Operació món: Matemàtiques 2º ESO. Illes Balears (demo)

LLICÈNCIA 12 MESOS

IllesBal ears

MATEMÀTIQUES

ESO 2 Operació

món

José Colera J., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C.

Índex

Els sabers bàsics del curs

Entrena’t resolent problemes 10

1. Organitza la informació i planifica la resolució

2. Representa les dades esquemàticament

3. Tempteja

4. Procedeix sistemàticament

4 Proporcionalitat 94

1. Raons i proporcions

2. Magnituds directament proporcionals

3. Magnituds inversament proporcionals

4. Problemes de proporcionalitat composta

5. Problemes de repartiments proporcionals

i problemes

1 N ombres naturals i enters 24

1. El conjunt dels nombres naturals

2. La relació de divisibilitat

3. Nombres primers i compostos

4. Mínim comú múltiple

5. Màxim comú divisor

6. El conjunt Z dels nombres enters

7. Operacions amb nombres enters

8. Potències de nombres enters

9. Arrel quadrada d’un nombre enter Exercicis

2 Nombres decimals i fraccions

1. Els nombres decimals

2. Operacions amb nombres decimals

3. Nombres decimals i nombres sexagesimals

4. Arrel quadrada d’un nombre decimal

5. Les fraccions

6. Fraccions i nombres decimals Exercicis i problemes Taller de matemàtiques

3 Operacions amb fraccions

1. Suma i resta de fraccions

2. Multiplicació i divisió de fraccions

3. Problemes amb fraccions

4. Potències i fraccions

i problemes

1. Percentatges. Concepte

2. Problemes amb percentatges

3. Interès bancari

4. Altres problemes aritmètics

i problemes

6 Àlgebra

1. L’àlgebra: per a què serveix?

2. Expressions algebraiques

3. Polinomis

4. Productes notables

i problemes

7 Equacions

1. Equacions: significat i utilitat

2. Equacions: elements i nomenclatura

3. Transposició de termes

4. Resolució d’equacions senzilles

5. Equacions amb denominadors

6. Procediment general per a la resolució d’equacions de primer grau

7. Resolució de problemes amb equacions

8. Equacions de segon grau

9. Resolució d’equacions de segon grau Exercicis i problemes

8 Sistemes d’equacions

1. Equacions de primer grau amb dues incògnites

2. Sistemes d’equacions lineals

3. Mètodes per a la resolució de sistemes lineals

4. Resolució de problemes amb ajuda dels sistemes d’equacions Exercicis i problemes

12 Mesura del volum

1. Unitats de volum

2. Principis de Cavalieri

3. Volum del prisma i del cilindre

4. Volum de la piràmide i del tronc de piràmide

5. Volum del con i del tronc de con

6. Volum de l’esfera Exercicis i problemes

9 Teorema de Pitàgores

1. Teorema de Pitàgores

2. Càlcul d’un costat coneixent els altres dos

3. Aplicacions del teorema de Pitàgores Exercicis

10 S emblança

1. Figures semblants

2. Plànols, mapes i maquetes

3. Com construir figures semblants

4. Teorema de Tales

5. Semblança entre triangles rectangles

6. Aplicacions de la semblança de triangles Exercicis i problemes

11 Cossos geomètrics

1. Prismes

2. Piràmides

13

1. Concepte de funció

2. Creixement, decreixement, màxims i mínims

3. Funcions donades per taules de valors

4. Funcions donades per la seva equació

5. Funcions de proporcionalitat: i = cmx

6. Pendent d’una recta

7. Funcions lineals: y = mx + n

8. Funcions constants: y = k

i problemes

14 Atzar i probabilitat

1. Esdeveniments aleatoris

2. Probabilitat d’un esdeveniment

3. Assignació de probabilitats en experiències regulars

4. Algunes estratègies per al càlcul de probabilitats

Exercicis i problemes

1

Nombres naturals i enters

Els nombres naturals s’han utilitzat en totes les civilitzacions des de l’antiguitat per facilitar l’activitat quotidiana: comptar, mesurar, comerciar, construir… (matemàtica pràctica). Els grecs varen anar més enllà: varen cultivar les matemàtiques pel pur plaer de saber (matemàtica teòrica).

Pitàgores (segle vi aC) i els seus deixebles varen rendir un culte molt especial als nombres. Segons ells, els nombres ho regien tot: la música, el moviment dels planetes, la geometria…

Indagaren en les seves propietats i relacions, i varen fer-ne classificacions, recollides més endavant al llibre VII dels Elements d’Euclides.

Els nombres negatius sorgeixen molt després dels naturals, responent a les necessitats del comerç i després d’aparèixer els sistemes de numeració dotats del zero, element imprescindible per a la seva construcció.

No apareixen sistematitzats fins al segle VII, en escrits hindús, relacionats amb qüestions i activitats quotidianes com tenir en contrast amb deure.

«Un deute restat del no-res es converteix en un bé.»

(Si et perdonen un deute, el saldo millora.)

«Un bé restat del no-res es converteix en un deute.»

(Si compres a crèdit, el saldo empitjora.)

La seva introducció a Europa, inicialment a través dels àrabs, va ser lenta i desigual. Molts matemàtics, des del segle xvi, varen teoritzar sobre el tema, però no va ser fins a finals del segle xix, quan el conjunt dels nombres enters negatius és acceptat i reconegut com a objecte matemàtic de ple dret.

Amb el que ja saps, resol-ho

Diversos membres d’una colla estan fent la mateixa col·lecció de cromos de la lliga de bàsquet, que es disputa entre devuit equips.

Cada equip ocupa una doble pàgina a l’àlbum i presenta 16 cromos dels jugadors, un altre de l’entrenador i un altre de l’escut del club.

1. En Marc tenia ahir 73 cromos a l’àlbum i uns altres 27 repetits per intercanviar. Avui ha comprat tres sobres de 5 cromos cada un, i n’hi han sortit sis que ja tenia. Després, ha intercanviat amb na Marta 13 dels seus repetits per uns altres que no tenia.

Ves resolent les preguntes següents, en l’ordre en què apareixen, i associa cada una amb la corresponent expressió que veus a la dreta.

a) Quants de cromos té la col·lecció?

b) Quantes pàgines té l’àlbum, tenint en compte que la primera conté l’índex i la darrera els crèdits?

c) En quants de cromos ha millorat avui la col·lecció d’en Marc?

d) Quants de cromos no repetits té ara?

e) Quants n’hi queden de repetits?

f) Quants n’hi falten encara per completar la col·lecció?

A 18 · (16 + 1 + 1)

B 18 · 2 + 2

C (5 · 3 6) + 13

D 73 + [(5 · 3 6) + 13]

E 27 + 6 13

F 182 [73 + (3 · 5 6) + 13]

2. En Roderic té 42 cromos repetits i els vol col·locar en munts igual de grossos, de més de 5 i de menys de 10 unitats. De quantes formes diferents pot fer-ho?

3. N’Albert diu que quan tengui 250 cromos, sense repetits, haurà omplit 13 pàgines de l’àlbum. Però n’Adela no hi està d’acord; li diu que potser no n’haurà omplit cap. I en Ramir opina que és possible que n’hagi omplit unes quantes, tres o quatre, però veu difícil que siguin més. Quin dels tres creus que té més possibilitats de tenir raó? Explica-ho.

4. A na Noemí li queden per reunir uns pocs cromos per completar la col·lecció, perquè ja en té 310. Quantes pàgines de l’àlbum pots assegurar que ha completat, com a mínim? I com a màxim?

TEN-HO EN COMPTE

L’adopció de 10 com a base del sistema de numeració decimal es fonamenta en la forma primitiva de comptar amb els dits de les mans.

El conjunt dels nombres naturals 1

El nombres que usam per comptar objectes, un a un, es diuen nombres naturals. El conjunt dels nombres naturals es designa per la lletra N, està ordenat i té principi, però no té fi.

N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Els nombres naturals es representen, ordenats, en la recta numèrica.

0 1 2 3 4 10

El sistema de numeració decimal

Des del principi de la civilització, les diferents cultures han ideat formes diverses d’expressar els nombres naturals: són els sistemes de numeració.

Numeració Numeració Numeració egípcia romana decimal

Nosaltres utilitzam habitualment el Sistema de Numeració Decimal (SND) que va ser inventat a l’Índia i que s’estengué cap a la Mediterrània de la mà dels àrabs, durant l’expansió del món islàmic, a partir del segle viii.

El SND és posicional, ja que el valor d’una xifra depèn de la posició que ocupa.

I és decimal, perquè deu unitats de qualsevol ordre fan una unitat de l’ordre immediat superior.

1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U

Com a conseqüència, un nombre es pot descompondre com mostra l’exemple següent (descomposició polinòmica):

El sistema sexagesimal

De la mateixa forma que nosaltres comptam de 10 en 10 (sistema decimal), altres cultures, al llarg de la història, han comptat de 60 en 60 (sistema sexagesimal).

L’adopció del 60 es basa, probablement, en la forma de comptar que usa les 12 falanges dels dits índex, del cor, del mig i petit d’una mà recorreguts amb el polze com a guia, mentre que el compte del nombre de recorreguts es duia amb els dits de l’altra mà.

❚ mesura del temps i de l’amplitud angular

En l’actualitat, el sistema sexagesimal s’usa en la mesura del temps i en la mesura de l’amplitud angular. En aquestes magnituds, cada unitat es divideix en 60 unitats de l’ordre inferior.

5 x 12 = 60

➜ anayaeducacion.es Passa a forma complexa o incomplexa.

Observa que les notacions dels minuts i els segons difereixen d’una magnitud a l’altra.

❚ expressions complexes i incomplexes

Recorda que les mesures de les quantitats relatives a una magnitud es poden expressar usant simultàniament unes quantes unitats (forma complexa) o una unitat única (forma incomplexa).

forma complexa forma incomplexa

1 h 15 min 75 min → 4 500 s

13° 12' 792' → 47 520"

PER FIXAR IDEES

Copia i completa-ho al quadern.

1 Passa a forma complexa. a)

2 Passa 2 hores i 24 minuts a forma incomplexa (primer a minuts i després a segons).

a) Pas a minuts: 2 h 24 min → (2 · 60 + 24) min = (… + …) min = … min

b) Pas a segons: 2 h 24 min → (2 · 3 600 + 24 · …) s = … s

DIVISIBILITAT 24 7 3 3 (no exacta) 24 no és divisible entre 7 24 8 0 3 (exacta) 24 és divisible entre 8

La relació de divisibilitat 2

Múltiples i divisors

Dos nombres estan emparentats per la relació de divisibilitat quan el seu quocient és exacte.

|Exemple 60 20 0 3 → 60 és divisible entre 20. 60 múltiplde 20. 20 és divisorde 60. és e )

Si la divisió a : b és exacta a és múltiple de b. b és divisor de a.

Els múltiples i els divisors d’un nombre

• Els múltiples d’un nombre el contenen una quantitat exacta de vegades i s’obtenen multiplicant-lo per qualsevol altre nombre natural.

|Exemple

MÚLTIPLES DE 12

Calculem els primers múltiples de 12:

12 · 1 = 12 12 · 2 = 24

• Un nombre té infinits múltiples.

• Tot nombre és múltiple de si mateix i de la unitat. → a · 1 = a

de a.

• Els divisors d’un nombre hi estan continguts una quantitat exacta de vegades i, per tant, el divideixen amb quocient exacte.

12 · 3 = 36 12 · 4 = 48

TEN-HO EN COMPTE

n · 0 = 0

• Podem considerar que el zero és múltiple de qualsevol nombre.

• El zero només té un múltiple: ell mateix.

|Exemple

Calculem els divisors de 12:

anayaeducacion.es Troba els múltiples i els divisors d’un nombre.

Els divisors de 12 són: 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

Observa que van emparellats.

• Un nombre té una quantitat finita de divisors.

• Un nombre té almenys dos divisors: ell mateix i la unitat.

TEN-HO EN COMPTE

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple de 2 més la xifra de les unitats:

128 = 120 + 8

múltiple de 2 xifra unitats

TEN-HO EN COMPTE

Un nombre format per nous és múltiple de 3 i de 9. 9 = 9 · 1 = 3 · 3

Una propietat dels múltiples d’un nombre

Observa que en sumar dos múltiples de 12 s’obté un altre múltiple de 12.

36 + 60 = 12 · 3 + 12 · 5 = 12 · (3 + 5) = 12 · 8 = 96

La suma de dos múltiples d’un nombre a és un altre múltiple de a. m · a + n · a = (m + n) · a

Criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són una sèrie de regles, molt simples, que permeten descobrir amb rapidesa si un nombre és múltiple de 2, 3, 5, 11…

❚ divisibilitat per 2, per 5 i per 10

Ja saps que:

• Un nombre és múltiple de 2 si acaba en 0, 2, 4, 6 o 8.

• Un nombre és múltiple de 5 si acaba en 0 o en 5.

• Un nombre és múltiple de 10 si acaba en 0.

❚ divisibilitat per 3 i per 9

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple de 3 més la suma de les seves xifres:

múltiple de 3 suma de les xifres

El primer sumand és múltiple de 3. Segons la propietat vista més amunt, perquè el nombre sigui múltiple de 3, també ho ha de ser el segon sumand. I el mateix raonament serveix per als múltiples de 9.

• Un nombre és múltiple de 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

• Un nombre és múltiple de 9 si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

❚ divisibilitat per 11

Un nombre de diverses xifres sempre es pot descompondre en un múltiple d’11 més el resultat de sumar-ne i restar-ne, alternativament, les xifres.

649 = 600 = 594 + 6 40 = 44 – 4 9 = 9 = (594 + 44) + (6 – 4 + 9)

múltiple de 11 suma i resta alternada de les xifres

Tots els nombres dels requadres són múltiples d’11. Comprova-ho.

El primer sumand és múltiple d’11. Perquè el nombre sigui múltiple d’11, també ho ha de ser el segon sumand.

Un nombre és múltiple d’11 si la suma de les xifres de lloc imparell, menys la suma de les xifres de lloc parell (o viceversa), és múltiple d’11.

PER FIXAR IDEES

Copia i completa-ho al quadern.

1 Divideix, observa i contesta les preguntes.

a) És 173 múltiple de 19? I 228?

b) És 43 divisor de 516? I de 743?

2 Escriu els vuit primers múltiples de 13.

42.

4 Cerca tots els múltiples de 14 compresos entre 250 i 300.

PER PRACTICAR

1 Escriu:

a) Els cinc primers múltiples de 20.

b) Tots els divisors de 20.

2 Dibuixa totes les maneres de representar 36 com a nombre rectangular.

36 = 3 · 12

Quina relació tenen amb els divisors de 36?

3 Escriu totes les parelles de nombres que el seu producte sigui 60.

4 Cerca:

a) Els múltiples de 7 compresos entre 100 i 150.

b) El primer múltiple de 13 després de 1 000.

5 Copia, encercla els parells i retxa els múltiples de 3. 45 - 67 - 74 - 96 - 143 - 138 - 251 - 309 - 488

6 Quins valors ha de prendre la xifra a perquè el nombre:

5 6 a

a) Sigui múltiple de 2. b) Sigui múltiple de 3.

c) Sigui múltiple de 5. d) Sigui múltiple de 9.

7 Selecciona, entre aquests nombres, els múltiples d’11.

286 611 913 1 804 2 444 3 333

8 Observa, copia i completa-ho al quadern.

a) n = 2 · 3 · k = 6 · k → Si un nombre, n, és múltiple de 2 i de 3, també és múltiple de 6.

b) m = 2 · 5 · k = 10 · k → Si un nombre, m, és múltiple de 2 i de 5, també és múltiple dee…

c) p = 15 · k = 3 · 5 · k → Si un nombre, p, és múltiple de 15, també ho és de … i de…e…

RECORDA

Aquests són els nombres primers menors que 100: 2

Nombres primers i composts 3

• Alguns nombres es poden descompondre en forma de producte: 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5

Direm que 40 és un nombre compost

• Altres nombres, com el 13, només tenen dos divisors, 13 i 1, i, per tant, no es poden descompondre en forma de producte: 13 = 13 · 1 → no es pot descompondre

Direm que 13 és un nombre primer.

• Un nombre que no es pot descompondre en factors és un nombre primer.

• Un nombre primer només té dos divisors: si mateix i la unitat.

• Els nombres que no són primers es diuen composts.

Descomposició d’un nombre en factors primers

RECORDA

Per descompondre un nombre en factors primers, actua ordenadament, tenint en compte els criteris de divisibilitat.

El major nivell de descomposició factorial d’un nombre s’aconsegueix quan tots els factors són primers.

Per descompondre un nombre en factors primers, convé actuar ordenadament. Observa com descomponem el nombre 594:

➜ anayaeducacion.es Recorda com s’ha de descompondre un nombre en els seus factors primers.

PER PRACTICAR

1 Separa, entre els nombres següents, els primers dels composts.

101 111 113 243 341

2 Copia i completa els processos de descomposició factorial.

2

3 Descompon aquests nombres en factors primers.

a) 84 b) 130 c) 160 d) 594

e) 720 f ) 975 g) 2 340 h) 5 220

4 Escriu factoritzats sense fer cap operació:

a) Tres múltiples de 12 = 22 · 3.

b) Tots els divisors de 75 = 3 · 5 · 5.

5 Tenint en compte que m = 22 · 3 · 5 i n = 23 · 3, escriu:

a) Tres múltiples comuns de m i n.

b) Tres divisors comuns de m i n.

comú múltiple 4

Mínim

El mínim comú múltiple de diversos nombres, a, b, c, … és el menor dels seus múltiples comuns, i s’escriu així: m. c. m. (a, b, c, …).

Càlcul del mínim comú múltiple

Construirem el m. c. m. (a, b, c, …) amb tots els factors primers de a, tots els de b, tots els de c …, però només els imprescindibles.

|Exemple

Calcularem el mínim comú múltiple de 200 i 240.

• Primer, descomponem els nombres en factors primers

200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5

• Després, seleccionam els factors adequats: tots els de 200, tots els de 240, però només els imprescindibles:

Per calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:

• Es descomponen els nombres en factors primers.

• Es prenen tots els factors primers, comuns i no comuns, elevat cada un al major dels exponents amb el qual apareix.

PROBLEMA RESOLT PER PRACTICAR 1 Calcula mentalment.

Una fàbrica de calçat esportiu confecciona sabatilles que duen cordons de 100 cm (200 cm el parell) i botes amb cordons de 120 cm (240 cm el parell).

Quina longitud ha de tenir un rodet de cordó que serveixi per encordar un nombre exacte de parells de sabatilles o un nombre exacte de parells de botes?

m. c. m. (200, 240) = 1 200

15)

40)

a) m. c. m. (18, 24) b) m. c. m.

90)

(6, 11)

3 Un supermercat fa inventari cada 36 dies i canvia els expositors cada 24 dies. Cada quant de temps coincideixen les dues feines en el mateix dia?

(21, 35)

(90, 120)

4 Dues rodes, una de 24 dents i l’altra de 32, giren acoblades en posar en marxa un engranatge. Quantes voltes donarà cada una fins a quedar enfrontades en la posició inicial?

Màxim comú divisor 5

màxim comú divisor de diversos nombres, a, b, c, … és el major dels seus divisors comuns, i s’escriu així:

m. c. d. (a, b, c, …)

Càlcul del màxim comú divisor

Construirem el m. c. d. (a, b, c, …) amb tots els factors primers que tenguin en comú a, b, c, …

|Exemple

Calcularem el màxim comú divisor de 200 i 240.

• Primer, descomponem els nombres en factors primers: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5

• Després, seleccionam els factors comuns:

Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres:

• Es descomponen els nombres en factors primers.

• Es prenen solament els factors primers comuns, elevat cada un al menor dels exponents amb el qual apareix.

PROBLEMA RESOLT

Un fuster vol partir dos llistons, un de 200 cm i un altre de 240 cm, en trossos iguals, tan grans com es pugui i sense deixar-ne cap trosset. Quina longitud n’han de tenir els trossos?

m. c. d. (200, 240) = 40

Solució: Els trossos han de tenir una longitud de 40 cm.

3 Calcula.

8)

(15, 20)

75)

2 Una llauradora destina a planter una parcel·la rectangular de 248 cm × 250 cm. La vol dividir en quadrats, tots iguals i tan grans com es pugui.

Quines seran les dimensions de cada planter?

42) c) m.

36)

d. (63, 99) d) m. c. d. (90, 126)

275)

4 Un distribuïdor vol envasar 885 litres d’oli d’oliva i 705 litres d’oli de gira-sol, en garrafes iguals i tan grans com es pugui. Quin ha de ser la capacitat de les garrafes perquè totes quedin plenes i sense que sobri oli?

TEN-HO EN COMPTE

El valor absolut d’un nombre és la seva distància al zero en la recta numèrica.

El conjunt Z dels nombres enters 6

Si prenem el conjunt N dels nombres naturals i, per cada element diferent de zero, +a, n’afegim un altre amb el signe negatiu, –a, haurem obtengut un conjunt nou, que es coneix en matemàtiques com el conjunt dels nombres enters i es designa per la lletra Z.

Valor absolut i oposat d’un nombre enter

• El valor absolut d’un nombre enter és el nombre natural que resulta de llevar-li el signe i s’expressa escrivint-lo entre barres.

• L’oposat d’un nombre enter és un altre enter amb el mateix valor absolut, però de signe contrari.

EXEMPLES (–7) < 0 < (+1) (–12) < (–9) < (–2)

Ordre en el conjunt Z

El conjunt dels nombres enters es representa, ordenat, en la recta numèrica:

Així, veim que un nombre és major que qualsevol altre que estigui a la seva esquerra i menor que qualsevol altre que estigui a la seva dreta.

• Qualsevol nombre positiu és major que el zero, i aquest, major que qualsevol nombre negatiu.

• Els nombres negatius s’ordenen al revés que els positius. És major el que tengui menys valor absolut.

PER PRACTICAR

1 Escriu el valor absolut i l’oposat de cada nombre.

a) –3 b) +8 c) –11

d) +23 e) –37 f ) +60

2 Ordena de menor a major.

–7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24

3 Vertader o fals?

a) Qualsevol nombre enter és també natural.

b) Qualsevol nombre natural és enter.

c) Només els negatius tenen oposat.

d) Dos nombres enters oposats tenen el mateix valor absolut.

Operacions amb nombres enters 7

Suma i resta de nombres enters

Recorda algunes regles bàsiques per resoldre expressions amb nombres enters:

Per sumar (restar) dos nombres:

• Si tenen el mateix signe, se’n sumen els valors absoluts i es posa el signe que tenien els sumands.

+4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9

• Si tenen diferent signe, se’n resten els valors absoluts i es posa el signe del que té un valor absolut major. – 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5

Per operar més de dos nombres positius i negatius, podem seguir dos camins:

• Anar operant pas a pas, segons apareixen.

• Agrupar els positius d’una banda i els negatius d’una altra. Després, operar.

PER FIXAR IDEES

1 Llegeix, reflexiona i completa les frases al quadern.

a) Si em donen 5 € i després em donen 3 €, tendré 8 € més.

+5 + 3 = …

c) Si em donen 10 € i em lleven 3 €, tendré … € …

+10 – 3 = …

b) Si gast 4 € i després gast 2 €, tendré … € menys. –4 – 2 = …

d) Si em donen 3 € i gast 7 €, tendré … € +3 – 7 = …

2 Copia i completa-ho per resoldre la mateixa expressió de dues formes diferents.

PER PRACTICAR

1 Calcula mentalment.

a) 5 – 7 b) 2 – 9 c) –1 – 9

d) –12 + 17 e) –22 + 10 f) –12 – 13

2 Resol.

a) 10 – 3 + 5 b) 2 – 9 + 1 c) 16 – 4 – 6

d) 7 – 10 – 3 e) –7 – 8 + 5 f) –5 + 8 + 4

g) –8 + 2 + 3 h) –1 – 2 – 3 i) –7 – 3 – 4

3 Calcula.

a) 3 – 7 + 2 – 5

b) 2 – 6 + 9 – 3 + 4

c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1

d) – 6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5

e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13

f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15

Operacions amb nombres enters

➜ anayaeducacion.es Operacions amb nombres enters.

Sumes, restes i parèntesis

Reflexiona sobre els enunciats següents relatius a un compte bancari:

• Si ingrés un taló de 25 €, hi haurà 25 € més. → +(+25) = +25

• Si pag una factura de 18 €, hi haurà 18 € menys. → +(–18) = –18

• Si retir un taló de 55 €, hi haurà 55 € menys. → –(+55) = –55

• Si elimin una factura de 60 €, hi haurà 60 € més. → –(–60) = +60

• En suprimir un parèntesi precedit del signe més, els signes interiors no varien.

• En suprimir un parèntesi precedit del signe menys, es canvien els signes interiors: més per menys i menys per més.

|Exemples

+(–3 + 8 – 2) = –3 + 8 – 2

–(–3 + 8 – 2) = +3 – 8 + 2

PER FIXAR IDEES

3 Copia i completa-ho per resoldre la mateixa expressió de dues formes diferents.

a) Llevant primer els parèntesis.

(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) = 7 – – 2 + – + = 7 + 5 + 9 – – – = 21 – = …

b) Operant primer dins dels parèntesis.

(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) = (–3) – ( – ) = (–3) – (– ) = …

PER PRACTICAR

4 Lleva els parèntesis i fes els càlculs.

a) (–3) – (+4) – (–8)

b) –(–5) + (–6) – (–3)

c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4)

d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7)

5 Resol llevant els parèntesis.

a) (4 – 9) – (5 – 8)

b) –(1 – 6) + (4 – 7)

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)

e) 22 – (7 – 11 – 3) – 13

6 Resol operant primer dins dels parèntesis.

a) (2 – 6) + (4 – 8)

b) (8 – 10) – (12 – 7)

c) 15 – (2 – 5 + 8) + (6 – 9)

d) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)

e) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

7 Resol de dues formes, com en l’exemple.

• 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4 10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4

a) 15 – (12 – 8) b) 9 – (20 – 6)

c) 8 – (15 – 12) d) 6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5) f) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

8 Calcula.

a) 7 – [1 + (9 – 13)] b) –9 + [8 – (13 – 4)]

c) 12 – [6 – (15 – 8)] d) –17 + [9 – (3 – 10)]

e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] f) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]

9 Resol.

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]

f) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

➜ anayaeducacion.es

Multiplicació de nombres enters

Podem calcular el producte de dos nombres enters tenint en compte que una multiplicació és una suma de sumands iguals:

(+3) · (– 6) = Sumam tres vegades (– 6): +(– 6) + (– 6) + (– 6) = – 6 – 6 – 6 = –18

(–3) · (– 6) = Restam tres vegades (– 6):

No obstant això, per multiplicar amb rapidesa, aplicam la regla següent:

regla dels signes

El producte de dos nombres enters és:

• Positiu, si els dos factors tenen signes iguals.

• Negatiu, si els dos factors tenen signes diferents.

Divisió de nombres enters

La divisió de nombres enters guarda amb la multiplicació les mateixes relacions que en els nombres naturals:

En la divisió s’aplica la mateixa regla dels signes que en la multiplicació.

PER PRACTICAR

10 Multiplica.

a) (+10) · (–2) b) (– 4) · (–9)

c) (–7) · (+5) d) (+11) · (+7)

11 Observa els exemples i multiplica de les dues formes que s’indiquen.

• (–3) · (+2) · (–5) = (– 6) · (–5) = +30

(–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +30

a) (–2) · (–3) · (+4) b) (–1) · (+2) · (–5)

c) (+4) · (–3) · (+2) d) (– 6) · (–2) · (–5)

12 Fes aquestes divisions.

a) (–18) : (+3) b) (–15) : (–5)

c) (+36) : (–9) d) (–30) : (–10)

e) (–52) : (+13) f ) (+22) : (+11)

13 Copia, completa i compara. Què hi observes?

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] = [(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

14 Calcula el valor de x en cada cas.

a) (–18) : x = +6 b) (+4) · x = –36

c) x · (–13) = +91 d) x : (–11) = +5

Practica la multiplicació i divisió de nombres enters.

Operacions amb nombres enters

Operacions combinades

Observa l’ordre en el qual feim les operacions per calcular el valor de la següent expressió combinada:

(–18) : (11 – 9 – 5) + 5 · (6 – 8)

• Primer, les operacions que estan dins dels parèntesis.

• Després, les multiplicacions i les divisions.

(–18) : (–3) + 5 · (–2) ↓

(+6) + (–10) ↓

• Finalment, les sumes i les restes. ⎯⎯→ 6 – 10 = – 4

PER FIXAR IDEES

4 Copia i completa-ho per obtenir el valor de l’expressió següent:

(6 – 9 + 2) · (–5) + 3 · (2 – 6) + 4 = = ( ) · (–5) + 3 · ( ) + 4 = = ( ) + ( ) + 4 = – + 4 =

PER PRACTICAR

15 Fes els càlculs com en els exemples.

• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9

• 18 : 6 – 5 = 3 – 5 = –2

a) 18 – 5 · 3 b) 6 – 4 · 2

c) 7 · 2 – 16 d) 18 – 15 : 3

e) 5 – 30 : 6 f ) 20 : 2 – 11

16 Fes els càlculs com en l’exemple.

• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11 b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2

c) 15 – 20 : 5 – 3 d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7

e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6

17 Observa l’exemple i calcula.

• (–3) · (– 4) + (– 6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = – 6

a) 5 · (–8) – (+9) · 4

b) 32 : (–8) – (–20) : 5

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4)

d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4)

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2)

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)

(6 – 9 + 2) · (–5) + 3 · (2 – 6) + 4 ( ) (–5) + 3 · ( ) + 4

) + ( ) + 4

+ 4 =

+5

= (–2) · [11 + 3 · (–2)] – 3 · (–3) = = (–2) · [11 – 6] + 9 = (–2) · [+5] + 9 = –10 + 9 = –1

19 Calcula.

a) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]

b) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

20 Meta 3.8. Escriu una expressió aritmètica que reflecteixi la diferència entre el màxim i el mínim nombre d’hores setmanals que ha de dormir un al·lot o una al·lota de 14 anys, segons les recomanacions de l’OMS, i resol-la. Segons l’OMS, un adolescent ha de dormir entre 9 i 11 hores al dia.

Potències de nombres enters 8

Recorda que una potència és una multiplicació de factors iguals:

TEN-HO EN COMPTE

10n = 10 · 10 · … · 10

n factors ↓

10n = 100 … 0

n zeros

|Exemples

• (+4)2 = (+4) · (+4) = +16

• (–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81

• (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

Potències de nombres negatius

En les successives potències d’un nombre negatiu obtenim, alternativament, resultats positius i negatius:

(–3)1 = –3 (–3)2 = +9 (–3)3 = –27 (–3)4 = +81

En elevar un nombre negatiu a una potència:

• Si l’exponent és parell, el resultat és positiu.

(– a)n (parell) → positiu

• Si l’exponent és imparell, el resultat és negatiu.

(– a)n (imparell) → negatiu

Propietats de les potències

Les propietats següents són bàsiques per al càlcul amb potències. Memoritza-les i analitza amb atenció cada exemple.

❚ potència d’un producte

TEN-HO EN COMPTE

[(–2) + (–3)]2 = [–5]2 = +25

(–2)2 + (–3)2 = 4 + 9 = +13

La potència d’una suma (o d’una resta) no és igual a la suma de les potències dels sumands.

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

[(–2) · (+5)]3 = (–2)3 · (+5)3

[–10]3 (–8) (+125)

–1 000 –1 000

❚ potència d’un quocient

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

[(–10) : (+5)]3 = (–10)3 : (+5)3

(–2)3 (–1 000) : (+125)

–8 –8

❚ producte de potències de la mateixa base

Per multiplicar dues potències de la mateixa base, se’n sumen els exponents.

(–10)2 · (–10)3 = (–10)2 + 3 = (–10)5

(+100) · (–1 000)

–100 000 –100 000

❚ quocient de potències de la mateixa base

Per dividir dues potències de la mateixa base, se’n resten els exponents.

(–10)5 : (–10)3 = (–10)5 – 3 = (–10)2

(–100 000) : (–1 000)

❚ potència d’una altra potència

Per elevar una potència a una altra potència, se’n multipliquen els exponents.

[(–10)3]2 = (–10)3 · 2 = (–10)6 [–1 000]2

PER PRACTICAR

1 Escriu, si es pot, com a producte i fes els càlculs.

a) (–1)7 b) (–5)2 c) (–10)5

d) (–7)3 e) (–1)0 f) (–7)0

2 Fes els càlculs amb ajuda de la calculadora de quatre operacions com en l’exemple.

• 125 → 12**==== → {∫“¢°°«“}

a) (–11)3 b) 175 c) (–27)4

3 Redueix a una sola potència com en els exemples.

• 25 · (–3)5 = [2 · (–3)]5 = (– 6)5

• (–15)4 : (+3)4 = [(–15) : (+3)]4 = (–5)4 = 54

a) 32 · 42 b) (–2)3 · 43

c) (+15)3 : (–5)3 d) (–20)2 : (– 4)2

4 Redueix aplicant la propietat a m · a n = a m + n .

a) x 2 · x 3 b) a 4 · a 4 c) z 5 · z

5 Redueix a una sola potència.

a) (–2)5 · 27 b) (–2)3 · (+2)6

c) (–12)2 · (+12)2 d) (+9)4 · (–9)2

6 Redueix aplicant la propietat a m : a n = a m – n .

a) x 7 : x 4 b) a 7 : a 2 c) z 8 : z 3

7 Redueix a una potència única.

a) (–7)8 : (–7)5 b) 109 : (–10)4

c) 124 : (–12) d) (– 4)10 : (+4)6

8 Aplica la propietat (a m)n = a m · n, i redueix.

a) (x 3)2 b) (a 3)3 c) (z 6)3

9 Copia i completa-ho al quadern.

a) (32)4 = 3 b) [(–2)4]3 = (–2)

c) [(+5)2]2 = (+5) d) [(– 6)3]5 = (– 6)

10 Redueix com en l’exemple.

• (a 6 · a 4) : a 7 = a 10 : a 7 = a 3

a) (x 5 · x 2) : x 4 b) m 7 : (m 2 · m 3)

c) (a · a 6) : (a 2 · a 4) d) (z 5 · z 3) : (z 4 · z 2)

11 Fes les operacions i els càlculs.

a) 106 : (54 · 24) b) (–12)7 : [(–3)5 · 45]

c) [(–9)5 . (–2)5] : 184 d) [57 · (– 4)7] : 204

➜ anayaeducacion.es Practica l’arrel quadrada d’un nombre enter.

Arrel quadrada d’un nombre enter 9

• L’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat.

a = b ⇔ b 2 = a

• Els nombres que tenen arrel quadrada entera es diuen quadrats perfectes.

|Exemples

49 7 = ⇔ 749 2 = 400 20 = ⇔ 20 400 2 = 4 49 i 400 són quadrats perfectes

Un nombre positiu té dues arrels quadrades, una positiva i una altra negativa.

Les arrels quadrades de 16 són 4 i – 4. 4 → perquè 42 = +16

– 4 → perquè (– 4)2 = +16

Però ten en compte que, per conveni, quan posam 16 , ens referim a la solució positiva. Per prendre la negativa hem de posar el signe menys a davant.

16 = +4 – 16 = – 4

Un nombre negatiu no té arrel quadrada.

() –16 = x ⇔ x 2 = –16 → Impossible

() –16 → No existeix, perquè no hi ha cap nombre el quadrat del qual sigui un resultat negatiu.

Altres arrels

A més de l’arrel quadrada, podem obtenir arrels d’índex superior a dos. En general:

a = b ⇔ bn = a n

PER PRACTICAR

1 Calcula, si existeixen, aquestes arrels.

a) () +1 b) () –1 c) () 25 +

d) () –36 e) () +100 f ) () –100

g) () –169 h) () 400 + i ) () –900

2 Reflexiona i calcula, si existeixen. a) 27 3

Exercicis i problemes

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Sistemes de numeració

1 Observa un nombre escrit en dos sistemes de numeració diferent:

Sistema de numeració egipci.

Sistema de numeració maia.

a) Explica el significat dels signes en cada cas.

b) Escriu en els dos sistemes el nombre anterior i el posterior.

2 Copia i completa.

a) 2 300 UM = … C b) 4 800 D = … UM

c) 2 CM = ….. UM d) 700 UM = … DM

3 Copia, calcula i completa-ho.

a) 1 h 13 min 27 s → … s

b) 587 min → … h … min

c) 6 542 s → … h … min … s

Múltiples i divisors

4 Respon i justifica la resposta.

a) És 132 múltiple d’11? I 11 divisor de 132?

b) És 574 múltiple de 14? I 27 divisor de 1 542?

5 Calcula.

a) Els cinc primers múltiples de 10.

b) Els cinc primers múltiples de 13.

c) Tots els divisors de 23.

d) Tots els divisors de 32.

6 Reflexiona i contesta les preguntes.

a) Els tres divisors de major grandària d’un nombre són 20, 30 i 60. De quin nombre parlem?

b) Els tres múltiples de menor grandària d’un nombre són 12, 24 i 36. Quin nombre és?

Nombres primers i composts

7 Escriu.

a) Els deu primers nombres primers.

b) El major nombre primer de dues xifres i el menor de tres xifres.

8 Copia i completa-ho per descompondre els nombres següents en factors primers.

1 400 = 2 · · 1 485 = ·

9 Descompon en el màxim nombre de factors.

a) 378 b) 1 144 c) 1 872

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor

10 Calcula mentalment.

a) m. c. m. (2, 3) b) m. c. m. (6, 9)

c) m. c. m. (4, 10) d) m. c. m. (6, 10)

e) m. c. m. (6, 12) f ) m. c. m. (12, 18)

11 Calcula mentalment.

a) m. c. d. (4, 8) b) m. c. d. (6, 9)

c) m. c. d. (10, 15) d) m. c. d. (12, 16)

e) m. c. d. (16, 24) f ) m. c. d. (18, 24)

12 Calcula.

a) mín. c. m. (24, 36) b) máx. c. d. (24, 36)

c) mín. c. m. (28, 42) d) máx. c. d. (28, 42)

e) mín. c. m. (45, 75) f) máx. c. d. (45, 75)

Els nombres enters 13 Ordena de menor a major. – 6, +8, –16, –3, +12, –7, +4, +15, –11

Suma i resta de nombres enters 14 Fes les operacions.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9

b) 10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10

d) –7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

15 Fes els càlculs.

a) 15 + (8 – 6) b) 11 – (2 + 8)

c) 6 + (2 – 8) – (1 + 7)

d) (13 – 11) – (10 + 7) – (2 – 10)

Multiplicació i divisió de nombres enters

16 Fes les operacions aplicant la regla dels signes.

a) (– 4) · (+7) b) (–21) : (+3)

c) (– 6) · (–8) d) (+30) : (+5)

e) (+10) · (+5) f ) (– 63) : (–9)

g) (–9) · (–5) h) (+112) : (–14)

17 Copia i completa.

a) (–3) · (…) = –15 b) (– 28) : (…) = –4

c) (…) · (– 4) = +32 d) (…) : (+5) = +10

e) (+20) · (…) = +60 f) (…) : (–7) = +8

Operacions combinades amb nombres enters

18 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b) 2 · 9 – 7

c) 4 · 5 – 6 · 3 d) 2 · 8 – 4 · 5

e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3

19 Resol.

a) 7 · (6 – 4) b) (7 – 10) · 2

c) (– 3) · (7 – 6) d) (10 – 4) · (– 2)

e) 6 · (5 – 3) + 2 · (2 – 7) f) 5 · (–3 – 1) – 4 · (9 – 7)

Potències de nombres enters 20 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (– 6)3

d) (+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

g) (+3)0 h) (–6)0 i) (–10)0

21 Expressa-ho com a potència d’un únic nombre.

a) 104 : 54 b) 127 : (– 4)7

c) (–9)6 : 36 d) 26 · 26

e) (– 4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

22 Redueix a una sola potència.

a) x2 · x4 b) m4 · m3 c) x6 · x

d) m8 : m5 e) x3 : x f) m5 : m5

g) (x3)2 h) (m5)2 i) (x 2)2

Arrel quadrada de nombres enters 23 Calcula, si existeix.

a) 49 b) 7 2 c) 49 –

d) 15 2 e) 225 f ) –225

g) 2 500 h) 50 2 i )

ENTRENA’T I PRACTICA

24 En la sèrie següent pots veure els deu primers nombres naturals, escrits en el sistema binari (només utilitza els signes 1 i 0):

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 - 110 - 111 - 1000 - 1001 Escriu-ne els deu següents.

25 Copia aquests nombres i selecciona:

1 000 2 007 4 829 5 511 6 005

a) Els múltiples de 2. b) Els múltiples de 3.

c) Els múltiples de 5. d) Els múltiples de 11.

26 Escriu.

a) Els nombres primers compresos entre 50 i 60.

b) Els nombres primers compresos entre 80 i 100.

c) Els tres primers nombres primers majors que 100.

27 Calcula.

a) m. c. m. (12, 15) b) m. c. m. (24, 60)

c) m. c. m. (48, 54) d) m. c. m. (90, 150)

e) m. c. m. (6, 10, 15) f ) m. c. m. (8, 12, 18)

28 Calcula.

a) m. c. d. (36, 45) b) m. c. d. (48, 72)

c) m. c. d. (105, 120) d) m. c. d. (135, 180)

e) m. c. d. (8, 12, 16) f ) m. c. d. (45, 60, 105)

29 Escriu les coordenades dels vèrtexs d’aquest rectangle i dibuixa’n un altre igual amb el vèrtex M en el punt (1, 0).).

30 Fes les operacions.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

Exercicis i problemes

31 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d) [(+40) : (– 4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (– 6)] f ) [(–8) · (+3)] : (– 4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (– 4)] h) [6 · (–10)] : [(–5) · 6]

32 Fes els càlculs i observa que el resultat varia segons la posició dels parèntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d) [(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

33 Fes les operacions.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

34 Redueix a una sola potència.

a) (x 2)5 b) (m 4)3

c) [a 10 : a 6]2 d) (a · a 3)3

e) (x 5 : x 2) · x 4 f ) (x 6 · x 4) : x 7

35 Observa l’exemple i redueix.

• () xx x · 63 23 2 == = x 3

a) () x 22 b) () m 32 c) () a 42

d) x 4 e) m 6 f ) a 8

REFLEXIONA, APLICA, EXPRESSA’T

36 Cerca un divisor de 427 amb dues xifres.

37 Un nombre menor de 50 és múltiple de 6 i de 7. Quin nombre és?

38 Un grup de 20 persones es pot organitzar en un nombre exacte de files i columnes. Per exemple, quatre files i cinc columnes.

No obstant això, un grup de 13 persones només es pot posar en una única fila.

Cerca tots els grups de persones, compresos entre 150 i 170 elements, que només es puguin organitzar en una fila única.

39 Un nombre de tres xifres és múltiple de 150 i divisor de 2 100. Quin nombre pot ser?

RESOL PROBLEMES SENZILLS

Problemes amb nombres naturals

40 Una persona de 14 anys, segons l’OMS, ha de dormir entre 9 i 11 hores al dia, i una de 40 anys, entre 7 i 9 hores. Quina serà la diferència entre les hores anuals de son d’un al·lot o d’una al·lota de 14 anys i una persona de 40 anys?

41 Una companyia de dansa de 156 ballarins i ballarines fa una coreografia formant files i columnes. Si en una fila n’hi ha 20 més que en una columna, quantes files i quantes columnes són?

42 Es vol dividir una cartolina de 50 cm × 65 cm en fitxes quadrades de la major grandària possible. Quin serà el costat de cada fitxa?

43 En el platet dret d’una balança s’han col·locat daus de fusta de 30 grams, i en el platet esquerre, bolles de vidre de 36 grams. Sabent que la balança està equilibrada i que entre daus i bolles no superen les 15 unitats:

a) Quant de pes suporta cada platet?

b) Quants de daus i quantes bolles s’han emprat?

44 D’una fàbrica surten dos camions carregats amb geleres iguals. El primer carrega 481 quilos, i el segon, 555 quilos. Quant pesa cada gelera i quantes en duu cada camió?

45 Un rotllo de cable fa més de 150 m i menys de 200 m. Quina és la seva longitud exacta, sabent que es pot dividir en trossos de 15 m i també en trossos de 18 m sense tudar-ne gens?

46 Un ajuntament ofereix al veïnat parcel·les per posar horts. Per a això ha dividit un terreny quadrat en parcel·les rectangulars de 15 m × 20 m. Quines són les dimensions del terreny, si a l’ajuntament li han sortit gairebé 50 parcel·les?

47 En un forn s’han fabricat 2 400 magdalenes i 2 640 galetes, que s’envasen en bosses amb el mateix nombre d’unitats i sense mesclar els dos productes. Quantes peces duu cada bossa, tenint en compte que el nombre és superior a 10 i inferior a 15?

Problemes amb nombres enters

48 Dibuixa uns eixos de coordenades i els punts A (–2, 0) i B (4, 2).

Traça tots els quadrats que tenen dos vèrtexs en aquests punts (són tres diferents).

Finalment, escriu les coordenades dels vèrtexs de cada un d’aquests quadrats.

PER PENSAR UN POC MÉS

51 La suma de dos nombres enters és 3, i la seva diferència, 7. Quins són aquests nombres?

52 La suma de dos nombres enters és –22, i la suma dels seus valors absoluts, 70. Quins són aquests nombres?

53 A l’obrador han enfornat magdalenes. Les empaqueten en bosses de mitja dotzena i en sobren dues.

Si les haguessin empaquetades en bosses de 5, n’haurien sobrat tres, i si les bosses haguessin sigut de 8, haurien quedat justes.

49 Si escrius tots els nombres enters des de –50 fins a +50, quantes vegades hauràs utilitzat la xifra 7? I la xifra 5? I la xifra 3?

50 EXERCICI RESOLT

La suma de dos nombres enters és menys cinc (–5) i la seva diferència dènou (+19).

Quins són aquests nombres?

Assajam amb un exemple molt senzill Prenem els

Sabent que han omplit poc més de 40 bosses, quantes magdalenes han sortit del forn?

54 Els membres d’un equip d’atletisme acorden regalar a l’entrenadora un cronòmetre que costa 130 €. Llàstima que no participin els llançadors de pes, disc i javelina! —comenta la capitana—. Si en fóssim tres més, ens hauria tocat posar 3 € menys a cada un.

Quants són per al regal, sabent que a cada un li toca posar una quantitat entera d’euros, sense cèntims?

55 Amb el meu germà vaig a comprar el regal que hem triat per a la mare. El meu germà diu que, després de posar la seva part, encara li sobraran 10 € Jo li deman un préstec perquè em falten 5 € per posar-hi la meva.

Quant costa el regal, sabent que entre els dos tenim 85 €?

Si a la suma dels dos restam la diferència, obtenim el doble del menor.

(a + b) – (a – b) = a + b – a + b = 2 b

Resolem el problema original

– La suma és (–5) i la diferència (+19).

– La suma menys la diferència és el doble del menor: (–5) – (+19) = –5 – 19 = –24 (doble del menor)

El menor és: (–24) : 2 = –12

El major és: –12 + 19 = 7

Comprova-ho.

56 Tenc dos comptes en el mateix banc. En el primer hi ha 200 € més que en el segon, però si passàs doblers d’un a l’altre i els deixàs igualats, cada un es quedaria amb 20 €

Quant hi ha a cada compte?

Pots basar-te en aquest gràfic:

També pots revisar el problema n. 50 i preguntar-te: quant sumen els dos comptes i en quant es diferencien?

Taller de matemàtiques

LLEGEIX I INFORMA’T

Primers i antics

Els nombres primers ja despertaven la curiositat dels antics. Una prova, la trobam en els treballs d’Eratòstenes, que va néixer gairebé tres-cents anys abans de Crist.

Però això no és res! Resulta que en una època encara més antiga, fa 20 000 anys, al Zaire, un home primitiu va marcar en un os certs nombres.

No sabem què signifiquen, però els de l’esquerra són els primers entre 10 i 20! Què et sembla?

INVESTIGA

Nombres perfectes

19 17 + + + 13 11 = 60

La il·lustració mostra una vista de l’os d’Ishango, que es conserva al Museu d’Història Natural de Brussel·les.

Segons els pitagòrics, un nombre és perfecte si coincideix amb la suma dels seus divisors propis. Per exemple, el 6:

Els divisors propis de 6 són 1, 2, 3 (el 6 és divisor de 6, però no és divisor propi).).

1 + 2 + 3 = 6

• Entre 25 i 30 hi ha un altre nombre perfecte. Seràs capaç de trobar-lo?

Nombres amics

Els pitagòrics deien amics a dos nombres, quan la suma dels divisors propis de cada un és igual a l’altre. A B

Suma dels divisors de B

Suma dels divisors de A

• El nombre 220 té un amic. Series capaç de trobar-lo?

TIRA D’ENGINY

Cromos

• De la col·lecció de cromos que està fent n’Amèlia i que va collocant a l’àlbum, els col·locats són el triple dels repetits que té per canviar. Si aconseguís canviar tots els repetits per uns altres de nous, ja tendria col·locats a l’àlbum el triple dels llocs encara buits, que passen de 15 però no arriben a 20. Quants de cromos té la col·lecció?

AUTOAVALUACIÓ

1 Escriu:

a) Els quatre primers múltiples de 17.

b) Tots els divisors de 72.

2 Cerca:

a) El primer múltiple de 17 després de 1 000.

b) Un nombre de dues xifres que sigui divisor de 415.

3 Escriu els nombres primers compresos entre 20 i 40.

4 Indica quins d’aquests nombres són múltiples de 2, quins de 3, quins de 5 i quins de 10: 897 - 765 - 990 - 2 713 - 6 077 - 6 324 - 7 005

5 Copia-ho al quadern i descompon en factors primers els nombres 150 i 225.

150 = 2 · · · 225 = 3 · · ·

6 Calcula.

a) m. c. d. (150, 225)

b) m. c. m. (150, 225)

7 Calcula.

a) 6 – 11 + (9 – 13) b) 2 – (5 – 8)

8 Calcula.

a) 4 · 5 – 3 · (–2) + 5 · (–8) – 4 · (–3)

b) (10 – 3 · 6) – 2 · [5 + 3 · (4 – 7)]

c) 10 – 10 · [– 6 + 5 · (– 4 + 7 – 3)]

9 Redueix a una sola potència.

a) a 3 : b 3 b) a 5 : b 5 c) a 4 . a 2

d) x 6 x 4 e) (x 3)3 f) (–5)7 : (–5)5

10 Una botiga de roba posa a la venda una partida de camisetes, totes del mateix preu. El primer dia en ven unes quantes per valor de 221 € i el segon dia, unes quantes més per valor de 272 €. Quin creus que és el preu d’una camiseta?

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

11 Es vol dividir un terreny rectangular, de 100 m d’ample per 120 m de llarg en parcel·les quadrades tan grans com es pugui. Quant ha de mesurar el costat de cada parcel·la?

12 En una fàbrica se sent la fuita d’una vàlvula de gas cada 45 segons, i el cop d’un martell piló cada 60 segons. Si s’acaben de sentir els dos sons simultàniament, quant tardaran a coincidir de nou?

13 Es van apilant, en una torre, cubs de 45 cm d’aresta i, al costat, en una altra, cubs de 60 cm d’aresta. A quina altura coincideixen per tercera vegada els cims de les dues torres?

14 La suma de dos nombres enters és 4, i la suma dels seus valors absoluts, 16. Quins nombres són?

15 Observa el quadrat. A

a) Escriu les coordenades dels vèrtexs, A, B, C, D i del centre, M

b) Suposa que el gires, al voltant de M, de manera que A quedi sobre A l (4, 2). Escriu les coordenades dels nous vèrtexs, A l , B l , C l i D l .

SITUACIÓ

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducacion.es.

Operacions amb fraccions

L’origen de les fraccions és molt antic: babilonis, egipcis, grecs, xinesos i indis les manejaven fa milers d’anys.

Els egipcis usaven, exclusivament, fraccions unitàries (amb numerador u).

Per exemple, per escriure 3 5 posaven 1 2  +  1 10

Una explicació d’aquest costum podria estar en la forma en què feien els repartiments. Fixa’t, per exemple, en aquesta manera de repartir tres entre cinc:

Primer, es divideix cada unitat en dues i es dona una meitat a cada un 2 1 dn 1 2 dn . Després, es divideix la meitat restant en 5 parts i cada un se n’enduu una 2

dn

dn

Les fraccions dels babilonis eren sexagesimals: només utilitzaven com a denominadors el nombre 60 i les seves potències. Per exemple, per a 3 4 posaven 45 60 . Això feia els càlculs summament enutjosos i els obligava a valdre’s de complicades taules per a efectuar operacions.

Els antics grecs varen continuar la tradició egípcia, encara que més endavant varen passar a utilitzar les fraccions ordinàries que arribaren a manejar amb una gran eficàcia. Però s’obstinaven a donar el resultat dels problemes com a suma de fraccions unitàries. I aquest estrany tractament mixt es va estendre fins a l’Europa del segle xiii

Els àrabs, en la seva època d’esplendor, també varen tenir grans matemàtics que escrigueren tractats on apareixen les fraccions. El nom de fracció ve de la paraula àrab al-kasr (defallir o rompre), que va traduir al llatí per fractio.

Amb el que ja saps, resol-ho

Els equips A i B de 2n d’ESO presenten les seves propostes per a l’ocupació, en l’hort escolar, de la zona circular destinada a plantes aromàtiques (espígol, romaní i farigola).

romaní espígol farigola

Equip A

La meitat per a romaní, la tercera part per a espígol i, la resta, per a farigola.

1. Quina fracció del terreny assigna l’equip A a la farigola?

2. Copia i completa-ho, per a la proposta de l’equip A.

3. Quina transformació s’ha efectuat en les fraccions per calcular les operacions de l’exercici anterior?

Equip B

La meitat per a romaní, la tercera part de l’altra meitat per a espígol i, la resta, per a farigola.

4. Quina fracció del terreny assigna l’equip B a la farigola?

5. Copia i completa-ho, per a la proposta de l’equip B.

6. Sabent que l’equip A destina a la farigola una superfície de 2,5 metres quadrats:

a) Quina superfície dedica a aquesta mateixa planta l’equip B?

b) Quina és la superfície total de la zona circular destinada a plantes aromàtiques?

FRACCIONS OPOSADES

• Dues fraccions són oposades quan la seva suma és zero

• Qualsevol fracció b a en té una d’oposada, b a b a – ob –é

Suma i resta de fraccions 1

• Per sumar o restar fraccions, les reduïm prèviament a comú denominador.

• Si algun dels sumands és un nombre enter, a, el transformam en una fracció amb denominador la unitat a a 1 = bl .

Sumes, restes i parèntesis

El maneig dels parèntesis en les sumes i les restes de fraccions segueix les mateixes regles que en els nombres enters.

• Si se suprimeixen uns parèntesis precedits del signe més, els signes interiors no varien:

• Si se suprimeixen uns parèntesis precedits del signe menys, els signes interiors es transformen; més en menys i menys en més:

b a d c n m b a d c n m – += +

|Exemples

• Resolució suprimint prèviament els parèntesis:

• Resolució operant dins dels parèntesis:

PER FIXAR IDEES

1 Observa, calcula-ho mentalment i contesta amb una fracció.

a) 1 3 1 – b) 1 1 2 + c) 1 4 3 8 – d) 2 3 2 –

2 Copia i completa-ho reduint a denominador comú 30.

a) 10 3 15 7 10 3 3 15 2 7 30 30 30 d d dd d + =+= +=

b) 6 5 5 4 65 5 5 4 30 30 30 –d d dd dd == =

c) 2 1 3 2 5 3 2 1 3 2 5 3 30 30 30 30 –d d d d d d dd dd += += +=

3 Associa cada pregunta amb les expressions de la dreta i calcula’n el resultat corresponent. Segons les estadístiques, al barri de na Marta els tres cinquens de la població escolar està a Infantil o Primària, un terç a Secundària i la resta a Batxillerat.

a) Quina fracció representen les etapes d’Infantil, Primària i Secundària?

b) Quina fracció representen Secundària i Batxillerat?

c) Quina fracció cursa Batxillerat?

d) Sabent que els d’Infantil suposen el 15 %, quina fracció suposa Primària?

PER PRACTICAR ➜ anayaeducacion.es Suma i resta de fraccions.

1 Copia i completa-ho al quadern.

c) 6 11 d +  = 0 d) 8 55 ––d

2 Fes les operacions i simplifica.

5 Lleva parèntesis i fes els càlculs.

c)

6 Resol de dues formes:

• Llevant, primer, els parèntesis.

• Operant, primer, dins de cada parèntesi.

3 Calcula, reduint al comú denominador que s’hi indica.

a) 2 11 48 1 –+ → Denominador comú: 8

b) 1 11 23 – + → Denominador comú: 6

c) 9 7 15 4 5 1 → Denominador comú: 45

4 Calcula i simplifica’n els resultats.

a) 9 4 6 5 18 7 – + b) 7 3 5 2 35 27 –+

c) 6 5 10 1 5 1 d) 12 13 8 5 6 5

a) 1 4 1 1 9 5 1 6 5 – d dd n nn

b) 1 3 2 5 4 3 1 5 1 15 7 + dd d nn n

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

7 Segons un estudi de pediatria, un infant dorm, en els primers 12 mesos, una de cada cinquanta de les hores que dormirà al llarg de tota la vida i, en els quatre anys següents, dos de cada 25. Quina fracció del total d’hores de son gastam durant els cinc primers anys de vida?

FRACCIONS INVERSES

• Dues fraccions són inverses quan el seu producte és la unitat

• Tota fracció distinta de zero té inver-

Multiplicació i divisió de fraccions 2

Multiplicació

Observa

• En primer lloc, els parèntesis

• Després, les multiplicacions i les divisions.

• Finalment, les sumes i les restes.

Per multiplicar fraccions:

Divisió

Recorda-ho les relacions entre la multiplicació i la divisió d’enters. 8 · 5 = 40 → : : 40 85 40 58 = =

En la pràctica, per obtenir aquests resultats quan dividim dues fraccions, es multiplica la primera per la inversa de la segona o, el que és el mateix, es multipliquen els termes encreuat.

PER FIXAR IDEES

1 Copia i completa-ho.

2 Copia, completa-ho i compara els resultats de cada apartat.

3 Associa cada pregunta amb dues expressions de la dreta i calcula’n el resultat corresponent.

a) Quantes bosses de quart de quilo s’omplin amb set quilos i mig de cafè?

b) Na Marta va comprar la tercera part d’un formatge i n’ha consumit la cinquena part. Quina fracció de formatge ha consumit?

c) A la festa d’aniversari es va partir el pastís en 15 trossos i cada un dels cinc convidats en va menjar dos trossos. Quina fracció de pastís varen

PER

1 Multiplica i, si és possible, simplifica’n el resultat.

3 Divideix i simplifica els resultats.

7 Calcula. a)

Problemes amb fraccions 3

Aquí es presenten una sèrie de problemes tipus que ja estan resolts. Comprendre’ls et facilitarà el camí per resoldre, per analogia, moltes situacions amb fraccions.

Fracció d’una quantitat

❚ problema 1: càlcul de la fracció

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes disposa d’un total de 1 155 unitats, de les quals 330 estan en reparació o en reserva, i la resta, en funcionament. Quina fracció de les bicicletes està en funcionament?

Fora

En funcionament ⎯→ 7 7 7 2

–=

Solució: Estan en funcionament 7 5 de les bicicletes.

❚ problema 2: càlcul de la part (problema directe)

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes disposa d’un total de 1 155 unitats, de les quals 2/7 estan, en reparació o en reserva, fora de servei. Quantes bicicletes hi ha en funcionament?

Fora de servei ⎯→ 7 2 de 1 155 =  7 1 155 2  = 330

En funcionament ⎯→ 1 155 – 330 = 825

Solució: Hi ha 825 bicicletes en funcionament.

❚ problema 3: càlcul del total (problema invers)

L’empresa municipal de lloguer de bicicletes té 330 unitats fora de servei, en reparació o en reserva, cosa que suposa 2/7 del total. De quantes bicicletes disposa l’empresa?

2 del total ⎯→ 330

7

7

1 del total ⎯→ 330 : 2 = 165 7 7 , és a dir, el total ⎯→ 165 · 7 = 1 155

Solució: L’empresa disposa de 1 155 bicicletes.

Suma i resta de fraccions

❚ problema 4: càlcul de la fracció

Per a una sessió de teatre s’han venut dos cinquens de les entrades per Internet i un terç directament en taquilla; la resta ha quedat sense vendre. Quina fracció de les butaques han quedat buides?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += += Queden ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

Solució: Han quedat buides 15 4 de les butaques.

Total: 300 butaques

❚ problema 5: càlcul de la part (problema directe)

Per a una sessió de teatre, en una sala amb 300 butaques, s’han venut dues cinquenes parts de les entrades per Internet i un terç en taquilla; la resta ha quedat sense vendre. Quantes butaques han quedat buides?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += +=

Buides ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

Nre. de butaques buides ⎯→ 15 4 de 300 =  15 4 300  = 80

Solució: Han quedat 80 butaques buides.

❚ problema 6: càlcul del total (problema invers)

Per a una sessió de teatre s’han venut dues cinquenes parts de les entrades per Internet i un terç en taquilla; ; les 80 restants han quedat sense vendre. Quantes butaques té en total la sala?

Venudes ⎯→ 5 2 3 1 15 6 15 5 15 11 += +=

Sense vendre ⎯→ 15 15 15 11 15 4 –=

4 del total ⎯→ 80 butaques

15

1 del total ⎯→ 80 : 4 = 20 butaques

15

15 , és a dir, el total ⎯→ 20 · 15 = 300 butaques

15

Solució: La sala té 300 butaques en total.

Multiplicació i divisió de fraccions

❚ problema 7: producte

Cada càpsula d’un cert medicament duu 3/20 de gram del principi actiu. Quants grams de principi actiu hi ha en un pot de 30 càpsules?

3 30 20 330 20 90 2 9 2 8 2 1 4 2 1 · · == ==+= +

20

Solució: En un pot de 30 càpsules hi ha quatre grams i mig de principi actiu.

❚ problema 8: quocient Cada càpsula d’un cert medicament duu 3/20 de gram del principi actiu. Quantes càpsules hi ha en un pot que conté en total quatre grams i mig de principi actiu? Quatre

⎯→ : 2 9 20 3 23 920

180 · · ==  = 30

Solució: En un pot amb quatre grams i mig de principi actiu hi ha 30 càpsules.

La fracció d’una altra fracció és igual al producte de les dues fraccions.

Fracció d’una altra fracció

❚ problema 9: càlcul de la fracció

Un granger va entregar el mes passat 2/3 de la seva producció de llet a la cooperativa ramadera del poble i va vendre 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurts. Amb el que li va quedar, va fer formatge. Quina fracció de la llet va destinar a la producció de formatge?

Solució: El granger va destinar 15 2 de la llet a la producció de formatge.

❚ problema 10: càlcul de la part (problema directe)

Un ramader va obtenir el mes passat 90 000 litres de llet. En va entregar 2/3 a la cooperativa ramadera del poble i 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurts. Amb el que li va quedar, va fer formatge. Quants litres va destinar a la producció de formatge?

En queden 15 2 de 90 000 litres = = 15 290 000 ·  = 12 000 litres

Solució: El granger va destinar 12 000 litres de llet a la producció de formatge.

❚ problema 11: càlcul del total (problema invers)

Un ramader va entregar el mes passat 2/3 de la seva producció de llet a la cooperativa ramadera del poble i va vendre 3/5 de la resta a la fàbrica de iogurts. Amb els 12 000 litres de llet que li varen quedar, va fer formatge. Quants de litres de llet va produir en total?

En queden 15 2 del total, que són 12 000 litres

12 000 litres

del total

12 000 : 2 = 6 000 litres

, és a dir, el total ⎯→ 6 000 · 15 = 90 000 litres

Solució: El granger va obtenir en total una producció de 90 000 litres de llet.

PER PRACTICAR

1 Fes els càlculs i contesta les preguntes.

a) En Robert ha necessitat 100 passes per avançar 80 metres. Quina fracció de metre recorre amb cada passa?

7 Llegeix, observa i contesta les preguntes. Un pot de suavitzant conté 30 dosis que s’administren amb el mateix tap.

100 passes

b) Una llebre ha recorregut 40 metres en 25 salts. Quina fracció de metre avança en cada salt?

2 Una escola té matriculats 837 estudiants, dels quals 9 2 estan al primer cicle d’ESO. Quants d’estudiants hi ha al primer cicle d’ESO?

3 Una escola té matriculats 186 estudiants al primer cicle d’ESO, fet que suposa els 9 2 del total. Quants d’estudiants són en total? 186 total?

4 Una botiga de confecció va posar a la venda, la setmana passada, una partida de vestits de senyora. N’ha venut ja les dues cinquenes parts i encara n’hi queden 60 unitats. Quants de vestits ha venut?

5 En un hotel, la meitat de les habitacions estan al primer pis; la tercera part, al segon pis, i la resta, a l’àtic, que té deu habitacions.

a) Quina fracció del total està a l’àtic?

Pisos 1r i 2n → + 2 1 3 1 Àtic → d d

b) Quantes habitacions hi ha en total?

c) I a cada pis?

COMPRÈN I APLICA-HO EN EL DESAFIAMENT

6 En una residència, la meitat de les persones grans que hi estan han dormit avui més d’una hora de sesta, i tres de cada vuit, una sesta de menys d’una hora. Els 12 restants no han fet sesta.

a) Quina fracció dels residents no ha fet sesta?

b) Quants són els residents?

a) Quina és la capacitat del pot si la del tap és dee 40 3 de litre?

b) Quina és la capacitat del tap si la del pot és de dos litres i un quart?

8 Un pot de suavitzant de dos litres i un quart duu un tap dosificador amb una capacitat de 40 3 de litre. Quantes dosis conté el pot?

9 Quants de litres d’oli són necessaris per omplir 300 botelles de tres quarts de litre?

10 Quantes botelles de vi de tres quarts de litre s’omplin amb una bota de 1 800 litres?

11 Un embassament està ple a principis d’estiu. Al juliol perd 3 7 del contingut, i a l’agost, 4 3 del que hi quedava. Quina fracció conserva encara a principis de setembre?

12 Els 4 3 dels empleats d’una empresa tenen contracte indefinit; 3 2 de la resta tenen contracte temporal, i els altres són eventuals.

a) Quina fracció suposen els eventuals?

b) Sabent que n’hi ha 45 fixos, quants són eventuals i quants tenen contracte temporal?

Potències i fraccions 4

Les propietats que vas estudiar per a les potències de nombres enters es conserven en els nombres fraccionaris. Aquestes propietats es tradueixen en regles d’ús pràctic; però no et limitis a memoritzar-les, si n’entens la justificació, les usaràs amb més seguretat i eficàcia.

Potència d’una fracció ··

Per elevar una fracció a una potència, s’eleven el numerador i el denominador a aquesta potència. Potència d’un producte de fraccions

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

Producte de potències de la mateixa base

Per multiplicar dues potències de la mateixa base, se’n sumen els exponents.

- aplicació

PER FIXAR IDEES 1 Copia, redueix i fes els càlculs.

Quocient de potències de la mateixa base

Per dividir dues potències de la mateixa base, se’n resten els exponents.

Potència d’una altra potència

Per elevar una potència a una altra potència, se’n multipliquen els exponents.

Potències d’exponent zero (a 0)

En principi, l’expressió a 0 no tendria sentit; però a aquesta combinació de signes li donarem un significat dins del llenguatge matemàtic:

• El quocient de dos nombres iguals és igual a la unitat.

• Per dividir dues potències de la mateixa base, en restam els exponents.

I de la mateixa forma:

La potència d’exponent zero val sempre u (per a qualsevol base diferent de zero).

Potències d’exponent negatiu

Seguint un raonament similar al de l’apartat anterior:

I de la mateixa manera:

Una potència d’exponent negatiu és la inversa de la mateixa potència d’exponent positiu.

REFLEXIONA

0,0000000000001 = 10–13

Quina de les dues formes et pareix més efectiva?

Nombres i potències de base 10

Ja coneixes la descomposició polinòmica d’un nombre enter segons les successives potències de base 10:

3 857 = 3 · 103 + 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100

Fixem-nos, ara, en el valor de les potències negatives de base 10:

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001 …

Això ens permet estendre la descomposició polinòmica als nombres decimals.

|Exemple

25,48 =

PER PRACTICAR

1 Escriu la descomposició polinòmica de:

a) 72,605 b) 0,63842

c) 658,32 d) 18,0486

2105 14 01 80 01

·· ·, ·, ·· ··

2105 10 4108 10 10 12 ++ + ++ +

Expressió abreujada de quantitats molt grans o molt petites. Notació científica

Tot l’anterior ens proporciona un mètode per expressar amb comoditat nombres de moltes xifres.

|Exemples

• La distància mitjana de la Terra al Sol és 149 598 000 km.

149 598 000 ≈ 150 000 000 = 1,50 · 100 000 000

Distància mitjana de la Terra al Sol ≈ 1,50 · 108 km

• Un virus fa, aproximadament, 0,000225 mm de diàmetre.

0,000225 = 2,25 · 0,0001 = 2,25 · 10– 4 mm

Aquesta forma estandarditzada d’expressar nombres molt grans o molt petits rep el nom de notació científica.

a , b c d … · 10n

part entera potència de 10 (una sola xifra) (amb exponent enter)

3 Expressa amb totes les xifres.

a) 0,5 · 106

c) 3,08 · 10–5

2 Escriu amb totes les xifres la dada següent:

La massa d’un àtom de plata és 1,79 · 10–22 grams.

Quina forma és més pràctica, l’abreujada o l’estesa?

b) 1,34 · 107

d) 1,26 · 10–8

4 Expressa en notació científica.

a) Un any llum equival aa 9 460 800 000 000 km.

b) El radi d’un àtom d’oxigen fa 0,000000066 mm.

➜ anayaeducacion.es Expressa-ho en notació científica.

Exercicis i problemes

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Suma i resta de fraccions

1 Calcula mentalment.

2 Fes els càlculs i simplifica-ho.

Potències i fraccions

7 Calcula.

a) 2 1 3dn b) 3 1 2dn c) 5 1 4dn d) 10 1 6dn

8 Fes els càlculs, com en l’exemple, pel camí més curt.

• 5 15 5 15 4 4 4 = dn  = 34 = 81

3 Fes les operacions i simplifica’n els resultats. Què hi observes?

10 Redueix a una potència única.

4 Fes aquestes operacions.

20 7 + d d d n n n

Multiplicació i divisió de fraccions

5 Fes els càlculs i simplifica-ho. a)

11 Calcula.

a)

12 Escriu aquestes quantitats amb totes les seves xifres:

a) 261 · 109

c) 3,28 · 1011

e) 37,8 · 10–7

6 Calcula mentalment i per escrit.

a) El triple d’un terç.

b) La meitat d’un quart.

c) Els tres cinquens de 5.

d) La quarta part d’un terç.

b) 15,4 · 108

d) 124 · 10–7

f ) 1,78 · 10–10

13 Expressa-ho en notació científica, igual que en els exemples.

• 5 360 000 000 = 5,36 · 109

• 0,0000004384 = 4,384 · 10–7

a) 8 420 000

c) 0,0000074

b) 61 500 000 000

d) 0,000000128

ENTRENA’T I PRACTICA

14 Calcula i simplifica.

a) 36 11 12 5 9 4 24 7 + b) 40 17 30 11 20 13 8 9 +

c) 44 21 66 31 22 13 12 11 + d) 3 2 5 1 27 4 15 2 –

15 Fes les operacions.

a) 6 7 2 2 3 3 1 –dn > H

b) 3 4 3 6 1 2 6 1 8 1 + d d n n > > H H

c) 3 4 8 3 6 1 5 2 8 7 6 5 – d d n n > > H H

d) 12 7 20 13 5 1 15 8 30 17 2 1 30 23 ++ d d n n > > H H

16 Completa amb fraccions irreductibles.

a) 15 7 5 1 6 1 d d = b) 7 6 21 11 –d d +  = 1

c) 9 5 12 5 4 3 –d d += d) 2 –  24 7 8 3 d d =+

17 Vertader o fals?

a) Les fraccions negatives tenen oposada però no inversa.

b) Per a una fracció, l’oposada de la inversa és igual que la inversa de l’oposada.

c) Tots els nombres racionals tenen oposat i també invers.

d) Si a és un nombre positiu, el seu oposat és menor que el seu invers.

18 Fes les operacions i redueix.

a) 11 5 3 15 22 ··dn b) :: 2 7 5 21 10 dn

c) : 9 8 26 15 30 20 dn d) : 20 7 15 14 9 4 dn

19 Completa-ho amb fraccions irreductibles.

a) 1 4 3 2 d d = b) 6 54 3 d d =

c) : 9 2 3 1 d d = d) : 12 7 7 3 d d =

20 Copia i completa-ho com en l’exemple.

Multiplicar per 2 1 és igual que dividir entre 2. •

a) Multiplicar per 10 1 és igual que dividir entre…

b) Dividir entre 10 1 és igual que multiplicar per…

c) Multiplicar per 3 2 és igual que dividir entre…

d) Multiplicar per 1 3 i dividir entre 5 és igual que dividir entre 3 i multiplicar per…

25 Expressa-ho sense usar potències negatives.

26 Redueix a una potència única.

Exercicis i problemes

INTERPRETA, DESCRIU, EXPRESSA’T

27 Observa les resolucions de n’Andrea i d’en Ramir.

En un partit de la lliga de bàsquet, l’equip local ha marcat les dues cinquenes parts dels punts en el primer quart, un terç dels punts en el segon quart i una sisena part en el tercer. Quants de punts ha aconseguit en el darrer quart si al final ha guanyat per 90 a 87?

Solució de n’Andrea:

• 2/5 de 90 = (90 : 5) · 2 = 36

• 1/3 de 90 = 90 : 3 = 30

• 1/6 de 90 = 90 : 6 = 15

• 90 – (36 + 30 + 15) = 90 – 81 = 9

Solució d’en Ramir:

• 5 2  +  3 1  +  6 1  =  30 12 10 5 ++  =  30 27

• 30 30  –  30 27  =  30 3  =  10 1

• 1/10 de 90 = 90 : 10 = 9

Indica el significat de cada operació i el resultat obtengut a cada una.

28 Resol aquests problemes que, encara que semblin similars en l’enunciat, són molt diferents.

Problema 1

D’una coca s’ha venut primer la meitat i després la tercera part. Quant pesava sencera si el tros que queda és de 400 grams?

Resolució

400 g

400 ∙ 6 = 2 400 g = 2,4 kg

RESOL PROBLEMES SENZILLS

29 Una bassa de reg amb una capacitat de 2 800 m3 conté en aquest moment 1 600 m3 d’aigua. Quina fracció de la bassa falta per completar?

30 Un virus informàtic ha infectat les tres desenes parts dels 880 ordinadors d’una empresa consultora. Quants d’ordinadors s’han deslliurat del virus?

31 Per tres quarts de quilo de cireres hem pagat 1,80 €. A com surt el quilo?

32 Per un quart i mig de cuixot dolç hem pagat 4,50  €. Quant n’hauríem pagat per tres quarts de quilo?

33 En un hort de fruiters, les quatre cinquenes parts dels arbres són pomeres, i la resta, melicotoners. Els melicotoners són 35. Quantes pomeres hi ha?

34 Una bassa de reg està plena en les quatre setenes parts i conté 1 600 m3 d’aigua. Quants de metres cúbics caben a la bassa?

35 Cinc de cada vuit de les magdalenes que contenia una caixa ja s’han consumit i encara en queden 15. Quantes unitats contenia la caixa completa?

36 La molla d’un ancoratge arriba, estirada, a 5/3 de la longitud inicial. Si estirada fa 4,5 cm, quant mesura en repòs?

Problema 2

D’una coca s’ha venut primer la meitat i després la tercera part del que quedava. Quant pesava sencera si el tros que queda és de 400 grams?

Resolució

200 g ← 400 : 2

200 ∙ 6 = 1 200 g = 1,2 kg

Explica la diferència entre els dos i descriu numèricament el procés seguit en la seva resolució.

37 Na Sara avança 4 metres en 5 passes. Quina fracció de metre avança amb cada passa? I en 100 passes?

38 Un potet de perfum té una capacitat d’ 1/20 de litre. Quants potets es poden omplir amb un bidó que en conté tres litres i mig?

39 Meta 6.3. Una planta potabilitzadora tracta tres metres cúbics d’aigua en cinc hores. Quants de metres cúbics d’aigua tracta en hora i quart?

40 Quants de litres de suc es necessiten per omplir 200 botelles de 3/8 de litre cada una?

41 Un decorador ha fet una mescla de 20 quilos de pintura que duu dues cinquenes parts de vermell, tres desenes parts de blau i la resta de taronja. Quants de quilos de pintura groga durà la mescla?

20 kg → ? ? ?

42 Una empresa de transports treballa amb camions de llarg recorregut, furgonetes de repartiment i motos de missatgeria. De cada dotze vehicles, set són furgonetes i tres motos.

a) Quina fracció dels vehicles suposen els camions?

b) Si els camions són vuit, quants vehicles té l’empresa en total?

43 En l’expositor de xocolata del supermercat, 3/10 de les pastilles són de xocolata negra, 2/5 de xocolata amb llet i la resta de xocolata amb ametles. Quantes pastilles de xocolata conté l’expositor si les d’ametla són 12?

47 Un jardiner poda el dilluns 2/7 dels rosers, el dimarts 3/5 de la resta i el dimecres acaba la feina podant els 20 que faltaven. Quants de rosers té en total al jardí?

PER PENSAR UN POC MÉS

48 Una certa revista ha augmentat en 1/3 el nombre de subscriptors durant el primer semestre de l’any i en 1/8 del resultat anterior, durant el segon semestre. Quin n’ha sigut l’augment al llarg de l’any?

Ajuda’t d’un esquema.

44 Un pastor té la tercera part de les ovelles en el prat de la muntanya, la quarta part, als sestadors pròxims al poble, i les 50 restants, en la nau de la granja. Quantes ovelles té en total?

45 En una bossa hi ha boles vermelles (VR), verdes (VD) i blaves (BL). La meitat són vermelles, les verdes igualen els tres cinquens de les vermelles i les blaves són 14. Quantes n’hi ha en total? VR → 1 210 5 =

49 Un autobús cobreix el recorregut entre dues ciutats, amb dues parades intermèdies. Avui, a la primera parada, ha deixat dues cinquenes parts dels viatgers i n’hi han pujat 12. A la segona parada, ha deixat la tercera part dels que duia en aquest moment, i n’hi han pujat 14. Finalment, arriba a la seva destinació amb 40 ocupants. Amb quants de viatgers va sortir de l’origen?

46 Una de cada quatre persones residents en un poble té més de 60 anys i, d’elles, dues de cada cinc superen els 80. Quina fracció dels habitants supera els 80 anys?

50 En un hotel, dilluns se’n varen anar dues terceres parts dels clients i s’hi varen registrar 20 ingressos nous. I dimarts se’n varen anar les tres quartes parts, i s’hi varen registrar 7 ingressos. Així, dimarts varen dormir a l’hotel 48 clients. Quants n’hi varen pernoctar diumenge?

LLEGEIX, COMPRÈN I INTERPRETA

La utilitat de fer esquemes

En la resolució d’alguns problemes és de gran utilitat l’elaboració d’esquemes per ordenar-ne i visualitzar-ne globalment les dades, per organitzar les idees i per facilitar-ne l’exposició del procés i de la solució.

• Analitza i interpreta l’esquema que explica el problema següent:

Un ciri il·lumina mentre se’n consumeixen tres quartes parts de la longitud. Però el cap sobrant no es desaprofita: amb quatre caps, feim un ciri nou. Si cada ciri dura «una ciriada», quantes «ciriades» podem il·luminar amb un paquet de 25 ciris?

Solució: 25 + 6 + 1 + 1 = 33 ciris → Podem il·luminar 33 «ciriades».

• Construeix un esquema similar per al problema anterior, suposant que de cada ciri es consumeixen només 3 2 .

En una guarda hi ha ovelles i cabres. El pastor ven la meitat de les ovelles i la tercera part de les cabres i, així i tot, les primeres doblen les segones. Quants de caps li queden sabent que n’ha venut 25?

Un joc solitari

Intercanvia la fitxa groga i la fitxa vermella amb el mínim nombre de moviments. Explica com fer-ho.

Per explicar-ne la solució, inventa un codi. Per exemple:

(3 → 2): Significa que la fitxa que ocupa la casella n. 3, passa a la n. 2.

AUTOAVALUACIÓ

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

12 Un pot de confitura pesa el mateix que 4 3 del que pesa una caixa de galetes, i una caixa de galetes, el mateix que 3 2 d’un pot de mel.

Quina fracció del pes d’un pot de mel equival al pes d’un pot de confitura?

13 Un quiosc va vendre al dematí 3 1 del total de diaris rebuts i a l’horabaixa 5 2 també del total. Si hi queden sense vendre 20 diaris, quants n’havia rebut?

14 Un senyor surt a comprar i gasta 3 1 dels doblers en una americana i 5 2 del que li quedava al mercat. Si encara té 30 euros, amb quants de doblers ha sortit de ca seva?

15 En una bossa hi ha bolles blanques, negres i vermelles. Les blanques suposen tres cinquens del total i les vermelles igualen els dos terços de les negres. Quina fracció del total suposen les negres?

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

8 Escriu la descomposició polinòmica d’aquests nombres:

a) 1 238 600 b) 0,07586 c) 340,578

9 Quin nombre s’associa a cada expressió?

a) 4 · 10 2 + 6 · 10 + 5 · 10 –1 + 7 · 10 –2

b) 8 · 100 +  10 –1 + 2 · 10 –3

10 Expressa-ho en notació científica.

a) 24700 000 000 b) 0,0000000238

11 D’un paquet de detergent de 5 kg s’han consumit quatre quilos i mig. Quina fracció queda del contingut original?

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa a anayaeducacion.es.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.