a2 −b2

(

2 . 5

Tu a = 6,25, b = 2,25 ;

− 3 ab ,

x −1

Tu a =

a−

−1 4 a − 2a

Tu a = 2,25 ;

Tu a = 6,25 ;

2− a

210

⎞ a ⎛⎜ a + 3 ⋅ − a − 3⎟ , ⎜ ⎟ a −9 ⎝ a ⎠

(

⎛ 4) ⋅⎜ x−4 x +4 ⎜ ⎝ 4x

x +2

)

8 x

Tu a = 6,25 ;

⎞ − 1⎟ , ⎟ ⎠

Tu x = 1,44 .

⎛ 2ab − a ⎞ a + b ⎟⎟ ⋅ 4.54. 1) ⎜⎜ a − b + , 4 a+ b⎠ ⎝ 3

⎛ x + 6 a2x 2) ⎜ ⎜ 3 x +3 a ⎝

(

3) 2 a − 3 b

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

Tu x = 64, a = 2 ;

) + 36a 3

b − 54b a ,

⎛ a3 + 4 x3 ⎞ 4) ⎜ − a ⋅4 x⎟ ⎜ a +4 x ⎟ ⎝ ⎠ 1

4.55. 1) a 2 b

−

2) x x ⋅ 3)

4.56. 1)

1 − x 2

Tu a = 18, x = 1024 .

Tu a = 3 , b = 2 3 ;

Tu x = 2 2 , y = 2 ;

a⋅ a 3

1 1 − − y 3x 3

1 − 4 y 3x 6

Tu m = 144 ;

Tu a = 3 4 , b = 3 9 ;

1 3 1 − − 5 4 a 6b2a 3b 4

m ⋅ 4 m 3 ⋅ m3 m 2 , 2

Tu a = 2, b = 8 ;

1 − y 2

x+ y

⎛1− x + x ⎞ ⎟ 2) ⎜ ⎜ 1+ x x ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a +1⎞ ⎟ 3) ⎜ ⎜ a −1⎟ ⎝ ⎠

−2

a ,

Tu a = 8 .

Tu x = 2, y = 18 ; −2

−2 x ,

Tu x = 187 ; −2

⎛ a +1⎞ ⎟ , +⎜ ⎜ 24 a ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 − 5a 4) ⎜ 4 5a + ⎜ 4 5a ⎝

Tu a = 13 ;

−2

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

Tu a =

⎛ ⎞ b−a b b ⎟⎟ ⋅ − 4.57. 1) ⎜⎜ , ⎝ a − ab a + ab ⎠ 2 ab

211

5 . 4

Tu a = 5, b = 10 ;

⎛ y+ x − 2) ⎜ ⎜ y ⎝

x − y ⎞⎟ xy ⋅ , x ⎟⎠ x + y −

⎞ a 2 − 2a −1 ⎛ a2 − 4 3) ⎜⎜ , − 3 ⎟⎟ : −1 ⎠ ⎝ a a +2

(

Tu a = 21 ;

)

⎛ 7 − 7a ⎞⎟ 7 − a 4) ⎜ a + ⋅ , ⎜ a + 7 ⎟⎠ 7 − a ⎝ ⎛ 3 a2 : 3 x2 − 1 1 − 4.58. 1) ⎜ 3 ⎜ 3 a −3 x x ⎝ a−x

a− x

−

Tu x = 3, y = 27 ;

Tu a = 13 .

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

a + 4 ax 3

Tu a = 16, x = 2 ;

+ 4 ax ,

a + 4 ax

Tu a = 2, x = 8 ;

−12

⎛ 1 + x 4 x − 4 x3 ⎞ ⎟ , Tu x = 3 7 ; 3) ⎜ 4 + ⎜ ⎟ 1 x x − ⎝ ⎠ ⎛ b + c −1 ⎞ 4 bc + 1⎟⎟ ⋅ 4) ⎜⎜ , Tu b = 1, c = 5 . ⎝ 2 bc ⎠ b + c +1

4.59. 1)

a a −b b a a + b b + 2a b + 2b a a + x2

a + x2

+x+

2 a mn −

3) 4

2 a mn

m + mn

mn − n m− n

4 4

−x ,

m m m+ n

m +4 n

Tu a = 8, b = 2 ;

Tu a = 4, x = 3 7 ; ,

Tu n = 5 2 , m = 31 ;

Tu m = 10 , n = 5 . 5

⎡ ⎛ 14 ⎞⎤ ⎞⎛ 3 4 ⎢ ⎜ y + 3 ⎟⎜ y − 3 3 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎥ , 4.60. 1) ⎢ ⎝ 1 ⎢ ⎥ 2 4 y + 9y + 3 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎛ a x3 ⎜ ⎜ x2 ⎝

⎛ 1 ⋅ ⎜⎜ 3 ⎝x a

⎞ ⎟⎟ ⎠

−2 ⎞

⎟ ⎟ ⎠

(

)

Tu y = 3 + 5 7 ;

−2

⋅3 a ,

212

Tu a =

3 1 ; , x= 4 2 3

⎡ −1 ⎢ a 2 : 3) ⎢ 3 ⎢ a− 2 −1 ⎣ 4

−2

⎤ ⎥ a ⎥ , 2 a −1 + 3 a ⎥ ⎦

(

)

ab 3 − 4 a 3b

(a − b ) ⋅ a

Tu a =

a+ b

⋅

−1

( 3 + 1) ; 2

Tu a = 12, b = 6 .

−1

⎛ 2 a +1 2 a − 1 ⎞⎟ ⎛⎜ a 2 + 9a ⎞⎟ 4.61. 1) ⎜ , Tu a = 116 ; + ⋅ ⎜ a − 18 a a + 18 a ⎟ ⎜ a (a − 324 ) ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 12a + 12 ab + 3b 1 2 1 ⎟⋅ 2) ⎜ , + + 2 ⎜ 4a − b 2 a + b 2 ⎟ 16 a 2 a b − ⎝ ⎠ a = 4, b = 9 ;

(

)

(

)

(

)

⎛ ⎞ x +2 y x −1 ⎟ 4 x − 12 , 3) ⎜ − ⎜ x − 4 x + 3 x + xy − 3 x − 3 y ⎟ ⎝ ⎠ Tu x = 0,17, y = 0,17 ; −1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜1 + 3 + 9 ⎟ : ⎜1 − 3 ⎟ , 4) ⎜ ⎟ ⎜ y y⎠ ⎝ y ⎟⎠ 27 − y y ⎝ y

⎛4−2 x 4.62. 1) ⎜ + ⎜ x−4 ⎝

Tu y =

⎞ ⎞ ⎛ 8 x ⎟:⎜ − x − 2⎟ , ⎟ ⎟ ⎜ x −2⎠ ⎝ x +2 ⎠ x

⎛ 3 +1 3 −1 + 2) ⎜ ⎜1+ 3 + x 1− 3 + x ⎝

2 . 7

Tu x = 144 ;

⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⋅ ⎜ x − 2 + 2⎟ ⋅ x , ⎟ ⎟ ⎜ x ⎠ ⎠ ⎝

Tu x = 3 ;

−1

⎛ x 1 − x x − x + 1 ⎞⎟ − ⋅ 3) ⎜ , −1 ⎜ x + 5 1+ x x ⎟ 2 x 1 − ⎝ ⎠

(

4) 1 − b b

) (

Tu x = 0,25 ; −1

1 1 b + 2 ⎞⎟ 1 ⎜ ⎜ 2 1 + 4 b − 2 4 b − 1 − 1 − b b ⎟ , Tu b = 36 . ⎠ ⎝

−1 ⎛

⎛ 1− q ⎞ ⎟ 4.63. 1) ⎜ ⎜ q q + 27 ⎟ ⎝ ⎠

−1

) (

)

−1

⎛ q −3 q − 9 ⎞⎟ − :⎜ , Tu q = 2,25 ; ⎜ q − 3 q + 9 q q + 27 ⎟ ⎝ ⎠

−1 −1 −1 ⎛⎛ ⎛ b − 1 ⎞ ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ b + 1 ⎞⎟ ⎟ ⋅ − 1 −⎜ 4 ⎟ ⎟ , 2) ⎜ ⎜ −⎜ ⎜ b + 1 ⎟ ⎟⎟ ⎜ 2 4 b ⎜ b ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ b − 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

213

Tu b =

4 ; 9

⎛ 6 x − 18 x − 3 ⎞⎟ , − :⎜ ⎜ 4 x x + 108 ⎝ x x + 27 x − 3 x + 9 ⎟⎠ x −3

x − 44 xy −

(

x − 4 xy 3

2 ⎞ ⎛⎛ ⎜ ⎜ x + x 2 + 1 ⎞⎟ − 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ 4.64. 1) ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 2 +1 ⎟ ⎜ x x +1 ⎠ ⎝

(

) +3 2

x −4 y

Tu x = 64 ;

Tu x = 27, y = 3 .

, xy

−1

⎛ 4x 2 ⎞ ⎟ : ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ x +1⎠

)

−1

Tu x = 4 2,25 ;

1 y −2

⎛ ⎞ 6 2 ⎜6 x + y x + x ⎟ , ⎜⎜ 3 x + 3 y ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1⎞ + ⎟ 3) ⎜1 + ⎜ p p ⎟⎠ ⎝

−1

2⎛

⎜1+ p + ⎜⎜ 4 p ⎝

⎛ 3 2 + 3 2x 1 4) ⎜ − 3 ⎜ 3 2 2x 4x ⎝

4.65. 1)

(

)

a − b + 2a

Tu x = 0,16, y = 0,125 ; 2

p 3 − 4 p ⎞⎟ 1 , Tu p = ; ⎟ 81 1− p ⎟ ⎠

−3

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠ +b

a a +b b Tu a = 0,125, b = 2 ;

Tu x = 0,2 . 2

3 ab − 3b + ab , a−b

⎛ −1 ⎞ ⎜ 2 1+ x x2 −1 ⎟ x ⎟: − 2) ⎜ ⎜ 2 x 2 − 1 2⎛ x + x 2 − 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝

(

)

x2 −1 x2

⎛ 4⎞ x + ⎜ 3 2 x − 3 ⎟3 , ⎜ 5 ⎟⎠ 2 5 x − 10 ⎝

2x 2 − 3 4x 3

Tu x = 0,7 ;

Tu x = 7 7 ;

⎛ a + 1 + a −1 a + 1 − a − 1 ⎞⎟ a + 1 4) ⎜ , − : ⎜ a +1 − a −1 a a + 1 + a − 1 ⎟⎠ ⎝

Tu a = 9 .

⎛ a3 + 4 x3 ⎞ 4.66. 1) ⎜ − a 2 + 2a x + x ⎟ , ⎜ a +4 x ⎟ ⎝ ⎠ 214

Tu a = 34 2 , x = 5 ;

−1 ⎞ ⎛ −1 2⎜ x 2 + y 2 ⎟ −1 −1 ⎠+ x +y 2) ⎝ , 3 2 x+ y x+ y

(

) y(

⎛ ⎜ x 3) ⎜ − ⎜ x+ y ⎝

)

5 , y =2; 39

⎞ −1 ⎞ 7 ⎟⎛ − 1 2 + y 2 ⎟ , Tu x = , y = 14 ; ⎜x 2 2 ⎟ 2 ⎟⎝ x −y ⎠ ⎠ ⎞ 4b − a ⎞ ⎛⎜ a 2 1 ⎟, ⎟⎟ : a− b+ + + a + b ⎠ ⎜⎝ a − b b− a a + b ⎟⎠ a = 18, b = 0,5 .

⎛ 4) ⎜⎜ ⎝ Tu

4.67. 1)

(

Tu x =

x− y

c − 210 c + 1

c − 2 c +1 20

⋅

c −1

c +1

Tu c =

1 3

2 4

;

⎛ ⎞ a −b 1 a b ⎟: , Tu a = 625, b = 676 ; + : ⎜ ab − b b a − 2a b + a a ⎟ ab b − a ⎝ ⎠

2) ⎜

⎛ ⎛ 2 3a ⎜ 3) ⎜1 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a+3 ⎝

(

)

x+ y

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1 ⎞

⎟ ⎟⎟ : ⎠

(

a +4 3

)

− 24 3a

− 4 xy

1 + yx −1

( ⋅

x+ y

)

(

)

Tu a = 8 − 3 ;

x + xy

Tu x = 64, y = 16 .

−6

⎛ 6 b − 3 b2 1+ b ⎞ ⎟ , 4.68. 1) ⎜ + 3 ⎜ ⎟ 1 b − b ⎝ ⎠ a3 + 1

2) 3

−a

)

⋅

(a − 1)

Tu b = 0,5 ;

)

a −1 a 3

)

+ a +1

a 3a − 4 27 a ⎛⎜ 4 a 4 3 ⎞⎟ ⋅ + , (a − 3)a −2 ⎜⎝ 3 a ⎟⎠

Tu a = 64 ;

Tu a = 0,5 ;

⎛ a 3 1 + 4) ⎜ : ⎜ 3 a − 9 9 a − 6a + a a 3 − a ⎝ ⎛

4.69.1) ⎜

x−a

⎜ 2 2 ⎝ x −a −x+a

⎞ 6 a 100 ⎟⋅ , Tu a = . ⎟ a −9 9 ⎠

⎞ x2 ⎟ − 1 , Tu a = 17 , x = 17 7 ; x + a + x − a ⎟⎠ a 2 x−a

215

(

)

ab 1 − 3 ab −

(1 − ab )(3 ab − 1) + 53 ab , 1 + ab

Tu a = 8, b = 27 ;

6 ⎛ 3a ⎞ ab − 6 − b 6 a −6 b ⎟⋅ , Tu a = 25, b = 9 ; − ⎜ a − b 3 a + 6 ab + 3 b ⎟ 26 a − 6 b ⎝ ⎠ 5

3) ⎜

⎛ 4 a3 −1 ⎞ 4) ⎜ +4 a⎟ ⎜ 4 a −1 ⎟ ⎝ ⎠ 4.70. gaamartiveT:

2⎛ 4

3 −1 ⎞ ⎜ a + 1 − a ⎟⎛ a − a 3 ⎞ , Tu a = 38 . ⎜ ⎟ ⎜ 4 a +1 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y2 − 6y + 9 − y − 9 + 2 ;

1) 3)

(x − 1) ⋅ (x − 1)2 + 4 x x2 +1+ 2 x

;

2 + x + x −1

+ x −1 ;

(x + 2) ⋅ (x + 2)2 − 8 x x2 − 4 x −1

hbnpUwbmfU!)$$5/82.5/85*;! 4.71. 1) 3 − 2 3 + 4 − 2 3 ; 3)

2 3 − 2 1 2 3 −1 − − −1 ; 3 2 3

5 2 −1 2 2 −1 −1 + −1 ; 5 2

5 5 −7 3 5 −4 −1 − −1 . 5 3

4.72. 1)

11 + 6 2 + 11 − 6 2 ;

17 + 12 2 + 17 − 12 2 ;

12 + 8 2 − 12 − 8 2 ;

52 + 30 3 − 52 − 30 3 .

4.73. 1)

3 − 26 5+2 6 ;

⎛ ⎞ 1 3) ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⎝5+2 6 ⎠

4.74. 1) 2)

5 −1 2

−1

2) −1

⎛ ⎞ 1 + ⎜⎜ + 1⎟⎟ ; ⎝5−2 6 ⎠

5+ 3

3) 7 − 2 3 +

5+ 3 5− 3

−

5 +1 5 −1

5 − 2 4 9 + 4 5 + 12

⎛ 1 ⎞ 4) ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⎝2+ 3 ⎠

(3 + 5 )( 10 − 2 );

5− 3

5 + 2 4 9 − 4 5 + 64

5 +5 ; 2

⎞ 3⎛ 1 1 ⎜⎜ ⎟; + 7 ⎝ 7 + 4 3 7 − 4 3 ⎟⎠

216

−1

;

⎛ 1 ⎞ + ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⎝2− 3 ⎠

−1

(

4) 4 + 15

$5.

)( 10 − 6 )⋅

4 − 15

xsgjwj-!lwbesbuvmj!eb!nbU{f!ebzwbobej! hboupmfcfcj!

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$6/2.6/21*;! 5.1.

1) x + 5 = −2 ;

5.2.

5.3.

5.4.

3) 1)

5.5.

2) 7 + x = 3 ;

3) x + (−2) = −5 ; 4) (−6) + x = 0 . a 3x − 2 = −17 ; 2) 4a + 3 = −13 ; 3) 34 − 3 x = −20 ; 4) + 3 = −7 . 5 5 1 7 1 3 1 2) 1 x − 5 = −6 ; 3 − 4 x = −2 ; 6 5 12 4 8 2 0,4 x − 12,03 = 0,13 ; 4) 0,1 − 0,01x = −1 . 0,12 − 2,5 x = −0,8 ; 2) 4,8 x − 0,5 = 4,2 ⋅ (−3,5) ;

3 3 ⎛ 2⎞ 3) 1 − 5 x = 2 : ⎜ − 3 ⎟ ; 4 4 ⎝ 3⎠ 1) 8a − 10 + a + 2 − 4a = 17 ; 3) −3 + 9 y + 135 − 5 y = 22 ;

1⎞ 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 4) 20 x + 0,4 ⋅ ⎜ − 6 ⎟ = 4 : ⎜ − ⎟ . 4 3 ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ 2) 5 x + 7 − 8 x + 6 x = 13 ; 4) − x + 6 − 2 x − 8 x + 18 = 13 .

5 ⎞ ⎛3 5.6.1) 2 x + ⎜ x − x ⎟ = 57 ; 2) (25 x − 5) + (0,2 x − 2,7 x ) + 0,5 x = 6,5 ; 4 7 ⎝ ⎠ 3) 3 + 2,25 x + 2,6 = 2 x + 5 + 0,4 x ; 4) 0,75 x − 2 x = 9 + 0,6 x − 0,5 . 2 x 5x 4 x 5x 5.7. 1) 2) + = 19 ; − =1; 3 2 9 12 3x x 2 x x−3 3) + − = 13 ; 4) = 4. 2 6 9 3 5 x − 4 16 x + 1 5 − z 18 − 5 z 5.8. 1) = ; 2) = ; 2 7 8 12 1 − 9 y 19 + 3 y 4t + 33 17 + t 3) ; 4) . = = 5 8 21 14 6x + 7 5x − 3 x − 4 2 x − 41 5.9. 1) −3= ; 2) = ; 7 8 5 9 3x − 1 6 x + 3 3x − 7 x + 17 3) 10 − = ; 4) 2 − + =0. 2 11 4 5 2 x − 7 3x + 1 x+6 ; 5.10. 1) x + − = 5− 2 2 5

217

2x − 5 x + 2 5 − 2x 6 − 7x + = − − x; 6 4 3 4 x − 4 3x − 2 2 x + 1 3) + = −7; 5 10 3 4x 3x − 17 x + 5 4) − 17 + = . 3 4 2

bnpytfojU!hboupmfcfcj! x .jt!njnbsU)$$6/22<!6/23*;! 5.11. 1) 5(x − a ) = 3(x + b ) ; 2) 6(a − x ) = 7(b − x ) ; 3) (m + 1)x = n − x ; 4) (n − 1)x = 2(n + x ) . 5.12. 1) (a + x )b − a = (b + 1)x + ab ; 2) 2m − (m + n )x = (m − n )x ; 3) c(d + x ) = ab − (x − c )d ; 4) cx − b(c − x ) = a(b − x ) − b(a − x ) . 5.13. aCveneT, rom Semdeg magaliTebSi gantolebis mTel saxeze dayvanas gareSe fesvi Semoaqvs: 1 3− x 1 5− x 1) +3= ; 2) 5 + = ; x−2 x−2 x−4 x−4 1 6− x 8− x 1 =8+ 3) +6= ; 4) . x−5 x−5 x−7 x−7 5.14. aCveneT, rom Semdeg magaliTebSi gantolebis mTel saxeze dayvana ar arRvevs gantolebaTa tolfasobas: x − 3 3x − 1 8x − 5 3x + 7 = ; 2) =5− . 1) 2 − x + 3 3x + 1 2x + 5 3x + 2

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$6/26<!6/27*;! 5.15. 1) 3) 5.16. 1) 2) 3)

3 2 1 2 = = ; 2) ; y −2 y −3 x −1 x +1 t −3 3t − 1 3x − 5 2 x − 5 = 2− ; 4) − =1. 3t + 1 t +3 x −1 x−2 8 2+t 5 5 = − ; − 3t − 3 t − 1 2 − 2t 18 14 2+ z 3 5 ; = − − 3 z − 12 z − 4 8 − 2 z 6 2x − 1 2x + 1 8 12 1 − 3x 1 + 3x ; 4) = + . = + 2x + 1 2x − 1 1 − 4x2 1 − 9 x 2 1 + 3x 3x − 1

218

Tfnefh! hboupmfcbUb! bnpvytofmbe! hbnpbslwjfU-! spnfm! nbUhbot! brwt! psj! gftwj-! fsUj! gftwj! bo! bsb! brwt! gftwfcj! )$$6/28.6/2:*;! 5.17. 1) x 2 + 25 = 0 ; 3) x 2 − 2 x + 1 = 0 ; 5.18. 1) x 2 − 4 x + 4 = 0 ; 3) x 2 + 7 x + 15 = 0 ; 5.19. 1) x 2 − 4 x − 8 = 0 ; 3) 7 x − x − 1 = 0 ; 2

2) x 2 − 36 = 0 ; 4) x 2 + 5 x = 0 . 2) x 2 − 4 x + 3 = 0 ; 4) x 2 − 2 x + 5 = 0 . 2) 4 x 2 + 6 x + 9 = 0 ; 4) 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 .

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$6/31.6/3:*;! 5.20. 1) x 2 − 36 = 0 ; 1 2 3) x + 20 = 38 ; 2 5.21. 1) x 2 + 3x = 0 ; 3) 2 x − 7 x = 0 ; 2

5.22. 1) 4 x 2 + 6 x = 9 x 2 − 15 x ;

2) 4 x 2 − 25 = 0 ; 4) 13x 2 − 19 = 7 x 2 + 5 . 2) x 2 = 5 x ; 4) − 3 x 2 + 5 x = 0 . 2) 12 x 2 − 5 x = 9 x 2 + 7 x ;

5x 2 + 9 4x 2 − 9 8x 2 − 3 9 x 2 − 5 − = 3 ; 4) + = 2. 6 5 5 4 5.23. 1) x 2 − 3 x + 2 = 0 ; 2) x 2 + 5 x + 6 = 0 ;

3) x 2 − 4 x + 3 = 0 ; 5.24. 1) x 2 − 8 x = 20 ; 3) x = x + 20 ; 2

5.25. 1) 2 x 2 − 7 x + 6 = 0 ;

4) x 2 − 6 x − 7 = 0 . 2) x 2 + 30 = 11x ; 4) 7 x = x 2 + 12 . 2) 5 x 2 − 8 x + 3 = 0 ;

3) 3x 2 + 2 x − 8 = 0 ; 4) 3x 2 + 11x + 6 = 0 . 5 2) x 2 − 4,5 x + 4,5 = 0 ; 5.26. 1) x 2 − x − 26 = 0 ; 3 5 3) x 2 + 3 x + 2 = 0 ; 4) x 2 − 5,6 x + 6,4 = 0 . 12 5 − x 15 − 4 x 5 + 2 x 3x + 3 5.27. 1) ; 2) ; = = 2 x − 1 3x + 1 4x − 3 7 − x 11x x − 4 x(x − 7 ) 7 21 + 65 x 3) −1 = − ; 4) − + 8 x + 11 = 0 . 3 10 3 x 7

219

5.28. 1) 2)

(7 − x )2 ; 5 x − x 2 (3 x − 11)2 − =9− 3 4 2

(x − 12)2 − x + x(x − 9) = (x − 14)2 + 5 ;

6 9 18 2 5 x − 1 3x − 1 2 3) + = + x −1 ; x 9 5 ( x − 6)2 (x + 4)2 (x + 2)(x + 6) = − 4) x − 7 + . 3 2 4

5.29. 1) 3)

x 5

(

)

2) z 2 + 2 3 + 1 z + 2 3 = 0 ;

2 z 2 + 4 3z − 2 2 = 0 ;

;

2x − 5 x 5 − 3 x 3 −5 5.30. tolfasia Tu ara gantolebebi: 1) (x − 4)(x + 2 ) = 5(x − 4) da x + 2 = 5 ?

x 3 x−2 3

2) (3 − x )(x − 1) = (x + 2 )(x − 1) da 3 − x = x + 2 ? 3) x = 2 − x da x(x − 1) = (2 − x )(x − 1) ? x +1 3 − x 4) = da x + 1 = 3 − x ? x −1 x −1 5.31. amoxseniT asoiTkoeficientebiani gantolebebi: 1) x 2 − 11ax − 60a 2 = 0 ; 3)

x − b x2 = ; a − b a2

kvadratuli

2) x 2 − 4ax + 4a 2 = b 2 ; 4)

1 3b 1 = − . b + x 2x2 x

Tfnefh! hboupmfcbUb! bnpvytofmbe! jqpwfU! nbUj! gftwfcjt! kbnj!eb!obnsbwmj!)$$6/43<!6/44*;! 5.32. 1) x 2 − 6 x + 8 = 0 ; 3) 8 x 2 + 2 x − 3 = 0 ;

2) x 2 − 5 x + 6 = 0 ; 4) 3x 2 − 7 x + 2 = 0 .

5.33. 1) 4 x 2 − 25 = 0 ;

2) 5 x 2 + 3x = 0 ;

3) 9 x − 64 = 0 ;

4) 2 x 2 − 7 x = 0 .

TfbehjofU! lwbesbuvmj! hboupmfcb! npdfnvmj! gftwfcjt! njyfewjU!)$$6/45.6/47*;! 5.34. 1) 2 da 3;

2) 6 da –2; 3)

1 1 da − ; 4) 0,4 da –0,25. 2 4

220

5.35. 1) 2 3 da 3 3 ; 3) 2 + 3 da 2 − 3 ; 5.36. 1) 0 da 3;

2) 0 da

2) 3 5 da − 2 5 ; 4)

1+ 5 1− 5 da . 2 2

5 ; 3) –2 da 2;

3 da − 3 .

Tfnefh! hboupmfcbUb! bnpvytofmbe! hbotb{SwsfU! gftwfcjt! ojTofcj! )$$6/48<!6/49*;! 5.37. 1) x 2 − 6 x + 5 = 0 ; 3) x 2 + 20 x + 19 = 0 ; 5.38. 1) x 2 + 9 x − 22 = 0 ;

2) x 2 + 4 x − 5 = 0 ; 4) x 2 + 3 x + 1 = 0 . 2) x 2 − 20 x − 300 = 0 ;

3) 2 x + 5 x = −2 ; 4) 3x 2 + 8 x = 4 . 5.39. daSaleT mamravlebad Semdegi samwevrebi: 2

1) x 2 + 7 x + 10 ;

2) 3x 2 − 7 x − 40 ;

3) 4 x 2 − 20 x + 9 ; 5.40. SekveceT wiladebi:

4) 2 x 2 − 5 x + 2 .

a 2 + 6a − 91 ; a 2 + 8a − 105

2a 2 + 8a − 90 ; 3a 2 − 36a + 105

a 2 − 9ab + 14b 2 2a 2 − ab − 3b 2 ; 4) . 2 2 a − ab − 2b 2a 2 − 5ab + 3b 2 5.41. 1) ra mniSvnelobebi unda hqondes

x -s,

rom

y = x + 7 x + 10 funqcia: a) iqces nulad; b) gaxdes 4-is toli. SeiZleba Tu ara rom funqcia gaxdes (-5)-is toli? 2

2) y = x 2 + 7 x + 6 da y = x + 1 funqciebi x -is romeli mniSvnelobebisaTvis Rebuloben tol mniSvnelobebs, da saxeldobr rogors?

jqpwfU! a ! qbsbnfusjt! zwfmb! nojTwofmpcb-! spnmjtUwjtbd! npdfnvm!hboupmfcbt!bsb!brwt!bnpobytoj!)$$6/53<!6/54*;! 5.42. 1) (a − 1)x = 5 ; 3) a(a − 3)x = 7 ; 5.43. 1) (a − 1)(a + 2 )x = a + 2 ;

2) (a + 2 )x = a 2 + 4 ; 1 4) a(2a − 1)x = a − . 2 2 2 2) a − 1 x = a − 4a + 3 ;

(

221

)

(

)

2 7 = . 4 x − a ax − 1 5.44. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac mocemul gantolebas aqvs uamravi amonaxsni:

3) a 2 − 4a + 3 x = a − 1 ;

(

)

2) a 2 − 9 x = a 2 − 2a − 3 ; 1 ) a(a + 2 )x = a 2 − 4 ; 4 x − 2ax + 3 6x − a − 2 =a; 3) 4 ) a(2 x − 1) + 4 = . a 3x − a 5.45. rogori mniSvneloba unda hqondes k -s, gantolebas:

rom

1) x 2 + kx + 15 = 0 hqondes 5-is toli fesvi? 2) x 2 + kx − 24 = 0 hqondes –3-is toli fesvi? 3) kx 2 − 15 x − 7 = 0 hqondes 7-is toli fesvi? 1 4) kx 2 + 12 x − 3 = 0 hqondes -is toli fesvi? 5

jqpwfU! a .t! jt! nojTwofmpcb-! spnmjtUwjtbd! hboupmfcbt! brwt! fsUj!gftwj!)$$6/57.6/5:*;! 5.46. 1) 4 x 2 − 12 x + a = 0 ; 3) 25 x − 40 x − 2a = 0 ; 2

5.47. 1) 9 x 2 − ax + 1 = 0 ; 3) 3x 2 + 2ax + 48 = 0 ;

5.48. 1) x 2 − (2a + 8)x + 9 = 0 ;

2) x 2 − 4 x + a = 0 ; 4) 49 x 2 + 28 x + 4a = 0 . 2) 4 x 2 − ax + 9 = 0 ; 4) 2 x 2 − 3ax + 18 = 0 .

2) x 2 − (2a + 2 )x + 5a + 1 = 0 ; 3) ax 2 + (2a + 1)x + a − 2 = 0 ; 4) (a − 1)x 2 − 2(a + 1)x + a − 2 = 0 . 5.49. 1)

x 2 + 3x − 4 =0; x−a

x 2 − 7 x + 10 = 0; x+a

x 2 − 5x + 6 x2 − x − 2 =0; 4) 2 = 0. ax + 6 a + 2ax + 1 5.50. ipoveT a parametris im mTel mniSvnelobebs Soris umciresi, romlisTvisac mocemul gantolebas aqvs mTeli amonaxsni: 1) (a + 3)x = 6 ; 2) ax − 8 = x ;

3) (a − 6)x = 2a − 6 ;

4) (a + 2 )x = 3a + 4 .

222

5.51. 1)

moZebneT

m -is mniSvneloba, romlisTvisac 2 x − (2m + 1)x + m − 9m + 39 = 0 gantolebis erTi fesvi orjer metia meoreze. 2) p -s ra mniSvnelobisaTvis iqneba x 2 + px − 16 = 0 gantolebis fesvebis Sefardeba –4-is toli. 3) k -s ra mniSvnelobisaTvis akmayofileben 36k + 1 x2 + x + 45 = 0 2k − 3 gantolebis x1 da x2 fesvebi pirobas x1 = 5x2 . 4) k -s ra mniSvnelobisaTvis akmayofileben 4k − 3 x2 + x − 12 = 0 5−k gantolebis x1 da x2 fesvebi pirobas x1 = −3x2 . 2

5.52. 1) ra mniSvneloba unda hqondes q -s, rom x 2 + 3 x + q = 0 gantolebis fesvebis sxvaoba iyos 6-is toli. 2)

x 2 + px + 12 = 0

gantolebis

fesvebi

akmayofileben pirobas x1 − x2 = 1 . ipoveT p koeficienti. 3) ipoveT q , Tu x 2 − 6 x + q = 0 gantolebis x1 da x2 fesvebi akmayofileben pirobas: 3x1 + 2 x2 = 20 . 4) ipoveT k , Tu 3x 2 − 5 x + k = 0 gantolebis x1 da x2 fesvebi akmayofileben pirobas: 6 x1 + x2 = 0 . 5.53. SeadgineT kvadratuli gantoleba, romlis: 1) fesvebi orjer meti iqneba x 2 − 5 x + 6 = 0 gantolebis fesvebze. 2) meore koeficienti tolia (-15)-is da erTi fesvi orjer metia meoreze. p -iT metia x 2 + px + q = 0 3) TiToeuli fesvi 2 gantolebis fesvebze. 4) fesvebi x 2 + px + q = 0 gantolebis fesvebis Sebrunebuli iqneba. 5.54. 1) x 2 + px + q = 0 gantolebis amouxsnelad gamosaxeT p da q -s saSualebiT misi fesvebis kvadratebis jami da kubebis jami.

223

SeadgineT

kvadratuli

gantoleba,

romlis

fesvebia x + px + q = 0 gantolebis fesvebis kubebi. 2

3) SeadgineT x 2 + ax + b = 0 saxis yvela kvadratuli gantoleba, romlis a koeficienti misi erT-erTi fesvisa da 3-is namravlia, xolo b _meore fesvisa da 5-is namravli. 4) SeadgineT x 2 + ax + b = 0 saxis yvela kvadratuli gantoleba, romlis a koeficienti erT-erTi fesvis 2 -is namravlia. tolia, xolo b _meore fesvisa da 3 5.55. 1) c -s ra dadebiTi mniSvnelobisaTvis iqneba 8 x 2 − 6 x + 9c 2 = 0 gantolebis erTi fesvi meore fesvis kvadratis toli.

2) x 2 − 10 x + q = 0 gantolebaSi ipoveT q -s mniSvneloba, romlisTvisac misi fesvebis kvadratebis jami tolia 68-is.

3) 7 x 2 − a(x − 1) = 7 gantolebaSi ipoveT loba, romlisTvisac misi x1 da

a -s mniSvnex2 fesvebi

akmayofileben pirobas x1 + x2 = x12 + x22 . 4) x 2 − x − q = 0 gantolebaSi ipoveT q -s mniSvneloba, romlisTvisac misi x1 da x2 fesvebi akmayofileben pirobas x13 + x2 3 = 19 . 5.56. 1) p da q -s ra

mniSvnelobisaTvis

x 2 + px + q = 0 gantolebis amonaxsnebi p da q . p da q -s ra mniSvnelobisaTvis 2)

iqneba iqneba

x + px + q = 0 gantolebis amonaxsnebi 9 p + q da 6 p + q . mniSvneloba, romlisTvisac 3) ipoveT m -is 2

x 2 − x + 3m = 0

(m ≠ 0 )

gantolebis

erT-erTi

fesvi

x 2 − x + m = 0 gantolebis fesvisa da 2-is namravlia. b -s mniSvneloba, romlisTvisac 4) ipoveT x 2 − 5 x + 8b = 0

(b ≠ 0)

gantolebis

erT-erTi

fesvi

x − 2 x + b = 0 gantolebis fesvisa da 3-is namravlia. 5.57. 1) a -s ra mniSvnelobisaTvis aqvT saerTo fesvi 2

x 2 + ax + 8 = 0 da x 2 + x + a = 0 gantolebebs.

224

2) b -s ra mTeli mniSvnelobisaTvis aqvT saerTo fesvi gantolebebs: 2 x 2 + (3b − 1)x − 3 = 0 da 6 x 2 − (2b − 3)x − 1 = 0 .

3) ra pirobebs unda akmayofilebdnen a1 x 2 + b1 x + c1 = 0 da a2 x 2 + b2 x + c2 = 0 kvadratuli gantolebebis koeficientebi, rom gantolebebs hqondeT saerTo fesvi. 4) vTqvaT x 2 + p1 x + q1 = 0 da x 2 + p2 x + q2 = 0 gantolebebs aqvT mxolod erTi saerTo fesvi. SeadgineT kvadratuli gantoleba, romlis fesvebic mocemul gantolebaTa gansxvavebuli fesvebia.

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$6/69.6/71*;! 5.58. 1) x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 ;

2) x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 ;

3) x 4 − 29 x 2 + 100 = 0 ;

4) x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 .

5.59. 1) x 4 − 17 x 2 + 16 = 0 ;

2) x 4 − 37 x 2 + 36 = 0 ;

3) x − 50 x + 49 = 0 ;

4) x 4 − 25 x 2 + 144 = 0 .

5.60. 1) 4 x 4 − 5 x 2 + 1 = 0 ;

2) 3x 4 − 28 x 2 + 9 = 0 ;

3) 2 x 4 − 19 x 2 + 9 = 0 ; 4) 3x 4 − 7 x 2 + 2 = 0 . 5.61. amoxseniT gantolebebi damxmare ucnobis Semotanis xerxiT:

( (6 x

)

( − 7 x ) − 2(6 x

)

1) x 2 + 2 x − 14 x 2 + 2 x − 15 = 0 ; 2)

)

− 7x − 3 = 0 ;

⎛ x −1⎞ ⎛ x −1⎞ 3) ⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟−4 = 0; ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 2

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 4) ⎜ x + ⎟ − 4,5⎜ x + ⎟ + 5 = 0 . x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ 5.62. daSaleT mamravlebad mravalwevrebi:

1) x 4 − 5 x 2 + 4 ;

2) x 4 − 13x 2 + 36 ;

3) x 4 − 125 x 2 + 484 ; 5.63. SekveceT wiladebi:

4) 4 x 4 − 5 x 2 + 1 .

x 4 − 10 x 2 + 9 ; x 4 − 13x 2 + 36

x 4 − 9 x 2 + 20 ; x 4 − 10 x 2 + 24

x 4 − 17 x 2 + 16 ; x 4 − 50 x 2 + 49

x4 − 4x2 + 3 . x 4 − 12 x 2 + 27

225

5.64. daamtkiceT, rom x 4 + px 2 + q = 0 bikvadratuli gantolebisaTvis yvela fesvis jami udris nuls, xolo fesvebis namravli udris q -s.

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$6/76.6/82*;! 5.65. 1)

(x + 3)3 − (x + 1)3 = 56 ;

3) 8 x 4 + x 3 + 64 x + 8 = 0 ; 64 5.66. 1) x 2 + 2 = 20 ; x 4 5 3) 2 + 2 =2; x +4 x +5 24 15 5.67. 1) 2 − 2 = 2; x + 2x − 8 x + 2x − 3 3)

(x − 1)3 − (x − 2)3 = 7 ;

4) 3x 4 − x 3 + 9 x − 3 = 0 . 50 2) x 4 − 4 = 14 ; 2x − 7 1 1 1 4) 3 − 3 = . x + 2 x + 3 12 21 2) 2 − x2 + 4x = 6 ; x − 4 x + 10

x2 − x x2 − x + 2 − = 1; x2 − x + 1 x2 − x − 2

x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 2 7 + = . x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 3 6 1 1 1 5.68. 1) − = ; x(x + 2 ) (x + 1)2 12

3) 4) 5.69. 1) 3) 4) 5.70. 1)

=1;

= 1.

(x + 1)(x + 2) (x − 1)(x + 4)

(x + 3)(x − 2) (x + 4)(x − 3) (x 2 − 6 x )2 − 2(x − 3)2 = 81 ; (x 2 − 5x + 7)2 − 2(x − 2)(x − 3) = 1 ; (x + 9)(x − 1)(2 x 2 + 16 x − 20) = 12 .

( x − 3)

(

−

8 =2; x( x − 6 )

)

2) x 2 + 2 x − (x + 1)2 = 55 ; 2

x 2 − 3x + 6 2x + 2 =2; 2x x − 3x + 6

x2 + x − 5 3x + 2 +4=0; x x + x−5 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 12 4 ⎛ 3) 7⎜ x + ⎟ − 2⎜ x 2 + 2 ⎟ = 9 ; 4) 4 x 2 + 12 x + + 2 = 47 . x x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.71. 1)

(x + 4)2 (x + 1)2 + (x + 2)2 (x + 3)2 = 4 ; 226

2) 3(x − 2)2 (x + 3)2 + (x − 1)2 (x + 2)2 = 16 ; 3)

(x − 1)2 (x 2 + x + 1) + (x − 2)2 (x 2 + 2 x + 4) 2

(

4) x 2 − 4

) (x 2

) ( 2

+ 6 + x2 − 2

) (x 2

)

= 49 ;

+ 4 = 256 .

jsbdjpobmvsj!hboupmfcfcj!

$6.

bytfojU-! sbupn! bs! Tfj[mfcb! irpoeft! gftwfcj! Tfnefh! hboup. mfcfct!)$$7/2<!7/3*;! 6.1.

6.2.

x +1 + x + 2 = 0 ;

2 x − 1 = −5 ;

x + 1 + x − 1 = −3 ;

1 − x + 2 − x = −1 .

x −8 − 5− x = 3 ;

1− x + x −1 = 5 ;

x − − 2 − x = 1;

5 − x + x2 + 4 = 2 .

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$7/4.7/34*;! 6.3.

6.4.

x −1 = 2 ;

x2 − 1 = 3 ;

1) (2 x + 7 )

(

2) 3 + x − 2 = 4 ;

= (3 x − 3)

3) 25 + x − 4 6.5.

1) 3)

6.6.

6.7.

6.8.

x −2 x −4

3 x −4

(

4 x −2

)

;

= 2;

x −6 x −7

x −9

(x + 2) 13 = 3(x − 1) 13 ;

(

4) 70 + 2 x − 1

;

3 x −5

)= 4

2x − 9 = 6 − x .

4) 1

2) ;

2 x −1

(

3 x +2

=3.

2 x −3

)= 3

9 x +1

(

)

)= 4

6 6 x −1

x −2 x x −1

; .

x 2 − 3x + 1 = x − 2 ;

4x 2 + 5x − 3 = 2x + 1 ;

x2 − 4x + 5 = x − 3 ;

3x 2 − 2 x + 4 = 1 − 2 x .

x − 3 ⋅ 2x + 2 = x + 1 ; 7x − 2 = 3 2x + 3 . 3x − 8

1) x − 1 ⋅ 2 x + 6 = x + 3 ; 3x − 1 3) 4 x − 3 = ; 3x − 5 1)

x 2 + 5 x − 3 = 2 x 2 + 3x − 3 ; 227

5 + 3x − 4 x 2 = 5 − 2 x − 3x 2 ;

2 x 2 − 9 x − 38 = x 2 − 6 x − 10 ;

2 x 2 − 9 x + 11 = x 2 − 6 x + 9 .

5 − 2x = x − 1 ;

4) 9x + 7 = x + 3 ; 4 2) x− + 2+ x =0; 2+ x 15 − 3 x + 5 = 10 − x ; 4) 10 − x

14 − 5 x = x − 4 . 36 x−9 = − x; x−9 6 3− x + = 9 − 5x . 3− x

6.11. 1)

2x + 5 + x − 1 = 8 ;

4 x + 8 − 3x − 2 = 2 ;

3x + 7 − x + 1 = 2 ;

15 − x + 3 − x = 6 .

3x + 4 + x − 4 = 2 x ;

2x + 1 + x − 3 = 2 x ;

20 + x + x

15 − x 3− x − = 2. 2x 2x

x + 1 + 4 x + 13 = 3 x + 12 ;

6.9.

6.10. 1) 3)

6.12. 1) 3) 6.13. 1)

20 − x = 6; x

2x − 5 + x − 6 = 2 x − 3 ;

2 x + 5 + 5 x + 6 = 12 x + 25 ;

6.14. 1)

x+ x+ 2 − x− x+2 = 2;

x +1 −1 = x − x + 8 ; 1 1 + = −2 ; 6.15. 1) 2 x + 1+ x x − 1 + x2 1 1− 1− x 1

−

3 ; x2

1+ 1− x 1 3) − = 3. 2 x − x − x x + x2 − x 2 x x 4) . − = x x − 1− x x + 1− x

6.16. 1)

x + 1 − 9 − x = 2 x − 12 .

x + x + 11 + x − x + 11 = 4 ;

13 − 4 x = x − 2 ;

(5 − x )

5 − x + ( x − 3) x − 3 5− x + x−3

=2;

228

4) 1 + 1 + x x 2 − 24 = x .

(x − 17 )

x − 17 + (25 − x ) 25 − x x − 17 + 25 − x 3

= 8;

3) ⎛⎜ x − x 2 − 4 ⎞⎟ ⎛⎜ x + x 2 − 4 ⎞⎟ = 32 ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) ⎛⎜ x + x 2 − 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x − x 2 − 1 ⎞⎟ = 1 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6.17. 1)

6+ x = 3x

1 2 + 9 x

x−5 + x+2

2 x + 15

4 8 + ; 9 x2

x−4 7 = x+3 x+2 + 2 x + 15 = 2 x ;

x −1 + x + 3 + 2

x+2 ; x+3

(x − 1)(x + 3) = 4 − 2 x .

6.18. 1)

4+ x +3 4− x = 2 ;

5 + x + 3 5 − x = 23 5 ;

x + 34 − 3 x − 3 = 1 ;

5 x + 7 − 3 5 x − 12 = 1 .

x + 4 x = 12 ;

x − 1 + 64 x − 1 = 16 ;

x − 3 + 6 = 54 x − 3 ;

x 2 + 32 − 24 x 2 + 32 = 3 .

x + 23 x 2 − 3 = 0 ;

2) 23 x + 56 x − 18 = 0 ;

6.19. 1) 3) 6.20. 1)

4) 33 x − 53 x −1 = 2 x −1 .

3) x3 x − 43 x 2 + 4 = 0 ; 6.21. 1)

x4 − 1

x −1 2

−

3 3

x2 − 1 x +1

=4;

x5 x − 5 x x = 56 ;

3) x 2 + x 2 − 9 = 21 ;

4) x 2 + x 2 + 20 = 22 .

6.22. 1) x 2 − 3 x + x 2 − 3 x + 5 = 7 ; 2)

(x − 3)(x − 4) +

( + 15 x + 2(x

x 2 − 7 x + 7 = 35 ;

3) x 2 − 4 x − 6 = 2 x 2 − 8 x + 12 4) 3x 2 6.23. 1)

1 + x2 − x = 2 −

)

+ 5x + 1 1

)

;

=2.

1 + x2 − x

;

229

1 + x2 + x = 2 +

2) 3)

;

x + 1 + x2

5− x 7 x+3 + = 2; x+3 5− x

16 z 5 z − 1 + = 2,5 . z −1 16 z

! ! %8/!tjtufnfcj! bnpytfojU!tjtufnfcj!Dbtnjt!yfsyjU!)$$8/2<!8/3*;! ⎧ x + 2 y = 11 7.1. 1) ⎨ ⎩5 x − 3 y = 3

⎧3x − y = 5 2) ⎨ ⎩5 x + 2 y = 23

⎧2 x + y = 8 3) ⎨ ⎩3x + 4 y = 7 ⎧2 x + 5 y = 15 7.2. 1) ⎨ ⎩3x + 8 y = −1

⎧7 x + 9 y = 8 4) ⎨ ⎩9 x − 8 y = 69 ⎧2 x + 3 y = −4 2) ⎨ ⎩5 x + 6 y = −7

⎧3x − 2 y = 11 3) ⎨ ⎩4 x − 5 y = 3

⎧5 x + 6 y = 13 4) ⎨ ⎩7 x + 18 y = −1

bnpytfojU!tjtufnfcj!Tflsfcjt!yfsyjU)$$8/4<!8/5*;! ⎧2 x + y = 11 7.3. 1) ⎨ ⎩3x − y = 9 ⎧x − 3 y = 4 3) ⎨ ⎩5 x + 3 y = −1

⎧x + 5 y = 7 2) ⎨ ⎩ x − 3 y = −1 ⎧4 x + 3 y = 6 4) ⎨ ⎩2 x + y = 4

⎧2 x + 5 y = 25 7.4. 1) ⎨ ⎩4 x + 3 y = 15 ⎧6 x − 7 y = 40 3) ⎨ ⎩5 y − 2 x = −8

⎧4 x + 3 y = −4 2) ⎨ ⎩6 x + 5 y = −7

⎧2 x − 3 y = 8 4) ⎨ ⎩7 x − 5 y = −5

bnpytfojU!tjtufnfcj!)$$8/6.8/27*;! ⎧3(x − 1) = 4 y + 1 7.5. 1) ⎨ ⎩5( y − 1) = x + 1

⎧4(x + 2 ) = 1 − 5 y 2) ⎨ ⎩3( y + 2 ) = 3 − 2 x

230

⎧2(x + y ) − 3(x − y ) = 4 3) ⎨ ⎩5(x + y ) − 7(x − y ) = 2 ⎧2 x + 2 y = −1 7.6. 1) ⎨ ⎩− 0,5 x + 4 y = 2,5

⎧5(3 x + y ) − 8(x − 6 y ) = 200 4) ⎨ ⎩20(2 x − 3 y ) − 13(x − y ) = 520 ⎧3x + y = −1 2) ⎨ ⎩1,5 x − 0,5 y = −2,5

⎧0,5 x − 2,5 y = 3 ⎪ 4) ⎨ 1 2 ⎪⎩ x + 3 y = 3 ⎧x y ⎧ 2x y − =1 + = 11 ⎪⎪ 2 3 ⎪⎪ 9 4 7.7. 1) ⎨ 2) ⎨ ⎪ x + 2y = 8 ⎪ 5 x + y = 19 ⎩⎪ 4 3 ⎩⎪ 12 3 ⎧x + y y ⎧ x + y 2y 5 ⎪⎪ 3 + 5 = −2 ⎪⎪ 2 − 3 = 2 3) ⎨ 4) ⎨ ⎪ 2 x − y − 3x = 3 ⎪ 3x + 2 y = 0 ⎪⎩ 2 ⎪⎩ 3 4 2 ⎧ x + 1 y + 2 2(x − y ) ⎧ 2x + 3 ⎪⎪ 3 − 4 = =1 ⎪ 5 7.8. 1) ⎨ 3 y − 2 2) ⎨ x − 3 y − 3 ⎪ x(2 y − 5) − 2 y (x + 3) = 2 x + 1 ⎪ − = 2y − x ⎩ ⎪⎩ 4 3 y−6 ⎧ x −1 = ⎪ ⎧(x + 3)( y + 5) = (x + 1)( y + 8) ⎪ x + 15 y + 2 3) ⎨ 4) ⎨ ( )( ) ( )( ) 2 x − 3 5 y + 7 = 2 5 x − 6 y + 1 ⎩ ⎪x −3 = y − 4 ⎪⎩ x y −1

⎧0,5 x − 0,5 y = −1 3) ⎨ ⎩1,5 x − 6 y = −7,5

⎧1 1 5 ⎪x + y = 6 ⎪ 7.9. 1) ⎨ ⎪1 − 1 = 1 ⎪⎩ x y 6 ⎧2 ⎪x + ⎪ 3) ⎨ ⎪3 + ⎪⎩ x

5 = 30 y 4 = 31 y

⎧1 ⎪x − ⎪ 2) ⎨ ⎪5 + ⎪⎩ x

8 =8 y 4 = 51 y

⎧15 7 ⎪ x − y =9 ⎪ 4) ⎨ ⎪ 4 + 9 = 35 ⎪⎩ x y

231

1 5 ⎧ 1 ⎪x + y + x − y = 8 ⎪ 7.10. 1) ⎨ ⎪ 1 − 1 =3 ⎪⎩ x − y x + y 8

1 ⎧ 10 ⎪x −5 + y + 2 =1 ⎪ 2) ⎨ ⎪ 25 + 3 = 2 ⎪⎩ x − 5 y + 2

6 ⎧ 2 ⎪ x − y + x + y = 1,1 ⎪ 3) ⎨ ⎪ 4 − 9 = 0,1 ⎪⎩ x − y x + y

32 ⎧ 27 ⎪ 2x − y + x + 3y = 7 ⎪ 4) ⎨ ⎪ 45 − 48 = −1 ⎪⎩ 2 x − y x + 3 y

18 ⎧ 11 ⎪ 2 x − 3 y + 3 x − 2 y = 13 ⎪ 7.11. 1) ⎨ 2 ⎪ 27 − =1 ⎪⎩ 3x − 2 y 2 x − 3 y

1 ⎧ 4 ⎪ x + 2y − x − 2y = 1 ⎪ 2) ⎨ ⎪ 20 + 3 = 1 ⎪⎩ x + 2 y x − 2 y

1 1 ⎧ ⎪ x − y + 2 + 1 − x − y = 0,1 ⎪ 3) ⎨ 1 1 ⎪ + = 0,3 ⎪⎩ x − y + 2 x + y − 1 ⎧⎪2 x 2 − y = 2 7.12. 1) ⎨ ⎪⎩ x − y = 1

⎧⎪ x 2 + y 2 = 8 3) ⎨ ⎪⎩ x − y = 4

6 12 ⎧ ⎪ 2 x + y + 3 + y − 2 x − 1 = −1 ⎪ 4) ⎨ 3 3 ⎪ + =1 ⎪⎩ 2 x + y + 3 2 x − y + 1

⎧ xy = 15 2) ⎨ ⎩2 x − y = 7 ⎧⎪ x 2 + y 2 = 40 4) ⎨ ⎪⎩ x + y = 8

⎧⎪ x 2 + xy = 2 7.13. 1) ⎨ ⎪⎩ y − 3 x = 7

⎧⎪ x 2 − xy − y 2 = 19 2) ⎨ ⎪⎩ x − y = 7

⎧⎪ x 2 + y 2 − 6 y = 0 3) ⎨ ⎪⎩ y + 2 x = 0 ⎧1 1 3 ⎪ + = 7.14. 1) ⎨ x y 8 ⎪ x + y = 12 ⎩

⎧⎪ x 2 − xy + y 2 = 63 4) ⎨ ⎪⎩ x − y = −3 4 ⎧1 1 ⎪ − =− 5 2) ⎨ x y ⎪x − y = 4 ⎩

⎧(x − 1)( y − 1) = 2 3) ⎨ ⎩x + y = 5

⎧(x − 2 )( y + 1) = 1 4) ⎨ ⎩x − y = 3

232

5 ⎧ 4 ⎪ x −1 − y +1 = 1 ⎪ 7.15. 1) ⎨ ⎪ 3 =2 ⎪⎩ x + 3 y

⎧1 + x + x2 =3 ⎪ 3) ⎨1 + y + y 2 ⎪x + y = 6 ⎩ ⎧(x − 2 )( y − 3) = 1 ⎪ 7.16. 1) ⎨ x − 2 ⎪ y −3 =1 ⎩ ⎧ 3x − 2 y + =2 ⎪ 3) ⎨ y + 5 x ⎪x − y = 4 ⎩

2 ⎧ 3 ⎪x +5 + y −3 = 2 ⎪ 2) ⎨ ⎪ 4 = 1 ⎪⎩ x − 2 y − 6

⎧ x2 + y + 1 3 = ⎪ 4) ⎨ y 2 + x + 1 2 ⎪x − y = 1 ⎩ y+3 1 ⎧ ⎪ (3x − y )(3 y − x ) = 2 ⎪ 2) ⎨ ⎪x − y = 2 ⎪⎩ x + y 5 ⎧ 2x − 5 2 y − 3 + =4 ⎪ y −1 4) ⎨ x − 2 ⎪3x − 4 y = 1 ⎩

bnpytfojU! tjtufnfcj! wjfujt! Ufpsfnjt! hbnpzfofcjU! )$$8/28. 8/2:*;! ⎧x + y = 5 7.17. 1) ⎨ ⎩ xy = 4 ⎧x − y = 7 7.18. 1) ⎨ ⎩ xy = 18

⎧x + y = 8 2) ⎨ ⎩ xy = 7 ⎧x − y = 2 2) ⎨ ⎩ xy = 15

⎧⎪ x 2 + y 2 = 13 7.19. 1) ⎨ ⎪⎩ xy = 6 x ⎧ ⎪x + y + y = 9 ⎪ 3) ⎨ ⎪ (x + y )x = 20 ⎪⎩ y

⎧x + y = 2 3) ⎨ ⎩ xy = −15 ⎧ x − y = 16 3) ⎨ ⎩ xy = −48

⎧ x + y = −5 4) ⎨ ⎩ xy = −36 ⎧x − y = 3 4) ⎨ ⎩ xy = −2

⎧⎪ x 3 + y 3 = 7 2) ⎨ ⎪⎩ x 3 y 3 = −8 ⎧⎪ x 2 y + xy 2 = 6 4) ⎨ ⎪⎩ xy + x + y = 5

233

bnpytfojU!hboupmfcbUb!tjtufnfcj-!spnfmUb!nbsdyfob!obxjmfcj! fsUhwbspwbojb! x .jtb!eb! y .jt!njnbsU!)$$8/31<!8/32*;! ⎧⎪ x 2 − 5 y 2 = −1 7.20. 1) ⎨ ⎪⎩3xy + 7 y 2 = 1

⎧⎪ x 2 − 3 xy + y 2 = −1 3) ⎨ ⎪⎩3x 2 − xy + 3 y 2 = 13 ⎧⎪ x 2 − 2 xy − y 2 = 2 7.21. 1) ⎨ ⎪⎩ xy + y 2 = 4 ⎧⎪5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 29 3) ⎨ ⎪⎩7 x 2 − 8 xy + 7 y 2 = 43

⎧⎪3 y 2 − 2 xy = 160 2) ⎨ ⎪⎩ y 2 − 3xy − 2 x 2 = 8

⎧⎪3x 2 − 4 xy + 2 y 2 = 17 4) ⎨ ⎪⎩ x 2 − y 2 = −16 ⎧⎪ x 2 + xy + 4 y 2 = 6 2) ⎨ ⎪⎩3x 2 + 8 y 2 = 14 ⎧⎪3x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 4) ⎨ ⎪⎩5 x 2 − 9 xy − 3 y 2 = 15

bnpytfojU!tjtufnfcj!)$$8/33.8/3:*;! ⎧ x + y + xy = 5 7.22. 1) ⎨ ⎩ x + y − xy = 1 ⎧ xy − x + y = 7 3) ⎨ ⎩ xy + x − y = 13

⎧ x + 2 xy + y = 10 2) ⎨ ⎩ x − 2 xy + y = −2 ⎧ xy + x + y = 29 4) ⎨ ⎩ xy − 2(x + y ) = 2

⎧⎪ x 2 + y 2 + x + y = 18 7.23. 1) ⎨ ⎪⎩ x 2 − y 2 + x − y = 6

⎧⎪2 x 2 + 2 y 2 = 5 xy 2) ⎨ ⎪⎩4 x − 4 y = xy

⎧⎪2 x 2 − 3xy + 2 y 2 = 14 3) ⎨ ⎪⎩ x 2 + xy − y 2 = 5 ⎧(x + y )(8 − x ) = 10 7.24. 1) ⎨ ⎩(x + y )(5 − y ) = 20 ⎧⎪ x 2 − 5 y 2 − 3 x − y + 22 = 0 3) ⎨ ⎪⎩(x − 3)( y − 2) = y 2 − 3 y + 2 ⎧ x y 34 ⎪ + = 7.25. 1) ⎨ y x 15 ⎪ x 2 + y 2 = 34 ⎩

⎧⎪2 x 2 − 5 xy + 3 x − 2 y = 10 4) ⎨ ⎪⎩5 xy − 2 x 2 + 7 x − 8 y = 10 ⎧⎪2 x 2 − 3 xy + 5 y − 5 = 0 2) ⎨ ⎪⎩(x − 2)( y − 1) = 0

⎧⎪(x + y )2 − 4(x + y ) = 45 4) ⎨ ⎪⎩(x − y )2 − 2(x − y ) = 3 9 ⎧x y ⎪ y − x = 20 2) ⎨ ⎪x2 − y 2 = 9 ⎩

234

⎧ x y 5 + = ⎪ 3) ⎨ y x 2 ⎪ ⎩ x + y = 10 ⎧⎪ x + y = 5 7.26. 1) ⎨ ⎪⎩ xy = 6

⎧⎪ x + y + x 2 + y 2 = 18 3) ⎨ ⎪⎩ xy + x 2 + y 2 = 19 ⎧⎪ x 3 + y 3 = 72 7.27. 1) ⎨ ⎪⎩ x 2 − xy + y 2 = 12 ⎧⎪ x 3 − y 3 = 133 3) ⎨ ⎪⎩ x − y = 7 ⎧1 1 3 ⎪x + y = 2 ⎪ 7.28. 1) ⎨ ⎪1 + 1 =5 ⎪⎩ x 2 y 2 4 ⎧⎪ x 4 + y 4 = 82 3) ⎨ ⎪⎩ xy = 3 ⎧⎪ x + y − 1 = 1 7.29. 1) ⎨ ⎪⎩ x − y + 2 = 2 y − 2

⎧ x y − = ⎪ 4) ⎨ y x ⎪ ⎩x − y = 5 ⎧ x y + = ⎪ 2) ⎨ y x ⎪ ⎩ x + y = 25

5 6

5 2

⎧⎪ x + y + x 2 + y 2 = 18 4) ⎨ ⎪⎩ xy + x 2 + y 2 = 12 ⎧⎪ x 3 − y 3 = 218 2) ⎨ ⎪⎩ x 2 + xy + y 2 = 109 ⎧⎪ x 3 + y 3 = −217 4) ⎨ ⎪⎩ x + y = −7 ⎧1 1 1 ⎪ + = 2) ⎨ x y 3 ⎪ x 2 + y 2 = 160 ⎩ ⎧⎪ x 3 + y 3 = 35 4) ⎨ ⎪⎩ x + y = 5 ⎧⎪ x + 3 y + 1 = 2 2) ⎨ ⎪⎩ 2 x − y + 2 = 7 y − 6

⎧x − y + x2 − 4 y 2 = 2 ⎧⎪ x 2 + 4 xy − 3 y 2 = x + 1 ⎪ 3) ⎨ 4) ⎨ ⎪⎩ x − y = 1 ⎪⎩ x 5 x 2 − 4 y 2 = 0 7.30. amouxsnelad gansazRvreT, aqvs Tu ara mocemul sistemas: a) erTi amonaxsni, b) amonaxsnebis usasrulo simravle, g) ara aqvs amonaxsni: ⎧5 x + 3 y = 15 ⎧3 x + 10 y = 16 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩10 x − 6 y = 0 ⎩6 x + 20 y = 32 ⎧2 x + y = 11 3) ⎨ ⎩ x + 3 y = 18

⎧6 x − 9 y = 4 4) ⎨ ⎩4 x − 6 y = 9

235

7.31. ipoveT a -s mniSvnelobebi, romelTaTvisac sistemebs ara aqvs amonaxsni: ⎧4 x + 3 y = 12 ⎧3 x + 8 y = 10 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩2 x + ay = 5 ⎩ x − ay = 7 ⎧ax − 5 y = 9 ⎧3x + 2ay = 1 3) ⎨ 4) ⎨ 2 x − 3 y = 15 ⎩ ⎩(3a − 1)x − ay = 1 7.32. ipoveT m -isa da n -is mniSvnelobebi, romelTaTvisac sistemebs aqvT amonaxsnTa usasrulo simravle: ⎧mx + ny = 8 ⎧mx + (n − 1) y = 2 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩5 x + 3 y = 4 ⎩3x + 10 y = −1 ⎧6 x + y = 10 ⎪ 4) ⎨ 1 2 ⎪⎩(n + 1)x + n y = n + m 7.33. ipoveT m -is mniSvnelobebi, romelTaTvisac sistemebs: a) aqvs amonaxsnebis usasrulo simravle, b) ara aqvs amonaxsni: ⎧(3 + m )x + 4 y = 5 − 3m ⎧(m + 5)x + (2m + 3) y = 7 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩2 x + (5 + m ) y = 8 ⎩(3m + 10)x + (5m + 6) y = 16 ⎧2 x + 3 y = 8 3) ⎨ ⎩mx + y = n

⎧(m + 2)x + 2my = 8 3) ⎨ ⎩mx + 2 y = 4

⎧(m + 5)x + 8 y = 12 4) ⎨ ⎩− x + (m − 1) y = 3m

bnpytfojU!tjtufnfcj!)$$8/45<!8/46*;! ⎧2 x − 3 y + z = 2 ⎪ 7.34. 1) ⎨ x + 5 y − 4 z = −5 ⎪4 x + y − 3 z = −4 ⎩ ⎧2 x + y − 5 = 0 ⎪ 3) ⎨ x + 3 z − 16 = 0 ⎪5 y − z − 10 = 0 ⎩

⎧x + y = 1 ⎪ 7.35. 1) ⎨ y + z = 2 ⎪ xz = 6 ⎩

⎧x + 2 y + z = 4 ⎪ 2) ⎨3x − 5 y + 3 z = 1 ⎪2 x + 7 y − z = 8 ⎩ ⎧ x + y − 2 z = −8 ⎪ 4) ⎨3x + 2 y = −6 ⎪y + z = 3 ⎩

⎧x − y = 2 ⎪ 2) ⎨ y + z = 7 ⎪ 2 2 ⎩ x + z = 41

236

⎧ xy = 2 ⎪ 3) ⎨ yz = 6 ⎪ xz = 3 ⎩

⎧ xy = 6 ⎪ 4) ⎨ yz = 12 ⎪ xz = 8 ⎩

$8. vupmpcfcj! bnpytfojU!vupmpcfcj!)$$9/2.9/6*;! 8.1. 1) 3) 8.2. 1) 3) 8.3. 1) 3) 8.4. 1) 3) 8.5. 1) 3)

7 x − 24 < 4 ; 17 − x > 6 − 6 x ; 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2) ;

2) 4) 2) 4)

4(x − 1,5) − 1,2 > 6 x − 1 ; 2 + 3x <0; 18 3+ x 2− x + ≤0; 4 3 x −1 x +1 −1 < +8; 4 3 3x − 1 x − 1 − ≥0; 2 4 1 4x + 1 x 5− <3 − ; 3 2 8 2 − ≥ 0; 3− x

2) 4) 2) 4) 2) 4)

18 − 5 x < 12 ; 12 x + 0,5 ≤ 13 x − 1 . 4(x + 8) − 7(x − 1) < 12 ;

1,7 − 3(1 − x ) < −(x − 1,9 ) . x − 3 2x − 1 x− + <4; 5 10 2x − 1 x + 3 + ≥1. 4 2 1 − 2x 1 − 5x ; −2< 4 8 5 x 3x − 1 2 x − 1 − + ≤1. 6 3 2 3x 5 4 x − 3 3− > − ; 2 8 6 x2 ≤0. 3x + 5

bnpytfojU!vupmpcbUb!tjtufnfcj!)$$9/7.9/21*;! ⎧ x > 17, ⎧ x ≤ 1, 2) ⎨ 8.6. 1) ⎨ ⎩ x > 12; ⎩ x < 5; ⎧1 − 2 x < −9, 8.7. 1) ⎨ ⎩3x + 1 < 13;

⎧ x ≥ 0, ⎧ x < −3,5, 3) ⎨ 4) ⎨ ⎩ x < 6; ⎩ x > 8. ⎧3 x + 7 ≥ 9 + 2 x, 2) ⎨ ⎩5 + x > 2 x + 2;

⎧5 x + 3 > 8, 3) ⎨ ⎩0,7 − 3x ≤ −2,6; ⎧5(x − 2 ) − x > 2, 8.8. 1) ⎨ ⎩1 − 3(x − 1) < −2; ⎧10(x − 1) + 11 > 4 x + 5(x + 1), 3) ⎨ ⎩3x − 5 > 2(x − 1);

⎧ x + 4 < 2 x, 4) ⎨ ⎩1 − x > −2. ⎧2 x − (x − 4 ) < 6, 2) ⎨ ⎩ x ≥ 3(2 x − 1) + 18; ⎧17(3 x − 1) − 50 x + 1 < 2(x + 4 ), 4) ⎨ ⎩12 − 11x < 11x + 10.

⎧ x − 4 < 8, ⎪ 8.9. 1) ⎨2 x + 5 < 13, ⎪3 − x > 1; ⎩

⎧2 x − 1 < x + 3, ⎪ 2) ⎨5 x − 1 > 6 − 2 x, ⎪ x − 3 < 0; ⎩

237

⎧3 − 2 x < 7, ⎪7 x > 7, ⎪ 3) ⎨ ⎪12 x > 144, ⎪⎩1 − x < 1; 3 + 4x ⎧7 − x −3< − 4, ⎪⎪ 2 5 8.10. 1) ⎨ ⎪ 5 x + 5(4 − x ) < 2(4 − x ); ⎩⎪ 3 ⎧7x −1 ⎪⎪ 5 + x < 7, 3) ⎨ ⎪ x + 7 x − 1 > 7; ⎪⎩ 5

⎧5 x − 4 < 4 x − 2, ⎪1 − 2 x > 2 − 4 x, ⎪ 4) ⎨ ⎪3x − 3 < 5 x − 5, ⎪⎩17 x > 0. 4x − 1 ⎧ x− < 10, ⎪⎪ 3 2) ⎨ ⎪4 x − 1 − x < 10; 3 ⎩⎪ ⎧ 2 x − 1 x − 3 3x − 1 ⎪⎪ 4 − 3 < 4 − 1, 4) ⎨ ⎪ 5 x + 6 − 2 x < 3 x − 7 + 4. ⎪⎩ 4 5

bnpytfojU!vupmpcfcj!)$$9/22.9/4:*;! 8.11. 1) x(x − 5) > 0;

(x − 2)(x − 4) > 0;

⎛1 ⎞ 3) ⎜ − x ⎟(x − 4) > 0 ; ⎝2 ⎠ 8.12. 1) −1 < 2 x − 3 < 5 ; 3) 4 < 7 − 3x < x − 1 ;

4) (2 x + 3)(x − 1) < 0 .

8.13. 1)

2) − x − 4 ≤ 5 + 2 x < 3 ; 4) 2 x − 3 < 3x − 1 ≤ x + 5 .

(x − 8)(x 2 + 6) > 0 ; x2 + 4 <0; 2− x

3 x − 10 <0; x+4 8x − 1 <0; 8.15. 1) 4x

8.14. 1)

4) 5− x ≤0; 3 − 2x 3 − 4x <0; 2) x +1

2x − 4 x−3 2) >2; >2; x−3 x+2 8.17. 1) x 2 − 4 x + 3 > 0 ;

8.16. 1)

3) − 5 x 2 − 3 x + 2 > 0 ;

(x − 2)2 (x − 3) < 0 ; x +1

(x − 3)2

≥0.

3 − 2x 5x ≥ 0 ; 4) >0. 4x − 1 1+ x 5 − 5x 14 − 2 x ≥ 0 ; 4) 3) >0. 4x + 4 (8 − x )2 3x + 1 x−4 3) > −3 ; 4) <2. 3x − 5 x −1 2) x 2 − x + 1 ≥ 0 ;

4) x 2 − 6 x + 10 ≤ 0 .

8.18. 1) x 2 − 14 x + 45 ≥ 0 ;

2) x 2 − 4 x + 15 > 0 ;

3) x − 11x + 30 ≥ 0 ;

4) x 2 − 4 x + 3 > 0 .

8.19. 1) 3x 2 − 5 x − 2 > 0 ;

2) 5 x 2 − 7 x + 2 ≤ 0 ;

3) 3x 2 − 7 x − 6 < 0 ;

4) 3x 2 − 2 x + 5 ≥ 0 .

238

8.20. 1) x 2 − 10 x + 21 ≤ 0 ;

2) x 2 − 2 x − 48 < 0 ;

3) 6 x 2 − x − 1 < 0 ; 8.21. 1) 3x + 4 x < 0 ;

4) 5 x 2 + 6 x + 1 ≥ 0 . 2) x − 9 > 0 ;

8.22. 1) (5 − 7 x )2 (x − 3) < 0 ;

3) x 2 − 10 x ≤ 0 ;

4) x 2 − 5 ≥ 0 .

2) (2 x − 3)2 (4 − x ) > 0 ;

(

)

3) (3 x − 1)(4 − x )(2 x − 3)2 ≤ 0 ; 4) x 2 − 16 (x − 4)(8 − x ) ≥ 0 . 8.23. 1) x(x − 3)(2 x − 5) ≤ 0 ; 2) (4 x − 6 )(x − 3)(5 x − 1) ≥ 0 ; 3) (x − 5)(2 x − 7 )(2 − 3 x )(4 x − 9) > 0 ; 4) 8.24. 1)

(x − 1)(3x − 4)(5 − 6 x )(2 x − 1)2 < 0 . (x − 1)(x − 2) > 0 ; (x − 3)(x − 5) > 0 ; 2) x−3

x−2

x −1 ≤0; x + 4x + 3

x − 6 x + 18 ≥0. x−4

8.25. 1)

x2 + 2x − 3 ≥0; x2 − 2x + 8

x 2 + 5x + 4 <0; x 2 − 5x − 6

x 2 + 2 x − 15 ≤0; x +1

x 2 − 6 x − 16 > 0. − x 2 + 8 x − 12

x+2 ≥0; x2 − 7x + 6 2 x − 17 x − 5 4) 3 − > . x−5 x+2 1 5 + ≤1; 2) 2− x 2+ x

x 2 − 5x + 8 ≤ 0; x 2 − 8 x + 15 x−3 x−2 3) 2 − > ; x − 2 x −1 1 3 8.27. 1) ; < x+2 x−3

8.26. 1)

3) 5 x − 20 ≤ x 2 ≤ 8 x ; 8.28. 1) 3)

15 > 1; 4 + 3x − x 2

x(x − 2)2 ≤0; (x − 1)(x + 3)(x + 4)

8.29. 1)

x −1 > 2 ;

8.30. 1) 3) 8.31. 1)

4) 1 < 2)

x 2 − x − 12 ≥ 2x ; x−3

1 4 5 + − ≤0. x − 2 x +1 x + 4

3x + 12 > −1 ; 4) 2 x + 1 ≤ 0 .

x 2 − 21 > 2 ;

x 2 + 5x + 5 ≥ 1 ;

x 2 − 36 < 8 ;

x 2 − 7 x + 10 < 2 .

2x − 4 > x − 3 ;

3x − 4 < 2 x + 1 ;

1 − 4x ≥ 1 ;

3x 2 − 7 x + 8 <2. x2 + 1

239

3) 8.32. 1)

4x + 7 < x − 3 ;

3 − 4x > 2x + 7 .

x2 − 6x + 5 < x2 − 2x − 3 ;

x 2 + x − 2 > 2 x 2 + 3x − 5 ;

x 2 − 3x − 10 < x + 11 ;

4 x 2 + 12 x + 9 < 3 x 2 − 8 x + 16 .

8.33. 1) 3) 8.34. 1)

9 x − 20 < x ;

2) 2 − x > 3 x − 2 ;

2x + 1 < 2x − 1 ;

4) 3x + 1 > 6 x + 5 .

x + 3 > x +1;

2) x + 2 < x + 14 ;

3) x + 4 < x + 46 ; 8.35. 1) 3) 8.36. 1) 3) 8.37. 1) 3) 8.38. 1) 3) 8.39. 1)

4) x − 3 < x + 27 .

x − 4 x − 12 < x − 1 ;

3x − x 2 < 4 − x ;

x2 + x − 2 > x ;

x 2 + 5x + 4 > x + 2 .

(x − 1) (x + 2 )

x2 − x − 2 > 0 ;

x2 − 2x − 3 ≥ 0 ;

x−7 4 x 2 − 19 x + 12

(x + 3) x−5 x+7 4 2− x

<0;

6− x ≥0; 8− x

>1;

− 2− x < 2;

x+5 < 1; 1− x

( x − 3) (x − 1)

x2 + x − 2 < 0 ; − x2 + x + 6 ≤ 0 .

17 − 15 x − 2 x 2 ≥0; x+3

(x + 3) 3− x 15 − x 3 3x + 2

6− x 8− x

≥ 0.

< 1; − 3x + 2 ≥ 2 .

52 − x 2 < 1; 2− x

24 − 2 x − x 2 2 − x + 4x − 3 < 1; 4) ≥2. x x 8.40. aCveneT, rom utolobas amonaxsni ara aqvs: 3)

( x − 5)

3 − x + x − 5 ≥ −2 ;

1 + 2(x − 3)2 + 5 − 4 x + x 2 <

3 ; 2

240

− x−7 >

)

+ 3 x 2 − 25 ; x2 + 1

x2 + 1 +

<2. x +1 8.41. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs dadebiTi amonaxsni: 2) 3(x − a ) = 2(4 − x ) ; 1) 2 x − a = 4 − 5 x ;

3) 2(x + a ) = 8 − a + x ; 4) 3(x − a ) = 4 − 5a + x . 8.42. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs uaryofiTi amonaxsni: 2) 3(x − 2a ) = 2 x + a − 3 ; 1) 2(a − x ) = a + 2 − 4 x ; 3) 5(4a − x ) = 7(2 − x ) ; 4) 3(2a − 3x ) = 2(3 − x ) . 8.43. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebis amonaxsni akmayofilebs miTiTebul utolobas: 2) 5(a − x ) = 3 + 2a, x < 1 ; 1) 3(x + a ) = 2 − x, x > 2 ; 3) 3(3a − 2 x ) = 12a − 2, x < 3 ; 4) 5(2a + 3x ) = 6a + 4, x < 1 . 8.44. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac: 1) 3(2 x − a ) = 4 + 2 x gantolebis amonaxsni metia 2(a − 2 x ) = 6 − x gantolebis amonaxsnze. 2) 5(2a − 3x ) = 4(3 − 5 x ) gantolebis amonaxsni naklebia 3(2 x − 3a ) = 2(5 − x ) gantolebis amonaxsnze. 3) 3(x + 2a ) = 5 − 2 x gantolebis amonaxsni metia 2(3 − 2 x ) = 7a − x gantolebis amonaxsnze. 4) 3(5 + 2 x ) = 2a + 3 x gantolebis amonaxsni naklebia 2(3a − x ) = 6 − x gantolebis amonaxsnze. 8.45. a -s ra mniSvnelobisaTvis aqvs gantolebas amonaxsni: 1) 5(10 − a ) x 2 − 10 x + 6 − a = 0 ; 2) (a − 3) x 2 − 2(3a − 4)x + 7 a − 6 = 0 ;

4) ax 2 + 2(a + 1)x − 2a − 1 = 0 . 3) 5(a + 4 )x 2 − 10 x + a = 0 ; 8.46. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac:

( ) (a − 9)x = a

1) a 2 − 1 x = a 2 − 4a + 3 gantolebas ara aqvs amonaxsni; 2)

+ 2a − 3 gantolebas aqvs uamravi amonaxsni;

3) (a − 1)(a + 2)x = a + 2 gantolebas aqvs uamravi amonaxsni;

(

)

4) a 2 − 4a + 3 x = a − 1 gantolebas ara aqvs amonaxsni.

241

8.47. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas: 1) (3a − 1)x 2 + 2ax + 3a − 2 = 0 aqvs ori amonaxsni;

2) (2a + 1)x 2 − 2ax + a + 2 = 0 aqvs erTi amonaxsni mainc; 3) (2a − 1)x 2 + ax + 2a − 3 = 0 aqvs araumetes erTi amonaxsni; 4) (a + 1)x 2 − (a + 1)x + a − 2 = 0 aqvs erTi amonaxsni. 8.48. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs mxolod niSniT gansxvavebuli fesvebi:

(

)

1) x 2 − a 2 − 9 x − 2a + 1 = 0 ;

(

( ) + 2(a − 2a − 3)x − 5 = 0 .

2) 3x 2 + a 2 − 4 x + 2 − 5a = 0 ;

)

2 3) 2ax + 2 a − 3a + 2 x + 2a − 3 = 0 ; 4) ax 8.49. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac mocemul gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis fesvebi: 2

1) (a − 2 )x 2 − 3ax + a + 5 = 0 ;

2) (a + 1)x 2 + ax + a − 5 = 0 ;

3) x 2 + 2ax + a 2 − 9 = 0 ; 4) x 2 + ax + a 2 + 5a + 4 = 0 . 8.50. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs ori (gansxvavebuli) dadebiTi amonaxsni: 1) x 2 − (2m − 1)x + m 2 − 9 = 0 ;

2) x 2 − (2m + 4 )x + m 2 − 4 = 0 ;

4) x 2 − (2m − 2 )x + m 2 − 8 = 0 . 3) x 2 − (2m + 6 )x + m 2 + 13 = 0 ; 8.51. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs ori (gansxvavebuli) uaryofiTi amonaxsni: 1) x 2 + 2(a + 1)x + a 2 + 18 = 0 ;

2) x 2 − 2(a − 5)x + a 2 − 1 = 0 ;

3) x 2 + 2(a − 1)x + 4 = 0 ;

4) 2 x 2 + (a + 1)x +

a2 −1 = 0 . 8

a .t! sb! nojTwofmpcjtbUwjt! Tftsvmefcb! ! vupmpcb! ofcjtnjfsj! x .jtbUwjt!)$$9/63.9/65*;! 8.52. 1) x 2 + 2 x + a > 0 ;

2) x 2 + 2 x + a > 10 ;

3) x 2 + 6 x + (5a − 1)(a − 1) > 0 ;

4) x 2 + (a + 2 )x + 8a + 1 > 0 . 2) ax 2 + (4a + 1)x + 4a − 1 < 0 ;

8.53. 1) ax 2 + 12 x − 5 < 0 ; 3) (2 − a )x 2 − (2a + 1)x − a + 1 > 0 ;

242

4) (3a − 10 )x 2 − 6ax − 9 < 0 .

x 2 − ax − 2 > −1 ; x 2 − 3x + 4 3x 2 + ax − 6 2 x 2 + ax − 4 3) − 6 < 2 <4; 4) − 9 < 2 <6. x − x +1 x − x +1 8.55. ipoveT a -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac mocemul gamosaxulebas azri ara aqvs x -is arcerTi mniSvnelobisaTvis:

8.54. 1)

x 2 + ax − 1 < 1; 2x2 − 2x + 3

2) − x 2 + 2(a − 1)x − a + 1 .

(a − 2)x 2 − ax + a + 2 ;

jqpwfU! m .jt! zwfmb! nojTwofmpcb-! spnmjtUwjtbd! npdfnvm! hboupmfcbt!brwt!hbotywbwfcvmj!gftwfcj!eb!jtjoj!blnbzpgjmfcfo! njUjUfcvm!qjspcbt;!)$$9/67<!9/68*;! 8.56. 1) (2m + 3)x 2 − 3(m + 1)x + m = 0 ,

x1 + x2 < 0 ;

2) mx + 2(m + 1)x + m + 4 = 0 ,

x1 ⋅ x2 > 0 ; 1 +2<0; x1 + x2

(

)

3) m 2 + m + 8 x 2 − (2m − 1)x − 3 = 0 , 4) x 2 + (2m − 1)x + m 2 − 3m − 4 = 0 ,

6 +1 < 0 . x1 x2 x1 x2 >0; x1 + x2

8.57. 1) x 2 − (2m + 1)x + m 2 − 5m + 6 = 0 , 2) x 2 − 2(m + 1)x + m 2 + 5m + 6 = 0 ,

1 1 + < 0; x1 x2

3) x 2 − (m + 9 )x − 6m 2 + 7m + 20 = 0 ,

x1 x2 + < −2 ; x2 x1

4) x 2 − (m + 2 )x + m + 1 = 0 ,

x13 + x23 > 0 .

! jqpwfU! a .t!zwfmb!nojTwofmpcb-!spnmjtUwjtbd!)9/69.9/72*;! 8.58.1) x 2 − 6ax + 9a 2 − 2a + 2 = 0 gantolebis orive fesvi metia 3–ze; 2) x 2 + x + a = 0 gantolebis orive fesvi metia a –ze; 3) x 2 + 4ax + 4a 2 − 2a + 1 = 0 gantolebis orive fesvi naklebia _1-ze.

243

(2 − a )x 2 − 3ax + 2a = 0

kvadratuli gantolebis orive

1 –ze; 2 8.59. 1) x 2 − (a + 1)ax + a 2 = 0 gantolebis udidesi fesvi metia 1 –ze; 2 erTi fesvi 2) a 2 + a + 1 x 2 + (2a − 3)x + a − 5 = 0 gantolebis naklebia 1–ze, xolo meore metia 1–ze;

fesvi metia

(

)

3) x 2 − ax + 2 = 0 gantolebis fesvebi moTavsebulia SualedSi; 4) 4 x 2 − 2 x + a = 0 ]− 1;1[ SualedSi.

gantolebis

8.60. 1) x 2 + ax + a 2 + 6a < 0 x ∈ ]1;2[ –saTvis;

utoloba

fesvebi

]0;3[

moTavsebulia

sruldeba

nebismieri

2) ax 2 − 4 x + 3a + 1 > 0 utoloba sruldeba yvela x > 0 – saTvis; 3) 2ax − x > a + 2 utolobidan gamomdinareobs x < −1 utoloba; 4) 3ax + 2a − 1 > 0 utolobidan gamomdinareobs x > 1 utoloba. 8.61. 1) ax 2 − x + 1 − a < 0 utolobidan gamomdinareobs 0 < x < 1 utoloba;

(

)

2) ax 2 + 1 − a 2 x − a > 0 utolobidan gamomdinareobs x < 2 utoloba;

(

)

3) x 2 − a 1 + a 2 x + a 4 < 0

utolobidan

gamomdinareobs

x + 4 x + 3 > 0 utoloba; 2

x 2 − 3x + 2 < 0

utolobis

yoveli

amonaxsni

ax − (3a + 1)x + 3 > 0 utolobis amonaxsnTa simravleSi.

Sedis

jqpwfU! a .t! zwfmb! nojTwofmpcb-! spnmjtUwjtbd! tjtufnjt! bnpobytofcj!blnbzpgjmfcfo!njUjUfcvm!qjspcfct!)$$9/73<!9/74*;! ⎧ x − 7 y = 1, 8.62. 1) ⎨ x < 0, y > 0 ; ⎩5 x + 3 y = a,

⎧3x + 7 y = a, x > 0, 2) ⎨ ⎩2 x + 5 y = 20, y > 0;

244

⎧(a − 2)x − 4 y = a − 1, x > 0, y < 0 . 4) ⎨ ⎩2 x + 2(a − 2 ) y = −1, ⎧ x + y = a, 2) ⎨ x> y; ⎩2 x − y = 3,

⎧3x − 6 y = 1, x < 0, y < 0 ; 3) ⎨ ⎩5 x − ay = 2, ⎧2 x + y = a + 2, 8.63. 1) ⎨ x+ y < 0; ⎩ x − y = a,

⎧ x + 7 y = a, ⎧ x − 2 y = 2a , 3) ⎨ x > y−2; 4) ⎨ x+ y >0. ⎩2 x − y = 5, ⎩3x + 5 y = 4, 8.64. SeiZleba Tu ara erTdroulad Sesruldes utolobebi: a b 1) ab < 0, bc > 0, ac > 0 ; 2) ab < 0, < 0, <0; 1− b 1− a 3) a 4 + b 4 ≥ 16, a 2 + b 2 < 4 ; 1 1 4) a(1 − b ) > , b(1 − a ) > , a > 0, b > 0 . 4 4

ebbnuljdfU!vupmpcb!)$$9/76.9/82*;! a 2 + b2 ≥ ab ; 2 a2 + 2 ≥2; 3) a2 + 1

8.65. 1)

(1 + a )2

2) (a + b )(b + c )(a + c ) ≥ 8abc , a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ; 4)

a2 + a + 2 a2 + a + 1

≥2.

2a 4 1 ≥ 4, a > 0 ; 3) a 2 + 2 ≥ 2 ; 4) ≤ 1. 2 a a 1 + a2 a a ⎛1 1⎞ 8.67. 1) (a + b ) ⎜ + ⎟ ≥ 4, a > 0, b > 0 ; 2) 1 + 2 ≥ 2, a1 > 0, a2 > 0 ; a2 a1 ⎝a b⎠

8.66. 1)

> a ; 2) a +

3) a 2 + c 2 ≥ 2b 2 , Tu a : b = b : c ; 1 1 b a + ≤ + , a > 0, b > 0 . 4) a b a 2 b2 8.68. 1) (1 − x )(1 − y )(1 − z ) ≥ 8 xyz, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 1 ; 2) 2a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2a(b + c ) ;

3) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac ;

4) a 2 + ab + b 2 ≥ 0 . m +1 m > , m, n ∈ N , m < n ; 8.69. 1) n +1 n 2) ab + ac + bc > 3abc, 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1 ; 3) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c ) ,

4) a + 2a b + 2ab + b ≥ 6a b . 4

2 2

245

a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ;

1 8.70. 1) x 2 + y 2 + z 2 ≥ , Tu x + y + z = 1 ; 3 1 2 2 2) a + b ≥ , Tu a + b = 1 ; 2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 3) ⎜1 + ⎟⎜⎜1 + ⎟⎟ ≥ 9 , Tu x > 0, y > 0, x + y = 1 ; x ⎠⎝ y⎠ ⎝

4) a 3 + b 3 ≥ 16 , Tu a + b = 4, a ≥ 0, b ≥ 0 . 8.71. 1) (a + 2 )(b + 2)(a + b ) ≥ 16ab , a ≥ 0, b ≥ 0 ; ⎛ x ⎞⎛ y ⎞⎛ z⎞ 2) ⎜⎜1 + ⎟⎟⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ ≥ 8 , y z x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x > 0, y > 0, z > 0 ;

a 3 + b3 ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ , 2 ⎝ 2 ⎠

a+b ≥ 0 ;

4) a + b + c ≥ ab + ac + bc , 1 3 5 7 99 5) ⋅ ⋅ ⋅ L < 0,1 ; 2 4 6 8 100

a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 . 1 3 5 7 63 6) ⋅ ⋅ ⋅ L < 0,125 . 2 4 6 8 64

lppsejobuUb! tjcsuzf{f! ebTusjyfU! Tfnefhj! vupmpcjt! bo! vupmpcbUb!tjtufnjt!bnpobytoUb!tjnsbwmf!)$$9/83.9/97*;! 8.72. 1) x ≥ 0 ; 4) y ≤ 3,5 ; 7) −2 ≤ y < 4 ;

2) y ≤ 0 ; 5) 1 < x < 5 ; 8) 0 < y < 5 .

3) x ≥ 4 ; 6) −5 ≤ x ≤ 0 ;

8.73. 1) y ≤ x ; 3) y ≤ 2 x − 3 ;

2) y ≥ − x ; 4) y > − x − 2 .

8.74. 1) x + y > 1 ; 2) 3 x − y − 1 > 0 ;

2) x − y ≤ 1 ; 3) x + 5 y − 3 ≤ 0 .

8.75. 1) y ≥ x 2 ;

2) y ≤ −2x 2 ;

3) y > x 2 − 4 ;

4) y ≤ 3 − x 2 .

8.76. 1) y ≥ x 2 − 4 x + 3 ;

2) y ≤ 2 x 2 − 5 x + 2 ;

3) y ≥ x 2 − 2 x + 5 ;

4) y ≤ − x 2 − 4 x − 5 .

8.77. 1) y ≤

1 ; x

2) y ≥ −

246

2 ; x

3) y ≥ x 3 ; 5) xy ≥ 0 ;

4) y ≤ x ; 6) xy ≤ −2 ;

7) x 2 + y 2 ≤ 4 ;

8) x 2 + y 2 ≥ 9 .

⎧x ≥ 0 8.78. 1) ⎨ ⎩y ≤ 0 ⎧x > 2 3) ⎨ ⎩ y < −1

⎧x ≤ 0 2) ⎨ ⎩y ≤ 0 ⎧ x ≤ −3 4) ⎨ ⎩ y ≥ 0.

⎧ y ≥ −x 8.79. 1) ⎨ ⎩y ≤ 4 ⎧y ≤ x + 1 3) ⎨ ⎩y ≤1 − x

⎧y ≤ x 2) ⎨ ⎩ y ≥ −x ⎧y ≥ x − 2 4) ⎨ ⎩ y ≤ 0,5 x + 1

⎧− 1 ≤ x ≤ 2 8.80. 1) ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 3 ⎧ y ≥ 2x − 6 3) ⎨ ⎩ y ≤ 2x + 6

⎧1 ≤ x ≤ 4 2) ⎨ ⎩− 5 ≤ y ≤ −3 ⎧ y − 3x − 6 ≤ 0 4) ⎨ ⎩ y + 2x − 6 ≤ 0

⎧ y ≥ 2x 2 8.81. 1) ⎨ ⎩y ≤ 4 2 ⎧ ⎪y ≥ 3) ⎨ x ⎪x ≥ 3 ⎩

⎧ y ≤ 3x 2 2) ⎨ ⎩0 < x < 1

⎧ y ≥ x 2 − 4x + 3 8.82. 1) ⎨ ⎩y ≤ x − 3 ⎧⎪ y ≥ x 2 3) ⎨ ⎪⎩ y ≤ 9 − x 2

⎧ y ≤ − x 2 + 5x − 6 2) ⎨ ⎩ y ≥ 1 − 3x ⎧⎪ y ≥ x 2 − 4 x + 3 4) ⎨ ⎪⎩ y ≤ − x 2 + 5 x − 6

2 ⎧ ⎪y ≥ 8.83. 1) ⎨ x ⎪y ≤ 3 − x ⎩ ⎧⎪ y ≥ x 3 3) ⎨ ⎪⎩ y ≤ x

3 ⎧ ⎪y ≤ − 2) ⎨ x ⎪y ≥ x − 5 ⎩

1 ⎧ ⎪y ≤ − 4) ⎨ x ⎪y ≥ 2 ⎩

⎧y ≤ x3 4) ⎨ ⎩y ≥ x

247

⎧y > x ⎪ 8.84. 1) ⎨ y < 2 x ⎪y < 4 ⎩

⎧x − y > 3 ⎪ 2) ⎨ x + y ≤ 5 ⎪ y ≥ −1 ⎩ ⎧y ≤ x ⎪ 4) ⎨ y ≤ − x + 2 ⎪y ≥ 0 ⎩

⎧y − x < 2 ⎪ 3) ⎨ y + x > 4 ⎪x − 4 > 0 ⎩ ⎧ xy < 2 8.85. 1) ⎨ ⎩y < x + 3 ⎧x 2 + y 2 ≤ 9 3) ⎨ ⎩x + y ≥ 0 ⎧⎪ x 2 + y 2 ≤ 9 5) ⎨ ⎪⎩ y ≥ x 2

⎧ xy + 1 > 0 2) ⎨ ⎩y > x + 2 ⎧x 2 + y 2 ≥ 4 4) ⎨ ⎩x − y − 2 ≤ 0 ⎧⎪ x 2 + y 2 ≥ 1 6) ⎨ ⎪⎩ y ≤ − x 2 .

8.86. sakoordinato sibrtyeze daStrixeT miTiTebuli simravle, Tu: B = {( x; y ) | y ≥ 3 − x}, A − B = ? 1) A = {( x; y ) | y ≤ x + 1}, 2) A = {( x; y ) | x + y ≥ 2}, B = {( x; y ) | x − y ≥ 2}, B − A = ?

{

}

3) A = ( x; y ) | y ≥ x 2 ,

{

}

4) A = ( x; y ) | y ≥ x , 5) A = {( x; y ) | x + y < 2}, C = {( x; y ) | x ≥ 1}, 6) A = {( x; y ) | y > 2 x − 1}, C = {( x; y ) | x < −1},

{

}

B = {( x; y ) | y > x + 2}, A − B = ?

1⎫ ⎧ B = ⎨( x; y ) | y ≥ ⎬, x⎭ ⎩ B = {( x; y ) | y > x − 2}, ( A \ B) I C = ?

B = {( x; y ) | y > 3 − x},

( A I B) \ C = ?

7) A = ( x; y ) | y ≥ x , C = {( x; y ) | x > 1},

B = {( x; y ) | y < x},

8) A = ( x; y ) | y ≤ x , C = {( x; y ) | x ≤ 2},

B = {( x; y ) | y ≥ 1 − 2 x},

{

}

A \ (B I C) = ?

( A I B) \ C .

248

B− A=?

$9.

npevmjt!Tfndwfmj!hboupmfcfcj!eb!vupmpcfcj! bnpytfojU!hboupmfcb!)$$:/2.:/27*;!

9.1.

1) 1 − x = 0,5 ;

9.2.

1) x − 1 = 2 x − 3 ;

2) x + 2 = 1 − 3 x ;

3) 5 x − 1 = x + 3 ;

4) 6 x + 1 = 4 x + 3 .

1) 5 − x = x + 4 ;

2) 1 − 3 x = 3 x − 4 ;

3) 3 x − 5 = 5 − 2 x ;

4) 2 x − 3 = 4 − 3 x .

1) 3x − 2 − x − 3 = 3 ;

2) 5 − 2 x − 4 − 3 x = 1 ;

3) 4 − 3 x − x + 6 = 4 ;

4) 7 − 4 x + 3 − x = 6 .

1) 5 − 2 x + x + 3 = 2 − 3 x ;

2) 2 x − 5 − 3 x = x + 7 ;

3) x − 2 + 2 2 x + 3 = x ;

4) 2 x − 1 − 31 − x = 2 x .

1) 1 − x − x + 3 = x + 2 ;

2) x − 4 + 10 − x = x − 1 ;

3) x − 3 − 2 x + 1 = 3 x − 1 ;

4) x + x + 2 + 2 − x = x + 1 .

1) x 2 − 1 = 3 ;

2) x 2 − 5 = 4 ;

3) x 2 + 4 x + 5 = 2 ;

4) x 2 − 5 x + 7 = 1 .

1) x 2 − 4 + x 2 − 3x + 2 = 0 ;

2) 3 x 2 − 9 + 2 4 x − x 2 − 3 = 0 ;

9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

9.7.

9.8.

2) 3 − x = 2,5 ; 3) x − 1 = 2 ; 4) x + 2 = 2 .

3) x 2 + 5 x + 6 + 2 − x − x 2 = 0 ; 4) 2 x 2 − 6 x + 8 + 3 4 + 3x − x 2 = 0 . 9.9.

1) x 2 − 8 x = 20 ;

2) 3x 2 + 2 x − 8 = 0 ;

3) 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 ;

4) 4 x 2 − x − 3 = 0 .

9.10. 1) x 2 − 6 x + 2 + 5 = 0 ;

2) x 2 − 2 x + 4 + 5 = 0 ;

3) 2 x 2 − 5 x − 2 = 0 ;

4) 3 x − 1 + x 2 − 7 = 0 .

9.11. 1) x 2 − 4 x − 2 x − 2 + 1 = 0 ;

2) x 2 + 6 x − 4 x + 3 − 12 = 0 ;

3) x 2 − 7 x + 12 = x − 4 ;

4) x 2 − x − 2 = 5 x − 3 . 2) x − 6 (x − 2 ) + 2 − x = 0 ;

9.12. 1) x − 2 (x − 5) = x − 2 ;

(

)

4) x 2 − 8 (x − 2) = x − 2 .

3) x − 5 x + 6 9 − x = 0 ; 2

249

9.13. 1) x 2 − x = x 2 + 1 ;

2) x 2 − 3x = 2 − x 2 ;

3) x 2 + 3 x = 2 − x 2 ; 8 =0; x −1

8 = x +1 ; x +1 − 2

4 = x−5 ; x−5 −3

7 = x+4 . x+4 −6

9.14. 1) x − 1 − 3)

4) x 2 − 6 x + 8 = 4 x − x 2 .

9.15. 1) x − x 2 − 1 = 2 x − 3 + x 2 ;

2) x 2 − 4 − x 2 − 9 = 5 ;

3) x 2 + 2 x − x − 2 = x 2 − x ; 4) x − 15 x − 34 = 15 x − x + 34 . 9.16. 1)

4 = x −1 ; x +1 − 2

2 = x−3 ; x−5 −3

3 = x+2 ; x + 3 −1

7 = x+2 . x −1 − 3

bnpytfojU!tjtufnb!)$$:/28.:/2:*;! ⎧⎪3x + y = 4 9.17. 1) ⎨ ⎪⎩ 2 x − y = 1

⎧⎪ x − 3 y = 1 2) ⎨ ⎪⎩2 x − y = 3

⎧⎪ x + 2 y = 5 3) ⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 3

⎧⎪ 2 x − 3 y = 5 4) ⎨ ⎪⎩4 x − y = 5 ⎧⎪ x + 2 y = 3 2) ⎨ ⎪⎩ x − 2 + y − 2 = 2

⎧⎪ x + 2 y = 3 9.18. 1) ⎨ ⎪⎩2 x − y = 1

⎧⎪ x − 1 + 2 y − 5 = 1 4) ⎨ ⎪⎩ y = 3 − x − 1

⎧⎪3x + y = 7 3) ⎨ ⎪⎩ x − 3 + y − 2 = 2 ⎧⎪ x + y = 2 9.19. 1) ⎨ ⎪⎩2 x + 3 y = 5

⎧⎪3 x − 2 y = 4 2) ⎨ ⎪⎩5 x + y = 11

⎧⎪2 x − 1 − y − 2 = 1 3) ⎨ ⎪⎩ x − 1 + 3 y − 2 = 4

⎧⎪ x + 1 + 3 y − 1 = 5 4) ⎨ ⎪⎩2 x + 1 − y − 1 = 3

bnpytfojU!vupmpcb!)$$:/31.:/3:*;! 250

9.20. 1) x − 2 ≤ 3 ;

2) 1 − x > 10 ;

3) x + 4 ≤ 3 ; 4) 3 x + 4 ≥ 1 .

9.21. 1) x − 4 ≥ 3 x − 5 ;

2) 3 − 2 x < 3 x + 2 ;

3) 5 x − 4 > x + 2 ;

4) 3x − 2 < 2 x + 5 .

9.22. 1) 2 x + 3 > x − 2 ;

2) 4 x + 1 − 3 x + 2 < 0 ;

3) 2 x − 7 − x + 5 < 1 ;

4) x − 1 + 2 x + 1 > 3 .

9.23. 1) x − 6 < 3 ;

2) x 2 − 9 ≤ 7 ;

3) x 2 − 5 x < 6 ;

4) x 2 − 5 x + 5 < 1 .

9.24. 1) x 2 − 4 > 3 ;

2) x 2 − 2 > 2 ;

3) x 2 − 4 x − 2 > 6 ;

4) x 2 − 2 x > 3 .

3x − 1 <1; x+2

3x + 1 < 3; x−3

x2 + 2x <2; x+5

x 2 − 3x + 1 <1. x2 + x + 1

9.26. 1)

1− x > 2; 3x + 1

x+3 ≥ 1; x2 − 4

x2 − 1 < 2; x+4

x 2 − 5x + 4 ≥1. x 2 + 5x + 4

9.25. 1) 3)

9.27. 1) 3) 9.28. 1) 3) 9.29. 1) 3)

x+ 4 −3 4 x−3 −3 10

1 ; x+4

1 ; x−3

x+ 2 −5 6 x+3 −2 3

1 ; x+2

1 . x+3

8 ≥ x−5 ; 2 − x −1

3 ≥ x +1 ; x−3 −2

4 ≥ x −1 ; x+2 −3

4 ≥ x +1 . x −1 − 2

6 x − 2 − 5 −1

5 x +1 − 3 − 4

x−2 −5 ; >

x +1 − 3 ;

251

2) 4)

2 x −1 −1 +1

8 x−2 −4 −2

x −1 −1 ; >

x−2 −4 .

%21/!bmhfcsvmj!bnpdbofcj! ! I. bnpdbofcjt!bnpytob!xsgjwj!hboupmfcfcjt!hbnpzfofcjU 10.1. sam klasSi sul 119 moswavlea. pirvel klasSi moswavleTa ricxvi 4-iT metia, vidre meore klasSi da 3-iT naklebia, vidre mesame klasSi. ramdeni moswavle yofila TiToeul klasSi? 10.2. traqtoristTa samma brigadam erTad 720 heqtari moxna. pirvelma brigadam 60 heqtariT meti moxna, vidre meorem, da 60 heqtariT naklebi, vidre mesame brigadam. ramdeni heqtari moxna TiToeulma brigadam? 10.3. moswavleebis 3 jgufma skolis nakveTze dargo 65 xe. meore jgufma dargo 10 xiT meti, vidre mesamem da 2jer meti, vidre pirvelma jgufma. ramdeni xe dargo TiToeulma jgufma? 10.4. skolis nakveTidan Seagroves 1800 kg bostneuli; kartofili iyo Segrovili 5-jer meti, vidre Warxali, xolo kombosto 120 kg-iT meti, vidre Warxali. TiToeuli kulturis ramdeni kilogrami bostneuli iyo Segrovili? 10.5. sami momdevno mTeli ricxvis jamia 180. ipoveT es ricxvebi. 10.6. ori momdevno mTeli ricxvis namravli 38-iT naklebia Semdegi ori momdevno mTeli ricxvis namravlze. ipoveT am ricxvebs Soris umciresi. 10.7. oTx momdevno mTel ricxvebs Soris umciresi 2 nawils. ipoveT es ricxvi warmoadgens udidesi ricxvis 3 ricxvebi. 10.8. oTx momdevno mTel ricxvebs Soris umciresi ricxvi warmoadgens udidesi ricxvis 80%-s. ipoveT am ricxvebs Soris umciresi. 10.9. marTkuTxedis sigrZe orjer metia mis siganeze. marTkuTxedis perimetri udris 144 sm-s. ipoveT marTkuTxedis sigrZe da sigane. 10.10. Tu marTkuTxedis sigrZes SevamcirebT 4sm-iT, xolo mis siganes gavadidebT 7 sm-iT, maSin miviRebT kvadrats, romlis farTobi 100 kv. sm-iT meti iqneba marTkuTxedis farTobze. ipoveT kvadratis gverdi. 252

10.11. marTkuTxedis sigrZe orjer metia mis siganeze. Tu marTkuTxedis TiToeul gverds gavadidebT 1 metriT, maSin misi farTobi gadiddeba 16 kv. metriT. ipoveT marTkuTxedis gverdebi. 10.12. marTkuTxedis sigrZe 3-jer metia mis siganeze. Tu marTkuTxedis siganes gavadidebT 4 m-iT, xolo mis sigrZes SevamcirebT 5 m-iT, maSin marTkuTxedis farTobi 15 kv. m-iT gadiddeba. ipoveT marTkuTxedis gverdebi. 10.13. erT avzSi orjer meti benzinia, vidre meoreSi. Tu pirveli avzidan meoreSi gadavasxamT 25 l benzins, maSin orive avzSi benzinis raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni litri benzini iyo TiToeul avzSi Tavdapirvelad? 10.14. erT sawyobSi orjer meti xorbali iyo, vidre meoreSi. pirveli sawyobidan gaitanes 750 t xorbali, meore sawyobSi ki miitanes 350 t; amis Semdeg orive sawyobSi xorblis raodenoba gaTanabrda. ramdeni tona xorbali iyo Tavdapirvelad TiToeul sawyobSi? 10.15. erT tomaraSi 60 kg Saqari iyo, meoreSi ki 80 kg. imis Semdeg rac meore tomridan amiRes 3-jer meti Saqari, vidre pirvelidan, pirvelSi darCa 2-jer meti Saqari, vidre meore tomaraSi. ramdeni kilogrami Saqari amoiRes TiToeuli tomridan? 10.16. pirvel ormoSi Caawyves 55 t silosi, meoreSi ki_63 t. imis Semdeg, rac meore ormodan waiRes orjer meti silosi, vidre pirveli ormodan, masSi darCa 5 t-iT naklebi, vidre pirvel ormoSi. ramdeni tona silosi wauRiaT TiToeuli ormodan? 10.17. erT auzSi 200 m 3 wyalia, xolo meoreSi_112 m 3 . aReben onkanebs, romelTa saSualebiT ivseba auzebi. ramdeni saaTis Semdeg iqneba orive auzSi erTnairi raodenobis wyali, Tu meore auzSi yovel saaTSi isxmeba 22 m 3 -iT meti wyali, vidre pirvel auzSi? 10.18. erT auzSi 160 m 3 wyalia, xolo meoreSi_117 m 3 , aReben onkanebs, romelTa saSualebiT ivseba auzebi. ramdeni saaTis Semdeg iqneba meore auzSi 13 m 3 -iT meti wyali, vidre pirvelSi, Tu meore auzSi yovel saaTSi isxmeba 14 m 3 -iT meti wyali, vidre pirvel auzSi? 10.19. or fardulSi awyvia Tiva. pirvel fardulSi 3jer meti Tivaa, vidre meoreSi. imis Semdeg, rac pirveli fardulidan meoreSi gadaitanes 20 t Tiva, aRmoCnda, rom 253

meore

fardulSi Tivis raodenoba udrida im Tivis 5 raodenobis -s, rac darCa pirvel fardulSi. ramdeni 7 tona Tiva yofila Tavdapirvelad TiToeul fardulSi? 10.20. fermers bostneulis dasargavad aqvs ori mosazRvre nakveTi: pirveli nakveTis farTobi 4-jer metia meoris farTobze. Tu pirveli nakveTidan CamovWriT 10 heqtars da SevuerTebT meore nakveTs, maSin meore nakveTi 2 -s. ipoveT Seadgens pirveli nakveTis darCenili nawilis 3 TiToeuli nakveTis farTobi. 10.21. erT sawyobSi 185 t naxSiria, meoreSi 237 t. pirveli sawyobidan yoveldRe gahqondaT 15 t naxSiri, meoredan ki 18 tona. ramdeni dRis Semdeg iqneba meore 1 sawyobSi 1 -jer meti naxSiri, vidre pirvelSi? 2 10.22. erT bostneulsacavSi 21 t kartofilia, meoreSi ki 18 t. pirvel bostneulsacavSi yoveldRiurad mihqondaT 9 t kartofili, meoreSi ki 12t. ramdeni dRis Semdeg iqneba pirvel bostneulsacavSi 1,2-jer naklebi kartofili, vidre meoreSi? 10.23. erT sawyobSi 200 tona naxSiria, meoreSi ki 60 tona. yoveldRiurad TiToeul sawyobSi SeaqvT 20 tona naxSiri. ramdeni dRis Semdeg iqneba pirvel sawyobSi 2-jer meti naxSiri, vidre meoreSi? 10.24. erT sawyobSi 120 t xorbalia, meoreSi ki 150 t. pirveli sawyobidan yoveldRiurad gahqondaT 8 t xorbali, meoredan ki 12 t. ramdeni dRis Semdeg iqneba meore sawyobSi xorblis raodenoba pirvelSi darCenili 3 nawili. xorblis 4 10.25. simindiT daTesili ori nakveTis saerTo farTobi udris 120 heqtars. pirveli nakveTis TiToeuli heqtaridan aiRes 3 t simindi, meore nakveTidan ki 2 t. ipoveT TiToeuli nakveTis farTobi, Tu pirveli nakveTidan aiRes 100 toniT meti simindi, vidre meoredan. 10.26. vagoni datvirTulia 300 cali muxis da fiWvis moriT. cnobilia, rom muxis yvela mori 1 toniT naklebs iwonis, vidre fiWvis yvela mori. ipoveT ramdeni iyo cal-

254

calke muxisa da fiWvis mori, Tu muxis TiToeuli mori 46 kg-s iwonis, fiWvis TiToeuli mori ki 28 kg-s. 10.27. erTi skolis moswavleebma Seagroves 200 lari da iyides Teatrisa da kinos 55 bileTi. ramdeni bileTi uyidiaT cal-calke Teatrisa da kinosi, Tu Teatris erTi bileTi Rirda 5 lari, xolo kinos erTi bileTi_2 lari? 10.28. 21 larad da 30 TeTrad nayidia ori xarisxis 70 fanqari. pirveli xarisxis erTi fanqari Rirda 35 TeTri, xolo meore xarisxisa 25 TeTri. TiToeuli xarisxis ramdeni fanqari iyo nayidi? 10.29. sami yanis saerTo farTobia 16 heqtari. mesame yanis farTobi udris pirveli ori yanis farTobTa jams. ipoveT TiToeuli yanis farTobi, Tu meore yanis farTobi ise Seefardeba pirveli yanis farTobs, rogorc 1:3. 10.30. traqtoristma moxna miwis sami nakveTi. pirveli 2 nawilia, nakveTis farTobi mTeli moxnuli farTobis 5 xolo meore nakveTis farTobi ise Seefardeba mesame 1 1 nakveTis farTobs rogorc 1 : 1 . ramdeni heqtari iyo 2 3 samive nakveTSi, Tu mesame nakveTSi 16 heqtariT naklebi iyo, vidre pirvelSi? 10.31. faifuris dasamzadeblad iyeneben Tixas, TabaSirsa da silas, romelTa masebic proporciulia 25, 1 da 2 ricxvebisa. ramdeni Tixa, TabaSiri da silaa saWiro 350 kg narevis dasamzadeblad? 10.32. miwis sami nakveTis farTobi ise Seefardeba 3 5 3 erTmaneTs, rogorc 2 : 1 : 1 . cnobilia, rom pirveli 4 6 8 nakveTidan 72 centneri marcvliT ufro metia aRebuli, vidre meore nakveTidan. ipoveT samive nakveTis farTobi, Tu saSualo mosavlianoba Seadgens 18 centners 1 ha farTobze. 10.33. ori ricxvis jamia 45. erTi ricxvis meSvidedi udris meore ricxvis merveds. ipoveT am ricxvebis namravli. 10.34. ori ricxvis sxvaobaa 27. pirveli ricxvis mervedi udris meore ricxvis mexuTeds. ipoveT es ricxvebi. 10.35. ori ricxvi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:2. Tu maT Soris umciress gavyofT 4-ze, udidess ki gavyofT 255

9-ze, maSin pirveli ganayofi 4-iT meti iqneba meore ganayofze. ipoveT es ricxvebi. 10.36. erTi ricxvi 12-iT metia meoreze. Tu umcires ricxvs gavyofT 7-ze, udidess ki gavyofT 5-ze, maSin pirveli ganayofi 4-iT naklebi iqneba meore ganayofze. ipoveT es ricxvebi. 10.37. wiladis mniSvneli 4-iT metia mis mricxvelze. Tu am wiladis mricxvelsa da mniSvnels erTiT gavadidebT, 1 -s. ipoveT wiladi. maSin wiladi gautoldeba 2 10.38. wiladis mricxveli 2-iT naklebia mniSvnelze. Tu wiladis mricxvels SevamcirebT 3-jer, xolo mniSvnels 1 mivumatebT 3-s, maSin miviRebT -s. ipoveT wiladi. 8 10.39. wiladis mniSvneli 4-iT metia mis mricxvelze. Tu am wiladis mricxvels mivumatebT 11-s, mniSvnels ki gamovaklebT 1-s, maSin miviRebT mocemuli wiladis Sebrunebul wilads. ipoveT wiladi. 10.40. wiladis mniSvneli 5-iT metia mis mricxvelze. Tu am wiladis mricxvels mivumatebT 14-s, mniSvnels ki gamovaklebT 1-s, maSin miviRebT mocemuli wiladis Sebrunebul wilads. ipoveT wiladi. 10.41. gegmiT traqtoristTa brigadas unda daexna yamiri miwa 14 dReSi. brigada xnavda yoveldRiurad 5 heqtariT mets, vidre gegmiT iyo gaTvaliswinebuli, amitom moxvna daamTavra 12 dReSi. ramdeni heqtari yamiri iyo daxnuli da ramden heqtars xnavda brigada yoveldRiurad? 10.42. dadgenil vadaSi rom gegma Seesrulebina, brigadas yoveldRiurad unda daemzadebia 48 detali. is yoveldRiurad amzadebda 56 detals, amitom Seasrula gegma vadaze 2 dRiT adre. ramdeni detali daamzada brigadam da ra vadaSi? 10.43. meTevzeTa brigadas yoveldRiurad unda daeWira 6 t Tevzi. is yoveldRiurad iWerda 500kg-s gegmis zeviT, amitom ara marto Seasrula gegma vadamde 3 dRiT adre, aramed gegmis zeviT daiWira 12 t Tevzi. ramdeni tona Tevzi unda daeWira brigadas gegmiT? 10.44. Tu qarxana davalebis Sesasruleblad yoveldRe gamouSvebs 20 traqtors, maSin daniSnuli vadisaTvis igi gamouSvebs SekveTilze 100 traqtoriT naklebs. Tu qarxana yoveldRiurad gamouSvebs 23 traqtors, maSin daniSnuli 256

vadisaTvis igi gamouSvebs 20 traqtoriT imaze mets, vidre SekveTili iyo. ra vada iyo daniSnuli SekveTis Sesasruleblad? 1 10.45. meanabrem bankidan gamoitana mTeli Tanxis 6 nawili, ris Semdeg bankSi darCa 800 lari. ramdeni lari iyo Setanili bankSi? 1 nawiliT, ris Semdeg 10.46. qsovilis fasma daiklo 16 qsovilis fasi 45 lari gaxda. ramdeni lari Rirda qsovili Tavdapirvelad? 10.47. moswavlem meore dRes waikiTxa pirvel dRes 1 nawili. wakiTxuli wignis gverdebis raodenobis 11 ramdeni gverdi waukiTxavs moswavles pirvel dRes, Tu orive dRes wakiTxuli aqvs 180 gverdi? 10.48. fermerma meore dRes moxna ra pirvel dRes 1 nawili, orive dRes moxnuli moxnuli farTobis 8 farTobi gaxda 99 heqtari. ramdeni heqtari mouxnavs fermers pirvel dRes? 10.49. Wvavis puris gamocxobisas vRebulobT namats, rac Seadgens aRebuli fqvilis 0,3-s. ramdeni fqvili unda aviRoT, rom 26 kg gamomcxvari Wvavis puri miviRoT? 10.50. vaSli gaSrobis dros kargavs Tavisi wonis 84%-s. ramdeni kg vaSli unda aviRoT, rom miviRoT 16 kg Ciri? 10.51. moxalvis dros yava kargavs Tavisi wonis 12%-s. ramdeni kilogrami nedli yava unda aviRoT, rom miviRoT 4,4 kg moxaluli? 10.52. magida skamiT Rirs 240 lari. skamis Rirebuleba Seadgens magidis Rirebulebis 20%-s. ipoveT magidis Rirebuleba. 10.53. qsovilis fasma daiklo 30%-iT, ris Semdeg qsovilis fasi gaxda 42 lari. ramdeni lari Rirda qsovili Tavdapirvelad? 10.54. ramdeni lari Seitana meanabrem bankSi erTi wlis win, Tu mas bankSi axla aqvs 327 lari da wliuri danaricxi Seadgens 9%-s.

257

10.55. meanabrem bankSi Seitana 800 lari. ramdeni lari eqneba mas sami wlis Semdeg, Tu wliuri danaricxia rTuli 5%? 10.56. qalaqis mosaxleoba wlis bolos udrida 78000 kacs. vipovoT qalaqis mosaxleobis ricxvi wlis dasawyisisaTvis, Tu mosaxleobis namati am xnis ganmavlobaSi Seadgenda 4%-s. 10.57. qalaqSi amJamad 48400 mcxovrebia. cnobilia, rom am qalaqis mosaxleoba yovelwliurad izrdeba 10%-iT. ramdeni mcxovrebi yofila am qalaqSi ori wlis winaT? 10.58. meanabres bankSi axla aqvs 5618 lari. ramdeni lari Seitana man bankSi ori wlis win, Tu wliuri danaricxia rTuli 6%? 10.59. meanabrem or sxvadasxva bankSi Seitana 5000 lari da 4500 lari. pirvel bankSi Setanili Tanxis ramdeni procenti unda gadaitanos man pirveli bankidan meore bankSi, rom orive bankSi Tanxebis raodenobebi gaTanabrdes? 10.60. or bidonSi aris 70 litri rZe. Tu pirveli bidonidan meoreSi gadavasxamT im rZis 12,5%-s, romelic pirvel bidonSia, maSin orive bidonSi aRmoCndeba rZis erTi da igive raodenoba. ramdeni litri rZea pirvel bidonSi? 10.61. muSis xelfasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki moimata 50%-iT. ramdeni procentiT gaizarda muSis xelfasi TavdapirvelTan SedarebiT? 10.62. qsovilis fasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki isev daiklo 25%-iT. Tavdapirveli fasis ramden procents Seadgens qsovilis fasi axla? 10.63. qsovilis fasma jer 40%-iT daiklo, xolo Semdeg pirvelad daklebuli Tanxis 25%-iT gaiafda, ris Semdegac qsovilis fasi 60 lari gaxda. ra Rirda qsovili Tavdapirvelad? 10.64. meanabrem bankidan pirvel dRes gamoitana mTeli Tanxis 80%, meore dRes ki pirvel dRes gamotanili Tanxis 20%. amis Semdeg bankSi darCa 16 lari. ramdeni lari iyo Setanili bankSi Tavdapirvelad? 10.65. pirveli mgzavrobisas avtomobilma daxarja im benzinis 0,375 nawili, rac iyo avzSi da kidev 5 litri. meore mgzavrobisas ki darCenili benzinis 80% da ukanaskneli 4 litri. ramdeni litri benzini yofila avzSi Tavdapirvelad? 258

10.66. meanabrem bankidan pirvel dRes gamoitana mTeli 2 nawili. meore dRes ki darCenili Tanxis 87% da Tanxis 3 ukanaskneli 26 lari. ramdeni lari iyo Setanili bankSi Tavdapirvelad? 10.67. fermerma pirvel dRes aiRo mosavali farTobis 5 nawilze da kidev 3 heqtarze. meore dRes ki darCenili 12 farTobis 75%-ze da ukanasknel 8 heqtarze. ramden heqtarze aiRo mosavali fermerma? 10.68. meanabrem bankidan Tavdapirvelad gamoitana Tavisi 1 4 nawili, Semdeg ki darCenili Tanxis da kidev Tanxis 4 9 64 lari. amis Semdeg mas bankSi darCa mTeli Tavisi 3 nawili. ramdeni lari iyo Setanili bankSi? anabris 20 10.69. mTibavTa brigadam pirvel dRes gaTiba mindvris naxevari da kidev 2 heqtari, meore dRes ki mindvris darCenili nawilis 25% da ukanaskneli 6 heqtari. ipoveT mindvris farTobi. 10.70. biblioTekis ucxo enaTa ganyofilebaSi aris wignebi inglisur, frangul da germanul enebze. inglisuri wignebi Seadgens wignebis mTeli raodenobis 36%-s, franguli_inglisuri wignebis 75%-s, danarCeni 185 wigni germanulia. ramdeni wignia biblioTekaSi ucxo enaze? 2 10.71. avzidan gamouSves masSi arsebuli wylis 5 1 nawili, Semdeg isev gamouSves darCenili wylis nawili. 4 ramdeni litri wyali iyo avzSi, Tu amis Semdeg masSi darCa 450 litri wyali? 10.72. avzSi yovel wuTSi Cadis 180 l wyali. pirvelad 7 nawili. darCenili nawilis asavsebad aavses avzis 18 dasWirdaT 200 l-iT meti wyali, vidre pirvelad. ra droSi aivso avzi? 10.73. or qalaqs Soris manZili turistma gaiara 3 1 nawili dReSi. pirvel dRes man gaiara mTeli manZilis 5 259

da kidev 60 km, meore dRes mTeli manZilis km, xolo mesame dRes mTeli manZilis

1 da kidev 20 4

23 da darCenili 25 80

km. ipoveT manZili qalaqebs Soris. 10.74. erT cvlaSi orma muSam erTad 72 detali daamzada. mas Semdeg, rac pirvelma muSam Sromis nayofiereba 15%-iT gaadida, xolo meorem 25%-iT, isini erT cvlaSi erTad 86 detals amzadebdnen. ramden detals amzadebda pirveli muSa erT cvlaSi Sromis nayofierebis gazrdis Semdeg? 10.75. or qarxanas gegmiT TveSi unda gamoeSva 360 Carxi. pirvelma qarxanam gegma Seasrula 112%-iT, meorem ki 110%iT; amitom orive qarxanam TveSi gamouSva 400 Carxi. ramdeni Carxi gamouSvia gegmis gadametebiT TiToeul qarxanas? 10.76. fermeri ori nakveTidan 500 tona xorbals Rebulobda. agroteqnikuri RonisZiebebis gatarebis Semdeg mosavali pirvel nakveTze gadidda 30%-iT, xolo meoreze 20%-iT, amitom fermerma am nakveTebidan aiRo 630 t xorbali. ramdeni xorbali aiRo fermerma TiToeuli nakveTidan agroteqnikis gamoyenebis Semdeg? 10.77. ori velosipedisti erTdroulad gamodis A da B adgilebidan erTmaneTis Sesaxvedrad da ori saaTis Semdeg xvdebian erTmaneTs. ipoveT TiToeuli maTganis moZraobis siCqare, Tu viciT, rom pirveli velosipedisti gadioda saaTSi 3km-iT mets, vidre meore. manZili A -dan B -mde udris 42 kilometrs. 10.78. ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 339 km-ia, erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili gaemgzavra da 3 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. vipovoT meore avtomobilis siCqare, Tu is saaTSi 5 km-iT mets gadioda, vidre pirveli avtomobili. 10.79. ori punqtidan, romelTa Soris manZili 160 km-ia, erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad ori turisti gamovida da 5 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. ipoveT TiToeuli turistis siCqare, Tu maTi Sefardebaa 3:5. 10.80. kuriers A punqtidan B punqtSi unda Caetana 1 saaTSi; amanaTi. mTeli gza aqeT da iqiT man gaiara 14 2 A -dan B -mde is gadioda saaTSi 30 km-s, ukan 260

mogzaurobisas B -dan A -mde ki 28 km-s. ipoveT manZili A dan B -mde. 10.81. A punqtidan B punqtSi kurierma amanaTi Caitana 35 wuTSi. ukan dabrunebisas man gaadida siCqare 0,6 km-iT saaTSi da mgzavrobas mounda 30 wuTi. ipoveT manZili A da B punqtebs Soris. 10.82. matarebeli manZils A qalaqidan B qalaqamde gadis 10 sT 40 wuTSi. matareblis siCqare rom 10 km/sT-iT naklebi iyos, maSin is B qalaqSi Cava 2sT 8wuTiT gvian. ipoveT manZili qalaqebs Soris da matareblis siCqare. 10.83. manZils or sadgurs Soris matarebeli gadis 1 saaTSi da 30 wuTSi. Tu misi siCqare gadiddeba 10 km/sT-iT, maSin imave manZils matarebeli gaivlis 1 sT 20 wuTSi. ipoveT manZili sadgurebs Soris. 10.84. A qalaqidan B qalaqisken gaemgzavra velosipedisti 15 km/sT siCqariT. 2 saaTis Semdeg mis kvaldakval gaemgzavra motociklisti, romelic B qalaqSi velosipedistTan erTdroulad Cavida. ipoveT motociklistis siCqare, Tu manZili A da B qalaqebs Soris aris 180 km. 10.85. navsadgomidan qalaqisken gaemgzavra navi 12 km/sT siCqariT, xolo 0,5 saaTis Semdeg imave mimarTulebiT gavida gemi, romlis siCqare iyo 20 km/sT. ra manZilia navsadgomidan qalaqamde, Tu gemi qalaqSi 1,5 saaTiT adre Cavida, vidre navi? 10.86. manZili A da B qalaqebs Soris udris 50 km-s. A qalaqidan B qalaqSi gaemgzavra velosipedisti, xolo 1 sT 30 wuTis Semdeg mis kvaldakval gaemgzavra motociklisti, romelmac gaaswro velosipedists da Cavida B qalaqSi masze erTi saaTiT adre. ipoveT TiToeulis siCqare, Tu viciT, rom motociklistis siCqare velosipedistis siCqareze 2,5-jer metia. 10.87. manZili A da B qalaqebs Soris 350 km-ia. A qalaqidan B qalaqisaken gaemgzavra turisti, xolo 3 saaTis Semdeg mis kvaldakval gaemgzavra meore turisti, romelic B qalaqSi Cavida 1 saaTiT gvian, vidre pirveli. ipoveT TiToeuli turistis siCqare, Tu maTi Sefardebaa 5:7. 10.88. A punqtidan B punqtSi, romelTa Soris manZili 160 kilometria, gaemgzavra avtobusi; ori saaTis Semdeg mis kvaldakval gavida msubuqi avtomobili, romlis siCqare ise Seefardeboda avtobusis siCqares, rogorc 3:1. ipoveT avtobusisa da avtomobilis siCqare, Tu 261

avtomobili B punqtSi 40 wuTiT adre Cavida, vidre avtobusi. 10.89. ori matarebeli gavida erTi da imave qalaqidan erTimeoris miyolebiT; pirveli matarebeli saaTSi gadis 36 kilometrs, xolo meore_48 km-s. ramdeni saaTis Semdeg daeweva meore matarebeli pirvels, Tu viciT, rom pirveli matarebeli gasuli iyo 2 saaTiT adre meoreze? 10.90. gza A qalaqidan B qalaqamde zRviT 16 kilometriT naklebia, vidre SaragziT. gemi manZils A -dan B -mde gadis 4 saaTSi, avtomobili ki 2 saaTSi. ipoveT gemis siCqare, Tu is 44 km/sT-iT naklebia avtomobilis siCqareze. 10.91. manZils A qalaqidan B qalaqamde ganrigiT avtobusi gadis saSualo siCqariT 40 km/sT. erTxel gzatkecilis SekeTebis gamo avtobusma gaiara gzis pirveli naxevari 20 wT-is dagvianebiT. rom misuliyo B -Si ganrigiT, avtobusma gzis darCenili nawili gaiara 45 km/sT siCqariT. ipoveT manZili A -dan B -mde. 10.92. ori aerodromidan, romelTa Soris manZili 950 kmia, erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad vertmfreni da TviTmfrinavi gamovida. naxevari saaTis Semdeg manZili maT Soris udrida 150 km-s. ipoveT TiToeulis siCqare, Tu TviTmfrinavis siCqare 3-jer metia vertmfrenis siCqareze. 10.93. dilis 8 saaTze soflidan qalaqSi gaemgzavra 1 saaTi, gaemgzavra velosipedisti. qalaqSi man dahyo 4 4 ukan da dRis 3 saaTze sofelSi dabrunda. ipoveT manZili soflidan qalaqamde, Tu qalaqSi velosipedisti midioda siCqariT 12 km/sT, ukan ki siCqariT 10 km/sT. A navsadgomidan B 10.94. dRis 12 saaTze navmisadgomisaken gavida katarRa siCqariT 12 km/sT. daxarja ra SeCerebaze B navmisadgomTan 2,5 saaTi, katarRa gamoemgzavra ukan siCqariT 15 km/sT da Cavida A navmisadgomSi imave dRis 19 saaTze. ipoveT manZili A -dan B -mde. 10.95. A qalaqidan B qalaqisaken 4 sT 30 wuTze gavida vertmfreni siCqariT 250 km/sT. B qalaqSi 30 wuTiT daeSva da dabrunda ukan A qalaqSi 11 sT 45 wuTze; ukan mgzavrobisas gadioda 200 km-s saaTSi. ipoveT manZili A qalaqidan B qalaqamde. 262

10.96. avtomobilma manZili qalaqidan soflamde gaiara siCqariT 60 km/sT. ukan dabrunebisas manZilis 75% man gaiara pirvandeli siCqariT, xolo danarCeni gza siCqariT 40 km/sT, amitom ukan mgzavrobisas mas dasWirda 10 wuTiT meti dro, vidre mgzavrobisas qalaqidan soflamde. ipoveT manZili qalaqidan soflamde. 10.97. studentTa jgufma moawyo eqskursia. pirveli 30 km fexiT gaiares, gzis danarCeni nawilis 20% gacures mdinareze tiviT, xolo Semdeg isev iares fexiT 1,5-jer met manZilze, vidre mdinareze icures. mTeli gzis darCenili nawili studentebma 1 saaTsa da 30 wuTSi gaiares avtomanqaniT, romelic midioda 40 km/sT siCqariT. ra sigrZisaa mTeli gza? 10.98. mgzavrma, romelic matarebliT midioda siCqariT 40 km/sT, SeniSna, rom Semxvedrma matarebelma mis gverdiT gavlas moandoma 3 wami. ipoveT Semxvedri matareblis siCqare, Tu cnobilia, rom misi sigrZe aris 75 m. 10.99. demonstrantTa kolona quCaSi moZraobs siCqariT 3 km/sT. Semxvedrma velosipedistma, romelic midioda siCqariT 15 km/sT, 2 wuTi daxarja imisaTvis, rom gaevlo kolonis Tavidan bolomde. ipoveT demonstrantTa kolonis sigrZe. 10.100. avtomobilSi mjdomma mgzavrma, romelic moZraobda 80 km/sT siCqariT, SeniSna, rom avtomobilis mimarTulebiT moZravi matareblis gverdis avlas moandoma 3 wT. ramden kilometrs gadis matarebeli saaTSi, Tu misi sigrZea 400 m. 10.101. ipoveT matareblis sigrZe da siCqare, Tu is uZrav damkvirebels gverds uvlis 7 wm-Si, xolo 306 m sigrZis platformas 25 wm-Si. 10.102. avtomobili manZils or qalaqs Soris gadis 5 3 wT-iT ufro saaTSi. Tu is yovel kilometrs gaivlis 7 Cqara, maSin mTeli manZilis gavlas moandomebs 3 saaTs. ipoveT avtomobilis siCqare. A qalaqidan da 10.103. matarebeli gamovida gansazRvrul droSi Cavida B qalaqSi. matarebels rom yoveli kilometri gaevlo 0,3 wT-iT ufro nela, maSin B qalaqSi Casvlas moandomebda 4 sT-s. ipoveT matareblis siCqare, Tu manZili A da B qalaqebs Soris 160 km-ia. 263

10.104. Tbomavalma manZili or navmisadgoms Soris gaiara mdinaris dinebis mimarTulebiT 4 saaTSi, xolo mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT_5 saaTSi. ipoveT manZili navmisadgomebs Soris, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2 km/sT. 10.105. TviTmfrinavma manZili or qalaqs Soris zurgis qaris dros 5 sT 30 wuTSi gaiara, xolo pirqaris dros_6 saaTSi. ipoveT manZili qalaqebs Soris da TviTmfrinavis sakuTari siCqare, Tu qaris siCqare iyo 10 km/sT. 10.106. katerma mdinaris dinebis mimarTulebiT 5 saaTSi imdeni kilometri gacura, ramdenic 6 sT 15 wT-Si mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT. ipoveT kateris siCqare mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2,4 km/sT. 10.107. menave dinebis mimarulebiT 3 saaTSi imden kilometrs micuravda, ramdensac 3 sT 40 wT-Si dinebis sawinaaRmdegod. ipoveT dinebis siCqare, Tu navis siCqare mdgar wyalSi 5 km/sT-ia. 10.108. moswavleTa jgufi gaemgzavra navmisadgomidan naviT mdinaris dinebis mimarTulebiT im pirobiT, rom ukan dabrunebuliyvnen 4 saaTis Semdeg. mdinaris dinebis siCqarea 2 km/sT; siCqare, romelsac meniCbeebi aZleven navs, aris 8 km/sT. ra udidesi manZiliT SeuZliaT moswavleebs daSordnen navmisadgoms, Tu ukan dabrunebamde isini unda darCnen napirze 2 saaTi? 10.109. eqskursantebma 3 saaTiT daiqiraves navi da gaemgzavrnen mdinaris dinebis mimarTulebiT. ramdeni kilometriT SeuZliaT maT daSordnen navsadgurs, rom 3 saaTis Semdeg moaswron ukan dabruneba, Tu cnobilia, rom navis siCqare mdgar wyalSi aris 7,5 km saaTSi, xolo mdinaris dinebis siCqarea 2,5 km saaTSi? 10.110. ramdeni saaTis ganmavlobaSi SeiZleba icuro mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT naviT, romlis siCqare mdgar wyalSi udris 7 km/sT-s, rom moaswro gasvlis adgilas dabruneba 7 saaTis Semdeg, Tu mdinaris dinebis siCqarea 3 km/sT? 10.111. turisti A qalaqidan B qalaqSi unda Cavides daniSnul vadaze. Tu is saaTSi gaivlis 35 km-s, maSin daigvianebs 2 saaTiT; Tuki saaTSi gaivlis 50 km-s, maSin is Cava vadaze 1 saaTiT adre. gaigeT manZili A da B 264

qalaqebs Soris da dro, romelic unda moendomebina turists A qalaqidan B qalaqSi Casasvlelad. 10.112. saqonlis gasagzavnad Camoyenebuli iyo ramdenime vagoni. Tu vagonSi CatvirTaven 15,5 t-s, maSin 4 t saqoneli CautvirTavi darCeba; Tu vagonSi CatvirTaven 16,5 t-s, maSin vagonebis mTlianad datvirTvisaTvis daakldeba 8 t saqoneli. ramdeni vagoni iyo Camoyenebuli da ramdeni tona saqoneli iyo? 10.113. ramdenime kaci eqskursiaze gaemgzavra. Tu TiToeuli xarjebisaTvis Seitans 12 lars da 50 TeTrs, maSin xarjebis dasafaravad daakldebaT 100 lari. Tu ki TiToeuli Seitans 16 lars, maSin zedmeti gadarCebaT 12 lari. ramdeni kaci Rebulobs monawileobas eqskursiaSi? 10.114. skolis darbazSi dadgmulia merxebi; Tu TiToeul merxze 5 moswavles davsvamT, maSin dagvakldeba 8 merxi; Tu ki TiToeul merxze 6 moswavles davsvamT, maSin ori merxi darCeba Tavisufali. ramdeni merxi iyo dadgmuli darbazSi? 10.115. wrewirze, romlis sigrZe 999 m-s udris, ori sxeuli moZraobs erTi da imave mimarTulebiT da xvdebian erTmaneTs yoveli 37 wuTis Semdeg. ipoveT TiToeuli sxeulis siCqare, Tu cnobilia, rom pirvelis siCqare oTxjer metia meoris siCqareze. 10.116. etlis wina borbalma garkveul manZilze 15 bruniT meti gaakeTa, vidre ukanam. wina borblis wrewiris sigrZe udris 2,5 metrs, ukanasi ki 4 metrs. ramdeni bruni gaakeTa TiToeulma borbalma da ra manZili gaiara etlma? 10.117. ori borbali RvediTaa SeerTebuli. pirveli borblis wrewiris sigrZe udris 60 sm-s, meoresi ki 35 sm-s. ramden bruns gaakeTebs wuTSi meore borbali, Tu pirveli wuTSi akeTebs 84 bruns? 10.118. erT brigadas mosavlis aReba SeuZlia 20 saaTSi, meores ki 30 saaTSi. ramden saaTSi aiRebs mosavals orive brigada erTad? 10.119. erTi muSa samuSaos asrulebs 14 saaTSi, meore ki 5 21 saaTSi. ramden saaTSi Seasrulebs am samuSaos 7 nawils orive erTad muSaobiT? 10.120. sxvadasxva simZlavris orma traqtorma erTad muSaobiT 8 saaTis ganmavlobaSi Seasrula samuSao. ramden saaTSi Seasrulebs am samuSaos marto pirveli traqtori, 265

Tu igive samuSaos marto meore traqtori asrulebs 12 saaTSi? 10.121. avzSi mierTebulia onkani da mili. gaxsnili onkaniT carieli avzi ivseba 4 sT-Si, xolo gaxsnili miliT savse avzi icleba 6 sT-Si. ramden sT-Si aivseba naxevrad savse avzi, Tu onkans da mils erTdroulad gavxsniT? 10.122. erT brigadas mTeli mosavlis aReba SeuZlia 12 dReSi, meores ki _ 9 dReSi. mas Semdeg, rac 5 dRes imuSava marto pirvelma brigadam, mas SeuerTda meore brigada da orivem erTad daasrula samuSao. ramdeni dRe imuSava orive brigadam erTad? 10.123. Tovlis aRebaze muSaobs ori Tovlsawmendi manqana. erT maTgans SeuZlia mTeli quCa gaasufTaos erT saaTSi, meores ki _ 45 wT-Si. orive manqanam quCis gawmenda erTdroulad daiwyo da erTad imuSava 20 wuTs, ris Semdegac pirvelma manqanam Sewyvita muSaoba. ra droa saWiro, rom marto meore manqanam daasrulos mTeli samuSao? 10.124. orma eqskavatorma qvabuli amoTxara 12 dReSi. marto pirvel eqskavators SeeZlo es samuSao Seesrulebia 1 1 -jer ufro Cqara, vidre marto meores. ramden dReSi 2 SeeZlo am samuSaos Sesruleba TiToeul eqskavators? 10.125. orma brigadam erTdrouli muSaobiT miwis nakveTi 12 saaTis ganmavlobaSi daamuSava. ra dros moandomebda am nakveTis damuSavebas pirveli brigada, Tu brigadebis mier samuSaos Sesrulebis droebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3? 10.126. maRarodan wylis amosaqaCavad dadgmulia sami tumbo. pirveli tumbo calke muSaobis dros wyals amoqaCavs 12 saaTSi, meore 15 saaTSi da mesame 20 saaTSi. pirveli sami saaTis ganmavlobaSi moqmedebdnen pirveli da mesame tumboebi, Semdeg ki maT SeuerTes meore tumboc. ramdeni dro daixarja sul maRarodan wylis amosaqaCavad? 7 10.127. sami milis erTdrouli moqmedebiT avzis 8 nawili ivseba 1 sT-Si. ramden saaTSi aavsebs avzs marto pirveli mili, Tu is avzs avsebs 2-jer ufro swrafad, vidre marto meore da 2-jer ufro nela, vidre marto mesame mili? 266

10.128. sam kalatozs erTad muSaobiT kedlis aSeneba SeuZlia 12 sT-Si. ramden saaTSi aaSenebs am kedels TiToeuli cal-calke, Tu es droebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3:4? 10.129. mocemuli oTxi ricxvis saSualo ariTmetikulia 30. am ricxvebidan erT-erTi udris 60-s. ipoveT danarCeni sami ricxvis saSualo ariTmetikuli. 10.130. mocemuli aTi ricxvis saSualo ariTmetikulia 7. am ricxvebidan eqvsis saSualo ariTmetikulia 5. ipoveT danarCeni oTxi ricxvis saSualo ariTmetikuli. 10.131. ojaxSi (mama, deda da Svili) mamis xelfasi 3 -s, xolo Svilis Seadgens ojaxis Semosavlis 5 Semosavalia ojaxis Semosavlis 10%. ipoveT ojaxis wevrebis saSualo Semosavali, Tu dedis xelfasia 360 lari. 10.132. wlis ganmavlobaSi klasis xuTma moswavlem wonaSi moimata 5-5 kg, xolo danarCenebma 3-3 kg, ris Sedegadac moswavleTa saSualo wona 30-dan 34 kg-mde gaizarda. ramdeni moswavlea klasSi? 10.133. moswavleTa mesamedi abarebda Tsu-Si da maTi saSualo qula aRmoCnda 80, naxevari_stu-Si da maTi saSualo qula aRmoCnda 72, xolo danarCeni moswavleebis_62. ipoveT moswavleTa saSualo qula. 10.134. brigadaSi iyo 11 kaci da maTi saSualo xelfasi Seadgenda 720 lars. mas Semdeg, rac ramodenime wevrma datova brigada, brigadis darCenili wevrebis saSualo xelfasi gaxda 670 lari. ramdenma wevrma datova brigada, Tu maTi (gadasulebis) saSualo xelfasi iyo 780 lari? 10.135. klasis moswavleebidan 18 saSualod iwonis 65 kgâ&#x20AC;&#x201C;s, 11 saSualod iwonis 63 kg-s, xolo darCenili ori bavSvis saerTo wonaa 152 kg. ipoveT moswavleTa saSualo wona. 10.136. fexburTelTa gundis (11 fexburTeli) saSualo asaki iyo 22 weli. rodesac gundis kapitani sxva gundSi gadavida da misi adgili 18 wlis axalgazrda fexburTelma daikava, gundis saSualo asaki gaxda 21 weli. ipoveT kapitnis asaki. 10.137. ramdeni kilogrami wyali unda avaorTqloT 0,5 tona celulozis masidan, romelic 85% wyals Seicavs, rom miviRoT 75% wylis Semcveli masa? 267

10.138. axali soko wonis mixedviT Seicavs 90% wyals, xolo gamxmari_12% wyals. ramdeni gamxmari soko miiReba 22 kg axali sokosagan? 10.139. xsnari Seicavs 40 g marils. mas daumates 200 g mtknari wyali da amis Semdeg marilis koncentraciam Seadgina 8%. ramdeni grami xsnari iyo Tavdapirvelad? 10.140. ramdeni litri wyali unda daematos 12% Saqris Semcvel 20 litr sirofs, rom miviRoT 10% Saqris Semcveli sirofi? 10.141. zRvis wyali masis mixedviT Seicavs 5% marils. ramdeni kilogrami mtknari wyali unda daematos 30 kg zRvis wyals, rom marilis koncentraciam Seadginos 1,5%? 10.142. gvaqvs oqrosa da spilenZis ori Senadnobi. pirvel SenadnobSi am liTonebis Sefardeba Sesabamisad aris 2:3, xolo meoreSi 3:5. am ori Senadnobidan gvinda miviRoT 26 gr liToni, romelSic oqrosa da spilenZis Sefardeba Sesabamisad iqneba 5:8. ramdeni gr TiToeuli Senadnobis aRebaa saWiro amisaTvis? 10.143. tbis wyalSi marilis koncentraciaa 7%, xolo zRvis wyalSi 2%. am ori saxis wylis SereviT gvinda miviRoT 20l wyali, romelSic marilis koncentracia iqneba 4%. ramdeni litri tbis da ramdeni litri zRvis wyali unda SevurioT amisaTvis?

II. bnpdbofcjt!bnpytob!lwbesbuvmj!hboupmfcfcjt!!

hbnpzfofcjU! ! 10.144. marTkuTxedis formis nakveTi, romlis erTi gverdi 10 m-iT metia meoreze, unda SemoiRobos. ipoveT Robis sigrZe, Tu cnobilia, rom nakveTis farTobi 1200 m 2 s udris. 10.145. marTkuTxedis simaRle misive fuZis 75%-s Seadgens. ipoveT am marTkuTxedis perimetri, Tu cnobilia, rom marTkuTxedis farTobi 48 m 2 -s udris. 10.146. kvadratis formis Tunuqis furcels CamoWres 10 sm siganis zoli, ris Semdeg furclis darCenili nawilis farTobi 5600 sm 2 -is toli gaxda. ipoveT mocemuli Tunuqis furclis farTobi. 268

10.147. ori avtomobili erTdroulad gaemgzavra erTi qalaqidan meorisaken. pirvelis siCqare 10 km/sT-iT metia meoris siCqareze, da amitom pirveli avtomobili 1 saaTiT adre midis adgilze, vidre meore. ipoveT orive avtomobilis siCqare, Tu cnobilia, rom manZili qalaqebs Soris 560 km-ia. 10.148. aerodromidan 1600 km-iT daSorebuli punqtisaken erTdroulad ori TviTmfrinavi gafrinda. erTis siCqare meoris siCqareze 80 km/sT-iT meti iyo da amitom igi 1 saaTiT adre mifrinda daniSnulebis adgilze. ipoveT TiToeuli TviTmfrinavis siCqare. 10.149. turistma gaiara 72 kilometri da SeniSna, rom Tu igi am mgzavrobas 6 dRiT met dros moandomebda, maSin mas SeeZlo dReSi 2 km-iT naklebi gaevlo, vidre gadioda. ramden kilometrs gadioda igi dReSi? 10.150. ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 900 km-ia, erTmaneTis Sesaxvedrad gamodis ori matarebeli da xvdebian erTmaneTs Sua gzaze. ipoveT TiToeuli matareblis siCqare, Tu pirveli matarebeli 1 saaTiT gvian gamovida meoreze da misi siCqare 5 km/sT-iT metia, vidre meore matareblis siCqare? 10.151. matarebeli 6 wuTiT iqna SeCerebuli gzaSi da es dagvianeba man aanazRaura 40 km-ian gadasarbenze, romelic gaiara 20 km/sT-iT meti siCqariT, vidre ganrigiT iyo dadgenili. ipoveT ganrigis mixedviT matareblis siCqare am gadasarbenze. 10.152. A da B sadgurebs Soris Sua gzaze matarebeli SeCerebul iqna 10 wuTiT. B -Si rom ganrigis mixedviT misuliyo, memanqanem matareblis siCqare gaadida 12 km/sTiT. ipoveT matareblis sawyisi siCqare, Tu cnobilia, rom manZili sadgurebs Soris 120 km-ia. 10.153. matarebels 800 km unda gaevlo. Sua gzaze igi SeCerebuli iqna 1 saaTiT, da amitom, droze rom misuliyo daniSnul adgilze siCqare unda gaedidebina 20 km/sT-iT. ra dro dasWirda matarebels mTeli gzis gasavlelad? 10.154. orTqlmavali 24 km-iani pirveli gadasarbenis gavlis Semdeg SeCerebul iqna ramdenime xniT, meore gadasarbeni man gaiara winandelze 4 km/sT-iT meti siCqariT. miuxedavad imisa, rom meore gadasarbeni pirvelze 15 km-iT grZeli iyo, orTqlmavalma igi gaiara 269

mxolod 20 wuTiT met droSi, vidre pirveli. ipoveT orTqlmavlis sawyisi siCqare. 10.155. velosipedisti yovel wuTSi 500 metriT naklebs gadis, vidre motociklisti, amitom 120 km manZilis gasavlelad igi xarjavs ori saaTiT met dros, vidre motociklisti. gamoTvaleT velosipedistis siCqare. 10.156. vertmfreni yovel wamSi 150 m-iT naklebs gadis, vidre TviTmfrinavi, amitom 900 km-is gasavlelad igi xarjavs 1 sT da 30 wT-iT met dros, vidre TviTmfrinavi. ipoveT vertmfrenis da TviTmfrinavis siCqare. 2 sT-iT adre, 10.157. velosipedistma 100 km gaiara 2 3 vidre gaTvaliwinebuli hqonda Tavdapirvelad, radgan 12 wT-Si gadioda 2 km-iT mets , vidre hqonda navaraudevi. ra siCqariT unda emoZrava velosipedists? MN manZili 10.158. matarebels 300 km-is toli garkveuli siCqariT unda gaevlo. magram dasawyisSi misi siCqare navaraudevze 8 km/sT-iT naklebi iyo da imisaTvis, rom N -Si droze Casuliyo, M -dan 180 km-iT daSorebul sadguridan navaraudevze 16 km/sT-iT meti siCqariT N -mde midioda. ra dro moandoma matarebelma M -dan manZilis gavlas? 5 10.159. turistma avtomanqaniT gaiara mTeli gzis 8 nawili, xolo danarCeni gaiara katarRiT, katarRis siCqare 20 km/sT-iT naklebia avtomanqanis siCqareze. avtomanqaniT turisti 15 wuTiT met xans mogzaurobda, vidre katarRiT. ras udris avtomanqanis siCqare da katarRis siCqare, Tu turistis mier gasavleli mTeli gza 160 km-ia? 10.160. gemma mdinaris dinebis mimarTulebiT gaiara 48 km da amdenive dinebis winaaRmdeg, sul am mgzavrobas dasWirda 5 saaTi. ipoveT gemis siCqare mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqarea 4 km/sT. 10.161. manZili or navsadgurs Soris mdinariT 80 km-ia. gemi am manZilis gavlas iqiT-aqeT 8 sT 20wT-s undeba. ipoveT gemis siCqare mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqarea 4 km/sT. 10.162. A punqtidan mdinaris dinebis mimarTulebiT tivi gagzavnes. 5 sT 20 wuTis Semdeg imave punqtidan tivs motoriani navi daedevna, romelmac gaiara 20 km da tivs 270

daewia. ramden kilometrs gadioda saaTSi tivi, Tu motoriani navi masze 12 km-iT Cqara moZraobda saaTSi? 10.163. manZili erTi navsadguridan meoremde mdinaris gaswvriv 30 km-ia. motoriani navi am manZils iqiT-aqeT 6 saaTSi gadis, 40 wuTiT gzaSi gaCerebis CaTvliT. ipoveT motoriani navis sakuTari siCqare, Tu mdinaris dinebis siCqare 3 km-is tolia saaTSi. 10.164. ori avtomobili gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad A da B qalaqebidan. erTi saaTis Semdeg avtomobilebi Sexvdnen erTmaneTs da SeuCereblad ganagrZes gza imave siCqariT. pirveli B qalaqSi 27 wT-iT gvian mivida, vidre meore A qalaqSi. ipoveT TiToeuli avtomobilis siCqare, Tu cnobilia, rom manZili qalaqebs Soris 90 km-ia. 10.165. ori velosipedisti erTdroulad gamodis erTmaneTis Sesaxvedrad A da B ori punqtidan, romelTa Soris manZili 28 km-ia, da erTi saaTis Semdeg xvdebian erTmaneTs. isini SeuCereblad ganagrZoben gzas imave siCqariT da pirveli B punqtSi midis 35 wT-iT ufro A punqtSi. ipoveT TiToeuli adre, vidre meore velosipedistis siCqare. 10.166. A da B ori punqtidan, romelTa Soris manZili 24 km-ia erTsa da imave dros erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili gaigzavna. maTi Sexvedris Semdeg A -dan gamosuli avtomobili B punqtSi midis 16 wT-Si, xolo meore avtomobili 4 wuTSi midis A -Si. ipoveT TiToeuli avtomobilis siCqare. 10.167. ori turisti erTdroulad gamovida erTmaneTis A da B ori adgilidan. Sexvedrisas Sesaxvedrad aRmoCnda, rom pirvels 4 kilometriT naklebi gauvlia meoreze. ganagrZes ra moZraoba imave siCqariT, pirveli mivida B -Si 4 sT da 48 wT-Si Sexvedris Semdeg, xolo meore mivida A -Si 3 sT da 20 wT-Si Sexvedris Semdeg. ipoveT manZili A -dan B -mde. 10.168. A da C ori punqtidan B punqtisaken erTdroulad ori velosipedisti gavida, pirveli A-dan meore _ Cdan. manZili C -dan B -mde 12 km-iT metia, vidre manZili A -dan B -mde. velosipedistebi B punqtSi Cavidnen 3 sT3 Si. meore velosipedisti TiToeul kilometrs gadioda 4 wT-iT ufro Cqara, vidre pirveli. ipoveT manZili A -dan B -mde da TiToeuli velosipedistis siCqare. 271

10.169. ori gemi erTdroulad gavida navsadguridan: erTi CrdiloeTiT, meore aRmosavleTiT. ori saaTis Semdeg maT Soris manZili 60 km aRmoCnda. ipoveT TiToeuli gemis siCqare, Tu cnobilia, rom erTis siCqare saaTSi 6 km-iT metia meoris siCqareze. punqtidan gamomaval or gzaze orma 10.170. A avtomobilma erTdroulad daiwyo moZraoba. gzebs Soris kuTxe 60 o -ia. erTi avtomobilis siCqare orjer metia meoris siCqareze. drois garkveul momentSi avtomobilebs Soris manZili 300 km gaxda. ra manZili hqonda gavlili drois am momentisaTvis TiToeul avtomobils? 10.171. A punqtidan gamomaval or gzaze orma turistma erTdroulad daiwyo moZraoba erTidaigive siCqariT. gzebs Soris kuTxe 120 o -ia. drois garkveul momentSi turistebs Soris manZili 60 km gaxda. ra manZili hqonda gavlili drois am momentisaTvis TiToeul turists? 10.172. or koncentrul wrewirze Tanabrad moZraobs ori wertili. erT srul bruns erTi maTgani 5 wamiT naklebs andomebs, vidre meore, ris gamoc igi 1 wuTSi ori bruniT mets akeTebs. ramden bruns akeTebs wuTSi pirveli wertili? 10.173. fermers gansazRvruli vadisaTvis unda daeTesa 200 ha, magram igi yoveldRiurad 5 ha-Ti mets Tesavda, vidre gegmiT iyo gaTvaliswinebuli, da amitom Tesva vadaze 2 dRiT adre daamTavra. ramden dReSi damTavrebula Tesva? 10.174. Tivis maragi imdenia, rom SeiZleba yoveldRiurad gaices yvela cxenisaTvis 96 kg. sinamdvileSi SeZles TiToeuli cxenis yoveldRiuri ulufis 4 kg-iT gadideba, radganac ori cxeni gadaiyvanes sxva TavlaSi. ramdeni cxeni iyo Tavdapirvelad? 10.175. 15 t bostneulis gadasazidad moiTxoves gansazRvruli tvirTmzidaobis ramdenime manqana. garaJma gagzavna 0,5 toniT naklebi tvirTmzidaobis manqanebi, romelTa raodenoba iyo moTxovnilze erTiT meti. ramdeni tona bostneuli waiRo TiToeulma manqanam? 10.176. pirvelma ostatma 60 detalis damzadebaze 3 saaTiT naklebi dro daxarja vidre meorem. ramden saaTSi daamzadebs 90 detals meore ostati, Tu erTad muSaobiT erT saaTSi isini amzadeben 30 detals? 272

10.177. simindiT daTesili erTi nakveTis farTobi 2 haTi naklebi iyo meore nakveTis farTobze. mosavlis aRebisas TiToeuli nakveTidan miiRes 60 t simindi. ramdeni tona simindi iyo aRebuli TiToeuli nakveTis erTi heqtaridan, Tu pirvel nakveTze 1 t-iT meti simindi aiRes heqtaridan, vidre meoreze? 10.178. erT nakveTze aRebuli iyo 200 c xorbali, xolo meore nakveTze, romlis farTobi 2 ha-Ti metia, vidre pirveli nakveTis farTobi_300 c. amasTanave, TiToeul heqtarze 5 c-iT meti, vidre pirveli nakveTis TiToeul heqtarze. ipoveT miwis TiToeuli nakveTis farTobi. 10.179. miwis erT nakveTze aiRes 4,8 t kartofili; meore nakveTze, romlis farTobic 0,03 ha-Ti naklebia pirvelze, aiRes 2 t kartofili. amasTanave meore nakveTis 1 m 2 -ze aiRes 2 kg-iT naklebi, vidre pirveli nakveTis 1 m 2 -ze. ipoveT TiToeuli nakveTis farTobi. 10.180. sakoncerto darbazSi 600 adgilia. imis Semdeg, rac TiToeul rigSi adgilebis ricxvi 4-iT gaadides da kidev ori rigi daumates, darbazSi 748 adgili gaxda. ramdeni rigia axla darbazSi? 10.181. orma brigadam erTad muSaobiT xeebis dargva nakveTze 4 dReSi daamTavra. ramdeni dRe dasWirdeboda am samuSaos Sesasruleblad TiToeul brigadas cal-calke, Tu erT maTgans SeeZlo xeebis dargvis damTavreba 6 dRiT adre meoreze? 10.182. wyalsadenis avzi ori miliT ivseba 2 sT da 55 wuTSi. pirvel mils SeuZlia misi avseba 2 saaTiT ufro male, vidre meores. ramden xanSi aavsebs am avzs TiToeuli mili cal-calke moqmedebiT? 10.183. oTxi dRis erTad muSaobiT sxvadasxva 2 nawili simZlavris orma traqtorma mTeli farTobis 3 moxna. ramden dReSi moxnavda mTel farTobs TiToeuli traqtori cal-calke, Tu pirvel traqtors SeuZlia mTeli farTobis 5 dRiT Cqara moxvna, vidre meores? 1 dRiT 10.184. or kalatozs, romelTaganac meore 1 2 gvian iwyebs muSaobas pirvelze, SeuZlia kedlis amoyvana 7 dReSi. ramden dReSi amoiyvanda am kedels TiToeuli 273

maTgani cal-calke, Tu cnobilia, rom meore kalatozs SeuZlia kedlis amoyvana 3 dRiT adre pirvelze? 10.185. erTi muSa gegmiT gaTvaliswinebul samuSaos asrulebs 4 dRiT adre, vidre meore. Tu orive erTad 48 dRes imuSavebs, Sesruldeba 7-jer meti samuSao vidre gegmiT iyo gaTvaliswinebuli. gegmiT gaTvaliswinebuli samuSaos ra nawili Sesruldeba, Tu marto pirveli muSa imuSavebs 3 dRes, xolo marto meore 4 dRes? 10.186. sam kalatozs erTad SeuZlia kedlis aSeneba 12 saaTSi. pirvels, marto muSaobiT, SeuZlia kedlis aSeneba 7 mesameze 1 -jer ufro swrafad da meoreze 2 saaTiT ufro 9 swrafad. kedlis ra nawils aaSenebs pirveli kalatozi marto muSaobiT 5 saaTSi? 10.187. sam brigadas erTad muSaobiT samuSaos Sesruleba SeuZlia 6 dReSi. marto meore brigadas igive samuSaos Sesruleba SeuZlia 4-jer ufro Cqara vidre marto mesames da 4 dRiT Cqara vidre marto pirvels. samuSaos ra nawilis Sesruleba SeuZlia mesame brigadas 2 dReSi marto muSaobiT? 10.188. pirveli mili avzs avsebs 4 saaTiT gvian, xolo meore mili 9 saaTiT gvian, vidre orive mili erTad. ra droSi aavsebs avzs TiToeuli mili cal-calke? 10.189. qsovilis fasma imdeni procentiT daiklo, ramdeni laric Rirda metri qsovili fasebis daklebamde. ramdeni procentiT iqna daklebuli qsovilis fasi, Tu metri qsovili 16 larad gayides? 10.190. qsovilis fasma moimata imaze orjer meti procentiT, ramdeni laric Rirda metri qsovili fasis momatebamde. ramdeni procentiT moimata qsovilis fasma, Tu momatebis Semdeg misi fasi gaxda 28 lari? 10.191. procentebis erTi da imave ricxviT fasebis ori TanmimdevrobiTi daklebis Semdeg fotoaparatis fasi 150 laridan 96 laramde daeca. ramdeni procentiT klebulobda fotoaparatis fasi TiToeul SemTxvevaSi? 10.192. qalaqis mcxovrebTa ricxvi ori wlis ganmavlobaSi 20000 kacidan 22050 kacamde gaizarda. ipoveT am qalaqis mcxovrebTa zrdis saSualo yovelwliuri procenti. 10.193. sawvavze fasebis orjer Tanmimdevruli gazrdis Semdeg fasi sawvavze gaxda 3-jer meti Tavdapirvel fasTan 274

SedarebiT. amasTan fasi pirvelad 2-jer naklebi procentiT gaizarda, vidre meored. ramdeni procentiT gaizarda fasi pirvelad? 10.194. fotoaparati, romlis fasi iyo 20 lari, jer gaZvirda da Semdeg gaiafda. amasTan gaiafeba moxda 4-jer meti procentiT vidre gaZvireba. ramdeni procentiT gaiafda da ramdeni procentiT gaZvirda fotoaparati, Tu igi axla 16 lari da 80 TeTri Rirs? 10.195. kursis studentTa saSualo qula maTi raodenobis toli iyo. mas Semdeg, rac 5 studenti, saSualo quliT 50, sxva fakultetze gadavida, kursis studentTa saSualo qula gaxda 82. ramdeni studenti iyo Tavidan kursze? 10.196. brigadis wevrTa saSualo yoveldRiuri Semosavali iyo 30 lari. Tu brigadas daemateba erTi muSa, romlis yoveldRiuri Semosavalia 61 lari, maSin brigadis wevrTa saSualo yoveldRiuri Semosavali larebSi ricxobrivad gaxdeba brigadis wevrTa raodenobis toli. ramdeni wevria brigadaSi? 10.197. pirvel da meore jgufSi studentTa raodenoba erTi da igivea. sesiebis Sedegad miRebuli maTi saSualo qula erTi da igive ricxvi_60 aRmoCnda. Tu pirveli jgufidan meoreSi gadaviyvanT 42 qulis mqone erT students, maSin pirveli jgufis studentTa saSualo qula 1,9-iT meti iqneba meore jgufis saSualo qulaze. ramdeni studentia TiToeul jgufSi? 10.198. Widaobis seqciis erTi wevri iwonida 63 kg-s, xolo danarCenebis saSualo wona iyo 60 kg. mas Semdeg, rac seqciaSi movida 57 kg wonis mqone axali moWidave, seqciis wevrTa saSualo wonam moiklo 100 gramiT. ramdeni moWidave iyo seqciaSi Tavdapirvelad? 10.199. fexburTSi pirvelobis gaTamaSebis dros Catarda 55 TamaSi: amasTanave, TiToeulma gundma danarCen gundebTan mxolod TiTo TamaSi Caatara. ramdeni gundi monawileobda gaTamaSebaSi? 10.200. Tu moWadrakeTa Sejibrebis TiToeuli monawile danarCen monawileebTan mxolod TiTo partias iTamaSebs, maSin sul gaTamaSebuli iqneba 231 partia. ramdeni monawilea moWadrakeTa SejibrebaSi?

275

10.201. moswavleebi erTmaneTs ucvlian Tavis fotosuraTebs. ramdeni moswavle yofila, Tu gacvlagamocvlisaTvis saWiroa 870 fotosuraTi? 10.202. ramdenime wertilze, romelTagan arcerTi sami wertili erT wrfeze ar mdebareobs, gavlebulia am wertilebis wyvil-wyvilad SemaerTebeli yvela wrfe. gansazRvreT, ramdeni wertili iyo aRebuli, Tu gatarebuli wrfeebis ricxvi aRmoCnda 45? 10.203. amozneqil mravalkuTxedSi gavlebulia yvela SesaZlo diagonali; maTi ricxvi 14 aRmoCnda. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds? 10.204. romel mravalkuTxeds aqvs diagonalebis ricxvi 12-iT meti gverdebis ricxvze? 10.205. yuTis saxuravSi, romelsac marTkuTxedis forma aqvs sigrZiT 30 sm da siganiT 20 sm, unda amoiWras 200 sm 2 farTobis marTkuTxa naxvreti ise, rom am naxvretis napirebi yvelgan erTnair manZilze iyos saxuravis napirebidan. ra manZiliT unda iyos daSorebuli naxvretis napiri saxuravis napiridan? 10.206. fotografiul suraTs, zomiT 12 sm Ă&#x2014; 18 sm, erTnairi siganis CarCo aqvs. ipoveT CarCos sigane, Tu misi farTobi udris suraTis farTobs. 10.207. yvavilnari, romelsac marTkuTxedis forma aqvs 2 m da 4 m gverdebiT, erTnairi siganis bilikiT aris Semovlebuli. ipoveT am bilikis sigane, Tu misi farTobi 9-jer metia yvavilnaris farTobze. 10.208. nakveTs marTkuTxedis forma aqvs, romlis sigrZe orjer metia siganeze. nakveTs mTel sigrZeze Wris 2 m siganis biliki, xolo nakveTis danarCen nawilze xorbalia daTesili. ipoveT nakveTis sigrZe, Tu xorbliani nawilis farTobi 4600 m 2 -iT metia bilikis farTobze. 10.209. marTkuTxedis formis Tunuqis furclisagan TavRia yuTi daamzades ise, rom am furclis kuTxeebSi amoWrilia kvadratebi 5 sm gverdiT da darCenili napirebi gadakecilia. ra zomis iyo Tunuqis furceli, Tu misi sigrZe orjer meti iyo siganeze da yuTis moculoba aRmoCnda 1500 sm 3 -is toli? 10.210. xsnars, romelic 40 g marils Seicavda, daumates 200 g wyali, ris Semdeg misi koncentracia 10%-iT 276

Semcirda. ramden wyals Seicavda xsnari da rogori iyo misi koncentracia? 10.211. WurWlidan, romelic 20 l-s itevs da spirtiT aris savse, gadmoasxes spirtis raRac raodenoba da WurWeli wyliT Seavses; Semdeg gadmoasxes narevis imdenive raodenoba da isev Seavses wyliT. amis Semdeg WurWelSi aRmoCnda 5 l sufTa spirti. ramdeni siTxe gadmousxamT TiToeul jerze? 10.212. WurWelSi iyo 10 l marilmJava. marilmJavas nawili gadaasxes da WurWelSi Caasxes igive raodenobis wyali. Semdeg isev gadaasxes narevis igive raodenoba da Seavses igive raodenobis wyliT. ramden litrs asxamdnen yovel Casxmaze Tu WurWelSi darCa marilmJavas 64%-iani xsnari?

III. bnpdbofcjt!bnpytob!hboupmfcbUb!!

tjtufnfcjt!hbnpzfofcjU! ! 10.213. moswavlem 3 rveulsa da 2 fanqarSi gadaixada 65 TeTri. meore moswavlem imgvarsave 2 rveulsa da 4 fanqarSi gadaixada 70 TeTri. ramdeni TeTri Rirs erTi rveuli? 10.214. 8 cxenisa da 15 Zroxis gamosakvebad yoveldRiurad iZleodnen 162 kg Tivas. ramden Tivas aZlevdnen yoveldRiurad TiToeul cxens da TiToeul Zroxas, Tu viciT, rom 5 cxeni Rebulobda 3 kg-iT met Tivas, vidre 7 Zroxa? 10.215. orma xelosanma samuSaoSi miiRo 1170 lari. pirvelma imuSava 15 dRe. meorem ki 14 dRe. ramden lars Rebulobda dReSi meore xelosani, Tu cnobilia, rom pirvelma xelosanma 4 dReSi miiRo 110 lariT meti, vidre meorem 3 dReSi? 10.216. ori naturaluri ricxvis namravli 2,4-jer metia 6 am ricxvebis sxvaobaze, maTi saSualo ariTmetikuli 2 7 1 iT metia 4 -ze. ipoveT es ricxvebi. 7 10.217. ori dadebiTi ricxvis jami erTiT metia pirveli da meore ricxvebis gaorkecebul sxvaobaze. ipoveT es ricxvebi, Tu pirvelis kvadrati samiT metia meoreze. 277

10.218. bostneulis maRaziaSi kartofili da kombosto miitanes. pirvel dRes gayides kartofilis naxevari da 1 , sul 150 kg. meore dRes gayides darCenili kombostos 3 1 1 kartofilis da darCenili kombostos , sul 100 kg. 2 2 ramdeni kartofili da ramdeni kombosto miitanes maRaziaSi? 10.219. samkervalom miiRo ori xarisxis maudi, metri 6 lariani da 5 lariani, sul 1600 laris. paltoebis Sesakerad samkervalom daxarja pirveli xarisxis maudis maragis 25% da meore xarisxis maudis maragis 20%, sul 350 laris Rirebulebisa. TiToeuli xarisxis ramdeni metri maudi miiRo samkervalom? 10.220. 10 cxenisa da 14 Zroxis gamosakvebad yoveldRiurad 180 kg Tivas iZleodnen; Tivis normis gadidebis Semdeg cxenebisaTvis 25%-iT, xolo 1 ZroxebisaTvis 33 %-iT, daiwyes dReSi 232 kg Tivis micema, 3 Tavdapirvelad ramden kilogram Tivas aZlevdnen dReSi erT cxensa da erT Zroxas? 10.221. ori memanqane erTmaneTisagan damoukideblad beWdavda 60-gverdian xelnawers. pirveli memanqane 6 gverdis beWdvas andomebda imden dros, rasac meore memanqane 5 gverdis beWdvas. ramden gverds beWdavda saaTSi TiToeuli memanqane, Tu pirvelma mTeli samuSao Seasrula 2 saaTiT ufro adre, vidre meorem? 10.222. tvirTis gadasazidad gansazRvruli vadiT daqiravebulia erTi da imave simZlavris ramdenime sabargo manqana. manqanebio rom 2-iT naklebi yofiliyo, maSin tvirTis gadasazidad dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT meti dro; manqanebi rom 4-iT meti yofiliyo, maSin tvirTis gadasazidad dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT naklebi dro. ramdeni manqana iyo daqiravebuli da ramdeni dro dasWirdaT tvirTis gadasazidad? 10.223. Tu wignis gverdze striqonebis ricxvs SevamcirebT 4-iT, xolo striqonSi asoebis ricxvs 5-iT, maSin mTel gverdze asoebis ricxvi 360-iT Semcirdeba. Tu ki gverdze gavadidebT striqonebis winandel ricxvs 3-iT, xolo asoebis ricxvs striqonSi 2-iT, maSin gverdze 228 278

asoTi meti daeteva, vidre winaT. ipoveT striqonebis ricxvi gverdze da asoebis ricxvi striqonSi. 10.224. ramodenime mTibavs garkveul droSi unda gaeTiba 15 ha mindori. Tu mTibavebi iqnebodnen 5-iT meti, maSin isini samuSaos daamTavrebdnen vadaze 2 sT-iT adre. ramdeni mTibavi muSaobda mindvris gasaTibad, Tu 3 mTibavi 4 saaTSi Tibavs 3 ha mindors? 10.225. traqtoristTa brigada garkveul vadaSi xnavs 300 ha miwas. Tu brigadaSi iqneboda 3 traqtoriT meti, maSin brigada xvnas daamTavrebda vadaze 6 dRiT adre. ramdeni traqtori iyo brigadaSi, Tu sami traqtori 2 dReSi xnavs 90 ha miwas? 10.226. orniSna ricxvis aTeulebis ricxvi samjer metia misi erTeulebis ricxvze. Tu am ricxvis cifrebs gadavaadgilebT, maSin miviRebT ricxvs, romelic 36 erTeuliT naklebia saZebn ricxvze. ipoveT orniSna ricxvi. 10.227. orniSna ricxvis cifrebis jami udris 11-s. Tu am ricxvs 63-s davumatebT, maSin miiReba imave cifrebiT, mxolod Sebrunebul rigze dawerili ricxvi. ipoveT orniSna ricxvi. 10.228. orniSna ricxvis cifrebis jami udris 12-s. Tu am ricxvis cifrebs gadavaadgilebT, maSin miviRebT ricxvs, romelic 18-iT metia saZebn ricxvze. ipoveT orniSna ricxvi. 10.229. orniSna ricxvis cifrTa jami udris 15-s. Tu am ricxvs 7-ze gavamravlebT da miRebuli namravlidan gamovaklebT orniSna ricxvs, romelic Cawerilia mocemuli orniSna ricxvis cifrebiT, magram Sebrunebuli mimdevrobiT, miviRebT 387-s. ipoveT orniSna ricxvi. 10.230. orniSna ricxvi 4-jer metia Tavisave cifrTa jamze da 3-jer metia maTsave namravlze. ipoveT orniSna ricxvi. 10.231. orniSna ricxvis cifrTa jami udris 13-s. Tu am ricxvs 9-s gamovaklebT, maSin miviRebT ricxvs, romelic Cawerili iqneba imave cifrebiT, magram Sebrunebuli mimdevrobiT. ipoveT es ricxvi. 10.232. mocemulia erTi da imave cifrebiT gamosaxuli ori orniSna ricxvi. pirveli ricxvis ganayofi meoreze udris 1,75-s. pirveli ricxvis namravli misi aTeulebis ricxvze 3,5-jer metia meore ricxvze. ipoveT meore ricxvi. 279

10.233. orniSna ricxvis cifrTa namravli samjer naklebia TviT am ricxvze. Tu saZiebel ricxvs mivumatebT 18-s, maSin miiReba ricxvi dawerili imave cifrebiT, magram Sebrunebuli mimdevrobiT. ipoveT es ricxvi. 10.234. ipoveT orniSna ricxvi, romlis ganayofi misi 2 cifrebis namravlze aris 2 , xolo sxvaoba saZiebel 3 ricxvsa da imave cifrebiT, magram Sebrunebuli mimdevrobiT, dawerili ricxvs Soris aris 18. 10.235. Tu mocemul orniSna ricxvs gavyofT misi cifrebis jamze, maSin miiReba ganayofi 3 da naSTi 7. Tu mocemul orniSna ricxvis cifrTa kvadratebis jams gamovaklebT mocemuli orniSna ricxvis cifrebis namravls, miviRebT mocemul orniSna ricxvs. ipoveT es ricxvi. 10.236. Tu orniSna ricxvs gavyofT ricxvze, romelic imave cifrebiT aris dawerili mxolod Sebrunebuli mimdevrobiT, maSin miviRebT ganayofs 4-s da naSTs 3-s; Tu saZiebel ricxvs gavyofT mis cifrTa jamze, maSin miviRebT ganayofs 8-s da naSTs 7-s. ipoveT es ricxvi. 10.237. mokriveTa da moWidaveTa seqciis sportsmenTa saSualo wona erTidaigivea da 60 kg-is tolia. Tu krivis seqciidan Widaobis seqciaSi gadava sportsmeni, romlis wona 44 kg-ia, maSin seqciaTa saSualo wonebs Soris sxvaoba gaxdeba 1,8 kg. Tu Widaobis seqciidan wava sportsmeni, romlis wona 88 kg-ia (krivis seqcia ucvleli darCeba), maSin aRniSnul saSualo wonebs Soris sxvaoba 2 kg gaxdeba. ramdeni sportsmenia TiToeul seqciaSi? 10.238. pirveli semestris Semdeg or klass aRmoaCnda erTidaigive saSualo qula_ 50. Tu erTi klasidan meoreSi gadava 18 qulis mqone bavSvi, maSin am klasebis saSualo qulebs Soris sxvaoba gaxdeba 3. Tu meore klasidan pirvelSi gadava 95 qulis mqone bavSvi, maSin aRniSnuli sxvaoba gaxdeba 4. ramdeni moswavlea TiToeul klasSi? 10.239. sxvadasxva simZlavris orma traqtorma erTad 1 muSaobiT 30 wuTis ganmavlobaSi moxna mTeli yanis 6 nawili. marto pirvel traqtors rom 24 wuTi emuSava, Semdeg ki marto meore traqtors 40 wuTi, maSin isini moxnavdnen mTeli yanis 20%-s. ra xnis ganmavlobaSi moxnavs mTel yanas TiToeuli traqtori cal-calke? 280

10.240. or brigadas mosavlis aReba unda daemTavrebia 12 dReSi. 8 dRis erTad muSaobis Semdeg pirvelma brigadam miiRo sxva davaleba, amitom meorem samuSaos darCenili nawili 7 dReSi daamTavra. ra xnis ganmavlobaSi SeeZlo TiToeul brigadas cal-calke mosavlis aReba? 10.241. erTad muSaobiT ori xelosani samuSaos daamTavrebs 12 dReSi. Tu ki pirveli xelosani 2 dRes imuSavebs, meore ki 3 dRes, maSin isini Seasruleben mTeli samuSaos mxolod 20%-s. ramden dReSi daamTavrebs am samuSaos TiToeuli xelosani cal-calke? 10.242. ori milis erTad muSaobiT avzi 1 sT 20 wuTSi ivseba; Tu pirvel mils gavxsniT 10 wuTiT, meores ki 12 2 wuTiT, maSin gaivseba avzis mxolod nawili. ra xnis 15 ganmavlobaSi aavsebs avzs TiToeuli mili cal-calke? 10.243. ori muSa erTad muSaobiT samuSaos asrulebs 6 dReSi. Tu pirveli imuSavebda orjer nela, xolo meore 3jer Cqara, maSin samuSaos Sesrulebas dasWirdeboda 4 dRe. ramden dReSi Seasrulebs samuSaos TiToeuli muSa cal-calke? 10.244. Tu pirveli muSa 1 sT-s imuSavebs, xolo meore 3 11 sT-s, maSin mTeli samuSaos nawili Sesruldeba. Tu 24 amis Semdeg isini erTad kidev 2 sT-s imuSaveben, aRmoCndeba, rom maT darCaT Sesasrulebeli mTeli 1 nawili. ramden saaTSi SeZlebs mTeli samuSaos 8 samuSaos Sesrulebas marto pirveli muSa? 10.245. ori traqtori xnavs mindors. mas Semdeg, rac pirvelma imuSava 2 saaTi, xolo meorem 5 saaTi, moxnuli aRmoCnda mindvris naxevari. amis Semdeg 1,5 saaTis ganmavlobaSi isini muSaobdnen erTad da moxnes kidev mindvris meoTxedi. ra dro dasWirdeba marto pirvel traqors samuSaos dasamTavreblad? 10.246. or muSas erTad muSaobiT SeuZlia gansazRvruli davaleba 12 dReSi daamTavros. jer Tu marto erTi maTgani imuSavebs da, rodesac igi mTeli samuSaos naxevars Seasrulebs, mas meore muSa Secvlis, maSin mTeli davaleba 25 dReSi damTavrdeba. ramden dReSi SeuZlia TiToeul muSas cal-calke mTeli davalebis Sesruleba? 281

10.247. ori salewi manqana Segrovil TavTavs 4 dReSi 2 nawils, lewavs. Tu pirveli galewavs mTeli TavTavis 3 xolo Semdeg meore darCenil nawils, maSin mTeli samuSao 10 dReSi damTavrdeba. TavTavis ra nawils galewavs marto meore manqana 5 dReSi, Tu is muSaobs ufro nela, vidre pirveli? 10.248. ori miliT avzi ivseba 3 saaTSi. Tu jer marto pirveli mili aavsebs avzis 25%, xolo Semdeg marto meore darCenil nawils, maSin avzi 10 saaTSi aivseba. ramden 1 saaTSi aavsebs marto pirveli mili avzis nawils, Tu 4 is avzs avsebs ufro swrafad, vidre meore? 10.249. gemma gaiara 100 km mdinaris dinebis mimarTulebiT da 64 km dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT, rasac sul 9 saaTi moandoma. meored imave drois ganmavlobaSi gaiara 80 km mdinaris dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT da 80 km mdinaris dinebis mimarTulebiT. ipoveT gemis siCqare mdgar wyalSi da mdinaris dinebis siCqare. 10.250. motorian navs mdinaris dinebis mimarTulebiT 12 km-is gasavlelad da ukan dabrunebisaTvis dasWirda 2 sT da 30 wT. meored imave motorianma navma 1 sT 20 wuTSi gaiara 4 km mdinaris dinebis mimarTulebiT da 8 km sawinaaRmdego mimarTulebiT. ipoveT motoriani navis siCqare mdgar wyalSi da mdinaris dinebis siCqare. 10.251. ori turisti gamodis erTmaneTis Sesaxvedrad ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 48 km-ia. isini Sexvdebian erTmaneTs Sua gzaze, Tu meore turisti gamova 2 saaTiT adre pirvelze. Tuki isini erTdroulad gamovlen qalaqebidan, maSin 4 saaTis Semdeg maT Soris manZili darCeba 8 km. ipoveT TiToeuli turistis siCqare. 10.252. velosipedisti midioda garkveuli siCqariT da A punqtidan B punqtSi daniSnul droze Cavida; mas rom es siCqare gaedidebina 3 km-iT saaTSi, maSin adgilze Cavidoda vadaze erTi saaTiT adre, xolo mas rom saaTSi gaevlo 2 km-iT naklebi imaze, rasac is sinamdvileSi gadioda, maSin daagviandeboda 1 saaTi. ipoveT manZili A da B punqtebs Soris, velosipedistis siCqare da ramdeni saaTi iyo is gzaSi. 282

10.253. ori turisti gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad qalaqebidan, romelTa Soris manZili 30 km-s udris. Tu pirveli gamova ori saaTiT adre meoreze, maSin isini Sexvdebian erTmaneTs 2,5 saaTis Semdeg meore turistis gamosvlis momentidan; Tu meore gamova 2 saaTiT adre pirvelze, maSin Sexvedra moxdeba pirveli turistis gamosvlidan 3 saaTis Semdeg. ramden kilometrs gadis saaTSi TiToeuli turisti? 10.254. ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 650 km-s udris, erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad gagzavnes ori matarebeli. gamgzavrebidan 5 saaTis Semdeg matareblebi Sexvdnen erTmaneTs. Tu pirvel matarebels gagzavnian meoreze 2 sT 10 wuTiT adre, maSin Sexvedra moxdeba meore matareblis gamosvlidan 4 saaTis Semdeg. ramden kilometrs gadis saaTSi TiToeuli matarebeli? 10.255. or qalaqs Soris 960 km-is tol manZils samgzavro matarebeli 4 saaTiT Cqara gadis, vidre sabargo. Tu samgzavro matareblis siCqares saaTSi 8 km-iT gavadidebT, xolo sabargo matareblis siCqares 2 km-iT, maSin samgzavro matarebeli mTel manZils 5 saaTiT Cqara gaivlis sabargoze. ipoveT TiToeuli matareblis siCqare. 10.256. velosipedisti moZraobs AB gzaze, romelic Sedgeba gzis horizontaluri nawilis, aRmarTisa da daRmarTisagan. swor adgilze velosipedistis siCqare aris 12 km/sT, aRmarTze 8 km/sT, xolo daRmarTze 15 km/sT. A -dan B -Si misvlas velosipedisti andomebs 5 saaTs, xolo B -dan A -Si_4 sT 39 wuTs. ipoveT aRmarTisa da A -dan B -sken mimarTulebiT, Tu daRmarTis sigrZe cnobilia, rom gzis swori nawilis sigrZea 28 km. 10.257. A da B punqtebs Soris gza Sedgeba aRmarTisa da daRmarTisagan. velosipedisti, moZraobs ra daRmarTze 6 km-iT meti siCqariT saaTSi, vidre aRmarTze, A -dan B mde gzis gavlaze 2 sT 40 wT-s xarjavs, xolo B -dan A mde gzis ukan gamovlaze 20 wT-iT naklebs. ipoveT velosipedistis siCqare aRmarTsa da daRmarTze da aRmarTis sigrZe A -dan B -sken mimarTulebiT, Tu mTeli gzis sigrZe 36 km-ia. 10.258. wrewirze, romlis sigrZe udris 100 m-s, moZraobs ori sxeuli. isini erTmaneTs xvdebian yoveli 20 wamis Semdeg, rodesac erTi da imave mimarTulebiT moZraoben, xolo xvdebian yoveli 4 wamis Semdeg, rodesac 283

mopirdapire mimarTulebiT moZraoben. ipoveT TiToeuli sxeulis siCqare. 10.259. ori sxeuli Tanabrad moZraobs erTsadaimave wrewirze erTidaigive mimarTulebiT. pirveli sxeuli erT bruns akeTebs 2 wm-iT Cqara meoreze da eweva meore sxeuls yovel 12 wm-Si. ra droSi akeTebs erT bruns TiToeuli sxeuli?

IV. tywbebtywb!bnpdbofcj

! 10.260. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc 2:3, xolo meore mesames, rogorc 4:5. ipoveT pirveli ricxvis Sefardeba mesamesTan. 10.261. proporciis pirveli sami wevris jami udris 58-s. mesame wevri Seadgens pirveli wevris 2 , xolo meore 3 3 pirvelis nawils. ipoveT proporciis meoTxe wevri. 4 10.262. klasSi 40 moswavlea. aqedan 25 swavlobs inglisur enas, 22_germanuls, xolo 10 swavlobs orive am enas. ramdeni moswavle ar swavlobs arc inglisurs da arc germanuls? 10.263. klasSi 35 moswavlea. aqedan 20 dadis maTematikis wreSi, 11_fizikis wreSi, xolo 10 moswavle ar dadis am wreebidan arc erTSi. ramdeni moswavle dadis erTdroulad fizikisa da maTematikis wreSi? 10.264. oTaxis iatakze, romlis farTobia 12 m 2 , gaSlilia sami xaliCa. pirveli xaliCis farTobia 5 m 2 , meoris_ 4m 2 , xolo mesamis_ 3 m 2 . yoveli ori xaliCa erTmaneTze gadadebulia 1,5 m 2 farTobze, amasTan 0,5 m 2 farTobze erTmaneTze devs samive xaliCa. ipoveT: 1) iatakis im nawilis farTobi, romelic dafaruli ar aris; 2) mxolod pirveli xaliCiT dafaruli iatakis nawilis farTobi. 10.265. 100 studentidan inglisuri ena icis 28 studentma, germanuli ena_ 30 studentma, franguli ena_ 42 studentma, inglisuri da germanuli_ 8 studentma, inglisuri da franguli_ 10 studentma, samive es ena icis 3 studentma, arcerTi am enidan ar icis 20 studentma. 284

daadgineT ramdenma studentma icis: 1) germanuli da franguli? 2) inglisuri an germanuli? 3) inglisuri an franguli? 4) germanuli an franguli? 10.266. Saqris fasis 15%-iT gazrdis Semdeg yoveldRiurad Semosuli Tanxa 8%-iT Semcirda. ramden kilogram Saqars yidis dReSi gamyidveli axla, Tu adre igi dReSi yidida 50 kilograms? 10.267. stadionze Sesasvleli bileTis gaiafebis Semdeg mayurebelTa ricxvma 50%-iT moimata da bileTebis gayidviT Semosuli Tanxa 20%-iT gaizarda. ramdeni lari gaxda bileTis fasi, Tu gaiafebamde is Rirda 10 lari? 10.268. saqonlis fasi Tavdapirvelad Seamcires 20%-iT, xolo Semdeg es axali fasi kvlav 15%-iT Seamcires da bolos, axali gadaangariSebis Semdeg, saqonlis fasi kidev 10%-iT Semcirda. sul ramdeni procentiT Seamcires saqonlis pirvandeli fasi? 10.269. mewarmem Tavisi produqcia jer gaaZvira da Semdeg gaaiafa. amasTan gaZvireba da gaiafeba moxda procentebis erTidaigive ricxviT. ramdeni procentiT gaZvirda da ramdeniT gaiafda produqcia, Tu is Tavdapirvelad Rirda 500 lari, axla ki Rirs 480 lari? 10.270. karaqi jer gaiafda 20%-iT, xolo Semdeg gaZvirda imdeni procentiT ramdeni laric Rirda 1 kilogrami karaqi gaiafebamde. ra Rirda 1 kilogrami karaqi gaiafebamde, Tu is axla Rirs 4 lari da 20 TeTri? 10.271. samuSao dRe Semcirda 8 saaTidan 7 saaTamde. ramdeni procentiT unda gadiddes Sromis nayofiereba, rom imave pirobebSi xelfasi gadiddes 5%-iT? 10.272. fulis ori Tanxa, romelTa jamia 5000 lari raRac vadiT Setanili iyo bankSi wliur 3%-ian anabarze. TiToeulma am Tanxam moimata 60 lariT. pirveli Tanxa bankSi iyo 4 TviT naklebi drois ganmavlobaSi, vidre meore. ras udris TiToeuli Tanxa da ramdeni xniT iyo TiToeuli Setanili bankSi? 10.273. fulis ori Tanxa romelTa jamia 8000 lari Setanil iqna bankSi wliur 3%-ian anabarze. pirveli Tanxa bankSi iyo 10 TviT naklebi drois ganmavlobaSi vidre meore. am Tanxebidan pirvelma moimata 80 lari, xolo meorem 60 lari. ras udris TiToeuli Tanxa da ramdeni Tve iyo TiToeuli maTgani bankSi? 285

10.274. kompiuteris fasi yovel 5 weliwadSi 90%-iT mcirdeba. ra droa saWiro, rom 10000 laris Rirebulebis kompiuteris fasi 100 lari gaxdes? 10.275. erTniSna ricxvi gaadides aTi erTeuliT. Tu miRebul ricxvs gavadidebT imdenive procentiT, ramdeniTac pirvel SemTxvevaSi, maSin miiReba 72. ipoveT sawyisi ricxvi. 10.276. erT wisqvils SeuZlia 19 centneri xorbali dafqvas 3 saaTSi, meores 32 centneri_5 saaTSi, xolo mesames 10 centneri 2 saaTSi. rogor unda ganawildes 1330 centneri xorbali wisqvilebs Soris imgvarad, rom maT erTdroulad daiwyon muSaoba da erTdrouladve daamTavron dafqva? 10.277. im samuSaosaTvis, romelsac pirveli memanqane 4 sT-Si beWdavs, meores sWirdeba 6 sT, xolo mesames_4 sT 30 wT. rogor gavanawiloT memanqaneebs Soris 460-gverdiani xelnaweri, raTa samivem erTidaigive droSi daasrulos misi gadabeWdva? 10.278. ostati 18 detals amzadebs imave droSi, romelSic moswavle_10 detals. davalebis Sesasruleblad ostats 32 saaTi dasWirda, ra droSi Seasrulebs amave davalebas moswavle? 10.279. ramdenime muSa asrulebs samuSaos 20 dReSi. Tu maTi raodenoba 4-iT meti iqneboda da TiToeuli imuSavebda dReSi 1 saaTiT mets, maSin igive samuSao Sesruldeboda 16 dReSi. Tu muSebis raodenoba kidev 12 kaciT gaizrdeba da TiToeuli maTgani dReSi imuSavebs kidev 2 saaTiT mets, maSin mocemuli samuSao Sesruldeba 10 dReSi. ramdeni muSa iyo da ramden saaTs muSaobdnen isini dReSi. 10.280. sxvadasxva simZlavris ori tumbos erTdrouli muSaobiT auzi ivseba 4 sT-Si. auzis naxevris gasavsebad pirvel tumbos sWirdeba 4 sT-iT meti dro, vidre meores 3 nawilis gasavsebad. ra droSi gaavsebs auzs auzis 4 TiToeuli tumbo cal-calke? 10.281. gemis gadmosatvirTad gamoyofilia ori brigada. im droTa jami, romelic dasWirdeboda gemis dasaclelad TiToeul brigadas cal-calke 12 sT-ia. ipoveT ra dro dasWirdeboda TiToeul brigadas gemis dasaclelad, Tu 286

maTi sxvaoba aris im drois 45%, romelic sWirdeba orive brigadis erTdrouli muSaobiT gemis daclas. 10.282. erT dazgaze detalebis partiis damuSavebas 3 dRiT ufro mets undebian, vidre meoreze. ramden dRes gagrZeldeboda detalebis am partiis damuSaveba pirvel dazgaze calke, Tu cnobilia, rom dazgebis erToblivi muSaobisas 20 dReSi samjer meti raodenobis detali iyo damuSavebuli? 10.283. samma erTnairma kombainma erTad aiRo pirveli mindori, xolo Semdeg orma maTganma meore mindori (sxva farTobis). sul am samuSaos dasWirda 12 sT. Tu sami kombaini Seasrulebda mTeli samuSaos naxevars, xolo Semdeg darCenil nawils aiRebda erT-erTi maTgani, maSin samuSaos Sesrulebas dasWirdeboda 20 sT. ra droSi SeuZlia or kombains pirveli mindvris aReba? 10.284. miwismTxrelTa orma brigadam erTdrouli muSaobiT amoTxara pirveli Txrili 2 dReSi. amis Semdeg maT daiwyes meore Txrilis amoTxra, romlis sigrZe 5-jer metia pirveli Txrilis sigrZeze. jer muSaobda mxolod pirveli brigada, xolo Semdeg igi Secvala meore brigadam da daamTavra samuSao. amasTan meore brigadam Seasrula 1,5-jer naklebi samuSao, vidre pirvelma. meore Txrilis amoTxraze daixarja 21 dRe. ramden dReSi SeZlebda meore brigada pirveli Txrilis amoTxras, Tu igi ufro nela muSaobs, vidre pirveli? 10.285. ra dros gviCvenebs saaTi (wuTis sizustiT), Tu es dro moTavsebulia 12 00 sT-sa da 12 30 sT-s Soris da saaTis isrebi adgenen: 1) 66 o -ian kuTxes? 2) 90 o -ian kuTxes? 3) 45 o ian kuTxes? 4) α kuTxes ( α <165 o )? 10.286. ra dros gviCvenebs saaTi (wuTis sizustiT), Tu es dro moTavsebulia 2 00 sT-sa da 2 40 sT-s Soris da saaTis isrebi adgenen: 1) 132 o -ian kuTxes? 2) 90 o -ian kuTxes? 3) 33 o ian kuTxes? 4) α kuTxes? 4 gaiara velosipediT, 10.287. turistma mTeli gzis 5 xolo danarCeni gza fexiT. velosipediT moZraobisas man daxarja 2-jer naklebi dro vidre fexiT siarulisas. ramdenjer swrafad moZraobs turisti velosipediT vidre fexiT? 287

10.288. A da B qalaqebidan erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad velosipedisti da motociklisti gamovida. A qalaqidan gamosuli velosipedisti qalaqebs Soris 1 -is gavlis Semdeg SeCerda da B qalaqisaken manZilis 3 gza mxolod mas Semdeg gaagrZela, rodesac masTan B qalaqidan momavali motociklisti movida. motociklistma SeuCereblad gaagrZela gza A qalaqisaken da Semdeg imave gziT dabrunda B qalaqSi ise, rom gzaSi ar SeCerebula. romeli ufro adre Cava B qalaqSi velosipedisti Tu motociklisti? 10.289. soflidan qalaqisaken erTdroulad gaemgzavra velosipedisti da avtomobili. mTeli gzis mexuTedis gavlis Semdeg velosipedisti SeCerda da gaagrZela gza mxolod maSin, rodesac avtomobils gasavleli darCa 3 . avtomobili Cavida ra qalaqSi, maSinve mTeli gzis 5 gamobrunda ukan. romeli ufro adre Cava, avtomobili sofelSi Tu velosipedisti qalaqSi? 10.290. gza Sedgeba sami monakveTisagan. pirveli monakveTis sigrZe mTeli gzis naxevris tolia, xolo meore monakveTis _ mTeli gzis mesamedis. avtomobilis siCqare gzis pirvel monakveTze orjer naklebia vidre meore monakveTze da samjer naklebia vidre mesameze. ramdenjer metia mTel gzaze avtomobilis saSualo siCqare gzis pirvel monakveTze mis siCqareze? 10.291. mgzavri soflidan qalaqSi Cavida da Semdeg ukan dabrunda. soflidan qalaqisaken moZraobis dros gzis pirveli naxevari man gaiara avtomobiliT, xolo meore naxevari fexiT. ukan dabrunebisas daxarjuli mTeli drois naxevari man imoZrava avtomobiliT, meore naxevari ki fexiT. rodis ufro naklebi dro daxarja mgzavrma: soflidan qalaqSi Casvlaze Tu ukan dabrunebaze? 10.292. ori mgzavri soflidan qalaqisken gaemgzavra. pirvelma mgzavrma gzis mesamedi avtobusiT gaiara, xolo danarCeni gza fexiT. meore mgzavrma imave gzis gavlisas daxarjuli drois mesamedi avtobusiT iara, danarCeni drois ganmavlobaSi ki fexiT midioda. romeli mgzavris saSualo siCqarea meti? 10.293. M da N punqtebidan, romelTa Soris manZili 33 km-ia, erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad ori turisti 288

gamovida. 3 sT da 12 wT-is Semdeg maT Soris manZili 1 kmmde Semcirda, xolo kidev 2 sT 18 wT-is Semdeg pirvels N -mde gasavleli darCa samjer meti manZili, vidre meores M -mde. ipoveT turistebis siCqareebi. 10.294. ori velosipedisti erTdroulad gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad ori punqtidan, romelTa Soris 1 manZili 270 km-ia. meore velosipedisti saaTSi gadioda 1 2 kilometriT naklebs, vidre pirveli da Sexvda mas imdeni saaTis Semdeg. ramden kilometrsac gadis pirveli velosipedisti erT saaTSi. ipoveT pirveli velosipedistis siCqare. 10.295. velosipedistma A punqtidan B punqtamde gaiara 60 km. ukan dabrunebisas man pirveli saaTi iara winandeli siCqariT, Semdeg ki Seisvena 20 wuTi. Sesvenebis Semdeg siCqare gaadida 4 km/sT-iT da amitom B -dan A -Si misasvlelad daxarja imdenive dro, ramdenic mas dasWirda A -dan B -Si misasvlelad. ipoveT ra siCqariT midioda velosipedisti A -dan B -mde. 10.296. A da B punqtebs Soris manZili 120 km-ia. A -dan B -Si. igi ukan motociklisti gaemgzavra gamoemgzavra imave siCqariT, magram gamosvlis mometidan erTi saaTis Semdeg iZulebuli gaxda SeCerebuliyo 10 wuTiT, Semdeg kvlav ganagrZo gza A punqtamde, magram gaadida siCqare 6 km/sT-iT. rogori iyo motociklistis siCqare Tavdapirvelad, Tu cnobilia, rom ukan dasabruneblad man imdenive dro daxarja, ramdenic A -dan B -Si Casvlaze? 10.297. turistma naviT gacura mdinareze 90 km da Semdeg fexiT gaiara 10 km. amasTan, fexiT siaruls 4 saaTiT naklebi dro moandoma, vidre naviT curvas. turists fexiT imden xans ro evlo, ramden xansac icura naviT, xolo naviT imden xans ecura, ramden xansac fexiT iara, maSin es manZilebi toli iqneboda. ramdeni saaTi icura turistma naviT? 10.298. ori motociklisti erTdroulad gaeSura erTmaneTis Sesaxvedrad A da B punqtebidan, romelTa Soris manZili udris 600 km-s. im droSi, rasac pirveli andomebs 250 km-is gavlas, meore gadis mxolod 200 km-s. ipoveT pirveli motociklistis siCqare Tu igi B punqtSi Cadis 3 saaTiT ufro adre, vidre meore A punqtSi. 289

10.299. rodesac aqilevsi kus gamoekida, maT Soris manZili 50 metris toli iyo. mas Semdeg, rac maT Soris manZili 10-jer Semcirda, ku mixvda, rom is mdevars Tavs ver daaRwevda da gaCerda. ra manZili gaiara kum devnis dawyebidan, Tu misi siCqare 16-jer naklebia aqilevsis siCqareze da isini erTi mimarTulebiT moZraoben? 10.300. A da B qalaqebidan, romelTa Soris manZili 150 km-ia, erTidaigive mimarTulebiT ( A -dan B -ken) gavida ori turisti. pirveli turisti A -dan gaemgzavra avtomanqaniT, xolo meore B -dan fexiT. mas Semdeg, rac maT Soris manZili Semcirda 25-jer, turistebi gaCerdnen. ras udris B manZili pirveli turistis gaCerebis adgilidan qalaqamde, Tu meore turistis siCqare 17-jer naklebia pirvelis siCqareze? 10.301. A da B punqtebs Soris manZilia 300 km. avtomobilma gaiara mTeli es manZili da dabrunda ukan. B -dan gamosvlis 1 saaTisa da 12 wuTis Semdeg man siCqare gaadida 16 km/sT-iT, ris Sedegadac ukan dabrunebaze daxarja 48 wuTiT naklebi, vidre A -dan B -Si Casvlaze. ipoveT avtomobilis sawyisi siCqare. 10.302. ori matarebeli gamodis A da B punqtebidan erTmaneTis Sesaxvedrad. isini erTmaneTs Sexvdebian Sua gzaze im SemTxvevaSi, Tu A -dan matarebeli gamova ori saaTiT adre, vidre B -dan. Tuki isini A da B punqtebidan erTdroulad gamovlen, maSin ori saaTis Semdeg matareblebs Soris darCenili manZili A da B punqtebs 1 -is toli iqneba. ramden dros Soris manZilis 4 moandomebs TiToeuli matarebeli mTeli gzis gavlas? 10.303. A -dan B punqtisaken, romelTa Soris manZili 120 km-ia, gavida qveiTi. erTdroulad B -dan A -sken gamovida motociklisti, romelic 5 saaTis Semdeg Sexvda qveiTs. Caisva ra qveiTi motociklSi, motociklisti dabrunda ukan da Caiyvana qveiTi B -Si, ris Semdeg SeuCerebliv wavida A -Si. amis gamo motociklistma daxarja 2,5-jer B -dan A -Si meti dro, vidre mas dasWirdeboda Casasvlelad. ipoveT TiToeulis siCqare. 10.304. manZili A da B punqtebs Soris 32 km-ia. A punqtisaken ori velosipedisti gavida. punqtidan B cnobilia, rom pirveli velosipedisti, romlis siCqare aris 8 km/sT, A punqtidan naxevari saaTiT adre gamodis. 290

im momentSi, roca mas meore velosipedisti daeweva, ukan brundeba da A punqtamde misvlas naxevari saaTiT ufro nakleb dros andomebs, vidre meore velosipedisti B punqtamde misvlas. ipoveT meore velosipedistis siCqare. 10.305. qalaqidan erTdroulad erTi da igive mimarTulebiT gaemgzavra velosipedisti da morbenali. velosipedisti moZraobs 18 km/sT siCqariT, xolo morbenali 12 km/sT siCqariT. maTi gamgzavrebidan naxevari saaTis Semdeg imave qalaqidan imave mimarTulebiT gaemgzavra cxenosani. ipoveT cxenosnis siCqare, Tu cnobilia, ro igi velosipedists daewia 1 saaTiT ufro gvian, vidre morbenals. 10.306. A punqtidan B punqtisaken gaemgzavra satvirTo A punqtidan B avtomobili. 1 sT-is Semdeg imave punqtisaken gaemgzavra msubuqi avtomobili, romelic B punqtSi satvirTo avtomobilTan erTad mivida. Tu satvirTo da msubuqi avtomobilebi erTdroulad gamovidodnen A da B punqtebidan erTmaneTis Sesaxvedrad, maSin isini erTmaneTs Sexvdebodnen gamosvlidan 1 sT-isa da 12 wT-is Semdeg. ra dro moandoma satvirTo avtomobilma A da B punqtebs Soris manZilis gavlas. 10.307. wrewirze, romlis sigrZea 400 m erTi da imave wertilidan erTdroulad erTmaneTis sawinaaRmdego mimarTulebiT moZraobas iwyebs ori sxeuli. SexvedrisTanave meore sxeuli mobrunda da daiwyo moZraoba imave mimarTulebiT ra mimarTulebiTac moZraobda pirveli. pirveli daewia meores (gaaswro mas erTi wriT) 2 wuTsa da 5 wm-Si moZraobis dawyebidan. Tu pirvelis siCqare iqneboda mis Tavdapirvel siCqareze 2 m/wm-iT meti, xolo meoris mis Tavdapirvel siCqareze 2 m/wm-iT naklebi, maSin es Sexvedra moxdeboda moZraobis dawyebidan 1 wT-sa da 15 wm-Si. ipoveT TiToeuli sxeulis siCqare. 10.308. ori punqtidan, romelTa Soris manZili 2400 km-ia, erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad gamovida samgzavro da Cqari matarebeli. Tu orive matarebeli imoZravebda Cqari matareblis siCqariT, maSin maTi Sexvedra moxdeboda faqtiur Sexvedramde 3 saaTiT adre, xolo Tu orive matarebeli imoZravebda samgzavro matareblis siCqariT, maSin maTi Sexvedra moxdeboda faqtiur SexvedrasTan SedarebiT 5 saaTiT gvian. ipoveT TiToeuli matareblis siCqare. 291

10.309. A punqtidan gavida pirveli morbenali, ori wuTis Semdeg mis kvaldakval gavida meore morbenali, romelic daewia pirvels A -dan 1 km manZilze. A -dan 5 kmis gavlis Semdeg meore mobrunda ukan da Sexvda pirvels 20 wuTSi pirveli morbenalis moZraobis dawyebidan. ipoveT meore morbenalis siCqare. 10.310. A punqtidan B -saken, romelTa Soris manZili 70 km-ia, gavida velosipedisti, xolo garkveuli drois Semdeg mis kvaldakval gavida motociklisti 50 km/sT siCqariT. igi daewia velosipedists A -dan 20 km manZilze. motociklisti B -Si Casvlidan 48 wuTis Semdeg dabrunda ukan da Sexvda velosipedists 2 sT-sa da 40 wuTSi velosipedistis moZraobis dawyebidan. ipoveT velosipedistis siCqare. 10.311. soflidan qalaqisaken, romelTa Soris manZili 100 km-ia, gavida velosipedisti, xolo raRac drois Semdeg mis kvaldakval gaemgzavra avtobusi 50 km/sT siCqariT. igi daewia velosipedists 36 wT-Si (avtobusis gamosvlidan). avtobusi qalaqSi CasvlisTanave gamobrunda ukan da Sexvda velosipedists 5 sT da 20 wT-Si velosipedistis moZraobis dawyebidan. ipoveT velosipedistis siCqare. 10.312. A qalaqidan B qalaqSi gaemgzavra mgzavri, xolo erTi saaTis Semdeg meore mgzavri. Tu mgzavrebis siCqareebi darCeboda ucvleli, maSin isini B qalaqSi mividodnen erTdroulad. magram mTeli gzis 7 -is gavlis Semdeg 10 3 pirvelma mgzavrma gaadida siCqare -jer da amitom B 2 qalaqSi misi Casvlis momentSi meore mgzavri imyofeboda 2,5 km manZilze B qalaqidan. ipoveT meore mgzavris siCqare, Tu manZili A da B qalaqebs Soris 20 km-ia. 10.313. A qalaqidan B qalaqSi, romelTa Soris manZili 100 km-ia, gaemgzavra velosipedisti. erTi saaTis Semdeg A dan gamovida meore velosipedisti, romelic daewia pirvels da igive siCqariT gaemgzavra ukan. cnobilia, rom pirveli velosipedisti B -Si Cavida maSin, roca meore dabrunda A -Si. ipoveT pirveli velosipedistis siCqare, Tu meoris siCqarea 30 km/sT. qalaqidan B qalaqSi, romelTa Soris 10.314. A manZilia 270 km, gaemgzavra turisti. gzis pirveli 120 km man gaiara avtomobiliT, meore nawili motocikliT, xolo gzis darCenili nawili man gaiara isev avtomobiliT 1 sT292

Si. motociklis siCqare 15 km/sT-iT naklebia avtomobilis siCqareze. ipoveT avtomobilis siCqare, Tu turistis moZraobis saSualo siCqarea 54 km/sT. 10.315. tbas uerTdeba ori mdinare. navi pirveli mdinaris dinebis mimarTulebiT tbamde gadis 36 km-s, Semdeg 19 km-s tbaze da 24 km-s meore mdinareze dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT. sul mgzavrobaze navma daxarja 8 sT, aqedan 2 saaTi imoZrava tbaze. pirveli mdinaris dinebis siCqare 1 km/sT-iT metia meore mdinaris dinebis siCqareze. ipoveT TiToeuli mdinaris dinebis siCqare. 10.316. Tu gemi da katarRa mdinaris dinebis mimarTulebiT imoZraveben da A punqtidan B punqtSi Cavlen, maSin gemi Cava 1,5-jer ufro Cqara vidre katarRa, amasTan katarRa yovel saaTSi gaivlis gemze 8 km-iT naklebs. Tu isini igive manZils gaivlian dinebis sawinaaRmdegod, maSin gemi Cava 2-jer ufro Cqara vidre katarRa. ipoveT gemis da katarRis siCqare mdgar wyalSi. 10.317. or WurWelSi, romelTa tevadobaa 144 litri da 100 litri, wylis garkveuli raodenobaa. Tu mcire WurWlidan didSi CavasxamT wyals ise, rom ukanaskneli piramde aivsos mcire WurWelSi wylis pirvandeli 1 darCeba. Tuki dididan mcireSi CavasxamT raodenobis 5 wyals da mas piramde avavsebT, maSin did WurWelSi wylis 7 aRmoCndeba. ramdeni litri pirvandeli raodenobis 12 wyalia TiToeul WurWelSi? 10.318. gvaqvs spirtis ori xsnari. Tu pirveli xsnaris 2 kg, meoris 5 kg da 1 kg sufTa spirts avurevT, miviRebT xsnars, 3 . Tu pirveli romelSic spirtis koncentracia iqneba 8 xsnaris 4 kg, meoris 15 kg da 3 kg sufTa spirts avurevT, 4 . miviRebT xsnars, romelSic spirtis koncentracia aris 11 ipoveT spirtis koncentracia TiToeul xsnarSi. 10.319. gvaqvs spilenZis ori Senadnobi. erTi maTgani iwonis 5 kg da Seicavs 2 kg spilenZs, meore iwonis 11 kg da Seicavs 2,75 kg spilenZs. SeiZleba Tu ara am Senadnobebidan movWraT nawilebi, gadavadnoT da miviRoT 293

8 kg Senadnobi, romlis yoveli kilogrami

7 kg spilenZs 20

Seicavs? 10.320. gogirdmJavas ori xsnaridan pirveli aris 40%iani, meore 60%-iani. es ori xsnari Seuries erTmaneTs da daumates 5 kg sufTa wyali, ris Sedegad miiRes 20%-iani xsnari. Tu 5 kg wylis nacvlad daumatebdnen 5 kg 80%-ian xsnars, maSin miiRebdnen 70%-ian xsnars. ramdeni kilogrami iyo pirveli da ramdeni kilogrami meore xsnari? 10.321. WurWlidan, romelic savsea sufTa gliceriniT gadmoasxes ori litri glicerini da WurWeli Seavses wyliT; amis Semdeg gadmoasxes narevis imdenive raodenoba da isev Seavses wyliT. bolos WurWlidan isev gadmoasxes 2 litri narevi da kvlav Seavses wyliT. amis Semdeg WurWelSi darCa 3 litriT meti wyali vidre sufTa glicerini. ramdeni litri glicerini da wyalia WurWelSi? 10.322. liTonis ori naWeri erTad iwonis 30 kg-s. pirveli naWeri Seicavs 5 kg sufTa vercxls, xolo meore_4 kg-s. rogoria vercxlis procentuli Semcveloba pirvel naWerSi, Tu igi 15%-iT naklebia, vidre meore naWerSi? 10.323. gvaqvs spilenZisa da kalis ori Senadnobi. erT SenadnobSi am metalebis raodenobebi ise Seefardeba, rogorc 3:2, xolo meoreSi rogorc 2:3. ramdeni grami TiToeuli Senadnobi unda aviRoT, rom miviRoT 24 grami axali Senadnobi, romelSic spilenZis raodenobis Sefardeba kalis raodenobasTan iqneba 5:7? 10.324. oqros procentuli Semadgenloba erT SenadnobSi 2,5-jer metia, vidre meoreSi. Tu orive Senadnobs erTad gadavadnobT, maSin miiReba Senadnobi, romelSic iqneba 40% oqro. ipoveT ramdenjer mZimea pirveli Senadnobi meoreze, Tu erTi da imave wonis pirveli da meore Senadnobebis erTad gadadnobiT miRebuli Senadnobi Seicavs 35% oqros.

294

§11. njnefwspcfcj!eb!qsphsftjfcj!

! J/!njnefwspcfcj!

! 11.1.

ipoveT! pirveli eqvsi wevri mimdevrobisa, romelic Semdegi formuliTaa mocemuli: 3) xn = 2 n−1 ; 4) xn = 2 − n ; n+2 5) xn = 8 − n 2 ; 6) xn = 2n 2 − n + 3 ; 7) x n = ; n 1 + (− 1)n 1 + (− 1)n 1 8) x n = ; 9) x n = ; 10) xn = . n n 2 mimdevroba mocemulia formuliT: x n = n 2 + 5 . ipoveT: 1) x20 ; 2) x100 ; 3) x k −1 ; 4) x2 k . 1) xn = 3 + 2n ; 2) xn = (−1) n ;

11.2. 11.3.

mimdevroba mocemulia xn = 4n − 1 formuliT. ipoveT mimdevrobis im wevris nomeri, romelic udris: 1) 95-s; 2) 115-s; 3) 399-s; 4)479-s.

11.4.

x n = n 2 + 2n + 1 formuliT. mimdevroba mocemulia aris Tu ara am mimdevrobis wevri Semdegi ricxvi: 1) 289; 2) 361; 3) 223; 4) 1000? Tu aris, ipoveT am wevris nomeri.

11.5.

mimdevroba mocemulia xn = n 2 − 17 n formuliT. aris Tu ara am mimdevrobis wevri Semdegi ricxvi: 1) –30; 2) -100? Tu aris, ipoveT am wevris nomeri. mimdevroba mocemulia x n = 3n + 2 formuliT. ipoveT n –is im mniSvnelobaTa simravle, romlebisTvisac WeSmaritia utoloba: 1) x n ≥ 29 ; 2) x n ≤ 47 ; 3) x n > 100 ; 4) 80 ≤ x n ≤ 180 . 1 mimdevroba mocemulia x n = n + formuliT. ipoveT n n -is im mniSvnelobaTa simravle, romlebisTvisac WeSmaritia utoloba: 3) x n ≤ 6 ; 4) 3 < x n < 20 . 1) x n > 2 ; 2) x n > 5 ;

11.6.

11.7.

295

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

mimdevroba mocemulia x n = n 2 formuliT. ipoveT im wevris nomeri, romlidanac dawyebuli mimdevrobis wevrebi metia: 1) 100-ze; 2) 1000-ze. ipoveT mimdevrobis zogadi wevris formula: 2) 2, 4, 6, 8, 10, K 1) 1, 3, 5, 7, 9, K 4) 1, 4, 9, 16, 25, K 3) 2, 5, 8, 11, 14, K 1 1 1 1 6) 1, , , , ,K 5) 1, 8, 27, 64, 125, K 2 3 4 5 1 2 3 4 7) , , , ,K 8) 3, -3, 3, -3, K 2 3 4 5 1 1 1 9) 1, - , , - , K 10) 1, 9, 25, 49, 81, K 2 4 8 ipoveT (a n ) mimdevrobis pirveli xuTi wevri, Tu 1) a1 = 1, a n+1 = a n + 1 ; 2) a1 = 7, a n+1 = a n − 3 ; 3) a1 = −5, an+1 = 2a n ; 4) a1 = 75, an+1 = 0,1an ; 1 1 5) a1 = , a n+1 = −a n ; 6) a1 = 3, an+1 = . an 6

(xn ) mimdevroba mocemulia rekurentulad. dawereT am mimdevrobis n -uri wevris formula: 1 2) x1 = 4, xn+1 = xn ; 1) x1 = −4, xn +1 = xn − 4 ; 3 1 3) x1 = 2, xn+1 = xn + 1 ; 4) x1 = 3, xn+1 = xn + 2 . 2 aris Tu ara monotonuri mimdevroba, romelic Semdegi formuliTaa mocemuli: n+3 2) xn = ; 3) xn = 3 − n ; 1) xn = 10 − n ; 2 1 2 n2 4) xn = ; 5) xn = 1 + ; 6) xn = ; n n 4 1 1 7) xn = (n − 6)2 ; 8) xn = 1 − ; 9) xn = n − ; n n ( 3n + 7 − 1)n 10) xn = ; 11) xn = ; 12) xn = 3 − n 2 . n 2n + 5 daamtkiceT, rom mimdevroba, romlis zogadi wevria 296

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

⎛ a2 + 1 ⎞ ⎟ , xn = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ sadac a aris 1-sagan gansxvavebuli dadebiTi ricxvi, zrdadia. 5n − 1 . ipoveT n -is im mniSvnelobaTa vTqvaT, xn = n simravle, romelTaTvisac: 1 2) 5 − xn < 0,1 ; 1) 5 − xn < ; 8 1 3) 5 − xn < ; 4) 5 − xn < 0,001 . 32 ipoveT ( xn ) mimdevrobis udidesi da umciresi wevrebi, Tu aseTebi arsebobs:

2) xn = n 2 − 8n + 1 ; 1) xn = −n 2 + 6n + 3 ; 5n − 12 1 3) xn = ; 4) xn = . n n − 3,5 arsebobs Tu ara sasruli ricxviTi Sualedi, romelsac Semdegi mimdevrobis yvela wevri ekuTvnis? 2n + 1 1 1 5 7 1 1 , K ; 2) 1, , 2, , 3, , K , n, , K ; 1) 3, , , K , 4 2 3 3 n 2 n daadgineT, mocemuli mimdevrobebidan romelia SemosazRvruli da romeli ara: 2n + 1 2) xn = n 2 ; 3) xn = ; 1) xn = 2n + 1 ; n n

4) xn = (−2) n ; 7) xn =

1 ; 2n − 1

10) xn =

⎛ 1⎞ 5) xn = ⎜ − ⎟ ; ⎝ 2⎠

8) xn = (−1) n ⋅ n ;

(−1) n .! 2

! !

297

2n + 7 ; n 3n + 8 9) xn = ; 2n

6) xn =

JJ/!bsjUnfujlvmj!qsphsftjb!

11.18.

11.19. 11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

ipoveT (an ) ariTmetikuli progresiis pirveli wevri, Tu: 2) a52 = −250, d = −5 ; 1) a10 = 131, d = 12 ; 3) a100 = 0, d = −3 ; 4) a66 = 12,7, d = 0,2 . ipoveT (an ) ariTmetikuli progresiis sxvaoba, Tu: 1) a1 = 2, a10 = 92 ; 2) a1 = −7, a16 = 2 ; mocemulia (an ) ariTmetikuli progresiis pirveli wevri da sxvaoba. ipoveT progresiis pirveli 8 wevris jami. 2) a1 = −23, d = 3 ; 1) a1 = 100, d = −20 ; 3) a1 = −13, d = 7 ; 4) a1 = 9, d = −4 . ipoveT ariTmetikuli progresiis pirveli 10 wevris jami: 2) –17, -11, K ; 3) –2, 0, 2, K ; 1) 2, 5, K ; 4) 14,2; 9,6; K . ipoveT (an ) ariTmetikuli progresiis pirveli wevri da sxvaoba, Tu: 2) a47 = 74, a74 = 47 ; 1) a 5 = 27, a 27 = 60 ; 3) a20 = 0, a66 = −92 ; 4) a8 = 1, a25 = 9,5 . ipoveT (an ) ariTmetikuli progresiis n -uri wevri da wevrTa jami, Tu: 2) a1 = −3, d = 0,7, n = 11 ; 1) a1 = 8, d = 5, n = 15 ; 1 1 5 3) a1 = 4, d = − , n = 13 ; 4) a1 = −1 , d = , n = 61 . 4 3 6 (an ) ariTmetikuli progresiis wevrTa ipoveT ricxvi da wevrTa jami, Tu: 1 1) a1 = 0, d = , an = 5 ; 2) a1 = −4,5, d = 5,5, an = 100 ; 2 1 1 3) a1 = −37 , d = 4, an = 46 ; 2 2 4) a1 = 14,5, d = 0,7, an = 32 . ariTmetikul progresiaSi: 1) a1 = 5, a26 = 105 . ipoveT d da S 26 ; 2) a1 = −10, a6 = −20 . ipoveT d da S 6 ; 298

7 3 , a26 = 3 . ipoveT d da S 26 ; 4 8 4) a1 = α , a9 = 9α + 8β . ipoveT d da S9 . ariTmetikul progresiaSi: 1) d = 10, a45 = 459 . ipoveT a1 da S 45 ;

3) a1 = 11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

11.31.

11.32.

11.33.

2) d = 2, a15 = −10 . ipoveT a1 da S15 ; 1 3) d = − , a13 = 1 . ipoveT a1 da S13 . 4 4) d = 1 − α, a28 = 28 + 27α . ipoveT a1 da S 28 . ariTmetikul progresiaSi: 1) a1 = 1,5, an = 54, S n = 999 . ipoveT d da n ; 2) a1 = 0,2, an = 5,2, S n = 137,7 . ipoveT d da n ; 3) a1 = 1, an = 67, S n = 3400 . ipoveT d da n ; 1 3 4) a1 = −6, an = 15 , S n = 146 . ipoveT d da n . 4 4 ariTmetikul progresiaSi: 1 1) a1 = −9, d = , S n = −75 . ipoveT an da n ; 2 5 1 2 2) a1 = , d = − , S n = −158 . ipoveT an da n . 6 3 3 ariTmetikul progresiaSi: 1) a1 = −28, S9 = 0 . ipoveT d da a9 ; 2) a1 = 0,7, S30 = 108 . ipoveT d da a30 . ariTmetikul progresiaSi: 1) d = 3, S31 = 0 . ipoveT a1 da a31 ; 2 1 2) d = , S37 = 209 . ipoveT a1 da a37 . 3 3 ariTmetikul progresiaSi: 1) a14 = 140, S14 = 1050 . ipoveT a1 da d ; 2) a10 = −37, S10 = −55 . ipoveT a1 da d . ariTmetikul progresiaSi: 1) d = −2, an = −25, S n = 155 . ipoveT a1 da n ; 2) d = 2, an = 123, S n = 3843 . ipoveT a1 da n . ariTmetikul progresiaSi: 1) a30 = 53, d = 2 . ipoveT a17 ; 2) a32 = 76, d = 3 . ipoveT a15 ; 299

11.34.

11.35.

3) a1 = 13, a15 = −1 . ipoveT S18 ; 4) a1 = 8, a11 = 18 . ipoveT S13 . 1) 7-sa da 35-s Soris CasviT eqvsi ricxvi ise, rom maT mocemul ricxvebTan erTad ariTmetikuli progresia Seadginon. 2) 1-sa da 16-s Soris CasviT 8 ricxvi ise, rom maT mocemul ricxvebTan erTad ariTmetikuli progresia Seadginon. ariTmetikul progresiaSi: 1) a3 = 12, a7 = 32 . ipoveT a10 ; 2) a3 = 3, a7 = 11 . ipoveT d ; 3) a5 = 7, a9 = 19 . ipoveT S15 ; 4) a4 = −4, a8 = −34 . ipoveT a7 . 5) an = m, am = n (n ≠ m) . ipoveT a1 da d ; 6) an = m, am = n (n ≠ m) . ipoveT S n + m .

jqpwfU! bsjUnfujlvmj! qsphsftjjt! qjswfmj! xfwsj! eb! tywbpcb-!Uv!)$$22/47<!22/48*;! 11.36.

11.37.

11.38.

⎧a1 + a7 = 42 1) ⎨ ⎩a10 − a3 = 21 ⎧a1 + a5 = 24 3) ⎨ ⎩a2 ⋅ a3 = 60 ⎧a2 + a5 − a3 = 10 1) ⎨ ⎩a1 + a6 = 17

⎧a5 + a11 = −0,2 2) ⎨ ⎩a5 + a10 = 2,6 ⎧a7 − a3 = 8 4) ⎨ ⎩a2 ⋅ a7 = 75 ⎧ S 2 − S 5 + a2 = 8 2) ⎨ ⎩S3 + a3 = 17

2 ⎧⎪a 2 + a12 ⎧5a1 + 10a5 = 0 = 1170 3) ⎨ 4) ⎨ 4 ⎪⎩a7 + a15 = 60 ⎩S 4 = 14 ipoveT ariTmetikuli progresiis pirveli wevrTa ricxvi da sxvaoba, Tu: ⎧an = 55 ⎧S3 = 30 ⎪ ⎪ 2) ⎨S5 = 75 1) ⎨a2 + a5 = 32,5 ⎪S = 412,5 ⎪S = 105 ⎩ 15 ⎩ n

300

wevri,

11.39.

11.40.

11.41.

11.42.

11.43.

11.44.

11.45.

ariTmetikul progresiaSi: ⎧S5 + S 7 = 69 1) ⎨ ⎩2a3 + a6 = 21. ipoveT S9 . ⎧S 4 + S8 = −20 2) ⎨ ipoveT S12 . ⎩3a4 + a5 = −10. ariTmetikul progresiaSi ipoveT pirveli n wevris jami, Tu: 1 2) an = 3n + 2 ; 3) an = 4 − n ; 1) an = 2n − 1 ; 2 4) an = −12n + 7 . 1) gamoTvaleT yvela naturaluri ricxvis jami 1dan 100-mde; 2) gamoTvaleT yvela naturaluri ricxvis jami 1dan n -mde; 3) ipoveT yvela luwi naturaluri ricxvis jami 100mde CaTvliT; 4) ipoveT yvela kenti naturaluri ricxvis jami 13dan 81-mde CaTvliT; 5) gamoiangariSeT yvela orniSna naturaluri ricxvis jami. 6) ipoveT yvela kenti samniSna ricxvis jami 112-dan 128-mde. ariTmetikul progresiaSi: 1) a1 = 7, d = 15 . ipoveT a10 + a11 + L + a20 ; 2) a1 = 2, d = 8 . ipoveT a11 + a12 + L + a25 . ariTmetikul progresiaSi: 1) a9 = 20 . ipoveT S17 ; 2) a16 = 2 . ipoveT S 31 . ariTmetikul progresiaSi: 1) a8 + a15 = 48 . ipoveT S 22 ; 2) a4 + a7 + a10 + a15 = 98 . ipoveT a9 ; 3) a7 + a11 + a14 + a16 = 120 . ipoveT a12 ; 4) a2 + a8 + a12 + a18 = 100 . ipoveT a10 . 7 1) ipoveT , 0,55, K ariTmetikuli progresiis pir12 veli uaryofiTi wevri. 301

1 2 − 3 , − 3 , K ariTmetikuli progresiis 2 9 pirveli dadebiTi wevri. ipoveT ariTmetikuli progresiis udidesi uaryofiTi wevri, Tu: 2 1 1) a1 = 37, d = −1 ; 2) a1 = −30, d = 1 . 3 4 ipoveT ariTmetikuli progresiis umciresi dadebiTi wevri, Tu: 4 1 2) a1 = −60, d = 1 . 1) a1 = 50, d = − ; 5 3 ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela dadebiTi wevris jami, Tu: 3 2 2) a1 = 28, d = − . 1) a1 = 35, d = − ; 4 5 ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela uaryofiTi wevris jami, Tu: 1 3 2) a1 = −35, d = . 1) a1 = −22, d = ; 3 4 2 1) ipoveT an = 18 − n mimdevrobis yvela iseTi wev3 ris jami, romlebic metia 6-ze. 6 2) ipoveT an = 14 − n mimdevrobis yvela iseTi wev7 ris jami, romlebic metia 2-ze. 1) ipoveT 10 da 20-s Soris moTavsebuli yvela im ukveci wiladebis jami, romelTa mniSvnelia 3. 2) ipoveT 8 da 16-s Soris moTavsebuli yvela im ukveci wiladebis jami, romelTa mniSvnelia 5. ariTmetikul progresiaSi: 1) S10 = 100, S30 = 900 . ipoveT S 40 ;

2) ipoveT

11.46.

11.47.

11.48.

11.49.

11.50.

11.51.

11.52.

11.53.

2) S15 = S 25 = 150 . ipoveT S 30 . (an ) mimdevroba ariTmetikuli aris Tu ara progresia, Tu am mimdevrobis pirveli n wevris jami Semdegi formuliT gamoiTvleba: 1) S n = n 2 − 2n ;

2) S n = −4n 2 + 11 ;

3) S n = 7n − 1 ;

4) S n = n 2 − n + 3 . 302

11.54.

11.55.

11.56.

11.57.

11.58.

11.59.

ra pirobas unda akmayofilebdes ricxvebi, rom mimdevroba, romlis

a, b da pirveli

c n

wevris jami gamoiTvleba formuliT S n = an 2 + bn + c , iyos ariTmetikuli progresia? amoxseniT gantoleba: 1) 1 + 3 + 5 + L + x = 441 ; 2) 1 + 4 + 7 + L + x = 117 ; 3) 1 + 3 + 5 + L + (x − 10 ) = 400 ; 4) 4 + 7 + 10 + L + (x − 2 ) = 209 ; 5) 2 + 4,5 + 7 + L + (x + 30 ) = 515 ; 6) (x + 1) + (x + 4 ) + (x + 7 ) + L + (x + 28) = 155 . 1 1 1 daamtkiceT, rom Tu , , ariTmetikuli a b c progresiaa, maSin: ab + bc = 2ac . 1 1 1 , da daamtkiceT, rom Tu b+c a+c a+b ariTmetikuli progresiaa, maSin a2 , b2 , c2 ariTmetikuli progresia iqneba. daamtkiceT, rom (an ) mimdevrobis arcerTi sami momdevno wevri ar adgens ariTmetikul progresias, Tu: 1 2) an = n ; 3) an = . 1) an = n 2 ; n daamtkiceT, rom Tu a , b , c ariTmetikuli progresiaa, maSin

(

)

1) 3 a 2 + b 2 + c 2 = 6(a − b )2 + (a + b + c )2 ;

2) a 2 + 8bc = (2b + c )2 . 11.60. ramden saaTSi gaivlis velosipedisti 54 km-s, Tu pirvel saaTSi igi gadis 15 km-s, xolo yovel Semdeg saaTSi 1 km-iT naklebs, vidre winaSi? 11.61. amfiTeatri Sedgeba 10 rigisagan, amasTanave yovel Semdeg rigSi 20 adgiliT metia, vidre winaSi, xolo ukanasknel rigSi 280 adgilia. ramden kacs itevs amfiTeatri? 11.62. burTulebi samkuTxedis formiT aris dalagebuli. amasTan zemodan pirvel rigSi 1 burTulaa, 303

11.63.

11.64.

11.65.

11.66.

11.67.

11.68.

meoreSi_2, mesameSi_3 da a. S. ramden rigadaa dalagebuli burTulebi, Tu maTi saerTo raodenoba 120-ia? ramdeni burTulaa saWiro ocdaaTrigiani samkuTxedis Sesadgenad? turistma, romelic adioda mTis ferdobze, pirveli saaTis ganmavlobaSi miaRwia 800 m simaRles, xolo yovel Semdeg saaTSi 25 metriT naklebi simaRle dafara, vidre winaSi. ramden saaTSi miaRwevs turisti 5700 m simaRles? mama Tavis Svils misi dabadebis dRes, dawyebuli 5 wlidan, saCuqrad aZlevs imden wigns, ramdeni wlisac aris Svili. xuTi Svilis wlovanebaTa ricxvi Seadgens ariTmetikul progresias, romlis sxvaobaa 3. ramdeni wlis iyo TiToeuli Svili, rodesac maTi biblioTeka 325 wignisagan Sedgeboda? A punqtidan gamovida velosipedisti, romelmac pirvel saaTSi gaiara 10 km, xolo yovel Semdeg saaTSi 1 km-iT mets gadioda, vidre winaSi. A -dan 7,5 km-is erTdroulad, mis kvaldakval B punqtidan gamovida meore manZilze mdebare velosipedisti, romelmac pirvel saaTSi gaiara 12 km, xolo yovel Semdeg saaTSi gadioda 1,5 km-iT mets, vidre winaSi. ipoveT ramdeni saaTis Semdeg daeweva meore velosipedisti pirvels. ori sxeuli, romelTa Soris manZili 153 m-ia, erTmaneTis Sesaxvedrad moZraobs. pirveli sxeuli wamSi 10 m-s gadis. meore sxeulma ki pirvel wamSi gaiara 3 m da yovel Semdeg wamSi 5 m-iT meti, vidre winaSi. ramdeni wamis Semdeg Sexvdebian sxeulebi erTmaneTs? sxeuli pirvel wuTSi 3 m-s gadis, xolo yovel Semdeg wuTSi 6 m-iT mets, vidre winaSi. pirveli sxeulis gamosvlidan 5 wuTis Semdeg imave punqtidan sawinaaRmdego mimarTulebiT gamodis meore sxeuli, romelic pirvel wuTSi gadis 54 m-s, xolo yovel Semdeg wuTSi 3 m-iT mets, vidre winaSi. meore sxeulis gamosvlidan ramdeni wuTis Semdeg iqnebian sxeulebi mocemuli punqtidan toli manZilebiT daSorebuli? ori punqtidan erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad ori sxeuli gamovida; punqtebs Soris manZili 200 m304

11.69. 11.70. 11.71.

11.72.

11.73.

11.74.

ia. pirveli sxeuli wamSi gadis 12 m-s; meore sxeulma pirvel wamSi gaiara 20 m, xolo yovel Semdeg wamSi gadioda 2 m-iT naklebs, vidre winaSi. ramdeni wamis Semdeg Sexvdebian sxeulebi erTmaneTs? SeiZleba Tu ara, rom marTkuTxa samkuTxedis gverdebma Seadginon ariTmetikuli progresia? SeiZleba Tu ara, rom samkuTxedis gverdebma da perimetrma Seadginon ariTmetikuli progresia? ariTmetikuli progresiis Semadgeneli sami ricxvis jami udris 2, xolo amave ricxvTa kvadratebis jamia 5 1 . ipoveT es ricxvebi. 9 ipoveT naturalur ricxvTagan Sedgenili iseTi ariTmetikuli progresia, romlis pirveli sami da pirveli oTxi wevris namravli Sesabamisad udris 6 da 24. mocemulia ori ariTmetikuli progresia. pirveli progresiis pirveli da mexuTe wevrebi Sesabamisad tolia 7 da –5, xolo meore progresiis pirveli 1 wevri udris 0-s da ukanaskneli wevri 3 . ipoveT 2 meore progresiis wevrebis jami, Tu cnobilia, rom orive progresiis mesame wevri erTmaneTis tolia. mocemulia ori ariTmetikuli progresia 5,9,13, K da 3,9,15, K . TiToeuli Seicavs 50 wevrs. ipoveT yvela im ricxvebis jami, romlebic erTdroulad warmoadgenen am ori progresiis wevrebs.

JJJ/!hfpnfusjvmj!qsphsftjb! ! 11.75.

ipoveT geometriuli progresiis mniSvneli, Tu: 2) b4 = 20, b5 = −30 ; 1) b1 = 12, b2 = 9 ; 3) b8 = −40, b9 = −80 ;

4) b3 = 2 , b4 = 2 .

hfpnfusjvm!qsphsftjbTj!)$$22/87.22/98*;! 11.76.

1 , q = 2 . ipoveT b6 ; 4 1 2) b1 = 8, q = . ipoveT b7 ; 2

1) b1 =

305

1 . ipoveT b6 ; 2 1 b1 = −4, q = − . ipoveT b4 . 3 b5 = 256, q = 4 . ipoveT b3 ; b5 = 162, q = 3 . ipoveT b3 ; b6 = −486, q = −3 . ipoveT b2 ; b7 = 320, q = −2 . ipoveT b3 . b1 = −2, b6 = −486 . ipoveT q ; b1 = 2, b5 = 512 . ipoveT q ; b1 = 3, b8 = −384 . ipoveT q ; b1 = 8, b6 = 256 . ipoveT q . 1 b1 = 8, q = . ipoveT S5 ; 2) b1 = 1, q = −2 . ipoveT S9 ; 2 2 1 b1 = 4, q = . ipoveT S 6 ; 4) b1 = 3, q = − .ipoveT S10 . 3 2 1 b1 = 96, q = . ipoveT b7 da S 7 ; 2 b1 = 0,125, q = −2 . ipoveT b6 da S 6 . 1 b1 = 256, q = , bn = 2 . ipoveT n da S n ; 2 1 b1 = , q = 4, bn = 1024 . ipoveT n da S n . 4 b1 = 2, b7 = 1458 . ipoveT q da S 7 ; 1 b1 = 2, b5 = . ipoveT q da S 5 . 8 1 q = 2 , b6 = 3125 . ipoveT b1 da S 6 ; 2 q = 2, b6 = 96 . ipoveT b1 da S 6 . b1 = 1, bn = −512, S n = −341 . ipoveT n da q ; 10 1210 b1 = 90, bn = , S n = . ipoveT n da q . 9 9 q = 2, S8 = 765 . ipoveT b1 da b8 ; q = 3, S5 = 847 . ipoveT b1 da b5 . 1 b1 = 128, q = , S n = 254 . ipoveT n da bn ; 2

3) b1 = −4, q = − 4) 11.77.

11.78.

11.79.

1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 3)

11.80.

1) 2)

11.81.

1) 2)

11.82.

1) 2)

11.83.

11.84.

2) 1) 2)

11.85.

1) 2)

11.86.

306

2 , S n = 65 . ipoveT n da bn . 3 3 27 1) q = , bn = , S n = 43,75 . ipoveT n da b1 ; 4 4 1 2) q = , bn = 7, S n = 7161 . ipoveT n da b1 . 2 ipoveT (bn ) geometriuli progresiis mniSvneli, me-6 da me-7 wevrebi, Tu: 2) b5 = 10, b8 = −10 ; 1) b3 = 6, b5 = 24 ; 3) b3 = −2, b5 = −18 ; 4) b5 = 24, b8 = 3 . geometriuli progresiis me-8 wevri udris 13-s, xolo mniSvneli_3-s. ipoveT meaTe da mecamete wevrebi. 1) gamosaxeT (bn ) geometriuli progresiis meSvide, meTxuTmete da meormoce wevrebi b5 -isa da q -s saSualebiT. 2) (bn ) geometriul progresiaSi (bn > 0 ) , bn = bn −1 + bn − 2 , ( n ≥ 3 ). ipoveT progresiis mniSvneli. geometriul progresiaSi: 3 1 1) b1 = , q = . ipoveT b3 + b4 + b5 + b6 + b7 ; 2 2 2 2) b1 = 18, q = . ipoveT b3 + b4 + b5 + b6 ; 3 2 3) b1 = , q = −3 . ipoveT b2 + b3 + b4 + b5 ; 3 3 4) b1 = − , q = −2 . ipoveT b3 + b4 + b5 + b6 . 2 1) 9-sa da 243-s Soris CasviT ori ricxvi, romlebic mocemul ricxvebTan erTad geometriul progresias Seadgenen. 2) 160-sa da 5-s Soris CasviT oTxi ricxvi ise, rom maT mocemul ricxvebTan erTad Seadginon geometriuli progresia. 3) 1-sa da 7-s Soris CasviT eqvsi ricxvi ise, rom maT mocemul ricxvebTan erTad Seadginon geometriuli progresia.

2) b1 = 27, q =

11.87.

11.88.

11.89. 11.90.

11.91.

11.92.

307

15 -s Soris CasviT xuTi iseTi ricxvi, 16 romlebic mocemul ricxvebTan erTad geometriul progresias adgenen. 11.93. ipoveT geometriuli progresiis pirveli wevri da mniSvneli, Tu: 7 ⎧ ⎪⎪b4 + b1 = 16 ⎧b2 − b1 = −4 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩b3 − b1 = 8 ⎪b − b + b = 7 3 2 1 8 ⎩⎪ ⎧b5 − b1 = 15 ⎧b2 + b5 − b4 = 10 3) ⎨ 4) ⎨ ⎩b4 − b2 = 6 ⎩b3 + b6 − b5 = 20 11.94. ipoveT im geometriuli progresiis pirveli wevri, mniSvneli da wevrTa ricxvi, romelSic: 2) b6 − b4 = 216, 1) b7 − b5 = 48, b6 + b5 = 48 , b3 − b1 = 8 , S n = 1023 ; S n = 40 . 11.95. ipoveT S 3 , S 5 , S n , Tu (bn ) geometriuli progresia n uri wevris formuliTaa mocemuli:

4) 60-sa da

1) bn = 1,5 ⋅ 4 n ; 11.96. ipoveT jami:

2) bn = 2 ⋅ 3n +1 .

1) 1 + 2 + 2 2 + L + 210 ;

1 1 1 1 + 2 + 3 + L + 10 ; 3 3 3 3 5) 1 + x + x 2 + L + x100 ; 11.97. amoxseniT gantoleba:

1 1 1 1 − 2 + 3 − L − 10 ; 2 2 2 2

4) 1 − 2 + 2 2 − 23 + L + 212 .

6) x − x 3 + x 5 − L + x13 .

x11 + x ; x −1 x13 + x 2 2) 1 − x + x 2 − x 3 + L + x12 = . 1+ x 3) 1 + x + x 2 + L + x 99 = 0 ; 4) 1 + x + x 2 + L + x100 = 0 ;

1) 1 + x + x 2 + L + x10 =

x n +1 7 1 + x + x2 + L + xn + = ; x 1− x 2

308

x −1 x − 2 x − 3 x11 − 3x + 2 1 , + + + L + = 1 + x + x 2 + L + x10 + x x x x 1− x sadac x mTeli ricxvia. 11.98. daamtkiceT, rom Semdegi formuliT mocemuli (bn ) mimdevroba geometriuli progresiaa: 3 2) bn = n ; 1) bn = 2 n , 5

⎛1⎞ 3) bn = 4 ⋅ ⎜ ⎟ ; 4) bn = −3n . ⎝3⎠ 11.99. daamtkiceT, rom nebismieri a -sa da b -saTvis ( a ≠ b )

(a + b )2 ,

a 2 − b 2 , (a − b )2 geometriuli progresiaa. 11.100.daamtkiceT, rom Tu a ,b ,c,d geometriuli

progresiaa, maSin (a − d )2 = (d − b )2 + (b − c )2 + (c − a )2 . 11.101.cnobilia, rom (bn ) geometriuli progresiaa. iqneba Tu ara geometriuli progresia Semdegi mimdevroba: 2) b1 , b3 , b5 , K , b2 n −1 , K ; 1) 2b1 , 2b2 , 2b3 , K , 2bn , K ; 1 1 1 1 3) 4) b13 , b23 , b33 , K , bn3 , K . , , ,K, ,K ; b1 b2 b3 bn

11.102. aris Tu ara (bn ) mimdevroba geometriuli progresia, Tu cnobilia, rom am mimdevrobis pirveli n wevris jami Semdegi formuliT gamoiTvleba:

1) S n = 3n − 1 ; 2) S n = n 2 − 1 ; 3) S n = 2 n − 1 ; 4) S n = 3n + 1 . 11.103. ipoveT formula, romelic gamosaxavs geometriuli progresiis pirveli n wevris namravls pirveli wevrisa da mniSvnelis saSualebiT. 11.104. Tu geometriuli progresiis yvela wevrs gavamravlebT sxva geometriuli progresiis Sesabamis (dakavebuli adgilis nomris mixedviT) wevrebze, maSin iqneba Tu ara miRebuli mimdevroba geometriuli progresia? 11.105. daamtkiceT, rom Tu (bn ) geometriuli progresiaa, maSin ⎛1 1 1 ⎞ + L + ⎟⎟ . S n = b1 ⋅ bn ⎜⎜ + bn ⎠ ⎝ b1 b2 309

11.106. geometriuli progresiis pirveli oTxi wevris jami udris 30-s, momdevno oTxi wevris ki 480-s. ipoveT pirveli Tormeti wevris jami. 11.107. geometriuli progresiis pirveli sami wevris jamia 40, eqvsi wevrisa ki 60; ipoveT S 9 . 11.108. ipoveT oTxi ricxvi, romlebic Seadgens klebad geometriul progresias, Tu viciT, rom am progresiis kiduri wevrebis jamia 27, xolo Sua wevrebis jami aris 18. 11.109. ipoveT sami ricxvi, romlebic zrdad geometriul progresias Seadgenen, Tu viciT, rom maTi jami aris 26, xolo am ricxvebis kvadratebis jamia 364. 11.110. ricxvebi

15,

17q ,

15q 2

adgenen 2

ariTmetikul

progresias. ipoveT 2, 2q , 2q , K geometriuli progresiis pirveli 4 wevris jami, Tu is klebadia. 11.111. ricxvebi 6 â&#x2C6;&#x2019; d , d , 1 adgenen geometriul progresias. ipoveT 3, 3 + d , 3 + 2d , K ariTmetikuli progresiis pirveli 13 wevris jami, Tu is klebadia. 11.112. ariTmetikuli progresiis 1-li, me-3 da me-13 wevrebi geometriul progresias adgenen. ipoveT am ukanasknelis mniSvneli. 11.113. geometriuli progresiis 1-li, me-2 da me-4 wevrebi ariTmetikul progresias adgenen. ipoveT geometriuli progresiis mniSvneli. 11.114. ipoveT ariTmetikuli da geometriuli progresiebi, Tu cnobilia, rom TiToeuli progresiis pirveli wevri udris 1-s, orive progresiis mesame wevrebi tolia, xolo ariTmetikuli progresiis 21-e wevri udris geometriuli progresiis me-5 wevrs. 11.115. sami dadebiTi ricxvi, romelTa jami 21-ia, ariTmetikul progresias Seadgenen. Tu maT Sesabamisad 2-iT, 3-iT da 9-iT gavadidebT, miviRebT geometriul progresias. ipoveT es ricxvebi. 11.116. sami dadebiTi ricxvi, romlebic ariTmetikul progresias Seadgenen, jamSi 15-s iZleva. Tu pirvelsa da meores erTiT gavadidebT, xolo mesame ricxvs 4iT, maSin miviRebT geometriul progresias. ipoveT es ricxvebi. 11.117. sami ricxvi, romelTa jami udris 65-s, geometriul progresias Seadgens. Tu am ricxvebidan umciress 1-s 310

gamovaklebT, xolo udidess 19-s, maSin miRebuli ricxvebi ariTmetikul progresias Seadgenen. ipoveT es ricxvebi. 11.118. ipoveT oTxi mTeli ricxvi, romelTagan pirveli sami ariTmetikul progresias Seadgens, ukanaskneli sami ki geometriul progresias; cnobilia, rom ori kiduri ricxvis jami udris 37-s, xolo ori Sua ricxvis jami 36-s. 11.119. oTxi ricxvi ariTmetikul progresias adgens. Tu maT Sesabamisad 2-s, 6-s, 7-sa da 2-s davaklebT, maSin axlad miRebuli ricxvebi geometriul progresias Seadgenen. ipoveT es ricxvebi. 11.120. oTxi ricxvi geometriul progresias adgens. Tu maT Sesabamisad 2-s, 1-s, 7-sa da 27-s davaklebT, maSin axlad miRebuli ricxvebi ariTmetikul progresias Seadgenen. ipoveT es ricxvebi. 11.121. geometriuli progresiis pirveli wevri aris 1, mniSvnelia 2, wevrTa ricxvi ki 2n . progresiis 33 -jer metia bolo n -wevris jamze. wevrTa jami 32 ipoveT n . 11.122. ariTmetikul da geometriul progresiebs aqvT 5-is toli pirveli wevrebi; am progresiebis mesame wevrebic erTmaneTis tolia, xolo ariTmetikuli progresiis meore wevri 10-iT metia geometriuli progresiis meore wevrze. ipoveT es progresiebi. 11.123. ipoveT oTxi iseTi ricxvi, romelTagan pirveli sami Seadgens geometriul progresias, xolo ukanaskneli sami_ariTmetikul progresias: kidura wevrebis jamia 21, xolo Sua wevrebis- 18. 11.124. sami ricxvi Seadgens geometriul progresias. Tu mesame wevrs gamovaklebT oTxs, maSin es ricxvebi Seadgenen ariTmetikul progresias. Tu miRebuli ariTmetikuli progresiis meore da mesame wevrebs TiTo-TiTos gamovaklebT, maSin isev miviRebT geometriul progresias. ipoveT es ricxvebi. 11.125. ipoveT oTxi ricxvi, romlebic Seadgenen iseT geometriul progresias, romlis kidura wevrebis jami udris â&#x20AC;&#x201C;49-s, xolo Sua wevrTa jamia 14. 11.126. ipoveT geometriuli progresiis Semadgeneli oTxi ricxvi, Tu cnobilia, rom am progresiis mesame wevri 311

9-iT metia meoTxeze.

pirvelze,

xolo

meore

18-iT

metia

! ! JW/!hfpnfusjvmj!qsphsftjb-!spdb! q

<1!

! 11.127. ipoveT geometriuli progresiis jami: 1 1 2) 16, 4, 1, K ; 1) 1, , , K ; 2 4 2 1 4 2 1 3 3) 6 , 1 , , K ; 4) , , , K . 3 3 15 3 2 8 11.128. 1) ipoveT mniSvneli geometriuli progresiisa, romelSic pirveli wevri udris 66-s, xolo progresiis jami 110-s. 2) ipoveT meoTxe wevri geometriuli progresiisa, romelSic mniSvneli udris 0,4-s, xolo progresiis 1 jami 33 -s. 3 3) ipoveT jami geometriuli progresiisa, romelSic 2 xolo progresiis 1 -s, meore wevri udris 3 2 mniSvneli -s. 3 4) geometriuli progresiis jami udris 12,5-s, xolo misi pirveli da meore wevrebis jami 12-s. ipoveT es progresia. 11.129. ipoveT geometriuli progresiis pirveli wevri, Tu: 1) progresiis jami udris 10,8-s, xolo progresiis 2 -ia; mniSvneli 9 2) progresiis jami udris 729-s, xolo meore wevri 162-s; 3) progresiis jami udris 14,4-s, xolo progresiis 3 mniSvneli -ia; 8 3 4) pirveli oTxi wevris jami udris 33 , xolo 4 progresiis jami 36-ia. 312

11.130. ipoveT geometriuli progresiis mesame wevri, Tu 3 cnobilia, rom am progresiis jami udris 1 , xolo 5 1 meore wevri tolia − -is. 2 11.131. ipoveT iseTi geometriuli progresiis mniSvneli, romlis yoveli wevri 4-jer metia yvela misi momdevno wevrebisagan Sedgenili progresiis jamze. 11.132. ipoveT iseTi geometriuli progresiis mniSvneli, romlis yoveli wevri ise Seefardeba Tavis momdevno wevrTagan Sedgenili progresiis jams, rogorc 2:3. 11.133. geometriuli progresiis jami tolia 4-is, xolo misi wevrebis kubebisagan Sedgenili progresiis jamia 192. ipoveT am progresiis pirveli wevri da mniSvneli. 11.134. tolgverda samkuTxedSi, romlis gverdi aris a , misi gverdebis Suawertilebis SeerTebiT Caxazulia axali samkuTxedi; am samkuTxedSi imave xerxiT Caxazulia kidev axali samkuTxedi da a. S. usasrulod. ipoveT: 1) am samkuTxedebis perimetrebis jami; 2) am samkuTxedebis farTobebis jami.

$12. usjhpopnfusjvm!hbnptbyvmfcbUb!hbnbsujwfcb!!

eb!hbnpUwmb! ! hbnpUwbmfU!)$$23/2<!23/3*;! 12.1.

1) 5 sin 90o + 2 cos 0o − 2 sin 270o + 10 cos 180o ; 2) 3tg 0o + 2 cos 90o + 3 sin 270o − 3 cos 180 o ; 3 3) 4 sin π − 2 cos π + 3 sin 2π − tgπ ; 2 π 4) 6 − 2 sin 2π − 3 cos π + 2 sin ⋅ cos 2π ; 2 π 5) 2 sin + 3 cos 2π − 5tg 2π ; 4 3 π 6) 4tg 2π − 2 sin + 3 cos π − 4tgπ . 2 2 313

12.2.

1) 2 sin 30o − tg 45o + 2ctg 45o + cos 90o ; π π π π 2) 3 sin − 2 cos + 3tg − 4ctg ; 3 6 3 2 π π π 3) 3 − sin 2 + 2 cos 2 − 3tg 2 ; 2 3 4 4 − 2tg 2 45o + ctg 4 60o 4) ; 3 sin 2 90o − 4 cos 2 60o + 4ctg 45o 2

π⎞ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ 5) ⎜ 2 sin ⎟ − ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 2 cos ⎟ − ⎜ 2ctg ⎟ ; 4 6 6 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3

π ⎛ π⎞ π π − ⎜ 2tg ⎟ − 4 cos 2 + 3ctg 3 . 2 ⎝ 4⎠ 6 2 Semdegi funqciebidan romelia luwi? kenti? arc luwi da arc kenti? x 1) tg , sin 2 x , sin x , sin x + 2 cos x , cos 5 x ; 2 2 sin x sin 2 x + cos x 2) , sin x ⋅ cos x , x ⋅ cos x , ; 1 + cos x x3

6) 3 sin 2 12.3.

x 2 + cos x , x 2tgx ; x 2 − cos x 1 − cos x 1 4) , 1 − 2 sin 2 x + cos x , cos x + , tgx 1 + cos x

3) 1 + cos x , x 2 + sin 2 x ,

1 − 2 sin 2 x + tgx ,

1 − cos 2 x . x5

hbnpUwbmfU!)$$23/5<!23/6*;! 12.4.

2) 3) 12.5.

( ) ( ) ( ) ( ) tg (− 45 ) , cos(− 180 ) , sin (− 60 ) , ctg (− 270 ) ; sin (− 180 ) , tg (− 180 ) , cos(−90 ) , ctg (− 30 ) . sin (− 30 ) − 2tg (− 45 ) + cos(− 60 ) − ctg (− 90 ); ⎛ π⎞ sin (− 30 ) − 2ctg ⎜ − ⎟ − 1 ⎝ 6⎠

1) sin − 90o , tg − 60o , cos − 45o , ctg − 60o ;

π⎞ 2 − tg 45 + 4 cos ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠ o

2⎛

;

314

⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 3) 2 cos 3 ⎜ − ⎟ − 4ctg 3 ⎜ − ⎟ + 6tg 0 ; 3 ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 4) 5tg 0 + 2 sin ⎜ − ⎟ − 3ctg ⎜ − ⎟ + 4 cos⎜ − ⎟ . ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠

usjhpopnfusjvm! gvordjbUb! qfsjpevmpcjt! hbUwbmjtxj. ofcjU!hbnpUwbmfU!)$$23/7<!23/8*;! 12.6.

1) sin 780o , cos 765o , tg 390o , ctg 405o ; 2) sin 1500o , cos 1020o , tg1845o , ctg1485o ;

(

)

(

) ( ) sin 2250 , cos 2190 , tg (− 1980 ) , ctg1410 . sin 2190 + 2 cos(− 2220 ) − sin 1980 − cos 1170 ;

3) sin − 2205o , cos − 1980o , tg 2220o , ctg − 1860o ; 4) 12.7.

1) 2)

2 sin 2250o − cos 1740o ; 2tg − 1485o

(

)

cos 1530 ⋅ tg1410o − tg 2 2220o sin 1845o ; cos 2 − 2550o

sin − 2490 ⋅ cos 420 − tg 2 − 2940o ⋅ ctg1845o . 23 sin 1530o − cos 3 990o 2

(

)

(

)

(

)

jqpwfU!gvordjjt!vndjsftj!ebefcjUj!qfsjpej!)$$23/9.23/22*;! 12.8.

1) 2 sin x , 4) 2tgx + 1 ,

12.9.

1) sin 2 x . π⎞ ⎛ 4) sin ⎜ 2 x − ⎟ , 4⎠ ⎝

7) sin 3 x , 12.10.

1) tg2 x ,

sin x , 2 1 5) tgx , 3 x 2) sin , 2

3) 3 cos x ,

x , 3

3 ctgx + 7 . 4 π⎞ ⎛ 3) sin ⎜ x + ⎟ , 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 6) cos⎜ 2 x − ⎟ , 6⎠ ⎝

π⎞ ⎛ 8) cos3 ⎜ x − ⎟ . 3⎠ ⎝ x 2) tg , 3

π⎞ ⎛ 3) tg ⎜ 2x + ⎟ , 3⎠ ⎝

5) cos

315

1 ⎛ π⎞ tg ⎜ 3x − ⎟ , 2 ⎝ 4⎠

7) cos 2 x , 12.11.

12.12.

5) ctg

x , 2

6) ctg4 x ,

1 . cos x 2) cos 2 x ,

1) sin 2 x , 3) sin (4πx + 2) , πx 4) tg , 5) sin x , 6) sin 2 x , 3 8) sin ax , 9) cos ax , 7) tgx , 10) tgax . daadgineT, SesaZlebelia Tu ara erTdroulad adgili hqondes Semdeg tolobebs: 12 5 ; 1) sin α = − , cos α = 13 13 24 −8 , cos α = 2) sin α = ; 25 25 3 4 3 3) sin α = − , cos α = da tgα = − ; 5 5 4 3 1 , cos α = − da tgα = − 3 ; 4) sin α = − 2 2 1 1 5) sin α = , tgα = 2 ; 6) cos α = − , tgα = 6 . 3 4

hbnpUwbmfU! α ! bshvnfoujt! usjhpopnfusjvmj! gvordjfcjt! nojTwofmpcfcj-!Uv!)$$23/24<!23/25*;! 12.13.

12.14.

9 3 4 π da π < α < 2π ; da 0 < α < ; 2) sin α = − 41 2 5 2 12 π 3) cos α = − da < α < π ; 13 2 4) cos α = −0,8 da 180 o < α < 270o .

1) sin α =

1) tgα = −1 da

π <α<π; 2

2) tgα =

3 3 da π < α < π ; 4 2

3) ctgα = − 3 da 270 o < α < 360o ; 4) ctgα = 1 da 180 o < α < 270o . 12.15.

1) ipoveT sin α , cos α da ctgα , Tu cnobilia, rom tgα = 3 da α pirvel meoTxedSi ar Zevs. 316

gamoTvaleT

cos α ,

315o < α < 360o

2tg α + 3tgα + 1 = 0 . 2

hbbnbsujwfU!hbnptbyvmfcb!)$$23/27.23/29*;! 12.16.

12.17.

1) cos 11o tg11o + sin 11o ;

2) sin 42o ctg 42o − cos 42o ;

3) cos 2 76o tg 2 76o + sin 2 76o ctg 2 76o ; 4) cos αtgα − sin α ; 1 1 5) cos α − sin αctgα ; 6) ; + 2 o 2 tg 17 + 1 ctg 17 o + 1 tgα + tgβ sin α ⋅ sin β 7) ; 8) ⋅ ctgβ . ctgα + ctgβ cos α cos β sin α ⋅ sin β ⎛ 1 ⎞ ⋅ ctgβ ⋅ tgα + 1 ; − 1⎟ctg 2 α ; 1) ⎜ 2) 2 cos α ⋅ cos β ⎝ cos α ⎠ 3) sin 2 α − sin 2 β − cos 2 β − cos 2 α ;

(

)

(

)

4) 1 + tg 2 α − tg 2 α cos 2 α + 1 ; 5) 1 − sin 2 α ctg 2 α − 1 − ctg 2 α ; 6)

sin 2 β ; 1 + cos β

2 cos 2 α − 1 ; sin α + cos α

1 + cos α ⎛⎜ (1 − cos α )2 ⎞⎟ 1+ . sin α ⎜⎝ sin 2 α ⎟⎠ cos α cos α 1) tgα + ; 2) ctgα − ; 1 + sin α 1 + sin α cos 2 α − sin 2 β 3) − ctg 2 α ⋅ ctg 2β ; 2 2 sin α ⋅ sin β

12.18.

4) sin 2 α(1 + ctgα ) + cos 2 α(1 + tgα ) − 1 ; cos α ⋅ tgα − ctgα ⋅ cos α ; 6) sin 4 β − cos 4 β + cos 2 β ; 5) sin 2 α 7) sin 2 β + cos 4 β − sin 4 β ; 8) cos 4 β + sin 2 β ⋅ cos 2 β + sin 2 β .

ebbnuljdfU!jhjwfpcfcj!)$$23/2:<!23/31*;! 12.19.

1) (tgα + ctgα )2 − (tgα − ctgα )2 = 4 ; 2)

1 − sin 2 α 1 ; = 1 − cos 2 α tg 2 α

3) sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2 sin 2 α cos 2 α ; 317

4) sin 6 α + cos 6 α = 1 − 3 sin 2 α ⋅ cos 2 α ; tgα + ctgβ tgα = ; 5) ctgα + tgβ tgβ 2 6) (1 − ctgα )2 + (1 + ctgα )2 = . sin 2 α 12.20.

1 − sin 4 α − cos 4 α = 2tg 2 α ; cos 4 α

cos3 α − sin 3 α = cos α − sin α ; 1 + sin α ⋅ cos α 3) sin 3 α(1 + ctgα ) + cos3 α(1 + tgα ) = sin α + cos α ;

(

) (

)

4) 3 sin 4 β + cos 4 β − 2 sin 6 β + cos 6 β = 1 ; 2 = (sin α + cos α )2 ; 5) 1 + tgα + ctgα 6)

tg 2 α 1 + ctg 2 α ⋅ − tg 2 α = 0 ; 2 2 1 + tg α ctg α

7) tg 2 α − sin 2 α = tg 2 α ⋅ sin 2 α ; 8) ctg 2 α − cos 2 α = ctg 2 α ⋅ cos 2 α .

hbnpUwbmfU!)$$23/32<!23/33*;! 12.21.

1) sin 40o cos 50o + cos 40o sin 50o ; 2) sin 70o cos 40o − cos 70o sin 40o ; π π 7 7 3) cos π cos + sin π sin ; 10 5 10 5 π π 8π 8π 4) cos sin − sin cos ; 7 7 7 7 5) sin 50o ⋅ cos 28o − cos 50o sin 28o − sin 22o ; 6) cos 72o cos 22o + sin 72o ⋅ sin 22o − cos 50o ;

( ) ( ) ( ) ( ) cos(50 + α )⋅ cos(20 + α ) + sin (50 + α )⋅ sin (20 + α ) .

7) sin 10o + α ⋅ cos 20o − α + cos 10o + α ⋅ sin 20o − α ; 8) 12.22.

1) sin 36o cos 6o − cos 36o sin 6o ;

(

)

2) 2 3 sin 21o cos 39o + cos 21o sin 39o ; 3) sin 20 cos10 + sin10 cos 20 ; o

318

4) sin 21o cos 9o + sin 9o cos 21o .

hbnpUwbmfU!)$$23/34<!23/35*;! 12.23.

tg 20o + tg 25o ; 1 − tg 20o ⋅ tg 25o

tg 27 o + tg 33o ; tg 27 o ⋅ tg 33o − 1

tg 20o − tg 80o ; 1 + tg 20o tg 80o

tg 70o − tg 25o ; tg 70o ⋅ tg 25o + 1

tg 65o − tg 35o ; 1 + tg 65o ⋅ tg 35o π 2π tg + tg 9 9 . 6) π 2π 1 − tg tg 9 9 2) tg15o ;

12.24.

1) cos 75o ;

12.25.

3) sin 105o ; 4) ctg 75o . gaamartiveT gamosaxulebebi: 1)

sin 11o ⋅ cos 15o + cos 11o ⋅ sin 15o ; sin 18o ⋅ cos 12o + cos 18o ⋅ sin 12o

cos 65o ⋅ cos 40o + sin 65o ⋅ sin 40o ; sin 37 o ⋅ cos 12o − cos 37 o ⋅ sin 12o cos(α + β) − cos(α − β ) sin (α + β) + sin (α − β) 3) ; 4) . cos(α + β) + cos(α − β ) sin (α + β ) − sin (α − β) tg 4α + tg 2α tg 7α − tg 3α 5) ; 6) . tg 7α ⋅ tg 3α + 1 1 − tg 4α ⋅ tg 2α

ebbnuljdfU!jhjwfpcfcj!)$$23/37.23/39*;! 12.26.

12.27.

sin (α + β ) cos(α + β) = tgα + tgβ ; 2) = ctgα ⋅ ctgβ − 1 ; cos α cos β sin α ⋅ sin β sin (α + β) − 2 sin α ⋅ cos β 3) = tg (β − α ) ; 2 sin α ⋅ sin β + cos(α + β) 2 sin α ⋅ cos β − sin (α − β) 4) = tg (α + β ) . cos(α − β) − 2 sin α ⋅ sin β

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos⎜ + α ⎟ + cos⎜ − α ⎟ 4 4 ⎠ ⎝ ⎠ = 1; ⎝ 1) 2 cos α

319

⎞ ⎛π ⎞ ⎛π sin ⎜ + α ⎟ + sin ⎜ − α ⎟ 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 2 ; 2) 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ + sin ⎜ − α ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cos 2 (α + β ) + cos 2 (α − β ) = ctg 2 α ⋅ ctg 2β + 1 ; 2 sin 2 α ⋅ sin 2 β 1 4) cos α + 3 sin α = sin 30o + α ; 2

(

)

(

)

5) sin α − 3 cos α = 2 sin α − 60o ;

(

)

(

)

6) cos 2 α + cos 2 60o + α + cos 2 60o − α = 12.28.

3 . 2

( (

) )

tgα + tg 45o − α ⎛π ⎞ 1 + tgα 1) tg ⎜ + α ⎟ = ; 2) =1; 1 − tgαtg 45o − α ⎝4 ⎠ 1 − tgα tgα + tgβ tgα − tgβ 3) − = −2tgαtgβ ; tg (α + β ) tg (α − β) 4) tgα ⋅ tgβ + (tgα + tgβ ) ⋅ ctg (α + β) = 1 ; 1 + tgα ⋅ tgβ cos(α − β) = 5) ; 1 − tgα ⋅ tgβ cos(α + β )

tg 2 α − tg 2β = tg (α + β) ⋅ tg (α − β ) ; 1 − tg 2 α ⋅ tg 2β

(

)

(

)

7) tg 45o + α − tgα = 1 + tg 45o + α ⋅ tgα ; 8) tg (α + β) − tgα − tgβ = tg (α + β) ⋅ tgα ⋅ tgβ . 12.29.

π⎞ 3 4 ⎛ 1) ipoveT cos⎜ α + ⎟ , Tu sin α = − da π < α < π ; 4⎠ 2 5 ⎝

(

)

3 da 90o < α < 180o ; 7 3) ipoveT cos(α + β ) da cos(α − β) , Tu cos α = 0,6 , 3 π 5 da π < β < 2π ; cos β = , 0 < α < 2 13 2 3 4) ipoveT sin (α ± β) da cos(α ± β) , Tu cos α = − , 5 π 12 π < α < π da <β< π; sin β = , 13 2 2 5) ipoveT cos(α + β ) , Tu tgα = 4 , ctgβ = −3 ,

2) ipoveT sin α − 30o ,Tu sin α =

320

3π 3π da < β < 2π ; 2 2 2 1 6) ipoveT sin (α + β) , Tu tgα = − , cos β = − , 3 3 3 π < α < π da π < β < π . 2 2 1 1 1) ipoveT tg (α + β) , Tu sin α = , sin β = , 2 3 π<α<

12.30.

0o < α < 90o da 90o < β < 180o ; 2 4 2) ipoveT ctg (α + β) , Tu sin α = , cos β = , 3 5 3 π < α < π da π < β < 2π ; 2 2 α −β α β 3 1 3) ipoveT tg , Tu cos = − , cos = − , 2 2 5 2 3

12.31.

1) 2)

3) 4)

12.32.

180o < α < 360o da 360o < β < 540o ; α −β α β 1 2 ipoveT ctg , Tu sin = − , sin = − , 2 2 9 2 3 o o o o 360 < α < 540 da 540 < β < 720 . π π 2 ipoveT sin α , Tu sin 45o − α = − da <α< ; 3 4 2 1 11 ipoveT cos β , Tu cos α = , cos(α + β ) = − , 7 14 π π da 0 < β < ; 0<α< 2 2 3 ipoveT sin 61o + α , Tu sin 1o + α = , 90o < α < 170o ; 5 1 o o ipoveT cos 87 + α , Tu cos 27 + α = − , 7 o o 90 < α < 150 . 8 , daamtkiceT, rom α + β = 90o , Tu sin α = 17 15 da 0o < α < 90o da 0o < β < 90o ; sin β = 17 π 1 daamtkiceT, rom α + β = , Tu sin α = , 4 5

(

( (

)

(

) )

)

(

321

)

sin β =

1 10

da 0 < α <

π π ; 0<β< . 2 2

hbnpUwbmfU!ebzwbojt!gpsnvmfcjU!)$$23/44<!23/45*;! 12.33.

1) sin 120o , cos 150o , tg135o , ctg120o ; 2) sin 225o , tg 210o , sin(−240o ) , cos(−210o ).

12.34.

1) sin( −300o ) + cos(−225o ) + tg (−330 o ) + ctg (−240 o ); 2) sin 2 120o + cos 2 150o + tg 2 210o − ctg 2 225o ; 3) sin 2 (−330o ) − cos 2 (−120o ) − tg 2 (−240o ) + ctg 2 (−330o ) ; 4) 4 sin 330o ⋅ cos(−240 o ) ⋅ tg120 o − 2 cos 150 o ⋅ tg (−315o ) .

12.35.

daiyvaneT 45 o -ze funqciebamde:

naklebi

dadebiTi

kuTxis

1) sin 86o , cos 55o , tg 73o , ctg 47 o ; 2) sin 175o , cos 103o , tg159o , ctg188o ; 3) sin 560o , cos 846o , tg 758o , ctg1000o ; 12.36.

4) sin( −310o ) , cos( −500o ) , tg (−405o ) , ctg (−820 o ) . daiyvaneT im kuTxis funqciebamde, romelic π ⎡ ⎤ moTavsebulia ⎢0; ⎥ SualedSi: ⎣ 4⎦ 1) sin 0,7 π , cos 3,2π , tg 4,8π , ctg 2,9π ; 2) sin( −2,1π) , cos 3,4π , tg (−17,1π) , ctg (−39,2π) .

hbnpUwbmfU!)$$23/48.23/4:*;! 12.37.

12.38.

3tg 840o + 4 cos 870o 4 cos 330o − 3tg 330o ; 2) ; 2 sin 510o 6tg 210o − 4 sin 240o 7π 17π 20π 19π tg 7 cos − 5 sin + 2 cos 3 6 ; 3 6 . 3) 4) 9π 25π tg sin 4 6 o o o 1) sin 180 − α + cos 90 + α − tg 360 − α + ctg 270 o − α ;

(

)

(

) (

)

(

⎛π ⎞ ⎛3 ⎞ 2) sin ⎜ − α ⎟ − cos(π − α ) + tg (π − α ) − ctg ⎜ π + α ⎟ ; ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

322

)

( ) ( ) ( cos (360 − α ) + sin (270 − α ) ; tg (90 + α )⋅ ctg (270 + α )

) (

)

3) sin 2 180o − α + sin 2 270 o − α + tg 90o + α ⋅ ctg 360o − α ; o

5) 3tg 200o − 2 sin( −80o ) + ctg 290o + cos(−10o ) ; 6) sin 160 o ⋅ cos 110 o + sin 250o ⋅ cos 340o + tg110 o ⋅ tg 340 o . 12.39.

cos 304o ⋅ tg 416o − tg 214o ⋅ tg (−56o ) ; ctg 214o + cos 326o ⋅ ctg (−56o )

tg 270o − α ⋅ sin 130o ⋅ cos 320o ⋅ sin 270o ; ctg 180o − α ⋅ cos 50o ⋅ sin 220o ⋅ cos 360o

3) 4)

(

) )

( sin (α − 90 ) + cos(α − 180 ) − tg (α − 270 ) + ctg (360 − α ) ; tg (α − 180 )⋅ ctg (α − 360 ) + sin (α + 180 ) + sin (270 − α ) ; sin (α − 270 )⋅ cos(360 − α ) ; tg (α − 90 )⋅ cos (α − 270 ) tg (180 − α )cos(180 − α )tg (90 − α ) . sin (90 + α )ctg (90 + α )tg (90 + α ) o

12.40.

daamtkiceT igiveobebi:

( ) ( ) ( ) ( ) tg (45 + α ) = ctg (45 − α ) ; 4) sin (150 + α ) = sin (30 − α ) ; sin (360 − α )tg (90 + α )⋅ ctg (270 − α ) =1; cos(360 + α )⋅ tg (180 + α )

1) sin 45o + α = cos 45o − α ; 2) cos 45o + α = sin 45o − α ; 3)

⎛π ⎞ ⎛3 ⎞ tg ⎜ + α ⎟ ⋅ cos⎜ π − α ⎟ ⋅ cos(− α ) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6) = sin α ; 3 ⎛ ⎞ ctg (π − α ) ⋅ sin ⎜ π + α ⎟ ⎝2 ⎠

7) tg 41o tg 42o tg 43o tg 47 o tg 48o tg 49o = 1 ; 8) tg10o tg 20o tg 30o tg 40 o tg 50o tg 60o tg 70o tg 80 o = 1 .

hbnpUwbmfU!)$$23/52<!23/53*;! 12.41.

1) tg

α 270o − α + β 1 β 2 , Tu cos = − , cos = , 3 3 8 3 3 270o < α < 540o , 810 o < β < 1080 o ;

323

2) tg

α 1 β 360o − α − β 1 , Tu cos = , sin = − , 4 4 2 4 2 1080o < α < 1440o , 720o < β < 1080o .

12.42.

1) sin 15o ⋅ cos 15o ;

2) 6 sin 15o ⋅ sin 75o ; π 4) 2 cos 2 − 1 ; 8 tg15o 6) ; 1 − tg 215o

3) cos 2 15o − cos 2 75o ; 5) 1 − 2 sin 2 15o ; 1 − tg 2

7) tg

π 8 ;

1 − tg 2 75o ; 1 + tg 2 75o

8 π π 1 9) sin cos ; 4 8 8

(

)

10) cos 165o − cos 105o .

hbbnbsujwfU!)$$23/54.23/56*;! 12.43.

12.44.

12.45.

1) sin α ⋅ cos α ⋅ cos 2α ;

2) cos 4 α − sin 4 α ;

3) 1 − 2 sin 2 α ;

4) 2 cos 2 α − 1 ;

5) cos 4α + 2 sin 2 2α ;

6) cos 2 α − 4 sin 2

7) 1 − 8 sin 2 α ⋅ cos 2 α ;

8) cos 2 α + 2 sin α cos α − sin 2 α .

(sin α + cos α )2 1 + sin 2α

(

sin 2α cos 2α − ; sin α cos α

1 − tg 2 α ; 1 + tg 2 α

(

)

ctgα − tgα ; cos 2α

3) 2 sin α ⋅ cos α ⋅ cos 2 α − sin 2 α ; 4) cos α − 6 cos α ⋅ sin α + sin α . daamtkiceT igiveobebi: 4

12.46.

324

)

cos 2α ; sin α − cos α α α 2ctg ⋅ sin 2 2 2 ; 4) 2 α 2 α − cos sin 2 2

;

α α cos 2 ; 2 2

α α − tg 2 2 = cos α ; 2) α α ctg + tg 2 2

ctg

2ctgα 1) = sin 2α ; 1 + ctg 2 α α 2 = tgα ; 3) + α α 1 + tg 1 − tg 2 2 gamoTvaleT:

12.47.

12.48.

α 2

cos 2α cos α − sin α = . 1 + sin 2α cos α + sin α

1) sin 2α , cos 2α da tg 2α , Tu sin α = 0,6 , 0 < α < 90o ; 5 2) sin 2α , cos 2α da tg 2α , Tu cos α = − , sin α > 0 ; 13 1 3) tg 2α , Tu tgα = ; 5 1 1 4) tg (2α + β ) , Tu tgα = , tgβ = ; 3 4 β⎞ β 4 3 ⎛ 5) cos⎜ 2α + ⎟ , Tu sin α = , cos = − , 2⎠ 5 2 5 ⎝ π 3π ; <α<π, π<β< 2 2 1 β 3 6) sin (2α + β ) , Tu sin α = , sin = , 4 2 5 o 0 < α < 90 , 0 < β < 180 o . 1) sin 3α , cos 3α da tg 3α gamosaxeT Sesabamisad sin α , cos α da tgα -Ti; 2) ipoveT sin 3α da cos 3α , Tu sin α =0,6, 0 < α < 90o .

12.49.

gamoTvaleT: 1) sin 15o , cos 15o da tg15o ; 2) sin 22o30′ , cos 22o30′ da tg 22o30′ ; 3) sin 75o , cos 75o da tg 75o ; 4) sin 67 o 30′ , cos 67 o30′ da tg 67 o30′ .

325

hbbnbsujwfU!)$$23/61<!23/62*;! 12.50.

1) 1 + cos 2α ;

2) 1 + cos 40o ;

3) cos α − 1 ;

4) cos 32o − 1 ;

1 + cos(α − β ) . 1 − cos(α − β ) 1 + cos α 2 α 2) tg − cos 2 α ; 1 − cos α 2 ⎛π α⎞ 4) 1 + tg 2 ⎜ − ⎟ . ⎝4 2⎠

1 − cos 50o ; cos 40o α 1) 2 sin 2 + cos α ; 2 1 − sin α ⎛π α⎞ 3) − tg 2 ⎜ − ⎟ ; 1 + sin α ⎝4 2⎠

5) 12.51.

ebbnuljdfU!jhjwfpcfcj!)$$23/63<!23/64*;! 12.52.

12.53.

12.54.

α⎞ α⎞ ⎛ ⎛ 1) 1 + sin α = 2 cos 2 ⎜ 45o − ⎟ ; 2) 1 − sin α = 2 sin 2 ⎜ 45o − ⎟ ; 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ α α 1 − cos α sin α 3) = tg ; 4) = tg ; sin α 2 1 + cos α 2 1 + sin 2α 1 − sin α ⎛π ⎞ ⎛π α⎞ 5) = tg ⎜ + α ⎟ ; = tg 2 ⎜ − ⎟ . 6) cos 2α 1 + sin α ⎝4 ⎠ ⎝4 2⎠ α α α α 2 sin α − sin 2α sin 2 cos 1) = tg 2 ; 2) ⋅ = tg ; 2 sin α + sin 2α 2 1 + cos 2α 1 + cos α 2 α α α α 4) sin α − tg = cos α ⋅ tg . 3) tg = ctg − 2ctgα ; 2 2 2 2 α α α ipoveT sin , cos da tg , Tu: 2 2 2 12 3π 1) cos α = − da π < α < ; 13 2 3 2) cos α = da 270o < α < 360o ; 4 4 3) sin α = − da 180o < α < 270o ; 5 3π 4 4) cos α = da < α < 2π . 2 5

hbnpUwbmfU!)$$23/66.23/69*;! 12.55.

1) sin α , Tu sin 2α = 0,96 da 1125o < α < 1170 o ;

326

2) tg

12.56.

12.57.

12.58.

α α , Tu sin = −0,8 da 360o < α < 540o ; 2 4

3) sin α , Tu tg 2α = 35 da 540o < 2α < 630o ; α 4) tg , Tu tgα = 24 da 900o < α < 990o . 2 1 1 1) cos(α + β ) , Tu cos 2α = − , cos 2β = − da 2 4 90o < 2α < 135o , 180o < 2β < 270 o ; 1 1 2) sin (α + β ) , Tu cos 2α = − , cos 2β = da 5 10 180 o < 2α < 270 o , 360o < 2β < 450o . α α 1) cos , Tu sin = −0,6 da 540o < α < 720o ; 2 8 2) sin α , Tu tg 4α = 15 da 180o < 2α < 224o . α 2 1) sin α , cos α da tgα , Tu tg = ; 2 3 α 1 sin α 2) , Tu tg = ; 2 − 3 cos α 2 2 α 2 tgα − sin α 3) , Tu tg = ; tgα + sin α 2 15 3tgα − 5 sin α α 1 4) , Tu ctg = . 4ctgα + 5 cos α 2 2

xbsnpbehjofU!obnsbwmj!kbnbe!)$$23/6:<!23/71*;! 12.59.

1) sin 5α ⋅ sin 3α ;

π π ⋅ cos ; 10 5 π π 4) sin ⋅ sin ; 5 8 π π 6) sin ⋅ cos . 10 8 2) sin 4α ⋅ cos 2α ;

3) 2 sin 40o ⋅ cos 10o ⋅ cos 8o ;

4) 4 cos α ⋅ cos 3α ⋅ cos 4α .

1) cos 20o ⋅ cos 10o ;

2) cos

3) sin 40o ⋅ sin 4o ; 5) sin 12o ⋅ cos 42o ; 12.60.

xbsnpbehjofU!obnsbwmbe!)$$23/72.23/79*;! 327

12.61.

1) cos 50o + cos 20o ; 3) sin 73o − sin 36o ; 5) tg12o + tg 32o ;

12.62.

1) sin 4α + sin 2α ; 3) tgα + tg 3α ;

(

12.63. 12.64.

12.65.

12.66.

12.67.

12.68.

)

(

)

2) sin 26o + sin 14o ; π π 4) cos − cos ; 8 12 7π 5π 6) tg − tg . 8 8 2) cos 2α − cos 6α ; 4) cos(α + β ) + cos(α − β ) ;

5) sin 40o + α − sin 40o − α ; 6) sin (α + β ) − sin (α − β ) . 1) sin α + cos α ; 2) sin α − cos α . cos α + cos β sin 5α + sin α ; 2) ; 1) cos α − cos β sin 5α − sin α sin 7α − sin 5α cos 6α − cos 4α 3) ; 4) . sin 7α + sin 5α cos 6α + cos 4α 1) sin 10 o + sin 11o + sin 15o + sin 16o ; 2) sin α + sin 3α + sin 2α + sin 4α ; 3) cos 31o + cos 13o + cos 8o + cos 36o ; 4) cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α . 2) 1 − cos α + sin α ; 1) 1 + sin α + cos α ; 1 − 2 cos α + cos 2α 1 − 2 sin α − cos 2α ; 4) . 3) 1 + 2 cos α + cos 2α 1 + 2 sin α − cos 2α 1) sin α + sin 2α + sin 3α ; 2) sin α + sin β + sin (α + β ) ; 3) sin (5α + β ) + sin (3α + β ) + sin 2α ; 4) tgα + tg 2α − tg 3α . 1) 1 + 2 cos α ; 2) 1 − 2 cos α ; 3) 1 + 2 sin 2β ;

2 + 2 cos α ;

5) 1 + 2 cos α ;

2 sin α − 1 ;

8) 3 − 4 cos 2 α . 7) 1 − 4 sin α ; 1) mocemulia funqcia f ( x) = sin x + cos x . daamtkiceT, rom 2

12.69.

π⎞ ⎛ f ⎜ x + ⎟ luwi funqciaa. 4⎠ ⎝

2) mocemulia funqcia

f ( x) = sin x + 3 cos x . daamtkiceT,

π⎞ ⎛ rom f ⎜ x + ⎟ luwi funqciaa. 6⎠ ⎝

328

ebbnuljdfU!jhjwfpcfcj!)$$23/81.23/84*;! 12.70.

sin α + sin β α +β = tg ; cos α + cos β 2

sin α − sin β β+α = −ctg ; cos α − cos β 2

1 cos (α − β) sin α + sin β 2 3) ; = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos 1 (α + β) 2 1 sin (α − β ) sin α − sin β 2 4) ; = cos α sin β + sin α cos β sin 1 (α + β ) 2 sin α + sin 3α cos α + sin α 5) = tg 2α ; 6) = tg 45o + α . cos α + cos 3α cos α − sin α sin (α + β ) + sin (α − β) 1) = tgα ⋅ ctgβ ; sin (α + β) − sin (α − β) cos(α + β) + cos(α − β) 2) = ctgα ⋅ ctgβ ; cos(α − β) − cos(α + β)

(

12.71.

3) sin 2 α − sin 2 β = sin (α + β) sin (α − β) ;

4) cos 2 α − cos 2 β = − sin (α + β ) sin (α − β) ;

12.72.

12.73.

π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 5) 4 sin 2 α − 3 = 4 sin ⎜ α + ⎟ ⋅ sin ⎜ α − ⎟ ; 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 6) 4 cos 2 α − 1 = 4 sin ⎜ + α ⎟ ⋅ sin ⎜ − α ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sin α − 2 sin 2α + sin 3α 1) = tg 2α ; cos α − 2 cos 2α + cos 3α sin α + sin 3α + sin 5α 2) = tg 3α ; cos α + cos 3α + cos 5α cos α − cos 3α + cos 5α − cos 7α 3) = tgα ; sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α α sin 2 α − 4 sin 2 2 = tg 4 α . 4) α 2 sin 2 α − 4 + 4 sin 2 2 π ⎛π α ⎞ 1) 1 + cos α + 1 − cos α = 2 sin ⎜ + ⎟ , Tu 0 < α < ; 2 ⎝4 2⎠

329

)

1 + sin α − 1 − sin α = 2 sin

α 2

, Tu 0 < α <

3) (sin α − sin β) + (cos α − cos β )2 = 4 sin 2 2

α −β ; 2

π ; 2

4) (sin 2α + sin 4α )2 + (cos 2α + cos 4α )2 = 4 cos 2 α .

hbnpUwbmfU!)$$23/85.23/8:*;! 12.74.

sin

sin 40o sin 50o 1) ; cos 10o

2) cos

cos 40o + cos 20o ; sin 80o

1 3 − ; o sin 10 cos 10o

(

12.76.

(

; 2

1 ⎞ ⎛ 1 − 4) ⎜ ⎟ ; o cos 15o ⎠ ⎝ sin 15

)

3) sin 75o cos 255o cos 330o ; 12.77.

( 6 + 2 )sin 15

2 sin 40 cos 5 1 + tg 5o ⋅ ctg 40o . π 13 5 3π 11π 7π 1) 8 sin cos π cos π ; 2) sin ; cos cos 12 12 6 8 8 4

5) cos 10 o 1 + tg10o tg 5o ; o

;

6) sin 40o + sin 20o − sin 80o .

5) 12.75.

π 4π cos 18 9

sin 44o ; sin 76o − sin 16o

sin 75o + sin 15o ; sin 75o − sin 15o π π 1) ctg − tg ; 8 8

π 9

(

)

4) 2 sin 9o cos 36o + sin 27 o .

1) sin 18o cos 36o ; 2) cos 20o cos 40o cos 80o ; 2π 4π π cos ; 3) cos cos 7 7 7 π 2π 4π 8π 16π 4) 16 ⋅ cos cos ; cos cos cos 33 33 33 33 33 5) cos 10o ⋅ cos 30o ⋅ cos 50o ⋅ cos 70o ; 6) 16 sin 20o ⋅ sin 40o ⋅ sin 60o ⋅ sin 80o ; 7) tg 20o ⋅ tg 40 o ⋅ tg 60o ⋅ tg 80o ;

330

8) sin 2 10o ⋅ sin 2 50o ⋅ sin 2 70o .

12.78.

(cos 4

) ( 2

+ cos 2o + sin 4o + sin 2o sin 2o ctg1o

(

)

(

)

;

)

sin 3 7 o 1 + ctg 7 o + cos 3 7 o 1 + tg 7 o ; sin 7 o + cos 7 o

4 − 3 sin 2 20o ; sin 6 10o + cos 6 10o

4 3 cos 10o ; cos 2 20o − sin 2 10o

5) 4 cos 2 40o − 4 sin 4 10o + sin 2 20o ; 6) cos 2 3o + cos 2 1o − cos 4o ⋅ cos 2o . 12.79.

1) 2)

sin 51o − sin 28o cos3 23o − cos 28o sin 3 23o ; tg 2 30o cos 23o sin 23o cos 5o sin 32o + sin 28o

(

2 sin 47 o + sin 43o o

)

;

cos 10o ⋅ cos 25o ⋅ cos 55o ; sin 20o + sin 50o + sin 110o

sin 35 ⋅ sin 70 ⋅ cos 75o ; 1 − cos 70o − cos 140o + cos 150o π 3π 5π 7π 5) sin 2 + cos 2 + sin 2 + cos 2 ; 8 8 8 8 π 3π 5π 7π 6) sin 4 + cos 4 + sin 4 + cos 4 . 8 8 8 8 daamtkiceT igiveoba: sin 2α − sin 3α + sin 4α 1) = tg 3α ; cos 2α − cos 3α + cos 4α 1 − 2 sin 2 α 1 − tgα = 2) ; 1 + sin 2α 1 + tgα sin 2α + sin 5α − sin 3α 3) = 2 sin α ; cos α + 1 − 2 sin 2 2α

12.80.

sin 4 α + cos 4 α − 1 2 = . sin 6 α + cos 6 α − 1 3

hbbnbsujwfU!eb!hbnpUwbmfU!)$$23/92.23/9:*;! 12.81.

1 − sin 2 α , Tu tgα = 2 ; 1 − cos 2 α

sin 2 α 1 , Tu cos α = ; 1 − cos α 4 1 3) (sin α − cos α )2 , Tu sin 2α = − ; 3

331

4) 12.82.

1) 2) 3) 4)

12.83.

1) 2) 3) 4)

12.84.

1 − sin 4 α − cos 4 α , Tu tgα = 2 . cos 4 α sin (α + β) , Tu tgα = 2 da tgβ = 3 ; cos α cos β cos(α − β ) , Tu tgα = 3 da tgβ = 2 ; cos α cos β sin (α + β) − sin α cos β , Tu tgα = 2 da tgβ = 3 ; sin (α − β) + cos α sin β cos(α − β ) − cos α cos β , Tu tgα = 2 da tgβ = 3 . cos(α + β) + sin α sin β 1 sin α cos α cos 2α , Tu sin 4α = ; 4 α α⎛ 2 α 1 2 α⎞ 2 sin cos ⎜ sin − cos ⎟ , Tu sin 2α = ; 2 2⎝ 2 2⎠ 3 3 α α⎞ ⎛ 3 ⋅ ⎜ cos 2 α − 4 sin 2 cos 2 ⎟ , Tu cos 2α = ; 2 2⎠ 4 ⎝ 1 o o sin 45 + α sin 45 − α , Tu cos 2α = . 3 3 ⎛ 1 + cos 2α ⎞ ⋅ tg 2 α − cos 2 α ⎟ , Tu sin α = 4⎜ ; 4 ⎝ 1 − cos 2α ⎠

(

) (

)

1 − sin α ⎛π α⎞ 3 , Tu tg ⎜ − ⎟ = ; 1 + sin α ⎝4 2⎠ 4 1 − 2 cos α + cos 2α α 3) , Tu tg = 2 ; 1 + 2 cos α + cos 2α 2

2) 16 ⋅

4) (sin α + sin β )2 + (cos α + cos β )2 , Tu cos 12.85.

(

)

sin α + cos α , Tu tg 45o + α = 3 ; sin α − cos α sin α − 2 sin 2α + sin 3α 2) , Tu tg 2α = 5 ; cos α − 2 cos 2α + cos 3α cos α + cos 3α + cos 5α 3) , Tu tg 3α = 4 ; sin α + sin 3α + sin 5α sin 2 2α − 4 sin 2 α 4) , Tu tgα = 2 . sin 2 2α − 4 cos 2 α

332

α −β 3 . = 2 2

12.86.

1) cos 4 α − 6 sin 2 α cos 2 α + sin 4 α , Tu cos 4α =

(2 cos α − 1)cos 2α , Tu cos α (sin 2α + cos 4α ) 2

12.87.

2 ; 3

cos α =

1 sin (α + β ) , Tu sin (α − β) = ; 2 2 3 sin α − sin β

cos 2 (7 π + α ) − 4 cos 2 (7,5π + α ) , Tu tgα = 3 . cos 2 (9π − α )

1) 1 − sin 2 α cos 2 α + cos 2α − cos 4 α , Tu cos α = 2 cos α − cos 3α − cos 5α 1 , Tu cos α = ; 4 sin 2 2α 1 − cos α + cos 2α − cos 3α 3) , Tu tgα = 4 ; (cos α − cos 2α )sin α

1 3 + 10tgα + 3tg 2 α , Tu sin 2α = ; 2 5 1 + tg α 3 + 4 cos 2α + cos 4α 5) , Tu tgα = 5 ; 3 − 4 cos 2α + cos 4α 2 sin 6 α + cos 6 α + 1 1 6) , Tu cos α = . 4 cos α sin 4 α + cos 4 α

(

)

(

)

(1 + tgα ) , Tu cos α = 1 + sin 2α 1 − sin 2α 2) , Tu cos α = (1 − tgα )2 2

12.88.

3 ; 6 1 ; 3

3) 4) 5) 6)

(1 − ctgα )2 1 − sin 2α

, Tu sin α =

(1 + cos 2α )(1 − sin 2α ) , (1 − tgα )2 1 − sin 2α

;

Tu cos α =

, Tu tgα =

(1 − cos 2α )(1 − tgα ) (1 + cos 2α )(1 − sin 2α ) , (1 − ctgα )2 2

1 4

1 8

Tu sin 2α =

333

1 ; 3

;

; 2 7

1 ; 5

12.89.

1 − cos α + cos 2α − cos 3α , Tu ctgα = 13,5 ; (cos α − cos 2α )sin α cos α − cos 3α + cos 5α − cos 7α 4 2) , Tu sin α = , 0 < α < 90o ; sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α 5 sin 2 α − 4 1 3) , Tu cos α = ; α 3 ⎛ 6α ⎞ 4 cos α⎜ sin − cos 6 ⎟ 2 2⎠ ⎝ 11 sin α sin α α 1 2 4) , Tu sin = . sin 5α + sin 6α − sin 4α − sin 7α 2 84

(

hbnpUwbmfU!)23/:1.23/:4*;! 12.90.

1) sin 2α , Tu sin α + cos α =

1 ; 5

5 ; 4 α 5 α α α sin 3 − cos 3 , Tu cos − sin = ; 2 2 2 2 6 1 4 4 sin α + cos α , Tu sin α − cos α = . 2 1 sin 6 α + cos 6 α , Tu cos α + sin α = ; 4 α α π α 1 α ⎞ ⎛ cos 4 + cos 4 ⎜ − ⎟ , Tu cos + sin = ; 4 4 4 4 ⎝ 4 2⎠ tg 2α − tgβ , Tu sin (2α + β) = 5 sin (2α − β ) da tg 2α = 4 − tgβ ;

2) sin 3 α + cos 3 α , Tu sin α + cos α = 3) 4) 12.91.

1) 2) 3)

4) tg 2α + tgβ , Tu sin (2α − β) = 4 sin (2α + β) da tg 2α = 6 + tgβ ; 2 5) tg 2 α + ctg 2 α + , Tu tgα + ctgα = 6 ; sin 2α 2 6) ctg 2 2α + tg 2 2α − , Tu tg 2α − ctg (−2α ) = 4 . cos 4α − 90 o

(

12.92.

1) arcsin 0 + arcsin

1 2

)

+ arcsin

334

3 + arcsin 1 ; 2

)

⎛ ⎛ 1 ⎞ 3 ⎞⎟ ⎟⎟ − arcsin⎜ − + arcsin (− 1) ; 2) arcsin 0 + arcsin⎜⎜ − ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ 3) arcsin 0 + arcsin(−1) + arccos1 ; ⎛ 1 ⎞ 3 ⎟⎟ + arccos ; + arccos⎜⎜ − 2 2 2⎠ ⎝

4) arccos 0 + arccos

5) 5 arccos(−1) − 12 arccos 6) arctg 0 + arctg

1 3

7) arcctg 0 + arcctg

⎛ 1 ⎞ 3 ⎟⎟ ; − 6 arccos⎜⎜ − 2 2⎠ ⎝

+ arctg 3 + arctg1 ; 1 3

+ arcctg 3 + arcctg1 ;

( ) cos[arcsin ( 3 − 2 )] ;

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ − arcctg − 3 . 8) arcctg 0 + arcctg (−1) − arcctg ⎜⎜ − 3⎠ ⎝

12.93.

1) sin (arcsin 0,6) ;

3) sin[arcsin (− 0,8)] ;

1⎞ ⎛ 4) cos⎜ arcsin ⎟ ; 2⎠ ⎝

5) cos(arccos 0,5) ;

6) sin arccos 2 − 2 ;

7) cos(arccos 0,2) ; 9) arccos(cos 6 ) ; 11) arccos(cos1) ;

8) 10) arcctg (ctg 2) ; 12) arctg (tg 2 ) .

[ ( )] sin [arccos( 3 − 2 )] ;

§13. usjhpopnfusjvmj!hboupmfcfcj!

eb!vupmpcfcj!

! bnpytfojU!hboupmfcfcj!)24/2.24/31*;! 13.1.

1) sin x = 0 ; 3) sin x =

2 ; 2

2) sin x = 4) sin x =

335

1 ; 2 3 ; 2

5) sin x = − 7) sin 3x = −

2 ; 2 1

(

6) sin x = −1 ; ;

)

9) sin 5 x + 30o =

13.2.

8) sin 1 2

;

3 ; 2

⎛x π ⎞ 11) cos⎜ − ⎟ = 1 ; ⎝ 2 18 ⎠

1) tgx = 0 ;

5) tgx = − 3 ;

6) tgx = −1 ;

(

)

(

)

7) tg 2 x + 60o = −1 ; 9) tg 45o − 3 x = −

3 ; 3

1) sin 2 x − 2 sin x = 0 ; 3)

⎛3 ⎞ 10) cos⎜ x − 15o ⎟ = −1 ; ⎝2 ⎠ 1 ⎛π x⎞ 12) cos⎜ − ⎟ = − . 2 ⎝3 3⎠

2) tgx = 3 ; 1 4) tgx = ; 3

3) tgx = 1 ;

13.4.

x⎞ 3 ⎛ 10) sin ⎜ 20o − ⎟ = ; 3⎠ 2 ⎝

3 ⎛3 ⎞ ⎛ x π⎞ 11) sin⎜ − ⎟ = − ; 12) sin ⎜ π − 4 x ⎟ = −1 . 2 ⎠ ⎝4 ⎝3 6⎠ 1 1) cos x = 0 ; 2) cos x = ; 2 3 2 3) cos x = ; 4) cos x = ; 2 2 1 5) cos x = − ; 6) cos x = −1 ; 2 1 x 1 7) cos 5 x = − ; 8) cos = ; 4 2 2 9) cos(20o − 5 x) =

13.3.

x =1; 3

2 sin 2 x = sin x ;

⎛π ⎞ 8) tg ⎜ − 5 x ⎟ = 3 ; ⎝3 ⎠ ⎛ x π⎞ 10) tg ⎜ − ⎟ = − 3 . ⎝3 4⎠ 2) 2 cos 2 x = cos x ;

3 cos x = 2 cos 2 x ;

5) tg 2 x = 2tgx ;

6) tg 3 x = tgx ;

7) ctg 4 x + ctgx = 0 ;

8) ctg 2 x − 3ctgx = 0 ;

9) sin 2 x − 1 = 2 cos x ; 10) sin x = 2 − 2 cos 2 x . 336

13.5.

1) sin 2 x − 3 = 2 sin x ;

2) cos 2 x + cos x = 2 ;

3) sin x = 1 − 2 sin 2 x ;

4) tg 2 x − 6tgx + 5 = 0 ;

(

)

5) 2 sin 2 x + 2 − 2 sin x − 2 = 0 ; 6) tg 2 x +

( 3 − 1)tgx −

3=0.

13.6.

1) 2 cos x = 3 sin x + 2 ; 2) 2 sin 2 x = 3 cos x ; 6) tg 2 x + 3ctg 2 x − 4 = 0 .

13.7.

3) sin 2 x = 1 + cos 2 x ; 3 5) + 2 = 8tgx ' cos 2 x 1) sin 2 x = sin x ; 3) sin x cos x = 0,25 ;

4) sin 2 x − cos 2 x = 0,5 ;

5) cos 2 x = 2 sin 2 x ; 7) tg 2 x = 3tgx ; x 1) sin x + cos = 0 ; 2

6) cos 2 x = cos x ; 8) tgx = tg 2 x . x x 1 2) sin 4 − cos 4 = ; 2 2 2

13.8.

13.9.

1 ; 2 cos 2 x = 1 + sin x ; x cos = 1 + cos x ; 2 x 2 sin 2 = 1 + cos x ; 2 1 + cos x + cos 2 x = 0 ;

3 sin x = 1 + cos x ;

2) sin 2 x = cos x ;

3) cos 2 x = 2 sin x −

4) cos 2 x = cos x − sin x ;

6) cos 2 x = 1 + sin 2 x . x 2) 2 sin = 1 − cos x ; 2 2 x 4) 2 cos = 1 − cos x ; 2 6) sin x = 1 − cos x ;

1) 3)

13.10.

4) 2tgx + 3ctgx = 5 .

1) sin x = cos x ;

2) sin x + 3 cos x = 0 ;

3) 3 sin x = cos x ; 2

8) sin 2 x = 3 (1 + cos 2 x ) .

4) sin 2 x − 3 cos 2 x = 0 ;

5) 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 4 3 sin x ⋅ cos x ; 6) sin 2 x + 2 sin x ⋅ cos x = 3 cos 2 x ; 7) 6 sin 2 x − 3 sin x ⋅ cos x − cos 2 x = 1 ; 8) 1 − 4 cos 2 x = 2 sin x ⋅ cos x ; 9) sin 2 x − cos 2 x = 0,5 − sin x ⋅ cos x ; 10) 4 sin 2 x + 3 sin x ⋅ cos x − 3 cos 2 x = 2 ; 11) 2 sin 2 x = 6 sin 2 x − 3 cos 2 x ; 12) cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 sin 2 x ; 337

13) sin 2 x + 4 sin x ⋅ cos x = 3 3 cos 2 x ; 13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

14) 3 cos 2 x + sin 2 x = 3 sin 2 x . 1) sin 6 x − sin 4 x = 0 ; 2) cos 3x + cos 7 x = 0 ; 4) cos 2 x = cos x ; 3) sin 5 x = sin x ; 6) tg 2 x − tg 5 x = 0 . 5) tg 4 x = tgx ; 1) sin x + sin 3 x + sin 5 x = 0 ; 2) cos 3x + cos 2 x + cos x = 0 ; 3) cos x + cos 3x = cos 2 x ; 4) sin 2 x = sin x + sin 3 x ; 5) sin 3 x + cos 5 x − sin 7 x = 0 ; 6) cos 2 x + sin 4 x − cos 6 x = 0 . 1) cos x ⋅ cos 3 x = cos 5 x ⋅ cos 7 x ; 2) cos 2 x ⋅ cos 4 x = cos 5 x ⋅ cos x ; 3) sin 2 x ⋅ sin 6 x = sin 3 x ⋅ sin 5 x ; 4) sin x ⋅ sin 3 x = sin 5 x ⋅ sin 7 x ; 5) cos 2 x ⋅ sin 4 x = cos x ⋅ sin 5 x ; 6) cos 3x ⋅ sin 7 x = cos 2 x ⋅ sin 8 x . 1) sin x − cos x = 2 ; 3)

13.15.

13.16.

5) 1) 2) 3)

2) sin x + cos x =

2 ; 2

3 sin x + cos x = 2 ; 4) sin x − 3 cos x = 1 ;

3 sin x − 3 cos x = 3 ; 6) 3 sin 2 x + cos 2 x = −2 . sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x = 0 ; cos x + cos 3 x = cos 5 x + cos 7 x ; sin x + sin 7 x − cos 5 x + cos(3 x − 2π ) = 0 ;

3π ⎞ ⎛ 4) sin 2 x − sin 3 x + sin 8 x = cos⎜ 7 x + ⎟ . 2 ⎠ ⎝ 1) tg 3 x ⋅ tgx = 1 ; 2) tg (2 x − 1) ⋅ tg (3 x + 1) = 1 ;

3) (1 + cos 4 x ) ⋅ sin 2 x = cos 2 2 x ; 4) cos 4 x + 2 sin 2 x = 0 ; 5) cos x − 1 + 2 sin xtgx = 0 ; 6) 2tgx ⋅ cos x + 1 = 2 cos x + tgx . 13.17.

1) sin 4 x − 8 cos 2 x − 1 = 0 ; 2) 2 sin 4 x − 7 sin 2 x + 3 = 0 ; 5 3) sin 4 x + cos 4 x = ; 4) sin 4 2 x + cos 4 2 x = sin 2 x cos 2 x . 8

13.18.

1) sin x + cos x = 2 sin 5 x ;

338

2) cos 2 x = 2 (cos x − sin x ) ; 3)

3 sin 3 x + cos 3 x = 2 sin 5 x ;

4) sin 2 x + cos 2 x = 2 sin 3 x . 13.19.

3 ; 2 sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x + sin 2 5 x = 2 ; 3 x cos 2 + cos 2 x − sin 2 2 x − sin 2 4 x = 0 ; 2 2 1 2 2 sin x + sin 3x + cos 6 x = 1 . 2 1 x x cos x − sin x = ; 2) cos + sin x = 1 + 2 sin ; cos x 2 2

1) cos 2 3 x + cos 2 4 x + cos 2 5 x = 2) 3) 4)

13.20.

13.21.

3) cos 3x − sin x = 3 (cos x − sin 3 x ) ; 4) 6 sin x − 2 cos x + 3tgx = 1 . amoxseniT gantoleba da ipoveT umciresi dadebiTi da udidesi amonaxsnebi: 2) cos 7 x − sin x = 0 ; 1) sin 3 x = cos x ;

gantolebis uaryofiTi

3) 4 sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 3 cos 2 x = 1 ;

13.22.

13.23.

4) sin 2 5 x = 3 sin 10 x − 3 cos 2 5 x ; 1 + tgx = (sin x + cos x )2 ; 5) 1 − tgx 6) 1 + sin 2 x = sin x + cos x . amoxseniT gantoleba da ipoveT mocemul SualedSi moTavsebuli amonaxsni: 3π 1) sin 2 x + sin 2 x = 3 cos 2 x , π ≤ x ≤ ; 2 π 2) 1 + sin 2 x = (sin 3x − cos 3x )2 , − < x < 0 ; 2 π π 3) cos x − 1 + 2 sin xtgx = 0 , − < x < ; 2 2 4) 5 3 sin 2 x − 6 cos 2 x = 6 , 405o < x < 420o . ipoveT a -s yvela mniSvneloba, romelTaTvisac gantolebas aqvs amonaxsni: 2) 5 sin x + 2 cos x = a ; 1) 3 sin x + 4 cos x = a ;

339

3) sin 2 x − (a − 3) sin x − 2a + 2 = 0 ;

4) cos 2 x + a sin x = 2a − 7 ;

5) cos x − (a + 2 ) cos x − (a + 3) = 0 ; 4

6) sin 4 x + (a − 2) cos 2 x − 3a + 2 = 0 .

bnpytfojU!vupmpcfcj!)$$24/35.24/39*;! 13.24.

13.25.

1) sin x ≥ 0 ; 1 3) sin x > ; 2 1 5) sin x > − ; 2 2 7) sin x > ; 2 1) cos x > 0 ;

13.27.

3 ; 2 3 ; cos x ≥ − 2 1 . cos x < − 2 tgx ≤ 0 ; tgx ≥ −1 ;

4) cos x <

1) 3)

8) 2) 4)

3 . 3

5) ctgx ≤ − 3 ;

6) tgx >

2 ; 2 π⎞ 1 ⎛ 3) sin ⎜ 2 x − ⎟ < ; 6⎠ 2 ⎝

3 ; 2 π⎞ 1 ⎛3 4) sin ⎜ x + ⎟ < ; 12 ⎠ 2 ⎝2 π⎞ ⎛ 6) tg ⎜ x − ⎟ < − 3 . 3⎠ ⎝

1) sin 2 x < −

(

5) cos 2 x + 13.28.

3 ; 2 1 8) sin x ≤ − . 2 2) cos x ≤ 0 ;

6) sin x < −

3) cos x >

7) 13.26.

3 ; 2 1 cos x ≤ − ; 2 2 ; cos x ≥ 2 tgx > 0 ; tgx < 1 ;

2) sin x < 0 ; 1 4) sin x < ; 2

π 4

)≥ 0 ;

2) cos 2 x > −

1) sin x > cos x ; 2) sin x + cos x < 2 ; x x 1 3) sin x cos + cos x sin > − ; 2 2 2 1 4) sin 3 x cos x − cos 3 x sin x > . 2

340

§14. mphbsjUnjt!Tfndwfmj!hbnptbyvmfcfcjt!!

hbnpUwmb/!nbDwfofcmjboj!eb!mphbsjUnvmj!! hboupmfcfcj/!hboupmfcbUb!tjtufnfcj!

hbnpUwbmfU!)$$25/2<!25/3*;!

14.1.

1) log 6 36 ; 5) log 0,04 5 ;

14.2.

2) log 2 6) log 3

1 ; 8 3

3) lg 0,01 ;

4) log 1 4 ; 2

1 . 27

1) lg 100 − log 2 32 ;

2) log 2 16 + log 1 9 ;

3) log 1 4 − log 3 81 ;

4) log 3 81 + log 1 8 ;

5) 3 − log 4 16 ; 6) 4 gaalogariTmeT gamosaxulebebi: 1) x = abc ; 2) x = 3cd ; 3mn 5(a + b ) 4) x = ; 5) x = ; 5 a(a − b ) log 3 4

14.3.

7) x = 13c 4 d 3rl 2 ;

(

3) x = 2(a − b ) ; 6) x = 3c 2 d ;

)

10 a 2 − b 2 ; 3c 3d 4

8) x =

log 5 9

9) x = a b ;

a 3mn 2 ; 12) x = . b 4 5mn ipoveT x misi logariTmis mixedviT: 2) log x = log m − log n ; 1) log x = log b + log c ;

10) x = 3a3 3b 2 ;

14.4.

log 4 3

11) x = 3

3) log x = 5 log a ; 5) log x = 3 log m − 4 log n ;

4) log x = 2 log a + 3 log b ; 1 6) log x = log a ; 2

1 (log m + log n ) ; 8) log x = 2 log a + 3 log b − 5 log c ; 2 9) log x = 3 log(a + b ) − 2 log(a − b ) ; 1 1 10) log x = log(m − n ) − log(m + n ) ; 2 3 1 2 2 11) log x = log(a − b ) − log(a + b ) − log a ; 2 5 3

7) log x =

341

1 log(b − c ) + m log(b + c ) . m

12) log x = log b −

hbnpUwbmfU!)$$25/6.25/21*;! 14.5.

14.6.

1) 5 ⋅ 3log 3 2 +1 ;

2) 31− log 3 7 ;

3) 5log 5 8 +1 ;

4) 32 − log 3 10 ;

5) 52 log 5 3 ;

6) 43 log 4 2 ;

7) 36 log 6 2 ;

8) 810,5 log 9 7 .

1) 5

log 0 , 2

1 3

log

3) 2

+ log 3 27 ;

2) 3log 9 16 − log 0,5 8 ;

− log

4) 4log 2 3 − log 1 81 ;

⎛1⎞ 5) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

log

⎛1⎞ 7) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

14.7.

1) 7 3) 5

log

5) 8 3

log

− log 0,5 8 ;

⎛1⎞ 6) ⎜ ⎟ ⎝4⎠

+ log 1 8 ;

⎛1⎞ 8) ⎜ ⎟ ⎝8⎠

2 7

+ 41+ log 4 5 − 2 log 4 9 ;

⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝4⎠

log

log 2 ⎛⎜ 3 + 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

6) 2log 2 (2 −

)

− 2 2 log 4 5 ; 4) 7 1

(

log 3 3 − 2

log

)

− log

− log 1 2 . 2

2) 49 log 7

⋅ 27 3

log

4− 3

log

(2 + 3 ) + 25 log

(2 − 3 ) + 5log (2 + 3 ) ; 5

;

25 log 6 5 + 49 log 8 7 ;

8) 81log 5 3 + 27 log 3 6 + 3 log 7 9 ; 3

;

10) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log 9 36 . 1) log 2 48 + log 1 3 ;

2) log 2

8 5 − log 0,5 ; 5 2

log 2 27 − log 1 8

3) log

;

1 1 ⎛ ⎞ − log16 3 9) ⎜ 256 4 2 + 9 log 27 8 ⎟ ⋅ 25log 5 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

14.8.

4+ 3

⋅ 9 log 3

log 4 3

18 + log 1 2 ;

log 3 2 − log 1 3 2

342

;

lg 32 + log 0,5 243 log 0,1 2 + log 2 3

1 − log 3 25 9 6) . log 1 9 + log 1 25 log 2

;

14.9.

1) log 2 log 2 16 ;

2) log 1 log 3 243 ; 5

14.10.

3) lg log 3 log 4 64 ; 5) log 4 log 9 log 3 27 ; 1) log 9 2 ⋅ log 2 3 ;

4) log 2 log 9 log 5 125 ; 6) log 9 log 2 log 5 25 . 2) log 2 7 ⋅ log 1 2 ;

3) log 6 2 ⋅ log 2 3 ⋅ log 3 36 ;

4) log 4 5 ⋅ log 5 6 ⋅ log 6 7 ⋅ log 7 8 .

14.11.

1) ipoveT log 2) 3) 4) 5)

ipoveT ipoveT ipoveT ipoveT

6 3

log 30 8 , Tu lg 5 = a , lg 3 = b ; lg 56 , Tu lg 2 = a , log 2 7 = b ; log 275 60 , Tu log12 5 = a , log12 11 = b ; log175 56 , Tu log14 7 = a , log14 5 = b ; 3

6) ipoveT log ab 7) ipoveT log 1 14.12.

14.13.

a , Tu log a 27 = b ;

, Tu log ab a = 4 ; b 28 , Tu log 7 2 = a ;

8) ipoveT log 6 16 , Tu log12 27 = a . 1) log 6 20 gamosaxeT log 4 12 da saSualebiT; 2) log 6 15 gamosaxeT log 9 6 da saSualebiT.

log 20 9

ricxvebis

log 8 15

ricxvebis

1) mocemulia geometriuli progresia 1, 813 , 816 , 819 K , 81105 . yoveli wevri gaalogariTmeT 9-is fuZiT da gamoTvaleT miRebuli ricxvebis jami; 2) mocemulia geometriuli progresia 1, 25 −2 , 25 −4 , 25 −6 ,K, 25 −102 . yoveli wevri gaalogariTmeT 5-is fuZiT da gamoTvaleT miRebuli ricxvebis jami.

bnpytfojU!hboupmfcfcj!)$$25/25.25/58*;! 14.14.

1) 5 x = 625 ;

2) 3− x = 81 ;

343

3) 8 x = 32 ; 4) 5 x = 1 ;

5) 25 x =

1 ; 5

6) 4 x = 2 ;

7) 8 x =

1 3

; 8) 125 x =

1 4

14.15.

9 ⎛1⎞ 1) ⎜ ⎟ = 3 ; 2) (0,25)x = 4 ; 3) (0,75)x = ; 16 3 ⎝ ⎠ 1 4) 2 x +1 = 32 ; 5) 3 x +1 = ; 6) 32 x −1 = 81 ; 9 5 x = 3 25 ; 8)

7) 14.16.

3) 3( x − 2 )( x − 3) = 1 ;

4) 11x = 17 −2 x ; 5) 47 x = 7 4 x ;

6) 325 − 5 x = 4 x − 5 ;

⎛ 1 ⎞ 7) 6 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 36 ⎠

−

1 2

⎛ 1 ⎞ 8) 7 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 49 ⎠

=1;

⎛1⎞ 2) 5 x ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

x−2

⎛ 27 ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 125 ⎠

⎛ 8 ⎞ 3x ⎛ 9 ⎞ 1) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠ ⎝4⎠

3) 1000 ⋅ 0,1 5) (0,25)2 − x x +5

14.20.

x −1

1) 15 x ⋅ 5− x = 27 ;

⎛5⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

5 ; 3

⎛1⎞ 6) 2 x ⋅ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ 1 ⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

;

= =

3 ; 8

(

)

5 1 10 x −1 . 10

2 x −1 9 2 ;

2 x −1 x

= 9 2 x −1 ; 4 6) 3 x ⋅ 4 − x = (0,75)4 x − 2 . 3

= 100 x ; 256 = x+2 ; 2 x

4) 27

x +17

2) 0,5 x ⋅ 2 2 x + 2 = 64 −1 ; 2

1) 32 x − 7 = 0,25 ⋅ 128 x − 3 ;

⎛ 2⎞ ⎟ 3) 0,125 ⋅ 4 2 x − 3 = ⎜ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠

x −1

−x

1− x

−3

= 100 ;

⎛2⎞ ⎛9⎞ 4) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝8⎠

x −3

−6

−x

27 ⎛2⎞ ⎛9⎞ 3) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ; 3 8 64 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14.19.

⎛ 4 ⎞ 4) ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠

⎛ 25 ⎞ 5) ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠

= 49 .

⎛4⎞ ⎛3⎞ 2) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝4⎠ ⎝3⎠

⎛3⎞ ⎛4⎞ 3) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝9⎠ ⎝2⎠

1 2

−

5 x +1 = 3 5 x − 2 ; x

14.18.

4 2 x −1 = 2 .

2) 32 x −1 = 1 ;

1) 2 x − 2 = 1 ;

14.17.

−x

;

344

(0,6)x

= 1

2 ⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ ; 3 ⎝5⎠

14.21. 14.22. 14.23.

1) 3 x +1 + 3 x = 108 ; 3) 7 x − 7 x −1 = 6 ;

4) 2 x − 2 x − 2 = 3 .

1) 3 x + 2 + 3 x −1 = 28 ;

2) 5 x +1 − 5 x −1 = 24 ;

3) 32 x −1 + 32 x − 2 − 32 x − 4 = 315 ;

4) 2 x −1 + 2 x − 2 + 2 x − 3 = 448 .

1) 5 x + 3 ⋅ 5 x − 2 = 140 ;

2) 7 x + 2 + 2 ⋅ 7 x −1 = 345 ;

3) 2 14.24.

1− x + 2

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝6⎠ x+2 x 2) 2 − 2 = 96 ;

x +1

5) 4

x +1

= 64 ⋅ 2

+ 3⋅ 2

x −1

;

5 x + 6 −3

6) 6

− 5⋅2 + 6 = 0 ; x

4) 3 ⋅ 2 2 x +1 + 5 ⋅ 4 x = 88 .

1) 32 x +1 + 32 x −1 + 9 x = 39 ;

2) 4 x − 2 2 x −1 − 3 ⋅ 2 2 x − 2 + 4 = 0 ;

3) 2 x + 3 − 3 ⋅ 2 x −1 + 5 ⋅ 2 x = 92 ;

5) 27 3

−1

+ 92

− 3 x +1 = 163 ;

5 x −17 − 2 5 x −19 = 3 ;

6) 32 x − 3 − 9 x −1 + 32 x = 675 .

14.25.

1) 3 x + 2 − 3 x +1 − 3 x = 5 x + 2 − 3 ⋅ 5 x +1 − 7 ⋅ 5 x ;

14.26.

3) 7 ⋅ 3 x +1 − 5 x + 2 = 3 x + 4 − 5 x + 3 ; 2) 7 3 − x − 7 2 − x = 25 − x − 23 − x ; 1 4) 3 ⋅ 4 x + ⋅ 9 x + 2 = 6 ⋅ 4 x +1 − 0,5 ⋅ 9 x +1 . 3 2x x 1) 3 − 3 = 702 ; 2) 7 2 x − 6 ⋅ 7 x + 5 = 0 ;

14.27.

3) 32 x − 5 ⋅ 3 x + 6 = 0 ;

4) 2 ⋅ 32 x − 5 ⋅ 3 x − 1323 = 0 ;

5) 4 x + 2 x +1 = 80 ;

6) 2 2 x +1 + 2 x + 2 = 16 ;

7) 3 x + 2 + 9 x +1 − 810 = 0 ;

8) 32 x + 5 = 3 x + 2 + 2 .

1) 34

14.29.

− 4 ⋅ 32

− 21−

5) 4 x +

x −2

3) 2

14.28.

+3=0;

2) 9

=1;

4) 9 x

− 2⋅3

x 2

−2x

= 3;

− 36 ⋅ 3 x

−2x−2

+3=0;

−x

1) 9 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 6 x = 2 ⋅ 9 x ;

3 +3 = 1,025 . 3 x − 3− x 2) 25 ⋅ 9 2 x + 5 ⋅ 15 2 x = 12 ⋅ 252 x ;

3) 4 ⋅ 3 x − 2 − 9 ⋅ 2 x − 2 = 5 6 x − 2 ;

4) 4 ⋅ 32 x +10 − 9 ⋅ 2 2 x +10 = 5 ⋅ 6 x + 5 ;

5) 3 ⋅ 16 x + 2 ⋅ 81x = 5 ⋅ 36 x ;

6) 8 ⋅ 9

− 2,5 ⋅ 2 x +

x −2 2

= 6 ; 6)

1) log 5 x = 0 ; 3) log 2 x = 5 ; 5) log 1 x = −3 ;

− 30 ⋅ 6

2) log 8 x = 1 ; 4) log10 x = −1 ; 6) log 2 x = 4 ;

345

+ 27 ⋅ 4

=0.

7) log 3 (2 − 3x ) = 1 ;

8) log 1 (x − 4) = −1 ; 5

14.30.

14.31.

2 9) log 3 3 x = − ; 3 1) lg(lg x ) = 0 ;

3) 5) 7) 1) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

3 . 4 2) log 4 log 2 (x − 5) = 0 ;

10) log 43 4 x = −

log 2 (1 + log 3 x ) = 0 ; log 2 log 3 log 4 x = 0 ;

lg log 9 log 4 (− x − 5) = 0 ;

2 log 3 x = 3 log 3 x − 2 ;

lg(x − 13) + 3 lg 2 = lg(3x + 1) ;

4) log 3 (4 − log 2 x ) = 1 ; 6) log 3 log 2 log 4 (− 2 x ) = 0 ; 8) log 3 (1 + log 4 (1 + log 3 x )) = 0 . 2) 5 log 2 x − 3 log 7 49 = 2 log 2 x ;

log 3 (x − 1) + 3 log 3 2 = log 3 (x + 6 ) ;

log 4 (x + 3) − log 4 (x − 1) = log 4 2 ; lg(4 x − 1) − 2 lg 3 = lg(10 − x ) ;

log 2 (4 − x ) + log 2 5 = 1 + log 2 (7 x − 9 ) ;

log 5 (x + 3) + log 5 (x − 3) = log 5 (2 x − 1) + log 5 1 ;

9) log 3 x + log 3 x 2 + log 3 x 3 = 12 ;

14.32.

10) log 2 x + log 2 x 2 + log 2 x 6 = 36 ; 7 11) log 5 x + 6 log 25 x = ; 12) log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11 . 2 1) log 3 x 2 − 7 x + 21 = 2 ; 2) log 5 x 2 − 6 x + 9 = 2 ;

(

)

(

)

3) lg(2 − 2 x ) + lg(15 + x ) = 1 + lg 3 ; 3 4) lg(2 − 3x ) + lg(2 − x ) = lg ; 5) lg(3 x − 20 ) − lg(2 x − 19 ) = lg x ; 4

6) lg x + lg(x + 5) + lg 0,02 = 0 ;

7) 0,5 lg(2 x − 1) = 1 − lg x − 9 ;

8) 0,5 lg(− x − 1) + lg − 0,5 x − 9 = 1 ; 1 9) log 10 (3 x − 1) − log 1 (4 x + 2 ) = 1 + lg 5 ; 2 10 10) 14.33.

2 2 log 3 (2 x − 1) + 4 log 0,04 (x − 8) = − log 5 4 . 5 3 lg 5

1) (log 3 x )2 − 3 log 3 x + 2 = 0 ; 1 2 3) + =1; 5 − lg x 1 + lg x

346

2) (log 2 x )2 − log 2 x − 2 = 0 ;

4) 14.34.

5) 1) 2) 3) 14.36.

( ) 2) log (24 − 2 ) = x + 1 ; log (9 − 6 ) = x ; 4) log (5 − 4 ) = 1 − x ; log (5 + 6 ) = x + 1 ; 6) log (3 − 8) = 2 − x . lg 2 + lg(4 − 5) = lg(2 + 6) ; lg (5 − 15) = 1 + lg (25 − 14 ) ; lg (3 + 3) = lg 6 + lg (9 − 4 ) ; log (4 + 2) = log 3 + log (2 + 1) .

1) log 3 6 − 3 x = x ; 3)

14.35.

1 4 + = 3. 5 − 4 lg(x + 1) 1 + lg(x + 1)

−x

x −1

x +1

x −1

x +1

x −1

x −1 4) 2 2 1) log 2 x log 3 x = log 2 3 ;

x−2

2) log 3 x + log 5 x = log 3 15 ;

3) log 3 x log 9 x log 27 x log 81 x = 4) log 2 x ⋅ log 8 x ⋅ log 32 x = 14.37.

9 . 5

2) x lg x + 2 = 1000 ;

1) x log 9 x = 6561 ; 3) x

lg x + 7 4

5) x lg

= 10 lg x +1 ;

x − 5 lg x

4) 100 ⋅ x lg x = x 3 ; 6) (100 x )lg x + 3 = 10000 x 2 ;

= 0,0001 ;

7) (2 x )lg 5 = 25 ; 14.38.

1) (0,4)lg 3) 5

14.39.

x +1

lg (2 x − 8 )

⋅8

2 ; 3

8) 53 lg x = 12,5 x .

= (6,25)2 − lg x ; 3

lg (2 x − 8 )

2) 0,25 ⋅ 2 lg

x + 7 lg x − 6

lg ( x +10 ) lg ( x +10 )

= 1600 ;

4) 3

=1;

= 144 .

1) lg x − 2 − lg 2 = 0,5(lg 3 − lg(x − 1)) ; 2) lg 4 − 0,5 lg(x − 2 ) = lg x + 10 − lg 2 ;

(

)

3) 3 log 5 2 + 2 − x = log 5 3 x − 52 − x ;

(

)

4) lg 3 x + x − 15 = x lg 30 − x ;

(

)

( x) 3

6) 2 log 4 2 − 1 + x − log 2 3 = log 3 9 . 14.40.

(

)(

lg 8

+ 8lg

x +1

= 4,5 ;

)

1) 1 + a + a 2 + L + a x = (1 + a ) 1 + a 2 1 + a 4 ;

log 3 x 9 − 4 log 9 3 x = 1 ;

3) 4log 3 x − 6 ⋅ 2log 3 x + 2log 3 27 = 0 ;

4) 3 ⋅ 9log 4 x − 10 ⋅ 3log 4 x + log 2 8 = 0 .

347

14.41.

14.42.

1) 3 log 2 x 2 − log 22 (− x ) = 5 ;

2) 4 log 24 (− x ) + 2 log 4 x 2 = −1 ;

3) 2 log 22 (− x ) − 3 log 2 x 2 = −4 ;

4) 3 lg x 2 − lg 2 (− x) = 9 .

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1) ⎜1 + ⎟ lg 3 + lg 2 = lg⎜ 27 − 3 x ⎟ ; ⎝ ⎠ ⎝ 2x ⎠ x 2) x + lg(1 + 2 ) = x lg 5 + lg 6 ; 1 x lg 4 3) lg 3 x − 2 4 − x = 2 + lg 16 − ; 4 2

(

)

4) 52(log 5 2 + x ) − 2 = 5 x + log 5 2 ;

5) 5lg( x +1) − 3lg ( x +1)−1 = 3lg( x +1)+1 − 5lg ( x +1)−1 ; − 3 x = 3 x −1 − 2 x + 2 . x+9 =0; 1) lg[x(x + 9)] + lg x

6) 2 x 14.43.

−1

2) lg 2 (100 x ) + lg 2 (10 x ) = 14 + lg

(

)

100 + lg 2 10000 x 2 = 40 ; x4 5) log 2 x + log 3 x = 1 ;

3) lg 2

14.44.

)

(

4) x log 2 x 2 + 1 = 2 x + 2 log 4 x ;

)

(

)

(

)

+ 144 − 4 log 5 2 = 1 + log 5 2 x − 2 + 1 ;

4) 2 lg x 2 − [lg(− x)]2 = 4 ;

2 log 8 (− x ) − log 8 x 2 = 0 ;

log 2 2 x 2 ⋅ log 4 (16 x ) = log 4 x 3 ;

log 0,04 x + 1 + log 0, 2 x + 3 = 1 .

( )

1) 2 log 3 x ⋅ 5log 3 x = 400 ;

(

) )

2) log12 43 x + 3x − 9 = 3 x − x log12 27 ; 1 = 2; 3) log 2 log 3 x 2 − 16 − log 1 log 1 2 2 3 x − 16 4) 2 x + 14.46.

(

x2 −4

(

− 5⋅

)

( 2)

x−2+ x2 −4

−6 = 0.

1) lg 5 + x − 7 + x lg 2 = x ; 2) log 17 x + log 3 17 x + log 4 17 x + L + log16 17 x = 270 ; x

)

6) x(lg 5 − 1) = lg 2 x + 1 − lg 6 .

1) log 2 4 x + 4 = x + log 2 2 x +1 − 3 ; 2)

14.45.

( log (4

1 ; x

3) log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2 ;

348

4) 5lg x = 50 − x lg 5 ;

5) lg 4 (x − 1)2 + lg 2 (x − 1)3 = 25 ; z

14.47.

log 6 (8 − x ) 2 − 4 log12 2 −1 = . log12 (x + 2) log 6 (x + 2 )

1) ⎛⎜ 7 + 48 ⎞⎟ + ⎛⎜ 7 − 48 ⎞⎟ = 14 ; ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ x

2) ⎛⎜ 2 − 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ = 4 ; ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ x

3) ⎛⎜ 4 − 15 ⎞⎟ + ⎛⎜ 4 + 15 ⎞⎟ = 8 ; ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

(

4) 2 + 3

)

x 2 − 2 x +1

(

+ 2− 3

)

x 2 − 2 x −1

(

101

10 2 − 3

bnpytfojU!hboupmfcbUb!tjtufnfcj!)$$25/59.25/64*;! 14.48.

14.49.

14.50.

14.51.

1 ⎧ x 2 + 3y = 8 ⎪⎪ 9 2) ⎨ 8 x y ⎪2 ⋅ 3 = 9 ⎩⎪

⎧⎪3 x + 3 y = 12 1) ⎨ ⎪⎩3 x + y = 27 11 ⎧ x y ⎪⎪3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 4 3) ⎨ ⎪2 x − 3 y = − 3 ⎪⎩ 4 ⎧ x y 1 ⎪3 ⋅ 2 = 1) ⎨ 9 ⎪⎩ y − x = 2

1 ⎧ 1 ⎪49 x −1 = 343 y −1 4) ⎨ ⎪3 y = 9 2 x − y ⎩

⎧⎪2 y ⋅ 5− x = 200 2) ⎨ ⎪⎩ x + y = 1

⎧⎪7 x − 16 y = 0 3) ⎨ ⎪⎩4 x − 49 y = 0

⎧⎪27 x = 9 y 4) ⎨ ⎪⎩81x ⋅ 3− y = 243

⎧⎪2 x ⋅ 3 y = 24 1) ⎨ ⎪⎩2 y ⋅ 3 x = 54

⎧⎪3 x ⋅ 5 y = 75 2) ⎨ ⎪⎩3 y ⋅ 5 x = 45

1 ⎧ y ⎪3 ⋅ 64 x = 36 3) ⎨ ⎪⎩5 y ⋅ (512 ) 1 x = 200

⎧53 x ⋅ 2 y = 200 ⎪ 4) ⎨ 3 ⎪⎩52 x + 2 2 y = 689

⎧lg x + lg y = 2 1) ⎨ ⎩ x − y = 15

⎧log x + log 4 y = 1 + log 4 9 2) ⎨ 4 ⎩ x − y = 16

349

⎧log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7 3) ⎨ ⎩log 4 (x + y ) = 2

14.52.

⎧log 2 x + log 4 y = 4 1) ⎨ ⎩log 4 x + log 2 y = 5

(

14.53.

14.54.

)

⎧log x + log 4 y = 1 + log 4 9 4) ⎨ 4 ⎩ x + y − 20 = 0

⎧log 2 (x − y ) = 5 − log 2 (x + y ) ⎪ 2) ⎨ lg x − lg 4 ⎪ lg y − lg 3 = −1 ⎩

( (

) )

⎧⎪lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8 3) ⎨ ⎪⎩lg(x + y ) − lg(x − y ) = lg 3

⎧⎪log 3 x 2 − y 2 = log 3 (x + y ) 4) ⎨ ⎪⎩log 9 x 3 + y 3 = log 3 (x + y )

⎧⎪3 x ⋅ 2 y = 972 1) ⎨ ⎪⎩log 3 (x − y ) = 2

⎧⎪3 y ⋅ 9 x = 81 2) ⎨ ⎪⎩2 lg(x + y ) − lg x = 2 lg 3

⎧⎪2 x + 2 y = 4 3) ⎨ ⎪⎩log 2 (x + y ) = 1

⎧⎪3 y ⋅ 9 x = 81 4) ⎨ ⎪⎩lg( y + x )2 − lg x = 2 lg 3

ipoveT x -is yvela mniSvneloba, romlisTvisac mocemuli mimdevroba iqneba ariTmetikuli progresia: 1 1) − log 1 (− 3x − 20 ) , log 4 (− x ) , log 0,5 (− 2 x − 19) ; 2 2

(

)

1 ⎛ 4⎞ + log 4 (− x) , log 0,5 ⎜1 − ⎟ ; 2 x⎠ ⎝ 1 1 ⎛1 7 ⎞ 3) +x, log 2 4 x + 1 , − log 0, 25 ⎜ + ⋅ 4 − x ⎟ ; 2 2 ⎝2 2 ⎠ 1 10 ⎞ ⎛ log 10 ⎜ 3 x + ⎟ . 4) lg 3 , − log 0,1 3 x + 2 , 2 3⎠ ⎝ ipoveT x -is yvela mniSvneloba, romlebisTvisac mocemuli mimdevroba iqneba geometriuli progresia:

2) log 2 − x 2 − x + 20 ,

(

)

(

14.55.

(

) (4

(

1 log 4

)

2 , − lg 0,1 10 x −1 + 0,9 ;

1) lg 10 x + 9 , 2) −

)

+2 ,

1 1⎞ ⎛ log 2 ⎜ 4 x −1 + ⎟ ; 2 2⎠ ⎝

350

(

)

12 , −

3) log 3 3 x + 7 ,

(

)

(

6, −

)

2) 25 x − (a + 3) ⋅ 5 x − a = 0 ;

1) 4 x − a ⋅ 2 x − a + 3 = 0 ;

x 2 ⋅6

3) 9 − (a − 3) ⋅ 3 + 6 − a = 0 ; 4) 6 − (2a + 3) − 2a = 0 . a parametris ra mniSvnelobebisaTvis aqvs ori amonaxsni gantolebas: x

14.57.

⎛ x −1 7 ⎞ ⎜3 + ⎟ ; 3⎠ ⎝ 3

1 log 0,1 10 x +1 + 30 . 2 ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas aqvs erTi amonaxsni:

4) lg 10 x + 3 ,

14.56.

1 log 2

(

)

(

1) log 3 9 x + 2a 3 = x ;

)

2) log 2 4 x − a = x ;

(

)

14.58.

1 ⎞ ⎛ 3) x + log 1 ⎜ 4 x + a 3 ⎟ = 0 ; 4) x + log 1 9 x − 2a = 0 . 4 ⎠ 3 2⎝ ipoveT a -s yvela mniSvneloba, romelTaTvisac

14.59.

gantolebas aqvs erTi mainc amonaxsni. rogori unda iyos k , rom

(a − 1) ⋅ 4 x − 4 ⋅ 2 x + a + 2 = 0

(k + 2) ⋅ 21+ x − (k + 4) ⋅ 21− x = 4

gantolebis amonaxsni iyos dadebiTi? 2) rogori unda iyos k , rom

(k − 5) ⋅ 32 + x − k ⋅ 32 − x = 45

14.60.

gantolebis amonaxsni iyos uaryofiTi? ipoveT a -s yvela mniSvneloba, romelTaTvisac gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis fesvebi: 1) (a − 2 )2 ⋅ 2 x − (a − 1) ⋅ 2 − x + 2a − 5 = 0 ; 2) (a + 1)2 ⋅ 3 x − (a + 2 ) ⋅ 3− x + 2a + 1 = 0 .

§15. nbDwfofcmjboj!eb!mphbsjUnvmj!!

vupmpcfcj! ! 15.1. daadgineT 1-ze metia Tu naklebi Semdegi gamosaxulebis mniSvneloba:

351

⎛2⎞ 1) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

log 1

5 − 15 2

⎛3⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝2⎠

;

7 − 13

log

⎛ 4 ⎞ 27 4 3) ⎜ ⎟ ; 4) ⎝5⎠ 15.2. WeSmaritia Tu ara utolobebi. ⎛3⎞ 1) ⎜ ⎟ ⎝8⎠

log 1

6 − 12 5

7 − 12

log

log 2

17 − 2

log

;

⎛4⎞ 3 4 . ⎜ ⎟ ⎝5⎠ pasuxi daasabuTeT:

⎛5⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

< 1;

6 − 15 3

log 2

15 − 18 11

> 1;

27 − 7

log

⎛ 2 ⎞ 54 3 ⎛5⎞ 5 3 3) ⎜ ⎟ < 1; 4) ⎜ ⎟ >1. ⎝9⎠ ⎝2⎠ 15.3. ipoveT a -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac utoloba iqneba marTebuli:

1) a

log 2

11 − 3 0 ,3

< 1;

2) a

4 + 13 log ⎛8⎞ a 8

log 4

⎛2⎞ 4) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

> 1; 3) ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 15.4. romelia meti

1) 2log 3 5 − 0,1 Tu 5log 3 2 ?

5 − 19 0,5

log a

2) 7 lg 3 + log 0,5

3) (0,1)log 2 3 + 2 Tu 3− log 2 10 + 3 3 ? 4) 3log 2 5 + 10

! !

1 lg 2 3

<1;

21 − 3 2

>1.

2 Tu 3lg 7 ? 7

Tu 5log 2 3 + 10 10 .

bnpytfojU!vupmpcfcj!)$$26/6.26/28*;!

15.5. 1) 4 x < 2 ; x

⎛3⎞ 4) ⎜ ⎟ ≤ 1 ; ⎝7⎠ 1 15.6. 1) 2 − x +1 > ; 2

4) (0,2 )3 x −1 <

1 ; 2

2) 6 x ≥ 1 ;

3) 2 x >

5) (0,3)x > 0,09 ;

6) (0,2 )x ≤

2) 5− x + 2 < 1 1 ; 5) 63 − 2 x > ; 25 36

352

1 ; 25

⎛2⎞ 6) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

1 . 25

3) (0,3)x −1 > 0,09 ; 3− 6 x

≤ 1 .!

15.7. 1) 3

x 2 −3x

⎛1⎞ 4) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1 ≤ ; 9

x2 +2x

15.8. 1) (0,5)

2) 5

2) 0,125 ⋅ 4

7) 0,2 x

−1

x−2

x −2

−3

> 25 ;

x −3

⋅7

4) 2

⎛ 27 ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ x

x 2 − 45

x −3

> (0,81)x .

2 ; 3

< 2x ⋅ 7x ;

6) 0,32 + 4 + 6 +L+ 2 x > 0,372 . 2) 2 x +1 + 3 ⋅ 2 x −1 − 5 ⋅ 2 x > −24 ; 4) 4 x − 2 2( x −1) + 8

3) 33 x − 2 + 33 x +1 − 33 x < 57 ; < 11 ;

6) 3 ⋅ 5

15.11. 1) 4 − 2 ≤ 2 ; x

⎛ 10 ⎞ ⎟ 8) ⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝

⎛2⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝9⎠

25 ⎛2⎞ ⎛ 125 ⎞ ⋅⎜ > ; 5) ⎜ ⎟ ⎟ 4 ⎝5⎠ ⎝ 8 ⎠ 15.10. 1) 3 ⋅ 4 x − 2 ⋅ 4 x −1 > 160 ; x −1

;

⎛ 1 ⎞ 1− x 5) ⎜ ⎟ > 125 ; ⎝5⎠

≥ 0,04 ;

3) 3 x + 3 ⋅ 7 x + 3 ≤ 33 x ⋅ 7 3 x ; x−2

−x

2 x +1

2 x −3 5 1− x

15.9. 1) 3 x −1 ⋅ 2 2 x − 2 > 144 ;

5) 3

⎛ 2⎞ ⎟ <⎜ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠

2 x −3

x2 +2

> 2,5 ;

⎛1⎞ >⎜ ⎟ ; ⎝4⎠

4 x −1

≥1;

6x− x2

5) 0,5 x ≤ 0,25 x ;

;

< 0,0625 ;

4x+3 x −1

⎛1⎞ 3) ⎜ ⎟ ⎝4⎠

16 − x

⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝9⎠

⎛ 5 ⎞ 3 − x 16 ⎟ 3) ⎜ < ; ⎜ 2 ⎟ 25 ⎝ ⎠ ⎛2⎞ 6) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

4x− x2

2) 5

2 x +1

− 2⋅5

x −1

(x − 2)

> 52 ; x −2

>5 +4;

3) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5 ;

4) 2 2 x − 3 − 3 ⋅ 2 x − 2 + 1 > 0 ;

5) 9 x − 10 ⋅ 3 x −1 + 1 < 0 ;

⎛1⎞ ⎛1⎞ 6) ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ > 3 ; ⎝9⎠ ⎝3⎠

7) 4 15.12. 1) 3

1 −1 x

x+2

2) 2 3) 2

x+2

−2

1 −2 x

− 2⋅3 −2

2x +5

x −1

x+3

−3

8) 52

≤ 4 ⋅ 5 − 11 ⋅ 5 x

−2

x+ 9

−3≤ 0; x+4

≤3

x +1

−5

−4

x+4

x+7

x −1

3) 3 ⋅ 64 − 11 ⋅ 24 + 8 ⋅ 9 ≥ 0 ; x

353

+5<5

x +1

;

; 4) 5

;

x+2

15.13. 1) 3 ⋅ 16 + 2 ⋅ 81 − 5 ⋅ 36 < 0 ; x

< 66 .

x+ 1

− 9 x ≥ 32 x − 2 − 5

x− 1

2) 6 ⋅ 49 − 13 ⋅ 42 + 7 ⋅ 36 ≤ 0 ; x

4) 5 ⋅ 49 x − 2 ⋅ 35 x − 7 ⋅ 25 x > 0 ;

5) 9 ⋅ 4 x + 5 ⋅ 6 x ≤ 4 ⋅ 9 x ; 1

7) 6 ⋅ 9 x + 6 ⋅ 4 x < 13 ⋅ 6 x ; 1 1 ; 15.14. 1) x > 2 −1 2x+2 −1 3) 15.15. 1)

2 x −1

x −1

−6≤3

x−2

3) 3

2 x−2

⎛1⎞ 15.16. 1) ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 3) 3 ⋅ 9

x+2

2− x

(

15.17. 1) 4 − 2 3

(

3) 3 − 6

)

4) 25

;

4) 9

⎛ 17 + 3 ⎞ 1− x ⎟ 4) ⎜ ≤ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠

( 17 − 3)

x+4

x+3

x+4

⎛1⎞ <⎜ ⎟ ⎝4⎠

−x

x 2 −3

2) 10 − 2

)

x −1 2x+3

;

− 10 ≤ 0 .

;

+3<3

− ( x +1)

x x+2

x−2

− 3⋅5

(

4+2 3 ; 4

⎛3+ 6 ⎞ ⎟ ≥⎜ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

2) 2

≥3

x(x − 2)

2 x−2

;

> 3− x ;

1− 3 x x+2

2− x

9 x + 2 ⋅ 3x − 3 ≥0. 1 − 3 x +1

;

+ 3 < 10 ⋅ 3

8) 25 x + 35 x ≥ 20 ⋅ 49 x . 1 1 2) x ; ≤ 3 + 5 3 x +1 − 1

52 x − 4 ⋅ 5 x − 5 <0; 5 x +1 − 1 3

6) 5 ⋅ 25 x + 3 ⋅ 10 x ≥ 2 ⋅ 4 x ;

x 2 − 3 −1

⋅ 28 .

10 + 2 ; 98

;

. 2

15.18. 1) amoxseniT utoloba a x − 7 x +12 < a 9 − 3 x , cnobilia, rom igi samarTliania, roca x = 2 ; 2) amoxseniT utoloba a 3 x + 2 x −8 < a rom igi samarTliania, roca x = 9 ; 2

x −8

, Tu cnobilia,

3) amoxseniT utoloba a 2 x +11 > a x + 4 , Tu cnobilia, rom x = 2 ar aris misi amonaxsni; 4) amoxseniT utoloba a x +7 < a x , Tu cnobilia, rom x = 4 ar aris misi amonaxsni.

bnpytfojU!vupmpcfcj!)$$26/2:.26/44*;! 15.19. 1) log 3 x > 2 ;

2) log 7 x < 0,1 ;

354

3) log 0,7 x > 5 ;

4) log 0, 2 x < −2 ;

5) log 1 x > 1 ; 3

15.20. 1) log 1 (2 x + 3) > 0 ; 2

3) log 0,7 (3x − 2 ) > 1 ;

6) log 3 x < −1 . 4

2) log 0,3 (2,3 − 2 x ) < 1 ; 4) log 9 (2 + x ) > 0,5 ;

5) log 5 (3 − x ) < −1 ;

6) log 0,3 (2 − 5 x ) > 2 .

3) log 5 (2 x − 4) > log 5 (x + 1) ;

4) lg(x + 1) > lg(5 − x ) ;

2) log 2,3 (5 x − 7 ) > log 2,3 (1 − 2 x ) ;

15.21. 1) lg(2 x + 3) > lg(1 − 2 x ) ;

(

)

15.22. 1) log 5 x 2 + x − 1 > 1 ;

(

) log (x − 5 x + 7 ) > 0 ; lg (3 x − x + 4 ) > lg(8 − 2 x ) ; log (x − x − 4 ) > 3 ; lg (x − x + 8) ≥ 1 ;

3) log 1 x + x − 2 > −2 ; 2

5) 15.23. 1) 3) 5)

1 3

2 2

15.24. 1) log 1 log 5 (x − 3) < 0 ; 2

3) log 2 log 1 log 5 x > 0 ; 3

(x − 4 x + 3) ≤ 0 ; log (x − 2 x − 3) ≥ 0 ;

15.25. 1) log 3 log 9 3) log 27

)

6) lg x 2 − 3 > lg(x + 3) .

5) log 1 (2 x − 6 ) < log 1 x ;

15.26. 1) lg 2 x + 2 lg x > 3 ;

( ) log (x + 3 x ) < 2 ; lg (x − 6 x + 18) < 1 . log (3 x − 12 ) > log (x + 10 ) ; log (12 − 2 x − x ) > 2 ; log (x + 1) < log (2 x − 5) .

2) log 7 x 2 − 4 x − 11 > 0 ; 4) 6) 2) 4) 6)

0, 7

2) log 4 log 3 (x − 7 ) < 0 ;

4) log 2 log 3 log 4 (x − 5) > 0 .

(

)

2) log 8 log 1 x 2 − x − 6 ≥ 0 ; 2

(

2) lg 2 x − 2 lg x − 8 ≤ 0 ;

3) log 02,5 x + log 0,5 x − 2 ≤ 0 ;

4) log 02, 25 x − log 2 x > 3 .

15.27. 1) log 2 (x + 14 ) + log 2 (x + 2) < 6 ; 2) log 5 x + log 5 (2 x − 1) < log 5 (2 x + 2) ; 3) log 1 (x − 1) − log 3 (x + 1) + log 3 (5 − x ) < 1 ; 3

4) log 3 (x + 2) −

1 log 2

5) 4 log 2 (x − 1) − log 15.28. 1) log 2

(x − 2) < 2 log 9 (4 x + 1) ;

1 3

(2 x − 4) ≤ 2 .

x−3 <0; x+2

2) log1,5

355

)

4) log12 log 1 x 2 + 3 x − 4 ≤ 0 .

2x − 8 < 0; x−2

x+3 x+5 > lg . x+4 x+2 2) log 1 2 x − 5 > −1 ;

x2 − 4x + 6 <0; x 15.29. 1) lg 2 x − 3 < 1 ;

3) log 0,7

(

4) lg

)

(

15.30. 1) 3) 5)

x−5 ≥0; log 2 (x − 4 ) − 1

log

2x − 3 >0; x 2 − 3x + 3

(

)

x −1 ≤ 0; log 3 x − 1

2) 3) 4) 5) 6)

( ( (

) ) )

( (

(

2 x − 4 (log 3 (x − 1) − 1) ≤ 0 .

) )

)

( (

) )

> 0;

x 2 − 4 ⋅ (log 2 (1 − x ) − 3) < 0 ;

)

15.33. 1) log 3 x 2 − 2 < 2 log 3

x2 − 4x − 5

1 log 10 5 x + 1 + x < x lg 2 + lg 30 ; 2 1 log 2 2 x − 1 + x − log 2 3 < 2 ; 2 x + log 2 4 + 2 x < 5 ; 1 x + log 10 1 + 2 x < x lg 5 + lg 6 ; 2 1 log 10 3 x + x − 15 > x lg 30 − x ; 2 1 log 10 2 x + x − 2 + x > x lg 20 . 2

(

log 2 (x − 1)

lg 2 x + 2 lg x − 6 <1; lg x 1 1 4) . ≤ log 2 x log 2 x + 2

1 2 + <1; 5 − lg x 1 + lg x 1 − log 4 x 1 3) ≤ ; 1 + log 2 x 2

15.31. 1)

15.32. 1)

)

4) log 2 2 x +1 − 4 < x .

3) log 3 2 ⋅ 3 − 9 > x ; x

3 x −1 ; 2

1 2) log 0,5 3 − x 2 > − log 2 (4 x − 2) ; 2 2 3) log 0,3 4 − x > log 0,3 (6 x − 3) ;

⎛7 ⎞ 4) 2 log 4 x 2 − 5 < log 4 ⎜ x − 3 ⎟ . 3 ⎝ ⎠

356

15.34. cnobilia, rom mocemuli utoloba samarTliania, roca x = x0 . ipoveT am utolobis yvela amonaxsni:

( ) x = −2 ; log (2 x − 3x + 1) < log (x − 1) , x = 2 ; log (2 x + 3 x − 5) < log (5 x − 2 ) , x = 5 ; log (x − 11x + 30 ) > log (14 − x ) , x = 7 .

1) log a 5 x 2 − 8 x + 3 < log a (3 − x ) , 2)

3) 4)

$16. gvordjb/!gvordjjt!hsbgjlj!

! 16.1

16.2.

16.3.

16.4.

16.5.

romel sakoordinato meoTxedSi mdebareobs wertili: 2) M(− 3;−7 ) , 3) M(5;−2 ) ; 4) M(2;9 ) . 1) M(− 2;5) ; daadgineT, romel sakoordinato meoTxedebs SeiZleba ekuTvnodes M (x; y ) wertili, Tu: 1) xy > 0 ; 2) xy < 0 ; 3) x − y = 0 ; 4) x + y = 0 ; 5) x + y > 0 ; 6) x − y < 0 . ipoveT M (2;5) , N (−3;1) , P(−5;−3) da Q(7;−1) wertilebis simetriuli wertilebis koordinatebi: 2) Oy RerZis mimarT; 1) Ox RerZis mimarT; 3) koordinatTa saTavis mimarT; 4) pirveli da mesame sakoordinato sibrtyeebis biseqtrisis mimarT; 5) meore da meoTxe sakoordinato sibrtyeebis biseqtrisis mimarT; 7) y = −2 wrfis mimarT. 6) x = 1 wrfis mimarT; ipoveT manZili M da N wertilebs Soris, Tu: 2) M (-2;0), N (-5;0); 1) M (1;0), N (3;0); 4) M (0;2), N (0;5); 3) M (-1;0), N (3;0); 6) M (0;-4), N (0;3); 5) M (0;-3), N (0;-7); 8) M (-3;4), N (-3;-4); 7) M (3;2), N (-5;2); 10) M (-7;8), N (5;3). 9) M (1;6), N (4;2); gamoTvaleT 1) f ( g (2)) , Tu f ( x) = 3 x − 1 , g ( x) = 2 x + 3 ;

⎛ ⎛ π ⎞⎞ 2) f ⎜⎜ g ⎜ ⎟ ⎟⎟ , Tu f ( x) = 4 x 2 − 1 , g ( x) = sin x ; ⎝ ⎝ 3 ⎠⎠ 357

⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ 3) f ⎜⎜ g ⎜ ⎟ ⎟⎟ , Tu f ( x) = 9 x , g ( x) = log1 3 x ; ⎝ ⎝ 4 ⎠⎠ 4) f ( g (24)) , Tu f ( x) = log 3 x , g ( x) = 27 x .

16.6. ipoveT 1) f ( f ( x)) , Tu f ( x) = 5 x − 1 ; 2) f ( f ( x)) , Tu f ( x) = 3 − 4 x , 3) f ( f ( x)) , Tu f ( x) = x 2 + 1 , 4) f ( g ( x)) , Tu f ( x) = 2 x + 1 ,

g ( x) = 5 − x .

jqpwfU!gvordjbUb!hbotb{Swsjt!bsf!)$$27/8.27/26*;! 16.7. 1) y =

1 ; 3x − 12

x2 − 9 ; x+3

2) y =

3) y = x 2 − 49 ;

4) y = 144 − 9 x 2 .

16.8. 1) y = x + x − 1 ; 1 3) y = 7 − x + ; x −1

2) y = 16 − x − 3 x + 1 ; 7 4) y = + 11 5 − x . x−3

(1 − x )(1 + 5 x ) ;

2) y = x 2 − 2 x − 63 ;

3) y = − x 2 + x + 42 ;

4) y = x 2 + 8 x + 15 .

16.9. 1) y =

16.10. 1) y = 3) y = 16.11. 1) y = 3) y =

3x − 2 ; 2x + 6

2) y = −

1 −1 ; x

4) y = 2 +

x −3 ; x − 2 x − 80

2) y =

x2 − 4 ; x2 − x − 2

4) y =

16.12. 1) y = log 3 (x − 5) ;

(

x−4 ; 2− x x . 1− x

5− x ; x − 2 x − 80 2

x2 + x − 6

. 9 − x2 2) y = log 0,3 (7 − x ) ;

)

(

3) y = log 0,3 9 − x 2 ;

)

4) y = logπ 6 + x − x 2 ;

5) y = log 2 ⎛⎜ x 2 − 2 x − 3 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠

(

)

6) y = log 7 x − x 2 .

358

16.13. 1) y = ln 4) y = 16.14. 1) y =

2− x ; 3x + 5

2) y = log 6

(x − 10) lg x ; 5) 1

lg(1 − x )

2− x ; lg x

(

6) y = log 0,3

x −1 . x+5

1 − lg(2 x − 3) ; x−2 x−5 4) y = lg 2 −3 x+5 . x − 10 x + 24 1 2) y = ; 2 − 8 log 9 x + log 1 x + 3

+ x+2;

2) y = x + 3

)

3 + lg x 2 − x ; 2 4− x 16.15. 1) y = log 22 x + 8 log 4 x − 5 ;

3) y =

x−5 ; 3) y = lg x ; 2 + x − x2

⎛

(

⎞

(

))

3) y = log 2 ⎜ log 32 x − 4 log 1 x − 2 ⎟ ; 4) y = log3 2 − log 0,5 x 2 − 2 x − 2,5 ;

(

⎜ ⎝

(

⎟ ⎠

))

5) y = lg x + 2 − log 2 4 x − 3 ⋅ 2 x + 4 ; 6) y = log 4

(

)

x+3 − x .

jqpwfU!gvordjjt!nojTwofmpcbUb!tjnsbwmf!)$$27/27.27/33*;! 16.16. 1) y = x 2 + 2 x + 2 ;

2) y = x 2 − 4 x + 1 ;

3) y = 8 − 2 x − x 2 ;

4) y = 5 + 6 x − x 2 .

16.17. 1) y = x 2 + 2 x + 5 ; 3) y =

2) y = 8 − 2 x − x 2 ;

x2 ; x +1

1 . x2 3 2) y = ; 2 sin x − 5 4) y = sin 4 x + cos 4 x .

4) y = x 2 +

16.18. 1) y = sin x + sin x ; 3) y = 1 − 2 cos x ; 16.19. 1) y = 10 − x ; 2

2) y = 3 x

x2 −2x+2

⎛1⎞ 3) y = ⎜ ⎟ ; ⎝3⎠ 16.20. 1) y = lg x 2 + 10 ;

(

)

+ 4x +5

;

6 x − x 2 −11

⎛1⎞ 4) y = ⎜ ⎟ . ⎝5⎠ 2) y = log 3 x 2 + 27 ;

(

)

3) y = log 1 x + 25 ; 2

(

)

4) y = log 1 x + 64 . 4

359

cos x

16.21. 1) y = 2

sin x

⎛1⎞ 2) y = ⎜ ⎟ ; ⎝2⎠ 4) y = log 2 (cos x + cos x ) .

;

3) y = log 0,5 sin x ;

16.22. 1) y = 2 log 2 (x ⎛1⎞ 3) y = ⎜ ⎟ ⎝4⎠

);

2) y = 5log 5 (x

(

log 1 x 2 − 4 x − 9 4

)

);

−1

4) y = 7 log 7 (8 x + 4 − x ) . 2

;

jqpwfU! gvordjjt! nojTwofmpcbUb! tjnsbwmf! njUjUfcvm! Tvbmfe{f!)$$27/34<!27/35*;! x ∈ [-1;4];

16.23. 1) y = 3 x − 2 ,

3) y = x 2 − 4 x − 7 ,

2) y = 3 − 5 x ,

x ∈ [2;4];

x ∈ [-1;1];

16.24. 1) y = x + 2 ,

x ∈ [-3;-1].

4) y = 5 + 6 x − x 2 , 2) y = x − 1 ,

⎡ 3⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ; ⎣ 4⎦

3) y = x 2 − x ,

x ∈ [0;3]; x ∈ [0;2];

4) y = 6 x − x 2 ,

x ∈ [-2;1].

jqpwfU!gvordjjt!vejeftj!nojTwofmpcb!)$$27/36<!27/37*;! 16.25. 1) y = − x 2 + 2 x + 3 ;

2) y = − x 2 − 8 x + 12 ; ⎛1⎞ 4) y = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

3) y = 21− x ; 2

(

)

;

45 ⎞ ⎛ 6) y = log 1 ⎜ x 2 + 5 x + ⎟ . 4 ⎠ 5⎝ 2 2) y = ; 5 − 3 cos x

5) y = log 1 x 2 − 6 x + 18 ; 3

x2 +2x−2

16.26. 1) y = 5 sin x − 3 ; 2 ; 4 + 3 sin x 5) y = log 2 sin x ;

4) y = 3 sin x + cos x ;

3) y =

6) y = 2 cos x .

jqpwfU!gvordjjt!vndjsftj!nojTwofmpcb!)$$27/38<!27/39*;! 16.27. 1) y = x 2 − 5 x + 6 ; 3) y = 7

x 2 − 2 x +1

2) y = 2 x 2 − 3 x + 1 ; ⎛1⎞ 4) y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

;

360

− x 2 + 4 x −5

;

(

)

(

5) y = log 2 4 x 2 − 12 x + 25 ; 16.28. 1) y = 3 sin x ;

)

6) y = log 4 x 2 + 2 x + 17 .

2) y = 3 sin 2 x − 1 ;

4) y = sin x − 3 cos x ; 5) y = log 1 cos x ; 6

3) y =

3 ; 2 − cos x

6) y = 3

sin x

jqpwfU! gvordjjt! vejeftj! nojTwofmpcb! njUjUfcvm! tfhnfou{f! )$$27/3:<!27/41*;! 16.29. 1) y = 6 − 5 x , 3) y = 4 − 3x , 16.30. 1) y = 3 sin x ,

2) y = − x 2 − 4 x + 1 , x ∈ [0;3] ;

x ∈ [1;3] ; x ∈ [2;5] ;

4) y = 6 x − x 2 ,

⎡π π⎤ x∈⎢ ; ⎥ ; ⎣4 3⎦

3) y = 1 − 2 cos x ,

x ∈ [3;7] .

⎡ π π⎤ x ∈ ⎢− ; ⎥ ; ⎣ 4 4⎦ ⎡π π⎤ x ∈ [0; π] ; 4) y = sin 6 x + cos 6 x , x ∈ ⎢ ; ⎥ . ⎣6 4⎦

2) y = 6 cos x ,

jqpwfU!gvordjjt!vndjsftj!nojTwofmpcb!njUjUfcvm!tfhnfou{f! )$$27/42<!27/43*<! 16.31. 1) y = 8 − 3x , 3) y = 7 x + 1 ,

x ∈ [1;4] ;

2) y = −3x 2 − 2 x + 1 , x ∈ [− 4;−2] ;

x ∈ [− 3;−1] ;

4) y = − x 2 + 8 x + 20 , x ∈ [− 2;10] .

⎡π 2 ⎤ ⎡ π π⎤ x ∈ ⎢ ; π⎥ ; 2) y = 5 cos x , x ∈ ⎢− ; ⎥ ; 4 3 ⎣ ⎦ ⎣ 3 6⎦ π⎞ ⎛ 3) y = sin x + sin ⎜ x + ⎟ ; x ∈ [− π;0] ; 3⎠ ⎝ ⎡ π⎤ 4) y = sin x + cos x ; x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 4⎦ 16.33. ipoveT funqciis zrdadobisa da klebadobis Sualedebi: 3 1 2) y = − ; 3) y = ; 1) y = 2 x − 1 ; x +1 2− x 4) y = 2 x 2 − 8 x + 1 ; 5) y = 5 x − 1 − 2 x 2 ; 6) y = (2 − x )(x − 3) + 2 . 16.34. ipoveT, ra simravleze asaxavs funqcia mocemul Sualeds: 2) y = 3 − 2 x , [− 4;1] ; 1) y = 5 x − 1 , [− 1;2] ;

16.32. 1) y = 7 sin x ,

361

3 , [2;4] ; x −1 5) y = 2 x 2 − 4 x + 5 , [0; ∞[ ;

4) y = x 2 − 6 x , [1;4] ;

3) y =

6) y = −2 x 2 + 4 x − 3 , [− 1;2] ; x−2

⎛1⎞ 8) y = ⎜ ⎟ , [0;2] . ⎝ 3⎠ 16.35. M (9;2), N (-2;4), K (-1;-4), E (1;-1), F (3;3) da wertilebidan romeli mdebareobs: 1) y = 3x − 1 funqciis grafikze; 3 2) y = funqciis grafikze; x−2

7) y = log 3 x , [1;3] ;

G (-2;-40)

⎛1⎞ 3) y = ⎜ ⎟ funqciis grafikze; ⎝2⎠ 4) y = log 3 x funqciis grafikze. 16.36. a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs wertili: 1) y = 2 x + 5 funqciis grafikze; 3 2) y = − funqciis grafikze; x −1 3) y = 3 x funqciis grafikze; 4) y = log 2 x funqciis grafikze. 16.37. b -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs wertili: 1) y = 2 x − 1 funqciis grafikze;

M ( a ,3)

M (2; b )

2) y = −2 x 2 + 3 x funqciis grafikze; 3) y = 2 log 4 x funqciis grafikze; 4) y = 3 x funqciis grafikze. 16.38. 1) a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs M wertili funqciis grafikze, Tu: 1) M (1; a ),

y = 4 − 2x ;

2) M ( a ;2),

y = x2 − 4x + 2 ;

3) M (1;1), y = 2 x 2 − 3 x + a ; 4) M (-1;5), y = ax 2 − 2 x + 3 . 16.39. ipoveT funqciis grafikis Ox RerZTan gadakveTis wertilis koordinatebi: x

⎛1⎞ 1) y = 6 − 2 x ; 2) y = 5 x − x 2 ; 3) y = 1 − log 5 x ; 4) y = ⎜ ⎟ − 4 . ⎝2⎠

362

16.40. ipoveT funqciis grafikis Oy RerZTan gadakveTis wertilis koordinatebi: 3 ; 3) y = 2 ⋅ 3 x ; 4) y = 3 cos x . 1) y = 6 − x ; 2) y = x −1 16.41. ipoveT sakoordinato RerZebiTa da mocemuli wrfeebiT SemosazRvruli figuris farTobi: 1) x = 3 , y = 5 ; 2) x = −4 , y = −6 ; 3) y = − x + 6 ; 4) 3x − 2 y = 6 . 16.42. ipoveT funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilebi: 1) y = 3x − 1 , y = 3 − x ;

2) y = 2 + x − x 2 , y = 0 ;

3) y = x 2 − 3 x + 5 , y = x + 2 ; 4) y = x 2 , y = 2 x − x 2 . 16.43. ipoveT parabolis wveros koordinatebi: 1) y = x 2 − 4 x ;

2) y = 6 x − x 2 − 4 ;

3) y = 3 − 8 x − 4 x 2 ; 4) y = (3x − 6 )2 + 3 . 16.44. SeadgineT im wrfis gantoleba, romelic gadis M wertilze mocemuli wrfis paralelurad: 2) M (0;0), y = −2 x + 1 ; 1) M (-2;3), y = 5 ; 4) M (-1;3), x + 2 y = −3 . 3) M (1;-2), 2 x − 3 y = 1 ; 16.45. 1) ipoveT y = x2 + 6x + c parabolis Ox RerZTan gadakveTis wertilebi, Tu is Oy RerZs kveTs (0;8) wertilSi. y = x 2 + 3x + c parabolis Oy RerZTan 2) ipoveT gadakveTis wertili, Tu misi Ox RerZTan gadakveTis erT-erTi wertilia (3;0).

3) M da N Sesabamisad y = − x 2 + 4 parabolis Ox da Oy RerZebTan gadakveTis wertilebia. ipoveT manZili M da N wertilebs Soris. 4) ipoveT b da c , Tu y = x 2 + bx + c funqciis grafiki Oy RerZs kveTs (0;5) wertilSi, xolo Ox RerZs (1;0) wertilSi. 5) ipoveT b da c , Tu y = − x 2 + bx + c funqciis grafiki Ox RerZs kveTs (1;0) da (3;0) wertilebSi. 6) ipoveT b da c , Tu y = 2 x 2 + bx + c funqciis grafiki Ox RerZs exeba (1;0) wertilSi. 7) ipoveT y = x 2 + bx + c parabolis wvero, Tu es parabola Ox RerZs kveTs wertilebSi (1;0) da (3;0).

363

8) ipoveT a da c , Tu y = ax 2 − 8 x + c funqcia umcires mniSvnelobas iRebs x=2 wertilSi da es mniSvneloba 0-is tolia. 9) ipoveT a da c , Tu y = ax 2 + 4 x + c funqcia udides mniSvnelobas iRebs x =1 wertilSi da es mniSvneloba 8-is tolia. 10) ipoveT b da c , Tu y = − x 2 + bx + c funqcia nuli xdeba mxolod x = −2 -sTvis. 11) ipoveT b da c , Tu y = 2 x 2 + bx + c funqcia nuli xdeba mxolod x = 3 -sTvis. 12) ipoveT b da c , Tu y = x 2 + bx + c funqciis grafikis simetriis RerZia x = 1 wrfe da es grafiki Oy RerZs kveTs (0;3) wertilSi. 13) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac y = (k − 1)x 2 + 2kx + 3k − 2 parabolas Ox RerZTan aqvs erTaderTi saerTo wertili. 14) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac y = x 2 + 20 x + 42 y = kx + 6 wrfes erTaderTi saerTo wertili aqvs. 15) ipoveT k -s yvela mniSvneloba,

y = 2kx + 1 wrfes y = kx + 8 x + 3 erTaderTi saerTo wertili. 2

parabolasTan romlisTvisac

parabolasTan

aqvs

16) y = ax 2 + bx + c funqciis grafiki Ox RerZs kveTs x = −1 da x = 3 wertilebSi, xolo Oy RerZs y = −2 wertilSi. ipoveT a , b da c . 17) ipoveT a , b Dda c , Tu y = ax 2 + bx + c parabolis wveroa (1;2) wertili da gadis (0;3) wertilze. a da b , Tu y = 2x + a wrfe da 18) ipoveT y = − x 2 + bx + 10 parabola erTmaneTs kveTs sakoordinato RerZebze.

19) ipoveT a , b da c , Tu y = − x 2 + bx + c parabola da y = − x + a wrfe erTmaneTs kveTs M (5;7) wertilSi, xolo meore TanakveTis wertili Oy RerZze mdebareobs.

364

ipoveT a , b Dda c , Tu y = − x + a wrfes da 1 2 y = x + bx + c parabolas aqvs erTaderTi saerTo 4 wertili M (2;8). 21) a -s ra mniSvnelobebisaTvis y = ax wrfes da

20)

y = x 2 − 2 x + 9 parabolas aqvT erTaderTi saerTo wertili. ipoveT am wertilis koordinatebi. 22) a -s ra mniSvnelobebisaTvis y = x + a wrfes da y = x 2 − 3 x + 10 parabolas aqvT erTaderTi saerTo wertili. ipoveT am wertilis koordinatebi. 16.46. aageT Semdegi gantolebiT mocemuli wrfe: 2) 2 x + 3 = 0 ; 3) 3x + 2 y = 0 ; 1) y − 2 = 0 ; 1 4) 2 x − 3 y = 0 ; 5) 2 x + 3 y + 5 = 0 ; 6) − 3x + 5 y − = 0 . 2

bbhfU!gvordjjt!hsbgjlj!)$$27/58.27/76*;! 16.47. 1) y = 2 ;

2) y = −0,8 ;

16.48. 1) y = 3x + 2 ; 4) y = − x ;

3) y = 2 x ;

1 ; 2 5) y = x + 1 ;

2) y = −2 x +

16.49. 1) y = 2 − x ;

4) y = −

1 x. 2

3) y = x ; 6) y = − x − 2 .

2) y = x + 2 + 4 ;

3) y = 1 − x + 3 ;

4) y = − 1 − 3 x + 2 .

2 −3 2 ; 2) y = ; 3) y = ; x x x −1 −1 1 −2 4) y = ; 5) y = +1; 6) y = −2; 2x x −1 x 2 2 2 −3 16.51. 1) y = + 2 ; 2) y = − 2 ; 3) y = − 3 ; 4) y = +4; x −1 x −1 x +1 x −1 2 3 2 3 16.52. 1) y = ; 2) y = − ; 3) y = ; 4) y = ; x x x −1 x+2

16.50. 1) y =

5) y = − 16.53. 1) y =

2 1 + 3 ; 6) y = − 2 ; x x

x+3 ; x−2

2) y =

7) y =

−2 3 − 2. + 4 ; 8) y = x +1 x−2

3x + 5 5 − 2x ; 3) y = ; x+2 x−4

365

4) y =

5 − 4x . 2x + 1

1 2 x ; 3) y = −3 x 2 ; 4) y = −0,3x 2 ; 2 5) y = 3 x 2 + 1 ; 6) y = −4 x 2 + 2 ; 7) y = 2 x 2 − 3 ; 8) y = −5 x 2 − 3 .

16.54. 1) y = 2 x 2 ;

2) y =

16.55. 1) y = (x − 2 )2 ;

2) y = 0,5(x + 3)2 ;

4) y = −(2 − x )2 ;

3) y = −(x + 1)2 ;

5) y = (x − 3)2 + 2 ;

6) y = 2(x + 2)2 − 3 ; 1 7) y = −(x + 1,5)2 − 0,3 ; 8) y = −(2 − x )2 + . 2 16.56. 1) y = x 2 + 4 x ; 2) y = − x 2 + 6 x ; 3) y = x(x − 1) ; 4) y = −2 x 2 + 4 x . 16.57. 1) y = x 2 + 6 x + 9 ;

2) y = 9 x 2 + 6 x + 1 ;

3) y = − x 2 − 8 x − 16 ; 16.58. 1) y = x 2 − 4 x + 3 ;

4) y = −4 x 2 + 4 x − 1 . 2) y = − x 2 + 4 x + 45 ; 3) y = 3x 2 − 5 x + 2 ;

4) y = −3 x 2 + 4 x − 5 ; 5) y = −20 x 2 + 7 x + 6 ; 6) y = 2 x 2 + 4 x + 17 . 16.59. 1) y = 3x 2 − 1 ;

2) y = − x 2 + 2 ;

3) y = − x 2 − 1 ; 4) y = − 2 x 2 + 3 .

16.60. 1) y = (x − 2)2 − 3 ;

2) y = 4 x 2 + 4 x − 2 ;

3) y = x 2 + x ;

4) y = x 2 − 2 x − 1 .

16.61. 1) y = x 2 − 7 x + 10 + 3 ; 3) y = 2 x 2 − 16.62. 1) y =

2) y = x 2 −

11 x + 3 +1 ; 2

1 3 x ; 2

16.63. 1) y = sin 2 x ; x 5) y = sin ; 3

1 3 x − − 2; 2 2

4) y = − 3 x 2 −

2) y = − x 3 ;

3) y =

1 4 x ; 3

3 9 x + + 4. 4 8

4) y = −2 x 4 .

π x 2) y = sin⎛⎜ x + ⎞⎟ ; 3) y = cos 3x + 1 ; 4) y = 2 cos ; ⎝

4⎠

6) y = cos x − 1 ;

9) y = sin x + sin x ; 16.64. 1) y = 3 − 1 ; x

x 7) y = tg ; 2

10) y = cos x − cos x . 2) y = 2 ⋅ 5 + 3 ; x

3) y = 2 − x + 4 ; x

⎛1⎞ 4) y = ⎜ ⎟ − 2 ; ⎝3⎠ 16.65. 1) y = log 2 x − 1 ;

8) y = tg 2 x ;

5) y = 2 ; 2) y = log 1 x + 2 ; 3

366

⎛1⎞ 6) y = ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ 3) y = −2 log 5 x + 1 ;

4) y = −3 log 1 x + 4 ; 5) y = log 3 x ; 2

7) y = log 4 x − 1 ;

6) y = − log 2 x + 1 ;

8) y = log 1 x + 2 . 3

%28/!tjnsbwmffcj/!pqfsbdjfcj!tjnsbwmffc{f! 17.1. marTebulia Tu ara Semdegi Canaweri? 1) 2 ∈{0; − 2; 2; 6} 3) 3 ∈ N 5) 7 ∈ {2n − 1 | n ∈ N } 7)

π ∈Q

2) −3 ∈ {−6; 5; 3; 0} 4) 7 ∉ N 6) 9 ∉ {2n | n ∈ Z ) 8)

3 ∈Q

17.2. CawereT mocemuli simravle misi elementebis CamoTvliT. 1) A = {x | −12 ≤ x < −7, x ∈ Z } ; 2) A = {x | −5 < x ≤ 4, x ∈ N } ; 3) A = {x | ( x 2 − 1)( x 2 − 3) = 0, x ∈ Z } ;

17.3. 17.4.

17.5.

17.6. 17.7.

5) A = {x | | x − 1 |< 2, x ∈ Z } ; 4) A = {x | | x |< 5, x ∈ N } ; 6) A = {x | x ⋅ y = 12, x ∈ N } ; 7) A = {x | x = (a, b) usj (a, b) = 18, a ∈ N , b ∈ N , a < b} ; 8) A = {x | x = (a, b) usg (a, b) = 6 , a < 20, b < 20, a < b, a ∈ N , b ∈ N} . CamoTvaleT A simravlis yvela qvesimravle, Tu: 2) A = {a; b; c} . 1) A = {a; b} ; CamoTvaleT A={a; b; c; d} simravlis: 1) yvela orelementiani qvesimravle; 2) yvela samelementiani qvesimravle. CamoTvaleT A = {2; 3; 4; 5; 6} simravlis yvela is qvesimravle, romlisTvisac {3; 5; 6} iqneba erT-erTi qvesimravle. WeSmaritia Tu ara Semdegi Canaweri? 2) a ⊂ {2; a; c} . 1) {2} ⊂ {2; 3; 4} ; vTqvaT A = {2; 3; {2; 3}; {1; 4}} . WeSmaritia Tu ara Semdegi Canaweri? 2) {3; {2; 3}} ⊂ A ; 1) 2 ∉ A ; 3) {1; 4} ⊂ A ; 4) {2; 3}∈ A .

367

17.8. Tu x ∈ A \ B , maSin marTebulia Tu ara Semdegi Canaweri? 2) x ∉ A da x ∉ B ; 1) x ∈ A da x ∈ B ; 4) x ∉ B da x ∈ B . 3) x ∈ A da x ∉ B ; 17.9. Tu x ∈ A I B , maSin marTebulia Tu ara Semdegi Canaweri? 2) x ∈ A da x ∈ B ; 1) x ∈ A da x ∉ B ; 4) x ∉ A da x ∉ B . 3) x ∉ A da x ∈ B ; 17.10. ipoveT A U B , Tu 2) A = {1; 3; 4} , B = {3; 5; 7} ; 1) A = {1; 2; 4; 5} , B = {3; 4; 5; 6} ; B = [3; 7] ; 3) A = [2; 5] , 4) A = [− ∞; 8) , B = (− 2; 10] . 17.11. ipoveT A I B , Tu 2) A = {3; 4; 6; 8} , B = {2; 4; 7; 8} ; 1) A = {2; 3; 4; 6} , B = {3; 5; 6}; 3) A = [2; 4] , B = [3; 6] ; 4) A aris rombebis simravle, B aris marTkuTxedebis simravle. 17.12. ipoveT A \ B , Tu 2) A = {1; 2; 4; 6} , B = {2; 4; 7; 8} ; 1) A = {3; 5; 7} , B = {5; 6; 8} ; B = [4; 6] ; B =]3; 5] . 3) A = [3; 5] , 4) A = [2; 6] , 17.13. vTqvaT A = {1; 3; 4} da B = {2; 3; 5} . ipoveT: 1) A U B 2) A I B 3) A \ B 5) A \ ( A U B ) 6) A \ ( A I B ) . 4) B \ A 17.14. vTqvaT A, B da C nebismieri simravleebia. aris Tu ara Semdegi Canaweri aucileblad WeSmariti? 2) ( A U B ) I C ⊂ A 1) ( A I B ) \ C ⊂ A 3) ( A U B ) \ ( B U C ) ⊂ A 4) ( A I B ) U ( B I C ) ⊂ A 17.15. cnobilia, rom A U B = {− 3; − 2; − 1; 0; 2; 4; 6; 7; 9}; A \ B = {− 3; − 2; − 1} ; B \ A = {4; 6; 9} ipoveT: 2) B; 3) A I B ; 4) A \ ( A I B ) . 1) A; 17.16. cnobilia, rom A \ B = {− 1; 0; 1; 2} , A U B = {− 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ; C \ B = {2; 9; 10; 11} , A I B = {3; 5} ; B I C = {8} . ipoveT:

368

1) A

2) B

3) C

4) A \ C

5) A I C

17.17. cnobilia, rom A I B = {0; 1; 5} , C = {− 2; − 1; 0; 1; 6; 7} , ipoveT ( A U C ) I ( B U C ) . 17.18. cnobilia, rom A U B = {− 3; − 2; − 1; 0; 2; 4; 6} , C = {− 2; 0; 4; 7; 8; 9; 10} . ipoveT: ( A I C ) U ( B I C ) . 17.19. Tu n( A) = 10 , n( B) = 10 , n( A U B ) = 20 , maSin WeSmaritia, Tu ara Semdegi Canaweri? 2) A I B = ∅ 1) A = B 4) n( A I B ) = 10 . 3) A I B = A U B 17.20. Tu n( A) = 10 , n( B) = 10 , n( A I B ) = 10 , maSin WeSmaritia, Tu ara Semdegi Canaweri? 2) n( A U B) = 20 1) A I B = 0\ 3) A = B 4) A \ B = A . n( A) = 60 , n( B ) = 85 , n( A U B ) = 120 . 17.21. cnobilia, rom ipoveT n( A I B ) . 17.22. cnobilia, rom n( A) = 50 , n( B ) = 75 , n( A I B ) = 40 . ipoveT n( A U B ) . 17.23. meaTe klasSi 42 moswavlea. maTgan TiToeuli swavlobs inglisuri da germanuli enebidan erTs mainc. am klasis 32 moswavle swavlobs inglisurs da 24germanuls. ramdeni moswavle swavlobs orive am enas? 17.24. saWidao darbazSi myofi sportsmenebidan 45 varjiSobs ZiudoSi, 24 samboSi, 12 – rogorc samboSi aseve ZiudoSi, xolo 8 – am saxeobebidan arc erTSi. ramdeni sportsmenia darbazSi? 17.25. qalaqis yovelma mcxovrebma icis qarTuli da rusuli enebidan erTi mainc. qarTuli icis mosaxleobis 85%-ma, xolo rusuli – 65%-ma. qalaqis mosaxleobis ramdenma procentma icis orive es ena? 17.26. klasis yoveli moswavlidan TiToeuli dadis cekvisa da simReris wreebidan erTSi mainc. cekvis wreSi

369

dadis moswavleTa

3 nawili, xolo simReris wreSi 4

4 nawili. klasis moswavleTa ra nawili dadis 5 orive am wreSi erTdroulad?

§18. lpncjobupsjljt!fmfnfoufcj!

! 18.1. gamoTvaleT 1) 4! 2) 5! 8! 10! 5) 6) 6! 7! 18.2. gaamartiveT gamosaxuleba n! 1) (n − 3)! 3)

3n ⋅ (3n − 1) (3n)!

3) 6! _ 5! 8!−6! 7) 5!

3! + 7!−5! 8) 205

(n + 1)! (n − 1)!

1 1 − (n + 1)! (n + 2)!

gamoTvaleT (##18.3-18.5) 18.3. 1) P3 4) P2 ⋅ P4

2) P5 5)

P7 + P6 P5

P6 P4

15! 30 ⋅ P12

A75

18.4. 1) A63

2) A52

18.5. 1) C 52

2) C 53

3) C 54

5) C 53 + C 64

1 4) C10

3 5

A54 + A53 A52

C 72 − C 65

C 42 18.6. ramdeni xerxiT SeiZleba davsvaT merxze erTmaneTis gverdiT sami bavSvi? 18.7. ramdeni xerxiT SeiZleba SevadginoT sia 4 moswavlisagan? 18.8. pirveli klasis moswavleebi orSabaTobiT swavloben sam sagans. cxrilis Sedgenis ramdeni varianti arsebobs orSabaTisTvis?

370

18.9. azartuli TamaSebis mrgval magidasTan 8 adgilia. ramdeni sxvadasxva xerxiT SeiZleba davsvaT rva moTamaSisagan Semdgari jgufi am magidasTan? 18.10. mrgvali magidis garSemo 10 adgilia. ramdeni xerxiT SeiZleba davsvaT am adgilebze 3 bavSvi? 18.11. banks SeuZlia 2 erTmaneTisagan gansxvavebuli kreditis gacema. msurvelTa ricxvia 8. kreditis gacemis ramdeni varianti arsebobs? 18.12. ramdeni xerxiT SeiZleba oTxi kacis arCeva oTx sxvadasxva Tanamdebobaze, Tu am Tanamdebobebis kandidatTa ricxvia 9? 18.13. moswavlem unda Caabaros 3 gamocda 6 dReSi. ramdeni xerxiT SeiZleba SevadginoT gamocdebis cxrili? (erT dRes iniSneba mxolod erTi gamocda). 18.14. moswavlem 6 dReSi unda Caabaros 3 gamocda: qarTulSi, inglisurSi da maTematikaSi. ramdeni xerxiT SeiZleba SevadginoT gamocdebis cxrili, Tu maTematikis gamocda unda dainiSnos bolo dRes? 18.15. moswavlem unda Caabaros 4 gamocda 8 dReSi. ramdeni xerxiT SeiZleba SevadginoT gamocdebis cxrili, Tu erT-erTi gamocda unda dainiSnos merve dRes? 18.16. moWadrakeTa gundisaTvis 4 kandidatidan unda SeirCes 3. ramdeni xerxiT SeiZleba SevadginoT gundi? 18.17. 7 kandidatidan unda SevadginoT 3 kaciani komisia. ramdeni xerxiT SeiZleba amis gakeTeba? 18.18. oTaxSi 6 naTuraa. ramdeni xerxiT SeiZleba oTaxis ganaTeba ise, rom anTebuli iyos zustad 2 naTura. 18.19. ramdeni xerxiT SeiZleba 15 moswavlisagan Sedgenili klasis or jgufad gayofa ise, rom erT-erT jgufSi oTxi moswavle iyos? 18.20. wrewirze mocemulia 9 wertili. ramdeni iseTi samkuTxedi arsebobs, romelTa wveroebi am wertilebs emTxveva? 18.21. wrewirze mocemulia A, B, C, D, E da F wertilebi. ramdeni samkuTxedi arsebobs romelTa erT-erTi wvero A wertilSia? 18.22. qvedanayofSi 10 jariskaci da 5 oficeria. ramdeni xerxiT SeiZleba 3 jariskacisa da erTi oficrisagan Sedgenili razmis gamoyofa?

371

18.23. ipoveT im orniSna ricxvebis raodenoba, romelTa orive cifri luwia. 18.24. meaTe klasSi iswavleba 10 sagani. orSabaTs am klasis moswavleebs aqvT 6 gakveTili, amasTan yvela gakveTili gansxvavebulia. ramdeni xerxiT SeiZleba orSabaTis gakveTilebis cxrilis Sedgena. 18.25. CempionatSi monawileobs 16 gundi. ramdeni xerxiT SeiZleba ganawildes pirveli da meore adgilebi? 18.26. ramdeni samniSna ricxvi SeiZleba SevadginoT cifrebisagan 1, 2, 3, 4, 5? 18.27. ipoveT im xuTniSna ricxvebis raodenoba, romelSiac yvela cifri kentia. 18.28. ramdeni sxvadasxva oTxniSna ricxvi SeiZleba SevadginoT 0, 1, 2, 3 cifrebis saSualebiT? (cifrebi SeiZleba ganmeordes). 18.29. ipoveT yvela im oTxniSna ricxvis cifrebis jami, romelic Sedgenilia cifrebisagan 1, 2, 3, 4? (TiToeuli cifri gvxvdeba mxolod erTjer). 18.30. ramdeni oTxniSna ricxvi SeiZleba SevadginoT cifrebisagan 0, 1, 2, 3, 4, 5, Tu: 1) TiToeuli cifri gvxvdeba mxolod erTjer; 2) cifrebi SeiZleba ganmeordes; 3) miRebuli ricxvi unda iyos kenti (cifrebi SeiZleba ganmeordes). 18.31. jgufSi 10 adamiania: 4 kaci, 4 qali da 2 bavSvi. ramdeni 3 adamianisagan Sedgenili jgufis Sedgena SeiZleba am pirovnebebisgan ise, rom TiToeul jgufSi iyos erTi kaci, erTi qali da erTi bavSvi? 18.32. ramdeni xerxiT SeiZleba davalagoT kedlis gaswvriv 5 skami, romelTagan 3 erTnairia, xolo danarCeni 2 erTmaneTisagan gansxvavebuli? 18.33. gvaqvs 4 TeTri da 3 Savi burTi. ramdeni xerxiT SeiZleba davalagoT erT rigSi es burTebi? 18.34. CogburTelTa gundi Sedgeba 3 biWisa da 2 gogosagan. ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi gundis Sedgena 10 biWisa da 6 gogosagan? 18.35.zuras daaviwyda nacnobis telefonis 6-cifriani nomeri, magram mas axsovda rom es nomeri Sedgeba xuTive kenti cifrisagan da cifri 6-gan, romelic mosdevs cifr 3-s. ramdeni gansxvavebuli nomeri unda akrifos zuram, rom aucileblad SeZlos Tavis nacnobTan dakavSireba? 372

%2:/!npobdfnUb!bobmj{j!eb!tubujtujlb! 19.1. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo: 1) 5; 7; 7; 10; 11; 2 2) 3; _4; 12; 0; 8; 5; 11 2 1 1 3 ; − ; − ; 3 ; 6 3) 1,5; _1,3; 0,8; 3,8 4) 3 6 4 4 19.2. ipoveT x, Tu: 1) _2; 0; 3; x; 4 ricxvebis saSualoa 1. 2) x _1; 2; _4; 3x ricxvebis saSualoa 2. 19.3. ipoveT Semdegi monacemebis mediana: 1) _2; 3; _4; 5; 0; 7; 8 2) _1; 4; _3; 6; 5; _6; 10; 0; 8 3) 2; _7; 0; _1; 8; 4 4) 1; _1; 5; _6; 7; _2; 8; 9 11 5 2 4 5 19 31 2 ; 0,4; ; ; 6) ; ; ; ; 0,3 5) 0,75; 12 6 3 5 7 30 42 3 7) 2 3 ; 3 2 ; 3; 2 5 ;

8) 6; 4 3 ; 5 5 ; 4 7 ; 2 7 ; 6 3 19.4. ipoveT x, Tu: 1) 3; 0; _0,9; 4; 5; x; 7; _1,2 monacemebis medianaa 2,5. 1 1 1 2) 0; 1 ; − 1 ; 0,8; x; _2,5 monacemebis medianaa . 3 2 3 19.5. ipoveT Semdegi monacemebis gabnevis diapazoni: 1) 1; _2; 3; _6; _5; 4; 6 2) _2; 7; 0; _3,7; 2,5; 9,3; 7 2 4 3) 2,5; _2; 0; 2 ; _3; _3,2; 2 3 5 4) 5 2 ; 2 19 ; 4 5 ; − 2 5 ; − 3 2 ; 2 13 19.6. SeadgineT Semdegi monacemebis sixSireTa da fardobiT sixSireTa cxrili: 1) 3; 5; 4; 4; 3; 5; 6; 0; 5; 6; 0; 3 2) _2; 3; 0; 1; 4; 3; 4; 0; _2; 1; 4; 4; 3; 3 19.7. ipoveT Semdegi monacemebis moda: 1) 2; _1; _2; _2; 3; 4; _2; 4; 1; 2; _2 2) 3; 5; 0; 1; _2; 5; 2; 5; 2; 3; 2 3) 2; 0; _3; 1; 5; _2; 4; 7; 8 4) 4; 2; 0; _1; 4; 2; 1; 3; _2 19.8. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo kvadratuli (standartuli) gadaxra: 1) _2; 3; 0; 5 2) _2; _1; 0: 5: 8 3) 3; _2; 2; 1; 3; 5 4) _7; _1; 2; 3; _1; 8; _11 373

19.9. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo, mediana, diapazoni, moda da saSualo kvadratuli gadaxra: 1) 1; 3; 5; 11 2) _8; 1; 0; 1; 4; 1; _6 19.10. 10-jer Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSireTa cxriliT mniSvnelobebi sixSire

_1 2

0 1

1 n

2 1

3 2

ipoveT n-is mniSvneloba, saSualo, moda, mediana, diapazoni da saSualo kvadratuli gadaxra. 19.11. 20-jer Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSireTa cxriliT mniSvnelobebi _3 _1 0 2 3 4 sixSire 2 8 m 4 1 n cnobilia, rom am monacemebis saSualoa 0,7. ipoveT mis da n-is mniSvnelobebi, moda, mediana da gabnevis diapazoni. 19.12. eqsperimentis Catarebis dros miRebuli 6 monacemidan 1 1 1 3 1 ; ; ; ; . 5-is fardobiTi sixSireebia 20 12 6 20 2 ipoveT meeqvse monacemis fardobiTi sixSire. 19.13. eqsperimentis Catarebis dros miRebuli 5 monacemidan 1 3 3 ; ; . ipoveT meoTxe 3-is fardobiTi sixSireebia 16 16 8 monacemis fardobiTi sixSire, Tu is 2-jer metia mexuTe monacemis fardobiT sixSireze. 19.14. saskolo weraze moswavleebis mier maTematikaSi miRebuli dadebiTi Sefasebebis fardobiT sixSireTa cxrilia qula fardobiTi sixSire 1) 2)

6 3 20

7 1 8

8 3 8

9 1 10

10 1 4

ramdenma moswavlem miiRo dadebiTi Sefaseba, Tu eqvsianebis sixSire 4-iT naklebia aTianebis sixSireze? ramdenma moswavlem miiRo dadebiTi Sefaseba, Tu Svidianebis sixSire 2-iT metia cxrianebis sixSireze?

374

ramdenma moswavlem miiRo 9 qula, Tu rvianebisa da aTianebis sixSireTa jamia 100?

4) ramdenma moswavlem miiRo 8 qula, Tu eqvsianebisa da Svidianebis sixSireeebis jami 10-iT metia aTianebis sixSireze? 19.15. tyviis msrolelma Sejibrebis dros 10-ianSi moartya erTxel, 9-ianSi – samjer, 8-ianSi – samjer, 7-ianSi – erTxel da 6-ianSi – orjer. am monacemebiT SeadgineT msrolelis mier Sejibrebaze miRebuli qulebis sixSireTa da fardobiT sixSireTa cxrili. ipoveT am monacemebis saSualo, diapazoni, moda, mediana da saSualo kvadratuli gadaxra. 19.16. kamaTlis 12-jer gagorebis dros 1-iani movida orjer, 3-iani – orjer, 4-iani – orjer, 5-iani – oRxjer da 6iani – erTxel. am monacemebiT SeadgineT mosuli ricxvebis sixSireTa da fardobiT sixSireTa cxrili. ipoveT am monacemebis saSualo, diapazoni, moda, mediana da saSualo kvadratuli gadaxra. 19.17. moswavlem saswavlo wlis ganmavlobaSi maTematikis sakontrolo werebze 10 qula miiRo eqvsjer, 9 qula – oTxjer, 8 qula – samjer da 6 qula – erTxel. am monacemebiT SeadgineT moswavlis mier miRebuli qulebis sixSireTa da fardobiT sixSireTa cxrili. ipoveT am monacemebis saSualo, diapazoni, moda, mediana da saSualo kvadratuli gadaxra. 19.18. sayofacxovrebo teqnikis maRaziis mier erTi kviris ganmavlobaSi gayiduli macivrebis, televizorebis, mtversasrutebis da gazqurebis sixSireTa da fardobiT sixSireTa cxrilia dasaxeleba

macivari

televizori

mtversasruti

gazqura

sixSire fardobiTi sixSire

x 1 12

81 9 20

54 3 10

30 y

ipoveT: 1) CamoTvlili teqnikis ra raodenoba gaiyida mTlianad am kviris ganmavlobaSi; 2) macivris gayidvis sixSire; 3) gazquris gayidvis fardobiTi sixSire. 19.19. saqarTvelos satelevizio arsebiT erTi kviris ganmavlobaSi gadacemuli sainformacio gamoSvebis sixSi2 , sporre da fardobiTi sixSirea Sesabamisad 200 da 7

375

tuli gadacemebis

_ 40 da

2 , xolo gasarTobi ga35

3 . ipoveT yvela sxva gadacemebis 35 sixSire da fardobiTi sixSire. 19.20. arCevnebSi 5 kandidatis mier miRebuli xmebis fardobiT sixSireTa cxrilia (igulisxmeba, rom arc erTi biuleteni ar gafuWebula)

dacemebis _ 60 da

kandidati fardobiTi sixSire

I 1 5

II 2 15

III x

IV 1 6

V 4 15

ramdeni xma miiRo III kandidatma, Tu I-ma miiRo 40 xmiT naklebi V-ze? 19.21. avtogasamarTi sadguris mier erTi dRis ganmavlobaSi gayiduli sawvavis fardobiT sixSireTa cxrilia dasaxeleba

normali

regulari

superi

dizeli

fardobiTi 2 2 4 x sixSire 15 5 15 ramdeni litri dizelis sawvavi gaiyida am dRes, Tu superi gaiyida 1600 litriT naklebi, vidre normali da regulari erTad?

! %31/!yepnjmpcjt!bmcbUpcb! 20.1. yuTSi mxolod wiTeli, TeTri da lurji burTebia. Semdegi xdomilobebidan romelia aucilebeli, SemTxveviTi, SeuZlebeli? 1) amoRebuli burTi Savi ferisaa; 2) amoRebuli burTi lurjia; 3) amoRebuli burTi an TeTria an lurji an wiTeli; 3) amoRebuli burTi aris TeTri an Savi. 20.2. erTi kamaTlis gagorebisas CamoTvlili xdomilobebidan romelia aucilebeli, SemTxveviTi, SeuZlebeli? 1) samze naklebi ricxvis mosvla; 2) luwi ricxvis mosvla; 3) Svidis jeradi ricxvis mosvla; 4) 60-is gamyofis mosvla; 5) xuTis jeradi ricxvis mosvla;

376

6) luwi an kenti ricxvis mosvla. 20.3. erTi kamaTlis 13-jer gagorebisas CamoTvlili xdomilobebidan romelia aucilebeli, SemTxveviTi, SeuZlebeli? 1) yvela gagorebisas mosuli qula erTidaigivea; 2) yvela gagorebisas mosuli qulebis jami 12-ia; 3) yvela gagorebisas mosuli qulebis jami araumetes 78-ia; 4) romeli qula samjer mainc mova. 20.4. 52 kartiani dastidan iReben 5 karts. CamoTvlili xdomilobebidan romelia aucilebeli, SemTxveviTi, SeuZlebeli? 1) amoRebuli kartebidan yvela rviania; 2) amoRebul kartebSi yvela eqvsiania; 3) amoRebul kartebSi sami erTi da imave feris Svidiania; 4) amoRebul kartebSi erTi da imave raodenobis aTiani da rviani. 20.5. ramdeni xdomilobisagan Sedgeba elementarul xdomilobaTa sivrce, Tu eqsperimenti mdgomareobs SemdegSi: 1) yuTidan, romelSic mxolod wiTeli, TeTri da Savi burTulebia, viRebT erT burTulas; 2) kamaTels vagorebT erTxel; 3) kamaTels vagorebT orjer; 4) monetas vagdebT orjer; 5) monetas vagdebT samjer; 6) 36 kartiani dastidan viRebT 2 karts; 7) erTdroulad vagorebT erT kamaTels da vagdebT erT monetas; 8) yuTSi 5 burTulaa, romlebic gadanomrilia ricxvebiT 1; 2; 3; 4; 5. viRebT jer erT burTulas, viniSnavT nomers da vabrunebT, Semdeg meores â&#x20AC;&#x201C; viniSnavT nomers da vabrunebT; 9) yuTSi 5 burTulaa, romlebic gadanomrilia ricxvebiT 1; 2; 3; 4; 5. erTmaneTis miyolebiT viRebT jer erT burTulas da viniSnavT nomers, Semdeg meores â&#x20AC;&#x201C; viniSnavT nomers; 10) gvaqvs kartis ori dasta: erTi 36 kartiani, xolo meore 52 kartiani. TiTo dastidan viRebT TiTo karts.

377

20.6. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis erTxel gagorebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba: 1) 3-is mosvla; 2) luwi ricxvis mosvla; 3) kenti ricxvis mosvla; 4) martivi ricxvis mosvla; 5) 4-ze meti ricxvis mosvla; 6) 5-ze aranaklebi ricxvis mosvla; 7) luwi martivi ricxvis mosvla; 8) 2-ze naklebi an 4-ze meti ricxvis mosvla; 9) 2-is ar mosvla; 10) martivi ricxvis ar mosvla; 11) 2-ze meti da 5-ze naklebi ricxvis ar mosvla; 12) 30-is gamyofis mosvla. 20.7. ipoveT albaToba imisa, rom monetis orjer agdebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba: 1) orivejer safasuris movida; 2) safasuri erTxel mainc movida; 3) orivejer erTidaigive mosvla; 4) movida erTxel safasuri da erTxel gerbi; 5) safasuris ar mosvla; 6) pirvelad movida safasuri da meored â&#x20AC;&#x201C; gerbi. 20.8. yuTSi 8 TeTri da 12 wiTeli burTulaa. ras udris albaToba imisa, rom SemTxveviT amoRebuli burTula: 1) iqneba TeTri? 2) ar iqneba TeTri. 20.9. krebas eswreba 80 qali da 30 kaci. maTgan SemTxveviT irCeven mdivans. ras udris albaToba imisa, rom krebis mdivani iqneba qali? 20.10. yuTSi 25 wiTeli, 15 Savi da 10 TeTri burTia. ipoveT albaToba imisa, rom: 1) SemTxveviT amoRebuli burTi Savia; 2) SemTxveviT amoRebuli burTi TeTria; 3) SemTxveviT amoRebuli burTi an wiTelia an Savi; 4) SemTxveviT amoRebuli burTi ar aris wiTeli. 20.11. yuTSi 11 Savi da 5 TeTri birTvia. ras udris albaToba imisa, rom: 1) SemTxveviT amoRebuli 2 birTvidan orive TeTria; 2) SemTxveviT amoRebuli 2 birTvidan orive Savia? 3) SemTxveviT amoRebuli ori birTvi sxvadasxva ferisaa?

378

4) SemTxveviT amoRebuli ori birTvi erTi da igive ferisaa? 5) SemTxveviT amoRebuli 3 birTvidan samive TeTria? 6) SemTxveviT amoRebuli 3 birTvidan samive Savia? 7) SemTxveviT amoRebuli 3 birTvidan samive erTi ferisaa? 8) SemTxveviT amoRebuli 3 birTvidan samive araa erTnairi feris? 20.12. yuTSi 10 lurji, 6 mwvane da 4 yviTeli burTia. ras udris albaToba imisa, rom: 1) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan orive iqneba mwvane? 2) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan orive iqneba yviTeli? 3) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan orive iqneba lurji? 4) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan orive iqneba erTnairi feris? 5) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan erTi iqneba mwvane da erTi â&#x20AC;&#x201C; lurji? 6) SemTxveviT amoRebuli 2 burTidan arc erTi ar iqneba lurji? 7) SemTxveviT amoRebuli 3 burTidan samive iqneba mwvane? 8) SemTxveviT amoRebuli 3 burTidan samive iqneba erTi feris? 20.13. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis orjer gagorebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba: 1) ori erTnairi ricxvis mosvla; 2) orive luwi ricxvis mosvla; 3) erTi luwi da erTi kenti ricxvis mosvla; 4) erTi mainc 1-ianis mosvla; 5) erTi mainc kenti ricxvis mosvla; 6) orive martivi ricxvis mosvla; 7) mosuli ricxvebis jami aris 11; 8) mosuli ricxvebis jami aris 8; 9) mosuli ricxvebis jami aris 7; 10) mosuli ricxvebidan pirveli meoreze 3-iT naklebia; 11) mosuli ricxvebis jami aris 5; 12) mosuli ricxvebidan erT-erTi meoris kvadratia; 13) mosuli ricxvebis jami aris 13;

379

14) mosuli ricxvebis jami aris 13-ze naklebi; 15) mosuli ricxvebi erTmaneTisagan 2-iT gansxvavdeba; 16) mosuli ricxvebidan erT-erTi meoris gamyofia; 17) mosuli ricxvebidan pirveli meoris gamyofia; 18) mosuli ricxvebis jami ar udris 9-s; 19) arc erTxel ar movida oriani; 20) ori erTnairi ricxvis ar mosvla; 21) arc erTxel ar movida 4-ze meti ricxvi. 20.14. ipoveT albaToba imisa, rom monetis samjer agdebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba: 1) samivejer mova gerbi; 2) safasuri mova mxolod erTxel; 3) erTxel mainc mova safasuri; 4) orjer mainc mova gerbi; 5) gerbi ufro metjer mova, vidre safasuri; 6) safasuri orjer ar mova. 20.15. ipoveT albaToba imisa, rom 36-kartiani dastidan darigebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba: 1) pirveli karti iqneba jvris tuzi; 2) pirveli karti iqneba tuzi; 3) pirveli karti iqneba wiTeli; 4) pirveli karti iqneba jvari; 5) pirveli karti iqneba tuzi an 10-iani; 6) pirveli karti ar iqneba 10-iani; 7) pirveli karti ar iqneba jvari; 8) pirveli karti ar iqneba arc tuzi da arc 6-iani; 9) pirveli ori karti iqneba tuzi; 10) pirveli da mesame karti iqneba jvari; 11) pirveli karti iqneba jvari, xolo meore yvavi; 12) pirveli karti iqneba tuzi, xolo merve â&#x20AC;&#x201C; rviani; 13) pirveli iqneba tuzi, xolo meore ar iqneba 10iani; 14) arc pirveli da arc meore karti ar iqneba tuzi. 20.16. auzSi aris 5 cali Tevzi: murwa, kalmaxi, kefali, qaSayi da oraguli. SemTxveviT amoyavT sami Tevzi. ras udris albaToba imisa, rom maT Soris aucileblad iqneba kalmaxi? 20.17. qisaSi 5 monetaa: 2 cali 10-TeTriani, 3 cali 20-TeTriani. qisidan, masSi Cauxedavad, iReben or monetas. ipoveT albaToba imisa, rom amoRebuli monetebis Rirebulebebis jami aris 30 TeTri.

380

20.18. maRaziam miiRo axali modelis fexsacmelebi: 40 zoma 20 wyvili, 41 zoma 30 wyvili, 42 zoma 40 wyvili da 43 zona 10 wyvili. ras udris albaToba imisa, rom: 1) SemTxveviT aRebuli erTi wyvili fexsacmeli aRmoCndeba 41 zoma? 2) SemTxveviT aRebuli erTi wyvili fexsacmeli aRmoCndeba 42 an 43 zoma? 3) SemTxveviT aRebuli ori wyvili fexsacmelidan orive aRmoCndeba 40 zoma? 4) SemTxveviT aRebuli ori wyvili fexsacmelidan erT-erTi aRmoCndeba 40 zoma, meore – 43? 5) SemTxveviT aRebuli ori wyvili fexsacmelidan erTi mainc iqneba 40 zoma? 6) SemTxveviT aRebuli ori wyvili fexsacmelidan arc erTi ar iqneba 42 zoma? 20.19. nikas daaviwyda megobris telefonis 6-cifriani nomeri, magram mas axsovda, rom am nomris pirveli cifria 2, xolo danarCeni gansxvavebuli kenti cifrebia. nikam akrifa pirveli cifri 2, xolo danarCeni – SemTxveviT aRebuli erTmaneTisagan gansxvavebuli kenti cifrebi. ras udris albaToba imisa, rom pirvelive akrefiT nika daukavSirda megobars? 20.20. givis daaviwyda Tavisi seifis xuTniSna kodi, Tumca mas axsovda, rom am kodis pirveli da bolo cifri erTidaigivea, xolo danarCeni sami – erTmaneTisagan gansxvavebuli kenti cifrebia. givim SemTxveviT akrifa pirveli da bolo erTidaigive cifri da danarCeni erTmaneTisagan gansxvavebuli sami kenti cifri. ras udris albaToba imisa, rom givi pirvelive cdaze gaaRebs seifs? 20.21. asoebi, romlebic qmnis sityvas `urani~, xuT baraTzea gamosaxuli. baraTebi yuTSia moTavsebuli. alalbedze iReben erTmaneTis miyolebiT xuTive baraTs. ra aris albaToba imisa, rom amoRebuli asoebi (amoRebis Tanmimdevrobis gaTvaliswinebiT) qmnis sityvas `unari~? 20.22. yuTSi moTavsebulia 5 birTvi, romlebic gadanomrilia ricxvebiT: 1; 2; 3; 4; 5. yuTidan erTmaneTis miyolebiT viRebT birTvebs. ra aris albaToba imisa, rom birTvebi amoRebuli iqneba maTi normebis klebis mixedviT?

381

20.23. samSobiaro saxlSi elodebian 4 bavSvis dabadebas. ras udris albaToba imisa, rom yoveli bavSvis wona mis win dabadebuli bavSvis wonaze metia? 20.24. sigrZeze xtomaSi Sejibrebis dros sportsmens aqvs 6 cdis ufleba. ras udris albaToba imisa, rom igi yovel cdaze gaaumjobesebs wina cdis Sedegs? 20.25. klasSi 10 moswavlea. maT Soris mxolod orma icis fraguli ena. ra aris albaToba imisa, rom am klasis SemTxveviT SerCeul 5 moswavles Soris: 1) orma icis franguli ena? 2) mxolod erTma icis franguli ena? 3) erTma mainc icis franguli ena? 4) ar iqneba franguli enis mcodne? 20.26. 10 mgzavridan TiToeulma SemTxveviT SearCia 20-vagoniani eleqtromatareblis TiTo vagoni. ra aris albaToba imisa, rom yvela mgzavri sxvadasxva vagonSi moxvdeba? 20.27. yuTSi moTavsebulia 4 birTvi, romlebzec dawerilia nomrebi: 2; 3; 6; 9. erTmaneTis mimdevrobiT SemTxveviT viRebT jer erT birTvs da viniSnavT mis nomers, Semdeg meores da viniSnavT mis nomers. ra aris albaToba imisa, rom CaniSnuli ricxvebis namravli aris 18? 20.28. samSobiaro saxlSi elodebian 4 bavSvis dabadebas: 2 gogonas da 2 biWis. ras udris albaToba imisa, rom pirveli ori dabadebuli bavSvi iqneba erTi da igive sqesis? 20.29. ganaTlebis saministrom skolebisaTvis SeiZina kompiuterebi: 80 cali `pentium-3~ da 20 cali `pentium-4~, romelTagan SemTxveviT aRebuli 2 kompiuteri gadasca eqsperimentalur skolas. ra aris albaToba imisa, rom: 1) am skolas Sexvdeba orive `pertium-4~? 2) am skolas Sexvdeba orive `pentium-3~? 3) am skolas Sexvdeba erTi `pentium-3~ da erTi `pentium-4~? 4) am skolas Sexvdeba orive erTnairi kompiuteri? 20.30. studentma programiT gaTvaliswinebuli 50 sakiTxidan moamzada 30. yovel bileTSi sami sakiTxia. studenti alalbedze iRebs bileTs. ras udris albaToba imisa, rom: 1) studentma samive sakiTxi icis?

382

2) studentma arc erTi sakiTxi ar icis? 3) studentma ori sakiTxi icis da erTi ar icis? 4) studentma erTi sakiTxi icis da ori ara? 20.31. vTqvaT yuTSi 4 burTulaa, romlebic gadanomrilia ricxvebiT: 1; 2; 3; 4. vixilavT cdas: viRebT erTmaneTis miyolebiT jer erT burTulas, Semdeg – meores da viniSnavT amoRebuli burTulebis nomrebs. ipoveT albaToba imisa, rom am cdis dros amoRebul or burTulaze: 1) orive luwi nomeria; 2) erTi luwi nomeria da meore – kenti. 20.32. yuTSi aris 4 cali sxvadasxva feris burTi: wiTeli, mwvane, TeTri da lurji. yuTidan SemTxveviT viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan vabrunebT. Semdeg isev viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan vabrunebT. Semdeg igives vimeorebT mesamejer. ra aris albaToba imisa, rom: 1) samivejer amoRebuli iqneba wiTeli burTi? 2) pirvelad amoRebuli burTi iqneba TeTri, meored amoRebuli – lurji, xolo mesamed amoRebuli – mwvane? 3) amoRebul burTebs Soris erTi iqneba TeTri feris, erTi – lurji feris da erTi – mwvane feris; 4) amoRebul burTebs Soris ori iqneba wiTeli feris da erTi – lurji. 20.33. vTqvaT yuTSi 4 burTulaa, romlebic gadanomrilia ricxvebiT: 1; 2; 3; 4. vixilavT cdas: viRebT jer erT burTulas, viniSnavT nomers da vabrunebT, Semdeg meores – viniSnavT nomers da vabrunebT. ipoveT albaToba imisa, rom am cdis dros amoRebul or burTulaze gansxvavebuli nomrebia. 20.34. yuTSi aris 5 sxvadasxva feris burTula. yuTidan SemTxveviT viRebT erT burTulas viniSnavT fers da burTulas ukan vabrunebT. Semdeg viRebT meores – viniSnavT fers da vabrunebT, Semdeg mesames – CaviniSnavT fers da vabrunebT. ra aris albaToba imisa, rom CaniSnuli ferebi gansxvavebuli iqneba? 20.35. mocemulia cifrebi 0; 1; 2; 3; 4. am cifrebisagan adgenen samniSna ricxvebs ise, rom masSi cifrebi ar meordeba. ra aris albaToba imisa, rom miRebul samniSna ricxvebs Soris SemTxveviT SerCeuli ricxvi:

383

1) iqneba 5-is jeradi? 2) ar aris 3-is jeradi? 3) aris luwi? 4) iyofa 4-ze? 20.36. vTqvaT qalaqSi moZravi avtomobilebis sanomre niSnebi samniSnaa: iwyeba 001-iT da mTavrdeba 999-iT. ra aris albaToba imisa, rom mocemuli seriis pirvelive Semxvedri avtomobilis sanomre niSanSi: 1) ar iqneba erTnairi cifrebi? 2) aris mxolod ori erTnairi cifri? 3) samive cifri erTnairi iqneba? 4) aris zrdadobiT dalagebuli momdevno cifrebi? 5) nomeri Sedgenilia momdevno cifrebisagan? 6) cifrebis namravli aris 0? 20.37. vTqvaT A da B ori araTavdebadi xdomilobaa. gamoTvaleT: 1 1 1) P ( A U B) , Tu P ( A) = , P ( B) = ; 3 2 2) P ( A U B) , Tu P ( A) = 0,25 , P ( B) = 0,15 ; 1 3 3) P(A), Tu P ( B) = , P ( A U B ) = ; 5 4 4) P(B), Tu P ( A) = 0,32 , P ( A U B) = 0,92 . 20.38. vTqvaT A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT: 2 1 1) P ( A I B ) , Tu P ( A) = , P ( B) = ; 5 2 1 1 2) P(A), Tu P( B ) = , P ( A I B ) = . 8 56 20.39. vTqvaT A da B raime xdomilobebia. gamoTvaleT: 2 1 2 1) P ( A U B ) , Tu P( A) = , P( B) = , P ( A I B ) = ; 3 5 15 2 3 4 2) P ( A I B ) , Tu P( A) = , P( B) = , P ( A U B ) = . 7 7 7 20.40. vTqvaT A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT: 1 1 1) P ( A U B ) , Tu P( A) = , P( B) = ; 3 4 2) P ( A U B ) , Tu P( A) = 0,4 , P ( B ) = 0,5 ;

384

2 2 , P( A I B) = ; 5 25 4) P ( A U B ) , Tu P ( B ) = 0,1 , P ( A I B) = 0,04 ; 1 3 5) P(A), Tu P( B) = , P ( A U B ) = ; 4 4 6) P(B), Tu P ( A) = 0,3 , P ( A U B) = 0,44 ; 3 19 7) P ( A I B ) , Tu P( A) = , P( A U B) = ; 8 24 7 8) P ( A I B ) Tu P ( A U B ) = , P ( A) = 2 P( B) . 9 20.41. erT yuTSi 5 TeTri da 5 lurji burTia, meoreSi ki 3 TeTri da 2 lurji. orive yuTidan erTmaneTisagan damoukideblad amoiRes TiTo-TiTo burTi. ra aris albaToba imisa, rom amoRebuli burTebidan erTi mainc iqneba TeTri? 20.42. maTematikis 5 sagamocdo bileTidan students momzadebuli aqvs 2, xolo fizikis 6 bileTidan 3 bileTi. ras udris albaToba imisa, rom students am ori gamocdidan erTxel mainc Sexvdeba momzadebuli bileTi? 20.43. pirvel samSobiaroSi elodebian 3 biWis da 3 gogonas dabadebas, xolo meore samSobiaroSi â&#x20AC;&#x201C; 2 biWis da 1 gogonas. ra aris albaToba imisa, rom am oridan erT samSobiaroSi mainc pirvelad dabadebuli bavSvi iqneba biWi? 20.44. cnobilia, rom A da B xdomilobebidan erTi mainc aucileblad ganxorcieldeba. albaToba imisa, rom A 2 , xolo albaToba xdomiloba ganxorcieldeba aris 7 4 imisa, rom ganxorcieldeba B xdomiloba _ . ra 5 aris albaToba imisa, rom orive A da B xdomilobebi erTdroulad ganxorcieldeba? 20.45. yuTSi aris mxolod wiTeli da lurji burTulebi. yuTidan SemTxveviT iReben 2 burTulas. albaToba imisa, rom am ori burTulidan erTi mainc wiTelia 2 , xolo albaToba imisa, rom erT burTula aris 3 3 mainc lurjia aris . ras udris albaToba imisa, 4 385

3) P ( A U B ) , Tu P ( A) =

rom amoRebuli burTulebidan erTi wiTelia da erTi lurji?

%32/!hfpnfusjvmj!bmcbUpcb! 21.1. monakveTi dayofilia 5 tol nawilad. ipoveT albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxvveviT SerCeuli wertili: 1) Sua nawilSi moxvdeba; 2) Sua nawilSi ar moxvdeba; 3) kidura nawilebSi moxvdeba; 4) ar moxvdeba arc kidura nawilebSi da arc Sua nawilSi. 21.2. monakveTi dayofilia 4 nawilad romelTa sigrZeebis Sefardebaa 2:4:5:7. ipoveT albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT SerCeuli wertili: 1) moxvedra yvelaze mcire sigrZis nawilze; 2) ar moxvdeba yvelaze didi sigrZis nawilze. 21.3. ricxviT RerZze mocemulia monakveTi [_4; 5]. ra aris albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT aRebuli wertilis x koordinati akmayofilebs utolobas: 1) x ≥ 4 ; 2) x ≥ 3 . 21.4. ras udris albaToba imisa, rom tolgverda samkuTxedis simaRleze SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis am samkuTxedSi Caxazuli wrewiris diametrs? 21.5. ras udris albaToba imisa, rom kvadratis diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis am kvadratSi Caxazuli wrewiris diametrs? 21.6. rombis maxvili kuTxe 60°-ia. ras udris albaToba imisa, rom rombis did diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili am rombSi Caxazuli wrewiris diametrze moxvdeba? 21.7. rombis maxvili kuTxe 60°-ia. ras udris albaToba imisa, rom rombis mcire diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili am rombSi Caxazuli wrewiris diametrze moxvdeba? 21.8. rombis maxvili kuTxe 60°-ia. ras udris albaToba imisa, rom rombis did diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili blagvi kuTxis wverodan gavlebul simaRleebs Soris moTavsdeba?

386

21.9. ABCD marTkuTxedSi AB =9 sm, BC = 12 sm. ras udris albaToba imisa, rom BC gverdze SemTxveviT aRebuli K wertilisaTvis Sesruldes piroba ∠AKB < 45° ? 21.10. ABC samkuTxedSi AB =16 sm, AC = 40 sm, ∠A=60°. ras udris albaToba imisa, rom Tu AC gverdze SemTxveviT aviRebT M wertils Sesruldeba piroba AB < BM ? 21.11. wrewiris radiusi 5 sm-is tolia. ras udris albaToba imisa, rom mocemuli diametris paralelurad SemTxveviT gavlebuli qordis sigrZe iqneba 8 sm-ze naklebi? 21.12. monakveTis sigrZe 5 sm-is tolia. ras udris albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT aRebuli wertiliT igi gaiyofa or iseT monakveTad, romelTa sigrZeebis namravli 6-ze naklebia? 21.13. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia AC = 1sm, BC = 2 sm. ras udris albaToba imisa, rom BC kaTetze SemTxveviT aRebuli wertili A wverodan ufro naklebi manZiliT aRmoCndeba daSorebuli, vidre B wverodan? 21.14. ABC marTkuTxa samkuTxedSi ∠A = 30° . ipoveT albaToba imisa, rom manZili hipotenuzaze SemTxveviT aRebuli wertilidan A wveromde BC kaTetis sigrZeze naklebia? 21.15. ABC samkuTxedSi AB : BC = 4 : 5 . ipoveT albaToba imisa, rom manZili AC gverdze SemTxveviT aRebuli wertilidan AB gverdamde naklebia manZilze am wertilidan BC gverdamde? 21.16. O aris ABCD marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertili, xolo M da N marTkuTxedis AB da BC gverdebis Suawertilebia. ras udris albaToba imisa, rom ABCD marTkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba MBNO marTkuTxedSi? 21.17. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis gadakveTis wertili. ras udris albaToba imisa, rom paralelogramSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba AOB samkuTxedSi? 21.18. M aris ABC samkuTxedis AC gverdis Suawertili. ipoveT albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili BMC samkuTxedSi moxvdeba. 21.19. O aris ABC samkuTxedis medianebis gadakveTis wertili. ras udris albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba BOC samkuTxedSi? 387

21.20. O aris ABC samkuTxedis medianebis gadakveTis wertili, xolo M _ AB gverdis Suawertilia. ras udris albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba AOM samkuTxedSi? 21.21. ori koncentruli wris radiusebia 4 sm da 6 sm. ras udris albaToba imisa, rom did wreSi SemTxveviT aRebuli wertili: 1) moxvdeba patara wreSi? 2) ar moxvdeba patara wreSi? 21.22. ABCD trapeciis fuZeebia AD = 10 sm da BC = 4 sm. ras udris albaToba imisa, rom ABCD trapeciaSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba ABC samkuTxedSi? 21.23. ABCD trapeciis fuZeebia AD =14 sm, BC =6 sm, xolo O diagonalebis gadakveTis wertilia. ipoveT albaToba imisa, rom ABCD trapeciaSi SemTxveviT aRebuli wertili: 1) moxvdeba BOC samkuTxedSi; 2) moxvdeba AOD samkuTxedSi; 3) moxvdeba AOB samkuTxedSi. 21.24. ABC samkuTxedSi AC gverdis paraleluri MN wrfe AB gverds yofs SefardebiT 3:7 B wveros mxridan. ra aris albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba AMNC oTxkuTxedSi? 21.25. ABC samkuTxedis AC gverdze aRebulia M wertili ise, rom AM : MC = 5 : 9 . ipoveT albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba MBC samkuTxedSi. 21.26. samkuTxedSi, romlis gverdebia AB = 6 sm da AC =14 sm gavlebulia AK biseqtrisa. ipoveT albaToba imisa, rom ABC samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba ACK samkuTxedSi. 21.27. kvadratSi Caxazulia wre. ras udris albaToba imisa, rom am kvadratSi SemTxveviT aRebuli wertili ar moxvdeba wreSi? 21.28. wreSi Caxazulia kvadrati. ras udris albaToba imisa, rom am wreSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba kvadratSi? 21.29. wesier samkuTxedSi Caxazulia wre. ras udris albaToba imisa, rom am samkuTxedSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba wreSi?

388

21.30. wreSi Caxazulia wesieri samkuTxedi. ras udris albaToba imisa, rom am wreSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba samkuTxedSi? 21.31. wreSi gavlebulia radiusis toli qorda. ras udris albaToba imisa, rom am wreSi SemTxveviT aRebuli wertili moxvdeba am qordiT Seqmnil mcire segmentSi. 21.32. mocemulia gantoleba 2 x − a − 1 = 0 , sadac 1 < a < 9. ipoveT albaToba imisa, rom am gantolebis fesvi 3-ze metia, Tu a SemTxveviT aRebuli ricxvia. 21.33. mocemulia gantoleba ax = b , sadac 0 < a ≤ 10 , 0 1 . 21.35. vTqvaT x da y [0; 2] Sualedidan SemTxveviT aRebuli ricxvebia. ipoveT albaToba imisa, rom ⎧x + y > 2 ⎨ ⎩ y < x.

389

q b t v y f c j ! ! %2! 1.4. 1) 5; 2) 9; 3) 1; 4) 2. 1.5. 1) 4; 2) 5 an 11; 3) 8; 4) 13. 1.6. 1) 1; 2) 5 13 4; 3) 2; 4) 4. 1.7. 1) 13; 2) 33; 3) 21; 4) 23. 1.8. 1) 1 ; 2) 1 ; 3) 24 120 11 17 1 5 7 7 1 ; 4) 8 . 1.9. 1) 4 ; 2) 3 ; 3) ; 4) 7 . 1.10. 1) 5 ; 2) 8 24 60 4 16 18 20 4 7 5 10 3 30 ; 4) . 1.11. 1) –4; 2) 6; 3) 1 ; 4) − 5 . 1.12. 1) 7; 2) 2 ; 3) 8 8 27 13 43 1 2 7 . 1.14. 1) ; 2) 5 ; 3) 3; 4) 9. 1.13. 1) 60; 2) 32; 3) 0,75; 4) 2 3 23 1 1 1 5 1 ; 3) 18 ; 4) 2,5. 1.15. 1) 2; 2) ; 3) ; 4) 9. 1.16. 1) 2 ; 2) 3 20 3 2 6 10 2 2 1 42 5 5 ; 2) ; 3) − 1 ; 4) . 1.18. 1) 1 ; 3) 4; 4) − 1 . 1.17. 1) 3 15 2 109 12 12 100 50 531 5729 ; 2) ; 3) ; 4) . 1.19. 1) 24; 2) 24; 3) 0,6; 4) 10. 101 101 760 10260 1 1 1.20. 1) 7500; 2) 143; 3) 1,2; 4) . 1.21. 1) 49; 2) 34,4; 3) 1,4; 4) 23 . 3 3 1.22. 1) 75; 2) 320; 3) 2210; 4) 122,25. 1.23. 1) 150; 2) 20; 3) 1000; 4) 9 3 1 1 1100. 1.24. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.25. 1) 70,4 ; 2) 20; 3) 27; 80 50 6 30 4) 42. 1.26. 1) 210; 240. 2) 440; 520. 3) 40; 90. 4) 135; 126. 1.27. 1) 300; 240; 180. 2) 1089; 1815; 726. 3) 320; 352; 208. 4) 48; 80; 64; 240. 1.28. 1) 6; 2) 2; 3) 18; 4) 3. 1.29. 1) 6; 2) 16; 3) 12; 4) 60. 1.30. 1) 248 . 1.32. 1) 370m; jer; 2) 12; 3) 24; 4) 8. 1.31. 1) 75; 2) 80; 3) 10; 4) 9 3 2) 96km; 3) 175m; 4) 32m. 1.33. 1) 1; 2) 0,1; 3) 4; 4) 2800. 1.34. 1) ; 10 17 3 3 2) ; 3) 125; 4) 350. 1.35. 1) ; 2) 80; 3) ; 4) 125. 1.36. 1) 420; 20 4 5 2) 4; 3) 3; 4) 15; 5) 280; 6) 280. 1.37. 1) 8; 2) 3; 3) 1260; 4) 100. 1.38. 1) ki; 2) ki; 3) ki; 4) ki. 1.39. 1) a) 3; b) 3; g) 2; d) 7; 2) a) 14; b) 12; g) 10; d) 8. 3) a) 7; b) 10; g) 6; d) 12; 4) 92. 1.40. 1) 120 dReRame; 2) 1080 sT; 3) a) 160 o ; b) 144 o ; 4) a) 130 o ; b) 114 o . 1.41. 1) 59; 2) 57; 3) 59; 4) 8. 1.42. 1) 3⋅102 + 2⋅101 + 7; 2) 4⋅103 + 0⋅102 + 390

2⋅10 + 9; 3) 5⋅104 + 2⋅103+ + 0⋅10 + 3; 4) 7⋅104 + 1⋅103 + 0⋅102 + 0⋅10 + 2. 1.43. 1) 1⋅23 + 1⋅22 + +0⋅2 + 1; 2) 1⋅24 + 1⋅23 + 1⋅22 + 1⋅2 + 1; 3) 1⋅24 + 0⋅23 + 1⋅22 + 0⋅2+1; 4) 1⋅25 +1⋅24 + 0⋅23 + 0⋅22 + 1⋅2 + 0⋅1. 1.44. 1) 1112; 2) 10012; 3) 100002; 4) 1111002; 5) 11011102; 6) 100000012; 7) 1111101102: 8) 11001011012. 1.45. 1)11; 2) 26; 3) 39; 4) 198. 1.46. 1) 19; 2) 1101012; 3) 75; 4) 111; 5) 100000002; 6) 43. 1.47. 1) 5; 2) 7; 3) 8; 4) 10. 1.48. 1) 2; 2) 2; 3) 3; 4) 4. 1.49. 1) 100112; 2) 1100002; 3) 1110002; 4) 112; 5) 100112; 6) 10102. 1.50. 1) 15; 2) 63. 1.51. 1) 16; 2) 128. 1.52. 1) 128; 2) 127. 1.53. 1) 512; 2) 511.

$3! ! 2x − 1 ;

2.101.

2x2 − x + 1;

5 x 2 − 9 x + 26 ;

x − 3 x + x − 4 x + 3 . 2.104. 252. 2.105. 4. 2.106. p = −1 , q = 3 . 2.107. p = 15 , q = 8 . 4

$4! !

3.1. 1)

x+ y p+q a−b m−n a −b ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. 1) , 2) 2a 2x 2a + 2b 2x + 2 y a+b

k +1 1 a2 a −b 1 a+b a ; 3) ; 4) . 3.3. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . x− y x+ y a+b b x a+2 a+b x−2 1− x x x x 3.4. 1) ; 2) − ; 3) ; 4) . 3.5. 1) ; 2) y (3 x − 4 y ) y x− y x+2 3 5(2a − 3b ) ; 2a + 3b

a−b ; 2(a + b )

(

)

m+n . 3(m − n )

a 2 − ab + b 2 ; a−b

3.6. 1)

p 2 + pq + q 2 2 x 2 + xy + y 2 m−n ; 3) ; 4) . 3.7. 1) x 2 − y 2 ; 2 2 ( ) p+q 5 x+ y 2 m − mn + n 2) a 2 + x 2 ; 3)

(

a + ab + b ; 4) (a + b ) a 2 + b 2 2

(

b+c ; 3) a + b − c ; 4) x+ y

)

(x − y )(x

a+b−c . 3.9. 1) a−b+c

391

)

x+ y +y . 3.8. 1) ; 2) 2 x− y x − xy + y 2

(1 − y )2 x+z

; 2)

a 2 + b2 ; 3) b

xy ; 4) x2 − y2

a+2 x−4 x+3 x +1 ; 2) ; 3) ; 4) . x −3 x+2 x+7 a+5

. 3.10. 1)

(a + b ) 2m x+4 2a + b 4x + 1 2x + 7 3.11. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.12. 1) ; 2) 3 a 2 4 a−2 2m 3x + 2 y 3 8x − 5 y 9x 6a − 11b ; 3) ; 4) . 3.13. 1) ; 2) ; 3) ; p−q x− y a −1 40 10 36 2

13b 2 − 37 a 2 . 3.14. 1) 20

5a + 3b ; 2) ab

7a − 4 x ; 3) ax

mz − ny ; 4) xyz

5 xp − 3ny 2bp + 3aq 4a 2 + 2ab − 8b 2 3a 2 − 5b 2 . 3.15. 1) ; 2) ; 3) ; 4) mnp abx ab ab 3bc 2 + 6ab 2 − 3a 2 c . 3.16. 1) abc 3ax − 2b . 6x2

7ab − 4a 2 − 3b 2 ; a 2b 2

3.17.

3a − 3 x ; 2) x2

5an − 2m ; 3) a3

n + 2m ; 4) m4n4

5a 2b + 6a − 5b 2 ; a 2b 2

6a 2 + 2a − 5 2x2 − 1 13 5x x(5 x − 9 y ) ; 4) . 3.18. 1) ; 2) ; 3) ; 2 2 4 ( x − 1 ) 8 ( x + y ) a b x y 3 x2 − y2 3bm + 2an 6ax + 19a 6x − 4 2ma + m 2 4) . 3.19. 1) ; 2) 2 ; 3) ; 4) . 2 2 ab(m + n ) a+2 x −9 x −4 1− a

(

3.20. 1)

1 a 2 − 12a + 3 4a 2 + 2ab + 4b 2 ; 2) ; 3) 0; 4) . 3.21. 1) 2 2 2 2 ( x − 2) 2a a − 9 5b −a

(

)

3a + 7a − 28

(

; 2)

)

2 a −a+3 ; a2 − 9 2

4m 2 − 9mn − 28n 2 . m m 2 − 4n 2

(

)

x+5 17 m − 11n x + 4 x + 37 ; 3) ; 4) . 3.22. 2 2 2 x −9 6(x + 1) 6(m − n )2 2

(a + 2)(a − 3)(a + 3) 1)

)

(

−

3.23.

)

x − 4x + 5 ; x 2 − 25

12a ; 1 − a3

−

(

2 p 2 − 15 p + 45

;

);

2( p − 3)2 ( p + 3)

2 2a 2 − 7 ab − 3b 2

(a − b ) (a + b ) 2

(a − b )2 . 3.24. 1) 9b ; 2) 16a 4 xy ; 3) 128a 2 ; 2(a − b ) ; 4) 2 2 5ay 9 a + ab + b a + ab + b 2 27b 3 z 2 2

x− y 2(2 p − 3q ) 7mp 3q . 3.25. 1) ; 2) 1; 3) ; 4) x − y . 3.26. 1) 3 3 2 2 xy apq 4a b c xy

a 2 (a − b ) ; 2) a+b

(a − 5)(a + 3) ; a

3 3 ; 4) . 3.27. 1) 4 2(1 + a )2

392

(x − y )2

; 2)

(

3 x3 + y3

) ; 3)

(a + x )2 (a − x ) ;

x+a x(x + 2 y ) . 3.28. 1) 3 − x 2 ; 2) ; 3 x−a

a + ax + x 5(x − y ) 1 − 3a x ax 3) ; 4) −m . 3.29. 1) ; 2) x + y ; 3) –1; 4) . 2(1 + 3a ) x− y x2 − a2 4a 1 b b+a a (n − a ) 3.30. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.31. 1) ; b−a 3(a − 4) n+a 2(3b − 2a ) 2− p 1 2a(b − 2a ) 1 2) − ; 3) ; 4) . 3.32. 1) 6; 2) 15,5; 3) 18; 4) 6400. 2p b + 2a abc 3.33. 1) 36; 2) 25; 3) 9; 4) 25. 3.34. 1) –0,4; 2) 5; 3) 14; 4) 49. 3.35. 1) 1 a +1 x+ y ; 2) ; 3) 2 ; 4) 12; 2) 21; 3) 31; 4) 6. 3.36. 1) 2 ab a + a +1 x − xy + y 2 2

p 2x a2 − b2 1 a . 3.37. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.38. 1) 2 2 p+q x −y 4a a+b a b 1 mn 1 4 ; 2) ; 3) ; 4) 1. 3.39. 1) (a − 3) ; 2) 2a + b ; 3) 2 2 m−n a+b ab 5 d −c

−

a 2 + b2 x2 + 2x + 4 x 2 + 3x + 9 a+b . 3.40. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ab(a + b ) 5(a − x ) a−x ab a +1 2(x − 2 y ) m−n n + 3m ; 2) ; 3) b ; 4) . 3.42. 1) − 2 . 3.41. 1) x + 2y 2(m + n ) a 3mn 3 xy ; 4)

x(x − a ) ; 2)

2b 2 n y−x ; 3) –1; 4) n 2 n . 3.43. 1) –0,3; 2) 156; 3) y+x a b − a 2n

(

)

1 − ; 4) 11. 3.44. 1) 44; 2) 6; 3) –2; 4) 2. 3.45. 1) 191; 2) 90; 3) –146; 3 9 4) 128. 3.46. 1) 125; 2) 2; 3) 88; 4) . 3.47. 1) 96; 2) 3; 3) 5; 4) 21. 32 1 3.48. 1) 5,6; 2) –0,4; 3) –2,96; 4) 20. 3.49. 1) –2; 2) 1; 3) 1; 4) − . 2 1 1 1 3.50. 1) , roca a > 2 ; , roca a < 2 ; 2) − , roca a+3 a +1 x 1 1 3 x < 2; , roca x > 2 ; 3) − , roca x < 3 ; , roca x(2 x + 3) x x a+5 1 x > 3 ; 4) − , roca a < −5 ; , roca a > −5 ; a ≠ 0 , a(3a − 5) a 5 1 1 , roca m < 0 an m > 3 ; − , roca a ≠ . 3.51. 1) 3 m+2 m+2

393

0 < m < 3 ; 2)

1 , roca x < 0 ; 1 − 3x

x +1

(x − 1)(3x − 1)

, roca 0 < x < 1 ;

2x2 1 , roca x > 1 ; 3) 2, roca x ≤ −1 ; , roca −1 < x < 1 ; x −1 2x2 − 1 x +1 x +1 0, roca x > 1 . 4) − , roca x < −1 ; , roca −1 ≤ x < 0 ; x 2−x x +1 , roca x−2

x > 0.

3.52. 1)

x+3 , roca x2 − x

x<0;

2x2 + x + 3 , x2 + x

3 2 + x − x3 , roca x ≥ 1 ; 2) –1, roca x < −1 ; , x x3 + x roca −1 ≤ x < 1 ; 1, roca x ≥ 1 ; 3) −x − 1 , roca x < −1 ; x + 1 ,

roca 0 < x < 1 ;

roca −1 ≤ x < 1 ; 2 x 2 + x − 1 , roca x ≥ 1 . 4) x − 2 , roca x < −1 ; x2 + 4 , roca −1 < x < 1 ; − (x + 2) , roca 1 < x < 2 ; x + 2 , roca x−2 x > 2.

$5/! 4.50. 1) 3; 2) 3; 3) 4; 4)

2 . 4.51. 1)

5 ; 2) 7; 3) –2; 4)

5 . 4.52. 1) 2

1; 2) − 3 ; 3) 2; 4) 5. 4.53. 1) 2; 2) –2,5; 3) 3; 4) 0,6. 4.54. 1) 6; 2) 8; 1 3) –65; 4) 2 . 4.55. 1) 6; 2) 4; 3) 144; 4) 64. 4.56. 1) ; 2) 188; 3) 1; 6 4) 2,5. 4.57. 1) –2; 2) 9; 3) 22; 4) 20. 4.58. 1) 4; 2) 4; 3) 7; 4) 2 5 . 1 1 4.59. 1) ; 2) 2; 3) 31; 4) 1. 4.60. 1) 7; 2) 8; 3) 3; 4) –2. 4.61. 1) ; 3 29 6 2) 6; 3) –2; 4) –3,5. 4.62. 1) –0,148; 2) 6; 3) –2,2; 4) − . 4.63. 1) -1,5; 5 2) –0,2; 3) –0,05; 4) –9. 4.64. 1) 0,4; 2) 0,8; 3) 0,9; 4) 0,08. 4.65. 1) 1 3,5; 2) 0,35; 3) 7; 4) 36 2 . 4.66. 1) 45 2 ; 2) 3,9; 3) ; 4) –2,5. 7 4.67. 1) 31; 2) –1; 3) 4; 4) 16. 4.68. 1) 0,25; 2) 4; 3) 0,25; 4) 6. 4.69. 1) 1 6; 2) 25; 3) 8; 4) . 4.70. 1) 2 y − 10 , roca 3 ≤ y < 9 ; 8, roca 38 1 + x − x2 y ≥ 9 ; -4, roca y < 3 . 2) , roca x < −1 , 0 < x < 1 ; x +1

394

1 − x − x2 x2 + x −1 x +1 , roca x ≥ 1 ; , roca −1 < x < 0 . 3) − , x +1 x +1 x −1 x +1 x −1 roca x < −1 ; , roca −1 < x < 0 ; , roca x ≥ 0 ; 4) x −1 x +1 4 − x2 , roca x2 + 4x − 4

x+2 , 2− x 1 x > 2 . 4.71. 1) 1; 2) 0,3; 3) − ; 4) 6 4.73. 1) 1; 2) 5; 3) 1; 4) 1. 4.74. 1) 8; x < 1;

roca 1 ≤ x < 2 ;

x+2 , roca x−2

1 . 4.72. 1) 6; 2) 6; 3) 4; 4) 10. 15 2) 9; 3) 7; 4) 2.

$6! ! 5.1. 1) –7; 2) –4; 3) –3; 4) 6. 5.2. 1) –5; 2) –4; 3) 18; 4) -50. 5.3. 1) 19 23 1 1 ; 2) –0,9; 3) 30,4; 4) 110. 5.4. 1) 0,368; 2) − 2 ; 3) ; 4) 36 24 2 97 1 . 5.5. 1) 5; 2) 2; 3) − 27 ; 4) 1. 5.6. 1) 28; 2) 0,5; 3) 4; 4) − 120 2 22 −4 . 5.7. 1) 6; 2) 36; 3) 9; 4) 15. 5.8. 1) 10; 2) 3; 3) –1; 4) –3. 5.9. 37 1) 7; 2) 169; 3) 5; 4) 13. 5.10. 1) 3; 2) 1; 3) 34; 4) 15. 5.11. 1) n 5a + 3b ; 2) x = 7b − 6a ; 3) roca m ≠ −2 , maSin x = ; x= 2 m+2 roca m = −2 , maSin x ∈ ø; roca m = −2 da n = 0 , maSin x ∈ R . 2n ; roca n = 3 , maSin x ∈ ø. 5.12. 1) 4) roca n ≠ 3 , maSin x = n−3 x = −a ; 2) roca m ≠ 0 , maSin x = 1 ; roca m = 0 , maSin x ∈ R . ab ; roca c = − d da ab ≠ 0 , maSin 3) roca c ≠ −d , maSin x = c+d x ∈ ø; roca c = − d da ab = 0 , maSin x ∈ R ; 4) roca a ≠ −c , bc ; roca a = −c da bc ≠ 0 , maSin x ∈ ø; roca maSin x = a+c a = −c da bc = 0 , maSin x ∈ R . 5.15. 1) 3; 2) 5; 3) –0,6; 4) 3. 5.16. 1) 4; 2) 5; 3) 1; 4) –1. 5.20. 1) ± 6; 2) ± 2,5; 3) ± 6; 4) ± 2. 5.21. 1) 0; 7 5 ; 4) 0; . 5.22. 1) 0; 4,2; 2) 0; 4; 3) ø; 4) ± 1. -3; 2) 0; 5; 3) 0; 2 3 5.23. 1) 1; 2; 2) –2; -3; 3) 1; 3; 4) 7; -1. 5.24. 1) –2; 10; 2) 5; 6; 3) –4;

395

1 3 1 2 5; 4) 3; 4. 5.25. 1) 2; 1 ; 2) 1; ; 3) 1 ; -2; 4) –3; − . 5.26. 1) 2 5 3 3 13 1 3 2 11 − ; 6; 2) 3; 1 ; 3) − ; − 2 ; 4) 4; 1,6. 5.27. 1) − ; 2; 2) 2; 3 2 4 3 7 7 45 3) –0,7; 10; 4) 7; − . 5.28. 1) 3; 2,36; 2) 18; 15,8; 3) − ; 2; 4) 0; 9 7

(

)

60. 5.29. 1) − 6 ± 2 2 ; 2) 1 − 3 ; − 3 + 3 ; 3)

5 ; 0; 4) 0; 3 . 3 ab 5.31. 1) 15a ; −4a ; 2) 2a + b ; 2a − b ; 3) a ; ; 4) b ; − b . a−b 4 1 3 7 2 25 5.32. 1) 6; 8; 2) 5; 6; 3) − ; − ; 4) ; . 5.33. 1) 0; − ; 2) 0; 4 8 3 3 4 3 64 7 − ; 3) 0; − ; 4) ; 0. 5.41. 1) a) –5; -2; b) –6; -1; ara; 2) 2 5 9 x1 = −5 ; x2 = −1 ; y1 = −4 ; y 2 = 0 . 5.42. 1) a = 1 ; 2) a = −2 ; 3) a = 0 ; a = 3 ; 4) a = 0 . 5.43. 1) a = 1 ; 2) a = −1 ; 3) a = 3 ; 4) 14; ± 2. 5.44. 1) a = −2 ; 2) a = 3 ; 3) a = 2 ; 4) a = 1 . 5.45. 1) –8; 2) –5; 3) 16 ; 4) 15. 5.46. 1) 9; 2) 4; 3) –8; 4) 1. 5.47. 1) ± 6; 2) ± 12; 3) ± 12; 7 1 1 4) ± 4. 5.48. 1) –7; -1; 2) 0; 3; 3) 0; − ; 4) 1; . 5.49. 1) –4; 1; 2) 12 5 –2; -5; 3) –2; -3; 4) 1; -2 ± 3 . 5.50. 1) –9; 2) –7; 3) 0; 4) –4. 5.51. 1) 53 23 27 7; 10; 2) –6; 6; 3) ; 4) . 5.52. 1) − ; 2) ± 7; 3) -16; 4) –2. 72 8 4 5.53. 1) x 2 − 10 x + 24 = 0 ; 2) x 2 − 15 x + 50 = 0 ; 3) 4 x 2 + 4q − p 2 = 0 ; 4) qx 2 + px + 1 = 0 . 5.54. 1)

(

)

x12 + x22 = p 2 − 2q ;

(

)

x13 + x23 = − p p 2 − 3q ; 2)

x + p p − 3q x + q = 0 ; 3) x = 0 da x + 15 x − 100 = 0 ; 4) x 2 = 0 1 da 9 x 2 + 6 x − 8 = 0 . 5.55. 1) ; 2) 16; 3) 7; 14; 4) 6. 5.56. 1) 3 p = q = 0 an p = 1 , q = −2 ; 2) p = 0 , q = 0 an p = 4 , q = −32 ; 3) m = −2 ; 4) b = −3 . 5.57. 1) –6; 2) 2; 3) 2

(c1a2 − a1c2 )2 − (a1b2 − b1a2 )(b1c2 − c1b2 ) = 0 ; ⎛ q −q ⎞ q q ( p − p )2 x 2 + ⎜⎜ p1 + p2 + 2 2 1 ⎟⎟ x + 1 2 1 22 p1 − p2 ⎠ (q1 − q2 ) ⎝

4) = 0 . 5.58. 1)

± 3;

± 1; 2)

± 2; ± 3; 3) ± 5; ± 2; 4) ± 1; ± 2. 5.59. 1) ± 1; ± 4; 2) ± 6; ± 1; 3)

396

± 1; ± 7; 4) ± 4; ± 3. 5.60. 1) ± 1; ±

1 1 ; 2) ± 3; ± ; 3) ± 3; 2 3

3 1 3 1 . 5.61. 1) 3; -5; -1; 2) − ; ; ; 1; 3) 3 3 2 6 1 1 1 1 1 − ; ; 4) 1; 2; . 5.65. 1) 1; -5; 2) 0; 3; 3) − ; -2; 4) ; −3 3 . 3 2 2 8 3 ±

; 4) ±

2; ±

24 ; 3) 0; 4) 1; − 3 6 . 5.67. 1) 0; -2; 2 6±3 2 − 2 ± 66 ; 2) 1; 3; 3) 0; 1; 4) 0; -2. 5.68. 1) 1; -3; 2) 2; 4; ; 2 2 − 3 ± 73 − 1 ± 37 3) 0; -3; ; 4) –5; 4; . 5.69. 1) 3; 3 ± 2 5 ; 2) 2; -4; 2 2

5.66. 1) 2; -2; 4; -4; 2) ± 2; ±

3) 2; 3; 4) − 4 ± 28 ; − 4 ± 23 . 5.70. 1) 2; 3; 2) 1; -5; − 1 ± 6 ; 3) 1 1 − 11 ± 105 ; 4) 2; ; . 5.71. 1) –4; -1; -2; -3; 2) –3; 2; 2 2 4 − 1 ± 17 ; 3) 1; 2; 4) –2; 2; ± 2 . 2

$7! ! 29 ; 3) 53; 4) 61. 6.5. 1) 100; 26 2) 4; 3) 16; 4) 1. 6.6. 1) 3; 2) 4; 3) x ∈ ø; 4) –1. 6.7. 1) 5; 2) 7; 3) 7; 4) 11. 6.8. 1) 2; 2) 0; 3) –4; 4) 1; 2. 6.9. 1) 2; 2) 3; 3) 1; 2; 4) ø. 6.10. 2 5 ; 2) 25; 3) 5; − ; 4) –3. 6.11. 1) 10; 2) 2; 34; 3) –1; 3; 4) –1. 1) 3 4 6.12. 1) 4; 2) 4; 3) 12; 4) 3. 6.13. 1) 7; 2) –1; 3) 2; 4) 8; 7. 6.14. 1) 2; 2) 5; 3) 8; 4) 7. 6.15. 1) 1; 2) ± 0,5; 3) 4; 4) 1. 6.16. 1) 3; 5; 2) 17; 25; 3) 2; 4) ± 1. 6.17. 1) 1,5; 2) 6; 3) 5; 4) 1. 6.18. 1) ± 4; 2) 0; 3) –61; 27 ; 1; 2) 30; 4) -3; 4. 6.19. 1) 81; 2) 17; 3) 19; 84; 4) –7; 7. 6.20. 1) − 8

6.3. 1) 5; 2) 3; 3) ± 2; 4) 5. 6.4. 1) 10; 2)

64; 3) ± 2 2 ; 4) ± 2 2 . 6.21. 1) 8; 2) 1024; 3) ± 3 2 ; 4) ± 4. 6.22. 5 ; 1) –1; 4; 2) –2; 9; 3) –2; 6; 4) –5; 0. 6.23. 1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) − 511 2.

397

$8! ! 7.1. 1) (3;4); 2) (3;4); 3) (5;-2); 4) (5;-3). 7.2. 1) (125; -47); 2) (1;-2); 3) 1⎞ ⎛1 (7;5); 4) (5;-2). 7.3. 1) (4;3); 2) (2;1); 3) ⎜ ;−1 ⎟ ; 4) (3;-2). 7.4. 1) (0;5); 6⎠ ⎝2 2) (0,5;-2); 3) (9;2); 4) (-5;-6). 7.5. 1) (4;2); 2) (-3;1); 3) (-19;-3); 4) (21;1). 1⎞ ⎛ 7.6. 1) ⎜ − 1; ⎟ ; 2) (-1;2); 3) (-1;1); 4) (1;-1). 7.7. 1) (8;9); 2) (36;12); 3) 2⎠ ⎝ (4;-3); 4) (2;-5). 7.8. 1) (-1;1); 2) (11;6); 3) (3;1); 4) (9;10). 7.9. 1) (2;3); 2) ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ (0,1;4); 3) ⎜ ; ⎟ ; 4) ⎜ ; ⎟ . 7.10. 1) (5;3); 2) (10;-3); 3) (7;3); 4) (5;1). ⎝5 4⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎛ 1 3⎞ 7.11. 1) (5;3); 2) (3;2,5); 3) (7;4); 4) (2;-1). 7.12. 1) (1;0); ⎜ − ;− ⎟ ; 2) ⎝ 2 2⎠ ⎛ 3 ⎞ (5;3); ⎜ − ;−10 ⎟ ; 3) (2;-2); 4) (6;2); (2;6). 7.13. 1) (0,25;7,75); (-2;1); 2) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 12 24 ⎞ (17;10); (4;-3); 3) (0;0); ⎜ − ; ⎟ ; 4) (6;9); (-9;-6). 7.14. 1) (8;4); (4;8); ⎝ 5 5 ⎠ 14 ⎞ ⎛ 2) (5;1); (-1;-5); 3) (2;3); (3;2); 4) (3;0); (1;-2). 7.15. 1) (3;4); ⎜ − 10;− ⎟ ; 3⎠ ⎝ 1 5 ⎞ ⎛ 2) (-2;5); ⎜ − 7 ;3 ⎟ ; 3) (4;2); (16;-10); 4) (3;2); (2;1). 7.16. 1) (3;4); 2 8⎠ ⎝ ⎛ 7 ⎛ 6 1⎞ ⎞ ⎛7 3⎞ (1;2); 2) ⎜ − ;−1⎟ ; ⎜ ; ⎟ ; 3) (4;0); (-0,5;-4,5); 4) ⎜1 ;1 ⎟ . 7.17. 1) ⎝ 3 ⎝ 7 7⎠ ⎠ ⎝2 2⎠ (4;1); (1;4); 2) (7;1); (1;7); 3) (5;-3); (-3;5); 4) (-9;4); (4;-9). 7.18. 1) (9;2); (-2;-9); 2) (5;3); (-3;-5); 3) (12;-4); (4;-12); 4) (2;-1); (1;-2). 7.19. 1) (± 3;±2) ; (± 2;±3) ; 2) (-1;2); (2;-1); 3) (4;1); ⎛⎜ 10 ; 2 ⎞⎟ ; 4) (1;2); (2;1). ⎝ 3 3⎠ ⎛ 1 1⎞ 7.20. 1) ⎜ ± ;m ⎟ ; (± 2;m1) ; 2) (± 2;±8) ; (± 8,5;m5) ; 3) (± 1;±2 ) ; ⎝ 2 2⎠ (± 2;±1) ; 4) (± 3;±5) ; ⎛⎜ ± 1 2 ;±4 1 ⎞⎟ . 7.21. 1) (± 3;±1) ; m 2 ;±2 2 ; 2) 3⎠ ⎝ 3 1⎞ ⎛ 10 2 10 ⎞⎟ ⎛ ; 3) (± 2;±3) ; (± 3;±2) ; 4) (± 3;±1) . 7.22. ;m ⎜ ± 2;± ⎟ ; ⎜⎜ ± 2⎠ ⎝ 5 5 ⎟⎠ ⎝ 1) (1;2); (2;1); 2) (3;1); (1;3); 3) (5;2); (-2;-5); 4) (5;4); (4;5). 7.23. 1) (3;2); (3;-3); (-4;2); (-4;-3); 2) (0;0); (4;2); (-2;-4); 3) (3;4); (-3;-4);

(

398

)

⎛ 8 ⎛ 8 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛2 4⎞ ;− ; ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎜⎜ − ⎟⎟ ; 4) (3;1); ⎜ 3 ;− 3 ⎟ . 7.24. 11 ⎠ 11 11 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 11 ⎝ ⎛ 14 5 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎜ ;− ⎟ ; 2) (2;3); (0;1); ⎜ ;1⎟ ; 3) 2 + 5 ; 5 ; 2 − 5 ;− ⎝ 3 3⎠ ⎝2 ⎠ (3;2); 4) (6;3); (-1;-4); (4;5); (-3;-2). 7.25. 1) (5;3); (-5;-3); (3;5); (5;4); (-5;-4); 3) (8;2); (2;8); 4) (9;4). 7.26. 1) (9;4); (4;9);

) (

(

(20;5); 3) (2;3); (3;2);

(− 2 +

) (− 2 −

7 ;−2 − 7 ;

)

(7;3);

)

5 ; (0;2);

(-3;-5); 2) 2) (5;20);

7 ;−2 + 7 ; 4) (2;-4);

⎛ 3 + 21 3 − 21 ⎞ ⎛ 3 − 21 3 + 21 ⎞ ⎟; ⎜ ⎟ . 7.27. 1) (4;2); (2;4); 2) (-4;2); ⎜ ; ; ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7;5); (-5;-7); 3) (5;-2); (2;-5); 4) (-6;-1); (-1;-6). 7.28. 1) (2;1); (1;2); 2)

(

) (

)

(12;4); (4;12); − 5 + 55 ;−5 − 55 ; − 5 − 55 ;−5 + 55 ; 3) (1;3); (-1;-3); ⎛1 3⎞ ⎛4 2⎞ (3;1); (-3;-1); 4) (2;3); (3;2). 7.29. 1) ⎜ ; ⎟ ; 2) (0;1); 3) (4;2); ⎜ ;− ⎟ ; 2 2 ⎝ ⎠ ⎝3 3⎠ 4) (2;1). 7.30. 1) erTi amonaxsni; 2) uamravi amonaxsni; 3) erTi 3 8 10 ; 2) − ; 3) ; 4) amonaxsni; 4) ara aqvs amonaxsni. 7.31. 1) 2 3 3 1 2 − ; 0. 7.32. 1) m = 10 ; n = 6 ; 2) m = −6 ; n = −19 ; 3) m = ; 6 3 8 37 n = ; 4) m = −1 ; n = 2 ; m = − ; n = −3 . 7.33. 1) a) –1; b) –7; 2) 3 3 a) 2; b) 0; 3) a) 2; b)-1; 4) a)-1; b)-3. 7.34. 1) (5;6;10); 2) (1;1;1); 3) (1;3;5); 4) (-2;0;3). 7.35. 1) (2;-1;3); (-3;4;-2); 2) (5;3;4); (4;2;5); 3) (1;2;3); (-1;-2;-3); 4) (2;3;4); (-2;-3;-4).

$9! ! 8.1. 1) x < 4 ; 2) x > 1,2 ; 3) x > −2,2 ; 4) x ≥ 1,5 . 8.2. 1) x ≤ −

7 ; 2) 8

2 ; 2) x < 3,5 ; 3) x ≥ 17 ; 3 4) x ≥ −0,25 . 8.4. 1) x > −115 ; 2) x < 15 ; 3) x ≥ 0,2 ; 4) x ≤ 1,4 . 8.5. 39 9 5 1) x < − ; 2) x < ; 3) x > 3 ; 4) x < − ; x = 0 . 8.6. 1) x > 17 ; 2) 4 4 3 x ≤ 1 ; 3) 0 ≤ x < 6 ; 4) ø. 8.7. 1) ø; 2) 2 ≤ x < 3 ; 3) x ≥ 1,1 ; 4) ø. 8.8. x > 9 ; 3) x < −3,1 ; 4) x < 0,8 . 8.3. 1) x < −

399

1 . 8.9. 1) x < 2 ; 2) 1 < x < 3 ; 3) 11 1 x > 12 ; 4) 1 < x < 2 . 8.10. 1) x > 9 ; 2) −29 < x < 3 ; 3) 1 < x < 3 ; 4) 9 1 3 x > 3 . 8.11. 1) x < 0 ; x > 5 ; 2) x < 2 ; x > 4 ; 3) < x < 4 ; 4) 2 7 3 − < x < 1 . 8.12. 1) 1 < x < 4 ; 2) −3 ≤ x < −1 ; 3) ø; 4) −2 < x ≤ 3 . 2 8.13. 1) x > 8 ; 2) x < 2 ; 2 < x < 3 ; 3) x > 2 ; 4) −1 ≤ x < 3 ; x > 3 . 3 10 1 3 ; 2) < x ≤ 5 ; 3) < x ≤ ; 4) x < −1 ; x > 0 . 8.14. 1) − 4 < x < 2 3 4 2 1 3 8.15. 1) 0 < x < ; 2) x < −1 ; x > ; 3) −1 < x ≤ 1 ; 4) x < 7 . 8.16. 1) 8 4 1 6 5 x > 3 ; 2) −7 < x < −2 ; 3) x < ; x > 1 ; 4) x < ; x > . 8.17. 1) 3 5 3 2 x < 1 ; x > 3 ; 2) −∞ < x < ∞ ; 3) − 1 < x < ; 4) ø. 8.18. 1) x ≤ 5 ; 5 x ≥ 9 ; 2) −∞ < x < ∞ ; 3) x ≤ 5 ; x ≥ 6 ; 4) x < 1 ; x > 3 . 8.19. 1) 2 2 1 x < − ; x > 2 ; 2) ≤ x ≤ 1 ; 3) − < x < 3 ; 4) −∞ < x < ∞ . 8.20. 1) 5 3 3 1 1 3 ≤ x ≤ 7 ; 2) −6 < x < 8 ; 3) − < x < ; 4) x ≤ −1 ; x ≥ −0,2 . 8.21. 1) 3 2 4 − < x < 0 ; 2) x < −3 ; x > 3 ; 3) 0 ≤ x ≤ 10 ; 4) x ≤ − 5 ; x ≥ 5 . 3 5 3 5 3 1 8.22. 1) x < ; < x < 3 ; 2) x < ; < x < 4 ; 3) x ≤ ; x ≥ 4 ; 7 2 7 2 3 3 1 3 x = . 4) −4 ≤ x ≤ 8 . 8.23. 1) x ≤ 0 ; 2,5 ≤ x ≤ 3 ; 2) ≤ x≤ ; x≥3; 2 5 2 5 2 9 7 4 3) < x < 5 ; 4) < x < 1 ; x > . 8.24. 1) 1 < x < 2 ; x > 3 ; <x< ; 6 3 4 2 3 2) 2 < x < 3 ; x > 5 ; 3) x < −3 ; −1 < x ≤ 1 ; 4) x > 4 . 8.25. 1) x ≤ −3 ; x ≥ 1 ; 2) −4 < x < −1 ; −1 < x < 6 ; 3) x ≤ −5 ; −1 < x ≤ 3 ; 4) −2 < x < 2 ; 6 < x < 8 . 8.26. 1) 3 < x < 5 ; 2) −2 ≤ x < 1 ; x > 6 ; 3) 3 1 < x < 1,5 ; x > 2 ; 4) − 2 < x < ; x > 5 . 8.27. 1) −4,5 < x < −2 ; x > 3 ; 2 2) x < −2 ; x > 2 ; 3) 0 ≤ x ≤ 8 ; 4) 1 < x < 6 . 8.28. 1) −1 < x < 4 ; 2) x < 3 ; 3) −4 < x < −3 ; 0 ≤ x < 1 ; x = 2 ; 4) −4 < x < −1 ; 1 ≤ x < 2 . 1 8.29. 1) x > 5 ; 2) x ≤ 0 ; 3) x ≥ −4 ; 4) x = − . 8.30. 1) x < −5 ; x > 5 ; 2 400

1) x > 3 ; 2) x ≤ −3 ; 3) x > 4 ; 4) x >

2) x ≤ −4 ; x ≥ −1 ; 3) −10 < x ≤ −6 ; 6 ≤ x < 10 ; 4) 1 < x ≤ 2 ; 5 ≤ x < 6 . 4 7 2 ≤ x < 5 ; 3) ø; 4) − ≤ x < − . 8.32. 1) x ≥ 5 ; 2) 8.31. 1) x ≥ 3 ; 2) 3 2 3 5 9 − 3 < x ≤ − ; 3) −3 < x ≤ −2 ; 5 ≤ x < 7 ; 4) x < ; x > 15 . 8.33. 1) 2 5 2 2 3 2 2 ≤ x < 4 ; x > 5 ; 2) ≤ x < 1 ; 3) x > ; 4) x > . 8.34. 1) 9 3 2 3 −3 ≤ x < 1 ; 2) −14 ≤ x < 2 ; 3) −46 ≤ x < 3 ; 4) −27 ≤ x < 9 . 8.35. 1) x ≥ 6 ; 2) 0 ≤ x ≤ 3 ; 3) x ≤ −2 ; x > 2 ; 4) x ≤ −4 ; x > 0 . 8.36. 1) x > 2 ; 2) x < −2 ; 1 < x < 3 ; 3) −2 ≤ x ≤ −1 ; x ≥ 3 ; 4) −2 ≤ x ≤ 1 ; 3 17 x = 3 . 8.37. 1) x < ; 4 < x < 7 ; 2) −3 < x ≤ 1 ; x = − ; 3) −3 ≤ x ≤ 6 ; 4 2 x > 8 ; 4) −3 ≤ x ≤ 6 . 8.38. 1) x > 9 ; 2) −1 < x < 15 ; 3) x < −4 + 2 5 ; 2 1 4) − < x ≤ − . 8.39. 1) −5 ≤ x < −1 ; x > 1 ; 2) − 2 13 ≤ x < −4 ; 3 3

2 < x ≤ 2 13 ; 3) −6 ≤ x < 0 ; 3 < x ≤ 4 ; 4) x < 0 ; 1 ≤ x ≤ 2 . 8.41. 1) 2 2 3 a > −4 ; 2) a > −2 ; 3) a < 2 ; 4) a < 2 . 8.42. 1) a > 2 ; 2) a < ; 3 3 7 8 16 3) a > 0,7 ; 4) a < 1 . 8.43. 1) a < −2 ; 2) a < ; 3) a > − ; 4) 3 3 11 46 15 3 a > − . 8.44. 1) a > −36 ; 2) a > ; 3) a > ; 4) a > . 8.45. 1) 4 125 17 16 1 5 ≤ a ≤ 11 ; 2) a ≤ −2 ; a ≥ ; 3) −5 ≤ a ≤ 1 ; 4) −∞ < a < ∞ . 8.46. 1) –1; 2 9 − 17 9 + 17 1 2) -3; 3) –2; 4) 3. 8.47. 1) ; a ≠ ; 2) <a< 16 16 3 − 5 − 17 17 − 5 1 16 − 2 19 16 + 2 19 ; 3) a = ; a ≤ ; a≥ ; 4) ≤a≤ 2 2 2 15 15 a = −1 ; a = 3 . 8.48. 1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 3. 8.49. 1) −5 < a < 2 ; 2) 1 −1 < a < 5 ; 3) −3 < a < 3 ; 4) −4 < a < −1 . 8.50. 1) 3 < m < 9 ; 2) 4 2 1 17 m > 2 ; 3) m > ; 4) 2 2 < m < 4 . 8.51. 1) a > ; 2) a < −1 ; 3 2 2 1 < a < 2,6 ; 3) a > 3 ; 4) a > 2 2 . 8.52. 1) a > 1 ; 2) a > 11 ; 3) 4 36 1 a < − ; a > 2 ; 4) 0 < a < 28 . 8.53. 1) a < − ; 2) a < − ; 3) 5 5 12

401

7 ; 16

−5 < a < 2 .

8.54. 1)

−6 < a < 2 ;

−7 < a < 1 ;

−4 3 ; 2) 1 < a < 2 . 8.56. 1) 3 3 1 1 − < m < −1 ; 2) m < −4 ; 0 < m < ; 3) m < −3 ; − 2 < m < ; 4) 2 2 2 23 −1 < m < 1 ; 2 < m < 4 . 8.57. 1) < m < 2 ; m > 3 ; 2) m < −3 ; 24 5 4 5 − 2 < m < − ; 3) m < −9 ; − 9 < m < − ; m > ; 4) m > −2 ; m ≠ 0 . 3 3 2 16 11 8.58. 1) a > ; 2) a < −2 ; 3) a > 1 ; 4) ≤ a < 2 . 8.59. 1) a ≤ −3 ; 17 9 11 1 a ≥ 1 ; 2) − 2 − 11 < a < −2 + 11 ; 3) 2 2 ≤ a < ; 4) − 2 < a ≤ . 3 4 −2 < a < 4 ; 4) −3 < a < 6 . 8.55. 1) a <

− 7 − 45 1 1 ≤ a ≤ 2 3 − 4 ; 2) a > 1 ; 3) − < a < ; 4) 2 3 2 1 1 < a ≤ 1 ; 2) −2 ≤ a ≤ −0,5 ; 3) a < −3 ; a > −1 ; 4) 0 < a < . 8.61. 1) 2 5 1 a < . 8.62. 1) ø; 2) 28 < a < 30 ; 3) 10 < a < 12 ; 4) a > 3 . 8.63. 1) 2 a < −4 ; 2) a < 6 ; 3) a < 70 ; 4) a > −3 . 8.64. 1) ara; 2) ara; 3) ara; 4) ara.

8.60. 1)

$:! ! 1 1 ; 3) − ; 1; 4 3 2 1 5 7 8 4) − ; 1. 9.3. 1) ; 2) ; 3) 0; 2; 4) 1; . 9.4. 1) –2; 2; 2) 0; ; 5 2 6 5 5 3 4 1 1 3) − ; 7; 4) ; 3 . 9.5. 1) x ≤ −3 ; 2) − ; 3) ø; 4) –2. 9.6. 1) 2 5 5 3 4 1 3 ; − ; 4) ø. 9.7. 1) ± 2; 2) ± 3; ± 1; 3) –3; -1; − ; -6; 2) 7; 13; 3) 3 2 4 4 5 4) 2; 3. 9.8. 1) 2; 2) 3; 3) –2; 4) 4. 9.9. 1) ± 10; 2) ± ; 3) ± 1; ± ; 3 2

9.1. 1) ± 0,5; 2) ± 0,5; 3) –1; 3; 4) –4; 0. 9.2. 1) 2; 2) −

402

4) ± 1. 9.10. 1) –1; 7; 2) –1; 3; 3)

1 − 5 ± 41 ; 2; ; 4) –1; 2. 9.11. 1) 2 4

–1; 5; 2) –10; 4; 3) 2; 4; 4) –5; 3 + 8 . 9.12. 1) 2; 6; 2) 2; 5; 7; 3) –3; 1 2 2 1 2; 3; 4) 2; ± 3; ± 7 . 9.13. 1) –1; 2) − ; ; 3) − ; ; 4) 1; 4. 2 3 3 2 4 1 9.14. 1) 1 ± 2 2 ; 2) –5; 3; 3) 1; 9; 4) –11; 3. 9.15. 1) ; − 1 ± 17 ; 3 4 1 2) x ≤ −3 ; x ≥ 3 ; 3) 5 − 1 ; 4) 0 ≤ x ≤ 289 . 9.16. 1) 3; − 1 − 8 ; 2) 2 11+ 33 ⎛ 3 11 ⎞ 1; ; 3) –5; 3 − 2 ; 4) − 2 − 7 ; 5. 9.17. 1) (1;1); ⎜ ; ⎟ ; 2) 2 ⎝5 5 ⎠

(

)

⎛8 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 7⎞ ⎜ ; ⎟ ; (2;1); 3) (1;2); ⎜ 4; ⎟ ; 4) (1;-1); (2;3). 9.18. 1) (1;1); ⎜ − ;− ⎟ ; ⎝5 5⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎛7 1⎞ ⎛3 5⎞ ⎛1 7⎞ ⎛5 7⎞ 2) (1;1); ⎜ ; ⎟ ; 3) (2;1); ⎜ ; ⎟ ; 4) (1;3); ⎜ ; ⎟ ; ⎜ ; ⎟ . 9.19. 1) 3 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝3 3⎠ ⎝3 3⎠ (1;1); (-1;-1); (1;-1); (-1;1); 2) (2;1); (-2;-1); (2;-1); (-2;1); 3) (0;1); (0;3); (2;1); (2;3); 4) (1;2); (1;0); (-3;2); (-3;0). 9.20. 1) −1 ≤ x ≤ 5 ; 2) x < −9 ; 2 1 x > 11 ; 3) −7 ≤ x ≤ −1 ; 4) x ≤ −1 ; x ≥ −1 . 9.21. 1) x ≤ 2 ; 2) 3 4 3 1 1 1 1 x > ; 3) x < ; x > 1 ; 4) − < x < 7 . 9.22. 1) x < −5 ; x > − ; 2) 5 5 3 2 3 3 1 − < x < 1 ; 3) < x < 13 ; 4) x < −1 ; x > 1 . 9.23. 1) − 3 < x < − 3 ; 7 3 3 < x < 3 ; 2) − 4 ≤ x ≤ − 2 ;

2 ≤ x ≤ 4 ; 3) −1 < x < 2 ; 3 < x < 6 ; 4)

1 < x < 2 ; 3 < x < 4 . 9.24. 1) x < − 7 ; −1 < x < 1 ; x > 7 ; 2) x < −2 ;

x > 2 ; 3) x < 2 − 2 3 ; x > 2 + 2 3 ; 4) x < −1 ; x > 3 . 9.25. 1) 1 3 4 − < x < ; 2) x < ; 3) − 10 < x < 10 ; 4) x > 0 . 9.26. 1) 4 2 3 3 1 1 1 1 − 29 1+ 5 2) ; − <x<− ; − <x<− ; ≤x≤− 5 3 3 7 2 2 5 −1 1 + 29 ; x ≠ ±2 ; 3) 1 − 10 < x < 1 + 10 ; 4) x < −4 ; ≤x≤ 2 2 −4 < x < −1 ; −1 < x ≤ 0 . 9.27. 1) −8 < x < −4 ; −4 < x < 0 ; 2) −8 < x < −2 ; −2 < x < 4 ; 3) −2 < x < 3 ; 3 < x < 8 ; 4) −6 < x < −3 ; −3 < x < 0 . 9.28. 1)

−1 < x < 3 ; 2)

403

−2 ≤ x < 1 ;

5 < x < 2 + 12 ; 3)

− 2 − 13 ≤ x < −5 ; 1 < x ≤ 3 ; 4) −3 ≤ x < −1 ; 3 < x ≤ 1 + 8 . 9.29. 1) −12 < x < −4 ; 8 < x < 16 ; 2) −1 < x ≤ 0 ; 2 ≤ x < 3 ; 3) −29 < x < −20 ; 18 < x < 27 ; 4) −18 < x < −6 ; 10 < x < 22 .

$21! ! ! 10.1. 40;36;43. 10.2. 240 ha; 180 ha; 300 ha. 10.3. 15;30;20. 10.4. Warxali 240 kg. kombosto 360 kg. kartofili 1200 kg. 10.5. 59;60;61. 10.6. 8. 10.7. 6;7;8;9. 10.8. 12. 10.9. 48;24. 10.10. 24 sm. 10.11. 10 m; 5 m. 10.12. 5 m; 15 m. 10.13. 100 l; 50 l. 10.14. 2200 t; 1100 t. 10.15. 20 kg; 60 kg. 10.16. 13 t; 26 t. 10.17. 4 sT. 10.18. 4 sT. 10.19. 90 t; 30 t. 10.20. 40 ha; 10 ha. 10.21. 9. 10.22. 6. 10.23. 4. 10.24. 10. 10.25. 68 ha; 52 ha. 10.26. 100 muxis; 200 fiWvis. 10.27. 30. 10.28. 38; 32. 10.29. 6 ha; 2 ha; 8 ha. 10.30. 136. 10.31. 312,5 kg; 12,5 kg; 25 kg. 10.32. 26 ha. 10.33. 504. 10.34. 72;45. 10.35. 72;48. 10.36. 3 3 3 4 28;40. 10.37. . 10.38. . 10.39. . 10.40. . 10.41. 420;35. 10.42. 7 5 7 9 672; 12 dReSi. 10.43. 378 t. 10.44. 40 dRe. 10.45. 960. 10.46. 48. 10.47. 165. 10.48. 88. 10.49. 20 kg. 10.50. 100. 10.51. 5. 10.52. 200 lari. 10.53. 60. 10.54. 300. 10.55. 926,1. 10.56. 75000. 10.57. 40000. 10.58. 5000. 10.59. 5. 10.60. 40. 10.61. 20. 10.62. 60. 10.63. 120 lari. 10.64. 400. 10.65. 40. 10.66. 600. 10.67. 60. 10.68. 240. 10.69. 20 ha. 10.70. 500. 10.71. 1000. 10.72. 5 wT. 10.73. 400 km. 10.74. 46. 10.75. 24; 16. 10.76. 390 t; 240 t. 10.77. 12 km/sT; 9 km/sT. 10.78. 59 km/sT. 10.79. 12 km/sT; 20 km/sT. 10.80. 210 km. 10.81. 25,2 km/sT. 10.82. 640 km; 60 km/sT. 10.83. 120 km. 10.84. 18 km/sT. 10.85. 60 km. 10.86. 12 km/sT; 30 km/sT. 10.87. 50 km/sT; 70 km/sT. 10.88. 40 km/sT; 120 km/sT. 10.89. 6. 10.90. 36 km/sT. 10.91. 240 km. 10.92. 400 km/sT; 1200km/sT. 10.93. 15 km. 10.94. 30 km. 10.95. 750 km. 10.96. 80 km. 10.97. 150 km. 10.98. 50 km/sT. 10.99. 600 m. 10.100. 72. 10.101. 119 m; 17 m/wm. 10.102. 56 km/sT. 10.103. 50 km/sT. 10.104. 80 km. 10.105. 1320 km; 230 km/sT. 10.106. 21,6 km/sT. 10.107. 0,5 km/sT. 10.108. 7,5 km. 10.109. 10 km. 10.110. 5. 10.111. 350 km; 8 sT. 10.112. 12 vagoni; 190 t. 10.113. 32. 10.114. 52. 10.115. 36 m/wT; 9 m/wT. 10.116. 40; 25; 100 m. 10.117. 144. 10.118. 12. 10.119. 6. 10.120. 24. 10.121. 6. 10.122. 3. 10.123. 10 wT. 10.124. 20; 30. 10.125. 20. 10.126. 6 sT. 10.127. 4. 10.128. 26; 39; 52. 10.129. 20. 10.130. 10. 10.131. 400 lari. 10.132. 10.

404

10.133. 73. 10.134. 5. 10.135. 65 kg. 10.136. 29 weli. 10.137. 200. 10.138. 2,5 kg. 10.139. 300. 10.140. 4. 10.141. 70. 10.142. 10; 16. 10.143. 8 l da 12 l. 10.144. 140 m. 10.145. 28 m. 10.146. 6400 sm 2 . 10.147. 80 km/sT; 70 km/sT. 10.148. 400 km/sT; 320 km/sT. 10.149. 6. 10.150. 50 km/sT; 45 km/sT. 10.151. 80 km/sT. 10.152. 60 km/sT. 10.153. 10 sT. 10.154. 32 km/sT da 9 km/sT. 10.155. 30 km/sT. 10.156. 360 km/sT; 900 km/sT. 10.157. 15 km/sT. 10.158. 3,75 sT. 10.159. 100 km/sT; 80 km/sT an 80 km/sT; 60 km/sT. 10.160. 20 km/sT. 10.161. 20 km/sT. 10.162. 3. 10.163. 12 km/sT. 10.164. 40 km/sT; 50 km/sT. 10.165. 16 km/sT; 12 km/sT. 10.166. 60 km/sT; 120 km/sT. 10.167. 44 km. 10.168. 48 km; 16 km/sT; 20 km/sT. 10.169. 18 km/sT; 24 km/sT. 10.170. 100 3 km; 200 3 km. 10.171. 20 3 km. 10.172. 6. 10.173. 8. 10.174. 8. 10.175. 2,5. 10.176. 9. 10.177. 6 t; 5 t. 10.178. 10 ha; 12 ha an 8 ha; 10 ha. 10.179. 800 m 2 ; 500 m 2 an 900m 2 ; 600m 2 . 10.180. 22 an 17. 10.181. 12; 6. 10.182. 5 sT; 7 sT. 10.183. 10 dRe; 15 dRe. 1 1 . 10.188. 10 sT; 15 10.184. 14; 11. 10.185. 0,5. 10.186. . 10.187. 6 24 sT. 10.189. 20% an 80%. 10.190. 40. 10.191. 20. 10.192. 5. 10.193. 50. 10.194. gaiafda 20%-iT; gaZvirda 5%-iT. 10.195. 80. 10.196. 30. 10.197. 19. 10.198. 30. 10.199. 11. 10.200. 22. 10.201. 30. 10.202. 10. 10.203. 7. 10.204. rvakuTxeds. 10.205. 5 sm. 10.206. 3 sm. 10.207. 3 m. 10.208. 100 m. 10.209. 40 sm; 20 sm. 10.210. 160 g; 20%. 10.211. 10 l. 10.212. 2. 10.213. 15. 10.214. 9 kg; 6 kg. 10.215. 30. 10.216. 12; 2. 10.217. 2; 1. 10.218. 200 kg; 150 kg. 10.219. 100; 200. 10.220. 9,6 kg; 6 kg. 10.221. 6; 5. 10.222. 8 manqana; 6sT. 10.223. 36 striqoni; 50 aso. 10.224. 10. 10.225. 2. 10.226. 62. 10.227. 29. 10.228. 57. 10.229. 69. 10.230. 24. 10.231. 76. 10.232. 12. 10.233. 24. 10.234. 64. 10.235. 37. 10.236. 71. 10.237. mokrive_21; moWidave_15. 10.238. pirvelSi_17; meoreSi_31. 10.239. 12 sT; 4sT. 10.240. 28 dRe; 21 dRe. 10.241. 20; 30. 10.242. 2 sT; 4 sT. 10.243. 10; 15. 10.244. 12. 10.245. 2,25 sT. 1 10.246. 30; 20. 10.247. . 10.248. 1. 10.249. 18 km/sT; 2 km/sT. 10.250. 4 10 km/sT; 2km/sT. 10.251. 6 km/sT; 4 km/sT. 10.252. 60 km; 12 km/sT; 5 sT. 10.253. 5 km; 3 km. 10.254. 60 km; 70 km. 10.255. 80 km/sT; 60 km/sT. 10.256. 16 km; 10 km. 10.257. 12 km/sT; 18 km/sT; 24 km. 10.258. 15 m/wm; 10 m/wm. 10.259. 4 wm; 6 wm. 10.260. 8:15. 10.261. 12. 10.262. 3. 10.263. 6. 10.264. 1) 4 m 2 ; 2) 2,5 m 2 . 10.265. 1) 5; 2) 50; 3) 60; 4) 67. 10.266. 40 kg. 10.267. 8 lari. 10.268. 38,8%-iT. 10.269. 20%. 10.270. 5 lari. 10.271. 20. 10.272. 3000 lari; 2000 lari; 8

405

Tve; 1 weli. 10.273. 6400 lari; 1600 lari; 5 Tve; 15 Tve. 10.274. 10 weli. 10.275. 2. 10.276. 475 c; 480 c; 375 c. 10.277. 180; 120; 160. 10.278. 57 sT 36 wT. 10.279. 32 muSa; 9 sT. 10.280. 16 sT; 16 2 1 sT. 10.281. 6 sT; 5 sT. 10.282. 15. 10.283. 9 sT. 10.284. 6 3 3 3 dR. 10.285. 1) 12 sT 12 wT; 2) 12 sT 16 wT; 3) 12 sT 8 wT; 4) 12 2α sT wT. 10.286. 1) 2 sT 34 wT; 2) 2 sT 36 wT; 3) 2 sT 16 11 2α wT an 2 sT 4 wT; 4) 2 sT 10 + wT α < 165o an 2 sT 11 2α wT α < 45o . 10.287. 8-jer. 10.288. velosipedisti. 10 − 11 18 10.289. velosipedisti. 10.290. -jer. 10.291. ukan 13 dabrunebaze. 10.292. meoresi. 10.293. 4,5 km/sT; 5,5 km/sT. 10.294. 12. 10.295. 20 km/sT. 10.296. 48 km/sT. 10.297. 6. 10.298. 50 km/sT. 10.299. 3 m. 10.300. 3 km. 10.301. 60 km/sT. 10.302. 8 sT; 4 sT. 10.303. 6 km/sT; 18 km/sT. 10.304. 16 km/sT. 10.305. 24 km/sT. 10.306. 3 sT. 10.307. 10 m/wm; 6 m/wm. 10.308. 60 km/sT; 100 km/sT. 10.309. 20 km/sT. 10.310. 25 km/sT. 10.311. 10 km/sT. 10.312. 5 km/sT. 10.313. 20 km/sT. 10.314. 60 km/sT. 10.315. 2,5 km/sT; 1,5 km/sT. 10.316. 20 1 1 ; . 10.319. ar km/sT; 12 km/sT. 10.317. 96 l; 60 l. 10.318. 2 5 SeiZleba. 10.320. 1 kg; 2 kg. 10.321. 0,5 l. 3,5 l. 10.322. 25%. 10.323. 2 gr; 22 gr. 10.324. 2-jer.

(

)

§11 11.2. 1) 405; 2) 10005; 3) k 2 − 2k + 6 ; 4) 4 k + 5 . 11.3. 1) 24; 2) 29; 100; 4) 120. 11.4. 1) aris, n = 16 ; 2) aris, n = 18 ; 3) ar aris; ar aris. 11.5. 1) a2 = a15 = −30 ; 2) ar aris. 11.6. 1) n ≥ 9 ; 1 ≤ n ≤ 15 ; 3) n ≥ 33 ; 4) 26 ≤ n ≤ 59 . 11.7. 1) n ≠ 1 ; 2) n ≥ 5 ; 1 ≤ n ≤ 5 ; 4) 3 ≤ n ≤ 19 . 11.8. 1) 11; 2) 32. 11.9. 1) xn = 2n − 1 ; 1 xn = 2n ; 3) xn = 3n − 1 ; 4) xn = n 2 ; 5) xn = n 3 ; 6) xn = ; 7) n

406

3) 4) 2) 3) 2)

n 1 ; 8) xn = 3(− 1)n +1 ; 9) xn = (− 1)n −1 ⋅ n −1 ; 10) xn = (2n − 1)2 . n +1 2 11.10. 1) 1; 2; 3; 4; 5; 2) 7; 4; 1; -2; -5; 3) –5; -10; -20; -40; -80; 4) 75; 1 1 1 1 1 1 1 ; − ; ; − ; ; 6) 3; ; 3; ; 3. 7,5; 0,75; 0,075; 0,0075. 5) 6 6 6 6 6 3 3 4 11.11. 1) xn = −4n ; 2) xn = n −1 ; 3) xn = 2 ; 4) xn = 2n + 1 . 11.12. 1) 3 ki; 2) ki; 3) ara; 4) ki; 5) ki; 6) ki; 7) ara; 8) ki; 9) ki; 10) ara; 11) ki; 12) ki. 11.14. 1) n ≥ 9 ; 2) n ≥ 11 ; 3) n ≥ 33 ; 4) n ≥ 1001 . 11.15. 1) x3 = 12 mimdevrobis udidesi wevria. umciresi wevri xn =

mimdevrobas ara aqvs; 2) x4 = −15 mimdevrobis umciresi wevria, udidesi wevri mimdevrobas ara aqvs; 3) x3 = −2 mimdevrobis umciresi wevria, x4 = 2 ki udidesi; 4) x1 = −7 mimdevrobis umciresi wevria, udidesi wevri mimdevrobas ar gaaCnia. 11.16. 1) ki; 2) ara. 11.17. 1) ara; 2) ara; 3) ki; 4) ara; 5) ki; 6) ki; 7) ki; 8) ara; 9) ki; 10) ki. 11.18. 1) 23; 2) 5; 3) 297; 4) –0,3. 11.19. 1) 10; 2) 0,6. 11.20. 1) 240; 2) –100; 3) 92; 4) –40. 11.21. 1) 155; 2) 100; 3) 70; 4) –65. 11.22. 1) a1 = 21 ; d = 1,5 ; 2) a1 = 120 ; d = −1 ; 3) a1 = 38 ; d = −2 ; 4) a1 = −2,5 ; d = 0,5 . 11.23. 1) a15 = 78 ; S15 = 645 ; 2) a11 = 4 ; S11 = 5,5 ; 3) a13 = 1 ; S13 = 32,5 ; 4) 1 1 a61 = 18 ; S 61 = 498 . 11.24. 1) n = 11 ; S11 = 27,5 ; 2) n = 20 ; 6 6 S 20 = 955 ; 3) n = 22 ; S 22 = 99 ; 4) n = 26 ; S 26 = 604,5 . 11.25. 1) 1 1 d = 4 ; S 26 = 1430 ; 2) d = −2 ; S 6 = −90 ; 3) d = ; S 26 = 60 ; 4) 8 8 d = α + β ; S 9 = 45α + 36β . 11.26. 1) a1 = 19 ; S 45 = 10755 ; 2) a1 = −38 ; S15 = −360 ; 3) a1 = 4 ; S13 = 32,5 ; 4) a1 = 1 + 54α ; S 28 = 406 + 1134α . 11.27. 1) d = 1,5 ; n = 36 ; 2) d = 0,1 ; n = 51 ; 3) 2 3 d = ; n = 100 ; 4) d = ; n = 30 . 11.28. 1) n = 25 , an = 3 , n = 12 , 3 4 1 61 an = −3 ; 2) n = 34 , an = − . 11.29. 1) d = 7 ; a9 = 28 ; 2) d = 0,2 ; 2 6 1 2 a30 = 6,5 . 11.30. 1) a1 = −45 ; a31 = 45 ; 2) a1 = − ; a37 = 11 . 11.31. 1) 3 3 a1 = 10 ; d = 10 ; 2) a1 = 26 ; d = −7 . 11.32. 1) a1 = 35 ; n = 31 ; 2) a1 = −1 , n = 63 , a1 = 3 , n = 61 . 11.33. 1) a17 = 27 ; 2) a15 = 25 ; 3) 407

S18 = 81 ; 4) S13 = 182 . 11.34. 1) 11; 15; 19; 23; 27; 31; 2) 2

2 1 ; 4 ; 6; 3 3

2 1 2 1 ; 9 ; 11; 12 ; 14 . 11.35. 1) a10 = 47 ; 2) d = 2 ; 3) S15 = 240 ; 3 3 3 3 (m + n − 1)(m + n ) . 11.36. 1) 4) a7 = −26,5 ; 5) d = −1 ; a1 = n + m − 1 ; 6) 2 a1 = 12 ; d = 3 ; 2) a1 = 19,5 ; d = −2,8 ; 3) a1 = −2 ; d = 7 ; 4) a1 = 3 , 7

d = 2 an a1 = −17 , d = 2 . 11.37. 1) a1 = 1 ; d = 3 ; 2) a1 = 8 ; d = −3 ; 1 3) a1 = 8 ; d = −3 ; 4) a1 = 0 ; d = 3 an a1 = −12 ; d = 4 . 11.38. 1) 5 a1 = 10 , n = 19 , d = 2,5 ; 2) a1 = 5 , n = 6 , d = 5 . 11.39. 1) S 9 = 90 ;

2) S12 = −84 . 11.40. 1) S n = n 2 ; 2) S n =

3n 2 + 7 n 15n − n 2 ; 3) S n = ; 2 4

n2 + n ; 3) 2550; 4) 1645; 5) 4905; 2 6) 960. 11.42. 1) 2387; 2) 2070. 11.43. 1) S17 = 340 ; 2) S31 = 62 . 11.44. 1 1) S 22 = 528 ; 2) a9 = 24,5 ; 3) a12 = 30 ; 4) a10 = 25 . 11.45. 1) − ; 60 1 1 1 2 1 1 2) . 11.46. 1) − 1 ; 2) − 1 . 11.47. 1) ; 2) 1 . 11.48. 1) 834 ; 9 3 4 5 3 4 1 2) 994. 11.49. 1) –737; 2) − 834 . 11.50. 1) 204; 2) 104. 11.51. 1) 300; 4 2) 384. 11.52. 1) S 40 = 1600 ; 2) S30 = 120 . 11.53. 1) ki; 2) ara; 3) ara; 4) ara. 11.54. c = 0 . 11.55. 1) 41; 2) 25; 3) 49; 4) 36; 5) 19,5; 6) 1. 11.60. 4. 11.61. 1900. 11.62. 15; 465. 11.63. 8. 11.64. 5; 8; 11; 14; 17. 11.65. 3. 11.66. 6. 11.67. 5 an 10. 11.68. 8. 11.69. ki. 11.70. ara. 11.71. 1 2 3 3 ; ; 1. 11.72. 1; 2; 3; 4. 11.73. 14. 11.74. 1785. 11.75. 1) ; 2) − ; 3 3 4 2 1 1 4 3) 2; 4) 2 . 11.76. 1) b6 = 8 ; 2) b7 = ; 3) b6 = ; 4) b4 = . 8 8 27 11.77. 1) b3 = 16 ; 2) b3 = 18 ; 3) b2 = −6 ; 4) b3 = 20 . 11.78. 1) q = 3 ; 31 2660 2) q = ±4 ; 3) q = −2 ; 4) q = 2 . 11.79. 1) ; 2) 171; 3) ; 4) 2 243 1023 3 21 . 11.80. 1) b7 = , S 7 = 190,5 ; 2) b6 = −4 ; S 6 = − . 11.81. 1) 512 2 8

4) S n = n − 6n 2 . 11.41. 1) 5050; 2)

408

n = 8 ; S n = 510 ; 2) n = 7 ; S n = 1365

1 . 11.82. 1) q = 3 ; S 7 = 2186 ; 4

1 7 ; S5 = 3 . 11.83. 1) b1 = 32 ; S 6 = 5187 ; 2) b1 = 3 ; S 6 = 189 . 2 8 1 11.84. 1) q = −2 ; n = 10 ; 2) q = ; n = 5 . 11.85. 1) b1 = 3 ; b8 = 384 ; 3 2) b1 = 7 ; b5 = 567 . 11.86. 1) n = 7 ; bn = 2 ; 2) n = 4 ; bn = 8 . 11.87. 1) b1 = 16 ; n = 4 ; 2) b1 = 3584 ; n = 10 . 11.88. 1) q = 2 ; b6 = 48 ; b7 = 96 an q = −2 ; b6 = −48 ; b7 = 96 ; 2) q = −1 ; b6 = −10 ; b7 = 10 ; 3) q = 3 ; b6 = −54 ; b7 = −162 an q = −3 ; b6 = 54 ; b7 = −162 ; 4) 1 q = ; b6 = 12 ; b7 = 6 . 11.89. 1) b10 = 117 ; b13 = 3159 . 11.90. 1) 2

2) q =

b7 = b5 q 2 ;

b15 = b5 q10 ;

5 +1 . 11.91. 1) 2

b40 = b5 q 35 ; 2)

93 ; 2) 128

7 ; 3) 40; 4) 30. 11.92. 1) 27; 81; 2) 80; 40; 20; 10; 3) 7 7 ; 7 49 ; 27 15 15 15 7 343 ; 7 2401 ; 7 7 5 ; 7 7 6 ; 4) 30; 15; ; ; an –30; 15; 2 4 8 15 15 15 1 1 ; − . 11.93. 1) b1 = 1 ; q = −3 ; 2) b1 = ; q = − ; 3) − ; 2 4 8 2 2 1 b1 = 1 ; q = 2 an b1 = −16 ; q = ; 4) b1 = 1 ; q = 2 . 11.94. 1) b1 = 1 ; 2 q = 2 ; n = 10 ; 2) b1 = 1 ; q = 3 ; n = 4 . 11.95. 1) S3 = 126 ; S5 = 2046 ;

(

)

Sn = 2 4n − 1 ;

S11 = 211 − 1 ; 2) S101 =

S3 = 234 ; S10 =

S5 = 2178 ;

2 −1 ; 3) 3 ⋅ 210 10

S10 =

(

3 −1 ; 4) 2 ⋅ 310 10

)

S n = 9 3n − 1 .

S13 =

11.96. 1) 2 +1 ; 5) 3 13

x + x15 1 − x101 1 ; 6) S 7 = . 11.97. 1) –1; 2) 1; 3) –1; 4) ø; 5) ; 2 1− x 3 1+ x n2 −n

2 ; 6) 7. 11.103. b1n ⋅ q 2 . 11.106. 213 − 2 . 11.107. 70. 11.108. 24; 12; 3 6; 3. 11.109. 2; 6; 18. 11.110. 4,352. 11.111. –195. 11.112. 5. 11.113. 1 −1+ 5 −1− 5 an . 11.114. d = 4 ; q = ±3 an d = 0 ; q = ±1 . 2 2 11.115. 3; 7; 11. 11.116. 2; 5; 8. 11.117. 5; 15; 45. 11.118. 12; 16; 20; 25. 11.119. 5; 12; 19; 26. 11.120. 7; 14; 28; 56. 11.121. 5. 11.122. d = 20 ;

409

q = 3 an d = 0 ; q = −1 . 11.123. 3; 6; 12; 18 an 18

3 1 3 ; 11 ; 6 ; 4 4 4

1 1 7 49 . 11.124. 1; 3; 9 an ; ; . 11.125. 7; -14; 28; -56. 11.126. 3; 4 9 9 9 1 1 2 6; 12; -24. 11.127. 1) 2; 2) 21 ; 3) 8 ; 4) 2 . 11.128. 1) q = 0,4 ; 2) 3 3 3 1,28; 3) 7,5; 4) 10; 2; 0,4 K an 15; -3; 0,6 K 11.129. 1) 8,4; 2) 243 an 1 1 3 486; 3) 9; 4) 18 an 54. 11.130. . 11.131. . 11.132. . 11.133. 8 5 5 a2 3 1 b1 = 6 ; q = − . 11.134. 1) 6a ; 2) . 2 3 2

$12 12.1. 1) –1; 2) 0; 3) 0; 4) 11; 5)

7 3 ; 3) 2

2 + 3 ; 6) –2. 12.2. 1) 2; 2)

1 19 ; 4) ; 5) -1; 6) –8. 12.3. 1) kenti; kenti; luwi; arc kenti 2 54 da arc luwi; luwi. 2) kenti; kenti; kenti; arc kenti da arc luwi. 3) luwi; luwi; luwi; kenti. 4) luwi; luwi; arc kenti da arc luwi; arc kenti da arc luwi; kenti. 12.4. 1) −

–1; − 3 ; 2; 2) −

−3 3 1 2 ; − ; 2) 1; -1; ; 0; 3) 0; 0; 0; − 3 3 . 12.5. 1) 2 8 3

9 + 3 ; 3) 16

1 + 12 4

; 4) 2. 12.6. 1)

3 ; 2

2 ; 2

1 3

; 1; 2)

− 2 1 3 1 3 ; ; 1; 1; 3) ; -1; 3 ; − ; 4) 1; ; 0; _ 3 . 12.7. 1) 2 2 2 2 3 3 3 1 ; 2) − ; 3) -2 2 ; 4) − . 12.8. 1) 2π ; 2) 2π ; 3) 2π ; 4) π ; 5) π ; 2 4 8 6) π . 12.9. 1) π ; 2) 4π ; 3) 2π ; 4) π ; 5) 6π ; 6) π ; 7) 2π ; 8) 2π . π π π π ; 2) 3π ; 3) ; 4) ; 5) 2π ; 6) ; 7) π ; 8) 2π . 12.11. 12.10. 1) 2 2 3 4 π 2π 2π π 1 1) π ; 2) π ; 3) ; 4) 3; 5) π ; 6) ; 7) π ; 8) ; 9) ; 10) . 2 2 a a a 3 4 12.12. 1) ki; 2) ara; 3) ki; 4) ara; 5) ara; 6) ara. 12.13. 1) ; ; 5 3

410

3 ; 2) 4

40 9 4 5 5 12 3 3 1 ; − ; − 4 ; 3) ; − ; − ; 4) − ; ; 1 . 41 40 9 13 12 5 5 4 3 1 1 1 3 4 4 1 3 12.14. 1) ; − ; -1; 2) − ; − ; ; 3) − ; ; − ; 4) 5 5 3 2 2 2 2 3 −

1 2

; −

; 1. 12.15. 1) −

2 sin 11 ; 2) 0; 3) 1; 4) 0; 1 ; 3) − 2 cos 2 α ; 2) cos 2 α 2 cos α − sin α ; 8) . sin α 2 sin α cos α ; 5) sin α ; 6)

1 ; 2) 3

2 5 . 12.16. 1) 5

4) cos 2 α ; 5) − cos 2 α − 1 ; 6) 1 − cos β ; 7) ctgα 1 ; 2) ; 3) –1; 4) cos α 1 + sin α sin 2 β ; 7) cos 2 β ; 8) 1. 12.21. 1) 1; 2) 0,5;

12.18. 1)

12.23. 1) 1; 2) 1; 3) – 3 ; 4)

(

)

;

5) 0; 6) 1; 7) tgα ⋅ tgβ ; 8) tgα . 12.17. 1) 1;

3 1 1 1 . 12.22. 1) ; 2) 3; 3) ; 4) . 2 2 2 2

3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 0,5; 8)

(

; −

3 ; 5) _ 3 ; 6) 3

)

(

3 ; 7)

(

)

3 ; 8)

)

1 3

2 2 3 −1 3 −1 12.24. 1) 3 − 1 ; 2) ; 3) 3 + 1 ; 4) . 12.25. 4 4 2 2 1) 2 sin 26o ; 2) ctg 25o ; 3) tgα ⋅ ctgβ ; 4) −tgαtgβ ; 5) tg 6α ; 6) tg 4α . 2 63 33 56 5 ; 2) ; 3) ; − ; 4) sin (α + β ) = − ; 10 65 65 65 2 7 16 33 63 7 ; cos(α + β) = − ; cos(α − β) = ; 5) − ; 6) sin (α − β) = 65 65 65 170

12.29. 1)

−2+6 2 3 13

(

. 12.30. 1)

(

)

3 3−4 2 2 54 − 25 5 25 2 + 36 ; 2) ; 3) ; 4) 5 19 23

)

2 5+2 3−4 3 13 2 5 . 12.31. 1) ; 2) 0,5; 3) ; 4) − . 12.33. 1) 6 10 14 5 1 1 3 − 3 2 3 3 ; ; -1; − . 2) − ; ; ; − . 12.34. 1) 2 2 2 2 2 3 3 3− 2 5 ; 2) ; 3) 0; 4) 0. 12.35. 1) cos 4o ; sin 35o ; ctg17 o ; tg 43o ; 2 6 2) sin 5o ; − sin 13o ; − tg 21o ; ctg 8o ; 3) − sin 20o ; sin 36o ; tg 38o ;

411

π π ; − cos ; 5 5 π π π π π 3 ; − sin ; − tg ; − ctg . 12.37. 1) ; − ctg ; 2) − sin 10 10 10 10 5 4 1 3 ; 3) 1; 4) − 4 3 . 12.38. 1) 2tgα ; 2) 2 cos α ; 3) ; 4) sin 2 α

− tg10o ; 4) cos 40o ; − cos 40o ; -1; tg10o . 12.36. 1) cos − tg

π ; 5

2) − 5

2 cos 2 α ; 5) − tg 2 50o ;

2tg 20o + 3 cos 10o ; 6) 0. 12.39. 1)

−2 cos α ;

1 + tgα ;

(27 + 64 2 ) 7 ; 2) − (2 + 3 ) . 12.42. 1) 119

cos α ;

1 + sin 56o ; 2) tg 56o − cos 56o

12.41. 1)

1 3 3 2 ; 2) ; 3) ; 4) ; 4 2 2 2 3 3 2 1 sin 4α 1 5) ; 6) ; 7) 2; 8) − ; 9) ; 10) . 12.43. 1) ; 2 2 16 2 4 2 3 2) cos 2α ; 3) cos 2α ; 4) cos 2α ; 5) 1; 6) cos 2α ; 7) cos 4α ; 8) 1 1 + sin 4α . 12.44. 1) 1; 2) − cos α − sin α ; 3) ; 4) −tgα . 12.45. 1) cos α 2 sin 4α 24 7 3 cos 2α ; 2) ; 3) ; 4) cos 4α . 12.47. 1) ; ; 3 ; 2) sin 2α 2 25 25 7 −

(

)

120 119 120 5 3 117 7 24 + 15 ; − ; ; 3) ; 4) 1 ; 5) ; 6) . 12.48. 169 169 119 12 13 125 200 1) sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ; cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α ; −

tg 3α =

3tgα − tg 3α ; 2) 0,936; -0,352. 12.49. 1) 1 − 3tg 2 α

2− 3; 2+ 3 2− 3

2) ; 4)

2− 2 ; 2

2+ 2 ; 2

2+ 2 ; 2 −1; 2

2− 2 ; 2

2+ 2 2− 2

2− 3 ; 2

2+ 3 ; 2

2− 3 ; 2

. 12.50. 1) 2 cos 2 α ; 2)

α ⎛α −β⎞ ; 4) − 2 sin 2 16o ; 5) tg 25o ; 6) ctg 2 ⎜ ⎟. 2 ⎝ 2 ⎠ 5 1 2 12.51. 1) 1; 2) sin 2 α ; 3) 0; 4) . 12.54. 1) ; − ; -5; 1 + sin α 26 26 2 cos 2 20o ; 3) − 2 sin 2

2 14 7 ; − ; − ; 3) 4 4 7

2 5

; −

412

1 5

; -2; 4)

0,1 ; -3 0,1 ; −

1 . 3

12.55. 1) 0,8; 2) –2; 3) −

(

)

6 21 6 ; 4) − . 12.56. 1) − 1 + 5 ; 2) 8 6 2

)

1 − 0,9 12 5 8 + 2 10 ; 2) . 12.58. 1) ; ; 2 13 13 4 2 4 4 1 ; 4) . 12.74. 1) ; 2) 2; 3) 3 ; 4) 1; 5) 3 ; 6) 2 ; 2) 4; 3) 5 225 3 2 1 0. 12.75. 1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) 8; 5) 1; 6) 1. 12.76. 1) 3 ; 2) − ; 3) 4 3 1 1 1 1 1 3 ; 4) . 12.77. 1) ; 2) ; 3) − ; 4) ; 5) ; 6) 3; 7) 3; − 8 2 4 8 8 2 16 1 1 8) . 12.78. 1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) 8; 5) 2; 6) 1. 12.79. 1) 3; 2) ; 3) 64 2 1 1 3 1 5 4 ; 4) ; 5) 2; 6) . 12.81. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 8. 12.82. 1) 5; 2) 4 4 2 4 4 3 3 1 1 1 1 3 7; 3) ; 4) 6. 12.83. 1) ; 2) − ; 3) 2 ; 4) . 12.84. 1) ; 2) 2 16 6 4 6 4 1 1 1 9; 3) –4; 4) 3. 12.85. 1) –3; 2) 5; 3) ; 4) 4. 12.86. 1) ; 2) 2 ; 3) 4 3 4 1 1 1 3; 4) –35. 12.87. 1) ; 2) 1; 3) ; 4) 4; 5) ; 6) 12. 12.88. 1) 12; 25 2 25 1 5 2 2 349 287 4 2) ; 3) ; 4) ; 5) 4; 6) . 12.89. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 3 4 3 7 1024 512 5 3 4 24 ; 5) 40; 6) 10. 12.90. 1) 27; 2) ; 3) 9; 4) 21. 12.91. 1) − ; 2) 2 3 25 115 415 23 ; 3) − ; 4) . 12.92. 1) 195 o ; 2) -75 o ; 3) -90 o ; 4) 300 o ; 5) 128 432 32 0,1 3 2 − 33 . 12.57. 1)

-270 o ; 6) 135 o ; 7) 225 o ; 8) _45 o . 12.93. 1) 0,6; 2) 3 ; 5) 0,5; 6) 2 11) 1; 12) 2 − π .

4 2 − 5 ; 7) 0,2; 8)

413

2 6 − 4 ; 3) –0,8;

2 6 − 4 ; 9) 2π − 6 ; 10) 2;

$13 13.1. 1) πk ; 2)

(− 1)k +1 π + πk ;

(− 1)k

π + πk ; 3) 6

(− 1)k π + πk ; 4

(− 1)k π

+ πk ; 5)

π π π 3 6) − + 2πk ; 7) (− 1)k +1 + k ; 8) π + 6πk ; 9) 2 2 4 12 3 (− 1)k π + π k − π ; 10) (− 1)k +1 π − 3πk + π ; 11) (− 1)k +1 π + 3πk + π ; 12) 20 5 30 3 2 π π π π 5π πk . 13.2. 1) − + πk ; 2) ± + 2πk ; 3) ± + 2πk ; 4) ± + 2πk ; 3 6 4 16 2 2 2π 4 3 2 5) ± + 2πk ; 6) π + 2πk ; 7) ± π + πk ; 8) ± π + 8πk ; 9) 3 3 20 5 π π π 2πk 2π 13 4 ; 10) π + πk ; 11) + 4πk ; 12) ± + π − 6πk . ± − 9 3 45 30 5 18 3 π π π π 13.3. 1) πk ; 2) + πk ; 3) + πk ; 4) + πk ; 5) − + πk ; 6) 3 4 6 3 π π π 7 π o o − + πk ; 7) − π + k ; 8) − k ; 9) 25 + 60 k ; 10) − + 3πk . 4 4 24 2 5 π π π k π 13.4. 1) πk ; 2) + πk ; ± + 2πk ; 3) πk ; (− 1) + πk ; 4) + πk ; 3 2 4 2 π π π ± + 2πk ; 5) πk ; arctg 2 + πk ; 6) πk ; ± + πk ; 7) + πk ; 6 4 2 π π π π 3π + πk ; 8) + πk ; + πk ; 9) + πk ; 10) πk ; (− 1)k + πk . 13.5. 4 2 6 2 6 π π π k π 1) 2πk − ; 2) 2πk ; 3) 2πk − ; (− 1) + πk ; 4) + πk ; 2 2 6 4 π π π π arctg 5 + πk ; 5) − + 2πk ; (− 1)k + πk ; 6) + πk ; − + πk . 13.6. 1) 2 4 4 3 π π π 3 (2k + 1) ; 4) + πk ; arctg + πk ; 5) π + πk ; πk ; 2) 2πk ± ; 3) 2 3 4 2 4 π π π 5 arctg + πk ; 6) ± + πk ; ± + πk . 13.7. 1) πk ; ± + 2πk ; 2) 3 3 4 3 π π π π k π k π + πk ; (− 1) + πk ; 3) (− 1) + k ; 4) ± + πk ; 5) ± + πk ; 6) 2 6 12 2 3 6 π 2 k +1 π πk ; 7) πk ; ± + πk ; 8) πk . 13.8. 1) (2k + 1)π ; (− 1) + 2πk ; 2) 3 3 6

414

π 2π π π π + 2πk ; 3) (− 1)k + πk ; 4) + πk ; (− 1)k − + πk ; 5) πk ; 3 6 4 4 4 (− 1)k +1 π + πk ; 6) πk ; − π + πk . 13.9. 1) π + 2πk ; ± 2π + 4πk ; 2) 3 6 4 π π π 2π 2πk ; π + 4πk ; 3) ± + 2πk ; 4) ± + 2πk ; 5) + πk ; ± + 2πk ; 2 2 3 2 π π π π 6) 2πk ; + 2πk ; 7) π + 2πk ; + 2πk ; 8) + πk ; + πk . 13.10. 1) 2 3 2 3 π π π π π π + πk ; 2) − + πk ; 3) ± + πk ; 4) ± + πk ; 5) + πk ; + πk ; 4 3 6 3 6 3 π π 2 6) + πk ; −arctg 3 + πk ; 7) + πk ; − arctg + πk ; 8) arctg 3 ; 4 4 5 π π π 5 − + πk ; 9) + πk ; −arctg 3 + πk ; 10) + πk ; πk − arctg ; 11) 4 4 4 2 π π 1 π 6 arctg + πk ; 12) + πk ; 13) + πk ; 14) + πk . 13.11. 1) πk ; 2 6 6 2 3 π π π πk πk 2πk π πk π πk + k ; 2) + ; + ; 3) ; + ; 4) ; 2πk ; 5) 10 5 4 2 10 5 2 6 3 3 πk πk πk π π πk 2π ; 6) . 13.12. 1) ; ± + πk ; 2) ; ± + + 2πk ; 3) 3 3 3 3 3 4 2 π π πk πk π π πk π πk ; ± + 2πk ; 4) ; ± + 2πk ; 5) + ; (− 1)k + ; 6) + 3 3 4 2 2 10 5 12 2 π πk πk πk πk πk πk ; (− 1)k +1 + . 13.13. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) πk ; 4 12 2 8 3 3 8 π πk π πk π π 3π ; 6) πk ; . 13.14. 1) + + 2πk ; 2) (− 1)k + πk − ; 3) + 4 6 3 10 5 6 4 π π π 7π 7π 5π + 2πk ; + 2πk ; 4) + 2πk ; + 2πk ; 5) + 2πk ; + 2πk ; 12 12 2 6 6 2 π π πk πk 2πk 6) − + πk . 13.15. 1) ; + πk ; π + 2πk ; 2) ; 3) ; 3 5 2 4 4 πk π πk π πk π πk 3π πk ; 4) . 13.16. 1) ; 2) ; 3) ; + + + + 8 2 5 8 4 10 5 4 2 (− 1)k π + πk ; 4) π + πk ; ± π + πk ; 5) 2πk ; 6) ± π + 2πk ; π + πk . 3 12 2 4 2 6 4 π π π πk π πk 13.17. 1) + πk ; 2) ± + πk ; 3) ± + ; 4) + . 13.18. 1) 2 4 6 2 8 2 ±

415

π πk π πk π + + ; ; 2) + πk ; 3) 18o 45′ + 45o k ; 15o + 180o k ; 4) 16 2 4 8 3 π π πk π π 3π 2πk + 2πk ; + . 13.19. 1) ; ± + πk ; 2) + πk ; + 4 20 5 16 8 3 2 π πk π πk π πk π 2πk π 2πk π πk ; ; 3) + ; + ; + ; 4) + . 13.20. + + 4 2 14 7 4 2 5 5 7 7 4 2 π π π πk π 1) πk ; − + πk ; 2) 2πk − (− 1)k ; 4πk ; 3) ; + + πk ; 4) 4 3 8 2 12 π πk π π 2π 1 3π ± + 2πk ; arctg + πk . 13.21. 1) ; + πk ; ; − ; 2) + 3 3 8 2 4 8 8 π πk π π πk π π π 4 ; − − ; ; − ; 3) + πk ; − arctg + πk ; ; − 16 4 12 3 16 12 4 3 4 π π π π π 4 2π 3π ; − ; 5) − + πk ; πk ; ; − ; 6) − arctg ; 4) + k; 3 15 5 15 15 4 4 4 π π π π π k π − + πk ; (− 1) + πk − ; ; − . 13.22. 1) −arctg 3 + πk ; + πk ; 4 4 4 2 4 4 πk π 2 5π ; 2) ; − ; 3) 2πk ; 0; 4) 60o + 180o k ; arctg + 180o k ; 4 4 4 3 2

+ 360o . 13.23. 1) −5 ≤ a ≤ 5 ; 2) − 29 ≤ a ≤ 29 ; 3) 3 0 ≤ a ≤ 2 ; 4) 2 ≤ a ≤ 6 ; 5) −3 ≤ a ≤ −2 ; 6) 0 ≤ a ≤ 1 . 13.24. 1) π 5π 2πk ≤ x ≤ π + 2πk ; 2) −π + 2πk < x < 2πk ; 3) + 2πk < x < + 2πk ; 6 6 π π 7π 7π 4) 5) 6) − + 2πk < x < + 2πk ; − + 2πk < x < + 2πk ; 6 6 6 6 π 3π 4π 5π 7) + 2πk < x < + 2πk ; 8) + 2πk < x < + 2πk ; 4 4 3 3 7π π ⎡ 5π ⎤ ⎡ π ⎡ 13.25. 1) 2) ⎢ 4 + 2πk , 4 + 2πk ⎥ . ⎢− 2 + 2πk , 2 + 2πk ⎢ ; ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ π 3π 11π ⎡π ⎤ ⎤ π ⎡ ⎤π ⎡ ⎢ 2 + 2πk , 2 + 2πk ⎥ ; 3) ⎥ − 6 + 2πk , 6 + 2πk ⎢ ; 4) ⎥ 6 + 2πk , 6 + 2πk ⎢ ; ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 4π 5π ⎡ 2π ⎤ ⎡ 5π ⎤ 5) 6) 7) ⎢ 3 + 2πk , 3 + 2πk ⎥ ; ⎢− 6 + 2πk , 6 + 2πk ⎥ ; ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ π 3π ⎡ π ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ 3π ⎡ ⎢− 4 + 2πk , 4 + 2πk ⎥ ; 8) ⎥ − π + 2πk ,− 4 + 2πk ⎢ ; ⎥ 4 + 2πk , π + 2πk ⎢ . ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ arctg

416

π π ⎤ π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ π ⎤ 13.26. 1) ⎥ πk , + πk ⎢ ; 2) ⎥ − + πk , πk ⎥ ; 3) ⎥ − + πk , + πk ⎢ ; 4) 2 2 2 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ π π ⎡ π ⎡ ⎡ 5π ⎡ ⎤π ⎡ ⎢− 4 + πk , 2 + πk ⎢ ; 5) ⎢ 6 + πk , π + πk ⎢ ; 6) ⎥ 6 + πk , 2 + πk ⎢ . 13.27. 1) ⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ π 3π 5π 5π πk − < x < − + πk ; 2) πk − <x< + πk ; 3) 8 8 12 12 π π 4 4 13 4 − + πk < x < + πk ; 4) π + πk < x < π + πk ; 5) 2 6 9 3 9 3 π π 3π 6) 13.28. 1) πk − ≤ x ≤ + πk ; πk − < x < πk . 8 8 6 π 5π π 2πk + < x < + 2πk ; 2) x∈R , x ≠ + 2πk ; 3) 4 4 4 π 4 π 5 4 5π − π + πk < x < − + πk ; 4) πk + <x< + πk . 9 3 9 3 12 12

$14 14.1. 1) 2; 2) –3; 3) –2; 4) –2; 5) −

1 ; 6) –2. 14.2. 1) –3; 2) 2; 3) –6; 2

3 ; 3) 40; 4) 0,9; 5) 9; 6) 8; 7) 4; 8) 7 1 2 3 1 7. 14.6. 1) 6; 2) 7; 3) 5; 4) 13; 5) 3 ; 6) − 3 ; 7) − 2 ; 8) 1 . 4 3 4 3 1 14.7. 1) 26; 2) 13; 3) 20 ; 4) 14; 5) 7; 6) 23; 7) 10; 8) 890; 9) 16; 81 10) 24. 14.8. 1) 4; 2) 2; 3) 2; 4) 3; 5) –5; 6) 1. 14.9. 1) 2; 2) –1; 3) 0; 1 1 1 3 4) –1; 5) − ; 6) 0. 14.10. 1) ; 2) –2; 3) 2; 4) . 14.11. 1) ; 2) 2 2 2 b 1 a +1 3(1 − a ) 3 − 2a 17 ; 3) ab + 3a ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) − 2 − ; 8) 1+ b 2a + b 2b + a 6 a 3 log 3 15(2 log 9 6 − 1) 4(3 − a ) 4 log 4 12 − 4 . 14.12. 1) ; 2) . 14.13. (2 log 4 12 − 1) log 20 9 3+ a 2 log 9 6

4) 1; 5) 2; 6) 12. 14.5. 1) 30; 2)

1) 3780; 2) –5304. 14.14. 1) 4; 2) –4; 3)

417

5 1 1 ; 4) 0; 5) − ; 6) ; 7) 3 2 4

1 1 1 5 4 ; 8) − . 14.15. 1) − ; 2) –1; 3) 2; 4) 4; 5) –3; 6) ; 7) ; 8) 9 12 2 2 3 1 2. 14.16. 1) 2; 2) ; 3) 2; 3; 4) 0; 5) 0; 6) 5; 7) –1; 8) 1. 14.17. 1) 11; 2 3 1 2) –2; 3) − ; 4) 10. 14.18. 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 3; 5) 4; 6) 1 . 14.19. 2 2 1 10 1) ; 2) 2; 3) 0,5; 1; 4) 0,5; 3; 5) ; 6) 1. 14.20. 1) 10; 2) –2; 4; 3) 3 3 6; 4) 1; 5) 35; 6) 2. 14.21. 1) 3; 2) 5; 3) 1; 4) 2. 14.22. 1) 1; 2) 1; 3) 3; 4) 9. 14.23. 1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 1,5. 14.24. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 19; 5) 3; 6) 3. 14.25. 1) 1; 2) 2; 3) –1; 4) –0,5. 14.26. 1) 3; 2) 0; log 7 5 ; 3) 1; 1 log 3 2 ; 4) 3; 5) 3; 6) 1; 7) 2; 8) –2. 14.27. 1) 0; ; 2) 1; 3) 1; 4) 2; 4 1 0; 1 ± 2 ; 5) 1,5; 6) 2. 14.28. 1) 1; 2) ; 3) 6; 4) –3; 5) 0; 0,5; 6) 1; 2 1 1 0,5. 14.29. 1) 1; 2) 8; 3) 32; 4) 0,1; 5) 8; 6) 4; 7) − ; 8) 9; 9) ; 10) 3 3 1 . 14.30. 1) 10; 2) 7; 3) 1; 4) 2; 5) 64; 6) –8; 7) − 49 − 5 ; 8) 1. 14.31. 4

−

1) 9; 2) 4; 3) 21; 4) 2; 5) 5; 6) 7; 7) 2; 8) 4; 9) 9; 10) 16; 11) 5 8 ; 12) 64. 14.32. 1) 3; 4; 2) –2; 8; 3) –14; 0; 4) 0,5; 5) 10; 6) 5; 7) 13; 8) -26; 9) 2; 10) 13. 14.33. 1) 3; 9; 2) 0,5; 4; 3) 100; 1000; 4) 9; 10 − 1 . 14.34. 1) 1; 2) 3; 3) 1; 4) 1; 5) 0; 6) 2. 14.35. 1) 3; 2) 2; 3) 2; 4) 2. 1 1 1 14.36. 1) ; 3; 2) 5; 3) ; 9; 4) 8. 14.37. 1) 81; ; 2) 0,001; 10; 3) 3 9 81 1 1 10 −4 ; 10; 4) 10; 100; 5) ; 10; 100; ; 6) 0,01; 0,1; 7) 50; 8) 10. 10 100 14.38. 1) 10; 105 ; 2) 10 −8 ; 10; 3) 54; 4) 90. 14.39. 1) 5; 2) 6; 3) 2; 4) 1 . 14.41. 1) –2; 15; 5) 0,1; 6) 2. 14.40. 1) 7; 2) 3; 81; 3) 3; 9; 4) 4; 4 1 32; 2) − ; 3) –4; -2; 4) –1000. 14.42. 1) 0,5; 2) 1; 3) 3; 4) 0; 5) 99; 2 1 1 6) ± 3 . 14.43. 1) –10; 2) 10 −9 ; 10; 3) ± 10; ± ; 4) ; 2; 5) 10 2 2 log 6 3 ; 6) 1. 14.44. 1) 2; 2) 2; 4; 3) –1; -64; 4) –100; 5) 16; 6) 25. 14.45. 1) 9; 2) 3; 3) ± 5; 4) 2,5. 14.46. 1) 7; 2) 289; 3) 16; 4) 100; 5)

418

11; 1,1; 6) 7. 14.47. 1) ± 2; 2) ± 2; 3) ± 2; 4) 1 ± 1 + log 2 +

10 .

14.48. 1) (1;2); (2;1); 2) (3;-2); (− log 2 9; log 3 8) ; 3) (-2;0); 4) (3;4). 14.49.

1 ⎞ ⎛ 1) (-2;0); 2) (-2;3); 3) ⎜ − 2; ⎟ ; 4) (2;3). 14.50. 1) (3;1); 2) (1;2); 3) 784 ⎝ ⎠ (3;2); 4) (8;9); 27 log 35 2;4 log 22 5 . 14.51. 1) (20;5); 2) (18;2); 3) (9;7); (7;9); 4) (18;2); (2;18). 14.52. 1) (4;16); 2) (6;2); 3) (8;4); 4) (1;0). 14.53. 1 1) (5;2); 2) (1;2); 3) (1;1); 4) (16;-28); (1;2). 14.54. 1) –10; 2) –3; 3) ; 2 4) log 3 2 . 14.55. 1) lg 91 ; 2) log 4 14 ; 3) log 3 74 ; 4) lg 97 . 14.56. 1) 1 a = 2 ; a > 3 ; 2) a1 = −1 ; a > 0 ; 3) a = 5 ; a > 6 ; 4) a = − ; a > 0 . 2 1 1 1 14.57. 1) 0 < a < ; 2) − < a < 0 ; 3) 0 < a < 1 ; 4) − < a < 0 . 14.58. 4 8 2 −2 < a ≤ 2 . 14.59. 1) k > −2 ; 2) −∞ < k < 0 . 14.60. 1) 0 < a < 1 ; 2) −3 < a < −2 .

(

)

$15 15.1. 1) naklebia 1-ze; 2) naklebia 1-ze; 3) naklebia 1-ze; 4) metia 1-ze. 15.2. 1) WeSmaritia; 2) WeSmaritia; 3) mcdaria; 4) mcdaria. 15.3. 1) a > 1 ; 2) 0 < a < 1 ; 3) 0 < a < 1 ; 4) a > 1 . 15.4. 1) 2 2 log 3 5 − 0,1 < 5log 3 2 ; 2) 7 lg 3 + log 0,5 > 3lg 7 ; 3) 7

(0,1)log

+ 2 < 3− log 2 10 + 3 3 ; 4)

3log 2 5 + 10 3

lg 2

> 5log 2 3 +

. 15.5. 1)

1 ; 2) x ≥ 0 ; 3) x > −1 ; 4) x ≥ 0 ; 5) x < 2 ; 6) x ≥ 2 . 15.6. 1) 2 1 x < 2 ; 2) x > 4 ; 3) x < 3 ; 4) x > 1 ; 5) x < 2,5 ; 6) x ≤ . 15.7. 1) 2 1 ≤ x ≤ 2 ; 2) 0 ≤ x ≤ 4 ; 3) x < 1 , x > 5 ; 4) x ≤ −8 ; x ≥ 4 ; 5)

0 ≤ x ≤ 0,5 . 15.8. 1) 1 < x < 4 ; 6) −

0< x<

1 ; 8

x < 6 ; 3)

x > 3 ; 4)

x > 1 ; 5)

2 < x < 1 ; 7) −1 < x < 0 ; 0 < x < 1 ; 8) x < −9 ; x > 5 . 5

15.9. 1) x > 3 ; 2) x < 2 ; 3) x ≥

3 ; 4) x > 1 ; 5) x > 3 ; 6) 1; 2; 3; 4; 5; 2

419

6; 7. 15.10. 1) x > 3 ; 2) x < 4 ; 3) x < 1 ; 4) x > 3 ; 5) 0 ≤ x < 4 ; 6) 0 ≤ x < 4 . 15.11. 1) x ≤ 1 ; 2) x > 0 ; 3) 0 < x < 1 ; 4) x < 1 ; x > 2 ; 5) 1 −1 < x < 1 ; 6) x < −1 ; 7) x < 0 ; x ≥ ; 8) 0 < x < 1 . 15.12. 1) x ≥ 3 ; 2) 2 3 3 1 x > 0 ; 3) x ≤ − ; 4) x ≤ . 15.13. 1) 0 < x < ; 2) 0 ≤ x ≤ 1 ; 3) x ≤ 0 ; 2 2 2 x ≥ 1 ; 4) x > 1 ; 5) 0 < x ≤

1 ; 6) x ≤ −1 ; x > 0 ; 7) x < −1 ; x > 1 ; 8) 2

7 ≤ x < 0 . 15.14. 1) x < −2 ; x > 0 ; 2) −1 < x ≤ 1 ; 3) −1 < x < 1 ; 5 4) −1 < x ≤ 0 . 15.15. 1) 0 < x < 1 ; 1 < x < 2 ; 2) 1 < x < 2 ; 2 < x < 3 ; 3) 1 ≤ x ≤ 3 ; 4) −5 ≤ x ≤ −3 . 15.16. 1) x > 2 ; 2) x > 1 ; 3) 1 < x ≤ 2 ; 4) 5 x < −2 ; − 7 <x≤− 3; 3 ≤ x < 7 . 15.17. 1) x ≥ ; 2) 8 3 2 − < x < − ; 3) −0,25 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 2 ; 4) x < −2 ; 0 ≤ x < 1 . 15.18. 1) 2 3 1 + 29 ⎡ 11 ⎡ 1 < x < 3 ; 2) x ≥ 8 ; 3) ⎢− ,−1⎢ ; 4) − 7 ≤ x < . 15.19. 1) x > 9 ; 2 ⎣ 2 ⎣ 4 1 2) 0 < x < 10 7 ; 3) 0 < x < 0,7 5 ; 4) x > 25 ; 5) 0 < x < ; 6) x > . 15.20. 3 3 3 2 1) − < x < −1 ; 2) x < 1 ; 3) < x < 0,9 ; 4) x > 1 ; 5) 2,8 < x < 3 ; 6) 2 3 1 1 0,382 < x < 0,4 . 15.21. 1) − < x < ; 2) x ∈ Ø; 3) x > 5 ; 4) 2 < x < 5 ; 2 2 5) x > 6 ; 6) −3 < x < −2 ; x > 3 . 15.22. 1) x < −3 ; x > 2 ; 2) x < −2 ; x > 6 ; 3) −3 < x < −2 ; 1 < x < 2 ; 4) −4 < x < −3 ; 0 < x < 1 ; 5) 2 < x < 3 ;

− log 4

6) 2 < x < 4 . 15.23. 1) 1 < x < 4 ; 2) x < − 11 ; x > 11 ; 3) x < −3 ; 5 x > 4 ; 4) −4 < x < 2 ; 5) x ≤ −1 ; x ≥ 2 ; 6) x > . 15.24. 1) x > 8 ; 2) 2 3 3 8 < x < 10 ; 3) 1 < x < 5 ; 4) x > 69 . 15.25. 1) 2 − 2 < x ≤ ; 4 13 1− 3 3 1+ 3 3 2) ; 3) ≤ x< 2+ 2 ; ≤ x < −2 ; 3< x ≤ 4 2 2 − 3 − 29 −3−3 3 − 2 ≤ x < 1− 5 ; 1+ 5 < x ≤ 4; 4) ; <x< 2 2 −3+3 3 − 3 + 29 . 15.26. 1) 0 < x < 0,001 ; x > 10 ; 2) <x< 2 2 420

0,01 ≤ x ≤ 10000 ;

0,5 ≤ x ≤ 4 ;

1 < x < 2 ; 3) 2 < x < 5 ; 2 x > 3 ; 2) 4 < x < 6 ; 3) 0 < x < 2 ; 7 3 3 13 ; 2) 1 < x < − <x< ; <x< 2 2 2 2 1 < x < 2 . 15.30. 1) x > 6 ; 2) x > 5 ;

−2 < x < 2 ; 2)

0< x<

1 ; 4

x > 64 .

15.27. 1)

4) 2 < x < 5 ; 5) x = 3 . 15.28. 1) x > 3 ; 4) x < −5 . 15.29. 1) 5 5 ; < x < 4 ; 3) x > 2 ; 4) 2 2 3) x > 2 ; 4) −7 < x < −2 ; 5)

1 ≤ x < 3 ; 6) 2 ≤ x ≤ 4 . 15.31. 1) 0 < x < 0,1 ; 100 < x < 1000 ; x > 105 ; 2) 1 0 < x < 0,001 ; 1 < x < 100 ; 3) 0 < x < ; x ≥ 2 ; 4) 0 < x < 1 ; x ≥ 2 . 2 15.32. 1) x < 1 ; 2) 0 < x < 2 ; 3) x < 2 ; 4) x < 1 ; 5) x > 15 ; 6) x > 2 .

15.33. 1) − 2 < x < − 2 ;

2 < x < 2 ; 2) − 3 < x < −1 ; 1 < x < 3 ; 3)

−2 < x < −1 ; 1 < x < 2 ; 4) − 3 < x < − 5 ;

5 < x < 3 . 15.34. 1) x < 0 ;

7 1+ 7 < x < 3 ; 2) x > 1 ; 3) x > ; 4) 2 < x < 5 ; 6 < x < 8 . 5 2

§16 16.1. 1) II; 2) III; 3) IV; 4) I. 16.2. 1) I an III; 2) II an IV; 3) I an III; 4) II an IV; 5) I, II an IV; 6) I, II an III. 16.3. 1) (2,-5), (-3,-1), (-5,3), (7,1); 2) (-2,5), (3,1), (5,-3), (-7,-1); 3) (-2,-5), (3,-1), (5,3), (-7,1); 4) (5,2), (1,-3), (-3,-5), (-1,7); 5) (-5,-2), (-1,3), (3,5), (1,-7); 6) (0,5), (5,1), (6,-3), (-5,1); 7) (2,-9), (-3,-5), (-5,-1), (7,-3). 16.4. 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 3; 5) 4; 6) 7; 7) 8; 8) 8; 9) 5; 10) 13. 16.5. 1) 20; 2) 2; 3) 16; 4) 144. 16.6. 1) 25 x − 6 ; 2) 16 x − 9 ; 3) x 4 + 2 x 2 + 2 ; 4) 11 − 2 x . 16.7. 1) x ∈ R , x ≠ 4 ; 2) x ∈ R , x ≠ −3 ; 3) x ≤ −7 ; x ≥ 7 ; 4) −4 ≤ x ≤ 4 . 16.8. 1) x ≥ 1 ; 2) 1 1 − ≤ x ≤ 16 ; 3) 1 < x ≤ 7 ; 4) 3 < x ≤ 5 . 16.9. 1) − ≤ x ≤ 1 ; 2) x ≤ −7 ; 3 5 2 x ≥ 9 ; 3) −6 ≤ x ≤ 7 ; 4) x ≤ −5 , x ≥ −3 . 16.10. 1) x < −3 , x ≥ ; 2) 3 x < 2 , x ≥ 4 ; 3) 0 < x ≤ 1 ; 4) x < 1 , x ≥ 2 . 16.11. 1) 0 ≤ x < 10 , x > 10 ; 2) x < −8 , −8 < x ≤ 5 ; 3) x ≤ −2 , x > 2 ; 4) −3 < x < 3 . 16.12. 1) x > 5 ; 2) x < 7 ; 3) −3 < x < 3 ; 4) −2 < x < 3 ; 5) x < −1 , x > 3 ; 6) 421

5 < x < 2 ; 2) x < −1 , 2 < x < 5 ; 3) x ≥ 1 ; 4) 3 0 < x ≤ 1 , x ≥ 10 ; 5) 1 < x ≤ 2 ; 6) x > 1 . 16.14. 1) −2 ≤ x < 0 , 0 < x < 1 ; 3 < x < 2 ; x > 2 ; 3) x < −2 , −2 < x < 0 , 1 < x < 2 , x > 2 ; 4) 2) 2 1 1 4 < x < 5 , x > 6 . 16.15. 1) 0 < x ≤ , x ≥ 2 ; 2) < x < 3 ; 3) 32 27 0 < x < 1 . 16.13. 1) −

1 , x ≥ 3 ; 4) x ≤ −1 , x ≥ 3 ; 5) 0 ≤ x ≤ 2 ; 6) −3 ≤ x ≤ 1 . 27 16.16. 1) [1,+∞[ ; 2) [− 3,+∞[ ; 3) ]− ∞,9] ; 4) ]− ∞,14] . 16.17. 1) [2,+∞[ ; 3⎤ ⎡ 2) [0,3] ; 3) [0,1[ ; 4) [2,+∞[ . 16.18. 1) [0,2] ; 2) ⎢− 1,− ⎥ ; 3) [− 1,1] ; 4) 7⎦ ⎣ 0< x≤

⎡1 ⎤ ⎢ 2 ,1⎥ . 16.19. 1) ⎣ ⎦

]0,1] ;

[3,+∞[ ,

⎤ 1⎤ 3) ⎥ 0, ⎥ ; 4) ⎦ 3⎦

[25,+∞[ .

16.20. 1)

⎡1 ⎤ 16.21. 1) [1,2] ; 2) ⎢ ,1⎥ ; ⎣2 ⎦ 3) [0,+∞[ ; 4) ]− ∞,1] . 16.22. 1) [1,+∞[ ; 2) ]0,+∞[ ; 3) ]0,+∞[ ; 4) ]0,20] . 16.23. 1) [− 5,10] ; 2) [− 12,3] ; 3) [− 11,−7] ; 4) [− 22,−2] . 16.24. 1) [1,3] ; ⎡ 1⎤ 2) [0,1] ; 3) ⎢0, ⎥ ; 4) [0,16] . 16.25. 1) 4; 2) 28; 3) 2; 4) 27; 5) –2; 6) ⎣ 4⎦ 1 1 –1. 16.26. 1) 2; 2) 1; 3) 2; 4) 2; 5) 0; 6) 2. 16.27. 1) − ; 2) − ; 3) 4 8 1; 4) 2; 5) 4; 6) 2. 16.28. 1) –3; 2) –4; 3) 1; 4) –2; 5) 0; 6) 1. 16.29. 1)

[1,+∞[ ;

2) [3,+∞[ ; 3)

]− ∞,−2] ;

1; 2) 1; 3) 11; 4) 9. 16.30. 1)

]− ∞,−3] .

3 3 7 ; 2) 6; 3) 1; 4) . 16.31. 1) –4; 2) 2 16

7 2 5 ; 2) ; 3) − 3 ; 4) 1. 16.33. 1) 2 2 zrdadia x ∈ R ; 2) zrdadia −∞ < x < −1 ; −1 < x < ∞ ; 3) zrdadia −∞ < x < 2 ; 2< x<∞; 4) zrdadia 2< x<∞; klebadia 5 5 −∞ < x < 2 ; 5) zrdadia − ∞ < x < ; klebadia < x < ∞ ; 6) 4 4 5 5 zrdadia − ∞ < x < ; klebadia < x < ∞ . 16.34. 1) [-6,9]; 2) 2 2 [1,11]; 3) [1,3]; 4) [-9,-5]; 5) [3, ∞[ ; 6) [-9,-1]; 7) [0,1]; 8) [1,9]. 16.35. 1) K ; 2) F ; 3) N ; 4) M . 16.36. 1) –1; 2) 0; 3) 1; 4) 8. 16.37. 1) 3; 2) –2; 3) 1; 4) 9. 16.38. 1) a = 2 ; 2) a = 0 ; a = 4 ; 3) a = 2 ; 4) a = 0 .

–39; 3) 6; 4) 0. 16.32. 1)

422

16.39. 1) (3,0); 2) (0,0); (5,0); 3) (5,0); 4) (-2,0). 16.40. 1) (0,6); 2) (0,-3); 3) (0,2); 4) (0,3). 16.41. 1) 15; 2) 24; 3) 18; 4) 3. 16.42. 1) (1,2); 2) (2,0); (-1,0); 3) (1,3); (3,5); 4) (0,0); (1,1). 16.43. 1) (2,-4); 2) (3,5); 3) (-1,7); 4) (2,3). 16.44. 1) y = 3 ; 2) y = −2 x ; 3) 2 x − 3 y = 8 ; 4) x + 2 y = 5 . 16.45. 1) (-2,0); (-4,0); 2) (0,-18); 3) 2 5 ; 4) b = −6 ; c = 5 ; 5) b = 4 ; c = −3 ; 6) b = −4 ; c = 2 ; 7) (2,-1); 8) a = 2 ; c = 8 ; 9) a = −2 ; c = 6 ; 10) b = −4 ; c = −4 ; 11) b = −12 ; c = 18 ; 12) b = −2 ; 1 2 4 c = 3 ; 13) 2; ; 14) 8; 32; 15) 2; 8; 16) a = ; b = − ; c = −2 ; 17) 2 3 3 a = 1 ; b = −2 ; c = 3 ; 18) a = 10 ; b = −3 ; 19) a = 12 ; b = 4 ; c = 12 ; 20) a = 10 ; b = −2 ; c = 11 ; 21) a = 4 an a = −8 ; (3,12) ; (− 3,24 ) ; 22) a = 6 ; (2,8) .

§17 17.1. 1) ki; 2) ara; 3) ki; 4) ara; 5) ki; 6) ki; 7) ara; 8) ara. 17.2. 1) A = {−12; - 11; − 10; − 9; − 8} ; 2) A = {1; 2; 3; 4} ; 3) A = {−1 ;1} ; 4) A = {1; 2; 3; 4} ; 5) A = {0; 1; 2} ; 6) A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ; 7) A = {(1; 18) , (2; 18) , (3; 18), (6; 9), (2; 9), (6; 18), (9; 18)} ; 8) A = {(6; 12) , (6; 18); (12; 18)} . 17.3. 1) ∅,{a}, {b}, {a; b}; 2) ∅,{a}, {b}, {c }, {a; b}, {a; c}, {b; c}, {a; b; c}. 17.4. 1) {a; b}, {a; c}, {a, d}, {b; c}, {b; d}, {c; d}. 2) {a; b; c}; {a; b; d }, {a; c; d}, {b; c; d}. 17.5. {3; 5; 6}; {2; 3; 5; 6}, {3: 4: 5: 6}, {2; 3; 4; 5; 6}. 17.6. 1) WeSmaritia; 2) araa WeSmariti. 17.7. 1) ara; 2)ki; 3) ara; 4) ki. 17.8. 1) ara; 2) ara; 3) ki; 4) ara. 17.9. 1) ara; 2) ki; 3) ara; 4) ara. 17.10. 1) {1; 2; 3; 4; 5; 6}; 2) {1; 3; 4; 5; 7}; 3) [2; 7]; 4) (− ∞; 10] . 17.11. 1) {3; 6}, 2) {4; 8}, 3) [3; 4], 4) kvadra-tebis simravle. 17.12. 1) {3; 7}, 2) {1; 6}, 3) [3; 4[, 4) [2; 3]U]5; 6] . 17.13. 1) {1; 2; 3; 4; 5}, 2) {3}, 3) {1; 4}, 4) {2; 5}, 5) ∅. 6) {1; 4}. 17.14. 1) ki, 2) ara, 3) ki, 4) ara. 17.15. 1) {_3; _2; _1; 0; 2; 7}; 2) {0; 2; 4; 6; 7; 9}, 3) {0; 2; 7}, 4) {_3; _2; _1}. 17.16. 1) {_1; 0; 1; 2; 3; 4}, 2) {3; 4; 5; 6; 7; 8}, 3) {2; 8; 9; 10; 11}; 4) {_1; 0; 1; 3; 4}; 5) {2}. 17.17. {_2; _1; 0; 1; 5; 6; 7}. 17.18. {_2; 0; 4}. 17.19. 1) ara, 2) ki, 3) ara, 4) ara. 17.20. 1) ara, 2)ara, 3) ki, 4) ara. 17.21. 25. 11 . 17.22. 85. 17.23. 14. 17.24. 67. 17.25. 50. 17.26. 20

423

§18 18.1. 1) 24; 2) 120; 3) 600; 4) 30; 5) 56; 6) 720; 7) 330; 8) 24. 18.2. n +1 1 ; 4) . 18.3. 1) 6; 2) (3n − 2)! (n + 2)!

1) n(n − 1)(n − 2) ; 2) n(n + 1) ; 3)

120; 3) 30; 4) 48; 5) 48; 6) 91. 18.4. 1) 120;

2) 20;

3) 42; 4) 9. 18.5.

1) 10; 2) 10; 3) 5; 4) 10; 5) 25; 6) 2,5. 18.6. 6. 18.7. 24. 18.8. 6. 18.9. 40320; 18.10. 720. 18.11. 56. 18.12. 3024. 18.13. 120. 18.14. 20. 18.15. 840. 18.16. 4. 18.17. 35. 18.18. 15. 18.19. 1365. 18.20. 84. 18.21. 10.

18.22.

600. 18.23. 20. 18.24. A106 . 18.25. 240. 18.26. 125. 18.27. 55 . 18.28. 192. 18.29. 240. 18.30. 1) 300; 2) 1080; 3) 540. 18.31. 32. 18.32. A52 =20. 18.33. C 73 = 35 . 18.34. 1800. 18.35. 120.

§19 19.1. 1) 7; 2) 5; 3) 1,2; 4) 2. 19.2. 1) 0; 2) 2,75. 19.3. 1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 3; 5) 31 2 ; 6) ; 7) 40 3

13 ; 8) 5 3 . 19.4. 1) 2; 2)

2 . 19.5. 1) 12; 2) 13; 3) 6; 4) 3

6 5.

19.6. 1)

monacemebi sixSire fardobiTi sixSire monacemebi sixSire fardobiTi sixSire

0 2 1 6 _2 2 1 7

3 3 1 4 0 2 1 7

4 2 1 6 1 2 1 7

5 3 1 2 3 4 2 7

6 2 1 6 4 4 2 7

19.7. 1) _2; 2) 2 da 5; 3) moda ara aqvs; 4) 2; 3; 4. 19.8. 1)

370 ; 3) 5

3 2 ; 2

42 11 14 ; 4) . 19.9. 1) saSualoa 5, medianaa 4, 3 7

424

diapazonia

10,

moda

ara

aqvs,

saSualo

kvadratuli

gadaxraa 14 ; 2) saSualoa _1, medianaa 4, diapazonia 12, modaa 1, saSualo kvadratuli gadaxraa 4. 19.10. n=4, saSualoa 1, medianaa â&#x20AC;&#x201C; 0, modaa 1, diapazonia 4, saSualo kvadratuli gadaxraa

3 5 . 5

19.11. m =3,

medianaa 0, gabnevis diapazonia 7. 19.12. 40; 2) 80; 3) 16; 4) 150. 19.15. mniSvneloba sixSire fardobiTi sixSire saSualoa 8,

10 1 1 10 diapazonia 4,

9 3 3 10 modaa

monacemebi sixSire fardobiTi sixSire

1 2 1 6

3 2 1 6

1 1 . 19.13. . 19.14. 1) 15 4

7 1 1 10 da 9,

6 2 1 5 medianaa

2 10 . 5

saSualo kvadratuli gadaxraa 19.16.

8 3 3 10 8

n =2, modaa 0,

4 2 1 6

5 4 1 3

6 1 1 12

saSualoa 4, diapazonia 5, modaa 5, medianaa 4,5, saSualo 2 6 . 3 monacemebi 6 sixSire 1 fardobiTi 1 sixSire 14

kvadratuli gadaxraa 19.17.

8 3 3 14

9 4 2 7

10 6 3 7

saSualoa 9, diapazonia 4, medianaa 9, modaa 10, saSualo kvadratuli gadaxraa 19.18. 1) 180; 2) 45; 3)

3 7 . 7

1 4 . 19.19. 400 da . 6 7

425

19.20. 140. 19.21. 1200.

§20 20.1. 1) SeuZlebelia; 2) SemTxveviTia; 3) aucilebelia; 4) SemTxveviTia. 20.2. 1) SemTxveviTia; 2) SemTxveviTia; 3) SeuZlebelia; 4)aucilebelia; 5) SemTxveviTia; 6) aucilebelia. 20.3. 1) SemTxveviTia; 2) SeuZlebelia; 3) aucilebelia; 4) aucilebelia. 20.4. 1) SeuZlebelia; 2) SemTxveviTia; 3) SeuZlebelia; 4) SemTxveviTia. 20.5. 1) 3; 2) 6; 3) 36; 4) 4; 5) 8; 6) C 362 ; 7) 1 1 1 1 1 12; 8) 25; 9) 20; 10) 36⋅52. 20.6. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 6 2 2 2 3 1 1 1 5 1 2 5 1 3 ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 20.7. 1) ; 2) ; 3) 3 6 2 6 2 3 6 4 4 1 1 1 1 2 3 8 3 ; 4) ; 5) ; 6) . 20.8. 1) ; 2) . 20.9. . 20.10. 1) ; 2) 2 2 4 4 5 5 11 10 1 4 1 1 11 11 13 1 ; 3) ; 4) . 20.11. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 5 5 2 12 24 24 24 56 33 5 11 3 3 9 33 6 ; 7) ; 8) . 20.12. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 112 16 16 38 95 38 95 19 9 1 12 1 1 1 11 3 1 ; 7) ; 8) . 20.13. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 38 57 95 6 4 2 36 4 4 1 5 1 1 1 1 2 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) 0; 14) 1; 15) ; 18 36 6 12 9 12 9 1 11 7 8 25 5 4 ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) . 20.14. 1) ; 2) 16) 8 18 18 9 36 6 9 3 7 1 1 5 1 1 1 1 ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 20.15. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 8 8 2 2 8 36 9 2 4 2 8 3 7 4 3 2 9 4 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ⋅ ; 10) ; 11) ; 12) ; 9 9 4 9 36 35 35 140 315 1 31 8 31 3 3 3 1 13) ⋅ ; 14) ⋅ . 20.16. . 20.17. . 20.18. 1) ; 2) ; 3) 9 35 9 35 5 5 10 2 19 179 59 1 4 200 ; 4) ; 6) . 20.19. . 20.20. = 2 ; 5) 495 495 165 120 99 C100 1 1 1 1 1 1 . 20.21. . 20.22. . 20.23. . 20.24. . 20.25. = 3 120 120 24 720 10 ⋅ A5 600 1)

C 83 C105

10 A20 C 21 ⋅ C 84 5 7 2 1 2 ; 2) = ; 3) ; 4) . 20.26. . 20.27. . 10 5 9 9 3 9 9 20 C10

426

2 1 1 C 20 C 802 C 20 ⋅ C 80 19 316 32 1 . 20.29. 1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) 2 2 2 3 99 C100 495 C100 495 C100

20.28.

2 C 20 + C802 2 100 1 30

C ⋅ C802

3 50

3 20 ⋅ C 302 C3 67 29 C 30 57 87 . 20.30. 1) ; 3) ; = 3 ; 2) 20 = = 3 3 99 140 C 50 196 C 50 C 50 980

57 . 20.31. 1) 196

1 ; 2) 6

2 . 20.32. 1) 3

1 ; 2) 64

1 ; 3) 64

A53 12 A42 3 3! 3 3 1 = = = ; 4) . 20.33. . 20.34. . 20.35. 1) ; 2) 2 3 3 4 25 32 64 4 4 5 4 5 5 80 10 1 8 16 3) ; 4) . 20.36. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 8 16 111 37 111 999 333 5 11 1 1 20.37. 1) ; 2) 0,4; 3) ; 4) 0,6. 20.38. 1) ; 2) . 20.39. 1) 6 20 5 7 1 1 13 2 1 2) . 20.40. 1) ; 2) 0,7; 3) ; 4) 0,46; 5) ; 6) 0,2; 7) 7 2 25 3 4 2 4 7 5 3 5 . 20.41. . 20.42. . 20.43. . 20.44. . 20.45. . 9 5 10 6 35 12

7 ; 12 9 . 37 11 ; 15

; 8)

§21 1 4 2 2 1 11 1 1 ; 2) ; 3) ; 4) . 21.2. 1) ; 2) . 21.3. 1) ; 2) . 5 5 5 5 9 18 9 3 2 2 1 3 1 1 3 . 21.5. . 21.6. . 21.7. . 21.8. . 21.9. . 21.10. . 3 2 2 2 3 4 5 2 4 3 1 4 1 1 . 21.12. . 21.13. . 21.14. . 21.15. . 21.16. . 21.17. . 5 5 8 2 9 4 4 1 1 1 4 5 2 . 21.19. . 21.20. . 21.21. 1) ; 2) . 21.22. . 21.23. 2 3 6 9 9 7 49 21 91 9 7 π ; 2) ; . 21.24. . 21.25. . 21.26. . 21.27. 1 − . 100 100 100 14 10 4 3 3 2π − 3 3 3 7 2 π 3 . 21.29. . 21.30. . 21.31. . 21.32. . 21.33. . π 9 4π 12π 8 12 1 1 . 21.35. . 2 4

21.1. 1) 21.4. 21.11. 21.18. 1)

9 100

21.28. 21.34.

427

t!b!d!o!p!c!b!s!p!!!!n!b!t!b!m!b! Tfnplmfcvmj!hbnsbwmfcjt!gpsnvmfcj! 1. a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) ;

( = (a + b ) (a

) − ab + b ) ;

2. a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 ; 3. a + b 3

4. (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; 5. (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 ; 6. (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ;

! qspqpsdjfcj! a c d = , maSin a ⋅ d = b ⋅ c; = b d b a±b c±d a+b c+d = = ; . a c a−b c−d a a a c 2. Tu 1 = 2 = L = n = , maSin b1 b2 bn d 1. Tu

c ; a

a b = ; c d

d b a±b c±d = ; = ; c a b d

a1 ± a2 ± L ± a n c = . b1 ± b2 ± L ± bn d

! qspdfouj! 1. a ricxvis k % tolia

ak -is. 100

100 -is. k a a 3. a ricxvi aris b ricxvis nawili, anu ⋅ 100 procenti. b b 4. a ricxvis rTuli n %-iT gadideba, ramodenime etapad, niSnavs: yovel momdevno etapis dasawyisSi wina etapze miRebul ricxvs daematos misive n %. Ggamomdinare aqedan Ak ricxvi, romelic warmoadgens a ricxvis misi rTuli n %-iT Tanmimdevrulad k -etapad gadidebuls, gamoiTvleba formuliT

2. ricxvi, romlis k % aris b , tolia b ⋅

428

n ⎞ ⎛ Ak = a⎜1 + ⎟ . ⎝ 100 ⎠

ybsjtyj! 1. a n = a1⋅2 a... 3a; sadac n ∈ N ;

2. a 0 = 1; a ≠ 0 .

n −jer

3. a −n =

1 an

, n ∈ N , a ≠ 0.

4. a n = n a m , m ∈ Z n ∈ N 5.

a± b =

da a > 0.

a + a2 − b a − a2 − b ± , a > 0, b > 0, a 2 > b . 2 2

! nprnfefcfcj!ybsjtyfc{f! n

1. (ab )n = a n b n ;

an ⎛a⎞ 2. ⎜ ⎟ = n , Tu b ≠ 0 ; b ⎝b⎠

3. a m ⋅ a n = a m+ n ;

am a

= a m −n ;

( )

5. a m

= a mn .

ebnpljefcvmfcb!tbTvbmp!bsjUnfujlvmtb!eb! tbTvbmp!hfpnfusjvmt!Tpsjt! a1 + a2 + L + a n n ≥ a1a2 L a n , n sadac a1 ≥ 0, a 2 ≥ 0,K, a n ≥ 0. tolobas adgili aqvs maSin da mxolod maSin, roca a1 = a2 = L = an .

lwbesbuvmj!hboupmfcjt!bnpobytoUb!gpsnvmb! Tu ax 2 + bx + c = 0 da D = b 2 − 4ac ≥ 0, maSin

a) x1,2 =

− b ± b 2 − 4ac ; 2a

b) x1,2 =

! 429

− k ± k 2 − ac , Tu b = 2k . a

wjfujt!Ufpsfnb! Tu x1 da x 2 aris ax 2 + bx + c = 0 gantolebis amonaxsnebi, maSin

x1 + x2 = −

b , a

x1 ⋅ x2 =

c . ! a

! lwbesbuvmj!tbnxfwsjt!ebTmb!xsgjw!nbnsbwmfcbe Tu x1 da x2 aris ax 2 + bx + c kvadratuli samwevris amonaxsnebi, maSin ax 2 + bx + c = a( x − x1 )(x − x2 ) .

bsjUnfujlvmj!qsphsftjb! a n = a1 + (n − 1)d ; Sn =

a1 + an n, 2

Sn =

2a1 + (n − 1)d n, 2

a1 + a n = a2 + a n−1 = K = a k + a n−k +1 ; an =

a n −1 + a n +1 . 2

hfpnfusjvmj!qsphsftjb! bn = b1q n−1 ; b q − b1 b1 (q n − 1) , Sn = n , (q ≠ 1); q −1 q −1 b1 ⋅ bn = b2 ⋅ bn−1 = K = bk ⋅ bn−k +1 ;

Sn =

bn2 = bn −1 ⋅ bn+1 .

! ! ! 430

Sn =

2an − d (n − 1) n; 2

usjhpopnfusjb! lvUyjt!hsbevtvmj!{pnjt!hbebzwbob!sbejbofcTj!eb!qjsjrjU! α=

a° α π , a° = 180° ( α - radianuli zomaa, a - gradusi)! 180° π

! usjhpopnfusjvm!!gvordjbUb!ojTofcj! !

!!!!!!!!sinusi

kosinusi

tangensi

usjhpopnfusjvmj!gvordjfcjt!nojTwofmpcbUb!dysjmj! {phjfsUj!bshvnfoujtbUwjt! α

0 = 00

π 6

= 30 o

π 4

= 45 o

π 3

= 60 o

π 2

= 90 o π = 180 0

3π = 270 0 2

1 2

2 2

3 2

-1

3 2

2 2

1 2

-1

tgα

3 3

ctgα

3 3

sin α

cos α

431

ebnpljefcvmfcb!fsUj!eb!jhjwf!bshvnfoujt! usjhpopnfusjvm!gvordjfct!Tpsjt! 1. sin 2 α + cos 2 α = 1; 3. ctgα =

2. tgα =

cosα ; sin α

5. 1 + tg 2α =

sin α ; cosα

4. tgα ctgα = 1;

1 ; cos 2 α

6. 1 + ctg 2α =

1 .! sin 2 α

! psj!bshvnfoujt!kbnjtb!eb!tywbpcjt! usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj! sin (α + β ) = sin α cos β + cosα sin β ; sin (α − β ) = sin α cos β − cosα sin β ; cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β ; cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β ; tgα + tgβ 5. tg (α + β ) = ; 1 − tgα tgβ tgα − tgβ 6. tg (α − β ) = . 1 + tgα tgβ

1. 2. 3. 4.

psnbhj!eb!tbnnbhj!bshvnfoujt!usjhpopnfusjvmj! gvordjfcj! 1. sin 2α = 2 sin α cos α ; 2tgα ; 3. tg 2α = 1 − tg 2α

2. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α ;

5. cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cosα ;

6. tg 3α =

432

sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α ; 3tgα − tg 3α ; 1 − 3tg 2α

obyfwbsj!bshvnfoujt!usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj 1 − cosα ; 2 α 1 − cosα 3. tg 2 = ; 2 1 + cosα α 1 − cosα 5. tg = . 2 sin α

1. sin 2

1 + cosα ; 2 α sin α tg = ; 2 1 + cosα

2. cos 2 4.

!!!!!!!!!!usjhpopnfusjvm! gvordjbUb! hbnptbywb! obyfwbsj! bshvnfoujt!ubohfotjU! 1. sin α =

2tg 1 + tg

α 2 ; 2

2. cosα =

1 − tg 2 1 + tg

α 2;

3. tgα =

2tg 1 − tg

α 2 . 2

usjhpopnfusjvm! gvordjbUb! obnsbwmjt! hbsebrnob! kbnbe! 1 [sin (α + β ) + sin (α − β )] ; 2 1 2. cosα cos β = [cos(α − β ) + cos(α + β )] ; 2 1 3. sin α sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] . 2

1. sin α cos β =

!!!!!!!usjhpopnfusjvm! obnsbwmbe 1. sin α + sin β = 2 sin

gvordjbUb!

α+β

cos

α−β

; 2 2 α−β α+β cos ; 2. sin α − sin β = 2 sin 2 2 α+β α−β cos ; 3. cosα + cos β = 2 cos 2 2 α+β α −β 4. cosα − cos β = −2 sin sin ; 2 2 433

kbnjt!

hbsebrnob!

sin (α + β ) ; cosα cos β sin (α + β ) ; 7. ctgα + ctgβ = sin α sin β

sin (α − β ) ; cosα cos β sin (β − α ) 8. ctgα − ctgβ = . sin α sin β

5. tgα + tgβ =

6. tgα − tgβ =

usjhpopnfusjvm!gvordjbUb!{phjfsUj!kbnjt! hbsebrnob! 1. 1 − cos 2α = 2 sin 2 α ;

2. 1 + cos 2α = 2 cos 2 α ;

3. 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = cos 2α ; 4. sin α + cosα = 2 sin (α + 45°) = 2 cos(α − 45°) ; 5. sin α − cos α = 2 sin (α − 45°) = − 2 cos(α + 45°) ; 6. sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2 sin 2 α cos 2 α ; 7. sin 6 α + cos 6 α = 1 − 3 sin 2 α cos 2 α .

! Tfrdfvmj!usjhpopnfusjvmj!gvordjfcj 1. y = arcsin x, Tu x = sin y da −

≤ y≤

2 2 2. y = arccos x, Tu x = cos y da 0 ≤ y ≤ π ;

3. y = arctgx, Tu x = tgy da −

< y<

;

; 2 2 4. y = arcctgx, Tu x = ctgy da 0 < y < π ; 5. arcsin(− x ) = − arcsin x ; 6. arccos(− x ) = π − arccos x ; 7. arctg (− x ) = −arctgx ; 8. arcctg (− x ) = π − arcctgx ;

9. arcsin x + arccos x =

π 2

10. arctgx + arcctgx =

;

π 2

vnbsujwft!usjhpopnfusjvm!hboupmfcbUb!bnpobytofcj! !

1. sin x = a; a ≤ 1, x = (− 1) arcsin a + πκ , κ ∈ Z ; k

kerZod: a) sin x = 0, x = πκ , κ ∈ Z ; b) sin x = 1, x =

π 2

+ 2πκ , κ ∈ Z ;

g) sin x = −1, x = − 434

π 2

+ 2πκ , κ ∈ Z ;

2. cos x = a; a ≤ 1, x = ± arccos a + 2πκ , κ ∈ Z ;

+ πκ , κ ∈ Z ; 2 b) cos x = 1, x = 2πκ , κ ∈ Z ; g) cos x = −1, x = π + 2πκ , κ ∈ Z . 3. tgx = a, x = arctga + πκ , κ ∈ Z ; 4. ctgx = a, x = arcctga + πκ , κ ∈ Z .!

kerZod:

a) cos x = 0, x =

!!!!!!!!!!!!!! mphbsjUnfcj 1. log a b = x ⇔ a x = b,

(a ≠ 1,

a > 0, b > 0) ;

2. a = b ; 3. log a 1 = 0 ; 4. log a a = 1 ; 5. log a (x1 ⋅ x2 ) = log a x1 + log a x2 ; log a b

x1 = log a x1 − log a x2 ; x2 1 8. log a k x = log a x ; k log c b 10. log a b = ; log c a

7. log a x k = k log a x ;

6. log a

12.

log a x log b x = ; log a y log b y

m log a b ; k 1 11. log a b = ; log b a

9. log a k b m =

13. a logc b = b logc a .

kombinatorika Pn = n(n − 1)K (n − m + 1) ; Pn − m

1. Pn = n! ; P0 = 1 ;

2. Anm =

3. An1 = n ; An0 = 1 ;

4. Anm +1 = (n − m )Anm ;

5. Cnm =

Anm n! n(n − 1)(n − 2)K (n − m + 1) = = ; Pm m!(n − m )! m!

6. Cnm = Cnn − m ; Cn1 = n ; Cn0 = 1 .

niutonis binomialuri formula

(a + b )n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + L + Cnm a n − mb m + L + Cnnb n . 435

mbUjovsj!bocboj! ! A, a _ a B, b _ be C , c _ ce D, d _ de E, e _ e F , f _ ef G , g _ Je H , h _ haS I, i _ i J , j _ Ji K , k _ ka L, l _ el M , m _ em

Α, α _ alfa Β, β _ beta Γ, γ _ gama ∆, δ _ delta Ε, ε _ efsilon Ζ, ς _ Zeta Η, η _ eta Θ, ϑ _ Teta Ι, ι _ iota

N , n _ en O, o _ o P, p _ pe Q, q _ qu R, r _ er S , s _ es T , t _ te U, u _ u V, v _ v W , w _ dubl-ve X , x _ iqs Y , y _ igrek Z , z _ zet

cfs[ovmj!bocboj! !

Κ , κ _ kapa Λ, λ _ lambda Μ , µ _ miu

Ν, ν _ niu Ξ, ξ _ qsi Ο, ο _ omikroni Π, π _ pi Ρ, ρ _ ro Σ , σ _ sigma Τ, τ _ tau Φ, φ _ fi Χ, χ _ xi ϒ, υ _ ifsilon Ψ, ψ _ fsi Ω, ω _ omega

436

s a r C e v i

$1. $2. $3. $4. $5. $6. $7. $8. $9. $10. $11. $12. $13. $14. $15. $16. $17. $18. $19. $20. $21. $22. $23. $24. $25. $26. $27. $28. $29.

meoTxe gamocemis winasityvaoba ................................................. mexuTe gamocemis winasityvaoba ……………………………… S e s a v a l i …………………………………………………………… naturaluri ricxvebi da Tvlis sistemebi ……………… gayofadobis niSnebi ……………………………………………… martivi da Sedgenili ricxvebi. udidesi saerTo gamyofi. umciresi saerTo jeradi ……………………………. mTeli ricxvebi ……………………………………………………. Cveulebrivi wiladebi, racionaluri ricxvebi ………….. aTwiladebi ………………………………………………………….. iracionaluri ricxvis cneba. namdvili ricxvebi ………… ricxviTi wrfe. ricxviTi Sualedebi. marTkuTxa koordinatTa sistema ………………………………………………. namdvili ricxvis moduli (absoluturi sidide) da misi Tvisebebi ……………………………………………………………….. proporciebi. procentebi …………………………………………. xarisxi mTeli maCvenebliT ………………………………………. ricxviTi gamosaxulebani. cvladis Semcveli gamosaxulebani ………………………………………………………………………. erTwevri da mravalwevri …………………………………………. Semoklebuli gamravlebis formulebi. mravalwevris daSla mamravlebad ………………………………………………………. n -uri xarisxis fesvi. n -uri xarisxis ariTmetikuli fesvi ……………………………………………………………………… ariTmetikuli fesvis Tvisebebi …………………………………. racionalur maCvenebliani xarisxi ……………………………. wiladur gamosaxulebaTa gardaqmna …………………………… funqcia. gansazRvris are. mniSvnelobaTa simravle. Seqceuli funqcia ………………………………………………………… ricxviTi funqcia da misi grafiki. Seqceuli funqciis grafiki …………………………………………………….. funqciis mocemis xerxebi …………………………………………. zrdadi da klebadi, SemosazRvruli da SemousazRvreli funqciebi ………………………………………………………….. luwi, kenti da perioduli funqciebi ………………………… funqciis grafikis zogierTi gardaqmna ……………………… wrfivi funqcia ……………………………………………………….. k funqciis Tvisebebi da grafiki …………………………. y= x wilad-wrfivi funqcia ……………………………………………… kvadratuli funqciis Tvisebebi da grafiki ………………… xarisxovani funqcia naturaluri maCvenebliT ……………..

437

3 4 5 10 15 16 19 21 25 29 32 35 36 39 41 43 46 50 52 55 56 59 60 61 62 64 65 68 70 72 73 75

y = n x funqcia ………………………………………………………… gantoleba ………………………………………………………………. erTcvladiani wrfivi da kvadratuli gantolebebi ……… vietis Teorema ………………………………………………………… kvadratuli samwevris daSla mamravlebad …………………. bikvadratuli gantoleba …………………………………………. iracionaluri gantoleba ………………………………………… gantolebaTa sistemebi …………………………………………….. wrfiv gantolebaTa sistema ……………………………………… utolobebi ……………………………………………………………… wrfivi erTcvladiani utoloba ………………………………… kvadratuli utoloba ……………………………………………… utolobaTa sistemebi ………………………………………………. utolobaTa amoxsna intervalTa meTodiT …………………… modulis Semcveli utolobebi ………………………………….. ricxviTi mimdevroba ………………………………………………… ariTmetikuli progresia ………………………………………….. geometriuli progresia ……………………………………………. geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis formula ………………………………………………. $49. geometriuli progresiis jami, roca q < 1 …………………..

$30. $31. $32. $33. $34. $35. $36. $37. $38. $39. $40. $41. $42. $43. $44. $45. $46. $47. $48.

76 77 80 82 84 84 86 87 89 92 96 97 99 101 104 106 109 111 112 113

$50. kuTxuri sidideebis radianuli zoma …………………………. 114 $51. trigonometriuli funqciebi ……………………………………… 114 $52. trigonometriuli funqciebis mniSvnelobaTa gamoTvla argumentis zogierTi mniSvnelobebisaTvis ………………….. 118 $53. y = sin x funqciis Tvisebebi da grafiki ………………………. 120 $54. y = arcsin x funqciis Tvisebebi da grafiki ……………………. 123 $55. y = cos x funqciis Tvisebebi da grafiki ……………………… 124 $56. y = arccos x funqciis Tvisebebi da grafiki …………………… 126 $57. y = tgx funqciis Tvisebebi da grafiki ………………………… 126 $58. y = arctgx funqciis Tvisebebi da grafiki ……………………... 128 $59. y = ctgx funqciis Tvisebebi da grafiki ……………………….. 129 $60. y = arcctgx funqciis Tvisebebi da grafiki ……………………. 132 $61. damokidebuleba erTi da imave argumentis trigonometriul funqciebs Soris ………………………………………………… 133 $62. ori argumentis jamisa da sxvaobis trigonometriuli funqciebi …………………………………………………………… 134 $63. dayvanis formulebi …………………………………………………. 135 $64. ormagi da naxevari argumentis trigonometriuli funqciebi ……………………………………………………………………. 137 $65. trigonometriul funqciaTa gamosaxva naxevari argumentis tangensiT ………………………………………………………… 138 $66. trigonometriul funqciaTa namravlis gardaqmna jamad … 139

438

$67. $68. $69. $70. $71. $72. $73. $74. $75. $76. $77. $78. $79. $80. $81.

trigonometriul funqciaTa jamis gardaqmna namravlad … 140 trigonometriuli gantolebebi ………………………………….. 141 xarisxi iracionaluri maCvenebliT …………………………… 144 maCvenebliani funqciis Tvisebebi da grafiki ………………. 145 logariTmis cneba ……………………………………………………. 146 namravlis, fardobisa da xarisxis logariTmi …………….. 147 logariTmis erTi fuZidan meoreze gadasvla ………………. 149 logariTmuli funqciis Tvisebebi da grafiki ……………… 150 maCvenebliani da logariTmuli gantolebebi ……………….. 151 maCvenebliani da logariTmuli utolobebi …………………. 152 kombinatorikis elementebi ………………………………………… 154 niutonis binomialuri formula …………………………………. 158 ………………………………………… 159 statistikis elementebi xdomilobis albaToba. fardobiTi sixSire ………………… 164 elementarul xdomilobaTa sruli sistema (xdomilobaTa sivrce). xdomilobaTa Sedareba ….…….... 166 $82. operaciebi xdomilobebze …………………………………………. 170 $83. geometriuli albaToba …………………………………………...... 174

a m o c a n a T a

k r e b u l i

$1. ariTmetikuli gamoTvlebi …………………………………………. $2. moqmedebebi erTwevrebze da mravalwevrebze. mravalwevris mamravlebad daSla …………………………………………… $3. moqmedebebi racionalur gamosaxulebebze …………………… $4. moqmedebebi radikalebze. algebrul gamosaxulebaTa gardaqmna ……………………………………………………………………. $5. wrfivi, kvadratuli da maTze dayvanadi gantolebebi …… $6. iracionaluri gantolebebi ………………………………………. $7. sistemebi ………………………………………………………………… $8. utolobebi ……………………………………………………………… $9. modulis Semcveli gantolebebi da utolobebi …………… $10. algebruli amocanebi ……………………………………………….. $11. mimdevrobebi da progresiebi …………………………………….. $12. trigonometriul gamosaxulebaTa gamartiveba da gamoTvla ………………………………………………………………………. $13. trigonometriuli gantolebebi da utolobebi ……………. $14. logariTmis Semcveli gamosaxulebebis gamoTvla. maCvenebliani da logariTmuli gantolebebi. gantolebaTa sistemebi ……………………………………………………………………. $15. maCvenebliani da logariTmuli utolobebi ………………… $16. funqcia. funqciis grafiki ………………………………………… $17. simravleebi. operaciebi simravleebze …………………. $18. kombinatorikis elementebi …………………………………..

439

176 186 194 204 217 227 230 237 249 252 295 313 335

341 351 357 367 370

$19. monacemTa analizi da statistika ……………………………… $20. xdomilobis albaToba …………………………………………....... $21. geometriuli albaToba …………………………………………..... pasuxebi ………………………………………………………………….. sacnobaro masala ……………………………………………………. laTinuri da berZnuli anbani ……………………………………

373 376 386 390 428 436

ibeWdeba avtorTa mier warmodgenili saxiT

gadaeca warmoebas 05.11.2008. xelmowerilia dasabeWdad 12.11.2008. qaRaldis zoma 60×84 1/16. pirobiTi nabeWdi Tabaxi 27,75. saaRricxvosagamomcemlo Tabaxi 24. tiraJi 500 egz. SekveTa #

sagamomcemlo saxli “teqnikuri universiteti”, Tbilisi, kostavas 77

440