Muestra de Propuesta didáctica de Matemáticas 1 ESO Andalucía. Proyecto 5 Etapas. Bruño

E S O 1

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

© GRUPO EDITORIAL BRUÑO, S. L., 2024 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

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Materiales del Proyecto

E S O

Libros impresos para el alumnado

Con los libros impresos tus alumnos y alumnas construirán conocimiento, desarrollarán competencias y adquirirán los saberes de esta ciencia de forma contextualizada y experimental.

Propuestas didácticas (impresas y web)

En las propuestas didácticas encontrarás multitud de recursos para desarrollar tu función docente: orientaciones metodológicas, solucionarios, etc.

Libros digitales para el alumnado y el docente

Estos proyectos educativos incorporan Edudynamic, un libro digital adaptable a cualquier plataforma y dispositivo. Podrás trabajar de forma online y offline y es compatible con todos los sistemas operativos.

Se trata de un entorno digital sencillo, bien estructurado y de navegación intuitiva que te permitirá descubrir otras formas de aprender. Encontrarás:

Todas las unidades didácticas y secciones en formato digital y adaptables al dispositivo.

Actividades interactivas y recursos digitales de diverso tipo (vídeos, applets, evaluaciones, enlaces externos...).

Claves del Proyecto

NUEVOS PROYECTOS ESO BRUÑO

Con Bruño se aprende investigando, descubriendo y explorando la Naturaleza. En solo 5 ETAPAS cíclicas el alumnado adquirirá las competencias y saberes necesarios para su desarrollo personal, intelectual, social y emocional.

(Preparándote para el aprendizaje)

OBJETIVO: despertar, llamar la atención, impresionar... al alumnado.

(Valoración del aprendizaje)

OBJETIVO: valorar el aprendizaje de forma personal.

(Indagación sobre los conceptos)

OBJETIVO: hacer pensar y/o provocar la reflexión del alumnado. Estimular el pensamiento crítico y creativo del estudiante.

(Aplicación de los conceptos: actividades)

OBJETIVO: proponer actividades o situaciones para construir el conocimiento.

(Exposición de los contenidos)

OBJETIVO: exponer y explicar los contenidos.

LIBROS IMPRESOS PARA EL ALUMNADO

Con un enfoque competencial en el que el alumnado es el centro del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Se aprende con situaciones de aprendizaje y contextualizadas.

Se guía en valores y con referencia a los ODS de la Agencia 2030: cuidado del medio ambiente, igualdad de género y social, educación para la salud, consumo responsable, etc.

Se desarrollan competencias básicas y específicas de la materia: comunicación lingüística; plurilingüe; matemáticas y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería (STEM); digital; personal, social y de aprender a aprender; etc.

BRUÑO EN SU

ALIANZA

LIBROS DIGITALES PARA EL ALUMNADO

Que se ajustan automáticamente a cualquier pantalla y sus contenidos están disponibles con y sin conexión a Internet desde cualquier dispositivo. Incorporan además muchos y variados recursos: Actividades interactivas autocorregibles y con trazabilidad.

Applets de GeoGebra, CalcMe y Hoja de cálculo. Recursos para atender al alumnado con altas capacidades.

Recursos para atender a los distintos ritmos de aprendizaje.

Elementos y secuencias para evaluar y valorar el aprendizaje del alumnado en diferentes situaciones y contextos.

CON EL PROFESORADO

ÁREA PRIVADA DEL DOCENTE es donde se puede encontrar una importante batería de recursos y documentos para mejorar y apoyar la labor docente:

DOCUMENTACIÓN DEL PROYECTO Programaciones.

Competencias básicas y específicas, perfiles de salida, criterios de evaluación y saberes básicos.

Claves y orientaciones metodológicas.

Solucionarios.

EVALUACIÓN INTEGRADA

TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD E INCLUSIÓN

Adaptaciones curriculares para que todo el alumnado pueda trabajar las unidades de los libros en distintos ritmos de aprendizaje.

Durante todo el proceso de aprendizaje: Instrumentos de autoevaluación. Rúbricas. Exámenes. Generadores de exámenes.

Solucionario

UNIDAD 7

Proporcionalidad y porcentajes

En esta unidad se aprende a:

• Identificar la razón como una división de dos cantidades comparables.

• Identificar la proporción como una igualdad de dos razones.

• Conocer y utilizar la propiedad fundamental para calcular un cuarto y un medio proporcional.

• Identificar magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

• Resolver problemas con magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales usando la reducción a la unidad o la regla de tres simple escogiendo el método más conveniente para la realización del cálculo: mentalmente, por escrito, con calculadora o con ordenador.

• Identificar el tanto por ciento como una o varias de las cien partes en las que se puede dividir una cantidad.

• Calcular un tanto por ciento de una cantidad.

• Resolver problemas aritméticos de descuentos y de aumentos porcentuales escogiendo el método más conveniente para la realización del cálculo: mentalmente, por escrito, con calculadora o con ordenador.

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

El alumno traerá a clase resuelto en su cuaderno el Explora apoyándose en los recursos del Engánchate y el Carné de calculista. Se resuelven al principio de la clase.

Se pueden alternar las explicaciones con las actividades del Elabora de forma individual o de forma cooperativa y/o colaborativa.

1. ¿QUÉ SON RAZONES Y PROPORCIONES?

Se debe dar especial importancia a la interpretación de una razón.

2. ¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA?

Se debe dar especial importancia a la identificación de magnitudes directamente proporcionales y al concepto de constante de proporcionalidad directa.

En la resolución de problemas es aconsejable, tanto en la reducción de la unidad como en la regla de tres, ser muy constantes en el procedimiento, comenzando por reconocer las magnitudes y sus unidades, comprobar si son directamente proporcionales y en el algoritmo de resolución.

3. ¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD INVERSA?

Se debe dar especial importancia a la identificación de magnitudes inversamente proporcionales y al concepto de constante de proporcionalidad inversa en comparación con la sección anterior.

En la resolución de problemas es aconsejable, tanto en la reducción de la unidad como en la regla de tres, ser muy constantes en el procedimiento, comenzando por reconocer las magnitudes y sus unidades, comprobar si son inversamente proporcionales y en el algoritmo de resolución.

4. ¿QUÉ SON LOS PORCENTAJES?

Se debe dar especial importancia a la interpretación del tanto por ciento de una cantidad como una razón y un decimal.

En la resolución de problemas seguimos la metodología del triángulo mágico para visualizar y resolver los tres posibles problemas con los que nos encontramos.

7. Proporcionalidad y porcentajes

Situación de aprendizaje:

OdS 11. una ciudad SOStenible

En una ciudad sostenible, en una zona de 5 000 ha se asigna el 60 % de su espacio a viviendas y el resto a zonas verdes, ¿cuántas hectáreas le corresponden a las zonas verdes?

5 000 · 0,4 = 2 000 ha

1. ¿Qué SOn razOneS y prOpOrciOneS?

EXPLORA

Calcula mentalmente la velocidad media de un ciclista que ha recorrido 150 km en 5 horas. ¿En qué unidades expresarías la velocidad?

150 : 5 = 30 km/h

CARNÉ CALCULISTA

350,7 : 8,23 | C = 42,61; R = 0,0197

¿QUÉ ES UNA RAZÓN?

1. Calcula mentalmente las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado:

a) 2,5 kg de pescado cuestan 10 €

b) Un coche recorre 500 km en 5 horas.

c) 7,5 m de tela cuestan 15 €

d) 2,5 kg de fruta se consumen en 2 días.

e) Un grifo vierte 15 L de agua cada 10 minutos.

a) 10 : 2,5 = 4 €/kg. Es el precio por kilogramo.

b) 500 : 5 = 100 km/h. Es la velocidad media.

c) 15 : 7,5 = 2 €/m. Es el precio por metro.

d) 2,5 : 2 = 1,25 kg/día. Es el consumo medio por día.

e) 15 : 10 = 1,5 L/minuto. Es el caudal medio por minuto.

2. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado:

a) Una habitación mide 24,8 m2, y otra, 12,4 m2

b) Juan pesa 66 kg, y María, 55 kg

c) Un tren va a 175 km/h, y otro, a 125 km/h

d) Un vaso contiene 300 mL, y otro, 250 mL

e) Un coche cuesta 13000 €, y otro, 10000 €

a) La habitación grande es 24,8 : 12,4 = 2 veces mayor.

b) Juan pesa 66 : 55 = 1,2 veces lo de María.

c) Un tren va 175 : 125 = 1,4 veces más rápido que el otro.

d) Un vaso es 300 : 250 = 1,2 veces más grande que el otro.

e) Un coche es 13000 : 10000 = 1,3 veces más caro que el otro.

¿QUÉ ES UNA PROPORCIÓN?

3. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno, para que formen proporción, las siguientes razones:

a) Y 9 5 27 = b) Y 742 18 = c) Y , , 9 24 18 = d) Y , , 07 12 12 =

a) 15 b) 3 c) 12 d) 7

4. Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad:

a) 6 1,5 b) 1,1 0,5 c) 2 0,5 d) 11 5

6 1,5 = 2 0,5 = 4 y 1,1 0,5 = 11 5 = 2,2

5. Calcula el cuarto proporcional o medio en:

a) x 7 = 6 2 b) 4 x = x 16 c) 3,5 2,1 = x 4,2 d) 3,5 x = 5,6 2,8

a) 21 b) ± 8 c) 7 d) 1,75

6. En un plano de la habitación de Silvia, la longitud de una mesa mide 0,85 cm y la de un armario, 1,25 cm. Si en la realidad la longitud del armario es de 2,5 m, ¿Cuánto mide la longitud de la mesa?

1,25 250 = 0,85 x ⇒ x = 170 cm = 1,7 m

2. ¿Qué eS la prOpOrciOnalidad directa?

EXPLORA

Tres amigos tienen que repartirse 150 €. Calcula mentalmente cuánto le corresponde a cada amigo.

50 €

CARNÉ CALCULISTA

3 4 : 6 5 + 3 2 · 1 3 = 9 8

¿QUÉ SON MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES?

7. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales?

a) El número de hojas de un libro y su peso.

b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer 200 km

c) El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una valla.

d) El lado de un cuadrado y su perímetro.

a) y d)

8. Copia y completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales:

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

9. Una máquina hace 300 tornillos en 4 h. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 900 tornillos?

N.º tornillos (D) Tiempo (h)

300 ⎯⎯⎯→ 4

900 ⎯⎯⎯→ x }

300 900 = 4 x ⇒ x = 12 h

10. Compramos 3 kg de higos por 8,76 €. ¿Cuánto costarán 8 kg?

Peso (kg) (D) Dinero (€)

3 ⎯⎯⎯→ 8,76 8 ⎯⎯⎯→ x }

3 8 = 8,76 x ⇒ x = 23,36 €

11. Una caldera consume 100 L de gasoil en 8 h. ¿Cuánto gastará en 5 h?

Tiempo (h) (D) Volumen (L)

8 ⎯⎯⎯→ 100 5 ⎯⎯⎯→ x }

8 5 = 100 x ⇒ x = 62,5 L

12. Un grifo hace subir el nivel de un depósito 12,6 cm en 3 horas. ¿Cuánto subirá el nivel en 5 horas y media?

Tiempo (h) (D) Longitud (cm)

3 ⎯⎯⎯→ 12,6 5,5 ⎯⎯⎯→ x }

3 5,5 = 67,2 x ⇒ x = 23,1 cm

13. Por la impresión de 120 carteles para una fiesta nos han cobrado 67,2 €. ¿Cuánto nos costará imprimir 350 carteles?

N.º carteles (D) Dinero (€)

120 ⎯⎯⎯→ 67,2

350 ⎯⎯⎯→ x }

120

350 = 67,2 x ⇒ x = 196 €

14. En un campamento con 45 estudiantes, compran para desayunar una barrita de nueces para cada uno y pagan 32,4 €. Al aumentar en 32 estudiantes el campamento, ¿cuánto pagarán por el total de las barritas?

N.º barritas (D) Dinero (€)

45 ⎯⎯⎯→ 32,4 77 ⎯⎯⎯→ x }

45 77 = 32,4 x ⇒ x = 55,44 €

3. ¿Qué eS la prOpOrciOnalidad inverSa

EXPLORA

Cinco agricultores recogen en 4 h una cosecha de aceitunas. ¿Cuánto tardará un solo agricultor en recoger la cosecha?

4 · 5 = 20 h

CARNÉ CALCULISTA

587 : 7,5 | C = 78,26; R = 0,05

¿QUÉ SON LAS MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES?

15. ¿Qué magnitudes de las siguientes son inversamente proporcionales?

a) La altura de un árbol y su edad.

b) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.

c) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra.

d) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm2 de área.

b), c) y d)

16. Copia y completa las siguientes tablas para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:

3 5 10 15

Magnitud B 30 10 6 3 2

Magnitud A 4 6 9 12 36

Magnitud B 18 12 8 6 2

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

17. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales.

Por ejemplo:

El tiempo que un número de trabajadores tardan en hacer una obra.

El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. La velocidad y el tiempo empleado en recorrer un espacio fijo.

18. Una piscina se llena en 15 h con un grifo que vierte 120 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que tiene un caudal de 240 L/min?

Caudal (L/min) (l) Tiempo (h)

15

19. Un rectángulo tiene 12 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo con la misma área tiene 5 m de base. ¿Cuánto mide de altura?

Longitud base (m) (l) Longitud altura (m) 12 ⎯⎯⎯→ 7

20. Siete obreros tardan 9 h en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros?

N.º obreros (I) Tiempo (h)

7 ⎯⎯⎯→ 9

3 ⎯⎯⎯→ x }

3 7 = 9 x ⇒ x = 21 h

4. ¿Qué SOn lOS pOrcentajeS?

EXPLORA

Si de cada fajo de billetes tomas 20 €, calcula mentalmente cuántos euros coges. Escribe la fracción que representa el número de euros que has cogido, simplifícala y pásala a número decimal.

100 € 100 € 100 €

60 € y son 60 300 = 1 5 = 0,2

CARNÉ CALCULISTA

4 3 ( 1 4 + 5 3 ) = 23 9

¿QUÉ ES UN TANTO POR CIENTO Y CÓMO SE CALCULA?

21. Calcula:

a) 16 % de 450 b) 25 % de 792

c) 7,5 % de 600 d) 12,5 % de 80

a) 450 · 0,16 = 72 b) 792 · 0,25 = 198

c) 600 · 0,075 = 45 d) 80 · 0,125 = 10

22. En una clase de 25 alumnos, el 24 % son chicos. Calcula el número de chicos y de chicas.

N.º chicos = 25 · 0,24 = 6 6 chicos y 19 chicas.

23. En un pueblo, 1400 personas se dedican a la agricultura. Este número de personas corresponde al 40 % de la población. ¿Cuántos habitantes hay en total?

1400 : 0,4 = 3500 habitantes.

24. Raquel lleva recorridos 9 km de una ruta de 15 km. ¿Qué porcentaje de la distancia de la ruta lleva recorrida?

P = F I = 9 km 15 km = 0,6

Porcentaje = 60 %

PROBLEMAS DE DESCUENTOS Y AUMENTOS. IMPUESTOS

25. Jorge compra unas deportivas que cuestan 62,5 €, y le descuentan el 30 %. ¿Cuánto paga?

62,5 · 0,7 = 43,75 €

26. Inés quiere comprar a plazos un ordenador que cuesta 1200 €. Por pagarlo a plazos, le suben un 12 %. ¿Cuánto pagará en total?

1200 · 1,12 = 1344 €

27. La factura del hotel de las vacaciones ascendía a 1232,5 €. Calcula el total añadiendo el 10 % de IVA.

1232,5 · 1,1 = 1 355,75 €

28. Por un televisor nos han descontado 54,09 €, que supone un 15 % del precio inicial. ¿Cuál era el precio inicial del televisor?

54,09 : 0,15 = 360,6 €

repaSa y elabOra

ELABORA EJERCICIOS

29. Calcula el cuarto proporcional en:

a) x 5,4 = 14 8 b) x 1,2 = 3 1,6

c) 0,7 2,8 = 2,8 x d) 3,5 x = 24 6

a) 9,45 b) 2,25 c) 11,2 d) 0,875

30. Halla la constante de proporcionalidad directa o inversa en los siguientes casos:

a) Hemos comprado 5,6 kg de fruta por 8,4 €

b) 8 máquinas han tardado 3 días en hacer cierto número de tornillos.

c) Un coche ha recorrido 420 km en 4 h

d) Un grifo arroja 640 L en 4 min

a) 8,4 : 5,6 = 1,5 b) 8 · 3 = 24

c) 420 : 4 = 105 d) 640 : 4 = 160

31. Completa las tablas para que los pares de números sean directamente proporcionales:

32. Completa las tablas para que los pares de números sean inversamente proporcionales:

33. Calcula mentalmente:

a) El 10 % de 340 b) El 20 % de 500

c) El 25 % de 300 d) El 50 % de 820

a) 34 b) 100 c) 75 d) 410

34. Calcula:

a) El 15 % de 895

b) El 85 % de 1250

c) El 7,5 % de 480

d) El 0,5 % de 2000

a) 895 · 0,15 = 134,25

b) 1250 · 0,85 = 1062,5

c) 480 · 0,075 = 36

d) 2000 · 0,005 = 10

35.Completa en tu cuaderno:

a) El 20 % de ■ es 50

b) El 25 % de ■ es 30

c) El 10 % de ■ es 25

d) El 50 % de ■ es 120

a) 50 : 0,2 = 250 b) 30 : 0,25 = 120

c) 25 : 0,1 = 250 d) 120 : 0,5 = 240

36. Por 4 días de trabajo me han pagado 250 €. ¿Cuánto cobraré por 13 días?

Tiempo (días) (D) Dinero (€)

4 ⎯⎯⎯→ 250 13 ⎯⎯⎯→ x }

4 13 = 250 x ⇒ x = 812,5 €

37. Dos obreros hacen una zanja en 10 días. Si trabajan de forma uniforme, ¿cuántos días tardarán en hacer la misma zanja 5 obreros?

N.º obreros (I) Tiempo (días)

2 ⎯⎯⎯→ 10

5 ⎯⎯⎯→ x }

5 2 = 10 x ⇒ x = 4 días.

38. A Daniel le dan 20 € de paga, y sus padres deciden subirle el 15 %. ¿Cuál será la paga de Daniel?

20 · 1,15 = 23 €

39. Por unos pantalones y una camisa me han cobrado 68 €. Si me hicieron un descuento del 15 %, ¿cuánto costaba la ropa?

68 : 0,85 = 80 €

actividadeS finaleS

ELABORA ACTIVIDADES DE LAS SECCIONES

1. ¿QUÉ SON RAZONES Y PROPORCIONES?

40. Calcula las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado:

a) 5,5 kg de manzanas cuestan 8,25 €

b) Un ciclista recorre 252 km en 7 h

c) 15 L de aceite cuestan 34,5 €

d) Se han gastado 52 L de agua en 7 días.

a) 8,25 : 5,5 = 1,5 €/kg. Es el precio del kilo.

b) 252 : 7 = 36 km/h. Es la velocidad media.

c) 34,5 : 15 = 2,3 €/L. Es el precio por litro.

d) 52 : 7 = 7,43 L/día. Es el consumo medio por día.

41. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado:

a) Un coche tiene 180 CV, y otro, 124 CV

b) Jaime tiene 60 libros, y Ruth, 40 libros.

c) Un atleta ha completado la prueba en 4,28 minutos, y otro, en 4 minutos.

d) Una caja de fresas tiene 750 g, y otra, 500 g

a) El primer coche tiene una potencia 180 : 124 = 1,45 veces mayor que el segundo.

b) Jaime tiene 60 : 40 = 1,5 veces los libros de Ruth.

c) El primer atleta ha invertido 4,28 : 4 = 1,07 veces el tiempo del segundo.

d) La primera caja pesa 750 : 500 = 1,5 veces el peso de la segunda.

42. Calcula mentalmente y completa las siguientes razones para que formen proporción:

a) 6 7 = ■ 56 b) ■ 7 = 24 28

c) 4,2 ■ = 2,1 3,7 d) 5 3 = 2,5 ■

a) 48 b) 6 c) 7,4 d) 1,5

43. Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad:

a) 3,5 5 b) 2,1 12 c) 1,4 8 d) 4,9 7

3,5 5 = 4,9 7 = 0,7 y 2,1 12 = 1,4 8 = 0,175

44. Calcula el valor de x :

a) x 7 = 21 49 b) 25 x = x 36

c) 3 7,2 = 12 x d) x 4,9 = 6,4 x

a) 3 b) 30

c) 28,8 d) 5,6

2. ¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA?

45. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles no guardan relación de proporcionalidad?

a) El número de galletas de una caja y su peso.

b) El peso de una persona y su edad.

c) El número de habitantes de un municipio y su consumo de agua.

d) La longitud de una circunferencia y su radio.

a) Sí. b) No. c) Sí. d) Sí.

46. Escribe dos magnitudes que sean directamente proporcionales.

La longitud del lado de un cuadrado y la longitud de su perímetro. La cantidad de kilos de naranjas y el dinero que se paga por ellas.

47. Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales:

Magnitud A 1 2 3 4 5

Magnitud B 28

Magnitud A 1 2 3 4 5

Magnitud B 7 14 21 28 35

48. Fabio ha dedicado 7 h a ayudar a su padre, que le ha dado 42 € como recompensa. ¿Cuánto le habría dado por 12 h?

Tiempo (h) (D) Dinero (€)

7 ⎯⎯⎯→ 42 12 ⎯⎯⎯→ x }

7 12 = 42 x ⇒ x = 72 €

49. Los padres de Concha han comprado 1,5 kg de pescado por 18,26 €. ¿Cuánto habrían pagado por 3,75 kg?

Peso (kg) (D) Dinero (€)

1,5 ⎯⎯⎯→ 18,26 3,75 ⎯⎯⎯→ x }

1,5 3,75 = 18,26 x ⇒ x = 45,65 €

50. Un coche consume 7,8 L de gasolina cada 100 km. ¿Cuánto gastará en 540 km?

Longitud (km) (D) Capacidad (L)

100 ⎯⎯⎯→ 7,8

540 ⎯⎯⎯→ x }

100

540 = 7,8 x ⇒ x = 42,12 L

51. Por una compra de 70,5 €, en el supermercado nos han dado 6 papeletas para un sorteo. ¿Cuántas papeletas nos habrían dado por una compra de 94 €?

Dinero (€) (D) N.º papeletas

70,5 ⎯⎯⎯→ 6

94 ⎯⎯⎯→ x }

70,5 94 = 6 x ⇒ x = 8 papeletas.

52. Por la impresión de 36 fotografías digitales nos han cobrado 11,52 €. ¿Cuál será el coste de imprimir 48 fotografías?

N.º fotografias (D) Dinero (€)

36 ⎯⎯⎯→ 11,52 48 ⎯⎯⎯→ x }

36 48 = 11,52 x ⇒ x = 15,36 €

53. En una granja se han recogido 3460 kg de patatas en 5 días. Si se trabaja de forma uniforme, ¿cuántos kilos se recogerán en 12 días?

Tiempo (días) (D) Masa (kg)

5 ⎯⎯⎯→ 3460

12 ⎯⎯⎯→ x }

5 12 = 3460 x ⇒ x = 8304 kg

3. ¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD INVERSA?

54. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales?

a) El número de gallinas de un corral y el número de días que dura una cantidad de pienso.

b) El número de horas que funciona una má quina, y su consumo eléctrico.

c) La cantidad de agua que arroja un grifo por minuto, y el tiempo que tarda en llenar un depósito.

d) El área de un triángulo y su perímetro.

a) y c).

55. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales.

El número de trabajadores y el tiempo que tardan en hacer una obra.

La velocidad que se lleva y el tiempo empleado en recorrer un espacio fijo.

56. Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:

Magnitud A 3 5 10 12 20

Magnitud B 2,5

Magnitud A 3 5 10 12 20

Magnitud B 10 6 3 2,5 1,5

57. Una parcela en forma de romboide tiene 20 m de largo y 9 de ancho. ¿Cuánto medirá de ancho otra parcela que tiene igual área y 15 m de largo?

Longitud (m) (l) Longitud (m)

58. Cinco alumnos, que trabajan al mismo ritmo, tardan 8 h en hacer un trabajo de Geografía e Historia. ¿Cuánto tardarán 4 alumnos?

N.º alumnos (l) Tiempo (h)

8

59. Un depósito se llena en 5 horas con un grifo que vierte 180 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo tiene un caudal de 240 L/min?

Caudal (L/min) (l) Tiempo (h)

4. ¿QUÉ SON LOS PORCENTAJES?

60. Calcula mentalmente:

a) El 20 % de 1000 b) El 10 % de 320

c) El 25 % de 840 d) El 50 % de 700 a) 200 b) 32 c) 210 d) 350

61. Calcula:

a) El 15 % de 4500 b) El 85 % de 490

c) El 6,5 % de 12 400 d) El 0,4 % de 295

a) 4500 · 0,15 = 675 b) 490 · 0,85 = 416,5

c) 12400 · 0,065 = 806 d) 295 · 0,004 = 1,18

62.Álvaro se quiere comprar una cazadora de 90 €. Si le hacen el 15 % de descuento, ¿cuánto tendrá que pagar?

90 · 0,85 = 76,5 €

63. En un pueblo de 4800 habitantes, el 7 % de la población trabaja en una central eléctrica y el 12 % se dedica a la pesca. Calcula el número de personas que trabajan en la central y en la pesca.

En la central: 4800 · 0,07 = 336 personas

En la pesca: 4800 · 0,12 = 576 personas

64. Al padre de Ana le han rebajado 31,5 € por la compra de una batería de cocina. Si el descuento era del 15 %, ¿cuánto costaba la batería?

31,5 : 0,15 = 210 €

65. En un paquete de galletas de 250 g se afirma que 50 g son gratis. ¿Cuál es el porcentaje del peso que no pagamos?

50 : 250 = 0,2 = 20 %

ELABORA PROBLEMAS

66. Una persona escribe en un ordenador 2500 caracteres en 20 minutos. ¿Cuántos caracteres escribirá en 50 minutos?

Tiempo (min) (D) N.º caracteres

20 ⎯⎯⎯→ 2500 50 ⎯⎯⎯→ x }

20 50 = 2500 x ⇒ x = 6250 caracteres.

67. Un sastre necesita 20,7 m de tela para hacer 3 trajes. ¿Cuántos metros necesitará para hacer 14 trajes?

N.º trajes (D) Longitud (m)

3 ⎯⎯⎯→ 20,7

14 ⎯⎯⎯→ x }

3 14 = 20,7 x ⇒ x = 96,6 m

68. Tres camiones cisterna tardan 12 días en transportar el agua de un depósito. ¿Cuánto tardarán 9 camiones iguales?

N.º camiones (I) Tiempo (días)

3 ⎯⎯⎯→ 12 9 ⎯⎯⎯→ x }

9 3 = 12 x ⇒ x = 4 días.

69. Una máquina envasa 350 paquetes de azúcar en 30 minutos. ¿Cuántos paquetes envasará en 2 horas y media?

Tiempo (min) (D) N.º paquetes

30 ⎯⎯⎯→ 350

150 ⎯⎯⎯→ x }

30 150 = 350 x ⇒ x = 1750 paquetes.

70. 80 L de aceite pesan 72 kg. ¿Cuánto pesan 95 L?

Capacidad (L) (D) Masa (kg)

80 ⎯⎯⎯→ 72 95 ⎯⎯⎯→ x }

80 95 = 72 x ⇒ x = 85,5 kg

71. Un panadero hace 120 kg de pan con 90 kg de harina. ¿Cuántos kilos de harina se necesitan para hacer 150 kg de pan?

Masa pan (kg) (D) Masa harina (kg)

120 ⎯⎯⎯→ 90

150 ⎯⎯⎯→ x }

120 150 = 90 x ⇒ x = 112,5 kg

72. En una carpintería regalan, por cada 12 m de moldura, 8 clavos para ponerla. ¿Cuántos clavos nos darán si compramos 72 m de moldura?

Longitud (m) (D) N.º clavos

12 ⎯⎯⎯→ 8

72 ⎯⎯⎯→ x

12 72 = 8 x ⇒ x = 48 clavos.

73. Media docena de estudiantes de 1.o ESO tardan 15 h en maquetar la revista del centro. ¿Cuánto tardarán 4 estudiantes en hacer el mismo trabajo si todos trabajan por igual?

N.º alumnos (I) Tiempo (h)

6 ⎯⎯⎯→ 15

4 ⎯⎯⎯→ x }

4 6 = 15 x ⇒ x = 22,5 h

74. Un conductor invierte cuatro horas y media en hacer un recorrido de 405 km. En las mismas condiciones, ¿cuánto invertirá en recorrer 540 km?

Longitud (km) (D) Tiempo (h)

405 ⎯⎯⎯→ 4,5 540 ⎯⎯⎯→ x }

405 540 = 4,5 x ⇒ x = 6 h

75. En una excursión, 6 amigos llevan alimentos para 12 días, pero se encuentran con dos amigos que deciden unirse al grupo. ¿Para cuántos días tendrán alimentos?

N.º amigos (I) Tiempo (días)

6 ⎯⎯⎯→ 12

8 ⎯⎯⎯→ x }

8 6 = 12 x ⇒ x = 9 días.

76. Un videojuego cuesta 21 €. Si nos descuentan un 15 %, ¿cuánto pagaremos?

21 · 0,85 = 17,85 €

77. En un parque natural se han plantado 2500 árboles. Si se seca el 7 % durante el primer año, ¿cuántos árboles hay que volver a plantar?

2500 · 0,07 = 175 árboles.

78. Una chaqueta costaba 77,2 €, y he pagado 57,9 €. ¿Qué porcentaje de descuento se ha aplicado?

57,9 : 77,2 = 0,75 = 75 %

Se ha pagado el 75 % y se ha descontado el 25 %

79. El año pasado pagábamos el kilo de pan a 2,4 €. ¿Qué porcentaje ha subido si ahora lo pagamos a 2,52 €?

2,52 : 2,4 = 1,05 = 105 %

Se ha subido un 5 %

80. Por un kilogramo de harina hemos pagado 0,78 €. Si nos ha costado la harina un 4 % más cara que el año pasado, ¿a cuánto estaba el kilo de harina el año pasado?

0,78 : 1,04 = 0,75 €

cOmpruebO miS cOmpetenciaS

81. En una zona residencial de 60 calles, han designado 9 calles peatonales. ¿Qué porcentaje de calles son peatonales?

P = F I ⇒ P = 9 60 = 0,15 ⇒ 15 %

82. En una comunidad de vecinos se desea que el 40 % de la energía provenga de fuentes renovables y el resto de fuentes convencionales. Si en la comunidad se han consumido, 5 400 kWh en un mes, ¿cuál es el consumo de fuentes convencionales?

F = I · P = 5 400 · 0,6 = 3 240 kWh

83. Una planta de reciclaje en una ciudad sostenible procesa

1 500 kg de residuos en 3 horas. Si se necesita procesar 2 700 kg de residuos, ¿cuánto tiempo se necesitará?

Masa (kg) (D) Tiempo (horas)

1 500 ⎯⎯⎯→ 3

2 700 ⎯⎯⎯→ x }

1500

2 700 = 9 x ⇒ x = 5,4 h = 5 h 24 min

84. En una ciudad sostenible, la velocidad media del tráfico disminuye a medida que aumenta la densidad poblacional. Si la velocidad media es de 45 km/h cuando la densidad es de 560 hab/km², ¿cuál sería la velocidad media si la densidad aumenta a 800 hab/km²

Densidad (hab/km2) (I) Velocidad (km/hr)

560 ⎯⎯⎯→ 45

800 ⎯⎯⎯→ x }

800 560 = 45 x ⇒ x = 31,5 km/h

evalúate

1. Define qué son magnitudes directamente proporcionales y pon un ejemplo.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

a) Al aumentar una cantidad de una de ellas en el doble, triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentado de igual forma.

b) Al disminuir una cantidad de una de ellas en la mitad, un tercio, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuido de la misma forma.

En una pastelería venden cajas de bombones del mismo peso a 6 € la caja. Las magnitudes número de cajas y coste son directamente proporcionales.

N.º de cajas 1 2 3 4 5 10 15 20

Coste (€) 6 12 18 24 30 60 90 120

2. Calcula el cuarto proporcional en:

a) x 6 = 63 54 b) 2,4 3,6 = 1,8 x

a) 7 b) 2,7

3. Calcula:

a) El 15 % de 600 b) El 0,5 % de 940

a) 600 · 0,15 = 90 b) 940 · 0,005 = 4,7

4. Completa en tu cuaderno:

a) El 18 % de es 504 b) El 12 % de es 180

a) 504 : 0,18 = 2800 b) 180 : 0,12 = 1500

5. Una caldera consume 100 litros de gasoil en 8 horas. ¿Cuánto gastará en 5 horas?

Tiempo (h) (D) Capacidad (L)

8 ⎯⎯⎯→ 100

5 ⎯⎯⎯→ x }

8 5 = 100 x ⇒ x = 62,5 L

6. Tres alumnos han trasladado unos libros de la biblioteca en 4 horas. ¿Cuánto hubiesen tardado 8 alumnos?

N.º alumnos (I) Tiempo (h)

3 ⎯⎯⎯→ 4

8 ⎯⎯⎯→ x }

8 3 = 4 x ⇒ x = 1,5 h = 1 h 30 min

7. Un equipo de 12 arquitectos tardan 90 días en diseñar una urbanización. ¿Cuánto tiempo tardarán en diseñar la misma urbanización 15 arquitectos?

N.º arquitectos (I) Tiempo (días)

12 ⎯⎯⎯→ 90

15 ⎯⎯⎯→ x }

15 12 = 90 x ⇒ x = 72 días.

8. Por un aparato de radio pagamos 7,65 €. Si nos han hecho un 15 % de descuento, ¿cuál era el precio inicial de la radio?

7,65 : 0,85 = 9 €

UNIDAD 8

Ecuaciones de 1.er grado

En esta unidad se aprende a:

• Identificar y usar el lenguaje algebraico como un instrumento útil de traducción del lenguaje natural al matemático.

• Identificar una expresión algebraica y sus elementos: variable, términos y coeficientes.

• Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.

• Identificar una ecuación como una igualdad de expresiones algebraicas que solo se verifica para algunos valores de la variable.

• Reconocer la incógnita de una ecuación, el primer y segundo miembro.

• Identificar ecuaciones equivalentes de primer grado.

• Conocer y usar la regla de la suma y del producto.

• Resolver ecuaciones con coeficientes enteros sin denominadores y con denominadores.

• Identificar ecuaciones sin solución.

• Resolver problemas de ecuaciones escogiendo el método más conveniente para la realización del cálculo: mentalmente, por escrito, con calculadora o con ordenador.

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

El alumno traerá a clase resuelto en su cuaderno el Explora apoyándose en los recursos del Engánchate y el Carné de calculista

Se resuelven al principio de la clase.

Se pueden alternar las explicaciones con las actividades del Elabora de forma individual o de forma cooperativa y/o colaborativa.

1. ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS TIPOS DE LENGUAJE?

En este primer acercamiento al lenguaje algebraico se debe trabajar el paso del lenguaje natural al numérico y de este, al algebraico de una forma similar donde un valor es variable.

Se debe cuidar la terminología propia del lenguaje algebraico y de las ecuaciones para fomentar la precisión y rigor en el lenguaje.

2. ¿CUÁNDO DOS ECUACIONES SON EQUIVALENTES?

El concepto de ecuación equivalente es la base para el procedimiento de resolución. Es importante la comprensión de la regla de la suma y del producto. En la regla del producto hay que cuidar que no se mezcle con la de la suma. Por ejemplo, – 3x = 4. Un alumno dice: «el menos 3 pasa a dividir» Pero escribe 4/3 porque también ha cambiado el signo menos.

3. ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE 1.er GRADO?

Esta sección es totalmente procedimental. Debe cuidarse la aplicación correcta de la propiedad distributiva. Sobre todo en ecuaciones con denominadores donde un signo menos delante de una fracción les lleva a pensar (al no ver paréntesis) que no se aplica la propiedad distributiva.

4. ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS?

Se da un procedimiento en 4 pasos con una estrategia de distribución que permite al alumnado ser constante. Es importante que en estos problemas se valore, dependiendo del enunciado, el uso del applet que se ofrece por cuanto se hace hincapié en el planteamiento.

8. Ecuaciones de 1.er grado

Situación de aprendizaje: nueStro huerto

Queremos hacer un huerto escolar ecológico de forma rectangular y tenemos una valla de 48 m de longitud. Si queremos que el huerto mida el doble de largo que de ancho, ¿qué medidas tendrá?

2(x + 2x) = 48 ⇒ x = 8 m

Tendrá de medidas 8 m × 16 m

1. ¿para qué Sirven loS tipoS de lenguaje?

EXPLORA

Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

a) Tenía 5 € y me han dado 7 €. ¿Cuántos euros tengo?

b) En un rectángulo, un lado mide x metros y el otro lado mide 5 metros más. ¿Cuánto mide el lado mayor?

a) 12 € b) x + 5

CARNÉ

CALCULISTA

402,23 : 7,6 | C = 52,92; R = 0,038

¿QUÉ SON LOS TIPOS DE LENGUAJE?

1. Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado:

a) María tiene 125 libros y su primo Juan tiene el triple. ¿Cuántos libros tiene Juan?

b) Un tren lleva una velocidad media de 90 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?

a) 3 · 125 = 375 libros b) 5 · 90 = 450 km

2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora?

b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro?

a) x + 23 b) 4x

3. En las siguientes expresiones algebraicas, escribe la variable, los términos literales e independientes y los coeficientes.

a) 5x + 7 b) – 4y + 3

c) x – 2 d) – 8n – 1

Variable Términos Coeficientes

a) x

b) y

c) x

d) n

Literal 5x 5

Independiente 7 7

Literal – 4y – 4

Independiente 3 3

Literal x 1

Independiente – 2 – 2

Literal – 8n – 8

Independiente – 1 – 1

4. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:

a) 5x – 9 para x = 3

b) 3x + 10 para x = – 2

c) 4n para n = 7,5

d) – 3a + 5 para a = 4

a) 6 b) 4 c) 30 d) – 7

5. En las siguientes ecuaciones, escribe el 1.er miembro, el 2.o y la variable.

a) 3x – 5 = 4 b) x + 7 = 8x

c) – 6n = 4n + 5 d) – z + 1 = 9 – 7z

1.er miembro 2.º miembro Variable

a) 3x – 5 4 x

b) x + 7 8x x

c) – 6n 4n + 5 n

d) –z + 1 9 – 7z z

6. Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución:

a) 2x + 3 = 15 x = 4, x = 6

b) – 2x + 7 = 5 x = 1, x = – 5

a) x = 6 b) x = 1

7. Escribe la ecuación que resulta de la siguiente expresión y comprueba que x = 4 es la solución.

Tenía x €, me han dado el doble de lo que tenía y 7 € más; ahora tengo 19 €

x + 2x + 7 = 19. Comprobación x = 4

4 + 2 · 4 + 7 = 19

2. ¿cuándo doS ecuacioneS Son equivalenteS?

EXPLORA

Halla mentalmente por qué número tienes que sustituir cada recuadro para que se verifique la igualdad.

a) + 5 = 8 b) – 3 = 4 c) 5 · = 35 d) 8 = 6

a) 3 b) 7 c) 7 d) 48

CARNÉ CALCULISTA

7

2 : 5 6 + 6 5 · 3 4 = 51 10

¿CUÁNDO UNA ECUACIÓN ES DE 1.er GRADO CON UNA INCÓGNITA?

8. De las siguientes ecuaciones, di cuáles son de 1.er grado con una incógnita y por qué las otras no lo son:

a) x + 7x – 3 = 0

b) 9x + 5y = 1

c) 3x + 7 = 8

d) x 4 – 5x 2 + 2x = 5

a) Es de 1.er grado con una incógnita.

b) Tiene dos incógnitas.

c) Es de 1.er grado con una incógnita.

d) Es de 4.o grado con una incógnita.

¿CUÁNDO DOS ECUACIONES SON EQUIVALENTES?

9. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?

a) 2x + 7 = 17 b) 3x – 1 = 5

c) – 4x + 9 = 1 d) – x + 5 = 0

a) x = 5 b) x = 2

c) x = 2 d) x = 5

Son equivalentes a) y d); b) y c).

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3 + 7x + 1 = 6x + 8

b) 5x – 6 = x – 2 + 3x

c) 7 – 5x – 3 = – 6x + 5

d) 3x + 9 + 3x = 5x – 2

a) x = 4 b) x = 4

c) x = 1 d) x = – 11

11. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x + 2 = 3 b) x – 1 = 4

c) x – 3 = 5 d) x + 7 = 3

e) 2x = 6 f) x /2 = 9

g) 7x = 6 h) x /5 = 8

a) x = 1 b) x = 5

c) x = 8 d) x = – 4

e) x = 3 f) x = 18

g) x = 6/7 h) x = 40

12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 8x + 9 = 2 + 6x + 4

b) – 7x – 6 = x + 1 – 3x

c) 3 – 4x = – 8x + 12

d) 2 + 3x + 3 = 6x – 2

a) x = – 3/2

b) x = – 7/5

c) x = 9/4

d) x = 7/3

13. Antonio disponía de x € y su abuela le da el doble de lo que tenía. Si se gasta 5 €, le quedan 4 €. ¿Cuánto dinero tenía Antonio?

x + 2x – 5 = 4

x = 3 €

3. ¿cómo Se reSuelve una ecuación de 1.er grado?

EXPLORA

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x + 4 = 7 b) x – 2 = 3

c) 5x = 35 d) x 5 = 6

e) ¿Cuánto vale la x del dibujo?

a) x = 3

b) x = 5

c) x = 7

d) x = 30

e) x = 3 kg

CARNÉ CALCULISTA

57,3 : 0,84 | C = 68,21; R = 0,0036

¿CÓMO SE RESUELVE MENTALMENTE?

14. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x + 2 = 5 b) x – 4 = 1

c) 7x = 21 d) – x 4 = 5

a) x = 3 b) x = 5

c) x = 3 d) x = – 20

¿CÓMO SE RESUELVEN CON PARÉNTESIS?

15. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 5(3x – 1) = x – 13

b) 5 – 4(2x – 3) = 2x + 7

a) x = – 1/2 b) x = 1

16. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 7x – 5(3x + 2) = x – 4

b) 7x + 9 – 5x = 3(2x – 1) + 2

a) x = – 2/3 b) x = 5/2

17. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x – 3(4x – 2) = 4(2x – 1)

b) 5 – 4(3x + 2) = 4 – 5(3x – 1)

a) x = 2/3 b) x = 4

18. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4(3x + 1) – 4x = 8 – 2(x – 3)

b) 5x – 3(2x – 1) – (x + 5) = 1 – 2(3x + 5)

a) x = 1 b) x = – 7/4

¿CÓMO SE RESUELVEN CON DENOMINADORES?

19. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 2 + 1 4 = 13 4 b) 5 6 –4x 3 = 1 6

a) x = 6 b) x = 1/2

20. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 6 + 4x 3 = 5 2 b) 5x 4 –x 8 = 9 4

a) x = 5/3 b) x = 2

4 kg 7 kg x kg

21. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x 2 –11 4 = x 4 – 2

b) 4x 3 + 5 = x 3 + 13 3

a) x = 3/5 b) x = – 2/3

22. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x 2 –2x + 3 6 = 5 3

b) 2x 3 –5x – 7 6 = x 2 + 5 3

a) x = 1 b) x = – 3/4

23. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x 3 – 5 = 26 9 –3x – 4 9

b) 2x – 1 4 + 2 – 3x 8 = x + 7 3

a) x = 5 b) x = – 2/3

24. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x –2x – 3 5 – 4 = 5x + 1 6 –47 12

b) 3x – 1 6 – 2x = 19 24 –4x + 5 8

a) x = 3/2 b) x = – 1/3

4. ¿cómo Se reSuelven problemaS?

EXPLORA

Resuelve mentalmente por tanteo el siguiente problema:

Halla dos números sabiendo que uno es 2 unidades mayor que el otro y que entre los dos suman 12

5 y 7

CARNÉ CALCULISTA

5 2 ( 3 4 –2 5 ) = 7 8

¿CUÁL ES EL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS?

25. Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas:

a) Óscar tiene 2 € más que su hermana Sonia. Si entre los dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

b) Si Alba tiene 3 € más que su primo Carlos y entre los dos tienen 13 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

c) Marta tiene el doble de dinero que su hermano Luis y entre los dos tienen 15 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

d) Julia tiene el triple de dinero que su prima María. Si entre las dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada una?

a) Óscar tiene 9 € y Sonia 7 €

b) Alba tiene 8 € y Carlos 5 €

c) Marta tiene 10 € y Luis 5 €

d) Julia tiene 12 € y María 4 €

26. Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 57

1.er número = x

2.o número = x + 1

x + x + 1 = 57 ⇒ x = 28

Los números son 28 y 29

27. Calcula un número sabiendo que este más su mitad es igual a 39

Número = x

x + x 2 = 39 ⇒ x = 26

El número es 26

28. Susana tiene el doble de dinero que su primo Tomás. Si entre los dos tienen 70,2 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Dinero de Tomás: x

Dinero de Susana: 2x

2x + x = 70,2 ⇒ x = 23,4

Susana tiene 46,8 € y Tomás 23,4 €

29. El perímetro de un triángulo mide 36 m. ¿Cuánto mide cada lado sabiendo que son números pares consecutivos?

2x

2x + 2

2x+4

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 36

6x = 30

x = 5

El lado menor mide 10 m, el mediano, 12 m y el mayor, 14 m.

30. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 6 m más que el desigual. Si el perímetro mide 36 m, ¿cuánto mide cada lado?

Lado desigual = x

x + 2(x + 6) = 36 ⇒ x = 8

x + 6 x

El lado desigual mide 8 m y los iguales 14 m cada uno.

31. Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el perímetro mide 294 m 2 x

x

Ancho = x

Largo = 2x

2x + 4x = 294 ⇒ x = 49

El ancho mide 49 m y el largo 98 m

32. Una parcela de forma rectangular mide el doble de largo que de ancho. Si el perímetro mide 270 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho. 2x

x

2(x + 2x) = 270 ⇒ x = 45

La parcela mide de ancho 45 m y de largo 90 m

repaSa y elabora

ELABORA EJERCICIOS

33. Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones:

a) x + a = b b) x – a = b

c) ax = b d) a x b =

a) x = b – a b) x = a + b c) x = b/a d) x = ab

34. Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones:

a) b a x c = b) b a c x = c) x a c b = d) a x c b =

a) x = bc/a b) x = ac/b c) x = ac/b d) x = ab/c

35. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5 x – 4(3 x – 1) – (6 x + 1) = 5(3 x + 12) – 1

b) 7(3 x –1) – 5(4 x + 3) = 2(3 x + 5) – 5(3 x + 12)

a) x = – 2 b) x = – 14/5

36. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) xxx 23 4 26 ++ = b) xx xx 23 46 2 ++ =

a) x = 24

b) x = – 8

37. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x 5 23 2 3 47 4 –+ + =

b) x x x 6 54 22 8 71 –– += +

a) x = – 1 b) x = 5

38. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) xx xx 2 1 3 2 4 3 6 4 3 2 –– ––+=

b) x x x x 2 31 3 42 4 53 6 74 4 11 ––– + + + =

a) x = 7/3 b) x = – 2/3

ELABORA PROBLEMAS

39. El triple de un número menos 7 es igual a 38. ¿Cuál es el número?

Número = x 3x – 7 = 38 ⇒ x = 15

40. Halla dos números sabiendo que uno es 5 veces mayor que el otro y que entre los dos suman 42

Número menor = x

Número mayor = 5x x + 5x = 42 ⇒ x = 7

Los números son 7 y 35

41. Una parcela de forma rectangular mide el triple de largo que de ancho. Si el perímetro mide 424 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho. 3x

x

2(x + 3x) = 424 ⇒ x = 53 m La parcela mide de ancho 53 m y de largo 159 m

42. Juana tiene 5 € menos que Ana, y esta tiene 5 € menos que Antonio. Si entre los tres tienen 30 €, ¿cuánto tiene cada uno?

Dinero de Antonio = x

Dinero de Ana = x – 5

Dinero de Juana = x – 10

x + x – 5 + x – 10 = 30 ⇒ x = 15

Juana tiene 5 €, Ana tiene 10 € y Antonio, 15 €

43. Halla un número sabiendo que la mitad de dicho número más su tercera parte, más su cuarta parte es igual a 26

Número = x xx x 23 4 ++ = 26 ⇒ x = 24

44. Halla un número sabiendo que el cuádruple de dicho número más su cuarta parte es igual a 34

Número = x

4x + x 4 = 34 ⇒ x = 8

45. La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 56 cm. Sabiendo que el lado del triángulo y el del cuadrado son iguales, ¿cuánto mide el lado? x x

x x

4x + 3x = 56 ⇒ x = 8 cm

46. Con el dinero que tengo más la mitad de lo que tengo, más la mitad de la mitad de lo que tengo, más un euro, tendría 64 €. ¿De cuánto dinero dispongo?

Dinero = x

x + xx 2 4 + + 1 = 64 ⇒ x = 36 €

actividadeS finaleS ELABORA ACTIVIDADES DE LAS SECCIONES

1. ¿PARA QUÉ SIRVEN LOS TIPOS DE LENGUAJE?

47. Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado:

a) Jorge tiene 8 € y su primo Antonio tiene 2 € más. ¿Cuántos euros tiene Antonio?

b) Si Luisa tiene 17 canicas y su prima Sonia tiene el doble, ¿cuántas canicas tiene Sonia?

a) 8 + 2 = 10 €

b) 2 · 17 = 34 canicas

48. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) Tenía x € y me han dado 2 €. ¿Cuántos euros tengo?

b) Isabel tiene x libros y su hermana Marta el doble. ¿Cuántos libros tiene Marta?

a) x + 2

b) 2x

49. En las siguientes ecuaciones, escribe el 1.er miembro, el 2.° y la variable:

a) 7( x – 5) = 3 x – 4 b) y + 6 + 5 y = 4(y – 3)

1.er miembro 2.º miembro Variable

a) 7(x – 5) 3x – 4 x

b) y + 6 + 5y 4(y – 3) y

50. Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución.

a) x – 3 = 4 x = 1, x = 7 b) 5 x + 13 = 3 x = 4, x = – 2

a) x = 7 b) x = – 2

2. ¿CUÁNDO DOS ECUACIONES SON EQUIVALENTES?

51. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?

a) 2x + 3 = 5 b) x – 1 = 2

c) 4x – 5 = 7 d) 7x – 4 = 3

a) x = 1 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 1 Son equivalentes a) y d); b) y c).

52. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 + 5 x = 4 x + 7 b) 4 x – 5 = 1 + 3 x a) x = 5 b) x = 6

53. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) 4 x = 20 b) x 7 2 = a) x = 5 b) x = 14

54. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 9 x + 10 = 3 + 7x + 5 b) – 5 x – 7 = 2 x – 1 – 9 x a) x = – 1 b) x = 3

55. Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 21 1.er número = x, 2.o número = 2x x + 2x = 21 ⇒ x = 7 ⇒ Los números son 7 y 14

3. ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE 1.er GRADO?

56. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x + 5 = 7 b) x – 3 = 2 c) 5 x = 15 d) x 2 6 = a) x = 2 b) x = 5 c) x = 3 d) x = 12

57. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x + 2(4x – 1) = x + 18 b) 1 – 3(x + 1) = 2x + 13 a) x = 2 b) x = – 3

58. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x – 4(2x + 3) = 2x – 17 b) 4x + 5 – 7x = 2(3x – 6) – 1 a) x = 1 b) x = 2

59. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 7x – 4(2 x – 5) = 3 (5 x – 2) – 6 b) 4 – 5 (2 x + 1) = – 3 (4 x – 5) a) x = 2 b) x = 8

60. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 9 x – 5 (2 x – 1) = – 3 ( x + 4)

b) 7x + 3 (5 x – 3) – (5 x + 1) = 7 (2 x + 2)

a) x = – 17/2 b) x = 8

61. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 32 1 2 3 += b) x 5 2 4 3 5 17 – =

a) x = 3 b) x = – 4

62. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) xx 2 7 3 5 6 11 – = b) xx 4 5 22 3 =

a) x = 1 b) x = – 2

63. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) xx 2 3 3 41 2 5 – + + = b) x x x 3 4 2 25 4 3 ––=

a) x = – 1 b) x = 6

64. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x xx 62 23 4 3 3 52 – +=

b) xx x 3 2 6 45 3 71 2 1 –– + =+

a) x = 7/6 b) x = – 3/7

65. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x 2 2 43 5 3 61 6 1 ––= +

b) x x x 4 53 3 2 1 8 45 –= +

a) x = – 11/6 b) x = – 1/2

4. ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS?

66. Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 61

1.er número = x

2.o número = x + 1

x + x + 1 = 61 ⇒ x = 30

Los números son 30 y 31

67. Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad, más su tercera parte es igual a 22

Número = x

x + xx 23 + = 22 ⇒ x = 12

68. Juan tiene 12 € más que su prima Ana. Si entre los dos tienen 63 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Dinero de Ana = x

Dinero de Juan = x + 12

x + x + 12 = 63 ⇒ x = 25,5 € Ana tiene 25,5 €. Juan tiene 37,5 €

69. Sara tiene el doble de dinero que su primo Alfonso. Si entre los dos tienen 24,6 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Dinero de Alfonso = x

Dinero de Sara = 2x

x + 2x = 24,6 ⇒ x = 8,2

Alfonso tiene 8,2 €. Sara tiene 16,4 €

70. Silvia gasta la mitad de su paga en el cine y un sexto en golosinas. Si aún le quedan 4 €, ¿cuánto le han dado de paga?

Paga de Silvia = x

xx 26 + + 4 = x ⇒ x = 12 €

71. Calcula tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 45

1.er número = x

2.o número = x + 1

3.er número = x + 2

x + x + 1 + x + 2 = 45 ⇒ x = 14

Los números son: 14, 15 y 16

72. Cada lado de un triángulo mide 5 m más que el anterior. Si el perímetro mide 37,5 m, ¿cuánto mide cada uno de los lados?

x + 5 x

x + 10

x + x + 5 + x + 10 = 37,5 ⇒ x = 7,5 m

Los lados miden: 7,5 m, 12,5 m y 17,5 m

73. El perímetro de un rectángulo mide 26 m. El lado mayor mide 3 m más que el menor. ¿Cuánto mide cada lado?

x

2x + 2(x + 3) = 26 ⇒ x = 5 m

Los lados miden 5 m y 8 m

x + 3

ELABORA PROBLEMAS

74. Compré una camisa y una chaqueta por 72 €. La chaqueta costó 12 € más que la camisa. ¿Cuánto costó cada prenda?

Precio de la camisa = x

Precio de la chaqueta = x + 12 x + x + 12 = 72 ⇒ x = 30

La camisa costó 30 €

La chaqueta costó 42 €

75. Reparte 800 € entre María y Juan, de forma que María reciba 200 € más que Juan.

Dinero de Juan = x

Dinero de María = x + 200

x + x + 200 = 800 ⇒ x = 300

Juan recibe 300 €; María recibe 500 €

76. Halla tres números enteros consecutivos que sumen 72

1.er número = x

2.o número = x + 1

3.er número = x + 2

x + x + 1 + x + 2 = 72 ⇒ x = 23

Los números son 23, 24 y 25

77. Un número más el doble de dicho número, más la mitad del mismo número suman 112. Calcula el número.

Número = x

x + 2x + x 2 = 112 ⇒ x = 32

78. Los lados de un romboide se diferencian en 7,5 m. Si el perímetro mide 115 m, ¿cuánto mide cada lado?

x + 7,5 x

2x + 2(x + 7,5) = 115 ⇒ x = 25

Los lados miden: 25 m y 32,5 m

79. Un número entero más el doble del siguiente es igual a 71. Calcula el número.

1.er número = x

2.o número = x + 1

x + 2(x + 1) = 71 ⇒ x = 23

80. En un centro escolar hay 17 chicas más que chicos, y en total hay 1 087 alumnos. ¿Cuántos alumnos son chicos y cuántos son chicas?

N.o de chicos = x

N.o de chicas = x + 17

x + x + 17 = 1087 ⇒ x = 535 Chicos: 535 y chicas: 552

81. Un autobús transporta 10 veces más personas que un coche. Si entre los dos llevan 55 personas, ¿cuántas personas lleva cada uno?

N.o de personas en coche = x

N.o de personas en autobús = 10x

x + 10x = 55 ⇒ x = 5

El coche lleva: 5 personas. El autobús lleva: 50 personas.

82. Una parcela de forma rectangular mide 15 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 170 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho. x + 15

x

2x + 2(x + 15) = 170 ⇒ x = 35

De ancha mide 35 m y de larga 50 m

83. Antonio, Santiago y Paloma son guardias de seguridad que han cobrado 1 057 € por hacer un trabajo. Santiago ha trabajado la mitad de días que Antonio, y Paloma el doble de días que Antonio. ¿Cuánto ha cobrado cada uno?

Dinero de Antonio = x

Dinero de Santiago = x/2

Dinero de Paloma = 2x

x + x 2 + 2x = 1 057 ⇒ x = 302 €

Antonio cobra: 302 €; Santiago cobra: 151 €; Paloma cobra: 604 €

84. Tenemos 113 naranjas repartidas en 3 cajas. La mediana tiene 5 naranjas más que la pequeña, y la mayor tiene 7 más que la mediana. ¿Cuántas naranjas tiene cada caja?

N.o de naranjas en caja pequeña = x – 5

N.o de naranjas en caja mediana = x

N.o de naranjas en caja grade = x + 7

x + x – 5 + x + 7 = 113 ⇒ x = 37 naranjas.

La caja mediana tiene 37 naranjas.

La caja pequeña tiene 32 naranjas. La caja grande tiene 44 naranjas.

85. En un corral, entre conejos y gallinas, hay 55 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en el corral?

N.o de gallinas = x

N.o de conejos = 55 – x

2x + 4(55 – x) = 160 ⇒ x = 30

Hay 30 gallinas y 25 conejos.

86. Alba tiene 13 sellos más que su hermana María. Si entre las dos tienen 67 sellos, ¿cuántos sellos tiene cada una?

N.o de sellos de María = x

N.o de sellos de Alba = x + 13

x + x + 13 = 67 ⇒ x = 27

Alba tiene 40 sellos.

María tiene 27 sellos.

87. Calcula tres números pares consecutivos cuya suma sea 42

1.er número = 2x

2.o número = 2x + 2

3.er número = 2x + 4

2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 42 ⇒ x = 6

Los números son: 12, 14 y 16

88. Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide cada uno?

x + 2 x

x + x + 1 x + 2 = 180 ⇒ x = 59

Los ángulos miden 59°, 60° y 61°

compruebo miS competenciaS

x + 1

89. En el huerto tenemos tres hileras con tomateras. Si recolectamos 28 kg de tomates y de la segunda hilera recogimos la mitad que en la primera y en la tercera, el doble que en la primera, ¿cuántos kilogramos recolectamos en cada hilera?

N.º de tomates de la 2.ª = x 2x + x + 4x = 28

x = 4

En la 1.ª se recogen 8 kg, en la 2.ª, 4 kg y en la 3.ª, 16 kg.

90. Hemos cogido 3 calabacines. Si entre los tres pesan 850 g y el primero pesa 30 g menos que el segundo y el tercero pesa 40 g más que el segundo, ¿cuánto pesa cada calabacín?

Masa del 2.º calabacín = x x – 30 + x + x + 40 = 850 x = 280

El primer calabacín pesa 250 g, el 2.º, 280 g y el 3.º, 320 g

91. Para preparar el terreno queremos comprar dos tipos de compost para mezclar. El compost A tiene un precio de 0,09 €/L y el compost B tiene un precio de 0,07 €/L. Si

necesitamos 896 L de compost y no queremos que nos salga a un precio de 0,075 €/L, ¿cuántos litros de cada tipo debemos mezclar?

N.º de litros del compost A = x 0,09x + 0,07(896 – x) = 0,075 · 896 ⇒ x = 224

Se necesitan 224 L de compost A y 672 L de compost B

92. Queremos hacer un rectángulo para plantar distintas flores de forma que el perímetro lo ocupen 32 plantas de caléndula. Estas plantas deben estar a 50 cm de distancia unas de otras. Si queremos que el rectángulo sea el triple de largo que ancho, ¿cuáles serán sus dimensiones?

Longitud de ancho = x

2x + 6x = 16 ⇒ x = 2

El ancho tendrá 2 m y el largo, 6 m evalúate

1. ¿Qué es el valor numérico de una expresión algebraica?

Pon un ejemplo.

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir en la expresión algebraica la variable por un número y realizar las operaciones.

Ejemplo:

Halla el valor numérico de la expresión

7x – 5 para x = 3

7 · 3 – 5 = 21 – 5 = 16

2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) Sonia tiene x euros y su madre le da el triple de lo que tiene. ¿Cuántos euros tendrá?

b) El lado menor de un rectángulo mide x metros y el mayor mide 5 metros más. ¿Cuánto mide el perímetro?

a) x + 3x = 4x

b) 2x + 2(x + 5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10

3. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y di cuáles son equivalentes:

a) x + 5 = 8 b) x – 1 = 5 c) 2 x = 6 d) x 2 3 =

a) x = 3 b) x = 6 c) x = 3 d) x = 6

a) y c) son equivalentes, y también b) y d).

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 7x – 4 (3 x + 2) = – 8 x – 9

b) 3 x – 3 (2 x – 7) = 4 (3 x + 1) – 13

a) x = – 1/3 b) x = 2

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) xx x 2 3 3 4 46 1 – +=

b) xx x x 6 5 8 29 2 8 1 4 73 – + =+

a) x = 2/5 b) x = 6

6. Entre Pedro y Óscar tienen 67,5 €, y Pedro tiene el doble que Óscar. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Dinero de Óscar = x

Dinero de Pedro = 2x

x + 2x = 67,5

x = 22,5

Óscar tiene 22,5 € y Pedro tiene 45 €

7. Calcula un número sabiendo que dicho número menos su cuarta parte es igual a 51

Número = x

x –x 4 = 51

x = 68

El número es el 68

8. Calcula las dimensiones de un campo de baloncesto cuyo perímetro mide 52 m y de largo mide el triple del ancho.

x

3x

2(x + 3x) = 52 ⇒ x = 6,5 De ancho mide 6,5 m y de largo 19,5 m

Situación de aprendizaje: El menú

SeSión 1

ELABORA

1. ¿A qué hora sale del aeropuerto John F. Kennedy? A las 17:00 h

2. ¿Cuánto tiempo dura el viaje?

9 h 35 min

3. ¿Cambia la hora cuando viajamos hacia el oeste o hacia el este? ¿Y hacia el norte o el sur?

Los husos horarios son cada uno de los 24 sectores esféricos en que se divide la superficie de la Tierra. Resultan de repartir los 360º de la esfera terrestre entre las 24 horas que invierte en dar una vuelta completa sobre su propio eje. Cada huso horario mide 15 grados

360º / 24 horas = 15o / h Para conocer la hora en algún lugar del mundo se toma como referencia el meridiano 0 (Greenwich). A partir de él se añade una hora por cada huso horario que se recorra hacia el este y se resta una hora por cada huso que se recorra hacia el oeste. De norte a sur no cambia la hora.

4. ¿Qué diferencia horaria hay entre Nueva York y Málaga? 6 h

5. Justifica la hora de llegada a las 8,35

Sale el día 30 de junio a las 17 h y el viaje dura 9 h 35 min. Llegaría a las 2 h 35 min del día 1 de julio (hora de Nueva York)

Como en Málaga hay 6 h más, serían las 8:35

SeSión

2

ELABORA

1. Para justificar lo que dicen Olivia y Lucía, busca la diferencia entre la escala numérica corta y la larga y en qué países se usa generalmente cada una.

Para los números naturales menores a mil millones, las dos escalas numéricas son idénticas, pero se diferencian a partir de esta cifra.

En la escala corta, cada número mayor que un millón es mil veces mayor que su predecesor. Esta escala es más utilizada en países de habla inglesa.

En la escala larga, cada número mayor que un millón es un millón de veces mayor que su predecesor. Esta escala la más utilizada en Europa continental y en la mayoría de países de Sudamérica.

2. Define millardo.

Un millardo son 1 000 millones en la escala corta

3. ¿Un millardo es un adjetivo numeral o un sustantivo?

Millardo no es un adjetivo numeral. Es un nombre (similar a decena o centena) y no debe ir seguido de adjetivos numerales.

4. ¿Sería correcto leer el número 14 400 000 000 como 14 millardos cuatrocientos millones?

No. Se debe leer «catorce mil cuatrocientos millones».

5. Si el impacto económico son 1,44 · 109 y se han recibido 1,3 · 107 turistas, ¿Cuál es impacto medio por turista durante su estancia?

1,44 · 109 : 1,3 · 107 = 107,69 €/turista

SeSión 3

ELABORA

1. ¿Cuántos hectómetros cúbicos se dedicarán al regadío en un año?

12 989,96 ha · 5 866 m³/ha = 76 199 105,36 m³ = 76,19910536 hm³

2. Se estima que para el consumo humano se consumen 14,60 hm³, para el consumo de la ganadería, 0,21 hm³, y para los campos de golf, 0,82 hm³. ¿A cuánto asciende el consumo total de agua en la comarca en un año?

14,60 hm³ + 0,21 hm³ + 0,82 hm³ = 15,63 hm³

15,63 hm³ + 76,20 hm³ = 91,83 hm³

3. En la comarca hay 224 000 habitantes y consideramos que durante los meses de junio, julio, agosto y septiembre hay un aumento de la población en municipios como Nerja, Torrox, Torre del Mar o Rincón de la Victoria. Si consideramos que según el INE el consumo medio de una persona en ese periodo es de 7,6 m³ al mes, ¿En cuántas personas se puede estimar que aumenta la población en la comarca?

En un año se tiene:

14,60 hm³ : 224 000 habitantes = 0,000065179 hm³/habitante = = 65,18 m³ /habitante

En un mes:

65,18 : 12 = 5,43 m³/habitante

Si el consumo ha subido a 7,6 m³/habitante, se tiene

7,6 : 5,43 = 1,399 = 1,40

Se puede estimar un aumento de la población del 40 %. Es decir, unas 89 600 personas.

4. Si el embalse se encuentra por la sequía con una quinta parte de su capacidad total, ¿habrá agua para mantener el consumo?

El embalse tendrá:

165,43 hm³ : 5 = 33,086 hm³

El consumo humano de agua sería:

14,60 ·1,4 = 20,44 hm³/año Habría agua para un año de consumo humano, pero no habría para regadíos.

SeSión 4

ELABORA

1. ¿Cuánto pagarán por jugar los dos adultos y ellas, que tienen menos de 14 años?

24 · 2 + 14 · 2 = 76 €

2. ¿Cuál es el par del hoyo?

54 : 18 = 3 golpes por hoyo

3. Completa la tabla y ordena la puntuación de cada jugador.

Jugador N.º de golpes

Puntuación

Olivia 50 – 4

Lucía 51 – 3

María 54 0

Pedro 58 + 4

SeSión 5

ELABORA

1. El viaje. Se puede realizar en coche. Es una ruta en la que se emplean 54 minutos en los 59,3 km del recorrido. Un automóvil medio consume aproximadamente 7 L de combustible cada 100 km. El precio de la gasolina es de 1,8 €/L, ¿cuánto gastaremos en combustible?

Viaje de ida y vuelta:

59,3 · 2 · 7 : 100 = 8,3 L

8,3 L · 1,8 €/L = 14,94 €

Si el vehículo que usamos emite 192 g de CO2 por kilómetro y pasajero, ¿cuál será la huella de carbono emitida en el viaje en kilogramos de CO2?

Para 4 personas:

192 g/(km · pasajero) · 118,6 km · 4 pasajeros = 91 084,8 g = 91,085 kg

También se puede viajar en tren. El precio del billete, ida y vuelta, es de 9,70 € por persona y el recorrido es de 38,2 km hasta la estación El Chorro (acceso sur) y una vez allí, hay que coger un bus para llegar a Ardales (acceso norte) donde comienza el Caminito. Desde El Chorro a Ardales el autobús tarda 20 minutos aproximadamente en recorrer 10 km. Luego hay que andar 2 km por sendero hasta llegar a la puerta principal. Los billetes del autobús se compran al conductor a un precio de 1,55 € por viaje y persona. Calcula lo que se gasta en combustible en el viaje en coche y el gasto viajando en tren. En coche se gastaría 19,94 €

En tren y autobús: 9,70 · 4 + 1,55 · 2 · 4 = 51,2 €

2. El precio de la entrada. En la página web oficial del sitio se informa de que una entrada general cuesta 10 € y una con visita guiada oficial, 18 €. Calcula cuánto pagarían con entradas generales y con visita guiada. Entrada visita individual: 10 · 4 = 40 €

Entrada visita guiada: 18 · 4 = 72 €

3. El otro precio del viaje. Las emisiones de CO 2 . El tren emite 0,04 kg de CO 2 por kilómetro y pasajero. El autobús 0,03 kg de CO 2 por kilómetro y pasajero.

Calcula la huella de carbono del viaje en tren y autobús y compárala con la huella del Elabora 1 del viaje en automóvil. Recuerda que algunos trayectos son de ida y vuelta. Huella del viaje en coche: 91,085 kg

Huella del viaje en tren y autobús:

0,04 kg/(km · pasajero) · 38,2 · 2 km · 4 pasajeros = 12,224 kg

0,03 kg/(km · pasajero) · 10 · 2 km · 4 pasajeros = 2,4 kg

Total = 14,624 kg

Hay una diferencia de 76,461 kg de CO2 con respecto al coche. El viaje en tren y autobús emite un 16 % de CO2 del que emite el viaje en coche.

SeSión final

ELABORA

1. Organiza un viaje con actividades que te gustaría hacer con tu familia o amigos.

2. Prepara un presupuesto.

3. Calcula la huella de carbono y valora la mejor forma de reducirla.

La respuesta es abierta y debe ser un informe de un viaje donde se calcule el costo del viaje y de la huella de Carbono. Se puede dar en cualquier medio.

SOLUCIONARY

1. Natural numbers and divisibility

1. How do we solve problems?

1. a) 32 b) 135 c) 190 d) 50

2. €246

3. €120 €100

4. €3/m

5. €2/kg

6. €6.25/pen

7. 210 240 L

2. How do we factor a number?

8. Primes: 7, 13, 31 and 43

Composites: 12 and 25

9. a) 22, 30 and 72

b) 30, 72, 81 and 891

c) 30 and 65

d) 30 and 72

e) 72, 81 and 891

f) 22 and 891

10. a) 0, 2, 4, 6 and 8

b) 0

c) 1, 4 and 7

d) 4

11. a) 4 = 22

6 = 2 · 3

9 = 32

12 = 22 · 3

15 = 3 · 5

b) 180 = 22 · 32 · 5

200 = 23 · 52

475 = 52 · 19

540 = 22 · 33 · 5

625 = 54

12.

3. wHat is tHe Greatest common divisor and tHe least common multiple?

13. a) 10 b) 15 c) 45 d) 50

14. a) 2 b) 2 c) 5 d) 14

15. 6 animals.

16. a) 40 b) 30 c) 36 d) 42

17. a) 320 b) 1 540 c) 675 d) 1 000

18. Every 60 days.

2. Integers

1. wHat are inteGers and tHeir uses?

1. a) – 2 b) +7 °C c) – 3 € d) +12 €

2. – 1, – 2, – 3, – 4 and – 5

3. 6 or – 6

4. For example: 4 and – 4

5. a) 120 – 20 = 100

b) 4 – 6 = – 2

c) 5 – 6 = – 1

d) 2 – 5 = – 3

6. 6, 6, 0, 3, 2

2. How do we add and subtract inteGers?

7. a) 12 b) – 9 c) 4 d) 6

8. a) 30 b) 21 c) – 5 d) – 3

9. a) 10 b) – 3

10. a) 1 b) 39

3. Fractions

1. How do we work witH fractions?

1. 2.

3. a) 12 b) 20

4. 400 g

5. 4/6 = 2/3 = 10/15 8/10 = 4/5

6. LCM (4, 6, 8) = 24

3/4 = 18/24

5/6 = 20/24

7/8 = 21/24

7. a) 3/4 b) 2/3

c) 2/3 d) 3/4

8. 1/3 < 1/2 < 3/4 ⇒ Pedro < Ana < Maria

2. How do we add and subtract fractions?

9. a) 3/2 b) 1/4

10. a) 5/3 b) – 1/5

11. a) 19/24 b) 0

12. a) – 1/9 b) 11/4

13. a) 17/4 b) – 19/6

14. a) 9/10 b) 5/12

15. a) – 2/5, verification: 2/5 + (– 2/5) = 0

b) 4/3, verification: – 4/3 + 4/3 = 0

16. 1/12

3. How to divide and multiply fractions?

17. a) 20/21 b) 12/7 c) 16/35

d) 21/4 e) 35 f) – 16

18. a) 7/4, verification: 4 7 · 7 4 = 1

b) – 3/5, verification: – 5 3 · c–5 3 m = 1

c) 1/2, verification: 2 · 1 2 = 1

d) – 6, verification: – 1 6 · (– 6) = 1

19. a) 16/35

b) 27/20

c) – 9/10

20. €3.2

21. a) 35/3 b) 1/8 c) 2/15

22. a) 15/16

b) – 17/20

c) 31/25

d) – 11/18

23. €2 200

24. €700

4. Decimal numbers

1. How do we work witH decimal numbers?

1. a) 53.072 b) 183.017

c) 848.062 d) 106.3334

2. a) 16.12 b) 5.03

c) 726.466 d) 1.987

3. a) 39.225 b) 200.76

c) 715.245 d) 0.000339

4. a) 745 b) 0.56

c) 4567830 d) 8.76

5. a) 0.0819 b) 0.23456

c) 0.065923 d) 0.0023

6. 1.27 kg

7. 25 m

8. 25 kg

2. How do we divide decimal numbers?

9. a) Q = 3.87; R = 0.04

b) Q = 1.85; R = 0.05

c) Q = 31.36; R = 0.04

d) Q = 0.38; R = 0.06

10. a) Q = 9.27; R = 0.07

b) Q = 27.60; R = 0.03

c) Q = 0.34; R = 0.15

d) Q = 12.49; R = 0.37

11. a) Q = 130.34; R = 0.02

b) Q = 240; R = 0

c) Q = 0.14; R = 0.03

d) Q = 2.40; R = 0.017

12. a) 7.383 b) 0.0044

c) 0.007634 d) 0.0342

13. a) 723 b) 5.6

c) 32 000 d) 6 785

14. a) 24 b) 3.36

c) 202.496 d) 37.6

15. 800 bottles of 1.5 L

16. €0.094

17. €4.13

3. How do we round decimal numbers and solve problems?

18. a) 23.77 b) 4.45

c) 5.87 d) 555.10

e) 1.00 f) 43.00

19. a) 14 + 22 = 36, with a calculator: 36

b) 19 – 6 = 13, with a calculator: 12.93

c) 33 + 15 + 26 = 74, with a calculator: 73.89

d) 136 – 78 = 58, with a calculator: 57.85

20. a) 9 · 7 = 63, with a calculator: 63.5104

b) 25 · 5 = 125, with a calculator: 122.6584

c) 57 · 10 = 570, with a calculator: 577.2305

d) 23 · 4 = 92, with a calculator: 93.063

e) 45 : 5 = 9, with a calculator: 9.04

f) 12 : 3 = 4, with a calculator: 4.01

21. a) 1255.97

b) 36.07

c) 35.91

d) 8.23

22. €12 333

23. €47 445.71

5. Powers and square roots

1. How do we work witH powers?

1. a) 2.3 · 105 b) 5.7 · 10– 4

2. a) 5 600 b) 0.00795

3. a) 1 b) 9 c) – 6 d) 1

4. a) 39 b) 73 c) 38 d) 611

5. a) 23 · 53 b) 74 : 34

c) 35 · 75 · 135 d) 27 : 117

6. a) (8 · 7)3 b) (5 : 3)4 c) (3 · 2 · 5)5 d) (11 : 13)6

7. a) x 7 b) x 4 c) x 6 d) x 10

2. How do we work witH square roots?

8. a) ± 5 b) ± 7 c) 0 d) ± 1

9. a) 7 b) 4 c) 4 d) 9

10. a) 7 b) 10 c) 4 d) 8

11. a) 19 b) 21 c) 89 d) 843

12. a) 441 b) 9

13. a) ≠ b) = c) ≠

14. Find the length of the side of a square garden with an area of 64 m2