Muestra de Matemáticas B 4 ESO Andalucía. Proyecto 5 etapas. Bruño by Grupo Anaya, S.A.

ANDALUCÍA

INCLUYE PROYECTO

MUESTRA

DIGITAL

José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez

E S O

CÓMO ES TU LIBRO

Con Bruño aprendes Matemáticas investigando, descubriendo y explorando la Naturaleza. En solo 5 ETAPAS cíclicas puedes adquirir mediante situaciones de aprendizaje las competencias y saberes necesarios para tu desarrollo personal, intelectual, social y emocional.

(Prepárate para el aprendizaje)

(Indaga sobre los saberes)

(Valora tu aprendizaje)

(Conoce los saberes)

e (Aplica lo aprendido y crea conocimiento)

LA UNIDAD

Te presentamos la unidad en una doble página.

¿Para qué sirven...?

Relaciona la imagen con los contenidos que se van a estudiar en la unidad. Se trata de responder a la pregunta que muchas veces te planteas. ¿Para qué sirven las matemáticas?

En esta unidad descubriremos juntos

Estos son los saberes que adquirirás al trabajar esta unidad.

e Para que compruebes que las matemáticas son muy útiles, te pedimos que pienses y reflexiones sobre otra aplicación de los contenidos de la unidad a la vida real.

Doble página e

RECURSO ENLAZADO A UN QR Sorpréndete viendo en este QR todos los recursos de una sección, vídeos y applets de GeoGebra para que, de una forma dinámica, puedas comprender mejor los conceptos abstractos.

ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN Se trata de que EXPLORES en tu cerebro sobre los conocimientos que ya tienes relacionados con lo que vas a estudiar, es decir, traerlos de la memoria a medio plazo a la memoria a corto plazo.

EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS Utilizamos la metodología de dificultades aisladas. Para cada contenido matemático se resuelve el mejor ejercicio o problema resuelto, presentado de forma que no se complique en las operaciones y su única dificultad sea el saber que se estudia.

Moodle es una plataforma de aprendizaje mediante ordenador y tableta. El Moodle de Matemáticas de Bruño contiene: cálculo mental, cuestionarios por cada día de clase y pruebas de examen, todo ello autoevaluables.

ELABORA ACTIVIDADES PARA CONSTRUIR CONOCIMIENTO Son ejercicios y problemas para que realices en clase o en casa.

Cómo es tu libro

REPASA Y ELABORA Son ejercicios y problemas básicos de toda la unidad para que puedas repasarla leyendo los resueltos y haciendo los propuestos.

ACTIVIDADES FINALES A continuación te encontrarás con dos páginas de actividades para cada una de las sesiones de clase y una propuesta final de problemas para el conjunto de la unidad.

COMPRUEBO MIS COMPETENCIAS Te propone problemas matemáticos en contextos reales.

e Una evaluación final con un QR para que compruebes las soluciones.

COMPETENCIA DIGITAL con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ➜ Ejercicios y problemas para que comprendas mejor los conceptos matemáticos abstractos con el uso de applets de GeoGebra. ➜ Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas con CalcMe y Hoja de cálculo. ➜ En cada unidad tienes una prueba con Moodle en la que puedes utilizar los applets de GeoGebra y CalcMe.

EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que te sirve de modelo para la evaluación inicial y como repaso de saberes esenciales de Educación Primaria.

Secciones finales SITUACIONES DE APRENDIZAJE Plantean un reto o problema de cierta complejidad cuya resolución implica la movilización de los saberes básicos (conocimientos, destrezas y actitudes), a partir de la realización de distintas tareas y actividades. ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Actividades que te proponen investigar, exponer, elaborar documentos digitales o trabajar técnicas matemáticas a través de diversos textos.

EVALUACIÓN FINAL Modelo de prueba que te sirve de autoevaluación final. ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN Ejercicios para que prepares la recuperación final del curso.

Cómo es tu libro

Proyecto digital

Tu libro digital es... INTUITIVO Fácil de usar y diseñado para conseguir tu mejor aprendizaje.

SINCRONIZABLE Los cambios que realices se sincronizan automáticamente al conectar cualquiera de los dispositivos con los que trabajes.

UNIVERSAL Es compatible con los entornos virtuales de aprendizaje (EVA) y las plataformas educativas (LMS, LTI).

VERSÁTIL Utilízalo según tus necesidades: como complemento a tu libro impreso o como único material para conseguir tu aprendizaje.

MULTIDISPOSITIVO Visualízalo en cualquier tipo de dispositivo (ordenador, tableta, smartphone…), a cualquier tamaño y resolución de pantalla. Es compatible con todos los navegadores, sistemas operativos de escritorio (Windows, Mac, Linux...) y dispositivos móviles (Android, iOS y Chromebook).

INCLUSIVO Personaliza tu aprendizaje adaptando su funcionalidad a tus necesidades.

TRAZABLE Integrado sobre las aulas digitales de los EVA y LMS, tu profesor puede visualizar los resultados de las actividades que has realizado.

DESCARGABLE TRAZABLE Puedes trabajar sin conexión a internet y descargarlo en más de un dispositivo.

Te presentamos todas las unidades de tu libro en formato digital y adaptables a tus dispositivos.

Entra y encontrarás gran variedad de recursos digitales para que aprendas de otra manera: vídeos y applets.

Y gran cantidad de actividades interactivas con trazabilidad para que tu profesor o profesora las pueda valorar.

Proyecto digital

Índice Evaluación inicial

SABERES BÁSICOS

12 13

¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas? 4 ¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?

1 Números reales

5 Sistemas de ecuaciones

¿Qué son los números irracionales? 2 ¿Qué son los números reales? 3 ¿Cómo se usan los números reales? 4 ¿Cómo se resuelven problemas?

16 18 20 22

Avances en Matemáticas

2 Potencias, radicales y logaritmos

¿Qué son las potencias? 2 ¿Qué son los radicales? 3 ¿Cómo se operan los radicales? 4 ¿Qué son los logaritmos?

32 34 36 38

SABERES BÁSICOS

Avances en Matemáticas

3 Polinomios y fracciones algebraicas

¿Qué es el binomio de Newton? 2 ¿Para qué sirven el teorema del resto y del factor? 3 ¿Cómo se hallan las raíces de un polinomio? 4 ¿Qué son las fracciones algebraicas? 1

4 Resolución de ecuaciones ¿Qué son las ecuaciones de 1.er y 2.º grado? 2 ¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales?

¿Cómo se clasifica un sistema lineal? 2 ¿Cómo se resuelve algebraicamente un sistema lineal? 3 ¿Cómo se resuelve un sistema no lineal? 4 ¿Qué es un sistema exponencial y logarítmico? 1

6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

¿Qué son las inecuaciones de 1.er grado? 2 ¿Cómo se resuelven las inecuaciones? 3 ¿Qué son las inecuaciones con dos variables? 4 ¿Cómo se resuelven los sistemas de inecuaciones?

88 90 92 94

102

104 106 108 110

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación

118 120

SABERES BÁSICOS

122

Avances en Matemáticas

123

54 56 58

70 72

7 Semejanza y trigonometría ¿Para qué se utiliza el teorema de Thales? 2 ¿Para qué se utiliza el teorema de Pitágoras? 3 ¿Qué son las razones trigonométricas o circulares? 4 ¿Cómo se relacionan las razones trigonométricas?

124

126 128 130 132

8 Resolución de triángulos rectángulos

¿Qué es la circunferencia goniométrica? 2 ¿Cómo se resuelven identidades y ecuaciones? 3 ¿Cómo se resuelven los triángulos rectángulos? 4 ¿Cómo se hallan las distancias, áreas y volúmenes? 1

9 Geometría analítica ¿Qué es un vector? 2 ¿Cómo es la ecuación de una recta? 3 ¿Cómo se usan las ecuaciones de las rectas? 4 ¿Qué es la posición relativa y la distancia? 1

150

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Situación de aprendizaje Actividades de ampliación

242 244 245 246

152

SABERES BÁSICOS

250

Avances en Matemáticas

251

148

154 156

166 168 170

¿Qué son las variaciones y permutaciones? 2 ¿Qué son los problemas de combinatoria? 3 ¿Qué es la probabilidad? 4 ¿Qué son los experimentos aleatorios compuestos?

185

10 Funciones. Rectas y parábolas 186

y trascendentes

270 272 274 276

188 190 192 194

204

¿Qué es una función racional? 2 ¿Cómo se opera con funciones? 3 ¿Para qué sirve la función exponencial? 4 ¿Para qué sirve la función logarítmica?

206 208 210 212

12 Funciones trigonométricas

222

254 256 258 260

174

Avances en Matemáticas

11 Funciones algebraicas

¿Para qué sirve la estadística? 2 ¿Qué son los parámetros estadísticos? 3 ¿Qué son las variables bidimensionales? 4 ¿Para qué sirve la regresión lineal? 1

252

14 Combinatoria y probabilidad 268

184

¿Qué es una función? 2 ¿Cuáles son las funciones lineales y afines? 3 ¿Qué es una función cuadrática? 4 ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

y bidimensional

172

SABERES BÁSICOS

13 Estadística unidimensional

Ampliación. Límites, derivadas e integrales

286

¿Qué son los límites? 2 ¿Qué es la derivada? 3 ¿Qué aplicaciones tiene la derivada? 4 ¿Qué es la integración?

288 290 292 294

Situación de aprendizaje Actividades de ampliación Actividades de recuperación

304 305 306

Evaluación final

311

¿Cómo es la función seno? 224 2 ¿Cómo son las funciones coseno y tangente? 226 3 ¿Qué son las traslaciones y dilataciones? 228 4 ¿Cuáles son las funciones especiales? 230 1

Índice

UNIDAD UNIDAD

UNIDAD

algebraicas 4 Resolución de ecuaciones 5 Sistemas de ecuaciones 6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

UNIDAD

SABERES BÁSICOS

3 Polinomios y fracciones

En estas unidades se trabajarán contenidos del: Sentido algebraico: desarrollando la generalización de patrones, la modelización de situaciones de la vida cotidiana usando el lenguaje algebraico, la comprensión del concepto de variable, la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones de 1.er y 2.º grado, sistemas de inecuaciones y la aplicación de procesos algebraicos para representar situaciones problemáticas y resolverlas tanto mentalmente, como de forma manual o con asistentes matemáticos adaptándose a cada situación. Sentido socioafectivo: desarrollando destrezas para generar oportunidades de aprendizaje en el aula, para usar técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tener una comunicación efectiva, para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas y valorar la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.

Avances en Matemáticas En las civilizaciones más antiguas, el álgebra estaba estrechamente unida a la aritmética, pero progresivamente se fue separando de ella para convertirse, por un lado, en una de las herramientas más poderosas de la matemática por cuanto permite expresar en un lenguaje cómodo y útil las relaciones de las variables de un problema y resolverlo, y por otro, en una estructura matemática abstracta que permite construir y expresar nuevos conceptos matemáticos. Así, se puede pensar que tanto los babilónicos como los egipcios emplearon resultados algebraicos en la construcción de sus principales obras arquitectónicas como las pirámides de Keops, Kefrén y Micerinos; y de la misma forma, resolvían de forma abstracta ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de primer grado.

Niccolo TarTaglia

Al igual que le ha ocurrido al resto de disciplinas científicas, el álgebra se ha desarrollado al ritmo que establecieron los científicos y la sociedad de las diferentes épocas. Una de las interpretaciones que hemos de extraer de esta circunstancia es el hecho de que el álgebra es fruto también de la interculturalidad. De esta manera, durante la invasión musulmana del sur de Europa, los matemáticos árabes, como Al-Juarismi y Abu Kamil, ejercieron una enorme influencia sobre los matemáticos europeos. En el Renacimiento tiene lugar un importante avance del álgebra. Hay que mencionar a Luca Pacioli, que estudia ecuaciones de tercer grado, y a Niccolo Tartaglia (1499-1557), que resolvió la ecuación x 3 + ax = b. Más tarde, en la segunda mitad del siglo xvi, François Viète (1540-1603) es conocido como el iniciador del álgebra simbólica e hizo grandes avances en la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. A comienzos del siglo xviii, el álgebra se separaba claramente de otras partes de la matemática, y en el siglo xix destacan los trabajos de Niels Henrik Abel (1802 - 1829) y Évariste Galois (1811-1832) con los que nace el álgebra moderna. Abel demostró que no hay fórmulas que relacionen los coeficientes de las ecuaciones de grado cinco o mayor que den su solución utilizando radicales.

Sophie germaiN

Entre 1804 y 1809, Sophie Germain (1776-1831) manteniendo su identidad oculta bajo el pseudónimo de Monsieur Le Blanc, mantuvo correspondencia con Gauss sobre sus primeros trabajos de teoría de números. En 1808 comunicó a Gauss un brillante descubrimiento y que fue el resultado más importante, desde 1753 hasta 1840, para demostrar el último teorema de Fermat. Demostraba que si x, y, z son números enteros, tales que x 5 + y 5 + z 5 = 0, entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre.

e Abre el applet del QR. 1 Observa el ejercicio resuelto y resuelve el propuesto. 2 Puedes investigar con otros casos y generalizar.

Saberes básicos

UNIDAD

4 Resolución de ecuaciones

¿Para qué sirven las ecuaciones? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. SOSTENIBILIDAD La desintegración radiactiva es un fenómeno científico y tecnológico que tiene implicaciones significativas para la sostenibilidad global. Abordar este fenómeno de manera segura es esencial para avanzar en el logro de los ODS: en la salud y el bienestar (ODS 3), en la energía asequible y no contaminante (ODS 7), en la acción por el clima (ODS 13), etc. Se define el periodo de semidesintegración como el tiempo en el que una cantidad, N0, de isótopos se transforma en la mitad. N (t ) = N0 e– kt es el número de radionúclidos existentes en el tiempo t, siendo k la constante de semidesintegración radiactiva. Si tenemos 400 g de Cesio cuya constante de semidesintegración es k = 0,023, ¿Cuántos gramos quedarán después de 200 años?

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Qué son las ecuaciones de 1.er y 2.o grado? 2 ¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales? 3 ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas? 4 ¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En pri mer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 4. Resolución de ecuaciones. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de la resolución de ecua ciones (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir ecuaciones gran des y decoradas. También debes hacer en el cuaderno el Explora de la primera sección.

¿Qué son las ecuaciones de 1.er y 2.o grado?

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 8

b) 5x = 20

c) x2 = 81

d) x(x – 2) = 0

¿Cómo se resuelven? Ecuación de 1.er grado con una incógnita

Ecuación de 1.er grado Una ecuación de 1.er grado con una incógnita es del tipo: ax + b = 0, a ≠ 0, o bien una expresión más compleja que, después de ser sim plificada, queda como la anterior.

Resuelve la ecuación: x 2 – 2x – 3 = 0

Una ecuación de 1.er grado con una incógnita es una ecuación que solo tiene una incógnita y en la que el mayor exponente de la variable es uno. Para resolver una ecuación de 1.er grado, se eliminan los denominadores y los paréntesis, se trasponen los términos semejantes, se reducen estos y se despeja la incógnita. 1

Resuelve la ecuación:

m.c.m.(2, 6, 3, 4) = 12

2 ± √ 4 + 12 = 2 3 2±4 = = 2 –1 x1 = 3, x2 = – 1

x–2 x+1 7 3 – + =x+ 2 6 3 4

6(x – 2) – 2(x + 1) + 28 = 12x + 9 ⇒ 6x – 12 – 2x – 2 + 28 = 12x + 9 5 6x – 2x – 12x = 9 + 12 + 2 – 28 ⇒ – 8x = – 5 ⇒ 8x = 5 ⇒ x = 8

Ecuación de 2.º grado completa

Una ecuación de 2.° grado es completa si es de la forma: ax 2 + bx + c = 0; a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

x2 – 2x – 3 B(–1, B(– 1,0) 0)

x = –b ±

A(3, 0)

y = x 2 – 2x – 3

Interpretación gráfica La interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación f (x) = 0 son las abscisas de los puntos de cor te de la función y = f (x ) con el eje X

La ecuación de 2.º grado se resuelve aplicando la fórmula:

Resuelve la ecuación: x – 5x = 0

UNIDAD 4

Ecuaciones de 2.º grado incompletas Una ecuación de 2.º grado incompleta es aquella a la que le falta el término de 1.er grado, b = 0, o el término independiente, c = 0, o los dos, b=c=0 • Resolución de ax 2 + c = 0 Se resuelve despejando x 2 y haciendo la raíz cuadrada. Resuelve la ecuación: 16x 2 – 9 = 0 9 3 3 3 9 ⇒x=± ⇒ x1 = , x2 = – =± 16x 2 = 9 ⇒ x 2 = 16 4 4 4 16 3

√

x(x – 5) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 5

√ b 2 – 4ac

• Resolución de ax 2 + bx = 0 Se resuelve sacando factor común a x. Una solución es x = 0

Número de raíces reales

Símbolo

Una ecuación de 2.° grado puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Según el valor del discriminante Δ = b2 – 4ac, se pueden presentar tres casos. Discriminante

Δ es la letra griega delta mayúscula.

Δ>0

Δ=0

Número de raíces

Tiene dos raíces reales y dis tintas, ambas son de multipli cidad 1, impar.

Tiene una sola raíz real doble o de multiplicidad 2, par.

No tiene raíces reales.

Interpretación

Corta en dos puntos al eje X

Es tangente al eje X

No corta al eje de abscisas X

x + 2x – 3 = 0

x – 4x + 4 = 0

x 2 – 4x + 5 = 0

Δ = 4 + 12 = 16 > 0

Δ = 16 – 16 = 0

Δ = 16 – 20 = – 4 < 0

Ejemplo

Δ<0

Y y = x 2 – 4x + 5

Dibujo

A(– 3, 0)

B(1, 0)

y = x – 4x + 4

A(2, 0)

y = x 2 + 2x – 3

Descomposición factorial del trinomio de 2.º grado La descomposición factorial del trinomio de 2.° grado es:

Raíces de la ecuación

ax 2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Las raíces de la ecuación:

donde x1 y x2 son raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 5

Halla la descomposición factorial de x 2 – 2x – 15

son:

a(x – x1)(x – x2) = 0 x = x1, x = x2

En primer lugar se hallan las raíces de la ecuación x 2 – 2x – 15 = 0 2 ± √ 4 + 60 2 ± 8 = x= 2 2

5 –3

⇒ x1 = 5, x2 = – 3

La descomposición factorial es: x 2 – 2x – 15 = (x – 5)(x + 3)

Halla las raíces de: (x – 5) (x + 3) = 0 x1 = 5, x2 = – 3

Resuelve las siguientes ecuaciones: x–2 x+1 11 – =x– 1. 12 4 4 x–6 x–5 1–x 7 = + – 2. 5 4 6 10 x+1 6 3x – 1 x –2 x– + 3. = 4 5 5 2 x–2 x – 4 5x + 14 +x= + 4. 3 5 10 3x + 7 1 – 4x 2x – 5 – =–4–x– 5. 24 6 3

13. Halla la descomposición factorial de: b) x 2 – 4x + 4 a) 2x 2 – 5x – 3

6. 2x 2 – 3x = 0

c) 3x 2 – x – 2

7. 5x 2 – 14x – 3 = 0

8. 9x 2 = 4 9. 5x 2 – 24x – 5 = 0 10. (x + 2)(x – 1) = x + 7 x2 + 1 x2 + x 5x – 3 – = 11. 5 10 10 12. Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tie nen las siguientes ecuaciones: b) 2x 2 – 3x + 7 = 0 a) x 2 + 4x – 5 = 0

c) x 2 + 6x + 9 = 0

d) 3x 2 – 4x + 1 = 0

d) 5x 2 – 3x

Resolución de ecuaciones

¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales?

e Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a)

1 =5 x

2x – 1 =1 x

c) √ x + 1 = 2

¿Cómo se resuelven? Y

Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada es una ecuación de la forma:

C(– 1, 0)

B(1, 0)

ax 4 + bx 2 + c = 0

X D(– 2, 0)

A(2, 0)

Se resuelven aplicando el cambio de variable x 2 = z, con lo que queda una ecuación de 2.° grado en la variable z. Para cada valor de z, se hallan los valores de x que tengan sentido. 7

y = x 4 – 5x 2 + 4

Resuelve la ecuación bicuadrada x 4 – 5x 2 + 4 = 0

Haciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene: 5 ± √ 25 – 16 5 ± 3 = = 2 2 Deshaciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene: z 2 – 5z + 4 = 0 ⇒ z =

Ecuaciones del tipo: ax 6 + bx 3 + c = 0 Se resuelven de forma similar a las bicuadradas.

• x 2 = 4 ⇒ x = ± √4 = ± 2

4 1

• x 2 = 1 ⇒ x = ± √1 = ± 1

Las raíces son: x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 1, x4 = – 1

Ecuaciones racionales 8

Resuelve la ecuación: x 6 – 7x 3 – 8 = 0

Haciendo el cambio de variable x 3 = z, se tiene: z 2 – 7z – 8 = 0 7 ± √ 49 + 32 z= = 2 8 7±9 = = –1 2 Deshaciendo el cambio de va riable x 3 = z se tiene:

Una ecuación racional es una ecuación que tiene la incógnita en el denominador. Para resolverla, se multiplica toda la ecuación por el m.c.m. de los denominado res y se resuelve la ecuación resultante. Se deben comprobar las soluciones. 9

Resuelve la ecuación racional

x x + 15 1 = – 2 x–3 x –9 x+3

m.c.m. (x – 3, x 2 – 9, x + 3) = x 2 – 9 Se multiplica la ecuación por el m.c.m. de los denominadores: x (x + 3) – (x + 15) = x – 3 x 2 + 3x – x – 15 = x – 3

Las raíces son:

x 2 + x – 12 = 0 3 – 1 ± √ 1 + 48 – 1 ± 7 = = x= 2 2 –4 Comprobación: x = 3 no es solución de la ecuación porque hace cero dos denominadores, 3 – 3 = 0 y 9 – 9 = 0

x1 = 2, x2 = – 1

Solución: x = – 4

• x 3 = 8 ⇒ x = √8 = 2 3

• x 3 = – 1 ⇒ x = √– 1 = – 1

UNIDAD 4

Ecuaciones irracionales Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita dentro de un signo radical. En estas ecuaciones es necesario comprobar las soluciones porque, al elevar al cuadrado, pueden aparecer soluciones que no son válidas, lo que es muy habitual. 10 Resuelve la ecuación irracional:

3 + √ 2x – 5 = x – 1 a) Se despeja el radical, deján dolo solo en un miembro.

Ecuaciones irracionales con dos radicales Si en la ecuación irracional hay dos radicales, primero se despe ja uno y se elevan ambos miem bros al índice del radical; luego, se despeja el otro y se vuelven a elevar los dos miembros al índice del radical.

√ 2x – 5 = x – 4

b) Se elevan los dos miem bros al índice de la raíz y se resuelve la ecuación re sultante.

(√ 2x – 5)2 = (x – 4)2 ⇒ 2x – 5 = x 2 – 8x + 16

c) Se comprueban las solucio nes obtenidas en los dos miembros de la ecuación inicial.

⎧ 3 + √ 2x – 5 ⇒ 3 + √ 14 – 5 = 3 + √ 9 = 3 + 3 = 6 ⎫ x=7⇒⎨ ⎬ ⇒6=6 x – 1 ⇒ 7 – 1 = 6 ⎩ ⎭

x 2 – 10x + 21 = 0 ⇒ x = 10 ± √ 100 – 84 = 10 ± 4 = 2 2

7 3

⎧ 3 + √ 2x – 5 ⇒ 3 + √ 6 – 5 = 3 + √ 1 = 3 + 1 = 4 ⎫ x=3⇒⎨ ⎬ ⇒4≠2 ⎩x – 1 ⇒ 3 – 1 = 2 ⎭ La única solución es x = 7

Resuelve las siguientes ecuaciones: 14. x 4 – 25x 2 + 144 = 0 15. x 4 – 625 = 0 16. x – 17x + 16 = 0 4

17. x 4 – 4x 2 = 0 18. x 4 – 13x 2 + 36 = 0 19. x – 8x = 0 6

20. x 6 – 26x 3 – 27 = 0 21.

2 + x = –3 x

22.

1 2 1 – = x–1 x+2 2

23.

3x + 2 3 –2= x+1 4

24.

4 1 – =2 x+3 x–2

25.

2 2x – 3 7 = + 2 x–1 x –1 3

26.

x x+2 + = –2 x+2 x

27.

3x x–1 2 – =x– x+2 6 3

28. x + √x = 6 29. √ x – 1 – x + 7 = 0 30. √9 – x = x – 3 31. √ 2x 2 – 4 – √ 4x – 6 = 0 32. √ 2x + 1 + √ 3x + 4 = 7

Resolución de ecuaciones

¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas?

e Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 1 c) 3x = 3 b) 3x = d) 3x = 1 a) 3x = 9 9 f) log3 x = 1 g) log3 x = 2 h) log3 x = – 2 e) log3 x = 0

¿Cómo se resuelven? Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver las ecuaciones exponenciales, estas se agrupan en tres tipos: Propiedades de las potencias a 0 = 1, a ≠ 0 a1 = a an ∙ ap = an + p a :a =a n

n–p

• Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base Para resolverlas, se ponen ambos miembros como potencias de la misma base y se igualan los exponentes. 11 Resuelve la ecuación: 2x + 3 + 2x = 72

23 ∙ 2x + 2x = 72

(a n)p = a n ∙ p (a ∙ b)n = a n ∙ b n (a : b)n = a n : b n

porque 2x + 3 = 23 · 2x

8 ∙ 2x + 2x = 72 9 ∙ 2x = 72

Se simplifica dividiendo entre 9

2 =8 x

2x = 23 ⇒ x = 3 • Se reduce a una ecuación de 2.o grado

Observa No hay un procedimiento algebrai co que permita resolver determi nadas ecuaciones exponenciales. 2x + 5 = 3x

Para resolverlas, se hace el cambio de variable a x = z, con lo que queda una ecuación de 2.° grado en la variable z. Para cada valor de z, se hallan los valores de x que tengan sentido. 12 Resuelve la ecuación: 9x – 7 ∙ 3x – 18 = 0

32x – 7 ∙ 3x – 18 = 0

porque 9 = 32 ⇒ 9x = (32)x= 32x

Se hace el cambio de variable 3x = z ⇒ 32x = z 2 7 ± √ 49 + 72 7 ± 11 = = z – 7z – 18 = 0 ⇒ z = 2 2 Deshaciendo el cambio, 3x = z, se tiene:

–2

3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 3x = – 2 no tiene solución porque las potencias de 3 son siempre positivas.

UNIDAD 4

• No es de los tipos anteriores y se pueden aplicar logaritmos Se deja en cada miembro un solo término y se aplican logaritmos. 13 Resuelve la ecuación: 5x – 2 – 3x = 0

Se pasa el término negativo al segundo miembro: 5x – 2 = 3x Se aplican logaritmos decimales a los dos miembros: (x – 2)log 5 = x log 3 x log 5 – 2 log 5 = x log 3 x log 5 – x log 3 = 2 log 5 x(log 5 – log 3) = 2 log 5 2 log 5 x= = 6,30 ⇒ x = 6,30 log 5 – log 3 ×

log

(

Logaritmos decimales log 100 = 2

–

log

)

log

6,30

log 10 = 1 log 1 = 0

Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece como argumento de un logaritmo. Para resolver las ecuaciones logarítmicas, se aplican las propiedades de los logaritmos hasta obtener que cada miembro sea el logaritmo de un valor. 14 Resuelve la ecuación logarítmica: log (5x + 3) – log x = 1

5x + 3 = log 10 x 5x + 3 = 10 x 5x + 3 = 10x log

Se ha utilizado que 1 = log 10

log 0,1 = – 1 log 0,01 = – 2

Logaritmos log a p = x ⇔ a x = p log a a = 1 log a 1 = 0 Propiedades a) log (p ∙ q) = log p + log q p = log p – log q q c) log pn = n ∙ log p

– 5x = – 3

b) log

5x = 3 3 x= 5

d) log √ p =

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

40. 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

33. a) 3x = 27

41. 9x – 6 ∙ 3x + 1 + 81 = 0

35. a) log x = 0

b) 7x + 1 = 1 1 b) 2x = 8 b) log 2 x = 4

36. a) log x 3 = 1

b) ln x = 1

34. a) 5x – 1 = 25

Resuelve las siguientes ecuaciones, en las soluciones decimales redondea el resultado a 4 decimales:

42. 4x = 61 – x 43. 24 – 25x = 0 44. 5x + 1 = 31 – 2x 45. log x 16 = 2

37. 2x – 1 = 8

46. log x + log 80 = 3

38. 4x + 25 = 3 ∙ 2x + 2

47. 2 log x – log(x + 24) = 2

39. 5x + 51 – x = 6

48. 2 ln x – ln 5x = ln 2

log p n

Resolución de ecuaciones

4 ¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?

e Calcula mentalmente: a) El lado de un cuadrado cuya área es de 36 m2 b) Dos números enteros consecutivos cuya suma sea 15

¿Qué procedimiento se aplica? Nombres de las incógnitas

Para resolver un problema se debe leer detenidamente el enunciado, hasta saber cuáles son la incógnita, los datos, las preguntas y las relaciones.

Debemos asociar el nombre de la incógnita al valor menor.

1. Incógnita x: la ecuación se planea más fácilmente si la incógnita se asocia al valor más pequeño.

A la incógnita le podemos llamar x o la inicial del objeto al que re presenta.

2. Preguntas: es lo que se pide en el problema. 3. Planteamiento y operaciones: se plantea la relación, se transforma en una ecuación y se resuelve. 4. Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que propone el problema, y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.

Problemas numéricos En los problemas numéricos se debe hacer siempre un esquema. 15 Halla dos números enteros consecutivos cuya suma dividida entre

su producto sea 5/6 1. Incógnita:

3. Planteamiento y operaciones:

• x = número menor

Suma de los dos números 5 = Producto de los dos números 6

• Número mayor: x + 1 2. Pregunta: Halla dos números en teros consecutivos.

x+x+1 5 2x + 1 5 = ⇒ 2 = x (x + 1) 6 x +x 6 6(2x + 1) = 5(x 2 + x) 12x + 6 = 5x 2 + 5x ⇒ _ 5x 2 + 7x + 6 = 0 5x 2 _ 7x _ 6 = 0 2 7 ± 13 7 ± √ 49 + 120 = = x= 10 10 _ 6 =_3 5 3 10 x1 = 2, x2 = _ 5

4. Solución y comprobación: Los números son: x = 2, x + 1 = 3 2+3 5 = Comprobación: 6 2·3 _ La solución 3/5 no es válida, ya que no es un número entero.

UNIDAD 4

N.° menor: x

N.° mayor: x + 1

Su suma: x+x+1

Su producto: x(x + 1)

La suma entre el producto: x+x+1= 5 x (x + 1) 6

Problemas geométricos En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo, con las medidas proporcionales a los datos del problema, y un esquema. 16 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 3 cm más que el otro, y la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados.

1. Incógnita:

3. Planteamiento y operaciones:

• x = Cateto menor

Aplicando el teorema de Pitágoras:

• Cateto mayor: x+3

x 2 + (x + 3)2 = (x + 6)2

• Hipotenusa: x + 6 2. Pregunta: Calcula la longitud de los tres lados.

x+3

x 2 + x 2 + 6x + 9 = x 2 + 12x + 36 ⇒ x 2 _ 6x _ 27 = 0 6 ± 12 = x = 6 ± √ 36 + 108 = 2 2

Cateto menor: x

_3 Cateto mayor: x + 3

x1 = 9, x2 = _ 3

4. Solución y comprobación: Si la longitud del cateto menor es 9 cm, la del cateto mayor es 9 + 3 = 12 cm, y la de la hipotenusa es 12 + 3 = 15 cm Se comprueba que: 92 + 122 = 81 + 144 = 225; 152 = 225 La solución x = _ 3 no es válida porque no tiene sentido.

49. Halla dos números tales que su suma sea 10 y la diferencia de sus cuadrados sea 60

x+6

Hipotenusa: x + 6

Aplicando el teorema de Pitágoras: 2 x + (x + 3)2 = (x + 6)2

52. Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es 2 cm mayor que la altura y cuya área sea de 24 cm2

50. Se mezcla avena de 0,4 €/kg y centeno de 0,25 €/kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 5 000 kg de pienso a 0,31 €/kg, ¿cuántos kilos de ave na y de centeno se han utilizado?

53. La edad de un padre es seis veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco veces la del hijo, calcula la edad de cada uno.

51. Dos motos salen juntas de Granada para recorrer 560 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 10 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velo cidades de las dos motos.

54. En una tienda se compraron unos adornos de por celana por 629 €. Se rompieron tres y los que queda ron se han vendido a 4 € más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 €, ¿cuántos adornos se compraron?

Resolución de ecuaciones

17 Resuelve la ecuación:

x 4 – 7x 2 + 12 = 0

Haciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene: z 2 – 7z + 12 = 0 z=

7 ± √49 – 48 7±1 = = 2 2

3 Deshaciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene: • x 2 = 4 ⇒ x = 2, x = – 2

• x 2 = 3 ⇒ x = √3, x = – √3 Las raíces son: x 1 = 2, x2 = – 2, x3 = √3, x4 = – √3 18 Resuelve la ecuación:

√x + 4 – √x – 1 = 1

√x + 4 = 1 + √x – 1 ⇒ X√ x + 4 C = X1 + √ x – 1C 2

x + 4 = 1 + 2√x – 1 + x – 1 ⇒ 4 = 2√x – 1 ⇒ 2 = √x – 1

22 = √ x – 1 ⇒ 4 = x – 1 ⇒ x = 5 Comprobación: √5 + 4 – √5 – 1 = √9 – √4 = 3 – 2 = 1 19 Resuelve la ecuación:

2x + 1 + 2x + 2x – 1 = 28 20 Resuelve la ecuación:

2 log x = log (2x + 3)

2x = 28 ⇒ 4 ∙ 2x + 2 ∙ 2x + 2x = 56 2 7 ∙ 2x = 56 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3

2 ∙ 2x + 2x +

log x 2 = log (2x + 3) ⇒ x 2 = 2x + 3 ⇒ x 2 – 2x – 3 = 0 x=

2 ± √4 + 12 2±4 = = 2 2

–1

Solución: x = 3

La solución negativa no es válida porque los números negativos no tienen logaritmo.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

60. 4x – 2x – 1 – 14 = 0

55. x4 – 29x2 + 100 = 0

61.

56.

x+1 x–1 2x + 16 + = 2 x–2 x+2 x –4

62. 3x – 4 + 3x – 5 = 162 · 2x – 8 2

57. √ x 2 – 3x + √ x 2 + x + 4 = 4

x 3 4 = – 58. x+3 2 x+1 59. 2x – 1 +

=5 x–3

UNIDAD 4

log (10 – x 2) =2 log (5 – 2x)

63.

2 √x 3 – √x 3

3 + √x 3 √x 3

64. log √x – log √4 =

1 3

21 Halla un número sabien-

do que la suma de su cuadrado con su potencia a la cuarta es 90

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• El número: x

x 2 + x 4 = 90

• El cuadrado del número: x 2

Haciendo el cambio de variable x 2 = z, tene mos:

• El número a la cuarta po tencia: x 4 2. Pregunta:

z + z 2 = 90 ⇒ z 2 + z – 90 = 0 z=

• Halla el número.

– 1 ± √1 + 360 – 1 ± 19 = = 2 2

9 – 10

x2 = 9 x = 3, x = – 3 x 2 = – 10 no tiene solución real.

4. Solución: El número puede ser 3 y –3 22 El polonio tiene un perio-

do de semidesintegración de 140 días, es decir, cada 140 días se transforma en la mitad de su masa. Si tenemos 250 g de polonio, ¿en cuánto tiempo se transformará en 25 g?

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• Inicialmente tenemos 250 g de polonio.

Masa final = Masa inicial ·

• Periodo de semidesinte gración: 140 días.

25 = 250 ∙

2. Pregunta:

t ∙ log 2 = 1

• ¿En cuánto tiempo se trans formará en 25 g?

XC XC t

XC 1 2

1 1 ⇒ = 0,1 ⇒ 2t = 10 2 2

1 = 3,32 log 2

3,32 ∙ 140 = 464,8 días

4. Solución: Tardará 464,8 días

65. En la actualidad la edad de una madre es el triple que la de su hijo, y dentro de 12 años la edad de la madre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuántos años tienen en este momento la madre y el hijo? 66. Halla las raíces de una ecuación de segundo gra do, sabiendo que su suma es 10 y su producto es 21

67. Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 210 unidades mayor. 68. Halla un número que exceda a su raíz cuadrada en 156 unidades.

Resolución de ecuaciones

1 ¿Qué son las ecuaciones de 1.er y 2.o grado?

2 ¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales?

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

69. 4x 2 – 25 = 0

89. x 6 – 9x 3 + 8 = 0

70. (x – 2)(x + 3) = 0

90. x +

X C

71. x x +

1 =0 2

72. 6x 2 – 5x = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones: x–2 x–4 x+3 – = 73. 3 5 10 1 1 – 4x 4x + 1 = 74. x + + 6 5 3

12 =7 x

91. x 4 – 8x 2 – 9 = 0 92.

1 1 1 = – x+3 x 6

93. x = – 2 + √16 + x2 94. x 4 – 10x 2 + 9 = 0 95.

1 11 = –x x–3 2

96. x = 2 + √ x

75. x(x – 3) = 18

97. 2x 4 – 3x 2 – 20 = 0

x + 1 3x – 2 2x – 1 5 – = + 3 9 18 9 2 x +3 x–1 =1– 77. 4 8

98. x – √ 25 – x 2 = 1

78. 3(x – 2) + (x – 2)x = 2x

100.

76.

79.

x x–2 7 – – x = 3x – 3 12 3

99.

1 2 10 + = x+1 x+2 3 2 1 6 + = x – 3 x + 3 x2 – 9

101. 11 + √x2 – 5x + 1 = 2x

1 1 4 – =– x x+2 3 (x – 3)

80. (x – 3)(x – 1) = 15

102.

x+1 1–x +x+ =2 2 5 5(1 – x) (x – 3) + 14 = 2 (x – 3) 82. 4 3x + 2 2x – 1 3x – 1 3 – +x= + 83. 4 6 2 4 3x + 2 x–1 2x – 5 – (x – 3) = + 84. 4 3 4

103. 9x 4 – 5x 2 – 4 = 0

81.

85. (x + 2)(x – 2) = (x + 3)2 – 7

3x x2 + 4 +1+ =0 86. 2 4

104. √x + 1 – √7x + 4 = – 3 105.

1 1 3 + = x–1 x–2 2

106.

x 2 8 + = x + 1 x – 1 x2 – 1

107. x 6 – 28x 3 + 27 = 0 108.

x+2 4–x 3 – = x–1 2x 2

109. 36x 4 – 13x 2 + 1 = 0

87. 4(x – 2)(x – 1) + 3(x2 – 1) = 9

110. √5x – 4 + √2x + 1 = 7

88. 2x(x + 2) – (4 – x)(x – 1) = 7x (x – 1)

111. 2x + √x2 – 6x + 2 = 1

UNIDAD 4

x 4 x + = x+1 9 x+4 x x–2 + =1 113. x+3 x–1

138. log x 2 – log 3 = log x + log 5

114. √5x2 + 3x – 4 = 4x + 24

141. 2 ln x + ln (x 2 + 2) = ln 3

115. x 4 – 12x 2 + 32 = 0

142. log x + log 4 = log (x + 1) + log 3

112.

116.

139. log x + log(3x + 5) = 2 140. log (22 – x) = – 1 + log x

x–1 3x 3 – = x 3x – 2 4

143. 2 log x + log x 4 = 6

Resuelve las siguientes ecuaciones, en las soluciones decimales redondea el resultado a 4 decimales:

144. 3 log x = 2 log x + log 3 x 145. 2 log x = 4 + log 10 146. 3 log 2x – 2 log x = log (4x + 1) 3x = 2 log x 147. 3 + log 2 148. log (x – 2) = 1 + log 2 – log (x – 3)

118. 2 ∙ 2x + 4x = 80

149. log x = 1 – log (7 – x)

117. 6√x = x √x + 5

¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas? 3

5 – x2

119. 2

1 16

150. 3 log (6 – x) – log (72 – x3) = 0

120. 52x – 2 – 6 ∙ 5x + 125 = 0 121. 2 + 2 x

x+1

=3 +3 x

x–1

122. 1 + 9 = 3x + 1 + 3x – 1 x

123. 2x +

x–2

124. 6 = 1 296 2x

125. 3x +

1 =4 3x – 1

126. 51 – x + 5x = 6 127. 3x ∙ 9x = 93 128. 22x + 5 – 5 ∙ 42x – 1 + 3 125 = 53 129. 2x – 2 + 28 = 2x + 2 – 2 130. 3x – 4 + 5 ∙ 3x – 3x + 1 = 163 131. 9x = 3x + 6 132. 2x + 1 + 2x + 2x – 1 = 14

1 x–1 3 x2 + 2x 134. 5 =1 133. 2x =

135. ex – 1 = 2x + 1 2

136. 33x – 2 = 9x – 2 137. log(x 2 + 3x + 40) = 1 + log(3x – 1)

151. log √3x + 1 + log 5 = 1 + log √2x – 3 152. (x 2 – 5x + 5) log 5 + log 20 = log 4

4 ¿Cómo se resuelven problemas

de ecuaciones?

153. Halla dos números que sumen 8 y cuyo producto sea 15 154. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el ca teto menor, ¿cuál es la longitud de los catetos? 155. Se ha mezclado aceite de girasol de 0,8 €/L con aceite de oliva de 3,5 €/L. Si se han obtenido 300 litros de mezcla a 2,6 €/L, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite. 156. Un coche y una moto salen a la vez de dos ciuda des, A y B, el uno hacia el otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 100 km/h y la de la moto es de 70 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 340 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse? 157. Dos obreros, trabajando juntos, tardan 12 días en realizar una obra. Se sabe que el segundo obrero, trabajando solo, tardaría 10 días más que el primero. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado.

Resolución de ecuaciones

158. Varios amigos han preparado un viaje de vacacio nes que cuesta 4 000 €. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 200 € más cada uno. Calcu la el número de amigos que son.

159. Dos grifos, abiertos a la vez, llenan un depósito en 6 h. El segundo tarda en llenarlo 5 h más que el primero, estando este cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado.

160. Halla dos números enteros sabiendo que el ma yor excede en 6 unidades al menor, y la suma de sus inversos es 4/9

170. Se tiene un rectángulo de 20 cm de perímetro. Si se reduce en 3 cm la base y en 2 cm la altura, el área disminuye en 18 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo.

161. Halla dos números pares consecutivos cuyo pro ducto exceda a su suma en 142 unidades. 162. El dividendo de una división es 136 y el cociente y el resto son iguales. Si el divisor es el doble que el cociente, ¿cuál es el divisor? 163. Si se aumenta 2 cm la longitud de cada una de las aristas de un cubo, el volumen del mismo aumen ta 218 cm3. Calcula la longitud de la arista. 164. Una finca rectangular tiene una superficie de 4 000 m2. Si un lado de la finca tiene 30 m más que el otro, calcula las dimensiones de la finca. 165. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 48 cm, y su hipotenusa mide 20 cm. Calcula la longitud de los catetos. 166. La diagonal de un rectángulo mide 25 cm. Calcu la las dimensiones del rectángulo, sabiendo que la altura es 4/3 de la base. 167. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 5 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadra dos se tienen 233 cm2, calcula el área de cada uno de ellos. 168. Calcula la longitud de las diagonales de un rom bo de 96 cm2 de área, sabiendo que la diagonal me nor es 3/4 de la diagonal mayor. 169. Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumenta en 81 cm2. Calcula la lon gitud del lado del cuadrado inicial.

UNIDAD 4

171. Se funde plata de ley 0,7 con plata de ley 0,9 para conseguir una aleación de 100 g de una ley 0,74. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado. 172. Se mezcla leche del tipo A, con un 4 % de grasa, con otra leche del tipo B, con un 8 % de materia gra sa. Si se obtienen 40 L de mezcla con un 6 % de materia grasa, ¿cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado? 173. A las nueve de la mañana, Alba sale en bicicleta de Utrera, a una velocidad de 12 km/h. Dos horas después, sale en su búsqueda Pablo con una motoci cleta a 32 km/h. ¿A qué hora alcanzará Pablo a Alba? 174. Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades, A y B, separadas por 400 km. Los dos autobuses salen por la misma carretera el uno ha cia el otro. Si el autobús que sale de A lleva una veloci dad de 90 km/h y el que sale de B lleva una velocidad de 110 km/h, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse? 175. Un grifo B tarda en llenar un depósito 4 h más que otro grifo A. Si a la vez llenan el depósito en 1 h 30 min, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito por separado? 176. Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósi to en 15 h. Si se abre solo uno de ellos, tardaría en vaciar el depósito 16 h menos que el otro. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos des agües por separado.

177. Se han comprado por 37 € unas zapatillas de deporte y un balón que costaban 50 €. Si en las za patillas han rebajado el 20 %, y en el balón, el 30 %, ¿cuál era el precio inicial de cada producto?

187. Halla un número tal que al sumarle 6 unidades sea un cuadrado perfecto, y al restarle 6 unidades su resultado sea la raíz cuadrada positiva del cuadrado perfecto anterior.

178. Se han pagado 450 € por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 30 % en el lector de DVD, y el 60 % en la tarjeta, y se han obtenido 288 €, ¿cuál era el precio inicial de los dos artículos?

188. Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cubos sea 61

179. Un grupo de estudiantes alquila un piso por 500 € al mes. Si aumentase el grupo en uno más, se aho rrarían 25 € cada uno. ¿Cuántos estudiantes son? 180. Pablo tiene 15 años, y su madre, 40. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo? 181. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 20 años menos y el hijo 8 años más, la edad del padre sería el doble que la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. 182. La edad de una madre y un hijo suman 60 años, y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno. 183. Se tiene un cultivo con células que se reprodu cen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmen te 5 células, ¿cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 5 120 células? 184. Una población de peces se reproduce según la fórmula N = 40 ∙ 3t, donde N es el número de pe ces y t es el número de años. ¿Cuántos años deben transcurrir para que haya más de 500 000 peces? Redondea el resultado a dos decimales. 185. Resuelve la siguiente ecuación:

√x + 1 √x – 2 5 + = √x – 2 √x + 1 2 186. Resuelve la siguiente ecuación: 3

5 √x – √x2 = 6 3

Haz el cambio de variable z = √ x

189. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm, y su altura correspondiente mide 4 cm. ¿Cuánto miden los segmentos que el pie de dicha altura deter mina sobre la hipotenusa? 190. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 4 cm 191. Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,75, y otro con una ley 0,6. Si se han conse guido 500 gramos de aleación con una ley 0,69, ¿cuántos gramos pesaba cada lingote de oro? 192. Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B, que dista 80 km. La velocidad de la moto es 4/5 de la velocidad del coche, y llega 12 minutos más tarde que este. Calcula las velocidades de los dos vehículos. 193. Un alumno ha obtenido una nota final de 6,4 pun tos en matemáticas. Los exámenes valen el 80 % de la nota, y los trabajos, el 20 %. Sabiendo que entre exámenes y trabajos suma 14 puntos, ¿qué nota sacó en cada apartado? 194. Un padre tiene 45 años, y sus hijos, 10 y 8. ¿Cuán tos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos? 195. Una sustancia radiactiva tiene un período de se midesintegración de 10 años, es decir, que cada 10 años la masa de la sustancia se reduce a la mitad. Si se tienen 400 g de dicha sustancia, ¿en cuánto tiem po se transformarán en 25 g? 196. Se ha comprado un ordenador por 1 200 €, y se sabe que su valor se deprecia un 20 % cada año. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el ordena dor valga menos de 400 €? Redondea el resultado a dos decimales.

Resolución de ecuaciones

COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Resuelve la siguiente ecuación e interpreta gráficamente las soluciones: x 4 – 3x 2 – 4 = 0 SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Ecuaciones bicuadradas: Interpretación gráfica. x1 = – 2, x2 = 2

Puntos de corte con el eje X: (– 2, 0) y (2, 0)

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Resuelve la siguiente ecuación e interpreta gráficamente las soluciones: 2 log x = log (5x – 6) SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: Ecuaciones logarítmicas: Interpretación gráfica. x1 = 2, x2 = 3

Puntos de corte con el eje X: (2, 0) y (3, 0)

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números pares consecutivos. SOLUCIÓN

Cateto menor = 6

Cateto mayor = 8

Hipotenusa = 10

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Una población de gatos monteses tiene 200 individuos. Si su población aumenta un 4 % anual, ¿cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? SOLUCIÓN

Tiempo, t = 18 años ▼

UNIDAD 4

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS Desintegración radiactiva Se define el periodo de semidesintegración radiactiva o constante de semidesintegración como el tiempo que tarda una cantidad de material radiactiva en transformarse en la mitad. Tenemos 100 g de una sustancia radiactiva de C14. ¿Cuánto tiempo tardará en convertirse en menos de 5 g, sabiendo que la constante de semidesintegración k es 0,00012034? Aplicando la fórmula M = m e – kt ⇒ 5 = 100e – 0,00012034t ⇒ e – 0,00012034t = 0,05 Aplicando logaritmos neperianos: – 0,00012034t = ln 0,05 ⇒ t = –

ln 0,05 = 24 894 años 0,00012034

197. Tenemos 250 g de una sustancia radiactiva de Radio226. ¿Cuánto tiempo tardará en convertirse en menos de 25 g sabiendo que la constante de semidesintegración k es 0,00042787? Redondea el resultado a un decimal. 198. Tenemos 130 g de una sustancia radiactiva de Estroncio90. ¿Cuánto tiempo tardará en convertirse en menos de 15 g sabiendo que la constante de semidesintegración k es 0,0239? Redondea el resultado a número entero.

e Escribe la expresión de la descomposición factorial del trinomio de 2.° grado. Pon un ejemplo. 1

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x + 1 3x – 2 x – 1 1 – = – 4 12 3 4

Resuelve la siguiente ecuación:

b) x 4 – 10x 2 + 9 = 0 x x–1 5 + =– x+3 x+2 2

4 Resuelve la siguiente ecuación:

4 + √x + 2 = x 5

Resuelve la siguiente ecuación: 9x – 6 ∙ 3x – 27 = 0

6 Resuelve la siguiente ecuación:

log (33 – x) = log x – 1 7 María tiene 12 años, y su madre, 40. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple que la de María?

Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 149 cm2 de área, ¿cuál es el área de cada uno de ellos? 8

Resolución de ecuaciones

UNIDAD

11 Funciones algebraicas y trascendentes

¿Para qué sirven las funciones algebraicas y trascedentes? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: FUNCIONES Y EFICIENCIA DEL AIRBAG Las funciones se utilizan en la Ciencia, la Economía y en nuestra vida cotidiana. Un ejemplo de función de proporcionalidad inversa lo encontramos en la ley de Boyle-Mariotte, que se aplica en el funcionamiento del airbag en los vehículos. En una prueba de impacto, o test de choque, se estudia cómo en un choque una unidad electrónica provoca que una sustancia química genere nitrógeno, lo que hace aumentar la presión y en apenas milésimas de segundo se infla la bolsa del airbag. Se tienen 25 L de gas que se encuentran en el interior del airbag a presión de 6 atm. El airbag experimenta un cambio y pasa a ocupar 68 L. ¿Cuál será la presión que ejerce?

En esta unidad descubriremos juntos:

1 ¿Qué es una función racional? 2 ¿Cómo se opera con funciones? 3 ¿Para qué sirve la función exponencial? 4 ¿Para qué sirve la función logarítmica?

e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 11. Funciones algebraicas y trascendentes. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de funciones algebraicas o trascendentes (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir funciones grandes y decoradas. También debes hacer en el cuaderno el Explora de la primera sección.

¿Qué es una función racional?

e Despeja y de la expresión xy = 6. ¿Qué tipo de función es?

1 Representa la función y =

6 x

La constante de proporcionali dad inversa: k = 6 > 0 ⇒ de creciente. x

y = 6/x

… –6 –3 –2 –1 … 1 2 3 6 …

… –1 –2 –3 –6 … 6 3 2 1 …

Una función es racional si es el cociente de dos polinomios. P (x) Q (x) El dominio de definición son todos los números reales menos las raíces del denominador. f (x ) =

Función de proporcionalidad inversa Una función es de proporcionalidad inversa si al multiplicar la variable independiente, x, por un número, la variable dependiente, y, queda dividida por dicho número. Su ecuación es: k ; (k es la constante de proporcionalidad inversa, k ≠ 0) x Su representación gráfica es una hipérbola, que es discontinua para x = 0, tiene como asíntotas los ejes, y es simétrica respecto del origen de coor denadas O(0, 0) y=

La constante de proporcionalidad inversa k es el área del rectángulo que tiene como vértices opuestos un punto cualquiera P (x, y ) de la hipér bola y el punto de corte de las asíntotas.

6 y=– x 6

¿Qué es la función de proporcionalidad inversa?

a) Si k > 0, la hipérbola está en el 1.er y 3.er cuadrantes y es decreciente. b) Si k < 0, la hipérbola está en el 2.o y 4.o cuadrantes y es creciente. Para dibujar la gráfica se hace una tabla de valores. Los valores más cómo dos son los divisores de la constante de proporcionalidad inversa k

Se observa que el rectángulo que tiene como vértices opues tos un punto cualquiera de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas contiene siempre 6 unidades cuadradas de área.

Paso de gráfica a ecuación Dada la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, para calcular k se hallan las coordenadas de un punto cualquiera de la hipérbola y se mul tiplica el valor de la abscisa x por el valor correspondiente de la ordenada y. El mejor punto es el primero en el que la abscisa sea positiva y entera, y la ordenada sea entera.

Y 2

Halla la ecuación de la hipérbola del dibujo de la izquierda.

El primer punto en el que la abscisa es positiva y entera es P (1, – 4) X 4 P(1, – 4)

206

UNIDAD 11

4 x Como k = – 4 < 0, la función es creciente, como puede verse en la gráfica. P (1, – 4) ⇒ k = 1 · (– 4) = – 4 ⇒ y = –

Hipérbola general

Recuerda

Las hipérbolas son las gráficas de las funciones racionales cuyo nume rador es un polinomio de grado cero o uno, y cuyo denominador es un polinomio de 1.er grado.

D (x) d (x) R (x) C (x) D(x ) = d (x )C (x ) + R(x ) D (x) R (x) = C (x ) + d (x) d (x)

Se pueden expresar como traslaciones horizontales y verticales de las fun ciones de proporcionalidad inversa si se dividen los polinomios. 3

x–1 x–3 b) Se escribe la función en la forma:

Dibuja la gráfica de la hipérbola y =

a) Se dividen los polinomios: x–1 x–3 –x + 3 1 2

2 y = 1 + –––– x–3

y=1

2 yy = 1 + x–3

x=3

2 Se tiene la hipérbola y = , trasladada 1 unidad hacia arriba y 3 unidades x hacia la derecha.

Hipérbola general: paso de gráfica a ecuación La ecuación que se busca es de la forma: y = Para hallarla se tiene en cuenta:

k +r x–s

Y A

a) k es el área del rectángulo formado entre un punto cualquiera, P (x, y ) , de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas. Si la hipérbola es creciente, la constante k es negativa y si la hipérbola es decreciente, es positiva.

b) Para hallar r y s se hallan las ecuaciones de las asíntotas, y = r, x = s 4

Halla la ecuación de la hipérbola del dibujo A del margen.

En primer lugar, se añaden al dibujo las asíntotas y un rectángulo relleno. a) Se observa que el rectángulo tiene de área 3 unidades cuadradas. Como la hipérbola es decreciente, k = 3

x = –2

b) Se hallan las ecuaciones de las asíntotas: y = 1 ⇒ r = 1; x = – 2 ⇒ s = – 2 3 La ecuación de la hipérbola es y = +1 x+2

y=1

1. Representa la gráfica de la función y = – 3/x. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. 3x – 5 2. Dibuja la gráfica de la función f (x ) = x–2 Halla:

3 X

3. Halla la ecuación de las siguientes funciones:

a) Su dominio. b) Las ecuaciones de las asíntotas. c) Las discontinuidades.

Funciones algebraicas y trascendentes

207

¿Cómo se opera con funciones?

e Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: (x – 3)2 + (x + 3)(x – 3)

¿Cuáles son las operaciones con funciones? Suma, resta, multiplicación y división de funciones Dominio del cociente En el dominio del cociente de dos funciones hay que excluir las raíces del denominador, ya que no se pue de dividir entre cero. En el ejercicio resuelto 8:

Para sumar, restar, multiplicar y dividir funciones, se operan las ex presiones correspondientes. 5

Halla la suma de las funciones: f (x) = 2x + 5, g (x ) = 3x 2 – 9x ( f + g )(x ) = 2x + 5 + 3x 2 – 9x = 3x 2 – 7x + 5

Dom ( f /g ) = ℝ – {1} =

Dadas las funciones f (x) = 5x 3 + 7x + 1, g (x) = 4x + 3, halla (f – g )(x )

= (– ∞, 1) ∪ (1, + ∞)

(f – g)(x) = 5x3 + 7x + 1 – (4x + 3) = 5x3 + 7x + 1 – 4x – 3 = 5x 3 + 3x – 2

Halla el producto de las funciones f (x) = 3x + 5, g (x ) = 3x – 5

( f ∙ g )(x ) = (3x + 5)(3x – 5) = 9x 2 – 25 Representación f compuesto con g se representa por g ∘ f, para que la función f esté más cerca de la variable x, ya que es la primera que actúa: g ( f (x ))

ℝ

f (x )

g ( f (x ))

x+3

(x + 3)2

x g

(x + 3)2

x+3 Suma 3 x

Eleva al cuadrado

Suma 3

Se representa por g ° f y se lee «f compuesta con g » La composición de funciones no es conmutativa, es decir, g ∘ f no tiene por qué ser igual que f ∘ g 9 Halla la composición g

° f de las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = x

(g ∘ f )(x ) = g (f (x )) = g (x + 3) = (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9 10 Halla la composición f

° g de las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = x f∘g

ℝ ℝ x x2 Consiste en aplicar primero g y luego f

ℝ x2 + 3

(f ∘ g)(x ) = f (g (x)) = f (x2) = x 2 + 3 208

UNIDAD 11

Consiste en aplicar primero f y luego g ; observa que f le suma tres a lo que hay entre paréntesis y g lo eleva al cuadrado:

x2 + 3

x2 Eleva al cuadrado

Composición de funciones La función compuesta de las funciones f y g es la función que transfor ma la variable independiente x en g (f (x ))

g∘f f

Dadas las funciones f (x) = 3x + 2, g (x) = x – 1, halla (f /g)(x) 3x + 2 (f /g )(x) = x–1 8

Función inversa

La función inversa de la función f se representa por f – 1. Verifica que si f (x ) = y, entonces f – 1(y ) = x. Como consecuencia, se verifica que: ( f – 1 ∘ f )(x ) = x

f –1(x) = x + 3 X

(f ∘ f – 1)(x) = x

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes, y = x

f (x) = x2 – 3, x ≥ 0

y=x

Para que exista la función inversa, se debe cumplir que a cada valor de y le corresponda un único valor de x. De no ser así, la inversa no es función. Halla la fórmula de la si guiente función:

Procedimiento para hallar la función inversa

Para hallar la función inversa, se sigue el procedimiento: Procedimiento

Ejemplo: y = x – 3, x ≥ 0 2

a) Se intercambian la x y la y

x = y2 – 3

b) Se despeja la y

– y 2 = – x – 3 ⇒ y 2 = x + 3 ⇒ y = √x + 3

c) Se escribe la fórmula.

f – 1(x ) = √ x + 3 con x ≥ – 3

Función irracional y = √x – 5

Una función es irracional si la variable independiente x está bajo el signo radical. Si el índice es par, el dominio son los valores de x para los que el radicando es mayor o igual que cero; si el índice es impar, el dominio es toda la recta real ℝ.

11 Halla el dominio de la función f (x) = √ x + 1 y represéntala.

x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1 ⇒ Dom(f ) = [– 1, + ∞)

La gráfica corresponde a una rama de una parábola. x

–1

…

y = √x + 1

…

4. Dadas las siguientes funciones:

f (x ) = (x – 3)2

g (x ) = x 2 – 9

calcula: a) f + g

8. Clasifica la función f (x ) = √ x + 4, halla su dominio y represéntala.

b) f – g

5. Dadas las siguientes funciones:

f (x) = (x + 1)2

7. Dada f (x ) = 3x + 1, calcula f – 1, representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas?

9. Halla la fórmula de las siguientes funciones:

g (x) = (x + 1)(x – 1)

calcula:

a) f ∙ g

b) f /g

c) Dom(f /g )

6. Dadas las siguientes funciones:

f (x) = 5x – 4 calcula: a) g ° f

b) X

g (x) = x 2 + 3x – 1

b) f ° g

Funciones algebraicas y trascendentes

209

¿Para qué sirve la función exponencial?

e Calcula mentalmente las 10 primeras potencias enteras positivas de 2

¿Cómo es la función exponencial? y = ex

Una función es exponencial si la variable independiente está en el expo nente. Es de la forma:

(1, e)

f (x) = a x siendo a > 0 y a ≠ 1

(0, 1)

Las características generales de las funciones exponenciales son: a) El dominio de definición son todos los números reales. b) Son continuas y siempre pasan por el punto (1, a ) c) El eje X es una asíntota horizontal. d) Cortan al eje Y en el punto (0, 1). No cortan al eje X e) Son crecientes si a > 1, y decrecientes si 0 < a < 1

f ) Son siempre convexas (∪)

y = 2x

g) El recorrido o imagen es: Im(f ) = (0, + ∞)

(1, 2) (0, 1)

13 Representa la función f (x ) = 2x

Se hace una tabla de valores: x

()

y= 1 =2 2

y=2

–x

(–1, 2) (0, 1)

()

y= 1 =2 2 (–1, 2)

(1, 2) (0, 1)

–2

–1

…

1/8

1/4

1/2

…

()

1 x = 2–x 2

…

–3

–2

–1

…

1/2

1/4

1/8

…

Observando los dos ejercicios resueltos anteriores se puede afirmar que las gráficas de las funciones exponenciales f (x ) = 2x, f (x ) = (1/2)x son simétricas respecto del eje Y. Esto es debido a que la función exponencial f (x ) = (1/2)x es igual a la función f (x ) = 2 – x

y=2

–x

–3

14 Representa la gráfica de la función f (x ) =

y = (1/2)

…

Paso de gráfica a ecuación En el cálculo de a, se pueden presentar dos casos: • Si la función es creciente, a > 1, a es la ordenada de la curva para x = 1

Y A

• Si la función es decreciente, 0 < a < 1, a es el inverso de la ordenada de la curva para x = – 1 X

15 Halla la ecuación de la función exponencial del dibujo A.

Como es creciente, a > 1. La ordenada para x = 1 es 5 ⇒ y = 5x 210

UNIDAD 11

Traslaciones de las funciones exponenciales Si la función exponencial y = a x se traslada r unidades verticalmente y s unidades horizontalmente, en la nueva fórmula se tiene que sumar r y sustituir x por x – s. Se obtiene: y = r + a x – s

Y y = 1 + 2x – 3

La asíntota horizontal también se traslada r unidades. Su ecuación es y = r

y=1 16 Representa la función y = 2

trasladada tres unidades hacia la de recha y una hacia arriba. Halla la ecuación de la función trasladada. x

El dibujo está en el margen. La nueva ecuación es y = 1 + 2x – 3. La ecuación de la asíntota es y = 1

Paso de gráfica a ecuación en el caso general La fórmula general de una función exponencial es y = r + a x – s Para hallar r, s y a se sigue el procedimiento: Y

a) Se dibuja la asíntota horizontal y se halla su ecuación y = r

b) Se marca el punto de ordenada r + 1. La abscisa correspondiente es s c) En el cálculo de a, se pueden presentar dos casos:

• Si la función es creciente, a > 1, se marca el punto de la gráfica cuya abscisa sea s + 1, y a es la distancia que hay desde el punto a la asíntota. • Si la función es decreciente, 0 < a < 1, se marca el punto de la gráfica cuya abscisa sea s – 1, y a es el inverso de la distancia que hay desde el punto a la asíntota. Y

17 Halla la ecuación de la función exponencial del dibujo A del

margen.

(5, 5) (4, 3)

a) Se dibuja la asíntota, y = 2 ⇒ r = 2

y=2X

b) Se marca el punto de ordenada r + 1, que es (4, 3) ⇒ s = 4 c) Como la función es creciente ⇒ a > 1, se marca el punto de abscisa s + 1, que es (5, 5). La distancia del punto (5, 5) a la asíntota es 3 ⇒ a = 3 La ecuación es y = 2 + 3x – 4

10. Representa la función: f (x ) = 4x

()

1 11. Representa la siguiente función: f (x ) = 3

12. Representa la función: f (x ) = – 3 + 4x – 2 13. Representa la siguiente función: x+1 1 f (x ) = – 2 + 3

()

15. Halla la ecuación de cada una de las siguientes fun ciones exponenciales que están definidas por su grá fica.

14. Una célula se reproduce por bipartición cada minu to. Halla la función que expresa el número de células en función del tiempo y represéntala gráficamente.

Funciones algebraicas y trascendentes

211

4 ¿Para qué sirve la función logarítmica?

e Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: a) log 2 8

b) log 2 1/8

La función logaritmo neperiano

Las características generales de la función logarítmica son: a) El dominio de definición son los números reales positivos: (0, + ∞) b) Son continuas y siempre pasan por el punto (a, 1) c) El eje Y es una asíntota vertical. d) Cortan al eje X en el punto (1, 0). No cortan al eje Y e) Son crecientes si a > 1, y decrecientes si 0 < a < 1 f ) Son cóncavas (∩) si a > 1, y convexas (∪) si 0 < a <1 g) El recorrido o imagen son todos los números reales: Im(f ) = ℝ 18 Representa la función logarítmica f (x ) = log

x Se hace una tabla de valores y se representa la figura A.

X (1, 0) (2, –1) y = log1/2 x

Y y = log2 x X y = log1/2 x

UNIDAD 11

4 8 …

y = log 2 x

… –3 –2 –1 0

2 3 …

Como la función logarítmica y = log 2 x es la inversa de la función exponencial y = 2x, sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x. Esto se observa en la figura de la derecha.

212

… 1/8 1/4 1/2 1

y = 2x

X y = log 2 x

(1, 0)

y = log2 x

19 Representa la función logarítmica f (x ) = log

x = – log 2 x 1/2 Se hace una tabla de valores y se representa la figura B. Y

… 1/8 1/4 1/2 1 2

y = log 1/2 x

…

8 …

0 –1 –2 –3 …

Como la función logarítmica y = log1/2 x es la inversa de la función exponencial y = (1/2)x, sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x. Esto se observa en la figura de la derecha.

()

y= 1 2

y = ln x

y = log 1/2 x

(2, 1)

e) log 2 1

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = a x y se representa por: f (x) = log a x, siendo a > 0 y a ≠ 1

d) log 1/2 1/8

¿Cómo es la función logarítmica?

La función y = ln x es la inversa de y = e x, y se utiliza con mucha frecuencia. Su gráfica es simétrica de y = ex respecto de la recta y = x

y = ex

c) log 1/2 8

Observando los dos ejercicios resueltos anteriores se puede afirmar que las gráficas de las funciones logarítmicas f (x ) = log 2 x y f (x ) = log 1/2 x son simétri cas respecto del eje X. Esto es debido a que la función logarítmica f (x ) = log 1/2 x es igual a la función f (x ) = – log 2 x

Traslaciones de las funciones logarítmicas Si se traslada la función logarítmica y = log a x, r unidades vertical mente y s unidades horizontalmente, en la nueva fórmula se tiene que sumar r y sustituir x por x – s. Se obtiene: y = r + log a (x – s)

La asíntota vertical también se traslada s unidades. Su ecuación es x = s

y = 3 + log2 (x – 1) X

20 Representa la función y = log

x trasladada una unidad hacia la derecha y tres hacia arriba. Halla la ecuación de la función trasla dada.

x=1

La nueva ecuación es y = 3 + log 2 (x – 1). La ecuación de la asíntota es x=1

Paso de gráfica a ecuación La fórmula general de una función logarítmica es: y = r + log a (x – s) Para hallar r, s y a se sigue el procedimiento: Y

a) Se dibuja la asíntota vertical y se halla su ecuación x = s

b) Se marca el punto de abscisa s + 1. La ordenada correspondiente es r c) En el cálculo de a se pueden presentar dos casos:

• Si la función es creciente, a > 1, se marca el punto de la gráfica cuya ordenada sea r + 1, y a es la distancia que hay desde el punto a la asín tota. • Si la función es decreciente, 0 < a < 1, se marca el punto de la gráfica cuya ordenada sea r – 1, y a es el inverso de la distancia que hay desde el punto a la asíntota. Y

21 Halla la ecuación de la función logarítmica del dibujo A del margen.

(5, 5) (3, 4)

a) Se dibuja la asíntota, x = 2 ⇒ s = 2

b) Se marca el punto de abscisa s + 1, que es (3, 4) ⇒ r = 4 x=2

c) Como la función es creciente ⇒ a > 1, se marca el punto de ordenada r + 1, que es (5, 5). La distancia del punto (5, 5) a la asíntota es 3 ⇒ a = 3 La ecuación es y = 4 + log 3 (x – 2)

16. Representa la siguiente función: f (x ) = log 3 x 17. Representa la siguiente función: f (x ) = log 1/4 x 18. Representa la función: f (x ) = 1 + log 3 (x – 2)

21. Halla la ecuación de cada una de las siguientes fun ciones logarítmicas que están definidas por su gráfica:

19. Representa la siguiente función:

f (x ) = – 3 + log 1/4 (x – 2)

20. Dada la función siguiente: y = – 1 + 2x – 3, calcula la función inversa, representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas en las gráficas?

Funciones algebraicas y trascendentes

213

22 Dibuja la gráfica de la fun

ción:

f (x ) = Halla:

–x + 5 x–3

–x + 5 x–3 2

x–3 –1

⇒ f (x ) = – 1 +

2 x–3

a) Dom ( f ) = ℝ – {3} = (– ∞, 3) ∪ (3, + ∞)

b) Asíntotas:

a) Su dominio.

• Asíntota vertical: x = 3

b) Las ecuaciones de las asín totas.

• Asíntota horizontal: y = – 1

c) Las discontinuidades.

c) Es discontinua en x = 3

23 Dibuja la gráfica de la si

Es la función y = 3x trasladada 2 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la izquierda.

guiente función y descríbela como traslación:

Y y = 3x

y = 2 + 3x + 1

f (x ) = 2 + 3x + 1

a) Se intercambian la x y la y

24 Dada la función

y = x2 – 5 ⇒ x = y2 – 5

y = x 2 – 5; x ≥ 0 halla la función inversa.

b) Se despeja la y

Representa ambas funciones en los mismos ejes y di qué observas.

c) Se escribe la función inversa:

f –1 (x) = √x + 5 X

– y 2 = – x – 5 ⇒ y 2 = x + 5 ⇒ y = √x + 5 f

y=x f (x) = x 2 –5

(x) = √ x + 5; x ≥ – 5

–1

Las funciones son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er y 3.er cuadrantes, que es la recta y = x

22. Halla el dominio de las funciones: 2x – 7 b) y = √ x – 2 a) y = x–3 23. Halla el dominio de las funciones:

a) y = 3x + 5

b) y = log 2 (x – 1)

24. Halla las discontinuidades de las funciones:

a) y =

214

x+1 x–4

UNIDAD 11

b) y =

x–5 x+3

Clasifica las siguientes funciones. Represéntalas y halla su crecimiento: x+1 25. a) y = b) y = √ x – 2 x–2 – 2x + 1 26. a) y = – 4 + 2x + 3 b) y = x+1 b) y = 3 + log2 (x + 2) 27. a) y = √ x + 4 28. a) y = – 3 +

() 1 2

b) y = log 1/2 (x – 3)

sigue la función 4x + 15 f (x) = x+1 donde x es el tiempo trans currido en horas y f (x) la temperatura en °C a) Representa la gráfica. b) ¿Qué temperatura tenía el alimento al introdu cirlo en el frigorífico? c) ¿Qué significado tiene la asíntota horizontal? La concent ración de material radiactivo en unos minerales viene dada por la función: 26

f (t ) = 1 000 · 4 – t donde t es el tiempo transcu rrido medido en cientos de años. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que se tenga una concentración de 250?

1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

f (x ) da la temperatura en función del tiempo, x, en horas.

a) Gráfica:

2. Preguntas: • Representa la gráfica. • ¿Cuál es la temperatura inicial del alimento? • ¿Qué significa la asínto ta horizontal?

b) f (0) = 15 °C

Temperatura (°C)

La temperatura de un alimento que se introduce en un frigorífico 25

c) Asíntota horizontal: 15 4x + 15 x + 1 10 – 4x – 4 4 5 X 11 5 10 15 20 25 11 f (x ) = +4 Tiempo (h) x+1 La asíntota horizontal es y = 4 y significa que la temperatura a la que se aproxima con el paso del tiempo es 4 °C

4. Solución: La temperatura inicial es de 15 °C y esta tiende a 4 °C 1. Datos:

3. Planteamiento y operaciones:

• f (t ) da la concentración en función del tiempo, t, en cientos de años.

1 000 · 4– t = 250 4– t = 0,25

2. Pregunta:

– t log 4 = log 0,25

• ¿Qué tiempo debe pasar para que la concentra ción sea de 250?

t log 4 = – log 0,25 t=–

log 0,25 =1 log 4

4. Solución: Deben pasar 100 años.

29. Un fármaco, cuya dosis inicial es de 500 mg, dis minuye su presencia en el cuerpo un 20 % cada hora.

a) Calcula la función que da la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo en función del tiempo. b) ¿Qué cantidad de medicamento habrá en el orga nismo 4 horas después de la ingestión inicial? c) ¿Cuántas horas deben transcurrir para que la canti dad de medicamento en el cuerpo sea de 94 mg? 30. Se desea pintar una nave por 12 000 €. El dinero se lo reparten en partes iguales los pintores que ha cen el trabajo. Calcula la función que expresa lo que cobra cada uno en función del número de pintores.

31. Un coche eléctrico tiene una autonomía de 240 km. Se sabe que sus baterías tienen una pérdida media de almacenamiento de 2,3 % al año.

a) Calcula la función que expresa la autonomía en fun ción del tiempo. b) Calcula la autonomía del coche a los 5 años de uso. c) ¿Cuántos años deben transcurrir para que la autono mía sea de 190 km? 32. Un grifo con un caudal de 25 L/min tarda en llenar un depósito de 4 h. Calcula la función que da el cau dal del grifo en L/h en función del tiempo en horas. Clasifica la función obtenida.

Funciones algebraicas y trascendentes

215

41. Halla la fórmula de las siguientes funciones:

¿Qué es una función racional?

33. Representa la gráfica de la función y = 2/x, cal cula el valor de la constante de proporcionalidad, e indica si esta es creciente o decreciente. 3x + 1 34. Dibuja la gráfica de la función f (x ) = x+1 Halla:

a) Su dominio.

¿Para qué sirve la función exponencial?

b) Las ecuaciones de las asíntotas.

c) Las discontinuidades.

42. Representa la siguiente función: f (x ) = 3x

35. Halla la ecuación de las siguientes funciones:

43. Representa la función f (x ) =

() 1 4

44. Representa la siguiente función: f (x ) = 2 + 3x – 1

45. Representa la función f (x ) = 1 +

() 1 4

x+3

46. Halla la ecuación de las siguientes funciones defi nidas por su gráfica:

¿Cómo se opera con funciones?

36. Dadas las siguientes funciones:

g (x ) = (x – 5)2

f (x ) = (x + 5)2 calcula: a) f + g

b) f – g

37. Dadas las siguientes funciones:

f (x ) = x 2 – 16

g (x ) = (x + 4)2

calcula: a) f ∙ g

b) f /g

c) Dom(f /g ) g (x ) = x

calcula: a) g ∘ f 39. Calcula f

b) f ∘ g –1

dada la siguiente función: f (x ) = √ x + 5

Representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas? 40. Clasifica la función f (x ) = √ x – 1, halla su dominio y represéntala.

216

UNIDAD 11

4 ¿Para qué sirve la función

logarítmica?

38. Dadas las siguientes funciones:

f (x ) = 2x + 5

47. Un estanque contiene 8 hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente.

48. Representa la siguiente función:

f (x ) = log 4 x 49. Representa la siguiente función:

f (x ) = log 1/3 x 50. Representa la siguiente función:

f (x ) = 2 + log 4 (x – 3) 51. Representa la siguiente función:

f (x ) = – 1 + log 1/3 (x + 2)

52. Halla la ecuación de las siguientes funciones defi nidas por su gráfica:

53. Halla la función inversa de y = 3 + log 2 (x – 1), representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas en las gráficas? 54. Halla la función inversa de:

y = 3 + 2x – 1 Representa ambas funciones y la recta y = x. ¿Qué observas en las gráficas?

55. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes fun ciones definidas por su gráfica:

60. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes fun ciones definidas por su gráfica:

56. Un árbol crece durante los tres primeros años se gún la función y = – 1 + 2x. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol.

61. Calcula la función inversa de f (x ) = √ x + 1. Repre senta ambas funciones en unos mismos ejes coorde nados, y la recta y = x. ¿Qué observas?

57. Dadas las funciones:

Representa en unos mismos ejes coordenados las si guientes funciones y luego halla los puntos de corte:

f (x ) = x 2 + 1

62. y = x 2

g (x ) = √ x – 1, x ≥ 1

y = √x 2 y= x y = 2 + log 2 (x – 2)

calcula:

63. y = 2x

a) g ° f

64. y = 2x – 2

c) ¿Qué puedes afirmar del resultado obtenido?

Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funcio nes definidas por su gráfica:

b) f ° g

58. Dada la siguiente función: f (x ) =

1 calcula: x

65. a)

a) f ° f

b) ¿Qué puedes afirmar del resultado obtenido?

59. Calcula la función inversa de f (x ) = x – 5, x ≥ 0. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y = x. ¿Qué observas? 2

Funciones algebraicas y trascendentes

217

66. a) a)

b) b)

67. a) a)

68. a) a)

69. a) a)

70. a) a)

71. a)

b) Y b) Y

74. En una granja se dispone de pienso para alimen tar 1 000 pollos durante 40 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. Clasifica dicha función. 75. La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. Si partimos de un millón de bacterias, calcula: a) la función que expresa el número de bacterias en función del tiempo.

b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 24 horas? Da el resultado en notación científica. c) ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para tener 1 024 millones de bacterias? 76. Los ingresos y gastos, en millones de euros, de una empresa en función del número de años que lle va funcionando vienen dados por: g (x ) = 3x i (x ) = 8x – x 2 a) Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa.

b) Y b) Y

b) b)

73. a)

b) b)

b) b) Y

b) b)

72. a) a)

b) b)

b) ¿Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? 77. Las diferencias de presiones, que aparecen al ascen der por una montaña, son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Se ha probado experimentalmente que la presión viene dada por la fórmula y = 0,9x, donde y se mide en atmósferas, y x, en miles de metros. a) Representa dicha función. b) ¿Qué presión hay a 3 000 m de altura? c) ¿A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0,59 atmósferas?

218

UNIDAD 11

78. Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área x m2. Clasifica la función ob tenida.

85. a)

a) Y

79. Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. Si se devalúa un 18 % anualmente, calcula:

a) la función que expresa el valor en función del nú mero de años; b) el valor que tendrá al cabo de 10 años;

86. a)

87. a)

a) Y

Yb)

80. El alquiler de un piso es de 500 € mensuales. Si en el contrato se hace constar que se subirá un 3 % anual, calcula:

b) Y

c) ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que val ga la mitad del precio inicial?

a) la función que expresa el precio del alquiler en fun ción del número de años;

b) el precio del alquiler al cabo de 10 años; c) ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el alquiler? 81. Un bosque tiene 5 m3 de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 10 % al año, calcula:

a) la función que expresa el volumen de madera en función del número de años; b) el volumen que tendrá al cabo de 15 años; c) ¿cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen? 82. Calcula la función inversa de f (x ) = e x. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y = x. ¿Qué observas en las gráficas? 4 83. Calcula la función inversa de f (x ) = . ¿Qué pue x des afirmar viendo el resultado que has obtenido?

Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funcio nes definidas por su gráfica: 84. a)

88. Para recolectar las fresas de una huerta, 20 tra bajadores tardan 5 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajado res. Clasifica la función obtenida. 89. Halla la función que calcula la longitud del radio de un círculo de área x m2. Clasifica la función obtenida. 90. Se define el periodo radioactivo como el tiem po necesario para que la mitad de los átomos de un isótopo se hayan desintegrado, emitiendo radiacio nes. El actinio tiene un periodo de desintegración de 30 años. Escribe la función que calcula la cantidad de actinio en función del número de años. Si tenemos inicialmente 25 g de actinio, al cabo de 150 años ¿cuánto actinio tendremos? 91. Un capital de 30 000 € se deposita en un banco a interés compuesto del 5 %. Calcula: a) la función que expresa el valor del capital en fun ción del número de años;

b) el valor que tendrá al cabo de 15 años; c) ¿Cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el capital inicial? Funciones algebraicas y trascendentes

219

COMPETENCIAdigital con Geogebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos)

Halla la ecuación de la siguiente función:

Halla la ecuación de la siguiente función: Y

SOLUCIÓN

En GeoGebra elige el applet: CUESTIONA RIO: Hipérbola general, y = k/(x – s) + r Representación.

En GeoGebra elige el applet: Traslaciones de las funciones exponenciales.

Si y = k/(x – s) + r, escribe los valores de los coeficientes: k = 2 r = –1 s= 3

y = 1 + 3x

3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Una tormenta ha anegado un garaje. Sabemos que 2 autobombas lo desaguan en 18 horas. a) Halla la función que calcule el tiempo que se tarda en desaguar en función del número de autobombas. b) ¿Cuántas autobombas se necesitarán si se quiere desaguar el garaje en 4 horas? SOLUCIÓN

a) f (x ) = 36/x

b) N.o de autobombas = 9

4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Un cultivo de bacterias tiene una población inicial de 1 000 individuos y se sabe que se reproduce de forma exponencial al ritmo del 5 % cada hora. a) Escribe una función que exprese el número de bacterias en el cultivo en función del tiempo en horas. b) Calcula cuánto tiempo, en días, transcurrirá para que haya 18 679 bacterias. SOLUCIÓN

a) N (t ) = 1 000(1 + 0.05)t b) Tiempo = 2,5

220

UNIDAD 11

días

COMPRUEBO mis COMPETENCIAS Ley de BoyleMariotte En Química se estudia la ley de BoyleMariotte, que dice que dada una determinada cantidad de gas a temperatura constante, la presión es inversamente proporcional al volumen. 92. Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de BoyleMariotte, y clasifícala. 93. Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de BoyleMariotte, sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = 3 atmósferas, V = 4 litros. Represéntala gráficamente.

e 1

Define función exponencial y pon un ejemplo.

2 Clasifica y representa la función y = 4/x, calcula el valor de la constante de proporcionalidad,

indica si la función es creciente o decreciente y di si es continua.

3 Halla la función inversa de f (x ) = x 2 – 1, x ≥ 0. Representa ambas funciones y la recta y = x.

¿Qué observas?

4 Clasifica, halla el dominio y representa la función:

Clasifica y halla la ecuación de las siguien tes funciones definidas por su gráfica. 5

Clasifica y halla la ecuación de las siguien tes funciones definidas por su gráfica. 6

f (x ) = 3 + log 2 (x + 1)

b) X

Para hacer la revista del centro, 8 alumnos tardan 6 días. Calcula la función que expresa el número de días en función del número de alumnos. Clasifica la función obtenida. 7

Una ciudad tiene un índice de crecimiento de población del 0,5 %. Si en el año 2000 tenía 3 millones de habitantes, escribe la función que calcula la población en función del número de años. ¿Cuántos habitantes tendrá en el año 2050? 8

Funciones algebraicas y trascendentes

221

SESIÓN 1

Los juegos Toda esta actividad puede realizarse de forma individual o en grupo si tu profesor o profesora lo estima oportuno. Te proponemos investigar sobre un problema inspirado en un concurso de televisión llamado Let’s Make a Deal, presentado por Monty Hall. El concurso se basaba en lo siguiente: Un concursante se situaba frente a tres puertas cerradas. Detrás de una de estas puertas había un coche, y detrás de las otras, dos cabras. Evidentemente, el objetivo del concursante era adivinar en cuál de ellas estaba el coche, sin tener ninguna pista disponible. Imagina que eres el concursante y eliges una puerta. Una vez que hayas elegido, el presentador (que sabe lo que se esconde detrás de cada puerta) te interrumpe y te ofrece una ayuda un tanto extraña: Abre una puerta (obviamente hay una cabra) y nos pregunta si queremos cambiar de opción.

e Realizamos una investigación previa. 1 Hacernos una pregunta. ¿Sigo con mi elección o cambio? ¿Con qué opción tengo más probabilidades de ganar? 2 Investigar el tema. Se realiza una simulación de la situación y se investiga cuál es la mejor opción. 3 Tomar una hipótesis. Se toma la opción que crees mejor. Al abrir la puerta sin premio, ¿será mejor cambiar de opción? ¿Tú qué opinas? 4 Comprobar la hipótesis haciendo el experimento. Coge tres vasos de plástico opacos y ponles un número (1, 2, 3) y tapa con uno de ellos un objeto pequeño, por ejemplo una bolita de papel. Tú eres el presentador y ahora pide a 12 compañeros que juegen. Uno elige un vaso y luego tú levantas uno que no tenga la bolita. Él puede cambiar de vaso o quedarse con la primera elección. Anota los resultados en una tabla como la siguiente. Por ejemplo:

Elige

1 3

...

Levantas

...

Estaba

...

SESIÓN FINAL

5 Analizar los datos y sacar una conclusión. Analiza los datos obtenidos en la tabla anterior y valora si es mejor cambiar de opción o quedarse con la primera opción.

Analiza el juego Monty Hall.

e 1

Para analizar mejor los resultados completa en tu cuaderno una tabla como la siguiente: El concursante elige

Le enseñan B Cambia a C Pierde

Le enseñan C Cambia a A Gana

Le enseñan B Cambia a A Gana



El resultado está en

Teniendo en cuenta los resultados de la tabla, ¿cuál es la probabilidad de ganar si se cambia de puerta?

3 Generaliza matemáticamente y calcula la probabilidad de ganar si no se cambia de puerta y la de ganar cuando siempre se cambia.

304

Situación de aprendizaje

Pensamiento computacional SESIÓN 1

En clase de 4.º de ESO de Sara, la profesora les ha dicho que deben aprender a representar y reconocer funciones elementales de una forma interactiva con estrategias en la interpretación y modificación. Aprende a representar funciones cuadráticas manualmente utilizando el ordenador, la tablet o el móvil de una forma interactiva. Abre el applet: Parábola: Función cuadrática, y = ax² + bx + c, aprende a representarla manualmente. Vete activando las distintas casillas de control del procedimiento para representar manualmente una parábola, observa bien los distintos pasos porque luego tendrás que realizar un cuestionario que te los irá pidiendo y por último tendrás que realizar otro cuestionario en el que te dibujará la parábola y tú tendrás que hallar la fórmula, que es el paso inverso a la representación, mucho más difícil, pero es la mejor forma de adquirir soltura en el conocimiento de la parábola. Representa también las 3 parábolas del EJERCICIO PROPUESTO

SESIÓN 2

• Abre el vídeo: La parábola y los números impares. Observa la relación de la parábola con los números impares porque te ayudará a representarla manualmente. • Abre el applet: CUESTIONARIO: Parábola, y = ax² + bx + c. Representación. Hazlo tantas veces como sea necesario hasta obtener un 10 • Abre el applet: CUESTIONARIO: Parábola, y = ax² + bx + c. Paso de gráfica a ecuación. Hazlo tantas veces como sea necesario hasta obtener un 10

Aprende a representar hipérbolas utilizando el ordenador, la tablet o el móvil de una forma dinámica.

e • Abre los applets de las funciones racionales y trabájalos de igual forma. • Abre los applets de las funciones irracionales y trabájalos de igual forma. • Abre los applets de las funciones exponenciales y trabájalos de igual forma.

SESIÓN FINAL

• Abre los applets de las funciones logarítmicas y trabájalos de igual forma.

En nuestro Portfolio del curso de Moodle te proponemos que, en el bloque General, ejercites con el apartado de Funciones. En primer lugar está un PDF con un resumen de todas las funciones y, a continuación, se presentan CUESTIONARIOS por tipos de funciones. En último lugar, cuando ya tengas soltura con todos los tipos de funciones está el CUESTIONARIO, que te pregunta aleatoriamente todas las funciones. Estos CUESTIONARIOS se corrigen automáticamente y recogen todas las pruebas que hagas con todos tus aciertos y fallos. Recomendamos que los vayas repasando a lo largo del curso.

Situación de aprendizaje

245

e SENTIDO ESPACIAL Y DE MEDIDA 1

Rectángulo áureo o de oro. Un rectángulo áureo o de oro es aquel cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea. El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él se puede obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, el rectángulo que queda después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. x 1

x–1 1

Comprueba que el rectángulo inicial y el que queda al quitar el cuadrado son semejantes y su proporción es la razón áurea.

244

Toma medidas en el rectángulo superpuesto sobre la imagen del cuadro de la Gioconda y determina si los rectángulos son de oro.

Actividades de ampliación

e SENTIDO ALGEBRAICO. MODELO MATEMÁTICO Problema de aplicación. En un almacén se tienen 2 000 kg de alimento perecedero que se pueden vender a 20 céntimos de euro el kilogramo, pero si se venden más tarde, el precio aumenta en 2 céntimos de euro el kilogramo cada día. También se sabe que cada día que pasa se pierden 50 kg de dichos alimentos. Calcula cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos. a) Copia en tu cuaderno, completa la siguiente tabla y escribe una función f(x) que exprese el ingreso por la venta de alimento en función del número de días, x, que se espera para venderlo.

Masa inicial (kg)

Precio inicial (cts.)

Días que se espera

Nueva masa (kg)

Nuevo precio (cts.)

Total (cts.)

2 000

40 000



1 950

42 900



…



…



b) Copia en tu cuaderno los siguientes ejes y representa dicha función:

Dinero (cts.)

65 000 60 000 55 000 50 000 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0

X 0 5

Tiempo (días)

c) Justifica que el resultado corresponde a un máximo utilizando la derivada de la función.

Actividades de ampliación

249

e SABERES I. Aritmética Resuelve:

Calcula la longitud x del segmento rojo en el dibujo siguiente. Clasifica el resultado obtenido.

La expresión

(– t )4 t –2

a) t – 1

1 cm

t –3

es igual a:

b) t 3 c) t 5 d) t – 2

1 cm

El resultado de racionalizar la expresión 1

1/2 cm x

1 + √2

es:

2 Escribe en forma de intervalo la desigualdad

a) 1 + √ 2

| x + 1| < 3

b) – 1 + √ 2 c) – 1 – √ 2

3 En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 100 km, 100 m. ¿Qué error relativo es mayor?

Contesta en tu cuaderno:

cuántos ceros acaba el número 13

125 · 6 a) 4 b) 13

3 9

b) √ 3x2 9

c) √ x2 3

d) √ x2

10 Sabiendo que ln a = 0,6 y ln b = 2,4, calcula:

c) 12 d) 9

5 El resultado de calcular √ 20 – 1 √ 45 + √ 125 es:

a) 15 √ 15 b) √ 5 c) 11 √ 5 d) 6 √ 5

6 La expresión 5 √ 2 ∙ √ 2 ∙ √ 8 es igual a:

1 3 b) 0,6 d) 1

Resuelve:

11 Aplica la definición de logaritmo y calcula el valor de x en cada caso:

d) 10 √ 6

d) logx 125 = – 3

Actividades de recuperación

ab a2

c) – 1

c) 20 √ 6

b) 20 √ 3

√ 3

a) x = log4 16 1 b) x = log3 27 c) log2 (8x) = 4

a) 10 √ 3

306

El resultado de calcular √ x4 : √ x6 es: a) √ x

4 Aplica las propiedades de las potencias y calcula en 4

d) 1 – √ 2

e SABERES II. Álgebra Resuelve los siguientes ejercicios:

Desarrolla el binomio:

12 Resuelve la siguiente inecuación: 22

(2 + x )

2 Factoriza el siguiente polinomio, halla sus raíces y su multiplicidad: P (x ) = x 4 – 3x 3 – 3x 2 + 7x + 6

13 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: x + y ≥ 3⎫

3 Calcula y simplifica:

x2 + 5x + 4 < 0

2x + 1 2x + 7 + –2 : 2x – 4 2x + 4

x–1 –1 x–2

4 Resuelve la siguiente ecuación:

⎬

2y – x ≥ 1 ⎭

14 Halla el valor de k para que el siguiente polinomio: P(x) = x4 – kx3 + 8x + 3

x–3 2 3 + = 4 x+3 4

5 Resuelve la siguiente ecuación:

sea divisible por el binomio x–1

x – √ 16 + x2 = – 2

6 Resuelve la siguiente ecuación: x

25 – 30 · 5x + 125 = 0

7 Resuelve la siguiente ecuación:

15 Halla tres números enteros consecutivos tales que la diferencia entre su producto y el cubo del menor sea 901

16 Hace 3 años la edad de un padre era el cuádruple de

2 log x = log (5x – 6)

8 Resuelve el siguiente sistema:

la de su hijo. Dentro de dos años, la edad que tenga el padre será el triple de la del hijo. Calcula la edad del padre y la del hijo actualmente.

x–2 y+3 4 + = ⎫ 6 4 3 ⎪ ⎬ x+2 y–6 + =2⎪ 2 5 ⎭

17 Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo

9 Resuelve el siguiente sistema e interpreta geométri-

18 Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabien-

camente el resultado: y = x 2 + 2x – 4 ⎫ ⎬ y=x–2

10 Resuelve el siguiente sistema:

⎭

3x – 2y + 1 = – 5 ⎫

⎬

3x – 1 + 2 y = 25 ⎭

11 Resuelve la siguiente inecuación: x+5 ≥0 x–3

que el largo más el ancho miden 16 m y su área es de 63 m2

do que su área es la novena parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 8 cm más largo.

19 En la compra de un ordenador y una impresora se han pagado 800 €. Si en el ordenador hubieran hecho un descuento del 25 % y en la impresora, del 30 %, se habrían pagado 590 €. ¿Cuál es el precio de cada objeto?

20 Se mezclan 60 kg de café natural con 90 kg de café torrefacto y se vende a 7,04 €/kg. Si el café natural es 0,6 €/kg más caro que el torrefacto, ¿cuál era el precio de cada clase de café?

Actividades de recuperación

307

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