Presentación
Tu Libro de Actividades Matemática 6 tiene 2 personajes, Ingenia y Sabino, quienes te acompañarán durante su desarrollo.
¡Hola! Mi nombre es Ingenia porque soy muy imaginativa y me encanta crear cosas útiles. Soy, además, hábil, rápida y clara. Tengo mucho talento para inventar cosas muy divertidas.
¡Buen día! Yo me llamo Sabino y te cuento que estaremos juntos todo el año y que te contagiaré mi capacidad de resolver las situaciones matemáticas y los problemas por más complicados que te parezcan.
Juntos creamos para ti una matemática divertida, que incluye actividades interactivas y materiales que podrás manipular y compartir en equipo, y con los que, sobre todo, serás capaz de jugar y desarrollar todas tus habilidades matemáticas.
Portada
Texto escolar
Los textos están diseñados tomando en cuenta tus necesidades, estos son dos: Texto Escolar Matemática 6 y Libro de Actividades Matemática 6. Libro de actividades
Portadilla Sección Inicio
Sección Apertura Recordando 1 Identifica y escribe el nombre de los elementos que observas.
N.° de la unidad que corresponde. Nombre de la unidad que corresponde.
Unidad
2 Determina si el ángulo es agudo, recto, obtuso o llano según la clasificación de los ángulos.
Contexto: está relacionado con el valor, el tema transversal y los conocimientos que se van a tratar en esta unidad. Cuadro de indicadores de logro: contiene lo que lograrás en esta unidad. Valor: se trabajará durante toda la unidad.
Indicadores de logro • Describir figuras usando los términos geométricos. • Crear segmentos, ángulos, líneas paralelas y perpendiculares. • Nombrar y clasificar polígonos. • Experimentar y describir figuras geométricas planas y sólidos geométricos. • Usar diversas estrategias para identificar transformaciones de figuras planas en el plano cartesiano. • Explicar los procedimientos al resolver situaciones problematicas aplicando relaciones métricas y geométricas.
Valor • Tolerancia
Tema transversal • Educación en valores o formación ética.
278
Tema transversal: resuelve las necesidades y problemas del contexto.
2
El actual Metro de Lima es un sistema de transporte público muy importante. Empezó a circular desde el año 2012 para todos los residentes de la ciudad de Lima. Su recorrido parte desde el extremo sur hasta el centro de la capital. Pregunta a tus padres y a otras personas mayores acerca de la importancia de este medio de transporte. Recuerda que es muy importante escuchar la opinión de los demás.
3 Observa las figuras y completa los espacios según corresponda. B D
E
R S
A C
a) Los planos R y S son
.
b) Las rectas AB y CD son
.
c) Los planos E y F son
.
279
Temas del contexto: se tratan de acontecimientos de nuestra cultura que están relacionados con la matemática y con preguntas que te harán pensar, las cuales podrás responder con ayuda de tu tutor(a) o de un(a) compañero(a).
Recordando: está relacionado con los conocimientos previos, los que ayudarán al trabajo de la unidad. Asimismo, presenta actividades diferentes a las del texto escolar.
Secciones interiores Aplicamos lo aprendido: comprende actividades similares a las de «A practicar», que refuerzan el conocimiento del tema trabajado.
Las siguientes partes del libro motivarán tu aprendizaje.
Números y operaciones
Relaciones entre conjuntos
Relaciones entre conjuntos
Aplicamos lo aprendido
Aritmética
¡A practica r! 1 Sea I = {x/x es un instrumento musical de viento}.
A practicar: incluyen ejercicios que refuerzan lo aprendido en el texto escolar.
a) Sea F = {flauta, trompeta, clarín, tuba, trombón}. ¿Está incluido en I? Escribe tu respuesta usando el símbolo.
b) Escribe otro subconjunto de I utilizando el lenguaje matemático.
Rpta.:
Rpta.:
1 Resuelve de acuerdo a la tabla.
b) Entre Raúl y Zidane, ¿cuál es la diferencia de goles anotados y de partidos jugados? c) Representa en un diagrama de Venn a los goleadores (E), y, entre llaves, los goles anotados (G) por estos.
2 Dados los siguientes conjuntos:
UU 11
Los cinco galácticos históricos del Real Madrid
a) Halla la cantidad de goles anotados en las temporadas de 1953 a 1966. ¿Quiénes fueron los goleadores?
Goleadores
Total de goles (n.° partidos jugados)
Temporada
A. Di Stéfano
307 (403)
1953-1963
Ferenc Puskás
242 (262)
1958-1966
E. Butragueño
123 (341)
1983-1995
Raúl González
323 (741)
1994-2010
50 (223)
2001-2006
Zinedine Zidane
P = {5; 7; 12; 18; 32}, Q = {18; 32}, R = {5; 7}, S = {12; 15} y T = {12; 18; 32}. Indica V si es verdadero o F si es falso.
Partes de una sesión de clase Motivación: • Recojo de conocimientos previos • Problematización Desarrollo: • Explicación del tema • Aplicación de las técnicas y estrategias Cierre: • Socialización • Evaluación
a) Q ⊂ P
(
)
c) S ⊂ P
(
)
b) R ⊂ P
(
)
d) T ⊄ P
(
)
3 Observa el diagrama y escribe el símbolo ⊂ o ⊄ según corresponda. R
T x9
x5 x3
x 14 S
x8
x 10
x7
x1
x 12
x 16
R
T
S
T
R
S
T
S
S
R
T
R
2 Determina el valor de “ x + y” si los conjuntos A y B son iguales y los conjuntos C y D también. a) A = {2x + 3; 15}; B = {9; 5y – 5} b) C = {x2 + 1; 20}; D = {82; y } 4
4 Dados los siguientes conjuntos: P = {x ∈ N/ x ≤ 8}, Q = {2; 4; 6; 8} y R = {x/x es par}. Completa los espacios en blanco con el símbolo ⊂ o ⊄ según corresponda. a) P
Q
b) P
R
c) Q
R
d) Q
P
5 Dados los siguientes conjuntos: A = {x ∈ N/ 2 ≤ x ≤ 8}, B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y C = {x ∈ N/ x es un divisor de 15}. Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) A = B
( )
b) φ ⊂ P(C) c) B ≠ C
d) A = A
( )
( )
e) φ = P(A)
( )
( )
f) φ ⊂ P(B)
( )
Enlace con PERSONAL SOCIAL
La oficina de Defensa Civil, de la Municipalidad de tu distrito, recomienda estar prevenidos ante cualquier desastre.
6 Considera los conjuntos del ejercicio 5 y halla lo siguiente:
3 Dados los siguientes conjuntos, indica si cumplen la relación de inclusión o igualdad. a) A = {x/x es un país de América} B = {x/x es un país de América del Sur}
c) C = {x/x es un mamífero} D = {perro}
b) E = {4; 6; 8}
d) G = {a, m, o, r} H = {r, o, m, a}
F = {x/x ∈ N, x es par, 2 < x < 10}
4 A partir del siguiente diagrama de Venn, establece diez relaciones entre conjuntos. U Relaciones de inclusión ⊂ y no inclusión ⊄ B A entre conjuntos C D
Forma el conjunto de objetos que debes tener en la etapa de prevención de sismos.
a) El número de subconjuntos propios de A b) El número de subconjuntos propios de B
Ejemplo: D = {botiquín, mochila con alimentos no perecibles, linterna}
c) El número de subconjuntos propios de C
E
15
Temas matemáticos: contiene los títulos desarrollados en la unidad.
Números y operaciones
Potenciación y radicación
Potenciación y radicación Organizadores: se desarrollan de acuerdo con el texto escolar.
Aplicamos lo aprendido 1 Escribe en forma normal los siguientes números:
¡A practica r!
a) 8 × 100 000 + 5 × 10 000 + 6 × 1000 + 4 × 100 + 9 × 10 + 7 × 1
1 Completa con factores iguales para hallar el resultado de cada potencia. a) 25 = 2 × 2 ×
×
×
b) 54 = 5 × 5 ×
×
=
=
c) 37 = 3 × 3 ×
×
d) 107 = 10 ×
×
×
×
×
×
× ×
b) 5 × 106 + 8 × 105 + 6 × 104 + 7 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 2 × 100
= ×
a) b) c) d) e) f)
897 6543 18 365 321 456 9 586 247 45 789 204
2 Calcula, en cada caso, las raíces y realiza su comprobación. •
= = = = = =
a) b)
e) 8
= 125
b) 10
= 100 000
f) 11
c)
= 64
g) 9
= 1 000 000
h)
4
d) 10
= 512
7
4
i)
5
= 121
j)
= 729
k) 7
= 128
l)
= 10 000 = 32 = 2401
2
= 289
TIC Para desarrollar ejercicios de potenciación y radicación, puedes consultar el siguiente enlace:
http://www2.gobiernodecanarias. o r g / e d u c a c i o n / 1 7 / We b C / eltanque/laspotencias/ laspotencias_p.html
4 Resuelve. a)
3
c)
27 − 3 1 =
3
343 − 3 27 =
e)
d) 70 + 13 =
b) 33 + 13 =
9 +
c)
169
=
porque
d)
4
81 =
porque
1000 =
porque
e)
5
243 =
porque
625 =
porque
A =
Área: 25 m2
m2
6 Simplifica las siguientes expresiones: b)
3
28 × 212 × 24 ÷ 24
a) 22 × 23
=
=
g)
b) (5 × 3)2
=
=
h)
3
27 × 8
=
c) 86 ÷ 84
=
=
i)
3
64
=
=
=
j)
e) 512 ÷ 59
=
=
k)
f)
=
=
l)
d) (23)2 1003
4 Observa los datos de la tabla y resuelve.
Movimiento de pasajeros en el Aeropuerto Internacional Jorge Chávez
Doméstico
Internacional
Total
enero
120 925
2316
123 241
104 665
903
105 568
marzo
124 988
1081
126 069
abril
127 736
967
128 703
Longitud del lado:
mayo
139 115
1757
140 872
L =
junio
138 012
2451
140 463
julio
172 473
2350
174 823
agosto
174 656
1892
176 548
setiembre
m
44
4
3
=
812
=
81 ÷ 9
=
3
6 4 × 62 × 63 =
a) Escribe el número total del movimiento doméstico en forma desarrollada.
2011
febrero
49 =
f) 22 − 40 =
Área:
7 8 1 6 a) 4 × 49 × 48 × 4 4 ×4
= 7 porque 72 = 49
Mes
5 Dados los siguientes cuadrados, halla lo que se pide.
4m
3
49
3 Aplica las propiedades de potenciación y radicación para resolver los siguientes ejercicios:
3 Completa cada con la base o el exponente que le corresponde para 3 que la expresión sea verdadera. a) 5
UU 12
=
2 Escribe cada número en forma desarrollada.
TIC: motiva el uso de tecnología de vanguardia y de material concreto.
F
14
136 869
1637
138 506
octubre
161 731
1605
163 336
noviembre
132 887
1414
diciembre
125 276
1691
126 967
Total
1 659 333
20 064
1 679 397
134 301
b) ¿En qué mes se produjo el mayor movimiento de pasajeros internacionales? Escribe el número en forma desarrollada.
c) ¿Cuál es la diferencia entre el total de movimiento de pasajeros domésticos e internacionales? Escribe la diferencia en forma desarrollada.
d) ¿Para qué datos sería razonable una estimación de 106
Fuente: Mincetur (2012). Movimiento de pasajeros en el Aeropuerto Internacional Jorge Chávez. Recuperado de http://www.mincetur.gob.pe
46
47
3
Secciones especiales Ponemos nuestra mente en acción: muestra los procesos para la realización de cada uno de los problemas propuestos.
Ponemos nuestra mente en acción
Ponemos nuestra mente en acción
9 Si cada cuadrado tiene de área 1 u2, halla el área de las siguientes figuras:
1 11 Si un vaso posee una capacidad de 2 dL, calcula ¿cuántos vasos de agua se debe tomar para consumir 2 L de agua 2 al día? Así también explica cuántos decilitros de agua se tomará en una semana.
a) c)
Rpta.:
1u2
12 Si una jarra contiene 1 L de agua, ¿cuántos vasos de 2 dL podemos llenar? 2
1u2 ¿Cuántos cuadrados tiene la figura?
¿Cuántos cuadrados tiene la figura?
Rpta.:
u2
El área de la figura es
u2
El área de la figura es
13 En una botella tenemos 0,750 L de agua; en un vaso, 1,5 dL; y en otro vaso, 20 cL. ¿Cuánta agua tenemos en total?
b)
d)
1u2
Rpta.:
1u2
Ejercicios: incentivan la aplicación de diversas estrategias en la resolución de problemas.
14 En una botella tenemos 3,5 L de agua. Si vaciamos la cuarta parte, ¿cuántos dL de agua nos quedan?
¿Cuántos cuadrados presenta la figura?
¿Con cuántos cuadrados cuenta la figura? u2
El área de la figura es
Rpta.: u2
El área de la figura es
15 La dosis de un medicamento es de 20 gotas que equivalen a 1 mL dos veces al día. Si el frasco del medicamento contiene 20 mL, ¿cuántos días durará? 10 Calcula el área de las figuras, sabiendo que el lado del cuadrado mide 4 m y la altura del triángulo, 3,6 m. a)
b)
UU 18
Rpta.: 16 ¿Cuál es la cantidad de agua que contiene una piscina de base 25 m × 50 m y 3 m de alto si se encuentra llena hasta la mitad?
Rpta.: Rpta.:
Rpta.:
262
263
3 Ordena en forma decreciente las siguientes longitudes:
1 Calcula el perímetro de cada figura en cm. a)
c) 50 mm
2 hm
50 m
57 m
60,2 m
9 km
93 dm
20 m
80 cm
30 dm
5 dam
5,8 hm
400 m
90 m
65 dm
60,5 cm
9,75 km
9 1/2 km
200 km
620 cm
2,2 km
40 hm
0,820 km
50 860 cm
1/4 km
b)
d) 6 dam 15 dm
12 dam
5 dm
2 La tabla muestra las mejores marcas registradas en metros en la disciplina de lanzamiento de bala (hasta junio de 2004). A partir de la información, calcula lo siguiente: Lugar
Estados Unidos
10 de mayo de 1975
El Paso
5.°
22,75
Werner Günthor
Suiza
23 de agosto de 1988
Berna
6.°
22,67
Kevin Toth
Estados Unidos
19 de abril de 2003
Lawrence
7.°
22,64
Udo Beyer
Alemania Oriental
20 de agosto de 1986
Berlín
8.°
22,54
Christian Cantwell
Estados Unidos
5 de junio de 2004
Gresham
9.°
22,52
John Brenner
Estados Unidos
26 de abril de 1987
Walnut
10.°
22,51
Adam Nelson
Estados Unidos
18 de mayo de 2002
Portland
http://www.iaaf.org/records/toplists/sprints/100-metres/outdoor/men/senior/2013
CALLE
GOLETAS PLAZA DE LA SAL
CALLE CA
MERCANTES
LOS
DE
DEL
a) Si deseamos ir del Museo de las Ciencias a la Plaza del Mar. b) Si deseamos llegar desde el punto A hasta el punto B, sin pasar por la Calle del Galeón. CASA ROSA
E
MUSEO DEL MAR LA S
PLAZA DEL MAR
OLA
S
UU 18
c) Para ir del punto B hasta la intersección de las calles Fragata y de los Veleros.
B
GALEÓN CASA DEL ALMIRANTE
LL
DE
d) En hectómetros, la diferencia de marcas registradas en las ciudades de Hania y Viareggio.
VELEROS
AYUNTAMIENTO
A
c) En milímetros, la diferencia entre las marcas registradas el 22 de mayo de 1988 y el 20 de agosto de 1986.
LOS
DE
LAS
CALLE
CALLE
a) La mejor marca registrada en lanzamiento de bala hasta junio del 2004 en centímetros. b) En centímetros, la suma de los registros hechos por atletas estadounidenses.
Actividades de refuerzo: presenta tres niveles: Nivel 1 (básico) Nivel 2 (intermedio) Nivel 3 (avanzado)
4 En el siguiente plano, traza los recorridos más cortos para llegar a las direcciones solicitadas. Usa una regla graduada para señalar el recorrido y calcularlo en centímetros. CARABELAS
Brian Oldfield
LAS
22,86
CALLE
4.°
S
Viareggio
NTO
Hania
12 de agosto de 1987
VIE
Westwood
22 de mayo de 1988
Italia
LO S
20 de mayo de 1990
Alemania Oriental
d) ¿Qué otras preguntas plantearías en relación con la imagen?
DE
Fecha
Estados Unidos
Alessandro Andrei
EO
País
Randy Barnes Ulf Timmerman
22,91
PA S
Atleta
23,12 23,06
3.°
MUSEO DE LAS CIENCIAS
Marca
1.° 2.°
CALLE FRAGATA
Nivel 3
Ranking
Nivel 2
450 dam
50 mm
5 hm
Nivel 1
Estos ejercicios están debidamente dosificados de acuerdo al nivel que pertenecen.
Actividades de refuerzo
Actividades de refuerzo
C
264
265
Razonamiento y diversión
Razonamiento y diversión
Problemas sobre cortes
Razonamos y resolvemos
Para resolver problemas sobre cortes se debe analizar la situación y verificar qué caso se plantea, para ello se utilizan los datos disponibles.
Resuelve cada situación utilizando una estrategia. 1 ¿Cuántos cortes se debe dar a una soga para dividirla en 6 partes iguales?
5 ¿Cuál es la longitud de una regla de madera a la que se aplican 21 cortes?, si se sabe que cada pedazo mide 3 cm.
En este tipo de problemas podemos tener 2 casos.
Razonamiento y diversión: está compuesto por una definición, ejemplos y ejercicios que desarrollan tu habilidad matemática.
Caso 1.
Caso 2.
Ejemplo
Ejemplo
• ¿Cuántos cortes debo dar a una soga si quiero un total de “n” partes?
• Si en una calle de 100 metros de longitud se desea colocar postes cada 20 metros, ¿cuántos serán necesarios?
Rpta.: 2 Para una prueba de 100 metros con vallas, se encuentran separadas 11 vallas a una distancia de 10 metros cada una. ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla?
Solución: 1. Si se requieren dos partes:
Rpta.: 6 Se tiene un terreno de forma cuadrada con 240 metros por lado. Si se desea cercar el terreno con estacas colocadas cada 10 metros, ¿cuántas estacas se necesitarán?
Entonces se realiza un corte. 2. Si se requieren tres partes:
Solución: Rpta.:
Entonces se realizan dos cortes. 3. Si se requieren cuatro partes: Entonces se realizan tres cortes.
1 espacio, entonces 2 postes.
En general:
2 espacios, entonces 3 postes.
3 Se desea cercar un terreno de forma rectangular de 24 m de ancho por 40 m de largo. Para ello, se disponen de estacas colocadas cada 4 metros (se debe considerar una estaca en cada esquina). ¿Cuántas estacas en total se necesitan?
Rpta.: 7 Alrededor de un velódromo (pista para carrera de bicicletas), el juez de la competencia coloca señales cada 25 metros. Si la pista posee una longitud de 250 metros, ¿cuántas señales necesitó el juez para cumplir la tarea?
número de cortes = número de partes – 1 Además: Si los pedazos son iguales: longitud total longitud de un pedazo – 1
o Import at
an te
D
n.° de cortes =
En el caso de figuras cerradas:
Rpta.: 3 espacios, entonces 4 postes. En general:
4 ¿Cuántos cortes se deben realizar a una vara para obtener 13 pedazos de igual longitud?
número de postes = número de espacios + 1
Rpta.: 8 Para un pasacalle por Fiestas Patrias a lo largo de una avenida de 900 metros se ha previsto colocar policías en la vereda cada 25 metros. ¿Cuántos policías se necesitarán si se colocan desde el inicio de la avenida?
Además: Si los espacios son iguales: n.° de espacios =
n.° de cortes = n.° de postes = n.° de espacios
126
4
longitud total longitud de un espacio
Rpta.:
Rpta.:
127
UU 14
Taller de cierre
Taller de cierre
Taller de cierre: refuerza el aprendizaje con trabajos lúdicos, para realizarlos en el aula o en la casa.
Expresiones algebraicas
Números escondidos Materiales • Tablero de resultados con 12 rectángulos • 12 tarjetas troqueladas con expresiones algebraicas • 12 tarjetas troqueladas con valores numéricos Busca el anexo de troquelados, que está al final de tu libro de actividades.
Educación para la equidad de géneros
Tablero de resultados
15
J × 7 ÷ 12
2J − 200
J + 5 2
Valores numéricos 12
5J + J 2 2
(J + 3)(J − 3)
(J – 4)2 + J2
J + 7 + J − 7 3 7
6 – J 3
J2 – 19
J2 + 2J + 4
J3 – 2J
J2 – J 2
8
2
100
4
–1
10
14
3
10
21
–2
Elaboración de un plan
Metacognición: referido al taller que se desarrolló.
¿Qué estrategia puedes usar para completar el juego?
0
Puedo usar la sustitución de variables y el cálculo mental para completar el juego exitosamente.
7 −15
8
−1
16
55
30
Metacognición
3 21 5
¿De qué manera entender la sustitución de variables me ayuda a ganar el juego?
Para ganar, deber tener presente la sustitución de variables por sus valores numéricos. • Se trata de obtener los 12 números del tablero, sustituyendo alguno de los valores numéricos de las 12 tarjetas en alguna de las 12 expresiones algebraicas de las otras tarjetas. • Para empezar, cada alumno tiene delante de él los 12 posibles valores numéricos para sustituir y las 12 tarjetas con expresiones algebraicas.
Lo domino
Lo sé
Tengo dudas
No sé
x Aplico estrategias para representar, comparar y ordenar números decimales. x Comparo y expreso fracciones decimales con números decimales en forma concreta, gráfica y simbólica. x Expongo procedimientos para resolver adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones y operaciones combinadas de números decimales.
• Cojan una tras una las 12 cartas con expresiones algebraicas y busquen obtener los números del tablero.
x Uso y explico diferentes estrategias para resolver situaciones problemáticas que implican operaciones matemáticas con números decimales.
• Cada vez que se obtiene un valor del tablero, se coloca sobre la casilla correspondiente la tarjeta del valor numérico y la tarjeta de la expresión algebraica utilizada.
x Explico y represento la pertenencia del uso de expresiones algebraicas.
• El ganador es el que consigue obtener primero los 12 valores o en su caso el que consigue más valores del tablero en un tiempo prefijado.
¿Cuánto estoy aprendiendo?: se presenta al final de cada unidad para ayudar al niño a evaluar, reflexionar y tomar conciencia de sus propios aprendizajes.
Evaluación
INDICADORES
Reglas de juego • Cada persona participa con su tablero.
UU 16
¿Cuánto estoy aprendiendo? Evalúo mi desempeño en esta actividad. Marco con una x mi respuesta.
x Explico los procedimientos al resolver situaciones problemáticas que implican el planteo de ecuaciones.
208
209
¿Qué hemos aprendido?
¿Qué hemos aprendido? 6 En una botella hay 2,5 L de agua. Si vaciamos la mitad, ¿cuántos dL de agua nos quedan?
1 Escribe las equivalencias según se indica. a) 120 g =
dg
d) 2000 cg =
b) 12 kg =
dag
e) 5600 hg =
kg
c) 21 dg =
mg
f) 8000 g =
hg
g
Rpta.:
2 Halla los resultados en mL. a) 0,0036 kL + 0,35 L
b) 0,00084 kL – 0,699 L
7 La dosis de un medicamento es de 60 gotas que equivalen a 3 mL dos veces al día. Si el frasco del medicamento contiene 60 mL, ¿cuántos días durará?
3 Calcula el área en cm2. Rpta.:
¿Qué hemos aprendido?: es una evaluación del proceso de aprendizaje.
6 dm
8 Determina el volumen de las figuras. Cada cubito tiene 1 hm de arista. Rpta.: 6 dm
4 Calcula el valor del área sombreada.
9m 5m 15 m
Rpta.:
5 Un submarino está hundido en la parte más baja a 150 m de profundidad. Ubica la posición de un buzo, que se encuentra a 20 m sobre la cola del submarino. ¿A qué profundidad está el buzo?
9 Un recipiente se encuentra lleno al 50 % de su capacidad con 1200 hL. Halla la capacidad total del recipiente en L y mL.
Rpta.:
Rpta.:
276
Troquelados: son materiales que hacen la matemática más divertida.
Unidad 7 / Pág. 243 / L. Actividades
UU 18
277
Stickers: son materiales para que los niños puedan divertirse y que, a su vez, incentivan su participación en el desarrollo de actividades.
Libro de actividades, unidad 2, pág. 44
Texto escolar, unidad 5, pág. 61
Libro de actividades, unidad 8, pág. 261
5
UNIDAD Tema transversal / Valor
Dominios
Capacidades
Números y operaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números y operaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números y operaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números y operaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números y operaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números y operaciones Cambio y relaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Cambio y relaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Cambio y relaciones
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Geometría
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Estadística y probabilidad
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Somos organizados y responsables pp. 8 - 9 Unidad
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Orden
Sumamos esfuerzos y logramos grandes resultados pp. 38 - 39 Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Trabajo en equipo
Les damos valor a las cosas pp. 68 - 69 Unidad
Educación en valores o formación ética
Responsabilidad
Repartimos nuestras riquezas pp. 102 - 103 Unidad
Educación en valores o formación ética
Respeto
Todo en partes iguales pp. 132 - 133 Unidad
Educación en valores o formación ética
Justicia
Apreciamos nuestras relaciones pp. 170 - 171
Unidad
Educación para la equidad de género
Tolerancia
Un mejor planeta, menos contaminación pp. 212 - 213 Unidad
8
Unidad
9
Unidad
10 Unidad
6
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Respeto
Medimos nuestro tiempo pp. 246 - 247 Educación en y para los derechos humanos
Democracia
Figuras por todos lados pp. 278 - 279
Educación en valores o formación ética
Tolerancia
Demostramos nuestra generosidad pp. 328 - 329 Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Generosidad
Ponemos Actividades Razonamiento nuestra de mente en y diversión refuerzo acción
Conocimientos Representación y determinación de conjuntos 10 Clases de conjuntos 12 Relaciones entre conjuntos 14
Operaciones con conjuntos Producto cartesiano
16 18
Lectura, escritura y comparación de números naturales Adición y sustracción
40 42
Multiplicación y división Potenciación y radicación Operaciones combinadas
44 46 48
Números enteros ( ) Adición de números enteros Sustracción de números enteros
70 72 74
Multiplicación de números enteros 76 División de números enteros 78 Operaciones combinadas con números enteros 80
Múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos
104 106 108
Descomposición de un número en sus factores primos 110 Mínimo Común Múltiplo 112 Máximo Común Divisor 113
Fracciones 134 Orden y comparación de fracciones 136 Adición y sustracción de fracciones 138 Números decimales Fracción generatriz y comparación de decimales Adición y sustracción de decimales Multiplicación de decimales División de decimales
172
Razones y proporciones Magnitudes proporcionales Reglas de tres simple y compuesta
214 216
Unidades de longitud Unidades de masa Unidades de superficie Punto, recta y plano Ángulos Segmentos Construcción de ángulos y segmentos Clasificación de rectas y planos Polígonos Triángulos Cuadriláteros
20 al 23
50 al 53
24 al 31
54 al 61
Taller de cierre
¿Qué hemos aprendido?
Problemas sobre conjuntos 32 - 33
Buscando conjuntos unitarios 34 - 35
36 - 37
Kenken 62
Interactuando con números y tablas 64 - 65
66 - 67
Hidato 63
Cuadrados Relaciones de mágicos tiempo multiplicativos 96 - 97 98 - 99
100 - 101
114 al 117 118 al 125
Problemas sobre Retira y gana cortes 128 - 129 126 - 127
130 - 131
Multiplicación y división de fracciones 141 Potenciación y radicación de fracciones 144 Operaciones combinadas con fracciones 147
152 al 155 156 al 163
Problemas con ¡Gana con el 1! fracciones 168 - 169 166 - 167 164 - 165
Operaciones combinadas con decimales Expresiones algebraicas Valor numérico de expresiones algebraicas Ecuaciones
188 190
194 al 197 198 al 205
Operadores matemáticos 206 - 207
Números escondidos 208 - 209
210 - 211
Porcentajes Funciones Gráfica de funciones
220 223 226
228 al 231 232 al 239
Trazo de figuras 240 - 241
Competencia de funciones 242 - 243
244 - 245
248 250 252
Unidades de volumen Unidades de capacidad
254 257
Analogías y 260 al 263 264 al 271 distribuciones 272 - 273
Memoria de unidades 274 - 275
276 - 277
280 282 284
Circunferencia y círculo 296 Plano cartesiano y pares ordenados 298 Transformaciones en el plano cartesiano 301 Simetrías axial y rotacional 304 Sólidos geométricos 306 Áreas lateral y total de poliedros 308 Área y volumen del cilindro, cono y esfera 310
312 al 315 316 al 321
Perímetros y áreas 322 - 323
Plano cartesiano 324 - 325
326 - 327
Medida de tendencia central 339 Experimentos aleatorios 342 Probabilidades 345
348 al 351 352 al 359
Orden de información 360 - 361
Carrera de autos 362 - 363
364 - 365
174 176 179 182
218
286 288 290 292 294
Estadística 330 Técnicas de muestreo y encuesta 333 Construcción e interpretación de gráficas 335
184 186
82 al 85
86 al 95
7
Unidad
Somos organizados y responsables
Indicadores de logro • Interpretar y representar conjuntos. • Explicar relaciones entre conjuntos. • Explicar los procedimientos que implican las operaciones, el producto cartesiano y las relaciones entre conjuntos. • Usar diversas estrategias para resolver situaciones problemáticas de conjuntos.
8
Valor • Orden
Tema transversal • Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.
Recordando 1 El gráfico muestra los conocimientos sobre evacuación de los niños de sexto grado en caso de sismo. Completa el diagrama con la siguiente información: • 40 niños fueron encuestados. • 25 tienen conocimientos sobre evacuación y 15 practican sus conocimientos sobre evacuación. • 5 tienen conocimientos sobre evacuación y los ponen en práctica. U Tienen conocimientos
Ponen en práctica sus conocimientos 5
20
10 5
¿Cuántos estudiantes solo tienen conocimientos? 20 estudiantes
2 Observa el siguiente diagrama y luego escribe los elementos de cada conjunto. B
A xx6
Todas las escuelas públicas y privadas participaron en el simulacro de sismo a nivel nacional. Para el éxito de este evento, todos debemos participar organizadamente siguiendo las pautas dadas por el INDECI. ¿Tú tomas en serio estos simulacros? ¿Qué acciones realizas?
xx4
xx1 xx2
xx8
A = {2; 4; 6; 8}
C
xx3
xx7
xx11
xx5
B = {1; 2; 3; 5}
xx9
C = {5; 7; 9; 11}
3 Sean los conjuntos: P = {x/x ∈ N, x < 5} y Q = {x/x ∈ N, x es par, 6 ≤ x < 12}. Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda. a) 5 ∈ P
d) 1 ∈ P y 6 ∈ Q
( V)
b) 12 ∉ Q ( V )
e) Q tiene tres elementos
( V)
c) 0 ∈ P
f) P = {0; 1; 2; 3; 4}
(V)
(F ) (V )
9
Matematizarás
En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Representarás
Comunicarás
Representación y determinación de conjuntos
Clases de conjuntos
Representación y determinación de conjuntos Aritmética
¡A practica r!
1 Dibuja los elementos de los conjuntos, en el lugar que correspondan, de acuerdo a las siguientes relaciones: U
∈ A, pero no a B
•
∈ B, pero no a A
•
B
A •
∈A∩ B
•
∉ A,
•
•
•
∉B
•
2 Observa el siguiente diagrama y escribe ∈ o ∉ según corresponda. A
xx8
B
xx7 xx3
xx4
xx2
a) 7
C
xx11
xx14
c) 3
∈
A
d) 2
∉
A
3 Determina el cardinal de los conjuntos según el gráfico. a) n(A) =
6
b) n(B) =
8
c) n(C) =
7
d) n(D) =
2
A xx8
xx5 xx7 xx4
xx11
B
∈ b) 14 C
xx10 xx1
∉
xx9
B
C
•1
D
xx12
e) 1
∈
C
∉ f) 11 B
g) 8
∉
B
Recuerda que el cardinal expresa el número de elementos del conjunto.
xx6
xx3 xx2
4 Determina por extensión los siguientes conjuntos (resuelve en tu cuaderno): A = {x + 2/x ∈ N, 2 < x < 6}
10
Según 2 < x < 6, los valores que toma "x" son: x = 3; 4; 5 Si x = 3 ⇒ 3 + 2 = 5 x=4⇒ 4+2=6 x = 5 ⇒ 5 + 2 = 7 A = {5; 6; 7}
B = {x2 + 1/x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 6} Según 3 ≤ x ≤ 6, los valores que toma "x" son: x = 3; 4; 5; 6 Si x = 3 ⇒ 32 + 1 = 10 x = 5 ⇒ 52 + 1 = 26 2 x = 4 ⇒ 4 + 1 = 17 x = 6 ⇒ 62 + 1 = 37 B = {10; 17; 26; 37}
Elaborarás diversas estrategias
Relaciones entre conjuntos
Utilizarás expresiones simbólicas
Argumentarás
Producto cartesiano
Operaciones con conjuntos
5 Determina los siguientes conjuntos por comprensión: C = {10; 12; 14; 16}
UU 11
D = {15; 17; 19; …; 63} Se observa que los elementos del conjunto D son números impares: del 15 al 63, entonces D = {x/x ∈ N ʌ x es impar,
Se observa que los elementos del conjunto C son múltiplos de 2, entonces C = {2x/x ∈ N, 5 ≤ x ≤ 8}
13 < x < 65}
Aplicamos lo aprendido 1 Determina la relación de pertenencia o no pertenencia a partir del siguiente diagrama: U
P
xx4 xx9
xx16
xx6 xx64 xx100
xx25 xx49
xx81
P
∉ f) 16 Q
∈ k) 64 Q
∉ b) 36 P
∈ g) 64 P
l) 100 ∈
R
∈ c) 81 Q
∉ h) 36 R
m) 9 ∉
R
Q
∉ i) 100 P
n) 9 ∉
Q
∉ e) 36 Q
∈ j) 25 Q
ñ)
6 ∈
P
a) 4
Q
d) 4 R
xx36
∈
∉
2 Determina por extensión los siguientes conjuntos y luego halla su cardinal: a) R = {x – 2/x ∈ N, 2 < x < 12} R = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
b) S = {x2 + 1/x ∈ N, par, x < 10}
n(R) = 9
n(S) = 5
S = {1; 5; 17; 37; 65}
3 Determina por comprensión los siguientes conjuntos: a) T = {primeros auxilios, señalización, evacuación}
b) V = {0; 1; 8; 27; 64; 125} V = {x3/x ∈ N, x ≤ 5}
T = {x/x es una brigada de Defensa Civil}
4 Halla la suma de los elementos de los siguientes conjuntos:
b) I = { x + 2/x ∈ N, par, 2 ≤ x ≤ 12} 2
a) H = {8 – x/x ∈ N, x ≤ 8}
I = {3; 4; 5; 6; 7; 8} Suma: 33
H = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Suma: 36
5 Completa los datos de la siguiente tabla: Por comprensión A = {3x – 1/x ∈ N, 1 < x < 6 } B = {x ∈ N/ x es par, x ≥ 4}
R = {x/x es un número par} C = {x/x es un satélite natural de la Tierra}
Por extensión A = {5; 8; 11; 14}
B = {4; 6; 8; 10;…} R = {0; 2; 4; 6;...}
C = {Luna}
Metacognición ¿Cómo he resuelto cada uno de estos ejercicios? ¿Tuve dificultades? ¿Cómo las superé?
11
Números y operaciones
Clases de conjuntos Aritmética
¡A practica r! 1 Marca con una X si el conjunto es vacío o unitario. Conjuntos
Vacío
Unitario
A = {2x/x ∈ N, 9 < x < 10} B = {10x/x ∈ N, 2 ≤ x < 3}
C = {3x + 2/x ∈ N, 8 ≤ x < 9} D = {x + 5/x ∈ N, x < 0}
5
En 5 minutos
2 Si los conjuntos B y C son unitarios, halla el valor de "x" en cada caso. B = {x + 2; 10}
C = {x; 3x – 4}
Como B es unitario, entonces: x + 2 = 10 Luego x = 8
Como C es unitario, entonces: x = 3x − 4 4 = 2x 2=x
En equipo, escriban tres ejemplos de conjunto vacío y de unitario en relación con el área de Personal Social.
3 Dados los siguientes conjuntos, determina el conjunto universal: A = {Comité de Defensa Civil Regional, Comité de Defensa Civil Provincial, Comité de Defensa Civil Distrital} B = {comunitario, informativo, preventivo, solidario} U = {Comités de Defensa Civil}
4 Escribe si el conjunto es finito o infinito según corresponda. Conjuntos
Algo
Clases
A = {x/x es un día de la semana}
Finito
B = {x/x ∈ N, es múltiplo de 5}
Infinito
C = {x/x es un número primo}
Infinito
D = {x/x es un distrito de Lima}
Finito
E = {x/x es divisor de 28}
Finito
más…
La idea de conjunto está en nuestro pensamiento.
Georg Cantor (1845 - 1918) define la teoría de conjuntos como una agrupación de objetos simples en un todo. Averigua más sobre Cantor.
5 Dados los conjuntos, indica si son vacíos o unitarios. a) C = {x/x es un perro que vuela}
c) E = {x/x es un hombre que mide 4 metros}
Conjunto vacío
Conjunto vacío
b) P = {x/x ∈ N, 18 < x < 20}
d) S = {x/x es la capital del Perú}
Conjunto unitario
Conjunto unitario
6 Indica el cardinal de los siguientes conjuntos: a) R = {x/x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 6}
12
n(R) =
4
b) S = {x/x es letra de la palabra "papa"}
n(S) = 2
Clases de conjuntos
Aplicamos lo aprendido
UU 11
1 Los siguientes conjuntos son unitarios. Determina el valor de “m”. a) P = {8 – m; 5}
b) P = {(m – 1) 2; 9} (m − 1)2= 9 m−1=3 m=4
8−m=5 m=8−5 m=3
Rpta.: m = 3
Rpta.: m = 4
2 Si los conjuntos son unitarios, determina el valor de m2 + n2. a) A = {15 – m; 10; n – 5} 15 − m = 10
b) B = {m 2 + 3; 28; 26 + n} n − 5 = 10 n = 10 + 5 n = 15
15 − 10 = m 5=m
m2 + 3 = 28 m2 = 25 m=5
26 + n = 28 n = 28 − 26 n=2
52 + 22 = 29
52 + 152 = 25 + 225 = 250
Rpta.: 250
Rpta.: m = 29
3 Marca con una X el recuadro correspondiente. Conjuntos
Vacío
Unitario
Finito
Infinito
A = {4x/x ∈ N, x es par, 10 < x < 12} B = {10x + 10/x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 3} C = {2x – 2/x ∈ N, 8 < x ≤ 9} D = {x + 5/x ∈ N, x es impar, x > 0} E = {x + 3/x ∈ N, x es par, 20 < x < 30} N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;...} Z = {... –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5;...} 4 En tu aula, crea los siguientes conjuntos (sigue el modelo): “Conjunto de útiles escolares”
a) Conjunto finito:
F = {cuaderno, libro, lápiz, borrador, regla}
b) Conjunto vacío:
V={
R.L.
}
R.L.
c) Conjunto unitario: W = {
R.L.
}
R.L.
d) Conjunto infinito:
I={
R.L.
}
R.L.
e) Conjunto universal: U = {
R.L.
}
R.L.
13
Números y operaciones
Relaciones entre conjuntos Aritmética
¡A practica r! 1 Sea I = {x/x es un instrumento musical de viento}. a) Sea F = {flauta, trompeta, clarín, tuba, trombón}. ¿Está incluido en I? Escribe tu respuesta usando el símbolo. Rpta.: Sí está incluido. F ⊂ I.
b) Escribe otro subconjunto de I utilizando el lenguaje matemático. Rpta.: R.L.
2 Dados los siguientes conjuntos: P = {5; 7; 12; 18; 32}, Q = {18; 32}, R = {5; 7}, S = {12; 15} y T = {12; 18; 32}. Indica V si es verdadero o F si es falso. a) Q ⊂ P
(V )
c) S ⊂ P
(F)
b) R ⊂ P
(V )
d) T ⊄ P
(F)
3 Observa el diagrama y escribe el símbolo ⊂ o ⊄ según corresponda. R
T xx5
xx3
xx9
xx8 xx7
xx1
xx14 S xx10
xx12
xx16
⊄ R T
S ⊂
T
⊄ R S
T ⊄
S
S ⊄
⊄ T R
R
4 Dados los siguientes conjuntos: P = {x ∈ N/ x ≤ 8}, Q = {2; 4; 6; 8} y R = {x/x es par}. Completa los espacios en blanco con el símbolo ⊂ o ⊄ según corresponda. b) P ⊄ R
a) P ⊄ Q
c) Q ⊂ R
d) Q ⊂ P
5 Dados los siguientes conjuntos: A = {x ∈ N/ 2 ≤ x ≤ 8}, B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y C = {x ∈ N/ x es un divisor de 15}. Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) A = B
(V )
d) A = A
(V)
b) φ ⊂ P(C)
(V )
e) φ = P(A)
(F )
c) B ≠ C
(V )
f) φ ⊂ P(B)
(V)
6 Considera los conjuntos del ejercicio 5 y halla lo siguiente:
14
a) El número de subconjuntos propios de A
127
b) El número de subconjuntos propios de B
127
c) El número de subconjuntos propios de C
15
Enlace con PERSONAL SOCIAL
La oficina de Defensa Civil, de la Municipalidad de tu distrito, recomienda estar prevenidos ante cualquier desastre. Forma el conjunto de objetos que debes tener en la etapa de prevención de sismos. Ejemplo: D = {botiquín, mochila con alimentos no perecibles, linterna}
Relaciones entre conjuntos
Aplicamos lo aprendido 1 Resuelve de acuerdo a la tabla. a) Halla la cantidad de goles anotados en las temporadas de 1953 a 1966. ¿Quiénes fueron los goleadores? 549 goles - Di Stéfano y Puskás
b) Entre Raúl y Zidane, ¿cuál es la diferencia de goles anotados y de partidos jugados? 323 − 50 = 273 / 741 − 223 = 518
c) Representa en un diagrama de Venn a los goleadores (E), y, entre llaves, los goles anotados (G) por estos. Goleadores
E
xxDi Stéfano
xxButragueño
xxPuskás
xxZidane
UU 11
Los cinco galácticos históricos del Real Madrid Goleadores
Total de goles (n.° partidos jugados)
Temporada
A. Di Stéfano
307 (403)
1953-1963
Ferenc Puskás
242 (262)
1958-1966
E. Butragueño
123 (341)
1983-1995
Raúl González
323 (741)
1994-2010
50 (223)
2001-2006
Zinedine Zidane
Goles G = {307; 242; 123; 323; 50}
xxRaúl
2 Determina el valor de “ x + y” si los conjuntos A y B son iguales y los conjuntos C y D también. a) A = {2x + 3; 15}; B = {9; 5y – 5} b) C = {x2 + 1; 20}; D = {82; y } 4 2x + 3 = 9 2x = 6 x=3
5y − 5 = 15 5y = 20 y=4
x2 + 1 = 82 x = 81 x=9 2
Rpta.: 7
3+4=7
y/4 = 20 y = 80
9 + 80 = 89
Rpta.: 89
3 Dados los siguientes conjuntos, indica si cumplen la relación de inclusión o igualdad. a) A = {x/x es un país de América} inclusión / B ⊂ A B = {x/x es un país de América del Sur} igualdad / E = F
b) E = {4; 6; 8} F = {x/x ∈ N, x es par, 2 < x < 10}
c) C = {x/x es un mamífero} D = {perro}
inclusión / D ⊂ C
d) G = {a, m, o, r} H = {r, o, m, a}
igualdad / G = H
4 A partir del siguiente diagrama de Venn, establece diez relaciones entre conjuntos. U Relaciones de inclusión ⊂ y no inclusión ⊄ B A entre conjuntos Rpta. sugerida C D F⊂U C⊂A
E
F
D⊂B
D⊄C
A⊂U
D⊂U
E⊄A
E⊂U
E⊄D
A⊄C
15
Números y operaciones
Operaciones con conjuntos Aritmética
¡A practica r!
1 Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, A = {4; 5; 6; 7} y B = {6; 7; 8}, representa mediante diagramas de Venn y halla las operaciones que se piden. a) A ∪ B = {4; 5; 6; 7; 8} A
d) A ∩ B = {6; 7} B
xx4
xx7 xx6
xx5
A
xx8
xx8
e) B – A = {8} xx4 xx5
A
B xx 7 xx6
xx8
xx4
B
xx4
xx7 xx6
xx5
c) A ∆ B = {4; 5; 8} A
xx7 xx6
xx5
b) A – B = {4; 5} A
B
xx4
xx8
f) B' = {1; 2; 3; 4; 5; 9; 10} U
B xx 7
xx5
xx8
xx6
xx1 xx2
xx10 xx6
xx8 xx3
B
xx9
xx7
xx5
xx4
B'
2 Si R = {x/x ∈ N, 3 ≤ x < 10} y S = {x/x ∈ N, 4 ≤ x < 9}, halla n(R – S). R = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
}
S = { 4; 5; 6; 7; 8
}
R – S = { 3; 9
}
Luego n(R – S) = 2 3 Si T = {x + 1/x ∈ N, 5 < x < 13} y V = {x + 2/x ∈ N, 3 < x < 7}, ¿cuántos elementos tiene el conjunto T ∪ V? En T los valores de “x” son los siguientes: x = 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
En V los valores de “x” son los siguientes: x = 4; 5; 6
Para x = 6 → 6 + 1 = 7
Para x = 4 → 4 + 2 = 6
x=7→7+1=8
x=5→5+2=7
x=8→8+1=9
x=6→6+2=8
x = 9 → 9 + 1 = 10 x = 10 → 10 + 1 = 11 x = 11 → 11 + 1 = 12 x = 12 → 12 + 1 = 13
T = { 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13
}
V = { 6; 7; 8
}
Por lo tanto T ∪ V = { 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13 }, entonces "T ∪ V" tiene 8 elementos.
16
En 5 minutos
5
En pareja, y con los conjuntos de las preguntas 1 y 2, elaboren 2 ejercicios en donde se halle la unión e intersección.
Operaciones con conjuntos
Aplicamos lo aprendido
UU 11
1 A partir del gráfico, escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda. A
B
xx1 xx2
xx0 xx3
xx4 xx5
a) 0 ∈ (A ∩ B)
(V)
b) {1; 2; 3} = A – B
(V)
c) 0 ∈ (A ∆ B)
(F )
d) B – A = {4; 5}
(V)
2 ¿Qué operaciones representan las regiones sombreadas? N
P
Q
S
M
T V
R M∩N
P − (Q ∪ R)
V − (S ∩ T)
3 Si U = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, R = {3x/x ∈ N; 1 < x < 6} y T = {x + 2/x ∈ N; 3 < x < 10}, resuelve lo siguiente: a) Halla la suma de elementos de R' ∩ T'. R' ∩ T' = {4; 5; 13; 14; 16; 17; 18; 19; 20}
La suma es 4 + 5 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 126
c) Halla el cardinal de (R ∆ T)'. R ∆ T = {7; 8; 10; 11; 12; 15} (R ∆ T)' = {4; 5; 6; 9; 13; 14; 16; 17; 18; 19; 20} n (R ∆ T)': 11
b) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene R ∪ T? R ∪ T = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 15}
R ∩ T = {6; 9}
n(R ∪ T) = 8
(R ∩ T)' = {4; 5; 7; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17;
SP = 28 − 1 = 255
5
d) Determina (R ∩ T)' por extensión.
En 5 minutos
Crea otro ejercicio a partir de los conjuntos de la pregunta 3.
18; 19; 20}
Metacognición ¿He comprendido la teoría de esta unidad? ¿Qué me causó mayor dificultad?
17
Números y operaciones
Producto cartesiano Aritmética
¡A practica r!
1 Relaciona las proposiciones de la tabla de la izquierda con las de la derecha, colocando la letra correspondiente. Abscisa 2 y ordenada 4
C
A
Proposición verdadera
(a; b) = (c; d)
E
B
Proposición falsa
n(B) × n(A)
D
C
(2; 4)
(2x; 15) = (8; 3y)
F
D
n(A × B)
A×B=B×A
B
E
a=c�b=d
(a; b) ≠ (b; a)
A
F
x+y=9
2 Completa las coordenadas de los puntos señalados. A = ( 2 ;5)
5
A
B = (− 2 ; 4 )
4
B
C = (− 3 ; 0 )
3
D = ( 0 ; − 2)
2
E = (− 3; − 2)
1
C −5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Ubica otras coordenadas inventadas por ti.
−1
E
−2
Respuesta libre
D
−3
3 Si A = {3; 5; 7} y B = {2; 4}, determina: A × B, n(A2), n(B2) y n(A × B). A × B = { (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4), (7; 2), (7; 4) } 4 Resuelve. a) Si A = {x ∈ N/ 4 < x < 7} y B = {x ∈ N / 8 < x < 12}. Calcula: “A × B” A = {5; 6}
B = {9; 10; 11}
a) n(A2) =
9
b) n(B2) = 4
b) Dados los conjuntos: C = {x ∈ N/ 0 ≤ x < 4} y D = {x ∈ N/ 9 < x < 15} Calcula: “n(C × D)” C = {0; 1; 2; 3} D = {10; 11; 12; 13; 14}
A × B = { (5; 9), (5; 10), (5; 11), (6; 9), (6; 10), (6; 11) }
18
c) n(A × B) = 6
n(C × D) = 20
Producto cartesiano
Aplicamos lo aprendido 1 Halla “A × B” y “B × A”, si A = {5; 6} y B = {10; 12}.
UU 11
5 A partir de la siguiente igualdad: (5x + 2; 4) = (32; y – 4x), Halla “xy”.
A × B = {(5; 10), (5; 12), (6; 10), (6; 12)}
5x + 2 = 32 5x = 30 x=6
B × A = {(10; 5), (10; 6), (12; 5), (12; 6)}
y − 4x = 4 y=4+4.6 y = 4 + 24 y = 28 6 . 28 = 168
2 Dados los conjuntos A = {3; 5; 7} y B = {a, b}, determina por extensión: a) A × B b) B × A c) A2
6 Si (x + 1; 6) = (4; y – 1), halla el valor de"xy". x+1=4 x=3
A × B = {(0; 1), (0; 2), (4; 1), (4; 2), (8; 1), (8; 2)}
7 Sabiendo que (2x; 15) = (8; 3y), halla el valor de “x + y”. 2x = 8 x=4
n(A × B) = 6 También:
y−1=6 y=7
3 . 7 = 21
A × B = {(3; a), (3; b), (5; a), (5; b), (7; a), (7; b)} B × A = {(a; 3), (a; 5), (a; 7), (b; 3), (b; 5), (b; 7)} A2 = {(3; 3), (3; 5), (3; 7), (5; 3), (5; 5), (5; 7), (7; 3), (7; 5), (7; 7)}
3 Halla n(A × B), si A = {0; 4; 8} y B = {1; 2}
Rpta.: 168
15 = 3y 5=y
4+5=9
n(A) × n(B) = 3 × 2 = 6
4 Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda.
8 A partir de la siguiente igualdad:
a) (3; 5) = (5; 3)
(F )
(4x – 3; 5 + 2y) = (25; 21), halla “x + y”.
b) (2; 8) = (2; 8)
(V )
c) (x; 2) = (3; y) → yx = 8
(V )
4x − 3 = 25 4x = 28 x=7
d) (12; 25) = (3x; 25) → x = 4
(V )
e) (6; 25) = (x + 6; 25) → x = 2
(F )
f) (m; 15) = (x; m + 5) → x = 10
(V )
g) (9; 6) = (x + 2; 6) → x = 7
(V )
h) (3; x) = (3; 18) → x = 3
(F )
5 + 2y = 21 2y = 16 y=8
7 + 8 = 15
Rpta.: 15
19
Identifica y comprende el problema Verbaliza. Verifica los datos e incógnitas.
Ponemos nuestra mente en acción
1 De acuerdo al gráfico estadístico, representa en tu cuaderno los conjuntos mediante un diagrama de Venn y luego responde. Encuesta realizada en un skate park de Lima
a) ¿Cuántos niños participan en la encuesta? 150
60
b) ¿Cuántos prefieren skate y patinaje?
n.° de niños
50 40
30
30
c) ¿Cuántos prefieren solo patinaje como deporte favorito?
20 10 0
skate y patinaje
solo patinaje
otro deporte
40
solo skate
deportes favoritos
2 Un grupo de niños sigue una dieta rica en frutas: 60 comen melocotón; 70, plátano, y 40, melocotón y plátano. Completa el gráfico y luego responde las siguientes preguntas: Niños del grupo = 90 a) ¿Cuántos son los niños del grupo?
M = 60
90
b) ¿Cuántos niños comen solamente melocotón?
P = 70
20
20
40
30
c) ¿Cuántos comen solamente plátano? 30
3 El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados: se les pidió su opinión con respecto a los temas de conjuntos (C), teoría de números (T) y decimales (D). Responde. U
a) ¿Cuál es el número de estudiantes encuestados? C
T 4
13 6
3
7
28
66
b) ¿Cuál es el número de estudiantes que opinan de los temas de conjuntos o de teoría de números? 59
5
c) ¿Cuántos opinan sobre el tema de conjuntos pero no de los decimales? D
17
d) ¿Cuál es el número de estudiantes que opinan sobre los temas de conjuntos y de decimales? 9
20
Elabora un plan Relaciona con otros que ya conoces.
Ejecuta un plan Representa y usa operaciones.
Evalúa y verifica tu respuesta Revisa lo planeado.
Escribe y publica tu respuesta Acerca de conjuntos.
Resuelve con ayuda de diagramas de Venn y expresión simbólica. 4 De un grupo de 50 turistas que visitaron el Perú, 25 conocieron Cusco; 30, Ayacucho, y 13, ambas ciudades. ¿Cuántos no conocieron ninguna de estas ciudades? Representación gráfica Expresión simbólica U = 50 C = 25
50 − (12 + 13 + 17) = 8
A = 30 12
13
UU 11
17 8
Rpta.: 8 turistas
5 De un grupo de 42 estudiantes, hay 23 que practican natación y 20, atletismo. Además se sabe que 6 estudiantes no realizan ninguno de los 2 deportes. ¿Cuántos practican solo atletismo? Representación gráfica
Expresión simbólica
U = 42 N = 23
A = 20 16
7
(23 + 20 + 6) − 42 = 7 20 − 7 = 13
13
6
Rpta.: 13 estudiantes
6 De 30 personas, 16 son profesores; 18, ingenieros, y 7 tienen ambas profesiones. ¿Cuántos no son ingenieros ni profesores? Representación gráfica Expresión simbólica U = 30 P = 16
I = 18 9
7
(16 + 18) − 7 = 27 30 − 27 = 3
11
3
Rpta.: 3 personas
7 De una encuesta realizada a 120 mujeres, 40 leen solo la revista Amalia; 60, solo la revista Lisa, y 12 no leen ninguna de las dos. ¿Cuántas leen ambas revistas? Representación gráfica
Expresión simbólica
U = 120 A = 48
L = 68 40
12
8
120 − (40 + 60 + 12) = 8
60
Rpta.: 8 mujeres
21
Ponemos nuestra mente en acción Completa las gráficas y resuelve. 8 De un total de 85 estudiantes, 42 estudian Inglés; 56, Computación, y 15 no estudian ninguno de estos cursos. ¿Cuántos estudian Computación e Inglés? U= I=
85 42
C= 14
28
56
56 − 28 = 28
28
Rpta.: 28 estudiantes
15
9 De un grupo de 65 estudiantes, 30 prefieren Comunicación; 40, Matemática, y 5, otras materias. ¿Cuántos prefieren ambos cursos? U=
65
C=
30
M= 20
30 + 40 + 5 − 65 = 10
40
30
10
Rpta.: 10 estudiantes
5
10 De un total de 45 trabajadores administrativos de una I. E. que participaron en los simulacros de sismo, se sabe que 18 participaron en el primer simulacro; 26, en el segundo, y 12, en el primero y el segundo. ¿Cuál es el número de trabajadores que no participaron en el primer ni en el segundo simulacro? U=
45 18
PS =
SS = 6
26
45 − (6 + 12 + 14) = 13
14
12
Rpta.: 13 trabajadores
13
11 Durante el mes de mayo, Rafael, en su dieta diaria, come pollo, pescado o ambos. Si 16 días come pollo; 20 días, pescado, y 5 días, ambos, ¿cuántos días come solo pescado? U=
31
Pollo =
16
Pescado = 11
22
5
20
20 − 5 = 15
15
Rpta.: 15 días
Ponemos nuestra mente en acción 12 Utiliza el diagrama que se indica, completa los datos y resuelve cada situación. a) Se realizó una encuesta a 88 niños. A 45 les gusta el helado de fresa, y a 64, el de vainilla. Si a 27 niños les gusta ambos sabores, ¿a cuántos no les gusta ninguno de los dos?
Total =
88
Les gusta ambos
Les gusta el helado de fresa
27
Les gusta el helado de vainilla No les gusta ninguno
UU 11
88 − (18 + 27 + 37) = 6
18
45
37
64
x=6
x
Rpta.: A 6 niños
b) A una fiesta asistieron 130 personas, de las cuales a 48 les gusta bailar salsa, y a 78, merengue. Si a 6 no les gusta bailar ninguno de los dos ritmos, ¿a cuántas sí les gusta bailar los dos ritmos?
Total = 130
Les gusta ambos
Les gusta bailar salsa
x
Les gusta bailar merengue No les gusta ninguno
48 + 78 − x + 6 = 130
48
x=2
78
6
Rpta.: 2 personas
13 La plana docente de Literatura de una I. E. realizó una encuesta con el fin de elaborar el proyecto del Plan Lector para el año académico 2014. Los resultados se recogen en la siguiente tabla: Respuestas
Docentes de Matemática
Docentes de Ciencia y Ambiente
Docentes de Personal Social
Docentes de Lengua y Literatura
A favor
10
15
12
18
En contra
2
3
1
0
No opinan
0
2
1
0
Utiliza las siguientes notaciones: A: Conjunto de docentes que contestaron a favor B: Conjunto de docentes que contestaron en contra C: Conjunto de docentes de Matemática Determina el número de docentes de: a) A: 55
d) D : 18
b) B: 6
e) D ∪ F: 32
c) C: 12
f) (D ∪ F) – E: 12
D: Conjunto de docentes de Lengua y Literatura E: Conjunto de docentes de Ciencia y Ambiente F: Conjunto de docentes de Personal Social Metacognición ¿Qué conozco del tema? ¿Qué dificultades he tenido para resolver este tema? ¿Cómo lo he superado?
23
Actividades de refuerzo 1 Observa el diagrama y escribe V si es verdadero o F si es falso. U
A xx11
B
xx9 xx10 xx13
xx12
xx15
xx14
xx16
C
9 ∉ U ( F 10 ∈ C ( V
)
10 ∈ A ( V 9 ∈ C ( F
) )
)
13 ∈ A ( F 12 ∈ A ( V
)
12 ∉ B ( F
)
12 ∈ C ( F
)
14 ∈ B ( V
)
16 ∉ B ( F
)
15 ∈ A ( F
)
13 ∈ C ( V
)
10 ∈ U ( V 11 ∈ A ( V
) ) )
2 Subraya los conjuntos que están representados correctamente en relación con el gráfico. U
P
xx4 xx6
xx1
xx8
xx2
xx10
Q
xx3 xx7
xx9
xx5 xx11
P = {1; 2; 4; 6; 8; 10} Q = {x/x ∈ N, x < 8} Q = {1; 2; 3; 5; 11} U = {x/x ∈ N, 0 < x < 12}
3 Determina por comprensión o extensión cada conjunto. a) A = {1; 3; 5; 7; 9;...}
e) E = {x/x es una letra de la palabra "educación"}
A = {2x + 1/x ∈ N, x ≥ 0}
E = {e, d, u, c, a, i, o, n}
b) B = {2; 4; 6; 8; 10;...}
f) F = {x/x es una vocal de la palabra "responsabilidad"}
B = {2x/x ∈ N, x ≥ 1}
F = {e, o, a, i}
g) G = {x/x ∈ N, x < 5}
c) C = {15; 30; 45; 60; 75} C = {15x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 5}
G = {0; 1; 2; 3; 4}
h) H = {x/x ∈ N, x ≤ 8}
d) D = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Nivel 3
D = {x/x ∈ N, x < 6}
H = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
4 Determina por extensión los siguientes conjuntos: d) S = {x − 3/x ∈ N, 13 ≥ x ≥ 7}
Nivel 2
a) P = {x/x ∈ N, 7 ≤ x ≤ 12} P = {7; 8; 9; 10; 11; 12}
x = 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7
e) T = {2x + 1/x ∈ N, par, x ≤ 8}
b) Q = {x ∈ N / 10 > x ≥ 2}
Nivel 1
Q = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2}
x = 0; 2; 4; 6; 8
c) R = {2x + 1/x ∈ N, 0 < x ≤ 5} x = 1; 2; 3; 4; 5
24
S = {10; 9; 8; 7; 6; 5; 4}
R = {3; 5; 7; 9; 11}
T = {1; 5; 9; 13; 17}
f) V = {x2 + 1/x ∈ N, impar, 11 > x > 3} x = 9; 7; 5
V = {82; 50; 26}
Actividades de refuerzo 5 Sean los conjuntos A = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 2, x < 10}; B = {3x/x ∈ N, 3 < x ≤ 7}. Determina los cardinales de los conjuntos que se indican.
UU 11
c) n(A ∪ B)
a) n(A)
n(A ∪ B) = 9
A = {0; 2; 4; 6; 8} n(A) = 5
d) n(A ∩ B)
b) n(B)
n(A ∩ B) = 0
B = {12; 15; 18; 21} n(B) = 4
6 Indica con una X si los conjuntos de la tabla son vacíos o unitarios. Conjuntos
Vacío
Unitario
A = {6 − x/x ∈ N, par, 10 < x < 11}
En 5 minutos
B = {5x/x ∈ N, 10 ≤ x < 11}
5
Crea 5 ejercicios y plantéaselos a un compañero, luego que argumente sus respuestas.
C = {7x − 2/x ∈ N, 8 < x < 9} D = {x − 5/x ∈ N, x < 0} 7 Si los siguientes conjuntos son unitarios, halla el valor de "m" en cada caso. a) B = {m + 2; 20} Como B es unitario, entonces m + 2 = 20 m = 18
b) P = {2m + 3; 51} Como P es unitario, entonces 2m + 3 = 51 2m = 48 m = 24
c) C = {m; 3m − 8} Como C es unitario, entonces m = 3m − 8 8 = 2m 4=m
d) Q = {32; 4 + 7m} Como Q es unitario, entonces 32 = 4 + 7m 28 = 7m 4=m
8 Identifica los conjuntos como finito o infinito. Para los conjuntos finitos escribe si son unitarios o vacíos. a) M = {x/x es una estrella del Sistema Solar}
Infinito
b) N = {x/x ∈ N, x > 120}
Infinito
c) O = {x/x ∈ N, 12 + x = 20}
Finito - unitario
d) P = {x/x es una vocal cerrada de la palabra "cono"}
Finito - vacío
25
Actividades de refuerzo R = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18} S = {12; 14; 16; 18} T = {0; 2; 4; 6; 8; 10;...}
9 Dados los siguientes conjuntos: R = {x ∈ N/x es par, x < 20}, S = {12; 14; 16; 18} y T = {x/x es múltiplo de 2}. Escribe en los espacios en blanco el símbolo ⊂ o ⊄ según corresponda. ⊂ ⊂ S b) R T c) S T a) R ⊄
⊂
d) S
R
10 Dados los siguientes conjuntos: M = {21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30} P = {20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30} M = {x ∈ N/ 20 < x ≤ 30}, N = {21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30} y P = {x + 1/x ∈ N, 18 < x < 30}. Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) M = N ( V ) c) N ≠ P ( V ) e) M ⊂ N ( V ) b) M = P
( F
)
d) P = P
( V
f) N ⊂ P
)
(
V
11 Sean los conjuntos: U = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, A = {14; 15; 16; 17} y B = {16; 17; 18}. Representa mediante diagramas de Venn y halla las operaciones que se piden. a) A ∪ B = {14; 15; 16; 17; 18} A
xx16
xx14 xx15
xx17
d) B - A = {18} B
xx14 xx15
Nivel 3
xx14 xx15
xx16 xx17
A
B
xx16 xx17
xx14
xx18
xx15
xx18
B xx18
f) B' = {11; 12; 13; 14; 15; 19; 20} U
xx16 xx17
B xx18
xx11 xx12 xx13
xx20
B
xx16 xx17 xx14
xx18
xx19 xx15
12 Si R = {x − 2/x ∈ N, 3 ≤ x < 10} y S = {x − 4/x ∈ N, 4 ≤ x < 9}, halla lo siguiente: a) n(R - S)
Nivel 1
Nivel 2
B
e) A ∆ B = {14; 15; 18}
c) A - B = {14; 15} A
xx16 xx17
xx14 xx15
xx18
b) A ∩ B = {16; 17} A
A
x = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 R = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} R − S = {5; 6; 7} n(R − S) = 3
26
x = 4; 5; 6; 7; 8 S = {0; 1; 2; 3; 4}
b) n(S ∪ R)
S ∪ R = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} n(S ∪ R) = 8
B'
)
Actividades de refuerzo 13 Si A = {2x + 1/x ∈ N, 5 < x < 12}, B = {4x + 2/x ∈ N, 6 < x < 15}, determina lo que se pide en cada caso. a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A ∪ B?
c) A ∆ B y su diagrama de Venn.
Para A: x = 6; 7; 8; 9; 10; 11 A = {13; 15; 17; 19; 21; 23} Para B: x = 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14 B = {30; 34; 38; 42; 46; 50; 54; 58} n(A ∪ B) = 14
A
xx23 xx13
xx15 xx21
xx19 xx17
xx30 xx42 34 xx38 xx46 xx50 xx xx58 xx54
UU 11
B
A ∆ B = {13; 15; 17; 19; 21; 23; 30; 34; 38; 42; 46; 50; 54; 58}
b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto B ∩ A?
d) B – A y grafica.
B − A = {30; 34; 38; 42; 46; 50; 54; 58}
Para A: x = 6; 7; 8; 9; 10; 11 A = {13; 15; 17; 19; 21; 23} Para B: x = 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14 B = {30; 34; 38; 42; 46; 50; 54; 58} n(B ∩ A) = 0
A xx23 xx13
xx15
xx19
xx21
xx17
B xx30 xx42 xx34 xx38 xx46 xx50 xx58 xx54
14 Escribe la operación que representa la región sombreada. U
A
U
B
A
U
A
U
B
A−B
B
A
A∩B
A∪B
U
B
A∪B
A
B
U
A
B−A
B
A∆B
15 Sean: U = {20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29}, A = {20; 22; 24; 26; 28}, B = {21; 23; 25; 27; 29}, C = {22; 23; 24; 25} y D = {21; 26; 27}. Determina por extensión y representa en diagramas de Venn los siguientes conjuntos: a) A ∪ C A xx20
b) A ∩ B xx28 xx26
xx22 xx24
C
xx23 xx25
A ∪ C = {20; 22; 23; 24; 25; 26; 28}
A
xx22 xx20 xx26 xx28
xx24
B
xx21 xx23
xx25
xx27
xx29
A ∩ B = � o {}
27
Actividades de refuerzo e) (U ∩ C)' = {20; 21; 26; 27; 28; 29}
c) C' = {20; 21; 26; 27; 28; 29} U
U
xx21
xx20
xx22
xx23
xx26
xx24
xx25 xx27
xx28
B xx23 xx20
C' ∩ B
xx21
xx29
xx28
xx24
•
xx29
24 xx28
xx27
f) (C ∆ D)' = {20; 28; 29} U
xx22
C
xx24 xx25
xx29
xx26
xx20
xx22 xx23
xx25
xx27
C
22
xx25
xx26
C'
•
xx23
xx20
xx29
d) (C' ∩ B) ∪ B = {21; 23; 25; 27; 29} U
xx21
C
D
xx21 xx26
xx28
xx27
16 Dados los conjuntos R = {10x − 1/x ∈ N; par, 8 < x < 12}, S = {x2 − 1/x ∈ N; 1 < x < 6} y T = {x3 − 1/x ∈ N; 1 < x < 6}, halla y grafica las siguientes operaciones: a) R ∪ S = {3; 8; 15; 24; 99}
c) (R ∪ S) − T = {3; 8; 15; 24; 99}
R xx99
xx3
xx15
xx24
S
xx99
xx8
b) S ∩ T = { } S
xx24
xx15
xx 3 xx24
S xx63
xx8
xx7
T xx26
xx124
d) (R ∩ S) ∪ (T ∪ R) = {7; 26; 63; 99; 124} R ∩ T = �
xx8
xx7
xx63
xx124
T xx26
T xx63
xx7 xx124
R xx26
xx99
17 La figura representa los resultados de una encuesta realizada a un grupo de estudiantes sobre sus preferencias de lectura. Responde.
U
Nivel 2
Nivel 3
xx15
xx3
R
Novelas
Cuentos
Nivel 1
2
4
5 1
28
a) ¿Cuántos estudiantes prefieren leer cuentos?
6
b) ¿Cuántos estudiantes prefieren leer novelas?
9
c) ¿Cuántos estudiantes prefieren leer ambos?
4
d) ¿Cuántos estudiantes no prefieren ninguna de las dos lecturas?
1
e) ¿Cuántos estudiantes prefieren solo una lectura?
7
Actividades de refuerzo 18 Una encuesta realizada a 300 personas sobre su participación en los simulacros de sismo reveló los siguientes resultados: 120 personas participaron en la mañana; 100 personas en la mañana y en la tarde, y 20 personas no lo hicieron por la mañana ni la tarde.
UU 11
a) Completa el diagrama con los datos revelados en la encuesta y luego responde. Participaron en ambos
Total = 300
Participaron en la mañana Participaron en la tarde No participaron
100
20
120
160
260
20
b) ¿Cuántas personas participaron en la mañana?
120
c) ¿Cuántas personas participaron en la tarde?
260
d) ¿Cuántas personas participaron en la mañana pero no en la tarde?
20
e) ¿Cuántas personas participaron solo en uno de los dos turnos?
180
19 Resuelve con ayuda del diagrama de Venn cada una de las siguientes situaciones: a) En una encuesta realizada a un grupo de niños, se obtuvieron los siguientes datos sobre las actividades que realizan una tarde de domingo: 20 prefieren salir a jugar al parque y 35, jugar en casa. Si hay 10 que prefieren hacer ambas cosas, ¿cuántos niños fueron encuestados? U = 45
U=
P = 20
C= 10
10
35
47
Di = 25
25
Do= 17
Rpta.: 45 niños fueron encuestados.
8
30
22
Rpta.: 22 prefieren comprar solo los domingos.
b) Si de 80 personas, 45 son médicos; 25, contadores, y 10 tienen ambas profesiones, ¿cuántos no son médicos ni contadores? U=
c) De un grupo de 47 madres de familia, hay 25 que prefieren realizar compras diariamente y 30, los domingos; además se sabe que 8 madres de familia prefieren realizar compras diariamente y también los domingos. ¿Cuántas prefieren realizar compras solo los domingos?
d) De una encuesta realizada a 120 personas, 40 leen solo el diario M; 70, solo el diario N, y 5, los dos diarios. ¿Cuántas personas no leen ninguno de los dos? U = 120
80
M = 45
M = 45
C = 25 35
10
15
N= 40
5
75 70
20
Rpta.: 20 no son médicos ni contadores.
5
Rpta.: 5 no leen ninguno de los dos.
29
Actividades de refuerzo e) De un total de 95 estudiantes, 52 estudian el idioma francés; 66, el italiano, y 25 no estudian ninguno de estos cursos. ¿Cuántos estudian francés e italiano? U=
95
F=
52
f) De un grupo de 75 estudiantes, 40 prefieren Ciencia y Ambiente; 50, Matemática, y 18, otros cursos. ¿Cuántos prefieren estudiar ambos cursos? U=
I= 4
48
CA =
66
75
M=
40 7
18
33
50
17 18
25
Rpta.: 48 estudian francés e italiano.
Rpta.: 33 prefieren estudiar ambos cursos.
20 Escribe V si es verdadero o F si es falso. a) (12; 6) = (6; 12)
( F
)
c) (p; 3) = (9; q) → p/q = 3
( V
)
b) (14; 11) = (14; 11)
( V
)
d) (x + 1; 2y) = (8; 4) → x + y = 9
( V
)
21 Si se cumple: (x + 1; 8) = (4; y − 6), halla el valor de "x2 + y2". x+1=4→x=3
32 + 142 = 205
8 = y − 6 → y = 14
En 5 minutos 22 Halla n(A × B), si A = {12; 8; 7} y B = {0; 2}. A × B = {(12; 0), (12; 2), (8; 0), (8; 2), (7; 0), (7; 2)} n(A × B) = 6
5
En pareja, lean las preguntas 20 y 21 y argumenten por qué colocaron sus respuestas de esa forma.
Nivel 2
Nivel 3
23 Dados los conjuntos A = {8; 9} y B = {r; p}, determina por extensión lo siguiente: a) A × B = { (8; r), (8; p), (9; r), (9; p)
}
b) B × A = { (r; 8), (r; 9), (p; 8), (p; 9)
}
c) B × B = { (r; r), (r; p), (p; r), (p; p)
}
24 A partir de la igualdad: (3z − 1; 10) = (11; 10 + y − 5), halla "z2 + y2". 3z − 1 = 11 → z = 4
Nivel 1
10 = 10 + y − 5 → y = 5
30
42 + 52 = 16 + 25 = 41
Actividades de refuerzo 25 A partir de la siguiente igualdad: (5x − 3; 5x + 2y) = (17; 44), halla "2x + 2y”. 5x − 3 = 17 → x = 4
2(4) + 2(12) = 8 + 24 = 32
UU 11
5x + 2y = 44 → y = 12
26 Sean los siguientes conjuntos: M = {2x + 3/x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 5} y N = {4 + x/x ∈ N, x < 3}. Halla "n(M × N)". M = {9; 11; 13} N = {4; 5; 6} M × N = {(9; 4), (9; 5), (9; 6), (11; 4), (11; 5), (11; 6), (13; 4), (13; 5), (13; 6)} n(M × N) = 9
27 Si A = {p ∈ N / "p" es múltiplo de dos, 7 < p < 13} y B = {p ∈ N / "p" es múltiplo de cinco, 5 < p < 20}, determina "n(A × B)". A = {8; 10; 12} B = {10; 15} A × B = {(8; 10), (8; 15), (10; 10), (10; 15), (12; 10), (12; 15)} n(A × B) = 6
28 Resuelve. a) Si A = {2; 4; 6} y B = {3; 5; 7}, calcula "A × B" y luego halla [n (A × B)]2. A × B = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (4; 3), (4; 5), (4; 7), (6; 3), (6; 5), (6; 7)} n(A × B) = 9 [n(A × B)] 2 = 81
b) Sean los conjuntos X = {10; 20; 30; 40} y Z = {5; 10; 15; 20}, calcula "n(X × Z)". X × Z = {(10; 5), (10; 10), (10; 15), (10; 20), (20; 5), (20; 10), (20; 15), (20; 20), (30; 5), (30; 10), (30; 15), (30; 20), (40; 5), (40; 10), (40; 15), (40; 20)} n(X × Z) = 16
31
Razonamiento y diversión Problemas sobre conjuntos Los problemas sobre conjuntos se resuelven con ayuda de diagramas de Venn - Euler, los cuales pueden tener diferentes formas. Para ello se debe tomar en cuenta lo siguiente: 1. Se fija el modelo de diagrama (puede ser con intersección, sin intersección, un conjunto contenido en otro, con 3 conjuntos, etc.). 2. Se organizan los datos en los diagramas. 3. Se anotan los datos y se resuelve el problema. Ejemplo: • El siguiente diagrama representa lo que tomó Raúl en el desayuno, cada mañana, durante julio. Leche = 24
Yogur= 13
6
Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda. a) Solamente tomó leche 18 días.
(V )
b) 13 días tomó yogur pero no leche.
(F )
c) 6 días tomó leche pero no yogur.
(F )
d) 31 días tomó solo leche, solo yogur, y leche y yogur. (V )
Razonamos y resolvemos 1 En el salón de 6.o grado "A" hay un grupo de niños que ha formado una Brigada de Primeros Auxilios; si en este mismo salón hay un grupo de niños que, además de pertenecer a esta brigada, forma parte de la Brigada de Primeros Auxilios de su comunidad, ¿qué gráfico los representaría mejor? Marca con un * la respuesta correcta. a)
b)
c)
*
2 Encierra las proposiciones verdaderas de acuerdo al siguiente gráfico. a) B ∩ C = A ∩ B
A B
b) A ∩ B = B C
c) B – C = A – B d) B ∪ C = C e) A ∪ B = B ∪ C f) B – A = φ g) A ∩ B = A ∪ B h) A – B = A ∩ B
32
d)
Razonamiento y diversión 3 Escribe V si es verdadero o F si es falso con respecto al siguiente diagrama: A
C xx3
B xx1
xx2
xx4
xx10
xx7 xx5 xx6
xx9
a) 3 ∈ (A ∩ C)
(F )
e) 9 ∈ (B ∩ C)
(F )
b) 1 ∈ (A ∪ B)
(V )
f) 6 ∈ (B ∪ C)
(V )
c) 10 ∈ A
(V )
g) 4 ∉ B
(F )
d) 5 ∈ B
(V )
h) 5 ∉ (B – C)
(V )
UU 11
4 Sombrea las siguientes operaciones en los diagramas:
U
U A
B
A
B
A∩B
A∆B
U
C
U
A
A
B B C
(A ∩ B) – C
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
U
U
A C
B
A
B
(A ∆ B) ∩ C
C
A∩B∩C
33
Taller de cierre Buscando conjuntos unitarios
Materiales • Troquelados (la cruz y las fichas) del anexo, que está al final de tu libro de actividades.
Reglas de juego 1. El juego se realiza en pareja. 2. Muévanse saltando con una ficha por encima de otra a un lugar vacío en el lado opuesto (no se permite mover en diagonal). 3. La ficha sobre la que se salta resulta comida y se retira del juego. 4. El objetivo es comerse todas las fichas, salvo una que ha de quedar al final en el centro del tablero.
Elaboración de un plan ¿Qué reglas pueden usar para completar el juego y en qué orden? Pueden usar las tres de forma conjunta para entender y completar el juego.
34
Taller de cierre Ejecución de un plan • A continuación, se proponen 4 desafíos en forma de CRUZ, PIRÁMIDE, FLECHA y DOBLE FLECHA. Recuerden ubicar las fichas en el tablero, tal como se aprecia en cada desafío, para dar inicio al juego. Cruz
pirámide
flecha
doble flecha
UU 11
Realicen, sobre cada una de las figuras, los mismos movimientos que se explican en el cartel anterior; recuerden que tienen que dejar una sola ficha. Si consiguen que esta quede en el centro del tablero, lo habrán hecho perfecto.
Metacognición ¿De qué manera me ayudan las reglas a comprender el juego? ¿Cómo me ha ayudado la elaboración del plan?
¿Cuánto estoy aprendiendo? Marca con una X la opción que represente cómo estás realizando los ejercicios de esta unidad. Evaluación
INDICADORES
Lo domino
Lo sé
Tengo dudas
No sé
xxInterpreto y represento conjuntos. xxExplico relaciones entre conjuntos. xxExplico los procedimientos que implican las operaciones, el producto cartesiano y las relaciones entre conjuntos. xxUso diversas estrategias para resolver situaciones problemáticas de conjuntos.
35
¿Qué hemos aprendido? 1 Observa el siguiente diagrama de Venn. Luego marca con una X en V si la afirmación es verdadera o en F si es falsa. A
B
xx7
xx3
xx2
xx1
xx6 xx4
xx8 xx9 C
V
F
Afirmaciones 3 pertenece a A, B y C. 9 no es elemento de C. 6 y 4 pertenecen a A y C. El cardinal de A es 5.
Todos los elementos de B pertenecen a C. La cantidad de elementos de A ∪ B es 7. n(B).n(C) = 16.
2 Si los conjuntos A y B son unitarios, halla el valor de "x" en cada caso. A = {x – 12; 20}
B = {2x – 5; x + 4}
x − 12 = 20 x= 32
2x − 5 = x + 4 2x − x = 4 + 5 x=9
x=
32
x=
9
3 Sean U = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}, A = {8; 10; 12; 14}, B = {7; 9; 11; 13; 15}, C = {8; 14} y D = {7; 9; 13}. Determina por extensión y representa en diagramas de Venn los siguientes conjuntos: a) A ∪ C = {8; 10; 12; 14} A
c) A ∩ B = {} A
xx10
xx12
xx12
xx10 xx14
C
xx14 xx8
xx7 xx9
36
xx15 xx 8 xx10
C
xx11
xx14 xx13
xx9 xx11
xx7 xx13 xx15
B
d) C ∆ D = {7; 8; 9; 13; 14}
b) C' = {7; 9; 10; 11; 12; 13; 15} U
xx8
xx12
C
xx8 xx14
xx9 xx7
D xx13
¿Qué hemos aprendido? 4 Resuelve los siguientes problemas. Utiliza el diagrama de Venn para una mejor comprensión. a) Los estudiantes de sexto grado van a difundir la campaña de solidaridad con unas pancartas. Asistirán 80 niños, que llevarán frases y dibujos alusivos a la campaña. Si 20 asisten con frases y dibujos alusivos, y 10, solo con frases alusivas, ¿cuántos asistirán solo con dibujos alusivos?
b) En un establecimiento se venden jugos de papaya y fresa. Carlos y sus 30 amigos van a comprarlos. Si 18 compran jugo de fresa y 20, jugo de papaya, ¿cuántos compraron jugos de fresa y papaya? U = 31
U = 80
P = 20
F
D 10
20
UU 11
F = 18 13
7
11
50
20 + 18 - 31 = 7
80 - (10 + 20) = 50
Rpta.: 7
Rpta.: 50
5 Dados los conjuntos M = {3x – 3/ x ∈ N; 1 < x < 4}, P = {x – 3/x ∈ N; 6 < x < 12} y Q = {x2/x ∈ N; 1 < x ≤ 3}, halla el cardinal de: a) (M ∪ P) – (M ∩ Q); b) P × Q y c) M × M.
M = {3; 6}
P = {4; 5; 6; 7; 8}
a) (M ∪ P) − (M ∩ Q) = {3; 4; 5; 6; 7; 8}
Q = {4; 9} n(M ∪ P) − (M ∩ Q) = 6
b) P × Q = {(4; 4), (4; 9), (5; 4), (5; 9), (6; 4), (6; 9), (7; 4), (7; 9), (8; 4), (8; 9)} c) M × M = {(3; 3), (3; 6), (6; 3), (6; 6)}
n(P × Q) = 10
n(M × M) = 4
6 Si A = {x + 5/x ∈ N, 5 ≤ x ≤ 8} y B = {x/x ∈ N, 5 < x < 11}, halla a) A × B; b) B × A. A = {10; 11; 12; 13}
B = {6; 7; 8; 9; 10}
A × B = {(10; 6), (10; 7), (10; 8), (10; 9), (10; 10), (11; 6), (11; 7), (11; 8), (11; 9), (11; 10), (12; 6), (12; 7), (12; 8), (12; 9), (12; 10), (13; 6), (13; 7), (13; 8), (13; 9), (13; 10)} B × A = {(6; 10), (6; 11), (6; 12), (6; 13), (7; 10), (7; 11), (7; 12), (7; 13), (8; 10), (8; 11), (8; 12), (8; 13), (9; 10), (9; 11), (9; 12), (9; 13), (10; 10), (10; 11), (10; 12), (10; 13)}
37