Operació món: Matemàtiques II 2 Batxillerat. C. Valenciana (demo)

MATEMÀTIQUES II BATXILLERAT 2

Operació món

José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

Índex Els sabers bàsics del curs

B reu història de les

matemàtiques

0 R esolució de problemes

• Anàlisi d’algunes estratègies

• La demostració matemàtica

• Mètode de reducció a l’absurd

• El mètode d’inducció completa

• Principi del colomer

Problemes per a practicar

BLOC I. Àlgebra

1 S istemes d’equacions.

Mètode de Gauss

1. Sistemes d’equacions lineals

2. Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

3. Sistemes escalonats

4. Mètode de Gauss

5. Discussió de sistemes d’equacions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

2 À lgebra

1. Nomenclatura. Definicions

2. Operacions amb matrius

3. Propietats de les operacions amb matrius

4. Matrius quadrades

5. Relacions lineals entre les files d’una matriu

6. Rang d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

3 D eterminants

1. Determinants d’ordre dos

2. Determinants d’ordre tres

3. Determinants d’ordre qualsevol

4. Menor complementari i adjunt

5. Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una línia

6. Mètode per a calcular determinants d’ordre qualsevol

7. El rang d’una matriu a partir dels seus menors

8. Un altre mètode per a obtindre la inversa d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

4 Reso lució de sistemes mitjançant determinants

1. Teorema de Rouché

2. Regla de Cramer

3. Aplicació de la regla de Cramer a sistemes qualssevol

4. Sistemes homogenis

5. Discussió de sistemes mitjançant determinants

6. Forma matricial d’un sistema d’equacions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc I

Autoavaluació del bloc I

BLOC II. GEOMETRIA

5 Vectors en l’espai

1. Operacions amb vectors

2. Expressió analítica d’un vector. Coordenades

3. Producte escalar de vectors

4. Producte vectorial

5. Producte mixt de tres vectors

Exercicis i problemes

Autoavaluació

6 Punts, rectes i plans en l’espai

1. Sistema de referència en l’espai

2. Aplicacions dels vectors a problemes geomètrics

3. Equacions de la recta

4. Posicions relatives de dues rectes

5. Equacions del pla

6. Formes de determinar un pla

7. Posicions relatives de plans i rectes

8. El llenguatge de les equacions: variables, paràmetres...

Exercicis i problemes

Autoavaluació

7 Problemes mètrics

1. Mesura d’angles entre rectes i plans

2. Distàncies entre punts, rectes i plans

3. Mesures d’àrees i volums

4. Llocs geomètrics en l’espai

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc II

Autoavaluació del bloc II

BLOC III. Anàlisi

8 L ímits de funcions. Continuïtat

1. Idea gràfica dels límits de funcions

2. Un poc de teoria: aprenguem a definir els límits

3. Operacions senzilles amb límits

4. Indeterminacions

5. Comparació d’infinits.

6. Càlcul de límits quan x → +∞

7. Càlcul de límits quan x → –∞

8. Límit d’una funció en un punt. Continuïtat

9. Càlcul de límits quan x → c

10. Una eina potent per al càlcul de límits

11. Continuïtat en un interval

Exercicis i problemes

Autoavaluació

9 Derivades

1. Derivada d’una funció en un punt

2. Funció derivada

3. Regles de derivació

4. Derivada d’una funció coneixent la de la seua inversa

5. Derivada d’una funció implícita

6. Derivació logarítmica

7. Obtenció raonada de les fórmules de derivació

8. Diferencial d’una funció Exercicis i problemes

Autoavaluació

10 Aplicacions de les derivades

1. Recta tangent a una corba

2. Creixement i decreixement d’una funció en un punt

3. Màxims i mínims relatius d’una funció

4. Informació extreta de la segona derivada

5. Optimització de funcions

6. Dos teoremes importants

7. Aplicacions teòriques del teorema del valor mitjà

Exercicis i problemes

Autoavaluació

11 Representació de funcions

1. Elements fonamentals per a la construcció de corbes

2. El valor absolut en la representació de funcions

3. Representació de funcions polinòmiques

4. Representació de funcions racionals

5. Representació d’altres tipus de funcions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

12 Càlcul de primitives

1. Primitives. Regles bàsiques per al càlcul

2. Expressió composta d’integrals immediates

3. Integració «per parts»

4. Integració de funcions racionals Exercicis i problemes

Autoavaluació

13 L a integral definida

1. Àrea davall d’una corba

2. Una condició perquè una funció siga integrable en [a, b]

3. Propietats de la integral

4. La integral i la seua relació amb la derivada

5. Regla de Barrow

6. Càlcul d’àrees mitjançant integrals

7. Volum d’un cos de revolució Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc III

Autoavaluació del bloc III

BLOC IV. Probabilitat

14 At zar i probabilitat

1. Experiències aleatòries. Esdeveniments

2. Freqüència i probabilitat

3. Llei de Laplace

4. Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents

5. Proves compostes

6. Probabilitat total

7. Probabilitats «a posteriori». Fórmula de Bayes Exercicis i problemes Autoavaluació

15 Di stribucions de probabilitat

1. Distribucions estadístiques

2. Distribucions de probabilitat de variable discreta

3. La distribució binomial

4. Distribucions de probabilitat de variable contínua

5. La distribució normal

6. La distribució binomial s’aproxima a la normal Exercicis i problemes Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc IV

Autoavaluació del bloc IV

Solucions a les autoavaluacions

Aplicacions de les derivades 10

Buscant l’optimització

L’obtenció de la tangent a una corba en un dels seus punts i el càlcul de la velocitat instantània d’un mòbil són problemes històrics que van donar lloc, en el seu moment, a la noció de derivada. No obstant això, van ser els problemes d’optimització els que van aportar major impuls a la recerca d’una teoria que donara generalitat a tots els problemes particulars que s’havien plantejat.

La ciència, la tècnica, les mateixes matemàtiques i, fins i tot, la vida quotidiana estan plenes de problemes d’optimització (màxims i mínims). Nombroses qüestions importants es plantegen d’aquesta manera: «què és òptim en aquestes circumstàncies». Molts dels problemes de màxims i mínims ja van ser abordats pels grecs, com, per exemple, el camí que recorre la llum per a arribar d’un punt a un altre mitjançant reflexió (Heró, segle i dC). Abans de la invenció del càlcul diferencial, cada un d’aquests problemes s’abordava mitjançant un procediment específic, no generalitzable als altres. Actualment molts d’aquests problemes són simples aplicacions de les derivades.

Una bona notació

Tindre una bona notació per a designar simbòlicament de forma adequada els conceptes matemàtics és enormement important. Newton anotava amb un punt damunt, y , la derivada de la funció, la qual cosa diu molt poc sobre què és la derivada. Leibniz en canvi va idear la notació dx dy , que representa molt adequadament el significat.

Al començament del segle xviii es va originar una vehement disputa entre les illes Britàniques i el continent sobre si havia estat Leibniz (continental) o Newton (anglés) el primer que havia inventat el càlcul infinitesimal. Tant es van agrir els ànims que els matemàtics britànics es van aferrar durant tot el segle xviii no només als ensenyaments de Newton, sinó també a la seua notació poc afortunada. Es diu que la conseqüència d’aquest entestament va ser un endarreriment de 50 anys per a la matemàtica britànica.

El gran mestre de la bona notació va ser Euler. A ell és deguda quasi tota la que hui usem en la nostra matemàtica. Va ser qui va consagrar, a mitjan segle xviii, la notació de Leibniz per a la derivada i la integral i moltes altres que van quedar avalades per la seua autoritat i per la seua adequació amb el que volien representar.

Johann Bernoulli i el Marqués de L’Hôpital

El pare dels germans Bernoulli, Jakob i Johann, creia saber bé el que els anava a cada un dels seus fills: a Jakob, la teologia, i a Johann, la medicina. La veritat és que no va encertar amb cap. Cap a això els va dirigir i per aquests camins van començar cada un a la Universitat de Basilea, Suïssa. Però l’atracció de la matemàtica va ser tal que, després d’acabats els estudis prescrits per son pare, aquesta els va absorbir completament i hi van destacar extraordinàriament.

El 1692, en un viatge que Johann va fer a París, va conéixer un jove marqués, G.F.A. de L’Hôpital, entusiasmat amb el nou càlcul infinitesimal. Aquest, a part de rebre lliçons de Bernoulli, va signar amb ell un contracte pel qual Johann, de tornada a Basilea, a canvi d’un sou regular, es comprometia a comunicar al marqués els seus descobriments i aquest podria fer-ne l’ús que li pareguera.

Amb les idees i descobriments de Johann Bernoulli, L’Hôpital va escriure el 1696 un llibre magnífic, Anàlisi dels infinitèsims, que va tindre un èxit extraordinari durant tot el segle xviii i l’ha fet passar a la història. Aquest mai va pretendre atribuir-se la paternitat dels resultats que hi publicava, sinó que sempre va reconéixer clarament el mèrit a Bernoulli. La regla de L’Hôpital, que ja coneixes com a eina eficaç per al càlcul de límits i la validesa de la qual es demostrarà en aquesta unitat, és un dels descobriments de Johann Bernoulli que s’atribuïxen injustament al marqués.

En morir L’Hôpital, Johann Bernoulli va reclamar per a si el mèrit d’aquella regla. Ningú el va creure. Més avant el descobriment de la correspondència entre Bernoulli i el marqués ha posat les coses al seu lloc.

RESOL Optimizació

• Una persona s’acosta a una estàtua de 2 m d’alçària. Els ulls de la persona estan 1 m per davall dels peus de l’escultura. A quina distància s’ha d’apropar perquè l’angle, φ, des del qual veu l’estàtua siga màxim?

Hi ha una bella resolució per mètodes geomètrics. Observa-la:

Es traça una circumferència que passa pels punts A i B i és tangent a la recta  r.

Demostra que el punt de tangència, T, és el lloc de la recta r des del qual es veu el segment AB amb angle màxim.

La longitud del segment OT es troba tenint en compte que la potència del punt O respecte a la circumferència és igual a OA OB i també és igual a OT 2

Així, ·· OT OA OB 13 3 == = ≈ 1,73 m. atenció! Aquest problema el pots resoldre, també, relacionant l’angle φ amb els angles α i β les tangents trigonomètriques dels quals podem expressar en funció de x

Obtindràs una funció que has de fer màxima (en la pàgina 282 es resol aquest problema seguint aquest camí).

Recta tangent a una corba

L’obtenció de la recta tangent a una corba en un dels seus punts és l’aplicació més immediata de les derivades, que ja coneixes des del curs passat i que hem utilitzat en la unitat anterior. Però relacionats amb aquest hi ha altres casos menys trivials. Vegem-los:

• Cas elemental: tangent a y = f (x) en el punt d’abscissa x = x0

• Ordenada del punt: f (x0)

• Pendent de la recta: m = f ' (x0)

L’equació de la recta tangent és: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Per exemple:

• Quan la funció es dona implícitament: ϕ(x, y)

La funció y (x) ve donada implícitament.

• Coordenades del punt: ens poden donar les coordenades del punt (x0, y0), o bé només l’abscissa. En aquest cas, l’ordenada s’obté resolent l’equació

ϕ (x0, y ) = 0.

• Pendent de la recta: l’expressió de y ' (x, y ) i, en conseqüència, el valor de y ' (x0, y0) s’obté mitjançant la derivació implícita en ϕ (x, y ) = 0.

Exemple:

les

• Obtenció de les ordenades corresponents: y 25 16

• Per trobar el pendent en aquests punts, derivem implícitament:

RECORDA

La recta normal a una funció en un punt és la perpendicular a la recta tangent en aqueix punt.

La seua equació és: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Recta tangent en un punt qualsevol.

➜ Recta tangent a una el·lipse.

• Tangent a una corba y = f (x) coneixent el seu pendent

Coneixem el pendent, m, de les rectes tangents buscades però no sabem quins són els punts de tangència. Les abscisses d’aquests s’obtenen resolent l’equació

Per

• Tangent a una corba des d’un punt exterior

• Coneixem el punt, P (x0, y0). Desconeixem el punt de tangència, T (c, f (c)).

• El pendent del segment

• S’igualen i es resol l’equació. Les solucions són les abscisses dels punts de tangència.

Per exemple:

Trobar les rectes tangents a y = x 2 – 5x + 3 que passen pel punt P (2, –7).

• El punt T de tangència és de la corba. Les seues coordenades són (c, c 2 – 5c + 3).

• El pendent de la recta PT ha de ser igual a la derivada de f en c:

Els punts de tangència són

Pensa i practica

1 Troba les rectes tangents a cada corba que complixen la condició que s’indica:

a) y = x xx x 2 57 16 –

els punts d’abscissa 0, 1, 3.

x0 = 3. c) y = x xx 3 36

a la recta y – x = 9.

Creixement i decreixement d’una funció en un punt

La idea gràfica de funció creixent o decreixent en un punt és molt clara. Tot seguit donarem una definició que permeta operar amb aquesta:

f és creixent en x0 si existix un entorn de x0, E = (x0 – a, x0 + a) tal que, si x ∈ E, x ≠ x0, aleshores:

() () : ,( )( ) ,( )( ) xx fx fx xx fx fx xx fx fx 0 –

significa si si llavors Això llavors > >> << 0 0 00 00

Análogament, si f és decreixent, el quocient és negatiu.

Relació del creixement amb el signe de la derivada

f (x) derivable i creixent en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0

f (x) derivable i decreixent en x0 ⇒ f ' (x0) ≤ 0

Demostració

f creixent en x0 ⇒ () () xx fx fx 0 ––> 0 0 per a tot x d’un entorn E de x0

Per tant, f ' (x0) = lm í xx 0 " () () ≥ xx fx fx 0 ––0 0 , ja que el límit d’una funció que pren valors positius és positiu o nul.

Anàlogament, es demostraria que si f és decreixent en x0, f ' (x0) ≤ 0.

Criteri de creixement en x0 a partir del signe de f ' (x0)

Quan es pretén representar una funció a partir de la seua expressió analítica, és útil el criteri següent que permet inferir si una funció és creixent o decreixent a partir del signe de la seua derivada:

f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

f ' (x0) < 0 ⇒ f és decreixent en x0

La demostració d’aquestes implicacions es veurà en la pàgina 289.

Per exemple, esbrinem on és creixent i on és decreixent la funció y = x 3 – 6x 2 + 5, derivada de la qual és f ' (x) = 3x 2 – 12x = 3x (x – 4):

Observa que una funció pot ser creixent en un punt sent zero la derivada en aquest punt.

1 Demostra que si una funció y = f (x) és decreixent en x0, aleshores:

2 Fixa’t en la funció y = x 3 – 3x

a) On creix?

b) On decreix?

Màxims i mínims relatius d’una funció

La idea de màxim relatiu en un punt és que la funció, en aquest punt, val més que en els punts que l’envolten. Vegem una definició més operativa:

f té un màxim relatiu en el punt d’abscissa x0 si existix un entorn de x0, E = (x0 – a, x0 + a), tal que si x ∈ E, x ≠ x0, aleshores f (x) < f (x0). És a dir, és creixent a l’esquerra de x0 i decreixent a la dreta. Anàlogament es definix mínim relatiu.

En els màxims i mínims, la derivada és 0

Si f (x) és derivable en x0 i té un màxim o un mínim en aquest punt, llavors f ' (x0) = 0. És a dir: f (x) màxim o mínim en x0 ⇒ f ' (x0) = 0

No obstant això, pot passar que f ' (x0) = 0 i que no hi haja ni màxim ni mínim en x0.

màxim relatiu mínim relatiu no hi ha màxim ni mínim. és un punt d’inflexió

PUNTS SINGULARS

Els punts de tangent horitzontal, és a dir, aquells on f ' (x) = 0, es diuen punts singulars o punts crítics.

Un punt singular pot ser:

màxim f passa de créixer a decréixer mínim f passa de decréixer a créixer punt d’inflexió no hi ha canvi en el creixement

IDEA DE LA DEMOSTRACIÓ

Si hi ha un màxim en x0:

— La derivada en x0 per l’esquerra és major o igual que 0.

— La derivada en x0 per la dreta és menor o igual que 0.

és derivable en x0, serà: f ' (x0) = () ()fx''fx00 –= + ⇒ f ' (x0) = 0

Exemple: vegem els màxims i els mínims de la funció y = 3x 5 – 5x 3 .

La seua derivada, f ' (x) = 15(x 4 – x 2) = 15(x – 1) x 2 (x + 1) s’anul·la en –1, 0 i 1. Com saber si hi ha màxim o mínim en cada un?

— Estudiant el signe de la derivada a la dreta i a l’esquerra. Per exemple: (, ), (, ), ’ ’

' ' f f 0990 1 1010 1 és decreixenta l’esquerra d és creixent aladreta d < > 4 Hi ha un mínim en x = 1.

O bé, representant els tres punts així com les branques infinites. Com que la funció és derivable i, per tant, contínua en Á, en unir els punts es veu com es comporta la funció en cada un d’aquests.

Veiem que hi ha un màxim en x = –1, un mínim en x = 1 i un punt d'inflexió en x = 0.

Pensa i practica

1 Comprova que la funció y = x 3/(x – 2)2 té només dos punts singulars, en x = 0 i en x = 6.

Esbrina de quin tipus és cada un d’aquests dos punts singulars; per a això, has d’estudiar el signe de la derivada.

Per tant, la derivada en x0 és 0.

I una cosa pareguda passa per als mínims.

2

a) Troba tots els punts singulars (abscissa i ordenada) de la funció y = –3x 4 + 4x 3. Mitjançant una representació adequada, esbrina de quin tipus és cada un.

b) Fes el mateix per a y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.

Informació extreta de la segona derivada

Concavitat, convexitat i punt d’inflexió

Observem el gràfic següent:

Mirant-lo des de dalt, no és raonable que anomenem còncaus els trams BC i DE i convexos els trams AB i CD ? Els punts B, C, D, en què la curvatura passa de còncava a convexa, o viceversa, són els punts d’inflexió.

La millor manera de caracteritzar matemàticament el tipus de curvatura (concavitat, convexitat o inflexió) és analitzar la posició de la corba en relació amb la seua tangent, com farem a continuació.

Tenim una corba y = f (x). Tracem la recta tangent a aquesta en un punt P, l’equació del qual és y = t (x). Aleshores:

Si een les proximitats de P és f (x) > t (x), la corba és còncava en P

Si en les proximitats de P és f (x) < t (x), la corba és convexa en P

Si la tangent travessa la corba en P, és a dir, si a l’esquerra de P és f (x) < t (x), i a la dreta f (x) > t (x), o viceversa, P és un punt d’inflexió.

Relació de la curvatura amb la segona derivada

Observa aquest gràfic:

Fixa’t que en el tram AB les quatre tangents que hi ha representades tenen el pendent cada vegada menor. En aquest interval, per tant, f és decreixent i, per tant, la seua derivada (la derivada de f ' ) és negativa. El mateix ocorre en el tram CD

I el contrari ocorre en els trams BC i DE : el pendent de les tangents augmenta i, per tant, f ' és creixent i la derivada de f ' és positiva. En general:

Si f té segona derivada en x0, es complix que:

f còncava en x0 ⇒ f ' és creixent en x0 ⇒ f '' (x0) ≥ 0

f convexa en x0 ⇒ f ' és decreixent en x0 ⇒ f '' (x0) ≤ 0

f té un punt d’inflexió en x0 ⇒ f '' (x0) = 0

de f.

La tangent està per damunt de la gràfica de f

P és un punt d'inflexió

La tangent «travessa» la gràfica de f.

TIN EN COMPTE

Aquestes implicacions servixen per a extraure conclusions sobre el comportament de la segona derivada, f '', a partir de la forma de la corba.

Criteri per a detectar el tipus de curvatura

Ja que el que sol interessar-nos és obtindre informació sobre la forma de la corba a partir de la seua expressió analítica, vegem com són les implicacions de sentit oposat a les que acabem de veure:

f '' (x0) > 0 ⇒ f és còncava en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f és convexa en x0

f '' (x0) = 0 i f ''' (x0) ≠ 0 ⇒ f té un punt d’inflexió en x0

Aplicació a la identificació de màxims i mínims

Si f ' (x0) = 0 i existix f '' (x0), aleshores:

f '' (x0) > 0 ⇒ f té un mínim relatiu en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f té un màxim relatiu en x0

(La demostració es veurà en la pàgina 291).

Exercici resolt

1 Estudiar la curvatura de la funció:

f (x) = x 3 + 3x 2

Trobem la derivada segona de la funció:

f ' (x) = 3x 2 + 6x

f '' (x) = 6x + 6

➜ Deriva i iguala a zero.

Busquem els valors que anul·len la derivada segona:

f '' (x) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1

f (–1) = (–1)3 + 3(–1)2 = 2

Com que f ''' (x) = 6 ≠ 0, el punt

I (–1, 2) és un punt d’inflexió.

• f '' (x) = 6x + 6 < 0 ⇔ x < –1

Des de – ∞ fins a –1, la corba és convexa, ja que f '' (x) < 0.

• f '' (x) = 6x + 6 > 0 ⇔ x > –1

Des de –1 fins a + ∞, la corba és còncava, ja que f '' (x) > 0.

➜ anayaeducacion.es

Exercicis de reforç: aplicacions de la segona derivada.

Pensa i practica

1 Estudia la curvatura d’aquesta funció:

y = 3x 4 – 8x 3 + 5

mínim (còncava) màxim (convexa)

2 Estudia la curvatura de la funció següent: y = x

Optimizació de funcions

Recorda que optimizar una funció, f (x), és esbrinar quin és el valor màxim (o mínim) i determinar per a quin valor de x s’aconseguix.

Per a familiaritzar-nos amb la resolució d’aquest tipus de problemes, haurem de:

• Aprendre la tècnica de trobar, de la forma més eficaç possible, els extrems d’una funció que ve donada mitjançant la seua expressió analítica.

• Exercitar-nos a expressar analíticament funcions que es descriuen mitjançant un enunciat.

Empecemos dando unas orientaciones muy concretas para lo primero y, a continuación, propondremos una serie de ejemplos como entrenamiento para lo segundo.

Càlcul dels extrems d’una funció f (x) en un interval [a, b]

En els problemes d’optimització, el que interessa no són els extrems relatius de la funció sinó els absoluts. Vegem algunes regles per a obtindre’ls:

a) Si f (x) és derivable en [a, b], els màxims i els mínims absoluts estan entre els punts singulars i els corresponents als extrems de l’interval:

LA IMPORTÀNCIA D’OPTIMITZAR

Fer màxim un volum, una població, uns beneficis, fer mínims uns costos de producció o una àrea són exemples d’optimització de funcions amb què enginyers, arquitectes, economistes... han de tractar habitualment.

La dificultat d’aquests problemes, normalment, no consistix a optimitzar una funció donada per una expressió analítica, sinó a trobar l’expressió analítica de la funció que es desitja optimitzar.

mínim (no derivable)

a b a b a b

Per tant, per a trobar-los:

• Es resol l’equació f ' (x) = 0.

• Se seleccionen les solucions x1, x2, x3, … que estan entre a i b.

• Es calcula f (a), f (x1), f (x2), … i f (b).

Amb aquests valors es veurà quin és el màxim i quin el mínim.

b) Si hi ha algun punt de [a, b] en què la funció no siga derivable, encara que sí contínua, calcularem el valor de f en aquest punt, ja que podria ser un extrem.

c) Si f no és contínua en algun punt x0 de [a, b], estudiarem el comportament de la funció en les proximitats de x0.

màxim (amb discontinuitat)

Si el punt P llisca al llarg de la semirecta r, en quina posició s’aconseguix que l’angle φ siga màxim?

1 En la segona pàgina de la unitat es proposava un problema com aquest:

Exercicis resolts

2 Descompondre el nombre 36 en dos sumands positius de manera que el producte del primer sumand pel quadrat del segon siga màxim.

6 912

:, , xx xx 10 23636 sumand sumand:–r n > < 3

Ha de ser màxim el valor de la funció següent: f (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36 Comencem esbrinant on s’anul·la la seua derivada:

12 36

3 Amb dues peces quadrades de 36 cm de costat fem l’operació que apareix a la dreta.

Quant ha de valdre x, el costat del quadrat petit que retallem, perquè el volum de la caixa resultant siga màxim?

(36 no val perquè està fora del domini de definició de f ). En aquest cas, l’interval de definició és (0, 36), és a dir, és obert; per tant, no cal estudiar el comportament de f en els seus extrems encara que fàcilment pots comprovar que es corresponen amb el producte 0, és a dir, f (0) = f (36) = 0.

Per tant, el valor màxim s’obté per a x = 12, f (12) = 6 912.

Solució: el primer sumand és 12, i el segon, 24.

➜ anayaeducacion.es

Exercicis de reforç sobre optimització de funcions.

Pensa i practica

Les dimensions de la caixa seran:

x, 36 – x, 36 – x

Per tant, el volum serà:

V (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36 És a dir, la funció que hem d’optimitzar és la mateixa de l’exemple anterior.

El costat del quadradet serà de 12 cm.

En aquest cas, el volum de la caixa serà de 6 912 cm3

1 Troba el nombre positiu la suma del qual amb vint-i-cinc vegades el seu invers siga mínima.

2 Entre tots els triangles rectangles els catets dels quals tenen longituds que sumen 10 cm, troba les dimensions d’aquell la àrea del qual és màxima.

3 Entre tots els rectangles de perímetre 12 m, quin és el que té la diagonal menor?

4 Determina les dimensions que ha de tindre un recipient cilíndric de volum igual a 6,28 litres perquè es puga construir amb el mínim possible de llanda.

El que diuen aquests teoremes és molt senzill i natural. Amb aquests se simplifiquen notablement les demostracions de diversos resultats que hem enunciat i usat, sense demostrar, en els primers apartats d’aquesta unitat. Recordem-ne dos:

f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

f ' (x0) = 0 i f '' (x0) > 0 ⇒ f té un mínim relatiu en x0

Teorema de Rolle

La idea del teorema de Rolle és que una corba contínua i sense punts angulosos que pren els mateixos valors en els extrems d’un interval necessàriament té algun punt amb tangent horitzontal.

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b).

Si f (a) = f (b), existix algun punt c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = 0. a b

Demostració

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f (a) = f (b)

Ja que f és contínua en [a, b], arriba en aquest interval a un valor màxim i a un valor mínim (teorema de Weierstrass, unitat 7). Distingim dos casos:

I. El màxim i el mínim estan l’un en a i l’altre en b. Com que f (a) = f (b), el màxim i el mínim coincidixen. La funció és constant en tot l’interval i la seua derivada és zero no només en algun punt, sinó en tots.

II. f aconseguix el màxim o el mínim en un punt c diferent dels extrems de l’interval. Com que f és derivable en c, es complix que f ' (c) = 0. (Estem aplicant el que ja hem demostrat en l’epígraf 3: si f té màxim o mínim en x0 i és derivable en x0, aleshores f ' (x0) = 0).

Observacions: Per què s’exigixen aquestes hipòtesis?

• La condició «f contínua en [a, b] i derivable en (a, b)» pot resultar xocant. Per què no posar, simplement, derivable en [a, b], amb la qual cosa exigiríem l’existència de derivades laterals? Perquè hi ha funcions amb tangent vertical i, per tant, no derivables en algun dels extrems que quedarien injustament separades dels beneficis d’aquest teorema.

y = √ 1 – x 2

• I per què no exigim, simplement, que «f siga derivable en (a, b)»? Doncs perquè si no exigírem que f siga contínua en els extrems de l’interval ens “entrarien” funcions com la del marge, que, evidentment, no és bona candidata per a pretendre que complisca la tesi.

En definitiva: cal exigir la continuïtat en [a, b], i és convenient conformar-se amb la derivabilitat en (a, b).

6 a c b a b a b f (a) = f (b) però no existix c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = 0 perquè f no és contínua en [a, b].

Exercicis resolts

1 Comprovar que la funció: y = x 3 – 4x + 3 complix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, 2]. En quin punt complix la tesi?

2 Aplicant el teorema de Rolle, demostrar que l’equació x 4 – 8x 2 + k = 0 no pot tindre més d’una arrel en l’interval [0, 2], qualsevol que siga el valor de  k.

La funció és derivable i, per tant, contínua en tot Á.

A més, f (0) = f (2) = 3. Complix les hipòtesis. Per tant, complirà la tesi; és a dir, tindrà un punt de derivada nul·la entre 0 i 2.

f ' (x) = 3x 2 – 4 → 3x 2 – 4 = 0 → x = ± ± 3 4 3 23 =

Efectivament, c = 3 23 ≈ 1,15 ∈(0, 2) i f ' (c) = 0.

Ho demostrarem per reducció a l’absurd: suposarem que té dues arrels, r i s, en l’interval [0, 2] i arribarem a una contradicció. Si r i s són arrels de l’equació, 0 ≤ r < s ≤ 2, llavors P (x) = x 4 – 8x 2 + k complix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [r, s], ja que com que és polinòmica és derivable, i per tant contínua, i a més P (r) = P (s) = 0. Es complix, doncs, la tesi: hi ha un nombre c ∈ (r, s) per al qual P' (c) = 0. Com que c ∈ (r, s), llavors 0 < c < 2.

Però P ' (x) = 4x 3 – 16x només té tres arrels: –2, 0, 2, cap d’aquestes no està continguda en l’interval (0, 2). Arribem, doncs, a una contradicció. Conclusió: l’equació no té dues arrels en (0, 2). (És a dir, en té una o no en té cap).

3 Calcular p, m i n perquè:

complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [–1, 5]. On complix la tesi?

Perquè f prenga el mateix valor en els dos extrems de l’interval [–1, 5] → –1 – p = 5m + n

El sistema format per les tres equacions assenyalades té com a solució p = 10/3, m = – 8/3, n = 9. Per a aquests valors es complixen les hipòtesis del teorema de Rolle.

f ' (x) = / / ≤≤ ≤ xx x 2103 83 13 35 ––si –si < + ) f ' (x) = 0 ⇔ x = 3 5

La tesi del teorema de Rolle es complix en c = 3 5 , perquè f ' 3 5 dn = 0.

Pensa i practica

1 Comprova que la funció f (x) = sin x complix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, π]. On complix la tesi?

2 Calcula b perquè la funció: f (x)= x 3 – 4x + 3 complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, b]. On complix la tesi?

3 Comprova que la funció: () () , fx x x x x 22 52 05 1 14 si –≤ si ≤≤ < 2 = + ) complix la hipòtesi del teorema de Rolle en l’interval [–0,5; 4]. On es complix la tesi?

4 Aplicant el teorema de Rolle, demostra que l’equació x 3 – 3x + k = 0 no pot tindre més d’una arrel en l’interval [–1, 1] qualsevol que siga el valor de k.

Teorema del valor mitjà

La idea del teorema del valor mitjà (TVM) és que en una corba contínua i sense punts angulosos que va de A a B hi deu haver algun punt intermedi en el qual la seua tangent siga paral·lela al segment AB

B

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Aleshores, existix algun punt c ∈ (a, b) tal que:

f ' (c) = () () ba fb fa

c b

Demostració

Estudiarem la funció ψ(x), que s’obté en restar de l’ordenada de la corba, f (x), l’ordenada de la recta r que passa per A (a, f (a)) i B (b, f (b )).

(ψ és una lletra de l’alfabet grec. Es diu psi ).

L’equació de la recta r és:

És a dir:

hipòtesi

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b) ⇒ tesi

Existix c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–

y = f (a) + () () () ba fb fa xa –

––

––

f (x ) – r (x )

x b

ψ(x) = f (x) – r (x) = f (x) – f (a) –

Vegem-ho:

} }

––

() () () ba fb fa xa –

Aquesta funció complix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [a, b], ja que, a més de ser contínua en [a, b] i derivable en (a, b), verifica que ψ(a) = ψ(b).

TIN EN COMPTE

ψ(x) = f (x) – r (x) és contínua en [a, b] i derivable en (a, b) perquè f (x) i r (x) ho són.

() () () () () () () () () () () ()

bf bf a ba fb fa ba af af a ba fb fa aa

== ==

–

––

–––

0 0

b b b b → ψ(b) = ψ(a)

_ ` a

Per tant, ψ(x) complix la tesi del teorema de Rolle: existix c ∈ (a, b) tal que ψ'(c) = 0.

Com que ψ'(x) = f ' (x) – () () ba fb fa –

–:

ψ'(c) = f ' (c) – () () ba fb fa –

–= 0

És a dir, hi ha un c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–.

Exercicis resolts

1 Comprovar que y = x complix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [0, 9].

On complix la tesi?

2 Calcular a i b perquè la funció

x és contínua en [0, 9] i derivable en (0, 9). Complix, doncs, les hipòtesis del TVM. Per tant, complix la tesi. Vegem on:

Per

La tesi es complix en el punt c = 3 2 ∈ (–1, 5).

3 Si f (x) = mx 2 + nx + p, comprovar que en aquesta paràbola es té que el punt c per al qual

5

4

–

() () () () a fb fa ba mb nb pmanap b –

–22 = ++ ++ =

f ' (c) = () () ba fb fa –

–

és, precisament, la mitjana aritmètica de a i b :

c = (a + b)/2

6 Calcula a i b perquè f (x) =

= () () ba mb an ba –

22 + = m (b + a) + n

f ' (c) = 2mc + n

Per tant: 2mc + n = m (b + a) + n → 2c = b + a → c = ba 2 +

les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [–3, 2].

On complix la tesi? Fes el gràfic.

f a c b Punt mitjà de (a, b)

7 Aplica el teorema del valor mitjà, si és possible, en l’interval [–2, –1] a la funció següent:

Calcula el valor corresponent a c i comprova gràficament el resultat obtingut.

8 Repetix l’exercici anterior per a la funció:

Aplicacions teòriques del teorema del valor mitjà

Al llarg de la unitat hem demostrat algunes propietats com, per exemple:

«f creixent i derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0» en què, a partir de certes propietats de la funció, s’obtenen conseqüències de la seua derivada. Però hem deixat sense demostrar altres del tipus:

«f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0» en què, a partir d’alguna propietat de f ' (x), s’obtenen dades de la funció. Amb el teorema del valor mitjà se simplifiquen notablement les demostracions d’aquest últim tipus de teoremes en els qual es deduïxen propietats d’una funció, f (x), a partir de propietats senzilles de la seua derivada, f ' (x).

funció constant

Sabem que la derivada d’una funció constant és zero en tots els seus punts. Ara provarem el recíproc: si la derivada d’una funció és zero en tots els seus punts, llavors aquesta funció és constant.

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b).

Si f ' (x) = 0 en tots els punts de (a, b), aleshores f és constant en [a, b].

Demostració

hipòtesi

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f ' (x) = 0 per a qualsevol x ∈ (a, b)

⇒

f és constant en [a, b]

Per provar que f és constant en [a, b], prendrem dos punts qualssevol de l’interval i veurem que f pren el mateix valor en tots dos.

Siguen x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2. Es complixen les hipòtesis del TVM en [x1, x2] i, per tant:

∃ c ∈ (x1, x2) que verifica () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c)

Però com que f ' (x) = 0 en tot l’interval (a, b), f ' (c) = 0. Per tant: f (x2) – f (x1) = 0, és a dir, f (x2) = f (x1)

Això vol dir que la funció pren el mateix valor en dos punts qualssevol de l’interval i, per tant, és constant.

funció creixent en un punt

En l’apartat 2 d’aquesta unitat hem vist i demostrat que:

«f creixent i derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0»

també hem afirmat allí que « f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0».

Aquesta última implicació va quedar sense demostrar. Ara, usant el teorema del valor mitjà podrem provar-la fàcilment, retocant la hipòtesi de partida.

f és derivable en un entorn de x0 i f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

OBSERVA

Hi ha funcions en què tots els punts en els quals són derivables tenen derivada igual a 0 però que no són constants. Per exemple, la funció signe:

signe (x) = , , ,

–si si si

1 0 1

x x x

< > = * 1 –1

0 0 0

Evidentment, la raó és que no complix les hipòtesis ja que no és contínua ni derivable en x = 0.

Demostració hipòtesi

• f derivable en un entorn de x0

• f ' (x0) > 0 ⇒

tesi f és creixent en x0

Si f ' (x0) > 0, hi ha un entorn E = (x0 – δ, x0 + δ) a on f ' és positiva.

Si prenem dos punts qualssevol, x1 < x2 de E, f complix les hipòtesis del TVM en [x1, x2]. Per tant, es complix la tesi:

∃ c ∈ (x1, x2) tal que () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c) i, per hipòtesi, f ' (c) > 0

D’ací es deduïx que f (x2) – f (x1) > 0 i, per tant, que f (x2) > f (x1).

La funció és, doncs, creixent en (x0 – δ, x0 + δ) i, per tant, ho és en x0.

mínim relatiu

En l’apartat 3 d’aquesta unitat vam demostrar que:

«si f té un mínim en x0 i és derivable, aleshores f ' (x0) = 0»

També véiem que la implicació recíproca no sempre és certa. Ara estem en condicions d’enunciar i demostrar una proposició semblant a la seua recíproca: f ' (x0) = 0 y f '' (x0) > 0 ⇒

Demostració

Per a provar que f té un mínim en x0 demostrarem que és decreixent a la seua esquerra i creixent a la dreta. Per a això, tindrem en compte el resultat anterior que associa el creixement o decreixement amb el signe de la derivada, f ' :

f '' (x0) = lm í 0 h "

() ()fx''fx h h–00 + = lm í 0 h "

() ' fx h h 0 + > 0

Si h < 0, f ' (x0 + h) < 0 ⇒ f és decreixent a l’esquerra de x0 1

Si h > 0, f ' (x0 + h) > 0

⇒

f és creixent a la dreta de x0 2

Per 1 i 2 , f presenta un mínim en x0

Pensa i practica

1 Demostra que si f és derivable en un entorn de x0 i f ' (x0) < 0, aleshores f és decreixent en x0

FUNCI Ó DECREIXENT

Naturalment hi ha un resultat anàleg per a funcions decreixents:

f ' (x0) < 0 ⇒ f decreixent en x0

RECORDA

Anàlogament, es pot demostrar que si f ' (x0) = 0 i f '' (x0) < 0, aleshores f presenta un màxim relatiu en x0.

(*) Per la primera hipòtesi.

(**) Per la segona hipòtesi.

(***) f ' < 0 ⇒ f decreixent

(****) f ' > 0 ⇒ f creixent

2 Demostra que si f ' (x0) = 0 i f '' (x0) < 0, aleshores f presenta un màxim relatiu en x0

Exercicis i problemes resolts

1. Recta tangent i recta normal

Donada la funció f (x) = |x| e –x, escriure, si és possible, l’equació de la recta tangent i la de la recta normal per a x = 0 i per a x = –1.

Escriu l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la corba xy yx = 1 en el punt (1,1).

Trobar els punts de la corba

f (x) = x 1 1 –en els quals la recta tangent a aquesta passe pel punt P (–3, 2).

• Definim la funció per intervals: f (x) = ≥ xe xe x x 0 0 –si si < x x

–– )

És una funció contínua en Á, ja que () () () lm fx lm ff00 0 íí xx00 –== = "" + .

• Trobem la seua funció derivada f ' (x) = () () xe xe x x 1 1 0 0 ––si si < > x x

––+ * :

f és derivable en x = –1 però no en x = 0 ja que () () '' lm fx lm fx –≠11 íí xx00 –== "" + .

Per tant, no existix recta tangent ni recta normal en x = 0.

La recta tangent en x = –1 és y = f (–1) + f ' (–1)(x + 1) → y = e – 2e(x + 1)

La recta normal en x = –1 és y = f (–1) – () f 1 1 –l (x + 1) → y = e + e2 1 (x + 1)

2. Tangent que passa per un punt exterior

• Les coordenades del punt de tangència són x = a, f (a) = a 1 1 –

El pendent de la tangent en x = a és f ' (a) = () a 1 1 ––2

• El pendent del segment de la tangent que passa pel punt P (–3, 2) i pel punt de tangència ,a a 1 1 –dn ha de ser igual a f ' (a).

FES-HO TU

Troba els punts de la corba

f (x) = x 2 – 2x + 4 en els quals la recta tangent a aquesta passa per l’origen de coordenades.

Si P és un punt qualsevol del gràfic de xy = 1, provar que el triangle format per la recta OP, la tangent a aquest gràfic en P i l’eix y = 0 és isòsceles.

FES-HO TU

Escriu l’equació de la recta tangent a la corba y = x 1 en el punt de coordenades (3, 1/3).

Comprova que el segment d’aquesta recta comprés entre els eixos de coordenades està dividit en dues parts iguals pel punt de tangència.

Hi ha dos punts de tangència que corresponen a dues rectes tangents:

Un punt P qualsevol de la corba y = x 1 té per coordenades ,a a 1 dn

• Tangent en

• Trobem el punt de tall de la tangent

l’eix y = 0:

• Calculem la longitud dels costats del triangle:

+ dn

Com

3. Recta tangent en un punt de la corba

FES-HO TU

4. Intervals de creixement

Estudiar els intervals de creixement i de decreixement de les funcions i determinar els màxims i els mínims.

a) f (x) = e x (x 2 – 3x + 1)

b) f (x) = ≤ ln xx xx si x si x 20 0 > 2

a) La funció és contínua i derivable en tot el seu domini, Á f és creixent en els intervals on f ' > 0, i decreixent si f ' < 0. Busquem els punts de derivada nul·la.

si:

f creix en (– ∞, –1) ∪ (2, +∞) i decreix en (–1, 2).

Té un màxim en , e 1 5 –dn i un mínim en (2,

b) La funció és contínua en Á però no és derivable en x = 0.

FES-HO TU

Estudia els intervals de creixement i de decreixement de les funcions següents:

a) f (x) = x x 4 –2 3

b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5)

5. Funció derivada

f creix en (– ∞, –1) ∪ ,∞ e 1 + dn i decreix en (–1, 0) ∪ , e 0 1 dn .

Té un màxim en (–1, 1) i un mínim en , ee 11 –dn .

a) f (x) no és derivable en x = 1. No existix f ' (1), ja que f ' (1–) = 2 ≠ 1 = f ' (1+).

b) f (x) és creixent en (– ∞, 1) ∪ (1, 2) perquè en aquest interval f' (x) > 0.

f (x) és decreixent en (2, + ∞) perquè f ' (x) < 0.

f (x) té un extrem en x = 2, perquè en el gràfic observem que f ' (2) = 0.

Aquest és el gràfic de la funció derivada d’una funció f contínua en Á

a) Explicar raonadament si f és derivable en tot Á.

b) Estudiar el creixement i el decreixement de f i explica si té algun extrem relatiu.

c) Representar f '' (x).

A més, en x = 2, f ' (x) passa de positiva a negativa i, per això, f (x) passa de creixent a decreixent, cosa que ens assegura que f (x) té un màxim en x = 2.

c) Els valors de f '' (x) són els pendents de les semirectes que formen f ' (x). El seu gràfic és el següent:

Exercicis i problemes resolts

6. Punts en què s’anul·len f ', f '' i f '''

Donada la funció f (x) = 1 – (2 – x) 5 estudiar si té màxim, mínim o punt d’inflexió en x = 2.

• Trobem f ' , f '' , f ''' :

f ' (x) = 5(2 – x)4 → f '' (x) = –20(2 – x)3 → f ''' (x) = 60(2 – x)2

En fer x = 2, es verifica f ' (2) = f '' (2) = f ''' (2) = 0.

• Estudiem el signe de f ' a l’esquerra i a la dreta de x = 2:

2 f ' > 0 f ' > 0

f reix a l’esquerra i a la dreta de 2 → f no té màxim ni mínim en x = 2.

• Comprovem que té un punt d’inflexió estudiant el signe de f '' :

FES-HO TU

Estudia si la funció f (x) = 3 – (x + 1)4

té algun màxim, mínim o punt d’inflexió.

2 f '' < 0 f '' > 0

A l’esquerra de x = 2, la funció és convexa, i a la dreta de x = 2, la funció és còncava. El punt (2, 1) és un punt d’inflexió.

7. Paràmetres d’una funció definida a trossos

• Perquè siga contínua ha de ser:

si si > ] ] ]

Determinar els valors de a, b i c perquè la funció siga contínua, tinga un màxim en x = –1 i la tangent en x = –2 siga paral·lela a la recta y = 2x.

FES-HO TU

Calcula b i d perquè la funció f (x) = –x 3 + bx 2 + x + d tinga un màxim relatiu en el punt (1, 4).

8. Teorema de Rolle

Demostrar que la funció:

lm í x 0 –" f (x) = lm í x 0 " + f (x) = f (0) = c lm í x 0 " + cos x x 1 0 0 –2 = dn = lm í x 0 " + sn cos ix x 1 –2 = 0 → c = 0

f ' (–1) = 0, és a dir, com que f ' (x) = 2ax + b → –2a + b = 0

• Si la tangent en x = –2 és paral·lela a y = 2x, ha de ser: f ' (–2) = 2 → – 4a + b = 2

• Resolem el sistema: ab ab 20 42 ––+= += ) ; a = –1, b = –2

Els valors demanats són: a = –1, b = –2, c = 0.

• f és contínua i derivable en tot Á

•–

() () () () sn sn i i f f 01 00 0 11 11 0

•–== == 4 f complix les hipòtesis del teorema de Rolle en (0, 1).

Com que (0, 1) està contingut en 0, 2 r bl , podem assegurar que hi ha un c ∈ 0, 2 r bl tal que f ' (c) = 0.

Per a saber si en c hi ha un màxim o un mínim, usem la segona derivada:

f ' (x) = –2x sin x + (1 – x 2)cos x

f '' (x) = (x 2 – 3)sin x – 4x cos x

Si c ∈(0, 1): c 2 – 3 < 0, sin c > 0, 4c > 0, cos c > 0

f '' (c) = (– · +) – (+ · +) < 0 → f té un màxim en x = c.

f (x) = (1 – x 2) sin x té un màxim relatiu que pertany a l’interval 0, 2 r bl

9. Àrea màxima

En un jardí amb forma de semicercle de radi 10 m es vol instal·lar un parterre rectangular, un dels costats del qual està sobre el diàmetre i l’oposat a aquest té els extrems en la part corba.

Calcular les dimensions del parterre perquè la seua àrea siga màxima.

➜ Simula l'àrea i obtingues la

FES-HO TU

Es vol construir un depòsit de llautó amb forma de cilindre d’àrea total 54 cm2. Determina el radi de la base i l’altura del cilindre perquè el volum siga màxim.

10. Problema de temps mínim

Un nadador, A, es troba a 3 km de la platja davant d’una caseta. Vol anar a B, en la mateixa platja, a 6 km de la caseta. Sabent que nada a 3 km/h i que camina per l’arena a 5 km/h, esbrinar a quin lloc s’ha de dirigir nadant per a arribar a B en el menor temps possible.

En

Prenem com a origen de coordenades el centre de la circumferència.

P (x, y) és un punt de la circumferència.

L’àrea del parterre és: S = 2xy

pertany a la circumferència, ha de verificar que:

que

i la seua àrea màxima serà 100 m2.

Anomenem x la distància de la caseta al punt P al qual ha d’arribar nadant.

Ha de recórrer:

AP x 9 2 =+ a 3 km/h y

PB = 6 – x a 5 km/h

El temps emprat és:

FES-HO TU

La vela major d’un vaixell té forma de triangle rectangle. Si la hipotenusa ha de mesurar 6 m, calcula’n les dimensions perquè la superfície de la vela siga màxima.

• si x > 2,25

(x) > 0 ja que t ' (4) = 1/15.

Ha de dirigir-se nadant a un punt que diste 2,25 km de la caseta.

El temps que tardarà a arribar a B és:

corba que la descriu.

1. Tangent perpendicular a una recta

Escriure les equacions de les rectes tangents a la funció f (x) = 4x 3 – 2x + 1 que són perpendiculars a la recta x + y – 2 = 0.

2.

Determinar els intervals de concavitat i de convexitat i els punts d’inflexió de la funció:

f (x) = x x 1 –2 2

Calcular el màxim i el mínim absoluts, en l’interval [–1, 2] de la funció:

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

Donada la funció f (x) = x xx47 –2 + , demostrar que hi ha un valor c ∈ (1, 3) tal que f ' (c) = 4.

• Si el pendent de la recta és m, el de la seua perpendicular és m –1

• Per obtindre els punts de tangència, resol l’equació f ' ( x ) = m –1 .

• Troba els punts de tangència i escriu les equacions demanades.

Solució: y = x; y = x + 2

• Resol l’equació f '' (x) = 0.

• Recorda que perquè hi haja un punt d’inflexió la corba ha de passar de còncava a convexa o de convexa a còncava.

• Tin en compte el domini de definició de la funció per a determinar els intervals on has d’estudiar el signe de f '' (x).

Solució: Còncava en (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) i convexa en (–1, 1). No té punts d’inflexió.

• Estudia el domini de f (x) i la seua continuïtat en l’interval donat.

• Recorda que una funció contínua en un interval tancat arriba al màxim i al mínim absoluts en els extrems de l’interval o en els extrems relatius.

• Obtín les abscisses dels extrems relatius. Calcula i compara el valor de f (x) en aquests punts i en x = –1 i en x = 2.

Solució: El màxim absolut s’aconseguix en el punt (–1, 1) i el mínim absolut en (2, ln 7 – 2).

• Estudia el domini de f (x) i la seua continuïtat en l’interval [1, 3].

• Troba la derivada de f (x) prenent logaritmes.

• Comprova que la derivada existix en l’interval (1, 3). Aplica el teorema del valor mitjà i obtín c

Solució: f (x) és contínua en [1, 3] i derivable en (1, 3). Llavors, hi ha un c tal que f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––=

5. Extrems relatius

Siga f (x) = x 2 e – ax amb a ≠ 0.

a) Calcular el valor de a perquè la funció tinga un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2.

b) Classificar els extrems relatius quan a = 2.

a) Els extrems relatius estan entre les solucions de l’equació f ' (x) = 0. Una de les solucions d’aquesta equació depén de a. Per a x = 2, obtindràs el valor de a

b) Estudia el signe de f ' (x) en els intervals que determinen els punts singulars.

Solució:

a) a = 1

b) Té un mínim relatiu en (0, 0) i un màxim relatiu en (1, e –2).

Intervals de concavitat i de convexitat

3. Màxim i mínim absolut

4. Teorema del valor mitjà

Exercicis i problemes proposats

Per a practicar

Recta tangent

1 Troba l’equació de la recta tangent a les corbes següents en els punts que s’hi indiquen:

a) y = ln (tg 2x) en x =  8 r

b) y =  snix 5 en x =  6 r

c) x 2 + y 2 – 2x – 8y + 15 = 0 en x = 2

d) y = (x 2 + 1)sin x en x = 0

2 Troba les tangents a la corba: y =  x x 1 2 –paral·leles a la recta 2x + y = 0.

3 Obtín l’equació de la recta tangent paral·lela a l’eix d’abscisses en les corbes següents:

a) y = x ln x b) y = x 2 e x c) y = sin 2x

4 Troba el punt del gràfic de y = 2 x en el qual la tangent forma un angle de 60° amb l’eix X. Escriu l’equació d’aquesta tangent.

5 a) Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 en x = 3. b) Hi ha alguna altra recta tangent al gràfic de f que siga paral·lela a la que has trobat? En cas afirmatiu, troba-la.

6 Troba l’equació de la recta tangent a la corba: y = 4x 3 – 2x 2 – 10 en el seu punt d’inflexió.

7 Troba els punts de la corba: y = 3x 2 – 5x + 12 en els quals la recta tangent a aquesta passe per l’origen de coordenades.

8 Troba els punts de la corba: y =  4 1 x 2 + 4x – 4 en els quals la recta tangent a aquesta passe pel punt (0, –8). Escriu les equacions de les rectes tangents en aquests punts

9 Troba, en cada cas, les equacions de les rectes tangents paralleles a l’eix X:

a) y =  () x x 31 –3 b) y =  ln x x 2 c) y =  e xx 2 x 2 +

Màxims i mínims. Punts d’inflexió

10 Troba els màxims, els mínims i els punts d’inflexió de les funcions següents:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x b) y =  ()xx 12 38 –3

c) y = x 4 – 2x 3 d) y = x 4 + 2x 2

e) y =  x 1 1 2 + f) y = e x (x – 1)

11 Troba els intervals de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de les funcions següents:

a) y =  ()xx x 2 83 –– b) y =  x x 1 1 –2 2 +

c) y =  x x 1 –2 3 d) y =  x xx 2 23 ––2

e) y =  x x 1 –2 f ) y =  ()xx 3 8 –2

12 Estudia la concavitat, la convexitat i els punts d’inflexió de les funcions següents:

a) y = x 3 – 3x + 4 b) y = x 4 – 6x 2

c) y = (x – 2)4 d) y = x e x

e) y =  x x 1 2–+ f) y = ln(x + 1)

13 Estudia si les funcions següents tenen màxims, mínims o punts d’inflexió en el punt d’abscissa x = 1:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4

c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

14 Determina els màxims i mínims de les funcions següents:

a) f (x) = x +  () x 1 4 –2 b) f (x) = x ln x

c) f (x) = sin x – cos x d) f (x) = e –x2

15 Fixa’t en les funcions:

f (x) =  ≤ xx x x x 21 42 1 1 ––si si > 2 + )

g (x) =  ≥ xx xx x x 74 23 2 2 –si si < 2 2 + + *

a) Comprova que són derivables en Á.

b) Determina’n els intervals de creixement i de decreixement i els màxims i els mínims.

16 Estudia els intervals de creixement i de decreixement de la funció f (x) = x | x |. Té màxims o mínims?

Determina els intervals de concavitat i de convexitat. Té algun punt d’inflexió?

Exercicis i problemes proposats

Funcions dependents de paràmetres

17 Donada la funció f (x) = 1 +  x a x 6 2 + , calcula a sabent que f (x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3. Es tracta d’un màxim o d’un mínim?

18 De la funció f (x) =  ax 3 +  bx sabem que passa per (1, 1) aquest punt té tangent paral·lela a la recta 3x + y = 0. Troba a i b.

19 Troba una funció f (x) =  x 3 +  ax 2 +  bx +  c que tinga un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2 i un punt d’inflexió en P (1, 2).

20 Calcula els coeficients a, b i c de la funció f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx, sabent que:

a) L’equació de la recta tangent a f en x = 0 és y = x.

b) Té un extrem relatiu en el punt (–1, 0).

21 Troba a, b, c i d perquè f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tinga un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

22 Les funcions f (x) =  x 4  +  ax 2  +  bx y g(x) =  x –  cx 2 passen pel punt (1, 0). Determina els coeficients a, b i c perquè tinguen la mateixa recta tangent en aquest punt i calcula-la.

23 Donada la funció y =  ax 4 + 3bx 3 – 3x 2  –  ax, calcula els valors de a i b sabent que té dos punts d’inflexió, un en x = 1 i un altre en x = 1/2.

24 La corba y =  x 3 +  ax 2 +  bx +  c talla l’eix d’abscisses en x = –1 i té un punt d’inflexió en el punt (2, 1). Calcula a, b i c.

25 Sabent que la funció f (x) =  x 3 +  ax 2 +  bx +  c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 i que f no té extrem relatiu en x = 1. Calcula a, b i c

26 Siga f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5. Troba a i b perquè la corba y = f (x) tinga en x = 1 un punt d’inflexió amb tangent horitzontal.

27 Troba el valor de c de manera que la funció y =  xc e x 2 + tinga un únic punt crític.

Es tracta d’un màxim, d’un mínim o d’un punt d’inflexió?

28 a) Calcula els valors dels paràmetres a i b perquè siga derivable la funció:

Per a resoldre

29 Troba l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la corba x 2  – y 2 + 2x – 6 = 0 en els punts d’ordenada y = 3.

30 Determina els punts de la circumferència (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 en els quals la recta tangent a aquesta és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.

31 Escriu l’equació de la recta tangent a la corba y = arc tg x x 1 1 –+ que és paral·lela a la recta x – 2y + 3 = 0.

32 Troba l’equació de la tangent a la corba y = x x/2 en el punt d’abscissa x = e.

33 Troba l’angle que formen les rectes tangents a les funcions f (x) i g (x) en el punt d’abscissa 2: f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2  – x – 2

34 Fixa’t en la funció f (x) = | x – 3|(x + 1) i troba els punts on les tangents són paral·leles a la recta y = 6x – 2.

35 Donada la funció f (x) = 4 – x 2 es demana:

a) El punt d’aquesta corba en què la tangent és paral·lela a la corda que unix els punts (–1, 3) i (2, 0).

b) Les rectes que passen pel punt (–2, 1) i són tangents a la corba.

36 Troba l’equació de la tangent a la corba f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 amb pendent mínim.

37 Donada la corba y =  x 3 1 2 + :

a) Expressa la funció m(x) que dona el pendent de la recta tangent a la corba en cada punt x

b) Calcula el valor de x on s’aconseguix el màxim pendent.

38 Troba el domini de definició i els intervals de creixement i de decreixement de la funció:

f (x) =  ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Estudia els intervals de creixement i els màxims i els mínims de la funció donada per: y = |x 2 + 2x – 3|

b) Troba els extrems relatius en el cas a = –2, b = 1.

40 Estudia l’existència de màxims i de mínims relatius i absoluts de la funció y = | x 2 – 4| .

41 Troba el valor que ha de tindre a perquè la funció

f (x) = x 2 ln a x , a > 0, tinga un punt singular en x = e

42 Es considera la funció:

f (x) =

≤ ln ax bx c xx x x 0 0 si si > 2 ++ ) .

Determina a, b i c perquè siga contínua, tinga un màxim en x = –1 i la tangent en x = –2 siga paral·lela a la recta y = 2x

43 a) Fixa’t en la funció:

f (x) =

51 Es desitja tancar un terreny rectangular usant 100 m d’una tela metàl·lica. S’ha decidit deixar una obertura de 20 m sense tancar en un dels costats de la parcel·la per col·locar-hi una porta. Calcula les dimensions de tots els costats de la parcel·la rectangular d’àrea màxima que pot tancar-se d’aquesta manera. Calcula també el valor d’aquesta àrea màxima.

52 Es vol construir un recipient cònic de generatriu 10 cm i de capacitat màxima. Quin ha de ser el radi de la base?

2 2 + ++

≤ xpx xmxn x x 1 1 –si si >

i calcula els valors de m, n i p perquè f siga derivable en Á i tinga un extrem relatiu en x =  2 1 –

b) És un màxim o un mínim?

c) Comprova si hi ha altres punts singulars i representa la funció.

44 Siga f la funció definida per f (x) =  ≤ xe ab x x x 20 0 –si si > x–+ *

a) Determina el valor de a i b sabent que f (x) és derivable en x = 0.

b) Té punts singulars?

45 Troba els punts de la paràbola y = x 2 – 1 que es troben a distància mínima del punt A 2, 2 1 dn .

46 Calcula els extrems relatius, els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de les funcions següents:

a) f (x) = x 2 + | x – 2 | b) f (x) = 3e –2| x |

47 Calcula el màxim i el mínim absoluts en l’interval [–2, 3] de la funció f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) Sent h (x) la suma de les coordenades del punt P (x, f (x)) del gràfic de f (x) = x 4 + x 3 + x 2 – x + 1. Calcula els extrems relatius de h (x).

b) Té h (x) algun extrem absolut?

49 El punt P (x, y) recorre l’el·lipse x y 25 9 2 2 +  = 1.

Deduïx les posicions del punt P per a les quals la distància al punt (0, 0) és màxima i també aquelles per a les quals la distància és mínima.

50 Siguen x i y dos nombres positius el producte dels quals val 16. Pot x + y ser menor que 7? Raona la resposta.

53 En un quadrat de costat 10 cm volem recolzar la base d’un cilindre que té una àrea lateral de 50 cm2. Quin ha de ser el radi del cilindre perquè el volum siga màxim?

h

10 cm r

10 cm

54 En un triangle isòsceles de base 12 cm (el costat desigual) i altura 10 cm, s’inscriu un rectangle de manera que un dels seus costats estiga sobre la base del triangle i dos dels seus vèrtexs sobre els costats iguals:

a) Expressa l’àrea, A, del rectangle en funció de la seua base, x, i digues quin és el domini de la funció.

b) Troba el valor màxim d’aquesta funció.

55 Meta 7.3. Volem fer un envàs amb forma de prisma regular de base quadrada i capacitat 80 cm3. Per a la tapa i la superfície lateral, usem un determinat material, però per a la base, hem d’emprar un material un 50 % més car. Troba les dimensions d’aquest envàs perquè el preu siga el menor possible.

56 Dos pals de 12 m i 18 m d’alçària disten entre si 30 m. Es desitja estendre un cable que unisca un punt del terra entre els dos pals amb els extrems d’aquests. On cal situar el punt del terra perquè la longitud total del cable siga mínima?

57 De totes les rectes que passen pel punt (1, 2), troba la que determina amb els eixos de coordenades, i en el primer quadrant, un triangle d’àrea mínima.

58 Cada una de les pàgines d’un llibre ha de tindre 600 cm2 de superfície, amb els marges al voltant del text de 2 cm en la part inferior, 3 cm en la part superior i 2 cm a cada costat. Calcula les dimensions de la pàgina que permeten que la superfície impresa siga el més gran possible.

Exercicis i problemes proposats

59 Un rectangle té els vèrtexs en els punts (0, 0), (a, 0), (0, b) i (a, b), on a > 0, b > 0 i, a més, el punt (a, b) està situat en la corba d’equació y = x 1 2 + 9.

D’entre tots els rectangles que complixen aquestes condicions, determina el rectangle d’àrea mínima i calcula aquesta àrea mínima.

60 Considera un triangle isòsceles la base del qual de 12 cm és el costat desigual i l’altura del qual és de 5 cm. Es vol determinar un punt A situat sobre l’altura a una distància x de la base, de manera que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle siga mínima. Observa la figura: A x 5 cm } 12 cm

a) Demostra que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle ve donada per l’expressió f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 + .

b) Calcula el valor de x perquè la suma de les distàncies siga mínima.

c) Calcula aquesta quantitat mínima.

61 Les manetes d’un rellotge mesuren 4 cm i 6 cm; unint els extrems es forma un triangle.

a) Demostra que l’àrea d’aquest triangle ve donada per A (x) = 12sin x, on x és l’angle que formen les manetes.

b) Troba x perquè l’àrea del triangle siga màxima i calcula aquesta àrea.

62 La velocitat d’una partícula en m/s, ve donada per la funció v (t ) = (t 2 + 2t)e –t amb t ≥ 0.

a) En quin instant de l’interval [0, 3] s’arriba a la velocitat màxima?

b) Calcula lm í x ∞ " + v (t ) i interpreta el resultat.

63 Donada f: [1, e] → Á definida per f (x) =  x 1  + ln x, determina quines de les rectes tangents al gràfic de f tenen el màxim pendent.

64 Calcula les dimensions del triangle isòsceles d’àrea màxima, inscrit en una circumferència de 4 m de radi.

Qüestions teòriques

65 Comprova que f (x) =  x 3 – 18x, definida en l’interval [0, 3 2 ], verifica les hipòtesis del teorema de Rolle i troba el valor c ∈ (0, 3 2 ) per al qual f ' (c) = 0.

66 La funció y =  x 3 – 5x 2 + 3x – 2, complix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [0, 4]? En cas afirmatiu, digues quin és el x0 que complix la tesi.

67 Tenim la funció: f (x) =  x 21 si

Prova que f satisfà les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [–2, 0] i calcula el punt o els punts en els quals es complix el teorema.

68 És possible calcular a, b, c perquè la funció: f (x) =  ≥ x ax bx x x 51 3 1 1 si si < 2 + ++ ) complisca el teorema de Rolle en l’interval [0, c]?

69 La funció f (x) = | cos x | pren en els extrems de l’interval [0, π] el valor 1. Complix el teorema de Rolle?

70 Siga f una funció contínua i derivable tal que f (0) = 3. Calcula quant ha de valdre f (5) per a assegurar que en [0, 5] hi ha un c tal que f ' (c ) = 8.

71 Calcula a i b perquè: f (x) =  ≥ ax xx b x x 3 10 4 4 – si si < 2 + )

complisca les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [2, 6]. On complix la tesi?

72 Siga f (x) = 1 – x 2/3 . Prova que f (1) = f (–1) = 0, però que f'(x) no és mai zero en l’interval [–1, 1]. Explica per què aquest resultat contradiu aparentment el teorema de Rolle.

73 La derivada de una funció f és positiva per a tots els valors de la variable. Hi pot haver dos nombres diferents, a i b, tals que f (a) = f (b)? Raona-ho.

74 Calcula a, b i c perquè la funció: f (x) =  ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + ) complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, 4]. En quin punt es complix la tesi?

75 Fixa’t en la funció:

f (x) =  () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ +

i demostra que hi ha un valor a ∈ (1, 2) tal que f ' (a) = 0.

Esmenta i justifica els resultats teòrics emprats.

76 Vertader o fals? Raona la resposta.

a) Una funció que no siga una recta pot tindre infinits punts en els quals la seua recta tangent siga y = 1.

b) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0, aleshores f no pot tindre ni màxim ni mínim en x = a

c) Si un polinomi de grau 3 té un mínim en x = 2, aquest mínim no pot ser mínim absolut.

d) Una funció contínua en [0, 5], que no és derivable en x = 3, no pot tindre un màxim en x = 3.

e) Si y =  f (x) és creixent en x = a, llavors y = –f (x) és decreixent en x = a

f ) Si f ' (a) = 0, f té un màxim o un mínim en x = a.

g) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 i f ''' (a) = –5, f té un punt d’inflexió en x = a.

h) Si aquest és el gràfic de f ' (x), llavors f té un mínim en x = –1 i un màxim en x = 1.

Per a aprofundir

77 En un experiment s’han realitzat cinc mesures del mateix objecte, que han donat els resultats següents:

m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91

Es prendrà com a millor aproximació a la mesura real el valor de x tal que la suma dels quadrats dels errors siga mínima. És a dir, el valor per al qual la funció:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2

aconseguix el mínim. Calcula aquest valor de x

78 Demostra que existix α ∈ (–1,3) tal que f ' (α) =  4 –1 sent

f (x) =  [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++

Esmenta els resultats teòrics emprats i justifica’n l’ús.

79 Quan un globus és a 200 m sobre el terra i s’eleva a 15 m/s, un automòbil hi passa per davall amb velocitat de 45 km/h. Amb quina velocitat se separen cotxe i globus un segon després?

Tin en compte el següent:

— El globus està a 200 + 15t m d’altura en l’instant t

— El cotxe està a (45/3,6) · t m de la vertical del globus.

Troba la distància entre tots dos i esbrina la velocitat d’allunyament quan t = 1.

1 Troba els punts de la funció:

f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ en els quals la recta tangent siga paral·lela a la recta y = 2x – 3.

2 Calcula els extrems relatius i els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de la funció següent:

f (x) = x | x – 2 |

3 Estudia el creixement de la funció f (x) = e x (cos x + sin x) i determina els seus màxims i mínims per a x ∈ [0, 2π].

4 a) Estudia la curvatura de la funció següent:

f (x) = x 2 ln x

b) Escriu l’equació de la recta tangent que passa pel seu punt d’inflexió.

5 Determina a, b, c i d perquè la funció:

g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tinga un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

6 Calcula el punt de la corba y =  x 1 1 2 + en el qual el pendent de la recta tangent siga màxim

7 De tots els cilindres que es poden inscriure en una esfera de 9 cm de radi, troba l’altura i el radi del que té més volum.

8 La funció f (x) = 1 – | x | si x ∈ [–2, 2] verifica la igualtat f (–2) = f (2).

Justifica si és possible trobar algun c ∈ (–2, 2) tal que f ' (c) = 0.

Representació de funcions 11

Concepte de funció

En els segles xv i xvi es van establir les bases de la simbologia algebraica que van permetre un maneig molt pràctic de les matemàtiques, la qual cosa va obrir camí a la diferenciació entre les variables d’una funció i les incògnites d’una equació, essencial per a arribar a establir la noció de funció.

A principis del segle xvii, Galileu va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a relacionar de manera funcional les causes i els efectes. Això va ser fonamental per a determinar la concepció de variable dependent. Les investigacions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció que va prenent forma al llarg del segle xvii

Una de les idees més fecundes i brillants del segle xvii va ser la de la connexió entre el concepte de funció i la representació gràfica d’una corba.

La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es va generalitzar a qualsevol relació numèrica que responga a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Però els matemàtics d’aquella època només admetien com a funcions els gràfics que responien a una fórmula. Va ser a mitjan segle xix quan Dirichlet va ampliar el concepte de funció a relacions d’uns certs tipus donades gràficament (o d’una altra manera), encara que no hi haguera una «fórmula» que les descriguera.

Els conceptes i els procediments del càlcul de límits i derivades permeten, en l’actualitat, indagar còmodament i eficaçment sobre les característiques més rellevants de funcions donades mitjançant fórmules i, en conseqüència, procedir a la seua representació gràfica. Amb una calculadora o un ordinador s’aconseguix de manera automàtica i instantània.

Dirichlet

La seua definició del concepte de funció va servir per a afermar els fonaments de l’anàlisi. Però Gustav Dirichlet, professor a Berlín, va fer moltes altres aportacions a les matemàtiques i a la física de manera que, en morir Gauss el 1855, tots van pensar en Dirichlet com el seu digne successor i va ser l’elegit per a ocupar la càtedra de Göttingen.

Gustav Dirichlet (1805-1859)

Una estranya funció i un savi contrariat Dirichlet, amb la finalitat de posar un exemple de funció que no fora contínua en cap dels seus punts, va definir això:

D (x) = x x 1 0 si si ! ! )

Funcions així d’estrafolàries es van dissenyar per perfilar el concepte de funció. Poincaré, considerat com el matemàtic més important del moment a principis del segle xx, es queixava d’«aquestes estranyes funcions inventades amb la finalitat de mostrar que el raonament dels nostres antecessors va ser erroni» i les contraposava a les «funcions honestes que servixen per a alguna cosa».

Dues corbes interessants

tractriu

Sobre l’eix X, a 4 m de l’origen hi ha una bola lligada a una corda de 4 m. Una persona subjecta l’extrem de la corda i camina al llarg de l’eix Y, arrossegant la bola. La trajectòria que recorre la bola és una corba, anomenada tractriu, que és tangent a la corda en cada punt. L’equació és:

catenària

Si es lliguen els extrems d’una cadena de 2,35 m a sengles pals d’1,54 m d’altura separats entre si 2 m, la cadena forma una corba anomenada catenària. Situant els eixos de manera adequada, l’equació és:

RESOL

Límits i derivades per a representar una funció

• Taça uns eixos de coordenades sobre paper quadriculat i representa una corba, tan senzilla com siga possible, que complisca les condicions següents:

• Descriu, amb el mínim de dades i de forma similar a l’exercici anterior, la funció següent:

• f és derivable en tot Á, excepte en x

Elements fonamentals per a la construcció de corbes

Tot i que el gràfic d’una funció és un conjunt de punts, per a representar-lo no és bon sistema, com bé saps, obtindre indiscriminadament les coordenades de molts punts d’aquesta. I això per dos motius:

— Es faria servir molt de temps.

— Aquests punts, probablement, siguen insuficients per a donar una idea correcta de com és la corba, ja que les parts més interessants d’aquesta és possible que es troben intercalades entre aquests o bé fora del tram en què hem treballat. Les corbes, en general, presenten alguns detalls interessants (punts singulars, branques, ruptures…) i fora d’aquests es comporten de forma anodina. Per a representar-les eficaçment caldrà saber localitzar aquestes peculiaritats que les caracteritzen. Amb aquesta finalitat se n’estudien els límits, asímptotes, derivades…

En aquesta unitat revisarem, sistematitzarem, posarem ordre en tots els instruments matemàtics que posseïm per a la recerca de trets interessants d’una corba amb vista a la seua representació. Recordem quins són:

• Camp en el qual cal estudiar la funció

— Domini de definició. És contínua? És derivable?

— Simetries (ja que si és simètrica respecte de l’eix Y o respecte de l’origen de coordenades, n’hi haurà prou amb estudiar-la per a x ≥ 0).

— Periodicitat (si és periòdica, n’hi haurà prou amb estudiar-la en un període).

• Branques infinites

— Quan x → ±∞ De quin tipus són?

— Quan x → a N’hi ha?

• Derivades

— Punts singulars: màxims, mínims relatius o punts d’inflexió.

• Obtenció de punts complementaris

— Punts de tall amb els eixos.

— Altres punts que puguen servir per a perfilar la corba.

Quasi mai serà necessari sotmetre la corba a un estudi tan prolix que requerisca tots aquests elements. Aquesta llista és com el panell en el qual l’artesà posa les seues eines. Poques vegades haurà de usar-les totes per a executar una obra. Però és bo que les tinga a mà i conega com s’usen i quan és oportú fer-ho. Posem a punt totes aquestes eines.

Domini de definició

El domini de definició d’una funció y = f (x) (valors de x per als quals existix la funció) és, en principi, tot Á, llevat que hi haja operacions impossibles o que, expressament, se’ns restringisca. Recordem les principals restriccions:

• Si hi ha denominadors, la funció no està definida on aquests s’anul·len.

• () x n { quan n és parella, només està definida quan φ (x) ≥ 0.

• log φ (x) només està definida quan φ (x) > 0.

• arc sin φ (x) i arc cos φ (x) només estan definides quan –1 ≤ φ (x) ≤ 1.

• tg φ (x) no està definida si φ (x) = k 2 r r + , k ∈ .

1. Branques infinites

2. Màxims i mínims: f ' (x) = 0

3. Punts d’inflexió: f '' (x)= 0

4. Punts de tall amb els eixos: f (x) = 0 y x = 0

Simètrica respecte de l’eix Y

funció parella Simètrica respecte de l’origen, O(0, 0)

imparella

anayaeducacion.es Exercicis per a repassar funcions conegudes.

➜ Dissenya dominis de definició.

Exercici resolt

1 Trobar el domini de definició de les funcions següents:

a) y = arc sin (x + 3)

b) y = ln (3 – x 25 –2 )

a) Ja que arc sin actua sobre valors de l’interval [–1, 1], s’ha de complir:

El domini de definició de y = arc sin (x + 3) és [– 4, –2].

b) Per a poder extraure l’arrel quadrada, ha de ser 25

És a dir, el domini de definició de y

Continuïtat, derivabilitat

Les funcions que usem en aquest nivell són contínues en tot el seu domini de definició, excepte aquelles que es definixen artificialment empalmant trossos. També són derivables, amb algunes excepcions:

Les funcions «arrel» poden tindre tangent vertical (i, per tant, no ser derivables) en els punts en què s’anul·la el radicand.

Per exemple, y = x 4 –2 3 no és derivable en x = –2 ni en x = 2.

El valor absolut sol donar lloc a punts angulosos.

Per exemple, y = | x 2 – 4 | en té en x = –2 i en x = 2.

1 Troba el domini d’aquestes funcions i digues on són contínues i on derivables.

a) y = x 3 – 5x 2 + 7

2 Digues on són contínues i on són derivables les funcions:

D IBUIXAR FUNCIONS CONTÍNUES I DERIVABLES

La continuïtat en un interval permet unir amb un sol traç tots els detalls (punts, branques...) que coneguem de la funció. Si, a més, és derivable, el traç serà suau, és a dir, sense punts angulosos.

Simetries

• Si una funció f verifica que f (x) = f (–x), llavors el seu gràfic és simètric respecte a l’eix Y. La raó és molt senzilla: si el punt (a, b) és del gràfic, f (a) = b i, per tant, f (–a) = b, la qual cosa vol dir que el punt (–a, b) també és del gràfic.

Per exemple: y = xx 5 87 –42 + (representat al costat), y = cos x, y = xx xx 2 5 –3 3 +

• Si una funció verifica que f (–x) = –f (x), llavors el seu gràfic és simètric respecte a l’origen de coordenades, ja que si (a, b) pertany al gràfic de f, aleshores f (a) = b i, per tant, f (–a) = –b, la qual cosa vol dir que (–a, –b) pertany també al gràfic de f. El punt (–a, –b) és el simètric de (a, b) respecte de O (0, 0).

Per exemple: y = x 3 – 3x (representat al costat), y = sin x, y = x xx 2 5 –2 3 + Si sabem que una funció és simètrica, podem construir només mitja corba i, després, dibuixar l’altra part per simetria.

Periodicitat

Saber que una funció és periòdica facilita molt la seua representació. Per a ajudar-te en la detecció de periodicitats, aquí tens algunes propietats. Llig-les atentament i raona-les sobre algun exemple:

Les úniques funcions periòdiques que coneixes són les trigonomètriques.

Si f (x) és periòdica de període T, també ho és f (mx + n), i el seu període és m T

Per exemple, observa els gràfics d’aquestes tres funcions:

RECORDA

En el curs passat vas veure la funció part decimal de x Mant (x) = x – Ent (x)

Mant → Mantissa; Ent → Part entera)

funció és periòdica de període 1.

que semblen periòdiques però no ho són.

3 Troba les simetries i les periodicitats de les funcions següents.

Branques infinites en un punt. Asímptotes verticals

Si lm í xa " f (x) = ±∞ , llavors la recta x = a és una asímptota vertical.

TENEN ASÍMPTOTA VERTICAL

La funció es pot acostar a x = a per l’esquerra o per la dreta i pot tendir a més o menys infinit. Vegem-ne els casos possibles: a a

a a

• Les funcions que són de la forma () () x x z } en els punts en què ϕ(x) = 0 (sempre que la fracció estiga simplificada).

• log φ(x) en els punts en els quals

φ(x) = 0.

• tg φ(x), en els punts en els quals

Si la funció està definida a banda i banda de l’asímptota, estudiem els dos límits laterals:

lm í xa –" f (x) y lm í xa " + f (x)

Exemples:

• y = x x 2 21 –+ té una asímptota vertical en x = 2 ( lm í x 2 " f (x) = ±∞).

Per esbrinar el signe de f (x) en les proximitats de 2, donem a x valors pròxims a 2 («un poc menors» i «un poc majors»).

esquerra: x = 1,99 → f (x) = , , 1992 21 99 1 –·+ = – 498 (negatiu) →

→ lm í x 2 –" f (x) = – ∞

dreta: x = 2,01 → f (x) = , ·, 2012 22 01 1 –+ = 502 (positiu) →

lm í x 2 " + f (x) = +∞

• y = x 5 1 + té una asímptota vertical en x = –5. Però la funció només està definida a la dreta de l’asímptota, i, evidentment, lm í x –5 " + x 5 1 + = +∞

• y = ln (x 2 – 1)

ln (x 2 – 1) → – ∞ si x 2 – 1 → 0+ És a dir, si x → 1+ o x → –1–:

í x –1 –"

(x 2 – 1) = lm í x 1 " + ln (x 2 – 1) = –

4 Troba les asímptotes verticals i situa la corba respecte a aquestes.

φ(x) = 2 r + kπ ➜

Posa asímptotes verticals a discreció.

Tin en compte que en alguns apartats el numerador i el denominador poden tindre arrels comunes.

Branques infinites en l’infinit

• Si ∞ lm í x " + f (x) = l, llavors la recta y = l és asímptota horitzontal quan x → +∞.

La posició de la corba respecte de l’asímptota s’esbrina estudiant el signe de la diferència f (x) – l per a valors grans de x

• Si ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ , ∞ lm í x " + () x fx = m ≠ 0 i ∞ lm í x " + [ f (x) – mx] = n, llavors la recta y = mx + n és una asímptota obliqua quan x → +∞

La posició de la corba respecte de l’asímptota s’esbrina estudiant el signe de f (x) – (mx + n) per a valors grans de x

Atenció! Com saps del curs anterior, en les funcions racionals la localització de les asímptotes obliqües és molt més senzilla (vegeu pàgina 304).

• Si ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ i no hi ha asímptota obliqua, llavors hi pot haver branca parabòlica d’un dels tipus següents:

asímptota horitzontal

tipus 1. Creixement cada vegada més ràpid.

La corba creix, o decreix, cada vegada més de pressa. D’aquest tipus són les branques parabòliques de les funcions polinòmiques i de les exponencials.

tipus 2. Creixement cada vegada més lent.

La corba creix, o decreix, cada vegada més a poc a poc. D’aquest tipus són les funcions radicals i les logarítmiques.

La casuística quan x → – ∞ és anàloga a l’exposada ací.

• La funció y = xx 2 –2 té una asímptota obliqua quan x → +∞ . Trobem-la:

asímptota obliqua branques parabòliques

NOTACIÓ

Anomenam y = mx + n la asímptota.

Hi ha asímptota obliqua per a x → +∞. La seua equació és y = x – 1.

Posició de la corba respecte de l’asímptota:

Per a x = 1 000, xx 2 –2 – (x – 1) val –0,0005.

La corba queda per davall de l’asímptota.

Anàlogament, s’obté l’asímptota y = –x + 1 per a x → – ∞ i es prova que la corba també està per davall.

➜ anayaeducacion.es Obtenció de l’asímptota obliqua de y = x2 –2x quan x → –   ∞

Síntesi: possibles branques infinites quan x → +∞ (*)

5 Troba las branques en l’infinit de les funcions següents:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x x 1 –2 4

c) y = () x x 2 –2 3 d) y = xx 2 –2

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sin x h) y = x – cos x

6 Quin tipus de branques en l’infinit tenen aquestes funcions?

a) y = x 1 1 + b) y = x x 1 3 +

c) y = x x 1 2 + d) y = x x 1 4 +

e) y = e x x 2 f ) y = x 3 2 3 + g) y = x + x h) y =

Punts interessants

punts de tangent horitzontal (singulars o crítics)

• Les abscisses dels punts de tangent horitzontal s’obtenen quan resolem l’equació

f ' (x) = 0.

Una vegada trobades les seues solucions, x1, x2, …, xk , els punts del gràfic corresponents, (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), …, (xk, f (xk)), servixen per marcar les pujades i les baixades de la corba, sempre que f (x) siga derivable en tot el tram en el qual es troben

P UNTS SINGULARS

El coneixement de tots els punts de tangent horitzontal (punts singulars) és crucial per a la representació d’un gràfic.

També és una dada molt important saber que no n’hi ha cap.

• Els màxims i els mínims es manifesten espontàniament en traçar la corba, unint raonablement les branques infinites i els punts de derivada nul·la. Però recordem que també es pot saber si un punt de tangent horitzontal és màxim o mínim recorrent a la segona derivada:

Si f ' (a) = 0 i f '' (a) > 0 ⇒ en (a, f (a)) hi ha un mínim relatiu.

Si f ' (a) = 0 i f '' (a) < 0 ⇒ en (a, f (a)) hi ha un màxim relatiu.

• També es pot esbrinar si un punt de tangent horitzontal és màxim o mínim estudiant el signe de f ’ (x) a l’esquerra i a la dreta.

punts de tall amb els eixos

• Talls amb l’eix X: les seus abscisses són les solucions de l’equació f (x) = 0.

• Tall amb l’eix Y: és el (0, f (0))

punts d’inflexió

Són els punts on la funció passa de còncava a convexa, o viceversa. Es troben entre les arrels de l’equació f '' (x) = 0.

altres punts

A vegades, convé trobar altres punts (a, f (a)) per a precisar la forma de la corba.

P UNTS D’INFLEXIÓ

Els punts d’inflexió matisen la forma de la corba. De vegades, són molt útils.

Pensa i practica

7 Troba els punts singulars i els punts d’inflexió d’aquestes funcions.

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

b) y = ln (x 2 + 1)

8 Troba els punts singulars de:

a) y = 3x 5 – 20x 3

c) y = () x x 2 –2 3

b) y = x x 1 –2 2

d) y = xx 2 –2

➜ Troba els punts de derivada nul·la.

El valor absolut en la representació de funcions

Valor absolut d’una funció

Per a representar y = | f (x) |, representarem la funció y = f (x) i, després, passarem dalt, mitjançant simetria, tot el tros de corba que estiga per davall de l’eix X

Per exemple, per representar y = xx 3 1 21 –3 + , representem y = xx 3 1 21 –3 + i «estirem cap amunt» de l’eix X, per simetria, el que està davall.

operacions amb «valors absoluts»

L’anàlisi de la funció s’ha de fer prestant atenció a les abscisses en què canvia de signe algun dels sumands amb valor absolut

Repàs teóric: valor absolut d’una funció. 1 Representar y = || x 1 1 + L’únic valor absolut que hi intervé

Representació de funcions polinòmiques

Les funcions polinòmiques, y = P (x), són derivables (i, per tant, contínues) en tot Á.

No tenen asímptotes de cap tipus. Tenen branques parabòliques en –∞ i en +∞ Coneixent aquestes dues branques infinites i els punts singulars, es poden representar amb molta precisió. Si es volen perfilar millor, es poden obtindre els punts de tall amb els eixos i els punts d’inflexió.

Poden presentar simetries:

• Si només tenen termes de grau parell, són simètriques respecte de l’eix Y

Per exemple: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Si només tenen termes de grau imparell, són simètriques respecte de l’origen de coordenades.

Per exemple: y = x 5 – 4x 3 + 2x

Per a representar una funció polinòmica y = P (x):

• S’observa si té algun tipus de simetria.

• Es troben les seues dues branques infinites: ∞ lm í x – " f (x), ∞ lm í x " + f (x)

• Es resol l’equació P' (x) = 0.

Les seues solucions, si n’hi ha, són les abscisses dels seus punts singulars. A continuació, se n’obtenen les ordenades.

• Els punts obtinguts s’unixen entre si i amb les branques infinites, tenint cura de no dibuixar més punts singulars que els obtinguts. D’aquesta manera s’esbrina quins són els màxims i mínims relatius

• Si es pot, convé obtindre també els punts d’inflexió i els punts de tall amb els eixos per a aconseguir major precisió en la representació.

Exercicis resolts

1 Representar la funció següent:

f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

RECORDA

És important reconéixer les funcions polinòmiques i saber, a priori, què en podem esperar.

TIN EN COMPTE

Amb els punts singulars i les branques infinites s’aprecia clarament la forma de la corba.

➜ Representa funcions polinòmiques.

➜ anayaeducacion.es Exercicis per a repassar la representació de funcions polinòmiques

Simetries: No és simètrica ni respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades.

Branques infinites: ∞ lm í x – "

Punts singulars: f

5)

" + = +∞

Talls amb els eixos:

Talla l’eix Y en (0, 5) i l’eix X entre –1 i 0, ja que f (–1) = –11 i f (0) = 5.

Punts d’inflexió:

x = 2 → (2, 7)

Amb aquestes dades podem dibuixar la corba.

Exercicis resolts

2 Representar la funció següent:

= 3x 5 – 20x 3

Simetries: Observem que tots els termes són de grau imparell. Per tant, és simètrica respecte de l’origen de coordenades. (Recorda que aquestes funcions es diuen imparelles).

3 Representar la funció:

= x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9

Els punts singulars són (–2, 64), (0, 0) i (2, – 64). Aquestes dades són suficients per a representar el gràfic.

Simetries: No és ni parella ni imparella. Per tant, no és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades. Branques infinites:

Punts singulars:

(x) = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24. Com que és un polinomi de tercer grau, hem de localitzar algunes de les seues arrels temptejant amb els divisors del terme independent (24). A més, com que tots els coeficients són positius, només pot tindre arrels negatives. Provem amb x = –1:

Una arrel és x = –1, i les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació 4x 2 + 20x + 24 = 0.

1 Representa aquestes funcions:

Talls amb els eixos:

Dos dels punts singulars estan en l’eix X Si fem un esbós de la corba, observem que no talla l’eix X en més punts.

L’eix Y el talla en el punt (0, 9).

Representació de funcions racionals

En una funció racional y = P (x)/Q (x) hem de fer especial atenció als valors de x per als quals s’anul·la el denominador: en cada un d’aquests hi ha una asímptota vertical.

La funció és derivable (i, per tant, contínua) en tots els altres punts de Á Depenent dels graus de P (x) i de Q (x), la corba pot tindre asímptota horitzontal, asímptota obliqua o no tindre’n.

Si té asímptota horitzontal o obliqua, és la mateixa per a x → – ∞ i per a x → + ∞ .

Per a representar una funció racional y = f (x) = P (x)/Q (x):

• S’observa si té algun tipus de simetria.

• Es troben les asímptotes verticals: les seues abscisses són les solucions de l’equació Q (x) = 0. S’estudia la posició de la corba respecte de cada una

• S’estudia si té asímptota horitzontal o obliqua:

Si grau de P (x) ≤ grau de Q (x), trobem: ∞ lm í x " + P (x)/Q (x) = l

La recta y = l és una asímptota horitzontal.

Si grau de P (x) = grau de Q (x) + 1 hi ha asímptota obliqua. La seua equació és y = mx + n, sent mx + n el quocient de la divisió P (x) : Q (x).

(Tant si hi ha asímptota horitzontal com obliqua, s’estudia la posició de la corba respecte d’aquesta per a x → – ∞ i per a x → + ∞).

Si grau de P (x) > grau de Q (x) + 1 hi ha branques parabòliques.

• S’esbrinen els punts singulars. Les seues abscisses són les solucions de l’equació f ' (x) = 0.

• Es poden obtindre, si es desitja, altres punts com els de tall amb els eixos, valors de x per als quals f (x) = 0; i (0, f (0)). I, potser també, els punts d’inflexió, f '' (x) = 0.

ATENCIÓ

Suposem que els polinomis P (x) i Q (x) no tenen arrels comunes.

En les funcions racionals, coneixent les asímptotes i la posició de la corba respecte d’aquestes, podem fer un esbós en el qual s’aprecie clarament la forma de la corba.

➜ Obtín les asímptotes.

➜ anayaeducacion.es Exercicis per a repassar la representació de funcions racionals.

Exercicis resolts

1 Representar la funció següent:

f (x) = x x 1 –2 4

Simetries: f (–x) = f (x). Per tant, és simètrica respecte de l’eix Y.

Asímptotes verticals: x 2 – 1 = 0 ⇔ x = –1, x = 1

Posició respecte de l’asímptota x = 1:

f (0,99) = – 48, …

f (1,01) = 51, … → lm í x 1 " + f (x) = + ∞

Per simetria, es deduïx la posició respecte de l’asímptota x = –1.

Branques infinites en l’infinit: No té asímptota horitzontal ni obliqua, ja que: grau P (x) = grau Q (x) + 2

Com que ∞ lm í x " + f (x) = ∞ lm í x – " f (x) = +∞, té dues branques parabòliques.

1 –1

Simetries: No és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen.

verticals: N’hi ha una en x = 2.

Representació d’altres tipus de funcions

Si la funció que ens proposem representar no és polinòmica ni racional, hem de procedir analitzant sistemàticament els aspectes que descrivim al principi de la unitat. Així i tot, tindrem en compte les característiques d’algunes funcions elementals:

• En les funcions amb radicals, hem de tindre cura del domini. Poden tindre asímptotes per a x → + ∞ i x → – ∞, però solen ser diferents.

• Les funcions exponencials solen tindre una asímptota horitzontal i una branca parabòlica.

• Les funcions logarítmiques solen tindre una asímptota vertical i una branca infinita que creix extremadament a poc a poc.

• Les funcions trigonomètriques és molt probable que siguen periòdiques.

1 Representar la funció següent: f (x) = xx 2 –2

• f (–x) = () ·( )xx xx22 –22=+ no es igual a f (x) ni a –f (x).

Per tant, no és simètrica respecte de l’eix Y ni l’origen de coordenades.

bien x = 2

Si x ∈ (0, 2), x 2 – 2x < 0; és a dir, el radicand és negatiu. Per tant, no està definida en (0, 2).

Domini de definició: (– ∞, 0] ∪ [2, + ∞)

La corba és derivable en (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞).

• Ja hem vist (pàg. 306) que té asímptotes per a x → +∞ i x → – ∞ i la posició de la corba respecte a aquestes.

• Punts singulars:

f ' (x) = xx x xx x 22 22 2 1 ––––22 =

S’anul·la en x = 1, però ací la funció no està definida. Per tant, no té punts singulars.

Sabem que la corba passa per (0, 0) i (2, 0).

Una altra forma de localitzar les dues asímptotes obliqües: () ≈( )| | xx xx xx x 22 11 11 11 –22 22 =+ ==

Veiem d’aquesta manera que f (x) = xx 2 –2 , per a valors grans de | x | s’aproxima a y = | x – 1 |. A més és «una mica menor», ja que es resta 1 en el radicand.

Això es concreta així:

Quan x → – ∞ , y = f (x) ≈ y = –x + 1

Quan x → +∞ , y = f (x) ≈ y = x – 1

La corba s’aproxima a les asímptotes per baix.

Exercicis resolts

2 Representar la funció següent:

= ln (x 2 + 1)

• És simètrica respecte a l’eix Y, ja que f (x) = f (–x).

• Com que x 2 + 1 és sempre positiu, està definida i és derivable en tot Á. A més, f (x) és sempre positiu, ja que x 2 + 1 ≥ 1.

Per tant, no té asímptota de cap tipus.

3 Representar la funció següent:

= 2 1 sin 2x + sin x

El període de sin x es 2π i el de sin 2x, eés π. Per tant, la funció és periòdica de període 2π. L’estudiem només en l’interval [0, 2π].

• És derivable en tot Á (és suma de funcions derivables). •

Els punts singulars són ;, ,; ,, (, )

• Punts de tall amb els eixos: (0, 0), (π, 0)

• Punts d’inflexió:

A partir d’ací, s’estén periòdicament en tot Á

Exercicis

4 Representar la funció següent:

f (x) = x e x

5 Representar la funció següent:

f (x) = (ln x) 2

• No és simétrica.

• Asímptota vertical en x = 0: lm í x 0 " + f (x) = +∞ , lm í x 0 –" f (x) = – ∞

• Branca infinita quan x → + ∞:

∞

lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x " + () x fx = +∞ . És una branca parabòlica. Branca infinita quan x → – ∞:

∞ lm í x – " f (x) = 0 prenent valors negatius

y = 0 és una asímptota horitzontal. La corba queda per davall.

• f ' (x) = () x xe e x ex 1 –– xx x 22 =

f ' (x) = 0 ⇔ x = 1

f (1) = e. Té un punt singular: (1, e).

Recordem el gràfic de y = ln x per a inspirar-nos-hi.

• Ja que ln x està definit en (0, +∞), D = (0, +∞) és el domini de definició de y = (ln x)2

En aquest la funció és contínua i, segurament, també és derivable.

• Branques infinites: L’asímptota vertical de y = ln x també ho és d’aquesta funció, solament que en elevar al quadrat prendrà valors positius: lm í x 0 " + (ln x)2 = +∞

Quan x → +∞, té una branca parabòlica

• Punts singulars:

f ' (x) = 2ln x · ln xx x 1 2 = , f ' (x) = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1

• Representació:

f (1) = (ln 1)2 = 0. Per tant, el punt (1, 0) és de tangent horitzontal. Ja que (ln x)2 ≥ 0 en el seu domini, llavors en (1, 0) hi ha un mínim

• Punts d’inflexió:

f '' (x) = 2 ln x x 1–2

f '' (x) = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e

f (e) = (ln e)2 = 1. Punt d’inflexió en (e, 1)

• Representació:

1 Representa: a) y = xx 2 2 + b) y = x 9 –2 c) y = ln (x 2 + 4) d) y = ln (x 2 – 1) e) y = ln x x f

Exercicis i problemes resolts

1. De l’estudi al gràfic (simetries, asímptotes horitzontals, obliqües i verticals)

Representar y = f (x) en cada cas:

a) I. Dom f = Á – {0} i f és derivable en tot el seu domini.

II. ∞ lm í x – " f (x) = 0 +; ∞ lm í x " + f (x) = 0 –

lm í x0 – " f (x) = + ∞; lm í x0 " + f (x) = +∞

III. f (1) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 2;

f (2) = –1; f '' (2) > 0

b) I. Dom f = Á – {–1, 1} i f és derivable en tot el seu domini.

II. La funció és parella.

Informació de f (x) quan x ≥ 0:

III. ∞ lm í x " + f (x) = + ∞; ∞ lm í x " + () x fx = 1

∞ lm í x " + [ f (x) – x] = –2–;

lm í x1 –" f (x) = + ∞; lm í x1 + " f (x) = – ∞

IV. f (3/4) = 0; f (3) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 0;

f (0) = –1; f '' (0) > 0

FES-HO TU

Representa y = f (x):

Dom f = Á – {–2, 2}; funció imparella.

lm í x " + f (x) = – ∞; ∞ lm í x " + () x fx = –1

∞

lm í x " + [ f (x) – (–1) · x] = –1+

∞

lm í x 2 –" f (x) = + ∞; lm í x 2 " + f (x) = +∞

f (3) = 0; f ' (x) = 0 ⇔ x = 0; f (0) = 0

2. Descripció d’un gràfic

Descriure el següent gràfic d’una funció:

a) I. Com que és derivable en tot el seu domini, Á – {0}, és contínua i no té punts angulosos.

II. Quan x → – ∞ hi ha una asímptota horitzontal, y = 0, a la qual la funció s’acosta per damunt.

En x = 0 hi ha una asímptota vertical. Tant a la seua esquerra com a la seua dreta, el gràfic tendix a + ∞ . Quan x → + ∞ està la mateixa asímptota horitzontal, y = 0, a la qual la funció s’acosta per davall.

III. f (1) = 0 vol dir que talla l’eix X en x = 1. L’equivalència f ' (x) = 0 ⇔ x = 2 significa no solament que hi ha un punt de tangent horitzontal en x = 2, sinó que és l’únic. Com que f (2) = –1, està en (2, –1) i com que f '' (2) > 0, és un mínim. Tracem la corba.

b) I. La funció és contínua i no té punts angulosos en Á – {–1, 1}.

II. Que la funció siga parella vol dir que és simètrica respecte a l’eix Y. A partir d’ací, obtenim la informació només per a x > 0 i en tracem, després, la simètrica.

III. Els límits mostren: quan x → + ∞ una asímptota obliqua, y = x – 2, a la qual la corba s’acosta per davall; i en x = 1 una asímptota vertical a la qual la corba tendix a + ∞ per l’esquerra i a – ∞ per la dreta.

IV. L’equivalència f ' (x) = 0 ⇔ x = 0 vol dir que x = 0 és l’únic punt de derivada zero. Com que, a més, f '' (0) > 0, es tracta d’un mínim relatiu.

Tracem, a partir d’aquesta informació, un esbós del gràfic de la funció.

Representem, primer, la funció per a x ≥ 0, i després, per simetria respecte a l’eix Y, la funció completa.

• Dom f = Á – {–2, 2}

• És imparella. És a dir, simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• x = –2

• f ' (x) > 0 en tot el seu domini, és a dir, és creixent, no té màxims ni mínims.

• f '' (x) = 0 ⇔ x = 0; a més, f (0) = 0. Té un punt d’inflexió en (0, 0).

Exercicis i problemes resolts

3. Representació d’una funció racional amb asímptotes obliqües

Estudiar el domini, les asímptotes i els punts singulars d’aquesta funció:

f (x) = x 42x –2

Representar-ne el gràfic.

• Està definida en Á – {0} i és contínua en tot el seu domini. La seua expressió sembla indicar que serà derivable en tot el domini.

• Simetria: f (–x) = () x x x x 42 42 –––2 2 = = –f (x)

És simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• Asímptota vertical: x = 0

• Asímptota obliqua: y = –2x

L’obtenim efectuant el quocient: x x42 –2 = –2x + x 4

• Punts singulars: a partir de l’esbós de la corba que hem fet amb les asímptotes, ens quedem amb la impressió que no tindrà ni màxims ni mínims. Ho comprovem estudiant la derivada:

FES-HO TU

Representa la funció següent: f (x) = () ()xx x 21 2 3

4. Representació d’una funció racional amb branques parabòliques

Estudiar el domini de definició, les asímptotes i els intervals de creixement i de decreixement, màxims i mínims de la funció: f (x) = () x x 31 3 + Després, representar-la.

• Domini de definició: Á – {–1}. No té simetries

• Asímptota vertical: x = –1

•

FES-HO TU

Estudia el domini, les asímptotes, els intervals de creixement i de decreixement, els màxims i els mínims per a representar aquesta funció:

f (x) = () x x 1 –2 3

5. Funció amb valor absolut

Dibuixar la gràfica d’aquesta funció:

= | x + 3 | + | x – 1 | – | 2x + 4 |

Indicar abans la funció a trossos corresponent.

Expressem cada un dels valors absoluts com a funció definida a

6. Funció logarítmica

Representar el gràfic d’aquesta funció:

(x) = ln x x 1 3

• La funció està definida si x x 1 3 –– > 0. Domini: (–∞, 1) ∪ (3, +∞).

• Comportament de la funció en les proximitats de x = 1 i x = 3: Si

• Les rectes x = 1 i x = 3 són asímptotes verticals.

• y = 0 és una asímptota horitzontal, ja que:

FES-HO TU

Representa aquesta funció sabent que per a x ≥ 0, f ' (x) només s’anul·la en x = 1,98:

Exercicis i problemes resolts

7. Estudi i gràfic d’altres funcions

a) Estudiar i representar la funció següent: y =

b) Estudiar i representar aquesta funció: y =

Representa les funcions següents: a)

8. Funcions trigonomètriques

a) Representar la funció següent: y = cos 2x – cos x

a) Domini: Á. És contínua i derivable. Periodicitat: 2π. Funció parella.

•

•

b) Representar la funció següent: y = snix 1 r

•

x = 0 → sin x (– 4cos x + 1) = 0 →

→ * sin x = 0 → x = 0 + kπ –4cos x + 1 = 0 → cos x = 1/4 → x ≈ 1,32 + 2kπ; x ≈ 4,96 +2kπ k ∈

Estudiem el signe de y '' = – 4cos 2x + cos x en aquests punts:

y'' < 0 en x = 0 + kπ → màxims: (0 + 2kπ, 0), (π + 2kπ, 2) amb k ∈

y'' > 0 en x = 1,32 + 2kπ y en x = 4,96 + 2kπ →

→ mínims: (1,32 + 2kπ; –1,12), (4,96 + 2kπ; –1,12) amb k

b) Domini: Á – {k}, amb k ∈ . És contínua i derivable. Periodicitat: 2. Imparella.

• No talla els eixos.

• Asímptotes verticals: x = k amb k ∈ .

Posició de la corba respecte a l’asímptota:

lm í xk –" y = – ∞ lm í xk " + y = + ∞, si k és parella

lm í xk –" y = + ∞ lm í xk " + y = – ∞, si k és imparella

• Màxims i mínims: y' = –() sn cos ix x 2 r rr = 0 → x = 1/2 + k amb k ∈

Estudiem ara el signe de y'' = sn coss n i i x xx 2 3 22 22 r rr rr + .

El numerador és sempre positiu. El denominador és positiu per als intervals (2k, 1 + 2k) i negatiu per a (1 + 2k, 2 + 2k), amb k ∈ . Per tant:

y'' > 0 en x = 1/2 + 2k → mínims: (1/2 + 2k, 1) amb k ∈ .

y'' < 0 en x = 3/2 + 2k → màxims: (3/2 + 2k, –1) amb k ∈

FES-HO TU

Representa les funcions següents:

a) y = 2sin x + cos 2x

b) y = cosx 1 r

Exercicis i problemes guiats

Descriure el gràfic següent donant els elements necessaris perquè un company el puga representar a partir de la descripció.

• Indica on està definida la funció i referix-te a la continuïtat i la derivabilitat.

• Descriu, mitjançant un límit, l’asímptota horitzontal, i la posició de la corba respecte a aquesta.

• Descriu, mitjançant límits, l’asímptota vertical i la posició de la corba tant a l’esquerra com a la dreta.

• Descriu l’asímptota obliqua mitjançant límits. Referix en un d’aquests la posició de la corba respecte a l’asímptota.

• Descriu la condició per la qual s’obtenen els punts singulars. Afegix condicions per a saber quins són màxims i mínims.

• Completa la informació dels punts singulars amb les seues ordenades.

Solució: Dom f = Á – {1}; derivable en tot el seu domini.

Asímptota horizontal para x → – ∞: y = 4. Asímptota vertical: x = 1. Asímptota obliqua per x → + ∞: y = x – 2. Màxim relatiu en (3, 2). Mínims relatius en (–1, –1) i (5, –2). Talls amb els eixos en (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) i (6, 0).

Representar la funció següent:

Estudia si és simètrica. Indica el seu Solució: momini de definició i si és derivable en tot aquest.

Troba els elements necessaris per a la seua representació: asímptotes, punts singulars, etc.

Calcular els paràmetres a, b, c i d perquè la corba de f tinga dos extrems relatius en (1, 0) i (0, 1).

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Representar la funció.

• Amb l’expressió de la funció, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, i les dades que tenim, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 i f ' (1) = 0, formem un sistema de 4 incògnites i 4 equacions.

• Resol-ho i representa la funció.

Calcular el valor del paràmetre k perquè la funció:

f (x) = xx xk 41 2 + ++

tinga y = 4x + 5 com a asímptota obliqua.

Representar la funció.

Per a trobar l’equació de l’asímptota obliqua, fes aquesta divisió:

(4x 2 + x + 1) : (x + k)

Calcula el valor de k que fa que el quocient coincidisca amb l’equació de l’asímptota, y = 4x + 5.

Representa la funció.

Solució:

1. Descripció d’un gràfic

2. Representació d’una funció logarítmica amb valor absolut

3. Funció polinòmica amb paràmetres

4. Funció racional amb paràmetres

Exercicis i problemes proposats

Per a practicar

Descripció d’un gràfic

1 Representa una funció contínua i derivable en Á tal que:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ ∞ lm í x – " f (x) = – ∞

f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 per a qualsevol x, f ' (2) = 0

2 D’una funció y = f (x) tenim la informació següent:

D = Á – {1, 4}

lm í x 1 –" f (x) = +∞ lm í x 1 " + f (x) = – ∞

lm í x 4 –" f (x) = – ∞ lm í x 4 " + f (x) = +∞

∞ lm í x ± " f (x) = 0

si x → +∞ , f (x) > 0 si x → – ∞ , f (x) < 0

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Representa-la.

3 Dibuixa el gràfic d’una funció contínua i derivable en Á de la qual es coneixen les dades següents:

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

4 Descriu les funcions següents indicant-ne el domini, les simetries (si en tenen), les asímptotes i les branques infinites, els punts singulars i els intervals de creixement i de decreixement. Fes-ho donant valors de la funció, de la seua derivada i de certs límits.

Característiques de les funcions

6 Indica el domini de cada una de les funcions següents:

a) y =  xx25 –42 + b) y = 3 –  x x 1 2 +

c) y =  xx34 –2 ++ d) y =  x 321 1 –

e) y = ln (4 –  x ) f) y =  () ln x 1 9– 2

g) y =  tg x 1 h ) y =  tg x 1 1 –2

7 Estudia la simetria de les funcions següents:

a) y = x 2 + 1 b) y =  x x 3 –2 c) y = tg πx

d) y = e | x | e) y =  || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

8 Determina el període de cada una d’aquestes funcions:

a) y = sin 3x b) y = sin 2πx

c) y = tg πx d) y = sin x + cos 2x

e) y = cos x 2 r bl  · sin x f ) y = sin (x 2 + 1)

9 Troba les asímptotes verticals d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte a aquestes:

1

cos x 2

10 Troba les asímptotes horitzontals i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes.

5 Descriu la funció següent:

2 2

a) y =  x x 2 1 –2 + b) y =  x x 2 3 1 ––

c) y =  x x 2 1–2 + d) y =  e e 2 3–|| x

x 1 –

11 Troba les asímptotes obliqües d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes:

a) y =  x xx32 –2 + b) y =  x x x 23 52 –2 + +

c) y =  (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y =  x 35 2 +

Exercicis i problemes proposats

Funcions polinòmiques

12 Estudia i representa les funcions següents:

a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5

c) y =  x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y =  xx 64 5–45

e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x

g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Estudia les branques infinites, intervals de creixement i de decreixement, màxims, mínims i punts d’inflexió de les funcions següents. Representa-les gràficament:

a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4

c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Representa les funcions següents:

a) y = x 2  – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1

c) y = x 3  – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funcions racionals

15 En les funcions següents, estudia’n el domini, les asímptotes i la posició de la corba respecte d’aquestes, i representa-les a partir dels resultats obtinguts: a) y =

Funcions amb valor absolut i funcions a trossos

18 Representa aquesta funció:

si si *

*

16 Representa aquestes funcions estudiant-ne prèviament el domini, les asímptotes, les branques infinites i els extrems relatius.

a) y =  () ()xx13 1 b) y =  () () () xx x x 34 1 ––+

17 Representa les funcions racionals següents:

Recorda que si se simplifica una fracció dividint numerador i denominador per (x – a), hi ha una discontinuïtat evitable en x = a

0 0 –

x x 1 1 1

< 2 + +

Estudia’n els intervals de creixement i de decreixement, els extrems relatius i la curvatura.

21 Dibuixa el gràfic de les funcions següents i indica en quins punts no són derivables:

a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 |

c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 Considera la funció f (x) = x 2 | x – 3 |:

a) Troba els punts on f no és derivable.

b) Calcula els màxims i mínims.

c) Representa-la gràficament.

23 Representa gràficament cada una de les funcions següents:

a) y =  || x 2 1 –b) y =  || x x 1 2 2 +

c) y =  || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3  – x 2 + 2|

Altres tipus de funcions

24 Estudia i representa les funcions següents:

a) y =  x 4– 2 3 b) y =  xx –2

c) y =  xx45 –2 + d) y =  x x 1 –2 2

25 Estudia i representa les funcions següents:

a) y =  e x x b) y =  ln x x

c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x

e) y =  e x–2 f ) y = x 2 e –x

g) y =  ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Estudia i representa les funcions següents:

a) y = sin x + cos x b) y = 2sin x – cos 2x

c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sin πx + 2

e) y = sin πx – 2 f ) y = tg πx + cos 2πx

Per a resoldre

27 Estudia el domini de definició, les asímptotes i els extrems de cada una d’aquestes funcions i, amb aquesta informació, relaciona-les amb els gràfics respectius:

32 La recta y = 2x + 6 és una asímptota obliqua de la funció:

f (x) =  xk x 21 –2 +

Troba el valor de k i representa la funció obtinguda així.

33 Siga la funció f (x) = x 2  · e –ax amb a ≠ 0.

a) Calcula el valor de a perquè aquesta funció tinga un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2.

b) Classifica els extrems relatius quan a = 2.

34 Donada la funció: f (x) = ax + b +  x 8 calcula a i b perquè el gràfic de f passe pel punt (–2, – 6) i tinga, en aquest punt, tangent horitzontal. Per a aquests valors de a i de b, representa la funció.

35 Troba els valors de a, b i c per als quals la funció:

f (x) =  x ax bx c 4 –2 2 ++

té com a asímptota horitzontal la recta y = –1 i un mínim en el punt (0, 1).

36 Una partícula es mou al llarg del gràfic de la corba d’equació y =  x x 1 2 –2 per a x > 1.

En el punt P (2, –4/3) la deixa i es desplaça al llarg de la recta tangent a aquesta corba

a) Troba la funció a trossos que en descriu la trajectòria.

b) Si el desplaçament és d’esquerra a dreta, troba el punt en el qual la partícula talla l’eix X.

28 Recorda que el sinus hiperbòlic i el cosinus hiperbòlic es definien així:

ee

Etudia els màxims, els mínims i els punts d’inflexió d’aquestes funcions i representa-les gràficament.

29 Determina les asímptotes de les funcions següents:

a) y =  x x 3 1– b) y =  x xx 1 2 ++

30 Fes un estudi i representa cada una de les funcions següents:

a) y =  ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y =  e e 1 1 –x x +

c) y =  ln x x 1 + bl d) y =  xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Calcula el valor de a, b i c, sabent que aquesta funció és del tipus y = a + b cos c xr bl

37 La concentració (en %) de nitrogen d’un compost ve donada, en funció del temps t ∈ [0, +∞) mesurat en segons, per la funció:

N (t ) =  e12 60 t–+

a) Comprova que la concentració de nitrogen creix amb el temps. Per a quin t la concentració de nitrogen és mínima i quina és aquesta concentració?

b) A quin valor tendix la concentració de nitrogen quan el temps tendix a infinit?

38 El benefici d’una empresa, en centenars de milers d’euros, amb el pas del temps, t (en anys), durant els 5 últims anys, ve donat per aquesta funció:

b (t) =  () si [, ] si (, ] t t t t

2 6 2 3 03 35 ––2 ! ! *

a) Indica quan ha crescut el benefici i determina en quins moments hi va haver màxims i mínims locals i quins en van ser els valors corresponents.

b) Quan va tindre un benefici de 500 000 €?

c) Representa la funció b(t).

Exercicis i problemes proposats

Qüestions teòriques

39 Què podem dir del grau d’una funció polinòmica amb dos màxims i dos mínims relatius? En aquesta funció, pot estar un dels mínims més alt que els màxims?

40 Una funció f (x) té les característiques següents:

Dom f =  Á – {0} i és contínua i derivable en tot el seu domini.

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

lm í x 0 –" f (x) = +∞ lm í x 0 " + f (x) = – ∞

Indica quines de les afirmacions següents són segures, quines són probables i quines són impossibles:

a) f (x) és parella.

b) f (x) és imparella

c) No té màxims ni mínims.

d) Té un màxim i un mínim.

e) Talla l’eix X en dos punts.

f ) Talla l’eix X almenys en dos punts.

g) Té, almenys, una asímptota vertical.

h) Té només una asímptota vertical.

i) Té una asímptota obliqua.

j) És còncava en x < 0 i convexa en x > 0.

41 Quants punts d’inflexió pot tindre, com a màxim, una funció polinòmica de quart grau?

42 Comprova que y =  || x x 1 + té dues asímptotes horitzontals.

43 Sobre el gràfic de y = | x 2 – 4 | indica els intervals de concavitat, de convexitat i els seus punts d’inflexió

44 y =  x x 1 1 –2 + no està definida en x = 1 ni en x = –1; però, té només una asímptota vertical. Justifica-ho

45 Quantes asímptotes verticals pot tindre una funció? I horitzontals?

46 Dóna un exemple d’una funció que tinga un mínim en x = 1 i que no siga derivable en aquest punt. Representa-la.

47 Dóna un exemple d’una funció derivable en x = 1 amb f ' (1) = 0 que no tinga màxim ni mínim en aquest punt.

48 Si és possible, dibuixa una funció contínua en l’interval [0, 4] que tinga, almenys, un màxim relatiu en (2, 3) i un mínim relatiu en (3, 4). Si la funció fóra polinòmica, quin hauria de ser, com a mínim el seu grau?

49 Té f (x) = x + e –x alguna asímptota? Si és així, troba-la.

50 Quin tipus de simetria tenen les funcions següents?

quin gràfic correspon a aquestes altres:

Per a aprofundir

54 Encara que la paraula asímptota l’hem aplicada a rectes que s’aproximen a un gràfic, té un significat més ampli: es diu que dues corbes són asimptòtiques quan, en allunyar-se de l’origen, la distància entre aquestes tendix a zero.

Per exemple, la paràbola y = x 2 + 1 és asimptòtica a la funció y =  x x 1 –2 4 (revisa’n el gràfic en la pàgina 313), ja que y =  x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + i, a més, x 1 1 –2 tendix a 0 quan x → ± ∞ pren valors positius, de manera que el gràfic de y = f (x) queda per damunt de la paràbola

Aquest resultat permet representar la funció de forma més precisa recolzant-nos en la representació de la paràbola:

paràbola asimptótica

rectes asimptótiques

55 Estudia la posició relativa entre aquestes corbes i les seues paràboles asimptòtiques. Representa la informació obtinguda:

56 En l’Exercici resolt 1 de l’apartat 11.5, vam veure un procediment senzill per a calcular les asímptotes de la funció y =  xx 2 –2 mitjançant els passos següents:

() || xx xx21 –≈11 –22 =

de manera similar, les asímptotes d’aquestes funcions:

Indica la posició de cada corba respecte de les asímptotes.

57 Si una funció, f, és periòdica, també ho és g [ f (x)] qualsevol que siga g (x), ja que si f és periòdica de període

T, aleshores f (x + kT ) = f (x). Per tant: g [f (x + kT )] = g [f (x)], és a dir g ° f és periòdica

No obstant això, en general, f [g (x)] no és periòdica, ja que f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] perquè g(x + kT) ≠ g(x).

Segons aquestes afirmacions, indica quines de les funcions següents són o no periòdiques.

a) Troba la paràbola asimptòtica a y =  x xx x 28 –32 ++

Determina la posició de la corba respecte d’aquesta.

b) Representa la funció usant aquestes dades, així com la asímptota vertical i el punt singular (únic, en x = 2).

1 Dibuixa la gràfica d’una funció f de la qual sabem:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x – " f (x) = –3, lm í x –3 " f (x) = – ∞

f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Descriu les funcions següents:

y= x

3 Dibuixa una funció contínua en Á que tinga un mínim relatiu en (1, 6) i un màxim relatiu en (6, 2). Si és un polinomi, quin serà, com a mínim, el seu grau?

a) y = 2sin x b) y = sin2 x c) y = sin x2

d) y =  snix e) y = sin x f ) y = sin 2x

* Recorda que si una funció f és periòdica de període T, aleshores també és periòdica f(mx + n), i el seu període és T/m.

4 Representa les funcions següents:

5 Representa aquestes funcions:

() x e 1 x

2 +

6 Calcula els punts de tall amb els eixos i els punts singulars de la funció y = ln (–x 2 + 1). Determina els intervals de creixement i de decreixement i esbossa el gràfic.

7 Troba els màxims i els mínims de f (x) = x x 3 + Indica si té asímptotes i representa-la gràficament:

8 Estudia aquestes funcions i representa-les gràficament.

a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sin 2x + 2cos x

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjuís, per a aquells qui reproduïren, plagiaren, distribuïren o comunicaren públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seua transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.