Operació Món: Matemàtiques A 4 ESO Illes Balears (mostra)

4 ESO

LLICÈNCIA 12 MESOS

IllesBal ears

MATEMÀTIQUES A Operació món

José Colera J., M.a José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Ana Aicardo B.

Índex Els sabers bàsics del curs

Entrena’t resolent problemes

• Fes un esquema, un gràfic o una taula que t’ajudi a organitzar les dades

• En els problemes geomètrics, fes un dibuix!

• Experimenta, tempteja, posa exemples... conjectura i comprova...

• Investiga Problemes

Repassa i aprofundeix en els problemes aritmètics

1 Nombres naturals, enters i fraccionaris

1. Nombres naturals

2. Nombres enters

3. Fraccions

4. Operacions amb fraccions

5. Problemes amb fraccions

6. Potències Exercicis i problemes

3

1. Importància del sistema de numeració decimal

2. Tipus de nombres decimals

3. Pas de decimal a fracció

4. Quantitats aproximades. Errors

5. La notació científica Exercicis i problemes

1. Monomis i polinomis. Valor numèric

2. Operacions amb polinomis

3. Divisió d’un polinomi per (x a)

4. Arrels d’un polinomi

5. Factorització de polinomis

6. Preparació per a equacions

1. Equació. Solució d’una equació

2. Equacions de primer grau

3. Equacions de segon grau

4. Altres tipus d’equacions

1. Nombres irracionals

2. Nombres reals: la recta real

3. Trams a la recta real: intervals i semirectes

4. Arrels i radicals Exercicis i problemes

1. Sistemes d’equacions lineals

2. Resolució de sistemes d’equacions

3. Sistemes d’equacions lineals més complexos

4. Sistemes no lineals

5. Resolució de problemes mitjançant sistemes

6. Inequacions amb una incògnita Exercicis i problemes

7

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1. Conceptes bàsics

2. Taules de freqüències

3. Paràmetres estadístics: x i σ

4. Paràmetres de posició

5. Diagrames de caixa

6. Estadística inferencial

7. Estadística en el mitjans de comunicació

1.

2.

3.

4.

5.

1. Distribucions bidimensionals

2. El valor de la correlació

3. La recta de regressió per fer estimacions

4. Reflexionem: La correlació significa causa-efecte?

5. Distribucions bidimensionals amb calculadora Exercicis i problemes

9 Aplicacions de la semblança

1.

4.

5.

12

1. Obtenció de probabilitats: experimentació o càlcul matemàtic?

2. Esdeveniments aleatoris

3. Probabilitat d’un esdeveniment

4. Obtenció de la probabilitat d’un esdeveniment

5. Experiències compostes. Probabilitat

6. Taules de contingència

i problemes

Així és el teu llibre

UNITAT INICIAL: ENTRENA’T RESOLENT PROBLEMES

Entrena’t resolent problemes

Adquirir una destresa raonable en la resolució de problemes no és tasca d’un dia, no hi ha un mètode concret que, una vegada après, n’asseguri l’èxit. No obstant això, és ben sabut que la capacitat de resolució millora amb l’experiència (resolent-ne molts), que hi ha unes certes pautes generals que serveixen d’ajuda en moltes ocasions. Te’n recordarem algunes que, segurament, ja coneixes d’anys anteriors.

10

RECOMANACIONS PER RESOLDRE PROBLEMES No comencis a cegues. Estudia bé del problema Has de comprendre’l fins a ser capaç d’explicar-lo amb les teves pròpies paraules a un company o companya.

2 Experimenta Comença pel més fàcil.

Posa exemples. Resol casos particulars. Divideix-lo en parts.

3 Fes un gràfic, un dibuix, una taula, un esquema… Ordena les dades. Secunda organitza les teves idees.

4 Especula, conjectura prova Aventura possibles solucions, comprova-les critica-les. Cerca diferents camins.

5 Pensa si coneixes algun problema similar ja resolt Recorre la memòria, al quadern, al llibre…

A partir del text inicial, aprendràs a diferenciar entre exercici i problema, i establiràs els passos bàsics per resoldre un autèntic problema.

OBERTURA D’UNITAT

sobre quins requisits eren imprescindibles per definir una funció quins no. Al llarg d’aquest procés, nombrosos matemàtics, entre els quals destaquen Dirichlet, Riemann Weierstrass, varen anar perfilant el concepte, tractant de donar una definició precisa de funció. Fins que, el 1923, es va arribar a la definició següent, molt semblant a la que s’usa actualment: Es diu que y és una funció de x si a cada valor de x correspon un valor de y Aquesta correspondència s’indica mitjançant l’equació y =  (x).

Però en aquesta recerca de la precisió, es generaren una sèrie de funcions estrafolàries que varen contrariar Poincaré, incòmode amb la deriva que estava duent la definició de funció, la qual cosa el va dur, el 1899, a afirmar el següent:

«Durant mig segle hem vist una massa de funcions estranyes construïdes de manera que s’assemblin el menys possible a les funcions honestes que serveixen a algun propòsit. Abans, quan s’inventava alguna funció, era amb alguna meta pràctica. Avui són inventades amb la finalitat de mostrar que el raonament dels nostres antecessors va ser erroni».

En aquesta unitat ens dedicarem a aquestes funcions honestes que propugnava el gran Poincaré, unes funcions que serveixen per a alguna cosa més que per construir o desmuntar conceptes. Henri Poincaré (1854-1912).

PENSA PRACTICA

6 Ataca el problema de veres, però sense frustracions. Si has treballat, has après! La solució no és el més important. No tots els proble mes surten. Si algun no l’has pogut resoldre, ja sortirà un altre dia.

Estratègies de resolució de problemes, a través de les quals podràs trobar, de forma més senzilla, la solució.

Pensa i intenta resoldre. Problemes per practicar les estratègies treballades al llarg d’aquesta unitat.

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

8 si vols aprendre més… Cerca altres solucions. Inventa nous problemes.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

7 Sigues conscient del que has fet No et limitis donar la solució. Descriu tot el pro cés que has seguit de manera que pugui entendre’l un company o companya a qui li ve de noves.

En les pàgines següents desenvoluparem algunes d’aques tes recomanacions amb exemples i, després, et proposa rem problemes per entrenar-te practicar.

4. Polinomis

5. Equacions

6. Sistemes d’equacions inequacions

Quina és la gamma en °F?

L’àlgebra és un nou llenguatge amb el qual t’has de familiaritzar. Molts dels termes que usa són d’ús comú: incògnita, indeterminada, identitat, equació… Aquí aquestes paraules tenen un significat molt concret molt precís.

Les equacions, amb una o més incògnites, són traduccions al llenguatge algebraic de situacions reals. La destresa a plantejar-les a fer-les evolucionar fins a arribar a la solució et permetrà enfocar resoldre infinitat de problemes de tota mena.

U 8

1 Funcions lineals Funcions lineals en la vida quotidiana La naturalesa, la ciència, la tècnica, l’economia… estan plenes de funcions en les quals les variacions de les causes influeixen proporcionalment en les variacions dels efectes Totes aquestes funcions s’anomenen lineals es representen amb rectes.

Vegem-ne alguns exemples relació entre la temperatura en c i en °F (Fahrenheit)

Un europeu als EEUU fa la següent experiència: mesura distintes temperatures amb dos termòmetres, un en graus centígrads (°C) un altre en graus Fahrenheit (°F). Aquests són alguns dels resultats: 0 °C → 32 °F, 10 °C → 50 °F, 60 °C → 140 °F, 100 °C → 212 °F

Per exemple:

— A 30 °C corresponen 32 + 1,8 · 30 = 86

1 Copia completa, al teu quadern, les igualtats següents:

termòmetre clínic abasta temperatures des de 35 °C

Anomenant:  = temperatura en °C  = temperatura en °F els resultats anteriors responen la relació y = 32 + 1,8x (Comprova-ho).

sense estirar fa 30 cm que s’allarga 15 cm per cada quilogram que hi pengem. La relació és:  = 30 + 15 ( longitud en cm; : pes en kg) El domini de definició d’aquesta funció és [0, 6], suposant que per a pesos de més de 6 kg la molla es deteriora. 0

50

Recursos relacionats amb LES CLAUS del projecte Compromís ODS Pla lingüístic

El llenguatge algebraic, clar versàtil, posat al servei de l’aritmètica, aporta generalitat en l’exposició dels seus enunciats agilitat en els procediments mètodes. per si mateixa, l’àlgebra permet afrontar multitud de problemes amb senzillesa elegància.

MERCAT AMBULANT ECOLÒGIC I SOSTENIBLE

N’Estrella na Lluna són dues botigueres d’un mercat ambulant solidari on es venen productes ecològics reciclats. N’Estrella ven polseres a 3 € cada una na Lluna ofereix collarets a 5 € la unitat.

Na Lluna ha recordat que deu 19 € a n’Estrella, les dues han acordat saldar el deute mitjançant una barata: intercanviant polseres per collarets. Com ho faran?

Hi haurà més d’una forma?

En un altre lloc, na Rita juga al taulell amb unes rajoletes que ha pintat. S’ha adonat d’una cosa curiosa l’hi explica a en Jaume, l’amo de la botiga del costat. He comprovat que, si les col·loc d’una d’aquestes dues formes, hi ha tantes rajoletes comptant les dels costats com en total.

– De veritat? Sí, a la primera n’hi ha 4 4 4 4, total 16, a la segona…

Ah! Idò el perímetre és igual que l’àrea. Bé, dis-ho així, si vols. Però, a més d’aquestes dues, hi ha més maneres d’aconseguir-ho? Vegem-ho: si anomenam x un costat y l’altre, obtenim xy = 2x + 2y Resolem:

xy = 2x + 2y → xy 2x = 2y → x y 2) = 2y → x = 2y y 2

Bé, ara, què?? La y només pot valdre 3, 4, …, 6, … crec que no hi ha més possibilitats. Si y = 3, x = 6; si y = 4, x = 4; si y = 6, x = 3.

Però com que el rectangle 3 6 és el mateix que el 6 3, només existeixen les dues configuracions que tens damunt del taulell. Em deixau que digui una cosa? —diu en Pep, el fill de na Rita.

Venga! Quan comptam les rajoletes del voltant, les dels cantons es compten dues vegades. Com que hi ha quatre cantons, les de dins han de ser també 4. només hi ha dues maneres de posar quatre rajoletes a dins. Aquestes dues. Efectivament! És molt espavilat aquest nin! Amb la condició de no fer comptes, com pensa.

EL DESAFIAMENT Recordareu el que és una equació diofàntica. Vos proposarem altres problemes similars aprendreu

Situació d’aprenentatge, una per a cada bloc, que t’exigirà posar en acció els coneixements, destreses i actituds que treballaràs, i que contribuirà a l’adquisició i al desenvolupament de les teves competències.

Cada unitat comença amb una breu introducció històrica sobre els continguts que estudiaràs.

100 2 3 5 6

y 30 + 15

(cm) (kg)

La temperatura normal d’una persona sana és de 36,5 °C. Quina és en °F?

a) Quina longitud assolirà la molla de l’exemple

151

S’hi proposen una sèrie d’activitats motivadores amb la finalitat de posar en funcionament els coneixements que ja posseeixes.

Desenvolupament del pensament Aprenentatge cooperatiu

Així és el teu projecte digital

Un projecte que t’ofereix tots els continguts del curs a través del llibre digital, juntament amb una gran diversitat de recursos.

Descobreix una altra forma d’aprendre senzilla, intuïtiva i compatible amb qualsevol plataforma i dispositiu.

V

Com hi accedeixes?

Tens totes les indicacions necessàries per accedir-hi al costat de la primera pàgina del teu llibre.

271

El concepte de funció ha anat evolucionant perfilant-se al llarg del temps. Quins requisits s’han exigit a aquest concepte? — Una funció relaciona dues variables.

— Les funcions descriuen fenòmens naturals. Les relacions funcionals poden ser descrites mitjançant fórmules (relacions algebraiques).

Les funcions poden ser representades gràficament.

Descartes (segle xvii), amb l’algebrització de la geometria, va propiciar que les funcions poguessin ser representades gràficament. Leibniz (segle ), el 1673, va utilitzar per primera vegada la paraula funció per designar aquest tipus de relacions. Euler (segle xviii va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió generalitat. Va presentar una definició general molt rigorosa, que no dista molt de la que empram actualment. Va aportar la nomenclatura (x). Dirichlet (segle ) va ampliar el concepte de funció admetent, finalment, que una relació entre dues variables pot ser funció encara que no hi hagi una expressió analítica que la descrigui.

Y

Recorregut de Domini de

X

Es relacionen dues variables: el bateria. La primera és la variable independent. En cada instant, el mòbil té un hi ha un únic valor de p Per tant, p és una funció que

Conceptes 1 Una funció relaciona i x és la variable La relació entre les variables un únic valor de Per visualitzar el com portament d’una funció, recorrem a la seva repre sentació gràfica. Es diu domini de definició junt de valors de per Es diu recorregut de conjunt de valors de EXERCICI RESOLT Explica per què és funció la relació següent: Carrega el teu mòbil al 100 % i apunta cada 15 min el percentatge de càrrega que té, fins que s’esgoti totalment.

400 300 100

367 producció plàstic (tm)

187

PENSA I PRACTICA Aquest gràfic descriu l’evolució de la producció mundial de plàstics (en milions de tones anuals). a) Quines són les dues variables? b) Explica per què és una funció. c) Quines són el domini de definició el recorregut?

19501960197019801990200020102020 2 18 41 62 108

2 3

Com és?

Una resposta global per a un entorn educatiu divers.

Intuïtiu

Fàcil d’utilitzar per a tu.

Multidispositiu

S’adapta i es visualitza en qualsevol tipus de dispositiu (ordinador, tauleta, smartphone...) a qualsevol grandària i resolució de pantalla.

Descarregable

Et permet treballar sense connexió a Internet i descarregar-ho en més d’un dispositiu.

Sincronitzable

Els canvis que facis se sincronitzen automàticament en connectar qualsevol dels dispositius en els quals estiguis utilitzant-ho.

Ordenada del punt

Coordenades del punt definició d’una funció, es designa per Dom el conper als quals existeix la funció. f el conjunt de valors que pren la funció. És a dir, el per als quals hi ha un tal que ) = y temps, , mesurat en minuts, i el percentatge, p de independent. La segona és la variable dependent. percentatge de càrrega. És a dir, per a cada valor de depèn de p t).

Indica el domini el recorregut d’aquestes funcions:

Y y ( ) a)

b)

Eix de ordenades Eix d'abcisses Abcissa del punt c) Y 10 1 X Representa una funció que tengui com domini com a recorregut, respectivament, [–2, 5] i [2, 7]. Inventa’n una altra amb domini [0, 5] recorregut {1}.

X

Amb aquests recursos podràs:

Exercitar activitats interactives

Estudiar resums interactius, esquemes...

Aprendre àudios, vídeos, gameroom...

Avaluar autoavaluació, Dossier d’aprenentatge...

Universal Compatible amb tots els sistemes operatius, els entorns virtuals d’aprenentatge (EVA) i les plataformes educatives (LMS) més utilitzades en els centres escolars.

Abans de començar

Coneix els teus desafiaments

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

COM SÓN?

Són quatre propostes de situacions d’aprenentatge, una per a cada bloc:

• Compromeses amb els Objectius de Desenvolupament Sostenible 2030.

• Pensades per mobilitzar coneixements, actituds i destreses i fomentar l’intercanvi de sabers i el desenvolupament de les teves competències.

• Pròximes i respectuoses amb el teu món real i amb les teves experiències.

• Amb una estructura clara i senzilla de les tasques i activitats que hauràs de dur a terme.

COM FARÀS FEINA?

A L’INICI DE CADA BLOC TROBARÀS:

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

A L’INTERIOR DE LES UNITATS DEL BLOC TROBARÀS:

32

1. Nombres naturals, enters fraccionaris Nombres decimals 3. Nombres reals

L’ordre la regularitat de les seves estructures, la potència precisió dels seus mecanismes fan que, en qualsevol excursió pel camp numèric, hi trobem bellesa eficàcia. L’aritmètica, amb els seus procediments eficients, permet afrontar resoldre multitud de problemes en tots els àmbits. El bon maneig de la calculadora els programes informàtics ajuden, no només culminar processos aritmètics complexos, sinó també, de forma molt significativa, indagar contrastar noves relacions noves propietats. La recerca la investigació sobre propietats curiositats numèriques abasten un amplíssim camp plagat de sorpreses de bells resultats.

BLOC ARITMÈTICA

TRES NOMBRES CARISMÀTICS

Exercicis i problemes

ENTRENA’T PRACTICA 14 Resol gràficament aquests sistemes a) y 35 1 * b) y 4 1 7 0

Hi ha tres nombres molt coneguts importants en el món de les matemàtiques: És la relació entre el perímetre d’una circumferència el seu diàmetre serveix per calcular longituds, àrees perímetres de figures «rodones». Regeix la proporció àuria, que juga un paper molt important en l’art en infinitat de configuracions de la naturalesa: flors, caragols, galàxies… El nombre matemàtic més important, present en els processos de creixement en l’equació de les catenàries. Idò bé, no és sorprenent trobar-nos-els en realitzar aquestes operacions estranyes que tenen un nombre infinit de sumands?

4 4 + 4 4 + …     1 + + +

c) x 5 4

EL DESAFIAMENT Aquest treball va de nombres. Et proposarem: Que recordis, indaguis, trobis demostris propietats numèriques ja conegudes Que obtenguis per camins sorprenents alguns nombres que ja coneixes. Que t’endinsis en noves curiosíssimes famílies de nombres per conèixer-les, comprendre-les i, potser, detectar-hi algunes propietats noves. Que indaguis pel teu compte (a Internet o altres llocs) per aprofundir en les famílies de nombres que aquí veuràs o en unes altres que valguin la pena.

33

• Un text motivador que et descobrirà un marc de desafiaments relacionats amb les unitats del bloc.

• La proposta d’una situació d’aprenentatge.

• La seqüència d’aprenentatge de la situació proposada.

* b) xy xy 02 17 61 30 83 75 c) () () xy xy 31 0 31 5

RESOL PROBLEMES SENZILLS 28 La diferència de dos nombres és 24. Si sumam 8 a cada un, s’obtenen altres dos tals que el major és triple que el menor. De quins nombres es tracta? El preu d’un museu és l’entrada adulta la infantil. El dimarts varen visitar el museu 235 persones es recaptaren 1 485 € Quantes entrades adultes quantes infantils es varen vendre? 30 El pressupost d’una biblioteca és de 100 € llibres discos. Si compren 3 llibres discos, sobren € si compren 4 llibres discos, falten 10  € Troba el preu d’un llibre el d’un disc. 31 Un test consta de 48 preguntes. Per cada encert se sumen 0,75 punts per cada error se’n resten 0,25. La meva puntuació va ser de 18 punts. Quants d’encerts errors vaig tenir, si vaig contestar totes les preguntes? Troba una fracció tal que si se suma una unitat al numerador es deixa el mateix denominador, la fracció és igual a 1/2. si es manté el numerador inicial se sumen 3 unitats al denominador, la fracció és igual 1/3. 33 Traduïx a llenguatge algebraic: a) El quadrat d’un nombre és menor que el doble d’aquest nombre més 15. b) Si cresqués 15 cm, superaria l’alçada que es requerix per entrar en l’equip de bàsquet, que és 1,80 m. c) El perímetre d’un quadrat és menor que 15 m. 34 El triple d’un nombre natural menys 5 és menor que la seva meitat més 15. Quin pot ser aquest nombre? 35 La suma de dos nombres consecutius és menor que 27. Quins poden ser aquests nombres si sabem que són de dues xifres?

és incompatible indeterminat: a) xy xy 25 2 3252 58 35 2

36 En una pescateria, un client s’enduu un llucet de quilo mig tres quarts de quilo de seitons. Després d’ell, una senyora demana mig llucet que pesa 600 grams un quilo de seitons. El primer paga 21 € per la compra, la senyora, 12,60 € per la seva. A com està el quilo de llucet? el de seitons?

37 En un aparcament cobren un fix per entrar un tant l’hora. Avui, per hora mitja, he pagat 2,60 € ahir vaig pagar 3,40 € per dues hores deu minuts. Quin és el fix quin és el cost per hora? N’Andreu té dos comptes en el banc. Si passàs 600 € del primer al segon, aquest quedaria amb saldo doble. Però si la transferència fos de 300 €tit contrari, seria el primer el que en tendria el doble. Quant hi ha en cada un? Si té euros en el primer compte en el segon, amb la transferència de 600 tendrà – 600 en primer + 600 en el segon. 39 Una empresa rep l’encàrrec de fabricar cossiols per una data determinada. En planificar la producció, la gerent adverteix que si se’n fabricassin 250 diaris, en faltarien 150 en concloure el termini. Però que si se’n fabricassin 260 diaris, en sobrarien 80. Quants de dies de termini tenien quants cossiols els varen encarregar? Anomenam nombre de dies nombre de cossiols encarregats. Si en fabriquen 250 per dia, en tendran 250x, que són y – 150 dels encarregats. 40 La setmana passada, na Sara va comprar una camisa un jersei per 76 € Ara, na Rosa pagaria 65,80 € pels mateixos articles, perquè la camisa té un 15 % de rebaixa, el jersei, un 12 %. Quant costava cada article abans de la rebaixa? Si el preu de la camisa x abans de les rebaixes, una vegada rebaixat serà 0,85x. 41 Fa tres anys, l’edat d’en Rubén era el doble que la de na Marta. D’aquí a 7 anys, serà de 4/3 de la que tengui na Marta aleshores. Calcula’n les edats. Si és l’edat d’en Rubén avui, fa 3 anys era x 3, d’aquí 7 anys serà x + 7. Anomena l’edat de na Marta avui fes el mateix raonament. 42 L’any que ve, l’edat de na Raquel serà el triple que la del seu fill Ivan, però d’aquí 12 anys només serà el doble. Quants d’anys té cada un? 43 La diferència de dos nombres és 6, la dels quadrats, 144. Troba els nombres. Calcula dos nombres que sumin 24, el seu producte, 135. 45 Troba dos nombres que sumin 20, la dels seus quadrats, 232.

π Φ e + + FAMÍLIES DISTINGIDES DE NOMBRES Nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Recordes el sedàs d’Eratòstenes? Sabries esbrinar si un nombre que estigui més enllà d’aquesta llista és o no primer? Nombres de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Els nombres d’aquesta successió tenen propietats interessants. Quadrats perfectes: Cubs perfectes: 1, 8, 27, 64, 1125, 216, … 127 126

• Activitats que t’ajudaran a comprendre i aplicar els sabers bàsics necessaris per enfrontarte al desafiament del bloc.

QUINS SÓN?

•  Tres nombres carismàtics, per al primer bloc.

• Mercat ambulant ecològic i sostenible, per al segon bloc.

• Investigacions biològiques, per al tercer bloc.

• Loteries i altres jocs d’atzar, per al quart bloc.

A LES PÀGINES FINALS DE CADA UNITAT TROBARÀS:

Exercicis i problemes

PER PENSAR UN POC MÉS 35 N’Àlvar s’ha de situar 3 m d’un bassiot per veure la copa d’un arbre que s’hi reflecteix. Si la distància del bassiot l’arbre és de 10,5 m els ulls de n’Àlvar estan a 1,72 m, quina altura té l’arbre?

36 En la taula de billar, a quina distància de A ha de donar en la banda la bolla blanca, perquè en rebotar xoqui amb la negra? A

30 cm 70 cm 37 El pou per a reg d’un hort té una profunditat de set metres un diàmetre de tres metres. El llaurador comprova que avui, per arribar veure l’aigua, s’ha de col·locar menys de metre mig de la vora.

Quins són avui les reserves d’aigua del pou, sabent que el llaurador mira des d’una altura d’1,80 m?

38 Aquest és el plànol d’una part d’una certa ciutat, escala 1:20

TAMBÉ POTS FER AIXÒ 39 Tallant els quatre cantons d’una planxa quadrada de fusta, d’un metre de costat, es vol obtenir un tauler d’una taula amb forma d’octàgon regular

m

a) Quines dimensions han de tenir els cantons?

b) Calcula l’àrea de l’octàgon.

Observa que els dos triangles pintats són semblants analitza el sistema d’equacions. y y xy

1 21 ` a

b b b b

El rècord d’altura aconseguida per un globus aerostàtic el va establir Felix Baumgartner el 2012 quan va pujar a un poc més de 39 km d’altura. a) Troba la distància a la qual es trobava del punt més allunyat que podia veure en l’horitzó terrestre. b) Quina proporció de la Terra veia des d’aquesta altura?

AUTOAVALUACIÓ En un mapa, dues ciutats estan separades 2,5 cm. Si en la realitat estan a 37,5 km:

a) Quina és l’escala del mapa? b) A quina distància real estaran unes altres dues ciutats que se separen 4 cm en el mapa?

c) Quina serà la distància en aquest mapa entre dues ciutats que tenen una distància real de 360 km?

2 En el plànol d’un pis l’escala del qual és 1:200, el saló ocupa una superfície de 7 cm Quina és la superfície real del saló?

3 A la figura següent BD és paral·lel a) Són els triangles BCD semblants? b) Quina és la raó de semblança entre aquests? c) Calcula CD d) Troba E CBD BDC

15 cm

37° 11cm 6,4 cm

C

4 Una torre està coronada per una teulada en forma de con de 12 m d’altura 10 m de diàmetre de la base. Quant costarà renovar la coberta 85 L’àrea lateral d’un con de radi de la base generatriu és = πrg.

E

anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis. Quina altura té l’edifici que mira en Marc?

D’APRENENTATGE

3,5 m 1,5 m 25 m

Els

A

C

Estima quant es tarda anar passejant, per l’itinerari més curt, des de A fins a C passant per B suposant que es camina 3 km/h.

41 A una empresa de daus li costa 2 cèntims fabricar cada dau de parxís: 1 cèntim per la fusta 1 cèntim per la pintura.

a) Quant gasta en la fabricació d’un dau amb el triple d’aresta que el de parxís? I un amb l’aresta 10 vegades major que el de parxís? b) Com serà l’aresta d’un dau nou en relació amb la d’un dau de parxís si val 36 € fabricar-lo?

c) Repeteix l’apartat a) suposant que el cost de fabricació del dau de parxís és de 3 cèntims: 1 per la fusta 2 per la pintura. Amb aquest cost, com seria l’aresta d’un dau nou comparada amb el del parxís si costa 12 € fer-lo? Potser has de resoldre algunes preguntes temptejant.

EN FINALITZAR EL BLOC TROBARÀS:

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

REFLEXIONA Revisa els aspectes treballats planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual comparteix-ho en grup. POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES Fes l’autoavaluació competencial inclosa anayaeducacion.es.

CURIOSITATS MATEMÀTIQUES Proporció cordovesa nombre cordovès Aquest triangle isòsceles amb un angle de 45° s’anomena triangle cordovès. Per què? Perquè la relació entre els costats, a/b és la mateixa que hi ha entre els dos costats de la planta rectangular de la Mesquita de Còrdova. El rectangle amb costats que segueixen aquesta proporció s’anomena rectangle cordovès. Aquesta relació s’anomena proporció cordovesa el quocient, a/b nombre cordovès. Quant val el nombre cordovès? 11 306562964… 2

45 Aquesta proporció va ser introduïda el 1973 per l’arquitecte Rafael de la Hoz, establert a Còrdova, on la va estudiar en edificis, tessel·les, rosetons multitud de construccions geomètriques. La relació, r/c entre el radi el costat d’un decàgon regular és el nombre d’or. La relació, r/c entre el radi el costat d’un octàgon regular és el nombre cordovès.

• Una proposta d’avaluació de les teves competències que podràs descarregar-te d’anayaeducacion.es

gran, no s’hi aprecien els valors corresponents a les primeres abscisses (comprova-ho). Per evitar això, convé emprar paper semilogarítmic com el que veus en el marge. Observa els valors que apareixen en l’eix vertical:  En lloc de començar per 0, comença per  Les unitats van sent cada vegada menors. La distància d’1 a 10 és igual que la de 10 a 100, la de 100 a 1  000... En aquestes quadrícules les exponencials es representen mitjançant rectes, com ocorre amb el gràfic vermell,  = 2 També és útil per representar altres funcions fortament creixents, com y = 10 + 1. Imprimeix un full de paper semilogarítmic representa y = 1,4 l’interval [0, 25], prenent en l’eix del temps mig centímetre per cada unitat. Com que ja sabem que serà una recta, per ser funció exponencial, només fa falta que prenguis dos punts, el primer (0, 1) el darrer (25; 1,4 ), és dir (25, 4 500). En quin moment la massa forestal supera 100? (És dir, més de 100 vegades la inicial). Quina serà la massa forestal, aproximadament, d’aquí 2 000 anys?

100

semilogarítmic

300 10 15 + 100 0 10 9

de m)

Sabies que hi ha sistemes de climatització d’edificis que aprofiten la calor corporal? Ja s’ha duit a terme en diverses parts del món, per exemple, l’Estaciótud que agafa el tren diàriament el recondueix per canonades per encalentir edificis limítrofs. Cerca informació sobre aquesta font d’energia tan social.

LA VELA DEL DIMETRODONT El guia del museu els va dir que l’enorme aleta dorsal del dimetrodont jugava un paper termoregulador, per rebre calor o per refrescar-se quan ho necessitaven. Però, per què només la tenien els animals enormes? S’informen, reflexionen arriben a la conclusió següent: La irradiació es realitza a través de la pell és, per tant, proporcional la seva superfície, és dir, al quadrat de la seva longitud, mentre que la calor que es necessita es reparteix en tot el volum del cos és, per tant, proporcional al cub de la seva longitud. Quan l’animal es fa més més gran, la superfície no és suficient per atendre tant de volum necessita d’un increment en forma d’aleta dorsal (augment considerable de superfície sense incrementar gairebé el volum), com el dimetrodont. Les orelles enormes dels elefants, a través de les quals es refresquen, compleixen una funció Vegem algunes preguntes per emfatitzar en la relació superficie-volum Per què els mamífers petits mengen més (en proporció amb el seu pes) que els grans? Cerca dades relatives a, per exemple, un ratolí un lleó. El Sol irradia més calor que una persona, tant! De fet, el Sol emet en cada segon 9,46 10 cal, una persona 3 10 cal. – Compara la quantitat de calor que emeten per unitat de superfície (1 dm ), en cada segon, el Sol una persona. Dades: radi del Sol: 696 340 km, superfície d’una persona: 2 m2 aproximadament. ara compara la quantitat de calor que emeten, per unitat de volum, el Sol una persona amb un volum de 80 litres. sorprèn-te amb el resultat. Els viatges de Gulliver els lil·liputencs feien uns 15 cm Gulliver, 180 cm. Si el rei de Lil·liput es menjàs una poma, quantes n’hauria d’oferir Gulliver perquè en menjàs la mateixa quantitat en proporció a la seva grandària? Imagina, ara, que el rei dugués una capa que va costar dobló d’or volgués obsequiar a Gulliver amb una altra proporcional a la seva grandària. Quant costaria? Individualment en grup, Recorda que disposes, en el teu banc de recursos: de diversos tallers per gestionar les teves emocions d’una diana per avaluar-les.

Descarrega d’anayaeducacion.es una rúbrica per revisar les teves competències corresponents aquest desafiament. Autoavalua la teva planificació del projecte descarregant la diana sobre planificació de tasques. Com ha anat el treball en equip? Utilitza la diana de coavaluació d’anayaeducacion.es per valorar-ho.

Ara fes-ho tu Indaga com usaríem el paper semilogarítmic per representar decreixents exponencials (amb base menor que 1). Al paper semilogarítmic de la pàgina anterior divideix tots els valors de l’eix Y per 10 000, amb la qual cosa a dalt queda l’1. Pots representar-hi el gràfic (pàg. 165) de la desintegració radioactiva, M = (1/2) Cerca altres casos similars als de la ficció de Gulliver en què les diferències de mesures duguin a situacions sorprenents. Investiga sobre els límits de la grandària dels grans animals. Estudia, també, per què els animals de major grandària viuen la mar. 185 184

• Altres propostes de desafiaments que et poden interessar.

• Propostes d’instruments de diagnòstic, descarregables d’anayaeducacion.es.

• Una rúbrica del perfil de sortida, descarregable d’anayaeducacion.es, per autoavaluar l’adquisició de competències aconseguida.

1. Nombres naturals, enters i fraccionaris

2. Nombres decimals

3. Nombres reals

BLOC ARITMÈTICA

L’ordre i la regularitat de les seves estructures, la potència i precisió dels seus mecanismes fan que, en qualsevol excursió pel camp numèric, hi trobem bellesa i eficàcia.

L’aritmètica, amb els seus procediments eficients, permet afrontar i resoldre multitud de problemes en tots els àmbits. El bon maneig de la calculadora i els programes informàtics ajuden, no només a culminar processos aritmètics complexos, sinó també, i de forma molt significativa, a indagar i contrastar noves relacions i noves propietats.

La recerca i la investigació sobre propietats i curiositats numèriques abasten un amplíssim camp plagat de sorpreses i de bells resultats.

TRES NOMBRES CARISMÀTICS

Hi ha tres nombres molt coneguts i importants en el món de les matemàtiques:

És la relació entre el perímetre d’una circumferència i el seu diàmetre i serveix per calcular longituds, àrees i perímetres de figures «rodones».

Regeix la proporció àuria, que juga un paper molt important en l’art i en infinitat de configuracions de la naturalesa: flors, caragols, galàxies…

El nombre matemàtic més important, present en els processos de creixement i en l’equació de les catenàries.

Idò bé, no és sorprenent trobar-nos-els en realitzar aquestes operacions estranyes que tenen un nombre infinit de sumands?

FAMÍLIES DISTINGIDES DE NOMBRES

Nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Recordes el sedàs d’Eratòstenes? Sabries esbrinar si un nombre que estigui més enllà d’aquesta llista és o no primer?

Nombres de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Els nombres d’aquesta successió tenen propietats interessants.

Quadrats perfectes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Cubs perfectes: 1, 8, 27, 64, 1125, 216, …

EL DESAFIAMENT

Aquest treball va de nombres. Et proposarem:

• Que recordis, indaguis, trobis i demostris propietats numèriques ja conegudes o noves.

• Que obtenguis per camins sorprenents alguns nombres que ja coneixes.

• Que t’endinsis en noves i curiosíssimes famílies de nombres per conèixer-les, comprendre-les i, potser, detectar-hi algunes propietats noves.

• Que indaguis pel teu compte (a Internet o altres llocs) per aprofundir en les famílies de nombres que aquí veuràs o en unes altres que valguin la pena.

Nombres naturals, enters i fraccionaris

L’origen dels nombres enters

Totes les civilitzacions han usat els nombres naturals, des de la més remota antiguitat. Egipcis, babilonis, grecs, romans, xinesos, indis, àrabs, maies… han manejat sistemes molt diversos amb similituds i diferències.

L’assoliment d’un sistema de tipus posicional, per aconseguir que les operacions es fessin amb agilitat, va costar molts segles de recerca. El paper dels negatius, i sobretot del zero, va resultar més difícil de concebre.

Per això, els nombres enters no varen acabar de prendre forma fins a finals del segle vii , a l’Índia. D’allà ens varen arribar per mitjà dels àrabs, al segle ix , juntament amb el sistema de numeració decimal-posicional.

Les fraccions

Les fraccions es varen començar a usar des de molt antic. A Babilònia es feien servir fraccions sexagesimals (els denominadors eren potències de 60) i encara actualment empram aquesta nomenclatura en les mesures angulars i en les de temps.

Els egipcis només manejaven fraccions unitàries (amb numerador u: 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , … eo . Per sorprenent que resulti, per posar 2 5 no posaven 1 5 + 1 5 sinó 1 3 +  1 15 , ja que cada fracció només es posava una vegada. Més sorprenent és que aquesta nomenclatura es prolongàs durant molts segles. L’ús de les fraccions a l’estil actual no es va acabar de consolidar fins al segle xvii

Nombres naturals 1

RECORDA-HO

Els cardinals serveixen per comptar i els ordinals, per ordenar.

Per exemple, en l’afirmació: «Dels 8 finalistes de la carrera, en Màrius ha arribat tercer», el 8 és cardinal i el 3 és ordinal.

Comptam els estudiants d’una classe, el nombre de llosetes que hi ha en un trespol o el nombre de maneres d’ordenar els asos d’una baralla de pòquer. Amb els nombres naturals comptam. Com ja saps, són 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, … N’hi ha d’infinits. El conjunt de tots es denomina N En estar ordenats podem representar-los en una recta:

EXEMPLE

En repartir 100 elements entre 7 individus, obtenim de quocient 14 (a cada individu corresponen 14 elements) i de residu 2 (queden 2 elements sense repartir).

Els naturals també servixen per numerar. Per exemple, deim que n’Olívia Gutiérrez és la tretzena de la llista de classe.

Suma i multiplicació

Els nombres naturals es poden sumar i multiplicar; el resultat d’aquestes operacions és, també, un nombre natural.

Recorda que en les expressions a ∙ b + c y a + b ∙ c la multiplicació s’efectua abans de la suma. Quan volem donar prioritat a la suma, ho hem d’indicar amb parèntesis: a ∙ (b + c), (a + b) ∙ c

Divisió

La idea de divisió de nombres naturals és la de repartiment. La divisió 100 : 5 = 20 s’interpreta com un repartiment de 100 elements (dividend) entre 5 parells (divisor), de manera que a cada part corresponen 20 elements (quocient). Quan amb el repartiment posem fi a tots els elements disponibles, com és aquest cas, la divisió es diu exacta. Quan sobren alguns elements, la divisió es diu entera. En aquesta, a més d’un quocient, s’obté un residu.

Potències i arrels

Com saps, una potència de nombres naturals és, en definitiva, una multiplicació reiterada. Per exemple: 74 = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7. Amb només aquesta referència s’obtenen les propietats de les potències. La radicació és l’operació inversa de la potenciació. Si 74 = 2 401, aleshores

només tenen sentit les arrels exactes.

PENSA I PRACTICA

1 Calcula:

000 000

2 Avui és dilluns. Demà serà… D’aquí a dos dies serà…

D’aquí a 25 dies serà…

a) Quin dia de la setmana serà d’aquí a 357 dies?

b) Quin dia de la setmana serà passats 7a + 3 dies, on a és nombre natural qualsevol?

c) Com expressaries, en general, el nombre de dies que han de transcórrer perquè sigui dissabte?

Nombres enters 2

De vegades, és necessari usar quantitats negatives. Vegem-ne uns exemples:

• Estar a –5 °C vol dir que fa 5 °C davall zero.

• Un saldo al banc de –108 € significa que es deuen 108 €…

Ja saps que els enters negatius juntament amb els naturals formen el conjunt dels nombres enters, que s’expressa com a Z. Amb aquests podem sumar i multiplicar, i obtenir un nombre enter. A més a més, al contrari del que passa amb els naturals, també en restar dos nombres enters, obtenim un altre enter.

Els nombres enters es representen a la recta d’aquesta manera:

Aquesta representació a la recta suposa el següent criteri d’ordenació:

• Els naturals (el zero i els enters positius) ja estaven ordenats.

• Tots els nombres naturals són majors que els enters negatius.

• Si a i b són nombres naturals i a < b aleshores, –a > –b.

Valor absolut d’un nombre enter

El valor absolut d’un nombre és la magnitud del mateix si prescindim del seu signe. S’escriu així: | x |, i es defineix de la manera següent:

• El valor absolut d’un nombre natural és el mateix: | 5 | = 5, | 0 | = 0

• El valor absolut d’un nombre negatiu és el seu oposat: | –27 | = 27

• Gràficament, el valor absolut d’un nombre és la seva distància al 0:

Regles per operar amb nombres enters

• Per sumar nombres positius i negatius, agrupam els uns i els altres, restam els resultats i hi posam el signe del que tengui major valor absolut.

• Si un parèntesi va precedit del signe menys, es pot suprimir canviant el signe de tots els sumands que hi hagi a dins.

• Per multiplicar nombres enters, recordem la «regla dels signes»:

PENSA

I PRACTICA

1 Ordena de menor a major: –4, 19, 7, 0, –6

2 Calcula: a)

3 Calcula:

a) (1 – 4) – (5 – 3) – (–6)

b) –3(4 – 2) – 4(3 – 8)

c) (–2)3 + (–3)4 – 52

d) 15 – 4(3 – 6) – 2[4 – 5(2 – 3)]

Fraccions 3

Nombres fraccionaris per expressar mesures

Per mesurar, sol ser necessari fraccionar la unitat. D’aquí sorgeix la idea de nombre fraccionari: la meitat, la cinquena part, la mil·lèsima part… de la unitat. Les fraccions són les expressions numèriques dels nombres fraccionaris.

Són nombres fraccionaris: ,,,, , 2 1 5 1 5 3 7 4 100 1 1 000 145

En totes aquestes fraccions, el numerador és menor que el denominador i, per tant, són parts de la unitat. Es diuen fraccions pròpies.

També són fraccionaris nombres com 2 3 , 3 7 – i 4 19 , que es poden expressar com la suma d’un enter i una fracció pròpia (nombres mixts):

RECORDA-HO

Els enters es poden expressar en forma de fracció:

4 1 4 2 8 3 12 === =

CÀLCUL MENTAL

1. Simplifica les fraccions: a) 15 10 b) 8 6 c) 2 4 d) 21 14 e) 18 12 f ) 100 75

g) 44 33 h) 17 34 i) 26 52

2. Les nou fraccions anteriors són equivalents 3-3. Classifica-les.

3. Escriu sis fraccions equivalents a 500 300 .

Quina és la corresponent fracció irreductible?

PENSA I PRACTICA

Els nombres fraccionaris es poden representar a la recta al costat dels enters:

Els nombres fraccionaris, juntament amb els enters, formen el conjunt dels nombres racionals, que es designa amb la lletra Q.

Els elements de Q es caracteritzen perquè es poden posar en forma de fracció.

Simplificació de fraccions. Fraccions equivalents

Recorda que simplificar una fracció és dividir-ne el numerador i el denominador per un mateix nombre enter.

Per

=

==

=

Una fracció que no es pot simplificar direm que és irreductible. Dues fraccions són equivalents si en simplificar-les donen lloc a la mateixa fracció irreductible.

Per exemple, 35 –10 i 28 8 –són equivalents:

==

1 Expressa com a suma d’un enter i una fracció: a) 9 40 b) 5 86 c) 10 127 d) 12 127 e) 8 43 –

2 Obtén la fracció irreductible.

a) 21 18 b) 35 14 c) 36 42 d) 56 14 e) 200 75

➜ anayaeducacion.es Practica el càlcul de la fracció irreductible.

3 Copia la recta al teu quadern i representa, aproximadament, les fraccions.

CÀLCUL MENTAL

a) 3 2 6 1 + b) 3 2 6 1 –

c) 3 2 4 3 d) 3 9 4

e) 1 :  3 1 f ) : 7 3 4

g) 3 1 de 600 h) 3 2 de 600

i) 3 2 de 4 3 j) 3 2 4 3 · de 600

Operacions amb fraccions 4

Suma de fraccions

Sumar fracciones amb el mateix denominador és una tasca summament fàcil: se’n sumen els numeradors i es manté el denominador.

Per sumar (i restar) fraccions amb diferent denominador, haurem de transformar-les en unes altres equivalents amb el mateix denominador.

Producte de fraccions

La tercera part de la quarta part d’alguna cosa és la dotzena part: · 11 3 1 412 =

Raonant de manera anàloga, podem veure que: 2 4 5 34 25 12 10 5 36 · · == =

El producte de dues fraccions és una altra fracció amb el denominador producte dels seus denominadors, i el numerador producte dels seus numeradors: · · b a d c bd ac ·=

La fracció d’una quantitat és un cas particular del producte de fraccions, perquè, com ja saps, un nombre enter es pot expressar com una fracció amb denominador la unitat i de numerador aquest nombre.

Per exemple: n’Àlvar ha gastat 3 2 dels 1 260 € que tenia estalviats per pagar el viatge de fi de curs. Per tant, el viatge ha costat

Fracció inversa d’una altra. Quocient de fraccions

L’invers del nombre 4 és 4 1 . I viceversa, l’invers de 4 1 és 4.

La inversa de la fracció 5 3 és 3 5 . I viceversa.

Tota fracció, b a , excepte el 0, té una inversa, a b , tal que a ba b · = 1.

El quocient de dues fraccions és el producte de la primera per la inversa de la segona: : b a d c b a b a c d c d ==

Per exemple:

k) 2 1 d’ 5 1 l) 2 1 de 5 3 de 800

Problemes amb fraccions 5

➜ anayaeducacion.es Practica la resolució de problemes amb fraccions.

TEN-HO EN COMPTE

Per calcular el total coneguda la fracció i la part, es divideix la part entre el numerador i es multiplica pel denominador.

5 3 de T = 48

T = (48 : 3) · 5 = 80

? 150 Venudes Per vendre

TEN-HO EN COMPTE

La suma de les fraccions que representen les parts d’un tot és igual a la unitat (el tot).

b a d c f e 1 ++ = b a d c f e 1– +=bl

Al·lots

Al·lotes

❚ problema 1

Una ciutat tenia 120 000 habitants l’any 2009. En un decenni la població va augmentar 4/15. En el següent decenni va augmentar 9/16. Quants d’habitants tenia el 2020?

Augment en el primer decenni:

4 de 120 000 = (120 000 : 15) · 4 = 32 000

15

El 2019 hi havia 120 000 + 32 000 = 152 000 habitants.

Augment en el segon decenni:

9 de 152 000 = (152 000 : 16) · 9 = 85 500

16

En 2020 hi havia 152 000 + 85 500 = 237 500 habitants.

❚ problema 2

Una ONG organitza una cursa solidària i, per recaptar fons, posa a la venda un lot de camisetes commemoratives de l’esdeveniment. Al cap d’una setmana en duu venudes 600 unitats, fet que suposa els 4/7 del total. Quantes camisetes componien el lot?

Anomenant T el total de camisetes del lot:

4 de T = 600 → 7 1 de T = 600 : 4 = 150 → 7 7 de T = 150 · 7 = 1 050

7

En resum: T = (600 : 4) · 7 = 1 050

El lot contenia 1 050 camisetes.

❚ problema 3

Un executiu té la tercera part del seu capital en un fons de pensions, tres cinquenes parts, invertides en accions, i els 3 836 euros restants, en el compte corrent. A quant puja el capital?

Fracció de capital invertida: Fracció en el compte corrent:

Quantia del capital: 3 836 · 15 = 57 540 €

❚ problema 4

En una classe de 36 alumnes, 2/3 són al·lots. Les 3/4 parts de les al·lotes fan música. Quina fracció del total són les al·lotes de música? Quantes són?

3 2 són al·lots → 3 1 són al·lotes

Fracció d’al·lotes que van a música:

de la classe

Al·lotes que van a classe de música: 4 1 de 36 = 36 : 4 = 9

TEN-HO EN COMPTE

La fracció d’una quantitat equival al producte de la fracció per la quantitat.

b a de · d c b a d c =

PENSA I PRACTICA

5

Tres amics es reparteixen un premi, de manera que el primer s’enduu 2/5 del total; el segon, 5/9 del que queda, i el tercer, 92 €. A quant ascendia el premi?

El primer s’enduu 5 2 del premi; en queden 5 3 .

El segon s’enduu 9 5 de 5 3  =  9 5  ·  3 5  =  9 3  =  3 1 del premi.

Entre el primer i el segon s’enduen 5 2 3 1 15 65 15 11 += + = del premi.

El tercer s’enduu 15 15 15 11 15 4 –= del premi.

4 del premi són 92 €; 15 1 són 92 : 4 = 23 €; 15 15 són 23 · 15 = 345 €

15

Per tant, el premi era de (92 : 4) · 15 = 345 €.

1 Un terreny es divideix en tres parts. Dues d’aquestes són 2/5 i 1/3 del total. Quina és la més gran?

2 En el problema anterior, si el terreny mesura 240 m2, quina superfície ocupa cada una de les parts?

3 Els 2/5 dels al·lots d’una classe duen ulleres. A la llista d’aquesta classe hi ha 36 persones, de les quals 7/12 són al·lotes. Quants d’al·lots duen ulleres?

4 En Jordi s’ha gastat 2/7 de la paga en música i 1/5 en llibres. Quina fracció de la paga s’ha gastat? Quina fracció n’hi queda?

5 En una fruiteria es venen, al dematí, 3/5 de la fruita que hi havia i, l’horabaixa, la meitat de la que quedava.

a) Quina fracció queda per vendre?

b) Si en començar el dia hi havia 750 kg, quants de quilos es varen vendre?

6 D’un sou de 1 500 €, es gasta en menjar la sisena part, i en pagar la hipoteca, 350 € més que en menjar. Quina fracció del sou queda per a altres despeses?

7 En tancar la parada del mercat, el meloner pensa: «Avui he venut melons a bastament. Només me n’han quedat onze, que són la desena part dels venuts».

Quants de melons tenia quan va obrir la parada?

8 El pressupost anual d’una oficina és de 297 000 €. Les despeses fixes suposen la cinquena part i els 2/11 de la resta s’inverteixen en equipament. Quant queda per a altres despeses?

9 Un club disposa de 1 200 entrades per a un partit. Assigna 3/5 parts a la seva afició i 5/8 de la resta a la visitant. Quantes entrades queden per a la venda lliure?

10 Un dentista dedica 1 h i 3/4 a la seva consulta. Si rep 15 pacients, quina fracció d’hora pot dedicar a cada un? Quants de minuts són?

11 Repartiment entre quatre: A i B s’enduen, respectivament, 2/7 i 13/21 del total. C rep 7/10 de la resta. I D, finalment, 390 €. Quants de doblers es varen repartir?

12 Un corredor ciclista abandona la cursa quan duu coberts els 2/3 del recorregut. Si hagués aguantat 10 quilòmetres més, n’hauria cobert les tres quartes parts. Quants de quilòmetres varen fer els que varen arribar a la meta?

13 Sis amics compren solidàriament un regal per al setè membre de la colla. A l’hora de pagar, un no té doblers i, així, cadascun dels altres ha de posar 1,50 euros més. Quant costava el regal?

ENCARA MÉS SENZILL

Calcula mentalment:

a) 22 b) (–2)2 c) 23

d) (–2)3 e) 52 f) (–10)3

g) 17 h) (–1)7 i) 104

j) (–10)4 k) (–5)4 l) (–3)3

Potències 6

Base entera i exponent enter positiu

EXERCICIS RESOLTS

1 Calcula aquestes potències: 3 2, –3 2, (–3) 2, –(–3) 2 2 3, –2 3, (–2) 3, –(–2) 3 1 28, –1 28, (–1) 105, –(–1) 105

2 Simplifica:

a) 3 5 · 2 3 · 2 2

b) (5 2) 3  ·  2 2 2 8

3 Fes els càlculs.

(–3 + 1) 3 + (5 – 8) 4 · (–1) 9 –

– (–5) 2 · (–1) 4

PENSA I PRACTICA

1 Calcula les potències següents:

Recorda: aa aa a ·· ·…· ve esgad

n n

= 12 3 a és la base; n, l’exponent.

Per exemple: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (–2)5 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = –32

• Si a és positiu, an és positiu qualsevol que sigui n.

• Si a és negatiu: n n( parell → an positiu. Per exemple, (–2)4 = 16. imparell → an negatiu. Per exemple, (–2)5 = –32.

❚ propietats de les potències

(–2)3 · (–2)5 = (–2)3 + 5 = (–2)8

64 = (2 · 3)4 = 24 · 34

(–2)5 = (–1 · 2)5 = (–1)5 · 25 = –25

(53)4 = 53 · 4 = 512

32 = 9 –32 = –9 (–3)2 = 9 –(–3)2 = –9

23 = 8 –23 = –8 (–2)3 = –8 –(–2)3 = –(–8) = 8

128 = 1 –128 = –1 (–1)105 = –1 –(–1)105 = –(–1) = 1

a) 35 · 23 · 22 = 35 · (23 · 22) = 35 · 25 = (3 · 2)5 = 65

b) (52)3 ·  2 2 2 8  = 52 · 3 · 28 – 2 = 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106

(–3 + 1)3 + (5 – 8)4 · (–1)9 – (–5)2 · (–1)4 = (–2)3 + (–3)4 · (–1) – 52 · 1 =   = –8 – 81 – 25 = 114

a) –105 b) (–10)5 c) (–10)6 d) –(–10)5

e) (–1)100 f) –106 g) –16 h) –(–1)101

2 Simplifica: 5 · [( )] () () 3 33 ––33 58 4

3 Efectua les operacions següents:

a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · [15 + (–11)]2

b) (7 – 3) · [4 – (–3)] + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4]

c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–5)2 – [2 – (–3)4 · (–2)]

d) 17 – (–4)(–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2

Base racional i exponent enter

A la pàgina anterior hem repassat les potències d’exponent enter positiu. Vegem ara com són les potències quan l’exponent és zero o un nombre enter negatiu.

que sigui

EXERCICIS

1 Calcula el valor de les potències següents:

2 Redueix a una única potència en cada cas. a)

Exercicis i problemes

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Nombres enters

1 Calcula-ho com es fa en l’exemple.

• 6 – 2 – 8 + 4 – 7 + 3 = (6 + 4 + 3) – (2 + 8 + 7) = = 13 – 17 = –4

a) 7 + 2 + 5 – 9 – 1 – 6

b) 8 – 4 + 3 – 7 + 8 – 5 + 2

c) –6 + 4 – 10 – 2 + 9 – 7 + 1

d) 13 – 5 – 11 + 6 – 15 + 6

e) 11 – 7 – 8 – 2 + 5 – 4 + 8

2 Lleva parèntesis i fes els càlculs.

a) (+5) + (–4)

b) (+3) – (–7)

c) (–2) + (–9) – (–3)

d) (–5) – (+3) – (–10)

e) –(+6) – (– 4) + (–7)

f) –(–3) – (–1) – (–5)

3 Calcula:

a) 5 + (–3) – (–2) + (4 – 6) – [3 – (6 – 4)]

b) (3 + 6 – 11) · (4 – 2 – 9) · (–1)

c) 5 · [8 – (2 + 3)] – (–4) · [6 – (2 + 7)]

d) (–7) · [4 · (3 – 8) – 5 · (8 – 5)]

Fraccions. Operacions

4 Expressa com la suma d’un enter i una fracció:

7 Calcula mentalment:

a) 3 4 de 21 b) 2 5 de 10

c) 10 3 d’1 milió d) 20 7 de cent mil

8 Calcula mentalment:

a) Els dos cinquens de 400.

b) El nombre que els seus dos cinquens és 160.

c) Els tres setens de 140.

d) El nombre que els seus cinc sisens és 25.

9 Expressa en forma de fracció d’hora:

a) 15 minuts b) 20 minuts

c) 10 minuts d) 1 minut

e) 120 segons f) 1 segon

10 Troba el total en cada cas.

a) 5 3 del pressupost són 351 €

b) 7 6 del centre són 492 estudiants.

c) 8 5 del palau ocupen 2 850 m2. Potències

5 Obtén la fracció irreductible en cada cas.

a) 27 12 b) 14 4 c) 6 –2 d) 30 18 e) –30 40 f)

6 Calcula mentalment:

a) La meitat de 8 7 .

b) La tercera part de 5 9 .

c) La meitat de la cinquena part de –4.

d) El triple de la meitat de 3 2

ENTRENA’T I PRACTICA

14 Calcula:

a) 16 – 3 · [8 – 2 · (5 – 6)]

b) 2 + 8 : [14 – 5 · (6 – 4)]

c) 30 : [12 · (4 – 6) – 6 · (4 – 7)]

d) 4 · [5 – (2 – 6)] – 3 · [8 – (4 – 7)]

e) 3 · (6 – 9) – 7 · [10 + 3 · 5 – 3 · (5 + 4)]

f) 2 · (5 – 9 · [7 + 3 · (5 – 7)]) + 6

15 Calcula:

a) |(2 – 3) – (1 – 7) – 5| · [–(11 + (–4))]

b) (1 – 4) · 3 + (7 – 5) · |5 + 2 · (–3)|

c) (–2) + 3 · (–2) + |4 · (–6) – [1 – 3 · (–2)]|

d) 5 – |(–2) · |– 4 + 5|| – 2[4 – |–2| · |2 – 3|]

e) |–2 – |(–2) · (–4)| · (–5 + 4)| – |–1 + 3| · (–2)

16 Calcula:

a) 1/3 dels 2/5 dels 30 estudiants.

b) 4/7 de la meitat dels 42 vehicles.

c) 7/13 d’un quart de les setmanes d’un any.

d) 3/5 d’un terç dels dies d’abril.

17 Troba la fracció que queda en llevar al total:

a) 8 3 de 1 2 b) 7 1 de 5 2 c) 10 1 de 3 2 d) 8 5 de 4 3

18 Troba el total en cada cas.

a) 3/5 del pressupost són 351 €

b) 6/7 del centre són 492 estudiants.

c) 5/8 del palau ocupen 2 850 m2.

19 Redueix a una sola fracció:

c)

20 Representa a la recta numèrica:

22 Calcula:

(–2)4 b) –24 c) (–2)3 d) –23 e) 2–3 f) (–2)–3 g) (–1)16 h)

–3 · (4 – 2)–2 + 10 · (5)–1

Exercicis i problemes

RESOL PROBLEMES SENZILLS

27 La temperatura d’un congelador baixa 2°C cada 3 minuts fins a arribar a –18 °C. Quant tardarà a arribar a –12 °C si quan l’encenem està a 16 °C?

28 Aristòtil va morir l’any 322 aC i va viure 62 anys. En quin any va néixer?

29 Amb una bota que conté 510 litres de vi, quantes botelles de 3/4 de litre es poden omplir? Quantes de litre i mig?

30 Amb una garrafa de 5/2 de litre s’umplen 25 tassons. Quina fracció de litre cap en un tassó?

31 D’una botella de 3/4 de litre s’ha consumit la cinquena part. Quina fracció de litre hi queda?

32 a) Si en Rafel es gasta 2/3 dels doblers en roba i 1/4 del total en menjar, quina és la fracció gastada?

b) Quina fracció li queda per gastar?

c) Si va sortir amb 180 €, quina quantitat no s’ha gastat?

33 En una parcel·la es cultiven 4/5 parts de blat i la resta, 100 m2, de blat de moro. Quina és la superfície de la parcel·la?

34 Una pilota cau a terra i s’eleva cada vegada als 2/3 de l’altura anterior. Després de botar tres vegades, s’ha elevat a 2 m. Des de quina altura va caure?

35 Una operària rega en un dia 2/5 parts del jardí. Quants dies tardarà a regar tot el jardí? Quant guanyarà si cobra 50 € per dia?

36 En una parada de fruites i verdures, els 5/6 de l’import de les vendes d’un dia corresponen a fruites. Del que s’ha recaptat per fruita, els 3/8 corresponen a les taronges. Si la venda de taronges ascendeix a 89 €, quina caixa ha fet l’establiment?

37 A en Pau li descompten al mes, del sou brut, la vuitena part d’IRPF i la desena part per a la Seguretat Social. Si el sou net és 1 302 €, quin és el sou brut mensual?

38 D’una classe, 3/7 del total dels estudiants han anat al museu de ciències i 2/5 a un concert.

a) On han anat més estudiants?

b) Si 6 estudiants no han anat a cap activitat, quants d’estudiants hi ha a la classe?

39 En un depòsit, el dilluns hi havia 3 000 litres d’aigua i estava ple. El dimarts se’n va gastar 1/6 del depòsit. El dimecres se’n varen treure 1 250 litres. Quina fracció n’hi queda?

PER PENSAR UN POC MÉS

40 D’un solar, es venen els 2/3 de la superfície i després els 2/3 del que quedava. L’ajuntament n’expropia els 3 200 m2 restants per a un parc públic. Quina era la superfície del solar?

41 Una obrera ha tardat 1 hora i tres quarts a polir 3/5 parts d’un pis. Si va començar a les 10 a.m., a quina hora acabarà de polir el pis sencer?

42 Un tren tarda 3 hores i quart a recórrer 5/9 d’un trajecte de 918 km.

a) Calcula el temps que tarda a realitzar el trajecte si continua a la mateixa velocitat.

b) Quina n’ha sigut la velocitat mitjana?

TAMBÉ POTS FER AIXÒ

43 Una gallina va pondre durant vuit setmanes una mitjana de 3 ous cada 4 dies i, durant les següents dotze setmanes, 5 ous cada 6 dies. Quina va ser la posta mitjana diària al final d’aquest període?

44 Una tela per entapissar encull, en rentar-la, 3/20 al llarg i 7/25 a l’ample. Quants metres s’han de comprar d’una peça de 125 cm d’ample per cobrir una superfície de 39,9 m2?

45 Un venedor ambulant porta una cistella de taronges. En la primera casa que visita, ven la meitat de les taronges més mitja. En la segona casa ven la meitat de les que li quedaven més mitja. En la tercera i en la quarta casa, repeteix la mateixa operació, amb la qual cosa se li acaba la mercaderia. Quantes taronges duia?

nota: En cap moment parteix taronges.

46 Els divisors propis d’un nombre són tots els divisors diferents d’aquest (comptant l’1). Un nombre es diu perfecte si coincideix amb la suma de tots els divisors propis.

Esbrina quins d’aquests nombres són perfectes: 4, 6, 60, 100

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

AUTOAVALUACIÓ

1 Resol:

a) |4 – |–7|| b) 1 – |3 + |–4|| c) 8 – |–11|

2 Fes aquestes operacions:

a) 20 – 4 · (6 – 2 · 2 – 5)

b) 12 + (–3) · [16 – 4 · 9 – 6 · 5]

c) 2 · [–1 + (1 – 3)] – 2 · [5 – (2 – 5)]

3 Separa la part entera com en

CURIOSITATS MATEMÀTIQUES

Leonardo de Pisa (1179-1250)

També anomenat Fibonacci (fill d’home bo). El pare va ser comerciant i cònsol de Pisa a la ciutat de Bugia, en l’actual Algèria. Això li va permetre aprendre les matemàtiques dels àrabs, especialment el sistema de numeració decimal, que va contribuir a introduir a Europa.

Va ser qui va descriure per primera vegada la famosa successió: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en què cada terme s’obté de la suma dels dos anteriors.

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

6 Una pilota perd en cada bot 2/5 de l’altura a la qual ha arribat en el bot anterior. Quina fracció de l’altura inicial, des de la qual ha caigut, aconseguirà quatre bots després?

7 De les persones que assisteixen a un congrés, 1/6 són d’Europa; 1/3, d’Àsia; 2/5, d’Amèrica, i la resta, d’Àfrica. Sabent que n’hi ha 60 d’Europa, quantes n’hi ha d’Àfrica?

8 Un vehicle cobreix 3/8 del recorregut al matí i 2/3 de la resta a l’horabaixa. Sabent que li falten 130 km:

a) Quants de quilòmetres mesura el recorregut?

b) Quant de temps (hores i minuts) tardarà a recórrer-lo de tornada a 120 km/h?

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin.

Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducacion.es.

Relaciona

Reprodueix aquesta espiral en un paper quadriculat i anima’t a ferla un poc més gran.

Sabries explicar la seva relació amb la successió de Fibonacci?

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

Nombres perfectes

Hem vist (exercici 46) que un nombre perfecte és el que coincideix amb la suma dels seus divisors propis. Només es coneixen 48 nombres perfectes i cap és imparell. Es creu que n’existeixen infinits, però encara no s’ha pogut demostrar.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

© GRUPO ANAYA, S.A., 2023 - C/ Valentín Beato, nº 21 - 28037 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.