Mục lục PHẦN 1: LỚP 12 CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề 1: Khối đa diện Chuyên đề 2: Thể tích khối chóp Chuyên đề 3: Thể tích khối lăng trụ CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Chuyên đề 1: Mặt nón Chuyên đề 2: Mặt trụ Chuyên đề 3: Mặt cầu CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề 1: Hệ tọa độ trong không gian Chuyên đề 2: Phương trình mặt phẳng Chuyên đề 3: Phương trình đường thẳng Chuyên đề 4: Phương trình mặt cầu Chuyên đề 5: Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian PHẦN 2: LỚP 10 VÀ LỚP 11 CHƯƠNG 1: VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên đề 1: Vectơ và các phép toán vectơ Chuyên đề 2: Hệ trục tọa độ Chuyên đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuyên đề 1: Phương trình đường thẳng Chuyên đề 2: Phương trình đường tròn Chuyên đề 3: Phương trình elip
1 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 CHƯƠNG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Chương 1: Phép biến hình, phép tịnh tiến
Chương 2: Phép đối xứng trục, đối xứng tâm
Chương 3: Phép quay, phép dời hình
Chương 4: Phép vị tự, phép đồng dạng
CHƯƠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
Chương 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Chương 2: Quan hệ song song
CHƯƠNG 5: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Chương 1: Vectơ trong không gian
Chương 2: Quan hệ vuông góc
Chương 3: Góc
Chương 4: Khoảng cách
2 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện
CHUYÊN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Phần 1
LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Thể tích khối chóp 1 V = B.h 3
Trong đó: B: diện tích đáy h: chiều cao của khối chóp
2. Các công thức hình học phẳng hay sử dụng a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho ∆ABC vuông ở A ta có : 2 • Định lý Pitago : BC = AB2 + AC2 = • BA 2 BH.BC; = CA 2 CH.CB • AB. AC = BC. AH 1 1 1 • = + 2 2 AH AB AC2
b. Hệ thức lượng trong tam giác thường • Định lý côsin:
a2 = b2 + c 2 − 2bc.cosA
2 2 2 b = a + c − 2ac.cosB 2 2 2 c = a + b − 2ab.cos C
a b c • Định lý sin: = = = 2R sin A sinB sin C
2b2 + 2c 2 − a2 4 2 2a + 2c 2 − b2 mb2 = 4 2 2 2a + 2b2 − c 2 mc = 4 • Định lý đường trung tuyến : ma2 =
c. Các công thức tính diện tích • Công thức tính diện tích tam giác: S=
1 1 a.b.c a.ha = a.b sin C = =p.r = p.(p − a)(p − b)(p − c) 2 2 4R
3 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Trong đó : R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. p=
a+b+c là nửa chu vi. 2
Đặc biệt :
∆ABC vuông ở A : S =
1 AB.AC , 2
∆ABC đều cạnh a: S =
a2 3 4
• Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh • Diện tích hình chữ nhật : S = chiều dài x chiều rộng • Diện tích hình thoi : S =
1 đường chéo x đường chéo. 2
• Diện tích hình thang : S =
1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2
• Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao • Diện tích hình tròn : S = π.R2
d. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều
Phần 2
CÔNG THỨC TÍNH NHANH Bài toán
Hình vẽ
Thể tích
Thể tích tứ diện ABCD đều cạnh a.
VABCD =
a3 2 12
4 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện
Thể tích hình chóp S.ABC với các mặt (SAB), (SAC), (SBC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác lần lượt là S1, S2 , S3 .
2S1.S2 .S3
VS.ABC =
3
Thể tích tứ diện ABCD gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau) AB = CD = a , BC = AD = b, AC = BD = c
V= ABCD
2 12
(a
2
)(
)(
+ b2 − c 2 a2 + c 2 − b2 c 2 + b2 − a2
)
Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên và ba góc ở đỉnh SA = a, SB = b, SC = c, � � � ASB = x , BSC = y , CSA =z 1 VABCD = 1 + 2 cosx.cosy.cosz − cos2 x − cos2 y − cos2 z 6
5 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc α Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh bên là b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β
Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b
VS.ABC =
a2 3b2 − a2 12
VS.ABC =
a3 tan α 24
3a3 sin β.cos2 β 4
VS.ABC =
VS.ABC =
a3 tan β 12
VS.ABCD =
a2 4b2 − 2a2 6
Khi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a VS.ABCD =
Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt � = α đáy là góc SMO Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, π π � SAB = β với β ∈ ;
a3 2 6
VS.ABCD =
a3 tan α 6
VS.ABCD =
a3 tan2 β − 1 6
4 2
Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy π � = α với α ∈ 0; là SMO
VS.ABCD =
4b3 tan α 3
( 2 + tan α ) 2
3
2
6 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.3
Chương 1: Thể tích khối đa diện Phần 3
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 1. Phương pháp giải Thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: V=
1 .B.h 3
Trong đó: B: diện tích đáy. h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4 , AB = 6 , BC = 10 và CA = 8 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . A. V = 40 . B. V = 192 . C. V = 32 . D. V = 24 . Hướng dẫn
Vì SA vuông góc với đáy nên chiều cao là h = SA . Xét tam giác ABC, ta có: AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 = BC2 Suy ra tam giác ABC vuông tại A ,do đó diện tích tam giác ABC là:
= B S= ABC
1 1 AB.AC = = .6.8 24 2 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
V= SABC
1 1 1 = B.h .S ABC= .SA .24.4 = 32 . 3 3 3
→ Chọn C.
7 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB = a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A. V =
a3 3 . 3
B. V = a3 3 .
C. V =
Hướng dẫn Do tam giác ABC là tam giác đều nên diện tích đáy là: 3 ( 2a ) =
a3 3 . 2
D. V =
a3 3 . 6
2
B S= = ABC
4
3a2
Vì SA vuông góc với đáy nên chiều cao của hình chóp là: h =SA = SB2 − AB2 = 5a2 − 4a2 =a
Vậy thể tích V của khối chóp S.ABC là: VS.ABC =
1 1 2 a3 3 = B.h a = 3.a 3 3 3
→ Chọn A Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a , góc giữa SB và ( ABC ) là 30° . Tính thể tích khối chóp S.ABC . A.
a3 3 . 3
B.
a3 6 . 3
C.
a3 6 . 9
D.
a3 2 . 4
Hướng dẫn SB ∩ ( ABC ) = B mà SA ⊥ ( ABC ) nên AB là hình chiếu của SB � = 30° . lên ( ABC ) suy ra góc giữa SB và ( ABC ) là góc SBA Tam giác ABC vuông cân tại A , BC = 2a ⇒ AB = AC = a 2 3 a 6 . = SA AB.tan = 30° a= 2. 3 3
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =
1 AB2 = a2 . 2
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: = VS.ABC
1 1 a 6 2 a3 6 . = .SA.S ABC . .a = 3 3 3 9
→ Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a , CA = a . Hai mặt ( ABC ) và ( ASC ) cùng vuông góc với (SBC). Thể tích hình chóp là: A. V =
a3 3 . 12
B. V =
a3 3 . 2
C. V =
a3 3 . 4
D. V =
a3 . 12
8 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Hướng dẫn ( ABC ) ⊥ ( SBC ) Do ( SAC ) ⊥ ( SBC ) ⇒ AC ⊥ (SBC) . AC ( ABC ) ∩ ( SAC ) =
Suy ra AC là chiều cao của hình chóp. Ta có: AC = a Tam giác SBC đều cạnh a nên diện tích đáy là Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: = V
→ Chọn A.
1 1 a2 3 a3 3 = SSBC .AC = a 3 3 4 12
Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. A. V = 3a3 .
B. V =
3a3 . 3
C. V = a3 .
D. V =
a3 . 3
Hướng dẫn Ta có diện tích đáy là: Ta có:
S= AB.AD = a.a = 3 ABCD
3a2 .
BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ AB BC ( SBC ) ∩ ( ABCD ) =
Vì BC ⊥ AB; BC ⊥ SB .
� ⇒ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SB, AB ) = SBA = 60o (�
Xét tam giác SAB vuông tại A có: tan 60o =
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: → Chọn C.
= VS.ABCD
SA ⇒ SA = AB tan 60o = a 3 AB 1 1 2 = S ABCD .SA = a 3.a 3 a3 . 3 3
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy , mặt bên ( SBC ) tạo với mặt đáy ( ABC ) một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V =
a3 3 . 12
B. V =
a3 2 . 4
C. V =
a3 2 . 6
D. V =
a3 3 18
9 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Hướng dẫn Do ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = a 2 nên BC AB = AC = = a. 2
Diện tích tam giác ABC là:
1 a2 . = AB.AC 2 2
= S ABC
Kẻ SM vuông góc với BC.
BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAM) ⇒ BC ⊥ SM BC ⊥ SM
BC ( SBC ) ∩ ( ABC ) =
Vì BC ⊥ SM; BC ⊥ AM .
� ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) == SM, AM) SMA = 45o (�
= AM = Do đó tam giác SAM vuông cân tại A nên ta có SA
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: = VS.ABC
→ Chọn A.
a 3 . 2
1 1 a 2 a 3 a3 3 = .S ABC .SA = . . . 3 3 2 2 12
3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 6688) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 300. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . A. V =
a3 13 . 2
B. V =
a3 . 12
C. V =
3a3 13 . 2
D. V =
5a3 13 . 2
Câu 2 (ID: 6689) Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là hình � bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. thoi cạnh a, góc ABC A.
a3 3 . 6
B.
a3 3 . 3
C.
a3 3
.
D.
2a3 3
.
� B , AB 2a, = BAC 600 Câu 3 (ID: 6692) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại= .Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . B. V = 3a3 . C. V = 2a3 . D. V = 4a3 . A. V = a3 . Câu 4 (ID: 6696) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên ( SCD ) hợp với đáy một góc 60o. Thể tích hình chóp S.ABCD là:
A.
a3 . 8
B.
Đáp án 1-B
2–A
3–C
a3 . 3
C.
3a3 3 . 8
D.
a3 3 . 3
4–D
10 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
1. Phương pháp giải Thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: V=
1 .h.B 3
Trong đó: B: diện tích đáy. h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh chóp của mặt bên vuông góc với cạnh đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S. ABCD . A. a C.
3
3
3
B.
a3 3 . 6
3
a . D. a3 3 . 6
Hướng dẫn
Chú ý: Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) và (Q)
P ⊥ Q và ( ) ( )
.
a (P ) ∩ ( Q ) =
Khi đó:
b ⊂ (P ) ⇒ b ⊥ (Q) b ⊥ a
Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD và AB . ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = Gọi H là trung điểm của AB. ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB . Do đó SH ⊥ ( ABCD ) . Đường cao của hình chóp là SH. Diện tích đáy ABCD là: = B S= a2 ABCD
Tam giác SAB đều nên= h SA =
a 3 . 2
Vậy thể tích khối chóp S. ABCD là: = V
1 1 a3 3 . = h.B .SH.S= ABCD 3 3 6
→ Chọn B.
11 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A.
6a3 . 4
B.
6a3 . 24
C. Hướng dẫn
6a3 . 12
D.
6a3 . 8
Tam giác SAB vuông cân tại S và SA = a nên AB = a 2 . AB
a 2
= = Gọi M là trung điểm AB , ta có SM ⊥ AB và SM ( SM là đường trung tuyến của 2 2 tam giác SAB vuông cân tại S ). Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , SM ⊥ AB và ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB nên SM ⊥ ( ABC ) . Suy ra SM là đường cao của hình chóp S.ABC ứng với đáy
là tam giác ABC . Diện tích tam giác ABC là: Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC =
1 1 a SM.S∆ABC . = 3 3 2
2 (a 2 ) .
2
3
4
=
a3 6 . 12
→ Chọn C. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a , AD = a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của cạnh AB , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . A. V =
2 2a3 . 3
B. V =
a3 . 3
C. V = Hướng dẫn
2a3 . 3
D. V =
3a3 2
Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là : Ta có:
S ABCD = AB.= AD 2a.a = 2a2 .
SC ∩ ( ABCD ) = C SH ⊥ ( ABCD )
� = 45° Do đó ( SC, ( ABCD )= ) SHC Do đó tam giác SHC vuông cân tại H nên SH = HC . Mà HC = BH2 + BC2 = a2 + a2 = a 2 = SH . Vậy tích khối chóp S.ABCD là: = VABCD
1 1 2a3 2 . = .S ABCD .SH = .2a2 .a 2 3 3 3
→ Chọn A.
12 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 450, đáy ABC là tam giác � vuông tại A có AB = 2a , góc ABC = 600 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A. V =
2.a3 39 . 3
B. V =
a3 39 . 3
C. V =
Hướng dẫn Gọi H là trung điểm AB. Theo đề bài ta có . Ta có:
2.a3 37 . 3
D. V =
4.a3 39 . 3
Do đó . Tam giác SHC vuông cân tại H nên SH = HC � Vì ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a , góc ABC = 600 . Ta có = AC AB.tan = 600 2a 3 . Diện tích tam giác ABC là: S∆ABC =
1 AB.AC 2a2 3 = 2
Tam giác AHC vuông tại H : HC = Do đó SH = HC = a 13 . Vậy tích khối chóp S.ABC là: = VS.ABC
AH2 + AC2 = a 13 .
1 1 2a3 39 = SH.S ABC a 13.2 = a2 3 . 3 3 3
→ Chọn A. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng 3 7a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 1 A. V = a3 3
7
B. V = a3
2 3
3 2
C. V = a3 D. V = a3
Hướng dẫn Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. ⇒ SM ⊥ ( ABCD ) và CD ⊥ MH ⇒ CD ⊥ ( SMH) . AB 3 x 3 = . 2 2
Đặt AB =⇒ x MH = AD = x,SM = Kẻ MK vuông góc với SH Tam giác SMH vuông tại M, có :
1 1 1 1 1 1 7 7 = + ⇔ = 2 + ⇔ 2 = ⇒ x = a 3. 2 2 2 2 2 MK SM MH x 9a 3x 2 3a 7 x 3 7 2
13 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: = V
2 1 1 3a 3a3 = .SM.S ABCD .= . a 3 . 3 3 2 2
(
)
→ Chọn D 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 7350) Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. A.
a3 . 9
B.
a3 3 . 9
C.
.
D.
a3 . 16
Câu 2 (ID: 6701) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD =
3a . Hình chiếu 2
vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . A. V =
a3 . 3
B. V =
2a3 . 3
C. V =
2a3 . 13
D. V =
2a3 . 5
Câu 3 (ID: 7356) Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện. A.
a3 6 . 9
B.
a3 3 . 9
C.
a3 3 . 36
D.
a3 6 . 36
Đáp án 1-C
2–A
3–D
Dạng 3: Khối chóp đều
1. Phương pháp giải Thể tích khối chóp đều có một mặt bên vuông góc với đáy: V=
1 .h.B 3
Trong đó: B: diện tích đáy. h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh tới tâm hình chóp.
Ví dụ: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC. A.
a3 11 . 12
B.
a3 12 . 11
C.
a3 . 12
D.
a3 . 11
14 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Chú ý: Khối chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, chân đường vuông góc hạ từ đỉnh là tâm của đáy. Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, chân đường vuông góc hạ từ đỉnh là giao điểm hai đường chéo.
Hướng dẫn Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác ABC đều nên SO ⊥ ( ABC ) . Xét tam giác ABC đều, ta có: 2 2a 3 a 3 . AO == AH = 3 3 2 3
Trong tam giác vuông SOA SO2 = SA 2 − OA 2 = a 11
⇒ h= SO=
3
.
11a2 3
Diện tích tam giác ABC là: = B S= ABC
a2 3 . 4
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: = V
1 a3 11 = S ABC .SO 3 12
→ Chọn A.
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. A.
a3 2 . 12
B.
a3 3 . 12
C. Hướng dẫn
a3 2 . 6
D.
a3 . 6
Gọi O là tâm của ∆ABC , do ABCD là tứ diện đều nên DO ⊥ ( ABC ) Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác ABC là: S ABC =
a2 3 . 4
Gọi I là trung điểm AB. Do đáy là tam giác đều nên OC =
2 2 a 3 a 3 = CI . = 3 3 2 3
Trong tam giác vuông DOC: DO =
DC2 − OC2 =
Vậy thể tích tứ diện ABCD là: = V
a 6 3
1 a3 2 = S ABC .D O 3 12
→ Chọn A. Ví dụ 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . 2a3 3 B. 2a3 . C. . D. 6a3 . A. 2a3 3 . 3
15 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Hướng dẫn Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Vì tứ giác S.ABCD là tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có: SB ∩ ( ABCD ) = B SO ⊥ ( ABCD )
�= 600 . = Do đó ( SB, ( ABCD ) ) SBO
Xét tam giác SBO vuông tại O. 1 = OB SB.cos= 600 2a. = a. 2
3 2
Độ dài đường cao: = SO SB.sin = 600 2a. = a 3. Xét tam giác ABO vuông tại O. AB = Diện tích đáy ABCD là: 2 S ABCD = AB =
2) (a = 2
AO2 + BO2 = a 2 .
2a2
Vậy thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD là: = V
1 1 2 2a3 3 . = SO.S ABCD = 2a .a 3 3 3 3
→ Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 6707) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
8a3 . 3
B.
a3 3 . 12
B.
a3 3 . 3
C.
a3 2 . 24
C.
4a3 . 3
a3 3 . 24
D.
2a3 . 3
Câu 2 (ID: 6710) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp S.ABC. A.
D.
a3 . 24
Câu 3 (ID: 6709) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án 1-C
2–C
3–D
16 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Dạng 4: Tỉ số thể tích
1. Phương pháp giải Cho hình chóp S.ABC , trên cạnh SA, SB, SC lấy lần lượt A’, B’ và C’ Khi đó ta có: VS.A 'B'C' SA ' SB ' SC ' = ⋅ ⋅ VS.ABC SA SB SC
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm M, N, P thỏa mãn điều kiện AM = 2AB , AN = 3AC và AP = 4AD . Mệnh đều nào dưới đây đúng? V A. VAMNP = . C. VAMNP = 24V. B. VAMNP
24 = 8V.
D. VAMNP = Hướng dẫn
Chú ý: Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác.
V . 8
Từ giả thiết, ta có: AB 1 = . AM = 2AB nên AM 2 AC 1 AN = 3AC nên = . AN 3 AD 1 AP = 4AD nên = . AP 4
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: VA.BCD AB AC AD 1 1 1 1 = . . = × × = . VA.MNP AM AN AP 2 3 4 24
Suy ra= VA.MNP 24.V = 24V. A.BCD → Chọn C.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC . Đặt k Khi đó giá trị của k là: A.
8 . 7
B.
7 . 8
C. 8.
D.
1 8
17 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Hướng dẫn Do M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC nên ta có SM SN SP 1 . = = = SA SB SC 2
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: Do đó:
VSMNP SM SN SP 1 1 1 1 = . = . = . . VSABC SA SB SC 2 2 2 8
VMNPABC VSABC − VSMNP V 1 7 7 = =1 − SMNP =1 − = ⇒ k = . VSABC VSABC VSABC 8 8 8
→ Chọn B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9 , diện tích đáy bằng 5 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích của khối chóp A.BMNC . B. V = 5. C. V = 30. D. V = 10. A. V = 15. Hướng dẫn SN 2 SM 1 = và = . SB 2 SC 3 1 Thể tích khối chóp V= = .9.5 15. S.ABC 3 V SM SN 1 1 Ta có S.AMN =. = ⇒ VS.AMN = VS.ABC VS.ABC SB SC 3 3 1 2 2 ⇒ VABMNC = VS.ABC − VS.MNP = VS.ABC − VS.ABC = VS.ABC = .15 = 10 3 3 3 Từ giả thiết, ta có
→ Chọn D. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM = MB, SN = −2CN . Mặt phẳng ( AMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1 = VS.AMN và V2 = VABCNM . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. V1 = V2 .
B. V1 =
1 V2 . 3
SM 1 Do SM =MB ⇒ = . SB 2 SN 2 . SN = −2CN ⇒ = SC 3
C. V1 = Hướng dẫn
1 V2 . 2
D. V1 =
2 V2 . 3
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích, ta có:
VS.AMN SM SN 1 2 1 = ⋅ = ⋅ = . VS.ABC SB SC 2 3 3 1 2 ⇒ VS.AMN = VS.ABC ⇒ V ABCNM = VS.ABC 3 3 1 Vậy V1 = V2 . 2
→ Chọn C.
18 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng ( α ) đi qua A, B và trung điểm M của SC . Mặt phẳng ( α ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có V thể tích lần lượt là V1, V2 với V1 < V2 . Tính tỉ số 1 . V1 1 = . V2 4
A.
B.
V2
V1 3 = . V2 8
C.
V1 5 = . V2 8
D.
V1 3 = . V2 5
Hướng dẫn Kẻ MN � CD (N ∈ CD ) , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN . VS.ABM SM 1 1 1 == ⇒ VS.ABM = VS.ABC = VS.ABCD . VS.ABC SC 2 2 4 VS.AMN SM SN 1 1 =. = ⇒ VS.AMN = VS.ABCD . VS.ACD SC SD 4 8 1 1 3 Do đó VS.ABMN = VS.ABCD + VS.ABCD = VS.ABCD . 4 8 8 5 Suy ra VABMNDC = VS.ABCD . 8 V1 3 Vậy = . V2 5
→ Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng: A.
1 . 8
B.
1 . 16
C. Hướng dẫn
1 . 4
D.
1 . 3
Ta có: V VS.ABC VS.MPQ Tỉ số = VS.ACD S.MNP Tỉ số =
SM SN SP 1 1 1 1 . . = . = . . SA SB SC 2 2 2 8
SM SP SQ 1 1 1 1 . = . . . . = SA SC SD 2 2 2 8 1 1 1 ⇒ VS.MNPQ = VS.MNP + VS.MPQ = VS.ABC + VS.ACD = VS.ABCD 8 8 8 V 1 1 . ⇒ V1= V2 ⇒ 1 = 8 V2 8
→ Chọn A. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA = a 2. Gọi B', D' là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng cắt SC tại C’. Thể tích khối chóp S.AB ' C 'D ' là: A. V =
2a3 3 9
B. V =
2a3 2 3
C. V =
a3 2 2a3 3 D. V = 9 3
19 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Hướng dẫn Gọi O là tâm hình vuông ABCD. I = SO ∩ B 'D ' ⇒ C ' = AI'∩ SC. BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ AB ' Ta có: BC ⊥ SA Lại có AB ' ⊥ SB ⇒ AB ⊥ ' SC , tương tự AD ' ⊥ SC
Do đó AC ' ⊥ SC Xét tam giác SAB có: SB ' SA 2 2 = = SB SB2 3 SA 2 2 = SC2 4 2 2 1 = . , do tính chất đối xứng nên: 3 4 3
SB '.SB = SA 2 ⇒ SC ' SC
Tương tự = VS.AB'C' = VS.ABC
Do đó
VS.AB'C'D' 1 a3 2 a3 2 = = ⇒= ; VS.ABCD V . VS.ABCD 3 3 9
→ Chọn C. 2. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 32143) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA= a, ∆ABC đều cạnh 2a . Gọi M,N lần lượt thuộc các cạnh SB,SC sao cho SM = MB,SN = −2CN . Tính thể tích khối AMNCB. A.
2 3a3 9
B.
3a3 9
C.
4 3a3 9
D.
2 3a3 3
Câu 2 (ID: 7773) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng ( α ) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. 1 3 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 8 5 8
Đáp án 1–A
2–C
20 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Thể tích khối đa diện Phần 4
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1 (ID: 32142) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2a3 . 6
2a3 . 3 Câu 2 (ID: 6694) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và
A. V =
2a3 . 4
B. V =
C. V = 2a3 .
D. V =
= AB 3a, = BC 4a, = AC 5a, = AD 6a. Thể tích khối tứ diện ABCD là: B. 12a3 . C. 18a3 . A. 6a3 .
D. 36a3 . Câu 3 (ID: 6714) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, � AC = 2a, BAC = 1200 . Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. A. V =
a3 21 . 14
B. V =
a3 21 . 13
C. V =
2a3 21 . 13
D. V =
3.a3 21 . 14
Câu 4 (ID: 6715) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a, SA ⊥ (ABCD) , SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V = 20a3 .
D. V = 22a3 . � � Câu 5 (ID: 7330) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB = 900 , BSC = 1200 , � ASC = 900 . Thể tích khối chóp S.ABC là:
B.
a3 . 6
C. V = 30a3 .
a3 3 . 4
D.
D. V =
a3 3 . 12 Câu 6 (ID: 6700) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có = AB a,= BC 2a . a 5 Gọi H là trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA = . Tính 2
A.
a3 . 2
B. V = 20a3 2 .
C.
thể tích hình chóp S.ABCD A. V =
a3 . 3
B. V =
2a3 . 3
C. V =
2a3 . 13
2a3 . 5
Câu 7 (ID: 6705) Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều SABC. A.
a3 11 . 12
B.
a3 12 . 11
C.
a3 . 12
D.
a3 . 11
Câu 8 (ID: 6716) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh = AD = a= , CD 3a,SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: bên SD vuông góc với đáy, cho AB a3 2 2a3 2 . D. . 3 3 � = 60 0 , Câu 9 (ID: 6725) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , AB = a, ACB
A.
2a3 . 3
B.
4a3 . 3
C.
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABC là: A.
a3 3 . 6
B.
a3 3 . 18
C.
a3 3 . 9
D.
a3 3 . 12
21 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia tập 2 Câu 10 (ID: 7783) Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng AB’D’cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và SABCD. A.
1 . 2
B.
1 . 4
C.
1 . 6
D.
1 . 8
Đáp án 1–D
2–B
3–A
4–A
5–D
6–B
7–A
8–D
9–B
10 – C
22 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304