Objetivo aprobar matemáticas. 1 ESO by Grupo Anaya, S.A.

1 1 ESO

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ESO

2 ESO

ESO

3 3 4 4

OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS

ESO

José Ángel Fernández-Cano López Fernando Arce Llach

Presentación

Este cuaderno OBJETIVO APROBAR pretende reforzar y afianzar los contenidos y estándares esenciales de la asignatura MATEMÁTICAS 1.º ESO. Sirve para: ■ Repasar los contenidos aprendidos durante el curso escolar. ■ Trabajar sobre los estándares de aprendizaje evaluables. ■ Complementar el trabajo del curso. Se estructura en: ■ 14 unidades que comienzan con un resumen-esquema de contenidos, seguido de actividades resueltas y explicadas paso a paso y de una amplia batería de actividades propuestas. ■ La sección Competencia matemática, que propone actividades para trabajar todas las dimensiones de esta competencia. ■ Una Autoevaluación para comprobar el grado de aprendizaje. ■ Un Solucionario extraíble con las respuestas de todas las actividades propuestas.

Presentación

Índice 1◗Los números naturales

Sistema de numeración decimal. Operaciones con números naturales

2◗Potencias y raíces

Potencias de exponente natural. Potencias de base 10. Operaciones con potencias. Raíces cuadradas. Operaciones combinadas

3◗Divisibilidad

Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad. Descomposición de un número en producto de sus factores: factorización. Máximo común divisor (m.c.d.). Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

4◗Los números enteros

Representación y ordenación de números enteros. Operaciones con números enteros

5◗ Los números decimales y fraccionarios

Representación y ordenación de los números decimales. Operaciones con números decimales. Concepto de fracción. Relación con los números decimales. Ordenación. Operaciones con fracciones

6◗ Proporcionalidad numérica

Razón y proporción. Proporcionalidad directa e inversa. Problemas de proporcionalidad. Porcentajes

7◗ El sistema métrico decimal

Unidades de longitud y superficie. Unidades de volumen y capacidad. Unidades de masa. Algunos sistemas monetarios: euro y dólar

8◗ Ecuaciones de primer grado

Expresiones algebraicas. Igualdades, identidades y ecuaciones. Resolución de ecuaciones de primer grado. Resolución de problemas mediante ecuaciones

9◗Rectas y ángulos

Rectas y ángulos. Operaciones con ángulos. Mediatriz y bisectriz

10◗Polígonos

Clasificación y propiedades. Triángulos. Cuadriláteros

11◗Áreas de polígonos

Área de los paralelogramos. Área del triángulo y del trapecio. Perímetro y área de un polígono regular. Cálculo de áreas mediante triangulación y cuadriculación

12◗ Circunferencias y círculos

Posiciones relativas. Ángulos en la circunferencia. Longitud de la circunferencia. Área del círculo

13◗Funciones

Coordenadas cartesianas de un punto. Tablas de valores y gráficas. Funciones

14◗ Estadística y probabilidad

Estadística: población, muestra y variables estadísticas. Estadística: tablas de frecuencias, diagramas de barras y de sectores. Probabilidad

◗Competencia matemática ◗Autoevaluación

90 94

Índice

Los números naturales

◗Sistema de numeración decimal ■■ Los números naturales son los que sirven para contar. Se representan por la letra ℕ. ■■ El sistema de numeración decimal utiliza diez cifras para representar cualquier número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 De manera que: Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior: es decimal.  Cada cifra tiene diferente valor según la posición que ocupe dentro del número: es posicional.

◗Representación y ordenación ■■ Los números naturales se representan ordenados en una recta llamada recta numérica: 0

■■ Un número natural es menor que otro si el primero está a la izquierda del segundo sobre la recta. Si, por el contrario, está a la derecha del segundo, es mayor que este: 4 < 5, porque 4 está a la izquierda de 5 8 > 6, porque 8 está a la derecha de 6

◗Operaciones con números naturales Con los números naturales efectuamos sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. ■■ Propiedades Conmutativa → a + b = b + a

a • b = b • a

Asociativa → (a + b) + c = a + (b + c) (a • b) • c = a • (b • c) Distributiva → a • (b + c) = a • b + a • c

a • (b − c ) = a • b − a • c

Por ejemplo: 3 • 5 = 15 = 5 • 3 = 15 (2 • 3) • 4 = 6 • 4 = 24 2 • (3 • 4) = 2 • 12 = 24 3 • (7 − 2) = 3 • 5 = 15 3 • (7 − 2) = 3 • 7 − 3 • 2 = 21 − 6 = 15

⎧ ⎨ ⎩

6 + 8 = 14 = 8 + 6 = 14 (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 3 • (7 + 2) = 3 • 9 = 27 3 • (7 + 2) = 3 • 7 + 3 • 2 = 21 + 6 = 27

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

■■ En las operaciones combinadas hay que respetar un orden o jerarquía al efectuar las distintas operaciones: 1.° Se resuelven los paréntesis si los hubiera. 2 + 3 • (6 – 4) – 4 : (1 + 3) = 2 + 3 • 2 – 4 : 4 2.° Las multiplicaciones y divisiones se realizan de izquierda a derecha. 2 + 3 • 2 – 4 : 4 = 2 + 6 – 1 3.° Las sumas y restas también se realizan de izquierda a derecha. 2+6–1=7 2 + 3 • (6 − 4) – 4 : (1 + 3) = 2 + 3 • 2 – 4 : 4 = 2 + 6 – 1 = 7

1. Los números naturales

1.1 Sistema de numeración decimal ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Identifica, según el lugar que ocupan, el valor de cada una de las cifras de los siguientes números: 5 789 737, 333 333, 44 044. A continuación escribe cómo se leen. Unidades de Centenas de millares de millar (CM) millar (UMM) 5 789 737 333 333

Decenas de millar (DM)

Unidades de millar (UM)

Centenas (C)

Decenas (D)

Unidades (U)

44 044

se lee 5 789 737 ⎯⎯⎯→ Cinco millones setecientos ochenta y nueve mil setecientos treinta y siete. se lee 333 333 ⎯⎯⎯→ Trescientos treinta y tres mil trescientos treinta y tres. se lee 44 044 ⎯⎯⎯→ Cuarenta y cuatro mil cuarenta y cuatro.

2 Indica el valor de las cifras 7 que aparecen en el número 5 789 737. 5 7 8 9 7 3 7

7 centenas de millar = = 700 000 unidades

7 centenas = = 700 unidades

7 unidades

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Construye una tabla similar a la de la actividad 1 e incluye en ella los números 195; 8 763 y 2 740 315. A continuación escribe cómo se leen.

4 Señala el valor de cada una de las cifras 3 y de cada una de las cifras 5 que aparecen en el núme ro: 353 535.

1.1. Sistema de numeración decimal

1.2 Operaciones con números naturales ◗Sumas y restas combinadas ACTIVIDAD CON PISTAS 5 Calcula de dos maneras distintas las siguientes operaciones: 11 − 3 + 5 − 7 + 1 − 4. 1.a forma: efectuando las sumas o restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 11 − 3 + 5 − 7 + 1 − 4 =

+ 5 − 7 + 1 − 4 = 13 − 7 + 1 − 4 =

+1−4=7−4=3

2. forma: agrupando y sumando los números precedidos del signo + por un lado y los del signo − por otro; la resta se efectúa posteriormente. 11 − 3 + 5 − 7 + 1 − 4 = (11 + 5 + 1) − (3 + 7 + 4) = – =3

ACTIVIDAD PROPUESTA 6 Halla el resultado de estas operaciones: a) 23 − 8 + 15 − 27 − 2 + 5 − 6 b) 19 − (8 + 2) − 6 c) (35 − 7) − (20 − 8) d) 14 − 11 + 59 − 60 − 2

◗Multiplicación ACTIVIDAD CON PISTAS 7 Calcula de dos maneras distintas las siguientes operaciones: 3 • (6 + 5) + 2 • (12 – 1). 1.a forma: efectuando en primer lugar los paréntesis. 3 • (6 + 5) + 2 • (12 – 1) = 3 •

+ 2 • 11 = 33 + 22 = 55

2.a forma: aplicando la propiedad distributiva. 3 • (6 + 5) + 2 • (12 – 1) = 3 • 6 + 3 • 5 + 2 •

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8 Efectúa las operaciones siguientes: a) (13 + 21) • 2 b) (2 + 3) • 4 – (7 – 5) • 5 c) 3 • (1 + 4) + 6 • (5 – 3) d) 8 • 5 – 7 – 4 + 3 • 2

6 1. Los números naturales

– 2 • 1 = 55

◗División

RECUERDA

ACTIVIDAD CON PISTAS

Prueba de la división: Dividendo = Divisor × × Cociente + Resto

9 Realiza las divisiones siguientes y efectúa después la prueba de la división: a) 25 : 5 25 5 0

Una división es exacta cuando el resto es cero.

b) 17 : 3 17 3 2

Prueba de la división: 25 = 5 • 5 + 0

D = d • c + r

D = d • c

Prueba de la división: 17 = 3 • 5 + 2

Una división es entera cuando el resto es distin to de cero.

ACTIVIDAD RESUELTA 10 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 6 – 4 : 2 + 7 • (3 – 1)

b) 5 • 4 : 10 • (15 – 10)

a) 6 – 4 : 2 + 7 • (3 – 1) = 6 – 4 : 2 + 7 • 2 = 6 – 2 + 14 = 18 b) 5 • 4 : 10 • (15 – 10) = 5 • 4 : 10 • 5 = 20 : 10 • 5 = 2 • 5 = 10

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y efectúa después la prueba de la división: a) 27 : 4

b) 11 : 2

12 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes. Di si son exactas o enteras: a) 14 : 3

b) 29 : 4

c) 102 : 2

d) 65 : 5

13 Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) 6 : (4 – 2) – 2 • (6 – 5) b) (7 – 3) : (6 – 4) c) 3 – (4 + 1) : (7 – 2)

1.2. Operaciones con números naturales

Potencias y raíces

◗Potencias de exponente natural ■■ Una potencia es el producto de dos o más factores iguales:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

ab = a • a • a • ... • a b veces

a es la base

b es el exponente

El exponente es el número de veces que se multiplica la base. ■■ ¿Cómo se leen las potencias? 72 ⎯→ Siete elevado al cuadrado o siete elevado a 2. 53 ⎯→ Cinco elevado al cubo o cinco elevado a 3. Recuerda que cualquier potencia de exponente cero es igual a la unidad: 70 = 1 2970 = 1 1 857 6340 = 1

◗Potencias de base 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente: 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 (1 millón)

◗Propiedades de las potencias ■■ Producto de potencias de la misma base Se deja la misma base y se suman los exponentes: 73 • 75 = 73 + 5 = 78 9 • 96 = 91+6 = 97 ■■ Cociente de potencias de la misma base Se deja la misma base y se restan los exponentes: 75 : 73 = 75 − 3 = 72 113 : 11 = 113 − 1 = 112 ■■ Potencia de una potencia Se deja la misma base y se multiplican los exponentes: (52)3 = 52 • 3 = 56 (82)7 = 82 • 7 = 814

◗Raíz cuadrada exacta de un número Es otro número tal que al elevarlo al cuadrado se obtiene el primero: √49 = 7 porque 72 = 7 • 7 = 49 √49 se lee «raíz cuadrada de 49». Por tanto, 49 es el radicando y 7 es la raíz cuadrada. A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados perfectos.

◗Raíz cuadrada entera Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto, se llama raíz cuadrada entera al mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el radicando: √38 ≃ 6 porque 62 = 36 < 38 A la diferencia 38 − 36 = 2 se le llama resto. Para comprobar que está bien hecha, se eleva al cuadrado la raíz cuadrada y se le suma el resto. Se debe obtener el radicando.

8 2. Potencias y raíces

2.1 Potencias de exponente natural ACTIVIDAD RESUELTA 1 Completa la tabla para las siguientes potencias: 132, 53, 24 y 35. Potencia

Base

Exponente

Se lee

Valor

Trece elevado al cuadrado

169

Cinco elevado al cubo

125

Dos elevado a la cuarta

Tres elevado a la quinta

243

ACTIVIDAD CON PISTAS 2 Escribe los siguientes productos en forma de potencia y di cómo se leen: a) 25 • 25 • 25 b) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 c) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 a) 25 • 25 • 25 = 253 = Veinticinco elevado b) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 ·3 = c)

•

= Tres elevado a la sexta. •

= 55 = Cinco elevado a

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Di cuál es la base, cuál es el exponente y halla el valor numérico de las siguientes potencias: a) 83

b) 62

c) 25

d) 74

4 Expresa como potencia y escribe cómo se leen los siguientes productos: a) 35 • 35 • 35 b) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 c) 11 • 11 • 11 • 11 d) 9 • 9

2.2 Potencias de base 10 ACTIVIDADES RESUELTAS 5 Escribe de forma reducida los siguientes números como producto por una potencia de base 10: a) 5 000 000 b) 8 900 000 c) 300 d) 72 000 a) 5 000 000 = 5 • 1 000 000 = 5 • 106

c) 300 = 3 • 100 = 3 • 102

b) 8 900 000 = 89 • 100 000 = 89 • 105

d) 72 000 = 72 • 1 000 = 72 • 103

2.1. Potencias de exponente natural

6 Expresa los siguientes números usando las potencias de 10: a) 527 348 b) 8 602 c) 6 300 230 a) 527 348 = 500 000 + 20 000 + 7 000 + 300 + 40 + 8 = 5 • 105 + 2 • 104 + 7 • 103 + + 3 • 102 + 4 • 10 + 8 b) 8 602 = 8 000 + 600 + 2 = 8 • 103 + 6 • 102 + 2 c) 6 300 230 = 6 000 000 + 300 000 + 200 + 30 = 6 • 106 + 3 • 105 + 2 • 102 + 3 • 10

ACTIVIDAD PROPUESTA 7 Desarrolla, usando las potencias de 10, los números siguientes: a) 589

b) 12 200

c) 7 070 070

d) 250 250

2.3 Operaciones con potencias ACTIVIDADES RESUELTAS

◗Producto de potencias de la misma base 8 Escribe los siguientes productos como una sola potencia: 3

RECUERDA 6

a) 7 • 7 • 7 b) 2 • 2 • 2 • 2 c) 19 • 19 • 19 • 19 a) 73 • 75 • 72 = 73 + 5 + 2 = 710 b) 27 • 20 • 29 • 24 = 27 + 0 + 9 + 4 = 220 c) 195 • 19 • 193 • 196 = 195 + 1 + 3 + 6 = 1915

Toda potencia de exponen te 1 es igual a la base. Por ello, cuando una potencia no tiene exponente, se considera que es la unidad.

9 Escribe como una sola potencia: a) (32 • 3) • (35 • 34) b) 11 • (117· 112) • (116 • 115) c) (54 • 50) • (55 • 55) • (5 • 53) a) (32 • 3) • (35 • 34) = (32 + 1) • (35 + 4) = 33 • 39 = 33 + 9 = 312 b) 11 • (117 • 112) • (116 • 115) = 11 • (117 + 2) • (116 + 5) = 11 • 119 • 1111 = 111 + 9 + 11 = 1121 c) (54 • 50) • (55 • 55) • (5 • 53) = (54 + 0) • (55 + 5) • (51 + 3) = 54 • 510 • 54 = 54 + 10 + 4 = 518

◗Cociente de potencias de la misma base 10 Escribe los siguientes cocientes como una sola potencia: a) (75 : 73) : 72 b) (216 : 28) : (24 : 23) c) (57 : 52) : (57 : 53) d) (327 : 33) : 36 a) (75 : 73) : 72 = (75 − 3) : 72 = 72 : 72 = 72 − 2 = 70 = 1 b) (216 : 28) : (24 : 23) = (216 − 8) : (24

−3

) = 28 : 21 = 28 − 1 = 27

c) (57 : 52) : (57 : 53) = (57 − 2) : (57 − 3) = 55 : 54 = 55 − 4 = 51 = 5 d) (327 : 33) : 36 = (327 − 3) : 36 = 324 : 36 = 324 − 6 = 318

10 2. Potencias y raíces

◗Potencia de una potencia 11 Escribe como una sola potencia: a) (53)4 b) [(33)2]3 c) [(75)2]3 d) (192)3 e) [(56)2]6 f) [(83)3]3 a) (53)4 = 53 • 4 = 512

d) (192)3 = 192 • 3 = 196

b) [(33)2]3 = [33 • 2]3 = [36]3 = 36 • 3 = 318

e) [(56)2]6 = [56 • 2]6 = [512]6 = 512 • 6 = 572

c) [(75)2]3 = [75 • 2]3 = [710]3 = 710 • 3 = 730

f) [(83)3]3 = [83 • 3]3 = [89]3 = 89 • 3 = 827

ACTIVIDAD PROPUESTA 12 Expresa como una sola potencia: a) (73 • 75) : (72 • 73) b) (27 : 2) • (24 : 22) c) [118 • (112)3] : (114)2 d) (36 • 39 : 37)3 e) (27 • 25)2 : (14 : 7)10

2.4 Raíces cuadradas ◗Raíz cuadrada exacta ACTIVIDAD RESUELTA 13 Escribe estos números en forma de potencia y halla después su raíz cuadrada exacta: a) 144 b) 169 c) 400 d) 625 a) 144 = 122 ⎯→ √144 = 12

c) 400 = 202 ⎯→ √400 = 20

b) 169 = 132 ⎯→ √169 = 13

d) 625 = 252 ⎯→ √625 = 25

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14 Expresa como potencia y halla la raíz cuadrada de: a) 49 b) 81 c) 100 d) 64

15 Halla las siguientes raíces cuadradas: a) √36 b) √196 c) √225 d) √900

2.4. Raíces cuadradas

◗Raíz cuadrada entera ACTIVIDAD RESUELTA 16 Halla las raíces cuadradas siguientes: a) √27 b) √53 c) √235 a) Como no existe ningún número natural cuyo cuadrado sea igual a 27 (27 no es un cuadrado perfecto), buscamos el mayor núme ro entero cuyo cuadrado sea menor que 27: 42 = 16 52 = 25 62 = 36

RECUERDA

El símbolo ≃ se lee «aproximadamente».

⎯→ √27 ≃ 5 ⎯→ Resto = 27 − 52 = 27 − 25 = 2

b) Buscamos el mayor número entero cuyo cuadrado sea menor o igual que 53: 62 = 36 72 = 49 82 = 64 Por tanto: √53 ≃ 7 ⎯→ Resto = 53 − 72 = 53 − 49 = 4 c) Buscamos el mayor número entero cuyo cuadrado sea menor o igual que 235: 142 = 196 152 = 225 162 = 256 Por tanto: √235 ≃ 15 ⎯→ Resto = 235 − 152 = 235 − 225 = 10

ACTIVIDAD PROPUESTA 17 Utiliza la calculadora para hallar las siguientes raíces cuadradas enteras: a) √39 b) √85 c) √91 d) √125

2.5 Operaciones combinadas ACTIVIDAD RESUELTA 18 Halla las siguientes expresiones: a) (√25 – √16) • (√81 + √36) b) √144 : (√64 + 22) a) (√25 – √16 ) • (√81 + √36) = (5 – 4) • (9 + 6) = 1 • 15 = 15 b) √144 : (√64 + 22) = 12 : (8 + 4) = 12 : 12 = 1

12 2. Potencias y raíces

RECUERDA

Halla con la calculadora la raíz cuadrada solicitada y anota la parte entera del resultado, que será la raíz cuadrada entera.

RECUERDA

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Cuando aparecen opera ciones combinadas, hay que respetar un orden o jerarquía. Se hacen por este orden: 1.° Los paréntesis. 2.° Las potencias. 3.° Las multiplicaciones y divisiones. 4.° Las sumas y restas.

19 Desarrolla las siguientes expresiones: a) √64 • (√100 – √49) : 23 b) (√121 – √36) : (√4 + √9) c) (√81 + 1)2 – 102 d) (√16 + √36)2 – (92 + 19) : √4

20 Calcula: a) √32 + 42 b) √62 + 82 c) √52 + 122

21 Escribe en forma de potencia los radicandos de la actividad anterior.

RECUERDA

Si la suma de los cuadrados de dos números a y b es un cuadrado perfecto: a2 + b2 = c2, decimos que a, b y c forman una terna pitagórica.

22 Si tienes 25 fichas iguales, ¿puedes formar un cuadrado con el mismo número de fichas en cada fila? ¿Cuántas habrá en cada fila? ¿Y si tienes 19 fichas?

23 Un tablero de ajedrez es cuadrado y tiene 64 casillas. a) ¿Cuántas filas y columnas tiene? b) Si añadimos una fila y una columna más, ¿cuántas casillas tendremos ahora?

2.5. Operaciones combinadas

Divisibilidad

◗Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad ■■ Si la división de un número a entre otro b es exacta, decimos que a es múltiplo de b y que b es divisor de a. Por ejemplo: →

96 es múltiplo de 8 96 : 8 = 12

→

8 es divisor de 96

■■ Los múltiplos de cualquier número se obtienen multiplicando ese número por 1, 2, 3..., o suman do ese número a sí mismo sucesivas veces. Por ejemplo, los múltiplos de 8 se pueden obtener como: 8 • 1 = 8, 8 • 2 = 16, 8 • 3 = 24... o también 8, 8 + 8 = 16, 16 + 8 = 24... ■■ Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre todos los números meno res que él y entre sí mismo, y tomando aquellos que den un cociente exacto (de resto = 0). Por ejemplo, los divisores de 8 pueden obtenerse como: 8 8 0 1

8 4

8 2

8 1

0 2

0 4

0 8

■■ Existen unos criterios de divisivilidad. Un número es divisible entre: 2 ⎯→ si termina en cifra par. 3 ⎯→ si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5 ⎯→ si acaba en 0 o en 5. 9 ⎯→ si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10 ⎯→ si acaba en 0.

◗Descomposición factorial ■■ Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. ■■ Un número es compuesto si tiene otros divisores además de esos dos. ■■ Factorizar un número es descomponerlo en producto de sus factores primos. Por ejemplo: 315 = 32 • 5 • 7

◗Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ■■ El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Es igual al producto de sus factores primos comunes, elevados al menor exponente. Si dos núme ros no tienen factores comunes, el m.c.d. = 1, porque el 1 es divisor de todos los números. Por ejemplo: m.c.d. (315, 70) = m.c.d. (32 • 5 • 7, 2 • 5 • 7) = 5 • 7 = 35 ■■ El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. Es igual al producto de sus factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor expo nente. Por ejemplo: m.c.m. (70, 35) = m.c.m. (2 • 5 • 7, 5 • 7) = 2 • 5 • 7 = 70

14 3. Divisibilidad

3.1 Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Escribe los seis primeros múltiplos de 2 y de 3: Múltiplos de 2: 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6... = 2, 4, 6, 8, 10, 12... Múltiplos de 3: 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, 3 • 5, 3 • 6... = 3, 6, 9, 12, 15, 18...

2 Halla los divisores de 16. Hemos de dividir 16 entre todos los números menores que él y entre sí mismo, y seleccionar aque llos números que den división exacta: 16 1 0 16

16 2 0 8

16 3 1 5

16 4 0 4

16 5 1 3

16 6 4 2

16 7 2 2

16 8 0 2

16 9

16 10

16 11

16 12

16 13

16 14

16 15

16 16

7 1

6 1

5 1

4 1

3 1

2 1

1 1

0 1

Así pues, los divisores de 16 son: Div(16) = 1, 2, 4, 8, 16 3 Averigua si 6, 7 y 9 son o no números primos. Hemos de hallar los divisores de cada uno: 6 1 0 6

6 2 0 3

6 3 0 2

Div(6) = 1, 2, 3, 6 ⎯→ 7 1 0 7 Div(7) = 1, 7 ⎯→ 9 1 0 9

6 4 2 1

RECUERDA

6 5 1 1

6 6 0 1

6 no es primo, es compuesto.

7 2 1 3

7 3 1 2

7 4 3 1

7 5 2 1

9 5 4 1

9 6 3 1

Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. 7 6 1 1

7 7 0 1

7 sí es primo.

9 2 1 4

Div(9) = 1, 3, 9 ⎯→

9 3 0 3

9 4 1 2

9 7 2 1

9 8 1 1

9 9 0 1

9 no es primo, es compuesto.

4 Tres hermanos heredan de su abuelo 129 000 €. En un primer momento se quedan pensativos calculando si el reparto podrá hacerse de forma exacta. Enseguida el más pequeño, que está solo en 1.o de ESO, dice que no va a haber ningún problema. ¿Cómo ha podido saberlo tan rápidamente? El problema consiste en saber si 129 000 puede dividirse de forma exacta entre 3, no en hacer la división en sí. Sabemos que un número es múltiplo de 3 si la suma de todas sus cifras también lo es. Como 1 + 2 + 9 + 0 + 0 + 0 = 12 y 1 + 2 = 3, entonces es múltiplo de 3. El reparto puede hacerse de forma exacta.

3.1. Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Escribe los cinco primeros múltiplos de 5 y de 7.

RECUERDA

El 1 no se considera número primo, pues solo tiene un divisor, él mismo. 6 Halla los seis primeros números primos.

7 Nueve amigos van al Parque de Atracciones y les cobran en total 165 €. ¿Es eso posible?

3.2 Descomposición de un número en producto de sus factores: factorización RECUERDA

ACTIVIDAD RESUELTA 8 Descompón 96, 120 y 210 en producto de sus factores primos.

Para buscar los divisores de un número tenemos que aplicar los criterios de divisibilidad.

96 2 ← Buscamos el divisor más 120 2

210 2

48 24 12 6 3 1

105 3 35 5 7 7 ← Seguimos con el siguiente número 1

pequeño, empezando por el 2.

2 2 2 2 3 ← Como ya no es divisible

entre 2, seguimos con el siguiente número primo, el 3.

96 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 96 = 25 • 3

60 30 15 5 1

2 2 3 5 ← Seguimos con el

siguiente número primo, el 5.

120 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 120 = 23 • 3 • 5

primo, el 7.

210 = 2 • 3 • 5 • 7

ACTIVIDAD PROPUESTA 9 Obtén la descomposición factorial de los números 180, 63, 288 y 110. 180

180 =

16 3. Divisibilidad

63 =

288

110

288 =

110 =

3.3 Máximo común divisor (m.c.d.) ACTIVIDAD RESUELTA 10 Halla el máximo común divisor de 60, 18 y 42. En primer lugar descomponemos los números dados en sus factores primos: 60 2

18 2

42 2

30 2 15 3 5 5 1

9 3 3 3 1

21 3 7 7 1

18 = 2 • 32

42 = 2 • 3 • 7

60 = 22 • 3 • 5

De los factores primos que aparecen (2, 3, 5 y 7) tomamos los factores comunes elevados al menor exponente: m.c.d. (60, 18, 42) = 2 • 3 = 6.

ACTIVIDAD CON PISTAS 11 Obtén el máximo común divisor de 180, 72 y 360. Descomponemos en factores primos los tres números: 180 2 90 45 15 5 1

2 3 3 5

180 =

72 2

360 2

36 18 9 3 1

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3

72 =

Luego m.c.d. (180, 72, 360) =

2 2 3 3 5

360 = = 36.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Calcula el máximo común divisor de los siguientes números: a) 15 y 10

b) 30 y 105

c) 72 y 80

d) 25, 7 y 18

3.3. Máximo común divisor (m.c.d.)

13 Tenemos que encargar por piezas cuadradas la moqueta necesaria para cubrir el suelo de una habi tación que mide 12 m de largo por 6 m de ancho. ¿Cuáles serían las dimensiones máximas de las piezas para que encajaran sin que sobrara ningún trozo? ¿Cuántas piezas tendríamos que encargar?

14 Una cooperativa láctea quiere transportar 150 L de leche entera y 50 L de leche desnatada. Para ahorrar costes, los envases deben ser iguales y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos serán necesarios y cuál será la capacidad de cada uno?

3.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) ACTIVIDAD RESUELTA 15 Halla el mínimo común múltiplo de 60, 35 y 210. Los descomponemos en factores primos: 60 2

35 5

210 2

30 2 15 3 5 5 1

7 7 1

105 3 35 5 7 7 1

60 = 22 • 3 • 5

35 = 5 • 7

210 = 2 • 3 • 5 • 7

Tomamos los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con que apa recen en cualquiera de los tres números: m.c.m. (60, 35, 210) = 22 • 3 • 5 • 7 = 420

18 3. Divisibilidad

ACTIVIDAD CON PISTAS 16 Obtén el mínimo común múltiplo de 220, 180 y 385. Descomponemos cada número en sus factores primos: 220 2

180 2

110 2 55 5 11 11 1

90 45 15 5 1

220 = 22 • 5 • 11

385 5

2 3 3 5

77 7 11 11 1

180 = 22 • 32 • 5

Luego m.c.m. (220, 180, 385) =

385 = 5 • 7 • 11 = 13 860.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 17 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 75, 27 y 21

b) 360 y 84

c) 72, 16 y 80

d) 39 y 13

18 Un letrero luminoso tiene bombillas azules y rojas que se encienden y se apagan sin parar. Las azu les lo hacen cada 18 segundos y las rojas, cada 24 segundos. ¿Cada cuántos segundos se activarán las dos a la vez?

19 Para decorar mi balcón tengo la posibilidad de comprar jardineras de 50 cm o 60 cm de largo. ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la barandilla de mi balcón para que, independientemente de la longitud que escoja, pudiera llenarla de jardineras de un solo tipo?

3.4. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Los números enteros

◗Representación y ordenación de los números enteros ■■ Los números enteros son el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el cero. Se representan por ℤ. ■■ Pueden representarse en la recta numérica tomando el cero en un punto arbitrario y situando los positivos a su derecha y los negativos a su izquierda: –6

–5

–4

–3

–2

–1

■■ El valor absoluto de un número entero es igual al número natural que se obtiene quitándole el signo al número entero: |+5| = 5; |−5| = 5. ■■ De dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto, y de dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. ■■ De dos números enteros cualesquiera es mayor el que se sitúa más a la derecha en la recta real. ■■ El opuesto de un número es el que resulta de cambiar su signo: el opuesto de +5 es –5.

◗Operaciones con números enteros ■■ Suma de dos números enteros Si tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el mismo signo de los números: (−3) + (−5) = −(3 + 5) = −8. Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del número con mayor valor absoluto: −7 + 4 = −(7 − 4) = −3. ■■ Suma de más de dos números enteros Se suman por un lado los positivos y por otro los negativos; los resultados se restan y se colo ca el signo del que tiene mayor valor absoluto. ■■ Producto o cociente de números enteros Se multiplican o dividen los valores absolutos de los dos números y al resultado se le pone el signo + o −, según la regla de los signos: ×

–

■■ Para efectuar operaciones combinadas con números enteros se debe seguir el orden de prioridad ya explicado (véase unidad 1): 1.° Los paréntesis. 2.° Las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen (de izquierda a derecha). 3.° Las sumas y restas también se realizan en el orden en que aparecen. Al quitar un paréntesis que contiene varios sumandos, si el signo que precede al paréntesis: Es positivo: no cambian los signos de los sumandos. 3 + (5 − 2 + 1 − 4) = 3 + 5 − 2 + 1 − 4 Es negativo: cambian los signos de cada uno de los sumandos. 3 − (5 − 2 + 1 − 4) = 3 − 5 + 2 − 1 + 4

20 4. Los números enteros

4.1 Representación y ordenación de números enteros ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Representa sobre la recta numérica y ordena los siguientes números enteros: a) –3 y 5

b) –7 y –2 a)

–3

−3 está a la izquierda de 5 −3 < 5

–7

–2

−7 está a la izquierda de −2 −7< −2

2 Halla el valor absoluto de los números enteros siguientes: a) –3

b) 5

c) 17

d) –9

a) −3 ⎯→ |−3| = 3

OBSERVA

b) 5 ⎯→ |5| = 5

Cuando los números son enteros positivos, se suelen escribir sin el signo + delante.

c) 17 ⎯→ |17| = 17 d) −9 ⎯→ |−9| = 9

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Asocia un número entero, positivo o negativo a cada uno de los siguientes apartados: a) El aparcamiento está dos plantas por debajo de la calle. b) La temperatura más baja fue de 3 °C bajo cero. c) Le debo 4 € a mi hermana.

4 Representa sobre la recta numérica y ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: −7, 3, −2, −1, 5, 0, 1.

5 Obtén el valor absoluto de los siguientes números enteros: 8, −5, 0, −7, 7.

OBSERVA

Para escribir el valor absoluto de cualquier número lo incluimos entre dos barras: | |. 4.1. Representación y ordenación de números enteros

4.2 Operaciones con números enteros ACTIVIDADES RESUELTAS 6 Calcula: a) 5 + 3 − 2 + 1 − 4 b) (3 + 5 − 2) − (1 − 4 + 7)

c) [(9 − 3) − (5 + 2)] − 7 d) 3 + [5 − (8 − 3)] − 2

a) 5 + 3 − 2 + 1 − 4 = (5 + 3 + 1) − (2 + 4) = 9 − 6 = 3 También puedes hacerlo sumando o restando de dos en dos: 5+3−2+1−4=8−2+1−4=6+1−4=7−4=3 b) (3 + 5 – 2) – (1 – 4 + 7) = (8 – 2) – (8 – 4) = 6 – 4 = 2 c) [(9 – 3) – (5 + 2)] – 7 = [6 – 7] – 7 = – 1 – 7 = –8 d) (3 + [5 − (8 − 3)] − 2 = 3 + [5 − 5] − 2 = 3 + 0 − 2 = 1 7 Calcula: a) (+3) • (−4) − (+5) • (−2) b) (−16) : (+2) + (+54) : (−9)

c) [(−5) • (+3) + (−7) • (−3)] : (4 + 5 − 7) d) (−3) • (5 − 7)

a) (+3) • (−4) − (+5) • (−2) = (−12) − (−10) = −12 + 10 = −2 b) (−16) : (+2) + (+54) : (−9) = (−8) + (−6) = −8 − 6 = −14 c) [(−5) • (+3) + (−7) • (−3)] : (4 + 5 − 7) = [(−15) + (+21)] : (9 − 7) = [−15 + 21] : 2 = 6 : 2 = 3 d) Esta operación se puede hacer de dos maneras: 1.a Operando normalmente: (−3) • (5 − 7) = (−3) • (−2) = 6 2.a

Aplicando la propiedad distributiva: (−3) • (5 − 7) = (−3) • (+5) + (−3) • (−7) = (−15) + (+21) = −15 + 21 = 6

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8 Efectúa las sumas y restas siguientes: a) 5 + 3 b) −7 + (−2) c) −1 + 4 d) 3 − (−2) e) 6 + (−6) f) −(−5) − (+2)

22 4. Los números enteros

RECUERDA

La propiedad conmutativa de la suma: 2+7=7+2→9=9 La resta no cumple esta propiedad: 2 – 7 ≠ 7 – 2 → –5 ≠ 5

9 Efectúa los productos y cocientes siguientes:

RECUERDA

a) 3 • (–2)

La multiplicación cumple la propiedad conmutativa: 5 • 3 = 3 • 5 → 15 = 15

b) (−5) • (−4) c) (−6) • (+4) : (+3)

La división no cumple esta propiedad: 5:3≠3:5

d) (8 : 2) • (−1) e) 15 : (−3) f) (−12) : (−2)

10 Calcula las siguientes operaciones: a) 15 : 5 − 6 : 3 + 49 : 7 − 22 : 2

b) [36 : (−4) − 3 • 2] : (−2 − 4 + 1)

c) [18 : 3 + 8 : 2 – 5 • 2] • (4 + 5 – 3)

d) 6 + [7 − 5 − (−2) + (−4)]

e) [64 : 8 − 25 : 5] • 2 − [16 : 4 + 27 : 9] : 7

f) (5 + 3) : 2 − (7 − 4) : 3

g) 6 : (2 + 1) – [1 + (2 • 3 : 6) • 7] + 7

h) [6 • (4 – 6 : 2)] – [2 – (1 – 10) : 3]

i) (1 – 7) : (2 – 4) + (12 – 10) : (1 – 2)

j) 4 – 6 : (6 – 4) – [16 : (9 – 1) – 3]

11 A lo largo de un día de enero, la temperatura que ha hecho en una ciudad ha sufrido los cambios siguientes: A las 9 h era de −3 °C. De las 9 h a las 12 h subió 8 °C. Entre las 12 h y las 15 h subió 2 °C. De las 15 h a las 18 h bajó 4 °C. De las 18 h a las 21 h bajó 3 °C. De las 21 h a las 24 h bajó 5 °C. Completa la tabla con los valores de la temperatura que hizo: 9h

12 h

15 h

18 h

21 h

24 h

Temperatura (°C)

4.2. Operaciones con números enteros

Los números decimales y fraccionarios

◗Representación y ordenación de los números decimales ■■ Llamamos número decimal a cualquier número comprendido entre dos números enteros. ■■ Un número decimal consta de una parte entera, que es la que está a la izquierda de la coma, y una parte decimal, que indica el número de partes que cogemos del total en el que hemos divi dido la unidad. Hablamos así de décimas, centésimas, milésimas, etcétera. Por ejemplo: En el número 2,73, la unidad queda dividida en 100 partes (centésimas) de las que hemos cogido 73. ■■ El conjunto de los números decimales es un conjunto ordenado: entre dos números decimales será mayor el que tenga mayor parte entera. Si son iguales, será mayor el que tenga mayor la primera cifra decimal distinta. Por ejemplo: 2,7377 > 2,7367 porque la tercera cifra decimal es mayor en el primero. ■■ Los números decimales pueden representarse ordenados en la recta numérica, de manera que entre dos números decimales será menor el que esté situado más a la izquierda y será mayor, el situado más a la derecha. Por ejemplo: 0,8 < 1,25. 0

0,45

0,8

1,25

1,6

◗Operaciones con números decimales Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. En caso de combinar varias operaciones, se sigue el mismo orden que establecimos para los números naturales.

◗ Concepto de fracción. Relación con los números decimales. Ordenación

5 , que se lee cinco sépti 7 mos, representa cinco partes del total de siete en que hemos divido la unidad. El número situa do encima es el numerador y el situado debajo es el denominador. La inversa de una fracción es el resultado de intercambiar numerador por denominador.

■■ Fracción: es la parte de un total en que hemos dividio la unidad, así

■■ Valor numérico: es el número decimal resultante de dividir el numerador entre el denominador. Dos fracciones son equivalentes cuando su valor numérico es el mismo. Multiplicando (amplifi cando) o dividiendo (simplificando) el numerador y el denominador por un mismo número, obte nemos siempre fracciones equivalentes. ■■ Ordenación: una fracción es mayor que otra cuando, reducidas ambas a común denominador, el numerador de la primera es mayor que el de la segunda.

◗Operaciones con fracciones ■■ Suma/resta: reducidas a común denominador, sumamos o restamos los numeradores. ■■ Multiplicación: el producto de dos fraciones es otra fracción que tiene como numerador el pro ducto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. ■■ División: multiplicamos la primera por la inversa de la segunda.

24 5. Los números decimales y fraccionarios

5.1 Representación y ordenación de los números decimales ACTIVIDAD RESUELTA 1 Indica, según su posición, el valor de cada una de las cifras de los números 0,674; 3,2914; 22,57 y representa el primero de ellos en la recta numérica. Parte entera Decenas (D)

2 = 20 U

Parte decimal

Unidades (U)

Décimas (d)

Centésimas (c)

Milésimas (m)

6 = 0,6 U

7 = 0,07 U

4 = 0,004 U

2 = 0,2 U

9 = 0,09 U

1 = 0,001 U

5 = 0,5 U

7 = 0,07 U

Diezmilésimas (dm) 4 = 0,0004 U

Marcamos sobre la recta dos puntos, el 0 y el 1, y dividimos ese segmento en diez partes iguales. Hacemos lo mismo con 0,6 y 0,7 y después con 0,67 y 0,68.

0,6 0,7

1 ampliamos

0,6

0,67 0,68

0,7 ampliamos

0,67

0,674

0,68

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Indica el valor en unidades de cada una de las cifras de los números 17,107 y 808,181.

3 Representa sobre la recta numérica los números 1,3, 1,33 y 1,333.

5.1. Representación y ordenación de los números decimales

5.2 Operaciones con números decimales ◗Sumas y restas ACTIVIDAD RESUELTA 4 Efectúa las siguientes operaciones: a) 12,357 + 7,296

b) 12,357 − 7,296

c) 8,356 + 5,422 − 9,159

a) 12,357 + 7,296 19,653

b) 12,357 – 7,296 5,061

8,356 ⎯→ 13,778 + 5,422 – 9,159 13,778 4,619

ACTIVIDAD PROPUESTA 5 Halla el resultado de:

RECUERDA

a) 100,859 − 77,627 + 15,965 b) 15,325 − 7,89 + 1,123

c) 37,43 − 5,065 + 0,12 d) 24,023 − 16,987 + 0,556

Para efectuar las sumas y las restas hay que alinear las cifras y las comas en columnas.

◗Multiplicación ACTIVIDADES RESUELTAS 6 Realiza los productos siguientes: a) 71,35 • 2,7 b) 43,82 • 2,53 a)

71,35 → 2 cifras decimales × 2,7 → 1 cifra decimal

49 945 142 700 192,645 → 3 cifras decimales

7 Calcula los productos:

1 3146 21 9100 87 6400 110,8646 → 4 cifras decimales RECUERDA

a) 5,73 • 10 b) 0,451 • 1 000 c) 12,5 • 100

d) 37,6 • 0,001 e) 985,2 • 0,1 f) 8,7 • 0,01

a) 5,73 • 10 = 57,3

d) 37,6 • 0,001 = 0,0376

b) 0,451 • 1 000 = 451 e) 985,2 • 0,1 = 98,52 c) 12,5 • 100 = 1 250

43,82 → 2 cifras decimales × 2,53 → 2 cifras decimales

f) 8,7 • 0,01 = 0,087

26 5. Los números decimales y fraccionarios

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000... se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen al 1. Para multiplicar un número decimal por 0,1, 0,01, 0,001... se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen al 1.

ACTIVIDAD PROPUESTA 8 Efectúa los productos siguientes: a) 8,7 • 100 b) 93 • 0,001 c) 15,76 • 10

d) 3 825 • 0,01 e) 0,075 • 1 000 f) 0,3 • 0,1

◗División ACTIVIDADES RESUELTAS 9 Realiza las divisiones siguientes, llegando hasta las milésimas: a) 5 : 7 b) 37,26 : 5 c) 27,415 : 6,39 a) 5,0 0 0 7 –4 9 0,7 1 4 10 –7 30 –2 8 2

b) 3 7,2 6 0 5 –3 5 7,4 5 2 22 –2 0 2 6 –2 5 10 –10 0

c) 2 7 4 –2 5 5 18 –1 2 5 –5

1,5 6 55 78 77 75 1

00 63 9 4,2 9 0 0 1 90

10 Calcula los cocientes siguientes: a) 35,19 : 0,1 b) 1 672,5 : 100

c) 0,77 : 0,001 d) 5,34 : 10

e) 0,098 : 0,01 f) 37,4 : 1 000

a) 35,19 : 0,1 = 351,9

c) 0,77 : 0,001 = 770

e) 0,098 : 0,01 = 9,8

b) 1 672,5 : 100 = 16,725

d) 5,34 : 10 = 0,534

f) 37,4 : 1 000 = 0,0374

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Obtén los cocientes siguientes, alcanzando las milésimas si se puede: a) 7 : 8

b) 14,6 : 3

c) 289,17 : 5,34

RECUERDA

12 Efectúa las divisiones siguientes: a) 0,7 : 0,1 b) 76,5 : 100

c) 9,28 : 0,01 d) 0,25 : 10

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1 000... se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen al 1. Para dividir un número decimal entre 0,1, 0,01, 0,001... se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen al 1. 5.2. Operaciones con números decimales

5.3 Concepto de fracción. Relación con los números decimales. Ordenación ACTIVIDADES RESUELTAS

RECUERDA

13 Para cada una de las siguientes fracciones, di cuáles son sus térmi nos, cómo se lee y si es propia o impropia: 7 23 a) b) 9 16 ⎯→ Numerador ⎯→ Denominador

7 a) 9

Siete novenos. Como 7 < 9, es fracción propia.

23 ⎯→ Numerador 16 ⎯→ Denominador

Fracción propia: si el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia: si el numerador es mayor o igual que el denominador.

Veintitrés dieciseisavos. Como 23 > 16, es fracción impropia.

14 Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones indicando si es exacto o periódico: 1 7 2 23 a) b) c) d) 8 4 3 99 Efectuando las divisiones: 1 a) = 0,125 Número decimal exacto. 8 7 b) = 1,75 Número decimal exacto. 4

2 = 0,666... Número decimal periódico. 3 23 d) = 0,23232323... Número decimal periódico. 99 c)

15 Halla por amplificación dos fracciones equivalentes a: 4 3 a) b) 5 7

b) 3 = 3 • 10 → 3 = 30 → ⎧ 3 • 70 = 7 • 30 ⎨ 7 7 • 10 7 70 ⎩ 210 = 210

⎧ 3 3 • 5 3 15 = → = → ⎨ 3 • 35 = 7 • 15 7 7 • 5 7 35 ⎩ 105 = 105

×10

×3

→

×2

→

⎧ 4 4 • 3 4 12 = → = → ⎨ 4 • 15 = 5 • 12 5 5 • 3 5 15 ⎩ 60 = 60

→

a) 4 = 4 • 2 → 4 = 8 → ⎧ 4 • 10 = 5 • 8 ⎨ 5 5 • 2 5 10 ⎩ 40 = 40

×5

16 Obtén por simplificación dos fracciones equivalentes a

⎧ 18 18 : 3 18 6 = → = → ⎨18 • 14 = 42 • 6 42 42 : 3 42 14 ⎩ 252 = 252 →

→

⎧ 18 18 : 2 18 9 = → = → ⎨18 • 21 = 42 • 9 42 42 : 2 42 21 ⎩ 378 = 378

18 195 y . 42 300

→

⎧ 195 195 : 3 195 65 = → = → ⎨195 • 100 = 300 • 65 300 300 : 3 300 100 ⎩ 19 500 = 19 500 :10

→

⎧ 195 195 : 5 195 39 = → = → ⎨ 195 • 60 = 300 • 39 300 300 : 5 300 60 ⎩ 11 700 = 11 700 :5

28 5. Los números decimales y fraccionarios

17 Ordena las fracciones reduciéndolas previamente a común denominador: Obtenemos el mínimo común múltiplo de 15, 10 y 12: 15 = 3 • 5 10 = 2 • 5 12 = 22 • 3 m.c.m. (15, 10, 12) = 22 • 3 • 5 = 60 4 4 • 4 16 3 3 • 6 18 3 3 • 5 15 = = = = = = 15 15 • 4 60 10 10 • 6 60 12 12 • 5 60 Comparamos ahora los numeradores: 15 16 18 3 4 3 < < ⎯→ < < 60 60 60 12 15 10

4 3 3 , , 15 10 12

RECUERDA

Para reducir a común denominador tienes que hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores. El m.c.m. de varios números se obtiene multiplicando sus factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 18 Escribe cómo se leen las siguientes fracciones y di si son propias o impropias: 13 7 a) c) 19 7 b)

33 8

3 5

19 Mi padre ha partido una pizza en ocho trozos iguales de los que él ha comido uno, mi madre, dos; mi hermana, otros dos, y yo, tres. Expresa la fracción de pizza que hemos comido cada uno.

20 Halla el valor numérico (expresión decimal) de las siguientes fraccio nes indicando si la expresión obtenida es exacta o periódica: 5 1 a) c) 16 3 b)

27 50

2 9

21 Halla por amplificación dos fracciones equivalentes a: 3 a) 7 b)

13 15

21 27

9 16

RECUERDA

Expresión decimal de una fracción es el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Número decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales. Número decimal periódico es el que tiene una o varias cifras decimales que se repiten indefinidamente a partir de un determinado lugar.

5.3. Concepto de fracción. Relación con los números decimales. Ordenación

22 Obtén la fracción irreducible de cada una de las siguientes fracciones: 714 a) 966 b)

630 1 800

2 376 3 564 RECUERDA

14 d) 30

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene el mayor numerador. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene el menor denominador.

23 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 1 3 2 3 a) , , , 5 7 9 4 b)

12 13 7 27 , , , 15 30 12 60

5.4 Operaciones con fracciones RECUERDA

Podemos efectuar la división de dos fracciones de dos maneras distintas: Multiplicando la primera por la inversa de la segunda. Multiplicando las fracciones en cruz.

ACTIVIDADES RESUELTAS 24 Realiza las siguientes operaciones: 1 5 a) 3 + – 3 2 b)

3 7 : 5 10

1 5 18 2 15 5 – = + – = 3 2 6 6 6 6 3 7 3 10 3 • 10 30 b) : = • = = 5 10 5 7 5 • 7 35 a) 3 +

25 Calcula:

[( 12 – 13 ) • 17 ] + [( 12 + 13 ) : 25 ] [(

1 1 1 – • + 2 3 7

) ] [(

1 = [ 16 • 17 ] + [ 56 : 25 ] = [ 6 • 7 ] + [ 5 • 5 6 • 2 ]

1 • 2 25 • 7 2 + 175 177 59 = + = = = [ 421 ] + [ 25 12 ] 42 • 2 12 • 7 84 84 28 m.c. m. (42, 12) = 22 • 3 • 7 = 84

30 5. Los números decimales y fraccionarios

) ]

3+2 2 : = 6 5

→

) ] [(

3–2 1 + 6 7

→

) ] [(

1 1 2 + : = 2 3 5

RECUERDA

Cuando aparecen operaciones combinadas, hay que efectuarlas respetando un orden, operando primero en el interior de los paréntesis.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 26 Realiza las siguientes operaciones: 1 1 1 a) – + 6 7 2

1 1 –2+ 5 3

c) 3 –

( 13 + 14 )

( 37 + 35 ) – ( 57 – 25 )

27 Calcula los siguientes cocientes: 7 2 4 a) : c) : 2 9 5 7

11 66 : 15 75

1 :9 3

28 Calcula: a) 1 –

(

1 1 :3+ + 1 • 3 2 2

(

3 3 •2+ + 1 • 2 4 4

b) 1 –

)

(

)

(

)

( 103 • 14 ) : ( 24 • 53 ) (

1 1 •3– 1– • 3 5 5

(

4 4 : 1– 5 5

d) 1 +

e) 1 +

)

) (

(

)

) 5.4. Operaciones con fracciones

Proporcionalidad numérica

◗Razón y proporción

a . Mientras que en una fracción los números b a y b han de ser enteros, en una razón pueden ser decimales. a d ■■ Cuatro números a, b, c y d forman una proporción si = . b c A los números a y d se les llama extremos; a los números b y c, medios. a d En toda proporción se cumple que = = constante de proporcionalidad (valor numérico). b c En cualquier proporción se cumplen dos propiedades: a c a+b 1.ª = = b d b+d a c 2.a = ⎯→ a • d = b • c ⎯→ los productos cruzados son iguales: el producto de b d medios es igual al producto de extremos. ■■ Se llama razón entre dos números a y b al cociente

◗Proporcionalidad directa e inversa. Resolución de problemas ■■ Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando al aumentar —o disminuir— una de ellas (a → a') la otra aumenta —o disminuye— en la misma proporción, verificándose: a b = a' b' Para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales usaremos el método de la regla de tres directa. ■■ Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales cuando al aumentar —o disminuir— una de ellas (b → b') la otra disminuye —o aumenta— en la misma proporción, verificándose: a • a' = b • b' Para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales usaremos el método de la regla de tres inversa.

◗Porcentajes ■■ Se denomina porcentaje o tanto por ciento a una cantidad de cada cien unidades. Se puede 7 escribir de tres maneras: como porcentaje (7 %), como fracción y como número decimal 100 (0,07).

(

)

■■ Para hallar el valor del tanto por ciento de una cantidad, la multiplicamos por el tanto y dividimos entre 100 o la multiplicamos por el número decimal correspondiente: 7 7 • 200 • 200 = = 14 0,07 • 200 = 14 100 100 ■■ Aumento porcentual: si el valor de una cantidad aumenta un determinado porcentaje, el nuevo valor es el resultado de multiplicar el valor original por una cantidad igual a la unidad más el valor decimal del porcentaje; así, un incremento de un 7 % equivale a un valor decimal de 1,07. 200 incrementado un 7 % = 200 + 200 • 0,07 = 200 • 1,07 = 214 ■■ Disminución porcentual (descuento): si el valor de una cantidad disminuye un determinado porcentaje, el nuevo valor es el resultado de multiplicar el valor original por una cantidad igual a la unidad menos el valor decimal del porcentaje; así, una disminución de un 7 % equivale a un valor decimal de 0,93. 200 con una disminución del 7 % = 200 – 200 • 0,07 = 200 • 0,93 = 186

32 6. Proporcionalidad numérica

6.1 Razón y proporción ACTIVIDADES RESUELTAS 1 La razón entre 1 y 4 es 0,25. Halla otros tres pares de números cuya razón sea 0,25. Multiplicando los dos miembros de la razón por un mismo número, obtenemos otra pareja con la misma razón: 1 • 2 2 1 • 3 3 1 • 4 4 = = 0,25 = = 0,25 = = 0,25 4 • 2 8 4 • 3 12 4 • 4 16 5 : 7 a) Obtén otra razón que forme proporción con la anterior. 3 5 b) Averigua si la razón forma proporción con . 4 7

2 Dada la razón

5 • 2 10 a) Multiplicamos los dos términos de la primera razón por un mismo número: = y com7 • 2 14 probamos que forma proporción con la anterior:

⎧ ⎨ ⎩

? b) 5 = 3 → 5 • 4 = 20 7 4 7 • 3 = 21

5 • 4 ≠ 7 • 3. Por tanto,

⎧ ⎨ ⎩

5 • 14 = 70 5 10 = → 7 14 7 • 10 = 70

5 • 14 = 7 • 10

3 5 no forma proporción con . 4 7

3 Averigua si los números 3, 7, 9 y 21 forman una proporción. 3 9 Si forman proporción, deben cumplir que = , es decir que 7 21 3 • 21 = 7 • 9. 3 • 21 = 63 ⎫ ⎬ Sí forman proporción. 7 • 9 = 63 ⎭

RECUERDA

En una proporción el producto de los extremos ha de ser igual que el producto de los medios.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Dados los números 5, 9 y 15, halla el cuarto proporcional.

RECUERDA

Se llama cuarto proporcional al término x que no conocemos en una proporción.

6.1. Razón y proporción

5 En la publicidad de un modelo de coche se dice que «consume 6,9 litros a los 100 kilómetros». Escribe y calcula la razón entre los litros consumidos y los kilómetros recorridos.

6 Un famoso delantero llevaba 7 goles marcados en los 8 primeros partidos. Escribe y calcula la razón entre el número de goles y el número de partidos. Si nos dicen después que en 11 partidos jugados lleva 9 goles, ¿forma la nueva razón una proporción con la anterior?

6.2 Proporcionalidad directa e inversa ACTIVIDADES RESUELTAS 7 De entre las siguientes parejas de magnitudes, di cuáles son directamente proporcionales y cuáles son inversamente proporcionales: a) El número de golosinas que compro y el precio que debo pagar. b) El número de actividades parecidas que tengo que hacer y el tiempo que he de emplear en ello. c) El número de libros (del mismo peso cada uno) que llevo en la mochila y el peso de la mochila. d) El número de amigos que vienen a mi fiesta de cumpleaños y el tamaño del trozo de tarta a que tocamos cada uno. Son directamente proporcionales los casos a), b) y c) e inversamente proporcionales el caso d), pues cuantos más amigos vengan, menor será el trozo de tarta para cada uno. 8 Completa la siguiente tabla, si se trata de magnitudes directamente proporcionales: N.º de horas trabajadas

N.º de euros ganados

105

Formamos las siguientes proporciones: 1 2 = ⎯→ 1 • a = 7 • 2 ⎯→ a = 14 € 7 a 1 b 28 = ⎯→ 1 • 28 = 7 • b ⎯→ b = = 4 horas 7 28 7 1 8 = ⎯→ 1 • c = 7 • 8 ⎯→ c = 56 € 7 c 1 d 105 = ⎯→ 1 • 105 = 7 • d ⎯→ d = = 15 horas 7 105 7

34 6. Proporcionalidad numérica

9 Completa la siguiente tabla si se trata de magnitudes inversamente proporcionales. Velocidad de un móvil (m/s)

Tiempo en llegar al destino (s)

0,25

Formamos las siguientes proporciones: 1 • 2 ⎯→ a = 1 s 2 1 • 2 1 1 • 2 = 4 • b ⎯→ b = ⎯→ b = = 0,5 s 4 2 1 • 2 1 • 2 = c • 0,25 ⎯→ c = ⎯→ c = 8 m/s 0,25 1 • 2 = 2 • a ⎯→ a =

6.3 Problemas de proporcionalidad ACTIVIDADES RESUELTAS 10 Por tres entradas de cine nos han cobrado 16,50 €. ¿Cuánto nos cobrarán si en vez de 3 fuéramos 5 amigos?

RECUERDA

Hacer una regla de tres simple directa consiste en formar una proporción y calcular el cuarto proporcional.

Vamos a resolverlo aplicando el método de la regla de tres directa: Si 3 entradas ⎯⎯⎯→ cuestan 16,50 € 5 entradas ⎯⎯⎯→ costarán x € 3 16,50 82,50 = ⎯→ 3 • x = 5 • 16,50 ⎯→ x = = 27,50 € 5 x 3

11 Dos agricultores han tardado 3 horas en sembrar un campo. ¿Cuánto habrían tardado seis agricultores en sembrar el mismo campo? A más trabajadores menos tiempo, por lo que la relación es de proporcionalidad inversa y vamos a resolverlo aplicando el método de la regla de tres inversa:

RECUERDA

En la regla de tres inversa invertimos la primera razón.

Si 2 agricultores ⎯⎯⎯→ tardan 3 horas 6 agricultores ⎯⎯⎯→ tardarán x horas 6 3 2 • 3 = ⎯→ x = ⎯→ x = 1 hora 2 x 6

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Si por 2 horas de estacionamiento en un aparcamiento a mi madre le han cobrado 5 €, ¿cuánto le costará dejarlo 5 horas?

13 Dos grifos tardan 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardarán cinco grifos en llenar el mismo depósito?

6.3. Problemas de proporcionalidad

6.4 Porcentajes RECUERDA

ACTIVIDADES RESUELTAS

El 50 % de cualquier cantidad es igual a su mitad (dividir entre 2). El 25 % de cualquier cantidad es igual a su cuarta parte (dividir entre 4). El 10 % de cualquier cantidad es igual a su décima parte (dividir entre 10).

14 Calcula los siguientes porcentajes: a) 15 % de 340

b) 50 % de 124

a) 15 % de 340 =

15 5 100 • 340 = = 51 100 100

b) 50 % de 124 =

50 6 200 124 • 124 = = 62; 50 % de 124 = = 62 100 100 2

15 En las elecciones a delegado de la clase, José ha obtenido el 40 % de los votos. Si el total de alumnos es 25, halla cuántos votos ha conseguido.

OBSERVA

Conociendo el % y el total, hallamos la parte correspondiente al %.

Planteamos una sencilla regla de tres:

⎧ ⎨ ⎩

Si de 100 ⎯⎯⎯→ 40 25 • 40 1 000 x= = = 10 votos 100 100 de 25 ⎯⎯⎯→ x 16 En la votación anterior, a Jacinto le han votado cuatro chicas y un chico. ¿Qué % representan esos cinco votos respecto del total?

⎧ ⎨ ⎩

Si de 25 ⎯⎯⎯→ 5 100 • 5 x= = 20 % 25 de 100 ⎯⎯⎯→ x 17 En la clase de Rosa hay 12 chicas, lo que representa el 60 % del total de la clase. Halla ese total de alumnos y el número de chicos. Seguimos planteando una regla de tres simple:

OBSERVA

Conociendo una parte y el % que ella representa hallamos el total.

⎧ ⎨ ⎩

Si de 100 ⎯⎯⎯→ hay 60 100 • 12 x= = 20 alumnos 60 de x ⎯⎯⎯→ hay 12 De los 20 alumnos que hay, 12 son chicas y 20 − 12 = 8 chicos. 18 En el último año el precio de un determinado producto se ha incrementado en un 16 %. ¿Cuál es su precio actual si hace un año costaba 125 €? Un incremento del 16 % corresponde a 1 + 0,16 = 1,16, por tanto: 125 € • 1,16 = 145 €

19 En una librería de mi barrio hacen un descuento del 6 % a los alumnos de mi instituto. ¿Cuánto voy a pagar por un libro que al resto del público le cuesta 35 €? Un descuento del 6 % corresponde a 1 – 0,06 = 0,94, por tanto: 35 € • 0,94 = 32,90 €

36 6. Proporcionalidad numérica

ACTIVIDADES PROPUESTAS 20 Halla los porcentajes siguientes: a) 15 % de 1 000 b) 75 % de 800 c) 25 % de 840

21 En un partido de baloncesto, Rosa ha lanzado 16 tiros libres, de los cuales ha encestado el 75 %. ¿Cuántos ha encestado? ¿Cuántos ha fallado?

22 En ese mismo partido Rosa ha lanzado 6 tiros de tres puntos, de los que ha encestado 2. Calcula el porcentaje de aciertos y el de fallos.

23 En otro partido Rosa ha encestado 4 lanzamientos de dos puntos, lo que ha representado el 80 % del total de tiros. ¿Cuántos lanzamientos ha hecho y cuántos ha fallado?

24 El año pasado en mi instituto había 80 alumnos cursando 1.º de la ESO. He oído que este año ese número se ha incrementado en un 5 %. ¿Cuántos alumnos hay este año?

25 En la factura que le ha entregado a mi madre el fontanero, al precio por el trabajo realizado, 85 €, hay que restarle el 15 % del impuesto sobre la renta (IRPF), pero hay que sumarle el 16 % del IVA (otro impuesto) aplicado también sobre los 85 €. ¿Cuánto le deberá pagar finalmente mi madre?

6.4. Porcentajes

El sistema métrico decimal

■■ Unidades de longitud y superficie: la unidad principal de longitud es el metro (m), y la de superficie, el metro cuadrado (m2). Longitud Para subir hay que dividir por 10 (:10) 1 km = = 1 000 m

1 hm = = 100 m

1 dam = = 10 m

1 dm = = 0,1 m

1 cm = = 0,01 m

1 mm = = 0,001 m

1 cm2 = = 0,0001 m2

1 mm2 = = 0,000001 m2

Para bajar hay que multiplicar por 10 (×10) Superficie Para subir hay que dividir por 100 (:100) 1 km2 = = 1 000 000 m2

1 hm2 = = 10 000 m2

1 dam2 = = 100 m2

1 m2

1 dm2 = = 0,01 m2

Para bajar hay que multiplicar por 100 (×100)

■■ Unidades de volumen y capacidad: la unidad principal de volumen es el metro cúbico (m3), y la de capacidad, el litro (L). Existe la siguiente relación: 1 m3 = 1 000 L y 1 L = 1 dm3 Volumen Para subir hay que dividir por 1 000 (:1 000) 1 km3 = 1 hm3 = 1 dam3 = 3 3 = 1 000 000 000 m = 1 000 000 m = 1 000 m3

1 m3

1 dm3 = 1 cm3 = 1 mm3 = 3 = 0,001 m = 0,000001 m3 = 0,000000001 m3

Para bajar hay que multiplicar por 1 000 (×1 000) Capacidad Para subir hay que dividir por 10 (:10) 1 kL = = 1 000 L

1 hL = = 100 L

1 daL = = 10 L

1 dL = = 0,1 L

1 cL = = 0,01 L

1 mL = = 0,001 L

Para bajar hay que multiplicar por 10 (×10)

■■ Unidades de masa: las principales unidades de masa son el gramo (g) y el kilogramo (kg). Para subir hay que dividir por 10 (:10) 1 kg = = 1 000 g

1 hg = = 100 g

1 dag = = 10 g

1 dg = = 0,1 g

1 cg = = 0,01 g

1 mg = = 0,001 g

Para bajar hay que multiplicar por 10 (×10)

■■ Algunos sistemas monetarios: euro y dolar El sistema monetario europeo tiene como unidad el euro (€), que se divide en 100 céntimos. El sistema monetario estadounidense tiene como unidad el dólar ($), que se divide en 100 centavos.

38 7. El sistema métrico decimal

7.1 Unidades de longitud y superficie ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Efectúa los siguientes cambios de unidades de longitud: a) 5 km a dm

b) 3 mm a m

c) 0,4 hm a km

d) 6 cm a mm

e) 0,02 dam a cm

a) 5 km (×10) = 50 hm (×10) = 500 dam (×10) = 5 000 m (×10) = 50 000 dm b) 3 mm (:10) = 0,3 cm (:10) = 0,03 dm (:10) = 0,003 m c) 0,4 hm (:10) = 0,04 km d) 6 cm (×10) = 60 mm e) 0,02 dam (×10) = 0,2 m (×10) = 2 dm (×10) = 20 cm 2 Efectúa los siguientes cambios de unidades de superficie: a) 2 m2 a km2

b) 3 km2 a dam2

c) 0,5 hm2 a dm2

d) 400 mm2 a dam2

a) 2 m2 (:100) = 0,02 dam2 (:100) = 0,0002 hm2 (:100) = 0,000002 km2 b) 3 km2 (×100) = 300 hm2 (×100) = 30 000 dam2 c) 0,5 hm2 (×100) = 50 dam2 (×100) = 5 000 m2 (×100) = 500 000 dm2 d) 400 mm2 (:100) = 4 cm2 (:100) = 0,04 dm2 (:100) = 0,0004 m2 (:100) = 0,000004 dam2

ACTIVIDADES CON PISTAS 3 Efectúa los siguientes cambios de unidades de longitud: a) 5 hm a cm b) 7,9 km a m

c) 308 cm a dam d) 2 mm a m

a) 5 hm = 5 •

= 50 000 cm

b) 7,9 km = 7,9 •

= 7 900 m

c) 308 cm = 308 : d) 2 mm = 2 :

e) 8,5 dam a km f) 23,1 m a dm

= 0,308 dam = 0,002 m

e) 8,5 dam = 8,5 :

= 0,085 km

f) 23,1 m = 23,1 •

= 231 dm

4 Efectúa los siguientes cambios de unidades de superficie: a) 0,175 m2 a cm2 a) 0,175 m2 = b) 15 537 mm2 = c) 0,023 km2 = d) 26 dm2 =

b) 15 537 mm2 a m2

c) 0,023 km2 a dam2 d) 26 dm2 a mm2

= 1 750 cm2 =

= 0,015537 m2

= 230 dam2 = 260 000 mm2

7.1. Unidades de longitud y superficie

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Expresa en metros las siguientes longitudes: a) 0,07 km b) 50,7 cm

c) 380 mm d) 0,29 dam

e) 3 dm f) 12 hm

6 Convierte a milímetros las siguientes longitudes: a) 5 m b) 0,9 dam

c) 0,002 km d) 18 cm

e) 7 dm f) 0,43 hm

7 Transforma a kilómetros las siguientes longitudes: a) 37 m b) 189 dm

c) 95 000 mm d) 1,5 hm

e) 7 489 cm f) 5 dam

8 Tres amigos, Emilio, Carmen y José María, deciden correr una maratón popular, pero ninguno de los tres logra llegar a la meta. Carmen abandona cuando lleva recorridos 5,7 km 5 dam 2 dm 80 mm; Emilio, cuando lleva 62 hm 6 m 7 dm 3 cm, y José María, cuando lleva 711 dam 94 dm 50 mm. Halla los metros que corrió cada uno y cuál de los tres aguantó más.

40 7. El sistema métrico decimal

RECUERDA

Podemos expresar una medida en varias unidades o forma compleja. Para operar con ella es preciso convertirla primero en una sola unidad o forma incompleja.

9 Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie: a) 7 200 000 mm2 b) 65 314 cm2 c) 3 671 dm2 d) 0,063 km2 e) 0,08 hm2 10 Convierte a milímetros cuadrados las siguientes medidas de superficie: a) 0,033 dam2 b) 5 cm2 c) 0,87 m2 d) 8 dm2 e) 0,012 hm2 11 Transforma en kilómetros cuadrados las siguientes medidas de superficie: a) 1 732 m2 b) 85 hm2 c) 367 dam2 d) 565 231 dm2 e) 19 534 225 mm2

7.2 Unidades de volumen y capacidad ACTIVIDADES RESUELTAS 12 Efectúa las siguientes transformaciones de unidades de volumen y capacidad: a) 23 m3 a cm3

b) 234 dL a hL

c) 0,47 dm3 a mm3

d) 90 L a dL

a) 23 m3 (×1 000) = 23 000 dm3 (×1 000) = 23 000 000 cm3 b) 234 dL (:10) = 23,4 L (:10) = 2,34 daL (:10) = 0,234 hL c) 0,47 dm3 (×1 000) = 470 cm3 (×1 000) = 470 000 mm3 d) 90 L (×10) = 900 dL 13 Efectúa las siguientes transformaciones entre unidades de volumen y capacidad: a) 23 m3 a L

b) 0,1 L a dm3

c) 234 dL a mm3

d) 68 cm3 a L

a) 23 m3 = 23 000 L b) 0,1 L = 0,1 dm3 c) 234 dL (:10) = 23,4 L = 23,4 dm3 (×1 000) = 23 400 cm3 (×1 000) = 23 400 000 mm3 d) 68 cm3 (:1 000) = 0,068 dm3 = 0,068 L

7.2. Unidades de volumen y capacidad

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14 Expresa en cm3 las siguientes medidas de volumen: a) 1 dm3

b) 0,3 m3

c) 345 mm3

b) 987 mm3

c) 360 cm3

b) 3 hm3

c) 0,3 dam3

15 Expresa en dm3: a) 0,05 m3

16 Expresa en m3: a) 600 cm3

17 Expresa en litros las siguientes medidas de capacidad: a) 0,89 hL b) 5 526 mL

c) 852 dL d) 1,63 kL

e) 0,7 daL f) 60 000 mL

c) 3,5 L d) 777 cL

e) 39 daL f) 557 dL

18 Convierte a kilolitros: a) 875 hL b) 63 589 mL

42 7. El sistema métrico decimal

19 Transforma en mililitros: a) 0,71 hL b) 8 cL

c) 0,35 L d) 0,0009 kL

e) 0,04 daL f) 12 dL

20 A lo largo de la maratón, los tres amigos fueron bebiendo estas cantidades de agua: Carmen, 34 dL 7 cL 2 mL; Emilio, 5,6 L 5,1 cL, y José María, 4 L 8,9 dL 3 mL. Calcula los litros de agua que bebió cada uno y di quién bebió más.

21 Efectúa las siguientes transformaciones entre unidades de volumen y capacidad: a) 980 dm3 a daL b) 0,546 cm3 a mL c) 769 mm3 a cL d) 0,629 L a cm3 e) 25 dm3 a dL

7.3 Unidades de masa ACTIVIDADES RESUELTAS 22 Transforma 8,2 kg y 7 637 mg en cada uno de los múltiplos y submúltiplos del gramo: × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 8,2 kg ⎯⎯→ 82 hg ⎯⎯→ 820 dag ⎯⎯→ 8 200 g ⎯⎯→ 82 000 dg ⎯⎯→ × 10 × 10 ⎯⎯→ 820 000 cg ⎯⎯→ 8 200 000 mg : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 7 637 mg ⎯⎯→ 763,7 cg ⎯⎯→ 76,37 dg ⎯⎯→ 7,637 g ⎯⎯→ 0,7637 dag ⎯⎯→ : 10 : 10 ⎯⎯→ 0,07637 hg ⎯⎯→ 0,007637 kg

23 Convierte en gramos las siguientes medidas de masa: a) 65 hg

b) 839 mg

c) 0,05 dag

d) 67 dg

a) 65 hg = 65 • 100 = 6 500 g

c) 0,05 dag = 0,05 • 10 = 0,5 g

b) 839 mg = 839 : 1 000 = 0,839 g

d) 67 dg = 67 : 10 = 6,7 g

7.3. Unidades de masa

ACTIVIDADES PROPUESTAS 24 Efectúa las siguientes transformaciones de unidades de masa: a) 379 hg a g b) 0,23 dag a g

c) 42 cg a mg d) 0,071 hg a mg

e) 9 275 cg a kg f) 33 dag a kg

25 Debido al esfuerzo, los tres amigos, que se pesaron antes y después de la carrera, perdieron las siguientes masas: Carmen perdió 5 hg 8,7 dag 2,3 dg 5 mg; Emilio, 6 hg 16 g 481 mg, y José María, 72 dag 51 dg 34 mg. Transforma en gramos sus pérdidas de masa y di cuál de los tres fue el que más perdió.

7.4 Algunos sistemas monetarios: euro y dólar ACTIVIDADES RESUELTAS 26 Cuento las monedas que llevo en el monedero: 3 de 50 céntimos de euro, 4 de 20 céntimos de euro, 5 de 5 céntimos de euro, 7 de 2 céntimos de euro y 3 de 1 céntimo de euro. ¿Cuánto dinero llevo en total? Sumamos los céntimos de euro: 3 • 50 + 4 • 20 + 5 • 5 + 7 • 2 + 3 • 1 = 150 + 80 + 25 + 14 + 3 = 272 céntimos Es decir, llevo en total 272 céntimos de euro = 272 : 100 = 2 € y 72 céntimos de euro. 27 Realiza las siguientes conversiones monetarias teniendo en cuenta que 1 $ = 0,95 €: a) 235 € a $

b) 789 $ a €

Los problemas de conversión de divisas los resolvemos mediante el método de la regla de tres directa: 1 $ ⎯⎯⎯→ 0,95 € 235 • 1 x= = 247,37 $ 0,95 x $ ⎯⎯⎯→ 235 €

⎧ ⎨ ⎩

1 $ ⎯⎯⎯→ 0,95 € 789 • 0,95 x= = 749,55 € 1 789 $ ⎯⎯⎯→ x €

44 7. El sistema métrico decimal

RECUERDA

En el sistema monetario europeo existen: Billetes de 5 €, 10 €, 20 €, 50 €, 100 €, 200 € y 500 €. Monedas de 1 céntimo de euro, 2 céntimos de euro, 10 céntimos de euro, 20 céntimos de euro, 50 céntimos de euro, 1 € y 2 €.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 28 A José su abuela le ha dado 6 € y su madre, 3,50 €. La entrada al cine le ha costado 4,50 €, la bolsa de palomitas, 2,20 € y el refresco, 1,30 €. ¿Cuánto dinero se ha gastado en total? ¿Le queda dinero?

29 La compra que he hecho en el supermercado cuesta 7,33 €. He dado un billete de 20 € y me han devuelto un billete de 10 €, una moneda de 1 €, una moneda de 50 céntimos de euro y tres monedas de 5 céntimos de euro. ¿Me han dado bien el cambio?

30 En mi hucha tengo 17 monedas de 2 €, 23 de 1 €, 11 de 50 céntimos de euro, 41 de 20 céntimos de euro, 65 de 10 céntimos de euro, 38 de 5 céntimos de euro, 27 de 2 céntimos de euro y 15 de 1 céntimo de euro. ¿Cuánto dinero tengo ahorrado?

31 A un viaje a Estados Unidos llevé 200 € que tuve que cambiar en el aeropuerto. ¿Cuántos dólares me dieron si en aquel momento 1 dólar equivalía a 0,93 €? Si allí me gasté 100 $, ¿cuántos euros me sobraron?

7.4. Algunos sistemas monetarios: euro y dólar

Ecuaciones de primer grado

◗Expresiones algebraicas ■■ Para expresar en lenguaje matemático situaciones en las que intervienen datos desconocidos usamos las expresiones algebraicas, que están formadas por números y letras, combinados con los signos +, −, ×, : y con potencias. ■■ Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica hemos de sustituir las letras por números y efectuar las operaciones indicadas.

◗Igualdades, identidades y ecuaciones ■■ Una igualdad numérica son dos expresiones numéricas, separadas por el signo =, que dan el mismo resultado. ■■ Una identidad es una igualdad con letras y números que se cumple para cualquier valor de las letras. ■■ Una ecuación es una igualdad con letras y números que se cumple solo para ciertos valores de las letras, llamadas incógnitas. Los elementos de una ecuación son: Los miembros, que son las expresiones que figuran a la izquierda y a la derecha del signo =. Los términos, que son los sumandos de que consta cada miembro. Las incógnitas, que son las letras cuyo valor desconocemos. La o las soluciones, que son el valor o los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad. ■■ Una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella en la que la incógnita está elevada a 1, en todos los términos en que aparece. Por ejemplo: x+5=2

◗Resolución de ecuaciones de primer grado ■■ Resolver una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad. Ese valor será la solución de la ecuación. ■■ Cuando dos ecuaciones tienen la misma solución decimos que son equivalentes.

◗Resolución de problemas mediante ecuaciones ■■ Si las condiciones de un problema las expresamos de forma algebraica, diremos que hemos planteado la ecuación correspondiente a dicho problema. La solución de la ecuación será entonces la solución del problema. ■■ Para resolver una ecuación de primer grado hemos de seguir estos pasos: 1.o Quitar los paréntesis.

2 • (3x + 1) = 5 • (3x – 4) – 5

2.o Reducir (si se puede) los dos miembros.

6x + 2 = 15x – 20 – 5

3.o

6x + 2 = 15x – 25

Transponer términos.

4.o Volver a reducir los dos miembros. 5.o

Despejar la incógnita.

6x – 15x = –25 – 2

–9x = –27 –27 x = =3 –9

46 8. Ecuaciones de primer grado

8.1 Expresiones algebraicas ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Expresa en lenguaje algebraico los enunciados siguientes: a) Un número cualquiera menos cinco. b) La mitad del cuadrado de un número. c) La mitad de un número al cuadrado. d) El triple de un número más cuatro. a) x – 5

x2 2

RECUERDA

( 2x )

Los datos indeterminados pueden representarse mediante cualquier letra, aunque tradicionalmente usamos la x.

d) 3x + 4

2 Expresa en lenguaje algebraico los enunciados siguientes. Usa la letra a para representar el dato desconocido: a) b) c) d)

La suma de dos números consecutivos. Un número más la mitad de su consecutivo. Un número menos su cuadrado. Un número menos el doble del anterior.

a) a + (a + 1)

b) a +

a+1 2

c) a – a2

d) a – 2(a – 1)

3 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor de la incógnita que se indica en cada caso: 5 a) x, para x = 3. c) −2x + 1, para x = 0. 3 b) 3x − 1, para x = −2. d) 2x − (x − 1), para x = 5. 5 a) • 3 = 5 3 b) 3 • (–2) – 1 = –6 – 1 = –7

c) –2 • 0 + 1 = 0 + 1 = 1 d) 2 • 5 – (5 – 1) = 10 – 4 = 6

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Escribe en lenguaje algebraico estos enunciados: a) Siete veces un número. b) Ese mismo número al cuadrado menos cinco. c) Ese mismo número menos cinco, y todo elevado al cubo.

8.1. Expresiones algebraicas

5 Expresa en forma algebraica los siguientes enunciados. Usa la letra n para representar el dato desconocido: a) El cuadrado de un número menos la mitad de ese número. b) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. c) Un número menos la mitad de su anterior. d) La suma de tres números consecutivos.

6 Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes para x = 5: x2 a) 5 b) √(x – 1)2 + (x – 2)2 c) x3– 3x2 + x d) 2x – 10

8.2 Igualdades, identidades y ecuaciones ACTIVIDAD RESUELTA 7 Para cada una de las siguientes expresiones di si se trata de una igualdad, una identidad o una ecuación: a) 3 • 4 – 2 = 10

b) 2x + 3 = 5

c) 5x – 3x = 2x

a) Es una igualdad numérica. b) Es una ecuación, pues solo se cumple cuando x = 1. c) Es una identidad, pues se cumple para cualquier valor que le demos a x.

ACTIVIDAD PROPUESTA 8 Di si cada una de las expresiones siguientes es una igualdad, una identidad o una ecuación: a) 4x − 3 = 5x − (x + 3) b) 4x − 3 = x c) 5 • 3 − 12 = 7 − 2 • 2

48 8. Ecuaciones de primer grado

8.3 Resolución de ecuaciones de primer grado ACTIVIDAD

RESUELTA

9 Halla la solución de las ecuaciones siguientes: a) x − 3 = 5 b) 7x = 35 c)

x =5 8

d) 6x − 3 = 2x + 9 f)

3x – 2 x 7x + = 3 2 6

a) x − 3 = 5 → transponemos el −3, que pasa al 2.° miembro como +3 → x = 5 + 3 = 8 b) 7x = 35 → el 7, que en el 1.er miembro está multiplicando, pasa al 2.° dividiendo → 35 → x = =5 7 x c) = 5 → el 8, que en el 1.er miembro está dividiendo, pasa al 2.° multiplicando → 8 → x = 5 • 8 = 40 12 d) Transponer → 6x − 2x = 9 + 3 → 4x = 12 → x = =3 4 e) 5(x + 1) – 3(x – 1) = 3x + 4 → 5x + 5 – 3x + 3 = 3x + 4 → 2x + 8 = 3x + 4 → → transponer → 2x – 3x = 4 – 8 → –x = –4 → x = 4 f) Hallamos el m.c.m. (3, 2, 6) = 6. Multiplicamos los dos miembros por el m.c.m.: 6(3x – 2) 6x 6 • 7x + = 3 2 6 Simplificando las fracciones, resulta: 2(3x – 2) + 3x = 7x → 6x – 4 + 3x = 7x → 9x – 7x = 4 → 2x = 4 → x = 2

ACTIVIDAD CON PISTAS 10 Resuelve las ecuaciones siguientes: 4+x 2+x x a) 7x − 3 = 3x + 5 b) + = – 2 5 10 a) 7x − 3 = 3x + 5 → b)

–

→

→ x =

4+x 2+x x 10(4 + x) 10(2 + x) 10x + = – → m.c.m. (2, 5, 10) = 10 → + = – 2 5 10 2 5 10 Simplificando: (4 + x) + → 7x + 24 = –x →

(2 + x) = –x → +

= –x →

→

→ x =

= –3

8.3. Resolución de ecuaciones de primer grado

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Obtén la solución de las ecuaciones siguientes: x a) − 1 = 3 c) 3(x – 5) + 2(x + 1) = 3x – 1 3 x–1 b) = –2 d) 3x + 18 – x = 5x – 3 5

e) 2(2x + 1) − 6(x − 1) = 3x – 2 f) 2(3x + 11) + 3(7 + x) = 2(18 + x)

12 Obtén la solución de las ecuaciones siguientes: a)

x–3 x–2 + =2 2 3

50 8. Ecuaciones de primer grado

b) x +

x = 2(x – 4) 5

8.4 Resolución de problemas mediante ecuaciones ACTIVIDADES RESUELTAS 13 La suma de un número más su anterior, más su siguiente da 18. ¿Qué número es? Llamemos x al número desconocido. Según dice el enunciado: x + (x − 1) + (x + 1) = 18 ⎯→ x + x − 1 + x + 1 = 18 ⎯→ 3x = 18 ⎯→ x = 6 Se trata del número 6, y lo comprobamos: 6 + 5 + 7 = 18. 14 David ha dado a Irene y a Diego 27 caramelos. Si Irene ha recibido el doble de caramelos que Diego, ¿cuántos caramelos tiene cada uno? Si llamamos x al número de caramelos que ha recibido Diego, Irene tendrá 2x y por tanto: x + 2x = 27 ⎯→ 3x = 27 ⎯→ x = Por tanto, Diego tiene 9 caramelos e Irene, 18.

27 =9 3

ACTIVIDADES PROPUESTAS 15 La edad de un padre es tres veces la de su hijo, y si se suman las edades de los dos, se obtiene 60. Halla la edad de cada uno.

16 En un partido de fútbol, María ha marcado el doble de goles que Pedro y entre los dos han conseguido marcar 12. Halla los goles marcados por cada uno.

8.4. Resolución de problemas mediante ecuaciones

Rectas y ángulos

◗Segmentos, semirrectas y rectas. Posiciones relativas ■■ Un segmento es la línea más corta entre dos puntos del plano. ■■ Una semirrecta se obtiene prolongando indefinidamente uno de los extremos de un segmento. ■■ Una recta se obtiene prolongando indefinidamente los dos extremos de un segmento. ■■ Sobre el plano, dos rectas pueden ser: r

Paralelas: no tienen ningún punto en común.

Secantes: tienen un punto en común.

Conincidentes: las dos están superpuestas.

■■ Si dos rectas secantes forman un ángulo de 90°, decimos que son perpendiculares.

◗Concepto de ángulo. Clasificación

Lado

■■ Llamamos ángulo a la parte del plano comprendida entre dos semirrectas con el mismo origen:

Ángulo Vértice

Lado ■■ Para medir ángulos usamos el sistema sexagesimal, en el que la unidad principal es el grado (°). Unidades más pequeñas que el grado son el minuto y el segundo:

1º = 60' = 3 600'' ■■ Los ángulos pueden sumarse o restarse entre sí y podemos multiplicarlos y dividirlos por números. ■■ Podemos distinguir entre los siguientes tipos de ángulos:

Agudo: < 90°.

Recto: = 90°.

Obtuso: > 90°.

Llano: = 180°.

Nulo: = 0°. D̂ Ĉ

Cóncavo: mayor 180°.

Â + B̂ = 90° Ángulos complementarios.

Convexo: menor 180°. D̂

B̂

Â Ángulos consecutivos: tienen el mismo vértice y un lado en común.

Ĉ + D̂ = 180° Ángulos suplementarios.

Ĉ Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos son suplementarios.

Â Ángulos opuestos por el vértice: comparten el mismo vértice y los lados de uno son las semirrectas opuestas del otro.

◗Mediatriz y bisectriz ■■ Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio. ■■ Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que parte de su vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

52 9. Rectas y ángulos

9.1 Rectas y ángulos a

ACTIVIDAD RESUELTA 1 Dada la siguiente figura: a) Relaciona los segmentos que la forman. b) Clasifica y relaciona los distintos ángulos que encuentras en ella.

B̂

Ĉ

D̂

K̂

L̂

e Ĥ

Ĝ

Jˆ

Î

f Ê

F̂

a) a es paralelo a c mientras que b es paralelo a d. a y c son perpendiculares a b y d. Los segmentos e y f son secantes. b) Los ángulos A, B, C, D, E, F , G, H, I y J son agudos y K y L son obtusos. Las parejas A y B, C y D, E y F , G y H, son parejas de ángulos complementarios. Las parejas I y J y K y L son parejas de ángulos opuestos. Además, las parejas I y K y L y J son parejas de ángulos suplementarios.

ACTIVIDADES PROPUESTAS c/ Violeta c/ Canela

2 Sobre el siguiente plano, considera las calles tan estrechas como si fueran líneas rectas. a) Di cómo son cada par de calles entre sí, paralelas o secantes. b) Nombra los ángulos que forman al cortarse con las letras A, B, C... y di cuáles son agudos, rectos u obtusos. c) Busca parejas de ángulos suplementarios y parejas que sean opuestos por el vértice.

c/ Albahaca

c/ Azafrán

3 Utiliza el transportador para medir los ángulos de la siguiente figura. ¿Qué relación existe entre los dos ángulos agudos?

RECUERDA

El transportador se usa para dibujar un ángulo de una medida determinada o para medir un ángulo ya dibujado sobre el papel. 90 120

150

180

9.1. Rectas y ángulos

9.2 Operaciones con ángulos ACTIVIDADES RESUELTAS 4 Si A = 23° 42' 36'' y B = 12° 51' 43'', calcula: a) A + B b) B – A a) Para sumar ángulos seguimos siempre el mismo procedimiento: • Ponemos un ángulo debajo del otro colocando grados debajo de grados, minutos debajo de minutos y segundos debajo de segundos. • Sumamos los segundos, y por cada 60'', añadimos 1' en la columna de los minutos. • Sumamos los minutos, y por cada 60', añadimos 1º a la columna de los grados. Sumamos los grados.

23° 12°

1' 42' 51'

36'' 43'' 19''

⎯→

1° 23° 12° 36°

1' 42' 51' 34'

OBSERVA

36'' 43'' 19''

36'' + 43'' = 79'' = 1' + 19'' 1' + 42' + 51' = 94' = 1° + 34'

b) Para restar ángulos seguimos siempre el mismo procedimiento: • Ponemos un ángulo debajo del otro colocando grados debajo de grados, minutos debajo de minutos y segundos debajo de segundos. • Empezamos por los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, se quita un minuto y se le añade en segundos al minuendo. • Continuamos por los minutos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, se quita un grado y se le añade en minutos al minuendo. Restamos los grados. OBSERVA 23° 41' 96'' 22° 101' 96'' ⎯→ 108'' = 1' + 48'' 12° 51' 43'' 12° 51' 43'' 127' = 2° + 7' 53'' 10° 50' 53''

5 Efectúa las siguientes operaciones: a) 3 • (23°42'36'') b) (16°18'40'') : 3 a) Para multiplicar ángulos por un número seguimos siempre el mismo procedimiento: • Primero multiplicamos el número por separado por grados, minutos y segundos: 3 • (23° 42' 36'') = 69° 126' 108'' • Después dividimos los segundos entre 60. El cociente se lo añadimos a los minutos y el resto se queda en segundos: (69° 126' 108'') = 69° 127' 48'' • Y luego dividimos los minutos entre 60. El cociente se lo añadimos a los grados y el resto se queda en minutos: 69° 127' 48'' = 71° 7' 48''

54 9. Rectas y ángulos

b) Para dividir ángulos por un número seguimos siempre el mismo procedimiento: • Primero dividimos los grados entre 3: 16° 3 1° 5° • El resto lo multiplicamos por 60 y se lo añadimos a los minutos: 18 + 1 • 60 = 78' • Ahora dividimos los minutos entre 3: 78' 3 0 26' • Como el resto es cero, no añadimos nada a los segundos. • Ahora dividimos los segundos entre 3: 40'' 3 1'' 13'' Por lo que (16° 18' 40'') : 3 = 5° 26' 13'' y sobra 1''.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 6 Sean A = 12° 22' 30'', B = 37° 40' 47'', C = 60° 6' 7'' y D = 90°. Calcula: a) A + B

b) D – C

c) 2A

d) C : 2

9.2. Operaciones con ángulos

9.3 Mediatriz y bisectriz ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Traza la mediatriz del segmento: A

Se puede hacer de dos maneras: 1.ª Midiendo con una regla la longitud del segmento. Dividiéndola entre dos tendremos su punto medio, desde el cual y con ayuda de una escuadra trazaremos la perpendicular, que es la mediatriz buscada. 2.ª Con un compás y una regla siguiendo estos pasos: Con abertura del compás mayor de la mitad del segmento traza un arco.

Une los puntos en los que se cortan ambos arcos

Desde el otro extremo y con la misma abertura traza otro arco.

Mediatriz

8 Dibuja la bisectriz del siguiente ángulo:

La dibujamos con ayuda de un compás y una regla. Traza un arco MN con centro en el vértice O.

Desde M y N traza dos arcos con la misma abertura del compás

Une el vértice del ángulo con el punto donde se cortan los dos arcos.

Bisectriz N

56 9. Rectas y ángulos

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 Traza la mediatriz del segmento AB y dibuja la bisectriz del ángulo AOB. B

10 Halla las mediatrices de los segmentos OA y OB y después, con un transportador, mide el ángulo AOB y compáralo con el que forman las mediatrices. ¿Qué relación hay entre ellos? B

11 Dibuja un triángulo cualquiera y a continuación traza las mediatrices de los lados. ¿Qué tienen en común las tres mediatrices? Ahora dibuja otro triángulo distinto y traza las tres bisectrices de sus ángulos. ¿Qué tienen en común?

9.3. Mediatriz y bisectriz

Polígonos

◗Polígonos. Definición, clasificación y propiedades ■■ Polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectilíneos. ■■ Según el tamaño de sus lados, los polígonos son: regulares (si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales entre sí) o irregulares. Según el número de lados: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados)... Según la amplitud de sus ángulos: cóncavos (algún ángulo es > > 180°) o convexos (todos los ángulos son < 180°). ■■ La suma de los ángulos interiores de un polígono es 180° • (n − 2), siendo n el n.° de lados. ■■ Simetría axial: un polígono presenta simetría axial si es simétrico respecto a alguna recta, que llamaremos eje de simetría. ■■ Triángulos Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Acutángulo: tres ángulos agudos.

Rectángulo: un ángulo recto (90°C). Obtusángulo: un ángulo obtuso (>90°C).

En un triángulo rectángulo: h2 = c2 + c2 (teorema de Pitágoras). Según sus lados, los triángulos se clasifican en:

Equilátero: tres lados iguales.

Isósceles: dos lados iguales.

Escaleno: tres lados distintos.

Dos triángulos son iguales si tienen: los tres lados iguales; dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales o un lado y sus ángulos adyacentes iguales. ■■ Cuadriláteros

Paralelogramos: tienen los lados opuestos paralelos.

Trapecios: tienen dos lados paralelos.

Trapezoides: no tienen lados paralelos.

Los paralelogramos se clasifican en:

Cuadrado: tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos (90°).

58 10. Polígonos

Rectángulo: tiene lados paralelos iguales y 4 ángulos rectos (90°).

Rombo: tiene ángulos opuestos iguales y 4 lados iguales.

Romboide: tiene ángulos opuestos iguales y lados paralelos iguales.

10.1 Clasificación y propiedades ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Nombra los siguientes polígonos según el número de sus lados, indicando además si son regulares o no. Halla la suma de los ángulos interiores de cada uno de ellos y di si presentan simetría axial.

Los polígonos son un octógono regular, un pentágono irregular, un triángulo escaleno y un hexágono regular, respectivamente. La suma de sus ángulos interiores vale: Octógono ⎯→ Pentágono ⎯→ Triángulo ⎯→ Hexágono ⎯→

180° • (8 180° • (5 180° • (3 180° • (6

− − − −

2) 2) 2) 2)

= = = =

180° • 6 180° • 3 180° • 1 180° • 4

= = = =

1 080° 540° 180° 720°

El octógono y el hexágono, como todos los polígonos regulares, presentan simetría axial respecto a las mediatrices de sus lados y respecto a las bisectrices de sus ánguos interiores.

2 Halla el perímetro de los polígonos siguientes:

l=2m

l = 2,5 m

l = 1,5 m

P = 4l = 4 • 2 = 8 m

P = 5l = 12,5 m

P = 6l = 9 m

l=3m

P = 3l = 3 • 3 = 9 m

ACTIVIDAD PROPUESTA 3 Calcula la suma de los ángulos interiores y lo que mide un ángulo central de un decágono regular. ¿Presenta simetría axial? RECUERDA

En los polígonos regulares de número impar de lados, las mediatrices de los lados coinciden con las bisectrices de los ángulos interiores. 10.1. Clasificación y propiedades

4 Nombra los siguientes polígonos y clasifícalos como regulares o irregulares.

5 Clasifica los siguientes polígonos como cóncavos o convexos.

10.2 Triángulos ACTIVIDADES RESUELTAS 6 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Dos b) Dos c) Dos d) Dos

triángulos triángulos triángulos triángulos

son son son son

iguales iguales iguales iguales

si si si si

tienen tienen tienen tienen

los tres ángulos iguales. un lado igual. dos lados iguales. dos lados iguales junto con sus ángulos adyacentes.

a) Falso. Con solo esas condiciones podrían tener tamaños distintos. En este caso serían proporcionales. b) Falso. Con solo un lado en común ni siquiera podrían ser proporcionales. c) Falso. Tendría que ser también igual el ángulo comprendido entre ellos. d) Verdadero.

60 10. Polígonos

7 Sobre los triángulos siguientes, dibuja: a) El ortocentro (punto donde se cortan las alturas).

b) El baricentro (punto donde se cortan las medianas).

c) El incentro (punto donde se cortan las bisectrices).

d) El circuncentro (punto donde se cortan las mediatrices).

Ortocentro

Baricentro

Incentro

RECUERDA

Las alturas son los segmentos perpendiculares a cada lado que pasan por el vértice opuesto. Las medianas son los segmentos trazados desde cada vértice al punto medio del lado opuesto. Las bisectrices de un triángulo son las de sus tres ángulos. Las mediatrices de un triángulo son las de sus tres lados.

Circuncentro

Con centro en el circuncentro podemos dibujar la circunferencia circunscrita a un triángulo. Y con centro en el incentro podemos dibujar la circunferencia inscrita a un triángulo.

Centro de la circunferencia circunscrita

Centro de la circunferencia inscrita

10.2. Triángulos

8 a) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles y di si presenta simetría axial. b) Si su hipotenusa mide 6 cm, ¿cuánto miden los catetos? a) Un triángulo rectángulo isósceles debe tener un ángulo recto, por ser rectángulo, y dos de sus lados iguales, por ser isósceles. Además presenta simetría axial respecto a la mediatriz de su hipotenusa. RECUERDA Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. b) Llamamos c a cada uno de los catetos y escribimos el teorema de Pitágoras: c2 + c2 = 62 ⎯→ 2c2 = 36 ⎯→ c2 = 18 ⎯→ c = √18 = 4,24

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 Dibuja un triángulo rectángulo y traza en él las alturas. ¿Dónde está situado el ortocentro? Copia el triángulo y traza ahora las mediatrices. ¿Dónde está situado el circuncentro?

10 Obtén lo que mide la diagonal de un cuadrado de lado l = 3 cm.

62 10. Polígonos

11 El aro de una canasta de baloncesto se encuentra a 2,5 m sobre el suelo. Si la línea para lanzar triples se encuentra a 6 m de la canasta, calcula qué distancia en línea recta hay desde la línea de tiro al aro.

d 2,5 m

12 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.

13 Un campo de futbol tiene 110 m de largo por 75 m de ancho. ¿Cuál es la máxima longitud que puede recorrerse en línea recta dentro del campo?

10.2. Triángulos

10.3 Cuadriláteros ACTIVIDADES RESUELTAS 14 En un cuadrilátero se conoce el valor de tres de sus ángulos, A = 46° 32', B = 85° y C = 128° 28'. Halla el cuarto ángulo y di qué clase de cuadrilátero es.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero vale: 180° • (4 – 2) = 180° • 2 = 360°

Por tanto, tenemos: 46° 32' + 85° + 128° 28' + D = 360° ⎯→ 260° + D = 360° ⎯→ D = 100° Se trata de un trapezoide, ya que sus cuatro ángulos son distintos. 15 Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden D = 32 cm y d = 24 cm.

D/2 d/2

Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos, cuyos catetos miden: D 32 d 24 = = 16 cm y = = 12 cm 2 2 2 2 Aplicando el teorema de Pitágoras, resulta: l2 =

d 2 ⎯→ l2 = 162 + 122 ⎯→ l2 = 256 + 144 = 400 ⎯→ l = √400 = 20 cm 2

( ) ( ) D 2

Observa que las diagonales del rombo son a su vez ejes de simetría de este.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 16 Clasifica los siguientes cuadriláteros.

64 10. Polígonos

17 Halla la altura de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6 cm y 8 cm, y el lado oblicuo, 5 cm.

RECUERDA

Hay dos tipos particulares de trapecios: Trapecio rectángulo (tiene dos ángulos rectos):

Trapecio isósceles (los lados oblicuos son iguales):

18 Halla la altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 20 cm y 10 cm, y el lado oblicuo, 13 cm.

19 Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado 25 cm y cuya diagonal menor mide 14 cm.

10.3. Cuadriláteros

Áreas de polígonos

◗Paralelogramos: área (A) y perímetro (P) l

b Cuadrado:

Rectángulo:

Rombo:

A = b•h P = 2b + 2h

A = l2 P = 4l

Romboide:

A = l•h P = 4l

A = b•h P = 2b + 2a

El área del rombo también se puede hallar si se conocen sus diagonales: d

A= D

D • d 2

◗Área del triángulo a

Si conocemos la base b y la altura h: A = Si conocemos sus tres lados:

c h b

b • h 2

√(a + b + c) • (a + b – c) • (a – b + c) • (–a + b + c) (Fórmula de Herón) 4

◗Área del trapecio b

B+b • h 2

◗Polígono regular: área y perímetro l a

Área =

Perímetro • Apotema P • a = 2 2

Perímetro = n.º de lados • I

◗Cálculo de áreas por triangulación y cuadriculación Algunas veces una figura plana, cuya área desconocemos, puede descomponerse en otras figuras de áreas conocidas, como cuadrados o triángulos. De esta manera, podremos calcular su área como suma de las áreas de las figuras en las que la hemos descompuesto.

66 11. Áreas de polígonos

11.1 Área de los paralelogramos ACTIVIDAD RESUELTA 1 Calcula el área de las figuras siguientes: a)

h = 3 cm l = 3 cm

b = 5 cm

a) Acuadrado = l2

b) Arectángulo = b • h

A = 32 = 9 cm2

D D = 7 cm d = 5 cm

c) Arombo =

A = 5 • 3 = 15 cm2

D • d 2

7 • 5 35 = = 17,5 cm2 2 2

ACTIVIDAD PROPUESTA 2 Halla el área de: a) Un cuadrado de lado l = 5 cm. b) Un rectángulo de b = 8 cm y h = 2 cm. c) Un rombo de diagonales D = 9 cm y d = 6 cm.

11.2 Área del triángulo y del trapecio ACTIVIDAD RESUELTA 3 Obtén el área de las figuras siguientes: a)

b) h = 2 cm b = 8 cm

a) A =

1 1 • b • h ⎯→ A = • 8 • 2 = 8 cm2 2 2

b = 3 cm h = 2 cm B = 5 cm

b) A =

b+B 3+5 • h ⎯→ A = • 2 = 8 cm2 2 2

11.2. Área del triángulo y del trapecio

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Halla el área de un triángulo cuya base mide 10 cm y cuya altura mide 3 cm.

5 Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 6 y 4 cm y la altura mide 3 cm.

11.3 Perímetro y área de un polígono regular ACTIVIDAD RESUELTA 6 Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular que tiene 4 cm de lado.

4 cm

Perímetro = 6 • l = 6 • 4 = 24 cm

2 cm

Para hallar la apotema nos fijamos en que por ser un hexágono regular, los triángulos interiores que se forman son equiláteros. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: 42 = a2 + 22 ⎯→ a = √16 – 4 = √12 A=

24 • √12 P • a ⎯→ A = = 41,57 cm2 2 2

ACTIVIDAD PROPUESTA 7 Halla el perímetro y el área de un hexágono regular de lado l = 2 cm.

68 11. Áreas de polígonos

11.4 Cálculo de áreas mediante triangulación y cuadriculación ACTIVIDAD RESUELTA 8 Sabiendo que h = 12 cm, a = 10 cm y b = 9 cm, calcula el área de la siguiente figura descomponiéndola previamente en rectángulos y triángulos.

Fíjate que podemos descomponer esta figura en otras dos de forma rectangular y triangular:

El rectángulo tiene como lados a y b: Arectángulo = a • b = 10 • 9 = 90 cm2 El triángulo tiene como base b y como altura h – a: Atriángulo =

b • (h – a) 9 • (12 – 10) = = 9 cm2 2 2

Por lo que: Afigura = Arectángulo + Atriángulo = 90 cm2 + 9 cm2 = 99 cm2

ACTIVIDAD PROPUESTA 9 Calcula el área de las siguientes figuras sabiendo que a = 5, b = 2, c = 4, d = 4 y e = 5. a)

b b

b d

11.4. Cálculo de áreas mediante triangulación y cuadriculación

Circunferencias y círculos

◗Posiciones relativas ■■ Posiciones relativas de una recta y una circunferencia:

Recta secante a la circunferencia: la corta en dos puntos.

Recta tangente a la circunferencia: tienen un único punto en común.

Recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común.

■■ Posiciones relativas de dos circunferencias:

Secantes: dos puntos en común.

Tangentes exteriores: un punto en común.

Exteriores: ningún punto en común.

Tangentes interiores: un punto en común.

Concéntricas: ningún punto en común y el mismo centro.

Interiores: ningún punto en común.

◗Ángulos en la circunferencia D A

E B Ángulo central: con vértice en el centro de la circunferencia. El ángulo AOB mide igual que el arco que abarca: AB.

C Ángulo inscrito: con vértice en un punto de la circunferencia. El ángulo CDE mide la mitad del arco que abarca: CE . 2

◗Longitud de la circunferencia

L = 2πR

◗Área del círculo

A = π • R2

70 12. Circunferencias y círculos

12.1 Posiciones relativas ◗De una recta y una circunferencia ACTIVIDAD RESUELTA 1 Indica la posición relativa de una recta que se encuentra a una distancia d del centro de una circunferencia de radio R en los siguientes casos: a) R = 3 cm, d = 5 cm. b) R = 7 cm, d = 4 cm.

c) R = 5 cm, d = 5 cm. d) R = 2 cm, d = 0 cm.

a) Al ser d > R, la recta es exterior a la circunferencia. b) Por ser d < R, la recta es secante a la circunferencia. c) Como d = R, la recta es tangente a la circunferencia. d) Como d = 0, la recta secante pasa por el centro de la circunferencia.

ACTIVIDAD PROPUESTA 2 Di qué posición respecto a la circunferencia tiene cada una de las rectas de la figura.

r s u v t

◗De dos circunferencias ACTIVIDAD PROPUESTA 3 Dibuja una circunferencia secante, una tangente exterior, una tangente interior, una exterior, una interior y una concéntrica a cada una de las circunferencias dibujadas.

12.1. Posiciones relativas

12.2 Ángulos en la circunferencia ACTIVIDAD RESUELTA 4 Halla lo que miden los ángulos de las figuras siguientes: a)

B O A

C A

ABC =

1 AOC 2

180°

a) ABC =

140°

b) ABC =

1 • 180° = 90° 2

ABC =

60°

1 AOC 2

c) ABC =

1 • 140° = 70° 2

ABC =

1 AOC 2 1 • 60° = 30° 2

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Calcula lo que mide el ángulo desconocido en cada una de las figuras siguientes: a)

b) O

c) O

O A

90°

100°

12.3 Longitud de la circunferencia RECUERDA

ACTIVIDAD RESUELTA 6 Calcula la longitud de una circunferencia con radio R = 6 cm. Halla la longitud del arco correspondiente a un sector de 60° de amplitud. L = 2π • R ⎯→ L = 2π • 6 = 2 • 3,14 • 6 = 37,68 cm Larco

37,68 • 60° 2πR • n° = ⎯→ Larco = = 6,28 cm 360° 360°

72 12. Circunferencias y círculos

La longitud del arco AB de un sector circular de n grados de amplitud es: O

R A n° B

Larco =

2πR • n° 360°

ACTIVIDAD PROPUESTA 7 Halla la longitud de una circunferencia de radio R = 5 cm y de un sector circular que tiene 45° de amplitud.

12.4 Área del círculo ACTIVIDAD RESUELTA 8 Obtén el área de un círculo de radio R = 4 cm y de un sector circular del mismo de 60° de amplitud. A = πR 2 ⎯→ A = 3,14 • 42 = 50,24 cm2 Asector =

RECUERDA

El área de un sector circular de n grados de amplitud es: O

50,24 • 60° πR2 • n° ⎯→ Asector = = 8,37 cm2 360° 360°

R A n° B

Asector =

πR2 • n° 360°

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 Calcula el área de un círculo de radio R = 6 cm y de un sector circular del mismo de 120° de amplitud.

10 Halla el radio de un círculo que mide 12,56 cm2 de área.

12.4. Área del círculo

Funciones

◗Coordenadas cartesianas de un punto ■■ Para representar un punto en el plano utilizamos un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos rectas numéricas per pendiculares a las que llamamos eje de abscisas (eje horizon tal o eje X) y eje de ordenadas (eje vertical o eje Y). El punto donde se cortan es el origen de ambas y recibe el nombre de origen de coordenadas.

5 4 3 2 1

◗Tablas de valores y gráficas

5 4 II cuadrante 3 (−, +) 2 1

■■ Un conjunto de puntos puede organizarse en una tabla de valores. ■■ Los puntos agrupados en una tabla de valores pueden repre sentarse sobre los ejes coordenados constituyendo una gráfica de puntos.

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 III cuadrante –3 –4 (−, −) –5

■■ Algunas veces las coordenadas (x, y) representan alguna mag nitud que puede tomar valores no enteros. En ese caso la gráfica es una línea continua.

◗Funciones

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2–1 –1 –2 –3 –4

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(2, 3)

x 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

Los ejes dividen el plano en cuatro zonas o cuadrantes. Los puntos quedan representados mediante un par de valo res enteros (x, y) que llamamos coordenadas del punto y cuyos signos dependerán del cuadrante en que está situado el punto.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2–1 –1 –2 –3 –4

y I cuadrante (+, +) x 1 2 3 4 5 IV cuadrante (+, −)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

■■ Tablas y gráficas establecen una relación entre los valores x e y que llamamos función, de mane ra que a cada valor de x podemos asociarle un valor de y. ■■ Llamaremos a x la variable independiente de la función y a y la variable dependiente. ■■ Si la gráfica de una función es una línea recta ascendente que pasa por el origen, la relación entre ambas variables es de proporcionalidad directa y podremos predecir los valores de otras parejas de puntos de la función mediante el método de la regla de tres directa. ■■ A veces la relación entre las dos variables puede expresarse como una expresión algebraica o fórmula, en ese caso siempre podremos conocer el valor de la variable dependiente correspon diente a un determinado valor de la variable independiente.

74 13. Funciones

13.1 Coordenadas cartesianas de un punto ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 Representa sobre un sistema de ejes cartesianos los puntos siguientes: A (2, 3), B (−1, 4), C (3, −2), D (−4, 1), E (1, −4), F (−2, 3), G (−3, −1), H (4, 1). Indica el cuadrante en que se encuentra cada uno de ellos. y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4

RECUERDA

Cada punto del plano queda representado por sus dos coordenadas (x, y ), que son su abscisa (coordenada horizontal) y su ordenada (coordenada vertical).

2 Da las coordenadas cartesianas de los puntos representados y di cuáles se encuentran en cada uno de los cuatro cuadrantes. y

4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 –1 G D –2 H C –3 –4

13.2 Tablas de valores y gráficas ACTIVIDADES RESUELTAS

Agrupar los datos en una tabla es fácil. Fíjate que uniendo con una línea los distintos puntos que hemos representado se entiende mucho mejor la evolución de la temperatura a lo largo de la semana. Día

Temperatura (°C)

3 Durante una semana anotas la temperatura que marca el termómetro que tienes en tu terraza, obteniendo los siguientes resultados: 12 °C, 13 °C, 12 °C, 15 °C, 18°C, 18 °C y 17 °C. Agrúpalos en una tabla y construye la correspondiente gráfica de puntos.

18 17 16 15 14 13 12 11 10

x 1 2 3 4 5 6 7 Día de la semana

13.2. Tablas de valores y gráficas

Distancia (km)

4 La gráfica siguiente representa el paseo en bicicleta que ha dado Carmen, partiendo de su casa y regresando a ella.

20 15 10 5 0

1 2 Tiempo (horas)

a) ¿Cuáles son las variables representadas? b) ¿Cuánto tiempo ha estado circulando? ¿Cuánto tiempo ha estado parada? ¿Cuánto duró el paseo en total? c) ¿En qué tramo ha circulado con mayor rapidez? a) La variable independiente, x, sobre el eje de abscisas, es el tiempo transcurrido en horas, donde cada cuadrito representa un cuarto de hora. La variable dependiente, y, sobre el eje de ordena das, es la distancia a la que se encuentra de casa, medida de 5 en 5 kilómetros. b) Ha estado circulando en los tramos 1.°, 3.° y 5.° de la gráfica, en total 1 hora y 3 cuartos. Ha estado parada en los tramos 2.° y 4.°, los tramos horizontales en los que no varía la dis tancia a la que se encuentra de casa, en total 1 hora. En total, el paseo ha durado 2 horas y 3 cuartos. c)

Tiempo

Distancia

Velocidad

1.er tramo

1 hora

20 km

20 km/h

2.º tramo

3/4 hora

0 km

0 km/h

3.er tramo

1/2 hora

10 km

10 : 1/2 = 20 km/h

4.º tramo

1/4 hora

0 km

0 km/h

5.º tramo

1/4 hora

10 km

10 : 1/4 = 40 km/h

Vemos que en el 5.° tramo ha circulado con mayor rapidez.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Minuto

Puntos

76 13. Funciones

Puntos

5 En un partido de baloncesto anotamos en una tabla los puntos que nuestro equipo ha encestado cada 10 minutos. Representa en un sistema de coordenadas cartesianas los puntos correspondientes a las parejas de valores de la tabla.

22 21 20 19 18 17 16

20 30 Minuto

Temperatura (°C)

6 Le tomamos la temperatura a Alberto cada hora, desde las 8 h hasta las 12 h, y la representamos en un sistema de coordenadas. Construye la tabla de valores correspondiente. ¿Cuál ha sido la mayor temperatura alcanzada (valor máximo)? ¿Y la mínima (valor mínimo)?

39 38,5 38 37,5 37 8

9 10 11 Hora del día

Distancia (metros)

7 José ha salido andando de casa a comprar y se ha detenido dos veces: en la panadería y a la vuelta para charlar con un vecino. Entonces se ha dado cuenta de que no le han dado el cambio, por lo que regresa a la tienda. La gráfica siguiente representa el paseo que ha dado. Interprétala. 800 600 400 200 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 Tiempo (minutos)

Puntos

8 En un partido de baloncesto entre los equipos femeninos de dos institutos hemos ido representando sus puntuaciones durante el primer cuarto. Se han obtenido las dos gráficas siguientes: 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Equipo A Equipo B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (minutos)

a) ¿Cuál ha sido el resultado al final del primer cuarto? ¿Ha ido ganando todo el tiempo el equipo B o ha tenido que remontar? b) Indica entre qué minutos no ha conseguido anotar ningún punto el equipo A y lo mismo para el equipo B. c) Di entre qué minutos ha sido mayor el ritmo de anotación del equipo B.

13.2. Tablas de valores y gráficas

13.3 Funciones ACTIVIDADES RESUELTAS 9 Se ha preguntado a diez personas sobre su estatura y su peso. Los resultados los hemos agrupado en la siguiente tabla: Estatura (cm)

170

172

173

175

176

179

180

182

185

189

Peso (kg)

Representa en una gráfica los datos obtenidos y responde a las siguientes preguntas: a) A la vista de la gráfica, ¿crees que existe alguna relación entre la altura de una persona y su peso? b) ¿Qué puedes afirmar sobre el peso de las personas que miden más de 189 cm? ¿Y sobre el de las que miden menos de 170 cm? c) ¿Qué puedes constatar de las personas que miden entre 175 cm y 180 cm? d) A la vista de la gráfica, hay dos casos que destacan especialmente respecto a la tendencia general, ¿podrías decir cuáles son?

80 78 76

Peso y

74 72 70 68 66 64 62 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 Estatura x

a) Aunque en la tabla puede intuirse, en la gráfica se ve claramente que, en general, sí existe una relación entre ambas magnitudes, ya que, a mayor estatura, mayor peso. Pero puedes compro bar que el hecho de medir más no asegura siempre pesar más. Tenemos concretamente dos personas que, pesando lo mismo, tienen distinta estatura. Sin embargo, estas variaciones o «errores» en la gráfica no deben impedir que saquemos conclusiones en cuanto a la relación entre ambas magnitudes. En la próxima unidad verás cómo, al aumentar el número de puntos, la mayoría siguen la ten dencia general y solo unos pocos se alejan de ella. b) Puede decirse que quien mide más de 189 cm pesa más de 81 kg y quien mide menos de 170 cm pesa menos de 69 kg. Fíjate que esto es una tendencia general y que si hubiésemos preguntado a más personas, seguro que habríamos encontrado algunos que se salen de ella. c) Que su peso estará en general comprendido entre 70 kg y 77 kg. d) Puede verse que los puntos (173, 69) y (179, 71) se encuentran algo distanciados de la curva que parecen generar el resto de los datos.

78 13. Funciones

10 Un día de lluvia he dejado un cubo vacío en mi terraza y he ido anotando la cantidad de agua que iba acumulando en intervalos de 15 minutos. Los resultados están en la siguiente tabla: t (min)

105

Vol. (mL)

a) ¿Existe alguna relación entre la cantidad de agua acumulada y el tiempo transcurrido? b) ¿Puedes saber con exactitud el agua que contenía el cubo en el minuto 70?

Volumen y

a) Fíjate que la diferencia de volumen entre dos instantes consecutivos tiene un valor constante de 13 mL, es decir, cada 15 minutos el volumen de agua contenido en el cubo aumenta 13 mL. Esto significa que llueve a ritmo constante y que, por tanto, existe una relacIón de proporciona lidad directa entre el tiempo transcurrido y la cantidad de agua acumulada en el cubo. En estos casos, los puntos de la gráfica correspondiente se encuentran alineados. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 Tiempo x

b) Al existir una relación de proporcionalidad directa podemos usar el método de la regla de tres directa para averiguar cuánta agua había en el cubo en el minuto 70.

⎧ ⎨ ⎩

60 min ⎯→ 52 mL 70 min ⎯→ x mL

⎯→ x =

70 • 52 = 60,7 mL 60

11 Si llamamos x al lado de un cuadrado e y a su área, la función que relaciona el área del cuadrado con la longitud de uno de sus lados es y = x 2. Construye una tabla con el área de los cuadrados de lado x = 1 m, x = 2 cm, x = 3 cm y x = 4 cm y después represéntala en una gráfica. ¿Hay relación de proporcionalidad directa entre ambas variables?

Área y (cm)2

En la tabla puede comprobarse que aunque la diferen cia entre las longitudes de los lados es constante, no lo es la de las áreas, por lo que no existe proporciona lidad directa. Observa además que la gráfica de la función no es una recta, si no una curva llamada pará bola.

16 15 14 13 12 11 10 Área y

Lado x (cm)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Lado x

13.3. Funciones

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Todos los días entro a trabajar a las 9:00 h y durante una semana he anotado la hora a la que salía de casa camino del trabajo (en minutos desde las 8:00 h) y el tiempo en minutos que tardaba en hacer ese recorrido con mi coche. He agrupado los resultados en la siguiente tabla: Hora (x)

Tiempo (y)

Representa los datos en los ejes adjuntos y responde a las siguientes preguntas: a) ¿Hay relación entre la hora a la que salgo de casa y el tiempo que tardo en llegar a mi trabajo? b) ¿Es una relación de proporcionalidad? ¿Por qué? c) ¿Llego antes al trabajo cuanto más pronto salgo de casa? d) ¿En torno a qué hora me conviene salir? e) ¿Crees que es suficiente haber recogido datos solo durante una semana? ¿Podrían los resulta dos ser distintos en diferentes semanas? ¿Por qué? y 40 35 30 25 20 15 10 5 5

80 13. Funciones

13 En la entrada de una sala de exposiciones hay un dispositivo que cuenta el número de visitantes que entra cada día. Llamando x a la variable tiempo en horas que lleva abierta la sala e y a la variable número de visitantes hasta ese momento, la gráfica de puntos para los valores de x = 2, x = 3, x = 5 y x = 9 es: y 140 135 130 125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

a) Elabora la tabla de datos asociada a esta gráfica. b) ¿Existe relación de proporcionalidad directa entre ambas magnitudes? ¿Por qué? c) Busca en la gráfica cuántos visitantes habían visitado la sala 7 horas después de abrir. d) Calcula mediante una regla de tres directa el número de visitantes después de 7 horas y com páralo con el obtenido en el apartado c).

13.3. Funciones

Estadística y probabilidad

◗Estadística ■■ La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos con el fin de encontrar regularidades que nos permitan extraer conclusiones y realizar predicciones sobre los datos analizados. ■■ Se llama población al conjunto de todos los individuos o elementos sobre los que se hace el estudio estadístico. ■■ Cuando la población es demasiado grande, el estudio se realiza solo sobre una parte de ella, que llamamos muestra. El tamaño de la muestra se representa por n. ■■ Llamamos variable estadística a la característica o propiedad que queremos estudiar en una población o muestra. ■■ Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas, si solo toman valores numéricos (pesos, alturas, notas...), o cualitativas, si se trata de una cualidad (color del pelo, preferencias musi cales...). ■■ La frecuencia absoluta de un valor de la variable es el número de veces que se repite dicho valor. Se representa por f. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total n de datos recogidos o tamaño de la muestra. ■■ Las frecuencias absolutas se representan gráficamente en un diagrama de barras, en el que las frecuencias abso lutas están en el eje de ordenadas, y los valores de la variable, en el de abscisas.

10 5 0

Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor 4

■■ La frecuencia relativa de un valor de la variable es el cociente entre la frecuencia absoluta de dicho valor y el tamaño de la muestra n. Se representa por la letra h. La suma de las frecuencias relativas de los valores de una variable es igual a 1. El producto de la frecuencia relativa de un valor por 100 es el porcentaje de veces que aparece dicho valor. ■■ Las frecuencias relativas se representan gráficamente en un diagrama de sectores. Se trata de un diagrama circular en el que el total de la circunferencia representa el 100 % de los valores y el porcentaje de veces que aparece un determinado valor se representa por un sector circular cuyo tamaño es proporcional al valor de dicho porcentaje.

Valor Valor Valor Valor

1 2 3 4

■■ Las frecuencias absolutas y relativas de una variable suelen agruparse en tablas de frecuencias.

◗Probabilidad ■■ Llamamos experiencias de azar o experiencias aleatorias a aquellas situaciones cotidianas en las que el resultado no puede conocerse de antemano, pero sí el conjunto de todos los resulta dos o sucesos que se pueden dar y que dependen, por tanto, del azar. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que después del lanzamiento obtendremos un número del 1 al 6, pero no cuál de ellos. ■■ Dependiendo de la probabilidad que tengan de suceder, los sucesos pueden clasificarse en seguros, probables o imposibles.

82 14. Estadística y probabilidad

14.1 Estadística: población, muestra y variables estadísticas ACTIVIDAD RESUELTA 1 Queremos hacer un estudio sobre las preferencias musicales de los jóvenes españoles con edades entre 13 y 17 años, para lo cual nos ponemos en la puerta de un instituto donde estudian 600 alumnos de esas edades. Preguntamos a todos los que entran y salen de él. a) ¿Cuál es la población objeto de nuestro estudio? b) ¿Cuál es la muestra? ¿Qué tamaño tiene? c) ¿De qué tipo es la variable estadística que estudiamos? d) ¿Obtendremos con este experimento una información objetiva de las preferencias musicales de los jóvenes? a) Todos los jóvenes españoles cuya edad esté comprendida entre 13 y 17 años. b) Todos los estudiantes de ese instituto. El tamaño de la muestra es entonces el número de estudiantes, es decir, 600. c) Es una variable estadística cualitativa, ya que no toma valores numéricos, sino preferencias musicales. d) En realidad no, ya que estamos recogiendo información de un colectivo concreto, que es el de estudiantes de un instituto de un barrio de una ciudad concreta. Hubiera sido mejor obtener la información en varias ciudades y pueblos, preguntando a los jóvenes que pasasen a una hora cualquiera por una calle cualquiera. De esta manera, nos aseguramos de que nuestra muestra es realmente representativa de la población que estudiamos.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 En la columna de la izquierda tenemos una lista de diferentes variables estadísticas y en la derecha están los dos tipos de variables posibles. Une con una línea cada variable con su categoría. Color de los ojos

Talla de zapatos

Número de hermanos Cuantitativa Deporte favorito

Lugar de nacimiento Cualitativa Horas frente al televisor

Veces que se va al cine

Mascota favorita

14.1. Estadística: población, muestra y variables estadísticas

3 Explica si los resultados obtenidos en los siguientes experimentos serán fiables o no y explica por qué. a) Preguntamos a los adolescentes que pasan por una determinada calle su opinión sobre la últi ma videoconsola que ha salido al mercado. b) Hacemos la misma pregunta que en el apartado anterior en la puerta de un supermercado a las diez de la mañana. c) Para saber la cantidad de horas que los estudiantes españoles dedican al estudio pregunto a mis compañeros de clase. d) Para conocer la opinión de los consumidores sobre una determinada marca de ropa de montaña pregunto en las calles del centro de varias grandes ciudades.

14.2 Estadística: tablas de frecuencias, diagramas de barras y de sectores ACTIVIDADES RESUELTAS 4 Se ha preguntado a un grupo de 20 niños sobre su sabor preferido de helados. Los resultados han sido los siguientes: Sabor

Frecuencia absoluta

Fresa

Chocolate

Vainilla

Nata

Total

Representa las frecuencias absolutas en un diagrama de barras. En unos ejes coordenados representamos las frecuencias absolutas en el eje vertical y los distin tos valores de la variable cualitativa «sabor preferido» en el horizontal: 15 10 5

Fresa

84 14. Estadística y probabilidad

Chocolate

Vainilla

Nata

5 En las elecciones a delegado de clase, los nombres escritos en las papeletas han sido: Luis, Carmen, María, Luis, Jacinto, Luis, Carmen, Luis, Luis, Jacinto, María, Luis, Jacinto, Luis, Jacinto, Carmen, María, Luis, Carmen y Jacinto Construye con estos resultados una tabla de frecuencias y los diagramas de barras y sectores correspondientes. Hacemos en primer lugar un recuento de votos: Luis ⎯→ | | | | | | | ⎯→ 8 votos María ⎯→ | | | ⎯→ 3 votos Carmen ⎯→ | | | | ⎯→ 4 votos Jacinto ⎯→ | | | | ⎯→ 5 votos Construimos la tabla: Nombre

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa en %

Luis

8/20 = 0,4

0,4 • 100 = 40 %

Carmen

4/20 = 0,2

0,2 • 100 = 20 %

María

3/20 = 0,15

0,15 • 100 = 15 %

Jacinto

5/20 = 0,25

0,25 • 100 = 25 %

Total

n = 20

100 %

N.o de votos

La suma de las frecuencias relativas tiene que dar 1 y la suma de los % debe dar el 100 %. Diagrama de barras: en el eje de abscisas situamos los nombres de los alumnos que han recibido algún voto y sobre el de ordenadas tomamos una unidad que sea adecuada, en este caso 1. 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Luis

Carmen

María

Jacinto

Diagrama de sectores: para hallar la amplitud de cada uno de los sectores hemos de aplicar en cada caso una sencilla regla de tres:

⎧ ⎨ ⎩

Si 360° ⎯→ es el 100 % 360° • 40 % x= = 144° 100 % x ⎯→ es el 40 % Los tres sectores restantes serán: 360° • 20 % = 72° 100 % 360° • 15 % = 54° 100 % 360° • 25 % = 90° 100 %

Jacinto 25%

Luis 40%

María 15% Carmen 20%

14.2. Estadística: tablas de frecuencias, diagramas de barras y de sectores

ACTIVIDADES PROPUESTAS 6 a) En la quiniela de la semana pasada los resultados han sido: 1, X, 1, 1, 2, X, 2, 1, X, X, 1, 2, X, X Haz un recuento de los datos (los tres tipos de resultado) y construye con ellos la tabla de frecuencias. b) Construye el diagrama de barras y de sectores correspondientes a estos datos.

7 En un ejercicio práctico de estadística el profesor nos ha propuesto estudiar la distribución de estaturas de los estudiantes de 4.o curso de ESO de mi colegio. Dado que la variable puede tener una gran cantidad de valores distintos, hemos decidido agrupar a los alumnos en intervalos (o clases) de 5 cm de estatura, obteniendo los siguientes resultados sobre un total de 75 alumnos: Altura (x)

(155-160]

(160-165]

(165-170]

(170-175]

(175-180]

(180-185]

(185-190]

Marca de clase Alumnos (n) h

Observa que si un dato se encuentra entre dos intervalos, consideramos que pertenece a la clase inferior. a) Completa la tabla con la frecuencia relativa h de cada uno de los intervalos de alturas. b) El punto medio de cada intervalo se llama en estadística marca de clase y es el valor que repre senta a todo el intervalo. Construye el diagrama de barras de las marcas de clase. c) ¿Qué conclusión puedes sacar de la forma que tiene el diagrama de barras?

86 14. Estadística y probabilidad

8 El profesor de Educación Física nos ha preguntado cuál es nuestro deporte favorito. Estas han sido las respuestas: B, F, F, V, A, V, F, V, V, A, B, F, V, V, A, F, B, V, B, F, B, A B = baloncesto F = fútbol A = atletismo V = voleibol Haz un recuento de los datos y construye la tabla de frecuencias correspondiente. Dibuja los diagramas de barras y de sectores.

a) Elabora la tabla de frecuencias correspon diente a esta encuesta. b) Representa esta misma información en un diagrama de sectores.

50 N.o de personas

9 En un determinado diario leemos que en una encuesta realizada a 100 personas sobre el tipo de programas de televisión que prefieren, los resultados han sido los que muestra el gráfico de barras de la derecha.

40 30 20 10 0

Culturales

Informativos

Variedades Películas

14.2. Estadística: tablas de frecuencias, diagramas de barras y de sectores

10 En otro diario leemos el resultado de las últimas elecciones. El porcentaje de escaños que ha obtenido en el Parlamento cada partido político se resume en el gráfico de la derecha. a) Si en el Parlamento hay 840 escaños, ¿cuántos escaños ha obtenido cada partido? b) Resume los datos obtenidos en una tabla de frecuencias como la de la actividad 5.

Blanco 15% Azul 40%

Gris 35% Amarillo 10%

11 Considera el siguiente diagrama de sectores y construye el diagrama de barras correspondiente, teniendo en cuenta que se habían recogido 200 datos.

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

12 En una urna tenemos 4 bolas de color amarillo, 6 de color rojo, 7 de color verde y 3 de color azul. a) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente al contenido de la urna. b) Si metemos la mano en la urna y sacamos una bola al azar, ¿cuál será el color más probable de la bola extraída? c) ¿Crees que existe alguna relación entre la probabilidad de extraer una bola de determinado color y la frecuencia relativa de esta?

88 14. Estadística y probabilidad

14.3 Probabilidad ACTIVIDAD RESUELTA 13 En cada una de las siguientes urnas, clasifica los sucesos en suceso seguro, probable o imposible. X = sacar una bola azul Y = sacar una bola blanca a)

a) Todas las bolas de la urna son azules: X es un suceso seguro e Y es imposible. b) Hay cinco bolas azules y una blanca: X es muy probable e Y es poco probable. c) Hay tres bolas azules y tres bolas blancas: X es un suceso igual de probable que Y.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14 Clasifica los siguientes sucesos en seguro, probable (muy, igual o poco) e imposible. a) Que salga un 3 en una quiniela. b) Sacar una carta que no sea de bastos de una baraja española. c) Que salga un número menor que 7 al tirar un dado de parchís. d) Sacar cara o cruz al tirar una moneda. e) Sacar una bola blanca de una urna con 99 bolas negras y 1 blanca.

15 Determina cuál de las siguientes experiencias son o no de azar: a) Sacar un 7 en el examen de matemáticas. b) Encender la televisión y que me guste la película que están poniendo. c) Tirar un penalti con los ojos cerrados y marcar gol. d) Llegar pronto al colegio. e) Encontrar a mi vecino en Londres.

14.3. Probabilidad

Competencia matemática 1 El pasillo de mi casa tiene forma de una L de 10 m de alto, 6 m de base y 1 m de ancho. Mi padre quiere barnizar el suelo y me ha pedido que calcule la cantidad de barniz que vamos a necesitar. El 3 envase dice que el rendimiento del producto es de de kilo por metro cuadrado. ¿Qué procedimien4 to tengo que seguir para saberlo? Razona tu respuesta.

2 Mi compañía telefónica me cobra 15 céntimos de euro por el establecimiento de llamada y 5 céntimos de euro por minuto de conversación, pero acabo de leer que una nueva compañía cobra 40 céntimos de euro por establecimiento y solo 1 céntimo de euro por minuto de conversación. Si llamamos t a los minutos de conversación y C al coste de la llamada: a) ¿Podrías encontrar las expresiones algebraicas que relacionan el coste de una llamada en cada una de las compañías con los minutos de conversación? b) Si igualas las expresiones que has obtenido, tienes una ecuación con el tiempo por incógnita. Calcula el valor de esa incógnita y explica qué significado tiene. c) Después de todo lo que has calculado, ¿qué consejo puedes darme?

90 Competencia matemática

3 Mi tío tiene una pequeña finca dedicada al cultivo de cereales, trigo, avena y cebada, que vende respectivamente a una fábrica de harinas, a una conocida marca de cereales y a una industria de cosmética. En la cosecha del año pasado obtuvo en total 15 678 kg de grano, de los que un 60 % correspondía a trigo, que vendió a 24 céntimos de euro el kilo; un 25 % a avena, que vendió a 32 céntimos de euro el kilo, y un 15 % a cebada, que vendió a 18 céntimos de euro el kilo. a) ¿Podrías calcular los beneficios que obtuvo por esa operación? b) Si este año obtuviera la misma cosecha, ¿qué beneficio obtendría si el trigo está un 5 % más barato, la avena no ha cambiado de precio y la cebada ha subido un 3 %?

4 En mi equipo de atletismo hemos decidido que a partir de ahora vamos a presentamos a todas las carreras vistiendo la misma camiseta. Hemos elegido un modelo de una marca francesa que tiene su sede en París y que allí venden un 15 % más barato que aquí, donde el precio es de 60 €. El padre de uno de mis compañeros ha pensado que, si el número de camisetas es suficiente, puede que compense ir a comprarlas a París porque ha encontrado un billete de ida y vuelta por 55 €. ¿Podrías calcular a partir de qué número de camisetas empieza a ser rentable hacer el viaje?

Competencia matemática

5 El lPC es un índice que mide el aumento o disminución de los precios de una determinada cantidad de productos que se consideran esenciales. En la página del Instituto Nacional de Estadística leemos que este año el IPC se ha incrementado en 2,3 puntos. Esto significa que, de media, el precio de ese conjunto de productos ha aumentado un 2,3 %. ¿Cómo crees que repercute esto en la economía familiar? Leemos otro día en las páginas de un periódico que, en ese mismo periodo de tiempo, los salarios de un determinado sector A han aumentado un 1,5 %, mientras que los de otro sector B lo han hecho un 3 %. Obviamente a los trabajadores de los dos sectores les han subido el sueldo. ¿Repercute de la misma manera en ambos el aumento de IPC? ¿Crees que los trabajadores del sector A van a notar que están ganando más? ¿Cómo resolverías este problema?

Hectómetros cúbicos (hm3)

6 He buscado en internet información sobre la cantidad de agua que se está embalsando durante este año en la cuenca a la que pertenece mi pueblo y he encontrado una página en la que puede compararse dicha cantidad en hectómetros cúbicos (hm3) con la que se embalsó durante el año anterior y con la media de los últimos ocho años. 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000

30 25 Semanas

Med. 8 años

40 2015

50 2016

a) ¿Qué año está siendo más lluvioso, este o el anterior? b) Comparando con la media de los últimos ocho años, ¿qué puedes decir del agua embalsada durante el año anterior? ¿Hubo meses en los que la diferencia fue significativa?

92 Competencia matemática

7 En un estudio ambiental se resume la evolución de los factores que han afectado a la calidad del medio ambiente de nuestro país. Uno de dichos factores es el uso de los transportes y en este informe podemos ver un gráfico de la evolución del número de viajeros que han optado por tres distintos medios de transporte desde el año 1998.

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

25 20 15 10 5 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Ferrocarril

2005

Avión

2006

2007

Ferrocarril/Avión

Carretera

TRANSPORTE DE VIAJEROS (miles de millones de viajeros × km)

Carretera

a) ¿Qué similitudes encuentras entre las tres gráficas? b) ¿Qué medio de transporte ha experimentado mayor crecimiento en los últimos años? ¿Por qué? c) ¿Cuál de los tres sufre un menor incremento? d) ¿Crees que esta evolución es buena para el medio ambiente?

8 Mis amigos y yo queremos hacer una excursión de tres días y he consultado en la página del Instituto Nacional de Meteorología para ver el tiempo que va a hacer durante la próxima semana. Los datos vienen en la siguiente tabla: Fecha

Jueves 21 a.m.

p.m

Viernes 22 a.m.

p.m

Sábado 23 a.m.

p.m

Dom 24

Lun 25

Mar 26

Mié 27

Estado del cielo Probabilidad de precipitación (%)

T máxima (°C)

T mínima (°C)

a) Si lo que más nos molesta es la lluvia, ¿qué día de todos es mejor salir? ¿Por qué? b) A pesar de las fluctuaciones, ¿puede decirse que el tiempo está mejorando?

Competencia matemática

Autoevaluación

1 Efectúa las siguientes operaciones con potencias y raíces cuadradas: a) (53 • 55) : [(52)3 : 54] b) (1 + √16)2 : (√9 + 2) c) [(√49 – √25)2]3 : (√64 – √36)2 d)

(

72 • 33 : (72 • 3)2 7 • 32

)

2 Realiza las siguientes operaciones con fracciones, simplificando el resultado hasta obtener la fracción irreducible: a)

1 1 1 + – 3 5 4

(

b) 1 –

) (

1 1 : 1+ 3 2

)

( 13 + 15 ) • 2 – ( 13 – 15 ) : 2

( 27 – 15 ) • ( 34 – 13 )

3 Haz las divisiones siguientes, llegando hasta las centésimas: a) 87,3

94 Autoevaluación

b) 105

4,3

c) 235,76

3,4

4 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 5 – 3(x − 2) = 1 − (2x − 5)

x+5 x–4 = +4 2 3

5 Entre Diego e Irene tienen 20 €. Le quito 2 € a Diego y 6 € a Irene y ahora los dos tienen la misma cantidad. ¿Cuántos euros tiene cada uno?

6 Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras: a)

c) l

I = 4 cm h = 3,5 cm

I = 4 cm

D d

b l

l B

D = 3 cm, d = 2 cm

B = 4 cm, b = 3 cm h = 1,9 cm

7 Hemos rellenado una quiniela con los signos siguientes: 1 1 X 2 1 X 1 X 2 1 X 2 X 2 Haz el recuento de los datos, construye la tabla de frecuencias y dibuja los diagramas de barras y de sectores correspondientes.

Autoevaluación

Dirección del proyecto editorial Jesús Hinojal Autores José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach Coordinación del proyecto editorial Estrella Marinas Coordinación de preimpresión Alberto García Coordinación de diseño Cristóbal Gutiérrez

© del texto: José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach, 2016 © de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2020 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid ISBN: 978-84-696-1194-4 Depósito legal: M-6374-2016 Printed in Spain Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 917 021 970 / 932 720 447).

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2 ESO

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3 3 4 4

OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS

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Objetivo aprobar matemáticas. 1 ESO

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