Operación Mundo: Física e Química 1. Bacharelato (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLÚE

PROXECTO DIXITAL ZA 12 MES

BACHAR E LATO

FÍSICA E QUÍMICA J. M. Vílchez González, R. Casas del Castillo, L. Garrido Martínez, A. M.a Morales Cas

ic ón

r pe

O u

o d n

Índice Os saberes básicos do curso DESAFÍOS QUE DEIXAN PEGADA ...............................................................8

• Detectives da química • O meu corpo é un laboratorio de química • Utilizo a física cando fago deporte

e enlace químico

Unidad inicial

A investigación científica

. . ..................................

Relacións entre ciencia, tecnoloxía e sociedade 1. O método científico 2. Magnitudes físicas. Sistema Internacional de Unidades 3. Análise dimensional 4. Medida de magnitudes 5. Erros na medida 6. Significado das ecuacións en física e química TIC. As follas de cálculo para a resolución de problemas Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

1A materia: propiedades e transformacións

......................................................... 38

Semicondutores e enerxía solar fotovoltaica 1. A materia 2. A teoría atómica de Dalton 3. Leis ponderais 4. Leis volumétricas. Hipótese de Avogadro 5. Masa atómica, masa molecular e masa fórmula 6. Cantidade de substancia 7. Fórmulas químicas. Composición centesimal 8. Espectrometría e espectroscopia aplicadas á análise química TIC. Representación de moléculas Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

2 E stados de agregación da materia

..................................................................................... 70

Fontes de enerxía e desenvolvemento sostible 1. Estados de agregación da materia 2. A ecuación de estado dos gases ideais 3. A teoría cinético-molecular: gases ideais e gases reais 4. Disolucións 5. Concentración e solubilidade 6. Preparación de disolucións 7. Propiedades coligativas TIC. Ampliación de follas de cálculo Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

3 E structura da materia .............................................................. 98

Sales fundidos para almacenar enerxía 1. O sistema periódico dos elementos químicos 2. Interacción coa radiación electromagnética 3. Modelo atómico de Bohr 4. Orbitais atómicos e configuracións electrónicas 5. Estabilidade de átomos e ións 6. Enlace químico e forzas intermoleculares 7. Propiedades das substancias TIC. Simulacións: modelos moleculares Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

4 Reaccións químicas

.................................................. 124

Case todo é química 1. Reaccións e ecuacións químicas 2. Cálculos estequiométricos 3. Cálculos estequiométricos en masa 4. Reactivos e produtos en estado gasoso 5. Reactivos e produtos en disolución 6. Reactivo limitante e rendemento dunha reacción 7. Procesos químicos nun alto forno TIC. Cálculos estequiométricos Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

5 Termodinámica

................................................................... 148

Motores, contaminación e cambio climático 1. Lei cero da termodinámica. Equilibrio térmico 2. Transferencia de enerxía 3. Enerxía interna. Primeira lei da termodinámica 4. Máquinas térmicas e refrixeradores 5. Segunda lei da termodinámica. Entropía TIC. Representación do ciclo de Carnot con Geogebra Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

6 E nergía e espontaneidade das reaccións

. . ........................................................................ 176

É verdade ou é unha esaxeración? 1. Termoquímica 2. Entalpía de reacción 3. Cálculos de entalpía 4. Efectos das reaccións de combustión 5. Entropía 6. Enerxía libre de Gibbs TIC. Simulación do efecto invernadoiro Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

7 A química do carbono

....................................... 200

..............................................

.............. 272

Terremotos no futuro 1. As forzas como medida das interaccións 2. Principios da dinámica 3. Cantidade de movemento ou momento lineal 4. Dinámica dalgúns movementos 5. Estudo dinámico de situacións cotiás 6. Estática TIC. Laboratorios virtuais: física Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

11 Trabajo e enerxía

8 C inemática.

Movementos rectilíneos e a súa composición

10 D inámica e estática.

As forzas e os seus efectos

Debemos prescindir dos plásticos? 1. Compostos de carbono 2. Fórmula dos compostos de carbono 3. Hidrocarburos 4. Compostos de carbono osixenados 5. Compostos de carbono nitroxenados 6. Prioridade dos distintos grupos funcionais 7. Formas alotrópicas do carbono 8. Isomería 9. O petróleo e o gas natural TIC. Formulación orgánica no móbil Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

230

Desprazamentos seguros 1. Relatividade do movemento 2. Posición e desprazamento 3. Traxectoria e espazo percorrido 4. Cambios de posición: velocidade 5. Cambios de velocidade: aceleración 6. Movementos rectilíneos 7. Composición de movementos rectilíneos 8. Contribucións de Galileo ao estudo do movemento TIC. Equipos de ecuacións Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

9 C inemática.

............................................... 304

Fontes de enerxía e desenvolvemento sostible 1. Traballo 2. Enerxía 3. Enerxía cinética 4. Enerxía potencial 5. Enerxía mecánica. Conservación da enerxía 6. Potencia TIC. Manexo de funcións e resolución de ecuacións con Geogebra Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

Prácticas de laboratorio

....................................... 338

Formulación e nomenclatura química

. . ....................................

350

Movementos circulares e oscilatorios

........................................................................ 252

O mar e o movemento 1. Magnitudes cinemáticas angulares 2. Movemento circular uniforme, MCU 3. Movemento circular uniformemente acelerado, MCUA 4. Movemento harmónico simple TIC. Mapas conceptuais Estratexias de resolución de problemas Traballa co aprendido

5 Termodinámica MOTORES, CONTAMINACIÓN E CAMBIO CLIMÁTICO Non cabe dúbida de que o avance do transporte desenvolveu espectacularmente as nosas sociedades. Non obstante, isto tivo un prezo: o aumento da contaminación e a aceleración do efecto invernadoiro antropoxénico, que supoñen unha ameaza para a humanidade. Nos últimos anos, xurdiu un debate sobre a conveniencia de permitir o funcionamento dos motores diésel debido a que son máis contaminantes que os de gasolina. Ademais, están proliferando os vehículos que utilizan a electricidade como fonte de enerxía e aqueles denominados híbridos. Non obstante, e a pesar de que numerosas compañías falan de «vehículos limpos» e non contaminantes, non é certo todo o que se di. A isto hai que engadir o incremento nos prezos destes vehículos e a pouca infraestrutura que existe no noso país para abastecelos de enerxía. Podemos afirmar que naceu unha nova vía de investigación científica e tecnolóxica que xa se está desenvolvendo e que o seguirá facendo no futuro.

148

COMPROMISO ODS

Buscade información sobre o límite de emisións de CO2 que fixou a Unión Europea para coches e camións. Por outro lado, indagade sobre as emisións que presentan as principais marcas no último ano. A partir destes datos, explicade se será posible alcanzar as metas 3.9 e 13.a. Redactade un informe razoado xustificando as vosas opinións.

2 Os vehículos eléctricos están en pleno auxe. Existen dous tipos, principalmente: os híbridos e os híbridos enchufables. Estes últimos deben recargarse conectándoos á rede eléctrica e a maior parte das fontes de enerxía do noso país non son renovables. Pensades que cambiar todos os vehículos de gasolina e diésel por híbridos enchufables, sen tomar ningunha outra medida, axudaría a alcanzar as metas 3.4 e 13.5? Que propoñedes? Recollede todas as posibles ideas e compartídeas na aula.

Que vas descubrir? Nesta unidade • Motores, contaminación e cambio climático

1. Lei cero da termodinámica. Equilibrio térmico 2. Transferencia de enerxía 3. Enerxía interna. Primeira lei da termodinámica 4. Máquinas térmicas e refrixeradores 5. Segunda lei da termodinámica • TIC. Representación do ciclo

de Carnot con Geogebra • Estratexias de resolución de problemas

En anayaeducacion.es Para motivarte: • Vídeo:

«Antes de comezar». • Documento:

«Queres dedicarte á microbioloxía?» Para detección previa de ideas: • Presentación:

«Que necesitas saber». Para estudar: • Documento:

«Ciclo de Diesel». O MEU CORPO É UN LABORATORIO DE QUÍMICA Os contidos e as actividades desta unidade poden resultar de utilidade para a realización do proxecto «O meu corpo é un laboratorio de química» que se expoñe no anexo situado nas páxinas iniciais do libro.

• Presentación:

«Para estudar». Para autoavaliarte: • Autoavaliación final. • Solucións das actividades numéricas.

E, ademais, toda a documentación necesaria para aplicar as claves do proxecto. 149

Lei cero da termodinámica. Equilibrio térmico Comecemos definindo algúns conceptos que serán necesarios para o que segue e que se deben comprender de forma adecuada.

1.1. Sistemas termodinámicos En xeral, convén separar, real ou mentalmente, certa porción do universo e consideralo como unha unidade para, así, estudalo máis doadamente. A parte do mundo físico que queremos estudar denomínase sistema termodinámico. O resto do universo, que non forma parte do sistema, denomínase ámbito ou ambiente. Algúns exemplos de sistemas termodinámicos son: unha sopa cociñándose nunha pota, un motor ou o corpo humano. Existen tres tipos de sistemas termodinámicos (figura inferior): • Abertos: poden intercambiar materia e enerxía co seu

ámbito. • Pechados: poden intercambiar enerxía co seu ámbito,

1.2. Variables de estado, equilibrio e procesos As variables termodinámicas son as magnitudes físicas e químicas que caracterizan un sistema termodinámico. Un estado termodinámico do sistema vén determinado polos valores que toman as devanditas variables. Por exemplo, a cantidade de substancia, o volume e a presión dun gas ideal son tres variables termodinámicas, porque establecendo os seus valores podemos coñecer completamente o estado do devandito gas. Dise que un sistema está en equilibrio termodinámico se non cambia de estado. É dicir, un sistema está en equilibrio se non se modifican os valores das súas variables de estado. Cando si cambian, dise que o sistema experimenta un proceso. Un proceso cíclico é aquel no que o estado inicial é o mesmo que o final. Nun proceso cíclico, as variables termodinámicas toman o mesmo valor nos estados inicial e final.

pero non materia. • Illados: non poden intercambiar nin materia nin enerxía

co ambiente. Cando dous ou máis sistemas establecen algún tipo de interacción (intercambio de materia e/ou enerxía), dise que están en contacto, aínda que ese termo non debe facernos pensar que se estean tocando necesariamente.

1.3. Calor e contacto térmico A enerxía dun corpo maniféstase de formas diferentes e pode transferirse entre sistemas distintos. Os intercambios de enerxía poden ter lugar de varias formas. Quizais a que mellor coñezas sexa a transferencia en forma de traballo. Por agora, abonda dicir que, en xeral, entre dous corpos (ou entre un sistema e o seu ámbito)

Tipos de sistemas termodinámicos Abertos

Illados

Pechados

Unha cacharela necesita combustible para orixinarse, e cede CO2 e auga en forma de gas e enerxía térmica.

150

Unha lámpada necesita enerxía eléctrica para emitir luz. Se se corta a corrente, non iluminará.

Un termo mantén constantes as condicións da comida coas que se introducise nel.

transfírese enerxía en forma de traballo cando hai desprazamentos relativos dunhas partes respecto a outras. Por exemplo, ao mover o émbolo dunha xiringa realízase traballo sobre o fluído encerrado nela. Supoñamos que temos dous sistemas en equilibrio termodinámico e que os poñemos en contacto, evitando, por un lado, todas as interaccións gravitacionais, eléctricas e magnéticas entre eles e, por outro, calquera transferencia de enerxía en forma de traballo. Experimentalmente, compróbase que, aínda así, pode acontecer que os dous cambien de estado, chegando a unha nova situación de equilibrio. Polo tanto, debeu producirse un intercambio de enerxía entre ambos, aínda que non fose en forma de traballo mecánico. Por exemplo, considera un gas e certa cantidade de xeo, ambos os dous illados do exterior e separados por unha parede metálica, ríxida. Pode que observemos que a presión do gas varíe ao cabo dun tempo, e que parte do xeo se derreta. Diremos, entón, que houbo unha transferencia de enerxía en forma de calor. Observa que, como o traballo, a calor non é unha forma de enerxía, senón un mecanismo de transferencia desta. A súa unidade no SI é como a do traballo, o joule (J). Rematemos dicindo que un proceso é adiabático se ten lugar sen intercambio de calor co ámbito. Cando se permite que dous sistemas intercambien calor dise que están en contacto térmico. Os límites dun sistema termodinámico denomínanse paredes (poden ser reais ou imaxinarias, xa que o relevante é que serven para diferenciar o sistema do ámbito), e clasifícanse segundo o tipo de contacto que permiten, como se mostra na táboa inferior.

1.4. Equilibrio térmico e temperatura Cando se permite o contacto térmico entre dous corpos, as súas variables de estado poden variar ata que volven tomar valores constantes. A partir dese momento, dise que os dous sistemas están en equilibrio térmico e que os dous corpos teñen a mesma temperatura. Experimentalmente, obsérvase que sempre se verifica a lei cero da termodinámica: Dous corpos en equilibrio térmico cun terceiro están en equilibrio térmico entre si. Polo tanto, podemos describir a situación de equilibrio térmico de dúas maneiras equivalentes: • Ao poñer en contacto térmico dous sistemas, non hai trans-

ferencia de enerxía en forma de calor entre ambos os dous. • Os dous sistemas están á mesma temperatura.

A escala máis empregada é a denominada escala Celsius (°C), que utiliza dous puntos fixos da auga pura: o valor de 0 °C á súa temperatura de conxelación, e o de 100 °C á de ebulición, ambos os dous a 1 atm. Non obstante, a unidade no SI é o kelvin, K, relacionada coa anterior mediante: T/K = 273,15 + T/°C Esta escala de temperatura ten un profundo significado físico: a 0 K, é dicir, –273,15 °C, o valor medio da enerxía cinética de todas as partículas sería cero; isto é, deteríanse completamente. Non obstante, isto non pode acontecer, polo que esa temperatura é inalcanzable e esa é a razón de que esta escala se denomine escala absoluta de temperaturas. Exercicios

Clasificación das paredes dun sistema termodinámico Adiabáticas: non permiten o intercambio de enerxía en forma de calor (son illantes térmicos).

Diatérmicas: permiten o intercambio de enerxía en forma de calor (establecen o contacto térmico).

Ríxidas: non permiten o intercambio de enerxía en forma de traballo (manteñen constante o volume do sistema).

Móbiles: permiten o intercambio de enerxía en forma de traballo (isto é, permiten variar o volume do sistema).

Impermeables: non permiten o intercambio de materia, aínda que si o de enerxía.

Permeables: permiten o intercambio de materia e enerxía entre dous sistemas distintos.

1 Xustifica que tipos de sistemas son un ovo, o ser humano e un termo con café a 50 °C. Como son as súas paredes? 2

Cres que é correcto dicir: «hoxe vai moita calor»? Explica por que, analizando a frase segundo as definicións desta epígrafe. Fai o mesmo coa expresión: «cústame moito traballo manter levantado este peso» (supón que o mantemos levantado, pero en repouso). Cres que é doado utilizar na vida cotiá unha linguaxe que sexa cientificamente correcta? Argumenta a túa resposta con exemplos concretos que coñezas relacionados con esta materia e outras.

Por grupos, utilizando a técnica de folio xiratorio, propoñede exemplos de procesos adiabáticos e non adiabáticos na nosa vida cotiá.

151

Transferencia de enerxía Imos afondar nos intercambios de calor e traballo entre os sistemas termodinámicos. Posteriormente, relacionarémolos a través do concepto de enerxía interna, empregando, para iso, a primeira lei da termodinámica.

Intercambio de enerxía en forma de traballo

DV > 0

W = p · DV > 0

2.1. Intercambio de enerxía en forma de traballo

Movimiento do pistón

Como xa comentamos, en xeral, transfírese enerxía en forma de traballo cando hai desprazamento dunhas partes do sistema respecto a outras. Consideremos, por exemplo, un gas encerrado nun recipiente que ten unha parede móbil ou pistón (figura dereita arriba). Se se move, de maneira que o volume do sistema varía en certa cantidade ∆V, mantendo constante a súa presión, entón o traballo realizado polo sistema virá dado pola expresión:

DV < 0

W = p · DV < 0

Cando se modifica o volume dun sistema, este realiza un traballo sobre o ámbito: positivo se V aumenta, e negativo (isto é, o ambiente realiza un traballo sobre el) se V diminúe. p

O sistema expándese

O sistema comprímese

W = p · DV • Se o volume aumenta, entón ∆V > 0, e, polo tanto,

W > 0. Desta forma, o sistema realiza un traballo positivo sobre o ámbito.

DV > 0; W > 0 V1

DV < 0; W < 0 V2

• Se o volume diminúe, entón ∆V < 0, e, polo tanto,

W < 0. Entón, o sistema realiza un traballo negativo sobre o ámbito. Isto é o mesmo que dicir que o ámbito realiza un traballo sobre o sistema. • Se non hai cambio de volume, isto é, ∆V = 0, entón o

Cando a presión non permanece constante, o traballo realizado polo sistema é igual á área comprendida entre a curva p (V ) e o eixe de abscisas. O signo vén dado polo sentido no que se percorre a devandita curva.

traballo realizado polo sistema é nulo. Se a presión do sistema non permanece constante, entón pódese representar p fronte a V (figura dereita abaixo). Nese caso, o traballo é igual á área que hai entre a curva e o eixe de abscisas. Observa que isto tamén é aplicable ao caso no que p é constante, xa que entón a área será a dun rectángulo, e polo tanto: W = p · (V2 – V1) = p · DV Durante esta unidade e as seguintes, utilizaremos o criterio de signos tradicional para o traballo. É dicir, consideramos positivo o traballo realizado sobre o ámbito e negativo cando é o ámbito o que realiza o traballo sobre o sistema. Pero existe outro criterio de signos, o da IUPAC, onde é positivo aquilo que faga aumentar a enerxía interna do sistema, é dicir, tanto o traballo coma a calor. Para comprender mellor o criterio de signos para o traballo e repasar como utilizalo, podes completar a teoría desta epígrafe na web de anayaeducacion.es, onde encontrarás exercicios resoltos explicados que che facilitarán a aprendizaxe. 152

Exercicios

4 Calcula o traballo realizado por un sistema que diminúe o seu volume desde 1 m3 ata 500 L a unha presión constante de 2 atm. Interpreta o significado do signo que obtiveches. 5 Comproba que o produto p · V ten dimensións de enerxía. 6 Na gráfica móstrase un proceso no que a presión aumenta linealmente co volume. Que traballo realiza o sistema? p/ Pa 1,75 · 105 1,5 · 105 1,25 · 105 1,0 · 105 7,5 · 104 0

1,5

2,5

V/ m3

2.2. Traballo realizado por un gas ideal

2.3. Intercambio de enerxía en forma de calor

En certos casos é moi sinxelo calcular o traballo realizado por un sistema. O exemplo máis importante é aquel no que un gas ideal sofre un proceso isotermo, durante o cal o seu volume cambia desde un inicial, V1, ata outro final, V2. Entón, realizará un traballo dado por:

Definimos a calor partindo dun feito experimental: os sistemas termodinámicos poden modificar o seu estado de equilibrio ao poñelos en contacto, aínda que non haxa transferencia de enerxía en forma de traballo entre eles. Agora, podemos definir a calor de forma máis precisa:

W = n · R · T · ln

V2 V1

onde n é a cantidade de substancia; R, é a constante dos gases, e, T, a temperatura (constante) á que ten lugar o proceso.

A transferencia de enerxía que se produce entre dous corpos debida á súa diferenza de temperatura denomínase transferencia ou fluxo de calor, e represéntase pola letra Q.

Podemos reescribir esta expresión en termos da presión. Lembramos que cando a temperatura é constante se verifica a lei de Boyle: V2 p1 = p p1 · V1 = p2 · V2 8 V1 2

Igual que fixemos co traballo, establecemos un criterio de signos:

e substituíndo na fórmula anterior, teremos: p1 W = n · R · T · ln p 2

Para abreviar, empregaremos a palabra «calor» para referirnos á enerxía transferida en forma de calor. Lembra que a calor non é unha forma de enerxía, pois os corpos non «acumulan calor», senón que a absorben e a transfiren.

Se utilizamos a ecuación dos gases ideais:

• Q > 0, se o sistema absorbe enerxía en forma de calor. • Q < 0, se o sistema cede enerxía en forma de calor.

A unidade da calor no SI é o joule, pero é moi común empregar outras unidades, como a caloría (cal):

p·V=n·R·T obtemos as seguintes formas equivalentes para o traballo: V2 p1 = p1 · V1 · ln p W = p1 · V1 · ln V1 2

Unha caloría é a cantidade de enerxía necesaria para incrementar a temperatura de 1 g de auga en 1 ºC.

Exercicios

7 Comproba que o produto n · R · T ten dimensións de enerxía. 8 Un gas ideal experimenta un proceso no que aumenta o seu volume desde 1 m3 a 200 ºC ata os 673 ºC, cunha presión constante de 3 atm. Calcula o traballo realizado polo gas. 9 Un gas ideal realiza o ciclo mostrado na figura. Se no punto A ten unha presión de 8 atm e un volume de 7 L, calcula o traballo realizado polo gas en cada tramo e no ciclo completo. p

T = cte. C 0

V2 = 2 · V1

10 Temos 0,5 mol dun gas ideal que experimentan unha compresión isotérmica a 25 °C mentres o seu ámbito efectúa un traballo de 1 200 J sobre el. Se a presión final é de 2 atm, cal era o valor da presión inicial? 11 Férvense 90 g de auga a 100 ºC e 1 atm de presión. Posteriormente, o vapor expándese, a temperatura constante, ata ocupar un volume de 300 L. Calcula o traballo realizado polo vapor sobre o ámbito durante a devandita expansión. 12

Os gases estúdanse como ideais por facilidade de cálculos supoñendo que as súas partículas non ocupan volume e desprezando as forzas intermoleculares. Pero, como viches na unidade 2, hai unha ecuación que se utiliza no caso dos gases reais, a lei de Van der Waals. Busca o significado dos coeficientes a e b, e explica como afectan o factor de compresibilidade dun gas. Cúmprense as leis da termodinámica tamén nos gases reais? Utiliza a técnica o espello.

153

Transferencia de enerxía

2.4. Equivalente mecánico da calor En 1845, o físico inglés James Joule levou a cabo un experimento no que certa cantidade de auga encerrada nun recipiente con paredes illantes era axitada mediante unhas paletas movidas por un sistema de pesos e poleas (ver figura adxunta).

Experimento de Joule Manivela Termómetro

Comprobou que, cando os pesos descendían, a temperatura da auga aumentaba, xa que era capaz de transferir, posteriormente, enerxía en forma de calor. Deste xeito, puxo de manifesto que existe certa equivalencia entre traballo e calor. Máis adiante veremos que esta, non obstante, non é completa. Ademais, determinou que o aumento de temperatura de 1 g de auga era de 0,24 ºC por cada joule transferido. Tendo en conta que 1 cal é a calor necesaria para aumentar 1 ºC a temperatura de 1 g de auga, a equivalencia entre a caloría e o joule é: 1 cal = 4, 186 J;

1 kcal = 1000 cal = 4186 J

2.5. Calor específica dun corpo Experimentalmente compróbase que a cantidade de calor necesaria para aumentar a temperatura de certa masa dun material é aproximadamente proporcional ao cambio de temperatura. A constante de proporcionalidade denomínase calor específica. A calor específica, c, dun material é a cantidade de calor necesaria para aumentar 1 °C a temperatura de 1 kg do devandito material. Polo tanto: Q = m · c · DT As súas unidades no Sistema Internacional son J/(kg · K). Na auga, o valor da calor específica para aumentar 1 °C a temperatura de 1 g de masa é: ccagua auga = 1 cal/ (g · °C) = 4186 J/ (kg · K) No caso particular dos gases, hai que ter en conta que os procesos de intercambio de calor poden ter lugar a presión ou a volume constante. Entón, fálase de calor específica molar a presión constante, cp, ou de calor específica molar a volume constante, cV, e teremos:

154

Peso Illante térmico

Auga

1 J = 0, 24 cal

Esta unidade emprégase moito aínda hoxe en día, aínda que non sexa a do SI. Por exemplo, nos alimentos, o contido enerxético contabilízase en quilocalorías:

Qp = n · cp · DT;

Peso

QV = n · cV · DT

Aspas móbiles

Mediante un sistema de pesos e poleas transfírese de forma controlada certa cantidade de enerxía en forma de traballo. Como consecuencia, aumenta a temperatura da auga contida no recipiente.

Exercicios

13 Calcula a calor, en calorías, necesaria para quentar 270 g de ferro desde 50 ºC ata 1 100 ºC. Dato: cFe = 440 J/(kg · K).

14 Unha masa de 40 g de osíxeno quéntase a presión constante desde 100 ºC ata 250 ºC. Calcula a calor necesaria. E se fose a volume constante? Datos: cp = 29,4 J/(mol · K); cV = 21,1 J/(mol · K).

15 Calcula a calor absorbida por 3 mol dun gas ideal que realiza o seguinte ciclo: p/atm 12

4 10 0

A 2

B 5

V/L

Datos: cp= 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

2.6. Calor latente

Exercicios resoltos

1 Mestúranse 200 g de auga a 10 ºC con outros 450 g de auga a 85 ºC. Calcula a temperatura de equilibrio da mestura. Solución

A calor latente dunha substancia é a enerxía en forma de calor necesaria para que unha determinada masa da devandita substancia cambie de estado.

A enerxía consérvase, polo que a calor cedida pola auga quente debe absorbela a auga fría. Denotaremos TF á temperatura final de equilibrio (igual para ambos), T0,q á temperatura inicial da auga quente, e T0,f á da auga fría: T0,f = 10 ºC e T0,q = 85 ºC.

• Calor latente de fusión, Lf: é a calor necesaria para

A calor cedida pola auga quente será: Qc = mc · cauga · (TF – T0,c) e a calor absorbida pola fría: Qf =mf · cf · (TF – T0,f) Por conservación da enerxía, podemos dicir:

En ambos os dous casos, a súa unidade no SI é J/kg. Lembra que nos procesos de fusión e ebulición, a temperatura do sistema permenece constante. Polo tanto, a calor necesaria para fundir, Qf, ou vaporizar, Qv, unha masa m dunha substancia calcúlanse como:

fundir a unidade de masa dunha substancia.

• Calor latente de vaporización, Lv: é a calor necesaria

para vaporizar a unidade de masa dunha substancia.

Qc + Qf = 0

Qf = m · Lf

mc · cauga · (TF – T0,c) + mf · cauga · (TF – T0,f) = 0 0,45 · (TF – 85) = –0,20 · (TF – 10) 0,65 · TF = 40,25 8 TF = 61,9 °C

2 Vértense 300 g de café, inicialmente a 70 ºC, nun termo de aluminio, de 120 g, que inicialmente está a 20 ºC. Cal é a temperatura de equilibrio? Datos: cauga = 4 186 J/(kg · K); cAl = 910 J/(kg · K). Solución Tomaremos a calor específica do café igual á da auga. Denotaremos TF á temperatura final de equilibrio (igual para ambos), T0,café á temperatura inicial do café e T0,Al á do termo de aluminio. Polo tanto: T0,café = 70 ºC e T0,Al = 20 ºC. Igual que antes, utilizamos o principio da conservación da enerxía. A calor cedida polo café será: Qcafé = mcafé · cauga · (TF – T0,café) e a calor absorbida polo termo: QAl = mAl · cAl · (TF – T0,Al) Polo tanto: Qcafé + QAl = 0 mcafé · cauga · (TF – T0,café) + mAl · cAl · (TF – T0,Al)=0 0,3 · 4 186 · (TF – 70) = –0,120 · 910 · (TF – 20) 1 365 · TF = 90 090 8 TF = 66,0 °C Efecto e alcance. Os termos son recipientes que conservan a temperatura no seu interior. Utilízanse para transportar alimentos ou bebidas, pois, así, saberemos que poderemos gozar da nosa comida e bebida quentes onde esteamos. Esta aplicación desenvolveuse de forma rápida e efectiva na industria téxtil, dando lugar á roupa térmica, que permite manter a temperatura corporal e realizar actividades ao aire libre sen pasar frío. Cres que isto é importante na industria química? E na alimentaria? Pensa en que efectos pode ter e comenta as súas vantaxes e desvantaxes.

Qv = m · Lv

Exercicios

Compara os valores das calores específicas da auga nos seus tres estados de agregación e razoa por que varían desa forma. Cres que acontecerá con calquera substancia? Pon exemplos para xustificar a túa opinión utilizando a técnica de organizo e defendo a postura. Datos: cauga= 4 186 J/(kg · K); cgas = 1 840 J/(kg · K); cxeo = 2 100 J/(kg · K).

17 Quéntanse 400 g de auga desde 10 ºC ata que se evapora completamente e obtense vapor de auga a 150 ºC. Calcula a calor necesaria para completar todo o proceso. Dato: Lv = 2,256 · 106 J/kg.

18 Mestúranse 450 g de auga a 25 ºC con 750 g de etanol a 56 ºC. Calcula a temperatura de equilibrio da mestura. Dato: cetanol = 2 428 J/(kg · K).

19 Temos inicialmente 250 g de auga a 25 ºC, e 100 g de xeo a –20 ºC. Pasado un tempo, a mestura componse de auga e certa cantidade de xeo, ambos os dous a 0 ºC. Se non escapa calor ao ámbito, calcula canto xeo quedará sen derreter. Dato: L f = 3,34 · 105 J/kg.

20 Nunha pota de cobre de 2 kg de masa a unha temperatura de 150 ºC, vértense 100 g de auga a 25 ºC. Calcula a temperatura de equilibrio. Dato: c Cu = 390 J/(kg · K). 155

Enerxía interna. Primera lei da termodinámica 3.1. Enerxía interna A enerxía interna dun sistema, U, é a suma das enerxías de todas as partículas que o compoñen. Nesta definición inclúense a enerxía cinética de todas as súas partículas, a debida ás interaccións entre elas, a dos electróns en cada un dos átomos, etc. Como podes observar, para determinala completamente faría falta coñecer con exactitude o estado de todas e cada unha das súas partículas, algo que, realmente, é imposible. Por esta razón, nunca medimos valores absolutos da enerxía interna, senón a súa variación entre distintos estados. Ademais, dado que o relevante son as diferenzas de enerxía, non fará falta ter en conta a enerxía (cinética, potencial, etc.) macroscópica global do sistema, como un todo.

3.2. Funcións de estado Unha función de estado é aquela magnitude cuxa variación depende unicamente dos estados inicial e final dun sistema, e non do proceso seguido. A partir da definición que demos de enerxía interna, é doado deducir que esta magnitude ha de ser unha función de estado. Non obstante, nin a calor nin o traballo o son, posto que dependen do proceso que se seguise. Por exemplo, pódese conseguir o mesmo aumento de temperatura dun fluído exercendo un traballo sobre el, como no experimento de Joule (en cuxo caso W ≠ 0 e Q = 0), ou ben, transferíndolle certa cantidade de calor (e entón W = 0 e Q ≠ 0).

3.3. Primeira lei da termodinámica Segundo acabamos de ver, se seguimos dous procesos diferentes para pasar dun estado inicial a outro final, tanto W como Q poden variar. Non obstante, a primeira lei da termodinámica establece que: A variación de enerxía interna dun sistema ao longo dun proceso, ∆U, é igual á diferenza entre a calor absorbida e o traballo realizado. DU = Q – W É dicir, a pesar de que se sigan procesos diferentes para pasar dun estado a outro, a diferenza Q – W é unha función de estado, e, polo tanto, independente do proceso (figura inferior). Este feito pódese enunciar de varias formas equivalentes: A suma da calor absorbida e do traballo realizado sobre un sistema invístese exclusivamente en modificar a súa enerxía interna. Ou ben: A calor recibida por un sistema invístese en modificar a súa enerxía interna e en exercer traballo sobre o ámbito: Q = DU + W Observa que a primeira lei non é máis que un caso particular do principio de conservación da enerxía, aplicado a sistemas termodinámicos.

Funcións de estado e procesos termodinámicos

Q1 Q2

W2 Ui

As variables de estado, como a enerxía interna, dependen unicamente dos estados inicial e final do sistema termodinámico, non do proceso seguido para pasar dun a ou-

156

DU1 = DU2 = DU3 = Uf – Ui W1 ≠ W2 ≠ W3 Q1 ≠ Q2 ≠ Q3

Ui = Uf ; DU = 0 W≠0 Q≠0 W = –Q

Uf Q

tro. Nun proceso cíclico, onde coinciden os estados inicial e final, ∆U valerá cero, aínda que non suceda o mesmo con Q, a calor, e W, o traballo.

3.4. Tipos de procesos • Proceso adiabático: é aquel no que o sistema non intercambia calor co ámbito, logo: Q = 0; DU = –W • Proceso isobárico: é aquel que ten lugar a presión constante. Lembra que, neste caso, W = p · ∆V, e, polo tanto: DU = Q – p · DV • Proceso isocórico: é o que ten lugar a volume constante. Se tampouco se exerce traballo sobre o sistema mediante algún outro mecanismo que non comporte cambio de volume, como as paletas do experimento de Joule, entón p · ∆V = 0, e: W = 0; DU = Q

• Proceso isotermo: ten lugar a temperatura constante.

Neste caso, tanto Q como W poden ser distintos de cero. • Proceso cíclico: é aquel no que os estados inicial e fi-

nal do sistema son iguais. Na figura da páxina anterior, móstrase un esquema de como sería un proceso deste tipo. Neste caso, tanto Q como W poden ser distintos de cero, xa que dependen do camiño seguido. Non obstante, como U é unha función de estado, verifícase que U1 = U2, e, así: U1 = U2 8 DU = 0 8 Q = W • Sistema illado: é o que non intercambia nin materia

nin enerxía co ámbito. Polo tanto, a enerxía interna dun sistema illado debe ser constante: DU = Q = W = 0

Exercicio resolto

3 Un sistema termodinámico experimenta dous procesos distintos: A 8 B 8 D e A 8 C 8 D. Calcula o traballo realizado, a calor absorbida e a variación de enerxía interna ao longo de cada proceso, sabendo que: QAB = 200 J y QBD = 400 J. p/Pa 5 · 104

Utilizamos o primeiro principio da termodinámica para calcular a variación de enerxía interna:

∆U = Q – W = 600 – 100 = 500 J

II) Como Q e W non son funcións de estado, para o proceso ACD os seus valores serán distintos aos anteriores: WAC: A presión é constante, polo que:

WAC = p · ∆V = 25 000 · 2 · 10–3 = 50 J CD: Aquí, o volume é constante, ∆V = 0, e, polo tanto: W WCD = 0 J. O traballo total será: W = 50 + 0 = 50 J

2,5 · 104 0

A 2

Que difire do valor obtido no proceso anterior.

C 4

V/L

Solución: Observa que, neste caso, non se di cal é o valor da calor específica da substancia, polo que nos teñen que proporcionar o dato da calor absorbida. Analicemos cada proceso: I) A calor absorbida polo sistema ao longo do proceso ABD é: Q = 200 + 400 = 600 J. O traballo en cada un destes tramos é: WAB: Como aquí o volume é constante, ∆V = 0, e, polo tanto: WAB = 0 J. WBD: Neste caso, a presión é constante, polo que:

WBD = p · ∆V = 50 000 · 2 · 10–3 = 100 J

Así, o traballo total será:

W = 0 + 100 = 100 J

En principio, non temos información para calcular a calor absorbida polo sistema. Non obstante, como a enerxía interna é unha función de estado, a súa variación si será igual á do proceso anterior: ∆U = 500 J. Agora, xa podemos obter o valor de Q:

∆U = Q – W 8 Q = ∆U + W

Q = 500 + 50 = 550 J

Comprobamos que, tanto W como Q dependen do proceso seguido polo sistema. Non obstante, a súa diferenza, Q – W, é igual á variación da enerxía interna, e, por conseguinte, independente do camiño seguido para chegar desde o estado inicial ata o final. Como ves, o proceso completo que se mostra na gráfica é cíclico; é dicir, tanto se segue o proceso ABDCA como o ACDBA, os valores das funcións de estado deben ser cero. Comproba que isto se cumpre e nomea todos os procesos que teñen lugar en cada momento. Poderías dicir, cualitativamente, cal é a variación da temperatura en cada tramo do sistema?

157

Enerxía interna. Primera lei da termodinámica

3.5. Enerxía interna dun gas ideal. Ley de Joule A enerxía interna dun gas ideal depende soamente da súa temperatura, non do seu volume nin da súa presión. Este feito coñécese como lei de Joule. Concretamente, se o devandito gas experimenta unha variación de temperatura, ∆T, a variación da súa enerxía interna virá dada por: DU = n · cV · DT

2. Expansión adiabática desde a temperatura Tq ata outra inferior, Tf. Neste tramo, o sistema nin absorbe nin emite calor (tramo BC). 3. Compresión isotérmica a temperatura constante Tf (tramo CD). Ao longo deste proceso diminúe o volume e aumenta a presión, polo que, para que a temperatura permaneza constante, o sistema debe ceder unha cantidade de calor: Qf < 0.

onde cV é a calor específica molar a volume constante. De aquí dedúcese entón, que:

4. Compresión adiabática ata alcanzar, de novo, a temperatura inicial Tq (tramo DA). Ao longo deste último tramo non hai intercambio de calor co medio.

A enerxía interna dun gas ideal ao longo dun proceso isotermo (DT = 0) é constante (DU = 0).

Este ciclo é totalmente ideal, xa que os catro procesos son totalmente reversibles. Foi introducido por razóns históricas, xa que se pode demostrar que calquera máquina debe ter un rendemento que é, como máximo, o doutra máquina que opera mediante un ciclo de Carnot ás mesmas temperaturas Tf e Tq.

3.6. Procesos cíclicos de interese Existen algúns procesos cíclicos que teñen especial importancia, non só teórica, senón por ser amplamente empregados en distintos tipos de máquinas. O máis importante, historicamente, é o ciclo de Carnot, que consta dos seguintes pasos (figura inferior esquerda):

Outros procesos cíclicos de interese son os de Diesel (na figura inferior dereita móstrase un motor diésel), Otto (empregado nos motores híbridos), Brayton, Ericsson, etc.

1. Expansión isoterma a temperatura constante Tc (tramo AB). Durante esta, aumenta o volume e diminúe a presión. Para que a temperatura permaneza constante, o sistema debe absorber unha cantidade de calor: Qc > 0.

Igual que o ciclo de Carnot, o ciclo de Diesel consta sempre das mesmas etapas. Para ampliar a información sobre isto, podes acceder a anayaeducacion.es e consultar o esquema do motor que leva o seu nome, e comparalo co de Carnot e outros que busques en Internet.

Ciclo de Carnot

Motor diésel

Válvula de admisión

Inxector

Válvula de escape

Qc Tc B

D Qf

Na gráfica pódense ver os catro tramos dos que consta o ciclo de Carnot. Durante todo o proceso, suponse que o sistema se encontra sempre en equilibrio, e, por iso, o seu rendemento é máximo respecto ao do resto de máquinas. Este ciclo aplícase a máquinas térmicas e refrixeradoras.

158

Admisión

Compresión

Combustión

Escape

Un motor diésel de catro tempos componse dos seguintes pasos: admisión, compresión, explosión ou combustión e escape. A diferenza destes motores respecto aos de gasolina é que os motores diésel non necesitan unha chispa para acenderse, senón que o fan durante a etapa de combustión, polo que o seu rendemento é maior.

Exercicio resolto

4 O volume ocupado por 2 mol dun gas ideal a 12 atm de presión é de 4 L. Calcula a calor absorbida, o traballo realizado e a variación de enerxía interna se o sistema duplica o seu volume: a) A temperatura constante. b) A presión constante. Datos: cp = 29,1 J/mol·K; cV = 20,8 J/mol·K Solución: A temperatura no estado inicial é: pA · VA 12 · 4 = = 292, 7 K TA = n·R 2 · 0, 082 a) Como o proceso se realiza a temperatura constante: TB = TA = 292,7 K E pola lei de Joule: ∆U = 0. Polo tanto: VB Q = W = n · R · T · ln VA Q = W = 2 · 8, 31 · 292, 7 · ln 2 Q = W = 3 371, 9 J

b) Neste caso, o proceso é isobárico, polo que: TB = TA ·

VB = 2 · TA 8 TB = 585, 4 K VA DT = 292, 7 K

Polo tanto: W = p · ΔV = 1 215 600 · (8 – 4) · 10–3 = 4 862 J Q = n · cP · ΔT = 2 · 29,1 · 292,7 = 17 035 J ΔU = Q – W = 12 173 J A partir dos resultados obtidos no exercicio, por que cres que o valor da calor e do traballo é tan diferente en cada caso? Fai unha representación gráfica da variación do volume e da presión a temperatura constante, para o primeiro apartado, e da variación do volume e da temperatura a presión constante, para o segundo. Que leis se cumpren en cada ocasión?

Exercicios

21 Calcula a variación de enerxía interna dun bloque de xeo de 10 kg de masa que se funde completamente. Despreza o cambio de volume experimentado durante o cambio de fase. Dato: Lf = 333 kJ/kg. 22 Supoñamos que no sistema do exercicio anterior se absorbe durante o proceso soamente unha cantidade de calor de 105 J. Calcula agora a súa variación de enerxía interna. 23 Un gramo de auga ocupa 1 670 cm3 como vapor cando ferve a unha presión constante de 1 atm. Calcula o traballo efectuado pola auga ao ferver e a súa variación de enerxía interna. Dato: Lv = 2,256 · 106 J/kg. 24 Un sistema termodinámico experimenta o proceso da figura. Se o traballo total é W = –250 J, calcula a enerxía interna e a calor absorbida polo sistema. Interpreta o signo de cada unha destas tres magnitudes. p pA

25 Na figura móstrase o diagrama p-V dun proceso seguido por 0,25 mol dun gas ideal. A calor absorbida polo gas ao longo do proceso BC é de 368 J. Calcula, para cada tramo, e para o proceso completo: o traballo exercido polo sistema, a calor absorbida e a variación de enerxía interna. Dato: cV = 21,1 J/(mol · K). p/atm 0,60

0,40 0,20 0

A 2,0

4,0

6,0

V/L

26 SSabemos que 0,5 mol de gas ideal experimentan un ciclo de Carnot e que as temperaturas dos focos quente e frío son: 227 °C e 27 °C, respectivamente. A presión no punto A é de 100 000 Pa. Ao longo do proceso: – O volume duplícase durante a expansión isoterma AB. – A presión no punto C é: pC = 8 260 Pa. – No proceso CD, o volume redúcese á metade. Calcula o traballo realizado polo sistema e a calor absorbida en cada tramo e no ciclo completo. Dato: cV = 20,8 J · mol–1 · K–1. 159

Máquinas térmicas e refrixeradores Durante o século xix, os científicos estivéronse esforzando por comprender os procesos termodinámicos. Desde o inicio da Revolución Industrial, utilizábase a máquina de vapor, que permitía mover un pistón impulsado polo vapor de auga que se quentara mediante a queima de carbón. Sabíase que estas máquinas tiñan un rendemento baixísimo: apenas chegaba ao 3 %. Sucesivos axustes e melloras permitiron aumentar pouco a pouco a eficiencia, pero non había ningunha disciplina que dese un fundamento teórico a todas esas tentativas. Ademais, non se coñecía qué era a calor. Distintas teorías, como a do floxisto ou a calorífica, competían entre si. Nun intento de responder a algunhas destas cuestións, xurdiu a máquina de Carnot, ideada por un enxeñeiro militar da Francia napoleónica, Nicolas Carnot (1796-1832), de aí o seu nome.

4.1. Máquina térmica Unha máquina térmica é un dispositivo que toma calor dunha fonte, foco quente, emite calor a outra fonte, foco frío, e realiza un traballo sobre o ámbito. As máis doadas de analizar son aquelas nas que se leva a cabo un proceso cíclico. Nese caso, segundo a primeira lei da termodinámica: DU = 0 8 Q = W

É dicir, a calor absorbida é igual ao traballo realizado pola máquina. Co obxecto de estudar o seu comportamento, emprégase unha representación esquemática, como se mostra na figura inferior esquerda. O foco quente sempre se sitúa arriba e o frío, abaixo. A calor absorbida represéntase Qc; a calor cedida, Qf, e o traballo realizado, W. Segundo o convenio de signos que estamos utilizando: Qc > 0, Qf < 0 y W > 0 Empregando a primeira lei da termodinámica: W = Q = Qc + Qf = Qc – Qf Idealmente, o que quereriamos é unha máquina perfecta, que convertese toda a calor absorbida en traballo (figura inferior dereita). Non obstante, isto non é posible. Así que, para ver canto nos achegamos a esta situación ideal defínese o rendemento ou a eficiencia da máquina do seguinte xeito: h=

W Qc

onde W é o traballo útil producido pola máquina, e Qc, a cantidade de calor que foi necesario achegarlle. Nunha situación ideal teriamos h = 1. Pero, como dixemos, sempre sucede que h < 1.

Máquinas térmicas Foco quente a temperatura Tc

Foco quente a temperatura Tc

Máquina térmica

W = ∣ Qc ∣ – ∣ Qf ∣

Máquina térmica

W = Qc

Foco frío a temperatura Tf

Esquema simplificado dunha máquina térmica. O sistema, representado por un círculo, absorbe calor dun foco quente e cédea a un foco frío, realizando traballo sobre o ámbito.

160

Foco frío a temperatura Tf

Máquina térmica con rendemento h = 1. Durante moito tempo estívose buscando unha máquina que convertese toda a calor absorbida desde o foco quente en traballo. Non obstante, tal dispositivo é imposible.

4.2. Motores Substituíndo a expresión do traballo dada pola primeira lei na fórmula do rendemento, temos (figura inferior esquerda): h=

Qc – Qf Qf W = =1– <1 Qc Qc Qc

Carnot demostrou que o rendemento máximo teórico dunha máquina térmica era o alcanzado pola que el ideou, que funcionaba mediante un ciclo de Carnot. Este viña dado por: Tf hmáx = 1 – Tc

Qc < 0, Qf > 0 y W < 0 Utilizando a primeira lei: W = Q = Qc + Qf = Qf – Qc < 0 W = Q c – Qf Como neste caso o interese estriba en extraer calor do foco frío, defínese a súa eficiencia mediante: h=

onde as temperaturas están en kelvin. O rendemento de calquera outra máquina térmica real debe estar por debaixo deste valor. Observa que, canto maior sexa a diferenza entre as temperaturas dos focos frío e quente, maior será o rendemento. Este descubrimento foi un dos camiños que levou ao establecemento da segunda lei da termodinámica que estudaremos máis adiante.

Máquina térmica

Qf W

8 hmáx =

Tf Tc – Tf

Se se emprega esta máquina coa intención de quentar o foco quente en vez de arrefriar o foco frío, entón denomínase bomba de calor. O seu funcionamento é o mesmo, pero agora a eficiencia vén dada por: h=

Qc W

8 hmáx =

Tc Tc – Tf

Bomba de calor e refrixerador

Foco quente a temperatura Tc

Qc Máquina térmica

4.3. Refrixeradores e bombas de calor Un refrixerador é unha máquina que opera á inversa dunha máquina térmica: extrae calor dun foco frío, emite calor a un foco quente, e absorbe enerxía en forma de traballo (figura inferior dereita). Neste caso:

Qc W

hmotor = 1 –

∣ Qf ∣ ∣ Qc ∣

Qf Foco frío a temperatura Tf

Utilízase para realizar traballo sobre o ámbito. Por exemplo, os motores dos automóbiles.

Refrixerador

hrefrixerador =

∣ Qf ∣

∣ Qc ∣ – ∣ Qf ∣

W hbomba de calor =

∣ Qc ∣

∣ Qc∣ – ∣ Qf ∣

Foco frío a temperatura Tf

Extráese calor do foco frío e cédese ao quente, para o que se consome traballo. Por exemplo, un frigorífico.

Exercicios

27 Un motor térmico funciona entre un foco quente a 350 °C e outro frío a 25 °C. Calcula o rendemento máximo que pode alcanzar. 28 Un motor térmico ten un rendemento do 35 %. En cada ciclo extrae 20 000 J do foco quente. Calcula canta calor cede ao foco frío, e canto traballo realiza en cada ciclo.

29 Un motor ideal absorbe 1 500 J de calor dun foco quente a 450 K, e cede calor a un foco frío a 125 K. Calcula o traballo que realiza, a calor que cede ao foco frío e o seu rendemento. 30 Utilízase o gas ideal do exercicio 26 como máquina ideal para realizar certo traballo sobre o ámbito. Calcula o seu rendemento. É o máximo posible?

161

Segunda lei da termodinámica. Entropía Vimos que a primeira lei da termodinámica é un caso particular do principio de conservación da enerxía no que non se prohibe que a calor e o traballo se intercambien un por outro totalmente. Non obstante, veremos que a segunda lei si que impón unha restrición a este tipo de conversións. Unha vez establecida, introduciremos unha nova magnitude: a entropía.

5.1. Segunda lei da termodinámica Como xa sabemos, o experimento de Joule permitiu comprender a natureza da calor. Mediante un mecanismo que transformaba o movemento dun corpo en axitación dun fluído, comprobouse que certa cantidade de traballo mecánico pode converterse totalmente en calor. Pero, será posible o proceso inverso? É dicir, pódese transformar totalmente certa cantidade de calor en traballo? Se fose así, poderiamos construír unha máquina térmica con rendemento h = 1. Pois ben, tal máquina é imposible que exista na natureza, e nisto fundaméntase o enunciado de Kelvin-Planck para a segunda lei da termodinámica: É imposible que un sistema efectúe un proceso no que absorba calor dun foco con temperatura constante e o converta por completo en traballo, rematando no mesmo estado no que comezou.

Como xa dixemos, a primeira lei non prohibe este feito: mentres que a cantidade de traballo xerado sexa igual á calor absorbida, parece que nada impide esa conversión. A novidade está en que parte da calor absorbida ten que transferirse a un foco frío, polo que o rendemento debe ser obrigatoriamente menor que a unidade. Así, chegamos ao enunciado de Clausius para a segunda lei, equivalente ao anterior: É imposible que un proceso teña como único resultado a transferencia de calor desde un corpo ata outro cuxa temperatura é maior. Se isto non fose certo, poderiamos poñer en contacto unha bebida fría con outra máis quente e, sen que acontecese ningún outro efecto, a primeira arrefriaría máis a custa de que a segunda se quentase máis aínda. Non necesitariamos frigoríficos! Fíxate que, se ben as máquinas refrixeradoras estudadas anteriormente transfiren calor dun foco frío a outro máis quente, isto realízase a custa de consumir certa cantidade de traballo. Na figura inferior móstrase a equivalencia entre os dous enunciados: poderiamos utilizar unha máquina térmica con rendemento h = 1 para conseguir un refrixerador sen subministración externa de traballo e viceversa; cunha máquina frigorífica deste tipo poderiamos crear un móbil perpetuo de segunda especie.

Equivalencia dos enunciados de Kelvin-Planck e de Clausius

Foco quente a temperatura Tc Qc > 0

Imposible

Foco quente a temperatura Tc

Q – |Qc| = W – |Qc| = –Qf

Qc < 0

Refrixerador

Máquina térmica con eficiencia h = 1 Q=W>0

É equivalente a

Refrixerador que funciona sen subministración de traballo

Qf > 0

Foco frío a temperatura Tf

Se fose posible que unha máquina tivese un rendemento do 100 %, poderiamos converter toda a calor absorbida do foco quente, Qc, en traballo, W. Se esta se subministrase a un re-

162

Imposible

Foco frío a temperatura Tf

frixerador doméstico, o resultado de unir ambas as dúas máquinas sería outro refrixerador que, sen producir ningún outro efecto, conseguiría transferir calor desde o foco frío ao quente.

5.2. Procesos reversibles e irreversibles

5.3. Entropía e segunda lei

Imos introducir dous conceptos que serán necesarios no que segue. Observa que todos os procesos termodinámicos que se dan na natureza son irreversibles, isto é, teñen lugar nun sentido, pero non no oposto. Por exemplo, unha pedra de xeo ao aire no verán derrétese. O que nunca veremos é que a auga libere enerxía espontaneamente aumentando a temperatura do aire e converténdose en xeo.

A segunda lei da termodinámica formula a imposibilidade de que teñan lugar certos procesos. Non obstante, tamén se pode expresar de forma cuantitativa, para o cal é necesario definir unha nova magnitude física denominada entropía, que se representa mediante a letra S.

Non obstante, pódese imaxinar un tipo de proceso que sexa reversible, é dicir, que faría evolucionar un sistema desde un estado inicial ata outro, mediante unha sucesión de estados de equilibrio. Podemos aproximarnos a este tipo de procesos mediante cambios moi pequenos. Por exemplo, supoñamos que temos un gas encerrado nun pistón tal que o émbolo pode desprazarse sen rozamento (figura inferior esquerda). Aumentando ou diminuíndo lixeiramente a temperatura do gas, o émbolo desprazarase, de xeito que o volume tamén aumentará ou diminuirá, mantendo sempre a súa presión igual á exterior. Este tipo de procesos son ideais, xa que se considera que, entre os estados inicial e final, o sistema pasa por infinitos estados de equilibrio intermedios. Polo tanto, os cambios nas condicións deben ser extremadamente pequenos e o proceso debe ter lugar moi lentamente.

Exemplo de proceso reversible

Foi introducida por Rudolf Clausius (1822-1888) ao decatarse de que en todo proceso "real" había unha certa cantidade de enerxía que non podía utilizarse para producir traballo útil (isto é equivalente ao feito de que en todas as máquinas o rendemento é distinto a 1). Acuñou o termo entropía e descubriu que esta magnitude sempre aumenta nos procesos irreversibles. Así pois, outra forma equivalente de formular a segunda lei da termodinámica é: A entropía de calquera sistema illado debe permanecer constante ou aumentar, pero nunca diminuír. Ademais, verifícanse as seguintes propiedades: • Nun proceso reversible, o cambio de entropía do siste-

ma e dos seus arredores é nulo. • En todo proceso irreversible, a entropía total (do siste-

ma e mais ao do seu ámbito) sempre aumenta. • Se un sistema illado evoluciona por si mesmo, chega-

rá a un estado de equilibrio no que a entropía sexa a máxima posible (figura inferior dereita).

Evolución dun sistema illado

pint = pext Estado inicial

T pint

pext

Estado final 3 Estado final 5

Estado final (S máxima)

Estado final 4

pint = pext

Estado final 2 Estado final 1 Estados finais posibles

T pint

pext

Se un sistema illado evoluciona libremente, o estado final será aquel que teña o máximo valor da entropía compatible coas condicións nas que se encontre.

163

Segunda lei da termodinámica. Entropía

5.4. Propiedades da entropía

• Nun proceso isotermo reversible a unha temperatura, T,

En xeral, o cálculo da entropía para un sistema calquera, ou da súa variación ao longo dun proceso arbitrario, é moi complicado. Non obstante, podemos enumerar algunhas das súas principais propiedades: • É unha función de estado, polo que unicamente de-

pende dos estados inicial e final do sistema.

no que se absorbe unha calor, Q, verifícase: ΔS = Q/T.

• Nun proceso reversible adiabático non hai intercam-

bio de calor, Q = 0; entón: ΔS = 0.

•

A variación de entropía dun gas ideal que experimenta un proceso isotermo vén dada pola expresión:

• A súa unidade no SI, é J/K.

DS =

• Nun proceso irreversible no que un sistema absorbe

certa cantidade de calor, Q, a unha temperatura constante, T, verifícase: ΔS ≥ Q/T.

V2 Q = n · R · ln V1 T

onde V1 é o volume inicial; V2, o final, e n é a cantidade de substancia.

Exercicios resoltos

5 Unha caixa illada está dividida en dous compartimentos, ambos os dous de igual volume, V, mediante un tabique. Un deles está baleiro, mentres que o outro ten 3 mol dun gas ideal. O tabique rompe e o gas expándese libremente por todo o recipiente. Calcula a variación de entropía neste proceso.

gas vaia ao compartimento no que estaba anteriormente e que o outro quede baleiro. Lembra que, nun proceso adiabático reversible, ΔS = 0. Pero este non o é. Polo tanto, utilizamos a expresión da variación da entropía dun gas ideal nun proceso isotermo, que non depende de se o proceso é reversible ou non, xa que S é unha función de estado:

2·V

D S = n · R · ln

V2 V1

Como V2 = 2 · V1, temos: ∆S = 3 mol · 8,314 J/(mol · K) · ln 2 = 17,3 J/K Este valor é maior que cero, de acordo co que mencionaramos. T

Solución O sistema está illado, polo tanto, segundo a primeira lei da termodinámica: Q=0 ; W=0 ∆U = Q – W = 0 Dado que se trata dun gas ideal, verifícase: ∆U = n · cV · ∆T polo que teremos que tamén ΔT = 0. Poderiamos pensar, entón, que o aumento de entropía ten que ser cero. Non obstante, temos que ter en conta que se trata dun proceso irreversible, e que a entropía do gas terá que aumentar, segundo o que vimos anteriormente. Que é un proceso irreversible é doado de ver: se invertemos as condicións (por exemplo, reconstruíndo o tabique interno que rompemos), non lograremos que todo o

164

6 Un quilogramo de xeo que está a 0 ºC fúndese completamente, dando lugar a auga líquida a 0 ºC. Supoñendo que o cambio de fase tivo lugar de forma reversible, calcula a variación de entropía da auga durante este proceso. Dato: Lf = 3,34 · 105 J/kg. Solución Durante un cambio de fase, a temperatura da auga permanece constante. Como o proceso é reversible, verifícase: Q T A calor absorbida vén dada por: DS =

Q = m · Lf = 3,34 · 105 J Polo tanto: DS =

3, 34 · 105 J = 1223, 4 J/K 273 K

5.5. Desorde dun sistema termodinámico A entropía é unha das magnitudes máis estrañas que existen na física. Foi Ludwig Boltzmann (1844-1906) quen conseguiu aclarar o seu significado ao relacionala co número de estados microscópicos dun sistema.

tará máis desordenado? Para responder a esta pregunta, contamos o número de microestados compatibles con cada macroestado. Vemos que os macroestados «4 caras» ou «4 cruces» determinan totalmente o estado de todas as moedas, pois só hai un microestado posible. Non obstante, no macroestado «2 caras, 2 cruces» temos 6 posibilidades, polo que neste caso o noso grao de ignorancia sobre como estarán as moedas será maior, e o estado estará máis desordenado. Podemos concluír, entón, os seguintes feitos:

Como xa vimos, as variables termodinámicas, como enerxía interna, temperatura, presión, etc., determinan o estado macroscópico ou macroestado dun sistema. Ademais, este pode determinarse completamente se fósemos capaces de coñecer o seu estado microscópico ou microestado, caracterizado polas posicións e velocidades de todas e cada unha das partículas que o compoñen.

• Ao poder moverse libremente as moléculas dun gas,

o número de microestados (posibles combinacións de posicións e velocidades) compatibles co estado macroscópico será moito maior que no caso dun líquido. Polo tanto, os gases están máis desordenados que os líquidos.

Distintos microestados poden determinar un mesmo macroestado. Por exemplo, se intercambiásemos as posicións de dúas partículas calquera, pero non as velocidades, o estado macroscópico quedaría inalterado; é dicir, os valores de presión, volume ou temperatura, do sistema, manteríanse sen cambios.

• A desorde dos líquidos será maior que a dos sólidos

debido a que estes están formados por partículas que se encontran ocupando posicións fixas no espazo, polo que hai un menor número de microestados compatibles co seu estado macroscópico.

Dise que un estado está máis desordenado ca outro se ten un número maior de estados microscópicos compatibles con el.

• Cando un gas se expande, hai un maior volume dis-

Para entendelo mellor, considera, por exemplo, as catro moedas da figura inferior. Que estado (macroscópico) es-

poñible para todas as súas partículas, aumentando o número de microestados e, tamén, a súa desorde.

Exemplo sinxelo de estados microscópicos compatibles cun estado macroscópico

Macroestados 4 caras

3 caras, 1 cruz

2 caras, 2 cruces

1 cara, 3 cruces

4 cruces

Número de microestados 1

165

Segunda lei da termodinámica. Entropía

5.6. Entropía e desorde Como dixemos anteriormente, foi Boltzmann quen logrou relacionar a entropía coa desorde. Consideremos un sistema termodinámico que se encontra en certo estado macroscópico tal que existen N estados microscópicos compatibles con el. Entón, a entropía do sistema vén dada por: S = k · ln N onde: k=

8, 314 J/ (mol · K) R = = 1, 381 · 10–23 J/K NA 6, 022 · 1023 mol–1

sendo k a constante de Boltzmann, e NA, o número de Avogadro. Por exemplo, no sistema das catro moedas vemos que o estado «2 caras, 2 cruces» ten unha entropía: S = k · ln 6 = 2, 47 · 10–23 J/K Esta expresión é moi útil para calcular diferenzas de entropía entre os estados inicial e final dun sistema. Por exemplo, se no estado 1 existen N1 posibles estados microscópicos, e no estado 2 hai N2, a variación de entropía será: N2 D S = S2 – S1 = k · ln N2 – k · ln N1 = k · ln N1

Por outra parte, dado que un sistema está máis desordenado cando ten asociado un número maior de microestados, vemos que estes macroestados son precisamente os que terán maior entropía. Polo tanto: • Para unha mesma substancia, o gas ten maior entropía

que o líquido, e este, maior que o sólido: Sgas > Slíquido > Ssólido • Ao aumentar o volume dun gas, aumenta a súa entropía. • Se aumentamos a temperatura dun sistema, aumenta

a vibración das partículas que o compoñen. Polo tanto, hai máis formas de repartir a enerxía dispoñible entre todas elas, co que aumentará o número de microestados posibles. Isto leva consigo un aumento da súa desorde, e, en consecuencia, da súa entropía. Así pois, a entropía debe aumentar coa temperatura. En particular, supoñamos que dispoñemos dunha substancia que ten unha calor específica constante, c. Se a súa temperatura aumenta desde T1 ata T2 ao longo dun proceso reversible, o aumento de entropía virá dado por: D S = m · c · ln

T2 T1

Exercicios

31 Calcula a variación de entropía en cada un dos tramos reversibles do ciclo de Carnot do exercicio 26. 32 Considera que o gas do exercicio resolto 5 se expandise de forma reversible. Por exemplo, a parede podería consistir nun pistón que estea suxeito de xeito que se desprace moi lentamente ata que o gas ocupe todo o volume do recipiente. Cal sería a variación de entropía neste caso? Explica se existe contradición co resultado que se encontrou anteriormente. 33 Deduce a expresión para a variación da entropía dun gas ideal que experimenta un proceso isotermo. 34 Mestúranse 200 g de auga a 60 ºC con outra masa de auga de 400 g a 20 ºC. Calcula a variación de entropía do sistema. Dato: c = 4 186 J/(kg · K).

35 Supoñamos que 500 g de auga a 80 ºC se poñen en contacto térmico con 500 g de auga a 10 ºC. Calcula o cambio de entropía total do sistema.

166

Para iso, determina a variación de cada un dos subsistemas por separado. Considera, en primeiro lugar, que o proceso ten lugar de forma reversible, e, despois, razoa que acontecería se fose irreversible. Discute os resultados que obtiveches. Dato: cagua = 4 186 J/(kg·K).

36 Calcula a variación de entropía cando se quenta 1 kg de auga a presión constante desde –18 ºC ata 150 ºC. En que momento é maior a variación da entropía? Datos: c xeo = 2 100 J/(kg · K); cauga = 4 186 J/(kg · K); cgas = 1 840 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg; Lv = 2,256 · 106 J/kg.

AA partir de todo o estudado sobre a entropía, escribe un texto sobre o aumento da entropía do universo como sistema illado e que consecuencias pode ter nun futuro. Para iso, infórmate sobre as distintas teorías que hai acerca da evolución do universo e a relación que hai entre a vida e a entropía. Utiliza a técnica pensa e comparte en parella.

5.7. Procesos espontáneos

5.8. Espontaneidad de los procesos irreversibles Analicemos qué tienen en común algunos de los procesos irreversibles que hemos visto hasta ahora:

Un sistema realiza un proceso espontáneo cuando este tiene lugar sin ninguna influencia externa.

• En el caso de un gas que se expande, aumenta el vo-

Por ejemplo, considera un gas encerrado en un recipiente dividido por un tabique en dos compartimentos iguales. En principio, el gas se encuentra encerrado en uno de ellos. Cuando se rompe el tabique que los separa, el gas se expande por todo el volumen disponible, sin que haya ninguna influencia externa. Se trata, por tanto, de un proceso espontáneo. Consideremos, ahora, la secuencia de imágenes de la figura inferior. Parecen distintas instantáneas tomadas de un gas cuyas partículas, inicialmente, se encuentran en la esquina superior izquierda del recipiente. Conforme avanza el tiempo, estas se distribuyen por todo el volumen uniformemente. No es necesario que haya ninguna influencia externa para que este proceso tenga lugar. Por eso, decimos que es un proceso espontáneo. A nadie se le ocurriría pensar que la secuencia temporal es la inversa, es decir, que al principio el gas estaba distribuido homogéneamente por todo el volumen, y que después, de forma espontánea, las partículas se «ponen de acuerdo» para agolparse en una esquina. Por tanto, existe un orden temporal para los procesos espontáneos: tienen lugar en un sentido, pero no en el contrario.

lumen y, por tanto, el desorden del sistema; esto es, el número de microestados. • Si un cuerpo absorbe cierta cantidad de calor, la agi-

tación de sus partículas aumenta, y, en consecuencia, también el número de microestados. Es decir, de todos los posibles macroestados que puede alcanzar un sistema, este siempre tiende espontáneamente hacia el que tiene un número mayor de microestados, o lo que es lo mismo, el que está más desordenado. Por tanto, cuando un gas encerrado en una esquina de una habitación evoluciona de manera que termina ocupando todo el volumen, lo hace porque ese estado final es mucho más probable debido, simplemente, a que el número de microestados en ese caso es enormemente mayor que para cualquier otro macroestado. Por otro lado, ¿puede ocurrir que el gas, espontáneamente, se vaya hacia una esquina, dejando vacío el resto? Sí, pero la probabilidad de que eso ocurra es tan pequeña que se necesitaría un tiempo muchísimo mayor que la vida del universo para ver un suceso así. Resumiendo, vemos que la explicación de la segunda ley de la termodinámica es muy simple: para cualquier sistema, el estado macroscópico más probable es el más desordenado, que tiene mayor entropía.

Procesos espontáneos

Tiempo

Si al principio tenemos un conjunto de moléculas en una habitación, ocupando una esquina, al transcurrir el tiempo, el gas se expandirá distribuyéndose uniformemente por todo

el volumen disponible. Esto nos ofrece una secuencia temporal de procesos que ocurren en un cierto orden, y nos indica en qué sentido transcurre el tiempo.

167

TIC Representación do ciclo de Carnot con Xeoxebra Xeoxebra é un software matemático que combina a representación de figuras xeométricas e a álxebra, o que a converte nunha ferramenta moi potente á hora de estudar funcións e áreas de figuras complexas. Podes descargar o programa gratuitamente desde a súa web www.geogebra.org. Unha vez que o teñas no teu ordenador instálase doadamente. Nós imos utilizalo para representar o ciclo de Carnot do exercicio 26 da unidade. Para iso, antes temos que coñecer a ecuación no diagrama p-V da curva correspondente

a un proceso adiabático dun gas ideal: p · V c = cte onde c é o coeficiente adiabático do gas e defínese como o cociente entre as calores específicas a presión e a volume constantes: cp c= c V Con esta información, xa podemos representar o noso ciclo de Carnot.

Ciclo de Carnot O programa ten varias vistas; nós utilizaremos a que se mostra por defecto: a vista gráfica (figura 1). Fíxate en que arriba á esquerda, aparece o cadro de texto Entrada, onde se pode escribir (figura 2). Representación das isotermas

Figura 1. Vista gráfica de Xeoxebra.

Imos introducir a nosa primeira función. A súa ecuación será da forma: p · V = cte onde cte. = n · R · T = 0,5 · 0,082 · 500 = 20,5 atm · L. Escribe entón: iso1(x) = 20,5/x Para poder ver ben a ecuación, pica co botón dereito da vista gráfica, e no menú despregable, elixe: Eixe X: Eixe Y 8 100:1. Para que poidan distinguirse ben as diferentes curvas, traballamos non co SI, senón en atm e L. Obterás algo parecido á figura 3 da dereita. Como son hipérboles, teñen dúas ramas, pero interésanos soamente a que corresponde ao rango de X e Y positivos. Quizais teñas que facer zoom coa roda do rato e mover a vista picando e arrastrando; proba un pouco ata que vaias adquirindo soltura.

Figura 2. Cadro de texto entrada.

Para a segunda isoterma escribiremos: iso2(x)=12,3/x onde tivemos en conta que o produto é (fig. 4): n · R · T = 0,5 · 0,082 · 300 = 12,3 atm · L

Representación das adiabáticas Dixemos anteriormente que a ecuación da curva é da forma: p · V c = cte. Na maioría dos gases, o coeficiente adiabático toma un valor moi próximo a 1,4, e este é o que consideraremos. Para a función que une os estados B e C, teremos: p · V c = pB · V cB = 0,4936 · 41,541,4 = 91,04 atm · L1,4

168

Figura 3. Representación da primeira isoterma.

Representación do ciclo de Carnot con Xeoxebra

Figura 4. Representación das dúas isotermas.

Figura 5. Ciclo de Carnot completo.

A partir dos valores que proporcionaba o enunciado, realiza os cambios de unidades para levar a cabo os cálculos ti mesmo e comprobar o resultado. Introduciremos, polo tanto, no recadro da Entrada: ad1(x) = 91,04/x^1,4 Tendo en conta que a segunda adiabática verifica: p · V c = pA · V Ac comproba que a súa ecuación debe ser: ad2(x) = 69/x^1,4 Finalmente, terás algo similar á figura 5.

Obtención dos estados de equilibrio Figura 6. Ferramentas de intersección. Para obter os estados A, B, C e D que caracterizaban este ciclo, imos facer uso dunha ferramenta moi útil do programa. Se picas na frecha que hai na ferramenta Punto, podes elixir Intersección, que che permite obter un punto como intersección de dúas curvas (figura 6). Seleccionando as funcións ad2 e iso1, obterás o punto A. Comproba que as súas coordenadas corresponden aos valores (pA,VA) do exercicio, en atm e L. Para os demais estados, terás que repetir a operación seleccionando as distintas funcións: Estado

Funcións

iso1 – ad1

iso2 – ad1

iso2 – ad2

Conseguirás unha representación como a da figura 7. Observa que o programa, automaticamente, proporciónache os valores da presión e do volume dos catro estados.

Figura 7. Ciclo de Carnot cos estados A, B, C e D.

169

Estratexias de resolución de problemas Procesos cíclicos 1 Un gas ideal realiza o ciclo mostrado na figura. Para 2 mol deste gas, calcula o traballo que realiza, a calor absorbida e a variación de enerxía interna en cada tramo e no ciclo completo. Datos: cp = 29,1 J/mol · K; cV = 20,8 J/mol · K. p/atm A

Nestes problemas será necesario, xeralmente, calcular os valores dalgunhas variables de estado. Se se trata dun gas ideal, podemos utilizar a súa ecuación de estado. Noutros casos, haberá que ver como se poden obter os valores das devanditas variables a partir da información proporcionada sobre o proceso que se estea considerando. Ten coidado coas unidades que utilices en cada momento. Ao empregar a ecuación dos gases ideais, en xeral, teremos a presión en atmosferas e o volume en litros. Pero á hora de calcular o traballo, teremos que pasalo todo a unidades SI: pascais e metros cúbicos, respectivamente.

T = cte

ANÁLISE DO PROBLEMA

V/L

Proposta e resolución Neste tipo de problemas, é conveniente analizar cada tramo por separado, atendendo coidadosamente ao tipo de proceso que se trate. Ademais, é moi posible que haxa que calcular os valores dalgunhas das variables de estado en varios estados do sistema. Tramo AB Este proceso realízase a volume constante, polo que o traballo é nulo. A calor absorbida vén dada por:

O traballo total realizado polo sistema ten signo negativo, é dicir, o ámbito realiza certo traballo sobre el. Comproba que, efectivamente, ha de ser así, pois co sentido indicado, encontramos que a área baixo a liña curva (proceso CA, W < 0) é maior que a correspondente á liña horizontal (proceso BC, W > 0). Poderías calcular a variación de entropía en cada un dos procesos e no ciclo total?

QAB = n · cV · ∆T Calculemos as temperaturas en A e en B: TA = TB =

pA · VA 10 · 4 = = 243, 9 K n·R 2 · 0, 082 pB · VB n·R

6·4 = 146, 3 K 2 · 0, 082

Polo tanto:

E ADEMAIS...

QAB = n · cV · ∆T = 2 · 20,8 · (146,3 – 243,9) = –4 060,2 J A variación de enerxía interna será, polo tanto: ∆UAB = QAB – WAB = –4 060,2 J Tramo BC Este proceso realízase a presión constante, polo que o traballo vén dado por: WBC = pB · (VC – VB)

170

Observa que neste caso, ao ser WAB = 0, cúmprese trivialmente que: DUAB = n · cV · DT = QAB Que acontecería se ao gas se lle administrase un traballo externo? Cres que podería aplicarse esta igualdade? Xuntádevos por grupos de traballo e propoñede as vosas ideas. Despois, compartídeas cos demais compañeiros e compañeiras.

Neste caso, non coñecemos VC, pero como sabemos que o proceso CA é isotermo, isto é, que TA = TC = 243,9 K, podemos calcular o volume mediante: pA 10 = 6, 67 L pA · VA = pC · VC 8 VC = VA · p = 4 · 6 C Entón: WBC = 607 800 · (6,67 – 4) · 10–3 = 1 622,8 J onde utilizamos o valor de pB en pascais e os volumes en m3. Por outra parte, dado que se trata dun proceso a presión constante, a calor absorbida virá dada por: QBC = n · cp · ∆T = 2 · 29,1 · (243,9 – 146,3) = 5 680,3 J Observa que utilizamos que TC = TA = 243,9 K. Así, a variación de enerxía interna será:

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Observa que, ao longo da resolución, fixemos algúns cálculos de varias formas diferentes, e obtivemos en todos os casos o mesmo resultado. Por exemplo, cando foi posible, calculamos a variación de enerxía interna mediante a primeira lei ou usando a expresión que estudamos durante a unidade para os gases ideais. Deste xeito, podemos comprobar que estamos resolvendo o problema de forma correcta. Ten en conta que sempre é unha boa estratexia empregar distintos camiños para chegar a un mesmo resultado.

∆UBC = QBC – WBC = 5 680,3 – 1 622,8 = 4 057,5 J Tamén poderiamos ter en conta que o proceso CA é isotermo, polo que ΔUCA = 0. Como nun ciclo completo a variación de enerxía interna debe ser nula, teremos: DU = DUAB + DUBC + DUCA = 0 8 DUBC = –DUAB = –4 060, 2 J Tramo CA Como dixemos anteriormente, a variación de enerxía interna ΔUCA é nula, polo que: QCA = WCA

VA = pC · VC · ln = VC

QCA = 607 800 · 6, 67 · 10–3 · ln

4 = –2 072, 9 J 6, 67

Onde empregamos a expresión do traballo para un proceso isotermo. O traballo total será: W = WAB + WBC + WCA = 0 + 1 622,8 – 2 072,9 = –450,1 J E a calor total: Q = QAB + QBC + QCA = –4 060,2 + 5 680,3 – 2 072,9 = –452,8 J Hai que ter en conta que non se obteñen exactamente os mesmos valores debido aos erros de redondeo que se foron acumulando. Non obstante, dentro destas marxes de erro, obtemos que: ∆U = Q – W = 0 8 Q = W Como corresponde a un proceso cíclico.

E ADEMAIS...

Observa que agora xa somos capaces de relacionar o estudado en todas as epígrafes, e mesmo en temas anteriores. Por un lado, temos que facer un uso intensivo das propiedades dos gases ideais. Por outro, utilizamos as ferramentas estudadas ao longo de todo este tema: cálculo do traballo realizado por un sistema e a calor absorbida atendendo ao tipo de proceso (epígrafe 2), uso da primeira lei para relacionar enerxía interna, calor e traballo (epígrafe 3), cálculo do rendemento dunha máquina (epígrafe 4), e obtención da variación de entropía dun sistema (epígrafe 5). Para comprobar se lograches integrar todos estes coñecementos, calcula o rendemento da máquina estudada neste exercicio, e a variación da entropía do gas ao longo de cada un dos tramos.

171

Traballa co aprendido

Lembra seleccionar o material de traballo desta unidade para o teu portafolio.

Transferencia de enerxía 1 Calcula o traballo realizado por un sistema que reduce o seu volume en 25 cm3 a unha presión constante de 1 atm. Interpreta o valor do signo. 2 Que traballo realiza un sistema cuxo volume aumenta de 0,5 L ata 1,2 L? A presión varía mediante a expresión: p/Pa = 5 · 103 + 3 · (V/cm3). 3 O volume que ocupan 3 mol dun gas ideal a unha presión de 10 atm é de 2 L. Nun momento dado, expándese a temperatura constante ata ocupar un volume de 10 L. Calcula o traballo realizado polo gas. 4 Un volume de 120 cm3 de auga a 100 ºC ferve completamente a 1 atm de presión. Sabendo que a densidade do vapor de auga a 100 ºC é 1 671 veces menor que a da auga líquida a esa mesma temperatura, calcula o traballo realizado polo vapor sobre o ámbito. 5 Utilizando un aparato como o que usou Joule, faise descender unha masa de 25 kg, a velocidade constante, unha altura de 10 m. O traballo producido utilízase para quentar 200 g de auga. Canto ascenderá a súa temperatura? Nota: Lembra Ep = m · g · h.

expresión

enerxía

potencial:

6 Temos certa cantidade de xeo a –25 ºC. Fundímolo mediante unha resistencia eléctrica e obtemos auga líquida a 40 ºC. A cantidade de enerxía consumida é de 600 000 J. Calcula a masa de xeo que tiñamos inicialmente. Datos: c auga = 4 186 J/(kg · K); cxeo = 2 100 J/kg; Lf = 3,34 · 105 J/kg.

7 Nunha estufa de gasolina quéntanse 0,5 L de auga de 20 ºC a 100 ºC, e, ademais, ferven 250 g dela. Sabendo que a combustión de 1 g de gasolina libera 42 500 J, que masa de gasolina se debe queimar para que o proceso da auga teña lugar? Datos: cauga = 4 186 J/(kg · K); Lv = 2,256 · 106 J/kg.

8 Unha masa de 55 g de nitróxeno quéntase desde 120 ºC ata 300 ºC. Calcula a calor absorbida se o proceso ten lugar a presión constante. E se é a volume constante? Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

9 O gas do exercicio anterior, que se encontra a 120 ºC, sofre unha compresión isoterma ata que o seu volume se reduce á terceira parte. Calcula o traballo realizado sobre o sistema. 172

10 Calcula o traballo realizado e a calor absorbida por 2 mol dun gas ideal a partir do seguinte ciclo. En que sentido tería que percorrerse o ciclo se quixésemos que este sistema funcionase como un motor? Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p/ atm

V/ L

11 Mestúranse 250 g de auga a 25 ºC con 540 g de aceite a 100 ºC. Calcula a temperatura de equilibrio. Datos: cauga = 4 186 J/(kg · K); caceite = 1 675 J/(kg · K).

12 Mestúrase certa cantidade de auga líquida a 60 ºC con 240 g con vapor de auga a 150 ºC sen que escape calor ao ámbito. Se ao final queda unicamente auga líquida a 90 ºC, determina a masa inicial de auga líquida que tiñamos. Datos: c auga = 4 186 J/(kg · K); cvapor = 1 840 J/(kg · K); Lv = 2,256 · 106 J/kg.

13 Temos 100 g de auga a 20 ºC, 25 g de xeo a –5 ºC, e 120 g de alcohol a 50 ºC. Se se mesturan e non escapa calor ao ámbito, determina a fase na que se encontrará a auga, e a súa temperatura de equilibrio. Datos: c auga = 4 186 J/(kg · K); cxeo = 2 100 J/(kg · K); calcohol = 2 513 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg.

14 Estás tomando 0,3 L de limoada nun caloroso día de verán, e a súa temperatura é de 30 ºC. Para arrefriala, bótaslle dúas pedras de xeo, de 25 g cada unha, que están a –5 ºC. Supoñendo que non hai intercambio de calor co ámbito, calcula a temperatura final. Se botases 5 pedras, cal sería a súa temperatura? Datos: c auga = 4 186 J/(kg · K); cxeo = 2 100 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg.

Enerxía interna. Primeira ley da termodinámica 15 O diagrama p-V mostra un proceso cíclico. Calcula o traballo realizado, a calor absorbida e a variación de enerxía interna ao longo de cada un dos tramos e no ciclo total. Estaría funcionando este sistema como un motor térmico?

17 O seguinte diagrama mostra o proceso cíclico seguido por 0,0025 mol dun gas ideal. Calcula o traballo, a calor e a variación da enerxía interna ao longo de cada unha destas etapas e no ciclo completo. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p/atm

2,5

Datos: QAB = 500 J; QBC = 400 J; QCD = –950 J. T = cte

p/ atm D

C 0,4

B V/L

0,2

18 Un gas ideal segue o proceso ABC representado na figura. Se dispoñemos de 0,4 mol, calcula o traballo exercido polo sistema, a calor absorbida e a variación de enerxía interna para o proceso completo. E se seguise o camiño AC directamente mediante a liña horizontal que une ambos os dous estados?

Datos: cV = 12,5 J/(mol · K); cp = 20,8 J/(mol · K). 0

V/ L

p/Pa 4 · 105

16 O diagrama mostra o proceso cíclico seguido por 2 mol dun gas ideal. Sábese que o proceso BC é adiabático, e coñécense os seguintes valores da temperatura: TA = 300 K, TB = 500 K e TC = 600 K. Calcula o traballo, a calor e a variación da enerxía interna ao longo de cada un destes procesos e no ciclo completo.

3 · 105

2 · 105

1 · 105

Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p/atm

V/L

19 Están encerrados 0,2 mol de aire a unha temperatura de 30 ºC nun cilindro que dispón dun pistón móbil. Este permite manter unha presión constante no gas de 1 atm. Se este se quenta ata unha temperatura de 230 ºC, calcula:

a) O volume final do gas. b) O traballo realizado neste proceso. pA= pB

c) O cambio de enerxía interna do gas.

d) A calor subministrada ao aire.

20 L

V/L

e) O traballo que subministraría se a presión fose de 0,75 atm. Explica o resultado obtido. Datos: cV = 20,8 J/(mol · K). 173

Traballa co aprendido Máquinas térmicas 20 Un gas ideal experimenta un ciclo de Carnot, entre un foco quente a 400 ºC e un foco frío a 75 ºC. Para 0,4 mol, a presión no punto A é de 3 atm, e o volume do gas triplícase durante a expansión isotérmica. Ademais, sábese que VC = 114,8 L, e que na compresión isotérmica este se reduce á terceira parte. a) Calcula a presión e o volume nos puntos A, B, C e D do ciclo. b) Calcula a calor absorbida e o traballo realizado polo gas ideal, así como a súa variación de enerxía interna, en cada tramo e no ciclo completo. c) Calcula o rendemento desta máquina térmica, e compara o seu valor co máximo teórico. Dato: cV = 20,8 J/(mol · K).

24 Un motor diésel, en cada ciclo, realiza un traballo de 2 500 J e cede á atmosfera 4 800 J en forma de calor. Calcula a calor que debe subministrárselle en cada ciclo e o seu rendemento. Se a temperatura ambiente é de 25 ºC e o rendemento da máquina é a metade que o máximo teórico, calcula a temperatura do foco quente. 25 Un gas ideal realiza o ciclo diésel mostrado na figura. Para 2,5 mol de substancia, este vén determinado polos seguintes datos: T1 = 500 K, V1 = 10 L, V2 = 5 L, p2 = 27,05 atm, V3 = 6 L e p4 = 13,2 atm. Calcula o traballo realizado e a calor absorbida en cada un dos tramos e no ciclo completo. Calcula o seu rendemento e compárao co máximo teórico. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K). p

21 Calcula o rendemento dun refrixerador que funcionase seguindo o ciclo inverso ao descrito no exercicio anterior. 22 Un gas ideal realiza o ciclo mostrado na figura seguintee:

Qc 2

p/atm 3

B 1 V

26 Un amigo diche que inventou un novo tipo de motor de gasolina arrefriado por aire, construído exclusivamente de aluminio, polo que é moi lixeiro, e ademais alcanza un rendemento do 83 %. Xustifica se é posible que o teu amigo encontrase o que di.

T = cte

Dato: temperatura de fusión do aluminio: 660 ºC C 0

V/L

a) Calcula o traballo realizado e a calor absorbida por 0,5 mol do gas en cada tramo e no ciclo completo. b) Calcula o rendemento desta máquina e compárao co máximo teórico. Datos: cp = 29,1 J/(mol · K); cV = 20,8 J/(mol · K).

23 Un motor de Carnot ten un foco quente a 650 K. En cada ciclo, absorbe 600 J e cede 375 J ao foco frío. Calcula o traballo mecánico que realiza a máquina en cada ciclo, o seu rendemento e a temperatura do foco frío. 174

Segunda lei da termodinámica. Entropía 27 Mestúranse 10 kg de auga a 80 ºC e 20 kg de auga a 20 ºC. Calcula a variación de entropía do sistema. Xustifica se se trata dun proceso reversible ou irreversible. Dato: cauga = 4 186 J/(kg · K).

28 Nun recipiente que contén 700 mL de auga a 25 ºC vértense 450 mL a 70 ºC. Se consideramos que a densidade da auga, a calquera temperatura, é de 1 g/cm3, calcula a variación de entropía do sistema. Xustifica se se trata dun proceso reversible ou irreversible. Dato: cauga = 4 186 J/(kg · K).

29 Un recipiente con vapor de auga a 100 ºC introdúcese nunha pota que ten 1 kg de xeo triturado a 0 ºC. A cantidade de vapor é a necesaria para que se funda todo o xeo. Calcula a masa inicial de vapor de auga a 100 ºC e a variación de entropía do sistema. Datos: c auga = 4 186 J/(kg · K); Lf = 3,34 · 105 J/kg; Lv = 2,256 · 106 J/kg.

30 Tres moles dun gas ideal experimentan unha compresión isotérmica reversible a 20 ºC. Para iso, realízase un traballo sobre o gas de 2 000 J. Calcula a súa variación de entropía. 31 Calcula a variación de entropía cando ferven 250 g de alcohol se a súa temperatura de ebulición é de 78 ºC. Interpreta o signo desta variación. Dato: Lv (etanol) = 8,54 · 105 J/kg.

32 Preparámonos un té quentando 200 g de auga a 80 ºC. Despois, deixamos que arrefríe a temperatura ambiente, 25 ºC, para poder bebelo. a) Calcula a variación de entropía do té ao arrefriar. b) Considerando que o aire da cociña non cambia de temperatura mentres o té arrefría, calcula a súa variación de entropía. c) Calcula a variación de entropía do sistema formado polo té e o aire. A partir do valor obtido, xustifica se o proceso é reversible ou irreversible (considera que se trata dun sistema pechado). Dato: cauga = 4 186 J/(kg · K).

Un dos grandes retos dos científicos, ao longo da historia e na actualidade, foi fabricar un móbil perpetuo (do latín, perpetuum mobile) de primeira ou segunda especie. Nesta unidade, referímonos a eles ao falar da segunda lei da termodinámica, pero sabes que son exactamente? Grandes pensadores como Boyle, Tesla ou Leonardo da Vinci intentaron fabricalos; conseguírono? Fai unha breve investigación sobre todo o anterior e extrae as túas propias conclusións. A partir delas, serías capaz de deseñar un móbil perpetuo? Comparte o aprendido co resto da clase.

Buscade información sobre que tipo de motor teñen, e como se recargan as baterías dos coches híbridos. Pensade se supoñen un aforro nas emisións de CO2, e propoñede diversas liñas de actuación co fin de alcanzar a meta 11.6.

Ciencia, tecnoloxía e sociedade Motores Desde finais do século xviii ata os nosos días, os motores evolucionaron enormemente. Os primeiros, de vapor, tiñan un rendemento moi baixo e xeraban pouca potencia. Non obstante, utilizáronse rapidamente en numerosos campos, como a minería (inicialmente, para a extracción de auga das galerías, e, posteriormente, para a elevación de cargas pesadas) e o transporte, tanto por terra coma por mar. Isto permitiu que as viaxes se realizasen nun tempo moito menor e que puidesen mobilizarse enormes cantidades de material entre puntos afastados do planeta, o que propiciou un auxe do comercio e o desenvolvemento económico dos países industrializados. A principios do século xx, os irmáns Wright fixeron voar o primeiro avión con motor da historia. A partir de aí, produciuse unha segunda revolución no transporte, tanto de mercadorías coma de pasaxeiros. Os motores foron evolucionando e mellorando, pero non sempre para ben. O enxeñeiro alemán Wernher von Braun desenvolveu, durante a II Guerra Mundial, os foguetes V1 e V2, cos que Alemaña bombardeou o sur de Inglaterra durante os últimos meses do conflito. Unha vez acabado, EE. UU. levouno e integrouno na NASA, onde foi o xefe de desenvolvemento do foguete Saturno V, que levou ao home por primeira vez á Lúa. A evolución dos motores foi espectacular. Que avances poderemos ver durante o século xxi? Por grupos, elixide algunhas ideas para crear un prototipo de motor novo que cumpra as leis da termodinámica. Infórmate sobre os estudos que necesitarías se quixeses investigar sobre o desenvolvemento tecnolóxico dos motores. Que outras profesións requiren este tipo de estudos?

anayaeducacion.es Consulta o apartado «Para estudar» no banco de recursos. 175

8 Cinemática. Movementos rectilíneos e a súa composición DESPRAZAMENTOS SEGUROS É posible que algunha vez estiveses a punto de cruzar a calzada sen decatarte de que o semáforo estaba en vermello porque ías mirando a pantalla do teu móbil. Ou quizais tiveses que evitar algún viandante distraído mentres circulabas correctamente coa túa bicicleta. Para evitar estas situacións, algunhas cidades están tomando medidas como a instalación de carrís bici cuxo pavimento se ilumina grazas á incorporación ao asfalto de partículas capaces de almacenar a enerxía que reciben da luz solar e emitila pola noite. Desta forma, visibilizan a nosa presenza e evitan accidentes de forma autosuficiente e ecolóxica. Así, poderiamos percorrer distancias medias nas cidades ou entre lugares próximos de forma segura nun tempo aceptable. Por outro lado, nalgunhas cidades instaláronse luces no chan dos cruzamentos de peóns que están sincronizadas cos semáforos; así, calquera persoa que camiñe sen levantar a cabeza estará advertida da prioridade no cruzamento. 230

COMPROMISO ODS

1 O aumento da contaminación do aire débese, entre outros motivos, ao uso abusivo dos vehículos a motor de combustión nas grandes cidades. Como credes que pode beneficiar o uso de carrís bici como os descritos no texto? Facede unha lista con outras ideas que se vos ocorran para contribuír á consecución da meta 11.3. Que outras medidas se tomaron que favorecen a seguridade viaria de forma sostible? Explicade a importancia destas medidas e debatede se poderían levarse a cabo na vosa localidade. 2

A investigación científica e tecnolóxica é básica á hora de falar de novas formas de transporte sostible, tanto público como privado. Ademais, é un sector pioneiro no desenvolvemento de novas profesións. Buscade información sobre elas e os estudos que se poden cursar para chegar a exercelas.

Que vas descubrir? Nesta unidade • Desprazamentos seguros

1. Relatividade do movemento 2. Posición e desprazamento 3. Traxectoria e espazo percorrido 4. Cambios de posición: velocidade 5. Cambios de velocidade: aceleración 6. Movementos rectilíneos 7. Composición de movementos rectilíneos 8. Contribucións de Galileo ao estudo do movemento • TIC. Equipos de ecuacións • Estratexias de resolución de problemas

En anayaeducacion.es Para motivarte: • Vídeo:

«Antes de comezar». Para detección previa de ideas: • Presentación:

«Que necesitas saber». Para estudar: • Presentacións:

«Magnitudes vectoriais», «Para estudiiar». • Simulacións:

«Movemento rectilíneo uniforme», «Movemento rectilíneo uniformemente acelerado», «Movemento dun proxectil» • Vídeo:

«Sistemas de referencia». • Documentos:

UTILIZO A FÍSICA CANDO FAGO DEPORTE Os contidos e as actividades desta unidade poden resultar de utilidade para a realización do proxecto «Utilizo a física cando fago deporte» que se expón no anexo situado nas páxinas iniciais do libro.

«Derivada dunha función», «Informe de investigación». Para autoavaliarte: • Autoavaliación final. • Solucións das actividades numéricas.

E, ademais, toda a documentación necesaria para aplicar as claves do proxecto. 231

Relatividade do movemento 1.1. Repouso ou movemento? Para empezar a estudar cinemática, é necesario, en primeiro lugar, definir o seu obxecto de estudo: o movemento. Para iso, observa ao teu arredor e localiza un obxecto que non se mova. Por que dis que non se move? Posiblemente, pensarías en algo que se encontra xunto a ti, enriba da mesa, ou na aula, e argumentarías que non se move porque, respecto de ti, non cambia de posición. Pero diría o mesmo alguén que pasase nun autobús e o estivese vendo a través da ventá?

Estudo do movemento Punto material

Os corpos poden trasladarse e xirar. Este curso estudaremos só os movementos de translación, para os que se pode considerar que toda a masa do corpo se encontra concentrada nun punto deste, chamado centro de masas. Deste xeito, dado un sistema de referencia, para situar o corpo abonda con localizar este punto, que recibe o nome de punto material, ou partícula.

Esta persoa diría que está en repouso, por exemplo, un maletín apoiado no asento contiguo (que para ti se estaría movendo, xunto con todo o autobús), pero o obxecto no que ti pensaches, xunto coa aula e todo o edificio no que te encontras, estarían en movemento para ela.

Punto material

Entón, que se move e que non se move?

1.2. Sistemas de referencia Para poder concretar se un corpo se está movendo ou está en repouso, sempre hai que decidir respecto de qué. Xorde así o concepto de sistema de referencia. Un sistema de referencia é un punto do espazo, chamado orixe, xunto coa forma de localizar calquera outro punto respecto del.

Sistemas de referencia cartesianos

Antes de estudar un movemento hai que establecer un sistema de referencia. Este curso estudaremos movementos de translación no plano, polo que nos abondará cun sistema de dous eixes cartesianos. A localización dunha partícula, nestes sistemas, virá dada polas súas coordenadas x e y. No caso que se representa, a partícula encontraríase no punto de coordenadas (5, 3). Y

Así, cando dis que algo non se move respecto de ti, centraches o sistema de referencia na túa persoa, ao igual que o viaxeiro do autobús o fixo na súa. Ao describir o estado de movemento desde sistemas de referencia distintos, o que para un está en repouso para o outro pode estar en movemento, e viceversa. Esta é a base da relatividade do movemento. Os sistemas de referencia cartesianos son os máis utilizados. Consisten en dous ou tres eixes, perpendiculares dous a dous, que se cruzan na orixe, O, do sistema.

y=3

P (5, 3)

x=5

Exercicios

232

Despois de ler o texto do recadro referido ao punto material, explica o significado deste parágrafo: «A posibilidade de utilizar puntos materiais depende do que estudemos. Así, podemos considerar a Lúa como tal para estudar a súa translación arredor da Terra, pero non cando esteamos interesados no seu movemento de rotación».

2 Representa, nun sistema de eixes coordenados, os seguintes puntos: a) (0, 3). b) (4, 0). c) (5, – 7). d) (– 7, 4).

Posición e desprazamento 2.1. Vector posición A partir deste momento estudaremos conceptos que requiren o uso de magnitudes vectoriais: consulta o documento que che ofrecemos en anayaeducacion.es para repasalas.

Vector posición e desprazamento Y

A posición dunha partícula, respecto a un sistema de refe8 rencia, queda determinada polo seu vector posición, r , cuxo punto de aplicación se encontra na orixe, O, do sistema, e o seu extremo na posición, A, que ocupa a partícula.

yB j

Ten dimensión de lonxitude e, como calquera vector, pódese expresar en función dos seus compoñentes: 8

r = OA = x $ i + y $ j ; [ r ] = L

O módulo do vector posición indícanos a distancia en liña recta entre a partícula e a orixe do sistema de referencia elixido.

Exercicio resolto

Se a partícula se move, a expresión do vector posición queda en función do tempo: 8

Da figura dedúcese doadamente que rB = rA + D r .

r = x 2 + y 2 ; [r ] = L

1 Unha partícula desprázase desde o punto A (2, 2) m ata B (–3, 1) m. Representa os vectores posición en A e B, e o vector desprazamento. Exprésaos en compoñentes cartesianas.

r (t ) = x (t ) $ i + y (t ) $ j

Solución

expresión que representa a ecuación vectorial do movemento.

Y 3

2.2. Vector desprazamento Cando unha partícula se despraza desde unha posición A 8 a outra B, o vector desprazamento ^ Dr h defínese como aquel cuxo punto de aplicación se encontra en A, e o seu extremo en B: 8

A (2, 2)

2 Dr

B (–3, 1)

–3

D r = AB = rB – rA = (xB – xA) $ i + (yB – yA ) $ j

–2

j i

–1

Expresados en compoñentes:

A dimensión deste vector tamén é de lonxitude: 6D8 r @=L

8 rA

= OA = (2 $ i + 2 $ j ) m ; rB = OB = (–3 $ i + j ) m 8

D r = AB = rB – rA = (–5 $ i – j ) m

Exercicios

3 Un móbil encóntrase nas coordenadas x = 2 m, y = 3 m. Desprázase 1 m en sentido positivo do eixe X e 2 m en sentido negativo do eixe Y. Cal será agora o seu vector posición? A que distancia se encontra da orixe? E do punto de partida? 4 O vector posición dunha partícula, nun momento 8 8 8 determinado, é r = (–2 $ i + 2 $ j ) m.

Se D r = (– 4 $ i + 3 $ j ) m é o vector desprazamento, respecto dunha posición anterior, en que punto se encontraba a partícula?

Visualiza a animación «Sistemas de referencia», que encontrarás en anayaeducacion.es, para repasar os contidos que viches o curso pasado sobre o estudo do movemento.

233

Traxectoria e espazo percorrido 3.1. Traxectoria

Movementos complexos

Cando unha partícula se move, o extremo do vector posición describe unha curva no espazo que recibe o nome de traxectoria. A traxectoria é a liña que une as sucesivas posicións que vai ocupando a partícula no seu movemento a medida que transcorre o tempo. Unha forma de obtela é expresando a compoñente y do vector posición en función da compoñente x, o que se coñece como ecuación explícita da traxectoria: y = y (x). Segundo a forma da traxectoria, os movementos clasifícanse en rectilíneos, cando é unha liña recta, e curvilíneos, cando non o é (ver figuras inferiores). No caso particular de que a traxectoria sexa unha circunferencia, fálase de movementos circulares.

3.2. Espazo percorrido En ocasións, se se coñece a traxectoria, pode interesar estudar o movemento sobre ela. Para facelo, tómase un punto arbitrario como orixe do movemento (OT ) e defínese un sentido positivo sobre ela, de xeito que a posición do móbil en calquera instante quedará determinada pola distancia á orixe medida sobre a traxectoria: o espazo percorrido, ∆s.

Rectilíneo C3 Rectilíneo

Se a traxectoria é rectilínea e o móbil non cambia de sen8 tido, o módulo do vector desprazamento, Dr , coincide co espazo percorrido, Ds, pero se a traxectoria é curvilínea, o espazo percorrido será maior que o devandito módulo, como se aprecia nas figuras inferiores.

Circular

C1 Rectilíneo

Circular

Un movemento complexo pode ser considerado, por tramos, como combinación de movementos rectilíneos e circulares; de aí a importancia do seu estudo.

Exercicio resolto

2 Determina a ecuación da traxectoria descrita por un móbil cuxo vector posición vén dado por 8

r = [2 $ t $ i + (4 $ t + 1) $ j ] m

Solución Partimos das ecuacións das compoñentes do vector posición, chamadas ecuacións paramétricas da traxectoria: x = x (t )

Obtense deste xeito a ecuación intrínseca do movemento: s = s (t )

Circular

y = y (t )

4 8 )

x =2$t y = 4 $t +1

A continuación, despéxase o tempo da compoñente x e substitúese na y: x x 8 y =4 · +1 8 y = 2 · x +1 2 2 A traxectoria deste móbil sería, pois, rectilínea, xa que a ecuación obtida se corresponde coa dunha recta. t=

Traxectoria e espazo percorrido Traxectoria rectilínea

Traxectoria curvilínea

OT Ds = Dr

A rA

Ds Dr

234

rB X

Ds ≠ Dr

Ds rA

rB O

B X

Cambios de posición: velocidade 4.1. Velocidade media Consideremos unha partícula que pasa da posición A á B nun intervalo de tempo ∆t, como se mostra na figura da dereita.

Velocidade media e instantánea Y

DrAB''

Defínese a velocidade media como a relación entre o vector desprazamento e o tempo investido no movemento: 8

vm =

Dr Dt

; vm =

tA x

B'' vm

B' rB''

rB'

O vector vm ten a mesma dirección e sentido que Dr , isto é, secante á traxectoria.

4.2. Velocidade instantánea Para determinar a velocidade nun instante determinado, procédese ao cálculo da velocidade media, pero considerando un intervalo de tempo infinitesimal (Dt 8 0) . Obtense así a velocidade instantánea: 8

v = lím

Dt " 0

8 8 8 8 dr dx 8 dy 8 Dr = = $ i + $ j = vx $ i + v y $ j Dt dt dt dt

Na figura da dereita podes comprobar que, no paso ao 8 límite, Dr é tanxente á traxectoria, polo que o vector velocidade instantánea tamén o é: 8

3 Estuda o movemento do corpo do exercicio resolto 2 entre t1 = 2 s e t2 = 5 s. Solución O vector desprazamento entre os instantes sinalados é: 8

8 cm $ vm.

A celeridade instantánea pódese obter a partir da ecuación intrínseca do movemento, ou das compoñentes do vector: c = lím

D t8 0

Ds ds = = v = vx2 + vy2 ; [c ] = L $ T–1 Dt dt

O módulo da velocidade instantánea coincide coa celeridade instantánea.

D r = r (5) – r (2) = (6 $ i + 12 $ j ) m Como Dt = t2 – t1 = 5 s – 2 s = 3 s , a velocidade media é: 8

vm =

8 8 Dr = (2 $ i + 4 $ j ) m/s 8 vm = 20 m/s Dt

A velocidade instantánea é:

Podes consultar a súa definición, así como as derivadas das funcións máis habituais e algúns exemplos na separata que acompaña este libro e no banco de recursos desta unidade na web anayaeducacion.es.

Como, Ds $ D r

Exercicio resolto

A pesar de que non estudaches aínda o concepto de derivada dunha función, utilizarémolo neste libro para o estudo de magnitudes cinemáticas.

X 8 8 No paso ao límite, ds = d r , e d r /ds é un vector unitario 8 ( x ) na dirección tanxente á curva.

4.3. Celeridades media e instantánea Se se coñece o espazo percorrido sobre a traxectoria (∆s) pódese calcular a celeridade media (cm ) entre as posicións A e B como: Ds cm = Dt

tB = tA + Dt

8 dr d r ds v= = $ = v $ x ; [v] = L $ T–1 dt ds dt

r B – rA tB – tA

DrAB = rB – rA

; 6vm@ = L $ T–1

vm =

DrAB'

8 8 dr = (2 $ i + 4 $ j ) m/s dt

v = vx2 + vy2 = 20 m/s A velocidade instantánea non depende do tempo e coincide, en cada instante, co vector velocidade media.

Exercicios

A inversa. No texto dise que a celeridade media (cm) é maior ou igual que o módulo da velocidade media (vm ). En que casos coinciden? Des8 cribe un movemento no que cm ≠ 0 e vm = 0.

7 A ecuación do movemento dunha partícula 8 8 8 vén dada por r (t ) = (t – 2) $ i + (3 $ t 2 + 1) $ j , no SI. Realiza un estudo do movemento entre t1 = 3 s e t2 = 10 s. (Se non sabes representar a ecuación da traxectoria, podes unir as posicións en varios instantes de tempo).

235

Cambios de velocidade: aceleración 5.1. Aceleración media Ao igual que o vector velocidade nos informa sobre as variacións do vector posición co tempo, o vector aceleración faino sobre os cambios da velocidade.

A aceleración Aceleración media

Na figura dereita represéntanse os vectores velocidade nos instantes tA e tB = tA + ∆t, correspondentes ás posicións A e B, respectivamente, e o cambio da velocidade entre os devanditos instantes. 8 am

Dv Dv = ; am = Dt Dt

; 6am@ = L $ T

5.3. Compoñentes intrínsecas da aceleración Para o estudo de movementos curvilíneos interesa utilizar, en cada punto da traxectoria, un sistema de refe8 rencia ancorado ao móbil, no que un dos eixes ( x ) é 8 tanxente á traxectoria, e o outro ( n ), perpendicular a este. Neste sistema de referencia, a aceleración vén dada polas súas compoñentes intrínsecas: 8

a = at + an que reciben o nome, respectivamente, de compoñente tanxencial e compoñente normal da aceleración. Con elas, o módulo da aceleración é: a=

at2

onde t é o raio de curvatura da traxectoria no punto considerado. Se a traxectoria é circular, t será constante, e coincidirá co raio da circunferencia. 236

am X

O vector aceleración media, , ten a mesma dirección e 8 sentido que Dv . A variación da velocidade dun móbil que se despraza entre as posicións A e B correspóndese coa dife8 8 8 8 renza entre vA e vB ; isto é, vB – vA . Aceleración instantánea Y

v j ax

i a

Como a velocidade cambia cara á dirección na que a traxectoria se curva, a aceleración estará apuntando sempre cara á concavidade da curva. En xeral, non é nin tanxente nin normal á traxectoria. Compoñentes intrínsecas

Y at

+ an2

A compoñente tanxencial dános información sobre como varía o módulo da velocidade: 8 8 dv 8 at = at $ x = $x dt A compoñente normal infórmanos sobre as variacións de dirección da velocidade: 8 8 v2 8 an = an $ n = t $ n

Dv = vB – vA

8 am

A velocidade pode variar en módulo e dirección. Por iso, por exemplo, cando un coche describe unha curva hai aceleración aínda que o faga con celeridade constante.

–2

a = ax2 + ay2 ; [a] = L $ T–2

5.2. Aceleración instantánea Para calcular a aceleración nun instante determinado, procédese, como no caso da velocidade, considerando un intervalo de tempo infinitesimal. Obtense así a aceleración instantánea: 8 8 dvx 8 dvy 8 8 8 8 dv Dv a = lím $ i + $ j = ax $ i + ay $ j = = Dt " 0 D t dt dt dt

tB = tA + Dt B

Defínese a aceleración media como: 8

a n an X 8

Compoñentes tanxencial, at , e normal, an , da aceleración 8 dun móbil, a . Neste sistema de referencia, a velocidade só ten compoñente tanxencial.

5.4. Tipos de movementos Os valores das compoñentes intrínsecas da aceleración dannos información sobre o tipo de movemento. Así, se a compoñente tanxencial é nula, significa que o módulo da velocidade é constante, e o movemento denomínase uniforme. Se o é a compoñente normal, o que non varía é a dirección do vector velocidade, e o movemento é rectilíneo. Na táboa tes todas as posibilidades. Co que estudamos ata agora nesta unidade estamos en disposición de abordar a cinemática dalgúns movementos moi frecuentes na vida cotiá. É conveniente que, conforme avancemos no seu estudo, intentes identificalos no teu ámbito.

Movemento

at = 0

at = cte ≠ 0

at ≠ cte

an = 0

Rectilíneo uniforme

Rectilíneo uniformemente acelerado

Rectilíneo acelerado

an > 0 t = cte

Circular uniforme

Circular uniformemente acelerado

Circular acelerado

an > 0 t ≠ cte

Curvilíneo uniforme

Curvilíneo uniformemente acelerado

Curvilíneo acelerado

Exercicio resolto

4 O vector posición dunha partícula, en unidades do 8 8 8 SI, vén dado por: r = 4 $ t $ i + 2 $ t 2 $ j . Calcula: a) O vector velocidade instantánea, o seu módulo, e a velocidade media nos tres primeiros segundos.

c) Comezamos polo cálculo da compoñente tanxencial. Para a compoñente normal utilizamos a expresión que as relaciona: a2 = at2 + an2 : at =

b) O vector aceleración, o seu módulo, e a aceleración media no intervalo anterior.

an = a2 – at2 =

c) As compoñentes intrínsecas da aceleración. d) A ecuación da traxectoria. e) O raio de curvatura da traxectoria. Solución a) O vector velocidade calcúlase ao derivar o vector posición: 8 8 8 8 dr v= = (4 $ i + 4 $ t $ j ) m/s 8 v = 4 $ 1 + t 2 m/s dt Para a velocidade media necesitamos o vector desprazamento. Como Δt =t2 – t1 = 3 – 0 = 3 s: 8

D r = r (3) – r (0) = (12 $ i + 18 $ j ) m 8

Dr = (4 $ i + 6 $ j ) m/s 8 vm = 52 m/s Dt b) Para obter a aceleración derívase o vector velocidade: 8 8 8 dv a= = 4 $ j m/s2 8 a = 4 m/s2 dt 8 8 8 8 8 8 8 Dv D v = v (3) – v (0) = 12 $ j m/s 8 am = = 4 $ j m/s Dt 8

vm =

2 dv d (4 $ 1 + t ) = = dt dt

16 –

d) A ecuación da traxectoria calcúlase polo método habitual, a partir das ecuacións paramétricas. Obtense a ecuación dunha parábola: x =4$t x 3 8 t= 4 y = 2 $ t2 x2 y= 8

4$t 1+ t

16 $ t 2 = 1+ t 2

m/s2

4 1+ t

m/s2

y/m 2

0,5 4 x/m

e) O raio de curvatura calcúlase a partir da expresión que o relaciona con an: 2 v2 v 2 16 $ (1 + t ) an = t 8 t = a = = 4 $ (1 + t 2) 3/2 m 4 n

1+ t 2 O raio de curvatura, como é normal nas parábolas, aumenta conforme transcorre o tempo.

Exercicios

8 Desde un punto de vista cinemático, cantos aceleradores ten un vehículo? Razoa a túa resposta. 9

Identifica no teu ámbito dous movementos de cada un dos tipos presentados na táboa do apartado 5.4. Indica, en cada caso, o sistema de referencia que utilizaches.

10 O vector posición dun móbil vén dado por: 8

r (t ) = [3 $ cos (5 $ t ) $ i + 3 $ sen (5 $ t ) $ j ] m

Calcula as compoñentes da aceleración, cartesianas e intrínsecas. Represéntaas, xunto ao vector posición e ao vector velocidade, en dous puntos que ti elixas da traxectoria.

237

Movementos rectilíneos Os movementos rectilíneos, que xa vimos o curso pasado, son os máis simples, pois os vectores desprazamento, velocidade e aceleración encóntranse na mesma dirección, o que nos permite traballar cos seus módulos. Temos que asignar, iso si, sentidos positivos e negativos a estes vectores, polo que seguimos o convenio de signos que se mostra na figura inferior.

Se, ademais, temos en conta o espazo percorrido: Ds = Dx = x – x0 8 Ds = v ∙ t Percórrense, pois, espazos iguais en tempos iguais.

6.2. Movemento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) É aquel no que an = 0 (rectilíneo) e at = cte ≠ 0 (uniformemente acelerado). Ao ser a aceleración constante, esta coincidirá en cada instante coa aceleración media. Se facemos t0 = 0: D v v – v0 = a = am = 8 v = v0 + a $ t Dt t–0

6.1. Movemento rectilíneo uniforme (MRU) Nel, an = 0 (rectilíneo) e at = 0 (uniforme). Ao ser nula a aceleración, o movemento transcorre con velocidade constante, igual en cada instante á velocidade media. Elixiremos o noso sistema de referencia tomando o eixe X como dirección do movemento, o punto x 0 como orixe sobre a traxectoria e o instante t 0 como orixe de tempos. A posición x en calquera instante, t, será: Dx x – x 0 = t –t v = vm = 8 x = x 0 + v $ (t – t 0) Dt 0 Normalmente, tómase t0 = 0, co que queda:

A ecuación da posición en función do tempo obtense utilizando ferramentas matemáticas que non veremos este curso. Pódese proceder, non obstante, de xeito gráfico, como se mostra na páxina da dereita, co que resulta: x = x 0 + v0 $ t +

x = x0 + v · t

1 $ a $ t2 2

Estudo e representación dos movementos rectilíneos Convenio de signos

Gráficas do MRU

x/m

Y +y

x0 x0

–y

–a O

a / (m · s–2 )

tan aA = vA > 0

–v

v/ (m · s–1)

tan aB = vB < 0 t

Dx = xA – x0 = = vA · (t – t0 ) > 0 Dx = xB– x0 = = vB · (t – t0 ) < 0

t/ s

aA = 0 t /s

aB = 0

t/ s Gráficas do MRUA

v/ (m · s–1)

x/m

–x

a>0

238

–v

–a

a / (m · s–2 )

a>0

a=0

x0 O

a<0 t/ s

v0 v0 vB

tan aA = aA > 0

aA DvA = vA – v0 > 0

aA O aB

tan aB = aB < 0 t

t/ s

DvB = vB < 0

t /s

A caída libre e o lanzamento vertical son MRUA frecuentes no noso ámbito. Prodúcense na dirección vertical, eixe Y, baixo o efecto da gravidade terrestre, g. As súas ecuacións son:

Método gráfico para a obtención de x = x (t)

• Caída libre (v0 = 0, a = –g):

y = h0 – 1 · g · t 2 ; v = –g · t 2 • Lanzamento vertical (v0 ≠ 0, a = –g):

y = h0 + v0 · t – 1 · g · t 2 ; v = v0 – g · t 2

Dx = x – x0 = s1 + s2 = (v – v0) · (t – t0) = v0 · 2 v – v0

v/ (m · s–1) v s1

v0 s2 t0

t/s

Para un intervalo de tempo, a área limitada pola liña v-t e o eixe de abscisas coincide co espazo percorrido.

Exercicios resoltos

5 Un automóbil parte do repouso, e ao cabo de 16 segundos a súa velocidade é de 144 km/h. Nese momento, o condutor frea e o vehículo detense en 8 segundos. Que espazo total percorrería? Solución Calculamos a aceleración coa que arranca (a1) e a de freada (a2), utilizando as ecuacións do MRUA. Durante o arranque, a velocidade inicial é cero, e a final, v, e ao revés durante a freada (en ambos os dous casos, t0 = 0): –1

a1 =

v – 0 40 m $ s = t1 16 s

a2 =

0 – v – 40 m $ s–1 = = –5 m/s2 t2 8s

Solución Se situamos a orixe na posición na que se encontra o coche A no instante en que empezamos a estudar o movemento (t0 = 0), e facemos coincidir o eixe X coa dirección do movemento: xA = vA $ t ; xB = xB0 – vB $ t Os coches cruzaranse cando as súas posicións coincidan (xA = xB ): xA = xB 8 vA $ t = xB0 – vB $ t 8 (vA + vB ) $ t = xB0 xB0 900 m = 20 s 8 t = v +v = 45 m/s A B

= 2, 5 m/s2

Con estas aceleracións, calculamos o espazo percorrido en cada tramo. O total será a suma de dos dous: _ b 1 Dx1 = $ a1 $ t12 = 320 m b 2 b 8 Dx = Dx + Dx = 480 m 1 2 b` 1 2 Dx2 = v $ t + $ a2 $ t2 = 160 m b 2 a

6 Dous coches, A e B, circulan por unha recta, un cara ao outro, con velocidade constante. O A viaxa a 25 m/s, e o B, a 20 m/s. A distancia que os separa, nun instante determinado, é de 900 m. A partir deste instante, en que punto da recta se cruzarán?

Cruzaranse, pois, transcorridos 20 s, na posición, medida desde a orixe: xA = vA $ t = 25 m/s $ 20 s = 500 m O exercicio tamén se pode resolver representando xA e xB nunha gráfica x-t: x/m 900

600

300 0

xA 5

t /s

Exercicios

11 Desde que altura se debe soltar un corpo para que chegue ao chan cunha velocidade de 100 km/h? Representa as súas gráficas y-t e v-t.

13 Desde unha altura de 3 m lánzase un corpo, verticalmente cara a arriba, de xeito que impacta co chan a 20 m/s. Calcula v0.

12 Comproba que as ecuacións do MRUA son dimensionalmente homoxéneas. Repasa, se o necesitas, a unidade introdutoria do libro.

14 Desde un globo que está a 15 m do chan e ascende verticalmente a 2 m/s sóltase un saco de lastre. Canto tardará en chegar ao chan?

239

Composición de movementos rectilíneos Algúns movementos poden ser estudados como suma vectorial de movementos rectilíneos simultáneos. É o que se coñece como principio de superposición do movemento, descrito por Galileo, e permítenos descompoñer un movemento en varios movementos máis sinxelos. Vexamos algúns casos aplicados ao movemento rectilíneo.

7.1. Composición de MRU O movemento resultante é outro MRU, cuxa velocidade é a suma vectorial das velocidades dos movementos que se compoñen. Este caso podémolo observar cando un móbil se despraza cunha velocidade determinada no seo dun fluído en movemento. Sería o caso dun nadador que cruzase un río, ou que nadase a favor, ou en contra, da corrente.

Composición de dous MRU

Un observador situado nunha barca arrastrada polo río diría que o nadador se despraza perpendicularmente á corrente. 8

v nadador

Se se compoñen dous movementos que teñen a mesma dirección, o módulo da velocidade resultante será a suma dos módulos dos MRU, se estes teñen o mesmo sentido, e a diferenza se teñen sentidos contrarios.

v v corriente

En calquera outro caso: 8

v = v1 + v2 + ... + vn

onde n é o número de movementos rectilíneos que se compoñen.

Pero un observador na beira defendería que avanza oblicuamente á corrente: outro exemplo da relatividade do movemento.

Exercicio resolto

7 O nadador das figuras desta páxina sae da beira esquerda e quere chegar á da dereita, á mesma altura do río. O río ten unha anchura de 30 m, e a velocidade da corrente é de 1 m/s. Se o nadador mantén unha velocidade de 2 m/s, en que dirección ten que nadar? Canto tardará en cruzalo? Solución Tomamos como sistema de referencia uns eixes cartesianos, coa orixe situada na posición inicial do nadador, e facemos coincidir o eixe X coa dirección do 8 vector velocidade resultante, v (é8 dicir, a dirección 8 do movemento). Polo 8 tanto, v = v $ i e a velocidade da 8 corrente será vc = –vc $ j (ver diagrama vectorial). O movemento resultante é composición de dous MRU, 8 8 8 8 polo que v = vn + vc , onde vn é a velocidade do nadador.

Polo tanto: 8 vn

= v – v c = v $ i – ` –v c $ j j = v $ i + v c $ j 8

vn2 = v 2 + vc2 8 v = vn2 – vc2 = 22 – 12 = 3 m/s

240

de onde se obtén que:

Ademais, terá que nadar nunha dirección que forme un ángulo a co eixe X tal que: 1 tan a = 8 a = 30º 3 O tempo que tarda en cruzar o río, coa velocidade resultante antes calculada resulta: 30 m Dx v = 3 m/s 8 t = v = = 17, 3 s 3 m/s A figura mostra a composición vectorial de velocidades que se produce: Y

A velocidade do nadador será, pois: 8 vn

= ` 3 $ i + j j m/s

a = 30° v

7.2. Movementos parabólicos Resultan da composición dun MRU e un MRUA en direccións perpendiculares.

• Ecuación da traxectoria. Se se despexa o tempo da

compoñente x e se substitúe na compoñente y : x t = v $ cos a 0 2 x 1 x y = y0 + v0 $ sen a $ v $ cos a – $ g $ b v $ cos a l 2 0 0 g y = y0 + tan a $ x – $ x2 2 2 2 $ v0 $ cos a Que é a ecuación dunha parábola (y = a ∙ x2 + b ∙ x + c).

O caso xeral é o tiro oblicuo, que podemos observar cando se lanza un obxecto cunha velocidade inicial que forma un ángulo determinado coa horizontal. Se situamos a orixe na vertical do punto de lanzamento e orientamos o eixe Y vertical cara a arriba e o eixe X horizontal na dirección do movemento, entón: 8 v0

8 = v0x

8 + v0y

• Altura máxima (hmáx). É o valor da posición vertical, e,

cando vy = 0. vy = 0 8 v0 $ sen a – g $ t = 0 8 v 2 $ sen2 a v0 $ sen a t c = v m 8 hmáx = y0 + 0 t= g 2 2$g • Tempo de voo (tv). É o tempo que tarda o móbil en chegar ao chan. Acontece cando a posición vertical é cero, y = 0. Supoñendo y0 = 0: 1 y = 0 8 t $ (v0 $ sen a – $ g $ t ) = 0 8 2 2 $ v0 $ sen a 1 v0 $ sen a – $ g $ tv = 0 8 tv = g 2 Observa, aquí debaixo, que cando calculamos o alcance, utilizamos a expresión do tempo de voo.

= v0 $ cos a $ i + v0 $ sen a $ j

Eixe X (MRU)

x (t ) = vx $ t = v0 $ cos a $ t vx = v0x = v0 $ cos a Eixe Y (MRUA, lanzamento vertical)

y (t ) = y0 + v0y $ t – 1 $ g $ t 2 = y0 + v0 $ sen a $ t – 1 $ g $ t 2 2 2 vy (t ) = v0y – g $ t = v0 $ sen a – g $ t As ecuacións vectoriais do movemento son, polo tanto: 8 8 1 r (t ) = v0 $ cos a $ t $ i + b y0 + v0 $ sen a $ t – $ g $ t 2 l $ j 2

• Alcance (A). É a distancia horizontal que percorre o

móbil. Obtense calculando x cando t = tv. 2 $ v0 $ sen a A = v0 $ cos a $ tv = v0 $ cos a $ = g v02 $ 2 $ sen a $ cos a v02 $ sen (2 $ a) = 8 A = g g

v (t ) = v0 $ cos a $ i + (v0 $ sen a – g $ t) $ j

A continuación, veremos como calcular os principais parámetros (magnitudes físicas) deste movemento.

Tiro oblicuo Y 4

v4y

hmáx

vmín = v0x

v0x v2y

v7y

a = –g · j

v0x v7

v0x v0x v0y

v9y

v tan a = v y x

v9 A

v0x

O 0

En xeral, o movemento podería empezar en calquera punto da traxectoria. Un caso de interese é aquel no que comeza

X 10

no seu punto máis alto, no que a velocidade só ten compoñente horizontal. Fálase entón dun tiro horizontal.

241

Composición de movementos rectilíneos

Exercicios resoltos

8 Desde o bordo dun acantilado de 30 m de altura lánzase un proxectil cunha velocidade de 100 km/h que forma un ángulo de 40° coa horizontal. A que distancia do acantilado caerá? Solución Observa que neste caso a altura inicial non é cero, como o era na figura da páxina anterior. É coma se trasladásemos o eixe Y cara á dereita:

9 Un tenista encóntrase a 8 m de distancia dunha rede de 1 m de altura. Golpea a pelota a unha altura de 2,45 m, de forma que sae despedida horizontalmente cunha velocidade de 20 m/s. Calcula: a) O tempo que tarda a pelota en chegar ao chan. b) O ángulo que forma o vector velocidade co eixe X nese instante. a) A altura á que pasa a pelota sobre a rede. Solución

Y hmáx v0y h0

Trátase dun tiro horizontal; as súas ecuacións son:

a = –g · j

x (t ) = v0 $ t ; vx = v0 1 y (t ) = h0 – $ g $ t 2 ; vy (t ) = –g $ t 2

v0 a

v0x

Y h0

xmáx

v0x

a = –g · j v0x

xmáx

v0y

As ecuacións deste movemento son, polo tanto:

a) O tempo que tarda a pelota en chegar á rede é:

x (t ) = v0 $ cos a $ t

x = v0 $ t = 8 m

1 $ g $ t2 2 En primeiro lugar, calculamos o tempo de voo (hai que utilizar unidades do SI). Imponse a condición y (t = tv ) = 0. Así: tv1 = –1, 25 s 30 + 17, 86 $ tv – 4, 91 $ tv2 = 0 8 ) tv2 = 4, 89 s y (t ) = h0 + v0 $ sen a $ t –

20 $ t = 8 8

t = 0, 4 s

Tempo de voo (y = 0): 2, 45 – 4, 91 $ tv2 = 0 8 tv = 0, 71 s b) O vector velocidade cando t = tv é: 8

v = v0 $ i – g $ tv $ j = (20 $ i – 7, 0 $ j ) m/s

Polo tanto: vy –7, 0 tan b = v 8 tan b = = – 0, 35 8 b = –19, 3º 20 x c) A súa altura nese momento, medida desde o chan, é:

O tempo de voo é, pois, tv = 4,89 s (no momento do lanzamento t = 0). O proxectil percorrería neste tempo unha distancia horizontal igual a: m A = x (t = tv ) = v0 $ cos a $ tv = 21, 28 s $ 4, 89 s = 104, 06 m

y (t = 0, 4 s) = 2, 45 – 4, 91 $ 0, 42 = 1, 67 m A pelota pasa, polo tanto, 67 cm por enriba da rede.

Nota: Desde un punto de vista físico o tempo negativo non ten sentido, pero si desde un punto de vista matemático: as dúas solucións son os puntos de corte co eixe X.

Nota: Non detallamos as operacións que hai que realizar nestes exercicios; comproba os resultados no teu caderno tomando g = 9,81 m/s2.

Exercicios

15 Que movemento se obtén ao superpoñer dous MRUA perpendiculares, ambos os dous con v0 = 0? 16 O nadador do exercicio resolto 7 comeza a nadar na dirección perpendicular ao río. A que distancia do embarcadoiro da dereita, situado en fronte do outro, tocaría terra? Canto tardaría?

242

17 Un xogador de baloncesto lanza o balón desde 2,50 m de altura cunha elevación de 37° e encesta na canastra, situada a 6,25 m de distancia e 3,05 m de altura. Con que velocidade lanzou? 18

Que pasaría se variamos a velocidade de lanzamento e o ángulo? Con que valores encestaría?

Contribucións de Galileo ao estudo do movemento Galileo Galilei (1564-1642), considerado o pai da ciencia moderna, utilizou a experimentación no estudo da natureza. As súas contribucións á ciencia foron numerosas, principalmente nos campos da mecánica e da astronomía. Neste apartado móstranse dúas delas.

Galileo e o estudo do movemento

8.1. Principio de relatividade Como o repouso e o movemento son conceptos relativos a un sistema de referencia, nunca poderemos falar da velocidade dun móbil en termos absolutos, senón en tal, ou cal, sistema de referencia. Esta imposibilidade de determinar a velocidade absoluta foi estudada por Galileo, e coñécese como principio de relatividade. Afondaremos nel máis adiante.

8.2. Lei de caída de graves No século xvii pensábase que a velocidade de caída dos corpos era proporcional ao seu peso; para comprobalo, Galileo deixou caer desde a mesma altura dúas esferas de distinto peso, que tocaron o chan ao mesmo tempo. Demostrou deste xeito que todos os corpos, independentemente do seu peso, caían á mesma velocidade. Pero cal era esta velocidade? Naquela época non era doado medila, xa que non se dispoñía de aparatos para medir tempos con precisión. Para atrasar a caída, Galileo utilizou planos inclinados, polos que deixaba rodar as esferas, e mediu, axudándose con reloxos de auga (clepsidras), as distancias que percorrían en intervalos iguais de tempo. Chegou á conclusión de que transcorrido o primeiro intervalo de tempo, a esfera percorrera unha unidade de distancia; pasados dous intervalos temporais, a distancia percorrida era de catro unidades; despois de tres intervalos de tempo, a distancia era nove unidades, etc. Concluíu, pois, que o espazo percorrido está relacionado cos cadrados dos intervalos de tempo (1, 4, 9, 16, etc.), formulou así a lei de caída de graves. Na actualidade, esta lei enúnciase de xeito distinto: o espazo percorrido é proporcional ao tempo ao cadrado. Matematicamente: s (t ) = k · t 2.

A descrición dun movemento depende do sistema de referencia. Un observador situado na Lúa consideraríaa en repouso. Se se encontrase na Terra diría que a Lúa describe un movemento case circular. Para un situado no Sol, describiría unha liña helicoidal. Todas as descricións son válidas.

Lei de caída de graves

1s 1 2

3 4

5 6 7

3s 8

Exercicios

Pensa na época das contribucións de Galileo. Cres que serían igualmente consideradas se fosen realizadas por unha muller? Para alcanzar as metas 4.5 e 5.5 indaga en, polo menos, dous fitos relevantes de mulleres relacionadas coa educación e outro máis co estudo da física ou da química.

Galileo medía os intervalos de tempo pesando a auga que caía da clepsidra, que é, basicamente, un recipiente cheo de auga cun orificio polo que sae esta. Segundo se baleira, a presión do líquido é menor, e diminúe o fluxo de saída. Que opinas deste instrumento de medida, en relación co estudado na unidade inicial?

243

TIC Modelos de ecuacións

Traballamos con vectores

Resolver problemas é unha actividade divertida, aínda que en ocasións algo aburrida e repetitiva. Moitos dos que se che formulan nesta unidade, por exemplo, requiren a resolución de ecuacións de segundo grao, ou o cálculo das compoñentes da velocidade inicial nun tiro parabólico ou do módulo dun vector e o ángulo que forma coa horizontal. Xa tratamos noutras ocasións o potencial das follas de cálculo para determinadas tarefas. Presentamos agora a posibilidade de crear modelos de ecuacións para alixeirar os cálculos matemáticos na resolución de problemas. Podes crear modelos coas operacións máis frecuentes. Deste xeito, atenderás os cálculos matemáticos con maior facilidade e poderás centrarte no significado físico dos resultados.

Ecuacións de segundo grao As ecuacións de segundo grao son da forma: a $ x2 + b $ x + c = 0

Vexamos como resolvelas utilizando para iso unha folla de cálculo. Teñen dúas solucións que se calculan coa expresión: 2

–b ± b – 4 $ a $ c 2$a Evitarás ter que facer estes cálculos cada vez que teñas que resolver unha ecuación deste tipo (por exemplo, y = 0 nun tiro parabólico) sen máis que crear un modelo nunha folla de cálculo, como a seguinte (pódeslle dar o formato que queiras): x=

Son moitas as ocasións nas que terás que calcular as compoñentes cartesianas dun vector a partir do seu módulo e do ángulo que forma co eixe X. Para iso, debes seguir o seguinte procedemento: Paso 1. Creamos un modelo

Paso 2. Introducimos as expresións das compoñentes vectoriais Para que o modelo realice os cálculos correctamente, terás que introducir, en primeiro lugar, as expresións que corresponden ás compoñentes do vector; así: A cela E3 terá que conter a función: =B3*COS(B5*PI()/180) A cela E4, a mesma expresión, pero co seno: =B3*SENO(B5*PI()/180) Observa que o ángulo o introducimos en graos (cela B5), e para calcular as razóns trigonométricas multiplicámolo por π e dividímolo por 180. Isto faise para pasalo a radiáns, pois a folla de cálculo, por defecto, traballa en radiáns.

Paso 3. Preparación da operación inversa Tamén é frecuente a operación inversa: dado o vector en compoñentes, calcular o módulo e o ángulo. O modelo sería:

Na cela E3 terás que escribir: =(–B4+RAIZ(B4^2– 4*B3*B5))/(2*B3) Na cela E4, a raíz réstase: =(–B4-RAIZ(B4^2– 4*B3*B5))/(2*B3) Cada vez que cambies os valores das celas B3, B4 e B5 (os coeficientes a, b e c, respectivamente), obterás as solucións da ecuación de segundo grao que ten eses coeficientes. Co aprendido na unidade 1 sobre o uso de condicionais, cambia o código das celas E3 e E4 para que non dea erro cando o radicando sexa negativo, senón que apareza a mensaxe «Radicando negativo».

244

A cela D3 debe conter: =RAIZ(B3^2+B4^2) En F3 calcúlase o ángulo en radiáns: =ATAN(B4/B3) E en F5 pásase a graos: =D3*180/PI() Debes poñer atención ao cuadrante no que se encontra o ángulo. Como tan a = tan (a + π), en ocasións deberás sumar 180° ao ángulo que obteñas.

Tiro parabólico As follas de cálculo tamén serven para resolver problemas concretos. Centrámonos nesta ocasión no movemento parabólico, composición dun MRU no eixe horizontal e un MRUA no vertical, en particular no caso en que o lanzamento se realice desde o chan con celeridade inicial v0 e ángulo de lanzamento a. Paso 1. Preparamos o modelo de cálculo Elíxense as celas nas que introducir os datos, sinalando nas superiores a estas a cal corresponde cada unha (por exemplo, as celas A2 e B2 para introducilos, poñendo nas correspondentes da fila 1 a que dato corresponde cada unha).

Comprobamos en laboratorio virtual Para comprobar se a nosa folla de cálculo realiza ben as operacións imos utilizar un laboratorio virtual. Para iso, entra na páxina Web de simulacións da Universidade de Colorado (PhET: https://phet.colorado. edu/es/), nas simulacións de «Física 8 Movemento» e pulsa sobre a que se chama “Movemento dun proxectil”. Laboratorio proxectís Dentro do simulador, entra no apartado “Laboratorio”:

Despois, elíxense outras tres celas para realizar os cálculos (por exemplo, B4, B5 e B6), indicando que conterá cada unha (nas correspondentes da columna A). Quedará algo similar ao que se mostra na imaxe seguinte:

Introduce na túa folla de cálculo valores para a velocidade inicial e o ángulo de lanzamento, por exemplo, v0 = 15 m/s e a = 65°, e observa o alcance obtido (A = 17,57 m, redondeado a dúas cifras decimais utilizando formato de celas 8 número 8 Posicións decimais: 2).

Observa que deixamos que se introduza o valor da aceleración da gravidade, por se queres estudar o movemento noutro planeta distinto á Terra.

Paso 2. Introducimos as expresións de cálculo de variables Agora teremos que introducir as expresións coas que calcular as variables desexadas a partir dos datos introducidos. Lembra que non se escribe o dato, senón a cela na que se encontra, e que os ángulos hai que introducilos en radiáns:

No simulador, fixa os valores da velocidade inicial e o ángulo aos mesmos valores anteriores, e move a diana do chan ata os 17,6 m. Feito isto, pulsa o botón de lanzamento (o de cor vermella, cun canón). Se todo funcionou, o proxectil debe impactar na diana. Funcionou! Por algo dicimos que o coñecemento científico ten poder de predición. Comproba, movendo o cadro de variables sobre a traxectoria, que tamén se calcularon ben a altura máxima e o tempo de voo.

B4: =((A2^2)*(SENO(B2*PI()/180))^2)/(2*C2) B5: =2*A2*SENO(B2*PI()/180)/C2 B6: =A2^2*SENO(2*B2*PI()/180)/C2 Unha vez feito isto, cambiando os valores da velocidade inicial e a altura de lanzamento obtéñense os novos valores para as variables calculadas.

245

Estratexias de resolución de problemas Movemento rectilíneo uniformemente acelerado 1 Lánzase desde o chan unha moeda verticalmente cara a arriba con v = 15 m/s e, no mesmo instante, e desde unha altura de 40 m, lánzase unha pedra verticalmente cara a abaixo a 5 m/s. A que altura se cruzan? Proposta e resolución Ambos os dous corpos realizan lanzamentos verticais; o primeiro ascendente, e o segundo, descendente: Z] ]] y = v $ t – 1 $ g $ t 2 m 0m 2 Moneda Moeda [] ]] vm = v0m – g $ t \ ]Z] 1 ]] yp = y0p – v0p $ t – $ g $ t 2 2 Piedra Pedra ][ ]] ] vp = –v0p – g $ t \ No momento de cruzarse, os dous estarán á mesma altura (ym = yp ): 1 1 v0m $ t – $ g $ t2 = y0p – v0p $ t – $ g $ t 2 8 2 2 y0p 8 t = v + v = 2 s 8 ym = yp = 10, 38 m 0m 0p DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Os dous corpos comezan o movemento ao mesmo tempo. Aos 1,53 s a moeda alcanza a súa altura máxima (11,47 m), detense, e comeza o descenso. Neste instante, a pedra está a 20,87 m do chan.

ANÁLISE DO PROBLEMA

Para relacionar dous movementos simultáneos, hai que determinar as súas ecuacións no mesmo sistema de referencia. Neste caso, situamos a orixe no punto de lanzamento da moeda, co eixe Y vertical cara a arriba. Feito isto, impóñense as condicións matemáticas necesarias. Por exemplo, nun lanzamento vertical cara a arriba, a velocidade anúlase na altura máxima, o que se utilizou para obter algúns datos da discusión final. Debes afacerte a relacionar a linguaxe matemática cos feitos; así, non leas «v0» como «uve sub cero» senón como «velocidade inicial»; «g» é a «aceleración da gravidade», etc. Comproba que este problema tamén se pode resolver representando as posicións y-t dos dous corpos na mesma gráfica. Tras outros 0,47 s (t = 2 s) ambos os dous corpos están a 10,38 m de altura, e as súas velocidades son vm = – 4,62 m/s e vp = –24,62 m/s. Finalmente, a pedra chega ao chan 0,66 s antes que a moeda. Comproba todos os datos desta discusión.

Composición de dous movementos rectilíneos uniformes 2 Un río ten unha anchura de 200 m, e a auga discorre a 10 m/s. Unha lancha sae dunha beira, en dirección perpendicular á corrente, cunha celeridade respecto a terra de 2 m/s. Outra lancha, que navega a contracorrente en liña recta, a igual distancia de ambas as dúas beiras, encóntrase nese momento 750 m augas abaixo. Se ambas as dúas lanchas chocan, a que velocidade respecto da auga viaxa esta segunda embarcación? Proposta e resolución

= vc $ t $ i + v 1 $ t $ j

8 r1

8 r2

¡ vR1 = (10 $ i + 2 $ j ) m/s ; vR1 = 10, 20 m/s 8

vR2 = (vc – v2) $ i ; vR2 = vc – v2 = –5 m/s

; r2 = [x02 + (vc – v2) $ t] $ i + y02 $ j

No momento da colisión, poñentes queda:

; igualando as súas com-

x02 • x1 = x2 8 vc · t = x02 + vc · t – v2 · t 8 t = v 2 x02 x02 • y1 = y2 8 v1 $ t = y02 8 v1 $ v = y02 8 v2 = v1 · y = 15 m/s 2 02

246

Observa que os movementos de ambas as dúas lanchas son o resultado da composición de dous MRU, perpendiculares no caso da lancha 1, e na mesma dirección e sentidos contrarios no da 2. En ambos os dous casos, a velocidade resultante é a suma vectorial das velocidades que se compoñen:

Se situamos a orixe do sistema de referencia no punto do que parte a lancha 1, as posicións virán dadas por: 8 r1

ANÁLISE DO PROBLEMA

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

A lancha 2 debe viaxar a 15 m/s respecto da auga (5 m/s respecto da terra). Se vai máis devagar, a lancha 1 cruzarase por diante; se vai máis rápido, por detrás. Saberías calcular a posición da colisión e o espazo percorrido por cada lancha?

Tiro oblicuo 3 Unha pelota roda por un tellado que forma 30° coa horizontal, cuxa base se encontra a 60 m do chan. Ao chegar ao extremo comeza a caer cunha celeridade de 10 m/s. Calcula: a) Canto tarda en chegar ao chan? b) Con que velocidade impacta? c) Se a rúa tivese unha anchura de 30 m, chegaría directamente ao chan ou chocaría coa parede do edificio oposto? Proposta e resolución Trátase dun tiro oblicuo no que a compoñente y da velocidade inicial é negativa: 8 v0

8 v0x

8 v0y

y0 = 60 m

30° v0

= v0 $ cos 30º $ i – v0 $ sen 30º $ j = 8

= (8, 66 $ i – 5 $ j ) m/s

O movemento resulta da composición dun MRU no eixe X, e lanzamento vertical con velocidade inicial no eixe Y. As ecuacións en ambos os dous eixes son: x = v0x $ t ; vx = v0x ; ax = 0 1 y = y0 – v0y $ t – $ g $ t 2 ; vy = –v0y – g $ t ; ay = –g 2 do movemento, procédese ao cálCoñecidas as ecuacións culo do que se pide. a) O tempo de voo calcúlase impoñendo a condición y = 0: 1 y0 – v0y $ tv – $ g $ t v2 = 0 8 2 8 60 – 5 $ tv – 4, 91 $ t 2v = 0 8 8 tv = 3, 02 s b) A velocidade do impacto. Calcúlase a velocidade cando:

Débese ter en conta, ademais, o convenio de signos para posicións, velocidades e aceleracións. Aquí adoptouse o que se presentou no apartado 7 desta unidade, aínda que calquera outro sería igualmente válido.

O tempo de voo, tv , é algo que sempre teremos que calcular, pois permítenos achar o alcance, A, do tiro. Non esquezas que cando t = tv, y = 0 e x = A. Nestes problemas, a ecuación y = 0 sempre terá dúas solucións, e desbotaremos a negativa. En calquera punto intermedio, as ecuacións paramétricas do movemento, x (t ) e y (t ), permítennos determinar a posición do móbil, e a velocidade obtense a partir das súas compoñentes, vx (t ) e vy (t ). Se o que hai que calcular é a velocidade a unha altura determinada, de y (t ) obtense o valor do tempo e substitúese nas ecuacións da velocidade. Por último, sempre debes lembrar que as ecuacións vectoriais do movemento se obteñen a partir das compoñentes, e que a tanxente trigonométrica do ángulo que forma un vector co eixe X é o cociente entre o seu compoñente y e o seu compoñente x: 8

v (t ) = vx (t ) $ i + vy (t ) $ j

Substituíndo: 8

Observa que en todos os casos se procedeu de igual xeito. En primeiro lugar, formúlanse as ecuacións dos movementos rectilíneos cuxa composición dará lugar ao tiro oblicuo, prestando especial atención ás condicións iniciais.

r (t ) = x (t ) $ i + y (t ) $ j

t = tv = 3,02 s 8

Coa resolución deste exercicio xa se cubriron todas as posibilidades do tiro oblicuo; vemos aquí o lanzamento desde certa altura, pero cara a abaixo.

Tras iso, débese traducir a linguaxe verbal a linguaxe matemática, e impoñer as condicións que nos permiten calcular os parámetros solicitados.

ANÁLISE DO PROBLEMA

v = v0x $ i – (v0y + g $ tv ) $ j = (8, 66 $ i – 34, 63 $ j ) m/s

Impactará, pois, cunha celeridade de 35,70 m/s, formando un ángulo b: –34, 63 tan b = = 4 8 b = –76º 8, 66 c) Calculamos o alcance do tiro, que será o valor de x cando o tempo coincida co tempo de voo. A = x (t = tv ) = v0x $ tv = 26, 15 m O alcance é menor que a anchura da rúa, polo que a pelota chega ao chan sen chocar antes coa parede do edificio de en fronte.

a = –g $ j componente y compoñente y tan b = componente tan β= compoñente xx DISCUSIÓN DE RESULTADOS

A pelota describe unha traxectoria parabólica ata que, aos 3,02 s de quedar libre, impacta co chan a 26,15 m da fachada do edificio cunha velocidade de 35,70 m/s que forma un ángulo de –76° coa horizontal.

247

Traballa co aprendido

Lembra seleccionar o material de traballo desta unidade para o teu portafolio.

5 As ecuacións paramétricas dun movemento veñen dadas por:

Relatividade do movemento. Magnitudes cinemáticas 1 Describe o movemento do extremo da aspa dun ventilador, desde a túa perspectiva, se: a) Te sitúas xusto en fronte. b) Te afastas perpendicularmente ao plano de xiro. c) Andas en dirección paralela ao devandito plano. d) Te sitúas nun lateral do ventilador, véndoo de perfil. Cal destas descricións é a correcta?

2 Un observador, A, está no interior dun vehículo que circula por diante dunha gasolineira, en cuxa cafetería hai outro observador, B. Razoa para cal deles é certa cada unha destas afirmacións: a) O surtidor da gasolineira está en repouso. b) As árbores da beiravía móvense.

a) Determina a ecuación da traxectoria e represéntaa graficamente. b) Calcula o vector desprazamento entre os instantes: t1 = 2 s e t2 = 5 s c) Nalgún intervalo de tempo coincide o módulo do vector desprazamento co espazo percorrido?

6 Un vehículo describe unha circunferencia de raio R = 20 m, en sentido horario con celeridade constante, de xeito que tarda 4 s en cada volta. Se situamos a orixe do sistema de referencia no centro da circunferencia, calcula: a) A celeridade do movemento.

c) Un maletín situado nun dos asentos do coche está en repouso. d) Un avión que voa en dirección perpendicular á estrada encóntrase en movemento.

3 En cada un dos seguintes casos, que móbil vai máis rápido, o A ou o B? Por que? A

x = t2 ; y = 5 + 2 · t2

t=8s t=8s

B A

t=6s

t=8s

b) O vector velocidade media entre as posicións (0, R ) e (R, 0). Coincide neste caso a celeridade co módulo da velocidade media? A que se debe?

7 Un móbil encóntrase inicialmente na posición (x = 2 m, y = 88m). Se se despraza con velocidade 8 8 media vm = (2 $ i – 6 $ j ) m/s , en que posición se encontrará en t = 4 s? A que distancia da orixe? 8 A ecuación intrínseca dun movemento vén dada por s = (3 + 2 · t – 5 · t 2) m. Calcula: a) A celeridade media nos 3 primeiros segundos. b) A celeridade instantánea.

A B

t=6s t=8s

A B

t=8s t=4s

4 Desde unha posición determinada, un móbil desprázase 10 m cara ao leste, 20 m cara ao norte, 5 m cara ao oeste e 30 m cara ao sur: a) Calcula o espazo percorrido, e o módulo do vector desprazamento. b) Desde a última posición, que espazo debe percorrer, e en que dirección, para chegar en liña recta ao punto de partida? 248

Poderíase determinar, con estes datos, o vector velocidade? Por que?

9 Que significado ten que a aceleración dun móbil que se move en liña recta, suposta constante, é de 2 m/s2? 10 Indica se estas afirmacións son verdadeiras ou falsas: a) Nun MCU, a aceleración é nula. 8

b) Nun movemento circular, an non varía. c) Se a velocidade e a aceleración forman un ángulo de 30°, a celeridade é constante. d) Se a velocidade e a aceleración forman un ángulo de 150°, a aceleración tanxencial é negativa.

11 EO vector 8posición 8dun móbil vén dado por 8 r = [(2 – t 2 ) $ i – 3 $ t 2 $ j ] m : a) Calcula e representa a ecuación da traxectoria.

14 A gráfica x-t do movemento dun corpo é: x/m 30

b) Determina os vectores velocidade e aceleración instantánea e os seus módulos.

c) Calcula os valores medios destas magnitudes entre t = 2 s e t = 7 s.

d) Acha as compoñentes intrínsecas da aceleración.

e) De que tipo de movemento se trata?

t/s

Describe o movemento en cada tramo, e calcula: a) As ecuacións da posición e a velocidade en cada tramo. b) A distancia á orixe en t = 10 s, t = 17 s e t = 25 s. c) O vector velocidade media entre t = 10 s e t = 25 s. d) O módulo do vector desprazamento en cada tramo, e o total.

15 Desde a orixe de coordenadas, cunha diferenza de 10 s, parten dous móbiles na mesma dirección e sentido. O primeiro móvese a 15 m/s. A que velocidade constante debe moverse o segundo para alcanzalo en 20 s? Resolve o problema graficamente, e comproba que se obteñen os mesmos resultados que se se resolvese numericamente.

P = ( x, y)

i x

12 Para describir un movemento é necesario fixar un sistema de referencia. Os máis utilizados son os cartesianos, pero non son os únicos. Para localizar un punto no plano tamén é frecuente usar coordenadas polares. Nestes sistemas de referencia o que se proporciona é a distancia á orixe, r, e o ángulo que forma o vector posición co semieixe positivo do eixe X, i. Móstrase na seguinte figura.

a) Se un obxecto se localiza nas coordenadas cartesianas (3, 8), cales serán as súas coordenadas polares? b) Se as coordenadas polares dun punto son (4, 120°), cales son as coordenadas cartesianas? c) Cales son as ecuacións xerais para transformar coordenadas cartesianas en polares, e viceversa?

Movementos rectilíneos 13 Debuxa a gráfica posición-tempo e velocidade-tempo dos movementos de ecuacións: a) x = (–2 + 4 · t ) m.

16 Un móbil, inicialmente en repouso, adquire unha velocidade de 20 m/s en 15 s. Determina as ecuacións da posición, a velocidade e aceleración. Representa graficamente estas magnitudes e determina os seus módulos no instante t = 10 s. 17 Un camión circula por unha recta a 100 km/h. Detrás del, a unha distancia de 30 m, faino unha moto á mesma velocidade. Nun instante (t = 0), o motorista decide adiantar ao vehículo, investindo 10 s en situarse 20 m diante. Que espazo percorre cada vehículo durante o adiantamento? 18 A aceleración de freada dun vehículo é de 5 m/s2. Calcula: a) A distancia de freada cando circula a 60 km/h, e cando o fai a 120 km/h.

b) x = (3 – 9 · t ) m.

b) A distancia de freada en ambos os dous casos, se o tempo de reacción do condutor é de 1 s.

Determina, en cada caso, os valores iniciais de posición e velocidade e os do instante t = 3 s.

c) Sen ter en conta o tempo de reacción, que relación existe entre o tempo e a velocidade inicial? 249

Traballa co aprendido

Lembra seleccionar o material de traballo desta unidade para o teu portafolio.

19 Calcula a aceleración en cada tramo e o espazo total percorrido polo móbil representado pola gráfica: v/(m · s–1)

6 4 2 A

D 10

t /s

20 Para medir a profundidade dun pozo, pódese deixar caer unha pedra desde a súa boca e medir o tempo que tardamos en oír o impacto coa auga. Determina a ecuación que nos permite obter esta profundidade en función do tempo medido; ten en conta o tempo que tarda en chegar o son, con velocidade vs. 21 Un obxecto en caída libre percorre a cuarta parte da altura inicial nos últimos 0,75 s. Desde que altura se deixou caer? Con que velocidade impacta co chan? Elabora unha listaxe cos pasos que seguiches para resolver o problema. 22 Lánzase verticalmente cara a arriba unha pelota a 25 m/s. En que instantes a celeridade é 10 m/s? Desde un punto de vista físico, por que se obteñen dous valores? A que altura está a pelota nestes instantes? Representa, para eses dous puntos, os vectores posición, velocidade e aceleración. 23 A altura á que se encontra un corpo en caída libre é proporcional ao cadrado do tempo que leva movéndose. Por iso, cando se resolve a ecuación y (t ) = 0 obtéñense dúas solucións, unha delas negativa. Que significado poderiamos darlle á solución negativa, que sempre desbotamos? 24 Observa o seguinte gráfico e explica a que situación cotiá pode facer referencia, indicando os valores das magnitudes cinemáticas dos movementos que se representan. x /m

500 400 300

100

250

26 Dous vehículos, A e B, circulan por unha estrada recta sobre a que situamos o eixe X do noso sistema de coordenadas. Cando o vehículo que circula con 8 velocidade constante v = 90 · Si km/h, pasa pola orixe de coordenadas, o B comeza, desde o repouso, un movemento uniformemente acelerado en sentido contrario desde a posición x = 500 m. Con que aceleración debe describir B o seu movemento para cruzarse con A en x = 300 m? Que velocidade leva nese momento, en km/h? Composición de movementos 27 Unha lancha motora móvese, segundo o seu panel de mandos, a 20 nós coa proa orientada en dirección leste. Se se encontra inmersa nunha corrente mariña de 5 km/h dirección norte, cal é a súa velocidade respecto á costa? Para moverse cara ao leste respecto á costa, cara a que dirección se debería enfocar a proa? Dato: 1 nó = 1,852 km/h. 28 Cunha piragua, unha persoa tarda tres minutos en percorrer 200 m cando rema a favor da corrente, e cinco minutos cando o fai en contra, en ambos os dous casos a velocidade constante. A esta velocidade, se rema perpendicularmente á corrente, inviste catro minutos en cruzar o río. Calcula a velocidade da piragua, a velocidade da corrente e a anchura do río. En que dirección debería remar para cruzar o río perpendicularmente á beira, e canto tempo tardaría en facelo? 29 Un pasaxeiro dun globo aerostático que viaxa a 10 nós con traxectoria paralela ao chan a 30 m de altura quere soltar un paquete de xeito que caia no patio da súa casa, por enriba do cal pasará o globo. Se desprezamos o rozamento co aire, en que punto da traxectoria deberá soltalo? Que tipo de movemento describe o paquete para o pasaxeiro do globo? E para alguén que está esperando no patio? Dato: 1 nó = 1,852 km/h.

200

25 Nun lanzamento vertical ascendente, de que variables depende o tempo que se tarda en alcanzar a altura máxima? Que relacións de proporcionalidade garda con cada unha delas?

t /s

30 A boca dunha mangueira, de 2 cm de diámetro, sitúase de xeito que, a 1 m de altura, o chorro de auga sae horizontal ao chan. Se a auga se afasta 10 m, cantos litros saen por minuto? Pista: m/s · m2 = m3/s.

31 Nunha competición de tiro con arco, a diana, de 80 cm de diámetro, encóntrase a 50 m de distancia, e o seu centro a 1,5 m do chan. Nun dos tiros a frecha sae a 230 km/h, cun ángulo de 3,5°, desde unha altura de 1,60 m. Desprezando o rozamento co aire, impactará a frecha na diana? En caso afirmativo, con que velocidade, e en que dirección? 32

Na Idade Media pensábase que o movemento de proxectís tiña lugar segundo se mostra na seguinte imaxe. Estaban no certo? Xustifícao.

Ciencia, tecnoloxía e sociedade Sistemas de xeolocalización Para localizar un obxecto no plano (dúas dimensións) necesítanse dúas coordenadas; se é no espazo (tres dimensións), necesítanse tres. Pero non sempre se utilizan as coordenadas cartesianas, baseadas nas distancias á orixe en cada un dos eixes. Nos sistemas de coordenadas esféricas, a localización proporciónase mediante dous ángulos e a distancia á orixe. É o sistema utilizado pola localización GPS, que considera a orixe no centro da Terra e proporciona a latitude, a lonxitude e a altura respecto do nivel do mar. Nos sistemas de coordenadas cilíndricas, a situación vén dada por dúas distancias e un ángulo. É o sistema utilizado para a localización de aeronaves cando se encontran preto do lugar de aterraxe. Tamén se utiliza para o tráfico marítimo, aínda que neste caso abonda cun ángulo e unha distancia.

33 Desde o extremo do mastro dun veleiro, de 30 m de altura, déixase caer un corpo de 2 kg. Se desprezamos o rozamento, en que punto da cuberta impacta? En que caso tardará máis en caer, se o veleiro navega a 10 nós (1 nó = 1,852 km/h) ou se navega a 20 nós? E se fose un corpo de 4 kg? Se un observador describe o movemento como rectilíneo, e outro como parabólico, onde está cada un?

Segundo as nosas necesidades, elíxese o sistema de localización máis adecuado. Z

34 Coinciden as ecuacións dun tiro oblicuo a 90° coas dun lanzamento vertical ascendente?

37 Determina a celeridade inicial e o ángulo de lanzamento dun proxectil que, lanzado desde o chan, alcanza unha altura máxima de 3 m e impacta aos 10 m do punto de lanzamento. 38 Un canón pode disparar balas de diferente masa. En ausencia de rozamento, chegarán máis lonxe as máis lixeiras? Razoa a túa resposta e compróbao no laboratorio virtual co que traballaches na sección TIC desta unidade.

O f

Coordenadas esféricas

35 Sabendo que no primeiro cuadrante o valor do seno oscila entre 0 e 1, para que valor de a será máximo o alcance dun tiro parabólico para uns determinados valores de velocidade inicial e ángulo de lanzamento? 36 Demostra que as ecuacións dun tiro horizontal equivalen ás dun tiro oblicuo desde a mesma altura con elevación nula. Comproba que a ecuación do alcance é dimensionalmente homoxénea.

Z r P

O f

Coordenadas cilíndricas

O GPS (Global Positioning System) funciona con 24 satélites de produción estadounidense que orbitan a Terra. Elabora un informe sobre o xeito en que opera, e sobre o proxecto Galileo da Axencia Espacial Europea (ESA). 251

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. Reservados todos os dereitos. O contido desta obra está protexido pola Lei, que establece penas de prisión e/ou multas, amais das correspondentes indemnizacións por perdas e danos, para quen reproduza, plaxie, distribúa ou comunique publicamente, en todo ou en parte, unha obra literaria, artística ou científica, ou a súa transformación, interpretación ou execución artística fixada en calquera tipo de soporte ou comunicada a través de calquera medio, sen a preceptiva autorización.