Índice
Números
Operaciones
PÁG. El millón. Lectoescritura. Composiciones y descomposiciones. Redondeo. Decimales.
Las propiedades de la suma y de la resta. Sumas y restas con órdenes de magnitud. Cálculos con decimales.
1
Numeración
2
Fracciones
20
Tipos de fracciones. Fracción equivalente, valor, comparación, OOMM y fracciones irreducibles.
Sumas y restas de fracciones del mismo denominador.
3
Porcentajes
36
La representación del porcentaje y su sentido.
Producto posicional. Patrones del producto con decimales. La propiedad asociativa del producto. Porcentajes. Uso de la escala.
4
Geometría I
4
La propiedad distributiva del producto respecto a la suma y el cálculo mental. Repaso de la división por una cifra, el cálculo mental y la división posicional.
52
REPASO UNIDADES 1 a 4Montessori repaso trimestre 1 steam: Maria Repaso de la división por una cifra. Creación de escalas para la división. La división por dos cifras.
5
División por dos cifras
72
6
Multiplicación con decimales
88
Ordenes de magnitud con decimales. Agrupación de OOMM.
Multiplicación posicional por dos cifras. Producto con decimales. Aproximación y aplicación de la propiedad distributiva del dividendo.
7
División posicional. Unidades de tiempo
104
Unidades móviles.
Repaso de productos, división por dos cifras y divisiones posicionales. Patrones y crecientes de la división de izquierda a derecha.
8
Sistema sexagesimal y unidades de superficie.
120
Presentación del sistema sexagesimal. Unidades y equivalencias. Los amigos del 90 y del 180.
Sumas y restas en el sistema sexagesimal. Formas complejas e incomplejas en el sistema sexagesimal y en la medida de ángulos.
REPASO UNIDADES 5 a 8Montessori repaso trimestre 1 steam: Maria
9
Operaciones combinadas, jerarquía y medidas de superficie
140
10
Geometría II
156
11
Estadística, azar y probabilidad
172
Fracciones y porcentajes en probabilidad Producto cartesiano y probabilidad.
12
Estadística y algebra
188
Ecuaciones tipo 1, 2, 3 Y 4.
Las unidades móviles y los productos por OOMM.
Operaciones combinadas. Jerarquía de las operaciones elementales.
REPASO UNIDADES 9 a 12 repaso trimestre 1 steam: Maria Montessori
Medida
Geometría y tratamiento de la información
Problemas
Pensamiento Computacional
Problemas de dos operaciones de tipo aditivo: CA, CO, CM e IG.
La calculadora como herramienta de repaso.
Las fracciones y el dinero.
Problemas multiplicativos IM.
La calculadora como herramienta de repaso.
Los porcentajes en el comercio. Estimaciones, rebajas, IVA.
Problemas de aplicación de porcentajes. Conversión división – producto. Problemas de dos operaciones con jerarquía.
Calcular porcentajes con la calculadora.
Problemas de aplicación de ángulos. Cambio de una operación a otra con conversión de problema. Construcción de problemas de dos operaciones. Pregunta oculta.
La calculadora como herramienta de repaso.
Ángulos, tipos y problemas de aplicación.
Tipos y posición de los ángulos.
REPASO UNIDADES 1 a 4 Problemas de dos operaciones de competir el todo. AA, AM y MM.
La calculadora como herramienta de repaso.
Complejos e incomplejos de magnitudes simples: longitud, masa y capacidad.
Problemas con unidades de medida. Problemas de dos operaciones de compartir la parte AA, y AM.
Unidades de tiempo. Equivalencias. Fracción de una cantidad y cantidad de una fracción. Problemas sobre unidades de tiempo.
PAEV2. Compartir la parte-M-M Problemas de unidades de tiempo.
PAEV2. Compartir la parte-M-M Problemas de unidades de tiempo.
Problemas de aplicación de ángulos, perímetros y áreas. PAEV2 – Reparto igualatorio.
La calculadora como herramienta de repaso.
Figuras planas. Posiciones relativas. Longitud de la circunferencia. Áreas.
REPASO UNIDADES 5 a 8 Medidas de superficie. Metro cuadrado. Múltiplos y submúltiplos. Unidades agrarias.
Problemas de aplicación de superficies. Problemas de dos operaciones de doble inclusión AA y AM.
La calculadora como herramienta de repaso y para abreviar cálculos conocidos.
Simetrías, traslaciones y giros Poliedros y cuerpos redondos. Primas y pirámides.
Problemas que son y que no lo son. Problemas de dos operaciones de doble inclusión: AA, AM.
La calculadora como herramienta de repaso y para abreviar cálculos conocidos.
Probabilidad. Estadística, azar y probabilidad. relaciones. Sucesos aleatorios probables e improbables.
Problemas de probabilidad. Problemas de combinar. Problemas de dos operaciones de doble inclusión AA, AM.
Pensamiento computacional.
ESTADÍSTICA. Variables. Rango, frecuencia, moda y mediana. Media aritmética. Representación gráfica.
Problemas sobre la media aritmética. Construimos problemas de tres operaciones. Preguntas ocultas.
Estudio de la igualdad La calculadora como herramienta de repaso y para abreviar cálculos conocidos.
REPASO UNIDADES 9 a 12 INTELIGENCIAS MÚLTIPLES: C entena Completa (CC); Centena Incompleta (CI); Decena Completa (DC); Decena Incompleta (DI); Escalera Ascendente (EA) Escalera Descendente (ED)
1
NUMERACIÓN
Nuestro sistema de numeración se organiza en órdenes de magnitud en grupos de 10. • Los tres primeros órdenes de magnitud (OM) son: U (unidad), D (decena = 10 U) y C (centena = 10 D o 100 U) • En los tres siguientes OM se repite el nombre añadiendo millar o mil: UM (unidad de millar = 10 C o 1000 U) DM (decena de millar = 10 UM o 10 000 U) CM (centena de millar = 10 DM o 100 000 U) • En los tres siguientes OM se repite el nombre añadiendo millón: UMM CM DM UM
C
D
U
Un millón (UMM) es:
0
Un millón de unidades
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
Cien mil decenas Diez mil centenas Mil unidades de millar Cien decenas de millar Diez centenas de millar
1
Un millón
1 Escribe con letras el nombre de los siguientes números:
a) 3 500 600
b) 3 005 006
c) 3 050 060
d) 3 543 678
2 Escribe con cifras estos números.
a) Cuatro millones trescientos tres mil cincuenta y dos. b) Tres millones veinticinco mil treinta. c) Un millón cuatrocientos ochenta y siete mil quinientos cuarenta y uno. 3 Con la ayuda del recuerda y de la tabla del millón contestas esta preguntas.
a) ¿Qué orden de magnitud es la D de la CM? b) ¿Qué orden de magnitud es la C de la UM? c) ¿Qué orden de magnitud es la UM de la UM? d) ¿Cuántas centenas necesitamos para formar un millón? 4
Unidad 1
Descomposiciones y composiciones Vamos a seguir descomponiendo como ya aprendiste con las casitas de descomposición, pero llegando al millón. Mira el ejemplo con 3 456 789. Descomposiciones simples: 3 UMM 4 CM 5 DM 6 UM 7 C 8 D 9 U 34 CM 56 UM 78 D 9 U 3 UMM 456 UM 789 U De órdenes de magnitud mayores a órdenes de magnitud menores. 2 UMM 14 CM 4 DM 16 UM 6 C 18 D 9 U
33 CM 156 UM 77 D 19 U
De los órdenes de magnitud mayores a órdenes menores (encabalgamientos). 1 UMM 14 CM 105 DM 6 UM 7 C 8 D 9 U
32 CM 156 UM 1078 C 89 U
1 Descompón de las tres formas anteriores las siguientes cantidades.
a) 3 456 789
b) 9 876 543
c) 2 468 357
Composición Para reagrupar una composición podemos usar la tabla de órdenes de magnitudes ¡Observa cómo lo hago! 23 UM 15 C 204 D 806 U
DM UM 3
15 C
2 …
C …
1
5
…
204 D
…
0
4
806 U …
…
2 …
8
0
6
2
6
13
4
6
…
2
7
3
4
6
23 UM
D …
U … …
O directamente teniendo en cuenta el orden de magnitud de cada grupo de magnitudes descompuestas y reagrupando todas las del mismo orden. 23 UM 2 DM
3 UM
15 C 1 UM
204 D 5C
2 UM
0C
806 U 4D
8C
0D
6U
2 Relaciona en tu cuaderno cada número con su descomposición.
1) 52 232
2) 53 342
a) 5 DM 33 C 104 D 2 U
b) 511 C 112 D 12 U
3) 54 342
4) 53 432
c) 53 UM 33 D 12 U
d) 53 UM 33 D 102 U 5
Redondeos Para redondear una cantidad miramos las cifras que hay detrás de la que queremos redondear. Quiero redondear a la unidad de millón.
Miro el número que hay detrás
Si la siguiente cifra es 5 o mayor de 5, la redondeamos a la siguiente cifra de la magnitud que queremos redondear. Observa el ejemplo: Un vídeo tiene 1 675 989 visualizaciones. ¿Está más cerca de 1 000 000 visualizaciones o de 2 000 000? Vemos que el orden de magnitud después del millón es 6 (mayor de 5), por tanto, 675 989 está más cerca de completar un millón que del millón que ya lo han visto. Por tanto, se puede redondear al 2 000 000. Si la siguiente cifra es menor de 5, redondeamos dejando la cifra de la magnitud indicada. Observa el ejemplo: Si hubiera 1 275 989, el orden de magnitud después del millón es 2 (menor de 5), por tanto, 275 989 está más cerca del millón de visualizaciones. Para alcanzar un millón más le falta mucho, concretamente 724 011. Por tanto, se puede redondear al 1 000 000. Recuerda que, si la siguiente cifra es un 5, redondeamos hacia arriba. 1 Redondea al millón más cercano a estas cantidades.
a) 2 999 999
b) 3 500 001
c) 5 199 999
d) 8 098 898
e) 5 600 600
d) 8 098 898
e) 5 600 600
2 Redondea al millón más cercano a estas cantidades.
a) 2 999 999
b) 3 500 001
c) 5 199 999
3 Todas estas cantidades están redondeadas al millón, pero solo una está bien. Encuentra la correc-
ta y arregla las incorrectas.
6
a) 3 456 999 → Redondeo 4 000 000
b) 1 109 999 → Redondeo 2 000 000
c) 4 505 000 → Redondeo 5 000 000
d) 8 578 987 → Redondeo 8 000 000
Unidad 1
Propiedades de la suma y de la resta Las tres grandes propiedades de la suma 1 Da igual el orden en que aparezcan los sumandos:
8+7=7+8 CONSEJO: cuando vayas a sumar, coloca los sumandos como mejor te venga para hacer los cálculos. 2 Cuando haya varios sumandos puedes efectuar
la suma en el orden que quieras. 3 Puedes pasar una cantidad de un sumando al otro,
sin que por ello la suma varíe. CONSEJO: aprovecha esta propiedad para redondear: 1 998 + 773 = 2 000 + 771
La gran propiedad de la resta Si al minuendo y al sustraendo le sumas o le restas el mismo número, la diferencia no varía: 78 – 50 = 28; 98 – 70 = 28; 58 – 30 = 28 CONSEJO: aprovecha esta propiedad para redondear: 2 128 – 998 = 2 130 – 1 000
1 Practica con estas operaciones:
a) 684 + 257
b) 1 258 + 356 + 68
c) 156 + 28 + 78 + 222
d) 6 548 – 1 998
e) 7 528 – 1 488
f) 7 224 – 3 815
2 En la liga escolar de baloncesto, el equipo A lleva 1 178 puntos, el B tiene
2 104 y el C ha conseguido 993. ¿Cuántos puntos llevan entre los tres? ¿Quién lleva más puntos de diferencia, el B al C o el A al C? 3 Se quieren comprar dos canastas de baloncesto por 567 €, cinco equipa-
ciones por 125 € y dos pelotas a 85 € cada una. Si el equipo cuenta con 800 €, ¿tendrán bastante? ¿Cuánto sobrará o faltará? ¿Qué cuestan más, las equipaciones o las pelotas? 7
Sumas con órdenes de magnitud Para sumar con órdenes de magnitud, puedes hacerlo mentalmente o con la rejilla. Vamos a verlo con la rejilla. 12 C 2 D 38 U + 6 UM 13 C 36 U 12 C 2 D 38 U + 6 UM 13 C 36 U 12 C 2 D
38 U
6 UM 25 C 2 D 36 U Sumo las C y las D
4U
34 U
6 UM 25 C 2 D 40 U De 38 U tomo 4 U y sumo a 36 U
34 U
0
6 UM 25 C 2 D 74 U Sumo el resto de U 8 UM 5 C 9 D 4 U Agrupamos los OM 8 594 Compongo el número
1 Resuelve estas sumas con órdenes de magnitud:
a) 68 C 97 U + 158 D 1 285 U b) 2 UM 185 D 8 U + 6 C 30 D 45 U c) 25 UM 5 C 68 U + 20 UM 3 C También podemos hacer las sumas por órdenes de magnitud en los números completos. Consejo: busca los órdenes de unidades que sumen fácilmente y el resto de órdenes de magnitud déjalos igual. Ejemplo: 3 825 398 + 455 592. 3 825 398 + 455 592 55 UM 2 U
3 880 400
400 590
4 CM 9 D
4 280 490
500
5C
4 280 990
0
25 UM + 55 UM = 80 UM 398 U + 2 U = 400 U 38 CM + 4 CM = 42 CM 0D+9D=9D 4C+5C=9C
2 Resuelve estas sumas utilizando los órdenes de magnitud:
a) 456 788 + 623 146 b) 239 583 + 156 345 c) 725 568 + 465 841 8
Unidad 1
Restas con órdenes de magnitud Para restar, también puedes hacerlo mentalmente o con la rejilla. Vamos a verlo con un ejemplo: 5 UM 21 C 25 U – 3 UM 16 C 25 D 38 U 5 UM 21 C 25 U – 3 UM 16 C 25 D 38 U 3 UM 16 C 25 U
2 UM 5 C
25 D 13 U
25 D 2 UM 250 U
13 U
13 U 2 UM 237 U
0
5 UM – 3 UM = 2 UM 21 C – 16 C = 5 C 5 C = 50 D → 50 D –25 D = 25D =250 250 U – 13 U = 237 U Compongo el número
2 237 U
1 Resuelve estas restas con órdenes de magnitud:
a) 7 UM 42 UM 8 C 95 U – 9 UM 6 C 27 D b) 1 DM 11 UM 10 C – 100 C 100 D c) 11 UM 59 C 9 D 364 U – 6 UM 4C 450 U Al igual que con las sumas, también podemos hacer las restas por órdenes de magnitud en los números completos. Consejo: busca los órdenes de unidades que sumen fácilmente y el resto de órdenes de magnitud déjalos igual. Ejemplo: 3 825 398 – 455 592. 3 825 398 – 455 592 42 DM 5 UM
3 400 398
30 590
3 DM 39 D
3 370 008
200
2C
3 369 808
0
82 DM – 42 DM = 40 DM 5 UM – 5 UM = 0 UM 40 DM – 3 DM = 37 DM 39 D + 39 D = 0 D 700 C – 2 C = 698 C
2 Resuelve estas sumas utilizando los órdenes de magnitud.
a) 656 788 – 373 196 b) 239 583 – 156 345 c) 725 568 – 465 841 9
Recordamos las décimas y las centésimas Los decimales son la forma que tenemos de expresar cantidades menores a lo que tomemos como unidad. Puede ser el número 1, 1€, 1 millón de euros, un edificio, la longitud de un muro de la clase… Sea cual sea la unidad de referencia, a cada parte de las 10 que podemos dividir la llamamos décima.
décima
Igualmente, a cada parte de las 100 en las que podemos dividir la unidad de referencia la llamamos centésima.
( ) 1 10
centésima
( ) 1 100
Recuerda que la décima es 10 veces más pequeña y la centésima lo es 100 veces más pequeña. UM
C
D
U
d
c
Equivalencias:
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
→ 1 UM = 100 000 c → 1 C = 10 000 c → 1 D = 1 000 c → 1 U = 100 c → 1 d = 10 c →1c=1c
1
1 Busca situaciones de la vida real en la que uses décimas y centésimas. 2 En el dinero tenemos céntimos. ¿Tenemos también décimas en los euros?,
¿qué moneda agrupa las décimas de euro? 3 Convierte las centésimas en unidades.
a) 1 000 c = 10 U
b) 4 000 c = … U
c) 60 000 c = … U
d) 1 200 c = … U
e) 24 000 c = … U
g) 850 000 c = … U
4 Ahora, con parte decimal. Mira el ejemplo:
10
a) 235 c = 2,35 U
b) 458 c = … U
c) 3 232 c = … U
d) 1 208 c =… U
e) 14 c = … U
f) 42 503 c = … U
Unidad 1
La milésima Seguimos haciendo partes de la unidad con un nuevo orden de magnitud. Sea cual sea la unidad de referencia, a cada parte de las 1000 en la que la podemos dividir la llamamos milésima. milésima
( ) 1 1 000
Recuerda que la décima es 10 veces más pequeña y la centésima lo es 100 veces más pequeña. UM
C
D
U
d
c
m
Equivalencias:
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
→ 1 UM = 1 000 000 m → 1 C = 100 000 m → 1 D = 10 000 m → 1 U = 1 000 m → 1 d = 100 m → 1 c = 10 m
1
1 Convierte las milésimas en:
a) 10 000 m = … U
b) 4 000 000 m = … C
c) 6 000 m = … D
d) 7 000 m = … c
e) 7 000 m = … U
f) 80 000 m = … d
2 Ahora, con parte decimal. Mira los dos ejemplos:
a) 2 354 m = 2,354 U
b) 458 m = 4,58 d
c) 322 m = … d
d) 1 258 m = … c
e) 104 m = … U
f) 43 250 m = … D
g) 600 000 m = … C
h) 6 250 m = … D
Vamos a convertir 2 C 34 D 16 U 123 c en milésimas. Podemos ayudarnos de la tabla, si es preciso.
UM C 3 2
En total, son 557 230 milésimas. 5
D 4
U
d
c
m
1
6 1 7
2 2
3 3
0
5
3 Convierte en milésimas:
a) 1 C 1 D 10 U
b) 250 c 25 d
c) 4,5 C
d) 5 UM 5 U
e) 23 U 23 c 11
Nombre e intercalado de decimales Así se leen los números decimales: 23,043 → Veintitrés enteros con cuarenta y tres milésimas 800,104 → Ochocientos enteros con ciento cuatro milésimas 6,22 → Seis enteros con veintidós centésimas 3,5 → Tres enteros con cinco décimas 1 E scribe con letras.
a) 1,001
b) 1,011
c) 3,300
d) 100,001
e) 10,001
f) 1,101
2 E scribe con números en tu cuaderno y ordénalos de mayor a menor. Seis mil enteros con seis centésimas Ciento doce enteros con ciento doce milésimas Cuarenta y tres enteros con cuarenta y tres centésimas Cuarenta y tres enteros con cuarenta y tres milésimas Ciento ocho enteros con ocho milésimas Ciento ocho enteros con ocho décimas
Intercalamos números decimales Te lo explicamos con un ejemplo. Vamos a buscar un número que esté situado entre los números 0,22 y 0,23. Se hace así:
¿Y si se intercala entre 0,2 y 0,31?
1 Añade un cero a cada número:
0,220 y 0,230.
1 Añade un cero al 0,2, para igualar el
número de cifras decimales: 0,20 y 0,31.
2 Puedes intercalar cualquier número
que vaya desde 0,221 hasta 0,229.
2 Puedes intercalar cualquier número
entre 0,21 y 0,30. 3 E scribe un número decimal que esté comprendido entre:
12
a) 0,1 y 0,2
b) 0,33 y 0,34
c) 0,1 y 0,01
d) 0,54 y 0,545
e) 0,8 y 0,9
f) 1,1 y 1,09
Unidad 1
Descomposiciones y descomposiciones con decimales Para descomponer cantidades con decimales, podemos hacer lo que hasta ahora. Pero tenemos una opción más. Lo vemos con el ejemplo del número 3,456. Descomposiciones simples: 3U4d5c6m
34 d 56 m
3 U 456 m
345 c 6 m
1 U 2456 m
342 c 36 m
De OM mayores a OM menores. 1 U 24 d 5 c 6 m
32 d 256 m
De los OM mayores a varios OM menores (encabalgamientos). 2 U 14 d 15 c 6 m
3U4d5c6m
3U4d5c6m
Ahora que conocemos los decimales podemos hacer descomposiciones de los OM menores a los mayores. Mira varios ejemplos. 25 U = 2,1 D y 4 U = 2,2 D y 3 U = 2,3 D y 2 U = 2,4 D y 1 U =2,5 D 25 U = 2,5 D = 0,25 C = 0,025 UM 1 R ealiza descomposiciones de las cuatro formas anteriores con estos números.
a) 24,5
b) 3,67
c) 0,48
2 Descompón para que haya, al menos, el orden que se indica.
a) 95 → con C → 0,9 C 5 U también puede ser 0,8 C 15 U o también 0,5 C 44 U 10 d y… b) 57 → con C
c) 8 → con D
d) 8 → con C
e) 0,5 → con D
Para reagrupar una descomposición con decimales podemos usar la tabla de órdenes de magnitudes.
C 2
Por ejemplo, 24 D 36 U 14 d 234 c 28 m O directamente teniendo en cuenta el orden de magnitud de cada grupo de magnitudes descompuestas y reagrupando todas las del mismo orden. 24 D 2C
36 U 4D
3D
14 d 6U
1U
4d
2U
2 234 c 3d
D 4 3
7
U
d
6 1 2
4 3
9 7 279,768
c
m
4 2 6
8 8
28 m 4c
2c
8m
2 C 7 D 9U 7 d 6 c 8 m → 279,768 3 Compón estas descomposiciones con el método que te sea más fácil.
a) 1 D 23 U 114 d = 444
b) 4 D 35 U 38 d
c) 6 U 34 d 6 c 15 m
d) 24 d 105 c 13
Redondeos con decimales Los redondeos con números decimales se hacen igual que con números naturales. Recuerda: 1 Localiza el orden de magnitud que quieras redondear. 2 Mira las cifra del orden de magnitud menor y…
• Si la siguiente cifra es 5 o mayor de 5, la redondeamos a la siguiente cifra de la magnitud que queremos redondear. Ejemplo con decimales: Tengo 248,58. ¿De qué estoy más cerca, de tener 248 € o de tener 249 €? Vemos que el orden de magnitud después de la unidad es el 5, por tanto 248,58 está más cerca de completar un euro más del que solo le faltan 0,42 €. Por tanto, se puede redondear al 249 €. • Si la siguiente cifra es menor de 5, redondeamos dejando la cifra de la magnitud indicada. Observa el ejemplo. Si tengo 248,23 € el orden de magnitud después de la unidad es 2 (menor de 5) por tanto 0,23 está más cerca del 0 que de 100 cts (1 €) para el cual le faltan 77 cts. Por tanto, se puede redondear a 248 €. Recuerda que, si la siguiente cifra es un 5, redondeamos hacia arriba. 1 Redondea a la unidad más cercana a estas cantidades.
a) 2,999 → 3
b) 35,09
c) 51,51
d) 8,098
e) 0,612
c) 51,51
d) 8,098
e) 0,612
2 Redondea a la décima más cercana.
a) 2,99 → 3
b) 35,09
3 Todas estas cantidades están redondeadas a la unidad, pero solo una está bien.
Encuentra la correcta y arregla las incorrectas. a) 0,999 → Redondeo 9 b) 3,901 → Redondeo 4 c) 0,08 → Redondeo 0,1 d) 78,6 → Redondeo 7,9
14
Unidad 1
Cálculo aditivo con decimales Todas las operaciones aditivas de sumar, restar, varios sumandos, sumirrestas y doble restas que ya sabes hacer, se realizan igual con números decimales y todos los recursos que has aprendido los puedes utilizar igualmente. Vamos a practicar estas operaciones con un juego en el que aprenderemos un poco de mitología griega, en la que están basados muchos videojuegos y películas. 1 Haz las operaciones y busca en las claves el nombre de los primeros dioses que dieron origen a
otros dioses de la mitología griega.
2,781+ 2,691
86,402 – 86,33
6,25 – 3,75
100 – 99,08
903,36 – 578,88
985,26 + 476,95
Clave Ten cuidado porque algunos nombres no corresponden con las soluciones 5,741
Júpiter
1462,21 Deméter
5,472
Zeus
324,48
2,5
Hestia
1,92
78,238 98,1
Hades Bob Esponja
278,25
Juno
0,92
Poseidón
Neptuno
92,25
Penélope
Pepe
0,072
Hera
2 Practica con estas otras operaciones.
a) 9,04 + 37,26 + 15,6
b) 13,42 + 56,8 – 24,78
c) 8,062 + 7,425 + 6,575
d) 87,05 – 4,36 – 31,45 15
RESUELVO PROBLEMAS Repasamos problemas aditivos I A E V1 Re p a s
oP
Resuelvo problemas 1 Un ordenador costaba 755 € y ahora cuesta 613 €. Un reloj inteligente costaba 455 € y ahora
cuesta 509 €. ¿Cuánto dinero han rebajado el ordenador? ¿Cuánto dinero han subido el reloj? 2 En la feria de las nuevas tecnologías hay 5 pabellones distintos. En el pabellón de ordenado-
res había 2 333 personas, han dejado entrar a un nuevo grupo de gente y ahora hay 2 751. Por otra parte, al pabellón de dispositivos móviles acaban de entrar 450 personas y ahora hay dentro 3 100 personas. ¿Cuántas personas acaban de dejar entrar al pabellón de ordenadores? ¿Cuántas personas había antes en el pabellón de dispositivos móviles? 3 A una exposición de automóviles han asistido 6 150 personas, 5 900 eran adultos y el resto
niños. Entre los niños se repartieron 143 globos rojos y 89 azules. ¿Cuántos niños fueron a la exposición? ¿Cuántos globos se repartieron en total? 4 Han subido 2 000 € el precio de un coche y ahora cuesta 17 500 €. Sin embargo, han rebaja-
do el precio de una moto 750 € y ahora cuesta 7 565 €. ¿Cuánto costaban antes cada uno de los dos vehículos?
Invento, creo y razono 5 Observa los datos y la solución de este problema. Elige las operaciones que lo resolverían y
redacta el enunciado correspondiente.
Datos:
6 + 6 = 12 12 + 2= 14 móviles
6 móviles en cada mesa (dos mesas).
6 + 6 + 2 = 14 móviles
Dos móviles no se encienden.
6 + 6 = 12 12 – 2 = 10 móviles
Solución: Quedan 10 móviles en funcionamiento.
6 Inventa un problema para estos datos y esta solución. Después, resuélvelo.
Datos: Han salido 555 personas. Ahora quedan 3 250 personas.
16
Solución: Antes había 3 805 personas.
Unidad 1
Repasamos problemas aditivos II
Re p a s
o PA E
V1
Resuelvo problemas 1 Hugo ha conseguido 555 puntos jugando a un juego de estrategia que había en la bibliote-
ca, 184 más que Samuel y 217 menos que Jorge. ¿Cuántos puntos tiene cada uno de ellos? 2 Un libro de misterio tiene 265 páginas. Si un cómic tuviese 166 páginas más, tendría tan-
tas como el libro, y si una enciclopedia tuviese 284 menos, tendría el mismo número de páginas que el cómic. ¿Cuántas páginas tiene el cómic? ¿Y la enciclopedia? 3 En la biblioteca de Aranjuez hay aproximadamente 8 600 libros, 1 800 menos que en la de Pin-
to. Si en la biblioteca de Pinto hubiese 2 100 libros menos, habría tantos como en la de Valdemoro. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca de Pinto? ¿Y en la de Valdemoro? 4 Una enciclopedia pesa aproximadamente 2 kg, un diccionario escolar 1 100 g y un libro
de poemas 350 g. ¿Cuántos gramos más pesa la enciclopedia que el diccionario? ¿Cuánto más debería de pesar el libro de poemas para pesar tanto como el diccionario?
Invento, creo y razono 5 Inventa las preguntas para este problema y estas soluciones.
Un cómic del hombre murciélago cuesta 8,50 €, 0,60 € más que el del superhombre. Si el cómic de Tintín costase 1,20 € más, valdría lo mismo que el del superhombre. ¿ … ? S: 7,90 € ¿ … ? S: 6,70 € ¿ … ? S: 23,10 € 6 Observa el siguiente enunciado y la solución e indica qué le faltaría para
convertirlo en un problema. En la sección infantil de la biblioteca hay 55 personas. ¿Cuántas personas más hay en la sección infantil que en la juvenil? ¿Cuántas personas menos hay en la sección juvenil que en la de adultos? Solución: En la sección infantil hay 25 personas más que en la juvenil, y en esta 15 menos que la de adultos. Falta: …
17
TAREA COMPETENCIAL Una competición muy reñida En el mundial de gimnasia deportiva los jueces y juezas tienen una labor muy importante. Tras realizar diferentes pruebas, estos son algunos de los resultados obtenidos. Ayúdales a decidir las campeonas de cada disciplina. anillas
salto
barra fija
Emma
8,999
9,105
9,3
Lucía
8,909
9,111
9,045
Anna
8,099
9,11
9,55
Eva
8,990
9,1
9,575
1 Los jueces y juezas se han puesto a deliberar porque los resultados son muy ajustados y no quie-
ren equivocarse antes de anunciar a las ganadoras. Ayúdales completando estas afirmaciones. • Si Emma hubiese obtenido … centésimas menos en las anillas habría sacado la misma puntuación que Lucía. • Anna ha obtenido un 9,11 en la prueba de salto, … menos que Lucía. • Si Anna hubiese obtenido … milésimas más en la prueba de barra fija, habría sacado la misma puntuación que Eva. 2 La final de salto ha sido especialmente ajustada. Ordena de mayor a menor las puntuaciones ob-
tenidas e indica quién ha sido la campeona. a) Emma
b) Lucía
c) Anna
d) Eva
3 A la final de anillas le ha pasado prácticamente lo mismo. Esta vez, cada juez ha pasado una clasi-
ficación diferente. Indica qué clasificación está correctamente ordenada de mayor a menor. a) Emma, Lucía, Anna y Eva.
b) Lucía, Eva, Anna y Emma.
c) Emma, Eva, Lucía y Anna.
d) Emma, Lucía, Eva y Anna.
4 La final de barra fija ha estado un poco más clara y la ganadora ha sido Eva. Indica cuál de las si-
guientes cantidades se aproxima más a la puntación que ha obtenido. a) 9,6
b) 9,5
c) 9,57
d) 9,56
5 Durante la retrasmisión televisiva, la comentarista dijo que la final fue seguida por 1 499 567, apro-
ximadamente 2 millones de telespectadores. ¿Acertó o se equivocó en la aproximación? Justifica tu respuesta aproximando la cantidad propuesta a la UMM, la CM y la DM. 18
Unidad 1
REPASO 1 Resuelve las siguientes operaciones:
a) 78,17 + 43,84 + 99,99
b) 96, 98 – 22,65 – 19,99
c) 65 D 37 U + 48 C 48 D
d) 48 C 36 D – 29 D 128 U
2 Los puntos que han logrado 3 equipos de baloncesto en 10 partidos
han sido: Lugo: 734; Sabadell: 815; Granada: 807. Tienes que hacer lo siguiente: 1º) Descompón los puntos anteriores en órdenes de unidades. 2º) Súmalos utilizando las descomposiciones. 3º) Convierte la suma y comprueba si lo has hecho bien. 3 ¿Cuánto falta para el millón?
a) 60 DM + … UM.
b) 500 UM + … DM.
c) … D + 700 000 U.
d) 60 DM + … C.
4 ¿Cuánto mide el muñeco? Da la respuesta en centímetros y milímetros.
¿Cuánto es eso solo en milímetros? 5 Sigue las series con cuatro números decimales más.
0,15
0,35
0,55
4,63
4,33
4,03
6 Resuelve los siguientes problemas: A María tiene una marca en salto de altura de 126 cm y su hermano mayor de 43 cm más que
ella. ¿Cuál es la marca en salto de altura de su hermano? B José Manuel ha recorrido hoy 126 km entrenando con su bicicleta y José Antonio ha recorrido
43 km menos que él. ¿Cuántos km ha entrenado Pedro? C Un videomarcador de 46’’ cuesta 698 €. Uno de 32’’ cuesta 279 €.
¿Cuánto dinero más tendría que añadirse al precio del pequeño para que costara lo mismo que el grande? D Un videomarcador de 46’’ cuesta 698 €. Uno de 32’’ cuesta 279 €.
¿Cuánto dinero menos debería costar el videomarcador mayor para que costara lo mismo que el pequeño? 19
2
FRACCIONES
Una fracción es la forma de expresar una división y las partes que se han tomado de esa división. En el ejemplo se ha cortado la tarta en 4 trozos, de los que quedan 3 y se escribe así:
3 4
→ Numerador → Es el número de partes que se cogen. → Denominador → Es el número de partes en que se divide la unidad.
La representación de la fracción en la recta numérica es así: 0 0
Tipos de fracciones
0
3 4
1 1
1
Fracciones propias
Fracciones impropias
El numerador es menor que el denominador.
El numerador es mayor que el denominador.
La fracción es menor que uno: 2 5
La fracción es mayor que uno: 6 5
Números mixtos Fracciones iguales a la unidad
Son los formados por un número natural y una fracción: 2 y 2 3
El numerador es igual que el denominador. La fracción es igual a uno: 3 3
¡¡¡Mmm!!! ¿Qué tendrán las fracciones para que me gusten tanto?
Fracciones equivalentes Son las que representan la misma cantidad. 1 2
3 6
2 4
1 Clasifica en tu cuaderno las siguientes fracciones como propias, impropias o iguales a la unidad:
a) 2 3
b) 3 2
c) 3 8
d) 3 3
e) 5 4
f) 9 9
2 Representa en tu cuaderno las siguientes fracciones en la recta numérica y escribe las fracciones
representadas en las rectas numéricas: a) 6 9 20
b) 4 4
c) 7 4
d)
0
1
e)
0
1
Unidad 2
Fracciones mixtas Las fracciones mixtas están formadas por un número natural y una fracción. El número natural está divido en el mismo número de partes, es decir, tienen el mismo denominador, y se toman todas.
2 Número natural
2 3
Fracción
La parte de la fracción mixta que está formada por el número natural son todas las unidades que se han tomado completas. En nuestro ejemplo 3 + 3 , o lo que es igual 1 + 1 = 2 3 3 La parte de fracción es la parte que no tomamos completa: 2 3 1 Expresa como número mixto estas representaciones gráficas.
1 2 3 2 3 4
a) c)
2 1 4
b) d)
1 1 4
Para pasar de fracción propia a mixta, solo tienes que dividir el numerador entre el denominador. Así obtienes cuántas unidades completas hay en dicha fracción y el resto es el numerador de la fracción restante. 11 11 : 2 = 5 y resto 2 → Fracción mixta 5 1 2 2 Y para pasar de fracción mixta a fracción propia, multiplicamos el número natural por del denominador para saber cuántas veces está partido ese número natural y finalmente sumamos el denominador. 1 Fracción mixta 5 → 5 × 2 = 10; 10 + 1 → Fracción propia 11 2 2 2 Expresa como fracción propia.
a) 3
3 15 = 4 4
b) 2
1 =… 3
1 =… 2
d) 4
2 =… 5
26 =5… 5
d)
9 =2… 4
c) 1
3 Expresa como fracción mixta.
a)
13 1 =4 3 3
b)
7 =3… 2
c)
21
Las fracciones en la vida diaria Las fracciones nos rodean en la vida diaria. Pedimos medios (1/2), cuartos (1/4), tres cuartos (3/4) de kg de fiambres, frutas, bebidas; medimos el tiempo en cuartos, media o tres cuartos de hora, etc. Observa cómo indicamos en fracciones estos ejemplos.
4/4 Un pack Fracción equivalente a la unidad
Los yogures que quedan son 3/4 Fracción propia
Hemos comido 1/4 de los que había Fracción propia
Hay 1 2/4 Fracción mixta También 6/4 Fracción impropia
1 Indica en tu cuaderno la fracción de quesitos que hay en la caja.
1
3 8
u
11 8
a) …
b) …
c) …
d) …
2 Indica la fracción de los quesitos que no están en las cajas del ejercicio anterior.
…
a) …
b) …
c) …
d) …
3 Indica la fracción que representan estas imágenes.
5 6
…
…
…
…
4 Escribe en tu cuaderno dónde podemos encontrar estas fracciones en la vida cotidiana.
1 Ejemplo: medio litro de leche 2 3 c) Ejemplo: …de hora 4 a)
1 Ejemplo: … de fiambre 4 1 d) Ejemplo: … huevo de la docena 12 b)
5 ¿Qué relación hay entre Harry Potter y las fracciones? 22
Unidad 2
Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor. Si sabes hallar la fracción equivalente de una serie, podrás compararlas. Puedes conseguir que tengan el mismo valor de la siguiente forma: A Si una de las fracciones tiene un denominador que es múltiplo de
los demás:
1 , 2 , 3 3 4 12 •S i cada parte de 1/3 se divide en 4 trozos, entonces se convierte en 4 . 12 •S i cada parte de 2 se divide en 3 trozos, entonces 4 se convierte en 6 . 12 B Si ninguno de los denominadores de las fracciones es múltiplo de
los demás:
3 – 1 9 6 • Se va repitiendo el denominador mayor (en nuestro ejemplo, el 9) hasta que se convierta en un número que también se obtenga multiplicando el denominador más pequeño: 9-18-27, etc. El 18 es múltiplo también de 6. • Cada parte de 3 se divide en 2 trozos, entonces se 9 convierte en 6 . 18 •C ada parte de 1 se divide en 3 trozos, entonces se 6 convierte en 3 . 18
1
verigua el denominador que permite construir la fracción equivalente de cada una de las A siguientes series: a) 2 , 3 , 4 3 5 9
2
b) 1 , 4 5 8
c) 4 , 1 11 2
d) 2 , 3 7 4
e) 2 , 5 , 1 3 6 4
Efectúa las siguientes operaciones: a) 6 – 2 – 1 8 8 16
b) 6 + 2 + 1 18 9 6
c) 17 – 16 + 3 21 42 21
d) 4 + 8 – 16 4 4 8 23
Reconocer fracciones equivalentes Para reconocer fracciones equivalentes Se multiplican en cruz. El numerador de una por el denominador de la otra, y al revés. ¡Y los productos son iguales!
3 6 = 5 10
3 × 10 = 30 6 × 5 = 30 Son equivalentes porque al multiplicar en cruz, da 30 en los dos casos.
1 Clasifica en tu cuaderno las siguientes parejas de fracciones, según sean equivalentes o no equiva-
lentes (utiliza la calculadora si lo necesitas): a) 3 y 15 5 25
b) 8 y 24 36 108
c) 100 y 60 500 3 000
2 Halla el término que falta para que estas parejas de fracciones sean equivalentes:
a)
? y 6 8 16
b) 4 y 12 5 ?
c) 1 y 9 18 ?
3 ¿Qué fracción de pizza ha comido el segundo amigo? Me he comido 3 de una pizza. 8 Pues yo me he comido el doble de trozos que tú y, sin embargo, he comido la misma cantidad.
4
24
Sara tiene los 4 de un billete de diez euros en monedas de un euro. María tiene, en monedas, 10 8 los de un billete de diez euros. ¿Tienen la misma cantidad de dinero Sara y María? ¿De qué 20 valor son las monedas de María?
Unidad 2
Fracciones irreducibles ¿Qué estás haciendo?
Una fracción irreducible es la que no se puede simplificar más. Un ejemplo: La fracción 1 es la fracción irreducible de todas estas 2 fracciones equivalentes: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 10 , 50 … 2 4 6 8 10 20 100
Estoy reduciendo fracciones.
¡Que así no es! Mira y aprende.
¿Cuál es la fracción irreducible del conjunto de fracciones equivalentes siguiente?
3, 6, 8, 7 15 30 40 35
La fracción irreducible es 1 , ya que es la fracción que 5 obtenemos al simplificar cada una de ellas. 1
Halla la fracción irreducible de las siguientes series: A
D
B
3 , 6 , 12 12 24 48
E
8, 9, 3 64 72 24
C
2 , 5 , 10 14 35 70
F
2 , 8 , 10 6 24 30
4 , 6 , 10 20 30 50 4, 5, 9 24 30 54
2 Escribe en tu cuaderno la fracción irreducible de estas fracciones:
a) 2 4
b) 3 9
c) 18 36
d) 9 54
e) 10 18
f) 7 35
De un kilogramo de paté han vendido los 2 y los 2 . ¿Qué fracción queda por vender? 10 5 ¡No te olvides 4 E l paté del problema anterior costaba 30 € el kilo. ¿Cuánto cuestan los 3 ? 10 de reducir el ¿Y los 2 ? ¿Cuánto cuesta la porción que queda por vender? resultado! 5
3
5
Cien gramos de jamón de York cuestan 1,20 €. ¿Cuánto cuesta 1 kilo? ¿Y 3 de kilo? ¿Y 4 de kilo? 2 4 6
6
Tenemos 20 manzanas en el frigorífico. Un día, nos comimos los 5 , y 20 otro día, 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas nos hemos comido en total? ¿Qué fracción de las 20 manzanas queda en el frigorífico? 25
Valor de una fracción El valor de una fracción se obtiene dividiendo el numerador por el denominador. El valor de 1 es 0,25 porque al hacer la división se obtiene 0,25. 4 Para comparar u ordenar fracciones:
Con el mismo denominador
Con distinto denominador 5 y 4 2 8
Es mayor la que tenga el numerador mayor. 3, 5, 7 → 7 > 5 > 3 8 8 8 8 8 8
a) Podemos realizar las divisiones: 5 = 2,5; 4 = 0,5 → 5 > 4 2 8 2 8 b) O buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador: 5 y 4 → 20 y 4 → 20 > 4 → 5 > 4 2 8 8 8 8 8 2 8
1 Clasifica en propias, impropias y unitarias las fracciones cuyos valores numéricos te damos a con-
tinuación: a) 0,3 es propia
b) 1
c) 1,5
d) 0,75
e) 3,5
f) 2
2 Escribe en tu cuaderno las fracciones que corresponden a los siguientes valores numéricos:
a) 0,25 =
1 4
b) 0,5
c) 3
d) 1,5
3 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones con el
mismo denominador: 3 9 14 14
1 14
7 14
13 14
4 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones con el
mismo numerador: 5 5 15 8 26
5 25
5 3
5 5
e) 0,75
f) 1
Unidad 2
Órdenes de magnitud
( )
3 3 de DM? La fracción décima significa que es diez veces menor que la DM; 10 10 3 por tanto, son UM. Y como el numerador es 3, resulta que de DM son 3 UM o 30 C o 300 D 10 o 3 000 U. ¿Cuánto es
3 significa que es 10 veces menor que la DM. 10 Es lo mismo que 3 UM = 30 C. 1 Resuelve en tu cuaderno:
a) 4 de UM son … C 10 d) 4 de DM son 40 … 10
b) 6 de UM son … D 10 e) 5 de C son 50 … 10
c) 4 de C son … U 100 f) 8 de d son 8 … 10
Fracciones de órdenes de magnitud ¿Cómo calcular números que están formados por fracciones de órdenes de magnitud? Ejemplo: 4 de DM y 2 de C = 4 040 porque 10 5
4 DM = 4 UM = 4 000 U 10 2 C = 200 U = 40 U 5 5
2 ¿Qué números están formados por las siguientes fracciones de órdenes de magnitud? Ex-
présalo en unidades. a) 2 de UM y 3 de D 100 10
b) 6 de C y 30 de U 10 10
3 Pasa las siguientes cantidades de un orden de magnitud a otro usando
las fracciones cuando sea posible. Copia y completa la tabla: UM
C
D
U
d
c
8 1 000 23 10 000
8 100 23 1 000
8 10
8
8 × 10
8 × 100
…
23 10
23
23 × 10
6D
…
…
…
…
…
…
9d
…
…
…
…
…
…
15 C
…
…
…
…
…
…
8U 23 d
27
El dinero y las fracciones Las equivalencias entre los billetes y las monedas se pueden expresar como fracciones. Observa este ejemplo. 1 de 10 €
2 de 5€
5 de 2€
10 de 1€
20 de 0,50 €
50 de 0,20 €
100 de 0,10 €
200 de 0,05 €
500 de 1 000 de 0,02 € 0,01 €
Estos billetes y monedas como fracción de uno solo con respecto al total es: 1/1 1/2 1/5 1/10 1/20 1/50 1/100 1/200 1/500
1/1 000
1 Expresa en fracción un solo billete de los equivalentes al de 100 €.
…
…
…
…
…
2 Expresa en fracción una moneda de las equivalentes al billete de 100 € (hasta los 10 cts).
…
…
…
…
…
Si tomamos la moneda de 50 cts., sabemos que en 10 € hay 20 monedas de 50 cts. Su fracción es 1/20. Para más monedas lo podemos ver con patrones. 1 de 0,50 €
2 de 0,50 €
5 de 0,50 €
10 de 0,50 €
12 de 0,50 €
15 de 0,50 €
Más claro es buscar sus fracciones equivalentes irreducibles: 1/20 1/10 1/4 1/2 3/5 3/4
20 de 0,50 €
30 de 0,50 €
50 de 0,50 €
1
3/5
5/2
3 Expresa en fracción los siguientes billetes en relación con el de 10 €. Recuerda que en un billete
de 10 € hay 2 de 5 € → 2/2
a) 5 de 5 € → 5/2
b) 3 de 5 € → …
c) 6 de 5 € → …
d) 7 de 5 € → …
4 Simplifica a fracción mixta o fracción irreducible las fracciones anterior.
a) 5/2 → 2 1/2
b) 3/2 → …
c) 6/2 → …
d) 7/2 → …
5 Explica el número de billetes de 10 € y de 5 € que hay en el ejercicio anterior.
Ejemplo 1 1/2 → Dos billetes de 10 € y un billete de 5 €. 28
Unidad 2
Comparación de fracciones Fracciones con el mismo denominador Si tiene el mismo denominador, todas las partes son iguales y, por tanto, el que tenga el numerador menor y así sucesivamente. Poner los dibujos indicados.
5/6
4/6
1/6
2/6
3/6
1/6 < 2/6 < 3/6 < 4/6 < 5/6
1 Ordena de menor a mayor estas fracciones.
a)
4/4 < 1/4
b) 3/8 … 8/8
c)
4/6 … 2/6
d)
1/6 … 3/3
2 Escribe una fracción que sea mayor o menor a la indicada.
a) 2/4 < … /4
b) 2/4 > … /4
c) 1/2 < … /2
d) 4/5 > … /5
Fracciones con el mismo numerador Observa el ejemplo, en todos ellos el numerador es el mismo, 2. Cuando el numerador es igual, tomamos siempre el mismo número de trozos, pero no la misma cantidad. 2 2
2 3
2 5
2 12
Por ello, cuanto más grande sea su denominador (divisiones hechas), más pequeña será esa parte. Y, por el contrario, cuanto menor sea el denominador, mayor será esa parte. 3 Ordena estos pares de fracciones con el mismo numerador de menor a mayor.
a) 1/2 > 1/4
b) 3/4 … 3/8
c) 4/9 … 4/8
d) 2/5 … 2/8
4 Ordena estas fracciones con el mismo numerador de menor a mayor:
5/4; 5/8; 5/5; 5/10; 5/3 29
Suma y resta de fracciones con el mismo denominador Suma de fracciones con el mismo denominador Cuando sumamos fracciones con el mismo denominador, sumamos trozos iguales. + 2 6
+
= 3 6
+ 5 6
=
2 5
+
+ 3 5
= 1 5
+
6 5
=
1 Calcula la suma de las siguientes fracciones.
a) 4/4 + 1/4 = 5/4
b) 3/8 + 2/8
c) 1/6 + 2/6
d) 1/3 + 1/3 + 1/3
2 Indica la fracción que falta para que la suma sea correcta.
a) 4/4 + …/… = 5/4
b) 3/8 + …/… = 7/8
c) 2/5 + …/… = 4/5
d) …/… + 1/7 + 4/7 = 8/7
Restas de fracciones con el mismo denominador Con la recta se opera igual, solo que restamos el numerador y mantenemos el denominador. – 5 6
–
= 2 6
=
– 3 6
6 8
–
– 3 8
–
= 1 8
=
2 8
3 Calcula la resta de las siguientes fracciones.
a) 3/5 – 1/5 = 2/5
b) 3/8 – 2/8
c) 5/6 – 2/6
d) 7/8 – 2/8 – 1/8
4 Indica la fracción que falta para que la resta sea correcta.
a) 3/4 – …/… = 1/4
b) 9/7 – …/… = 6/7
c) 2/9 – …/… = 1/9
d) …/… – 6/6 = 2/6
Sumas y restas de fracciones con el mismo denominador Ya sabes cómo se opera la suma y la resta con igual denominador, cuando las combinamos se hace de la misma forma. 5 Calcula las siguientes operaciones con fracciones.
a) 4/4 + 1/4 – 2/4 = 3/4 30
b) 6/9 + 2/9 – 3/9 =
c) 9/5 – 6/5 – 1/5 =
RESUELVO PROBLEMAS Problemas con fracciones
Unidad 2
Sigo los pasos 1 En un supermercado venden distintos tipos de pizzas.
Dos octavos de las pizzas son Barbacoa, tres octavos Cuatro quesos y el resto Carbonara. ¿Qué fracción de las pizzas son Carbonara? Dibuja en tu cuaderno la pizza y escribe la solución.
Resuelvo problemas 2 Si te gustan mucho los bombones, ¿qué preferirías que te die-
ran, los 4 de una caja de bombones o los 7 ? Justifica tu 6 12 respuesta.
3 Dos décimos de los refrescos que tienen en un restauran-
te son de naranja, un décimo menos de los que tienen de limón. El resto son de cola. ¿Qué fracción de los refrescos son de limón? ¿Y de cola? 4 María ha hecho dos tartas por el cumpleaños de su hija. Al terminar la fiesta, quedaban
2 de una de las tartas, el resto se lo habían comido. ¿Qué fracción de las tartas se comie12 ron en la fiesta? 5 Laura, Marta y Alba tenían una moneda de un euro cada una. Laura se gastó 3 en golosi-
4 nas, Marta 1 y Alba 1 . ¿Cuánto dinero se gastó cada una? ¿Quién se gastó más? 2 5
6 C arlos se ha propuesto beber dos litros de agua al día, 2 más de lo que bebe su hermana.
5 ¿Qué fracción de agua bebe su hermana? ¿Qué fracción de agua beben entre los dos?
Invento, creo y razono 7 Lee con atención y resuelve en equipo.
A Ángel le gustan tanto las matemáticas que cuando le preguntan la edad dice que tiene 11 y 2 años, y su hermano Manuel tiene 9 y 3 . ¿Cuántos años y meses le lleva Ángel a Manuel? 6 4
31
RESUELVO PROBLEMAS Repasamos problemas multiplicativos Construyo la categoría 1 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su pregunta y con la operación que lo resuel-
ve y crea tres problemas distintos. Cuidado, hay fragmentos que sobran. En una calabaza de plástico hay 25 golosinas.
¿Cuántas calabazas de plástico hay?
¿Cuánto pesa una calabaza de plástico?
En 3 calabazas de plástico iguales hay 75 golosinas en total.
75 – 25 = 50
25 × 3 = 75
75 : 3 = 25 ¿Cuántas golosinas habrá en 3 calabazas iguales?
En cada calabaza de plástico hay 25 golosinas. Si en total tenemos 75 golosinas.
¿Cuántas golosinas hay en cada calabaza?
75 : 25 = 3
75 + 25 = 100
2 A partir de la situación que te ofrecemos, escribe los tres problemas que se resuelven con
cada una de las operaciones propuestas. Un zombi da 5 sustos en cada pasaje del terror. En 8 pasajes da 40 sustos en total. 8 × 5 = 40 sustos en total
40 : 8 = 5 sustos en cada pasaje
40 : 5 = 8 pasajes del terror
Resuelvo problemas 3 En el mes de octubre celebran Halloween en el Parque de Atracciones de Madrid. En la casa
del terror hacen 15 pases cada día. ¿Cuántos pases harán en una semana? ¿Y en todo el mes?
32
Unidad 2
4 Seis grandes calabazas pesan 24 000 gramos en total. Si to-
das las calabazas pesan lo mismo, ¿cuántos kg pesa una? ¿Cuántos kg pesarían 9 calabazas iguales? 5 El Franklin donuts prepara una selección de dónuts espe-
ciales por Halloween. Este año han hecho 480 dónuts que venderán en cajas de una docena a 10 € la caja. ¿Cuántas cajas han hecho? ¿Cuánto dinero recaudarán si venden todas las cajas? 6 La maestra Patricia ha comprado 25 disfraces a 10 € cada uno. Por el mismo dinero que se
ha gastado Patricia, Natalie ha comprado máscaras a 5 € cada una. ¿Cuánto dinero se ha gastado Patricia? ¿Cuántas máscaras ha comprado Natalie? 7 En el bazar Sorpresa han comprado 160 arañas decorativas, 40 me-
nos que el bazar Molón. El bazar Molón quiere vender las arañas a 4 € cada una. ¿Cuánto dinero recaudará el bazar Molón si vende todas las arañas?
Invento, creo y razono 8 Elige los razonamientos adecuados para resolver este problema y ordénalos en tu cuaderno.
Para mi fiesta de Halloween he comprado 2 disfraces a 25,50 € cada uno, tres guirnaldas decorativas y media docena de dónuts a 1,25 € cada uno. Si todo me ha costado 63 €, ¿cuánto dinero me han costado las guirnaldas? Sumar lo que me han costado los disfraces y los dónuts. Sumar media docena a 1,25 €. Multiplicar el precio de un disfraz por dos. Multiplicar el precio de una guirnalda por tres. estar lo que me ha costado todo, menos lo que R me han costado los disfraces y los dónuts en total. Multiplicar el precio de un dónut por seis.
33
TAREA COMPETENCIAL Helados con sabor Roberto es el propietario de una famosa heladería. Al finalizar cada mes recoge la información sobre los helados más vendidos y elabora una clasificación para informar a los clientes de los sabores más vendidos. Acompáñale en la elaboración de la de este mes.
Helado de chocolate
Helado de vainilla
Helado de fresa
Helado de menta y chocolate
1 Uno de sus aprendices le ha pasado un pequeño informe con estas afirmaciones. Algunas de
ellas no son correctas. Indica cuáles son verdaderas antes de elegir el helado más vendido. Hay tres tipos de helados de los que se ha vendido más de una tarrina completa. Solo hay un helado del que no se ha llegado a terminar una tarrina. La mitad de los helados que se venden llevan chocolate. La mitad de los helados son de fresa. El helado más vendido este mes es el de fresa. 2 Ante tal desbarajuste Roberto decide rehacer él mismo el informe. Primero, antes de seleccionar
el helado más vendido pasa los números mixtos a fracciones impropias, de esta forma será más fácil ordenarlos. 3 Una vez que ya tiene todos los helados en forma de fracción decide clasificar los helados en dos
grupos. Aquellos de los que se ha vendido más de una tarrina (fracción impropia) y aquellos de los que se ha vendido menos de una (fracción propia). Clasifícalos. 4 No todas las fracciones tienen el mismo denominador, lo cual dificulta su clasificación. Halla las
fracciones equivalentes necesarias y escoge el orden adecuado de más vendido a menos vendido y así Roberto podrá publicar su clasificación. a) Vainilla, menta y chocolate, chocolate y fresa. c) Menta y chocolate, chocolate, fresa y vainilla.
b) Vainilla, fresa, chocolate y menta y chocolate. d) Menta y chocolate, chocolate, vainilla y fresa.
5 Finalmente Roberto hace balance del mes. Ha vendido aproximadamente 11 tarrinas completas, re-
caudando un total de 550 €. El próximo mes quiere recaudar 600 €, ¿cuántas tarrinas debería vender? a) 9 tarrinas 34
b) 10 tarrinas
c) 12 tarrinas
d) 13 tarrinas
Unidad 2
REPASO 1 A esta avioneta le faltan los nombres de las distintas partes que la forman. Para encontrarlos, de-
bes buscar en las claves, en cada caso, una fracción equivalente de la que se indica. Por ejemplo: en la avioneta, 1 = 3 que corresponde al ala. 6 2 8 2 4 32 9 16 18 1 3 2 9 6 = → Ala 2 6 20 2 4 21 6 15
3 5
6 14
4 7
20 25
6 8
Claves
12 12
1 10
Flap izquierdo
3 7
Hélice
3 4
Tren aterrizaje
21 14
Cristal delantero
7 45
Cristal trasero
3 6
Ala
4 5
Alerón derecho
2
Caja negra
4 18
Alerón izquierdo
8 14
Flap derecho
1
Motor
8 3
Timón de dirección
2 9
Estabilizador vertical
9 15
Extremo del ala
7 5
Timón de profundidad
45 10
Fuselaje
1 4
Estabilizador horizontal
2 3
Cabina
¡Cuidado! Quizá te sobre algu na clave.
Piensa y encontrarás la solución Una bacteria tarda en reproducirse y convertirse en otras dos bacterias idénticas una hora, volviéndose a reproducir exactamente igual en el mismo tiempo. Si la introducimos en una botella a las 00:00 horas de un día cualquiera, tardaría en llenarla 24 horas. ¿A qué hora de ese día estaría la botella justo por la mitad?
35
Numeración
REPASO
1 Recuerda que no es lo mismo «el número de…» que «la cifra de…» de una cantidad cualquiera.
Vamos a repasarlo respondiendo a estas preguntas: a) ¿Cuál es la cifra de las centenas de millar en 2 456 701? b) ¿Cuál es la cifra de las decenas de millar en 905 456? c) ¿Cuál es el número de las decenas de millar en 905 456? d) ¿Cuánto falta para formar un millón si tenemos 7 CM, 4 DM, 5 UM, 2 C, 8 D y 6 U? 2 Redondea en tu cuaderno la unidad de millar de las puntuaciones que han obtenido estos ami-
gos jugando a la videoconsola. puntos
redondeando
Jorge
23 785
…
Claudia
125 608
…
José Carlos
88 453
…
Adrián
281 502
…
3 Escribe, con letra, estos números decimales en tu cuaderno:
a) 4,25
b) 0,15
c) 3,05
d) 0,75
e) 0,235
f) 2,024
4 Fíjate en los números que usaban algunas civilizaciones antiguas. ¿Cómo escribirías tu edad en
los números de cada una de esas civilizaciones? Egipcia Babilónica China Maya Arábiga 5 Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales y obtendrás una palabra curiosa,
porque es larga y no repite ninguna letra: O → 0,104
P → 0,054
E → 0,88
R → 0,074
U → 0,24
N → 0,242
I → 0,305
Z → 0,45
S → 0,505
D → 0,3
F → 0,144
A → 0,458
T → 0,826
6 Repasa estas sumas y restas con decimales que aprendiste en otros cursos:
68
a) 2,45 + 5,45
b) 0,124 + 0,243
c) 0,028 + 0,036
d) 0,2 + 0,08
e) 3,68 – 2,35
f) 0,345 – 0,223
g) 0,075 – 0,034
h) 0,8 – 0,25
UNIDADES
1a4
Fracciones 1 Cada pieza está formada por una caja con círculos encajables. La pieza princi-
pal tiene 8 círculos encajables. Identifica la fracción que corresponde al resto de las piezas respecto a la principal, que es 8 . 8
b
d
c
a
pieza principal
e
2 Halla el valor numérico de las anteriores fracciones con la calculadora. 3 Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de fracciones. Si lo haces correctamente, ob-
tendrás dos palabras sinónimas de «fracción». 18 → O 9
1 →Q 9
7 →B 9
9 →O 27
9 →T 3
9 →I 12
9 →A 9
3 →U 9
12 → D 9
9 →N 5
9 →E 9
9 →C 18
8 →R 9
6 →E 9
9 →C 35
9 →E 1
4 Escribe la fracción que representan estas figuras, cópialas en tu cuaderno y obtén dos fraccio-
nes equivalentes de cada una. a)
b)
c)
d)
5 ¿Cuándo una fracción es irreducible? ¿Y cuándo no? Pon un ejemplo de fracción irreducible y
otro de una que no lo sea. 6 Calcula el resultado de las siguientes operaciones de fracciones:
a)
4 3 + 8 8
e) 9 – 6 8 8
b)
7 2 + 11 11
f) 7 – 5 11 11
c)
6 3 + 9 9
g) 12 – 3 9 9
d)
3 1 2 + + 6 6 6
h) 15 – 4 – 1 6 6 6 69
Multiplicación 1 Calcula las siguientes multiplicaciones y averigua quién logrará más puntos jugando a los dardos. iván
iván
ana
lucía
37 × 42 63 × 25 73 × 39
ana
lucía
48 × 69 82 × 18 82 × 76
87 × 74 48 × 34 37 × 94
2 Y ahora, resuelve estas multiplicaciones con decimales.
a) 6,5 × 36
b) 7,2 × 27
c) 5,6 × 48
d) 68 × 5,8
e) 39 × 2,8
f) 69 × 4,9
g) 8,4 × 96
h) 27 × 8,10
3 Completa las tablas en tu cuaderno. A
34,5 × 10 = … 34,5 × 100 = … 3,45 × 10 = … 3,45 × 1 000 = …
B
60,7 × 10 = … 60,7 × 100 = … 6,07 × 10 = … 6,07 × 1 000 = …
C
4,51 × 10 = … 0,451 × 100 = … 45,1 × 10 = … 4,51 × 1 000 = …
4 Calcula estas multiplicaciones. Ten cuidado con los decimales y los ceros.
a) 35,6 × 705
b) 22 × 4,08
c) 1 124 × 0,3
d) 1 005 × 0,23
e) 5 000 × 0,33
f) 4 522 × 0,2
5 Resuelve los siguientes problemas. ¡Puedes usar la calculadora!
a) Natalia tiene de promedio de 85 pulsaciones por minuto. ¿Cuántas pulsaciones tiene en un día? ¿Y en 2? ¿Y en 4? b) ¿Cuántos millones de segundos hay en el mes de enero? ¿Y en abril? 6 Calcula estas multiplicaciones, con y sin decimales, utilizando el formato ABN.
a) 875 × 34
b) 4 357 × 6
c) 875 × 3,4
d) 57 × 0,06
7 Calcula estas multiplicaciones, con y sin decimales, utilizando el formato posicional.
a) 2 436 × 8 70
b) 23 894 × 4
c) 42,35 × 8
d) 789,4 × 0,6
UNIDADES
1a4
División 1 Las siguientes divisiones llevan decimales en el dividendo. Resuélvelas.
a) 49,4 : 2
b) 69,68 : 4
c) 77,64 : 6
d) 89,68 : 8
2 José Carlos se ha gastado 18,75 € en la compra de tres libros. ¿Cuánto le ha costado cada uno
si los tres costaban lo mismo? 3 En el depósito de chocolate líquido de una pastelería quedan 24,5 litros. Con ellos llenan
7 jarras. ¿Qué capacidad tendrá cada jarra?
4 Descubre el patrón y realiza las siguientes divisiones en tu cuaderno. A
8 : 10 = … 800 : 100 = … 80 : 100 = … 0,8 : 100 = … 0, 8 : 10 = …
B
27 : 100 = … 2 700 : 1 000 = … 2,7 : 100 = … 27 : 10 = … 270 : 1 000 = …
C
35 : 10 = … 0,35 : 100 = … 35 : 100 = … 3,5 : 1 000 = … 350 : 100 = …
5 Redondea para calcular el resultado de las siguientes divisiones.
a) 748 : 3
b) 776 : 8
c) 2 682 : 9
d) 1 592 : 4
c) 9 : 12
d) 2,35 : 7
6 Realiza las siguientes divisiones.
a) 0,69 : 3
b) 2 : 6
e) 21 : 28 71
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