Operación mundo: Matemáticas 1 ESO PD (muestra)

muestra

PROPUESTA DIDÁCTICA

1 TICAS ESO

Á M E T A M

ero,

Alb ez, I. Gaztelu n é im J ra le J. Co ñas R. Colera Ca

O peración ANDALUCÍA

mundo

© GRUPO ANAYA, S.A., 2024 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.

ÍNDICE PRESENTACIÓN

4

LAS CLAVES DEL PROYECTO MATERIAL PARA EL ALUMNADO MATERIAL PARA EL PROFESORADO PROYECTO DIGITAL LECTURAS RECOMENDADAS

UNIDADES

34

ENTRÉNATE RESOLVIENDO PROBLEMAS

10

LOS NÚMEROS NATURALES

24

POTENCIAS Y RAÍCES

46

DIVISIBILIDAD

62

LOS NÚMEROS ENTEROS

82

LOS NÚMEROS DECIMALES

108

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

126

LAS FRACCIONES

144

OPERACIONES CON FRACCIONES

158

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

174

ÁLGEBRA

192

RECTAS Y ÁNGULOS

220

FIGURAS GEOMÉTRICAS

238

ÁREAS Y PERÍMETROS

264

GRÁFICAS DE FUNCIONES

286

ESTADÍSTICA

302

1 1

Los números naturales 12. Producción y consumo responsable

Proyectos y planificación

Situación de aprendizaje

Situación de aprendizaje

Los números naturales El entorno en el que vivimos nos coloca, constantemente, frente a múltiples opciones o alternativas, tanto en el terreno material, como en el afectivo, como en el intelectual, etc.

Nuestros deseos, nuestras ilusiones, nuestros proyectos..., forman parte de nuestras vidas y nos piden, continuamente, ir tomando decisiones.

Y esas decisiones demandan, en muchos casos, una planificación.

Te mostramos, más abajo, un ejemplo sencillo de un contexto en el que conviene planificar utilizando los números naturales y sus operaciones, y en el que podrás reconocer los intereses de cual­ quier chico o chica de tu edad.

A..

PROP

UEST

Te pediremos que pienses en una situación similar a la que se expone a continuación, o mejor, en un proyecto que tengas en mente, real o imaginado (una compra, un viaje, una acción solidaria, un regalo...) y que planifiques su financiación.

Al final del tema encontrarás una guía para realizar este trabajo, pero te sugerimos que, antes de abordarla, busques tus propias soluciones y después las compares con las que allí se ofrecen.

....

Ponte en situación con lo que ya sabes

Imagina que una de tus amigas es aficionada al monopatín, y que quiere cambiar su tabla por otra de gama más alta, que cuesta 165 € y que ve cada día al volver del colegio en el escaparate de una tienda de deportes. Pero como solo tiene 96 € en su hucha, necesita hacer un recuento de sus ingresos y gastos y planificar la forma de ahorrar lo que le falta.

Atendiendo a este caso, supón que maneja estos datos: Ingresos

Motivación

Gastos

• Paga semanal → 15 €

• Salir con la pandilla → entre 5 € y 10 € semanales

• Las propinas por hacer recados → 20 € al mes

• Otros gastos (chuches, tebeos, etc.) → 6 €/semana

1 ¿Cuánto puede ahorrar, como mínimo, a la semana?

2 Entre los gastos, ¿cuáles consideras prescindibles? ¿Cuál es el máximo que podría

ahorrar suprimiéndolos?

3 Ahorrando el máximo que has calculado en la cuestión anterior, ¿cuántas semanas

tardaría en tener lo suficiente para el nuevo monopatín?

4 Piensa un plan intermedio que permita conseguir el objetivo en 10 semanas.

25

24

APERTURA DE LA UNIDAD

Activación

La unidad se abre presentando, como situación de aprendizaje, una propuesta, abierta y flexible, que se cerrará al final, con una concreción guiada, seguida de sugerencias de trabajo creativo y autónomo. Esta situación pretende ofrecer un cauce que facilite y potencie el aprendizaje de los números naturales y su entorno (operaciones, estrategias, conceptos, procedimientos y actitudes trabajados), lo ponga en práctica y lo incorpore a la competencia real deseada en la resolución de problemas y situaciones cotidianas.

Exploración

Estructuración

DESARROLLO DE LA UNIDAD

SECCIONES ESPECIALES

Evaluación

Atendiendo al análisis de los contenidos que han de adquirir los alumnos y alumnas, se comienza contrastando algunos de los sistemas de numeración más conocidos. Así, además de apuntar la evolución histórica de los métodos de representación, se incide en la idea que el concepto de número natural es el mismo en todos los casos, independientemente de cómo se exprese, verbalmente o por escrito.

Tras revisar la estructura del sistema decimal, y constatar sus ventajas respecto a otros sistemas de numeración, se trabajan algunas técnicas de conteo y la lectura y escritura de números de nueve o más cifras. También se recuerdan los procedimientos y las ocasionales ventajas de la aproximación por redondeo.

Aplicación

Conclusión

Los números naturales no parecen obedecer a ninguna «construcción» intelectual del ser humano. Desde siempre y en todas las culturas surgen de modo natural para contar, ordenar, medir, etc.

CIERRE DE LA UNIDAD

MATERIAL DEL PROFESORADO

Se repasan después las operaciones básicas con números naturales, y algunas de sus propiedades, poniendo especial empeño en la división, en la que se detectan con mayor frecuencia errores y lagunas, tanto conceptuales como en la mecánica del algoritmo.

En el repaso de las operaciones, además de practicar la mecánica del cálculo operativo, priorizamos la resolución de problemas, actividad que garantiza la revisión y la mejora en la construcción de conceptos.

Por último, se avanza en la resolución de expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.

Los contenidos de esta unidad son de tres tipos: • Aspectos teóricos: – Sistemas de numeración. El sistema de numeración decimal.

– Propiedades de las operaciones y ventajas que aportan a la práctica del cálculo.

24

• Cálculo: – Algoritmos de las operaciones.

– Expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.

– Cálculo mental.

• Uso de la calculadora: – Conocimiento de las técnicas básicas.

– Uso adecuado.

• Aplicación: – Resolución de problemas.

– Elaboración e interpretación de mensajes relativos a situaciones cotidianas.

CONOCIMIENTOS MÍNIMOS

(un monopatín) teniendo en cuenta la cantidad que falta, en ahorro semanal posible, que puede variar, y a partir de esos datos, valorar el tiempo necesario para conseguir el objetivo.

– La redacción de la propuesta, en la que se sugiere, en principio, seguir la misma línea del ejemplo. Pero su concreción, tanto en el contexto, como en los tiempos de atención, como en la elaboración individual o en grupo, quedará a criterio del profesor o profesora, adaptándola a la programación, o al formato que considere adecuado.

– Una serie de actividades, relacionadas con el ejemplo a realizar con «lo que ya se sabe», que servirá para anunciar lo venidero, para activar los conocimientos previos o, y su caso, carencias a tener en cuenta.

• Estructura del sistema de numeración decimal.

• Lectura y escritura de números grandes.

• Redondeo.

• Cálculo mental y escrito con las cuatro operaciones.

• Uso elemental de la calculadora.

• Resolución de expresiones sencillas con operaciones combinadas.

• Resolución de problemas de una y dos operaciones.

Las actividades proponen el manejo de las operaciones básicas con números naturales, siendo necesario combinarlas en distintas ocasiones. Desde la primera actividad, los estudiantes se moverán en situaciones abiertas, con datos que se pueden variar entre ciertos valores que cambiarán dependiendo de decisiones a tomar sobre ingresos, gastos, ahorro, tiempos, etc., como ocurre en la realidad cotidiana, y que, según se concreten, darán lugar a soluciones diferentes.

ANTICIPACIÓN DE TAREAS

CUESTIONES PARA DETECTAR IDEAS PREVIAS

• Buscar información sobre distintos sistemas de numeración (civilizaciones antiguas, sistema binario de los lenguajes informáticos, etc.).

• Revisar la operativa con las cuatro operaciones (detección de lagunas).

• Mostrar los distintos tipos de calculadora.

• Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para resolver problemas y describir los procesos de resolución.

• Crear un sistema de signos que sirva para codificar cualquier número menor que 50 (o 100 o…).

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Antes de iniciar el estudio analítico y estructurado de contenidos, esta primera doble página presenta una propuesta de trabajo, abierta y flexible, cuya redacción que se puede concretar en este momento, o durante el desarrollo de la unidad y que tendrá su resolución definitiva al final de la misma. El objetivo se dirige a la percepción de la utilidad de lo aprendido, a reforzarlo mediante la practica y a proporcionar cauces de profundización y maduración en un contexto posible en el mundo real.

La presentación de esta situación de aprendizaje se divide en tres apartados: – Un texto inicial, con alguna reflexión sobre el sentido del trabajo que se va a abordar. Y a continuación un ejemplo, en un contexto próximo al mundo y los intereses del alumnado, que servirá para aclarar y centrar la propuesta.

El ejemplo propone un problema sobre un contexto real: la planificación de la compra de un objeto deseado

• Leer y escribir números de hasta ocho cifras.

• Calcular con las operaciones básicas.

• Comparar expresiones muy sencillas variando la posición del paréntesis.

• Inventar problemas para una operación dada.

APRENDIZAJE COOPERATIVO

Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, estas actividades pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.

SOLUCIONES

1 (15 + 5) − (10 + 6) = 20 − 16 = 4 € 2 Considerando como prescindibles los del apartado «otros» , y la mitad de los gastos con la pandilla: (15 + 5) − (5) = 20 − 5 = 15 € 3 (165 − 96) : 15 = 69 : 15 → 5 (por exceso) 4 Ahorrando 7 € a la semana, (165 − 96) : 7 = 69 : 7 → → 10 (por exceso) 25

1

1

Sistemas de numeración

El sistema de numeración decimal Recuerda

Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su re­ presentación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico.

Las personas en la prehistoria ya utilizaban algunas técnicas para contar: compa­ raban con los dedos, hacían muescas en un cayado, ensartaban cuentas en una cuerda, etc.

Este hombre primitivo ha escrito el nú­ mero 47. ¿Sabrías decir el valor de cada símbolo?

A medida que la sociedad evolucionaba, se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas cul­ turas los sistemas de numeración.

Un número se puede descomponer se­ gún sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra: 27 473 20 000

7 UM →

7 000

4C→ 3U→

• Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…

• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.

Veamos un ejemplo:

400 70 +

umm

cm

dm

4

7

8

↓ 4 000 000 U

3

27 473

um

c

d

4

3

0

↓ 4 000 U

1 Situándote en el sistema de numeración decimal:

Ayuda CM DM UM

b) ¿Cuántas centenas hacen una decena de millar?

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

palo

asa

cuerda

flor

dedo

rana

hombre

3

4

5

7

8

9

6

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

El pueblo maya, en la actual Guatemala y en el sur de México, antes de la lle­ gada de Colón al continente americano, usaba solo tres símbolos para escribir los números: (0)

1 Escribe en el sistema de numeración egipcio los números

19, 65, 34 120 y 2 523 083.

C

× 10

1

D

U

× 10

0

0

1 UM = 100 D

(1)

(5)

En los números menores de 20, como puedes ver a la izquierda, el sistema era aditivo. Hasta aquí, el primer nivel. Para escribir números mayores, se superpo­ nían otros niveles, con los mismos símbolos, pero multiplicando su valor por 20 al subir cada escalón.

20

21

27

36

40

100

137

Como ves, un símbolo tiene diferente valor según el nivel en que se encuentre, característica de los sistemas de numeración posicionales. Es decir, el sistema maya era en parte aditivo y en parte posicional.

b) 3 000 C = … UM = … DM c) 6 UM = … C = … D

1

5

10

100

Escribe, basándote en él, los números 7, 12, 84 y 126.

3 Traduce al sistema decimal los siguientes números del

sistema maya:

d) 8 CM = … DM = … D 6 ¿Verdadero o falso?

a) Si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del número. b) Si añades un cero a la derecha de un número, su valor se multiplica por 10. c) Si añades un cero a la izquierda de un número, el valor se divide entre 10.

Segundo nivel (× 20) → Primer nivel (× 1) →

5 Completa en tu cuaderno.

a) 500 D = … C = … UM

2 En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:

El sistema de numeración maya 2

c) ¿Cuántas centenas hay en 5 unidades de millón?

La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada.

A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbo­ los y sumando su valor, los llamamos sistemas aditivos.

0 1

INTRODUCCIÓN

4 ↓ 4U

La cifra 4 tiene diferente valor según el orden de unidades que ocupa.

a) ¿Cuántas decenas hacen 3 millares?

Aquí aparece escrito el número 1 333 331.

u

Para fijar ideas

Los antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:

4 Añade cuatro elementos por la derecha y otros cuatro

elementos por la izquierda a esta serie de números del sistema maya:

d) Medio millar equivale a 5 decenas. e) Mil millares hacen un millón.

7 Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercam­

bias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?

27

26

Sistemas de numeración

• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe (sistema de tipo posicional).

2 DM →

7D→

Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración.

El sistema de numeración egipcio

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de diez símbolos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y se rige por estas normas:

La utilización de distintos sistemas de numeración, ideados en diferentes épocas y culturas, hará valorar a las alumnas y a los alumnos el esfuerzo progresivo realizado por la humanidad en la construcción de herramientas que hoy empleamos sin percibir, acaso, la dificultad del proceso, y que son parte de la herencia cultural, en continua reelaboración, que cada generación transmite a la siguiente.

A la vez, se puede señalar que cada cultura ha utilizado el sistema de numeración que se adaptaba a sus necesidades. No nos podemos imaginar ninguna situación en la que un hombre primitivo, cazador y recolector, tuviera que manejar números de, por ejemplo, siete cifras. Pero solo tenemos que abrir un periódico, o cualquier tratado científico, para ver que esos mismos números son imprescindibles en la sociedad actual. Es decir, los sistemas de numeración se han ido perfeccionando a medida que evolucionaban las necesidades de enumerar y calcular (comercio, construcción, estadística…), y, a la vez, cada avance ha permitido acceder a nuevos campos de la ciencia y ha traído consigo la aparición de nuevas necesidades numéricas.

Para apreciar en su justa medida las virtudes de nuestro sistema de numeración decimal, conviene compararlo con otros tipos de sistemas, especialmente los aditivos. Hágase ver la dificultad de esos últimos para representar números grandes y números decimales y también para operar.

Es recomendable insistir en el salto adelante que supuso el uso de los sistemas posicionales, en su economía de símbolos y su potencia para expresar cantidades. También se señalará la importancia de la tardía aparición del cero, símbolo abstracto para ocupar un lugar en el que no había nada, pero a la vez llave imprescindible para el desarrollo de estos sistemas. La presencia del cero permite asignar distintos valores a las cifras.

SOLUCIONES DE «PARA FIJAR IDEAS»

La actividad incluida en este apartado pretende recordar la estructura del SND y detectar lagunas en su comprensión, aportando ayuda para superarlas.

1 a) 3 millares hacen 300 decenas. b) 1 decena de millar hace 100 centenas. c) 5 unidades de millón hacen 50 000 centenas.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1 19 = 65 = 34 120 = 2 523 083 = 2 7= 12 = 3 6

84 = 126 = 11

120

126

4 Por la izquierda:

Por la derecha:

5 a) 500 D = 50 C = 5 UM c) 6 UM = 60 C = 600 D

b) 3 000 C = 300 UM = 30 DM d) 8 CM = 80 DM = 80 000 D

6 a) Verdadero.

c) Falso.

b) Verdadero.

7 40 001, pues 41 000 − 40 001 = 999 26

d) Falso.

e) Verdadero.

1

2

Algunas técnicas de conteo 1 Marta, desde su ventana, ha anotado, para un trabajo de

Utilizamos los números naturales para contar. Pero sabemos que los conteos solo se hacen, de uno en uno, en situaciones muy sencillas. Cuando se complican usamos estrategias que los hacen más rápidos y eficaces.

clase, el color de los coches que han pasado frente a su casa durante media hora.

Pero, por un descuido, jugando, su hermano pequeño le ha borra­ do algunos datos.

Repasemos algunas técnicas de conteo:

Recuentos de datos |Ejemplo nerea

6

A la izquierda tienes los resultados de la votación para la elección de delegado en una clase de 1.° ESO.

celia

13

Observa que:

aitor

9

• En la clase, entre chicas y chicos, son 28.

12

año 1 año 0

Tablas y operaciones

Amarillo

3

|Ejemplo

Verde

1.° A 14

13

1.° B 0

12

13

2.° A 0

11

16

2.° B 1

12

Masculino →

Observa que:

Transgénero →

• En primer curso hay 52 personas, y en segundo, otras 52.

12

Otros

15

total

82

• Copia la tabla e intenta completar los datos que faltan.

0

2 Luis se prepara para un viaje y ha metido en su maleta

Ramificaciones en árbol |Ejemplo 2.ª bola

queda

Años

1

2

3

4

…

Flores

2

2·2=4

4·2=8

8 · 2 = 16

…

4 Tenemos una urna con cuatro bolas, tres azules y una

roja, y se propone la experiencia: Sacar sucesivamente dos bolas.

2

3

a) ¿Qué posibilidad hay de que queden en la urna dos bolas de distinto color? a) ¿De cuántas formas podrá elegir mañana su atuendo, usando prendas de la maleta?

b) ¿Y de que las dos bolas que queden sean del mismo color? nota: Te ayudará hacer y observar un esquema ramifica­

do, como el de la actividad anterior.

• Supón que realizamos la experiencia seis veces y nos preguntamos: ¿En cuántas de ellas, teóricamente, debería quedar la roja en la urna? ¿Y si realizamos la experiencia 30 veces?

1

Nos apoyamos en un diagrama como el que aparece a la izquierda (diagrama en árbol) en el que se estudian todas las posibilidades.

28

ayuda:

1

En una urna hay tres bolas de diferentes colores (rojo, azul y amarillo). Se propo­ ne la experiencia: sacar sucesivamente dos bolas.

Vemos que, teóricamente, la bola roja quedará en la urna dos de las seis veces.

Y si realizamos la experiencia 30 = 6 · 5 veces, teóricamente la roja quedará en la urna, 2 · 5 veces.

• ¿Cuántas flores mostraría en el sexto año? ¿Y en el décimo?

unas deportivas, unos zapatos de vestir, dos pantalones, dos camisas y dos niquis.

• En total contamos 49 chicas, 54 chicos y una persona que no desea ser con­ tabilizada en ninguno de esos dos grupos.

1.ª bola

año 2

3

10

b) ¿Y si, en lugar de dos pantalones, llevara tres? c) Y si, atendiendo al calzado, ¿tenemos en cuenta, ade­ más, las zapatillas que llevaba puestas al salir de casa?

Algunas técnicas de conteo

año 3

Gris

Azul

La tabla recoge datos relativos a la distribución de dos grupos de 1.° ESO y otros dos de 2.° ESO en un centro de secundaria.

Femenino →

Negro

salen dos, y en el que cada extremo produce una flor.

Rojo

• Celia ha obtenido 4 votos más que Aitor.

Ten en cuenta Recuerda el significado de estos símbolos:

Blanco

3 Supón un árbol en el que, año tras año, de cada rama

2

3

3

2

2

2 3

1

3

3

1

3

1 3

1

2

2

1

1

2

3

1

2

1

1

2

3

3

2

c) Y si en vez de sacar dos bolas se sacan tres, ¿qué posi­ bilidad crees que hay de que las tres sean azules?

29

INTRODUCCIÓN

Este epígrafe muestra una faceta de los números naturales, diferente al cálculo o a la resolución de problemas, que se tratarán en los próximos epígrafes.

Aquí el objetivo consiste en mostrar estrategias que facilitan tareas de recuento de conjuntos o de los subconjuntos de un total, aportando datos que informen sobre su composición y su estructura. Y cada una de estas técnicas se introduce mediante un ejemplo y se afianza con las actividades propuestas.

El recuento directo se utiliza en recogida de datos que llegan sucesivamente, y ofrece la posibilidad de ir clasificándolos en apartados decididos con antelación.

La tabla de doble entrada, se utiliza para clasificar y analizar los elementos de un conjunto atendiendo, simultáneamente, a dos criterios diferentes. En ocasiones se combina con la técnica de recuento anteriormente mencionada. Se utiliza, con frecuencia, como recurso para clasificar y para mostrar resultados en trabajos de estadística.

El diagrama en árbol se utiliza como recurso organizador en el estudio y análisis de todos los casos posibles de una situación. Se utiliza frecuentemente en trabajos de cálculo de probabilidades.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1

Blanco

12

Negro

3

Gris

26

Rojo

8

Azul

10

Amarillo

3

Verde

5

Otros

15

total

82

2 a) 2 · 2 · 4 = 16 → de 16 formas b) 2 · 3 · 4 = 24 → de 24 formas c) 3 · 3 · 4 = 36 → de 36 formas 3

Años

6

10

n

Flores

26 = 64 flores

210 · 2 = 1 024 flores

2n

4 a) Seis de doce, es decir, una de cada dos. b) Seis de doce, es decir, una de cada dos. c) Son 4 · 3 · 2 = 24 casos posibles, en los que 6 las tres bolas son azules.

6 = 1 24 4 Hay una posibilidad de cada 4.

27

1

3

4

Los números grandes Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 900 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…

Aproximación de números naturales Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima­ do, terminado en ceros. Por ejemplo:

3

8

0

0

millares

miles de

1 1

millones

billones

…

millones

El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos:

0

0

0

c

0

d

0

u

31 853 000 × 500 = 15 926 500 000

0

Son, aproximadamente, dieciséis mil millones.

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades: • Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

Ten en cuenta

• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una uni­ dad a la cifra anterior.

Aunque no es muy habitual, a los mi­ les de millones también se los llama millardos.

También se designan con el prefijo giga: 1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte

Para fijar ideas

El universo se originó El cerebro de una persona La Tierra tiene un volumen hace trece mil ochocientos joven tiene unos cien mil aproximado de un billón de millones de años. millones de neuronas. kilómetros cúbicos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.

• Un billón ↔ Un millón de millones. ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.

• Un trillón ↔ Un millón de billones. ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

1 Lee las primeras líneas de esta página. Después, escribe

3 Copia en tu cuaderno y completa.

cómo se leen:

a) El número de habitantes de la Tierra.

a) 24 963

b) Mil millones hacen un…

b) El número de segundos de un siglo.

a) 530 298

d) Un millón de millones es un…

dm4 < 45 <45< 5 ... ...0... 00 00 00 00 0

b) 7 280 b) 828 502

+1 +1+1 um 5 ≥ 55 ≥5 5≥ 5

... ......0 00 00 00 0

4 Aproxima a los millones por redondeo.

c) 40 274

a) 24 356 000

d) 99 834

c) 359 481

c) Dos mil setecientos millones.

c) 274 825 048

cio de un piso en venta:

SE VENDE 138 290 €

138 000 € 138 300 € 140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real?

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de

b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para re­

16 ceros?

d) Dieciséis gigas. e) Un billón y medio.

b) 36 905 000

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al pre­

d) 29 935 236

millones y el gasto a los miles de millones:

millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

b) Ciento cuarenta y tres millones.

Aproximación del número 52 722:

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a los

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de

a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.

3 83 348 854 425 532 23 3 = = =

Ayuda

– A las decenas de millar → 50 000 3 83 348 854 425 532 23 3– A los millares → 53 000

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

c) Un millón de millares hacen un…

c) El número de kilómetros que tiene un año luz.

3 83 348 854 425 532 23 3 8 ≥ 85 ≥8 5≥ 5 cm ... ...0...00 00 00 00 00 0

+1 +1+1

millares

1 Redondea a los millares estos números:

a) Mil millares hacen un…

2 Escribe con cifras.

1 Completa para aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a

las decenas de millar y a los millares. centenas de millar decenas de millar

los océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

Los números grandes

¿Cuántos miles de millones de euros serán, aproximadamente?

En España circulan 31 853 000 billetes de 500 €.

habilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comu­ nicar este dato en una conversación informal?

31

30

INTRODUCCIÓN

Los grandes números (de seis, nueve, doce y más cifras) aparecen frecuentemente en informaciones científicas, sociológicas, económicas, etc., de ahí que resulten necesarios para elaborar e interpretar mensajes relativos a medios en los que ya se mueve el alumnado.

Los alumnos y las alumnas han de leer y escribir con agilidad los números de muchas cifras y han de manejar con soltura los correspondientes órdenes de unidades (millones, miles de millones, billones…) y sus equivalencias.

Posteriormente, en la siguiente unidad, utilizarán la notación abreviada de estos órdenes, con el apoyo de las potencias de diez.

También es aconsejable incidir en la diferencia existente entre nuestro término «billón» y el término billion que suele aparecer en los textos y medios de comunicación norteamericanos y que con frecuencia da lugar a equívocos y errores en las traducciones. El billion equivale, contra lo que cabría esperar, a mil millones. Y quizá, para diferenciarlo del billón, y para tener un término equivalente en las traducciones, es por lo que se ha acuñado el nuevo término millardo (mil millones), aunque su uso no es nada frecuente.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1 a) Siete mil novecientos millones. b) Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil. c) Nueve billones cuatrocientos sesenta mil ochocientos millones.

2 a) 28 350 000 b) 143 000 000 c) 2 700 000 000 d) 16 000 000 000 e) 1 500 000 000 000 f ) 15 350 000 000 000 3 a) Millón.

b) Millardo.

c) Millardo.

d) Billón.

4 Entre 10 y 70 billones de células.

5 Diez mil billones.

6 Un 1 seguido de 24 ceros → un billón de billones.

1

3

4

Los números grandes Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 900 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…

Aproximación de números naturales Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima­ do, terminado en ceros. Por ejemplo:

1 1

3

8

0

0

millares

millones

miles de

billones

…

millones

El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos:

0

0

0

c

0

d

0

u

31 853 000 × 500 = 15 926 500 000

0

Son, aproximadamente, dieciséis mil millones.

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades: • Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

Ten en cuenta

• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una uni­ dad a la cifra anterior.

Aunque no es muy habitual, a los mi­ les de millones también se los llama millardos.

También se designan con el prefijo giga: 1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte

Para fijar ideas

El universo se originó El cerebro de una persona La Tierra tiene un volumen hace trece mil ochocientos joven tiene unos cien mil aproximado de un billón de millones de años. millones de neuronas. kilómetros cúbicos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.

• Un billón ↔ Un millón de millones. ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.

• Un trillón ↔ Un millón de billones. ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

1 Lee las primeras líneas de esta página. Después, escribe

cómo se leen:

a) El número de habitantes de la Tierra. b) El número de segundos de un siglo. c) El número de kilómetros que tiene un año luz.

2 Escribe con cifras.

a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil. b) Ciento cuarenta y tres millones. c) Dos mil setecientos millones. d) Dieciséis gigas. e) Un billón y medio. f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

3 Copia en tu cuaderno y completa.

a) Mil millares hacen un… b) Mil millones hacen un… c) Un millón de millares hacen un… d) Un millón de millones es un…

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de

millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

1 Completa para aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a

las decenas de millar y a los millares. centenas de millar decenas de millar 3 83 348 854 425 532 23 3 8 ≥ 85 ≥8 5≥ 5 cm ... ...0...00 00 00 00 00 0

+1 +1+1

= = =

dm4 < 45 <45< 5 ... ...0... 00 00 00 00 0

+1 +1+1 um 5 ≥ 55 ≥5 5≥ 5

1 Redondea a los millares estos números:

a) 24 963

b) 7 280

c) 40 274

b) 828 502

c) 359 481

d) 29 935 236

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a los

millones y el gasto a los miles de millones:

... ......0 00 00 00 0

4 Aproxima a los millones por redondeo.

d) 99 834

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

a) 530 298

Ayuda

Aproximación del número 52 722: millares – A las decenas de millar → 50 000 3 83 348 854 425 532 23 3– A los millares → 53 000

3 83 348 854 425 532 23 3

a) 24 356 000

b) 36 905 000

c) 274 825 048

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al pre­

cio de un piso en venta:

SE VENDE 138 290 €

138 000 € 138 300 € 140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real?

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de

b) ¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para re­

16 ceros?

los océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

habilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comu­ nicar este dato en una conversación informal?

31

30

28

Aproximación de números naturales

¿Cuántos miles de millones de euros serán, aproximadamente?

En España circulan 31 853 000 billetes de 500 €.

INTRODUCCIÓN

Además de aprender el significado del término aproximar y de dominar la técnica del redondeo de cantidades, el alumnado se ha de acostumbrar a realizar esas operaciones para expresar con propiedad, recordar o apuntar datos relativos a informaciones y resultados de cálculos que maneja de forma cotidiana.

Cuando en la televisión nos dicen, por ejemplo, que en España circulan 31 853 000 billetes de 500 €, ¿cuántos miles de millones de euros serán, aproximadamente? Realizamos el cálculo y obtenemos la cifra exacta: 15 926 500 000. Con este dato podemos aproximar el resultado y decir que en España circulan aproximadamente dieciséis mil millones de euros en billetes de quinientos euros.

Para que el aprendizaje se incorpore a las competencias de los alumnos y las alumnas, podemos proponerles, como actividad, la elaboración de una lista de situaciones, como la del ejemplo, en que el redondeo es apropiado y eficaz (precios, presupuestos, datos estadísticos de población, economía, etc.).

SOLUCIONES DE «PARA FIJAR IDEAS»

La actividad propone el redondeo de un mismo número a distintos órdenes de unidades.

Acompañada de un ejemplo y aportando apoyo gráfico, pretende hacer más fácil la tarea y asentar comprensivamente el procedimiento. Además, contrastar los distintos casos ayudará a crear nuevas relaciones y profundizar en la estructura de los números.

1 Centenas de millar: 400 000 Decenas de millar: 380 000 Millares: 385 000 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1 a) 25 000

b) 7 000

2 a) 530 298 → 500 000 y 530 000 c) 359 481 → 400 000 y 360 000

c) 40 000

d) 100 000

b) 828 502 → 800 000 y 830 000 d) 29 935 236 → 29 900 000 y 29 940 000

3 El número de turistas fue de 72 000 000 millones, aproximadamente.

El gasto fue de 90 miles de millones, aproximadamente.

4 a) 24 000 000

b) 37 000 000

5 a) 138 300

b) 140 000

c) 275 000 000

6 150 000 €

1

5 AFORO: 25 342 localidades Localidades ocupadas Gradas este: 11 576 Gradas oeste: 9 006

Operaciones básicas con números naturales

La multiplicación y sus propiedades Recuerda que multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida de sumandos iguales.

Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba 35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería:

Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido repaso de algunos conceptos y propiedades.

La suma y sus propiedades Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir.

Por ejemplo, si queremos saber el número de personas que hay en el campo de fútbol que se ve en el margen, debemos hacer una suma:

16 × 55

20 582 veces

8 × 2 × 5 × 11

La multiplicación cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

34 + 16 = 16 + 34 50

• Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores. a·b=b·a • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independien­ te de la forma en que se agrupen los factores. (a · b) · c = a · (b · c) • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando. a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

88 × 10

11 576 + 9 006 = 20 582 La suma cumple las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

880 La propiedad asociativa nos permite reagrupar los términos, y la conmutati­ va, cambiarlos de orden.

a+b=b+a

50

• Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

Propiedad asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) 21 + 17

18 + 20

38

38

La resta y sus relaciones con la suma Recuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia.

Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido mencionado antes, tenemos que realizar una resta:

245 + 105

En una peña de amigos y amigas, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes, 3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?

35 · 10

350

Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas:

350

gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas ↔ gasto de (7 + 3) entradas 35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10

Observa, además, que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.

25 342 ← Minuendo (M ) – 20 582 ← Sustraendo (S )

M =S +D Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D → * S=M –D

4 760 ← Diferencia (D )

1 Calcula.

3 Transforma.

a) 254 + 78 + 136

b) 340 + 255 – 429

c) 1 526 – 831 + 63

d) 1 350 – 1 107 – 58

2 Estima la respuesta y compruébala después.

Carmen compra un bolso de 167 €, una gabardina de 235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se ha gastado? a) Se ha gastado alrededor de 350 €. b) Se ha gastado, más o menos, 450 €. c) Se ha gastado alrededor de 550 €.

32

Este ejemplo te ayudará a comprender el significado de la propiedad distributiva:

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3)

25 342 – 20 582 = 4 760

Recuerda

a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60 b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14 4 Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más

joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la edad de Alberto?

5 Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €, pero

si comprara también un televisor, me faltarían 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos artículos?

6 Completa en tu cuaderno.

× 2

9 Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se hace

5

+ 9 0 1 2 6 0

9 8 × 2 8 7 4

+

2 9 9 3 4

7 Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por

1 000… se añaden uno, dos, tres… ceros. a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1 000 d) 140 · 10

Operaciones básicas con números naturales (I)

35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 €

Cálculo mental

e) 230 · 100

f ) 460 · 1 000

8 Expresa con una igualdad aritmética:

Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multiplicarlo primero por diez y después restarle su doble. ¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?

en los ejemplos.

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9

b) 25 · 9

c) 33 · 9

d) 12 · 11

e) 25 · 11

f ) 33 · 11

10 ¿Cuántas vueltas da en un cuarto de hora una rueda

que gira a razón de 1 500 revoluciones por minuto? ¿Y en una hora? ¿Y en hora y media?

11 Una agricultora tiene una huerta con 200 melocoto­

neros. Calcula que con cada árbol llenará siete cajas de cinco kilos de melocotones. ¿Qué beneficio obtendrá si vende toda la producción a 2 € el kilo?

33

INTRODUCCIÓN

Se abre aquí un espacio para consolidar aprendizajes iniciados en cursos anteriores, que servirá de preparación para abordar más adelante las operaciones con números enteros y con fracciones, donde se aplicarán técnicas similares a las que aquí se ejercitan.

Se revisan los algoritmos y también las propiedades y las relaciones de la suma y la resta con un objetivo doble: – Su implantación automatizada y espontánea para la mejora del cálculo.

– Su formalización teórica (expresión con letras) para que los estudiantes superen el ejemplo concreto y las generalicen para todos los números.

La comprensión de las propiedades y su implantación a nivel práctico, a estas edades, ha de conseguirse por el camino de la experimentación y de la práctica, más que por el del razonamiento analítico. Y, por consiguiente, la explicitación teórica será posterior a la comprensión y supondrá el último paso del proceso de aprendizaje.

Apoyando esa implantación práctica, es conveniente hacer notar al alumnado las ventajas que ofrece la aplicación de las propiedades para facilitar el cálculo de productos, especialmente en el desarrollo de estrategias de cálculo mental, como muestran estos ejemplos: • El producto 35 × 12 se puede transformar en otro más sencillo, 42 × 10, combinando las propiedades asociativa y conmutativa.

35 × 12 = (7 × 5) × (2 × 6) = 7 × (5 × 2) × 6 (1) = 7 × 10 × 6 = 7 × 6 × 10 = 42 × 10 (2) (1) Propiedad asociativa.

(2) Propiedad conmutativa.

• El producto 125 × 23 se facilita con la propiedad distributiva: 125 × 23 = 125 × (20 + 3) = 125 × 20 + 125 × 3 = 2 500 + 375 = 2 875 Como ampliación de estos contenidos, se propone la extracción de factor común, que es la aplicación de la propiedad distributiva en sentido inverso a su presentación habitual: a · b + a · c = a · (b + c) 29

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1 a) 468

b) 166

c) 758

d) 185

2 La respuesta correcta es la b) 167 + 235 + 32 = 434 €.

3 a) 48 + 23 = 60 → 60 − 48 = 12 b) 22 − 2 − 6 = 14 → 14 + 2 + 6 = 22 4 51 − 18 − 15 = 18 años 5 El precio del televisor es 204 + 246 = 450 €.

6

4 5 × 2 8 3 6 0 + 9 0 1 2 6 0

7 a) 190 d) 1 400

9 5 8

× 7 3 2 8 7 4 + 6 7 0 6 6 9 9 3 4 b) 1 200

c) 15 000

e) 23 000

f ) 460 000

8 x · 8 = x · (10 − 2) = x · 10 − x · 2 En esta igualdad hemos aplicado la propiedad distributiva.

9 a) 12 · 9 = 12 · 10 − 12 = 120 − 12 = 108 b) 25 · 9 = 25 · 10 − 25 = 250 − 25 = 225 c) 33 · 9 = 33 · 10 − 33 = 330 − 33 = 297 d) 12 · 11 = 12 · 10 + 12 = 120 + 12 = 132 e) 25 · 11 = 25 · 10 + 25 = 250 + 25 = 275 f ) 33 · 11 = 33 · 10 + 33 = 330 + 33 = 363 10 En 15 minutos: 1 500 × 15 = 22 500 vueltas En una hora: 22 500 × 4 = 90 000 vueltas En una hora y media: 22 500 × 6 = 135 000 vueltas 11 200 × 7 × 5 × 2 = 14 000 €

5

Operaciones básicas con números naturales

1

La división

Una propiedad de la división

Recuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuen­ temente en los problemas aritméticos: • Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días. ¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día?

5625 112 075 00

15 375

⎯→

5 625 : 15 = 375 m3 cada día

Ejemplo

32 0

×7

8 4

Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número: Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble de arbustos y el doble de litros de agua?

×7

24 litros

224 56 00 4

24 0

Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuánto le toca a cada uno.

5625 1875 000

División exacta Se reparten 35 kg de naranjas en cajas de 5 kilos.

35 0

5 7

Se reparten 38 kg de manzanas en cajas de 5 kilos.

38 3

⎯→

5 625 : 375 = 15 días

Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño dado, para averiguar cuántas porciones se obtienen.

División exacta y división entera

13 Divide mentalmente, por partes, como en el ejemplo.

En el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamente durante 15 días, y no sobraba nada de agua.

5625 1875 000

375 15

⎯→ 5 625 = 375 · 15 Decimos que esta división es exacta.

Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros cúbicos, tendría reservas, igualmente, para 15 días, pero sobraría algo de agua.

5 7

Se llenan 7 cajas y sobran 3 kilos.

5700 1950 075

375 15

⎯→ 5 700 = 375 · 15 + 75

anayaeducacion.es Cálculo mental con divisiones.

a) 96 : 13 d) 7 029 : 26

b) 713 : 31 e) 49 896 : 162 : 12

• 96 :3

a) 60 : 12 d) 75 : 15 g) 180 : 30

32

c) 5 309 : 7 f ) 80 391 : 629

a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres boca­ dillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno? b) ¿Cuántos minutos son 180 segundos?

8

c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora son?

b) 180 : 12 e) 90 : 15 h) 240 : 30

c) 300 : 12 f ) 180 : 15 i) 390 : 30

14 Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indica

d) Envasamos 250 kg de manzanas en cajas de 10 kg. ¿Cuántas cajas llenamos?

18 Un club infantil ha pagado una factura de 1470 € por

la compra de 35 equipaciones de fútbol.

en los esquemas. ¿Qué observas?

(36 : 12) : 3

36 : (12 : 3)

:

:

Decimos que esta división es entera.

• División entera (el resto es distinto de cero).

D d ⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente más r c el resto.

D=d·c+r

6 8

17 Resuelve sin lápiz ni papel.

:4

15 Calcula y compara los resultados. Después, contesta.

a) (50 : 10) : 5 50 : (10 : 5) b) (36 : 6) : 2 36 : (6 : 2) ¿Cumple la división la propiedad asociativa?

16 Averigua el término que falta en cada división:

dividendo 39

53 15

1 000 12

a) ¿A cómo ha salido cada equipación? b) Si el utillero las guarda en estanterías de capacidad para seis equipaciones, ¿cuántas estanterías utiliza?

Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto.

• División exacta (el resto es cero).

D d ⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente.

0 c D=d·c

48 0

Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo nú­ mero, el cociente no varía.

12 Averigua el cociente y el resto en cada división:

Se llenan 7 cajas y no sobra nada.

División entera

375 15

3 8

Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corres­ ponde a cada uno no varía.

• El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos?

divisor 38

19

Operaciones básicas con números naturales (II)

48 litros

El cociente no varía.

En situación Raúl tiene 65 € y está ahorrando para comprar un monopatín que cuesta ciento cinco.

a) ¿Cuánto tiempo tardará en conseguirlo, si ahorra cinco euros a la semana? ¿Y si ahorra seis? b) ¿Cuál debe ser el ahorro semanal si desea conseguir su objetivo en 4 semanas? c) ¿Lo conseguirá en 3 semanas si ahorra 13 € cada semana?

35

34

TIC anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de actividades interactivas para practicar el cálculo mental.

INTRODUCCIÓN

Los alumnos y las alumnas ya deben dominar el algoritmo de la división, aunque aprovecharemos este epígrafe para detectar posibles lagunas en su aprendizaje que bloquearían la adquisición de contenidos posteriores.

Los conceptos de división se revisarán mediante la propuesta de actividades en contextos adecuados (resolución de problemas): – La división como reparto: consiste en averiguar cuántos elementos corresponden a cada parte cuando un conjunto se va a dividir en un número determinado de partes iguales.

– La división como partición: consiste en averiguar cuántas partes de un determinado tamaño se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Este concepto requiere especial atención por presentar mayor dificultad.

Las relaciones entre los términos de la división exacta y entera se afianzarán con su comprobación y aplicación en situaciones concretas (por ejemplo, prueba de la división).

30

El epígrafe se completa con una propiedad importante de la división: ¿qué ocurre al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número? El alumnado puede interiorizarlo a través de ejemplos contextualizados y de simple operativa. Será importante responder también a la pregunta: ¿qué ocurre con el resto? La aplicación de esta propiedad será fundamental para justificar los algoritmos de la división con divisores decimales, y enlazará con otros contenidos como la equivalencia y simplificación de fracciones.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

12 a) c = 7; r = 5 b) c = 23; r = 0 c) c = 758; r = 3 d) c = 270; r = 9 e) c = 308; r = 0 f ) c = 127; r = 508 13 a) 60 : 3 = 20 : 4 = 5

b) 180 : 3 = 60 : 4 = 15

c) 300 : 3 = 100 : 4 = 25

d) 75 : 3 = 25 : 5 = 5

e) 90 : 3 = 30 : 5 = 6

f ) 180 : 3 = 60 : 5 = 12

g) 180 : 10 = 18 : 3 = 6

h) 240 : 10 = 24 : 3 = 8

i) 390 : 10 = 39 : 3 = 13 14

(36 : 12) : 3

36 : (12 : 3)

3 : 3

36 : 4

1

9

Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa.

15 a) (50 : 10) : 5 = 5 : 5 = 1 50 : (10 : 5) = 50 : 2 = 25 b) (36 : 6) : 2 = 6 : 2 = 3 36 : (6 : 2) = 36 : 3 = 12 La división no cumple la propiedad asociativa.

16 53 · 15 + 39 = 834 (1 000 − 12) : 38 = 988 : 38 = 26 17 a) 50 g b) 3 minutos c) 80 km/h d) 25 cajas 18 a) Ha salido a 42 €. b) Utiliza 6 estanterías.

19

En situación: a) Si ahorra 5 € a la semana tardará 8 semanas. Si ahorra 6 € tardará 7 semanas y le sobran 2 €. b) 10 €. c) No, le faltará 1 €.

31

1

6

Expresiones con operaciones combinadas

Para fijar ideas

2 Copia y completa en tu cuaderno. Después, comprueba los resultados con una cal­

Orden en que han de hacerse las operaciones Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión ten­ ga un significado y una solución únicos.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

• 48 : (3 + 5) – 2 · 3 = 48 : 8 – 6 = =6–6=0 • 48 : 3 + (5 – 2) · 3 = 16 + 3 · 3 = = 16 + 9 = 25

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: • Primero, a los paréntesis.

• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones.

• Por último, a las sumas y a las restas.

–

+2

4 · (10 – 8) · 3 + 2 4·

·3+2

+2

+2

18

26

4 · 10 – (8 · 3 + 2)

4 · 10 – 8 · (3 + 2)

– (

– 8 ·

+ 2)

–

–

14

0

+

4 · (10 – 8) · (3 + 2) 4 · 4

· · 40

Aprende a usar la calculadora Introduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 = Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14. {∫“≠} → La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando.

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 {∫‘¢} → La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad de las operaciones.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.

≤ → Suma la pantalla a la memoria memoria

Ñ → Recupera lo que hay

+

40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤Ñ→ {∫∫∫∫∫∫¢«}

Un empleado ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con tarifa normal, y 5 jornadas de 6 horas con tarifa normal y 3 con tarifa nocturna. ¿Cuántas horas ha trabajado en todo el mes?

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2

b) 15 – 10 : 5

c) 4 · 6 – 13

d) (15 – 3) : 4

e) (8 + 2) · 3

f ) 18 : (10 – 4)

a) 2 + 3 · 4

(2 + 3) · 4

b) 6 – 2 · 3

(6 – 2) · 3

c) 18 – 10 : 2

(18 – 10) : 2

d) 24 : 6 + 2

24 : (6 + 2)

3 Observa el ejemplo y calcula.

• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5 a) 2 · (7 – 3) – 5

b) 3 · (10 – 7) + 4

c) 4 + (7 – 5) · 3

d) 18 – 4 · (5 – 2)

e) 8 – (9 + 6) : 3

f ) 22 : (7 + 4) + 3

4 Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba la

solución que se da a la derecha. Si no coincide, repasa el ejercicio. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

→ 2

c) 21 : (3 + 4) + 6

→ 9 → 7

e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

→ 1

INTRODUCCIÓN

5 Problema resuelto

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

en la memoria

40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤Ñ → {∫∫∫∫∫∫‘«}

1 Opera como en los ejemplos.

f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2)

→ 11

g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2)

→ 0

h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)]

→ 12

Lo podemos resolver con dos expresiones: normal

nocturna

12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 84 + 30 + 15 = 129 12 jornadas

5 jornadas

12 · 7 + 5 · (6 + 3) = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129 Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas.

6

Escribe una expresión que resuelva cada enunciado y calcula la solución. a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos. ¿Cuán­ tos kilos de fruta transporta la furgoneta? b) Un supermercado hace un pedido de 20 paquetes de leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de se­ midesnatada. Cada paquete contiene 6 cajas de litro. ¿Cuántas cajas van en el pedido? c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 tabure­ tes. ¿Cuántas patas hay en total? nota: los taburetes son de 3 patas. d) Una granjera envasa 1 500 huevos en cajas de 10 uni­ dades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y una par­ tida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?

37

36

Expresiones con operaciones combinadas

µ → Resta la pantalla a la

: 4 +

+

2 Resuelve mentalmente y compara los resultados.

Para fijar ideas

1 Completa en tu cuaderno cada casilla y comprueba que obtienes el resultado que se indica.

4 · 10 – 8 · 3 + 2

40 –

Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones.

• 48 : 3 + 5 – 2 · 3 = 16 + 5 – 6 = = 21 – 6 = 15

Ayudas

culadora de cuatro operaciones, siguiendo la secuencia de teclas que se indica en cada caso.

40 – 12 : 4 + 2 · 3 (40 – 12) : 4 + 2 · 3

Aprendizaje cooperativo Técnica: Lápices al centro.

Formar grupos de cuatro estudiantes para realizar la actividad 6. A cada miembro del equipo se le asigna un apartado y se les pide que dejen su lápiz en el centro de la mesa. Por turnos, los encargados del primer apartado lo leen y proponen una solución. El resto del grupo aporta su opinión y se debate cómo solucionarlo.

Cuando lo tienen claro, todos los que conforman el grupo cogen su lápiz y resuelven la cuestión sin hablar.

El lenguaje matemático, como cualquier otro lenguaje, requiere un aprendizaje secuenciado, contrastado en la práctica, y exige tiempo.

La interpretación y la producción de expresiones aritméticas con operaciones combinadas y paréntesis no resulta obvia para los estudiantes. Por el contrario, la experiencia nos demuestra que se le ha de dedicar una atención especial para no incurrir en errores de aprendizaje que perturbarán avances posteriores.

Para analizar las distintas expresiones y contrastar sus diferencias, se recomienda utilizar esquemas que saquen a la luz su estructura como muestran los ejemplos.

Es importante que las alumnas y los alumnos, tras calcular el valor de una expresión a través del desarrollo de su estructura, se acostumbren a expresar todos los pasos mediante sucesivas igualdades presentadas en horizontal. Aquí es necesario vigilar la aparición de errores de redacción (suelen adelantar igualdades con resultados parciales escribiendo; por ejemplo, 4 · (8 − 6) · 3 = 4 · 2 = 8 · 3 = 24).

También resulta interesante el análisis del comportamiento de distintas calculadoras al realizar operaciones combinadas. Presentando dos máquinas, una que respete la prioridad de las operaciones y otra, más simple, que opere en el orden de entrada, les sorprenderá observar que la misma secuencia de teclas arroja en cada una un resultado diferente: • Máquina que respeta la prioridad: 4 + 6 × 3 → 22 • Máquina que opera en el orden de entrada: 4 + 6 × 3 → 30 La conclusión es que para utilizar con garantía una calculadora, hemos de conocerla a fondo y tener en cuenta su modo de funcionamiento.

SOLUCIONES DE «PARA FIJAR IDEAS»

La actividad 1 presenta distintas expresiones con los mismos números y operaciones, pero con distintos resultados. Mediante su resolución guiada, se pretende facilitar la interiorización del papel de los paréntesis y de la prioridad de las operaciones. La actividad se puede complementar, una vez resuelta, con la redacción de cada proceso, en horizontal, mediante sucesivas igualdades.

1 4 · 10 − 8 · 3 + 2

4 · (10 − 8) · 3 + 2

4 · 10 − (8 · 3 + 2)

40 − 24 + 2

4· 2 ·3+2

40 − ( 24 + 2)

16 + 2

24 + 2

40 − 26

18

26

14

4 · 10 − 8 · (3 + 2)

4 · (10 − 8) · (3 + 2)

40

− 8· 5

·

5

40 − 40

4 · 10

0

40

2 40 − 12 : 4 + 2 · 3 40 − 3

32

4 · 2

+

6

(40 − 12) : 4 + 2 · 3 28 : 4 + 6

37 + 6

7 + 6

43

13

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Las actividades 5 y 6 pretenden conciliar la abstracta frialdad de las expresiones aritméticas con la realidad cotidiana de los alumnos y las alumnas, dándoles sentido en contextos que les resulten próximos y reconocibles.

1 a) 8 + 5 · 2 = 8 + 10 = 18 b) 15 − 10 : 5 = 15 − 2 = 13 c) 4 · 6 − 13 = 24 − 13 = 11 d) (15 − 3) : 4 = 12 : 4 = 3 e) (8 + 2) · 3 = 10 · 3 = 30 f ) 18 : (10 − 4) = 18 : 6 = 2 2 a) 14 y 20 b) 0 y 12 c) 13 y 4 d) 6 y 3 Al comparar los resultados se pone en evidencia que el paréntesis transforma el valor de la expresión.

3 a) 2 · (7 − 3) − 5 = 2 · 4 − 5 = 8 − 5 = 3 b) 3 · (10 − 7) + 4 = 3 · 3 + 4 = 9 + 4 = 13 c) 4 + (7 − 5) · 3 = 4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10 d) 18 − 4 · (5 − 2) = 18 − 4 · 3 = 18 − 12 = 6 e) 8 − (9 + 6) : 3 = 8 − 15 : 3 = 8 − 5 = 3 f ) 22 : (7 + 4) + 3 = 22 : 11 + 3 = 2 + 3 = 5 4 a) 6 · 4 − 2 · (12 − 7) = 24 − 2 · 5 = 24 − 10 = 14 b) 3 · 8 − 8 : 4 − 4 · 5 = 24 − 2 − 20 = 22 − 20 = 2 c) 21 : (3 + 4) + 6 = 21 : 7 + 6 = 3 + 6 = 9 d) 26 − 5 · (2 + 3) + 6 = 26 − 5 · 5 + 6 = 26 − 25 + 6 = 1 + 6 = 7 e) (14 + 12) : 2 − 4 · 3 = 26 : 2 − 12 = 13 − 12 = 1 f ) 2 · (6 + 4) − 3 · (5 − 2) = 2 · 10 − 3 · 3 = 20 − 9 = 11 g) 30 − 6 · (13 − 4 · 2) = 30 − 6 · (13 − 8) = 30 − 6 · 5 = 30 − 30 = 0 h) 3 · [13 − 3 · (5 − 2)] = 3 · [13 − 3 · 3] = 3 · [13 − 9] = 3 · 4 = 12 5 Problema resuelto.

6 a) 8 · 15 + (20 + 6) · 8 = 120 + 26 · 8 = 120 + 208 = 328 kilos b) (20 + 15 + 10) · 6 = 45 · 6 = 270 cajas c) (15 + 55) · 4 + 12 · 3 = 70 · 4 + 36 = 280 + 36 = 316 patas d) 1 500 : 10 + 1 500 : 6 + 300 : 6 = 150 + 250 + 50 = 450 cajas

33

Ejercicios y problemas Utilidades de los números

Sistemas de numeración

8

1

Traduce al sistema decimal estos números del anti­ guo Egipto: A

B

D

C

9

3

b) 235

Expresa en números romanos cada uno de los nú­ meros siguientes. a) 87

4 5

c) 2 130

b) 425

c) 2 600

d) 54 528

Escribe el número «cincuenta y siete» en, al menos, tres sistemas de numeración.

6

11

Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

Número

Aproximaciones A las centenas A los millones de millar

12

2 830 554 19 270 000 399 675 000

7

Lees, en un anuncio, que una vivienda se ven­ de por 293 528 €. Unos días después lo comentas con una amiga, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para trans­ mitir la información? Explica por qué. a) Cuesta casi trescientos mil euros. b) Cuesta doscientos y pico mil. c) Cuesta doscientos noventa mil.

3948 FBG

E

3894 FBG

E

4389 GFB

Calcula. a) 6 070 + 893 + 527 c) 831 – 392 – 76

b) 651 + 283 – 459 d) 1 648 – 725 – 263

Calcula mentalmente. a) 5 + 7 – 3 – 4 c) 10 – 6 + 3 – 7 e) 12 + 13 + 8 – 23

b) 18 – 4 – 5 – 6 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5 f ) 40 – 18 – 12 – 6

Calcula. a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27) c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14) e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)

13

5 6

Multiplica. a) 16 · 10 d) 17 · 100 g) 22 · 1 000

b) 128 · 10 e) 85 · 100 h) 134 · 1 000

3

¿Verdadero o falso? a) Un millón equivale a mil centenas. b) Cien millones son mil centenas de millar. c) Mil veces un millón hacen un giga. d) Cien gigas hacen un billón. e) Un billón tiene un millón de millones.

22

Meta 11.c. Según publicó un periódico cai­ rota, la población de la capital de Egipto, en junio de 2018, era de 19 487 245 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías?

Si continúa el crecimiento de la población, ¿cuál po­ dría ser la cifra en 2030? ¿Qué medidas tomarías para favorecer que en el año 2030 El Cairo sea una ciudad sostenible?

23

La tabla contiene algunos datos sobre el consumo en España de productos hortícolas durante 2021:

14

8 2 9

5 7 6

16

Calcula mentalmente. a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8 d) (30 : 5) · 3 e) 10 : (40 : 8)

17

Resuelve mentalmente. a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bido­ nes se llenan con 100 litros? b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta una bolsa de 5 kilos? c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 10 cajas? d) Cambiar las cuatro ruedas de un coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado cada rueda?

c) 20 : (2 · 5) f ) (40 : 8) : 5

Frutas frescas

Operaciones combinadas

18

20

c) 60 · 10 f ) 120 · 100 i) 140 · 1 000

21

6

19

Multiplicación y división

Entrénate y practica

Copia y completa en tu cuaderno.

8

Suma y resta

¿Cuántas cifras necesitas para escribir un billón? ¿Y un trillón? ¿Cuántos ceros son en cada caso?

Aproximaciones

15

Operaciones

10

Calcula el cociente y el resto en cada caso: a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29 c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174 e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254

¿Recuerdas cómo se ordenan las matrículas de los coches? Observa las tres siguientes:

a) ¿Cuál es la más antigua? ¿Y la más nueva? b) ¿Cuál es la siguiente a la roja? ¿Y la anterior? c) ¿Cuántos coches se matricularon entre la roja y la verde? d) ¿Cuántos coches se matricularon después de la azul con las mismas letras?

Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números: a) 48

14

Estos son los números de varias habitaciones en un hotel de playa: 401 235 724 231 a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es? b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene? c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?

E

2

Ejercicios y problemas

1

¿Dominas lo básico?

Calcula. a) 8 + 7 – 3 · 4 c) 15 – 2 · 3 – 5 e) 22 – 6 · 3 + 5 g) 36 – 8 · 4 – 1

b) 8 : 4 + 7 – 3 d) 10 – 12 : 6 – 4 f ) 8 + 10 : 5 – 10 h) 11 – 2 – 9 : 3

Opera. a) 2 · (4 + 6) c) 8 : (7 – 5) e) (5 + 6) · 4 g) (19 – 7) : 2

b) 2 · 4 + 6 d) 5 · 7 – 5 f) 5 + 6 : 3 h) 18 – 7 · 2

Calcula. a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6) c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13 e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) Comprueba tus soluciones: a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11

Peso (toneladas) 4 369 449

Valor (miles de €) 6 195 054

Hortalizas y patatas

3 626 510

5 214 031

Total

7 995 959

11 409 085

Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de toneladas y a los cientos de millones de euros.

24

Una estrella, A, está a una distancia de cinco años luz de la Tierra, y otra, B, a cinco billones de kilóme­ tros. ¿Cuál de las dos está más lejos?

25

Copia en tu cuaderno, calcula y completa. a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359 c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196

26

Calcula. a) 5 – [7 – (2 + 3)] b) 3 + [8 – (4 + 3)] c) 2 + [6 + (13 – 7)] d) 7 – [12 – (2 + 5)] e) 20 – [15 – (11 – 9)] f ) 15 – [17 – (8 + 4)] Comprueba tus resultados: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

27

Copia en tu cuaderno, calcula y completa. a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548 c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133

¿DOMINAS LO BÁSICO? Sistemas de numeración

1 a) 57

b) 234

c) 2 540

2 a)

b)

c)

3 a) 87 = LXXXVII c) 2 600 = MMDC

b) 425 = CDXXV d) 54 528 = LIVDXXVIII

d) 3 430 000

39

38

Evaluación anayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dispone de documentación para la elaboración de un portfolio.

Plan Lingüístico Destreza: Expresión oral (texto argumentativo).

En la actividad 7, animar al alumnado para que se enfrente a la situación de explicar en voz alta la expresión elegida.

Compromiso ODS Visualizar el vídeo meta 11.c. antes de realizar la actividad 22 propuesta.

Abrir un debate en clase sobre acciones que se pueden llevar a cabo para hacer que las ciudades sean más sostenibles.

4 Decimal: 57 Romano: LVII Egipcio: 5 Un billón → 1 000 000 000 000 → 13 cifras, 12 ceros.

Un trillón → 1 000 000 000 000 000 000 → 19 cifras, 18 ceros.

Aproximaciones

6 Número 2 830 554

Aproximaciones A las centenas A los millones de millar 2 800 000 3 000 000

19 270 000

19 300 000

19 000 000

399 675 000

399 700 000

400 000 000

7 La que más se aproxima es la tercera. Pero no dice que sea una aproximación.

La primera es algo menos exacta que la tercera, pero informa de que se trata de una aproximación.

Utilidades de los números

8 a) 235 b) 724 c) 235 y 231 9 a) La más antigua es 3894 FBG. La más nueva es 4389 GFB. b) La siguiente a la roja es 3949 FBG, y la anterior, 3947 FBG. c) Se matricularon 45 coches. d) La última matriculada con las mismas letras sería la 9999 GFB. 9 999 − 4 389 = 5 610 Se matricularon 5 610 coches con las mismas letras.

Operaciones Suma y resta

34

10 a) 7 490

b) 475

c) 363

11 a) 5

b) 3

c) 0

d) 1

e) 10

f) 4

12 a) 40

b) 43

c) 99

d) 51

e) 257

f ) 131

d) 660

Multiplicación y división

13 a) 160 f ) 12 000

b) 1 280

c) 600

d) 1 700

e) 8 500

g) 22 000

h) 134 000

i) 140 000

14 a) c = 330; r = 7

b) c = 46; r = 11

c) c = 201; r = 0

d) c = 43; r = 0

e) c = 3; r = 0

f ) c = 107; r = 0

15 8 1 6

2 5

8 2 9 5 6

0 6 6

3 2

1 2 9 0 3 5 0 7 6 0 6

1 6

16 a) 6

b) 3

c) 2

d) 18

14 5 9 2 5

e) 2

f) 1

17 a) 100 : 5 = 20 bidones

b) 12 · 5 = 60 euros

c) 10 · 24 = 240 botellas

d) 360 : 4 = 90 euros

Operaciones combinadas

18 a) 3

b) 6

c) 4

d) 4

e) 9

f) 0

g) 3

h) 6

19 a) 20

b) 14

c) 4

d) 30

e) 44

f) 7

g) 6

h) 4

20 a) 30 − 4 · 7 = 30 − 28 = 2

b) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11

c) 5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47

d) 3 · 7 − 13 = 21 − 13 = 8

e) 2 · 12 − 3 · 5 = 24 − 15 = 9

f ) 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14

g) 15 − 3 · (10 − 8) = 15 − 3 · 2 = 15 − 6 = 9 h) 6 + 5 · (13 − 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11 ENTRÉNATE Y PRACTICA

21 a) Falso.

b) Verdadero.

c) Verdadero.

d) Falso.

e) Verdadero.

22 20 millones de habitantes, aproximadamente. Respuesta abierta.

23

Peso aproximado a los millones de toneladas 4 000 000

Valor aproximado a los cientos de millones de euro 6 200 000 000

Hortalizas y patatas

4 000 000

5 200 000 000

Total

8 000 000

11 400 000 000

Frutas frescas

24 1 año luz → 9 billones y medio de kilómetros.

9 500 000 000 000 Estrella A → 5 años luz ≈ 45 billones de kilómetros.

Estrella B → 5 billones de kilómetros.

La estrella A está más lejos que la B. 25 a) 48 + 115 = 163 c) 628 − 429 = 199

b) 103 + 256 = 359 d) 480 − 284 = 196

26 a) 5 − [7 − 5] = 5 − 2 = 3 c) 2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14 e) 20 − [15 − 2] = 20 − 13 = 7

b) 3 + [8 − 7] = 3 + 1 = 4 d) 7 − [12 − 7] = 7 − 5 = 2 f ) 15 − [17 − 12] = 15 − 5 = 10

27 a) 123 · 48 = 5 904 c) 1 482 : 57 = 26

b) 18 · 86 = 1 548 d) 1 862 : 14 = 133 35

Ejercicios y problemas 28

Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que di­ vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después, multiplicar por 2. :5

• 90 : 10

a) 60 : 5

29

9

1

34

A

18 c) 120 : 5

e) 170 : 5

f ) 200 : 5

h) 340 : 5

i) 420 : 5

Copia en tu cuaderno, completa y calcula. b) 5 · 9 – 5 · 6 = 5 · ( ... – ...) = 5 · … = …

Interpreta, describe, exprésate 35

c) (10 – 8) · 4 = 10 · 4 – … · 4 = 40 – … = … d) 7 · 12 – 2 · 12 = (… – …) · 12 = … · … = … ¿Qué propiedad has usado?

31

Investiga: Si en una división multiplicas el di­ videndo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto? ¿Verdadero o falso? a) Al multiplicar un número por tres, obtenemos el mismo resultado que si le sumamos su doble. b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces tres. c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar dos veces por cinco. d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar primero por cinco y después por dos.

36

e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los números pares.

32

Calcula. a) 4 · 7 – 13 – 2 · 6

b) 15 : 3 + 7 + 4 : 2

c) 5 · 4 + 12 – 6 · 4

d) 12 : 4 – 1 – 6 : 3

e) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 g) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 33

Resuelve problemas sencillos 38

La construcción de cierto chalé, A, duró 14 me­ ses y comenzó 4 meses después de que se iniciaran las obras de otro chalé, B, cuya construcción duró 15 me­ ses. Si A se finalizó en junio, ¿en qué mes se finalizó B?

39

María ha mandado en la última semana 40 men­ sajes con su móvil. A su hermano Pepe le ha mandado cinco; a sus padres, tres más que a Pepe, y al grupo de su pandilla, el resto. ¿Cuántos mensajes ha mandado a la pandilla?

B

·2

b) 80 : 5

d) 140 : 5 g) 210 : 5

a) 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = … · … = …

30

Escribe una expresión con los números 9, 3 y 1 cuyo resultado sea el peso que marca cada balanza:

f) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7 h) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

Opera. a) 7 · 4 + 2 · (10 – 6)

b) 8 : 2 + 4 : (9 – 5)

c) 5 · (11 – 7) – 6

d) 12 : (11 – 7) – 2

e) 3 · (8 – 5) – 12 · (6 – 4) f ) 15 : (2 + 3) + 5 · (2 + 2) g) 9 : (6 – 3) + 8 · (6 – 5)

h) 6 · (9 – 5) – 18 : (9 – 7)

i) [(24 : (9 – 2 – 3)] : 2

j) 24 : [(9 – 2 – 3) : 2]

37

49

50

El sector hotelero de cierta localidad turística ha contratado a 12 845 personas. Tres de cada cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres se han contratado?

Problema resuelto

En situación Deja claro el significado de cada paso, de cada operación y de cada resultado.

Un agricultor tiene 140 melocotoneros en un huerto.

Atendiendo a su experiencia de campañas anteriores, espera cosechar, por término medio, 35 kg de melocotones en cada árbol. La fruta, según se recoge, se envasa en cajas de 10 kg y se vende a 12 € la caja. ¿Cuánto espera obtener por la venta de su cosecha?

40

En una granja hay el doble de vacas que de caba­ llos y en total son 36 cabezas. ¿Cuántas vacas y cuántos caballos son?

41

Un camión de reparto transporta 15 cajas de re­ frescos de naranja y 12 de limón. ¿Cuántas botellas lle­ va en total si cada caja contiene 24 unidades?

42

Rosa tiene dos años más que su hermano pequeño, Julián, y dos menos que Alberto, su hermano mayor. Si entre los tres igualan la edad de su madre, Marta, que acaba de cumplir 42, ¿cuántos años tiene cada uno de los hermanos?

43

Un tren de mercancías, que avanza a 55 km/h, se cruza con uno de pasajeros que avanza por la vía para­ lela a 105 km/h. ¿Qué distancia los separa media hora más tarde?

¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas llevan a la solución de este problema?

En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kg de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 € la pieza, y 13 piñas a 2 € cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas? a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2 c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

44

Un coche y una moto parten a la vez de una cafete­ ría de carretera en la misma dirección. El coche avanza a 90 km/h, y la moto, a 100 km/h. ¿Qué distancia los separa al cabo de hora y media?

51

45

En una industria conservera se preparan 250 kg de mermelada de ciruela que se envasan en tarros de 200 g. Durante el proceso se desechan 17 tarros por rotura o por sellado defectuoso. ¿Cuántos tarros váli­ dos se obtienen?

En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que sigue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mujer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?

Lee el enunciado del problema y observa su resolu­ ción. Después, explica el significado de cada operación y lo que se obtiene en cada resultado parcial.

En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?

Resolución 1.º 168 : 2 = 84 2.º 84 · 4 = 336 3.º 137 · 2 = 274 4.º 336 + 274 = 610 5.º 714 – 610 = 104 6.º 104 : 4 = 26

52

46

En el vivero de una huerta se preparan 50 bande­ jas con 100 semillas en cada una. En cada bandeja se malogran, por término medio, 20 semillas. ¿Cuántos plantones espera obtener el hortelano?

47

Como pago por buzonear 7 tacos de propaganda, Clara ha recibido 28 euros. ¿Cuánto habría recibido si hubiera repartido un taco más?

En situación Un club de hockey tiene una par­ tida de 5 000 € para material y ha comprado 2 por­ terías, 18 sticks y 18 pares de patines, con los precios que se indican. Y con lo que sobre, deciden comprar 18 equipaciones de ropa, que cuestan, según calidades, 45 €, 60 €, o 100 €. ¿Qué tipo de equipación deben elegir, si desean la mejor calidad que sea posible?

48

En la estantería de los refrescos del supermercado quedaban 7 cajas de 6 botes y 4 botes sueltos. La repo­ nedora coloca 12 cajas más. ¿Cuántos botes hay ahora?

Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo: I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la pri­ mera parada bajan 16 y suben 4.

II. La clase de música tiene 50 estudiantes matricula­ dos, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a un concierto.

III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una gorra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €.

IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy en­ tran 16 nuevos y salen 4. a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

­ Kilos cosechados (140 árboles, a 35 kg por árbol): 140 · 35 = 4 900 kg ­ Cajas que se llenan (4 900 kilos en cajas de 10 kg): 4 900 : 10 = 490 cajas ­ Ingresos esperados (490 cajas a 12 € la caja): 490 · 12 = 5 880 € Solución: El agricultor espera obtener 5 880 € por la venta de su cosecha.

60 €

129 €

140 €

28 a) 12 f ) 40

b) 16 g) 42

c) 24 h) 68

d) 28 i) 84

e) 34

29 a) 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 48 · 12 = 60 b) 5 · 9 − 5 · 6 = 5 · (9 – 6) = 5 · 3 = 15 c) (10 − 8) · 4 = 10 · 4 − 8 · 4 = 40 – 32 = 8 d) 7 · 12 − 2 · 12 = (7 − 2) · 12 = 5 · 12 = 60 Se ha usado la propiedad distributiva.

41

40

30 D = d · c + r k · D = k · (d · c + r) = k · d · c + k · r La propiedad distributiva nos dice que el resto queda también multiplicado por el mismo número.

31 a) Verdadero.

b) Verdadero.

32 a) 3 e) 12 33 a) 36 f ) 23

b) 14 f) 4 b) 5 g) 11

34 a) 9 + (3 − 1) = 11

c) 14 h) 15

c) Falso.

d) Verdadero.

c) 8 g) 0

d) 0 h) 2

d) 1 i) 3

e) Falso.

e) −15 j) 12

b) 9 − (3 + 1) = 5

INTERPETA, DESCRIBE, EXPRÉSATE

35 I → b) y d)

II → a) y c)

III → a) y c)

IV → e) y f )

36 b) y c) 37 1.° El número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos: Vacas → 168 : 2 = 84 2.° Patas de vaca → 84 · 4 = 336 3.° El número de patas de gallina es el doble que el de picos: Patas de gallina → 137 · 2 = 274 4.° Patas de vaca + patas de gallina → 336 + 274 = 610 5.° El número de patas de caballo es igual al total de patas menos las de vaca y de gallina: Patas de caballo → 714 − 610 = 104 6.° El número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre 4: Caballos → 104 : 4 = 26 RESUELVE PROBLEMAS SENCILLOS

38 El chalé B se finalizó en marzo.

39 Ha mandado 27 mensajes.

40 Son 12 caballos y 24 vacas.

41 Lleva 648 botellas en total.

42 Julián tiene 12 años, Rosa 14 años y Alberto 16 años.

43 La distancia que los separará media hora más tarde es de 80 km.

44 La distancia que los separa hora y media más tarde es de 15 km.

45 Se obtienen 1 233 tarros válidos.

46 Espera obtener 4 000 plantones.

47 Si hubiera repartido un taco más, habría recibido 32 euros.

48 Ahora hay 118 botes.

36

49 Se han contratado 7 707 mujeres.

50 Problema resuelto.

51 La familia ingresa, mensualmente, 6 440 dólares.

52

Ejercicios y problemas 53

Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por 2 000 €. Después, al seleccio­ nar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganan­ cia obtiene?

54

Del horno de cierto obrador de bollería salen ca­ da día cinco bandejas con tres docenas de magdalenas cada una. ¿Cuántas magdalenas fabrican a la semana, teniendo en cuenta que los lunes cierran por descanso del personal?

55

Un camión cisterna debe cargar 3 000 litros de ga­ soil de calefacción en el almacén y llevarlo a un colegio que está a 40 km de distancia. Para llenar y vaciar, uti­ liza una bomba que mueve 150 litros por minuto. Si el camión viaja a una velocidad media de 80 km/h y pierde un cuarto de hora entre unas cosas y otras, ¿qué tiempo tarda en hacer el servicio y volver al almacén?

1

59

Un coche tarda 78 segundos en atravesar un tramo de 2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el límite permitido? ¿Por qué?

60

En situación Marta tiene ahorrados 162 € y

61

Una fábrica de coches ha producido 15 660 unida­ des entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?

quiere comprar un monopatín que cuesta 199 €. Si consiguiera ahorrar de su paga 10 € cada semana, ¿cuántas semanas tardaría en comprar el monopatín?

62

En un colegio que tiene 450 estudiantes, dos de cada cinco estudian un segundo idioma y, de ellos, uno de cada tres ha elegido alemán. ¿Cuántos estudian se­ gundo idioma? ¿Cuántos estudian alemán?

63

La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato de cada grupo?

Para pensar un poco más 56

El Real Alcázar de Sevilla recibió, por término me­ dio, 144 404 visitantes mensuales durante el año 2022, cantidad que supera ampliamente el doble de los reci­ bidos en 2021.

64

1.ª

2.ª

3.ª 1 0 1 0

1

1

65

57

Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una ave­ ría camino del aeropuerto. Como no hay tiempo, pues el avión no espera, el responsable del grupo decide aco­ modar a las viajeras y los viajeros en taxis de cuatro plazas. ¿Cuántos taxis necesitan?

58

Un camión de reparto lleva 27 cajas de refrescos de 24 botellas. En un accidente se vuelca la carga y se rompen 311 botellas. Averigua si se ha salvado más o menos de la mitad de la carga.

Una empresa organizadora de eventos hace un pe­ dido, a un almacén de flores, de 150 docenas de rosas.

El almacén dispone en ese momento de 40 paquetes de 25 rosas. ¿Cuántos paquetes de 25 rosas se deben pedir para poder cubrir el pedido?

69

Valentina tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido 21 de sus animales por 350 euros.

Entre los animales había el doble de patos que de gan­ sos, y un ganso vale el triple que un pato. ¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?

70

En un garaje hay el triple de coches que de motos. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase, si en total hemos contado 70 ruedas?

71

Una practicante de senderismo entrena caminando a un ritmo de 100 pasos por minuto y avanza 80 cm en cada paso. Su punto de llegada está a 10 km de la salida y pretende llegar en un par de horas. ¿Lo conse­ guirá? ¿Por qué?

0

111 110 101 100

72

Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar en las cuatro butacas que les corresponden?

1.a 2.a 3.a 4.a

67

La gráfica informa de la distribución, por colores, de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.

75

Para la elaboración de una estadística sobre las va­ caciones en una ciudad de interior, se ha hecho una encuesta que arroja los siguientes datos: — El 56 % ha estado en la playa.

— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.

— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos. ¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni en el pueblo?

76

Un número tiene cuatro cifras que suman 4. Si intercambias las unidades con las centenas, aumenta en 99. ¿Qué número puede ser? Intenta encontrar más de una solución.

77

De los alumnos y las alumnas matriculados en 1.º ESO, sabemos que: — 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte es­ colar y 47 están apuntados a extraescolares.

— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.

— 23 se quedan al comedor y usan el transporte escolar.

— 25 usan el transporte y se quedan a extraescolares.

— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay matriculados?

gris

A

Dibuja sobre cuadrícula casos más sencillos. Por ejemplo: 20 15

B C D

B D C

C B D

C D B

D B C

D C B

Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar 1 euro? Justifica tu respuesta.

Marta, Julián y Rosa salen de compras. Marta gasta 30 € más que Julián y 40 € menos que Rosa. Si entre los tres han gastado 208 €, ¿cuánto ha gastado cada uno?

73

15

30

20 20

blanco verde

azul

rojo

otros

54 Fabrica 1 080 magdalenas a la semana.

55 El camión tarda 1 hora y 55 minutos.

PARA PENSAR UN POCO MÁS

56

¿Te serviría utilizar un gráfico como este?

1.° eso

30

comedor

tr. escolar

20

Martina ha obtenido así la suma de los 7 primeros números naturales.

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 8 · 7 = 56 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 56 : 2 = 28 8+8+8+8+8+8+8 ¿Sabrías calcular la suma del 1 al 100?

act. extr.

78

Cuatro personas se pesan, por parejas, de todas las formas posibles y anotan los resultados: 83 kg ­ 87 kg ­ 91 kg ­ 80 kg ­ 84 kg ­ 88 kg La persona más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa cada una por separado?

43

42

53 El mayorista gana 1 360 €.

¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese periodo?

En un campo rectangular de 150 m × 300 m se van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas parale­ las a las vallas, de forma que cada línea esté a 5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. ¿Cuántos chopos albergará el campo?

Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas formas se podrían sentar si Antonio ha ocupado ya la butaca n.º 1?

66

74

Utilizando solamente ceros y unos, se pueden construir cuatro números diferentes de tres cifras:

¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y unos? ¿Y de cinco cifras?

a) ¿Cuántos miles de visitantes recibió a lo largo de ese año? b) ¿Cuántas visitas recibió, por término medio, al día? c) Con los datos del enunciado, estima el número de visitas durante el año 2021.

68

En situación: 129 × 2 = 258 € 60 × 18 = 1 080 € 18 × 140 = 2 520 € 5000 – 3 858 = 1 142 € 1 142 : 18 = 64,33 € Pueden comprar 18 equipaciones de 60 €.

Cultura emprendedora Productividad (dimensión productiva): Mi proyecto.

En la actividad 30 se insta al alumnado a realizar una pequeña investigación para la cual es fundamental tener una planificación y plan de actuación para garantizar su éxito.

En situación: a) 1 733 millares. b) Entre 4 000 y 4 850 visitantes. c) Unos 860 000. O entre 850 000 y 860 000.

57 Necesitan 14 taxis.

58 Se ha salvado más de la mitad de la carga.

59 En 78 segundos recorrería 1 950 m. Sí, ha superado el límite de velocidad permitido.

60

En situación: Tardará 4 semanas en comprar el monopatín.

61 Cada día saca 174 coches.

62 180 estudian un segundo idioma.

60 estudian alemán.

63 Puede elegir 30 menús posibles.

64 Hay 8 números de cuatro cifras que solo contienen 0 y 1.

Hay 16 números de cinco cifras que solo contienen 0 y 1.

65 Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.

66 Hay 10 posibilidades de juntar 1 €: 10 cts.

20 cts.

50 cts.

0 5 0

0 2

1 2 1

2 4 0

3 1 1

4 3 0

5 0 1

6 2 0

7 − −

8 1 0

9 − −

10 0 0

67 Marta ha gastado 66 €; Julián, 36 €, y Rosa, 106 €.

68 Se deben pedir 32 cajas para cumplir con el pedido.

69 Cada pato vale 10 €, y cada ganso, 30 €.

70 Hay 15 coches y 5 motos.

71 No lo conseguirá. Avanza 80 metros por minuto y tardará 125 minutos (2 h y 5 min) en recorrer los diez kilómetros.

72 El campo albergará 1 711 chopos.

73 La suma de los números del uno al cien es 5 050.

74 Se han fabricado 3 960 coches rojos.

75 El 20 % de la población no ha estado ni en la playa ni en el pueblo.

76 Respuesta abierta. Por ejemplo: 1 102, 2 011 o 3 001.

77 En 1.° de ESO hay 105 alumnos y alumnas matriculados.

78 Pesan 46 kg, 45 kg, 42 kg y 38 kg.

37

Situación de aprendizaje

Sistemas de numeración Egipcio

0 1

2

3

4

5

7

8

9

6

términos que faltan:

a) 154 · = 462 = 35 c) 30 275 :

11 ¿Cuántos cartones de dos docenas y media se necesitan

10 11 12 13 14

Maya

15 16 17 18 19

Decimal

b) : 27 = 98 d) 1 508 = · 125 + 8

para guardar 350 huevos?

528

2 Di si cada uno de los sistemas de la actividad anterior

12 En una cafetería hay 60 asientos. Si las sillas son el

• La extensión de Brasil es de ocho millones quinien­ tos catorce mil ochocientos setenta y siete kilóme­ tros cuadrados.

• La población mundial en abril de 2018 ascendía a 7 601 767 200 habitantes.

Expresa la primera con cifras y la segunda con letras.

triple que las banquetas, ¿cuántas hay de cada clase?

4 a) Redondea a las decenas de millar las cantidades de

la actividad anterior. b) Redondéalas al orden de unidad que consideres más adecuado para que la información sea razona­ ble e indica a qué orden has redondeado.

5 Calcula.

b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 6 Escribe una expresión con los números 2, 3 y 5 cuyo

resultado sea 18.

Debes utilizar los tres y puedes repetir alguno.

7 a) Transforma esta suma en resta: 18 + 42 = 60

b) Transforma esta resta en suma: 55 – 45 = 10 8 Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 b) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] 9 Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.

a) 18 · c) 4 000 :

= 180 = 40

1

Viki es aficionada al monopatín y quiere cambiar el que tiene, ya muy usado, por el que ve todos los días en la tienda de deportes, al volver del colegio, y cuesta 165 €.

Para planificar la compra, Viki hace un repaso del estado de sus finanzas, ya que solo tiene 96 € en la hucha.

Ingresos

• Entre 5 € y 12 € a la semana para salir con la pandilla.

• Entre 16 € y 20 € mensuales en gastos varios (chuches, tebeos, etcétera).

Ingresos

13 Un camión que avanza por una carretera a 60 kiló­

metros por hora se cruza con un coche que avanza en sentido contrario a 90 kilómetros por hora. ¿Qué distancia los separa 10 minutos después? ción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha.

b) Los tarros se envasan en cajas de seis que se venden a 18 € cada una. ¿Qué beneficio anual produce el colmenar? c) ¿Cuál es, en números redondos, ese beneficio?

15 ¿Cuál de las expresiones que ves debajo resuelve el si­

Egipcio

Paga

Gastos

Abuela

Propinas

Pandilla

Ahorro mímimo /semanal

15

20 : 4 = 5

0

12

20 : 4 = 5

(15 + 5 + 0) – (12 + 5) = 3 €

Ahorro máximo/semanal

15

20 : 4 = 5 20 : 2 = 10

5

16 : 4 = 4

Varios (… + … + …) – (… + …) =

tardaría en conseguir los fondos para el monopatín?

Tiene que ahorrar → Coste menos lo que tiene en la hucha → 165 – … = …

En 10 semanas ahorra → 10 · 3 = 30 € → ¿es suficiente? …

En 20 semanas ahorra → 20 · … = … € → ¿es suficiente? …

En ..........................................................................................................................

Y ahorrando el máximo, ¿cuánto le faltaría transcurridas dos semanas? ...................

3 Supón que tú, en el caso de Viki, decidieras conseguir el objetivo en dos meses,

Un hortelano tiene dos campos con 180 y 70 manzanos, respectivamente. Espera cosechar, por término medio, 35 kg de manzanas por árbol, que envasará en cajas de 10 kg para la venta. ¿Cuántas cajas de manzanas espera llenar?

Avanza solo o en equipo

a) (180 + 70 + 35) · 10

· 100 = 27 000

b) (35 · 180 + 35 · 70) · 10

d)

: 10 = 38

c) (35 · 180 + 35 · 70) : 10

Maya

Ahora tantea:

Decimal

sin tener que reducir los gastos al máximo. ¿Qué ingresos y qué gastos adoptarías?

• Haz el mismo trabajo, contando con tus ahorros y en el supuesto de que vas a adqui­ rir algún artículo de tu elección.

2

3

4

Sistemas de numeración

6

7

8

9

10 11 12 13 14

2 Ahorrando el mínimo que has calculado en la cuestión anterior, ¿cuántas semanas

guiente problema?

b)

5

Gastos

• Paga semanal → 15 €.

• Una vez al mes su abuela suele darle una ayudita de 20 €.

1 Calculamos el ahorro máximo y el mínimo. Copia y completa.

a) La miel se envasa en tarros de medio kilo. ¿Cuántos tarros de miel obtiene al año?

a) 12 + 3 · 5 – 2

165 €

• Entre 0 € y 20 € quincenales en propinas por colaboraciones en el vecindario (recados, riego de flores, pasear mascotas…).

14 Una apicultora tiene 187 colmenas con una produc­

0 1

Elegir un proyecto y planificar su financiación

Recuerda la propuesta que te hacíamos al iniciar el tema. Como muestra, puedes tomar el que proponemos como ejemplo a continuación.

es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?

3 Observa estas cantidades:

AUTOEVALUACIÓN

1

ELVO

RESU

10 Copia estas operaciones en tu cuaderno y calcula los

....

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.

1 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

....

Autoevaluación ¿Qué has aprendido?

3 042 15

16 17 18 13 19

528

• O si lo prefieres… Repite el mismo trabajo en el supuesto de que Viki quiera adqui­ rir, además, un casco y un juego de rodilleras y coderas. nota: deberás buscar los datos necesarios en tiendas o páginas web especializadas.

45

44

TIC anayaeducacion.es Soluciones de la autoevaluación.

2 El sistema de numeración egipcio es aditivo. El maya es en parte aditivo y en parte posicional. Y el sistema de numeración decimal es posicional.

En un sistema aditivo cada signo tiene un valor fijo y la cantidad se obtiene sumando el valor de todos los signos que participan. En un sistema posicional el valor de cada signo depende del lugar que ocupa.

3 Extensión de Brasil: 8 514 877 km2.

Población mundial: Siete mil seiscientos un millones setecientos sesenta y siete mil doscientos habitantes.

4 a) 8 510 000 y 7 601 780 000 b) Extensión de Brasil → Redondeo a las centenas de millar: 8 500 000 km2 Población mundial → Redondeo a las centenas de millón: 7 600 000 000 5 a) 25 b) 15 6 Por ejemplo: 2 · (5 − 2) · 3 7 a) 60 − 42 = 18

60 − 18 = 42

b) 45 + 10 = 55 8 a) 32 b) 130 9 a) 10 b) 270 c) 100 d) 380 10 a) 3 b) 2 646 c) 865 d) 12 11 Se necesitan 12 cartones de 30 huevos: 11 de ellos completos y otro con 20 huevos y 10 espacios vacíos.

12 Hay 15 banquetas y 45 sillas.

13 10 minutos después los separará una distancia de 25 km.

14 a) Obtiene 6 732 tarros de miel al año. b) Obtiene un beneficio anual de 20 196 €. c) El beneficio redondeado será de 20 000 €.

15 La tercera expresión, c), resuelve el problema: (35 · 180 + 35 · 70) : 10 = 875 Espera llenar 875 cajas de manzanas.

38

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Situación de aprendizaje

Sistemas de numeración Egipcio

0 1

2

3

4

5

7

8

9

6

10 Copia estas operaciones en tu cuaderno y calcula los

términos que faltan:

a) 154 · = 462 = 35 c) 30 275 :

11 ¿Cuántos cartones de dos docenas y media se necesitan

10 11 12 13 14

Maya

15 16 17 18 19

Decimal

b) : 27 = 98 d) 1 508 = · 125 + 8

para guardar 350 huevos?

528

2 Di si cada uno de los sistemas de la actividad anterior

• La extensión de Brasil es de ocho millones quinien­ tos catorce mil ochocientos setenta y siete kilóme­ tros cuadrados.

• La población mundial en abril de 2018 ascendía a 7 601 767 200 habitantes.

Expresa la primera con cifras y la segunda con letras.

12 En una cafetería hay 60 asientos. Si las sillas son el

triple que las banquetas, ¿cuántas hay de cada clase?

4 a) Redondea a las decenas de millar las cantidades de

la actividad anterior. b) Redondéalas al orden de unidad que consideres más adecuado para que la información sea razona­ ble e indica a qué orden has redondeado.

5 Calcula.

b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 6 Escribe una expresión con los números 2, 3 y 5 cuyo

resultado sea 18.

Debes utilizar los tres y puedes repetir alguno.

7 a) Transforma esta suma en resta: 18 + 42 = 60

b) Transforma esta resta en suma: 55 – 45 = 10 8 Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 b) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] 9 Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.

a) 18 · c) 4 000 : 44

= 180 = 40

165 €

Se recuerda aquí la propuesta que se hacía en la primera página de la unidad.

Viki es aficionada al monopatín y quiere cambiar el que tiene, ya muy usado, por el que ve todos los días en la tienda de deportes, al volver del colegio, y cuesta 165 €.

Para planificar la compra, Viki hace un repaso del estado de sus finanzas, ya que solo tiene 96 € en la hucha.

Ingresos

Gastos

• Paga semanal → 15 €.

• Entre 5 € y 12 € a la semana para salir con la pandilla.

• Una vez al mes su abuela suele darle una ayudita de 20 €.

• Entre 16 € y 20 € mensuales en gastos varios (chuches, tebeos, etcétera).

• Entre 0 € y 20 € quincenales en propinas por colaboraciones en el vecindario (recados, riego de flores, pasear mascotas…).

Te pediremos que pienses en una situación similar a la que se expone a continuación, o mejor, en un proyecto que tengas en mente, real o imaginado (una compra, un viaje, una acción solidaria, un regalo...) y que planifiques su financiación.

1 Calculamos el ahorro máximo y el mínimo. Copia y completa.

Ingresos

13 Un camión que avanza por una carretera a 60 kiló­

Abuela

Propinas

Pandilla

Ahorro mímimo /semanal

15

20 : 4 = 5

0

12

20 : 4 = 5

(15 + 5 + 0) – (12 + 5) = 3 €

¿Qué distancia los separa 10 minutos después?

Ahorro máximo/semanal

15

20 : 4 = 5 20 : 2 = 10

5

16 : 4 = 4

(… + … + …) – (… + …) =

14 Una apicultora tiene 187 colmenas con una produc­

ción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha.

b) Los tarros se envasan en cajas de seis que se venden a 18 € cada una. ¿Qué beneficio anual produce el colmenar? c) ¿Cuál es, en números redondos, ese beneficio?

15 ¿Cuál de las expresiones que ves debajo resuelve el si­

Paga

Gastos

metros por hora se cruza con un coche que avanza en sentido contrario a 90 kilómetros por hora.

a) La miel se envasa en tarros de medio kilo. ¿Cuántos tarros de miel obtiene al año?

a) 12 + 3 · 5 – 2

Elegir un proyecto y planificar su financiación

Recuerda la propuesta que te hacíamos al iniciar el tema. Como muestra, puedes tomar el que proponemos como ejemplo a continuación.

es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?

3 Observa estas cantidades:

Elegir un proyecto y planificar su financiación

1

ELVO

RESU

anayaeducacion.es Resolución de estos ejercicios.

1 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

....

¿Qué has aprendido?

....

Autoevaluación

Varios

2 Ahorrando el mínimo que has calculado en la cuestión anterior, ¿cuántas semanas

tardaría en conseguir los fondos para el monopatín?

Tiene que ahorrar → Coste menos lo que tiene en la hucha → 165 – … = …

Ahora tantea: En 10 semanas ahorra → 10 · 3 = 30 € → ¿es suficiente? …

En 20 semanas ahorra → 20 · … = … € → ¿es suficiente? …

En ..........................................................................................................................

3 Supón que tú, en el caso de Viki, decidieras conseguir el objetivo en dos meses,

Un hortelano tiene dos campos con 180 y 70 manzanos, respectivamente. Espera cosechar, por término medio, 35 kg de manzanas por árbol, que envasará en cajas de 10 kg para la venta. ¿Cuántas cajas de manzanas espera llenar?

Avanza solo o en equipo

a) (180 + 70 + 35) · 10

b)

· 100 = 27 000

b) (35 · 180 + 35 · 70) · 10

d)

: 10 = 38

c) (35 · 180 + 35 · 70) : 10

Al final del tema encontrarás una guía para realizar este trabajo, pero te sugerimos que, antes de abordarla, busques tus propias soluciones y después las compares con las que allí se ofrecen.

Y ahorrando el máximo, ¿cuánto le faltaría transcurridas dos semanas? ...................

guiente problema?

sin tener que reducir los gastos al máximo. ¿Qué ingresos y qué gastos adoptarías?

• Haz el mismo trabajo, contando con tus ahorros y en el supuesto de que vas a adqui­ rir algún artículo de tu elección.

• O si lo prefieres… Repite el mismo trabajo en el supuesto de que Viki quiera adqui­ rir, además, un casco y un juego de rodilleras y coderas. nota: deberás buscar los datos necesarios en tiendas o páginas web especializadas.

45

Por su condición de abierta, siguiendo las indicaciones del profesorado, se puede haber desarrollado variando los datos iniciales o partiendo de un contexto diferente al que se ofrece.

Se habrá concretado al principio o durante el tiempo de trabajo con la unidad, o quizá, ahora al final.

El objetivo de esta propuesta va dirigido a que los alumnos y alumnas manejen aprendizajes activados o revisados a lo largo de la unidad, que perciban su utilidad y los apliquen en un contexto que tenga significado en su entorno.

En todo caso la página muestra una concreción que puede tomarse como actividad dirigida a realizar o como ejemplo que ayude a idear una nueva.

SOLUCIONES

1

Ingresos

Gastos

Paga

Abuela

Propinas Pandilla

Ahorro mímimo 15 semanal

20 : 4 = 5

Ahorro máximo 15 semanal

20 : 4 = 5 20 : 2 = 10

0

Varios

12

20 : 4 = 5

(15 + 5 + 0) – (12 + 5) = =3€

5

16 : 4 = 4

(15 + 5 + 10) – (5 + 4) = = 21 €

2 Tiene que ahorrar → Coste menos lo que tiene en la hucha → 165 – 96 = 69 Ahora tantea: En 10 semanas ahorra → 10 · 3 = 30 € → ¿es suficiente? No, 30 < 69 En 20 semanas ahorra → 20 ·3 = 60 € → ¿es suficiente? No, 60 < 69 En 23 semanas ahorra → 23 · 3 = 69 € → ¿es suficiente? Sí, consigue los 69 € Y ahorrando el máximo, ¿cuánto le faltaría transcurridas dos semanas?

Le faltaría 69 – 2 · 21 = 69 – 42 = 27 € En 3 semanas ahorraría → 3 · 21 = 63 € → ¿es suficiente? No, 63 < 69 En 4 semanas ahorraría → 4 · 21 = 84 € → ¿es suficiente? Si, 84 > 69 3 Por ejemplo: Consiguiendo 4 €/semana en propinas, y gastando 8 €/semana con la pandilla y 4 € en varios, el ahorro semanal sería: (15 + 5 + 4) – (8 + 4) = 24 – 12 = 12 € Conseguiría los 69 € que le faltan en 6 semanas (6 · 12 = 72 €)

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