Operació món: Matemàtiques II 2 Batxillerat. Illes Balears (demo)

IllesBal ears

MATEMÀTIQUES

II BATXILLERAT 2

món

José Colera J., M.ª José Oliveira G., Ramón Colera C., Rosario García P., Ana Aicardo B.

B reu història de les matemàtiques

0 R esolució de problemes

• Anàlisi d’algunes estratègies

• La demostració matemàtica

• Mètode de reducció a l’absurd

• El mètode d’inducció completa

• Principi del colomer

Problemes per practicar

BLOC I. Àlgebra

1 S istemes d’equacions.

Mètode de Gauss

1. Sistemes d’equacions lineals

2. Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

3. Sistemes escalonats

4. Mètode de Gauss

5. Discussió de sistemes d’equacions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

2 À lgebra

1. Nomenclatura. Definicions

2. Operacions amb matrius

3. Propietats de les operacions amb matrius

4. Matrius quadrades

5. Relacions lineals entre les files d’una matriu

6. Rang d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

3 D eterminants

1. Determinants d’ordre dos

2. Determinants d’ordre tres

3. Determinants de qualsevol ordre

4. Menor complementari i adjunt

5. Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una línia

6. Mètode per calcular determinants de qualsevol ordre

7. El rang d’una matriu a partir dels seus menors

8. Un altre mètode per obtenir la inversa d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

4 Reso lució de sistemes mitjançant determinants

1. Teorema de Rouché

2. Regla de Cramer

3. Aplicació de la regla de Cramer a qualsevol sistema

4. Sistemes homogenis

5. Discussió de sistemes mitjançant determinants

6. Forma matricial d’un sistema d’equacions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc I

Autoavaluació del bloc I

BLOC II. GEOMETRIA

5 Vectors a l’espai

1. Operacions amb vectors

2. Expressió analítica d’un vector. Coordenades

3. Producte escalar de vectors

4. Producte vectorial

5. Producte mixt de tres vectors

Exercicis i problemes

Autoavaluació

6 Punts, rectes i plans a l’espai

1. Sistema de referència a l’espai

2. Aplicacions dels vectors a problemes geomètrics

3. Equacions de la recta

4. Posicions relatives de dues rectes

5. Equacions del pla

6. Formes de determinar un pla

7. Posicions relatives de plans i rectes

8. El llenguatge de les equacions: variables, paràmetres...

Exercicis i problemes

Autoavaluació

7 Problemes mètrics

1. Mesura d’angles entre rectes i plans

2. Distàncies entre punts, rectes i plans

3. Mesures d’àrees i volums

4. Llocs geomètrics a l’espai

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc II

Autoavaluació del bloc II

Els sabers bàsics del curs

BLOC III. Anàlisi

8 L ímits de funcions. Continuïtat

1. Idea gràfica dels límits de funcions

2. Un poc de teoria: aprenem a definir els límits

3. Operacions senzilles amb límits

4. Indeterminacions

5. Comparació d’infinits

6. Càlcul de límits quan x → +∞

7. Càlcul de límits quan x → –∞

8. Límit d’una funció en un punt. Continuïtat

9. Càlcul de límits quan x → c

10. Una eina potent per al càlcul de límits

11. Continuïtat en un interval

Exercicis i problemes

Autoavaluació

9 Derivades

1. Derivada d’una funció en un punt

2. Funció derivada

3. Regles de derivació

4. Derivada d’una funció coneixent la de la seva inversa

5. Derivada d’una funció implícita

6. Derivació logarítmica

7. Obtenció raonada de les fórmules de derivació

8. Diferencial d’una funció Exercicis i problemes

Autoavaluació

10 Aplicacions de les derivades

1. Recta tangent a una corba

2. Creixement i decreixement d’una funció en un punt

3. Màxims i mínims relatius d’una funció

4. Informació extreta de la segona derivada

5. Optimització de funcions

6. Dos teoremes importants

7. Aplicacions teòriques del teorema del valor mitjà

Exercicis i problemes

Autoavaluació

11 Representació de funcions

1. Elements fonamentals per a la construcció de corbes

2. El valor absolut en la representació de funcions

3. Representació de funcions polinòmiques

4. Representació de funcions racionals

5. Representació d’altres tipus de funcions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

12 Càlcul de primitives

1. Primitives. Regles bàsiques per al càlcul

2. Expressió composta d’integrals immediates

3. Integració «per parts»

4. Integració de funcions racionals

Exercicis i problemes

Autoavaluació

13 L a integral definida

1. Àrea davall d’una corba

2. Una condició perquè una funció sigui integrable en [a, b]

3. Propietats de la integral

4. La integral i la seva relació amb la derivada

5. Regla de Barrow

6. Càlcul d’àrees mitjançant integrals

7. Volum d’un cos de revolució Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc III

Autoavaluació del bloc III

BLOC IV. Probabilitat

14 At zar i probabilitat

1. Experiències aleatòries. Esdeveniments

2. Freqüència i probabilitat

3. Llei de Laplace

4. Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents

5. Proves compostes

6. Probabilitat total

7. Probabilitats «a posteriori». Fórmula de Bayes Exercicis i problemes Autoavaluació

15 Di stribucions de probabilitat

1. Distribucions estadístiques

2. Distribucions de probabilitat de variable discreta

3. La distribució binomial

4. Distribucions de probabilitat de variable contínua

5. La distribució normal

6. La distribució binomial s’aproxima a la normal Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc IV

Autoavaluació del bloc IV

Solucions a les autoavaluacions

Aplicacions de les derivades

Cercant l’optimització

L’obtenció de la tangent a una corba en un dels seus punts i el càlcul de la velocitat instantània d’un mòbil són problemes històrics que varen donar lloc, en un moment determinat, a la noció de derivada. No obstant això, varen ser els problemes d’optimització els que varen aportar un impuls més gran a la recerca d’una teoria que donàs generalitat a tots els problemes particulars que s’havien plantejat.

La ciència, la tècnica, les mateixes matemàtiques i, fins i tot, la vida quotidiana estan plenes de problemes d’optimització (màxims i mínims). Moltes qüestions importants es plantegen d’aquesta manera: «què és òptim en aquestes circumstàncies». Molts dels problemes de màxims i mínims ja varen ser abordats pels grecs, com, per exemple, el camí que recorre la llum per arribar d’un punt a un altre mitjançant reflexió (Heró, segle i dC). Abans de la invenció del càlcul diferencial, cadascun d’aquests problemes s’abordava mitjançant un procediment específic, no generalitzable als altres. Actualment molts d’aquests problemes són simples aplicacions de les derivades.

Una bona notació

Tenir una bona notació per designar simbòlicament de forma adequada els conceptes matemàtics és enormement important. Newton anotava amb un punt damunt, y., la derivada de la funció, fet que diu molt poc sobre què és la derivada. Leibniz en canvi va idear la notació dx dy , que en representa molt adequadament el significat.

Al començament del segle xviii es va originar una disputa vehement entre les illes Britàniques i el continent sobre si havia estat Leibniz (continental) o Newton (anglès) el primer que havia inventat el càlcul infinitesimal. Tant es varen agrir els ànims que els matemàtics britànics es varen aferrar durant tot el segle xviii no només als ensenyaments de Newton, sinó també a la seva notació poc afortunada. Es diu que la conseqüència d’aquest entestament va ser un endarreriment de 50 anys per a la matemàtica britànica.

El gran mestre de la bona notació va ser Euler. A ell és deguda gairebé tota la que avui usam en la nostra matemàtica. Va ser Euler qui va consagrar la notació de Leibniz per a la derivada i la integral, i moltes altres que varen quedar avalades per la seva autoritat i per la correspondència amb el que volien representar.

Johann Bernoulli i el Marquès de L’Hôpital

El pare dels germans Bernoulli, Jakob i Johann, creia saber bé el que els agradava a cadascun dels seus fills: a Jakob, la teologia, i a Johann, la medicina. La veritat és que no va encertar amb cap dels dos. Els va fer estudiar el que ell creia oportú i per aquests camins varen començar cada un a la Universitat de Basilea, Suïssa. Però l’atracció de la matemàtica va ser tal que, després d’acabats els estudis prescrits per son pare, els va absorbir completament i hi varen destacar extraordinàriament.

El 1692, en un viatge que Johann va fer a París, va conèixer un jove marquès, G.F.A. de L’Hôpital, entusiasmat amb el nou càlcul infinitesimal. Aquest, a part de rebre lliçons de Bernoulli, va signar amb ell un contracte pel qual Johann, de tornada a Basilea, a canvi d’un sou regular, es comprometia a comunicar al marquès els seus descobriments i aquest podria fer-ne l’ús que li paregués oportú.

Amb les idees i descobriments de Johann Bernoulli, L’Hôpital va escriure el 1696 un llibre magnífic, Anàlisi dels infinitèsims, que va tenir un èxit extraordinari durant tot el segle xviii i que l’ha fet passar a la història. Ell mai va pretendre atribuir-se la paternitat dels resultats que hi publicava, sinó que sempre va reconèixer clarament el mèrit a Bernoulli.

La regla de L’Hôpital, que ja coneixes com a eina eficaç per al càlcul de límits i la validesa de la qual es demostrarà en aquesta unitat, és un dels descobriments de Johann Bernoulli que s’atribueixen injustament al marquès.

En morir L’Hôpital, Johann Bernoulli va reclamar per a ell el mèrit d’aquella regla. Ningú el va creure. Més endavant, el descobriment de la correspondència entre Bernoulli i el marquès ha posat les coses al seu lloc.

RESOL Optimització

• Una persona s’acosta a una estàtua de 2 m d’alçària. Els ulls de la persona estan 1 m per davall dels peus de l’escultura. A quina distància s’ha d’apropar perquè l’angle, φ, des del qual veu l’estàtua sigui màxim?

Hi ha una bella resolució per mètodes geomètrics. Observa-la:

Es traça una circumferència que passa pels punts A i B i és tangent a la recta  r.

Demostra que el punt de tangència, T, és el lloc de r des del qual es veu el segment AB amb angle màxim.

La longitud del segment OT es troba tenint en compte que la potència del punt O respecte a la circumferència és igual a OA OB i també és igual a OT 2 . Així:

OT OA OB 13 3 == = ≈ 1,73 m atenció! Aquest problema el pots resoldre, també, relacionant l’angle φ amb els angles α i β les tangents trigonomètriques dels quals podem expressar en funció de x

O btendràs una funció que has de fer màxima (a la pàgina 282 es resol aquest problema).

Recta tangent a una corba

L’obtenció de la recta tangent a una corba en un dels seus punts és l’aplicació més immediata de les derivades, que ja coneixes des del curs passat i que hem utilitzat en la unitat anterior. Però relacionats amb aquest hi ha altres casos menys trivials. Vegem-los:

• Cas elemental: tangent a y = f (x) en el punt d’abscissa x = x0

• Ordenada del punt: f (x0)

• Pendent de la recta: m = f ' (x0)

L’equació de la recta tangent és: y = f (x0) + f ' (x0)(x – x0)

Per

RECORDA

La recta normal a una funció en un punt és la perpendicular a la recta tangent en aquest punt.

La seva equació és: y = f (x0) – ´( ) fx 1 0 (x – x0)

➜ Recta tangent en un punt qualsevol.

• Quan la funció es dona implícitament: ϕ(x, y)

La funció y (x) ve donada implícitament.

• Coordenades del punt: ens poden donar les coordenades del punt (x0, y0), o bé només l’abscissa. En aquest cas, l’ordenada s’obté resolent l’equació ϕ (x0, y ) = 0.

• Pendent de la recta: l’expressió de y ' (x, y ) i, en conseqüència, el valor de y ' (x0, y0) s’obté mitjançant la derivació implícita en ϕ (x, y ) = 0.

Exemple:

Troba les tangents a

• Obtenció de les ordenades corresponents:

➜ Recta tangent a una el·lipse.

• Per trobar el pendent en aquests punts, derivam implícitament:

• Tangent a una corba y = f (x) coneixent el seu pendent

Coneixem el pendent, m, de les rectes tangents cercades però no sabem quins són els punts de tangència. Les abscisses d’aquests s’obtenen resolent l’equació

' (x) = m

Per

• Tangent a una corba des d’un punt exterior

• Coneixem el punt, P (x0, y0). Desconeixem el punt de tangència, T (c, f (c)).

• El pendent del segment

amb f ' (c

• S’igualen i es resol l’equació. Les solucions són les abscisses dels punts de tangència.

Per exemple:

Troba les rectes tangents a y = x 2 – 5x + 3 que passen pel punt P (2, –7).

• El punt T de tangència és de la corba. Les seves coordenades són (c, c 2 – 5c + 3).

• El pendent de la recta PT ha de ser igual a la derivada de f en c:

1 Troba les rectes tangents a cada corba que compleixen la condició que s’indica:

a) y = x xx x 2 57 16 ––32 +

en els punts d’abscissa 0, 1, 3.

x0 = 3.

c) y = x xx 3 36 3

+

paral·leles a la recta y – x = 9.

Creixement i decreixement d’una funció en un punt

La idea gràfica de funció creixent o decreixent en un punt és molt clara. Tot seguit donarem una definició que permeti operar amb aquesta:

f és creixent en x0 si existeix un entorn de x0, E = (x0 – a, x0 + a) tal que, si x ∈ E, x ≠ x0, llavors:

() () : ,( )( ) ,( )( ) xx fx fx xx fx fx xx fx fx 0 ––significa si si Això llavors llavors > >> << 0 0 00 00

Anàlogament, si f és decreixent, el quocient és negatiu.

Relació del creixement amb el signe de la derivada

f (x) derivable i creixent en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0

f (x) derivable i decreixent en x0 ⇒ f ' (x0) ≤ 0

Demostració

f creixent en x0 ⇒ () () xx fx fx 0 ––> 0 0 per a tot x d’un entorn E de x0

Per tant, f ' (x0) = lm í xx 0 " () () ≥ xx fx fx 0 ––0 0 , ja que el límit d’una funció que pren valors positius és positiu o nul.

Anàlogament, es demostraria que si f és decreixent en x0, f ' (x0) ≤ 0.

Criteri de creixement en x0 a partir del signe de f ' (x0)

Quan es pretén representar una funció a partir de la seva expressió analítica, és útil el criteri següent que permet inferir si una funció és creixent o decreixent a partir del signe de la seva derivada::

f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

f ' (x0) < 0 ⇒ f és decreixent en x0

La demostració d’aquestes implicacions es veurà en la pàgina 289.

Per exemple, esbrinem on és creixent i on és decreixent la funció y = x 3 – 6x 2 + 5, la derivada de la qual és f ' (x) = 3x 2 – 12x = 3x (x – 4):

Observa que una funció pot ser creixent en un punt sent zero la derivada en aquest punt

1 Demostra que si una funció y = f (x) és decreixent en x0, aleshores:

' (x0) ≤ 0

2 Donada la funció y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5:

a) On creix?

b) On decreix?

Màxims i mínims relatius d’una funció

La idea de màxim relatiu en un punt és que la funció, en aquest punt, val més que en els punts que l’envolten. Vegem-ne una definició més operativa:

f té un màxim relatiu en el punt d’abscissa x0 si existeix un entorn de x0, E = (x0 – a, x0 + a), tal que si x ∈ E, x ≠ x0, aleshores f (x) < f (x0). És a dir, és creixent a l’esquerra de x0 i decreixent a la dreta.

Anàlogament es defineix mínim relatiu.

En els màxims i mínims, la derivada és 0

Si f (x) és derivable en x0 i té un màxim o un mínim en aquest punt, llavors f ' (x0) = 0. És a dir:

f (x) màxim o mínim en x0 ⇒ f ' (x0) = 0

No obstant això, pot passar que f ' (x0) = 0 i que no hi hagi ni màxim ni mínim en x0.

màxim relatiu mínim relatiu no hi ha màxim ni mínim. és un punt d’inflexió

P UNTS SINGULARS

Els punts de tangent horitzontal, és a dir, aquells on f ' (x) = 0, , es diuen punts singulars o punts crítics.

Un punt singular pot ser:

màxim f passa de créixer a decréixer mínim f passa de decréixer a créixer punt d’inflexió no hi ha canvi en el creixement

I DEA DE LA DEMOSTRACIÓ

Si hi ha un màxim en x0:

— La derivada en x0 per l’esquerra és major o igual que 0.

— La derivada en x0 per la dreta és menor o igual que 0.

Com que f és derivable en x0, serà: f ' (x0) = () ()fx''fx00 –= + ⇒ f ' (x0) = 0

Exemple: vegem els màxims i els mínims de la funció y = 3x 5 – 5x 3 .

La seva derivada, f ' (x) = 15(x 4 – x 2) = 15(x – 1) x 2 (x + 1) s’anul·la en –1, 0 i 1. Com saber si hi ha màxim o mínim en cada un?

— Estudiant el signe de la derivada a la dreta i a l’esquerra. Per exemple: (, ), (, ), ' ' f f 0990 1 1010 1 decreia lde crea la de és xent ’esquerra és ixentdreta < > 4 Hi ha un mínim en x = 1.

O bé, representant els tres punts així com les branques infinites. Com que la funció és derivable i, per tant, contínua en Á, en unir els punts s’aprecia com es comporta la funció en cada un d’aquests.

Veim que hi ha un màxim en x = –1, un mínim en x = 1 i un punt d’inflexió en x = 0.

i practica

1 Comprova que la funció y = x 3/(x – 2)2 té només dos punts singulars, en x = 0 i en x = 6.

Esbrina de quin tipus és cadascun d’aquests dos punts singulars; per a això, has d’estudiar el signe de la derivada.

Per tant, la derivada en x0 és 0.

I una cosa pareguda passa per als mínims.

2

a) Troba tots els punts singulars (abscissa i ordenada) de la funció y = –3x 4 + 4x 3. Mitjançant una representació adequada, esbrina de quin tipus és cada un.

b) Fes el mateix per a y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.

Pensa

Informació extreta de la segona derivada

Concavitat, convexitat i punt d’inflexió

Observam el gràfic següent:

Mirant-la des de dalt, no és raonable que anomenem còncaus els trams BC i DE i convexos els trams AB i CD? Els punts B, C, D, en què la curvatura passa de còncava a convexa, o viceversa, són els punts d’inflexió.

La millor manera de caracteritzar matemàticament el tipus de curvatura (concavitat, convexitat o inflexió) és analitzar la posició de la corba en relació amb la seva tangent, com farem a continuació

Tenim una corba y = f (x). Tracem la recta tangent a aquesta en un punt P, l’equació del qual és y = t (x). Aleshores:

Si en les proximitats de P és f (x) > t (x), la corba és còncava en P

Si en les proximitats de P és f (x) < t (x), la corba és convexa en P

Si la tangent travessa la corba en P, és a dir, si a l’esquerra de P és f (x) < t (x), i a la dreta f (x) > t (x), o viceversa, P és un punt d’inflexió.

Relació de la curvatura amb la segona derivada

Observa aquest gràfic:

Fixa’t que en el tram AB les quatre tangents que hi ha representades tenen el pendent cada vegada menor. En aquest interval, per tant, f ' és decreixent i, per tant, la seva derivada (la derivada de f ' ) és negativa. El mateix ocorre en el tram CD

I el contrari ocorre en els trams BC i DE : el pendent de les tangents augmenta i, per tant, f ' és creixent i la derivada de f ' és positiva. En general:

Si f té segona derivada en x0, es compleix que:

f còncava en x0 ⇒ f ' és creixent en x0 ⇒ f '' (x0) ≥ 0

f convexa en x0 ⇒ f ' és decreixent en x0 ⇒ f '' (x0) ≤ 0

f té un punt d’inflexió en x0 ⇒ f '' (x0) = 0

P és un punt d'inflexió La tangent «travessa» el gràfic de f.

TEN EN COMPTE

Aquestes implicacions serveixen per extreure conclusions sobre el comportament de la segona derivada, f ’’, a partir de la forma de la corba.

Criteri per detectar el tipus de curvatura

Ja que el que sol interessar-nos és obtenir informació sobre la forma de la corba a partir de la seva expressió analítica, vegem com són les implicacions de sentit oposat a les que acabam de veure:

f '' (x0) > 0 ⇒ f és còncava en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f és convexa en x0

f '' (x0) = 0 i f ''' (x0) ≠ 0 ⇒ f té un punt d’inflexió en x0

Aplicació a la identificació de màxims i mínims

Si f ' (x0) = 0 i existeix f '' (x0), aleshores:

f '' (x0) > 0 ⇒ f té un mínim relatiu en x0

f '' (x0) < 0 ⇒ f té un màxim relatiu en x0

(La demostració es veurà en la pàgina 291).

Exercici resolt

1 Estudia la curvatura de la funció:

f (x) = x 3 + 3x 2

Trobam la derivada segona de la funció:

f ' (x) = 3x 2 + 6x

f '' (x) = 6x + 6

➜ Deriva i iguala a zero.

Cercam els valors que anul·len la derivada segona:

f '' (x) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1

f (–1) = (–1)3 + 3(–1)2 = 2

Com que f ''' (x) = 6 ≠ 0, el punt

I (–1, 2) és un punt d’inflexió.

• f '' (x) = 6x + 6 < 0 ⇔ x < –1

Des de – ∞ fins a –1, la corba és convexa, ja que f '' (x) < 0.

• f '' (x) = 6x + 6 > 0 ⇔ x > –1

Des de –1 fins a + ∞, la corba és còncava, ja que f '' (x) > 0.

anayaeducacion.es

➜

Exercicis de reforç: aplicacions de la segona derivada.

Pensa i practica

1 Estudia la curvatura d’aquesta funció:

y = 3x 4 – 8x 3 + 5

mínim (còncava) màxim (convexa)

2 Estudia la curvatura de la funció següent: y = x 3 – 6x 2 + 9x

Optimització de funcions

Recorda que optimitzar una funció, f (x), és esbrinar quin és el valor màxim (o mínim) i determinar per a quin valor de x s’aconsegueix.

Per familiaritzar-nos amb la resolució d’aquest tipus de problemes, haurem de:

• Aprendre la tècnica de trobar, de la forma més eficaç possible, els extrems d’una funció que ve donada mitjançant la seva expressió analítica.

• Exercitar-nos a expressar analíticament funcions que es descriuen mitjançant un enunciat.

Començam donant unes orientacions molt concretes per a la primera tasca i, a continuació, proposarem una sèrie d’exemples com a entrenament per a la segona

Càlcul dels extrems d’una funció f (x) en un interval [a, b]

En els problemes d’optimització, el que interessa no són els extrems relatius de la funció sinó els absoluts. Vegem algunes regles per obtenir-los:

a) Si f (x) és derivable en [a, b], els màxims i els mínims absoluts estan entre els punts singulars i els corresponents als extrems de l’interval:

LA IMPORTÀNCIA D’OPTIMIZAR

Fer màxim un volum, una població, uns beneficis, fer mínims uns costs de producció o una àrea són exemples d’optimització de funcions amb què enginyers, arquitectes, economistes... han de tractar habitualment.

La dificultat d’aquests problemes, normalment, no consisteix a optimitzar una funció donada per una expressió analítica, sinó a trobar l’expressió analítica de la funció que es desitja optimitzar.

mín mín mín

a b a b a b

Per tant, per trobar-los:

• Es resol l’equació f ' (x) = 0.

• Se seleccionen les solucions x1, x2, x3, … que estan entre a i b.

• Es calcula f (a), f (x1), f (x2), … i f (b). Amb aquests valors es veurà quin és el màxim i quin el mínim.

b) Si hi ha algun punt de [a, b] en què la funció no sigui derivable, encara que sí contínua, calcularem el valor de f en aquest punt, ja que podria ser un extrem.

c) Si f no és contínua en algun punt x0 de [a, b], estudiarem el comportament de la funció en les proximitats de x0.

mínim (no derivable)

màxim (amb discontinuitat)

Si el punt P llisca al llarg de la semirecta r, en quina posició s’aconsegueix que l’angle φ sigui màxim?

1 En la segona pàgina de la unitat es proposava un problema com aquest:

Exercicis resolts

2 Descompon el nombre 36 en dos sumands positius de manera que el producte del primer sumand pel quadrat del segon sigui màxim

6 912

:, , xx xx 10 23636 sumand sumand:–r n > < 3

Ha de ser màxim el valor de la funció següent:

< 36 Començam esbrinant on s’anul·la la seva derivada:

12 36

3 Amb dues peces quadrades de 36 cm de costat feim l’operació que apareix a la dreta.

Quant ha de valdre x, el costat del quadrat petit que retallam, perquè el volum de la capsa resultant sigui màxim?

(36 no val perquè està fora del domini de definició de f ).

En aquest cas, l’interval de definició és (0, 36), és a dir, és obert; per tant, no s’ha d’estudiar el comportament de f en els seus extrems, encara que fàcilment pots comprovar que es corresponen amb el producte 0, és a dir, f (0) = f (36) = 0.

Per tant, el valor màxim s’obté per a x = 12, f (12) = 6 912.

Solució: el primer sumand és 12, i el segon, 24.

anayaeducacion.es

Exercicis de reforç sobre optimització de funcions.

Les dimensions de la capsa seran

x, 36 – x, 36 – x

Per tant, el volum serà:

V (x) = x (36 – x)2, 0 < x < 36 És a dir, la funció que hem d’optimitzar és la mateixa de l’exemple anterior.

El costat del quadradet serà de 12 cm.

En aquest cas, el volum de la capsa serà de 6 912 cm3.

Pensa i practica

1 Troba el nombre positiu la suma del qual amb vint-i-cinc vegades el seu invers sigui mínima.

2 Entre tots els triangles rectangles amb catets que tenen longituds que sumen 10 cm, troba les dimensions d’aquell amb una àrea màxima

3 Entre tots els rectangles de perímetre 12 m, quin és el que té la diagonal menor?

4 Determina les dimensions que ha de tenir un recipient cilíndric de volum igual a 6,28 litres perquè es pugui construir amb el mínim possible de llauna

Dos teoremes importants

El que diuen aquests teoremes és molt senzill i natural. Amb aquests se simplifiquen notablement les demostracions de diversos resultats que hem enunciat i usat, sense demostrar, en els primers apartats d’aquesta unitat. Recordem-ne dos:

f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

f ' (x0) = 0 i f '' (x0) > 0 ⇒ f té un mínim relatiu en x0

Teorema de Rolle

La idea del teorema de Rolle és que una corba contínua i sense punts angulosos que pren els mateixos valors en els extrems d’un interval necessàriament té algun punt amb tangent horitzontal

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b).

Si f (a) = f (b), existeix algun punt c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = 0. a b

Demostració

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f (a) = f (b)

Ja que f és contínua en [a, b], arriba en aquest interval a un valor màxim i a un valor mínim (teorema de Weierstrass, unitat 7). Distingim dos casos:

I. El màxim i el mínim estan l’un en a l’altre en b. Com que f (a) = f (b), el màxim i el mínim coincideixen. La funció és constant en tot l’interval i la seva derivada és zero no només en algun punt, sinó en totss.

II. f aconsegueix el màxim o el mínim en un punt c diferent dels extrems de l’interval. Com que f és derivable en c, es compleix que f ' (c) = 0. (Estam aplicant el que ja hem demostrat a l’epígraf 3: si f té màxim o mínim en x0 i és derivable en x0, aleshores f ' (x0) = 0).

Observacions: Per què s’exigixen aquestes hipòtesis?

• La condició «f contínua en [a, b] i derivable en (a, b)» pot resultar xocant. Per què no posar, simplement, derivable en [a, b], amb la qual cosa exigiríem l’existència de derivades laterals? Perquè hi ha funcions amb tangent vertical i, per tant, no derivables en algun dels extrems que quedarien injustament separades dels beneficis d’aquest teorema.

Per exemple, la funció f (x) = x 1– 2 , contínua en [–1, 1], derivable en (–1, 1) però no derivable en [–1, 1]. Fixa’t que f (1) = f (–1) = 0 i que f ' (0) = 0.

y = √ 1 – x 2

• I per què no exigim, simplement, que «f sigui derivable en (a, b)»? Perquè si no exigíssim que f sigui contínua en els extrems de l’interval ens «entrarien» funcions com la del marge, que, evidentment, no és bona candidata per pretendre que compleixi la tesi.

En definitiva: s’ha d’exigir la continuïtat en [a, b], i és convenient conformar-se amb la derivabilitat en (a, b).

Exercicis resolts

1 Comprova que la funció: y = x 3 – 4x + 3 compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, 2]. En quin punt compleix la tesi?

2 Aplicant el teorema de Rolle, demostra que l’equació x 4 – 8x 2 + k = 0 no pot tenir més d’una arrel en l’interval [0, 2], qualsevol que sigui el valor de k.

La funció és derivable i, per tant, contínua en tot Á.

A més, f (0) = f (2) = 3. Compleix les hipòtesis. Per tant, complirà la tesi; és a dir, tendrà un punt de derivada nul·la entre 0 i 2.

f ' (x) = 3x 2 – 4 → 3x 2 – 4 = 0 → x = ± ± 3 4 3 23 =

Efectivament, c = 3 23 ≈ 1,15 ∈(0, 2) i f ' (c) = 0.

Ho demostrarem per reducció a l’absurd: suposarem que té dues arrels, r i s, en l’interval [0, 2] i arribarem a una contradicció Si r i s són arrels de l’equació, 0 ≤ r < s ≤ 2, llavors P (x) = x 4 – 8x 2 + k compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [r, s], ja que com que és polinòmica és derivable, i per tant contínua, i a més P (r) = P (s) = 0.

Es compleix, per tant, la tesi: hi ha un nombre c ∈ (r, s) per al qual P' (c) = 0. Com que c ∈ (r, s), llavors 0 < c < 2.

Però P ' (x) = 4x 3 – 16x només té tres arrels: –2, 0, 2, cap d’aquestes no està continguda en l’interval (0, 2). Arribam, així, a una contradicció. Conclusió: l’equació no té dues arrels en (0, 2). (És a dir, en té una o no en té cap).

3 Calcula p, m i n perquè:

compleixi les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [–1, 5]. On compleix la tesi?

f sigui contínua, ha de ser –9 + 3p = 3m + n

Perquè f sigui derivable, ha de ser – 6 + p = m

Perquè f prenga el mateix valor en els dos extrems de l’interval [–1, 5] → –1 – p = 5m + n

El sistema format per les tres equacions assenyalades té com a solució p = 10/3, m = – 8/3, n = 9. Per a aquests valors es compleixen les hipòtesis del teorema de Rolle.

f ' (x) = / / ≤≤ ≤ xx x 2103 83 13 35 ––si –si < + ) f ' (x) = 0 ⇔ x = 3 5

La tesi del teorema de Rolle es compleix en c = 3 5 , perquè f ' 3 5 dn = 0.

Pensa i practica

1 Comprova que la funció f (x) = sin x compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, π]. On compleix la tesi?

2 Calcula b perquè la funció: f (x)= x 3 – 4x + 3 compleixi les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, b]. On compleix la tesi?

3 Comprova que la funció: () () , fx x x x x 22 52 05 1 14 si –≤ si ≤≤ < 2 = + ) compleix la hipòtesi del teorema de Rolle en l’interval [–0,5; 4]. On es compleix la tesi?

4 Aplicant el teorema de Rolle, demostra que l’equació x 3 – 3x + k = 0 no pot tenir més d’una arrel en l’interval [–1, 1] qualsevol que sigui el valor de k.

Teorema del valor mitjà

La idea del teorema del valor mitjà (TVM) és que en una corba contínua i sense punts angulosos que va de A a B hi deu haver algun punt intermedi on la seva tangent sigui paral·lela al segment AB

B

a c b A

Demostració

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Aleshores, existeix algun punt c ∈ (a, b) tal que:

f ' (c) = () () ba fb fa

Estudiarem la funció ψ(x), que s’obté en restar de l’ordenada de la corba, f (x), l’ordenada de la recta r que passa per A (a, f (a)) i B (b, f (b )). (ψ és una lletra de l’alfabet grec. Es diu psi ).

L’equació de la recta r és:

És a dir:

hipòtesi

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b) ⇒ tesi

Existeix c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–

y = f (a) + () () () ba fb fa xa –

––

––

x b

ψ(x) = f (x) – r (x) = f (x) – f (a) –

Vegem-ho:

} }

––

() () () ba fb fa xa –

Aquesta funció compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [a, b], ja que, a més de ser contínua en [a, b] i derivable en (a, b), verifica que ψ(a) = ψ(b).

TEN EN COMPTE

ψ(x) = f (x) – r (x) és contínua en [a, b] i derivable en (a, b) perquè f (x) i r (x) ho són.

() () () () () () () () () () () ()

bf bf a ba fb fa ba af af a ba fb fa aa

== ==

–

––

–––

0 0

b b b b → ψ(b) = ψ(a)

_ ` a

Per tant, ψ(x) compleix la tesi del teorema de Rolle: existeix c ∈ (a, b) tal que ψ'(c) = 0.

Com que ψ'(x) = f ' (x) – () () ba fb fa –

–:

ψ'(c) = f ' (c) – () () ba fb fa –

–= 0

És a dir, hi ha un c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = () () ba fb fa –

–.

Exercicis resolts

1 Comprova que y = x compleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [0, 9].

On compleix la tesi?

2 Calcula a i b perquè la funció

x és contínua en [0, 9] i derivable en (0, 9). Compleix, per tant, les hipòtesis del TVM. Consegüentment, compleix la tesi. Vegem on:

5].

del TVM en

Per

La tesi es compleix en el punt c = 3 2 ∈ (–1, 5).

3 Si f (x) = mx 2 + nx + p, comprova que en aquesta paràbola es té que el punt c per al qual

f ' (c) = () () ba fb fa –

–és, precisament, la mitjana aritmètica de a i b :

c = (a + b)/2

() () () () a fb fa ba mb nb pmanap b

= () () ba mb an ba –

22 + = m (b + a) + n

f ' (c) = 2mc + n

Per tant: 2mc + n = m (b + a) + n → 2c = b + a → c = ba 2 +

5 Demostra que f (x) = ≥ x xx x x 23 10 19

4 – si si < 2 +

compleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [2, 6] En quin punt compleix la tesi?

6 Calcula a i b perquè f (x) = ≤ xx a xbx x x 20 0 –si si > 2 2 ++ + ) compleixi les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [–3, 2].

On compleix la tesi? Fes el gràfic.

f a c b Punt mitjà de (a, b)

7 Aplica el teorema del valor mitjà, si és possible, en l’interval [–2, –1] a la funció següent: f (x) = x 2 – 3x + 2

Calcula el valor corresponent a c i comprova gràficament el resultat obtengut.

8 Repetix l’exercici anterior per a la funció:

Aplicacions teòriques del teorema del valor mitjà

Al llarg de la unitat hem demostrat algunes propietats com, per exemple:

«f creixent i derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0» en què, a partir de certes propietats de la funció, s’obtenen conseqüències de la seva derivada. Però hem deixat sense demostrar-ne altres del tipus:

«f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0» en què, a partir d’alguna propietat de f ' (x), s’obtenen dades de la funció. Amb el teorema del valor mitjà se simplifiquen notablement les demostracions d’aquest últim tipus de teoremes en els qual es dedueixen propietats d’una funció, f (x), a partir de propietats senzilles de la seva derivada, f ' (x).

funció constant

Sabem que la derivada d’una funció constant és zero en tots els seus punts. Ara provarem la part recíproca: si la derivada d’una funció és zero en tots els seus punts, llavors aquesta funció és constant.

f és contínua en [a, b] i derivable en (a, b).

Si f ' (x) = 0 en tots els punts de (a, b), aleshores f és constant en [a, b].

Demostració hipòtesi

• f contínua en [a, b]

• f derivable en (a, b)

• f ' (x) = 0 per a qualsevol x ∈ (a, b)

⇒

f és constant en [a, b]

Per provar que f és constant en [a, b], prendrem dos punts qualssevol de l’interval i veurem que f pren el mateix valor en tots dos.

Siguin x1, x2 ∈ [a, b], x1 < x2. Es compleixen les hipòtesis del TVM en [x1, x2] i, per tant:

∃ c ∈ (x1, x2) que verifica () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c)

Però com que f ' (x) = 0 en tot l’interval (a, b), f ' (c) = 0. Per tant: f (x2) – f (x1) = 0, és a dir, f (x2) = f (x1)

Això vol dir que la funció pren el mateix valor en dos punts qualssevol de l’interval i, per tant, és constant.

funció creixent en un punt

En l’apartat 2 d’aquesta unitat hem vist i demostrat que:

«f creixent i derivable en x0 ⇒ f ' (x0) ≥ 0» també hem afirmat allà que « f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0».

Aquesta darrera implicació va quedar sense demostrar. Ara, usant el teorema del valor mitjà podrem provar-la fàcilment, retocant la hipòtesi de partida.

f és derivable en un entorn de x0 i f ' (x0) > 0 ⇒ f és creixent en x0

OBSERVA

Hi ha funcions en què tots els punts en les quals són derivables tenen derivada igual a 0 però que no són constants. Per exemple, la funció signe: signe (x) = , , ,

1 0 1

–si si si

x x x

< > = * 1 –1

0 0 0

Evidentment, la raó és que no compleix les hipòtesis ja que no és contínua ni derivable en x = 0.

Demostració

hipòtesi

• f derivable en un entorn de x0

• f ' (x0) > 0

⇒

tesi f és creixent en x0

Si f ' (x0) > 0, hi ha un entorn E = (x0 – δ, x0 + δ) on f ' és positiva.

Si prenem dos punts qualssevol, x1 < x2 de E, f compleix les hipòtesis del TVM en [x1, x2]. Per tant, es compleix la tesi:

∃ c ∈ (x1, x2) tal que () () xx fx fx ––21 21 = f ' (c) i, per hipòtesi, f ' (c) > 0

D’ací es dedueix que f (x2) – f (x1) > 0 i, per tant, que f (x2) > f (x1).

La funció és, així, creixent en (x0 – δ, x0 + δ) i, per tant, ho és en x0.

mínim relatiu

En l’apartat 3 d’aquesta unitat vàrem demostrar que:

«si f té un mínim en x0 i és derivable, aleshores f ' (x0) = 0»

També vèiem que la implicació recíproca no sempre és certa. Ara estam en condicions d’enunciar i demostrar una proposició semblant a la seva recíproca:

f ' (x0) = 0 i f '' (x0) > 0 ⇒

Demostració

FUNCIÓ DECREIXENT

f ' (x0) < 0 ⇒ f decreixent en x0

Per provar que f té un mínim en x0 demostrarem que és decreixent a la seva esquerra i creixent a la dreta. Per a això, tenim en compte el resultat anterior que associa el creixement o decreixement amb el signe de la derivada, f ' : f '' (x0) = lm í 0 h "

(*) x0 – d x0 + d x0 x2 x1

(**)

Si h < 0, f ' (x0 + h) < 0 ⇒ f és decreixent a l’esquerra de x0 1

Si h > 0, f ' (x0 + h) > 0 ⇒ f és creixent a la dreta de x0 2

Pensa i practica

1 Demostra que si f és derivable en un entorn de x0 i f ' (x0) < 0, llavors f és decreixente en x0

RECORDA

Anàlogament, es pot demostrar que si f ' (x0) = 0 i f '' (x0) < 0, aleshores f presenta un màxim relatiu en x0.

(*) Per la primera hipòtesi.

(**) Per la segona hipòtesi.

(***) f ' < 0 ⇒ f decreixent

(****) f ' > 0 ⇒ f creixent

2 Demostra que si f ' (x0) = 0 i f '' (x0) < 0, llavors f presenta un màxim relatiu en x0

Exercicis i problemes resolts

1. Recta tangent i recta normal

Donada la funció f (x) = |x| e –x, escriure, si és possible, l’equació de la recta tangent i la de la recta normal per a x = 0 i per a x = –1.

FES-HO TU

Escriu l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la corba xy yx = 1 en el punt (1,1).

Troba els punts de la corba

f (x) = x 1 1 –en els quals la recta tangent a aquesta passi pel punt P (–3, 2).

• Definim la funció per intervals: f (x) = ≥ xe xe x x 0 0 –si si < x x

–– )

És una funció contínua en Á, ja que () () () lm fx lm ff00 0 íí xx00 –== = "" + .

• Trobam la seva funció derivada f ' (x) = () () xe xe x x 1 1 0 0 ––si si < > x x

––+ * :

f és derivable en x = –1 però no en x = 0 ja que () () '' lm fx lm fx –≠11 íí xx00 –== "" + .

Per tant, no existeix recta tangent ni recta normal en x = 0.

La recta tangent en x = –1 és y = f (–1) + f ' (–1)(x + 1) → y = e – 2e(x + 1)

La recta normal en x = –1 és y = f (–1) – () f 1 1 –l (x + 1) → y = e + e2 1 (x + 1)

2. Tangent que passa per un punt exterior

• Les coordenades del punt de tangència són x = a, f (a) = a 1 1 –

El pendent de la tangent en x = a és f ' (a) = () a 1 1 ––2

• El pendent del segment de la tangent que passa pel punt P (–3, 2) i pel punt de tangència ,a a 1 1 –dn ha de ser igual a f ' (a).

FES-HO TU

Troba els punts de la corba

f (x) = x 2 – 2x + 4 en els quals la recta tangent a aquesta passa per l’origen de coordenades.

Si P és un punt qualsevol del gràfic de xy = 1, prova que el triangle format per la recta OP, la tangent a aquest gràfic en P i l’eix y = 0 és isòsceles.

FES-HO TU

Escriu l’equació de la recta tangent a la corba y = x 1 en el punt de coordenades (3, 1/3).

Comprova que el segment d’aquesta recta comprès entre els eixos de coordenades està dividit en dues parts iguals pel punt de tangència.

Hi ha dos punts de tangència que corresponen a dues rectes tangents:

Un punt P qualsevol de la corba y = x 1 té per coordenades ,a a 1 dn

• Tangent en

• Trobam el punt de tall de la tangent amb l’eix y = 0:

• Calculam la longitud dels costats del triangle:

3. Recta tangent en un punt de la corba

4. Intervals de creixement

Estudia els intervals de creixement i de decreixement de les funcions i determina’n els màxims i els mínims.

a) f (x) = e x (x 2 – 3x + 1)

b) f (x) = ≤ ln xx xx si x si x 20 0 >

a) La funció és contínua i derivable en tot el seu domini, Á f és creixent en els intervals on f ' > 0, i decreixent si f ' < 0. Cercam els punts de derivada nul·la. f

si:

en (– ∞, –1) ∪ (2, +∞) i decreix en (–1, 2). Té un màxim en , e 1 5 –

b) La funció és contínua en Á però no és derivable en x = 0.

FES-HO TU

Estudia els intervals de creixement i de decreixement de les funcions següents:

a) f (x) = x x 4 –2

b) f (x) = ln (x 2 + 4x – 5)

5. Funció derivada

Aquest és el gràfic de la funció derivada d’una funció f contínua en Á

a) Explica raonadament si f és derivable en tot Á.

b) Estudia el creixement i el decreixement de f i explica si té algun extrem relatiu.

c) Representa f '' (x).

f creix en (– ∞, –1) ∪ ,∞ e 1 + dn i decreix en (–1, 0) ∪ , e 0 1 dn .

Té un màxim en (–1, 1) i un mínim en , ee 11 –dn .

a) f (x) no és derivable en x = 1. No existeix f ' (1), ja que f ' (1–) = 2 ≠ 1 = f ' (1+).

b) f (x) és creixent en (– ∞, 1) ∪ (1, 2) perquè en aquest interval f' (x) > 0.

f (x) és decreixent en (2, + ∞) perquè f ' (x) < 0.

f (x) té un extrem en x = 2, perquè en el gràfic observam que f ' (2) = 0.

A més, en x = 2, f ' (x) passa de positiva a negativa i, per això, f (x) passa de creixent a decreixent, fet que ens assegura que f (x) té un màxim en x = 2.

c) Els valors de f '' (x) són els pendents de les semirectes que formen f ' (x). El seu gràfic és el següent:

Exercicis i problemes resolts

6. Punts en què s’anul·len f ', f '' i f '''

Donada la funció f (x) = 1 – (2 – x) 5 estudia si té màxim, mínim o punt d’inflexió en x = 2.

• Trobam f ' , f '' , f ''' :

f ' (x) = 5(2 – x)4 → f '' (x) = –20(2 – x)3 → f ''' (x) = 60(2 – x)2

En fer x = 2, es verifica f ' (2) = f '' (2) = f ''' (2) = 0.

• Estudiam el signe de f ' a l’esquerra i a la dreta de x = 2:

f ' > 0 f ' > 0

2

f creix a l’esquerra i a la dreta de 2 → f no té màxim ni mínim en x = 2.

• Comprovam que té un punt d’inflexió estudiant el signe de f '' :

FES-HO TU

Estudia si la funció

f (x) = 3 – (x + 1)4

té algun màxim, mínim o punt d’inflexió.

2 f '' < 0 f '' > 0

A l’esquerra de x = 2, la funció és convexa, i a la dreta de x = 2, la funció és còncava. El punt (2, 1) és un punt d’inflexió.

7. Paràmetres en una funció definida a trossos

Es considera la funció f (x) =

si si > ] ] ]

Determina els valors de a, b i c perquè la funció sigui contínua, tengui un màxim en x = –1 i la tangent en x = –2 sigui paral·lela a la recta y = 2x.

FES-HO TU

Calcula b i d perquè la funció f (x) = –x 3 + bx 2 + x + d tengui un màxim relatiu en el punt (1, 4).

8. Teorema de Rolle

Demostra que la funció:

f (x) = (1 – x 2) sin x té un màxim relatiu que pertany a l’interval 0, 2 r bl

(

x) = lm í x 0 "

+

• Si la tangent en x = –2 és paral·lela a y = 2x, ha de ser: f ' (–2) = 2 → – 4a + b = 2

• Resolem el sistema: ab ab 20 42 ––+= += ) ; a = –1, b = –2

Els valors demanats són: a = –1, b = –2, c = 0.

• f és contínua i derivable en tot Á

() () () () sn sn i i f f 01 00 0 11 11 0 •–•–== == 4 f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1].

Com que [0, 1] està contingut en 0, 2 r bl , podem assegurar que hi ha un c ∈ 0, 2 r bl tal que f ' (c) = 0.

Per a saber si en c hi ha un màxim o un mínim, usam la segona derivada:

f ' (x) = –2x sin x + (1 – x 2)cos x

f '' (x) = (x 2 – 3)sin x – 4x cos x

Si c ∈(0, 1): c 2 – 3 < 0, sin c > 0, 4c > 0, cos c > 0

f '' (c) = (– · +) – (+ · +) < 0 → f té un màxim en x = c.

9. Àrea màxima

En un jardí amb forma de semicercle de radi 10 m es vol instal·lar un parterre rectangular, amb un dels costats que està sobre el diàmetre i l’oposat a aquest té els extrems en la part corba

Calcula les dimensions del parterre perquè la seva àrea sigui màxima

Prenem com a origen de coordenades el centre de la circumferència. P (x, y) és un punt de la circumferència.

pertany a la circumferència, ha de verificar que:

FES-HO TU

Es vol construir un depòsit de llautó amb forma de cilindre d’àrea total 54 cm2. Determina el radi de la base i l’altura del cilindre perquè el volum sigui màxim

10. Problema de temps mínim

Un nedador, A, es troba a 3 km de la platja davant d’una caseta. Vol anar a B, en la mateixa platja, a 6 km de la caseta. Sabent que neda a 3 km/h i que camina per l’arena a 5 km/h, esbrina a quin lloc s’ha de dirigir nedant per arribar a B en el menor temps possible.

que

Anomenam x la distància de la caseta al punt P al qual ha d’arribar nedant.

Ha de recórrer:

AP x 9 2 =+ a 3 km/h i

PB = 6 – x a 5 km/h

FES-HO TU

La vela major d’un vaixell té forma de triangle rectangle. Si la hipotenusa fa 6 m, calcula’n les dimensions perquè la superfície de la vela sigui màxima

> 0 ja que t ' (4) = 1/15.

Ha de dirigir nedant a un punt que diste 2,25 km de la caseta.

El temps que tardarà a arribar a B és:

➜ Simula l'àrea i obtèn la corba que la descriu.

1. Tangent perpendicular a una recta

Escriu les equacions de les rectes tangents a la funció f (x) = 4x 3 – 2x + 1 que són perpendiculars a la recta x + y – 2 = 0.

• Si el pendent de la recta és m, el de la seva perpendicular és m –1

• Per obtenir els punts de tangència, resol l’equació f ' (x) = m –1 .

• Troba els punts de tangència i escriu les equacions demanades. Solució: y = x; y = x + 2

2. Intervals de concavitat i convexitat

Determina els intervals de concavitat i convexitat i els punts d’inflexió de la funció:

f (x) = x x 1 –2 2

Calcula el màxim i el mínim absoluts, en l’interval [–1, 2] de la funció:

f (x) = ln (x 2 + x + 1) – x

• Resol l’equació f '' (x) = 0.

• Recorda que perquè hi hagi un punt d’inflexió la corba ha de passar de còncava a convexa o de convexa a còncava

• Ten en compte el domini de definició de la funció per determinar els intervals on has d’estudiar el signe de f '' (x).

Solució: Còncava en (– ∞, –1) ∪ (1, +∞) i convexa en (–1, 1). No té punts d’inflexió.

• Estudia el domini de f (x) i la seva continuïtat en l’interval donat.

• Recorda que una funció contínua en un interval tancat arriba al màxim i el mínim absoluts en els extrems de l’interval o en els extrems relatius.

• Obtén les abscisses dels extrems relatius. Calcula i compara el valor de f (x) en aquests punts i en x = –1 i en x = 2.

Solució: El màxim absolut s’aconsegueix en el punt (–1, 1) i el mínim absolut en (2, ln 7 – 2).

4. Teorema del valor mitjà

Donada la funció f (x) = x xx47 –2 + , demostra que hi ha un valor c ∈ (1, 3) tal que f ' (c) = 4.

5. Extrems relatius

Sigui f (x) = x 2 e – ax amb a ≠ 0.

a) Calcula el valor de a perquè la funció tengui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2.

b) Classifica els extrems relatius quan a = 2.

• Estudia el domini de f (x) i la seva continuïtat en l’interval [1, 3].

• Troba la derivada de f (x) prenent logaritmes.

• Comprova que la derivada existeix en l’interval (1, 3). Aplica el teorema del valor mitjà i obtén c

Solució: f (x) és contínua en [1, 3] i derivable en (1, 3). Llavors, hi ha un c tal que f ' (c) = () () ff 31 31 4 ––=

a) Els extrems relatius estan entre les solucions de l’equació f ' (x) = 0. Una de les solucions d’aquesta equació depèn de a. Per a x = 2, obtendràs el valor de a

b) Estudia el signo de f ' (x) en los intervalos que determinan los puntos singulares.

Solució:

a) a = 1

b) Té un mínim relatiu en (0, 0) i un màxim relatiu en (1, e –2).

3. Màxim i mínim absolut

Exercicis i problemes proposats

Per practicar

Recta tangent

1 Troba l’equació de la recta tangent a les corbes següents en els punts que s’hi indiquen:

a) y = ln (tg 2x) en x =  8 r

b) y =  snix 5 en x =  6 r

c) x 2 + y 2 – 2x – 8y + 15 = 0 en x = 2

d) y = (x 2 + 1)sin x en x = 0

2 Troba les tangents a la corba:

y =  x x 1 2 –

paral·leles a la recta 2x + y = 0.

3 Obtén l’equació de la recta tangent paral·lela a l’eix d’abscisses en les corbes següents:

a) y = x ln x b) y = x 2 e x c) y = sin 2x

4 Troba el punt del gràfic de y = 2 x en el qual la tangent forma un angle de 60° amb l’eix X. Escriu l’equació d’aquesta tangent

5 a) Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 en x = 3.

b) Hi ha alguna altra recta tangent al gràfic de f que sigui paral·lela a la que has trobat? En cas afirmatiu, troba-la.

6 Troba l’equació de la recta tangent a la corba: y = 4x 3 – 2x 2 – 10 en el seu punt d’inflexió

7 Troba els punts de la corba: y = 3x 2 – 5x + 12 en els quals la recta tangent a aquesta passi per l’origen de coordenades.

8 Troba els punts de la corba: y =  4 1 x 2 + 4x – 4 en els quals la recta tangent a aquesta passi pel punt (0, –8). Escriu les equacions de les rectes tangents en aquests punts

9 Troba, en cada cas, les equacions de les rectes tangents paral·leles a l’eix X:

a) y =  () x x 31 –3 b) y =  ln x x 2 c) y =  e xx 2 x 2 +

Màxims i mínims. Punts d’inflexió

10 Troba els màxims, els mínims i els punts d’inflexió de les funcions següents:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x b) y =  ()xx 12 38 –3

c) y = x 4 – 2x 3 d) y = x 4 + 2x 2

e) y =  x 1 1 2 + f) y = e x (x – 1)

11 Troba els intervals de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de les funcions següents:

a) y =  ()xx x 2 83 –– b) y =  x x 1 1 –2 2 +

c) y =  x x 1 –2 3 d) y =  x xx 2 23 ––2

e) y =  x x 1 –2 f ) y =  ()xx 3 8 –2

12 Estudia la concavitat, la convexitat i els punts d’inflexió de les funcions següents:

a) y = x 3 – 3x + 4 b) y = x 4 – 6x 2

c) y = (x – 2)4 d) y = x e x

e) y =  x x 1 2–+ f) y = ln(x + 1)

13 Estudia si les funcions següents tenen màxims, mínims o punts d’inflexió en el punt d’abscissa x = 1:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4

c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

14 Determina els màxims i mínims de les funcions següents:

a) f (x) = x +  () x 1 4 –2 b) f (x) = x ln x

c) f (x) = sin x – cos x d) f (x) = e –x2

15 Fixa’t en les funcions:

f (x) =  ≤ xx x x x 21 42 1 1 ––si si > 2 + )

g (x) =  ≥ xx xx x x 74 23 2 2 –si si < 2 2 + + *

a) Comprova que són derivables en Á.

b) Determina’n els intervals de creixement i de decreixement i els màxims i els mínims

16 Estudia els intervals de creixement i de decreixement de la funció f (x) = x | x |. Té màxims o mínims?

Determina els intervals de concavitat i de convexitat. Té algun punt d’inflexió?

Exercicis i problemes proposats

Funcions dependents de paràmetres

17 Donada la funció f (x) = 1 +  x a x 6 2 + , calcula a sabent que f (x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3. Es tracta d’un màxim o d’un mínim?

18 De la funció f (x) = ax 3 + bx sabem que passa per (1, 1) aquest punt té tangent paral·lela a la recta 3x + y = 0. Troba a i b

19 Troba una funció f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c que tengui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2 i un punt d’inflexió en P (1, 2).

20 Calcula els coeficients de a, b i c de la funció f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx, sabent que:

a) L’equació de la recta tangent a f en x = 0 és y = x

b) Té un extrem relatiu en el punt (–1, 0).

21 Troba a, b, c i d perquè f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tengui un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

22 Les funcions f (x) =  x 4  +  ax 2  +  bx i g(x) =  x –  cx 2 passen pel punt (1, 0). Determina els coeficients a, b i c perquè tenguin la mateixa recta tangent en aquest punt i calcula-la.

23 Donada la funció y = ax 4 + 3bx 3 – 3x 2 – ax, calcula els valors de a i b sabent que té dos punts d’inflexió, un en x = 1 i un altre en x = 1/2.

24 La corba y = x 3 + ax 2 + bx + c talla l’eix d’abscisses en x = –1 i té un punt d’inflexió en el punt (2, 1). Calcula a, b i c.

25 La funció f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 i que f no té extrem relatiu en x = 1. Calcula a, b i c

26 Sigui f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5. Troba a i b perquè la corba y = f (x) tengui en x = 1 un punt d’inflexió amb tangent horitzontal.

27 Troba el valor de c de manera que la funció y =  xc e x 2 + tengui un únic punt crític. Es tracta d’un màxim, d’un mínim o d’un punt d’inflexió?

28 a) Calcula els valors dels paràmetres a i b perquè sigui derivable la funció: f (x) =  e x x 1 0 –si < x 2 xaxb x 0 si ≥ ++ *

b) Troba els extrems relatius en el cas a = –2, b = 1.

Per resoldre

29 Troba l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la corba x 2  – y 2 + 2x – 6 = 0 en els punts d’ordenada y = 3.

30 Determina els punts de la circumferència (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 en els quals la recta tangent a aquesta és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant

31 Escriu l’equació de la recta tangent a la corba y = arc tg x x 1 1 –+ que és paral·lela a la recta x – 2y + 3 = 0.

32 Troba l’equació de la tangent a la corba y = x x/2 en el punt d’abscissa x = e.

33 Troba l’angle que formen les rectes tangents a les funcions f (x) i g (x) en el punt d’abscissa 2: f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2  – x – 2

34 Fixa’t en la funció f (x) = | x – 3|(x + 1) i troba els punts on les tangents són paral·leles a la recta y = 6x – 2

35 Donada la funció f (x) = 4 – x 2 es demana:

a) El punt d’aquesta corba en què la tangent és paral·lela a la corda que uneix els punts (–1, 3) i (2, 0).

b) Les rectes que passen pel punt (–2, 1) i són tangents a la corba.

36 Troba l’equació de la tangent a la corba f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 amb pendent mínim.

37 Donada la corba y =  x 3 1 2 + :

a) Expressa la funció m(x) que dona el pendent de la recta tangent a la corba en cada punt x.

b) Calcula el valor de x on s’aconsegueix el màxim pendent.

38 Troba el domini de definició i els intervals de creixement i de decreixement de la funció:

f (x) =  ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Estudia els intervals de creixement i els màxims i els mínims de la funció donada per: y = |x 2 + 2x – 3|

40 Estudia l’existència de màxims i de mínims relatius i absoluts de la funció y = |x 2 – 4|.

41 Troba el valor que ha de tenir a perquè la funció

f (x) = x 2 ln a x , a > 0, tengui un punt singular en x = e.

42 Es considera la funció.

f (x) =

≤ ln ax bx c xx x x 0 0 si si > 2 ++ )

Determina a, b i c perquè sigui contínua, tengui un màxim en x = –1 i la tangent en x = –2 sigui paral·lela a la recta y = 2x

43 a) Fixa’t en la funció:

f (x) =

2 2 + ++ *

≤ xpx xmxn x x 1 1 –si si >

i calcula els valors de m, n i p perquè f sigui derivable en Á i tengui un extrem relatiu en x =  2 1 –

b) És un màxim o un mínim?

c) Comprova si hi ha altres punts singulars i representa la funció

44 Sigui f la funció definida per f (x) =  ≤ xe ab x x x 20 0 –si si > x–+ *

a) Determina el valor de a i b sabent que f (x) és derivable en x = 0.

b) Té punts singulars?

45 Troba els punts de la paràbola y = x 2 – 1 que es troben a distància mínima del punt A 2, 2 1 dn .

46 Calcula els extrems relatius, els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de les funcions següents:

a) f (x) = x 2 + | x – 2 | b) f (x) = 3e –2| x |

47 Calcula el màxim i el mínim absoluts en l’interval [–2, 3] de la funció f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) Sent h (x) la suma de les coordenades del punt P (x, f (x)) del gràfic de f (x) = x 4 + x 3 + x 2  – x + 1. Calcula els extrems relatius de h (x).

b) Té h (x) algun extrem absolut?

49 El punt P (x, y) recorre l’el·lipse x y 25 9 2 2 +  = 1.

Dedueix les posicions del punt P per a les quals la distància al punt (0, 0) és màxima i també aquelles per a les quals la distància és mínima.

50 Siguin x i y dos nombres positius el producte dels quals val 16. Pot x + y ser menor que 7? Raona’n la resposta.

51 Es desitja tancar un terreny rectangular usant 100 m d’una tela metàl·lica. S’ha decidit deixar una obertura de 20 m sense tancar en un dels costats de la parcel·la per col·locar-hi una porta. Calcula les dimensions de tots els costats de la parcel·la rectangular d’àrea màxima que pot tancar-se d’aquesta manera. Calcula també el valor d’aquesta àrea màxima.

52 Es vol construir un recipient cònic de generatriu 10 cm i de capacitat màxima. Quin ha de ser el radi de la base?

53 En un quadrat de costat 10 cm volem recolzar la base d’un cilindre que té una àrea lateral de 50 cm2. Quin ha de ser el radi del cilindre perquè el volum sigui màxim?

54 En un triangle isòsceles de base 12 cm (el costat desigual) i altura 10 cm, s’inscriu un rectangle de manera que un dels seus costats estigui sobre la base del triangle i dos dels seus vèrtexs sobre els costats iguals:

a) Expressa l’àrea, A, del rectangle en funció de la seva base, x, i digues quin és el domini de la funció.

b) Troba el valor màxim d’aquesta funció

55 Meta 7.3. Volem fer un envàs amb forma de prisma regular de base quadrada i amb una capacitat de 80 cm3. Per a la tapa i la superfície lateral, usam un determinat material, però per a la base, hem d’emprar un material un 50 % més car. Troba les dimensions d’aquest envàs perquè el preu sigui el més baix possible

56 Dos pals de 12 m i 18 m d’alçària disten entre si 30 m. Es desitja estendre un cable que uneixi un punt del terra entre els dos pals amb els extrems d’aquests. On s’ha de situar el punt del terra perquè la longitud total del cable sigui mínima?

57 De totes les rectes que passen pel punt (1, 2), troba la que determina amb els eixos de coordenades, i en el primer quadrant, un triangle d’àrea mínima.

58 Cada una de les pàgines d’un llibre ha de tenir 600 cm2 de superfície, amb els marges al voltant del text de 2 cm a la part inferior, 3 cm a la part superior i 2 cm a cada costat. Calcula les dimensions de la pàgina que permeten que la superfície impresa sigui el més gran possible.

Exercicis i problemes proposats

59 Un rectangle té els vèrtexs en els punts (0, 0), (a, 0), (0, b) i (a, b), on a > 0, b > 0 i, a més, el punt (a, b) està situat a la corba d’equació y = x 1 2 + 9.

D’entre tots els rectangles que compleixen aquestes condicions, determina el rectangle d’àrea mínima i calcula aquesta àrea mínima.

60 Considera un triangle isòsceles amb base de 12 cm que és el costat desigual amb altura de 5 cm. Es vol determinar un punt A situat sobre l’altura a una distància x de la base, de manera que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle sigui mínima. Observa la figura: A x 5 cm } 12 cm

a) Demostra que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle ve donada per l’expressió f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 +

b) Calcula el valor de x perquè la suma de les distàncies sigui mínima.

c) Calcula aquesta quantitat mínima.

61 Les busques d’un rellotge fan 4 cm i 6 cm; unint-ne els extrems es forma un triangle.

a) Demostra que l’àrea d’aquest triangle ve donada per A (x) = 12sin x, on x és l’angle que formen les busques

b) Troba x perquè l’àrea del triangle sigui màxima i calcula-la.

62 La velocitat d’una partícula en m/s, ve donada per la funció v (t ) = (t 2 + 2t)e –t amb t ≥ 0.

a) En quin instant l’interval [0, 3] s’arriba a la velocitat màxima?

b) Calcula lm í x ∞ " + v (t ) i interpreta el resultat

63 Donada f: [1, e] → Á definida per f (x) =  x 1  + ln x, determina quines de les rectes tangents al gràfic de f tenen el màxim pendent.

64 Calcula les dimensions del triangle isòsceles d’àrea màxima, inscrit en una circumferència de 4 m de radi

Qüestions teòriques

65 Comprova que f (x) = x 3 – 18x, definida en l’interval [0, 3 2 ], verifica les hipòtesis del teorema de Rolle i troba el valor c ∈ (0, 3 2 ) per al qual f ' (c) = 0.

66 La funció y = x 3 – 5x 2 + 3x – 2, compleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [0, 4]? En cas afirmatiu, digues quin és el x0 que compleix la tesi

67 Tenim la funció: f (x) =  x 21 si –≤ ≤–x x x

] ] ] ]

Z [ \

1 2 3 10 –si –≤ < 2

Prova que f satisfà les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [–2, 0] i calcula el punt o els punts en els quals es compleix el teorema.

68 És possible calcular a, b, c perquè la funció: f (x) =  ≥ x ax bx x x 51 3 1 1 si si < 2 + ++ )

compleixi el teorema de Rolle en l’interval [0, c]?

69 La funció f (x) = | cos x | pren en els extrems de l’interval [0, π] el valor 1. Compleix el teorema de Rolle?

70 Sigui f una funció contínua i derivable tal que f (0) = 3. Calcula quant ha de valdre f (5) per a assegurar que en [0, 5] hi ha un c tal que f ' (c) = 8.

71 Calcula a i b perquè: f (x) =  ≥ ax xx b x x 3 10 4 4 – si si < 2 + )

compleixi les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [2, 6]. On compleix la tesi?

72 Sigui f (x) = 1 – x 2/3

Prova que f (1) = f (–1) = 0, però que f'(x) no és mai zero en l’interval [–1, 1]. Explica per què aquest resultat contradiu aparentment el teorema de Rolle.

73 La derivada de una funció f és positiva per a tots els valors de la variable. Hi pot haver dos nombres diferents, a i b, tals que f (a) = f (b)? Raona-ho

74 Calcula a, b i c perquè la funció: f (x) =  ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + )

compleixi les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, 4]. En quin punt es compleix la tesi?

75 Donada la funció:

f (x) =  () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ + demostra que hi ha un valor a ∈ (1, 2) tal que f ' (a) = 0. Esmenta i justifica els resultats teòrics emprats.

76 Vertader o fals? Raona la resposta.

a) Una funció que no sigui una recta pot tenir infinits punts en els quals la seva recta tangent sigui y = 1.

b) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0, aleshores f no pot tenir ni màxim ni mínim en x = a

c) Si un polinomi de grau 3 té un mínim en x = 2, aquest mínim no pot ser mínim absolut.

d) Una funció contínua en [0, 5], que no és derivable en x = 3, no pot tenir un màxim en x = 3.

e) Si y =  f (x) és creixent en x = a, llavors y = –f (x) és decreixent en x = a

f ) Si f ' (a) = 0, f té un màxim o un mínim en x = a.

g) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 i f ''' (a) = –5, f té un punt d’inflexió en x = a.

h) Si aquest és el gràfic de f ' (x), llavors f té un mínim en x = –1 i un màxim en x = 1.

AUTOAVALUACIÓ

1 Troba els punts de la funció:

f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ en els quals la recta tangent sigui paral·lela a la recta y = 2x – 3.

2 Calcula els extrems relatius i els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de la funció següent:

f (x) = x | x – 2 |

3 Estudia el creixement de la funció f (x) = e x (cos x + sin x) i determina els seus màxims i mínims per a x ∈ [0, 2π].

4 a) Estudia la curvatura de la funció següent:

f (x) = x 2 ln x

b) Escriu l’equació de la recta tangent que passa pel seu punt d’inflexió.

Per aprofundir

77 En un experiment s’han realitzat cinc mesures del mateix objecte, que han donat els resultats següents:

m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91

Es prendrà com a millor aproximació a la mesura real el valor de x tal que la suma dels quadrats dels errors sigui mínima. És a dir, el valor per al qual la funció:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2

aconsegueix el mínim. Calcula aquest valor de x

78 Demostra que existeix α ∈ (–1,3) tal que f ' (α) =  4 –1 sent

f (x) =  [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++

Esmenta els resultats teòrics emprats i justifica’n l’ús.

79 Quan un globus és a 200 m sobre el terra i s’eleva a 15 m/s, un automòbil hi passa per davall amb velocitat de 45 km/h. Amb quina velocitat se separen cotxe i globus un segon després?

Ten en compte el següent:

— El globus està a 200 + 15t m d’altura en l’instant t

— El cotxe està a (45/3,6) · t m de la vertical del globus

Troba la distància entre tots dos i esbrina la velocitat d’allunyament quan t = 1.

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquestes exercicis

5 Determina a, b, c i d perquè la funció:

g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tengui un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

6 Calcula el punt de la corba y =  x 1 1 2 + en el qual el pendent de la recta tangent sigui màxim

7 De tots els cilindres que es poden inscriure en una esfera de 9 cm de radi, troba l’altura i el radi del que té més volum.

8 La funció f (x) = 1 – | x | si x ∈ [–2, 2] verifica la igualtat f (–2) = f (2).

Justifica, si és possible, trobar algun c ∈ (–2, 2) tal que f ' (c) = 0.

Representació de funcions 11

Concepte de funció

En els segles xv i xvi es varen establir les bases de la simbologia algebraica que varen permetre un maneig molt pràctic de les matemàtiques, fet que va obrir camí a la diferenciació entre les variables d’una funció i les incògnites d’una equació, essencial per arribar a establir la noció de funció.

A principis del segle xvii, Galileu va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a relacionar de manera funcional les causes i els efectes. Això va ser fonamental per determinar la concepció de variable dependent. Les investigacions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció que va prenent forma al llarg del segle xvii

Una de les idees més fecundes i brillants del segle xvii va ser la de la connexió entre el concepte de funció i la representació gràfica d’una corba.

La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es va generalitzar a qualsevol relació numèrica que respongui a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Però els matemàtics d’aquella època només admetien com a funcions els gràfics que responien a una fórmula. Va ser a mitjan segle xix quan Dirichlet va ampliar el concepte de funció a relacions d’uns certs tipus donades gràficament (o d’una altra manera), encara que no hi hagués una «fórmula» que les descrigués.

Els conceptes i els procediments del càlcul de límits i derivades permeten, en l’actualitat, indagar còmodament i eficaçment sobre les característiques més rellevants de funcions donades mitjançant fórmules i, en conseqüència, procedir a la seva representació gràfica. Amb una calculadora o un ordinador s’aconsegueix de manera automàtica i instantània.

Dirichlet

La seva definició del concepte de funció va servir per afermar els fonaments de l’anàlisi. Però Gustav Dirichlet, professor a Berlín, va fer moltes altres aportacions a les matemàtiques i a la física de manera que, en morir Gauss el 1855, tots varen pensar en Dirichlet com el seu digne successor i va ser l’elegit per ocupar la càtedra de Göttingen.

Gustav Dirichlet (1805-1859)

Una estranya funció i un savi contrariat

Dirichlet, amb la finalitat de posar un exemple de funció que no fos contínua en cap dels seus punts, va definir això:

D (x) = x x 1 0 si si ! !

Funcions així d’estrafolàries es varen dissenyar per perfilar el concepte de funció. Poincaré, considerat com el matemàtic més important del moment a principis del segle xx, es queixava d’«aquestes estranyes funcions inventades amb la finalitat de mostrar que el raonament dels nostres antecessors va ser erroni» i les contraposava a les «funcions honestes que serveixen per a alguna cosa».

Dues corbes interessants

tractriu

Sobre l’eix X, a 4 m de l’origen hi ha una bolla fermada a una corda de 4 m. Una persona subjecta l’extrem de la corda i camina al llarg de l’eix Y, arrossegant la bolla. La trajectòria que recorre la bolla és una corba, anomenada tractriu, que és tangent a la corda en cada punt. L’equació és:

catenària

Si es fermen els extrems d’una cadena de 2,35 m a dos pals d’1,54 m d’altura separats entre si 2 m, la cadena forma una corba anomenada catenària. Situant els eixos de manera adequada, l’equació és:

RESOL

Límits i derivades per representar una funció

• Traça uns eixos de coordenades sobre paper quadriculat i representa-hi una corba, tan senzilla com sigui possible, que compleixi les condicions següents:

•

és derivable en tot Á, excepte en

• Descriu, amb el mínim de dades i de forma similar a l’exercici anterior, la funció següent:

Elements fonamentals per a la construcció de corbes

Tot i que la gràfica d’una funció és un conjunt de punts, per representar-lo no és bon sistema, com bé saps, obtenir indiscriminadament les coordenades de molts punts d’aquesta. I això és així per dos motius:

— S’empraria molt de temps

— Aquests punts, probablement, siguin insuficients per donar una idea correcta de com és la corba, perquè les parts més interessants d’aquesta és possible que es trobin intercalades entre aquests o bé fora del tram en què hem treballat.

Les corbes, en general, presenten alguns detalls interessants (punts singulars, branques, ruptures…) i fora d’aquests es comporten de forma anodina. Per representar-les eficaçment s’haurà de saber localitzar aquestes peculiaritats que les caracteritzen. Amb aquesta finalitat se n’estudien els límits, les asímptotes, les derivades

En aquesta unitat revisarem, sistematitzarem, i posarem ordre en tots els instruments matemàtics que posseïm per a la recerca de trets interessants d’una corba amb vista a representar-la. Recordem quins són:

• Camp en el qual s’ha d’estudiar la funció

— Domini de definició. És contínua? És derivable?

— Simetries (ja que si és simètrica respecte de l’eix Y o respecte de l’origen de coordenades, n’hi haurà prou amb estudiar-la per a x ≥ 0).

— Periodicitat (si és periòdica, n’hi haurà prou amb estudiar-la en un període).

• Branques infinites

— Quan x → ±∞ De quin tipus són?

— Quan x → a N’hi ha?

• Derivades

— Punts singulars: màxims, mínims relatius o punts d’inflexió

• Obtenció de punts complementaris

— Punts de tall amb els eixos.

— Altres punts que puguin servir per perfilar la corba.

Gairebé mai serà necessari sotmetre la corba a un estudi tan prolix que requereixi tots aquests elements. Aquesta llista és com el panell on l’artesà posa les seves eines.

Poques vegades haurà d’usar-les totes per executar una obra. Però és bo que les tengui a mà i que conegui com s’utilitzen i quan és oportú fer-ho.

Posarem a punt totes aquestes eines.

Domini de definició

El domini de definició d’una funció y = f (x) (valors de x per als quals existeix la funció) és, en principi, tot Á, llevat que hi hagi operacions impossibles o que, expressament, se’ns restringeixi. Recordarem les principals restriccions:

• Si hi ha denominadors, la funció no està definida on aquests s’anul·len

• () x n { quan n és parella, només està definida quan φ (x) ≥ 0.

• log φ (x) només està definida quan φ (x) > 0.

• arc sin φ (x) i arc cos φ (x) només estan definides quan –1 ≤ φ (x) ≤ 1.

• tg φ (x) no està definida si φ (x) = k 2 r r + , k ∈ .

) = 0 i x = 0

1. Branques infinites

2. Màxims i mínims: f ' (x) = 0

3. Punts d’inflexió: f '' (x)= 0

4. Punts de tall amb els eixos: f (x

funció parella Simètrica respecte de l’origen, O(0, 0) 1 1 2 2

funció imparella 2 3 4 4 4 4 1

➜

anayaeducacion.es Exercicis per repassar funcions conegudes.

Exercici resolt

1 Troba el domini de definició de les funcions següents:

a) y = arc sin (x + 3)

b) y = ln (3 – x 25 –2 )

a) Ja que arc sin actua sobre valors de l’interval [–1, 1], s’ha de complir:

l domini de definició de y = arc sin (x + 3) es [– 4, –2].

b) Per poder extreure l’arrel quadrada, ha de ser 25

Continuïtat, derivabilitat

Les funcions que empram en aquest nivell són contínues en tot el seu domini de definició, excepte aquelles que es defineixen artificialment empalmant-ne trossos. També són derivables, amb algunes excepcions:

Les funcions «arrel» poden tenir tangent vertical (i, per tant, no ser derivables) en els punts en què s’anul·la el radicand.

Per exemple, y = x 4 –2 3 no és derivable en x = –2 ni en x = 2.

El valor absolut sol donar lloc a punts angulosos

Per exemple, y = | x 2 – 4 | en té en x = –2 i en x = 2.

1 Troba el domini d’aquestes funcions i digues on són contínues i on derivables

a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3

2 Digues on són contínues i on són derivables les funcions:

D IBUIXAR FUNCIONS CONTÍNUES I DERIVABLES

La continuïtat en un interval permet unir amb un sol traç tots els detalls (punts, branques...) que coneixem de la funció. Si, a més, és derivable, el traç serà suau, és a dir, sense punts angulosos.

Simetries

• Si una funció f verifica que f (x) = f (–x), llavors la seva gràfica és simètrica respecte a l’eix Y. La raó és molt senzilla: si el punt (a, b) és de la gràfica, f (a) = b i, per tant, f (–a) = b, i això vol dir que el punt (–a, b) també és de la gràfica

Per exemple: y = xx 5 87 –42 + (representada en el marge), y = cos x, y = xx xx 2 5 –3 3 +

• Si una funció verifica que f (–x) = –f (x), llavors la seva gràfica és simètrica respecte a l’origen de coordenades, ja que si (a, b) pertany a la gràfica de f, llavors f (a) = b i, per tant, f (–a) = –b, la qual cosa vol dir que (–a, –b) pertany també a la gràfica de f. El punt (–a, –b) és el simètric de (a, b) respecte de O (0, 0).

Per exemple: y = x 3 – 3x (representada en el marge), y = sin x, y =

Si sabem que una funció és simètrica, podem construir només mitja corba i, després, dibuixar l’altra part per simetria

Periodicitat

Saber que una funció és periòdica en facilita molt la representació. Per ajudar-te en la detecció de periodicitats, aquí tens algunes propietats. Llegeix-les atentament i raona-les amb algun exemple:

Les úniques funcions periòdiques que coneixes són les trigonomètriques

Si f (x) és periòdica de període T, també ho és f (mx + n), i el seu període és m T

Per exemple, observa els gràfics d’aquestes tres funcions:

En el curs passat vares veure la funció part decimal de x

(x) = x – Ent (x)

Mant → Mantissa; Ent → Part entera) Aquesta funció és periòdica de període 1.

3 Troba les simetries i les periodicitats de les funcions següents:

que semblen periòdiques però no ho són.

Branques infinites en un punt. Asímptotes verticals

Si lm í xa " f (x) = ±∞ , llavors la recta x = a és una asímptota vertical.

TENEN ASÍMPTOTA VERTICAL

• Les funcions que són de la forma () () x x z } en els punts en què ϕ(x) = 0 (sempre que la fracció estigui simplificada).

a a

La funció es pot acostar a x = a per l’esquerra o per la dreta i pot tendir a més o menys infinit. Vegem-ne els casos possibles: a a

Si la funció està definida a banda i banda de l’asímptota, estudiam els dos límits laterals:

lm í xa –" f (x) i lm í xa " + f (x)

Exemples:

• y = x x 2 21 –+ té una asímptota vertical en x = 2 ( lm í x 2 " f (x) = ±∞).

Per esbrinar el signe de f (x) en les proximitats de 2, donam a x valors pròxims a 2 («un poc més petits» i «un poc més grans»).

esquerra: x = 1,99 → f (x) = , , 1992 21 99 1 –·+ = – 498 (negatiu) →

→ lm í x 2 –" f (x) = – ∞

dreta: x = 2,01 → f (x) = , ·, 2012 22 01 1 –+ = 502 (positiu) → → lm í x 2 " + f (x) = +∞

• y = x 5 1 + té una asímptota vertical en x = –5. Però la funció només està definida a la dreta de l’asímptota, i, evidentment, lm í x –5 " + x 5 1 + = +∞

• y = ln (x 2 – 1)

ln (x 2 – 1) → – ∞ si x 2 – 1 → 0+

És a dir, si x → 1+ o x → –1–:

lm í x –1 –" ln (x 2 – 1) = lm í x 1 " + ln (x 2 – 1) = – ∞

4 Troba les asímptotes verticals i situa la corba respecte a aquestes:

• log φ(x) en els punts en què

(x) = 0.

• tg φ(x), en els punts en què

= π 2 + kπ, k ∈ ➜ Posa asímptotes verticals a discreció.

Ten en compte que en alguns apartats el numerador i el denominador poden tenir arrels comunes.

Branques infinites en l’infinit

• Si ∞ lm í x " + f (x) = l, llavors la recta y = l és asímptota horitzontal quan x → +∞.

La posició de la corba respecte de l’asímptota s’esbrina estudiant el signe de la diferència f (x) – l per a valors grans de x

• Si ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ , ∞ lm í x " + () x fx = m ≠ 0 i ∞ lm í x " + [ f (x) – mx] = n, llavors la recta y = mx + n és una asímptota obliqua quan x → +∞

La posició de la corba respecte de l’asímptota s’esbrina estudiant el signe de f (x) – (mx + n) per a valors grans de x

Atenció! Com ja saps del curs anterior, en les funcions racionals la localització de les asímptotes obliqües és molt més senzilla (vegeu pàgina 281).

• Si ∞ lm í x " + f (x) = ±∞ i no hi ha asímptota obliqua, llavors hi pot haver branca parabòlica d’un dels tipus següents:

asímptota horitzontal

asímptota obliqua

tipus 1. Creixement cada vegada més ràpid.

La corba creix, o decreix, cada vegada més de pressa. D’aquest tipus són les branques parabòliques de les funcions polinòmiques i de les exponencials.

tipus 2. Creixement cada vegada més lent.

La corba creix, o decreix, cada vegada més a poc a poc. D’aquest tipus són les funcions radicals i les logarítmiques.

La casuística quan x → – ∞ és anàloga a l’exposada aquí.

• La funció y = xx 2 –2 té una asímptota obliqua quan x → +∞ . Trobem-la:

branques parabóliques

NOTACIÓ

Anomenam y = mx + n l’asímptota.

Hi ha asímptota obliqua per a x → +∞. La seva equació és y = x – 1.

Posició de la corba respecte de l’asímptota:

Per a x = 1 000, xx 2 –2 – (x – 1) val –0,0005.

La corba queda per davall de l’asímptota.

Anàlogament, s’obté l’asímptota y = –x + 1 per a x → – ∞ i es prova que la corba també està per davall.

➜ anayaeducacion.es Obtenció de l’asímptota obliqua de y = x2 –2x quan x → –   ∞

Síntesi: possibles branques infinites quan x → +∞ (*)

5 Troba las branques en l’infinit de les funcions següents:

a) y = 3x 5 – 20x 3 b) y = x x 1 –2 4

c) y = () x x 2 –2 3 d) y = xx 2 –2

e) y = ln (x 2 + 1) f ) y = 2x – 1

g) y = x sin x h) y = x – cos x

6 Quin tipus de branques en l’infinit tenen aquestes funcions?

a) y = x 1 1 + b) y = x x 1 3 +

c) y = x x 1 2 + d) y = x x 1 4 +

e) y = e x x 2 f ) y = x 3 2 3 +

g) y = x + x h) y =

Punts interessants

punts de tangent horitzontal (singulars o crítics)

• Les abscisses dels punts de tangent horitzontal s’obtenen quan resolem l’equació

f ' (x) = 0.

Una vegada trobades les solucions, x1, x2, …, xk , els punts de la gràfica corresponents, (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), …, (xk, f (xk)), serveixen per marcar les pujades i les baixades de la corba, sempre que f (x) sigui derivable en tot el tram on es troben

P UNTS SINGULARS

El coneixement de tots els punts de tangent horitzontal (punts singulars) és crucial per a la representació d’un gràfic.

També és una dada molt important saber que no n’hi ha cap.

• Els màxims i els mínims es manifesten espontàniament en traçar la corba, unint raonablement les branques infinites i els punts de derivada nul·la. Però hem de recordar que també es pot saber si un punt de tangent horitzontal és màxim o mínim recorrent a la segona derivada:

Si f ' (a) = 0 i f '' (a) > 0 ⇒ en (a, f (a)) hi ha un mínim relatiu

Si f ' (a) = 0 i f '' (a) < 0 ⇒ en (a, f (a)) hi ha un màxim relatiu.

• També es pot esbrinar si un punt de tangent horitzontal és màxim o mínim estudiant el signe de f ' (x) a l’esquerra i a la dreta.

punts de tall amb els eixos

• Talls amb l’eix X: les seus abscisses són les solucions de l’equació f (x) = 0.

• Tall amb l’eix Y: és el (0, f (0)).

punts d’inflexió

Són els punts on la funció passa de còncava a convexa, o viceversa. Es troben entre les arrels de l’equació f '' (x) = 0.

altres punts

De vegades, convé trobar altres punts (a, f (a)) per precisar la forma de la corba.

P UNTS D’INFLEXIÓ

Els punts d’inflexió matisen la forma de la corba. De vegades, són molt útils.

Pensa i practica

7 Troba els punts singulars i els punts d’inflexió d’aquestes funcions:

a) y = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

b) y = ln (x 2 + 1)

8 Troba els punts singulars de:

a) y = 3x 5 – 20x 3

c) y = () x x 2 –2 3

b) y = x x 1 –2 2

d) y = xx 2 –2

➜ Troba els punts de derivada nul·la.

El valor absolut en la representació de funcions

Valor absolut d’una funció

Per representar y = | f (x) |, representarem la funció y = f (x) i, després, passarem a dalt, mitjançant simetria, tot el tros de corba que estigui per davall de l’eix X

Per exemple, per representar y = xx 3 1 21 –3 + , representam y = xx 3 1 21 –3 + i «tiram cap amunt» de l’eix X, per simetria, el que està a davall.

operacions amb «valors absoluts»

L’anàlisi de la funció s’ha de realitzar prestant atenció a les abscisses en què canvia de signe alguna de les expressions amb valor absolut.

1 Representa y = || x 1 1 +

L’únic valor absolut que hi intervé

➜ anayaeducacion.es

Repàs teòric: valor absolut d’una funció.

Representació de funcions polinòmiques

Les funcions polinòmiques, y = P (x), són derivables (i, per tant, contínues) en tot Á.

No tenen asímptotes de cap tipus. Tenen branques parabòliques en –∞ i en +∞ Coneixent aquestes dues branques infinites i els punts singulars, es poden representar amb molta precisió. Si es volen perfilar millor, es poden obtenir els punts de tall amb els eixos i els punts d’inflexió

Poden presentar simetries:

• Si només tenen termes de grau parell, són simètriques respecte de l’eix Y

Per exemple: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Si només tenen termes de grau imparell, són simètriques respecte de l’origen de coordenades

Per exemple: y = x 5 – 4x 3 + 2x

Per representar una funció polinòmica y = P (x):

• S’observa si té algun tipus de simetria.

• Es troben les seves dues branques infinite:

• Es resol l’equació P' (x) = 0.

+ f (x)

Les seves solucions, si n’hi ha, són les abscisses dels seus punts singulars. A continuació, se n’obtenen els ordenades.

• Els punts obtenguts s’uneixen entre si i amb les branques infinites, estant atents de no dibuixar més punts singulars que els obtenguts. D’aquesta manera s’esbrina quins són els màxims i mínims relatius

• Si es pot, convé obtenir també els punts d’inflexió i els punts de tall amb els eixos per aconseguir major precisió en la representació.

Exercicis resolts

1 Representa la funció següent:

f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

RECORDA

És important reconèixer les funcions polinòmiques i saber, a priori, què en podem esperar.

T EN EN COMPTE

Amb els punts singulars i les branques infinites s’aprecia clarament la forma de la corba.

➜ Representa funcions polinòmiques.

➜ anayaeducacion.es Exercicis per repassar la representació de funcions polinòmiques.

Simetries. No és simètrica ni respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades.

Branques infinites: ∞ lm í x – " f (x) = – ∞ , ∞ lm í x " + = +∞

Punts singulars:

f ' (x) = 3x 2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 ⇔ x = 1, x = 3

f (1) = 9, f (3) = 5 → (1, 9), (3, 5)

Talls amb els eixos:

Talla l’eix Y en (0, 5) i l’eix X entre –1 i 0, ja que f (–1) = –11 i f (0) = 5.

Punts d’inflexió:

f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 ⇔ x = 2 → (2, 7)

Amb aquestes dades podem dibuixar la corba

Exercicis resolts

2 Representa la funció següent:

= 3x 5 – 20x 3

Simetries: Observam que tots els termes són de grau imparell. Per tant, és simètrica respecte de l’origen de coordenades. (Recorda que aquestes funcions es diuen imparelles).

3 Representa la funció:

= x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9

Els punts singulars són (–2, 64), (0, 0) i (2, – 64). Aquestes dades són suficients per representar el gràfic.

Simetries: No és ni parella ni imparella. Per tant, no és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades.

Branques infinites:

Punts singulars: f ' (x) = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24. Com que és un polinomi de tercer grau, hem de localitzar algunes de les seves arrels temptejant amb els divisors del terme independent (24). A més a més, com que tots els coeficients són positius, només pot tenir arrels negatives. Provem amb x = –1:

Una arrel és x = –1, i les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació 4x 2 + 20x + 24 = 0.

1 Representa aquestes funcions:

Talls amb els eixos:

Dos dels punts singulars estan en l’eix X Si feim un esbós de la corba, observam que no talla l’eix X en més punts.

L’eix Y el talla en el punt (0, 9).

Representació de funcions racionals

En una funció racional y = P (x)/Q (x) hem de prestar una atenció especial als valors de x per als quals s’anul·la el denominador: en cada un d’aquests hi ha una asímptota vertical. La funció és derivable (i, per tant, contínua) en tots els altres punts de Á Depenent dels graus de P (x) i de Q (x), la corba pot tenir asímptota horitzontal, asímptota obliqua o no tenir-ne.

Si té asímptota horitzontal o obliqua, és la mateixa per a x → – ∞ i per a x → + ∞ .

Per representar una funció racional y = f (x) = P (x)/Q (x):

• S’observa si té algun tipus de simetria.

• Es troben les asímptotes verticals: les seves abscisses són les solucions de l’equació Q (x) = 0. S’estudia la posició de la corba respecte de cada una.

• S’estudia si té asímptota horitzontal o obliqua:

Si grau de P (x) ≤ grau de Q (x), trobam: ∞ lm í x " + P (x)/Q (x) = l

La recta y = l és una asímptota horitzontal.

Si grau de P (x) = grau de Q (x) + 1 hi ha asímptota obliqua. La seva equació és y = mx + n, sent mx + n el quocient de la divisió P (x) : Q (x)

(Tant si hi ha asímptota horitzontal com obliqua, s’estudia la posició de la corba respecte d’aquesta per a x → – ∞ i per a x → + ∞).

Si grau de P (x) > grau de Q (x) + 1 hi ha branques parabòliques.

• S’esbrinen els punts singulars. Les seves abscisses són les solucions de l’equació f ' (x) = 0.

• Es poden obtenir, si es desitja, altres punts com els de tall amb els eixos, valors de x per als quals f (x) = 0; i (0, f (0)). I, potser també, els punts d’inflexió, f '' (x) = 0.

ATENCIÓ

Suposam que els polinomis P (x) i Q (x) no tenen arrels comunes.

En les funcions racionals, coneixent les asímptotes i la posició de la corba respecte d’aquestes, podem fer un esbós en el qual s’apreciï clarament la forma de la corba.

➜ Obtén les asímptotes.

➜ anayaeducacion.es Exercicis per repassar la representació de funcions racionals.

Exercicis resolts

1 Representa la funció següent:

f (x) = x x 1 –2 4

Simetries: f (–x) = f (x). Per tant, és simètrica respecte de l’eix Y.

Asímptotes verticals: x 2 – 1 = 0 ⇔ x = –1, x = 1

Posició respecte de l’asímptota x = 1:

f (0,99) = – 48,

(1,01) = 51, … → lm í x 1 " + f (x) = + ∞

Per simetria, es dedueix la posició respecte de l’asímptota x = –1.

Branques infinites en l’infinit: No té asímptota horitzontal ni obliqua, ja que: grau P (x) = grau Q (x) + 2

Com que ∞ lm í x " + f (x) = ∞ lm í x – " f (x) = +∞, té dues branques parabòliques.

1

Simetries: No és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen.

verticals: N’hi ha una en x = 2.

Representació d’altres tipus de funcions

Si la funció que ens proposam representar no és polinòmica ni racional, hem de procedir analitzant sistemàticament els aspectes que descrivim al principi de la unitat. Així i tot, tendrem en compte les característiques d’algunes funcions elementals:

• En les funcions amb radicals, hem de tenir cura del domini. Poden tenir asímptotes per a x → + ∞ i x → – ∞, però solen ser diferents.

• Les funcions exponencials solen tindre una asímptota horitzontal i una branca parabòlica de tipus I.

• Les funcions logarítmiques solen tenir una asímptota vertical i una branca infinita que creix extremadament a l’espai (branca parabòlica de tipus II).

• Les funcions trigonomètriques és molt probable que siguin periòdiques.

Exercicis resolts

1 Representa la funció següent: f (x) = xx 2 –2

• f (–x) = () ·( )xx xx22 –22=+ no és igual a f (x) ni a –f (x).

Per tant, no és simètrica respecte de l’eix Y ni l’origen de coordenades.

•

Si x ∈ (0, 2),

2 – 2x < 0; és a dir, el radicand és negatiu. Per tant, no està definida en (0, 2).

Domini de definició: (– ∞, 0] ∪ [2, + ∞)

La corba és derivable en (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞).

• Ja hem vist (página 306) que té asímptotes obliqües per a x → +∞ i x → – ∞ i la posició de la corba respecte a aquestes

Una altra forma de localitzar les dues asímptotes obliqües: () ≈( )| | xx xx xx x 22 11 11 11 –22 22 =+ ==

Veim d’aquesta manera que f (x) = xx 2 –2 , per a valors grans de | x | s’aproxima a y = | x – 1 |. A més és «una mica menor», ja que es resta 1 en el radicand.

Això es concreta així:

Quan x → – ∞ , y = f (x) ≈ y = –x + 1

Quan x → +∞ , y = f (x) ≈ y = x – 1

La corba s’aproxima a les asímptotes per baix.

• Punts singulars:

f ' (x) = xx x xx x 22 22 2 1 ––––22 =

S’anul·la en x = 1, però aquí la funció no està definida. Per tant, no té punts singulars.

Sabem que la corba passa per (0, 0) i (2, 0).

• Representació:

2 Representa la funció següent:

(x) = ln (x 2 + 1)

• És simètrica respecte a l’eix Y, ja que f (x) = f (–x).

• Com que x 2 + 1 és sempre positiu, està definida i és derivable en tot Á. A més, f (x) és sempre positiu, ja que x 2 + 1 ≥ 1.

Per tant, no té asímptota de cap tipus Té branques parabòliques.

3 Representa la funció següent:

(x) = 2 1 sin 2x + sin x

• El període de sin x és 2π i el de sin 2x, és π. Per tant, la funció és periòdica de període 2π. L’estudiam només en l’interval [0, 2π].

• És derivable en tot Á (és suma de funcions derivables). •

• Punts de tall amb els eixos: (0, 0), (π, 0)

• Punts d’inflexió:

A partir d’aquí, s’estén periòdicament en tot Á

Exercicis resolts

4 Representa la funció següent:

f (x) = x e x

5 Representa la funció següent:

f (x) = (ln x) 2

• No és simètrica.

• Asímptota vertical en x = 0: lm í x 0 " + f (x) = +∞ , lm í x 0 –" f (x) = – ∞

• Branca infinita quan x → + ∞:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x " + () x fx = +∞ . És una branca parabòlica. Branca infinita quan x → – ∞:

∞ lm í x – " f (x) = 0 prenent valors negatius

y = 0 és una asímptota horitzontal. La corba queda per davall.

• f ' (x) = () x xe e x ex 1 –– xx x 22 = f ' (x) = 0 ⇔ x = 1

f (1) = e. Té un punt singular: (1, e).

Recordem el gràfic de y = ln x per inspirar-nos-hi.

• Ja que ln x està definit en (0, +∞), D = (0, +∞) és el domini de definició de y = (ln x)2

En aquest la funció és contínua i, segurament, també és derivable.

• Branques infinites: L’asímptota vertical de y = ln x també ho és d’aquesta funció, tan sols que en elevar-la al quadrat prendrà valors positius: lm í x 0 " + (ln x)2 = +∞

Quan x → +∞, té una branca parabòlica

• Punts singulars:

f ' (x) = 2ln x · ln xx x 1 2 = , f ' (x) = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1

• Representació:

f (1) = (ln 1)2 = 0. Per tant, el punt (1, 0) és de tangent horitzontal. Ja que (ln x)2 ≥ 0 en el seu domini, llavors en (1, 0) hi ha un mínim

• Punts d’inflexió:

f '' (x) = 2 ln x x 1–2

f '' (x) = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e

Pensa i practica

1 Representa:

• Representació:

f (e) = (ln e)2 = 1. Punt d’inflexió en (e, 1) 1 e

a) y = xx 2 2 + b) y = x 9 –2 c) y = ln (x 2 + 4) d) y = ln (x 2 – 1) e) y = ln x x f

h) y = x

Exercicis i problemes resolts

1. De l’estudi al gràfic (simetries, asímptotes horitzontals, obliqües i verticals)

Representa y = f (x) en cada cas:

a) I. Dom f = Á – {0} i f és derivable en tot el seu domini.

II. ∞ lm í x – " f (x) = 0 +; ∞ lm í x " + f (x) = 0 –

lm í x0 – " f (x) = + ∞; lm í x0 " + f (x) = +∞

III. f (1) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 2;

f (2) = –1; f '' (2) > 0

b) I. Dom f = Á – {–1, 1} i f és derivable en tot el seu domini.

II. La funció és parella.

Informació de f (x) quan x ≥ 0:

III. ∞ lm í x " + f (x) = + ∞; ∞ lm í x " + () x fx = 1

∞ lm í x " + [ f (x) – x] = –2–;

lm í x1 –" f (x) = + ∞; lm í x1 + " f (x) = – ∞

IV. f (3/4) = 0; f (3) = 0;

f ' (x) = 0 ⇔ x = 0;

f (0) = –1; f '' (0) > 0

FES-HO TU

Representa y = f (x):

Dom f = Á – {–2, 2}; funció imparella.

lm í x " + f (x) = – ∞; ∞ lm í x " + () x fx = –1

∞

lm í x " + [ f (x) – (–1) · x] = –1+

∞

lm í x 2 –" f (x) = + ∞; lm í x 2 " + f (x) = +∞

f (3) = 0; f ' (x) = 0 ⇔ x = 0; f (0) = 0

2. Descripció d’un gràfic

Descriu el següent gràfic d’una funció:

a) I. Com que és derivable en tot el seu domini, Á – {0}, és contínua i no té punts angulosos.

II. Quan x → – ∞ hi ha una asímptota horitzontal, y = 0, a la qual la funció s’acosta per damunt.

En x = 0 hi ha una asímptota vertical. Tant a la seva esquerra com a la seva dreta, el gràfic tendeix a + ∞ .

Quan x → + ∞ està la mateixa asímptota horitzontal, y = 0, a la qual la funció s’acosta per davall.

III. f (1) = 0 vol dir que talla l’eix X en x = 1. L’equivalència f ' (x) = 0 ⇔ x = 2 significa no només que hi ha un punt de tangent horitzontal en x = 2, sinó que és l’únic. Com que f (2) = –1, està en (2, –1) i com que f '' (2) > 0, és un mínim. Traçam la corba.

b) I. La funció és contínua i no té punts angulosos en Á – {–1, 1}.

II. Que la funció sigui parella vol dir que és simètrica respecte a l’eix Y. A partir d’aquí, obtenim la informació només per a x > 0 i en traçam, després, la simètrica.

III. Els límits mostren: quan x → + ∞ una asímptota obliqua, y = x – 2, a la qual la corba s’acosta per davall; i en x = 1 una asímptota vertical a la qual la corba tendeix a + ∞ per l’esquerra i a – ∞ per la dreta.

IV. L’equivalència f ' (x) = 0 ⇔ x = 0 vol dir que x = 0 és l’únic punt de derivada zero. Com que, a més, f '' (0) > 0, es tracta d’un mínim relatiu.

Traçam, a partir d’aquesta informació, un esbós del gràfic de la funció.

Representam, primer, la funció per a x ≥ 0, i després, per simetria respecte a l’eix Y, la funció completa.

• Dom f = Á – {–2, 2}

• És imparella. És a dir, simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• x = –2 és asímptota vertical →

• x = 2 és asímptota vertical →

1 –2

• f ' (x) > 0 en tot el seu domini, és a dir, és creixent, no té màxims ni mínims.

• f '' (x) = 0 ⇔ x = 0; a més, f (0) = 0. Té un punt d’inflexió en (0, 0).

Exercicis i problemes resolts

3. Representació d’una funció racional amb asímptotes obliqües

Estudia el domini, les asímptotes i els punts singulars d’aquesta funció:

f (x) = x 42x –2

Representa’n la gràfica

• Està definida en Á – {0} i és contínua en tot el seu domini. La seva expressió sembla indicar que serà derivable en tot el domini.

• Simetria: f (–x) = () x x x x 42 42 –––2 2 = = –f (x)

És simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• Asímptota vertical: x = 0

• Asímptota obliqua: y = –2x L’obtenim efectuant el quocient:

• Punts singulars: a partir de l’esbós de la corba que hem fet amb les asímptotes, ens quedam amb la impressió que no tendrà ni màxims ni mínims. Ho comprovam estudiant la derivada:

FES-HO TU

Representa la funció següent: f (x) = () ()xx x 21 2 4

Efectivament, l’equació x 2 + 2 = 0 no té solució. No hi ha, per tant, punts de tangent horitzontal

4. Representació d’una funció racional amb branques parabòliques

Estudia el domini de definició, les asímptotes i els intervals de creixement i de decreixement, màxims i mínims de la funció:

f (x) = () x x 31 3 +

Després, representa-la

• Domini de definició: Á – {–1}. No té simetries

• Asímptota vertical: x = –1

FES-HO TU

Estudia el domini, les asímptotes, els intervals de creixement i de decreixement, els màxims i els mínims per representar aquesta funció: f (x) = () x x 1 –2 4

5. Funció amb valor absolut

Dibuixa la gràfica d’aquesta funció:

– 1 | – | 2x + 4 | Indica abans la funció a trossos corresponent.

= | x + 3 | + |

6. Funció logarítmica

Representa el gràfic d’aquesta funció:

(x) = ln x x 1 3

• La funció està definida si x x 1 3 –– > 0. Domini: (–∞, 1) ∪ (3, +∞).

• Comportament de la funció en les proximitats de x = 1 i x = 3:

3+,

• Les rectes x = 1 i x = 3 són asímptotes verticals.

• y = 0 és una asímptota horitzontal, ja que:

FES-HO TU

Representa aquesta funció sabent que per a x ≥ 0, f ' (x) només s’anul·la en x = 1,98:

(x) = () ln x x 1 2 +

Exercicis i problemes resolts

7. Estudi i gràfica d’altres funcions

a) Estudia i representa la funció següent:

b) Estudia i representa la funció següent:

Representa les funcions següents: a)

8. Funcions trigonomètriques

a) Representa aquesta funció: y = cos 2x – cos x

a) Domini: Á. Es contínua i derivable. Periodicitat: 2π. Funció parella.

• Punt de tall amb l’eix Y: x = 0, y = 0

• Punts de tall amb l’eix X: cos 2x – cos

b) Representa la funció següent: y = snix 1 r

• Màxims i mínims: y' = –2sin 2x + sin x = 0

→ –2(2sin x cos x) + sin x = 0 → sin x (– 4cos x + 1) = 0 →

→ * sin x = 0 → x = 0 + kπ –4cos x + 1 = 0 → cos x = 1/4 → x ≈ 1,32 + 2kπ; x ≈ 4,96 +2kπ k ∈

Estudiam el signe de y '' = – 4cos 2x + cos x en aquests punts:

y'' < 0 en x = 0 + kπ → màxims: (0 + 2kπ, 0), (π + 2kπ, 2) amb k ∈ y'' > 0 en x = 1,32 + 2kπ i en x = 4,96 + 2kπ →

→ mínims: (1,32 + 2kπ; –1,12), (4,96 + 2kπ; –1,12) amb k ∈

b) Domini: Á – {k}, con k ∈ . És contínua i derivable. Periodicitat: 2. Imparella.

• No talla els eixos.

• Asímptotes verticals: x = k amb k ∈ .

Posició de la corba respecte a l’asímptota:

lm í xk –" y = – ∞ lm í xk " + y = + ∞, si k és parella

lm í xk –" y = + ∞ lm í xk " + y = – ∞, si k és imparella

• Màxims i mínims: y' = –() sn cos ix x 2 r rr = 0 → x = 1/2 + k amb k ∈

Estudiam ara el signe de y'' = sn coss n i i x xx 2 3 22 22 r rr rr + .

El numerador és sempre positiu. El denominador és positiu per als intervals z(2k, 1 + 2k) i negatiu per a (1 + 2k, 2 + 2k), amb k ∈ . Per tant:

y'' > 0 en x = 1/2 + 2k → mínims: (1/2 + 2k, 1) amb k ∈ .

y'' < 0 en x = 3/2 + 2k → màxims: (3/2 + 2k, –1) amb k ∈

FES-HO TU

Representa les funcions següents:

a) y = 2sin x + cos 2x

b) y = cosx 1 r

Exercicis i problemes guiats

1. Descripció d’una gràfica

Descriu la gràfica següent donant els elements necessaris perquè un company o una companya el pugui representar a partir de la descripció

• Indica on està definida la funció i refereix-te a la continuïtat i la derivabilitat.

• Descriu, mitjançant un límit, l’asímptota horitzontal, i la posició de la corba respecte a aquesta.

• Descriu, mitjançant límits, l’asímptota vertical i la posició de la corba tant a l’esquerra com a la dreta.

• Descriu l’asímptota obliqua mitjançant límits. Explicita en un d’aquests la posició de la corba respecte a l’asímptota

• Descriu la condició per la qual s’obtenen els punts singulars. Afegeix condicions per saber quins són màxims i mínims.

• Completa la informació dels punts singulars amb les ordenades corresponents

Solució: Dom f = Á – {1}; derivable en tot el seu domini. Asímptota horitzontal per a x → – ∞: y = 4. Asímptota vertical: x = 1. Asímptota obliqua per a x → + ∞: y = x – 2. Màxim relatiu en (3, 2). Mínims relatius en (–1, –1) i (5, –2). Talls amb els eixos en (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) i (6, 0).

2. Representació d’una funció logarítmica amb valor absolut

Representa la funció següent:

Estudia si és simètrica. Indica el seu Solució: domini de definició i si és derivable en tot aquest Troba els elements necessaris per a la seva representació: asímptotes, punts singulars, etc.

3.

Calcula els paràmetres a, b, c i d perquè la corba de f tengui dos extrems relatius en (1, 0) i (0, 1).

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Representa la funció.

• Amb l’expressió de la funció, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, i les dades que tenim, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 i f ' (1) = 0, formam un sistema de 4 incògnites i 4 equacions.

• Resol-ho i representa la funció.

Calcula el valor del paràmetre k perquè la funció:

f (x) = xx xk 41 2 + ++ tengui y = 4x + 5 com a asímptota obliqua.

Representa la funció.

Per trobar l’equació de l’asímptota obliqua, fes aquesta divisió: (4x 2 + x + 1) : (x + k)

Calcula el valor de k que fa que el quocient coincideixi amb l’equació de l’asímptota, y = 4x + 5.

Representa la funció.

Solució:

Funció polinòmica amb paràmetres

4. Funció racional amb paràmetres

Exercicis i problemes proposats

Per practicar

Descripció d’una gràfica

1 Representa una funció contínua i derivable en Á tal que:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ ∞ lm í x – " f (x) = – ∞

f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 per a cualquier x, f ' (2) = 0

2 D’una funció y = f (x) tenim la informació següent:

D = Á – {1, 4}

lm í x 1 –" f (x) = +∞ lm í x 1 " + f (x) = – ∞

lm í x 4 –" f (x) = – ∞ lm í x 4 " + f (x) = +∞

∞ lm í x ± " f (x) = 0

si x → +∞ , f (x) > 0 si x → – ∞ , f (x) < 0

f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Representa-la.

3 Dibuixa la gràfica d’una funció contínua i derivable en Á de la qual es coneixen les dades següents:

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

4 Descriu les funcions següents indicant-ne el domini, les simetries (si en tenen), les asímptotes i les branques infinites, els punts singulars i els intervals de creixement i de decreixement. Fes-ho donant valors de la funció, de la seva derivada i de certs límits.

Característiques de les funcions

6 Indica el domini de cada una de les funcions següents:

a) y =  xx25 –42 + b) y = 3 –  x x 1 2 +

c) y =  xx34 –2 ++ d) y =  x 321 1 –

e) y = ln (4 –  x ) f) y =  () ln x 1 9– 2

g) y =  tg x 1 h ) y =  tg x 1 1 –2

7 Estudia la simetria de les funcions següents:

a) y = x 2 + 1 b) y =  x x 3 –2 c) y = tg πx

d) y = e | x | e) y =  || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

8 Determina si aquestes funcions són periòdiques i, en el seu cas, troba’n el període:

a) y = sin 3x b) y = sin 2πx

c) y = tg πx d) y = sin x + cos 2x

e) y = cos x 2 r bl  · sin x f ) y = sin (x 2 + 1)

9 Troba les asímptotes verticals d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte a aquestes: a)

10 Troba les asímptotes horitzontals i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes.

5 Descriu la funció següent:

y= x

y= x

11 Troba les asímptotes obliqües d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes:

a) y =  x xx32 –2 + b) y =  x x x 23 52 –2 + +

c) y =  (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y =  x 35 2 +

Exercicis i problemes proposats

Funcions polinòmiques

12 Estudia i representa les funcions següents:

a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5

c) y =  x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y =  xx 64 5–45

e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x

g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Estudia les branques infinites, intervals de creixement i de decreixement, màxims, mínims i punts d’inflexió de les funcions següents. Representa-les gràficament:

a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4

c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3

e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Representa les funcions següents:

a) y = x 2  – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1

c) y = x 3  – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funcions racionals

15 De les funcions següents, estudia’n el domini, les asímptotes i la posició de la corba respecte d’aquestes, i representa-les a partir dels resultats obtenguts:

a) y =  x 1 2 b) y =  x 1 1 –2 c) y =  x x 1 –2

d) y =  x x 1 –2 e) y =  x x 1 2 + f

16 Representa aquestes funcions estudiant-ne prèviament el domini, les asímptotes, les branques infinites i els extrems relatius:

a) y =  () ()xx13 1 b) y =  () () ()

17 Representa les funcions racionals següents:

Funcions amb valor absolut i funcions a trossos

18 Representa aquesta funció:

19 Representa aquesta funció definida a trossos: f (x) =  ≥ x x

Recorda que si se simplifica una fracció dividint numerador i denominador per (x – a), hi ha una discontinuïtat evitable en x = a.

0 0 –

x x 1 1 1

si si

< 2 + +

20 Representa la funció següent: f (x) =  () ≥ xx x x x 31 1 0 0 ––si si < 3 2 +

Estudia’n els intervals de creixement i de decreixement, els extrems relatius i la curvatura

21 Dibuixa la gràfica de les funcions següents i indica en quins punts no són derivables:

a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 |

c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 Considera la funció f (x) = x 2 | x – 3 |:

a) Troba els punts on f no és derivable.

b) Calcula els màxims i mínims

c) Representa-la gràficament

23 Representa gràficament cadascuna d’aquestes funcions:

a)

c) y =  || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3  – x 2 + 2|

Altres tipus de funcions

24 Estudia i representa les funcions següents:

a) y =  x 4– 2 3 b) y =  xx –2

c) y =  xx45 –2 + d) y =  x x 1 –2 2

25 Estudia i representa les funcions següents:

a) y =  e x x b) y =  ln x x

c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x

e) y =  e x–2 f ) y = x 2 e –x

g) y =  ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Estudia i representa les funcions següents:

a) y = sin x + cos x b) y = 2sin x – cos 2x

c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sen πx + 2

e) y = sin πx – 2

f ) y = tg πx + cos 2πx

Per resoldre

27 Estudia el domini de definició, les asímptotes i els extrems de cadascuna d’aquestes funcions i, amb aquesta informació, relaciona-les amb les gràfiques respectives:

32 La recta y = 2x + 6 és una asímptota obliqua de la funció:

f (x) =  xk x 21 –2 +

Troba el valor de k i representa la funció obtenguda així.

33 Sigui la funció f (x) = x 2  · e –ax amb a ≠ 0.

a) Calcula el valor de a perquè aquesta funció tengui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2

b) Classifica els extrems relatius quan a = 2

34 Donada la funció: f (x) = ax + b +  x 8 calcula a i b perquè la gràfica de f passi pel punt (–2, – 6) i tengui, en aquest punt, tangent horitzontal. Per a aquests valors de a i de b, representa la funció.

35 Troba els valors de a, b i c per als quals la funció:

f (x) =  x ax bx c 4 –2 2 ++

té com a asímptota horitzontal la recta y = –1 i un mínim en el punt (0, 1).

36 Una partícula es mou al llarg de la gràfica de la corba d’equació y =  x x 1 2 –2 per a x > 1.

En el punt P (2, –4/3) la deixa i es desplaça al llarg de la recta tangent a aquesta corba

a) Troba la funció a trossos que en descriu la trajectòria.

b) Si el desplaçament és d’esquerra a dreta, troba el punt en el qual la partícula talla l’eix X.

28 Recorda que el sinus hiperbòlic i el cosinus hiperbòlic es definien així:

xx

ee 2

Estudia els màxims, els mínims i els punts d’inflexió d’aquestes funcions i representa-les gràficament

29 Determina les asímptotes de les funcions següents:

a) y =  x x 3 1– b) y =  x xx 1 2 ++

30 Fes un estudi i representa cada una de les funcions següents:

a) y =  ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y =  e e 1 1 –x x +

c) y =  ln x x 1 + bl d) y =  xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Calcula el valor de a, b i c, sabent que aquesta funció és del tipus y = a + b cos c xr bl .

37 La concentració (en %) de nitrogen d’un compost ve donada, en funció del temps t∈ [0, +∞) mesurat en segons, per la funció:

N (t ) =  e12 60 t–+

a) Comprova que la concentració de nitrogen creix amb el temps. Per a quin t la concentració de nitrogen és mínima i quina és aquesta concentració?

b) A quin valor tendeix la concentració de nitrogen quan el temps tendeix a infinit?

38 El benefici d’una empresa, en centenars de milers d’euros, amb el pas del temps, t (en anys), durant els 5 darrers anys, ve donat per aquesta funció:

2 6 2 3 03 35

2 ! !

b (t) =  () si [, ] si (, ] t t t t

a) Indica quan ha crescut el benefici i determina en quins moments hi va haver màxims i mínims locals i quins en varen ser els valors corresponents.

b) Quan va tenir un benefici de 500 000 €?

c) Representa la funció b(t).

Exercicis i problemes proposats

Qüestions teòriques

39 Què podem dir del grau d’una funció polinòmica amb dos màxims i dos mínims relatius? En aquesta funció, pot estar un dels mínims més alt que els màxims?

40 Una funció f (x) té les característiques següents:

Dom f = Á – {0} i és contínua i derivable en el seu domini.

lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞

∞

lm í x 0 –" f (x) = +∞ lm í x 0 " + f (x) = – ∞

Indica quines de les afirmacions següents són segures, quines són probables i quines són impossibles:

a) f (x) és parella.

b) f (x) és imparella.

c) No té màxims ni mínims.

d) Té un màxim i un mínim.

e) Talla l’eix X en dos punts.

f ) Talla l’eix X almenys en dos punts.

g) Té, almenys, una asímptota vertical.

h) Té només una asímptota vertical.

i) Té una asímptota obliqua.

j) És còncava en x < 0 i convexa en x > 0.

41 Quants punts d’inflexió pot tenir, com a màxim, una funció polinòmica de quart grau?

42 Comprova que y =  || x x 1 + té dues asímptotes horitzontals.

43 Sobre la gràfica de y = | x 2 – 4 | indica els intervals de concavitat, de convexitat i els seus punts d’inflexió.

44 y =  x x 1 1 –2 + no està definida en x = 1 ni en x = –1; però, té només una asímptota vertical Justifica-ho

45 Quantes asímptotes verticals pot tenir una funció? I horitzontals?

46 Dóna un exemple d’una funció que tengui un mínim en x = 1 i que no sigui derivable en aquest punt. Representa-la

47 Dóna un exemple d’una funció derivable en x = 1 amb f ' (1) = 0 que no tengui màxim ni mínim en aquest punt

48 Si és possible, dibuixa una funció contínua en l’interval [0, 4] que tengui, almenys, un màxim relatiu en (2, 3) i un mínim relatiu en (3, 4). Si la funció fos polinòmica, quin hauria de ser, com a mínim el seu grau?

49 Té f (x) = x + e –x alguna asímptota? Si és així, troba-la.

50 Quin tipus de simetria tenen les funcions següents?

51 Donada la funció f (x):

Indica quina gràfica correspon a aquestes altres:

52 Relaciona cada gràfica amb la funció que li correspon.

53 Donats els gràfics de f i g:

Relaciona aquestes funcions amb les seves representacions:

Per aprofundir

54 Encara que la paraula asímptota l’hem aplicada a rectes que s’aproximen a una gràfica, té un significat més ampli: es diu que dues corbes són asimptòtiques quan, en fer-se enfora de l’origen, la distància entre aquestes tendeix a zero. Per exemple, la paràbola y = x 2 + 1 és asimptòtica a la funció y =  x x 1 –2 4 (revisa’n la gràfica en la pàgina 313), ja que y =  x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + i, a més, x 1 1 –2 tendeix a 0 quan x → ± ∞ prenen valors positius, de manera que la gràfica de y = f (x) queda per damunt de la paràbola

Aquest resultat permet representar la funció de forma més precisa recolzant-nos en la representació de la paràbola:

paràbola asimptótica

rectes asimptótiques

55 Estudia la posició relativa entre aquestes corbes i les seves paràboles asimptòtiques. Representa la informació obtenguda:

56 En l’Exercici resolt 1 de l’apartat 11.5, vàrem veure un procediment senzill per calcular les asímptotes de la funció y =  xx 2 –2 mitjançant els passos següents:

() || xx xx21 –≈11 –22 = Esbrina, de manera similar, les asímptotes d’aquestes funcions:

Indica la posició de cada corba respecte de les asímptotes

57 Si una funció, f, és periòdica, també ho és g [ f (x)] qualsevol que sigui g (x), ja que si f és periòdica de període

T, llavors f (x + kT ) = f (x). Per tant: g [f (x + kT )] = g [f (x)], és a dir g ° f és periòdica

No obstant això, en general, f [g (x)] no és periòdica, ja que f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] perquè g(x + kT) ≠ g(x).

Segons aquestes afirmacions, indica quines de les funcions següents són o no periòdiques.

a) Troba la paràbola asimptòtica a y =  x xx x 28 –32 ++

Determina la posició de la corba respecte d’aquesta

b) Representa la funció usant aquestes dades, així com la asímptota vertical i el punt singular (únic, en x = 2).

1 Dibuixa la gràfica d’una funció f de la qual sabem:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x – " f (x) = –3, lm í x –3 " f (x) = – ∞

f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2 2 Descriu les funcions següents:

a) y = 2sin x b) y = sin2 x c) y = sin x2

d) y =  snix e) y = sin x f ) y = sin 2x

* Recorda que si una funció f és periòdica de període T, aleshores també és periòdica f(mx + n), i el seu període és T/m.

4 Representa les funcions següents:

5 Representa aquestes funcions:

) =  () x e 1 x

2 +

6 Calcula els punts de tall amb els eixos i els punts singulars de la funció y = ln (–x 2 + 1). Determina els intervals de creixement i de decreixement i esbossa’n la gràfica.

7 Troba els màxims i els mínims de f (x) = x x 3 + Indica si té asímptotes i representa-la gràficament.

3 Dibuixa una funció contínua en Á que tengui un mínim relatiu en (1, 6) i un màxim relatiu en (6, 2). Si és un polinomi, quin serà, com a mínim, el seu grau?

8 Estudia aquestes funcions i representa-les gràficament:

a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sin 2x + 2cos x

© GRUPO ANAYA, S.A., 2022 - C/ Valentín Beato, 21 - 28037 Madrid.

Reservats tots els drets. El contingut d’aquesta obra està protegit per la llei, que estableix penes de presó, multes o ambdues ensems, ultra les indemnitzacions corresponents per danys i perjudicis, per a aquells qui reproduïssin, plagiassin, distribuïssin o comunicassin públicament, en tot o en part, una obra literària, artística o científica, o la seva transformació, interpretació o execució artística fixada en qualsevol tipus de suport o comunicada per qualsevol mitjà sense autorització prèvia.