Matemáticas 2 ESO Andalucía - Unidad 9

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

ANDALUCÍA ESO2

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ANDALUCÍA

ESO2

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

ANDALUCÍA

BLOQUE III

Funciones

9 Características de las funciones. Rectas

CONTENIDOS DEL BLOQUE El bloque comienza con el estudio de las características globales de las funciones desde un punto de vista gráfico e intuitivo. Se pasa a estudiar las funciones que por su importancia en los estudios posteriores y en la resolución de problemas resultan vitales. Son la función constante, la función lineal o de proporcionalidad directa y la función afín, cuyas representaciones gráficas son rectas.

s e d n a Gr en Matemáticas El concepto de función, como relación entre magnitudes, aparece desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas. En la cultura babilónica se encuentran tablas de cuadrados, cubos y recíprocos de los números naturales. Estas, se pueden entender como funciones que pueden ser definidas por una tabla.

En el Almagesto, escrito en el siglo ii por Ptolomeo, se encuentran relaciones entre elementos que son funciones.

En concreto, Ptolomeo tabuló longitudes de cuerdas de un círculo que pueden considerarse funciones.

1200

Oresme en 1350 describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra, es decir, funciones.

Las investigaciones de Galileo sobre la relación tiempo-velocidad se consideran el inicio del problema del movimiento, que era fundamental para los matemáticos del siglo xvii por dos razones:

1350

1400

• Por un lado, para mejorar los cálculos de la longitud y la latitud para la navegación, se debía mejorar el cálculo de las posiciones de los planetas.

• Por otro lado, se necesitaban explicar los movimientos terrestres. Por ejemplo: las trayectorias de los proyectiles, su alcance y la altura a la que llegaban. Del estudio de estos problemas surgió la necesidad de buscar métodos precisos para medir el tiempo.

Galileo Galilei (1564-1642)

Así se empezó a gestar en matemáticas el concepto de función o la relación entre dos variables, que fue el centro de las matemáticas en los siguientes 200 años. Galileo en su obra Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias, publicada en 1638, expresa las relaciones funcionales con palabras, por ejemplo: «Los volúmenes de cilindros rectos cuyas superficies curvas son iguales son inversamente proporcionales a sus alturas».

1600 1638 1650

Como el álgebra en ese tiempo estaba en plena expansión, las funciones empezaron a expresarse con ecuaciones.

Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función.

René Descartes (1596-1650)

James Gregory dio la definición más explícita de función, pero no perduró.

1748

1800

Newton utilizó el término «fluyente» para representar funciones y Leibnitz utilizó la palabra función.

Johann Bernoulli escribía las ecuaciones de las funciones con x En 1748, Euler introdujo la notación actual f (x)

Leonhard Euler (1707-1783)

9

Características de las funciones. Rectas

1 Funciones 2 Características de las funciones 3 Función lineal o de proporcionalidad directa 4 Función afín. Estudio de rectas

En esta unidad se estudia el concepto de función, las distintas formas de expresarla y sus características generales como son continuidad, periodicidad, monotonía, curvatura, corte con los ejes e interpretación conjunta de gráficas.

Se concluye la unidad con el estudio de las tablas, gráficas y ecuaciones de las funciones lineales o de proporcionalidad directa, afines y las rectas paralelas a los ejes.

Las funciones de proporcionalidad se utilizan con frecuencia en la vida diaria.

Por ejemplo, en una venta de ciruelas cuyo precio es de 2 €/kg, el precio de venta es una función lineal en la que la constante de proporcionalidad directa es 2. Para cualquier cantidad x se puede expresar la ecuación y = 2x, que da el precio de la venta en función de la cantidad inicial x

1

Funciones piensa y calcula

CARNÉ CALCULISTA 456,7 : 6,9

x 2x

1.1 Función

EJEMPLO

La siguiente gráfica no es función. Para un valor de x hay dos valores de y

• Una función es una relación entre dos variables de forma que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y • El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente x • La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y

Y y = √x + 5 X –1

Considera los rectángulos con un lado de doble longitud que el otro. Expresa el perímetro y el área en función del lado menor.

4

1.2 Formas de expresar una función Una función se puede expresar por un enunciado, una tabla, una gráfica y una fórmula o expresión algebraica. a) Un enunciado Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.

EJEMPLO

Relación entre la base y la altura de un rectángulo de perímetro 20 m La base más la altura mide 10 m c) Una gráfica Una función se expresa a través de una gráfica cuando se representan los pares (x , y ) en unos ejes cartesianos.

Longitud (m) altura

EJEMPLO

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Y

b) Una tabla Una función se expresa a través de una tabla cuando se dan algunos valores de la variable independiente, x, con los correspondientes de la variable dependiente, y EJEMPLO

Base (m): x

1

2

3

4

5

6

…

Altura (m): y

9

8

7

6

5

4

…

d) Una fórmula o expresión algebraica Una función se expresa a través de una fórmula o expresión algebraica cuando se da una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen. Se representa por: y = f ( x ) y se lee «y es función de x» EJEMPLO

y = 10 – x X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud (m) base

Algunas funciones se pueden expresar de manera sencilla de las cuatro formas. Por lo general, cada función se ajusta mejor a un modo determinado.

168

BLOQUE III: Funciones

1.3 Continuidad

EJEMPLOS

Las discontinuidades pueden presentarse cuando: a) La variable independiente es discreta: la gráfica será una función de puntos.

Consulta médica 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

b) Hay un salto: la función da un salto en un punto.

0

1.4 Funciones periódicas

Coste de telefonía

EJEMPLO

Dinero (€)

Y

X

La gráfica es periódica de periodo 4 unidades.

1,2 Y 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

aplica la teoría 1 Dibuja una gráfica que sea función y otra que no.

6 y =

2 Un

7 Un

rectángulo tiene 12 m de perímetro. a) Escribe el área del rectángulo, y, en función de la longitud de la base, x b) Haz una tabla de valores. c) Halla el dominio y la imagen o recorrido.

Cada una de las siguientes funciones está expresada de una de las cuatro formas. Halla en cada una de ellas la expresión de las otras tres formas: precio de un jamón es de 12 €/kg

4 Lado (m): x Perímetro (m): y

Espacio (km)

5

50 40 30 20 10

…

1

2

3

4

8

12 …

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (min)

3x

funicular emplea 10 min en subir desde la base de una montaña a la cima, que se encuentra a 500 m. Espera 20 min y vuelve a bajar en otros 10 min. En la base espera 20 min y comienza de nuevo el recorrido. a) Representa la función que expresa la altura a la que se encuentra el funicular en función del tiempo. b) Analiza si la función es continua y periódica.

8 En

un aparcamiento público se cobran 2 € por cada hora o fracción, con un máximo de 24 € por un día. Representa la función que expresa el coste por aparcar un coche en función del tiempo durante un día y analiza si es continua.

Analiza si las siguientes gráficas son periódicas, y en caso afirmativo calcula el periodo:

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N.o de pacientes

• Función discontinua. Salto.

Una función es periódica si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Se llama periodo a la longitud de dicho intervalo.

3 El

Y

Tiempo (min)

• Una función es continua si la gráfica se puede dibujar de un solo trazo, es decir, la gráfica no se rompe.

• Una función es discontinua si la gráfica no se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

• Función discontinua. Variable discreta.

9 X

10

YY

YY

XX

9. Características de las funciones. Rectas

XX

169

2

Características de las funciones piensa y calcula

Temperatura (°C)

15 Y 10 5 0

4

–5

8

12

X 16 20 24 Tiempo (h)

La gráfica adjunta recoge la evolución de la temperatura en una ciudad durante las 24 horas de un día. a) ¿En qué momento del día se alcanzó la temperatura máxima? ¿Y la mínima? b) ¿En qué intervalos del día aumenta la temperatura? ¿En cuáles disminuye?

–10

c) ¿En qué momentos se hace cero la temperatura?

–15

2.1 Monotonía. Máximos y mínimos relativos

CARNÉ CALCULISTA 2: 3 –3·4 5 10 2 5

• Una gráfica es creciente cuando, al aumentar los valores de la variable independiente x, la variable dependiente y aumenta.

• Una gráfica es decreciente cuando, al aumentar los valores de la variable independiente x, la variable dependiente y disminuye.

• Máximo relativo: punto en que el valor de la función es mayor que en los puntos que están muy próximos.

Cr ecie n

Cre cie nt

Máximo De cre e • cie n te

te

Y

X

• Mínimo

• Mínimo relativo: punto en que el valor de la función es menor que en los puntos que están muy próximos.

2.2 Concavidad y convexidad Y

• Una función es convexa si su gráfica tiene la forma (∪) • Una función es cóncava si su gráfica tiene la forma (∩)

a

c Cón av

X

Co

2.3 Puntos de corte con los ejes

a

n ve x

• Los puntos de corte de una función con el eje X se obtienen igualando a cero la expresión de la función y resolviendo la ecuación.

• Los puntos de corte de una función con el eje Y se obtienen sustituyendo el valor x = 0 en la fórmula de la función.

EJERCICIO RESUELTO

Y

1 Halla los puntos de corte de la función y = x 2 – 2x – 3 con los ejes.

A(–1, 0)

C(0, –3)

170

B(3, 0) X

y = x 2 – 2x – 3

BLOQUE III: Funciones

• Corte con el eje X: 2 ± √ 4 + 12 2 ± 4 Se resuelve x 2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x = = = 2 2 Los puntos de corte son A(–1, 0) y B(3, 0)

3 –1

• Corte con el eje Y: Para x = 0: y = x 2 – 2x – 3 ⇒ y = – 3 ⇒ El punto de corte es C(0, – 3)

2.4 Simetría respecto del eje de ordenadas

EJEMPLO

La función y = x 2 es par. Al cambiar x por – x se obtiene: y = (– x )2 = x 2

• Una función es par cuando se cumple que f (– x ) = f (x ), es decir, al cambiar el valor de x por su opuesto – x se obtiene el mismo valor de la ordenada y • Una función par tiene una gráfica simétrica respecto del eje Y

Y y = x2

X

2.5 Interpretación conjunta de gráficas Para interpretar conjuntamente dos gráficas, se recorre el eje X de izquierda a derecha según los valores de las abscisas, prestando especial atención a los puntos de corte de las gráficas y a lo que sucede entre estos puntos.

120 Y 110 100 90 80 70 60 Ciclista 1 50 40 Ciclista 2 30 20 10

EJERCICIO RESUELTO

a) El segundo ciclista sale 2 horas después que el primero. b) El segundo ciclista alcanza al primero 4 horas después de su salida, a

0

los 90 km

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

aplica la teoría 11 Analiza

la gráfica siguiente y contesta:

18 Las gráficas siguientes recogen el recorrido de dos

ciclistas. Analízalas y contesta: ¿Qué distancia recorren? ¿Salen a la vez? ¿Qué ciclista ha ido más rápido? ¿Se encuentran en algún momento?

Y

a) ¿Dónde es creciente y X

dónde decreciente? b) ¿En qué puntos alcanza el máximo y el mínimo? c) ¿Dónde es convexa (∪) y cóncava (∩)?

Y

Espacio (km)

ciclistas salen desde la misma ciudad con velocidades constantes. Observa las gráficas y contesta: a) ¿Cuántas horas después que el primer ciclista salió el segundo? b) ¿Alcanza el segundo ciclista al primero? ¿Al cabo de cuánto tiempo? ¿Dónde?

Longitud (km)

2 Dos

Halla los puntos de corte con los ejes X e Y: 12

13

Y

y=

Y – x2

X

y = x2 – 4

Calcula los puntos de corte con los ejes X e Y: 14 y

= 2x – 1

16 y =

x 2 – 16

15 y =

x 2 – 3x

17 y =

x 2 + 2x – 15

Ciclista A Ciclista B

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

– 4x

X

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

19 En

una pequeña isla hay dos compañías de taxi.

La compañía A cobra 1,5 € por bajada de bandera y 0,35 € por cada kilómetro recorrido. La compañía B cobra 2,5 € por bajada de bandera y 0,25 € por kilómetro recorrido. Representa las gráficas de las funciones del coste de un viaje en función de los kilómetros recorridos para cada compañía, y deduce qué compañía es más económica para hacer un viaje.

9. Características de las funciones. Rectas

171

3

Función lineal o de proporcionalidad directa

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 2x – 1 – x – 5 + 5 = 6 12 4 = – 4x – 7 – 3 3

piensa y calcula Halla la constante de proporcionalidad directa en la compra de nueces, sabiendo que 5 kg cuestan 15 €. Interpreta el resultado.

3.1 Tabla de una función de proporcionalidad directa Una tabla de valores es de una función de proporcionalidad directa si los valores son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad directa se calcula al dividir una cantidad cualquiera de la 2.ª magnitud entre la cantidad correspondiente de la 1.ª magnitud.

Volumen (L) 1 2 3 4 ...

Dinero (€) 2,5 5 7,5 10 ...

Dinero (€)

Compra de aceite 10 Y 9 2,5 8 7 2,5 6 5 4 2,5 3 2 1 2,5

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Volumen (L)

2,5 = 5 = 7,5 = … = 2,5 1 2 3 En la gráfica todos los puntos están sobre una recta que pasa por el origen, y la pendiente de la recta es la constante de proporcionalidad directa 2,5; lo que significa que por cada litro que au­men­ta la compra de aceite (variable independiente), el dinero aumenta 2,5 € (variable dependiente).

172

BLOQUE III: Funciones

EJEMPLO

La tabla recoge el dinero en euros en función del volumen en litros de aceite comprados. Las magnitudes son directamente proporcionales, y la constante de proporcionalidad directa es 2,5 €/L 2,5 = 5 = 7,5 = … = 2,5 €/L 1 2 3

3.2 Gráfica de una función de proporcionalidad directa Una gráfica es de una función de proporcionalidad directa si todos los puntos están sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas y que no es horizontal ni vertical.

La pendiente de la recta es la constante de proporcionalidad directa, y se calcula al dividir un valor cualquiera de las ordenadas entre su correspondiente valor de las abscisas. Da la inclinación de la recta respecto del eje X

3.3 Ecuación de una función lineal o de proporcionalidad directa La ecuación de una función de proporcionalidad directa es: y = mx con m ≠ 0 donde m es la pendiente de la recta que coincide con la constante de proporcionalidad directa.

Constante de proporcionalidad directa = pendiente = m • Si la pendiente es positiva (m > 0), la recta es creciente.

• Si la pendiente es negativa (m < 0), la recta es decreciente.

Para dibujar una función lineal y = mx, se tiene en cuenta que su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0). Para poder dibujarla solo se necesita otro punto P. Un punto fácil de hallar es el que toma la función para el valor x = 1, que será P(1, m). Si m es fraccionario, se debe tomar como x el denominador de la fracción. Uniendo los puntos O y P se obtiene la recta.

EJEMPLO

Y

La función y = 5 x es una función de proporcionalidad directa.

2 La pendiente m = 5 > 0 ⇒ La recta es creciente, y significa que cuando la 2 x aumenta 2 unidades, la y aumenta 5 unidades.

Para dibujar la gráfica, se le da a x el valor del denominador de la pendiente y se sustituye en la ecuación: x = 2 ⇒ y = 5 · 2 = 5 ⇒ P(2, 5) 2

5

y = 2,5x

1

2

3

4

5

6

2,5

5

7,5

10

12,5

15

X

2 5 2

Calculadoras nuevas: 0 = Ans+2.5 = = ...

Se puede generar una tabla de valores para una función lineal utilizando el sumando constante de la calculadora. x

P(2, 5)

5 y = ––x 2

Calculadoras antiguas: 2.5 ++ = = ...

3.4 Paso de tabla o gráfica a ecuación

Y

Si una función lineal o de proporcionalidad directa viene dada por una tabla o una gráfica, para hallar m se tiene en cuenta que al despejar m de y y = mx se obtiene m = ; x ≠ 0 x Luego m es el cociente de cualquier valor de y dividido entre el valor correspondiente de x, siempre que x ≠ 0. El mejor punto es el primero en el que la abscisa sea positiva y entera, y la ordenada sea entera.

A X

Y

EJERCICIO RESUELTO

B

3 Halla la ecuación de la recta de la gráfica A.

Sobre la gráfica A se añaden datos para obtener el dibujo B. Desde el origen, el primer punto en el que la abscisa es positiva y entera, y la ordenada es entera, es P(2, – 3). Cuando la x aumenta 2 unidades, la y disminuye 3 unidades: 3 P(2, – 3) ⇒ m = – 3 ⇒ y = – x 2 2

O(0, 0)

X

2 –3 P(2, – 3)

aplica la teoría

20 Indica si la tabla es de proporcionalidad directa y,

si lo es, calcula la constante de proporcionalidad: x y

1 5

2 10

3 15

4 20

22 Halla la pendiente, estudia el crecimiento y dibu-

ja la gráfica de las funciones siguientes: a) y = 2x

21 Indica

si las gráficas son de proporcionalidad directa y calcula la constante de proporcionalidad. a) Y b) Y

23 Halla

b) y = – 3x

la ecuación de las rectas siguientes:

a)

b) Y

Y

X

X

X

X

9. Características de las funciones. Rectas

173

4

Función afín. Estudio de rectas piensa y calcula

CARNÉ CALCULISTA

Dibuja una recta que pase por el punto P(0, 1) y que tenga de pendiente m = 2

y = 3x – 9 3 y = – 5x + 7

4.1 La función afín Una función es afín si su ecuación es del tipo: y = mx + b, siendo m y b números reales, m ≠ 0, b ≠ 0 Su representación gráfica es una recta que tiene de pendiente m y pasa por el punto P(0, b). A b se le llama valor de la ordenada en el origen.

Y y = 2x + 3

3 y = 2x 3

X

3 3

La gráfica de la función afín se obtiene al hacer una traslación vertical de b unidades de la recta correspondiente a la función lineal.

Para dibujar la gráfica de una función afín de forma sencilla, se hace una tabla con los valores de x = 0 y x = 1. Si la pendiente es un número fraccionario, se debe tomar como segundo valor de x el denominador de la pendiente, y así se hacen los cálculos fácilmente.

3

Y

EJERCICIO RESUELTO

4 Halla la pendiente y la ordenada en el origen de la función y = – 3x + 2

y = – 3x + 2 A(0, 2)

Dibuja la gráfica.

1 X

–3 B(1, – 1)

x 0 1

y = – 3x + 2 ⇒ Pendiente: m = – 3 2 ⇒ A(0, 2) ⇒ Ordenada en el origen: 2 –1 ⇒ B(1, – 1)

Se puede generar una tabla de valores para una función afín utilizando el sumando constante de la calculadora.

4.2 Recta que pasa por dos puntos Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, A(x1, y1) y B(x2, y2), se sigue este procedimiento: a) Se halla la pendiente de la recta aplicando la fórmula: y–y m= 2 1 x2 – x1 b) Se aplica la ecuación punto-pendiente de la recta: y = m(x – x1) + y1 EJERCICIO RESUELTO

Y B(4, 5)

5 Halla la fórmula de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(4, 5)

a) Se calcula la pendiente:

4

A(2, 1) 2

X

m = 5–1 = 4 = 2 4–2 2

b) Se toma A(2, 1) y m = 2

y = m(x – x1) + y1 y = 2(x – 2) + 1 ⇒ y = 2x – 4 + 1 ⇒ y = 2x – 3 174

BLOQUE III: Funciones

Y

4.3 Paso de gráfica a ecuación

A

Para hallar la ecuación de una recta a partir de su gráfica, se utiliza la ecuación y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.

X

EJERCICIO RESUELTO

6 Halla la ecuación de la recta de la gráfica A.

Sobre la gráfica A se añaden los datos para obtener el dibujo B. Se señala el punto en el que corta al eje Y, A(0, 1); luego b = 1 Se elige y se señala el punto B(2, 4), que tiene coordenadas enteras, y se halla la pendiente: 4 –1 = 3 A(0, 1) y B(2, 4) ⇒ m = 2–0 2 Del punto A al punto B la abscisa x aumenta 2 unidades y la ordenada y aumenta 3 La ecuación de la recta es y = 3 x + 1 2

Y

B

B(2, 4) A(0, 1)

3 X

2

Y

4.4 Rectas horizontales y verticales

y=3

a) La ecuación de una recta horizontal es:

y=0

y = k (siendo k la ordenada del punto en el que la recta corta al eje Y ) Corresponde a una función constante, porque para cualquier valor de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es siempre la misma.

X

y = –2

En particular, la ecuación del eje de abscisas X es y = 0

Y

b) La ecuación de una recta vertical es:

x = –4

x = k (siendo k la abscisa del punto en el que la recta corta al eje X ) No es una función, porque para el valor de x = k hay infinitos valores de y

x=0

x=3 X

En particular, la ecuación del eje de ordenadas Y es x = 0

aplica la teoría 24 Halla la pendiente, el valor de la ordenada en el ori-

gen y dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y = 3x – 4 b) y = – x + 2 4 2 c) y = – x + 1 d) y = x – 2 5 3

25 Halla

a)

la ecuación de las rectas siguientes: b) Y

tos A(– 3, 2) y B(2, 5)

27 Representa las siguientes rectas y di cuáles son fun­

ciones: a) y = 4

28 Halla

a)

Y

X

26 Halla la fórmula de la recta que pasa por los pun-

X

b) y = – 2

c) x = 1

d) x = – 5

la ecuación de las siguientes rectas: b) Y Y X

9. Características de las funciones. Rectas

X

175

Rectas Ecuaciones de los ejes coordenados

Rectas paralelas a los ejes

Y

Y

Y

Y

x=0 y=0

x=2 X

X

X

X y = –3

Función constante

No es función

Función constante

No es función

Funciones lineales Y

Y

Y

y = –x

y = 2x

y=x 1

1

X

m=1

1

X

X

2

–1

Y

2x y = – –– 3

m = – 1

X

3

1

–2

m = – 2 3

m=2

Funciones afines Y Y Y Y Y Y Y Y y = 2–y2 =x –2+2yx1=+–22y1x=+2–21x + 1 y = –3y x=+3–y1x=+3–y1x= +–31x + 1 3 3 3 3 1) P(0, 1) 221) 22 X22 X2 X 1) P(0, P(0,P(0, 1) P(0, P(0, P(0, 1) 3P(0, 1)3 1) 3 X3 X2 X 3 3 3 3

2 3

m= Y Y Y Y

Y Y

176

3 4

Y Y

Y Y

y = –y =–2 –xy–2=x1–y––2=1x–––21x – 1 y = –y –23= x–y–3–2=1x–y–3–2=1x– ––23 1x – 1 3 3 3 3 X X 3 3 3 3 –1)–2 –1)3–2 –1)3P(0, –1)P(0, P(0,P(0, –1) P(0, P(0, P(0, –1) P(0, –1)–2 –1)–2

b=1

m=–

Y Y

Y Y Y Y

y = –y3 =x –3yx2=––3y2x=––32x – 2 y = –34y x=–4–3y2x=–4–3y2x=X––342Xx – 2X 4 4 4X 4 X X 3 3 3 3 –2) –2) –2) P(0, –2)P(0, P(0,P(0, 3 3 3 3 –2) P(0, P(0, P(0, –2) P(0, –2) 4 4–2) 4 4 4 4 4 4

m=

Y Y Y Y

X X

b = –2

BLOQUE III: Funciones

2 3

X X X X X X 3 3–2 –2 –2 –2

Y Y Y Y

m=

Y Y

4 4 4 4 2) 4 P(0, 2) 4 2) 4 X4 X X 2) P(0, P(0,P(0, –3 –3X –3X –3 2) P(0, P(0, P(0, 2) P(0, 2) 2) –3 –3 –3 –3X

X X

3 2

b = –1

Y Y Y Y Y 4Y 4Y Y 4 4 y = –y =x –+yx2=+–y2x=+–2x + 2 y = –43y x=+3–4y2x=+3–4y2x=4+–432x4+ 2 4 4 3 3 3 43 4 4 4 2) P(0, 2) 2) 2) P(0, P(0,P(0, 2) P(0, P(0, P(0, 2)3 P(0, 2)3 2)3 3X X X 3 3 3 X 3 X X

3 4

b=2

Y Y

m=–

3 2

Y Y

2 2XX –3 –3

X X –3 –3

X X

X X

X X X X

X X

X X

b=1

Y Y Y Y

Y Y

X X

Y Y

3 3 3 3 –2)3 –2)3 3 –2)3P(0, –2)P(0, P(0,P(0, –2) P(0, P(0, P(0, –2) P(0, –2)–4 –2)–4 –4 –4 –4–2x–4 – 2–4 –4 y = –y 4=4– –xy4–4=x2–y–4–4=2x––4 y = –y –3= x–y–3–=2x–y–3–=2x– –43– 2x – 2 3 3 3 3

y = –y =3– –xy3–+=x2–y+3–=2x–+3–2x + 2 y = –y 3–4= x–y+43–=2x–y+43–=2x– +34– 2x + 2 4 4 4 4

m=–

Y Y Y Y

Y Y

y = –y3 =x –3yx1=––3y1x=––31x – 1 3 3 3 3 y = –32y x=–2–3y1x=–2–3y1x= ––321x y–=1–y =3– –xy–+3=x1–y+–3=1x–+–31x + 1 2 2X X 2 2X y =X –y –2= x–y+2–=1x–y+2–=1x–2+–21x2+ 1 2 X 2P(0, 1)2 2 P(0, 1) 2 1) 1)2 P(0, 2 3 3 3 X 3 X X X 2 P(0, X 1) P(0, P(0, P(0, 1) P(0, 1) 1) 3 –1) 3 3 3 –1) P(0, –1) –3 –3 –1)P(0, P(0,P(0, –3 –3 –1) P(0, P(0, P(0, –1)2P(0, –1) 2 –1)2 2 2 2 2 2

b = –1 Y Y

Y Y

m=

4 3

b=2

m=–

4 3

b = –2

Halla el tipo de cada una de las siguientes funciones y calcula mentalmente su ecuación: 1

2

YY

Y Y Y

Y Y

Y

3

XX

Y Y Y

Y Y X X X

X X

X

5 Y Y

Y

X X X

Y YY

Y Y Y

10

Y Y Y

X XX

13

Y Y

X XX

XX X

X X X

18Y

X

X X

X X

Y Y Y Y X X

X X X

15

Y Y Y

X X X

X X X

X X X

19Y

YYY

X X

X X X

X X X

X XXX

20Y

Y Y Y

YY

X X X

16Y

Y Y Y

Y Y

X X X X

12

Y Y Y

Y Y Y X X X

Y Y Y X X X

11

X X

Y Y

Y Y

X X X

Y Y Y

XX X

Y Y Y

Y Y

X X

Y Y

YY Y

X X X

8

X X

Y Y Y X X X

X X

Y Y

YY

X X X

Y Y

14Y

X X

17Y

X

X X

Y Y

Y Y Y

Y Y

X X

Y Y

Y Y Y

7

X X

9

Y Y Y

YY Y

X X

6 Y Y

4

Y Y

X XX

X X X

9. Características de las funciones. Rectas

X X X

177

Ejercicios y problemas resueltos EJERCICIOS DE FUNCIONES LINEALES Y AFINES 7 Dada

la función de la gráfica: Y

X

a) Es creciente entre x = – 2 y x = 2

Es decreciente antes de x = – 2 y después de x = 2 b) El máximo relativo es A(2, 4), y el mínimo relativo, B(– 2, 0) c) Es convexa (∪) antes de x = 0 Es cóncava (∩) después de x = 0 d) Corta al eje X en los puntos A(– 2, 0) y B(4, 0) Corta al eje Y en el punto C(0, 2)

a) ¿Dónde es creciente y dónde de-

creciente? b) ¿En qué puntos alcanza el máximo y el mínimo relativos? c) ¿Dónde es convexa (∪) y dónde cóncava (∩)? d) Halla los puntos de corte con los ejes.

8 Halla

los puntos de corte con los ejes de la función:

• Puntos de corte con el eje X: 5 ⇒ A(5, 0)

y = 0 ⇒ x = 3 ± 9 + 40 = 3 ± 7 = 2 2

y = x – 3x – 10 2

– 2 ⇒ B(– 2, 0)

• Puntos de corte con el eje Y: x = 0 ⇒ y = 02 – 3 · 0 – 10 = –10 ⇒ C(0, –10) 9 Clasifica

la siguiente función, calcula su pendiente, di si es creciente o decreciente y represéntala: y= – 2x 3

a) Función lineal. b) Pendiente m = – 2/3 < 0 ⇒ decreciente. c) Representación: Si x = 3 ⇒ y = –

Y 2x y = –— 3

2 · 3 = – 2 ⇒ A(3, – 2) 3

X

3 –2 A(3, –2)

10 Clasifica la siguiente función y halla

su fórmula o ecuación:

a) Función lineal. b) Marcamos el punto A(4, 3)

Y

c) Pendiente m = 3/4 d) Fórmula o ecuación: X

178

BLOQUE III: Funciones

y= 3x 4

Y A(4, 3) 3 4

X

11 Clasifica

la siguiente función, calcula su pendiente, di si es creciente o decreciente, halla la ordenada en el origen y represéntala: y= 3x–4 2

a) Función afín. c) Ordenada en el origen: – 4

Si x = 0 ⇒ y = – 4 ⇒ A(0, – 4) Si x = 2 ⇒ y = – 1 ⇒ B(2, – 1)

B(1, 5) 6 A(–2, –1)

3

A(0, – 4)

2

5 +1 = 6 = 2 1+ 2 3 b) Se aplica la fórmula punto-pendiente: y = m(x – x1) + y1 Se toma A(– 2, – 1) y m = 2 y = 2(x – (– 2)) – 1 ⇒ y = 2(x + 2) – 1 y = 2x + 3

X

a) Función afín.

Y

b) Marcamos los puntos A(0, 3) y B(2, 2)

2–3 =– 1 2 2–0 d) Ordenada en el origen: b = 3 e) Fórmula o ecuación: y=– 1 x +3

2 c) Pendiente m =

X

B(2, – 1) 3

a) Pendiente m =

Y

A(– 2, –1) y B(1, 5)

Y

X

d) Representación:

la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

la siguiente función y halla su fórmula o ecuación:

2x–4 y=— 3

b) Pendiente m = 3/2 > 0 ⇒ creciente.

12 Halla

13 Clasifica

Y

A(0, 3)

2

–1 B(2, 2)

X

PROBLEMA DE FUNCIONES 14 Un vendedor recibe dos ofertas de trabajo. La empresa A le ofrece un salario fijo de 1 200 € y la empresa B le ofrece un sueldo de 600 € fijos más un plus de 50 € por cada lavadora que venda. a) Expresa, en cada caso, el salario en función del número de lavadoras que venda. b) ¿Cuándo le interesa trabajar en la empresa A? c) ¿Cuándo le interesa trabajar en la empresa B?

Entérate Un vendedor recibe dos ofertas: en A cobra un fijo de 1 200 € al mes y en B, un fijo de 600 € al mes más 50 € por cada lavadora que venda.

Preguntas: a) Expresar el salario y en función del número de lavadoras x b) ¿Cuándo interesa trabajar en A? c) ¿Cuándo interesa trabajar en B? Manos a la obra En la empresa A: y = 1 200; en la empresa B: y = 600 + 50x 600 + 50x = 1 200 ⇒ 50x = 600 ⇒ x = 12 Solución a) En la empresa A: y = 1 200; en la empresa B: y = 600 + 50x b) Le interesa A si vende menos de 12 lavadoras al mes. c) Le interesa B si vende más de 12 lavadoras al mes.

9. Características de las funciones. Rectas

179

Ejercicios y problemas propuestos resueltos 1|Funciones

37 En una floristería cobran 3 € por cada maceta

Indica cuál de las dos siguientes gráficas es una función: 29 30 Y Y

X

X

que venden. Escribe la fórmula que expresa el dinero cobrado en función de las macetas vendidas. Represéntala y analiza si es continua.

Analiza si las siguientes gráficas son periódicas y, en caso afirmativo, calcula el periodo: 38

39

Y

Y

X

Cada una de las siguientes funciones está expresada de una de las cuatro formas. Halla en cada una de ellas la expresión de las otras tres formas:

40 Un

artesano hace una aceitera de vidrio en 5 minutos. Expresa el número de aceiteras que hace el artesano en función del tiempo, esboza la gráfica de la función y analiza si es continua.

31 El

perímetro de un rombo en función de la medida del lado.

32 Tabla:

Masa (kg): x

1

2

3

…

Dinero (€): y

2

4

6

…

2|Características de las funciones 41 Analiza

la gráfica siguiente y contesta: Y

33 Gráfica: Y

X

Superficie (cm2)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

34 Fórmula:

a) ¿Dónde es creciente? ¿Dónde es decreciente? b) ¿En qué punto alcanza el máximo? ¿En cuál

el mínimo?

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Longitud (cm)

c) ¿Dónde es convexa ( ) y cóncava ( )?

y = 5x

Indica cuál de las siguientes gráficas es continua y cuál no lo es: 35

X

36

Y

X

Y

X

Halla los puntos de corte con el eje X y con el Y : 42 y = – 2x + 4 43 y = 2x 2 – 6x 44

y = x 2 – 25

45

y = x 2 – x – 12

46

y = 5

47

y=x–3

48

y = x + 3x – 40

49

y = – x 2 + 9

50

y = x 2 + 2x + 1

51

y = x 2 – 4x + 3

2

52 ¿Cuáles

de las siguientes funciones son pares?

a) y = x + 2

b) y = x 2 – 3

¿Alguna de ellas es simétrica respecto del eje Y ? ¿Por qué?

180

BLOQUE III: Funciones

53 Las

gráficas siguientes recogen el recorrido de dos ciclistas. Analízalas y contesta:

58 Halla

la ecuación de las rectas siguientes:

a)

Longitud (km)

90 80 70 60 Ciclista A 50 Ciclista B 40 30 20 10 1

0

2 3 4 Tiempo (h)

X

si la siguiente tabla es de proporcionalidad directa y calcula la constante de proporcionalidad.

2 6

3 9

4 12

55 Copia

y completa la siguiente tabla para que sea de proporcionalidad directa y calcula la constante de proporcionalidad: 1

2 3

59 Halla

la pendiente, el valor de la ordenada en el origen y dibuja la gráfica de las funciones siguientes: b) y = – 2x + 1

54 Indica

x y

4|Función afín. Estudio de rectas

a) y = x – 2

3|Función lineal o de |proporcionalidad directa

Dinero (€)

X

5

la vez? b) ¿Qué ciclista ha ido más rápido? ¿Dónde ha llegado? ¿Se encuentran en algún momento?

1 3

Y

X

a) ¿Qué distancia recorre cada uno? ¿Salen a

Masa (kg)

b)

Y

Y

3

c) y = – d) y =

3 x + 4 2

1 x + 1 3

60 Halla

la fórmula de la recta que pasa por los puntos A(– 2, 1) y B(4, 3)

61 Halla

a)

la ecuación de las rectas siguientes: b) Y Y

4 X

X

56 Indica

si la siguiente gráfica es de proporcionalidad directa y, si lo es, calcula la constante de proporcionalidad:

Dinero (€)

Pago de un impuesto Y

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

62 Representa las siguientes rectas y di cuáles son

funciones:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 910 Dinero (€ × 100)

57 Halla

la pendiente, estudia el crecimiento y di­bu­ja la gráfica de las siguientes funciones: 3 3 a) y = x b) y = – x 2 4

a) y = 5

b) y = – 4

c) x = 4

d) x = – 1

63 Halla

a)

la ecuación de las siguientes rectas: b) Y Y X

9. Características de las funciones. Rectas

X

181

Ejercicios y problemas propuestos resueltos | Para ampliar 67 Halla

las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos:

64 Una

barra de pan cuesta 0,6 € a) ¿Qué magnitudes se relacionan?

a) A(– 2, 3), B(0, – 3) b) A(– 3, – 5), B(5, 1)

b) ¿Cuál es la variable independiente?

68 Dadas

c) ¿Cuál es la variable dependiente? d) Haz una tabla de valores y calcula la cons-

tante de proporcionalidad.

e) Escribe la ecuación que da el precio en fun-

ción del número de barras de pan.

65 La gráfica siguiente representa las edades y las

estaturas de un grupo de per­sonas: Longitud (cm)

Y 190 180 170

Luis Jorge

160

Javier María Sofía

Eva X 150 Alba 12 14 16 18 20

a) A(– 4, 0), B(0, 5)

Tiempo (años)

b) A(0, 3), B(3, 5)

71 Dadas las siguientes ecuaciones, indica si corres­

a) ¿Quién es el más joven? b) ¿Y el más alto?

ponden a funciones lineales, afines, constantes o no son funciones, y represéntalas:

c) ¿Quién tiene más de 16 años?

a) y = 4x – 3

d) ¿Quién mide más de 170 cm?

c) y =

e) De los que miden 175 cm, ¿quién es mayor? f) De los que tienen 18 años, ¿quién es más alto?

1 x 3

b) y = 4 d) x = – 5

72 Indica en cada una de las siguientes gráficas si

cuáles de las siguientes rectas son funciones y halla su ecuación:

corresponden a funciones lineales, afines, cons­ tantes o si no son funciones, y halla su ecuación:

a)

a)

66 Indica

b)

Y

Y

X

c)

BLOQUE III: Funciones

X

Y

X

c)

Y

b)

Y

X

d)

Y

X

182

las siguientes ecuaciones, indica si co­ rres­­ponden a funciones lineales, afines, constantes o si no son funciones, y representa las rectas corres­pondientes: 1 4 a) y = x b) y = – x + 2 c) x = – 4 d) y = 2 2 3 69 Dadas las siguientes ecuaciones, indica si corres­ ponden a funciones lineales, afines, constantes o si no son funciones, y representa las rectas correspondientes: 4 3 a) y = – x b) y = 2 c) y = x + 1 d) x = – 2 5 5 70 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos:

X

d)

Y

X

Y

X

73 Dadas las siguientes ecuaciones, indica si corres­

ponden a funciones lineales, afines, constantes o si no son funciones, y represéntalas: 2 a) y = x 5

b) x = 2

c) y = – 5

d) y = –

1 x – 2 4

y completa la tabla de valores para la función lineal: 2

x y = 2,05x + 3,4

3

4

5

y completa la tabla de valores para la función lineal:

x y = – 2,3x + 2,1

1

2

3

4

5

76 Copia

y completa la siguiente tabla de una función lineal: x y

1

2 6,4

3

2

3

4

5

4

5

1

2

3

4

5

79 Copia

y completa la siguiente tabla de una función afín: 1 1,5

x y

75 Copia

x y = 1,45x

1

y completa la tabla de valores para la función afín:

74 Copia

1

y completa la tabla de valores para la función afín:

78 Copia

|Con calculadora

x y = 3,5x

77 Copia

2 4,2

3

4

5

80 El alquiler de un coche cuesta 19,76 € al día,

más 0,42 € por kilómetro. Haz una tabla de valores que relacione el precio que se paga en función del número de kilómetros realizados en un día.

Longitud (km) 1 10 50 100 200 500 x Coste (€)

| Problemas 81 Un

CD virgen cuesta 0,50 €. Haz una tabla de valores y escribe la ecuación que da el precio en función del número de CD vírgenes. Representa la función y halla la pendiente.

82 El IVA de los libros es el 4 %. Escribe la fórmu­

la que da el IVA en función del precio. Represéntala y calcula la pendiente.

83 Un

coche consume 7 L de gasolina por cada 100 km. Expresa el consumo de gasolina del coche en función del número de kilómetros recorridos. ¿Cuánto gastará en 540 km?

84 En una tienda pagamos 22,5 € por 3 kg de café.

a) Escribe la ecuación que da el dinero que se

paga en función del peso de café comprado.

b) Dibuja la gráfica.

85 Se

quiere llenar un termo con el agua de un grifo que vierte 12 L/min a) Haz una tabla de valores que exprese la can-

tidad de litros de agua que se recogen en función del tiempo que está el grifo abierto.

b) ¿Qué tipo de función es? Halla la constante

de proporcionalidad.

c) Escribe la ecuación de la función. d) Haz su representación gráfica.

86 El

coste de una máquina que pone etiquetas en botes de conserva es de 5 € desde que se conecta, y después, de 3 € por cada hora. a) Expresa el coste de la máquina en función

del tiempo.

b) Si se han gastado 296 €, ¿cuánto tiempo ha

estado funcionando la máquina?

9. Características de las funciones. Rectas

183

Ejercicios y problemas propuestos 94 Un

fabricante de ventanas cuadradas cobra a razón de 24 € por cada metro de marco y 50 € por el cristal, para cualquier dimensión.

Expresa la ecuación que da el precio de la ventana en función de sus dimensiones. ¿Qué tipo de función es?

87 Un

metro de papel cuesta 2 € a) Haz una tabla de valores que dé el precio para distintas cantidades de metros de papel. b) Escribe la ecuación de la función correspondiente. c) Representa la función.

95 Un

técnico en reparaciones cobra 15 € por hora o fracción de hora por el servicio a domicilio. ¿Es una función la relación entre el dinero que cobra y el tiempo empleado? Haz su representación gráfica.

88 Una

máquina hace 3 piezas en 2 minutos. a) Haz una tabla de valores que exprese el número de piezas que hace la máquina en función del tiempo. b) ¿Qué tipo de función es? Halla la constante de proporcionalidad. c) Escribe la ecuación de la función. d) Haz su representación gráfica.

89 En

una tienda descuentan el 20 % en todos los productos por fin de temporada. Escribe la ecuación que da la cantidad que se paga, en función del precio, una vez hecho el descuento. Di qué tipo de función es y represéntala.

90 En un bidón que pesa vacío 3 kg se pone agua

destilada que pesa 1 kg por litro. Expresa la ecuación que da el peso total del bidón, en función de la cantidad de litros de agua que se ponen en él. Di qué tipo de función es y haz su representación gráfica.

91 El

alquiler de un coche cuesta 20 € al día, más 0,5 € por kilómetro re­corrido. Halla la ecuación que calcula lo que se cobra diariamente por el alquiler del coche, en función de los kilómetros recorridos. ¿Qué tipo de función es?

|Para profundizar 92 Escribe

la ecuación de la función que expresa el perímetro de un cuadrado según la longitud del lado. ¿Qué tipo de función es?

93 Pablo

se desplaza en bicicleta a una velocidad media de 12 km/h. Escribe la ecuación que expresa la distancia recorrida en función del tiempo.

184

BLOQUE III: Funciones

96 La

siguiente tabla corresponde a una función afín y = mx + b x y

0 –3

5

10 17

15

20

25 47

Completa la tabla y expresa la ecuación de la función hallando la pendiente y el valor de la ordenada en el origen.

97 Dibuja

en unos mismos ejes coordenados las gráficas de las funciones siguientes: a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 4 ¿Cómo son las dos rectas dibujadas? Halla sus pendientes. ¿Podrías dar una regla general?

98 Sabemos que 5 dm3 de granito pesan 12,5 kg.

Expresa la ecuación de la función que da el peso, en función de la cantidad de decímetros cúbicos. Haz la gráfica correspondiente y calcula cuántos decímetros cúbicos ocuparán 30 kg

99 En una empresa se ha subido el salario un 3 %

más un complemento fijo de 30 € para todos los empleados. a) Completa la tabla siguiente: Salario antiguo Salario nuevo

500 1 000 1 500 2 000

b) Escribe la fórmula que da el salario nuevo,

en función del antiguo. c) ¿Qué salario ganará un empleado que cobraba 1 200 € antes de la subida?

Matematización en contextos reales Interpretación conjunta de rectas empresa A, de reparaciones a domicilio, cobra 20 € por desplazamiento y 10 € por cada hora de trabajo. Otra empresa B cobra 10 € por desplazamiento y 15 € por cada hora. Halla la ecuación de cada una de ellas y represéntalas. Si se tienen que contratar los servicios de una empresa, ¿cuál interesa más?

N.o de horas: x

Empresa A

o

N. de horas: x

Empresa B

Coste: y = 10x + 20 Coste: y = 15x + 10

100 Y 90 Empresa B 80 70 60 Empresa A 50 40 30 20 X 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (h)

Dinero (€)

100 Una

Se representan las dos rectas obtenidas y se observa que, para una reparación que dure menos de 2 horas, la empresa B es más barata; y para una reparación que dure más de 2 horas, es más barata la empresa A

bes

Comprueba lo que sa 1 Escribe

lo que sepas de la ecuación de una función lineal o de proporcionalidad directa y pon un ejemplo. la gráfica adjunta: a) ¿Qué magnitudes se relacionan? b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Es discreta o continua? c) ¿Cuál es la variable dependiente?

3 Representa

a) y = 2x c) x = 4

Dinero (€)

2 Dada

270 Y 240 210 180 150 120 90 60 X 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de televisores

gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas.

2 b) y = x 3 d) y = – 2x + 3

4 Halla

5 Halla las ecuaciones de las rectas a) y b). las ecuaciones de las rectas a) y b).

Di cuáles son funciones y clasifícalas. Di cuáles son funciones y clasifícalas. a)

Y

b)

b)

Y

a) X

X

6 Halla

la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(– 2, – 3) y B(6, 1)

7 El

alquiler de un coche cuesta 20 € al día, más 0,5 € por kilómetro re­corrido. Halla la ecuación que calcula lo que se cobra diariamente por el alquiler del coche, en función de los kilómetros recorridos. ¿Qué tipo de función es?

8 En una ferretería venden rollos de 20 metros de cable a 5 €. Escribe la ecuación que expresa el precio del

cable en función de los metros. ¿Qué tipo de función es?

9. Características de las funciones. Rectas

185

9. Características de las funciones. Rectas PASO A PASO 101 Representa

la función: y = – 3x + 2 Clasifícala, halla la pendiente, di si es creciente o decreciente y calcula la ordenada en el origen.

SOLUCIÓN:

103 Dados

los puntos A(0, –2) y B(1, 0). Halla la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta que pasa por ellos. Dibújala para comprobarlo.

SOLUCIÓN:

Plantea el siguiente problema y resuévelo con ayuda de Wiris.

102 Clasifica la siguiente función y halla su fórmu­

la o ecuación.

104 Una

frutería vende naranjas a un precio de 1,5 €/kg. Halla y representa la función que da el coste en función del número de kilos.

Clasifica la función que se obtiene.

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

186

BLOQUE III: Funciones

Windows/Linux ASÍ FUNCIONA ■ Representar funciones En se elige • Cuando el tablero que dibuja Wiris por defecto no es el adecuado, podemos modificarlo añadiendo la función tablero, en la que se puede introducir el centro, la anchura y la altura. tablero(punto(0, 0), 12, 12); • Para cambiar el color y el grosor de la gráfica se escribe entre llaves: {color = rojo, anchura_línea = 3} Los colores disponibles son: blanco, negro, rojo, verde, cian, magenta, amarillo, marrón, naranja, rosa, gris, gris_oscuro y gris_claro.

PRACTICA 105 Representa

gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas.

Halla la pendiente de las funciones lineales y afines y estudia su crecimiento: a) y =

4 x 5

c) x = – 2

d) y = –

2 x + 2 3

la gráfica de las funciones afines si­ guientes y halla en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen. ¿Cuál es creciente y cuál decreciente?

3 x – 2 4

b) y = –

gráficamente las siguientes funciones: 2x – 3 x a) y = b) y = – + 4 5 2 Halla en cada una de ellas la pendiente y la ordenada en el origen. ¿Cuál es creciente y cuál decreciente?

108 Representa las siguientes funciones y di cuáles

son de proporcionalidad. De estas últimas, halla la constante de proporcionalidad. a) y = – 2x + 3

b) y = –

x 4

d) y = 5

111

112

x +1 3

107 Representa

c) y =

Identifica las siguientes funciones y halla me­ diante ensayo-acierto su fórmula: 109 110

b) y = 3

106 Dibuja

a) y =

3x 2

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 113 Halla la ecuación de la función que expresa el

coste del aceite si un litro cuesta 2,5 €. Represéntala gráficamente. ¿Qué tipo de función es? Halla la pendiente.

114 Halla la ecuación de la función que expresa el

dinero que cobra diariamente un repartidor, en función del número de pedidos que reparte, si cobra 3 € por día y 1,5 € por cada pedido. Represéntala gráficamente. ¿Qué tipo de función es? Halla la pendiente y la ordenada en el origen.

9. Características de las funciones. Rectas

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Comprueba lo que sabes con Wiris 1 Ejercicio (calificación: 2 puntos) Dados los puntos A(0, – 3) y B(1, 0). Halla la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta que pasa por ellos. Dibújala para comprobarlo.

Solución: Pendiente, m = 3 ; ordenada en el origen, b = – 3 ; ecuación: y = 3x – 3 ▼ 2 Ejercicio (calificación: 2 puntos) Identifica la siguiente gráfica y halla mediante ensayo-acierto su fórmula. Dibújala para comprobarlo.

Solución:

5x Función de proporcionalidad directa: y = ▼ 2 3 Problema (calificación: 3 puntos) Halla la ecuación de la función que expresa el coste del azúcar si un kilo cuesta 0,6 €. ¿Qué tipo de función es? Halla la constante de proporcionalidad.

Solución: (Escribe en Wiris el planteamiento de resolución de problemas con los tres apartados y resuélvelo).

Ecuación: y = 0,6 x ▼ ; tipo: Función de proporcionalidad directa ▼ ; constante: 0,6 4 Problema (calificación: 3 puntos) Una copistería encuaderna fotocopias a un precio de 3 € fijos por encuadernar y a 0,05 € cada fotocopia. Halla y representa la función que da el coste en función del número de copias. Clasifica la función que se obtiene.

Solución: (Escribe en Wiris el planteamiento de resolución de problemas con los tres apartados y resuélvelo).

Ecuación: y = 0,05x + 3 ▼ ; tipo: Función afín ▼

ORGANIZA TUS IDEAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES. RECTAS

rectas pueden ser

función lineal: y = mx

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BLOQUE III: Funciones

función afín: y = mx + b

horizontales: y=k

verticales: x=k

PRACTICA CON TEXTOS Resistencia física. VO2 máximo.

Cuando se hace un ejercicio o actividad física, esta se suele clasificar en predominantemente aeróbica o anaeróbica.

Un ejercicio aeróbico es aquel cuya actividad no requiere una gran intensidad en un corto periodo de tiempo. Por ejemplo, caminar, nadar, montar en bicicleta, etc., son ejercicios aeróbicos. Se realizan en periodos largos y tienen el objetivo de aumentar la resistencia. Al realizar los ejercicios se necesita energía que el organismo obtiene de quemar hidratos y grasas. Para ello necesita el oxígeno.

Un ejercicio anaeróbico se realiza en un corto periodo de tiempo y su objetivo fundamental es aumentar la masa muscular.

Por ejemplo, levantar pesas, hacer abdominales, hacer carreras cortas pero a mucha velocidad, etc.

Los ejercicios aeróbicos incrementan la capacidad pulmonar y son beneficiosos para el sistema cardiovascular. Por esta razón se puede hablar de la condición física aeróbica del deportista como una condición fundamental en cualquier deporte. Cuanto mejor sea esta, más fuerte y eficaz será nuestro corazón. En cualquier deporte con una alta demanda cardiovascular se busca retrasar la fatiga lo máximo posible. Para ello, debemos metabolizar el oxígeno de la sangre con la mayor eficacia posible. La condición física aeróbica tiene que ver con la eficacia con la que el sistema cardiovascular transporta el oxígeno a los distintos órganos de nuestro cuerpo. Es cuando aparece el concepto de volumen máximo de oxígeno (VO2 máx.) que se define como la cantidad máxima de oxígeno que el organismo puede absorber, transportar y consumir por unidad de tiempo. Se expresa normalmente en mL/kg/min e indica la capacidad aeróbica de la persona. Es muy variable entre individuos, y depende fundamentalmente de la edad, el sexo, el peso, de la capacidad de los pulmones, del tamaño del corazón, de la capacidad de la sangre para transportar el oxígeno y del grado de entrenamiento o de la condición física. El VO2 máx. va aumentando gradualmente con la edad y se suele alcanzar el máximo entre los 18 y los 25 años.

La mayoría de los especialistas en medicina deportiva consideran el VO2 máx. como medida de la potencia aeróbica y como la mejor manera de medir la resistencia cardiorrespiratoria. Como el VO2 máx. es el ritmo más alto de consumo de oxígeno alcanzable durante la realización de ejercicio, si incrementamos la intensidad de nuestro ejercicio más allá del punto en que se alcanza el VO2 máx., nuestro consumo de oxígeno se estabilizará o se reducirá ligeramente. Alcanzar esta estabilización en el consumo de oxígeno significa que el final del ejercicio está cerca porque ya no podemos suministrar oxígeno con la rapidez necesaria para satisfacer las necesidades de nuestros músculos. Por lo tanto, este límite, el VO2 máx., indica la intensidad del esfuerzo o el ritmo que podemos sostener. Podemos seguir haciendo ejercicio durante un corto periodo de tiempo después de alcanzar el VO2 máx.

Lee atentamente el texto y responde: ❙ ¿Qué es un ejercicio aeróbico? ❙ ¿Qué es un ejercicio anaeróbico? ❙ ¿Qué diferencia un ejercicio aeróbico de uno anaeróbico? ❙ ¿Por qué en un ejercicio aeróbico se necesita oxígeno? ❙ ¿Qué es el VO2 máx.? ❙ ¿Para qué sirve el VO2 máx.? ❙ ¿Cuál es su unidad de medida? ❙ ¿En qué edad se suele alcanzar el valor máximo de VO2 máx.? ❙ ¿Qué ocurre cuando se sobrepasa el VO2 máx. durante la realización de una actividad física?

Practica con textos

189

Test de Cooper Para calcular el VO2 máx. la medicina utiliza la espirometría, que es un estudio que mide el consumo de oxígeno.

Los entrenadores deportivos utilizan test indirectos (test de campo, no de laboratorio); tal vez el más conocido fue el que nos legó el Dr. Cooper, que describimos a continuación.

El objetivo del test es medir la resistencia aeróbica del sujeto.

Para realizar el test lo único que se necesita es un espacio o circuito con marcas cada 50 m. Como se necesita medir el tiempo, se utiliza un reloj o cronógrafo.

400 m

350 m

50 m

100 m

300 m

250 m

150 m

200 m

La prueba consiste en recorrer la mayor distancia posible en 12 minutos. Se debe intentar realizar la prueba corriendo. En algunas ocasiones la condición física de la persona no permite estar los 12 minutos corriendo; en ese caso, se puede alternar correr y andar. Lo que no se puede hacer es pararse.

Cuando finalizan los 12 minutos, se anotan el total de metros recorridos. Para realizar este registro se tiene en cuenta la última marca rebasada del circuito. No se suma la última fracción recorrida entre dos marcas si no se completa.

El test de Cooper expresa, según los metros recorridos en los 12 minutos, el consumo máximo de oxígeno (mL/kg/min) durante el esfuerzo a partir de la fórmula siguiente: x – 504 VO2 máx. (x) = 45 donde x es la distancia recorrida en metros.

Contesta: ❙ ¿Qué tipo de función es VO2 máx.? Indica sus características. ❙ Haz una tabla de valores para 1 000 m, 2 000 m y 3 000 m ❙ Representa la función en unos ejes coordenados. ❙ Una persona ha recorrido una distancia de 1 500 m y pesa 50 kg. Calcula el VO2 máx. Expresa el resultado en litros por minuto.

VO2 máx. y umbral anaeróbico Aunque tener un VO2 máx. alto es importante, lo es todavía más el hecho de ser capaz de aguantar una actividad física intensa a un elevado porcentaje del VO2 máx. durante más tiempo. Es decir, en qué porcentaje del VO2 máx. se encuentra tu umbral anaeróbico.

Algunos deportistas de nivel medio tienen su umbral entre el 70 % y el 80 % del VO2 máx., mientras que algunos de más nivel sitúan su umbral entre el 80 % y el 90 % del VO2 máx.

Responde: ❙ Una persona recorre en el test de Cooper 3 204 m y su umbral está al 85 % del VO2 máx. Otra persona recorre 3 654 m, pero su umbral se sitúa al 70 %. ¿Quién tendrá un mejor rendimiento? ❙ Dos personas tienen el mismo VO2 máx. = 25. Una pesa 49 kg y la otra 54 kg. ¿Cuál de ellas tiene mejor condición física?

190

BLOQUE III: Funciones

Evaluación de bloque Señala en tu cuaderno la respuesta correcta: 1 La

representación de los puntos A(0, 3) y B(2, – 3) es: a)

b)

Y

5 La

gráfica de la función y = 2x + 3 es:

a)

b)

Y

Y

Y X

X

2 Dada

6 La

la siguiente tabla:

Masa (kg) Dinero (€)

1 4

2 8

3 12

4 16

se verifica que: a) Las dos magnitudes son directamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 1/4 b) Las dos magnitudes son directamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 4 c) Las dos magnitudes son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 1/4 d) Las dos magnitudes son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 4 3 Dados

diente a) 2 1 c) 2

4 La

X

X

los puntos A(3, 2) y B(5, 6), la pende la recta que pasa por A y por B es: b) – 2 1 d) – 2

fórmula de la gráfica siguiente es: Y

gráfica de la función y = x/2 es:

a)

a) y = 3x + 4

b) y = – 4x – 3

c) y = – 3x

d) y = – 3x + 4

Y

X

7 La

X

fórmula de la gráfica siguiente es: Y

X

a) y = –4x

b) y = 4x

c) y =

x 4

d) y = –

x 4

8 Se quiere llenar un termo con el agua de un grifo

que vierte 6 litros de agua por minuto. Expresa la cantidad de agua que hay en el termo en función del tiempo que está el grifo abierto. a) y = 6x + 60 c) y =

X

b)

Y

x 6

b) y = 6x d) y = x + 6

9 En una tienda hacen un 10 % de descuento en

todos sus productos. La función que expresa el dinero que se paga, en función del dinero que cuesta el producto, es: a) y = 0,1x b) y = 10x c) y = 0,9x d) y = x – 10

Evaluación de bloque

191

Resuelve los siguientes ejercicios: 10 Crecer.

La estatura media de los chicos y chicas en un país en 2015 está representada por el siguiente gráfico: 190

Estatura media de los chicos en 2015

180

Estatura media de las chicas en 2015

Altura (cm)

170 160 150 140 130

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Edad (años)

a) Desde 1998 la estatura media de las chicas de 20 años ha aumentado 2,3 cm, hasta alcanzar los

170,6 cm. ¿Cuál era la estatura media de las chicas de 20 años en 1998? b) Explica cómo está reflejado en el gráfico que la tasa de crecimiento de la estatura media de las chicas disminuye a partir de los 12 años. c) De acuerdo con el gráfico, como promedio, ¿durante qué periodo de su vida son las chicas más altas que los chicos de su misma edad?

11 El mejor coche.

Una revista de automóviles utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio de «Mejor coche del año» al que obtiene la puntuación total más alta. Se están evaluando 5 vehículos nuevos. Sus puntuaciones se muestran en la tabla siguiente: Coche Ca M2 Sp N1 XK

Seguridad (S) 3 2 3 1 3

Ahorro de combustible (C) 1 2 1 3 2

Diseño exterior (E) 2 2 3 3 3

Diseño interior (I) 3 2 2 3 2

Las puntuaciones se interpretan: 3 puntos = excelente; 2 puntos = bueno; 1 punto = aceptable Para calcular la puntuación total de un coche, la revista utiliza la siguiente regla, que da una suma ponderada de las puntuaciones individuales: Puntuación total = 3S + C + E + I a) Calcula la puntuación total del coche Ca. b) El fabricante del coche Ca pensó que la regla para obtener la puntuación total no era justa. Escribe una regla para calcular la puntuación total, de modo que el coche Ca sea el ganador. La regla debe incluir las cuatro variables y estas deben estar multiplicadas por números positivos: Puntuación total = ■ S + ■ C + ■ E + ■ I

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BLOQUE III: Funciones