Caso 1 segunda etapa

SEGUNDA ETAPA: ESTUDIO DE CASOS

CASO 1: ContaminaciĂłn del agua por descomposiciĂłn de basura.

Cuando se descompone residuos orgĂĄnicos en un volumen de agua, el contenido de oxĂ­geno del agua se reduce temporalmente por oxidaciĂłn. Suponga que đ?‘Ą dĂ­as despuĂŠs de descargar aguas residuales sin tratar en un lago, la proporciĂłn đ?‘ƒ del contenido usual de oxĂ­geno que permanece en el lago estĂĄ dada por la funciĂłn

đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

12 144 + đ?‘Ą + 12 (đ?‘Ą + 12)2

Se le pide:

a) Use un software para graficar la funciĂłn y redacte el comportamiento de đ?‘ƒ a medida que el tiempo transcurre. ÂżQuĂŠ sucede con la proporciĂłn de oxĂ­geno en el agua si el tiempo crece indefinidamente?

Teniendo la funciĂłn

đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

12 đ?‘Ą+12

+

144 (đ?‘Ą+12)2

Imagen 1: GrĂĄfico de la funciĂłn de proporciĂłn del oxĂ­geno en aguas contaminadas.

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Pero como en el problema considera la variable đ?‘Ą como el tiempo, solo puede tomar valores positivos. 0 ≤ đ?‘Ą ≤ +∞

Imagen 2: GrĂĄfico de la funciĂłn de proporciĂłn del oxĂ­geno en aguas contaminadas con su verdadero dominio.

Para explicar lo que sucede con la proporciĂłn de oxĂ­geno al paso del crecimiento indefinido del tiempo, obtendremos el lĂ­mite de la funciĂłn cuando đ?‘Ą tiende al infinito.

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = lim 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

đ?‘Ąâ†’∞

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

12 144 + đ?‘Ą + 12 (đ?‘Ą + 12)2

12 144 + ∞ + 12 (∞ + 12)2

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

12 144 + ∞ ∞

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1

đ?‘Ąâ†’∞

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Se observa que la proporciĂłn de oxigeno presente en el agua tiende a 1 a medida que el tiempo crece indefinidamente (+∞), pero la grĂĄfica no sigue una misma secuencia pues crece y tambiĂŠn decrece. Ello explica que la proporciĂłn del oxĂ­geno solo se reducirĂĄ momentĂĄneamente.

b) Determine la razĂłn a la que cambia la proporciĂłn de oxĂ­geno đ?‘ƒ(đ?‘Ą) despuĂŠs de 10 dĂ­as. En ese momento, Âżla proporciĂłn estĂĄ creciendo o decreciendo?

Para determinar la razĂłn de cambio se tendrĂĄ que derivar la funciĂłn para luego reemplazar en el punto que se pida.

đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 − 12(đ?‘Ą + 12)−1 + 144(đ?‘Ą + 12)−2 đ?‘‘đ?‘ƒ = 0 − 12(đ?‘Ą + 12)−2 − 288(đ?‘Ą − 12)−3 ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (đ?‘–) đ?‘‘đ?‘Ą →

dP = 12(10 + 12)−2 − 288(10 + 12)−3 | dt t = 10 dP −3 = −2,2539 Ă— 10 | dt t = 10

Como el resultado es negativo, la proporciĂłn del contenido usual de oxigeno ira decreciendo. Ello significa que en el tiempo igual a 10 el lago aĂşn se verĂĄ afectado por la descarga las aguas residuales dentro de ĂŠl.

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c) DespuĂŠs de 15 dĂ­as, Âżla proporciĂłn estĂĄ creciendo o decreciendo?

De la ecuaciĂłn (đ?‘–) obtenida en el Ă­tem anterior.

→

dP = 12(15 + 12)−2 − 288(15 + 12)−3 | dt t = 15 dP = 1,8290 Ă— 103 | dt t = 15

Como el resultado es positivo, la proporciĂłn del contenido usual de oxigeno ira creciendo. Ello significa que en el tiempo igual a 15 el daĂąo causado por la descarga las aguas residuales ira reduciendo. d) Si no se descargan mĂĄs aguas residuales, ÂżquĂŠ se espera que suceda con la proporciĂłn de oxigeno? Justifique su respuesta usando lĂ­mites.

Como la proporciĂłn del contenido usual de oxigeno đ?‘ƒ(đ?‘Ą) se redujo temporalmente se espera que, en un determinado tiempo, el daĂąo causado por la descarga de las aguas residuales en el lago se reduzca y el contenido de oxigeno incremente.

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = lim 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

đ?‘Ąâ†’∞

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

12 144 + đ?‘Ą + 12 (đ?‘Ą + 12)2

12 144 + ∞ + 12 (∞ + 12)2

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 −

đ?‘Ąâ†’∞

12 144 + ∞ ∞

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1 + 0 + 0

đ?‘Ąâ†’∞

lim đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = 1

đ?‘Ąâ†’∞

La proporciĂłn del oxĂ­geno se irĂĄ incrementando hasta llegar a 1 donde alcanzarĂĄ un equilibrio.

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