Unidad de muestra Generación B Matemáticas 2 ESO

aría

éM

Jos as

Ari s❚

eza

Cab so

fon

Ilde za

Ma

z

Sáe

2

Matemáticas

Creditos_MKT_Digital_2021.indd 4

8/1/21 13:25

Matemáticas José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

2

ESTRUCTURA DEL LIBRO EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que sirve de modelo al alumno para la evaluación inicial y como repaso de contenidos esenciales de 1.o ESO.

DESARROLLO DE LA UNIDAD

Este icono indica que dispones de recursos en el libro digital.

Presentación ❙ Í ndice de la unidad. Enumeración de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Imagen. Fotografía que muestra una aplicación a la vida cotidiana de los contenidos que se desarrollan en la unidad. ❙ Texto introductorio. Explicación de la fotografía en relación a los contenidos y contestación a la pregunta: ¿Para qué sirve lo que vamos a estudiar?

Desarrollo de los contenidos Doble página contenidos = Una sesión de clase ❙ Piensa y calcula. Repaso de los contenidos previos con un ejercicio de cálculo mental corto. ❙ Carné calculista. Se propone una operación para cada día. ❙ Se desarrollan los contenidos en dobles páginas y se resaltan los más importantes. ❙ Ejemplos y ejercicios resueltos. Ejercicios y problemas resueltos de cada concepto o procedimiento. ❙ Aplica la teoría. Ejercicios propuestos de aplicación.

❙E jercicios y problemas resueltos. Doble página con ejercicios y problemas tipo resueltos de forma pormenorizada.

2 ESTRUCTURA DEL LIBRO

❙E jercicios y problemas propuestos clasificados en 4 secciones de los mismos contenidos de las sesiones de clase.

Por niveles de dificultad: • Para ampliar.

• Problemas.

• Para profundizar.

Mates dinámicas virtuales con GeoGebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ❙ Ejercicios y problemas para comprender los conceptos y procedimientos con el uso de: • Applets de GeoGebra.

• Asistente matemático CalcMe. • Hoja de cálculo Microsoft Excel y/o Calc de OpenOffice.

❙M atematización en contextos reales.

Ejercicios con una aplicación real a la vida cotidiana, a la Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas (STEAM). ❙ Autoevaluación. Modelo de examen para que el alumno se autoevalúe.

SECCIONES FINALES ❙A ctividades de ampliación. Actividades en las que se proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos. ❙ Actividades de recuperación. Ejercicios para preparar la recuperación final del curso. ❙ Evaluación final. Modelo de examen que sirve de autoevaluación final.

ESTRUCTURA DEL LIBRO 3

ÍNDICE 5

BLOQUE III GEOMETRÍA 147

BLOQUE I NÚMEROS 7

Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 148

EVALUACIÓN INICIAL .................................................................................................................................................................................

Grandes en Matemáticas ..........................................................................................................................................................

8

1 Divisibilidad y números enteros

9

2 Fracciones y números decimales

25

3 Potencias y raíces

43

4 Proporcionalidad y porcentajes

59

1. Divisibilidad ................................................................................................................ 10 2. M.C.D. y m.c.m. .......................................................................................................... 12 3. Los números enteros ............................................................................................ 14 4. Operaciones con números enteros ............................................................. 16

1. Operaciones con fracciones ............................................................................ 26 2. Operaciones con números decimales ...................................................... 28 3. Fracciones y números decimales ............................................................... 30 4. Fracción generatriz ................................................................................................ 32 1. Potencias de exponente entero .................................................................... 44 2. Raíz cuadrada ........................................................................................................... 46 3. Raíz cuadrada con decimales ....................................................................... 48 4. Raíz cúbica .................................................................................................................. 50 1. Razón y proporción ................................................................................................ 60 2. Magnitudes proporcionales ............................................................................. 62 3. Porcentajes .................................................................................................................. 64 4. Proporcionalidad compuesta .......................................................................... 66

5 Resolución de problemas aritméticos 77 1. Problemas de repartos ........................................................................................ 78 2. Problemas de grifos .............................................................................................. 80 3. Problemas de mezclas ....................................................................................... 82 4. Problemas de móviles y de relojes ........................................................... 84

BLOQUE II ÁLGEBRA 93 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 94

6 Polinomios

95

1. Lenguaje algebraico ............................................................................................. 96 2. Operaciones con monomios ............................................................................ 98 3. Operaciones con polinomios .......................................................................... 100 4. Igualdades notables ............................................................................................. 101

7 Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

113

er

1. Ecuaciones de 1. grado ..................................................................................... 114 2. Ecuaciones de 2.o grado ..................................................................................... 116 3. Número de soluciones y factorización .................................................... 118 4. Problemas de ecuaciones ................................................................................ 120

8 Sistemas de ecuaciones lineales

131

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica ..................................................... 132 2. Métodos de sustitución e igualación ........................................................ 134 3. Método de reducción y qué método utilizar ........................................ 136 4. Resolución de problemas de sistemas ................................................... 138

9 Teoremas de Pitágoras y Thales

149

1. Teorema de Pitágoras .......................................................................................... 150 2. Figuras semejantes ............................................................................................... 152 3. Teorema de Thales ................................................................................................ 154 4. Relaciones en figuras semejantes .............................................................. 156

10 Cuerpos en el espacio

167

1. Elementos básicos en el espacio ................................................................ 168 2. Poliedros ....................................................................................................................... 170 3. Prismas y cilindros ................................................................................................ 172 4. Pirámides y conos .................................................................................................. 174

11 Áreas y volúmenes

183

1. Unidades de volumen .......................................................................................... 184 2. Área y volumen del ortoedro, el prisma y el cilindro ................... 186 3. Área y volumen de la pirámide, el cono y la esfera ..................... 188 4. Área y volumen del tronco de pirámide y tronco de cono ....... 190

BLOQUE IV FUNCIONES 201 Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 202

12 Características de las funciones.

Rectas 203

1. Funciones ..................................................................................................................... 204 2. Características de las funciones .................................................................. 206 3. Función lineal o de proporcionalidad directa ..................................... 208 4. Función afín. Estudio de rectas ..................................................................... 210

BLOQUE V E STADÍSTICA Y PROBABILIDAD

223

Grandes en Matemáticas .......................................................................................................................................................... 224

13 Estadística

225

1. Tabla de frecuencias ............................................................................................ 226 2. Representación gráfica de caracteres discretos................................ 228 3. Representación gráfica de caracteres continuos ............................ 230 4. Medidas de centralización ............................................................................... 232 5. Medidas de dispersión ....................................................................................... 234

14 Probabilidad

243

1. Experimentos aleatorios...................................................................................... 244 2. Experimentos simples........................................................................................... 246 3. Propiedades de la probabilidad..................................................................... 248 4. Experimentos compuestos................................................................................. 250 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Y RECUPERACIÓN ........... 260 EVALUACIÓN FINAL ....................................................................................................... 279

11

Áreas y volúmenes

1 Unidades de volumen 2 Área y volumen del ortoedro, el prisma 3 4

y el cilindro Área y volumen de la pirámide, el cono y la esfera Área y volumen del tronco de pirámide y tronco de cono

La renovación de aire se puede denominar por sus siglas en inglés ACH, Air Changes per Hour. Si un aula tiene 1 ACH (1 renovación de aire por hora) significa que en una hora entra en ella un volumen de aire exterior igual al volumen de la sala. En una pandemia se recomienda de 5 a 6 ACH. Otra forma de medir la ventilación son los litros de aire por persona y segundo que entran del exterior. Un valor adecuado para reducir riesgo de contagio es 14 litros por persona y segundo. La relación entre ambos parámetros es: litros/persona m3 /litro s ACH = 14 ? N.o personas ? 3 600 ? 0,001 segundo h m3 Estos valores se pueden ajustar según el riesgo que se asuma. El riesgo cero no existe. Mejorar la ventilación disminuye el riesgo de contagio.

1

Unidades de volumen CARNÉ CALCULISTA 658,9 : 7,6

PIENSA Y CALCULA Calcula mentalmente el volumen de las siguientes figuras teniendo en cuenta que cada cubo pequeño es una unidad. a)

c)

d)

e)

b)

1.1 Concepto de volumen El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

EJEMPLO

Un bidón ocupa un volumen. El bidón también tiene una capacidad, que es la cantidad de líquido que cabe en su interior. Se puede decir que la capacidad es el volumen interior del bidón.

1.2 Unidades de volumen 1m

1 m3

Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene 1 m de arista.

El metro cúbico es la unidad principal de volumen.

1m

1m

Múltiplos y submúltiplos km3

×1 hm3

00

0

dam3 m3 dm3 :1

cm3 000

mm3

Nombre kilómetro cúbico Múltiplos hectómetro cúbico decámetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico Submúltiplos centímetro cúbico milímetro cúbico

Abreviatura km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Cantidad de metros 1 000 000 000 m3 = 109 m3 1 000 000 m3 = 106 m3 1 000 m3 = 103 m3 1 m3 0,001 m3 = 10– 3 m3 0,000001 m3 = 10– 6 m3 0,000000001 m3 = 10– 9 m3

Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1 000 en 1 000 EJEMPLO

2 hm = 2 × 1 000 000 m3 = 2 000 000 m3 3 000 cm3 = 3 000 : 1 000 dm3 = 3 dm3 3

Relación entre masa, capacidad y volumen Al nivel del mar y a 4 °C, un litro de agua destilada pesa 1 kilo.

1 kilo = 1 litro = 1 dm3 m3

dm3

cm3

kL

L

mL

184 UNIDAD 11

La unidad más frecuente para medir grandes cantidades de agua, como la de un pantano, es el hectómetro cúbico.

1.3 Áreas y volúmenes de los poliedros regulares Poliedro regular

Desarrollo

Área

Volumen

Tetraedro a

A=a

2

3

3 V= a 2 12

Cubo o hexaedro A = 6a2

a

V = a3

Aplicar fórmulas Para resolver los ejercicios de cálculo de áreas y de volúme­ nes de poliedros regulares no debes memorizar las fórmu­ las, excepto la del cubo, que es muy sencilla.

Octaedro a

A = 2a 2 3

Dodecaedro a

3 V= a 2 3

3 A = 3a 2 25 + 10 5 V = a _15 + 7 5 i 4

Icosaedro A = 5a 2 3

a

3 V = 5a _3 + 5 i 12

EJERCICIO RESUELTO

1 Calcula

el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

A = a2 3 ⇒ A = 52 3 = 43,30 cm2 3 3 V = a 2 ⇒ V = 5 2 = 14,73 cm3 12 12

– 5 x2 × √ 3 = 43,30 – 5 x3 × √ 2 ÷ 12 = 14,73

APLICA LA TEORÍA 1 Transforma mentalmente en metros cúbicos: a) 25 dam3 b) 0,02 hm3 c) 2 560 dm3 d) 32 000 cm3 e) 45 km3 f ) 575 000 mm3 2 Expresa en litros las siguientes cantidades: a) 5 m3 b) 0,008 hm3 c) 250 dm3 d) 12 000 cm3 e) 10 km3 f ) 250 000 mm3 3 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. Redondea el resulta­ do a dos decimales.

4 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cubo de 4 m de arista.

5 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 6 dm de arista. Redondea el re­ sultado a dos decimales.

6 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 5 m de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

7 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un icosaedro de 9 cm de arista. Redondea el re­ sultado a dos decimales. Áreas y volúmenes 185

2

Área y volumen del ortoedro, el prisma y el cilindro

CARNÉ CALCULISTA 7 · 1 – 3 : 6 8 3 4 5

PIENSA Y CALCULA Calcula el área y el volumen de la figura mayor:

1cm3

Nombre Ortoedro

Dibujo

Desarrollo c

a c

b

a

H

Prisma

b

Área

Volumen

A = 2(ab + ac + bc)

V = abc

H

B

AT = 2AB + AL

B

V = AB · H

R

Cilindro

H R

H R

2πR

AB = πR2 AL = 2πRH AT = 2AB + AL

2.1 Área y volumen del ortoedro • El área del ortoedro se deduce de su desarrollo plano, que está formado por 6 rectángulos, iguales dos a dos.

A = 2(ab + ac + bc) • El volumen del ortoedro se obtiene multiplicando el largo por el ancho y por el alto.

V = abc EJERCICIO RESUELTO

c = 2 cm a = 5 cm

el área y el volumen del ortoedro de 5 cm, 3 cm y 2 cm de aristas.

2 Calcula

b = 3 cm

A = 2(ab + ac + bc) A = 2(5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2) = 2 (15 + 10 + 6) = 2 · 31 = 62 cm2 V = abc ⇒ V = 5 · 3 · 2 = 30 cm3

a = 5 cm b = 3 cm c = 2 cm

2 × ( 5 × 3 + 5 × 2 + 3 × 2 ) = 62 5 × 3 × 2 = 30

186 UNIDAD 11

2.2 Área y volumen del prisma • El área total del prisma se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases iguales, que son polígonos regulares, y tantos rectángulos iguales como aristas tenga la base: AT = 2AB + AL • El volumen del prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = AB · H

Volumen de prismas y cilindros Todos ellos tienen dos bases iguales; por ello el volumen se calcula aplicando la misma fórmula: V = AB · H

EJERCICIO RESUELTO

el área y el volumen del prisma pentagonal del margen.

3 Halla

Área total: AT = 2AB + AL P·a 5 · 4 · 2,75 a) AB = ⇒ AB = = 27,5 m2 2 2 b) AL = 5 ℓ H ⇒ AL = 5 · 4 · 8 = 160 m2 Luego: AT = 2 · 27,5 + 160 = 55 + 160 = 215 m2 Volumen: V = AB · H ⇒ V = 27,5 · 8 = 220 m3

ℓ=4m

H=8m

H=8m

a = 2,75 m

ℓ=4m

2.3 Área y volumen del cilindro • El área total del cilindro se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases iguales, que son círculos, y un rectángulo.

AB = π · R 2 AL = 2πRH AT = 2AB + AL • El volumen del cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = AB · H

H=7m

R=3m

R=3m

el área y el volumen del cilindro recto del margen. Toma π = 3,14 4 Halla

Área total: AT = 2AB + AL a) AB = πR 2 ⇒ AB = 3,14 · 32 = 28,26 m2 b) AL = 2πRH ⇒ AL = 2 · 3,14 · 3 · 7 = 131,88 m2 Luego: AT = 2 · 28,26 + 131,88 = 188,40 m2 Volumen: V = AB · H ⇒ V = 28,26 · 7 = 197,82 m3

H=7m

EJERCICIO RESUELTO

APLICA LA TEORÍA 8 Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 5 m, 3,5 m y 4 m

11 Calcula el área y el volumen del siguiente prisma hexagonal. Redondea el resultado a dos decimales.

10 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cilindro recto cuya base tiene 3 cm de radio y cuya altura mide 6 cm. Toma π = 3,14. Redon­ dea el resultado a dos decimales.

6m

9 Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un prisma cuadrangular en el que la arista de la base mide 3 cm y la altura del prisma mide 8 cm 2m

12 U n recipiente con forma de or­toe­dro, para envasar le­ che, tiene unas dimensiones de 8 cm, 5 cm y 25 cm.

Dibújalo, calcula su volumen y exprésalo en litros. Áreas y volúmenes 187

3

Área y volumen de la pirámide, el cono y la esfera

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 2x – 3x – 6 = x + x – 8 4 5 2 A

PIENSA Y CALCULA a) Calcula mentalmente el volumen del prisma de la figura A y, sabiendo

que la pirámide tiene un volumen de 18 cm3, halla cuántas veces es más pequeño el volumen de la pirámide que el del prisma.

b) Calcula mentalmente el volumen del cilindro de la figura B en función

de π y, sabiendo que el cono tiene un volumen de 8π cm3, halla cuántas veces es más pequeño el volumen del cono que el del cilindro.

B

Dibujo

Desarrollo

Área

Volumen

6 cm

6 cm

Nombre 2 cm

3 cm 3 cm

Pirámide

h B

AT = AB + AL

H

B G

Volumen de pirámides y conos

Cono

Todos ellos tienen una base y un vértice, por ello el vo­ lumen se calcula aplicando la misma fórmula: V = 1 AB · H 3

H

R

Esfera

AL

G

R

R

No tiene desarrollo plano

AB = πR AL = πRG AT = AB + AL 2

AB = 4πR2

V = 1 AB · H 3

V = 4 πR3 3

3.1 Área y volumen de la pirámide • El área total de la pirámide se deduce de su desarrollo plano, que está formado por un polígono regular y tantos triángulos isósceles iguales como aristas tenga la base: AT = AB + AL • El volumen de la pirámide se obtiene multiplicando un tercio por el área de la base y por la altura: V = 1 AB · H 3

B

EJERCICIO RESUELTO

5 Halla el área y el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 m de aris-

ta de la base y 8 m de altura. Redondea el resultado a dos decimales.

h

ℓ=6m

H=8m

H=8m h

a=3m

Área total: AT = AB + AL. Se calcula el área de la base y el área lateral: AL = 4 ℓ h : 2 AB = ℓ2 ⇒ AB = 62 = 36 m2 Hay que calcular la apotema de la pirámide; h = 3 2 + 8 2 = AL = 4 · 6 · 8,54 : 2 = 204,96 : 2 = 102,48 m2 Luego: AT = 36 + 102,48 = 138,48 m2 Volumen: V = 1 AB · H ⇒ V = 1 · 36 · 8 = 96 m3 3 3 1 ÷ 3 × 36 × 8 = 96

188 UNIDAD 11

73 = 8,54 m

3.2 Área y volumen del cono • El área total del cono se deduce de su desarrollo plano, que está forma­ do por una base, que es un círculo, y un sector circular: AB = πR 2 AL = πRG AT = AB + AL • El volumen del cono se obtiene multiplicando por un tercio el área de la base por la altura: V = 1 AB · H 3 EJERCICIO RESUELTO

G

el área y el volumen de un cono recto de 5 m de radio de la base 6 Halla

Área total: AT = AB + AL. Se calcula el área de la base y el área lateral: AL = πRG AB = πR 2 ⇒ AB = 3,14 · 52 = 78,5 m2 2 2 Hay que calcular la generatriz: G = 5 + 12 = 169 = 13 m AL = 3,14 · 5 · 13 = 204,1 m2 Luego: AT = 78,5 + 204,1 = 282,6 m2 Volumen: V = 1 AB · H ⇒ V = 1 · 78,5 · 12 = 314 m3 3 3

3.3 Área y volumen de la esfera

AL R=5m

H = 12 m

y 12 m de altura. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

G

R=5m

G

R=5m

La esfera no tiene desarrollo plano.

• El área de la esfera es igual a la de cuatro círculos máximos: A = 4πR 2 • El volumen de la esfera se obtiene multiplicando cuatro tercios por π y por el radio al cubo: V = 4 πR 3 3 EJERCICIO RESUELTO

el área y el volumen de una esfera de 5 m de radio. Redondea el 7 Halla

resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

A = 4πR 2 ⇒ A = 4 · 3,14 · 52 = 314 m2 V = 4 πR 3 ⇒ V = 4 · 3,14 · 53 = 523,33 m3 3 3

5m

APLICA LA TEORÍA 13 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 10 cm y la altura de la pirámide mide 12 cm 14 Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un cono recto de 6 m de radio de la base y 8 m de altura. Redondea el resultado a dos decimales.

Toma π = 3,14

15 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 6 cm. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14 16 Se ha construido un adorno de metacrilato con for­ ma de pirámide hexagonal cuya base tiene 4 cm de arista y cuya altura mide 12 cm. El metacrilato cues­ ta 28,5 €/m2. Dibuja el adorno y calcula el precio del material. Redondea el resultado a dos decimales. Áreas y volúmenes 189

CARNÉ CALCULISTA

PIENSA Y CALCULA

Resuelve la ecuación: 3x 2 – x – 2 = 0

Todos ellos tienen dos bases desiguales; por ello el volu­ men se calcula aplicando la misma fórmula.

Nombre

1

Dibujo

Área

2 cm

Volumen

AT = A B + A B + A L 1

r

2

V=

G

AB = πR AB = πr 2 AL = π(R + r) G AT = A B + A B + A L 2

1 `A + A + B B 3 1

2

AB · AB j · H 1

2

1

H

G

R

h

H

R

AL

2

1

2

4.1 Área y volumen del tronco de pirámide

ℓ2 B2

B1 ℓ1

• El área total de un tronco de pirámide se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases que son polígonos regulares desiguales, y tantos trapecios isósceles iguales como aristas tenga la base.

AT = A B + A B + A L • El volumen de un tronco de pirámide se obtiene multiplicando un tercio por la suma de las áreas de las bases más la raíz cuadrada del pro­ ducto de las áreas, y multiplicando todo por la altura.

1 V = ` AB + AB + AB · AB j · H 3 1

ℓ2 B2

1

B1

2

B1

r

Tronco de cono

H

B2

h H

B1

1

Desarrollo

B2

Tronco de pirámide

2

1 cm

3 cm

Volumen de troncos de pirámides y conos

m

rámide azul restando, del volumen del total de la pirámide, el volumen de la pirámide amarilla. b) Comprueba que el resultado es el mismo que aplicando la fórmula: 1 V = 3 ` AB + AB + AB · AB j · H donde H es la altura del tronco de pirámide.

3 cm

a) Calcula mentalmente el volumen del tronco de pi­

2c

4

Área y volumen del tronco de pirámide y tronco de cono

2

2

1

2

ℓ1 EJERCICIO RESUELTO

8 Halla

H=8m

ℓ2 = 4 m h 2m 6m 8m

H=8m

ℓ1 = 16 m h

6m

190 UNIDAD 11

el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrada en el que la arista de la base mayor mide 16 m; la arista de la base menor, 4 m, y la altura, 8 m Área total: AT = AB + AB + AL. Se calcula el área de las bases y el área lateral: • AB = ℓ12 ⇒ AB = 162 = 256 m2 • AB = ℓ22 ⇒ AB = 42 = 16 m2 1

1

1

2

2

• AL = 4 · ℓ1 + ℓ2 · h

2

2 Hay que calcular la apotema del tronco de pirámide h: h = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 m

AL = 4 · 16 + 4 · 10 = 400 m2 2 Luego: AT = 256 + 16 + 400 = 672 m2 Volumen: 1 1 V = 3 ` A B + A B + A B · A B j · H ⇒ V = _256 + 16 + 256 · 16i · 8 = 896 m3 3 1

2

1

2

4.2 Área y volumen del tronco de cono • El área total de un tronco de cono se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases que son dos círculos desiguales, y un trapecio circular: AB = πr 2 AL = π(R + r)G AT = AB + AB + AL AB = πR 2 • El volumen de un tronco de cono se obtiene multiplicando un tercio por la suma de las áreas de las bases más la raíz cuadrada del producto de las áreas de las bases, y multiplicando todo por la altura: 1 V = 3 ` AB + AB + AB · AB j · H 1

2

1

r

1

2

1

G

H

2

R

r

B2

2

AL R

EJERCICIO RESUELTO

B1

el área y el volumen de un tronco de cono en el que el radio de 9 Halla

la base mayor mide 15 m; el radio de la base menor, 5 m, y la altura, 24 m. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14 r=5m

Área total: AT = AB + AB + AL Se calcula el área de las bases y el área lateral: • AB = πR 2 ⇒ AB = 3,14 · 152 = 706,5 m2 • AB = πr 2 ⇒ AB = 3,14 · 52 = 78,5 m2 • AL = π(R + r)G Hay que calcular la generatriz: G = 10 2 + 24 2 = 26 m AL = 3,14 · (15 + 5) · 26 = 1 632,8 m2 Luego: AT = 706,5 + 78,5 + 1 632,8 = 2 417,8 m2 Volumen: 1 V = 3 ` AB + AB + AB · AB j · H 1 V = `706,5 + 78,5 + 706,5 · 78,5 j · 24 = 8 164 m3 3 1

2

2

1

2

1

G

H = 24 m

1

2

H = 24 m

1

5m

G

10 m

R = 15 m

– ( 706.5 + 78.5 + √

2

( 706.5 × 78.5 )

)

× 24 ÷ 3 = 8164

APLICA LA TEORÍA

18 Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de cono de 12 m de altura y en el que los radios de las bases miden 10 m y 4 m. Toma π = 3,14

19 Calcula la cantidad de agua que cabe en el cubo de la figura. Toma π = 3,14 20 cm

20 cm

17 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular en el que la arista de la base mayor mide 18 m, la arista de la base menor, 8 m, y la altura del tronco mide 12 m

12 cm

Áreas y volúmenes 191

Perímetros y áreas de los polígonos Polígono

Dibujo

c

Triángulo

Perímetro

a

h

P=a+b+c

A= b ·h 2 Fórmula de Herón: A = p ( p – a) ( p – b) ( p – c) p = semiperímetro

P = 4a

A = a2

P = 2(b + a)

A=b·a

P = 4a

· A= D d 2

P = 2(b + c)

A=b·a

P=B+c+b+d

A= B+b ·a 2

P = nℓ n = número de lados

A=

b

Cuadrado

Área

a a

Rectángulo b a

Rombo

Romboide

D d

a

c b b

Trapecio

a

c

d

B l

Polígono regular

a

P ·a 2

Longitudes y áreas de las figuras circulares Nombre

Dibujo

Circunferencia

R

Círculo

R

192 UNIDAD 11

Perímetro

Área

L = 2πR

A = πR 2

Área y volumen de los cuerpos Nombre

Dibujo

Desarrollo

Cubo o hexaedro

Volumen

A = 6a2

V = a3

c

A = 2(ab + ac + bc)

V = abc

H

AT = 2AB + AL

a

a

b

c

Ortoedro o paralelepípedo

Área

a

b

a

H

Prisma B

B

V = AB · H

R H

Cilindro

H R

R

Pirámide

h B

AB = πR 2 AL = 2πRH AT = 2AB + AL

2πR

AT = AB + AL

H

B

V = 1 AB · H 3

G

Cono

H

R

R

Tronco de pirámide

Tronco de cono

Esfera

B2 B1

AB = πR 2 AL = πRG AT = AB + AL

AL

G

B2

h H

AT = A B + A B + A L 1

2

B1

V= r

r

G

1 `A + A + B B AB = πR 2 3 AB = πr 2 AL = π(R + r) G AT = A B + A B + A L 1

2

1 `A + A + B B 3 1

2

AB · AB j 1

AB · AB j · H 1

2

1

H R

R

G

R

AL

2

1

No tiene desarrollo plano

A = 4πR 2

2

V = 4 πR 3 3

Áreas y volúmenes 193

2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EJERCICIOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES 10 Halla el área y el volumen de un Área total: AT = 2AB + AL prisma hexagonal en el que la aris­ a) Para calcular el área de la base hay que calcular ta de la base mide 4 m, y la altura, la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras.

10 m a 2 + 22 = 42 ⇒ a 2 + 4 = 16 ⇒ a 2 = 12 a

4m

H = 10 m

a = 12 = 3,46 m

P·a 6 · 4 · 3,46 = 41,52 m 2 A B = ⇒ AB = 2· 2 b) AL = 6 · ℓ · H ⇒ AL = 6 · 4 · 10 = 240 m2 2m

Luego: AT = 2 · 41,52 + 240 = 323,04 m2

ℓ=4m

Volumen: V = AB · H ⇒ V = 41,52 · 10 = 415,2 m3 11 Halla

h

Área total: AT = AB + AL Se calcula el área de la base y el área lateral: a) AB = ℓ2 ⇒ AB = 142 = 196 m2 b) AL = 4 · ℓ · h

2 Hay que calcular la apotema de la pirámide, h H = 24 m

H = 24 m

el área y el volumen de una pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 14 m, y la altu­ ra, 24 m

ℓ = 14 m

()

h2 = H2 + ℓ 2

h

2

⇒ h 2 = 242 + 72 ⇒ h 2 = 625

h = 625 = 25 m

14 · 25 = 700 m 2 AL = 4 · ℓ · h = 4 · 2 ℓ/2 = 7 m 2 2 Luego: AT = 196 + 700 = 896 m Volumen: V = 1 AB · H ⇒ V = 1 · 196 · 24 = 1 568 m3 3 3

12 Halla

el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 8 m, y la altura, 15 m.

Redondea el resultado a dos deci­ males. Toma π = 3,14

Área total: AT = AB + AL Se calcula el área de la base y el área lateral: a) AB = πR 2 ⇒ AB = 3,14 · 82 = 200,96 m2 b) AL = πRG

G

R=8m

13 Calcula el área y el volumen de una

esfera de 2,5 cm. Redondea el resul­ tado a dos decimales. Toma π = 3,14

194 UNIDAD 11

H = 15 m

H = 15 m

Hay que calcular la generatriz: G

G = 8 2 + 15 2 = 289 = 17 m AL = 3,14 · 8 · 17 = 427,04 m2

R=8m

Luego: AT = 200,96 + 427,04 = 628 m2 Volumen: V = 1 AB · H ⇒ V = 1 · 200,96 · 15 = 1 004,8 m3 3 3 Área: A = 4πR 2 ⇒ A = 4 · 3,14 · 2,52 = 78,5 cm2 Volumen: V = 4 π · R 3 ⇒ V = 4 · 3,14 · 2,53 = 65,42 cm3 3 3

14 Halla

el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangu­ lar en el que la arista de la base mayor mide 8 m; la arista de la base menor, 2 m, y la altura 4 m H=4m

ℓ2 = 2 m

1m

h 3m

ℓ1 = 8 m

AT = AB + AB + AL Se calcula el área de las bases y el área lateral: a) AB = ℓ12 ⇒ AB = 82 = 64 m2 b) AB = ℓ22 ⇒ AB = 22 = 4 m2 c) AL = 4 · ℓ1 + ℓ2 · h 2 Hay que calcular la apotema del tronco de pirámide h: h = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 m A L = 4 · 8 + 2 · 5 = 100 m 2 2 Luego: AT = 64 + 4 + 100 = 168 m2 1 V = ` AB + AB + AB · AB j · H 3 1 V = _64 + 4 + 64 · 4 i · 4 = 112 m3 3 1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

PROBLEMAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES Datos y pregunta 15 Calcula el número de renovacio­ nes de aire por hora (ACH ) para Dimensiones del aula: Ancho × Largo × Alto: 6,5 × 10 × 2,9 m un aula de 6,5 m de ancho por Aire del exterior 14 litros por persona y segundo y hay 17 personas.

10 m de largo y 2,9 m de alto, Pregunta: Número de renovaciones de aire por hora. con 16 estudiantes y un docente, aplicando la relación de la intro­ Planteamiento y operaciones ducción de la unidad.

Se necesita el volumen del aula: V = 6,5 · 10 · 2,9 = 188,5 m3 3 L/persona ACH = 14 · 17 personas · 3 600 s · 0,001 m /litro3 = 4,55 s h 188,5 m Solución Se necesitan 5 ACH lo que supone un caudal necesario de: 5 · 188,5 = 942 m3/h 16 Calcula

las dimensiones de la eti­ queta que cubre el área lateral de un bote con forma de cilindro de 33 cL de zumo de chirimoya y con 10 cm de altura. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

H: 10 cm

Datos y pregunta Un cilindro de 33 cL de volumen y 10 cm de altura.

Pregunta: ¿Cuáles son las dimensiones de la etiqueta de la cara lateral?

Planteamiento y operaciones Las dimensiones de la etiqueta son 2πR por H = 10 cm Hay que calcular el radio de la base: V = AB · H ⇒ V = πR 2H 2πR 3,14 · R 2 · 10 = 330 R 2 = 33 : 3,14 = 10,51 ⇒ R = 10,51 = 3,24 cm 2πR = 2 · 3,14 · 3,24 = 20,35 cm

H = 10 cm

Solución Las dimensiones son 20,35 cm por 10 cm Áreas y volúmenes 195

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Unidades de volumen 20 Completa:

a) 15 dm3 = ■ cm3 b) 0,05 dam3 = ■ m3 c) 250 dm3 = ■ m3 d) 32 500 000 cm3 = ■ dam3 21 Expresa

en metros cúbicos las siguientes can­

tidades: a) 1 300 dm3 c) 0,005 km3

b) 6 hm3 d) 400 000 cm3

22 Expresa

en litros las siguientes cantidades: 3 a) 1,5 m b) 0,04 dam3 c) 25 dm3 c) 750 cm3

23 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de

un tetraedro de 6 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

24 Haz el dibujo y calcula mentalmente el área y

el volumen de un cubo de 5 m de arista.

25 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de

29 Haz

el dibujo y calcula el área y el volumen de un cilindro recto de 4 cm de radio de la base y 7 cm de altura. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

3. Á rea y volumen de la pirámide, el cono y la esfera 30 Haz

el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m de arista y cuya altura mide 6 m. Redon­ dea el resultado a dos decimales.

31 Haz

el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 6 m y la altura de la pirámide mide 10 m

32 Haz

el dibujo y halla el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 2 m y la altura mide 8 m. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

33 Calcula

el área y el volumen de un cono cuyo desarrollo plano es el siguiente:

un octaedro de 7 dm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

G = 13 cm

2. Área y volumen del ortoedro, el prisma y el cilindro 26 Haz

el dibujo y halla el área y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 10 m, 5 m y3m

27 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de

R = 5 cm

34 Calcula

cuánto cuesta el helado de la figura, que es media esfera, si el litro de helado cues­ ta 5 €. Toma π = 3,14

un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 5 cm, y la altura del prisma, 8 cm.

Redondea el resultado a dos decimales. el área y el volumen de un prisma pentagonal en el que la arista de la base mide 8 cm, la apotema de la base mide 5,51 cm y la altura del prisma mide 14 cm. Redondea el resultado a dos decimales.

4,5 cm

28 Calcula

H = 14 cm

35 Haz a = 5,51 cm

ℓ = 8 cm

196 UNIDAD 11

4. Á rea y volumen del tronco de pirámide y tronco de cono el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrada en el que la arista de la base mayor mide 14 m; la arista de la base menor, 4 m, y la altura, 12 m. Redon­ dea el resultado a dos decimales.

36 Haz

el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de cono en el que el radio de la base mayor mide 10 m; el radio de la base menor, 4 m, y la altura, 15 m. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

38 Calcula

el área y el volumen del tronco de cono cuyo desarrollo plano es el siguiente.

Toma π = 3,14 r = 3 cm

G = 4 cm

37 Calcula

el área y el volumen del tronco de pi­ rámide cuyo desarrollo plano es el siguiente.

Toma π = 3,14 ℓ2 = 4 m

h=5m

R = 5 cm

ℓ1 = 10 m

Para ampliar 39 Halla

la arista de un octaedro cuya área es 18 3 m2

45 Calcula

el área y el volumen del cono de la figura siguiente. Toma π = 3,14

40 Halla el área de un tetraedro regular en el que

la suma de sus aristas es 24 cm. Redondea el resultado a dos decimales.

R = 8 cm

41 Halla

42 Haz

el dibujo y calcula el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 8 cm y la altura del prisma mide 24 cm. Redondea el resultado a dos decimales.

46 Calcula

el volumen de la pieza de la figura si­ guiente. Toma π = 3,14 R = 10 cm

r = 7,5 cm

15 cm

la arista de un tetraedro regular cuya área mide 6,93 m2. Redondea el resultado a dos decimales.

G = 17 cm

H

43 Haz el dibujo y calcula el volumen de un pris­

ma recto de 3 m de altura, que tiene por base un triángulo equilátero de 2 m de arista.

44 Calcula

la capacidad en litros de un depósito cuyo desarrollo plano es el que se indica en la figura siguiente. Toma π = 3,14

una esfera de 3,5 cm de diámetro. Toma π = 3,14

48 Calcula

el volumen de la figura siguiente: H = 12 cm

H=6m

R=3m

47 Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de

10 cm

10 cm

10 cm

Áreas y volúmenes 197

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 49 Haz

el dibujo y calcula el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular en el que la arista de la base mayor mide 6 m, la arista de la base menor mide 4 m y la altura del tronco mide 4 m

50 Haz

el dibujo y halla el área de un tronco de cono cuya altura mide 15 cm, el radio de la base mayor, 15 cm, y el radio de la base menor, 7 cm. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

Problemas 51 Haz

el dibujo y calcula el área lateral de un cono de 4 m de altura cuya base tiene una superficie que mide 9π m2. Toma π = 3,14

52 Haz

el diámetro de la base mide 5 cm, y la altura, 6 cm. Calcula la superficie de la etiqueta que rodea completamente la superficie lateral del envase. Toma π = 3,14

60 Se

12 cm

el dibujo y calcula el área lateral del cono que se genera al hacer que el trián­ gulo rectángulo de la figu­ ra gire alrededor del cateto mayor. Toma π = 3,14

59 El envase de un yogur es un cilindro en el que

5 cm

53 Las

dimensiones de un depósito de agua son 9 m × 6 m × 4 m. Dibuja el depósito y calcula cuántos litros de agua contendrá cuando esté completamente lleno.

54 Se quiere alicatar un cuarto de baño cuyas di­

mensiones son 3 m, 2 m y 2,50 m. Si se cobra a 24 €/m2, ¿cuánto costará alicatar el cuarto de baño?

55 Se ha construido una caja de madera sin tapa,

con forma de ortoedro, cuyas dimensiones exteriores son 10 cm × 5 cm × 8 cm. Si la madera tiene un grosor de 1 cm, ¿cuál será la capacidad de la caja?

56 Un

depósito de agua, con forma de ortoedro, tiene unas dimensiones de 6 m, 5 m y 3,5 m.

Si está al 45 % de su capacidad, ¿cuántos litros tiene?

quiere hacer una pieza de plástico con forma de cono recto, que debe llenarse de agua. Si la pieza debe tener 12 cm de diáme­ tro de la base y 20 cm de altura, ¿cuál será su volumen? Toma π = 3,14

Para profundizar 61 La

diagonal de un cubo mide 4 m. Calcula el área total del cubo.

62 Calcula

el área lateral y el volumen del cuerpo que se genera al hacer que el trián­ gulo equilátero de la figura gire sobre su altura. Toma π = 3,14

63 Se

introduce una esfera en un recipiente completamente lleno de agua y se derraman 36π dm3 de agua. Calcula el radio de la esfera.

Toma π = 3,14

64 Calcula el peso de la esfera de la figura sabiendo

que es maciza y su densidad es de 7,5 kg/dm3.

Toma π = 3,14

57 La tulipa de una lámpara tiene forma de tron­

co de cono. El radio de la base mayor mide 15 m; el radio de la base menor, 10 cm, y su altura, 12 cm. Si el material con el que está construida cuesta a 12,5 €/m2, ¿cuál será el precio del material utilizado? Toma π = 3,14

58 Un bote de refresco, con forma de cilindro, con­

tiene 33 cl. Calcula el radio de la base sabien­ do que su altura es de 11 cm. Toma π = 3,14

198 UNIDAD 11

2 cm

2 dm

65 Compara

los volúmenes de los tres cuerpos. ¿Qué relación encuentras entre ellos?

R R

R

R

R

R

Matematización en contextos reales 66 Se

quieren poner tejas en un tejado como el de la figura adjunta.

Si cada teja cubre aproximadamente 5 dm2, ¿cuántas tejas harán falta para cubrir el tejado?

5,6

m 10 m

14 m

Pedro le ha recetado el médico que se tome 10 cm3 de jarabe para la tos tres veces al día. Si el frasco contiene 240 mL, ¿cuántos días puede tomar jarabe?

67 A

68 Una viga de hormigón tiene forma de ortoedro de dimensiones 200 cm × 30 cm × 20 cm. Si la densidad

del hormigón es 2,4 kg/dm3, ¿cuánto pesará la viga?

20 cm 30 cm 200 cm

Autoevaluación 1

Escribe los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Pon un ejemplo de cómo se pasa de hectómetro cúbico a metro cúbico.

2

Completa: a) 17 hm3 = ■ litros b) 250 cL = ■ dm3 c) 2 000 cm3 = ■ litros d) 5 mL = ■ cm3

3

Calcula el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 2 m y la altura del prisma mide 6 m. Redondea el resultado a dos decimales.

4

Haz el dibujo y halla el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m de arista y cuya altura mide 6 m. Redondea el resultado a dos decimales.

5

Halla el área y el volumen de un tronco de cono en el cual el radio de la base mayor mide 5 m; el radio de la base menor, 2 m, y la altura, 4 m. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

6

¿Cuántas garrafas de 5 litros se llenarán con el agua del depósito de la figura? Toma π = 3,14 3

m

2m

7

Se introduce una esfera en un recipiente completamente lleno de agua y se derraman 36π dm3 de agua. Calcula el radio de la esfera.

8

Se quiere construir un farolillo con forma de tronco de pirámide y con las caras laterales de cristal. Si la arista de la base mayor mide 24 cm, la arista de la base menor mide 8 cm, y la altura mide 15 cm, ¿cuánto costará el cristal de las caras laterales si se cobra a 24 €/m2?

H = 15 cm

ℓ1 = 24 cm

ℓ2 = 8 cm

Áreas y volúmenes 199

Mates dinámicas virtuales con GeoGebra en Moodle 1. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

Calcula el área total y el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 7,5 m y la altura 17,5 m. Redondea el resultado a dos decimales.

SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Área y volumen de la pirámide. Área total = 566,14 m2 Volumen = 852,49 m3

2. Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

Calcula el área total y el volumen de un cilindro de radio de la base R = 3,25 m y altura H = 12,5 m.

Redondea el resultado a dos decimales.

SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Área y volumen del cilindro. Área total = 321,62 m2 Volumen = 414,79 m3

3. Problema (Calificación: 2,5 puntos)

Un balón de baloncesto tiene un diámetro de 25 cm. Calcula su superficie y su volumen.

SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Área y volumen de la esfera.

Introduce R = 12.5 Área = 1 963,5 cm2 Volumen = 8 181,23 cm3

4. Problema (Calificación: 2,5 puntos)

Calcula el volumen de agua necesaria para llenar una piscina con forma de paralelepípedo de dimensio­ nes: 10 m × 6 m × 3 m dejando 25 cm en la parte superior sin llenar.

SOLUCIÓN En GeoGebra elige el applet: Área y volumen del ortoedro.

En la altura debes poner 2,75 m Volumen = 165 m3

200 UNIDAD 11

© de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2021 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid

Creditos_MKT_Digital_2021.indd 4

8/1/21 13:25