Operació món: Matemàtiques 2º ESO. C. Valenciana (demo)

José Colera J., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C.

Índex Els sabers bàsics del curs

Entrena’t resolent problemes 10

1. Organiza la información y planifica la resolución

2. Representa los datos esquemáticamente

3. Tantea

4. Procede sistemáticamente Problemes Situació d’aprenentatge Desafiaments

1 N ombres naturals i enters 24

1. El conjunt dels nombres naturals

2. La relació de divisibilitat

3. Nombres primers i compostos

4. Mínim comú múltiple

5. Màxim comú divisor

6. El conjunt Z dels nombres enters

7. Operacions amb nombres enters

8. Potències de nombres enters

9. Arrel quadrada d’un nombre enter

Exercicis i problemes

Autoavaluació

2 Nombres decimals i fraccions 48

1. Els nombres decimals

2. Operacions amb nombres decimals

3. Arrel quadrada d’un nombre decimal

4. Les fraccions

5. Fraccions i nombres decimals

Exercicis i problemes

Taller de matemàtiques

Autoavaluació

3 Operacions amb fraccions

1. Suma i resta de fraccions

2. Multiplicació i divisió de fraccions

3. Problemes amb fraccions

4 Proporcionalitat

1. Raons i proporcions

2. Magnituds directament proporcionals

3. Magnituds inversament proporcionals

4. Problemes de proporcionalitat composta

5. Problemes de repartiments proporcionals

i problemes

5

1. Percentatges. Concepte

2. Problemes amb percentatges

3. Interés bancari

4. Altres problemes aritmètics

6 À lgebra

1. L’àlgebra: per a què servix?

2. Expressions algebraiques

3. Polinomis

4. Productes notables Exercicis i problemes

7 Equacions

1. Equacions: significat i utilitat

2. Equacions: elements i nomenclatura

3. Transposició de termes

4. Resolució d’equacions senzilles

5. Equacions amb denominadors

6. Procediment general per a la resolució d’equacions de primer grau

7. Resolució de problemes amb equacions

8. Equacions de segon grau

9. Resolució d’equacions de segon grau

Exercicis i problemes Taller de matemàtiques

8 S istemes d’equacions

1. Equacions de primer grau amb dues incògnites

2. Sistemes d’equacions lineals

3. Mètodes per a la resolució de sistemes lineals

4. Resolució de problemes amb ajuda dels sistemes d’equacions

12 Mesura del volum

1. Unitats de volum

2. Principis de Cavalieri

3. Volum del prisma i del cilindre

4. Volum de la piràmide i del tronc de piràmide

5. Volum del con i del tronc de con

6. Volum de l’esfera Exercicis i problemes

9 Teorema de Pitàgores

1. Teorema de Pitàgores

2. Càlcul d’un costat coneixent els altres dos

3. Aplicacions del teorema de Pitàgores Exercicis i problemes

10 S emblança

1. Figures semblants

2. Plànols, mapes i maquetes

3. Com construir figures semblants

4. Teorema de Tales

5. Semblança entre triangles rectangles

6. Aplicacions de la semblança de triangles

Exercicis i problemes

11 Cossos geomètrics

1. Prismes

2. Piràmides

3. Troncs de piràmide

4. Poliedres regulars

5. Seccions planes de poliedres

6. Cilindres

7. Cons

8. Troncs de con

9. Esferes Exercicis i problemes Taller de matemàtiques

220

Situació d’aprenentatge. Treballs en la renovació de l’ermita

13 F uncions

1. Concepte de funció

2. Creixement, decreixement

3. Funcions donades per taules de valors

4. Funcions donades per la seua equació

5. Funcions de proporcionalitat: y = mx

6. Pendent d’una recta

7. Funcions lineals: y = mx + n

8. Funcions constants: y = k Exercicis i problemes

14 Atzar i probabilitat

1. Esdeveniments aleatoris

2. Probabilitat d’un esdeveniment

3. Assignació de probabilitats en experiències regulars

4. Algunes estratègies per al càlcul de probabilitats

1

Nombres naturals i enters

Els nombres naturals s’han utilitzat en totes les civilitzacions des de l’antiguitat per a facilitar l’activitat quotidiana: comptar, mesurar, comerciar, construir… (matemàtica pràctica). Els grecs van anar més enllà: van cultivar les matemàtiques pel pur plaer de saber (matemàtica teòrica).

Pitàgores (segle vi aC) i els seus deixebles van rendir un culte molt especial als nombres. Segons ells, els nombres ho regien tot: la música, el moviment dels planetes, la geometria…

Van indagar en les seues propietats i relacions, i van fer-ne classificacions, recollides més endavant en el llibre VII dels Elements d’Euclides.

Els nombres negatius sorgixen molt després dels naturals, responent a les necessitats del comerç i després d’aparéixer els sistemes de numeració dotats del zero, element imprescindible per a la seua construcció.

No apareixen sistematitzats fins al segle vii, en escrits hindús, lligats a qüestions i activitats quotidianes com tindre en contrast amb deure

«Un deute restat del no-res es convertix en un bé » (Si et perdonen un deute, el saldo millora.)

«Un bé restat del no-res es convertix en un deute » (Si compres a crèdit, el saldo empitjora.)

La seua introducció a Europa, inicialment a través dels àrabs, va ser lenta i desigual. Molts matemàtics, des del segle xvi, hi van teoritzar, però no va ser fins a finals del segle XIX, quan el conjunt dels nombres enters negatius és acceptat i reconegut com a objecte matemàtic de ple dret.

Amb el que ja saps, resol

Diversos membres d’una colla estan fent la mateixa col·lecció de cromos de la lliga de bàsquet, que es disputa entre díhuit equips.

Cada equip ocupa una doble pàgina en l’àlbum i presenta 16 cromos dels jugadors, un altre de l’entrenador i un altre de l’escut del club.

1. Marc tenia ahir 73 cromos en l’àlbum i uns altres 27 repetits per a intercanviar. Hui ha comprat tres sobres de 5 cromos cada un, i li n’han eixit sis que ja tenia. Després, ha intercanviat amb Marta 13 dels seus repetits per uns altres que no tenia.

Ves resolent les preguntes següents, en l’ordre en què apareixen, i associa cada una amb la corresponent expressió que veus a la dreta.

a) Quants cromos té la col·lecció?

b) Quantes pàgines té l’àlbum, tenint en compte que la primera conté l’índex i l’última els crèdits?

c) En quants cromos ha millorat hui la col·lecció de Marc?

d) Quants cromos no repetits té ara?

e) Quants li’n queden de repetits?

f) Quants li’n falten encara per a completar la col·lecció?

A 18 · (16 + 1 + 1)

B 18 · 2 + 2

C (5 · 3 6) + 13

D 73 + [(5 · 3 6) + 13]

E 27 + 6 13

F 182 [73 + (3 · 5 6) + 13]

2. Roderic té 42 cromos repetits i els vol col·locar en muntons igual de grossos, de més de 5 i de menys de 10 unitats. De quantes formes diferents pot fer-ho?

3. Albert diu que quan tinga 250 cromos, sense repetits, haurà omplit 13 pàgines de l’àlbum. Però Adela no hi està d’acord; li diu que potser no n’haurà omplit cap. I Ramir opina que és possible que n’haja omplit unes poques, tres o quatre, però veu difícil que en siguen més. Quin dels tres creus que té més possibilitats de tindre raó? Explica-ho.

4. A Noemí li queden per reunir uns pocs cromos per a completar la col·lecció, perquè en té ja 310. Quantes pàgines de l’àlbum pots assegurar que ha completat, com a mínim? I com a màxim?

20 · (2 · 5 + 1) + 1 · (3 · 5 + 3) = = 220 + 18 = 238

conjunt dels nombres naturals 1

El nombres que usem per a comptar objectes, un a un, es diuen nombres naturals.

El conjunt dels nombres naturals es designa per la lletra N, està ordenat i té principi, però no té fi.

N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Els nombres naturals es representen, ordenats, en la recta numèrica.

0 1 2 3 4 10

El Sistema de Numeració Decimal

Des de les primeres albors de la civilització, les diferents cultures han ideat formes diverses d’expressar els nombres naturals: són els sistemes de numeració. C D U 2 3 8

TIN EN COMPTE

L’adopció de 10 com a base del sistema de numeració decimal es fonamenta en la forma primitiva de comptar amb els dits de les mans.

usem habitualment el Sistema de Numeració Decimal (SND) que va ser inventat a l’Índia i estés cap a la Mediterrània pels àrabs, durant l’expansió del món islàmic, a partir del segle viii.

El SND és posicional, ja que el valor d’una xifra depén de la posició que ocupa.

I és decimal, perquè deu unitats de qualsevol ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.

1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U Com a conseqüència, un nombre es pot descompondre com mostra l’exemple següent (descomposició polinòmica):

El sistema sexagesimal

De la mateixa forma que nosaltres comptem de 10 en 10 (sistema decimal), altres cultures al llarg de la història han comptat de 60 en 60 (sistema sexagesimal).

L’adopció del 60 es basa, probablement, en la forma de comptar que usa les 12 falanges dels dits índex, del cor, del mig i menut d’una mà recorreguts amb el polze com a guia, mentre que el compte del nombre de recorreguts es duia amb els dits de l’altra mà.

❚ mesura del temps i de l’amplitud angular

En l’actualitat, el sistema sexagesimal s’usa en la mesura del temps i en la mesura de l’amplitud angular. En aquestes magnituds, cada unitat es dividix en 60 unitats de l’ordre inferior.

5 x 12 = 60

➜ anayaeducacion.es Passa a forma complexa o incomplexa.

Observa que les notacions dels minuts i els segons diferixen d’una magnitud a l’altra.

❚ expressions complexes i incomplexes

Recorda que les mesures de les quantitats relatives a una magnitud es poden expressar usant simultàniament unes quantes unitats (forma complexa) o una unitat única (forma incomplexa).

forma complexa forma incomplexa

1 h 15 min 75 min → 4 500 s

13° 12' 792' → 47 520"

PER A FIXAR IDEES

Copia i completa en el quadern.

1 Passa a forma complexa. a)

2 Passa 2 hores i 24 minuts a forma incomplexa (primer a minuts i després a segons).

a) Pas a minuts: 2 h 24 min → (2 · 60 + 24) min = (… + …) min = … min

b) Pas a segons: 2 h 24 min → (2 · 3 600 + 24 · …) s = … s

DIVISIBILITAT 24 7 3 3 (no exacta)

24 no és divisible entre 7 24 8 0 3 (exacta)

24 és divisible entre 8

La relació de divisibilitat 2

Múltiples i divisors

Dos nombres estan emparentats per la relació de divisibilitat quan el seu quocient és exacte.

|Exemple

60 20 0 3

→ 60 és divisible por 20. 60 múltiplde 20. 20 és divisorde 60. és e )

Si la divisió a : b és exacta a és múltiple de b. b és divisor de a.

Els múltiples i els divisors d’un nombre

• Els múltiples d’un nombre el contenen una quantitat exacta de vegades i s’obtenen multiplicant-lo per qualsevol altre nombre natural.

|Exemple

MÚLTIPLES DE 12

Calculem els primers múltiples de 12:

12 · 1 = 12 12 · 2 = 24

• Un nombre té infinits múltiples.

• Tot nombre és múltiple de si mateix i de la unitat. → a · 1 = a

12 · 3 = 36 12 · 4 = 48

TIN EN COMPTE

n · 0 = 0

• Podem considerar que el zero és múltiple de qualsevol nombre.

• El zero només té un múltiple: ell mateix.

➜ anayaeducacion.es Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.

|Exemple

Calculem els divisors de 12:

de 1. a és

de a.

• Els divisors d’un nombre hi estan continguts una quantitat exacta de vegades i, per tant, el dividixen amb quocient exacte.

Els divisors de 12 són: 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

Observa que van emparellats.

• Un nombre té una quantitat finita de divisors.

• Un nombre té almenys dos divisors: ell mateix i la unitat.

TIN EN COMPTE

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple de 2 més la xifra de les unitats:

128 = 120 + 8

múltiple de 2 xifra unitats

TIN EN COMPTE

Un nombre format per nous és múltiple de 3 i de 9.

·

= 3 ·

Una propietat dels múltiples d’un nombre

Observa que en sumar dos múltiples de 12 s’obté un altre múltiple de 12.

36 + 60 = 12 · 3 + 12 · 5 = 12 · (3 + 5) = 12 · 8 = 96

La suma de dos múltiples d’un nombre a és un altre múltiple de a. m · a + n · a = (m + n) · a

Criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són una sèrie de regles, molt simples, que permeten descobrir amb rapidesa si un nombre és múltiple de 2, 3, 5, 11…

❚ divisibilitat per 2, per 5 i per 10

Ja saps que:

• Un nombre és múltiple de 2 si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8.

• Un nombre és múltiple de 5 si acaba en 0 o en 5.

• Un nombre és múltiple de 10 si acaba en 0.

❚ divisibilitat per 3 i per 9

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple de 3 més la suma de les seues xifres:

·

Tots els nombres dels requadres són múltiples d’11. Comprova-ho.

múltiple de 3 suma de les xifres

El primer sumand és múltiple de 3. Segons la propietat vista més amunt, perquè el nombre siga múltiple de 3, també ho ha de ser el segon sumand. I el mateix raonament servix per als múltiples de 9.

• Un nombre és múltiple de 3 si la suma de les seues xifres és múltiple de 3.

• Un nombre és múltiple de 9 si la suma de les seues xifres és múltiple de 9.

❚ divisibilitat per 11

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple d’11 més el resultat de sumar-ne i restar-ne, alternativament, les xifres.

649 = 600 = 594 + 6 40 = 44 – 4 9 = 9 = (594 + 44) + (6 – 4 + 9)

múltiple d’11 suma i resta alternada de les xifres

El primer sumand és múltiple d’11. Perquè el nombre siga múltiple d’11, també ho ha de ser el segon sumand.

Un nombre és múltiple d’11 si la suma de les xifres de lloc imparell, menys la suma de les xifres de lloc parell (o viceversa), és múltiple d’11.

PER A FIXAR IDEES

Copia i completa en el quadern.

a) És 173 múltiple de 19? I 228?

b) És 43 divisor de 516? I de 743?

2 Escriu els huit primers múltiples de 13.

4 Busca tots els múltiples de 14 compresos entre 250 i 300.

14

PER A PRACTICAR

1 Escriu:

a) Els cinc primers múltiples de 20.

b) Tots els divisors de 20.

2 Dibuixa totes les maneres de representar 36 com a nombre rectangular.

36 = 3 · 12

Quina relació tenen amb els divisors de 36?

3 Escriu totes les parelles de nombres el producte dels quals és 60.

4 Busca:

a) Els múltiples de 7 compresos entre 100 i 150.

b) El primer múltiple de 13 després de 1 000.

5 Copia, encercla els parells i ratlla els múltiples de 3. 45 - 67 - 74 - 96 - 143 - 138 - 251 - 309 - 488

6 Quins valors ha de prendre la xifra a perquè el nombre: 5 6 a

a) Siga múltiple de 2. b) Siga múltiple de 3.

c) Siga múltiple de 5. d) Siga múltiple de 9.

7 Selecciona, entre aquests nombres, els múltiples d’11. 286 611 913 1 804 2 444 3 333

8 Observa, Copia i completa en el quadern.

a) n = 2 · 3 · k = 6 · k → Si un nombre, n, és múltiple de 2 i de 3, també és múltiple de 6.

b) m = 2 · 5 · k = 10 · k → Si un nombre, m, és múltiple de 2 i de 5, també és múltiple de…

c) p = 15 · k = 3 · 5 · k → Si un nombre, p, és múltiple de 15, també ho és de … i de…

RECORDA

Aquests són els nombres primers menors que 100:

Nombres primers i compostos 3

• Alguns nombres es poden descompondre en forma de producte: 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5

Direm que 40 és un nombre compost

• Altres nombres, com el 13, només tenen dos divisors, 13 i 1, i, per tant, no es poden descompondre en forma de producte: 13 = 13 · 1 → no es pot descompondre

Direm que 13 és un nombre primer.

• Un nombre que no es pot descompondre en factors és un nombre primer.

• Un nombre primer només té dos divisors: ell mateix i la unitat.

• Els nombres que no són primers es diuen compostos.

Descomposició d’un nombre en factors primers

RECORDA

Per descompondre un nombre en factors primers, actua ordenadament, tenint en compte els criteris de divisibilitat.

El major nivell de descomposició factorial d’un nombre s’aconseguix quan tots els factors són primers.

Per descompondre un nombre en factors primers, convé actuar ordenadament. Observa com descomponem el nombre 594:

➜ anayaeducacion.es Recorda com s’ha de descompondre un nombre en els seus factors primers.

PER A PRACTICAR

1 Separa, entre els nombres següents, els primers dels compostos.

2 Copia i completa els processos de descomposició factorial. 2

3 Descompon aquests nombres en factors primers.

a) 84 b) 130 c) 160 d) 594

e) 720 f ) 975 g) 2 340 h) 5 220

4 Escriu factoritzats sense fer cap operació:

a) Tres múltiples de 12 = 22 · 3.

b) Tots els divisors de 75 = 3 · 5 · 5.

5 Tenint en compte que m = 22 · 3 · 5 i n = 23 · 3, escriu:

a) Tres múltiples comuns de m i n.

b) Tres divisors comuns de m i n.

Mínim comú múltiple 4

El mínim comú múltiple de diversos nombres, a, b, c, … és el menor dels seus múltiples comuns, i s’escriu així: m. c. m. (a, b, c, …).

Càlcul del mínim comú múltiple

Construirem el m. c. m. (a, b, c, …) amb tots els factors primers de a, tots els de b, tots els de c …, però solament els imprescindibles.

|Exemple

Calcularem el mínim comú múltiple de 200 i 240.

• Primer, descomponem els nombres en factors primers:

200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5

• Després, seleccionem els factors adequats: tots els de 200, tots els de 240, però només els imprescindibles:

Per calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:

• Es descomponen els nombres en factors primers.

• Es prenen tots els factors primers, comuns i no comuns, elevat cada un al major dels exponents amb el qual apareix.

Una fàbrica de calçat esportiu confecciona sabatilles que porten cordons de 100 cm (200 cm el parell) i botes amb cordons de 120 cm (240 cm el parell).

Quina longitud ha de tindre un rodet de cordó que servisca per a encordar un nombre exacte de parells de sabatilles o un nombre exacte de parells de botes?

m. c. m. (200, 240) = 1 200

Solució: El rodet ha de tindre una longitud de 1 200 cm (12 m), o múltiple d’aquesta quantitat: 12 - 24 - 36… metres.

(6, 11)

(10, 25)

(50, 100) 2 Calcula.

(21, 35)

(90, 120)

(50, 75, 100)

3 Cert supermercat fa inventari cada 36 dies i canvia els expositors cada 24 dies. Cada quant de temps coincidixen els dos treballs en el mateix dia?

4 Dues rodes, una de 24 dents i l’altra de 32, giren acoblades en posar en marxa un engranatge. Quantes voltes donarà cada una fins a quedar enfrontades en la posició inicial?

Màxim comú divisor 5

El màxim comú divisor de diversos nombres, a, b, c, … és el major dels seus divisors comuns, i s’escriu així:

m. c. d. (a, b, c, …)

Càlcul del màxim comú divisor

Construirem el m. c. d. (a, b, c, …) amb tots els factors primers que tinguen en comú a, b, c, …

|Exemple

Calcularem el màxim comú divisor de 200 i 240.

• Primer, descomponem els nombres en factors primers: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5

• Després, seleccionem els factors comuns:

Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres:

• Es descomponen els nombres en factors primers.

• Es prenen solament els factors primers comuns, elevat cada un al menor dels exponents amb el qual apareix.

PROBLEMA RESOLT

Un fuster vol partir dos llistons, un de 200 cm i un altre de 240 cm, en trossos iguals, tan grans com es puga i sense deixar-ne cap residu. Quina longitud n’han de tindre els trossos?

m. c. d. (200, 240) = 40

Solució: Els trossos han de tindre una longitud de 40 cm.

3 Calcula.

8)

(15, 20)

75)

2 Una llauradora destina a planter una parcel·la rectangular de 248 cm × 250 cm. La vol dividir en quadrats, tots iguals i tan grans com es puga.

Quines seran les dimensions de cada planter?

(24, 36)

(63, 99)

(28, 42)

(90, 126)

4 Un distribuïdor vol envasar 885 litres d’oli d’oliva i 705 litres d’oli de gira-sol, en garrafes iguals i tan grans com es puga. Quin ha de ser la capacitat de les garrafes perquè totes queden plenes i sense que sobre oli?

TIN EN COMPTE

El valor absolut d’un nombre és la seua distància al zero en la recta numèrica.

El conjunt Z dels nombres enters 6

Si prenem el conjunt N dels nombres naturals i, per cada element diferent de zero, +a, n’afegim un altre amb el signe negatiu, –a, haurem obtingut un conjunt nou, que es coneix en matemàtiques com el conjunt dels nombres enters i es designa per la lletra Z.

Valor absolut i oposat d’un nombre enter

• El valor absolut d’un nombre enter és el nombre natural que resulta de llevar-li el signe i s’expressa escrivint-lo entre barres.

• L’oposat d’un nombre enter és un altre enter amb el mateix valor absolut, però de signe contrari.

EXEMPLES (–7) < 0 < (+1) (–12) < (–9) < (–2)

Ordre en el conjunt Z

El conjunt dels nombres enters es representa, ordenat, en la recta numèrica:

…

Així veiem que un nombre és major que qualsevol altre que estiga a la seua esquerra i menor que qualsevol altre que estiga a la seua dreta.

• Qualsevol nombre positiu és major que el zero, i aquest, major que qualsevol nombre negatiu.

• Els nombres negatius s’ordenen al revés que els positius. És major el que tinga menys valor absolut.

PER A PRACTICAR

1 Escriu el valor absolut i l’oposat de cada nombre.

a) –3 b) +8 c) –11

d) +23 e) –37 f ) +60

2 Ordena de menor a major.

–7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24

3 Vertader o fals?

a) Qualsevol nombre enter és també natural.

b) Qualsevol nombre natural és enter.

c) Només els negatius tenen oposat.

d) Dos nombres enters oposats tenen el mateix valor absolut.

Operacions amb nombres enters 7

Suma i resta de nombres enters

Recorda algunes regles bàsiques per resoldre expressions amb nombres enters:

Per sumar (restar) dos nombres:

• Si tenen el mateix signe, se’n sumen els valors absoluts i es posa el signe que tenien els sumands.

+4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9

• Si tenen diferent signe, es resten els valors absoluts i es posa el signe del qual té major valor absolut. – 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5

Per operar més de dos nombres positius i negatius, podem seguir dos camins:

• Anar operant pas a pas, segons apareixen.

• Agrupar els positius d’una banda i els negatius d’una altra. Després, operar.

PER A FIXAR IDEES

1 Llig, reflexiona i completa en el quadern.

a) Si em donen 5 € i després em donen 3 €, tindré 8 € més.

+5 + 3 = …

c) Si em donen 10 € i em lleven 3 €, tindré … € …

+10 – 3 = …

b) Si gaste 4 € i després gaste 2 €, tindré … € menys.

–4 – 2 = …

d) Si em donen 3 € i gaste 7 €, tindré … € …

+3 – 7 = …

2 Copia i completa per a resoldre la mateixa expressió de dues formes diferents.

PER A PRACTICAR

1 Calcula mentalment.

a) 5 – 7 b) 2 – 9 c) –1 – 9

d) –12 + 17 e) –22 + 10 f) –12 – 13

2 Resol.

a) 10 – 3 + 5 b) 2 – 9 + 1 c) 16 – 4 – 6

d) 7 – 10 – 3 e) –7 – 8 + 5 f) –5 + 8 + 4

g) –8 + 2 + 3 h) –1 – 2 – 3 i) –7 – 3 – 4

3 Calcula.

a) 3 – 7 + 2 – 5

b) 2 – 6 + 9 – 3 + 4

c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1

d) – 6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5

e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13

f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15

Operacions amb nombres enters

anayaeducacion.es Operacions amb nombres enters.

Sumes, restes i parèntesis

Reflexiona sobre els enunciats següents relatius a un compte bancari:

• Si ingresse un taló de 25 €, hi haurà 25 € més. → +(+25) = +25

• Si pague una factura de 18 €, hi haurà 18 € menys. → +(–18) = –18

• Si retire un taló de 55 €, hi haurà 55 € menys. → –(+55) = –55

• Si anul·le una factura de 60 €, hi haurà 60 € més. → –(–60) = +60

• En suprimir un parèntesi precedit del signe més, els signes interiors no varien.

• En suprimir un parèntesi precedit del signe menys, es canvien els signes interiors: més per menys i menys per més.

|Exemples +(–3 + 8 – 2) = –3 + 8 – 2 –(–3 + 8 – 2) = +3 – 8 + 2

PER A FIXAR IDEES

3 Copia i completa per resoldre la mateixa expressió de dues formes diferents.

a) Llevant primer els parèntesis.

(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) = 7 – – 2 + – + = 7 + 5 + 9 – – – = 21 – = …

b) Operant primer dins dels parèntesis.

(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) = (–3) – ( – ) = (–3) – (– ) = …

PER A PRACTICAR

4 Lleva els parèntesis i calcula.

a) (–3) – (+4) – (–8)

b) –(–5) + (–6) – (–3)

c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4)

d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7)

5 Resol llevant els parèntesis.

a) (4 – 9) – (5 – 8)

b) –(1 – 6) + (4 – 7)

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)

e) 22 – (7 – 11 – 3) – 13

6 Resol operant primer dins dels parèntesis.

a) (2 – 6) + (4 – 8)

b) (8 – 10) – (12 – 7)

c) 15 – (2 – 5 + 8) + (6 – 9)

d) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)

e) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

7 Resol de dues formes, com en l’exemple.

• 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4 10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4

a) 15 – (12 – 8) b) 9 – (20 – 6)

c) 8 – (15 – 12) d) 6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5) f) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

8 Calcula.

a) 7 – [1 + (9 – 13)] b) –9 + [8 – (13 – 4)]

c) 12 – [6 – (15 – 8)] d) –17 + [9 – (3 – 10)]

e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] f) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]

9 Resol.

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]

f) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

➜ anayaeducacion.es Practica la multiplicació i divisió de nombres enters.

Multiplicació de nombres enters

Podem calcular el producte de dos nombres enters tenint en compte que una multiplicació és una suma de sumands iguals:

(+3) · (– 6) = Sumem tres vegades (– 6):

(–3) · (– 6) = Restem tres vegades (– 6):

No obstant això, per multiplicar amb rapidesa, apliquem la regla següent:

regla dels signes

El producte de dos nombres enters és:

• Positiu, si els dos factors tenen signes iguals.

• Negatiu, si els dos factors tenen signes diferents.

Divisió de nombres enters

La divisió de nombres enters guarda amb la multiplicació les mateixes relacions que en els nombres naturals. En la divisió s’hi aplica la mateixa regla dels signes que en la multiplicació:

(+4) · (+6) = +24 (+24) : (+4) = +6

(– 4) · (– 6) = +24 (+24) : (– 4) = – 6

(+4) · (– 6) = –24

PER A PRACTICAR

10 Multiplica.

(–24) : (+4) = – 6

(–24) : (– 6) = +4

En la divisió s’aplica la mateixa regla dels signes que en la multiplicació.

a) (+10) · (–2) b) (– 4) · (–9)

c) (–7) · (+5) d) (+11) · (+7)

11 Observa els exemples i multiplica de les dues formes que s’hi indiquen.

• (–3) · (+2) · (–5) = (– 6) · (–5) = +30

(–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +30

a) (–2) · (–3) · (+4) b) (–1) · (+2) · (–5)

c) (+4) · (–3) · (+2) d) (– 6) · (–2) · (–5)

12 Dividix.

a) (–18) : (+3) b) (–15) : (–5)

c) (+36) : (–9) d) (–30) : (–10)

e) (–52) : (+13) f ) (+22) : (+11)

13 Copia, completa i compara. Què hi observes?

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] =

[(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

14 Calcula el valor de x en cada cas.

a) (–18) : x = +6 b) (+4) · x = –36

c) x · (–13) = +91 d) x : (–11) = +5

Operacions amb nombres enters

Operacions combinades

Observa l’ordre en el qual fem les operacions per calcular el valor de la següent expressió combinada:

(–18) : (11 – 9 – 5) + 5 · (6 – 8)

• Primer, les operacions que estan dins dels parèntesis.

(–18) : (–3) + 5 · (–2) ↓

• Després, les multiplicacions i les divisions. ⎯⎯→ (+6) + (–10) ↓

• Finalment, les sumes i les restes. ⎯⎯→ 6 – 10 = – 4

PER A FIXAR IDEES

4 Copia i completa per obtindre el valor de l’expressió següent:

(6 – 9 + 2) · (–5) + 3 · (2 – 6) + 4 = = ( ) · (–5) + 3 · ( ) + 4 = = ( ) + ( ) + 4 = – + 4 =

PER A PRACTICAR

15 Calcula com en els exemples.

• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9

• 18 : 6 – 5 = 3 – 5 = –2

a) 18 – 5 · 3

c) 7 · 2 – 16

e) 5 – 30 : 6

16 Calcula com en l’exemple.

b) 6 – 4 · 2

d) 18 – 15 : 3

f ) 20 : 2 – 11

• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11

c) 15 – 20 : 5 – 3

b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2

d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7

e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6

17 Observa l’exemple i calcula.

• (–3) · (– 4) + (– 6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = – 6

a) 5 · (–8) – (+9) · 4

b) 32 : (–8) – (–20) : 5

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4)

d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4)

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2)

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)

(6 – 9 + 2) · (–5) + 3 · (2 – 6) + 4 ( ) (–5) + 3 · ( ) + 4

) + ( ) + 4

+ 4 =

= (–2) · [11 + 3 · (–2)] – 3 · (–3) = = (–2) · [11 – 6] + 9 = (–2) · [+5] + 9 = –10 + 9 = –1

19 Calcula.

a) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]

b) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

20 Meta 3.8. Escriu una expressió aritmètica que reflectisca la diferència entre el màxim i el mínim nombre d’hores setmanals que ha de dormir un xic o una xica de 14 anys, segons les recomanacions de l’OMS, i resol-la. Segons l’OMS, un adolescent ha de dormir entre 9 i 11 hores al dia.

Potències de nombres enters 8

Recorda que una potència és una multiplicació de factors iguals:

TIN EN COMPTE

10n = 10 · 10 · … · 10

n factors ↓

10n = 100 … 0

n zeros

|Exemples

• (+4)2 = (+4) · (+4) = +16

• (–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81

• (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

Potències de nombres negatius

En les potències successives d’un nombre negatiu obtenim, alternativament, resultats positius i negatius:

(–3)1 = –3 (–3)2 = +9 (–3)3 = –27 (–3)4 = +81

En elevar un nombre negatiu a una potència:

• Si l’exponent és parell, el resultat és positiu.

(– a)n (parell) → positiu

• Si l’exponent és imparell, el resultat és negatiu.

(– a)n (imparell) → negatiu

Propietats de les potències

Les propietats següents són bàsiques per al càlcul amb potències. Memoritza-les i analitza detingudament cada exemple.

❚ potència d’un producte

TIN EN COMPTE

[(–2) + (–3)]2 = [–5]2 = +25

(–2)2 + (–3)2 = 4 + 9 = +13

La potència d’una suma (o d’una resta) no és igual a la suma de les potències dels sumands.

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

[(–2) · (+5)]3 = (–2)3 · (+5)3

[–10]3 (–8) (+125)

–1 000 –1 000

❚ potència d’un quocient

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

[(–10) : (+5)]3 = (–10)3 : (+5)3

(–2)3 (–1 000) : (+125)

–8 –8

TIN

Sent

❚ producte de potències de la mateixa base

Per a multiplicar dues potències de la mateixa base, se’n sumen els exponents.

(–10)2 · (–10)3 = (–10)2 + 3 = (–10)5

(+100) · (–1 000)

–100 000 –100 000

❚ quocient de potències de la mateixa base

Per a dividir dues potències de la mateixa base, se’n resten els exponents.

(–10)5 : (–10)3 = (–10)5 – 3 = (–10)2

(–100 000) : (–1 000)

❚ potència d’una altra potència

Per a elevar una potència a una altra potència, se’n multipliquen els exponents.

= (–10)3 · 2 = (–10)6

PER A PRACTICAR

1 Escriu, si es pot, com a producte i calcula.

a) (–1)7 b) (–5)2 c) (–10)5

d) (–7)3 e) (–1)0 f) (–7)0

2 Calcula amb ajuda de la calculadora de quatre operacions com en l’exemple.

• 125 → 12**==== → {∫“¢°°«“}

a) (–11)3 b) 175 c) (–27)4

3 Reduïx a una sola potència com en els exemples.

• 25 · (–3)5 = [2 · (–3)]5 = (– 6)5

• (–15)4 : (+3)4 = [(–15) : (+3)]4 = (–5)4 = 54

a) 32 · 42 b) (–2)3 · 43

c) (+15)3 : (–5)3 d) (–20)2 : (– 4)2

4 Reduïx aplicant la propietat a m · a n = a m + n .

a) x 2 · x 3 b) a 4 · a 4 c) z 5 · z

5 Reduïx a una sola potència.

a) (–2)5 · 27 b) (–2)3 · (+2)6

c) (–12)2 · (+12)2 d) (+9)4 · (–9)2

6 Reduïx aplicant la propietat a m : a n = a m – n .

a) x 7 : x 4 b) a 7 : a 2 c) z 8 : z 3

7 Reduïx a una potència única.

a) (–7)8 : (–7)5 b) 109 : (–10)4

c) 124 : (–12) d) (– 4)10 : (+4)6

8 Aplica la propietat (a m)n = a m · n, i reduïx.

a) (x 3)2 b) (a 3)3 c) (z 6)3

9 Copia i completa en el quadern.

a) (32)4 = 3 b) [(–2)4]3 = (–2)

c) [(+5)2]2 = (+5) d) [(– 6)3]5 = (– 6)

10 Reduïx com en l’exemple.

• (a 6 · a 4) : a 7 = a 10 : a 7 = a 3

a) (x 5 · x 2) : x 4 b) m 7 : (m 2 · m 3)

c) (a · a 6) : (a 2 · a 4) d) (z 5 · z 3) : (z 4 · z 2)

11 Opera i calcula.

a) 106 : (54 · 24) b) (–12)7 : [(–3)5 · 45]

c) [(–9)5 . (–2)5] : 184 d) [57 · (– 4)7] : 204

➜ anayaeducacion.es Practica l’arrel quadrada d’un nombre enter.

Arrel quadrada d’un nombre enter 9

• L’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat.

a = b ⇔ b 2 = a

• Els nombres que tenen arrel quadrada entera es diuen quadrats perfectes.

|Exemples

PER A PRACTICAR

1 Calcula, si existixen, aquestes arrels.

49 7 = ⇔ 749 2 =

400 20 = ⇔ 20 400 2 = 4 49 i 400 són quadrats perfectes

Un nombre positiu té dues arrels quadrades, una positiva i una altra negativa.

Les arrels quadrades de 16 són 4 i – 4. 4 → perquè 42 = +16

– 4 → perquè (– 4)2 = +16

Però tin en compte que, per conveni, quan posem 16 , ens referim a la solució positiva. Per prendre la negativa hem de posar el signe menys davant.

16 = +4 – 16 = – 4

Un nombre negatiu no té arrel quadrada.

() –16 = x ⇔ x 2 = –16 → Impossible

() –16 → No existix, perquè no hi ha cap nombre el quadrat del qual siga un resultat negatiu.

Altres arrels

A més de l’arrel quadrada, podem obtindre arrels d’índex superior a dos. En general:

a = b ⇔ bn = a n

a) () +1 b) () –1 c) () 25 +

d) () –36 e) () +100 f ) () –100

g) () –169 h) () 400 + i ) () –900

2 Reflexiona i calcula, si existixen. a) 27

Exercicis i problemes

DOMINES ALLÒ BÀSIC?

Sistemes de numeració

1 Observa un nombre escrit en dos sistemes de numeració diferent:

Sistema de numeració egipci.

Sistema de numeració maia.

a) Explica el significat dels signes en cada cas.

b) Escriu en els dos sistemes el nombre anterior i el posterior.

2 Copia i completa.

a) 2 300 UM = … C b) 4 800 D = … UM

c) 2 CM = ….. UM d) 700 UM = … DM

3 Copia, calcula i completa.

a) 1 h 13 min 27 s → … s

b) 587 min → … h … min

c) 6 542 s → … h … min … s

Múltiples i divisors

4 Respon i justifica la resposta.

a) És 132 múltiple d’11? I 11 divisor de 132?

b) És 574 múltiple de 14? I 27 divisor de 1 542?

5 Calcula.

a) Els cinc primers múltiples de 10.

b) Els cinc primers múltiples de 13.

c) Tots els divisors de 23.

d) Tots els divisors de 32.

6 Reflexiona i contesta.

a) Els tres divisors de major grandària d’un nombre són 20, 30 i 60. De quin nombre parlem?

b) Els tres múltiples de menor grandària d’un nombre són 12, 24 i 36. Quin nombre és?

Nombres primers i compostos

7 Escriu.

a) Els deu primers nombres primers.

b) El major nombre primer de dues xifres i el menor de tres xifres.

8 Copia i completa per descompondre els nombres següents en factors primers.

1 400 = 2 · · 1 485 = · ·

9 Descompon en el màxim nombre de factors.

a) 378 b) 1 144 c) 1 872

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

10 Calcula mentalment.

a) m. c. m. (2, 3) b) m. c. m. (6, 9)

c) m. c. m. (4, 10) d) m. c. m. (6, 10)

e) m. c. m. (6, 12) f ) m. c. m. (12, 18)

11 Calcula mentalment.

a) m. c. d. (4, 8) b) m. c. d. (6, 9)

c) m. c. d. (10, 15) d) m. c. d. (12, 16)

e) m. c. d. (16, 24) f ) m. c. d. (18, 24)

12 Calcula.

a) mín. c. m. (24, 36) b) máx. c. d. (24, 36)

c) mín. c. m. (28, 42) d) máx. c. d. (28, 42)

e) mín. c. m. (45, 75) f) máx. c. d. (45, 75)

Els nombres enters

13 Ordena de menor a major. – 6, +8, –16, –3, +12, –7, +4, +15, –11

Suma i resta de nombres enters 14 Opera.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9

b) 10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10

d) –7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

15 Calcula.

a) 15 + (8 – 6) b) 11 – (2 + 8)

c) 6 + (2 – 8) – (1 + 7)

d) (13 – 11) – (10 + 7) – (2 – 10)

Multiplicació i divisió de nombres enters

16 Opera aplicant la regla dels signes.

a) (– 4) · (+7) b) (–21) : (+3)

c) (– 6) · (–8) d) (+30) : (+5)

e) (+10) · (+5) f ) (– 63) : (–9)

g) (–9) · (–5) h) (+112) : (–14)

17 Copia i completa.

a) (–3) · (…) = –15 b) (– 28) : (…) = –4

c) (…) · (– 4) = +32 d) (…) : (+5) = +10

e) (+20) · (…) = +60 f) (…) : (–7) = +8

Operacions combinades amb nombres enters

18 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b) 2 · 9 – 7

c) 4 · 5 – 6 · 3 d) 2 · 8 – 4

e)

19 Resol.

a) 7 · (6 – 4) b) (7 – 10) · 2

c) (– 3) · (7 – 6) d) (10 – 4) · (– 2)

e) 6 · (5 – 3) + 2 · (2 – 7) f) 5 · (–3 – 1) – 4 · (9 – 7)

Potències de nombres enters 20 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (– 6)3

d) (+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

g) (+3)0 h) (–6)0 i) (–10)0

21 Expressa com a potència d’un únic nombre.

a) 104 : 54 b) 127 : (– 4)7

c) (–9)6 : 36 d) 26 · 26

e) (– 4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

22 Reduïx a una sola potència.

a) x2 · x4 b) m4 · m3 c) x6 · x

d) m8 : m5 e) x3 : x f) m5 : m5

g) (x3)2 h) (m5)2 i) (x 2)2

Arrel quadrada de nombres enters 23 Calcula, si existix.

a) 49 b) 7 2 c) 49 –

d) 15 2 e) 225 f ) –225

g) 2 500 h) 50 2 i ) 2 500 –

ENTRENA’T I PRACTICA

24 En la sèrie següent pots veure els deu primers nombres naturals, escrits en el sistema binari (només utilitza els signes 1 i 0):

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 - 110 - 111 - 1000 - 1001 Escriu-ne els deu següents.

25 Copia aquests nombres i selecciona:

1 000 2 007 4 829 5 511 6 005

a) Els múltiples de 2. b) Els múltiples de 3.

c) Els múltiples de 5. d) Els múltiples de 11.

26 Escriu.

a) Els nombres primers compresos entre 50 i 60.

b) Els nombres primers compresos entre 80 i 100.

c) Els tres primers nombres primers majors que 100.

27 Calcula.

a)

c)

28 Calcula.

a)

d. (36, 45) b) m. c. d. (48, 72)

c) m. c. d. (105, 120) d) m. c. d. (135, 180)

e) m. c. d. (8, 12, 16) f ) m. c. d. (45, 60, 105)

29 Escriu les coordenades dels vèrtexs d’aquest rectangle i dibuixa’n un altre igual amb el vèrtex M en el punt (1, 0)..

30 Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

Exercicis i problemes

31 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d) [(+40) : (– 4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (– 6)] f ) [(–8) · (+3)] : (– 4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (– 4)] h) [6 · (–10)] : [(–5) · 6]

32 Calcula i observa que el resultat varia segons la posició dels parèntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d) [(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

33 Opera.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

34 Reduïx a una sola potència.

a) (x 2)5 b) (m 4)3

c) [a 10 : a 6]2 d) (a · a 3)3

e) (x 5 : x 2) · x 4 f ) (x 6 · x 4) : x 7

35 Observa l’exemple i reduïx.

• () xx x · 63 23 2 == = x 3

a) () x 22 b) () m 32 c) () a 42

d) x 4 e) m 6 f ) a 8

REFLEXIONA, APLICA, EXPRESSA’T

36 Busca un divisor de 427 amb dues xifres.

37 Un nombre menor de 50 és múltiple de 6 i de 7. Quin nombre és?

38 Un grup de 20 persones es pot organitzar en un nombre exacte de files i columnes. Per exemple, quatre files i cinc columnes.

No obstant això, un grup de 13 persones només es pot posar en una única fila.

Busca tots els grups de persones, compresos entre 150 i 170 elements, que només es puguen organitzar en una fila única.

39 Un nombre de tres xifres és múltiple de 150 i divisor de 2 100. Quin nombre pot ser?

RESOL PROBLEMES SENZILLS

Problemes amb nombres naturals

40 Una persona de 14 anys, segons l’OMS, ha de dormir entre 9 i 11 hores al dia, i una de 40 anys, entre 7 i 9 hores. Quina serà la diferència entre les hores anuals de son d’un xic o xica de 14 anys i una persona de 40 anys?

41 Una companyia de dansa de 156 ballarins i ballarines fa una coreografia formant files i columnes. Si en una fila n’hi ha 20 més que en una columna, quantes files i quantes columnes són?

42 Es vol dividir una cartolina de 50 cm × 65 cm en fitxes quadrades de la major grandària possible. Quin serà el costat de cada fitxa?

43 En el platet dret d’una balança s’han col·locat daus de fusta de 30 grams, i en el platet esquerre, boles de vidre de 36 grams. Sabent que la balança està equilibrada i que entre daus i boles no superen les 15 unitats:

a) Quant de pes suporta cada platet?

b) Quants daus i quantes boles s’hi han emprat?

44 DD’una fàbrica ixen dos camions carregats amb frigorífics iguals. El primer carrega 481 quilos, i el segon, 555 quilos. Quant pesa cada frigorífic i quants frigorífics porta cada camió?

45 Un rotllo de cable mesura més de 150 m i menys de 200 m. Quina n’és la longitud exacta, sabent que es pot dividir en trossos de 15 m i també en trossos de 18 m sense malgastar-ne res?

46 Un ajuntament oferix al veïnat parcel·les per posar horts d’esplai. Per a això ha dividit un terreny quadrat en parcel·les rectangulars de 15 m × 20 m. Quines són les dimensions del terreny, si a l’ajuntament li han eixit quasi 50 parcel·les?

47 En un forn s’han fabricat 2 400 magdalenes i 2 640 mantecades, que s’envasen en bosses amb el mateix nombre d’unitats i sense mesclar els dos productes. Quantes peces porta cada bossa, tenint en compte que el nombre és superior a 10 i inferior a 15?

Problemes amb nombres enters

48 Dibuixa uns eixos de coordenades i els punts A (–2, 0) i B (4, 2).

Traça tots els quadrats que tenen dos vèrtexs en aquests punts (en són tres diferents).

Finalment, escriu les coordenades dels vèrtexs de cada un d’aquests quadrats.

PER A PENSAR UN POC MÉS

51 La suma de dos nombres enters és 3, i la seua diferència, 7. Quins són aquests nombres?

52 La suma de dos nombres enters és –22, i la suma dels seus valors absoluts, 70. Quins són aquests nombres?

53 En l’obrador han enfornat magdalenes. Les empaqueten en bosses de mitja dotzena i en sobren dues.

Si les hagueren empaquetades en bosses de 5, n’haurien sobrat tres, i si les bosses hagueren sigut de 8, haurien quedat justes.

49 Si escrius tots els nombres enters des de –50 fins a +50, quantes vegades hauràs utilitzat la xifra 7? I la xifra 5? I la xifra 3?

50 EXERCICI RESOLT

La suma de dos nombres enters és menys cinc (–5) i la seua diferència dènou (+19).

Quins són aquests nombres?

Assagem amb un exemple molt senzill

i

Si a la suma dels dos, restem la diferència, obtenim el doble del menor.

(a + b) – (a – b) = a + b – a + b = 2 b

Resolem el problema original

– La suma és (–5) i la diferència (+19).

– La suma menys la diferència és el doble del menor: (–5) – (+19) = –5 – 19 = –24 (doble del menor)

El menor és: (–24) : 2 = –12

El major és: –12 + 19 = 7

Comprova-ho.

Sabent que han omplit poc més de 40 bosses, quantes magdalenes han eixit del forn?

54 Els membres d’un equip d’atletisme acorden regalar a l’entrenadora un cronòmetre que costa 130 €. Llàstima que no participen els llançadors de pes, disc i javelina! —comenta la capitana—. Si en fórem tres més, ens hauria tocat posar 3 € menys a cada un.

Quants en són per al regal, sabent que a cada un li toca posar una quantitat entera d’euros, sense cèntims?

55 Amb el meu germà vaig a comprar el regal que hem triat per a la mare. El meu germà diu que, després de posar la seua part, encara li sobraran 10 €. Jo li demane un préstec perquè em falten 5 € per a posar-hi la meua.

Quant costa el regal, sabent que entre els dos tenim 85 €?

56 Tinc dos comptes en el mateix banc. En el primer hi ha 200 € més que en el segon, però si passara diners d’un a l’altre i els deixara igualats, cada un es quedaria amb 20 €.

Quant hi ha en cada compte?

Pots basar-te en aquest gràfic:

També pots revisar el problema n. 50 i preguntar-te: quant sumen els dos comptes i en quant es diferencien?

LLIG I INFORMA’T

Primers i antics

Els nombres primers ja despertaven la curiositat dels antics. Una prova, la trobem en els treballs d’Eratòstenes, que va nàixer quasi tres-cents anys abans de Crist.

Però això no és res! Resulta que en una època encara més antiga, fa 20 000 anys, al Zaire, un home primitiu va marcar en un os certs nombres

No sabem què signifiquen, però els de l’esquerra són els primers entre 10 i 20! Què et sembla?

INVESTIGA

Nombres perfectes

Segons els pitagòrics, un nombre és perfecte si coincidix amb la suma dels seus divisors propis. Per exemple, el 6:

Els divisors propis de 6 són 1, 2, 3 (el 6 és divisor de 6, però no és divisor propi).

1 + 2 + 3 = 6

• Entre 25 i 30 hi ha un altre nombre perfecte. Seràs capaç de trobar-lo?

Nombres amics

Els pitagòrics deien amics a dos nombres, quan la suma dels divisors propis de cada un és igual a l’altre. A B

Suma dels divisors de B

Suma dels divisors de A

• El nombre 220 té un amic. Series capaç de trobar-lo?

TIRA D’ENGINY

Cromos

• De la col·lecció de cromos que està fent Amèlia i que va col·locant a l’àlbum, els col·locats són el triple dels repetits que té per a canviar. Si aconseguira canviar tots els repetits per uns altres de nous, ja tindria col·locats a l’àlbum el triple dels llocs encara buits, que passen de 15 però no arriben a 20. Quants cromos té la col·lecció?

La il·lustració mostra una vista de l’os d’Ishango, que es conserva al Museu d’Història Natural de Brussel·les.

19 17 + + + 13 11 = 60

AUTOAVALUACIÓ

1 Escriu:

a) Els quatre primers múltiples de 17.

b) Tots els divisors de 72.

2 Busca:

a) El primer múltiple de 17 després de 1 000.

b) Un nombre de dues xifres que siga divisor de 415.

3 Escriu els nombres primers compresos entre 20 i 40.

4 Indica quins d’aquests nombres són múltiples de 2, quins de 3, quins de 5 i quins de 10: 897 - 765 - 990 - 2 713 - 6 077 - 6 324 - 7 005

5 Copia en el quadern i descompon en factors primers els nombres 150 i 225.

150 = 2 · · · 225 = 3 · · ·

6 Calcula.

a) m. c. d. (150, 225)

b) m. c. m. (150, 225)

7 Calcula.

a) 6 – 11 + (9 – 13) b) 2 – (5 – 8)

c) (7 – 15) – (6 – 2) d) 5 – [2 – (3 – 2)]

8 Calcula.

a) 4 · 5 – 3 · (–2) + 5 · (–8) – 4 · (–3)

b) (10 – 3 · 6) – 2 · [5 + 3 · (4 – 7)]

c) 10 – 10 · [– 6 + 5 · (– 4 + 7 – 3)]

9 Reduïx a una sola potència.

a) a 3 : b 3 b) a 5 : b 5 c) a 4 . a 2

d) x 6 x 4 e) (x 3)3 f) (–5)7 : (–5)5

10 Una botiga de roba posa a la venda una partida de samarretes, totes del mateix preu. El primer dia en ven unes quantes per valor de 221 € i el segon dia, unes quantes més per valor de 272 €. Quin creus que és el preu d’una samarreta?

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

11 Es vol dividir un terreny rectangular, de 100 m d’ample per 120 m de llarg en parcel·les quadrades tan grans com es puga. Quant ha de mesurar el costat de cada parcel·la?

12 En una fàbrica se sent la fuita d’una vàlvula de gas cada 45 segons, i el colp d’un martell piló cada 60 segons. Si s’acaben de sentir els dos sons simultàniament, quant tardaran a coincidir de nou?

13 Es van apilant, en una torre, cubs de 45 cm d’aresta i, al costat, en una altra, cubs de 60 cm d’aresta. A quina altura coincidixen per tercera vegada els cims de les dues torres?

14 La suma de dos nombres enters és 4, i la suma dels seus valors absoluts, 16. Quins nombres són?

15 Observa el quadrat. A

a) Escriu les coordenades dels vèrtexs, A, B, C, D i del centre, M

b) Suposa que el gires, al voltant de M, de manera que A quede sobre A l (4, 2), i escriu les coordenades dels nous vèrtexs A l , B l , C l i D l .

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detecten. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i compartix en grup.

POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.

Operacions amb fraccions

L’origen de les fraccions és molt antic: babilonis, egipcis, grecs, xinesos i indis les manejaven fa milers d’anys.

Els egipcis usaven, exclusivament, fraccions unitàries (amb numerador u).

Per exemple, per escriure 3 5 posaven 1 2  +  1 10

Una explicació d’aquest costum podria estar en la forma en què feien els repartiments. Fixa’t, per exemple, en aquesta manera de repartir tres entre cinc:

Primer, es dividix cada unitat en dues i es dona una meitat a cada un 2 1 dn 1 2 . Després, es partix la meitat restant en 5 parts i cada un se n’emporta una

Les fraccions dels babilonis eren sexagesimals: només utilitzaven com a denominadors el nombre 60 i les seues potències. Per exemple, per a 3 4 posaven 45 60 . Això feia els càlculs summament enutjosos i els obligava a valdre’s de complicades taules per a efectuar operacions.

Els antics grecs van continuar la tradició egípcia, encara que més endavant van passar a utilitzar les fraccions ordinàries que van arribar a manejar amb gran desimboltura. Però s’obstinaven a donar el resultat dels problemes com a suma de fraccions unitàries. I aquest estrany tractament mixt es va estendre fins a l’Europa del segle xiii

Els àrabs, en la seua època d’esplendor, també van tindre grans matemàtics en els tractats dels quals apareixen les fraccions. El nom de fracció ve de la paraula àrab al-kasr (fer fallida o trencar), que va traduir al llatí per fractio.

Amb el que ja saps, resol

Els equips A i B de 2n d’ESO presenten les seues propostes per a l’ocupació, en l’hort escolar, de la zona circular destinada a plantes aromàtiques (espígol, romer i timó).

Equip A

La meitat per a romer, la tercera part per a espígol i, la resta, per a timó.

1. Quina fracció del terreny assigna l’equip A al timó?

2. Copia i completa, per a la proposta de l’equip A.

3. Quina transformació s’ha efectuat en les fraccions per calcular les operacions de l’exercici anterior?

Equip B

La meitat per a romer, la tercera part de l’altra meitat per a espígol i, la resta, per a timó.

4. Quina fracció del terreny assigna l’equip B al timó??

5. Copia i completa, per a la proposta de l’equip B.

6. Sabent que l’equip A destina al timó una superfície de 2,5 metres quadrats:

a) Quina superfície dedica a aquesta mateixa planta l’equip B?

b) Quina és la superfície total de la zona circular destinada a plantes aromàtiques?

romer espígol timó

FRACCIONS OPOSADES

• Dues fraccions són oposades quan la seua suma és zero

• Tota fracció b a té una oposada, b a b a – ob –é bl : b a b a 0 –+=

Suma i resta de fraccions 1

• Per a sumar o restar fraccions, les reduïm prèviament a comú denominador.

• Si algun dels sumands és un nombre enter, a, el transformem en una fracció amb denominador la unitat a a 1 =

Sumes, restes i parèntesis

El manejo de los paréntesis en las sumas y las restas de fracciones sigue las mismas reglas que en los números enteros.

• Si se suprimixen uns parèntesis precedits del signe més, els signes interiors no varien:

• Si se suprimixen uns parèntesis precedits del signe menys, els signes interiors es transformen; més en menys i menys en més:

–b a d c n m b a d c n m – += +

|Exemples

• Resolució suprimint prèviament els parèntesis:

• Resolució operant dins dels parèntesis:

PER A FIXAR IDEES

1 Observa, calcula mentalment i contesta amb una fracció.

a) 1 3 1 – b) 1 1 2 + c) 1 4 3 8 – d) 2 3

2 Copia i completa reduint a denominador comú 30.

a) 10 3 15 7 10 3 3 15 2 7 30 30 30 d d dd d + =+= +=

b) 6 5 5 4 65 5 5 4 30 30 30 –d d dd dd == =

c) 2 1 3 2 5 3 2 1 3 2 5 3 30 30 30 30 –d d d d d d dd dd += += +=

3 Associa cada pregunta amb les expressions de la dreta i calcula’n el resultat corresponent.

Segons les estadístiques, al barri de Marta els tres cinquens de la població escolar està en Infantil o Primària, un terç en Secundària i la resta en Batxillerat.

a) Quina fracció representen les etapes d’Infantil, Primària i Secundària?

b) Quina fracció representen Secundària i Batxillerat?

c) Quina fracció cursa Batxillerat?

d) Sabent que els d’Infantil suposen el 15 %, quina fracció suposa Primària?

PER A PRACTICAR

1 Copia i completa en el quadern.

5 Lleva parèntesis i calcula.

c)

2 Opera i simplifica.

1 14 1 – e) 15 7 10 3 – f )

3 Calcula, reduint al comú denominador que s’hi indica.

a) 2 11 48 1 –+ → Denominador comú: 8

b) 1 11 23 – + → Denominador comú: 6

c) 9 7 15 4 5 1 → Denominador comú: 45

4 Calcula i simplifica’n els resultats.

a) 9 4 6 5 18 7 – + b) 7 3 5 2 35 27 –+

c) 6 5 10 1 5 1 d) 12 13 8 5 6 5

6 Resol de dues formes:

• Llevant, primer, els parèntesis.

• Operant, primer, dins de cada parèntesi.

a) 1 4 1 1 9 5 1 6 5 – d dd n nn

b) 1 3 2 5 4 3 1 5 1 15 7 + dd d nn n

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

7 Segons un estudi de pediatria, un nadó dorm, en els primers 12 mesos, una de cada cinquanta de les hores que dormirà al llarg de tota la vida i, en els quatre anys següents, dos de cada 25. Quina fracció del total d’hores de son gastem durant els cinc primers anys de vida?

➜ anayaeducacion.es Suma i resta de fraccions.

FRACCIONS INVERSES

• Dues fraccions són inverses quan el seu producte és la unitat

• Tota fracció distinta de zero té inver-

Multiplicació i divisió de fraccions 2

Multiplicació

Observa i interpreta els gràfics següents:

Para multiplicar fracciones:

Divisió

Recorda les relacions entre la multiplicació i la divisió d’enters. 8 · 5 = 40 → : : 40 85 40 58 = =

Aquestes relacions s’han de mantindre amb les fraccions.

• En primer lloc, els parèntesis

• Després, les multiplicacions i les divisions.

• Finalment, les sumes i les restes.

En la pràctica, per a obtindre aquests resultats quan dividim dues fraccions, es multiplica la primera per la inversa de la segona o, el que és el mateix, es multipliquen els termes encreuat.

Per a dividir dues fraccions:

PER A FIXAR IDEES

1 Copia i completa.

2 Copia, completa i compara’n els resultats en cada apartat.

3 Associa cada pregunta amb dues expressions de la dreta i calcula’n el resultat corresponent.

a) Quantes bosses de quart de quilo s’omplin amb set quilos i mig de café?

b) Marta va comprar la tercera part d’un formatge i n’ha consumit la cinquena part. Quina fracció de formatge ha consumit?

c) En la festa d’aniversari es va partir el pastís en 15 trossos i cada un dels cinc convidats en va menjar dos trossos. Quina fracció de pastís van menjar entre

1 Multiplica i, si és possible, simplifica’n el resultat.

3 Dividix i simplifica’n els resultats.

Problemes amb fraccions 3

S’hi presenta una sèrie de problemes tipus, resolts, la comprensió dels quals et facilitarà el camí per a resoldre, per analogia, moltes situacions amb fraccions.

Fracció d’una quantitat

❚ problema 1: càlcul de la fracció

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes disposa d’un total de 1 155 unitats, de les quals 330 estan en reparació o en reserva, i la resta, en funcionament. Quina fracció de les bicicletes està en funcionament?

Fora

En funcionament ⎯→ 7 7 7 2

–=

Solució: Estan en funcionament 7 5 de les bicicletes.

❚ problema 2: càlcul de la part (problema directe)

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes disposa d’un total de 1 155 unitats, de les quals 2/7 estan, en reparació o en reserva, fora de servei. Quantes bicicletes hi ha en funcionament?

Fora de servei ⎯→ 7 2 de 1 155 =  7 1 155 2  = 330

En funcionament ⎯→ 1 155 – 330 = 825

Solució: Hi ha 825 bicicletes en funcionament.

❚ problema 3: càlcul del total (problema invers)

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes té 330 unitats fora de servei, en reparació o en reserva, cosa que suposa 2/7 del total. De quantes bicicletes disposa l’empresa?

2 del total ⎯→ 330 7

7

1 del total ⎯→ 330 : 2 = 165 7 7 , és a dir, el total ⎯→ 165 · 7 = 1 155

Solució: L’empresa disposa de 1 155 bicicletes.

Suma i resta de fraccions

❚ problema 4: càlcul de la fracció

Per a una sessió de teatre s’han venut dos cinquens de les entrades per Internet i un terç directament en taquilla; la resta ha quedat sense vendre. Quina fracció de les butaques hi han quedat buides?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += += Hi queden ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

Solució: Hi han quedat buides 15 4 de les butaques.

Total: 300 butaques

❚ problema 5: càlcul de la part (problema directe)

Per a una sessió de teatre, en una sala amb 300 butaques, s’han venut dos cinquens de les entrades per Internet i un terç en taquilla; la resta ha quedat sense vendre. Quantes butaques hi han quedat buides?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += +=

Buides ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

Nre. de butaques buides ⎯→ 15 4 de 300 =  15 4 300  = 80

Solució: Hi han quedat 80 butaques buides.

❚ problema 6: càlcul del total (problema invers)

Per a una sessió de teatre s’han venut dos cinquens de les entrades per Internet i un terç en taquilla; ; les 80 restants han quedat sense vendre. Quantes butaques té en total la sala?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += +=

Sense vendre ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

15 4 del total ⎯→ 80 butaques

15 1 del total ⎯→ 80 : 4 = 20 butaques

15 , és a dir, el total ⎯→ 20 · 15 = 300 butaques

15

Solució: La sala té 300 butaques en total.

Multiplicació i divisió de fraccions

❚ problema 7: producte

Cada càpsula de cert medicament porta 3/20 de gram del principi actiu. Quants grams de principi actiu hi ha en un pot de 30 càpsules?

3 30 20 330 20 90 2 9 2 8 2 1 4 2 1 · · == ==+= +

20

Solució: En un pot de 30 càpsules hi ha quatre grams i mig de principi actiu.

❚ problema 8: quocient Cada càpsula de cert medicament porta 3/20 de gram del principi actiu. Quantes càpsules hi ha en un pot que conté en total quatre grams i mig de principi actiu? Quatre

Nombre de càpsules ⎯→ : 2 9 20 3 23 920 6 180 · · ==  = 30

Solució: En un pot amb quatre grams i mig de principi actiu hi ha 30 càpsules.

5 2 3 1 de → 5 2 3 1 15 2 ·=

Fracció d’una altra fracció

❚ problema 9: càlcul de la fracció

Un granger va lliurar el mes passat 2/3 de la seua producció de llet a la cooperativa ramadera i va vendre 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurt. Amb el que li va quedar, va fer formatge. Quina fracció de la llet va destinar a la producció de formatge?

3

En l

En q=

\

❚ problema 10: càlcul de la part (problema directe)

Un ramader va obtindre el mes passat 90 000 litres de llet. En va lliurar 2/3 a la cooperativa ramadera i 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurt. Amb el que li va quedar, va fer formatge. Quants litres va destinar a la producció de formatge?

en lliura en queda a la cooperativa 3 2 3 1 a la fàbrica de iogurt 5 3 3 1 de 5 2 3 1 15 2 de =

En queden 15 2 de 90 000 litres = = 15 290 000 ·  = 12 000 litres

❚ problema 11: càlcul del total (problema invers)

Un ramader va lliurar el mes passat 2/3 de la seua producció de llet a la cooperativa ramadera i va vendre 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurt. Amb els 12 000 litres que li’n van quedar, va fer formatge. Quants litres en va produir en total?

en lliura en queda a la cooperativa 3 2 3 1 a la fàbrica de iogurt 5 3 3 1 de 5 2 3 1 15 2 de = 15 2 del total ⎯→ 12

15 1 del total ⎯→

12 000 : 2 = 6 000 litres

PER A PRACTICAR

1 Calcula i contesta.

a) Robert ha necessitat 100 passos per a avançar 80 metres. Quina fracció de metre recorre en cada pas?

100 passos

b) Una llebre ha recorregut 40 metres en 25 salts. Quina fracció de metre avança en cada salt?

2 Una escola té matriculats 837 estudiants, dels quals 9 2 estan en primer cicle d’ESO. Quants estudiants hi ha en primer cicle d’ESO?

3 Una escola té matriculats 186 estudiants en primer cicle d’ESO, la qual cosa suposa els 9 2 del total. Quants estudiants són en total?

186

total?

4 Una botiga de confecció va posar a la venda, la setmana passada, una partida de vestits de senyora. N’ha venut ja les dues cinquenes parts i encara li’n queden 60 unitats. Quants vestits ha venut?

5 En un hotel, la meitat de les habitacions estan en el primer pis; la tercera part, en el segon pis, i la resta, en l’àtic, que té deu habitacions.

a) Quina fracció del total està en l’àtic?

Pisos 1r i 2n → + 2 1 3 1 Àtic → d d

b) Quantes habitacions hi ha en total?

c) I en cada pis? COMPRÉN

I APLICA EN EL DESAFIAMENT

6 En una residència, la meitat dels ancians i de les ancianes ha dormit hui més d’una hora de sesta, i tres de cada huit, una sesta de menys d’una hora. Els 12 restants no han fet sesta.

a) Quina fracció dels residents no ha fet sesta?

b) Quants són els residents?

7 Llig, observa i contesta. Un pot de suavitzant conté 30 dosis que s’administren amb el mateix tap. tap = dosi

a) Quina és la capacitat del pot si la del tap és de 40 3 de litre?

b) Quina és la capacitat del tap si la del pot és de dos litres i un quart?

8 Un pot de suavitzant de dos litres i un quart porta un tap dosificador amb una capacitat de 40 3 de litre. Quantes dosis conté el pot?

9 Quants litres d’oli són necessaris per a omplir 300 botelles de tres quarts de litre?

10 Quantes botelles de vi de tres quarts de litre s’omplin amb una bota de 1 800 litres?

11 Un embassament està ple a principis d’estiu. Al juliol perd 3 7 del contingut, i a l’agost, 4 3 del que li quedava. Quina fracció conserva encara a principis de setembre?

12 Els 4 3 dels empleats d’una empresa tenen contracte indefinit; 3 2 de la resta tenen contracte temporal, i els altres són eventuals.

a) Quina fracció suposen els eventuals?

b) Sabent que n’hi ha 45 fixos, quants són eventuals i quants tenen contracte temporal?

Potències i fraccions 4

Les propietats que vas estudiar per a les potències de nombres enters es conserven amb els nombres fraccionaris. Aquestes propietats es traduïxen en regles d’ús pràctic; però no et limites a memoritzar-les, si n’entens la justificació, les faràs servir amb més seguretat i eficàcia.

Potència d’una fracció

Per a elevar una fracció a una potència, s’eleven el numerador i el denominador a aquesta potència. Potència d’un producte de fraccions

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor. |

Producte de potències de la mateixa base

Per a multiplicar dues potències de la mateixa base, se’n sumen els exponents.

PER

Quocient de potències de la mateixa base

Per a dividir dues potències de la mateixa base, se’n resten els exponents.

Potència d’una altra potència

Per a elevar una potència a una altra potència, se’n multipliquen els exponents.

Potències d’exponent zero (a 0)

En principi, l’expressió a 0 no tindria sentit; però a aquesta combinació de signes li donarem un significat dins del llenguatge matemàtic:

• El quocient de dos nombres iguals és igual a la unitat.

• Per a dividir dues potències de la mateixa base, en restem els exponents.

I de la mateixa forma:

La potència d’exponent zero val sempre u (per a qualsevol base diferent de zero).

Potències d’exponent negatiu

Seguint un raonament similar al de l’apartat anterior:

I de la mateixa manera:

Una potència d’exponent negatiu és la inversa de la mateixa potència d’exponent positiu.

REFLEXIONA

0,0000000000001 = 10–13

Quina de les dues formes et sembla més efectiva?

Nombres i potències de base 10

Ja coneixes la descomposició polinòmica d’un nombre enter segons les successives potències de base 10:

3 857 = 3 · 103 + 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100

Fixem-nos, ara, en el valor de les potències negatives de base 10:

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001 …

Això ens permet estendre la descomposició polinòmica als nombres decimals.

|Exemple

25,48 =

PER A PRACTICAR

1 Escriu la descomposició polinòmica de:

a) 72,605

b) 0,63842

c) 658,32 d) 18,0486

2105 14 01 80 01

·· ·, ·, ·· ··

2105 10 4108 10 10 12 ++ + ++ +

Expressió abreujada de quantitats molt grans o molt xicotetes. Notació científica

Tot l’anterior ens proporciona un mètode per a expressar amb comoditat nombres de moltes xifres.

|Exemples

• La distància mitjana de la Terra al Sol és 149 598 000 km.

149 598 000 ≈ 150 000 000 = 1,50 · 100 000 000

Distància mitjana de la Terra al Sol ≈ 1,50 · 108 km

• Un virus mesura, aproximadament, 0,000225 mm de diàmetre.

0,000225 = 2,25 · 0,0001 = 2,25 · 10– 4 mm

Aquesta forma estandarditzada d’expressar nombres molt grans o molt xicotets rep el nom de notació científica.

a , b c d … · 10n part entera potència de 10 (una sola xifra) (amb exponent enter)

3 Expressa amb totes les seues xifres.

a) 0,5 · 106

c) 3,08 · 10–5

2 Escriu amb totes les seues xifres la dada següent:

La massa d’un àtom de plata és 1,79 · 10–22 grams.

Quina forma és més pràctica, l’abreujada o l’estesa?

b) 1,34 · 107

d) 1,26 · 10–8

4 Expressa en notació científica.

a) Un any llum equival a 9 460 800 000 000 km.

b) El radi d’un àtom d’oxigen fa 0,000000066 mm.

➜ anayaeducacion.es Expressa en notació científica.

Exercicis i problemes

DOMINES ALLÒ BÀSIC?

Suma Quina de les dues formes et sembla més efectiva

Potencias y fracciones

7 Calcula. a) 2 1 3dn b) 3 1 2dn

5 1 4dn d) 10 1 6dn

8 Calcula, com en l’exemple, pel camí més curt.

• 5 15 5 15 4 4 4 = dn  = 34 = 81

d)

3

10 Reduïx a una potència única.

11

Multiplicació i divisió de fraccions

5 Calcula i simplifica.

6 Calcula mentalment i per escrit.

a) El triple d’un terç.

b) La meitat d’un quart.

c) Els tres cinquens de 5.

d) La quarta part d’un terç.

12 Escriu aquestes quantitats amb totes les seues xifres:

a) 261 · 109

c) 3,28 · 1011

b) 15,4 · 108

d) 124 · 10–7

e) 37,8 · 10–7 f ) 1,78 · 10–10

13 Expressa en notació científica, igual que en els exemples.

• 5 360 000 000 = 5,36 · 109

• 0,0000004384 = 4,384 · 10–7

a) 8 420 000

c) 0,0000074

b) 61 500 000 000

d) 0,000000128

ENTRENA’T I PRACTICA

14 Calcula i simplifica.

a) 36 11 12 5 9 4 24 7 + b) 40 17 30 11 20 13 8 9 +

c) 44 21 66 31 22 13 12 11 + d) 3 2 5 1 27 4 15 2 –

15 Opera.

a) 6 7 2 2 3 3 1 –dn > H

b) 3 4 3 6 1 2 6 1 8 1 + d d n n > > H H

c) 3 4 8 3 6 1 5 2 8 7 6 5 – d d n n > > H H

d) 12 7 20 13 5 1 15 8 30 17 2 1 30 23 ++ d d n n > > H H

16 Completa amb fraccions irreductibles.

a) 15 7 5 1 6 1 d d = b) 7 6 21 11 –d d +  = 1

c) 9 5 12 5 4 3 –d d += d) 2 –  24 7 8 3 d d =+

17 Vertader o fals?

a) Les fraccions negatives tenen oposada però no inversa.

b) Per a una fracció, l’oposada de la inversa és igual que la inversa de l’oposada.

c) Tots els nombres racionals tenen oposat i també invers.

d) Si a és un nombre positiu, el seu oposat és menor que el seu invers.

18 Opera i reduïx.

a) 11 5 3 15 22 ··dn b) :: 2 7 5 21 10 dn

c) : 9 8 26 15 30 20 dn d) : 20 7 15 14 9 4 dn

19 Completa amb fraccions irreductibles.

a) 1 4 3 2 d d = b) 6 54 3 d d =

c) : 9 2 3 1 d d = d) : 12 7 7 3 d d =

20 Copia i completa com en l’exemple.

Multiplicar

a) Multiplicar per 10 1 és igual que dividir entre…

b) Dividir entre 10 1 es igual que multiplicar por…

c) Multiplicar per 3 2 és igual que dividir entre…

d) Multiplicar per 1 3 i dividir entre 5 és igual que dividir entre 3 i multiplicar per… 21

Exercicis i problemes

INTERPRETA, DESCRIU, EXPRESSA’T

27 Observa les resolucions d’Andrea i Ramir. En un partit de la lliga de bàsquet, l’equip de casa ha marcat les dues cinquenes parts dels punts en el primer quart, un terç dels punts en el segon quart i una sisena part en el tercer. Quants punts ha aconseguit en l’últim quart si al final ha guanyat per 90 a 87?

Solució d’Andrea:

• 2/5 de 90 = (90 : 5) · 2 = 36

• 1/3 de 90 = 90 : 3 = 30

• 1/6 de 90 = 90 : 6 = 15

• 90 – (36 + 30 + 15) = 90 – 81 = 9

Solució de Ramir:

• 5 2  +  3 1  +  6 1  =  30 12 10 5 ++  =  30 27

• 30 30  –  30 27  =  30 3  =  10 1

• 1/10 de 90 = 90 : 10 = 9

Indica el significat de cada operació i el resultat obtingut en cada una.

28 Resol aquests problemes que, encara que semblen similars en l’enunciat, són molt diferents.

Problema 1

D’una empanada s’ha venut primer la meitat i després la tercera part. Quant pesava sencera si el tros que queda és de 400 grams?

Resolució

400 g

400 ∙ 6 = 2 400 g = 2,4 kg

RESOL PROBLEMES SENZILLS

29 Una bassa de reg amb una capacitat de 2 800 m3 conté en aquest moment 1 600 m3 d’aigua. Quina fracció de la bassa falta per completar?

30 Un virus informàtic ha infectat les tres desenes parts dels 880 ordinadors d’una empresa consultora. Quants ordinadors s’han deslliurat del virus?

31 Per tres quarts de quilo de cireres hem pagat 1,80 €. A com n’ix el quilo?

32 Per un quart i mig de pernil de York hem pagat 4,50 €. Quant n’hauríem pagat per tres quarts de quilo?

33 En un hort de fruiters, les quatre cinquenes parts dels arbres són pomeres, i la resta, bresquilleres. Les bresquilleres en són 35. Quantes pomeres hi ha?

34 Una bassa de reg està plena en les quatre setenes parts i conté 1 600 m3 d’aigua. Quants metres cúbics caben en la bassa?

35 Cinc de cada huit de les magdalenes que contenia una caixa ja s’han consumit i encara en queden 15. Quantes unitats contenia la caixa completa?

36 El moll d’un ressort arriba, estirat, a 5/3 de la longitud inicial. Si estirat mesura 4,5 cm, quant mesura en repòs? en repòs

Problema 2

D’una empanada s’ha venut primer la meitat i després la tercera part del que quedava. Quant pesava sencera si el tros que queda és de 400 grams?

Resolució

200 g ← 400 : 2

200 ∙ 6 = 1 200 g = 1,2 kg

Explica la diferència entre els dos i descriu numèricament el procés seguit en la seua resolució.

37 Sara avança 4 metres en 5 passos. Quina fracció de metre avança en cada pas? I en 100 passos?

38 Un potet de perfum té una capacitat d’1/20 de litre. Quants potets es poden omplir amb un bidó que en conté tres litres i mig?

39 Meta 6.3. Una planta potabilitzadora tracta tres metres cúbics d’aigua en cinc hores.

Quants metres cúbics d’aigua tracta en hora i quart?

40 Quants litres de suc es necessiten per a omplir 200 botelles de 3/8 de litre cada una?

41 Un decorador ha fet una mescla de 20 quilos de pintura que porta dues cinquenes parts de roig, tres desenes parts de blau i la resta de taronja. Quants quilos de pintura groga portarà la mescla?

20 kg → ? ? ?

42 Una empresa de transports treballa amb camions de llarg recorregut, furgonetes de repartiment i motos de missatgeria. De cada dotze vehicles, set són furgonetes i tres motos.

a) Quina fracció dels vehicles suposen els camions?

b) Si els camions són huit, quants vehicles té l’empresa en total?

43 En l’expositor de xocolate del supermercat, 3/10 de les pastilles són de xocolate negre, 2/5 de xocolate amb llet i la resta de xocolate amb ametles. Quantes pastilles de xocolate conté l’expositor si les d’ametla en són 12?

47 Un jardiner poda el dilluns 2/7 dels rosers, el dimarts 3/5 de la resta i el dimecres finalitza el treball podant els 20 que faltaven. Quants rosers té en total al jardí?

PER A PENSAR UN POC MÉS

48 Una certa revista ha augmentat en 1/3 el nombre de subscriptors durant el primer semestre de l’any i en 1/8 del resultat anterior, durant el segon semestre. Quin n’ha sigut l’augment al llarg de l’any?

Ajuda’t d’un esquema.

44 Un pastor té la tercera part de les ovelles en el prat de la muntanya, la quarta part, en la closa pròxima al poble, i les 50 restants, en la nau de la granja. Quantes ovelles té en total?

45 En una bossa hi ha boles roges (R), verdes (V) i blaves (B). La meitat són roges, les verdes igualen els tres cinquens de les roges i les blaves en són 14. Quantes n’hi ha en total? R → 1 210 5 =

3 2 1 10 3 de = B → 10 10 10 10 8 2 5 1

46 Una de cada quatre persones residents en un poble té més de 60 anys i, d’elles, dues de cada cinc superen els 80. Quina fracció dels habitants supera els 80 anys?

49 Un autobús cobrix el recorregut entre dues ciutats, amb dues parades intermèdies. Hui, a la primera parada, ha deixat dues cinquenes parts dels viatgers i n’hi han pujat 12. A la segona parada, ha deixat la tercera part dels que portava en aquest moment, i n’hi han pujat 14. Finalment, arriba a la seua destinació amb 40 ocupants. Amb quants viatgers va eixir de l’origen?

50 En un hotel, dilluns se’n van anar dues terceres parts dels clients i s’hi van registrar 20 ingressos nous. I dimarts se’n van anar les tres quartes parts, i s’hi van registrar 7 ingressos. Així, dimarts van dormir a l’hotel 48 clients. Quants hi van pernoctar diumenge?

LLIG, COMPRÉN I INTERPRETA

La utilitat de fer esquemes

En la resolució d’alguns problemes és de gran utilitat l’elaboració d’esquemes per a ordenar-ne i visualitzar-ne globalment les dades, per a organitzar les idees i per a facilitar l’exposició del procés i de la solució.

• Analitza i interpreta l’esquema que explica el problema següent: Problema

Un ciri il·lumina mentre se’n consumixen tres quartes parts de la longitud. Però el cap sobrant no es desaprofita: amb quatre caps, fem un ciri nou. Si cada ciri dura «una ciriada», quantes «ciriades» podem il·luminar amb un paquet de 25 ciris?

Solució: 25 + 6 + 1 + 1 = 33 ciris → Podem il·luminar 33 «ciriades».

• Construïx un esquema similar per al problema anterior, suposant que de cada ciri es consumixen solament els 3 2 .

En un ramat hi ha ovelles i cabres. El pastor ven la meitat de les ovelles i la tercera part de les cabres i, així i tot, les primeres doblen les segones. Quants caps li queden sabent que n’ha venut 25?

Un joc solitari

Intercanvia la fitxa groga i la fitxa roja amb el mínim nombre de moviments.

Explica com fer-ho.

Per explicar-ne la solució, inventa un codi. Per exemple:

(3 → 2): Significa que la fitxa que ocupa la casella n. 3, passa a la n. 2.

AUTOAVALUACIÓ

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

12 Un pot de melmelada pesa el mateix que 4 3 del que pesa una caixa de galetes, i una caixa de galetes, el mateix que 3 2 d’un pot de mel.

Quina fracció del pes d’un pot de mel equival al pes d’un pot de melmelada?

13 Un quiosc va vendre de matí 3 1 del total de diaris rebuts i de vesprada 5 2 també del total. Si li queden sense vendre 20 periòdics, quants n’havia rebut?

14 Un senyor ix de compres i gasta 3 1 dels diners en una americana i 5 2 del que li quedava en el mercat. Si encara té 30 euros, amb quants diners ha eixit de casa?

15 En una bossa hi ha boles blanques, negres i roges. Les blanques suposen tres cinquens del total i les roges igualen els dos terços de les negres. Quina fracció del total suposen les negres?

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

8 Escriu la descomposició polinòmica d’aquests nombres:

a) 1 238 600 b) 0,07586 c) 340,578

9 Quin nombre s’associa a cada expressió?

a) 4 · 10 2 + 6 · 10 + 5 · 10 –1 + 7 · 10 –2

b) 8 · 100 +  10 –1 + 2 · 10 –3

10 Expressa en notació científica.

a) 24700 000 000 b) 0,0000000238

11 D’un paquet de detergent de 5 kg s’han consumit quatre quilos i mig. Quina fracció queda del contingut original?

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detecten. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i compartix en grup.

POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjuís, per a aquells qui reproduïren, plagiaren, distribuïren o comunicaren públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seua transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.