Mundua helburu: Matematika 1. Batxilergoa (demoa)

Aurkibidea Ikasturteko oinarrizko jakintzak

7. Triangelu angelukamutsen ebazpena. Altueraren estrategia

8. Edozein triangelu mota ebazteko bi teorema garrantzitsu

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

• Estrategia batzuen azterketa

• Egiaztapen matematikoetan erabilitako estrategiak

Trebatzeko problemak

I MULTZOA. Aritmetika eta aljebra

1 Z enbaki errealak 32

1. Hizkuntza matematikoa. Multzoak eta ikurrak

2. Zenbaki errealak. Zuzen erreala

3. Logaritmoak

4. Errealen adierazpen hamartarra. Zenbaki hurbilduak

5. Segidaren kontzeptua

6. Segida oso interesgarri batzuk Ariketak eta problemak Autoebaluazioa

2 A ljebra 58

1. Polinomioak. Faktorizazioa

2. Zatiki aljebraikoak

3. Ekuazioen ebazpena

4. Ekuazio-sistemen ebazpena

5. Ezezagun bateko inekuazioak eta inekuazio-sistemak

6. Bi ezezaguneko inekuazio linealak Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

I. multzoaren autoebaluazioa

II MULTZOA. Trigonometria eta zenbaki konplexuak

3 T riangeluen ebazpena 88

1. Angelu zorrotzen (0°-tik 90°-ra) arrazoi trigonometrikoak

2. Edozein angeluren (0°-tik 360°-ra) arrazoi trigonometrikoak

3. 0°-tik 360°-ra bitartetik kanpoko angeluak

4. Trigonometria kalkulagailuarekin

5. Angelu batzuen arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioak

6. Triangelu angeluzuzenen ebazpena

4 Formula eta funtzio

trigonometrikoak 112

1. Formula trigonometrikoak

2. Ekuazio trigonometrikoak

3. Funtzio trigonometrikoak

eta problemak

1. Zer dira zenbaki konplexuak

2. Eragiketak forma binomikoan emandako zenbaki konplexuekin

3. Zenbaki konplexuak forma polarrean

4. Zenbaki konplexuen eragiketak forma polarrean

5. Zenbaki konplexuen erroketa

6. Zenbaki konplexuak kalkulagailuarekin

7. Deskribapen grafikoak zenbaki konplexuekin

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

II. multzoaren autoebaluazioa

156

1. Bektoreak eta horien eragiketak

2. Bektore baten koordenatuak

3. Bektoreen biderketa eskalarra

eta problemak

1. Puntuak eta bektoreak planoan

2. Zuzen baten ekuazioak

3. Zuzen-sorta

4. «Parametroak» dituzten eta ez dituzten ekuazioei buruzko gogoeta

5. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

6. Bi zuzenen posizio erlatiboak

7. Bi zuzenen angeluak

8. Distantziak kalkulatzea

eta problemak

8 L eku geometrikoak. Konikoak 200

1. Leku geometrikoak

2. Zirkunferentziaren azterketa

3. Konikoak leku geometriko moduan

4. Elipsearen azterketa

5. Hiperbolaren azterketa

6. Parabolaren azterketa

7. Koniken ukitzaileak, papiroflexiaren bidez

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

III. multzoaren autoebaluazioa IV MULTZOA.

Analisia

9 O inarrizko funtzioak

1. Funtzioak eta horien azterketa

2. Definizio-eremua

3. Oinarrizko funtzioen familiak

4. «Zatika» definituriko funtzioak

5. Funtzioen oinarrizko transformazioak

6. Funtzioen konposizioa

7. Funtzio baten alderantzizkoa edo elkarrekikoa

8. Arku funtzioak

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

10 F untzioen limiteak. Jarraitutasuna e ta adar infinituak

1. Funtzio baten jokabidea infinituan

2. Kalkulatu funtzioen limiteak x → +∞ doanean

3. Funtzio baten limitea x → –∞ doanean

4. Kalkulatu funtzioen limiteak x → –∞ doanean

5. Funtzio baten jokabidea puntu batean. Limiteak eta jarraitutasuna

6. Kalkulatu limiteak puntu batean

7. Adar infinituak. Asintotak

8. Adar infinituak funtzio arrazionaletan

9. Adar infinituak funtzio trigonometrikoetan, esponentzialetan eta logaritmikoetan

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

11 D eribatuak

1. Funtzio baten hazkundearen neurria

294

2. Deribatua adierazpen analitikotik abiatuta lortzea

3. Funtzio baten funtzio deribatua

4. Funtzio batzuen deribatuak lortzeko erregelak

5. Deribatuen taula

6. Funtzio deribatuaren erabilerak

7. Funtzioen optimizazioa

8. L’Hôpitalen erregela

9. Funtzioen adierazpena

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

IV. multzoaren autoebaluazioa

V MULTZOA. Estatistika, konbinatoria eta probabilitatea

12 B anaketa bidimentsionalak

1. Banaketa bidimentsionalak. Puntu-hodeiak

2. Korrelazio lineala

332

3. Banaketa bidimentsionalari lotutako parametroak

4. Erregresio-zuzena

5. Bi erregresio-zuzen daude

6. Kontingentzia-taulak

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

13 Konbinatoria eta probabilitatea

1. Zuhaitz-diagrama

354

2. Aldakuntzak eta permutazioak (ordenak ardura du)

3. Ordenak eraginik ez duenean. Konbinazioak

4. Faktorialak eta zenbaki konbinatorioak

5. Probabilitateen kalkulua

Ariketak eta problemak

Autoebaluazioa

V. multzoaren autoebaluazioa

Formula eta funtzio

trigonometrikoak

Trigonometria: mundu arabiarretik Europara

Matematika arabiarrak, eta zehazki trigonometriak, Grezia eta Indiako ezagutzetatik edan zuen. Baina bere ekarpenak asko eta nabarmenak izan ziren. Horietako bat zirkunferentzia goniometrikoan r = 1 hartzea izan zen (Grezian r = 60 erabiltzen zen). Gainera, Al-Khwarizmik, matematikari arabiar nabarmenenak, sinuaren eta kosinuaren lehen taula zehatzak egin zituen, eta tangentearen balioak ere taulan bildu zituen aurrenekoz.

Kultura arabiarrean sortutako matematika, tartean trigonometriari buruz zeuzkaten ezagutzak, xii. mendetik aurrera zabaldu zen Europa osoan. Johann Müller (Regiomontano) astronomo prusiarra izan zen arabiarrengandik jasotako trigonometriari buruzko ezagutzak sistematizatzen eta sakontzen lehenengoa, xv. mendean.

Regiomontano, hori gizona hori!

Johann Müller (1436-1476) Königsbergen jaio zen, eta Errenazimentuko gizon tipikoa izan zen: jakintsua, ezagutza ugari, zabal eta sakonekoa. Ume prodijioa izan zen, matematikak eta astronomia landu zituen batez ere, baina pentsamenduaren beste alderdi asko ere aztertu zituen. Hain arin hil ez balitz (40 urterekin), ziur aski, matematika askoz azkarrago garatuko zen Europan.

Almagesto lana zuzenean itzuli zuen grekotik latinera, arabierazko itzulpen batetik abiatu gabe, eta trigonometriari buruzko zenbait liburu idatzi zituen. Horietako batean, De triangulis omnimodis (1464), triangeluak ebazteko metodoei buruzko azalpen sistematikoa egin zuen. Trigonometriaren lan gogoangarrienetako bat da, eta askok trigonometria modernoaren aitatzat jotzen dute Regiomontano.

Baina zer dela eta zeukan prusiar batek Regiomontano izena? Garai hartan zientziaren hizkuntza latina zen, eta zientzialariek beren izenak ere latinera itzultzen zituzten. Horrela, bada, alemaneko Königsberg (mendi aparta) latinez Regiomontanus izatera pasatu zen.

Sinuaren lehenengo adierazpena

Gilles de Roberval matematikari frantsesak biziki interesgarri iruditzen zitzaizkion zenbait kurba aztertu, eta 1635ean lehenengo aldiz zirriborratu zuen sinu kurbaren arku erdi baten grafikoa. Ondorioz, ordura arte trigonometriarako baliagarri ziren balioen bilduma bat zena (zenbakizko taula), funtzio baten grafikotzat aztertzen hasi ziren.

Geroago, Leibnizek (1646-1716) sinuari funtzio izaera eman zion, baita gainerako funtzio trigonometrikoei ere.

Funtzio trigonometrikoak

gaur egun

Trigonometriak xix. mendaren hasieran jo zuen goia, Fourierren segidekin: trigonometria estu erlazionatu zuen analisiarekin, eta, ondorioz, naturan denean ageri diren bibrazio eta higidura periodikoak behatzeko tresna bikaina sortu zuen, aurrekaririk gabekoa.

Funtzio periodikoak lantzen dituen tresna matematikoa analisi harmonikoa da. Musika korda baten bibrazioa aztertuz hasi zen, eta hainbeste garatu da, ezen gaur egun tresna horrekin uhin mota guztiak aztertu eta deskribatu daitezke. Fisika, kimika, medikuntza, ingeniaritza, teknologia… zorretan daude matematikaren adar honekin. Oinarrizko osagaiak unitate honetan landuko ditugun funtzio trigonometrikoak dira.

EBATZI

Sinuaren kurba irudikatzeko bi modu

1. Punta lodiko errotuladore gorri bat hartuta, marraztu paperezko orri garden baten diagonaletako bat. Kiribildu orria alde luzetik, eta argi eta garbi ikusiko duzu sinu kurba.

2. Kiribildu paperezko orri bat kandela baten edo kartoi-hodi baten (sukalderako paperak erdian izaten duen modukoa) inguruan. Ebaki labana, kuter edo zerra batekin, ardatzarekin 45°-ko angelua eratuz. Zabaldu orria. Lortu duzun kurba sinu kurba da.

Formula trigonometrikoak

Bi angeluren arteko batuketaren arrazoi trigonometrikoak

α + β angeluaren arrazoi trigonometrikoak α-ren eta β-ren arrazoi trigonometrikoen funtzioan lortu nahi ditugu. Horretarako, alboko irudia erabiliko dugu. Bertan, α, β eta α + β adierazi ditugu:

• OAB triangelu gorrian, OB hipotenusak 1 neurtzen du (hau da, unitatetzat hartzen dugu), eta argi dago honako hau:

cos β = OB OA = OA sin β = OB AB = AB

• OPB triangelu urdinean hau ikusten dugu:

sin (α + β) = OB PB = PB (1)

• Gainera, PB adierazteko QA + AC idatz dezakegu.

QA da OQA triangeluaren altuera:

QA = OA sin α = cos β sin α

AC da bertikalaren gaineko AB -ren proiekzioa:

AC = AB cos α = sin β cos α

Beraz: PB = sin α cos β + cos α sin β (2)

• (1) eta (2) adierazpenak berdinduz gero, hau lortzen dugu:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β (3)

Formula horretatik abiatuta, oso erraz lortuko ditugu gainerakoak:

cos (α + β) = sin [90° + (α + β)] = sin [(90° + α) + β] (*) =

= sin (90° + α) cos β + cos (90° + α) sin β =

= cos α cos β + (–sin α) sin β = cos α cos β – sin α sin β (*) (3) ezarriko dugu

A B

senbsinβ

cosb

–= +

ii tg tg tg tg 1

(**) Zenbakitzailea eta izendatzailea zati cos α cos β egingo ditugu.

Beraz, honako formula hauek lortu ditugu:

Batura angeluaren arrazoi trigonometrikoak

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β (I.1)

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β (I.2)

tg (α + β) = ab ab tg tg tg tg 1–+ (I.3)

Ebatzitako ariketa

b

a

a+b

a O P

GOGOAN IZAN

90° + f f sin (90° + ϕ) = cos ϕ cos (90° + ϕ) = –sin ϕ

2 2 22 2 2 1 2 3 4 6 += +

Bi angeluren arteko kenketaren arrazoi trigonometrikoak

Aurreko erlazioak erabiliz, oso erraz lortuko ditugu α – β kenketaren arrazoi trigonometrikoak. Aurreko lehenengo formulan –β jartzen badugu β-ren lekuan, hau lortuko dugu:

sin (α – β) = sin [α + (–β)] = sin α cos (–β) + cos α sin (–β) = = sin α cos β + cos α (–sin β) = sin α cos β – cos α sin β

Berdin jokatuko dugu cos (α – β) eta tg (α – β) kasuetan ere, eta hauek lortuko

ditugu:

kendura angeluaren arrazoi trigonometrikoak

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β (II.1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β (II.2)

tg (α – β) = ab ab tg tg tg tg 1 –+ (II.3)

Angelu bikoitzaren arrazoi trigonometrikoak

(I) formuletan α = β egiten badugu, 2α-ren arrazoi trigonometrikoak lortuko

ditugu α-ren funtzioan. Adibidez:

cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α = cos2 α – sin2 α

Berdin jokatuko dugu sin 2α eta tg 2α kasuetan ere, eta hauek lortuko ditugu:

angelu Bikoitzaren arrazoi trigonometrikoak

sin 2α = 2 sin α cos α (III.1)

cos 2α = cos 2 α – sin 2 α (III.2)

tg

(III.3)

1 Egiaztatu II.2 formula honetatik abiatuta: cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

2 Egiaztatu II.3 tg (α + β) = ab ab tg tg tg tg 1–+ formulatik abiatuta.

3 Egiaztatu II.3 formula hauetatik abiatuta: sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

4 sin 12° = 0,2 eta sin 37° = 0,6 badira, aurkitu cos 12°, tg 12°, cos 37° eta tg 37°. Kalkulatu, horietatik abiatuta, 49°-ren eta 25°-ren arrazoi trigonometrikoak, (I) eta (II) formulak erabiliz.

5 Egiaztatu berdintza hau:

() () () () sn sn coscos ii ab ab ab ab tg a 1 ––++ ++ =

6 Egiaztatu (III.1) eta (III.3) formulak (I) formuletan α = β eginez.

7 Lortu 60°-ren arrazoi trigonometrikoak 30°-renak erabiliz.

8 Lortu 90°-ren arrazoi trigonometrikoak 45°-renak erabiliz.

9 Egiaztatu honako hau:

Pentsatu eta trebatu

Angelu erdiaren arrazoi trigonometrikoak

a 2 angeluaren arrazoi trigonometrikoak cos α-ren funtzioan nola lor ditzakegun

ikusiko dugu

Kontuan izanda α = 2 · a 2 dela, eta (III.2) ezarriz:

2· a aa a coscos cossin 22 2 –22 == bl

GOGOAN IZAN (III.2) cos 2α = cos2 α – sin2 α

22 22 *

= =+

–(Hau da oinarrizko berdintza)

Bi berdintza horien batuketa eta kenketa eginez, hauek lortzen ditugu, hurrenez hurren:

12 2 12 2 –

+= = 4

2 2

a a a a coscos cossin

Berdintza horietan cos a 2 eta sin a 2 askatu ditzakegu, eta hortik tg a 2 lortu.

angelu erdiaren arrazoi trigonometrikoak

(IV.1)

(IV.2)

(IV.3)

Kasu horietako bakoitzean, a 2 angelua zer koadrantetan dagoen kontuan hartuta, zeinua + edo – izango da.

Ebatzitako ariketa

sin 15° = sin ° 2 30 = / cos 2 130 2 13 2 4 23 –° == EGIN ZUK Aurkitu cos 15° eta tg 15°.

10 Ematen diren oharrei jarraituz, egiaztatu urratsez urrats IV.1, IV.2 eta IV.3 formulak.

11 cos 78° = 0,2 dela jakinda, kalkulatu sin 78° eta tg 78°. Lortu 39°-ren arrazoi trigonometrikoak angelu erdiaren formulak erabiliz.

12 Lortu 30°-ren arrazoi trigonometrikoak cos 60° = 0,5 dela jakinda.

13 Lortu 45°-ren arrazoi trigonometrikoak cos 90° = 0 dela jakinda.

2 tg α · sin 2 a 2 + sin α = tg α

aa aa sn sn sn sn ii ii 22 22 –+ = tg 2 a 2

Sinuen eta kosinuen arteko batuketak eta kenketak

Batzuetan, komeni izaten da batuketak edo kenketak biderketa moduan adieraztea. Horretarako, oso lagungarriak dira formula hauek:

Sinuen eta koSinuen Batuketak eta kenketak

sin A + sin B = 2 sin AB 2 + cos AB 2 – (V.1)

sin A – sin B = 2 cos AB 2 + sin AB 2 – (V.2)

cos A + cos B = 2 cos AB 2 + cos AB 2 – (V.3)

cos A – cos B = –2 sin AB 2 + sin AB 2 – (V.4)

Lehenengo biak lehendik dakizkigun beste batzuetan oinarrituta ondorioztatuko ditugu: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Batuketa eginez → sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β (1)

Kenketa eginez → sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β (2)

Komeni da idazkera aldatzea, kalkuluak errazteko.

ab ab A B –+= = 4 esaten badiegu eta sistema ebazten badugu, hau lortzen dugu:

α = AB 2 + β = AB 2 –

(1) eta (2) berdintzetan ordeztuz, V.1 eta V.2 lortuko ditugu.

1 Kalkulatu cos 75° + cos 15°, biderketa moduan

16 (V.3) eta (V.4) formulak egiaztatzeko, eman urrats hauek:

• Adierazi α eta β-ren funtzioan:

cos (α + β) = …

cos (α – β) = …

• Batu eta kendu, goian egin dugun moduan, eta bi adierazpen lortuko dituzu.

• Ordeztu aurreko adierazpenetan: ab ab A B

TANGENTEAREN TEOREMAREN EGIAZTAPENA

Aurreko unitatean, 100. orrialdearen hegalean, tangentearen teorema eman genuen:

a) sin 75° – sin 15°

b) sin 75° + sin 15°

c) cos 75° – cos 15°

2 ––= + +

tg

tg AB ab ab AB 2

Garatu egingo dugu, orrialde honetako formulak erabilita.

Abiapuntu moduan, sinuen teorema hartuko dugu: 8 sn sn i i sn A a sn B b k ak A bk B ii == = = )

Eta hortik: sn sn sn sn sn sn sn ii ii i ii ab ab kA kB kA kB sinA B AB –+ = + = + =

coss ntg 2 sn cos i

➜ Unitate honetako alderdi batzuk lantzeko kalkulu-orria.

17 Jarri biderketa eran eta kalkulatu.

18 Adierazi zatiki honen zenbakitzailea eta izendatzailea biderketa eran, eta sinplifikatu emaitza:

coscos sinsin aa aa 42 42 + +

Pentsatu eta trebatu

Ekuazio trigonometrikoak

Ekuazio trigonometrikoak angelu ezezagun bat eta angelu horren funtzio trigonometrikoak dituzten ekuazioak dira; eta ekuazio guztietan bezala, ezezagun hori askatu behar da.

Lortzen diren soluzioak hasierako ekuazioan egiaztatu behar dira, sarritan «soluzio arraroak» azaltzen dira eta.

Nahikoa izaten da 0° eta 360° arteko soluzioak ematea.

Ebatzitako ariketak

cos (30° + a) = sin a

EGIN ZUK

Ebatzi sin (α + 30°) = 2 cos α.

SOLUZIO ARRAROAK

Ekuazio baten ebazpen prozesuan, aldagaiarentzat lortzen ditugun balioen artean baten batek ekuazioa betetzen ez badu, «soluzio arraro» esaten diogu. Jakina, ez da soluzio.

Ekuazioaren lehenengo atalean batuketa baten kosinua dago. (I.2) erabilita garatuko dugu:

cos 30° cos α – sin 30° sin α = sin α →

→ 2 3 cos α –2 1 sin α = sin α → 3 cos α = 3 sin α

Bi atalak zati cos α egingo ditugu:

3 = 3 a a cos sn i → 3 = 3 tg α → tg α = 3 3

Soluzio posibleak: 30° eta 210°. Hasierako ekuazioan ordezkatu, eta biak baliozkoak direla ikusten dugu.

Beraz, soluzioak hauek dira: α1 = 30° eta α2 = 210°, [0°, 360°) tartean.

Á osoko soluzio posible guztiak eman nahi izanez gero, honela adieraziko genituzke:

30° + k · 360° eta 210° + k · 360°, k éº izanik.

Horiek guztiak honako adierazpen honetan bilduta daude:

30° + k · 180°, k éº izanik

Hemendik aurrera, [0°, 360°) tarteko soluzioak bakarrik emango ditugu.

2 Ebatzi honako ekuazio hau: sin 2a = tg a Bi atalak sin α-ren eta cos α-ren funtzioan adieraziko ditugu, sin 2 α (III.1) zein tg α:

Dena bider cos α egin, eta gai guztiak lehenengo atalera igaroko ditugu:

sin

2 α – sin α = 0 → sin α (2 cos 2 α – 1) = 0

Ekuazio hau ebazteko, sin α eta 2 cos 2 α – 1 biderkagaiak bakoitza bere aldetik aztertuko ditugu:

EGIN ZUK

Ebatzi cos α = sin 2α.

Hasierako ekuazioan egiaztatzean, sei soluzioak baliozkoak direla ikusten dugu.

1 Ebatzi ekuazio hau:

Ebatzitako ariketak

3 Ebatzi ekuazio hau: cos 3 x + cos x = 0 Ekuazio trigonometriko baten ezezaguna angelu bat denez, orain arte α deitu diogu. Dena dela, ekuazioetako ezezaguna edozein letra izan daiteke, adibidez, x.

Bigarren atala 0 denez, ebazpena asko erraztuko litzateke lehenengo atala biderketa moduan adierazi ahalko balitz. Horretarako, V.3 formula erabiliko dugu.

1 Ebatzi.

a) tg α = – 3

b) sin α = cos α

c) sin 2 α = 1

d) sin α = tg α

2 Ebatzi ekuazio hauek:

a) 2 cos 2 α + cos α – 1 = 0

b) 2 sin 2 α – 1 = 0

c) tg 2 α – tg α = 0

d) 2 sin 2 α + 3 cos α = 3

Beraz, sei soluzio posible daude. Hasierako ekuazioan egiaztatzean, denak baliozkoak direla ikusten dugu.

cos 2α = 0 ebazteko beste modu bat Beste era honetan ere joka genezakeen:

2α = 90° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ α3 = 45°

2α = 270° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ α5 = 135°

cos 2α = 0

2α = 90° + 360° = 450° ⎯⎯⎯⎯→ α6 = 225°

2α = 270° + 360° = 630° ⎯⎯⎯→ α4 = 315°

2α -ren balioei 360°-ren multiploak batuz gero, α angeluarentzat lau horien soluzio baliokideak lortuko ditugu.

EGIN ZUK Ebatzi sin 3x – sin x = 0.

3 Adierazi sin 5α – sin 3α biderketa eran, eta, gero, ebatzi sin 5α – sin 3 α = 0 ekuazioa.

4 Ebatzi.

a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1

b) tg 2x + 2 cos x = 0

c) 2 cos (x/2) – cos x = 1

d) 2 sin x cos 2 x – 6 sin 3 x = 0

5 Ebatzi honako ekuazio trigonometriko hauek:

a) sin (180° – x) = cos (270° – x) + cos 180°

b) sin (45° – x) + 2 sin x = 0

Pentsatu eta trebatu

Funtzio trigonometrikoak

Radiana: angeluak neurtzeko unitatea

Orain arte, angeluak neurtzeko unitate moduan gradua erabili izan dugu. Oso unitate lagungarria izan da trigonometria, astronomia, nabigazio eta triangeluen ebazpenari buruzko problemetan, eta lagungarria izaten jarraituko du. Baina funtzio trigonometrikoak definitzeko, askoz eroso eta errazagoa da beste neurri-unitate bat: radiana. Ondoren landuko dugu.

Intuiziozko ikuspegia

Pentsa bizikletaren gurpila zulatu zaigula, eta mahai baten hegalean jarri dugula konpontzeko, ezkerreko argazkian ageri den moduan.

Gurpila biraka hasiz gero, zuloa non dagoen adierazten digun P puntuak aldatu egiten du mahaiarekiko altuera.

x f ⎯→ y funtzioa adieraziko dugu.

x: P puntuak biratzean egiten duen luzera

y: P puntuak mahaiaren mailarekiko duen altuera

Horretarako, neurri-unitatetzat erradioaren luzera hartuko dugu.

Ikusten duzunez, puntu bakoitzaren abzisa da zirkunferentziaren gainean egindako distantzia. Neurri-unitatea erradioa denez (r = 1), bira laurden bat π 2  ≈ 1,6 da; bira erdia, π ≈ 3,1; …

Ikus dezagun zein den funtzioaren grafikoa gurpilaren bira oso baterako:

Intuiziozko ikuspegi honetan adierazi dugun funtzio honek P puntuaren posizioa deskribatzen du. Posizio hori berori deskribatzeko, abzisa moduan, puntuak ibiltzen duen luzera hartu beharrean, puntuak gurpilaren gainean deskribatzen duen angelua har dezakegu. Baina kasu horretan, grafikoak berdina izaten jarraitzea nahi badugu, unitatetzat gurpilaren erradioa adinakoa den angelu bat hartu behar dugu. Angelu horri radiana esaten zaio.

Definizioa

B A O a

Radiana zirkunferentzia bat irudikatzean erabilitako erradioaren luzera bera duen arkua hartzen duen angeluari esaten diogu. Hau da, α radian bat da, AB arkuaren luzera erradioaren luzeraren berdina delako: AB % -ren luzera = OA

Graduetatik radianetara igaro, eta alderantziz

Zirkunferentziaren luzera 2πr da. Beraz, angelu oso batek, guztira, 2π radian ditu. Bestetik, badakigu angelu oso batek 360° dituela. Beraz:

360° = 2π radian

Berdintza horren bidez, graduak radianetara igaro ditzakegu, eta radianak, graduetara. graduetatik radianetara radianetatik graduetara

α gradu = π 360 2 · α radian n radian = 2π 360 · n gradu

Radian baten balioa hau da: 2π 360 = 31,… 4 180 ≈ 57° 17' 45"

Kalkulagailua

Radianetan emandako angelu baten arrazoi trigonometrikoak lortzeko, kalkulagailua radianekin eragiketak egiteko moduan jarri behar da (rad modua). Adibidez:

sin (1 rad): 1 = {≠…°¢‘¢|≠£°} → sin (1 rad) = 0,84

tg rad π 4 bl : /4 = {∫∫∫‘} → tg rad π 4 bl = 1

1 Zuzena ala okerra?

a) Radiana erradioarekiko baliokidea den luzera-neurria da.

b) Radian bat 60° baino apur bat txikiagoa den angelua da.

c) Zirkunferentziaren luzera 2πr denez, angelu oso batek (360°) 2π radian ditu.

d) 180°-ko neurria 3 radian baino apur bat gutxiago da.

e) Angelu zuzen batek π/2 radian neurtzen du.

2 Pasatu radianetara honako angelu hauek:

a) 30° b) 72° c) 90°

d) 127° e) 200° f) 300°

Adierazi emaitza π-ren funtzioan eta modu hamartarrean.

Adibidez: 30° = 30

6 rad = 0,52 rad

KONTUAN IZAN

• Triangeluak ebazteko, komeni da angeluak gradutan adieraztea (° ' ").

• Funtzio trigonometrikoak erabiltzeko, komeni da angeluak radianetan adieraztea (rad ).

1 RADIANEN GUTXI GORABEHERAKO BALIOA

Erradioaren luzera adinako hari zati bat moztu eta zirkunferentziaren inguruan jarriko dugu. Eratzen den angelua 1 radianekoa da.

Hari hori tenkatuz gero, triangelu aldekide bat eratuko dugu. Angelua 60°-koa da.

Beraz:

1 radianek 60° baino apur bat gutxiago neurtzen du

Kalkulagailuarekin radianetan lan egiteko, konfiguratu egin behar da. Ikus dezagun nola:

Sakatu eta aukeratu 2:Unitate angeluarra eta, gero, 2:Radiana.

3 Pasatu graduetara angelu hauek:

a) 2 rad b) 0,83 rad c) 5 π rad

d) 6 5π rad e) 3,5 rad f) π rad

4 Kopiatu eta osatu taula hau koadernoan, eta gehitu angeluetako bakoitzaren arrazoi trigonometrikoak (sinua, kosinua eta tangentea):

Funtzio trigonometrikoak

Aurreko orrialdeko 4. ariketan, 0° eta 360° bitarteko angelu esanguratsuenak radianetan adierazita biltzen dituen taula egiteko eskatu dizugu. Taula hori alboan jarri dugun hau da.

Eta datu horiekin funtzioak egiten dira: y = sin x y = cos x y = tg x Funtzio horietan, abzisa angeluaren neurria da, radianetan adierazita; eta ordenatua, dagokion arrazoi trigonometrikoaren balioa.

Funtzio trigonometrikoak edo funtzio zirkularrak esaten zaie.

Lehenengo funtzioa, y = sin x, atal honen hasieran eraiki dugu, bizikleta-gurpil bateko puntu batek ardatzaren inguruan biratzean egiten duen higidura deskribatzean. Goiko zatia bira bati dagokio, baina funtzioa guk nahi adina bira luza dezakegu, eta 2π-ko periodoa duen funtzio periodiko bat lortuko dugu. Eta beste bi kasuetan ere berdin: y = cos x funtzioak 2π periodoa du, eta y = tg x funtzioak, π periodoa.

Pentsatu eta trebatu

5 Zuzena ala okerra?

a) Funtzio trigonometrikoak periodikoak dira.

b) sin eta cos funtzioek 2π-ko periodoa dute.

BEHATU

Tangente funtzioa ez dago definituta

x = π 2 + k π puntuetan k-ren balio osoetarako.

c) tg x funtzioak π-ko periodoa du.

d) cos x funtzioa sin x funtzioaren modukoa da, π/2 ezkerrerago eramanda.

Ebatzitako ariketak eta problemak

1. Lortu angelu baten arrazoi trigonometrikoak beste angelu batzuen arrazoietatik abiatuta

Honako hau jakinda:

sin 148° = 0,53 cos 148° = – 0,85

kalkulatu arrazoi trigonometriko hauek:

a) sin 296° b) cos 208°

c) cotg 74° d) sin 103°

EGIN ZUK

sin 54° = 0,81 dela jakinda, aurkitu:

a) cos 108° b) tg 27°

c) sin 24° d) cos 99°

Angelu horien eta 148°-ko angeluaren artean zer erlazio dagoen aurkitu behar dugu.

a) 296° = 2 ∙ 148° denez, angelu bikoitzaren formula erabiliko dugu: sin 296° = sin (2 · 148°) = 2 sin 148° cos 148° = 2 · 0,53 · (– 0,85) = – 0,9

b) 208° – 148° = 60° 8 208° = 148° + 60°, beraz: cos 208° = cos (148° + 60°) = cos 148° cos 60° – sin 148° sin 60° = = – 0,85 · 2 1 – 0,53 · 2 3 = – 0,88

c)

d)

2. Identitate trigonometriko baten egiaztapena

22

22

++ ++ = + ()**() * () aa aa aa aa a aa coss n sn cos sn sn sn coss ncos cos sn cos i i ii ii i 1 12

+ + = = + () * () aa aa aa aa aa a aa cos cos coscos coscos cos cos sen sen sensen sensen sen 1 12 2

+ + = ++ ++ = + ()**() * () aa aa aa aa aa aa aa coss n sn cos sn coscos sn sn coss ncos sn cos i i ii ii i 1 12 2 22 222

22

22 222

+ + = ++ ++ = + () * = = [( )] () a aa aa cos sn cos i tg tg 2 1 2 1

+ =+ =+ () ** cm () () a aa aa cos cos sen tg tg 2 1

(*) 1 = sin2 α + cos2 α oinarrizko erlazioa erabiliko dugu.

(**) Zenbakitzailea batuketa baten karratu moduan

(***) Zati cos α egingo dugu.

dugu.

3. Adierazpen trigonometriko baten sinplifikazioa

Ebatzitako ariketak eta problemak

4. Faktorizatu daitekeen ekuazio trigonometriko baten ebazpena

Ebatzi: sin2 x – 3 sin x cos x = 0

Adierazi emaitza graduetan eta radianetan.

EGIN ZUK

Ebatzi: sin 3 x – sin x cos 2 x = 0

Biderkagai komuna aterako dugu: sin x (sin x – 3 cos x) = 0

Biderkagaietako bakoitza zerorekin berdinduko dugu:

sin x = 0 → x = 0° + 360°k; x = 180° + 360°k

sin x – 3 cos x = 0 → cos sn i x x – 3 = 0

(Zati cos x egin dugu, beraz, ekuazio honetan ezin da zero izan).

tg x = 3 → x = 60° + 360°k; x = 240° + 360°k

Soluzio guztiak honela adieraziko ditugu: x = 180°k; x = 60° + 180°k, k éº

Edo radianetan: x = πk; x = π 3 + πk , k éº

5. Ekuazio trigonometrikoak angelu beraren bi arrazoi erabilita ebaztea

Ebatzi: cos x + 3 sin x = 2

Adierazi emaitza graduetan eta radianetan.

EGIN ZUK

Ebatzi:

= 1

Soluzioak aztertuta, x = 60° balekoa dela ikusten dugu; x = 300°, berriz, ez.

hauek dira: x = 60° + 360°k, edo

k, k éº Ekuazioa ebazteko beste modu bat da lehenengo atala kenketa baten kosinu bihurtzea, bi ataletan zati 2 eginez:

6. Ekuazio trigonometriko bat bi angelu eta bi arrazoi erabilita ebaztea

7. Ekuazio trigonometriko bat sinuen eta kosinuen arteko batuketaren formula erabiliz ebaztea Ebatzi eta adierazi soluzioak [0°, 360°)

α + β 2

1. tg -ren arrazoi trigonometrikoak

cosec α = 5 4 , 90°< α < 180°, eta sec b =

= 3, 270°< b < 360° dira. Kalkulatu

• Kalkulatu sin α, sin b, cos α, cos b, kontuan izanda zer koadrantetan dauden α eta b.

• Erabili cos (α + b) formula eta tg (α + b) 2 formula.

tg

α + b 2 baina α eta b angeluak lortu gabe.

2. Identitate trigonometrikoak

Egiaztatu honako hau: cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x

• Tangentearen zeinua jakiteko, kontuan izan 90° < α < 180° eta 270° < b < 360° direla. Batu desberdintza horiek eta egin zati 2.

Soluzioa: tg α + b 2 = 64 2 94 2 –+

• Egin cos 3x = cos (2x + x) eta garatu bi angeluren arteko batuketaren kosinua.

• cos 2x-ren eta sin 2x-ren ordez, jarri angelu bikoitzaren formulak.

• Adierazi sinua kosinuaren funtzioan, identitatearen 2. atala lortzeko.

3. Adierazpen aljebraiko baliokideak

Idatzi adierazpen hau: cos (α + β) cos (α – β) cos α-ren eta sin β-ren funtzioan.

• Garatu cos (α + β) eta cos (α – β). Biderkatzean, karratuen arteko kenketa bat lortuko duzu.

• Adierazi cos 2 β arrazoia sin β-ren funtzioan; eta sin 2 α arrazoia, cos α-ren funtzioan.

Soluzioa: cos (α + β) cos (α – β) = cos 2 α – sin 2 β

4. Adierazpen trigonometrikoen sinplifikazioa

Sinplifikatu honako adierazpen hau: 2 tg α cos 2 a 2 – sin α

• Erabili cos a 2 -ren formula eta adierazi tg α honela: a a cos sn i

• Egin eragiketak eta sinplifikatu.

Soluzioa: tg α

5. Beste ekuazio trigonometriko batzuk

Ebatzi ekuazio hauek:

a) cos 2 (2x + 30°) = 1 4

b) 4 sin x + 4 cos 2 x tg x + tg x = 0

Adierazi lortutako emaitza graduetan eta radianetan.

a) • Askatu cos (2x + 30°).

• Aurkitu zirkunferentziako zer lau angeluren kosinuak diren lortutako balioak, eta berdindu 2x + 30° angelua horietako bakoitzarekin.

• Batu 360° angelu horiei, eta berdindu horietako bakoitza 2x + 30° angeluarekin. Zortzi soluzio lortuko dituzu [0°, 360°) tartean.

b) • tg x = 0 bada, ekuazioak bi soluzio ditu, angelu horien sinua ere 0 baita.

• tg x ≠ 0 bada, bi atalak zati tg x egin daitezke eta ezezagun moduan cos x duen ekuazio bat lortu.

Soluzioa:

a) x = 15° + 90°k; x = 45° + 90°k edo bestela, x = π 12 + πk 2 ; x = π 4 + πk 2 , k éº

b) x = 180°k ; x = 120° + 360°k; x = 240° + 360°k edo bestela, x = πk;

Proposatutako ariketak eta problemak

Trebatzeko

Formula trigonometrikoa

1 Kalkulatu 22° 30'-ren arrazoi trigonometrikoak oinarritzat 45°-renak hartuta.

2 cos 78° = 0,2 eta sin 37° = 0,6 direla jakinda, aurkitu 41° eta 115° angeluen arrazoi trigonometrikoak.

3 a) Kalkulatu 75°-ren arrazoi trigonometrikoen balio zehatzak 30° eta 45° angeluen arrazoietatik abiatuta.

b) Erabili a) ataleko emaitzak eta kalkulatu 105°, 165°, 15°, 195° eta 135° angeluen arrazoi trigonometrikoak.

4 cos α = 25 –7 (180° < α < 270°) eta tg β = 3 4 (180° < β < 270°) direla jakinda, kalkulatu tg ab 2 +

5 tg a 2 = –3 eta α < 270° direla jakinda, aurkitu sin α, cos α eta tg α.

6 tg 2α = 6 eta α < 90° direla jakinda, aurkitu sin α, cos α eta tg α.

7 Jakinik cos a 2 = –3 1 eta 180° < α < 270° direla, kalkulatu cos 2α, baina α angelua kalkulatu gabe.

8 Bihurtu honako batuketa hauek biderketa:

a) sin 65° + sin 35° b) sin 65° – sin 35°

c) cos 48° + cos 32° d) cos 48° – cos 32°

e) 1 2 + sin 50° f) 2 2 + cos 75°

9 Kalkulatu honako adierazpen hauen balio zehatza kalkulagailuko tekla trigonometrikoak erabili gabe:

a) cos 195° + cos 75° b) sin 195° – sin 105°

10 cosec α = 2,5 eta sec β =1,25 direla jakinda, egiaztatu, cotg (α + β) arrazoiaren balio hurbildua 0,57 dela, baina α eta β angeluak lortu gabe.

11 tg α = t deitzen badiogu, idatzi sin 2α eta cos 2α adierazpenak t-ren funtzioan.

12 Garatu honako adierazpen hauek α-ren arrazoi trigonometrikoen funtzioan, eta sinplifikatu:

a) sin (45° + α) – cos (α – 45°)

b) aa a coss n cos i 2 + c) cos 2 a 2 · sin 2 a 2 + 4 1 cos 2 α

13 Sinplifikatu adierazpen hauek:

a) cotg cosec xtgx x + b) () () sn coss ncos coss n ii i xx xx xx ––44 +

Identitate trigonometrikoak

14 Zuzena ala okerra? Garatu eta egiaztatu.

a) sin (α + 270°) = –cos α b) cos (270° + α) = sin α

c) sin (270° – α) = cos α d) cos (270° – α) = –sin α

e) α + β = 120°, beraz: ab ab coscos sniisn + + = 3

15 Frogatu identitate hauek, oinarrizko erlazioak kontuan izanda:

a) (sin α + cos α)2 – (sin α – cos α)2 = 4 sin α cos α

b) sin α · cos 2 α + sin 3 α = sin α

c) a a a a a cos sn cos sn sn ii i 11 2 – + +=

d) aa aa coss n coss n i i –+ · cos 2α = 1 + sin 2α

16 Frogatu honako identitate hauek egia direla:

a) cos (x + 60°) – cos (x + 120°) = cos x

b) tg (x + 45°) – tg (x – 45°) = tg x tg x 1 22 –2 2 +

17 Egiaztatu bi identitate hauek betetzen direla:

a) sin α sin (α + β) + cos α cos (α + β) = cos β

b) () () ab ab ab ab sn sn i i tg tg tg tg + = +

* b) kasuan, egin zenbakitzailea eta izendatzailea zati cos α cos β

18 Egiaztatu.

a) cos (α + β) cos (α – β) = cos 2 β – sin 2 α

b) sin (α + β) sin (α – β) = sin 2 α – sin 2 β

19 Egiaztatu berdintza hau: (/2) (/2) a a tg tg 2 1 2 + = cosec α.

20 Zuzena ala okerra? Arrazoitu zure erantzuna.

a) tg α + aa sn i tg 1 2 2 =

b) 2 tg α ∙ cos2 α – sin α = a cos 1

c) cotg2 α – cos2 α = a tg 1 2 · cos2 α

d) cos sn sn cos cos i i x x x x x 1 1 1 –––=

e) coscos cosec xx x 1 1 1 1 2 –2 + +=

21 Egiaztatu berdintza hauek, kalkulagailua erabili gabe.

a) sin 130° + sin 50° = 2 cos 40°

b) cos 75° – cos 15° = –2 2

Angeluak radianetana

22 Adierazi graduetan radianetan emandako angelu hauek:

π 6 5 ; 3 7π ; 9 4π ; 3 5 π ; 1,5; 3,2

23 Pasatu angelu hauek radianetara. Adierazi π-ren funtzioan. 135°; 210°; 108°; 72°; 126°; 480°

24 Frogatu berdintza hauek:

a) 4 sin 6 π + 2 cos 4 π + cos π = 2

b) 2 3 sin 3 2π + 4 sin 6 π – 2 sin 2 π = 3

c) sin 3 2π – cos 7 6 π + tg 3 4π + tg 6 11π = 3 53

25 Kalkulatu adierazpen hauetako bakoitzaren balio zehatza, kalkulagailua erabili gabe:

a) 5 cos 2 π – cos 0 + 2 cos π – cos 3 2 π + cos 2π

b) sin 4 π + sin 2 π + sin π

c) cos 3 5π + tg 3 4π – tg 6 7π

d) 3 cos 6 π + sin 6 π – 2 cos 4 π – 2 3 sin 3 π

Egiaztatu emaitzak kalkulagailua erabilita.

26 Lortu angelu hauen arrazoi trigonometrikoak, eta adierazi, graduetara pasatu gabe, zer koadrantetan dagoen bakoitza:

a) 0,8 rad b) 3,2 rad

c) 2 rad d) 4,5 rad

e) π/8 rad f) 7π/4 rad

g) 3π/5 rad h) 1,2π rad

* Kontuan hartu: 2 π ≈ 1,57; π ≈ 3,14; π 2 3 ≈ 4,7; 2π ≈ 6,28

27 Kasu hauetako bakoitzean, aurkitu α angelurako bi balio, radianetan, kontuan izanda honako hau:

a) sin α = 0,32 b) cos α = 0,58

c) tg α = –1,5 d) sin α = – 0,63

Ekuazio trigonometrikoak

28 Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) 2 sin 2 x = 1 b) 3 tg 2 x – 1 = 0

c) 1 – 4 cos 2 x = 0 d) 3 tg x + 4 = 0

29 Ebatzi ekuazio hauek:

a) 2 cos 2 x – sin 2 x + 1 = 0 b) sin 2 x – sin x = 0

c) 2 cos 2 x – 3 cos x = 0 d) 2cos2 x + sin x = 1

30 Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) sin x –π 6 bl + cos x –3 π bl = 1 2

b) sin 2x – 2 cos 2 x = 0

c) cos 2x – 3 sin x + 1 = 0

d) sin x + 4 π bl – 2 sin x = 0

31 Ebatzi.

a) cos 2 x 2 + cos x –1 2 = 0 b) tg 2 x 2 + 1 = cos x

c) 2 sin2 x 2 + cos 2x = 0 d) 4 sin2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0

32 Bihurtu eta adierazi ekuazio hauek tg x ezezaguneko ekuazio baliokideen bidez, eta ebatzi:

a) sin x + cos x = 0

b) sin 2 x – 2 3 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

c) sin 2 x + sin x cos x = 0

33 Ebatzi ekuazio hauek:

a) 3 cos x + 3 2 π cm + cos (x – π) = 2

b) cos x –6 5π cm + sin x – 3 cos x = 0

c) sin x + 4 π bl + cos + x 4 π bl = 1

d) cos x –3 π bl – 3 sin x –3 π bl = 1

34 Ebatzi.

a) sin x 2 + cos x 2 = 2

b) cos 3x + cos x = 2 . cos 210° . cos x

c) 4 sin x 2 + cos x = 3

35 Bihurtu biderketa eta ebatzi.

a) sin 6x – sin 4x = 2 cos 60° sin x

b) sin 5x + sin 3x = 2 . sin 240° . cos x

36 Ebatzi.

] ] ] ]

Z [ \

i i

a) sn cos i xy xy 2 1 2 2 += += * b) sn cos coss n

* Eman [0°, 360°) tarteko soluzioak.

22 22

xy xy

2 1 2 1 –

+= =

37 Aukeratu erantzun zuzena: « sin x –62 2 π = bl ekuazioaren soluzioak [0, 2π) tartean hauek dira»:

a) 12 17π eta 12 23π b) 12 π eta 12 7π c) 12 5π eta 12 11π

Proposatutako ariketak eta problemak

Ebazteko

38 16 cm-ko erradioa duen zirkunferentzia batean, arku batek 20 cm-ko neurria du. Aurkitu arku horri dagokion angelu zentrala, graduetan eta radianetan.

39 Zirkunferentzia jakin batean, 12 cm-ko luzera duen arku bati 2,5 radianeko angelua dagokio. Zein da zirkunferentzia horren erradioa?

40 Adierazi, radianetan, 5 19π -ren arrazoi trigonometriko berdinak dituen 0 eta 2π bitarteko angelua.

41 Egin 122. orrialdekoa moduko balio-taula bat funtzio hauetako bakoitzerako, eta adierazi grafikoki [0 , 2π) tartean:

a) y = –sin x b) y = 1 + sin x

c) y = –cos x d) y = 1 + cos x

42 Lotu funtzio hauetako bakoitza dagokion grafikoarekin:

a) y = 2 sin x b) y = cos 2x

c) y = 2 cos x d) y = sin 2x

47 Ebatzi ekuazio hauek:

a) coscos sniisn xx xx 3 53 + + = 1 b) coscos sniisn xx xx 3 3 –+ = 3

c) sin 3x – sin x = cos 2x d) sin 3x – cos 3x = sin x – cos x

48 a) Egiaztatu: sin2 ab 2 + eo – sin2 ab 2 –eo = sin α · sin β

b) Erabili a) ataleko emaitza honako hau egiaztatzeko: cos 2 ab 2 –eo – cos 2 ab 2 + eo = sin α · sin β

49 Zirkunferentzia goniometriko batean α eta β marraztu ditugu.

P (a , b ) Q (c , d )

a b

γ = α – β deitu diogu.

a) Honako adierazpen hauetako zeinek ematen du sin γ ?

I. ac + bd II. bc – ad III. ad – bc IV. ab + cd

b) Horietako baten bat cos γ da?

50 Ebatzi sistema hauek, eta eman lehenengo koadranteari dagozkion soluzioak:

a) sniisn xy xy

+= = *

120 2 1 ° –

b) sn cos ix y xy 1 90° += += *

43 ABC triangeluan, B ^ = 45° eta cos A ^ = –1/5 dira. Kalkulatu, A ^ eta C ^ angeluak aurkitu gabe, C ^ angeluaren arrazoi trigonometrikoak.

44 sin x · cos x = 0,25 bada, egiaztatu tg x = 2 ± 3 dela kalkulagailuko tekla trigonometrikoak erabili gabe.

45 Egiaztatu honako berdintza hauek:

a) aa a tg tg tg 2–= cos 2α

b) sin 3x = 3sin x – 4 sin3 x

46 Sinplifikatu.

a) (° (° ) ) a aacoscos cos 2 24545–+

b) sin α · cos 2α – cos α · sin 2α

22 22 += = *

c) sn cos coss n i i xy xy 1 1 –

d) sn cos sn cos i i xy xy 1 41 += = *

51 Ebatzi sistema hauek, eta eman [0, 2π) tartekoak diren soluzioak:

a) / / coscos coscos xy xy 12 12 ––+= = *

c)

() / () sn cos ix y xy 12 0 –= += *

b) π/ coscos y xy x 31 2 –= = + *

d) / sincos sec cosec xy xy 12 –1 += += *

52 Aurkitu zein izan behar diren α eta β-ren balioak sin (α + β) = 2 sin α cos β berdintza bete dadin.

53 Aurkitu x-ren zer baliorekin egiaztatzen den berdintza hauetako bakoitza, baina angeluen arteko batuketaren edo kenketaren arrazoi trigonometrikoak garatu gabe:

a) sin 2x – sin (x – 60°) = 0

b) cos (2x + 60°) – cos (x – 45°) = 0

c) cos (2x – 30°) – cos (x + 45°) = 0

Galdera teorikoak

54 Zuzena ala okerra? Arrazoitu zure erantzuna.

a) y = cos x + π 2 bl eta y = sin x funtzioen grafikoak berdinak dira.

b) y = cos(x + π) funtzioaren grafikoa eta y = –cos x funtzioarena berdinak dira.

c) Angelu bat bikoiztean, angelu horren tangentea ere bikoiztu egiten da.

d) sec x = 2 ekuazioak ez du soluziorik.

e) sin 3x = –2 1 ekuazioak sei soluzio ditu [0, 2π) tartean.

55 [0, 4π] tarteko zer puntutan ebakitzen du X ardatza funtzio hauetako bakoitzak?

a) y = cos x 2

c) y = cos (x + π)

b) y = sin (x – π)

56 Zer erlazio dago y = sin x eta y =  cos x-ren grafikoen eta honako funtzio hauetako bakoitzaren artean:

a) y = sin x 2 π + bl b) y = cos x 2 π + bl

c) y = cos x –2 π bl d) y = sin x –2 π bl

1 Adierazi radianak gradutan, eta alderantziz.

a) 3π 5 rad b) 1,4 rad c) 140°

2 Zenbatekoa da 0,75 radianeko angelu bati dagokion arkua, 12 cm-ko diametroko zirkunferentzia batean?

3 cos α = –1 4 eta α < π. Kalkulatu:

a) sin α b) cos a + 3 π bl c) tg a 2 d) sin a –6 π bl

4 Egiaztatu honako berdintza hauek:

a) tg 2α = a a tg tg 1 2 –2

b) sin (α + β) · sin (α – β) = sin 2 α – sin 2 β

5 Ebatzi.

a) cos 2x – cos x + 2 π bl = 1 b) 2 tg x cos 2 x 2 – sin x = 1

Sakontzeko

57 Ebatzi honako inekuazio hauek:

a) cos x < –3 2

b) 2 sin x + 1 > 0

58 Egiaztatu, α + β + γ = 180° bada, hau betetzen dela:

tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ

59 Aztertu triangelu isoszeleren batek ba ote duen angelu ezberdinaren kosinua angelu berdinen kosinuen arteko baturaren berdina.

60 Ebatzi sistema hauek, eta eman [0, 2π) tarte barruko soluzioak:

a) / / sn sn sn sn ii ii xy xy 32 34 22 += += * b) / / sn cos coss n i i xy xy 14 14 · = = *

61 Frogatu honako hau:

a) sin x = (/ ) (/ ) tg x tg x 12 22 2 + b) cos x = (/ ) (/ ) tg x tg x 12 12 –2 2 +

62 Egiaztatu, honako irudi honetan, α = β + γ dela: a g b

6 a) Sinplifikatu: coscos sniisn xx xx 53 53 –+

b) Ebatzi: coscos sniisn xx xx cotg x 53 53 –+ =

1

a) y = sinx 2 b) y = sin 2x c) y = sin x 2

8 Ebatzi, eta eman [0°, 360°) tarte barruko soluzioak.

a) / / sn sn sn sn ii ii xy xy 32 12 += = *

b) cos =

2 3 2 3 –+= *

/ sniisnxy xy 33 2