Modelo programación Matemáticas 1 Bachillerato

1.º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. I

Unidad 6. Límite de funciones. Continuidad y ramas infinitas

Temporalización Nº de sesiones: 8-10

Descripción / Justificación

La idea gráfica, tanto de continuidad y discontinuidad como de los distintos tipos de límites y ramas infinitas, es sencilla y clara. El paso a la obtención de métodos analíticos por los que se reconozcan estas características de las funciones a partir de sus expresiones analíticas es el contenido fundamental de esta unidad. El estudiante debe ser consciente del proceso seguido: ¿Con qué fin seguimos ese proceso? Pues, si es fácil apreciar tales características sobre la gráfica, ¿para qué ir a buscarlas en las expresiones analíticas, donde resulta difícil y laborioso hallarlas? Aunque la respuesta es obvia, debemos subrayarla: habitualmente, las funciones se nos dan analítica y no gráficamente.

Destacamos como especialmente importantes estas consideraciones didácticas:

- El resultado que afirma «Todas las funciones definidas por sus expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora) son continuas en todos los puntos en los que están definidas» nos permite obtener como obvios infinidad de límites en los que no existe indeterminación.

- El interés de recurrir a la calculadora para dilucidar el signo en los siguientes casos: algunos límites infinitos cuando x → a por la derecha o por la izquierda, o el signo de la diferencia entre una función y su asíntota para situar respecto a esta la rama infinita.

- «El protagonismo de una función polinómica, cuando x  +∞ o x  –∞, lo desempeña su término de mayor grado». Esta sencilla afirmación resulta sumamente fecunda para el cálculo de límites en el infinito en los que intervengan expresiones polinómicas. Es deseable que los estudiantes lo entiendan a la perfección, y automaticen su uso. Y, en lo posible, lo hagan extensivo a otro tipo de funciones.

- Puesto que en este nivel solo veremos asíntotas oblicuas en funciones racionales, hemos considerado que basta con aprender la obtención de estas mediante el cálculo algebraico del cociente P(x) : Q(x). No obstante, se añade la definición con límites para aquellos estudiantes que quieran saber un poco más.

No es en los procesos matemáticos donde suelen hallarse las mayores dificultades de los estudiantes, sino en la correcta interpretación de los mismos y el papel que desempeñan en la representación gráfica de funciones. Una forma de ir suavizando esta dificultad es, creemos, interpretar gráficamente todo resultado analítico que se obtenga.

Programación

Basado en el Real Decreto 243/2022 de 5 de abril del 2022

Perfil de salida descriptores operativos

STEM1, STEM2, CD2, CPSAA5, CC4, CE2, CE3, CCEC1.

Competencias específicas Criterios de evaluación Saberes básicos Evidencias

6. Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento y profundizar en sus conexiones, interrelacionando conceptos y procedimientos, para modelizar, resolver problemas y desarrollar la capacidad crítica, creativa e innovadora en situaciones diversas.

6.2. Analizar la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad reflexionando sobre su contribución en la propuesta de soluciones a situaciones complejas y a los retos en las ciencias sociales que se planteen.

E. Sentido socioafectivo.

1. Creencias, actitudes y emociones.

- Destrezas de autogestión encaminadas a reconocer las emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

- Tratamiento y análisis del error, individual y colectivo como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

2. Toma de decisiones.

- Destrezas para evaluar diferentes opciones y tomar decisiones en la resolución de problemas.

3. Inclusión, respeto y diversidad.

- Destrezas sociales y de comunicación efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas.

- Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia del avance de las ciencias sociales.

STEM1, STEM2, STEM3, CD2, CD5, CPSAA4, CPSAA5, CE3

1. Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento para obtener posibles soluciones.

1.1. Emplear algunas estrategias y herramientas, incluidas las digitales, en la resolución de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales, valorando su eficiencia en cada caso.

Página inicial (págs. 156-157)

Texto sobre el concepto de límite, antecendentes y evolución y para que sirve la continuidad de funciones. Resuelve (pág. 157) Actividades de la sección.

B. Sentido de la medida.

2. Cambio.

- Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica.

- Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la continuidad.

Ejercicios y problemas resueltos (págs. 177-179).

Problemas resueltos en la sección. Ejercicios y problemas guiados (pág. 180)

Problemas guiados en la sección.

STEM1, STEM2, CD3, CPSAA4, CC3, CE3.

2. Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación para contrastar su idoneidad

1.2. Obtener todas las posibles soluciones matemáticas de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales, describiendo el procedimiento realizado.

C. Sentido algebraico.

2. Modelo matemático.

- Relaciones cuantitativas esenciales en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

4. Relaciones y funciones.

- Representación gráfica de funciones utilizando la expresión más adecuada.

- Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómica, exponencial, racional sencilla, irracional, logarítmica, periódica y a trozos: comprensión y comparación.

- Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de las ciencias sociales.

5. Pensamiento computacional.

- Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales utilizando programas y herramientas adecuados.

- Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

2.1. Comprobar la validez matemática de las posibles soluciones de un problema, utilizando el razonamiento y la argumentación

B. Sentido de la medida.

2. Cambio.

- Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica.

- Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la continuidad.

C. Sentido algebraico.

2. Modelo matemático.

- Relaciones cuantitativas esenciales en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

Para practicar (págs. 181-183) Problemas propuestos en la sección.

Ejercicios y problemas resueltos (págs. 177-179).

Problemas resueltos en la sección. Ejercicios y problemas guiados (pág. 180)

Problemas guiados en la sección. Para practicar (págs. 181-183)

Problemas propuestos en la sección.

STEM3, CD1, CD2, CD5, CE3, CCEC4.1, CCEC4.2

7. Representar conceptos, procedimientos e información matemáticos seleccionando diferentes tecnologías, para visualizar ideas y estructurar razonamientos matemáticos.

7.1. Representar ideas matemáticas, estructurando diferentes razonamientos matemáticos y seleccionando las tecnologías más adecuadas.

4. Relaciones y funciones.

- Representación gráfica de funciones utilizando la expresión más adecuada.

- Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómica, exponencial, racional sencilla, irracional, logarítmica, periódica y a trozos: comprensión y comparación.

- Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de las ciencias sociales.

5. Pensamiento computacional.

- Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales utilizando programas y herramientas adecuados.

- Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

B. Sentido de la medida.

2. Cambio.

- Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica.

- Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la continuidad.

C. Sentido algebraico.

2. Modelo matemático.

- Relaciones cuantitativas esenciales en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

4. Relaciones y funciones.

- Representación gráfica de funciones utilizando la expresión más adecuada.

Ejercicios y problemas resueltos (págs. 177-179).

Problemas resueltos en la sección. Ejercicios y problemas guiados (pág. 180)

Problemas guiados en la sección.

Para practicar (págs. 181-183)

Problemas propuestos en la sección. Para resolver (págs. 183-184)

Problemas propuestos en la sección.

5. Establecer, investigar y utilizar conexiones entre las diferentes ideas matemáticas estableciendo vínculos entre conceptos, procedimientos, argumentos y modelos para dar significado y estructurar el aprendizaje matemático.

7.2. Seleccionar y utilizar diversas formas de representación, valorando su utilidad para compartir información.

- Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómica, exponencial, racional sencilla, irracional, logarítmica, periódica y a trozos: comprensión y comparación.

- Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de las ciencias sociales.

5. Pensamiento computacional.

- Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales utilizando programas y herramientas adecuados.

- Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

Ejercicios y problemas resueltos (págs. 177-179).

Problemas resueltos en la sección. Ejercicios y problemas guiados (pág. 180)

Problemas guiados en la sección. Para practicar (págs. 181-183)

Problemas propuestos en la sección.

Para resolver (págs. 183-184)

Problemas propuestos en la sección.

Cuestiones teóricas (pág. 185)

Cuestiones propuestas en la sección.

Para profundizar (pág. 185)

Problemas propuestos en la sección.

5.1 Manifestar una visión matemática integrada, investigando y conectando las diferentes ideas matemáticas.

5.2. Resolver problemas en contextos matemáticos, estableciendo y aplicando conexiones entre las diferentes ideas matemáticas.

B. Sentido de la medida.

2. Cambio.

- Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica.

- Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la continuidad.

C. Sentido algebraico.

2. Modelo matemático.

- Relaciones cuantitativas esenciales en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

4. Relaciones y funciones.

- Representación gráfica de funciones utilizando la expresión más adecuada.

- Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómica, exponencial, racional sencilla, irracional, logarítmica, periódica y a trozos: comprensión y comparación.

- Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de las ciencias sociales.

STEM1, STEM3, CD2, CD3, CCEC1.

Autoevaluación (pág. 185)

Autoevaluación (pág. 185)

CCL1, CCL3, CP1, STEM2, STEM4, CD3, CCEC3.2

8. Comunicar las ideas matemáticas, de forma individual y colectiva, empleando el soporte, la terminología y el rigor apropiados, para organizar y consolidar el pensamiento matemático.

8.1. Mostrar organización al comunicar las ideas matemáticas empleando el soporte, la terminología y el rigor apropiados.

5. Pensamiento computacional.

- Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales utilizando programas y herramientas adecuados.

- Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

B. Sentido de la medida.

2. Cambio.

- Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica.

- Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la continuidad.

C. Sentido algebraico.

2. Modelo matemático.

- Relaciones cuantitativas esenciales en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

4. Relaciones y funciones.

- Representación gráfica de funciones utilizando la expresión más adecuada.

- Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómica, exponencial, racional sencilla, irracional, logarítmica, periódica y a trozos: comprensión y comparación.

- Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de las ciencias sociales.

5. Pensamiento computacional.

- Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales utilizando programas y herramientas adecuados.

Ejercicios y problemas resueltos (págs. 177-179).

Problemas resueltos en la sección.

Ejercicios y problemas guiados (pág. 180)

Problemas guiados en la sección. Para practicar (págs. 181-183)

Problemas propuestos en la sección.

Para resolver (págs. 183-184)

Problemas propuestos en la sección.

Cuestiones teóricas (pág. 185)

Cuestiones propuestas en la sección.

Para profundizar (pág. 185)

Problemas propuestos en la sección.

8.2. Reconocer y emplear el lenguaje matemático en diferentes contextos, comunicando la información con precisión y rigor.

- Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

Competencias clave: CCL competencia en comunicación lingüística. CP competencia plurilingüe. STEM competencia matemática y competencia en ciencia y tecnología. CD competencia digital. CPSAA competencia personal, social y de aprender a aprender. CC competencia ciudadana. CE competencia emprendedora. CCEC competencia en conciencia y expresión culturales.

METODOLOGÍAS

Las diferentes estrategias metodológicas para el desarrollo de la unidad van encaminadas a:

 Aplicar el conocimiento matemático que el alumnado posee en el contexto de la resolución de problemas mediante el uso de técnicas y estrategias de resolución de problemas como: la analogía con otros problemas, la estimación, el ensayo y error, la resolución de manera inversa (ir hacia atrás), el tanteo, la descomposición en problemas más sencillos o la búsqueda de patrones, que les permitan tomar decisiones, anticipar la respuesta, asumir riesgos y aceptar el error como parte del proceso.

 El uso correcto del lenguaje científico como exigencia crucial para transmitir adecuadamente los conocimientos, hallazgos y procesos.

 Enlazar las nuevas ideas matemáticas con ideas previas, reconocer y utilizar las conexiones entre ideas matemáticas en la resolución de problemas y comprender cómo unas ideas se construyen sobre otras para formar un todo integrado.

 La adquisición de un conjunto de representaciones matemáticas que amplían significativamente la capacidad para interpretar y resolver problemas de la vida real.

De manera más concreta, para esta unidad se propone:

Una doble página inicial con un breve texto que destaca un hecho relevante relacionado con los contenidos de la unidad y que sirve de motivación para comenzar su estudio: Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas. Se refuerzan estos planteamientos con un apartado, «Resuelve» que es una situación destinada a trabajar y activar los conocimientos previos.

 Los saberes de la unidad se dividen en epígrafes y subepígrafes, donde:

o Se destacan en negrita los conceptos más importantes sobre los límites de funciones, continuidad y ramas infinitas.

o En la propuesta didáctica, se hacen sugerencias sobre cómo abordar el trabajo de determinados apartados y actividades, mediante ejercicio y problemas resueltos y guiados.

o Se ofrecen fotografías, ilustraciones y esquemas aclaratorios.

o Se proponen actividades para:

 Para fijar ideas

 Para practicar

 Para profundizar

 Se concluye la unidad con:

o Ejercicios y problemas. Esta sección se organiza en:

 Para Practicar. Para afianzar los saberes esenciales

 Para Resolver. Resuelve problemas para aplicar los saberes a situaciones o problemas.

 Cuestiones teóricas, para abordar actividades de carácter más teórico.

 Para profundizar, para usar los saberes en contextos diversos y de diferente complejidad. En los diferentes apartados de la sección, se incluyen, cuando se considera necesario, actividades o problemas resueltos a modo de ejemplificación, y desarrollos de estrategias de resolución de problemas.

o Autoevaluación

A lo largo de la unidad, se presentan unos iconos asociados a algunos apartados y actividades, que sugieren metodologías, estrategias, técnicas o piezas clave, tanto en el libro del alumnado como en la propuesta didáctica. Estos iconos pueden contribuir al desarrollo del Plan Lingüístico, el Desarrollo del Pensamiento, el Aprendizaje Cooperativo, la Cultura Emprendedora, Compromiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS), Orientación Académico Profesional, la Educación Emocional, la Evaluación o las TIC.

Agrupamientos

Además del trabajo individual, se podrá trabajar en pequeño y gran grupo. Del mismo modo, podremos llevar a cabo actividades mediante interacciones entre alumnado, utilizando algunas de las técnicas cooperativas propuestas en las claves del proyecto.

Espacios

Las actividades que se plantean desde los diferentes apartados se llevarán a cabo fundamentalmente en el aula. Se podrán utilizar otros espacios como el aula TIC, la biblioteca del centro... También se podrán visitar lugares que tengan relación con los contenidos de la unidad, organizando alguna actividad complementaria en horario lectivo o bien a través de algún trabajo monográfico en el que el alumnado realice un trabajo de campo, fomentando la recogida de evidencias en relación a su entorno.

Contexto

X Personal Familiar X Escolar X Social

Transversalidad

Contribución al fomento de competencias asociadas al trabajo con las claves pedagógicas del proyecto (desarrollo del pensamiento, trabajo cooperativo, aplicación de las TIC…) en asociación con el resto de materias.

MATERIALES Y RECURSOS

Recursos impresos

Libro del alumnado.

Recursos digitales

 Libro digital. Libro digital del profesorado con recursos digitales para cada unidad.

 Banco de recursos en anayaeducacion.es. Los siguientes materiales de apoyo pueden reforzar y ampliar el estudio de los contenidos de la materia de Matemáticas.

o Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto. Diferentes documentos dirigidos al profesorado que explican el proyecto y sus claves, así como acceso a las programaciones de aula de la unidad y su correspondiente propuesta didáctica.

o Recursos y herramientas de la sección de Diversidad e inclusión y Evaluación.

o Mis recursos en la web. Recursos web que permiten al alumnado reforzar o ampliar los contenidos de la unidad accediendo a diferentes y atractivos recursos digitales.

INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

En todo el proyecto, tanto en los recursos impresos como en los recursos digitales, se combinarán procesos cognitivos variados, adecuándolos a los diversos estilos de aprendizaje del alumnado. Los ejercicios, actividades y problemas planteados se han diseñado para contribuir a que el alumnado adquiera los aprendizajes de manera progresiva, partiendo de la reproducción y el conocimiento, hasta procesos cognitivos que contribuyen a aprendizajes más profundos a partir de las tareas planteadas.

Instrumentos y recursos:

- Lo esencial.

- Fondo de fichas para la diversidad y la inclusión (fichas para adaptar el currículo, fichas de ejercitación y fichas de profundización).

- Para evaluar las medidas de inclusión y atención a la diversidad individual y del grupo que requiere el desarrollo de la unidad, dispone de una rúbrica en el anexo «Herramientas de evaluación».

Pautas DUA

La presente unidad aplica en su conjunto de actividades diferentes pautas inspiradoras del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA), de modo que sus principios favorecedores de la inclusión educativa se hallen implícitos tanto en el material impreso en papel como en el ofrecido dentro del entorno digital.

EVALUACIÓN

Instrumentos y recursos:

- Evaluación.

- Evaluación competencial.

- Generador de pruebas escritas de evaluación.

- Guía para trabajar el porfolio. Con unas indicaciones básicas que ayudarán al alumnado a preparar y utilizar su porfolio del curso.

- Fondo e Instrumentos de evaluación, autoevaluación y coevaluación. Con una amplia base de rúbricas, dianas y otros instrumentos diseñados por especialistas con el fin de proporcionar al profesorado un conjunto de herramientas con las que llevar a cabo la evaluación, la autoevaluación y la coevaluación.