Operaciones matrices

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Álgebra matricial Autor: Gonzalo Ma Rueda Colinas

Ejemplos

Dimensi贸n de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Esquema 1

Dimensi贸n de una matriz Disposici贸n de filas y columnas Dimensi贸n

2

Operaciones con matrices Producto por escalar Suma Producto

3

Propiedades de la suma

4

Propiedades del producto

5

Ejemplos Despejar por la izquierda de X Despejar por la derecha de X

Propiedades del producto

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas Filas Las filas en una matriz son horizontales.

Se empiezan a numerar por arriba.

Columnas Las columnas en una matriz son verticales ( como en un edificio ) Se empiezan a numerar por la izquierda.

A=

4 3 10 −5 7 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas Filas Las filas en una matriz son horizontales.

Se empiezan a numerar por arriba.

Columnas Las columnas en una matriz son verticales ( como en un edificio ) Se empiezan a numerar por la izquierda.

A=

4 3 10 −5 7 −1

segunda fila

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas Filas Las filas en una matriz son horizontales.

Se empiezan a numerar por arriba.

Columnas Las columnas en una matriz son verticales ( como en un edificio ) Se empiezan a numerar por la izquierda.

A=

4 3 10 −5 7 −1

segunda fila

tercera columna

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Dimensión

Contar filas y columnas Dimensión Para saber la dimensión de una matriz se cuenta el número total de filas y el de columnas, en ese orden.

Se especifica mediante el producto de filas × columnas.

El producto no se efectúa.

Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Dimensión

Contar filas y columnas Dimensión Para saber la dimensión de una matriz se cuenta el número total de filas y el de columnas, en ese orden.

Se especifica mediante el producto de filas × columnas.

El producto no se efectúa.

Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

4 3 10 −5 7 −1 2×3

A=

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Dimensión

Contar filas y columnas Dimensión Para saber la dimensión de una matriz se cuenta el número total de filas y el de columnas, en ese orden.

Se especifica mediante el producto de filas × columnas.

El producto no se efectúa.

Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

4 3 10 −5 7 −1 2×3

A=

Posición de un elemento La posición de un elemento de la matriz, se especifica nombrando primero la fila y segundo la columna en la que está.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Dimensión

A veces se escribe la matriz con elementos genéricos, sin saber exactamente lo que valen los mismos.   a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24   A= a31 a32 a33 a34  a41 a42 a43 a44 4×4 El primer subíndice hace referencia a la fila.

El segundo subíndice hace referencia a la columna.

Los elementos se escriben en minúscula con la misma letra que el nombre de la matriz.

En notación matemática una matriz de m filas y n columnas de números reales, se puede escribir así: A = (aij ) , 1 6 i 6 m; 1 6 j 6 n

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Producto por escalar

Producto de un escalar por una matriz Sean k un número real y A ∈ Mm×n . k (aij ) = (kaij ) Definición El resultado es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz, es el resultado de multiplicar el número por cada elemento de la matriz. 

   1 4 2 8 2 1 3 = 2 6 4 0 8 0

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Suma

Suma de matrices de la misma dimensión Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n .

Definición La suma es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz suma, es la suma de los correspondientes elementos en las otras dos matrices.       5 −3 7 1 6 −4 3 3 3 9 3  + −3 2 1  =  0 11 4  4 0 −1 9 −5 0 13 −5 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Suma

Suma de matrices de la misma dimensión Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n .

Definición La suma es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz suma, es la suma de los correspondientes elementos en las otras dos matrices.       5 −3 7 1 6 −4 3 3 3 9 3  + −3 2 1  =  0 11 4  4 0 −1 9 −5 0 13 −5 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Suma

Suma de matrices de la misma dimensión Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n .

Definición La suma es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz suma, es la suma de los correspondientes elementos en las otras dos matrices.       5 −3 7 1 6 −4 3 3 3 9 3  + −3 2 1  =  0 11 4  4 0 −1 9 −5 0 13 −5 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Suma

Suma de matrices de la misma dimensión Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n .

Definición La suma es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz suma, es la suma de los correspondientes elementos en las otras dos matrices.       6 5 −3 7 1 6 −4 3 3 3 9 3  + −3 2 1  =  0 11 4  4 0 −1 9 −5 0 13 −5 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Suma

Suma de matrices de la misma dimensión Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n .

Definición La suma es una matriz de la misma dimensión m × n.

Cada elemento de la matriz suma, es la suma de los correspondientes elementos en las otras dos matrices.       6 5 −3 7 1 6 −4 3 3 3 9 3  + −3 2 1  =  0 11 4  4 0 −1 9 −5 0 13 −5 −1

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Producto

Producto de matrices Sean dos matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p .

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.

El elemento ij de la matriz resultante, se calcula empleando la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

5 3 7 3 9 3





1 6 4 3 21 71 23 38 · 3 2 1 3 = 33 51 21 42 2×4 2×3 1 5 0 2 3×4

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Propiedades de la suma 1

Conmutativa A+B =B+A

2

Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

3

4

Elemento neutro Existe una matriz 0, para la que siendo A cualquier matriz, se cumple A+0=A La matriz 0 es aquella en la que todos los elementos de la matriz son cero Elemento opuesto Toda matriz A tiene una opuesta, −A, para la que se cumple que A + (−A) = 0

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Propiedades del producto 1

No Conmutativa AB 6= BA

2

3

En general no se cumple la igualdad, aunque puede haber matrices para las que sí se verifica.

Asociativa A(BC) = (AB)C Elemento neutro Existe una matriz denominada también matriz unidad o identidad I para la que: AI = IA = A

4

Elemento inverso Cuando existe la matriz inversa A−1 ,( ya veremos cuándo ) se verifica AA−1 = A−1 A = I

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Propiedades del producto y de la suma

5

Distributivas A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA

La matriz identidad, es una matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto, por ejemplo:   1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1

Dimensi贸n de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuaci贸n

AX + C = B

Propiedades del producto

Ejemplos

Dimensi贸n de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuaci贸n

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C)

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C

propiedad del opuesto.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

A−1

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

−1

(AX ) = A

A−1

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

(B − C)

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

−1

(AX ) = A

A−1

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

(B − C)

asociativa del producto.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A

asociativa del producto.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

matriz identidad.

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

matriz identidad.

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

= A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

matriz identidad.

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

= A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

matriz identidad.

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

= A

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) AX + 0 = B − C AX

= B−C por

−1

A

(A

A)X IX X

propiedad del elemento neutro. multiplicamos en la izquierda de A ( sólo si existe inversa de A )

−1

(B − C)

asociativa del producto.

−1

(B − C)

propiedad matriz inversa.

−1

(B − C)

matriz identidad.

−1

(B − C)

(AX ) = A

−1

A−1

propiedad del opuesto.

= A = A

= A

Dimensi贸n de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuaci贸n

XA + C = B

Propiedades del producto

Ejemplos

Dimensi贸n de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuaci贸n

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) XA + 0 = B − C

propiedad del opuesto.

Ejemplos

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) XA + 0 = B − C

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) XA + 0 = B − C XA = B − C

propiedad del opuesto. propiedad del elemento neutro.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por

A−1

( sólo si existe inversa de A )

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

) = (B − C)A

−1

asociativa del producto.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

) = (B − C)A

−1

asociativa del producto. propiedad matriz inversa.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

) = (B − C)A

−1

XI = (B − C)A

−1

asociativa del producto. propiedad matriz inversa.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

) = (B − C)A

−1

propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A

−1

matriz identidad.

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

) = (B − C)A

−1

propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A

−1

matriz identidad.

= (B − C)A

−1

X

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

) = (B − C)A

−1

propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A

−1

matriz identidad.

= (B − C)A

−1

X

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

) = (B − C)A

−1

propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A

−1

matriz identidad.

= (B − C)A

−1

X

Dimensión de una matriz

Operaciones con matrices

Propiedades de la suma

Propiedades del producto

Ejemplos

Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de C

en los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de A

por −1

(XA)A X (AA

−1

A−1

( sólo si existe inversa de A )

= (B − C)A−1

asociativa del producto.

) = (B − C)A

−1

propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A

−1

matriz identidad.

= (B − C)A

−1

X