Muestra de Matemáticas A 4 ESO Andalucía. Proyecto 5 etapas. Bruño by Grupo Anaya, S.A.

ANDALUCÍA

INCLUYE PROYECTO

MUESTRA

DIGITAL

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

E S O

CÓMO ES TU LIBRO

Con Bruño aprendes Matemáticas investigando, descubriendo y explorando la Naturaleza. En solo 5 ETAPAS cíclicas puedes adquirir mediante situaciones de aprendizaje las competencias y saberes necesarios para tu desarrollo personal, intelectual, social y emocional.

(Prepárate para el aprendizaje)

(Indaga sobre los saberes)

(Valora tu aprendizaje)

(Conoce los saberes)

e (Aplica lo aprendido y crea conocimiento)

LA UNIDAD

Te presentamos la unidad en una doble página.

¿Para qué sirven...?

Relaciona la imagen con los contenidos que se van a estudiar en la unidad. Se trata de responder a la pregunta que muchas veces te planteas. ¿Para qué sirven las matemáticas?

En esta unidad descubriremos juntos

Estos son los saberes que adquirirás al trabajar esta unidad.

e Para que compruebes que las matemáticas son muy útiles, te pedimos que pienses y reflexiones sobre otra aplicación de los contenidos de la unidad a la vida real.

Doble página e

RECURSO ENLAZADO A UN QR Sorpréndete viendo en este QR todos los recursos de una sección, vídeos y applets de GeoGebra para que, de una forma dinámica, puedas comprender mejor los conceptos abstractos.

ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN Se trata de que EXPLORES en tu cerebro sobre los conocimientos que ya tienes relacionados con lo que vas a estudiar, es decir, traerlos de la memoria a medio plazo a la memoria a corto plazo.

EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS Utilizamos la metodología de dificultades aisladas. Para cada contenido matemático se resuelve el mejor ejercicio o problema resuelto, presentado de forma que no se complique en las operaciones y su única dificultad sea el saber que se estudia.

Moodle es una plataforma de aprendizaje mediante ordenador y tableta. El Moodle de Matemáticas de Bruño contiene: cálculo mental, cuestionarios por cada día de clase y pruebas de examen, todo ello autoevaluables.

ELABORA ACTIVIDADES PARA CONSTRUIR CONOCIMIENTO Son ejercicios y problemas para que realices en clase o en casa.

Cómo es tu libro

REPASA Y ELABORA Son ejercicios y problemas básicos de toda la unidad para que puedas repasarla leyendo los resueltos y haciendo los propuestos.

ACTIVIDADES FINALES A continuación te encontrarás con dos páginas de actividades para cada una de las sesiones de clase y una propuesta final de problemas para el conjunto de la unidad.

COMPRUEBO MIS COMPETENCIAS Te propone problemas matemáticos en contextos reales.

e Una evaluación final con un QR para que compruebes las soluciones. COMPETENCIA DIGITAL con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ➜ Ejercicios y problemas para que comprendas mejor los conceptos matemáticos abstractos con el uso de applets de GeoGebra. ➜ Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas con CalcMe y Hoja de cálculo. ➜ En cada unidad tienes una prueba con Moodle en la que puedes utilizar los applets de GeoGebra y CalcMe. 4

EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que te sirve de modelo para la evaluación inicial y como repaso de saberes esenciales de Educación Primaria.

Secciones finales SITUACIONES DE APRENDIZAJE Plantean un reto o problema de cierta complejidad cuya resolución implica la movilización de los saberes básicos (conocimientos, destrezas y actitudes), a partir de la realización de distintas tareas y actividades. ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Actividades que te proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos.

EVALUACIÓN FINAL Modelo de prueba que te sirve de autoevaluación final. ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN Ejercicios para que prepares la recuperación final del curso.

Cómo es tu libro

Proyecto digital

Tu libro digital es... INTUITIVO Fácil de usar y diseñado para conseguir tu mejor aprendizaje.

SINCRONIZABLE Los cambios que realices se sincronizan automáticamente al conectar cualquiera de los dispositivos con los que trabajes.

UNIVERSAL Es compatible con los entornos virtuales de aprendizaje (EVA) y las plataformas educativas (LMS, LTI).

VERSÁTIL Utilízalo según tus necesidades: como complemento a tu libro impreso o como único material para conseguir tu aprendizaje.

MULTIDISPOSITIVO Visualízalo en cualquier tipo de dispositivo (ordenador, tableta, smartphone…), a cualquier tamaño y resolución de pantalla. Es compatible con todos los navegadores, sistemas operativos de escritorio (Windows, Mac, Linux...) y dispositivos móviles (Android, iOS y Chromebook).

INCLUSIVO Personaliza tu aprendizaje adaptando su funcionalidad a tus necesidades.

TRAZABLE Integrado sobre las aulas digitales de los EVA y LMS, tu profesor puede visualizar los resultados de las actividades que has realizado.

DESCARGABLE TRAZABLE Puedes trabajar sin conexión a internet y descargarlo en más de un dispositivo.

Te presentamos todas las unidades de tu libro en formato digital y adaptables a tus dispositivos.

Entra y encontrarás gran variedad de recursos digitales para que aprendas de otra manera: vídeos y applets.

Y gran cantidad de actividades interactivas con trazabilidad para que tu profesor o profesora las pueda valorar.

Proyecto digital

Índice Evaluación inicial

SABERES BÁSICOS

Avances en Matemáticas

1 Números enteros y racionales 14 ¿Cómo se opera con números enteros? 2 ¿Cómo se opera con fracciones? 3 ¿Qué relación hay entre fracciones y decimales? 4 ¿Cómo se resuelven problemas? 1

16 18 20 22

5 Resolución de ecuaciones 1

¿Qué son las ecuaciones de 1.er grado?

¿Qué son las ecuaciones de 2.º grado?

¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?

Situación de aprendizaje

6 Sistemas de ecuaciones

¿Cómo se clasifica un sistema lineal?

¿Cómo se resuelve algebraicamente un sistema lineal?

¿Cómo se resuelve un sistema no lineal?

2 Números reales

¿Qué son los números irracionales? 2 ¿Qué son los números reales? 3 ¿Cómo se usan los números reales?

32 34 36

4 ¿Cómo se resuelven problemas

3 Potencias y radicales

con sistemas?

SABERES BÁSICOS

106

Avances en Matemática

107

¿Qué son las potencias? 2 ¿Qué son los radicales? 3 ¿Cómo se operan los radicales?

46 48 50

7 Semejanza

108

¿Para qué se utiliza el teorema de Thales?

110

SABERES BÁSICOS

Avances en Matemáticas

¿Para qué se utiliza el teorema de Pitágoras?

112

4 Operaciones con polinomios

¿Qué son los planos, los mapas y las maquetas?

114

¿Cuáles son las operaciones con polinomios? 2 ¿Para qué sirven el teorema del resto y del factor? 3 ¿Cómo se hallan las raíces de un polinomio?

2 3

4 ¿Qué es el área de las figuras planas?

116

8 Áreas y volúmenes

126

¿Qué son los prismas y cilindros?

129

¿Qué son las pirámides y los conos?

130

¿Qué son los troncos y las esferas?

132

SABERES BÁSICOS

140

Avances en Matemáticas

141

9 Funciones. Rectas y parábolas 142 ¿Qué es una función? 2 ¿Cuáles son las funciones lineales y afines? 3 ¿Qué es una función cuadrática? 4 ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

146 148 150

Actividades de ampliación

160

10 Funciones algebraicas

144

y trascendentes

162

¿Qué es una función racional? 2 ¿Cómo se opera con funciones? 3 ¿Para qué sirve la función exponencial?

164 166

SABERES BÁSICOS

182

Avances en Matemáticas

183

11 Estadística unidimensional y bidimensional

¿Para qué sirve la estadística? 2 ¿Qué son los parámetros estadísticos? 3 ¿Qué son las variables bidimensionales? 4 ¿Para qué sirve la regresión lineal? 1

168

12 Combinatoria y probabilidad

200

¿Qué son las variaciones y permutaciones? 2 ¿Qué son los problemas de combinatoria? 3 ¿Qué es la probabilidad? 4 ¿Qué son los experimentos aleatorios compuestos? 1

202 204 206 208

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Actividades de recuperación

218 220 221 222 224 225 226

Evaluación final

231

184 186 188 190 192

Índice

UNIDAD UNIDAD UNIDAD

SABERES BÁSICOS

1 Números enteros y racionales 2 Números reales 3 Potencias y radicales En estas unidades se trabajarán contenidos del: Sentido numérico: desarrollando destrezas para realizar estimaciones en diversos contextos, expresar cantidades mediante números reales, utilizar las propiedades de los números, expresar y utilizar los números irracionales y los logaritmos, representar números reales e intervalos en la recta numérica y utilizar distintos métodos para resolver problemas en diferentes contextos de la vida cotidiana, científicos y financieros realizando los cálculos tanto mentalmente, como de forma manual, con calculadora y con asistentes matemáticos adaptándose a cada situación. Sentido algebraico: desarrollando la generalización de patrones, fórmulas y términos generales en regularidades de forma mental, manual o con asistentes matemáticos. Modelizando y resolviendo problemas de la vida cotidiana mediante representaciones matemáticas y lenguaje algebraico. Sentido socioafectivo: desarrollando destrezas para generar oportunidades de aprendizaje en el aula, para usar técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tener una comunicación efectiva, para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas y valorar la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.

Avances en Matemáticas El estudio de los números es una antigua dedicación del ser humano. Desde las civilizaciones más antiguas, con el transcurrir de los tiempos y la sucesión de las generaciones, esa indagación ha acompañado a la humanidad. Sirva como ejemplo la escuela Pitagórica, que era una escuela de la filosofía presocrática, que dotó de cualidades divinas a una serie de números. Se estudiaban los números y se relacionaban las matemáticas, la filosofía y la religión. Desde otra perspectiva, los números han contribuido al desarrollo de otras disciplinas científicas. Por ejemplo, Eudoxo de Cnido, astrónomo y matemático, calculó con exactitud la duración de un año. El desarrollo de los números, desde los sistemas de numeración no decimal (sirvan como ejemplo los números romanos) hasta el año 1202 en que Leonardo Fibonacci escribe El libro del ábaco, que introduce los números arábigos en Europa, avanza a través de la economía con Jerónimo Cardano, que trata las deudas con números negativos y a través de la necesidad de medir, con lo que surgen los números fraccionarios.

GeorG Cantor

Si todos los avances merecen su lugar en la historia, tal vez el mayor salto cualitativo que se dio desde un punto de vista matemático sucedió en el siglo xix, cuando los matemáticos alemanes Weierstrass, Cantor y Dedekind, entre otros, culminaron el estudio del número axiomatizando el concepto de número real. Los trabajos de Georg Cantor (1845-1918) fundamentaron lo que posteriormente fue el análisis matemático y explicaban la infinitud de los números naturales, racionales e irracionales. El estudio de la teoría de números no acaba y está en continua evolución. Matemáticas importantes, como Maryna Viazovska (1984 - ), que solucionó en 2016 el problema del empaquetamiento de esferas de dimensión 8 y cuya demostración aúna distintos campos de la matemática (análisis de Fourier, teoría de números y del campo de la optimización), se ha convertido en una de las grandes personalidades del mundo científico matemático en el siglo xxi. Por este trabajo ha sido galardonada en 2022 con la medalla Fields. Actualmente, la importancia de las cifras es evidente. Estamos rodeados de números en todos los ámbitos de nuestra vida. En el ámbito financiero, los resultados de las empresas, las tasas de crecimiento de la economía de un país, etc., dan origen a un macroproceso de toma de decisiones en todo el mundo económico y social.

Maryna ViazoVska

En este orden de cosas, los ordenadores y ciertos programas han realizado una revolución en el uso de los datos. Tratar datos y tomar decisiones es muy importante. En el ámbito educativo hay programas, como GeoGebra, que nos permiten realizar conjeturas, modelizar e interpretar soluciones con mucha facilidad.

e Abre el applet del QR. 1 Observa el ejercicio resuelto y resuelve el propuesto. 2 Puedes investigar con otros casos y generalizar.

Saberes básicos

UNIDAD

1 Números enteros y racionales

¿Para qué sirven los números enteros y racionales? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: PESCA SOSTENIBLE. NÚMEROS Y ODS Los números racionales, los números decimales y el paso entre ellos se utilizan con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Por ejemplo, durante una «levantá» en la Almadraba de Zahara se cogieron 22 atunes entre 190 kg y 200 kg en 4 horas. ¿Cuántos atunes cogen de media por hora? Si de un atún de 195 kg en el ronqueo, o despiece artesanal, se obtiene un 10 % de ventresca, ¿cuántos kg de ventresca se obtienen?

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Cómo se opera con números enteros? 2 ¿Cómo se opera con fracciones? 3 ¿Qué relación hay entre fracciones y decimales? 4 ¿Cómo se resuelven problemas?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el numero de la unidad y el título: UNIDAD 1. Números enteros y racionales. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de los números reales (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir números grandes y decorados. También debes hacer en el cuaderno el Explora de la primera sección.

¿Cómo se opera con números enteros?

e El día 1 de enero la temperatura máxima en un determinado lugar fue de 5 °C, y la temperatura mínima, de –8 °C. ¿Cuál ha sido la variación de temperaturas?

¿Qué operaciones se hacen con números enteros? Opuesto de un número El opuesto de un número es otro número tal que al sumar ambos, se obtiene cero. Para hallar el opuesto de un número se le cambia el signo. a) El opuesto de 4 es –4 porque 4 + (–4) = 0 b) El opuesto de –7 es 7 porque –7 + 7 = 0

Suma y resta de números enteros Para sumar y restar números enteros se sigue el procedimiento: a) Se suman los números positivos. b) Se suman los números negativos. c) Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. d) Se resta del número que tiene mayor valor absoluto el número que tiene menor valor absoluto. 1

Realiza las operaciones:

a) 9 + 4 – 5 + 7 – 3

b) – 8 + 6 – 3 + 9 – 5

a) 9 + 4 – 5 + 7 – 3 = 20 – 8 = 12 b) –8 + 6 – 3 + 9 – 5 = 15 – 16 = – 1

Multiplicación y división de números enteros Al multiplicar o dividir dos números enteros que tienen el mismo signo, el resultado es positivo, y si tienen distinto signo, el resultado es negativo. Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del resultado y, a continuación, se multiplican o dividen como si fuesen naturales. Multiplicación

División

Regla (+) · (+) = (+)

Ejemplo 3 · 5 = 15

Regla (+) : (+) = (+)

Ejemplo 12 : 4 = 3

(–) · (–) = (+)

– 6 · (– 2) = 12

(–) : (–) = (+)

– 35 : (– 5) = 7

(+) · (–) = (–)

8 · (– 5) = – 40

(+) : (–) = (–)

54 : (– 9) = – 6

(–) · (+) = (–)

– 9 · 7 = – 63

(–) : (+) = (–)

– 21 : 7 = – 3

Para hallar el signo del producto o división de varios números enteros, se cuenta el número de signos menos. Si es par, el resultado es positivo; si es impar, negativo. 2

UNIDAD 1

Realiza las operaciones:

a) – 3 ⋅ 5 ⋅ (– 4) ⋅ (– 1) ⋅ (– 2)

b) 5 ⋅ (– 2) ⋅ (– 1) ⋅ (– 3)

a) – 3 · 5 · (– 4) · (– 1) · (– 2) = 120

b) 5 · (– 2) · (– 1) · (– 3) = – 30

Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con números enteros, se debe seguir un orden:

( ) ·

a) Paréntesis.

–

b) Multiplicaciones y divisiones. c) Sumas y restas. d) Si las operaciones tienen el mismo nivel y son multiplicaciones con divisiones o divisiones con divisiones, se comienza por la izquierda. 6(12 – 8) + 9 · 5 : 3 = 6 · 4 + 45 : 3 = 24 + 15 = 39 6 ×

(

12 − 8

)

+ 9

× 5

÷ 3 = 39

Propiedad distributiva La propiedad distributiva del producto respecto de la suma dice que si se multiplica un número por una suma, el resultado es igual al producto del número por el primer sumando, más el producto del mismo número por el segundo sumando. Se hace de igual forma si es una resta: a (b + c ) = ab + ac 3

Signo menos delante de un paréntesis Cuando hay un menos delante de un paréntesis se puede proceder de dos formas: a) Efectuar las operaciones que hay dentro del paréntesis y cambiar el signo al resultado. b) Cambiar el signo de todos los números que hay dentro del paréntesis, y luego efectuar las operaciones.

a (b – c ) = ab – ac

Comprueba la propiedad distributiva en:

a) 6 ∙ (5 + 2)

b) 6 ∙ (5 – 2)

Halla: – (4 – 1 + 7)

a) 6 · (5 + 2) = 6 · 5 + 6 · 2

b) 6 · (5 – 2) = 6 · 5 – 6 · 2

a) – (4 – 1 + 7) = = – (11 – 1) = –10

6 · 7 42

= 30 + 12

6 · 3

= 30 – 12 =

b) – (4 – 1 + 7) = =–4+1–7= = 1 – 11 = – 10

Realiza las siguientes operaciones: 1. 7 – 5 + 12 – 9 + 4

9. 25 : (7 – 12) – [4 – 15 – 2 · (9 – 7)]

2. 4 – 9 – 8 + 10 – 5

10. 4 – (9 – 12) + 2 · (10 – 5)

3. 7 · (–6) · (–3) · (–2)

11. 9 · (17 – 8) + 7 · (– 9) : 3

4. 2 · 6 · (–3) · (–2)

12. – 2 · [– (4 – 5) – (8 – 10)]

5. 40 : (– 5) : (–2)

13. 5 – (2 – 8) + 10 · ( 4 – 5)

6. 300 : (–10) : 5 : (–3)

14. 81 : (17 – 26) – 8 · (8 – 12)

7. 2 · (7 – 5) + 6 · (3 – 8)

15. 196 : [– (4 – 5) – 3 · (8 – 10)]

8. 240 : (8 + 2) – 3 · (25 – 30)

16. 5 · [– 25 : (4 – 9) +1] – 3 · [(1 – 5) – (3 – 8)] Números enteros y racionales

¿Cómo se opera con fracciones?

e Realiza mentalmente las siguientes operaciones: 2 1 2 3 2 5 b) – c) · a) + 5 10 5 7 9 9

¿Qué operaciones se hacen con fracciones? Suma y resta de fracciones

Simplificar Al final de la operación hay que simplificar siempre que se pueda. Para ello, se dividen el numerador y el denominador entre su M.C.D. 10 10 : 2 5 = = 12 ↑ 12 : 2 6

La suma y resta de fracciones con igual denominador es otra fracción que tiene por: • Numerador: la suma o resta de los numeradores. • Denominador: el mismo que el de las fracciones. 7 8 5 7 – 8 + 5 12 – 8 4 = = – + = 9 9 9 9 9 9

M.C.M.(10, 12) = 2

10 ab/c 12 = 5

Fracción opuesta La fracción opuesta de una fracción es la que se obtiene al cambiarle el signo. 2 2 es – 3 3 2 2 – =0 3 3 4 4 La opuesta de – es 5 5 4 4 – + =0 5 5

La suma y resta de fracciones con distinto denominador es otra fracción que tiene por: • Numerador: la suma o resta que se obtiene al dividir el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y multiplicar por el numerador correspondiente. • Denominador: el m.c.m. de los denominadores.

La opuesta de

5 21 – 36 + 10 31 – 36 5 7 = =– –3+ = 4 12 6↑ 12 12 m.c.m.(4, 6) = 12

7 ab/c 4 − 3 + 5 ab/c 6 = –5

Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por:

Fracción inversa La fracción inversa de una fracción es la que se obtiene al cambiar el numerador por el denominador, dejando el mismo signo. 4 5 es La inversa de 5 4 2 7 La inversa de – es – 7 2 No confundas fracción inversa con opuesta.

UNIDAD 1

• Numerador: el producto de los numeradores. • Denominador: el producto de los denominadores. 7 3 21 · = 2 5 10 4 12 ·3 = 5 5 2 12 b) 6 · = 7 7 a)

7 ab/c 2 × 3 ab/c 5 = 21

4 ab/c 5 × 3 = 12

6 × 2 ab/c 7 = 12

División de fracciones Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda. 1

5 2 5 3 5 = : = · a) 6 9 3 9 2

Regla MCI = Mantener, Cambiar, Invertir Mantener la 1.a fracción. Cambiar dividir por multiplicar.

5 ab/c 9 ÷ 2 ab/c 3 = 5

Invertir la 2.a fracción.

MCI = Mantener, Cambiar, Invertir

5 5 1 5 :2 = · = 7 7 2 14

5 ab/c 7 ÷ 2 = 5

Configura la calculadora

a) Para que escriba directamente las fracciones impropias:

MCI

c) 5 :

4 20 3 = 5· = 4 3 3

5 ÷ 3 ab/c 4 = 20

MODE (Disp) 1 (d/c) 2

MCI

b) Para que utilice la coma como notación decimal:

Operaciones combinadas Al realizar operaciones combinadas se sigue la jerarquía de las operaciones.

MODE (Disp) 1 ▶ (Comma) 2

9 5 7 12 – 9 5 7 3 5 7 5 14 + 5 19 7 + = + = + = = · e3 – o + = · · 4 4 8 8 3 8 3 4 8 4 8 8 3 1

7 ab/c 3 × (

3 − 9 ab/c 4

) + 5 ab/c 8 = 19

Realiza las siguientes operaciones: 2 1 17. + 3 – 3 2 1 7 3 – + 18. 2 5 10 1 3 5 19. + – 6 4 3 7 3 –2+ 20. 15 5 4 15 3 1 – : 21. · 5 2 10 5 7 3 5 2 22. : + : 8 2 6 5 3 4 1 5 23. : – 1 + · 4 2 2 5 2 1 3 24. e – o : e 6 + o 5 2 2 25. e

1 2 – 1o : e2 – o 5 3

1 2 10 + e + 1o : 9 3 3 7 5 27. e 3 – o : e1 – o 2 6 26.

28.

1 1 5 1 + e1 – o · e – o 3 2 6 9

29.

1 1 1 – e2 – o : e – 1o 3 6 5

30.

1 1 3 7 · – : e – 1o 5 2 4 2

31. Se tienen 30 sacos de azúcar de 80 kg cada uno. Si se han vendido los 3/5 del azúcar, ¿cuántos kilos quedan sin vender? 32. Un camión transporta 4/5 de los 8500 kg que puede cargar. ¿Cuántos kilos está transportando? 33. Si un metro de cable cuesta 6 €, ¿cuánto costa-

rán 2/3 de metro de cable?

34. En una clase de 4.o, los 3/5 del alumnado han entregado un trabajo. Posteriormente, 1/6 del alumnado que no lo había hecho lo entrega también. ¿Que fracción del alumnado ha entregado el trabajo? 35. De un trayecto se han recorrido los 3/7 del total, quedando 24 km aún sin recorrer. ¿Cuál es la longitud del trayecto?

Números enteros y racionales

3 ¿Qué relación hay entre fracciones y decimales?

e Haz la división decimal y di cuántas cifras decimales significativas puedes sacar en el cociente. a) 18 : 2

b) 7 : 2

c) 11 : 3

d) 23 : 6

¿Cómo se pasa de fracción a decimal y de decimal a fracción? Paso de fracción a decimal

Un número decimal exacto está generado por una fracción irreducible tal que su denominador solo tiene como factores primos a 2, a 5 o a ambos. 7 = 1,75 4

Un número decimal periódico puro está generado por una fracción irreducible tal que su denominador no tiene como factores primos ni a 2 ni a 5 ! 5 = 1,6 3

Un número decimal periódico mixto está generado por una fracción irreducible tal que su denominador tiene como factores primos a 2 y/o a 5 y algún otro número primo diferente. ! 13 = 2,16 6

Toda fracción se puede expresar como un número entero o decimal. Para pasar de fracción a entero o decimal, se realiza la división decimal del numerador entre el denominador. Al realizar la división, el cociente puede ser: a) Un número entero: no tiene cifras decimales. 8 =4 2 b) Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales. 6 = 1,2 5

6 ÷ 5 = 1,2

c) Decimal periódico puro: tiene un conjunto de cifras decimales que se repiten indefinidamente después de la coma. Se llama periodo al conjunto de cifras que se repite, y se representa con un arco encima de las cifras. Periodo

$ 58 = 5,272727… = 5,27 11

58 ÷ 11 = 5,272727

d) Decimal periódico mixto: el periodo comienza después de algunas cifras decimales que no se repiten. Se llama anteperiodo al conjunto de cifras que no se repiten y que están entre la coma y el periodo. Periodo

! 55 = 4,58 333… = 4,583 12

55 ÷ 12 = 4,583333

Anteperiodo

Fracción decimal y ordinaria • Una fracción es decimal si el denominador es la unidad seguida de ceros, o una equivalente. Las fracciones decimales dan origen a los números decimales exactos. • Una fracción es ordinaria si no es decimal, es decir, si el denominador no se puede poner como la unidad seguida de ceros. Las fracciones ordinarias dan origen a los números decimales periódicos. 20

UNIDAD 1

Fracción generatriz La fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico es una fracción irreducible en la que al realizar la división del numerador entre el denominador, se obtiene como cociente el número decimal dado. a) Fracción generatriz de un número decimal exacto.

375 15 = 3,75 = 4 100

La fracción generatriz tiene por: • Numerador: el número decimal sin la coma.

• Denominador: la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número.

3.75 = ab/c 15

b) Fracción generatriz de un número decimal periódico puro. La fracción generatriz tiene por: • Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma, menos la parte entera. • Denominador: tantos nueves como cifras tenga el periodo.

! 46 – 4 42 14 = = 4, 6 = 3 9 9 14

( 46 − 4 ) ab/c 9 = ab/c 14

c) Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto. La fracción generatriz tiene por: • Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma, menos la parte entera seguida del anteperiodo. • Denominador: tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. 59

& 2 681 – 26 2 655 59 = = 2,681 = 22 990 990

( 2681 − 26 ) ab/c 990 = ab/c 59

36. Calcula mentalmente la expresión decimal de las siguientes fracciones:

1 8 1 c) 20

2 5 1 d) 25

37. Clasifica en fracciones ordinarias o decimales las siguientes fracciones:

17 5 10 c) 21 a)

21 50 5 d) 12

38. Halla las expresiones decimales de las siguientes fracciones y clasifica el cociente obtenido:

7 50

14 3

30 5

17 6

39. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales:

a) 5,8 ! c) 2,6

# b) 5,12 ! d) 3,24

Números enteros y racionales

4 ¿Cómo se resuelven problemas?

e e

En una tienda que tiene 25 teléfonos, 15 de ellos funcionan con tecnología 4G; y los restantes, con 5G. Expresa en porcentaje la cantidad de teléfonos de cada clase.

¿Cómo resolvemos problemas? Regla de tres. Procedimiento a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar los correspondientes a la incógnita, es decir, la de la pregunta. c) Se determina si la proporcionalidad es directa o inversa:

Problemas de proporcionalidad • Si las magnitudes son directamente proporcionales: Magnitud A (unidad) (D) Magnitud B (unidad) a c⎧ c a b⋅c ⎨ ⇒ = ⇒x= x b a b x⎩ • Si las magnitudes son inversamente proporcionales: Magnitud A (unidad) (I) Magnitud B (unidad) Razón invertida a c⎧ b c a c = ⇒x= ⋅ ⎨ ⇒ a x b b x⎩

• Es directa cuando va de + a + o de – a –

Por la compra de tres kilos y medio de fresas se han pagado 8,75 €. ¿Cuánto costarán cuatro kilos y medio?

• Es inversa cuando va de + a – o de – a +

Peso (kg) (D) Dinero (€)

3,5 4,5

4.5 × 8.75 ÷ 3.5 = 11,25

⎧

4,5 ⋅ 8,75 8,75 ⎪ ⇒ 3,5 8,75 = 11,25 € ⇒x= = ⎨ ⎪ 3,5 x 4,5 x ⎩

Problemas de porcentaje La disminución porcentual de una cantidad inicial es lo que disminuye dicha cantidad según un porcentaje. Metodología del triángulo mágico

Índice de variación: uno menos el tanto por ciento expresado como decimal.

El aumento porcentual de una cantidad inicial es lo que aumenta dicha cantidad según un porcentaje.

÷ I

Índice de variación: uno más el tanto por ciento expresado como decimal.

F = Final

El precio de una impresora, que cuesta 247 €, se rebaja el 20 %. Calcula lo que se paga por la impresora.

I = Inicial

Índice de variación: P = 1 – 0,2 = 0,8

P = Porcentaje

F = I · P ⇒ F = 247 ⋅ 0,8 = 197,6 €

La línea vertical multiplica (×): F=I×P La línea horizontal divide (÷): F F P= I= P I

UNIDAD 1

247 × 0.8 = 197,6

El salario de Sonia ha tenido una subida del 3 %. Si ahora cobra 1 545 €, ¿cuánto cobraba anteriormente? 6

Índice de variación: P = 1 + 0,03 = 1,03 F I= ⇒ I = 1 545 : 1,03 = 1 500 € P

1 545 ÷ 1.03 = 1 500

Aumentos y disminuciones porcentuales encadenados Para calcular aumentos y disminuciones encadenados, se multiplican los índices de variación de cada paso. En la factura por la compra de un televisor que costaba 300 €, han hecho un descuento del 20 % y han aumentado el 21 % de IVA. ¿Cuál es el precio final del televisor? 7

F = I · P ⇒ F = 300 ⋅ 0,8 ⋅ 1,21 = 290,4 € 300 × 0.8 × 1.21 = 290,4

Nomenclatura C = Capital final c = Capital inicial I = Interés; t = Tiempo en años R = Rédito o tanto por ciento r = R /100 = Tanto por uno

Se depositan 3 000 € a un interés simple del 2 % durante 3 años. ¿Qué interés se tendrá al finalizar este tiempo? 8

Problemas de interés simple y compuesto El interés simple es el dinero que produce un capital depositado en una entidad financiera y que no se acumula al capital para generar nuevos intereses. El interés simple depende del capital inicial, del rédito y del tiempo. I=c⋅r⋅t

Periodos de capitalización

El interés compuesto es aquel que se acumula al capital para generar nuevos intereses. El capital final depende del capital inicial, del rédito y del tiempo. C = c(1 + r)

I=c⋅r⋅t I = 3 000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 = 180 €

¿Qué capital se acumula si se depositan 3 000 € al 2 % de interés compuesto durante 3 años, si los intereses se abonan anualmente? 9

41. Una cuadrilla de 4 obreros realiza un trabajo en 40 horas. ¿Cuántas horas tardarán, trabajando al mismo ritmo, con un obrero más? 42. De los 40 técnicos que han realizado un curso de formación, 34 han mejorado su rendimiento. Expresa en porcentaje el número de técnicos que han mejorado su rendimiento. 43. Se ha vendido un coche, que costó 15 000 € el año pasado, por un 40 % menos de aquel precio. ¿Cuánto dinero se ha recibido si en la factura hay que aumentar el 21 % de IVA? 44. Juan ha pagado 68 € por unos pantalones que estaban rebajados un 15 %. ¿Cuánto costaban los pantalones antes de la rebaja?

En el interés compuesto, si los intereses se abonan n veces al año, el capital final será: r nt C=c 1+ n

C = c(1 + r) ⇒ C = 3 000 ⋅ 1,023 = 3 183,6 €

40. Un coche consume 36 litros de gasolina en 450 km. ¿Cuánto consumirá en un viaje de 120 km?

En el interés simple, si el tiempo que se deposita el dinero es en: crt crt • Meses: I = • Trimestres: I = 4 12 crt • Días: I = 360

45. Un servicio de cerrajería cobra 15 € por cada hora de trabajo en un servicio normal. Si el trabajo se realiza de forma urgente, el precio aumenta el 20 %. ¿Cuánto se pagará por un trabajo de servicio urgente que ha llevado 3 horas? 46. Se han pagado 15,75 €/m por unas canaletas para ocultar cables. Si por la misma cantidad se habían pagado anteriormente 15 €/m, ¿qué porcentaje se ha aumentado? 47. Halla el capital final que se obtendrá si se depositan 9 000 € al 1,5 % de interés simple durante:

a) 3 años;

b) 18 meses.

48. Se depositan 1 000 € a un 3 % de interés compuesto. Halla el capital final que se tendrá al cabo de 5 años si los intereses se abonan:

a) anualmente;

b) trimestralmente.

Redondea los resultados a dos decimales.

Números enteros y racionales

10 Calcula:

a) 3 · (4 – 9) – (6 – 31) : 5 = 3 · (– 5) – (– 25) : 5 = – 15 + 5 = – 10

a) 3 · (4 – 9) – (6 – 31) : 5

b) 5 – 48 : [8 – (7 – 5)] – 3 · (5 – 12) = = 5 – 48 : [8 – 2] – 3 · (– 7) = = 5 – 48 : 6 – 3 · (– 7) = 5 – 8 + 21 = 26 – 8 = 18

b) 5 – 48 : [8 – (7 – 5)] – 3 · (5 – 12) Efectúa las siguientes operaciones: 11

a) Se aplica la jerarquía de las operaciones:

3 7 9 5 · – : 5 2 4 2

b) d

MCI

7 5 75 7 55 – nd: d(2 – ––3 3) n :n(:2(2– –33 )) 4 6 42 4 66

Expresa los siguientes números en forma de fracción irreducible: ! $ a) 0,54 b) 1,36 c) 0,64 12

Un ciclista recorre por la mañana 2/3 del trayecto que tiene previsto. Por la tarde recorre 2/5 de lo que le queda, y aún le faltan 10 km. ¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido? 13

3 7 9 5 21 9 2 21 9 12 6 = = = · – : = – · – 5 2 4 2 10 4 5 5 10 10 10 5

b) Se aplica la jerarquía de las operaciones:

–1 7 5 5 21 – 10 5 – 6 11 –1 11 11 – o : e – 3o = = o= :e · ( –2 ) = – : 4 6 2 2 6 12 2 12 12 MCI

$ 54 6 = a) 0,54 = 99 11 ! 136 – 13 123 41 = = b) 1,36 = 30 90 90 64 16 = c) 0,64 = 25 100

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• Recorre: 2/3 del trayecto.

Le quedan por recorrer: 3 1 1 · = 5 3 5 1 10 : = 10 · 5 = 50 km 5

Luego 2/5 de lo que le queda. • Faltan 10 km 2. Pregunta: • ¿Cuántos km tiene el recorrido?

4. Solución: El recorrido tiene 50 km

49. Calcula:

a) 4 · (3 – 5) – (5 – 17) : 3 b) 3 + 63 : [12 – (8 – 5)] – 2 · (7 – 15) 50. Efectúa las siguientes operaciones:

6 8 4 2 · – : 5 3 5 7

b) e

4 5 3 5 – o:e – o 3 6 2 8

51. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales:

a) 4,05 ! d) 1,76

UNIDAD 1

# b) 0,81 ! e) 4,3

! c) 2,5 # f) 2,681

52. Un rectángulo tiene de altura 3/7 de la longitud de la base. Si esta mide 84 cm, ¿cuál será el área del rectángulo? 53. Un almacén ha vendido los 3/8 de los 120 kg de nísperos que tiene. Si se venden los 2/3 de los nísperos que quedaban, ¿cuántos kilos quedan en el almacén? 54. ¿Cuántas botellas de 3/2 de litro se pueden llenar con 120 litros de agua? 55. De una garrafa de aceite se han sacado 2/9. Más tarde se saca la mitad de lo que quedaba. ¿Qué fracción del total de aceite se ha consumido?

14 Un grupo de 12 amigos tiene

• La magnitud de la pregunta es Tiempo (días); va en último lugar.

alimentos para 10 días. Si se van 4 amigos, ¿para cuántos días tendrán alimentos sin variar la ración?

• Es de proporcionalidad inversa porque al disminuir el número de amigos, aumenta el tiempo, – a +

15 Una tienda de muebles tiene

Índice de variación de la disminución porcentual: P1 = 1 – 0,2 = 0,8

N.o de amigos (I) Tiempo (días) 10 ⎫ 10 120 8 12 ⋅ 10 = ⇒x= = = 15 ⎬⇒ 8 8 x 12 18 x⎭ Razón invertida Tendrán alimentos para 15 días 12

una oferta por fin de existencias del 20 % de descuento. Si se compra un armario de 650 € y en la factura nos aumentan el 21 % de IVA, ¿cuánto se paga?

Índice total: P = 0,8 · 1,21 = 0,968

16 Se depositan 3 000 € a inte-

1. Datos:

rés compuesto del 3 % durante 2 años con periodos de capitalización anual. Si Hacienda retiene el 19 % de los intereses al finalizar el plazo, calcula el capital final que se tiene.

Índice de variación del aumento porcentual: P2 = 1 + 0,21 = 1,21 F = I · P ⇒ Precio final: F = 650 · 0,968 = 629,2 €

• Capital inicial = 3 000 €

÷ ×

3. Planteamiento y operaciones: El capital será:

Rédito = 3 % ⇒ r = 0,03 Hacienda retiene el 19 %

C = c (1 + r)t ⇒ C = 3 000 (1 + 0,03)2 = = 3 182,7 €

Tiempo = 2 años

Los intereses son: 3 182,7 – 3 000 = 182,7 €

2. Pregunta:

Hacienda retiene: 182,7 · 0,19 = 34,71 €

• ¿Qué capital se obtiene?

El capital final es: 3 182,7 – 34,71 = 3 147,99 €

4. Solución: El capital que se obtiene es 3 147,99 €

56. Un transportista cobra 1 080 € por trasladar una carga a 60 km de distancia. ¿Cuánto cobrará por trasladar la misma carga a 210 km? 57. Cinco grifos llenan un depósito en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el mismo depósito tres grifos iguales a los anteriores? 58. Una tienda hace una rebaja del 15 % en una lámpara de 120 €. ¿Qué precio se paga por ella? 59. En una factura de 250 € nos aplican un 20 % de descuento y un 21 % de IVA. Calcula el importe total de la factura.

60. En una librería realizan un descuento del 15 % por la feria del libro y en la factura cargan un 4 % de IVA. Se han comprado unos libros por los que se ha abonado en la factura 132,6 €. ¿Cuál era el precio de la compra? 61. En una entidad financiera ofrecen un depósito al 2 % de interés compuesto, siempre que no se rescate el capital antes de 2 años, realizando el abono de intereses trimestralmente. Si se depositan 25 000 € y Hacienda retiene de los intereses el 19 %, ¿qué capital obtendremos al finalizar el plazo?

Números enteros y racionales

1 ¿Cómo se opera con números enteros?

3 ¿Qué relación hay entre fracciones

y decimales?

Realiza las siguientes operaciones: 62. 3 · (4 + 5) – [2 · (3 – 5) – (6 – 7)] 63. 3 + 12 : (9 – 12) + 4 · (80 – 5) : 5 64. 3 · [4 – (4 – 7)] – 2 · [5 + (7 – 10)] 65. 2 · [3 · (4 – 9) – 8] – [2 · (1 – 5) + 3] 66. 120 : [ –2 · (10 – 9) ] + 10 + 25 : 5 67. 10 + 12 : (–4) + 20 : [–2 · (10 – 9)] 68. 5 · (4 – 7) – (8 – 13) – 4

84. Calcula mentalmente la expresión decimal de las siguientes fracciones:

9 2

3 5

1 4

3 4

85. Sin hacer la división, clasifica en fracciones ordinarias o decimales las siguientes fracciones:

12 5

21 20

35 18

5 21

70. 7 · [–(12 – 9) + 5] – 24 : (–4)

86. Halla las expresiones decimales de las siguientes fracciones y clasifica el cociente obtenido:

71. 3 – 72 : (9 – 17) + 11 · (9 – 15)

2 ¿Cómo se opera con fracciones?

87. Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales:

69. 3 · (2 – 9) – 8 + 2 · (8 – 10 – 5)

Realiza las siguientes operaciones: 1 1 3 3 9 – · + : 72. 4 6 2 4 8 3 9 7 1 : 73. · – 5 2 10 5 7 1 6 1 74. : + · 6 2 5 3 1 3 4 – 1 + 2: 75. : 7 14 5 5 3 76. d – 1n : 7 7 3 5 77. e + 1o : 7 14 4 5 1 1 78. : 8 + : e + o 3 6 2 3 1 5 14 79. + e + 1o : 6 3 3 7 14 77 5 35 80. e2 – o :dd 3 + –– nn::((22––33)) 2 434 6 46 1 1 3 1 81. + e1 – o · e + o 5 2 4 8 1 3 1 – e1 – o : e – 1o 82. 2 4 4 1 12 3 7 + 1 o – :e 83. · 4 8 4 3 7

UNIDAD 1

7 10

a) 6,2

16 3

# b) 3,18

20 4

! c) 3,7

17 6

! d) 2,416

4 ¿Cómo se resuelven problemas? 88. Si 24 latas de refresco cuestan 6,8 €, ¿cuánto costarán 15 latas iguales? 89. En una granja hay pienso para 1 200 gallinas durante 60 días. Si se venden 400 gallinas, ¿para cuántos días habrá pienso sin variar la ración? 90. Para hacer una obra en 50 días se necesitan 15 obreros trabajando 8 h diarias. ¿Cuántos días necesitarán 20 obreros trabajando 5 h diarias? 91. Halla el capital que se acumula si se depositan 18 000 € al 2 % de interés compuesto durante 4 años, si los intereses se abonan:

a) anualmente;

b) mensualmente.

Redondea los resultados a dos decimales. 92. Un comerciante gastó 8 075 € en la compra de unas telas. Si el precio del IVA es de un 21 %, ¿cuánto pagará? Redondea los resultados a dos decimales. 93. Rocío ha pagado 27 € por una camisa que costaba 36 €. ¿Qué descuento se ha aplicado sobre el

precio de la camisa? 94. Se tiene un depósito de agua que contiene 2/5 de su capacidad. Se le añaden 60 litros y se llena hasta 3/7 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del depósito? 95. En una entidad financiera ofrecen un 1 % de interés simple por dos años. Hemos decidido depositar 12 000 €. Calcula el capital final acumulado al finalizar el periodo sabiendo que Hacienda retiene un 19 % de los intereses generados. Redondea el resultado a un decimal. 96. Una persona lee un libro en 24 días leyendo 3 horas diarias a razón de 15 páginas por hora. ¿Cuántas horas diarias debe leer para acabar el libro en 30 días leyendo 8 páginas por hora? 97. Jorge quiere repartir 600 € de forma directamente proporcional a las edades de sus hijos Luisa, Pablo y Rocío, que tienen 4, 12 y 14 años, respectivamente. Calcula la cantidad que le corresponde a cada uno. 98. Se deben repartir 330 € de forma inversamente proporcional al lugar en el que entran los tres primeros competidores de una carrera. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno? 99. Calcula el capital final que se obtiene por una inversión de 2500 € al 2 % de interés compuesto anual al cabo de 2 años sabiendo que Hacienda retiene el 19 % de los intereses al finalizar el plazo. Redondea el resultado a dos decimales. 100. Calcula el capital que hay que depositar al 1,5 % de interés compuesto anual durante 2 años para acumular 8 241,8 € 101. En la compra de un televisor de 450 € han realizado un descuento del 15 %. ¿Cuánto se paga por el televisor? Redondea el resultado a un decimal. 102. Tres personas se asocian para un negocio en el que se han de aportar 180 000 €. El primero pone un 60 %; el segundo, un 25 %; y el tercero, el resto. Al cabo del año reparten un beneficio equivalente al 10 % de la inversión total. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

103. El interés que produce una cantidad depositada en una entidad financiera es I = crt, donde I es el interés, c es el capital que se deposita, r es el tanto por uno y t es el tiempo en años que está depositado. ¿Qué interés producirá un capital de 8 500 € al 1,25 % durante 2 años? Redondea el resultado a un decimal. 104. En una mezcla de café, el 20 % es café torrefacto. Si hay 40 gramos de café torrefacto en la mezcla, ¿cuánto pesa el total de la mezcla? 105. Calcula el capital que hay que depositar al 2,5 % de interés simple durante 3 años para que genere un interés de 600 € 106. Un grifo vierte 8 litros por minuto, y otro vierte 12 litros por minuto. Se abren a la vez para llenar un depósito que tiene un desagüe por el que se pierden 6 litros por minuto. Si el depósito tiene una capacidad de 5 040 litros, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito? 107. Un obrero gana 600 € por trabajar durante 20 días a razón de 6 horas diarias. ¿Cuánto ganará por 12 días de trabajo a razón de 8 horas diarias? 108. Durante unas vacaciones 7 personas gastan en alimentación 56 € diarios. Calcula cuántas personas podrán alimentarse durante 30 días con 2 880 € 109. Calcula el capital que se acumula si se colocan 40 000 € al 1,5 % de interés compuesto durante 3 años si los intereses se abonan:

a) anualmente;

b) trimestralmente;

c) mensualmente;

d) diariamente.

110. Para pagar un ordenador de 1 800 € se ha pedido un crédito del 80 % de su precio. Si por el crédito se aumenta un 7 % el valor del ordenador, ¿cuánto se pagará en total? Redondea el resultado a un decimal. 111. ¿Qué interés producirá un capital de 5 160 € al 2 % de interés simple durante 8 meses? Redondea el resultado a un decimal. 112. ¿Cuántos meses debe estar un capital de 3 600 € al 1,5 % de interés para obtener 67,5 €?

Números enteros y racionales

COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Suma las fracciones 7/5 + 2/3 SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Suma de fracciones conceptualmente. Tienes que introducir 7/5 y 2/3 y activar la casilla mcm

mcm(5, 3) = 15

Al reducirlas a mínimo común denominador, cuántas partes iguales coges de 7/5: 21 y de 2/3: 10 Cuenta cuántas partes iguales tiene la suma: 31

Calcula 7/5 + 2/3 = 31 / 15

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) ¿Qué capital se acumula en 2 años si se depositan 20 000 € al 0,5 % de interés compuesto, los intereses se abonan mensualmente y Hacienda retiene el 19 % de los intereses al finalizar el plazo? SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Problemas: Interés compuesto. Capital final: 20162,78

€

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) En una clínica con 6 sanitarios tienen almacenadas mascarillas para 12 días. Si se aumenta la plantilla en dos sanitarios más, ¿para cuántos días dispondrán de mascarillas? SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Problemas de proporcionalidad. Tiempo: 9 días

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Por la instalación de unas ventanas presupuestan 12 350 €. Por una oferta le hacen 30 % de descuento. ¿Cuánto se pagará en total por la instalación si se aumenta un 21 % de IVA? SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Problemas de porcentajes. Precio total: 12720,5

UNIDAD 1

€

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS 113. Sabemos que de la carne de atún el 23 % es proteína y un 12 % es grasa saludable. ¿Cuántos gramos de proteína y de grasa se tendrán de un trozo de carne de atún de 520 g? 114. Si se sabe que 100 kg de pescado sostenible proporcionan suficientes nutrientes para alimentar a 80 personas durante un día, ¿cuántas personas pueden alimentarse durante 5 días con 1 000 kg de pescado? 115. Un pescador quiere comprar nuevos aparejos para mejoras sostenibles por un valor de 6 000 €. Decide financiar la compra con un préstamo a 2 años con una tasa de interés compuesto del 5 %. ¿Cuánto pagará en total al final del préstamo? 116. Una pequeña pyme de pesca sostenible ha logrado en el último año unos ingresos de 500 000 € y tiene de costos operativos 300 000 € al año. Ha realizado inversiones en dispositivos de pesca selectiva y mejora de prácticas sostenibles de 50 000 € por lo que ha obtenido un beneficio neto adicional de 20 000 €. Calcula:

a) El beneficio neto anual. b) El porcentaje que supone el retorno de la inversión en prácticas sostenibles.

e 1

Define fracción inversa. Pon un ejemplo y haz la comprobación.

Calcula: a) 5 · (12 – 18) + 6 · (9 – 5)

b) 140 : (25 – 11) – 2 · (15 – 20)

Calcula: a) e

5 7 + 1o : e5 + o 6 3

1 3 7 + e + 1o : 3 4 3

4 Halla las expresiones decimales de las siguientes fracciones y clasifica el cociente obtenido:

a) 5

19 100

12 9

35 7

Expresa en forma de fracción los siguientes números decimales: $ ! a) 0,24 b) 2,63 c) 2, 6

19 6

! d) 2,73

6 De un trayecto se han recorrido los 5/9, y después 5/8 del resto, quedando 25 kilómetros

aún sin recorrer. ¿Cuál es la longitud del trayecto? Cinco obreros realizan un trabajo en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacer el mismo trabajo tres obreros, trabajando al mismo ritmo? 7

El precio de una máquina subió el año pasado un 8 %, y este año ha subido un 12 %. Si la máquina costaba 240 000 €, ¿cuál es el precio actual? 8

Números enteros y racionales

UNIDAD

12 Combinatoria y probabilidad

200

UNIDAD 12

¿Para qué sirven la combinatoria y la probabilidad? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: EL ARTE INTELIGENTE DE CONTAR La combinatoria y la probabilidad son dos ramas fundamentales de las matemáticas, que desempeñan un papel esencial en la resolución de problemas en una amplia variedad de campos, desde la estadística y la teoría de juegos hasta la genética y la toma de decisiones empresariales. La combinatoria y la probabilidad nos permiten resolver problemas de incertidumbre y contar elementos en diferentes situaciones. Por ejemplo, ¿cuántos menús diferentes se pueden formar si disponemos de 8 primeros, 5 segundos y 6 postres?

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Qué son las variaciones y permutaciones? 2 ¿Qué son los problemas de combinatoria? 3 ¿Qué es la probabilidad? 4 ¿Qué son los experimentos aleatorios compuestos?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 14. Combinatoria y probabilidad. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de la combinatoria o la probabili dad (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. También debes hacer en el cuaderno el Explora de la primera sección.

Combinatoria y probabilidad

201

¿Qué son las variaciones y permutaciones?

e Un restaurante oferta, en el menú del día, 5 platos de primero, 4 de segundo y 3 de postre. ¿Cuántos menús diferentes se pueden pedir?

¿Cómo se calculan las variaciones y permutaciones? Dibuja el árbol correspon diente a los posibles menús que se pueden formar en un restaurante que tiene 3 platos de primero y 2 de segundo. B1 A1B1 A1 B2 A1B2 B1 A2B1 A2 B2 A2B2 B1 A3B1 A3 B2 A3B2 1

Con las letras a, b y c for ma todos los grupos que puedas de dos letras sin re petir ninguna. b ab a ac c ba a b bc c ca a c cb b 3 ∙ 2 = 6 V3, 2 = 3 ∙ 2 = 6 2

3 nPr 2 = 6 a aa a ab b ac c ba a b bb b bc c ca a c cb b cc c 3 ∙ 3 = 9 3 x2 = 9

202

UNIDAD 12

Diagrama de árbol • Un diagrama de árbol es un gráfico que nace de un tronco y sus brazos se van ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas. • Una rama es cada una de las flechas del diagrama. • Un camino es un conjunto de ramas que van desde el principio al final.

Variaciones ordinarias o sin repetición Las variaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de p en p, siendo p ≤ m, son los diferentes grupos de p elementos dis tintos entre sí que se pueden formar con los m elementos, de forma que, en cada dos grupos: • el orden de los elementos es distinto o • alguno de los elementos es distinto. p

Se representan por Vm, p, o bien Vm, y se tiene que: Vm, p = m(m – 1)(m – 2)(m – 3) ∙∙∙ [m – ( p – 1)] 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 p factores decrecientes en una unidad y consecutivos

Variaciones con repetición Las variaciones con repetición de m elementos tomados de p en p son los diferentes grupos de p elementos que se pueden formar con los m elementos, de forma que en cada dos grupos: • el orden de los elementos es distinto o • alguno de los elementos es distinto. p

Se representan por VRm, p, o bien VR m, y se tiene que: VRm, p = m p Con las letras a, b y c forma todos los grupos que puedas de dos letras. 3

VR 3, 2 = 32 = 9

Permutaciones ordinarias o sin repetición Las permutaciones ordinarias o sin repetición de m elementos son los diferentes grupos de m elementos distintos entre sí que se pueden formar de manera que en cada dos grupos el orden de los elementos es distinto.

b c a b c a c b 3 ∙ 2 ∙ a

Se representan por Pm, y se tiene que: Pm = m ! = m (m – 1)(m – 2) … 3 ∙ 2 ∙ 1 Con las letras a, b y c forma todas las palabras que puedas de tres letras sin repetir ninguna. 4

c abc b acb c bac a bca b cab a cba 1 = 6

3 x! = 6

P3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Las permutaciones son un caso particular de las variaciones cuando m = p. En realidad una permutación es simplemente un cambio de orden.

Permutaciones circulares En las permutaciones circulares se fija un elemento y se hace permutar al resto. PCm = (m – 1)! ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas alre dedor de una mesa circular? 5

Se deja siempre una de las personas fija y se cambia de todas las formas posibles al resto. PC5 = 4! = 24

1. Calcula mentalmente:

a) V10, 3 b) VR10, 3 2. Dibuja el árbol correspondiente a las distintas for mas en que puede vestirse una persona que tiene dos camisas y tres pantalones. ¿Cuántas son? 3. Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. ¿Cuántos son? 4. Con los dígitos 8 y 9, forma todos los números de tres cifras que puedas. ¿Cuántos son? 5. Con los dígitos 1, 2 y 3 forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. ¿Cuántos son?

Factorial El factorial de un número es el producto de dicho número por todos los números naturales me nores que él. Se representa por m ! 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 Casos particulares 0! = 1

1! = 1

6. ¿De cuántas formas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferen te orden? 7. El sistema actual de matrículas dice: «En las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ y Q».

¿Cuántas matrículas hay con las letras BBB? 8. Calcula, usando la calculadora:

a) V8, 5

b) VR7, 3

c) P6

d) PC8

Combinatoria y probabilidad

203

¿Qué son los problemas de combinatoria?

e Calcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios: a)

() 7 0

() 8 1

() 5 5

() 6 5

¿Cómo se resuelven problemas de combinatoria? Combinaciones ordinarias o sin repetición Las combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos toma dos de p en p, siendo p ≤ m, son los diferentes grupos de p elementos distintos entre sí que se pueden formar con los m elementos de forma que en cada dos grupos alguno de los elementos es distinto.

Observa Cm, p =

()

Vm, p Pp

8∙7∙6 8 = = 56 3∙2∙1 3

Casos particulares

( ) ( ) ( ) () () ()

m m m = 1, = 1, =m 0 m 1

5 6 8 = 1, = 1, =8 0 6 1

a b c d

b c d c d d

ab ac ad bc bd cd

Se representan por Cm, p, o bien C m, y se tiene que: m Cm, p = p Para formar las combinaciones ordinarias, se diseña un árbol; en la 1.a columna se colocan todos los elementos, en la 2.a columna por cada elemento de la 1.a columna se colocan todos los elementos que le siguen en orden, etcétera.

( )

Cuando el número de la parte inferior es mayor que la mitad del número de la parte superior, se aplica la siguiente propiedad de los números combinatorios. m m = p m–p

( ) (

)

Con las letras a, b, c y d forma todos los grupos que puedas de dos letras sin repetir ninguna y de modo que ninguna de las palabras tenga las mismas letras. 6

C4, 2 =

4 nCr 2 = 6

()

4 4∙3 =6 = 2 2∙1

Cuadro resumen de fórmulas combinatorias Fórmula

Ejemplo

Calculadora

Variaciones ordinarias Variaciones con repetición

Vm, p = m (m – 1)(m – 2) … [m – ( p – 1)]

V7, 3 = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210

nPr

VR m, p = m p

VR5, 3 = 53 = 125

∧ o xy

Permutaciones

Pm = m !

P4 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Combinaciones

204

UNIDAD 12

Cm, p =

( ) m p

()

7∙6∙5 = 35 C7, 3 = 7 = 3∙2∙1 3

nCr

Combinatoria: estrategias de resolución de problemas La resolución de problemas de combinatoria se puede definir como el arte inteligente de contar. Para ello, se sigue este procedimiento: a) Se escriben el conjunto E del que se toman los elementos y dos grupos de dicho conjunto que verifiquen las condiciones del problema y sean lo más significativos posibles, prestando atención especial a si: • El orden de los elementos es importante. • En cada grupo entran todos los elementos. • Se pueden repetir los elementos. b) Se clasifica mediante el método de interrogación: ¿Influye No ⇒ Combinaciones el * Sí ⇒ Permutaciones orden? Sí ⇒ ¿En cada grupo entran todos los elementos? *

No ⇒ Variaciones ⇒ ¿Hay repetición? *

c) Se escribe la fórmula y se calcula su valor.

Sí ⇒ Con repetición No ⇒ Sin repetición

Con los dígitos impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? 7

a) E = {1, 3, 5, 7, 9}, m = 5, p = 3. Dos ejemplos significativos son: 353, 335 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repeti ción. ⇒ Variaciones con repetición. 5 x 3 = 125 c) VR = 53 = 125 5, 3

8 Un examen consta de 8 preguntas de las que hay que elegir 5. ¿De cuántas formas se pueden elegir?

a) E = {a, b, c, d, e, f, g, h}, m = 8, p = 5. Dos ejemplos son: abcde, bcegh. b) No influye el orden y no hay repeticiones. ⇒ Combinaciones. c) C8, 5 =

() ()

8∙7∙6 8 8 = 56 = = 3∙2∙1 5 3

nCr

= 56

9 En una carrera de velocidad de 100 m participan 5 atletas. ¿De

cuántas formas pueden entrar en meta?

a) E = {a, b, c, d, e}, m = 5, p = 5. Dos ejemplos son: abcde, dbeac. b) Influye el orden, entran todos los elementos. ⇒ Permutaciones ordi narias. 5 x! = 120 c) P = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 5

9. Calcula mentalmente: C5, 2 y C6, 4 10. Con las letras A, B, C, D y E forma todas las com binaciones que puedas de dos letras sin que se repita ningún par de palabras de modo que ningún par de palabras tenga las mismas letras. 11. ¿Cuántas columnas de quinielas hay que cubrir como mínimo para acertar en una los 14 primeros?

¿De cuántas formas pueden entrar en meta estos 5 atletas?

12. En una clase hay 25 alumnos. ¿De cuántas formas se puede elegir un delegado y un subdelegado? 13. ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? 14. Con 8 jugadores, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cual quier puesto? 15. Halla, usando la calculadora: C10,5 y C15, 7

Combinatoria y probabilidad

205

¿Qué es la probabilidad?

e ¿Cuántas caras tiene un dado de quinielas? ¿Qué cara es más probable obtener: 1, X o 2?

2 X

X 2

¿Qué son los experimentos aleatorios simples? Espacio muestral El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio simple está formado por el conjunto de todos los resultados que se pueden presentar. Se representa por la letra E • Suceso elemental: es cada uno de los resultados del espacio muestral. • Suceso: es un conjunto de sucesos elementales. Se representan por letras mayúsculas, poniendo sus elementos entre llaves y separados por comas. • Suceso seguro: es el que siempre se presenta; es el espacio muestral E E A

• Suceso imposible: es el que nunca se presenta. Se representa por ∅

B 3 5

En el experimento de lanzar un dado de seis caras:

• Suceso imposible: ∅ = {obtener 8 o 9} – A

3 5

6 A∪B 3 5

B 2

Suceso contrario: el suceso contrario de un suceso A está formado por – todos los sucesos elementales que no están en A. Se representa por A Unión de sucesos: la unión de dos sucesos A y B es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Se representa por A ∪ B Sea A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3, 5}

E A

A∩B 3 5

• Intersección de sucesos: la intersección de dos sucesos A y B es el suceso formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B, es decir, que están en los dos sucesos a la vez. Se representa por A ∩ B

B 2

E A

C 1

3 5

2 4 6

206

Operaciones con sucesos

4 E A

• Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} • Sucesos: A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}

Contrario de A — A = {2, 4, 6} E A

• Espacio muestral o suceso seguro: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

UNIDAD 12

• Sucesos compatibles e incompatibles: dos sucesos son compatibles si se pueden presentar al mismo tiempo, es decir, si A ∩ B ≠ ∅, y son incompatibles si no se pueden presentar a la vez, es decir, si A ∩ B = ∅ • Si A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5} ⇒ A ∩ B = {3, 5} ⇒ A y B son compatibles. • Si A = {1, 3, 5}, C = {2, 4} ⇒ A ∩ C = ∅ ⇒ A y C son incompatibles.

Ley de los grandes números

10 Se repite muchas veces el experimento de lanzar al aire una

chincheta, y se anota el número de veces que queda con la punta hacia arriba. Halla la probabilidad de este suceso.

Lanzamiento de chinchetas Frecuencia relativa

La ley de los grandes números dice que la probabilidad de un suceso es la constante a la que se aproxima la frecuencia relativa cuando el expe rimento se repite muchísimas veces.

0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60

X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

N.º de lanzamientos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0,8

0,6

Número de tiradas

100

…

0,67 0,75 0,66 0,63 0,66 0,69

0,66

0,67

…

Se puede inferir que: P( ) = 2/3

Regla de Laplace

Sucesos equiprobables

La regla de Laplace dice: la probabilidad de un suceso A, de un espacio muestral E, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. P (A ) = N.º de casos favorables al suceso A N.º de casos posibles Halla la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado de seis caras.

Los sucesos elementales de un espacio muestral son equipro bables si tienen la misma posi bilidad de ocurrir; solo en estos casos se puede aplicar la regla de Laplace.

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⎫ 3 1 ⎬ ⇒ P (A) = = 6 2 Suceso A = {2, 3, 5} ⎭

Resolución de problemas En los problemas de proba bilidad se debe escribir siempre el espacio muestral y el suceso del que se tiene que calcular la probabilidad.

Propiedades de la probabilidad a) La probabilidad del suceso seguro es uno, P (E ) = 1

12 Si P (A ) = 1/3, P (B ) = 2/3

b) La probabilidad del suceso imposible es cero, P (∅) = 0 c) La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre cero y uno, 0 ≤ P (A) ≤ 1 – d) La probabilidad del suceso contrario es P (A ) = 1 – P (A ) e) Si los sucesos A y B son incompatibles, P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) f) Si los sucesos A y B son compatibles, P (A ∪ B) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B )

16. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8} – – y B = {3, 6}. Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A y B 17. Halla la probabilidad de obtener múltiplo de 3 al lan zar un dado de 6 caras.

– 18. Se sabe que P (A ) = 2/5. Halla P ( A )

y P (A ∩ B ) = 1/4. Calcula P (A ∪ B) 1 2 1 P (A ∪ B ) = + – = 3 3 4 4+8–3= 9 =3 = 12 4 12

19. Se lanzan 100 chinchetas al aire y 65 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta quede con la punta hacia arriba. 20. Se sabe que:

P (A ) = 3/4, P (B ) = 2/5 y P (A ∪ B ) = 8/9 Calcula: P (A ∩ B )

Combinatoria y probabilidad

207

4 ¿Qué son los experimentos aleatorios compuestos?

e Diseña un árbol de probabilidades para el experimento de lanzar dos monedas al aire.

¿Cómo se resuelven problemas de probabilidad compuesta? Experimento compuesto

• Lanzar dos monedas.

Un experimento compuesto es el que está formado por varios experi mentos simples.

• Lanzar tres monedas. • Lanzar dos dados. • Lanzar una moneda y un dado.

10 11

10 11 12

Diagrama cartesiano Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada, que tiene utilidad en algunos experimentos compuestos formados por dos simples. En la fila superior se colocan los sucesos elementales de un experimento simple, y en la columna de la izquierda, los sucesos elementales del otro experimento simple. 13 Calcula la probabilidad de que, al lanzar dos dados de seis

caras, la suma de los números obtenidos sea 5 P (5) = 4 = 1 36 9

Observa

Sucesos dependientes e independientes

Cuando se extraen dos bolas de una urna «con devolución», los sucesos son independientes, y cuando se extraen «sin devolu ción», son dependientes.

Los sucesos A y B son independientes si la probabilidad de uno de ellos no depende de que se haya verificado el otro. En otro caso, se llaman dependientes.

4R 5V

R 4/9

4R R 5V 4/9 4R V 5V 5/9

V 5/9

La mejor estrategia La mejor estrategia para resolver un problema de probabilidad cuan do el experimento es compuesto consiste en diseñar un árbol de probabilidades, de modo que en cada rama se pone arriba el su ceso y abajo la probabilidad.

208

UNIDAD 12

14 Una urna tiene 4 bolas rojas y 5 verdes. Se extrae una bola,

se observa el color y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? ¿Son dependientes o independientes? P (RR) = P (R) ∙ P (R) = 4 ∙ 4 = 16 9 9 81 Son independientes porque la probabilidad de que la 2.a bola sea roja no depende del color de la 1.a bola.

Probabilidad condicionada La probabilidad del suceso B condicionado por el suceso A es la probabilidad de que se realice B sabiendo que se ha realizado A. Se repre senta por P (B/A ) Las probabilidades condicionadas son las segundas ramas y sucesivas de los árboles.

15 En una urna hay 4 bolas rojas y 5 verdes. Se extraen dos bolas

sin devolución. Halla la probabilidad de que la 2.ª bola sea roja con la condición de que la 1.a haya sido roja también. A = «Extraer bola roja la 1.a vez»

B = «Extraer bola roja la 2.a vez»

4R 5V

2R 5V

3/8 V 5/8

3R 5V 4/9

V 5/9

Hay que hallar P (B/A ). En el árbol se observa que P (B/A ) = 3/8

Regla del producto o de la probabilidad compuesta La regla del producto o de la probabilidad compuesta dice que la probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman. 16 Halla la probabilidad de obtener dos copas al extraer sin devo

lución dos cartas de una baraja española de 40 cartas. 10 ∙ 9 = 1 ∙ 3 = 3 P (CC) = P (C) ∙ P (C/C) = 40 39 4 13 52

9C 30 no C

10 C 30 no C

8C 30 no C 9/39 no C

10/40 no C

Regla de la suma o de la probabilidad total La regla de la suma o de la probabilidad total dice que la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos. Intuitivamente se observa que si hay varios caminos que se pueden ve rificar, la probabilidad aumenta; luego parece lógico que se sumen las probabilidades. 17 Una empresa realiza el 50 % de sus operaciones en la Unión

Europea, el 30 % en América y el 20 % en Asia. Las operacio nes sufren un retraso del 10 % en la Unión Europea, del 15 % en América y del 25 % en Asia. Halla la probabilidad de que una operación sufra retraso. P (Retraso) = P (UE) ∙ P (R /UE) + P (Am) ∙ P (R /Am) + P (As) ∙ P (R /As) P (Retraso) = 0,5 ∙ 0,1 + 0,3 ∙ 0,15 + 0,2 ∙ 0,25 = 0,145 = 14,5 %

21. Se lanzan dos dados de 6 caras numeradas del 1 al 6. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9 22. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas, se observa si ha sido de copas y se vuelve a introducir; luego se extrae otra carta. ¿Cuál es la pro babilidad de que las dos sean de copas? 23. Se extraen de una vez dos bolas de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿Cuál es la probabi lidad de que las dos sean rojas?

UE = Unión Europea Am = América

As = Asia

R = Retraso

UE Am As

0,5 Am 0,3 As 0,2

R R 0,1 R R R 0,15 R R R 0,25 R

24. Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Si se cogen dos tornillos, halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuo so, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. ¿Cómo son ambos sucesos, depen dientes o independientes? 25. Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que uno sea varón. 26. Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabili dad de que las tres sean cruz.

Combinatoria y probabilidad

209

18 ¿Cuántos grupos de letras

se pueden formar con las letras de la palabra SONIA, tengan o no sentido?

a) E = {S, O, N, I, A} ⇒ m = 5, p = 5 Dos ejemplos significativos: SONIA, OSNIA b) Influye el orden, entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Per mutaciones ordinarias. c) P5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

Con las cifras impares, ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar? 19

a) E = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ m = 5, p = 4. Dos ejemplos significativos: 1 157, 5 711 b) Influye el orden, no entran todos los elementos, sí hay repetición. ⇒ Variaciones con repetición. c) VR5, 4 = 54 = 625

20 ¿Cuántas diagonales tiene

un heptágono?

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ⇒ m = 7, p = 2. Dos ejemplos significativos: 13, 14. Hay que eliminar los consecutivos: 12, 23... b) No influye el orden, no entran todos los elementos, no hay repetición. ⇒ Combinaciones. ∙ c) C7, 2 – 7 = 7 – 7 = 7 6 – 7 = 21 – 7 = 14 2! 2

( )

¿De cuántas formas se pueden sentar seis personas en una mesa hexagonal? 21

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ m = 6, p = 6. Dos ejemplos significativos: de jamos siempre el 1 fijo: 123456, 132456 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Per mutaciones circulares. c) PC6 = P5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

¿Cuántos partidos de fút bol se juegan en la liga pro fesional de fútbol de primera división de España? 22

a) E = {1, 2, 3, …, 20} ⇒ m = 20, p = 2. Dos ejemplos significativos: 12, 21 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no hay repetición. ⇒ Variaciones ordinarias. c) V20, 2 = 20 ∙ 19 = 380

27. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con las cifras impares de forma que no se repita ninguna cifra? ¿Cuántos de ellos son impares? 28. Un alumno de 4.º B tiene 5 camisetas, 4 pantalo nes y 3 pares de zapatillas de deporte. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse para ir a entrenar?

210

UNIDAD 12

29. Si lanzamos al aire un dado y una moneda, ¿cuán tos resultados diferentes podemos obtener? 30. Cinco amigos van al cine y sacan las entradas seguidas. ¿De cuántas formas se pueden sentar?

23 Calcula la probabilidad de

obtener un número primo al lanzar un dado de forma de dodecaedro. 24 Sabiendo que:

P(A) = 2 3 P(A ∪ B) = 5 6 P(A ∩ B) = 7 12 calcula P (B) En una determinada ciu dad se sabe que si hoy llue ve, la probabilidad de que mañana llueva es de 5/6, y si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana llueva es de 1/8. Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el próximo do mingo? 25

Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Suceso A = {2, 3, 5, 7, 11} P (A) = 5 12 1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

P(A) = 2/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A ∩ B) = 7/12

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 5 = 2 + P(B) – 7 ⇒ P(B) = 3 6 3 12 4

2. Pregunta: Calcula P(B)

4. Solución: P (B) = 3 4 3. Planteamiento y operaciones:

1. Datos: Árbol de probabilidades.

2. Pregunta:

Sábado S

¿Cuál es la probabilidad de que llueva el próximo domingo?

7/8

1/8

Domingo S

Ll Domingo Ll

7/8

Viernes S 1/8

S Sábado Ll

1/6

5/6

Domingo S

Ll Domingo Ll

Se aplica la regla de la suma o de la proba bilidad total: P (domingo llueva) = = P(S) · P(Ll/S) + P(Ll) · P(Ll/Ll) P (domingo llueva) = 7 ∙ 1 + 1 ∙ 5 = 41 8 8 8 6 192

4. Solución: P (domingo llueva) = 41

192

31. Se lanzan dos dados al aire. Halla la probabilidad de que los dos números obtenidos no sean primos entre sí. 32. Si P (A) = 1 , P (B) = 2 y P (A ∪ B) = 3 , calcula 3 3 4 P (A ∩ B)

33. Se extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. Calcula la probabilidad de que sea un nueve. 34. Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se observa el color; se vuelve a in troducir y se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que sean las dos rojas.

Combinatoria y probabilidad

211

¿Qué son las variaciones y permutaciones?

43. Halla, usando la calculadora:

a) V10, 4

b) VR6, 4

35. Calcula mentalmente:

c) P10

d) PC12

a) V5, 3

b) VR 6, 2

c) P4

d) PC6

36. Calcula mentalmente:

a) P5

b) PC4

37. Organizamos una fiesta y llevamos tres clases de bocadillos y dos clases de refrescos. Dibuja el árbol correspondiente a las distintas formas de elegir un bocadillo y un refresco. ¿Cuántas son? 38. Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los nú meros de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. ¿Cuántos son? 39. Con las letras A y B forma todas las palabras posibles de tres letras, tengan sentido o no. ¿Cuán tas son?

¿Qué son los problemas de combinatoria? 2

44. Calcula mentalmente:

a) C10, 2

b) C11, 9

45. Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 forma todos los nú meros de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna y de modo que ningún par de números tenga las mismas cifras. 46. Disponemos de 5 frutas diferentes para preparar zu mos de dos sabores. ¿Cuántos zumos podemos hacer?

40. Con los dígitos 1, 3, 5 y 7 forma todos los nú meros de cuatro cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. ¿Cuántos son? 41. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 perso nas alrededor de una mesa circular para que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en dife rente orden? 42. En el sistema actual de matrículas, ¿de cuántas formas se pueden colocar las letras sabiendo que cada matrícula contiene tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, supri miéndose las cinco vocales, y las letras Ñ y Q?

47. En una comunidad que está formada por 20 vecinos se quiere elegir una junta formada por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas se puede elegir la junta? 48. De una baraja española de 40 cartas se cogen 4 cartas sin devolución. ¿De cuántas formas se pue den coger? 49. ¿De cuántas formas se pueden colocar 6 perso nas alrededor de una mesa circular? 50. Halla, usando la calculadora:

a) C7, 3

212

UNIDAD 12

b) C8, 4

¿Qué es la probabilidad?

51. Sean los sucesos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {3, 6, 9}. Calcula:

a) A ∪ B b) A ∩ B c) ¿A y B son compatibles o incompatibles? – d) A – e) B 52. Halla la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado de seis caras. – 53. Se sabe que P (A ) = 5/6. Halla P (A ) 54. Se lanzan 100 chinchetas al aire y 66 quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta no quede con la punta hacia arriba.

4 ¿Qué son los experimentos

aleatorios compuestos?

56. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados de 4 caras numeradas del 1 al 4 la suma de los núme ros obtenidos sea 6. ¿Qué suma es la más probable?

1 2

57. Se extrae una bola de una urna que contiene 6 bo las rojas y 4 verdes, se observa si ha sido roja y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas? 58. Se extraen de una vez dos cartas de una baraja española de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 59. Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Se coge un tornillo, se mira si es de fectuoso y se devuelve. Halla la probabilidad de que al coger aleatoriamente el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido de fectuoso. ¿Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes? 60. Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que los tres sean varones.

55. Si P (A ) = 2/3, P (B ) = 1/2 y P (A ∩ B ) = 1/5, cal cula P (A ∪ B )

61. Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabili dad de obtener dos caras y una cruz.

62. ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

65. Se extraen de una vez dos cartas de una bara ja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las dos sean de espadas.

63. Con las letras de la palabra MESA, ¿cuántas pala bras se pueden formar, tengan o no sentido? 64. Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se observa el color; se vuelve a in troducir y se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que sean las dos verdes.

66. Se lanzan al aire dos dados de 4 caras nume radas del 1 al 4. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor que 5.

Combinatoria y probabilidad

213

67. En un dado de quinielas, halla la probabilidad de no obtener el 2 68. En la carta de un restaurante se puede elegir un menú compuesto de un primer plato, un segundo pla to y un postre. Hay para elegir 8 primeros platos, 5 segundos y 6 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden elegir? 69. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígi tos? ¿Cuántos de ellos son pares? 70. En un trofeo de verano juegan cuatro equipos. ¿De cuántas formas se pueden emparejar? 71. Existen 5 pueblos colocados en los vértices de un pentágono regular, y se quiere construir una carrete ra para unir cada dos pueblos. ¿Cuántas carreteras hay que hacer? 72. El AVE que va de Madrid a Sevilla tiene cinco esta ciones. ¿Cuántos billetes diferentes se pueden sacar? 73. Un byte está formado por ceros y unos, y en total son 8. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden presentar?

80. En un grupo de 80 personas, 50 escuchan la ra dio, 60 ven la televisión y 30 oyen la radio y ven la televisión. Halla la probabilidad de que, elegida una persona al azar, no escuche la radio, ni vea la televi sión. 81. Una urna contiene 5 bolas rojas y 5 verdes. Se extrae una bola y se observa el color, se vuelve a in troducir y se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que una sea roja y otra sea verde. 82. Se extraen de una vez tres cartas de una bara ja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las tres sean de bastos. 83. Se compran 50 ordenadores de una marca A y 70 de una marca B. De la marca A hay 2 que no fun cionan; y de la marca B hay 3 que no funcionan. Si se elige al azar uno de los ordenadores, ¿cuál es la probabilidad de que no funcione? 84. En una clase hay 15 chicos y 10 chicas. Si se eligen dos alumnos al azar, calcula la probabilidad de que los dos sean chicas.

74. Tenemos siete clases de fruta para preparar ba tidos de tres sabores. ¿Cuántos sabores se pueden obtener? 75. En un certamen literario hay tres premios: ga nador, finalista y accésit. Si participan 10 perso nas, ¿de cuántas formas se pueden dar los tres premios? 76. ¿Cuántas banderas de tres colores diferentes se pueden formar con ocho colores? 77. Una familia tiene 5 hijos. ¿Cuántas posibilidades hay con respecto al sexo de los hijos? 78. Con las letras de la palabra RATÓN, ¿cuántas com binaciones de cinco letras se pueden formar, tengan o no sentido? ¿Cuántas empiezan por consonante? 79. Calcula la probabilidad de acertar una quiniela de pleno al 15 si se cubre una apuesta.

214

UNIDAD 12

85. Una persona cruza dos semáforos para ir al tra bajo. La probabilidad de que cada uno de ellos esté rojo es de 0,4; de que esté ámbar, 0,2, y de que esté verde, 0,4. Calcula la probabilidad de que uno esté verde y el otro rojo.

86. Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0,6 de hacer un triple. Si hace dos lanzamientos de triple, ¿qué probabilidad tiene de no encestar nin guno?

92. Con las cifras impares, ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuán tos son mayores de 500? 93. Se extraen, de una baraja española de 40 cartas, tres cartas al azar. Calcula la probabilidad de que sean caballos las tres. 94. Se lanzan al aire dos dados, uno de 6 caras nume radas del 1 al 6 y el otro de 4 caras numeradas del 1 al 4. ¿Qué probabilidad hay de que sumen 7? 95. En un cajón tenemos 8 calcetines blancos y 6 negros. Si sacamos dos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean de distinto color? 96. Se tienen dos máquinas produciendo tor nillos. Una produce 100 tornillos, de los que 3 son defectuosos, y la otra produce 200 tornillos, de los que 5 son defectuosos. Si se escoge al azar uno de los 300 tornillos, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

87. Un equipo de fútbol está formado por 11 jugado res. Seis se ponen de pie, y delante los otros cinco agachados. ¿De cuántas formas se pueden colocar para hacer una foto si el portero siempre está de pie el primero por la izquierda?

97. Se elige aleatoriamente una ficha de un dominó. ¿Qué probabilidad hay de que sea doble?

88. ¿De cuántas formas un entrenador puede elegir un equipo de fútbol (formado por un portero, 3 defen sas, 2 medios, 2 extremos y 3 delanteros) que tiene 25 jugadores, de los que 3 son porteros; 6, defen sas; 4, medios; 4, extremos, y el resto, delanteros? 89. ¿Cuántas matrículas totales se pueden hacer con el sistema actual, que se compone de cuatro núme ros y tres letras? Las letras disponibles son 20 90. Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sa camos una bola, anotamos el número y la volvemos a introducir; volvemos a repetir el proceso otras dos veces. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar? 91. Una bolsa tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos tres bolas de una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden presentar?

98. Se ha trucado un dado de forma que:

P (1) = P (3) = P (5), P (2) = P (4) = P (6) = 2P (1) a) Halla la probabilidad de obtener un 3 b) Halla la probabilidad de obtener un 6

Combinatoria y probabilidad

215

COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

Escribe todos los números que se pueden formar con los números primos de un dado con las caras numeradas del 1 al 6

En una urna hay 4 bolas rojas, 5 verdes y 6 negras. Halla la probabilidad de sacar una bola verde.

SOLUCIÓN

Se hace con CalcMe eligiendo en Combinatoria la opción Permutaciones y escribiendo P{2, 3, 5}

En GeoGebra elige el applet: Regla de Laplace.

Solución = {235, 253, 325, 352, 523, 532}

P (V ) =

5/15 = 1/3 = 0,33

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Con las cifras impares, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar? SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Combinatoria: Estrategias de resolución de problemas. ¿Influye el orden? Sí ¿Hay repetición? Sí

¿En cada grupo entran todos los elementos? No son

VR5,4 = 625

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Una fábrica A produce el 30 % de los tractores que se demandan en una comunidad autónoma, una fábrica B produce el 20 % y la fábrica C el resto. Por el control de calidad se sabe que son defectuo sos el 4 % de los tractores fabricados por A, el 10 % de los fabricados por B y el 2 % de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que no sea defectuoso. SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Regla de la suma o de la probabilidad total 3×2 Probabilidad dé resultado negativo = 0,958

216

UNIDAD 12

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS La combinatoria y el sistema binario de los ordenadores Se define un byte como una secuencia de 8 cifras formadas por 0 y 1. Se suelen llamar palabras de 8 caracteres. 26 ¿Cuántas palabras hay de 8 caracteres?

a) E = {0, 1}, m = 2, p = 8. Dos ejemplos significativos son: 10010111, 11111111 b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición. ⇒ Variaciones con repetición. c) VR2, 8 = 28 = 256 99. ¿Cuántas palabras hay de 10 caracteres? 100. ¿Cuántas palabras hay de 30 caracteres? 101. ¿Cuántas palabras hay de 20 caracteres? 102. ¿Cuántas palabras hay de 40 caracteres?

e 1

Escribe el enunciado de la regla de Laplace y pon un ejemplo.

2 Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar sin repetir ninguna? ¿Cuántos son mayores de 300?

Con las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas combinaciones de letras, tengan o no sentido, se pueden formar? 3

4 En una clase hay 25 alumnos y se quiere hacer una comisión formada por tres alumnos. ¿De

cuántas formas se puede elegir? 5

Se sabe que: P (A ) = 3/5, P (B ) = 2/5 y P (A ∩ B ) = 1/3

Halla: P (A ∪ B ) Se lanzan al aire dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y se suman los puntos ob tenidos. ¿Qué suma de puntuaciones tiene mayor probabilidad? Halla su probabilidad. 6

Se prueba en 30 personas una vacuna A contra la gripe y enferman 5. Se prueba en 20 personas otra vacuna B y enferman 4. Si se elige una de las personas al azar, ¿qué proba bilidad hay de que no haya enfermado? 7

Un jugador de fútbol mete 4 goles de cada 10 tiros a puerta. Si tira 3 tiros a puerta, halla la probabilidad de que, al menos, meta un gol. 8

Combinatoria y probabilidad

217

Proporción cordobesa

SESIÓN 1. GENERAR OCTÓGONOS

De la misma forma que se relaciona el número de oro, ϕ, la sucesión de Fibonacci y el pentágono, se pueden definir en el octógono unos valores que cumplen con unas relaciones geométricas características. El octógono regular no sirve para cubrir el plano ni para generar poliedros regulares, pero posee unas propiedades métricas propias que lo hacen especial.

Si se divide una circunferencia en 8 partes iguales se pueden generar distintos polígonos según se unan dichas divisiones:

e 1

Une las divisiones de una en una. ¿Qué polígono obtienes?

Une las divisiones de dos en dos. Repite el proceso desde otro vértice libre. ¿Qué polígonos se generan? ¿Se puede generar el segundo polígono girando el primero? ¿Cuántos grados habría que girarlo? Al polígono formado se le conoce con el nombre de octógono estrellado de orden dos. 2

3 Une las divisiones de tres en tres. Repite el proceso desde otro vértice libre hasta que no quede ninguno.

A este polígono se lo conoce con el nombre de octógono estrellado de orden tres.

4 En la circunferencia dibuja los segmentos l1, l2 y l3 y mide sus longitudes. Calcula los cocientes:

a) I3/ I1

b) I3/ I2

c) R/I1 l3 R l2

¿Cómo son el segundo y el tercer cociente?

218

Situación de aprendizaje

SESIÓN 2. NÚMERO CORDOBÉS

El primer cociente de la sesión anterior se llama número de plata. Al resultado del segundo y tercer cociente se le denomina número cordobés en memoria de la aplicación a la arquitectura que hizo de él D. Rafael de la Hoz Arderius (1924-2000) considerándolo como proporción cordobesa.

e 1 Abre el applet Relación de lados. Modifica el radio de la circunferencia y comprueba si se obtienen los mismos valores

2 Con el segmento l 3 y l 2 forma un triángulo isósceles con el lado desigual l2. Calcula los ángulos del triángulo.

SESIÓN FINAL

3 A este triángulo se le llama triángulo cordobés. Dibuja otro triángulo cordobés con el radio y l 1

Se pueden localizar bastantes construcciones que utilizan el octógono. Algunos ejemplos son:

Bóveda de la Sala de las dos hermanas.

Bóveda de la Sala de los Abencerrajes.

e 1

Dibuja la base octogonal que puede verse en las dos bóvedas de las fotografías.

2 Dibuja un mosaico con octógonos y cuadrados. 3 Busca información sobre construcciones singulares de planta octogonal y elabora una presentación con las que te parezcan más interesantes.

Situación de aprendizaje

219

e SENTIDO ESPACIAL Y DE MEDIDA 1

Rectángulo áureo o de oro. Un rectángulo áureo o de oro es aquel cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea. El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él se puede obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, el rectángulo que queda después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. x 1

x–1 1

Comprueba que el rectángulo inicial y el que queda al quitar el cuadrado son semejantes y su proporción es la razón áurea.

220

Toma medidas en el rectángulo superpuesto sobre la imagen del cuadro de la Gioconda y determina si los rectángulos son de oro.

Actividades de ampliación

e SENTIDO ESTOCÁSTICO 1

Evolución del paro en un país. A partir de los datos del gráfico resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Qué magnitud se representa en el eje X ? ¿En qué unidades?

Número de parados (× 1 000)

b) ¿Qué magnitud se representa en el eje Y ? ¿En qué unidades? 3100 3000 2900 2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500

c) Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

Y 2019 2020 2021 2022

N.o de parados (× 1 000) Trimestres

Años 2019 2020 2021 2022

X T1

2 100



1 750



1 850



Trimestres

d) Para estudiar la evolución del paro en los últimos trimestres, se han distribuido los datos en la siguiente tabla. Copia en tu cuaderno y completa los datos que faltan:

Año

2021

Trimestres

2022 T4

N.º de parados (× 1 000) 1 800 1 750 1 600 1 900 2 200 2 400 2 600 3 000 Variación trimestral (%)

–3



Ahora completa las siguientes afirmaciones (los porcentajes están redondeados): «En el primer trimestre del año 2022, el paro ha aumentado un ■ con respecto al ■ ■ del año ■» «En el segundo trimestre del año 2021, el paro ■ un ■ % con respecto al ■ ■ del ■ año». e) En un medio de comunicación han publicado los datos sobre el número de parados del último trimestre del 2022 con el siguiente gráfico. Copia en tu cuaderno y completa la tabla siguiente realizando los cálculos necesarios: Servicios 70 %

Industria 10 % Construcción 14 %

Agrario Sin empleo anterior 2% 4%

Sector

N.º de parados (× 1 000)

Agrario



Construcción



Industria

300

Servicios



Sin empleo anterior

120

Total



Actividades de ampliación

225

e SABERES I. Aritmética Resuelve:

Calcula la longitud x del segmento rojo en el dibujo siguiente. Clasifica el resultado obtenido. 1 cm

8 El resultado de calcular √ 20 – es:

1 √ 45 + √ 125 3

a) 15 √ 15 b) √ 5 c) 11 √ 5

1 cm

d) 6 √ 5 1/2 cm x

2 Escribe en forma de intervalo la desigualdad | x + 1| < 3

3 En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 100 km, 100 m. ¿Qué error relativo es mayor?

a) 10 √ 3 b) 20 √ 3 c) 20 √ 6 d) 10 √ 6 4 –2

10 La expresión (– t ) t a) t – 1

4 En una mezcla de café con 120 g de café natural y

b) t 3

80 g de café torrefacto, ¿qué tanto por ciento hay de cada clase de café?

d) t – 2

5 En una entidad financiera ofrecen un 0,4 % de interés simple por un depósito a tres años. Si se invierten 20 000 € y Hacienda retiene el 19 % de los intereses generados, ¿cuál es el capital final que se obtiene?

6 Sofía gasta 5/8 del dinero que tiene en un regalo para sus padres y 1/3 de lo que le quedaba en un libro. Si le quedan 20 €, ¿cuánto dinero tenía?

7 Aplica las propiedades de las potencias y calcula en cuántos ceros acaba el número: 4

t –3

es igual a:

c) t 5

11 El resultado de racionalizar la expresión 1 1 + √2

es: a) 1 + √ 2 b) – 1 + √ 2 c) – 1 – √ 2 d) 1 – √ 2

12 El resultado de calcular √ x5 : √ x7 es:

Contesta en tu cuaderno:

125 · 6

a) √ x b)

√x

c) x

a) 4

d) 1 x

b) 13

Resuelve:

c) 12

13 Simplifica m + 5 √ m + 6

d) 9

226

9 La expresión 5 √ 2 ∙ √ 3 ∙ √ 8 es igual a:

Actividades de recuperación

√m + 2

e SABERES II. Álgebra Elige la respuesta correcta:

7 Resuelve la siguiente ecuación:

Dados los polinomios: 3

P (x ) = 5x – 4x + 8 4

3x 2 – 8x – 3 = 0

Q (x ) = 7x + 2x + 5x – 2 Selecciona la respuesta correcta de la siguiente operación:

8 Resuelve el siguiente sistema: x–2 y+3 4 ⎫ + = ⎪ 6 4 3 ⎬ x+2 y–6 + =2⎪ ⎭ 2 5

P (x ) + Q (x ) 4

a) 7x + 7x – 9x – 10 b) 7x 4 + 3x 3 – x + 6

9 Resuelve el siguiente sistema e interpreta geo-

c) 7x 4 + 7x 3 + x + 6 4

métricamente el resultado:

d) 7x + 7x + 9x + 10

y = x 2 + 2x – 4 ⎫ ⎬ y=x–2 ⎭

2 Dados los polinomios: P (x ) = 3x 4 – 5x 2 + 3x – 1 Q (x ) = x 2 – 2x + 1 Calcula:

10 Halla el valor de k para que el polinomio P(x) = x 4 – kx 3 + 8x + 3

P (x ) : Q (x )

sea divisible por el binomio x – 1

y selecciona la respuesta correcta: a) C (x ) = 3x 2 – 6x + 4; R(x) = 5x – 5 2

b) C (x ) = 3x + 6x + 4; R(x) = 5x – 5 c) C (x ) = 3x 2 + 6x + 4; R(x) = 5x + 5 d) C (x ) = 3x 2 – 6x + 4; R(x) = 5x + 5

3 Calcula sin hacer la división, el resto de: (3x 4 – x 2 – 5x + 2) : (x + 1) y selecciona la respuesta correcta: a) – 1

b) 5

c) 1

d) 9

Resuelve los siguientes ejercicios:

4 Desarrolla el binomio: (2 + x 2)

5 Factoriza el siguiente polinomio, halla sus raíces y su multiplicidad: P (x ) = x 3 – x 2 – 5x – 3

6 Resuelve la siguiente ecuación: x–3 x–1 – =x–4 4 6

11 Halla dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 306

12 Hace 3 años la edad de un padre era el cuádruple de la de su hijo. Dentro de dos años, la edad que tenga el padre será el triple de la del hijo. Calcula la edad del padre y la del hijo actualmente.

13 Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que el largo más el ancho miden 16 m y su área es de 63 m2

14 Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la novena parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 8 cm más largo.

15 En la compra de un ordenador y una impresora se han pagado 800 €. Si en el ordenador hubieran hecho un descuento del 25 % y en la impresora, del 30 %, se habrían pagado 590 €. ¿Cuál es el precio de cada objeto?

16 Se mezclan 60 kg de café natural con 90 kg de café torrefacto y se vende a 7,04 €/kg. Si el café natural es 0,6 €/kg más caro que el torrefacto, ¿cuál era el precio de cada clase de café?

Actividades de recuperación

227

© GRUPO EDITORIAL BRUÑO, S. L., 2024 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid. Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.