Operació món: Matemàtiques I. Batxillerat (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLOU

PROJECTE DIGITAL

Ba lear

Ill

BATX ILLE RAT

MATEMÀTIQUES I José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

ió

c ra

O mó

Índex Els sabers bàsics del curs

B reu història de les matemàtiques 10 ..

Unitat inicial 0 Resolució de problemes

...................................... 14

• Anàlisi d’algunes estratègies Problemes per practicar

BLOC I.

4 F órmules i funcions trigonomètriques

Aritmètica i àlgebra

1 Nombres reals

.. ....................................................................... 34

1. 2. 3. 4.

Llenguatge matemàtic. Conjunts i símbols Nombres reals. La recta real Logaritmes Expressió decimal dels reals. Nombres aproximats 5. Concepte de successió 6. Algunes successions especialment interessants Exercicis i problemes Autoavaluació

2 Àlgebra

. . ...............................................................................................

Polinomis. Factorització Fraccions algebraiques Resolució d’equacions Resolució de sistemes d’equacions Inequacions i sistemes d’inequacions amb una incògnita 6. Inequacions lineals amb dues incògnites Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc I

.................................................. 132

1. En què consisteixen els nombres complexos 2. Operacions amb nombres complexos en forma binòmica 3. Nombres complexos en forma polar 4. Operacions amb complexos en forma polar 5. Radicació de nombres complexos 6. Nombres complexos amb la calculadora 7. Descripcions gràfiques amb nombres complexos Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc II

Geometria

6V ectors

................................................................................................. 158

1. Els vectors i les seves operacions 2. Coordenades d’un vector 3. Producte escalar de vectors Exercicis i problemes Autoavaluació

Trigonometria i nombres complexos 1. Raons trigonomètriques d’un angle agut (0° a 90°) 2. Raons trigonomètriques de qualsevol angle (0° a 360°) 3. Angles fora de l’interval 0° a 360° 4. Trigonometria amb calculadora 5. Relacions entre les raons trigonomètriques d’alguns angles 6. Resolució de triangles rectangles

1. Fórmules trigonomètriques 2. Equacions trigonomètriques 3. Funcions trigonomètriques Exercicis i problemes Autoavaluació

BLOC III.

BLOC II.

........................................

.......................................................... 114

5 Nombres complexos

1. 2. 3. 4. 5.

3 Resolució de triangles

7. Resolució de triangles obliquangles. Estratègia de l’altura 8. Dos importants teoremes per resoldre qualsevol triangle Exercicis i problemes Autoavaluació

7 Geometria analítica

................................................

174

1. Punts i vectors en el pla 2. Equacions d’una recta 3. Feix de rectes 4. Reflexions sobre equacions amb i sense «paràmetres» 5. Paral·lelisme i perpendicularitat 6. Posicions relatives de dues rectes 7. Angle de dues rectes 8. Càlcul de distàncies Exercicis i problemes Autoavaluació

8 Llocs geomètrics. Còniques

............... 202

1. Llocs geomètrics 2. Estudi de la circumferència 3. Les còniques com a llocs geomètrics 4. Estudi de l’el·lipse 5. Estudi de la hipèrbola 6. Estudi de la paràbola 7. Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc III

BLOC IV.

................................................................................. 296

1. Mesura del creixement d’una funció 2. Obtenció de la derivada a partir de l’expressió analítica 3. Funció derivada d’una altra 4. Regles per a obtenir les derivades d’algunes funcions 5. Taula de derivades 6. Utilitats de la funció derivada 7. Optimització de funcions 8. Regla de L’Hôpital 9. Representació de funcions Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc IV

Anàlisi

9 Funcions elementals

. . ...................................... 236

1. Les funcions i el seu estudi 2. Domini de definició 3. Famílies de funcions elementals 4. Funcions definides «a trossos» 5. Transformacions elementals de funcions 6. Composició de funcions 7. Funció inversa o recíproca d’una altra 8. Funcions arc Exercicis i problemes Autoavaluació

10 L ímits de funcions.

Continuïtat i branques infinites 1. 2. 3. 4. 5.

11 D erivades

BLOC V.

Estadística i probabilitat

12 Distribucions bidimensionals

............... 334

1. Distribucions bidimensionals. Núvols de punts 2. Correlació lineal 3. Paràmetres associats a una distribució bidimensional 4. Recta de regressió 5. Hi ha dues rectes de regressió 6. Taules de contingència Exercicis i problemes Autoavaluació

13 Combinatòria i probabilitat . . ................................... 266

Comportament d’una funció a l’infinit Càlcul de límits de funcions quan x → +∞ Límit d’una funció quan x → –∞ Càlcul de límits de funcions quan x → –∞ Comportament d’una funció en un punt. Límits i continuïtat 6. Càlcul de límits en un punt 7. Branques infinites. Asímptotes 8. Branques infinites en les funcions racionals 9. Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques Exercicis i problemes Autoavaluació

. . .......... 356

1. Diagrama en arbre 2. Variacions i permutacions (importa l’ordre) 3. Quan no influeix l’ordre. Combinacions 4. Factorials i nombres combinatoris 5. Càlcul de probabilitats Exercicis i problemes Autoavaluació Autoavaluació del bloc V

Annex S olucionari

de les autoavaluacions

............................................. 375

8 Llocs geomètrics. Còniques Què són les còniques Una superfície cònica, tal com es mostra a la il·lustració de la dreta, és una figura formada per dos cons infinits oposats pel vèrtex. Si una superfície cònica es talla per un pla, es pot obtenir una circumferència, una el·lipse, una paràbola o una hipèrbola, depenent de l’angle que formi aquest pla amb l’eix de la superfície cònica. Per això, aquestes corbes s’anomenen còniques.

➜

anayaeducacion.es Visualitza com es generen les còniques.

Les còniques en la història Al segle iii aC, el gran geòmetra grec Apol·loni de Perge va escriure un llibre dedicat a les còniques. Amb un estil polit i sistemàtic, va estudiar aquestes corbes de forma exhaustiva. Seguint l’esperit dels grecs, el tractat va ser eminentment especulatiu, sense cercar aplicacions pràctiques. Quan Apol·loni va descriure les el·lipses, paràboles i hipèrboles com a còniques, estava encara molt enfora d’imaginar que aquestes corbes s’ajustaven als moviments dels cossos celests. Durant molts segles es va considerar que les òrbites dels planetes eren circulars. Va ser a començament del segle xvii quan Kepler va enunciar les seves lleis, molt importants, una de les quals assigna òrbites el·líptiques als esmentats cossos. Només un segle abans, Copèrnic havia desbaratat la concepció geocèntrica de l’univers, fent veure que era la Terra la que girava al voltant del Sol. ➜

202

anayaeducacion.es Biografia d’Apol·loni de Perge.

Utilitat de les còniques Les còniques són referents habituals en la tecnologia actual. Vegem-ne alguns exemples: Antenes parabòliques La paràbola té la propietat que totes les rectes paral·leles al seu eix, en «rebotar» en la corba, es reflecteixen passant pel focus. Les antenes parabòliques serveixen per recollir un feix de «raigs» procedents del satèl·lit artificial al qual apunten i concentrar-los en el focus, on està el detector que recull la informació. Llums el·líptics per a dentistes En una el·lipse, si un raig surt d’un focus, en reflectir-se a la corba, passa per l’altre focus. Aquesta propietat s’aplica per construir llums de raigs que es concentren tots en un punt. Per exemple, en els llums dels dentistes, el punt de llum se situa en un dels focus de l’el·lipse (en vermell a la figura), els raigs lluminosos (en verd) es reflecteixen a la pantalla el·líptica i es troben a l’altre focus, on es col·loca l’objecte que es vol il·luminar (la boca del pacient).

RESOL On se situarà el depòsit? Meta 7.2. s vol instal·lar un gran depòsit de propà per abastir una factoria industrial i dues urbanitzacions. S’han de complir les condicions següents: convé que el depòsit estigui el més a prop possible de la factoria, però per raons de seguretat, no pot estar a menys de 500 m d’un forn que hi ha en aquesta. Per tant s’haurà de situar, exactament, a 500 m del forn, H. A més, es desitja que estigui a la mateixa distància de A que de B. Per resoldre-ho, duim les dades a uns eixos cartesians (1 quad = 100 m) i suposam que els punts H, A i B se situen on s’indica en el gràfic de la dreta.

• La circumferència vermella és el conjunt de punts que estan a 500 m del forn. Analíticament, són punts (x, y) amb una distància a H (13, 15) que és 5. Expressa-ho mitjançant una equació.

• La recta verda és el conjunt de punts que equidisten de A i de B. Analíticament, és una recta que passa per (6, 3) i té pendent 2. Escriu-ne l’equació. • El punt P on hem de situar el depòsit de propà s’obté trobant la intersecció de les dues línies que acabam de descriure. Resol el sistema que en formen les equacions per trobar les coordenades de P.

203

Llocs geomètrics S’anomena lloc geomètric un conjunt de punts que compleixen una propietat. Per exemple: a) La mediatriu d’un segment AB és el lloc geomètric dels punts, X, que equidisten dels extrems:

X A

dist (X, A) = dist (X, B) B

b) La bisectriu d’un angle de costats r1 i r2 és el lloc geomètric dels punts, X, que equidisten de r1 i de r2:

dist (X, r1) = dist (X, r2) r1

ATENCIÓ És molt important que interpretis cadascuna d’aquestes línies descrites en els exemples com un conjunt de punts que compleixen una propietat: a) Si X és un punt de la mediatriu, la distància a A és igual que la distància a B. b) Si X és un punt de la bisectriu… c) Si X és un punt de la circumferència…

c) Circumferència de centre O i radi r és el lloc geomètric dels punts, X, que tenen una distància a O de r :

dist (X, O) = r

Anomenat X (x, y) el punt genèric i aplicant-hi analíticament la propietat que ha de complir, s’obté l’equació de la figura geomètrica. Exercicis resolts

1 Troba l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(–3, 4) i B(1, 0).

Cada punt de la mediatriu, X(x, y), equidista dels extrems del segment AB. Per tant, han de complir la condició dist (X, A) = dist (X, B). dist (X, A) = (x + 3)2 + ( y – 4)2 dist (X, B) = (x – 1)2 + y 2

4 8 ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = (x – 1 ) 2 + y 2

Elevam al quadrat els dos membres, desenvolupam els quadrats indicats i simplificam: x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = x 2 – 2x + 1 + y 2 → 8x – 8y + 24 = 0 → → x – y + 3 = 0 → y = x + 3. És, efectivament, una recta. Comprovam que la recta obtenguda és perpendicular al segment AB en el punt mitjà: Y A (–3, 4)

• Passa per (–1, 2), que és el punt mitjà del segment. • El seu pendent, 1, i el pendent del segment, –1, compleixen que 1 · (–1) = –1. Per tant, són perpendiculars.

y=x+3

B (1, 0)

Per tant, efectivament, y = x + 3 és la mediatriu de AB.

FES-HO TU. Troba l’equació de la mediatriu del segment amb aquests extrems: ➜

204

Resol amb GeoGebra.

A(0, 0) i B(6, 4).

Exercicis resolts

2 Troba l’equació de la bisectriu de l’angle format per r1: 4x + 3y – 5 = 0 r2: 3x + 4y – 2 = 0

Cada punt X(x, y) de la bisectriu equidista de les rectes que formen l’angle. Per tant, han de complir que dist (X, r1) = dist (X, r2): _ 4x + 3y – 5 4x + 3y – 5 b dist (X, r1) = = b 5 4x + 3y – 5 3x + 4y – 2 42 + 32 = ` 8 5 5 3x + 4y – 2 3x + 4y – 2 b = dist (X, r2) = b 2 2 5 3 +4 a Per interpretar aquesta equació, hem d’eliminar-ne els valors absoluts. En fer-ho, apareix un doble signe, perquè |A| = |B| ⇒ A = B o bé A = –B A = B → 4x + 3y – 5 = 3x + 4y – 2 → x – y – 3 = 0 (L1) A = –B → 4x + 3y – 5 = –(3x + 4y – 2) → x + y – 1 = 0 (L2) L2

El lloc geomètric cercat està compost per les dues rectes, (L1) i (L2), perpendiculars entre si i que es tallen en (2, –1), el mateix punt en què es tallen r1 i r2.

(2, –1) r2 r1

Són les bisectrius dels angles formats per les dues rectes donades.

FES-HO TU. Troba l’equació de la bisectriu de l’angle format per r1: 5x – 12y = 0

i r2: 12x + 5y = 0. 3 Troba el lloc geomètric dels punts amb una diferència de quadrats de distàncies a P(4, 2) i a Q(–2, 5) de 15: [dist (X, P) ]2 – [dist (X, Q)] 2 = 15

Expressam analíticament la condició:

a (x – 4) 2 + ( y – 2) 2k – a (x + 2) 2 + ( y – 5) 2k = 15 2

Operam i simplificam:

(x 2 – 8x + 16 + y 2 – 4y + 4) – (x 2 + 4x + 4 + y 2 – 10y + 25) = 15 → → –12x + 6y – 9 = 15 → –2x + y = 4 → y = 2x + 4 És una recta de pendent 2. El pendent del segment PQ és 5 – 2 = 3 = – 1 . –2 – 4 –6 2 Per tant, la recta és perpendicular al segment, ja que 2 · c– 1 m = –1. 2 Conclusió: El lloc geomètric cercat és una recta perpendicular al segment PQ. FES-HO TU. Troba el lloc geomètric dels punts amb una diferència de quadrats de

distàncies a P(2, 5) i a Q(4, –1) de 40, és a dir, XP 2 – XQ 2 = 40. Pensa i practica

Troba les equacions dels següents llocs geomètrics: a) Mediatriu del segment d’extrems A(–5, –3), B (7, 1). Comprova que és una recta perpendicular al segment en el punt mitjà. b) Circumferència de centre O (–3, 4) i radi 5. Comprova que passa per l’origen de coordenades.

c) Bisectrius dels angles formats per les rectes: r1: 5x + y + 3 = 0 r2: x – 2y + 16 = 0 Comprova que les bisectrius són dues rectes perpendiculars que es tallen en el mateix punt en què es tallen les rectes r1 i r2.

205

Estudi de la circumferència L’equació d’una circumferència de centre O(a, b) i radi r és: dist (X, O) = r →

– a) 2 + ( y

X(x, y)

– b) 2 = r

Per simplificar-ne l’expressió, elevam al quadrat els dos membres i reordenam els termes:

O(a, b)

(x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r 2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r 2 = 0

(x – a)2 + ( y – b)2 = r

Observam que es tracta d’un polinomi de segon grau en x i y, tal que els coeficients de x 2 i y 2 són «1» i que no té terme en xy : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Quines relacions hi ha entre els coeficients d’aquest polinomi i els elements de la circumferència (centre i radi)? Per veure-les, comparam aquesta equació amb l’anterior i n’igualam els termes corresponents: –2a = A → a = – A 2 –2b = B → b = – B 2

a2 + b 2 – r 2 = C → c A m + c B m – r 2 = C → r 2 = c A m + c B m – C 2 2 2 2 Conclusions: • Si d’una circumferència coneixem el centre O(a, b) i el radi r, l’equació serà: (x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 Ara podem desenvolupar i simplificar aquesta expressió o no fer-ho, segons ens convengui. • Si tenim una expressió de segon grau en x i y del tipus x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 i volem saber si és una circumferència i, en cas afirmatiu, obtenir-ne el centre i el radi: I. Observam que els coeficients de x2 i y2 són 1. Si tenguessin els dos un mateix coeficient diferent d’1, dividiríem per aquest tots els termes. II. Observam que no té terme en xy. 2

III. Comprovam que c A m + c B m – C > 0. 2 2 En tal cas, és una circumferència. El centre és: c– A , – B m i el radi és 2 2

c Am +cB m –C . 2 2

➜

Equació d’una circumferència amb paràmetres.

EXEMPLES • Equació de la circumferència de centre O(5, –3) i radi r = 7: (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 49 • Correspon a una circumferència l’equació 5x 2 + 5y 2 – 50x + 30y – 75 = 0? I. Els termes x 2 i y 2 tenen el mateix coeficient, 5. Dividim per aquest: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 II. No té terme en xy. 2

III. c– 10 m + c 6 m – (–15) = 49 > 0 2 2 És una circumferència. Centre: (5, –3); radi = 49 = 7. També podríem haver procedit completant quadrats com pots veure a continuació: x 2 + y 2 – 10x + 6y – 15 = 0 → → x 2 – 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = = 15 + 25 + 9 → (x – 5)2 + ( y + 3)2 = 72 Veim una altra vegada que el centre és (5, –3) i el radi 7.

Exercicis resolts

1 Escriu l’equació de la circumferència de centre (3, –2) i radi 4.

(x – 3)2 + ( y + 2)2 = 16. Aquesta ja és l’equació. Podríem simplificar-la si fos necessari per als nostres fins: x 2 – 6x + 9 + y 2 + 4y + 4 = 16 → x 2 + y 2 – 6x + 4y – 3 = 0 FES-HO TU. Escriu l’equació de la circumferència de centre

(–5, 2) i radi 3.

206

O(3, –2)

Exercicis resolts

2 Indica quines de les equacions següents corresponen a circumferències i, en aquestes, identifica’n el centre i el radi. Fes-ho amb les fórmules i completant quadrats:

a) • Els coeficients de x 2 i y 2 són 1. No hi ha terme en xy. (Fins aquí tot va bé). 2

Però c 4 m – 6 = –2 < 0. Per tant, no és circumferència. 2 • En completar quadrats, obtenim el següent: x2 – 4x + 4 + y2 = –6 + 4 8 (x – 2)2 + y2 = –2

a) x 2 + y 2 – 4x + 6 = 0 b) 3x 2 + 3y 2 – 12x + 6y – 12 = 0 c) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 13 = 0

És impossible que la suma de dos quadrats sigui –2; és a dir, el radi no pot ser negatiu, per tant, no és una circumferència. b) • Començam dividint entre 3: x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 Ara els coeficients de x 2 i y 2 són 1 i no hi ha terme en xy. 2

c 4 m + c 2 m – (– 4) = 9 > 0. Per tant, sí que és circumferència. 2 2 El radi és 9 = 3. El centre és c 4 , – 2 m , és a dir, (2, –1). 2 2 • Completam quadrats a partir de x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0.

FES-HO TU

Quines equacions corresponen a circumferències? Obtén-ne el centre i el radi utilitzant la fórmula i completant quadrats. a) 2x 2 + 2y 2 – 8x = 0 b) x 2 – y 2 + 7x – 2 = 0 c) x 2 + y 2 – 3x + 4xy – 16 = 0 d) x 2 + y 2 + 10x – 2y + 40 = 0 e) x 2 + y 2 – 6x – 8y + 25 = 0 f ) x 2 + y 2 – 2x + 4y + 6 = 0 3 Troba el lloc geomètric dels punts P tals que la raó de distàncies a dos punts donats, A(0, 0) i B(6, 3), sigui igual a 2. dist (A, P) És a dir, = 2. dist (B, P)

x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1 8 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 Evidentment és una circumferència de centre C(2, –1) i radi 9 = 3. c) • Els coeficients de x 2 i y 2 són 1. No hi ha terme en xy. 2

c 4 m + c 6 m – 13 = 4 + 9 – 13 = 0. Per tant, no és circumferència. 2 2 • En completar quadrats, obtenim el següent: x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = –13 + 4 + 9 8 (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0 Només el punt (–2, 3) compleix aquesta condició. Expressam analíticament la condició: dist (A, P) =2 → dist (B, P)

x2 + y2 =2 ( x – 6) 2 + ( y – 3) 2

Operam i simplificam: x 2 + y 2 = 4(x 2 – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9) → → 3x 2 + 3y 2 – 48x – 24y + 180 = 0 → x 2 + y 2 – 16x – 8y + 60 = 0

➜

Quocient de distàncies: una circumferència.

Pensa i practica

➜

L’equació resultant és una circumferència de centre (8, 4) i radi 64 + 16 – 60 = 20 . FES-HO TU. Repeteix l’activitat amb M(0, 6), N(–2, 0) i PM /PN = 3

anayaeducacion.es Càlcul de l’equació de la circumferència.

1 Troba l’equació de la circumferència de centre (–5, 12) i radi 13. Comprova que passa pel punt (0, 0).

2 Troba el lloc geomètric dels punts del pla que tenen una suma de quadrats de distàncies als extrems del segment AB, A(–3, 0) i B(5, 0) de 50.

207

Estudi de la circumferència

Una recta, s, i una circumferència, C, poden ser exteriors (a), tangents (b) o secants (c i d). Analíticament se’n pot identificar la posició de dues maneres: I. Resolent el sistema format per les dues equacions, que tendrà dues solucions (es tallen), una (són tangents) o cap (són exteriors).

(a)

(b)

C d

exteriors

II. Comparant el radi, r, amb la distància, d, del centre a la recta: • Si d > r, són exteriors.

C d

(c)

• Si d = r, són tangents.

tangents (d)

d OC

• Si d < r, són secants, i si d = 0, la recta passa pel centre.

secants

Exercici resolt

1 Troba la posició relativa de la recta s: y = x i la circumferència següent: x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0

• Resolent el sistema format per les equacions de la recta i la circumferència, s’obtenen els punts de tall. (Si el sistema no tengués solució, la recta seria exterior a la circumferència): x 2 + y 2 – 8x + 2y + 1 = 0 4 x 2 + x 2 – 8x + 2x + 1 = 0 → 2x 2 – 6x + 1 = 0 y=x 3 + 7 = 2, 82 6 ± 36 – 8 2 → x= 3 – 7 = 0, 18 4 2 La recta i la circumferència es tallen en els punts (0,18; 0,18) i (2,82; 2,82). • Si només ens importa la posició relativa, aquesta es podria esbrinar comparant el radi, r, de la circumferència amb la distància, d, del seu centre a la recta. Trobam el centre i el radi:

FES-HO TU

Troba la posició relativa de les rectes s1: y = x – 1 s3: y = 3 respecte de la circumferència anterior.

Pensa i practica

= –1 + 16 + 1 8 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16 Centre: OC (4, –1)

➜

dist (OC , s) = d = 4 + 1 = 5 = 3, 5 1+1 2 Com que r > d, la recta talla la circumferència en dos punts.

anayaeducacion.es Estudia la posició relativa d’una recta i una circumferència.

3 Estudia la posició relativa de la circumferència y 2

C : + – 6x – 4y – 12 = 0 respecte de les rectes: s1: 3x – 4y – 26 = 0 s2: 5x – 8y + 60 = 0 s3: 3x – 4y – 1 = 0 s4: x = 5 Troba’n els punts de tall i de tangència, si n’hi ha.

208

Radi: r = 16 = 4

s2: y = x + 1

x 2

x2 + y2 – 8x + 2y = –1 8 x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 =

4 Per a quins valors de b la recta y = x + b és tangent a la circumferència x 2 + y 2 = 9? 5 Troba la posició relativa de C : x 2 + y 2 – 6x + 8y = 0 respecte de les rectes: s1: x + y = 10 s3: 3x – 4y = 0

s2: 4x + 3y + 20 = 0 s4: y = –2

Potència d’un punt a una circumferència Donats un punt P(α, β) i una circumferència C de centre O(a, b) i radi r, anomenam d la distància de P a O: d = dist (O, P ).

S’anomena potència P del punt P la circumferència C a d 2 – r 2.

O(a, b)

P = d 2 – r 2 = (α – a)2 + (β – b)2 – r 2

d P(α, β)

• Si el punt és exterior a la circumferència (d > r) → P > 0 • Si el punt és de la circumferència (d = r) → P = 0 • Si el punt és interior a la circumferència (d < r) → P < 0 Observant l’equació de C, (x – a)2 + ( y – b)2 – r 2 = 0, advertim que P és el resultat de substituir les coordenades del punt P(α, β) per les x i y en aquesta equació. Exercici resolt

1 Calcula les potències del punt P(7, – 4) a aquestes circumferències: a) Té centre O(1, 4) i radi 12. b) x2 + y2 – 8x + 3y + 12 = 0

a) P = d 2 – r 2 = OP 2 – r 2 = a (7 – 1) 2 + (– 4 – 4) 2 k – 12 2 = 100 – 144 = – 44 < 0 2

Com que P < 0, el punt és interior a la circumferència.

b) P = 72 + (– 4)2 – 8 · 7 + 3 · (– 4) + 12 = 9 > 0 Com que P > 0, el punt és exterior a la circumferència.

Eix radical de dues circumferències S’anomena eix radical de dues circumferències el lloc geomètric dels punts del pla que tenen la mateixa potència respecte a ambdues. L’eix radical de dues circumferències és una recta perpendicular al segment que n’uneix els centres. Exercici resolt

1 Troba l’eix radical de les circumferències:

Expressam analíticament les potències d’un punt genèric X (x, y) a ambdues circumferències i les igualam:

C1: x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = 0

P(X a C1) = x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 Els punts que tenen la mateixa potència respecte a

C2: x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1 = 0

P(X a C2) = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

C1 i C2 s’obtenen igualant les dues expressions.

x 2 + y 2 – 6x + 4y – 11 = x 2 + y 2 + 8x – 2y – 1

simplificant

7x – 3y + 5 = 0

És, evidentment, una recta. Es pot comprovar que és perpendicular a la recta que uneix els centres de C1 i C2 (el pendent és –3/7). Pensa i practica

6 Troba la potència de P(–3, 8) a aquestes circumferències: C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 C2: O(4, –3), r = 20 Digues si P és interior o exterior a C1 i a C2.

7 Troba l’eix radical d’aquestes circumferències: C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 C2: x 2 + y 2 – 6y = 0 Comprova que és perpendicular a la línia dels centres.

209

Les còniques com a llocs geomètrics Com es dibuixa una el·lipse Els jardiners es valen del mètode següent per traçar un parterre de forma el·líptica: es claven a terra dues estaques, es ferma entre ambdues una corda prou llarga i es procedeix com a la fotografia. Mentre es traça la corba, la corda ha d’estar sempre tensa.

Observa com ens hem valgut d’aquesta trama formada per dues famílies de circumferències concèntriques per representar algunes el·lipses. Per exemple, la vermella: si sumes la distància d’un dels punts a F1 i a F2 obtens 28 unitats. Comprova que aquesta suma no varia en canviar de punt. En ambdues construccions s’observa que la suma de distàncies de cada punt de l’el·lipse als dos punts fixos és sempre la mateixa. Com es dibuixa una hipèrbola La mateixa trama anterior ens serveix per representar hipèrboles. Observa, per exemple, la vermella: Pren-ne un punt. Resta les distàncies a F1 i a F2. Comprova amb un altre punt que la diferència és la mateixa (18). És a dir, la diferència de distàncies de cada punt de la hipèrbola als dos punts fixos és sempre la mateixa.

UNA ALTRA PARÀBOLA Observa aquesta altra paràbola amb la directriu més allunyada del focus. d

Com es dibuixa una paràbola

Aquesta altra trama ens servirà per representar paràboles. Observa la vermella. Pren-ne un punt i mesura’n les distàncies a F i a d. Compara-les. Fes el mateix amb altres punts de la mateixa corba. Els punts de la paràbola equidisten d’un punt fix, F, i d’una recta fixa, d. 210

Definicions Donats dos punts, F1 i F2, anomenats focus, i una distancia k, anomenada «constant de l’el·lipse» [k > dist (F1, F2)], s’anomena el·lipse el lloc geomètric dels punts P que la seva suma de distàncies a F1 i a F2 és igual a k: dist (P, F1) + dist (P, F2) = k Donats dos punts, F1 i F2, anomenats focus, i una distancia k, anomenada «constant de la hipèrbola» [k < dist (F1, F2)], s’anomena hipèrbola el lloc geomètric dels punts P amb una diferència de distàncies a F1 i a F2 de, en valor absolut, igual a k : |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = k

EXEMPLES Les dues el·lipses dibuixades a la pàgina anterior tenen la mateixa distància focal: dist (F1, F2) = 24. • En la vermella, k = 28. • En la blava, k = 42. Les tres hipèrboles dibuixades a la pàgina anterior tenen la mateixa distància focal: dist (F1, F2) = 24. • En la blava, k = 22. • En la vermella, k = 18. • En la verda, k = 10.

Donats un punt F, anomenat focus, i una recta, d, anomenada directriu, s’anomena paràbola el lloc geomètric dels punts, P, que equidisten de F i de d: dist (P, F ) = dist (P, d ) Mitjançant aquestes definicions es poden obtenir, de forma senzilla, les equacions d’aquestes figures. No obstant això, donada una equació, és menys fàcil aprendre a reconèixer quina és la figura a la qual correspon. Per a això, les estudiarem amb més detall en els pròxims apartats.

➜

anayaeducacion.es Visualitza les còniques en funció de les seves equacions.

Exercici resolt

1 Donats els punts F1(–2, 5), F2(7, –3) i la recta r: x – y – 1 = 0, obtén les equacions de: a) L’el·lipse de focus F1 i F2 i la constant de la qual és 17. b) La hipèrbola de focus F1 i F2 i la constant de la qual és 6. c) La paràbola el focus de la qual és F1 i la directriu és r.

a) dist (P, F1) + dist (P, F 2) = 17 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 + (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 17

b) |dist (P, F1) – dist (P, F2)| = 6 →

(x + 2) 2 + ( y – 5) 2 – (x – 7) 2 + ( y + 3) 2 = 6

c) dist (P, F1) = dist (P, r) →

( x + 2) 2 + ( y – 5 ) 2 =

x – y –1 1+1

FES-HO TU. Donats els punts F1(–3, 0) i F2(1, –2) i la recta r : x + 2y – 5 = 0,

obtén les equacions de: a) L’el·lipse de focus F1 i F2 i constant 20. b) La hipèrbola de focus F1 i F2 i constant 2. c) La paràbola el focus de la qual és F1 i la directriu és r.

Pensa i practica

Troba l’equació de l’el·lipse de focus F1(4, 0) i F2(– 4, 0) i la seva constant, que és 10. Una vegada posada l’equació inicial, passa una arrel al segon membre, eleva al quadrat (atenció amb el doble producte!), simplifica, aïlla l’arrel, torna a elevar al quadrat i simplifica fins a arribar a l’equació 9x 2 + 25y 2 = 225.

2 Troba l’equació de la hipèrbola de focus F1(5, 0) i F2(–5, 0) i la seva constant, que és 6. Simplifica com en l’exercici anterior fins a arribar a l’expressió 16x 2 – 9y 2 = 144. 3 Troba l’equació de la paràbola de focus F(–1, 0) i directriu r : x = 1. Simplifica-la fins a arribar a l’expressió y 2 = – 4x.

211

Estudi de l’el·lipse Elements característics

VÈRTEXS DE L’EL·LIPSE

Tenim una el·lipse de focus F i F'. Traçam els dos eixos de simetria. Els elements característics es designen així: B O centre de l’el·lipse a = OA = OA' semieix major a b b = OB = OB' semieix menor A' c = OF = OF' semidistància focal c O F' F La constant, k, de l’el·lipse és 2a, perquè: k = AF + AF' = AF + A'F = 2a A més, com que B és un punt de l’el·lipse: B' a BF + BF' = 2a ⇒ BF = BF' = a Observant el triangle rectangle BOF, trobam que a 2 = b 2 + c 2. Resumint: • Constant de l’el·lipse: k = 2a

Els punts A, A', B i B' se solen anomenar vèrtexs de l’el·lipse.

B a

b O

B a

• BF = BF' = a

• OF = OF' = c < a • a 2 = b 2 + c 2

Excentricitat

➜

Per a un mateix valor de a, com major sigui c més allargada serà l’el·lipse, i com menor sigui c més s’assemblarà a una circumferència. Per mesurar fins a quin punt es diferencia la forma d’una el·lipse de la d’una circumferència, se’n defineix l’excentricitat.

anayaeducacion.es Talls de les còniques que formen el·lipses.

ÒRBITES

S’anomena excentricitat d’una el·lipse el quocient entre la distància focal i l’eix major: exc = c a L’excentricitat d’una el·lipse és un nombre major que 0 i menor que 1.

Els planetes giren al voltant del Sol descrivint òrbites el·líptiques, i en el seu focus hi ha el Sol (Primera Llei de Kepler). Aquestes òrbites són molt poc excèntriques. Per exemple, l’excentricitat de l’òrbita de la Terra és tan petita que si la dibuixam a escala en un full de paper, pareix una circumferència. Els cometes també descriuen òrbites el·líptiques, però molt més excèntriques.

planeta

exc = 0,88

exc = 0,61

exc = 0,21

Aquestes tres el·lipses tenen el mateix eix major, 2a. Com més disten els focus (2c), major és l’excentricitat 2c = c . 2a a Pensa i practica

212

Vertader o fals? Si diverses el·lipses tenen la mateixa distància focal, com més gran sigui la constant k = 2a, major n’és l’excentricitat.

sol cometa

Equació reduïda de l’el·lipse Per simplificar l’equació de l’el·lipse, triam els eixos de coordenades convenientment: prenem el centre de l’el·lipse com a centre de coordenades i els seus eixos com a eixos de coordenades. Les coordenades dels focus són F'(–c, 0) i F(c, 0).

Y P (x, y)

Qualsevol punt P(x, y) de l’el·lipse compleix la condició: F'(–c, 0) O

dist (P, F) + dist(P, F' ) = 2a

F(c, 0)

Aquesta igualtat, expressada analíticament, dona lloc a l’equació següent: (x – c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Es passa una arrel al segon membre:

PF + PF' = 2a

(x – c) 2 + y 2 = 2a – (x + c) 2 + y 2 S’eleven al quadrat els dos membres: x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 – 4a (x + c) 2 + y 2 → → – 4cx – 4a 2 = – 4a (x + c) 2 + y 2 → cx + a 2 = a (x + c) 2 + y 2 S’eleven al quadrat els dos membres i s’opera: c 2x 2 + a4 + 2ca 2x = a 2(x 2 + 2cx + c 2 + y 2) → → c 2x 2 + a2a2 + 2ca 2x = a 2x 2 + a22cx + a2c 2 + a2 y 2 Es posen els termes amb x2 i y2 en el mateix membre, s’anul·len els 2ca2x i s’agrupen termes: (a 2 – c 2)x 2 + a 2y 2 = a 2(a 2 – c 2) Es té en compte que a 2 – c 2 = b 2: b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 Dividint per a2b2 s’obté, finalment: 2 x 2 + y = 1 equació reduïda de l’el·lipse a2 b2

➜

Juga amb l’equació reduïda de l’el·lipse.

Exercici resolt

1 Troba els elements característics i l’equació reduïda de l’el·lipse de focus F1(4, 0) i F2(– 4, 0) i constant k = 10.

Semieix major: k = 10 → 2a = 10 → a = 5 Semidistància focal:

Equació reduïda: 2 x2 + y =1 25 9

F1 F2 = 8 → 2c = 8 → c = 4

Semieix menor: b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 → b = 3 Excentricitat: c/a = 4/5 = 0,8 → exc = 0,8 Pensa i practica

➜

F2(–4, 0)

5 4 F1(4, 0) 5

anayaeducacion.es Representació d’una el·lipse.

2 Una el·lipse té els focus en els punts F(5, 0) i F'(–5, 0) i la constant és k = 26. Troba’n els elements característics i l’equació reduïda. Representa-la.

213

Estudi de l’el·lipse

El·lipse amb els focus en l’eix Y F (0, 4)

Aquesta el·lipse és idèntica a la del marge, però amb els eixos canviats. Els focus estan sobre l’eix Y.

F (–4, 0)

L’equació és: 2 x2 + y =1 32 52

F'(0, – 4)

y2 x2 + — — =1 2 32 5

Per poder continuar usant la nomenclatura habitual: eix major = 2a

F (4, 0)

excentricitat = c a

eix menor = 2b

en aquests casos en què el denominador de x2 és menor que el de y2, posarem l’equació de l’el·lipse així: 2 x2 + y =1 b2 a2

EL·LIPSES AMB CENTRE EN (5, 3) 2 ( y – 3) 2 En vermell: (x – 25) + =1 4 22 2 ( y – 3) 2 =1 En blau: (x – 25) + 2 42

El·lipse amb centre diferent del (0, 0) L’equació d’una el·lipse de semieixos a i b (a > b), amb el centre en (α, β) i eixos paral·lels als eixos de coordenades és:

(5, 3)

(x – a) 2 ( y – b) 2 (x – a)2 ( y – b)2 + = 1 o bé + =1 a2 b2 b2 a2 Exercici resolt

1 Representa les el·lipses següents i troba’n l’excentricitat i els focus: 2 y2 I. x + =1 16 36 ( x – 3) 2 II. + y2 = 1 25 (x + 2) 2 (y – 1) 2 III. + =1 16 25 IV. x 2 + 4y 2 = 4

c = 6 2 – 4 2 = 20

F (3 – 24, 0)

exc = 20 = 0, 75 6 X

III

c = 52 – 12 = 24

F' (0, – 20)

exc = 24 = 0, 98 5 IV

exc = 3 = 0, 6 5 X

F' (3 + 24, 0)

F (0, 20)

c = 52 – 42 = 3

F (–2, 4) F' (–2, –2)

Y X

x2 + y2 =1 4 c = 22 – 12 = 3 exc = 3 = 0, 87 2 F ( 3, 0) F' (– 3, 0)

Pensa i practica

214

Representa i troba l’excentricitat i els focus. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) + =1 b) 9x 2 + 16y 2 = 144 16 4

2 ( y – 7) 2 c) (x – 3) + =1 16 64

d) x 2 + 4( y – 3)2 = 4

Estudi de la hipèrbola Elements característics Tenim una hipèrbola de focus F i F'. En traçam els dos eixos de simetria.

Anomenam: O

centre de la hipèrbola

c = OF = OF'

semidistància focal

a = OA = OA'

semieix

r i r'

asímptotes

c a

F' A' O

c b a A F c

La constant de la hipèrbola és 2a, perquè:

k = AF' – AF = AF' – A'F' = AA' = 2a En el cas de la hipèrbola, el segment b es representa com es fa en la figura del marge. Es compleix la relació: c 2 = a 2 + b 2 (Atenció, ara és c > a) Observam que els pendents de les asímptotes són: b i – b . a a Per a un mateix valor de a, en variar c, varia la forma de la hipèrbola:

c a

exc = 1,41

TEN-HO EN COMPTE Si vols dibuixar una hipèrbola, comença traçant-ne les asímptotes. Després, dibuixa la corba cenyint-te a aquestes.

c a

exc = 1,22

exc = 1,10

Igual que en l’el·lipse, la relació entre c i a s’anomena excentricitat: excentricitat = c a Però, així com en l’el·lipse l’excentricitat és menor que 1, en la hipèrbola l’excentricitat és major que 1. Resumint:

➜

anayaeducacion.es Talls de les còniques que formen hipèrboles.

• Constant de la hipèrbola: k = 2a

• OF = OF' = c > a • c 2 = a 2 + b 2

• Pendents de les asímptotes: b i – b a a c • exc = > 1 a

COMETES «EXPULSATS»

c r'

En la igualtat c 2 = a 2 + b 2 dividim els dos membres per a 2: 2

c 2 = a 2 + b 2 8 c 2 = 1 + b 8 exc 2 = 1 + (pendent) 2 b l cam a a2 a2 a2 Com major sigui el pendent (b /a) de l’asímptota, major serà l’excentricitat (c /a) de la hipèrbola.

Els llibres d’astronomia ens conten que, de vegades, un cometa és expulsat del sistema solar per una empenta de Júpiter. El cometa duia una trajectòria el·líptica i, en passar a prop de Júpiter, es desvia de la trajectòria i aquesta es converteix en hiperbòlica. En aquest cas, ja no podrà tornar. Una el·lipse molt excèntrica (exc un poc menor que 1) és molt pareguda, en un cert tram, a una hipèrbola molt poc excèntrica (exc un poc major que 1). 215

Estudi de la hipèrbola

Equació reduïda de la hipèrbola Per trobar una equació de la hipèrbola raonablement simplificada, igual que fèiem amb l’el·lipse, triarem convenientment els eixos de coordenades tal com s’indica a la figura del marge. D’aquesta manera, els focus són: F(c, 0) i F'(–c, 0).

Y P (x, y)

Un punt P(x, y) de la hipèrbola compleix la condició següent:

F'(–c, 0)

|dist (P, F ) – dist (P, F' )| = 2a

F (c, 0)

En suprimir el valor absolut, hem de contemplar la possibilitat del doble signe: (x – c) 2 + y 2 – (x + c) 2 + y 2 = ± 2a Per passar una arrel a l’altre membre, elevar al quadrat, simplificar, agrupar, elevar de nou al quadrat, etc., es procedeix de la mateixa manera que amb l’el·lipse i s’arriba a una expressió idèntica a aquella: c 2x 2 + a 4 = a 2x 2 + a 2y 2 + a 2c 2 Però, ara, és b 2 = c 2 – a 2. Per tant, agrupant i substituint: (c 2 – a 2)x 2 – a 2y 2 = a 2(c 2 – a 2) → b 2x 2 – a 2y 2 = a 2b 2 Dividint ambdós membres per a 2b 2 s’obté, finalment, l’equació reduïda. 2 x 2 – y = 1 equació reduïda de la hipèrbola a2 b2

Exercici resolt

1 Troba els elements característics i l’equació reduïda de la hipèrbola de focus F1(5, 0) i F2(–5, 0) i constant k = 8.

Semieix: k = 2a = 8 → a = 4 Semidistància focal: F1 F2 = 10 → c = 5 Càlcul de b: c 2 = a 2 + b 2 → b = 25 – 16 = 3

5 4

Excentricitat: exc = c = 5 = 1,25 a 4

Asímptotes: y = 3 x, y = – 3 x 4 4 2 2 y Equació reduïda: x – =1 16 9

Pensa i practica

anayaeducacion.es Representació d’una hipèrbola.

➜

1 Vertader o fals?

2 Una hipèrbola té els focus en els punts: F1(5, 0)

a) La hipèrbola III és la més excèntrica. b) La hipèrbola I és la menys excèntrica.

216

III

i F2(–5, 0)

i la constant és k = 6. Troba’n els elements característics i l’equació reduïda. Representa-la.

Hipèrbola amb els focus en l’eix Y La hipèrbola I és idèntica a la II , però amb els eixos canviats. Els focus estan a damunt l’eix Y.

II a

y2 x2 – = 1 correspon a a2 b2 una hipèrbola amb focus F(0, c) i F'(0, –c), sent c = a 2 + b 2 . Les asímptotes són y = ± a x . L’excentrib citat és exc = c . a En general, l’equació

y2 x2 – — — =1 2 3 22

y2 x2 – =1 32 22

Hipèrbola amb centre diferent del (0, 0)

L’equació d’una hipèrbola de semieixos a i b amb el centre en (α, β) i eixos paral·lels als eixos de coordenades és una de les següents: a

(α, β)

b (α, β)

(y – β)2 (x – α)2 – — — =1 2 a b2

(y – β)2 (x – α)2 — –—=1 a2 b2

Exercici resolt

1 Representa les hipèrboles següents: 2 y2 I. x – =1 16 36 ( x – 3) 2 II. y 2 – =1 25 ( y – 2) 2 (x – 1) 2 – III. =1 16 25 IV. 4y 2 – x 2= 4

III

Pensa i practica

3 Representa. 2 ( y – 2) 2 a) (x + 5) – =1 16 4

b) 9x 2 – 16y 2 = 144

( y – 7) 2 ( x – 3 ) 2 – =1 64 16

d) x 2 – 4( y – 3)2 = 4

217

Estudi de la hipèrbola

Hipèrboles equilàteres

2 x 2 – y = 1 feim que a = b, llavors es pot exa2 b2 2 2 y pressar de la forma x 2 – 2 = 1 → x2 – y2 = a2. Les asímptotes seran llavors a b y = ±x, és a dir, són perpendiculars entre si i formen un angle de 45° amb els eixos. Aquesta classe de corbes es coneixen com hipèrboles equilàteres.

Si en una hipèrbola d’equació

c a

OBSERVA Com que en les hipèrboles equilàteres a = b, llavors: c2 = a2 + a2 = 2a2 8 c = 2 a. L’excentricitat és, per tant: 2a excentricitat = c = = 2 a a Podem assegurar que totes les hipèrboles equilàteres són semblants.

Hipèrboles y = k/x Els gràfics de les funcions de proporcionalitat inversa, y = k/x, que has estudiat en cursos passats, són hipèrboles equilàteres. Es representen girades respecte a les del tipus x2 – y2 = a2. Però, on es troben els focus? I les asímptotes? Quin és el valor dels paràmetres a, b i c? Vegem-ho: ky= k k y =— x — x y =— x

ky= k k y =— x — x y =— x

( k , (k k ) , (k k) , k ) k

ky= k k y =— x — x y =— x

a a F ( a ( 2k, )F ( 2k ) 2k ) 2k, 2k 2k 2k 2k,F 2k c c c a a a

És evident que les asímptotes són els eixos de coordenades. El vèrtex de la hipèrbola y = k/x està en ( k , k ), és a dir, es troba a 2k del centre. Per tant, com veus al dibuix, els focus són F ( 2k , 2k ) i F'(– 2k , – 2k ) i els paràmetres són a = b = 2k i c = 4k = 2 k . Exercici resolt

1 Troba les coordenades dels focus i la distància focal de cada una d’aquestes hipèrboles equilàteres: a) y = 3 b) y= – 8 x x

a) Els focus són F ( 2 $ 3, 2 $ 3 ) = F ( 6, 6) i F'( – 6, – 6 ). La distància focal és 4 3 u. b) Els focus están en els quadrants 2n i 4t. Per tant, els focus es troben en F(–4, 4) i F'(4, –4). La distància focal és 8 2 u.

Pensa i practica

4 Calcula la distància focal i les coordenades dels focus de les següents hipèrboles equilàteres: a) y = 1 x 218

b) y = – 2 x

c) y = 18 x

d) xy = 1 4

Donades les funcions de proporcionalitat inversa de l’exercici anterior, escriu l’equació que descriu cada un dels gràfics girats 45° respecte a l’origen de coordenades.

Estudi de la paràbola Elements característics

TOTES LES PARÀBOLES SÓN SEMBLANTS

Anomenam V: vèrtex de la paràbola

La forma d’una cònica queda determinada per la seva excentricitat. Dues el·lipses amb la mateixa excentricitat són semblants, tenen la mateixa forma. Ocorre anàlogament amb les hipèrboles. Llavors, com l’excentricitat de totes les paràboles és la mateixa, 1, totes són semblants.

p: distància del focus a la directriu A més dels elements ja coneguts:

F: focus d: directriu

L’excentricitat d’una paràbola és sempre 1. Equació reduïda Tenim una paràbola de focus F i directriu d.

Prenem com a eix X la recta que passa per F i és perpendicular a d. El centre de coordenades el situam en el punt mitjà entre F i d.

P (x, y)

Segons això, i tenint en compte que anomenam p la distància entre F i d, tenim que: p p F c , 0m i d: x = – 2 2

( )

p 0 F —, 2

p x = –— 2

Un punt P(x, y) de la paràbola compleix la condició: dist (P, F ) = dist (P, d ) Aquesta igualtat, expressada analíticament, dona lloc a l’equació: 2 2 2 cx – p m + y 2 = x + p → x 2 + p – px + y 2 = x 2 + p + px 2 2 4 4

y 2 = 2px

OBSERVA

equació reduïda de la paràbola

Les paràboles no tenen asímptotes.

Paràboles amb vèrtex diferent de (0, 0) Com has vist, l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en (0, 0) és y2 = 2px. Una paràbola amb el vèrtex en V(a, b) té per equació: (y – b)2 = 2p(x – a) Per exemple, la paràbola amb p = 3 i vèrtex (3, –2) és (y +

anayaeducacion.es Talls de les

➜

2)2 =

6(x – 3).

còniques que formen paràboles.

Exercici resolt

1 Troba l’equació reduïda de les paràboles següents: a) Focus F(2, 0) i directriu x = –2. b) Igual que l’anterior, però amb el vèrtex en el punt (3, –1).

Pensa i practica

➜

a) Distància del focus a la directriu: p = 4 Equació reduïda: y2 = 8x

b) Equació reduïda: (y + 1)2 = 8(x – 3)

Y 2 1

anayaeducacion.es Calcula l’equació reduïda d’una paràbola.

1 Troba l’equació reduïda de la paràbola de focus F(1,5; 0) i directriu x = –1,5.

2 Troba l’equació reduïda d’una paràbola com la de l’exercici 1 però amb el vèrtex en (–2, 3).

219

Estudi de la paràbola

Càlcul del focus i de la directriu d’una paràbola amb eix paral·lel a l’eix Y

y = k x2

p Com hem vist a la pàgina anterior, el focus de la paràbola y2 = 2px és F c , 0m i la 2 p directriu, d: x = – . 2 Si a l’equació y2 = 2px canviam la x per la y, obtenbim x2 = 2py. Es tracta de la mateixa paràbola girada 90° respecte a l’origen de coordenades. p p Per tant, el seu focus és F c0, m i la directriu, d: y = – . 2 2 Però, com trobar el focus i la directriu d’una paràbola d’equació y = kx2? Per a això, l’expressam així x2= 1 y i la comparam amb x2 = 2py. D’aquesta forma, k relacionam k amb p, així trobam el focus i la directriu en funció de k. 1 = 2p 8 p = 1 8 p = 1 k 2k 2 4k

x = k y2

y 2 = 2px

y 2 = –2px

x 2 = 2py

x 2 = –2py

A la paràbola y = kx2, amb k > 0, el focus és F c0, 1 m i la directriu, d: y = – 1 . 4k 4k Per exemple: • A la paràbola y = x2, el focus és F c0, 1 m i la directriu, d: y = – 1 . 4 4 1 • En y = – 1 x2, el focus és F c0, – 1 m i la directriu, d: y = . 2 2 2 Exercicis resolts

1 Troba les coordenades del focus i l’equació de la directriu de les paràboles següents: a) y = 2x2 b) y= – 1 x2 4 Dibuixa’n cada una sobre uns eixos de coordenades.

1 a) El focus és: F c0, 8 m

La directriu, d: y = – 1 . 8 1 F

0,5

F 1

2 Calcula el focus i la directriu de la paràbola d’equació: y = 1 x 2 – 2 x + 11 6 3 3

b) C om que la paràbola està «oberta cap avall», el focus i la directriu canvien de costat. El focus és F(0, –1) i la directriu, d: y = 1. d

El vèrtex de la paràbola és V(2, 3). En la paràbola y =

1 2 x el focus és F c0, 3 m i la directriu, d: y = – 3 . 6 2 2

Com que V(2, 3), el focus és F c2, 3 + 3 m = F c2, 9 m i la directriu, d: y = 3 – 3 = 3 2 2 2 2

Pensa i practica

3 Troba les coordenades del focus i l’equació de la directriu de les paràboles següents: a) y = 4x2

220

b) y =

1 2 x 2

c) y = – 1 x2 8

d) y = –0,1x2

4 Dibuixa les paràboles de l’exercici anterior i els seus elements. 5 Calcula el focus i la directriu d’aquesta paràbola: y = – 1 x2 + x – 1 2 10

Tangents a les còniques mitjançant papiroflèxia Tangents a una el·lipse L’activitat següent és molt interessant. t

Dibuixa una circumferència de centre C i radi r i, a l’interior, un punt P diferent del centre. Doblega el paper de manera que passi la circumferència pel punt P. Torna a fer-ho més de dotze vegades. Si, com a la il·lustració, vas recorrent totes les parts de la circumferència, veuràs que les línies dels plecs envolten una bella el·lipse de focus P i C.

P F'

La tangent en cada punt, Q, és la bisectriu exterior dels segments QF i QF'.

Cadascun dels plecs és una tangent a l’el·lipse, i la constant de l’el·lipse (suma de les distàncies de cada punt als focus) és el radi, r, de la circumferència.

Tangents a una hipèrbola

Si es repeteix l’activitat descrita més amunt posant el punt P exterior a la circumferència, s’obté una hipèrbola com a corba tangent als plecs. També aquí el radi de la circumferència és la constant de la hipèrbola: diferència de distàncies als focus (P i C ).

Q F

La tangent a una hipèrbola en un punt és la bisectriu interior dels radis vectors que parteixen d'aquest punt.

Tangents a una paràbola Si en un paper traces una recta d i un punt F, i el doblegues fent coincidir el punt F amb un punt de la recta, els plecs r són tangents a una paràbola de focus F i directriu d.

Observa ara els dibuixos del marge. Les rectes paral·leles a l’eix (perpendiculars a d) es “reflecteixen” a la paràbola i passen pel punt F. I viceversa, una recta que surt de F, es “reflecteix” a la paràbola i surt paral·lela a l’eix.

Aquesta propietat s’usa moltíssim: llums de cotxes, forns parabòlics, antenes parabòliques…

Antena parabòlica

Llum de cotxe

Far d’un cotxe.

Forn solar a Font Romeu, França. 221

Exercicis i problemes resolts 1. Determinació d’una circumferència coneguts tres punts per on passa Obtenció del centre, el radi i l’equació de la circumferència que passa pels punts P(0, 0), Q(10, 0) i R(18, 12).

Anàlisi del problema. Com que el centre de la circumferència, O, equidista dels tres punts, pertany a les mediatrius dels segments PQ i PR i es pot trobar com la intersecció d’aquestes mediatrius. És a dir, s’ha de trobar el circumcentre del triangle PQR. • Trobam les mediatrius de PQ i PR, respectivament mPQ i mPR .

P 2

La recta mPQ passa pel punt mitjà de PQ, MPQ = (5, 0), i és perpendicular a PQ = (10, 0), és a dir, paral·lela a l’eix Y. Per tant, mPQ: x = 5.

La recta mPR passa pel punt mitjà de PR, MPR = (9, 6), i és perpendicular a PR = (18, 12) (3, 2). Per tant: mPR : 3(x – 9) + 2(y – 6) = 0 → mPR: 3x + 2y – 39 = 0

Calculam el centre O com la intersecció d’aquestes mediatrius: x =5 4 x = 5, y = 12 → O (5, 12) 3x + 2y – 39 = 0 • Obtenim el radi com la distància O a qualsevol dels punts donats: r = dist (O, P ) = (5 – 0) 2 + (12 – 0) 2 = 169 = 13 • L’equació de la circumferència és: (x – 5)2 + ( y – 12)2 = 169 Un altre mètode de resolució L’equació reduïda d’una circumferència és: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

FES-HO TU

Obtén el centre, el radi i l’equació de la circumferència que passa per P(–1, 3), Q(2, –2) i R(3, 0).

Com que P, Q i R pertanyen a la circumferència, compleixen la seva equació: _ Z 0 2 + 0 2 + 0 · A + 0 · B + C = 0b ]C = 0 2 2 10 + 0 + 10A + 0 · B + C = 0` → [10 2 + 10A = 0 8 A = –10 b ] 2 18 2 + 12 2 + 18A + 12B + C = 0 18 + 12 2 + 18A + 12B = 0 8 B = –24 a \ L’equació de la circumferència és: x 2 + y 2 – 10x – 24y = 0 Centre: O c –A , –B m = (5, 12). 2 2

Radi: r = c A m + c B m – C = 5 2 + 12 2 = 13 2 2

2. Circumferència que passa per un punt amb el centre que està a damunt d’una recta determinada Troba analíticament l’equació de la circumferència de radi 17 que passa per (4, –1) amb el seu centre que pertany a 1 1 la recta y = x + . 2 2 Y

(4, –1)

FES-HO TU

Obtén l’equació de la circumferència de radi 40 que passa per P(2, 11) i que el seu centre pertany a la recta d’equació x – 3y + 11 = 0.

222

Anàlisi del problema. Hem de trobar l’equació d’una circumferència de la qual ja coneixem el radi. Sabem que el centre està en una recta. Traçam una circumferència de centre (4, –1) i radi 17 . La intersecció d’aquesta circumferència amb la recta és el centre que cercam. L’equació de la circumferència de centre (4, –1) i radi 17 és: (x – 4)2 + (y + 1)2 = 17 1 1 Vegem els punts de tall de la circumferència i la recta y = x + : 2 2 Z ]]x 1 = 1 8 y 1 = 1 $ 1 + 1 = 3 (x – 4) 2 + (y + 1) 2 = 17 5 2 5 2 5 8 [ * y= 1x+ 1 ]x 2 = 5 8 y 2 = 1 $ 5 + 1 = 3 2 2 2 2 \ 1 3 Hem trobat dos punts, c , m i (5, 3), que són els centres de les dues circumferències, 5 5 C1 i C2, que compleixen les condicions: 3 2 1 2 C1: cx – m + c y – m = 17 5 5

C2: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 17

3. Descripció d’una cònica a partir de la seva equació Descriu les còniques següents, obtén-ne els elements i dibuixa-les: a)

x 2 + y 2 –

x 2 +

y 2 –

2y –

y 2 –

2y – 4x – 11 = 0

2x + 4y + 2 = 0

4y 2 –

8y = 0

x 2 =

a) Es tracta d’una circumferència perquè els coeficients de x 2 i y 2 són 1. Operam a l’equació fins a obtenir-la en la forma

(x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. Y

Completam quadrats: (x 2

– 2x + 1) +

( y 2

+ 4y + 4) + 2 – 5 = 0 →

→ (x – 1)2 + ( y + 2)2 = 3 Circumferència de centre O(1, –2) i radi r = 3. b) Els coeficients de x 2 i y 2 són diferents, però del mateix signe; és una el·lipse. (x – x 0) 2 ( y – y 0) 2 Operam a l’equació fins a obtenir-la en la forma + = 1. a2 b2 Completam quadrats: x 2 + (4y 2 – 8y + 4) – 4 = 0 → x 2 + (4y 2 – 8y + 4) = 4 → 2 2 ( 4 y 2 – 8 y + 4) 4 → x + = 8 x + ( y – 1)2 = 1 4 4 4 4 És una el·lipse de centre O(0, 1) i eix major paral·lel a l’eix X. Semieixos: a = 2, b = 1 Semidistància focal: c 2 = a 2 – b 2 = 4 – 1 = 3 → c = 3

1 Excentricitat: exc = c = 3 a 2 c) És una hipèrbola perquè els coeficients de x 2 i y 2 tenen signe diferent. ( y – y 0 ) 2 ( x – x 0) 2 – Operam a l’equació fins a obtenir-la en la forma = 1. b2 a2 Completam quadrats:

y 2 – 2y – x 2 = 0 → ( y 2 – 2y + 1) – x 2 – 1 = 0 → ( y – 1)2 – x 2 = 1 Es tracta d’una hipèrbola equilàtera (és a dir, a = b) de centre O(x0, y0) = (0, 1) i focus a l’eix Y. Semieixos: a = 1, b = 1 c 2

FES-HO TU

Descriu les còniques següents, obtén-ne els elements i dibuixa-les:

b 2

Semidistància focal: = + = + =2 → c= 2 2 Asímptotes: y = ± a (x – x 0) + y 0 → y = x + 1 e y = –x + 1 b X 2 c = 2 Excentricitat: exc = = a 1 d) En tenir terme en y 2 i no en x 2 és una paràbola amb eix horitzontal. A més, O(0, 0) no compleix l’equació de la paràbola; per tant, el vèrtex V(x0, y0), no està situat en l’origen de coordenades. L’equació d’una paràbola d’aquest tipus és p p ( y – y0)2 = 2p(x – x0), sent el focus F cx 0 + , y 0m i la directriu x = x 0 – . Operam 2 2 fins a tenir l’equació inicial d’aquesta manera. Completam quadrats:

a) x 2 – 2y + 2 = 0

( y 2 – 2y + 1) – 4x – 11 – 1 = 0 → ( y – 1)2 = 4x + 12 →

b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0

→ ( y – 1)2 = 2 · 2(x + 3)

x 2 +

9y 2

– 2x – 8 = 0

d) x 2 + y 2 + 4x + 6y + 9 = 0

p Vèrtex: V(x0, y0) = (–3, 1) Focus: F cx 0 + , y 0m = (–2, 1) 2 p Directriu: x = x0 – → x = – 4 2

223

Exercicis i problemes resolts 4. Equació d’una el·lipse no centrada en l’origen Obtén l’equació de l’el·lipse de focus F'(–1, 1) i F(5, 1) i excentricitat: exc = 3 5 FES-HO TU

Obtén l’equació de l’el·lipse de focus F' (3, –2) i F(3, 6) i excentricitat exc = 4 . 5

Trobam el centre de l’el·lipse com el punt mitjà dels focus:

O = MF'F = c –1 + 5 , 1 + 1 m = (2, 1). L’el·lipse no està centrada en (0, 0). 2 2 ( x – 2) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 L’equació de l’el·lipse ha de tenir la forma: a2 b2 Per determinar els semieixos utilitzarem la distància focal i l’excentricitat: dist (F', F ) = 6 = 2c → c = 3; exc = c 8 3 = 3 8 a = 5 5 a a 2 2 2 2 2 b = a – c 8 b = a – c = 25 – 9 = 16 = 4 L’equació requerida és:

(x – 2) 2 ( y – 1) 2 + =1 25 16

5. Equació d’una hipèrbola no centrada en l’origen a partir de la seva representació gràfica Calcula les equacions de les hipèrboles vermella i blava representades a continuació: Y

El centre és el punt d’intersecció de les dues asímptotes: C (2, 1) ( x – 2 ) 2 – ( y – 1) 2 = 1 a2 b2 Com que a = 2 i les pendents de les asímptotes són m = ±3/4, llavors: 2 b = 3 8 b = 3 . Per tant, l’equació cercada és: (x – 2) 2 – ( y – 1) = 1 2 4 2 4 9/4 Hipèrbola vermella. La línia dels focus és paral·lela a l’eix X:

( y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 a2 b2 Com que les asímptotes són iguals, a i b continuen valent el mateix, l’equació és: (y – 2) 2 ( x – 1) 2 – =1 4 9/4 Hipèrbola blava. Com que la línia dels focus és paral·lela a l’eix Y:

6. Elements d’una paràbola d’eix vertical a partir de la seva representació gràfica Calcula el focus i la directriu d’aquesta paràbola: Y

(–2, 3)

(2, 1) X

Calcula el focus i la directriu d’aquesta paràbola. Y 1 X

(1, –6)

224

L’equació general d’una paràbola d’eix vertical és: y = ax2 + bx + c –b 8 2 = –b L’abscissa del vèrtex de la paràbola és: Vx = 8 4a + b = 0 2a 2a Com que (2, 1) pertany a la paràbola: 1 = a · 22 + b · 2 + c 8 4a + 2b + c = 1 Com que (–2, 3) també hi pertany: 3 = a · (–2)2 + b · (–2) + c 8 4a – 2b + c = 3

FES-HO TU

(–3, 2)

Anàlisi del problema. A partir del vèrtex i d’un altre punt de la paràbola en calculam l’equació. Amb el coeficient de la x2 podem calcular el focus i la directriu d’una paràbola igual a aquesta centrada en l’origen. Calculam el focus i la directriu real traslladant-los amb el vector posició del vèrtex.

Obtenim els coeficients a, b i c amb aquest sistema d’equacions: Z ]]4a + b = 0 2 [4a + 2b + c = 1 8 a = 1 ; b = – 1 ; c = 3 8 y = x – x + 3 2 2 2 8 2 8 ]4a – 2b + c = 3 \ Trobam el focus i la directriu: 1 = 1 8 p = 4 8 2p p p Paràbola amb vèrtex en (0, 0): F c0, m 8 F(0, 2); d : y = – 8 d: y = –2 2 2 Paràbola amb vèrtex en (2, 1): F (2, 3); d: y = –1

7. Centre radical de tres circumferències Calcula un punt que tengui la mateixa potència respecte d’aquestes tres circumferències. C1: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 C2: x2 + y2 + 10y = 0 C3: x2 + y2 – 12x + 11 = 0 Aquest punt es diu centre radical de les tres circumferències.

Anàlisi del problema. Per trobar el centre radical, R, s’han d’obtenir dos dels eixos radicals i determinar-ne el punt de tall. Eix radical de C1 i C2: x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = x2 + y2 + 10y 8 6x + 16y – 9 = 0 Eix radical de C2 i C3: x2 + y2 + 10y = x2 + y2 – 12x + 11 8 12x + 10y – 11 = 0 Punt de tall dels dos eixos radicals:

6x + 16y – 9 = 0 7 43 7 43 8 y= 8 x= 8 Rc , m 22 66 22 66 12x + 10y – 11 = 0

FES-HO TU: Troba el centre radical d’aquestes tres circumferències:

C1: x2 + y2 – 6x + 6y – 14 = 0 C2: x2 + y2 – 10y – 8y + 37 = 0 C3: x2 + y2 – 8x + 7 = 0 8. Equació d’una paràbola amb vèrtex diferent de (0, 0) donats el focus i la directriu Calcula l’equació de la paràbola, si el seu eix és paral·lel a l’eix X de focus F(3, 5) i directriu x = –1. FES-HO TU

Troba l’equació de la paràbola d’eix horitzontal amb focus F(4, –3) i directriu x = 2.

Si el focus d’una paràbola és F(3, 5) i la directriu és x = –1, la distància del focus a la directriu és p = 3 – (–1) = 4. Per tant, el vèrtex es troba a la mateixa distància del focus i de la directriu. És a dir: 3 –1,5 Vc m = V(1, 5) 2 Com que l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en (0, 0) és y2 = 2px, l’equació de la paràbola cercada serà: (y – 5)2 = 8(x – 1)

9. Càlcul de la recta tangent a una paràbola en un punt Troba la recta tangent a la paràbola y 2 = 8x en el punt A(8, 8). Y

8 X

Anàlisi del problema. Com que la recta tangent no és paral·lela a l’eix Y i passa per A(8, 8), ha de ser de la forma y = m(x – 8) + 8. Per trobar-ne el pendent, usarem el fet que una recta tangent a la paràbola ha de tenir un únic punt en comú amb aquesta, A. És a dir, el sistema que formen les seves equacions ha de tenir solució única. y = m ( x – 8) + 8 4 → [m(x – 8) + 8]2 = 8x y 2 = 8x Desenvolupant i operant, obtenim: m2x 2 + (–16m2 + 16m – 8)x + 64m2 – 128m + 64 = 0 Perquè aquesta equació de 2n grau tengui solució única, el seu discriminant ha de ser 0. (–16m2 + 16m – 8)2 – 4m2(64m2 – 128m + 64) = 0 → → 256m4 – 512m3 + 512m2 – 256m + 64 – 256m4 + 512m3 – 256m2 = 0 → → 256m2 – 256m + 64 = 0 → 4m2 – 4m + 1 = 0 → (2m – 1)2 = 0 → m = 1/2 La recta tangent cercada és r : y = 1 (x – 8) + 8 → r : x – 2y + 8 = 0 2 FES-HO TU: Resol aquest exercici per a la paràbola y 2 = – 4x i el punt A(– 4, 4). 225

Exercicis i problemes guiats 1. Càlcul dels elements d’una el·lipse Calcula la distància focal, el semieix menor i l’excentricitat d’aquesta el·lipse: 2 cm

• Troba el semieix major i, a partir d’aquesta mesura i de la distància del focus a l’extrem esquerre, calcula la semidistància focal. • Amb les dades que tens, pel teorema de Pitàgores, ja pots calcular el semieix menor.

50 cm

• Troba, a partir de les dades calculades, l’excentricitat de l’el·lipse. Solució:

distància focal = 48 cm; semieix menor = 10 cm; excentricitat = 12/13 = 0,92 2. Circumferència inscrita en un triangle Troba l’equació de la circumferència inscrita en el triangle de costats a, b i c, sent: a: y = 0

• Troba la bisectriu de l’angle que defineixen a i b. Obtén-la com el lloc geomètric dels punts P(x, y) que equidisten dels dos costats: dist (P, a) = dist (P, b). Expressa en coordenades aquesta condició i resol l’equació resultant. Els valors absoluts donaran lloc a dues equacions diferents, corresponents a les dues bisectrius d’aquestes rectes. Ajuda’t d’una representació gràfica per a distingir quina és la que correspon a l’angle interior de triangle.

b: 3x – 4y = 0 c: 4x + 3y – 50 = 0 Y b

O(x0, y0)

• De manera anàloga, calcula la bisectriu corresponent als costats a i c.

r 1

Anàlisi del problema. Una circumferència queda determinada pel centre i el radi. El centre de la circumferència inscrita en un triangle és l’incentre; és a dir, el punt de tall de les bisectrius dels angles interiors d’aquest triangle. El radi, en ser la circumferència tangent als costats del triangle, es pot calcular com la distància del centre a qualsevol d’aquests costats.

• Calcula l’incentre O(x0, y0) com el punt de tall de les dues bisectrius, resolent el sistema que formen les seves equacions. • Obtén el radi de la circumferència com la distància de O a qualsevol dels costats del triangle. Observa que si calcules la distància al costat a, els càlculs són més simples: r = dist (O, a). • L’equació de la circumferència és: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2. En aparèixer denominadors en les coordenades del centre i en el radi, pot ser convenient desenvolupar l’expressió obtenguda per simplificar-la. Solució: 4x 2 + 4y 2 – 60x – 20y + 225 = 0

3. Rectes tangent i normal a una circumferència en un punt Siguin r i s, respectivament, les rectes tangent i normal a una circumferència en un punt P. r: x + y – 7 = 0

s: x – y – 9 = 0

Calcula l’equació de la circumferència sabent que el radi és r = 2 2 .

• El punt de la circumferència, P, on r és tangent es pot trobar com el punt d’intersecció de r i s resolent el sistema que formen les seves equacions. • Per trobar el centre de la circumferència O(x0, y0), ten en compte que ha de complir aquestes dues condicions: O ∈ s i dist (P, O) = 2 2. Expressa analíticament aquestes condicions i resol el sistema que formen ambdues equacions. Obtendràs dues solucions, O i O'. Y • Troba les expressions de les circumferències solució mitjançant l’equació: (x – x0)2 + ( y – y0)2 = r 2 Solució:

(x –

226 226

6)2 +

O' 1

P O

( y +

3)2 =

8; (x –

10)2 +

( y –

1)2 =

Exercicis i problemes proposats Per practicar Llocs geomètrics

1 Troba, en cada cas, la mediatriu del segment AB. a) A(5, –1) B(–3, 1) b) A(3, 6) B(–1, 6) Comprova que és una recta perpendicular a AB. 2 Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y) amb una diferència de quadrats de distàncies als punts A(0, 0) i B(6, 3) que és 15. Quina figura obtens? 3 Troba el lloc geomètric dels punts amb una distància a la recta 4x – 3y + 11 = 0 de 6. 4 Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten de les rectes r i s. Interpreta’n el resultat. r : 3x – 5y + 11 = 0 s : 3x – 5y + 3 = 0 5 Troba les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r i s: r : 4x – 3y + 8 = 0 s : 12x + 5y – 7 = 0 6 Calcula el lloc geomètric dels punts amb una distància a P(1, 0) que sigui la meitat de la distància a la recta x = 4. Quina figura obtens?

11 Escriu l’equació de la circumferència que passa per c0, – 1 m i té centre en c 1 , – 1 m . 3 2 3 12 Troba l’equació de la circumferència que té el centre en el punt C(0, –5) i que el seu diàmetre és igual a 10. 13 Escriu l’equació de la circumferència que passa per A(1, –2) i per B(2, –1) i té radi 1. 14 Un dels diàmetres d’una circumferència té per extrems A(3, –2) i B(7, 0). Troba l’equació de la circumferència. 15 Determina l’equació de la circumferència que passa per A(2, – 4), B(8, –10) i C(4, –8). * Mira l’exercici resolt núm. 1. 16 Dona l’equació de la circumferència que té per centre el punt (2, –5) i és tangent a l’eix d’abscisses. 17 Obtén l’equació de la circumferència que té el centre en el punt (3, – 4) i que és tangent a l’eix d’ordenades. 18 Determina l’equació de la circumferència que té el centre en l’origen de coordenades i és tangent a la recta x + y – 3 = 0. 19 Determina les rectes tangent i normal a la circumferència (x + 4)2 + ( y + 2)2 = 13 en el punt A(–2, 1).

Circumferències

Posicions relatives de rectes i circumferències

7 Troba, en cada cas, el lloc geomètric dels punts del pla amb una distància d al punt A. a) A(0, 5) i d = 2 b) A(0, 0) i d = 1

20 Calcula la distància del centre de la circumferència x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 a la recta r : 2x – y + 3 = 0. Quina és la posició de r respecte a la circumferència?

c) A(–2, 0) i d = 1 2

d) A(–1, –5) i d = 3 5

8 Troba el lloc geomètric dels punts amb el quocient de distàncies als punts A(0, 6) i B(0, 3) que és 2, és a dir: dist (P, A) = 2 dist (P, B) 9 Dona, en cada cas, l’equació de la circumferència que té centre C i radi r. a) C(0, 0) i r = 1 b) C(2, –3) i r = 2 c) C(–1, 0) i r = 2 d) C(0, 3) i r = 5 4 3 10 Esbrina quines de les expressions següents corresponen a circumferències i, en aquestes, troba’n el centre i el radi: a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0 b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0 c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0 d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0

21 Estudia la posició relativa de la circumferència d’equació x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 respecte de cada una de les rectes següents: r1: x + y – 1 = 0 r2: 3x – 4y + 9 = 0 22

Estudia la posició relativa de la circumferència d’equació (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4 respecte a cada una de les rectes següents: r1: x – 2 = 0 r2: y = 0 r3: y = 2x + 1

23 Usa, en cada cas, els dos mètodes següents: a) Resolent els sistemes d’equacions formats per la circumferència i cada recta. b) Comparant la mesura del radi amb la distància de cada recta al centre de la circumferència. 24 Estudia la posició relativa de la recta y = x + b i la circumferència x 2 + y 2 = 1 en funció del paràmetre b. 25 Determina la posició relativa de la recta y = 2x – 3 i la circumferència x2 + y2 = a en funció del valor del paràmetre a. 227 227

Exercicis i problemes proposats Potència d’un punt a una circumferència

26 Determina la potència dels punts P(5, 2), Q(2, 1) i R(–1, 0) a la circumferència: C: x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 Utilitza-ho per estudiar la posició relativa de P, Q i R respecte de C. 27 Troba i representa l’eix cumferències: a) x 2 + y 2 = 4 i 2 2 b) (x – 3) + y = 5 i c) x 2 + ( y – 3)2 = 2 i

37 Troba els vèrtexs, els focus i l’excentricitat d’aquestes el·lipses no centrades en l’origen de coordenades. Representa-les: 2 ( y + 3) 2 (x – 1) 2 ( y + 2) 2 =1 a) x + b) + =1 25 9 9 16 38 Indica l’equació d’aquestes el·lipses i calcula’n l’excentricitat: Y Y a) b)

radical dels següents parells de cirX

x 2 + ( y – 1)2 = 9 (x – 7)2 + y 2 = 9 (x – 5)2 + y 2 = 1

28 Calcula el centre radical d’aquestes tres circumferències: C1: x2 + y2 – 4x + 6y = 0 C2: x2 + y2– 1 = 0 C3: x2 + y2 + 6x + 5 = 0 * Mira l’exercici resolt núm. 7.

El·lipses

29 Troba l’equació del lloc geomètric dels punts que tenen una suma de distàncies a P(– 4, 0) i Q(4, 0) que val 10. 30 D’una el·lipse coneixem els focus F(0, 1) i F' (0, –1) i la constante k = 4. Determina’n l’equació. 31 Troba l’equació de l’el·lipse de focus (–2, 0) i (2, 0) sabent que la longitud de l’eix major és 10. 32 Escriu l’equació de l’el·lipse amb focus F(–3, 0) i F' (3, 0) i excentricitat igual a 0,5. 33 Dona l’equació de l’el·lipse que passa per (3, 1) i té per focus (4, 0) i (– 4, 0). 34 D’una el·lipse, centrada en (0, 0), se sap que l’eix major, que és igual a 10, està sobre l’eix X. A més, passa pel punt (3, 3). Obtén-ne l’equació. 35 Determina, en cada cas, l’equació de l’el·lipse, centrada en (0, 0), que té aquestes característiques: a) L ’excentricitat és 1/2 i l’eix major està sobre l’eix Y i és igual a 2. b) Els vèrtexs són (–2, 0), (2, 0), (0, – 4) i (0, 4). 36 Troba els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de les el·lipses següents donades per les seves equacions. Representa-les: 2 2 y2 y2 a) x + =1 b) x + =1 100 36 64 100 c) 9x 2 + 25y 2 = 25 228

d) 9x 2 + 4y 2 = 3

Hipèrboles

39 Troba el lloc geomètric dels punts que tenen una diferència de distàncies a F'(– 4, 0) i F (4, 0) de 6. 40 Troba l’equació de la hipèrbola de focus (– 4, 0) i (4, 0) i distància entre vèrtexs, 4. 41 Obtén l’equació de la hipèrbola amb aquestes asímptotes y = ± 1 x i sabent que un dels vèrtexs és (2, 0). 5 42 D’una hipèrbola sabem que passa pel punt `8, 5 3j i els focus són (–3, 0) i (3, 0). Calcula’n l’equació. 43 Troba l’equació de la hipèrbola de focus (–3, 0) i (3, 0) i asímptotes y = ± 2 5 x . 5 44 Troba els vèrtexs, els focus, les excentricitats i les asímptotes de les hipèrboles donades per aquestes equacions. Dibuixa-les: 2 y2 a) x – =1 100 36

2 b) 9x – y 2 = 1 16

c) x 2 – 4y 2 = 1

d) x 2 – 4y 2 = 4

y2 x2 – =1 4 36

g) 9x 2 – 4y 2 = 36 2 ( y – 1) 2 i) x – =1 36 64 2 2 ( y – 1) =1 i) x – 36 64

f ) y 2 – 16x 2 = 16 h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0 (y – 1) 2 (x – 1) 2 – =1 16 9 2 2 (y – 1) x – ( – 1) = 1 j) 16 9 j)

45 Indica l’equació de cada una de les hipèrboles següents i calcula’n l’excentricitat. a) b) Y Y X

46 Troba les coordenades dels focus i la distància focal d’aquestes hipèrboles equilàteres: a) y = 1 b) y = – 3 c) y = 12 x 4x x Paràboles

47 Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten del punt (3, 0) i de la recta y = –3. 48 Troba, en cada cas, l’equació de la paràbola de focus F i directriu d. a) F (5, 0); d: x = –5 b) F (–3, 0); d: x = 3 c) F (0; 2,5); d: y = –2,5 d) F (0, – 4); d: y = 4 49 Determina l’equació de la paràbola que té el vèrtex en l’origen de coordenades i que la seva directriu és y = 3 . 50 Calcula l’equació de la paràbola de focus F i directriu d: a) F (3, 5); d: x = 1 b) F (–2, 1); d: x = –6 c) F (1, –2); d: y = –4 d) F (0, 3); d: y = –5 * Mira l’exercici resolt núm. 8.

52 Troba els vèrtexs, els focus i les directrius de les paràboles següents. Representa-les: 2 a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x 4 f ) (y – 2)2 = 8x

g) (x – 1)2 = –8(y + 1)

h) (y + 2)2 = –4(x – 1)

53 Calcula les equacions d’aquestes paràboles: a) b) c) Y Y X

55 Identifica les còniques següents, calcula’n els elements característics i dibuixa-les: a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25

d) x 2 – 4y 2 = 16

e) y 2 = 14x

f ) 25x 2 + 144y 2 = 900

(x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 1 9 25 2 i) (x + 2) = 4( y + 5) g)

( x – 1) 2 – ( y + 1 ) 2 = 1 16 9 j) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4

56 Calcula el vèrtex, el focus i la directriu de cada una de les paràboles següents: a) y2 – x + 2 = 0 b) y2 – 2y – 4x + 1 = 0 c) x2 – 4x – 6y – 2 = 0

d) y2 – 4y – 6x – 5 = 0

* Mira l’exercici resolt 3d. 57 a) Troba l’equació de la circumferència amb centre C(–1, 1) i que és tangent a la recta 3x – 4y – 3 = 0. b) D e totes les rectes paral·leles a la bisectriu del primer quadrant, troba les que siguin tangents a la circumferència trobada a l’apartat anterior. 58 Troba l’equació de la circumferència que passa per (–3, 2) i (4, 1) i és tangent a l’eix X.

51 Troba l’equació de la paràbola amb focus F(1, 1) i vèrtex V(1, 1/2).

e) y2 = 4(x – 1)

Per resoldre

59 De la circumferència C se sap que té el centre en la recta x – 3y = 0 i passa pels punts (–1, 4) i (3, 6). Obtén l’equació de C. 60 Determina l’equació de la circumferència de radi 10 que, en el punt (7, 2), és tangent a la recta 3x – 4y – 13 = 0. 61 Troba l’equació de la circumferència inscrita en el triangle de vèrtexs A(3, 2), B `1 – 2, – 2j i C `5 + 2, – 2j . 62 Troba l’equació de la circumferència circunscrita al triangle determinat per la recta y = –x + 4 i els eixos de coordenades. Calcula l’equació de la recta tangent a aquesta circumferència en (0, 0). 63 Troba l’equació de la circumferència inscrita en el quadrat de vèrtexs A(–3, 3), B(–1, 3), C(–1, 1) i D(–3, 1).

* Mira l’exercici resolt núm. 6. 54 Troba l’equació de la paràbola de vèrtex en el punt (2, 3) i que passa pel punt (4, 5).

64 Troba l’equació de la circumferència de radi 5 que passa per P(1, 1) i amb centre que pertany a la recta x + 3y – 19 = 0. * Mira l’exercici resolt núm. 2. 65 Estudia la posició relativa del punt P(0, 3) respecte a la circumferència (x – m)2 + y 2 = 25 en funció dels valors del paràmetre m. 229

Exercicis i problemes proposats 66 Estudia en funció de k la posició relativa de la recta s : 4x + 3y + k = 0 respecte a la circumferència d’equació x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0. 67 Troba els punts d’intersecció de cada parell de circumferències i digues quina és la seva posició relativa. x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 a) * 2 2 x + y =4 x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0 b) * 2 2 x + y – 6x + 2y + 9 = 0 68 Considera les circumferències C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 i C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10. a) Comprova que les dues circumferències són secants i calcula’n els punts de tall, A i B. b) Troba les potències dels punts A i B a les circumferències C1 i C2. c) A la vista del resultat obtengut a l’apartat anterior, què podries dir de l’eix radical de les dues circumferències? d) Pots generalitzar aquest resultat per a un parell qualsevol de circumferències secants?

76 Associa cada una de les equacions següents a un dels gràfics que hi ha a continuació: a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9 c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1 2 2 2 y e) x + =1 f ) x – y = 0 9 16 9 2 g) x – y 2 = 1 h) y 2 = 2(x – 1) 4 2 2 y2 i) x + =0 j) (x – 1) + ( y – 1) 2 = 1 25 9 4 I

III

VII

VIII

69 Dues circumferències es tallen en els punts (0, 0) i (0, 8). Quin és el seu eix radical? Justifica la resposta. 70

Escriu l’equació d’una el·lipse amb centre en l’origen de coordenades i focus en l’eix d’abscisses, sabent que passa pel punt P(8, –3) i que l’eix major és igual al doble del menor.

71 Troba l’equació de la hipèrbola centrada en el punt (4, 5), amb focus F (2, 5) i F'(6, 5) i amb el semieix menor b = 1. 72 Troba l’equació de la hipèrbola següent: • Té el centre en l’origen de coordenades. • Té els focus a l’eix d’abscisses. • Passa pel punt P ` 5/2, 1j . • Una de les asímptotes és la recta y = 2x. 73 Troba l’equació de la hipèrbola equilàtera amb focus (5, 0) i (–5, 0).

74 El cometa Halley descriu una òrbita el·líptica i el Sol es troba en un dels focus, d’excentricitat 0,96657. Si la seva distància mínima al Sol (periheli) és de 0,6 UA, calcula quina és la màxima (afeli). Recorda que 1 UA (unitat astronòmica) és la distància mitjana entre la Terra i el Sol.

Qüestions teòriques

75 La Terra descriu una òrbita el·líptica, i el Sol es troba en un dels focus. En aquesta trajectòria, la distància mínima Terra-Sol és de 147 095 248 km, i la màxima és de 152 100 492 km. Calcula l’excentricitat de l’òrbita i interpreta el resultat obtengut.

77 Determina si les equacions següents corresponen a còniques. Si és així, indica quina cònica és: 2 2 y2 y2 +1 –1 a) – x = b) x = 4 9 4 9 c) x 2 + y 2 + x + y + 1 = 0 d) y 2 + 2y = x

230

78 Sabem que en aquesta hipèrbolaa | PF – PF' | = 4. Quina branca correspon a PF – PF' = 4 i quina correspon a PF' – PF = 4? 79

81 a) Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y) que la seva suma de quadrats de distàncies als punts A(–3, 0) i B(3, 0) és 68. Pots comprovar que es tracta d’una circumferència de centre O(0, 0). Quin és el seu radi? b) Generalitza: Troba el lloc geomètric dels punts que la seva suma de quadrats de distàncies a A(–a, 0) i B(a, 0) és k (constant), i comprova que es tracta d’una circumferència de centre O(0, 0). Digues el valor del seu radi en funció de a i de k. Quina relació han de complir a i k perquè realment sigui una circumferència?

Tenint en compte la definició d’el·lipse i prenent en el dibuix algunes mesures, digues quines d’aquestes el·lipses amb els seus focus estan mal dibuixades:

Per aprofundir

Vertader o fals? a) Si la distància d’una recta al centre d’una el·lipse és major que el semieix major, no es tallen.

82 a) Considera la circumferència C : (x – 1)2 + y 2 = 25 i el punt P(9, 6). Sigui r la recta que uneix P amb el centre de la circumferència. Troba A i B, punts de tall de r i C. Comprova que la potència de P respecte a C coincideix amb d (P, A) · d (P, B). b) Demostra que l’apartat anterior és cert si substituïm r per qualsevol recta secant a C que passi per P.

b) Totes les hipèrboles equilàteres tenen la mateixa excentricitat.

* F es un dibuix i anomena

A' i B' els punts de tall de C i la nova recta. Aplica semblança als triangles AB'P i A'PB.

c) Les paràboles del tipus y2 = –2px tenen excentricitat –1. d) P er tres punts alineats no pot passar una circumferència. e) Com més s’allunyen el focus i la directriu d’una paràbola, major és l’excentricitat.

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Troba l’equació de la bisectriu dels angles formats per les rectes següents: r1: x = 3

anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

6 Escriu l’equació de la paràbola que té directriu x = 3 i com a vèrtex, l’origen de coordenades. 7 Troba els focus, l’excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola que té per equació: 9y 2 – 16x 2 = 144.

r2: 3x – 4y + 1 = 0 2 Escriu l’equació de la circumferència el centre de la qual és el punt C(1, –3) i passa pel punt A(5, 0). x 2

y 2

3 Consideram la circumferència + – 2x = 0 i la recta r : 3x – 4y + k = 0. Calcula els valors que ha de prendre k perquè r sigui interior, tangent o exterior a la circumferència. 4 Descriu les còniques següents. Obtén-ne els elements i dibuixa-les: y2

83 Calcula el lloc geomètric dels punts amb el producte de distàncies a aquestes rectes de 2: 2 r: 2x + 3y = 0 s: y = x 3

– 5) 2

( y + 1) 2

2 =1 a) x – =1 b) (x – 9 16 9 16 5 Obtén l’equació de l’el·lipse de focus F (– 4, 0) i F' (4, 0) i excentricitat 0,8.

Dibuixa-la. 8 Indica les equacions de les còniques següents: a) b) c) Y Y X

9 Donades aquestes circumferències: C1: x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 C2: x2 + y2 – 4x – 18y + 21 = 0 C3: x2 + y2 – 8x – 5y + 1 = 0 Representa-les i calcula’n el centre radical. 231

9 Funcions elementals Primeres aproximacions a la idea de funció El concepte de funció apareix com a tal al segle xvii, però el procés fins a arribar-hi va ser lent i es remunta fins a l’Antiguitat. En la matemàtica babilònica de fa 4 000 anys trobam les primeres aproximacions en forma de lleis que descriuen relacions entre magnituds, de tal manera que coneixent-ne el valor d’una s’obté, inequívocament, el valor de l’altra. Al segle ii aC, el matemàtic grec Ptolemeu va estudiar relacions entre variables, sense arribar a comprendre el concepte de funció. Oresme (matemàtic francès del segle xiv) va afirmar el 1350 que les lleis de la naturalesa són relacions de dependència entre «dues quantitats». Varen ser aquest tipus de relacions les que serviren d’origen al concepte de funció. La primera idea de funció és, per tant, la d’una fórmula que relaciona algebraicament diverses magnituds. Galileu, al final del segle xvi, va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a mesurar, anotar i valorar quantitativament causes i efectes per establir relacions numèriques que descriguessin fenòmens naturals.

Reproducció del mapamundi inclòs a l’obra Geographia de Ptolemeu.

El concepte de funció es generalitza Les investiguicions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció, que va prenent forma al llarg del segle xvii. La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians (segle xvii) va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es generalitza a qualsevol relació numèrica que respongui a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Leibniz, el 1673, adopta la paraula funció per designar aquestes relacions. Euler, entre l’any 1748 i el 1755, va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat, admetent que una relació entre dues variables pot ser funció, encara que no hi hagi una expressió analítica que la descrigui. El mateix Euler va ser qui va aportar la nomenclatura f (x) per indicar el valor de la funció f associat al nombre x. Es pot dir que amb Euler s’assenta el concepte de funció.

236

Utilitat de les funcions Les funcions s’utilitzen per modelitzar i estudiar multitud de fenòmens socials, naturals, científics… Encara que algunes tenen expressions molt complexes, és sorprenent veure la simplicitat de moltes altres. Com es determina la quantitat d’oxigen en sang? Entre altres, s’utilitza una funció amb corba en forma d’eix (es diu que és de manera sigmoide). Intervé alguna funció en la determinació de l’edat dels fòssils? Sí, una logarítmica. Un equip d’investiguidors i investiguidores de la NASA va desenvolupar un complex model matemàtic destinat a predir els eclipsis de Fobos (satèl·lit de Mart) per poder observar-los amb el vehicle Curiosity des de la superfície de Mart. Entre altres dades, la predicció d’aquests eclipsis requereix conèixer, per a qualsevol instant de temps, les coordenades de Fobos i del Sol des de Mart. Aquest model dictamina en quins instants la càmera situada en el pal del Curiosity La sonda Curiosity a la superfície de havia d’enfocar el Sol. Mart.

RESOL Famílies de funcions Ja coneixes moltes famílies de funcions: els noms, com són les seves expressions analítiques i quina forma tenen els gràfics. Associa cada nom de família amb la representació gràfica corresponent i amb la seva expressió analítica general. 1. Quadràtica 2. Arrel 3. Proporcionalitat inversa 4. Exponencial 5. Logarítmica A

B Y

E Y

X X

E Y

X X

I. y = x – 4

II. y = 4x

III. y = x 2 – 4x

IV. y = log2 x

V. y =

2 x –3

237

Estudi de les funcions Concepte de funció En la ciència, en la tècnica, a la naturalesa, podem identificar infinitat de funcions: • La velocitat que duu una partícula depèn del temps, és funció del temps. • La pressió de l’aigua de la mar és funció de la profunditat. • La grandària amb què es veu un objecte a través d’una lupa és funció de la distància a la qual es col·loqui la lupa. • La sensació amb la qual es percep un estímul és funció de la intensitat d’aquest. En totes es relacionen dues variables. Tant en aquestes com en les altres funcions que manejam habitualment, les variables prenen valors reals (és a dir, es mouen en el conjunt Á dels nombres reals). f és una funció de Á en Á si a cada nombre real, x ∈ Dom, s’hi fa correspondre un altre nombre real, f (x): Dom ⊂ Á

Dom ⎯→ Á x ⎯→ f (x)

El conjunt Dom dels valors que pot prendre la variable independent, x, es diu domini de definició de la funció. Y

RECORREGUT

El conjunt dels valors que pren la funció es diu recorregut.

➜

anayaeducacion.es Animació que permet visualitzar el domini i

y = f (x)

el recorregut de diversos tipus de funcions DOMINI

Hem de destacar que perquè f (x) sigui funció, cada valor de x ∈Dom ha de tenir assignat un únic valor f (x): f (x) és únic per a cada x ∈ Dom Com que tant la variable x com la funció f (x) prenen valors reals, aquestes funcions es diuen funcions reals de variable real. Com venen donades les funcions Les funcions ens arriben en diversos formats: • Mitjançant el seu gràfic Permet que ens fem una idea molt clara de com és la funció amb un sol cop d’ull. • Per la seva expressió analítica (fórmula) Sintetitza algebraicament de manera perfecta la relació entre les dues variables. És la més precisa, però no és fàcil veure’n el comportament d’una sola ullada. • Mitjançant un enunciat Si ens ve donada per un enunciat (acompanyat o no d’una taula de valors) haurem de traduir-lo a un gràfic o, si fos possible, a una expressió analítica. 238

y=x

3 x +1 –x –3

La temperatura d’un pacient que comença a estar malalt fins que torna a tenir 37 °C…

Aspectes rellevants d’una funció Analitzar el comportament d’una funció donada pel seu gràfic és senzill. Evidentment, per a això hi ha el gràfic, perquè sigui fàcil visualitzar els vaivens de la funció. Hi podem veure les pujades i baixades (creixement i decreixement), així com els màxims (punts on la corba deixa de pujar i comença a baixar) i mínims. Les discontinuïtats (ruptures), les branques infinites… Tot això és molt rellevant per a l’anàlisi de la funció que s’està descrivint. Y

En els cursos anteriors ens vàrem familiaritzar amb la interpretació de fenòmens físics, biològics, econòmics… descrits mitjançant gràfics. No obstant això, en aquest curs ens marcam un nou i gran objectiu: ser capaços de representar una funció a partir de la seva expressió analítica. Per a això, necessitam dues eines importants (límits i derivades) que estudiarem a les pròximes unitats i que, ara, passam a descriure molt breument. Límits Les branques infinites, tant les que es donen en punts finits com les que sorgeixen quan la funció s’allunya cap a l’esquerra o cap a la dreta, s’obtenen mitjançant els límits.

PREGUNTAR A L’EXPRESSIÓ ANALÍTICA Hem d’aprendre a fer preguntes a l’expressió analítica d’una funció. • Ets contínua? • Tens branques infinites? On estan? Com són? • On ets creixent? On decreixent?

• Quins són els teus màxims i mínims? •… X

I ser capaços de troba les respostes a aquestes preguntes.

L’estudi dels límits (unitat 10) ens permetrà esbrinar si existeixen aquestes branques, on estan localitzades i quina forma tenen. Els límits també ajuden a dilucidar si una funció és o no contínua en un punt o si existeix algun tipus de «ruptura».

crei X

cre

El bon maneig de les derivades ens permetrà esbrinar els intervals on una funció és creixent i on és decreixent, així com a obtenir-ne els màxims i mínims.

La derivada d’una funció és una altra funció que descriu el pendent (inclinació) de la primera a cada un dels seus punts. A la unitat 12 aprendrem les tècniques de càlcul de derivades.

cre

Derivades

239

Domini de definició Per què es restringeix el domini de definició • La funció y = –5x 2 + 20x correspon a una paràbola. A cada valor real de la x cor respon un valor de y. El domini de definició és tot Á.

Y 20

• La funció a = 20t – 5t 2 correspon a l’altura a què es troba una pedra que llançam cap amunt amb una velocitat de 20 m/s. És la mateixa paràbola descrita en el paràgraf anterior, però ara la funció només està definida per a valors de t que facin a ≥ 0 (la pedra s’atura en arribar a terra). El domini de definició d’aquesta funció és [0, 4].

a = 20t – 5t 2

10 0

y = –5x 2 + 20x

• La funció amb l’expressió analítica y = x – 7 no està definida en x = 1, perquè 1 – 7 = –6 no és un nombre real. Només està definida si x val 7 o més. El domini de definició és [7, +∞). El domini de definició d’una funció queda restringit per algun dels motius següents: • L’enunciat o context real del qual s’ha extret la funció. • La impossibilitat de fer alguna operació amb certs valors de x. Per exemple: — Si s’anul·làs el denominador en una fracció algebraica. — Si aparegués un nombre negatiu dins d’una arrel d’índex parell. — Si un logaritme actuàs sobre un nombre no positiu. • Per voluntat de qui proposa la funció.

OBSERVACIÓ Si no es diu una altra cosa, el domini de definició d’una funció és tan ampli com en permeti l’expressió analítica.

Operacions aritmètiques que restringeixen el domini de definició • Denominador zero

Per exemple, f (x) = 1 + x – 5 . S’ha d’excloure el 0 del domini de definició, que x x +4 anul·la el primer denominador, i el –4, que anul·la el segon. Per tant:

OBSERVA

Dom = Á – {–4, 0} = (–∞, –4) « (–4, 0) « (0, +∞)

• Arrel d’índex parell i radicand negatiu

Per exemple, f (x) = x 2 – 3x . El radicand és negatiu en l’interval (0, 3). Per tant, el domini de definició és:

Dom = Á – (0, 3) = (–∞, 0] « [3, +∞) • Logaritme d’un nombre no positiu Per exemple, f (x) = ln (x2 – 3x). L’expressió sobre la qual actua el logaritme és negativa o zero en l’interval [0, 3]. Per tant, el domini de definició és:

y = x2 – 3x és negativa en l’interval (0, 3).

Dom = Á – [0, 3] = (–∞, 0) « (3, +∞) • Diverses restriccions. Quan en la mateixa funció conflueixen més d’una d’aquestes circumstàncies, s’han de tenir totes en compte.

OBSERVA Y

Per exemple:

1 • f (x) = . S’ha de suprimir del domini de definició els valors de x que 2 x + 5x anul·len el denominador, –5 i 0, i també els de l’interval (–5, 0) que fan negatiu el radicand. Per tant, Dom = Á – [–5, 0] = (–∞, –5) « (0, +∞). • f (x) = ln (x – 4) . El logaritme neperià obliga a excloure el tram (–∞, 4]. Però, a més, quan x é (4, 5), ln(x – 4) < 0, per la qual cosa l’arrel obliga a suprimir també aquests valors. Per tant, Dom = Á – (–∞, 5) = [5, +∞). 240

1 1

4 5

En el tram (4, 5), ln (x – 4) pren valors negatius.

Exercicis resolts

1 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: x 3 – 7x – 6 a) y = 3 x – 8x 2 + 15x x –3 b) y = 2 x + x +1

a) La funció no està definida en els punts en què s’anul·la el denominador, sense importar si el numerador s’anul·la o no en aquests: x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ (x2 – 8x + 15) · x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 S’han d’excloure aquests tres valors del domini de definició. Per tant: Dom = Á – {0, 3, 5} = (–∞, 0) « (0, 3) « (3, 5) « (5, +∞)

b) El denominador no s’anul·la en cap punt. Per tant, el domini és tot Á: Dom = Á

2 Troba el domini de definició de les funcions següents: a) y = x 3 – 8x 2 + 15x b) y =

a) Vegem per a quins valors de x el radicand, que anomenam g(x) és positiu. g (x) = x3 – 8x2 + 15x = 0 ⇔ x = 0, x = 3, x = 5 El polinomi s’anul·la en 0, 3 i 5. En cada un dels intervals, (–∞, 0), (0, 3), (3, 5) i (5, +∞), el signe del polinomi (positiu o negatiu) es manté constant. Per això, calculam el valor del polinomi en un punt a cada interval perquè el seu signe serà el signe de g(x) en tot aquest interval:

+ x2

c) y = log (x4 + x2)

g(–1) = –24

g(1) = 8

g(4) = –4

g(6) = 18

g<0

g>0

g<0

g>0

g (x) ≥ 0 en [0, 3] i en [5, +∞). Per tant: Dom = [0, 3] « [5, +∞) b) g (x) = x4 + x2 només s’anul·la en x = 0 i és positiu en la resta. És a dir, g (x) ≥ 0 sempre. Per tant, no hi ha cap punt en el qual no estigui definida la funció g (x) . Dom = Á Estudia el domini representat.

➜

c) g (x) = x4 + x2 s’anul·la en x = 0 i és positiu en la resta. Per tant, en el domini de log g(x) s’ha de suprimir x = 0: Dom = Á – {0} = (–∞, 0) « (0, +∞)

3 Troba el domini de definició de: log (x – 1) y= 5x – x 2

La funció log ha d’actuar sobre valors positius → x – 1 > 0 → x > 1 L’arrel, sobre valors no negatius → 5x – x2 ≥ 0 → 0 ≤ x ≤ 5 El denominador no s’ha d’anul·lar → 5x –

° ¢0<x<5 ≠ 0 → x ≠ 0 i x ≠ 5£

Les dues condicions es compleixen en (1, 5).

x>1 0

Per tant: Dom = (1, 5)

0<x<5

Pensa i practica

➜

anayaeducacion.es Amplia el càlcul de dominis.

Troba el domini de definició de cada una de les funcions següents: 2 1 a) y = x3 – 4x2 + 3 x – 4x + 3x

2 b) y = x –24x + 3 x +1

2 a) y = log (x3 – 6x2 + 8x)

b) y = x 3 – 6x 2 + 8x

3 y=

log (x 3 – 6x 2 + 8x) x 3 – 6x 2 + 8x

4 a) y = x 3 – 2x 2 + x – 2 5 y=

b) y = log (x3 – 2x2 + x – 2)

x Atenció: per a quins valors de x s’anul·la el denolog x

6 a) y =

minador? log x = 0 → x = …

log (x – 3) x 2 – 7x + 10

b) y =

x 2 – 7x + 10 log (x – 3)

241

Famílies de funcions elementals Les funcions descriuen fenòmens quotidians, psicològics, econòmics, científics, tècnics… Tals funcions habitualment s’obtenen de forma experimental i, ben sovint, responen a alguna de les grans famílies que ja coneixem de cursos anteriors. Recordem aquestes famílies i algunes de les funcions corresponents obtengudes experimentalment.

Funcions lineals Les funcions lineals es descriuen amb equacions de primer grau

FUNCIONS D’OFERTA I DEMANDA

Y y = ax + b

y = ax + b i es representen mitjançant rectes.

Exemples: • La longitud l (en cm) d’una molla d’on pengen pesos de massa M (en g) ve donada per l’equació: l = 2 + 0,29M,

0 ≤ M ≤ 50

• La pressió P (en atmosferes) a la mar i la profunditat h (en m) es relacionen amb l’equació: P=1+ h , 10

h>0

pressió (atm) 10

2 10

h h>0 P=1+— 10 50 100 profunditat (m)

En el procés de compra-venda de qualsevol producte es poden considerar dues funcions: • Funció oferta, o (x): com més gran sigui el preu del producte, major serà la quantitat d’unitats que l’empresa estigui disposada a produir i, per tant, major serà l’oferta. o (x) és creixent. • Funció demanda, d (x): com més gran sigui el preu del producte, menor serà el nombre de persones disposades a comprar-lo i, per tant, menor serà la demanda. d (x) és decreixent. Amb freqüència les funcions d’oferta i demanda són lineals: es representen mitjançant trossos de rectes. Quantitat ( y)

Punt d’equilibri

Funcions quadràtiques

DEMANDA

Les funcions quadràtiques es des- Y criuen amb equacions de segon grau

Preu (x) y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 i es representen mitjançant paràboles.

Exemples: • L’altura h (en m) a la qual es troba un objecte que es llança verticalment cap amunt amb una velocitat de 50 m/s, en funció del temps t (en s), és la següent: h = 50t – 5t 2,

0 ≤ t ≤ 10

altura (m)

a = 50t – 5t 2

242

distància recorreguda (m) 100

20 10 temps (s)

• La distància d (en m) recorreguda per un cotxe des que el conductor veu el perill fins que el cotxe s’atura per complet en funció de la velocitat v (en km/h) que duu el cotxe en aquest instant, ve donada per aquesta expressió analítica: 0 ≤ v ≤ 100

El punt de tall és un punt d’equilibri: per a aquest preu, el que s’ofereix és igual al que es demanda i ni sobra ni falta mercaderia. nota: En economia, aquestes funcions es descriuen prenent la quantitat com a variable independent i el preu com a variable depenent. Però en aquest nivell creim que són més senzilles d’entendre presentant-les com ho feim aquí.

100

d = 0,0074v 2 + 0,21v,

OFERTA

d = 0,0074v 2 + 0,21v

10 10

100 velocitat (km/h)

Funcions arrel

Funció arrel que varia en

➜

cambiar el valor de k.

Les funcions d’equació y = kx , k > 0

es representen mitjançant mitges paràboles amb l’eix paral·lel a l’eix X.

— y = √kx

Les arrels d’índexs diferents de 2 es representen (per a x ≥ 0) de manera similar.

Exemples: • El període T d’un pèndol (temps, en s, que tarda a realitzar una oscil·lació completa) és funció de la seva longitud l (en m). L’equació és:

Quina longitud ha de tenir la cadena d'un pèndol per que tarde un segon a realitzar una oscil·lació?

T=2 l • En psicologia té una gran importància l’estudi de percepcions. Percebem llum, olors, sons… La percepció (sensació) depèn (és funció) dels estímuls físics que arriben per mitjà dels sentits. La relació entre la sensació S amb la intensitat I de l’estímul, llei psicofísica, ve donada per aquesta fórmula:

sensació (estimada per l'individu) 3– S = k √I

S=k I Per exemple, si una persona experimenta un cert dolor en pitjar-la amb un dit, per «duplicar» aquest dolor la pressió ha de ser vuit vegades major.

8 estímul físic

Funcions de proporcionalitat inversa L’expressió analítica és

➜

k y=— x

y= k, k≠0 x i es representen mitjançant hipèrboles.

Hipèrboles y = ax.

Representa la funció f (x) = a i mou el desx lizador per comprovar com es modifica la hipèrbola en variar el valor de a. Què ocorre quan a és negatiu?

augment

Exemples:

4 A=— 4–d

L’augment A produït per una certa lupa ve donat per l’equació:

A= 4 4–d

distància (cm)

on d és la distància (en cm) a la qual se situa l’objecte. • Tapam l’orifici d’eixida d’una xeringa de 8 cm de longitud. En estrènyer l’èmbol, l’aire es comprimeix. La relació entre la pressió P (en atmosferes), i la longitud l (en cm) de la columna d’aire respon a l’equació: l=

8 , P +1

longitud (cm) 10 8 8 l=— P≥0 P+1

P≥0 –1

pressió (atm) 243

Famílies de funcions elementals

Funcions exponencials Creixement de la població mundial

S’anomenen funcions exponencials les que tenen per equació

(( ))

1 y= — 1 y = 2— x 2 y=2x 10 y = 2 10

a > 0, a ≠ 1

• Si a > 1, la funció és creixent i creix molt més ràpidament com major sigui a. El creixement arriba a ser molt ràpid, superant fins i tot qualsevol funció potència. Per això l’expressió creixement exponencial és sinònima de creixement molt ràpid.

població total

y = a x,

xY xY

5 5

–4 –4

• Si 0 < a < 1, és decreixent.

X 4X 4

des de l’any 10000 ac fins a l’any 2000 dc

Exemples: CAPITAL (€)

• Un capital de 50 000 € depositat al 6 % anual es transforma en t anys en un capital C seguint aquesta equació: C = 50 000 ∙

150 000

C = 50 000 ∙ 1,06t

100 000

1,06t

50 000 2

• Les substàncies radioactives es desintegren amb el pas del temps i la seva massa disminueix de forma exponencial. En unes, la desintegració és rapidíssima, en altres molt lenta. Per exemple, 5 g d’una certa substància es desintegren segons aquesta equació:

TEMPS (anys)

MASSA (g)

5 M = 5 ∙ 0,76t 1

M = 5 ∙ 0,76t

TEMPS (milers d’anys)

anayaeducacion.es

➜

Representació de funcions exponencials.

t : milers d’anys; M: quantitat, en g, de substància radioactiva al cap de t anys. Funcions logarítmiques Les funcions logarítmiques responen a l’equació

ATENCIÓ Y

La base, a, d’un logaritme també pot ser 0 < a < 1. En tal cas, la corba seria decreixent en tot el seu domini. Observa el gràfic de y = log1/2 x.

y = log2 x

y = loga x, a > 1 Són creixents de manera tal que superen qualsevol nombre per gran que sigui.

El seu creixement és molt lent, molt més com major sigui a. Exemple: • La llei psicofísica, de la qual hem parlat en la pàgina anterior, i que es descrivia mitjançant una arrel cúbica, en altres casos s’enuncia seguint el model logarítmic (llei de Weber-Fechner): S = k log10 I 244

2 sensació (estimada per l'individu)

y = log —1 x 2

S = k log10 I ➜

estímul físic

anayaeducacion.es Representació de funcions logarítmiques.

Pensa i practica

anayaeducacion.es Representació de diferents tipus de funcions.

➜

1 ssocia una equació a cada gràfic: A

D 80 Y

(4, 16π)

50 1

1 X

F Y

1 H

Y (5, 32)

50 1 10

50 X

1 K

(4, 16)

1 1

lineals

y= 3x 2 y = – 2 (x – 1) + 5 3

quadràtiques

proporcionalitat inversa

radicals

exponencials

y = x 2 – 8x + 15

PI1

y= 1 x

y = 2x + 4

y = 2x

y = (x + 3)(x + 5)

PI2

y = x +4

y = 0,5x

L3 3x + 2y = 0

y = x 2, x > 0

PI3

y=2 4–x

y = 20 + 80 ∙ 0,95x

L4 y = 3 x + 1, x ≥ 0 4

y = πx 2, x > 0

PI4

2 ,x≥0 2–x y= 2 x y= 6, x>0 x

y = – 4+x

y = 3x

L1 L2

2 Cada un dels enunciats següents es correspon amb un gràfic d’entre els de l’exercici anterior. Identifica’l. 1. Superfície, en centímetres quadrats, d’un cercle. Radi, en centímetres. 2. Augment d’una lupa. Distància a l’objecte, en centímetres. 3. Temperatura d’una cassola d’aigua que es deixa refredar des de 100 °C. Temps, en minuts. 4. Nombre d’amebes que es dupliquen cada hora. Es comença amb una. 5. Longitud d’una molla, en decímetres. Fa 1 dm i s’allarga 75 mm per cada quilo que s’hi penja. 6. Dimensions (llarg i ample, en centímetres) de rectangles amb superfície de 6 cm².

Vertader o fals? a) En una funció quadràtica y = ax 2 + bx + c, com més gran és a, més ampla és la paràbola que la representa. b) Els gràfics de y = 5x 2 + bx + c són idèntics. Se situen en posicions diferents en variar b i c. c) Totes les paràboles d’equació y = ax 2 + c tenen el vèrtex en el punt d’abscissa x = 0.

4 Vertader o fals? a) Les funcions y = – kx es representen mitjançant mitges paràboles amb l’eix paral·lel a l’eix Y. b) El domini de definició de y = –a x + b és [–b, +∞). c) Els eixos X i Y són asímptotes de les funcions y = k . x d) El domini de definició de y = k és Á – {k }. a+x

245

Funcions definides «a trossos» Les expressions analítiques de les funcions següents són molt peculiars:

trossos.

x 2 + 2x + 1 si x ≤ 0 y = *1 si 0 < x < 4 x –3 si x ≥ 4

x si x ≤ 2 y=( 1 si x > 2

Dibuixa una funció definida a

➜

Requereixen de diverses «fórmules», cada una de les quals regeix el comportament de la funció en un cert tram. Y

Y y=1

y = x2 + 2x + 1 X

y=x–3

y=1

y=x

Les seves representacions gràfiques són fàcils si sabem representar cada un dels trams i es presta atenció al seu comportament en els punts d’entroncament. També és senzill obtenir-ne l’expressió analítica, a partir d’un gràfic format per trossos de rectes.

anayaeducacion.es Funció

➜

lineal a trossos.

Exercici resolt

1 El gràfic següent descriu la temperatura T de l’aigua que, essent gel, s’aboca en una cassola, es posa al foc i es manté fins que duu una estona bullint. T (° C)

El pendent és:

0 – (–20) = 20 = 2 (El gel augmenta la temperatura de –20° a 0°). 10 – 0 10

Equació: y = 2(x – 0) – 20 → y = 2x – 20 • Segon tram: y = 0 (Mentre el gel es descongela la seva temperatura continua sent 0°). • Tercer tram: pertany a una recta que passa per (20, 0) i (35, 100). Equació: y = 100 (x – 20) → y = 20 x – 400 (L’aigua puja la temperatura de 0° a 100°). 3 3 15

–20

• Primer tram: pertany a una recta que passa per (0, –20) i (10, 0).

• Quart tram: y = 100 (L’aigua bullint es manté a 100°).

t (min) 45 30

Obtén-ne l’expressió analítica en funció del temps, t.

Si en lloc de x i y posam t (temps) i T (temperatura), la seva expressió analítica és: Z si 0 ≤ t ≤ 10 ]2t – 20 ]0 si 10 < t < 20 T = f (t) = [ 20 400 ] 3 t – 3 si 20 ≤ t ≤ 35 ]100 si 35 < t ≤ 50 \

Pensa i practica

1 Representa aquesta funció: si –3 ≤ x < 0 x +1 2 f (x) = *x – 2x + 1 si 0 ≤ x < 3 4 si 3 ≤ x < 7 2 Fes la representació gràfica de la funció següent: 2x + 1 si x < 1 g (x) = ) 2 x – 1 si x ≥ 1

246

3 Escriu l’expressió analítica que correspon al gràfic següent: Y 2 2

Funció «part entera»

PRACTICA

S’anomena part entera d’un nombre x el nombre més gran enter menor o igual a x. A partir d’això, definim la funció part entera de x, Ent (x), que fa correspondre a cada nombre x la seva part entera. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

Ent (7,5) = 7 Ent (–4) = –4 Ent (–5,3) = –6 atenció! Continua: Ent (6,48) Ent (7) Ent (–3,9) Ent (–11,3) Ent (–8)

1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3

Funció «part decimal» La part decimal o mantissa d’un nombre x és Mant (x) = x – Ent (x). Per exemple: Mant (7,54) = 7,54 – 7 = 0,54

PRACTICA

Mant (–7,54) = –7,54 – (–8) = 0,46

Mant (7,68) = 0,68 Mant (–8) = 0 Mant (–7,68) = 0,32 Continua: Mant (3,791) Mant (2)

A partir d’això, definim la funció part decimal de x, Mant (x), que fa correspondre a cada nombre x la seva part decimal. 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5 6 7X

Mant (–6,94) Mant (–4,804)

Funció «valor absolut» Recordem que el valor absolut d’un nombre a coincideix amb a si és positiu o nul, o amb el seu oposat, si és negatiu: a si a ≥ 0 |a| = ( –a si a < 0 La funció y = |x| es defineix, en conseqüència, així: –x si x < 0 y = |x| = ( x si x ≥ 0 Pensa i practica

4 Vertader o fals? a) El gràfic vermell correspon a la funció y = Ent b x l . 4

b) El gràfic verd correspon a la funció y = 5 + Ent b x l . 4 5

a) El gràfic vermell correspon a y = 3Mant b x l . 4 b) El gràfic vermell correspon a y = 3Mant (4x). c) El gràfic verd correspon a y = 5 – Mant b x l . 4 5

5 Representa: a) y = Ent (x) + 2

6 Vertader o fals?

7 Representa: b) y = Ent (x + 0,5)

a) y = Mant (x) – 0,5

b) y = |Mant (x) – 0,5|

247

Transformacions elementals de funcions Veurem com es transforma el gràfic de y = f (x) quan sotmetem la funció a certes transformacions molt senzilles.

Mou qualsevol funció canviant-

➜

ne els paràmetres.

Translacions Si k és un nombre positiu, llavors: s’obté traslladant el gràfic de f (x)

El gràfic de

f (x) + 5

f (x – 5)

f (x + 5)

f (x) + k

k unitats cap amunt

f (x) – k

k unitats cap avall

f (x + k)

k unitats cap a l’esquerra

f (x – k)

k unitats cap a la dreta

f (x) X

f (x) – 5

Simetries Y

és el simètric del gràfic de f (x)

El gràfic de –f (x)

respecte a l’eix X

f (–x)

respecte a l’eix Y

–f (x)

X f (–x)

f (x)

Exercici resolt

1 Relaciona els gràfics següents mitjançant les equacions: Y

5 1

2 X 4

1 És el gràfic de la funció y = x . 2 S’obté traslladant 1 6 unitats a la dreta → y = x – 6 . 3 S’obté traslladant 2 3 unitats cap amunt → y = x – 6 + 3 . 4 És el simètric respecte a l’eix X de 1 → y = – x . 5 S’obté traslladant 4 5 unitats cap amunt → y = – x + 5 .

Pensa i practica

1 Representa successivament. a) y = 1 x

248

b) y =

1 x +3

c) y = –

1 x +3

d) yk= –

k – 0,5

+3 k +x0,5

Estiraments i contraccions

2f (x)

Si k és un nombre major que 1, llavors: f (x)

s’obté a partir del gràfic de f (x)

El gràfic de

1 f (x) — 2

kf (x)

estirant-lo en sentit vertical multiplicant per k

1 f (x) k

contraient-lo en sentit vertical dividint entre k

Exercicis resolts

1 Representa successivament les funcions següents: 1 y= 6 x

2 s’obté desplaçant 1 5 unitats a la dreta. 4 s’obté pujant 3 4 unitats. Y

6 x–5 3 y = – 6 x–5 2 y=

4 2 3 1

2 s’obté estirant 1 en sentit vertical multiplicant per 2.

1 y= x

3 és la simètrica de 2 respecte a l’eix X.

2 y=2 x

4 és la simètrica de 3 respecte a l’eix Y.

3 y = –2 x

per arribar, finalment, a la representació de: 4 y = – 6 + 4 x–5 2 Representa successivament:

3 és la simètrica de 2 respecte a l’eix X.

5 s’obté desplaçant 4 6 unitats a l’esquerra.

4 y = –2 –x per arribar, finalment, a la representació de: 5 y = –2 – (x + 6 )

1 X

Pensa i practica

2 Si y = f (x) passa per (3, 8), digues un punt de: y = f (x) – 6, y = f (x + 4), y = 1 f (x), y = 2f (x), 2 y = –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3

3 Representa. 4 –3 x +8 b) y = 3 –x + 10 a) y = –

249

Transformacions elementals de funcions

Valor absolut

f (x) si f (x) ≥ 0 El valor absolut d’una funció es defineix així: | f (x)| = * –f (x) si f (x) < 0 y = f (x)

y = | f (x)|

Per tant, per representar el valor absolut d’una funció f (x) hem de representar primer la funció f (x) i després deixar-ne la part positiva com està i realitzar una simetria respecte a l’eix X de la part negativa. Per a això, hem de trobar els punts de tall amb els eixos. Vegem-ne uns exemples: Exercicis resolts

1 Representa la funció següent: y = | x2 – 5 x + 4|

Trobam els punts de tall de la funció f (x) = x2 – 5x + 4 amb l’eix X: x1 = 1

f (x) = x2 – 5x + 4 = 0

x2 = 4

y = f (x)

Per tant, entre 1 i 4 el gràfic puja sobre l’eix X.

2 Representa la funció següent:

Y y = | f (x)|

y = | 2x – 4|, x é [–1, 5] y = f (x)

y = | f (x)|

3 Representa la funció següent:

y = | 2x – 4|, x é [–1, 5] X y = f (x)

X y = | f (x)|

Pensa i practica

4 Representa: y = | –x2 + 4x + 5|

250

x 5 Representa gràficament: y = 2 – 3

Composició de funcions Vegem, amb uns exemples, com a partir de dues funcions se n’obté una altra, anomenada funció composta d’ambdues. • Observa la seqüència següent: 16

16 = 4

1/x

OBSERVA

1 = 1 16 4

Si ara actuam sobre una variable, x, obtenim la funció x

1/x

1 : x

1 x

1/4

4 Ä8

√x

1/4

100

0,1

0,0001

0,01

100

Ä8 1/ √x

Posam noms a les funcions utilitzades: 1 = v (x) x = r (x) x La funció resultant es diu funció composta de r i v i es designa v ° r: 1 v ° r (x) = v [r (x)] 8 v ° r (16) = v [r (16)] = v ( 16 ) = v(4) = 4 OBSERVA

• Un altre exemple: f (x) = x2 – 5x; r(x) = x x

x 2 – 5x

4 4 – 54 ÄÄ8 x2 – 5x Ä8 √x2 – 5x

r % f (x) = r [ f (x)] = x 2 – 5x r ° f (9) = r (81 – 45) = r (36) = 36 = 6

–3

6 √24

–0,1

0,51

√0,51

Donades dues funcions, f i g, es diu funció composta de f i g, i es designa per g ° f, la funció que transforma x en g [ f (x)]: g°f

x ⎯⎯→ g [ f (x)]

g°f

x ⎯→ f (x) ⎯→ g [ f (x)]

f (x)

L’expressió g ° f (x) es llegeix f composta amb g. S’anomena en primer lloc la funció de la dreta perquè és la primera a actuar sobre la x.

En general, la funció f [ g (x)] és diferent de g [ f (x)].

g [ f (x)]

• Observa que, en general, no és el mateix compondre dues funcions en un sentit que en sentit contrari: x

( x) 2 – 5 · x = x – 5 x

➜

Composició de funcions amb GeoGebra.

f % r (x) = f [r (x)] = x – 5 · x ≠ r % f (x) = x 2 – 5x f % r (9) = f ( 9) = f (3) = 3 2 – 5 · 3 = –6 ≠ r % f (9) = 6 • No obstant això, també hi ha casos en els quals en compondre dues funcions en tots dos sentits el resultat és el mateix: f (x) = 2x + 1

g(x) = 3x + 2

• f ° g (x) = f [g(x)] = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 • g ° f (x) = g[ f (x)] = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 Per tant, en aquest cas, f ° g (x) = g ° f (x).

TEN-HO EN COMPTE En general, no és el mateix f ° r (x) que r ° f (x).

251

Composició de funcions

Exercicis resolts

1 Considera les funcions:

f (x) = x ² – x y g(x) =

4 (x + 1) = 12 – 4x a) • f [ g (x)] = f < 4 F = c 4 m – 4 = 16 2 – ⇒ x +1 x +1 x + 1 (x + 1) (x + 1) 2 (x + 1) 2 ⇒ f % g (x) = 12 – 4x2 (x + 1)

4 x +1

a) Obtén l’expressió analítica de: f°g

g°f

f°f

g°g

b) Troba f [g(1)] i g[ f (1)].

• g [ f (x)] = g (x 2 – x) =

4 4 ⇒ g % f (x) = 2 4 = (x 2 – x) + 1 x 2 – x + 1 x – x +1

• f [ f (x)] = f (x 2 – x) = (x 2 – x)2 – (x 2 – x) = x 4 – 2x 3 + x 2 – x 2 + x ⇒

⇒ f ° f (x) = x 4 – 2x 3 + x

• g [ g (x)] = g < 4 F = x +1

4 ( 1) 4 4 = = x + = 4x + 4 ⇒ 4 +1 4 + x +1 4 + x +1 x + 5 x +1 x +1 4 x + 4 ⇒ g % g (x) = x +5

g f b) • f [ g (1)] = 12 – 4 $21 = 8 = 2; o bé, 1 ⎯→ 4 = 2 ⎯→ 22 – 2 = 2 1+ 1 4 (1 + 1)

• g [ f (1)] = 2 Donades aquestes funcions: f (x) = 1 x g(x) = x2

a) En cada cas es tracta de veure la composició de dues funcions. És prou intuïtiu.

h(x) = x + 1 a) Indica com s’han de compondre per obtenir aquestes altres: y1 = 12 y2 = x2 + 1 x y3 = x2 + 2x + 1 y4 = 1 x +1 b) Compon f{g[h(x)}.

Pensa i practica

➜

f g 4 = 4; o bé, 1 ⎯→ 12 – 1 = 0 ⎯→ 4 = 4 0 +1 12 – 1+ 1

• y 1: és clar que s’ha d’aplicar f i g, però sembla que si es fa d’una forma o una altra s’obté el mateix: 2 f ° g (x) = f (x2) = 12 ; g ° f (x) = g b 1 l = b 1 l = 12 x x x x Val tant f ° g (x) com g ° f (x). • y2: primer s’aplica g(x) i després h(x). És a dir, h ° g(x) = h(x2) = x2 + 1. • y3: s’ha aplicat el quadrat a x + 1, per tant: g ° h(x) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

• y4: s’aplica primer h(x) i després f (x). És a dir, f ° h(x) = f (x + 1) = 1 . x +1 1 b) f {g[h(x)]} = f [g(x + 1)] = f [(x + 1)2] = (x + 1) 2

anayaeducacion.es Practica la composició de funcions.

1 Si f (x) = x 2 – 5x + 3 i g (x) = x 2, obtén les expressions de f [ g (x)] i g [ f (x)]. Troba f [ g (4)] i g [ f (4)]. 2 Si f (x) = sin x i g (x) = x + π , obtén les expressions de 2 f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. Troba el valor d’aquestes funcions en x = 0 i x = π/4.

252

3 Si f (x) = sin x, g(x) = x2 + 5, troba les expressions de les funcions f ° g, g ° f, f ° f i g ° g. Troba el valor d’aquestes funcions en x = 0 i x = 2. 4 Donat f (x) = x + 1, obtén en cada cas la funció g(x) perquè es compleixi: a) g[f (x)] = x – 2 c) g ° f (x) = x2 + 2x

b) f [g(x)] = x2 + 3x – 2 d) f ° g (x) = x

Funció inversa o recíproca d’una altra Compondrem les funcions f (x) = x 3 – 6 i f –1(x) = 3 x + 6 : f –1

x ⎯→ x 3 – 6 ⎯→ f –1

x ⎯→

Inversa d'una funció.

➜

f –1[ f (x)] = x

(x 3 – 6) + 6 = 3 x 3 = x

f x + 6 ⎯→ `3 x + 6j – 6 = (x + 6) – 6 = x 3

f [ f –1(x)] = x

Veim que f i f –1 tenen la peculiaritat que en actuar successivament sobre un nombre x, el nombre es manté, és a dir, cadascuna d’aquestes funcions desfà el que fa l’altra. Per això es diu que f –1 és la inversa de f, o que cadascuna d’aquestes és inversa de l’altra. Observa la simetria dels punts d’una i altra funció respecte a y = x : punts de

f (x): y = x 3 – 6

(–1, –7)

(0, –6)

(2, 2)

…

(a, b)

punts de

f –1(x): y = 3 x + 6

(–7, –1)

(– 6, 0)

(2, 2)

…

(b, a) GRÀFICS DE FUNCIONS INVERSES

S’anomena funció inversa o recíproca de f una altra funció (es designa per f –1) que compleix la condició següent: Si f (a) = b, llavors f –1(b) = a

y = f –1(x)

Com a conseqüència, es donen les relacions següents: f –1

x ⎯→ f (x) ⎯→ x ; és a dir, f –1

x ⎯→

f –1(x)

⎯→ x ; és a dir,

f –1[ f (x)]

f [ f –1(x)]

y = f (x)

y=x

La funció inversa de f –1 és, al seu torn, f. Per això es diu, simplement, que les funcions f i f –1 són inverses o recíproques.

El domini de f coincideix amb el recorregut de f –1 i el recorregut de f coincideix amb el domini de f –1.

Els gràfics de dues funcions inverses són simètrics respecte de la recta y = x. Perquè una funció tengui inversa ha de ser injectiva, és a dir, cada valor de y ha de correspondre a un únic valor de x. Si no és així, s’ha de descompondre en trams en què sigui injectiva, cadascun dels quals tendrà la seva funció inversa. Per exemple, com y = x 2 no és injectiva, per trobar-ne la inversa procedim així: y = f1 (x) = x 2, x ≥ 0 " f1–1 (x) = x y = f (x) = x 2 * y = f2 (x) = x 2, x ≤ 0 " f2–1 (x) = – x

y = x 2, x ≥ 0 y = √x

Y y = x 2, x ≤ 0

X y = –√x

Pensa i practica

Vertader o fals? a) La funció recíproca de y = x és y = 1 . x b) Cadascuna de les funcions y = x, y = 1 és recíproca de x si mateixa. c) La inversa de y = 9 , x ∈ [3, 9] és x és y = 9 , x ∈ [1, 3]. x d) Si una funció és creixent, la recíproca és decreixent.

2 Representa y = 2x, y = x i comprova que són inverses. 2 3 Comprova que s’ha de descompondre y = x 2 – 1 en dues branques per trobar-ne les inverses. Digues quines són. 4 Comprova que la funció recíproca de y = 2x + 4 és y = 1 x – 2. 2

253

Funció inversa o recíproca d’una altra

Expressió analítica de la funció inversa d’una altra Per trobar la inversa de y = f (x), s’intercanvien les dues incògnites, x = f ( y). Ara, si es pot, s’aïlla la y. Per exemple, f (x) = 2x – 3:

OBSERVA

y = 2x – 3 → x = 2y – 3 → y = x + 3 2 Per tant, f –1(x) = x + 3 2

y = ex

Vegem com procediríem si f (x) tengués el domini de definició limitat: f (x) = 2x – 3, x ∈ [–1, 4]

Per trobar-ne la inversa, obtenim els valors que pren la funció en els extrems de l’interval: f (–1) = –5, f (4) = 5. Per tant,

f –1(x)

y = f –1(x) X

= x + 3 , x ∈ [–5, 5] 2

y = f (x)

y = ln <x

Les funcions y = ex, y = ln x, simètriques respecte a la recta y = x, són de gran importància en matemàtiques superiors.

Exponencials i logarítmiques són recíproques Partim d’una funció exponencial, y = 2x. Per trobar-ne la recíproca canviam les variables: x = 2y. Per aïllar la y, prenem logaritmes en base 2: log2 x = y log2 2 = y. Per tant, y = log2 x. Hem obtengut, per tant, que la funció recíproca de y =

Y 20

és y = log2 x.

y = 2x y=

En general, la recíproca de y = a x és y = loga x. Observa que: •*

y = log2 x

y = a x passa pels punts (0,1) i (1, a) y = log a x passa pels punts (1, 0) i (a, 1)

2 –4

• Si a > 1, y = té un creixement molt ràpid, mentre que y = loga x té un creixement molt lent.

–4

Exercici resolt

1 Troba la funció recíproca de: y = 10 x,

x ∈ [–2, 4]

10–2 = 1 = 0,01; 104 = 10 000 100 La funció y = 10x passa per (–2; 0,01) i per (4, 10 000). Per tant, la seva recíproca passa per (0,01; –2) i per (10 000, 4). Conclusió: la recíproca de y = 10x, x ∈ [–2, 4] és y = log x, x ∈ [0,01; 10 000].

Pensa i practica

anayaeducacion.es Funció inversa d’una altra.

➜

5 Vertader o fals? La funció recíproca de y =

254

6 Troba la funció recíproca de: 2x,

x > 0 és y = log2 x, x > 1.

y = log2 x, x ∈ [8, 32]

Funcions arc Definirem les inverses de les funcions trigonomètriques y = sin x, y = cos x, y = tg x, que es varen estudiar a la unitat 5. La funció arc sinus Quin és l’angle amb sinus que val 1/2? La resposta pot ser 30° o bé π rad. Això s’expressa així: 6

(

)

arc sin 1 = π l’arc amb sinus que val 1 mesura π rad 2 2 6 6 Estudiarem les característiques de la funció arc sin (arc sinus). La funció arc sin és la inversa (recíproca) de la funció sin. Y

y = arc sin x 5π — 6 π — 6

y = sin x 1 — 2

11 π – —— 6

El seu gràfic, que és el que està en vermell, és el simètric del gràfic de y = sin x respecte de la recta y = x. No obstant això, aquest gràfic no correspon a una funció, perquè a cada valor de x corresponen molts (infinits) valors de y.

OBSERVA

Per exemple, per a x = 1 , pot valdre: π , 5π , 13π , …, – 11π , … 2 6 6 6 6 Perquè arc sin sigui una funció, hem de quedar-nos amb un tros de gràfic que sigui unívoc, és a dir, que a cada valor de x correspongui un únic valor de y. Qualsevol dels infinits trams podria servir, però s’acostuma a seleccionar el que apareix dibuixat en traç continu en el gràfic anterior. Aquests són els valors amb els què treballa la calculadora quan utilitzam la funció arc sin ( ).

La funció y = sin x no és injectiva. Ens quedam amb un tram que sí que ho és: sin :– π , π D ⎯→ [–1, 1] 2 2 La seva inversa és la funció y = arc sin x: arc sin [–1, 1] ⎯→ :– π , π D 2 2

En definitiva, definim la funció arc sin de la manera següent: arc sin és una funció definida en [–1, 1] i que pren valors en :– π , π D , tal que: 2 2 arc sin a = b ⇔ sin b = a És una funció creixent. Verifica que: sin(arc sin x) = x π Y — 2 –1

arc sin(sin x) = x y = arc sin x

X y = sin x

π –— 2 ➜

Inversa del sinus.

255

La funció arc cosinus De manera anàloga a com es feia amb arc sin, la funció arc cos (arc cosinus) es defineix com a funció recíproca de la funció cosinus. Y

OBSERVA La funció y = cos x no és inyectiva. Ens quedam amb un tram que sí que ho és: cos [0, π] ⎯→ [–1, 1] La inversa és la funció y = arc cos x: arc cos [–1, 1] ⎯→ [0, π]

π y = arc cos x –1

y = cos x

Hem de quedar-nos amb un dels trams perquè sigui una funció. Se sol triar el que en el gràfic apareix en traç continu. Els seus valors són els que dona la calculadora quan utilitzam la funció arc cos ( ). arc cos és una funció definida en [–1, 1] i que pren valors en [0, π], tal que: arc cos a = b ⇔ cos b = a Y

És una funció decreixent. Verifica que: cos(arc cos x) = x

arc cos(cos x) = x

π y = arc cos x

–1

1 y = cos x

La funció arc tangent La funció arc tg (arc tangent) es defineix anàlogament: arc tg és una funció definida en (–∞, +∞) que pren valors en b– π , π l , tal que: 2 2 arc tg a = b ⇔ tg b = a És una funció creixent. Verifica que: tg(arc tg x) = x

arc tg(tg x) = x

π — 2

y = tg x y = arc tg x X

π –— 2

anayaeducacion.es Visualització

➜

de les funcions arc.

Pensa i practica

1 Vertader o fals? a) La funció y = arc tg x, x ∈ (–∞, +∞) és la recíproca de π π la funció y = tg x, x ∈ b– 2 , 2 l .

256

b) arc sin 0 = π 2 d) arc cos π = –1 f ) arc sin π no existeix 2

c) arc cos 0 = π 2 e) arc cos (–1) = π g) arc tg 1 = π 4

8 U9

Exercicis i problemes resolts 1. Domini de definició Troba el domini de definició de les funcions següents: x a) f (x) = 2 + ln (5 – x) x –4 b) f (x) =

x+3 2x – 5

a) La funció no està definida en els punts on el denominador és nul, que són x = 2 i x = –2. El seu domini és Á – {–2 ,2}. En la funció y = ln (5 – x) el logaritme només està definit per a valors positius. Resolem 5 – x > 0 8 x < 5. El domini és (–∞, 5). Per tant: Dom f = (–∞, –2) « (–2, 2) « (2, 5) x +3 ≥ 0. Per a això, trobam els valors que anul·len 2x – 5 el numerador i denominador i n’estudiam el signe.

b) Cercam els valors de x tals que

FES-HO TU

Troba el domini de definició de les funcions: a) f (x) = –x 2 + 5x – 6

5 c–3, 2 m +

5 2 +

5 c 2 , +@m

–

(–∞, –3)

–3

x+3

–

2x – 5 x +3 2x – 5

En x = 5/2 la funció no existeix perquè el denominador és 0. En x = –3 la funció existeix i val 0. Per tant: Dom f = (–∞, –3] « (5/2, +∞)

b) g(x) = ln (sin x) 2. Funció definida «a trossos» Les tarifes d’una empresa de transport són:

a) Calculam els ingressos en alguns casos concrets. Sigui x la càrrega en tones:

• 40 € per tona de càrrega si aquesta és menor o igual que 20 t. • Si la càrrega és major que 20 t, el preu per tona serà 40 €, menys tants d’euros com tones sobrepassin les 20.

ingressos (€)

f (x)

15 t

15 · 40 = 600 €

800

20 t

20 · 40 = 800 €

600

25 t

(40 – 5) · 25 = 875 €

400

30 t

(40 – 10) · 30 = 900 €

200

a) Dibuixa la funció «ingressos» segons la càrrega (càrrega màxima: 30 t). b) Obtén-ne l’expressió analítica.

10 20 30 40 50 60 càrrega (t)

40 x si 0 ≤ x ≤ 20 si 0 ≤ x ≤ 20 40 x b) f (x) = * 3 4 . És a dir f (x) = ) 2 60x – x si 20 < x ≤ 30 [40 – (x – 20)] x si 20 < x ≤ 30

3. Funció exponencial El procés de cicatrització d’una ferida segueix una llei exponencial. La superfície S de la ferida al cap de t dies es pot calcular mitjançant la fórmula S = So e kt, on So és la superfície inicial, i k, una constant. a) Si una ferida tenia una superfície inicial de 50 cm² i al cap de dos dies fa 24,83 cm², quin és el valor de k? b) Calcula la superfície de la ferida després de 8 dies. c) Representa’n la funció.

a) Coneixem S0 = 50 i un punt (2; 24,83). Substituint aquests valors a la fórmula S = S0e kt podem obtenir k. t=2

S = 50e kt ⎯→ 24,83 = 50e 2k → e 2k = 0,4966 → 2k = ln 0,4966 → k = – 0,35 t=8

b) S = 50e – 0,35t ⎯→ S = 50e – 0,35 ∙ 8 = 3 cm2 superfície (cm2)

c) 50

S = 50e –0,35t

5 1

temps (dies) 257

Exercicis i problemes resolts 4. Valor absolut d’una funció Defineix per intervals les funcions següents i representa-les gràficament: a) f (x) = 4|x| – x2 b) f (x) = |x – 4| – |x| c) f (x) = |ln x|

–x si x < 0 a) Recordem que la funció y = |x | es defineix així: y = ) 3 . Per tant: x si x ≥ 0 4 (–x) – x 2 si x < 0 –4x – x 2 si x < 0 = f (x) = * * 4 4 4x – x 2 si x ≥ 0 4x – x 2 si x ≥ 0 Cercam els vèrtexs i els punts de tall amb els eixos de cada paràbola: talls amb eix

paràbola

vèrtex

y = – 4x – x 2

(–2, 4)

(0, 0) i (– 4, 0)

y = 4x – x 2

(2, 4)

(0, 0) i (4, 0)

–2

–x + 4 si x < 4 b) |x – 4| = ) x – 4 si 4 ≥ x

–x si x < 0 |x| = ) x si 0 ≤ x

Disposam els càlculs en una taula per trobar-ne la funció resultant: (–@, 0)

[0, 4)

[4, +@)

|x – 4|

–x + 4

x–4

|x|

–x

|x – 4| – |x|

4 – 2x

–4

b) f (x) = x – |x | c) f (x) = ln |x – 3|

4 si x < 0 f (x) = *4 – 2x si 0 ≤ x < 4 –4 si 4 ≤ x

FES-HO TU

Defineix per intervals i representa: a) f (x) = |x 2 – x – 6|

Y 4

c) La funció y = ln x talla l’eix X en x = 1, per tant: – ln x si 0 < x < 1 f (x) = ) ln x si 1 < x

Y 1 1

5. «part entera» Una botiga de roba ofereix a la clientela la targeta «2MÉS» on ingressarà 2 € per a futures compres, per cada 10 € de despesa que es faci a la botiga. a) Representa la funció que ens dona la quantitat ingressada a la targeta segons la despesa realitzada. b) Escriu-ne l’expressió analítica.

FES-HO TU

Representa f (x) = Ent (2x).

258

a) Per una compra inferior a 10 € no ingressen res. Si gastam més de 10 € i menys de 20 €, ingressen 2 €; entre 20 i 30 € ens corresponen 4 €; … ingressos (€) 6 4 2 10

40 despeses (€)

b) És una funció definida «a trossos»: Z ]0 si x é[0, 10) ]]2 si x é[10, 20) f (x) = [4 si x é[20, 30) ]6 si x é[30, 40) ]] … \ x També podem definir-la utilitzant la funció «part entera»: f (x) = 2 Ent b 10 l

6. Composició de funcions i funció inversa Donades les funcions: f (x) = 2 x+1 g (x) = 3 x + 1 h (x) = x3 – 1 troba: a) g ° f b) h ° f c) g ° h -1 d) h ° g ° f e) f FES-HO TU

Troba g ° f i f ° g, sent: f (x) = 3 x 2 – 5 i g (x) = 2 x – 1

Observam que f ( ) = 2

+ 1;

g( ) = 3 4+ 1 ; h( ) =

– 1.

a) g ° f (x) = g[ f (x)] = g(2x + 1) = 3 2 x + 1 + 1 b) h ° f (x) = h[ f (x)] = h(2x + 1) = (2x + 1)3 – 1 = 23x + 3 – 1

c) g ° h (x) = g [ h (x)] = g(x3 – 1) = 3 (x 3 – 1) + 1 = x Les funcions g i h són inverses perquè verifiquen ( g ° h)(x) = x. 3 d) h ° g ° f (x) = h 7g ^2 x + 1hA = h ^3 2 x + 1 + 1 h = ^3 2 x + 1 + 1 h – 1 = 2x + 1 = f (x)

e) Per calcular la inversa de f, canviam les variables, x = 2y + 1, i prenem logaritmes de base 2 per aïllar x : log2 x = log2 2y + 1 → log2 x = y + 1 → y = –1 + log2 x → f – 1(x)= –1 + log2 x

7. Representació d’hipèrboles a) Representa la funció següent: 2x + 1 f (x) = x+1 b) Troba’n la funció inversa i representa-la. c) Determina el domini i recorregut de f i de f –1.

Utilitzant la relació Dividend = quocient + residu , podem representar aquest tipus de divisor divisor 1 funcions a partir de la hipèrbola y = mitjançant transformacions elementals. x a) Dividim: Y 2x + 1 x + 1 2 x + 1 – 1 → =2+ x +1 x +1 –2x – 2 2 2 –1 Per tant, el gràfic pedida és demanat és com el de y = – 1 x X –2 1 desplaçat 2 unitats cap amunt i 1 cap a l’esquerra. b) Canviam les variables i aïllam: 2y + 1 x= → x (y + 1) = 2y + 1 → xy – 2y = 1 – x → y = 1 – x y +1 x –2 (x) = 1 – x = –1 + –1 . x –2 x –2 El gràfic és el simètric de 1 respecte l’eix X, desplaçat 1 x unitat cap avall i 2 unitats cap a la dreta. Per tant, f

FES-HO TU

Representa la funció y = 3x – 5 i la x –2 seva inversa.

–1

c) Observam que Dom f = Á{–1} i Rec f = Á{–2}.

–1

En la inversa Dom f –1 = Á{–2} i Rec f –1= Á{–1}. El domini de f és el recorregut de f –1 i el recorregut de f és el domini de f –1.

8. Transformacions elementals de funcions Descriu les transformacions que hem de fer en la funció següent per representar-la a partir del gràfic d’una altra de més simple: f (x) = – 1 x2 – 2x – 5 2 FES-HO TU

Descriu les transformacions que hem de fer en el gràfic de y = x2 per representar f (x) = x2 – 2x – 3.

Hem d’escriure f de la forma y = m (x – n)2 + p. Per a això, separam els termes en x i completam quadrats omplint els símbols amb els nombres adequats: f (x) = – 1 (x2 + 4x + ) – 5 + 2 f (x) = – 1 (x2 + 4x + 4) – 5 + 2 –1 2 –1 f (x) = – 1 (x + 2)2 – 3 2 Per representar f (x) partim del gràfic de y = – x2 i feim una translació de 2 unitats cap a l’esquerra, 3 unitats cap avall i un eixamplament en sentit vertical dividint per 2. 259

Exercicis i problemes guiats 1. Interpolació lineal El percentatge de persones que tenien accés a Internet a Espanya, era el 2018 del 86,1 % i, el 2014, del 74,4 %.

• Si coneixem dos punts d’una funció i podem suposar que és lineal en un interval, podem estimar-ne el valor per a qualsevol x d’aquest interval utilitzant l’equació de la recta que passa per aquests dos punts.

Estima’n el percentatge el 2016.

• En aquest cas els punts coneguts són A (2018; 86,1) i B (2014; 74,4). • Escriu l’equació de la recta que passa per A i B. Solució: El percentatge el 2016 era del 80,25 %.

2. Equació d’una paràbola Escriu l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en el punt (1, 9) i talla l’eix Y en (0, 8).

• Una parábola té per equació y = ax2 + bx + c. Hem de trobar a, b i c. –b • Amb l’abscissa del vèrtex relacionam les incògnites a i b. 2a • La paràbola passa pels punts (1, 9) i (0, 8). Substitueix-los a l’equació corresponent. Obtendràs un sistema de tres equacions amb incògnites a, b i c. Resol-lo. Una altra manera de resoldre-ho. Com que coneixem l’abscissa del vèrtex podem escriure l’equació de la paràbola com y = a(x – 1)2 + k i substituir-hi els punts (1, 9) i (0, 8). Solució: y = –x2 + 2x + 8

3. Una funció polinòmica

a) Escriu la funció que ens dona el volum del con segons el que mesura la seva altura, x.

• Hauràs d’expressar el radi del con en funció de l’altura x (observa en el gràfic el triangle de costats x, R i 15 cm).

b) Quin n’és el domini de definició?

b) Entre quins valors pot variar l’altura x ? Solució: a) V(x) =

π (225x – 3

x 3)

a) • Recorda com es calcula el volum d’un con en funció del radi de la base i de l’altura. 15

Considera tots els cons de generatriu de 15 cm.

b) Dom V(x) = (0, 15)

4. Funció logística La funció

• Observa que has de trobar el valor de x per al qual f (x) = 6 000.

12 000 1 + 499 (1,09 –x ) dona les vendes totals d’un videojoc x dies després del seu llançament. En quin dia es va arribar a 6 000 jocs venuts?

• Opera l’expressió fins a eliminar denominadors i fer-la el més senzilla possible. • Obtendràs una expressió del tipus A = C –x. Per obtenir el valor de x, pren logaB ritmes i utilitza la calculadora.

f (x) =

Solució: Es va arribar als 6 000 jocs venuts 72 dies després del llançament.

5. Àrea d’un triangle El perímetre d’un triangle isòsceles és 30 cm. Expressa’n l’àrea en funció del costat desigual. Quin és el domini i el recorregut d’aquesta funció?

• Anomena x la meitat de la base. • Escriu el costat igual en funció de x. Ten en compte que en coneixes el perímetre. • Expressa l’altura en funció de x. Solució:

A(x) = x 225 – 30x , x é(0; 7,5). El recorregut és 25 3.

260 260

Exercicis i problemes proposats Per practicar

Funcions elementals

Domini de definició

1 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: 2 b) y = 3x3 + 2 x +x ^x + 5h2 c) y = 2 x d) y = 1 + 1 x x +2 x – x +2 2 Estudia el domini de definició d’aquestes funcions: a) y =

a) y = 2x + 5

b) y = 7 – x

c) y = x 2 + 3x + 4

d) y = x – 1 + x – 2

a) y = 1,5x

b) y = x + 2

1 d) y = x – 4

2 c) y = x – 1 3

e) y = 3x 2 + 5x – 1

f ) y = 0,75x

g) y = log2 x

h) y = – – x

–2 4

4 Y

–2

–4

6 X

4 X

2 –2 2

–2

–4

–2 Y

7 Escriu la funció que ens dona l’àrea d’un rectangle de perímetre 16 cm, en funció de la base x. Quin és el domini de definició i el recorregut? La temperatura d’una persona, des que comença a estar malalta fins que torna a tenir 37 °C, ha evolucionat segons la funció T(t)= – 0,1t 2 + 1,2t + 37, sent t el nombre de dies transcorreguts des de l’inici de la malaltia. Quin és el domini de definició? I el recorregut?

8 Y

VIII

4 2

2 –2

4 Y

–4 –2

–2

6 La funció h(t) = 80 + 64t – 16t 2 ens dona l’altura a la qual està una pilota llançada cap amunt en l’instant t, fins que torna a tocar terra. Quin és el domini de definició? I el recorregut?

–2

2 2

6 X

4 Y

6 Y

VII

–2

–8 –6 –4 –2

2 2

5 Observa els gràfics d’aquestes funcions i indica quin és el domini de definició i el recorregut: a) b) Y Y X

2 X

–3

III

4 – x2 2x + 1 x +3 x +3 e) y = f) y = x –2 x –2 Els apartats e) i f ), corresponen a la mateixa funció?

d) y =

–1 –1

–4

4 Determina el domini de definició de les funcions: a) y = e –x b) y = ln ( x – 2)

–2

d) y = 2 x

c) y = 1 + log 2 x

4 Y 2

3 Digues quin és el domini de definició de: a) y = 3 + 21 – x b) y = log2 (x + 3) c) y = ln (2 – x)

Associa a cada gràfic la fórmula corresponent.

–4 –2

10 Representa les paràboles següents trobant-ne el vèrtex, els punts de tall amb els eixos de coordenades i algun punt pròxim al vèrtex: a) y = x 2 + 2x + 1 b) y = 0,5x 2 – 2x + 1 c) y = –x 2 + 3x – 5 d) y = –1,5x 2 – 3x – 2 11 Representa aquestes funcions en l’interval indicat: a) y = 2x 2 – 4, [0, 2] c) y = 1 , x < 0 x e) y = log2 x, (0, 7]

2 b) y = – 3x , x ≥ –1 2 d) y = 0,6x, [–3, 3]

f ) y = x , [0, 1]

12 Representa les funcions següents: a) f (x) = e–x

b) f (x) = –ln x

c) f (x) = 3 x 261 261

Exercicis i problemes proposats Funcions definides «a trossos»

Transformacions d’una funció

13 Representa gràficament les funcions següents:

20 Representa f (x) = 4 – x 2 i, a partir d’això, representa: a) y = f (x) – 3 b) y = f (x + 2) c) y = | f (x)|

si x < 0 –2 a) y = *x – 2 si 0 ≤ x < 4 2 si x ≥ 4

21 Aquest és el gràfic de la funció y = f (x):

–2x – 1 si x ≤ 1 b) y = ) x +1 si x > 1

x 2 – 2x si x < 2 c) y = * 2x – 4 si x ≥ 2 14 Dibuixa el gràfic de les funcions següents: x 2 – 2x si x ≤ 2 a) y = * si x > 2 3 –x 2 – 4x – 2 si x < –1 b) y = * 2 si x ≥ –1 x –x – 1 si x ≤ –1 c) y = *2x 2 – 2 si –1 < x < 1 x –1 si x ≥ 1

si x < 2 b) y = *–x + 6 si 2 ≤ x < 7 3 si x ≥ 7 16 Representa les funcions següents i defineix-les com a funcions «a trossos»: a) y = |4 – x | b) y = |3x + 6| d) y = |–x – 1|

17 Representa aquestes funcions: a) y = |x 2 – 1| b) y = |x 2 – 4x | c) y = |x 2 + 2x – 3| d) y = |x 2 – 2x + 1|

x x

b) y = |log2 x| d) y = 2|x| + x

19 Representa les funcions següents:

262

23 Representa la funció f (x) = x i dibuixa a partir d’aquest: a) g (x) = f (x + 1) b) h(x) = f (x) – 3 c) j(x) = | f (x)|

d) y = –1 x –3

25 Representa les funcions següents: a) y = x – 1 b) y = – x + 3 c) y = 2 + x d) y = 1 – x

c) y =

22 A partir del gràfic de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2 b) h(x) = f (x – 3) c) i(x) = –f (x) d) j(x) = | f (x)|

c) y = –1 x

1/x si x < 0 a) y = * x si x ≥ 0

18 Representa: a) y = 1 x

Representa, a partir d’aquest, les funcions: a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2 c) y = | f (x)|

24 Representa les funcions següents: a) y = 1 b) y = 1 x +1 x –1

15 Representa:

c) y = x – 3 2

e x si x < 1 a) y = ) ln x si x ≥ 1

cos x si –π ≤ x < 0 b) y = ) sin x si 0 ≤ x ≤ π

5 – x si x < 3 c) y = * 2 x – 2 si x ≥ 3

2 x – 3 si x < 3 d) y = * x – 3 si x ≥ 3

26 Representa aquestes funcions: a) y = 2x + 1 b) y = 2x – 3 c) y = 2x – 1 e) y = 1 – 2x

d) y = b 1 l 2 –x f) y = 2

x +3

27 Representa aquestes funcions a partir del gràfic de y = log2 x : a) y = 1 + log2 x b) y = log2 (x – 1) c) y = – log2 x d) y = log2 (–x) 28 Expressa aquestes funcions de la forma y = a(x – m)2 + p i descriu les transformacions que hem de fer per representar-les a partir de y = x2: a) y = x2 – 10x + 16 b) y = 3x2 – 3x + 5 k 29 Expressa les funcions següents de la forma y = +b x–a i descriu les transformacions que hem de fer per represen1 tar-les a partir de y = : x 3 x a) y = b) y = x – 2 x –1 x–4 c) y = 3x + 2 d) y = x + 1 x +1 x –1

Per resoldre

Composició i funció inversa

30 Donades les funcions

36 Obtén l’expressió analítica de les funcions següents:

f (x) = + 1 g (x) = 3 x –2 obtén les expressions de: a) f ° g b) g ° f x2

h(x) = x – 3

es poden obtenir aquestes altres: a) m(x) = 2

x +1

b) n(x) =

c) p(x) =

1 +2 x –3

d) q(x) =

e) r (x) =

1 x +1

f ) s (x) =

2x – 1 + 2

1 2x – 1 – 1

39 Calcula en radians: a) arc sin bsin π l 4

c) Y

Calcula sobre el gràfic corresponent: f –1(2) f –1(1)

c) arc tg btg π l 5 e) sin (arc cos (–1))

f –1(–1)

34 Comprova si cada parell de funcions són una inversa de l’altra. Per a això, calcula f ° f –1 o bé f –1 ° f : a) f (x) =

1 ; f –1(x) = 1 – 2 x +2 x

b) f (x) = 2x + 3 ; f –1(x) =

e) y = arc cos b– 1 l 2

2 2 X

Y 6

a) y = arc sin 3 2 c) y = arc tg 1

X 6

2 –4 –2 –2

X 6

38 Obtén el valor de y en graus i radians.

d) y = 2 + log3 (x + 1)

37 Determina, en cada cas, l’equació de la paràbola de la qual coneixem el vèrtex i un altre punt. a) V(1, – 4), P(–1, 0) b) V(–2, 3), P(0, 6)

b) y = 2x – 1

–4

4–x 2x –3

f ) y = 2x – 3 x +1 33 Representa gràficament la funció inversa en cada cas: Y

8 10

–4 –2 –2

e) y = 4 – x , x ≤ 4

32 Troba la funció inversa de les funcions següents: a) y = 3x – 1 2 c) y = 1 + 2x – 3

–4 –2 –2

h(x) = 1 x –3

g (x) = x + 2

Y 6 4 2

31 Explica com a partir de les funcions f (x) =

c) f ° h d) g ° h e) h ° f f) h ° g Troba, si és possible, el valor de les funcions obtengudes en els punts x = 5 i en x = 0.

2x – 1

x2 + 2 3

c) f (x) = 1 + log2 x ; f –1(x) = 3 ∙ 2x – 1 3 35 Considera la funció y = x + 2 , x ∈ [–2, 7]. a) Quin és el seu recorregut? b) Obtén-ne la funció inversa, i determina’n el domini de definició i el recorregut.

b) y = arc cos 1 2 d) y = arc sin (–1) f ) y = arc tg 3

b) arc cos (cos π) d) tg (arc tg 1) f ) arc cos (tg π)

En les funcions d’oferta i demanda, s’anomena quantitat d’equilibri el nombre d’unitats que s’han de produir perquè l’oferta i la demanda s’igualin, o (x) = d (x); i s’anomena preu d’equilibri al preu amb el qual s’aconsegueix aquesta igualtat. a) Troba el preu i la quantitat d’equilibri d’un producte amb funcions d’oferta i demanda o (x) = 2,5x – 100 i d (x) = 300 – 1,5x (x en euros, d i o en milers d’unitats del producte). b) Si el preu del producte és de 80 €, n’hi haurà escassetat o excés? I si el preu fos de 120 €? c) Quins en serien el preu i la quantitat d’equilibri si les funcions d’oferta i demanda fossin o (x) = 0,25x 2 – 100 i d (x) = 185 – 2x ? 263

Exercicis i problemes proposats 41 Se sap que la retenció de coneixements d’un curs va disminuint amb el pas del temps. Un estudi de psicologia conclou que el percentatge que es recorda t mesos després de finalitzat el curs, ve donat per la funció: R(t) = 94 – 46,8 log (t + 1) a) Calcula el percentatge del curs que es recordarà quan passi un any. b) Al cap de quant de temps es recordarà la meitat dels coneixements? 42 En un cert país s’apliquen aquests imposts sobre els salaris mensuals: • 20 % de la part del salari brut comprès entre 800 €, que és el salari mínim, i 2 500 €. • 40 % de la part del salari brut superior a 2500 €. a) Q uin salari net correspon a 1 500 € de salari brut? I a 3 000 €? b) E scriu la funció que dona els imposts a pagar, segons el salari brut x. c) Q uin ha de ser, com a mínim, el salari brut perquè el net sigui superior a 2 500 €? 43 Una fira ramadera està oberta al públic entre les 10 i les 20 hores. El nombre de visitants ve donat per la funció N (t) = –20t 2 + Bt + C, on t és l’hora de visita. Sabent que a les 17 h s’arriba al màxim de 1 500 visitants, troba B i C i representa’n la funció. 44 En un cilindre de radi 8 cm, depositam una bolla esfèrica de radi x i s’hi aboca aigua fins que cobreixi la bolla. Escriu la funció que dona la quantitat d’aigua que s’ha d’abocar-hi segons la mesura del radi de la bolla.

8 cm

Quin n’és el domini de definició? 45 Un fabricant ven mensualment 100 electrodomèstics a 400 euros cada un i sap que per cada 10 euros de pujada vendran 2 electrodomèstics menys. a) Quins seran els ingressos si apuja els preus 50 euros? b) Escriu la funció que relaciona la pujada de preu amb els ingressos mensuals. c) Quina ha de ser la pujada perquè els ingressos de la fàbrica siguin màxims? 46 Un cultiu de bacteris comença amb 100 cèl·lules. Mitja hora després n’hi ha 435. Si aquest cultiu segueix un creixement exponencial del tipus y = kat (t en minuts), calcula k i a i representa’n la funció. Quant tardarà a arribar a 5 000 bacteris? 264

47 Un negoci en què invertim 10 000 €, perd un 4 % mensual. Escriu la funció que ens dona el capital que tendrem segons els mesos transcorreguts, i representa-la. Quant de temps tardarà el capital inicial a reduir-se a la meitat? 48 Una tassa de cafè acabat de fer està a 75 °C. Després de 3 minuts en una habitació a 21 °C, la temperatura del cafè ha descendit a 64 °C. Si la temperatura, T, del cafè a cada instant t ve donada per l’expressió T = A e kt + 21, calcula A i k i representa’n la funció. Quant haurem d’esperar perquè la temperatura del café sigui de 45 °C? 49 Per enviar un paquet des d’Adelaide a París, un servei de correu cobra 50 € per paquets que pesin fins a 2 kg, i 10 € per cada kg o fracció addicional. a) Calcula el que costa enviar un paquet de 5 kg. b) E scriu l’expressió analítica del preu d’enviar un paquet de x kg per a x menor o igual a 8. c) Representa-ho gràficament. 50 Un bassiot circular d’aigua s’està evaporant al sol. Al cap de t minuts el radi és g(t) = 15 cm. t +2

a) Expressa l’àrea del bassiot en funció del temps. b) Quina serà l’àrea del bassiot al cap de 10 min? c) Quina relació té la funció de l’apartat a) amb les funcions f (r) = πr2 i g(t) = 15 ? t +2

51 La recta y = 20x + 1 talla y = ax en x = 0 i x = 4. a) Calcula a. b) P er a aquest valor de a, escriu l’equació de la recta, s, que talla y = loga x en x = 1 i x = 81. c) Quina relació hi ha entre les rectes r i s?

Qüestions teòriques 52

Vertader o fals? Justifica-ho i posa’n exemples. a) Si a > 0, es compleix al oga x = x. b) La funció y = arc cos x talla l’eix Y en (0, π/2). c) En la funció y = ax no podem donar a x valors negatius quan 0 < a < 1. π π d) El domini de la funció y = arc tg x és b– 2 , 2 l . π e) Si x é :0, 2 D llavors arc sin (cos x) = π – x 2

53 Donades f (x) = x2 – x + 1 i g(x) = 1 + x – 3 : 2 4 a) Quin ha de ser el domini de f perquè existeixi f –1? b) Troba g ° f, i digues com són entre si f i g. c) Quin és domini de f ° g i de g ° f ?

54 Demostra que y = logb (x – a) i y = logc (x – a) tallen l’eix OX en el mateix punt.

58 Si f (x) = ax – 4 i g(x) = bx + 3, determina la condició que han de complir a i b perquè f ° g (x) = g ° f (x) per a tot x.

55 Calcula x en les expressions següents: a) arc tg x = –72° b) arc sin x = 75° π c) arc cos x = rad d) arc tg x = 1,5 rad 3 56 Quantes solucions pot tenir cada un d’aquests sistemes?

59 Quantes solucions tenen aquestes equacions? a) – 3 x + 4 = log2 x b) ex = x 2 1 c) ex = 4 – x2 d) ln x = x Cerca’n, quan sigui possible, una solució aproximada.

a) *

b) *

y = x2 y = ax + b

c) *

y= x y = ax + b

y = 1/x y = ax + b

Per aprofundir 57 Donades les funcions f (x) = 2x + 1 i g(x) = 1 – x . x +2 a) Representa-les i digues, en cada cas, quin és el domini i el recorregut. b) Quin és domini de f ° g i de g ° f ?

60 Una funció f té la propietat següent: f (2x + 1) + 3 = 4x2 + 6x + 2 f (1) Quant val f (2)? 61 Definim la funció f (x) = a – ax + b per a qualsevol parell de nombres reals (a, b). Dos nombres reals m i n es diu que són substituïbles si existeix un parell (a, b) tal que la funció associada a aquest parell, compleix f (m) = n i f (n) = m. Comprova que 2 i 3 són substituïbles. Ho són també 4 i 7? Troba en cada cas a i b.

AUTOAVALUACIÓ

➜

1 Troba el domini de definició de les funcions següents: a) y = x 2 – 2x

b) y =

2 x3 – x2

2 Representa gràficament les funcions següents: –x 2 + 4 si x < 1 a) y = |2x + 3| b) y = ( si x ≥ 1 4–x 3 Representa y = 1 . A partir d’aquesta, dibuixa el gràfic de x y = –2x + 5 . x –2 Y 4 Determina l’expressió analítica d’aquesta funció definida en 2 l’interval [–6, 6]. Quin és el seu X recorregut? 2 4 – 4 –2

7 El preu de venda d’un article ve donat per l’expressió p = 12 – 0,01x (x = nombre d’articles fabricats; p = preu, en centenars d’euros). a) Si es fabriquen i es venen 500 articles, quins seran els ingressos obtenguts? b) Representa la funció nombre d’articles-ingressos. c) Quants d’articles s’han de fabricar perquè els ingressos siguin màxims? 8

La dosi d’un fàrmac comença amb 10 mg i cada dia ha d’augmentar 2 mg fins a arribar a 20 mg. S’ha de seguir 15 dies amb aquesta quantitat i a partir de llavors anar disminuint 4 mg cada dia. a) Representa la funció que descriu aquest enunciat i determina’n l’expressió analítica. b) Digues quins són el domini i el recorregut.

Meta 11.c. Per estudiar el creixement poblacional d’una ciutat es requereix una funció del tipus P(t) = P0 e kt. En iniciar-se l’estudi, la ciutat tenia 50 000 habitants i 10 anys després, 74 590 habitants. a) Determina’n la funció. b) Quant de temps tardarà a arribar als 100 000 habitants?

–2

5 Donades f (x) = x + 1 , g(x) = a) f [ g (2)]

b) g [ f (15)]

1 , troba: x –3 c) f ° g

d) g–1(x)

6 Depositam en un banc 2 000 € al 6 % anual. a) Escriu la funció que ens diu com evoluciona el capital al llarg del temps. Quin tipus de funció és? Representa-la. b) En quant temps es duplicarà el capital?

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

265

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.