Global Thinkers: Matemáticas 1 ESO De Cerca (sample)

sample

Matemáticas

1 ESO

Andalucía

DEDECERCA CERCA GLO BAL

THINKERS

Índice 1. Los números naturales ................... 13 Vocabulario • Sistemas de numeración • Algunas técnicas de conteo • Los números grandes • Aproximación de números naturales • Operaciones básicas con números naturales • Expresiones con operaciones combinadas

2. Potencias y raíces ............................. 17 Vocabulario • Potencias • Potencias de base 10. Usos • Operaciones con potencias • Raíz cuadrada

3. Divisibilidad .......................................... 25 Vocabulario • La relación de divisibilidad • Los múltiplos y los divisores de un número • Números primos y compuestos • Descomposición de un número en sus factores primos • Mínimo común múltiplo • Máximo común divisor

4. Los números enteros ...................... 33 Vocabulario • Números positivos y negativos • El conjunto de los números enteros • Sumas y restas de números enteros • Sumas y restas con paréntesis • Multiplicación y división de números enteros • Operaciones combinadas • Potencias y raíces de números enteros

5. Los números decimales ................. 41 Vocabulario • Estructura de los números decimales • Suma, resta y multiplicación de números decimales • División de números decimales • Raíz cuadrada y números decimales

6. El sistema métrico decimal ....... 49 Vocabulario • Las magnitudes y su medida • El sistema métrico decimal • Unidades de medida en las magnitudes básicas • Cambios de unidad • Cantidades complejas e incomplejas • Medida de la superficie

7. Las fracciones ..................................... 57 Vocabulario • El significado de las fracciones • Relación entre fracciones y decimales • Fracciones equivalentes • Algunos problemas con fracciones

8. Operaciones con fracciones .... 65 Vocabulario • Reducción a común denominador • Suma y resta de fracciones • Multiplicación y división de fracciones • Operaciones combinadas • Algunos problemas con fracciones

9. Proporcionalidad y porcentajes ......................................... 73 Vocabulario • Relación de proporcionalidad entre magnitudes • Problemas de proporcionalidad directa • Problemas de proporcionalidad inversa • Porcentajes • Aumentos y disminuciones porcentuales

10. Álgebra ................................................... 81 Vocabulario • Letras en vez de números • Expresiones algebraicas • Ecuaciones • Primeras técnicas para la resolución de ecuaciones • Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita • Resolución de problemas mediante ecuaciones

11. Rectas y ángulos .............................. 91 Vocabulario • Elementos geométricos básicos • Dos rectas importantes • Ángulos • Medida de ángulos • Operaciones con medidas angulares • Relaciones angulares • Ángulos en los polígonos • Ángulos en la circunferencia

12. Figuras geométricas ..................... 101 Vocabulario • Polígonos y otras figuras planas • Simetrías en las figuras planas • Triángulos • Cuadriláteros • Polígonos regulares y circunferencias • Triángulo cordobés y figuras relacionadas con él • Teorema de Pitágoras • Aplicaciones del teorema de Pitágoras • Cuerpos geométricos • Poliedros • Cuerpos de revolución

13. Áreas y perímetros ......................... 111 Vocabulario • Medidas en los cuadriláteros • Medidas en los triángulos • Medidas en los polígonos • Medidas en el círculo • El teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas

14. Gráficas de funciones .................. 117 Vocabulario • Coordenadas cartesianas • Puntos que transmiten información • Puntos que se relacionan • Interpretación de gráficas • Funciones lineales.

Representación y ecuación

15. Estadística ............................................ 125 Vocabulario • Proceso para realizar un estudio estadístico • Frecuencia y tablas de frecuencias • Gráficos estadísticos • Parámetros estadísticos • Parámetros de posición

UNIDAD

1

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales

Sistemas de numeración

Técnicas de conteo

Números grandes

Egipcio

Recuento de datos

Millón

Maya

Tablas y operaciones

Billón

Decimal

Ramificaciones en árbol

Aproximación de números

Orden de las operaciones

Redondeo

10

00

00

00

00

Trillón

Operaciones combinadas

Operaciones básicas

Paréntesis 00

0

Multiplicación y división Sumas y restas

Suma

Multiplicación

Resta

Propiedad conmutativa Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

División

Propiedad distributiva

Exacta

Entera

Propiedad asociativa

3 2

5

3

2 5

7

1

Sistemas de numeración Números en el sistema maya

A medida que la sociedad evolucionaba, se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron los sistemas de numeración.

1

• Los números menores que 20 se escriben:

El sistema de numeración egipcio El sistema de numeración egipcio es un sistema aditivo porque para escribir un número, se van añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad.

0 1

2

3

4

5

7

8

9

6

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

palo

asa

cuerda

flor

dedo

rana

hombre 20

El sistema de numeración maya

El sistema de numeración maya es un sistema en parte aditivo y en parte posicional. Tiene solo tres símbolos que asumen valor diferente según el nivel en el que se encuentran. Fíjate en el esquema ❶.

(0) (0)

(1) (1)

(5) (5)

El sistema de numeración decimal

• Los números mayores que 20 se escriben: x 20 → x1 → 21

27

20

20 20 36

• Consta de diez símbolos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…

• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.

100

137

Valor posicional del 4 en 4 304

2

um

c

d

u

4

3

0

4

↓

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal.

21

21 100 27 137 36 21 27 36 40

↓

4 000 U 4U La cifra 4, en el número 4 304, tiene diferente valor según el orden de unidades que ocupa.

• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe (sistema de tipo posicional).

Fíjate en el esquema ❷.

Practica...

1 ¿Verdadero o falso?

3 Copia y completa en tu cuaderno.

a) El sistema de numeración egipcio es aditivo porque importa la posición de los símbolos. b) El sistema decimal es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupe. c) El sistema de numeración maya es posicional.

2 Relaciona cada número con su sistema de numera-

ción. a) Maya 1)

8

Un sistema de numeración es … si al ir añadiéndose símbolos se suma su cantidad representada y es posicional si el valor de cada símbolo depende de la … que ocupe. Un sistema de numeración que combina ambas características sería el … . Un ejemplo de sistema de numeración solo posicional es el sistema de numeración … . Un ejemplo de sistema que no es … pero es aditivo, es el sistema de numeración … .

b) Egipcio 0 1 2c) Decimal 3 4 0 1 2 3 44Trabajad en parejas para explicar el sistema numérico 2) 1 923 3) que usamos hoy en día.

5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 15 16 17 18 19

40 40

10 100

2

Algunas técnicas de conteo

1

Repasemos algunas técnicas de conteo:

Recuento de datos A la derecha tienes los resultados de la votación para la elección de delegado en una clase de 1.° ESO.

nereA

6

Observa que:

celiA

13

• En la clase, entre chicas y chicos, son 28.

Aitor

9

• Celia ha obtenido 4 votos más que Aitor.

Tabla de operaciones La tabla recoge datos relativos a la distribución de dos grupos de 1.° ESO y otros dos de 2.° ESO en un centro de secundaria.

1.° A

14

13

1.° B

0

12

13

2.° A

0

11

16

Recuerda

2.° B

1

12

12

0

Observa que, en primer curso hay 52 personas, y en segundo, 52. En total contamos 49 chicas, 54 chicos y una persona que no desea ser contabilizada.

Recuerda el significado de estos símbolos: Femenino → Masculino → Transgénero →

Ramificaciones en árbol En una urna hay tres bolas de diferentes colores (rojo, azul y amarillo). Se propone la experiencia: sacar sucesivamente dos bolas.

• Supón que realizamos la experiencia seis veces y nos preguntamos: ¿En cuántas de ellas, teóricamente, debería quedar la roja en la urna? ¿Y si realizamos la experiencia 30 veces?

Nos apoyamos en un diagrama como el que aparece a la derecha (diagrama en árbol) en el que se estudian todas las posibilidades. Vemos que, teóricamente, la bola roja quedará en la urna dos de las seis veces.

Y si realizamos la experiencia 30 = 6 · 5 veces, teóricamente la roja quedará en la urna, 2 · 5 veces.

1.ª bola

2.ª bola

queda

Practica...

1 Tenemos una urna con cuatro

bolas, tres azules y una roja, y se propone la experiencia: Sacar sucesivamente dos bolas.

1

2

3

a) ¿Qué posibilidad hay de que queden en la urna dos bolas de distinto color? b) ¿Y de que las dos bolas que queden sean del mismo color?

9

3

Los números grandes Recuerda

El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.

• Un billón ↔ Un millón de millones. ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.

1

millares

millones

billones

...

miles de millones

• Un trillón ↔ Un millón de billones. ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

c

d

u

1

3

8

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

El universo se originó hace trece mil ochocientos millones de años.

El cerebro de una persona joven tiene unos cien mil millones de neuronas.

La Tierra tiene un volumen aproximado de un billón de kilómetros cúbicos.

Las palabras inglesas billions, trillions, quadrillions… no significan lo mismo que en castellano.

Por ejemplo: 1 billion ↔ Un 1 seguido de 9 ceros.

1 trillion ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.

Recuerda Aunque no es muy habitual, a los millones también se los llama millardos.

También se designan con el prefijo giga: 1 000 000 000 butes = 1 gigabyte

Practica...

1 Lee las primeras líneas de esta página. Después, escri-

be cómo se leen. a) El número de habitantes de la Tierra. b) El número de segundos de un siglo. c) El número de kilómetros que tiene un año de luz.

2 Escribe con cifras.

a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil. b) Ciento cuarenta y tres millones. c) Dos mil setecientos millones. d) Dieciséis gigas. e) Un billón y medio. f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

10

3 Copia en tu cuaderno y completa.

a) Mil millares hacen un… b) Mil millones hacen un… c) Un millón de millares hacen un… d) Un millón de millones es un…

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millo-

nes de millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido

de 16 ceros?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y

los océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

4

Aproximación de números naturales

1

Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproximado, terminado en ceros.

La forma más frecuente de realizar aproximaciones es el redondeo.

Veamos un ejemplo de cómo redondear.

Aproximación de 52 722 a los millares.

Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden. … 000 Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad a la cifra anterior.

Son, aproximadamente, cincuenta y tres mil.

52 722

+1

7≥5

53 000

Practica...

1 Redondea a los millares estos números.

a) 24 963 c) 40 274

b) 7 280 d) 99 834

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

a) 530 298 c) 359 481

b) 828 502 d) 29 935 236

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a

los millones y el gasto a los miles de millones: visitaron En 202a271,6 millones ñ a p Es turistas que61 de ron 8 70 gasta illones. m

4 Aproxima a los millones por redondeo.

a) 24 356 000

b) 36 905 000

c) 274 825 048

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al

precio de un piso en venta: SE VENDE 138 290 €

138 000 € 138 300 € 140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real? b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para

rehabilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una conversación informal?

11

5

Operaciones básicas con números naturales

Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido repaso de algunos conceptos y propiedades.

La suma y sus propiedades

AFORO: 2 5342 localidades Localidades ocupadas Gradas este: 11 576 Gradas oeste: 9 006

Sumar es unir, juntar, añadir. Por ejemplo, si queremos saber el número de personas que hay en el campo de fútbol que se ve en el margen, deberemos hacer una suma. La suma cumple las siguientes propiedades: • Propiedad conmutativa: la suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b=b+a

• Propiedad asociativa: el resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b) + c = a + (b + c)

Recuerda Propiedad conmutativa 34 + 16 = 16 + 34

50

La resta y sus relaciones con la suma Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia.

Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido de la imagen de la derecha, antes, tenemos que realizar una resta:

50

Propiedad asociativa (18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

21 + 17 38

18 + 20

38

25 342 – 20 582 = 4 760 Observa que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.

Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D

M=S+D S=M–D

Recuerda 25 342 ← minuendo (M ) – 20 582 ← sustraendo (S ) 4 760 ← diferencia (D )

Practica...

1 Calcula.

a) 254 +78 + 136 c) 340 + 255 – 429

4 Transforma.

b) 1 526 – 831 + 63 d) 1 350 – 1 107 – 58

2 Estima la respuesta y compruébala después.

3 Carmen compra un bolso de 167 €, una gabardina de

235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se ha gastado? a) Se ha gastado alrededor de 350 €. b) Se ha gastado, más o menos, 450 €. c) Se ha gastado alrededor de 550 €.

12

a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60 b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14 5 Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años

más joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la edad de Alberto?

6 Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €,

pero si comprara también un televisor, me faltarían 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos artículos?

1

La multiplicación y sus propiedades Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida de sumandos iguales.

Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba 35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería: 35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 € 20 582 veces

Recuerda

La multiplicación cumple las siguientes propiedades: • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores. a·b=b·a • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

Propiedades de la multiplicación • La propiedad asociativa nos permite reagrupar los términos, y la propiedad conmutativa, cambiarlos de orden.

16 × 55

(a · b) · c = a · (b · c)

8 × 2 × 5 × 11

• Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

88 × 10

(a · (b + c) = a · b + a · c

a · (b – c) = a · b – a · c

En una peña de amigos y amigas, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes, 3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?

880 • Propiedad distributiva de la multiplicación 35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3)

245 + 105 350

35 · 10

350

Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas: • Gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas • Gasto de (7 + 3) entradas 35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10 Practica...

7 Copia y completa en tu cuaderno.

× 2

5

+ 9 0 1 2 6 0

+

9 8 × 2 8 7 4 6 9 9 3 4

8 Recuerda que al multiplicar por 10, por 100, por

1 000, añadimos uno, dos, tres... ceros al final.

a) 19 · 10

b) 140 · 10

c) 12 · 100

d) 230 · 100

e) 15 · 1 000

f ) 460 · 1 000

9 Expresa con una igualdad aritmética:

Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multiplicarlo primero por diez y después restarle su doble. ¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?

13

5

Operaciones básicas con números naturales

La división

División entera y exacta

• Dividir es repartir un todo entre varios en partes iguales, para averiguar cuánto le toca a cada uno.

2

• División entera (el resto es distinto de cero).

• Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño dado, para averiguar cuántas porciones se obtienen.

D r

d c

El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto: D=d·q+r

La división: exacta y entera

Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto. (Fíjate en el esquema ❷).

• División exacta (el resto es cero).

D 0

Una propiedad de la división

d c

El dividendo es igual al divisor por el cociente (el resto es 0): D=d·q

Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número:

Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble de arbustos y el doble de litros de agua?

Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corresponde a cada uno no varía.

24 litros 48 litros

Recuerda

×2 24

3

0

8

×2

48

6

0

8

Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía.

Practica...

10 ¿Verdadero o falso?

12 Realiza en tu cuaderno las operaciones como indi-

a) El cociente debe ser mayor que el divisor. b) El resto es siempre menor que el divisor. c) Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el cociente se hace el doble. d) Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el cociente aumenta el triple. e) La división cumple la propiedad conmutativa.

11 Averigua el factor que falta en cada división:

dividendo 39

1414

53 15

1 000 12

divisor 38

can los colores.

(36 : 12) : 3 :

36 : (12 : 3) :

¿Qué observas?

13 Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en

bandejas de 30, y las bandejas, en cajas de 10. ¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja? ¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?

Expresiones con 6 operaciones combinadas Orden en que han de hacerse las operaciones Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.

Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones: los resultados son diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

Esto ocurre porque en cada expresión se está respetando una diferente prioridad jerárquica.

Por eso, en las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:

1

Usa la calculadora

Introduce en la calculadora esta operación: 2 +3 .4 = Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14.

{∫“≠} → La calculadora hace las

operaciones en el orden en que van entrando.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

{∫‘¢} → La calculadora hace

primero el producto. Es decir, respeta la prioridad jerárquica.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14

• Primero, a los paréntesis.

Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.

• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.

• Por último, a las sumas y a las restas.

Practica...

1 Completa en tu cuaderno cada casilla y comprueba

que obtienes el resultado que se indica.

4 · 10 – 8 · 3 + 2 –

+2 +2

18 2 Escribe una expresión que resuelva cada enunciado

y calcula la solución. a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos y las de naranjas y manzanas 8 kilos. ¿Cuántos kilos de fruta transporta la furgoneta? b) Un supermercado hace un pedido de 20 lotes de leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de semidesnatada. Cada lote contiene seis cajas de litro. ¿Cuántas cajas van en el pedido?

c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 taburetes. ¿Cuántas patas hay en total? (nota: las mesas y las sillas son de 4 patas, y los taburetes, de 3). d) Un granjero envasa 1 500 huevos en cajas de 10 unidades, otros tantos, en cajas de 6 unidades, y una partida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?

3 Observa el ejemplo y calcula:

4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5 a) 2 · (7 – 3) – 5

b) 5 · 2 + 4 · (7 – 5)

c) 3 · (10 – 7) + 4

d) 18 : 2 – 2 · (8 – 6)

e) 4 + (7 – 5) · 3

f ) 30 – 4 · (5 + 2)

g) 18 – 4 · (5 – 2)

h) 5 + 3 · (8 – 6)

i) 8 – (9 + 6) : 3

j) 5 · (11 – 3) + 7

k) 22 : (7 + 4) + 3

l) 3 · (2 + 5) – 13 15

El reto final Lee e infórmate ¿Seríamos capaces de comunicarnos, trabajar, construir, comerciar…, es decir, de vivir en el mundo actual, sin la ayuda de los números? El nacimiento y el desarrollo de la civilización han llevado parejo el nacimiento y la evolución de los números, y al mismo tiempo se han ido creando instrumentos cada vez más sofisticados para representarlos y hacer operaciones.

La primera calculadora que inventó la humanidad fueron los dedos de las manos. ¿Quién no ha contado alguna vez con los dedos? Después, para manejar números más grandes, se idearon métodos que utilizaban montoncitos de piedras (cálculos), bolitas ensartadas en cuerdas, ábacos… hasta llegar en épocas recientes a las calculadoras mecánicas y, por último, a las electrónicas y a los actuales ordenadores, capaces de manejar números enormes y operar a velocidades increíbles.

Investiga Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la ilustración, donde se muestra cómo sumar 326 + 15: • Analiza y descifra los movimientos de fichas realizados para realizar esa suma.

+15

• Dibuja, de la misma forma, los movimientos necesarios para hacer estas operaciones: a) 211 + 42

b) 131 – 6

Reflexiona y ensaya • Coloca en tu cuaderno los números del 1 al 9, uno por casilla, de forma que todos los tríos alineados sumen 15.

• En una bandeja había varios sándwiches cuadrados y hemos partido algunos por la mitad en forma de triángulo. Si en total cuento 18 esquinas, ¿cuántos están enteros y cuántos partidos?

• ¿Te ayudaría completar esta tabla?

• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utilizando solamente las cifras 1, 2 y 3?

16

cuAdrAdos

1

esquinAs

4

resto esquinAs

14

triángulos

No posible

2

3

UNIDAD

2

POTENCIAS Y RAÍCES

Potencias y raíces

Descomposición polinómica

Potencias

Base

Exponente

Cuadrado

Cubo

Operaciones con potencias

Raíz cuadrada

Potencia de un producto

48

(a··b) =a ·b (a x

x

x

Potencia de un cociente

(a:b)x=ax:bx

Cuadrados perfectos

m-nn m-

Raíz exacta

a ·a =a

Dividir

a :a =a m

n

n

Raíz entera

Elevar

Potencia cero

Radicando

m+nn m+

Multiplicar

m

Raíz

5 = 8 = 20 = 1 0

0

Tanteo

0

17

1

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: a · a · a · a · a = a5.

En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente. exponente

ab

Recuerda 3 · 3 · 3 · 3 = 34 Se lee: tres elevado a cuatro.

Se lee: a elevado b.

base

Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo • Elevar al cuadrado es elevar un número a la potencia de exponente 2.

Por ejemplo: 72 = 7 · 7 = 49 → El cuadrado de 7 es 49.

El cuadrado y el cubo en geometría 5

• Elevar al cubo es elevar un número a la potencia de exponente 3.

Por ejemplo: 73 = 7 · 7 · 7 = 343 → El cubo de 7 es 343.

5

Mira la figura ❶.

El cuadrado de 5 es: 52 = 5 · 5 = 25 (25 cuadraditos)

5

Usa la calculadora

Las potencias, excepto en los casos más sencillos, tienen como resultados números grandes. Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una calculadora. Por ejemplo: 96 = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = … = 531 441

El cubo de 5 es: 53 = 5 · 5 · 5 = 125 (25 cuadraditos)

5

5

• En la calculadora sencilla, utilizaremos las teclas * e =.

96 ⎯→ 9 *

*

= ↓ 92

=

=

↓ 93

↓ 94

= ↓ 95

= ⎯→ {∫∞«‘¢¢‘} ↓ 96

• En la calculadora científica, utilizaremos la tecla ‰.

96 ⎯→ 9 ‰ 6 = ⎯→ {∫∞«‘¢¢‘}

Practica...

1 Lee estas potencias y exprésalas como producto.

b) 2

a) 3

4

7

c) 9

3

d) 15

2

e) 10

f ) 20

6

4

2 Completa la tabla en tu cuaderno. potencia

base

exponente

5

3

m

5

2

6

a4

18

1

3 ¿Verdadero o falso?

a) Elevar un número al cubo es igual que multiplicarlo por sí mismo tres veces. b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro. c) 10 elevado al cuadrado es 20. d) 10 elevado al cubo es 1 000. e) Dos elevado a cinco es igual que cinco al cuadrado.

2

Potencias de base 10. Usos

2

Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un cero. Así: 102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1 000

105 = 100 000

109 = 1 000 000 000 9 ceros

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Expresión abreviada de números grandes

Practica...

Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un número por una potencia de base 10.

1 Lee los siguientes números

Por ejemplo: 400 000 = 4 · 100 000 = 4 · 10

5

Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes.

2 Escribe como potencias de

Un año luz equivale a 9 460 800 000 000 km.

• Redondeamos, dejando dos cifras significativas → 9 500 000 000 000 • Descomponemos en producto → 95 · 100 000 000 000 • Expresamos el segundo factor como una potencia de base 10 → 95 · 1011 Un año luz equivale a 95 · 1011 km.

Esta expresión hace más fácil de leer, escribir y recordar a qué equivale un año luz.

Descomposición polinómica de un número Recuerda lo que has aprendido sobre las potencias de base 10 y la descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras. Lo aplicamos en el siguiente ejemplo de descomposición polinómica.

836 279 =

800 000 + 30 000 + 6 000 + 200

y exprésalos con todas sus cifras. b) 15 · 109 a) 4 · 105 c) 86 · 1014 d) 12 · 104

+

70 + 9

base 10. a) Un millar. b) Un millón. c) Mil millones. d) Un billón.

3 Ordena, de menor a ma-

yor, estas cantidades. b) 17 · 107 a) 8 · 109 c) 98 · 106 d) 1010 e) 16 · 108 f ) 9 · 109

4 Transforma como en el

ejemplo.

• 180 000 = 18 · 104 e) 5 000 f ) 1 700 000 g) 4 000 000 000

8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101+ 9

Practica...

5 Escribe en notación abreviada los datos siguientes.

a) El número de moléculas elementales en un litro de agua es 334 326 000 000 000 000 000 000. b) Las estrellas de Alfa Centauri están a unos cuarenta billones de kilómetros del Sol.

6 Escribe el valor de x en cada caso.

c) 2 936 428 ≈ 29 · 10x d) 3 601 294 835 ≈ 36 ·10x e) 19 570 000 000 000 ≈ 20 · 10x

19

3

Operaciones con potencias

Potencia de un producto (Producto de potencias con el mismo exponente) La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

(a · b)n = an · bn

(2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216

Se multiplican las potencias de los factores.

(2 · 3)3 = 23 · 33

23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216 O también:

23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)3

Potencia de un cociente (Cociente de potencias con el mismo exponente) La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

(a : b)n = an : bn

(6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8

Se dividen las potencias del dividendo y del divisor.

(6 : 3)3 = 63 : 33

63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 O también:

63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)3 Practica...

1 Completa, en tu cuaderno, como en el ejemplo.

(4 · 3) 2 = 12 2 = 144

4" (4 · 3) 2 = 4 2 · 3 2 4 2 · 3 2 = 16 · 9 = 144 a) (3 · 5) 2 = …

4…

32 · 52 = …

b) (4 · 2) 3 = …

4…

43 · 23 = …

c) (12 : 3) 2 = …

4…

12 2 : 3 2 = …

d) (20 : 4) 3 = …

4…

20 3 : 4 3 = …

2 Reflexiona y calcula.

a) 53 · 23 d) 203 · 53

b) 42 · 52 e) 84 · 34

c) 252 · 42 f ) 183 · 63

3 Reflexiona y calcula.

a) 16 : 8 d) 352 : 52 5

20

5

b) 24 : 6 e) 1003 : 503 3

3

c) 21 : 7 f ) 275 : 35 4

4

4 Completa y resuelve en tu cuaderno.

a) 25 · 55 = (… · …)5 = …5 = … b) 184 : 94 = (… : …)4 = …4 = … c) 63 · 53 = (… · …)3 = …3 = … = (… · 10)3 = = …3 · 103 = … · 1 000 = … d) (85 · 65) : 245 = (… · …)5 : 245 = …5 : 245 = = (… : 24)5 = … = … e) (363 : 93) · 253 = (… : …)3 · 253 = …3 · 253 = = (… · 25)3 = …3 = … f ) (542 : 32) : 22 = (… : …)2 : …2 = …2 : …2 = = (… : …)2 = …2 = …

5 Copia en tu cuaderno y completa.

a) La ... es igual al producto de las potencias de los factores. b) La ... es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.

2

Producto de potencias de la misma base Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.

54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 4 veces

54 · 53 = 54 + 3 = 57

3 veces

Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes.

am · an = am + n

Se suman los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, vemos que:

54 · 53 = 57 ↔

57 : 53 = 54 57 : 54 = 53

57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 57 – 4 = 53

Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes.

am : an = am – n

Se restan los exponentes.

Practica...

6 Reduce estas expresiones.

a) x : x c) x 5 · x 5 8

3

11 Reduce a una única potencia.

b) m · m d) k 6 : k 4 4

2

7 Copia en tu cuaderno y sustituye cada asterisco por

el exponente que corresponda. b) a5 · a3 = a* a) 64 · 63 = 6* c) m3 · m* = m9 d) 26 : 24 = 2*

8 Calcula.

a) (35 · 33) : 36

b) (62 · 65) : (63 · 64)

9 Reduce a una sola potencia.

a) 52 · 52 d) a5 · a5

b) 32 · 35 e) m7 · m

c) 105 · 102 f ) x2 · x6

10 Expresa con una única potencia.

a) 26 : 22 c) 107 : 106 e) m5 : m

b) 38 : 35 d) a10 : a6 f ) x8 : x4

a) x · x2 · x3 c) (k9 : k5) : k3 e) m6 : (m8 : m4)

b) m2 · m4 · m4 d) (x5 : x3) : x f ) (k2 · k5) : k6

12 Completa en tu cuaderno y reduce.

a) a3 · a5 = a… + … = a… b) a8 : a5 = a… – … = a…

13 Completa en tu cuaderno y reduce.

a) a12 : (a4 · a4) = a12 : a… = a… b) (53)3 : (54 · 53) = 5… : 5… = 5… c) (m10 : m8) · (m5 : m4) = m… · m… = m…

14 Copia en tu cuaderno y completa.

a) Para ... dos ... , se deja la base y se restan los exponentes. b) Para ... dos ... , se deja la base y se suman los exponentes.

21

3

Operaciones con potencias

Potencia de otra potencia Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base.

(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512 Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an · m

Se multiplican los exponentes.

Potencia de exponente cero Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo 53, entre sí misma: • Aplicando la propiedad del cociente → 53 : 53 = 53 – 3 = 50 = 1 • Aplicando el cálculo habitual → 53 : 53 = 125 : 125 = 1 Así, a 50 le asignamos el valor 1.

La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno.

a0 = 1(a ≠ 0)

20 = 1; 80 = 1; 100 = 1; 340 = 1 Practica...

15 Calcula y observa que los resultados de los siguien-

tes pares de operaciones no coinciden. a) (6 + 4)2 ; 62 + 42 b) (5 + 2)3 ; 53 + 23

16 Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por el

signo “=” o “≠”, según corresponda. b) (4 + 1)3 a) (4 + 1)3 43 + 13 c) (6 – 2)

4

e) 102

52 · 22

g) (12 : 3)2

6 –2 4

4

122 : 32

(10 – 3)

f ) 104

52 · 22

3

h) 122 : 62

22

b) (25)2 d) (a5)3 f ) (x4)4

64

a) x · x 2 · x3 c) (k9 : k5) : k3 e) m6 : (m8 : m4) g) (x 2)5 : x7 i) (k 2)6 : (k3)4

b) m2 · m4 · m4 d) (x5 : x3) : x 2 f ) (k 2 · k5) : k6 h) m10 : (m3)3 j) (x5 : x3)2

19 Resuelve estas expresiones con operaciones combi-

d) 7

3

17 Reduce a una única potencia.

a) (52)3 c) (103)3 e) (m2)6

53

18 Reduce.

nadas. b) 24 – 38 : 36 – 22 a) 62 + 22 – 22 + 5 c) 10 + (52)3 : (53)2 d) (105 : 55) – (22 · 22) e) [(8 – 5)2 · (9 – 6)3] : 35 f ) [(7 – 4)3 – (9 – 4)2]4

20 Copia en tu cuaderno y completa.

a) Para ... una ... , se deja la misma base y se multiplican los exponentes. b) La ... de un número es igual a uno.

4

Raíz cuadrada

2

Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado. b2 = a )

a =b

raíz radicando

Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b.

Usa la calculadora

En algunas calculadoras, la sucesión de teclas para calcular: 105 674 es: 10 5674 $ → {«“∞…≠|∞………} En otras, es la siguiente:

• 42 = 16 → • 152 = 225 →

16 = 4 → La raíz cuadrada de 16 es 4.

$ 10 5674 = → {«“∞…≠|∞………}

225 = 15 → La raíz cuadrada de 225 es 15.

Raíces exactas y raíces enteras Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos: 12 22 1 4

32 42 52 … 82 … 112 … 202 …

9 16 25 64 121 400

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.

Son raíces exactas:

9=3

121 = 11

400 = 20

Para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras. Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.

Practica...

1 Calcula mentalmente.

Busquemos la raíz de 40: 6 2 = 36 < 40 La raíz cuadrada de 40 es un número 4 → 6 < 40 < 7 → 2 comprendido entre 6 y 7.

7 = 49 > 40 40 ≈ 6 → La raíz entera de 40 es 6.

Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo

Calcula, por tanteo, 3 900 .

• Los cuadrados de 62 y 63 están próximos a 3 900.

62 2 = 3 844 < 3 900 63 2 = 3 969 > 3 900 • La raíz cuadrada de 3 900 es un número comprendido entre 62 y 63.

3900 ≈ 62 → La raíz entera de 3 900 es 62.

a) 4 c) 400 e) 6 400

b) 9 d) 900 f ) 8100

2 Calcula la raíz entera.

a) 5 c) 32 e) 68

b) 10 d) 39 f ) 92

3 Calcula.

a) 90 c) 1521 e) 700

b) 150 d) 6 816 f ) 10 816

4 Calcula usando la calcu-

ladora. a) 2 936 b) 10 568 c) 528 471

23

El reto final Investiga Números impares, cuadrados y cubos El mundo de los números presenta múltiples relaciones, algunas tan sorprendentes que parecen tocadas por la magia. Como ejemplo, te mostramos las siguientes: → Cualquier número cuadrado se puede expresar como suma de unos cuantos de los primeros números impares.

S1 S2 S3 S4 • Según esto, calcula: a) La suma de los siete primeros números impares.

1

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

1

b) La suma de los diez primeros números impares (S10). → ¿Cómo calcularías, de forma rápida y sencilla, la suma de los cien primeros impares?

12

1+3

1+3+5

4

22

1+3+5+7

9

32

S100 = 1 + 3 + 5 + … + 199 • En la suma de los números impares, encontramos la suma de los números cúbicos.

S5

1+3+5+7+9

16

42

25

52

64 27 8 1 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + …

23 13 33 43

• Averigua qué porción de la suma anterior has de tomar para obtener 53 = 125.

Practica Pon ejemplos, manipula, tantea Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de naranja; otra, caramelos de limón, y la tercera contiene una mezcla de caramelos de naranja y de limón.

Están etiquetadas con estas referencias, pero ninguna caja lleva la etiqueta que le corresponde.

NN → Solo caramelos de naranja.

LL → Solo caramelos de limón.

NL → Caramelos de naranja y de limón.

Raquel dice que si me da una caja y yo saco un caramelo y se lo enseño, puede adivinar el contenido de todas las cajas. ¿Está en lo cierto? Explica cómo lo consigue.

24

• Divide cada figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

DE CERCA Matemáticas

1 ESO

Andalucía

Índice

........ 2 .......................................

1. Los números naturales .................................. 4 ... ... ... ... ... ... ... s íce ra y s 2. Potencia . 6 ....................................... ... ... ... ... ... ... ... d da ili sib 3. Divi ....... 8 ....................................... ... os ter en s ero m nú s Lo 4. ....... 10 s.......................................

5. Los números decimale .................................. 12 ... ... al cim de ico étr m a 6. El sistem 14 ....................................... ... ... ... ... ... ... ... s ne io cc fra 7. Las ......... 16 iones .............................. cc fra n co s ne cio ra pe O 8. ....... 18 rcentajes ...........................

9. Proporcionalidad y po ................................... 20 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ra 10. Álgreb .. 22 ....................................... ... ... ... ... ... los gu án y s cta 11. Re ...... 24 ....................................... ... ... s ica étr om ge s ra gu Fi 12. ........ 26 .......................................

13. Áreas y perímetros ...... ................................. 28 ... ... ... ... ... s ne io nc fu de s 14. Gráfica .. 30 ....................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ica íst tad 15. Es

1

Los números naturales

Sistemas de numeración

Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración. Algunos ejemplos de sistemas de numeración son:

Egipcio

Maya Es un sistema en parte aditivo y en parte posicional puesto que cada símbolo tiene un valor distinto según el nivel en el que esté.

Es un sistema aditivo, ya que en él, se van añadiendo símbolos y sumando su cantidad representada.

Decimal Es un sistema posicional.

En el ejemplo la cifra 4 asume diferente valor según el lugar que ocupa.

UMM

CM

DM

UM

C

D

U

4

7

8

4

3

0

4

↓

↓

↓

4 000 000 U

4 000 U

4U

Algunas técnicas de conteo

Usamos los números naturales para contar, pero sabemos que los conteos solo se hacen, de uno en uno, en situaciones más sencillas. Cuando se complican, utilizamos estrategias, tales como: Recuento de datos

Tablas y operaciones

Ramificaciones en árbol

Los números grandes

El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos.

1 000 000

1 000 000 000 000

Un millón Un 1 seguido de 6 ceros.

Un billón Un 1 seguido de 12 ceros.

1 000 000 000 000 000 000 Un trillón Un 1 seguido de 18 ceros.

Aproximación de números naturales

Para redondear un número a un determinado orden de unidades: – Se sustituyen por ceros las cifras a la derecha de dicho orden.

– Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la cifra anterior.

Centenas de millar

Decenas de millar

3 8 4 5 2 3

3 8 4 5 2 3

3 8 4 5 2 3 +1

Millares

=

8≥5

4<5

+1

4 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0

5≥5

4 0 0 0 0 0

Operaciones básicas con números naturales

Propiedad conmutativa

Sumar es unir, juntar, añadir.

1482

Propiedad asociativa (576 + 906) + 427 = 576 + (906 + 427) 1482 + 427

576 + 1333

1909

1909

Restar es quitar, suprimir, hallar lo que hace falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia.

576 + 906 = 906 + 576 1482

Recuerda

Propiedad distributiva

– 1 909 ← Sustraendo (S )

M =S +D

M–S=D →*

6 433 ← Diferencia (D )

S=M –D

Dividir es repartir entre varios en partes iguales o partir un todo en porciones iguales.

Propiedad asociativa Multiplicar es sumar repetidamente sumandos iguales.

8 342 ← Minuendo (M )

Relaciones entre la suma y la resta:

(16 × 55) × 3 = 16 × (55 × 3) 880 × 3 = 16 × 165 2 640 = 2 640

35 × 7 + 35 × 3 = 35 × (7 + 3)

Propiedad conmutativa

245 + 105

=

35 × 10

16 × 55 = 55 × 16

350

=

350

880 = 880

División exacta División entera El dividendo es igual El dividendo es igual al divisor por el al divisor por el cociente más el resto. cociente (el resto es 0).

D=d.c D=d.c+r

Expresiones con operaciones combinadas

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: Primero

Después

Por último

Los paréntesis

Las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha

Las sumas y restas de izquierda a derecha

2

Potencias y raíces

Potencias

• Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: Exponente

ab = a . a . ... . a

b veces

Se lee: a elevado a b.

Base • Elevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.

Números cuadrados

22 = 4

12 = 1

32 = 9

42 = 16

• Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.

Números cúbicos

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

• Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

102 =10 . 10 = 100 105 = 100 000

103 = 10 . 10 . 10 = 1 000

2 ceros

109 = 1 000 000 000

5 ceros

9 ceros

Descomposición polinómica de un número

Se realiza aplicando: – La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras.

– Las potencias de base 10.

Ejemplo: 800 000 + 836 279 = 8 . 105

30 000 + 6 000

+

200

+

70

+

3 ceros

9

+ 3 . 104 + 6 . 103 + 2 . 102 + 7 . 10 + 9

Operaciones con potencias

• La potencia de un producto (producto de potencias con el mismo exponente) es igual al producto de las potencias de los factores.

(a . b)n = an . bn

• La potencia de un cociente (cociente de potencias con el mismo exponente) es igual al cociente de las potencias del divivendo y del divisor.

(a : b)n = an : bn

• Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes.

am . an = am + n

• Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes.

am : an = am - n

• Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

(an)m = an · m

• La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno.

a0 = 1 (a ≠ 0)

Raíz cuadrada

• Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.

b2 = a

a=b Raíz

Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b.

Radicando

• La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.

9=3

121 = 11

400 = 20

• Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.

40 ≈ 6

La raíz entera de 40 es 6.

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