Objetivo aprobar matemáticas. 2 ESO by Grupo Anaya, S.A.

2 1 ESO

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2 ESO

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OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS

ESO

José Ángel Fernández-Cano López Fernando Arce Llach

Presentación

Este cuaderno OBJETIVO APROBAR pretende reforzar y afianzar los contenidos y estándares esenciales de la asignatura MATEMÁTICAS 2.º ESO. Sirve para: ■ Repasar los contenidos aprendidos durante el curso escolar. ■ Trabajar sobre los estándares de aprendizaje evaluables. ■ Complementar el trabajo del curso. Se estructura en: ■ 15 unidades que comienzan con un resumen-esquema de contenidos, seguido de actividades resueltas y explicadas paso a paso y de una amplia batería de actividades propuestas. ■ La sección Competencia matemática, que propone actividades para trabajar todas las dimensiones de esta competencia. ■ Una Autoevaluación para comprobar el grado de aprendizaje. ■ Un Solucionario extraíble con las respuestas de todas las actividades propuestas.

Presentación

Índice 1◗Números enteros. Divisibilidad

Definición, representación y comparación de números enteros. Valor absoluto. Operaciones con números enteros. Jerarquía de operaciones. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

2◗Potencias y raíces

Definición y operaciones con potencias. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Notación científica.

3◗Fracciones. Números decimales. Porcentajes

Definición y operaciones con fracciones. Conversión entre fracciones y números decimales. Proporciones y porcentajes de una cantidad.

4◗Proporcionalidad numérica

Proporcionalidad directa. Proporcionalidad inversa. Interés simple y compuesto.

5◗Expresiones algebraicas. Polinomios

Expresiones algebraicas. Monomios en una indeterminada. Polinomios en una indeterminada.

6◗Ecuaciones de primer grado

Definición de ecuación. Soluciones de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones.

7◗Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones

Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones.

8◗Proporcionalidad geométrica

Razón de dos segmentos. Teorema de Tales. Semejanza de triángulos. Semejanza de polígonos. Escalas.

9◗Triángulos. Teorema de Pitágoras

Elementos notables de un triángulo. Teorema de Pitágoras. Teorema de la altura.

10◗Áreas de cuerpos geométricos

Área de los prismas. Área de las pirámides. Área de los cuerpos de revolución.

11◗Volúmenes de cuerpos geométricos

Unidades de volumen. Volúmenes de los prismas. Volúmenes de las pirámides. Volúmenes de los cuerpo de revolución.

12◗Funciones

Definición de función. Expresiones de una función. Comportamiento de una función.

13◗Funciones de proporcionalidad directa e inversa

Función lineal. Función afín. Función de proporcionalidad inversa.

14◗Iniciación a la estadística

Tablas de frecuencias. Gráficos estadísticos. Medidas de centralización. Medidas de dispersión.

15◗Probabilidad

Experimentos aleatorios. Sucesos. Probabilidad y cálculo de probabilidades.

◗Competencia matemática ◗Autoevaluación

86 92

Índice

Números enteros. Divisibilidad

◗ Definición, representación y comparación de números enteros. Valor absoluto ■■ Los números enteros se obtienen a partir de los números naturales agregando un signo que puede ser positivo o negativo. Si no lleva signo, se sobreentiende que es positivo. ■■ Para representar los números enteros en la recta numérica se procede del siguiente modo: Tomamos un punto sobre la recta y le asignamos el cero. Elegimos una distancia que tomamos como unidad. Desde la posición del 0 avanzamos esa distancia a la derecha y marcamos un punto que señalamos como 1, si hacemos lo mismo otra unidad a la derecha del 1 colocamos el 2, y así sucesivamente podríamos situar todos los números positivos. Para situar los números negativos, seguimos el mismo procedimiento, pero hacia la izquierda del 0. distancia

–2

–1

■■ El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero medida sobre la recta numérica y coincide con el número natural que obtenemos al suprimir el signo: |+3| = 3; | –3| = 3. ■■ Dos números enteros son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. ■■ Dados dos números enteros, es mayor el que está situado más a la derecha sobre la recta numéri ca. Si los números son positivos, es mayor el de mayor valor absoluto, y si son negativos, es mayor el de menor valor absoluto.

◗Operaciones con números enteros. Jerarquía de operaciones ■■ Suma de dos enteros: Del mismo signo: se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo. De distinto signo: se restan los valores absolutos y se coloca el signo del mayor. ■■ Diferencia de dos enteros es la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo. ■■ Producto y cociente de dos enteros es el producto o cociente de sus valores absolutos con signo positivo si tienen el mismo signo o con signo negativo si tienen distinto signo. ■■ Potencia de un número entero de exponente natural es el producto de ese entero por sí mismo el número de veces que indique el exponente. ■■ Si en una misma expresión aparecen operaciones combinadas se procede del siguiente modo: Si hay paréntesis, se efectúan en primer lugar las operaciones que están dentro. Después se efectúan las potencias. A continuación, los productos y cocientes de izquierda a derecha. Por último, las sumas y restas también de izquierda a derecha.

◗Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ■■ Los múltiplos de un número entero se obtienen multiplicándolo por cualquier número entero. A su vez, dicho número se dice divisor de todos los productos obtenidos. ■■ Un número es primo si sus únicos divisores son: 1, – 1, el propio número y su opuesto. Si un número no es primo, se dice que es compuesto. ■■ Todo número compuesto se puede descomponer factorialmente de una única manera como pro ducto de factores primos. ■■ Máximo común divisor de varios números es el mayor divisor de todos ellos. ■■ Mínimo común múltiplo de varios números es el menor múltiplo de todos ellos.

1. Números enteros. Divisibilidad

1.1 Definición, representación y comparación de números enteros. Valor absoluto ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Sitúa sobre la recta numérica los siguientes números enteros: +1, –5, –3 y +4. Colocamos en la recta numérica un punto al que asignamos el valor 0 y, tomando unidades de la misma longitud a derecha e izquierda del cero, vamos señalando las sucesivas posiciones: 0

Sobre la recta anterior y a una y a cuatro unidades de distancia a la derecha del cero, asignamos respectivamente los valores +1 y +4, y a tres y a cinco unidades de distancia a la izquierda del cero asignamos respectivamente los valores –3 y –5: –5

–3

0 +1

2 Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: +5, –3, +1, +6, –4, +2. Una forma rápida y fiable de resolver la actividad es situar los números sobre la recta numérica y, una vez colocados, escribirlos leyéndolos de izquierda a derecha: –4 < –3 < 1 < 2 < 5 < 6. 3 Averigua cuál es el número tal que si lo multiplicamos por 2, le añadimos 1 y a continuación hallamos el valor absoluto el resultado es 5. (Hay dos soluciones.) Si el valor absoluto resultante de multiplicar por dos y añadir una unidad es 5, significa que el doble del número incrementado en una unidad puede ser 5 o –5. Hay dos posibilidades: ■■ Si el doble de un número más 1 es 5, el doble del número es 4 y por tanto el número es 2. ■■ Si el doble de un número más 1 es –5, el doble del número es –6 y el número es –3. Por tanto, hay dos números que cumplen la condición: 2 y –3.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Dados los números enteros: +4, –3, +1, +3, –2, 0. a) Represéntalos sobre la recta numérica. b) Ordénalos de menor a mayor. c) Determina sus valores absolutos y sus opuestos. 5 Averigua, en cada caso, cuál o cuáles son los números enteros que cumplen la relación: a) Su opuesto es 5. b) Su valor absoluto más una unidad es 3. c) Incrementado en una unidad da otro número cuyo valor absoluto es 3. 6 Escribe todos los números enteros x que cumplan la condición: a) –2 < x < 3

b) –3 ≤ x < 1

c) –4 < x ≤ –1

1.1. Definición, representación y comparación de números enteros. Valor absoluto

7 Responde con verdadero o falso y, si es falso, explica por qué con un ejemplo: a) El valor absoluto de un número siempre es mayor que el propio número. b) Si el valor absoluto de un número es mayor que el valor absoluto de otro, es porque el primer número es mayor que el segundo. c) El valor absoluto de la suma de dos números es siempre mayor que el valor absoluto de la diferencia de esos dos números. d) La suma de los valores absolutos de dos números es siempre mayor o igual que el valor abso luto de la suma de esos dos números.

1.2 Operaciones con números enteros. Jerarquía de operaciones ACTIVIDADES RESUELTAS 8 Dos números enteros son 5 y –3. Escribe en lenguaje aritmético y calcula el resultado de: a) La suma de sus valores absolutos. b) El valor absoluto de su suma. c) La diferencia de sus valores absolutos. a) |5| + |–3| = 5 + 3 = 8

b) |5 + (–3)| = |2| = 2

c) |5| – |–3| = 5 – 3 = 2

9 Efectúa la siguiente operación: 1–3–5+3–6+8+5–7 Hazlo de tres formas diferentes: 1.º realizando las operaciones de izquierda a derecha; 2.º asociándolos sucesivamente por parejas; 3.º sumando separadamente los números positivos por un lado y los negativos por otro para restar después los resultados obtenidos. 1.º: (1 – 3) – 5 + 3 – 6 + 8 + 5 – 7 = (–2 – 5) + 3 – 6 + 8 + + 5 – 7 = (–7 + 3) – 6 + 8 + 5 – 7 = (–4 – 6) + 8 + 5 – 7 = = (–10 + 8) + 5 – 7 = (–2 + 5) – 7 = 3 – 7 = –4 2.º: (1 – 3) + (– 5 + 3) + (– 6 + 8) + (5 – 7) = [–2 + (–2)] + + [2 + (–2)] = –4 + 0 = –4 3.º:

(1 + 3 + 8 + 5) – (3 + 5 + 6 + 7) = 17 – 21 = –4

RECUERDA

La suma de enteros es conmutativa: 2+5=5+2 (–3) + 4 = 4 + (–3) 2 + (–5) = (–5) + 2 La suma de enteros es asociativa: 2 + 4 + (–3) = (2 + 4) + + (–3) = 2 + [4 + (–3)]

10 Efectúa de dos formas diferentes la siguiente operación: –4 • (2 – 5). Una posibilidad es efectuar primero los paréntesis y después el producto: –4 • (2 – 5) = –4 • (–3) = 12 Otro modo es usando la propiedad distributiva: –4 • (2 – 5) = –8 + 20 = 12

6 1. Números enteros. Divisibilidad

RECUERDA

Propiedad distributiva de los números enteros: 3 • (–2 + 5) = 3 • (–2) + + 3 • 5 = – 6 + 15 = 9

11 Realiza la siguiente operación combinada: 2 – 7 • ((–1) + 5) : 2 + 32 – 6 – 3 • [5 • (3 + (–2)) • 3 – (–6) • (–5)] Primero efectuamos los paréntesis: 2 – 7 • ((–1) + 5) : 2 + 32 – 6 – 3 • [5 • ((–3) + 2) • 3 – (–6) • 5] = = 2 – 7 • 4 : 2 + 32 – 6 – 3 • [5 • (–1) • 3 – (–6) • 5] = = 2 – 7 • 4 : 2 + 32 – 6 – 3 • [–15 + 30] = = 2 – 7 • 4 : 2 + 32 – 6 – 3 • 15 Después las potencias, productos y cocientes: = 2 – 7 • 4 : 2 + 32 – 6 – 3 • 15 = 2 – 14 + 9 – 6 – 45 = Y, por último, las sumas y restas: = 2 – 14 + 9 – 6 – 45 = –54

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Efectúa las siguientes operaciones: a) (+6) + (+2) b) (+5) + (–4)

c) (–5) – (–4) d) –(+4) + (+5) + (–3)

e) (+12) + (–5) – (–14) f) –(–12) – (–3) – (+10)

13 Opera: a) (–6) • (+2) • (–3) b) (+9) : (–3) • (+4) c) (–12) : (+2) : (–3) d) (+36) : (–9) • (–5) : (+2)

14 Efectúa las siguientes operaciones: a) –6 • (5 – 2) – 3 • (–1) + 4 • (–4 + 1) – (2 – 3) b) –2 • [5 • (8 – 3) – 2 • (–2 – 5)] + 6 : (–5 + 2) c) 3 • (5 – 2) : [–3 • (1 – 3) + 1 • (1 – 4)] • 4 d) 2 – 3 • (4 + 6 – 3) – 2 • [8 – (–3) + 2 • (–2 + 4)] : 5 e) | –2 + 1| – |5 – 7| – 3 • (–1) + 4 • | –4 + 1 • (–3)| – (2 – 3)

1.2. Operaciones con números enteros. Jerarquía de operaciones

1.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo RECUERDA

ACTIVIDADES RESUELTAS 15 Realiza la descomposición factorial de 25 740. Vamos a efectuar la descomposición utilizando los criterios de divi sibilidad que aparecen en el recuadro de la derecha: 25 740 2 12 870 2 6 435 3 2 145 3

→ Por ser par la última cifra. → Por ser par la última cifra. → La suma de las cifras es múltiplo de 3. → La suma de las cifras es múltiplo de 3.

→ La última cifra es 5. 143 11 → Suma pares – suma impares: 4 – 4 = 0. 715 5

13 13 → Es número primo. Por tanto: 25 740 = 22 • 32 • 5 • 11 • 13 16 Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los números 60, 84 y 108.

Criterios de divisibilidad Son unas reglas sencillas que nos permiten conocer, sin efectuar la división, si un número es divisible entre otro. Un número es divisible por 2 cuando la última cifra es par. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 5 cuando la última cifra es 0 o 5. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posición par y la suma de las cifras que ocupan posición impar es múltiplo de 11.

Efectuamos la descomposición factorial de cada número: 60 = 22 • 3 • 5; 84 = 22 • 3 • 7; 108 = 22 • 33. Para hallar el mínimo común múltiplo elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente: 22 • 33 • 5 • 7 = 3 780. Para hallar el máximo común divisor escogemos los factores comunes elevados al menor exponen te: 22 • 3 = 12. Podemos comprobar que 3 780 es múltiplo de 60, 84 y 108: 60 • 63 = 84 • 45 = 108 • 35 = 3 780. Y también que 12 es divisor de 60, 84 y 108: 60 = 12 • 5, 84 = 12 • 7 y 108 = 12 • 9.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 17 Completa el resto de las columnas de la tabla siguiente indicando si los números de la izquierda son o no divisores de los números correspondientes: 198 2

275

1 650

8 675

11 532

21 516

Sí

18 Efectúa la descomposición factorial de los siguientes números: a) 176

b) 935

8 1. Números enteros. Divisibilidad

c) 280

275

1 560

19 Averigua por qué cifra hay que sustituir la letra a en el número 21 56a para que sea: a) Múltiplo b) Múltiplo c) Múltiplo d) Múltiplo

de de de de

2. 3. 5. 11.

20 Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números: a) 100 y 150. b) 54 y 72. c) 66 y 396. d) 45, 105 y 275.

21 Un autobús pasa por una de sus paradas cada 72 minutos y otro pasa cada 108 minutos. Si han coincidido en la parada a las 12 del mediodía, ¿a qué hora volverán a coincidir?

22 Para hacer un regalo a Juan por su cumpleaños todos sus amigos han puesto la misma cantidad de dinero y, curiosamente, con la misma cantidad de monedas: 18 € en monedas de 1 €, 7 € y 20 céntimos de euro en monedas de 10 céntimos de euro y 4 € y 95 céntimos de euro en monedas de 5 céntimos de euro. ¿Cuántos amigos han participado como máximo? ¿Qué cantidad ha puesto cada uno?

1.3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Potencias y raíces

◗Definición y operaciones con potencias ■■ Potencia de base entera a y exponente natural n es el producto del factor a por sí mismo tantas veces como indique el exponente: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

an = a • a ... a n veces

Así, a • a = a2 se lee a al cuadrado; a • a • a = a3 se lee a al cubo, etc. Se interpreta a elevado a 1 como el propio a: a1 = a (no se puede multiplicar solo un factor). Conviene introducir una ampliación de las potencias con exponente entero del modo que sigue: Exponente cero: a0 = 1 Exponente negativo: a–n =

1 an

■■ Operaciones con potencias: Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes: am • an = am + n Para dividir potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes: am : an = am – n Para elevar una potencia a otro exponente se deja la base y se multiplican los exponentes: (am)n = am • n Producto y cociente de potencias con distinta base e igual exponente: am a am • bm = (a • b)m m = b b

( )

◗Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas ■■ Un número entero, p, es cuadrado perfecto si es el resultado de elevar otro número entero, a, al cuadrado: p = a2. Del número a decimos que es raíz cuadrada exacta de p: a = √p. ■■ Cualquier número entero comprendido entre dos cuadrados perfectos consecutivos tiene por raíz cuadrada entera la raíz exacta del menor, siendo el resto su diferencia al menor. El número 30, por ejemplo, está comprendido entre los cuadrados perfectos 25 y 36: 25 < 30 < 36. La raíz entera de 30 coincide con la raíz exacta de 25: √25 = 5; el resto es 30 – 25 = 5.

◗Notación científica ■■ En el sistema decimal cada número está formado por una o varias cifras, cuyo valor depende de la posición que ocupa. Cada unidad de un orden cualquiera equivale a 10 unidades del orden siguien te, y también, cada unidad de un determinado orden equivale a una décima parte del orden anterior. De este modo, por ejemplo, el número 457 está formado por 4 centenas, 5 decenas y 7 unidades. ■■ La notación científica consiste en representar un número con su primera cifra entera, colocar el resto de sus cifras después de la coma y multiplicar por la correspondiente potencia de 10. El exponente de la potencia de 10 recibe el nombre de orden de magnitud. El orden de magnitud toma los valores –2, –1, 0, 1, 2, respectivamente para las centésimas, décimas, unidades, dece nas, centenas, etc. Por ejemplo: 17 230 512 = 1,7230512 • 107; 0,0017 = 1,7 • 10–3

10 2. Potencias y raíces

2.1 Definición y operaciones con potencias ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Expresa las siguientes potencias en forma de producto, calcula su valor e indica en cada caso cuál es la base, cuál el exponente y cómo se lee: 25, 34, 43, 52. 25 34 43 52

= = = =

2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32: la base es 2 y el exponente 5 y se lee dos a la quinta. 3 • 3 • 3 • 3 = 81: la base es 3 y el exponente 4 y se lee tres a la cuarta. 4 • 4 • 4 = 64: la base es 4 y el exponente 3 y se lee cuatro al cubo. 5 • 5 = 25: la base es 5 y el exponente 2 y se lee cinco al cuadrado.

2 Observa cada una de las siguientes expresiones y señala cuáles son ciertas y cuáles no: a) 15 = 5

b) 03 = 0

c) 22 • 42 = 64

a) Es falsa, ya que 15 = 1 • 1 • 1 • 1 • 1 = 1. En general, uno elevado a cualquier potencia es 1: 1n = 1. b) Es cierta, ya que 03 = 0 • 0 • 0 = 0. En general cero elevado a cualquier potencia es 0: 0n = 0. c) Es cierta, ya que 22 • 42 = (2 • 4)2 = 82 = 8 • 8 = 64. Recuerda que en general an • bn = (a • b)n.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Teniendo en cuenta las reglas de los signos para los productos de números enteros, calcula los resultados de las siguientes potencias de base negativa: a) (–1)11 b) (–2)10 c) (–3)7 d) (–4)4 e) (–5)3 4 Realiza los siguientes productos expresando el resultado en forma de potencia: a) 33 • 34 b) 43 • 44 c) 54 • 52 d) 23 • 24 • 25 5 Realiza los siguientes cocientes expresando el resultado en forma de potencia: a) 34 : 32 b) 45 : 42 c) 57 : 53 d) 711 : 78 2.1. Definición y operaciones con potencias

6 Expresa en forma de producto o cociente de potencias las siguientes expresiones: a) (2 • 3)6 b) (3 • 4)2 c)

( 32 )

d) (7 • 5 : 2)3 7 Escribe como una única potencia: a) 32 • 22 b) 63 • 43 : 23 c) (22 • 24 : 23)2 d) (63 : 23)2 : 27

2.2 Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas ACTIVIDADES RESUELTAS 8 Calcula los cuadrados perfectos desde el 100 hasta el 400. Basta con elevar al cuadrado los números naturales comenzando por el 10 hasta que obtengamos como resultado 400: 102 = 10 • 10 = 100; 112 = 11 • 11 = 121; 122 = 12 • 12 = 144; 132 = 13 • 13 = 169; 142 = 14 • 14 = 196; 152 = 15 • 15 = 225; 162 = 16 • 16 = 256; 172 = 17 • 17 = 289; 182 = 18 • 18 = 324; 192 = 19 • 19 = 361; 202 = 20 • 20 = 400. Así pues, los cuadrados perfectos entre 100 y 400 son: 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 y 400. 9 Teniendo en cuenta los cuadrados perfectos de los 10 primeros números naturales, calcula las siguientes raíces cuadradas: √9, √25, √64 y √81. Examinando la lista de los cuadrados perfectos podemos escribir: √9 = 3, √25 = 5, √64 = 8 y √81 = 9 10 Calcula, comprobando el resultado, la raíz entera y el resto de los siguientes números: a) 12

b) 42

c) 70

d) 90

e) 151

En todos los casos, recorremos la lista hasta encontrar el cuadrado perfecto inmediatamente ante rior y después calculamos el resto como diferencia al número: a) Raíz = 3; resto = 3. Comprobamos que 32 + 3 = 12. b) Raíz = 6; resto = 6. Comprobamos que 62 + 6 = 42. c) Raíz = 8; resto = 6. Comprobamos que 82 + 6 = 70. d) Raíz = 9; resto = 9. Comprobamos que 92 + 9 = 90. e) Raíz = 12; resto = 7. Comprobamos que 122 + 7 = 151.

12 2. Potencias y raíces

11 Halla la raíz cuadrada exacta con un decimal del siguiente valor: 759,6 Conviene recordar, de cursos anteriores, el procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número con decimales. Explicación

Procedimiento

1.º Se forman grupos de dos cifras, a partir de la coma decimal, tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Si el último grupo de cifras de la derecha solo tiene un decimal, se le añade un cero. 2.º Se escribe el símbolo de la raíz cuadrada como si fuese una raíz cuadrada entera, y, en el momento en el que toque bajar el primer grupo de decimales, se pondrá la coma en la raíz. 3.º Se halla la raíz cuadrada entera del primer grupo de la izquierda, 7, ese valor, que es 2, se coloca en la parte de la derecha. 4.º Al primer grupo, 7, se le resta la raíz entera obtenida elevada al cuadrado, es decir 22 = 4, y se obtiene el siguiente valor: 7–4=3 5.º Se baja a continuación del resto el grupo siguiente, 59, y se halla el doble de la raíz parcial: 2 • 2 = 4 El doble de la raíz parcial se coloca debajo de ella. 6.º Se halla la mayor cifra, 7, que se puede colocar a la derecha del doble obtenido, 4, para que al multiplicarla por este número, 47, dé el número formado por el resto y las cifras bajadas, 359, o el más próximo por defecto. 47 • 7 = 329 ≤ 359 48 • 8 = 384 > 359 La cifra que sirve es 7, ya que si se utilizase 8 se obtendría el siguiente producto:

√7 59 , 60

√ 7 59 , 60

√ 7 59 , 60 –4 3

√ 7 59 , 60 –4 3 59

2 4

√ 7 59 , 60 –4 3 59

2 47 • 7 = 329

√ 7 59 , 60 –4 3 59 –3 29 30

27 47 • 7 = 329

48 • 8 = 384 En ese caso, el valor sería mayor que 359. 7.º Al resto parcial, 359, se le resta el producto obtenido, 329. La cifra obtenida de la raíz, 7, se escribe a la derecha de la raíz parcial, 2, formando 27.

8.º Se coloca la coma tras la raíz 27, y se baja el primer grupo de decimales, 60.

√ 7 59 , 60 –4 3 59 –3 29 30 60

27, 47 • 7 = 329 545 • 5 = 2 725

9.º Se continúa hasta que se baje el último grupo de cifras. Observa que el resto es 3,35.

√ 7 59 , 60 –4 3 59 –3 29 30 60 –27 25 3 35

27,5 47 • 7 = 329 545 • 5 = 2 725

La raíz cuadrada exacta con un decimal de 759,6 es 27,5.

2.2. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Examina los siguientes números diciendo en cada caso si se trata o no de cuadrados perfectos, y si lo son, calcula sus raíces cuadradas exactas: a) 784 b) 2 304 c) 5 625 d) 11 025

OBSERVA

Para saber si un número es cuadrado perfecto efectuamos su descomposición factorial. Será cuadrado perfecto si todos los exponentes de sus factores son pares. En este caso, para hallar su raíz cuadrada exacta basta con reducir los exponentes de los factores a la mitad y efectuar el producto.

13 Elabora la tabla completa de todos los cuadrados perfectos entre 900 y 1 600.

14 Ayudándote de la tabla anterior, halla la raíz entera y el resto de los siguientes números: a) 909

b) 1 100

c) 1 250

d) 1 550

15 Halla la raíz cuadrada exacta con un decimal y el resto de los números siguientes: a) 23 514,16

b) 64 515,63

c) 89 256,25

d) 86 553,64

2.3 Notación científica ACTIVIDAD RESUELTA 16 ¿Cuáles de los siguientes números no están escritos en notación científica y por qué? a) 7,1 • 100–7

b) 0,24 • 10–25

c) 1,64 • 104

d) 5,61 • 1–5

El único que está correctamente escrito es el c). a) y d) están mal escritos ya que no están multiplicados por una potencia de 10; b) está mal escri to porque antes de la coma debe figurar una cifra entera.

14 2. Potencias y raíces

ACTIVIDADES PROPUESTAS 17 Ordena de menor a mayor las siguientes parejas de números escritos en notación científica: a) 2,33 • 10–11 y 3,05 • 10–11 b) 1,18 • 103 y 2,11 • 10–1 c) 6,13 • 10–5 y 1,53 • 10–7 d) 1,06 • 104 y 2,09 • 103

18 Escribe los siguientes números en notación científica: a) 216 b) 23,8 c) 2 120 000 000 d) 0,000000125

19 Escribe los siguientes números en notación decimal: a) 1,98 • 10–3 b) 6,02 • 106 c) 7,55 • 10–5 d) 5,99 • 1010

20 Transforma los siguientes números a notación científica: a) 0,196 • 107 b) 23,8 • 1002 c) 1 120 000 • 0,013 d) 0,000000125 • 106

2.3. Notación científica

Fracciones. Números decimales. Porcentajes

◗Definición y operaciones con fracciones ■■ Fracción es todo cociente indicado entre números enteros. Los términos de la fracción son el denominador, que indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador, que señala el número de partes iguales que se toman. El valor numérico, o expresión decimal de una fracción, se obtiene efectuando la división indicada. Si el valor absoluto del numerador es menor que el del denominador, la fracción se llama propia y su valor numérico en valor absoluto es inferior a la unidad. Si el numerador es mayor o igual que el denominador, la fracción es impropia y se puede descomponer en un número entero o en suma de un entero más una fracción propia. ■■ Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor numérico. Se pueden obtener frac ciones equivalentes a una fracción dada por ampliación o por simplificación multiplicando o dividiendo, respectivamente, numerador y denominador por un mismo número entero. Reducir varias fracciones a común denominador es obtener fracciones equivalentes por ampliación hasta que todas tengan por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores. Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador son primos entre sí (no tienen diviso res comunes). ■■ La comparación de dos fracciones se puede efectuar comparando sus valores numéricos o, tam bién, en forma de fracción: Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Si tienen igual numerador, es mayor la de menor denominador. Si tienen numeradores y denominadores diferentes, se reducen a común denominador. ■■ Operaciones: Suma y resta: se reducen a común denominador y se suman o restan los numeradores. Producto:

a c a • c Cociente: = = b d b • d

a c a • d Potencia: : = b d b • c

( ) a b

an bn

◗Conversión entre fracciones y números decimales ■■ De fracción a número decimal: Basta con efectuar la división. El resultado puede ser un número entero, un número decimal exacto con una parte entera y una cantidad de decimales limitada, un número decimal periódico puro cuando las cifras decimales se repiten periódicamente o un número decimal periódico mixto con una parte no periódica seguida de otra periódica. Se pueden recortar los decimales, a partir de una cifra dada, realizando en este caso una aproximación que puede ser por truncamiento o por redondeo. ■■ De decimal a fracción: Si el número es entero o decimal exacto, basta con multiplicar y dividir por la potencia de 10 adecuada. Si es periódico puro o mixto se halla la fracción generatriz.

◗Proporciones y porcentajes de una cantidad ■■ Para averiguar la proporción de una cantidad basta con multiplicar dicha cantidad por la propor 3 ción. Así, por ejemplo, las tres cuartas partes de 16 es lo mismo que • 16 = 12. 4 ■■ El tanto por cien, o porcentaje de una cantidad, se obtiene multiplicando el tanto por la cantidad 20 y dividiendo por cien. Por ejemplo: el 20 % de 40 es • 40 = 8. 100

16 3. Fracciones. Números decimales. Porcentajes

3.1 Definición y operaciones con fracciones ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Obtén tres fracciones equivalentes de cada una de las siguientes fracciones:

6 15 18 , , . 14 21 36

Por simplificación:

6 6:2 3 6 6 • 2 12 6 6 • 3 18 = = . Por ampliación: = = ; = = . 14 14 : 2 7 14 14 • 2 28 14 14 • 3 42

Por simplificación:

15 15 : 3 5 15 15 • 2 30 15 15 • 3 45 = = . Por ampliación: = = ; = = . 21 21 : 3 7 21 21 • 2 42 21 21 • 3 63

Por simplificación:

18 18 : 2 9 18 18 : 3 6 18 18 : 6 3 = = ; = = ; = = . 36 36 : 2 18 36 36 : 3 12 36 36 : 6 6

2 Ordena de menor a mayor las siguientes parejas de facciones: a)

2 3 y 5 5

3 3 y 7 4

3 7 y 5 11

2 3 2 3 y tienen el mismo denominador. Es menor la de menor numerador: < . 5 5 5 5

3 3 3 3 y tienen el mismo numerador. Es menor la de mayor denominador: < . 7 4 7 4

3 7 y tienen distintos numerador y denominador. Las reducimos a común denominador. 5 11

m.c.m. (5, 11) = 55.

3 3 • 11 33 7 7 • 5 35 33 35 3 7 = = ; = = . Como < entonces, < . 5 5 • 11 55 11 11 • 5 55 55 55 5 11

3 Clasifica las siguientes fracciones en propias o impropias descomponiendo estas últimas en un número entero o en suma de un número entero más una fracción propia: a)

3 7

7 3

1 3

21 7

3 es una fracción propia, ya que el numerador es menor que el 7 denominador.

7 b) es una fracción impropia porque el numerador es mayor que 3 7 1 el denominador: = 2 + . 3 3 1 c) es una fracción propia por ser el numerador menor que el 3 denominador. 21 es una fracción impropia, pues el numerador es mayor que 7 21 el denominador: = 3. 7 17 e) es una fracción impropia porque el numerador es mayor que 7 17 3 el denominador: =2+ . 7 7 d)

17 7

RECUERDA

Prueba de la división entera: D r

d c

Dividendo es igual a divisor por cociente más resto: D = d • c + r Dividiendo ambos miembros entre d: D r =c+ d d

3.1. Definición y operaciones con fracciones

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Compara las siguientes fracciones reduciéndolas previamente a común denominador y confirma el 1 2 3 4 5 resultado calculando sus valores numéricos: , , , y . 3 5 8 9 12

5 Efectúa las siguientes operaciones expresando el resultado en forma de fracción reducida: a)

1 3 5 7 – + – 2 4 6 8

b) 2 –

( 35 + 13 ) (

)

3 1 2 +2 – 5 2 7

3 4 1 2 + : – 5 3 3 7

(

)

3 4 1 2 + : – e) 5 3 3 7 3 4 2 + • 5 3 5

6 Efectúa las siguientes operaciones expresando el resultado en forma de fracción: a)

1 3 2 3 : • 2 4 2

( ) ( )

√( (

–1

) )

3 1 7 3 b) 2 – + : • 5 3 5 4

√(

)

13 c) –1 3

–

19 3 : 3 1

18 3. Fracciones. Números decimales. Porcentajes

3.2 Conversión entre fracciones y números decimales ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Clasifica los siguientes números decimales: a) 17,5 b) 11 c) 2,5222… d) 11,2727… e) 1,753753… a) Decimal exacto porque tiene una cantidad limitada de decimales. b) Entero porque no tiene decimales. c) Periódico mixto porque hay un decimal y tras él una secuencia periódica de decimales. d) Periódico puro porque tiene una secuencia de decimales periódica. e) Periódico puro porque tiene una secuencia de decimales periódica. 8 Halla la fracción generatriz de los números decimales de la actividad anterior. a) Al ser decimal exacto basta con multiplicar y dividir por la poten cia de 10 correspondiente, efectuando el producto y dejando indicado el cociente. A continuación simplificamos: 10 175 : 5 35 17,5 = 17,5 • = = 10 10 : 5 2 b) Es un número entero. No es preciso hacer nada. c) Es periódico mixto. Se procede tal como se indica en el recuadro de la derecha: 2,5222... =

252 – 25 227 = 90 90

d) Es periódico puro: 11,2727... =

1 127 – 11 1 116 : 9 124 = = 99 99 : 9 11

e) Es periódico puro: 1,753753... =

1 753 – 1 1 752 : 3 584 = = 999 999 : 3 333

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico se siguen estos pasos: 1.º Se escribe la parte entera seguida de la parte decimal no periódica y de la parte periódica. 2.º Se resta al número anterior el número formado por la parte entera seguida de la parte no periódica. 3.º Se divide el número anterior entre tantos 9 como cifras tenga la parte periódica seguido de tantos 0 como cifras tenga la parte no periódica. 4.º Se simplifica, si procede, la fracción obtenida.

RECUERDA

9 Transforma las siguientes fracciones a números decimales indicando de qué naturaleza son. Expresa a continuación cada número con dos decimales con aproximación por redondeo. a)

OBSERVA

13 2 31 7 b) c) d) 5 7 125 6

Aproximar por truncamiento es ignorar los decimales restantes a partir de una cifra dada. Aproximar por redondeo es respetar o incrementar en una unidad la última cifra de la aproximación por truncamiento para que el error sea mínimo.

3.2. Conversión entre fracciones y números decimales

10 Indica de qué naturaleza son los siguientes números decimales obteniendo su fracción generatriz: a) 1,25

b) 1,111…

c) 2,05

d) 2,578181…

3.3 Proporciones y porcentajes de una cantidad ACTIVIDADES RESUELTAS 11 Calcula las dos terceras partes, las tres cuartas partes y las cuatro quintas partes de los siguientes números: a) 60 b) 240

c) 300 d) 540

e) 3 060 f) 3 720

2 3 4 Es suficiente con multiplicar las cantidades referidas por las fracciones , y . Los resultados 3 4 5 se recogen en la tabla siguiente:

2 3 3 4 4 5

240

300

540

3 060

3 720

160

200

360

2 040

2 480

180

225

405

2 295

2 790

192

240

432

2 448

2 976

12 A partir de las siguientes parejas de números calcula qué tanto por cien representa la primera cantidad respecto de la segunda: a) 22 y 55 b) 62 y 248

c) 124 y 400 d) 30 y 12

22 • 100 = 40; 22 representa el 40 % de 55. 55

62 • 100 = 25; 62 representa el 25 % de 248. 248

124 • 100 = 31; 124 representa el 31 % de 400. 400

RECUERDA

Para calcular qué porcentaje representa una cantidad respecto de otra basta con dividir la primera cantidad entre la segunda y multiplicar el resultado por cien.

30 • 100 = 250; 30 representa el 250 % de 12. Al ser 32 una cantidad mayor que 12, el por 12 centaje es superior al 100 %.

20 3. Fracciones. Números decimales. Porcentajes

ACTIVIDADES PROPUESTAS 13 He gastado la mitad del dinero que tenía en comer y la quinta parte de lo que me quedaba en tomar un autobús. Ahora tengo 8 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio? ¿Cuánto costó la comida? ¿Qué fracción del dinero inicial me queda?

14 Al finalizar la primera parte de un partido de fútbol, que dura 45 min, el tiempo de posesión del equipo local había sido del 40 % de los minutos. ¿Cuántos minutos tuvo el balón en su poder?

15 Una prenda que antes tenía un precio de 40 €, ahora cuesta 46 €. ¿Cuál ha sido su incremento porcentual?

16 Una familia desea comprar un vehículo por un importe de 20 000 €, pero se acoge a una promoción por la que les descuentan un 5 %. Al precio resultante hay que añadirle un 5 % de gastos de matriculación. ¿Cuál es el precio final? ¿Variaría el resultado si el descuento del 5 % se hubiera practicado después de los gastos de matriculación? En ambos casos, ¿qué incremento porcentual tiene el precio final sobre el importe inicial?

RECUERDA

La cantidad Valor final – Valor inicial r= Valor inicial nos da el tanto por uno que el valor ha aumentado o disminuido. El producto 100r recibe el nombre de incremento (si es positivo) o decremento (si es negativo) porcentual. Si conocemos el incremento o decremento porcentual podemos calcular el valor final V: V = V0(1 + r) (V0, valor inicial)

3.3. Proporciones y porcentajes de una cantidad

Proporcionalidad numérica

◗Proporcionalidad directa ■■ Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas la otra aumenta en la misma proporción de modo que el cociente de ambas cantidades siempre per manece constante. Si la primera magnitud va tomando los valores a1, a2, a3…, y la segunda los valores b1, b2, b3…, se cumple: a1 a2 a3 = = ... = Constante b1 b2 b3 ■■ Repartir de forma directamente proporcional una cantidad N entre otras varias a, b, c consiste en asignar a estas últimas las cantidades x, y, z respectivamente con arreglo a la relación: N x y z = = = ... = Constante a+b+c a b c

◗Proporcionalidad inversa ■■ Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye en la misma proporción de modo que el producto de ambas cantidades siempre per manece constante. Si la primera magnitud va tomando los valores a1, a2, a3…, y la segunda los valores b1, b2, b3…, se verifica: a1 • b1 = a2 • b2 = a3 • b3... = Constante ■■ Repartir de forma inversamente proporcional una cantidad N entre otras varias a, b, c consiste en asignar a estas últimas las cantidades x, y, z respectivamente con arreglo a la relación: N x y z = = = = Constante 1 1 1 1 1 1 + + a b c a b c

◗Interés simple y compuesto ■■ El interés simple i, producido por un capital invertido C0, en una entidad que ofrece un rédito o tanto por cien anual r, durante un tiempo en años t, se calcula a través de la expresión: i=

C0 • r • t 100

Si por ejemplo depositamos inicialmente una cantidad C0 al 1 % de interés anual (r = 1), el capital C 1 se habrá transformado al cabo de un año (t = 1) en: C = C0 + i = C0 + 0 = 1 + = 1,1 • C0. 100 100

(

)

■■ Cuando al finalizar cada periodo se agregan los intereses al capital para seguir rentando, los intereses que se van generando reciben el nombre de interés compuesto. El capital final acumu lado se obtienen a partir de la relación:

(

CF = C0 • 1 +

r 100

)

En cualquier caso, el interés es siempre la diferencia entre el capital final acumulado y el capital invertido: i = CF – C0

22 4. Proporcionalidad numérica

4.1 Proporcionalidad directa ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Una máquina embotelladora rellena 120 botellas en 4 min. ¿Cuántas botellas rellenará en 9 min? Estamos hablando de dos magnitudes, tiempo y número de botellas, que guardan una relación directamente proporcional. Para resolver la cuestión disponemos de tres procedimientos: la regla de tres simple directa, el procedimiento conocido como método de reducción a la unidad y, por último, la relación de proporcionalidad. ■■ Regla de tres directa: El dato proporcionado es que La pregunta es:

en 4 min en 9 min

se rellenan 120 botellas se rellenan x botellas

Expresamos estas relaciones algebraicamente:

⎧ ⎨ ⎩

9 • 120 4 min → 120 botellas ⎯→ 4 • x = 9 • 120 → x = 4 9 min → x botellas Esa máquina rellenará 270 botellas en 9 min. ■■ Reducción a la unidad: Si esa máquina en 4 min rellena 120 botellas, cada minuto rellena: 120 botellas = 30 botellas/min (reducción a la unidad) 4 min Si la máquina rellena 30 botellas por minuto, en 9 min rellenará: 9 min • 30 botellas/min = 270 botellas ■■ Relación de proporcionalidad: Designamos cada magnitud como a1 = 4 min; b1 = 120 botellas; a2 = 9 min a1 a2 a3 a a 4 9 120 • 9 = = ... = Constante → 1 = 2 → = → b2 = = 270 botellas b1 b2 b3 b1 b2 120 b2 4 2 Una profesora desea valorar con 3 puntos un trabajo realizado por cinco alumnos de forma proporcional al número de folios que ha escrito cada uno, que fueron 2, 3, 4, 5 y 6, respectivamente. ¿Qué puntuación corresponde a cada uno de ellos? Utilizamos la relación del reparto proporcional: N x y z 3 3 x y z t s = = = = ... ⎯→ = = = = = = a+b+c a b c 2 + 3 + 4 + 5 + 6 20 2 3 4 5 6 Y vamos despejando en cada caso: Al primero de los alumnos le corresponderán: 3 • 3 = 0,45 puntos. 20 3 • 4 Al tercero: z = = 0,60 puntos. 20 3 • 5 Al cuarto: t = = 0,75 puntos. 20 3 • 6 Al quinto: s = = 0,90 puntos. 20

3 x 3 • 2 = ⎯→ x = = 0,3 puntos. 20 2 20

Al segundo: y =

4.1. Proporcionalidad directa

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Uno de cada cinco de los alumnos de la ESO de un centro escolar ha obtenido una calificación media de notable. Si la cantidad de alumnos con media de notable es 45, ¿cuántos alumnos de ese centro hay en la ESO?

4 En un taller mecánico un operario repara 24 piezas en una hora. a) ¿Cuántos minutos necesita para reparar cada pieza? b) ¿Cuántas piezas puede reparar en una hora y tres cuartos?

5 Un club de baloncesto que organiza un campeonato dispone de un presupuesto total de 6 435 € a repartir entre los equipos ganadores de cada categoría, y decide que el importe sea proporcional a las edades de los deportistas. ¿Cuánto corresponde a cada una de las tres categorías si la edad media de cada una es: alevines, 11 años; benjamines, 13 años, y cadetes, 15 años?

4.2 Proporcionalidad invesa ACTIVIDADES RESUELTAS 6 Un estanque se llena en 7 horas con un grifo que arroja un caudal de 20 L/min. ¿En cuánto tiempo se llenará si el caudal del grifo se reduce a 14 L/min? Aunque podemos recurrir a la regla de tres inversa o al procedimiento de reducción a la unidad, en este caso vamos a utilizar la relación de proporcionalidad inversa, designando cada magnitud como a1 = 7 horas; b1 = 20 L/min; b2 = 14 L/min: a1 • b1 = a2 • b2 = a3 • b3... = Constante → a1 • b1 = a2 • b2 → 7 • 20 = a2 • 14 → → a2 =

24 4. Proporcionalidad numérica

7 • 20 = 10 horas 14

7 ¿Cómo deberían repartirse los premios de la actividad 5 si se desea que se haga de forma inversamente proporcional a la edad media? Usamos la relación correspondiente a los repartos inversamente proporcionales: x y z x y z N 6 435 = = = = ... → = = = = → 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + a b c 11 13 15 a b c 11 13 15 →

6 435 • 2 145 = 11x = 13y = 15z 195 + 165 + 143

Ahora podemos calcular la parte correspondiente a cada categoría: 6 435 • 2 145 Categoría de alevines: x = = 2 494,68 503 • 11 6 435 • 2 145 Categoría de benjamines: y = = 2 110,88 503 • 13 6 435 • 2 145 Categoría de cadetes: z = = 1 829,43 503 • 15

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8 Un ebanista adquiere planchas de contrachapado de 240 cm de anchura. Para realizar sus trabajos necesita láminas de 240, 120, 80, 60, 30 y 20 cm de anchura. Completa la tabla siguiente colocando la cantidad de láminas correspondiente a cada anchura que puede extraer de cada chapa: Anchura de la lámina en cm

240

120

Número de láminas

9 Una peña de fútbol contrata en una agencia un paquete cerrado que incluye desplazamiento, alojamiento en pensión completa y entradas al partido. Los 30 socios interesados han calculado que por persona deben pagar 375 €, por lo que deciden admitir a otras personas que no sean socios. Si al final se inscriben 15 personas más, ¿en qué cantidad por persona se verá disminuido el precio?

10 Para contrarrestar la contaminación de un río, tres municipios deciden realizar una inversión de 690 000 € repartida de forma inversamente proporcional a la distancia de cada municipio al río. Si las distancias son de 5, 10 y 12 km, respectivamente, ¿qué cantidad de dinero debe aportar cada municipio?

4.2. Proporcionalidad invesa

11 Juan y Pedro celebran el mismo día su cumpleaños y han decidido repartir una bolsa de chuches a cada uno de los 24 compañeros de clase. Si las bolsas las prepara Juan, tarda 6 min, y si las prepara Pedro, tarda 12 min. ¿Cuánto tiempo tardarán si lo hacen juntos?

OBSERVA

Puedes calcular cuántas bolsas por minuto prepara Juan y cuántas prepara Pedro. Así podrás conocer cuántas preparan entre los dos por minuto y determinar cuántos minutos necesitan entre los dos para completar la tarea.

4.3 Interés simple y compuesto ACTIVIDADES RESUELTAS 12 Un inversor realiza una compra de acciones por importe de 20 000 € que le reportan unos beneficios de 750 € en un año. a) ¿Cuál es el rédito? b) ¿De qué capital dispondrá al finalizar el año si decide desprenderse de las acciones? a) Para calcular el rédito despejamos r en la expresión: i=

C0 • r • t 100 • i 100 • 750 ⎯→ r = = = 3,75 % 100 C0 • t 20 000 • 1

b) Lógicamente, si se desprende de las acciones, recuperará el capital invertido junto con los intereses: C = C0 + i = 20 000 + 750 = 20 750 € Observa que se llega a la misma solución si empleamos la relación: C = C0 +

(

)

C0 • r • t r • t = C0 1 + = 20 000 • 1,0375 = 20 750 € 100 100

13 Se realiza una inversión de 3 000 € al 8 % de interés anual. Calcula los intereses producidos: a) En un trimestre. b) En 102 días. c) En año y medio.

OBSERVA

Se entiende por año comercial un periodo de 360 días. Un mes comercial se corresponde con un periodo de 30 días.

Como en la fórmula del interés simple el tiempo debe ir en años, habrá que sustituir el periodo de tiempo por la cantidad correspon diente en años: 1 3 000 • 8 • 1 C • r • t 3 000 • 8 • 1 4 a) En un trimestre, t = años: i = 0 = = = 60 € 4 100 4 • 100 100 b) En 102 días, t =

102 C • r • t 3 000 • 8 • 102 años: i = 0 = = 68 € 360 100 360 • 100

c) En año y medio, t = 1,5 años: i =

26 4. Proporcionalidad numérica

C0 • r • t 3 000 • 8 • 1,5 = = 360 € 100 100

14 Una inversión a cinco años de un capital inicial de 5 000 € a un interés anual del 4,5 % se puede efectuar de dos modos: 1.º retirando los intereses anualmente y 2.º acumulando los intereses al principal. ¿A cuánto ascenderá en cada caso el beneficio? 5 000 • 4,5 • 5 = 1 125 €, cantidad que coincide con multiplicar por 5 los 100 intereses producidos en un año. En el segundo caso el capital al final de los cinco años es: En el primer caso: i =

(

CF = C0 • 1 +

r 100

)

(

= 5 000 • 1 +

4,5 100

)

= 6 230,91 €

Y los intereses producidos se calculan como diferencia entre el capital acumulado y el invertido: i = 6 230,91 – 5 000 = 1 230,19 € La diferencia entre los intereses obtenidos de una u otra forma es de 105,91 € a favor del segun do modo.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 15 Calcula el capital que, impuesto a un interés del 5 % anual, ha producido 20 € en un semestre.

16 ¿En cuántos días ha generado un capital de 12 600 € al 5,75 % unos intereses de 326 €?

17 ¿Cuál es el rédito que produce unos intereses de 175 € en dos años cuando el capital invertido es de 1 500 € sabiendo que se opera a interés simple?

18 ¿Cuál es el rédito que produce unos intereses de 175 € en dos años cuando el capital invertido es de 1 500 € si se opera a interés compuesto?

4.3. Interés simple y compuesto

Expresiones algebraicas. Polinomios

◗Expresiones algebraicas ■■ Expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras unidos mediante diferentes operaciones aritméticas. Son expresiones algebraicas: 2x; 4b + 2x; 4x2 y… Por ejemplo, para expresar la longitud de la circunferencia en función del radio utilizamos la expresión 2 • π • r. Cada letra representa una cantidad: r representa el valor del radio y π repre senta el valor del número pi. Algunos literales pueden tomar diferentes valores, y reciben el nombre de variables o incógnitas. Otros solo pueden tomar un único valor, y reciben el nombre de constantes. ■■ Valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene al sustituir cada literal por el valor correspondiente y efectuar las operaciones indicadas.

◗Monomios en una indeterminada ■■ Un monomio es una expresión algebraica con las operaciones indicadas producto y potencia de exponente natural de la forma: a • xn En la expresión anterior a es el coeficiente, x es la cantidad variable que se llama incógnita o indeterminada y n es el exponente o grado del monomio. Los monomios del mismo grado se denominan términos semejantes. ■■ Las operaciones habituales con monomios son: Suma y resta de monomios del mismo grado: a • xn ± b • xn = (a ± b) • xn Se obtiene otro monomio del mismo grado. Esta operación se denomina agrupar términos semejantes. Producto de monomios: (a • xm) • (b • xn) = (a • b) • xm + n Se obtiene un monomio cuyo grado coincide con la suma de los grados.

◗Polinomios en una indeterminada ■■ Un polinomio es la suma indicada de varios monomios siendo el grado del polinomio coinciden te con el mayor de los grados de sus monomios. Normalmente se escriben los monomios en orden decreciente de grado. Así ordenados, el primer coeficiente es el coeficiente principal, y el último, el término independiente. Por ejemplo: 2x3 – 3x2 + 5x – 6 es un polinomio de tercer grado; su coeficiente principal es 2 y su término independiente –6. ■■ Las operaciones más importantes con polinomios son: Suma y resta. Agrupamos los términos semejantes de ambos polinomios y ordenamos el polinomio obtenido. Producto de dos polinomios. Se obtiene multiplicando cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo; después se agrupan términos semejantes y se escriben en orden decreciente de grado. El grado del polinomio que se obtiene es también la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

28 5. Expresiones algebraicas. Polinomios

5.1 Expresiones algebraicas ACTIVIDAD RESUELTA 1 Utiliza una expresión algebraica que refleje matemáticamente las siguientes relaciones. Calcula el valor numérico de las mismas cuando la primera cantidad es 3 y la segunda 2: a) Añadir una cantidad a otra. b) Restar al doble de una cantidad otra cantidad. c) Calcular el resultado de añadir a un número la suma de tres números consecutivos. d) Multiplicar un número por el doble de otro disminuido en una unidad. e) Restar al cuadrado de un número el triple de otro. Para expresar algebraicamente las relaciones propuestas basta con sustituir cada cantidad por un literal: a) x + y. Valor numérico es: 3 + 2 = 5 b) 2x – y. Valor numérico es: 2(3) – 2 = 4 c) y + (x) + (x + 1) + (x + 2). Valor numérico: 3 + 2 + 3 + 4 = 12 d) x • (2y – 1). Valor numérico: 3 • [2(2) – 1] = 9 e) x2 – 3y. Valor numérico: 32 – 3(2) = 3

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Expresa algebraicamente las siguientes relaciones y calcula el valor que alcanzan cuando la cantidad que se opera vale 2 cm. a) El área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado. b) La superficie del círculo es el producto de π por el cuadrado del radio. c) El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista. d) La diagonal de un cuadrado es igual a la raíz cuadrada del doble del cuadrado de su lado.

3 Completa la siguiente tabla calculando el valor numérico que alcanzan las expresiones algebraicas para los valores indicados: 6x –2y + 2

x2 – 2x • y + 3y

2x – y (x – 1)

xy – x • y

x = 2; y = 3 x = 3; y = 2

5.1. Expresiones algebraicas

5.2 Monomios en una indeterminada ACTIVIDAD RESUELTA 4 La arista de un cubo mide x cm. Expresa las siguientes magnitudes mediante monomios, indicando en cada caso cuál es el coeficiente y el grado: a) Su volumen. b) Su área total. c) La suma de las longitudes de todas sus aristas. a) Como el volumen de un cubo es largo por ancho y por alto, y cada una de estas longitudes coincide con la arista, queda: V(x) = x3. El coeficiente es 1 y el grado 3. b) El área de cada cara del cubo es largo por ancho, donde uno y otro coinciden con la arista, pero como hay seis caras, el área total es: A(x) = 6x2. El coeficiente es 6 y el grado 2.

OBSERVA

Si la indeterminada x de un monomio representa una longitud, el grado del monomio está relacionado con la dimensión de la magnitud que representa: Grado 1: unidades lineales, longitudes. Grado 2: unidades cuadradas, superficies. Grado 3: unidades cúbicas, volúmenes.

c) Un cubo posee 12 aristas. La suma de sus longitudes: L(x) = 12x. El coeficiente es 12 y el grado 1.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Calcula el valor numérico que alcanza cada una de las magnitudes de la actividad anterior sabiendo que la arista del cubo mide 3 dm e indica sus unidades. 6 Realiza las siguientes operaciones con monomios: a) 5x3 – 3x3

b) 3x2 • 5x

c) 2x2 + 3x • 4x

d) 6x • (2x – 5x)

5.3 Polinomios en una indeterminada ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Sean los polinomios P(x) = 2x2 + 3x – 1 y Q(x) = –x + 4, realiza P(x) + Q(x) y P(x) • Q(x): ■■ Recordemos que para realizar la suma basta con agrupar los términos semejantes: 2x2 + 3x – 1 –x +4 + 2x2 + 2x + 3 ⎯→ P(x) + Q(x) = 2x2 + 2x + 3 ■■ Podemos distribuir los polinomios del mismo modo que una multiplicación numérica: 2x2 +

3x – 1 –x +4 2 8x + 12x – 4 –2x3 – 3x2 +x 3 2 –2x + 5x + 13x – 4 ⎯→ Por tanto, P(x) • Q(x) = –2x3 + 5x2 + 13x – 4 ×

30 5. Expresiones algebraicas. Polinomios

8 Usando alguna de las igualdades notables del recuadro, calcula:

OBSERVA

a) (x + 2)2 b) (x – 1)2 c) (x + 3) (x – 3) Gracias a las igualdades notables podemos ahorrar pasos a la hora de realizar ciertas operaciones: a) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

A veces, las expresiones algebraicas o los polinomios pueden transformarse usando alguna de las siguientes igualdades notables:

b) (x – 1)2 = x2 – 2x + 1

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

c) (x + 3) (x – 3) = x2 – 9

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b) (a – b)

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 Sean los polinomios P(x) = x2 + 3x – 1 y Q(x) = 2x2 –3x + 2, realiza las siguientes operaciones: a) P(x) + Q(x)

b) P(x) – Q(x)

c) 2 • P(x) – 3 • Q(x)

10 En la actividad anterior asigna a la indeterminada el valor 3, x = 3, y calcula los valores numéricos de los polinomios P(x) y Q(x), así como de los polinomios obtenidos en las operaciones P(x) + Q(x), P(x) – Q(x) y 2 • P(x) – 3 • Q(x). ¿Confirman los valores numéricos las identidades algebraicas?

11 Sean los polinomios P(x) = x2 + 2x + 1 y Q(x) = 3x – 2, realiza las siguientes operaciones: a) P(x) • Q(x)

b) Q(x) • Q(x)

c) P(x) • P(x)

12 En la actividad anterior asigna a la indeterminada el valor 2 y calcula los valores numéricos de los polinomios P(x) y Q(x), así como de los polinomios obtenidos en las operaciones P(x) • Q(x), Q(x) • Q(x) y P(x) • P(x). ¿Confirman los valores numéricos las identidades algebraicas?

13 Usando las igualdades notables, calcula: a) (2x + 1)2

b) (2 – 3x)2

c) (x – 5) (x + 5)

5.3. Polinomios en una indeterminada

Ecuaciones de primer grado

◗Definición de ecuación ■■ Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, llamadas miembros, que se verifica para determinados valores de los literales o incógnitas que se pretenden encontrar. En cada miembro se denominan términos a las expresiones separadas por los signos más o menos. Por ejemplo:

Primer miembro

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

5x – 3 8x + 3 = – 2 (x – 3) 4 3

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

2x +

Segundo miembro

■■ Si los monomios que aparecen en la ecuación son a lo sumo de primer grado y solo contienen una incógnita, la ecuación se denomina ecuación lineal de primer grado. Todas las ecuaciones de primer grado se pueden reducir a la forma: ax = b, siendo a y b coeficientes conocidos y x la incógnita.

◗Soluciones de una ecuación ■■ Llamaremos solución de una ecuación a cada uno de los valores que sustituidos en la incógnita transforman la ecuación en una identidad numérica. ■■ Resolver una ecuación es el proceso seguido para obtener las soluciones. Si una ecuación tiene solución decimos que es compatible. En caso contrario es incompatible.

◗Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones ■■ Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. ■■ Hay dos reglas generales que se pueden aplicar para transformar una ecuación en otra equiva lente: Suma. Si sumamos a los dos miembros de una ecuación una misma cantidad, positiva o negativa, se obtiene una ecuación equivalente. Producto. Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo factor, distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente. ■■ Para resolver una ecuación, como por ejemplo la siguiente, conviene seguir este procedimiento: 5x – 3 8x + 3 2x + = – 2 (x – 3) 4 3 Suprimir denominadores. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores, tras haber reducido los dos miembros a común denominador: 24x 3(5x – 3) 4(8x + 3) 24(x – 3) + = – ⎯→ 24x + 3(5x – 3) = 4(8x + 3) – 24(x – 3) 12 12 12 12 Eliminar paréntesis. Lo que se consigue aplicando la propiedad distributiva: 24x + 3(5x – 3) = 4(8x + 3) – 24(x – 3) ⎯→ 24x + 15x – 9 = 32x + 12 – 24x + 72 Transposición de términos. Colocando en el primer miembro los términos que contienen la incóg nita, y el resto en el otro. Si un término debe pasar al otro miembro lo hace cambiando el signo. 24x + 15x – 9 = 32x + 12 – 24x + 72 ⎯→ 24x + 15x –32x + 24x = 12 + 72 + 9 Reducir términos semejantes y despejar la incógnita. 24x + 15x – 32x + 24x = 12 + 72 + 9 ⎯→ 31x = 93 ⎯→ x =

32 6. Ecuaciones de primer grado

93 =3 31

6.1 Definición de ecuación ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Clasifica las siguientes expresiones diciendo si son o no ecuaciones: a) L = 2πr b) 2(x + 1) = 2x + 2 c) 2(3x + 1) = x + 23 Analizamos cada expresión para ver si encaja con la definición de ecuación: a) No se puede considerar como una ecuación propiamente dicha, ya que no se trata de descubrir ningún valor. Una expresión de este tipo la denominamos fórmula. b) No es una ecuación sino una identidad algebraica que se verifica para cualquier valor de la incógnita; es el resultado de aplicar la propiedad distributiva. c) Sí, es una ecuación lineal. 2 Plantea la ecuación que permita resolver el siguiente problema: «¿Qué edad tengo sabiendo que soy dos años mayor que mi hermana y que dentro de dos años la mitad de la suma de nuestras edades será una docena?». Hay que plantear una ecuación. Como el valor que se trata de descubrir es mi edad, la llamare mos x. Si mi hermana es dos años menor que yo, su edad es x – 2. Dentro de dos años mi edad será x + 2, y la de mi hermana x, y la suma de ambas (x + 2) + x. Solo queda igualar la mitad de la suma anterior a 12: (x + 2) + x = 12 2

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Plantea la ecuación que permita resolver el siguiente problema: «¿Existe algún número que da lo mismo multiplicarlo por 2 y añadirle después 4, que multiplicarlo primero por 4 y después añadir 2 unidades?».

4 Plantea la ecuación que permita resolver el siguiente problema: «He comprado cinco cuadernos, dos grandes y tres pequeños, y me han cobrado por todo 14 €. ¿Cuánto cuesta cada uno si los grandes cuestan 2 € más que los pequeños?».

6.1. Definición de ecuación

6.2 Soluciones de una ecuación ACTIVIDAD RESUELTA 5 Comprueba si los valores x = 1 y x = 2 son soluciones de las siguientes ecuaciones: a) 2(x + 3) – 5 = 3x – 1

b) 3[x – 2(x – 2)] = 9

c) x2 – 3x + 2 = 0

Sustituimos en cada ecuación los valores propuestos para comprobar si se verifica o no: a) 2(x + 3) – 5 = 3x – 1 x = 1 ⎯→ 2(1 + 3) – 5 = 3(1) – 1 ⎯→ 3 ≠ 2. No es solución. x = 2 ⎯→ 2(2 + 3) – 5 = 3(2) – 1 ⎯→ 5 = 5. Sí es solución. b) 3[x – 2(x – 2)] = 9 x = 1 ⎯→ 3[1 – 2(1 – 2)] = 9 ⎯→ 9 = 9. Sí es solución. x = 2 ⎯→ 3[2 – 2(2 – 2)] = 9 ⎯→ 6 ≠ 9. No es solución. c) x2 – 3x + 2 = 0 x = 1 ⎯→ 12 – 3(1) + 2 = 0 ⎯→ 0 = 0. Sí es solución. x = 2 ⎯→ 22 – 3(2) + 2 = 0 ⎯→ 0 = 0. Sí es solución.

ACTIVIDAD PROPUESTA

RECUERDA

6 Construye una ecuación de primer grado cuya solución sea: a) x = –3 b) x = 21 c) x = 12

Evidentemente no hay una única ecuación con las soluciones propuestas. Sin embargo, en cada caso, la ecuación que propongamos será equivalente a cualquiera otra ecuación que tenga la misma solución.

6.3 Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Plantea y resuelve paso a paso: «Tengo 115 € en billetes de 5 y de 10 euros. Si en total tengo 12 billetes, ¿cuántos son de cada tipo?». Designamos como x a la cantidad de billetes de 10 €. Lógicamente, si el total de billetes es 12, la cantidad de billetes de 5 € serán 12 – x. La ecuación queda planteada del siguiente modo: 10x + 5(12 – x) = 115

Eliminamos paréntesis: 10x + 5(12 – x) = 115 ⎯→ 10x + 60 – 5x = 115 Transponemos y agrupamos los términos: 10x – 5x = 115 – 60 ⎯→ 5x = 55 Resolvemos la ecuación: 5x = 55 ⎯→ x = 11 La solución es: tengo x = 11 billetes de 10 € y 12 – 11 = 1 billete de 5 €.

34 6. Ecuaciones de primer grado

8 Plantea y resuelve: «Víctor tiene 3 años más que Sergio, pero cuando Sergio alcance la edad de Víctor las edades de ambos sumarán 29 años. ¿Qué edad tiene cada uno?» Conviene precisar por escrito la incógnita que vamos a manejar. Podemos asignar la incógnita x a la edad de Sergio. En este caso, al tener Víctor 3 años más, su edad actual es x + 3. Cuando Sergio alcance la edad de Víctor habrán transcurrido 3 años; Víctor tendrá (x + 3) + 3 = x + 6, y Sergio tendrá x + 3. Entonces, la suma de ambas será 29 años: (x + 6) + (x + 3) = 29 Eliminamos paréntesis, transponemos y agrupamos términos y resolvemos: (x + 6) + (x + 3) = 29 → x + 6 + x + 3 = 29 → x + x = 29 – 6 – 3 → 2x = 20 → x = 10 Expresamos la solución del problema: Víctor tiene x + 3 = 10 + 3 = 13 años y Sergio tiene x = 10 años.

9 Plantea y resuelve: «Al salir de casa gasté dos quintas partes del dinero que tenía en comprar libros y material escolar. Otro tanto gasté para inscribirme a un cursillo de verano. Cuatro séptimas partes de lo que me quedaba me costaron los últimos números de mi revista. Cuando llegué a casa tenía 96 € menos que al salir. ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa?». Podemos elegir como incógnita a x, precisamente la cantidad por la que nos preguntan, en este caso el dinero que tenía al salir de casa. El dinero que gasté en total es la diferencia entre el dinero que tenía al salir y al llegar a casa, 96 €. Esta cantidad ha de ser igual a la suma de las cantidades que fui gastando. Por una parte, dos quintas partes de lo que tenía al salir en libros y material: 2 x 5 Y después otro tanto en la inscripción al cursillo de verano: 2 x 5 2 2 4 4 1 En ese momento llevaba gastado: x + x = x, y me quedaba: x – x = x. 5 5 5 5 5 El último gasto, el de las revistas, cuatro séptimos de lo que quedaba:

( )

4 1 4 x = x 7 5 35 Colocamos en un miembro todo lo gastado y en el otro los 96 €: 2 2 4 x+ x+ x = 96 5 5 35 Quitamos denominadores: 2 2 4 14 14 4 3 360 x+ x+ x = 96 ⎯→ x+ x+ x= ⎯→ 14x + 14x + 4x = 3 360 5 5 35 35 35 35 35 Agrupamos términos y resolvemos: 14x + 14x + 4x = 3 360 ⎯→ 32x = 3 360 x =

3 360 = 105 32

Cuando salí de casa tenía 105 €.

6.3. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones

ACTIVIDADES PROPUESTAS 10 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 3x + 6 = 3

b) 2 – 5(3 – x) = 7x – 9

c) 2[5 – 3(x + 1)] = 25 + x

d) 3[2(x + 5) + 6(x + 3)] – 3x = 0

e) x + 2(x – 1) + 3(x – 2) = 4(x – 3)

11 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

x – 1 2x + 1 + = x – 10 8 7

5–x 3x – 4 –x=6– 3 5

c) 2(x – 1) –

d) x +

3(6 – x) = 8x + 1 7

1 x–4 5 x– – =0 2 5 5

3(2x – 1) 4(2x + 3) 7x + 1 + – = 4x + 1 5 3 11

36 6. Ecuaciones de primer grado

12 Resuelve las actividades 3 y 4 de esta unidad.

13 Un depósito tiene la mitad de agua que otro, pero si extraemos 7 L del primero y los agregamos sobre el segundo este tiene 35 L más que aquel. ¿Qué cantidad de agua hay entre los dos depósitos?

14 ¿Cuál es el número que coincide con la suma de su mitad más su cuarta parte más su séptima parte más tres unidades?

15 Un grifo llena un depósito en 54 min, un segundo grifo lo hace en 45 min, y un tercero en 30 min. a) ¿En cuánto tiempo lo llenarán los tres grifos juntos? b) ¿Y solos el segundo y el tercer grifo?

RECUERDA

Calcula qué fracción del depósito llena cada grifo por minuto. Interesa asignar la incógnita al tiempo necesario para llenar el depósito entre los tres grifos juntos.

16 ¿Qué cantidades de café de 15 €/kg y 20 €/kg hay que colocar para obtener 10 kg que al venderlos a 19,80 €/kg se obtenga un beneficio del 10 %? OBSERVA

Si llamamos x a los kg de café de 15 €/kg, la cantidad del café de 20 €/kg será 10 – x. Después hay que igualar el precio de coste multiplicado por 1,1 al precio de venta de los 10 kg. 6.3. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones

Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones

◗Ecuaciones de segundo grado ■■ Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si una vez reducida se puede expresar en forma: ax2 + bx + c = 0. Como máximo tiene dos soluciones, x1 y x2, que se obtienen mediante: ⎧ –b + ⎪ x1 = 2 ⎪ ax2 + bx + c = 0 ⎯→ x = –b ± √b – 4ac = ⎨ ⎪ 2a –b – ⎪ x2 = ⎩

√b2 – 4ac 2a √b2 – 4ac 2a

Tiene dos, una o ninguna solución según el valor b2 – 4ac sea mayor, igual o menor que cero. ■■ Si en ax2 + bx + c = 0 se anulan los coeficientes b o c la ecuación se llama incompleta. Las soluciones en este caso son: –c ax 2 + c = 0 ⎯→ x = ± ⎯→ x1 = a

√

–c

√ a , x

–c =– a

√

b ax 2 + bx = 0 ⎯→ x(ax + b) = 0 ⎯→ x1 = 0, x2 = – a

◗Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ■■ Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una expresión que reducida tiene la forma: ax + by = c Donde a y b son los coeficientes de las incógnitas y c es el término independiente. Cada pareja de valores (x = x0, y = y0) son una solución si al sustituirlos en la ecuación la verifican. Una ecuación de este tipo se interpreta geométricamente como una recta donde se encuentran todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación. ■■ Dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas forman un sistema de ecuaciones del tipo:

⎧ ax + by = c ⎨ ⎩ dx + ey = f Una pareja de valores (x = x0, y = y0) son una solución del sistema si verifican simultáneamente las dos ecuaciones, y se interpreta geométricamente como las coordenadas del punto de inter sección de las dos rectas que cada ecuación representa.

◗Métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones ■■ Un sistema de ecuaciones se puede resolver representando gráficamente cada ecuación, y hallando las coordenadas del punto de intersección. ■■ También se puede resolver analíticamente aplicando alguno de estos procedimientos: Sustitución. Se despeja una de las incógnitas en una ecuación y se sustituye en la otra. Igualación. Se despeja la misma incógnita en cada ecuación y se igualan las expresiones obtenidas. Reducción. Se multiplica cada ecuación por el número adecuado para que al restar ordenada mente las nuevas ecuaciones obtenidas se elimine una de las incógnitas.

38 7. Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones

7.1 Ecuaciones de segundo grado ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 + 2x – 3 = 0 b) x2 – 25 = 0 c) 2x2 + 6x = 0 Utilizamos las fórmulas correspondientes en cada caso. a) Es una ecuación de segundo grado completa: x2 + 2x – 3 = 0 ⎯→ x =

–2 ± √22 – 4 • 1 • (–3) –2 ± √4 + 12 –2 ± 4 = = = 2 • 1 2 2 –2 + 4 ⎧ ⎪ x1 = =1 2 ⎪ =⎨ –2 – 4 ⎪ ⎪ x2 = = –3 2 ⎩

b) Es una ecuación de segundo grado incompleta en la que b = 0: x2 – 25 = 0 ⎯→ x = ±

–(–25) = ±5 ⎯→ x1 = 5, x2 = –5 1

√

c) Es una ecuación de segundo grado incompleta en la que c = 0: 6 2x2 + 6x = 0 ⎯→ x(2x + 6) = 0 ⎯→ x1 = 0, x2 = – = –3 2 2 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) x1 = 2; x2 = 3 b) x1 = –2; x2 = 2 c) x1 =

OBSERVA

2 ;x =0 3 2

2 3 d) x1 = – ; x2 = 5 4 Utilizamos la relación propuesta en el cuadro del margen y poste riormente decidimos el valor de k más adecuado: a) x1 = 2; x2 = 3 ⎯→ (x – 2)(x – 3) = 0 ⎯→ x2 – 5x + 6 = 0 b) x1 = –2; x2 = 2 ⎯→ (x + 2)(x – 2) = 0 ⎯→ x2 – 4 = 0 c) x1 =

(

)

(

Si una ecuación de segundo grado tiene por soluciones x = x1 y x = x2, la ecuación se puede escribir como: k(x – x1)(x – x2) = 0 Siendo k cualquier número, como por ejemplo k = 1.

)

2 2 2 ; x = 0 ⎯→ x x – = 0 ⎯→ 3x x – = 0 ⎯→ 3x2 – 2x = 0 3 2 3 3

(

)(

)

(

)(

)

2 3 2 3 2 3 d) x1 = – ; x2 = ⎯→ x + x– = 0 ⎯→ 20 x + x– = 0 ⎯→ 5 4 5 4 5 4 ⎯→ 20x2 – 7x – 6 = 0

7.1. Ecuaciones de segundo grado

3 Resuelve la ecuación:

2x + 1 – 2x = 1. x

Primero hemos de reducirla. Para ello comenzamos multiplicando los dos miembros por x:

(

)

2x + 1 2x + 1 – 2x = 1 ⎯→ x – 2x = x • 1 ⎯→ 2x + 1 – 2x2 = x x x Pasamos todos los términos al miembro de la derecha reduciendo términos semejantes: 2x + 1 – 2x2 = x ⎯→ 0 = 2x2 – x – 1 ⎯→ 2x2 – x – 1 = 0 Y resolvemos la ecuación: 2x2 – x – 1 = 0 ⎯→ x =

1 ± √12 – 4 • 2 • (–1) 1 ± √1 + 8 1 ± 3 = = = 2 • 2 4 4 1+3 ⎧ ⎪ x1 = =1 4 ⎪ =⎨ 1–3 1 ⎪ ⎪ x2 = = – 4 2 ⎩

Conviene comprobar las soluciones sustituyendo las soluciones en la ecuación original.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 7x + 12 = 0 b) x2 –

1 x=0 2

c) 2x2 + 5x – 3 = 0 d) x2 – 7x – 30 = 0 e) 49x2 – 1 = 0 f) 3x2 – 12 = 0 g) 6x2 – 5x + 1 = 0 22 3 x+ =0 7 7 1 i) 2x2 – = 0 2 h) x2 –

5 Escribe ecuaciones de segundo grado con coeficientes enteros cuyas soluciones son: 1 a) x1 = 1; x2 = –4 c) x1 = 0; x2 = – 4 b) x1 = 4; x2 = –4

d) x1 =

6 Calcula cuál es el número que al añadirle su inverso da

1 1 ; x = – 3 2 6

10 . 3

40 7. Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones

7 Calcula el lado y el área de un cuadrado sabiendo que si duplicamos su anchura y disminuimos su altura en una unidad, el área del rectángulo obtenido aumenta en 3 m2. (Nota: Al tratarse de un problema geométrico solo se admiten valores positivos para el lado.)

7.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ACTIVIDAD RESUELTA 8 Dada la ecuación 2x + 3y = 18: a) ¿Cuáles de los siguientes pares de valores: A(2, 6), B(3, 4), C(4, 2) y D(6, 2) son solución? b) Representa la recta que pasa por los puntos cuyas coordenadas son solución de la ecuación y representa los puntos del apartado anterior. a) A no es solución, ya que 2(2) + 3(6) ≠ 18. B sí es solución porque 2(3) + 3(4) = 18. C no es solución, ya que 2(4) + 3(2) ≠ 18. D sí es solución porque 2(6) + 3(2) = 18. b)

y A

B C

2 0 –2

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 Representa los puntos cuyas coordenadas se indican y las rectas que pasan por ellos: a) Recta r que pasa por M(–1, 8) y N(4, 3). b) Recta s que pasa por P(2, 9) y Q(–3, 0). c) Recta t que pasa por R(–5, 2) y S(7, 5).

7.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

10 Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente al siguiente problema: Ayer compré 3 cuadernos y 7 lapiceros y me cobraron 13 € y hoy he comprado 4 cuadernos y 5 lapiceros y me han cobrado lo mismo. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno y cada lapicero?

7.3 Métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones ACTIVIDAD RESUELTA ⎧ x + 4y = 5 11 Resuelve por sustitución, reducción, igualación y gráficamente el sistema: ⎨ ⎩ 2x + 5y = 4 ■■ Por sustitución: Despejamos x en la primera ecuación: x + 4y = 5 → x = 5 – 4y Sustituimos en la segunda ecuación y resolvemos: 2x + 5y = 4 → 2(5 – 4y) + 5y = 4 → y = 2 Por último sustituimos el valor obtenido en: x = 5 – 4y → x = 5 – 4(2) → x = –3 ■■ Por reducción: Multiplicamos la primera ecuación por –2, sumamos ambas ecuaciones y resolvemos la ecuación:

⎧ x + 4y = 5 ⎧ –2x – 8y = –10 ⎯→ ⎨ ⎯→ –3y = –6 ⎯→ y = 2 ⎨ 2x + 5y = 4 ⎩ ⎩ 2x + 5y = 4 Sustituimos el valor obtenido en x + 4y = 5 y resolvemos: x + 4(2) = 5 ⎯→ x = –3 ■■ Por igualación: Despejamos x en cada ecuación, igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación: ⎧ x = 5 – 4y ⎧ x + 4y = 5 ⎪ 4 – 5y ⎯→ ⎨ ⎯→ y = 2 4 – 5y ⎯→ 5 – 4y = ⎨ x = 2 ⎪ ⎩ 2x + 5y = 4 2 ⎩

Sustituimos el valor obtenido en x + 4y = 5 y resolvemos: x + 4(2) = 5 ⎯→ x = –3 ■■ Gráficamente: Representamos la ecuación x + 4y = 5 eligiendo dos puntos cualesquiera: A(1, 1) y B(5, 0), y representamos también 2x + 5y = 4 tomando dos puntos cualesquiera: C(2, 0) y D(7, –2). Tra zamos ambas rectas y hallamos el punto de intersección: P(–3, 2). y P

2 0 –2

A 0

C 2

–2

42 7. Ecuaciones de segundo grado. Sistemas de ecuaciones

x D

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12 Determina las coordenadas del punto de intersección de las rectas r y t de la actividad 9 observando la gráfica.

13 Resuelve por sustitución:

⎧ x – 3y = 5 a) ⎨ ⎩ –2x – 5y = 1

⎧ 7x + y = 1 b) ⎨ ⎩ 3x + 2y = –9

14 Resuelve por reducción:

⎧ 3x + 2y = 5 a) ⎨ ⎩ 3x + 3y = –3

15 Resuelve por igualación: ⎧ x – 3y = 5 a) ⎨ ⎩ x + 2y = 10

⎧ 2x + y = –1 b) ⎨ ⎩ 4x + 5y = 1

⎧ 7x + y = 16 b) ⎨ ⎩ –3x + y = –14

16 Resuelve el sistema planteado en la actividad 10 por el método que quieras.

7.3. Métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones

Proporcionalidad geométrica

◗Razón de dos segmentos

AB =r CD AB EF ■■ Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos, EF y GH, si: = CD GH ■■ La razón de dos segmentos es el cociente entre sus longitudes:

◗Teorema de Tales Los segmentos que determinan tres rectas paralelas sobre dos rectas secantes r y s son proporcionales.

Dos triángulos en posición de Tales tienen en común un ángulo y sus lados homólogos son proporcionales. A

s C'

r C B

AB BC AC = = A'B' B'C' A'C'

C C'

◗Semejanza de triángulos

1.ª A

Dos triángulos son semejantes si cumplen una de estas tres condiciones:

2.ª

3.ª

3.ª Si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

A' C C'

2.ª Si tienen los tres lados proporcionales.

1.ª Si tienen los tres ángulos iguales.

AB AC BB' = = AB' AC' CC'

A C

◗Semejanza de polígonos

Dos polígonos son semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales. B

A = A' B = B'

C = C' D = D'

E = E'

D E

A'B' B'C' C'D' D'E' E'A' = = = = AB BC CD DE EA

D' E'

◗Escalas Llamamos escala a la razón que forma cada unidad de longitud sobre un plano o mapa con su longitud en la realidad. 1:100 significa que 1 cm sobre un plano equivale a 100 cm = 1 m en la realidad. Representamos las escalas de forma numérica y de forma gráfica. Por ejemplo, 1:1 000 se representa gráficamente: 0

1 1 cm

44 8. Proporcionalidad geométrica

5 km

8.1 Razón de dos segmentos ACTIVIDAD RESUELTA 1 Halla la razón de los segmentos AB = 5 cm y CD = 9 cm. Escribe otros dos segmentos proporcionales a los anteriores. Formamos la razón de ambos segmentos:

AB 5 = CD 9

Hallamos, por ampliación, dos segmentos proporcionales a los anteriores: 5 5 • 2 10 EF AB EF = = = ⎯→ = 9 9 • 2 18 GH CD GH

ACTIVIDAD PROPUESTA 2 La razón de dos segmentos AB y CD es igual a 0,375. Si CD = 8 cm, calcula cuánto mide AB.

8.2 Teorema de Tales ACTIVIDADES RESUELTAS 3 En la figura siguiente los segmentos miden OA = 2 cm, OA' = 3 cm y A'B' = 9 cm. Halla cuánto miden AB, OB y OB'. s B

A O

Puesto que las rectas r y s son paralelas, aplicando el teorema de Tales se cumple que: OA AB OB = = OA' A'B' OB' donde, sustituyendo, tenemos: 2 AB 2 • 9 = ⎯→ AB = = 6 cm 3 9 3 OB = OA + AB ⎯→ OB = 2 + 6 = 8 cm OB' = OA' + A'B' OB' = 3 + 9 = 12 cm

8.2. Teorema de Tales

4 Divide el segmento AB en 5 partes iguales. A

Como aplicación del teorema de Tales, podemos dividir un segmento en partes proporcionales a las partes de otro segmento que son iguales. Realizamos los pasos siguientes: 1.o Trazamos desde el extremo A del segmento una semirrecta cualquiera r: r

2.o Sobre r señalamos cinco segmentos iguales de la misma longitud: 5 4 3 2 1

3.o D esde el último punto se dibuja una línea que lo una con el punto B. Desde los otros cuatro puntos se trazan paralelas a la línea anterior:

De esta forma tenemos dividido el segmento AB en 5 partes iguales.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Siguiendo los mismos pasos que en la actividad anterior, divide el segmento AB = 10 cm en cuatro y en cinco partes iguales.

6 Halla lo que miden los siguientes segmentos AE y BE si AB = 6 cm; AC = 9 cm; AD = 12 cm; CD = 15 cm. A E B

46 8. Proporcionalidad geométrica

RECUERDA

En los triángulos ACD y ABE en posición de Tales se cumple: AB AE BE = = AC AD CD

8.3 Semejanza de triángulos ACTIVIDAD RESUELTA 7 Indica si las siguientes parejas de triángulos son o no semejantes, y en caso de serlo, qué criterio cumplen. a) 2 cm c) A 2 cm A' b) 3 cm

60°

4 cm

90°

5 cm

33°

1 cm 23° 2,5 cm

6 cm

8 cm 6 cm 3 cm

30°

4 cm C'

a) Son semejantes. A = A'; B = B'; C = C' ⎯→ ángulos iguales. 3 2 4 = = ⎯→ lados proporcionales. 6 4 8 c) No son semejantes. b) Son semejantes.

ACTIVIDAD PROPUESTA 8 Construye tres triángulos semejantes al siguiente, uno según cada criterio de semejanza.

2 cm

60° 80°

5 cm 40°

6 cm

8.4 Semejanza de polígonos ACTIVIDADES RESUELTAS 9 Los dos hexágonos de la figura son semejantes. Del primero se conoce la medida de sus lados: AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm, DE = 2 cm, EF = 3 cm, FA = 2,5 cm, y del segundo se conoce A'B' = 2 cm. Halla lo que miden los demás lados del segundo hexágono. A A'

F' E'

E D

B' D'

8.4. Semejanza de polígonos

Por ser semejantes, se cumple que: AB BC CD DE EF FA = = = = = A'B' B'C' C'D' D'E' E'F' F'A' Por lo que, sustituyendo valores: 4 BC 2 • 3 4 3 2 • 3 = ⎯→ B'C' = = 1,5 cm = ⎯→ C'D' = = 1,5 cm 2 B'C' 4 2 C'D' 4 4 2 2 • 2 4 3 2 • 3 = ⎯→ D'E' = = 1 cm = ⎯→ E'F' = = 1,5 cm 2 D'E' 4 2 E'F' 4 4 2,5 2 • 2,5 = ⎯→ F'A' = = 1,25 cm 2 F'A' 4 10 Dibuja un polígono semejante al de la figura, siendo la razón de semejanza entre el nuevo y el antiguo igual a 2,5. A E B D C

Elige un punto exterior O al pentágono, y desde él traza líneas discontinuas que pasen por cada uno de los vértices. A continuación, mide la distancia OA, que, multiplicada por la razón de semejanza 2,5, te dará la distancia OA' a la que marcarás el punto A'. Procede igual para cada uno de los cuatro puntos restantes y obtendrás B', C', D' y E'. Uniéndolos habrás dibujado el pentágono solicitado. A'

A O

E' B

D C

11 Dibuja un rectángulo semejante al de la figura, de modo que la razón de semejanza entre el segun1 do y el primero sea . 3 B

Mide con una regla los lados AB y AD, y divídelos en tres partes iguales, marcando la primera división desde A, que serán los puntos B' y D' respectivamente. Procede igual sobre la diagonal AC, con lo que tendrás C'. Uniendo B', C' y D' obtendrás el rectángulo semejante (ya que A' = A).

48 8. Proporcionalidad geométrica

8.5 Escalas ACTIVIDADES RESUELTAS 12 Calcula las medidas del salón y de la cocina del piso representado en este plano.

Dormitorio

Escala 1:100

Salón

Baño Cocina

La escala 1:100 significa que 1 unidad medida sobre el plano equivaldrá a 100 unidades en la realidad. Medimos con una regla, resultando: Salón: 4,5 cm de largo × 2,5 cm de ancho, que equivaldrán a 450 cm × 250 cm en la realidad, es decir, 4,5 m × 2,5 m. Cocina: 4,5 cm de largo × 1,5 cm de ancho, que equivaldrán a 450 cm × 150 cm = 4,5 m × 1,5 m en la realidad. 13 Medimos en un mapa la distancia entre dos ciudades, resultando ser de 36 mm. Halla lo que distan en la realidad, si la escala gráfica es: 0

200

400

600

800 1 000 km

La escala nos dice que 1 cm sobre el plano (que es lo que mide cada trozo de la escala) equivale a 200 km en la realidad. Así pues: 36 mm = 3,6 cm equivaldrán a 3,6 • 200 = 720 km en la realidad.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14 Halla las dimensiones del dormitorio y del baño del plano de la actividad 12.

15 Calcula la distancia real entre dos puntos que en un mapa distan 55 mm, cuya escala gráfica es: 0

100

200

300

400

500 km

8.5. Escalas

Triángulos. Teorema de Pitágoras

◗Triángulos: clasificación y elementos notables ■■ El triángulo es un polígono de tres lados. La suma de sus tres ángulos vale 180°. ■■ Según sus ángulos los triángulos son: acutángulos (los tres agudos), rectángulos (uno recto = 90°) y obtusángulos (uno obtuso). ■■ Según sus lados los triángulos son: equiláteros (los tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales y el tercero desigual) y escalenos (los tres lados distintos). ■■ Los elementos notables de un triángulo son: Las tres mediatrices de los lados. El punto donde se cortan se llama circuncentro. Desde el circuncentro se puede trazar la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices. C

C = circuncentro

Las tres bisectrices de los ángulos. El punto donde se cortan se denomina incentro. Desde el incentro se puede trazar una circunferencia inscrita tangente a los tres lados.

I I = incentro

Las tres alturas desde cada uno de los vértices. El punto donde se cortan se denomina ortocentro.

O = ortocentro

Las tres medianas a cada uno de los lados. El punto donde se cortan se denomina baricentro. B B = baricentro

◗Teorema de Pitágoras

En cualquier triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a

a2 = b2 + c2

◗Teorema de la altura En cualquier triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que queda dividida la hipotenusa. A

90°

h B

d a

50 9. Triángulos. Teorema de Pitágoras

h e = ⎯→ h2 = d • e d h

9.1 Elementos notables de un triángulo ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Traza las mediatrices del triángulo y dibuja su circunferencia circunscrita. Para dibujar la mediatriz de cada uno de los lados utilizamos el compás y una regla:

Mediatriz

resultando:

El punto C es el circuncentro del triángulo.

2 Traza las bisectrices del siguiente triángulo y dibuja su circunferencia inscrita. Para dibujar la bisectriz de cada uno de los ángulos, utilizamos el compás y una regla:

resultando:

El punto I es el incentro del triángulo.

9.1. Elementos notables de un triángulo

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Dibuja las alturas y el ortocentro O del triángulo siguiente:

4 Traza las medianas y señala el baricentro B del triángulo:

9.2 Teorema de Pitágoras ACTIVIDAD RESUELTA 5 Apoyamos una escalera de 5 m de longitud sobre un muro cuya altura desconocemos, quedando la base de la escalera a 4 m de distancia del muro. Halla la altura del mismo.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: (hipotenusa)2 = (1.er cateto)2 + (2.o cateto)2 de donde: 52 = h2 + 42 ⎯→ h = √25 – 16 ⎯→ h = √9 = 3 m

ACTIVIDADES PROPUESTAS 6 Aplicando el teorema de Pitágoras, calcula la altura de un triángulo equilátero de lado l = 5 cm.

l/2

52 9. Triángulos. Teorema de Pitágoras

7 Halla el lado de un rombo l, sabiendo que sus diagonales miden D = 18 cm y d = 12 cm.

D/2

l d/2

9.3 Teorema de la altura ACTIVIDAD RESUELTA 8 Calcula lo que miden la altura y el área de un triángulo rectángulo en el que la altura divide a la hipotenusa en dos segmentos que miden 3 cm y 8 cm.

h 3 cm

8 cm

Aplicando el teorema de la altura, tendremos:

RECUERDA

Según el teorema de la altura:

h 8 = ⎯→ h = √3 • 8 ≃ 4,9 cm 3 h

El área del triángulo es: A=

1 base • altura 2

1 11 • 4,9 En este caso A = (3 + 8) • 4,9 = = 26,95 cm2 2 2

h e = → h = √d • e d h

ACTIVIDAD PROPUESTA 9 Halla la altura y el área de un tejado que tiene forma de triángulo rectángulo en el que la altura divide a la hipotenusa en dos segmentos de 4 y 6 m.

9.3. Teorema de la altura

Áreas de cuerpos geométricos

◗Poliedros ■■ Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los lados y los vértices de sus caras son las aristas y los vértices del poliedro. ■■ Se denominan poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares: triángulos, cuadrados o pentágonos. Solo existen cinco poliedros regulares llamados sólidos platónicos.

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 caras (triángulos 6 caras (cuadrados), 8 caras (triángulos 12 caras (pentágonos 20 caras (triángulos equiláteros), 8 vértices, equiláteros), regulares), equiláteros), 4 vértices, 6 aristas. 12 aristas. 6 vértices, 12 aristas. 20 vértices, 12 vértices, 30 aristas. 30 aristas.

■■ En cada vértice de un poliedro regular coincide el mismo número de caras y todos sus ángulos son iguales. Los poliedros regulares cumplen la relación de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2

◗Área de los prismas Son poliedros cuyas bases son dos polígonos iguales y las caras laterales son paralelogramos. Según sean las bases, el prisma se denomina triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal... El área de un prisma es: APrisma = ALateral + 2 • ABase

◗Área de las pirámides Son poliedros que tienen una sola base, un polígono cualquiera, y cuyas caras laterales son triángulos que se unen en un vértice común o cúspide. Según sea la base, la pirámide se denomina triangular, cuadrangular... El área de una pirámide es: APirámide = ALateral + ABase

◗Área de los cuerpos de revolución Son cuerpos cuya superficie lateral es curva. Cilindro

Cono

Esfera

A = AL + 2 • AB

A = AL + AB

A = 4πR2

AL = 2πR • h AB = πR2

AL = πR • g

AB = πR2 R

54 10. Áreas de cuerpos geométricos

g R

10.1 Área de los prismas ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Halla el área lateral y total de los prismas siguientes: a)

b) h

base → triángulos equiláteros I = 4 cm h = 7 cm

base → hexágonos regulares I = 2 cm h = 7 cm

a) Para hallar el área de una de las bases tenemos que calcular primero su altura a. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado de la figura, tenemos: a=

3l2

√ l – ( 2 ) ⎯→ a = √ 4 l

l√3 4√3 ⎯→ a = = 2√3 cm 2 2

Así pues: AB =

1 1 base • altura ⎯→ AB = • 4 • 2√3 = 4√3 cm2 2 2

l/2

El área lateral será la suma de las áreas de sus tres caras rectangulares: AL = 3 • (base • altura) ⎯→ AL = 3 • 4 • 7 = 84 cm2 Y el área total: AT = AL + 2 • AB ⎯→ AT = 84 + 2 • 4√3 ≃ 84 + 13,86 = 97,86 cm2 b) Para hallar el área de una de las bases debemos calcular primero lo que mide su apotema. Por ser un hexágono regular, el radio mide lo mismo que el lado del hexágono, l. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado de la figura: a=

√ l – ( 2 ) ⎯→ a = 2

l√3 2√3 = = √3 cm 2 2

Y el perímetro del hexágono P = 6 • l ⎯→ P = 6 • 2 = 12 cm

l a

Así pues:

l/2

AB =

12 • √3 Perímetro • Apotema ⎯→ AB = = 6√3 cm2 2 2

El área lateral será la de los seis rectángulos iguales que la forman: AL = 6 • (base • altura) ⎯→ AL = 6 • 2 • 7 = 84 cm2 Y el área total: AT = AL + 2 • AB ⎯→ AT = 84 + 2 · 6√3 ≃ 84 + 20,78 = 104,78 cm2

10.1. Área de los prismas

2 Obtén el área lateral y total del prisma.

h = 5 cm a

l = 3 cm

base → pentágono regular I = 3 cm a = 1 cm Como es un prisma pentagonal regular, el área lateral será la suma de las áreas de los cinco rectángulos: AL = 5 • 3 • 5 = 75 cm2 El área de las bases será la suma de las áreas de los dos pentágonos: Perímetro • Apotema 5 • 3 • 1 = = 7,5 cm2 2 2

AB = Por lo que el área total será:

AT = AL + 2 • AB ⎯→ AT = 75 + 2 • 7,5 = 75 + 15 = 90 cm2

3 Calcula el área total de un cubo cuya arista mide l = 3 cm. El cubo tiene seis caras iguales, que son cuadradas. Por tanto: AT = 6 • l2 ⎯→ AT = 6 • 32 = 54 cm2

ACTIVIDAD PROPUESTA 4 Calcula el área lateral y total de los prismas siguientes: a)

b) h = 5 cm l = 3 cm

base → cuadrado

56 10. Áreas de cuerpos geométricos

l h

base → hexágono regular h = 4 cm l = 3 cm

10.2 Área de las pirámides ACTIVIDAD RESUELTA 5 Halla el área lateral y total de las pirámides siguientes: a)

b) l

h l

l/2

Pirámide cuadrangular arista de la base l = 5 cm altura h = 7 cm

Pirámide pentagonal regular arista de la base b = 2 cm apotema de la base a = 1,3 cm arista lateral l = 5 cm

a) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado en la pirámide, hallaremos la apotema de una de sus caras laterales.

√ h + ( 2 ) ⎯→ a = √7 2

+ 2,52 ⎯→ a = √55,25 = 7,4 cm

l/2

El área lateral será la suma de las áreas de sus cuatro triángulos equiláteros iguales:

( 12 base • altura) ⎯→

AL = 4 • ATriángulo ⎯→ AL = 4 •

(

h a

)

1 ⎯→ AL = 4 • • 5 • 7,4 = 74 cm2 2

Y el área de la base cuadrada: AB = l2 ⎯→ AB = 52 = 25 cm2 Con lo que el área total: AT = AL + AB ⎯→ AT = 74 + 25 = 99 cm2 b) Como la base es un pentágono regular, su área será: AB =

Perímetro • Apotema (5 • 2) • 1,3 ⎯→ AB = ⎯→ AB = 6,5 cm2 2 2

El área lateral será la suma de las áreas de sus cinco triángulos isósceles iguales, de los que no conocemos su altura h (que es su apotema). Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado, tendremos: h=

b 2 ⎯→ h = √52 – 12 = √24 ⎯→ h = 4,9 cm l 2 – 2

√ ( )

b/2 b/2

El área lateral será:

( 12 • 2 • 4,9) = 24,5 cm

AL = 5 • ATriángulo ⎯→ AL = 5 •

Así pues: AT = AL + AB ⎯→ AT = 24,5 + 6,5 = 31 cm2

10.2. Área de las pirámides

ACTIVIDAD PROPUESTA 6 Calcula el área lateral y total de las pirámides siguientes: b)

a) l

h b

Tetraedro (4 triángulos equiláteros) de arista l = 6 cm y altura de una de sus caras h = 5,2 cm.

Pirámide hexagonal regular, lado de la base b = 3 cm, altura de una de las caras laterales h = 6 cm.

10.3 Área de los cuerpos de revolución ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Obtén el área lateral y total de los siguientes cuerpos redondos. a)

R = 2 cm, h = 7 cm

R = 2 cm, g = 7,3 cm

R = 2 cm

a) El área lateral de un cilindro es: AL = 2πR • h ⎯→ AL = 2π • 2 • 7 = 87,92 cm2 El área de una de sus bases: AB = πR2 ⎯→ AB = π • 22 = 12,56 cm2 Por lo que su área total será: AT = AL + 2 • AB ⎯→ AT = 87,92 + 2 • 12,56 ⎯→ AT = 113,04 cm2

58 10. Áreas de cuerpos geométricos

b) El área lateral de un cono es: AL = πR • g ⎯→ AL = π • 2 • 7,3 = 45,84 cm2 El área de su base: AB = πR2 ⎯→ AB = π • 22 = 12,56 cm2 Con lo cual, su área total será: AT = AL + AB = 45,84 + 12,56 = 58,4 cm2 c) El área de una esfera es: A = 4πR2 ⎯→ A = 4π • 22 = 50,24 cm2

8 ¿Cuántas vueltas debe dar el rulo de una apisonadora, de radio R = 0,4 m y longitud l = 3 m, para pisar un trozo de suelo de 3 × 150 m? l R

Hemos de calcular lo que pisa en un giro completo, que será el área lateral del rulo. AL = 2πR • l ⎯→ AL = 2π • 0,4 • 3 = 7,54 cm2 Para pisar una superficie de 3 • 150 = 450 m2 tendrá que dar: 450 ≃ 60 vueltas 7,54

ACTIVIDAD PROPUESTA 9 Calcula los metros cuadrados de tela que tiene una tienda de campaña de forma cónica, cuyo radio es R = 3 cm y cuya altura es h = 2 m, teniendo en cuenta que no tiene suelo. (Tendrás que hallar lo que mide la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras.)

10.3. Área de los cuerpos de revolución

Volúmenes de cuerpos geométricos

◗Unidades de volumen ■■ La unidad principal para medir cualquier volumen es el metro cúbico (m3). ■■ Sus múltiplos y submúltiplos son: 1 km3 = Para subir cada escalón = 1 000 000 000 m3 hay que dividir por 1 000 3 1 hm = (: 1 000) = 1 000 000 m3 1 dam3 = = 1 000 m3 1 m3 1 dm3 = = 0,001 m3 1 cm3 = = 0,000001 m3 1 mm3 = = 0,000000001 m3

Para bajar cada escalón hay que multiplicar por 1 000 (× 1 000)

■■ Relación entre las unidades de volumen y capacidad: 1 m3 = 1 kL 1 dm3 = 1 L 1 cm3 = 1 mL

◗Volúmenes de los prismas

h c a

VOrtoedro = a • b • c VCubo = a3

VPrisma = área de la base • h

◗Volúmenes de las pirámides

VPirámide =

1 A • h 3 B

◗Volúmenes de los cuerpos de revolución VCilindro = πR2h VCono =

1 πR2h 3

VEsfera =

4 πR3 3

60 11. Volúmenes de cuerpos geométricos

11.1 Unidades de volumen ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Transforma en metros cúbicos las siguientes medidas de volumen: a) 0,000005 km3

b) 7 000 000 000 mm3

× 1 000 × 1 000 × 1 000 a) 0,000005 km3 ⎯⎯⎯→ 0,005 hm3 ⎯⎯⎯→ 5 dam3 ⎯⎯⎯→ 5 000 m3 : 1 000 : 1 000 : 1 000 b) 7 000 000 000 mm3 ⎯⎯⎯→ 7 000 000 cm3 ⎯⎯⎯→ 7 000 dm3 ⎯⎯⎯→ 7 m3

2 Expresa la capacidad en litros de los volúmenes siguientes: a) 0,077 m3

b) 15,7 dm3

c) 6 349 cm3

d) 5 432 000 mm3

a) 0,077 m3 = 0,077 • 1 000 = 77 L

c) 6 349 cm3 = 6 349 : 1 000 = 6,349 L

b) 15,7 dm3 = 15,7 L

d) 5 432 000 mm3 = 5 432 000 : 1 000 000 = 5,432 L

ACTIVIDAD PROPUESTA 3 Expresa la capacidad en litros de los volúmenes siguientes: a) 0,55 m3 b) 3,8 dm3 c) 9 642 cm3 d) 357 000 mm3

11.2 Volúmenes de los prismas ACTIVIDAD RESUELTA 4 Calcula el volumen de los prismas siguientes: a)

l = 3 cm

h = 5 cm 5 cm

3 cm

4 cm

3 cm AB = 23,4 cm2

a) VOrtoedro = a • b • c ⎯→ VOrtoedro = 3 • 4 • 5 = 60 cm3 b) VCubo = a3 ⎯→ VCubo = 33 = 27 cm3 c) VPrisma hexagonal = AB • h ⎯→ VPrisma hexagonal = 23,4 • 5 = 117 cm3 11.2. Volúmenes de los prismas

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Obtén el número de litros de agua necesarios para llenar hasta el borde una piscina de dimensiones 15 m de largo por 6 m de ancho por 2 m de profundidad.

6 La cabeza de un tornillo tiene forma de prisma hexagonal, de dimensiones: área de la base, 390 mm2; altura, 7 mm. Calcula su volumen.

11.3 Volúmenes de las pirámides ACTIVIDAD RESUELTA 7 Calcula el volumen de las pirámides siguientes: b)

a) h

h l

Pirámide cuadrangular lado de la base: l = 5 m altura: h = 3 m

Pirámide hexagonal área de la base AB = 42 m2 altura: h = 5 m

a) ABase = l2 ⎯→ ABase = 52 = 25 m2 1 VPirámide = • 25 • 3 = 25 m3 3 b) VPirámide =

1 • 42 • 5 = 70 m3 3

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8 La torre de un edificio de mi pueblo tiene forma de pirámide hexagonal, de 24 m2 de área de la base y 2 m de altura. Halla su volumen.

62 11. Volúmenes de cuerpos geométricos

9 Una tienda de campaña tiene forma de pirámide cuadrangular, de 2 m de lado y 1,5 m de altura. ¿Cuántos litros de aire caben en su interior?

11.4 Volúmenes de los cuerpos de revolución ACTIVIDAD RESUELTA 10 Calcula el volumen de los cuerpos siguientes: a)

c) R

R = 2 cm, h = 5 cm

R = 2 cm

a) VCilindro = πR2h ⎯→ VCilindro = π • 22 • 5 = 62,8 cm3 b) VCono = c) VEsfera =

1 1 πR2h ⎯→ VCono = π • 22 • 5 = 20,9 cm3 3 3 4 4 πR3 ⎯→ VEsfera = π • 23 = 33,5 cm3 3 3

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Halla el volumen de la cabaña de la figura, sabiendo que la base tiene 2 m de altura y 3 m de radio, y el techo, 3,5 m de radio y 2 m de altura.

12 En un cubo de 4 dm de arista introducimos una esfera de 2 dm de radio. ¿Cuántos litros de agua cabrán en el espacio que permanece libre entre ambos?

11.4. Volúmenes de los cuerpos de revolución

Funciones

◗Definición de función ■■ Una variable dependiente, y, es función de otra variable independiente, x, si el valor de aquella se obtiene de una única manera realizando operaciones sobre los valores de esta. Con más precisión, una función es el conjunto de operaciones que se debe efectuar sobre x para obtener el correspondiente valor de y. ■■ Dominio de una función es el conjunto de valores que podemos dar a x para poder efectuar las operaciones que indica la función. ■■ Imagen o recorrido es el conjunto de posibles valores que puede alcanzar y como resultado de las operaciones de la función.

◗Expresiones de una función ■■ Analítica. Es la expresión algebraica o fórmula que indica las operaciones que se deben efectuar. Por ejemplo: x y= 2 x +1 ■■ Mediante una tabla de valores. En lugar de indicar las operaciones que hay que efectuar, se presentan diferentes valores de x y sus correspondientes valores de y. Una tabla obtenida a partir de la función anterior es: x

–1

–0,5

0,5

–0,5

–0,4

0,4

0,5

■■ Representación gráfica. Se colocan en el plano dos rectas perpendiculares, una horizontal o eje de abscisas y otra vertical o eje de ordenadas. Sobre el eje de abscisas se colocan los valores de x y sobre el eje de ordenadas los valores de y. Cada pareja de valores de x e y son coordenadas de puntos de la función. La gráfica de la función se obtiene como sucesión de todos sus puntos.

Eje de ordenadas 0,5 0,4

0 –1

–0,5

Eje de abscisas 0

0,5

x x2 + 1 –0,4 –0,5

◗Comportamiento de una función ■■ Puntos de corte con los ejes. Una función corta al eje de abscisas cuando su ordenada es y = 0 y corta al eje de ordenadas cuando su abscisa es x = 0. ■■ Crecimiento. Una función es creciente al pasar la variable independiente de un valor x = x1 a otro valor mayor x = x2 si f (x2) > f (x1) y decrece si f (x2) < f (x1). ■■ Extremos relativos. Una función alcanza un máximo relativo en x = a si f (a) > f (x) para cualquier valor de x próximo a a. Si f (a) < f (x) será un mínimo relativo. ■■ Extremos absolutos. Una función alcanza un máximo absoluto en x = a si f (a) > f (x) para cualquier valor de x ≠ a. Si f (a) < f (x) será un mínimo absoluto. ■■ Continuidad. Una función es continua si todos sus puntos tienen puntos adyacentes, y su gráfica se puede representar en un trazo único.

64 12. Funciones

12.1 Definición de función ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Señala cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son funciones y cuáles no: a) y = x + 2 b) y = |x| + 1 c) y2 = x Son funciones a) y b) ya que para cada valor de x obtenemos el valor de y de forma única tal como dice la definición. Sin embargo no podemos admitir c) como función ya que, por ejemplo, para el valor x = 9 obtenemos dos posibles valores diferentes de la variable dependiente, que son y = –3 e y = 3. 2 En cada una de las funciones siguientes halla el valor de y para x = 2 y para x = 0: 1 a) y = x + 2 b) y = c) y = √x – 1 x Nos piden que llevemos a cabo las operaciones que indica la función sustituyendo en ella los valores indicados de x: a) Para x = 2: y = (2) + 2 = 4. Para x = 0: y = (0) + 2 = 2. 1 1 = 0,5. Para x = 0: y = ; el valor x = 0 no 2 0 pertenece al dominio de la función.

b) Para x = 2: y =

c) Para x = 2: y = √2 – 1 = 1. Para x = 0: y = √0 – 1 = √–1; el valor x = 0 no pertenece al dominio de la función.

RECUERDA

Si alguno de los valores de la variable independiente obliga a efectuar la división entre 0, diremos que ese valor no pertenece al dominio de la función. Si alguno de los valores de la variable independiente obliga a extraer la raíz cuadrada de un número negativo, diremos que ese valor no pertenece al dominio de la función.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 En las siguientes funciones halla el valor o los valores de x para que el valor de la variable dependiente sea y = 3: a) y = x + 2 b) y = |x| + 1 c) y = √x – 1 4 Encuentra los valores de x que no pertenecen al dominio de las funciones: a) y =

x+1 x–1

b) y =

x–1 x+1

12.1. Definición de función

12.2 Expresiones de una función ACTIVIDADES RESUELTAS 5 Representa gráficamente a partir de sus coordenadas los puntos: A(2, 1), B(1, –1) y C(–2, 0). La primera coordenada de cada punto es la abscisa y la segunda la ordenada: y A

–2

–1

6 En un partido de baloncesto anotamos cada diez minutos las puntuaciones del equipo local. Representa gráficamente mediante puntos los siguientes pares de valores: Tiempo en minutos

Puntos obtenidos

Tomamos como variable independiente, x, el tiempo transcurrido desde el comienzo del partido expresado en minutos y representamos sus valores sobre el eje de abscisas. La variable dependiente, y, es la puntuación acumulada y representamos sus valores sobre el eje de ordenadas. y

Puntuación

80 60 40 20 0

10 20 30 40 Tiempo en minutos

Hemos unido los puntos suponiendo que a valores intermedios de tiempo corresponden puntuaciones intermedias.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 7 A partir de la función y =

x–1 completa la tabla de valores siguiente: 2 x y

66 12. Funciones

–3

–1

8 Representa los puntos de la función de la actividad anterior uniendo los puntos con segmentos rectilíneos. y

9 Sea la función que asocia a cada valor de la variable independiente, x, el doble de su valor menos una unidad: a) Expresa la función analíticamente. b) Construye una tabla de 5 valores comenzando por x = –3 e incrementando su valor de 2 en 2. c) Representa los puntos correspondientes y dibuja la gráfica uniéndolos con una línea recta. y

10 A partir de la gráfica siguiente, construye una tabla de valores comenzando por x = 1 y terminando en x = 10, incrementando cada vez el valor de x en una unidad. y

1 0 –1

12.2. Expresiones de una función

12.3 Comportamiento de una función ACTIVIDADES RESUELTAS 11 Observa la gráfica siguiente e indica: a) Domino y recorrido. b) Puntos de corte con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. d) Máximos y mínimos absolutos y relativos. e) Puntos de discontinuidad.

1 0 –1

–1

a) El dominio de la función es el conjunto de valores de x: –3 ≤ x ≤ 3. El recorrido de la función es el conjunto de valores de y: –1 ≤ y ≤ 3. b) La gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas (0, 1) y al eje de abscisas en el punto de coordenadas (1, 0). c) La función es creciente desde x = –3 hasta x = –2 y vuelve a ser creciente desde x = 2 hasta x = 3. La función decrece desde x = –2 hasta x = 2. d) Presenta un máximo absoluto y relativo en el punto de coordenadas (–2, 3) y un mínimo absoluto y relativo en el punto de coordenadas (2, –1). e) Posee un punto de discontinuidad en x = 2 porque el punto de coordenadas (–2, 3) no posee puntos adyacentes a su derecha.

12 En el intervalo –2 ≤ x ≤ 2 clasifica los puntos señalados en la gráfica siguiente en máximos o mínimos: y

1 C A

0 –1

A es mínimo absoluto y relativo, ya que la altura que alcanza es la menor de todo el intervalo. B es un máximo relativo, ya que su altura es mayor que la de los puntos contiguos. C y D no son ni máximos ni mínimos. E es máximo absoluto y relativo porque la altura que alcanza es la mayor del intervalo.

68 12. Funciones

ACTIVIDADES PROPUESTAS 13 Una función viene expresada mediante la tabla siguiente: x

–5

–4

–3

–2

–1

a) Representa los puntos y construye la gráfica uniéndolos mediante segmentos rectilíneos. b) Determina el dominio y el recorrido. c) Halla los máximos y mínimos relativos. d) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. y

1 0 –1

–1

14 A partir de las gráficas de las funciones siguientes, indica cuáles son discontinuas, cuáles decrecientes en todo su dominio, cuáles no cortan a los ejes coordenados y cuáles tienen mínimo: y

1 0 –1 –1

1 0

0 1

–1 –1

0 1

–1

12.3. Comportamiento de una función

Funciones de proporcionalidad directa e inversa

◗Función lineal ■■ Una función del tipo y = mx recibe el nombre de función lineal o de proporcionalidad directa y expresa que la variable dependiente y es directamente proporcional al valor de la variable independiente x. El factor de proporcionalidad, m, recibe el nombre de pendiente. ■■ La gráfica de esta función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, cuya inclinación, dependiendo del mayor o menor valor de la pendiente, es más o menos vertical. Según el signo de la pendiente sea positivo o negativo, la función será creciente o decreciente. 1 x podemos crear una tabla de 2 valores y representarla gráficamente:

■■ Por ejemplo, para la función y =

–4

–2

–1

1 x

–1 0 1 –1

◗Función afín ■■ Una función del tipo y = mx + n recibe el nombre de función afín. ■■ La gráfica de esta función es una línea recta que corta al eje de ordenadas a la altura que indica la ordenada del origen, n, cuya inclinación, como en la función lineal, depende de la pendiente, m. ■■ Por ejemplo, para la función y = 2x + 1 podemos crear una tabla de valores y representarla gráficamente: x

–2

–1

–3

–1

1 0 –1 0 1 –1

◗Función de proporcionalidad inversa k recibe el nombre de función de proporcionalidad x inversa y expresa que la variable dependiente y es inversamente proporcional al valor de la varia-

■■ Una función del tipo y =

ble independiente x, siendo k el factor de proporcionalidad inversa. ■■ La gráfica de esta función es una línea hipérbola que no corta a los ejes de coordenadas. Si k es positivo, la función es decreciente y la gráfica discurre por el primer y tercer cuadrante. Si k es negativo, la función es creciente y la gráfica discurre por el segundo y cuarto cuadrante. 4 y ■■ Por ejemplo, para la función y = podemos crear una tabla de valox res y representarla gráficamente: x

–4

–2

–1

–2

–4

70 13. Funciones de proporcionalidad directa e inversa

1 0 –1 0 1 –1

13.1 Función lineal ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Para franquear cada sobre de correo, una empresa de difusión comercial debe pagar 7 céntimos de euro. a) Construye una tabla de valores con el precio en euros que le cuesta franquear 1, 2, 3, 4 o 5 paquetes de 100 sobres cada uno. b) Dibuja la gráfica de la función a partir de los datos de la tabla. c) Escribe la expresión algebraica de la función que indica el importe en céntimos de euro en función del número de sobres franqueado. a) Construimos la tabla asignando el número de sobres a la variable x, y el precio correspondiente en euros a la variable y: x

100

200

300

400

500

b) Señalamos los puntos con las coordenadas de la tabla y los unimos mediante una línea: y 40 30 20 10 0

100 200 300 400 500

c) Al ser la gráfica una recta que pasa por el origen se trata de la función lineal de expresión y = 7x.

2 A partir de la gráfica de la función anterior, responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál será, en céntimos de euro, el importe para franquear 375 sobres? b) Si el importe es 2 961 céntimos de euro, ¿cuántos sobres se han franqueado? Aunque podemos utilizar la tabla para responder a las dos cuestiones, ahora que conocemos la expresión analítica de la función podemos efectuar el cálculo con mayor precisión: a) y = 7x ⎯→ y = 7(375) = 2 625 céntimos de euro b) y = 7x ⎯→ 2 961 = 7x ⎯→ x =

2 961 = 423 sobres 7

13.1. Función lineal

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Para cada una de las funciones lineales siguientes completa la tabla de valores, represéntalas en el mismo sistema de coordenadas y comenta cómo afecta a la gráfica la pendiente de cada una: a) y = 3x x

b) y = y

1 x 3

c) y = –2x

–3

–9

–4

–2

–6

–2

–1

–3

–1

4 y

1 0 –1 0 1 –1

4 En cada una de las funciones de la actividad anterior calcula: a) El valor que alcanza la función para x = 5. b) El valor de la variable independiente, x, para que la función valga y = 30.

5 Escribe en cada caso la expresión analítica de la función lineal correspondiente sabiendo que: a) La pendiente es m = 4. b) Contiene al punto de coordenadas (2, –3).

72 13. Funciones de proporcionalidad directa e inversa

13.2 Función afín ACTIVIDAD RESUELTA 6 Una compañía de telefonía móvil ofrece una modalidad por la que cobra 10 € al mes por mantenimiento de línea y 5 céntimos de euro por cada minuto de conversación. a) Expresa algebraicamente la función afín correspondiente que permite calcular en euros el importe de facturación mensual en función de los minutos de conversación. b) Construye una tabla de valores con el importe de facturación mensual en euros si el tiempo de conversación es de 200, 300 y 400 minutos. c) Dibuja la gráfica de la función a partir de los datos de la tabla. a) Hay que tener en cuenta que si el importe debe expresarse en euros, el precio de cada minuto es 0,05 €. La función es: y = 10 + 0,05x. b) Calculamos los valores de y sustituyendo los valores de x en la función: x

200

300

400

c) Señalamos los puntos con las coordenadas de la tabla y los unimos mediante una recta: y

10 0

100

ACTIVIDADES PROPUESTAS 7 En un cibercafé cobran un euro por establecer una sesión con acceso a Internet más 1,75 € por cada hora de conexión. Expresa la función que permite calcular el importe total en función de las horas de conexión.

13.2. Función afín

8 Halla las funciones afines correspondientes a las tablas de valores y represéntalas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas: a)

–2

–3

–1

RECUERDA

Se puede hallar la función afín y = mx + n a partir de las coordenadas de dos puntos resolviendo el sistema de ecuaciones que se obtiene al sustituir las coordenadas de los puntos en la función. Por ejemplo, para (2, 3) y (3, 5) el sistema es: y = mx + n:

⎧ (2, 3) → 3 = 2m + n ⎨ ⎩ (3, 5) → 5 = 3m + n

1 0 –1

–1

13.3 Función de proporcionalidad inversa ACTIVIDAD RESUELTA 9 El producto de dos números es –2. Expresa algebraicamente una función que refleje esta situación, construye una tabla para los valores x = ± 4, ± 2, ± 1, y represéntala gráficamente. Se trata de la función: 2 y = – x La tabla queda: x

–4

–2

–1

0,5

–2

–1

–0,5

La representación gráfica queda:

1 –1

0 –1

74 13. Funciones de proporcionalidad directa e inversa

ACTIVIDADES PROPUESTAS 10 Para cada una de las gráficas siguientes construye una tabla de valores (es suficiente con dos puntos) y halla las ecuaciones correspondientes sabiendo que se trata de funciones de proporcionalidad inversa. a)

1 0 –1 0 1 –1

11 Se desea construir un rectángulo de 8 cm2 de superficie: a) Expresa analíticamente la función que permita hallar la altura, y, del rectángulo, conocida su anchura, x. b) Elabora una tabla que contenga todos los posibles valores enteros del largo y del ancho. c) Construye, a partir de los puntos obtenidos, la gráfica correspondiente. d) Realmente, ¿cuál es el dominio de esta función? x

–8 –4 –2 –1 1 2 4 8

1 0 –1 0 1 –1

13.3. Función de proporcionalidad inversa

Iniciación a la estadística

En un recuento de datos expresamos de forma ordenada los valores de la variable que estudiamos y el número de veces que aparece cada uno de esos valores. Cuando el número de datos es muy grande, los agrupamos en intervalos, todos de la misma amplitud. Al punto medio de cada intervalo se le denomina marca de clase.

◗Frecuencia absoluta y frecuencia relativa ■■ La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece dicho dato. ■■ La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

◗Gráficos estadísticos ■■ Polígono de frecuencias: resulta de unir los puntos medios de los lados superiores. Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta

■■ Histograma: se utiliza cuando los valores de la variable están agrupados en intervalos.

Intervalos de valores

■■ Diagrama de barras: se utiliza cuando la variable estadística es cualitativa, o cuando toma pocos valores.

■■ Gráfico de sectores: representa las frecuencias relativas de cada valor de la variable o de cada intervalo.

Frecuencia absoluta

Intervalos de valores

Valor o intervalo 4

Datos

Valor o intervalo 1

Valor o intervalo 2 Valor o intervalo 3

◗Medidas de centralización ■■ La media aritmética es igual a la suma de todos los datos entre el número total de estos. ■■ La mediana de un conjunto de datos es el dato que ocupa la posición central de ellos. ■■ La moda de un conjunto de datos es el dato de mayor frecuencia absoluta.

◗Medidas de dispersión ■■ Rango o recorrido de un conjunto de datos: diferencia entre sus valores mayor y menor. ■■ Las desviaciones con respecto a la media aritmética son las diferencias entre cada dato y la media. Estas diferencias pueden ser positivas, negativas o nulas. ■■ La desviación media de un conjunto de datos es igual a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media.

76 14. Iniciación a la estadística

14.1 Tablas de frecuencias ACTIVIDAD RESUELTA 1 En un reconocimiento médico han medido la altura en centímetros a los 44 alumnos de dos clases de 2.º de ESO, obteniéndose los resultados siguientes: 155 – 165 – 160 – 154 – 152 – 148 – 165 – 172 – 156 – 171 – 164 – 160 – 158 – 173 – 177 – 154 –

168 168 159 160

– – – –

164 174 167 168

– – – –

162 153 149 172

– – – –

170 – 167 – 149 – 163 – 157 161 – 169 – 176 – 166 – 176 180 – 176 – 150 – 163 – 166 177

Haz el recuento de los datos agrupándolos en intervalos y construye la tabla de frecuencias. En este caso, el número de datos es 44, por lo que el número de intervalos aconsejable está en torno a 6 o 7 (√44 = 6,6) Como el recorrido en este caso es: Mayor valor – Menor valor = 180 – 148 = 32 dividiendo el recorrido entre el número de intervalos obtenemos la ∙ ⎯→ tomaremos amplitud de cada uno de ellos, 32 : 6 = 5,3 intervalos de amplitud 5. Los intervalos serán: (145, 150], (150, 155], (155, 160], (160, 165], (165, 170], (170, 175] y (175, 180]. Observa que los hemos tomado abiertos ( por la izquierda y cerrados ] por la derecha. Efectuamos el recuento y construimos la tabla de frecuencias:

RECUERDA

Para agrupar los datos en intervalos hay que decidir primero el tamaño de cada intervalo y, en consecuencia, el número de ellos. En general, se aconseja que el número de intervalos sea igual a la raíz cuadrada del número de datos.

Altura (cm)

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa (en %)

(145, 150]

4 = 0,09 44

0,09 • 100 = 9

(150, 155]

5 = 0,11 44

0,11 • 100 = 11

(155, 160]

7 = 0,16 44

0,16 • 100 = 16

(160, 165]

8 = 0,18 44

0,18 • 100 = 18

(165, 170]

9 = 0,21 44

0,21 • 100 = 21

(170, 175]

5 = 0,11 44

0,11 • 100 = 11

(175, 180]

6 = 0,14 44

0,14 • 100 = 14

Suma = 44

Suma = 1,00

100 %

La suma de las frecuencias absolutas ha de ser igual al número de datos, la de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1, y la de los % ha de ser igual al 100 %.

14.1. Tablas de frecuencias

ACTIVIDAD PROPUESTA 2 Hemos contado en clase cuántos alumnos y alumnas hay morenos, rubios, pelirrojos o teñidos de otros colores, obteniendo estos resultados: M = moreno, R = rubio, P = pelirrojo, O = otro M, R, M, M, O, P, M, M, R, R, P, O, R, M, M, M, P, O, M, R, P, O Efectúa el recuento de los datos y construye la tabla de frecuencias.

14.2 Gráficos estadísticos ACTIVIDADES RESUELTAS 3 Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias para el conjunto de datos de la actividad 1. Representamos sobre el eje de abscisas (horizontal) los siete intervalos, y sobre el de ordenadas (vertical), las frecuencias absolutas:

Frecuencia absoluta

145 150 155 160 165 170 175 180 Altura (cm)

78 14. Iniciación a la estadística

RECUERDA

Para dibujar un histograma se trazan unos rectángulos cuya base será la amplitud del intervalo, y cuya altura será la frecuencia absoluta de cada uno.

4 Hemos preguntado a cada uno de los 22 alumnos de clase cuál creen que será el resultado del próximo partido entre dos equipos de fútbol, obteniendo estos resultados: (1 = gana el equipo local, X = empate, 2 = gana el equipo visitante). 1, 1, X, 1, 2, X, 2, X, 1, 1, X, 1, 2, 2, X, 1, 1, X, X, 2, 1, X Representa estos datos en un diagrama de barras y en un gráfico de sectores. En primer lugar, construimos la tabla de frecuencias y después dibujamos el diagrama de barras: Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

9 = 0,41 22

8 = 0,36 22

5 = 0,23 22

1,00

Frecuencia absoluta

Resultado

X 2 Resultados

Para construir el gráfico de sectores tenemos que calcular antes las amplitudes de los sectores circulares: 9 • 360° ≃ 147° 22

RECUERDA 2 1

8 • 360° ≃ 131° 22 5 • 360° ≃ 82° 22

Para calcular la amplitud del sector circular correspondiente a un dato multiplicamos su frecuencia relativa por 360°.

ACTIVIDAD PROPUESTA 5 Representa los datos de la actividad 2 en un diagrama de barras y en un gráfico de sectores.

14.2. Gráficos estadísticos

14.3 Medidas de centralización ACTIVIDAD RESUELTA 6 Halla la media, la mediana y la moda del conjunto de datos de la actividad 1. A la tabla de frecuencias le añadimos dos columnas. Altura (cm)

Marca clase

Frecuencia absoluta

Marca de clase × Frecuencia absoluta

(145, 150]

147,5

590

(150, 155]

152,5

762,5

(155, 160]

157,5

1 102,5

(160, 165]

162,5

1 300

(165, 170]

167,5

1 507,5

(170, 175]

172,5

862,5

(175, 180]

177,5

1 065

Suma = 44

Suma = 7 190

7 190 = 163,4 cm (como vemos no coin44 cide con ninguno de los datos, al salir un valor decimal). La mediana será la marca de clase del intervalo que ocupa la posición central (160, 165], mediana = 162,5. La moda corresponderá a la marca de clase del intervalo con la mayor frecuencia absoluta. En este caso, la moda = 167,5. La media aritmética será:

RECUERDA

Si los datos están agrupados en intervalos, para calcular la media aritmética se toman como datos las marcas de clase de cada uno.

RECUERDA

Si el número de intervalos hubiese sido seis, la mediana hubiera sido la media aritmética entre las dos marcas de clase de los intervalos que ocupan las posiciones centrales, en este caso los intervalos 3.º y 4.º.

ACTIVIDAD PROPUESTA 7 Las notas obtenidas por 22 alumnos de una clase son: 7–5–6–4–5–5–3–8–6–5–9 2–4–5–4–4–7–6–5–7–5–4 Construye la tabla de frecuencias y halla su media, su mediana y su moda. En este caso no agrupes los datos en intervalos.

80 14. Iniciación a la estadística

14.4 Medidas de dispersión ACTIVIDAD RESUELTA 8 Obtén la desviación media del conjunto de datos de la actividad 1. Construimos una tabla en la que incorporamos nuevas columnas: 1.ª, valor absoluto de la diferencia entre la marca de clase y la media; 2.ª, producto del resultado anterior por la frecuencia absoluta de ese intervalo. Sabemos, por la actividad 6, que la media es 163,4 cm. Intervalo

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Marca – Media

Frecuencia (Marca – Media)

(145, 150]

147,5

15,9

63,6

(150, 155]

152,5

10,9

54,5

(155, 160]

157,5

5,9

41,3

(160, 165]

162,5

0,9

7,2

(165, 170]

167,5

4,1

36,9

(170, 175]

172,5

9,1

45,5

(175, 180]

177,5

14,1

84,6

La desviación media será:

RECUERDA

1. Cuando los datos no están agrupados en intervalos, operamos igual, salvo que, en lugar de la marca de clase, restamos el valor de cada dato de la media aritmética. 2. Cuanto mayor sea la desviación media de un conjunto de datos, más dispersos se encuentran estos. Por el contrario, cuanto menor sea, más agrupados estarán.

Suma = 333,6

333,6 = 7,6. 44

ACTIVIDAD PROPUESTA 9 Calcula el recorrido y la desviación media de los datos de la actividad 7.

14.4. Medidas de dispersión

Probabilidad

◗Experimentos aleatorios. Sucesos ■■ Un experimento es aleatorio si su resultado no puede conocerse de antemano. En caso contrario decimos que es determinista. ■■ Los experimentos aleatorios pueden ser simples (lanzar una moneda, lanzar un dado, sacar una carta de una baraja…) o compuestos de dos o más experimentos simples (lanzar dos veces un dado, lanzar una moneda al aire e inmediatamente sacar una carta de una baraja…). ■■ El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Así, en el experimento simple de lanzar una moneda al aire, el espacio muestral viene dado por el conjunto E = {cara, cruz} y en el del lanzamiento de un dado por E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si el experimento es compuesto, para representar el espacio muestral solemos usar diagramas en árbol. Así, en el lanzamiento dos veces consecutivas de una moneda al aire, escribiríamos: Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Resultado

Cara

Cruz

Cara

Y el espacio muestral sería: E = {CC, CX, XC, XX} Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Resultado

Cara

Cruz

■■ Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama suceso elemental. Suceso es un conjunto de sucesos elementales. Se representan por letras mayúsculas. En el caso del lanzamiento de un dado, un suceso puede ser obtener un número par A = {2, 4, 6}, o un número primo B = {2, 3, 5}. Se llama suceso seguro al que siempre se verifica en un experimento aleatorio y coincide con el espacio muestral. Se llama suceso imposible al suceso que nunca se verifica en un experimento aleatorio y se representa con el conjunto vacío (∅). ■■ Se llama frecuencia de un suceso al número n de veces que este se repite al repetir el experimento N veces. n ■■ Se llama frecuencia relativa, f, de un suceso al cociente: f = N

◗Probabilidad. Cálculo de probabilidades ■■ La frecuencia relativa de un suceso concreto varía de unos experimentos a otros, pero puede comprobarse que cuando N es muy grande, su valor tiende a estabilizarse. Dicho valor recibe el nombre de probabilidad. ■■ Se llaman sucesos equiprobables a aquellos que en un determinado experimento tienen la misma oportunidad de ocurrir. Así, en el lanzamiento de un dado equilibrado, los sucesos A = {2} y B = {5} son equiprobables. ■■ Si el espacio muestral está compuesto de sucesos elementales equiprobables, la probabilidad de cualquier suceso puede calcularse usando la regla de Laplace: p(A) =

82 15. Probabilidad

Número de casos favorables Número de casos posibles

15.1 Experimentos aleatorios. Sucesos ACTIVIDADES RESUELTAS 1 De los siguientes experimentos, indica cuáles son aleatorios y cuáles no: a) Lanzar una moneda al aire y ver el resultado. b) Meter en el congelador tres vasos de agua y ver cuántos se han congelado después de 24 horas. c) Extraer una carta de una baraja y ver el resultado. d) Tirar siete piedras al aire y contar cuantas caen. Los experimentos a) y c) son aleatorios porque no sabemos de antemano el resultado. Los experimentos b) y d), sin embargo, son deterministas: en el caso b) sabemos que los tres vasos van a estar congelados después de 24 horas y en el d) sabemos que las siete piedras van a caer. 2 Indica si los siguientes experimentos aleatorios son simples o compuestos y calcula sus espacios muestrales: a) Elegir un alumno de clase y mirar si es niño (H) o niña (M). b) Elegir un alumno de clase, mirar si es niño o niña y luego mirar si tiene ojos claros (C) u oscuros (O). c) Preguntar a los compañeros de tu clase su nota de matemáticas. d) De una caja en la que hay bolas blancas y negras, extraer una al azar, anotar su color, devolverla a la urna y hacer una nueva extracción. a) Es un experimento simple cuyo espacio muestral es: E = {H, M}. b) Es un experimento compuesto. Construimos el diagrama en árbol: Sexo

Color de ojos

Resultado

Claro

Oscuro

Claro

Oscuro

Niño

E = {HC, HO, MC, MO}

Extraemos Niña

c) Es un experimento simple de espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. d) Es un experimento compuesto. Construimos el diagrama en árbol: Primera extracción

Segunda extracción

Resultado

Blanca

Negra

Blanca

Negra

Blanca

E = {BB, BN, NB, NN}

Extraemos Negra

15.1. Experimentos aleatorios. Sucesos

3 Al preguntar a mis 15 compañeros de clase sobre sus notas de matemáticas los resultados fueron los siguientes: 7

Notas

Calcula la frecuencia (n) y la frecuencia relativa (f) de cada una de las calificaciones y expresa esta última en forma de porcentaje. Lo habitual es poner toda la información en una tabla. Observa que N = 15, por lo que las frecuencias relativas (f) se calculan dividiendo las frecuencias (n) por 15. En la última columna se expresan estas frecuencias relativas en porcentaje, que se obtiene al multiplicar por cien la frecuencia relativa. Indica el porcentaje de alumnos que han sacado una determinada nota.

Notas

2 15 3 15 1 15 2 15 3 15 2 15 1 15

13,3 % 20 % 6,6 % 13,3 % 20 % 13,3 % 6,6 %

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Escribe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar b) Lanzar c) Lanzar d) Lanzar

un dado y anotar la cara superior. tres veces una moneda y anotar la secuencia de resultados. tres veces una moneda y anotar la cantidad de caras. un dado dos veces y anotar su suma.

5 Durante los últimos 15 días he anotado la cantidad de veces que me han telefoneado ofreciendo algún tipo de promoción. Los resultados los he agrupado en la siguiente tabla: Llamadas

Calcula las frecuencias relativas asociadas al número de llamadas y agrúpalas en una tabla de frecuencias.

6 Si el seguimiento de llamadas que he realizado en la actividad anterior lo hubiese hecho durante 50 días, ¿crees que cambiaría mucho el valor de las frecuencias relativas? ¿Y si lo hago a lo largo de un año?

84 15. Probabilidad

15.2 Probabilidad y cálculo de probabilidades ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Imagínate que, después de un año, la tabla de frecuencias de la actividad 5 ha quedado según se muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera reciba tres llamadas de este tipo? ¿Qué es más probable, que nos llamen tres veces en un día o dos veces?

Llamadas

Cuando el número de experimentos, N, es muy grande, la frecuencia relativa de un suceso representa la probabilidad de que ese suceso ocurra en el futuro. En nuestro caso, la probabilidad de que llamen tres veces sería: 75 p= = 0,205, y de que lo hagan dos veces: p = 0,266; por 365 tanto, hay más posibilidades de que nos telefoneen dos veces.

f 49 365 70 365 97 365 75 365 50 365 24 365

% 13,4 % 19,2 % 26,6 % 20,5 % 13,7 % 6,6 %

8 De una baraja española de cuarenta cartas extraemos una carta al azar. Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de extraer una copa, un tres y una figura. En una baraja española hay diez copas, cuatro treses y doce figuras: p(sacar una copa) = p(sacar un tres) =

10 = 0,25 40 4 = 0,1 40

p(sacar una figura) =

12 = 0,3 40

ACTIVIDADES PROPUESTAS 9 En una clase hay 12 chicos y 13 chicas. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? 10 Se lanza un dado y se observa el resultado. Calcula: a) La probabilidad de sacar un resultado par. b) La probabilidad de sacar un número primo. 11 Un alumno ha estudiado 7 de las 12 preguntas que tenía que preparar. Si le hacen una pregunta al azar, ¿qué probabilidad tiene de saberla? 12 Se lanzan dos monedas de forma consecutiva y se anotan los resultados en el orden que han salido. Escribe el espacio muestral ayudándote de un diagrama en árbol y calcula: a) La probabilidad de que salga solo una cara. b) La probabilidad de que los resultados se repitan.

15.2. Probabilidad y cálculo de probabilidades

Competencia matemática 1 Escribe un número de tres cifras y a continuación vuelve a escribir esas mismas tres cifras formando de este modo un número de seis cifras. Divide ese número de seis cifras entre 7, luego divide el cociente obtenido entre 11 y después el nuevo cociente obtenido divídelo entre 13. Observarás que obtienes el número que habías pensado originalmente. También habrás observado que las tres divisiones son exactas. Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Por qué el número de seis cifras es divisible entre 11? (Pista: mira el Recuerda de la página 9). b) Si el número de seis cifras es divisible entre 7, entre 11 y entre 13, ¿podrías encontrar otros tres divisores más sabiendo que si un número es divisible entre otros dos, también es divisible entre el producto de ambos? c) Da una explicación de por qué se recupera el número original de tres cifras, sabiendo que si un número es divisible entre tres números, también será divisible entre el producto de los tres.

2 Diofanto de Alejandría vivió en el siglo iii d. C. Cuenta la leyenda que uno de sus alumnos escribió su epitafio en forma de epigrama griego: 1 1 1 de su vida, adolescente más y después se casó. 6 12 7 Tuvo un hijo 5 años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió 4 años después de su hijo». «Aquí yace Diofanto. Fue muchacho

¿Cuántos años vivió Diofanto?

86 Competencia matemática

3 Marta y su hermano pequeño Juan se quieren repartir los 48 caramelos que han recogido en una piñata. Marta tiene más caramelos que su hermano, por lo que: Paso 1.º: Marta da a su hermano tantos caramelos como él tiene, para que tenga el doble. Resulta que Juan tiene ahora más caramelos que Marta, por lo que: Paso 2.º: Juan da a su hermana tantos caramelos como ella tiene, para que tenga el doble. Después de estos dos intercambios los dos tienen la misma cantidad de caramelos. Queremos conocer qué cantidad de caramelos tenía cada uno al principio de dos formas distintas: a) Juan aún no sabe resolver ecuaciones, así que va a plantear el problema por medio de ensayo y error siguiendo el esquema siguiente: Inicial

Marta da a Juan

Marta

Juan

Paso 1.º

Juan da a Marta

Paso 2.º 2+2=4

46 – 2 = 44

25 – 23 = 2 23 + 23 = 46

Final

Para ello supuso que, al tener su hermana más caramelos que él, la mínima cantidad posible es que tuviera uno más de la mitad de los 48, esto es, 25. Y él uno menos de la mitad, 23. Bajo este supuesto, al final de la operación ella acababa con 4 y el con 44, lo cual no es cierto, por lo que modificó los datos variando en una unidad la cantidad inicial de cada uno: Inicial

Marta da a Juan

Paso 1.º

Marta

26 – 22 = 4

Juan

22 + 22 = 44

Juan da a Marta 4

Paso 2.º

Final

4+4=8

44 – 4 = 40

Aunque el resultado sigue siendo erróneo, las cantidades finales han variado de manera sustancial. Decide alterar de nuevo en otra unidad la cantidad inicial: Inicial

Marta da a Juan

Marta

Juan

Paso 1.º

Juan da a Marta

Paso 2.º

Final

6 + 6 = 12

42 – 6 = 36

27 – 21 = 6 21 + 21 = 42

A cada unidad por encima de 24, su hermana acaba con 4 caramelos más. ¿Con cuántas unidades por encima de 24 debería comenzar el proceso para acabar con 24 caramelos? Para confirmar la suposición, completa la tabla: Inicial

Marta da a Juan

Paso 1.º

Juan da a Marta

Paso 2.º

Final

Marta Juan

b) Marta ha decidido plantear un sistema de ecuaciones y resolverlo. Plantéalo y resuélvelo también tú.

Competencia matemática

4 Tres compañeros juegan todas las semanas a la quiniela y, si obtienen algún premio, lo utilizan para seguir jugando. Esta semana les ha tocado 117 €. Averigua cómo deben repartirse el premio sabiendo que: a) Cada uno ha puesto 2, 3 y 4 euros respectivamente y el reparto desean hacerlo de forma directamente proporcional a las cantidades jugadas. b) De la cantidad que habitualmente ponen, como había un fondo, cada uno ha dejado de poner 2, 3 y 4 euros respectivamente y el reparto desean hacerlo de forma inversamente proporcional a las cantidades que dejaron de poner.

5 Para decorar un rincón de la clase, los alumnos de 2.º de la ESO han pensado construir un hexaedro. Para ello disponen de un retal de tela de 40 cm de ancho por 60 cm de largo para cubrir las caras del cubo y de una varilla de madera de 3 m de larga para formar las aristas. Contesta las siguientes preguntas: a) Calcula las dimensiones del mayor cubo posible que pueden construir. b) ¿Cuál será el material sobrante y en qué cantidad? c) Si hubieran querido aprovechar toda la madera, ¿de qué dimensiones mínimas debería ser el retal de tela? d) ¿Cuál será el volumen del cubo en uno y otro caso?

88 Competencia matemática

6 Mis padres quieren confeccionar la tulipa de una lámpara porque la anterior se ha oscurecido por el calor de la bombilla. Han pensado hacerla de pergamino en forma de tronco de cono, de modo que el radio de la base inferior sea el doble que el radio de la superior y que la altura coincida con la media aritmética de los radios. Dispone de 150,80 cm de una cinta con la que va a rematar el contorno de las bases. Para hacer el patrón me han pedido que calcule los siguientes valores: a) Los radios de las circunferencias de las bases. b) La superficie total del pergamino. c) ¿Qué volumen encerrará en su interior?

7 El profesor nos ha dibujado en la pizarra esta figura y nos ha propuesto: a) Clasifica el triángulo de color azul, calculando las longitudes de los lados y su área. b) Calcula el área total y el volumen de la pirámide que tiene por base dicho triángulo, siendo el cuarto vértice el del cubo que queda oculto por el triángulo.

10 cm

Competencia matemática

8 La iglesia de Los Santos Apóstoles tiene el ábside con una forma muy peculiar llamada «Trompeta de Gabriel». Si nos movemos hacia la izquierda o hacia la derecha del altar, que está en el centro, la altura del techo viene reflejada en la tabla siguiente: Distancia horizontal (m)

–10

–5

–2

Altura del techo (m)

2,5

12,5

6,25

1,25

Le hemos preguntado a la profesora de matemáticas si será posible expresar la altura del techo en función de la distancia al centro y nos ha contestado que está convencida de que se trata de una función de proporcionalidad inversa aunque, lógicamente, la función incluye un valor absoluto. a) Expresa la función algebraicamente. b) Representa los puntos de la tabla sobre los ejes coordenados y traza la gráfica de la función. y 30 20 10 0 –20 –10 –10

90 Competencia matemática

9 En la siguiente figura aparece un fragmento de una factura de consumo eléctrico. En ella se reflejan los consumos bimensuales, en kWh, del último año (712, 530, 590, 530, 590, 590). La última lectura se efectuó en enero (712 kWh), pero se realizó de forma estimada: a) ¿Cuál hubiera sido el consumo previsto de la factura si la estimación se efectúa con arreglo al consumo medio? b) ¿Cuál hubiera sido el consumo previsto de la factura si la estimación se efectúa con arreglo al consumo mediano? c) ¿Cuál hubiera sido el consumo previsto de la factura si la estimación se efectúa con arreglo al consumo modal? d) ¿Cuál crees que ha sido la base de la estimación? e) En la facturación separan tanto la potencia contratada como la energía consumida en dos tramos debido a que el incremento de la tarifa se ha producido durante el periodo de facturación. Calcula el % de incremento de ambos conceptos. FACTURACIÓN

EUROS

1. Potencia contratada

4,4 kW x 1,72 meses x 158,1887 cent. €/kW mes 4,4 kW x 0,28 mes x 163,4089 cent. €/kW mes

11,97 2,01

2. Energía consumida

55,13 9,15

3. Impto. sobre Electricidad

613,42 kWh x 8,9868 cent. €/kWh 98,58 kWh x 9,2834 cent. €/kWh 4,864 % s/78,26 x 1,05113

4. Alquiler equipos de medida

2 meses x 57 cent. €/mes

5. IVA

16 % s/83,4

4,00 1,14 13,34

96,74

IMPORTE CONSUMO

N.º contador Desde Lectura Hasta Lectura

712

590

530

590

800

530

900

712

kWh 1000

700 600 500 400 300

TOTAL kWh

200

0020382794 5/11/2007 016728 9/1/2008 017440

712

100 0 En.

Mr.

My.

Lectura real

Jl.

St.

Nv.

En. 08

Lectura estimada

Historial del consumo El importe de su consumo medio por día durante los últimos 12 meses ha sido 1,38 €. Última lectura: estimada.

Competencia matemática

Autoevaluación

1 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones:

1 1 1 1 + – – 2 3 5 4

b) 5 –

(

1 1 + 3 4

)

(1 – 15 ) : 13 c) (1 + 15 ) • 13

(1 – √ ) 64 81

( √ ) 1–

25 36

2 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 7 – 3(x – 2) = (x – 7)

x–1 x+6 = 5 10

c) 2(x – 5) – 3(x – 2) = 2 – 3x

x x–3 x + =5– 2 3 6

3 Resuelve por el método que creas más conveniente el sistema de ecuaciones siguiente. Después comprueba la solución:

⎧ x + 3y = –1 ⎨ ⎩ x + 2y = 0

92 Autoevaluación

4 Halla en cada caso si las magnitudes relacionadas son directa o inversamente proporcionales, y resuelve mediante una regla de tres: a) Si para formar tres equipos de baloncesto (sin jugadores de reserva) hacen falta 15 jugadores, ¿cuántos se necesitarán para formar cinco equipos? b) Tres personas tardan 6 horas en pintar un mural. ¿Cuánto tardarían en hacerlo entre cinco personas?

5 Aplicando el teorema de Tales, halla la medida de los segmentos BE, CF, EF y FG. A 5 cm 3 cm

B 1 cm C

E F

3 cm D 8 cm

6 Calcula el ángulo que falta en cada una de las figuras siguientes: a)

b) 120°

60°

d) 120°

120°100°

80°

130° 70°

120°

80°

110°

Autoevaluación

7 Halla el área lateral de los cuerpos redondos siguientes: a)

2 cm

5,5 cm

5 cm

2 cm

8 Calcula el volumen de los cuerpos geométricos siguientes: a)

l = 3 cm

2 cm

5 cm

3 cm 1 cm

3 cm

9 A Rosa, que es empleada de hogar, le pagan 9,50 € por cada hora trabajada: a) Haz una tabla de valores de lo que gana frente al número de horas trabajadas (hasta 4 horas). b) Representa gráficamente los pares de valores y la gráfica que los une. c) Escribe la expresión algebraica de la función correspondiente.

94 Autoevaluación

10 Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y mínimos de la función representada por la gráfica siguiente. Estudia también si tiene puntos de discontinuidad. y

–5 –4 –3 –2 –1

11 En una prueba de salto de longitud, los 44 alumnos de dos clases de 2.º ESO hemos dado los saltos siguientes (en cm): 180 – 184 – 176 – 182 – 186 – 190 – 192 – 196 – 194 – 188 – 187 – 185 183 – 193 – 191 – 181 – 183 – 185 – 182 – 194 – 197 – 193 –179 – 185 189 – 191 – 187 – 185 – 195 – 200 – 178 – 182 – 192 – 180 – 190 – 192 191 – 183 – 185 – 189 – 190 – 178 – 180 – 181 Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5, halla las frecuencias absolutas y relativas, las marcas de clase, la media, la mediana y la moda.

Autoevaluación

Dirección del proyecto editorial Jesús Hinojal Autores José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach Coordinación del proyecto editorial Estrella Marinas Coordinación de preimpresión Alberto García Coordinación de diseño Cristóbal Gutiérrez

© del texto: José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach, 2016 © de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2020 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid ISBN: 978-84-696-1198-2 Depósito legal: M-7651-2016 Printed in Spain Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 917 021 970 / 932 720 447).

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3 3 4 4

OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS

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