Operació món: Matemàtiques B 4º ESO. Illes Balears (demo)

4 ESO

LLICÈNCIA 12 MESOS

IllesBal ears

MATEMÀTIQUES B

Operació món

José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

Índex

Els sabers bàsics del curs

Entrena’t resolent problemes

• Fes un esquema, un gràfic o una taula que t’ajudi a organitzar les dades

• En els problemes geomètrics, fes un dibuix

• Experimenta, tempteja, posa exemples... conjectura i comprova...

• Investiga

1 N ombres reals

1. Nombres irracionals

2. Nombres reals: la recta real

3. Trams de la recta real: intervals i semirectes

4. Arrels i radicals

5. Nombres aproximats. Errors

6. Nombres en notació científica. Control de l’error

7. Logaritmes

Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes

2 P olinomis.

1. Polinomis. Operacions

2. Regla de Ruffini

3. Arrel d’un polinomi. Recerca d’arrels

4. Factorització de polinomis

5. Divisibilitat de polinomis

6. Fraccions algebraiques

3 E quacions, inequacions

2.

3.

4.

1. Semblança

2. Homotècia

3. Rectangles de dimensions interessants

4. Semblança de triangles

5. La semblança en els triangles rectangles

6. Semblança de triangles rectangles en cossos geomètrics

Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes

Taller de matemàtiques

Autoavaluació

5 Trigonometria

1. Raons trigonomètriques d’un angle agut

2. Relacions trigonomètriques fonamentals

3. La calculadora en trigonometria

4. Raons trigonomètriques de 0° a 360°

5. Angles de mesures qualssevol.

Raons trigonomètriques

6. Resolució de triangles rectangles

7. Resolució de triangles no rectangles

8. Uns teoremes molt interessants

Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes

Taller de matemàtiques

Autoavaluació

134

6 Geometria analítica

1. Vectors en el pla

2.

3.

4. Punt mitjà d’un segment

6.

7.

7

I

II

9 Estadística 240

1. L’estadística i els seus mètodes

2. Taules de freqüències

3. Paràmetres estadístics: x i σ

4. Paràmetres de posició per a dades aïllades

5. Paràmetres de posició per a dades agrupades

6. Diagrames de caixa

7. Estadística inferencial

8. Estadística en els mitjans de comunicació Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes

Taller de matemàtiques

Autoavaluació

10 Distribucions bidimensionals

1. Distribucions bidimensionals

2. El valor de la correlació

3. La recta de regressió per fer estimacions

4. Reflexionem: la correlació significa causa-efecte?

5. Distribucions bidimensionals amb calculadora Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes Taller de matemàtiques

11 Combinatòria

1. Estratègies basades en el producte

2. Variacions i permutacions (importa l’ordre)

3. Quan no hi influeix l’ordre. Combinacions

4. Un triangle numèric interessant

5. Fórmula de Newton

Exercicis i problemes resolts

Exercicis i problemes

12 Càlcul de probabilitats

1. Esdeveniments aleatoris

2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats

3. Probabilitats en experiències simples

4. Probabilitats en experiències compostes

5. Composició d’experiències independents

6. Composició d’experiències dependents

7. Taules de contingència

Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes

268

286

308

7

Funcions I

El concepte de funció ha anat evolucionant i perfilant-se al llarg del temps. Quins requisits s’han exigit a aquest concepte?

— Una funció relaciona dues variables.

— Les funcions descriuen fenòmens naturals.

— Les relacions funcionals poden ser descrites mitjançant fórmules (relacions algebraiques).

— Les funcions poden ser representades gràficament. Les següents són algunes de les contribucions més importants per perfilar el paper de les funcions i la seva definició formal:

• Nicolau Oresme (segle xiv) va ser el primer a descriure les lleis de la naturalesa com a relacions de dependència entre dues variables.

• Galileu (segle xvi) va usar per primera vegada l’experimentació (va dissenyar, experimentar, mirar, anotar...) per establir numèricament aquestes relacions.

• Descartes (segle xvii), amb l’algebrització de la geometria, va propiciar que les funcions poguessin ser representades gràficament.

• Leibniz (segle xvii), el 1673, va utilitzar per primera vegada la paraula funció per designar aquest tipus de relacions.

• Euler (segle xviii) va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat. Va presentar una definició general molt rigorosa, que no dista molt de la que empram actualment. Va aportar la nomenclatura f (x).

• Dirichlet (segle xix) va ampliar el concepte de funció admetent, finalment, que una relació entre dues variables pot ser funció encara que no hi hagi una expressió analítica que la descrigui.

Amb el que ja saps, resol-ho

Un exemple de funció

Un rellotge de sol no és exacte pel fet que la Terra, en el seu moviment al voltant del Sol, no va sempre a la mateixa velocitat.

El gràfic següent mostra en quants de minuts s’avança o es retarda el rellotge de sol en el transcurs d’un any.

A partir d’això, ens podem fer infinitat de preguntes:

En quina data s’avança més?

En quina data es retarda més?

Què passarà l’any següent? I a l’altre?

Aquest comportament es repeteix cada any. Recorda que aquests tipus de funcions s’anomenen periòdiques

A quina velocitat cauen els objectes?

En l’Europa del segle xvi, la influència d’Aristòtil (filòsof del segle IV aC) era extraordinària i les seves creences no es qüestionaven. Segons Aristòtil, si es deixen caure dos cossos de pesos diferents, el més pesant arribarà abans a terra. Es conta que Galileu, sent professor novençà de la Universitat de Pisa, va desmuntar aquesta creença mitjançant una experiència pública: va deixar caure dos objectes metàl·lics de pesos molt diferents des de la torre de Pisa. Varen caure simultàniament. D’aquesta manera va demostrar les seves tesis però va ser expulsat de la universitat. És possible que en l’anècdota anterior hi hagi molt de mite. No obstant això, sí que és cert que va experimentar sobre la caiguda d’un cos per un pla inclinat, controlant distàncies i temps.

❚ Reflexiona

1. a) Explica per què és periòdica la funció que descriu els avançaments o retards del rellotge de sol al llarg de l’any.

b) Indica en quines dates és exacte.

2. Es deixa caure una bolla per un raïl lleument inclinat i es mesura la distància que recorre en diferents temps:

a) Representa les dades anteriors en una quadrícula com la que tens a l’esquerra. Usa’ls per a obtenir la corba corresponent.

b) Comprova que els valors obtenguts responen (amb molt bona aproximació) a la següent relació: e = 10t 2

EXERCICI RESOLT

Explica per què és funció la relació següent: Càrrega el teu mòbil al 100 % i apunta cada 15 min el percentatge de càrrega que té, fins que s’esgoti totalment.

C onceptes bàsics 1

Una funció relaciona dues variables numèriques que, habitualment, s’anomenen x i y :

x és la variable independent. y és la variable dependent. La relació entre les variables mitjançant la funció f associa a cada valor de x un únic valor de y. S’expressa així: y = f (x )

Per visualitzar el comportament d’una funció, recorrem a la seva representació gràfica.

Es diu domini de definició d’una funció, f , i es designa per Dom f, el conjunt de valors de x per als quals existeix la funció.

Es diu recorregut de f el conjunt de valors que pren la funció. És a dir, el conjunt de valors de y per als quals hi ha un x tal que f (x) = y.

Es lliguen dues variables: el temps, t, mesurat en minuts, i el percentatge, p, de bateria. La primera és la variable independent. La segona és la variable dependent.

En cada instant, el mòbil té un percentatge de càrrega. És a dir, per a cada valor de t hi ha un únic valor de p

Per tant, p és una funció que depèn de t: p = f (t).

1 Aquest gràfic descriu l’evolució de la producció mundial de plàstics (en milions de tones anuals).

a) Quines són les dues variables?

b) Explica per què és una funció.

c) Quines són el domini de definició i el recorregut?

anayaeducacion.es Concepte de funció.

2 Indica el domini i el recorregut d’aquestes funcions:

3 Representa una funció que tengui com a domini i com a recorregut, respectivament, [–2, 5] i [2, 7]. Inventa’n una altra amb domini [0, 5] i recorregut {1}.

OBSERVA

El gràfic d’una funció permet apreciar-ne el comportament global amb una simple ullada.

C om es presenten les funcions 2

Tant en l’estudi de les matemàtiques com en altres ciències o en la vida quotidiana, ens trobam freqüentment amb funcions.

Les funcions ens vénen donades de molt diverses formes: mitjançant un gràfic, per una taula de valors, per una fórmula o mitjançant una descripció verbal (enunciat).

Mitjançant el gràfic

La funció de la dreta ve donada pel gràfic. Descriu el consum d’aigua en un centre d’estudis al llarg d’un dia laborable.

Com millor es pot apreciar el comportament global d’una funció és mitjançant la seva representació gràfica. Per això, sempre que pretenguem analitzar una funció, intentarem representar-la gràficament, qualsevol que sigui la forma en la qual, en principi, ens vengui donada.

Mitjançant un enunciat

Quan una funció ve donada per un enunciat o una descripció, la idea que ens en podem fer és, gairebé sempre, quantitativament poc precisa. Però si l’enunciat s’acompanya amb dades numèriques, la funció pot quedar perfectament determinada. Vegem dos exemples de funcions que relacionen l’altura sobre el nivell de la mar amb el temps transcorregut :

• En Fèlix va sortir el dematí de la seva casa de camp, va seguir un camí que duia al cim d’una muntanya, va menjar allà dalt i va tornar al vespre.

• Na Maria va sortir de ca seva, a la platja, a les 9 a.m. Va caminar 45 min fins al cim d’un turó que està a 250 m d’altura sobre el nivell de la mar, es va quedar 10 minuts contemplant les vistes i va tardar 30 min a tornar a ca seva.

PENSA I PRACTICA

1 Analitzam el gràfic de dalt.

a) Quant de temps es mesura el consum d’aigua al centre d’estudis?

b) Durant quines hores el consum d’aigua és nul?

c) Quan és creixent el consum? Quan és decreixent?

d) A quines hores s’aconsegueixen els valors màxims i els valors mínims de consum d’aigua? Quins són aquests valors?

2 Fixa’t en les funcions altura sobre el nivell de la martemps transcorregut que s’han descrit més amunt referents a les excursions fetes per en Fèlix i na Maria.

a) Representa el gràfic corresponent a en Fèlix.

b) Representa el gràfic corresponent a na Maria.

c) Si comparassis els dos gràfics anteriors amb els dels teus companys i companyes, quins serien més pareguts, els d’en Fèlix o els de na Maria?

Explica per què.

➜ anayaeducacion.es Reforça la interpretació de gràfics.

EXEMPLE

Algú que guanyi 54 000 €:

• Se situa a la 3a fila.

• Pels primers 45 000 € ha de pagar 7 250 €, i per la resta (54 000 € – 45 000 € = 9 000 €) ha de pagar el 35 %.

35 % de 9 000 € = 3 150 €

• Per tant, ha de pagar:

7 250 € + 3 150 € = 10 400 €

Mitjançant una taula de valors

Amb freqüència se’ns donen els valors d’una funció mitjançant una taula en la qual s’obtenen directament les dades cercades. No obstant això, en altres casos és necessari efectuar càlculs complexos per obtenir el que es cerca.

|Exemple: la taula per al pagament a Hisenda

Observem aquesta taula amb la qual es calcula el que cada persona (contribuent) ha de pagar a Hisenda (quota íntegra) en funció del que va guanyar el darrer any menys els descomptes legalment admesos (base liquidable).

EXERCICI RESOLT

Obtén la quota íntegra que correspon a cada una de les següents bases liquidables:

a) 9 500 €

b) 25 000 €

c) 50 000 €

d) 85 000 €

PENSA I PRACTICA

La taula que maneja l’agència tributària és d’aquest tipus, però més complexa.

L’ús d’aquesta taula està exemplificat en el marge. Però el significat és aquest:

• Els guanys de 0 a 10 000 € no paguen res (0 %).

• Pels guanys entre 10 000 € i 25 000 €, es paga el 15 %.

• Pels guanys entre 25 000 € i 45 000 €, es paga el 25 %.

• Pels guanys entre 45 000 € i 70 000 €, es paga el 35 %.

• Pels guanys per damunt de 70 000 €, es paga el 45 %.

Per tant, el que ha de pagar algú que guanyi 54 000 € es calcularia així:

a) Aquesta quantitat correspon a la primera fila. Per tant, no es paga res.

b) La quota corresponent a aquesta quantitat es troba directament, sense càlculs, a la fila 2a → quota: 2 250 €

c) Ens situam a la 3a fila. Pels primers 45 000 € s’han de pagar 7 250 €. Pels 5 000  € restants, s’ha de pagar el 35 %, que són 1 750 €. Per tant, s’hauran de pagar 7 250 € + 1 750 € = 9 000 €.

d) Ens situam a la darrera fila. Pels primers 70 000 € s’han de pagar 16 000 €. Pels 15 000 € restants, s’ha de pagar el 45 %, és a dir, 6 750 €. Per tant, s’ha de pagar, en total, 16 000 € + 6 750 € = 22 750 €.

➜ anayaeducacion.es Funcions definides mitjançant taules de valors.

3 Troba la quota íntegra que correspon a cada una de les següents bases liquidables:

a) 12 000 € b) 20 000 € c) 45 000 € d) 100 000 €

4 La segona columna de la taula de dalt es pot obtenir a partir de la resta de les dades que hi ha en aquesta.

Explica com.

Mitjançant la seva expressió analítica o fórmula

L’expressió analítica és la forma més precisa i operativa de donar una funció. Però per visualitzar-la es requereix un minuciós estudi posterior.

Vegem-ne alguns exemples:

|Exemple 1

Una bolla que es deixa caure per un pla lleument inclinat duu una acceleració de 20 cm/s2.

La distància, e, en centímetres, que recorre en funció del temps, t, en segons, ve donada per la fórmula e = 10t 2 .

|Exemple 2

El volum d’una esfera en funció del seu radi és: V =

|Exemple 3

El període, T, d’un cert pèndol ve donat en funció de la longitud, l (en m), per la fórmula T = l 2

El període és el temps, en segons, que tarda a fer una oscil·lació, anada i tornada.

|Exemple 4

L’augment, A, de la mida d’un objecte que es mira a través d’una lupa és A = d 2 2 –. d : distància de la lupa a l’objecte, en cm. A: augment (nombre pel qual es multiplica la mida real).

PENSA I PRACTICA

5 En l’exemple 1, calcula la distància que recorre la bolla en 1, 2, 3, 4 i 5 segons. A quin temps correspon una distància de 2 m?

En l’exemple 2, troba el volum d’una esfera de radi 5 cm i el radi d’una esfera de volum 800 cm 3 .

6 Troba (exemple 3) el període d’un pèndol d’1 m de llarg. Quina és la longitud d’un pèndol amb un període de 6 segons?

7 Calcula la mida aparent, A, d’un objecte (exemple 4) per als següents valors de d : 0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99

Per a d = 4 s’obté A = –1. Això vol dir que l’objecte es veu de la mateixa mida, però invertit. Interpreta els valors de A per a d : 10; 5; 2,5; 2,1; 2,01

NOTACIÓ

Si Dom f és el conjunt de tots els reals excepte x = –3, podem expressar-ho mitjançant la unió d’intervals, (– ∞, –3) ∪ (–3, +∞), o així Dom f = Á – {–3}

D omini de definició 3

En la funció y = x 2 podem donar a x un valor qualsevol i obtenim el corresponent valor de y. Deim que aquesta funció està definida en tot Á o bé que el seu domini de definició és Á o (–∞, +∞).

No obstant això, en la funció y =  x no podem donar a x valors negatius. El seu domini de definició és [0, +∞).

Per què es restringeix el domini de definició?

Dom f pot quedar restringit per una de les causes següents:

Impossibilitat de realitzar alguna operació. Això passa si en f (x) hi ha:

• Denominadors. Els valors que fan zero un denominador no estan en el domini de definició.

Per exemple, per a f (x) =  x 3 1 + , el domini és el conjunt de tots els reals excepte x = –3. És a di, Dom f = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞).

• Arrels quadrades. No estan en el domini de definició els valors que fan que l’expressió dins de l’arrel sigui negativa.

Per exemple, per f (x) =  x 2 – , els valors x < 2 no estan en el domini de definició. Per tant, Dom f = [2, +∞).

Context real de què s’ha extret la funció

Per exemple, si A = l 2 representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat, el domini és (0, +∞), ja que la longitud del costat ha de ser un nombre positiu.

Voluntat de qui proposa la funció.

Així, podem referir-nos a la funció y = 2x definida en (0, 4] sense més raó que el fet que vulguem fer-ho.

➜ anayaeducacion.es

Reforça el càlcul de dominis.

EXERCICI RESOLT

Troba el domini de definició de les funcions donades per les seves expressions analítiques:

a) y =  xx28 1 2

b) y =  x5 +

Quan no es diu el contrari, el domini de definició és tan ampli com permeten les operacions que componen l’expressió analítica de la funció.

denominador, de manera que no pertanyen al domini de definició.

PENSA I PRACTICA

1 Troba el domini de definició de les funcions següents:

Observa en aquest gràfic del valor de l’euríbor el 2022, la importància dels punts de tall amb els eixos.

• El tall amb l’eix Y correspon al valor al començament de l’any.

• El tall amb l’eix X mostra quan deixa de ser negatiu.

Signe d’una funció 4

Talls amb els eixos.

Els punts de tall d’una funció amb l’eix X en la majoria dels casos indiquen el canvi de signe dels valors que pren (abans del punt de tall eren positius i després passen a ser negatius, o viceversa). Per aquest i altres motius és important conèixer aquests punts.

Quan una funció ve donada mitjançant una expressió analítica, y = f (x), és fàcil trobar els punts de tall amb els eixos:

• Per trobar on talla l’eix X, feim que f (x) = 0.

• Una funció només pot tallar una vegada a l’eix Y, es troba amb f (0).

EXERCICI RESOLT

Calcula els punts de tall amb els eixos de f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Per trobar els punts de tall amb l’eix X, feim f (x) = 0. x 3 – 4x 2 + x + 6 = 0 → x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3

La funció talla l’eix X en els punts (–1, 0), (2, 0) i (3, 0).

El punt de tall amb l’eix Y es troba calculant f (0).

f (0) = 6, és a dir, talla l’eix Y en el punt (0, 6).

Signe d’una funció

El signe d’una funció pot ser positiu o negatiu. Si la funció està per damunt de l’eix X, els valors seran positius i, si està per davall, negatius.

Per estudiar el signe d’una funció f (x), resolem dues inequacions:

• f (x) > 0, en la seva solució (interval o unió d’intervals) f (x) serà positiva.

• f (x) < 0, en la seva solució la funció serà negativa.

EXERCICI RESOLT

Estudia el signe d’aquesta funció:

f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Sabem que la funció s’anul·la en x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3, per la qual cosa els intervals a estudiar són:

• En (–∞, –1), com que f (–2) = –20 < 0 → negativa

• En (–1, 2), com que f (0) = 6 > 0 → positiva

• En (2, 3), com que f (2,5) = –0,875 < 0 → negativa

• En (3, +∞), com que f (4) = 10 > 0 → positiva

Atenció: Si la funció tengués una discontinuïtat en un cert punt, x =  a, s’hauria de tenir en compte aquesta abscissa per estudiar els intervals.

PENSA I PRACTICA

1 Troba els punts de tall amb els eixos d’aquestes funcions:

a) f (x) = 3x – 2 b) f (x) = x 2 + x – 6

c) f (x) = x 3 – 2x 2  – x + 2 d) f (x) = x 2 + 2x + 1

2 Estudia el signe de les funcions de l’exercici anterior.

3 Troba els punts de tall amb els eixos i estudia el signe de la funció f (x) =  xx 6 1 –2 + .

OBSERVA

Les línies temporals com la temperatura són contínues, però la funció del preu de l’habitatge està feta de punts que s’uneixen amb una línia per veure l’evolució.

O BSERVACIÓ IMPORTANT

En una funció contínua, a «petites» variacions de la x corresponen variacions també «petites» de la y. Mentre que en els punts de discontinuïtat (amb salt) una variació petita de la x (un minut més a l’aparcament) pot produir una variació gran (2 €) en la y.

OBSERVA () y x xx x xx x 2 2 2 2 –––– 2 == =

És a dir, y = x si x ≠ 2, perquè no podem dividir per zero. Per això deixam un buit en aquest punt.

PENSA I PRACTICA

La funció del marge és contínua en tot el domini de definició. No obstant això, les tres funcions següents són discontínues: a

a) c) b) a a

Per què són discontínues?

a) Presenta un salt en el punt d’abscissa a.

b) Té branques infinites en el punt a. És a dir, els valors de la funció creixen indefinidament quan la x s’aproxima a a.

c) Li falta un punt. És a dir, no està definida en x = a.

Una funció és contínua quan no presenta discontinuïtats de cap tipus. Una funció és contínua en un interval [a, b ] si no hi presenta cap discontinuïtat.

|

Exemples

Hi ha molts aparcaments que continuen cobrant «per hores». Això vol dir que només per entrar ja es paga 1 h. Si s’hi està 1h i 10 min es paguen 2 h. El primer dels dos gràfics següents descriu aquesta forma de pagament. És una funció amb diversos punts de discontinuïtat per salts.

Els usuaris prefereixen que les tarifes es regeixin per la funció amb el gràfic 2 . Evidentment, és contínua.

Les funcions següents presenten discontinuïtats:

Aquesta perquè té branques infinites.

1 Construeix una funció similar a la 1 , però per al cas que es pagui 1 € cada mitja hora. Quina de les opcions de pagament et pareix més justa?

I aquesta perquè hi falta un punt.

➜ anayaeducacion.es Funcions contínues i discontínues.

2 Analitza la funció 3 per a valors «pròxims a 2». Comprova que quan x val 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001, la y pren valors «molt grans».

F uncions contínues. Discontinuïtat

EXERCICI RESOLT

Indica els intervals en què és creixent i en què és decreixent la funció de la dreta donada gràficament.

Variacions d’una funció 6

El temps de son (hores al dia dormint) de les persones en els dos primers anys de vida és una funció decreixent (a més edat, menys hores de son).

Com saps, les funcions s’analitzen d’esquerra a dreta: com evolucionen els valors de y en augmentar els valors de x. Donam, per tant, les definicions següents:

Una funció f és creixent en un interval quan:

si x2 > x1, aleshores f (x2) > f (x1)

Anàlogament, la funció f és decreixent en un interval quan:

si x2 > x1, aleshores f (x2) < f (x1)

Una funció pot ser creixent en uns intervals i decreixent en uns altres.

La funció està definida en l’interval [–7, 11].

És creixent en els intervals (–7, –3) i (1, 11).

És decreixent en l’interval (–3, 1).

PENSA I PRACTICA

1 Observa la funció de la dreta i indica en quins intervals és creixent i en quins és decreixent.

(Suposarem que si la funció està definida només en els intervals en els quals la veus dibuixada).

TAXA DE VARIACIÓ ABSOLUTA I RELATIVA

La taxa de variació absoluta ens dona el canvi que una variable presenta d’un cert moment a un altre posterior. Per exemple, si el salari mensual mínim interprofessional el 2018 va ser de 735,90 € i el 2022 va ser de 1 000 €, en el període 2018-2022 ha tengut una pujada o variació absoluta de 264,10  €

La taxa de variació relativa en un interval de temps és el quocient entre la variació absoluta i el valor que va prendre la variable en el moment inicial. El resultat es dona en tant per cent. Així, la variació relativa del salari mensual mínim interprofessional en el període 2018-2022 és:

Taxa de variació mitjana (TVM)

Per mesurar la rapidesa de variació (augment o disminució) d’una funció en un interval, s’usa la taxa de variació mitjana o TVM.

S’anomena taxa de variació mitjana de la funció f en l’interval [a, b ] el quocient entre la variació de la funció i la longitud de l’interval.

(b) f (b) – f (a) b – a Observa que la TVM de f en [a, b ] és el pendent del segment AB.

TVM de f en [a, b ] = () () ba fb fa ––b

, , 735 90

264 10 = 0,3589, és a dir, un augment del 35,89 %.

EXERCICIS RESOLTS

1 Calcula la taxa de variació mitjana de la funció donada gràficament a la dreta en els intervals [1, 5] i [5, 8].

Si f és creixent en [a, b ], aleshores TVM de f en [a, b ] > 0, i si f és decreixent en [a, b ], aleshores TVM de f en [a, b ] < 0. Atenció! No té per què ocórrer el contrari, és a dir, si la TVM de f en un interval [a, b ] és positiva la funció no té per què ser creixent en aquest interval, pot ser una part creixent i una altra decreixent (com ocorre en l’exemple resolt 2 a continuació).

la figura veim que:

tant:

2 a) Troba la TVM de la funció y = x2 – 4x + 5 en els intervals [2, 4] i [0, 3].

b) Com és la funció en cada un d’aquests intervals?

PENSA I PRACTICA

b) Observant el gràfic veim que la funció és creixent en l’interval [2, 4]. Observa que, encara que la TVM en l’interval [0, 3] és negativa, la funció té en aquest interval una part decreixent (interval [0, 2]) i una altra creixent (interval [2, 3]).

2 Troba la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f representada, en els intervals [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] i [3, 9].

➜ anayaeducacion.es Taxa de variació mitjana.

3 Troba la TVM de la funció y =  x 2 – 4x + 5 (exercici resolt 2) en [0, 2], [1, 3] i [1, 4].

4 Troba la TVM de les funcions següents en [–1, 1], [0, 3] i [2, 5].

a) y = 2x – 2 b) y = x3 – 2x + 1 c) y = –3

EXERCICIS RESOLTS

1 Indica quins són els màxims i els mínims de la funció següent.

Màxims i mínims

El gràfic de l’esquerra mostra l’evolució del pes d’un jove durant 3 anys de la seva vida. Als 16 anys pesava uns 50 kg. Augmenta el pes fins a uns 55 kg. A partir d’aquí, baixa fins a 52 kg, però es recupera i el pes augmenta fins als 70 kg, que va pesar amb 19 anys.

No hi ha dubte que el pes mínim durant aquests tres anys va ser amb 16 anys, i el màxim amb 19 anys, però hi ha dos moments en els quals aconsegueix un màxim relatiu (55 kg) i un mínim relatiu (52 kg).

Una funció té un màxim relatiu en un punt quan en aquest la funció pren un valor major que en els punts pròxims. En tal cas, la funció és creixent fins al màxim i decreixent a partir d’aquest.

Anàlogament, si f té un mínim relatiu en un punt, és decreixent abans del punt i creixent a partir d’aquest.

La funció pot prendre en altres punts valors majors que un màxim relatiu i menors que un mínim relatiu. El major valor d’una funció en un interval s’anomena màxim absolut. Anàlogament, el menor valor d’una funció en un interval s’anomena mínim absolut.

Té un màxim relatiu en el punt d’abscissa –3. El valor és 2. Té un mínim relatiu en (1, –5).

El màxim absolut coincideix amb el màxim relatiu. Té un mínim absolut en (–7, –6).

Té un màxim relatiu en (–3, 4) i dos mínims relatius en (–5, 3) i en (5, –2). El mínim absolut coincideix amb un dels mínims relatius, (5, –2). Té dos màxims absoluts: (–8, 5) i (8, 5).

PENSA I PRACTICA

1 Observa la funció representada a la dreta i indica quins són els màxims i els mínims (relatius i absoluts).

2 Troba els màxims i mínims d’aquesta funció

L ÍMIT D’UNA FUNCIÓ

Aquestes tendències es coneixen com a límits de funcions. En batxillerat aprendràs a reconèixer-les i a calcular-les.

Tendència i periodicitat 7

Un paracaigudista salta d’un avió a una determinada altura. La seva velocitat creix molt ràpidament al principi, però segons passa el temps, tendeix a estabilitzar-se a causa del fet que la força del fregament de l’aire s’iguala a la gravetat. Aquest és el gràfic de la funció que relaciona la velocitat amb el temps:

Observam que la velocitat a partir d’un cert moment s’estabilitza al voltant d’un valor. Podem afirmar que:

En passar el temps, la velocitat tendeix a 55 m/s (198 km/h).

Hi ha funcions en què, encara que només en coneguem un tros, podem predir com es comporten lluny de l’interval en què han estat estudiades, perquè tenen branques amb una tendència molt clara.

EXERCICIS RESOLTS

1 En netejar el congelador, ha quedat en un tassó un tros de gel. Representa el gràfic de la variació de la temperatura d’aquesta aigua sabent que el gel surt del congelador a –10 °C, i tarda mitja hora a posar-se a 0 °C i 2 h més a descongelar-se. La temperatura exterior és de 20 °C.

2 A quant tendeix el volum d’un cub quan creix la seva aresta?

El gel puja de temperatura fins a arribar a 0 °C. A partir d’aquí, es descongela a poc a poc mantenint la temperatura de 0 °C fins que es liqua per complet. Després, augmenta la temperatura de l’aigua que tendeix a igualar-se amb la de l’habitació on es troba.

El volum d’un cub en funció de l’aresta és V = l 3. Com més gran sigui l’aresta, més gran en serà el volum.

És a dir, el volum creix indefinidament. Això s’expressa de la manera següent: Quan l’aresta creix indefinidament, el volum tendeix a infinit.

En aquest gràfic es representa el començament d’una funció periòdica de període 7. Esbrina els valors d’aquesta funció en els punts d’abscisses a = 10;

Periodicitat

En el marge s’ha representat la variació de l’altura d’una cabina d’una roda de fira quan aquesta fa una volta. Tarda mig minut (30 segons), i en aquest temps puja, arriba al punt més alt, baixa i arriba a terra. Però aquest moviment es repeteix una vegada i una altra. La seva representació gràfica és aquesta:

En aquesta funció, el que passa en l’interval [0, 30] es repeteix reiteradament. Es tracta d’una funció periòdica de període 30.

Funció periòdica és aquella que té un comportament que es repeteix cada vegada que la variable independent recorre un cert interval. La longitud d’aquest interval s’anomena període.

a = 10 → f (10) =  f (3) = 3 (ja que 10 = 7 · 1 + 3, i cada 7 unitats es repeteix el valor de la funció)

b = 19 → f (19) = f (5) = 4 (pues 19 = 7 · 2 + 5)

c = 418,5 → f (418,5) = f (5,5) = 3 (ja que 418,5 = 7 · 59 + 5,5)

d = 1 778 → f (1 778) = f (0) = 0 (ja que 1 778 = 7 · 254)

PENSA I PRACTICA

1 La quantitat de radioactivitat que posseeix una substància es redueix a la meitat cada any. El gràfic adjunt descriu la quantitat de radioactivitat que hi ha en una porció d’aquesta substància en transcórrer el temps.

A quant tendeix la radioactivitat amb el pas del temps?

2 La cisterna d’uns serveis públics s’omple i es buida, automàticament, cada dos minuts, seguint el ritme del gràfic adjunt.

a) Dibuixa el gràfic corresponent a 10 min.

b) Quanta aigua hi ha a la cisterna en els instants següents?

I) 17 min II) 40 min 30 s

III) 1 h 9 min 30 s

allargament d’una molla

Funcions lineals 8

Funcions lineals en la vida quotidiana

La ciència està plena de funcions en les quals les variacions de les causes influeixen proporcionalment en les variacions dels efectes. Totes aquestes funcions es diuen lineals i es representen mitjançant rectes. Vegem-ne un exemple:

Si d’una molla penjam diferents pesos, es produeixen diversos allargaments. És a dir, la longitud de la molla és funció del pes que s’hi penja. I és interessant destacar que aquesta funció és lineal.

➜ Representa la funció de proporcionalitat y = mx i escriu-ne el pendent.

➜ anayaeducacion.es Representació gràfica d’una funció lineal.

En concret, suposam que la molla sense estirar fa 30 cm i que s’allarga 15 cm per cada quilogram que hi penjam. La relació és: y = 30 + 15x (y: longitud en cm; x: pes en kg)

El domini de definició d’aquesta funció és [0, 6], suposant que per a pesos de més de 6 kg la molla es deteriora.

Funció de proporcionalitat: y = mx

y = mx

Per exemple, l’espai recorregut a velocitat constant, v, en funció del temps és: e = v · t, on v és el pendent de la recta que relaciona e amb t.

Funció constant: y = n

Es representa mitjançant una recta paral·lela a l’eix X El pendent és 0.

la funció

0

La recta y = 0 coincideix amb l’eix X. n X

Per exemple, la distància d’un satèl·lit artificial a la Terra és constant, no depèn del temps, t. L’equació seria d = 36 000, d: distància, en km; t: temps, que no apareix a l’equació.

Expressió general de la funció lineal: y = mx + n

0 50 100 1 2 3 4 5 6 y = 30 + 15x longitud (cm) pes (kg) y = mx + n n Y X 100 32 50 100 C F F = 32 + 1,8C 150

Per exemple, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el marge, permet passar de graus centígrads, C, a graus Fahrenheit, F.

y = mx + n

➜ Representa una recta i escriu l’equació a partir d’un punt i el pendent.

ATENCIÓ

Aquesta fórmula és molt útil. Aprèn a usar-la!

Equació d’una recta en la forma punt-pendent

Amb molta freqüència hem d’escriure l’equació d’una recta coneixent-ne un punt i el pendent. La donam a continuació:

Punt: P (x0, y0) Pendent: m Ecuació: y = y0 + m(x – x0)

justificació

• y = y0 + m (x – x0) és una expressió de 1r grau. Per tant, és una recta.

• El coeficient de la x és m. Per tant, el pendent és m.

• Si donam a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Per a x = x0 hem obtengut y = y0, és a dir, passa per (x0, y0).

❚ Recta donada peR dos punts

Per trobar l’equació de la recta que passa per dos punts, procedim així:

➜ Representa una recta i escriune la equació a partir de dos punts.

EXERCICI RESOLT

Troba l’equació de cada una de les rectes següents:

a) Passa per (–5, 7) i té un pendent de 5 –3 .

b) Passa per (–2, 7) i per (4, 5).

PENSA I PRACTICA

1 Representa les funcions següents:

• A partir dels dos punts, n’obtenim el pendent.

• Amb el pendent i un dels punts, n’obtenim l’equació.

➜ anayaeducacion.es Repassa l’equació punt-pendent.

a) Ecuació: y = 7 –  5 3 (x + 5). Això ja és l’equació de la recta.

Podem simplificar-la: y = 7 –  5 3 x –  5 3  · 5 → y = 4 –  5 3 x

b) Començam trobant-ne el pendent: m =  42() 57 6 2 3 1 ––– ==

Equació de la recta que passa per (–2, 7) i amb pendent és – 3 1 : y = 7 –  3 1 (x + 2) → y =  3 19  –  3 1 x

a) y = 2x b) y =  3 2 x c) y = – 4 1 x d) y = –3 7 x

2 Representa:

a) y = 3 b) y = –2 c) y = 0 d) y = –5

3 Representa aquestes funcions:

a) y = 2x – 3 b) y =  3 2 x + 2

c) y = – 4 1 x + 5 d) y = –3x – 1

4 Un objecte mòbil, en l’instant inicial, està a 3 m de l’origen i se’n fa enfora a una velocitat de 2 m/s. Troba l’equació de la seva distància a l’origen en funció del temps i representa-la.

➜ anayaeducacion.es Calcula el pendent d’una recta.

5 El preu de les patates al mercat és d’1 €/kg, i el de les tomàtigues, 2 €/kg.

a) Escriu l’equació del cost d’una bossa de patates en funció del pes.

b) Escriu l’equació del cost d’una bossa de tomàtigues en funció del pes.

c) Representa les funcions anteriors.

6 Amb les dades que se’t donen, troba l’equació de cada una de les rectes següents:

a) Passa per (–3, –5) i té un pendent de 9 4 .

b) Passa per (0, –3) i té un pendent de 4.

c) Passa per (3, –5) i per (–4, 7).

F uncions quadràtiques 9

Funcions quadràtiques

El curs passat vàrem fer una introducció suau a l’estudi de les paràboles. Ara repassarem allò i avançarem una mica més, centrant-nos en el tractament.

Observa les següents paràboles amb les respectives equacions:

Analitzant-les, podem realitzar les afirmacions següents:

Les funcions y = ax 2 + bx + c, amb a ≠ 0, anomenades quadràtiques, es representen totes mitjançant paràboles i són contínues en tot Á.

Cadascuna d’aquestes paràboles té un eix paral·lel a l’eix Y.

La seva forma depèn de a, coeficient de x 2, de la manera següent:

• Si dues funcions quadràtiques tenen el mateix coeficient de x 2, les paràboles corresponents són idèntiques, encara que poden estar situades en posicions diferents.

• Si a > 0, tenen les branques cap amunt, i si a < 0, cap avall.

• Com més gran sigui |a |, més estilitzada és la paràbola.

TAULES DE VALORS AMB CALCULADORA

La calculadora ens permet elaborar, de manera ràpida i eficient, una taula de valors corresponent a qualsevol funció, en l’interval que vulguem i amb els increments desitjats. Observa com ho feim per a la funció y = –x 2 + 3x + 4. Es tria 3:Taula en l’opció de �. Apareix f (x) i, a continuació, s’introdueix l’expressió. Ten en compte que per escriure la x s’han de pitjar les tecles x ) .

x ) x + 3 x ) + 4= Apareix aquesta pantalla, on has d’indicar el primer i el darrer valor de x i la grandària del pas:

Representació de funcions quadràtiques

Per representar una funció quadràtica donada per l’equació, només s’han d’obtenir uns quants dels seus punts. Començarem calculant el vèrtex de la paràbola, per trobar, després, alguns punts que l’envolten.

• Trobam l’abscissa del vèrtex de la paràbola y = ax 2 + bx + c → x0 = – a b 2

• Calculam el valor de la funció en algunes abscisses pròximes al vèrtex.

• Els talls amb els eixos ens poden venir bé per a la representació:

— Amb l’eix X, es resol l’equació ax 2 + bx + c = 0.

— Amb l’eix Y, és el (0, c ).

EXERCICI RESOLT

Representa la paràbola d’equació y = –x 2 + 3x + 4.

Obtenim el vèrtex:

Abscissa: x0 = – 2 3 – = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vèrtex: (1,5; 6,25)

Obtenim punts pròxims al vèrtex:

En el nostre cas, com que el vèrtex està en x = 1,5, donam els valors de –2 a 5 i anam d’1 en 1 (pas).

Per veure els valors que no surten, has de moure’t cap avall amb el cursor.

Podem observar que, a causa de la simetria de la paràbola respecte al seu eix, les ordenades dels punts que estan a la mateixa distància del vèrtex coincideixen. És a dir, com que el vèrtex està en x = 1,5, llavors f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vegem que – x 2 + 3x + 4 = 0 té dues solucions, x = –1 i x = 4; i que f (0) = 4. Però aquests punts de tall amb els eixos ja apareixen en la taula.

PENSA I PRACTICA

1 Associa cadascun dels coeficients de la x 2 amb la paràbola corresponent:

• a = –1

• a = 2

• a = –3 1

• a =  2 1

• a = –3

➜ anayaeducacion.es Representa funcions quadràtiques.

2 Representa les paràboles següents:

a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3

c) y =  3 1 x 2 + x – 2 d) y = –x 2 + 4

e) y = –2 1 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuixa en la teva llibreta la representació gràfica d’aquestes funcions quadràtiques:

a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2

c) y =  2 1 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5

Exercicis i problemes resolts

1 Domini de definició

Indica quin és el domini de definició d’aquesta funció:

y =  36xx 9 –2 +

L’arrel quadrada es pot calcular si l’expressió davall de l’arrel és positiva o 0.

Resolem 3x 2 + 6x – 9 = 0 → x1 = –3, x2 = 1. I estudiam el signe en els intervals (– ∞, –3), (–3, 1) i (1, +∞).

• Si x ≤ –3 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

• Si –3 < x < 1 → 3x 2 + 6x – 9 < 0

• Si x ≥ 1 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

Fes-ho tu Calcula el domini de definició de la funció següent: y =  xx 21420 2 +

2 Gràfic d’una funció discontínua

Donat el gràfic de la dreta:

a) Troba’n el domini.

b) En quins punts talla els eixos? Estudiar el signe de la funció.

c) Troba la TVM en els intervals [−4, −2] i [0, 1]. És creixent o decreixent en aquests intervals?

d) Indica els punts de discontinuïtat de la funció. Quin tipus de discontinuïtat presenta en cada un?

Per tant, podem donar a x qualsevol valor menor o igual que –3 o bé qualsevol valor major o igual que 1.

Per tant, el domini d’aquesta funció, f, és: Dom f = (– ∞, –3] ∪ [1, +∞)

Representam y = 3x 2 + 6y – 9 perquè es vegi clar on és positiu i negatiu el radicand. Atenció! Aquest no és el gràfic de f (x).

a) La funció no està definida en x = −1, ni en x = 5. El seu domini és Dom = [–4, –1) ∪ (–1, 5).

b) Talla l’eix X en els punts (−4, 0), (1/2, 0) i (3, 0). Està per damunt de l’eix X, després és positiva en els intervals [–4, –1), (−1, 1/2) i (3, 5) i negativa en l’interval (1/2, 3).

c) TVM [−4, −2] =  () () () ff 2 24 4 2 10 2 1 –––==

TVM [0, 1] =  10 12 3 –– = Mirant el gràfic, veim que és creixent en [−4, −2] i decreixent en [0, 1].

d) Té dues discontinuïtats: en x = −1 presenta una branca infinita i en x = 3 un salt.

Fes-ho tu Digues els intervals de creixement i decreixement de la funció anterior.

3 Obtenció de l’equació d’una paràbola a partir del vèrtex i un dels punts

Troba l’equació de la paràbola el vèrtex de la qual és (3, –1) sabent que passa pel punt (2, –2).

Representa-la en uns eixos de coordenades.

Fes-ho tu Troba l’equació de la paràbola el vèrtex de la qual està en el punt (–2, –9) i que passa per (0, 1).

Una paràbola qualsevol és y = ax 2 + bx + c.

El valor de l’abscissa del vèrtex és x = 3.

Per tant: –b/2a = 3 → b = –6a (*)

La paràbola passa per (3, –1) i (2, –2):

La paràbola és y

Exercicis i problemes

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

Interpretació de gràfics. Característiques

1 Aquest és el gràfic de l’evolució de la temperatura

malalt:

a) Quant de temps va estar en observació?

b) En quin dia la temperatura aconsegueix un màxim?

I un mínim? Quina temperatura aconsegueix?

c) En quins intervals de temps creix la temperatura i en quins decreix?

d) Troba la TVM en l’interval [3,5; 5].

e) A què tendeix la temperatura en passar el temps?

2 Treim de la gelera un tassó amb aigua. Aquest gràfic mostra la temperatura en passar el temps:

Enunciats, fórmules i taules

4 Aquesta taula mostra les reserves d’aigua d’un embassament durant tres anys. Tenim les dades concretes en cinc moments de cada any:

a) Dibuixa els gràfics corresponents als tres anys de la funció Nre. de setmanes - Reserva en uns mateixos eixos. Descriu-les.

b) Segons les dades, en quin mes i any va haver-hi més reserva? I menys?

c) Quin n’és el domini?

d) Amb aquestes dades, podem saber el recorregut de cada funció?

5 Un triangle isòsceles té 20 cm de perímetre. Anomena x el costat desigual i y els costats iguals.

a) Fes una taula de valors i, a partir d’aquesta, escriu la funció que relaciona el valor de y amb el de x.

b) Quin n’és el domini de definició?

Domini de definició

a) Quina temperatura hi ha dins de la gelera? I a fora?

b) Treim del microones un tassó amb aigua a 98 °C. Traça el gràfic de la temperatura en passar el temps.

3 La pressió atmosfèrica a nivell de la mar és, de mitjana, la que exerceix una columna de mercuri de 760 mm. Se sol expressar com 760 mm de Hg.

En el gràfic s’aprecia com varia en augmentar l’altura.

a) A quant tendeix la pressió quan l’altura augmenta?

b) Quina pressió pateix l’exterior d’un avió que vola a 10 km

6 Troba el domini de definició en cada un dels casos següents:

a) y = x2 – 1 b) y =  xx 5 2 2 + c) y =  2 3 x3 + 7x – 2

d) y =  x 3 1 –e) y =  x x 210 –3 + f) y =  x x 1 21 –2 +

g) y =  x 2 –h) y =  xx x 6 1 ––2 + i ) y =  xx 1 –2

j) y =  x 7 + k) y =  x 1– l) y =  x 39 –

m) y =  x– n) y =  x 34 –3 ñ) y = 1 – 5 x 22 +

Funcions lineals i quadràtiques

7 Representa les següents funcions lineals:

a) y = 2x – 3 b) y =  7 4 x

c) y =  x 5 –+310 d) y = 2,5

Exercicis i problemes

8 Calcula en cada cas l’equació de la recta i representa-la.

a) P (0, 0), m = 1 b) P (2, –1), m = 0

c) A (–2, 1), m =  2 1 d) A (1, 3), m = –3 5

9 Troba, en cada cas, l’equació de la recta que passa pels punts A i B:

a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3)

c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1)

10 Calcula l’equació d’aquestes funcions lineals:

B C D

11 Associa cada gràfic amb la seva expressió.

a) y = x 2

b) y = –x 2 + 3

c) y = (x – 3)2

12 Fes una taula de valors donant a x valors enters de l’interval [−4, 4] per representar les funcions següents:

a) y = x 2 + 1 b) y = –x 2 + 4

c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2

ENTRENA’T I PRACTICA

13 Troba l’equació, en cada cas, i representa-la:

a) Recta que passa per (2, –3) i és paral·lela a la recta que passa per (1, –2) i (– 4, 3).

b) Funció de proporcionalitat que passa pel punt (– 4, 2).

c) Funció constant que passa per (18; –1,5).

14 Troba, en cada cas, el vèrtex de la paràbola, indicant si és màxim o mínim, i els punts de tall amb els eixos. Representa-les.

a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2

c) y = –x 2 – 2x + 4 d) y =  xx3

15 Representa, sobre els mateixos eixos, les funcions donades en cada apartat i troba’n els punts de tall.

a) yx yx 2 –2 = = * b) yx yx 4 2 –2 = = *

Resol els sistemes d’equacions dels apartats a) i b) i comprova que els punts de tall que has trobat són les solucions.

16 L’òrbita del cometa Halley és una el·lipse molt excèntrica, i un dels seus focus és el Sol. Aquesta funció relaciona la distància del cometa al Sol amb el temps:

distància al sol (UA)

1755 1832 1909 1986

any

a) És una funció periòdica? Quin és el seu període?

b) En quin any tornarà a acostar-se al Sol?

17 Aquest és el gràfic de l’evolució dels tres primers atletes a arribar a la meta en una carrera de 1 000 m:

(m)

a) Quant va tardar cada un?

b) En quins moments s’han avançat els uns als altres?

c) Quina va ser la velocitat mitjana de cada un en la primera meitat de la carrera? I en la segona?

18 a) Troba la TVM d’aquesta funció en els intervals [0, 4], [5, 7], [−4, 0] i [−2, 4].

b) Digues en quins intervals és creixent i en quins decreixent.

c) Indica’n els punts de tall amb els eixos i estudia el signe de la funció.

Troba el valor dels paràmetres desconeguts perquè les rectes i els punts compleixin les condicions demanades. Representa-les.

a) Que la recta que passa pels punts (4, 0) i (–2, a) tengui pendent –1.

b) Que la recta y = bx + 2 passi pel punt (–3, 4).

c) Que les rectes d’equacions y = 3x +  c i y =  cx + 3 es tallen en el punt d’ordenada 2. Quina és l’abscissa corresponent?

d) Que els punts (d, –2) i (4, e) pertanyin a la recta d’equació y =  x 2 1 3 –.

20 Troba la TVM de y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 en els intervals [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] i [0, 1].

21 Troba els dominis de definició de:

f (x) =  x 9 –2 g (x) =  xx67 –2 +

h(x) =  x 4– 2 j(x) =  xx23 –2 ++

22 Calcula el vèrtex, l’eix de simetria i els punts de tall amb els eixos (si els té) d’aquestes paràboles:

a) y = 2x 2 b) y = 2(x – 5)2

c) y = 2(x – 5)2 + 2 d) y = –x 2 + 1

e) y = –(x + 1)2 + 1 f) y = –3x + 2x 2

23 Recorda que la fórmula del volum d’un cilindre és V = πr 2h.

a) Escriu la funció que relaciona el volum d’un cilindre de 1 cm de radi amb l’altura.

b) Indica la funció que relaciona el volum d’un cilindre de 1 cm d’altura amb el radi de la base.

RESOL PROBLEMES SENZILLS

c) Calcula el volum d’un cilindre d’1 cm de radi per a altures de 1, 2, 3, 4 i 5 cm. Representa’n la funció.

d) Troba el volum d’un cilindre d’1 cm d’altura per a radis de 1, 2, 3, 4 i 5 cm. Representa’n la funció.

e) Quina altura té un cilindre d’1 cm de radi i un volum de 37,68 cm3?

f ) Quina radi té un cilindre d’1 cm d’altura i un volum de 803,84 cm3?

24 Observa els gràfics de funcions següents: 2 –12

temperatura (°C)

23 temps

a) Relaciona cada corba amb aquests enunciats sobre la temperatura d’un tassó d’aigua:

I. Quan passa de la taula a la gelera.

II. Quan es treu de la gelera i es deixa a la taula.

III. Quan passa de la taula al congelador.

b) A quina temperatura està la casa? I el congelador? I la gelera?

25 Observa aquest gràfic en què, sent al·lota, segons la teva edat i la teva altura, pots saber, de manera aproximada, en quin percentil d’alçada estàs:

N’Aina, de 15 anys i 170 cm, es troba en el percentil 90. És a dir, que és més alta que el 90 % de la població i, per tant, més baixa que el 10 %.

a) Estima el percentil d’aquestes altres al·lotes:

• Ester: 13 anys; 160 cm • Èrica: 11 anys; 135 cm

• Maria: 8 anys; 117 cm • Marta: 12 anys; 150 cm

b) Si n’Olívia està en el percentil 75 i té 13 anys, quina en serà l’altura?

c) Quina edat té na Leonor si amb 105 cm d’altura està en el percentil 25?

26 Troba l’equació de la funció quadràtica sabent que el seu gràfic, una paràbola, passa per (0, 0), (1, –3) i (5, 5).

Exercicis i problemes

27 Aquesta funció relaciona l’espai recorregut per una moto amb el temps.

a) A quina distància està l’àrea de descans?

b) Troba la TVM en els intervals [0, 9], [0, 5] i [6, 9].

c) Quina és la velocitat mitjana en el primer tram abans del descans? I en el segon? Quina relació hi ha entre les velocitats mitjanes i les TVM de l’apartat anterior?

d) Troba la velocitat mitjana del viatge.

28 Un cos, en caiguda lliure, adquireix una velocitat que augmenta uns 35 km/h cada segon. Deixem caure una bolla de ferro des dalt d’un penya-segat.

a) Escriu l’expressió analítica de la funció que relaciona el temps des que es va deixar caure amb la velocitat a la qual cau.

b) Representa-la en uns eixos.

c) Suposant que la bolla no es frena amb l’aire, quina velocitat durà als 3 s? I als 10 s?

d) Si la bolla xoca contra el terra a una velocitat de 420 km/h, quant ha tardat a caure?

29 L’altura, h, a la qual es troba en cada instant, t, una fletxa que tiram amb l’arc cap amunt amb una velocitat de 40 m/s és h = 40t – 5t 2 .

a) Representa gràficament la funció.

b) Digues quin és el seu domini de definició.

c) En quin moment aconsegueix l’altura màxima? Quina és aquesta altura?

d) En quin moment es clava la fletxa a terra?

e) En quin interval de temps la fletxa està a una altura superior a 35 metres?

30 Resol analíticament i gràficament aquests sistemes:

32 Observa aquests gràfics funcions discontínues i contesta les preguntes:

31 a) Calcula b i c perquè el vèrtex de la paràbola y = x 2 + bx + c estigui en el punt (3, 1).

b) Quin n’és l’eix de simetria?

c) Quins en són els punts de tall amb els eixos?

a) Quins són els punts de discontinuïtat? Explica la raó de discontinuïtat en cada punt.

b) Quin és el domini de definició?

c) Indica, si té, els màxims i els mínims relatius.

d) En quins intervals és creixent? I decreixent?

PER PENSAR UN POC MÉS

33 Enguany, na Verònica ha aconseguit collir de la seva producció 240 kg d’alvocats que avui es vendrien a 1,20 €/kg. A partir d’ara, cada dia que passa se’n tuden 4 kg, però el preu augmenta 0,10 €/kg. Quan ha de vendre els alvocats per obtenir el màxim benefici? Quin serà aquest benefici?

34 Amb un rectangle de cartolina de 50 cm × 20 cm, volem fabricar una caixa amb tapadora.

a) Escriu el volum en funció de x, V (x).

b) Donant valors a x, representa el gràfic de V (x).

c) Quin és el domini de V (x)?

35 Donada la següent funció periòdica:

36 Troba l’expressió analítica corresponent a cada una de les paràboles representades:

37 Dibuixa i escriu l’equació, en cada cas, de les paràboles que compleixen aquestes condicions:

a) L’eix és x = 2, el coeficient de la x 2 és –1 i talla l’eix X en un sol punt.

b) Té el vèrtex en el punt (3, –2) i té la mateixa forma que y = x 2

c) Té el vèrtex en l’origen de coordenades i passa pel punt (–3, –18).

38 Dibuixa un quadrat ABCD de 7 cm de costat. Sobre el costat AB, marca un punt P que disti x de A, i dibuixa un nou quadrat PQRS inscrit en l’anterior.

a) Observa que si x = 3 cm, AS  = 7 – 3 = 4 cm. Quant mesura PS ? Quina és l’àrea del nou quadrat?

b) Quina és la funció que relaciona x amb l’àrea del quadrat? Indica’n el domini.

c) Usa una escala adequada a cada eix i representa-la.

39 Una funció, f (x), és periòdica de període 5, i la seva TVM en [1, 3] és 1.

a) Què podem dir de la TVM de la funció en l’interval [6, 8]? I en l’interval [11, 13]?

b) Quina TVM té la funció en [3, 6]?

c) Quina és la taxa de variació mitjana de la funció en l’interval [4, 9]? I en [8, 43]?

40 En una piscina hi ha un trampolí a 6 m de l’aigua. Des d’allí, deixam caure una pilota rodant i cau a l’aigua a 10 m de la vertical del trampolí. La trajectòria és una paràbola amb vèrtex en el punt de caiguda.

a) Pren O com a origen i troba l’equació de la trajectòria de la pilota des que surt del trampolí fins que toca l’aigua.

TAMBÉ POTS FER AIXÒ

41 Observa que el gràfic de y =  f (x) talla l’eix X en x = –2, x = 0 i x = 4. Pren valors positius en els intervals

(–2, 0) i (4, +∞), i negatius en (– ∞, –2) i (0, 4).

Tenint això en compte, podem afirmar que:

• El domini de definició de la funció y =  ()fx 1 és Á – {–2, 0, 4}.

• El domini de definició de la funció y =  ()fx és [–2, 0] ∪ [4, +∞).

Raonant de manera similar, digues el domini de definició de y =  ()fx 1 i y =  ()fx , per a les següents funcions donades pels gràfics:

m

b) Dona’n el domini de definició.

10 m

a) Y X

a) Y X

Y X

Y X

b) Y X

d)

c) Y X

c) Y X

d)

b) Y X

HO HAS ENTÈS? REFLEXIONA

42 Digues, raonadament, si és vertadera o falsa:

a) Si una funció és discontínua en un punt, aquest punt no pertany al domini de definició.

b) Si un punt no pertany al domini de definició d’una funció, aquesta no pot ser contínua en aquest.

c) Una funció periòdica sempre és contínua.

d) El pendent d’una recta és la TVM de qualsevol dels seus intervals.

e) La TVM d’una funció periòdica en qualsevol interval de longitud igual al període és 0.

f ) Si en una paràbola la TVM d’un interval és 0, el vèrtex està en el punt mitjà d’aquest interval.

g) Totes les funcions no lineals tenen almenys un màxim o un mínim relatiu.

h) Si una funció periòdica és decreixent en tot el seu domini, aleshores no és contínua.

ESTUDI CONJUNT DE DIVERSES FUNCIONS

Un autobús arranca de la parada i, a poc a poc, va guanyant velocitat. N’Àlvar, na Beatriu i na Carolina han quedat fora en el moment de la sortida i cada un intenta accedir a l’autobús de manera diferent.

• N’Àlvar s’ha despistat i ha de córrer per agafar-lo.

• Na Beatriu, que està a 80 m per davant de l’autobús en el moment que aquest arranca, decideix esperar-lo i agafar-lo quan passi pel seu costat.

• Na Carolina arriba tan tard que la porten amb motocicleta fins que aconsegueix acostar-s’hi.

Aquestes són les representacions gràfiques d’aquests quatre moviments (el de l’autobús i els dels tres passatgers):

Podem fer-nos preguntes relatives a cada un per separat:

• Quant tarda l’autobús a recórrer els primers 80 m? I els següents 80 m? Quina distància ha recorregut als 10 s?

• A quina velocitat corre cada un dels viatgers?

Però més interessants són les preguntes que relacionen dos gràfics:

• Quant tarda l’autobús a arribar fins a na Beatriu? Quina és la seva velocitat en aquest instant? Li resultarà possible a na Beatriu pujar a aquesta velocitat?

• Quan i on aconsegueix n’Àlvar agafar l’autobús? Quines velocitats duen l’autobús i n’Àlvar en aquest moment? Li resultarà fàcil pujar a l’autobús?

REFLEXIONA

L’equació del moviment de l’autobús en els primers segons és , yt 1 48 2 = Comprova que l’equació del moviment de na Carolina és y = 20(t – 18) i troba les equacions de n’Àlvar i na Beatriu.

Respon les mateixes preguntes que es varen plantejar abans a partir de les quatre equacions.

velocitats

Per esbrinar la velocitat dels passatgers, divideix l’espai recorregut entre el temps emprat. La velocitat de l’autobús en cada instant pots obtenir-la aproximadament.

distància a la parada (m)

temps (s)

AUTOAVALUACIÓ

1 Observa el valor d’una empresa des que es va fundar.

valor (milions d’euros) temps (mesos)

4 8 12 16 20 24

a) Quin era el seu valor en el moment de l’obertura?

b) A quant es va reduir el seu valor després de 4 mesos?

c) Quina és la TVM en l’interval [4, 12]? Dona el resultat en milers d’euros per mes.

d) Descriu si té màxims o mínims relatius.

e) Quina sembla la tendència per als pròxims mesos?

2 Observa el gràfic i respon:

a) Indica’n el domini i el recorregut.

c) Digues quins són els punts de tall amb els eixos.

d) Estudia’n el signe.

3 Troba el domini de definició d’aquestes funcions:

a) j (x) = x2 – 16 b) f (x) =  x 48 + c) g (x) =  x 7 1 –

d) h(x) =  xx215 –2 + e) ()fx 1 f ) () () x h fx

4 Representa cada una d’aquestes rectes i, en el cas que no estigui donada per la seva expressió analítica, escriu-la.

a) y = 2x + 3 b) y = 2 –  x 2 3

c) Passa per (–2, 1) i té pendent m = 1/2.

d) Passa pels punts (2, 5) i (4, 3).

e) Passa per l’origen de coordenades i és paral·lela a la recta y = 2x – 1.

f ) Funció de proporcionalitat que passa per (–3, 5).

g) Funció constant que passa per (2, –2).

5 Troba el vèrtex d’aquestes paràboles i representa-les:

a) y =  x 2 2  – 2 b) y = x 2 + 4x – 5

c) y = (5 – x)(x + 1) d) y = –(x – 3)2 – 1

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

6 a) Troba la paràbola que passa per (0, 0), (1, 6) i (–1, −2).

b) Quin és el seu vèrtex? És un màxim o un mínim?

c) Indica en quin interval creix i en quin decreix.

7 Calcula la TVM de la funció d’equació y =  x 2 + 4x – 5 en els intervals [–5, 2], [–2, 1] i [1, 2].

8 Amb un llistó de fusta de 3 metres de llarg, volem fabricar un marc per a un quadre.

a) Si la base del quadre mesuràs 0,5 m, quant mesuraria l’altura? I la superfície?

b) Quina és l’expressió que ens dona la superfície, S, per a una base qualsevol, b? Representa-la.

c) Per a quin valor de la base s’obté la superfície màxima? Quant val aquesta superfície?

9 Observa aquesta funció periòdica:

a) Quin és el període?

b) Troba els seus valors en: x = 0; x = –6; x = –3; x = 2; x = 4; x = 40; x = –40; x = 42.

10 En el quadrat ABCD, per a cada punt P de la diagonal AC es forma un rectangle.

a) Anomena x la distància de P a AB i escriu la funció que relaciona aquesta distància amb l’àrea del rectangle.

b) Digues el seu domini i representa-la.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.

Distribucions bidimensionals

Les nocions relatives a les distribucions bidimensionals sorgeixen d’estudis realitzats en biologia.

• Adolf Quetelet (1796-1874) va ser el primer matemàtic interessat per les relacions estadístiques entre variables. Va realitzar algunes anàlisis sobre la relació entre diferents característiques de l’ésser humà. Va estudiar, per exemple, la relació entre l’edat i l’alçada de les persones de 0 a 30 anys.

• Francis Galton (1822-1911) es va interessar per la influència que algunes característiques dels pares poguessin tenir sobre les dels fills, a instàncies del seu cosí, Charles Darwin.

Com que no va considerar que fos factible experimentar amb persones i no tenia dades suficients per extreure conclusions efectives, va recórrer a l’experimentació amb pèsols, estudiant la distribució dels pesos de dues generacions de llavors. A les conclusions va encunyar el terme regressió. L’índex de correlació li va servir per descriure similituds relacionades amb el parentiu.

• Karl Pearson (1857-1936) continuar el treball de Galton. Per primera vegada va considerar i descriure el significat del coeficient de correlació negatiu. Va dissenyar i va posar en pràctica mètodes matemàtics rigorosos amb els quals va poder usar la correlació per inferir valors d’una variable a partir dels de l’altra. També va estendre l’estudi de la correlació a més de dues variables.

Karl Pearson.

Amb el que ja saps, resol-ho

Què és una distribució bidimensional?

Un grup de biòlegs està estudiant una població de flamencs. Per a això, prenen mesures d’algunes de les seves característiques anatòmiques. En mesurar les envergadures de les ales el conjunt de resultats és una distribució estadística d’una variable (unidimensional). També és unidimensional la distribució dels seus pesos. Però si atenen conjuntament les dues variables (envergadura i pes), s’obté una distribució bidimensional. El grau de relació que existeix entre aquestes s’anomena correlació.

Relació funcional i relació estadística. El rebut del gas

En el cost mensual del gas intervenen dos conceptes:

– Una quantitat fixa de 18 € al mes (lloguer de comptador i terme de potència).

– El consum, expressat en kWh, a 0,125 € el kWh.

A la taula següent apareixen dades corresponents a vuit cases: el consum de gas, el cost del rebut i el nombre de persones que hi viuen:

Usuari: Matilde Kurgans

• Les variables x i y de la taula anterior compleixen la relació y = 0,125x + 18.

És una relació funcional, perquè donat un valor de x, s’hi obté, de manera exacta, un únic valor de y

• Les variables n i y també estan relacionades (a més persones a la casa, s’ha d’esperar que hi hagi més despesa en consum de gas). No obstant això, no és una relació funcional. Coneixent el nombre de persones que viu en una casa no podem saber la despesa en gas. Aquest tipus de relacions estadístiques (no funcionals) s’estudiaran en la unitat present.

❚ Reflexiona

1. En l’exemple del consum del gas:

a) Observa en el gràfic (I) que el punt corresponent a la primera casa està sobre la recta.

Comprova que els altres també.

b) D’una casa ens diuen que s’han consumit 500 kWh. Sabries calcular, exactament, a quant puja el rebut del gas?

c) Comprova que els punts senyalats en el gràfic (II) del marge són els sis primers de la distribució que relaciona n amb y Representa’n els restants.

Observa com, a la vista d’aquests punts, podríem aventurar-nos a dir alguna cosa sobre la despesa de gas en una casa amb 7 persones, però correríem el risc que fos erroni.

COMPANYIA DE GAS NATURAL CONSUM DE GAS. ABRIL, 2023

estudiants nota en M nota en F

Distribucions bidimensionals 1

A l’esquerra tens les notes de deu estudiants (a, b, c…) d’una classe en dues assignatures: Matemàtiques (M) i Física (F).

Hi ha dues variables. Cada individu té, per tant, dos valors associats: la seva nota de M i la seva nota de F. Per això es tracta d’una distribució bidimensional

Núvol de punts

Si representam cada estudiant mitjançant un punt amb coordenades que són les seves respectives notes en M i en F, obtenim el gràfic adjunt, anomenat núvol de punts o diagrama de dispersió. El punt (9, 6), per exemple, correspon a l’estudiant f , i el (2, 1), al i.

Correlació

Observant les notes d’aquests estudiants, apreciam una clara relació entre aquestes: a notes baixes en una assignatura li corresponen, gairebé sempre, notes baixes en l’altra; i això mateix passa amb les notes mitjanes o altes. Com a conseqüència d’això, els punts del núvol estan en una franja estreta. Direm que hi ha correlació entre les dues variables.

Recta de regressió

Podem traçar, a simple vista, una recta que s’ajusti al núvol de punts, com la que apareix en el gràfic de l’esquerra.

Es diu recta de regressió i marca la tendència del núvol.

En resum:

• Si a cadascun dels individus d’un col·lectiu li assignam dos valors, corresponents a dues variables x i y, tenim una distribució bidimensional. La representació gràfica de la distribució dóna lloc a un conjunt de punts anomenat núvol de punts o diagrama de dispersió.

• Quan hi ha una certa relació estadística entre els valors de la distribució, es diu que hi ha correlació entre les variables. Aquesta correlació s’aprecia perquè el núvol de punts és relativament estret i, en aquest cas, es pot traçar una recta que s’hi adapti. Es diu recta de regressió.

PENSA I PRACTICA

1 Identifica els restants punts del diagrama de dispersió de l’exemple de les notes en Matemàtiques i en Física.

➜ Representa les dades d’una taula en un núvol de punts i la corresponent recta de regressió.

La correlació pot ser més o menys forta

Vegem una altra distribució bidimensional: les notes dels mateixos deu estudiants (a, b, c…) en matemàtiques, M, i en l’assignatura de català, V. I comparam el núvol de punts d’aquesta distribució bidimensional MV amb la que hem vist en la pàgina anterior, M-F.

És evident que la correlació entre M i F és més forta que la correlació entre M i V, ja que en la primera, els punts estan més estrets al voltant de la recta de regressió que en la segona.

La correlació entre dues variables pot ser més o menys forta segons que els punts del núvol estiguin més o menys pròxims a la recta de regressió.

La correlació admet signe

Una jugadora de bàsquet fa 10 llançaments a cistella des d’una distància d’1 m, altres 10 des de 2 m, i així successivament fins a 8 m. En cada cas ha pres nota del nombre d’encistellades. Si observam, al marge, el núvol de punts, veim que la correlació és forta però negativa, ja que a més distància, menys encistelladess.

Una correlació és positiva quan en augmentar una variable, x, tendeix a augmentar l’altra variable, y .

Una correlació és negativa quan en augmentar x, tendeix a disminuir y

correlació positiva

correlació negativa

El signe de la correlació coincideix amb el signe del pendent de la recta de regressió.

EXERCICI RESOLT

Aquesta és la taula dels 15 primers classificats en una lliga de futbol:

equip j g e p F c pts

A 34 22 5 7 59 37 71

B 34 20 9 5 53 30 69

C 34 20 8 6 62 28 68

D

a) Al relacionar els punts obtenguts (Pts) amb els partits guanyats (G), és lògic que hi hagi una correlació positiva (com més partits guanya un equip, més punts té). En representar-la, apreciam en el núvol de punts una correlació positiva forta.

E

F

G 34 12 11 11 50 41 47

H 34 13 8 13 42 43 47

I 34 11 11 12 41 35 44

J 34 12 8 14 45 47 44

K 34 10 13 11 42 44 43

L 34 10 12 12 42 38 42

M 34 11 8 15 34 47 41

N 34 11 7 16 44 60 40

O 34 11 6 17 30 44 39

Les columnes signifiquen:

• J: Partits jugats

• G: Partits guanyats

• E: Partits empatats

• P: Partits perduts

• F: Total de gols marcats (a favor)

• C: Total de gols rebuts (en contra)

• Pt: Punts obtenguts

Analitza les següents distribucions bidimensionals, representa-les i, quan la correlació sigui forta, traça-hi la recta de regressió:

a) Pt - G b) Pt - P c) Pt - E

PENSA I PRACTICA

b) Si relacionam els punts obtenguts (Pt) amb els partits perduts (P), també és lògic que hi hagi una correlació negativa (com més partits perdi un equip, menys punts té).

Representam el núvol de punts i veim que hi ha una correlació negativa forta.

c) Entre els punts obtenguts (Pt) i els partits empatats (E) no s’aprecia correlació, és a dir, tant hi ha molts o pocs empats entre els equips amb més punts com amb els que tenen menys punts.

➜ anayaeducacion.es Interpreta un núvol de punts.

2 En cada una de les següents distribucions bidimensionals, intenta, sense representar-la, estimar si la correlació serà positiva o negativa, forta o feble. Després, representa-la mitjançant el núvol de punts, traça-hi a ull la recta de regressió i corrobora o modifica les teves estimacions.

a) G - F b) Pt - F

c) F - C d) Pt - Posició en la taula

En la posició posar 1 al primer, 2 al segon, i així.

3 Cerca, en un diari o a Internet, una taula com l’anterior, d’actualitat, i estudia distribucions com les que hem vist en aquesta pàgina.

EXERCICI RESOLT

Per estudiar alguns efectes de l’altitud, un grup de deu estudiants aficionats a la investigació científica ha dut a terme un experiment. Cadascun d’ells ha pujat a una altura diferent, al (m), a la mateixa muntanya i ha obtengut mesures sobre:

pla. Nombre de plantes d’una certa espècie en 1 dam 2 . pre. Pressió atmosfèrica, en mm.

pul. Pulsacions per minut del mateix experimentador. Aquests són els resultats:

i. altura - nombre de plantes No s’aprecia correlació.

Pareix que si s’hagués fet en l’interval d’altures 0 m a 750 m, la correlació hauria estat bastant alta.

I també que si ens quedam amb l’interval 700 m – 2 000 m, la correlació hauria estat negativa i també alta.

ii. altura - pressió atmosfèrica

La correlació és negativa i molt forta. Tant que és pràcticament una relació funcional, ja que tots els punts estan molt a prop de la recta de regressió.

És lògic que sigui negativa, perquè en augmentar l’altitud, la pressió disminueix.

iii. altura - nombre de pulsacions

La correlació és positiva i mitjanament forta, ja que els punts no estan molt estrets al voltant de la recta.

Relaciona cadascuna de les tres variables amb l’altura sobre el nivell del mar, representa’n els núvols de punts i avalua’n la correlació.

PENSA I PRACTICA

Les pulsacions creixen a més altura, ja que hi ha menys oxigen i el cor necessita bombejar més quantitat de sang.

4 En les següents distribucions bidimensionals referents als teus companys i companyes de classe, estima si la correlació serà positiva o negativa, molt forta, forta, dèbil o gairebé nul·la:

a) Mesura d’un pam - Mesura del peu.

b) Nombre d’hores setmanals d’estudi - Nombre d’hores setmanals mirant la televisió.

c) Nombre d’hores setmanals d’estudi - Nombre de suspensos en la darrera avaluació.

d) Estatura - Pes.

e) Nota en Matemàtiques en el darrer examen - Assignatures suspeses en la darrera avaluació.

f ) Pes - Nota en Matemàtiques.

g) Alçada mitjana dels pares - Alçada de l’alumne.

h) Distància de casa al centre d’estudis - Temps mitjà que tarda a arribar-hi.

i) Llibres llegits al llarg de l’any - Assignatures suspeses en la darrera avaluació.

➜ Troba el coeficient de correlació de dos conjunts de dades.

El valor de la correlació 2

Igual que per a la mitjana (x – ) o per a la desviació típica (σ), també hi ha una fórmula per trobar el valor de la correlació d’una distribució bidimensional a partir de les dades de la taula. En aquest curs no la trobarem mitjançant la fórmula ni aprendrem a obtenir-la amb calculadora, però sí que ens familiaritzarem amb la gamma de valors que pot prendre.

El valor de la correlació es denomina coeficient de correlació i es designa amb la lletra r.

El major valor de r es dóna quan els punts estan alineats (relació funcional). En aquest cas, el valor de r és 1 o –1, segons sigui positiva o negativa. Per tant, els valors que pot prendre r oscil·len entre –1 i 1.

r = 1

CORRELACIÓ I PENDENT

Atenció ! En un núvol de punts, el valor del pendent de la recta de regressió (1, 1/3, –1/2, –2) no té res a veure amb el valor de la correlació. Només ens fixarem en el signe del pendent (positiu o negatiu).

PENSA I PRACTICA

r = –1

Observa els núvols de punts següents i en cada un fixa’t en la relació entre el valor de r i com de “junts” o de “separats” es troben els punts respecte a la seva recta de regressió.

r = 0,99

r = 0,86

r = 0,59

r = –0,92

1 Els següents nombres són els valors absoluts dels coeficients de correlació, r, de les distribucions bidimensionals representades a la dreta: 0,75 0,47 0,92 0,97

Assigna cada un la que li correspon, canviant el signe quan convengui.

r = –0,77

r = –0,41

➜ anayaeducacion.es Coeficient de correlació.

EXERCICI RESOLT

Aquesta taula mostra algunes variables socioeconòmiques dels districtes del centre d’una gran ciutat.

Di rpc Est Des Ca

A 16,5 14 58 22

B 17,5 12 42 22

C 21 12 35 7

D 25 11 33 9

E 26,5 12 34 13

F 20 9 54 27

G 23 12 34 24

H 12 8 60 28

I 10,5 7 67 34

J 10 4 72 29

K 10 4 79 37

L 13,5 8 57 24

M 15 9 51 23

Les columnes signifiquen:

• Di: Distrite

• RPC: Renda per càpita (en milers d’euros)

• Est: Nre. de persones amb estudis universitaris per cada mil habitants

• Des: Nre. de desocupats per cada mil habitants

• Ca: Nre. de cases d’apostes Analitza aquestes distribucions:

a) RPC - Ca

b) RPC - Est

c) RPC - Des Sabent que les correlacions són, no respectivament, 0,76; –0,92 i –0,80, estima quin correspon a cada distribució.

a) Podríem pensar que com més alta sigui la renda per càpita major nombre de cases d’apostes hi haurà en el districte, no obstant això, és tot el contrari. Observa com en els districtes amb menys renda per càpita sol haver-hi més cases d’apostes que en aquells amb una renda per càpita major. Com veus, la correlació és relativament alta i negativa.

b) Segons les dades, sembla que com més renda per càpita té el districte, hi ha més percentatge de persones amb estudis universitaris.

Atès que aquest fenomen no és una regla fixa, hi ha moltes excepcions (en barris amb rendes per càpita mitjanes –ni altes, ni baixes– el percentatge de persones amb estudis universitaris és igual o major que en els barris amb rendes altes), la correlació, en aquest cas, com pots apreciar-hi, no és tan alta.

c) En els barris més empobrits, desgraciadament, sol haver-hi major percentatge de desocupats.

Si observes la representació sembla clar que els punts estan bastant agrupats al voltant de la recta, per la qual cosa el coeficient de correlació és major.

nre. de cases d’apostes

cada mil habitants)

A la vista dels tres gràfics, la correlació corresponent a la primera (RPC - Ca) és –0,80; a la segona (RPC - Est), 0,76; i a la tercera (RPC - Des), –0,92.

2 Representa el núvol de punts i traça-hi a ull la recta de regressió de la distribució bidimensional Est - Des de l’exercici resolt anterior.

3 Indica quin d’aquests valors s’ajusta millor al valor de la correlació de la distribució de l’exercici 2. 0,80 –0,5 –0,97 0,2 –0,81 –1

3

QUÈ ÉS y ^?

A l’estimació que feim de la variable y per a un cert valor de x a partir de la recta de regressió l’anomenam y ^ .

La recta de regressió per fer estimacions

Serveix la recta de regressió per estimar el valor de y que li correspon a un nou individu de qui es coneix el valor de x ? Per descomptat que podem fer l’estimació, però, quin grau de fiabilitat té?

Sembla raonable pensar que com més forta sigui la correlació, més fiable serà l’estimació, però, hi influeixen altres factors? Abans d’extreure conclusions definitives, vegem-ne alguns exemples.

|Exemple

1

La longitud d’un rail de via de tren a 0 °C és de 10 m. La taula del marge ens mostra els allargaments, A (en mm), a diferents temperatures, T (en °C). A partir de les dades de la taula, ens preguntam per l’allargament que s’obtendria per a temperatures de 30 °C i 100 °C.

El primer que feim és representar les dades en un núvol de punts. Observam en el marge que s’ajusten de forma gairebé exacta a una recta, la recta de regressió traçada en blau. I per això donam per cert que el coeficient de correlació és molt pròxim a 1.

Obtenim l’equació de la recta de regressió. Com que passa per (0, 0) i (50, 6), la seva equació és y =  50 6 x → y = 0,12x

Per a 30 °C obtenim y ^(30) = 3,6 mm, i per a 100 °C, y ^(100) = 12 mm. Les dues estimacions poden ser molt fiables, sobretot la primera, ja que el valor de la temperatura està en el tram dels valors controlats. En la segona estimació la temperatura està fora de l’interval de valors, però poc allunyada.

|Exemple 2

Les estatures, E (en cm), i els pesos, P (en kg), de 8 jugadors de bàsquet vénen donats en la taula del marge. Volem estimar, mitjançant la recta de regressió, el pes d’un nou fitxatge que té un alçada de 208 cm. Per a això, representam les dades i la recta de regressió i veim gràficament el pes que correspon a

y ^(208) = 106

En aquest cas, la correlació no és tan alta com en l’anterior, per això, seria més prudent que diguéssim que el pes que correspon a 208 cm és relativament pròxim a 106; per exemple, entre 102 kg i 110 kg.

PENSA I PRACTICA

1 Estima, amb les dades de l’exemple 1, l’allargament corresponent a una temperatura de 45 ºC. Consideres fiable l’estimació?

2 Estima, amb les dades de l’exemple 2, el pes d’un jugador nou amb una estatura de 180 cm. Consideres fiable l’estimació?

ESTIMACIONS

La estimación es tanto mejor cuanto mayor es |r |. La estimación solo debe hacerse para valores de x próximos a los datos.

➜

anayaeducacion.es

La recta de regressió per fer estimacions.

EXERCICI RESOLT

Tornam a l’exemple del grup d’estudiants de l’exercici resolt de la pàgina 221 en què es relacionava l’altura amb la pressió atmosfèrica.

Calcula l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts primer i darrer de la taula.

Estima la pressió atmosfèrica que correspon a altures de 600 m, 3 000 m i 5 000 m.

Com de fiable és cadascuna de les estimacions?

Quan podem fer estimacions?

Quines garanties d’èxit tenim quan feim estimacions basant-nos en la recta de regressió?

Com hem vist en els exemples anteriors, la seguretat en la previsió serà més alta com major sigui el coeficient de correlació en valor absolut. És a dir:

• Si |r | és proper a 1 es podrà dir que, probablement, el valor real serà proper a la nostra previsió.

• Si |r | és xicotet, hem d’abstenir-nos de fer previsions. Però encara per a valors grans de |r |, les previsions poden ser molt insegures si el punt de la recta de regressió sobre el qual feim l’estimació està molt allunyat dels punts coneguts. En l’exemple 1 de la pàgina anterior, consideram bastant segures les previsions d’allargament que vàrem fer per a temperatures de 30 °C i 100 °C. Molt menys segurs hauríem d’estar si, a partir de la fórmula, pretenguéssim fer estimacions per a 500 ºC; probablement es cometrien errors importants.

Trobam l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts (0, 760) i (2 184, 580):

Efectuam les estimacions: y ^(600) = 710,6 y ^(3 000) = 512,8 y ^(5 000) = 348

Estimam, gairebé amb absoluta seguretat, una pressió atmosfèrica d’uns 710 mm a una altura de 600 m. També és molt fiable una estimació

a una altura de 3 000 m.

No obstant això, no hem de confiar en l’estimació de la pressió a 5 000 m, ja que les observacions de què disposam (en què es basen els nostres càlculs) estan molt enfora d’aquesta altura.

PENSA I PRACTICA

3 Estima, mitjançant la recta de regressió, la pressió corresponent a 1 000 m. És fiable l’estimació?

➜ anayaeducacion.es Estimació amb la recta de regressió.

4 Estima la pressió corresponent a una altura de 6 000 m. Comenta com de fiable és aquesta estimació.

Nuntius

COM MÉS S’APUGEN ELS SOUS, MÉS ES GASTA EN ALCOHOL

Reflexionem: La correlació significa causa-efecte? 4

Un mal ús de l’estadística

Imagina un titular de premsa com el que veus en el marge, i imagina també que a l’article corresponent s’al·ludeix a un estudi estadístic del qual es dedueix una alta correlació entre el sou mitjà dels obrers durant una sèrie d’anys i la despesa en begudes alcohòliques en els mateixos anys. Podem, fins i tot, imaginar que aquest «estudi» s’aplica a un segment molt concret de la població (per exemple, els immigrants).

La manipulació que subjau en aquest suposat estudi és evident: es pretén donar la falsa idea que la millora dels sous es malgasta en begudes alcohòliques. La realitat és una altra: amb el pas del temps, i la inflació, s’apugen els sous així com els preus de tot (també els de les begudes alcohòliques).

A pesar d’exemples com aquest, per fortuna, l’ús que en general es fa de les estadístiques és veraç i constructiu.

Un bon ús del disseny estadístic

NO HO OBLIDIS

Un bon estudi estadístic requereix moltes cauteles i afinar tant en el disseny de l’experiència com en la interpretació dels resultats obtenguts.

En les ciències experimentals i en les ciències socials es recorre amb freqüència a l’estadística en general i a la correlació en particular. Per exemple:

Per estudiar l’eficàcia d’un fertilitzant, se seleccionen diverses parcel·les amb característiques molt similars: tipus de terra, hores de reg, tipus de llavor, moment de la plantació, hores de sol… D’aquesta manera es podran relacionar les dues variables: quantitat de fertilitzant-nivell de producció sense que el resultat es vegi pertorbat per aquelles altres variables que estam controlant.

Alguns exemples divertits de correlació

Vegem uns curiosos exemples en els quals hi ha una indubtable correlació entre dues variables i, no obstant això, la possible relació causa-efecte és molt discutible.

• És fàcil demostrar que els al·lots amb peus grans llegeixen millor que els que tenen peus petits. Influeix la grandària del peu en la capacitat per a la lectura?

Individus: 200 al·lots agafats a l’atzar en un col·legi. Variables: x → grandària del peu; y → nivell de lectura.

• S’ha constatat que, als pobles d’una certa comarca, com més nius de cigonya hi ha a les teulades, més naixements d’infants es produeixen. Tenen, per tant, res a veure les cigonyes amb els naixements?

Individus: 43 pobles d’una certa comarca. Variables: x → nombre de cigonyes a les teulades; y → nombre de naixements a l’any.

• Un estudi va demostrar que en els anys en què més rogatives o processons hi havia per demanar pluges, menys plovia. Serà que als sants els irriten les rogatives?

Individus: cada un dels darrers 30 anys. Variables: x → nre. de rogatives demanant pluja al llarg de l’any; y → L/m2 de pluja recollits a l’any.

En el primer cas hi ha una variable intermèdia, l’edat , que es relaciona amb les altres dues, clar! En el segon, la variable intermèdia és la grandària dels pobles. I en el tercer, la relació causa-efecte és la contrària: com menys pluja, més rogatives

estudiants nota en M nota en F

Distribucions bidimensionals amb calculadora 5

Al llarg d’aquesta unitat hem pretès que et familiaritzis amb la idea de correlació: per a què serveix, on s’usa, com s’interpreta, etc. I, també, que siguis capaç de fer-te a la idea del valor que pot prendre la correlació entre dues variables donades mitjançant un núvol de punts o una taula de valors. Aquesta destresa és el símptoma que domines amb agilitat aquesta teoria. No obstant això, el valor de la correlació també es pot trobar amb la calculadora. Potser et faci ganes aprendre a fer-ho per comprovar algun dels exercicis resolts «a ull».

Posam la calculadora en menú «Distribució bidimensional» de la manera següent: menú → 6:Estadística → 2: y = a+bx (Distribució bidimensional).

Ara anam introduint valors al caseller corresponent.

Vegem, per exemple com s’introdueixen els 10 parells de valors de la primera distribució que hem vist en aquesta unitat (mira-la en el marge).

En primer lloc, s’introdueix la dada corresponent al primer element de la variable x (Nota en Matemàtiques), que és just on està ombrejat.

Després d’escriure la dada, es pitja la tecla = perquè s’insereixi al seu lloc. A continuació, s’introdueix la segona dada, i així fins a la desena. Després, amb ajuda dels cursors, ens situam en el primer element de la variable y (Nota en Física) i feim el mateix amb les altres deu dades.

Una vegada completada la taula, per obtenir la correlació entre les dues variables, pitjam i seleccionam 4:Càlc regressió. Apareix a la pantalla el valor de r. En aquest cas, hem obtengut r = 0,876356092 ≈ 0,88.

La pantalla ens dona també els valors a i b, que són, respectivament, l’ordenada en l’origen i el pendent de la recta de regressió (observa el núvol de punts amb la seva corresponent recta de regressió en el marge).

Trobam ara amb la calculadora, en aquest altre exemple de la pàgina 271, la correlació dels llançaments a cistella amb les distàncies des de les quals es llança (vegeu la taula en el marge).

Introduïm els 8 parells de dades i procedim de la mateixa forma que en l’exemple anterior per obtenir la correlació: r = –0,941583818 ≈ –0,94

En aquest cas, la recta de regressió és y = 10,9 – 1,5x.

PENSA I PRACTICA

➜

1 Ajuda’t de la calculadora per comprovar si està bé la correlació corresponent a cada núvol de punts de l’exemple de la pàgina 274. Fes el mateix amb les correlacions de l’exercici 1 de la mateixa pàgina.

2 Calcula el coeficient de correlació entre la longitud d’un raïl de via de tren i la temperatura de l’exemple de la pàgina 276. Comprova que la recta de regressió és, aproximadament, y = 0,12x

anayaeducacion.es Distribucions bidimensionals amb calculadora.

Exercicis i problemes resolts

1 Temps a Vigo

Aquesta taula mostra la temperatura mitjana, T (en °C), la pluja, P (en mm), i les hores de sol, S, a Vigo al llarg d’un any:

ll s g 7 125 104 F 10,4 106 93

Mç 11,3 97 134

ab 13,1 78 166

Mg 14 64 182

jn 17,1 25 197

jl 20,4 35 223

ag 18,3 38 263

s 18,7 84 181

o 16,9 135 151

n 13,4 155 83

d 11,5 131 60

Estudia les tres possibles distribucions bidimensionals i assigna a cadascuna el valor de la seva correlació pres dels següents:

r = –0,86 r = –0,59 r = 0,77

A la vista de les tres representacions gràfiques, podem assignar a cada distribució la seva correlació:

r = –0,59 ii. r = 0,77 iii r = –0,86

Illes Cíes (Vigo) en aquest any:

Relaciona aquesta variable amb cadascuna de les anteriors mitjançant núvols de punts. Indica si la correlació és més o menys forta en cada una.

Penjam pesos a una molla. Aquesta taula ens dóna les masses, M (en g), i els allargaments, A (en cm):

a) Representa els punts i traça’n la recta de regressió.

b) És raonable que la correlació sigui 0,999?

c) Estima els allargaments per a 40 g, 100 g, 250 g, 350 g y 3 kg.

Fes-ho tu Estima l’allargament per a masses de 190 g i 5 kg i indica la fiabilitat d’ambdues estimacions.

b) La correlació és 0,999, ja que els punts estan pràcticament sobre la recta.

c) Les estimacions per a masses de 40 g, 100 g, 250 g i 350 g són allargaments d’11 cm, 29 cm, 72 cm i 102 cm, respectivament. Tot i que la correlació és molt forta, no seria gens fiable l’estimació que féssim per a una massa de 3 kg, ja que aquest valor està extraordinàriament enfora del tram que controlam.

2 La molla

Exercicis i problemes

DOMINES EL QUE ÉS BÀSIC?

1 Per a cada un dels casos següents:

— Digues si es tracta d’una distribució bidimensional.

— Indica quines són les variables que es relacionen.

— Indica si es tracta d’una relació funcional o d’una relació estadística.

a) Grandària de la casa - Despesa en calefacció.

b) Nombre de persones que viuen en una casa - Litres d’aigua consumits en un mes.

c) Metres cúbics de gas consumits en una casa - Cost del rebut del gas.

d) Longitud d’un pam en un estudiant - Número de calçat que duu

e) Nombre de metges i metgesses per cada mil habitants - Índex de mortalitat infantil.

f) Velocitat amb què es llança una pilota cap amuntAltura que aconsegueix.

2 En cada un dels apartats de l’exercici anterior, estima si la correlació serà positiva o negativa, forta o feble.

3 Aquests són els resultats que hem obtengut en mesurar les hores de son diàries de diversos infants de distintes edats (en mesos):

a) És una distribució bidimensional? Quines són les variables que es relacionen? I els individus?

b) És una relació estadística o funcional?

c) Representa el núvol de punts.

d) Indica si la correlació és positiva o negativa, forta o feble.

e) Tria un dels valors següents per al coeficient de correlació: 0,81; –0,24; –0,79; 0,32.

4 Representa el diagrama de dispersió corresponent a la següent distribució i digues quin d’aquests valors pot ser el seu coeficient de correlació:

r = 1 r = –0,25 r = –1 r = –0,63

5 Els nombres 0,2; –0,9; –0,7 i 0,6 corresponen als coeficients de correlació de les següents distribucions bidimensionals. Assigna a cada un dels gràfics el seu: a) b)

6 a) Traça, a ull, al quadern, la recta de regressió corresponent a cada una de les següents distribucions bidimensionals:

b) Quines tenen correlació positiva i quines tenen correlació negativa?

c) Ordena de menor a major les correlacions de les quatre (en valor absolut).

En primer lloc, la que presenta correlació més feble, i, en darrer lloc, aquella amb la correlació més forta.

c) d)

Exercicis i problemes

ENTRENA’T I PRACTICA

7 Una de les distribucions de l’exercici anterior presenta una relació funcional.

a) De quina es tracta?

b) Quina és l’expressió analítica de la funció que relaciona les dues variables?

8 Representa el núvol de punts d’aquesta distribució i estima quin d’aquests tres pot ser el seu coeficient de correlació: r = 0,98; r = –0,51; r = 0,57.

x 0 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 y 1 4 6 2 4 8 6 5 3 6 9

Després, pots comprovar el resultat, si et sembla, amb ajuda de la calculadora.

9 Les alçades de 10 xiques (xi ) i les de les seves respectives mares (yi ) són:

Representa els valors sobre paper quadriculat mitjançant un núvol de punts, traça-hi a ull la recta de regressió i digues si la correlació és positiva o negativa i més o menys forta del que esperaves.

10 Els coeficients de correlació d’aquestes distribucions bidimensionals són, en valor absolut: 0,55; 0,75; 0,87 i 0,96. Assigna a cada una el seu, canviant el signe quan sigui procedent: a) b)

RESOL PROBLEMES SENZILLS

12 S’ha fet un estudi amb ratolins per veure els augments de pes (en g) mensuals que produeixen unes certes substàncies A, B i C (en mg diaris). Les dades obtengudes venen donades en aquesta taula:

11 Traça-hi la recta de regressió de les distribucions a) i c) de l’exercici anterior i estima, en cada una, els valors que corresponen a x = 0 i a x = 10. En quin són més fiables les estimacions?

augMent de pes si la substància és a

augMent de pes si la substància és b 1 3 2 3 2 1 2 3 3 3 1 2 4 5 3 0 5 6 0 1 6 4 3 –1 7 6 4 1 8 5 1 –2 9 7 3 – 4 10 7 1 –2

augMent de pes si la substància és c

Els resultats negatius volen dir que en lloc d’augmentar, el pes disminueix.

a) Representa el núvol de punts de cada distribució.

b) Indica, en cada cas, si la correlació és positiva o negativa i forta o feble.

c) A la vista dels resultats, fes un breu informe sobre les conseqüències d’administrar cada una de les substàncies.

hores de Mòbil 1 2 5 3 2 5 3 1 2 4 hores de son 10 8 4 7 9 5 6 8 6 7

a) Representa el núvol de punts i indica si la correlació és positiva o negativa, forta o feble.

b) Dibuixa-hi, a ull, la recta de regressió.

c) Quin d’aquests valors és el coeficient de correlació?

d) Sobre la recta, estima el nombre d’hores de son per a un altre estudiant que usa el mòbil 4 h diàries.

Aquesta taula reflecteix el nombre d’accidents de trànsit mortals en 15 províncies espanyoles (2018):

via urbana via interurbana

TAMBÉ POTS FER AIXÒ

16 Les distàncies mitjanes dels planetes al Sol i els temps que tarden a fer una volta completa al voltant del mateix son:

a) Representa el núvol de punts, indicant si la correlació és positiva o negativa, forta o feble.

b) Quin d’aquests valors indica la correlació? 0,78; 0,98; –0,82; 0,43. Comprova-ho amb la calculadora.

c) Traça-hi a ull la recta de regressió i estima els accidents en via interurbana en una província que hagi tengut 55 en via urbana.

15 Llegeix aquestes dades d’alguns països d’Àfrica (2020):

S’han pres com a unitats:

• La distància mitjana entre la Terra i el Sol: 1 UA = 150 milions de quilòmetres

• Un any terrestre.

a) Representa el núvol de punts i estima r.

b) Troba amb la calculadora el valor del coeficient de correlació i l’equació de la recta de regressió.

c) Si existís un planeta amb una distància al Sol de 3,5 UA, quin seria el seu temps de revolució? Podríem estar segurs d’aquesta estimació?

d) Indica el temps de revolució d’un hipotètic planeta amb una distància al Sol de 60 UA. Seria una estimació raonable?

17 Amb les dades del problema anterior, elabora una taula amb els cubs de les distàncies (d 3) dels planetes al Sol i els quadrats dels temps de revolució (t 2) i estudia la correlació entre els dos valors. És una relació funcional? (Cerca al llibre de física la tercera llei de Kepler).

a) Representa les dades i estima quin creus que és el seu coeficient de correlació: 0,99; –0,90; 0,85; –0,52.

b) Traça-hi a ull la recta de regressió i amb aquesta estima quina mortalitat infantil correspon a un país amb l’esperança de vida en néixer de 75 anys.

c) Comprova amb la calculadora el coeficient de correlació i la recta de regressió.

Troba el període de Plutó, un objecte transneptunià (amb la categoria de planeta nan) que fins al 2006 es considerava el novè planeta del sistema solar. La seva distància al Sol és d’unes 40 UA.

Taller de matemàtiques

INFORMA’T

Corbes de regressió

En aquesta unitat hem après a dibuixar i interpretar la recta que millor s’adapta a un núvol de punts (regressió lineal). No obstant això, hi ha casos en els quals el núvol de punts corresponent a una distribució bidimensional adopta formes com les que veus a la dreta (exponencial, logarítmica, polinòmica…).

Existeixen mètodes de matemàtica superior que permeten trobar tant les equacions de la recta de regressió com les de les altres corbes, i valorar el grau d’aproximació del núvol de punts a la corba trobada.

LLEGEIX, APRÈN PEL TEU COMPTE, INVESTIGA I ARGUMENTA

Mesuram la desigualtat: corbes de Lorenz i índex de Gini

Els gràfics del marge s’anomenen corbes de Lorenz i representen la distribució de la riquesa entre la població de tres països diferents.

La verda passa pel punt (75, 10), això significa que en aquest país el 75 % més pobre posseeix un 10 % de la riquesa total. També passa per (96, 50), és a dir, el 4 % dels més rics posseeixen el 50 % de la riquesa total.

Analitza els tres gràfics representats i indica quin correspon a un país utòpic (tots tenen la mateixa riquesa); quin a un país molt injust, i quin, a un país moderadament just.

De vegades, en lloc de comparar amb gràfics, resulta més operatiu i més precís fer-ho amb nombres. Per aquest motiu va aparèixer el coeficient de Gini, que va ser una mesura desenvolupada per l’estadístic italià Corrado Gini el 1912.

L’índex de Gini és un nombre comprès entre 0 i 1: si fora 0, estaríem davant d’una perfecta igualtat (tots tenen el mateix) i si fos 1, la desigualtat seria absoluta (un ho té tot i els altres, res).

Per mesurar-ho podem usar les corbes de Lorenz. Si prenem l’àrea davall de la diagonal del quadrat com 1/2 (àrea d’un triangle rectangle de base i altura 1), el coeficient de Gini serà l’àrea que hi ha entre la bisectriu i la corba de Lorenz dividit per 1/2, és a dir, multiplicada per 2.

El coeficient de Gini se sol expressar com un percentatge, d’aquesta manera se’l coneix com índex de Gini.

Espanya, el 2021, tenia un índex de Gini de 33. Observa com estaven aleshores alguns altres països del món: Noruega: 25; Uruguai: 40; Brasil: 49; Tanzània: 40; Índia: 35; Estats Units: 42. Els països amb major i menor índex de Gini són, respectivament, Sud-àfrica amb 63 i Eslovàquia amb 23. Ten en compte que els menors índexs de Gini no coincideixen exactament amb els països més desenvolupats, ni els majors amb els menys desenvolupats, encara que segurament hi ha una certa correlació.

investiga

Cerca a Internet i fes una taula amb dades, com, per exemple, PIB, nivell de felicitat, esperança de vida i índex de Gini, de països més i menys desenvolupats. Després, estudia la correlació que hi ha entre diversos parells de variables i treu conclusions.

AUTOAVALUACIÓ

1 De les següents distribucions bidimensionals, digues en quins casos la correlació és positiva, en quins és negativa i en quins no veus correlació:

a) Altura d’una persona - Grandària del seu ca.

b) Distància d’un viatge d’avió - Preu del bitllet.

c) Latitud d’un lloc de l’hemisferi nord - Temperatura mitjana anual.

d) Altura - Pressió atmosfèrica.

e) Profunditat de la mar - Pressió de l’aigua.

2 Associa a cada una de les distribucions bidimensionals de l’exercici anterior una d’aquestes correlacions:

r = –1 r = 0,83 r = –0,92 r = 0,23 r = 1

3 Associa cada núvol de punts amb una de les correlacions següents:

r = 1 r = –0,83 r = 0,97 r = 0,18

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

5 S’han anotat les hores d’estudi de 10 estudiants de 4t A per preparar un examen de Matemàtiques, i la nota obtenguda en aquesta prova. Aquests són els resultats:

a) Representa les dades en un núvol de punts.

b) Traça-hi a ull la recta de regressió corresponent.

c) Quin d’aquests valors és el coeficient de correlació? r = 0,64 r = 0,96 r = –0,87 r = 0,25

d) Si ho creus necessari, pots trobar el valor de amb la calculadora.

6 Sabem que la recta de regressió corresponent a les dades de l’exercici anterior té l’equació següent:

y = 4,04 + 1,12x

a) Estima quina nota obtendria un estudiant que hagués dedicat 3,5 hores a preparar l’examen. I si no hagués estudiat res (0 hores)?

b) Consideres fiables aquestes estimacions? Explica per què.

7 La correlació entre les temperatures mitjanes mensuals d’una ciutat i el temps mitjà que els seus habitants es queden a ca seva els caps de setmana és de –0,89. Et sembla raonable aquest valor? Explica-ho.

4 Aquests són les altures (en cm) i la talla del peu dels components de l’equip de judo de l’institut.

a) Quines variables que es relacionen en aquesta distribució bidimensional?

b) Representa el núvol de punts.

c) És una relació estadística o funcional?

d) Traça-hi a ull la recta de regressió.

Serà positiva o negativa la correlació entre la pluja caiguda mensualment a la Corunya i el temps mitjà d’estada a casa els caps de setmana?

REFLEXIONA

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

POSA A PROVA LES TEVES COMPETÈNCIES

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.