Objetivo aprobar matemáticas académicas. 3 eso

3 1 ESO

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3 3 4 4

OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

ESO

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3

ESO

3

José Ángel Fernández-Cano López Fernando Arce Llach

Presentación

Este cuaderno OBJETIVO APROBAR pretende reforzar y afianzar los contenidos y estándares esenciales de la asignatura MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3.º ESO. Sirve para: ■ Repasar los contenidos aprendidos durante el curso escolar.

■ Trabajar sobre los estándares de aprendizaje evaluables.

■ Complementar el trabajo del curso.

Se estructura en: ■ 16 unidades que comienzan con un resumen-esquema de contenidos, seguido de actividades resueltas y explicadas paso a paso y de una amplia batería de actividades propuestas.

■ La sección Competencia matemática, que propone actividades para trabajar todas las dimensiones de esta competencia.

■ Una Autoevaluación para comprobar el grado de aprendizaje.

■ Un Solucionario extraíble con las respuestas de todas las actividades propuestas.

2

Presentación

Índice 1◗Números

4

Operaciones con números naturales y enteros. Operaciones con números racionales. Operaciones con números reales

2◗Potencias y raíces

10

Potencias. Raíces

3◗Sucesiones y progresiones

14

4◗Proporcionalidad

18

Porcentajes. Proporcionalidad

5◗Polinomios

22

Expresiones algebraicas. Operaciones con polinomios.

Expresiones notables

6◗Ecuaciones de primer y segundo grado

28

Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones de segundo grado

7◗Sistemas de ecuaciones lineales

36

8◗Figuras en el plano I

44

Ángulos entre rectas: criterios de igualdad. Lugares geométricos

9◗Figuras en el plano II

50

Triángulos: teorema de Tales y de Pitágoras. Figuras semejantes.

Perímetros y áreas de figuras planas

10◗Movimientos en el plano

56

11◗Cuerpos en el espacio

60

12◗Coordenadas geográficas

64

13◗Funciones

68

Concepto de función. Formas de expresar una función.

Comportamiento de una función

14◗Función afín y cuadrática

74

Funciones constante, lineal y afín. Ecuaciones de la recta.

Función cuadrática

15◗Estadística

78

16◗Probabilidad

84

Experimentos aleatorios. Sucesos. Probabilidad. Cálculo de probabilidades

◗Competencia matemática

88

◗Autoevaluación

92

Índice

3

1

NĂşmeros

◗Conjuntos de números ■■Naturales, ℕ = {1, 2, 3,...}. Sirven para contar. El cero no se incluye. ■■Enteros, ℤ = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}. Son naturales afectados de signo y el cero. a ■■Racionales, ℚ = . Con a y b enteros. Poseen, en forma decimal, o bien un número finito de b decimales, o bien un número infinito de decimales periódicos puros o mixtos.

{ }

â– â– Irracionales, đ?•€, como √2, Ď€... que, en forma decimal, poseen infinitos decimales no periĂłdicos. â– â– Reales, â„?, sirven para medir cualquier distancia. Se corresponden con los puntos de una recta.

En ĂŠl estĂĄn incluidos los racionales e irracionales.

◗Operaciones con fracciones ■■Suma y resta: a c ad ¹ bc ¹ = b d bd ■■Producto: a c a•c • = b d b•d ■■Cociente: a c a•d : = b d b•c

◗Fracción generatriz ■■Convertir en fracción: a = 2,35468 468... ■■Se multiplica por la potencia de 10 necesaria para pasar a la parte entera el anteperiodo (35) y el periodo (468): 100 000a = 235 468,468468... ■■Se multiplica por la potencia de 10 necesaria para pasar a la parte entera el anteperiodo: 100a = 235,468468... ■■Se restan ordenadamente las dos cantidades obtenidas. Se despeja y simplifica: –

100 000 a = 235  468,468468...

100 a = 235,468468...

⎯→

a=

235 468 – 235 235 233 26 137 = = 99 900 99 900 11 100

99 900 a  =  235 468 – 235

â——Aproximaciones y errores â– â– Error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto de un nĂşmero. Si la diferencia es positiva el error cometido es por exceso, y por defecto en caso contrario. â– â– Redondear un nĂşmero es sustituirlo por su valor mĂĄs aproximado (el que provoca menor error absoluto) con el nĂşmero de cifras significativas que se indique.

4

1. NĂşmeros

1.1 Operaciones con números naturales y enteros ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Realiza las operaciones indicadas, aplicando las reglas de prioridad de operaciones y la regla de los signos: a) 2 + 3 – 6 : 3 • 2 – 2 + 4 • 3 : 2 b) 2 • 6 + 5 – 2(1 – 3 • 4) c) (–3) • (–2) + 2[5 – (–12) : (–(–2)2)] a) Comenzamos por los productos y cocientes, de izquierda a derecha: 2 + 3 – 6 : 3 • 2 – 2 + 4 • 3 : 2 = 2 + 3 – 2 • 2 – 2 + 12 : 2 = 2 + 3 – 4 – 2 + 6 Seguimos con las sumas y restas, también de izquierda a derecha: 2+3–4–2+6=5 b) Hay que comenzar efectuando el paréntesis. Recuerda que, dentro de él, primero se hace el producto y después la resta: 2 • 6 + 5 – 2(1 – 3 • 4) = 2 • 6 + 5 – 2(1 – 12) = 2 • 6 + 5 – 2(–11) Ahora se hacen los productos, teniendo en cuenta la regla de los signos, y por último las sumas: 2 • 6 + 5 – 2(–11) = 12 + 5 + 22 = 39 c) Primero efectuamos el paréntesis, en este caso el corchete, comenzando por la operación potencia, siguiendo con el cociente y después la resta: (–3) • (–2) + 2[5 – (–12) : (–(–2)2)] = (–3) • (–2) + 2[5 – (–12) : (–(4))] = = (–3) • (–2) + 2(5 – 3) = (–3) • (–2) + 2(2) Después efectuamos los productos indicados y por último la suma: 6 + 4 = 10 2 Realiza la descomposición factorial de los números: a) 12 a) 12 6 3 1

b) 18 2 2 3

b) 18 9 3 1

c) 54 2 3 3

c) 54 27 9 3 1

d) 195 2 3 3 3

d) 195 65 13 1

e) 735 3 5 13

e) 735 245 49 7 1

f) 3 003 3 5 7 7

f) 3 003 1 001 143 13 1

3 7 11 13

Por tanto: a) 12 = 22 • 3 b) 18 = 2 • 32 c) 54 = 2 • 33 d) 195 = 3 • 5 • 13 e) 735 = 3 • 5 • 72 f) 3 003 = 3 • 7 • 11 • 13

1.1. Operaciones con números naturales y enteros

5

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Calcula el valor de las siguientes expresiones aplicando las reglas de los signos y la prioridad de operaciones: a) 12 : 2 • 4 – 3 + 8 b) (9 : 3 + 7) : (5 – 3) c) 20 – 4[(6 – 2) : 2 + 3] d) (3 – 4) – 3(22 – 12 : 2) e) 2 • (–5) – (–10) f) |2 – 4| g) 3 – 1 – 2 h) (–2)2 : (–2) + 2 i) –6 + (–2) • 5 – (3 – 12) • 2 j) 56 : 8 – 39 : 13 + 2(24 – 13) k) 277 – (8 – 9 • 7) l) [–12 – 13 • (4 – 7)] : 3

Signo. El producto y cociente de dos números es positivo si los números tienen el mismo signo y negativo en caso contrario.

20

40

70

340

5 632

12

15

42

210

132

m.c.m. m.c.d.

5 Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de:

6 1. Números

Prioridad de operaciones: Paréntesis Potencia Producto y cociente Suma y resta RECUERDA

4 Escribe debajo de cada pareja de números su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor:

a) 28, 21 y 56. b) 78, 130 y 182. c) 1 029, 1 666 y 3 430.

RECUERDA

RECUERDA

Máximo común divisor: es el producto de los factores comunes con el menor exponente.

Mínimo común múltiplo: es el producto de los factores no comunes y comunes con el mayor exponente.

6 En una granja hay 24 gallos y 108 gallinas. Si se desea repartirlos, sin mezclarlos, en el menor número posible de jaulas, ¿cuántos animales pondremos en cada una para que todas tengan la misma cantidad?

7 Dos aviones comerciales han salido hoy desde el mismo aeropuerto. ¿Cuántos días tardarán en volver a coincidir saliendo del mismo aeropuerto si el primero sale cada 12 días y el segundo, cada 45?

8 Durante dos meses un transportista ha efectuado 20 viajes de 630 km a una velocidad promedio de 70 km/h y 24 viajes de 440 km a una velocidad promedio de 80 km/h. Calcula el número total de horas que ha conducido y el promedio de horas diarias al volante.

9 Un comerciante aparca su coche en el garaje del edificio de oficinas donde trabaja. Sube en el ascensor cinco pisos para acceder al departamento de control. Después baja dos pisos para recoger su correspondencia. Luego sube un piso para sacar unas fotocopias. Por último, sube cuatro plantas más para ir a su despacho. Si su despacho está en la sexta planta, ¿en qué plantas están el garaje, el departamento de control, correos y el servicio de fotocopias?

1.1. Operaciones con números naturales y enteros

7

1.2 Operaciones con números racionales ACTIVIDAD RESUELTA 10 Reduce a común denominador y calcula:

9 61 12 13 – – + 5 75 15 21

En primer lugar obtenemos las fracciones equivalentes. El denominador común debe ser el mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m. (5, 75, 15, 21) = 3 • 52 • 7 = 525 Así pues: 9 105 945 61 7 427 12 35 420 13 25 325 • =

• =

• =

• = 5 105 525 75 7 525 15 35 525 21 25 525 Ahora se efectúa la operación y después se simplifica: 9 61 12 13 945 427 420 325 423 141 – – + = – – + = = 5 75 15 21 525 525 525 525 525 175

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Calcula: a)

3 1 5 + – 4 8 7 3

5

(4 : 6)

b) 2 – 2 2

4

3

2

7

c)

( 3 – 5 + 2) • (2 – 8 )

d)

( 4 – 3 • 5 ) : ( 7 – 3 : 5)

e)

2 3 9 3 5 : • + : 5 10 4 4 6

f)

2 1 2 4 2 1 3 1 + : • + : – • 5 3 5 3 7 5 4 3

4

4

7

12 Un concurso literario tiene una dotación presupuestaria de 3 000 € y otorga las dos quintas partes al primer premio; de lo que queda, da tres quintas partes para el segundo premio y hay otros dos terceros premios que se reparten el resto a partes iguales. ¿Qué cantidad recibe cada uno de los cuatro finalistas?

13 He gastado la sexta parte del dinero que tenía en comprar un libro y las cinco séptimas partes de lo que me quedaba en comer. Si ahora me quedan 10 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?

8 1. Números

1.3 Operaciones con números reales ACTIVIDAD RESUELTA 14 Representa sobre la recta real el número racional 1,4.

Se trata del número: 1,4 =

14 7 2 = = 1 , que está comprendido entre los enteros 1 y 2.

10 5 5

Trazamos sobre la recta real una recta auxiliar graduada con tantas divisiones como indique el denominador del número mixto (5 en este caso) que corte a la real en el menor de estos números enteros (en el 1). Desde el extremo de esta recta auxiliar unimos, mediante una recta, su última división con el mayor de los números enteros (el 2), trazando, además, rectas paralelas desde cada división de la recta auxiliar. Por último, señalamos el corte de la paralela que indique el numerador del número mixto sobre la recta real: 5

5 4

4 3

3 2

2 1

1 1

2

5 5 1

6 5

7 5 1,4

8 5

9 5

10 5 2

ACTIVIDADES PROPUESTAS 15 Representa los siguientes números fraccionarios sobre la recta real: a)

1 3

b)

12 5

16 ¿Cuál de los siguientes números no está comprendido entre

8 4 y ?

7 3

1,1411 1,1592 1,2285 1,3225 17 Halla la expresión decimal de los siguientes números racionales: a)

257 5

b)

767 110

c)

18 Halla la fracción generatriz de los siguientes números: ∙ ∙ ∙1 a) 1,7 b) 13,37 c) 9,2

46 7

∙2 d) 6,146

19 Realiza las siguientes operaciones, obteniendo previamente las fracciones generatrices correspondientes y expresando el resultado en forma de fracción: ∙ 1 – 0,3 ∙0 : (0,6 ∙ – 0,5 ∙4) a) 0,6 b) ∙ ∙ 1,9 + 2,3 1.3. Operaciones con números reales

9

2

Potencias y raíces

◗Potencias de exponente natural ■■ Llamamos potencia de base a y exponente natural m al resultado de multiplicar el número a por sí mismo m veces. Se representa por am.

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

am = a • a • a • ... • a m veces Por ejemplo: 54 = 5 • 5 • 5 • 5

◗Potencias de exponente entero ■■ Podemos hacer una ampliación de las potencias permitiendo que el exponente m tome valores negativos o cero con arreglo a las siguientes equivalencias: a0 = 1 a–m =

1 m

◗Propiedades de las potencias ■■ Misma base: am • an = am+n am : an = am–n ■■ Mismo exponente: (a • b)m = am • bm (a : b)m = am : bm (am)n = am • n

◗Raíces: potencias de exponente fraccionario ■■ Decimos que x es la raíz n-ésima de a y escribimos x = n√a si a = xn, es decir: x = n√a ⇔ xn = a ■■ Potencias y raíces quedan relacionados mediante las siguientes identidades: a1/n = n√a am/n = n√am

◗Notación científica ■■ Consta de una cifra entera y una parte decimal aproximada por redondeo multiplicado por la correspondiente potencia de 10.

Por ejemplo: 16 800 000 = 1,68 • 107 0,000 056 1 = 5,61 • 10–5

10 2. Potencias y raíces

2.1 Potencias ACTIVIDAD RESUELTA 1 Escribe como una potencia de 2 y calcula el valor de las siguientes expresiones: a)

42 • 82 162

b)

[

(23 • 80 • 4)2 162

2

]

c)

[(22 • 4)3]2 85

Escribimos cada número como potencia de 2 y después aplicamos las propiedades de las potencias de la misma base: a)

42 • 82 (22)2 • (23)2 24 • 26 = = = 22 = 4 162 (24)2 28

b)

[

c)

[(22 • 4)3]2 [(22 • 22)3]2 [(24)3]2 224 = = = = 29 = 512 85 (23)5 (23)5 215

(23 • 80 • 4)2 162

2

] =[

(23 • (23)0 • 22)2 (24)2

2

] = [(

23 • 20 • 22 24

2 2

)]

= [(2)2]2 = 24 = 16

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Calcula el valor de x. a) 53 • 36 • 29 = x3

b) 81 • (23 • 53)4 = x4

3 ¿Cuántos números naturales comprendidos entre 100 y 10 000 (ambos inclusive) son cuadrados perfectos? ¿Cuántos son cubos perfectos? ¿Y cuántos son cuartas potencias?

4 Escribe como una única potencia de 3 y calcula el valor de las siguientes expresiones: a)

272 • 32 92

b)

[(

93 • 270 • 243 7292

2 –2

)]

c)

[(3–3 • 9)3]2 27–2

2.1. Potencias

11

2.2 Raíces ACTIVIDADES RESUELTAS 5 Extrae todos los factores posibles fuera de la raíz: b) 3√54 000

a) √4 900

c)

√72 • ca

3

• b9

7

Descomponemos factorialmente los discriminantes (las expresiones afectadas por las raíces) y extraemos los factores de exponente múltiplo del índice de la raíz: a) √4 900 = √22 • 52 • 72 = 2 • 5 • 7 b) 3√54 000 = 3√24 • 33 • 53 = 2 • 3 • 5 • 3√2 c)

√72 • ca

3

7

• b9

=

√2

3

• 32 • a3 • b9 2 • 3 • a • b4 = • c3 c7

√2 • ca • b

6 Calcula: √98 – √50 + √72 Extraemos todos los factores de cada raíz y agrupamos términos semejantes: √98 – √50 + √72 = √2 • 72 – √2 • 52 + √23 • 32 = 7 • √2 – 5 • √2 + 2 • 3√2 = = 7 • √2 – 5 • √2 + 6 • √2 = (7 – 5 + 6)√2 = 8√2

ACTIVIDADES PROPUESTAS 7 Halla el valor de las siguientes raíces, expresando el resultado en forma de número entero o de fracción irreducible: a) √144

e) √361

i) 3√343

b) √441

f) √961

j) 3√1 331

c)

√25 81

g)

√289 196

k) 3

d)

√49 64

h)

√1 681 169

l)

8 Calcula: a) √18 + √8 – √32 + √98 b) √27 + √12 – 2√48 + √75 c) √27 + √36 – √100 + √300 d) 2√20 + 3√48 – √45 + √75

12 2. Potencias y raíces

√125 729 √2 197 27

3

9 Ordena de menor a mayor los siguientes números reales: –7,98 • 10–5; (5 • 10–2)2; (–0,83 • 10–2)3; 0,05; (0,75)2

10 Utiliza la calculadora para hallar el valor de las siguientes expresiones y redondea el resultado con precisión de centésimas (es decir, da los resultados con dos decimales): a) b)

(2,17 – 1,13) • 3,21 6,82 – 2 • 3,17

(

2 0,75 : 0,125 + 5 3 4

)

2

•

8

4

( 9 : 3 + 0,52)

11 Escribe en notación científica con tres cifras significativas: a) 0,006251 b) 0,00009996 3 c) 10 500

e) 1 005 001

d) (0,017)2

h) 3√27 000 000

f) (113)4 g) 987 654 321

13 + b2 para a = 0,25; b = – y c = 1 • 10–1.

5 c Expresa el resultado con tres cifras significativas.

12 Calcula el valor que alcanza la expresión

√a

2

13 ¿Qué presupuesto anual hay que destinar para el consumo de combustible de un coche que recorre 25 000 km al año si gasta 7,5 L cada 100 km, sabiendo que el precio medio del carburante es de 0,95 euros el litro?

2.2. Raíces

13

3

Sucesiones y progresiones

◗Sucesiones ■■ Una sucesión es una serie ordenada de números. A cada término se le asigna un número natural (un ordinal): S = {a1, a2, a3,... } ■■ Las sucesiones se pueden definir de diversas formas. Las más frecuentes son: Mediante

un término general: fórmula explícita que permite obtener el valor de cada término a partir del número natural correspondiente.

Ejemplo: an = 3n + 1 ⎯→ a1 = 4; a2 = 7; a3 = 10;...

Mediante

una fórmula de recurrencia: esta permite obtener cada término a partir de los anteriores.

Ejemplo 1:

⎧ a0 = 1 ⎧ ⎨ ⎨ ⎯→ a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10... ⎩ an+1 = an + 3 ⎩ Ejemplo 2: a0 = 1 ⎧⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎪ a1 = 1 ⎨ ⎨ ⎯→ a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8... ⎪⎪ ⎪⎪ a = a + a n–2 n–1 ⎩ ⎩ n

◗Progresiones aritméticas ■■ Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior añadiéndole una cantidad constante llamada diferencia de la progresión: an + 1 = an + d ■■ El término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética vienen dados por: an = a1 + (n – 1)d Sn =

(a1 + an)n 2

◗Progresiones geométricas ■■ Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por una cantidad constante llamada razón de la progresión: an + 1 = an • r ■■ El término general y la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica vienen dados por: an = a1 • r n – 1 Sn =

an • r – a1 a • (rn – 1) ; Sn = 1 r–1 r–1

■■ Si la progresión es decreciente (–1 < r < 1), la suma de los infinitos términos se obtiene con la expresión: S∞ =

14 3. Sucesiones y progresiones

a1 1– r

ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones siguientes e indica, en cada caso, si se trata o no de una progresión aritmética: an = 2n + 3 bn = 3n + 2 cn =

2n – 1 3n + 2

Obtendremos los cinco primeros términos de cada sucesión sustituyendo n cada vez por el número natural correspondiente: n

1

2

3

4

5

an = 2n + 3

a1 = 5

a2 = 7

a3 = 9

a4 = 11

a5 = 13

bn = 3n + 2

b1 = 5

b2 = 8

b3 = 11

b4 = 14

b5 = 17

2n – 1 cn = 3n + 2

1 c1 = 5

3 c2 = 8

5 c3 = 11

7 1 c4 = = 14 2

c5 =

9 17

an es aritmética porque la diferencia: d = a5 – a4 = a4 – a3 = ... = a2 – a1 = 2 es constante. Lo mismo sucede con bn : d = b5 – b4 = ... = b2 – b1 = 3. Sin embargo, en cn eso no ocurre: c5 – c4 ≠ c4 – c3...

2 La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética es 45. Si la diferencia es d = 2, calcula el primer término.

Sabiendo que el número de términos es n = 5 y la diferencia es d = 2, el término general queda: an = a1 + (n – 1)d ⎯→ a5 = a1 + (5 – 1) • 2 ⎯→ a5 = a1 + 8 Escribimos ahora la expresión de la suma: (a + an)n (a + a5) • 5 [a + (a1 + 8)] • 5 Sn = 1 ⎯→ S5 = 1 ⎯→ 45 = 1 = 2 2 2 (2a1 + 8) • 5 45 • 2 45 • 2 = ⎯→ = 2a1 + 8 ⎯→ 2a1 = – 8 ⎯→ a1 = 5 2 5 5 3 Un artista quiere realizar una exposición y cuenta con cuatro salas.

En la primera sala se han colocado 5 cuadros, y en cada sala, el triple de cuadros que en la anterior. ¿Cuántos cuadros se van a exponer?

OBSERVA

Esta progresión se dice que es geométrica porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3.

Se trata de hallar la suma de n = 4 términos de una progresión geométrica de razón r = 3, cuyo primer término es a1 = 5: a • (rn – 1) 5 • (34 – 1) S4 = 1 = = 200 r–1 3–1

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Escribe los tres primeros términos de las sucesiones siguientes e indica si se trata de progresión aritmética o geométrica. Expresa la diferencia o la razón en cada caso: n=1

n=2

n=3

T

dor

an = 5 – 2n

⎧ b0 = 2 ⎨b =3•b n–1 ⎩ n cn = 5 • (–2)n

3. Sucesiones y progresiones

15

5 Obtén el término general de las siguientes sucesiones sabiendo que se trata de progresiones aritméticas: 10 8 a) 7, 10, 13, 16... c) –4, – , – , –2...

3 3 2 10 14 b) 3, –1, –5, –9... d) , 2, , ...

3 3 3

6 Calcula el valor de los ángulos de un triángulo si se sabe que están en progresión aritmética de diferencia d = 30°.

7 Calcula la suma de: a) Los primeros 100 números naturales. b) Los 30 primeros números pares. c) Los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 1 000.

8 En un anfiteatro de forma semicircular hay 15 filas de asientos. En cada fila hay 3 asientos más que en la fila anterior. En la octava fila hay 25 asientos. a) ¿Cuántos asientos hay en la primera fila? b) ¿Cuántos asientos hay en la última fila? c) ¿Cuál es el aforo de la sala?

16 3. Sucesiones y progresiones

9 Obtén el término general de las siguientes sucesiones, sabiendo que se trata de progresiones geométricas: a) 2, 6, 18, 54...

b) –4, 2, –1,

1 ...

2

c) 18, 6, 2,

2 ...

3

10 El quinto término de una progresión geométrica de razón 2 vale 3 072. Calcula el primer término y la suma de todos ellos.

11 El primer término de una progresión es a1 = 2 y el quinto a5 = 162. Halla: a) a2, a3, a4 y la diferencia, si la progresión es aritmética. b) a2, a3, a4 y la razón, si la progresión es geométrica.

12 Marta propone a Juan la siguiente operación: «Durante los próximos diez días yo te voy a dar 1 € el primer día y cada día 1 € más que el día anterior; a cambio, tú a mí me vas a dar 10 céntimos de euro el primer día y cada día, doble cantidad que el día anterior». Al final de los diez días, ¿cuánto dinero se deben?

13 Uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero se obtiene otro. A su vez, uniendo los puntos medios de este, se obtiene un tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto suma la superficie de los infinitos triángulos si la del primero es de 3 cm2?

OBSERVA Punto medio del triángulo grande Punto medio del segundo triángulo

Cada nuevo triángulo inscrito tiene la cuarta parte de superficie que el triángulo anterior.

3. Sucesiones y progresiones

17

4

Proporcionalidad

◗Tanto por uno. Tanto por ciento. Interés simple ■■ Tanto por uno indica la proporción que supone una parte con respecto al todo.

Tanto por uno =

Parte Todo

En 100 mL de agua se han disuelto 15 g de sal. El tanto por uno en peso de sal y agua (total: 100 + 15 = 115 g) es: Sal:

15 100 = 0,13; agua: = 0,87 115 115

■■ Tanto por ciento indica la proporción de una parte cuando el todo es 100.

Tanto por cien =

Parte • 100 Todo

En una clase de 25 alumnos han aprobado todas las asignaturas 16 de ellos. El tanto por ciento de aprobados y suspensos (suspensos: 25 – 16 = 9) es: Aprobados:

16 9 • 100 = 64 %; Suspensos: • 100 = 36 % 25 25

■■ Interés simple es el incremento económico que produce un cierto capital c de dinero depositado en una entidad financiera que ofrece un rédito r durante un periodo de tiempo t: I=

c•r•t 100

◗Proporcionalidad ■■ Dos magnitudes relacionadas x e y son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción, de modo que el cociente entre ambas permanece x x siempre constante: 1 = 2 y1 y2 Cantidad e importe son dos magnitudes directamente proporcionales, ya que si incrementamos la cantidad comprada, se aumenta el importe en la misma proporción.

Por ejemplo, si 5 bolígrafos (x1 = 5) cuestan 3 € (y1 = 3), 7 bolígrafos (x2 = 7) costarán: x1 x2 5 7 7•3 = ⎯→ = ⎯→ y2 = = 4,20 € y1 y2 3 y2 5 ■■ Dos magnitudes relacionadas x e y son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye en la misma proporción, de modo que el producto de ambas permanece siempre constante: x1 • y1 = x2 • y2 Velocidad y duración de un trayecto son magnitudes inversamente proporcionales. Si se aumenta la velocidad, el tiempo empleado disminuye en la misma proporción.

Por ejemplo, si un coche a 20 km/h (x1 = 20) cubre una distancia en 15 minutos (y1 = 15), a 25 km/h (x2 = 25) tardará: x1• y1 = x2 • y2 ⎯→ 20 • 15 = 25 • y2 ⎯→ y2 =

20 • 15 = 12 minutos 25

■■ Proporcionalidad compuesta. Si una magnitud es proporcional a otras varias, la razón de dos de sus cantidades es igual al producto de las razones (directas o inversas) de las cantidades correspondientes de las otras magnitudes.

18 4. Proporcionalidad

4.1 Porcentajes ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Un artículo de una tienda de ropa que costaba 40 €, ahora cuesta 34 €. ¿Qué porcentaje está rebajado? Si al artículo rebajado se le aplica un 16 % de IVA, ¿cuál es el precio final?

Rebaja porcentual =

(Valor inicial – Valor final) 40 – 34 6 • 100 = • 100 = • 100 = 15 % Valor inicial 40 40

Precio final = precio +

16 16 • precio = 34 + • 34 = 34 • (1 + 0,16) = 34 • 1,16 = 39,44 € 100 100

2 Una vivienda tiene un valor de 130 000 €. Si se revaloriza anualmente un 12 %, ¿qué valor tendrá al cabo de 2 años?

Podemos llamar V0 al valor inicial de la vivienda; V1 al valor al cabo de un año y V2 al valor cuando han pasado los dos años. Al cabo de un año, el valor será: OBSERVA 12 12 V1 = V0 + • V0 = V0 • 1 + = V0 • 1,12 Podemos sustituir los 100 100 valores de la vivienda Es decir, V1 = 1,12 • V0. Por otra parte: al comienzo, al cabo de 12 12 un año y al cabo de dos V2 = V1 + • V1 = V1 • 1 + = V1 • 1,12 100 100 por las letras V0, V1 y V2.

Por lo tanto, V2 = 1,12 • V1. Sustituyendo, queda: Estas letras reciben el nombre de variables 2 V2 = 1,12 • V1 = 1,12 • (1,12 • V0) = 1,12 • V0 y permiten manejar las Ahora podemos colocar en lugar de V0 su valor: expresiones sin efectuar cálculos intermedios.

2 2 V = 1,12 • V = 1,12 • 130 000 = 163 072 € 2

(

)

(

)

0

3 Calcula el interés producido por un capital de 2 500 € depositados al 5 % anual durante cinco meses. ¿Qué será mejor, dejarlo un mes más o incrementar el rédito 1 punto?

Cinco meses suponen las cinco doceavas partes del año; t =

I=

Un mes más: I =

c•r•t = 100

c•r•t = 100

2 500 • 5 • 100

2 500 • 5 • 100

6 12

5 12

=

5 . Aplicamos la fórmula: 12

2 500 • 5 • 5 = 52,08 € 1 200

= 62,50 €.

5 2 500 • 6 • c•r•t 12 Un punto más: I = = = 62,50 €.

100 1 200 Da lo mismo, pero en este último caso, el interés se alcanza un mes antes.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Un proceso de fabricación requiere por cada unidad de producto 18 minutos de mano de obra y 12 minutos de elaboración mecánica. ¿Qué porcentaje supone cada tarea?

4.1. Porcentajes

19

5 Unos grandes almacenes comienzan la temporada de rebajas en el mes de julio y en el mes de agosto hacen una segunda rebaja. Completa la tabla siguiente: Artículo

Precio junio

1.ª rebaja (%)

A

30

B

45

12

C

80

18,75

Precio julio

2.ª rebaja (%)

27

25,38 10 56,55

24

D 95

E

Precio agosto

9

55,33

20

66,12

6 Cada año se incrementan los ingresos de los pensionistas según el IPC. Este año ha sido del 2,7 %.

Un jubilado percibirá por ello 16,20 € más al mes. ¿Cuál era su pensión mensual?

7 Completa la tabla siguiente, en la que se reflejan las anotaciones obtenidas por un equipo en un partido de baloncesto, sabiendo que obtuvo un total de 84 puntos: Tiros libres

Dobles

Triples

Intentos

26

22

14

Efectividad

57,69 % 36

Puntos

8 Completa la tabla financiera siguiente: Capital

6 500 €

Rédito

3 %

5,8 %

Tiempo

2 años

6 meses

18 meses

870 €

750 €

Interés

25 000 €

375 € 6,8 % 76,50 €

4.2 Proporcionalidad ACTIVIDADES RESUELTAS 9 En una receta de repostería se lee: «Ingredientes para tres personas: 150 g de azúcar, 60 g de mantequilla, 180 g de harina y 3 huevos». ¿Qué cantidades hay que emplear para 5 personas?

Se trata de proporcionalidad directa, ya que si el número de comensales aumenta, las cantidades de ingrediente lo hacen en la misma proporción: 150 x 150 • 5 = ⎯→ x = = 250 g 3 5 3 60 x 60 • 5 Mantequilla: = ⎯→ x = = 100 g 3 5 3 180 x 180 • 5 Harina: = ⎯→ x = = 300 g 3 5 3 3 x 3•5 Huevos: = ⎯→ x = = 5 huevos 3 5 3 Azúcar:

20 4. Proporcionalidad

10 Si 5 camareros montan 3 comedores en 6 h. ¿Cuánto tardarán 4 camareros en montar 2?

Es un problema de proporcionalidad compuesta. Se compara la magnitud incógnita, tiempo (x), con las otras, comedores (y) y camareros (z), para decidir si la proporcionalidad es directa o inversa.

Con los mismos camareros, tiempo y comedores son directamente proporcionales, ya que a más tiempo disponible, se puede montar un mayor número de comedores: x1 x2 x y = ⎯→ 1 = 1 y1 y2 x2 y2 Para los mismos comedores, tiempo y camareros son inversamente proporcionales, porque si el número de camareros aumenta, el tiempo que se tarda es menor: x1• z1 = x2• z2 ⎯→

x1 z2 = x2 z1

x1 y1 z2 6 3 4 6•2•5 = • ⎯→ = • ⎯→ x2 = = 5 horas x2 y2 z1 x2 2 5 3•4

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11 Un restaurante facilita un presupuesto para 15 comensales de 427,5 €. Al final, acuden a comer 18 personas. ¿A cuánto asciende la factura?

12 Cinco obreros tardan seis días en levantar un muro. ¿Cuánto tardarán tres obreros en hacer el mismo trabajo?

13 Un profesor corrige 4 exámenes en 15 minutos y otro 6 exámenes en 25 minutos. ¿Cuántas horas tardarán, trabajando a la vez, para corregir entre los dos 76 exámenes? ¿Cuántos habrá corregido cada uno?

OBSERVA

Se puede usar el método de reducción a la unidad: El primer profesor corrige cada minuto 4/15 partes de examen y el segundo, 6/25 partes.

Entre los dos corrigen: 4/15 + 6/25 = 38/75, es decir, 38 exámenes cada 75 minutos.

14 Doce vacas de 650 kg de peso cada una consumen 1 000 kg de pienso en 20 días. ¿Durante cuántos días se podrá alimentar a 15 vacas de 600 kg de peso con 1 500 kg de pienso?

4.2. Proporcionalidad

21

5

Polinomios

◗Expresiones algebraicas ■■ Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras ligados por operaciones aritméticas. b·a Expresiones

como (a + b) (x – 4), o bien , son expresiones algebraicas.

2 ■■ Monomio Toda

expresión de la forma axn recibe el nombre de monomio en la indeterminada x.

• a • es el coeficiente del monomio; generalmente es un número real.

• x • es la indeterminada que puede tomar diferentes valores. No necesariamente se trata de una incógnita cuyo valor hay que descubrir. Puede haber monomios en más de una indeter­ minada. Por ejemplo, 2y2x tiene dos indeterminadas.

• n • es un número natural que recibe el nombre de grado del monomio.

Por ejemplo: 12x3 es un monomio en la indeterminada x, de grado 3 y de coeficiente 12.

Dos

monomios en la misma indeterminada del mismo grado se llaman semejantes.

Cuando

en un monomio se sustituye la indeterminada por un determinado valor, se obtiene el valor numérico del monomio.

■■ Polinomio Se llama polinomio a la suma de uno o varios monomios en la misma indeterminada: P(x) = anxn + ... + a2x2 + a1x + a0 •• El grado del polinomio coincide con el mayor de los grados de sus monomios.

•• an, coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal.

•• a0, coeficiente del monomio de grado cero es el término independiente.

Por ejemplo, P(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 + x + 3 es un polinomio en la indeterminada x, de grado 4.

El coeficiente principal es 6 y el término independiente 3.

Si se sustituye la indeterminada por un determinado valor, se obtiene el valor numérico del polinomio.

◗Operaciones con polinomios ■■ Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: (3x3 + 5x + 3) – (4x2 – 2x) = 3x3 + 5x + 3 – 4x2 + 2x = 3x3 – 4x2 + 7x + 3 ■■ Para multiplicar dos polinomios se multiplican sucesivamente todos los términos del primero por cada uno de los términos del segundo y se agrupan los términos semejantes del producto obte­ nido. Por ejemplo: (x + 1) • (x2 – x + 3) = x • (x2 – x + 3) + 1 • (x2 – x + 3) = x3 – x2 + 3x + x2 – x + 3 = x3 + 2x + 3 ■■ También se pueden dividir polinomios obteniendo, en este caso, un cociente y un resto.

◗Identidades notables ■■ Son identidades algebraicas de especial relevancia que conviene recordar. Las más i­mportantes son: Cuadrado

de la suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado

de la diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma

por diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2

22 5. Polinomios

5.1 Expresiones algebraicas ACTIVIDAD RESUELTA 1 Realiza las siguientes operaciones con monomios: a) 2x3 – 3x3 + 5x3 b) 2x3 • 4x2 c) 4x5 : 2x3 d) 12x2yz3 : 3xyz2 a) La suma o resta de monomios del mismo grado es otro monomio del mismo grado cuyo coefi­ ciente se obtiene como suma o resta de los coeficientes de los monomios que se operan: 2x3 – 3x3 + 5x3 = (2 – 3 + 5)x3 = 4x3 b) El producto de monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuyo grado es la suma de los grados: 2x3 • 4x2 = (2 • 4)x3 + 2 = 8x5 c) El cociente de monomios será otro monomio siempre que el grado del dividendo sea mayor que el grado del divisor. En este caso, el coeficiente es el cociente de los coeficientes, y el grado, la diferencia de los grados: 4x5 : 2x3 = (4 : 2)x5 – 3 = 2x2 d) El coeficiente es el cociente de los coeficientes, y el exponente de cada indeterminada, la dife­ rencia de los correspondientes exponentes. También el grado es la diferencia de grados de numerador y denominador: 12x2yz3 : 3xyz2 = 4xz

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Asocia a cada frase la expresión algebraica correspondiente: a) Elevar un número al cuadrado y añadirle una unidad.

e) Sumar al cuadrado de un número su mitad.

1. x • y + z 1 2. x2 + x 2 3. x2 + 1 x 4. 2 y 5. (x – 2)2

f) Obtener el doble del cociente de dos números.

6. x • (x + 1)

b) Hallar el cuadrado de restar a un número dos unidades. c) Añadir una cantidad al producto de dos números. d) Calcular el producto de dos números consecutivos.

3 Indica el grado de los siguientes monomios: a) 2x • 3x2

RECUERDA

b) 5x3 • y2

El grado de un monomio en una indeterminada es el exponente de la misma.

El grado de un monomio en varias indeterminadas es la suma de los exponentes de las mismas.

c)

2x2y3z4 3xyz2

d)

xy2 x2z

5.1. Expresiones algebraicas

23

4 Completa la tabla con los valores numéricos de los siguientes monomios para los valores que se indican de sus indeterminadas (utiliza solamente el valor de la indeterminada que necesites): 2x3

3x2

y4

5xy

4x2y3

x = 1; y = 2 x = 2; y = 1 x = 3; y = –2 x = –1; y = 3 x = –2; y = –1 x = –2; y = –3

5 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para x = –1 , x = 0 y x = 1: a) A(x) = x2 – 3x b) B(x) = x3 + 2 c) C(x) = x3 + x2 – 2x + 3 d) D(x) = 2x4 – 6x2 – 5x + 1

5.2 Operaciones con polinomios ACTIVIDADES RESUELTAS 6 Dados los polinomios P(x) = x2 – 3x + 2 y Q(x) = 5x – 1, efectúa las operaciones siguientes: a) P(x) + Q(x) b) P(x) • Q(x) a) Para sumar polinomios basta con agrupar términos semejantes: P(x) + Q(x) = (x2 – 3x + 2) + (5x – 1) = x2 + (–3 + 5)x + (2 – 1) = x2 + 2x + 1 b) El producto se puede obtener de diferentes maneras: • Una de ellas es disponiendo los factores como si fuera una multiplicación numérica: x2

– 3x 5x 2 –x + 3x 5x3 – 15x2 + 10x 5x3 – 16x2 + 13x

+ 2 – 1 – 2 – 2

• Otro modo consiste en utilizar la propiedad distributiva, es decir, multiplicar ordenadamente cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio. Después se agrupan términos semejantes: P(x) • Q(x) = (x2 – 3x + 2) • (5x – 1) = x2 • (5x – 1) – 3x • (5x – 1) + 2 • (5x – 1) = = (5x3 – x2) + (–15x2 + 3x) + (10x – 2) = 5x3 – 16x2 + 13x – 2

24 5. Polinomios

7 Halla el cociente y el resto de la división de P(x) = 6x3 – 3x2 + 2x – 1 entre Q(x) = x2 – x + 1.

Disponemos dividendo y divisor como en una división numérica: 6x3 – 3x2 –6x3 + 6x2 3x2 – 3x2

+ – – +

2x 6x 4x 3x –x

– 1

x2 – x + 1 6x + 3

– 1 – 3 – 4

Así pues, el cociente es C(x) = 6x + 3 y el resto R(x) = –x – 4.

Se puede comprobar el resultado con la regla de la división: Dividendo = divisor • cociente + resto 6x3

3x2

– + 2x – 1 = (x2 – x + 1) • (6x + 3) + (–x – 4) = = x2(6x + 3) – x(6x + 3) + 1(6x + 3) + (–x – 4) = = 6x3 + 3x2 – 6x2 – 3x + 6x + 3 – x – 4 = = 6x3 – 3x2 + 2x – 1

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8 Opera y reduce términos semejantes: a) 2x(3x2 – 2x + 1) – x2(2x + 3)

b) –3[(x + 2)(x – 1) – x2 + 1] + 3(x – 1)

c) 3(x – 1)(x + 2)(x – 2)

d) (x2 – 1)(x + 2)

e) (x2 + 2x + 3)(x2 + 1)

9 Dados los polinomios P(x) = 12x; Q(x) = x2 + 1; R(x) = 2x – 3 y S(x) = x2 – x + 1, halla: a) P(x) + 2Q(x) b) P(x) • R(x) – 5S(x)

c) [Q(x)]2 – P(x) • R(x) d) P(x) • Q(x) • R(x) • S(x)

5.2. Operaciones con polinomios

25

10 Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) (3x2 – 4x – 5) : (x – 2) b) (4x3 + 6x2 – 2x + 5) : (2x – 3)

c) (2x4 – 4x2 + 3x + 2) : (x2 + x + 2) d) (2x4 – 3x3 + 7x2 – 5x + 12) : (x2 – 1)

11 Halla el cociente C(x) y el resto R(x) de la división de P(x) = x5 – x3 + x + 3 entre Q(x) = x + 3 y com­ prueba que se verifica P(x) = Q(x) • C(x) + R(x).

5.3 Expresiones notables ACTIVIDADES RESUELTAS 12 Desarrolla las siguientes expresiones indicando la identidad notable que utilizas: a) (2x + y)2 b) (3xy – x)2 c) (x + √2)(x – √2) a) (2x + y)2 = (2x)2 + 2(2x)y + y 2 = 4x2 + 4xy + y2 (Cuadrado de la suma) b) (3xy – x)2 = (3xy)2 – 2(3xy)x + x2 = 9x2y2 – 6x2y + x2 (Cuadrado de la diferencia) c) (x + √2)(x – √2) = x2 – (√2)2 = x2 – 2 (Suma por diferencia) 13 Obtén una expresión para (x + y + z)2 a partir de las identidades notables: Para poder utilizar la identidad del cuadrado de la suma (a + b)2 asociamos x + y como si fuera el sumando a, siendo z el sumando b: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Queda: (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + z2 Y ahora operamos: (x + y + z)2 = (x2 + 2xy + y2) + 2(x + y)z + z2 = = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2 = = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

26 5. Polinomios

ACTIVIDADES PROPUESTAS 14 Desarrolla las identidades notables: a)

( 12 x + 1)2 (

b) x +

1 2

)2

c) (2x – 1)2 15 Averigua de qué identidades notables proceden los siguientes desarrollos: a) x4 + 2x3 + x2 b) x2 –

1 1 x+ 2 16

c) x4 – x2 d) 4x2 + 4x + 1 16 Completa las siguientes expresiones, sabiendo que se trata de identidades notables: a) (x + ...)2 = x2 + 4x + ... b) (... + ...)2 = x2 + 4x3 + ... c) (... + ...)(... – 3) = x4 – ... d) (2x + ...)(... – ...) = ... – 9 17 Opera y simplifica: a) (x – 1)(x2 + x + 1) b) (x + 1)(x2 – x + 1) c) (x – y)(x2 + xy + y2) d) (x + y)(x2 – xy + y2) 18 Desarrolla: a) (x + y)3 b) (x – y)3 c) (x – y + z)2

5.3. Expresiones notables

27

6

Ecuaciones de primer y segundo grado

◗Ecuaciones de primer y segundo grado ■■ Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones algebraicas o miembros de la ecuación.

■■ Se llama solución a todo valor que sustituido en la ecuación la verifica, es decir, hace que coin­ cidan los valores numéricos de ambos miembros.

Según

sean las soluciones, la ecuación puede ser incompatible (sin solución), compatible indeterminada (infinitas soluciones) o compatible determinada (una solución).

■■ Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Una ecuación se puede transformar en otra equivalente mediante la aplicación de cualquiera de los siguientes criterios: Criterio

de la suma: sumando o restando una misma cantidad a los dos miembros que forman la ecuación.

Criterio

del producto: multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por una misma cantidad distinta de cero.

■■ En general, para resolver ecuaciones es conveniente seguir los siguientes pasos: Eliminar

denominadores, multiplicando la ecuación por el m.c.m.

Desarrollar

los paréntesis.

Agrupar

los términos semejantes y, si procede, separarlos en cada miembro.

Despejar

la incógnita.

Comprobar

la solución.

◗Resolución de ecuaciones de primer grado ■■ Una ecuación de primer grado es la que se puede reducir a la forma: ax + b = 0. b ■■ Si a ≠ 0, la solución se obtiene despejando la incógnita: x = – a

◗Resolución de ecuaciones de segundo grado ■■ Una ecuación de segundo grado es la que se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c = 0.

■■ Las soluciones de una ecuación de segundo grado se obtienen mediante la expresión: x=

–b ± √b2 – 4ac 2a

■■ Se llama discriminante de la ecuación a la expresión ∆ = b2 – 4ac. Dependiendo del signo del discriminante, se pueden dar las siguientes situaciones: ∆ > 0: hay dos soluciones: x1 =

–b ± √b2 – 4ac –b – √b2 – 4ac y x2 = 2a 2a

∆ = 0: hay una solución: b x = – 2a ∆ < 0: no tiene soluciones reales.

28 6. Ecuaciones de primer y segundo grado

6.1 Ecuaciones de primer grado ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Resuelve paso a paso la siguiente ecuación: x–5 x+3 + =1 2 3 En primer lugar quitamos denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo: m.c.m. (2, 3) = 6.

6•

( x –2 5 + x +3 3 ) = 6 • 1 ⎯→ 6 • ( x –2 5 ) + 6 • ( x +3 3 ) = 6 • 1 ⎯→ ⎯→ 3 • (x – 5) + 2 • (x + 3) = 6 • 1

Ahora desarrollamos los paréntesis, utilizando la propiedad distri­ butiva: 3 • (x – 5) + 2 • (x + 3) = 6 • 1 ⎯→ 3x – 15 + 2x + 6 = 6 Agrupamos términos semejantes, colocando en un miembro los que poseen la incógnita y los demás en el otro miembro: 3x – 15 + 2x + 6 = 6 ⎯→ 3x + 2x = 6 + 15 – 6 ⎯→ 5x = 15 Se despeja la incógnita: 5x = 15 ⎯→ x =

15 =3 5

RECUERDA

La propiedad distributiva del producto respecto de la suma afirma que el producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando: a • (b + c) = a • b + a • c

Ya solo queda comprobar la solución obtenida sustituyendo su valor en la ecuación original: x–5 x+3 (3) – 5 (3) + 3 + = 1 ⎯→ + = 1 ⎯→ –1 + 2 = 1 2 3 2 3 Se comprueba así que la solución es correcta, pues verifica la ­ecuación.

Cuando se aplica en sentido contrario, de derecha a izquierda, se habla de sacar factor común: a • b + a • c = a • (b + c)

2 El triple de la suma de dos números pares consecutivos excede en 10 unidades a la suma del segun­ do más el cuádruple del primero. ¿Cuáles son esos dos números?

Sea x la incógnita y sean, a partir de ella, los números pares consecutivos 2x y 2x + 2; multiplicar por 2 la incógnita es conveniente para asegurarnos de que ambos números sean pares. Ahora expresamos algebraicamente el enunciado: 3 • [(2x) + (2x + 2)] = (2x + 2) + 4 • (2x) + 10 Es posible que alguno de los paréntesis que hemos colocado fuera innecesario, pero no importa si con ello se consigue mayor claridad en el planteamiento.

Eliminamos los paréntesis: 3 • [(2x) + (2x + 2)] = (2x + 2) + 4 • (2x) + 10 ⎯→ ⎯→ 3 • (4x + 2) = 2x + 2 + 8x + 10 ⎯→ 12x + 6 = 2x + 2 + 8x + 10 Agrupamos términos semejantes y despejamos la incógnita: 12x + 6 = 2x + 2 + 8x + 10 ⎯→ 12x – 2x – 8x = 2 + 10 – 6 ⎯→ 2x = 6 ⎯→ x = 3 Una vez obtenido el valor de la incógnita y recordando que los números pedidos son 2x y 2x + 2, expresamos el resultado sustituyendo en ellos x por 3: 2(3) y 2(3) + 2.

Los números pedidos son 6 y 8.

6.1. Ecuaciones de primer grado

29

3 Despeja la incógnita t en la siguiente expresión: 2(t + a) –

t+b t + 2b = 3 2 5

(

)

Seguimos los pasos recomendados para resolver ecuaciones, siendo ahora la incógnita la letra t.

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m (2, 5) = 10:

[

10 • 2(t + a) –

t+b t + 2b = 10 • 3 ⎯→ 20(t + a) – 5(t + b) = 6(t + 2b) 2 5

]

[ (

)]

Eliminamos los paréntesis: 20(t + a) – 5(t + b) = 6(t + 2b) ⎯→ 20t + 20a – 5t – 5b = 6t + 12b Agrupamos términos semejantes, dejando en un miembro los que contienen la incógnita: 20t + 20a – 5t – 5b = 6t + 12b ⎯→ 20t – 5t – 6t = 12b – 20a + 5b ⎯→ 9t = 17b – 20a Y por último se despeja la incógnita: 9t = 17b – 20a ⎯→ t =

17b – 20a 9

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Comprueba si los siguientes valores verifican o no la ecuación: 6(4x – 5) = a) x b) x c) x d) x

= = = =

0 1 3 –1

5 Clasifica las siguientes ecuaciones según sus soluciones: a) x = x + 2 b) 3(4x + 2) = 6x + 3(2x + 2) c)

4x – 1 =x+1 3

6 Despeja la incógnita t en las siguientes expresiones: a) 3t –

2t + a = 3a 4

b) 4at + 2(a + t) = b

30 6. Ecuaciones de primer y segundo grado

x+6 + 13x 3

7 Resuelve las siguientes ecuaciones:

OBSERVA

a) 2x + 1 = 3(x – 6) b) 9(x – 31) = x + 1 c) 7(2x – 10) = 4x

Si reducimos una ecuación de primer grado a la forma ax + b = 0, la solución x0 de la ecuación se corresponde con el punto de corte de la función afín y = ax + b con el eje de abscisas. y

x0 x y = ax + b

8 Resuelve las ecuaciones siguientes y comprueba las soluciones: a)

4x 5x – = 40 – x 6 7

x +3 6

c)

5(x – 15) 3x +3= 5 7

2x – 3 –x=x+3 3

c)

x+2 1 + = 2x 7 3

b) 8(31 – x) =

9 Resuelve y comprueba estas ecuaciones: a)

x x + =x–5 3 4

b)

10 Halla un número sabiendo que da lo mismo añadirle 4 unidades y multiplicar el resultado por 2 que restarle 20 unidades y multiplicar el resultado por 5.

6.1. Ecuaciones de primer grado

31

11 Dos números difieren en 7 unidades, pero si el mayor lo multiplicamos por 3 y el menor por 2, entonces la diferencia asciende a 16 unidades. ¿Cuáles son esos números?

12 Determina el área de un rectángulo de 34 cm de perímetro, sabiendo que uno de sus lados es 4 cm mayor que otro.

13 Marta tarda 3 minutos en recoger la mesa mientras que Ángel, su hermano pequeño, lo hace en 7 minutos. Si lo hiciesen juntos, ¿en cuánto tiempo la recogerían?

RECUERDA

Podemos utilizar el método de reducción a la unidad. Calcula qué fracción de la mesa recoge cada uno en un minuto y suma ambas fracciones para conocer qué fracción de la mesa recogen ambos en un minuto. Después calcula cuánto tiempo tardarán en recoger toda la mesa.

14 He gastado la mitad del dinero que tenía en mi cartera en comer y la cuarta parte de lo que me quedaba en transporte. Ahora tengo 15 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

32 6. Ecuaciones de primer y segundo grado

6.2 Ecuaciones de segundo grado ACTIVIDADES RESUELTAS 15 Resuelve paso a paso la siguiente ecuación: x (x – 1) + 6 = 3x 2 Quitamos denominadores multiplicando ambos miembros por 2: x (x – 1) x (x – 1) + 6 = 3x ⎯→ 2 + 6 = 2 • 3x ⎯→ x (x – 1) + 2 • 6 = 6x 2 2

(

)

Desarrollamos paréntesis: x(x – 1) + 2 • 6 = 6x ⎯→ x2 – x + 12 = 6x Vemos que se trata de una ecuación de segundo grado. Por tanto, agrupamos términos semejantes en un mismo miembro: x2 – x + 12 = 6x ⎯→ x2 – x – 6x + 12 = 0 ⎯→ x2 – 7x + 12 = 0 Empleamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

⎧x = 4 –(–7) ± √(–7)2 – 4 • 1 • 12 7±1 = ⎯→ ⎨ 1 2•1 2 ⎩ x2 = 3 16 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado: a) 3x2

– 12x = 0 –9=0 2 c) x + 1 = 0

Si en la ecuación:

b) x2

ax2 + bx + c = 0 se anulan b o c, queda:

Procedemos tal como se indica en el recuadro, sin necesidad de utilizar la expresión general de la resolución de la ecuación de segundo grado: a) Sacamos factor común: 3x2 – 12x = 0 ⎯→ x(3x – 12) = 0 Solo se anula el producto si es cero el primer factor (x = 0) o 12 el segundo 3x – 12 = 0 ⎯→ x = =4.

3 Por tanto:

(

)

x1 = 0; x2 = 4 b) Despejamos x directamente: x2

OBSERVA

–9=

0 ⎯→ x2

ax2 + bx = 0 o ax2 + c = 0 y se llaman ecuaciones de segundo grado incompletas.

Se resuelven: ■■ ax2 + bx = 0 Sacando factor común: x(ax + b) = 0 ⎯→ ⎧ x1 = 0 ⎪ ⎯→ ⎨ –b ⎪ x2 = a ⎩

■■ ax2 + c = 0 Se despeja directamente: ax2 + c = 0 ⎯→

= 9 ⎯→ x = ±3

Y por tanto: x1 = –3; x2 = 3

⎧⎪ –c ⎪ x1 = + a ⎪ ⎯→ ⎨ ⎪⎪ –c ⎪ x2 = – a ⎩

√

c) Intentamos despejar x directamente: x2 + 1 = 0 ⎯→ x2 = –1 ⎯→ x = ± √–1 Como el discriminante es ∆ = –1, no tiene solución real.

√

6.2. Ecuaciones de segundo grado

33

OBSERVA

ACTIVIDADES PROPUESTAS 17 Construye una ecuación de segundo grado sabiendo que sus solu­ ciones son las que se indican y resuélvelas para comprobar los resul­ tados: a) x1 = 3 y x2 = 2 b) x1 = 7 y x2 = –3 c) x1= – 2 y x2 = –4 1 2 d) x1= y x2 = – 3 5

Para obtener una ecuación de segundo grado de soluciones x1 y x2 basta con efectuar el producto: (x – x1) • (x – x2) = 0 Por ejemplo, si las soluciones son: x1 = 2 y x2 = –1 la ecuación es: (x – 2) • (x + 1) = 0 Y desarrollando el pro­ ducto: x2 – x – 2 = 0 Si alguno de los coeficientes a, b o c son fraccionarios, se puede multiplicar por el m.c.m. para obtener otra ecuación equivalente.

18 Comprueba si los siguientes valores verifican la ecuación: 6(4x – 1) = a) x b) x c) x d) x

= = = =

x+6 + 25x x

0 1 –1 –6

19 Resuelve las siguientes ecuaciones comprobando después los resul­ tados: a) 3x2 + 5x – 2 = 0 b) 3x2 + 2x – 1 = 0 x c) 3x2 + – 1 = 0 2

d) 3x2 – 20x – 7 = 0 e) 3x2 + 16x – 35 = 0 1 1 f) 3x2 – x – = 0 2 2

OBSERVA

Si reducimos una ecuación de segundo grado a la forma ax2 + bx + c = 0, las soluciones x1 y x2 de la ecuación se corresponden con los puntos de corte de la función cuadrática y = ax2 + bx + c con el eje de abscisas. y

x1

34 6. Ecuaciones de primer y segundo grado

x2

x

20 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: a) 3x2 – 27 = 0 x2 x b) + =0 3 2

21 La suma de un número con su inverso es

c) 2x2 – 32 = 0 d) 2x2 – 5x = 0

29 . ¿De qué número se trata?

10

22 Halla cinco números enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los tres primeros coincida con la suma de los cuadrados de los dos últimos.

23 Halla las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo si uno de los catetos mide 7 cm más que el otro, pero 1 cm menos que la hipotenusa.

24 Calcula las dimensiones (base y altura) de un rectángulo sabiendo que la base mide 1 cm más que la altura, pero que si alargamos base y altura en 1 cm, el área se duplica.

6.2. Ecuaciones de segundo grado

35

7

Sistemas de ecuaciones lineales

◗Sistemas de ecuaciones ■■ Una ecuación con dos incógnitas es una expresión algebraica del tipo: ax + by = c Geométricamente

se interpreta como una recta en el plano. Los coeficientes a, b y c son valo­ res conocidos (números reales). Las incógnitas x e y representan las coordenadas de todos los puntos P(x, y) de la recta.

Así,

por ejemplo, en la ecuación 2x + y = 5, los puntos de coordenadas P1(2, 1), P2(1, 3) y P3(–1, 7) son puntos de la recta ya que, al sustituir sus valores en la ecuación, la verifican.

Sin embargo, los puntos Q1(1, 1) y Q2(2, 0) no son puntos de la recta porque no verifican su ecuación.

■■ Se dice que dos ecuaciones son simultáneas o forman un sistema cuando han de verificarse a la vez. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas expresado en su forma reduci­ da es del tipo:

⎧ ax + by = c ⎨ ⎩ dx + ey = f Geométricamente

se interpreta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como dos rectas en el plano.

◗Tipos de sistemas de ecuaciones ■■ Según el número de soluciones los sistemas pueden ser: Determinados:

si tienen solución única, situación que se interpreta geométricamente como dos rectas que se cortan en un punto. Las coordenadas de este punto son la solución del sistema de ecuaciones.

Indeterminados:

si tienen infinitas soluciones, que se interpreta como que ambas ecuaciones representan la misma recta.

Incompatibles:

si no tienen solución, lo que significa que las dos rectas, expresadas por las ecuaciones del sistema son paralelas.

◗Métodos de resolución ■■ Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una ecuación por otra equivalente, resulta un nuevo sistema equivalente al primero.

■■ Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en primer lugar se expresa en forma reducida y después se aplica uno de los siguientes métodos: Sustitución:

en una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas. La expresión hallada se sustituye en la otra ecuación.

Igualación:

se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.

Reducción:

multiplicando adecuadamente cada una de las ecuaciones se consigue que una de las incógnitas tenga coeficientes opuestos en cada una de las ecuaciones del sistema.

Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro se obtiene una ecuación solo en la otra incógnita.

36 7. Sistemas de ecuaciones lineales

ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Resuelve por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧ 3x – 2y = 1 ⎨ ⎩ 2x – y = 3 Elegimos la incógnita que queremos despejar. En este caso es más sencillo despejar la incógnita y de la segunda ecuación: 2x – y = 3 ⎯→ y = 2x – 3 Se sustituye este valor en la otra ecuación y se resuelve: 3x – 2y = 1 ⎯→ 3x – 2(2x – 3) = 1 ⎯→ 3x – 4x + 6 = 1 ⎯→ –x = –5 ⎯→ x = 5 Una vez obtenido el valor de x, se sustituye donde habíamos despejado la otra incógnita: y = 2x – 3 ⎯→ y = 2 • 5 – 3 ⎯→ y = 7 Por tanto, la solución del sistema es: x = 5; y = 7

2 Resuelve por igualación el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧ 4x + 7y = 2 ⎨ ⎩ 3x + 5y = 1 Elegimos la incógnita que queremos despejar en ambas ecuaciones fijándonos en los coeficientes que la multiplican (4 y 3 para x, 7 y 5 para y); preferimos despejar x por tener coeficientes más pequeños: 2 – 7y ⎧ ⎪ 4x + 7y = 2 ⎯→ x = 4 ⎪ ⎨ 1 – 5y ⎪ ⎪ 3x + 5y = 1 ⎯→ x = 3 ⎩ Despejada la incógnita en las dos ecuaciones, igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación: 2 – 7y 1 – 5y = ⎯→ 3(2 – 7y) = 4(1 – 5y) ⎯→ 6 – 21y = 4 – 20y ⎯→ 4 3 ⎯→ 6 – 4 = –20y + 21y ⎯→ y = 2 Conocido el valor de y, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el valor de x: x=

2 – 7y 2–7•2 ⎯→ x = ⎯→ x = –3 4 4

x=

1 – 5y 1–5•2 ⎯→ x = ⎯→ x = –3 3 3

O bien:

La solución del sistema es: x = –3; y = 2

7. Sistemas de ecuaciones lineales

37

3 Resuelve por reducción el siguiente sistema de ecuaciones:

⎧ 8x – 3y = 15 ⎨ ⎩ 10x + 6y = 9 Elegimos la incógnita que queremos eliminar, normalmente aquella cuyos coeficientes tengan el m.c.m. más sencillo (en este caso y: m.c.m. (3, 6) = 6) y multiplicamos cada ecuación por el factor adecuado para igualar los coeficientes (pero con signos opuestos): ×2 ⎯⎯→ 16x – 6y = 30 8x – 3y = 15

×1 10x + 6y = 9 ⎯⎯→ 10x + 6y = 9

⎧ ⎨ ⎩

Sumamos ordenadamente las ecuaciones obtenidas y despejamos la incógnita: 16x – 6y = 30 10x + 6y = 9 3 26x = 39 ⎯→ x = 2 3 , se sustituye su valor en una cualquiera de las ecuaciones 2 del sistema para calcular la otra incógnita: Una vez despejada la incógnita, x =

8x – 3y = 15 ⎯→ 8

( 32 ) – 3y = 15 ⎯→ 12 – 3y = 15 ⎯→ –3y = 3 ⎯→ y = –1

La solución del sistema es: x =

3 ; y = –1.

2

4 Por tres bocadillos y cinco refrescos nos han cobrado 18 €. A otros clientes, por cuatro bocadillos y dos refrescos les han cobrado solo 17 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?

Sea x el precio de cada bocadillo e y el de cada refresco. Planteamos el sistema de ecuaciones correspondiente: ⎧ 3x + 5y = 18 ⎨ ⎩ 4x + 2y = 17 Despejamos x en la primera ecuación: x =

18 – 5y y lo sustituimos en la segunda: 3

( 18 3– 5y ) + 2y = 17

4

Ahora tenemos una ecuación con una incógnita que se resuelve siguiendo los pasos habituales.

Eliminamos denominadores, multiplicamos la ecuación por 3 y desarrollamos los paréntesis:

( 18 3– 5y ) + 3 • 2y = 3 • 17 ⎯→ 4(18 – 5y) + 6y = 51 ⎯→ 72 – 20y + 6y = 51

3 • 4

Agrupamos los términos semejantes separándolos en cada miembro y despejamos la incógnita: 21 3 72 – 20y + 6y = 51 ⎯→ 72 – 51 = 20y – 6y ⎯→ 21 = 14y ⎯→ 14y = 21 ⎯→ y = = 14 2 Sustituimos el valor de y en la ecuación en la que x estaba despejada: 18 – 5y x= ⎯→ 3 El precio de cada bocadillo es x =

( 32 )

18 – 5 3

18 – =

3

15 2

=

36 – 15 7 = 3•2 2

7 3 = 3,50 €; el de cada refresco es y = = 1,50 €.

2 2

38 7. Sistemas de ecuaciones lineales

5 Halla la ecuación de una recta que contenga el punto de coordenadas P(2, –3).

La ecuación de una recta es de la forma ax + by = c. Podemos elegir libremente los valores de a y b, que multiplicamos respectivamente por x = 2 e y = –3 para obtener el valor de c. Por ejem­ plo, hacemos a = 3 y b = 1, y queda: c = 3 • 2 + 1 • (–3) = 3. De modo que una ecuación de la recta es: 3x + y = 3 Aunque también podemos obtener cualquier ecuación equivalente multiplicando sus dos miembros por un número distinto de cero. Por tanto, expresiones como 6x + 2y = 6 o como 12x + 4y = 12 también representan la misma recta.

6 Halla la ecuación de la recta que contenga a los puntos de coordenadas P(2, 1) y Q(–1, –1).

Aunque la ecuación de una recta es de la forma ax + by = c, ya hemos visto en la actividad anterior que hay más de una expresión para una misma recta. Podemos fijar el valor del parámetro c, por ejemplo c = 1, y establecer el sistema de ecuaciones correspondiente a cada punto, teniendo en cuenta que las incógnitas ahora son a y b: P(x = 2, y = 1) ⎧ ax + by = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2a + b = 1 ⎧ 2a + b = 1 ⎯→ ⎨ ⎨ Q(x = –1, y = –1) ⎩ ax + by = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ –a – b = 1 ⎩ –a – b = 1

Podemos resolver el sistema por reducción sumando ambas ecuaciones: 2a + b = 1 –a – b = 1 a=2 Ahora sustituimos en: –a – b = 1 ⎯→ –2 – b = 1 ⎯→ b = –3.

Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por P y Q es: 2x – 3y = 1

ACTIVIDADES PROPUESTAS 7 Interpreta geométricamente la posición relativa de las dos rectas que representa cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:

⎧ 2x – y = 3 a) ⎨ ⎩ 4x – 2y = –4

⎧ 2x – y = 3 b) ⎨ ⎩ 4x – 2y = 6

⎧ 2x – y = 3 c) ⎨ ⎩ 2x – 2y = –4

7. Sistemas de ecuaciones lineales

39

8 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución:

⎧ x – 3y = 6 a) ⎨ ⎩ 3x + 2y = –4

⎧ 7x + y = 1 b) ⎨ ⎩ 3x + 5y = –11

9 Resuelve los siguientes sistemas por igualación:

⎧ 2x – y = –2 a) ⎨ ⎩ 5x – y = 1

⎧ 3x + 2y = –2 b) ⎨ ⎩ x + 4y = 1

10 Resuelve los siguientes sistemas por reducción: ⎧ 2x + y = 1 ⎪ a) ⎨ 5 4 ⎪ x + y = 15 7 3 ⎩

⎧ 11x – 12y = 7 b) ⎨ ⎩x – y = 2

40 7. Sistemas de ecuaciones lineales

11 Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres conveniente, transformándolos pre­ viamente a la forma reducida: ⎧ 5x – 13 = 11y ⎪ a) ⎨ x + 2 =3 ⎪ ⎩y+1

y ⎧ +6 ⎪ 2(x + y) = 3 ⎪ b) ⎨ ⎪ 3x + 5y 2 – x = +6 ⎪ 3 2 ⎩

⎧ 3(2x + 5y) = 6 ⎪ c) ⎨ 2 7 5 ⎪ x+ y=1+ x 3 2 3 ⎩

12 Calcula dos números sabiendo que su suma es

25 7 y su diferencia es .

24 24

13 Las dos cifras de un número suman 6 unidades. Si se invierte el orden de sus cifras, el número aumenta en 36 unidades. ¿De qué número se trata?

OBSERVA

Un número de dos cifras presenta la forma xy, pero como x es la cifra de las decenas e y, la de las unidades, su valor numérico es 10 • x + y.

7. Sistemas de ecuaciones lineales

41

14 Halla los términos de una fracción sabiendo que si sumamos 1 al numerador la fracción vale 3, pero si restamos 1 al denominador la fracción vale 4.

15 Cosme y Susana tienen cada uno 135 € en billetes de 5 € y 10 €. Cosme tiene 18 billetes y Susana 20. ¿Cuántos billetes de cada tipo tiene cada uno?

16 Juan tiene ahora el doble de la edad que tenían hace 10 años él y su hermano, pero hace 4 años tenía el doble que la edad de su hermano. ¿Qué edades tienen ahora Juan y su hermano?

17 ¿Qué cantidades de café de 6,40 €/kg y de 4,60 €/kg hay que mez­ clar para obtener 10 kg de un café cuyo precio sea de 5,14 €/kg?

42 7. Sistemas de ecuaciones lineales

OBSERVA

Si se obtienen 10 kg de café de 5,14 €/kg, el precio de los 10 kg será de 51,40 €.

18 Un ebanista tarda 42 horas en fabricar un pedido de 8 sillas y 2 mesas. En otro encargo de 6 sillas y 1 mesa tarda 29 horas. ¿Cuánto tiempo necesita para fabricar cada silla y cada mesa?

19 Dos facturas telefónicas, antes de impuestos, ascienden a 90 €. En el desglose de la primera apa­ recen 350 minutos de conversación y 1 600 minutos de conexión a internet; en el de la segunda esos tiempos son de 430 y 1 280 minutos, respectivamente. Halla el precio por minuto, en céntimos de euro, tanto de conversación como de conexión a Internet.

20 Dos coches salen a la vez, uno al encuentro del otro, desde dos lugares distantes 105 km. El prime­ ro lleva una velocidad de 30 km/h y el segundo, de 45 km/h. a) Calcula el tiempo que transcurre hasta que se encuentran. b) ¿Qué distancia lleva recorrida el primer coche?

21 En una clase de preescolar un profesor reparte todos sus caramelos entre sus alumnos. Cada alum­ no recibe 2 caramelos y al profesor le sobran 4. Si hubiera tenido 2 caramelos más y 2 alumnos menos, le habría tocado 3 caramelos a cada alumno y no sobraría ninguno. a) ¿Cuántos alumnos hay en la clase? b) ¿Cuántos caramelos tenía el profesor?

OBSERVA

Para resolver este problema te puede servir la regla de la división.

7. Sistemas de ecuaciones lineales

43

8

Figuras en el plano I

◗Ángulos entre rectas: criterios de igualdad ■■ Si dos rectas r y s se cortan en punto A (figura 1), los ángulos opuestos son iguales y los ángu­ los contiguos son suplementarios (suman 90°).

■■ Si una recta r corta a otras dos s y t paralelas (figura 2), los cuatro ángulos agudos formados son iguales entre sí y los cuatro obtusos también.

■■ Las rectas paralelas a dos rectas secantes que forman entre sí un ángulo α (figura 3), también forman entre sí un ángulo α.

■■ Las rectas perpendiculares a dos rectas secantes que forman entre sí un ángulo α (figura 4), también forman entre sí un ángulo α. Si dos rectas perpendiculares r y r' son cortadas por una tercera recta s (figura 4), los ángulos interiores α y β son complementarios (suman 90°).

(1)

(2)

r

α A

α

s

α

α

s

α

t

α r

(3)

(4)

α α

s

α

β

r

α

r' s'

◗Lugar geométrico ■■ Definimos lugar geométrico como un conjunto único de puntos del plano que cumplen una deter­ minada propiedad. Muchas figuras planas puede definirse como un lugar geométrico: Circunferencia:

La distancia de sus puntos (radio) a un punto llamado centro es la misma.

Elipse

(figura 1): La distancia de sus puntos a dos puntos F y F' (focos) es constante.

Hipérbola

(figura 2): La diferencia de la distancia de sus puntos a dos puntos F y F' (focos) es constante.

Parábola

(figura 3): Sus puntos se encuentran a igual distancia de un punto F, foco, y de una recta r, directriz.

(1)

(2) B a

P

(3) P

Suma 2a

F'(–c, 0) A' F'

c

O

c

F A

B'

44 8. Figuras en el plano I

(a, 0) (–a, 0)

F(c, 0)

F(0, c)

y = –c

8.1 Ángulos entre rectas: criterios de igualdad ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Si en las figuras adjuntas A es un ángulo conocido, expresa el resto de los ángulos en función de su valor. (a)

(b )

A

r G B

H

A

t D

C E D

B C

u

F s

u

E r s

F

t

a) Tenemos que B = A, ya que son ángulos opuestos por un vértice.

Por otro lado C = A, ya que la recta r corta a las paralelas t y u, y como C y D están opuestos por un vértice, también D = A.

RECUERDA

En un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios, es decir, suman 90°.

En cuanto a E , observamos que es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, por lo que es complementario de C, es decir: E = 90° – C = 90° – A Y por último, según lo dicho anteriormente, puede verse fácil­ mente que: G = H = F = E = 90° – A

A

c

b) Tenemos dos rectas r y s secantes que son perpendiculares a las rectas t y u, respectivamente.

b

B a

Tenemos por tanto que D = C = B = A.

C

A + B + C = 180° → → 90° + B + C = 180° → → B + C = 90°

F = E por ser ángulos opuestos por el vértice, y al ser B y E los ángulos agudos de un triángulo rectángulo: F = E = 90° – B = 90° – A

2 Consideremos un triángulo rectángulo como el de la figura, en el que B y C son ángulos conocidos.

Si trazamos la altura h respecto de la hipotenusa obtenemos dos nuevos triángulos. a) ¿De qué tipo son estos triángulos? b) ¿Cuánto miden los ángulos D y E? c) ¿Cómo son entre sí los nuevos triángulos respecto del original?

A

a) Los dos nuevos triángulos son rectángulos porque la altura es perpendicular a la hipotenusa a. b) Al ser h perpendicular a a, y b perpendicular a c, tenemos que D = C y que E = B.

c

c) Al tener todos sus ángulos iguales dos a dos, com­ probamos que los nuevos triángulos son semejan­ tes al original.

B

E D

b

h C a

8.1. Ángulos entre rectas: criterios de igualdad

45

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 En la figura adjunta, mide con el transportador el valor del ángulo A y después calcula razonada­ mente el valor de los demás ángulos. Luego comprueba con el transportador que tus cálculos son correctos.

A E

B D

C

4 De una barra horizontal hemos colgado un cuadro rectangular sujetándolo de los dos extremos superiores del marco, pero uno de los clavos se ha caído y el cuadro ha quedado colgado solamen­ te de uno. Hemos medido el ángulo que forma ahora el marco superior con la barra y es de 65°.

Haz un dibujo de la situación y calcula razonadamente el ángulo que forma el marco lateral con la horizontal.

5 En el hexágono regular de la figura hemos prolongado dos de sus lados hasta que las dos prolonga­ ciones se han cortado. Hemos medido el ángulo que forman ambas y ha resultado ser de 60°.

Calcula, usando los criterios de igualdad que has aprendido en esta unidad, el ángulo que forman dos lados consecutivos del hexágono.

46 8. Figuras en el plano I

6 Imagina que te encuentras sobre una superficie inclinada y quieres saber la inclinación de esta respecto de la horizontal. Para ello dispones de un hilo con un peso en el extremo (plomada) y un transportador dispuestos tal como muestra la figura. ¿Serías capaz de calcular el ángulo α? Explica cómo lo harías.

A 60 90

30

B 12

0

0

15

0

O 18

0

Plomada

α

8.2 Lugares geométricos ACTIVIDADES RESUELTAS 7 Deduce el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a dos puntos dados A y B sea la misma. ¿Cómo se llama este lugar geométrico?

Tomemos dos puntos arbitrarios A y B. Es evidente que el punto medio M del segmento que une ambos puntos se encuentra a igual distancia de A que de B, pero no es el único. Si trazamos la recta perpendicular a dicho segmento que pase por el punto M, en seguida nos damos cuenta de que todos sus puntos equidistan de A y B. Puedes compro­ barlo midiendo la distancia de un punto genérico C de la recta a los puntos A y B. Dicha recta recibe el nombre de mediatriz del segmen­ to AB.

C

M A

B

AC = AB

8 Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de dos rectas secantes r y s.

El lugar geométrico que se nos pide se conoce por el nombre de bisectriz, que es la recta que divide en dos partes iguales el ángulo formado por ambas rectas. Para dibujarla, con un compás trazaremos un arco con centro en V que cortará a las rectas en los puntos A y B. Sin necesidad de cambiar la abertura del compás, con centro en A y en B trazaremos sendos arcos que se cortarán en C. Puedes comprobar que este punto equidista de ambas rectas. Si ahora unimos con una recta los puntos C y V, obtenemos la recta m buscada.

r B C

m

V A

8.2. Lugares geométricos

47

9 Considera el segmento AB y calcula el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales el segmento AB se ve siempre bajo un mismo ángulo.

P λ

O A

λ

B

Este es un problema algo complejo pero de gran importancia en geome­ tría. Imagina un segmento AB y cerca de él un punto P como el que muestra la figura. Llamemos λ al ángulo APB. Con origen en A, dibuja­ mos ahora una recta que forme un ángulo λ con AB e inmediatamente después su perpendicular. El punto de corte de dicha recta con la media­ triz del segmento AB determina el centro de una circunferencia que pasa por P y desde la cual el segmento AB se ve siempre bajo un mismo ángulo. Dicho arco de circunferencia recibe el nombre de arco capaz.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 10 Con ayuda de una regla y un compás dibuja la mediatriz del segmento que forman los puntos A y B y explica cómo lo has hecho.

•A

•B

11 Dibuja dos triángulos cualesquiera y, siguiendo las instrucciones de la actividad 8 y con la ayuda de un compás y una regla, traza las bisectrices de todos sus ángulos. Si lo has hecho con cuidado observarás que en los dos triángulos las tres bisectrices se cortan en un punto. ¿Qué propiedad tiene ese punto como lugar geométrico?

48 8. Figuras en el plano I

12 Considera la siguiente elipse y marca en ella tres puntos cualesquiera A, B y C. Mide con una regla la distancia que separa cada uno de ellos de los focos F y F' y a continuación súmalas. ¿Cómo son esas tres distancias entre sí? y

3 2 1 F' –3

–2

0

–1

x

F 1

2

3

–1 –2 –3

13 Considera la siguiente hipérbola y repite la actividad anterior, pero esta vez restando las distancias obtenidas. ¿Cómo son entre sí? y 3 2 1 F' –3

–2

x

F 0

–1

1

2

3

–1 –2 –3

14 Dibuja un triángulo cualquiera y a continuación traza las mediatrices de todos sus lados. ¿Qué par­ ticularidad encuentras?

15 Realiza la actividad anterior trazando ahora las bisectrices de los ángulos. ¿Encuentras también algo especial?

16 Sobre un triángulo equilátero traza las mediatrices de los lados y las bisectrices de los ángulos.

Comenta el resultado.

8.2. Lugares geométricos

49

9

Figuras en el plano II

◗Triángulos ■■ Un triángulo es una figura plana de tres lados cuyos ángulos interiores suman 180°. Existen dos teoremas especialmente importantes sobre triángulos: Teorema

de Tales Si dividimos un triángulo ABC mediante una paralela a cualquiera de los lados, el nuevo triángulo AB'C' obtenido es semejante al original. El teorema de Tales puede usarse para dividir fácilmente un segmento en partes proporcionales.

A

C'

B'

B

Teorema

de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

C

a

b

a2 = b2 + c2 c

◗Figuras semejantes

■■ Decimos que dos figuras son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

◗Perímetros y áreas de algunas figuras planas Polígono

Dibujo a

Romboide

D

d

Rombo

Perímetro

P = 4a

Área

A=

D•d 2

a

c

P = 2(b + c)

A=b•a

b b Trapecio

Sector circular

Segmento circular

50 9. Figuras en el plano II

c

B

n° R

R

a

d

P=B+c+b+d

A=

B+b

Asector =

2

•a

πR2 • n° 360°

Asegmento = Asector – ATriángulo

9.1 Triángulos: teoremas de Tales y de Pitágoras ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Considera la figura y contesta a las siguientes preguntas:

A

a) ¿Cómo son entre sí los triángulos ABC y AED? ¿Por qué? b) Si AB = 3 m, AC = 5 m y EB = 1 m, ¿cuánto mide el segmento AD? a) El triángulo ABC ha quedado dividido en dos mediante la recta paralela al lado BC que pasa por ED, por tanto, según el teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes o proporcio­nales.

a'

E

D

a B

C

Esto también puede verse teniendo en cuenta lo aprendido en la unidad anterior, donde veíamos que si dos rectas paralelas cortan a una tercera, los ángulos formados son iguales, de manera que AED = ABC y ADE = ACB y por tanto ambos triángulos son semejantes. b) Al ser ambos triángulos proporcionales se verificará: AB AC = ⎯→ AD • AB = AE • AC AE AD Y despejando: AD =

AC • AE AC • (AB – EB) 5 • (3 – 1) 10 = = = = 3,33 m AB AB 3 3

El segmento AD mide 3,33 m.

A

2 Considera el siguiente triángulo rectángulo: a) ¿Cuánto mide el lado b? b) Aplicando criterios de semejanza, calcula la altura h del triángulo. a) El lado b del triángulo se calcula fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras:

E D

c= 3 m

b

h B

P

a= 5 m

C

a2 = b2 + c2 ⎯→ b2 = a2 – c2 ⎯→ b = √a2 – c2 = √52 – 32 = √25 – 9 = √16 = 4 m b) En cuanto a la altura h, fíjate que el triángulo PAB es también rectángulo y comparte con el triángulo original el ángulo B, por lo que E = C. Como ambos son semejantes y sus lados proporcionales, tenemos que: a b b • c 12 = ⎯→ h = = = 2,4 m c h a 5 E

a= 5 m

c= 3 m

B

B

h

P

A

b=4

C

9.1. Triángulos: teoremas de Tales y de Pitágoras

51

3 Dibuja un segmento cualquiera y divídelo en seis partes iguales.

Esta es una de las aplicaciones más importantes del teorema de Tales. Dibujamos el segmento AB que queremos dividir y con origen en A trazamos un segmento AC de longitud 6 cm. Desde C trazamos otro segmento CB para completar el ­ triángulo ABC. Mediante líneas paralelas a CB que pasen por las divisiones de AC obtenemos triángulos semejantes al original, de manera que el segmento AB queda dividido en seis partes iguales.

6C 5 4 3 2 1 B

A

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Del triángulo rectángulo de la figura sabemos que CB = 5 cm, CA = 4 cm y CD = 2 cm. ¿Cuáles son las medidas de los segmentos CE y EA? B

D

C

E

A

5 Dibuja un segmento de longitud arbitraria y divídelo en cinco partes iguales.

6 En el jardín de casa he colocado un poste de antena de 3 m de altura clavado perpendicularmente al suelo. Para que no se caiga, lo quiero sujetar con cuatro cables de igual longitud fijados en la parte más alta de la antena y en cuatro puntos del suelo diametralmente opuestos. Si los puntos de anclaje están a 2 m de la base, ¿cuánto cable necesito?

52 9. Figuras en el plano II

7 Dibuja un rectángulo de base 6 cm y altura 3 cm. A continuación traza su diagonal y calcula su longitud aplicando el teorema de Pitágoras.

8 Construye, ayudándote de regla y compas, un triángulo isósceles de lados a = 4 cm, b = c = 6 cm y calcula su altura mediante el teorema de Pitágoras.

9 Calcula la apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Recuerda que en el hexágono el radio de la circunferencia circunscrita (exterior) es igual a la longitud de su lado. a

10 Calcula la altura que puedo alcanzar con una escalera de 6 m de longitud si, para que no se escurra, tengo que apoyarla, como máximo, a 1 m de la pared.

11 En las condiciones de la actividad anterior, ¿qué longitud tiene una escalera con la que puedo alcanzar una altura de 10 m?

9.1. Triángulos: teoremas de Tales y de Pitágoras

53

9.2 Figuras semejantes ACTIVIDAD RESUELTA 12 Aplicando el teorema de Tales, dibuja una figura semejante a la figura F. Otra de las aplicaciones del teorema de Tales es la de encontrar figuras semejantes a una dada.

En esta actividad tenemos que encontrar una figura semejante a F. Para ello marcamos un punto P arbitrario, y desde ĂŠl trazamos rectas que pasen por los vĂŠrtices de la figura. Usando ahora dichas rectas como referencia, trazamos segmentos paralelos a los lados de la figura original de manera que vayamos formando una nueva figura que, segĂşn el teorema de Tales, tiene los lados proporcionales a los de la original. La figura F' es, por tanto, semejante a F.

P

F

F'

ACTIVIDADES PROPUESTAS 13 Aplicando el teorema de Tales, dibuja una figura semejante a la figura F.

14 Mide con la regla las longitudes de los lados de las dos figuras de la actividad anterior y comprueba que son proporcionales.

54 9. Figuras en el plano II

9.3 Perímetros y áreas de figuras planas ACTIVIDADES RESUELTAS 15

Calcula el área del rombo de la figura en el que D = 8 cm y a = 5 cm. d•D , por lo que tendremos que obtener d a partir de los 2 datos que nos dan. En nuestro caso, a, d y D están relacionadas mediante el teorema de Pitágoras, por lo que: D 2 d 2 D 2 a a2 = + ⎯→ d = 2 a2 – = 3 cm D 2 2 2 d Así: 3•4 A= = 6 cm2 2 El área de un rombo viene dada por A =

√ ( )

( ) ( )

16

Calcula el perímetro y el área de un sector circular de radio R = 10 cm y de ángulo 30°.

El perímetro de un sector circular es, como puede apreciarse en la figura, p = 2R + Larco, donde 2πR Larco = α, por tanto: 360 2π • 10 p = 2 • 10 + 30 = 25,24 cm R α L 360 R

Y el área: A=

πR2 π102 α= 30 = 26,17 cm2 360 360

ACTIVIDADES PROPUESTAS 17 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura donde a = 3 cm, b = 5 cm y c = 4 cm. a

c b

18 Calcula el área de la siguiente figura donde B = 7 cm, b = 4 cm y a = 3 cm. b c

B

a

d

9.3. Perímetros y áreas de figuras planas

55

10

Movimientos en el plano

◗Movimientos en el plano ■■ Un movimiento es una transformación geométrica en la que una figura plana mantiene su forma y tamaño. Entre otras cosas, esto significa que: Se conservan las distancias.

Se conservan los ángulos.

■■ Los movimientos pueden ser: Directos.

Inversos.

◗Traslaciones y giros ■■ Las traslaciones y los giros son movimientos directos o deslizamientos. En ellos la transformación se realiza deslizando la figura sobre el plano.

P'

Traslación:

en la traslación todos los puntos de la figura se trasladan sobre el plano en una dirección determinada por una flecha denominada vector. Los vectores se nombran con letras sobre las que colocamos una flecha, por ejemplo v⃗. En la figura el punto P es el origen del vector y P' es su extremo. En una traslación la distancia entre cualquier punto de la figura original P y el resultante de su traslación P' es siempre la misma.

Giro:

en los giros la figura describe un determinado ángulo α en torno a un punto O llamado centro de giro.

Cualquier punto P de la figura se transforma en otro P' a igual distancia de O que P. Dicha distancia se conoce como radio de giro r. Si el giro es de 180°, las líneas que unen cada punto con su imagen se cortan en el centro de giro. Decimos que ambas figuras son simétricas respecto del punto O, que ahora se llama centro de simetría.

v⃗ P

P' r α

P

◗Simetría axial ■■ La simetría axial es un movimiento inverso porque la figura transformada no puede obtenerse mediante un deslizamiento.

Eje

Simetría

axial o simetría respecto a un eje: la simetría axial hace corresponder a cada punto P de la figura del margen otro punto P', de tal manera que el eje de simetría será la mediatriz del segmento PP'.

■■ Cualquier movimiento, por complejo que sea, puede descomponerse en una sucesión limitada de cualquiera de los movimientos simples vistos anteriormente.

56 10. Movimientos en el plano

P

P'

O

ACTIVIDAD RESUELTA 1 Aplica a la letra L de la figura las siguientes transformaciones y explica cómo has realizado cada una de ellas: a) Una traslación según el vector v⃗. b) Una simetría según el eje r. c) Un giro de 90° de centro O en el sentido de giro de las agujas del reloj. d) ¿Puede obtenerse la imagen final mediante un deslizamiento de la figura original?

r

C

R

R'

P

Q' O v⃗

Q v⃗ P'

a) Elegimos un punto Q del polígono que forma la letra L y trasladamos el vector v⃗ para que su nuevo origen sea el punto Q. El extremo de v⃗ será ahora el punto Q' de la figura trasladada.

Repitiendo este procedimiento a cada vértice de la figura original podemos obtener la imagen trasladada. b) Una forma de obtener la figura simétrica de una dada es trazar desde cada vértice una serie de rectas perpendiculares al eje de simetría y después, ayudándose de un compás, trazar un arco de centro C para obtener el simétrico de cada uno de los vértices.

En la figura solo se ha trazado dicho arco para el punto R. c) Elegimos un punto P de la figura y trazamos el segmento OP. A continuación se trazan arcos de circunferencia de centro O que pasen por cada uno de los vértices del polígono original. El punto de corte de la recta que forma 90° con OP y el arco que pasa por P será la imagen de P, es decir, P'.

De la misma manera, podemos encontrar la imagen del resto de los puntos. d) No se puede, ya que en el movimiento completo ha intervenido una simetría axial.

10. Movimientos en el plano

57

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Dada la figura adjunta: a) Efectúa sobre ella un giro de 180° de centro O. ¿El resultado es independiente del sentido de giro? b) A continuación traza rectas que unan los puntos señalados en la figura original con los de su imagen. ¿Qué encuentras de particular en todas esas rectas? c) ¿Cómo se llama el punto de corte de todas ellas? d) ¿Es una transformación directa o inversa? Razona la respuesta.

O

3 En la cuadrícula adjunta dibuja un triángulo rectángulo de catetos b = 3 cm y c = 4 cm y aplícale las siguientes transformaciones: a) Una simetría axial respecto de la hipotenusa a. b) A la figura resultante, un giro de 90° respecto del punto B' (recuerda que los vértices de un triángulo se nombran con la misma letra que el lado opuesto).

58 10. Movimientos en el plano

4 Transforma la imagen representada mediante una simetría respecto a la recta r. Haz lo mismo con la figura obtenida, pero ahora respecto a la recta s. ¿Qué diferencia encuentras entre las dos transformaciones? ¿A qué se debe que la última transformación no haya alterado la orientación de la figura?

r

s

5 Considera el triángulo equilátero de lado l de la figura y trasládalo cuatro veces según un vector paralelo a la base y también de longitud l. Aplica un giro de 300° de centro A en el sentido contrario a las agujas del reloj al último de ellos y trasládalo otras cuatro veces según el vector opuesto al anterior. ¿Podrías rellenar un plano usando esta técnica?

6 Además de con un triángulo equilátero, también podemos rellenar el plano con un cuadrado.

Encuentra otro polígono regular con el que también podríamos hacerlo y compruébalo en la siguiente cuadrícula.

10. Movimientos en el plano

59

11

Cuerpos en el espacio

◗Poliedros: definición y elementos característicos ■■ Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por caras que son polígonos. Los lados de las caras se llaman aristas, que se unen en los vértices. Cualquier línea que une dos vértices no consecutivos se denomina diagonal.

■■ Si cualquier par de puntos interiores puede ser unido mediante un segmento también interior, el poliedro es convexo, de lo contrario es cóncavo.

■■ Los poliedros convexos cumplen la relación de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2

◗Poliedros regulares ■■ Poliedros regulares: sus caras son polígonos regulares: triángulos, cuadrados o pentágonos. En cada vértice de un poliedro regular coinciden el mismo número de caras y los ángulos de las aristas que confluyen en él son todos iguales. Solo existen cinco, llamados sólidos platónicos.

Tetraedro Hexaedro o cubo Icosaedro Dodecaedro Octaedro 4 caras (triángulos 6 caras (cuadrados), 8 caras (triángulos 20 caras (triángulos 12 caras equiláteros), 8 vértices, equiláteros), (pentágonos regulares), equiláteros), 4 vértices, 6 aristas 12 aristas 6 vértices, 12 aristas 20 vértices, 30 aristas 12 vértices, 30 aristas

■■ Todos los poliedros regulares presentan simetría respecto a un plano como mínimo.

Bases Bases

◗Prismas y pirámides

Caras Caras laterales laterales

■■ Los prismas son poliedros no regulares limitados por dos polígonos paralelos, llamados bases, y cuyas caras laterales son paralelogramos.

■■ A diferencia de los prismas, las pirámides tienen una sola base, también poligonal, y las caras laterales son siempre triángulos que se unen en un vértice común o cúspide.

Base Base

◗Cuerpos de revolución ■■ Son cuerpos que resultan de hacer girar un polígono, el polígono generador, u otra figura plana alrededor de uno de sus lados. Tienen infinitos planos de simetría.

◗Superficie de los cuerpos en el espacio Cilindro

de altura h y base de radio r: 2πr 2 + 2πrh Cono

con base de radio r y generatriz g: πr 2 + πrg Esfera

de radio r: 4πr2

60 11. Cuerpos en el espacio

g

g r Cilindro

■■ Poliedros: se calcula fácilmente como la suma de las áreas de sus caras.

■■ Cuerpos de revolución:

Cúspide Cúspide Cara Cara lateral lateral

r Cono

Esfera

ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Indica cuál de las figuras adjuntas es un poliedro y cuál un cuerpo de revolución. Si es un poliedro, indica el número de caras y aristas y comprueba que se verifica la relación de Euler. Y si es un cuerpo de revolución, di cuál es su polígono o superficie generadora. En el caso de ser simétrica, indica al menos uno de sus planos de simetría. a)

b)

c)

d)

e)

f)

a) Se trata de un poliedro. Tiene cinco caras, nueve aristas y seis vértices: 5 + 6 = 9 + 2 b) Se trata de un poliedro. Tiene nueve caras, dieciséis aristas y nueve vértices: 9 + 9 = 16 + 2 c) Es un cuerpo de revolución. El polígono generador es un rectángulo. d) Es un poliedro porque todas sus caras son polígonos. Tiene siete caras, doce aristas y siete vértices: 7 + 7 = 12 + 2 e) Es un cuerpo de revolución generado por una semicircunferencia. f) Es un poliedro con siete caras, quince aristas y diez vértices: 7 + 10 = 15 + 2 En cuanto a la simetría, todos ellos tienen al menos un plano de simetría. La línea indica por dónde cortan dichos planos a las figuras. a)

b)

c)

d)

e)

f)

2 Hemos cortado un cubo de lado a = 2 m por las diagonales de tres caras adyacentes. El resultado es la figura adjunta. Calcula su superficie.

Fíjate bien y observarás que las caras de nuestra figura son: tres cuadrados de lado a, tres triángulos rectángulos de catetos a e hipotenusa h = √a2 + a2 = a = √2a2 = √2 • √a2 = a√2 y un triángulo equilátero de lados h. base • altura El área de cada cuadrado es a2. La de un triángulo es A = 2 y como en nuestro caso base = altura = a, para cada uno de los triángulos a a2 rectángulos tenemos A = .

2 La altura b del triángulo equilátero podemos calcularla aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los dos triángulos rectángulos que resultan de partirlo por la mitad. h h b 2 2 h h 3 h2 = b2 + ⎯→ b2 = h2 – = h2 ⎯→ 2 4 4

( )

√3 √3 √6 •h= • a√2 = •a 2 2 2 √6 (a√2) • a √3 2 h•b 2 Por lo que su área será A = = = a 2 2 2 ⎯→ b =

3

√ 4 • h =

(

Y la superficie total: 3a2 + 3

h

a h h

h

h

b

h /2

)

a2 √3 2 3 √3 3 √3 + a = a2 • 3 + + = 22 3 + + = 21,46 m2 2 2 2 2 2 2

(

)

(

)

11. Cuerpos en el espacio

61

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Dibuja un tetraedro regular e indica mediante una línea de puntos por dónde lo cortaría uno de sus planos de simetría. Si el tetraedro tuviese arista a = 3 cm, ¿cuál sería su superficie?

4 Imagina que cortamos las cuatro cúspides del tetraedro anterior de manera que nos queda un cuerpo como el de la figura. Si a = 1 cm, ¿cuál es la superficie de la figura?

a

5 Indica mediante una línea de puntos los ejes de simetría de la figura adjunta y calcula su superficie si a = 3 m y b = 2 m.

b

b b a

6 Dibuja un hexaedro regular y córtalo mediante un plano que pase por dos aristas opuestas. ¿Se trata de un plano de simetría de la figura? Calcula la superficie de cada figura resultante si cada arista del hexaedro mide a = 3 cm.

62 11. Cuerpos en el espacio

7 Calcula la superficie de la figura adjunta. ¿Cuántos planos de simetría encuentras?

h1 = 1 m

h2 = 2 m

r = 0,5 m

8 Imagina que tienes un cono de 5 m de altura cuya base tiene un radio de 2 m y que cortas su cúspide a 3 m de altura. Dibuja la figura resultante y calcula su superficie. Observa que puedes calcular la superficie lateral restando la superficie lateral del cono original menos la de la cúspide que has eliminado.

9 En el jardín de mi casa he instalado un telescopio. Quiero protegerlo con una cúpula como la que muestra la figura. Calcula su superficie exterior.

h=2m

1,5 m

D=4m

10 Dibuja la figura que se obtiene al cortar un cilindro mediante un plano que contiene a la recta que une los centros de sus bases. ¿Es este plano uno de los planos de simetría del cilindro? Calcula la superficie de cada figura resultante si el radio de la base es r = 2 m y la altura h = 5 m.

11. Cuerpos en el espacio

63

12

Coordenadas geográficas

■■ La Tierra, que tiene una forma aproximadamente esférica con un radio medio de 6 378 km, gira en torno a un eje que pasa por dos puntos llamados polos.

Eje terrestre Paralelo

Polo Norte

■■ Todos los planos que contienen al eje cortan a la superfi- Meridiano de cie terrestre en unas circunferencias llamadas meridia- Greenwich nos. Estas circunferencias son las de mayor longitud que Q pueden trazarse sobre la superficie terrestre, por lo que Ecuador también son círculos máximos.

Q'

■■ Todos los planos perpendiculares al eje cortan a la superficie terrestre en unas circunferencias llamadas paralelos.

El único de todos ellos que es un círculo máximo divide a la Tierra en dos mitades y se conoce como ecuador.

Polo Sur

◗Coordenadas geográficas ■■ Por cada punto de la superficie terrestre pasa un único meridiano y un único paralelo, por lo que podremos usarlos para localizar puntos sobre ella. Si tomamos como referencia el ecuador para los paralelos y (por razones históricas) el meridiano que pasa por la ciudad de Greenwich, cerca de Londres, para los meridianos, la posición de un punto sobre N la Tierra viene dada por dos cantidades angulares que llamamos 80° 80° 70° 70° 60° 60° latitud y longitud.

50° 50°

■■ La longitud es la medida angular del arco de paralelo que va desde el meridiano de Greenwich hasta el punto en cuestión.

También distinguimos entre longitud este (E) u oeste (O).

40° 30°

O

0°

39 latitu ° nort d e

20° 10°

40° 30°

o ian h rid wic Me reen G de

■■ La latitud es la medida angular del arco de meridiano que va desde el ecuador hasta el punto en cuestión. Hablaremos de latitud norte (N) o latitud sur (S) si el punto está respectivamente por encima o por debajo del ecuador.

20° 10° 0°

E

95° latitud

Ecua

dor

90°

80° 70°

10° 60° 50° 40° 30° 20°

0°

S

◗Husos horarios ■■ Cuando el Sol se encuentra sobre nuestro meridiano es mediodía en todas las localidades que estén sobre ese meridiano, pero no sobre otro cualquiera, aunque esté más próximo. Para evitar los problemas derivados de este hecho, se ha dividido la esfera terrestre en 24 husos horarios de 15°, el primero de ellos centrado en el meridiano de Greenwich, y se ha establecido que dentro de un mismo huso horario sea la misma hora.

◗Mapas ■■ Un mapa es una representación plana de toda o parte de la superficie terrestre. Debido a las distintas formas del plano y la esfera, esta representación siempre está aquejada de cierta distorsión, mayor o menor dependiendo del tipo de superficie plana sobre la que proyectemos.

Una de las proyecciones más populares es la proyección cilíndrica o de Mercator, en la que cada punto de la superficie terrestre se proyecta, desde el centro de la Tierra, sobre un punto de la superficie interna de un cilindro cuyo eje coincide con el terrestre y es tangente a ella en el ecuador.

64 12. Coordenadas geográficas

ACTIVIDADES RESUELTAS

B

1 Dos ciudades A y B se encuentran en el mismo meridiano y tienen latitudes λA = 25,25° N y λB = 48,63° N, respectivamente. Si el radio terrestre es de 6 378 km, ¿cuál es la distancia entre ambas ciudades?

λB – λA λB

A

λA

La distancia que separa ambas ciudades coincidirá con la longitud del arco de meridiano que las une. Tal como se ve en la figura, el ángulo correspondiente a dicho arco viene dado por la diferencia entre las longitudes, por tanto: RECUERDA λ = λB – λA = 48,63° – 25,25° = 23,28° Y el arco de circunferencia correspondiente a dicho ángulo es: 23,38 2πR = 2 602,6 km 360 Observa que si ambas ciudades no estuviesen situadas en el mismo meridiano, la distancia entre ambas no coincidiría con un arco de meridiano y no podríamos usar el razonamiento anterior.

I=

Una circunferencia que abarca un ángulo de 360° tiene una longitud de 2πR. Mediante una regla de tres, se deduce que un arco que abarca α grados tiene una longitud de: I=

2 Dibuja la esfera terrestre y sobre ella dos puntos situados en un mismo paralelo. Traza ahora el círculo máximo que pasa por ambos puntos e intenta averiguar si ambos arcos de circunferencia tienen la misma longitud. ¿Qué conclusión sacas?

α α 2πR = πR 360 180

A

B

Aunque es difícil de apreciar sobre la figura, la distancia entre los puntos A y B medida sobre el paralelo (línea discontinua) es mayor que la que mediríamos sobre el círculo máximo (en negro) que pasa por ellos.

Esto significa que la mínima distancia entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera es siempre la del arco de círculo máximo que pasa por ellos. Las trayectorias de mínima distancia entre dos puntos reciben en geometría el nombre de geodésicas.

3 Las coordenadas geográficas de dos puntos A y B son respectivamente 27° N 36° O y 40° N 40° E. a) Calcula la diferencia horaria entre ambas ciudades y la hora en cada una de ellas a mediodía en Greenwich. b) ¿Qué hora es en B cuando en A son las cinco de la tarde?

A(36° O)

Greenwich

–37,5° O –22,5° O –7,5° O 0 7,5° E

B (40° E) 22,5° E

37,5° E

52,5° E

a) La diferencia horaria entre dos ciudades depende exclusivamente de sus longitudes relativas.

Con ayuda de la figura adjunta podemos ver que el punto A está dos husos al oeste (más temprano) y B tres husos al este (más tarde), lo que significa que hay una diferencia de cinco husos y por tanto de cinco horas entre ambos. Es decir, a mediodía en Greenwich serán las 10 am en A y las 3 pm en B. b) Al estar B cinco husos al este será siempre cinco horas más tarde que en A, por tanto a las cinco de la tarde en A serán las diez de la noche en B.

12. Coordenadas geográficas

65

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Calcula la distancia sobre la superficie terrestre que separa los dos polos geográficos. Ten en cuenta que el radio terrestre es de 6 378 km.

5 Las ciudades de Macapá, en Brasil, y de Quito, en Ecuador, se encuentran prácticamente en el ecuador terrestre, siendo sus longitudes geográficas respectivas 51,07° O y 78,53° O. Teniendo en cuenta que el radio de la Tierra mide 6 378 km, calcula la distancia que separa ambas ciudades.

6 Las coordenadas geográficas de Castellón de la Plana son 39,99° N y 0,04° O, por lo que puede considerarse prácticamente en el meridiano de Greenwich. Si la latitud de la ciudad de Greenwich es 51,48° N, ¿podrías calcular la distancia que separa ambas ciudades?

7 Calcula la diferencia horaria entre las dos ciudades de la actividad 5.

8 Próximamente voy a hacer un viaje a Nueva York, cuyas coordenadas geográficas son 40,71° N y 74,01° O. Teniendo en cuenta que geográficamente España se encuentra en el huso horario de referencia, ¿cuando llegue tendré que adelantar o atrasar mi reloj? ¿Cuántas horas debo hacerlo?

66 12. Coordenadas geográficas

9 Calcula la distancia que abarca sobre el ecuador un huso horario.

10 Dos puntos de la superficie terrestre se encuentran en el paralelo 45 y su diferencia horaria es de 12 horas. Compara la distancia recorrida por un avión que viaja de uno a otro siguiendo el paralelo 45 con la recorrida por otro que viaja siguiendo un meridiano atravesando el polo norte.

Ayúdate del dibujo adjunto para poder calcular, mediante el teorema de Pitágoras, el radio r de la circunferencia que describe el paralelo 45, y ten en cuenta que el radio de la Tierra es R = 6 378 km.

A

P

r

B

R 45°

11 Un punto A de la superficie terrestre tiene por coordenadas 37° O 45° N y otro punto B, 20° E 45° N. Calcula la distancia que habría que recorrer para ir de uno a otro siguiendo el paralelo que les une.

Recuerda que el radio terrestre es de 6 378 km.

12 Considera los puntos A y B de la actividad anterior e imagina que hacemos el siguiente recorrido: de A a B siguiendo el paralelo 45, desde B hacia el sur hasta alcanzar el ecuador, giramos al oeste hasta alcanzar el meridiano de A y a continuación hacia el norte para completar nuestro recorrido en A. ¿Qué distancia total habremos recorrido?

12. Coordenadas geográficas

67

13

Funciones

◗Concepto de función ■■ Dados dos conjuntos, se llama correspondencia a cualquier relación entre elementos de uno y otro conjunto. Función es toda correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de modo que a cada elemento del primer conjunto (variable independiente, x) le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto (variable dependiente, y).

■■ Se llama dominio de una función al conjunto de valores de x para los que se puede obtener el correspondiente valor de y. Y se llama recorrido o imagen de una función al conjunto de valores que puede alcanzar y.

◗Formas de expresar una función ■■ Analítica. Mediante una expresión algebraica o fórmula en la que se indican las operaciones a realizar sobre la variable x para obtener el valor de la variable y : y = x + 1, o bien y =

x2 + 1 x–3

Son funciones expresadas en forma analítica. De forma genérica, se escribe: y = f(x) ■■ En forma de tablas. Se disponen parejas de valores x e y en una tabla.

x

–1

0

1

2

y

0

1

2

3

■■ Gráficamente. Se establecen dos ejes perpendiculares: uno horizontal o eje de abscisas, donde se sitúan los valores de x, y otro vertical o eje de ordenadas, donde se colocan los valores de y.

Luego se representan los puntos de coordenadas (x, y) de la función.

y

Eje de ordenadas

Por ejemplo, en el caso de la función y = x + 1 elegimos unos cuantos valores de x como –1, 0, 1 y 2, los sustituimos en la función, obteniendo los correspondientes valores de y:

y=x+1 1 x –1

0

1 Eje de abscisas

◗Comportamiento de una función ■■ Puntos de corte con los ejes. Una función corta al eje de ordenadas cuando su abscisa es x = 0, y al eje de abscisas cuando su ordenada es y = 0.

■■ Monotonía. Una función es creciente o decreciente en un intervalo [x1, x2] si la diferencia f(x2) – f(x1) es positiva o negativa, respectivamente.

■■ Extremos relativos. Una función alcanza un máximo relativo en x = a si f (a) > f (x) para cualquier valor de x próximo a a. Análogamente, si f (a) < f (x), alcanza un mínimo relativo en x = a.

■■ Extremos absolutos. Una función alcanza un máximo absoluto en x = a si f (a) > f (x) para x ≠ a.

Análogamente, si f (a) < f (x) para x ≠ a, alcanza un mínimo absoluto en x = a.

■■ Simetrías. Una función es par si f (x) = f (–x) y es impar si f (x) = –f (–x).

■■ Periodicidad. Una función es periódica, de periodo T, si se repite cada T unidades: f (x) = f (x + T) ■■ Continuidad. Una función es continua si su gráfica se puede representar de un solo trazo.

68 13. Funciones

13.1 Concepto de función ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Señala cuáles de las siguientes expresiones son funciones y cuáles no lo son: a) y = 2x – 1 b) y = x2 – 1 c) y2 = x Son funciones a) y b), ya que para cada valor de la variable x obtenemos un único valor de y. Sin embargo, la c) no es propiamente una función, ya que para el valor x = 1, por ejemplo, la y puede tomar los valores y = 1 e y = – 1, lo que contradice la definición de función. x2 + 1 x2 – 3x + 2

2 Determina el dominio de la siguiente función: y =

Según la definición, estamos buscando valores de x de manera que las operaciones indicadas por la función se puedan realizar. No podremos calcular el valor de y si el denominador se anula: ⎧ x1 = 1 3 ± √9 – 8 x2 – 3x + 2 = 0 ⎯→ x = ⎯→ ⎨ 2 ⎩ x2 = 2 Podemos asignar a x cualquier valor real, salvo los señalados: Dom f (x) = ℝ – {1, 2}.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Señala cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones continuas y cuáles no: y

a)

y

y

b)

x

x

y

y

x

y

c)

x

x

x

y

y

y

x

x

x

4 Determina el dominio de las siguientes funciones: a) y =

x–1 2x + 6

b) y =

|x – 3| (x – 1)(x + 6)

c) y =

2x – 3 x2 – 1

13.1. Concepto de función

69

13.2 Formas de expresar una función ACTIVIDAD RESUELTA 5 En el gráfico adjunto se recoge el número de clientes que están en un establecimiento en cada hora dentro de su horario de apertura. Expresa la función en forma de tabla y di cuál es el dominio y el recorrido. El hecho de que la función alcance un mismo valor y = 3 para tres valores diferentes de x, x1 = 14, x2 = 16, x3 = 17 y x4 = 22, ¿contradice la definición de función?

8

Horario de apertura

7 6 5 4 3 2 1 0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 N.° de personas

Recogemos los datos en la siguiente tabla: x

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

y

2

4

7

8

3

1

3

3

4

8

7

5

3

Dominio: conjunto de números naturales entre 10 y 22: Dom f (x) = {ℕ tales que 10 ≤ x ≤ 22}.

Recorrido: conjunto de números naturales entre 1 y 8: Rec f (x) = {ℕ tales que 1 ≤ y ≤ 8}.

No se contradice con la definición de función porque para cada valor de x perteneciente al dominio hay solo un valor de y. Lo que, por ejemplo, invalidaría el concepto de función sería que a las x = 12 horas hubiera a la vez y1 = 3 e y2 = 5 clientes.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 6 Representa la gráfica de la función asociada a la siguiente tabla en la que se recoge el perfil de la etapa de una vuelta ciclista y di cuál es el dominio y cuál es la imagen.

0

25

50

75

100

125

150

175

200

500

900

700

1 300

1 100

1 700

1 500

2 100

1 900

Kilómetros recorridos

Altura sobre el nivel del mar

Altura sobre el nivel del mar

70 13. Funciones

2 100 1 900 1 700 1 500 1 300 1 100 900 700 500 0

25

50 75 100 125 150 175 200 Kilómetros recorridos

7 Dadas las funciones: f (x) = 2x; g (x) = 2x + 1; h (x) = 2x + 2 a) Completa la siguiente tabla: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

f (x) g (x) h (x)

b) Traza las gráficas correspondientes a las tres funciones: 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

y

x 1 2 3 4 5

8 Expresa las siguientes funciones analíticamente: a) Área de un cuadrado en función del lado x cm. b) Perímetro de un rectángulo de base x cm si la altura es doble que la base. c) Área de un triángulo de 5 cm de altura en función de su base x cm. d) Longitud de una circunferencia de radio x cm. e) Área de un círculo de diámetro x cm. f) Longitud de una circunferencia de área x cm2.

9 Calcula el valor que toman las funciones de la actividad anterior para x = 2 cm.

13.2. Formas de expresar una función

71

13.3 Comportamiento de una función ACTIVIDADES RESUELTAS 10 A partir de la gráfica siguiente: a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Expresa las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. c) Indica los puntos de corte con los ejes.

y

8 7 6 5 4 3 2 1

x

0

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22

a) La función es creciente en los intervalos (10, 13), (15, 16) y (17, 19) y es decreciente en los intervalos (13, 15) y (19, 22). En el intervalo [16, 17] la función permanece constante. b) La función alcanza máximos relativos en (13, 8) y (19, 8). Tiene un mínimo en (15, 1). c) No tiene puntos de corte con los ejes.

11 Determina la simetría de las siguientes funciones: 2x a) f (x) = 2 b) f (x) = x2 + 2 c) f (x) = x2 + x x +1 a) f (–x) =

d) f (x) = x3 + x

2(–x) –2x 2x = 2 =– 2 ⇒ f (–x) = –f (x) ⎯→ Es una función impar.

2 (–x) + 1 x +1 x +1

b) f (–x) = (–x)2 + 2 = x2 + 2 ⇒ f (–x) = f (x) ⎯→ Es una función par.

⎧ f (–x) ≠ f (x) c) f (–x) = (–x)2 + (–x) = x2 – x ⇒ ⎨ ⎯→ No es ni par ni impar. ⎩ f (–x) ≠ –f (x) d) f (–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = –(x3 + x) ⇒ f (–x) = –f (x) ⎯→ Es una función impar.

12 Determina el periodo y los puntos de discontinuidad de la función: y

1 x –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

El periodo es T = 2 ya que cada 2 unidades se repite el valor de la función: f(x) = f(x + 2).

Es discontinua en x = –4, –2, 0, 2, 4 y 6 porque se interrumpe el trazado de la gráfica.

72 13. Funciones

ACTIVIDADES PROPUESTAS 13 Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 – 4

b) f (x) = x2 + x

c) f (x) =

2x x2 + 1

14 Dada la función y = x3 – x, cuya gráfica se adjunta, completa la tabla y determina si es par o impar: y

1 x

y

–1 –0,75

y = x3 – x

–0,5 –0,25

x 0

–1

0

1

0,25 0,5 0,75 1 –1

15 Dadas las siguientes funciones, señala si son periódicas, crecientes en todo su dominio, no cortan al eje de ordenadas, discontinuas y tienen mínimo relativo: a)

y

y

b)

y

x

x

x

y

y

c)

y

x

x

x

y

y

y

x

x

x

13.3. Comportamiento de una función

73

14

Función afín y cuadrática

◗Funciones constante, lineal y afín ■■ Recibe el nombre de función afín toda función polinómica de primer grado del tipo: y = ax + b Donde

a es la pendiente y b la ordenada en el origen. Si la pendiente es positiva, la función es creciente y, en caso contrario, decreciente. Su gráfica es una recta.

Si la pendiente es nula, la recta es horizontal y se llama función constante.

Si la ordenada en el origen es nula, la recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal. Aquí la pendiente se llama también factor de proporcionalidad.

Función constante: y = 2

Función lineal: y = 2x

Función afín: y = x + 2

x

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

2

2

2

2

2

y

–4

–2

0

2

4

y

0

1

2

3

4

4 3 2 1

y

2 1

x –2

–1

0

1

2

y

4

y

3 x

–2 –1 0 1 2 –1 –2 –3 –4

2 1 x 0

–1

–2

1

2

◗Ecuaciones de la recta ■■ Explícita: es la expresión y = ax + b ya conocida.

■■ General o implícita: Ax + By + C = 0 ■■ Punto-pendiente: y – y0 = m (x – x0) con P (x0, y0) un punto de la recta. y – y1 ■■ Recta que pasa por dos puntos: P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2): y – y1 = 2 (x – x1) y x2 – x1

◗Función cuadrática

Vértice: V (2, –1) y = x2 – 4x + 3

■■ Función cuadrática es toda función polinómica de segundo grado del tipo: 4

2

y = ax + bx + c

3

Su gráfica es una parábola en forma de U si a > 0 o de U invertida si a < 0 y cuyo vértice es el punto de abscisa Vx y de ordenada Vy, donde: Vx =

2 1

–b ; Vy = a • Vx2 + b • Vx + c 2a

x 0

–1 1

74 14. Función afín y cuadrática

y

1

2

3

4

14.1 Funciones constante, lineal y afín ACTIVIDAD RESUELTA 1 A partir de las tablas siguientes, escribe la correspondiente expresión analítica y di si se trata, en cada caso, de una función constante, lineal o afín: a) x –2 y

–1

–1 –0,5

0

1

2

b) x –2

–1

0

1

2

c) x –2

–1

0

1

2

0

0,5

1

y

1

1

1

1

1

y

–1

0

1

2

3

a) Se puede apreciar que los valores de x e y son proporcionales: y = mx ⎯→ m =

y –1 –0,5 1 1 = = = ... = ⎯→ y = x x –2 –1 2 2

1 x.

2 b) A simple vista se observa que y = 1 es constante para cualquier valor de x.

La función es lineal: f (x) =

La función es constante: f (x) = 1. c) Como no es ni constante ni lineal, debe ser una función afín. Planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante de forzar que dos puntos cualesquiera, en este caso A(–2, –1) y B(–1, 0), verifiquen la ecuación y = mx + n:

⎧ –1 = m (–2) + n ⎧ n = 2m – 1 y = mx + n ⎯→ ⎨ ⎯→ ⎨ ⎯→ m = 1; n = 1 ⎯→ y = x + 1 ⎩ 0 = m (–1) + n ⎩ n = m La función es afín: f (x) = x + 1.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2 Dibuja, utilizando colores diferentes, la gráfica de las siguientes funciones afines. Para ello, construye previamente las tablas de valores. a) y = 2x + 3 1 b) y = – x + 1 2 c) y = x – 2 y

x 0

14.1. Funciones constante, lineal y afín

75

3 Una empresa farmacéutica contrata un servicio de transporte para distribuir sus productos. El importe del contrato asciende a una cantidad fija de 1 000 € mensuales más 3 € por cada servicio efectuado. a) Expresa el coste mensual ( y) del contrato en función del número de servicios (x). b) Construye una tabla de valores desde 500 hasta 1 000 servicios, de 100 en 100. c) Traza la gráfica de la función. y

x

y

500 600 700 800 900 1 000

Importe mensual en euros

4 000 3 700 3 400 3 100 2 800 2 500 x 500 600 700 800 900 1 000 Número de servicios

14.2 Ecuaciones de la recta ACTIVIDAD RESUELTA 4 Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, –1) y B (5, 2) en forma explícita, general y punto-pendiente: Partimos de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: y – y1 =

y2 – y1 2 – (–1) 3 (x – x1) ⎯→ y – (–1) = (x – 4) ⎯→ y + 1 = (x – 4) x2 – x1 5–4 1

La ecuación punto-pendiente es: y + 1 = 3(x – 4).

Despejando y se obtiene la ecuación en forma explícita: y = 3x – 13.

Por último, igualando a cero obtenemos la ecuación general: 3x – y – 13 = 0.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 5 Halla las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta de ecuación 2x + 3y – 1 = 0 e indica cuál es su pendiente y la ordenada en el origen.

76 14. Función afín y cuadrática

6 Escribe y traza la gráfica de las ecuaciones de las rectas siguientes en forma general y explícita: a) Pendiente a = 2; pasa por el punto P (3, 5). b) Pasa por el punto P (–5, 2) y tiene pendiente a = –1/2. c) Pasa por el punto P (2, –3) y su ordenada en el origen es b = 3. d) Pasa por los puntos P1 (–5, 5) y P2 (4, –1). e) Su pendiente es a = –1 y su ordenada en el origen es b = 3. f) Es horizontal y su ordenada en el origen es b = 2.

14.3 Función cuadrática ACTIVIDAD RESUELTA 7 Dada la ecuación y = –x2 + 2x + 1, haz una tabla de valores, halla el vértice y traza la gráfica: Hallamos Vx y hacemos la tabla de valores, dándole a x hasta dos unidades a izquierda y derecha de Vx. Representamos los puntos y trazamos la gráfica: 4

y

3

Vértice: b 2 Vx = – = – = 1 2a –2 Vy = –(1)2 + 2 (1) + 1 = 2 V (1, 2)

2 1 x –4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

1 x

–1

0

1

2

3

y

–2

1

2

1

–2

2 3 4

ACTIVIDAD PROPUESTA 8 Haz una tabla de valores, halla los vértices y traza las gráficas de las parábolas siguientes: a) y = x2 – 2x + 3 b) y = x2 – 4x + 1 c) y = –x2 – 2x + 3

14.3. Función cuadrática

77

15

Estadística

◗Estadística ■■ La estadística descriptiva es la parte de las matemáticas que se encarga de recoger, ordenar, procesar, resumir y presentar los datos característicos de los individuos de un colectivo.

■■ Población es el conjunto de todos los individuos.

■■ Una muestra es cualquier parte de la población.

■■ Los datos o valores que se estudian pueden referirse a una propiedad o cualidad de los individuos, y se recogen en una variable que recibe el nombre de variable estadística.

■■ La variable estadística puede ser cuantitativa, si recoge valores (puntuación en un examen), o cualitativa, si recoge modalidades (color de los ojos).

■■ La variable cuantitativa, a su vez, puede ser discreta, cuando solo toma algunos valores generalmente enteros (edad), o continua, cuando entre dos valores dados cualquier valor intermedio es posible (estatura).

■■ Habitualmente se confecciona una tabla de frecuencias en la que se recogen los valores y sus frecuencias correspondientes. Si la variable es continua, se suelen agrupar los valores en intervalos.

■■ Las representaciones gráficas más habituales de las variables estadísticas son el diagrama de barras para variables discretas y el histograma para variables continuas. Otras representaciones muy utilizadas son los polígonos de frecuencias, los diagramas de sectores y los pictogramas.

◗Parámetros estadísticos ■■ Los parámetros estadísticos son valores que se obtienen a partir de los diferentes valores que toma la variable estadística y definen de manera significativa las características principales de la población. Los más importantes son: Medidas

de centralización y de posición: •• Media aritmética: es la suma de los valores que toma la variable estadística dividida entre el número de términos. x1 + x2 + ... + xn N

x=

•• Mediana: es el valor que ocupa el puesto central en la serie de valores ordenados de menor a mayor.

•• Moda: es el valor de la variable que con mayor frecuencia se repite.

Medidas

de dispersión: •• Rango o recorrido: es la diferencia entre los valores máximo y mínimo que puede alcanzar la variable.

•• Varianza: resulta de calcular la media aritmética de los cuadrados menos el cuadrado de la media aritmética. x12 + x22 + ... + xn2 – x2 N •• Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza y da una idea clara de si los datos están agrupados o dispersos en torno a la media. σ=

78 15. Estadística

√x

2 1

+ x22 + ... + xn2 – x2 N

ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Hemos anotado las edades de los 25 alumnos de una clase de 3.º de la ESO:

14 14 15 14 15

14 14 14 16 14

15 16 14 14 15

14 15 15 14 14

14 15 16 14 14

RECUERDA

La media aritmética se designa con el símbolo x.

Para la desviación típica se usa la letra griega σ (sigma).

a) Construye la tabla de frecuencias y representa el diagrama de barras correspondiente. b) Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica. a) La tabla de frecuencias se construye colocando en la columna de la izquierda los valores de la variable estadística (edad) y en la de la derecha las respectivas frecuencias. Para representar el diagrama de barras, situamos en la base de cada barra el valor de la variable y le damos la altura que indique su frecuencia: 16 14

Edad

Frecuencia

14

15

15

7

16

3

Frecuencia

12 10 8 6 4 2 0

15 Edad

16

3 sumandos

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

b) Media =

7 sumandos

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

15 sumandos

14

14 • 15 + 15 • 7 + 16 • 3 14 + 14 + ... + 15 + 15 + ... + 16 + 16 +... = = 14,52 25 25 2

7 sumandos

2

2

3 sumandos

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Varianza =

2

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

15 sumandos

2

14 + 14 + ... + 15 + 15 + ... + 16 + 162 +...

– 14,522 = 0,49 25 Desviación típica: σ = √Varianza = √0,49 = 0,70

2 Completa la tabla de frecuencias siguiente para que la media aritmética sea x = 16,1: Valor Frecuencia

15

16

17

18

9

?

7

2

En la expresión de la media aritmética: x=

15 • 9 + 16 • x + 17 • 7 + 18 • 2 135 + 16 • x + 119 + 36 ⎯→ 16,1 = 18 + x 18 + x

despejamos x: 16,1(18 + x) = 135 + 16 • x + 119 + 36 ⎯→ 289,8 + 16,1 • x = 290 + 16 • x 16,1 • x – 16 • x = 290 – 289,8 ⎯→ 0,1 • x = 0,2 ⎯→ x = 2

15. Estadística

79

3 Se ha efectuado un estudio pormenorizado de las calificaciones de matemáticas que han obtenido en las pruebas de acceso a la universidad los 60 alumnos de un centro. Los resultados fueron los siguientes: 2,2 5,3 6,6 7,7 8,5

3,5 5,4 6,6 7,8 8,6

3,7 5,7 6,7 7,9 8,8

3,8 5,9 6,7 7,9 8,8

4,0 5,9 6,7 7,9 8,9

4,2 6,1 6,7 8,0 8,9

4,6 6,3 6,7 8,1 9,0

4,7 6,3 6,9 8,1 9,0

4,8 6,4 6,9 8,2 9,3

4,9 6,4 7,2 8,2 9,5

5,0 6,5 7,4 8,2 9,5

5,0 6,5 7,7 8,3 9,7

a) Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. b) Divide las calificaciones en intervalos de una unidad, construye la tabla de frecuencias y dibuja el histograma correspondiente. c) Calcula el rango, la varianza y la desviación típica. a) La moda es el valor que con mayor frecuencia se repite; en este caso: moda = 6,7 Los datos se encuentran ordenados de menor a mayor. La mediana es el valor que ocupa el puesto central; en este caso, el que está entre el puesto 30° y 31°. Es decir, un valor entre 6,7 y 6,7. Por tanto: mediana = 6,7 Si se hubiera alcanzado en estas posiciones diferente valor, habríamos puesto la media aritmética de ambos. ara calcular la media aritmética se suman todos los valores y se divide entre el número total P de valores: Media: x = b) Calificación Frecuencia

2,2 + 3,5 +...+ 9,5 + 9,7 410,7 = = 6,85 60 60

[2-3)

[3-4)

[4-5)

[5-6)

[6-7)

[7-8)

[8-9)

[9-10)

1

3

6

7

16

8

13

6

[8-9)

[9-10)

Frecuencia

20 15 10 5 0

[2-3)

[3-4)

[4-5)

[5-6) [6-7) Calificaciones

[7-8)

c) El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores: rango = 9,7 – 2,2 = 7,5 Varianza =

2,22 + 3,52 + ... + 9,52 + 9,72 2 989,99 – 6,852 = – 6,852 = 2,91 60 60

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza: Desviación típica: σ = √Varianza = √2,91 = 1,71

80 15. Estadística

ACTIVIDADES PROPUESTAS 4 Ordena las tres series estadísticas siguientes de menos a más dispersas: Serie A

2

4

7

8

9

Serie B

2

4

6

8

9

Serie C

3

3

6

8

9

RECUERDA

La medida de la dispersión de una serie estadística viene dada por la desviación típica.

5 Las edades de los 12 jugadores que componen la plantilla de un equipo de baloncesto profesional son: 21 23 24 24 26 26 26 27 29 30 32 33 a) Calcula la media y la desviación típica. b) ¿Cómo disminuye más la media, prescindiendo del de mayor edad o incorporando un nuevo jugador de 20 años? c) ¿Cómo disminuye más la desviación típica, prescindiendo del de mayor edad o incorporando un nuevo jugador de 20 años?

6 Hemos preguntado a los alumnos de una clase el número de hermanos que hay en sus familias, y el resultado se refleja en el siguiente diagrama de barras. Rellena, a partir de él, la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica: 12

Frecuencia

10 N.º de hermanos

8

Frecuencia

6 4 2 0

1

2

3 4 Número de hermanos

5

15. Estadística

81

7 Se ha obtenido el siguiente diagrama de sectores al efectuar un estudio sobre el medio de transporte que utilizan los alumnos de un centro:

15 % Coche Ruta Otros medios

40 %

45 %

a) Completa la tabla siguiente sabiendo que el número total de alumnos es de 480: N.º alumnos

%

480

100

Ruta Coche Otros medios Total

b) Tras una mejora en el servicio de ruta, un 75 % de los alumnos que venían en coche se han acogido al servicio de ruta. ¿Cómo quedan distribuidos ahora los porcentajes?

8 En un estudio sobre distribución del tiempo de los estudiantes de 3.º de la ESO se han obtenido los siguientes resultados: Actividad

N.º horas

Descanso

7,2

Alimentación

2,4

Estudio

9,6

Otras actividades

4,8

Total

24

%

Completa la columna de los porcentajes y dibuja el correspondiente diagrama de sectores.

82 15. Estadística

9 En la siguiente tabla se recoge la edad de los 10 primeros clasificados en una maratón: Edad

N.º de corredores

25

1

26

1

27

1

28

1

30

3

33

1

35

1

36

1

a) Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. b) Divide las edades en los intervalos [22–27), [27–32) y [32–37). c) Dibuja el histograma correspondiente.

10 Un científico ha medido la longitud de 15 ejemplares de cierta especie de atún adulto, obteniendo los siguientes valores expresados en centímetros: 181 161 167 179 184 177 173 178 164 174 165 169 171 183 166 a) Ordena la serie y calcula la media aritmética y la mediana. b) Calcula el recorrido y la desviación típica. c) Agrupa en los intervalos [160–170), [170–180) y [180–190) y construye la tabla de frecuencias. d) Dibuja el correspondiente histograma.

15. Estadística

83

16

Probabilidad

◗Experimentos aleatorios. Sucesos ■■ Un experimento es aleatorio si su resultado no se puede conocer con antelación. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda, o de un dado, o sacar una carta de una baraja.

■■ El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Así, en el lanzamiento de una moneda el espacio muestral viene dado por el conjunto E = {Cara, Cruz}. En el lanzamiento de un dado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

■■ Suceso es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. En el caso del lanzamiento de un dado, un suceso puede ser obtener un número par A = {2, 4, 6}, o un número primo B = {2, 3, 5}.

■■ Se llama suceso seguro al que siempre se verifica en un experimento aleatorio y coincide con el espacio muestral.

■■ Se llama suceso imposible al suceso que nunca se verifica en un experimento aleatorio y se representa con el conjunto vacío (∅).

■■ Dos sucesos son compatibles cuando poseen algún elemento en común; en caso contrario, son incompatibles.

■■ La unión de dos sucesos A y B es otro suceso, A ∪ B, cuyos elementos son los elementos que pertenecen solo a A, solo a B o a ambos a la vez.

■■ La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso, A ∩ B, cuyos elementos son los que pertenecen a la vez a A y a B. ■■ Dos sucesos son contrarios si su unión es el suceso seguro y su intersección el conjunto vacío.

El suceso contrario del suceso A se representa como A.

◗Probabilidad. Cálculo de probabilidades ■■ Se define la probabilidad de un suceso A como una cantidad P(A) tal que: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Es decir, es una cantidad comprendida entre cero y uno.

P(E)

= 1. La probabilidad del suceso seguro es uno.

P(∅)

= 0. La probabilidad del suceso imposible es cero.

Si dos sucesos A y B son incompatibles, la probabilidad de que sucedan ambos coincide con la suma de las probabilidades de cada uno de ellos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ■■ En el caso de que el espacio muestral conste de sucesos elementales que tengan todos la misma oportunidad de ocurrir, se aplica la regla de Laplace que se define por el corriente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

P(A) =

N.º de casos favorables N.º de casos posibles

Por ejemplo: Para hallar la probabilidad de obtener un múltiplo de tres al lanzar un dado hay que considerar el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que contiene todos los casos posibles, y el suceso, que contiene los casos favorables de ser múltiplo de tres, T = {3, 6}: P(T) =

84 16. Probabilidad

N.º de casos favorables 2 = = 0,3333 N.º de casos posibles 6

16.1 Experimentos aleatorios. Sucesos ACTIVIDADES RESUELTAS 1 Escribe el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar b) Lanzar c) Lanzar d) Lanzar

un dado y anotar la cara superior. tres veces una moneda y anotar la secuencia de resultados. tres veces una moneda y anotar la cantidad de caras. un dado dos veces y anotar su suma.

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) E = {(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C), (C, X, X), (X, C, X), (X, X, C), (X, X, X)} c) E = {0, 1, 2, 3} d) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 2 En el experimento aleatorio de lanzar un dado y anotar el resultado se consideran los sucesos: A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5, 6} y D = {4, 6}. Halla los siguientes sucesos: a) A ∪ B

b) A ∩ C

c) A ∪ B ∩ C

d) B ∩ D

Aplicamos la definición de las operaciones unión e intersección de sucesos y obtenemos: a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5,} b) A ∩ C = {2} c) (A ∪ B) ∩ C = {2, 3, 5} d) B ∩ D = ∅

ACTIVIDADES PROPUESTAS 3 Se consideran los sucesos A = {1, 2, 3}, B = {3, 5, 6} y C = {1, 4, 6} en el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado. Halla los sucesos siguientes: a) A ∪ B b) A ∩ C c) A d) B ∩ C e) B ∩ C

4 Comprueba, con los sucesos A, B y C de la actividad anterior, si se verifican o no las siguientes igualdades: a) A ∪ (A ∩ B) = A b) A ∪ C = A ∩ C

16.1. Experimentos aleatorios. Sucesos

85

16.2 Probabilidad. Cálculo de probabilidades ACTIVIDAD RESUELTA 5 Calcula la probabilidad de que, al lanzar una moneda tres veces, en total salgan dos caras.

Construimos el espacio muestral, anotando la secuencia de resultados posibles: E = {(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C), (C, X, X), (X, C, X), (X, X, C), (X, X, X)} Ahora construimos el suceso favorable, es decir, el que contiene dos caras: A = {(C, C, X), (C, X, C), (X, C, C)} Aplicando la regla de Laplace: P(salir dos caras) =

N.º de casos favorables 3 = = 0,375 N.º de casos posibles 8

Se sobreentiende que el número de casos favorables y posibles coincide con la cantidad de elementos (el ordinal) del suceso A y del espacio muestral E. Esto es posible siempre que los elementos del espacio muestral tengan la misma oportunidad de ocurrir. Para entenderlo construimos el espacio muestral con los elementos «número de caras en tres lanzamientos»: E = {0, 1, 2, 3} El suceso favorable «salir dos caras» es: A = {2} Pero ahora: P(salir dos caras) =

N.º de casos favorables 1 ≠ = 0,25 N.º de casos posibles 4

Y esto es así porque los sucesos salir 0, 1, 2 o 3 caras no son igualmente probables.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 6 En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados y anotar las puntuaciones y el orden en que aparecen se pide: a) Escribe el espacio muestral. b) Escribe el suceso A = «la suma de las puntuaciones es 7» y calcula su probabilidad. c) Escribe el suceso B = «la diferencia de las puntuaciones es menor que 3» y calcula su probabilidad.

OBSERVA

El espacio muestral tiene 36 elementos.

El resultado (1, 2) significa que en el primero de los dos lanzamientos salió un 1 y en el segundo, un 2. Así pues: (1, 2) ≠ (2, 1)

7 En una clase hay 12 chicos y 13 chicas. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

86 16. Probabilidad

8 En el teclado de un teléfono móvil apretamos una tecla al azar. Calcula la probabilidad de los sucesos: a) La tecla no tiene número. b) Tiene alguna letra. c) Tiene un número impar.

1

2 abc

3 def

4 ghi

5 jkl

6 mno

7 pqrs

8 tuv

9 wzyz

*

0

#

9 Un alumno ha estudiado 15 de las 20 preguntas que tenía que preparar. Si le hacen una pregunta al azar, ¿qué probabilidad tiene de sabérsela?

10 De una baraja española se extrae una carta al azar. ¿Es más probable sacar un oro o una figura? ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea oro y figura a la vez?

11 Se lanzan dos monedas y se anotan, por orden, sus resultados. Calcula: a) El espacio muestral. b) La probabilidad de que el primer resultado sea cara. c) La probabilidad de que los dos resultados coincidan. d) La probabilidad de obtener al menos una cara. e) La probabilidad de obtener como mucho una cara. f) La probabilidad de obtener exactamente una cara.

16.2. Probabilidad. Cálculo de probabilidades

87

Competencia matemática 1 Una familia ha decidido hacer una reforma en su casa y entre otras cosas han pensado cambiar los azulejos de la cocina. Para alicatar las cuatro paredes, que son iguales, han visto dos tipos de azulejo de diseño moderno y funcional que les gusta. Los modelos, las dimensiones y el importe por unidad están en la siguiente tabla: Modelo

Ancho (cm)

Alto (cm)

Precio (€)

Niza

28

33

2,35

Módena

44

24

2,60

Están casi decididos por el primer tipo de azulejos porque pueden cubrir cada una de las cuatro paredes sin necesidad de tener que partir ningún azulejo, ya que encaja con una cantidad entera de ellos; pero después se han dado cuenta de que sucede lo mismo si colocan los azulejos del segundo tipo. a) ¿Cuál es la superficie total que hay que alicatar? (Date cuenta de que son cuatro paredes y que cada una de ellas debe tener, tanto de ancho como de alto, el mínimo común múltiplo de las correspondientes dimensiones de los azulejos). b) Para cubrir las cuatro paredes, ¿cuántos azulejos necesitarían si eligen el modelo «Niza»? ¿Y si eligen el modelo «Módena»? c) ¿A cuánto ascenderá el importe en cada caso?

2 Una vez terminada la reforma, la empresa encargada de llevarla a cabo ha presentado la factura: Concepto

Importe (€)

Permisos, licencias y gastos de gestión Materiales de construcción Mano de obra IVA (16 %) TOTAL

9 280

Rellena la columna con el importe de cada partida, sabiendo que la mano de obra supone un 50 % del presupuesto antes de impuestos y los materiales un 31,25 % también antes de impuestos, siendo el resto gastos de licencias y gestión.

88 Competencia matemática

3 Para prevenir las inundaciones que se suceden periódicamente en los meses de agosto y septiembre, el ayuntamiento de un pueblo del litoral ha construido varios depósitos de gran capacidad. A pleno rendimiento —con las compuertas abiertas— cada depósito es capaz de recibir un caudal de 8 hectolitros y tres cuartos por minuto. Por motivos de seguridad, y en el mismo tiempo, se deben evacuar 3 hectolitros y cinco sextos por minuto. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿En cuántos hectolitros se incrementa el agua almacenada en 4 horas y media? b) Si la capacidad total de cada depósito es de 1 770 hectolitros, ¿en cuántas horas comenzará a rebosar, si inicialmente estaba vacío?

plantea el siguiente

«A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito, los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron con la misma rapidez y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?»

20 codos

xi

30 codos

4 Un matemático árabe del siglo problema en una de sus obras:

x

50 – x

Competencia matemática

89

5 En un vivero hay una fila de 200 tulipanes, separados 30 cm uno de otro. Un operario acaba de preparar un parterre, donde debe transplantarlos, que está a 10 m del primer tulipán. ¿Qué distancia recorrerá el operario para completar su faena si debe transplantarlos uno a uno?

6 Los sábados por la mañana, en la avenida del Comercio, ponen un mercadillo. Este sábado he ido con Paula. He comprado un CD y un libro y me han cobrado 10 €. Paula ha comprado el mismo CD y un bolígrafo, y le han cobrado 8 €. Queremos saber cuánto cuesta cada artículo sabiendo que de los tres el CD es el más caro y el bolígrafo el más barato. Ten en cuenta que solo se manejan en el puesto del mercadillo cantidades enteras de euros. ¿Hay más de una solución?

7 El patrón del velero que ganó la última regata anual entre Lisboa y Buenos Aires explicó tras finalizar la competición que, debido a las condiciones del viento, se había visto obligado a navegar hacia el oeste siguiendo el paralelo 38° 43' N hasta alcanzar el meridiano 20° O, tras lo cual viró al sur hasta el paralelo 34° 36' S, donde viró de nuevo al oeste hasta alcanzar la ciudad de Buenos Aires.

Si las coordenadas geográficas de Lisboa son 38° 43' N 9° 8' O, las de Buenos Aires 34° 36' S 58° 23' O y el radio terrestre es de 6 378 km, ¿qué distancia recorrió el velero en su travesía norte-sur?

90 Competencia matemática

8 Una empresa de reparto a domicilio necesita comprar un vehículo. En el mercado hay dos modelos que se ajustan a sus necesidades. El primero tiene un coste de 22 500 € y consume 6 L de combustible cada 100 km, mientras que el segundo modelo cuesta 21 000 € y consume 8 L cada 100 km.

El precio del combustible es de 1 € cada litro. Se prevé recorrer 25 000 km cada año. a) Establece para cada modelo una función que exprese el importe total y de cada vehículo (coste + consumo), en función del tiempo en años de vida del mismo, x. Represéntalas gráficamente en el sistema de ejes que aparece a continuación: y 29 000 28 000

Importe en euros

27 000 26 000 25 000 24 000 23 000 22 000 21 000

x 0

1

2 Tiempo en años

3

4

b) ¿A partir de qué tiempo el primer modelo es más rentable que el segundo?

9 En clase nos han comentado que hay una estrecha relación entre la estadística y el cálculo de probabilidades y hemos querido comprobarlo con un experimento. Para ello hemos lanzado una pareja de dados 108 veces y hemos anotado la suma obtenida. La profesora dijo que las frecuencias experimentales (estadística) deberían ser cercanas a las frecuencias que teóricamente cabría esperar (probabilidad). Los resultados aparecen en la tabla adjunta: Suma

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Frecuencia experimental

4

6

7

11

14

17

15

15

10

7

2

Frecuencia teórica

3

6

9

12

15

18

15

12

9

6

3

a) Calcula la media y la desviación típica usando una y otra frecuencia y compara los resultados. b) ¿Cómo obtuvo la profesora las frecuencias teóricas?

Competencia matemática

91

Autoevaluación

1 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción reducida:

2 Una fuente tiene dos grifos que, por separado, tardan en llenar un depósito 2 horas el primero y 1 hora y tres cuartos el segundo. ¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos juntos en llenar el depó­sito?

3 El cuarto término de una progresión es a4 = 4. Halla la suma de los seis primeros términos, S6, si la progresión es: a) Aritmética de diferencia d = –2,5. b) Geométrica de razón r = 2.

4 Halla el cociente y el resto de dividir 3x3 – 3x2 – x + 1 entre 3x2 – 1.

5 Halla los valores de m y n para que el polinomio: P(x) = x3 + mx2 + 3x + n alcance los valores numéricos 2 y 4 para x = 0 y para x = 2, respectivamente.

92 Autoevaluación

2 6 En un examen, un alumno ha tardado del tiempo que duraba el examen en resolver los cinco 5 5 5 primeros problemas, del tiempo restante en resolver los cinco siguientes y del resto en resolver 9 6 los cinco últimos. Si le han sobrado 4 minutos, ¿cuánto duraba el examen?

7 Resuelve la ecuación 3x2 – 17x – 28 = 0.

8 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente:

⎧ 7x – 2y = 1 ⎨ ⎩ 11x – 3y = 4

9 Representa en la recta real los números 0, 1, 2 y 3. Ayudándote del teorema de Tales divide ahora 2 12 cada unidad en cinco partes iguales y representa los números y .

5 5

Autoevaluación

93

10 ¿Qué superficie de plástico necesitamos como mínimo para envolver un queso con forma de cilindro si el radio de su base es de 12 cm y mide 11 cm de alto?

11 La manzana del edificio donde vivo es un rectángulo de 25 × 50 m. ¿Qué distancia me ahorraría al andar de una esquina a la opuesta si en lugar de rodearla pudiese atravesar el edificio y andar en diagonal?

12 Calcula la diferencia horaria real entre Lisboa y Buenos Aires sabiendo que sus coordenadas geográficas son 38° 43' N 9° 8' O y 34° 36' S 58° 23' O, respectivamente.

13 La siguiente gráfica indica la altura a la que se encuentra una cabina de una noria de feria a lo largo de un minuto durante su funcionamiento:

Altura (metros)

10

5

0

10

20

30 40 Tiempo (segundos)

a) Indica su dominio y su recorrido. b) Si se trata de una función periódica, indica su periodo. c) Determina sus intervalos de crecimiento.

94 Autoevaluación

50

60

14 Un vehículo sale de una ciudad a las 11:00 a.m. con una velocidad de 40 km/h. Media hora después sale un segundo vehículo en el mismo sentido con una velocidad de 60 km/h. a) Haz para cada vehículo una tabla que exprese su distancia a la ciudad en función de la hora, entre las 11:00 h y las 2:00 h. b) Representa en estos ejes el progreso de ambos vehículos: y 140

Kilómetros

120 100 80 60 40 20 x 11:00 12:00 1:00 2:00 Tiempo

15 Calcula la media aritmética y la desviación típica de la siguiente distribución: Valor

4

6

8

10

12

Frecuencia

10

15

20

10

5

16 Se realiza el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces y anotar la secuencia de resultados. Contesta a las siguientes preguntas: a) Escribe el espacio muestral. b) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamientos al menos aparezca una cruz. c) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamientos salgan al menos dos resultados seguidos iguales.

Autoevaluación

95

Dirección del proyecto editorial Jesús Hinojal Autores José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach Coordinación del proyecto editorial Estrella Marinas Coordinación de preimpresión Alberto García Coordinación de diseño Cristóbal Gutiérrez

© del texto: José Ángel Fernández-Cano López y Fernando Arce Llach, 2016 © de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2020 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid ISBN: 978-84-696-1202-6 Depósito legal: M-6375-2016 Printed in Spain Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 917 021 970 / 932 720 447).

3 1 ESO

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ESO

2 ESO

ESO

ESO

ESO

3 3 4 4

OBJETIVO APROBAR MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

ESO

ESO

3