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Física y Química
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Física y Química Rafael Jiménez Prieto Pastora M.ª Torres Verdugo
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ESTRUCTURA DEL LIBRO LA UNIDAD PRESENTACIÓN
Índice de la unidad Enumeración de los contenidos que se desarrollan en la unidad.
Texto introductorio y actividades de inicio de unidad Introduce los contenidos de la unidad a partir de un enfoque histórico o cotidiano, que sirve como punto de partida.
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
Los contenidos se desarrollan acompañados de imágenes y esquemas explicativos, con textos complementarios que amplían la información principal. En cada unidad se propone una actividad más amplia para trabajar algunos contenidos concretos utilizando la competencia digital.
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Observa y aprende Actividad resuelta que consta de tres partes: ❙ Enunciado. ❙ Desarrollo y solución. ❙ Conclusión.
Actividades Se incluyen unas treinta actividades para trabajar directamente los contenidos correspondientes a cada apartado. También se incorporan referencias a las actividades finales relacionadas con dichos contenidos.
CIERRE La Ciencia más cerca Explicación de fenómenos relacionados con los contenidos de la unidad y con el entorno cotidiano o el medio físico cercano de las alumnas y los alumnos.
Repasa lo fundamental Mapa de conceptos con los principales contenidos que se han tratado.
Y realiza un trabajo de investigación Actividad experimental planteada a partir de una situación cotidiana para afianzar el método científico.
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ESTRUCTURA DEL LIBRO Practica Tres páginas de actividades al final de la unidad clasificadas por niveles de dificultad (verde, amarillo y rojo). En algunas actividades de dificultad media se incluye un refuerzo de contenido, para facilitar su resolución. La actividad final, Aplica lo aprendido, se plantea para trabajar de forma global los contenidos fundamentales tratados en la unidad.
LAS SECCIONES TRIMESTRALES Experiencias de laboratorio Trabajos experimentales para desarrollar las habilidades propias de la física y la química. Son un conjunto de experimentos sencillos orientados a fomentar el conocimiento y utilización de los materiales del laboratorio de física y química y la aplicación de los procedimientos característicos del método científico: observar, emitir hipótesis, medir, planificar y diseñar experimentos, predecir, establecer relaciones, obtener conclusiones, etc.
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Practica PISA Para trabajar la metodología de las pruebas PISA en Competencia científica. ❙S e parte de una situación contextualizada mediante textos continuos, discontinuos o mixtos. ❙ Se proponen actividades con 6 niveles de dificultad y en 3 formatos: respuesta cerrada, respuesta abierta breve y respuesta abierta amplia.
Practica con textos Para practicar la prueba PISA en Comprensión lectora. ❙S e muestran varios textos relacionados con los contenidos trabajados. ❙ Para cada texto se proponen actividades de comprensión lectora y de expresión oral y escrita. ❙ Se finaliza con actividades para interpretar y comparar textos de carácter científico.
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ESTRUCTURA DEL LIBRO Practica con TIC Para ejercitar la prueba PISA en Resolución de problemas. ❙S e parte de una situación contextualizada que hay que resolver. ❙ Se resumen los contenidos estudiados y relacionados con la situación. ❙ Se propone un esquema guiado para resolver la situación. ❙ Se comunica la resolución de la situación de forma oral y escrita.
Practica AULA COLABORATIVA Para realizar trabajos grupales de forma colaborativa. ❙S e propone un trabajo para realizar en grupo de forma colaborativa. ❙ Se guía el proceso. ❙ Se presenta el trabajo físicamente o mediante una herramienta informática.
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ÍNDICE 1
El saber científico. Las ciencias experimentales
2
Elementos y compuestos. El enlace químico
3
Las reacciones químicas. Reacciones ácido-base y redox
4
La química del carbono. Polímeros y macromoléculas
9
1. Observar para explicar. El método científico ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 10 2. Magnitudes y unidades ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 11 3. La medida y el tratamiento de los datos ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 15 4. La ciencia del siglo xxI ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 18
27
1. El átomo ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Caracterización de los átomos ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Los elementos químicos ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4. Los compuestos químicos ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5. El enlace químico ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
28 30 33 36 37
47
1. La reacción química ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Leyes de las reacciones químicas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Ecuaciones químicas ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4. Cálculos estequiométricos ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. Reacciones ácido-base ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 6. Reacciones redox .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
48 52 53 54 59 61
69
1. El carbono, un elemento muy versátil ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Los compuestos orgánicos .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3. Hidrocarburos ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4. Otros compuestos: alcoholes y ácidos ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. Macromoléculas y polímeros .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6. Obtención y uso de compuestos orgánicos ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Anexo. Nomenclatura y formulación inorgánica
70 72 76 77 78 81
89
1. Nomenclatura y formulación ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 90 2. Números de oxidación ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 91 3. Compuestos binarios ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 92 4. Compuestos ternarios ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 95 EXPERIENCIAS DE LABORATORIO ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... PRACTICA PISA ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... PRACTICA CON TEXTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ PRACTICA CON TIC ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... PRACTICA AULA COLABORATIVA .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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Movimientos rectilíneos y circulares. Cinemática
101 104 106 108 110
113
1. Descripción del movimiento .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Velocidad ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Movimiento rectilíneo uniforme .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4. Movimiento rectilíneo uniformemente variado ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 5. Movimiento circular uniforme .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
114 116 118 122 126
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6 Las fuerzas. Presión atmosférica e hidrostática
135
7 Fuerzas y movimiento. Las leyes de la Dinámica
155
1. Las fuerzas .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Fuerzas en cuerpos elásticos. Ley de Hooke ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Presión ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4. Presión hidrostática ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
1. Primera ley: principio de inercia ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Segunda ley: ley de Newton ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3. Tercera ley: principio de acción y reacción .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4. Fuerzas de rozamiento ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. Fuerzas en el movimiento circular uniforme ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6. Resolución de problemas de Dinámica .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7. Impulso y cantidad de movimiento ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
156 157 159 160 161 162 167
EXPERIENCIAS DE LABORATORIO .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. PRACTICA PISA ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... PRACTICA CON TEXTOS ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ PRACTICA CON TIC ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... PRACTICA AULA COLABORATIVA .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
175 178 180 182 184
8 Gravitación. La Tierra en el universo
185
9 Energía y trabajo. Conservación de la energía
205
1. La posición de la Tierra en el universo ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Precedentes de la gravitación. Leyes de Kepler ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Ley de la gravitación universal ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4. La visión actual del universo ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
1. La energía es una magnitud física ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Energía de un sistema material .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Conservación de la energía mecánica ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 4. Trabajo ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5. Relación entre trabajo y energía ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6. Potencia ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
10
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136 141 143 145
Transferencias de energía. Calor y ondas
186 189 190 195
206 208 211 213 216 218
225
1. Temperatura ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Calor .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Efectos del calor ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4. Máquinas térmicas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. Ondas ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
226 228 231 233 235
EXPERIENCIAS DE LABORATORIO .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Practica PISA ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Practica con TEXTOS ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Practica con TIC ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Practica AULA COLABORATIVA ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
245 248 250 252 254
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Movimientos rectilíneos y circulares. Cinemática
1 Descripción del movimiento 2 Velocidad 3 Movimiento rectilíneo uniforme 4 Movimiento rectilíneo uniformemente variado 5 Movimiento circular uniforme
La Cinemática es la parte de la Física que estudia los movimientos, con independencia de la causa que los produce. Para ello, se basa en dos magnitudes, el espacio y el tiempo, que se encuentran estrechamente ligadas a nuestra forma de percibir el mundo. Los fundamentos de la Cinemática datan del siglo xvi y, a pesar de los nuevos descubrimientos que se han venido produciendo desde entonces, mantienen su validez para la gran mayoría de los movimientos que ocurren a nuestro alrededor. 1 ¿Qué magnitudes crees que tendrías que medir si
quisieras calcular la velocidad a la que eres capaz de correr? ¿Cómo realizarías ese cálculo?
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1
Descripción del movimiento En la vida cotidiana, decimos que un objeto se mueve cuando cambia su posición con el tiempo. En Cinemática, al objeto en movimiento se le da el nombre de móvil. Un móvil se encuentra en movimiento si cambia su posición al transcurrir el tiempo con respecto a un punto fijo e invariable que tomamos como referencia. Si esa posición se mantiene constante y no varía con el tiempo, el móvil se halla en reposo. Por lo tanto, para describir el movimiento de un cuerpo necesitamos conocer su posición en cada instante de tiempo con respecto a un punto dado, entendiendo por tal una posición determinada, que puede ser la que ocupa otro objeto. Pero, ¿cuál es ese punto? Pongamos un ejemplo. Piensa que estás haciendo un viaje en autobús. ¿Estás en reposo o en movimiento? Respecto a la carretera, sin duda estás en movimiento. Sin embargo, te encuentras en reposo respecto al asiento. Así pues, la conclusión es que el estado de reposo o movimiento de un objeto es relativo al punto que se tome como referencia.
Punto de referencia.
RECUERDA
B
A
La notación Δ se utiliza para indicar la diferencia entre dos valores de una magnitud, es decir, su variación.
La chica que viaja en el autobús está en reposo respecto al punto A (el asiento) y en movimiento respecto al punto B (el árbol).
1 Instante e intervalo de tiempo El tiempo (t) es una de las magnitudes que hay que medir para describir un movimiento. Se trata de una magnitud básica del Sistema Internacional, cuya unidad es el segundo (s). Además del instante de tiempo —valor que marca el aparato de medida en un momento dado—, es frecuente utilizar el intervalo de tiempo (Δt), leído «delta de t» que es el tiempo transcurrido entre dos instantes determinados, llamados inicial y final, y se obtiene como la diferencia entre sus valores: Δt = tfinal – tinicial.
La medida del tiempo Realizar la medida del tiempo con la mayor exactitud y resolución posibles ha sido un reto constante para el ser humano, que ha desarrollado relojes y cronómetros cada vez más perfeccionados. Actualmente, los relojes más exactos que se conocen son los denominados relojes atómicos.
Reloj óptico de estroncio.
2 Busca información en Internet sobre la definición que establece el Sistema Internacional para el segundo como unidad de medida del tiempo y sobre el principio en el que se basa el funcionamiento de los relojes atómicos. Indica la resolución que se alcanza con este tipo de instrumentos de medida.
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2 Posición y trayectoria Una vez elegido el punto de referencia, el estudio del movimiento pasa por determinar la posición del móvil en cada instante de tiempo, distinguiendo esta de la trayectoria.
Magnitudes vectoriales y escalares En Física encontramos dos tipos de magnitudes: las magnitudes escalares (como la masa), para las cuales basta con indicar su valor y la unidad en que se miden, y las magnitudes vectoriales (como la fuerza), para las que, además, es necesario indicar la dirección y el sentido. En Cinemática, son magnitudes vectoriales la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, entre otras.
La posición es el lugar en que se encuentra el móvil respecto al punto tomado como referencia en un instante de tiempo dado. La trayectoria es la línea que une las posiciones sucesivas por las que pasa el móvil. La posición del móvil viene dada por un vector, llamado vector posición (r), cuyo origen es el punto de referencia y cuyo extremo se sitúa en el lugar ocupado por el móvil. Si este sigue una línea recta, para determinar su posición bastará con indicar su distancia al punto de referencia (x), precedida de un signo, cuyo significado se interpreta así: ❙❙La posición es positiva (x > 0) si el móvil está a la derecha del punto de referencia. ❙❙La posición es negativa (x < 0) si el móvil se sitúa a la izquierda del punto de referencia. ❙❙La posición es cero (x = 0) si el móvil está exactamente en el punto de referencia.
Los vectores se suelen simbolizar con una letra negrita, r, o → con una flecha sobre la letra, r . En este libro utilizamos la primera notación en el texto y la segunda en las ilustraciones.
Fíjate en el siguiente ejemplo: Punto de referencia 100 m
x2 = 100 m
x1 = –300 m
x3 = 400 m
3 Desplazamiento y espacio recorrido Aunque se usan como sinónimos en la vida cotidiana, estas dos magnitudes son diferentes en Cinemática.
y
Espacio recorrido (s)
El desplazamiento (Δr) de un móvil en un intervalo de tiempo es la diferencia entre las posiciones que ocupa en el instante final y en el instante inicial. El espacio recorrido (s) es la longitud que recorre medida sobre la trayectoria.
→
→
r1
Observa en la figura del margen que el desplazamiento es un vector y el espacio recorrido es un escalar. Si la trayectoria es recta, el desplazamiento se designa como Δx y es positivo cuando el móvil se mueve hacia la derecha y negativo si lo hace hacia la izquierda. Puedes verlo en este otro ejemplo:
→ → – r 1) r = r2 nto (Δ
zamie
Despla
→
r2
x Desplazamiento y espacio recorrido son magnitudes diferentes.
Punto de referencia 100 m
Espacio recorrido: s = 600 m x1 = 200 m
x2 = 400 m
Continúa practicando estos conceptos con las actividades 35 a 41 de la página 131.
Desplazamiento: Δx = x2 – x1 = 400 m – 200 m = 200 m
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2
Velocidad La velocidad es una magnitud derivada de gran importancia en Cinemática. Cuando un objeto se mueve, podemos definir su velocidad media y su velocidad instantánea. La velocidad media (vm) de un móvil se define como el cociente entre el desplazamiento que ha tenido lugar y el intervalo de tiempo empleado para ello. La velocidad instantánea (v) es la velocidad que tiene el móvil en un instante de tiempo dado. La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s), aunque también se usa frecuentemente el kilómetro por hora (km/h). Si la trayectoria es una línea recta, el valor de la velocidad media se calcula con la siguiente fórmula: vm =
Δx
x2 – x1
=
Δt
t2 – t1
Como Δx posee un signo que indica el sentido del movimiento, la velocidad, calculada a partir de él, tiene también un signo, que se interpreta de la misma forma: una velocidad positiva indica que el móvil se desplaza hacia la derecha con respecto al punto de referencia, y una velocidad negativa, que se mueve hacia la izquierda. Calcular la velocidad media de un móvil es sencillo si tenemos los datos de desplazamiento y tiempo.
OBSERVA Y APRENDE Un ciclista se desplaza por una carretera recta. Utiliza los datos del dibujo para calcular la velocidad del ciclista en cada intervalo de tiempo. 10 m
t0 = 0 s x0 = 0 m
t1 = 12 s x1 = 30 m
t2 = 20 s x2 = 70 m
t3 = 25 s x3 = 100 m
RECUERDA La conversión de unidades de magnitudes derivadas se realiza mediante los correspondientes factores de proporcionalidad, teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades de medida. Por ejemplo, si queremos convertir 15 m/s a km/h, hacemos: m 1 km 3 600 s = 54 km/h v = 15 · · s 1 000 m 1 h
Considerando los intervalos entre dos instantes de tiempo consecutivos y la fórmula para el cálculo de la velocidad media, tenemos: Desde t0 = 0 s hasta t1 = 12 s: v1 =
Δx
Desde t1 = 12 s hasta t2 = 20 s: v2 = Desde t2 = 20 s hasta t3 = 25 s: v3 =
Δt
Δx Δt Δx Δt
x1 – x0
=
t1 – t0 =
=
=
x2 – x1 t2 – t1 x3 – x2 t3 – t2
30 m – 0 m
=
=
12 s – 0 s
= 2,5 m/s
70 m – 30 m 20 s – 12 s
= 5 m/s
100 m – 70 m 25 s – 20 s
= 6 m/s
A medida que transcurre el tiempo, la velocidad del ciclista va aumentando.
3 Para calcular la velocidad de un móvil se utilizan los datos de su posición en distintos instantes de tiempo. Con estos datos es posible obtener los valores de velocidad en diferentes tramos, o la velocidad media en todo el trayecto. ¿Qué cálculo nos proporciona más información sobre el movimiento? ¿Por qué?
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1 El vector velocidad Como se define a partir del desplazamiento, que es una magnitud vectorial, la velocidad se representa también mediante un vector. Concretamente, la velocidad instantánea —la que lleva el móvil en un instante dado— es un vector tangente a la trayectoria cuyo sentido coincide con el del movimiento. Observa la figura:
Cuando la trayectoria es una recta, el vector velocidad mantiene siempre la misma dirección (la de la trayectoria); en cambio, cuando la trayectoria es curva, la dirección del vector velocidad varía según el instante de tiempo que estemos considerando.
Límites de velocidad Cuando circulamos por una carretera en coche, en moto o con cualquier otro vehículo, debemos adecuar nuestra velocidad a los límites establecidos por las normas de circulación. Multitud de señales nos avisan de los límites máximos permitidos (circulares en color rojo con fondo blanco) o de la velocidad aconsejada en determinados tramos, como puede ser una curva peligrosa (circular con fondo azul).
2 Clasificación de los movimientos La variedad de movimientos que podemos encontrar es enorme. Para facilitar su estudio, se clasifican atendiendo a dos criterios: su trayectoria y el valor de su velocidad.
MOVIMIENTOS Según su trayectoria
Según su velocidad
Rectilíneos La trayectoria es una línea recta
Uniformes La velocidad del móvil es constante
Curvilíneos La trayectoria no es una línea recta
Variados La velocidad del móvil no es constante
Circulares La trayectoria es una circunferencia
Señal de limitación de velocidad.
Acelerados El móvil va aumentando su velocidad Retardados El móvil va disminuyendo su velocidad
4 Calcula, en cada caso, la velocidad media de los siguientes móviles asignándole el signo que le corresponda según los datos que se dan: a) El móvil se ha movido 525 m hacia la derecha y ha invertido 2 minutos y medio. b) El móvil se encuentra 100 m a la derecha del punto de referencia en el instante t1 = 18 s, mientras que en el instante t2 = 34 s se encuentra a 220 m a la izquierda del punto de referencia. Continúa practicando estos conceptos con las actividades 43 a 45 de la página 131.
5 Un coche describe este movimiento: 50 m
x0 = 50 m t0 = 0 s
xf = 150 m tf = 100 s
Calcula el valor del desplazamiento y el espacio recorrido por el coche. Halla el valor de su velocidad media. ¿Se obtiene el mismo resultado si utilizamos el espacio recorrido? Justifícalo.
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3
Movimiento rectilíneo uniforme
Récords de velocidad Desde hace más de 2 000 años, en que se instauraron los primeros juegos olímpicos en la Grecia clásica, los seres humanos competimos por establecer las mejores marcas en distintas disciplinas deportivas. Es el caso, por ejemplo, de la carrera de 100 metros lisos, cuyo récord masculino ha rebajado los 9,7 s, que corresponde a una velocidad media aproximada de 10 m/s, es decir, 36 km/h.
Si observamos el movimiento de un objeto sobre una cinta transportadora o el de un patinador que se desliza, veremos que ambos poseen características comunes. Se denomina movimiento rectilíneo uniforme (mru) aquel cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad es constante. Como la velocidad no varía, en un movimiento de este tipo el móvil recorre la misma distancia para intervalos de tiempo iguales y su velocidad media tiene siempre el mismo valor, con independencia del intervalo de tiempo seleccionado, coincidiendo además con la velocidad instantánea.
OBSERVA Y APRENDE Estos datos corresponden al movimiento rectilíneo de un transbordador que navega por un río. ¿Es un movimiento uniforme?
POSICIÓN, x (m)
0
52,5
157,5
315
525
TIEMPO, t (s)
0
5
15
30
50
Si el movimiento es uniforme, la velocidad media debe ser siempre la misma. Vamos a realizar algunos cálculos para comprobar si es así: Desde t0 = 0 s hasta t1 = 5 s: v1 = Desde t1 = 5 s hasta t2 = 15 s: v2 =
Δx Δt
Δx Δt
=
=
52,5 m – 0 m 5s–0s
= 10,5 m/s
157,5 m – 52,5 m 15 s – 5 s
= 10,5 m/s
Los cálculos confirman que la velocidad media es la misma en cualquier intervalo de tiempo. Si consideramos todo el trayecto, veremos que efectivamente es cierto: Desde t0 = 0 s hasta tf = 50 s: v =
Carrera de 100 metros lisos.
Δx Δt
=
525 m – 0 m 50 s – 0 s
= 10,5 m/s
El movimiento es rectilíneo y uniforme, con una velocidad constante de 10,5 m/s.
6 Tomando como origen el jugador de bolos, elabora una tabla de datos de posición y tiempo para el movimiento de la bola y calcula su velocidad para los intervalos dados por cada dos instantes de tiempo consecutivos. ¿De qué tipo de movimiento se trata?
7 Un galgo corre en línea recta por el campo persiguiendo una liebre. Con un árbol como referencia, se han obtenido los siguientes datos de posición y tiempo: x (m) t (s)
–200
–50
0
125
225
0
30
40
65
85
Realiza los cálculos necesarios para averiguar qué tipo de movimiento es.
118 UNIDAD 5
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1 Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme Los datos de posición y tiempo de un movimiento rectilíneo uniforme pueden representarse sobre una gráfica, en la que situamos el tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas. El resultado es una línea recta cuya pendiente es la velocidad del movimiento. x (m)
vm =
Δx = 10,5 m/s Δt t (s)
Gráfica posición-tiempo. La representación de la posición frente al tiempo para el mru del transbordador del Observa y aprende de la página anterior es una línea recta, cuya pendiente coincide con su velocidad.
Además de la gráfica posición-tiempo, también podemos representar gráficamente la velocidad frente al tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme, como la velocidad no varía, se obtiene una línea recta horizontal. En el caso de que el móvil haya llevado a cabo distintos movimientos, la gráfica posición-tiempo presentará varios tramos perfectamente diferenciados, correspondientes a cada uno de ellos.
v (m/s) 12 10 8 6 4 2 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
t (s)
Gráfica velocidad-tiempo. Es una línea horizontal para un mru, pues la velocidad no varía.
OBSERVA Y APRENDE Juan y Alicia trabajan en la misma oficina. La siguiente gráfica describe los movimientos realizados por Juan, tomando como punto de referencia la mesa de Alicia. Interpreta el significado de cada tramo.
Tramo A En el instante inicial, Juan se encuentra a 3 m a la derecha de la mesa de Alicia. Se desplaza con movimiento uniforme hacia la derecha (la gráfica es una línea recta de pendiente positiva). Su velocidad, calculada a partir de la representación, es: vA =
Δx Δt
=
8m–3m 10 s – 0 s
= 0,5 m/s
Tramo B En este tramo la línea recta horizontal indica que la posición no cambia con el tiempo. Juan se encuentra en reposo durante 25 s, a 8 m de Alicia. Cada tramo nos proporciona información sobre los distintos movimientos de Juan.
8 Un vehículo se mueve hacia la derecha con un movimiento uniforme, de modo que se desplaza 300 m desde su posición inicial en un intervalo de tiempo de 40 s, tras lo cual se detiene durante 10 segundos más. Dibuja y explica su gráfica de posición-tiempo. 9 Una persona pasea por una avenida recta en la que hay un quiosco de prensa que se toma como referencia. Interpreta esta gráfica en sus distintos tramos, que describe los movimientos de la persona.
Continúa practicando estos conceptos con las actividades 46 a 51 de las páginas 131 y 132.
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2 Ecuación del movimiento rectilíneo uniforme ¡Impresionante! En uno de sus vuelos experimentales, la NASA consiguió que su prototipo supersónico X-43 A, impulsado por motores atmosféricos, alcanzara la velocidad de 9,8 mach durante unos 10 segundos. Para que te hagas una idea, piensa que 1 mach equivale a la velocidad del sonido, es decir, 340 m/s, lo que significa que el avión alcanzó la sorprendente velocidad de 3 300 m/s, casi 12 000 km/h.
Como hemos visto, para un mru la dependencia entre la posición ocupada por el móvil y el tiempo es lineal, hecho que se pone de manifiesto al obtener la gráfica x-t. Esto nos permite expresar esa dependencia mediante una fórmula o ecuación. La ecuación de un movimiento rectilíneo uniforme, correspondiente a una dependencia lineal entre la posición y el tiempo, es: x = x0 + v · t El significado de las variables y constantes que aparecen en la ecuación es el siguiente: ❙❙x es la posición del móvil en un instante de tiempo. Por tanto, t es el instante de tiempo, cuyo valor determina, a través de la ecuación, la posición del móvil. ❙❙x0 se corresponde con la posición inicial del móvil, es decir, su posición respecto al punto de referencia cuando comenzamos a contar el tiempo (t = 0). Si x0 = 0, el móvil parte del punto de referencia. ❙❙v es la velocidad del móvil, cuyo valor es constante. La ecuación de un movimiento dado nos sirve para realizar cálculos diversos.
OBSERVA Y APRENDE Un coche circula a una velocidad constante de 15 m/s por una carretera recta. Cuando comenzamos a medir el tiempo, se encuentra a 400 m a la izquierda del punto tomado como referencia. a) Halla la posición (x) del coche cuando han transcurrido 10 min. b) Averigua en qué instante de tiempo se encontrará a 2 km de distancia del punto de referencia.
Aviones supersónicos.
En primer lugar, escribimos la ecuación que corresponde a este movimiento, teniendo en cuenta que la velocidad es constante. Considerando que la posición inicial del móvil es x0 = – 400 m, la ecuación del movimiento queda así: x = x0 + v · t
→
x = –400 + 15 · t
a) Para calcular la posición del móvil en un instante determinado, basta con sustituir en la ecuación. En este caso, para t = 10 min = 600 s, tenemos: x = – 400 m + 15 m/s · 600 s = 8 600 m = 8,6 km b) Para saber el instante en que el móvil se encontrará en la posición x = 2 km = 2 000 m, sustituimos de nuevo en la ecuación y despejamos: 2 000 m = – 400 m + 15 m/s · t → t = 160 s = 2 min 40 s La ecuación del movimiento nos permite realizar cálculos de posición y tiempo, sustituyendo los datos conocidos y despejando.
Continúa practicando estos conceptos con las actividades 52 a 55 de la página 132.
10 Interpreta las siguientes ecuaciones de movimiento, indicando para cada una la posición inicial, la velocidad del móvil y el sentido del movimiento: a) x = 30 + 6 · t b) x = – 10 · t c) x = –75 + 15 · t 11 La ecuación que describe el movimiento de un objeto en una cinta transportadora es x = 2 + 0,2 · t. Construye una tabla de datos de posición y tiempo y representa la gráfica correspondiente. ¿Qué tipo de movimiento describe el objeto?
120 UNIDAD 5
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3 Composición de movimientos rectilíneos y uniformes Imagina que cruzamos un río en una barca con movimiento rectilíneo y uniforme. La posición en la que alcanzaremos la orilla opuesta dependerá tanto del punto de partida como de la velocidad de la barca y de la corriente del río. Observa el dibujo:
vy = 3 m/s 120 m
y
vx = 0,5 m/s x
Composición de movimientos rectilíneos y uniformes.
Nuestro movimiento, y la trayectoria que describimos, es el resultado de la combinación de dos movimientos simultáneos e independientes: el de avance de la barca y el de la corriente de agua. Por tanto, hablamos de composición de movimientos.
El tiro parabólico Otro ejemplo de movimiento compuesto es el lanzamiento de proyectiles, entendiendo por proyectil cualquier cuerpo que, una vez impulsado, se mueve bajo la única acción de la gravedad. En él se combinan el movimiento rectilíneo (horizontal u oblicuo) del lanzamiento y el vertical de caída del proyectil. El resultado es una trayectoria curvilínea (parábola).
Para estudiar un movimiento que es composición de otros dos, debemos considerar los desplazamientos que se dan en dos direcciones (x e y), perpendiculares en este ejemplo. Cada uno de ellos tiene su propia ecuación de dependencia respecto al tiempo. Así, si la barca avanza a 3 m/s y la corriente la arrastra a 0,5 m/s, tendremos: Corriente: x = 0,5 t
Avance: y = 3 t
Si el río tiene una anchura de 120 m, entonces hacemos y = 120 y con este dato calculamos el tiempo que la barca tardará en alcanzar la orilla opuesta: t=
120 m 3 m/s
= 40 s
Tiro parabólico. Un proyectil, al ser lanzado, describe una parábola.
En ese tiempo, la corriente habrá desplazado a la barca hacia la derecha una distancia: x = 0,5 m/s · 40 s = 20 m Ambos movimientos son independientes, por lo que los cálculos se hacen por separado. Sin embargo, lo que nosotros percibimos es un solo movimiento rectilíneo desde la posición inicial a la posición final, situada en la orilla opuesta y 20 m hacia la derecha.
12 ¿Qué entendemos por composición de movimientos? ¿Por qué utilizamos, para este tipo de movimientos, dos ecuaciones distintas en lugar de una sola? 13 Imagina que pretendemos cruzar de una orilla a otra de un río con una barca que desarrolla una velocidad de 12 km/h. Teniendo en cuenta que la separación entre ambas orillas es de 240 m y que la corriente nos desplaza a 4 km/h, ¿cuánto tiempo invertiremos? ¿Qué distancia total habremos recorrido? 14 Tras adquirir la velocidad suficiente en pista, un avión inicia el despegue y comienza a ganar altura. Durante el ascenso, ¿podemos decir que la trayectoria del avión es el resultado de una composición de movimientos? Justifica tu respuesta. 15 Indica si las siguientes afirmaciones relativas a los movimientos rectilíneos y uniformes son ciertas o no. Justifica tus respuestas. a) La posición en un mru es cero cuando el tiempo es cero. b) La composición de movimientos rectilíneos uniformes da como resultado otro movimiento diferente de los que intervienen. c) En un mru, el móvil siempre se desplaza la misma distancia en el mismo tiempo.
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4
Movimiento rectilíneo uniformemente variado Un cuerpo que cae o un vehículo que frena son ejemplos cotidianos de movimientos cuya velocidad no es constante. Entre los movimientos variados, son especialmente importantes los que presentan una variación lineal de la velocidad. Un movimiento rectilíneo uniformemente variado (mruv) es aquel cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad aumenta o disminuye de forma lineal con el tiempo.
Aceleración 1 Para estudiar los movimientos variados es necesario introducir una nueva magnitud, que cuantifica la variación de la velocidad respecto al tiempo: la aceleración. La aceleración media (am) de un móvil se define como el cociente entre la variación de velocidad experimentada por el móvil y el intervalo de tiempo invertido en esa variación. La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es el metro por segundo al cuadrado (m/s2), pues se obtiene dividiendo velocidad (en m/s) y tiempo (en s). Aunque la aceleración es también un vector, como estamos considerando movimientos rectilíneos podemos trabajar solo con su valor, es decir: am =
Aceleración. A medida que el esquiador desciende por la pendiente, su velocidad va aumentando.
Δv Δt
=
v2 – v1 t2 – t1
A partir de la fórmula vemos que, si la velocidad aumenta, Δv será positivo, por lo que también la aceleración será positiva; pero si la velocidad disminuye, Δv será negativo y, en consecuencia, la aceleración será negativa. Cuando la aceleración del móvil es constante, el movimiento es uniformemente variado, pues entonces la velocidad varía de forma lineal respecto al tiempo. Podemos distinguir dos casos: ❙❙Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (mrua), en el cual la aceleración es constante y positiva. El móvil va aumentando su velocidad progresivamente, como ocurre en el caso de la caída de los cuerpos. ❙❙Movimiento rectilíneo uniformemente retardado (mrur), para el que la aceleración es constante y negativa. Un ejemplo es el frenado de un cuerpo que se desliza a causa del rozamiento, disminuyendo su velocidad gradualmente. 16 La aceleración está directamente relacionada con las variaciones de velocidad de un móvil. Contesta: a) Si un móvil se desplaza con movimiento uniforme, ¿cuál será su aceleración? ¿Por qué? b) ¿Puede ser negativa la aceleración de un móvil? Y si es así, ¿cómo deberíamos interpretar este signo? c) ¿Cómo es la aceleración de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Qué significa? 17 Realiza los cálculos que se indican en cada caso: a) En un instante t1 = 30 s, la velocidad de un móvil es v1 = 4,5 m/s. Si en un instante posterior (t2 = 75 s), la velocidad es v2 = 60,75 m/s, ¿cuál habrá sido su aceleración? b) Si un móvil que se mueve con una aceleración de 0,4 m/s2 tiene en el instante t1 = 10 s una velocidad de 15 m/s, ¿cuál será la velocidad de ese móvil en el instante t2 = 40 s?
122 UNIDAD 5
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2 Gráficas del movimiento uniformemente variado Al igual que en el movimiento rectilíneo uniforme, al representar gráficamente los valores de posición o de velocidad del móvil para diferentes instantes de tiempo se obtienen gráficas características del movimiento variado. Cuando representamos las posiciones ocupadas por el móvil en los distintos instantes de tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado, obtenemos parábolas como estas:
Movimiento acelerado. A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez mayor. El móvil va aumentando su velocidad.
Movimiento retardado. A intervalos de tiempo iguales, el desplazamiento es cada vez menor. El móvil va disminuyendo su velocidad.
En estas gráficas, el punto de corte con el eje de ordenadas es el valor de la posición inicial (x0) y el punto de corte con el eje de abscisas representa el instante en que el móvil pasa por el punto de referencia. Analizando ambas gráficas, vemos que en el primer caso la pendiente de la gráfica, que nos da la velocidad del móvil en cada instante, va aumentando progresivamente: se trata de un movimiento acelerado. En la segunda gráfica, la pendiente o, lo que es lo mismo, la velocidad del móvil, va disminuyendo, como corresponde a un movimiento retardado. Por otra parte, si representamos la gráfica velocidad-tiempo, el resultado es una línea recta cuya pendiente es, precisamente, la aceleración. Son las gráficas que ves al margen, correspondientes a un mrua (arriba) y a un mrur (abajo), respectivamente. En la gráfica de velocidad, los puntos de corte con los ejes también poseen significado físico. Así, el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es la velocidad inicial, es decir, la velocidad del móvil cuando comenzamos a medir el tiempo (t = 0). El punto de corte con el eje de abscisas, si existe, es el instante en que la velocidad del móvil es cero.
Gráfica velocidad-tiempo. En un mruv es una línea recta, ascendente si el movimiento es acelerado o descendente si es retardado. La pendiente de la gráfica proporciona el valor de la aceleración.
18 Tenemos los siguientes datos de posición y tiempo para un móvil: Posición (m)
–2
4
18
28
40
Tiempo (s)
0
2
4
5
6
a) Representa la gráfica x-t para este movimiento. b) ¿Qué tipo de movimiento es? ¿En qué te basas para responder? c) Halla, a partir de la gráfica, la posición inicial del móvil y el instante aproximado en el que pasa por el punto de referencia. 19 Un móvil parte del reposo e incrementa su velocidad a razón de 1,2 m/s cada 10 s. a) ¿Qué tipo de movimiento describe este móvil? Explica tu respuesta. b) ¿Cuánto vale su aceleración? ¿Qué signo le corresponde? c) Considerando los instantes de tiempo 0, 5 s, 10 s, 15 s y 20 s, elabora una tabla de datos de velocidad-tiempo y construye la gráfica correspondiente.
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3 Ecuaciones del movimiento uniformemente variado En función del espacio En un movimiento rectilíneo sin cambio de sentido, el desplazamiento y el espacio recorrido coinciden, y las ecuaciones pueden expresarse en función de esta última magnitud. De esta forma tenemos: 1 s = s0 + v0 · t + a · t 2 2 v 2 = v 20 + 2 a · (s – s0)
La gráfica velocidad-tiempo de un movimiento uniformemente variado pone de manifiesto una dependencia lineal de la velocidad respecto al tiempo, pues se obtiene una recta cuya pendiente es la aceleración. Por otra parte, la gráfica posición-tiempo indica que la posición es una función cuadrática del tiempo, ya que la curva obtenida es una rama de parábola. De esas representaciones pueden deducirse las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Las ecuaciones de un movimiento rectilíneo uniformemente variado para la velocidad y la posición del móvil en función del tiempo son: v = v0 + a · t
x = x0 + v0 · t +
1 2
a · t2
En estas ecuaciones, x0 y v0 son, respectivamente, la posición y la velocidad iniciales del móvil, es decir, en el instante t = 0. La aceleración, a, es constante. Si despejamos t de la ecuación de la velocidad y lo sustituimos en la ecuación de la posición, obtenemos una tercera ecuación, que relaciona directamente la posición y la velocidad: v2 = v20 + 2 a · (x – x0) Combinando las ecuaciones anteriores es posible realizar cálculos diversos. En estos cálculos es muy importante considerar el signo correcto para la aceleración: positiva o negativa, según sea un movimiento acelerado o retardado, respectivamente.
OBSERVA Y APRENDE Un móvil parte del reposo en línea recta a 30 m a la izquierda del punto de referencia con una aceleración constante de 5 m/s2. Halla su velocidad cuando han transcurrido 0,3 minutos, y calcula la posición del móvil en ese mismo instante. En primer lugar, debemos escribir las ecuaciones de movimiento. Como parte del reposo, tenemos que v0 = 0, y si inicialmente está a 30 m a la izquierda del punto de referencia, x0 = –30 m. De acuerdo con esto, tenemos: v=5t
x = –30 + 2,5 t2
Considerando t = 0,3 min = 18 s, sustituimos en la ecuación de velocidad: v = 5 t = 5 m/s2 · 18 s = 90 m/s Del mismo modo, podemos calcular la posición de móvil para t = 18 s: x = –30 + 2,5 t2 = –30 m + 2,5 m/s2 · (18 s)2 = 780 m A los 0,3 minutos de iniciado el movimiento, el móvil se encuentra a 780 m a la derecha del punto de referencia, y su velocidad es igual a 90 m/s.
20 Calcula la velocidad y la posición, cuando han transcurrido 20 s, de un cuerpo que se mueve en línea recta con una aceleración de 0,2 m/s2, sabiendo que parte de una posición situada 50 m a la izquierda del punto de referencia con una velocidad inicial de 10 m/s. 21 Un vehículo está frenando con una aceleración de 0,6 m/s2. Si su velocidad cuando comenzó a frenar era de 90 km/h, ¿cuánto tarda en pararse? ¿Qué distancia recorre durante la frenada? (Nota. Sitúa el punto de referencia en el lugar donde comienza la frenada).
124 UNIDAD 5
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4 Estudio de un caso particular: la caída libre Si tenemos un objeto en la mano y lo dejamos caer, observamos cómo su velocidad va aumentando progresivamente a medida que desciende. La caída de un objeto es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que el móvil parte con velocidad inicial cero. Si medimos el espacio recorrido por el objeto en distintos instantes de tiempo y dibujamos la gráfica s-t, obtenemos en efecto una parábola: s (m) t0 = 0 s
50
s0 = 0 m
t1 = 1 s
40
s1 = 4,9 m
t2 = 2 s
30
s2 = 19,6 m
20 10
t3 = 3 s
s3 = 44,1 m
1
2
3
t (s)
2
La aceleración de caída de los cuerpos, que es constante y vale 9,8 m/s , se designa con la letra g. Por lo tanto, teniendo en cuenta las ecuaciones generales del movimiento uniformemente acelerado y el valor de la aceleración en este caso, las ecuaciones de la caída libre son las siguientes: v=g·t
s=
1 2
El lanzamiento vertical Cuando lanzamos verticalmente un objeto, su movimiento es rectilíneo uniformemente retardado, con una aceleración negativa de –9,8 m/s2. En este caso, además de considerar que la aceleración es negativa, hay una velocidad inicial distinta de cero, por lo que las ecuaciones son estas: v = v0 – g · t 1 s = v0 · t – g · t 2 2 v 2 = v 20 – 2 g · s El cálculo más frecuente es el de la altura máxima, que corresponde al instante en que la velocidad es cero (v = 0).
v2 = 2 g · s
g · t2
Estas ecuaciones nos sirven para realizar cálculos en situaciones reales.
OBSERVA Y APRENDE Un objeto cae desde una altura de 7 m. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad con la que llega. Para determinar cuándo alcanza el suelo, utilizamos la fórmula del espacio recorrido, igualándolo a 7 m. De ahí despejamos el tiempo t: s=
1 2
g · t2 → 7 m =
1 2
· 9,8 m/s2 · t2 → t =
√
2·7m = 1,2 s 9,8 m/s2
Para hallar la velocidad con la que llega al suelo tenemos dos posibilidades: utilizar el tiempo que acabamos de calcular en la ecuación de la velocidad o usar la fórmula que relaciona la velocidad y el espacio recorrido. Haciendo esto último, tenemos: v2 = 2 g · s → v2 = 2 · 9,8 m/s2 · 7 m → v =
√ 137,2 m /s 2
2
= 11,7 m/s
El objeto llegará al suelo en 1,2 s con una velocidad de 11,7 m/s.
22 Se suelta un objeto que se encuentra suspendido a una altura de 18 m sobre el suelo y cae libremente. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar hasta el suelo? ¿Con qué velocidad alcanzará ese punto? 23 Un chico que se encuentra en su terraza deja caer una pelota de tenis para que un amigo la recoja. Si la pelota ha alcanzado el suelo con una velocidad de 5,2 m/s, calcula la altura desde la que se ha dejado caer y el tiempo invertido en la caída. 24 Se lanza hacia arriba una bola con una velocidad de 12 m/s. ¿Qué movimiento describe? Calcula la altura máxima que alcanzará y en tiempo que invertirá para ello.
Continúa practicando estos conceptos con las actividades 56 a 66 de las páginas 132 y 133.
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5
Movimiento circular uniforme Si observamos una noria en un parque de atracciones, veremos que describe un movimiento circular a intervalos de tiempo regulares. Se trata de un ejemplo de un tipo de movimiento muy habitual. Un movimiento circular uniforme (mcu) es el que posee una trayectoria circular y un valor de velocidad constante. Para estudiar el movimiento circular uniforme es conveniente definir unas nuevas magnitudes, llamadas angulares. De este modo, nos interesará el ángulo recorrido por el móvil sobre la circunferencia, a partir del cual definiremos la velocidad angular.
1 Ángulo recorrido El radián Un radián (rad) es el valor del ángulo para el cual el radio mide igual que el arco que abarca. La circunferencia completa tiene una longitud igual a 2 π R y corresponde a un ángulo de 360º. De aquí podemos deducir que 360° = 2π rad y calcular la equivalencia en radianes de cualquier ángulo. Observa algunos ejemplos en esta tabla:
GRADOS
RADIANES
0º
0 rad
45º
π/4 rad
90º
π/2 rad
180º
π rad
270º
3π/2 rad
Un móvil en movimiento circular uniforme recorre el mismo espacio sobre su trayectoria en intervalos iguales de tiempo; pero, como está girando en torno a un punto fijo (el centro de la circunferencia que describe), también podemos considerar que barre un determinado ángulo (φ) en cada intervalo de tiempo.
R
Cada 10 segundos, la manecilla del cronómetro recorre un ángulo φ de 60º. Es un movimiento circular uniforme.
La unidad del Sistema Internacional para medir ángulos es el radián (rad). La conversión entre grados y radianes se realiza teniendo en cuenta que 360º equivalen a 2π radianes. Cuando el ángulo se mide en radianes, se puede relacionar el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria —que es la longitud del arco— con el ángulo correspondiente, a través del radio de la circunferencia. La fórmula, que se deduce de la propia definición de radián, es la siguiente: φ=
s R
Con esta relación podemos calcular el espacio que corresponde a un ángulo dado, y viceversa, conociendo el radio de la trayectoria. Tanto el espacio como el radio deben expresarse en las mismas unidades de longitud.
25 Realiza la conversión de los siguientes ángulos, expresados en grados, a radianes: a) 225º b) 480º c) 145º d) 100 26 Un móvil describe una trayectoria circular de radio 4 m. Calcula el ángulo que corresponde a los siguientes valores de espacio recorrido: a) s = 20 cm. b) s = 0,7 m. c) s = 15 m. d) s = 40 m. 27 Un móvil que gira en una trayectoria de 2 m de radio recorre una distancia de 48 m hasta que se para por completo. Calcula el ángulo total barrido por el móvil en su móvil. ¿Cómo debemos interpretar que este ángulo sea mayor que 2π radianes?
126 UNIDAD 5
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2 Velocidad lineal y velocidad angular Para determinar la rapidez con la que un móvil describe un movimiento circular uniforme, podemos considerar indistintamente el ángulo o el arco que recorre en cada intervalo de tiempo. Esto significa que es posible definir dos velocidades diferentes. La velocidad angular media (ω) de un móvil es el cociente entre el ángulo que barre en un cierto intervalo de tiempo y el valor de ese intervalo. La velocidad lineal (v) se obtiene como el cociente entre el espacio o arco recorrido y el intervalo de tiempo empleado. Ambas magnitudes son constantes en un mcu. La unidad de velocidad angular en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s), pues el ángulo se mide en radianes y el tiempo, en segundos. La velocidad lineal, por su parte, se mide en m/s. De las definiciones se deducen las siguientes fórmulas: ω=
Δφ
v=
Δt
Δs Δt
Si tenemos en cuenta la relación que existe entre el ángulo y el espacio recorrido, es posible obtener una fórmula que relaciona la velocidad angular y la velocidad lineal: φ=
s R
→
s=R·φ ; v=
Δs Δt
=
R · Δφ Δt
=R·ω
→
v=R·ω
Los movimientos circulares tienen, además, otra particularidad: son cíclicos o periódicos, pues el móvil describe una y otra vez la misma trayectoria. Esto nos permite definir otras dos magnitudes muy importantes: ❙❙La frecuencia (f): es el número de vueltas completas que da el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz, equivalente a s–1). Como cada vuelta equivale a 2π rad, la relación entre velocidad angular y frecuencia viene dada por la fórmula:
Medir la frecuencia. El cuentarrevoluciones del coche nos indica la frecuencia del motor en rpm (revoluciones o vueltas por minuto).
ω = 2π f ❙❙El período (T): es el tiempo invertido por el móvil en completar una vuelta. La frecuencia y el período son magnitudes inversas. De este modo, se verifican estas relaciones: f=
1 T
ω=
2π T
28 Un móvil describe un movimiento circular uniforme con un radio de 20 m en el cual barre un ángulo de 3 radianes cada minuto. Calcula: a) La velocidad angular del móvil. b) El ángulo que recorre en 50 segundos. c) La velocidad lineal que lleva. 29 Un tiovivo tarda 18 segundos en completar una vuelta. Calcula: a) La velocidad angular del tiovivo. b) El ángulo que recorre en 12 segundos. c) La frecuencia del movimiento descrito por el tiovivo. 30 Si un móvil describe un movimiento circular uniforme del que solo conocemos su velocidad lineal, ¿podemos calcular su velocidad angular? Justifica tu respuesta.
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3 Gráficas y ecuaciones del movimiento circular uniforme Si representamos el espacio recorrido y el ángulo frente al tiempo para un objeto que se mueve con movimiento circular uniforme, obtenemos en ambos casos líneas rectas que ponen de manifiesto una dependencia lineal. Las pendientes son, respectivamente, la velocidad lineal y la velocidad angular del móvil. El punto de corte con el eje de ordenadas corresponde al espacio o al ángulo inicial (cuando t = 0). Por consiguiente, para el movimiento circular uniforme, obtenemos ecuaciones similares a las que corresponden a un movimiento rectilíneo uniforme.
Gráfica φ-t. En el movimiento circular uniforme, esta gráfica es lineal.
Las ecuaciones de un movimiento circular uniforme para el espacio recorrido y el ángulo en función del tiempo son: s = s0 + v · t φ = φ0 + ω · t
OBSERVA Y APRENDE Un objeto se mueve con mcu en una trayectoria de radio 1,5 m y con una velocidad angular de 0,2 rad/s, con ángulo inicial cero. Escribe las ecuaciones del movimiento y calcula el ángulo y el espacio que ha recorrido después de 1 minuto. Hallamos primero la velocidad lineal, a partir de la velocidad angular y el radio: v = ω · R = 0,2 rad/s · 1,5 m = 0,3 m/s Con este dato, ya podemos escribir las ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto s0 como φ0 son nulos: s = 0,3 t ; φ = 0,2 t Las ecuaciones anteriores nos sirven para conocer el espacio y el ángulo que nos piden: s = 0,3 t = 0,3 m/s · 60 s = 18 m φ = 0,2 t = 0,2 rad/s · 60 s = 12 rad (1,9 vueltas) Es fácil comprobar que s = φ · R → 18 m = 12 rad · 1,5 m Movimiento circular uniforme. Los ocupantes de esta noria mantienen una velocidad lineal y una velocidad angular constantes.
En 1 minuto, el móvil recorre 18 m, equivalentes a un ángulo de 12 radianes.
31 Para un objeto que se mueve en una trayectoria circular hemos obtenido los siguientes datos de ángulos en distintos instantes de tiempo: Ángulo, φ (rad) Tiempo, t (s) Continúa practicando estos conceptos con las actividades 67 a 71 de la página 133.
0,5
1
1,75
2,5
4,25
0
2
4
8
15
a) Representa la gráfica φ-t para este movimiento. ¿Qué tipo de movimiento es? b) Calcula la velocidad angular del móvil a partir de la gráfica obtenida. c) Escribe la ecuación que se deduce de la gráfica. d) El radio de la trayectoria es de 20 cm. Escribe la ecuación correspondiente al espacio recorrido en función del tiempo. 32 Un móvil describe una trayectoria circular de 6 m de diámetro con un movimiento cuya ecuación es de la forma: φ = 10 + 0,4 · t. a) ¿Qué tipo de movimiento tiene? Indica el valor de su velocidad angular. b) Halla el ángulo recorrido por el móvil al cabo de 30 segundos. c) Escribe la ecuación del movimiento en función de las magnitudes lineales, s y v.
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La ciencia... más cerca La caída de los cuerpos: el triunfo de la experimentación Aunque no solemos cuestionarnos el hecho de si la caída de los cuerpos depende de su masa, es decir, de lo pesados que sean, nuestra intuición nos induce a pensar que, si dos cuerpos se dejan caer desde la misma altura, el que llegará al suelo antes será el más pesado. El fenómeno de la caída libre de los cuerpos ya fue objeto de atención por parte del filósofo griego Aristóteles, discípulo predilecto de Platón, que vivió en el siglo iv a. C. Este pensador, basándose únicamente en la observación inmediata, entendía que existía una relación directa con el peso, de modo que afirmó: «No todos los cuerpos caen a la misma velocidad; la velocidad de caída será mayor cuanto más pesado sea un cuerpo». El prestigio incuestionable de Aristóteles hizo que su doctrina perdurase durante siglos. Su influencia, en consecuencia, inspiró las incipientes ciencias que se empezaron a desarrollar como tales a finales de la Edad Media. Pero en el siglo xvii surge en el panorama científico la figura del italiano Galileo Galilei, incansable experimentador, que estudió, entre otras cuestiones, el movimiento de los cuerpos. Galileo realizó numerosas experiencias de caída de objetos sobre planos inclinados y dedujo que la velocidad de caída de los cuerpos dependía de la altura desde la que se dejaban caer y no de su masa. Es, por tanto, Galileo quien definitivamente rompe con la intuición y enuncia: «Todos los cuerpos caen a la misma velocidad, con independencia de su peso». Actualmente ya no existe controversia al respecto. El hecho de que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, con independencia de su peso, se comprueba en una cámara de vacío, en la que no existe el rozamiento con el aire, mediante fotografía de alta velocidad.
INCLUSO EN EL ESPACIO El interesante fenómeno de la caída libre de los cuerpos ha superado las fronteras terrestres, y ha sido merecedor de ser estudiado y reproducido nada menos que en la Luna. El 20 de julio de 1969, el Apolo XI se encontraba en misión espacial, con el histórico acontecimiento de la llegada del ser humano a la Luna. Una de las experiencias llevadas a cabo por el astronauta norteamericano Neil Armstrong consistió en comprobar la ley de caída de graves de Galileo. Se dejaron caer dos objetos de diferente masa desde la misma altura en un medio ausente de aire: ambos llegaron al suelo al mismo tiempo, como ya demostró el físico italiano en su momento.
Neils Amstrong en la Luna. El astronauta aparece fotografiado junto a la bandera de los EE. UU.
UN CIENTÍFICO ESPAÑOL Si bien Galileo fue un gran estudioso del movimiento y llegó a establecer relaciones matemáticas precisas entre velocidades y distancias recorridas, no fue el único en su época. Otros científicos de la talla de Leibniz o Huygens también hicieron aportaciones importantes. Precisamente entre los predecesores de Galileo se encuentra Domingo de Soto, español nacido en Segovia en 1494, quien publicó una obra titulada Comentarios y cuestiones a la Física de Aristóteles, en la cual consideraba el movimiento de caída de los cuerpos como un ejemplo de movimiento variado.
Caída libre de cuerpos con distinto peso.
33 La caída libre es un claro ejemplo de cómo el método científico —basado en la observación y la experimentación— nos ayuda a comprender el mundo. ¿Qué diferencias existen entre un filósofo y un científico? 34 Desde finales del siglo xvii se conocen las ecuaciones que rigen el fenómeno de la caída libre. ¿Confirman las ecuaciones los resultados experimentales de Galileo?
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Repasa lo fundamental Movimientos
Comenzamos estudiando los
que se describen con magnitudes como Trayectoria Velocidad
y se clasifican según su Analizamos el movimiento
Posición Tiempo Espacio recorrido Velocidad
Rectilíneo uniforme Posición-tiempo (x-t) Velocidad-tiempo (v-t)
estudiando sus gráficas de además de su y la Trabajamos también el movimiento para lo cual definimos la También estudiamos el movimiento
Ecuación de movimiento Composición de movimientos
Rectilíneo uniformemente variado Aceleración
y estudiamos sus
Gráficas Ecuaciones
Circular uniforme introduciendo nuevas magnitudes como Ángulo recorrido Velocidad angular Período Frecuencia
Por último, analizamos el estudio experimental de
La caída de los cuerpos
Este esquema te servirá de base para asimilar los contenidos de la unidad. Utilízalo para estudiar, completándolo con las definiciones o aclaraciones que necesites.
Y realiza un trabajo de investigación El movimiento circular Con un cronómetro y el microondas de la cocina podrás realizar esta sencilla experiencia sobre el movimiento circular. Coloca un vaso con agua en el borde del plato del microondas y selecciona el indicador de potencia en un valor bajo (por ejemplo, descongelación). Pon en marcha el microondas de modo que se mantenga funcionando durante, al menos, 3 minutos. Con tu cronómetro, mide exactamente el tiempo que tarda el plato en realizar dos giros completos, y anota el resultado. Repite esta operación tres veces y calcula la velocidad angular en cada caso. ¿Podemos afirmar que, durante su funcionamiento, el vaso colocado sobre el plato del microondas describe un movimiento circular uniforme? Busca la información que necesites en libros o en Internet y redacta, de acuerdo con las fases del método científico, un breve informe sobre esta experiencia, incluyendo tus conclusiones finales sobre el resultado obtenido.
Microondas.
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PRACTICA
Descripción del movimiento. Velocidad
35 Define los siguientes términos: movimiento, punto de referencia y posición. 36 Contesta las siguientes cuestiones, explicando tu respuesta en cada caso: a) ¿Por qué hay que tomar como referencia un punto fijo e invariable para describir el movimiento? b) ¿Qué ocurrirá si el punto que tomamos como referencia también está en movimiento con respecto a otro punto? 37 Explica claramente con ejemplos la diferencia entre: a) Posición y trayectoria. b) Espacio recorrido y desplazamiento. c) Instante e intervalo de tiempo. 38 El ciclista del dibujo circula por una pista horizontal. Elabora una tabla posición-tiempo, interpretando el significado de cada pareja de datos. Toma como referencia la señal de tráfico.
39 Interpreta el significado físico de los siguientes datos: a) x = 40 m
b) x = –12 m
c) Δx = 36 m
d) Δx = –180 m
e) s = 60 m
f) x = 0
40 Si el desplazamiento de un móvil es Δx = 48,3 m y su posición final es xf = 13,2 m, ¿en qué posición se encontraba el móvil inicialmente? ¿Podemos afirmar que el objeto se ha desplazado hacia la derecha? Explícalo.
45 En una prueba de clasificación para un gran premio de automovilismo, un primer piloto ha completado el recorrido de 4 700 m en 2 min y 10 s; un segundo piloto lo ha realizado a una velocidad de 140 km/h; y un tercer piloto lo ha hecho a la velocidad de 37 m/s. ¿Cómo quedará distribuida la parrilla de salida?
Movimiento rectilíneo uniforme 46 Define el movimiento rectilíneo uniforme e indica dos movimientos reales de este tipo. 47 En un movimiento rectilíneo uniforme: a) ¿Cómo es la velocidad? b) ¿Cómo es la trayectoria? c) ¿Cómo son las gráficas de posición y velocidad? 48 En el dibujo se representa la posición de un corredor en diferentes instantes de tiempo durante una carrera.
a) Construye una tabla de datos posición-tiempo. Toma como punto de referencia la valla. ¿De qué tipo es el movimiento? Haz los cálculos de velocidad media necesarios. b) Representa los datos de la tabla. ¿Confirma la representación gráfica tu respuesta del apartado anterior? 49 De las siguientes ecuaciones de movimiento, indica la que corresponde a cada una de las gráficas y explica por qué: ❙ x = –100 + 4 t ❙ x = 6 t ❙ x = 50 – 10 t ❙ x = 10 + 2 t a) b)
41 ¿Puede un objeto que se está moviendo tener un desplazamiento cero? ¿Puede ser cero el espacio que recorre? Explica tus respuestas con ejemplos. 42 Define qué se entiende por velocidad media y por velocidad instantánea. Si miramos el indicador de velocidad de nuestro coche en un momento dado durante un viaje, ¿cuál de las dos magnitudes estamos midiendo? 43 Calcula la velocidad media de un móvil que se encuentra inicialmente en un punto situado a 80 m a la izquierda del punto de referencia y que, transcurridos 40 s, está a 0,12 km la derecha de este. Interpreta el resultado.
c)
d)
50 ¿Cuál de los siguientes móviles (A o B) tiene mayor velocidad? Explica tu respuesta.
44 Realiza los siguientes cambios de unidades de velocidad: a) v = 43,2 km/h en m/s. b) v = 6,5 m/s en km/h. c) v = 5,4 · 103 cm/min en m/s. d) v = 0,3 km/min en m/s. Movimientos rectilíneos y circulares. Cinemática 131
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51 Interpreta esta gráfica de posición, indicando el tipo de movimiento que representa, la posición inicial, la velocidad del móvil y el sentido del movimiento. De acuerdo con los datos que se indican, ¿pasa este móvil por el punto de referencia? Explica tu respuesta. x (m)
ovimiento rectilíneo uniformemente M variado 56 Calcula el valor de la aceleración en los siguientes casos: a) Una moto de gran cilindrada adquiere una velocidad de 35 m/s a los 2 s de haber comenzado la carrera. b) Un coche aumenta su velocidad de 54 km/h a 20 m/s en 3 s.
75
c) Un patinete eléctrico reduce su velocidad de 10 m/s a 18 km/h en 12 s. 25 1,5
xt(s)
52 La ecuación x = 90 – 5 t describe matemáticamente el movimiento de un objeto que se desplaza horizontalmente a velocidad constante. Calcula: a) El instante de tiempo en que el móvil se encontrará en la posición x = 20 m. b) La posición en la que se encontrará el móvil cuando t = 2 min. Interprétalo.
57 Calcula la variación de velocidad experimentada por un móvil que se desplaza con una aceleración constante e igual a 1,2 m/s2 durante un intervalo de tiempo de 20 s. Si la velocidad en el instante inicial era de 4 m/s, ¿qué velocidad adquirió el móvil transcurridos los 20 segundos? 58 A partir de la gráfica, indica la velocidad inicial del móvil, su aceleración y el sentido del movimiento. v (m/s) 24
c) El desplazamiento del móvil entre los instantes t1 = 10 s y t2 = 25 s. ¿Qué significa? 53 Un patinador se desplaza de un extremo a otro de una pista de hielo de 120 m de longitud con una velocidad constante de 8,5 m/s. Calcula: a) El desplazamiento del patinador entre los instantes t1 = 4 s y t2 = 9 s. b) El instante en que alcanza el centro de la pista. c) El tiempo que invertirá en recorrer la pista. 54 Un tren que circula a velocidad constante ha atravesado un paso a nivel e inicia un tramo recto. Ponemos en marcha un cronómetro cuando se encuentra a 250 m del paso a nivel; cuando marca 1 min 15 s, el tren está a 2 650 m. a) Calcula la velocidad media del tren y escribe su ecuación de movimiento. b) Calcula la posición del tren a los 25 segundos. c) Dibuja la gráfica posición-tiempo correspondiente. 55 Construye las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo para un móvil a partir de esta información: a) Cuando t = 0, se encuentra a 10 m a la izquierda del punto de referencia. b) En los primeros 45 s, se mueve hacia la derecha del punto de referencia con una velocidad tal que recorre 10 m en 4 s.
6 7,2
t (s)
59 En el instante t1 = 4 s, la velocidad de un móvil es v1 = 27 km/h. ¿Cuál será la velocidad del móvil en el instante t2 = 5 s, sabiendo que está frenando a razón de 0,4 m/s en cada segundo? 60 La ecuación que describe el movimiento de un coche en el momento en que va a efectuar un adelantamiento es: x = 850 + 21 t + 0,6 t2 a) ¿De qué tipo de movimiento se trata? b) Calcula la posición inicial del coche respecto al punto que hemos tomado como referencia. c) Halla la velocidad inicial del coche y el valor de su aceleración. d) ¿En qué posición se encontrará el coche cuando han transcurrido 5 segundos? e) Escribe la ecuación de velocidad para este movimiento. 61 Dada la siguiente ecuación de movimiento (unidades del SI):
c) Desde los 45 s hasta los 60 s, se halla en reposo.
x = 15 t + 0,1 t 2 a) ¿Qué tipo de movimiento representa? Calcula la posición del móvil en el instante t = 12 s.
d) A los 60 s, inicia un mru de regreso al punto de referencia a una velocidad de 3 m/s.
b) ¿Cuál será el desplazamiento experimentado por el móvil entre los instantes t1 = 5 s y t2 = 15 s?
e) Se detiene a 20 m a la izquierda del punto de referencia.
c) Escribe la ecuación de velocidad y calcula la velocidad que tendrá el móvil en el instante t = 6 s.
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62 Un tren que se encuentra en la estación inicia su movimiento partiendo del reposo, acelerando de tal forma que a los dos minutos su velocidad es de 110 km/h. Calcula: a) El instante de tiempo en que la velocidad del tren es de 55 km/h, y su posición en ese momento. b) La distancia recorrida por el tren, desde el inicio del movimiento, cuando alcance la velocidad de 125 km/h. Ten en cuenta que necesitarás escribir las ecuaciones de movimiento para realizar tus cálculos. Puedes tomar como punto de referencia la estación. 63 Una grúa, que circula por una avenida a una velocidad de 13 m/s, encuentra un semáforo en rojo y frena con una aceleración de –1,8 m/s2. a) Calcula el instante en que se detiene por completo. Dibuja la gráfica de velocidad frente al tiempo que corresponde a este movimiento de frenada. b) ¿Cómo debe ser la gráfica de posición frente al tiempo en este caso? Dibújala y explícala brevemente. 64 Durante una feria de la ciencia, se deja caer, partiendo del reposo, una bola desde lo alto de una torre, de modo que cae libremente y llega hasta el suelo con una velocidad de 14 m/s. Calcula el instante de tiempo en que toca el suelo y la altura de la torre desde la que se ha dejado caer. 65 Un paracaidista salta desde un avión que vuela a 2 500 m de altura. Cae libremente durante 15 s y, en ese instante,
abre su paracaídas y continúa la caída a una velocidad constante de 35 km/h. Halla el tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se lanzó del avión
Movimiento circular uniforme 66 Resume las características del movimiento circular uniforme y define las magnitudes angulares que lo describen. 67 La bolita de una ruleta gira con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Si el diámetro de la ruleta es de 1,2 m, calcula: a) La velocidad lineal de la bolita. b) El ángulo y el espacio que recorre en 15 segundos. c) La frecuencia del movimiento. 68 Calcula la velocidad angular de un engranaje que invierte 1,5 s en completar una vuelta. Si el diámetro de la pieza es de 40 cm, ¿cuál será la velocidad lineal de uno de los dientes de este engranaje? 69 Un móvil con movimiento circular uniforme tiene una frecuencia de 4 Hz y una velocidad lineal de 6 m/s. a) Halla su velocidad angular y el radio de la trayectoria. b) Calcula el tiempo que tarda el móvil en recorrer un ángulo de 2 radianes. 70 Un patinador de velocidad debe superar una marca de 20 s en una pista circular de 150 m de diámetro para clasificarse en una competición. a) ¿Qué velocidad angular debe alcanzar? ¿A qué velocidad lineal equivale en este caso? b) El atleta logra alcanzar la velocidad de 88 km/h. ¿En cuánto queda establecida su marca?
Aplica lo aprendido 73 Durante los entrenamientos para una carrera automovilística, los pilotos tienen que completar una vuelta previa al circuito. El coche número 16 se encuentra en la línea de salida. En cuanto recibe la señal inicia su marcha, acelerando de forma que a los 8 s su velocidad es de 180 km/h. A partir de ese instante, mantiene esa velocidad constante durante los 3,5 km siguientes, momento en el cual se ve obligado a disminuir su velocidad hasta los 108 km/h, en lo cual invierte un tiempo de 2 s. Entonces mantiene esta nueva velocidad constante durante los 600 m siguientes, para aumentarla de nuevo con una aceleración de 1,2 m/s2, que mantiene durante los 15 s que tarda en rebasar la línea de meta, contados desde el momento en que comienza a acelerar. a) Realiza un dibujo esquemático del movimiento del vehículo, en que aparezcan indicados los distintos tramos recorridos, y los datos del movimiento de que dispongas.
b) Calcula la aceleración del coche en el primer tramo y su posición en el momento en que alcanza la velocidad de 180 km/h. c) ¿Qué distancia lleva recorrida el vehículo en el momento en que comienza a frenar? ¿Qué distancia ha recorrido durante los 2 s de frenada? d) En el tramo final el vehículo acelera hasta entrar finalmente por la línea de meta. ¿Con qué velocidad cruza la meta? ¿Qué longitud tiene este último tramo? e) Calcula el tiempo total invertido en la vuelta al circuito por el vehículo y la longitud del circuito, que coincide con la distancia recorrida por el coche durante la vuelta de prueba. f) Dibuja las gráficas de posición y de velocidad correspondientes a este movimiento.
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Revista de ciencia Se investiga
pero ya se cuenta Era una idea de ciencia-ficción, trata de los con resultados prometedores. Se incorporación la a cias vehículos autónomos, gra s de ema de los últimos avances en los sist , que progresan de comunicación y geolocalización n Google tiene forma vertiginosa. Así, la corporació nomo biplaza, en fase de prueba un vehículo autó esta carrera En . al que han denominado «koala» ducción por lograr un coche seguro de con próximos cinco autónoma, se pretende que en los puedan realizar años ya existan automóviles que especialmente esta tarea en algunas autopistas que, dentro de preparadas para ello, y se prevé por millones los dos décadas, se puedan contar ras y ciudades. vehículos autónomos en las carrete
¿Sabías que…?
El estadoun idense Kyle Wester es d el ser huma esde 2016 no más ráp ido sobre u con una im n monopatí presionante n, marca de 1 Este experi 44 km/h. mentado p atinador se una pendie lanzó por nte, ataviad o con un tra y un casco je especial ergonómico , y logró ba anterior, pró tir la marca xima a los 1 30 km/h. En proyectos in tre sus mediatos e stá mejorar registro, alc s u propio anzando la s 100 millas nada meno por hora, s que 161 k m/h.
Personajes de Ciencia El italiano Galileo Galilei (1564-1642) ocupa un lugar privilegiado en la historia de la ciencia, tanto por sus aportaciones en Astronomía y Cinemática, como por su defensa acérrima del método científico, que le valió un duro enfrentamiento con la Inquisición en aquella época. Fue, además de un experimentador audaz, un pensador original y un escritor destacado.
En clave medioambien
tal
¿Cómo fue?
n es muy de combustió es or ot m s lo e primer La historia d iderar que el ns co e d ue p e interesante. S entado tipo fue el pat te es e d motor ; rown en 1823 por Samuel B un motor se trataba de in atmosférico (s Para compresión). o más encontrar alg s actuales lo parecido a atro tiempos, motores de cu o 1861, avanzar al añ tenemos que Beau cés Alphonse cuando el fran ipción entó la descr o. de Rochas pat rimer prototip rrecta de un p co y ta le p m co
¿Qué contamina más, un motor di ésel u otro de gasolina de la s mismas presta ci ones? No es fácil responde r a la pregunta. El motor diésel consume menos combust ible y emite menos dióxido de carbono, pero pr oduce más óxidos de ni trógeno y mayor ca ntidad de partículas. Ta mbién es cierto qu e tanto los óxidos como las partículas perman ecen menos tiempo en la atmósfera. Afortunadamente , ambos tipos de motores están siendo ob jeto de continua s m ejoras, que se reflejan en mayores prestaci ones y menor consumo.
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© de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2021 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
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Física y Química
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Presentación Este cuaderno, dirigido a los alumnos que cursan la materia de Física y Química en 4.º de ESO, tiene como objetivo principal facilitar la adquisición de los contenidos y el desarrollo de las competencias en el ámbito de esta materia. Este material lo configuran los temas correspondientes a los siguientes bloques de contenidos: El saber científico, La materia y sus transformaciones, La química del carbono, El movimiento: cinemática, Las fuerzas: dinámica, La Tierra en el universo: gravitación, Energía y trabajo. Todos los bloques incorporan de forma muy sucinta una serie de contenidos, a los que les siguen actividades para resolver. De este modo, se favorece la consolidación de dichos contenidos. Cada bloque temático finaliza con una batería de actividades que relacionan los contenidos trabajados con situaciones de la vida cotidiana o de nuestro entorno; una lectura científica, también acompañada de actividades; una sección para investigar con el ordenador y una autoevaluación.
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El movimiento. Cinemática Descripción del movimiento El movimiento es un fenómeno físico, pues la naturaleza de los cuerpos que se mueven no cambia. El movimiento es relativo, es decir, implica asumir un punto de referencia. Decimos que un objeto se encuentra en movimiento cuando cambia de posición con respecto a un punto fijo tomado como referencia. Al cuerpo en movimiento lo denominamos móvil.
Para describir el movimiento, se utilizan las siguientes magnitudes: • Posición: lugar en el que se encuentra el móvil respecto al punto de referencia. En el caso de un movimiento rectilíneo, la llamaremos x, y será positiva si el móvil se encuentra a la derecha del punto de referencia y negativa si está a su izquierda. • Desplazamiento (Δx): diferencia entre dos posiciones del móvil correspondientes a dos instantes de tiempo. Se calcula por medio de la fórmula: Δx = x2 – x1. • Trayectoria: línea imaginaria, rectilínea o curvilínea, que une las posiciones que recorre el móvil. • Espacio recorrido (s): distancia que ha recorrido el móvil en un cierto intervalo de tiempo, medida sobre la trayectoria.
Velocidad y aceleración La velocidad media (vm) se define como el cociente entre desplazamiento e intervalo de tiempo. Su unidad en el SI es el m/s, aunque también se expresa en km/h.
vm =
Δx x – x1 = 2 Δt t2 – t1
Además de la velocidad media, también es posible definir la velocidad instantánea: aquella que tiene el móvil en un instante de tiempo dado. Según la velocidad, los movimientos se pueden clasificar en: • Uniformes: aquellos cuya velocidad es constante. • Variados: aquellos cuya velocidad no es constante. Pueden ser acelerados, si la velocidad aumenta, o retardados, si disminuye.
En los movimientos variados, el cambio de la velocidad se mide mediante la aceleración. La aceleración media (am) se define como el cociente entre la variación de velocidad experimentada por el móvil y el intervalo de tiempo. Su unidad en el SI es el m/s2.
am =
Δv v – v1 = 2 Δt t2 – t1
A partir de los datos de posición del móvil en distintos instantes de tiempo, es posible calcular su velocidad y su aceleración. El movimiento. Cinemática
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Movimiento rectilíneo uniforme (mru) Cuando un móvil se desplaza en línea recta, decimos que tiene un movimiento rectilíneo; si además, en cada intervalo de tiempo recorre siempre la misma distancia y mantiene su velocidad constante, el movimiento es rectilíneo uniforme.
Un movimiento rectilíneo uniforme (mru) es aquel en el cual el móvil se mueve en línea recta y con una velocidad constante.
La ecuación de un movimiento rectilíneo uniforme relaciona la posición del móvil con el tiempo, a través de una dependencia lineal: x = x0 + v · t donde x0 es la posición del móvil en el instante inicial (t = 0) y v es su velocidad.
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (mruv) Con frecuencia, los móviles no siguen un movimiento rectilíneo uniforme, sino que su velocidad aumenta o disminuye en ciertos intervalos de tiempo; es el caso, por ejemplo, de un vehículo que acelera cuando inicia la marcha y que frena para detenerse en un semáforo. Decimos entonces que el movimiento es variado.
Un movimiento rectilíneo uniformemente variado (mruv) es aquel cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad aumenta o disminuye de forma constante a lo largo del tiempo.
Las ecuaciones de posición y velocidad que permiten definir este tipo de movimiento son las siguientes: x = x0 + v0 · t +
1 · a · t2 2
v = v0 + a · t donde x0 y v0 son la posición y la velocidad iniciales, respectivamente, y a es la aceleración. Si el movimiento es uniformemente variado, la aceleración tiene un valor constante y las ecuaciones anteriores pueden utilizarse para calcular la posición y la velocidad del móvil en un instante determinado de tiempo. Además, combinando adecuadamente estas ecuaciones (despejando el tiempo de la segunda y sustituyendo en la primera), se obtiene una tercera ecuación que relaciona directamente la posición y la velocidad: v2 = v 20 + 2 · a · (x – x0) 26
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Gráficas de movimiento Además de las ecuaciones de posición y velocidad, otra forma de estudiar los movimientos consiste en representar gráficamente la posición del móvil o su velocidad frente al tiempo. Las gráficas resultantes son características de cada tipo de movimiento: x (m)
x (m)
x (m)
v tref
tref
t (s)
x0
Movimiento rectilíneo y uniforme
tref
t (s)
t (s)
x0
x0
Movimiento uniformemente acelerado
Movimiento uniformemente retardado
Para interpretar estas gráficas, han de considerarse los siguientes aspectos: • El punto de corte con el eje de abscisas indica el instante en que el móvil pasa por el punto de referencia, mientras que el corte con el eje de ordenadas señala el valor de la posición inicial. • La pendiente es la velocidad del móvil. • La gráfica de un mru es una línea recta (velocidad constante); en cambio, en el mruv son ramas de parábola, pues la dependencia x-t no es lineal, sino cuadrática.
La caída libre Un objeto en caída libre describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuya aceleración viene dada por el valor de la gravedad (g), que en la superficie de la Tierra es de aproximadamente 9,8 m/s2.
Observa que, en todos los casos, la aceleración de caída está determinada por el valor de la gravedad, con independencia de la masa del objeto que cae. De acuerdo con esto, y considerando constante dicho valor de aceleración, las ecuaciones que rigen el movimiento de caída libre de un objeto pueden expresarse como un caso particular de las del movimiento uniformemente acelerado. Las ecuaciones de un movimiento de caída libre son: s = s0 + v0 · t +
1 · g · t2 2
v = v 20 + g · t v2 = v 20 + 2 · g · (s – s0)
Donde s es el espacio recorrido por el móvil en su caída, v es su velocidad, y s0 y v0, el espacio inicial y la velocidad inicial, respectivamente. El movimiento. Cinemática
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Movimiento circular uniforme (mcu) Según la trayectoria que describen, los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos. Un caso particular de movimiento curvilíneo es el movimiento circular. Para describir matemáticamente un movimiento de este tipo, es necesario definir nuevas magnitudes: el ángulo recorrido, que representa el giro del móvil, y la velocidad angular, que cuantifica la rapidez del movimiento. El ángulo recorrido (φ) y la velocidad angular (ω) se definen mediante estas expresiones: φ=
φ2 – φ1 Δφ s = ,ω = R t2 – t1 Δt
donde R es el radio de la trayectoria y s, el arco recorrido por el móvil. El ángulo se mide en radianes (2π rad = 360º) y la velocidad angular, en rad/s (o s–1). La ecuación del movimiento circular uniforme es la siguiente: φ = φ0 + ω · t Como muestra la ecuación anterior, existe una dependencia lineal entre el ángulo recorrido por el móvil y el tiempo, análoga a la que existe entre la posición y el tiempo para un movimiento rectilíneo y uniforme.
Actividades 69 Los movimientos se clasifican atendiendo a varios criterios. Uno de ellos es la trayectoria, a partir de la cual se distingue entre movimientos rectilíneos y curvilíneos. a) Explica qué se entiende por trayectoria. b) Pon dos ejemplos de movimiento rectilíneo y dos ejemplos de movimiento circular.
70 Como ya has estudiado, el lugar que ocupa un móvil en cada instante se indica mediante una magnitud a la que se le asignan un valor y un signo. a) ¿De qué magnitud se trata? ¿Qué significado tiene el signo en el caso de un movimiento rectilíneo? b) Tomando como referencia el semáforo, escribe en tu cuaderno el valor de la posición del ciclista, con su signo, en cada uno de los puntos indicados.
3m
71 Calcula el desplazamiento del coche en estos casos e interpreta el significado del resultado que has obtenido. A
28
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5m
B
5m
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72 ¿Es lo mismo desplazamiento que espacio recorrido? Explícalo con algún ejemplo. 73 Un móvil, que en el instante t1 = 20 s se mueve a una velocidad de 12 m/s, acelera de modo que, en el instante t2 = 24 s, su velocidad es de 16 m/s. Calcula el valor de su aceleración. 74 Observa estas dos situaciones y calcula el valor de la aceleración en cada caso. A
B
t1 = 5 s v1 = 2 m/s
t2 = 15 s
t1 = 5 s v1 = 8 m/s
v2 = 8 m/s
t2 = 15 s v2 = 2 m/s
¿Qué significa el signo de la aceleración? Explícalo a partir del ejemplo.
75 Un ciclista se desplaza a una velocidad constante de 6 m/s. a) Calcula la posición en la que se encontrará a los 2 minutos de comenzar a contar el tiempo, si en el instante inicial se hallaba 40 m a la derecha del punto de referencia. b) Si el ciclista sigue moviéndose a la misma velocidad, ¿en qué instante se situará a 1 km del punto de referencia?
76 El movimiento de un objeto que se desplaza por una superficie horizontal queda descrito por la siguiente ecuación: x = –20 + 4 · t. a) ¿Corresponde la ecuación a un movimiento uniforme? ¿Por qué? b) ¿Cuál es la posición inicial del móvil? ¿Y su velocidad? c) ¿En qué posición se encontrará el móvil en el instante t = 15 s? d) ¿En qué instante se situará el móvil a 40 m a la derecha del punto de referencia?
77 Escribe la ecuación que expresa el siguiente movimiento: Punto de referencia v = 15 m/s
30 m
78 Desde un punto de vista matemático, decimos que, en un movimiento uniforme, la dependencia entre la posición y el tiempo es lineal porque en sus ecuaciones ambas magnitudes están elevadas a la unidad. ¿Es lineal la dependencia entre la posición y el tiempo en un movimiento uniformemente variado? Explícalo. El movimiento. Cinemática
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79 Interpreta las siguientes ecuaciones de un movimiento uniformemente variado, indicando el valor de la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. x = –60 + 10 · t + 2 · t 2
v = 10 + 4 · t
80 Un vehículo que circula a una velocidad de 18 m/s comienza a frenar con una aceleración de –1,2 m/s2 cuando pasa junto a un buzón de correos, pues se está aproximando a un semáforo en ámbar. Calcula la posición de este vehículo respecto al buzón y su velocidad a los 2 segundos de comenzar a frenar. 81 Un móvil, que se sitúa 50 m a la izquierda del punto de referencia y se mueve con una velocidad de 2 m/s, acelera de modo que, en 5 segundos, su velocidad pasa a ser de 7 m/s. a) Calcula la aceleración del móvil. b) Escribe las ecuaciones de su movimiento. c) Calcula el valor de su posición a los 3 segundos de comenzar a acelerar.
82 ¿Qué diferencias hay entre la gráfica de posición de un movimiento uniforme y la de un movimiento uniformemente variado? ¿Y entre la de un movimiento acelerado y uno retardado? ¿En qué se parecen? 83 Interpreta la siguiente gráfica, extrayendo de ella toda la información posible. a) ¿De qué tipo de movimiento se trata?
x (m)
400
b) Calcula su velocidad. c) Escribe la ecuación de posición correspondiente. d) Calcula la posición del móvil a los 75 s.
50
t (s)
84 De la fachada de un edificio, situada a 9 m sobre el suelo, se desprende un trozo de cornisa y cae libremente. Teniendo en cuenta la ecuación de posición correspondiente, calcula el tiempo que tardará en alcanzar el suelo. 85 Desde una ventana, situada a 10 m, un chico lanza un balón con una velocidad inicial de 6 m/s a un amigo que está en la calle y lo va a recoger. Considerando que, desde que es lanzada, la pelota describe un movimiento de caída libre. a) ¿De cuánto tiempo dispone el amigo para reaccionar y coger el balón? b) ¿Con qué velocidad le llega?
86 Una peonza gira dando 6 vueltas por segundo a velocidad constante: a) ¿Qué ángulo, en radianes, corresponderá al giro de las 6 vueltas? b) ¿Cuál será la velocidad angular de la peonza? c) ¿Qué ecuación describirá el movimiento de esta peonza?
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El movimiento. Cinemática
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Aplica tus conocimientos 87 Imagina que subes por la escalera mecánica de un centro comercial. En ese momento, ¿te encuentras en movimiento o no? Explica tu respuesta justificando tus conclusiones. 88 En una estación de tren, tomando como punto de referencia el andén, indica de forma matemática la posición del tren en estos casos: a) El tren ha partido y está a 200 m de la estación. b) El tren, que se aproxima al andén, está a 50 m. c) El tren está detenido en la parada del andén.
89 Ana y Juan han salido de compras por su barrio. Iniciaron su movimiento en el portal de la casa de Ana; luego fueron a diversas tiendas y regresaron al mismo portal. a) ¿Podemos afirmar que el espacio recorrido por estos amigos ha sido nulo? ¿Por qué? b) ¿Podemos afirmar que el desplazamiento ha sido nulo? ¿Por qué? c) ¿Qué diferencia hay entre ambas magnitudes? ¿Pueden ser iguales?
90 A partir de los datos que se indican, calcula la velocidad media del coche en las posiciones 1 y 2, y el valor de la aceleración media entre esos dos puntos.
5m
x0 = t0 = 0 s
x1 = t1 = 10 s
x2 = t2 = 20 s
91 Un avión que se encuentra en la cabecera de la pista inicia la maniobra de despegue, de modo que, en 15 segundos, alcanza una velocidad de 72 m/s. a) Calcula la aceleración del avión y escribe sus ecuaciones de movimiento, tomando como referencia la cabecera de la pista. b) Calcula la posición del avión respecto a la cabecera de la pista 5 segundos después de que iniciara la marcha. ¿Cuál será su velocidad en ese instante?
92 Una madre deja caer por la ventana las llaves de casa a su hijo, que espera en la acera. Si las llaves caen desde una altura de 6 m, ¿cuánto tiempo tardarán en llegar al suelo? 93 Un chico observa que el plato de un microondas tarda 5 segundos en completar media vuelta. Calcula, en radianes, a qué ángulo corresponde ese giro y la velocidad angular del plato. 94 Un objeto describe un movimiento circular cuya ecuación de movimiento es la siguiente: ϕ = 25 · t ¿Cuál será la velocidad angular de este móvil? Interpreta su significado. El movimiento. Cinemática
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Practica la lectura científica
Preparados, listos, ¡ya! Se oye el pistoletazo de salida y, entre el clamor de los espectadores, los atletas comienzan una carrera vertiginosa. Se disputa la tan esperada final de los 100 metros lisos, en la que los mejores corredores del mundo demuestran su capacidad para recorrer esa distancia en poco más de 9 segundos. Es una de tantas manifestaciones del afán de superación del ser humano. Pensemos, por ejemplo, en lo que el desarrollo tecnológico ha supuesto para los medios de transporte. Con sus escasos 20 caballos de potencia, los coches de principios del siglo xx apenas alcanzaban velocidades de 70 km/h y su autonomía era muy corta. En cambio, los coches actuales alcanzan velocidades de 120 km/h con total facilidad, gracias a sus potentes motores, probados y mejorados por los fabricantes en prototipos como los de la Fórmula 1. Con sus 2 400 cm3 y más de 16 000 revoluciones por minuto, un monoplaza de competición alcanza velocidades punta superiores a los 300 km/h y pasa de 0 a 100 km/h en apenas 2,4 segundos. Este interés por disminuir el tiempo de los desplazamientos se traslada también a los medios de transporte colectivos, como el ferrocarril. ¿Dónde han quedado aquellos trenes clásicos que tardaban horas y horas en recorrer distancias que hoy día consideramos irrisorias? Ya no nos acordamos de ellos, acostumbrados a viajar en modernos trenes de alta velocidad, capaces de recorrer una distancia de 400 kilómetros en menos de dos horas. Pero incluso estos trenes miran con envidia a los insuperables Maglev, trenes que, al levitar sobre potentes imanes superconductores, eluden las pérdidas de energía por rozamiento y alcanzan velocidades de 540 km/h. Y si estas cifras nos resultan sorprendentes, ¿qué podemos pensar de la aviación? Si volamos en un avión comercial, apenas sentiremos que nos movemos, pese a viajar a más de 900 km/h. Con todo, no parecerá una velocidad tan elevada si la comparamos con la de un caza de combate, que puede duplicar e incluso triplicar la velocidad del sonido. Pero lejos de conformarse, el ser humano aspira a superar este reto: el prototipo X-43 A de la NASA fue capaz de superar, durante unos 10 segundos, la increíble velocidad de 3 000 m/s.
95 Responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué ha supuesto el desarrollo tecnológico para los medios de transporte? b) ¿Qué récord de velocidad consiguió la NASA en una de sus pruebas?
96 El ganador de una carrera de 100 metros lisos consiguió recorrer esa distancia en un tiempo de 10,12 s. ¿Cuál fue su velocidad media? 97 ¿Cuál es la aceleración media de un vehículo de Fórmula 1, expresada en la unidad del SI? Extrae de la lectura los datos necesarios. 98 Un tren de alta velocidad es capaz de recorrer 400 km en 1 hora y 40 minutos. ¿Cuál será la velocidad media de ese tren en km/h? ¿Y en m/s? 99 Si el prototipo X-43 A pudiera mantener su velocidad durante todo el vuelo, ¿cuánto tiempo invertiría en dar la vuelta a la Tierra? (Radio terrestre: 6 370 km). 32
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El movimiento. Cinemática
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Trabaja con el ordenador 100 Investiga, con ayuda de internet o de alguna enciclopedia digital, para dar respuesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el límite de velocidad en las carreteras españolas? b) ¿Qué distancia de frenado necesitará un vehículo que circula a 100 km/h para detenerse por completo en el asfalto seco? ¿Y si el firme está mojado por la lluvia? c) ¿Cuál es la velocidad angular de la broca de un taladro? Más información en internet En esta dirección, que corresponde a la web oficial de la Dirección General de Tráfico, podrás encontrar cuestiones de educación vial especialmente dirigidas a jóvenes como tú, con normativas, información diversa y juegos. http://www.dgt.es/es/seguridad-vial/educacion-vial/recursos-didacticos/jovenes
Autoevaluación 1 Calcula la velocidad media de un vehículo que, en el instante inicial, se encuentra 20 m a la izquierda del punto de referencia, si 15 s después, se sitúa 40 m a la derecha de dicho punto. 2 Imagina un coche que circula por una carretera a 54 km/h y, de pronto, comienza a acelerar con una aceleración de 1,25 m/s2. Calcula cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 81 km/h. 3 Interpreta razonadamente lo que ocurre en cada uno de los tramos de la siguiente gráfica de movimiento: x (m)
90
10 40
100
t (s)
4 ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo una naranja que cae desde la rama de un naranjo, situada a 1,8 m de altura? 5 Calcula la velocidad angular de las ruedas de un coche que circula a 70 km/h, sabiendo que tienen un diámetro de 70 cm. El movimiento. Cinemática
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© de esta edición: Grupo Editorial Bruño, S. L., 2021 Juan Ignacio Luca de Tena, 15 28027 Madrid
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Physics and Chemistry
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please.
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In English,
please.
Physics and Chemistry
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Linear and circular motion. Kinematics
Vocabulary Kinematics [ˌkɪnɪˈmatɪks]. A branch of physics that studies motion, rather than the forces that produce motion. Position [pəˈzɪʃən]. The location at which a moving object is found at a particular instant in time in relation to an established reference point. Trajectory [trəˈdʒɛkt(ə)ri]. A line that connects the series of positions through which a moving object passes. Displacement [dɪsˈpleɪsmənt]. The difference between the final and initial position of a moving object. Velocity vector [vɪˈlɒsɪti ˈvɛktə]. A vector that is tangential to the trajectory, with a sense that coincides with the direction of motion. Uniform linear motion [ˈju:nɪfɔ:m ˈlɪnɪə ˈməʊʃ(ə)n]. Motion with a trajectory that is a straight line and a velocity that remains constant. Acceleration [əksɛləˈreɪʃ(ə)n]. A ratio between a moving object’s change in velocity and the amount of time that change requires. Free fall [fri: fɔ:l]. The motion of an object being acted on exclusively by a gravitational field. Uniform circular motion [ˈju:nɪfɔ:m ˈsə:kjʊlə ˈməʊʃ(ə)n]. Motion with a circular trajectory and a constant speed value. Linear velocity [ˈlɪnɪə vɪˈlɒsɪt]. The ratio between the space or arc that a moving object travels and the time interval that travel requires. Angular velocity [ˈaŋɡjʊlə vɪˈlɒsɪt]. The ratio between the angle a moving object moves through during a certain time interval and the value of that time interval.
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1
Description of motion In kinematics, an object in motion can be referred to as a moving object. An object is considered to be in motion if its position changes over time in relation to a fixed, unchanging reference point. If the position of the object remains constant and does not change over time, then the object is considered to be at rest. Therefore, to describe the motion of an object we need to know its position at each instant in time, compared to a fixed point. This point can be understood as a specific position, or it can also be the position occupied by another object.
1 Time instants and intervals
B
A
Reference point. The girl in the bus is at rest in relation to point A (the seat) and in motion in relation to point B (the tree).
Time (t) is one of the physical properties that must be measured in order to describe motion. It is represented by the second (s), one of the fundamental units in the International System. In addition to instants in time, time intervals can also be expressed (Δt): Δt = tfinal – tinitial.
2 Position and trajectory A position is the location at which a moving object is found at a particular instant in time in relation to an established reference point. A trajectory is a line that connects the series of positions through which a moving object passes. The moving object’s position can be expressed as a vector, known as a position vector (r). It starts at the reference point and its other end is at the location occupied by the moving object.
3 Displacement and distance travelled A moving object’s displacement (Δr) during a certain time interval is the difference between the position it occupies at the final instant of its movement and its position at the initial instant it begins moving. The distance travelled (s) is the length it has travelled along its trajectory. The figure on the left shows that displacement is a vector and distance travelled is a scalar. If the trajectory is a straight line, then the displacement is designated as Δx. It will be a positive value when the object moves towards the right and negative if it moves towards the left.
y
Distance travelled (s)
Reference point 100 m
→
→
r1
Displa
c
→ ) → r – r1 (Δr = 2 ement
→
r2
Distance travelled: d = 600 m x1 = 200 m
x2 = 400 m
Displacement: Δx = x2 – x1 = 400 m – 200 m = 200 m
x
Displacement and distance travelled are different physical properties. Linear and circular motion. Kinematics 37
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2
Velocity The mean velocity (vm) of a moving object is defined as the ratio between the displacement of the object and the amount of time that the displacement required. Instantaneous speed (v) is a moving object’s speed at a particular moment in time. Δx
vm =
Δt
x2 – x1
=
t2 – t1
LOOK AND LEARN A cyclist rides along a straight road. Use the data from the drawing to calculate the cyclist’s speed during each time interval. 10 m
t0 = 0 s x0 = 0 m
t1 = 12 s x1 = 30 m
t2 = 20 s x2 = 70 m
From t0 = 0 s to t1 = 12 s: v1 =
Δx Δt
Δx
From t1 = 12 s to t2 = 20 s: v2 =
From t2 = 20 s to t3 = 25 s: v3 = When the trajectory is a straight line, the velocity vector always has the same direction. When the trajectory is a curved line, the direction of the velocity vector changes over time.
Δt Δx Δt
x1 – x0
=
t1 – t0 =
=
=
x2 – x1 t2 – t1 x3 – x2 t3 – t2
30 m – 0 m
=
=
12 s – 0 s
t3 = 25 s x3 = 100 m
= 2.5 m/s
70 m – 30 m 20 s – 12 s
= 5 m/s
100 m – 70 m 25 s – 20 s
= 6 m/s
As time passes, the cyclist’s speed increases.
1 The velocity vector Instantaneous velocity is a vector tangential to the trajectory, with its sense coinciding with the sense of the motion.
2 Classification of motion TYPES OF MOTION
Based on trajectory Linear The trajectory is a straight line Curvilinear The trajectory is not a straight line Circular The trajectory is the circumference of a circle
Based on velocity Uniform The moving object’s velocity is constant Varied The moving object’s velocity is not constant Acceleration The moving object’s velocity is increasing Deceleration The moving object’s velocity is decreasing
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3
Uniform linear motion Uniform linear motion (ULM) refers to motion with a straight-line trajectory and constant velocity. The moving object will travel the same distance during equivalent time intervals and its mean speed always has the same value.
LOOK AND LEARN These data correspond to the linear motion of a ferryboat travelling on a river. Is this uniform motion?
POSITION, x (m)
0
52.5
157.5
315
525
TIME, t (s)
0
5
15
30
50
From t0 = 0 s to t1 = 5 s: v1 = From t1 = 5 s to t2 = 15 s: v2 =
Δx Δt
Δx Δt
=
=
52.5 m – 0 m 5s–0s
= 10.5 m/s
157.5 m – 52.5 m 15 s – 5 s
= 10.5 m/s
The average speed is the same during any time interval. From t0 = 0 s to tf = 50 s: v =
Δx Δt
=
525 m – 0 m 50 s – 0 s
= 10.5 m/s
The motion is linear and uniform, with a constant speed of 10.5 m/s. x (m)
1 Graphs showing uniform linear motion
vm =
Uniform linear motion is represented by a straight line with a slope that reflects the velocity. If you plot a graph showing speed versus time for a case of uniform linear motion, you will obtain a horizontal straight line.
LOOK AND LEARN Juan and Alicia work in the same office. The graph shows Juan’s motion, using Alicia’s desk as the reference point. Interpret the meaning of each segment.
Segment A
Δx = 10.5 m/s Δt t (s)
Position-time graph. A representation of position versus time for the ULM of the ferryboat from the Look and Learn exercise is a straight line, with a slope that coincides with its velocity.
v (m/s)
At the initial instant, Juan is 3 m to the right of Alicia’s desk. His displacement is then towards the right with uniform motion (the graph is a straight line with a positive slope). His speed can be calculated based on the graph like this: vA =
Δx Δt
=
8m–3m 10 s – 0 s
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
= 0.5 m/s
Segment B In this segment, the straight horizontal line indicates that Juan’s position does not change over time. Juan is therefore at rest for 25 s, remaining 8 m away from Alicia.
0.1 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
t (s)
Speed-time graph. The line is horizontal for ULM, because the velocity did not change. Linear and circular motion. Kinematics 39
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2 Equation for uniform linear motion The equation for uniform linear motion reflects a linear relationship between position and time: x = x0 + v · t
❙ x is the moving object’s position at an instant in time. ❙ x0 is the moving object’s initial position. ❙ v is the moving object’s speed, which has a constant value.
LOOK AND LEARN A car travels along a straight road at a constant speed of 15 m/s. When you start measuring time, the car is 400 m to the left of your reference point. a) The car is at position (x) after 10 min have passed. b) Calculate the instant in time when the car will be 2 km away from the reference point. Because the moving object’s initial position is x0 = – 400 m: x = x0 + v · t
→
x = – 400 + 15 · t
a) T o calculate the moving object’s position at a specific instant in time, insert that time into the equation. In this case, t = 10 min = 600 s, and therefore: x = – 400 m + 15 m/s · 600 s = 8 600 m = 8.6 km b) T o calculate the instant in time when the moving object will be at position x = 2 km = = 2 000 m, you can insert that distance into the equation and solve for t, which gives you: 2 000 m = – 400 m + 15 m/s · t → t = 160 s = 2 min 40 s
3 Composition of linear and uniform motions Imagine you are crossing a river on a boat with linear and uniform motion. The position where you will land on the other shore depends on your departure point, as well as on the boat’s speed and the river’s current. Your actual motion is a combination of two simultaneous and independent motions: the boat’s progress and the current in the water. This is referred to as a composition of motions. To study a motion that is a composition of two other motions, we must take into account the displacements occurring in two directions (x and y). Each of these has its own equation and relationship with time.
vy = 3 m/s 120 m
y
vx = 0.5 m/s x
Composition of linear and uniform motions.
1 The motion of a moving object can be described using the equation x = –30 + 6t. Are these statements true or false? a) The object is moving at –30 m/s. b) When its motion begins, the moving object is 30 m to the left of the reference point. c) After five minutes, the moving object is 1 800 m away from the reference point.
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Uniformly varied linear motion A moving body has uniformly varied linear motion (uvlm) when its trajectory is a straight line and its velocity increases or decreases over time in a linear manner.
Acceleration 1 The mean acceleration (am) of a moving object is defined as the ratio between the change in a moving object’s velocity and the time interval during which that change occurs. The unit used to express acceleration is the square metre per second (m/s2).
am =
Δv Δt
=
v2 – v1 t2 – t1
Acceleration. As the snowboarder continues to descend down the slope, his velocity is increasing.
If velocity increases, then Δv is positive and acceleration is positive. However, if velocity decreases, then Δv is negative and acceleration is negative too. When a moving object has constant acceleration, this can be described as uniformly varied motion. Here we can differentiate two cases:
❙ Uniformly accelerated linear motion (UALM), where acceleration is constant and positive. ❙ Uniformly decelerated linear motion (UDLM), where acceleration is constant and negative.
2 Graphs showing uniformly varied motion
Accelerated motion. Over the same time intervals, the displacement continues to increase. The moving object’s velocity is increasing
Decelerated motion. Over the same time intervals, the displacement continues to decrease. The moving object’s velocity is decreasing.
In the first case, the slope of the graph is progressively increasing: this is accelerated motion. In the second graph, the slope is decreasing, which reflects decelerated motion. 2 A moving object travels at a velocity of 3 m/s, and after 1 minute, its speed is 72 km/h. Calculate its average acceleration. 3 Explain the difference between uniformly accelerated motion and uniformly decelerated motion. What do these two types of motion have in common?
Velocity-time graph. With UVLM, this graph is a straight line, with a positive slope if the motion is accelerated or a negative slope if the motion is decelerated. The slope of the line provides the acceleration value. Linear and circular motion. Kinematics 41
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3 Equations for uniformly varied motion BASED ON DISTANCE In a case of linear motion without any change of sense, displacement and distance travelled coincide, and the equations can be expressed based on the physical properties for distance. This gives us: 1 s = s0 + v0 · t + a · t 2 2
The equations for uniformly varied linear motion, to calculate either velocity or position for a moving object based on time, are: 1 x = x0 + v0 · t + a · t 2 v = v0 + a · t 2 If you solve for t in the velocity equation and then insert the result into the position equation, you get: v2 = v20 + 2 a · (x – x0)
LOOK AND LEARN
v 2 = v 20 + 2 a · (s – s0)
A moving object begins at rest 30 m to the left of the reference point, then travels along a straight line with a constant acceleration of 5 m/s2. Calculate its velocity when it has been travelling for 0.3 minutes, and calculate its position at that same instant in time. v0 = 0, and since the object is initially 30 m to the left of the reference point, x0 = –30 m. v=5t
x = –30 + 2.5 t2
Since t = 0.3 min = 18 s, we can insert this into the velocity equation: v = 5 t = 5 m/s2 · 18 s = 90 m/s We can calculate the object’s position for t = 18 s in the same way: x = –30 + 2.5 t2 = –30 m + 2.5 m/s2 · (18 s)2 = 780 m At 0.3 minutes from the time its motion begins, the object is 780 m to the right of the reference point, and its velocity is 90 m/s. t0 = 0 s
4 Case study: free fall
s0 = 0 m
t1 = 1 s
s1 = 4.9 m
t2 = 2 s
An object in free fall can be described as having uniformly accelerated linear motion. If this is represented on a d-t graph, it forms one side of a parabola. The acceleration of a falling object is constant and is represented by g, which has a value of 9.8 m/s2. The following equations are used for a free fall:
s2 = 19.6 m
t3 = 3 s
s3 = 44.1 m
v=g·t
d=
1 2
g · t2
v2 = 2 g · s
50
4 Write the equation for the motion of a moving object with uniformly accelerated linear motion if it starts from a point located 20 m to the left of the reference point and has an initial velocity of 2 m/s and acceleration of 1.2 m/s2.
40
5 A tennis ball is dropped from a window towards the ground below.
d (m)
a) Write the s-t and v-t equations for its motion, taking the window as the reference point.
30 20 10 1
2
3
t (s)
One side of a parabola representing the distance travelled by the object at various instants in time.
b) Use the s-t equation to calculate the amount of time that will pass before it hits the ground, if the window is located at a height of 12 m. c) Calculate the ball’s velocity when it hits the ground, using the v-t equation and the time calculated in the previous point. d) Does the mass of the ball affect the calculations? Explain this, using the equations for motion to support your answer.
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Uniform circular motion An object has uniform circular motion (UCM) when it has a circular trajectory and a constant velocity value.
1 Angular travel Angles are measured in radians (rad), where 360° is equivalent to 2π radians. It can be taken from the definition of a radian that: φ=
Every 10 seconds, the second hand on a stopwatch moves through an angle φ of 60°. This is uniform circular motion.
d R
2 Linear velocity and angular velocity Mean angular velocity (ω) is the ratio between the angle that a moving object moves through during a certain time interval and the value of that time interval. Linear velocity (v) is the ratio between the space or arc traversed and the time it takes for this to happen.
ω=
Δφ
v=
Δt
Δd Δt
The relationship between the angle and the distance travelled allows us to obtain: φ=
d R
→
d=R·φ ; v=
Δd Δt
=
R · Δφ Δt
=R·ω
→
v=R·ω
Circular motion is cyclical or periodic. This allows definition of:
❙ Frequency (f ). The relationship between angular velocity and frequency is given by: ω = 2π f
❙ Period (T ). Frequency and period are inversely related magnitudes. Therefore: f=
1 T
ω=
2π T
3 Graphs and equations for uniform circular motion The equations for uniform circular motion are: s = s0 + v · t
φ = φ0 + ω · t
The φ-t graph. With uniform circular motion, this graph is a straight line.
6 A moving object has a circular trajectory with a radius of 3 m and a constant linear velocity of 4 m/s. a) Calculate its angular velocity. b) Write the two equations for this motion. c) What is the moving object’s frequency? And its period? d) Calculate the angle the object will move through in two minutes.
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