Operación mundo: Matemáticas 3 ESO (muestra)

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3 ÁTICAS ESO

MATEM

ira G., .ª José Olive a Aicardo B. M ., J ra le o José C lera C., An ., Ramón Co A lu te z a G acio

Ign

O peración ANDALUCÍA

mundo

¿Qué vamos a aprender?

PÁGINA

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE • ODS

Entrénate resolviendo problemas

BLOQUE I Aritmética

BLOQUE II Álgebra

BLOQUE III Funciones

BLOQUE IV Geometría

1

Números para contar, números para medir

2

Potencias y raíces

3

Problemas aritméticos

4

Progresiones

5

El lenguaje algebraico

La vivienda: un bien de enorme importancia Ciudades y comunidades sostenibles

Estrellas en el universo Educación de calidad

Evolución del comercio Trabajo decente y crecimiento económico

Estrategia fractal de la naturaleza Vida de ecosistemas terrestres

Consumo responsable Agua limpia y saneamiento

Consumo responsable teniendo en cuenta el tamaño de la familia

Ecuaciones

7

Sistemas de ecuaciones

8

Funciones.

Características

Estudiar el cielo

9

Funciones lineales y cuadráticas

El águila y la bala

10

Problemas métricos en el plano

Conocimiento del entorno

11

Cuerpos geométricos

12

Transformaciones geométricas

Agua limpia y saneamiento

Tablas y gráficos

BLOQUE V Estadística y probabilidad

• Haz un esquema en el que se apoyen los datos • En los problemas geométricos, ¡haz un dibujo!

6

13 estadísticos 14

Parámetros estadísticos

15 Azar y probabilidad

SABERES BÁSICOS

Controlamos la concentración de una mezcla de medicamentos Salud y bienestar

Energía sostenible

Educación de calidad

Educación de calidad

Geometría en la técnica y el arte Ciudades y comunidades sostenibles

Geometría y arte Industria, innovación e infraestructuras

¿Tiene edad la felicidad?

Salud y bienestar

Ocio y deporte en un ambiente vecinal Ciudades y comunidades sostenibles

El azar invade nuestra vida cotidiana Educación de calidad

• Números naturales • Otras formas de contar • Números enteros • Potenciación • Notación científica • Aproximaciones y errores • Cálculos con porcentajes • Sucesiones • Progresiones aritméticas

• Expresiones algebraicas • Monomios

• Ecuaciones. Solución de una ecuación • Ecuaciones de primer grado • Ecuaciones lineales con dos incógnitas • Sistemas de ecuaciones lineales

• Las funciones y sus gráficas • Aspectos relevantes de una función • Función de proporcionalidad y = mx • Función lineal y = mx + n

• Relaciones angulares • Triángulos semejantes. Teorema de Tales • Figuras semejantes. Escalas • Poliedros regulares y semirregulares • Truncando poliedros regulares • Planos de simetría de una figura • Transformaciones geométricas • Movimientos en el plano • Traslaciones

• El proceso que se sigue en estadística • Variables estadísticas

• Dos tipos de parámetros • Cálculo de x y σ en tablas de frecuencias • Sucesos aleatorios • Probabilidad de un suceso • Probabilidad en experiencias regulares.

Ley de Laplace

PORFOLIO • Procede sistemáticamente y resuelve problemas similares más sencillos

• Tantea, ensaya, pon ejemplos…

• Organiza la información

• Fracciones • Operaciones con fracciones • Números decimales

• Fracciones y decimales con la calculadora

Estimamos el número de granos de arena que hay en las playas de nuestro planeta y el número de estrellas en el universo

• Raíces exactas • Radicales • Interés compuesto • Problemas clásicos

• Proporcionalidad compuesta en problemas aritméticos

• Progresiones geométricas • Progresiones geométricas sorprendentes MÁS QUE MATES

Construye una fórmula del recibo del agua que penalice los consumos altos

• División de polinomios

• Ecuaciones de segundo grado • Resolución de problemas con ecuaciones • Sistemas equivalentes • Tipos de sistemas según el número de soluciones

Adecúa el precio del agua al número de integrantes de cada familia • Métodos de resolución de sistemas • Resolución de problemas mediante sistemas

Muco

Sistemas de ecuaciones y mezclas

MÁS QUE MATES

Estudiamos cómo se comporta el Sol durante un año y descubrimos que aún nos queda mucho por saber

• Expresión analítica de una función

• Aplicaciones de la función lineal.

Problemas de movimientos

Dos problemas de repartos proporcionales

Calcula el perímetro y el área del copo de Koch

Muco • Polinomios • Identidades

Buscamos el mejor tipo de losetas para el suelo del loft y jugamos con cuadrados

• Estudio conjunto de dos funciones lineales • Parábolas y funciones cuadráticas

Muco

¿Quién vuela más alto, el águila o la bala? Analizamos las gráficas

MÁS QUE MATES

• Teorema de Pitágoras • Aplicación algebraica del teorema de Pitágoras

• Áreas de los polígonos • Áreas de las figuras curvas

Trabajamos con un mapa de Andalucía

• Ejes de giro de una figura • Superficie de los cuerpos geométricos

• Volumen de los cuerpos geométricos • Coordenadas geográficas

Buscamos polígonos en los cuerpos geométricos

• Giros. Figuras con centro de giro • Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría

• Composición de movimientos • Mosaicos, cenefas y rosetones

Diseñamos nuevos mosaicos

Muco

MÁS QUE MATES

• Población y muestra • Confección de una tabla de frecuencias

• Gráfico adecuado al tipo de información

Intentamos medir la felicidad

• Interpretación conjunta de x y σ • Parámetros de posición: mediana y cuartiles

• Obtención de x y σ con la calculadora • Estadística en los medios

Aprender a interpretar los parámetros x y σ sobre la gráfica

• Probabilidad en experiencias irregulares.

Ley de los grandes números

• Probabilidades en experiencias compuestas

Seguimos lanzando dados y reflexionando sobre el juego interrumpido

Muco

MÁS QUE MATES

1

Números para contar, números para medir 11. Ciudades y comunidades sostenibles

22

Situación de aprendizaje

La vivienda: un bien de enorme importancia

La vivienda ha desempeñado un papel fundamental a lo largo de la historia humana, evolucionando desde simples refugios hasta complejas estructuras que reflejan el progreso social y tecnológico.

Su significado trasciende la función de un mero techo, ya que el hogar brinda no solo seguridad y comodidad, sino también un profundo sentido de identidad cultural, motivando un fuerte compromiso con su embellecimiento.

A medida que las sociedades han ido avanzando, la vivienda ha experimentado una evolución para adaptarse a las nuevas necesidades, convirtiéndose, así, en un reflejo tangible del progreso de la civilización.

A..

PROP

UEST

Se ofrecerán tres opciones para revestir el suelo de un apartamento tipo loft de dimensiones específicas. Tras analizar las diferentes alternativas, junto con sus respectivos costos, deberás determinar cuál es la más económica. Por otra parte, se te desafiará a contar cuadrados, rectángulos… en un mural de paneles de corcho.

....

Ponte en situación con lo que ya sabes

1 Las losetas de esta habitación son cuadrados de

40 cm de lado:

b) Entre las losetas enteras, ¿qué porcentaje son rojas? ¿Y amarillas? c) ¿Qué superficie ocupa cada color?

2 Observa cómo contamos cuadrados en un mural

compuesto de corchos cuadrados:

a) ¿Qué dimensiones tiene el suelo de la habitación? Ten en cuenta los trozos de loseta para asignar longitudes con la mayor aproximación posible. Expresa las losetas incompletas en forma de fracción (por ejemplo, 1/3 y 1/5).

a) Hay cuadrados de lado 1 y otros de lado 2, como los que se señalan. También hay algunos de lado 3. ¿Cuántos podríamos encontrar de cada tipo? ¿Cuántos hay en total? b) Y si nos fijamos en los rectángulos no cuadrados, ¿cuántos hay de 2 × 1, de 3 × 1, 3 × 2…? ¿Cuántos hay en total?

23

1

Números naturales Contamos los días que faltan para un evento, los coches de un aparcamiento, los resultados posibles de una quiniela, etc.

Se cuenta con números naturales. Los números naturales son, como sabes, 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, …, 100, 101, … Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se le denomina N. Están ordenados. Esto nos permite representarlos sobre una recta: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Los números naturales también sirven para indicar el lugar que ocupan los distintos elementos dentro de un conjunto ordenado: octubre es el segundo mes del otoño y el décimo del año.

Ejercicios resueltos

1 Una granja, con unos gastos se­

manales de 692 €, produjo la semana pasada una media de 2 062 huevos/día. Los huevos se distribuyen en bandejas de dos docenas y media y se envasan en cajas de 10 bandejas. a) ¿Cuánto ganó el granjero si vendió a 22 € cada caja? b) ¿Cuántos huevos sobraron?

2 En un desfile militar, el capitán

de una compañía calcula que si formase a sus soldados en filas de 8, de 10 o de 12, siempre so­ brarían dos, pero si los colocase en filas de 11, quedarían justos. ¿Cuántos soldados tiene la com­ pañía? (Nota: una compañía tie­ ne entre 70 y 250 soldados.)

Huevos producidos en la semana → 2 062 · 7 = 14 434 Huevos en una caja → (12 · 2 + 6) · 10 = 300 N.º de cajas completadas → 14 434 : 300 = 48 (completas) (Y queda un resto de 14 434 – 300 · 48 = 34 huevos).

En una división entera se cumple D = d · C + R, es decir, 14 434 = 300 · 48 + 34.

Ingresos por la venta de las cajas → 48 · 22 = 1 056 € Ganancia = ingresos – gastos → 1 056 – 692 = 364 € a) El granjero ganó 364 €. b) Sobraron 34 huevos. mín. c. m. (8, 10, 12) = 23 · 3 · 5 = 120 Múltiplos comunes de 8, 10 y 12 → 120 - 240 - 360 - 480 - 600 - …

Números que dejan un resto de 2 unidades al dividirlos entre 8, 10 y 12: 122 - 242 - 362 - 482 - 602 - …

De ellos, solamente 122 y 242 están comprendidos entre 70 y 250.

Y de estos últimos, solo 242 es múltiplo de 11.

Por tanto, la compañía tiene 242 soldados.

1 Un ganadero compra 45 terneras a 475 € cada una y,

durante el viaje, dos de ellas se accidentan, por lo que debe sacrificarlas. Seis meses después vende cada una de las restantes a 1 690 €. Calculando que los gastos de mantenimiento y ceba han sido de 34 690 €, ¿qué ganancia ha obtenido por cada una de las terneras que compró?

24

2

En el obrador de la bollería, sacan del horno 7 bandejas de magdalenas con 65 piezas en cada una. Después, las envasan en bolsas de 8 unidades y las venden a 2 € la bolsa. ¿Qué recaudación se obtiene en caja, teniendo en cuenta que durante el proceso de manipulación se malograron 13 piezas?

1

2

Otras formas de contar Los números naturales, como hemos visto en el epígrafe anterior, sirven para numerar y, por tanto, para contar. La idea elemental de cómo se cuentan los elementos de un conjunto es ir numerándolos sucesivamente (1, 2, 3, 4, …) hasta llegar al último. Hay otras formas menos simples de contar utilizando las operaciones aritméticas elementales. Por ejemplo: — ¿Cuántas cajas hay en una pila de 45 de largo, 30 de ancho y 40 de alto?

Obviamente, 45 · 30 · 40 = 54 000 cajas.

— ¿Cuántas horas hay en nueve semanas y media?

Cada semana tiene 24 · 7 = 168 h. Media semana son 3 · 24 + 12 = 84 h. Por tanto, en nueve semanas y media hay 168 · 9 + 84 = 1 596 horas.

Pero hay otras formas más sofisticadas de contar. Algunas de ellas requieren un tratamiento sistemático y la aplicación de estrategias específicas. Por ejemplo: |problema 1

A

¿Cuántos caminos, de distancia mínima, van de A a B? ¿Y de B a C? Por tanto, ¿cuántos van de A a C pasando por B? A

A

B C

A

B

A

B

B

B

Hay 4 caminos distintos para ir de A a B. B

B

B

C

B

C

B

C

C

B

C

C

Hay 6 caminos distintos para ir de B a C. Hay 4 formas de ir de A a B y 6 formas de ir de B a C. Por tanto, hay un total de 4 · 6 = 24 formas de ir de A a C pasando por B. |problema 2 Seis amigos organizan un torneo de ajedrez a doble vuelta. ¿Cuántas partidas han de jugar en total?

A

B

C

D

E

F

A-B A-C

A B

B-A

C

C-A

D E F

El número total de casillas es 6 · 6 = 36.

Pero como cada uno no juega contra sí mismo, hay que restar 6.

Total: 36 – 6 = 30 partidas.

25

2

Otras formas de contar

|problema 3 ¿De cuántas formas se pueden seleccionar las 5 jugadoras que comenzarán un partido de baloncesto si se dispone de 7?

Hay 7 jugadoras (a, b, c, d, e, f, g) y hemos de seleccionar a 5. Pero resulta más sencillo pensar en cuáles son las dos que, de momento, no juegan. ab

ac bc

ad ae bd be cd ce de

af bf cf df ef

ag bg cg dg eg fg

Como ves en el esquema, hay 21 formas de seleccionar a 2 de entre 7 (las dos que se quedan sin jugar). Por tanto, habrá 21 formas de seleccionar a las 5 que juegan. |problema 4 En un campeonato en el que participan cinco jugadores, hay tres premios distintos para los tres primeros. ¿De cuántas formas se puede resolver el campeonato?

1.º

2.º

B

C A D

E

3.º

C …

D …

E …

B …

D …

E …

B …

C …

E …

B …

C …

D …

1.°

2.°

3.°

A A A A A A A A A A A A

B B B C C C D D D E E E

C D E B D E B C E B C D

Utilizaremos un diagrama en árbol para analizar todas las posibilidades.

Vemos que el jugador A es el primero en 4 · 3 de los casos posibles.

Otro tanto ocurrirá con los demás jugadores.

Por tanto, el número total de posibilidades es 5 · 4 · 3 = 60. |problema 5 En una academia se imparten clases de inglés, francés y chino. Se pueden estudiar uno o dos de estos idiomas, pero no los tres. Sabemos que hay 80 estudiantes de inglés, 63 de francés y 26 de chino. De ellos, 20 estudian francés e inglés, 11 inglés y chino y 5 francés y chino. ¿Cuántos estudiantes hay en esa academia?

Representamos y ponemos los datos en azul: I (80)

F (63) 49

20 38

11 5

Observa

Comprueba que el resultado se podría haber obtenido así: n(I) + n(F) + n(Ch) – – n(F e I) – n(I y Ch) – n(F y Ch) 26

Ch (26)

10

Con estos datos, calculamos los valores correspondientes a los espacios en blanco: Solo inglés: 80 – 11 – 20 = 49 Solo francés: 63 – 20 – 5 = 38 Solo chino: 26 – 11 – 5 = 10 Pasamos los resultados, en rojo, a la gráfica.

Finalmente, sumamos todos los trozos: 49 + 20 + 38 + 11 + 10 + 5 = 133.

Hay 133 estudiantes en la academia.

1

|problema 6

En situación

¿Cuántos tipos de cuadrados se pueden dibujar con los vértices en la cuadrícula del margen? Y… ¿cuántos hay de cada tipo?

Hay cuadrados de lado 1, de lado 2, de lado 3 y de lado 4. Eso está claro.

Pero hay más:

Y aún más:

Vamos a contar los de lado 2: Aquí hay 3, con su primer vértice en la fila de arriba. Hay otros tantos con dicho vértice en la segunda fila y otros tres en la tercera fila (no en la 4.ª ni en la 5.ª).

En total, 9 cuadrados de lado 2.

anayaeducacion.es Practica otras formas de contar.

1 ¿De cuántas formas se pueden asignar 3 libros distintos

8 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas alrede-

2 ¿De cuántas formas podemos ir de A a B? ¿Y de B a C?

9 Calcula la suma de los 50 primeros números naturales.

a 6 estudiantes?

dor de una mesa circular?

Hazlo sin sumar uno a uno. Para ello, ten en cuenta que 1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 = …

¿Y de A a C pasando por B? A

10 B

C

3 ¿De cuántas formas podemos repartir 6 entradas entre 7

personas? ¿Y si fueran 8 los candidatos?

4 Se organiza un torneo de pimpón entre seis jugadores.

¿Cuántas partidas han de disputar? Descríbelas.

5 Cinco amigos organizan un torneo de ajedrez, en el que

cada dos jugadores se enfrentan dos veces. ¿Cuántas partidas han de jugar? Descríbelas.

6 ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco amigos en

las cinco butacas contiguas de la fila de un cine? Descríbelas.

7 Repite el problema anterior con el condicionante de que

dos de ellos son pareja y se sentarán juntos.

11

En situación Sobre la cuadrícula del problema 6,

cuenta los cuadrados de lado 1, los de lado 3 y los de lado 4, así como los de los otros cuatro tipos señalados.

En situación ¿Cuántos tipos de rectángulos se pue-

den dibujar con los vértices en la cuadrícula del problema 6?

12 En la academia del problema 5, el pasado curso ha-

bía matriculadas 120 personas: 80 en inglés y 51 en francés, de las cuales 16 coincidían en los dos idiomas.

Además, sabemos que había 7 en inglés y chino y otras 7 en francés y chino. ¿Cuántas personas había matriculadas en chino?

3

Números enteros El conjunto Z A veces, para contar, se requieren cantidades negativas. Por ejemplo: — Aparcar el coche en el piso –3 significa que está 3 pisos por debajo del piso 0.

— Un saldo bancario de –234 € significa que se deben 234 € al banco.

Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que se denomina Z. Con ellos, podemos sumar, restar y multiplicar, con la seguridad de que el resultado siempre será un número entero. Sin embargo, al dividir dos enteros, el resultado no suele ser entero.

Los números enteros se pueden representar, ordenados, sobre una recta: … –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

…

Valor absoluto de un número entero Por qué ese nombre…

¿Por qué Z para designar el conjunto de los números enteros?

En alemán, «número» se escribe zahl.

El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo. Se escribe así: | x | | 13 | = 13

| –27 | = 27

Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al cero: |–4| = 4 –4

Ejemplos

|+3| = 3 0

3

Operaciones con números enteros

• 7 – 5 – 11 + 15 – 17 + 3 = = 7 + 15 + 3 – 5 – 11 – 17 = = (7 + 15 + 3) – (5 + 11 + 17 ) = = 25 – 33 = –8 • 3 – 5 + 8 – (4 – 13 + 6 – 11) = = 3 – 5 + 8 – 4 + 13 – 6 + 11 = = (3 + 8 + 13 + 11) – –(5 + 4 + 6) = 35 – 15 = 20

Ejercicio resuelto

a) 7 – |5 – 8| – (4 – 12 + 6 – 11) = 7 – |–3| – (10 – 23) = 7 – |–3| – (–13) = = 7 – 3 + 13 = 20 – 3 = 17 b) |2 · (–9)| – [–16 – 5 · (11 – 17)] : (7 – 8) = |–18| – [–16 – 5 · (– 6)] : (–1) = = 18 – [–16 + 30] : (–1) = 18 – [14] : (–1) = 18 + 14 = 32 c) |–4 + (–3) · 2 + 5| – 2 · |3 – |4 – 5|| = |– 4 + (–6) + 5| – 2 · |3 – 1| = = |–10 + 5| – 2 · 2 = |–5| – 4 = 5 – 4 = 1

anayaeducacion.es Practica las operaciones con números enteros y valor absoluto.

1 Ordena de menor a mayor: |–4|, 19, 7, 0, –6, |–5|, – 2 2 Calcula.

3 Opera las siguientes expresiones:

a) [(1 – 7) – (8 – 3) – 2] · (15 – 11)

a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (–6)] · [–3 + (–7)]

b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1) · [6 – 3 · 2]

b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)||

c) (–3) – 2 · (–1) + 5 · (–2) – [2 – 4 · (–7)]

c) –3(4 – 2) – 4(3 – 8) – [4 · (–5)] · [(–3) · 11]

d) 17 – 4 · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3) · (–2)]

d) |5 + |3 – 11||

e) |26 – (– 4) · (–3) · (–3 + 2)| – |–2 + 7| · (–4)

e) |30 – (–20 – 9)|

f ) (–1) + ||1 – |1 – 1 – (–1)|| · (–1) + (–1)|

28

1

Problemas con números enteros Una plataforma petrolífera guarda, a 30 metros sobre el nivel del mar, un batiscafo que se utiliza para los trabajos de reparación submarinos.

Cierto día, la grúa realiza los siguientes movimientos con el batiscafo: — Eleva la carga recogiendo cable durante 2 minutos a razón de 2 metros por minuto.

— Desplaza horizontalmente el batiscafo hasta sacarlo de la plataforma.

— Larga cable, haciendo descender la carga, durante 11 minutos a razón de 3 metros por minuto. Y se detiene para cambiar de velocidad.

— Durante los siguientes 15 minutos, larga un metro de cable por minuto.

— Realiza un trabajo de reparación, durante media hora. ¿Cuánto tardará en izar el batiscafo hasta la superficie del agua, si lo sube a la velocidad de dos metros por minuto?

Posición respecto al nivel del mar en el punto en que realiza la reparación: 30 + 2 · (+2) + 11 · (–3) + 15 · (–1) = 30 + 4 – 33 – 15 = –14 m Tiempo de izado hasta la superficie del agua: |30 + 2 · (+2) + 11 · (–3) + 15 · (–1)| : 2 = |–14| : 2 = 14 : 2 = 7 min Desde que termina el trabajo, tarda siete minutos en subir hasta la superficie.

4 Para el problema de arriba, y suponiendo que el izado del batiscafo continúa

a la misma velocidad, escribe una expresión con la que calcular el tiempo que tarda en subir, desde el punto donde realizó el trabajo, hasta el nivel de la plataforma.

5 Halla la diferencia de temperatura (en °C) que hay entre el punto de fusión, P. F.

(de sólido a líquido), y el de ebullición, P. E. (de líquido a gas), de cada uno de estos elementos químicos:

6

a) Cloro. P. F.: –101; P. E.: –35

b) Fósforo. P. F.: 44; P. E.: 280

c) Mercurio. P. F.: –39; P. E.: 357

d) Bromo. P. F.: –7; P. E.: 59

Varios amigos diseñan el siguiente juego con un dado como el que ves: — Cada uno tira 10 veces y suma los puntos obtenidos.

— Por cada resultado que se repita tres veces, se duplica el total de puntos.

— Por cada resultado que se repita cuatro o más veces, el total se triplica.

La tabla recoge los resultados de una partida entre tres jugadores. ¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno?

A

3

–2 1 3 1

B

C

1 2 3

2 –3 –2

–1

–1

–2 –3

29

4

Fracciones Los números enteros sirven para contar elementos, pero no son buenos para expresar medidas. Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad: la mitad, cuatro terceras partes, siete milésimas… Estas medidas se expresan mediante fracciones:

Medir con números fraccionarios

Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo.

Cuando decimos que el volumen de la Luna es 1/50 del volumen de la Tierra, estamos tomando como unidad el volumen de la Tierra. Y si decimos que la parte visible de un iceberg es 1/9 del total, estamos tomando como unidad todo su volumen.

7 1 4 2 3 1000 Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser entero d 6 = 3, –12 = – 4n, o fraccionario d 17 = 8 + 1 , –13 = –2 – 3 n.

2 3 2 2 5 5 Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa un número entero, y si no lo es, representa un número fraccionario.

Por qué ese nombre…

A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se le llama conjunto de números racionales y se designa por Q. Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.

¿Por qué Q para designar el conjunto de los números racionales?

En inglés, quotient significa «cociente»: los racionales son el cociente de dos enteros.

Los números racionales se pueden representar en la recta. En ella, se aglomeran de tal manera que, entre cada dos de ellos, hay otros infinitos números racionales.

5 –— 2 –5

–4

–3

10 = 1 + — 3 — 7 7

1 –— 2 –2

–1

0

1

2

23 = 4 + — 3 — 5 5 3

4

5

6

Simplificación de fracciones Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número (distinto de 1 y de –1), al hacerlo diremos que hemos simplificado o reducido la fracción. Por ejemplo: 25 = 5 ; 8 = 4 = –2 ; 3000 = 30 = 2 –12 – 6 15 3 3 4500 45 3 Cuando una fracción no se puede reducir más y su denominador es positivo, diremos que es irreducible.

anayaeducacion.es Practica el cálculo de la fracción irreducible.

1 Dibuja en tu cuaderno una recta como esta y sitúa sobre

ella, de forma aproximada, los siguientes números: 17 , – 11 , 20 , 2 , 16 , – 21 , – 7 3 4 5 3 7 5 2 – 5 –4 –3 – 2 –1

0

1

2

3

4

5

2 , 2 , 5 , 10 , –20 , 30 , –30 , 40 4 6 10 15 30 40 –45 –60 4 Relaciona cada fracción con su correspondiente fracción

irreducible:

6

2 ¿A qué fracciones corresponden estos puntos de la recta?

A –3

30

B –2

–1

C 0

D 1

E 2

3 Simplifica estas fracciones:

3

a) 6 18

b) 15 20

III) 3 4

III) –2 5

c) –15 40

d) 14 –35

III) 1 3

IV) –3 8

1

Fracciones equivalentes Productos cruzados

Un procedimiento para comprobar si dos fracciones son equivalentes es el que denominamos productos cruzados: a = c si a · d = c · b b d Por ejemplo, 18 y 21 son equivalen30 35 tes porque 18 · 35 = 630 = 21 · 30.

Cada número racional puede expresarse mediante muchas (infinitas) fracciones: 3/5 = 6/10 = 9/15 = … De ahí la necesidad de establecer un criterio que permita reconocer cuándo dos fracciones representan al mismo número racional.

Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción irreducible, que tomamos como expresión habitual del correspondiente número racional.

18 y 21 son equivalentes, pues 18 = 18 : 6 = 3 y 21 = 21 : 7 = 3 .

30 30 30 : 6 5 35 35 35 : 7 5

Comparación de fracciones Dos fracciones con el mismo denominador son muy fáciles de comparar observando sus numeradores. Para comparar dos fracciones con distinto denominador, las «reducimos a común denominador», es decir, buscamos dos fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador.

Ejercicios resueltos

1 Indicar en cada caso si las frac­

ciones son equivalentes: a) 9 y 12 39 52 b) 15 y 38 35 57

2 Comparar

7 , 5 y 9 .

16 12 8

a) Buscamos sus fracciones irreducibles y comprobamos si coinciden: 9 = 9 : 3 = 3 ; 12 = 12 : 4 = 3 → Son equivalentes.

39 39 : 3 13 52 52 : 4 13 b) Realizamos los productos cruzados y comprobamos si coinciden: 15 · 57 = 855; 38 · 35 = 1 330 → No son equivalentes.

Tomaremos como denominador común el mín. c. m. (12, 8, 16) = 48.

Evidentemente: 27 < 28 < 30 48 48 48 Por tanto: 9 < 7 <5 16 12 8

48 : 12 = 4 → 7 = 7 · 4 = 28 12 12 · 4 48 → 5 = 5 · 6 = 30 8 8 · 6 48 48 : 16 = 3 → 9 = 9 · 3 = 27 16 16 · 3 48 48 : 8 = 6

5 ¿Verdadero o falso?

a) 2 > – 7 porque el primero es positivo y el segundo, 5 4 negativo. b) 7 > 2 porque el primero es mayor que 1 y el segun3 5 do, menor que 1. c) 8 > 7 porque el primero es mayor que 2 y el segun3 4 do, menor que 2. d) – 8 > – 7 porque el primero es mayor que –2 y el 3 4 segundo, menor que –2.

6 Indica si estas fracciones son o no equivalentes simplifi-

cando y mediante productos cruzados:

b) 36 y 78 221 102

a) 12 y 21 20 35

7 A partir de 60 , busca su fracción equivalente…

126 a) … con numerador 20. b) … con denominador 42.

8 Ordena de menor a mayor estas fracciones:

7 12

–6 4

4 6

– 3 15

5 9

–1 2

3 4

13 18 31

5

Operaciones con fracciones

Cálculo mental

Suma y resta de fracciones

a) 2 + 5 – 4 3 3 3 c) 1 + 1 2 4 e) 17 – 3 5

Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador, se suman (o se restan) sus numeradores y se mantiene el denominador.

b) 1 – 2 3 d) 7 – 1 5 f ) 17 – 5 3

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, se empieza por transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador.

Por ejemplo: 7 – 5 + 2 = 42 – 25 + 120 = 42 – 25 + 120 = 137 10 12 60 60 60 60 60

Producto y cociente de fracciones anayaeducacion.es • Actividades para repasar la suma y la resta de fracciones.

• Actividades para reforzar la suma y la resta de fracciones.

Cálculo mental

a) 3 · 7 9 c) 1 · 12 2 13 e) 6 : 3 5 5 g) 6 : 1 5 2

b) 4 · 15 5 8 d) 1 · 2 · 3 2 3 5 6 f) :6 5 h) 1 : 1 3 6

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: a · c = a ·c b d b·d Por ejemplo: 8 · 7 = 8 · 7 = 56 = 28 3 10 3 · 10 30 15 El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: a : c = a · d = a·d b d b c b ·c Por ejemplo: 9 : 5 = 9 · 7 = 63 ; 4 7 4 5 20

6 :3= 6 · 1 = 6 = 2 11 11 3 33 11

Operaciones combinadas de fracciones Para realizar operaciones combinadas, primero se resuelven los paréntesis y los corchetes, y después, el resto de operaciones, teniendo en cuenta que los productos y los cocientes son anteriores a las sumas y a las restas. Por ejemplo: 2 – 1 c1 – 1 m + 2 (–2) = 2 – 1 · 3 + 2 (–2) = 2 – 1 – 4 = 3 3 3 4 3 4 4 3 = 24 – 3 – 16 = 5 12 12 12 12 anayaeducacion.es Practica las operaciones con fracciones.

Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados: 1 a) 7 + 11

b) 6 – 11 4

c) 3 · 4 5

d) 6 : 4 5

e) 4 : 6 5

f) 4 : 1 5 6

9

12

2 a) c 3 + 7 – 7 m : 25

4

32

6

8

12

b) c 13 – 7 m · c 9 + –13 m 15 25 22 33

1 – c 3 – 1m 4 3 a) 2 3 +1 4

(–3) · c 3 – 1 m 5 3 b) (–2) · c 4 – 6 m 3 5

3 – 1 ·c3 – 2 m 4 5 15 4 a) 6 + 4 ·c1 – 3 m 25 2 4

c 2 – 5 m·c 3 – 5 m 4 6 b) 3 9 c 7 – 5 m · 4 +1 12 6 3

1

Fracción de una cantidad Cálculo mental 1 Halla la parte del total que correspon-

de a cada fracción:

a) 1 de 520 000 €.

2 b) 3 de 1 000 000 de personas.

5 c) 7 de 500 edificios.

10 2 Di, en cada caso, la cantidad total:

a) 1 del total es 350.

2 b) 2 del total es 400.

3 c) 7 del total es 350.

10

Para hallar los 3 de una cantidad, por ejemplo de 1 200 €, se la divide por 5 5 (obteniéndose, así, una quinta parte) y el resultado se multiplica por 3. Es decir, se multiplica la cantidad por 3 → 3 · 1 200 € = 720 € 5 5 Para hallar una fracción a de una cantidad C, se multiplica a · C. b b |Ejemplos • Un cartero ha de repartir los 3/28 del total de 4 004 cartas. ¿Cuántas cartas le corresponden?

3 de 4 004 = 3 · 4 004 = 3 · 4 004 = 3 · 143 = 429 cartas 28 28 28 • Berta es dueña de 7/20 de una empresa. Este año le han correspondido 37 800 € en el reparto de beneficios. ¿Cuál ha sido la ganancia total de la compañía?

Si por 7 le corresponden 37 800 €, a 1 le corresponden 37 800 = 5 400 €.

20 20 7 Por tanto, al total d 20 n le corresponden 20 · 5 400 = 108 000 €.

20 A este resultado se podría haber llegado multiplicando la parte que le corresponde a Berta (37 800 €) por la inversa de su fracción de la empresa, 20 .

7 7 del total = 37 800 → total = 37 800 · 20 = 108 000 € 7 20

Observa

Para hallar la parte a de otra c b d a · c ·C . b d

Las distintas partes (fracciones) de un todo suman 1.

Por ejemplo: Se ha repartido un pastel y a Ana le corresponde 1/3; a Marcos, 1/4, y a Unai, el resto. ¿Cuánto le toca a Unai?

1 – c 1 + 1 m =1 – 7 = 5 12 12 3 4

|Ejemplo De una herencia de 104 000 €, Alberto posee 3/8; Berta, 5/12, y Claudia, el resto.

Claudia emplea 2/5 de su parte en pagar deudas. ¿Cuánto le queda?

1 – 3 – 5 = 24 – 9 – 10 = 5 es la fracción de Claudia.

8 12 24 24

1 Di en cada caso qué fracción falta

para completar la unidad: a) 1 , 1 y ?

2 4 ? c) 1 , 1 y ?

4 6 ?

b) 2 , 1 y ?

3 6 ? d) 1 , 1 , 1 y ?

2 4 8 ?

de una cantidad C, se multiplica

Como gasta 2 de lo que le toca, le quedan 3 de su fracción: 5 5 3 · 5 · 104 000 = 1 · 104 000 = 13 000 € le quedan.

8 5 24

5 Un ciclista ha recorrido los 5/9 de la etapa de hoy, de

7 De una balsa con 5 250 litros de agua, corresponden

6 He sacado del banco 3 900 €, que son los 3/11 de mis

4/15 a Braulia; 2/5, a Enrique, y el resto, a Ruperta. Ruperta dedica 3/10 de su parte a regar tomates, y el resto, a los frutales. ¿Cuánta agua dedica Ruperta a los frutales?

216 km. ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos? ahorros. ¿A cuánto ascienden mis ahorros?

33

6 Recuerda

En las calculadoras, en vez de la coma decimal, se pone un punto.

1 437,54 → {∫∫‘¢«|…∞¢}

Números decimales Los números decimales sirven, entre otras cosas, para designar medidas, pues con ellos se puede expresar cualquier valor intermedio entre dos números enteros.

Los números decimales se representan sobre la recta numérica, de tal modo que con ellos podemos aproximarnos mucho (tanto como queramos) a cualquiera de sus puntos: –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4

3,8

3,81 3,82 3,83 3,84 3,85 3,86 3,87 3,88 3,89

3,9

6

Siguiendo este proceso, el punto rojo puede designarse mediante un número decimal con tanta aproximación como queramos (3,857…).

La expresión decimal de los números permite valorarlos, compararlos y operar con ellos de forma muy cómoda y eficaz.

Tipos de números decimales Veamos las distintas clases de números decimales que existen: • Decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifras decimales.

Por ejemplo: 5,4; 0,97; 8; –0,0725 Recuerda

En un número, el grupo de cifras decimales que se repite una y otra vez se llama periodo. Se indica poniendo un arco sobre las cifras correspondientes: ! # 16, 147 5, 68

• Decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente.

— Periódicos puros son aquellos cuyo periodo empieza # inmediatamente después de la coma. Por ejemplo: 7,81818181... = 7, 81 — Periódicos mixtos son los que tienen otras cifras decimales antes del pe! riodo. Por ejemplo: 18,35222222... = 18, 352 • Decimales no exactos ni periódicos. Son números decimales que tienen infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Al contrario que los decimales exactos y periódicos, estos números no son racionales, por lo que se denominan números irracionales.

Por ejemplo: 2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…

1 Indica qué tipo de número decimal es cada uno de los

siguientes: 3,52

!

2,8

2,7

3,5222…

34

# 1, 54

3 = 1,7320508… π – 2 = 1,1415926…

2 Ordena de menor a mayor estos números:

!

2,5

2,5

!

2,35

2,505005…

!

3 Escribe tres números comprendidos entre 2,5 y 2,5 .

1

Paso de fracción a decimal Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. El cociente puede ser: • Un número entero, cuando el numerador es múltiplo del denominador.

Por ejemplo: 72 = 8; –240 = –16 15 9 anayaeducacion.es Ayuda al razonamiento: paso de fracción a decimal, exacto o periódico.

• Un decimal exacto, si el denominador de la fracción simplificada solo tiene los factores primos 2 y 5 (o alguno de ellos).

Por ejemplo: 3 = 0,375; 123 = 3,075; 42 = 1,68 25 8 40 Observa por qué esto es así: 123 = 123 = 123 · 5 2 = 123 · 25 = 3 075 = 3, 075 40 2 3 · 5 2 3 · 5 3 1000 10 3 Si solo están los factores 2 y 5, siempre podremos completar una potencia de base 10 en el denominador.

se repite

Ejemplo

3,0 20 60 40 50 10 3

7 0,428571

A partir de aquí se repiten los cocientes y los restos.

• Un decimal periódico, si el denominador de la fracción simplificada tiene algún factor primo distinto de 2 y 5. ! # # Por ejemplo: 11 = 3,6 ; 86 = 7,81 ; 87 = 29 = 1, 318 3 11 66 22 ¿Por qué si el cociente no es exacto, entonces, con seguridad, es periódico?

Razonemos sobre un ejemplo, 3 : 7, cuya división tienes en el margen. Puesto que al dividir por 7 el resto solo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6, en algún momento tendrá que repetirse, y a partir de ahí, se repetirá toda la secuencia.

Toda fracción irreducible da lugar a un número decimal: • Decimal exacto, si el denominador solo tiene los factores 2 y 5.

• Decimal periódico, si el denominador tiene factores distintos a 2 y 5.

Por tanto, unos y otros son números racionales. Sin embargo, los decimales con infinitas cifras no periódicas son números irracionales.

4 ¿Verdadero o falso?

! a) 1 = 0,333… = 0,3 3

3 = 3 · 0,333… = 0,999… = 0,!

9 3 !

Como 3 = 1, resulta que 0,9 = 1.

3 ! # b) 5,4 = 5, 44 # # c) 3,72 = 3,7272727… = 3,727 ! ! d) 0,3 + 0,6 = 1

5 Sin efectuar la división, y atendiendo solo al denomi-

nador de la fracción simplificada, di si las siguientes fracciones darán lugar a decimales exactos o decimales periódicos: b) 42 c) 101 d) 1001 a) 44 150 150 1024 500

6 Escribe un valor de k para que la fracción 84 sea:

k

a) Un número entero. b) Un decimal exacto. c) Un decimal periódico.

35

6

Números decimales

Paso de decimal a fracción Acabamos de ver que si se efectúa la división del numerador entre el denominador de una fracción, el resultado es un número decimal exacto o periódico (puro o mixto). Ahora nos planteamos el problema inverso: ¿cuál es la fracción que corresponde a un número decimal? |de decimal exacto a fracción Expresar en forma de fracción un número decimal exacto es muy fácil, pues el denominador es una potencia de base 10.

Por ejemplo: 2,5 = 25 = 5 ; 3,41 = 341 ; 0,004 = 4 = 1 100 1000 250 10 2 |de decimal periódico puro a fracción Veamos con dos ejemplos el proceso que conviene seguir. !

• Periodo de una sola cifra: N = 5,4 = 5,4444…

Al multiplicar N por 10, se obtiene otro número con la misma parte decimal.

10N = 54, 444…

4 Al restar, desaparece la parte decimal: 10N = 5, 444…

10N – N = 54 – 5 → 9N = 49 → N = 49 9 & • Periodo con varias cifras: N = 6,207 = 6,207207207…

Al multiplicar N por 1 000, se obtiene otro número con la misma parte decimal.

1000N = 6 207, 207207…

3 Al restar, desaparece la parte decimal: 1000N = 6, 207207…

1 000N – N = 6 207 – 6 → 999N = 6 201 → N = 6 201 999 Puedes comprobar ambos casos realizando las divisiones correspondientes con la calculadora.

anayaeducacion.es Ayuda al razonamiento: paso de decimal periódico puro a fracción.

Para escribir un número periódico puro, N, en forma de fracción: • Multiplicamos N por una potencia de base 10 para hallar otro número con la misma parte decimal.

• Al restar ambos números, obtenemos un número entero.

• Despejando N, llegamos a la fracción buscada.

&

7 Expresa en forma de fracción.

a) 6,2 ! d) 3,5 # g) 0,23 ! j) 5,9 36

b) 0,63 ! e) 0,1 & h) 41,041 & k) 7,009

&

&

8 Observamos que 0,208 + 0,791 = 0,999 = 1.

c) 1,0004 ! f ) 2,7 & i) 40,028 # l) 0,99

Compruébalo expresando en forma de fracción cada sumando y efectuando la suma de fracciones.

9 Calcula pasando previamente los decimales a fracciones

y operando con ellas. ! # & a) 3,5 + 1,76 – 2,103

! # b) 1,3 : 2,16

1

|de decimal periódico mixto a fracción # • Pongamos en forma de fracción N = 2, 563 : N=

2,5636363… Multiplicamos por 10 para obtener un decimal periódico puro.

10N =

25,636363… Ahora, multiplicamos por 100 para obtener otro con la misma parte decimal.

1 000N = 2 563,636363… Al restar este al anterior, desaparece la parte decimal. Es decir, se obtiene un número entero.

1 000N – 10N = 2 563 – 25 → 990N = 2 538 → N = 2 538 990 & • Otro ejemplo: N = 0, 07324 = 0,07324324324…

100N =

7,324324… Se obtiene un periódico puro.

100 000N = 7 324,324324… Otro, con la misma parte decimal. anayaeducacion.es Ayuda al razonamiento: paso de decimal periódico mixto a fracción.

100 000N – 100N = 7 324 – 7 → 99 900N = 7 317 → N = 7 317 99 900 Comprueba ambos casos con la calculadora.

Para escribir un número periódico mixto, N, en forma de fracción: • Multiplicamos N dos veces por potencias de base 10 para conseguir dos decimales periódicos puros con el mismo periodo.

• Al restarlos, se obtiene un número entero.

• Despejando N, se obtiene la fracción buscada. |resumen Para obtener la fracción correspondiente a un decimal periódico, tanto puro como mixto, la estrategia seguida ha sido la siguiente: a partir del número dado se obtienen dos números decimales periódicos puros con el mismo periodo. Al restarlos, el resultado es un número entero.

Como ya hemos dicho, los números decimales con infinitas cifras no periódicas no son racionales, por lo que no se pueden expresar en forma de fracción.

10 Completa el proceso para expresar como fracción el nú-

mero dado en cada caso:

N = 6, 21777… ! a) 6, 217 * 100N = 621, 77777…

1000N = 6 217, 7777…

N = 0, 0316262… # b) 0, 03162 * 1000N = 31, 626262…

100 000N = 3162, 626262…

11 Expresa como fracción los decimales siguientes:

! a) 6, 25

! b) 0, 001

# c) 5, 018

12 ¿Cuáles de los siguientes números son racionales? Pon-

los en forma de fracción: a) 3,51

b) 5,202002000…

b) 0,3212121…

e) π = 3,141592…

# c) 5,03 & f ) 7, 4331

13 Comprueba, # obteniendo # las fracciones correspondien-

tes, que 5,48 = 5, 484 .

37

7 Funciones secundarias

En las calculadoras científicas, la mayoría de las teclas tienen dos funciones secundarias (que aparecen encima de la tecla).

Las dos funciones se suelen diferenciar con dos colores: • SHIFT → amarillo • ALPHA → rojo Por ejemplo, esta tecla:

Pulsando

actúa como raíz cúbica.

Pulsando sirve para escribir números decimales periódicos, como veremos en la página siguiente.

A partir de ahora, cuando nos refiramos a una función secundaria, la destacaremos en la tecla correspondiente. Por ejemplo, para referirnos a la función raíz cúbica, pondremos:

Fracciones y decimales con la calculadora En este curso es recomendable comenzar a utilizar una calculadora científica que pueda servir en lo que resta de la ESO y Bachillerato. Para muchas de las indicaciones que damos, tomaremos como referente la calculadora CASIO CLASSWIZ, ya que es la más utilizada en este nivel. Pero podría ser cualquier otra de características similares.

Configuración La calculadora la utilizamos fundamentalmente para cálculos aritméticos. Para eso entramos en � y elegimos 1:Calcular. entrada Es fundamental configurar la calculadora para que, tanto la forma en que recibe los datos (ENTRADA) como la expresión resultante (SALIDA), sea acorde salida con lo que necesitamos.

Sugerimos que se configure el modo matemático tanto para ENTRADA como para SALIDA. En este modo, las fracciones, las raíces y las potencias se visualizan de la forma habitual.

Para ello, hemos de pulsar la tecla configuración �. A continuación, elegimos 1:Entrada/Salida y, después, seleccionamos 1:E Mat/S Mat (tanto ENTRADA como SALIDA en modo matemático).

También es importante configurar la calculadora para que la SALIDA, además de matemática, sea en forma de fracción y no como número mixto. Para ello, entramos en configuración ( �) y elegimos la opción 4:Result fracción. A continuación, escogemos 2:d/c.

Fracciones y las flechas ”’‘“.

Para introducir las fracciones, utilizamos la tecla

Recuerda qué es un número mixto

La suma 3 + 2 se puede escribir así: 5 3 2 y se llama número mixto.

5 Actualmente no se suelen utilizar, por lo que no vamos a prestarle más atención.

Escribir 3 → 4

3 4

3 Si damos = 4

3 4

Si la fraccción introducida no está simplificada, al pulsar = se simplifica:

1 Introduce en la calculadora las expresiones de la derecha y

comprueba que, al pulsar =, se simplifican las fracciones o se obtienen las fracciones correspondientes.

38

3’4”

6 → 8

6’8”

6 8

6 = 8

3 4

a) 3 5

b) 8 12

c) 27 15

d) 3,25

e) 0,27

f ) 0,321

1

Operaciones con fracciones Algunas simplificaciones

Practicando con la calculadora, puedes encontrar nuevos caminos, algunas simplificaciones. Por ejemplo, para poner 6 podemos hacer lo siguiente: 8 6

6 8= 8

3 4

Para operar con fracciones, sencillamente se escribe en la ENTRADA la cadena de operaciones y se pulsa la tecla =.

Por ejemplo, obtengamos 2 + 5 · 1 – 11 : 3 6 12 2 ’ 3 ”+ 5 *

2 1 11 11 ’ 12 ”= 3 + 5 x 6 – 12 7 12

1 ’ 6 ”-

Si, durante la escritura, cometemos un error, se borra con la tecla � (hacia atrás). Es decir, la tecla � borra lo que hay a la izquierda del cursor.

Si, al terminar, deseamos volver a la ENTRADA, basta con dar a la flecha “. Allí podemos añadir algún sumando más o corregir algún posible error.

Decimales Atención

Si introducimos un decimal exacto en el que una o más cifras se repiten «muchas» veces, es probable que la calculadora lo interprete como periódico:

Los números decimales no periódicos se escriben de forma natural teniendo en cuenta que, en vez de la coma, se pone un punto, ..

La tecla � aplicada a un número obtenido en la SALIDA lo transforma de fracción a decimal, o viceversa.

5.43434343434343 =�

3,875 → 3 . 875 =

5.43434343434343

3.875

5.43

31 � 8

3.875 3.875

Para escribir un decimal periódico, usaremos las teclas

# 5, 491 → 5 . 4

91 =

5.491

.

5437 � 990

5.491 5.491

Tanto en la expresión de números periódicos como en la de fracciones, la calculadora impone limitaciones debidas al excesivo tamaño de la ENTRADA o de la SALIDA. Puedes explorar y averiguar estas limitaciones.

2 Obtén, con la calculadora, las fracciones generatrices de

los siguientes números decimales: # # a) 2,354 b) 3, 002 c) 0, 0243 ! # # e) 0, 125 f ) 2, 09 g) 0, 1233

# d) 3, 701 ! h) 1,1

3 Calcula con ayuda de la calculadora. Pon el resultado

como fracción y como número decimal.

c 4 + 1m : 2 5 5 c 4 – 5 m· 7 9 3 8 –1 3

4 Haz con la calculadora estas operaciones con fracciones

y números decimales. Obtén los resultados en forma de fracción y de número decimal (exacto o periódico): a) 5 – 2 4 7

b) c 4 + 2m · –3 9 5

c) c–3 + 1 m : 2 3 5

d) c –2 – 3 m – 2 5 7

e) 2 – c 1 + 3m : 1 7 8 3

! g) –5 – 3, 25 2

& f ) 0,218 : c2 – 5 m 3

! h) c 2 – 3, 3m · 1 7 8

39

Ejercicios y problemas resueltos

1

1 Calcular el total

Carmen gasta en la primera mi­ tad del mes los 2/3 de su paga mensual. De lo que le queda, gasta los 3/5 en la segunda mi­ tad y ahorra 10 €. ¿Cuánto es su paga mensual?

Hazlo tú De un bidón de aceite se saca primero la mitad, y después, la quinta parte de lo que queda. Si en el bidón aún hay 3 L, ¿cuál es su capacidad?

Si gasta los 2 , le queda 1 de su paga.

3 3 Calculamos los 3 de 1 → 3 · 1 = 1 5 3 5 5 3 Lo que le queda al final del mes será:

1 – c 2 + 1 m = 15 – 10 – 3 = 2 3 5 15 15 15 15

Si los 2 de su paga son 10 €, su paga es la siguiente: 15 10 · 15 = 150 = 75 € 2 2

2 Calcular la fracción

Dos jarras de 600 mililitros con­ tienen zumo de naranja: una, con 2/3 de zumo, y la otra, con 4/5. Añadimos agua a cada una hasta llenarlas completamente y, posteriormente, las vaciamos en una jarra grande. ¿Qué frac­ ción del líquido de la jarra gran­ de es zumo de naranja?

Calculamos cuánto zumo hay en cada jarra: 2 de 600 mL → 2 ∙ 600 = 400 mL son zumo en la primera jarra.

3 3 4 de 600 mL → 4 ∙ 600 = 480 mL son zumo en la segunda jarra.

5 5 Tenemos 1 200 mL en la jarra grande, de los cuales 400 + 480 = 880 mL son de zumo.

Por tanto, la fracción de zumo en la jarra grande es 880 = 11 .

1200 15

3 Grifos y fracciones

Un grifo A llena un depósito de agua en 2 horas, y otro grifo B, en 3 horas. El depósito tiene un desagüe que lo vacía en 6 horas estando los grifos cerrados. Si abrimos los dos grifos y el desa­ güe, ¿cuánto tiempo tardará el depósito en llenarse?

Si el grifo A llena el depósito en 2 h, en una hora llena 1/2 del mismo.

El grifo B, en una hora, llena 1/3 del depósito.

El desagüe vacía en una hora 1/6 del depósito.

Si abrimos los tres a la vez, en 1 h llenan: 1/2 + 1/3 – 1/6 = 2/3 del depósito Por tanto, el tiempo que tardan es: 1 : 2 = 3 h = 1,5 h = 1 h 30 min.

3 2

4 Razonar con fracciones

Un baile se organiza por pare­ jas de chica y chico, y tres cuar­ tas partes de los chicos bailan con las tres quintas partes de las chicas. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?

Hazlo tú Si en otra fiesta similar 2/6 de los chicos está bailando con 2/5 de las chicas, ¿qué fracción de asistentes no está bailando?

40

Puesto que se forman parejas de chica y chico, el número de chicas que baila ha de ser igual al número de chicos que baila. Por tanto, los 3/4 del total de chicos debe ser igual a los 3/5 del total de las chicas.

Representamos estos datos en un gráfico: bailan

chicos chicas

3 de chicos bailan 4 3 de chicas bailan 5 6 del total bailan 9

No bailan 1 de los asistentes.

3 3 = 1 del total no bailan 9 3

Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?

1

10

Expresa en forma de fracción. ! ! a) –1,03 b) 14,3 c) – 2,5 ! # # e) 0, 012 f ) – 3,15 g) 5, 345

11

Ordena de menor a mayor en cada apartado: ! ! # a) 3,56; 3, 56 ; 3,5 ; 3,56 ! b) 2, 3; 8 ; 2, 34; 32 ; 21 3 15 10

Formas de contar

1

¿Cuántos resultados distintos podemos obtener si lanzamos una moneda y un dado?

2

Adrián tiene 4 pantalones y 5 camisetas. ¿De cuántas formas se puede vestir? ¿Y si además tiene 3 sudaderas?

3

En un concurso de cuentacuentos hay tres finalistas, A, B y C. ¿De cuántas formas pueden adjudicarse los premios primero y segundo?

Operaciones con fracciones

12

Agrupa las fracciones equivalentes. Para ello, simplifícalas antes.

91 ; 225 ; 24 ; 26 ; 343 ; 66 143 400 36 39 539 165

5

6

7

5 –5 12 3

b) 15 8

c) 16 7

e) – 7 3

d) – 3 2

23 6

17 200

5 7

233 990

13 22

Determina, sin realizar la división, cuáles son decimales exactos, y cuáles, decimales periódicos.

3 2

4 5

13 9

7 · 11 3 · 52

19 22 · 5

d) 1 – 1 2 3 h) 3 · 2 5 3

Reduce todo lo posible. a) 2 · d 3 – 1 n – 1 · d 5 – 1 n 6 4 2 3 6 3 b) 5 : d 2 + 1n – 3 : d 1 – 1 n 4 2 4

14

3 · 7 2 · 23 5· 7

Ejercicio resuelto

Calcular en cada caso el valor de x para que las frac­ ciones sean equivalentes: a) x y 26 b) 3 y 51 17 6 x 4 a) Para que sean equivalentes, los productos cruzados deben coincidir: x · 4 = 26 · 6 → 4x = 156 → x = 39 b) Volvemos a aplicar los productos cruzados: 3 · 17 = 51 · x → 51 = 51x → x = 1 15

Expresa como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, las siguientes fracciones: 13 9

c) 2 – 1 4 g) 8 · 5 15

Entrénate y practica

Algunas calculadoras, al simplificar una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador, dan como resultado un número entero seguido de una fracción, a b , que significa a + b . Expresa las siguientes fraccioc c nes como suma de un entero y una fracción:

9 25 9

3 –1 8 6

Introduce en tu calculadora los siguientes números y comprueba que, al pulsar =, se simplifican las fracciones y se obtiene la fracción generatriz de los números decimales: # # b) 81 c) 2,03 d) 1,301 a) 36 117 51

a) 8 5 8

13

Transforma las siguientes fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador y ordénalas de menor a mayor: 11 – 7 24 4

Calcula y simplifica mentalmente. a) 1 + 1 b) 1 + 1 2 4 2 e) 2 de 60 f ) 12 : 3 3 7

Fracciones y decimales

4

! d) 0, 32 ! h) 9, 09

16

Halla, en cada caso, el valor de x : a) x = 35 b) 32 = 12 18 42 x 15 c) 18 = x d) 66 = 5 81 45 1122 x Ejercicio resuelto

Simplifica, descomponiendo en factores el numera­ dor y el denominador.

60 · 33 = 2 2 · 3 · 5 · 11 · 3 = 2 2 · 11 = 11 3·5 2 15 24 23 · 3 23

41

Ejercicios y problemas 17

Aplica el procedimiento del ejercicio anterior para simplificar las siguientes expresiones: b) 6 · 5 c) 12 · 35 a) 3 · 20 5 21 25 18 7 36 d) 9 : 27 e) 13 : 65 f ) 90 : 36 16 20 12 84 35 14 18 ¿Es posible que el resultado de cada una de estas expresiones sea un número entero? Compruébalo sin utilizar la calculadora:

24

a) d 1 – 1n · d3 – 2 n – d 1 – 1 n 6 5 3 2 b) 2 : d 1 + 1 n – 3 : d1 + 1 n 6 2 2 c) – 3 · >1 – 3 – d 17 – 1n · d 1 – 3nH 3 8 5 20 d) >d 2 – 1 n + 13 d 2 – 1n H : d 1 – 1n 3 9 3 3 2

19

Con la calculadora, halla la fracción irreducible que se obtiene en cada caso:

25

a) 3 – 1 d–1 + 2 n – 7 : d 4 – 1 + 2 n 5 2 3 15 5 3 b) d1 + 1 n – d 3 + 1 n · d 1 – 1 n : 1 3 4 2 3 4 6 c) d 3 + 1 n – >1 – d 3 – 1 n + 2 – 3 H 5 3 4 2 3 20 d) d 5 – 5 + 2 · 1 n : >2 – 1 d1 + 5 nH 2 2 6 3 4 3

Si lanzas una moneda cuatro veces, ¿cuántos resultados distintos puedes obtener?

21

El resultado de un partido de fútbol fue 3 - 1. ¿De cuántas formas pudo llegarse a ese resultado? ¿En cuántas de ellas se pasó por un empate a 1?

22

Seis amigos organizan un campeonato de pádel, jugando todos contra todos. a) ¿Cuántos partidos han de jugar? b) ¿Cuántos partidos jugarían si el campeonato fuera a doble vuelta?

23

Nuria y Montse juegan un partido de tenis que acabará cuando una de ellas gane dos sets. ¿De cuántas formas puede desarrollarse el partido?

42

de varias familias se reparten como indica este diagrama de sectores: Copia en tu cuader8% 5% vivienda no el mismo diagrasupermercado ma sustituyendo los recibos 10% 33% porcentajes por las ropa 10% ocio fracciones correspon9% 25% ahorro dientes. Si se puede, otros simplifícalas.

A partir de tu diagrama de sectores, contesta: a) ¿Qué cantidad se gasta en ropa una familia con un presupuesto de 2 400 €/mes? ¿Y en el supermercado? b) Si una familia ahorra 288 €/mes, ¿qué presupuesto mensual tiene? c) Los gastos en vivienda, recibos y ropa juntos suponen más de la mitad del presupuesto. ¿Es cierta esta afirmación?

En situación Los siguientes datos expresan có-

mo gasta sus ingresos mensuales una familia: ! !

Vivienda: 0,4 Supermercado: 0,16 Ropa: 0,1 3 Recibos: 0,1 Ahorro: 0,05 Otros: 0,04 a) Escríbelos todos en forma de fracción y halla la fracción que falta. b) Si gasta 330 € en ocio, ¿cuál es su presupuesto mensual?

26

En una encuesta realizada entre los estudiantes de un colegio se recogieron los siguientes resultados: • 7/30 de los estudiantes no tienen teléfono móvil.

• 400 estudiantes tienen ordenador y teléfono móvil.

• 1/6 no tiene ordenador.

• 1/15 no tiene ni ordenador ni teléfono móvil. ¿Cuántos estudiantes fueron consultados en la encuesta?

27

Ana utiliza parte del dinero que lleva para comprar varios cómics, todos a igual precio. Si con un quinto del dinero que tenía ha pagado un tercio del total de los cómics que compró, ¿qué fracción del dinero que llevaba le quedará después de pagar todos los cómics?

28

Dos cajas de manzanas se venden a 2,50 € el kilo.

La primera, que supone los 5/12 del total, se vende por 50 €. ¿Cuántos kilos había en cada caja?

Resuelve problemas sencillos 20

En situación Las partidas en los presupuestos

1

Para pensar un poco más

También puedes hacer esto

29

37

30

31

Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduce en 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdiéndose en la cocción 1/4 del peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?

En una carrera ciclista de cuatro etapas, el primer día abandonó 1/15 de los corredores. El segundo día abandonó la décima parte de los que quedaban. El tercer día, tras una caída, abandonaron 3 corredores, terminando la carrera 123. ¿Qué fracción de los corredores tomaron la salida el segundo día? ¿Y el tercer día? ¿Cuántos corredores participaron en la carrera?

Un grifo llena un depósito de agua en 9 horas. Si además del grifo se abre el desagüe, entonces el tiempo de llenado es 36 horas. ¿Cuánto tarda el desagüe en vaciar el depósito, estando el grifo cerrado?

32

En una fiesta, los 2/3 son chicos, los 3/5 de las chicas tienen pareja y hay 6 chicas que no tienen. ¿Cuántas personas asistieron a esa fiesta?

33

Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 de lo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuál era esa cantidad?

34

Dos agricultores, padre e hija, tardan 2 h en arar un campo. Si lo hace solo el padre, tarda 6 h. ¿Cuánto tardará la hija en hacerlo sola?

35

Tenemos dos jarras de 1/2 L. Una de ellas contiene 2/5 de zumo, y la otra, 3/4 de zumo. Les añadimos agua hasta llenarlas y las mezclamos en una jarra de 1,5 L. a) ¿Qué fracción del líquido de la jarra grande es zumo? ¿Es más de la mitad? b) Para rebajar la concentración, añadimos agua a la jarra grande hasta llenarla. ¿Cuál es ahora la fracción de zumo en esa jarra?

36

Divide por 11 los números del 1 al 10. a) ¿Cuántos decimales distintos pueden salir? b) ¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 11? c) ¿Puedes predecir el resultado de 23 : 11 y de 40 : 11?

38

Tantea para completar en tu cuaderno estas igualdades con los dígitos que faltan: a) 436 = 44 2156 77

b) 84 = 44 = 4 315 45 45

c) 343 = 4 534 11

d)

Escribe en tu cuaderno el signo (+, –, · o :) correspondiente en cada hueco para que se cumplan estas igualdades: a) 2 4 2 4 3 = 17 5 3 10 30

39

75 = 45 = 4 445 84 27

b) 4 4 10 4 1 = 4 5 3 2 3

Tenemos una fracción irreducible tal que, si a los dos términos se les suma el denominador y a la fracción resultante se le resta la fracción inicial, se obtiene de nuevo esa fracción. ¿De qué fracción se trata?

¿Lo has entendido? Reflexiona 40

¿Verdadero o falso? Explica y pon ejemplos. a) Hay números decimales que no son racionales. b) El cociente de dos números decimales exactos es siempre un decimal exacto. c) Al sumar dos números decimales periódicos puros se obtiene siempre un decimal periódico puro. d) Todos los números enteros se pueden expresar en forma de fracción. e) Si dos fracciones positivas son menores que 1, su producto puede ser mayor que 1. f ) Al dividir dos números decimales periódicos se obtiene un decimal periódico.

41

Si escribimos en forma decimal la fracción 20/13, ¿qué cifra ocupa el lugar 50? ¿Sería la misma que la que ocupa el lugar 100?

42

Un programa de cálculo transforma fracciones, de a 1– a b la convierte en . forma que al introducir b a 1+ b 2 1 Por ejemplo, si entra , sale . Comprúebalo.

3 5 2 Supongamos que entra y el resultado se vuelve a 5 introducir. Si repetimos este proceso 10 veces, ¿cuál será la fracción obtenida al final? ¿Y si lo repetimos 11 veces?

43

Autoevaluación ¿Qué has aprendido?

1 Forma todos los números de cuatro cifras que se pue-

dan hacer con los dígitos 1 y 2. ¿Cuántos son?

2 En una clase de tercero se van a celebrar votaciones

para elegir delegado y subdelegado. Si se presentan 5 estudiantes, ¿de cuántas formas podemos rellenar la papeleta de votación?

3

En situación Encuentra todos los cuadrados que

hay en la siguiente cuadrícula (lado 1, lado 2…):

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

11

De los 28 estudiantes de una clase, 4/7 aprobaron todas las asignaturas, y de ellos, 1/4 obtuvieron sobresalientes de nota media. ¿Cuántos sacaron sobresaliente? ¿Qué parte de la clase suspendió alguna asignatura?

12 Entre las personas apuntadas a un polideportivo, la

quinta parte tiene más de 60 años, y dos de cada tres están entre los 25 y los 60 años. a) ¿Qué fracción de estas personas tiene 25 años o menos? b) Si el número de personas apuntadas es 525, ¿cuántas hay de cada grupo de edad?

13 Con la tercera parte del aceite que tengo en un bi-

dón, puedo llenar 20 botellas de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros había en el bidón? ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro podré llenar con el resto?

4 Efectúa y simplifica el resultado.

1 + 5 · c 5 + 1m – 1 : 2 8 3 3 5 5 Escribe tres fracciones de modo que la primera dé

lugar a un número entero; la segunda, a un decimal exacto, y la tercera, a un decimal periódico.

6 Escribe, en cada caso, tres números comprendidos

entre los dos dados:

! ! b) 2,7 y 2,8

a) 3 y 4 20 25

7 Clasifica en decimales exactos o periódicos sin hacer

la división.

89 50

113 12

23 32

18 7

8 Haz la siguiente cadena de operaciones:

Piensa un número → súmale 1/5 → réstale 7/10 → súmale 1/2 Justifica por qué obtienes siempre el número que has pensado.

9 Zoe gastó 1/3 de su dinero en libros y 2/5 en discos.

Si le han sobrado 36 €, ¿cuánto tenía?

10 De un depósito, en el que había 1 500 L de agua, se

gastan un día 5/12 del depósito, y otro día, 500 L. ¿Qué fracción queda?

44

14 Tres empresarias invierten en un negocio. La primera

aporta 1/3 del capital; la segunda, 2/5, y la tercera, el resto. a) ¿Cuál invirtió más dinero?

b) Después de tres años, reparten los beneficios y a la tercera le corresponden 20 000 euros. ¿Cuánto corresponde a cada una de las otras?

15 Compro una bicicleta que pagaré en tres plazos. En

el primero, pago los 3/10 del total; en el segundo, 4/5 de lo que me queda por pagar, y para el tercero, solo tengo que pagar 21 €. ¿Cuál es el precio de la bicicleta?

16 Un grifo llena un depósito en 4 horas, y un desagüe

lo vacía en 6 horas. Si abrimos el grifo y una hora después abrimos el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará el depósito en llenarse?

Si abrimos el grifo y tres horas después abrimos el desagüe, ¿cuánto tardará en llenarse el depósito?

17 ¿Verdadero o falso?

a) Todas las fracciones son números racionales. b) Todos los números racionales son fraccionarios. c) Una fracción siempre equivale a un número periódico. d) Un número decimal periódico es racional.

Situación de aprendizaje Buscamos el mejor tipo de losetas para el suelo del loft y jugamos con cuadrados

...

....

RESU

ELVO

1

Qué loseta elegir para que la reforma sea más económica

Se ha reformado un loft de dimensiones 4 m × 5,1 m y altura 3,2 m. Solo queda poner el suelo. Para ello, hemos de elegir uno de estos tres tipos de losetas: B

25 cm

2,80 €/unidad

C

0,32 €/unidad

9 cm

25 cm

20 cm

30 cm

A

2,65 €/unidad

9 cm

• Considera sus dimensiones y precios y halla el coste del material en cada uno de los tres casos. No se pueden reutilizar los trozos de losetas cortados.

• Teniendo en cuenta que se cobra 0,50 € por colocar cada loseta y 0,20 € por cortar cada una, ¿con cuál de las tres opciones sale el proyecto más barato?

Cuántos cuadrados y rectángulos encuentras

En una pared del loft se ha colocado a modo de decoración un mural compuesto de corchos cuadrados dispuestos en un rectángulo de 8 × 5, como ves a la derecha.

• Nos preguntamos cuántos cuadrados podemos contar sobre el mural.

Para ello, empezamos contando solo los de lado 1, después los de lado 2… y así sucesivamente. Por ejemplo, hay 8 · 5 = 40 cuadrados de lado 1 y 7 · 4 = 28 cuadrados de lado 2. Continúa tú.

• Cuenta el número de rectángulos no cuadrados de lados mayores que 2 que hay en el mural de corchos. Empieza por 4 × 3, 5 × 3, 6 × 3, …, 5 × 4…

• Si cada vértice se coloca en una trama de puntos como la que ves a la derecha, ¿cuántos tipos de cuadrados puedes obtener? Di la longitud de sus lados. ¿Cuántos cuadrados hay cuyo lado sea mayor que 4?

Avanza solo o en equipo

• Haz un presupuesto para el suelo de alguna habitación de tu casa, el aula de la clase o cualquier otro espacio que se te ocurra. Indaga los precios del metro cuadrado de loseta y de mano de obra. Este es un trabajo muy adecuado para realizarse en equipo.

• ¿Qué tipos de rombos no cuadrados puedes encontrar sobre la trama punteada? ¿Cuáles de ellos tienen su lado mayor que 3? Cuenta cuántos hay de cada uno de estos tipos.

45

2 Potencias y raíces 4. Educación de calidad

46

Situación de aprendizaje

Estrellas en el universo

«Hay más estrellas en el universo que granos de arena en todas las playas de la Tierra».

Esta célebre afirmación fue enunciada por Carl Sagan, astrónomo, cosmólogo y gran divulgador.

Tan asombrosa declaración nos invita a reflexionar sobre la inmensidad del cosmos, recordándonos que nuestras mentes a menudo luchan por abarcar la magnitud de lo que nos rodea.

En la búsqueda por comprender esta inmensidad, los telescopios han sido nuestros fieles compañe­ ros. El telescopio espacial James Webb, una ma­ ravilla de la ingeniería moderna, está a punto de abrir un nuevo capítulo en la exploración cósmica.

Equipado con tecnología de vanguardia, permitirá observar regiones del espacio tan distantes y anti­ guas como nunca antes habíamos imaginado.

A..

PROP

UEST

Así como Carl Sagan nos inspiró a contemplar la inmensidad del universo, el telescopio espacial Ja­ mes Webb nos desafía a sumergirnos aún más en el cosmos, con la esperanza de que cada observación nos acerque un poco más a las respuestas que bus­ camos en él.

¿Cuántos granos de arena hay en todas las playas de la Tierra? Te propondremos que realices un cálculo estimativo.

Y también especularás sobre el número de estrellas del universo intentando, así, comprobar la veracidad de la afirmación de Carl Sagan.

....

Ponte en situación con lo que ya sabes

1 Para estimar el número de granos de arena que

puede haber en la hermosa playa de Bolonia en Tarifa, provincia de Cádiz, vamos a dar por buenas las siguientes dimensiones: 4 km de lar­ go, 70 m de ancho y 30 m de profundidad.

Necesitamos saber cuántos granos de arena hay en un milímetro cúbico. Para ello, tomamos un cucharoncito de casa de muñecas que llenamos de arena y, con ayuda de una lupa, contamos que tiene 40 granos. A continuación, usamos el cucharón 45 veces para llenar una cazuela de muñecas, luego echamos 27 veces el contenido de la cazuela para llenar un cubito de 4 cm3. a) ¿Cuántos granos de arena estimas que hay en 1 mm3? b) A partir de esto, realiza un cálculo aproxima­ do del número total de granos de arena que hay en la playa de Bolonia.

47

1

Potenciación Potencias de exponente positivo Las potencias de exponente entero positivo (1, 2, 3, …) son fáciles de interpretar:

anayaeducacion.es Actividades para repasar las operaciones con potencias de exponente natural.

a1 = a

Por ejemplo: 81 = 8,

(– 6)4 = (– 6) · (– 6) · (– 6) · (– 6),

3

d2n = 2 · 2 · 2 7 7 7 7

|propiedades

Calculadora

Para hallar potencias en la calculadora, usamos las siguientes teclas: • Para el cuadrado: x 5 x = 25

• Para el cubo:

1

am · an = am + n

Por ejemplo: a 3 · a 4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a 3 + 4

2

(a · b )n = a n · b n

Por ejemplo: (a · b)3 = (a · b) · (a · b) · (a · b) = = (a · a · a) · (b · b · b) = a 3 · b 3

3

(a m )n = a m · n

Por ejemplo: (a 2)3 = a 2 · a 2 · a 2 = = (a · a) · (a · a) · (a · a) = a 2 · 3

4

am = am – n an

Por ejemplo: a 4 = a · a · a · a · a · a = a a·a·a·a 1 a

5

n b a l = an b b

3 Por ejemplo: b a l = a · a · a = a · a · a = a 3 b b b b b ·b ·b b

=8

2

an = a · a · … · a n veces

• Para cualquier potencia: á 3 á 4 = 81

n

6

6–4

= a6 – 4

3

Ejercicio resuelto

Calcular. a) 52 · 56 · 53 c)

58

b) (2 3)4 5

d) 145 7

56

a) 52 · 56 · 53 = 52 + 6 + 3 = 511

(Propiedad 1 )

b) (23)4 = 23 · 4 = 212

(Propiedad 3 )

8 c) 5 6 = 58 – 6 = 52 5

(Propiedad 4 )

5

5 d) 145 = d 14 n = 25 7 7 e) 22 · 53 = 22 · 52 · 5 = (2 · 5)2 · 5 = 102 · 5 = 100 · 5 = 500

e) 22 · 53 f ) (154 : 33) : 54 4

g) 42 · c 3 m 2

f ) (154 : 33) : 54 = [(54 · 34) : 33] : 54 = (54 · 3) : 54 = 3 4

4 4 g) 42 · d 3 n = (22)2 · 3 4 = 24 · 3 4 = 34 2 2 2

1 Reduce a una sola potencia.

a) 43 · 44 · 4 3

d) 153 3

2 Calcula utilizando propiedades de las potencias.

b) (56)3

c)

76

e) 210 · 510

f)

12 5 35 · 45

h) (62)3 · 35 · (27 : 22)

g) (a 6 · a 3)2 : (a2 · a 4)3 48

(Propiedad 5 )

74

6

3

b) (65 : 24) : 35

c) c 2 m · c 3 m 3 4

d) 28 · c 5 m 2

6 e) 206 2

f ) 205 2

g) (33)2 : 35

h) (25)3 · [(53)4 : 23]

a) 23 · 54 4

6

2

Potencias de exponente cero o negativo

Resumen

Definición

La propiedad 4 de la página anterior solo era válida para m > n. Veamos qué ocurriría si fuera m = n o m < n :

a 0 = 1, a 1 = a Si n > 1:

a 3 = a 3 – 3 = a 0. Pero a 3 = 1. Por tanto, tendría que ser a 0 = 1. a3 a3

• an = a · a · … · a n veces

a 3 = a 3 – 5 = a –2. Pero a 3 = a · a · a = 1 → a –2 = 1 a5 a · a · a · a · a a2 a5 a2 Estas igualdades nos sugieren la siguiente definición:

• a –n = 1/a n Propiedades Si m, n ∈ Z, se cumple:

Si a es un número racional distinto de cero y n es entero: a –n = 1n a0 = 1 a n –n n Como consecuencia: b a l = d b n = b n b a a

1 am · an = am + n 2 (a · b)n = a n · b n 3 (a m)n = a m · n 4

am = am – n an

5 b a l = an n

n

b

Las propiedades que teníamos para las potencias de exponente positivo también son válidas para las potencias de exponentes enteros cualesquiera.

b

Ejercicios resueltos

1 Expresar cada número como

a) 0, 001 =

potencia de base 10:

b) 0,00000001

a) 0,001

b) 0, 00000001 =

2 Simplificar.

4

1 = 1 = 10 –3 1000 10 3

4

–3

1 = 1 = 10 –8 100 000 000 10 8 4

anayaeducacion.es Repasa las operaciones con potencias de exponente entero.

3

3 4 3 4 3 4 a) d 3 n · d 9 n = d 3 n · d 5 n = 3 4 · 5 3 = 34 · 52 3 = 3 4 · 5 6 = 1 2 = 1 5 5 5 9 45 5 9 5 · (3 ) 5 ·3 5· 3

–3

a) c 3 m · c 9 m 5 5 b)

x –3 · x 2 · x 6

–3 2 6 –3 + 2 + 6 5 5 b) x –1· x 4· x2 = x –1 + 4 2 = x3 2 = x 6 = x 5 – 6 = x –1 = 1 x (x ) x (x · x ) (x )

c)

2 – 6 · 4 3 · 3 4 · 9 –2

3 4 –6 –2 –6 6 4 –4 c) 2 – 4· 4 · 3 · 9–5 = 2 – 4 · 2 3 · 3 2 · 3 –5 = 2– 6 + 6 + 4 – 3 · 34 – 4 – 2 + 5 = 2 ·8·9·3 2 ·2 ·3 ·3

(x –1 · x 4) 2

2 – 4 · 8 · 9 · 3 –5

= 2 · 33 = 54

anayaeducacion.es Refuerza las operaciones con potencias de exponente entero.

3 Calcula el resultado.

a) (–2)–1

6 Simplifica y halla el resultado cuando sea posible.

3

2

c) c 1 m 2

b) (–2)–2

d) c –1 m 2

–3

0

b) c –13 m 7

–4

c) c– 2 m 3

b) 0,00001

c) 0,001–2

–3

d) c –3 m –5

5 Expresa como potencia de base 10.

a) 0,1

b)

3

4 Calcula.

a) c 3 m 5

6 –3 a) x ·2x (x ) y

4 4 e) 6 ·43 9 5

d) 100 000–3

3

c) c 12 m : c 13 m a a

2

g) 2 ·33 ·–41 2 ·9

–1

y 5 · y –1 · y (y 2)–2

5 6 · (5 2)–1 (5 2)3 (–6)5 · (–3)5 f) 36 5 d)

h)

62 · 92 2 3 · (–3)2 · 4 2 49

2

Notación científica Cuando manejamos números muy grandes, nos encontramos con dos importan­ tes inconvenientes: • Para hacernos una idea clara de lo grandes que son, hemos de contar sus cifras.

• Operar con ellos es muy pesado.

La notación científica salva ambos inconvenientes. Veamos en qué consiste y lo útil que resulta para expresar, interpretar y operar cantidades muy grandes.

Cálculo mental

Por ejemplo:

Di el valor de n para que se verifique cada igualdad:

— El volumen de la Tierra es 1 080 trillones de m3 = 1,08 · 1021 m3.

a) 513 000 = 5,13 · 10n b) 2 577,6 = 2,5776 · 10n

— La distancia de la Tierra a la estrella Alfa Centauri A es 40 680 000 millones de kilómetros = 4,068 · 1013 km.

Los números 1,08 · 1021 y 4,068 · 1013 están puestos en notación científica.

c) 453 · 103 = 4,53 · 10n

Un número puesto en notación científica consta de:

d) 125,3 · 106 = 1,253 · 10n

• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unida­ des).

• El resto de las cifras significativas, si las hay, puestas como parte decimal.

• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.

N = a , b c d … · 10n parte entera (solo una cifra)

parte decimal

potencia entera de base 10

El exponente, n, nos indica lo grande o lo pequeño que es el número.

Notación científica para números muy pequeños También hay cálculos y mediciones que arrojan cantidades muy pequeñas (en el mundo científico, en medicina, en biología microscópica, etc.).

Cálculo mental

|Ejemplos

Di el valor de n para que se verifique cada igualdad:

a) Diámetro de cierta bacteria → 0,00062 mm

a) 0,000004 = 4 · 10n

b) Cantidad de metales pesados en una muestra de agua → 0,000000834 g Para expresar las cantidades anteriores en notación científica, recurrimos a las potencias negativas de base 10, como se muestra a continuación:

b) 0,00513 = 5,13 · 10n c) 0,45 · 10–2 = 4,5 · 10n

a) 0,00062 → 6,2 · 0,0001 → 6,2 · 10– 4

d) 0,0018 · 10–5 = 1,8 · 10n

b) 0,000000834 → 8,34 · 0,0000001 → 8,34 · 10–7 Los números 6,2 · 10– 4 y 8,34 · 10–7 están en notación científica.

1 Expresa estas cantidades en notación científica:

3 Expresa estas cantidades en notación científica:

a) 2 800 000

b) 169 000 000

a) 0, 00016

b) 0, 00000387

c) 7 020 000 000

d) 53 420 000 000 000

c) 0, 00000000083

d) 0, 000000000000000629

2 Expresa con todas sus cifras.

a) 3,6 · 105 50

b) 8,253 · 108

4 Expresa con todas sus cifras.

c) 2,27 · 1011

a) 2,65 · 10– 4

b) 8,253 · 10– 6

c) 2,27 · 10–11

2

Operaciones con números en notación científica • Para sumar o restar números en notación científica, es necesario preparar los sumandos de modo que tengan todos la misma potencia de base 10 y, así, poder sacar factor común. |Ejemplo 4,73 · 107 – 7,5 · 106 = 47,3 · 106 – 7,5 · 106 = (47,3 – 7,5) · 106 = = 39,8 · 106 = 3,98 · 107 • Para multiplicar o dividir números en notación científica, actuaremos de forma natural, teniendo en cuenta que cada número está formado por dos factores: la parte decimal y la potencia de base 10. |Ejemplos a) (4,73 · 107) · (7,5 · 105) = (4,73 · 7,5) · 107 + 5 = 35,475 · 1012 = 3,5475 · 1013 7

b) 4, 73 · 10–5 = (4,73 : 7,5) · 107 – (–5) = 0,631 · 1012 = 6,31 · 1011 7, 5 · 10

Ejercicios resueltos

1 Expresar 4 782 930 663 200 en

notación científica, redondeándolo a los millares de millón.

2 Realizar estas operaciones y ex-

presar el resultado en notación científica: a) 23,5 · 10 4 + 123,7 · 10 2 b) 6 284 · 10 –5 – 329 · 10 –4 c) 0,012 · 10 3 + 172 · 10 –1

4 782 930 663 200 → Redondeo: 4 783 000 000 000 4 783 000 000 000 = 4,783 · 1 000 000 000 000 Expresión en notación científica → 4,783 · 1012 a) 23,5 · 104 + 123,7 · 102 = 23,5 · 104 + 1,237 · 104 = (23,5 + 1,237) · 104 = = 24,737 · 104 = 2,4737 · 105 b) 6 284 · 10–5 – 329 · 10–4 = 628,4 · 10–4 – 329 · 10–4 = (628,4 – 329) · 10–4 = = 299,4 · 10–4 = 2,994 · 10–2 c) 0,012 · 103 + 172 · 10–1 = 12 + 17,2 = 29,2 = 2,92 · 10

5 Expresa 6 274 344 825 en notación científica, redon­

deándolo a las decenas de millón.

6 Opera y pon el resultado en notación científica.

7 Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado

en notación científica:

a) 234 · 103 + 5 231 · 102

a) 7,25 · 104 – 5,83 · 104

b) 42,81 · 10–5 – 3 450 · 10–7

b) 7,25 · 109 + 5,83 · 109

c) 1,592 · 104 + 2 561

c) 7,25 · 109 + 2,1 · 108

d) 0,127 · 10 – 248 · 10–3

d) 4,73 · 107 – 7,5 · 106 e) 1,8 · 109 + 2,25 · 108

8 En 18 gramos de agua (H2O) hay 6,022 · 1023 molécu­

las elementales (número de Avogadro).

f ) (2,5 · 10–7) · (8 · 10–3)

a) ¿Cuántas moléculas elementales hay en un gramo de agua?

g) (3,4 · 109) : (5 · 104)

b) ¿Cuál es la masa de una molécula elemental?

51

2

Notación científica

Calculadora para la notación científica Configuración de la notación científica en la calculadora

La calculadora se puede configurar para que trabaje (ENTRADA y SALIDA) en notación científica. Pero hay que decir­ le el número de cifras significativas que queremos manejar:

• Cualquier modelo de calculadora puede ser programado para trabajar solo en notación científica. Sin embargo, es preferible que no uses ese modo, sino que mantengas el modo Normal 2.

• Como es natural, los resultados deben expresarse en forma decimal, por lo que debes configurar la SALIDA decimal, E Mat/S Decimal.

• Escritura

Entramos en la configuración, �, y elegimos 3:Formato número. Ahí se­ leccionamos 2:Not científica. Aparece Científ:Selec 0~9.

 ENTRADA

Si pulsamos, por ejemplo, 5, se maneja­ rán 5 cifras significativas.

 SALIDA

Cuando terminemos de trabajar en no­ tación científica no hay que olvidar vol­ ver al modo normal:

� → 3:Formato número →

→ 3:Normal → Normal:Selec 1~2 Y pulsamos el 2.

Para escribir números en notación científica, se usa la tecla �. Por ejemplo: 3,456 · 1012 → 3.456 � 12

1,03452 · 10–7 → 1.03452 � f 7

Si se escribe un número con «muchas» cifras, la propia calculadora lo expre­ sa automáticamente en notación científica. Por ejemplo: 12345678910

0.000000000123456

1.234567891 x1010

213.45 x1012

1.23456 x10–10

2.1345 x1014

Si se escribe un número con «pocas» cifras, en la pantalla nos aparecerá el número en forma decimal no científica. Por ejemplo: 123456789

12.3 x104

0.0003847 x108 123 000

123 456 789

38 470

Operaciones. Las operaciones se encadenan como si fueran números cua­ lesquiera. Como acabamos de decir, si el resultado tiene «muchas» cifras, la calculadora lo expresará en notación científica y si no, lo dará en notación normal y lo tendremos que interpretar nosotros.

123000000x45000

0.000123÷5000000

5.535 x1012

12.86 x103x8.27 x104

2.46x10–11

Ejercicio resuelto

Efectuar con calculadora e interpretar los resultados. a) (3,214 · 10–5) · (7,2 · 1015) b) 3,214 · 10–4 – 9,58 · 10–5 c) 3,2 · 1010 + 7,3 · 10–5 – – 4,552 · 1010

a) 3.214 � f 5 * 7.2 � 15 = 2.31408 · 1011 b) 3.214 � f 4 - 9.58 � f 5 = 0.0002256 Nos toca interpretarlo. El resultado expresado en no­ tación científica es 2,256 · 10–4. c) 3.2 � 10 + 7.3 � f 5 – 4.552 � 10 = –1.352 · 1010 Como ves en este último ejemplo, cuando sumamos o restamos en la calculadora números con orden de magnitud muy diferentes, el menor no se refleja en el resultado.

9 Resuelve con la calculadora las actividades 6, 7 y 8 de la página anterior.

52

1 063 522 000

2

3

Raíces exactas

Dos raíces cuadradas

|raíces cuadradas

Observa:

Como sabes, 25 = 5, porque 52 = 25. Sin embargo, –25 no existe porque (–5)2 = 25.

2 2 Análogamente, 25 = 5 , porque d 5 n = 5 2 = 25 .

2 4 2 4 2 |raíces cúbicas

32 = 9, (–3)2 = 9 Por tanto, 9 tiene dos raíces cuadradas: 3 y –3.

Pero ¡atención!, cuando ponemos 9 nos estamos refiriendo a la raíz positiva, es decir, 9 = 3.

Análogamente, 16 tiene dos raíces cuar­ tas: 2 y –2.

Pero 4 16 = 2.

Las raíces cúbicas se comportan de forma similar a las raíces cuadradas: 3

8 = 2 , porque d 2 n3 = 2 3 = 8 .

1000 10 10 10 3 1000

|otras raíces

Del mismo modo: 4 10 000 = 10, porque 104 = 10 000.

En general, si a = bn entonces n a = b.

En la expresión n a (se lee raíz enésima de a), n es el índice y a el radicando.

anayaeducacion.es Actividades para reforzar el cálculo de raíces exactas.

Si n a es un número racional (entero o fraccionario), entonces se dice que la raíz es exacta.

Ejercicio resuelto

Calcular las siguientes raíces: 49 16

a)

1000 64

d) 5

1 243

49 = 7 .

16 4

b) Puesto que se nos pide 4 356, comprobemos si 4 356 es un cuadrado per­ fecto. Para ello, lo descomponemos en factores primos: 4 356 = 22 · 32 · 112.

b) 4356 c) 3

2

2 a) d 7 n = 7 2 = 49 . Por tanto, 4 16 4

Es decir, 4 356 = (2 · 3 · 11)2 = 662. Por tanto, 4 356 = 66.

3 c) 1 000 = 103; 64 = 43; 3 1000 = 3 103 = 10 = 5 4 64 2 4

1 = 1.

243 3 e) 2,7 · 1013 = 27 · 1012 = 33 · 1012 = 33 · (104)3 = (3 · 104)3 d) 243 = 35. Por tanto, 5

e) 3 2, 7 · 10 13 f ) 1, 6 · 10 – 9

Por tanto, 3 2, 7 · 10 13 = 3 (3 · 10 4)3 = 3 · 104. f ) 1,6 · 10–9 = 16 · 10–10 = 42 · 10–10 = 42 · (10–5)2 = (4 · 10–5)2 Por tanto, 1, 6 · 10 – 9 = (4 · 10 – 5) 2 = 4 · 10– 5.

1 Calcula las siguientes raíces: 6

d) 6

a)

2

64

b)

3

216

c) 14 400

1 64

e) 3

64 216

f) 3

3 375 1000

¿Verdadero o falso? a) Como (–5)2 = 25, entonces 25 = –5. b) –5 es una raíz cuadrada de 25. c) 81 tiene dos raíces cuartas: 3 y –3. d) 27 tiene dos raíces cúbicas: 3 y –3.

53

4

Radicales En la expresión 12 no hay forma de suprimir la raíz si no es calculando su valor decimal aproximado. La única forma de expresarla de forma exacta es dejarla como está; es decir, con la raíz.

Ten en cuenta

Manejar con corrección y agilidad los radicales requiere un buen aprendizaje y un largo entrenamiento. Este curso va­ mos a aprender algunas de las reglas más sencillas, así como una serie de cautelas para evitar lo que no se puede hacer.

Las expresiones en las que aparecen raíces indicadas se llaman radicales.

Algunas reglas para el manejo de radicales |producto de radicales del mismo índice El producto de dos radicales con el mismo índice se puede poner bajo un único radical. Por ejemplo: 3

3 · 2 = 3·2 = 6

5 · 3 15 = 3 5 · 15 = 3 75

|extracción de factores fuera de una raíz Si el radicando descompuesto en factores tiene potencias de exponente igual o mayor que el índice de la raíz, algunos de ellos pueden salir fuera de la raíz.

Por ejemplo: 18 = 3 2 · 2 = 3 2 · 2 = 3 2 Números irracionales

Obtén con la calculadora la expre­ sión decimal de estas raíces: 7 , 3 4 , 5 16

Observa que en todas ellas aparecen un montón de cifras en las que no se aprecia ninguna periodicidad. De hecho, la expresión decimal de cual­ quier raíz no exacta tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Por eso no son números racionales. Se llaman irracionales.

3

81 = 3 3 4 = 3 3 3 · 3 = 3 3 3 · 3 3 = 3 3 3

|suma y resta de radicales Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo: 3 + 2 Solo pueden realizarse de forma aproximada, 4 7 – 3 7 o bien hay que dejarlas indicadas.

Sí puede simplificarse la siguiente expresión: 2 3 4 – 3 4 + 5 3 4 = 6 3 4 En ocasiones, podremos efectuar alguna suma que parecía imposible: 20 + 45 – 180 = 4 · 5 + 9 · 5 – 36 · 5 = 2 5 + 3 5 – 6 5 = – 5

Calculadora para hallar raíces

Conclusión. Las raíces no exac­ tas son números irracionales. Tam­ bién es irracional el conocidísimo π = 3,141592654…

Para hallar raíces con la calculadora, usamos las siguientes teclas:

Hay infinitos números irracionales.

• Raíz de otro índice,

• Raíz cuadrada, í ; 15 → í 15 = 3,872983346 • Raíz cúbica,

1 Simplifica las expresiones que puedas.

a) 8 5 – 6 3 3

b) 3 5 + 4 5

8 = –2

; 5 32 → 5

32 = 2

2 Extrae fuera del radical todos los factores que sea posible.

c) 3 25 – 8 3

d) 5 – 5

e) 6 · 7

f) 6· 7

g) 2 · 8

h) 3 7 · 3 49

i) 3 5 – 6 5

54

; 38 →

a)

32 · 54

d) 180

b) 3 2 5 · 3 2

c) 4 5 5

e) 720

f ) 3 375

Ejercicios y problemas resueltos

2

1 Tamaño del virus del COVID-19

El tamaño medio del virus del COVID-19 es de 67 nm (nanómetros). a) Expresarlo en milímetros y en micras (μm). b) Compararlo con el grosor de un pelo humano.

Hazlo tú Al respirar, emitimos aerosoles, miles de gotas muy pe­ queñas de menos de 5 μm, que pueden quedarse en el aire varias horas. Son la principal causa de transmisión de la enfermedad. ¿Cuántos virus puede haber en una partícula de aerosol?

a) Un nanómetro es la milmillonésima parte del metro.

Una micra es la milésima parte de un milímetro.

Utilizamos la notación científica para convertir unidades y compararlas.

Z ]]1 nm = 1 m = 1 · 10 3 mm = 10 –6 mm 10 9 10 9 Observa estas equivalencias: [ ]1 mm = 1000 μm \ En milímetros: 67 nm = 67 · 10–6 mm = 6,7 · 10–5 mm En micras: 6,7 · 10–5 mm = 6,7 · 10–5 · 103 μm = 6,7 · 10–2 μm b) Buscamos en Internet el grosor aproximado de un pelo: 0,07 mm = 7 · 10–2 mm 7 · 10 –2 = 1, 045 · 10 3 6, 7 · 10 –5 En el grosor de un pelo caben 1 000 virus puestos en fila, aproximadamente.

Por tanto:

2 Exoplanetas y naves espaciales

En junio de 2021 se descubrió, a 90 años luz de la Tierra, el exoplaneta TOI-1231b. a) ¿A cuántos kilómetros de la Tierra está TOI-1231b? b) El récord de velocidad de una nave tripulada es 39 900 km/h (Apolo X, 1969). ¿Cuánto tardaría el Apolo X en llegar a TOI-1231b?

Hazlo tú ¿Cuánto tardaría en lle­ gar a Kepler­1649c la nave Hal­ cón Milenario, de Star Wars, que viaja a 25 000 años luz por día?

La distancia de la Tierra a Kepler­ 1649c es de casi 500 años luz.

a) Un año luz es una unidad de longitud equivalente a la distancia que recorre la luz en un año. La expresamos en kilómetros: Velocidad de la luz: 300 000 km/s = 3 · 105 km/s Segundos que tiene un año: 365 · 24 · 60 · 60 = 3,15 · 107 segundos Distancia que recorre la luz en un año: 3 · 105 · 3,15 · 107 = 9,46 · 1012 km 1 año luz = 9,46 · 1012 km 90 años luz = 90 · 9,46 · 1012 km = 8,51 · 1014 km La distancia entre la Tierra y el exoplaneta TOI­1231b es 8,51 · 1014 km. b) Para calcular el tiempo que tardaría el Apolo X en llegar allí, dividimos la distancia anterior entre la velocidad del Apolo X, 39 900 = 3,99 · 104 ≈ 4 · 104 km/h: (8,51 · 1014 km) : (4 · 104 km/h) = 2,13 · 1010 h Un año tiene 365,25 · 24 = 8 766 = 8,77 · 103 horas.

(2,13 · 1010) : (8,77 · 103) = 2,43 · 106 años El Apolo X tardaría en llegar 2 430 000 años, aproximadamente.

3 Área total de un cilindro

Hallar el radio y el área total de un cilindro de 26 cm de altura y 32 cm de diagonal.

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el diá­ metro, d, y la altura, h. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 2

D

h

Hazlo tú La altura de un rectán­ gulo mide 6 cm, y su diagonal, 18 cm. Calcula su perímetro y su área.

` 32j = ` 26j + d 2 → d 2 = ` 32j – ` 26j = 32 – 26 → 2

→ d= 6 → r=

d

A = 2πr 2 + 2πrh = 2πe

2

2

6 cm 2

2

6o 6 + 2π 26 = π `3 + 156j = 48,66 cm2 2 2

55

Ejercicios y problemas ¿Dominas lo básico?

8

Potencias: propiedades y operaciones

1

Sin utilizar la calculadora, expresa cada una de estas potencias como un entero o una fracción: a) (–3)3

b) (–2)4

c) (–2)–3

d) –32

e) – 4–1

f ) (–1)–2 –2

–3

g) d 1 n 2 2

i) d 4 n 3

a) 256 = 2n

b) 1 = 3n 27

c) –125 = –5n

34

7 –4

2 5 · 2 –7

36

= 3n

e)

7 –5

= 7n

f)

2 –2

a) 73 · 53 –3

b) (–2)5 · 35 –3

d) d 1 n : d 1 n 2 3 4

c) 3,24 : (–4)4 –1

e) 0,02

f ) 0,000007

Escribe estos números con todas sus cifras: a) 4 · 107

b) 5 · 10– 4

c) 9,73 · 108

d) 8,5 · 10– 6

e) 3,8 · 1010

f ) 1,5 · 10–5

Escribe en notación científica. a) 13 800 000

b) 0,000005

c) 4 800 000 000

d) 0,0000173

e) 153 · 104

f ) 93,8 · 10– 4

Completa en tu cuaderno estas igualdades: a) 5,25 · 107 = … 106

b) 2 · 103 = … 104

c) 4,7 · 10–3 = … 10–2

d) 234 · 104 = … 103

12

Reduce a una sola potencia. a) (117 · 114) : 118

b) (a 8 : a 5)4

c) (a –2)3 · a 9

d) (a –3 · a 2)–4 : a–6

e) 125 : (–3)5

f ) 8 –6 · 16 –6

Potencias de base 10

5

d) 0,008

11

e) (–7)–2 · (–3)–2 f ) e –25 o 2 4

c) 0,18

10

= 2n

Expresa cada caso de la forma an:

3

b) 1 230 022 045

9

Escribe en cada caso el valor de n:

d)

a) 13 456

Notación científica

0

h) d– 1 n 2

Escribe, en cada caso, dos potencias de base 10 de exponente consecutivo entre las que está el número:

13

Indica el valor de n en cada caso:

Calcula y comprueba con la calculadora. a) (2 · 105) · (3 · 1012)

b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)

c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017)

d) (8 · 1012) : (2 · 1017)

e) (9 · 10–7) : (3 · 107)

f) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

Calcula, expresa el resultado en notación científica y comprueba con la calculadora. a) (2,5 · 107) · (8 · 103)

b) (5 · 10–3) : (8 · 105)

a) 0,001 = 10n

b) (10 000)2 = 10n

c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6)

d) (1,2 · 1011) : (2 · 10–3)

c) 0,0000001 = 10n

d) 0,00013 = 10n

e) (2 · 104)–2 : (5 · 103)

f) (5 · 10–3)–1 · (8 · 103)2

6

Raíces

¿Verdadero o falso? a) (0,001)–3 = 109

b) (0,001)4 = 1012

c) (0,01)3 = 10–6

d) (10–2)5 = (0,1)10

7

14

Expresa como una potencia de base 10. a) (0,01)–5 –3

c) d 1 3 n 10 56

b) d

4

1 n 0, 001 2

3 d) e 0, 15 o 10

¿Cuál es el valor de las siguientes expresiones? a) – 64

b) 4 81

c) – 1

d) 6 1

e) – 9

f ) 3 –8

g) 15

16 25

h)

3 1

8

i) 3 –1

Obtén con la calculadora. a) – 4 1, 6 · 14 4

b) 3 –0, 064

c) – 4 5 –8

2

Entrénate y practica 16

4 a2b–1 ; a 3 54 3

a) 4ab : b 9 3a

b) b a l ·(a –1) –2 b

c) (6a) –1 · (3a –2) –2

d) (a –1 · b 2)2 : (ab )2

–3

2

6 4 $ 8 2 = 2 4 $ 3 4 $ 2 6 = 2 6 = 64 5 5 9 2 $ 80 34 $ 24 $ 5

a)

15 2 · 4 2

b)

12 2 · 10 5

2

–1

c) 2 ·33 ·–41 2 ·9 18

d)

16

62 · 92

b) 10–5 + 102 d) 10–12 · (103)3

19

Efectúa y comprueba con la calculadora. a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010 c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6

20

Efectúa y escribe el resultado con todas las cifras. a) 5,3 · 1011 – 1,2 · 1012 + 7,2 · 1010 b) 4,2 · 10– 6 – 8,2 · 10–7 + 1,8 · 10–5 c) (2,25 · 1022) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3) d) (1,4 · 10–7)2 : (5 · 10–5)

22

25

2 –5 · 4 3

2 3 · (–3)2 · 4 2

¿Cuáles de los siguientes números están escritos en notación científica? Expresa en notación científica los que no lo estén. b) 0,7 · 104 c) 1,05 · 10–3 a) 23,4 · 105 d) 12,4 · 10–5 e) –3 · 106 f ) 0,08 · 107

26

b) 14 cm; 5 cm; 11 cm c) 17 cm; 23 cm; 40 cm

b) 3 – 2

c) 4 3 – 5 3

d) 6 – 3 2

e) 2 5 – 1 5 3

f) 2 – 2 2

Simplifica, si es posible, teniendo en cuenta que a) 2 · 8

b) 3 3 · 3 9

c) 5 · 15

d) 3 2 · 3 32

e) 3 · 3 2

f ) 3 12 · 3 6

Extrae de cada radical los factores que sea posible: a) 4 32

b) 3 81

c) 3 200

d) 50

e) 4 144

f ) 3 250

Efectúa. a) 50 + 72 – 10 2

b) 80 – 45 – 20

c) – 48 + 3 75 – 108

d) 175 + 28 – 5 63

Resuelve problemas sencillos 27

El patrimonio de Jeff Bezos, multimillonario habitual de la lista Forbes, creció 3,3 · 1010 $ en los 5 primeros meses de 2021. El salario mínimo inter­ profesional en España en 2021 era de 965 €/mes.

Con lo que ganó Jeff Bezos en un mes, ¿cuántos sala­ rios mínimos se podrían pagar? El salario más frecuen­ te en España es de 18 490 €/año. ¿Cuántos salarios de este tipo se podrían pagar con el del magnate estadou­ nidense?

28

En situación La longitud media de una bacteria

es de 2 μm, que equivale a 2 · 10–6 m. En el mundo hay aproximadamente 5 · 1030 bacterias. Si se pusieran una detrás de otra, ¿cuántos kilómetros mediría la fila? ¿A cuántos años luz corresponde esa distancia?

29

El presupuesto en educación de una comunidad autónoma ha pasado de 8,4 · 106 € a 1,3 · 107 € en tres años. ¿Cuál ha sido el aumento neto? Escríbelo con todas las cifras.

30

El ordenador chino Tianhe­2 puede realizar 34 000 billones de operaciones por segundo. Calcula cuántas operaciones puede realizar en 1 milisegundo, en 1 mi­ crosegundo y en 1 nanosegundo.

Prueba, en cada caso, si el triángulo cuyos lados conocemos es rectángulo: a) 13 cm; 6 cm; 7 cm

a) 7 2 – 4 2

n a · n b = n a ·b.

¿Cuáles de estos números son iguales a 10–3?

–2 a) 10 0, 1 c) 0, 00001 0, 01

21

24

Simplifica descomponiendo en factores y aplican­ do las propiedades de las potencias, como en el ejem­ plo: •

Simplifica, si se puede, como en el ejemplo.

•6 5 –2 5 =4 5

Asocia cada operación a uno de estos resultados, que no están en orden: a–1b3 ; a–4b2 ;

17

23

57

Ejercicios y problemas 31

Meta 15.2. La superficie forestal mundial ha disminuido en 4,7 millones de hectáreas anuales des­ de 2010, según la evaluación de los recursos forestales mundiales que realiza la FAO. Calcula cuántas hectá­ reas de bosques se han perdido hasta 2020 y compara esa cifra con la superficie total de España.

37

El proyecto The Ocean Cleanup espera poder lim­ piar la Gran Mancha de Basura del Pacífico Norte en 5 años retirando los desechos con el funcionamiento del System 001, formado por un tubo cilíndrico flo­ tante (con estructura metálica interior) del que cuelga un faldón de lona. Estima la cantidad de residuos, en kilos, que será necesario recuperar cada día.

32

En situación Un centímetro cúbico de agua

38

El récord mundial en 100 m lisos femeninos lo tiene Florence Griffith, con 10,49 segundos. La velo­ cidad del cohete Apolo X fue 39 900 km/h. Halla los tiempos que tardan la velocista y el cohete en recorrer un metro. Exprésalos en notación científica y compá­ ralos. ¿Cuántas veces más rápido es el Apolo X?

33

contiene 3,35 · 1022 moléculas de agua. Si en nues­ tro planeta hay, aproximadamente, 1,39 · 109 km3 de agua, ¿cuántas moléculas de agua hay en la Tierra? ¿Y en un vaso de 2/5 de litro?

El consumo de papel en España se va reduciendo lentamente: fue de 6,87 millones de toneladas en 2019 y ligeramente inferior en 2020. El reciclaje de papel y cartón sube también poco a poco, y fueron 4,42 millo­ nes de toneladas las que se reciclaron en 2019.

Para pensar un poco más 39

Calcula el consumo anual y la cantidad reciclada por habitante en España en 2019. (Población residente en España en 2019: 46,1 millones. Fuente INE).

34

35

36

En 2020, Jeff Bezos, el multimillonario que viajó al espacio para impulsar un negocio de vuelos espacia­ les, realizó la mayor donación caritativa del año apor­ tando 1010 $ con el objetivo de combatir el cambio cli­ mático. En ese año, su fortuna pasó de 1,14 · 1011 $ a 1,79 · 1011 $. ¿Qué porcentaje de sus ganancias aportó en la donación? ¿Cuánto debería aportar una persona que ganase 18 490 €/año para hacer una donación que le supusiera el mismo esfuerzo económico?

a) Expresa los datos en notación científica. b) Calcula, con esos datos, la superficie de Francia, y comprueba la veracidad de la noticia buscando la superficie de Francia en Internet.

58

a) Se estima que un coche nuevo recorre 25 000 km al año. ¿Cuántas toneladas anuales de CO2 emite un vehículo nuevo de gasolina? ¿Y uno eléctrico? b) ¿A cuántos coches nuevos de gasolina equivale la cantidad de CO2 emitida por las centrales en 2020?

40

La galaxia M87, que está a 50 millones de años luz de la Tierra, tiene un agujero negro cuyo diámetro es 60 años luz y cuya masa es dos mil millones de veces la masa del Sol. a) Calcula la masa del agujero negro en kilogramos. (La masa del Sol es, aproximadamente, 2 · 1030 kg).

Si el radio de un CD mide 6 cm, ¿es posible guar­ darlo en un sobre cuadrado de 16 cm de diagonal? ¿Y de 17 cm de diagonal?

La Gran Mancha de Basura en el Pacífico Norte está creciendo a gran velocidad. Una noticia afirma que esta área de residuos se expande por unos 1,6 millones de km2 –es decir, casi tres veces el tamaño de Francia– y contiene cerca de 80 000 toneladas de plástico.

Según datos del Ministerio de Transición Ecológi­ ca, las centrales térmicas de una comunidad autónoma han enviado a la atmósfera 5,96 millones de toneladas de CO2 en 2020. Para los coches nuevos de gasolina, la emisión media es de 143 g/km, y para los eléctricos, 68 g/km.

b) Expresa en kilómetros la distancia de esa galaxia a la Tierra y el diámetro del agujero negro.

41

El VCM (Volumen Corpuscular Medio) es el vo­ lumen promedio de los glóbulos rojos. En una adoles­ cente, el VCM es de 90 femtolitros (1 f L = 10–15 L). Si tiene unos 5 L de sangre y 5 millones de glóbulos rojos por mm3, ¿cuántos litros ocupan los glóbulos rojos de una adolescente promedio?

42

Halla el perímetro y el área del rectángulo ABCD tal que: AB = 3 + 2 cm y BC = 1 + 2 2 cm. Es­ cribe las respuestas en la forma a + b 2, donde a y b son números naturales.

2

43

El volumen de la Luna es de 2,2 · 1010 km3. ¿Cuántos kilómetros mide su radio? Utiliza la calcula­ dora y da el resultado en notación científica.

¿Lo has entendido? Reflexiona 52

¿Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos. a) La potencia de un número negativo puede ser igual a 1. b) Si x < 0, entonces –x 3 > 0. c) –x 2 es siempre un número positivo. d) El cubo de un número negativo es siempre menor que dicho número. e) Si a2 = b2, podemos afirmar que a = b. f ) Un número entero y su cuadrado siempre son o los dos pares, o los dos impares. g) La mitad de 64 es 32.

53

Escribe cada uno de los números siguientes de la forma 2p · 5q, donde p y q son números enteros: a) 1 000 b) 500–1 c) 80–2 d) 0,256 e) 0,05

54

Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique la igualdad:

Vesfera = 4 πR 3 3 44

El volumen de un cubo es 1 728 cm3. Calcula su arista, el área total, la diagonal de una cara y la diago­ nal del cubo.

45

Halla el volumen de un cono de 18 cm de genera­ triz y 8 2 cm de radio de la base.

Vcono = 1 πr 2h 3

46

Dados un cuadrado de lado 1 + 3 cm y un rec­ tángulo de 1 cm de altura y base variable: a) ¿Cuál debe ser la base del rectángulo para que las dos figuras tengan el mismo perímetro? b) ¿Cuánto debe medir la base para que el área del cuadrado sea el doble de la del rectángulo?

También puedes hacer esto 47

48 49

Observa estas igualdades: 72 + 7 = 82 – 8 22 + 2 = 32 – 3 Haz una conjetura y, después, demuéstrala.

a) 1244 = 34

b) 4 · 48 = 6

c) 64+ 46 = 10

d) 47 – 14 = 3

50

¿En qué número termina 257? Observa en qué cifra terminan las sucesivas potencias de base 2 y escribe tus conclusiones.

51

Halla el número de cifras que tienen 28, 58 y 108.

Haz lo mismo con 211, 511 y 1011. ¿Puedes deducir alguna regla?

Si la potencia 2456 tiene m cifras y 5456 tiene n cifras, ¿cuántas cifras tendrá 10456?

b) a –1 = 2

c)

d) 4 a = 1

e) a –2 = 1 4

f ) a –5 = –1

55

¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo perímetro es 20 3 m?

56

Ordena los números n, n2, n y 1/n en los si­ guientes casos: a) Si n > 1. b) Si 0 < n < 1.

57

Descompón en factores el número 8 000.

Calcula el valor de x tal que 8 0002 = x3.

Reemplaza cada cuadrado por una cifra.

a= 4 5

a) a 3 = 26

¿Verdadero o falso? a) ( –2)2 = 2

b) 3 (–2)–3 = – 1 2

c) 16 + 25 = 9

d) 4 (–10)(–10) = 10

58

¿Cuál es el máx. c. d. y el mín. c. m. de los siguientes números?

4 · 104 5 · 105 6 · 106 3 · 103

59

Prueba que el número 3 + 2 es el inverso de 3 – 2 (recuerda que su producto debe ser igual a 1).

1 ¿Son iguales los números y 7 – 6?

7+ 6

60

¿Qué resultado obtendrás si realizas esta operación con tu calculadora? Justifícalo.

10 20 + 100 10 20 59

Autoevaluación ¿Qué has aprendido?

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

1 Opera.

8 –1

(–3)–2 + c 3 m 4

–2

– 2–3 c1 – 1 m 2

2 Simplifica.

–4

de arroz y se necesitan 20 tacitas para llenar una jarra de 2,5 L de agua. Estima cuántos granos de arroz hay en 12 silos de 1 300 m3 de volumen cada uno. Expre­ sa el resultado en notación científica.

–3

–2 b) c –1 m · b a l a b

–2 a) 3ab 6a 2 b –1

c) b a l b

En situación En una tacita caben 12 000 granos

–3 (b 2) –1 d) c b m : – 4 a a

3

· a2 b

3 Aplica las propiedades de las potencias para simplificar

esta expresión:

(6 2)3 · 2 – 4 12 · (–9)2

9 La estrella R136a1 es una estrella hipergigante azul

4 Expresa en notación científica.

Expresa la distancia en kilómetros y la masa en kilo­ gramos.

que tiene una masa equivalente a 265 masas solares y está a 165 000 años luz.

a) 758 . 10–5

b) 0,035 . 1013

c) 101 . 1011

d) 0,1001 . 10–7

10 Observa las masas de estos planetas:

Tierra: 5,98 · 1024 kg

5 Opera y comprueba luego con la calculadora.

Marte: 6,42 · 1023 kg

Júpiter: 1,90 · 1027 kg

a) (3,5 . 107) . (8 . 10–13)

a) ¿Cuántos kilos pesa más la Tierra que Marte?

b) (9,6 . 10–8) : (3,2 . 1010)

b) ¿Cuántas veces pesa más Júpiter que Marte?

c) (2,7 . 108) + (3,3 . 107) 11

6 ¿Verdadero o falso?

a) El exponente de una potencia no puede ser un nú­ mero negativo si la base es negativa. b) Una potencia con exponente negativo es siempre negativa.

La reserva de gas natural más grande de Asia Central contiene un volumen de 9 . 1011 m3. Si su produc­ ción anual es de 1,8 . 1013 litros y se mantiene el mismo ritmo a lo largo del tiempo, ¿cuántos años se podrá explotar este recurso energético?

c) Si an = –1, entonces a = –1 y n es impar. d) 5–2 es un número negativo.

e) 6–1 < 1

f ) 10–3 . 10–2 = 0,1

g) (–8)–2 = (+8)2

7 Las cápsulas de un fármaco están forma­

das por un cilindro de 14 mm de altura cerrado por dos semiesferas de 7 mm de diámetro. Un laboratorio produce 4 to­ neladas de ese fármaco y quiere envasarlo en cápsulas que contengan 500 mg cada una.

12 El radio de un círculo mide 2,5 cm. ¿Cuánto medirá 14 mm

13 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide

a) ¿Cuántas cápsulas puede producir? b) Halla el volumen de cada cápsula.

60

el radio de un círculo cuya área sea el doble del an­ terior? Escribe el resultado de dos formas: con dos decimales y con un radical.

7 mm

3 cm, y el otro, 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa y el área del triángulo.

Situación de aprendizaje

...

....

RESU

ELVO

2

Estimamos el número de granos de arena que hay en las playas de nuestro planeta y el número de estrellas en el universo

¿Tenía razón Carl Sagan?

Contamos los granos de arena de las playas de la Tierra Revisa los pasos dados en la resolución de Ponte en situación con lo que ya sabes de la página 47 y da por bueno el resultado final: hay 12 granos de arena en 1 mm3.

En el mundo hay unos 300 000 km de playas. Podemos estimar que cada una tiene, de media, 50 m de ancho y 25 m de profundidad: 50 m

25 m

• Con todo esto, ¿cuántos granos de arena hay en las playas de la Tierra?

Contamos el número de estrellas del universo Nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene unos 200 000 millones de estrellas.

Es una galaxia normalita, pero las hay enanas, con 107 estrellas, y gigan­ tes, con 1014.

Con las fotos del telescopio espacial Hubble (1990) se estimó que había unas 2 · 1012 galaxias. Sin embargo, la nave New Horizons (2006) redujo esta cantidad considerablemente, dejándola en unos cientos de miles de millones de galaxias en el universo visible. Veremos qué nos dice el pro­ metedor telescopio espacial James Webb.

• Averigua cuántas estrellas hay en el universo utilizando la estimación del número de galaxias del telescopio Hubble, considerando que todas las galaxias son como la Vía Láctea.

• Con estos resultados, ¿podemos considerar cierta la afirmación de Carl Sagan?

Avanza solo o en equipo

• Busca en Internet el número de kilómetros cuadrados que ocupan los desiertos de arena fina de la Tierra, consulta también su profundidad media y realiza una estimación del número de granos de arena que hay en los desiertos.

• Estima el número de gotas de agua que hay en los océanos. Para obtener el volumen de una gota de agua, utiliza un procedimiento similar al que hemos usado en la página 47 para contar el número de granos de arena.

• Si pusieras en fila, pegaditos, todos los granos de arena de todas las pla­ yas que has calculado antes, ¿qué longitud tendría?

Espejo del telescopio espacial James Webb. NASA.

61

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