Presentación
Tu Texto Escolar Matemática 6 tiene 2 personajes, Ingenia y Sabino, quienes te acompañarán durante su desarrollo.
¡Hola! Mi nombre es Ingenia porque soy muy imaginativa y me encanta crear cosas útiles. Soy, además, hábil, rápida y clara. Tengo mucho talento para inventar cosas muy divertidas.
¡Buen día! Yo me llamo Sabino. Te cuento que estaremos juntos todo el año y que te contagiaré mi capacidad de resolver las situaciones matemáticas y los problemas por más complicados que te parezcan.
Juntos creamos para ti una matemática divertida, que incluye actividades interactivas y materiales que podrás manipular y compartir en equipo, y con los que, sobre todo, serás capaz de jugar y desarrollar todas tus habilidades matemáticas.
Portada
Texto escolar
Los textos están diseñados tomando en cuenta tus necesidades, estos son dos: Texto Escolar Matemática 6 y Libro de Actividades Matemática 6. Libro de actividades
Portadilla Sección Inicio
Sección Apertura
Les damos valor a las cosas
N.° de la unidad que corresponde. Nombre de la unidad que corresponde.
Recordando 1 Observa las temperaturas de las regiones de Puno, Loreto y La Libertad. Recuerda que en diversas zonas de nuestro país y del extranjero tenemos variedad de temperaturas.
Unidad
Valor: se trabajará durante toda la unidad.
50
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-40
Puno
Loreto
La Libertad
Estos termómetros miden la temperatura del clima y se llaman termómetros climáticos.
Recordando: está relacionado con los temas previos, los que ayudarán al trabajo de la unidad.
2 Identifica las temperaturas indicadas en los termómetros y ordénalas de mayor a menor.
El Titicaca es el lago navegable más alto del mundo. Se encuentra a 3810 msnm y tiene una profundidad máxima de 227 metros.
Indicadores de logro • Explicar el valor absoluto de números enteros. • Sumar y restar números enteros usando la recta numérica y el valor absoluto. • Resolver multiplicaciones y divisiones para hallar el producto y el cociente de números enteros. • Usar diversas estrategias para resolver situaciones problemáticas con operaciones combinadas de números enteros.
Valor • Responsabilidad
Tema transversal • Educación en valores o formación ética.
34
Tema transversal: resuelve las necesidades y problemas del contexto.
2
50
40
10
Contexto: está relacionado con el valor, el tema transversal y los conocimientos que se van a tratar en esta unidad. Cuadro de indicadores de logro: contiene lo que lograrás en esta unidad. Se resaltan con negrita las habilidades matemáticas.
50
Es el hábitat de una gran variedad de aves y peces. Su riqueza es invalorable. ¿Quiénes tienen la responsabilidad de cuidar esta reserva nacional? ¿Qué harías para cuidar las reservas naturales?
60
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-40
40 °C
mayor 60 °C
0 °C
>
40 °C
40
20 10
-30
-30
-40
-40
-30 °C
>
Ejercicios resueltos
30
0 °C
60 °C
>
menor –30 °C
Incremento mi léxico valor absoluto. Es el valor individual de un número. valor relativo. Es el valor que tiene un número de acuerdo a su posición.
35
Tema del contexto: se tratan de acontecimientos de nuestra cultura que están relacionados con la matemática y con preguntas que te harán pensar, las cuales podrás responder con ayuda de tu tutor(a) o de un(a) compañero(a).
Incrementa tu léxico: se detallan palabras que pueden causar dudas.
Secciones interiores
Los organizadores visuales motivan tu aprendizaje.
Organizadores: se van a desarrollar con colores diferentes.
Números y operaciones
Clases de conjuntos. Relaciones entre conjuntos Números y operaciones
Producto cartesiano Relaciones entre conjuntos
Clases de conjuntos
Ejerc
UU 11 La brigada de Defensa Civil en cada municipio se organiza en 4 grupos: evacuación, auxilios, desea búsqueda y rescate, y lucha La brigadaprimeros del municipio elegir un nuevo contra incendios. uniforme para distinguirse en una emergencia. Deben escoger la combinación del polo con el pantalón, los pueden ser anaranjados o marrones. • ¿Cuál es cuales el conjunto formado?
Situaciones comunicativas: dan inicio al tema y te involucran en él.
Conjunto finito
Diálogos o preguntas: son inquietudes resueltas de acuerdo a la situación.
Lo conforman cinco personas.
A y B dos son conjuntos, define los el producto cartesianoAcomo deAtodos los pares Dos conjuntos iguales se si tienen mismos elementos. = B ↔el Aconjunto ⊂B�B⊂ Igualdad de Sean primer al conjunto A y cuyo segundo componente, al Ejemplo: cuyo • A = {a; b; c; componente d} y B = {a; b; pertenece c; d} conjuntos ordenados conjunto B. Dos conjuntos son disjuntos cuando no Notación: A ×poseen B = {(a;elementos b)/a ∈ A � comunes. b∈B} Conjuntos
Carece de elementos. También se le conoce como conjunto nulo y se le denota por el símbolo φ o { }. Ejemplos: • C = {x/x es rojo y verde a la vez}; C = { } o C = φ • D = {x/x es un herbívoro que come carne}; D = { } o D = φ Tiene un número determinado de elementos. Ejemplos: • M = {x/x es un mes del año} • N = {x/x es una vocal}
x7
Ejemplos: Está formado por todos los subconjuntos de “A”. Se denota P(A). Ejemplo: Observamos. • Si A = {2; 3; 4} y B = {a; b}, hallamos A × B y B × A. • Dado el conjunto A = {2; 4} n(P(A)) = 4 = 22 los exponentes 2 y 3 son Conjunto B Los subconjuntos de A sonAφ; {2}; {4}; {2; 4} los cardinales de A y B. B n(P ) = 8 = 23 potencia (B) Recuerda: (a; b) = (c; d) si 2 n(P(A)) = 4 Entonces P(A) = {φ; {2}; {4}; {2; x4}} y solo a = conjunto c y b = d potencia se El cardinal desiun xa x3 b halla de la siguiente forma: n(P(R)) = 2n(R) b ordenada
Conjunto unitario
Está formado por un único elemento. Ejemplos: • A = {x/x ∈ N, 5 < x < 7}
Conjunto universal
Este conjunto depende del objeto de estudio. Se denota por U y está formado por todos los elementos a los que se hace referencia. Ejemplo: • Sean los conjuntos A = {x/x es un pez}; B = {x/x es un ave}; C = {x/x es un anfibio}. Luego el conjunto que contiene a A, B y C es aquel formado por todos los animales, es decir, U = {x/x es un animal}.
• N = {x/x es un número primo par}
x4
a
x
Ejemplo: n(A) • Si A = {2; 4}, entonces la cantidad de subconjuntos propios se determina así: SP(A) = 2 – 1 A Subconjuntos 0 1 2 3 4 abscisa P(A) = {φ; {2}; {4}; {2; 4}} SP(A) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3 propios Subconjuntos A A × B = {(2; a), (2; b), (3; a), (3; b), (4; a), (4; b)}; B × A = {(a; 2), (a; 3), (a; 4), (b; 2), (b; 3), (b; 4)}
Algo C × A = {(o; 4), (o; 5)}; B × D = φ; B × CEjercicio = {(m; o), (n;resuelto o), (p; o)}; más… B × A = {(m; 4), (m; 5), (n; 4), (n; 5), (p; 4), (p; 5)}; A × A = {(4; 4), (4; 5), 4), (5; 5)}conjuntos: 1 Dados los(5;siguientes Se llama par ordenado (a; b) porque Coloca en la tabla V si es verdadero o F si es falso. son 2 elementos ordenados, en el que M = {x/x ∈ N; x ≤ 2} • Si A = {5; 6} y B = {8; 9}, entonces... "a" esR el delV1.er conjunto y P = {x/x ∈ N, 72 ≤ x < 73} V ⊄elementos P M≠T B =10} {(5; 8), (5; 9), (6; 8), (6; 9)}; B × A = {(8; 5), (8; 6), (9; 5), (9; 6)}; "b", el elemento del 2.o conjunto. T = {2; 4;A6;× 8; F V T ⊂ M T = R A ×N,Apar, = {(5; 6), (6; 5), (6; 6)} R = {x/x ∈ 0 <5),x (5; < 12}
1 Escribe V si el conjunto es vacío, F si es finito, I si es infinito y U si el conjunto es unitario. a) A = {conjunto de huesos de la cara}............... (F) c) C = {cifra par del número 135 175}................. (V) d) D = {cifra par del número 987 137 999}.......... (U)
12
18
Como el conjunto es unitario, tenemos:
x+1=8 x=7
Intersección de conjuntos
Unión de conjuntos
En llaves
En llaves
A ∩ B = {x/x ∈ A � x ∈ B} En diagramas de Venn
En llaves
A ∪ B = {x/x ∈ A � x ∈ B} En diagramas de Venn
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A ∪ A' = U A ∩ A' = φ
A–B=A
A B
U A'
B
Operaciones con conjuntos
A
A' = {x/x ∈ U � x ∉ A} A' = U − A
En diagramas de Venn
A
B
A∩B=φ
En llaves
A ∆ B = {x/x ∈ (A − B) � x ∈ (B − A)} A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A) En diagramas de Venn
A
B
Complemento de un conjunto
En llaves
A – B = {x/x ∈ A � x ∉ B} En diagramas de Venn
A
B
Diferencia simétrica de conjuntos
Diferencia de conjuntos
A B
A B
B
A∩B=B
B
B A
A
A–B=φ
b
0
c) Realiza el diagrama sagital A x0 x1 x2 x3 x4
Organizadores visuales: ayudan a relacionar tus saberes previos con tus nuevos conocimientos y a relacionarlos.
Operaciones con conjuntos
c
a
Ejemplos: aclaran las dudas en los temas.
Organizamos lo aprendido
d
Caja de teoría presenta el concepto abscisa Halla: del tema A = {0; 1; 2; 3; 4} matemático B = {a, b, c, d} B = {(0; a), (0; b), (0; c), (0; d), (1; a), (1; b) que a)seA(4;×a),va a (4; b), (4; c), (4; d)} b) B × A = {(a; 0), (a; 1), (a; 2), (a; 3), (a; 4), (b; 0), estudiar.
13
Ejercicios resueltos: están colocados para reforzar lo aprendido.
B
(d; 1), (d; 2), (d; 3), (d; 4)}
propios
• Sean los conjuntos: A = {4; 5}, B = {m, n, p}, C = {o} y D = φ. Entonces...
Ejercicio resuelto
2 Si el conjunto D = {x + 1; 8} es unitario, halla "x" y
3 Del siguiente gráfico:
Ejemplo: • Dados: A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8}, entonces A y B son disjuntos.
disjuntos
No tiene un número determinado de elementos. Conjunto infinito Ejemplos: • M = {x/x es un número entero} • N = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 3}
b) B = {x/x es un hueso de la caja toráxica}........ (F)
x6
Polo anaranjado, pantalón anaranjado; polo anaranjado, ¿Qué“A” combinaciones hacer? está incluidose enpueden “B” si todos los elementos de A son elementos de B. Se denota A ⊂ B.pantalón marrón; Inclusión de Se lee: A está incluido en B; A está contenido polo marrón, anaranjado; en B opantalón A es subconjunto depolo B. marrón, pantalón marrón. conjuntos Ejemplo: • Si A = {brigadas de Defensa Civil} y B = {primeros auxilios}, se observa que B ⊂ A
Organizamos lo que aprenderemos. Conjunto vacío
x4
ANDINA / Pedro Tinoco
Organizamos lo que aprenderemos. • Respondemos.
¿Cuántas personas conforman el comité técnico? Entonces podemos decir que es un conjunto finito porque tiene un número determinado de elementos.
M × N = {(4; r), (4; s), (4; t), (5; r), (5; s), (5; t), ( N × M = {(r; 4), (r; 5), (r; 6), (r; 7), (s; 4), (s; 5), ( n(M) 2 = 4 × 4 = 16 n(N)2 = 3 × 3 = 9 Diagrama sagital de M × N
x5
Las personas que pertenecen a la brigada de Defensa Civil.
ANDINA / Municipalidad de Barranco
a) b) c) d) e)
M
Números y operaciones
El comité técnico, creado por la Municipalidad de Lima para la gestión de riesgos, es un conjunto finito que está integrado por cinco personas: los gerentes de Desarrollo Urbano y de Planificación, y los subgerentes de Medioambiente, Defensa Civil y Planeamiento Financiero.
1 Dados los conjuntos M = {4; 5; 6; 7} y N = {r, s, t
ordenada
Ícono Es tiempo de descubrir: señala una habilidad importante: DESCUBRIR, y abre paso a otras destrezas.
Partes de una sesión de clase Motivación: • Recojo de conocimientos previos • Problematización Desarrollo: • Explicación del tema • Aplicación de técnicas y estrategias Cierre: • Socialización • Evaluación
17
UU 11
3
xa xb xc xd
B
1
2
3
Secciones interiores
Matematizarás
Representarás
Comunicarás
Elaborarás diversas estrategias
Utilizarás expresiones simbólicas
Argumentarás
Geometría En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Punto, recta y plano
Polígonos
Ángulos
Plano cartesiano
Circunferencia y círculo
Punto, recta y plano
Íconos de las capacidades a desarrollar en matemática: matematiza, representa, comunica, elabora diversas estrategias, utiliza expresiones simbólicas y argumenta.
Sólidos geométricos
Simetrías
Procesos: incluyen todos los temas que aprenderás en esta unidad hasta sentir que lo lograste.
Ángulos Geometría
Geometría B
En la vida real, los ángulos son usados en el diseño de grandes edificaciones. En el edificio de la derecha, se aprecia un diseño muy peculiar. Sobre él se han trazado algunos tipos de ángulos. ¿Conoces los ángulos que se han formado y que están remarcados en la foto?
Los puntos, las líneas y los planos son elementos básicos de la Geometría. Para un artista, la abstracción geométrica le permite crear climas especiales. Organizamos lo que aprenderemos. Clasificación de las figuras geométricas básicas: Figuras geométrcas básicas
Línea o recta
Plano
Ubicación precisa en el espacio.
Trayecto recto que se extiende sobre un plano en ambas direcciones.
Superficie plana que se extiende en todas las direcciones.
ABC es un ángulo agudo.
PQR es un ángulo obtuso.
MNO es un ángulo recto.
•A
TUV es un ángulo llano.
R
N
O
T
V
O
Por sus medidas, los ángulos presentan la siguiente clasificación:
Ejemplo:
B
Segmento
Rayo
Parte de una recta que incluye dos puntos llamados extremos y todos los puntos que se encuentran entre ellos.
Parte de una recta que tiene un extremo y la otra dirección se extiende infinitamente.
Notación: P Se lee plano P.
Notación: ∡COD Se lee ángulo COD. O
O
Ángulo llano
Es mayor que 90° y menor que 180°.
Es igual a 180°.
Notación: ∡EOF
Se lee ángulo GOH.
Notación: ∡GOH
Se lee ángulo EOF.
C
E
G
H
O
Por su posición Puede ser rectas o líneas:
O
F
UU 19
Por la posición de sus lados, los ángulos pueden ser de 2 tipos: 1. Ángulos opuestos por el vértice
verticales
C
B
En la figura de la parte inicial, ¿qué figuras geométricas mencionadas en el mapa conceptual están representadas? El punto, el plano, la recta y el segmento.
Ejemplo: β
O
α
A
Son ángulos congruentes, es decir, presentan igual medida.
B
α
β
oblicuas o inclinadas
Notación: AB Se lee rayo AB.
D
B
A
horizontales
Ejemplo: A
Ángulo obtuso
Es igual a 90°.
Es mayor que 0° y menor que 90°. Notación: ∡AOB Se lee ángulo AOB.
P
Notación: AB, BA Se lee recta AB o recta BA.
Ejemplo:
Ángulo recto
Ángulo agudo
A
B Notación: AB , BA Se lee segmento AB o segmento BA.
Q
Un ángulo es la figura formada por dos rayos que tienen un punto en común llamado vértice.
Ejemplo:
Notación: A Se lee punto A.
P
C
M
Identificamos cuatro tipos de ángulos diferentes.
Punto
Ejemplo:
A
• Los ángulos AOC y BOD son opuestos por el vértice y también los ángulos BOC y AOD. m∡AOC = m∡BOD m∡BOC = m∡AOD
D
La intersección de dos rectas forma dos pares de ángulos opuestos por el vértice.
118
119
Temas matemáticos: contienen los títulos matemáticos desarrollados en la unidad.
Ramas matemáticas: se encuentran con un ícono y destacan la siguiente división: Geometría, Aritmética, Álgebra o Estadística.
Plano cartesiano y pares ordenados
Geometría
Plano cartesiano y pares ordenados
Ejercicios resueltos
Geometría
1 Escribe el par ordenado para cada punto de la gráfica.
Punto de encuentro
•
5
F B
av. 1
av. 1
av. 2
av. 2
av. 3
av. 3
¿Cómo indicarías el recorrido hasta llegar al punto de encuentro tomando en cuenta la primera y la segunda situación? Primera situación: • El encuentro es en el punto avenida 5, calle 5.
av. 4
av. 4
av. 5
av. 6
av. 5
-3
-2
E Plaza central
G figura 2
A (3; –1) B (–1; 3)
I cuadrante
x
III cuadrante
IV cuadrante
Eje de abscisas “x”
La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (x) y la vertical, eje de las ordenadas (y). El punto de intersección de las dos rectas se llama origen de coordenadas O(0; 0). Estos ejes dividen al plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.
-1
2
3
4
x
5
-3
J
-3
Félix
y: segunda componente
o
Abscisa Eje x Ordenada Eje y
4
5
x
6
U
M (5;3) N (–2; 4)
O (0; 5) P (5; 0)
S Q (–1; –4) S (6; –4) R (–3; 6) T (2; 4)
3 2
Lulú
U (0; –3) V (–2; 0)
4 Ubica los siguientes puntos y halla la suma de las ordenadas.
Dos pares ordenados son iguales cuando la primera y segunda componente son respectivamente iguales.
R •
Ejemplo: • El par ordenado (4; 5) es igual al par ordenado (4; 5).
136
Subtemas: son colocados si los temas matemáticos lo requieren y están conformados por teoría y ejemplos.
F(0; 1) C(4; –2)
Lulú
1
2
3
4
5
6
x
5
S •
4 3
A• 2 -5 -4 -3 -2
•E
-1
-1 -2
Algo
•D
1 •E
T(2; –1) E(–2; –2)
Mimi Boby
y
D(3; 2)
L(0; –4)
Félix
1
(4; 2)
(6; 3)
6 5 4
(3; 5) Mimi
El par ordenado es una pareja de elementos que guardan un cierto orden. Los elementos pueden ser numéricos o de otra clase. En nuestro caso, los elementos serán números enteros. Para el par ordenado (x; y), tenemos: o
3
Q -4
I
A(–1; 2)
x: primera componente
P 2
1
-1 -2
(1; 2)
R(–5; 4)
Tienen 2 componentes
1
A
C (3; 3) E (–2; –1) G (–2; –3) I (2; –3) D (–3; 2) F (–2; 5) H (2; 5) J (5; –2)
S(–3; 4)
4
1
-1
y
Par ordenado
Par ordenado (x; y)
Gráficas: se encuentran con cuadros similares a los de tu cuaderno para que puedas trabajarlo mejor y tengas un modelo.
M
2
V -4 -3 -2
Boby
Eje de ordenadas “y”
T
3 Observa los datos y ubica los puntos en el plano cartesiano para hallar el nombre de cada mascota.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan perpendicularmente en un punto (0; 0) llamado origen de coordenadas.
O
-1
O
4 3
-2
Plano cartesiano
II cuadrante
5
1
Punto de encuentro
Segunda situación: • Si tomamos como punto de referencia la plaza central, diremos que debemos avanzar 3 cuadras a la derecha, de ahí girar a la izquierda y avanzar 3 cuadras.
y
6
N
C
3 2
D
av. 6
figura 1
2.° Que las calles y avenidas no están numeradas, sino que se identifican por nombres y toman como punto de referencia la plaza central, como en la figura 2.
y R
4
Dos amigos acuerdan encontrarse a las 2:00 p. m. en cierta esquina de una ciudad, sin considerar estas situaciones: 1.° Que el sistema vial está constituido por las calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en la figura 1.
2 En la cuadrícula, ubica la letra que corresponde a cada punto.
H
y
1
2
•T
3
4
x
•C
-3 -4 •L
más…
Los cuadrantes en el plano cartesiano están ordenados en forma antihoraria comenzando por la derecha superior. Se les denota con números romanos seguidos de la letra "C". Por ejemplo: IC: indica el primer cuadrante.
2 + 4 + 4 + 2 + (−1) + (−4) + (−2) + 1 + (−2) = 4
137
UU 19
Secciones especiales Imágenes: comprenden ilustraciones, fotos, croquis, recetas, recibos, etc. Dato importante: acerca de temas matemáticos relacionados con su historia.
Transformaciones en el plano cartesiano
Geometría
Transformaciones en el plano cartesiano
Ejercicios resueltos 1 Halla la traslación de la figura según V = (5,–8).
Geometría
12 11 10
Camila y sus amigos se encuentran en la ciudad. A partir de la imagen, señala el recorrido que haría Camila para llegar a la casa de Marcos. ¿Cuál será el recorrido que hará Felipe para ir al cine? ¿Y el recorrido que hará Marcos para ir al hospital?
7 6 5
Traslación
-5 -4 -3 -2
7 6 5
1
c
a
3
a) La traslación conserva los ángulos, las longitudes, las áreas y la forma.
u e
b (4; 5) C
f
2
C' (10; 7)
-3 -4
2
3 4
A' (8; 3)
5 6
7
1
2
3
4
5
6
7
D'
El cuadro de dato importante te brinda información nueva para que refuerces tus conocimientos.
8 H 9 10 11 12E' G'
F'
d
(4; 3) z
(2; 1) A 1
C'
La rueda más antigua data entre los años 3500 y 3000 a. C. En Sumeria fueron hechas de madera. Los egipcios utilizaron troncos de árboles parecidos a las formas del cilindro. Mientras que los incas utilizaron rodillos hechos de madera para el transporte de piedras muy pesadas.
-5
D'(10; 5)
w
D
-1
h
8
9 10
2 Realiza la traslación de la figura según V = (–3, –6).
5
12
x
Traza dos dibujos en una hoja cuadriculada y trasládalas a otro cuadrante.
11 10
b) El sentido de los vértices de la figura original y su figura imagen es el mismo.
9
c) Los segmentos son paralelos a sus imágenes.
8 7
Desplazamiento de un par ordenado
6
En el plano cartesiano, la dirección y el sentido de una flecha (para trasladar un punto) vamos a indicarlos mediante un y par ordenado de la forma (a; b). 8 Entonces cada punto de la figura ABCD, B' C' V = (a; b) 7 se traslada dos unidades a la derecha y 6 cuatro hacia arriba para formar así la figura desplazamiento desplazamiento A' 5 D' llamada imagen A'B'C'D'. horizontal vertical B
Recuerda, si V es: (+; +) (+; –)
C
2
D
A 2
B' A'
-2
v (1; 6) B
4
Propiedades de la traslación
-1
B' (7; 8)
8
V = (6; 2)
1
F
1
10 9
En el ejemplo se puede apreciar que la traslación no ha modificado la orientación del objeto original y se ha obtenido al desplazar cada punto de la figura geométrica a una misma distancia y en una misma dirección mediante flechas. Estas flechas son llamadas vector directriz (V).
1
G
2
Una traslación es un movimiento del plano en una dirección donde los segmentos AA'; BB';... tienen la misma longitud y son paralelos.
3
E
3
y
4
H
4
Marcos avanzará 1/2 cuadra a la derecha, luego 3 cuadras hacia la izquierda.
• Hallamos la traslación de la figura, según V = (2; 4)
C
D
8
Felipe irá hacia la izquierda 2 cuadras y hacia la derecha 3.
Ejemplo:
B A
9
3
4
5
6
7
8
x
derecha arriba
derecha abajo
(–; +)
(–; –)
izquierda arriba
izquierda abajo
5 4
UU 19
3 2 1 -5 -4 -3 -2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
-2 -3 -4
¿Cómo puedo explicar el proceso que se ha utilizado?
-5
138
139
Metacognición: están escritas a manera de preguntas para tu evaluación.
Actividades En 5 minutos: desarrollan habilidades para trabajar en equipo, en pares, individualmente, con ayuda del tutor o el padre de familia.
Libro virtual Puedes ingresar a la página web www.grandeslibros.com.pe para consultar el libro en forma virtual.
5
UNIDAD
Dominios
Tema transversal / Valor Somos organizados y responsables pp. 8 - 9 Unidad
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Números y operaciones
Orden
Sumamos esfuerzos y logramos grandes resultados pp. 20 - 21 Números y operaciones Unidad
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Trabajo en equipo
Les damos valor a las cosas pp. 34 - 35 Unidad
Educación en valores o formación ética
Números y operaciones Responsabilidad
Repartimos nuestras riquezas pp. 46 - 47 Unidad
Números y operaciones
Educación en valores o formación ética
Respeto
Todo en partes iguales pp. 56 - 57 Unidad
Números y operaciones
Educación en valores o formación ética
Justicia
Apreciamos nuestras relaciones pp. 72 - 73 Unidad
Educación para la equidad de género
Tolerancia
Números y operaciones Cambio y relaciones
Un mejor planeta, menos contaminación pp. 90 - 91 Unidad
Cambio y relaciones
Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental
Respeto
Medimos nuestro tiempo pp. 104 - 105 Unidad
Educación en y para los derechos humanos
Cambio y relaciones Democracia
Figuras por todos lados pp. 116 - 117
Unidad
Educación en valores o formación ética
Geometría Tolerancia
Demostramos nuestra generosidad pp. 150 - 151 Unidad
6
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Estadística y probabilidad Generosidad
Capacidades
Conocimientos
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Representación y determinación de conjuntos Clases de conjuntos Relaciones entre conjuntos
10 12 13
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Lectura, escritura y comparación Adición y sustracción Multiplicación y división
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Operaciones con conjuntos Producto cartesiano
14 18
22 24 26
Potenciación y radicación Operaciones combinadas Resolución de problemas
29 32 33
Números enteros ( ) Adición de números enteros Sustracción de números enteros
36 38 39
Multiplicación de números enteros División de números enteros Operaciones combinadas con números enteros
40 41
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos
48 50 51
Descomposición de un número en sus factores primos Mínimo Común Múltiplo Máximo Común Divisor
52 53 54
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Fracciones Orden y comparación de fracciones Adición y sustracción de fracciones
58 59 63
Multiplicación y división de fracciones Potenciación y radicación de fracciones Operaciones combinadas con fracciones
65 69 71
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Números decimales Fracción generatriz y comparación de decimales Adición y sustracción de decimales Multiplicación de decimales División de decimales
74
Operaciones combinadas con decimales 84 Expresiones algebraicas 86 Valor numérico de expresiones algebraicas 87 Ecuaciones 88
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Razones y proporciones Magnitudes proporcionales Regla de tres simple Regla de tres compuesta
92 94 96 97
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Unidades de longitud Unidades de masa Unidades de superficie
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Punto, recta y plano 118 Ángulos 119 Segmentos 122 Construcción de ángulos y segmentos 123 Clasificación de rectas y planos 125 Polígonos 126 Triángulos 129 Cuadriláteros 131
Circunferencia y círculo 134 Plano cartesiano y pares ordenados 136 Transformaciones en el plano cartesiano 138 Simetrías axial y rotacional 140 Sólidos geométricos 142 Áreas lateral y total de poliedros 144 Área y volumen del cilindro, cono y esfera 146
Matematiza Representa Comunica Elabora diversas estrategias Utiliza expresiones simbólicas Argumenta
Estadística 150 Técnicas de muestreo y encuestas 153 Construcción e interpretación de gráficas 154
Medidas de tendencia central 156 Experimentos aleatorios 157 Probabilidades 158
76 79 80 82
106 108 110
42
Porcentajes 98 Funciones 100 Gráfica de funciones 101
Unidades de volumen Unidades de capacidad
112 114
7
Unidad
Somos organizados y responsables
Indicadores de logro • Interpretar y representar conjuntos. • Explicar relaciones entre conjuntos. • Explicar los procedimientos que implican las operaciones, el producto cartesiano y las relaciones entre conjuntos. • Usar diversas estrategias para resolver situaciones problemáticas de conjuntos.
8
Valor • Orden
Tema transversal • Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.
Recordando 1 Lee atentamente el texto y comenta con tu compañero acerca del tema. Luego interpreta el gráfico. ¡Debemos ser organizados! Es muy importante prevenir y conocer cuáles son los lugares de evacuación en caso de un sismo o fenómeno natural. El siguiente gráfico muestra los resultados de una encuesta realizada a 120 estudiantes sobre sus conocimientos de prevención y si conocen o no los lugares de evacuación de su escuela en caso de un sismo. U = 120 Conocen de prevención
40
Conocen los lugares de evacuación
10
50 20
2 Completa los siguientes enunciados teniendo en cuenta el gráfico anterior:
Todas las escuelas públicas y privadas participaron en el simulacro de sismo a nivel nacional. Para el éxito de este evento, todos debemos participar organizadamente siguiendo las pautas dadas por el INDECI. ¿Tú tomas en serio estos simulacros? ¿Qué acciones realizas?
a) 10 tienen conocimiento de prevención y saben de lugares de evacuación. b) 50 solo conocen los lugares de evacuación en su escuela. c) 40 solo tienen conocimiento de lo que significa prevención ante un desastre natural. d) 20 no conocen sobre prevención ni los lugares de evacuación ante un sismo.
Incremento mi léxico conjunto. Es la agrupación, reunión, colección de objetos reales o irreales. Los que lo conforman reciben el nombre de elementos.
producto cartesiano. Es una operación que resulta del primer y segundo conjunto. Su resultado es un par ordenado.
9
Matematizarás
En esta unidad, desarrollarás las siguientes capacidades:
Representarás
Representación y determinación de conjuntos
Comunicarás
Clases de conjuntos
Representación y determinación de conjuntos
Los estudiantes del colegio se organizan para participar en los simulacros de sismo. Se han organizado en brigadas. La brigada de evacuación y señalización tiene la función de ubicar zonas seguras y señalizarlas, una de esas señales es la del círculo de color amarillo (zona segura externa). ANDINA / Piero Vargas
Cada círculo amarillo constituye una de las señales más importantes donde las personas se agrupan al momento de evacuar en un sismo. En la teoría de conjuntos, estos diagramas también nos servirán para representar conjuntos.
a) Idea de conjunto: es una colección de "objetos", los cuales pueden ser personas, números, letras, figuras, etc. b) Elementos: son los "objetos" que componen el conjunto. c) Notación: los conjuntos se representan mediante llaves o diagramas de Venn, además se identifican por letras mayúsculas (A, B, C,..., Y, Z); mientras que los elementos, por letras minúsculas. d) Relación de pertenencia: indica si un elemento está en el conjunto. Se utiliza el símbolo ∈, que significa ‘pertenece’. Y ∉, que significa ‘no pertenece’. e) Cardinal: indica el número de elementos del conjunto y se representa por n(A). Ejemplo: •
A
xxa xxc
n(A) = 3
10
B
xxd xxe
xxb xxf
n(B) = 4
1. a ∈ A 2. b ∈ A y b ∈ B 3. c ∉ B
Te informo que la relación de pertenencia solo se establece entre un elemento y un conjunto.
Elaborarás diversas estrategias
Relaciones entre conjuntos
Utilizarás expresiones simbólicas
Operaciones con conjuntos
Argumentarás
Producto cartesiano
Un conjunto puede determinarse de dos formas: por extensión o comprensión.
Por extensión Se nombra cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos:
UU 11
Simbología utilizada en la representación de conjuntos. Símbolos
Significados
≈ � � ∈ ∉ ⊂ / ∪ ∩ ∆
aproximadamente igual
• A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} • B = {1; 3; 5; 7; 9}
Por comprensión Para expresar un conjunto de esta manera se señala una propiedad o una característica común a todos los elementos. Ejemplos: • A = {x/x ∈ N; x < 8} • B = {x/x ∈ N; x es un número impar, 1 ≤ x < 10}
y o pertenece no pertenece subconjunto tal que unión intersección diferencia simétrica
Ejercicios resueltos 1 Observa el siguiente diagrama de Venn y escribe V si el enunciado es verdadero o F si es falso. A
B xx22 xx20
xx12 xx10
xx18
xx14 xx8
xx16 C
10 pertenece a A, B y C.
V
12 no es elemento de B.
F
18 y 10 pertenecen a A y C.
V
El cardinal de C es 3.
F
Todos los elementos de B pertenecen a A.
F
n(A) + n(B) + n(C) = 7
F
n(C) × n(A) = 20
V
2 Determina por comprensión o extensión los siguientes conjuntos según sea el caso: a) A = {x/x ∈ N, par, 4 < x ≤ 16} A = {6; 8; 10; 12; 14; 16} b) C = {x/x ∈ N, impar, 3 ≤ x ≤ 9} C = {3; 5; 7; 9}
c) B = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} B = {x2/x ∈ N, x ≤ 7} d) D = {1; 2; 3; 4; 5} D = {x + 1/x ∈ N, x < 5}
11
Números y operaciones
Clases de conjuntos
El comité técnico, creado por la Municipalidad de Lima para la gestión de riesgos, es un conjunto finito que está integrado por cinco personas: los gerentes de Desarrollo Urbano y de Planificación, y los subgerentes de Medioambiente, Defensa Civil y Planeamiento Financiero. ANDINA / Municipalidad de Barranco
¿Cuántas personas conforman el comité técnico? Entonces podemos decir que es un conjunto finito porque tiene un número determinado de elementos.
Lo conforman cinco personas.
Organizamos lo que aprenderemos Conjunto vacío
Conjunto finito Conjunto infinito
Carece de elementos. También se le conoce como conjunto nulo y se le denota por el símbolo φ o { }. Ejemplos: • C = {x/x es rojo y verde a la vez}; C = { } o C = φ • D = {x/x es un herbívoro que come carne}; D = { } o D = φ Tiene un número determinado de elementos. Ejemplos: • M = {x/x es un mes del año} • N = {x/x es una vocal} No tiene un número determinado de elementos. Ejemplos: • M = {x/x es un número entero} • N = {x/x ∈ N, x es múltiplo de 3}
Conjunto unitario
Está formado por un único elemento. Ejemplos: • A = {x/x ∈ N, 5 < x < 7}
Conjunto universal
Este conjunto depende del objeto de estudio. Se denota por U y está formado por todos los elementos a los que se hace referencia. Ejemplo: • Sean los conjuntos A = {x/x es un pez}; B = {x/x es un ave}; C = {x/x es un anfibio}. Luego el conjunto que contiene a A, B y C es aquel formado por todos los animales, es decir, U = {x/x es un animal}.
• N = {x/x es un número primo par}
Ejercicio resuelto 1 Escribe V si el conjunto es vacío, F si es finito, I si es infinito y U si el conjunto es unitario. a) A = {conjunto de huesos de la cara}............... (F) c) C = {cifra par del número 135 175}................. (V) b) B = {x/x es un hueso de la caja toráxica}........ (F)
12
d) D = {cifra par del número 987 137 999}.......... (U)
Clases de conjuntos. Relaciones entre conjuntos
Relaciones entre conjuntos UU 11 La brigada de Defensa Civil en cada municipio se organiza en 4 grupos: evacuación, primeros auxilios, búsqueda y rescate, y lucha contra incendios. • ¿Cuál es el conjunto formado? Las personas que pertenecen a la brigada de Defensa Civil.
ANDINA / Pedro Tinoco
Organizamos lo que aprenderemos Inclusión de conjuntos Igualdad de conjuntos Conjuntos disjuntos
Conjunto potencia
Subconjuntos propios
“A” está incluido en “B” si todos los elementos de A son elementos de B. Se denota A ⊂ B. Se lee: A está incluido en B; A está contenido en B o A es subconjunto de B. Ejemplo: • Si A = {brigadas de Defensa Civil} y B = {primeros auxilios}, se observa que B ⊂ A Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. A = B ↔ A ⊂ B � B ⊂ A Ejemplo: • A = {a; b; c; d} y B = {a; b; c; d} Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: • Dados: A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8}, entonces A y B son disjuntos. Está formado por todos los subconjuntos de “A”. Se denota P(A). Ejemplo: Observamos. • Dado el conjunto A = {2; 4} n(P(A)) = 4 = 22 los exponentes 2 y 3 son Los subconjuntos de A son φ; {2}; {4}; {2; 4} los cardinales de A y B. 3 n(P(B)) = 8 = 2 n(P(A)) = 4 Entonces P(A) = {φ; {2}; {4}; {2; 4}} El cardinal de un conjunto potencia se halla de la siguiente forma: n(P(R)) = 2n(R) Ejemplo: n(A) • Si A = {2; 4}, entonces la cantidad de subconjuntos propios se determina así: SP(A) = 2 – 1 SP(A) = 22 – 1 = 4 – 1 = 3
P(A) = {φ; {2}; {4}; {2; 4}} Subconjuntos propios
A
Ejercicio resuelto 1 Dados los siguientes conjuntos: M = {x/x ∈ N; x ≤ 2} P = {x/x ∈ N, 72 ≤ x < 73} T = {2; 4; 6; 8; 10} R = {x/x ∈ N, par, 0 < x < 12}
Coloca en la tabla V si es verdadero o F si es falso. M≠T
V
R⊄P
V
T=R
V
T⊂M
F
13
Números y operaciones
Operaciones con conjuntos
En el salón se han formado comisiones para asignar responsabilidades a cada estudiante. Las comisiones estarán integradas por los siguientes estudiantes: Comisión de disciplina = {Luis, Juan, Andrea, Martha} Comisión de limpieza = {Arturo, Ana, Carlos, Luis} Comisión de asistencia = {Alejandra, Martha, José} ¿Qué estudiantes integran dos comisiones a la vez?
Luis y Martha.
¿Quiénes pertenecen a la comisión de limpieza y asistencia a la vez?
Ninguno.
Intersección de conjuntos Observamos la representación gráfica de A ∩ B. A
B
A
Cuando tienen algunos elementos comunes.
B
Cuando no tienen elementos comunes.
A
B
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.
Sean A y B dos conjuntos incluidos en un conjunto universal U. La intersección de dos conjuntos (A y B) es el conjunto A ∩ B que contiene los elementos que son comunes a A y B. Se denota así: A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A � x ∈ B} Ejemplo: • Sean los conjuntos A = {x + 1/x ∈ N, x < 3}, B = {4; 5; 7} y C = {x/x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 7}. Graficamos y determinamos los siguientes conjuntos: a) A ∩ B = { } b) A ∩ C = {3} c) B ∩ C = {4; 5; 7} A
xx 1 xx 2
14
xx 3
B
xx 4 xx 7
xx 5
A
xx 1 xx 2
xx 5 xx 3
xx 7
xx 4 xx 6
C
C
xx 6 xx 3
B xx 4
xx 5 xx 7
Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos Observamos la representación gráfica de A ∪ B. A
B
A
B
Cuando tienen algunos elementos comunes.
Cuando no tienen elementos comunes.
UU 11
A
B
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.
Sean A y B dos conjuntos incluidos en un conjunto universal U. La unión de dos conjuntos (A y B) es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y B. Se denota A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A � x ∈ B} Ejemplo: • Sean los conjuntos A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, B = {3; 5; 7} y C = {8; 9; 10}. Graficamos y determinamos por extensión los siguientes conjuntos: a) A∪ C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} b) B ∪ C = {3; 5; 7; 8; 9; 10} A
xx 1
xx 0 xx 2
xx 3 xx 4 xx 6 xx 7
xx 8
xx 5
B
C
xx 9
xx 3
xx 8
xx 7 xx 5
xx 10
c) A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
C
A
xx 0 5 xx 3 xx xx 4 xx 8 xx 7 xx 2 1 xx xx 6
xx 9
xx 10
B
Diferencia de conjuntos Observamos la representación gráfica de A – B. A
B
A
Cuando tienen algunos elementos comunes.
B
A
B
Cuando no tienen elementos comunes.
Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.
Sean A y B dos conjuntos incluidos en un conjunto universal U. La diferencia de dos conjuntos (A y B) es el conjunto A – B que contiene a todos los elementos de A, pero no de B. Se denota A – B = {x ∈ U/x ∈ A � x ∉ B}. Ejemplo: • Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, e, i, o, u} y C = {d, f}. Graficamos y expresamos por extensión los siguientes conjuntos: a) B – C = {a, e, i, o, u} b) A – C = {a, b, c, e} c) A – B = {b, c, d, f} B
C
xx i
xx a xx u
xx o xx e
xx d xx f
A
xx a
C
xx c xx e
A
xx b xx f xx d
xx c xx d
xx b xx f
xx a xx e
B
xx i xx o xx u
15
Números y operaciones Diferencia simétrica de conjuntos A partir del diagrama de Venn determinamos por extensión los siguientes conjuntos: a) A ∆ B b) A ∆ C A
xx2
xx1
xx7 xx8
xx4 xx5
B
xx6 xx0
xx3
c) C ∆ B
a) A ∆ B = {0; 1; 2; 6; 7; 8; 9} xx9
b) A ∆ C = {0; 1; 2; 3; 4; 7} c) C ∆ B = {3; 4; 6; 8; 9}
C
La diferencia simétrica de dos conjuntos (A y B) es el conjunto A ∆ B que contiene los elementos que pertenecen a la unión de las diferencias de A – B con B – A. Se expresa A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A).
Complemento de un conjunto Sean los conjuntos U = {letras de la palabra "Matemática"} y A = {vocales de la palabra "grandes"}. Determinamos por extensión el conjunto A'. U Recuerda que todos los elementos ubicados en un diagrama de Venn deben ir acompañados U = {m, a, t, e, i, c} A xxi de un punto, el cual debe colocarse en la A = {a, e} xxm xxa parte inferior izquierda. xxe A xx e A' = {m, t, i, c} xxt xx a xx i xx o xxc xx u
Si un conjunto A es subconjunto de otro universal U, el complemento de este, simbolizado por A', está formado por los elementos de U, pero no de A. Se denota A' = {x ∈ U/x ∉ A}
Ejercicio resuelto 1 Dados U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, A = {2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6}, halla y grafica las siguientes operaciones con conjuntos: a) A ∩ B = {4; 5} A
xx 2 xx 3
c) A − B = {2; 3} B
xx 4 xx 5
xx 6
xx 2 xx 3
16
B xx 4 xx 5
A
xx 6
xx 6
A
xx 2
xx 7
xx 3
B xx 4 xx 5
xx 1
xx 6
xx 6
xx 2 xx 5
d) A ∆ B = {2; 3; 6} B
xx 4 xx 5
xx 2 xx 3
b) A ∪ B = {2; 3; 4; 5; 6} A
A
e) A' = {1; 6; 7; 8} U
xx 3 xx 4
xx 8
A
A
A
A∩B=B
B
A∩B=φ
En diagramas de Venn
B
B
A ∩ B = {x/x ∈ A � x ∈ B}
En llaves
Intersección de conjuntos
Organizamos lo aprendido
A
A
A
En diagramas de Venn
B
B
B
A ∪ B = {x/x ∈ A � x ∈ B}
En llaves
Unión de conjuntos
A
A
B
A
A–B=φ
A
B
A–B=A
En diagramas de Venn B
B
A – B = {x/x ∈ A � x ∉ B}
En llaves
Diferencia de conjuntos
Operaciones con conjuntos
A
A
B
A
En diagramas de Venn
A
B
B
B
U A'
A ∪ A' = U A ∩ A' = φ
A
A' = {x/x ∈ U � x ∉ A} A' = U − A
En llaves
Complemento de un conjunto
En diagramas de Venn
A ∆ B = {x/x ∈ (A − B) � x ∈ (B − A)} A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A)
En llaves
Diferencia simétrica de conjuntos
Operaciones con conjuntos
UU 11
17
Números y operaciones
Producto cartesiano
La brigada del municipio desea elegir un nuevo uniforme para distinguirse en una emergencia. Deben escoger la combinación del polo con el pantalón, los cuales pueden ser anaranjados o marrones. • Respondemos. Polo anaranjado, pantalón anaranjado; polo anaranjado, pantalón marrón; polo marrón, pantalón anaranjado; polo marrón, pantalón marrón.
¿Qué combinaciones se pueden hacer?
Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano como el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente pertenece al conjunto A y cuyo segundo componente, al conjunto B. Notación: A × B = {(a; b)/a ∈ A � b ∈ B } Ejemplos: • Si A = {2; 3; 4} y B = {a; b}, hallamos A × B y B × A. B
A
B
ordenada
xx 2
b
xx 3
a
xx 4
0
1
2
3
4
xx a
Recuerda: (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d
xx b
A
abscisa A × B = {(2; a), (2; b), (3; a), (3; b), (4; a), (4; b)}; B × A = {(a; 2), (a; 3), (a; 4), (b; 2), (b; 3), (b; 4)} • Sean los conjuntos: A = {4; 5}, B = {m, n, p}, C = {o} y D = φ. Entonces... C × A = {(o; 4), (o; 5)}; B × D = φ; B × C = {(m; o), (n; o), (p; o)}; B × A = {(m; 4), (m; 5), (n; 4), (n; 5), (p; 4), (p; 5)}; A × A = {(4; 4), (4; 5), (5; 4), (5; 5)} • Si A = {5; 6} y B = {8; 9}, entonces... A × B = {(5; 8), (5; 9), (6; 8), (6; 9)}; B × A = {(8; 5), (8; 6), (9; 5), (9; 6)}; A × A = {(5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6)}
18
Algo
más…
Se llama par ordenado (a; b) porque son 2 elementos ordenados, en el que "a" es el elemento del 1.er conjunto y "b", el elemento del 2.o conjunto.
Producto cartesiano
Ejercicios resueltos
UU 11
1 Dados los conjuntos M = {4; 5; 6; 7} y N = {r, s, t}, halla lo siguiente: a) M × N = {(4; r), (4; s), (4; t), (5; r), (5; s), (5; t), (6; r), (6; s), (6; t), (7; r), (7; s), (7; t)} b) N × M = {(r; 4), (r; 5), (r; 6), (r; 7), (s; 4), (s; 5), (s; 6), (s; 7), (t; 4), (t; 5), (t; 6), (t; 7)} c) n(M) 2 = 4 × 4 = 16 d) n(N)2 = 3 × 3 = 9 Sabías e) Diagrama sagital de M × N M
N
xx 4
xx r
xx 5
xx s
xx 6
xx t
xx 7
que...
el diagrama sagital también se conoce como diagrama de flechas y se utiliza para establecer una relación matemática.
2 Si el conjunto D = {x + 1; 8} es unitario, halla "x" y D × D. Como el conjunto es unitario, tenemos: x + 1 = 8 x = 7 3 Del siguiente gráfico:
Luego: D × D = {(8; 8)} D = {8}
ordenada
B
En 5 minutos
d c b a 0
1
2
3
abscisa
Halla: A = {0; 1; 2; 3; 4}
4
A
5
En pareja, elaboren un plano cartesiano y un diagrama sagital en el que relacionen el conjunto de las letras de la palabra “amor” y el de los dígitos del año en que nos encontramos.
B = {a, b, c, d} a) A × B = {(0; a), (0; b), (0; c), (0; d), (1; a), (1; b), (1; c), (1; d), (2; a), (2; b), (2; c), (2; d), (3; a), (3; b), (3; c), (3; d), (4; a), (4; b), (4; c), (4; d)} b) B × A = {(a; 0), (a; 1), (a; 2), (a; 3), (a; 4), (b; 0), (b; 1), (b; 2), (b; 3), (b; 4), (c; 0), (c; 1), (c; 2), (c; 3), (c; 4), (d; 0) (d; 1), (d; 2), (d; 3), (d; 4)} c) Realiza el diagrama sagital A xx 0 xx 1 xx 2 xx 3 xx 4
xx a
B Metacognición
xx b xx c
¿Cómo he realizado estos ejercicios?
xx d
¿Qué estrategias he utilizado?
19