Presentación
Tu Texto Escolar Matemática 3 tiene 2 personajes, Ingenia y Sabino, quienes te acompañarán durante su desarrollo. ¡Hola! Mi nombre es Ingenia porque soy muy imaginativa y me encanta crear cosas útiles. Soy, además, hábil, rápida y clara. Tengo mucho talento para inventar cosas muy divertidas.
¡Buen día! Yo me llamo Sabino y te cuento que estaremos juntos todo el año y que te contagiaré mi capacidad de resolver las situaciones matemáticas y los problemas por más complicados que te parezcan.
Juntos creamos para ti una matemática divertida, que incluye actividades interactivas y materiales que podrás manipular y compartir en equipo, y con los que, sobre todo, serás capaz de jugar y desarrollar todas tus habilidades matemáticas.
Portada
Texto escolar
Los textos están diseñados tomando en cuenta tus necesidades, estos son dos: Texto Escolar Matemática 3 y Libro de Actividades Matemática 3. Libro de actividades
Portadilla Sección Apertura
Números en nuestra vida diaria
2
N.° de la unidad que corresponde. Nombre de la unidad que corresponde.
Unidad
Valor: se trabajará durante toda la unidad.
PICARONES
si es verdadero
si es falso, de acuerdo a los
o una enunciados.
a) Los números con tres cifras tienen unidades, decenas y centenas en su posición. b) Los números hasta la DM tienen los siguientes valores: U, D, C, UM y DM.
X
Recordando: está relacionado con los temas previos, los que ayudarán al trabajo de la unidad.
c) Un número de 4 cifras siempre tiene ceros en sus dígitos.
II
d) Un número de 5 cifras tiene espacio después de los dos primeros dígitos. 2 Representa los números con ayuda de bolitas en el ábaco.
Indicadores de logro
Valor
Tema transversal
• Expresar números hasta la decena • Identidad • Educación para la de millar en forma concreta, gráfica convivencia, la paz (valor posicional y descomposición) y la ciudadanía. y simbólica (números romanos). • Usar los símbolos de comparación para establecer relaciones. • Experimentar y describir los procedimientos para resolver adiciones y sustracciones. • Explicar diversas estrategias para resolver situaciones problemáticas.
20
Tema transversal: resuelve las necesidades y problemas del contexto.
2
1 Lee y dibuja una
PORCIÓN: S/.4 XV
Contexto en una imagen: está relacionado con el valor, el tema transversal y los conocimientos que se van a tratar en esta unidad. Cuadro de indicadores de logro: contiene lo que lograrás en esta unidad. Se resaltan con negrita las habilidades matemáticas.
Sección Inicio Recordando
Muchas personas acuden en compañía de sus familiares y amigos a las ferias gastronómicas que se organizan en cada comunidad. En ellas se encuentra variedad de comidas a precios muy accesibles para la economía familiar. En nuestro país se lleva a cabo la feria gastronómica Mistura. Esta, es la más importante de América Latina, y cada año congrega a miles de personas. Este evento representa y celebra nuestra tradición culinaria y biodiversidad, reafirmando así nuestra identidad. ¿Alguna vez has asistido a una feria gastronómica?
DM
UM
C
D
U
46 510
DM
UM
C
D
U
19 111
21
Tema del contexto: se tratan de acontecimientos de nuestra cultura que están relacionados con la matemática y con preguntas que te harán pensar, las cuales podrás responder con ayuda de tu tutor(a) o de un(a) compañero(a).
Ejercicios resueltos
Secciones interiores
Organizadores visuales: ayudan a relacionar tus saberes previos con tus nuevos conocimientos y a relacionarlos.
Los organizadores visuales motivan tu aprendizaje. Números y operaciones
Ícono Es tiempo de descubrir: señala una habilidad importante: DESCUBRIR, y abre paso a las otras destrezas. Situaciones comunicativas: dan inicio y te involucran en el tema a tratar.
Preguntas: son inquietudes resueltas de acuerdo a la situación.
Conjuntos iguales y diferentes. Clases de conjuntos
Clases de conjuntos
Estadística y probabilidad
UU 11
Pictograma tiempo
Es
En el Parque de las Leyendas de Lima se observan diferentes especies de aves, como loro, papagayo, gallito de las rocas, paloma, etc. ¿Cómo agruparíamos a las aves que observamos en la imagen?
descubrir
de
Lucía desea saber cuántos turistas visitaron la playa este año, en los meses de enero, febrero, marzo y abril. Para ello, representó los datos en forma gráfica.
Rpta.: En diferentes clases. Observamos el siguiente mapa conceptual:
Para interpretar la gráfica es necesario conocer el siguiente valor: Meses
N.° de turistas que visitaron Total la playa
Enero
150
Febrero
180
Marzo
120
Clases de conjuntos
= 30
según el número de elementos
a) ¿Cuántos turistas visitaron la playa desde enero hasta marzo? 450
pueden ser conjunto finito Presenta un número limitado de elementos.
Es el conjunto referencial, y está formado por todos los elementos del tema que se habla. Su símbolo es U.
como
Ejercicios resueltos
conjunto unitario
1 Lee y observa los datos de la tabla, luego responde.
Objetos
Total
Sombrillas
60
Gorros
120
Lentes para sol
60
5
No tiene elementos. Se simboliza con { } o Ø.
Ejemplo: C = {ave en extinción con cresta} C = {Gallito de las rocas}
a) ¿Cuántas sombrillas hay ?
Ejemplo: U = {aves}
conjunto vacío
Presenta un solo elemento.
= 15
Cantidades compradas
Presenta un número ilimitado de elementos.
conjunto universal
Un pictograma es una gráfica que brinda información a través de símbolos o dibujos. Cada símbolo o dibujo representa más de un dato. Hay pictogramas en tablas horizontales y verticales.
Si se sabe que cada
Ejemplo: A = {aves del Perú}
conjunto infinito
A
b) ¿En qué mes hubo más turistas? En febrero
En pareja, escriban en su cuaderno 1 ejemplo para cada clase de conjunto. Los ejemplos deben ser diferentes a los del libro.
Ejemplo: C = {x/x ∈ N, 4 < x < 5} = { }
15
b) ¿Cuántos gorros más que lentes para sol hay?
90
30
140
Íconos de las capacidades a desarrollar en matemática: matematiza, representa, comunica, elabora diversas estrategias, utiliza expresiones simbólicas y argumenta.
Partes de una sesión de clase Motivación: • Recojo de conocimientos previos • Problematización Desarrollo: • Explicación del tema • Aplicación de las técnicas y estrategias Cierre: • Socialización • Evaluación
Matematizarás
En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Representarás
La división en el conjunto de los números naturales
Comunicarás
Actividades para aplicar la inteligencia cinestésica: te ayudarán, aparte de aprender, a desarrollar la actividad motora gruesa mediante algunas imágenes y sugerencias.
Elaborarás diversas estrategias
División con números del 111 al 999 en el dividendo
La división en el conjunto de los números naturales
Operaciones combinadas
8 − 2 6 − 2 4 − 2 2
1 1
El equipo de minifútbol "A" está integrado por 30 jugadores. Si desean organizar una competencia amistosa, ¿cuántos equipos de 6 jugadores se pueden formar?
1 1
Observamos la solución. 6 − 6 0 Sabías
3.er equipo 4.o equipo
5.o equipo
que...
Johann Heinrich Rahn inventó el símbolo "÷" (entre). Este signo fue muy utilizado en Gran Bretaña y Estados Unidos.
En operaciones: 30 ÷ 6 = 5
Respuesta: Con los 30 jugadores se forman 5 equipos, cada uno de 6 integrantes. La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de la división se llama cociente.
Algo
más…
• 36 ÷ 2 = 18 → 2 × 18 = 36
1
6 − 2 4 − 2 2 − 2 0
Dividendo (D)
Respuesta: Se formaron 9 parejas.
Del ejemplo anterior, podemos plantear lo siguiente: ¿Qué número multiplicado por 2 da como resultado 18? ¿Por qué? Respuesta: El 9, porque 9 × 2 = 18. Entonces 18 ÷ 2 = 9
UU 15
Sabías
que...
para dividir, debemos pensar en una multiplicación.
Observamos las siguientes tablas: =
=
30 ÷ 6
5
18 ÷ 2
9
6×5
30
2×9
18
30 ÷ 5
6
18 ÷ 9
2
5×6
30
9×2
18
Ahora completamos los recuadros.
Términos de la división
30 ÷ 6 = 5
Cociente (q) Divisor (d)
Ejemplos:
70
2 − 2 0 − 2 8 − 2 6
1
En operaciones: 18 ÷ 2 = 9 8 − 6 2 − 6 6
Argumentarás
Ejemplo: • Se agrupan 18 estudiantes de 2 en 2 para un juego amistoso de pimpón. ¿Cuántas parejas se formaron? En gráficos: División por restas sucesivas:
Aritmética
División por restas sucesivas: 1 3 0 − 6 1.er equipo 1 2 4 − 6 2.o equipo 1 8 En gráficos:
Utilizarás expresiones simbólicas
• 36 ÷ 18 = 2 → 18 × 2 = 36
20
÷
5 20
5 ×4= 20 ÷
4
=5
4×
5
= 20
=4
35 5×
÷5=7 7
= 35
35 ÷ 7 = 7
5
× 5 = 35
71
3
Secciones interiores
Organizadores: se van a desarrollar con colores diferentes. Ramas matemáticas: se encuentran con un ícono y destacando la siguiente división: Geometría, Aritmética, Álgebra o Estadística.
Construcción del aprendizaje: incluye procesos y explicaciones del aprendizaje.
Para el desarrollo de capacidades y competencias matemáticas recurrimos a secciones como las que presentamos a continuación.
Probabilidad
Estadística y probabilidad
Probabilidad tiempo
Es
Organizamos lo aprendido
muy probables probables
pueden ser representados
de
poco probables
fracciones
verde
amarillo
morado
rojo
negro
moneda
1 2
cara sello
imposibles
2 posibilidades
Ejercicios resueltos
verde verde verde
verde morado negro
amarillo verde amarillo morado amarillo negro
rojo rojo rojo
verde morado negro
Entonces solo hay un resultado posible en el cual ambas canicas son del mismo color: verde. De los nueve resultados, solo hay uno en el que Stefany puede ganar. Por tanto, su probabilidad de ganar es 1/9.
1 Escribe si es un evento seguro o imposible en cada caso. a) Que al escoger un día de la semana, este tenga 25 horas. b) Que al elegir uno de los meses del año, este tenga menos de 32 días. c) Que al lanzar un dado se obtenga 8. d) Que al lanzar una moneda se obtenga cara o sello.
imposible seguro imposible
Ejercicios resueltos: están colocados para reforzar lo aprendido.
seguro
2 Completa con la expresión poco probable o muy probable, según sea el caso, los siguientes eventos: a) Obtener una bola roja de una bolsa que contiene 3 bolas rojas y 8 negras, es un evento poco probable . b) Lanzar una moneda de muy probable .
5 veces y que al menos una salga cara, es un evento
c) Lanzar un dado y obtener un número menor que 6 en la cara superior, es un evento muy probable . 3 Observa la ruleta e indica la probabilidad de que salga... 3/8 a) rojo.
La probabilidad es el método con el que se halla la frecuencia de eventos o hechos llamados sucesos. Podemos calcular la probabilidad de que ocurra el evento A utilizando la siguiente fórmula: P(A) =
Ejemplo: • ¿Cuántas posibilidades se obtienen al lanzar una moneda?
• Halla la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda.
Para resolver el problema usaremos la estrategia de la lista organizadora de sucesos. Así, tenemos: Con relación: Con tablas: verde
diagramas de árbol
Ejemplo:
Stefany se venda los ojos, mete la mano en una bolsa y saca una canica. Después, mete la mano en una bolsa diferente y saca otra canica. Todas las canicas son del mismo tamaño. Si ambas canicas son del mismo color, Stefany ganará el premio. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el juego?
Temas matemáticos: contiene los títulos matemáticos desarrollados en la unidad.
seguros pueden ser
Eventos
descubrir
n.° de casos favorables n.° de casos totales
b) verde.
2/8
c) amarillo.
2/8
d) azul.
1/8
UU 10 1
142
143
Cajita de teoría: presenta el concepto del tema matemático que se va a estudiar.
Matematizarás
En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Procesos: incluyen todos los temas que aprenderás en esta unidad hasta sentir que lo lograste.
Representarás
Fracciones
Clases de fracciones
Comunicarás
Elaborarás diversas estrategias
Comparación de fracciones
Fracciones • ¿Cuántas botellas recolectaron ambos niños?
Hemos recolectado algunas botellas para el reciclaje.
10 botellas
Sí, pero algunas están sin tapa.
Fracción de una unidad Se halla escribiendo, como numerador, el número de partes que se toman de la unidad, y como denominador, el número de partes en que esta ha sido dividida. Ejemplos: Coloreamos la fracción que corresponde.
7 de 10 botellas • ¿Qué parte de las botellas no tienen tapa? 3 de 10 botellas
•
• ¿Cómo expresarías esta situación? Con fracciones
7/10 3/10
3/10
0 1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10
10/10
Algo
1
más… Términos de una fracción
Una fracción expresa la parte o las partes iguales en las que se ha dividido una unidad.
Subtemas: son colocados si los temas matemáticos los requieren y están conformados por teoría y ejemplos.
4
7 10
Numerador Denominador
El numerador nos indica el número de las partes que se toman de la unidad. El denominador nos indica el número de las partes iguales en que se ha dividido la unidad. Respuesta: 7/10 representan las botellas con tapa y 3/10, las botellas sin tapa.
Lectura de una fracción Para leer una fracción se menciona primero el numerador seguido del denominador. Ejemplos: Un medio • 1 Un cuarto • 5 Cinco octavos • 1 4 8 2
80
•
8 10
1 5
Fracción de un conjunto
En la recta numérica:
1 unidad 7/10
Argumentarás
Cuando el denominador es mayor que 10, agregamos la terminación "avos". Ejemplos: Recuerda que Cuatro onceavos • 4 la terminación 11 "avos" acompaña 9 a la lectura del Nueve treceavos • 13 denominador.
• ¿Qué parte de las botellas tienen tapa?
Lo representamos de las siguientes formas: Gráficamente:
Utilizarás expresiones simbólicas
Operaciones con fracciones
La fracción de un conjunto se halla dividiendo el número de elementos de un conjunto entre el denominador, y luego el resultado se multiplica por el numerador de la fracción. Ejemplos: • 3/4 de las flores son amarillas. Coloreamos las que son amarillas.
UU 16
3 de 12 = 9 4 3 de 12 = 12 ÷ 4 × 3 4
9
• 1/3 de las flores son de color verde limón. Las coloreamos.
5
1 de 21 = 7 3 1 de 21 = 21 ÷ 3 × 1 3
7
Halla los 3/5 de 15 y represéntalos gráficamente. Compara tu trabajo con el de tu compañero.
81
Ejemplos: aclaran las dudas en los temas.
Secciones especiales
El uso de enlaces TIC mejorará tu aprendizaje.
Imágenes: comprenden ilustraciones, fotos, croquis, recetas, recibos, etc. Números Números y operaciones y operaciones
Números romanos
Sustracción de números decimales
Un trazo horizontal sobre los símbolos, multiplica por 1000 el valor de ellos. Ejemplos: Recuerda que los antiguos romanos • IX = 9 × 1000 = 9000 A2 6 4 1 5 0 0 A
00
N
TR
do
o nt ie s sc evo nu
s
solo utilizaron 7 símbolos para representar diferentes números. Sin embargo, fue complicado realizar operaciones matemáticas con estos símbolos.
• XL = 40 × 1000 = 40 000
CE
Para resolver la situación debemos realizar la sustracción 124, 835 − 100,00.
2
O NC BA
Algunos amigos decidieron hacer una colecta para organizar una reunión. Lograron recolectar S/.124, 835 y gastaron S/.100 en bocaditos. ¿De cuánto disponen para otros gastos?
AL
DE R
ES
ER
VA DEL PER U
• CD = 400 × 1000 = 400 000
COLECTA
UU 12
Ejercicios resueltos Parte entera
Es decir, luego de ordenar restamos como si fueran números naturales.
Parte decimal
C
D
U
,
d
c
m
1 1
2 0 2 1
4 0 4 1
, , , ,
8 0 8 0
3 0 3 0
3 0 5
−
Respuesta: Disponen de S/.24,835 para otros gastos. Para realizar la sustracción de números decimales, las cantidades se colocan en forma vertical en el tablero de valor posicional, una debajo de otra. Teniendo en cuenta la coma decimal, alineamos las cifras del mismo orden. Ejemplo: • Efectuamos 168,105 − 15,61. 1 6 8 , 1 0 5 − 1 5 , 6 1 1 5 2 , 4 9 5 Observamos: 5,4 + 3,2 = 8,6
61,4 + 3,9 = 65,3
8,6 − 5,4 = 3,2
65,3 − 61,4 = 3,9
8,6 − 3,2 = 5,4
65,3 − 3,9 = 61,4
3,2 + 5,4 = 8,6
3,9 + 61,4 = 65,3
2 Escribe cómo se leen los siguientes números romanos: Mil cincuenta a) ML e) CXLII Dos mil trescientos cinco
b) MMCCCV
c) MMMDCXXX Tres mil seiscientos treinta Trescientos setenta
d) CCCLXX
375 420 915 810 4200
Ciento cuarenta y dos
f) CCLXXXIII Doscientos ochenta y tres g) IVXXXII
Cuatro mil treinta y dos
h) VIICX
Siete mil ciento diez
3 Relaciona con una línea el número romano con su correspondiente número natural.
5 En pareja, resuelvan las siguientes operaciones: • 4,03 − 2,5 • 17,350 + 2,9
Algo
1 Escribe el valor de los siguientes números romanos: 350 a) CCCL f) CCCLXXV 1055 g) CDL b) MLV 2610 c) MMDCX h) CMXV 3550 d) MMMDL i) DCCCX 29 e) XXIX j) IVCC
más…
La adición y la sustracción son operaciones opuestas.
a) MCCI
•
• 2550
b) MMLX
•
• 361
c) MMDL
•
• 1201
d) CCLXXII
•
• 2060
e) CCCLXI
•
• 272
TIC Para desarrollar algunos ejercicios con números romanos, puedes consultar el siguiente enlace: http://www.vedoque.com/juegos/ matematicas-01-cifras.swf.
4 Compara los siguientes números romanos utilizando el símbolo >, < o =. a) XXXV
<
b) MMDLII < c) VII
XL
d) DCCCXX > DCCLV
MMDLX
e) XLV
> XLII
f) MMMDX
> MMMCCLX
< LV
98
33
Actividades en 5 minutos: desarrollan habilidades para trabajar en equipo, en pares, individualmente, con ayuda del tutor o del padre de familia.
Algo más: que nos da información complementaria sobre temas trabajados.
Enlaces TIC: son recomendados para que puedas entrar a la Web y así practiques como jugando. Además, en algunas ocasiones, podrás imprimir las actividades para compartirlas.
Libro virtual Puedes ingresar a la página web www.grandeslibros.com para consultar el libro en forma virtual.
5
UNIDAD
Dominios
Tema transversal / Valor Agrupando y clasificando aprendo pp. 8 - 9 Unidad
2
Unidad
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Responsabilidad
Números en nuestra vida diaria pp. 20 - 21 Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Números y operaciones
Identidad
Conociendo más números pp. 34 - 35 Unidad
Números y operaciones
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Paz
Números y operaciones Cambio y relaciones
Multiplico mis alegrías con mis amigos pp. 46 - 47
Unidad
Educación en y para los derechos humanos
Números y operaciones Tolerancia
Repartiendo equitativamente pp. 68 - 69 Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Números y operaciones Respeto
Cuidando nuestro medioambiente pp. 78 - 79 Unidad
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Orden
Trabajando en equipos logramos grandes metas pp. 92 - 93 Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Números y operaciones
Números y operaciones
Libertad
Medimos nuestro tiempo con agrado y diversión pp. 102 - 103 Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Cambio y relaciones Justicia
Participamos organizadamente de nuestras actividades pp. 114 - 115 Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Geometría Autonomía
Compartimos y nos relacionamos con los demás pp. 130 - 131 Educación en valores o formación ética
6
Estadística y probabilidad Solidaridad
Capacidades
Conocimientos
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Representación de conjuntos Determinación de conjuntos Relación de pertenencia Relación de inclusión
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Valor posicional y descomposición hasta la decena de millar 22 Lectura y escritura hasta la decena de millar 23 Relación de orden hasta la decena de millar 24
Adición hasta la decena de millar Sustracción hasta la decena de millar Números romanos
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Adición hasta centena de millar sin canje 36 Adición con canje 37 Sustracción hasta centena de millar sin canje 38 Sustracción con canje 39
Operaciones combinadas Expresiones algebraicas Ecuaciones e igualdades
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Multiplicación en el conjunto de números naturales Multiplicación por 2; 4 y 8 Multiplicación por 3; 6 y 9 Multiplicación por 5 y por 10 Multiplicación por 7; 1 y 0 Propiedades de la multiplicación
48 49 51 53 55 57
Doble, triple y cuádruple de un número natural Técnicas operativas de la multiplicación Multiplicación con canje y sin canje Multiplicación de un número por 2 cifras Operaciones combinadas
59 61 63 65 67
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
La división en el conjunto de los números naturales División con números del 111 al 999 en el dividendo
70
Operaciones combinadas
76
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Fracciones Clases de fracciones
80 83
Comparación de fracciones Operaciones con fracciones
86 90
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números decimales Orden y comparación de números decimales Adición y sustracción de números decimales
94
Operaciones combinadas de adición y sustracción con decimales Multiplicación de números decimales
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Unidades de longitud Unidades de superficie Unidades de masa
10 11 12 13
Conjuntos iguales y diferentes Clases de conjuntos Operaciones con conjuntos
14 15 16
26 28 32
40 42 44
74
96
99 100
97 Unidades de tiempo Referentes temporales: minutos, horas, días, semanas, meses y años
111
Matematiza Representa Elementos de la geometría 116 Comunica Ángulos 119 Elabora diversas estrategias 121 Utiliza expresiones simbólicas Eje de simetría Argumenta
Polígonos Triángulos Perímetros y áreas
122 124 127
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Gráfico de doble barra Pictograma Probabilidad
Estadística Tabla de doble entrada Gráfico de barras
104 107 109
132 134 136
113
138 140 142
7
Unidad
Agrupando y clasificando aprendo IE
S ÁNGELES LO
Indicadores de logro
Valor
Tema transversal
• Describir la representación y • Responsabilidad • Educación para la determinación de conjuntos gestión de riesgos por extensión y comprensión. y la conciencia • Experimentar y describir la ambiental. clasificación, las relaciones y las operaciones con conjuntos. • Explicar el proceso para resolver situaciones problemáticas de conjuntos.
8
Recordando 1 Observa las imágenes y menciona el nombre de cada conjunto formado.
•
• •
•
•
•
•
Nuevas experiencias llegan con el inicio del año escolar. El reencuentro con tus compañeros y profesores traerá experiencias divertidas y sobretodo, educativas. Recuerda que como estudiante tienes deberes que cumplir, si lo haces responsablemente contribuirás con la armonía del aula y de tu hogar. ¿Cómo demuestras que eres responsable?
2 Del ejercicio anterior, observa y responde sí o no según corresponda. a) La bicicleta pertenece (∈) al conjunto de vehículos de Sí dos ruedas. b) El triciclo no pertenece (∉) al conjunto de vehículos de Sí 8 ruedas. 3 Completa la enunciado.
información
de
cada
a) Un conjunto es una agrupación o reunión de elementos que comparten características en común. b) Los conjuntos pueden representarse en diagramas o entre llaves ({ }).
9
En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Matematizarás
Representarás
Comunicarás
Representación de conjuntos
Determinación
Relación de pertenencia
Representación de conjuntos
Santiago agrupa las figuras geométricas de acuerdo a las características, que comparten en común.
• ¿Qué conjuntos logró formar Santiago? El conjunto de figuras geométricas de color azul y el conjunto de círculos. Un conjunto es la agrupación de personas, animales u objetos que presentan características, en común y se determina con una letra mayúscula. Los conjuntos se representan de dos formas. Entre llaves
En diagrama de Venn
Los elementos se nombran con letras minúsculas y están separados por comas; si son números, con punto y coma. Ejemplos:
Puede ser una circunferencia, una línea curva cerrada o un polígono.
• B = {a, e, i, o , u}
B
• R = {2; 4; 6}
xxa xxe
xxi
xxo xxu
Ejercicio resuelto
1 Representa entre llaves y diagramas de Venn los siguientes objetos: B
A
xx
xx xx
A={ , ,
10
}
xx
xx
xx
B={
,
,
,
}
xx
Elaborarás diversas estrategias
Utilizarás expresiones simbólicas
Conjuntos iguales y diferentes
Relación de inclusión
Clases
Argumentarás
Operaciones
Determinación de conjuntos
UU 11
Leonardo pegó, en una hoja, las figuritas de sus mascotas preferidas. Ahora desea agruparlas por alguna característica que tengan en común. ¿Cómo las podría agrupar?
Agrupamos las figuritas de animales según la cantidad de patas. Z
C •
•
•
Por comprensión: Z = {animales con cuatro patas} Z = {x/x es un animal con cuatro patas} Se lee "x tal que x"
Por extensión: Z={
,
,
}
•
•
•
Por comprensión: C = {animales con dos patas} C = {x/x es un animal con dos patas} Por extensión: C={
,
,
}
Los conjuntos se determinan por extensión (se menciona a cada elemento) y por comprensión (se nombra al conjunto teniendo en cuenta la característica en común de los elementos). Ejercicio resuelto
1 Observa el conjunto B. Luego determínalo por extensión y comprensión. Por extensión: B = {3; 5; 7; 9; 11; 13} B xx7 Por comprensión: B = {x/x ∈ N, es impar, 1 < x < 15} xx5 xx13 xx3 Se lee: "x tal que x pertenece a los números xx9 11 xx naturales, es impar mayor que 1 y menor que 15".
11
Números y operaciones
Relación de pertenencia P En el mundo hay animales que están en peligro de desaparecer o extinguirse. ¿Cuáles son algunos de ellos?
xx
xx
xx
xx
xx
xx
P = { animales en peligro de extinción } Observamos, leemos y analizamos. Luego completamos con V si es verdadero o F si es falso según corresponda. P = {x/x es un animal en peligro de extinción} ∈ P (V)
∉ P (V)
Se lee El pingüino pertenece al conjunto P.
Se lee El venado no pertenece al conjunto P.
Cuando un elemento presenta una característica común de un conjunto, entonces este elemento pertenece a dicho conjunto. Su símbolo es ∈, y se lee "pertenece". Cuando un elemento no presenta una característica en común de un conjunto, entonces no pertenece al conjunto. Su símbolo es ∉, y se lee "no pertenece". Ejercicio resuelto
1 Observa las siguientes palabras y agrúpalas de acuerdo a lo que se indica. a) Sandía ∈ V V b) Pelota ∉ V xxsandía xxmanzana c) Manzana ∈ V xxciruela d) Arco ∉ V
12
Relación de pertenencia. Relación de inclusión
Relación de inclusión UU 11 Alonso desea agrupar a estos animales. • ¿Qué características debe tener en cuenta para agruparlos? • ¿Cuántos grupos podrá formar?
M
R xx
xx
xx
xx
xx
xx xx
xx
xx
Sean los siguientes conjuntos: M = {x/x es un animal mamífero} R = {x/x es un reptil}
xx
V
O xx
xx
xx
xx xx
xx
xx
xx
I
A
xx xx
O = {x/x es un ovíparo} I = {x/x es un invertebrado}
Rpta.: Alonso agrupó a los animales en cuatro grupos diferentes con distintas características. Entonces O ⊂ V
Se lee "O incluido en V"
R ⊂ V
Se lee "R incluido en V"
M ⊂ V
Se lee "M incluido en V"
I ⊄ V
Se lee "I no incluido en V"
Si los elementos de un conjunto "A" pertenecen al conjunto "B", entonces el conjunto "A" está incluido en "B". Se representa con el símbolo ⊂, y se lee "incluido en". Si el conjunto no está incluido, se simboliza con ⊄, y se lee "no incluido en". Ejemplo: • Observa el siguiente diagrama y escribe V si es verdadero o F si es falso. A C a) A ⊄ C ( V ) d) C ⊂ B B •9 •5 b) B ⊂ A ( V ) e) A ⊄ C •1 •3 •10 c) C ⊄ A ( V ) f) A ≠ B
( F ) ( V ) ( V )
13
Números y operaciones
Conjuntos iguales y diferentes
La maestra le dice a Manuel que determine por extensión el conjunto formado por las consonantes de la palabra "avioneta", y a Luzmila, que haga lo mismo con la palabra "viento". ¿Cuáles son los elementos de ambos conjuntos?¿Son iguales o diferentes?
Veamos Sean M = {consonantes de la palabra "avioneta"} } M = { v, n, t N = {consonantes de la palabra "viento"} } N = { v, n, t Rpta.: Los elementos de ambos conjuntos son iguales .
Graficamos M
N xxn
xxv xxt
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son conjuntos iguales y se simboliza con el signo =. Si dos conjuntos tienen uno o más elementos diferentes, entonces son conjuntos diferentes y se simboliza con el signo ≠. Ejercicio resuelto
1 En cada caso determina por extensión los conjuntos e indica si son iguales o diferentes. a) F = {x/x ∈ N, x < 10} G = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
F xx6 xx9
xx5 xx8
xx1 xx3
14
G
xx0 xx7
xx2
xx4
Entonces F=G
b) A = {consonantes de la palabra "respeto"} A = {r, s, p, t} B = {consonantes de la palabra "responsabilidad"} B = {r, s, p, d, n, b, l} Son conjuntos diferentes.
Entonces A≠B
Conjuntos iguales y diferentes. Clases de conjuntos
Clases de conjuntos UU 11 En el Parque de las Leyendas de Lima se observan diferentes especies de aves, como loro, papagayo, gallito de las rocas, paloma, etc. ¿Cómo agruparíamos a las aves que observamos en la imagen?
Rpta.: En diferentes clases. Observamos el siguiente mapa conceptual: Clases de conjuntos según el número de elementos pueden ser conjunto finito
conjunto infinito
A Presenta un número limitado de elementos.
Ejemplo: A = {aves del Perú}
Presenta un número ilimitado de elementos.
conjunto universal
como
Es el conjunto referencial, y está formado por todos los elementos del tema que se habla. Su símbolo es U.
conjunto unitario Presenta un solo elemento. Ejemplo: C = {ave en extinción con cresta} C = {Gallito de las rocas}
conjunto vacío No tiene elementos. Se simboliza con { } o Ø. Ejemplo: C = {x/x ∈ N, 4 < x < 5} = { }
Ejemplo: U = {aves}
5 En pareja, escriban en su cuaderno 1 ejemplo para cada clase de conjunto. Los ejemplos deben ser diferentes a los del libro.
15
Números y operaciones
Operaciones con conjuntos campaña "A"
sembrar
Maximiliano desea contribuir con el cuidado del medioambiente con dos campañas en las cuales realizará las siguientes acciones:
reciclar
campaña "B"
regar
reciclar
ahorrar energía
Luego de haber observado las situaciones presentadas, completamos los conjuntos A (campaña "A") y B (campaña "B"). A = {sembrar, reciclar} y B = {regar, reciclar , ahorrar energía}. Ahora observamos los diagramas de Venn. B
A
¿Cuál es la acción común? Recuerda que en una intersección se debe sombrear los elementos en lo común.
A las acciones comunes de las campañas A y B sobre la protección del medioambiente se les denominará intersección. Ahora Maximiliano desea saber cuál es el conjunto de todas las acciones que contribuyen al cuidado del medioambiente. Observamos los siguientes diagramas de Venn: A
B
A todas las acciones de las campañas A y B sobre la protección del medioambiente se les denominará unión.
16
Operaciones con conjuntos Intersección de conjuntos Está formada por todos los elementos comunes que tienen los conjuntos. Su símbolo es ∩. Para identificar dicho conjunto llamado "intersección" se debe colorear la parte común de ambos conjuntos. A ∩ B se lee "A intersección B". Ejemplo:
A
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {x + 1 / x ∈ N, 4 < x < 10} B = {6; 7; 8; 9; 10 }
xx2
xx1
xx3
xx4
xx7 xx6
xx5
A ∩ B = { 6; 7; 8} Representamos gráficamente. 1) A ∩ B 2) B ∩ C = B A
B xx9 xx10
xx8
3) A ∩ D = ∅
B
A
C
D
B
Unión de conjuntos Está formada por todos los elementos de dos o más conjuntos. Su símbolo es ∪. Para identificar la unión de conjuntos se deben colorear todos los conjuntos. Ejemplo: A = {letras de la palabra "animal"} B = {letras de la palabra "caminar"}
A xxl
xxm
xxa xxn
A ∪ B = { a, n, i, m, l, c, r }
xxr xxi
B
xxc
Representamos gráficamente. 1) A ∪ B = A y B A
2) B ∪ C = C
3) A ∪ D = A y D
B
C
A
D
B
17
UU 11
Números y operaciones Recordamos. Los conjuntos Se representa mediante
Se determina por
diagrama de Venn
llaves
extensión
comprensión
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
A={}
A = {i, u}
A = {x/x es vocal débil}
A
Existen relaciones de
pertenencia (elemento - conjunto)
Sus operaciones son
inclusión (conjunto - conjunto)
símbolos
símbolos
∈o∉
⊂o⊄
A
unión
intersección
Ejemplo:
Ejemplo:
B
A
A∪B
B
A∩B
Ejercicio resuelto
1 Observa los diagramas de Venn y expresa por extensión lo que se pide. a) D = { 5; 7; 9; 10; 13 C xx3 xx8 E b) E = { 10; 11; 12; 13 xx12
xx5 xx7
D
18
13 xx9
xx10
xx11
F xx15 xx20
c) C ∪ D = { 3; 5; 7; 10; 9; 8; 13 d) E ∩ D = { 10; 13
} } } }
e) E ∪ F = { 10; 11; 12; 13; 15; 20 } f) D ∪ E = { 5; 7; 9; 10; 11; 12; 13 } } g) C ∩ D = { 5
Operaciones con conjuntos 2 Representa en diagrama de Venn la intersección de los conjuntos M y N, y la unión de los conjuntos P y Q. Luego determínalos por extensión. a) M = {letras de la palabra "cuaderno"} N = {a; b; d; e; m; p; q}
M xxr xxn
xxc xxo
xxa xxe
xxd
xxu
xxp
P
N
xx10
xxb
xxq
UU 11
b) P = {x/x ∈ N ∧ 4 < x ≤ 12} Q = {x + 1/x ∈ N ∧ 3 < x < 8}
A
xx5 xx7
xxm
xx11
M ∩ N = {a; d; e}
xx9 xx6 xx8
xx12
P ∪ Q = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
3 Observa los diagramas y sombrea la operación que se indica. R
S
W
B
A
L
M
U O C
R∪S
U∩W
A∪B∪C
(L ∩ M) ∪ O
4 Los estudiantes de 3.er grado deciden participar en diferentes talleres. El 3.o A participa en oratoria, dibujo, música y danza; el 3.o B, en música, oratoria, cocina y canto. ¿En cuántos talleres en total participan los estudiantes de 3.er grado? ¿Qué talleres tienen en común los dos salones?
A
B xxdanza xxdibujo
xxmúsica xxoratoria
xxcocina xxcanto
A ∪ B = {danza, dibujo, música, oratoria, cocina, canto} A ∩ B = {música, oratoria} Rpta.: En total, participan en seis talleres. Tienen en común los talleres de música y oratoria.
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