Muestra del libro Matemáticas 2º ESO Andalucía Proyecto 5 etapas. Bruño

ANDALUCÍA

INCLUYE PROYECTO

MUESTRA

DIGITAL

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

2

E S O

CÓMO ES TU LIBRO

e

Con Bruño aprendes Matemáticas investigando, descubriendo y explorando la Naturaleza.

En solo 5 ETAPAS cíclicas puedes adquirir mediante situaciones de aprendizaje las competencias y saberes necesarios para tu desarrollo personal, intelectual, social y emocional.

e

(Prepárate para el aprendizaje)

(Indaga sobre los saberes)

e

e

(Valora tu aprendizaje)

(Conoce los saberes)

e (Aplica lo aprendido y crea conocimiento)

LA UNIDAD

Te presentamos la unidad en una doble página.

¿Para qué sirven...?

Relaciona la imagen con los contenidos que se van a estudiar en la unidad. Se trata de responder a la pregunta que muchas veces te planteas. ¿Para qué sirven las matemáticas?

En esta unidad descubriremos juntos

Estos son los saberes que adquirirás al trabajar esta unidad.

e Para que compruebes que las matemáticas son muy útiles, te pedimos que pienses y reflexiones sobre otra aplicación de los contenidos de la unidad a la vida real.

2

e

Doble página e

RECURSO ENLAZADO A UN QR Sorpréndete viendo en este QR todos los recursos de una sección, vídeos y applets de GeoGebra para que, de una forma dinámica, puedas comprender mejor los conceptos abstractos.

ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN Se trata de que EXPLORES en tu cerebro sobre los conocimientos que ya tienes relacionados con lo que vas a estudiar, es decir, traerlos de la memoria a medio plazo a la memoria a corto plazo.

Moodle es una plataforma de aprendizaje mediante ordenador y tableta. El Moodle de Matemáticas de Bruño contiene: cálculo mental, cuestionarios por cada día de clase y pruebas de examen, todo ello autoevaluable.

CARNÉ CALCULISTA Potencia y ejercita las destrezas básicas matemáticas con una nueva cuenta cada día para que adquieras mucha soltura en el cálculo.

EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS Utilizamos la metodología de dificultades aisladas. Para cada contenido matemático se resuelve el mejor ejercicio o problema resuelto, presentado de forma que no se complique en las operaciones y su única dificultad sea el contenido que se estudia.

ELABORA ACTIVIDADES PARA CONSTRUIR CONOCIMIENTO Son ejercicios y problemas para que realices en clase o en casa.

Cómo es tu libro

3

REPASA Y ELABORA Son los ejercicios y problemas básicos más importantes de toda la unidad para que puedas repasarla observando los resueltos y haciendo los propuestos.

ACTIVIDADES FINALES A continuación te encontrarás con dos páginas de actividades para cada una de las sesiones de clase y una propuesta final de problemas para el conjunto de la unidad.

COMPRUEBO MIS COMPETENCIAS Te propone problemas en el contexto de la situación de aprendizaje inicial de la unidad.

e Una evaluación final para que la hagas y con un QR para que compruebes las soluciones.

COMPETENCIA DIGITAL con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ➜ Ejercicios y problemas para que comprendas mejor los conceptos matemáticos abstractos con el uso de applets de GeoGebra. ➜ Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas con CalcMe y Hoja de cálculo. ➜ En cada unidad tienes una prueba con Moodle en la que puedes utilizar los applets de GeoGebra y CalcMe.

4

EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que te sirve de modelo para la evaluación inicial y como repaso de contenidos esenciales del curso anterior.

Secciones finales SITUACIONES DE APRENDIZAJE Plantean una situación global que te permitirá trabajar en equipo y para la que necesitarás todos los saberes básicos (conocimientos, destrezas y actitudes) que has adquirido. Además podrás comunicar los resultados en diferentes formatos usando tu creatividad.

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Actividades que te proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos.

EVALUACIÓN FINAL Modelo de prueba que te sirve de autoevaluación final.

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN Ejercicios para que prepares la recuperación final del curso.

Cómo es tu libro

5

Proyecto digital

Tu libro digital es...

INTUITIVO Fácil de usar y diseñado para conseguir tu mejor aprendizaje.

SINCRONIZABLE Los cambios que realices se sincronizan automáticamente al conectar cualquiera de los dispositivos con los que trabajes.

UNIVERSAL Es compatible con los entornos virtuales de aprendizaje (EVA) y las plataformas educativas (LMS, LTI).

VERSÁTIL Utilízalo según tus necesidades: como complemento a tu libro impreso o como único material para conseguir tu aprendizaje.

MULTIDISPOSITIVO Visualízalo en cualquier tipo de dispositivo (ordenador, tableta, smartphone…), a cualquier tamaño y resolución de pantalla.

Es compatible con todos los navegadores, sistemas operativos de escritorio (Windows, Mac, Linux...) y dispositivos móviles (Android, iOS y Chromebook).

INCLUSIVO Personaliza tu aprendizaje adaptando su funcionalidad a tus necesidades.

TRAZABLE Integrado sobre las aulas digitales de los EVA y LMS, tu profesor puede visualizar los resultados de las actividades que has realizado.

6

DESCARGABLE TRAZABLE Puedes trabajar sin conexión a internet y descargarlo en más de un dispositivo.

Te presentamos todas las unidades de tu libro en formato digital y adaptables a tus dispositivos.

Entra y encontrarás gran variedad de recursos digitales para que aprendas de otra manera: vídeos, applets de GeoGebra y hojas de cálculo.

Y gran cantidad de actividades interactivas con trazabilidad para que tu profesor o profesora las pueda valorar.

Proyecto digital

7

Índice Evaluación inicial

10

SABERES BÁSICOS

12

Avances en Matemáticas

13

1 Divisibilidad y números enteros

¿Qué es la divisibilidad?

2 ¿Qué son el M.C.D. y el m.c.m.?

3 ¿Qué son los números enteros?

4 ¿Cómo se opera con números enteros?

1

2 Fracciones y números decimales

¿Cómo se opera con fracciones?

2 ¿Cómo se opera con números decimales?

3 ¿Cómo se clasifican los números decimales?

4 ¿Qué es la fracción generatriz?

1

14 16 18 20 22

30 32 34 36 38

3 Potencias y raíces

48

¿Para qué se usan las potencias?

2 ¿Para qué se utiliza la raíz cuadrada?

3 ¿Cómo se calcula una raíz cuadrada?

4 ¿Para qué se utiliza la raíz cúbica?

50 52 54 56

1

4 Proporcionalidad y porcentajes 64 ¿Qué son las razones y las proporciones?

2 ¿Cuándo dos magnitudes son proporcionales?

3 ¿Cómo se calculan los porcentajes?

4 ¿Qué es la proporcionalidad compuesta?

1

8

66 68 70 72

5 Resolución de problemas aritméticos

¿Qué son los problemas de repartos?

2 ¿Qué son los problemas de grifos?

3 ¿Qué son los problemas de mezclas y aleaciones?

4 ¿Qué son los problemas de móviles y relojes?

82

1

84 86 88 90

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación

98 100

SABERES BÁSICOS

106

Avances en Matemáticas

107

6 Polinomios

108

¿Qué es el lenguaje algebraico?

2 ¿Cuáles son las operaciones con monomios?

3 ¿Cuáles son las operaciones con polinomios?

4 ¿Cuáles son las igualdades notables?

1

7 Ecuaciones de 1.

110 112 114 116

er

y 2.º grado

¿Qué es una ecuación de 1.er grado?

2 ¿Qué es una ecuación de 2.º grado?

3 ¿Qué es la factorización de un trinomio de 2.º grado?

4 ¿Cómo resolver problemas con ecuaciones?

1

124 126 128 130 132

8 Sistemas de ecuaciones lineales

142

215 216

SABERES BÁSICOS

218

Avances en Matemáticas

219

12 Rectas e hipérbolas

220 222 224 226 228

¿Qué es un sistema lineal?

2 ¿Cuáles son los métodos de sustitución e igualación?

3 ¿Cuál es el método de reducción? ¿Qué método elegir?

4 ¿Cómo resolver problemas con sistemas?

148 150

SABERES BÁSICOS

158

Avances en Matemáticas

159

¿Qué es una función?

2 ¿Qué es una función lineal?

3 ¿Qué es una función afín?

4 ¿Qué es una hipérbola?

160

SABERES BÁSICOS

240

Avances en Matemáticas

241

162 164

13 Estadística

242

1

9 Teoremas de Pitágoras y Thales

¿Para qué se utiliza el teorema de Pitágoras?

2 ¿Qué son las figuras semejantes?

3 ¿Para qué se utiliza el teorema de Thales?

4 ¿Qué relaciones hay entre figuras semejantes?

144

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación

146

1

166 168

178

¿Qué son los elementos en el espacio?

2 ¿Qué son los poliedros?

3 ¿Qué son los prismas y cilindros?

4 ¿Qué son las pirámides y los conos?

180 182 184 186

11 Áreas y volúmenes

194

¿Qué es el volumen?

2 ¿Qué son los prismas y los cilindros?

3 ¿Qué son las pirámides, los conos y la esfera?

4 ¿Qué son los troncos de pirámide y de cono?

1

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación

¿Para qué sirve la estadística?

2 ¿Qué son los gráficos para datos discretos?

3 ¿Qué son los gráficos para datos continuos?

4 ¿Qué son los parámetros de centralización?

5 ¿Qué son los parámetros de dispersión?

244

1

10 Cuerpos en el espacio 1

1

196 198 200 202

212 214

246 248 250 252

14 Probabilidad

260

¿Qué es un experimento aleatorio?

2 ¿Qué es un experimento simple?

3 ¿Qué son las propiedades de la probabilidad?

4 ¿Qué es un experimento compuesto?

262 264

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Situación de aprendizaje Actividades de recuperación Evaluación final

276 278 279 282 287

1

Índice

266 268

9

UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD

SABERES BÁSICOS

1 Divisibilidad y números enteros 2 Fracciones y números decimales 3 Potencias y raíces 4 Proporcionalidad y porcentajes 5 Resolución de problemas aritméticos En estas unidades se trabajarán contenidos del: Sentido numérico: desarrollando destrezas para identificar patrones, interpretar, utilizar y representar expresiones numéricas. Analizar y utilizar distintos métodos para resolver problemas aritméticos en diferentes contextos de la vida cotidiana, científicos y financieros realizando los cálculos tanto mentalmente, como de forma manual y con asistentes matemáticos adaptándose a cada situación.

Sentido de la medida: desarrollando destrezas para elegir las unidades y las operaciones adecuadas en problemas que impliquen medida.

Sentido algebraico y pensamiento computacional: desarrollando la generalización de patrones, fórmulas y términos generales en regularidades de forma mental, manual o con asistentes matemáticos como GeoGebra o CalcMe. Sentido socioafectivo: desarrollando destrezas para generar oportunidades de aprendizaje en el aula, para usar técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tener una comunicación efectiva: para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas y valorar la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.

Avances en Matemáticas

Simon Stevin

Clara Grima

La evolución histórica del concepto de número está ligada al desarrollo de los símbolos y los sistemas de numeración.

En la cultura egipcia se usaba el «sistema de numeración jeroglífico» que representaba unos números claves (1, 10, 100, ...) por un símbolo (un palo, una figura humana, etc.) y los demás números se formaban combinando estos.

En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente del cero.

Durante la época helénica se trabajaban las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con fracciones, etcétera. Destaca Eudoxo de Cnido (390-337 a. C.), astrónomo y matemático discípulo de Platón. Fue el primero en establecer que el año no tenía exactamente 365 días, sino 6 horas más, y se dio cuenta de que el movimiento de los planetas no era circular.

En Europa, durante el siglo xiii surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió Liber Abaci (El libro del ábaco), con el fin de difundir en Europa los números hindúes y las operaciones que con ellos se realizaban, sin necesidad de utilizar el ábaco. Posteriormente, el profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios y, más tarde, Simon Stevin (1548-1620), el padre de los números negativos, por ser el primer matemático que aceptó su validez como resultado de ecuaciones algebraicas.

Actualmente la teoría de números aborda muchos más contenidos que las reglas para operar. Desde Euclides, que trabajó con números perfectos, amigos y primos y Eratóstenes con su famosa criba, llegando a Fermat, el más famoso, o Gauss, calculista hábil y rápido que realizaba divisiones para descubrir periodos de centenares de cifras, hay muchos personajes que han destacado en la teoría de números. Por ejemplo, Cecilia Krieger (18941974) que fue la primera mujer en obtener un doctorado en matemáticas de una universidad en Canadá, en 1930 y que trabajó en la Teoría de los números y Teoría de las funciones. Su obra más importante es Introducción a la Topología General, donde le dedica un apéndice a la teoría de los números infinitos cardinales y ordinales. O Kathrin Bringmann (1977- ) que ha realizado contribuciones fundamentales a la teoría de números en la Universidad de Colonia, Alemania. Bringmann ha sido galardonada con los premios Alfried Krupp y Ramanujan.

Actualmente la divulgación matemática ha cambiado la visión que se tiene de esta disciplina. Destacamos a Clara Grima (1971-) doctora en Matemáticas y profesora titular en la Universidad de Sevilla que, con su trabajo de divulgación como autora de varios libros y colaboradora en muchas publicaciones, ha conseguido hacer que las matemáticas sean accesibles y atractivas para personas de todas las edades.

e

e Abre el applet del QR. 1 Observa el ejercicio resuelto y resuelve el propuesto.

2 Puedes investigar con otros casos y generalizar.

Saberes básicos

13

UNIDAD

8 Sistemas de ecuaciones lineales

¿Para qué sirven los sistemas de ecuaciones lineales?

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: ODS 6, AGUA LIMPIA Y SANEAMIENTO Los sistemas de ecuaciones tienen muchas aplicaciones a la vida real. Por ejemplo, el ODS 6 se enfoca en el acceso a agua limpia y saneamiento, un elemento fundamental para la salud y el bienestar de las comunidades en todo el mundo.

Los sistemas de ecuaciones ayudan a resolver problemas de este ámbito.

En una comunidad, se construyeron dos tipos de sistemas de saneamiento, A y B. Se instalaron un total de 80 sistemas. El sistema A permite dar servicio a 3 hogares y el B, a 5 hogares. En total, se da servicio a 340 hogares. ¿Cuántos sistemas de cada tipo se instalaron?

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Qué es un sistema lineal?

2 ¿Cuáles son los métodos de sustitución e igualación?

3 ¿Cuál es el método de reducción? ¿Qué método elegir?

4 ¿Cómo resolver problemas con sistemas?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En pri­ mer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 8. Sistemas de ecuaciones lineales. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir sistemas de ecuaciones lineales grandes y decorados.

También debes hacer en el cuaderno el Carné calculista y el Explora de la primera sección.

¿Qué es un sistema lineal?

1

e e

Comprueba si x = 2, y = 3 es solución del siguiente sistema: _

x + 4y = 14 b `

CARNÉ CALCULISTA

5x + y = 13 b a

57,3 : 0,84

¿Cómo se resuelve gráficamente un sistema?

Ecuación lineal con dos incógnitas

Ecuación lineal Observa que una ecuación lineal es una ecuación de 1.er grado.

• Con una incógnita: 2x = 5

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma: ax + by = c, x e y son las incógnitas; a y b, los coeficientes de las incógnitas, y c, el término independiente.

Una solución de una ecuación lineal es un par de valores (x, y) que verifica la ecuación.

• Con dos incógnitas: 3x + 2y = 7

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

• Con tres incógnitas:

La interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas son todos los puntos de una recta.

2x – 3y + 5z = 4

Procedimiento para representar una recta: Se debe hallar un 3.er punto para comprobar que están en línea recta.

a) Se despeja la incógnita que resulte más fácil de despejar. b) Se construye una tabla con dos valores. c) Se representan los dos puntos obtenidos en unos ejes coordenados.

Y

d) Se unen mediante una recta.

2x + y = 3

Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: 2x + y = 3 ⇒ y = 3 – 2x

B(– 1, 5) X A(2, – 1)

x

y

2

–1

⇒ A(2, – 1)

–1

5

⇒ B(– 1, 5)

Sistema lineal

Tabla Cada punto de la recta es una de las infinitas soluciones de la ecuación. x

y = 3 – 2x

–1

5

0

3

1

1

2

–1

3

–3

…

…

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una ex­ presión algebraica de la forma: _

ax + by = c′ b ` a′x + b′y = c′ b a

Una solución de un sistema es un par de valores (x, y) que verifica las dos ecuaciones del sistema.

1

Comprueba que x = 3, y = 2 es una solución del siguiente sistema: _

_

a

a

4x + 7y = 26 b ⇒ 4 ∙ 3 + 7 ∙ 2 = 12 + 14 = 26 b ` ` 6x – 5y = 8 b 6 ∙ 3 – 5 ∙ 2 = 18 ´– 10 = 8 b Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen la misma solución.

144

UNIDAD 8

Resolución gráfica de un sistema lineal

Organización del cuaderno del alumno

a) Se representa la recta correspondiente a la 1.ª ecuación. b) Se representa la recta correspondiente a la 2.ª ecuación.

Como puedes observar en el ejer­ cicio resuelto 2, a la izquierda se hace la tabla de valores de la 1.a ecuación y se representa en el centro. A la derecha se hace la ta­ bla de valores de la 2.a recta y tam­ bién se representa en el centro.

c) La solución es el punto de corte de ambas rectas. _

x+y= 4b 2 Resuelve gráficamente el siguiente sistema: ` 2x – y = –1 b a

x+y=4 y=4–x

Y

Tabla de valores: x

y

3

1 ⇒ A (3, 1)

C(2, 5)

B(– 1, 5)

P(1, 3) A(3, 1) X

2x – y = – 1

x+y=4

D(– 2, – 3)

– 1 5 ⇒ B (– 1, 5)

2x – y = – 1 ⇒ – y = – 2x – 1 y = 2x + 1 Tabla de valores: x

y

2

5 ⇒ C (2, 5)

– 2 – 3 ⇒ D (– 2, –3) Solución: x = 1, y = 3

x

y=4–x

x

y = 2x + 1

–2

6

–2

–3

–1

5

–1

–1

0

4

0

1

1

3

1

3

2

2

2

5

Clasificación de los sistemas lineales a) Compatible determinado: El sistema tiene una solución y las dos rectas se cortan en un punto, se dice que son secantes. b) Compatible indeterminado: El sistema tiene infinitas soluciones y las dos rectas son la misma. c) Incompatible: El sistema no tiene solución y las dos rectas son paralelas. _

– 3x + y = 1 b 3 Resuelve gráficamente el siguiente sistema y clasifícalo: ` 3x – y = 2 b – 3x + y = 1 y = 3x + 1 Tabla de valores: x

y

1

4 ⇒ A (1, 4)

– 1 – 2 ⇒ B (– 1, – 2)

a

Y A(1, 4) – 3x + y = 1

C(2, 4) 3x – y = 2 X

B(– 1, – 2) D(– 1, – 5)

No tiene solución, es incompatible.

3x – y = 2 ⇒ – y = – 3x + 2 y = 3x – 2 Tabla de valores: x

y

2

4 ⇒ C (2, 4)

Interpretación gráfica Las dos rectas son paralelas.

No hay puntos de corte.

– 1 – 5 ⇒ D (– 1, –5)

1. Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: x + 2y = 5 2. Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: x – 2y = – 3 3. La diferencia de dos números x e y es 1. Escribe una ecuación que exprese dicha condición y calcula cinco parejas de números que la verifiquen. Representa grá­ ficamente el conjunto de todas las soluciones.

4. Resuelve gráficamente los sistemas: _

2x + y = 5 b ` 2x – y = –1 b a_ 2x – y = –1 b c) ` 2 x + 2y = 7 b _a 2x – y = – 5b e) ` x + 2y = 4b

a)

a

_

– 2x + y = 3 b ` 2x – y = 1 b a_ 3x – y = 5 b d) ` – x + 3y = 5 b _a – 2x + y = 3 b f) ` –2x – y = 5 b

b)

¿Son compatibles o incompatibles?

a

Sistemas de ecuaciones lineales

145

2 ¿Cuáles son los métodos de sustitución e igualación?

e

e CARNÉ CALCULISTA 4 5 3 9 ∙ – : 3 2 2 4

Resuelve mentalmente el siguiente sistema observando las imágenes: _ c = peso de una calabaza c = 4p b ` p = peso de una piña p+c=5 b a

p kg p kg p kg p kg

c kg

p kg 5 kg c kg

¿En qué consisten los métodos de sustitución e igualación?

Método de sustitución Se resuelven fácilmente por sustitución los sistemas en los que solo una de las incógnitas esté despejada. a) Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. b) Se resuelve la ecuación resultante. c) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1.ª incógnita. _

y = 8 – 2x b 4 Resuelve por sustitución el sistema: ` 5x – 4y = 7 b a

Y

a) Se sustituye el valor de y de la 1. ecuación en la 2. ecuación. 5x – 4(8 – 2x) = 7 a

y = 8 – 2x

a

b) Se resuelve la ecuación resultante.

P(3, 2) X

5x – 4y = 7

c) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación donde estaba x = 3 en y = 8 – 2x despejada la incógnita inicial. y=8–2·3 y=8–6=2 Solución: x = 3, y = 2

146

UNIDAD 8

5x – 32 + 8x = 7 13x = 39 ⇒ x = 3

Método de igualación Se resuelven fácilmente por igualación los sistemas en los que la misma incógnita ya está despejada en las dos ecuaciones. a) Se igualan los valores de la incógnita despejada. b) Se resuelve la ecuación resultante. c) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita. _

5

Resuelve por igualación el siguiente sistema:

y = 5 – 3x b ` y = 4x – 9 b a

a) Se igualan los valores de la y

5 – 3x = 4x – 9

b) Se resuelve la ecuación resultante.

– 3x – 4x = – 9 – 5 – 7x = – 14 7x = 14 x=2

y = 5 – 3x

Y

X

c) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita.

x = 2 en y = 5 – 3x y=5–3·2 y=5–6 y = –1

P(2, – 1) y = 4x – 9

Solución: x = 2, y = –1

5. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _

y = –5x + 17 b

9. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y=x–1b `

` 2x – 3y = 0 ba

y = – 2x + 14 ba

6. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = 3x b

10. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ x+y=1b

`

3x + y = 12 ba 7. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = 2x + 7 b `

y = 3x + 9 ba 8. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 2x + 3y = –5 b ` x = 8 + 2y ba

`

y = 3x + 9 ba 11. La diferencia de dos números x e y es 3, y el triple del primero más el doble del segundo es 19. Halla el valor de ambos números.

12. Un número x es 11 unidades mayor que otro núme­ ro y. Además, el primero menos el doble del segundo es 9. Halla el valor de ambos números.

13. Halla dos números proporcionales a 3 y 5 tal que su suma es 16

Sistemas de ecuaciones lineales

147

3 ¿Cuál es el método de reducción? ¿Qué método elegir?

e

e Resuelve mentalmente el sistema del dibujo aplicando estas pautas: 3 a) Suma las dos ecuaciones y 5 calcula el valor de un regalo.

CARNÉ CALCULISTA 2x – 1 2x + 5 =x– 4 6

+2

= 70€

–2

= 10€

b) Sustituye el valor del regalo en la 1.a ecuación y calcula el valor del libro.

¿En qué consiste el método de reducción? ¿Qué método utilizar?

Método de reducción a) Mediante multiplicaciones apropiadas, se obtiene un sistema equivalen­ te con los coeficientes de una misma incógnita opuestos. b) Se suman las dos ecuaciones. c) Se resuelve la ecuación resultante. d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita.

Se resuelven fácilmente por reducción los sistemas en los que los coefi­ cientes de una incógnita son: a) Iguales. Se restan ambas ecuaciones. b) Opuestos. Se suman ambas ecuaciones. c) Uno es múltiplo del otro. Se multiplica la ecuación que tenga el menor coeficiente por un número para que ambos coeficientes sean opuestos. _

– 7x + 6y = 11b 6 Resuelve por reducción el siguiente sistema: ` –5x + 3y = 14b

Fíjate Los coeficientes de la incógnita y son uno múltiplo del otro. Cam­ biando de signo la 1.ª ecuación y multiplicando la 2.ª ecuación por 2, se obtienen coeficientes opuestos.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

P(1, 3)

5x + 3y = 14

148

UNIDAD 8

b) Se suman las dos ecuaciones.

a

_ 7x – 6y = – 11 b ` 10x + 6y = 28 ba _ 7x – 6y = – 11 b ` 10x + 6y = 28 ba

17x

Y

– 7x + 6y = 11

a) Se cambia de signo la 1.ª ecuación y se multi­ plica la 2.ª ecuación por 2

X

= 17

x=1

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación x = 1 en 5x + 3y = 14 inicial más sencilla.

5 · 1 + 3y = 14 5 + 3y = 14 3y = 9 y=3 Solución: x = 1, y = 3

La mejor estrategia que se puede utilizar en el apartado a) cuando los coeficientes no sean iguales, opuestos o uno múltiplo del otro, consiste en seleccionar los coeficientes de la incógnita que sean menores: • Si son primos entre sí, se multiplica cada ecuación por el coeficiente de la otra ecuación.

• Si no son primos entre sí, se halla el m.c.m. de ambos y se multiplica cada ecuación por un número, de forma que este m.c.m. sea el coeficiente.

Qué método utilizar para resolver un sistema Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero hay sistemas en los que un método es mucho más sencillo de aplicar que otro.

Para elegir un método se debe tener en cuenta que: a) Se resuelven fácilmente por sustitución los sistemas en los que solo una de las incógnitas esté despejada. b) Se resuelven fácilmente por igualación los sistemas en los que la mis­ ma incógnita esté despejada en las dos ecuaciones. c) Se deben resolver por reducción los sistemas en los que no haya nin­ guna incógnita despejada.

7

¿Qué método debería emplearse para resolver cada uno de los sistemas siguientes? _

a) y = 2x – 3 b ` y = – 5x + 4 b a

_

b) 3x + 5y = 11 b ` 6x – 7y = 5 b a

c)

_

Resolución gráfica o algebraica Recuerda que también se puede resolver un sistema gráficamente, que cada ecuación correspon­ de a una recta y que la solución, en caso de que la haya, si se cor­ tan es el punto común de ambas rectas, o sus infinitos puntos si son la misma recta.

Cuando se trata solo de resolver un sistema, se suele hacer algebraicamente por uno de los mé­ todos: sustitución, igualación o reducción.

y = 2x – 4 b ` 4x + 3y = 18 b a

a) El sistema se debe resolver por igualación. La incógnita y está despejada en las dos ecuaciones. b) El sistema se debe resolver por reducción. No hay ninguna incóg­ nita despejada. c) El sistema se debe resolver por sustitución. La incógnita y ya está despejada en la primera ecuación y no lo está en la segunda.

14. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 2x + 3y = 7 b `

–2x + 5y = 1 ba

15. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 5x + 3y = 7 b `

4x + 3y = 5 ba

16. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ x + 2y = 4 b `

x = 3y – 11 ba

17. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 2x + 3y = – 4 b `

5x – 6y = 17 ba

18. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ – 2x – 3y = 11 b `

5x – 4y = 30 ba

19. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 3x + 5y = –12 b `

4x – 7y = 25 ba 20. Tres kilos de manzanas y dos kilos de naranjas cuestan 9 €. Dos kilos de manzanas y 2 kilos de naran­ jas cuestan 7 €. ¿Cuánto vale el kilo de manzanas y el kilo de naranjas?

21. Dos pantalones y tres camisas valen 120 €. Tres pantalones y dos camisas valen 130 €. ¿Cuánto vale cada pantalón y cada camisa?

Sistemas de ecuaciones lineales

149

4 ¿Cómo resolver problemas con sistemas?

e

e CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: x 2 – 4x – 5 = 0

Resuelve mentalmente el siguiente problema: Entre Sonia y Ana tienen 30 €.

Si Sonia tiene el doble que Ana, ¿cuánto dinero tiene cada una?

¿Cuál es el método de resolución de problemas con sistemas?

Nombres de las incógnitas Si los 2 objetos comienzan por le­ tras diferentes pondremos como incógnitas las iniciales de los nombres de los 2 objetos. En otro caso, le pondremos x e y Si conocemos qué valor es el menor y cuál el mayor, debemos asociar el valor de la 1.a incógnita x al valor más pequeño y el de la 2.a incógnita y al valor mayor.

Para resolver un problema se debe leer el enunciado varias veces hasta que se entienda muy bien cuáles son las incógnitas, las preguntas y las relaciones o condiciones. En los problemas geométricos se debe hacer siempre el dibu­ jo, y en los numéricos, un esquema. Este procedimiento se puede dividir en: 1. Incógnitas: se escriben las incógnitas.

2. Preguntas: se escriben las preguntas.

3. Planteamiento y operaciones: se escriben las relaciones o condi­ ciones que se convierten en ecuaciones para formar un sistema y se resuelve.

4. Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las pregun­ tas que plantea el problema, se comprueba que son coherentes y que cumplen las relaciones dadas.

Problema geométrico Una pista de tenis tiene forma rectangular. El perímetro mide 64 m y la base es el triple de la altura. Halla las dimensiones de la pista de tenis.

8

1. Incógnitas:

3. Planteamiento y operaciones:

• Medida de la altura = a

• La suma de la altura y de la base es 32 m: a + b = 32

• Medida de la base = b

• La base es el triple de la altura: b = 3a • Sistema:

a b

_

a + b = 32 b `

b = 3a ba • Se resuelve por sustitución porque tenemos una incógnita despejada en la 2.a ecuación.

2. Pregunta:

• Sustituimos la b de la 2.ª ecuación en la 1.ª

• ¿Cuánto miden la altura y la base?

• Simplificando entre 4 obtenemos: a = 8

a + 3a = 32

⇒

4a = 32

• Sustituimos a = 8 en la 2.a ecuación b = 3a ⇒ b = 3 · 8 = 24

4. Solución y comprobación: La altura mide 8 m

Suma de la altura y la base: 8 + 24 = 32 m

La base mide 24 m

La base es el triple de la altura: 3 · 8 m = 24 m

150

UNIDAD 8

Problema numérico 9

Ana compra 4 camisetas y 3 pantalones por 100 €. Óscar compra en el mismo establecimiento 2 camisetas y 3 pantalones por 80 €. ¿Cuánto cuesta cada camiseta y cada pantalón?

1. Incógnitas:

3. Planteamiento y operaciones:

• Precio de una camiseta = c

• 4 camisetas + 3 pantalones = 100

• Precio de un pantalón = p 2. Pregunta: • ¿Cuánto cuesta cada camiseta y cada pantalón?

4c + 3p = 100 • 2 camisetas + 3 pantalones = 80 2c + 3p = 100

Incógnitas c = precio de una camiseta p = precio de un pantalón

• Sistema:

Ecuaciones

_ 4c + 3p = 100 b ` 2c + 3p = 80 ba

• Se resuelve por reducción porque no hay ninguna incógnita despejada.

• Le restamos a la 1.ª ecuación la segunda:

4 camisetas y 3 pantalones cuestan 100 €

2 camisetas y 3 pantalones cuestan 80 €

4c + 3p = 100

2c + 3p = 80

2c = 20

Sistema

• Simplificando entre 2 obtenemos: c = 10

_

4c + 3p = 100 b `

• Sustituimos c = 10 en la 2.a ecuación:

2c + 3p = 80 b a

2c + 3p = 80 ⇒ 2 · 10 + 3p = 80 20 + 3p = 80 3p = 60 • Simplificando entre 3 obtenemos: p = 20 4. Solución y comprobación: Una camiseta cuesta 10 €

4 camisetas y 3 pantalones cuestan: 4 · 10 + 3 · 20 = 40 + 60 = 100 €

Un pantalón cuesta 20 €

2 camisetas y 3 pantalones cuestan: 2 · 10 + 3 · 20 = 20 + 60 = 80 €

22. La suma de dos números es 20, y el doble del pri­ mero más el triple del segundo es 45. Halla el valor de ambos números.

25. Hoy la edad de Ana es el triple de la de su hija, y hace 5 años era cinco veces mayor. ¿Cuántos años tiene actualmente cada una?

23. En un corral hay 80 animales entre gallinas y co­ nejos. El número de patas que hay en total es 220. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?

26. Halla los lados de un rectángulo sabiendo que uno es el triple del otro y que el perímetro mide 40 m

24. Se mezcla aceite de oliva, que cuesta a 3 € el litro, con aceite de girasol, que cuesta a 1 € el litro. Si tene­ mos 20 L de mezcla a un precio de 2,5 € el litro, ¿cuán­ tos litros de aceite de cada clase se han mezclado?

27. En una tienda 5 bocadillos de jamón y dos refres­ cos de cola cuestan 17 €, y 3 bocadillos de jamón y 7 refrescos de cola, 16 €. ¿Cuánto cuesta cada boca­ dillo de jamón y cada refresco de cola?

Sistemas de ecuaciones lineales

151

10 Resuelve gráficamente el

x+y=4 y=4–x

siguiente sistema:

_

x+y=4b ` 2x – y = 5 b

Tabla de valores:

a

x 0 2

y 4 ⇒ A(0, 4) 2 ⇒ B(2, 2)

2x – y = 5 – y = – 2x + 5 y = 2x – 5

Y A(0, 4) B(2, 2)

Tabla de valores:

P(3, 1) X

D(2, –1) C(0, – 5)

x y 0 – 5 ⇒ C(0, – 5) 2 – 1 ⇒ D(2, – 1)

La solución es x = 3, y = 1 Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: 11

_ y = 2x + 7 b ` 3x + 4y = 6 b a

Se resuelve por sustitución porque hay una incógnita despejada: a) Se sustituye el valor de y en la 2.a ecuación: 3x + 4(2x + 7) = 6 b) Se resuelve la ecuación resultante: 3x + 8x + 28 = 6 ⇒ 11x = 6 – 28 ⇒ 11x = – 22 x = –2 c) Se sustituye el valor de x en la 1.a ecuación, donde está despejada la y x = – 2 en y = 2x + 7 ⇒ y = 2(– 2) + 7 = – 4 + 7 = 3 La solución es: x = – 2, y = 3

12 Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo:

_

Se resuelve por reducción porque no hay ninguna incógnita despejada. a) Como 6 es el doble de 3, se multiplica la segunda ecuación por – 2 y se suman las dos ecuaciones: _

6x + 5y = – 3 b

6x + 5y = –3 b ` 3x – 2y = 12 b

`

– 6x – 4y = – 24 ba 9y = – 27

a

b) Se resuelve la ecuación resultante: 9y = – 27 ⇒ y = – 3 c) Se sustituye el valor de y en la ecuación más sencilla: y = – 3 en 6x + 5y = – 3 ⇒ 6x + 5(– 3) = – 3 ⇒ 6x – 15 = – 3 6x = – 3 + 15 ⇒ 6x = 12 ⇒ x = 2 La solución es: x = 2, y = – 3

28. Resuelve el siguiente sistema gráficamente: _ 2x – y = 1 b ` –2x + y = 5 ba

¿Es compatible o incompatible?

152

UNIDAD 8

29. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _

2x + 3y = 12 b `

5x – 7y = 1 ba

Halla dos números que sean proporcionales a 3 y 4 y cuya suma sea 14 13

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• Primer número = x • Suman 14

_ x + y = 14 b x + y = 14 b ⇒ ` ` x y = b 4x = 3y ba 3 4a

• Son proporcionales a 3 y 4

x + y = 14 b

2. Pregunta:

4x – 3y = 0 ba 7x = 42 ⇒ x = 6 Si x = 6 en x + y = 14 ⇒ 6 + y = 14 ⇒ y = 8

_

• Segundo número = y

4x – 3y =

• Halla los números.

_

_

3x – 3y = 42 b

`⇒ 0 ba

`

4. Solución: Los números son 6 y 8 El precio de un teclado y un ratón es 15 €. Los compramos en una oferta que consiste en un 20 % de descuento para el teclado y un 10 % para el ratón, y en total pagamos 12,5 €. ¿Cuál es el precio de cada producto?

14

3. Planteamiento y operaciones:

1. Datos: • Precio del teclado = t

_ _ t + r = 15 b b `⇒ ` 8t + 9r = 125 ba 0,8t + 0,9r = 12,5 ba

t + r = 15

• Precio del ratón = r • El precio de los dos produc­ tos juntos y con descuento es 12,5 € • Si en el teclado descuentan el 20 %, es decir, pagaremos el 80 %

_

– 8t – 8r = – 120 b `

– 8t + 9r = 125 ba r= 5 r = 5 en t + r = 15 ⇒ t + 5 = 15 ⇒ t = 10

• Si en el ratón el 10 %, es decir, pagaremos el 90 % 2. Pregunta: • Halla el precio de cada producto.

4. Solución: El precio del teclado es 10 €, y el del ratón, 5 €

30. Un ángulo de un romboide es el doble del ángulo consecutivo. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de dicho romboide?

x

y

31. Halla dos números sabiendo que suman 8 y que su diferencia es 2

32. Halla dos números que sean proporcionales a 3 y 4 cuya suma sea 35 33. En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual y su perímetro mide 35 m. ¿Cuánto mide cada lado?

34. Dos kilos de gambas y tres kilos de pulpo cuestan 51 €, y tres kilos de gambas y dos kilos de pulpo cuestan 54 €. ¿Cuánto cuesta cada kilo de gambas y cada kilo de pulpo?

Sistemas de ecuaciones lineales

153

1

¿Qué es un sistema lineal?

35. Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación:

2x + y = 5 x+y=3b 3x + y = 7 ba

y = 2x – 18 ba

_ `

`

¿Es compatible o incompatible?

37. Resuelve el siguiente sistema gráficamente: _

x – 2y = 1 b `

–x + 2y = 5 ba ¿Es compatible o incompatible?

38. Resuelve el siguiente sistema gráficamente: _

x + 3y = 2 b `

–x – 3y = 2 ba ¿Es compatible o incompatible?

¿Cuáles son los métodos de sustitución e igualación?

`

3x + 4y = 11 ba 40. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ x = 2y b `

x – 3y = –1 ba 41. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = 3x + 6 b `

y = 2 – x ba 42. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 3x + 2y = 5 b `

y = 5x + 9 ba

UNIDAD 8

3

¿Cuál es el método de reducción? ¿Qué método elegir?

45. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 3x + 2y = 23 b `

5x – 2y = 17 ba 46. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 3x + 5y = 7 b `

39. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = 4 – 2x b

154

`

3x + 4y = – 6 ba 44. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = 3x – 13 b

36. Resuelve el siguiente sistema gráficamente:

2

43. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = – 4x + 5 b

4x + 5y = 11 ba 47. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ y = – 5x + 13 b `

y = – 4x + 10 ba 48. Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado: _ 5x + 3y = 12 b `

7x – 6y = 27 ba

4 ¿Cómo resolver problemas

con sistemas?

49. La suma de dos números es 3, y su diferencia es 11. Halla el valor de ambos números.

50. En un garaje, hay 25 vehículos entre coches y motos. El número total de ruedas sin contar las de repuesto es 80. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay en el garaje?

51. Se mezcla un café de tipo A, que cuesta a 6 € el kilo, con otro café de tipo B, que cuesta a 4 € el kilo. Si tenemos 60 kilos de mezcla que sale a 4,5 € el kilo, ¿cuántos kilos de café de cada clase se han mezclado?

61. En un supermercado de Granada se venden los melones y las sandías por unidades. Óscar compra 4 melones y 3 sandías y le cobran 18 €. Sonia compra 2 melones y 5 sandías y le cobran 16 €. ¿Qué precio tiene cada melón y cada sandía?

52. Hoy la edad de Miguel es el doble de la edad de María. Dentro de 10 años la suma de sus edades será 65. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?

62. Una finca rectangular mide 25 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 250 m, ¿cuánto mide su área?

53. Halla dos números sabiendo que tres veces el primero más cuatro veces el segundo es 68 y que cinco veces el primero menos cuatro veces el se­ gundo es –4.

63. Ángel tiene 9 animales entre gatos y canarios.

El total de patas que tienen es 28. Calcula cuántos gatos y cuántos canarios tiene.

54. En el aparcamiento de un centro escolar hay 50 vehículos entre coches y bicicletas. El número to­ tal de ruedas, sin contar las de repuesto, es 140. ¿Cuántos coches y cuántas bicicletas hay en el apar­ camiento?

55. Se mezcla trigo con avena para obtener pienso.

El kilo de trigo cuesta a 0,3 € y el kilo de avena a 0,2 €. Si se quieren obtener 10000 kilos de pienso a 0,25 € el kilo, ¿cuántos kilos de trigo y de avena tendremos que comprar?

56. La edad de Pedro es el doble de la edad de Susana. Dentro de 8 años la suma de sus edades será 46 años. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?

57. Un aula tiene forma rectangular, mide 2 metros más de largo que de ancho y la suma del largo y del ancho es 14 m. Halla el área del aula.

58. En una tienda Pablo compra 2 cuadernos y 1 bo­ lígrafo y le cobran 6 €. Rocío compra 4 cuadernos y 3 bolígrafos y le cobran 13 €. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno y cada bolígrafo?

59. Se divide un ángulo recto en dos partes. Sabien­ do que una parte es el doble de la otra, halla cuánto mide cada una de las partes.

60. En un bar nos han cobrado 5 € por 4 cafés y 2 refrescos. Otro día nos cobran 11 € por 8 cafés y 5 refrescos. ¿Cuánto cuesta cada café y cada re­ fresco?

64. Se tienen 75 monedas: unas son de 10 cénti­ mos de euro y otras de 20 céntimos de euro. Si en total suman 10 €, ¿cuántas monedas hay de cada tipo?

65. La suma de dos números es 16, y su cociente es 3. Halla ambos números.

66. La suma de las dos cifras de un número es 9, y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. ¿De qué número se trata?

67. Luis tiene el doble de dinero que Silvia. Si Silvia re­ cibe 15 € de Luis, entonces tienen lo mismo. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

68. La edad de un padre es el doble de la del hijo, y hace 10 años era el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?

69. Calcula el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 m y que su base es el triple de la altura.

70. Halla una fracción equivalente a 3/4 en la que la suma del numerador y el denominador valga 14 71. Dos números proporcionales a 2 y 3 suman 20.

Calcula ambos números.

72. Se tienen 250 monedas entre las cuales unas son de 2 céntimos de euro y otras de 5 céntimos de euro. Si en total suman 6,5 €, ¿cuántas monedas hay de cada tipo?

73. Reparte 500 € proporcionalmente a 2 y 3

Sistemas de ecuaciones lineales

155

COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle

Todos los ejercicios y problemas se pueden hacer también con CalcMe.

1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2x + 3y =

_

5 b `

3x – 2y = –12 ba

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Resolución gráfica de un sistema lineal. x = –2 , y = 3

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Dibuja las siguientes rectas y, a la vista de la solución, clasifica el sistema: _

2x + y = 10 b `

y = 7 – 2x ba

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Clasificación de los sistemas lineales: Interpretación gráfica.

El sistema es: Incompatible ▼

No tiene solución ▼

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide el triple que uno de los ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo? Resuélvelo mediante un sistema de dos ecuaciones.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Procedimiento de resolución de problemas de sistemas. Ángulo desigual = 108

°▼

Cada uno de los ángulos iguales = 36

°▼

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) El perímetro de una parcela con forma de romboide mide 4000 m y uno de los lados mide 150 m más que el otro. Calcula las dimensiones de la parcela. Resuélvelo mediante un sistema de dos ecuaciones. Escribe primero el lado menor.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Procedimiento de resolución de problemas de sistemas.

Lado menor = = 925

m▼

Lado mayor = = 1 075

156

UNIDAD 8

m▼

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS 74. Se quieren instalar 100 sistemas en total entre sistemas de tratamiento de aguas residuales y sistemas de suministro de agua potable. Cada sistema de tratamiento de aguas residuales cuesta 8 000 € y el sistema de suministro de agua potable cuesta 12 000 €. Si se dispone de 1 120 000 €, ¿cuántos sistemas de tratamiento de aguas residuales y de suministro de agua potable deben ins­ talarse?

75. Una organización sin fines de lucro planea distribuir kits de purificación de agua y filtros a comunidades ru­ rales. Quieren repartir el doble de kits que de filtros. Si se dispone de 31 200 € y cada kit de purificación cuesta 50 € y cada filtro, 20 €, ¿cuántos kits de purificación de agua y filtros pueden distribuir?

76. En una comunidad han realizado un estudio sobe el consumo de agua. Hay dos tipos de viviendas.

El tipo A consume 400 L/día y el tipo B consume 532 L/día. El número de viviendas del tipo B son los 2/3 de las del tipo A y la comunidad gasta 22 640 L/día. ¿Cuántas viviendas hay de cada tipo?

e Define qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y pon un ejemplo.

1

2

Haz la representación gráfica de las soluciones de la siguiente ecuación: x + 2y = 5

3

Resuelve el siguiente sistema gráficamente y clasifícalo:

_

x – 3y = – 1 b

4 Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado:

5

`

– x + 3y = 4 ba

Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado:

6 Resuelve el siguiente sistema por el método más apropiado:

_

y= x–1 b `

y = 2x – 4 ba _

y = – 2x b `

3x + 4y = – 5 ba _

2x + 3y = 12 b `

5x – 7y = 1 ba

7 Halla dos números sabiendo que uno es el triple del otro y que el doble del primero más cinco veces el segundo es 85

Una finca rectangular mide 25 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 250 m, ¿cuánto mide su área?

8

Sistemas de ecuaciones lineales

157

UNIDAD

11 Áreas y volúmenes

¿Para qué sirven las áreas y los volúmenes?

SITUACIÓN: ODS 12, PRODUCCIÓN Y CONSUMO RESPONSABLE Las áreas y los volúmenes encuentran muchas aplicaciones en la producción de trigo; entre otras, por ejemplo, hay que hallar la superficie de las zonas de cultivo, la cantidad de semilla por hectárea y la cantidad que producen, así como hallar el volumen de los remolques que lo transportan y el de los silos que lo albergan.

Halla el volumen de un contenedor para transportar trigo que tiene de dimensiones 2,6 m × 6 m × 2,5 m

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Qué es el volumen?

2 ¿Qué son los prismas y los cilindros?

3 ¿Qué son las pirámides, los conos y la esfera?

4 ¿Qué son los troncos de pirámide y de cono?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 11. Áreas y volúmenes. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de las áreas y los volúmenes (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. También debes hacer en el cuaderno el Carné calculista y el Explora de la primera sección.

¿Qué es el volumen?

1

e

e Calcula mentalmente el volumen de las siguientes figuras teniendo en cuenta que cada cubo pequeño es una unidad.

CARNÉ CALCULISTA 658,9 : 7,6

c)

a)

b)

e)

d)

¿Cómo se mide el volumen?

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

Un bidón ocupa un volumen. El bidón también tiene una capacidad, que es la cantidad de líquido que cabe en su interior. Se puede decir que la capacidad es el volumen interior del bidón.

Unidades de volumen Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene 1 m de arista.

1m

1 m3

El metro cúbico es la unidad principal de volumen.

1m

1m

• Múltiplos y submúltiplos

Múltiplos

×1

km3

hm3

00

Submúltiplos

0

dam3 m3 cm3 00

0

Abreviatura

Cantidad de metros

kilómetro cúbico hectómetro cúbico decámetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 000 000 000 m3 = 109 m3 1 000 000 m3 = 106 m3 1 000 m3 = 103 m3 1 m3 0,001 m3 = 10– 3 m3 0,000001 m3 = 10– 6 m3 0,000000001 m3 = 10– 9 m3

Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1 000 en 1 000

dm3 :1

Nombre

mm3

2 hm3 = 2 × 1 000 000 m3 = 2 000 000 m3 3 000 cm3 = 3 000 : 1 000 dm3 = 3 dm3

• Relación entre masa, capacidad y volumen Al nivel del mar y a 4 °C, un litro de agua destilada pesa 1 kilo.

196

3

m

dm

cm

kL

L

mL

UNIDAD 11

3

3

1 kilo = 1 litro = 1 dm3 La unidad más frecuente para medir grandes cantidades de agua, como la de un pantano, es el hectómetro cúbico.

Áreas y volúmenes de los poliedros regulares Poliedro regular

Desarrollo

Área

Volumen

A = a2√ 3

3 V = a √2 12

A = 6a2

V = a3

A = 2a2√ 3

V = a √2 3

Tetraedro a

Cubo o hexaedro a

Aplicar fórmulas Para resolver los ejercicios de cálculo de áreas y de volúmenes de poliedros regulares no debes memorizar las fórmulas, excepto la del cubo, que es muy sencilla.

Octaedro a

Dodecaedro

3

A = 3a2√ 25 + 10√ 5 V = a (15 + 7√ 5 ) 4 3

a

Icosaedro

A = 5a2√ 3

a

V=

5a3 (3 + √ 5 ) 12

1 Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

A = a2√ 3 ⇒ A = 52√ 3 = 43,30 cm2 5 x2 × √

3 = 43,30

V = a √ 2 ⇒ V = 5 √ 2 = 14,73 cm3 12 12 3

3

5 x3 × √

2 ÷ 12 = 14,73

1. Transforma mentalmente en metros cúbicos:

a) 25 dam

b) 0,02 hm

3

3

c) 2 560 dm

d) 32 000 cm3

e) 45 km3

f ) 575 000 mm3

3

2. Expresa en litros las siguientes cantidades:

a) 5 m3

b) 0,008 hm3

c) 250 dm

d) 12 000 cm

e) 10 km

f ) 250 000 mm3

3

3

3

3. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

4. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cubo de 4 m de arista.

5. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 6 dm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

6. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 5 m de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

7. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un icosaedro de 9 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

Áreas y volúmenes

197

2

¿Qué son los prismas y los cilindros?

e

e Calcula el área y el volumen de la figura mayor:

CARNÉ CALCULISTA 7 1 3 6 · – : 8 3 4 5

1 cm3

¿Cómo se calcula el área y el volumen de prismas y cilindros?

Nombre

Ortoedro

Dibujo

Desarrollo c

a c

b

a

H

Prisma

b

Área

Volumen

A = 2(ab + ac + bc)

V = abc

H B

B

V = AB · H

R H

H

Cilindro

A T = 2A B + A L

R

R

2πR

A B = πR 2 A L = 2πRH A T = 2A B + A L

Área y volumen del ortoedro • El área del ortoedro se deduce de su desarrollo plano, que está formado por 6 rectángulos, iguales dos a dos.

A = 2(ab + ac + bc) • El volumen del ortoedro se obtiene multiplicando el largo por el ancho y por el alto.

V = abc 2 Calcula el área y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones

c = 2 cm a = 5 cm

son 5 cm, 3 cm y 2 cm

b = 3 cm

A = 2(ab + ac + bc) A = 2(5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2) = 2 (15 + 10 + 6) = 2 · 31 = 62 cm2

a = 5 cm b = 3 cm c = 2 cm

V = abc ⇒ V = 5 · 3 · 2 = 30 cm3 2 ×

(

5 × 3 + 5 × 2 + 3 × 2

5 × 3 × 2 = 30

198

UNIDAD 11

)

= 62

Área y volumen del prisma

Volumen de prismas y cilindros

• El área total del prisma se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases iguales, que son polígonos regulares, y tantos rectángulos iguales como aristas tenga la base:

Todos ellos tienen dos bases iguales; por ello el volumen se calcula aplicando la misma fórmula:

A T = 2A B + A L • El volumen del prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura:

V = AB · H

V = AB · H ℓ=4m

Halla el área y el volumen del prisma pentagonal del margen.

Área total: A T = 2A B + A L P·a 5 · 4 · 2,75 a) A B = ⇒ AB = = 27,5 m2 2 2 b) A L = 5 ℓ H ⇒ A L = 5 · 4 · 8 = 160 m2

H=8m

a = 2,75 m H=8m

3

ℓ=4m

Luego: A T = 2 · 27,5 + 160 = 55 + 160 = 215 m2 Volumen: V = A B · H ⇒ V = 27,5 · 8 = 220 m3

Área y volumen del cilindro • El área total del cilindro se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases iguales, que son círculos, y un rectángulo.

AB = π · R2

A L = 2πRH

R=3m

A T = 2A B + A L

H=7m

• El volumen del cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = AB · H Halla el área y el volumen del cilindro recto del margen. Toma π = 3,14

R=3m

Área total: A T = 2A B + A L a) A B = πR 2 ⇒ A B = 3,14 · 32 = 28,26 m2 b) A L = 2πRH ⇒ A L = 2 · 3,14 · 3 · 7 = 131,88 m2

H=7m

4

Luego: A T = 2 · 28,26 + 131,88 = 188,40 m2 Volumen: V = A B · H ⇒ V = 28,26 · 7 = 197,82 m3

8. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 5 m, 3,5 m y 4 m

11. Calcula el área y el volumen del siguiente prisma hexagonal. Redondea el resultado a dos decimales.

10. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cilindro recto cuya base tiene 3 cm de radio y cuya altura mide 6 cm. Toma π = 3,14. Redondea el resultado a dos decimales.

6m

9. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un prisma cuadrangular en el que la arista de la base mide 3 cm y la altura del prisma mide 8 cm 2m

12. Un recipiente con forma de ortoedro, para envasar leche, tiene unas dimensiones de 8 cm, 5 cm y 25 cm.

Dibújalo, calcula su volumen y exprésalo en litros.

Áreas y volúmenes

199

3 ¿Qué son las pirámides, los conos y la esfera?

e

e a) Calcula el volumen del prisma de la figura A. Si el volumen de la pirámide mide 18 cm3, halla la razón de los volúmenes.

CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: 3x – 6 x x–8 2x – = + 4 5 2

b) Calcula el volumen del cilindro de la figura B en π cm3, función de π. Si el volumen del cono mide 8π halla la razón de los volúmenes.

6 cm

A

B

Nombre

Dibujo

6 cm

¿Cómo se calcula el área y el volumen de las pirámides y los conos?

Pirámide

h

3 cm

2 cm

B

Desarrollo

B G

Todos ellos tienen una base y un vértice, por ello el volumen se calcula aplicando la misma fórmula: 1 V = AB · H 3

Cono

H

AL

G R

Esfera

Volumen

AT = AB + AL

H

3 cm

Volumen de pirámides y conos

Área

R

R

No tiene desarrollo plano

V=

1 AB · H 3

V=

4 πR 3 3

A B = πR 2 A L = πRG AT = AB + AL A B = 4πR 2

Área y volumen de la pirámide • El área total de la pirámide se deduce de su desarrollo plano, que está formado por un polígono regular y tantos triángulos isósceles iguales como aristas tenga la base: A T = A B + A L • El volumen de la pirámide se obtiene multiplicando un tercio por el 1 área de la base y por la altura: V = AB · H 3

B

5 Halla el área y el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 m

H=8m h

ℓ=6m

H=8m

de arista de la base y 8 m de altura. Redondea el resultado a dos decimales. Área total: A T = A B + A L. Se calcula el área de la base y el área lateral: h

a=3m

1 ÷ 3 × 36 × 8 = 96

200

UNIDAD 11

A B = ℓ2 ⇒ A B = 62 = 36 m2

AL = 4 ℓ h : 2

Hay que calcular la apotema de la pirámide; h = √ 32 + 82 = √ 73 = 8,54 m A L = 4 · 6 · 8,54 : 2 = 204,96 : 2 = 102,48 m2 Luego: A T = 36 + 102,48 = 138,48 m2 Volumen: V =

1 1 AB · H ⇒ V = · 36 · 8 = 96 m3 3 3

Área y volumen del cono • El área total del cono se deduce de su desarrollo plano, que está formado por una base, que es un círculo, y un sector circular: A B = πR 2

A L = πRG

AT = AB + AL

• El volumen del cono se obtiene multiplicando por un tercio el área de la base por la altura: 1 V= AB · H 3 6 Halla el área y el volumen de un cono recto de 5 m de radio de

G

la base y 12 m de altura. Toma π = 3,14

Área total: A T = A B + A L. Se calcula el área de la base y el área lateral: A B = πR 2 ⇒ A B = 3,14 · 52 = 78,5 m2

A L = πRG

AL R=5m

A L = 3,14 · 5 · 13 = 204,1 m2 Luego: A T = 78,5 + 204,1 = 282,6 m2 Volumen: V =

G

1 1 AB · H ⇒ V = · 78,5 · 12 = 314 m3 3 3

R=5m

H = 12 m

Hay que calcular la generatriz: G = √ 52 + 122 = √ 169 = 13 m G

R=5m

Área y volumen de la esfera La esfera no tiene desarrollo plano.

• El área de la esfera es igual a la de cuatro círculos máximos: A = 4πR 2 • El volumen de la esfera se obtiene multiplicando cuatro tercios por π y por el radio al cubo: 4 πR 3 V= 3 Halla el área y el volumen de una esfera de 5 m de radio. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14 7

A = 4πR 2 ⇒ A = 4 · 3,14 · 52 = 314 m2 V=

5m

4 4 πR 3 ⇒ V = · 3,14 · 53 = 523,33 m3 3 3

13. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 10 cm y la altura de la pirámide mide 12 cm

15. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 6 cm. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

14. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 6 m y la altura del cono, 8 m. Redondea el resultado a dos decimales.

Toma π = 3,14

16. Se ha construido un adorno de metacrilato con forma de pirámide hexagonal cuya base tiene 4 cm de arista y cuya altura mide 12 cm. El metacrilato cuesta 28,5 €/m2.

Dibuja el adorno y calcula el precio del material. Redondea el resultado a dos decimales.

Áreas y volúmenes

201

4 ¿Qué son los troncos de pirámide y de cono?

e

e 3x 2 – x – 2 = 0

b) Comprueba que el resultado es el mismo que aplicando la fórmula: V = 1 bAB1 + AB2 + √ AB1 · AB2 l · H 3

H

cm

Volumen de troncos de pirámides y conos

3 cm

Resuelve la ecuación:

2 cm

2

CARNÉ CALCULISTA

3 cm

a) Calcula mentalmente el volumen del tronco de pirámide azul restando, del volumen del total de la pirámide, el volumen de la pirámide amarilla.

1 cm

donde H es la altura del tronco de pirámide.

Todos ellos tienen dos bases desiguales; por ello el volumen se calcula aplicando la misma fórmula.

¿Cómo se calcula el área y el volumen de los troncos?

Nombre

Dibujo

Desarrollo

B2

Tronco de pirámide

A T = A B1 + A B2 + A L

B1

r

r

Tronco de cono

G

H H B1 ℓ1 B ℓ1

• El área total de un tronco de pirámide se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases que son polígonos regulares desiguales, y tantos trapecios isósceles iguales como aristas tenga la base.

A T = A B1 + A B2 + A L

ℓ2 B2 ℓ2 B2

• El volumen de un tronco de pirámide se obtiene multiplicando un tercio por la suma de las áreas de las bases más la raíz cuadrada del producto de las áreas, y multiplicando todo por la altura.

1 V= bA B1 + A B2 + √ A B1 · A B2 l · H 3 Halla el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrada en el que la arista de la base mayor mide 16 m; la arista de la base menor, 4 m, y la altura, 8 m

ℓ2 = 4 m H=8m

2

Área y volumen del tronco de pirámide h h

ℓ1 ℓ1

8

h

Área total: A T = A B + A B + A L. Se calcula el área de las bases y el área lateral: 1

2m 6m 8m

2

• A B = ℓ ⇒ A B = 16 = 256 m2 ℓ + ℓ2 ·h • AL = 4 · 1 2 1

H=8m

ℓ1 = 16 m

UNIDAD 11

AL

R

R

202

1 V= bA B1 + A B2 + √ A B1 · A B2 l · H A B = πR 2 3 2 A B = πr A L = π(R + r) G A T = A B1 + A B2 + A L

G

1

H ℓ2 B2ℓ2 B2

B1 B1

Volumen

B2

h

H

B1

Área

h

6m

2 1

2

1

• A B = ℓ22 ⇒ A B = 42 = 16 m2 2

2

H=

2m 6m 8m

ℓ1 = 16 m H=8m

Hay que calcular la apotema del tronco de la pirámide: h = √ 62 + 82 = √ 100 = 10 m A L = 4 · 16 + 4 · 10 = 400 m2 2 Luego: AT = 256 + 16 + 400 = 672 m2

6m

1 1 bA B1 + A B2 + √ A B1 · A B2 l · H ⇒ V = b256 + √ 256 · 16 l · 8 = 896 m3 3 3

Volumen: V =

Área y volumen del tronco de cono

r

• El área total de un tronco de cono se deduce de su desarrollo plano, que está formado por dos bases que son dos círculos desiguales, y un trapecio circular:

H

AT = AB + AB + AL 1

h

A B = πR 2

2

1

A B = πr 2 2

R

A L = π(R + r)G

• El volumen de un tronco de cono se obtiene multiplicando un tercio por la suma de las áreas de las bases más la raíz cuadrada del producto de las áreas de las bases, y multiplicando todo por la altura: V=

G

r

B2

AL R

1 bA B1 + A B2 + √ A B1 · A B2 l · H 3

B1

9 Halla el área y el volumen de un tronco de cono en el que el radio

de la base mayor mide 15 m; el radio de la base menor, 5 m, y la altura, 24 m. Toma π = 3,14

r=5m

Área total: A T = A B + A B + A L • A B = πR 2 ⇒ A B = 3,14 · 152 = 706,5 m2 1

1

• A B = πr 2 ⇒ A B = 3,14 · 52 = 78,5 m2 2

G

H = 24 m

2

H = 24 m

1

Se calcula el área de las bases y el área lateral:

5m

2

• A L = π(R + r)G

R = 15 m

Hay que calcular la generatriz: G = √ 102 + 242 = 26 m

G

10 m

A L = 3,14 · (15 + 5) · 26 = 1 632,8 m2 Luego: A T = 706,5 + 78,5 + 1 632,8 = 2 417,8 m2 Volumen: 1 V= bA B1 + A B2 + √ A B1 · A B2 l · H 3 1 V= b706,5 + 78,5 + √ 706,5 · 78,5 l · 24 = 8 164 m3 3

Redondea los resultados a dos decimales.

(

706.5 × 78.5

)

)

× 24 ÷ 3 = 8164

19. Calcula la cantidad de agua que cabe en el cubo de la figura. Toma π = 3,14 20 cm Redondea el resultado a un decimal.

20 cm 20 cm

12 cm

20 cm cm 20 cm 20 20 cm

18. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de cono de 12 m de altura y en el que los radios de las bases miden 10 m y 4 m. Toma π = 3,14

706.5 + 78.5 + √

12 cm 12 cm

20 cm

17. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular en el que la arista de la base mayor mide 18 m, la arista de la base menor, 8 m, y la altura del tronco mide 12 m

(

12 cm Áreas y volúmenes

203

Perímetros y áreas de los polígonos Polígono

Dibujo

c c c c

Triángulo

Perímetro

P=a+b+c

b·h 2 Fórmula de Herón: A = √ p(p – a) (p – b) (p – c) p = semiperímetro

P = 4a

A = a2

P = 2(b + a)

A=b·a

A=

aa aa

hh hh

Área

b b b

Cuadrado aa aa a aa

Rectángulo b b b aa aa

Rombo

Romboide

D D D D

d d d

aa aa

c c c c b b b b

Trapecio

P = 4a

P = 2(b + c)

A=

D·d 2

A=b·a

b b b b aa a

c c c c

d d d d

P=B+c+b+d

A=

B+b ·a 2

B B B

Polígono regular

ℓ ℓ ℓ aaa a

P = nℓ n = número de lados

A=

P·a 2

Longitudes y áreas de las figuras circulares Polígono

Circunferencia

Círculo

204

UNIDAD 11

Dibujo R R

R R

Longitud

Área

L = 2πR

A = πR 2

Área y volumen de los cuerpos Nombre

Dibujo

Desarrollo

Cubo o hexaedro

Volumen

A = 6a2

V = a3

c

A = 2(ab + ac + bc)

V = abc

H

AT = 2A B + A L

a

a

b

c

Ortoedro o paralelepípedo

Área

a

b

a

H

Prisma

B

B

V = AB · H

R H

Cilindro

H R

R

Pirámide

h B

A B = πR 2 A L = 2πRH A T = 2A B + AL

2πR

AT = AB + AL

H

B

V=

G

Cono

H

R

R

Tronco de pirámide

Tronco de cono

Esfera

B2 B1

B2

h

H

A B = πR 2 A L = πRG AT = AB + AL

AL

G

AT = AB + AB + AL 1

B1

r

r

G

2

1 V = 3 bA B1 + A B2 +

A B = πR 2 A B = πr 2 A L = π(R + r) G AT = AB + AB + AL 1

H

G R

R

1 AB · H 3

R

AL

2

1

No tiene desarrollo plano

+ √ A B1 · A B2 l · H

2

A = 4πR 2

V=

4 πR 3 3

Áreas y volúmenes

205

Halla el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 4 m, y la altura, 10 m 10

Área total: A T = 2A B + A L a) Para calcular el área de la base hay que calcular la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras.

4m

H = 10 m

a 2 + 22 = 42 ⇒ a 2 + 4 = 16 ⇒ a 2 = 12 a

a = √ 12 = 3,46 m

P·a 6 · 4 · 3,46 ⇒ AB = = 41,52 m2 2 2 b) A L = 6 · ℓ · H ⇒ A L = 6 · 4 · 10 = 240 m2 2m

AB =

Luego: A T = 2 · 41,52 + 240 = 323,04 m2

ℓ=4m

Volumen: V = A B · H ⇒ V = 41,52 · 10 = 415,2 m3

H = 24 m

h

Área total: A T = A B + A L Se calcula el área de la base y el área lateral: a) A B = ℓ2 ⇒ A B = 142 = 196 m2 ℓ·h 2 Hay que calcular la apotema de la pirámide, h ℓ 2 ⇒ h 2 = 242 + 72 ⇒ h 2 = 625 h2 = H2 + 2 b) A L = 4 ·

H = 24 m

Halla el área y el volumen de una pirámide cuadrangular en la que la arista de la base mide 14 m, y la altura, 24 m 11

ℓ = 14 m

h

ℓ/2 = 7 m

( )

h = √ 625 = 25 m AL = 4 ·

14 · 25 ℓ·h ⇒ AL = 4 · = 700 m2 2 2

G

R=8m

21. Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 2,5 cm. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

206

UNIDAD 11

22. Halla el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular en el que la arista de la base mayor mide 8 m; la arista de la base menor, 2 m, y la altura 4 m ℓ2 = 2 m H=4m

20. Halla el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 8 m, y la altura, 15 m. Redondea el resultado a dos decimales.

Toma π = 3,14

H = 15 m

Luego: A T = 196 + 700 = 896 m2 1 1 Volumen: V = AB · H ⇒ V = · 196 · 24 = 1 568 m3 3 3

1m ℓ1 = 8 m

h 3m

12 Calcula el número de re-

novaciones de aire por hora (ACH) para un aula de 6,5 m de ancho por 10 m de largo y 2,9 m de alto, con 16 estudiantes y un docente, aplicando la relación de la introducción de la unidad.

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• Dimensiones del aula: Ancho × Largo × Alto: 6,5 × 10 × 2,9 m

Se necesita el volumen del aula:

• Aire del exterior: 14 litros por persona y segundo y hay 17 personas.

V = 6,5 · 10 · 2,9 = 188,5 m3 L/persona s · 17 personas · 3 600 · s h m3/litro = 4,55 · 0,001 188,5 m3 ACH = 14

2. Pregunta: • Número de renovaciones de aire por hora.

4. Solución: Se necesitan 5 ACH lo que supone un caudal necesario de: 5 · 188,5 = 942 m3/h

Calcula las dimensiones de la etiqueta que cubre el área lateral de un bote con forma de cilindro de 33 cL de zumo de piña y con 10 cm de altura. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14 13

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• Un cilindro de 33 cL de volumen y 10 cm de altura.

Las dimensiones de la etiqueta son 2πR por H = 10 cm

H = 10 cm 2πR

Hay que calcular el radio de la base: V = AB · H ⇒ V = πR 2H 3,14 · R 2 · 10 = 330

2. Pregunta: • ¿Cuáles son las dimensiones de la etiqueta de la cara lateral?

R 2 = 33 : 3,14 = 10,51 R = √ 10,51 = 3,24 cm 2πR = 2 · 3,14 · 3,24 = 20,35 cm

4. Solución: Las dimensiones son 20,35 cm por 10 cm

24. El material con el que se hace una tulipa cuesta 16,50 €/m2 Se quiere hacer una con forma de tronco de cono cuya altura mide 15 cm, el radio de la mayor, 15 cm, y el radio de la base menor, 7 cm. ¿Cuánto costará? Redondea el resultado a dos decimales.

Toma π = 3,14

25. Un metro cúbico del material con el que está construida la pieza del dibujo pesa 7 850 kg. Calcula el peso de la pieza. Toma π = 3,14 y redondea el resultado a dos decimales.

R = 10 cm

r = 7,5 cm

15 cm

23. Un depósito esférico de 1,8 m de radio se llena de gas. Si 1 m3 de gas equivale a 11,7 kWh y el precio en una tarifa TUR es de 0,06 €/kWh, ¿cuál será el precio del gas depositado? Toma π = 3,14 y redondea el resultado a dos decimales.

Áreas y volúmenes

207

1

¿Qué es el volumen?

26. Completa: a) 15 dm3 = ■ cm3 c) 250 dm3 = ■ m3

b) 0,05 dam3 = ■ m3 d) 32 500 000 cm3 = ■ dam3

27. Expresa en metros cúbicos las siguientes cantidades:

a) 1 300 dm3 c) 0,005 km3

b) 6 hm3 d) 400 000 cm3

28. Expresa en litros las siguientes cantidades:

a) 1,5 m3 c) 25 dm3

b) 0,04 dam3 c) 750 cm3

29. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un tetraedro de 6 cm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

30. Haz el dibujo y calcula mentalmente el área y el volumen de un cubo de 5 m de arista.

31. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un octaedro de 7 dm de arista. Redondea el resultado a dos decimales.

2 ¿Qué son los prismas y los cilindros?

32. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 10 m, 5 m y 3 m

¿Qué son las pirámides, los conos y la esfera?

3

36. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m de arista y cuya altura mide 6 m. Redondea el área a dos decimales.

37. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 6 m y la altura de la pirámide mide 10 m. Redondea el área a dos decimales.

38. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 2 m y la altura mide 8 m. Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14 39. Calcula el área y el volumen de un cono cuyo desarrollo plano es el siguiente. Redondea el área a un decimal.

G = 13 cm

R = 5 cm

40. Calcula cuánto cuesta el helado de la figura, que es media esfera, si el litro de helado cuesta 5 €. Toma π = 3,14. Redondea el resultado a dos decimales.

33. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 5 cm, y la altura del prisma, 8 cm. Redondea el resultado a dos decimales.

H = 14 cm

34. Calcula el área y el volumen de un prisma pentagonal en el que la arista de la base mide 8 cm, la apotema de la base mide 5,51 cm y la altura del prisma mide 14 cm. Redondea el resultado a dos decimales.

a = 5,51 cm

ℓ = 8 cm

35. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cilindro recto de 4 cm de radio de la base y 7 cm de altura.

Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14

208

UNIDAD 11

4 ¿Qué son los troncos de pirámide

y de cono?

41. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de pirámide cuadrada en el que la arista de la base mayor mide 14 m; la arista de la base menor, 4 m, y la altura, 12 m.

42. Haz el dibujo y halla el área y el volumen de un tronco de cono en el que el radio de la base mayor mide 10 m; el radio de la base menor, 4 m, y la altura, 15 m.

Redondea el resultado a dos decimales. Toma π = 3,14.

43. Calcula el área y el volumen del tronco de pirámide cuyo desarrollo plano es el siguiente. Toma π = 3,14 ℓ2 = 4 m

44. Calcula el área y el volumen del tronco de cono cuyo desarrollo plano es el siguiente. Toma π = 3,14.

Redondea los resultados a dos decimales.

G = 4 cm

h=5m

r = 3 cm

R = 5 cm

ℓ1 = 10 m

46. Haz el dibujo y calcula el área lateral del cono que se genera al hacer que el triángulo rectángulo de la figura gire alrededor del cateto mayor. Toma π = 3,14.

Redondea el resultado a un decimal.

12 cm

45. Haz el dibujo y calcula el área lateral de un cono de 4 m de altura cuya base tiene una superficie que mide 9π m2. Toma π = 3,14. Redondea el resultado a un decimal.

5 cm

47. Las dimensiones de un depósito de agua son 9 m, 6 m y 4 m. Dibuja el depósito y calcula cuántos litros de agua contendrá cuando esté completamente lleno.

48. Se quiere alicatar un cuarto de baño cuyas dimensiones son 3 m, 2 m y 2,50 m. Si se cobra a 24 €/m2, ¿cuánto costará alicatar el cuarto de baño?

49. Se ha construido una caja de madera sin tapa, con forma de ortoedro, cuyas dimensiones exteriores son 10 cm × 5 cm × 8 cm. Si la madera tiene un grosor de 1 cm, ¿cuál será la capacidad de la caja?

50. Un depósito de agua, con forma de ortoedro, tiene unas dimensiones de 6 m, 5 m y 3,5 m. Si está al 45 % de su capacidad, ¿cuántos litros tiene?

51. La tulipa de una lámpara tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor mide 15 m; el radio de la base menor, 10 cm, y su altura, 12 cm. Si el material con el que está construida cuesta a 12,5 €/m2, ¿cuál será el precio del material utilizado? Toma π = 3,14.

Redondea el resultado a dos decimales.

52. Un bote de refresco, con forma de cilindro, contiene 33 cL. Calcula el radio de la base sabiendo que su altura es de 11 cm. Toma π = 3,14. Redondea el resultado a dos decimales.

53. El envase de un yogur es un cilindro en el que el diámetro de la base mide 5 cm, y la altura, 6 cm.

Calcula la superficie de la etiqueta que rodea completamente la superficie lateral del envase. Toma π = 3,14. Redondea el resultado a un decimal.

54. Se quiere hacer una pieza de plástico con forma de cono recto, que debe llenarse de agua. Si la pieza debe tener 12 cm de diámetro de la base y una altura de 20 cm, ¿cuál será su volumen? Toma π = 3,14. Redondea el resultado a un decimal.

55. La diagonal de un cubo mide 4 m. Calcula el área total del cubo.

56. Se introduce una esfera en un recipiente completamente lleno de agua y se derraman 36π dm3 de agua. Calcula el radio de la esfera. Toma π = 3,14 57. Calcula el peso de la esfera de la figura sabiendo que es maciza y su den2 dm sidad es de 7,5 kg/dm3. Toma π = 3,14.

Redondea el resultado a un decimal.

58. Compara los volúmenes de los tres cuerpos. ¿Qué relación encuentras entre ellos?

R R

R

R

R

R

Áreas y volúmenes

209

COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Calcula el área total y el volumen de una pirámide hexagonal en la que la arista de la base mide 7,5 m y la altura 17,5 m. Redondea el resultado a dos decimales.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Área y volumen de la pirámide. Área total = 566,14

m2

Volumen = 852,49

m3

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Calcula el área total y el volumen de un cilindro de radio de la base R = 3,25 m y altura H = 12,5 m.

Redondea el resultado a dos decimales.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Área y volumen del cilindro. Área total = 321,62

m2

Volumen = 414,79

m3

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Un balón de baloncesto tiene un diámetro de 25 cm. Calcula su superficie y su volumen.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Área y volumen de la esfera.

Introduce R = 12.5

Área = 1 963,5

cm2

Volumen = 8 181,23

cm3

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Calcula el volumen de agua necesaria para llenar una piscina con forma de paralelepípedo de dimensiones: 10 m × 6 m × 3 m dejando 25 cm en la parte superior sin llenar.

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Área y volumen del ortoedro.

En la altura debes poner 2,75 m

210

UNIDAD 11

Volumen = 165

m3

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS Una finca produce 5 000 kg de trigo por hectárea y un agricultor tiene sembrada una finca de 200 m por 250 m.

59. ¿Qué cantidad de trigo recogerá?

60. Si la densidad del trigo es de 800 kg/m3, ¿qué volumen ocupará?

61. Si tiene un depósito de forma cilíndrica de radio de la base 1 m, ¿qué altura debe tener como mínimo para que le quepa todo el trigo? Toma como valor de π = 3,14. Redondea la altura a un decimal.

e Escribe los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Pon un ejemplo de cómo se pasa de hectómetro cúbico a metro cúbico.

1

2

Completa: a) 17 hm3 = ■ litros b) 250 cL = ■ dm3 c) 2 000 cm3 = ■ litros d) 5 mL = ■ cm3

Calcula el área y el volumen de un prisma hexagonal en el que la arista de la base mide 2 m y la altura del prisma mide 6 m. Redondea el resultado a dos decimales.

3

4 Haz el dibujo y halla el área y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene 3 m

de arista y cuya altura mide 6 m. Redondea el área a dos decimales.

Halla el área y el volumen de un tronco de cono en el cual el radio de la base mayor mide 5 m; el radio de la base menor, 2 m, y la altura, 4 m. Redondea el resultado a dos decimales.

Toma π = 3,14 5

6 ¿Cuántas garrafas de 5 litros se llenarán con el agua del depósito de la figura? Toma π = 3,14

3

m

2m

Se introduce una esfera en un recipiente completamente lleno de agua y se derraman ℓ1 = 24 cm 36π dm3 de agua. Calcula el radio de la esfera.

7

Se quiere construir un farolillo con forma de tronco de pirámide y con las caras laterales de cristal. Si la arista de la base mayor mide 24 cm, la arista de la base menor mide 8 cm, y la altura mide 15 cm, ¿cuánto costará el cristal de las caras laterales si se cobra a 24 €/m2? Redondea el resultado a dos decimales.

H = 15 cm

8

ℓ2 = 8 cm Áreas y volúmenes

211

e SENTIDO ARITMÉTICO RESUELVE

1

Estanterías.

Para construir una estantería, un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera.

6 tablas cortas de madera.

12 ganchos pequeños.

2 ganchos grandes.

14 tornillos.

El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir?

2

Sistema de transporte.

El siguiente esquema muestra parte del sistema de transporte de una ciudad, con 3 líneas de ferrocarril. El precio del billete se calcula en función del número de estaciones que se recorren. Cada estación que se recorre cuesta 1 €. El tiempo que se tarda en ir de una estación a la siguiente es de aproximadamente 2 minutos. En los trasbordos de una línea a otra se tarda unos 5 minutos.

Representa una estación de la línea de ferrocarril.

Representa una estación donde se puede realizar trasbordo entre líneas de ferrocarril (líneas A, B o C).

Línea A Línea C

Desde aquí Línea B

Hasta aquí

Se señalan la estación en la que uno se encuentra en ese momento (Desde aquí) y la estación a la que tiene que ir (Hasta aquí). Marca el mejor trayecto en función del dinero y del tiempo, e indica el precio del billete y el tiempo aproximado del viaje.

102

Actividades de ampliación

SABERES I NÚMEROS PRACTICA CON TEXTOS e ¿CUÁNTA SANGRE HUMANA HAY EN EL MUNDO? «Para tener una idea de los números que nos rodean, queremos saber cómo estimar la cantidad de sangre que hay en el mundo.

Hagamos el siguiente cálculo: ¿Cuánta sangre circula por el cuerpo de una persona adulta? La cantidad es, obviamente, variable, dependiendo de diferentes circunstancias, pero si uno quiere hacer una estimación por exceso, es decir, si uno trata de evaluar lo máximo posible, digamos que una cota superior es de cinco litros (y sé que estoy escribiendo una barbaridad porque el promedio está mucho más cerca de cuatro que de cinco litros. Pero no importa.

Se trata de una estimación). Un niño, en cambio, tiene considerablemente menos, pero, aun así, voy a suponer que toda persona, adulta o no, tiene cinco litros en su cuerpo.

Sabemos que hay un poco más de seis mil millones de personas en el mundo (en realidad, se estima que ya somos alrededor de 6 300 millones). Luego, seis mil millones a cinco litros por persona resultan un total (aproximado, claro), de treinta mil millones de litros de sangre en el mundo. […] Si uno quiere tener una mejor idea de lo que esto representa, supongamos que uno quisiera poner toda esta sangre en un cubo. ¿De qué dimensiones tendría que ser el cubo? […] Para tener otra referencia de cuánto representa este número, consideremos el lago Nahuel Huapi, en el sudoeste de Argentina. Este lago tiene aproximadamente 500 km2 de superficie. La pregunta ahora es: Si le agregáramos al lago toda la sangre que hay en el mundo, ¿en cuánto aumentaría su altura?

Para poder hacer la estimación, supongamos que el lago fuera como una caja de zapatos. ¿Cómo se calcula el volumen? Se multiplica la superficie de la base por la altura de la caja. En este caso, sabemos que la base es de 500 kilómetros cuadrados. Y sabemos que le vamos a agregar un volumen de 30 millones de metros cúbicos. Lo que necesitamos es averiguar en cuánto aumentó la altura (que vamos a llamar h). Escribiendo las ecuaciones se tiene: 500 km2 · h = 30 · 106 m3 ⇒ 500 · 106 m2 · h = 30 · 106 m3 (**) (en donde hemos usado la fórmula que dice que 1 km² = 106 m2) Luego despejando h de la ecuación (**), se tiene: h = (30 · 106 m3) / 500 · 106 m2 = 3/50 m = 0,06 m = 6 cm Es decir, que después de todas estas cuentas, la estimación que hicimos nos permite afirmar que si tiráramos en el lago Nahuel Huapi toda la sangre que hay en el mundo, la altura del lago solo se incrementaría en... ¡6 centímetros!

MORALEJA: O bien hay muy poca sangre en el mundo, o bien, hay muchísima... pero muchísima agua».

Adrián Pardeza: «¿Cuánta sangre hay en el mundo?», en Siglo XXI editores

e 1

Lee atentamente el texto y responde: ¿Qué significado tiene la palabra «promedio» en el texto? ¿Qué cantidad promedio de sangre está estimando el autor que tiene una persona?

Se estima que 1/13 de la masa corporal de una persona es la cantidad en litros de sangre que tiene. Calcula la cantidad de sangre que tiene una persona de 52 kg y otra de 80 kg. ¿Crees que es una buena estimación la del autor?

Calcula la longitud de la arista del cubo en metros.

En el texto se hace referencia a que hay unos 6 000 millones de personas en el mundo. Actualmente esta cifra ha aumentado. Se estima que hay unos 7 940 millones de personas. Haz los cálculos con este dato actualizado.

Por si no te haces una idea de la superficie del lago Nahuel Huapi, piensa que el municipio de Málaga tiene una superficie de 398,25 km². Haz los cálculos con el resultado de la pregunta anterior y con esta superficie.

Actividades de ampliación

103

SESIÓN 1

Hacemos ejercicio Hacer ejercicio o practicar un deporte y estar físicamente activo es una oportunidad para cuidar nuestra salud y mejorar tanto nuestra condición física como mental. Si decides practicar una actividad física lo primero que debes es conocer tu condición física (sobre todo si tienes alguna enfermedad) y planificar tus actividades de acuerdo con tu condición física.

Para empezar, repasemos algunos conceptos.

Resistencia física. VO2 máximo Cuando se hace un ejercicio o actividad física, esta se suele clasificar en predominantemente aeróbica o anaeróbica.

Un ejercicio aeróbico es aquel cuya actividad no requiere una gran intensidad en un corto periodo de tiempo. Por ejemplo, caminar, nadar, montar en bicicleta, etc., son ejercicios aeróbicos. Se realizan en periodos largos y tienen el objetivo de aumentar la resistencia. Al realizar los ejercicios se necesita energía que el organismo obtiene de quemar hidratos y grasas. Para ello necesita el oxígeno.

Un ejercicio anaeróbico se realiza en un corto periodo de tiempo y su objetivo fundamental es aumentar la masa muscular. Por ejemplo, levantar pesas, hacer abdominales, hacer carreras cortas, pero a mucha velocidad, etc.

Los ejercicios aeróbicos incrementan la capacidad pulmonar y son beneficiosos para el sistema cardiovascular.

Por esta razón se puede hablar de la condición física aeróbica del deportista como una condición fundamental en cualquier deporte. Cuanto mejor sea esta, más fuerte y eficaz será nuestro corazón. En cualquier deporte con una alta demanda cardiovascular se busca retrasar la fatiga lo máximo posible. Para ello, debemos metabolizar el oxígeno de la sangre con la mayor eficacia posible. La condición física aeróbica tiene que ver con la eficacia con la que el sistema cardiovascular transporta el oxígeno a los distintos órganos de nuestro cuerpo. Es cuando aparece el concepto de volumen máximo de oxígeno (VO2 máx.) que se define como la cantidad máxima de oxígeno que el organismo puede absorber, transportar y consumir por unidad de tiempo. Se expresa normalmente en mL/kg/min e indica la capacidad aeróbica de la persona. Es muy variable entre individuos, y depende fundamentalmente de la edad, el sexo, el peso, de la capacidad de los pulmones, del tamaño del corazón, de la capacidad de la sangre para transportar el oxígeno y del grado de entrenamiento o de la condición física. El VO2 máx. va aumentando gradualmente con la edad y se suele alcanzar el máximo entre los 18 y los 25 años.

La mayoría de los especialistas en medicina deportiva consideran el VO2 máx. como medida de la potencia aeróbica y como la mejor manera de medir la resistencia cardiorrespiratoria. Como el VO2 máx. es el ritmo más alto de consumo de oxígeno alcanzable durante la realización de ejercicio, si incrementamos la intensidad de nuestro ejercicio más allá del punto en que se alcanza el VO2 máx., nuestro consumo de oxígeno se estabilizará o se reducirá ligeramente. Alcanzar esta estabilización en el consumo de oxígeno significa que el final del ejercicio está cerca porque ya no podemos suministrar oxígeno con la rapidez necesaria para satisfacer las necesidades de nuestros músculos. Por lo tanto, este límite, el VO2 máx., indica la intensidad del esfuerzo o el ritmo que podemos sostener. Podemos seguir haciendo ejercicio durante un corto periodo de tiempo después de alcanzar el VO2 máx.

e 1

¿Qué es un ejercicio aeróbico?

2 ¿Qué es un ejercicio anaeróbico?

3 ¿Qué diferencia un ejercicio aeróbico de uno anaeróbico?

4 ¿Por qué en un ejercicio aeróbico se necesita oxígeno?

5 ¿Qué es el VO2 máx.?

6 ¿Para qué sirve el VO2 máx.?

7 ¿Cuál es su unidad de medida?

8 ¿En qué edad se suele alcanzar el valor máximo de VO2 máx.?

9 ¿Qué ocurre cuando se sobrepasa el VO2 máx. durante la realización de una actividad física?

276

Situación de aprendizaje

SESIÓN 2. TEST DE COOPER

Para calcular el VO2 máx. en medicina se utiliza la espirometría, que es un estudio que mide el consumo de oxígeno.

Los entrenadores deportivos utilizan test indirectos (test de campo, no de laboratorio); tal vez el más conocido fue el que nos legó el Dr. Cooper, que describimos a continuación.

El objetivo del test es medir la resistencia aeróbica del sujeto.

Para realizar el test lo único que se necesita es un espacio o circuito con marcas cada 50 m. Como se necesita medir el tiempo, se utiliza un reloj o cronógrafo.

400 m

350 m

50 m

100 m

300 m

250 m

150 m

La prueba consiste en recorrer la mayor distancia posible en 12 minutos. Se debe intentar realizar la prueba corriendo. En algunas ocasiones la condición física de la persona no permite estar los 12 minutos corriendo; en ese caso, se puede alternar correr y andar. Lo que no se puede hacer es pararse.

Cuando finalizan los 12 minutos, se anotan el total de metros recorridos. Para realizar este registro se tiene en cuenta la última marca rebasada del circuito.

No se suma la última fracción recorrida entre dos marcas si no se completa.

El test de Cooper expresa, según los metros recorridos en los 12 minutos, el consumo máximo de oxígeno (mL/kg/min) durante el esfuerzo a partir de la fórmula siguiente: VO2 máx. (x) =

x – 504

45 donde x es la distancia recorrida en metros.

200 m

VO2 máx. y umbral anaeróbico Aunque tener un VO2 máx. alto es importante, lo es todavía más el hecho de ser capaz de aguantar una actividad física intensa a un elevado porcentaje del VO2 máx. durante más tiempo. Es decir, en qué porcentaje del VO2 máx. se encuentra tu umbral anaeróbico.

Algunos deportistas de nivel medio tienen su umbral entre el 70 % y el 80 % del VO2 máx., mientras que algunos de más nivel sitúan su umbral entre el 80 % y el 90 % del VO2 máx.

e 1

¿Qué tipo de función es VO2 máx.? Indica sus características.

2 Haz una tabla de valores para 1 000 m, 2 000 m y 3 000 m 3 Representa la función en unos ejes coordenados.

4 Una persona ha recorrido una distancia de 1 500 m y pesa 50 kg. Calcula el VO2 máx. Expresa el resultado en litros por minuto.

5 Una persona recorre en el test de Cooper 3 204 m y su umbral está al 85 % del VO2 máx. Otra persona recorre 3 654 m, pero su umbral se sitúa al 70 %. ¿Quién tendrá un mejor rendimiento?

6 Dos personas tienen el mismo VO2 máx. = 25. Una pesa 49 kg y la otra, 54 kg. ¿Cuál de ellas tiene mejor

SESIÓN FINAL

condición física?

Seguramente en tus clases de Educación Física habrás realizado alguna prueba similar al test de Cooper. Pide información de tus resultados o haz el test guiado por tus profesores.

e 1 Te proponemos que hagas una planificación de una actividad física que te guste y que valores tus resultados

iniciales del test con los que puedas hacer pasados unos meses de ejercicio.

Situación de aprendizaje

277

e SABERES I. Aritmética Señala en tu cuaderno la respuesta correcta.

1

Ordena de menor a mayor los siguientes números:

7 El 2 % de 5 800 es: a) 58

6 800, – 5 200, 5 200, – 6 800 a) – 6 800 < – 5 200 < 5 200 < 6 800

b) 116

b) – 5 200 < 5 200 < – 6 800 < 6 800

c) 580

c) 6 800 < 5 200 < – 5 200 < – 6 800

d) 1160

d) 6 800 < – 6 800 < 5 200 < – 5 200

8 ¿Qué parte de todas las canicas de la caja son azules?

2 Durante un paseo por el campo, Pedro consume 1/4 del agua de su cantimplora; Ana, los 2/5, y, María, 1/3. Ordena de menor a mayor el consumo de agua. a) María < Ana < Pedro

a)

b) Pedro < Ana < María c) Pedro < María < Ana

b)

3 5

4 6 d) 6 4 Un pastel de 2 kg se dividió en partes iguales. Tres de las partes pesan 600 g. ¿En cuántas partes iguales se dividió el pastel?

c)

d) Ana < Pedro < María

3 Halla la descomposición en factores primos de 230: a) 2 · 5 · 23

9

b) 4 · 23

a) 24

c) 10 · 23

b) 12

d) 5 · 46

c) 10

4 Halla el resultado de la operación: 2–3–7+4 a) 4

b) – 4

c) – 2

d) 12

5 ¿Qué operación da como resultado un número mayor que 50?

d) 6

10 Cierta mañana la temperatura era de 20 °C. Al mediodía se registró un aumento de 2 °C, más tarde bajó 3 °C, y por la noche volvió a bajar 4 °C. ¿Qué expresión nos permite calcular la temperatura final? a) 20 + 2 + 3 + 4 b) 20 – 2 – 3 – 4 c) 20 – 2 + 3 + 4

a) 25 · 0,5

b) 25 · 0,2

c) 50 · 0,0

d) 50 · 1,3

6 Halla el resultado de la expresión: (– 2)3 (– 2)4 (– 2) (– 2)0

((– 2)2)

3

282

2 5

d) 20 + 2 – 3 – 4

11 Si la paridad libra esterlina (£)/euro (€) fuera 1 £ = 1,20 €, ¿cuántos euros podría adquirir un turista inglés al cambiar 200 libras? a) 240 € b) 133,33 €

a) (– 2)2

b) (– 2)6

c) 300 €

c) (– 2)7

d) (– 2)8

d) 600 €

Actividades de recuperación

e SABERES II. Álgebra Señala en tu cuaderno la respuesta correcta:

1

Cuáles de los siguientes monomios son semejantes?

a) 3x 2 ; 3x

b) 4x ; 4y

c) 8x 3 ; 2x3

d) x ; x 2

años la edad de Pablo será el doble de la de Ana. ¿Qué ecuación nos permite calcular la edad de Ana?

Edad de Ana = x

2 El valor numérico del polinomio

a) 3x + 12 = 2x

P(x) = 2x 3 – 5x + 8 para x = 1

b) 3x + 12 = 2x + 12

es: a) 8

b) 5

c) 1

c) 3x + 12 = 2(x + 12)

d) – 5

3 La expresión que se obtiene al desarrollar (x – 3) es: 2

a) x 2 – 9

b) x 2 + 9

2

2

c) x – 6x + 9

d) x + 6x + 9

8 Pablo tiene 3 veces la edad de Ana. Dentro de 12

d) 3x + 12 = 2x – 12

9 Un rectángulo tiene de base el doble que de altura. Si su perímetro mide 30 cm, ¿qué ecuación nos permite calcular la altura del rectángulo?

2x

4 La descomposición factorial de x 2 – 4 es: b) (x – 2)2

a) (x + 2)(x – 2) 2

c) (x + 2)

x

d) x(x – 4)

5 El resultado de la operación 4x 2 · (x 3 – 3x + 2)

a) 2x + x = 30

b) 2(2x + x) = 30

c) 2x · x = 30

d) 2x – x = 15

10 Carlos y Nancy juntan sus libros. Los libros

es: b) 4x 6 – 12x 2 + 8x

de Nancy son la mitad del total más un libro. ¿Con cuál de las siguientes expresiones se calculan los libros de Carlos?

c) 4x 5 – 12x 3 + 8x 2

N.º de libros de Carlos = x

5

a) 4x – 3x + 2

5

3

d) 4x – 12x + 8

N.º total de libros = y

6 La solución de la ecuación 2 – 3x + 8 = 6 – 5x

es: a) 1

b) 8

c) 2

d) – 2

7 Las soluciones de la ecuación 2x 2 – x – 6 = 0

y+1 2 y c) x = y – +1 2

a) x =

y +1 2 y d) x = –1 2

b) x =

11 Ernesto tiene el triple de camisetas que Sara. Si entre los dos juntan 40 camisetas, ¿cuál de las siguientes expresiones nos permite calcular el número de camisetas de Sara y de Ernesto?

son:

N.º de camisetas de Sara = x

3 2 b) x1 = 4; x2 = – 3

N.º de camisetas de Ernesto = y

a) x1 = 2; x2 = –

3 2 d) x1 = – 4; x2 = 3

c) x1 = – 2; x2 =

a)

3x = y⎧ ⎨ x + y = 40⎩

b)

x = 3y⎧ ⎨ x + y = 40⎩

c)

x = y + 3⎧ ⎨ x + y = 40⎩

d)

y = x + 3⎧ ⎨ x + y = 40⎩

Actividades de recuperación

283

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